Metode de modelare [600587]

1
Universitatea București
Facultatea de Geologie și Geofizică

REFERAT

Metode de modelare

Coordonator științific Doctorand: [anonimizat]. Marian Ivan Ing. Natalia -Silvia Chira
(Asimopolos )

– 2011 –

2

CUPRINS

pagina
INTRODUCERE 3

CALCULUL CÂMPULUI GRAVIT AȚIONAL AL UNUI CORP OMOGEN 6

MODELAREA GEOIDULUI 23

STUDII DE CAZ PRIVIND MODELAREA GEOID ULUI 34

– GEOIDUL GRAVIMETRIC AL ARGENTINEI 34

– MODELUL GEOIDULUI GRAVIMETRIC AL STATELOR
UNITE ALE AMERICII ( G96SSS ) 42

– MODELUL GEOIDULUI GRAVIMETRIC DIN GRECIA 45

CONCLUZII 49

BIBLIOGRAFIE 51

3
I ) INTRODUCERE

Până în prezent , densitatea reală a scoarței Pământului nu este cunoscută. Există mai mulți
autori care au realizat modele pe baza densităților de suprafață , derivate din hărțile geologice . Prin
urmare , multe din investigațiilor efectuate în trecut, depind de o densitate constantă pentru scoarța
Pământului . Având în vedere că densitatea reală a maselor topografice poate diferi cu mai mult de
10% față de o densitate constan tă (Martinec 1993 ; Tziavos et al 1996 ;. Pagiatakis și Armenakis
1998 ; Kuhn 2000 ; Huang et al. 2001 ), modelele rezultate conțin ând erori semnificative.
Prin urmare , un model 3-D digital de densitate (3-DDM), ar fi necesar pentru a oferi o bună
modelare a ma selor topografice . Dar, în practică , este foarte dificil să se realizeze astfel de modele
la o scară globală .
Pe de altă parte , 2-DDM (model ul digital de densitate la suprafață 2D) este suficient pentru
multe aplicații geodezic e și geofizice . In zilele no astre , 2-DDM este disponibil pentru anumite
regiuni ale Pământului (de exemplu: Canada – descris de Pagiatikis și Armenakis 1998 ). În general ,
orice model rezonabil de densitate, va da o îmbunat ățire prin utilizarea de reduceri de gravitate mai
realiste pentru determinarea geoid ului.
Una dintre primele idei cu privire la echilibrul straturi lor Pământului provin e de la
Leonardo da Vinci (1452 -1519). El a exprimat unele speculații interesant e cum că Pământul ar
purta răspunsul pentru subsolul său prin aspectu l supraf eței sale.
Mult mai târziu, Bouguer în 1749 a dat prima dovad ă experimental ă pentru teoria i zostaziei
în timpul expediției la Quito (America de Sud ). El a descoperit că efectele de atracție din Anzi sunt
de departe mai mici decât ar fi fost de aște ptat din cauza mase i uriașe vizibil e. Pentru explicația
acestui fenomen , Bouguer și Boscovich (1755) au afirmat că excesul de mas ă al munților ar putea fi
compensat într -un fel de un deficit de masă în adancime (Watts 2001).
Câteva decenii mai târziu, au fost efectuate măsurători geodezice pe Everest între anii 1840 –
1859. Ca parte a acestor măsurători s-au calculat si comparat pozițiile geo dezice ale unui număr de
locații în care erau măsurat e deja poziții le deduse din măsurători astronomice . S-au descope rit că,
pentru orașele Kaliana și Kalianpur din Gange erau diferențe de latitudine între pozițiile calculat e
geodezic și cele caculate astronomic de cca. 5.24 secunde de arc .
Pratt în 1854 și Airy în 1859 au explicat aceste diferențe semnificative prin mo delul
izostatic care le poartă numele . Astfel au ajuns la concluzia că masele vizibile topografice din
Himalaya trebuie să fie compensat e de distribuția din subsol, a ceastă idee fiind în acord cu cea
formulată de Leonardo da Vinci. Primul care a folosit termenul de "isostasy" a fost geologul

4
american CE Dutton (1889) în articolul său ―On Some of the Greater Problems of Physical
Geology‖. Următorul pas marcant a fos făcut de Heiskanen și Vening -Meinesz în 1958.
Heiskanen și Moritz (1967) au introdus un mec anism de compensare în crustă al
anomaliilor Bouguer p entru determinarea câmpului gravitațional .
Un mare număr de date care descriu forma Pământului și structura internă (de exemplu,
elevație , densitate și alți parametri geofizici ) sunt disponibile în prez ent. Multe dintre aceste date
sunt date la nivel global cu o rezoluție în continuă creștere. De exemplu, o recentă versiune a
modelelor (de exemplu, Farr et al. 2007) oferă o descriere aproape continuă a topografiei globale cu
rezolutie destul de mare (3 secunde de arc).
În ultimii ani un interes din ce în ce mai mare îl are modelarea . În Geodezie și Geofizică,
mare parte din tehnici le de modelare sunt dedicate evalu ării corecțiilor de teren sau reduceri lor (de
exemplu, Takin și Talwani 1966, Zhou et al 1 990, LaFehr 1991, Parker 1995, 1996, Li și Chouteau
1998, Nowell 1999,. Chakravarthi 2002) .
In evaluare a potențialului gravitațional se folosesc metode diferite pornind de la cele clasice
la cele de integrare numerica. În legătură cu acest e formule le de in tegrare analitic ă, acestea po t fi
considerat e ca o alternativă la tehnicile de integrare numerica. Aceste tehnici de obicei, au avantajul
că efortul de calcul este mult mai scăzut față de tehnicile de integrare numerică.
Abordări analitic e a integralelor potențial ului și dezvoltarea unor algoritmi pentru diferite
aplicații au fost prezentat e de Allasia (2002), Allasia și Besenghi (2004) , De Rossi (2004) ,
Strykowski (2003, 2006), Tenzer et al. (2007) și alții.
Comparativ cu tehnicile clasice , în ultimii an i, s-au explorat aspecte ale tehnicilor de
gravitate înainte de modelare (Kuhn și Featherstone 2003a, Kuhn și Seitz 2005) și aplicarea de
seturi de date regionale și globale pentru câmpul gravitațional (Kuhn și Featherstone 2005, Tsoulis
și Kuhn 2006). Rezoluția optimă spațial ă a distribuțiilor de masă crustale pentru modelare a fost
discutată de către Kuhn și Featherstone (2003a), în timp ce Kuhn și Seitz (2005) compara solutia
integral a lui Newton în domeniile spațiu și de frecvență. Wild -Pfeifer și Heck (2006) față de
diferite le metode pentru modelarea efectelor densit ății folosesc efectele maselor topografice și
izostatice din observațiile satelit are de gravitate.
O soluție aproximativă a integralelor sferice este furnizat ă pe baza dezvoltărilor în serie de
Vajda et al. (2004). O atenție specială este acordată topografiei elipsoidale de către Novak și
Grafarend (2005).
Algoritmi i rapizi pentru calculul derivatelor de ordinul al doilea pentru potențial ul
perturbator au fost analizate de Abd -Elmotaal (2 005).

5
Aplicarea de elemente de volum poliedr ce s-a dovedit a oferi o descriere mai precisă
geometri ei corpurilor decât descrierea prin paralelipiped e dreptunghiular e (prism e). Dacă nivelul de
calcul este aproape de suprafata de topografie, atunci precizia cantităților legate de gravitate (de
exemplu, anomali a gravității , perturbația gravitați i), poate fi îmbunătățită în mod semnificativ de o
descriere detaliată prin poliedre .
O metodă de inversiune probabilistică a fost dezvoltat ă si testat ă într-o zonă m inieră din
Australia (Strykowski et al 2005 ). Ea se bazează pe analiza statistică iterativă a nepotrivir ii între
câmpul gravitațional observat și răspunsul un ui număr de surse elementare prismatic e
(paralelipipede dreptunghiulare) suprapuse . Un model ar tr ebui să se bazeze pe o serie de informații
geologice referitoare la extinderea aproximativ ă 3D a sursei. Metoda este aplicabilă în cazul în care
efectul gravitațional al corpului sursă care urmează să fie determinat poate fi izolat de efectul
gravit ății regionale și de alte surse locale.
Au fost efectuate u nele studii privind efectul aerului asupra maselor topografice (et al
Novák 2003.), inclu zând și forma maselor atmosferice. Reducerile gravității folosind metod a
generală de condensare Helmert au fost st udiate de (Novák 2007) , Tenzer et al. (2003) și alții.
Folosind diferite tehnici de modelare și de determinare a geoid ului, s-au realizat determin ări locale
ale geoid ului.
Alte tehnici folosite au fost combinați ile spectrale, wavelet , combinați i între deformare a
anomaliilor verticale și determinarea geoidului , etc.

6
II ) CALCULUL CÂMPULUI GRAVITAȚIONAL AL UNUI CORP OMOGEN

Orice corp omogen aflat într -un mediu de asemenea omogen, poate fi aproximat cu un corp
poliedral. Deși această situa ție este doar ipotetică, totuși prin combinarea iterativă a multor astfel de
probleme pot fi dezvoltate modele din ce în ce mai complexe pentru modelarea naturii.
Formula de calcul a câmpului gravitațional al unui corp omogen poliedral este transformat ă
în cea mai potrivită formă atunci când se analizează viteza și simplitatea calculului numeric.
Expresia pentru câmpul gravitațional al unui corp omogen poliedral a fost obținută de
Skorvanek și Pohánka (1977) (în continuare notat ca S&P). Pentru scopuri pra ctice, calcul numeric
al câmpul ui gravitațional trebuie să fie cât mai simplu și mai rapid posibil și toate operațiunile
numerice bine definit e pentru toate valorile parametri lor de intrare ( de exemplu, nu ar trebui să
existe expresii de tipul 0 / 0). Prin urmare, vom analiza expresia finală în S&P cu privire la numărul
și complexitatea operațiunilor implicate. Mai departe e ste arătat că formula derivată este valabil ă nu
numai în afara corpului (după cum se arată în S&P ), dar și în interiorul corpului și pe suprafața sa.
Să repeta m derivarea formulei pentru câmpul gravitațional al unui corp omogen poliedral.
Dacă D denotă interiorul corpului poliedr al (în cazul în care densitatea este ρ), atunci potențialul
gravita țional in punctul r este

Dr'-r1'd -k V(r) 
(1)
unde k este constanta gravitațională și dη’ este elementul de volum în punctul r’.
Intensitatea câmpului gravității este:
)( )( rV rEr
, (2)
Astfel:
 
D Dr r d k d krEr'-r1'r'-r1' )(' 
(3)
Integrala de volum poate fi exprimată ca o integrală p e suprafața S a corpului. Considerând f(r)
funcția vectorială care nu are singularități în domeniul D și pe suprafața S atunci conform teoremei
Gauss ob ținem:
 
D Sr sfd r d )'(' )'(f ''  
, (4)

7
unde dζ’ este elementul suprafa ță în punctul s’ pe suprața S (vecto rul dζ’ este orientat spre
exteriorul domeniului D). Dacă scriem f(r)=af(r), unde a este un vector constant, atunci obținem:
 
D Sr sfd r d )'(' )'(f'' 
, (5)
deoarece a este arbitrar. În cazul nostru f(r’) = 1/ |r’ — r| și funcția f(r’) are singularitate în
punctul r’ = r . Prin urmare noi nu putem scrie:
  
S Dr d ds'-r1'r'-r1''  
, (6)
deoarece aceasta nu se păstrează când punctual r aparține domeniului D sau suprafeței S. Funcția
31
rrrr
rrr
''
''

este în valoare absolută delimitată de funcția 1/| r’ — r| 2, care este integrabilă î n orice domeniu
delimitat . Similar , funcția 1/| s’ — r| este integrabilă pe orice suprafață delimitată. Rezultă că
integralele din ambele părți ale relației (6) se schimbă continuu când vom schimba lin domeniu l D
și marginea sa S.
Dacă punctul r se află în domeniul D sau pe suprafața S, atunci putem construi un nou domeniu
D(r, ε) prin excluderea din D toate punctele ale căror distan ță de la r este mai mică sau egală cu ε
(ε > 0).
Formula (6), este valabilă și pentru domeni ul D (r, ε) și prin urmare, în limita + ε → 0, este valabilă
pentru domeniul D. Acum putem scrie intensitatea câmpului gravitației astfel:

Srsd k rE'' )(1
, (7)
și această formulă este valabilă pentru fiecare punct r.
Daca S este suprafața unui poliedru, putem scrie integrala din rela ția (7), ca o sumă de integrale pe
fețele laterale ale poliedrului, notate Sk (1 ≤ k ≤ K ). În punctul s’de pe fața sk, avem dζ’=n k dζ’,
unde nk este vectorul unitate perpendicular pe fa ța sk îndreptat spre exterior și dζ’ este elementul
scalar de suprafață. Astfel:

 K
kSkk rsd n k rE
11
'' )(  

8
și dacă notăm:

kSkrsd rF'' )(1
(8)
obținem:

K
kk krFn k rE
1)( )(
(9)
Integrala de suprafață din (8) poate fi exprimată ca o integrală pe conturul închis Lk ce marginește
suprafața Sk.
Fie funcția vectori ala f(s’) care satisface condiția nk f(s’) = 0 și care nu are singularitate în
domeniul Sk (ca o parte a unui plan ) și a conturului Lk. Atunci din teorema 2D Gauss obținem:
 
k k S Ls lfd sf d )'(' )'( ''  
, (10)
unde
'd este un element liniar in punctul
'l de pe conturul Lk. Element ul
'd (ca vector) se
situează în plan pe partea Sk, și este perpendicular pe curba Lk fiind orientat spre exterior față de
domeniul Sk . Ne p ropunem să găsim o funcție fk(r’) care satisface condițiile următoare:
01 )'( ,')'(' rfnrrrfk k k r
, (11)
Aceste condiții trebuie să dețină numai pentru acele puncte r’, care se află în planul de partea Sk.
Aceste condiții le satisfac toate punctele r’ (cu excepția punctului r). Încercăm să alegem funcția
fk(r’) să depindă numai pe vectorul r’ — r. Acest vector îl descompunem în două componente :
)'(rr
care este paralel cu Sk și
)'(rr perpendicular pe Sk. Atunci:
    )'( ' )'( ,)'( )'( rrrr rr nrrn rrk k
,
astfel
0 )'(rrnk

Func ția fk(r’) o scriem ca :
),()'()'(k k k z grr rf  ,
unde:
  )'( , )'( rr z rrk k
Atunci (11) devine:

9

2 22 1 1
k kk k k
k k zz g

, ,
iar soluția poate fi u șor scrisă:
 ))( ( ,k k k
kk k zk z z g  2 2
21
,
unde c(zk) este o funcție arbitrara de zk.
Este de dorit ca funcția
k kz g, să fie nesingulară pentru
0k și zk≠0 fixat; prin
urmare alegem c (zk) = — zk , z k ≥0 ; astfel:
 rrnrrrrnnrrrf undede
z zz g
kkk
k
k k kk k
' ')'( ')'( , ,
2 21

(12)
Evident:
1
2 2

k k kk
kz zrf
)'(

dar cu toate acestea, funcția fk(r’) are o singularitate în punctul r =.r’ . Formula (10) este valabil ă și
pentru funcția fk(r’), numai în cazul în care punctul r nu aparține suprafeței Sk sau conturului Lk.
Astfel avem:
 k k S L
k rl nrlrldrsd)''( ''''''  1
, (13)
deoarece elementul dξ’ este perpendicular pe vectorul nk. Funcțiile din ambele integrale sunt
integrabile pentru toate valorile lui r și ambele integrale sunt funcții continue î n r pentru orice
valoare r. Rezultă că (13) este valabilă pentru toate valorile l ui r și astfel:

kL
kkrl nrlrld rF)''( '''' )(
, (14)
Pentru fiecare segment Lk,l vom defini doi vectori unitate: μk,l vector, care este paralel cu segmentul
și are aceeași orientare
lklk lk
lkda a
,, ,
,1
, (15)

10
unde dk,l este lungimea segmentu lui Lk,l , adică:
lk lk lk a a d, , ,1
, (16)
și vectorul vk,l se află în plan de partea Sk, perpendicular pe segmentul Lk orientat spre exterior
dinspre partea Sk.având expresia : vk,l = μ k,l * μk (17)
în fu ncție de orientarea aleasă a segmen tului Lk,l. Punctul l’ al segmentului Lk,l are forma
parametric ă:
' ' ) ' ( ', , , ,    d d d allk lk lk lk   0

Putem nota pentru orice segment din Sk:
)'( )( rln rzk k  , (18) și (14) devine:
 
  )(
, ,, ,)(
,
, )( ') (')( ''' )(kL
ld
k lk lklk lkkL
l L kklk
lk rz r ar adrzrlrld rF
101  

Descompunem vectorul ak,l – r în componente pe direcț iile vectorilor μk,l , vk,l și nk . Notăm:
) ( )( ,) ( )(, , , , , , r a rw r a rulk lk lk lk lk lk    
(19,20)
Apoi :
 )( )( )')(( ', , , , rzrw ru r ak lk lk lk lk2 2 2   

și
 
 


)()(
)(
,,)(
, ,,
,
,,
)( )( )()()( )( )( )' )(()(' )(
kL
lr v
r u
k k lklkkL
ld
k k lk lklk
k
lk
lklk
rz rzr wr wdrz rzr w rur wd rF
12 2 2102 2 2

,
unde:
lk lk lk d urv, , ,)( (21)
Notăm:
 v
u z z wwd zwvu
2 2 2  ),,,( (22) ,
apoi:
))(),( ),( ),(( )(, ,)(
, rzrwrvru rFk lk lkkL
llk k

1
(23)

11
și după substituirea în (9) obținem următoarea expresie pentru intensitatea câmpului gravității într –
un corp omogen de forma unui poliedru:

))(),( ),( ),(( )(, ,)(
, rzrwrvru n k rEk lk lkkL
llkK
kk
 
1 1 , (24)
Căutăm forma explicită pentru funcția
),,,( zwvu definită în (22) folosind notația ajutătoare:
 2 2 2z w
=ξ+θ ,
de unde:
   dz wdz wz wz w
22 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 , ,

și:
 
 
    
wz z wz z w wwzz ww zwz wdw zz wwdz z wwdw zwz wdw zz wwd
z z wwd
 










   
  

2 2 2
2 2 22 2 2 22 2 22 2 2 2 22 22 2 2
2 2 2
arctan2 lnarctan2 ln) (2
) ) (() () (2) ) (() (

Putem vedea că această expresie finală pentru w≠0 este o funcție continuă de ξ.
Este evident că dacă w≠0 atunci
   2 2 2z w >0 , prin urmare, argumentul a al
logaritmului este întotdeauna pozitiv, iar primul termen este o funcție continuă de ξ .
Ca z≥0, argumentul funcției arctangentă are un semn egal cu semnul de w pentru toți ξ și, astfel, al
doilea termen este, de asem enea, o funcție continuă de ξ. În acest sens (numai pentru w≠0 ) avem:

12

 
 
   



 
wzu z w u
wzv z w vzu z w uv z w vw zwvu
2 2 2 2 2 22 2 22 2 2
arctan arctan2ln ),,,( , (25)
Este importantă găsirea unei expresi i pentru funcția de
),,,( zwvu care să fie mai simplă
decât cea originală și mai potrivit ă pentru calcu lul numeric.
Viteza unui calcul numeric depinde de numărul și complexitatea operațiunilor care urmează
să fie executate. Calculul de funcții cu logaritmi sau arctangentă durează mai mult decât o însumare
sau multiplicare. Prin urmare trebuie redus numărul de operațiuni lungi. Acest lucru poate fi
realizat prin combinarea termenilor cu logaritm și arctangentă cu ajutorul formulei:
ixixx11ln!21arctan

Putem combina două funcții arctangentă într -o singură operațiune conform identitatății:

2arctan arctan:1arctan arctan arctan   y x dacaxyyxy x
,(26)
Notăm:

  2 2 2 2 2 2, z wv V z w u U  
, (27)
și expresia modificată:
wzuU
wzvVA arctan arctan
, (28)
Presupunând w ≠ 0 , avem:
0 ,0   zvV zuU
și astfel:



 wzuU
wzvVw signA arctan arctan)(
, (29)

13
deoarece arctangenta este o funcție pară. Argumentele ambelor funcții arctangentă fiind pozitive,
avem:
2arctan0,2arctan0  wzvV
wzuU

Rezultă că:
2arctan arctan
wzvV
wzuU

Din (26) obținem:
  

  
  uUvVzuv UV z wuv UVwzuUzvV wuv UVww signA

2 22
arctanarctan)(
(30)

și dacă:
 uv UV W uv UV W    ,
, (31)
atunci putem arăta că:
     Wuv UVuv u v UVuv U V WUV2 2 2 2
,
(32)
și din (27):
     vu VU uv UV u v U V z w 2 2 2 2 2 2 2 2
21
21

astfel numitorul argumentului arctangentă în (30) poate fi modificat după cum urmează:

14

  
  
  
   zW Wuv WUVzW UVuv UVuv uv UVzW uV vU uv UVuUvVzuv UV z w
  

212121
2 22 22 2 (33)
în cazul în care am redus fracțiunea de termenul W+ pentru ca w≠0 evident W+> 0.
Examinăm comportamentul lui A pentru w→0 . Din (23) și (21) rezultă că putem calcula
funcția
),,,( zwvu pentru v >u deoarece toate muchii le unui poliedru au lungime pozitivă.
Astfel nu există restricții cu privire la parametrii w și z (cu excepția z ≥ 0 ).
Putem scrie :
v = u+d (34)
și fixăm pe d , d > 0 . Atunci poate fi arătat că funcția de u reprezentată de V+U are un
singur extrem local pentru u = – d/2 și acest extrem este un minim.
Astfel:
  2 2 24 z w d UV 
(35) și mai departe:
   zd z w dz z w zUV d UV 2 4 2 4 22 2 2 2 2 2 2
(36)
Se poate vedea că argumentul arctangentei din (33) este limitat :
 zw
zUV d UVwd
 22
2 2
și din monotonia funcției arctangentă rezultă că:
 2arctan
22arctan2 2 
zw
zUV d UVwdA
(37)
Se poate concluziona că pentru z ≠ 0 cantitatea A este bine definită pentru toate valorile lui
w și A = 0 dacă w = 0 .
Dacă z → +0 , cantitatea A poate ave a orice valoare în intervalul [ -π/2 ; π/2], dar aceasta
condiție nu este esențială deoarece A apare doar în termenul 2zA care tinde la 0 pentru z → +0.

15
Dacă notăm:
uUvVLln (38) , ca:

    

2 2 22 2
2 2 2
z wz wz w
(39)
atunci:
vVuU
uUvV

și putem scrie:
uUvVLln (40)
Dacă expresia
   2 2 2z w este o funcție crescătoare de
 și v>u , evident:
1
uUvV
și L>0.
Considerând (34) se poate arăta că L , ca funcție de u, are un singur punct de extrem
pentru u= -d/2 și acest punct este un maxim. Astfel putem scrie:
  
      




2 22
2 222 2 2
2 2 22 2 2
4ln44ln
44ln 0z wd
z wd z w d
d z w dd z w dL

(41)
Prin urmare pentru z ≠ 0 cantita tea L este bine definită pentru toate valorile lui w.
Dacă z = 0 , L diverge logaritmic pentru w → 0 , dar aceasta condiție nu este esențială
deoarece L apare în (25) doar în termenul wL care este o funcție continuă de w pentru toate valorile
lui z.
În final, funcția
),,,( zwvu este bine definită pentru v > u și pentru toate valorile lui w și
z (z≥0) avem:

zUV uv UVuvwzuUvVwzwvu

22arctan2 ln ),,,(2 2 
(42)
Această expresie conține cel mai mic număr posibil de operații în log aritm și arctangentă.
În afara vitezei de calcul sunt importante acuratețea și eliminarea operațiunilor nedefinite.
Din acest punct de vedere, relația (39) ne arata cum putem rezolva această dificultate:

16

 
 
2 22 2 2
2 22 2 2
ln)( ln
z wz wsign
z wz w

    (43)
Atunci:
Wu Uu signWv Vv signuUvV ln)( ln)( ln
, (44)
unde am notat:
2 2z w W 
(45)
Îmbunătățirea preciziei de calcul duce la o deteriorare în ceea ce privește viteza deoarece
trebuie să folosim de două ori operațiunea logaritm. Nu exista probleme de precizi e în argumentul
funcției arctangentă.
Pentru a elimina apariția diviziunii nedefinite în calculul numeric, vom înlocui cantitatea z
în argumentele funcțiilor ln și arctan pretutindeni prin z + ξ , unde ξ>0.
Dacă alegem în mod corespunzător numitorul, pute m ajunge la rezultatul numeric cu
precizie bună :
   zUV uv UVuv UVzUV uv UV  2 22 2

(46)
Dacă scriem expresia exact ă pentru
),,,( zwvu cu ajutorul termenilor L (din ec.40) și A
(din ec.33) ca:
zA wLzwvu 2 ),,,(  
(47) ,
atunci expresia aproximativă pentru calculul numeric are forma:
   zA wL zwvu 2 ),,,,( 
(48),
unde
L și
A se obțin din înlocuirea lui z cu z+ε
Dacă folosim (44) și notăm : T=U+V (49), obținem:


Wu Uu signWv Vv sign L ln)( ln)(
(50)

17


 zT uv TuvwA2) (2arctan2 2 (51)
Studiem eroarea introdusă prin înlocuirea expresiei
),,,( zwvu cu
),,,,(  zwvu .
Notăm:
),,,(),,,,( ),,,,( zwvu zwvu zwvu      
(52)
și atunci evident :
A AzWu U
Wu U
Wv V
Wv VwA Az L Lw



 


 
2 ln ln ln ln2
(53)
Din definiția cantităților cu indicele ε rezultă faptul că:
'ln ' ln ln
zzz
z Wu U
zdzWu U
Wu U

 





(54)
''
zzz
zAzdz A A

 



(55)
Calculăm derivata:
  
2 22
lnUWzu
Wu UUu UU Wz
Wu U
z


Din ecuația 27 avem:
1Uu și pentru oricare a si b inegalitatea:
ab ba 22 2 folosită în
definiț ia lui W din ecuația 45 conduce la:
21
2Wzw și putem scrie:

21ln2

UWzwu
Wu U
zw
Atunci din ecuația 54 obținem:

18

221' ln ln
z
zdzWu U
Wu Uw (56)
și analog dacă schi mbăm în relația precedentă pe u, U, U ε cu v, V si respectiv Vε.
Relația 33 poate fi modificată după cum urmează:
  uvw A Tz uv T   2 tan22 2
(57)
deriv ând în funcție de z obținem:
   0 tan 2cos1222 2

 A TzTzTzA
ATz uv T

unde:
UVzT
VUzzT

 11
,
  zVzUUVTUVzzTUVTTzTzT 

Avem:
   0 cos sin 2 22 2   A A zVzUUVT
zATz uv T

sau
 AUVzVzU
zAzTuvT 2sin 22




(58)
Din (27) rezultă:
1 ,1 Vz
Uz ceea ce înseamnă că:
4
UVzVzU
(59)
Din (35) avem:
 z zTuvTTuvT 2 2 02 2
 (60)
Folosind (59) și (60) obținem din (58) pentru z>0 :

19

z zA
zA 2
22sin4  , și în acord cu (55) avem:

z
z zz
zdz A A ln2'2'
(61)
Din (53) folosind (56) și (61) obținem:


zz 1ln4
(62) pentru z ≥ 0
Din
x ex1 și
x x1ln astfel că:
5 1ln 

zz
(63)
Dacă înlocuim în relaț ia (24) funcția
),,,( zwvu cu expresia aproximativă
),,,,(  zwvu
obținem formula pentru intensitatea câmpului gravific în ca zul unui corp omogen
de forma unui poliedru:
    
 )(
1, , ,
1, , , , ,kL
lk lk lk lkK
kk rzrwrvru n k rE  
(64)
Notăm:
rE rE rE  , , (65) și în acord cu (52) folosind (63) obținem:

   
     
  
  
K
kK
kkL
lK
kkL
lk lk lk lkkL
lk lk lk lkK
kk
kL k k rzrwrvru krzrwrvru n k rE
1 1)(
1 1)(
1, , ,)(
1, , ,
1
5 5 , , , ,, , , , ,
  

(66)

Această relație ne poate ajuta să alegem o cantitate mică ε potrivită. Dacă vom calcul a
câmpul gravitațional în punctele apropiate de corp, putem compara valoarea absolută a erorii
 ,rE
, cu valoarea absolută a intensității
rE , care este de ordinul
Rk , unde R este
dimensiunea caracter istică a poliedrului. Apoi calculăm pe ε astfel încât:

20


K
kR kL
15 (67)
În acord cu relația (9) câmpul gravitațional al unui corp de formă poliedrică este suma
contribuțiilor suprafețelor lui interior e conform cu (23) sunt contribuțiile marginilor lui. În cazul în
care punctul R se află departe de corp , valoarea absolută a intensității este de ordinul
2 3/rRk ,
dar în conformitate cu (8) cantitățile Fk(r) sunt de ordinul
rR/2 .
În punctele aflate la depărtare mare de corp avem nevoie de o precizie mai mare în
operațiunile numerice.
Repetând pe scurt algoritmul optim pentru calcularea câmpului gravitațional al unui corp
omogen poliedric avem nevoie de următorii parametri de in trare:
 densitatea corpului ρ,
 numărul de laturi ale poliedrului K,
 pentru fiecare latură, desemnată de numărul k, 1≤ k≤K , numărul de muchii este
L(k) (egal cu numărul de noduri),
 pentru fiecare nod al laturii cu numărul k , desemnat de către numărul l, 1≤1 ≤
L(k), este un vector radiar a k,l (nodurile sunt ordonate în sensul direct văzut din
exteriorul corpului, alegerea primului nod nefiind esențială și a k,L(k)+1 =a k,l).
 raza r (vector) de la punctul în care dorim să calculăm câmpul gravitațional până
la corp.
În calculul intensității câmpului gravific E(r,ε) procedăm astfel:
1. Pentru fiecare față (de exemplu, pentru fiecare k) găsim următoarele cantități:
a) pentru fiecare muchie (de exemplu, pentru fiecare 1) lungimea sa este
lk lk lk a a d, 1, ,
și vectorul unitate are expresia
lklk lk
lkda a
,, 1,
,
b) vectorul normal unitate nk este îndreptat spre exteriorul feței, care pot fi găsite în mai multe
moduri. Dacă știm că pentru unele vârfuri (de exemplu „ l‖) unghiul interior dintre („ l” și „l –
1”), este mai mic decât π atunci:
lk lklk lk
kn
, 1,, 1,




21
Dacă fețele sunt triunghiuri atunci toate nodurile au aceste proprietăți și putem alege oricare
dintre ele. Pe de altă parte dacă L(k) >3, nu este o metodă simplă de a alege nodul adecvat.
Prin urmare put em folosi formula:
kk
kNNn
unde:
1, 1,1)(
21, , k lkkL
lk lk k a a a a N 

Este simplu de arătat că dacă vectorul
kN este întotdeauna nenul atunci
2/kN este egal
cu aria feței ― k‖ și are orientarea necesară.
c) Pentru fieca re muchie vectorul unitar este:
k lk lk n v, , . Menționez că nici o ecuație
din cele din acest paragraf nu depinde de ― r‖.
2. Pentru un punct dat ― r‖ cacul ăm următoarele cantități:
a) Pentru fiecare ―k‖ avem:
r an rzlk k k , )(
b) Pentru fiecare ―k‖ și ―l‖ avem:


r a vrwdrurvr a ru
lk lk lklk lk lklk lk lk

, , ,, , ,, , ,
)(, )( )(, )(
3. Aproximarea formulei intensit ății câmpului gravific este:

   
K
kkL
lk lk lk lk k rzrwrvru n k rE
1)(
1, , , , , , , ),(  
Această funcție
),,,,(  zwvu poate fi calculată după cum urmează:
Dacă numerele u, v, w și z sunt da te respectând condiț iile următoare:
duv z d  ,0 ,0
putem calcula succesiv după cum urmează:

22




  
     
 
zT d Td TwdzWu Uu signWv Vv signw zwvuV U TW WWv VW u Uz w Wzz
22arctan2ln)( ln( ),,,,(,,,,,,
22 22 22 2 2

Diferența dintre valoarea calculată și valoarea exactă a lui E(r) este delimitată de
inegalitatea următoare:

K
kkL k rE rE
1)( 5 ,  
care ne ajută să alegem cea mai mică valoare
pozitivă pentru ― ε‖.
Fiecare formulă, pentru calcularea unor cantități ar trebui să dea același rezultat. Cu toate
acestea, acest lucru este adevărat doar într -un sens strict matematic, valoarea nume rică a
rezultatutului putând fi, în unele cazuri, foarte diferită de valoarea exactă.
Mai mult, o formulă poate fi mai complicata decat celelalte. Prin urmare, este interesant de a
compara aceste rezultate cu formulele anterioare.

23
III ) MOD ELAREA GEOIDULUI

Geoidul este suprafața echipotențială care ar coincide exact cu suprafața medie a oceanului
planetar extinsa pe sub continente , în cazul în care oceanele sunt în echilibru și în repaus (definiție
introdusă de J.F. Listing) .
Potrivit lui Gauss , primul care a descris -o, ea este "figura matematică a Pământului ," o
suprafață netedă , dar extrem de neregulat ă care corespunde nu la suprafața reală a scoarței terestre ,
dar pentru o suprafață care poate fi cunoscut numai prin masuratori extinse gravitaționale și calcule .
Suprafața geoidului este neregulată, spre deosebire de cea a elipsoidului de referință, care
este o reprezentare matematică idealizată a Pământului fizic. Deși P ământul fizic are abateri de
peste +8000 m (Muntele Everest) și peste -11000 m (Groapa Marianelor) față de nivelul oceanului,
variația totală a geoidului este mai mică de 200 m ( -106 : + 85 m), în comparație cu un elipsoid
matematic perfect.
Fiind o suprafață echipotențială, geoidul este prin definiție o suprafață la care forța de
gravitație este pretutindeni perpendiculară.
In Fig.1 este prezentată o schemă cu principalele suprafete în gravimetrie și geodezie.

Fig.1 – Schemă succintă reprezentând suprafețele geodezice si gravimetrice; sunt
reprezentate normalele și funcț iile potențial ale lor.

24
Potențialul gravității W este creat de potențialul gravității V generat de masele Pământului
și de potențialul indus Φ de forța centrifugă prin rotația Pământului . Acest potențial W poate fi
exprimat ca suma dintre potențialul grav ității normale U, generat de un elipsoid biaxial geocentric
care are aceeași viteză unghiulară ca și Pământul, și un potențial anomal T. Astfel , potențialul
gravității într-un punct oarecare P de pe suprafața topografică este:
WP=U P+TP (68)
Geoidul este definit ca fiind suprafața de potențial constant Wg care cincide cu suprafața
medie a nivelului oceanelor. Astfel potențialul gravității pe geoid este:
Wg=U g+Tg (69)
Stabilirea unui model de geoid folosind integrala Stokes poate fi făcută numai atunci când
potențialul anomal este o funcție armonică în afara geoidului . Prin urmare , nu ar trebui să existe
mase peste nivelul geoidului . Metoda a doua de condensare Helmert este o abordare care
îndeplinește condi ția de mai sus . Se efectuează o transformare a tuturor maselor de deasupra
geoidului (topografie și atmosfer ă) într -un strat condensat pe geoid . Pentru abordarea Helmert ,
potențialul anormal T devine suma potențialelor anomale Helmert Th și potențialul maselor
transformate δV. Astfel , potențialul gravității pe geoid poate fi exprimat ca:
gh
g g g V T U W 
(70)
Diferența de potențial δV dintre masele de deasupra geoidului și masele condensate (c) este
constituită din masele topogrfice (t) și atmosferice (a). Astfel:
ca
ga
gct
gt
ga
gt
g g V V V V V V V   
(71)
Potențialul normal pe geoid Ug poate fi exprimat printr -o serie Taylor astfel (Martinec 1993
și 1998):
(72)

unde U0 = constant este potențialul gravității n ormale pe elipsoidul de referință, γ0 este
gravitatea normală pe elipsoid, N este separația geoid -elipsoid (înălțimea geoidului) și ηU este
eroarea de trunchiere. Introducând ecuația (72) în ecuația (70) obținem:

(73)
Termenii de gradul zero și unu pot fi lua ți din potențialul anomal Helmert (Heiskanen și
Moritz 1967):

25

(74)
Astfel, pentru aproximația Helmert, formula lui Bruns, care leagă înălțimea geo idului de
potențialul anomal devine:

(75)
unde δW este diferența dintre potențialul gravității pe geoid (Wg) și potențialul gravității pe
elipsoidul de referință. Termenul Tgh / γ0 este produs de separația dintre co -geoid și elipsoid.
Următorul termen δVg / γ0 este efectul indirect primar, adică separația dintre geoid și co –
geoid cauzată de condensarea maselor topografice și atmosferice. Ultimul termen ηN / γ0 , care
provine din trunchierea seriei Taylor din ec.(72) are o m agnitudine maximă de cca. 1 mm (Martinec
1993).
Termenii de gradul zero și unu sunt dați de(Heiskanen și Moritz 1967):

RGM GMTe
h
g0, (76)

    sin sin cos cos cos1
0,1 1,1 1,1 2 1, C S CRTh
g    (77)

unde: G este constanta gravitațională , , M este masa reală a pământului , și Me este masa
elipsoidului de revoluție , care reprezintă matematic Pământul real . În cele din urmă , putem defini
gravitatea Wg care reprezintă potențialul Pământului în cazul în care masele topografice și
atmosfera sunt eliminate prin transformarea cu metoda a doua Helmert de condensare. Noi definim
acest Pământ modificat ca Pământ Bouguer prin exponentul B. Potențialul Pământului Bouguer
poate fi exprimat ca:
a
gt
gB
g g g V V T U W 
(78)
Această ecuație va fi folosită în următoarea secț iune, în scopul continuării analitice în jos.
Pentru stabilirea condițiilor la limită pentru Poten țial anomal Helmert , Heiskanen și Moritz
(1967) au dat definiția unei perturbări ale gravitației astfel:

26

 




'nU
nV V T Ug gPa
Pt
PB
P P
P P P  (79)
Deoarece cele două direcții normale coincid aproape și altitudinea h este socotită de-a
lungul normalei , ecuația (79) prevede :
 
na
Pt
PB
P
P P PhV V Tg g   



(80)
unde εn este o corecție pentru înlocuirea direcției normalei . Această corecție poate fi
neglijată , deoarece ajunge la doar câțiva μGal [Cruz 1986 ].
Gravitatea normală γP poate fi exprimată prin γ și primii termeni ai acestuia din dezvoltarea
în serie Taylor în punctul 0 pe elipsoid , de exemplu:

(81)
unde Dγ este reduce rea normală free -air (gradientul normal al gravitației funcție de înălțime
și timp) la termenul de ordinul doi între suprafața topografi că și geoid . Dγ este definit după cum
urmează (Heiskanen și Moritz 1967):
(82)
Introducând expresia (81) în (80) obținem:

(82)
și:

(83)

27
Ecuația (83) corespunde perturbației gravității pentru Pământul Bouguer. Deoarece această
perturbație a gravității este definită pe sup rafața topografică trebuie sa continuăm analitic în jos
până la nivelul geoidului.
Luând aproximarea sferică în cel de-al doilea termen, ec. (83) poate fi exprimat ă pe geoid
ca:

(84)

unde corecția pe elipsoid
B
hT este dată de (Jekeli 1981; Cruz 1986) și
B
gD este
continuarea în jos a perturbației gravității pentru Pământul Bouguer. Ea este dată de (Huang și alții
2005):

(85)
Din (82) și (83) rezultă:

(86)

Derivata gravității normale de-a lungul normalei poate fi exprimată ca (Jekeli, 1981 și Cruz ,
1986):
(87)
sau substituind în ec.(86) obținem:
(88)
sau:
(89)

28
unde:
(90)
Ecuația (88) definește o anomalia gravității Helmert pe geoid .
Inălțimea geoidului ar putea fi determinată din formula Bruns . Astfel , Ecuația (75) poate fi
de asemenea exprimată (Heiskanen și Moritz 1967 ) ca:

(91)

în care al patrulea termen din partea dreaptă este integrala Stokes , NPIE este efectul primar
indirect , ε1 este corecția elipsoidului pentru integrala sferică Kernel S(ψ) și Nη este eroarea de
trunchiere . Efectul indirect primar conține contribuția maselor topografice și atmosferice . Deoarece
anomalia gravității Helmert determinate din gravitatea observată și înălțime conține erori de bias ,
vom elimina componentele de lungime de und ă mare a măsurătorilor de gravitate prin scăderea
primelor l grade din dezvoltarea integralei Stokes . Lungimile de undă lungă până la gradul l se
adaugă înapoi de la un model geopotential global Nlh în Pământul Helmert . Ecuația (91) devine:
(92)
în cazul în care ε1
l este corecția elipsoidală de grad mai mare decât l.
Exponentul T reprezinta componentele de lungime de undă mare a modelului de geoid .
Funcția modificată Stokes kernel Sl (ψ) poate fi exprimată (Huang și Véronneau 2005 ) ca:
(93)
unde m coincide cu intervalul de eșantionare a datelor gravitației terestre .
Deoarece nu există măsurări de gravitate disponibile pe toată suprafața despărțim integrala
Stokes în două zone:
1) o suprafață ζ în care avem măsurători de gravitate și
2) o zonă Ω-ζ în cazul în care nu ar fi observat ă nici o gravitate . Ω corespunde la integrarea
peste întregul Pământ . Ecuația (92) devine:
(94)

29
Natural , pentru evaluarea înălțimii geoidului , este necesar să avem măsurători la nivel
global . Astfel , un model global geopoten țial poate aproxima măsurările reale de gravitate și în afara
zonei ζ.
Pentru determinarea modelului gravității armonice sferice pornim de la potențialu l
gravitațional care este dat de:
(95)
Dezvoltarea în armonici sferice a potențialului gravitațional normal este:
(96)
Prin urmare , din utilizarea potențialului perturbator și a formulei Bruns derivă:

(97) și:

(98)
unde ΝL și ΔgL sunt înălțimea geoidului și anomalia free-aer până la gradul și ordinul L.
Diferența dintre masa elipsoidului de revoluție (Me) echipotențial și masa Pământului real (M) este
luată în considerare de către primul termen .
Deoarece problema valorii la limită este rezolvată cu ajutorul metodei a doua de condensare
Helmert, dezvoltarea în armonici sferice trebuie să fie , de asemenea , pentru un Pământ Helmert
(Vaníček et al., 1995) .
Această transformare poate fi exprimată ca:

Lh
L Lh
L gT g NT N   , )(
Înălțimea geoidului Nh
L, care este determinată din dezvoltarea în armonici sferice , poate fi,
de asemenea, evaluat ă din integrala Stokes :
(99)

30
Corecția elipsoidală ε2 este o corecție pentru algoritmul sferic kernel Stokes . Ca anterior ,
înălțimea geoidului Nh
L poate fi determinată din gradul dezvoltării Stokes kernel Sl (ψ), de gradul l
și împărțit integral în aceleași două regiuni:

(100)
Gradul L (> = 360) este semnificativ mai mare decât gradul l (<= 90). Vom înlocui în
ecuația (94) componentele efective pe lungimea de undă a înălțimi de geoid (Nh
2-l), precum și
anomaliile necunoscute ale gravității (Δgh
g), prin valorile lor din dezvoltarea armonică sferică.
Ecuația (94) devine:

(101)
Termenul Nl
PIE reprezintă efectele primare indirecte asupra primelor l grade . Acesta permite
transformarea lungimilor de undă mari de pe Pământul efectiv la Pământul Helmert .
In cele din urmă , prin scăderea ecuației (100) din ecuația (101) obținem:
(102)
ε1l-ε2l reprezintă corecția elipsoidală din cauza anomaliilor reziduale de gravita ție deasupra
gradului și ordinului l.
Anomalia medie Helmert este definită ca:
(103)
unde A este suprafața celulei geografice utilizate.
Din cauza numărului limitat de măsurători de gravitate , anomaliile medii de gravitate sunt
estimate din observații care nu se află în mod necesar în interiorul celulei . Această a bordare se
bazează pe două concepte :
1) anomaliile Bouguer oferă un câmp gravitate interpolat și nivelat și
2) metoda celor mai mici pătrate este o metodă eficientă de predicție a gravitat ății.
Această abordare este folosită de ( Heiskanen și Moritz 1967) pentru a defini anomalia
Bouguer ca:

31

(104)

unde 2πGρH este efectul Bouguer al plăcii și At este corecția de teren pe o rază ψ0 = 50 km .
Media Bouguer poate fi determinată ca:
(105)
unde C este un operator folosit metoda celor mai mici pătrate , n (= 9) este numărul de sub-
domenii în zona A și m (= 20) este numărul de observații. Din ecuația (92), putem scrie prin
corectarea maselor topografice și atmosferice p rin metoda condensării:

(106 – 108)

Bpt și Bgct reprezintă atracția Bouguer a stratului superficial și
respectiv, condensată. Ele sunt date de către [Martinec 1998 ]:

(109 – 110)

unde σ este densitatea maselor topografice condensate.
(111)

32
Indicii ψ0, ψ1 și ψ2 reprezintă corectarea terenului sferic (STC) și a efectului de condensare
a terenului (CTE) reprezentând zonele de integrare ce variază de la 0 la 50 km . Cu toate acestea ,
contribuția maselor topografice condensate pe geoid în Aψ 0ct este mică . Contribuția sa la modelul
de geoid ajunge la 4 mm.
Prin urmare , prin introducerea ecuațiilor (105-108) în ecuația (92) obț inem:

(112)

Ecuația (112) descrie anomalia medie Helmert pe geoid.
Formularea pentru efectul indirect primar al terenului (PITE ) a fost dată de către Martinec
(1993);
Cu toate acestea , în CGG2005 , PITE este determinat cu o altă formulă , care include o zonă
apropiată (δNI, NZ) și o zonă îndepătată (δNI, FZ). Contribuția zonei aproapiate corespunde cu masa
totală topografică sferică pe o rază ψ0 din punctul de calcul . Această c ontribuți e se calculează prin
următoarea formulă :

(113) unde:

(114 -118)

33

în timp ce formularea pentru contribuția zonei în depărtate , poate fi exprimată ca :

(119)
Aceasta corespunde maselor topografice t otale dia afara sferei de rază ψ0.
Deoarece suprafața Pământului este în cea mai mare parte acoperită de oceane , contribuția
din zona îndepărtată este semnificativ mai mică decât a zonelor apropiate .
Efectul indirect primar atmosferic (PIAE) este în preze nt judecat ca fiind neglijabil
deoarece magnitudinea maximă pe geoid este de 6 mm (Vaníček și alții, 1998) . Efectul secundar
indirect al terenului (SITE) este determinat prin efectul indirect primar teren (PITE) (Martinec
1993 ; 1998 ) cu formula:
PITE SITE Nrg2
(120)
Pe de altă parte , amploarea maximă a efectului indirect secundar atmosferic (SIAE) privind
gravitatea este de 2 μGal (Vaníček și alții, 1998) .
Contribuția sa este neglijabilă asupra geoidului .

34
IV) STUDI I DE CAZ PRIVIND MODEL AREA GEOID ULUI

GEOIDUL GRAVIMETRIC AL ARGENTIN EI – (după Tocho, C. și Font, G. – 2005)
Ca o analiză preliminară pentru dezvoltarea și evaluarea unui geoid gravimetric precis
pentru Argentina în zona Anzilor , diferite soluții pent ru gravimetrice geoid au fost calculate
folosind diferite tehnici de reducere a gravitației . Zona este delimitată de latitudine 20 ° S până la
42 ° S și longitudinea 72 W ° la 67 ° W . Au fost alese pentru a calcula geoidul următoarele
metode : metoda a dou a de compensare Helmert, metoda Rudzki lui inversiune , metoda Airy-
Heiskanen de reducere izostatică a maselor topografice , și metoda modelului rezidual al terenului
(RTM). Modelul EGM96 de geopotential global și modelul digital de elevație GTOPO30 , iau în
considerare componenta de scurtă lungime de undă a semnalului de gravitate . Formula lui Stokes a
fost evaluată folosind Transformata Fourier Rapidă 2D . Precizia modelelor gravimetrice de geoid a
fost evaluată prin compararea lor cu nivelmentul GPS . Au fost folosite transformări pentru patru
parametri pentru a elimina diferențele sistematice dintre geoidul gravimetric și nivelmentul GPS și
posibilele erori pentru lungimea mare de undă.
Utilizarea formulei lui Stokes în determinarea geoidului gravimetric impune ca anomaliile
de gravitatie să reprezinte valori limită pe geoid . Acest lucru înseamnă că gravitatea măsurată (de
obicei, luate de pe suprafața Pământului ), trebuie să fie redusă la geoid și nu trebuie să existe mase
în afara geoidului (Heiskanen și Moritz, 1967).
Există mai multe reduceri de gravitatea utilizate în geodezie fizică : reducerea lui Bouguer ,
reduceri topo-izostatice, metoda de inversiune Rudzki , a doua metodă de condensare Helmert , etc.
Modelul Terenului Rezidual (RTM) (Forsberg, 1984 ) este un alt tip de reducere , care ia în
considerare frecvențele înalte . Corectarea dintre cvasigeoid și geoid a fost aplicată pentru a
compara rezultatele din cele trei metode cu datele de nivelment GPS . Teoretic , toate metodele de
reducere ar trebui să cond ucă la aceeași geoid în cazul în care reducerile de gravitatea au fost
aplicate în mod consecvent (Heiskanen și Moritz , 1967) , chiar dacă fiecare reducere tratează
topografia într-un mod diferit .
Geoid sau cvasigeoidului este calculat din formula lui Stoke s cu anomaliile de gravitatie ca
date de intrare . Inainte de a aplica această formulă , anomaliile de gravitatie trebuie să fie reduse ,
după cum urmează:
GM T FA g g g g 
(121)

35
unde:
FAg este an omalia free -air,
GMg este anomalia gravității de referință calculată
pentru modelul geopotențial și
Tg este gravitatea dată de efectul topographic direct care depinde
de metoda de reducere folosită.
Geoidul gravime tric este obținut după cum urmează:
ind g GM N N N N 
(122)
unde:
GMN reprezintă ondulațiile geoidale care rezultă din modelul geopotențial,
indN
este efectul indirect pe geoid și depinde de metoda de reducere folosită iar
gN reprezintă reziduul
geidului calculat cu anomalia gravității reziduale dată în ecuația (121).
Au fost folosite diferite aproximații în calculul reziduurilor ondulațiilor geoidul ui în
domeniul spectral.
In final a fost aplicată Transformata Fourier Rapidă 2D pentru evaluarea funcției (Strang
Van Hess, 1990):
     m g F gF FRN ,, cos41 

(123)
unde:
gN reprezintă estimarea înălțimilor rezid uale ale geoidului gravimetric sau înălțimile
reziduale ale cogeoidului .
Efectul indirect pe geoid este:
TNind
(124)
unde
T este schimbarea de potențial pe geoid din cauza reducerii teren aplicată și γ este
gravitatea normală . Efectul indirect asupra gravitației , care reduce anomaliile de gravitatie de la
geoid la cogeoid ar trebui să fie adăugate la ecuația (121) pentru a doua metodă Helmert de
condensare și metoda Airy, și poate fi exprimat prin (Heiskanen și Moritz , 1967):
 mGal N gind 3086.0
(125)
Metoda RTM estimează quasigeoidul. Anomalia geavității free -air și ecuația (121) se referă
la suprafața topografică. Ecuația (122) poate fi formulată astfel:
ind g GM 
(126)
unde:
ind reprezintă efectul indirect pe quasigeoid pentru reducerea RTM.
In scopul de a compara rezultatele acestei metode cu alte trei metode de reducere și a face
comparația cu nivelmentul GPS, cvasigeoidul din metoda RTM este convertit la geoid folosind
separarea quasigeoid -geoid dat în (Heiskanen și Moritz , 1967 ) astfel ca:

36

HgNB
 (127)
unde:
 și
Bg reprezintă media gr avității normale și a anomaliei Bouguer.
A doua metodă Helmert de condensare aduce masele topografice pe un strat la suprafața
geoidului și poate apărea ca un caz de limitare a modelului Pratt -Hayford atunci când adâncimea de
condensare tinde la zero. Înainte de a aplica formula lui Stokes a fost considerat efectul indirect
asupra gravitației .
Efectul terenului asupra gravitației
Tg este dat de:
P T cg g 
(128)
unde:
g este efectul indirect asupra gravitației (Sideris și She, 1995) ca:
22 hG
g
(129)
și c P este clasica corecție a terenului dată de:

 dxdydzz hy yx xrz hzyxG c
Eh
P P PP
P
03, ,,,
(130)
unde:
zyx,, este densitatea topografică în punctul curent delimitat de r, iar G este
constanta atractiei universale.
Efectul indirect pe geoid, până la termenul de ordinul doi este în aproximație planară dat de
(Wichiencharoen, 1982 ):
dxdyrh h G hGN
EP P
ind 3
03 3 2
6

(131)
unde r0 este distanța planară dintre punctul calculat și punctul real.
Metoda de inversiune Rudzki este o reducere în cazul în care efectul indirect este zero.
Rudzki aduce toate masele topografice în interiorul geoidului .
inv T T A A g
(132)
unde:
TA este atracția maselor topografice,
invA este atracția maselor inversate , densitatea
maselor topografice fiind egală cu densitat ea maselor răsturnate și grosimea maselor inversate fiind
egală cu înălțimea suprafeței topografice .

 dxdydzz hy yx xrz hzyxG A
Eh
P P PP
T
03, ,,,
(133)

37


 dxdydzz hy yx xrz hzyxG A
Eh
hh P P PP
invP
P
 , ,,,
3 (134)
Metoda de reducere RTM ia în considerare frecvențele înalte ale supr afeței topografice .
Efectul de deasupra suprafeței topografice de lungime lungă de undă este, în primul îndepărtat și
mai târziu restaurat .
Efectul gravitațional al terenului în metoda RTM are expresia (Forsberg, 1984):
P ref RTM T c hhG g g  2
(135)
unde h este înălțimea topografică dată de modelul digital de teren, href este înălțimea
suprafeței de referință mediată și nivelată iar c P este corecția clasică a terenului.
Efectul asupra geoidului a metodei RTM poate fi exprimat ca o a proximație liniară astfel:

 



  dxdyrhhGdxdydzrG refh
hRTM T
ref 01 1


(136)
unde r0 este distanța în plan.
In ca zul metodei Airy -Heiskanen (AH), reducerea izostatică a gravitației , în funcție de
modelul Airy-Heiskanen folosește o regularizare a scoarței terestre (Heiskanen și Moritz , 1967) .
Efectul terenului
Tg este dat de:


 

 dxdydzz hy yx xrz hzyxG Adxdydzz hy yx xrz hzyxG AA A g
EhT
htT P P PP
CEh
P P PP
TC T T
P
P

 
, ,,,, ,,,
303

(137-139)
unde: AT este atracția maselor topografice de deasupra geoidului, AC este atracția maselor
compensate în ac ord cu modelul AH, t este înălțimea rădăcinii , h este înălțimea suprafeței
topografice , Δρ este contrastul dintre densitatea mantalei superioare si a crustei , ρ este densitatea
crustei și T este grosimea crustei Pamantului .
Schimbare potențialului ΔT în ecuația (124), este pentru reducerea izostatică exprimată
astfel:
C TTTT
(140)
unde: TT și TC sunt potențialele gravitaționale ale suprafetei topografice și maselor
compensatoare respectiv e:

38


 

 dxdydzz hy yx xrzyxG Tdxdydzz hy yx xrzyxG T
ET
tT P P PCEh
P P PT


 
, ,,,, ,,,
0
 (141-142)
Zona în studiu este situată in Argentina , mărginită de latitudinile 20 ° S până la 42 ° S și
longitudinile 67 ° W până la 72 ° W.
Măsurătorile punctelor de gravitație , furnizate de IGSN71 , un total de 11,132 puncte
măsurate , cu o medie de distanță de aproximativ 12 km sunt prezentate în Figura 2. Anomaliile de
gravitatie sunt calculate pe baza parametrilor de GRS80 în conformitate cu formulele prezentate în
Torge , 1989 .
Gravitația de referin ță s-a calculat pe baza modelului geopotential EGM96 (Lemoine et al.,
1998 ).
Modelul Digital Global GTOPO30 cu un grid orizontal de 30 de secunde de arc
(aproximativ 1 kilometru) a fost folosit pentru a reprezenta topografia în zona de studiu . Un total de
166 puncte de nivelment GPS în trei retele diferite au fost utilizate pentru comparație cu geoidul
gravimetric. Acestea sunt reprezentate in Figura 3.
Corecțiile terenului (cP), au fost calculate cu Transformata Fourier Rapidă (FFT) pentru
fiecare punct de gravitate din DEM GTOPO30 folosind programul Tc2DFTPL (Li, 1993 ). A fost
folosit termenul de ordinul trei al unui model de masă în formă de prismă. Efectul indirect asupra
gravitației datorat metodei a doua de condensare Helmert a fost considerat înainte de aplicarea
formulei lui Stokes și calculul acesteia pe geoid. Astfel au trebuit să fie considerați cel puțin
termenii de ordinul doi . Efecte maxime indirecte sunt corelate cu topografia . Statisticile de date
topografice și a corecțiilor de teren în stațiile în care s -a masurat gravitatia poate fi văzut în Tabelul
1:

Unități Maxim Minim Medie Abatere + /-σ
GTOPO m 6795 0 1399 1465
cP mGal 42,13 0,20 2,55 2,70
Tabelul 1: Statistica GTOPO30

A fost folosit atât programul TC pentru a calcula efectele prin metoda RTM și efectele
topografice -izostatice privind gravitatea, cât și programul de geoid (Forsberg, 1984 ). Deasemenea a
fost calculată gravitatea și prin metoda de inversiune Rudzki (Bajracharya et al, 2001 .). Statisticile

39
de gravitatea anomaliilor calculate cu cele patru reduceri topografice de gravitate sunt prezentate în
Tabelul 2:

Anomalia g ravității Maxim
(mGal) Minim
(mGal) Medie
(mGal) Abaterea
(+/-σ)
Faye
(Helmert)

Rudzki

RTM

Airy-
Heiskanen
(AH)
RU FAEGM P FAP FA
g gg c gc g

96 258,63
155,62
255,7 0 -139,06
-180,00
-121,55 30,53
-20,62
41,77 54,95
36,38
50,87
RTM FAEGM RU FA
g gg g g
96
112,28
285,45 -113,09
-71,12 -9,38
64,79
27,22
38,66
AH FAEGM RTM FA
g gg g g
96
166,00
185,01 -128,37
-74,58 14,04
42,74 37,58
51,65
96 EGM AH FA g g g 
144,75 -179,69 -8,41 57,57
Tabelul 2: Statistica anomaliilor gravității calculate prin patru tipuri de reduceri
topografice

In scopul de a obține un bun acord dintre geoidul gravimetric și datele din nivelmentul GPS,
diferențele sistematice și erorile pentru lungimile mari de undă au fost eliminate prin patru modele
de transformare a parametrilor (Heiskanen și Moritz , 1967 ).
Statisticile de diferențele absolute dintre nivelmentul GPS și geoidul gravimetric calculat
folosind diferite metode de calcul a topografi ei. sunt rezumate în tabelul 3.

Maxim
(m) Minim
(m) Medie
(m) Abatere
a (+/-σ)
(m)
Rudzki 2,86
(1,92) -1,64
(-1,64) 0,44
(0,00) 0,68
(0,44)
Helmert 3,37
(2,11) -1,49
(-1,63) 0,71
(0,00) 0,77
(0,54)
RTM 2,32 -1,66 1,17 1,10

40
(1,09) (-1,95) (0,00) (0,51)
Airy-
Heiskanen
(AH) -0,81
(-1,75) -8,83
(3,43) -5,99
(0,00) 1,84
(0,61)
Tabelul 3: Statistica diferențe lor dintre geoidul gravimetric și nivelment GPS (valorile
din paranteze sunt după fitare)
Numerele din paranteze se referă la rezultatele după aplicare a metodei celor mai mici
pătrate diferențelor originale asupra modelului de transformare pentru cei patru parametri . Inainte
de a aplica aceasta , două puncte de referință GPS, cu eroare mare, au fost eliminate .

Fig.2 – Distribuția stațiilor gravimetrice în zona studiată (după C. Tocho și G. Font,
2005)

41

Fig.3 – Distribuția stațiilor de nivelment GPS în zona studiată (după C. Tocho și G.
Font, 2005)

42
MODELUL GEOIDULUI GRAVIMETRIC AL STATELOR UNITE ALE AMERICII
(G96SSS ) – (după Smith, D.A., și Milbert, D. G – 1999)

Metoda de calcul a modelului de geoid gravimetric , G96SSS , se bazează pe utilizarea
Transformatei Fourier Rapidă (FFT) unidimensionale pentru a evalua integrala Stokes . După cum
este des cris în Schwarz et al. (1990), un semnalul de intrare trebuie sa aibă o lățime de bandă
limitată. O astfel de limitare a lățimii de bandă este strâns legată de aplicarea corecțiilor de teren
(eliminarea de date de înaltă frecvență ) și eliminarea modelului de armonice sferice (de joasă
frecvență).
FFT necesită datele eșantionate . Orice procedura de eșantionare este supusă fenomenului de
aliasing în prezența a semnalului de înaltă frecvență . Prin urmare , ar trebui să fie elimin ate cât mai
multe date de înaltă frecvență . Din acest motiv , eșantionarea este efectuat ă pe anomalia Bouguer
completă (Milbert 1995 ):
(143)
unde:

si

Algoritmul de delimitarea rețelei ( gridding ) folosește o metodă de curbură continuă spline în
tensiune (Smith și Wessel 1990 ) cu parametru l tensiune TB = 0,75 . Această valoare a fost selectat ă
pentru a minimiza impactul erorilor de gravitate în munți în nodurile rețelei fără date de gravitație .
Rețeaua este una regulată cu 871 linii și 1921 coloane, fiecare ochi al rețelei acoperin d o suprafață
de 2' x 2' în latitudine și longitudine . Toate anomalii le sunt pre -filtrate și calcul ată valoarea medie
și localiza te în centrul celulelor pătrate de 2' x 2' în latitudine și longitudine. Acest pas de pre-
filtrare este recomandat de Smith și Wessel (1990) pentru a reduce efectele aliasing înainte de
gridding .
Rețeaua de anomalii Bouguer se transformă într-o rețea de anomalii Helmert . Ca o aproximare
pentru anomaliile Helmert se poate folosi o grilă de anomalii Faye . Martinec , et al. (1993)
precizează că există o relație liniară între anomalii free-aer și altitudine . O abordare alternativă
pentru a obține o anomalie Helmert pot fi găsite în Vanicek și Martinec (1994), Martinec și

43
Vanicek (1994), Vanicek et al. (1996), și Martinec et al. (1996). Cu toate acestea , această abordare
implică cerințe foarte mari de calcul . Din acest motiv , anomali ile free -air au fost utilizat e în
conformitate cu practicile NGS (Milbert, 1991a , Milbert și Schultz , 1993 , și Milbert , 1995 ).
În lumina discuției care au precedat , ondulați a geoid ului N este calculat ă prin integrala Stokes
generalizat ă (Heiskanen și Moritz , 1967, pp. 102):

(144)

unde functia Stokes este :

(145)

Prin urmare:
(146)
Ecuația (146) este rezolvată printr -o procedură "elimină -calculează -înlocuiește" folosind
formularea 1D pentru FFT de Haagmans și alții (1993). În primul rând sunt calculate , anomaliile
rezidual e ale gravit ății:
(147)
Apoi ondulațiile reziduale ale co -geoidului sunt calculate după cum urmează (pentru fiecare p):
(148)
Apoi se introduce modelul armonic spectral al ondulatiilor reziduale în efectul indirect :
(149)

44
Ecuația (149) trebuie să fie evaluat ă pentru fiecare linie p, unde 1 ≤ p ≤ n.
In Figura 4 este prezentată o imagine a geoidului pe teritoriul SUA , înălțimile acestuia variind de
la un minim de -52.8 m în Oceanul Atlantic la un nivel ridicat de -7.7 m, în Munții Stâncoși . După
cum sa văzut în modelele anterioare (de exemplu, Milbert 1991a ), este semnificativ ă structura de
lungime scurtă de undă .

Fig. 4: Modelul geoidului gravimetric al SUA – G96SSS (Magenta = -53 m , R oșu = -7 m)

45
MODELUL GEOIDULUI GRAVIMETRIC DIN GRECIA –(după DARAS, I – 2008)

Prima încercare pentru determinarea a unui model de geoid în Grecia , a fost realizat ă de
către D. Balodimos în 1972 . În 1980 D. Arabelos (Arabelos 1980) calculează un geoid gravimetric
folosind metoda celor mai mici pătrate , combin ând un model armonic sferic cu anomaliile de
gravita ție. Diferențele rezultate din comparația cu datele altimetrice de l a Geos -3 au fost de
maximum 77 cm . Două modele combinate de geoid au fost realizate de I. Tziavos (1984,1987),
luând în considerare pe lângă v alorile din Grecia și valorile din țările vecine . Cea mai semnificativă
diferență între cele două modele a fost es timat ă la 53cm.
În 1988 (Arabelos și Tziavos, 1989), oferă o soluție mai bună iar în 1994 (Arabelos et al.,
1994) realizează un model al geoidului gravimetric în Mediterana de Est inclusiv Grecia .
În septembrie 2002 a fost realizat un model astrogeodetic al geoid ului (Tsinis 2002), folosind 103
puncte în interiorul regiunii grecești și 93 de puncte din țările vecine Greci ei. O comparație a fost
efectuat ă, între acest geoid astrogeodetic, geoid ul netezit (Veis G., 1987) și geoid ul gravimetric
calculat.
Figurile 5 și 6 descri u înălțimi le acestor geoizi de-a lungul paralelei de 38o și de -a lungul
meridianul ui de 26o.

Fig. 5 – Reprezentarea comparativă a geoidului astrogeodetic, a geoidul netezit și
geoidul gravimetric calculat în lun gul paralelei de 380.

46

Fig.6 – Reprezentarea comparativă a geoidului astrogeodetic, a geoidul netezit și
geoidul gravimetric calculat în lungul meridianului de 260.

Corecțiile aditiv e sunt prezentate mai jos în Fig. 7, Fig. 8 și Fig. 9. Modelul geoidului
gravimetric pentru Grecia este prezentat în Fig 10.

Fig.7 – Corecția dată de efectul topografic asupra geoidului gravimetric din Grecia.
Scara este data în metri (m).

47

Fig.8 – Corecția elipsoidală asupra geoidului gravimetric din Grecia. Scara este data
în milimetri (mm).

Fig.9 – Corecția atmosferică asupra geoidului gravimetric din Grecia. Scara este data
în milimetri (mm).

48

Fig. 10 – Geoidul gravimetric actual al Greciei GRS80. Scara este data în metri (m).

49
V ) CONCLUZII

In capitolul II intitulat „Calculul câmpului gravitațional al unui corp omogen” am
urmarit in principal dezvoltarea din articolul lui Pohanka „Optimum expression for computation of
the gravity field of a homogeneous polyhedral body‖ [6] , in care am prezentat relatiile lui Svonarek
si Pohanka (S&P) în comparație cu studiile altor autori [1], [2], [3], [4], [5].
Astfel, formula de la Barnett (1976 ) este potrivită pentru un poliedru arbitrar cu fețe
triunghiulare. Acest lucru are dezavantajul că pentru cazul general al unui poliedru cu n vârfuri
trebuiesc evaluate cel putin 3 (n – 2) funcții logaritm natural și 4(n – 2) funcții arctangentă,
comparat iv cu formula lui Pohanka (prezentată mai sus) cu 2n funcții logaritm natural și n funcții
arctangentă. În fapt, avem doar n funcții logaritm natural, deoarece formula lui Barnett (33) ar
trebui să fie comparată cu formulele (23) și (42). În plus, expresia lui nu este (în mod explicit
simetrică cu privire la renumărarea de vârfuri, care a dus la un algoritm mai complicat. Barnett
(1976) a afirmat că formula lui a fost valabilă pentru exteriorul și interiorul corpului poliedral dar
nu și pe suprafața sa. De fapt, valabilitatea formulei Barnett în interiorul poliedrului nu a fost
dovedită în mod explicit. El a aplicat teorema Gauss (25) și (26), deși funcția din interiorul
integralei are puncte de singularitate. Este probabil ca formula lui să fie valabilă pe suprafața
corpului, dar utilizarea în calcul numeric a unor proceduri mai elaborate decât cele menționate în
apendicele lucrării.
Okabe (1979) a prezentat o formulă care se aplică pentru un poliedru arbitrar. El a criticat
activitatea lui Barnett, în speci al legat de sistemele de coordonate folosite. El a folosit teorema lui
Gauss în 2D și 3D, dar, ca și Barnett (1976) el nu a ținut cont de singularitățile funcțiilor din
interiorul integralelor; nici atunci când el a derivat formula pentru a calcula a doua derivată a
potențialului, care au fost în mod evident discontinue pe suprafața corpului. Cu toate acestea, el a
afirmat că formulele sale au fost valabile în interiorul corpului și pe suprafața sa. O confuzie a
survenit când a aplicat teorema Gauss în 2D.
Spre deosebire de formula (12), el a ales o funcție vector de forma:
rrrr ')'( ln(
, unde η este un vector (arbitrar) unitate situat în planul
suprafeței. Acest lucru a dus la o formulă finală mult mai complicată și având un grad suplimentar
de libertate (de orientare a vectorului η). Acesta conține de două ori mai multe funcții logaritm și
arctangentă ca formula (42). Okabe (1979) a recunoscut că există singularități în formule, dar el a
considerat că acestea ar putea fi evitate printr -un progr am adecvat, dar care nu a fost argumentat.

50
Nu a explicat ce se intâmplă în jurul valorii egal e cu zero sau vecinătăți ale valorii zero. Din punct
de vedere numeric această întrebare este esențială. Putem trage concluzia că abordarea lui Pohanka
are următoa rele avantaje:
(1) formulele sunt mai simple și mai scurte decât altele,
(2) sunt valabile pentru fiecare punct din spațiu, și
(3) nu este nevoie de o atenție specială pentru punctele din apropierea sau de pe suprafața a
corpului.
In capitolul III intitu lat ―Modelarea geoidului ” am urmă rit în principal metodologia
adoptată pentru modelarea geoidului pe teritoriul Canadei [12], ținând cont și de precizările din
[13] și [14] referitoare la Noua Zeelandă si Grecia.
In gravimetria modernă, pentru determinar ea geoidului gravimetric se folosesc datele de
teren într -o rețea destul de deasă pentru a putea asigura o precizie cât mai bună. Aceste măsurători
gravimetrice au o densitate satisfăcătore în zonele continentale, dar sunt insuficiente în zonele
marine. Pe ntru o determinare a geo idului cu o eroare cât mai mică se folosesc pe lângă datele
gravimetrice terestre atât datele de GPS cât și cele satelitare .
Diferite metode de reducere a gravității pentru modelarea geoidului au fost prezentate în
capitolul IV intitulat ―Studii de caz privind modelarea geoid ului ‖ .
Pentru „Geoidul gravimetric al Argentinei” î n zona Anzilor problema se tratează într-un
mod foarte diferit . A doua metodă Helmert de condensare și metoda RTM sunt tehnicile cele mai
utilizate de reducere pentru determinarea unui geoid gravimetric . Au fost aplicate deasemenea și
reducerea Airy-Heiskanen precum și metoda de inversiune Rudzki . Ultima nu este utilizată foarte
des, deși are avantajul de a nu da efecte indirecte pentru geoidul gravimet ric. Calculul cu metoda de
inversiune Rudzki a dat rezultate mai bune în comparație cu nivelmentul GPS. Inainte și după
filtrare, aceasta a fost singura metodă care a îmbunătățit determinarea geoidului gravimetric
comparativ cu rezultatele EGM96 .
Pentru ―Modelul geoidului gravimetric al Statelor Unite ale Americii ( G96SSS) a fost
prezentat ă metoda de calcul a modelului de geoid gravimetric , bazată pe utilizarea Transformatei
Fourier Rapidă (FFT) unidimensionale pentru a evalua integrala Stokes.
Pentru ―Modelul geoidului gravimetric din Grecia ‖ au fost prezentate corecțiile datorate
efectului topografic, corecțiile elipsoidale și corecțiile atmosferice asupra geoidului gravimetric.

51
BIBLIOGRAFIE :

1. BARNETT , C.T. – 1976. – Theoretical modeling of the magnetic and gravitational fields of
an arbitrarily shaped three -dimensional body. Geophysics 41, 1353 —1364.
2. ILK, K.H., WITTE, B. -2007 – The Use of Topographic -Isostatic Mass Information in
Geodetic Applicatio ns – http://hss.ulb.uni -bonn.de/diss_online
3. IVAN, M. – 1997 – An algorithm for computing the flexure of the Lithosphere. Studii și
Cercetări de Geofizică – Tom 35 – pag. 49 -60
4. IVAN, M. – 1997 – The ape riodic motion of a Crustal Microplate. Rev. Romaine de
Geophysique – Tom 41 – pag. 45 -52
5. OKABE, M. 1979. Analytical expressions for gravity anomalies due to homogeneous
polyhedral bodies and translations into magnetic anomalies. Geophysics 44, 730 —741.
6. POH ANKA, V. 1988. Optimum expression for computation of the gravity field of a
homogeneous polyhedral body. Geophysical Prospecting 36, 733 —751.
7. SVORANEK, M. and POHANKA, V. 1977. Calculation of the gravity field of an arbitrary
polyhedron, Bankke listy (spec ial issue), 258 —261. VEDA, Bratislava (in Slovak
language).
8. TOMOI AGĂ, T.S. – 2007 – Teză Doctorat: Contribuții privind determinarea ondulațiilor
geoidului folosind modelele geopotențiale globale și date gravimetrice locale. Academia
Tehnică Militară
9. VÉRONN EAU, M., HUANG, J. – 2005 – The Canadian Gravimetric Geoid Model 2005
(CGG2005) – Geodetic Survey Division, Natural Resources Canada, Ottawa, Ontario,
Canada
10. WAHR, J – Geodesy and Gravity – 2000 – Published by the Samizdat Press –
http://landau.mines.edu/ ~ samizdat
11. Report of the IAG Study Group – 2007 – Forward Gravity Field Modeling using global
databases – http://www.cage.curtin.edu.au/~kuhnm/IAG_SG2.2/index.html
12. VÉRONNEAU, M., H UANG, J. – 2005 – The Canadian Gravimetric Geoid Model
(CGG2005) Marc Geodetic Survey Division, Natural Resources Canada, Ottawa, Ontario,
Canada
13. AMOS, M., J., FEATHERSTONE, W., E. – 2003 – Preparations for a new gravimetric
geoid model of New Zealand, and some preliminary results – New Zealand Surveyor No.
293 June 2003

52
14. DARAS, I. – Determination of a gravimetric geoid model of Greece using the method of
KTH – Thesis in Geodesy No. 3102 TRITA -GIT EX 08 -002
15. TOCHO, C. , FONT, G. – 2005 – Gravimetric Geoid dete rmination in the Andes – Presented
at University La Plata and University Calgary
16. SMITH , D.A., and MILBERT , D. G. -The GEOID96 high resolution geoid height model
for the United States -Journal of Geodesy , Vol. 73, No. 5, p. 219 -236, 1999 )