Probleme de zic a [600557]

Probleme de ¯zic¸ a
Emil Petrescu Viorel P¸ aun
October 6, 2004

Cuprins
5 C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 213
212

Capitolul 5
C^AMPUL
ELECTROMAGNETIC
PROBLEMA 5.1 O sarcin¸ a qpozitiv¸ a este distribuit¸ a uniform ^ ³n
interiorul unei sfere dielectrice omogene cu permitivitatea ". Se cere
intensitatea c^ ampului electric ^ ³n afara sferei » si ^ ³n interiorul ei.
SOLUT »IE
Din considerente de simetrie c^ ampul electric ^ ³n interiorul » si ^ ³n exteri-
orul sferei are direct »ia razei sferei ( Fig. 5.1). Se folose» ste forma integral¸ a
a legii lui Gauss:
Z Z
~Dd~S=q (5.1)
Deoarece pentru un mediu omogen ~D="~Erelat »ia 5.1 devine pentru
punctele din exteriorul sferei:
"0Z Z
~E~ ndS =q
Atunci:
E4¼R2=q
"0
de unde
E=q
4¼"0R2(5.2)
213

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 214
/G45/G72
/G45/G72
/G30 /G52
Figura 5.1: C^ ampul electric al unei sfere dielectrice ^ ³nc¸ arcate uniform cu
sarcin¸ a electric¸ a
Pentru punctele din interiorul sferei relat »ia 5.1 devine
E4¼r2=q0
"(5.3)
unde q0reprezint¸ a sarcina din interiorul sferei de raz¸ a r. Cum:
q0=q4
3¼r03
4
3¼R3
0=qµr
R0¶3
utiliz^ and 5.3 se obt »ine intensitatea c^ ampului electric ^ ³n interiorul sferei:
E=1
4¼"qr
R3
0
PROBLEMA 5.2 Se d¸ a o distribut »ie liniar¸ a de sarcin¸ a, a c¸ arei
densitate este ¸(sarcina pe unitatea de lungime). S¸ a se g¸ aseasc¸ a expresia
intensit¸ at »ii c^ ampului electric la distant »a rde aceasta dac¸ a distribut »ia de
sarcin¸ a se g¸ ase» ste ^ ³n vid.
SOLUT »IE
Din considerente de simetrie, ~Eare o direct »ie radial¸ a ca ^ ³n Fig. 5.2.
Pentru a determina c^ ampul electric se consider¸ a o suprafat »¸ a cilindric¸ a
a c¸ arei ax¸ a de simetrie o constituie distribut »ia liniar¸ a de sarcin¸ a. Se

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 215
/G45/G72/G45/G72
/G6E/G72
/G6E/G72
Figura 5.2: C^ ampul electric al unei distribut »ii liniare de sarcin¸ a
observ¸ a ca fluxul c^ ampului electric este diferit de zero doar pe suprafat »a
lateral¸ a a cilindrului. Pe baze fluxul este nul deoarece unghiul dintre
normal¸ a » si intensitatea c^ ampului electric este ¼=2. Deoarece D="0E
legea lui Gauss se scrie
"0Z Z
~E~ ndS =q
Rezult¸ a:
"0E(2¼rh) =¸h
E=¸
2¼"0r(5.4)
PROBLEMA 5.3 ^Intr-un plan exist¸ a o distribut »ie infinit¸ a de sarci-
n¸ a, cu densitatea superficial¸ a ¾. S¸ a se determine c^ ampul electric creat
de aceasta.
SOLUT »IE
Din considerente de simetrie vectorul intensitate c^ amp electric este
perpendicular pe planul^ ³nc¸ arcat electric (Fig. 5.3). Aceasta se datoreaz¸ a
faptului c¸ a pentru orice element de sarcin¸ a din plan se poate g¸ asi un ele-
ment simetric. Pentru aceste dou¸ a elemente componentele orizontale ale
c^ ampurilor create se anuleaz¸ a » si nu r¸ am^ an s¸ a se ^ ³nsumeze dec^ at compo-
nentele verticale. Pentru aplicarea legii lui Gauss se alege ca suprafat »¸ a

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 216
/G45/G72
/G45/G72
Figura 5.3: C^ ampul unei distribut »ii plane de sarcin¸ a
^ ³nchis¸ a un cilindru cu bazele ¢ Ssimetrice fat »¸ a de planul ^ ³nc¸ arcat elec-
tric » si cu generatoarea perpendicular¸ a pe acest plan. Se observ¸ a ca doar
pe baze exist¸ a un flux diferit de zero. Pe suprafat »a lateral¸ a normala » si
vectorul intensitate c^ amp electric sunt perpendiculare. Aplic^ and legea
lui Gauss:
"0(E¢S+E¢S) =¾¢S
rezult¸ a:
E=¾
2"0
PROBLEMA 5.4 Permitivitatea unei sfere neomogene de raz¸ a R
aflat¸ a ^ ³n vid variaz¸ a dup¸ a legea
"(r) ="0³r
R+ 2´
(5.5)
S¸ a se calculeze c^ ampul electric creat de o sarcin¸ a Qdistribuit¸ a ^ ³n ^ ³ntregul
volum al sferei.
SOLUT »IE
Aplic¸ am legea lui Gauss
Z Z
~D~ ndS =Q

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 217
/G31 /G32 /G72/G72
/G31 /G70/G72/G32 /G70/G72
Figura 5.4: Dipoli ce interact »ioneaz¸ a ^ ³ntre ei
Pentru r < R unde Reste raza sferei rezult¸ a:
D4¼r2=Qint (5.6)
T »in^ and cont de variat »ia permitivit¸ at »ii mediului » si de 5.5 se obt »ine:
"0³r
R+ 2´
E4¼r2=Qint=r3
R3Q
Rezult¸ a:
E=Qr
4¼"0R2(r+ 2R)(5.7)
Pentru r > R 0aplicarea legii lui Gauss pe o suprafat »¸ a sferic¸ a concen-
tric¸ a cu sfera data conduce la:
"0E4¼r2=Q
Rezult¸ a:
E=Q
4¼"0r2(5.8)
PROBLEMA 5.5 S¸ a se determine energia potent »ial¸ a de interact »ie
dintre doi dipoli ~ p1» si~ p2aflat »i la distant »a ~ r12unul de altul (Fig. 5.4).
SOLUT »IE
Energia potent »ial¸ a a unui dipol ^ ³n c^ amp electric este:
W=¡~ p~E (5.9)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 218
Consider¸ am dipolul ~ p2^ ³n c^ ampul electric ~E1al dipolului ~ p1unde:
~E1=1
4¼"0·3 (~ p1~ r12)~ r12
r5
12¡~ p1
r3
12¸
(5.10)
Atunci energia de interact »ie se scrie:
W=¡~ p2~E1=1
4¼"0·~ p1~ p2
r3
12¡3(~ p1~ r12) (~ p2~ r12)
r5
12¸
(5.11)
PROBLEMA 5.6 Un mediu neomogen dar izotrop, caracterizat
prin constantele "si¾este str¸ ab¸ atut de un curent stat »ionar de densitate
~j. S¸ a se arate c¸ a ^ ³n mediul respectiv exist¸ a sarcini de volum » si s¸ a se
calculeze densitatea ½a acestora.
SOLUT »IE
Conform legii lui Gauss:
r~D=½ (5.12)
Cum:
~D="~E (5.13)
» si
~j=¾~E (5.14)
rezult¸ a:
½=r³"
¾~j´
(5.15)
Utiliz^ and identiatea
r³
a~b´
=ar~b+~bra
se obt »ine:
r³"
¾~j´
="
¾r~j+~jr³"
¾´
(5.16)
Deoarece densitatea de curent ~jeste aceia» si ^ ³n orice punct al mediului
r~j= 0, relat »ia 5.16 devine:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 219
/G28 /G29 /G7A /G79 /G78 /G71 /G2C /G2C /G2D/G28 /G29 /G7A /G7A /G79 /G79 /G78 /G78 /G71 /G44 /G2B /G44 /G2B /G44 /G2B /G2C /G2C
/G20 /G79/G78/G20 /G7A
/G28 /G29 /G7A /G79 /G78 /G45 /G2C /G2C/G72
Figura 5.5: Dipol ^ ³n c^ amp electric neuniform
½=~jr³"
¾´
(5.17)
PROBLEMA 5.7 S¸ a se calculeze fort »a ce act »ioneaz¸ a asupra unui
dipol arbitrar orientat ^ ³ntr-un c^ amp electric neuniform ~E(x; y; z ).
SOLUT »IE
Se consider¸ a c¸ a distant »a dintre cele dou¸ a sarcini ale dipolului este ¢ l,
iar segmentul respectiv este orientat ^ ³n a» sa fel ^ ³nc^ at proiect »iile acestei
distant »e pe axele de coordonate ¢ x, ¢y, ¢zs¸ a ¯e diferite de zero (Fig.
5.5). Fort »a care act »ioneaz¸ a asupra dipolului pe direct »ia Ox este:
Fx=qEx(x+ ¢x; y+ ¢y; z+ ¢z)¡qEx(x; y; z ) (5.18)
Deoarece:
Ex(x+ ¢x; y+ ¢y; z+ ¢z) =Ex(x; y; z )+@Ex
@x¢x+@Ex
@y¢y+@Ex
@z¢z
se obt »ine:
Fx=q¢x@Ex
@x+q¢y@Ex
@y+q¢z@Ex
@z(5.19)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 220
Dar:
~ p= (q¢x)~ ex+ (q¢y)~ ey+ (q¢z)~ ez (5.20)
» si relat »ia 5.19 devine:
Fx=px@Ex
@x+py@Ex
@y+pz@Ex
@z=~ prEx (5.21)
^In mod analog se obt »in » si celelalte componente ale fort »ei ce act »ioneaz¸ a
asupra dipolului:
Fy=~ prEy (5.22)
Fz=~ prEz (5.23)
^In concluzie:
~F= (~ pr)~E
PROBLEMA 5.8 S¸ a se determine potent »ialul creat de un dipol cu
momentul dipolar ~ p» si cu distant »a dintre cele dou¸ a sarcini egal¸ a cu 2 a
(Fig. 5.6).
SOLUT »IE
Conform Fig. 5.6 potent »ialul ^ ³n punctul P este suma potent »ialelor
celor dou¸ a sarcini
V=V1+V2=q
4¼"µ1
r1¡1
r2¶
=q
4¼"r2¡r1
r1r2(5.24)
Dac¸ a rÀ2aatunci:
r1r2'r2
unde reste distant »a de la centrul dipolului la punctul considerat. Deoarece:
r2¡r1'2acosµ

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 221
/G31 /G72/G72
/G32 /G72/G72
/G72/G72
/G70/G72/G71
/G61 /G32
Figura 5.6: Schema pentru calculul potent »ialului creat de un dipol
relat »ia 5.24 devine:
V=q
4¼"02acosµ
r2=pcosµ
4¼"0r2(5.25)
Deoarece
~ p~ r=p rcosµ
potent »ialul se exprim¸ a astfel:
V=1
4¼"0~ p~ r
r3(5.26)
PROBLEMA 5.9 S¸ a se determine c^ ampul electric creat de un dipol,
(ale c¸ arui sarcini q» si¡qse afl¸ a la distant »a 2 a), ^ ³ntr-un punct P situat la
distant »a r^ ³n lungul perpendicularei dus¸ a la jum¸ atatea distant »ei dintre
cele dou¸ a sarcini (Fig. ??).
SOLUT »IE
C^ ampul electric rezultant este:
~E=~E1+~E2 (5.27)
unde
E1=E2=q
4¼"0(a2+r2)(5.28)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 222
/G50
/G32 /G45/G72
/G45/G72/G71/G71/G71
/G71 /G2D/G72/G72
/G4F
Figura 5.7: C^ ampul electric creat de un dipol ^ ³ntr-un punct P situat pe
perpendiculara dus¸ a la jum¸ atatea distant »ei dintre cele dou¸ a sarcini
C^ ampul electric rezultant (Fig. ??) este perpendicular pe dreapta
OP » si
E= 2E1cosµ= 2E1ap
a2+r2(5.29)
Atunci
E=q
4¼"02a
(a2+r2)3=2(5.30)
Dac¸ a rÀaatunci:
E=1
4¼"02aq
r3=1
4¼"0p
r3(5.31)
PROBLEMA 5.10 Potent »ialul c^ ampului electrostatic creat de un
dipol de moment dipolar ~ paflat ^ ³n vid este
V=1
4¼"0~ p~ r
r3
S¸ a se calculeze intensitatea c^ ampului electric.
SOLUT »IE
Pentru aceasta se utilizeaz¸ a formula:
~E=¡rV=¡1
4¼"0r~ p~ r
r3(5.32)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 223
Vom demonstra identitatea
r(AB) =ArB+BrA (5.33)
unde A» siBsunt scalari
r(AB) =~ ex@
@x(AB) +~ ey@
@y(AB) +~ ez@
@z(AB)
r(AB) =~ exµ
A@B
@x+B@A
@x¶
+~ eyµ
A@B
@y+B@A
@y¶
+~ ezµ
A@B
@z+B@A
@z¶
r(AB) =Aµ@B
@x~ ex+@B
@y~ ey+@B
@z~ ez¶
+Bµ@A
@x~ ex+@A
@y~ ey+@A
@z~ ez¶
Astfel identitatea 5.33 este demonstrat¸ a
^In cazul problemei propuse se consider¸ a A=~ p~ r» siB= 1=r3» si se
obt »ine:
rµ~ p~ r
r3¶
= (~ p~ r)rµ1
r3¶
+1
r3r(~ p~ r) (5.34)
Dar:
rµ1
r3¶
=@
@xµ1
r3¶
~ ex+@
@yµ1
r3¶
~ ey+@
@yµ1
r3¶
~ ey (5.35)
Deoarece
@
@xµ1
r3¶
=¡3
r4@
@xp
x2+y2+z2=¡3x
r5(5.36)
@
@yµ1
r3¶
=¡3y
r5(5.37)
@
@zµ1
r3¶
=¡3z
r5(5.38)
putem exprima relat »ia 5.35 astfel:
rµ1
r3¶
=¡3x~ ex+ 3y~ ey+ 3z~ ez
r5=¡3~ r
r5(5.39)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 224
Cum:
r(~ p~ r) =r(xpx+ypy+zpz) =~ px~ ex+~ py~ ey+~ pz~ ez=~ p (5.40)
atunci din relat »iile 5.39 » si 5.40 se obt »ine:
~E=1
4¼"0·3 (~ p~ r)~ r
r5¡~ p
r3¸
(5.41)
PROBLEMA 5.11 S¸ a se g¸ aseasc¸ a capacitatea unui condensator av^ and
electrozii de form¸ a sferic¸ a cu razele a» sibdac¸ a permitivitatea absolut¸ a
a mediului dintre cei doi electrozi este:
"(r) =½"1c^ and a·r < c
"2c^ and c·r·b
SOLUT »IE
Aplic^ and legea lui Gauss pentru suprafat »a S1c^ and a·r < c se
obt »ine:
E1=Q
4¼"1r2(5.42)
Aplic^ and legea lui Gauss pentru suprafat »a S2c^ and c·r < b se
obt »ine:
E2=Q
4¼"2r2(5.43)
Tensiunea dintre arm¸ aturile condensatorului este:
U=Zb
aEdr=Zc
aE1dr+Zb
cE2dr
Rezult¸ a:
U=Q
4¼"1µ1
a¡1
c¶
+Q
4¼"2µ1
c¡1
b¶

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 225
Astfel se poate calcula capacitatea condensatorului.
C=Q
U=·1
4¼"1µ1
a¡1
c¶
+1
4¼"2µ1
c¡1
b¶¸¡1
PROBLEMA 5.12 Un condensator cilindric este realizat din doi
cilindri concentrici cu razele a» sib > a » si lungimea l. Cunosc^ and c¸ a
cei doi cilindri sunt ^ ³n vid s¸ a se calculeze capacitatea acestui dispozitiv
consider^ and c¸ a lungimea lui este foarte mare.
SOLUT »IE
Se calculeaz¸ a c^ ampul electric ^ ³n interiorul condensatorului respectiv.
Pentru aceasta se utilizeaz¸ a legea lui Gauss sub form¸ a integral¸ a. Pentru
efectuarea integralei de suprafat »¸ a se consider¸ a o suprafat »¸ a cilindric¸ a coax-
ial¸ a cu cei doi cilindri, de lungime l» si raz¸ a r. Datorit¸ a simetriei, c^ ampul
electric are aceia» si valoare pe suprafat »a lateral¸ a. Pe bazele cilindrului
considerat °uxul este nul.
Atunci relat »ia
"0Z Z
~Ed~S=q (5.44)
devine:
"02¼rlE =q
de unde:
E=q
2¼"0lr(5.45)
Tensiunea dintre arm¸ aturi este:
U=bZ
a~Ed~ r=bZ
aq
2¼"0ldr
r=q
2¼"0llnb
a(5.46)
iar capacitatea condensatorului este:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 226
/G2B
/G2B
/G2B /G2B/G2B
/G2B/G2B
/G2B/G2B/G2B
/G5F/G5F/G5F /G5F /G5F
/G5F /G5F
/G5F /G5F/G5F /G5F
/G31 /G72/G72
/G32 /G72/G72
/G61/G72
Figura 5.8: Cavitate format¸ a prin intersect »ia a dou¸ a sfere ^ ³nc¸ arcate
C=q
U=2¼"0l
ln (b=a)(5.47)
PROBLEMA 5.13 Care este c^ ampul electric ^ ³ntr-o cavitate for-
mat¸ a prin intersect »ia a dou¸ a sfere ^ ³nc¸ arcate cu densit¸ at »ile de sarcin¸ a ½
» si¡½uniform distribuite ^ ³n volumul lor. Distant »a dintre centrele celor
dou¸ a sfere este a(Fig. 5.8).
SOLUT »IE
A» sa cum am discutat anterioar c^ ampul electric ^ ³ntr-o sfer¸ a uniform
^ ³nc¸ arcat¸ a la distant »a r < R este:
~E=Q
4¼"0R3~ r=½
3"0~ r (5.48)
unde ~ reste vectorul de pozit »ie din centrul sferei la punctul de observat »ie,
Qeste sarcina total¸ a, ½este densitatea de sarcin¸ a » si Reste raza sferei.
Astfel ^ ³n interiorul cavit¸ at »ii c^ ampul electric este dat de suprapunerea
c^ ampurilor datorate celor dou¸ a sfere considerate uniform ^ ³nc¸ arcate.
~E=~E1+~E2=½
3"0~ r1¡½
3"0~ r2=½
3"0(~ r1¡~ r2) =½
3"0~ a (5.49)
Rezult¸ a c¸ a ^ ³n interiorul cavit¸ at »ii c^ ampul este uniform

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 227
/G31 /G45/G72
/G32 /G45/G72/G50/G72/G64 /G68
Figura 5.9: Plac¸ a dielectric¸ a plasat¸ a ^ ³ntre placile unui condensator aflate
la acela» si potent »ial
PROBLEMA 5.14 O plac¸ a de dielectric de grosime hav^ and o po-
larizare P= const este plasat¸ a ^ ³n interiorul unui condensator cu fet »e
plan paralele, arm¸ aturile condensatorului fiind legate printr-un conduc-
tor. Vectorul polarizare este perpendicular pe cele dou¸ a fet »e ale dielec-
tricului. S¸ a se determine c^ ampul electric » si induct »ia ^ ³n interiorul pl¸ acii
dielectrice. Distant »a dintre arm¸ aturile condensatorului este d:
SOLUT »IE
Not¸ am cu ~E1,~E2,~E3intensit¸ at »ile c^ ampului electric ^ ³n cele trei
regiuni » si cu ~D1,~D2,~D3induct »iile c^ ampului electric (Fig. 5.9).
Vom pune condit »ia de continuitate a componentei normale a vectoru-
lui induct »ie c^ amp electric
D1=D2=D3 (5.50)
Deoarece
D1="0E1
D3="0E3
Rezult¸ a c¸ a E1=E3. Cum:
D2="0E2+P (5.51)
condit »ia de continitate 5.50 se scrie:
"0E1="0E2+P (5.52)
de unde

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 228
E1=E2+P
"0(5.53)
Condit »ia ca diferent »a de potent »ial dintre cele dou¸ a pl¸ aci s¸ a fie nul¸ a
este:
E1(d¡h) +E2h= 0
» si substituind E1din 5.53 se obt »ine:
µ
E2+P
"0¶
(d¡h) +E2h= 0 (5.54)
Rezult¸ a:
E2=¡P
"0µ
1¡h
d¶
(5.55)
D2="0E2+P=Ph
d(5.56)
PROBLEMA 5.15 Fie o plac¸ a deformat¸ a de grosime 2 d. Datorit¸ a
acestui fapt polarizarea nu este uniform¸ a: polarizarea ^ ³n mijlocul pl¸ acii
esteP0» si ^ ³n rest este dat »a de expresia:
P=P0µ
1¡x2
d2¶
(5.57)
unde xeste distant »a de la mijlocul pl¸ acii la punctul considerat. Vectorul
polarizare este orientat de-a lungul axei Ox perpendiular¸ a pe fet »ele pl¸ acii
dielectrice. S¸ a se determine c^ ampul electric ^ ³n interiorul » si ^ ³n exteriorul
pl¸ acii, precum » si diferent »a de potent »ial dintre suprafet »ele laterale ale
acesteia.
SOLUT »IE
Deoarece nici ^ ³n interiorul pl¸ acii nici ^ ³n exteriorul pl¸ acii nu exist¸ a
sarcin¸ a electric¸ a liber¸ a:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 229
~D= 0 (5.58)
Cum
~D="0~E+~P (5.59)
^ ³n exteriorul pl¸ acii dielectrice polarizarea este nul¸ a » si rezult¸ a ~E= 0.
^In interiorul pl¸ acii P6= 0 » si atunci din relat »iile 5.58 » si 5.59 se obt »ine:
E=¡1
"0P=¡P0
"0µ
1¡x2
d2¶
(5.60)
Diferent »a de potent »ial dintre pl¸ aci este:
V2¡V1=¡dZ
¡dEdx =P0
"0dZ
¡dµ
1¡x2
d2¶
dx=4
3"0Pd (5.61)
PROBLEMA 5.16 S¸ a se arate c¸ a ^ ³ntr-un conductor omogen den-
sitatea de sarcin¸ a electric¸ a liber¸ a tinde la zero.
SOLUT »IE
Se consider¸ a ecuat »ia de continuitate:
r~j+@½
@t= 0 (5.62)
Deoarece
~j=¾~E (5.63)
ecuat »ia 5.62 devine:
¾r~E+@½
@t= 0 (5.64)
sau
¾
"0r³
"0~E´
+@½
@t= 0

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 230
¾
"0r~D+@½
@t= 0 (5.65)
Not¸ am
"0
¾= +=
Cumr~D=½ecuat »ia 5.65 devine:
1
=½+d½
dt= 0
Prin integrarea acestei ecuat »ii rezult¸ a:
ln½
½0=¡t
=
adic¸ a:
½=½0e¡t
=
Rezult¸ a c¸ a densitatea de sarcin¸ a electric¸ a liber¸ a din interiorul unui
conductor scade exponent »ial ^ ³n timp » si dup¸ a un timp su¯cient de lung se
va anula.
PROBLEMA 5.17 Dou¸ a pl¸ aci dielectrice paralele sunt plasate ^ ³n in-
teriorul unui condensator cu fet »e plan paralele (Fig. 5.10). Grosimile
celor dou¸ a pl¸ aci sunt h1» sih2conductivit¸ at »ile ¾1» si¾2iar permitivit¸ at »ile
"1» si"2.^Intre arm¸ aturile condensatorului este ment »inut¸ a o diferent »¸ a de
potent »ial U. S¸ a se determine c^ ampul electric E, induct »ia D, densitatea
curentului j» si densitatea de sarcini libere » si sarcini legate pe cele trei
suprafet »e de separare.
SOLUT »IE
La suprafat »a de separare dintre pl¸ acile 1 » si 2 punem condit »ia de con-
tinuitate a densit¸ at »ii de curent.
j=¾1E1=¾2E2 (5.66)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 231
/G31 /G53
/G53
/G32 /G65/G31 /G65
/G32 /G73
/G31 /G73 /G32 /G45/G31 /G45
/G32 /G68/G31 /G68/G2B
/G5F
Figura 5.10: Condensator cu dou¸ a pl¸ aci dielectrice plasate ^ ³n interiorul
s¸ au
^In plus
U=E1h1+E2h2 (5.67)
De aici
E1=¾2U
¾1h2+¾2h1
E2=¾1U
¾1h2+¾2h1
Atunci
D1="1E1="1¾2U
¾1h2+¾2h1(5.68)
D2="2E2="2¾1U
¾1h2+¾2h1(5.69)
Densitatea de curent este:
j=¾1E1=¾1¾2U
¾1h2+¾2h1
Condit »ia de continuitate a componentelor normale ale induct »iei elec-
trice la suprafat »a de separare dintre cele dou¸ a pl¸ aci este:
D1¡D2=¾l (5.70)
unde ¾leste densitatea superficial¸ a de sarcini libere. Introduc^ and 5.68
» si 5.69 rezult¸ a:
¾l=("1¾2¡"2¾1)U
¾1h2+¾2h1

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 232
Se aplic¸ a legea lui Gauss pe suprafat »a S.
SE1¡SE2=S¾
"0=S(¾l+¾p)
"0
unde ¾este densitatea total¸ a de sarcini iar ¾peste densitatea de sarcini
de polarizare.
De aici rezult¸ a, t »in^ and cont de 5.70:
"0(E1¡E2) = (D1¡D2) +¾p
sau:
¾p= ("0E1¡D1) + (D2¡"0E2)
Atunci:
¾p=¾2("0¡"1)¡¾1("0¡"2)
¾1h2+¾2h1U (5.71)
La suprafat »a de separare dintre electrodul aflat la potent »ial pozitiv
» si dielectric:
D1¡D+=¾(1)
l
^In interiorul pl¸ acii metalice D+= 0. ^In relat »ia de mai sus ¾(1)
leste
densitatea de sarcini libere pe aceast¸ a suprafat »¸ a.
D1=¾(1)
l
Aplic¸ am legea lui Gauss pentru suprafat »a de separat »ie S1:
E1S=³
¾(1)
l+¾(1)
p´
S
"0
Rezult¸ a:
¾(1)
p="0E1¡¾(1)
l
¾(1)
p="0E1¡"1E1= ("0¡"1)E1
La cea de a doua frontier¸ a se procedeaz¸ a la fel. Se obt »ine:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 233
¾(2)
l=¡D2
¾(2)
p=¡("0¡"2)E2
PROBLEMA 5.18 O sfer¸ a de raz¸ a a^ ³nc¸ arcat¸ a cu sarcina Qeste^ ³nvelit¸ a
^ ³ntr-un strat dielectric cu permitivitatea relativ¸ a "rastfel^ ³nc^ at raza sferei
astfel construit¸ a este b. S¸ a se determine potent »ialul la care se afl¸ a sfera.
SOLUT »IE
Se aplic¸ a legea lui Gauss pentru o suprafat »¸ a sferic¸ a cu raza r, unde
a < r < b .
Z Z
"0"r~Ed~S=Q (5.72)
Rezult¸ a c^ ampul din interiorul dielectricului:
E=Q
4¼"r"0r2(5.73)
Se aplic¸ a legea lui Gauss ^ ³n afara dielectricului pentru o suprafat »¸ a
sferic¸ a cu raza r > b .
Z Z
"0~Ed~S=Q (5.74)
Rezult¸ a:
E=Q
4¼"0r2(5.75)
Atunci potent »ialul este:
V=Z1
a~E d~ r =Zb
a~E d~ r +Z1
b~E d~ r (5.76)
T »in^ and cont de relat »iile 5.73 » si 5.75, 5.76 devine:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 234
V=Q
4¼"r"0Zb
adr
r2+1
4¼"0Z1
bdr
r2=Q
4¼"r"0µ1
a¡1
b¶
+Q
4¼"0b(5.77)
PROBLEMA 5.19 Care trebuie s¸ a fie densitatea de volum a unui
nor electronic uniform repartizat ^ ³n spat »iul dintre pl¸ acile unui conden-
sator plan-paralel cu distant »a ddintre pl¸ aci astfel ^ ³nc^ at una dintre pl¸ aci
s¸ a se afle la un potent »ial nul iar cealalt¸ a la potent »ialul V0. Pe placa aflat¸ a
la potent »ial nul c^ ampul electric este nul.
SOLUT »IE
Se alege axa Ox perpendicular¸ a pe pl¸ aci, originea ei fiind pe una din
acestea. Conform ecuat »iei Poisson
d2V
dx2=¡½
"(5.78)
Prin integrare se obt »ine:
dV
dx=¡½
"x+C1 (5.79)
Cum ~E=¡dV=dx rezult¸ a c¸ a dV=dx = 0 c^ and x= 0. Atunci C1= 0
Integr^ and cu aceste condit »ii ecuat »ia 5.79 se obt »ine:
V=¡½
"0x2
2+C2 (5.80)
Deoarece pentru x= 0 » si V= 0 rezult¸ a C2= 0. Atunci:
V=¡½
"0x2
2
C^ and x=d,V=V0rezult¸ a:
½=¡2"0V0
d2

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 235
PROBLEMA 5.20 S¸ a se arate c¸ a ^ ³ntr-un tub electronic curen-
tul electronic care pleac¸ a de la catod (potent »ialul 0) » si ajunge la anod
(potent »ialul V0) satisface ecuat »ia:
I=KV3
2
0
Se va t »ine cont c¸ a emisia de electroni este continu¸ a iar densitatea curen-
tului electronic ^ ³n spat »iul dintre arm¸ aturi este constant¸ a ^ ³n timp.
SOLUT »IE
Not¸ am cu Ssuprafat »a electrozilor » si cu ddistant »a dintre electrozi.
Axa Ox se consider¸ a perpendicular¸ a pe electrozi. ^In cazul regimului
stat »ionar densitatea de curent jeste constant¸ a de-a lungul axei Ox.
Deoarece Vvariaz¸ a numai ^ ³n direct »ia perpendicular¸ a pe electrozi,
adic¸ a depinde numai de coordonata x, ecuat »ia Poisson se scrie:
d2V
dx2=¡½
"0(5.81)
^In cazul emisiei termoelectronice electronii pleac¸ a de la catod cu
viteze de ordinul vitezei de agitat »ie termic¸ a, care sunt mici ^ ³n comparat »ie
cu vitezele atinse de electroni sub influent »a c^ ampurilor electrice exte-
rioare. De aceea vom considera vitezele init »iale ale electronilor egale cu
zero. C^ and electronul p¸ ar¸ ase» ste catodul » si se afl¸ a ^ ³ntr-un punct ^ ³n care
potent »ialul are valoarea V, vitez¸ a veste dat¸ a de expresia:
mv2
2=eV
Densitatea curentului ce ajunge la anod este:
j=¡½v
unde ½=ne,n¯ind densitatea de electroni.
Semnul minus apare deoarece curentul este determinat de sarcini ne-
gative.
Rezult¸ a:
j=¡½r
2eV
m

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 236
de unde
½=¡jrm
2eV¡1
2 (5.82)
» si ecuat »ia 5.81 devine:
d2V
dx2=¡j
"0rm
2eV¡1
2 (5.83)
^Inmult »im ambii membri cudV
dxdx» si integr¸ am
Zx
0d2V
dx2dV
dxdx=¡j
"0rm
2eZx
0V¡1
2dV
dxdx
Deoarece la x= 0,V(x) = 0 » si dV=dx = 0 rezult¸ a:
µdV
dx¶2
=4j
"rm
2eV1
2
de unde:
dV
dx= 2r
j
"04rm
2e¢V1
4 (5.84)
sau
dV
V1
4= 2r
j
"04rm
2e¢dx
Integr^ and
ZV0
0dV
V1
4= 2r
j
"04rm
2eZd
0dx
se obt »ine:
4
3V3
4
0= 2r
j
"04rm
2ed (5.85)
Din 5.85 rezult¸ a:
j=4
9r
2e
m"0
d2V3
2
0 (5.86)
Atunci intensitatea curentului este:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 237
I=jS=4
9r
2e
m"0S
d2V3
2
0=KV3
2
0
Aceasta este a» sa numita lege "3/2"
PROBLEMA 5.21 S¸ a se arate c¸ a unui c^ amp electrostatic uniform
~E0^ ³i corespunde potent »ialul V=¡~E0~ r
SOLUT »IE
Deoarece
~E=¡r³
¡~E0~ r´
=r(xE0x+yE0y+zEoz) (5.87)
Atunci:
Ex=@V
@x=E0x
Ey=@V
@y=E0y
Ez=@V
@z=E0z
Rezult¸ a:
~E0=E0x~ ex+E0y~ ey+E0z~ ez
PROBLEMA 5.22 S¸ a se determine c^ ampul magnetic produs de un
curent Icare parcurge un conductor rectiliniu infinit ^ ³ntr-un punct P la
distant »a Rde acesta.
SOLUT »IE
C^ ampul magnetic creat de elementul de curent d~ xare direct »ia per-
pendicular¸ a pe planul figurii 5.11 » si este date de:

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 238
Figura 5.11: C^ ampul magnetic produs de un curent rectiliniu in¯nit de
lung
dB=¹0I
4¼dxsinµ
r2(5.88)
Cum orientarea c^ ampului magnetic este aceia» si pentru toate elementele
de curent, induct »ia magnetic¸ a este dat¸ a de integrala expresiei 5.88:
B=¹0I
4¼+1Z
¡1dxsinµ
r2(5.89)
Deoarece
r=p
x2+R2
sinµ= sin ( ¼¡µ) =Rp
x2+R2
rezult¸ a:
B=¹0I
4¼+1Z
¡1Rdx
(x2+R2)3=2=¹0I
2¼R(5.90)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 239
/G78/G6C /G64/G72
/G72/G72
/G50/G71/G52/G42 /G64/G72
/G32 /G42 /G64/G72
/G31 /G42 /G64/G72
Figura 5.12: C^ ampul creat de o spir¸ a de curent
PROBLEMA 5.23 Fie o spir¸ a de raz¸ a Rprin care trece un curent
I. S¸ a se calculeze c^ ampul magnetic determinat de aceasta ^ ³n punctele
situate pe axa sa de simetrie.
SOLUT »IE
Se consider¸ a un vector d~ltangent la spira de raz¸ a R(Fig. 5.12).
Unghiul dintre d~l» si~ reste de 900. Vectorul d~Beste perpendicular pe
planul format de d~l» si~ r» si este situat ^ ³n planul figurii.
d~Bse poate descompune ^ ³n dou¸ a componente: d~B1av^ and direct »ia
normalei la planul spirei » si d~B2perpendicular¸ a pe axa de simetrie. ^In
punctul P contribuie doar componenta d~B1deoarece componentele d~B1
la induct »ia total¸ a ~Bcorespunz¸ atoare tuturor elementelor de curent sunt
^ ³n sensul axei de simetrie » si se ^ ³nsumeaz¸ a; componenetele d~B2sunt per-
pendiculare pe aceast¸ a ax¸ a dar av^ and sensuri contrare rezultanta lor este
nul¸ a.
Pentru elementul de curent considerat
dB=¹0I
4¼dlsin (¼=2)
r2(5.91)
dB1=dBcosµ=¹0I
4¼cosµdl
r2(5.92)
Cum:
r=p
R2+x2

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 240
cosµ=Rp
R2+x2
Rezult¸ a:
dB1=¹0I
4¼Rdl
(R2+x2)3=2
Integr^ and peste toate elementele de circuit » si t »in^ and cont c¸ aR
dl=
2¼R, rezult¸ a:
B1=¹0I
2R2
(R2+x2)3=2(5.93)
Dac¸ a xÀRatunci:
B=¹0IR2
2×3=¹0
2¼I¼R2
x3(5.94)
Deoarece m=I¼R2este momentul magnetic dipolar al spirei respec-
tive:
B=¹0
2¼m
x3(5.95)
PROBLEMA 5.24 S¸ a se arate c¸ a un c^ amp magnetostatic uniform
admite potent »ialul vector
~A=1
2³
~B£~ r´
(5.96)
SOLUT »IE
Proiect^ and produsului vectorial pe axele unui triedru cartezian se
obt »ine:
Ax=1
2(Byz¡Bzy)
Ay=1
2(Bzx¡Bxz)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 241
Az=1
2(Bxy¡Byx)
Cum Bx,By,Bzsunt constante rezult¸ a:
³
r £ ~A´
x=@Az
@y¡@Ay
@z=Bx
³
r £ ~A´
y=@Ax
@z¡@Az
@x=By
³
r £ ~A´
z=@Ay
@x¡@Ax
@y=Bz
Atunci:
r £ ~A=~B
PROBLEMA 5.25 Cunosc^ and potent »ialul vector determinat de un
moment magnetic dipolar ~ m
~A(~ r) =¹0
4¼~ m£~ r
r3
s¸ a se calculeze c^ ampul magnetic corespunz¸ ator. Se va considera c¸ a mo-
mentul magnetic ~ meste orientat de-a lungul axei Oz.
SOLUT »IE
Pentru simplificare se consider¸ a c¸ a momentul de dipol magnetic are
direct »ia axei Oz:
~ m=m~ ez (5.97)
~ m£~ r=¡my~ e x+mx~ e y (5.98)
Atunci
Ax=¡¹0my
4¼r3

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 242
Ay=¹0mx
4¼r3
Az= 0
Cum
~B=r £ ~A (5.99)
Bx=³
r £ ~A´
x=@Az
@y¡@Ay
@z
Bx=¡¹0m
4¼@
@z"
x
(x2+y2+z2)3=2#
=¹0m
4¼3xz
r5(5.100)
By=³
r £ ~A´
y=@Ax
@z¡@Az
@x
By=¡¹0m
4¼@
@z"
y
(x2+y2+z2)3=2#
=¹0m
4¼3yz
r5(5.101)
Bz=³
r £ ~A´
z=@Ay
@x¡@Ax
@y=¹0m
4¼3z2¡r2
r5(5.102)
unde r=p
x2+y2+z2. Atunci:
~B=¹0
4¼·3 (mz)~ r
r5¡m~ ez
r3¸
(5.103)
Generaliz^ and:
~B=¹0
4¼·3 (~ m~ r)~ r
r5¡~ m
r3¸
(5.104)
PROBLEMA 5.26 S¸ a se determine c^ ampul magnetic ^ ³n interiorul
unei bobine toroidale. O bobin¸ a toroidal¸ a este un solenoid de lungime
finit¸ a curbat ^ ³n forma unui tor. Se cunosc N(num¸ arul de spire) » si curen-
tul care trece prin bobin¸ a (Fig.5.13).

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 243
Figura 5.13: Bobin¸ a toroidal¸ a; linile de c^ amp sunt cercuri
SOLUT »IE
Liniile c^ ampului magnetic formeaz¸ a cercuri concentrice ^ ³n interiorul
torului. Se aplic¸ a legea lui Ampµ ere pe un contur circular de raz¸ a r.
I
~Bd~l=¹0I (5.105)
unde I=I0N. Se obt »ine:
B2¼r=¹0NI0
Rezult¸ a:
B=¹0
2¼I0N
r(5.106)
PROBLEMA 5.27 S¸ a se determine momentul magnetic al unei
sfere cu raza R^ ³nc¸ arcate cu sarcina quniform distribuit¸ a ^ ³n volum care
se rote» ste cu viteza unghiular¸ a !^ ³n jurul unei axe care trece prin centru.
SOLUT »IE
^In elementul de volum dV=r2sinµdµd'dr sarcina este distribuit¸ a
cu densitatea ½:
dq=½dV (5.107)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 244
unde
½=3q
4¼R3
este densitatea volumic¸ a de sarcin¸ a.
Rezult¸ a:
dq=3q
4¼R3r2sinµdµd'dr (5.108)
Curentul generat ^ ³n rotat »ie de sarcina dqeste
dI=dq
2¼!=3q!
8¼2R3r2sinµdµd'dr (5.109)
iar momentul magnetic asociat:
dm=¡
¼r2sin2µ¢
dI
sau
dm=3q!
8¼R3r4sin3µdµd'dr (5.110)
Momentul magnetic total este
m=3q!
8¼R3ZR
0r4drZ¼
0sin3µdµZ2¼
0d'=q!R2
5
PROBLEMA 5.28 S¸ a se determine momentul magnetic al unei
sfere cu raza R^ ³nc¸ arcate cu sarcina quniform distribuit¸ a pe suprafat »a
ei, care se rote» ste ^ ³n jurul axei proprii cu viteza unghiular¸ a !:
SOLUT »IE
Se t »ine cont c¸ a dac¸ a o sarcin¸ a qse rote» ste ^ ³n jurul unei axe la distant »a
rde aceasta ea este echivalent¸ a cu o bucl¸ a de curent cu intensitatea:
I=q
T=q!
2¼(5.111)
unde != 2¼=Teste viteza unghiular¸ a cu care sarcina se rote» ste pe orbita
circular¸ a.

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 245
Fie o zon¸ a sferic¸ a cu raza r=Rsinµ» si aria dS= 2¼R2sinµdµ
Sarcina superficial¸ a a acesteia este egal¸ a cu
dq=¾dS (5.112)
Deoarece:
¾=q
4¼R2
Rezult¸ a:
dq=q
2sinµdµ (5.113)
Curentul generat de aceast¸ a sarcin¸ a ^ ³n mi» scare este
dI=dq!
2¼=q!
4¼sinµdµ (5.114)
iar momentul magnetic produs:
dm=¡
¼R2sin2µ¢
dI=¼R2sin2µq!
4¼sinµdµ (5.115)
Atunci momentul magnetic total este:
m=qR2!
4Z¼
0sin3µdµ=qR2!
3
PROBLEMA 5.29 S¸ a se determine c^ ampul magnetic ^ ³n interiorul » si ^ ³n
exteriorul unui cilindru de raz¸ a Rprin care circul¸ a un curent de densitate
j, » stiind c¸ a liniile de c^ amp sunt cercuri concentrice ^ ³n plane perpendicu-
lare pe axa cilindrului.
SOLUT »IE
a) Pentru calculul c^ ampului magnetic^ ³n interiorul cilindrului se aplic¸ a
legea lui Ampµ ere pe un contur circular cu centrul pe axa cilindrului aflat
^ ³ntr-un plan perpendicular pe cilindru de raz¸ a r < R .
I
C~Bd~l=¹0Z Z
~jd~S (5.116)

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 246
unde Seste suprafat »a care se spijin¸ a pe conturul C.
Rezult¸ a:
2¼rB =¹0j¼r2
de unde:
B=¹0jr
2(5.117)
b) Pentru calculul c^ ampului magnetic^ ³n exteriorul cilindrului se aplic¸ a
legea lui Ampµ ere pe un contur circular cu centrul pe axa cilindrului cu
razar > R .
Se obt »ine:
2¼rB =¹0j¼R2
de unde:
B=¹0R2j
2r(5.118)
PROBLEMA 5.30 ^Intr-o regiune din spat »iu exist¸ a un c^ amp magnetic
uniform paralel cu axa Oz. M¸ arimea lui variaz¸ a ^ ³n timp astfel:
B=B0sin!t (5.119)
S¸ a se determine c^ ampul electric ^ ³n fiecare punct.
SOLUT »IE
Pentru a calcula c^ ampul electric vom alege un contur circular de raz¸ a
r^ ³ntr-un plan perpendicular pe axa Oz. Se aplic¸ a legea induct »iei elec-
tromagnetice:
I
~Ed~l=¡dÁ
dt(5.120)
unde Áeste fluxul magnetic prin suprafat »a S=¼r2Dar:
I
~E d~l= 2¼rE

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 247
» si
© =BS=¼r2B0sin!t
Atunci relat »ia 5.120 devine:
2¼rE =¡¼r2B0!cos!t (5.121)
De aici rezult¸ a valoarea c^ ampului electric:
E=¡1
2rB0!cos!t
PROBLEMA 5.31 Un condensator plan cu pl¸ acile circulare de raz¸ a R
paralele este conectat la un generator de curent alternativ astfel ^ ³nc^ at pe
pl¸ aci sarcina care se acumuleaz¸ a variaz¸ a ^ ³n timp dup¸ a legea:
q=q0sin!t
Liniile c^ ampului electric sunt cercuri concentrice av^ and ca ax¸ a de
simetrie axa cilindrului. Se cere c^ ampul electric ^ ³n punctele situate la
distant »a rde axa condensatorului c^ and
a)r·R
b)r > R
SOLUT »IE
Se consider¸ a un contur circular cu centrul pe axa cilindrului ^ ³ntr-un
plan paralel cu pl¸ acile condensatorului. Aplic^ and legea lui Ampµ ere se
obt »ine:
Z
C~Bd~l=¹0"0Z Z
S@~E
@td~S (5.122)
a) Dac¸ a r < R rezult¸ a:
B=1
2¹0"0rdE
dt(5.123)
Deoarece
E=q
"0A=q0
"0Asin!t

CAPITOLUL 5. C ^AMPUL ELECTROMAGNETIC 248
unde A=¼R2este aria arm¸ aturilor condensatorului, atunci:
dE
dt=q0
"0A!cos!t (5.124)
Atunci relat »ia 5.123 devine:
B=¹0!rq 0
2¼R2cos!t (5.125)
a) Dac¸ a r > R din relat »ia 5.122 se obt »ine:
B=¹0"0R2
2rdE
dt(5.126)
Astfel t »in^ and cont de relat »ia 5.124 rezult¸ a:
B=¹0q0!cos!t
2¼r(5.127)