Șaguna Tournament of Young [600462]

Șaguna Tournament of Young
Mathematicians
Etapa 2

PROBLEMA 1

Echipa NOI ȘTYM v 2.0

Membri :
Andrei Stan
Cristian Olaru
George Dumitrescu

Abstract

Prin acest material , am prezentat solu ții sau metode de
demonstrare a unor teoreme sau propriet ăți prin diferite
metode : cu ajutorul geometriei clasice , folosind metoda
vectorial ă sau prezentând în plan complex .
De asemenea , pentru a oferi un material complet di n
toate punctele de vedere , prezent ăm câteva propriet ăți ale
patrulaterelor inscriptibile , urmate de demonstra ția riguroas ă
a acestora .
Dorim s ă preciz ăm c ă solu țiile pe care le-am prezentat în
material nu necesit ă cuno știn țe
superioare sau un aparat matematic avansat . În ca zul în
care sunt anumite no țiuni necunoscute , acestea vor ap ărea în
sec țiunea : ,,No țiuni Introductive ’’ .

Cuprins
SECȚIUNEA 1 ………………………………… …………………………………………… ………………………………………….. 4
SECȚIUNEA 2 (PROBLEMA 1A) ……………………. …………………………………………… ………………………………. 5
SECȚIUNEA 3 (PROBLEMA 1B) ……………………. …………………………………………… ………………………………. 8
SECȚIUNEA 4 (PROBLEMA 2A) ……………………. …………………………………………… …………………………….. 10
SECȚIUNEA 5 (PROBLEMA 2C) ……………………. …………………………………………… …………………………….. 11
SECȚIUNEA 6 (PROBLEMA 3A) …………………… …………………………………………… …………………………….. 13
SECȚIUNEA 7 (PROBLEMA 3B) ……………………. …………………………………………… …………………………….. 14
SECȚIUNEA 8 (PROBLEMA 3C) ……………………. …………………………………………… …………………………….. 16
SECȚIUNEA 9 (PROBLEMA 3D) ……………………. …………………………………………… …………………………….. 17
SECȚIUNEA 10 (GENERALIZARI PROPUSE) …………… …………………………………………… ……………………… 18

SECȚIUNEA 1

NO ȚIUNI INTRODUCTIVE
În acest capitol , vom prezenta și aminti câteva no țiuni pe care le-am aplicat pe
parcursul materialului:
Nota ție pentru tot materialul: prin Mz în țelegem afixul punctului M din plan în raport
cu originea acestui sistem (cartezian).
Bimedian ă a unui patrulater = Segment ce une ște mijloacele a 2 laturi opuse sau
mijloacele diagonalelor patrulaterului ;
Teorema Cosinusului :
Într-un triunghi ABC , oarecare , putem afla lungimea unei laturi știind lungimile
celorlalte 2 laturi si cosinusul dintre acestea , d up ă urm ătoarea rela ție :
2 2 22 * *cos( ) AB AC BAC BC AC AB = + − ∡
Rela ția lui Sylvester:
Într-un triunghi ABC oarecare, O centrul cercului circumscris, iar H ortocentru,
avem urm ătoarea rela ție vectorial ă (vectorul de pozi ție al ortocentrului unui triunghi):
OH OA OB OC = + +    

Aceast ă rela ție se poate scrie și cu numere complexe, considerând c ă originea
sistemului de coordonate este centrul cercului circ umscris:
H A B C z z z z = + +
Vectorul de pozi ție al centrului de greutate al unui triunghi:
Considerând triunghiul oarecare ABC , G centrul s ău de greutate și punctul O
arbitrar fixat, are loc rela ția:
3OG OA OB OB = + +    

Aceast ă rela ție se poate scrie și cu numere complexe, considerând polul O originea
sistemului de coordonate (cartezian):
3G A B C z z z z = + +
Condi ția de concuren ță a 3 sau mai multe segmente:
Pentru a proba concuren ța unor segmente [][][]1 1 2 2 3 3 , , , AB A B AB … ar ătăm c ăun
punct (de concuren ță ) le împarte în acela și raport, adic ă vectorul lui de pozi ție are aceea și
exprimare:

3 3 1 1 2 2
1 1 1 A B A B A B r kr r kr r kr
k k k + + + = = = + + +      

SECȚIUNEA 2 ( PROBLEMA 1A

În aceast ă sec țiune vom ar
într-un punct care se nume ște centrul de greutate al
că punctul lor de intersec ție este la mijlocul celor 3 bimediane.
Metoda 1
În aceast ă metod ă vom folosi cuno
referitoare la linia mijlocie într
Fie patrulaterul convex
[ ],[ ],[ ],[ ] AB BC CD DA . Fie E F
În triunghiul ABC , M
mijlocie în triunghiul ABC MN AC ⇒
În triunghiul ADC , P
mijlocie în triunghiul ADC PQ AC ⇒
Din rela țiile (1) și (2) prin tranzitivitate
3 3 … 1 1 1 A B r kr = = =  

PROBLEMA 1A )
țiune vom ar ăta ca bimedianele unui patrulater convex sunt concu rente
ște centrul de greutate al patrulaterului . Mai mult,
ție este la mijlocul celor 3 bimediane.
ă vom folosi cuno știn țe de geometrie din clasele de gimnaziu
referitoare la linia mijlocie într -un triunghi și la propriet ățile unui paralelogram.
Fie patrulaterul convex ABCD și fie , , , M N P Q mijloacele laturilor sale
,E F mijloacele diagonalelor [ ] [ ],AC BD .
M – mijlocul lui AB , N – mijlocul lui BC MN ⇒
ABC MN AC ⇒. (1)
P – mijlocul lui CD , Q – mijlocul lui AD PQ ⇒
ADC PQ AC ⇒. (2)
și (2) prin tranzitivitate MN PQ ⇒. (3)
ta ca bimedianele unui patrulater convex sunt concu rente
. Mai mult, vom demonstra

e de geometrie din clasele de gimnaziu
ile unui paralelogram.
mijloacele laturilor sale
BC MN ⇒ este linie
AD PQ ⇒ este linie

În triunghiul BCD , P – mijlocul lui CD , N – mijlocul lui BC PN ⇒ este linie
mijlocie în triunghiul BCD PN BD ⇒. (4)
În triunghiul ABC , M – mijlocul lui AB , Q – mijlocul lui AD MQ ⇒ este linie
mijlocie în triunghiul ABD MQ BD ⇒. (5)
Din rela țiile (4) și (5) prin tranzitivitate MQ PN ⇒. (6)
Din rela țiile (3) și (6) MNPQ ⇒ este paralelogram, și cum diagonalele unui
paralelogram se înjum ătățesc, rezult ă c ă și bimedianele MP și PQ ale patrulaterului ABCD
se înjum ătățesc; fie O punctul lor de intersec ție.
Vom demonstra c ă O este și mijlocul bimedianei EF .
Avem E – mijlocul lui AC , M – mijlocul lui AB EM ⇒ este linie mijlocie în
triunghiul ABC EM BC ⇒ (7)
Avem F – mijlocul lui BD , P – mijlocul lui CD PF ⇒ este linie mijlocie în
triunghiul BCD PF BC ⇒ (8)
Din (7) și (8), prin tranzitivitate EM PF ⇒ (9)
Avem E – mijlocul lui AC , P – mijlocul lui CD EP ⇒ este linie mijlocie în
triunghiul ACD EP AD ⇒ (10)
Avem F – mijlocul lui BD , M – mijlocul lui AB FM ⇒ este linie mijlocie în
triunghiul ABD FM AD ⇒ (11)
Din (10) și (11), prin tranzitivitate EP FM ⇒ (12)
Din (9) și (12) EMFP ⇒ – paralelogram, și cum diagonalele unui paralelogram se
înjum ătățesc, rezult ă c ă și bimedianele EF și MP au acela și mijloc O, de unde rezult ă c ă
toate bimedianele sunt concurente și au acela și mijloc.

Metoda 2
În aceast ă metod ă vom folosi cuno știn țe elementare despre vectori.
Fie patrulaterul convex ABCD și fie , , , M N P Q mijloacele laturilor sale
[ ],[ ],[ ],[ ] AB BC CD DA . Fie ,E F mijloacele diagonalelor [][],AC BD .
Fie un pol oarecare O din plan. Atunci avem rela țiile: 1( ) 2OM OA OB = +   
,
1( ) 2ON OB OC = +   
, 1( ) 2OP OC OD = +   
și 1( ) 2OQ OD OA = +   
. Adunând convenabil prima
rela ție cu a treia și a doua rela ție cu a patra ob ținem 1( ) 2OM OP OA OB OC OD + = + + +      
,
respectiv 1( ) 2ON OQ OA OB OC OD + = + + +      
, deci prin tranzitivitate se ob ține

OM OP ON OQ + = +    
sau 1 1 ( ) ( ) 2 2 OM OP ON OQ + = +    
adic ă segmentele MP și NQ au
acela și mijloc (fie acest mijloc O).
Ar ătăm c ă și mijlocul lui EF este O.
Avem rela țiile 1( ) 2OE OA OC = +   
și 1( ) 2OF OB OD = +   
, deci
1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 OE OF OA OC OB OD OA OB OC OD OM OP + = + + + = + + + = +            
; împ ărțind la 2
rela ția, ob ținem c ă mijlocul segmentelor EF și MP este acela și, prin urmare toate
bimedianele sunt concurente și se înjum ătățesc.

Metoda 3
În aceast ă metod ă vom folosi cuno știn țe de numere complexe aplicate în geometrie.
Fie patrulaterul convex ABCD și fie , , , M N P Q mijloacele laturilor sale
[ ],[ ],[ ],[ ] AB BC CD DA . Fie ,E F mijloacele diagonalelor [][],AC BD .
Consider ăm sistemul cartezian xOy .
Not ăm cu Oz afixul unui punct O oarecare din plan (este nota ție general ă pe care o
folosim).
Folosind proprietatea afixului mijlocului unui segm ent, avem rela țiile 2A B
Mz z z+= ,
2B C
Nz z z+= , 2C D
Pz z z+= și 2D A
Qz z z+= . Adunând convenabil prima rela ție cu a treia și a
doua rela ție cu a patra ob ținem 2A B C D
M P z z z z z z + + + + = , respectiv
2A B C D
N Q z z z z z z + + + + = , deci prin tranzitivitate se ob ține
1 1 ( ) ( ) 2 2 M P N Q M P N Q z z z z z z z z + = + ⇔ + = + adic ă segmentele MP și NQ au acela și mijloc
(consider ăm acest punct O ).
Ar ătăm c ă și mijlocul lui EF este O.
Avem rela țiile 2A C
Ez z z+= , 2B D
Fz z z+= , deci 2A B C D
E F M P z z z z z z z z + + + + = = + ;
împ ărțind la 2 rela ția, ob ținem c ă mijlocul segmentelor EF și MP este acela și, adic ă toate
bimedianele sunt concurente și se înjum ătățesc.

SECȚIUNEA 3 (PROBLEMA 1B)

În aceast ă sec țiune vom ar
prin 2 metode folosind mai întâi vectori, apoi plan ul complex. A
problemei, aceste drepte sunt determinate de un vâr f
al triunghiului determinat de celelalte 3 vârfuri a le patrulaterului.

Metoda 1
În aceast ă metod ă, demonstra
centrului de greutate al unui triunghi. Consider
avem rela țiile: 3AOG OB OC OD = + +    
3DOG OA OB OC = + +    
.
Consider ăm punctul G
Vom ar ăta c ă punctul G
acest punct le împarte în acela ș
aceea și exprimare.
Avem rela țiile evidente ob
3AOG OA OA OB OC OD + = + + +      
3AOG OA OA OB OC OD + = + + +      
SECȚIUNEA 3 (PROBLEMA 1B)
țiune vom ar ăta concuren ța a 4 drepte într -un patrulater convex oarecare
prin 2 metode folosind mai întâi vectori, apoi plan ul complex. A șa cum specific
problemei, aceste drepte sunt determinate de un vâr f al patrulaterului și de centrul de greutate
al triunghiului determinat de celelalte 3 vârfuri a le patrulaterului.
ă, demonstra ția este f ăcut ă vectorial, folosind vectorul de pozi
centrului de greutate al unui triunghi. Consider ăm punctul O arbitrar în plan fixat. Atunci
OG OB OC OD = + +    
, 3BOG OA OC OD = + +    
, 3COG OA OB OD = + +    
G din plan cu proprietatea c ă 4OG OA OB OC OD = + + +     
G este punctul de concuren ță al celor 4 drepte demonstrând c
acest punct le împarte în acela și raport, adic ă vectorul lui de pozi ție fa ță de polul
iile evidente ob ținute din cele de mai sus:
OG OA OA OB OC OD + = + + +      

OG OA OA OB OC OD + = + + +      

un patrulater convex oarecare
șa cum specific ă enun țul
și de centrul de greutate

vectorial, folosind vectorul de pozi ție al
arbitrar în plan fixat. Atunci
OG OA OB OD = + +    
și
OG OA OB OC OD = + + +     
.
al celor 4 drepte demonstrând c ă
ț ță de polul O are

3AOG OA OA OB OC OD + = + + +      

3AOG OA OA OB OC OD + = + + +      

De aici, rezult ă c ă:
3 3 3 3 4 A B C D OG OA OG OB OG OC OG OD OG + = + = + = + =          
. Din acestea, se poate scrie
vectorul de pozi ție al punctului G în 4 moduri:
[] 4 3 A A OG OG OA G AG = + ⇒∈  

[] 4 3 B B OG OG OB G BG = + ⇒∈  

[] 4 3 C C OG OG OC G CG = + ⇒∈  

[] 4 3 D D OG OG OD G DG = + ⇒∈  
, adic ă G este punct de concuren ță al celor patru
segmente, împ ărțindu-le pe acestea în raportul 3
1.

Metoda 2
În aceast ă metod ă, demonstra ția este f ăcut ă cu ajutorul numerelor complexe, folosind
scrierea afixului centrului de greutate al unui tri unghi. Consider ăm sistemul de coordonate
xOy , cu originea în O , corespunz ător planului numerelor complexe .
3
AB C D Gz z z z = + +
3
BA C D Gz z z z = + +
3
CA B D Gz z z z = + +
3
DA C B Gz z z z = + +
Vom proceda precum în metoda anterioar ă : consider ăm punctul G din plan cu
proprietatea c ă 4G A B C D z z z z z = + + + .
Din nou , vom ar ăta c ă punctul G este punctul de concuren ță al celor 4 drepte
demonstrând c ă acest punct le împarte în acela și raport, adic ă vectorul lui de pozi ție fa ță de
polul O are aceea și exprimare.
Avem rela țiile :
3
AA A B C D Gz z z z z z + = + + +
3
BB A B C D Gz z z z z z + = + + +

3
CC A B C D Gz z z z z z + = + + +
3
DD A B C D Gz z z z z z + = + + +
De aici, rezult ă c ă:3 3 3 3 4
A B C D A B C D G G G G G z z z z z z z z z + = + = + = + = . Din acestea, se
poate scrie afixul punctului G în 4 moduri:
[] 4 3
AA G A G AG Gz z z = + ⇒∈
[] 4 3
BB G B G BG Gz z z = + ⇒∈
[] 4 3
CC G C G CG Gz z z = + ⇒∈
[] 4 3
DD G D G DG Gz z z = + ⇒∈, adic ă G este punct de concuren ță al celor patru segmente,
împ ărțindu-le pe acestea în raportul 3
1.

SECȚIUNEA 4 (PROBLEMA 2A)

Inegalitatea lui Ptolemeu

În patrulaterul convex ABCD are loc inegalitatea * * * AC BD AB CD AD BC ≤ + .
Egalitatea are loc ⇔ patrulaterul este inscriptibil .
Demonstra ție : Construim triunghiul ADE asemenea cu triunghiu l ABC ,
ABC ADE ≡∡ ∡ și BAC DAE ≡∡ ∡ .

Din asem ănarea triunghiurilor avem c
AD AB
AE AC = . Ținând seama de ultima rela
⇒ EAC DAB Δ Δ ∼ , deci AC EC
AB DB
În triunghiul EDC , care poate fi
DE ⇒ * * AC DB BC AD
AB AB ≤ +
Egalitatea are loc , evident , dac ă
adic ă ABCD – inscriptibil . Egalitatea mai poart

SECȚIUNEA 5 ( PROBLEMA 2C)

Formula lui Arhimede

Aria ABCD A a unui patrulater convex
( )( )( )( ) *cos ( ) ABCD p a p b p c p d abcd A= − − − − −
Unde :
narea triunghiurilor avem c ă : AD DE AE
AB BC AC = = , de unde DE =
inând seama de ultima rela ție și de faptul c ă EAC DAB ≡∡ ∡
AC EC
AB DB = , de unde *DB AC EC AB = .
În triunghiul EDC , care poate fi și degenerat , avem c ă EC ED DC ≤ + , ș
DC ≤ + . Înmul țim rela ția cu AB și rezult ă rela ția din enun
Egalitatea are loc , evident , dac ă triunghiul ECD este degenerat , adic ă EC=0 , deci E=C ,
inscriptibil . Egalitatea mai poart ă numele de prima teorem ă
PROBLEMA 2C)
Formula lui Arhimede
a unui patrulater convex ABCD este :
2( )( )( )( ) *cos ( ) 2A C p a p b p c p d abcd += − − − − −

*BC AD
AB = și
EAC DAB ⇒
și înlocuind EC și
ția din enun ț .
ă EC=0 , deci E=C ,
prima teorem ă a lui Ptolemeu .
( )( )( )( ) *cos ( ) A C +

, , , a b c d sunt lungimile laturilor patrulaterului ABCD
p− semiperimetrul patrulaterului ( 2a b c d p+ + + = )
Demonstra ție :
Avem : ABCD ABC ADC A A A = + și *sin ABC ab B A= , *sinD DAC cd A= rezult ă c ă :
2* *sin *sin ABCD A ab B cd D = + . Ridicând la p ătrat aceast ă rela ție ⇒
2 2 2 2 2 2 2 4* *sin *sin 2* *sin *sinD ABCD B D abcd B ab c d A= + + . Înmul țim rela ția cu 4 :
2 2 2 2 2 2 2 16* 4 *sin 4 *sin 8* *sin *sinD ABCD B D abcd B ab c d A= + + (3)
Totodat ă , aplicând teorema cosinusurilor în triunghiurile ABC și ADC , avem :
2 2 2 2 *cosB ab AC a b = + − (1)
Și
2 2 2 2 *cosD cd AC c d = + − (2)
Din (1) și (2) ⇒ 2 2 2 2 2 *cosB 2 *cosD ab cd a b c d + − = + − ⇒
⇒ 2 2 2 2 2 cos 2 cos ab B cd D a b c d + − − = − . Ridicând la p ătrat aceast ă rela ție ⇒
⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 cos 4 cos 8 cosB*cosD B D abcd a b c d ab c d + − − = + −
Adunând rela ția (3) cu ultima rela ție ob ținut ă ⇒
⇒
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 216 * ( ) 4 * (sin cos ) 4 * (sin cos ) 8* * (sin *sinD cos a b c d a b c d A B B D D abcd B B D ABCD + + − − = + + + + −
⇒ 22 2 2 2 2 2 2 2 216 * ( ) 4 4 8* * cos(B D) a b c d a b c d A abcd ABCD + + − − = + − + ⇒
⇒ 22 2 2 2 2 2 2 2 216 * (4 4 8 ) ( ) 8* * (1 cos(B D)) a b c d a b c d A abcd abcd ABCD = + + − + − − − + +
⇒ 2 2 2 2 2 2 216 * (2 2 ) ( ) 16 * * cos( ) 2B D a b c d A ab cd abcd ABCD +
= + − + − − − ⇒
⇒
2 2 2 2 2 2 2 2 216 * (2 2 )(2 2 ) 16 * cos( ) 2B D a b c d a b c d A ab cd ab cd abcd ABCD +
= + − − + + + + + − − −
⇒ 2 2 2 2 2( ) 16 * ( ( ) )( ( ) ) 16 * cos( ) ( ) 2B D a b A a b c d abcd ABCD c d ++ = − − − − − +
Ținând seama de faptul c ă : 2*p a b c d = + + + , din ultima rela ție rezult ă rela ția din enun ț .

SECȚIUNEA 6 (PROBLEMA 3A)

Ideea de rezolvare este de a ar ăta c ă punctul de intersec ție apar ține tuturor dreptelor. Fie O
centrul cercului circumscris patrulaterului. Vom sc rie vectorii de pozi ție ai punctelor raporta ți la O.
Din rela ția lui Sylvester, avem
AH B C D r r r r = + +    
,
BH A C D r r r r = + +    
,
CH A B D r r r r = + +    
,
DH A B C r r r r = + +    
.
Consider ăm punctul Hdefinit de vectul de pozi ție ( )1
2H A B C D r r r r r = + + +     
. Vom ar ăta c ă
Hapar ține segmentelor [][][][] , , , A B C D AH BH CH DH , ceea ce înseamn ă c ă el este punctual lor de
intersec ție.
Avem egalit ățile evidente:
32
A B C D H A B H H H H D H r r r r r r r r r + = + = + = + =         
. De aici, [ ]1 1 AA H
H A r r r H AH +=⇒∈+ 
,
[ ]2BB H
H B r r r H BH +=⇒∈ 
, [ ]2C C H
H C r r r H CH +=⇒∈ 
, [ ]2D D H
H D r r r H DH +=⇒∈ 
.
Chiar mai mult, Heste mijlocul acestor segmente. Deci, dreptele sunt concurente.

Transpunând în plan complex , rezolvarea acestui su bpunct este similar ă :
Consider ăm sistemul de coordonate carteziene xOy cu originea în O
Din rela ția lui Sylvester, avem
AB C D Hz z z z = + + ,
BA C D Hz z z z = + + ,
CA B D Hz z z z = + + ,
DA B C Hz z z z = + + .
Consider ăm punctul H, definit astfel : ( )1
2H A B C D z z z z z = + + + . Vom ar ăta c ă H
apar ține segmentelor [][][][] , , , A B C D AH BH CH DH , ceea ce înseamn ă c ă el este punctul lor de
intersec ție.
Avem egalit ățile:
2
A B C D A B C D H H H H H z z z z z z z z z + = + = + = + = . De aici,
[ ]1 1 AA
A HHH AH z z z+
= ⇒∈+, [ ]1 1 BB
B HHH BH z z z+
= ⇒∈+,
[ ]1 1 CC
C HHH CH z z z+
= ⇒∈+, [ ]1 1 DD
D HHH DH z z z+
= ⇒∈+.
Ob ținem c ă Heste mijlocul acestor segmente. Deci, dreptele sunt concurente.

SECȚIUNEA 7 (PROBLEMA 3B)

Pentru a ar ăta c ă ABCD este dreptunghi, vom folosi 2 tehnici diferite, un a bazat ă pe
geometrie clasic ă de clasa a VII-a, cealalt ă bazat ă pe rela ții între vectori de pozi ție ai
ortocentrelor triunghiurilor și al centrului de greutate al patrulaterului.

Metoda 1
Ideea de rezolvare este de a ar ăta c ă ABCD este paralelogram, iar din faptul c ă este
inscriptibil se va deduce u șor c ă este și dreptunghi.
Consider ăm O centrul cercului circumscris patrulaterului, deci O este centrul de
greutate al patrulaterului OA OB OC OD ⇒= = = ;
Am demonstrat în sec țiunea 1 a) a acestui document c ă centrul de greutate al unui
patrulater convex se afl ă la intersec ția bimedianelor și se afl ă chiar în mijlocul lor.
Fie , , , E F G H – mijloacele laturilor [][][][] {} , , , AB BC CD DA EG FH O ⇒∩ = și
O – mijlocul lui EG respectiv FH .
Avem OA OB OAB =⇒ – triunghi isoscel; dar OE – median ă ⇒ OE – în ălțime
OE AB ⇒⊥ . (1)
Analog, OC OD ODC =⇒ – triunghi isoscel; dar OG – median ă ⇒ OG – în ălțime
OG CD ⇒⊥ . (2)
Dar E O G − − sunt coliniare; (3)
Din ultimele 3 afirma ții (1), (2) și (3) rezult ă c ă AB CD , deoarece aceea și dreapt ă
este perpendicular ă pe cele 2 drepte.
Avem OB OC OBC =⇒ – triunghi isoscel; dar OF – median ă ⇒ OF – în ălțime
OF BC ⇒⊥ . (4)
Analog, OD OA OAD =⇒ – triunghi isoscel; dar OH – median ă ⇒ OH – în ălțime
OH DA ⇒⊥ . (5)
Dar F O H − − sunt coliniare; (6)
Din ultimele 3 afirma ții (4), (5) și (6) rezult ă c ă BC DA , deoarece aceea și dreapt ă
este perpendicular ă pe cele 2 drepte.
Avem ,AB CD BC DA ABCD ⇒  – paralelogram A C ⇒≡∡ ∡ . Dar ABCD –
inscriptibil, deci ( ) ( ) 180 , m A m C A C + = ° ⇒ ∡ ∡ ∡ ∡ – unghiuri drepte, de unde rezult ă c ă
patrulaterul este dreptunghi.

Metoda 2
Ideea de rezolvare este de a ar ăta c ă triunghiurile ABD și BDC sunt dreptunghice,
urmând apoi s ă deducem c ă ABCD este dreptunghi.
Consider ăm O centrul cercului circumscris patrulaterului, deci O este centrul de
greutate al patrulaterului ( ) O Int ABCD ⇒∈ .
Dac ă consider ăm ,E F mijloacele lui ,AB respectiv CD , avem c ă
1 1 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 OE OF OA OB OC OD OA OB OC OD = + ⇔ = + + + ⇔ + + + =              
.
Fie AH – ortocentrul triunghiului BCD și CH – ortocentrul triunghiului ABD . Din
rela ția lui Sylvester, avem c ă AOH OB OC OD OA = + + =−     
,
respectiv COH OA OB OD OC = + + =−     
, adic ă punctele , , AA O H respectiv , , CC O H sunt
diametral opuse pe cercul circumscris patrulaterulu i. Observ ăm c ă ortocentrele se afl ă pe
cercul circumscris triunghiurilor. Pentru ortocentr e, în func ție de tipul triunghiului, avem
urm ătoarele pozi ții relative: dac ă triunghiul este ascu țitunghic, atunci ortocentrul se afl ă în
interiorul triunghiului; dac ă triunghiul este dreptunghic, ortocentrul este in v ârful drept al
triunghiului; dac ă triunghiul este obtuzunghic, ortocentrul se afl ă în exteriorul triunghiului.
Avem ( ) ( ) 180 m A m C + = ° ∡ ∡ deoarece patrulaterul este inscriptibil.
Distingem 2 cazuri: cele 2 unghiuri sunt ambele dre pte sau unul este obtuz, cel ălalt
ascu țit.
Cazul 1 : un unghi este obtuz, cel ălalt ascu țit; din simetrie, putem considera c ă A∡
este obtuz, C∡ este ascu țit. Deci AH și CH nu coincid cu niciun punct care este vârf al
patrulaterului, având astfel ambele ortocentre în e xterioarele triunghiurilor.
Rezult ă c ă triunghiul ABD este obtuzunghic, deci ( ) O Int ABD ∉ . Dar
( ) ( ) O Int ABCD O Int BCD ∈ ⇒∈ adic ă triunghiul BCD este ascu țitunghic, având centrul
cercului circumscris în interiorul s ău, deci are ortocentrul tot în interiorul s ău. Dar ortocentrul
triunghiului BCD se afl ă pe cercul circumscris acestui triunghi, deci în ex teriorul s ău de unde
rezult ă contradic ție.
Cazul 2: cele 2 unghiuri sunt drepte.
Așadar, triunghiurile BCD și ABD sunt dreptunghice, de unde rezult ă c ă AH C = și
CH A OA OC OB OD = ⇔ =− ⇔ =−    
, adic ă rezult ă din faptul c ă , , A O C se afl ă pe acela și
diametru c ă și , , B O D se afl ă pe acela și diametru. Mai mult, O este și mijlocul diagonalelor
patrulaterului, de unde rezult ă c ă ABCD este paralelogram. Având cel pu țin un unghi drept,
rezult ă c ă ABCD este și dreptunghi, adic ă ceea ce trebuia demonstrat.

SECȚIUNEA 8 (PROBLEMA 3C)

Ideea de rezolvare este s ă ar ătăm prin 2 metode, una vectorial ă și cealalt ă prin
intermediul numerelor complexe, c ă ABCD este paralelogram; deoarece ABCD este
inscriptibil, va rezulta c ă 2 unghiuri opuse vor fi suplementare și cum ele sunt și congruente
din faptul c ă ABCD este paralelogram, va rezulta c ă unghiurile patrulaterului sunt unghiuri
drepte, adic ă patrulaterul este dreptunghi.
( 180 , ( ) ( ) 90 A C A C m A m C + = ° ≡ ⇒ = = ° ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡ analog și pentru celelalte 2 unghiuri)
Așadar, problema se reduce la demonstra ția faptului c ă ABCD este paralelogram.

Metoda 1
Aceast ă metod ă este o metod ă de demonstra ție vectorial ă. Consider ăm O – centrul
cercului circumscris patrulaterului ABCD . Implicit avem c ă O este centrul cercului
circumscris triunghiurilor , , , ABC ACD BCD ABD din faptul c ă punctele , , , A B C D sunt
conciclice. A șadar, putem scrie vectorii de pozi ție ai ortocentrelor raportat la polul O . Din
rela ția lui Sylvester avem:
AOH OB OC OD = + +    

BOH OA OC OD = + +    

COH OA OB OD = + +    

DOH OA OB OC = + +    

M – mijlocul lui [ ]1( ) 2AC OM OA OC ⇒= +   

N – mijlocul lui [ ]1( ) 2BD ON OB OD ⇒= +   

Scriind vectorul de pozi ție al centrului de greutate pentru cele 2 triunghiu ri se ob ține:
3A C OG OM OH OH = + +    
și 3B D OG ON OH OH = + +    
. Egalând, se ob ține
A C B D OM OH OH ON OH OH + + = + +      
și înlocuind în rela țiile de mai sus, se ob ține:
1 1 ( ) ( ) 2 2 OA OC OB OC OD OA OB OD OB OD OA OC OD OA OB OC + + + + + + + = + + + + + + +                
Reducând și grupând convenabil termenii, ob ținem
1 1 ( ) ( ) 2 2 OB OD OA OC OB OD OA OC OA OB OD OC BA CD ABCD + = + ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ = ⇔              
este paralelogram, adic ă ceea ce trebuia demonstrat.

Metoda 2
Aceast ă metod ă este metod ă de demonstra ție în planul complex.
Consider ăm sistemul de coordonate carteziene xOy cu originea în O.
O – centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD . Implicit avem c ă O este
centrul cercului circumscris triunghiurilor , , , ABC ACD BCD ABD din faptul c ă punctele
, , , A B C D sunt conciclice. A șadar, putem scrie vectorii de pozi ție ai ortocentrelor raportat la
polul O. Din rela ția lui Sylvester, avem:
AB C D Hz z z z = + +
BA C D Hz z z z = + +

CA B D Hz z z z = + +
DA B C Hz z z z = + + .
De asemenea:
M – mijlocul lui [ ]1( ) 2M A C AC z z z ⇒= +
N – mijlocul lui [ ]1( ) 2N B D BD z z z ⇒= +
Scriind vectorul de pozi ție al centrului de greutate pentru cele 2 triunghiu ri se ob ține:
3
A C G M H H z z z z = + + și 3
B D G N H H z z z z = + + . Egalând, se ob ține
3
A C A C G M H H M H H z z z z z z z = + + = + + și înlocuind în rela țiile de mai sus, se ob ține:
1 1 ( ) ( ) 2 2 A C B C D A B D B D A C D A B C z z z z z z z z z z z z z z z z + + + + + + + = + + + + + + + Reducând și
grupând convenabil termenii, ob ținem
1 1 ( ) ( ) 2 2 B D A C B D A C z z z z z z z z ABCD + = + ⇔ + = + ⇔ este paralelogram, adic ă ceea ce
trebuia demonstrat.

SECȚIUNEA 9 (PROBLEMA 3D)

METODA 1 (VECTORIAL)

Oeste centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD , atunci din rela ția lui
Sylvester AOH OB OC OD = + +    
,
() B A B B A OH OA OC OD H H OH OH OB OA AB = + + ⇒ = − =− − =−           
și analog se deduc și
celelalte: C D H H CD =−  
, B C A B C D H H BC ABCD H H H H =− ⇒ ≡ 

METODA 2 (NUMERE COMPLEXE)

Consider ăm sistemul de coordonate carteziene xOy cu originea în O.
Oeste centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD , atunci
AH B C D z z z z = + + ,
()
B B A A C D B A H H H z z z z z z z z = + + ⇒− =− − și ( )
D C D C H H z z z z − =− − ,
( )
C B A B C D B C ABCD H H H H H H z z z z − =− − ⇒ ≡

SECȚIUNEA 10 (GENERALIZARI PROPUSE)

Vom prezenta , în continuare , cea de- a 2-a teorem ă a lui Ptolemeu :
În patrulaterul inscriptibil ABCD , avem urm ătoarea egalitate :
* *
* * AC AB AD CB CD
BD BA BC DA DC +=+ .
Demonstra ție :
Not ăm {} AC BD M ∩ =

Din asem ănarea triunghiurilor ABM
* *DC MA MD
AB AD DA = și * * MB MC
BA BC CD CB
Analog , din asem ănarea triunghiurilor ADM
Deci * * * * MA MB MC MD
AB AD BA BC CD CB DA DC = = =
⇒* *CB * * MA MC MB MD
AB AD CD BA BC DA DC + + =+ +

Lungimile diagonalelor într
Fie patrulaterul inscriptibil ABCD . S
2( )( ) ac bd ab cd ead bc + + =+ , și f
Nota țiile sunt: , , , , , a AB b BC c CD d DA e BD f AC = = = = = =
Demonstra ție :
narea triunghiurilor ABM și DCM avem MB MA AB
MC MD DC = =
* * MB MC
BA BC CD CB = .
narea triunghiurilor ADM și BCM , avem : * * MA MB
AD AB BC BA =
* * * * MA MB MC MD
AB AD BA BC CD CB DA DC = = = . Folosind propor ții derivate
* *CB * * MA MC MB MD
AB AD CD BA BC DA DC + +
+ + , de unde rezult ă rela ția din cerin
Lungimile diagonalelor într -un patrulater inscriptibil
Fie patrulaterul inscriptibil ABCD . S ă se arate c ă :
2( )(ad bc) ac bd
ab cd f+ + =+
, , , , , a AB b BC c CD d DA e BD f AC = = = = = =

MB MA AB
MC MD DC , de unde
* * MA MB
AD AB BC BA =
ții derivate ⇒
ția din cerin ță .
inscriptibil

În triunghiurile ABC , respectiv ACD , avem 2 2 2
cos 2Bab fa b + −
= , respectiv
2 2 2
cosD cos( ) cos 2B B cd fc d π+ −
= = − =− . De aici , rezult ă c ă :
2 2 2 2 2 2
2 2 ab cd f f a b c d + − + −
=− ⇒
⇒ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) cd ab f f a b c d + − =− + − ⇒ 2( ) ( ) ( ) ab cd ac ad bc bd ad bc f+ = + + +
⇒ 2( )( ) ad bc ac bd
ab cd f+ + =+ .
Analog se calculeaz ă și 2e sco țând cos A și cos C din triunghiurile CBD și ABD

Teorema lui Brahmagupta

Fie triunghiul ABC , înal țimea ', 'AA A BC ∈și Rraza cercului circumscris triunghiului ABC
. Atrunci 2 ' AB AC R AA ⋅ = ⋅

Demonstra ție: În cercul circumscris triunghiului
Din asemanarea triunghiurilor
ob ținem identitatea din enun ț.

Proiec țiile unui punct pe cercul circumscris unui triunghi pe laturile acestiua sunt trei
puncte coliniare .
În cercul circumscris triunghiului ABC , fie 1Apunctul diametral opus lui
Din asemanarea triunghiurilor 'ABA și 1AAC avem
1' AB AA
AA AC = și ținând cont c

Teorema lui Simson
iile unui punct pe cercul circumscris unui triunghi pe laturile acestiua sunt trei

punctul diametral opus lui A.
ținând cont c ă 12AA R =,
iile unui punct pe cercul circumscris unui triunghi pe laturile acestiua sunt trei

Demonstra ție: Fie triunghiul
', ', 'A B C proiec țiile lui Mpe laturile
patrulaterele ' 'AB MC și ABCM
( ' ' ') ( ' ) 90 ( ' ) 90 ( ') ( ' ) ( ' ') m A B C m A MC m A MC m MAC m C MA m AB C ∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ = ∠ = ∠
ceea ce înseamn ă c ă punctele
', ', 'A B C se nume ște dreapta lui Simson.

Într-un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse d in mijloacele laturilor pe laturile
opuse sunt concurente.
Fie triunghiul ABC , Mun punct pe cercul circumscris triunghiului
pe laturile , , BC CA AB . Unim 'Bcu 'Cși 'Bcu
ABCM sunt inscriptibile, avem
( ' ' ') ( ' ) 90 ( ' ) 90 ( ') ( ' ) ( ' ') m A B C m A MC m A MC m MAC m C MA m AB C ∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ = ∠ = ∠
', ', 'A B C sunt coliniare. Dreapta pe care se afl
te dreapta lui Simson.
Teorema lui Mathot
un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse d in mijloacele laturilor pe laturile

un punct pe cercul circumscris triunghiului și
cu 'A. Deoarece
( ' ' ') ( ' ) 90 ( ' ) 90 ( ') ( ' ) ( ' ') m A B C m A MC m A MC m MAC m C MA m AB C ∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ = ∠ = ∠
sunt coliniare. Dreapta pe care se afl ă punctele
un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse d in mijloacele laturilor pe laturile

Demonstra ție Fie Ocentrul cercului circumscris patrulaterului inscrip tibil
', ', ', 'A B C D mijloacele laturilor
laturilor patrulaterului, rezult ă c ă
demonstrate anterior, bimedianele patrulaterului su nt concurente
concuren ță. Not ăm cu Msimetricul lui
deoarece diagonalele lui se înjum
'MA CD ⊥. Analog ' , ' , 'MB DA MC AB MD BC ⊥ ⊥ ⊥
simetricul lui Ofa ță de E.

centrul cercului circumscris patrulaterului inscrip tibil
mijloacele laturilor , , , AB BC CD DA . Deoarece Ose afl ă pe mediatoarele
laturilor patrulaterului, rezult ă c ă ' , ' , ' , 'OA AB OB BC OC CD OD DA ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
demonstrate anterior, bimedianele patrulaterului su nt concurente și fie Epunctul de
simetricul lui Ofa ță de E. Patrulaterul ' 'MA OC
înjum ătățesc. Rezult ă c ă ' 'MA OC , dar 'OC CD ⊥
' , ' , 'MB DA MC AB MD BC ⊥ ⊥ ⊥ , deci punctul de concuren

centrul cercului circumscris patrulaterului inscrip tibil ABCD și
ă pe mediatoarele
OA AB OB BC OC CD OD DA . Conform celor
punctul de
' 'este paralelogram
'OC CD ⊥, deci
, deci punctul de concuren ță este M,

BIBLIOGRAFIE:
– Mircea Ganga – manual pentru clasa a IX-a: trunchi comun+curriculum diferen țiat
– Mircea Ganga – manual pentru clasa a X-a: trunchi c omun+curriculum diferen țiat
– Matemtic ă de excelen ță cls a IX-a – paralela 45
– Matemtic ă de excelen ță cls a X-a – paralela 45