Electrotehnica curs Vo lumul I [600437]

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
CUPRINS

Pagina
5
I Introducere

II Electrostatica 6
II.1. Generalitati 6
II.2. Forta electrica 6
II.3. Sarcina electrica 7
II.4. Formula lui Coulomb 8
II.5. Intensitatea campului electric 9
II.6. Proprietati ale campului electrostatic 1 0
II. 7. Potentialul electric 13
II.8. Tensiunea electrica 13
II.9. Teorema potentialului electric 15
II.10. Legea fluxului electric 16
II.11. Polarizarea dielectricilor 17
II.11.1. Starea de polarizatie electrica 17
II.11.2. Momentul electric 18
II.11.3. Polarizatia electrica 19
II.11.4. Dipolul electric 19
II.12. Legea polarizatiei electrice temporare 2 0
II.13. Legea legaturii dintre inductie, intensitate si polarizatie 20
II.14. Cpacitati. Condensatoare 20
II.14.1. Capacitatea electrica 20
II.14.2. Gruparea condensatoarelor 23
II.14.3. Relatiile lui Maxwell referitoare la capac itati 25
II. 15. Energia electrostatica. Densitatea de energ ie electrica 27
II.15.1. Energia electrostatica 27
II.15.2. Densitatea de energie electrica 28

III. Electrocinetica 30
III. 1. Generalitati 30
III.2. Densitatea curentului de conductie 30
III.3. Legile si teoremele elecvtrocineticii 3 0
III.3.1. Teorema potentialului electric sationar 30
III.3.2 Legea conservarii sarcinii electrice 3 2
III.3.3. Teorema continuitatii linilor de curent si consecintele teoremei 33
III.3.4. Legea conductiei electrice. Legea lui Ohm 34
III.3.5. Legea transformarii energiei in conductoar ele electrice.
Legea Joule – Lentz 36
III.3.6. Reguli de semne in circuitele electrice de curent continuu 37
III.3.7. Rezistente echivalente. Conductante echiva lente 38
III.3.8. Transportul energiei electrice in retelele de curent continuu 43
III.3.9.Transferul maxim de putere in retelele de c urent continuu 44

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
III.3.10. Notiuni elementare de topologie a retelel or electrice 45

IV. ELECTRODINAMICA 49
IV.1. For țe în câmp magnetic. 49
IV.2. Actiuni ponderomotoare exercitate de campul m agnetic
asupra unei bucle de curent 55
IV.3. Intensitatea campului magnetic. Formula Biot – Savart – Laplace 56
IV.4. Legile campului maunetic 57
IV.4.1. Legea fluxului magnetic 57
IV.4.2. Legea inductiei electromagnetice 60
IV.4.3. Legea circuitului magnetic 66
IV.4.4. Legea magnetizatiei temporare 70
IV.4.5. Inductivitati 72
IV.4.6. Energia electromagnetica 76

V. Retele electrice in regim permanent sinusoidal 79
V.1. Regim permanent sinusoidal. Marimi variabile, marimi sinusoidale 79
V.2. Reprezentarea geometrica (fazoriala) a marimil or sinusoidale 80
V.3. Reprezentari analitice (in complex) 83
V.3.1. Corespondenta operatiilor elementare in comp lex 86
V.3.2. Parametrii complexi (impedanta complexa, adm itanta
complexa si puterea complexa) 87
V.3.2.1. Impedanta complexa 87
V.3.2.2. Admitanta complexa 88
V.3.2.3. Puterea complexa 88
V.3.2.4. Formele complexe ale teoremelor 89
V.4. Caracterizarea elementelor de circuit in compl ex 90
V.4.1. Rezistorul ideal 90
V.4.2. Bobina ideala 91
V.4.3. Condensatorul ideal 93
V.5. Circuitul serie R-L 95
V.6. Circuitul serie R-C 98
5.7. Circuitul serie R- L- C 101
V.8. Circuitul paralel R-L 105
V.9.Circuitul paralel R-C 107
5.10. Circuitul paralel R-L-C 109
V.11. Fenomenul de rezonanta in circuitele electric e 111
V.11.1. Circuitul cu rezonanta de tensiune (rezonan ta serie) 112
V.11.2. Circuitul cu rezonanta de curent (rezonanta paralel) 113
V.12. Puteri in regim permanent sinusoidal. Puterea activa,
reactiva si aparenta 114
V.13. Factorul de putere si ameliorarea acestuia 117

VI. Blibliografie 119

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
5 I. Obiectul si importanta cursului de Electrotehnic a
Cursul de Electrotehnica isi propune studiul fenome nelor electrice si magnetice
din punctul de vedere al aplicatiilor tehnice. Aces t studiu trebuie sa constituie pregatirea
teoretica de baza a inginerilor electricieni.
Problemele electrotehnicii sunt de doua feluri: pr obleme de electroenergetica (de
curenti tari), care se refera la producerea, transm isiunea si utilizarea energiei
electromagnetice; probleme de electrocomunicatii (d e curenti slabi), care se refera la
producerea, transmisiunea, reproducerea si inregist rarea semnalelor electromagnetice
purtatoare de informatii. Ambele tipuri de probleme intervin impreuna in aplicatiile
tehnice.
Energia electromagnetica (numita incorect “energie electrica”) are urmatoarele
proprietati: se transforma usor in orice alta forma de energie si reciproc; se transmite
practic instantaneu la mari distante; se divide si se distribuie fara dificultati cu ajutorul
circuitelor electrice. Energia electromagnetica se inmagazineaza insa greu intr-un volum
restrans si numai pentru un timp relative scurt, di n care cauza nu se pot constitui rezerve
de energie sub aceasta forma: ea trebuie sa fie tra nsmisa pe masura ce se produce. Ori de
cate ori sursa de energie primara (mina de carbuni, caderea de apa, etc) nu e situate in
imediata vecinatate a consumatorilor de energie (lo cuinte, fabrici, echipament agricol,
etc), este indicat sa se studieze posibilitatea tra nsformarii energiei primare in energie
electromagnetica in mari unitati producatoare de en ergie, numite centrale electrice, la fata
locului. Energia electromagnetica astfel produsa va putea fi transmisa economic la
distanta cu ajutorul liniilor electrice de inalta t ensiune, pana la locul de utilizare, unde va
putea fi transformata in forma direct utilizabila: energie mecanica in motoare, caldura in
aparatele de incalzit, energie chimica in celulele electrochimice, lumina in corpurile de
iluminat, etc.
Proprietati similare remarcabile au si semnalele d e natura electromagnetica
utilizate astazi aproape in exclusivitate, pentru t ransmiterea si prelucrarea informatiilor in
telecomunicatii, telemasura, automatizare si calcul , cu mijloace elaborate in principal de
electronica, cea mai dinamica ramura a electrotehni cii.
Proiectarea si exploatarea instalatiilor electrice de joasa si medie tensiune,
aferente constructiilor civile si industriale, ale liniilor scurte de alimentare, ale retelelor
de distributie si ale punctelor de alimentare, ale instalatiilor de lumina si forta, ridica
probleme pe care numai un specialist cu o temeinica pregatire electrotehnica le poate
rezolva in mod corespunzator.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
6 II Electrostatica
II.1. Generalitati
Electrostatica este aceea parte a Electrotehnicii care se ocupa cu studiul
fenomenelor ce apar in jurul corpurilor incarcate c u sarcini electrice.
Pentru a descrie proprietatile fizice ce se manife sta in spatiul din jurul unui corp
electrizat a fost introdusa notiunea de camp electr ic.
Corpul generator de camp electric se numeste sursa de camp.
Daca se aduce un corp de dimensiuni mici, numit co rp de proba incarcat cu
sarcina 'q, in apropierea unui corp incarcat cu sarcina elect rica q se observa ca in fiecare
punct din vecinatatea corpului incarcat electric se exercita forte asupra corpului de proba.
In jurul oricarui corp incarcat cu sarcina electri ca exista o forma fizica de
existenta a materiei, pe care simturile noastre nu o pot sesiza si prin intermediul careia se
realizeaza interactiunea cu orice alt corp incarcat cu sarcina electrica.
Aceasta forma de existenta a materiei din jurul co rpurilor electrizate, care se
manifesta prin actiuni asupra corpurilor cu sarcina electrica se numeste camp electric.
Detectia campului electric se realizeaza prin inte rmediul corpurilor de proba.
Un camp electric produs de un corp in repaus avand sarcina electrica constanta,
este constant in timp si se numeste camp electrosta tisc.
Pentru campul electrostatic a carui sursa de camp este in repaus, vor fi definite 2
marimi fizice care permit descrierea campului in fi ecare punct din spatiul in care se
manifesta: intensitatea campului electric notata cu E – marime vectoriala si potentialul
electric notat cu V – marime scalara.

II.2. Forta electrica
Experimental s-a constatat ca orice corp punctifor m incarcat cu sarcina 'q si
amplasat intr-un camp electric de intensitate E este supus unei forte Fproportioanala cu
produsul dintre sarcina electrica 'q si intensitatea campului electric E.
EqF⋅=' (2.1.)
[]CqSI =', []mVESI =, []NFSI =
Intensitatea campului electric este un vector pola r de natura unei forte.
Intensitatea campului electric este o marime locala , adica depinde de punctul din camp.
Forta exercitata asupra corpului are sensul vector ului E, atunci cand 0'>q si
sens opus vectorului E atunci cand 0'<q (fig. 2.1).

Fig. 2.1

E
F P
q'>0 E F P
q’<0

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
7 Semnificatia fizica a intensitatii campului electri c :
'qFE= (2.2)
Intensitatea campului electric intr-un punct al ca mpului este egala cu forta
exercitata de camp asupra unui corp de proba cu sar cina 'q adus in punctul respectiv,
raportat la valoarea sarcinii 'q.

II.3. Sarcina electrica
Se numeste stare de incarcare electrica acea stare de electrizare care este complet
caracterizata de sarcina electrica q. Pentru ca aceasta definitie sa aiba sens trebuie ca
marimea qsa poata fi definita si deci masurata pentru un cor p oarecare, respectiv pentru
o portiune de corp oarecare, si nu numai pentru un mic corp de proba.
In acest scop consideram o regiune vD din spatiu (in vid) in care campul electric
este stationar (invariabil in timp) si omogen, adic a in punctele careia vectorul camp vE
are aceeasi orientare de versor u si aceeasi marime vE.
Practic, un camp electrostatic omogen se poate obt ine intre doua armaturi
conductoare plane si paralele, suficient de apropia te, legate fiecare prin fire conductoare
la cate unul din polii unei masini electrostatice.
Mentinand invariabila starea de electrizare a corp urilor care produc un camp
electrostatic omogen (adica a armaturilor in exempl ul dat) si aducand in acest camp, in
repaus, un corp electrizat oarecare, experienta ara ta ca asupra corpului se exercita o forta
rezultanta electrica Fcare este independenta de pozitia si orientarea lui (in vD), are
directia vectorului camp exterior uEEvv= si este proportionala cu aceasta.
Sarcina electrica este o marime primitiva deoarece numai experienta pune in
evidenta proprietatile care au condus la relatile ( 2.1) si (2.2) ce permit definirea ei.
Sarcina electrica este o marime de stare scalara c e caracterizeaza starea de
electrizare a corpurilor. Ea poate fi pozitiva sau negativa.
Electrizarea corpurilor se poate realiza in mai mu lte moduri:
a) electrizarea prin frecare in care caz corpurile se incarca cu sarcina electrica
corespunzatoare naturii corpului;
b) electrizarea prin contact intre doua sau mai multe corpuri dintre care cel putin
unul este electrizat, in acest caz toate corpurile in contact se incarca cu acelasi fel
de sarcina electrica;
c) electrizarea prin influenta in care caz doua sau ma i multe corpuri aduse in
apropiere unul fata de altul, fara a fi puse in con tact, corpurile se electrizeaza cu
sarcini contrarii.
Studiul proceselor de electrizare a pus in evident a o proprietate
fundamentala a sarcinii electrice: mentinerea const anta a valorii sarcinii totale
distribuite intr-un sistem atat timp cat sistemul e ste izolat. Aceasta proprietate a
sarcinii electrice este exprimata printr-o lege fun damentala a naturii numita legea
conservarii sarcinii electrice, care se enunta astf el:
Intr-un sistem izolat (ce nu schimba energie sau s ubstanta cu mediul
exterior), sarcina totala se conserva.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
8 Clasificarea corpurilor din punctul de vedere al m entinerii stari de
electrizare:
a) corpuri izolante, starea de incarcare electrica se mentine pe aceste corpuri in locul
unde a fost produsa un timp indelungat ex: sticla, ebonita, lemnul uscat,
polietilena, PVC, aerul uscat;
b) corpuri conductoare, transmit starea de electrizar e in tot corpul in timp foarte
scurt: metalele;
c) corpuri semiconductoare, mentin starea de electriza re in timpi intermediari:
materiale elementare Si, Ge si materialele compuse grupele III –IV)

Repartitii de sarcina. Densitati de sarcina.
Deoarece corpurile nu sunt punctiforme si au difer ite dimensiuni se defineste
densitatea de sarcina electrica.
1. Pentru corpurile filiforme la care predomina o sing ura dimensiune lungimea,
repartitia este liniara sau de linie, sarcina se af la pe aceste corpuri si se defineste
densitatea de linie:
dl dq
lq
ll =ΔΔ=
→ Δ0lim ρ (2.3)
Pentru sarcina qcu repartitie liniara rezulta expresia:
∫=l
ldl q
0ρ, [ ]mC
SI l=ρ (2.4)
2. Pentru corpurile la care predomina doua dimensiuni, suprafetele, sarcina se afla
pe suprafata corpurilor, caracteristica pentru cond uctoare, repartitia sarcinii este
de suprafata si se defineste densitatea de suprafat a:
ds dq
sq
ss =ΔΔ=
→ Δ0lim ρ (2.5.)
Pentru sarcina qcu repartitie de suprafata rezulta expresia:
∫∫=ds qsρ, [ ]2mC
SI s=ρ (2.6.)
3. Pentru corpurile la care predomina toate cele trei dimensiuni (volumul), sarcina se
gaseste distribuita in intreg volumul corpului, car acteristica a materialelor
izolante, repartitia sarcinii este de volmul si se defineste densitatea de volum a
sarcinii:
dv dq
vq
vv =ΔΔ=
→ Δ0lim ρ (2.7.)
∫∫∫=dv qvρ, [ ]3mC
SI v=ρ (2.8.)

II.4. Formula lui Coulomb
Formula lui Coulomb a fost stabilita experimental in anul 1785. S-a constatat
experimental ca intre doua corpuri punctiforme ampl asate in vid la distanta R si incarcate
cu sarcinile q si 'q se exercita intotdeauna o forta de interactiune pr oportionala cu
produsul dintre sarcinile respective si invers prop ortionala cu patratul distantei dintre ele;

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
9 factorul de proportionalitate fiind o marime ce car acterizeaza vidul, numita permitivitatea
vidului 0ε fiind o constanta universala.
q q qq F
RRqq F ′− = =3
0'
4'
πε (2.9.)
Cele doua corpuri incarcate cu sarcinile q si 'q se afla in repaus.
RRuqq =' este un versor dirijat dupa dreapta care uneste ce le doua sarcini si sensul astfel
incat doua sarcini de acelasi semn se resping; modu lul este egal cu unitatea.
'qq Feste forta exercitata de sarcina qasupra sarcinii 'q.
q qF′este forta exercitata de sarcina 'qasupra sarcinii q.
2
0'
4Rqq Fπε = (2.10.)
Daca cele doua corpuri au sarcini de acelasi semn, atunci forta este o forta de
respingere.
Daca cele doua corpuri au sarcini de semne contrar e, atunci forta este o forta de
atractie.
rε εε0= (2.11.)
in care: ε este permitivitatea mediului, 0ε este permitivitatea vidului, rε este
permitivitatea relativa este un numar adimensional si reprezinta de cate ori este mai mare
permitivitatea unui mediu oarecare in raport cu per mitivitatea vidului.
00058 , 1≅rε ; [ ]mF
SI =ε ; mF
9 010 941
⋅=πε (2.12.)

Fig. 2. 2

II.5. Intensitatea campului electric
Plecand de la expresia formulei lui Coulomb (2.9.) si de la expresia fortei
electrice (2.1) si considerand ca cele doua sarcini electrice au valori egale, 'qq= se
obtine expresia intensitatii campului electric.
3
04RRqEπε = (2.13.)
Formula de mai sus reprezinta expresia intensitatii campului electric produs de un
corp punctiform incarcat cu sarcina q intr-un punct la distanta R de conductor. + + r 1F 2F
– +
1F 2F

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
10 Daca sarcina qeste pozitiva, atunci sensul campului electric este spre exteriorul
sarcinii.

Fig. 2. 3

Daca sarcina q este negativa, atunci sensul campului este spre in teriorul sarcinii.

Fig. 2. 4

Se constata ca liniile campului electric sunt lini i deschise, ele nu formeaza curbe
inchise. Liniile respective parasesc corpurile inca rcate pozitiv si sosesc pe corpurile
incarcate negativ si nu invers.
In general intensitatea campului electric este o m arime de stare vectoriala si
caracterizeaza campul electric. Aceasta marime vect oriala poate fi definita ca gradientul
unei marimi scalare luata cu semn schimbat.

Semnificatia fizica a gradientului
Gradientul unei functii scalare este un vector dir ijat in sensul cresterii functiei
scalare si precizeaza modul in care variaza marimea scalara dupa o directie si intr-un sens
bine determinat. Gradientul unei functii scalare es te o marime locala si reprezinta variatia
functiei scalare in jurul unui punct.
VE−∇ = (2.14.)
in care V este potentialul electric, o marime scalara asocia ta unui camp electric.

II.6. Proprietati ale campului electrostatic
1. Campul electrostatic poseda energie potentiala.
2. Circulatia elementara a vectorului intensitate camp electric este o diferentiala
totala .
Circulatia elementara a vectorului camp electric e ste definita de produsul scalar
l dE⋅.
Daca se noteaza cu: + E
– E

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
11 CrqV +⋅⋅=
041
επ, (2.15.)
potentialul unui punct situat la o distanta r de sa rcina punctuala q care depinde de o
constanta C, cu relatia (2.14.) se obtine:
dV l dE− =⋅ (2.16.)
Prin urmare circulatia elementara a unui camp elec trostatic este o diferentiala
totala. Acest lucru este un rezultat general valabi l pentru toate campurile electrostatice.
Se precizeaza ca relatia (2.16.) are un caracter i ntrinsec, aceasta este valabila in
toate sistemele de coordonate.

Semnificatia fizica a circulatiei elemntare a vecto rului E
Energia este capacitatea unui sistem fizic de a ef ectua un lucru mecanic. Lucru
mecanic elementar efectuat de campul produs de o sa rcina punctuala pentru a deplasa
corpul de proba cu sarcina 'q, pe lungimea dl intre doua puncte M si 'M pe o curba Γ
oarecare este:
αcos ' '⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= dl Eql dEql dFdL (2.17.)
Din relatia (2.17.) rezulta:
'qdL l dE=⋅ (|2.18.)
Circulatia elementara a vectorului E este egala cu lucrul mecanic elementar
efectuat de fortele campului pentru a deplasa sarci na 'q pe distanta dl , raportat la
valoarea sarcinii 'q.

3. Vectorul intensitate camp electric este ortogana l suprafatelor echipotentiale.
O suprafata echipotentiala este o suprafata avand in toate punctele sale acelasi
potential.
O linie de camp este o curba care are vectorul int ensitate camp electric E tangent
in toate punctele sale si care este ortogonala supr afetelor echipotentiale.
In cazul particular al unei sarcini punctuale situ ata intr-un punct P al spatiului,
toate sferele cu centrul in P sunt suprafete echipo tentiale deoarece:
,40const qV =⋅⋅=επ (2.19.)
si liniile de camp sunt radiale.

7. Campul electrostatic este un camp de gradient
Orice diferentiala totala a unei functii scalare s e reprezinta prin produsul dintre
gradientul functiei scalare si elementul de linie.
l d gradV dV ⋅= (2.20.)
Comparand relatia (2.16.) cu relatia (2.20.) se ob tine:
gradV E− = (2.21.)
Deoarece circulatia elementara a campului E este o diferentiala totala, campul
Eeste un camp de gradient. Campul E deriva dintr-un potential scalar.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
12 Semnul – care apare in relatia (2.21.) arata ca ve ctorul E este dirijat dinspre
potentiale mai ridicate spre potentiale mai scazute , vectorul E este dirijat in sensul
descresterii potentialului.

7. Campul elecvtrostatic este un camp irotational
Cu ajutorul relatiei (2.21.) si a identitatii vecto riale 0=gradV rot , rezulta:
0=Erot (2.22.)
Campul electrostatic este un camp irotational, cu linii de camp deschise.
Conditia necesara si suficienta ca un camp de vect ori sa fie un camp de gradient
este ca rotorul sau sa fie nul.

6. Circulatia vectorului E pe orice curba inchisa este nula
Cu ajutorul formulei rotorului ∫∫∫
Γ⋅ =⋅
ΓSs dErot l dE si tinand seama de relatia
(2.22.), se obtine:
0=⋅∫
Γl dE (2.23.)
Campul electrostatic are circulatia nula pe orice curba inchisa.

7. Campul electrostatic este un camp cu divergenta diferita de zero, este un camp
cu surse.
Se considera o sarcina punctuala pozitiva q si o suprafata ∑, care inconjoara
sarcina. Normala exterioara a suprafetei este norma la exterioara.

0 0< <Ediv q 0 0> >Ediv q

Fig. 2.5

Fluxul vectorului E prin suprafata ∑ este pozitiv. Din relatia de definitie a
divergentei, deoarece volumul v limitat de suprafat a ∑ este pozitiv, rezulta ca 0>Ediv .
Prin urmare divergenta vectorului E in punctul in care se afla sarcina pozitiva
este diferita de zero. Orice camp cu divergenta dif erita de zero este un camp cu surse. ∑ E n
∑ E n

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
13 Prin analogie, divergenta vectorului E intr-un punct in care se gaseste o sarcina
negativa, este negativa.
Concluzie : Campul electrostatic este un camp de gradient, irot ational cu
divergenta diferita de zero in punctele in care se gasesc sursele campului .

II. 7. Potentialul electric
Plecand de la expresia intensitatii campului elect ric 2
04 RqE⋅⋅⋅=επ si
presupunand ca gradientul are loc numai dupa direct ia lui R se poate scrie relatia:
dR dV
Rq− =⋅⋅⋅2
04επ, (2.24.)
de unde rezulta:
dR RqdV 2
04⋅⋅⋅− =επ (2.25.)
∫⋅⋅⋅− = dR RqV2
04επ (2.26.)
RqV⋅⋅⋅=
04επ (2.27.)
Relatia (2.27.) reprezinta potentialul electric pr odus de un corp punctiform la
distanta R de corp.
Unitatea de masura a potentialului electric in sis temul international este voltul.
Potentialul electric fiind o marime scalara ca si sarcina electrica va avea
intotdeauna semnul sarcinii electrice.
Observatie : Daca 0;=∞→∞VR

Semnificatia fizica a potentialului
Pentru a scrie semnificatia fizica a potentialului electric se scrie lucrul mecanic
necesar pentru a deplasa un corp punctiform incarca t cu sarcina q dintr-un punct P la
infinit. Lucrul mecanic este definit ca o integrala curbilinie.
LPP
PP P P PVqdV qdV qdl Vqdl Eqdl Eqdl F ⋅==−=⋅∇−=⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫∫∫∫∞∞∞ ∞ ∞ ∞ (2.28.)
LPVq⋅= (2.29.)
qLVP= (2.30.)
Potentialul electric intr-un punct din spatiu este numeric egal cu lucrul mecanic
necesar pentru a deplasa sarcina electrica dintr-un punct P la ∞.

II.8. Tensiunea electrica
Circulatia vectorului intensitate camp electric in tre doua puncte din camp pe o
curba oarecare Γ defineste tensiunea electrica dintre cele doua pun cte.
∫
Γ⋅=2
112 l dEU (2.31.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
14 Din punct de vedere fizic tensiunea electrica dint re doua puncte reprezinta lucrul
mecanic efectuat de camp pentru a deplasa un corp c u sarcina 'qintre cele doua puncte,
pe o curba oarecare raportat la valoarea sarcinii 'q.
L12 '2
1'
12 U ql dEq =⋅=∫
Γ (2.32.)
qLU12
12 =. (2.33.)
Tensiunea electrica dintre doua puncte reprezinta diferenta potentialelor
punctelor.
212
112 VVdV U −=− =∫
Γ (2.34.)
Tensiunea electrica nu depinde de curba de integra re ci numai de punctele de la
extremitatile curbei.
Tensiunea electrica este o marime scalar algebrica . Sensul tensiunii depinde de
sensul de integrare.

Consecinte ale tensiunii electrice
1. Tensiunea electrica dintre doua puncte ale unui cam p electrostatic nu depinde
de drum.
Se considera doua puncte 1 si 2 in camp si doua cu rbe 1C si 2C care unesc cele
doua puncte. Cele doua curbe 1C si 2C formeaza un contur inchis Γ.

Fig. 2.6

( ) ( ) ( ) ( )02
12
11
22
12 1 2 1=⋅−⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
ΓC C C Cl dEl dEl dEl dEl dE (2.35.)
( ) ( ) 2 112 12 C CUU= (2.36.)
Γ 1
2 1C 2C E dl

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
15 2. Circulatia elementara a vectorului intensitate camp electric este o diferentiala
totala.
dV l dE− =⋅ (2.37.)

3. Circulatia vectorului intensitate camp electric pe orice curba inchisa este nula.
0=⋅∫
Γl dE (2.38.)

II.9. Teorema potentialului electric
Forma integrala a teoremei
Circulatia vectorului intensitate camp electric pr in orice curba care se inchide prin
oricare mediu dielectric este intotdeauna zero.
0=⋅∫
Cl dE (2.39.)
Pentru a demonstra teorema se scrie lucrul mecanic efectuat de forta electrica pe o
curba oarecare ce se inchide prin medii dielectrice diferite. Lucrul mecanic respectiv este
intotdeauna zero.
L 0=⋅=∫
CC l dF (2.40.)
0'=⋅⋅=∫l dEqL
CC , (2.41.)
se imparte prin ,qsi se obtine relatia (2.39.)
=12 L
( )212
1'WWl dEq
C−=⋅⋅∫ (2.42.)
Daca se deplaseaza sarcina ,q in lungul unei curbe inchise dintr-un punct oareca re
al curbei in aceleasi punct, energiile initiala si finala sunt egale.

Forma locala a legii
Pentru a stabili forma locala a teoremei se scrie formula lui Stokes:
0=⋅×∇=⋅∫∫
s Cs dEs dE (2.43.)
0=×∇E reprezinta forma locala a teoremei care se enunta astfel: In oricare punct
rotorul intensitatii campului electric este zero .

Interpretare
1. Deoarece rotorul campului electric este zero inseam na ca acest vector provine
dintr-un camp de vectori irotational, deci dintr-un camp potential.
2. Deoarece rotorul intensitatii campului electric est e zero, inseamna ca liniile
campului electric nu formeaza curbe inchise.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
16 II.10. Legea fluxului electric
Inductia electrica
Inductia electrica este o marime electrica derivat a definita ca produsul dintre
permitivitatea electrica a mediului dintr-un punct si intensitatea campului electric din acel
punct.
ED⋅=ε (2.44.)
[ ]mVESI =, [ ]mF
SI =ε, ⇒ [ ]2mCDSI = (2.45.)

Fluxul electric
Fluxul electric elementar reprezinta produsul scal ar dintre vectorul inductie
electrica si elementul de suprafata ds .
s dDd ⋅=Ψ ⋅ (2.46.)
ds ns d⋅=, unde n este normala la suprafata
Fluxul total printr-o suprafata se defineste ca in tegrala fluxului pe suprafata
respectiva.
∫⋅=Ψ
ss dD
[ ] ,2mCDSI = []2ms
SI =, ⇒ []CSI =Ψ
Din punct de vedere fizic, fluxul reprezinta total itatea linilor de inductie electrica
ce strabat la un moment dat o suprafata.

Legea fluxului electric
Forma integrala a legii
Integrala pe o suprafata inchisa a vectorului indu ctie electrica este intotdeauna
egala cu sarcina electrica localizata in interiorul acelei suprafete inchise.
∫=⋅
sqs dD (2.47.)
Presupunand ca sarcina q este uniform distribuita in volumul din interiorul
suprafetei, ∫⋅=
Vvdv qρ, vom avea:
∫∫⋅=⋅
Vv
sdv s dD ρ (2.48.)
Relatia (2.48.) reprezinta forma integrala a legii .

Forma locala a legii
Pentru a stabili forma locala a legii se transform a integrala de suprafata intr-o
integrala de volum, cu ajutorul integralei de volum Gauss-Ostrogradski.
∫∫⋅∇=⋅
V sdv Ds dD (2.49.)
∫∫⋅=∇
VV
Vdv dv Dρ, rezulta (2.50.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
17 vDρ=∇ (2.51.)
Relatia (2.51.) reprezinta prima forma locala a le gii care se enunta astfel:
In oricare punct, divergenta vectorului inductie el ectrica este diferita de zero si
este egala cu densitatea de volum a sarcinii electr ice din acel punct .
Daca mediul dielectric este omogen si izotrop atun ci ε este constant si nu
depinde de coordonatele punctului respectiv.
()VEρε=⋅∇ (2.52.)
ερVE=⋅ ∇ (2.53.)
Relatia (2.53.) reprezinta a II-a forma locala a l egii care se enunta astfel:
In oricare punct divergenta vectorului intensitate a c ampului electric este diferita
de zero si este egala cu raportul dintre densitatea de volum a sarcinii electrice din acel
punct si permitivitatea electrica a dielectricului din acel punct.

Consecinte ale legii fluxului electric
1. Deoarece divergenta vectorului intensitate camp ele ctric este diferita de zero
inseamna ca liniile campului electric sunt linii de schise (nu formeaza curbe
inchise).
2. Liniile de camp electric pornesc de pe corpurile in carcate pozitiv si sosesc pe
corpurile incarcate negativ.
3. Deoarece rotorul campului electric este zero inseam na ca acest vector E provine
dintr-un camp irotational deci potential.

II.11. Polarizarea dielectricilor.
II.11.1. Starea de polarizatie electrica
Se numeste stare de polarizatie electrica acea sta re a corpurilor care determina
exercitarea asupra lor a unor forte electrice si cu pluri electrice suplimentare fata de cele
conditionate de eventuala lor stare de electrizare. Corpurile punctuale polarizate electric
sunt supuse unui cuplu intr-un camp electric exteri or, ceea ce arata ca starea lor de
polarizatie are un caracter vectorial (ceea ce a de terminat denumirea adoptata pentru
aceasta stare), in opozitie cu starea de incarcare electrica, care are un caracter scalar.
Corpurile polarizate electric pot fi in acelasi tim p si incarcate electric.
Un corp este numai polarizat electric daca, fara a avea densitate de sarcina
electrica, produce camp electric si e supus unor ac tiuni pondero-motoare cand este adus
intr-un camp electric exterior.
Starea micilor corpuri polarizate electric se cara cterizeaza cu ajutorul unei marimi
de stare vectoriale, p, numita moment electric. Starea locala a corpurilo r masive
polarizate se descrie cu ajutorul densitatii de vol um P, a momentelor electrice, numita
polarizatie electrica.
Polarizatia electrica se numeste temporara, daca d epinde de intensitatea locala a
campului electric si se anuleaza in lipsa acestuia. Materialele susceptibile de a se polariza
electric temporar se numesc dielectrici. Practic to ate materialele izolante electric sunt si
dielectrici.
Polarizatia electrica se numeste permanenta, daca nu depinde de campul electric
ci de alte cauze: deformarea mecanica a unor crista le (polarizatia piezoelectrica);

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
18 incalzirea unor anumite cristale (polarizatie piezo electrica); polarizatia temporara a unor
anumite materiale (rasini, ceruri, plexiglas, etc); in stare topita sau numai de incalzire
pana la inmuiere, intr-un camp exterior foarte inte ns, urmata de racirea inceata in
prezenta acestui camp (polarizarea electretilor); p olarizarea remanenta a materialelor
feroelectrice, care, dupa ce au fost polarizate tem porar (neliniar) sub actiunea unui camp
electric exterior, raman polarizate in oarecare mas ura si dupa anularea acestui camp.

II.11.2. Momentul electric
Momentul electric este m ărimea fizic ă primitiv ă, vectorial ă, notat ă p, ce carac-
terizeaz ă macroscopic starea de polarizare electric ă a corpurilor. Fiind m ărime primitiv ă,
se define ște prin ra ționament inductiv, pornind de la experien țe. Se constat ă c ă asupra
unui mic corp polarizat electric și situat în câmpul electric din vid ac ționeaz ă atât un
cuplu care rote ște micul corp astfel încât axa lui de polarizare el ectric ă s ă se alinieze cu
liniile câmpului electric, precum și o for ță , care tinde s ă deplaseze micul corp spre zona
în care câmpul electric este mai intens.

0E x p = C (2.54.)

Fig.2. 7

E d) a r g p ( = F0 (2.55.)

In rela țiile (2.54) și (2.55) intervine momentul electric p, pe baza c ărora se
define ște aceast ă m ărime. De exemplu, din (2.54) rezult ă:
0max
ECp= (2.56.)
unde x a mC este valoarea maxim ă a cuplului.
Micul corp poate avea atât starea de polarizare ele ctric ă permanent ă, pp, care se
men ține independent de câmpul electric exterior, cât si starea de polarizare electric ă
temporar ă, tp, care se men ține numai în prezen ța câmpului electric exterior. Deci:
. p + p = pt p (2.57.)
Corpurile cu polarizare electric ă permanent ă se numesc electre ți.

Observa ție : Micul corp polarizat electric poate fi echivalent c u un dipol electric ,
al c ărui moment electric este:
l Q = p+ dΔ (2.58)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
19 Teorema echivalen ței dintre dipolul electric și micul corp polarizat electric are
urm ătorul enun ț:
In regimul static, un dipol electric, având momentu l electric pd, și un mic corp
polarizat electric, având momentul electric p, sunt echivalente atât din punctul de vedere
al ac țiunilor ponderomotoare (for ță și cuplu) exercitate asupra de un câmp electric
exterior, cât și din punctul de vedere al câmpului electric produs în vid, dac ă este
îndeplinit ă condi ția:
p = pd (2.59)

II.11.3. Polarizatia electrica
Starea locala de polarizatie a unui corp masiv se caracterizeaza cu ajutorul
densitatii de volum locale a momentelor electrice a le partilor corpului. Se numeste o
polarizatie electrica o marime derivata definita de limita raportului dintre momentul
electric pΔal materialului dintr-un volum vΔsi acest volum, cand el tinde catre zero:
dv dp
vpP
v=ΔΔ=
→ Δ0lim (2.60.)
Polarizatia electrica poate fi considerata ca o su ma formata din polarizatia
permanenta si cea temporara:
tpPPP+= (2.61.)
Cunoscand polarizatia P, momentul electric al unei portiuni de corp se poa te
calcula cu integrala:
∫∫∫=Pdv P (2.62.)

II.11.4. Dipolul electric
Prin dipol electric elementar în țelegem dipolul existent, sau format, la nivelul
moleculei, sau al atomului de substan ță , caracterizat prin momentul electric dp.
Dependent de natura substan ței se disting dou ă modalit ăți de polarizare electric ă.

1. Polarizarea electric ă prin deformare are loc la substan țele cu molecule nepolare ,
la care, în absen ța câmpului electric exterior, momentul electric al moleculei este
egal cu zero ) 0p (d=. Sub ac țiunea for ței exterioare, centrul echivalent al
sarcinilor negative din molecul ă se deplaseaz ă fa ță de cel al sarcinilor pozitive, iar
molecula devine un dipol electric elementar.
Observa ție. Polarizarea electric ă prin deformare se mai nume ște polarizare indus ă sau
electronic ă.

2. Polarizarea electric ă prin orientare are loc la substan țele cu molecule polare , la
care, în absen ța câmpului electric exterior, momentul electric al moleculei este
diferit de zero ) 0p (d≠, ceea ce se datore ște unei anumite nesimetrii de structur ă
a moleculei. Sub ac țiunea unor for țe exterioare (electrice, neelectrice), dipolii
electrici elementari tind s ă se roteasc ă, astfel încât momentul lor electric dp s ă se
alinieze în lungul liniilor câmpului electric.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
20 II.12. Legea polarizatiei electrice temporare
Polarizatia temporara este proportionala cu vector ul intensitatii campului electric.
Expresia matematica a legii este:
E Pe t ⋅⋅=λε0 (2.63.)
unde eλeste o constanta numita susceptivitate electrica. S usceptivitatea electrica este o
marime de material adimensionala care depinde de na tura materialului si de conditiile
neelectrice locale: temperature, presiune, etc.
Legea polarizatiei electrice temporare este o lege de material valabila pentru
materiale liniare din punct de vedere electric.

Observatii
1. In cazul materialelor liniare fara polarizare perma nenta susceptivitatea are
expresia:
1−=reελ (2.64.)
Materialele dielectrice au susceptivitatea foarte m ica si practic independenta de
temperature.
Materialele paraelectrice au susceptivitatea relati ve mare si invers proportionala cu
temperature.

II.13. Legea legaturii dintre inductie, intensitate si polarizatie
In orice moment si in oricare punct din spatiu, in ductia electrica este egala cu
suma dintre intensitatea campului electric, multipl icata cu permitivitatea vidului si
polarizatie.
PED +⋅=0ε , (2.65.)
in vid 0=P si relatia (2.65.) devine:
ED⋅=0ε (2.66.)
Daca se aplica relatiei (2.65.) divergenta se obti ne:
PE D ∇+∇ ⋅=∇0ε (2.67.)
Cu legea fluxului electric sub forma locala: ρ=∇D si cu relatia: Pp−∇ =ρ , se
obtine:
( )p E ρρε+=∇
01 (2.68.)
Relatia (2.68.) arata ca sursele campului E sunt sarcinile electrice si sarcinile de
polarizatie.

II.14. Cpacitati. Condensatoare.
II.14.1. Capacitatea electrica
Capacitatea electrica a unui sistem de corpuri se defineste ca raportul dintre
sarcina totala electrica cu care este incarcat sist emul de corpuri si tensiunea electrica la
care este supus sistemul respectiv de corpuri.
uqC= (2.69.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
21 [][][]FCVuCqSI SI SI = = = , ,

Observatie : Faradul este o unitate de masura mare astfel ca i n practica condensatoarele
electrice se construiesc cu capacitati submultiple faradului.

Un condensator este format din doua conductoare nu mite armaturile
condensatorului, incarcat cu sarcini egale si de se mne opuse, separate intre ele de un
mediu dielectric ideal, neincarcat de permitivitate ε.
Un sistem de doua conductoare formeaza un condensa tor daca aplicand o tensiune
intre cele doua armaturi toate liniile de camp care pleaca de pe o armature ajung pe
cealalta.

Fig. 2. 8

Un condensator se incarca prin aplicarea unei tens iuni intrre armaturi. Dupa
terminarea regimului tranzitoriu de incarcare, daca se deconecteaza sursa de tensiune,
armaturile condensatorului sunt incarcate cu sarcin i electrice, iar intre armaturi se
masoara o diferenta de potential. Energia produsa d e sursa in timpul incarcarii
condensatorului se acumuleaza in campul electric di ntre armaturi, unde ramane stocata.
In functie de tipul constructiv se cunosc urmatoare le tipuri de condensatoare:

a) Condensatorul plan paralel
Se neglijeaza efectul de margine, (curbarea liniilo r de camp de la extremitatile
armaturilor) campul dintre armaturi este uniform. S e aplica legea fluxului electric pe
suprafata ∑ a unui cilindru care inconjoara armatura pozitiva. Se precizeaza ca exista
camp electric numai intre armaturi, in afara armatu rilor campurile produse de cele doua
conductoare fiind egale in valoarea absoluta si de sensuri opuse se anuleaza.

Fig. 2. 9 u +q -q
d
S ε +q
-q E dl Σ 1V
2V 1
2

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
22 qds E
S=⋅⋅∫ε (2.70.)
qSE=⋅⋅ε (2.71.)
SqE⋅=ε (2.72.)
Tensiunea dintre armaturi este:
dEdl EU ⋅=⋅=∫2
1 (2.73.)
SdqU⋅⋅=ε (2.74.)
Capacitatea condensatorului are expresia:
dSC⋅=ε (2.75.)

b) Condensatoarul cilindric
Armaturile condensatorului sunt doi cilindri coaxia li, cu razele bazelor a si b, de
lungime l. Armaturile interioara si exterioara sunt incarcat e cu sarcinile q+, respectiv
q−. Campul dintre armaturi este radial. Se aplica leg ea fluxului electric pe suprafata
unui cilindru de lungime l, cu raza r, bra<<.

Fig. 2. 10
ql r Eds E
S=⋅ ⋅⋅ ⋅⋅=⋅⋅∫πε ε 2 (2.76.)
lrqE⋅ ⋅ ⋅⋅=επ2 (2.77.)
Tensiunea dintre armaturi se calculeaza in lungul unei linii de camp
dr l rqUb
a⋅⋅ ⋅ ⋅⋅=∫επ2 (2.78.) –
q +
q 1 2
l
r
a
b E
∑

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
23 ab
lqU ln 2⋅ ⋅⋅=επ (2.79.)
Capacitatea condensatorului cilindric este:
ablC
ln 2⋅⋅⋅=επ (2.80.)

c) Condensatorul sferic

Fig. 2.11

24rEds E
S⋅⋅ ⋅⋅=⋅⋅∫πε ε (2.81.)
qrE =⋅⋅ ⋅⋅24πε (2.82.)
24rqE⋅ ⋅⋅=επ (2.83.)
Tensiunea dintre armaturi se calculeaza in lungul u nei linii de camp
−⋅⋅=⋅ ⋅⋅=⋅=∫∫baqdr rqdl EUb
a11
4 422
1επ επ (2.84.)
Capacitatea condensatorului sferic este:
abab C−⋅⋅=επ4 (2.85.)

Capacitatea unui condensator depinde de natura die lectricului, de forma
armaturilor si de pozitia lor.
Capacitatea unui condensator nu depinde de sarcina armaturilor sau de tensiunea
dintre armaturi, marimi cu ajutorul carora a fost d efinita.

II.14.2. Gruparea condensatoarelor
a) Capacitatea echivalenta
Pentru a obtine capacitati mari si condensatoare c are sa suporte tensiuni
importante, condensatoarele se grupeaza in baterii de condensatoare. Gruparea se
realizeaza in mai multe moduri: serie, paralel si m ixt.
In cazul unei retele de condensatoare cu doua born e de acces A si B, capacitatea
echivalenta a retelei se defineste prin:
BA B
AB A
eUq
UqC == (2.86.)
unde Aq si Bq sunt sarcinile bornelor, iar AB U este tensiunea dintre cele doua borne. 1 2 – q + E
a
r b ∑

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
24 Capacitatea echivalenta a unei retele este capacit atea unui condensator care supus
tensiunii AB U se incarca pe cele doua armaturi cu sarcinile Aq si Bq, sarcinile sistemului
dat.

b) Gruparea in serie a condensatoarelor
Se considera doua condensatoare legate in serie. I ntre bornele A si B ale retelei se
aplica tensiunea U. Armatura din stanga primului condensator capata sarcina q+. Prin
influenta, armatura din dreapta condensatorului 1C va avea sarcina q−. In baza
principiului conservarii electricitatii, armatura d in stanga condensatorului 2C, va avea
sarcina q+, sarcina care influenteaza armatura din dreapta co ndensatorului 2C.
Condensatoarele legate in serie au aceeasi sarcina electrica pe armaturile lor.

Fig. 2. 12
Cu ajutorul relatiei:
21UUU+= (2.87.)
si a relatiilor de definitie a capacitatilor:
UqCUqCUqCe= = = , ,
22
11 , (2.88.)
se obtine formula capacitatii echivalente pentru do ua condensatoare legate in serie.
2 1111
CCCe+= (2.89.)
Relatia (2.89.) se generalizeaza pentru n condensa toare legate in serie si se obtine:
∑
==n
ii eCC111 (2.90.)
Gruparea in serie a condensatoarelor se foloseste atunci cand se urmareste
obtinerea unei baterii care urmeaza sa fie utilizat a la o tensiune inalta.

c) Gruparea in paralel a condensatoarelor
La bornele retelei se aplica tensiunea U. Condensatoarele se incarca, sarcinile
acestora sunt:
UCqUCq ⋅=⋅=22 11, , (2.91.)
astfel incat 21qqq+=, potrivit principiului conservarii sarcinii. 1U 2U
U 1C 2C
+q -q +q -q A B

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
25
Fig. 2.13

Capacitatea echivalenta este:
212 1CCUUCUCCe +=⋅+⋅= (2.92.)
In cazul general capacitatea echivalenta este:
∑
==n
ii eCC
1 (2.93.)
Gruparea in paralel a condensatoarelor se folosest e atunci cand se urmareste
obtinerea unei capacitati mari.

d) Elastanta
Valoarea inversa a capacitatii se numeste elastanta si se noteaza cu S.
CS1= (2.94.)

II.14.3. Relatiile lui Maxwell referitoare la capac itati
Intre sarcinile si potentialele condensatoarelor e xista relatii liniare si omogene:
()()12 2 21 1 , VVCqVVCq −= −= (2.95.)
Maxwell a generalizat aceste relatii pentru un sis tem de conductoare omogene,
izolate, incarcate cu sarcini electrice, care se ga sesc intr-un dielectric ideal.
Atunci cand sistemul este format dintr-un numar ma i mare de doua conductoare,
acesta nu constituie un condensator.
Se considera trei conductoare incarcate cu sarcini le 321,,qqq. Se considera
potentialul pamantului origine de potential.

Fig. 2. 14 1q+ 1q− 1C
2C 2q+ 2q− +q -q A B
U
1q 2q

3q

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
26
Pentru a determina potentialul 1V al condensatorului 1 se presupun trei stari de
echilibru:
1. ; , 0 , 0111 1 32 1 q Vqqq ⋅===≠ α
2. ; , 0, 0, 0212 1 3 2 1 q Vqqq ⋅==≠= α
3. 313 1 3 21 , 0, 0 q Vqqq ⋅=≠== α
Coeficienti α sunt numiti coeficienti de potential. Acesti coefi cienti sunt
constanti (daca sistemul nu este deformabil), ei de pind numai de configuratia geometrica
a sistemului si de natura dielectricului.
Potrivit teoremei superpozitiei, potentialul primu lui conductor este egal cu suma
potentialelor produse de cele trei sarcini si anume :
nnq qq V ⋅++⋅+⋅=1 212 111 1 …… α αα (2.96.)
Potentialele celorlalte conductoare se determina a nalog.
Prin generalizare se obtine prima forma a ecuatiil or lui Maxwell:



⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=
nnn n nnnnnn
q q q Vq qq Vq qq V
α ααα ααα αα
…. ……. …..
22 112 222 121 21 212 111 1
(2.97.)

Coeficientii α satisfac relatia de reciprocitate ji ij αα=. Coeficientii α se
numesc elastante.

A II-a forma a relatiilor lui Maxwell , se obtine prin rezolvarea sistemului (2.97.)
si este:



⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=
nnn n nnnnnn
V VVqV VVqV VVq
γ γγγ γγγ γγ
…. …… ….
22 112 222 121 21 212 111 1
(2.98.)
Coeficientii ii γ sunt numiti coeficienti de capacitate electrica, i ar coeficientii ij γ
sunt numiti coeficienti de influenta electrica. Se poate demonstra ca 0>ii γ si 0<ij γ.

Cea de a treia forma a relatiilor lui Maxwell exprima sarcinile conductoarelor in
functie de tensiunile dintre conductoare. Aceste re latii se obtin din sistemul (2.98.) si
sunt:

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
27 


⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=
00 22 1120 20 23 23 21 21 210 10 13 13 12 12 1
…. …… ….
nn nn nnn UC UCUCqUC UCUCqUC UCUCq
(2.99.)

in care ij C sunt capacitatile partiale intre conductoarele i s i j iar 0iC sunt capacitatile
partiale ale conductoarelor fata de pamant.

II. 15. Energia electrostatica. Densitatea de energ ie electrica
II.15.1. Energia electrostatica
Energia este o marime fizica egala cu capacitatea unui sistem fizic de a efectua un
lucru mecanic, atunci cand trece printr-o transform are oarecare, dintr-o stare initiala in
alta stare.
Potrivit principiului conservarii energiei, energi a unui sistem fizic intr-o anumita
stare este independenta de transformarea din starea initiala.
Campul electrostatic este capabil sa efectueze luc ru mecanic, prin urmare el are
energie.
Se considera n corpuri avand fiecare sarcinile nqqq……, ,,21 si
potentialele nVVV….. ,,21 . Pentru a incarca unul din corpuri cu sarcina elem entare kdq
este necesar ca aceasta sarcina sa fie deplasata de la ∞pana in punctul kP de pe corpul K.
Pentru deplasarea sarcinii respective este necesara forta elemntara kdF .
kk k Edq dF ⋅− = (2.100.)
Semnul – apare in expresia fortei deoarece la deplasarea sa rcinii elementare kdq
de la ∞ pana in punctul kP, campul electric kEse opune.
Lucrul mecanic elementar necesar pentru incarcarea tuturor corpurilor cu kdq va
fi dat de relatia:
∑
=⋅=n
kkdl FL
1δ (2.101.)
∫
∞⋅− =kP
kk k dq EF (2.102.)
∑∫
= ∞⋅ − =n
kP
kkk
dl Edq L
1δ (2.103.)
Se tine cont de relatia:
k kVE−∇ = (2.104.)
∫∑
∞ =⋅∇ =kP
kn
kkdl Vdq L
1δ (2.105.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
28 ∑
=⋅=n
kkkVdq L
1δ (2.106.)
Pentru a tine cont de toate starile intermediare, inclusive de starile initiala si finala
se introduce un parametru variabil λ care poate lua toate valorile intre 0 si 1. 0 fiin d
pentru starea initiala si 1 pentru starea finala. S arcinile electrice si potentialele electrice
variabile vor fi in functie de λ astfel:

⋅=⋅=⋅=
λλλ
dqdq qqVV
kkk kk k
(2.107.)
∑
=⋅⋅⋅=n
kkkdVqL
1λλ δ (2.108.)
In baza legii din mecanica care spune ca variatia energiei este egala cu lucrul
mecanic, in cazul de fata, variatia energiei electr ostatice va fie egala cu lucrul mecanic
elementar.
∑
=⋅⋅⋅=n
kkk s dVqW
1λλ (2.109.)
∫∑ ⋅⋅=
=1
0 1λλdVqWn
kkk s (2.110.)
∑
=⋅ =n
kkk s Vq W
121 (2.111.)
Relatia (2.111.) reprezinta expresia energiei elec trostatice pentru un sistem de
corpuri.
Daca se considera un condensator plan paralel avan d o armatura incarcata cu
sarcina electrica q+ si potentialul 1V si a doua armature incarcata cu sarcina electrica
q− si potentialul 2V, atunci expresia energiei electrostatice va fi:
( ) ( ) UqVVqVqVqWs ⋅=−⋅=⋅−⋅=21
21
21
21 2 1 (2.112.)
dar UCq⋅=
CqUCUqWs2
2
21
21
21=⋅=⋅= (2.113.)

II.15.2. Densitatea de energie electrica
Relatia (2.111.) care precizeaza energia unui sist em de conductoare incarcate nu
indica localizarea energiei. Pentru a preciza local izarea energiei se cauta exprimarea ei in
functie de marimile de stare ale campului electric intensitatea E si inductia D.
Se considera cazul simplu al unui camp omogen cupr ins intre doua placi paralele
situate la distanta d, de suprafata S si anume camp ul unui condensator plan.
Tinand seama de relatia:
dEU⋅=, energia condensatorului este:
SdE dEdSWs ⋅⋅=⋅⋅=2 22
21
21εε (2.114.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
29 notam Sdv⋅=- volumul dielectricului si relatia (2.114.) devine :
vE Ws ⋅⋅=2
21ε (2.115.)
Se defineste densitatea de volum a energiei electr ostatice sw ca fiind raportul
dintre energia electrostatica si volumul dielectric ului.
2
21EvWws⋅== ε (2.116.)
Densitatea de volum a energiei electrostatice din oricare punct depinde numai de
permitivitatea dielectrica ε si de patratul intensitatii campului electric din acelasi punct.
Densitatea de volum a energiei electrostatice se m asoara in 3mJ.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
30 III. Electrocinetica
III. 1. Generalitati
Electrocinetica este ramura electromagnetismului c are studiaza starea
conductoarelor travesate de curenti electrici. Regi mul presupune transformari energetice
deoarece trecerea curentului electric printr-un con ductor este insotita de efecte termice.
Energia transformata in caldura este produsa de o s ursa de energie.
Conductoarele traversate de curenti electrice se a fla in stare electrocinetica.
Conductoarele in stare electrocinetica se clasifica in doua categorii:
– conductoare de prima speta (metale, semiconductoare ), la care trecerea curentului
nu este insotita de efecte chimice,
– conductoare de a doua speta (solutii electrolitice) care sunt sediul unor
transformari chimice.
Sursele curentului electric sunt : sursele de energ ie, neomogenitatile locale de
temperature sau concentratie si campul magnetic var iabil in timp.
Sursele de energie au la borne o diferenta de pote ntial. Daca intre borne se leaga
un conductor, sub actiunea fortelor electrice ale c ampului electric E, particulele
elementare, incarcate, libere, se deplaseaza. In co nductor apare un current electric.
Particulele libere, incarcate, se pot deplasa sub actiunea unor forte neelectrice.
Fortele neelectrice, determina un camp, numit camp imprimat, cu intensitatea iE.
Tensiunea electromotoare determinate de campul impr imat este data de relatia:
∫⋅=2
1dl Eei 3.1.
unde 1 si 2 bornele sursei.
Campul corespunzator regimului electrocinetic se n umeste camp electrocinetic.
Campul electrocinetic este campul vectorilor densit ate de current J. Campul
electrocinetic exista numai in interiorul conductoa relor.

III.2. Densitatea curentului de conductie
Campul electrocinetic se carcterizeaza local printr -o marime vactoriala numita
densitatea curentului de conductie, notata cu J, definite astfel incat fluxul denistatii de
curent printr-o suprafata deschisa sa fie egal cu i ntensitatea curentului de conductie prin
acea suprafata.
∫∫⋅=
Sds Ji 3.2.
Linia tangenta in fiecare punct vectorului densita te de curent se numeste linie de
curent. Fizic linia de curent reprezinta traiectori a medie, in procesul conductiei, a
purtatorilor de sarcina.

III.3. Legile si teoremele elecvtrocineticii
III.3.1. Teorema potentialului electric sationar
Se numeste regim stationar, un regim caractrizat p rin marimi care nu variaza in
timp. Curentul electric in regim stationar se numes te curent continuu.
Forma integrala a teoremei:
Tensiunea electrica in lungul oricarei curbe inchis e este nula.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
31 ∫
Γ=⋅0dl E 3.3.

Forma locala a legii
Se transforma integrala de linie intr-o integrala de suprafata cu ajutorul formulei
lui Stokes si se obtine prima forma locala a legii, care se enunta astfel:
1. Rotorul campului electric stationar este nul in toa te punctele conductorului.
ds E dl E
S⋅×∇=⋅∫∫∫
Γ Γ 4.4.
0=×∇E 3.5.
Cu identitatea vectoriala:
0=gradV rot 3.6.
rezulta:
dV dl E− =⋅ 3.7.
Relatia 3.7. reprezinta a doua forma locala a teor emei care se enunta astfel:
2. Campul electric stationar deriva dintr-un potential scalar.

Observatie:
In regim electrocinetic stationar, suprafetele con ductoarelor nu sunt
echipotentiale, ca in regim electrostatic, deoarece in interiorul conductoarelor 0≠E.
Liniile campului electric in exteriorul conductoare lor sunt inclinate fata de normalele
suprafetelor acestora.

Consecintele teoremei
1. Tensiunea electrica intre doua puncte nu depinde de drum.
Se considera o portiune dintr-un conductor caruia i se aplica la capete o diferenta de
potential. Fie Γo curba inchisa. Pe conturul Γ se aplica teorema potentialului electric
stationar. Se obtine:

Fig. 3. 1
02
12
1=−=⋅+⋅=⋅∫∫∫
Γbfuudl Edl Edl E 3.8.
(fir) (borne)
unde fu este tensiunea in lungul firului. Rezulta ca:
bfuu= 3.9.
Γ E
dl
bu 1 2

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
32 relatia este valabila in regim stationar si in regi m variabil numai in cazul in care suprafata
limitata de curba Γ nu este traversata de un flux magnetic variabil.

2. In regim stationar tensiunea electrica dintre doua puncte se exprima prin diferenta
potentialelor punctelor.
Circulatia elementara a vectorului camp electric st ationar este o diferentiala totala
dV dl E− =⋅ .
Tensiunea dintre doua puncte 1 si 2 este egala cu d iferenta potentialelor punctelor.
212
12
112 VVdv dl Eu −=− =⋅=∫∫ 3.10.

3. Suma tensiunilor in lungul oricarei curbe inchise e ste nula
0
, 1=∑
∈=σk kbk u 3.11.
Relatia 3.11. reprezinta teorema a II-a a lui Kirch hoff.

III.3.2 Legea conservarii sarcinii electrice
Forma integrala a legii
Intensitatea curentului electric total ce iese din tr-o suprafata inchisa este egala cu
viteza de scadere a sarcinii electrice localizata i n interiorul acelei suprafete inchise.
dt dq is
s− = 3.12.
daca ds ji
ss⋅=∫si ∫⋅=
Vvdv qρ, atunci:
∫∫⋅− =⋅
vv
sdv dt dds j ρ 3.13.
Relatia 3.13, reprezinta forma integrala a legii i n care j este densitatea de curent si
vρ este densitatea de volum a sarcinii electrice, con siderate uniform distribuita in
volumul marginit de suprafata s. Deoarece in electr otehnica, sarcina electrica nu variaza
in timp, relatia 3. 13 devine:
∫=⋅
sds j0 3.14

Forma locala a legii
Daca integralei 3.14. i se aplica formula Gauss- Ostrogradski, ea se transforma
in:
∫∫=⋅ ⋅ ∇=⋅
v sdv j ds j 0 3.15.
0=⋅ ∇j, reprezinta forma locala a legii conservarii sarci nii electrice care se enunta
astfel: In oricare punct dintr-un conductor, diverg enta vectorului densitate de curent este
0.
Inseamna ca liniile vectorului densitate de curent sunt intotdeauna linii inchise.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
33 Pe baza legii conservarii sarcinii electrice se st abileste teorema I a lui Kirchhoff
care se enunta astfel: Suma algebrica a intensitati ilor curentilor electrice ce concura intr-
un nod de retea este intotdeauna 0.

Fig.3.2

Pentru a stabili teorema I a lui Kirchhoff se cons idera o suprafata oarecare ce
inconjoara nodul respective pentru care se scrie le gea conservarii sarcinii electrice 0 =si.
Deoarece suprafata este oarecare ea poate fi micsor ata pana la punctul respectiv. Curentii
care intra in nod se opun normalei exterioare la su prafata respectiva si in suma se vor lua
cu semnul “-” si cei care ies din nod, deoarece au sensul normalei exterioare la suprafata
respectiva se vor lua cu semnul “+”.
04321 =++−− iiii 3.16.

III.3.3. Teorema continuitatii linilor de curent si consecintele teoremei
Teorema continuitatii liniilor de curent se obtine prin aplicarea legii conservarii
sarcinii in regim stationar (curent continuu). In r egim stationar, sarcinile dintr-un volum
sunt inlocuite cu altele, ca urmare a trecerii cure ntului electric, insa suma sarcinilor din
volumul considerat, este constanta. Termenul dt dq s din legea conservarii sarcinii electrice
este nul.

Forma integrala a teoremei
In oricare moment, suma algebrica a curentilor car e traverseaza o suprafata
oarecare, inchisa, ∑, este nula.
0=si 3.17.
Forma integrala dezvoltata a teoremei continuitati i liniilor de curent se scrie:
0=⋅∫
sds j, 3.18.
relatie in care normala pozitiva a suprafetei este normala exterioara. Prin urmare, in suma
algebrica din relatia 3.17. sunt pozitivi curentii care ies din suprafata si negativi cei care
intra in suprafata.

Forma locala a teoremei
In oricare punct al campului electrocinetic statio nar divergenta vectorului
densitatii curentului de conductie este nula. 1i 2i
3i
4i

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
34 0=⋅ ∇j 3.19.
In regim stationar campul de vectori j este un camp fara surse. Liniile de curent
nu au inceput sau sfarsit, acestea sunt inchise. Cu rentul continuu circula numai pe cai
inchise.

Consecintele teoremei
1. La suprafata unui conductor traversat de curent con tinuu densitatea de curent este
tangentiala.
2. La trecerea printr-o suprafata de separatie dintre doua conductoare se conserva
componenta normala a denitatii de curent.
3. Prima teorema a lui Kirchhoff: Suma algebrica a int ensitatiilor curentilor electrice
ce concura intr-un nod de retea este intotdeauna 0.

III.3.4. Legea conductiei electrice. Legea lui Ohm
Forma loca a legii
Se considera o portiune de conductor ideal (omogen , izotrop si liniar), care
contine o sursa de tensiune, caruia i se aplica la capete o diferenta de potential.

Fig. 3. 3

Tensiunea electromotoare a sursei este:
∫⋅=2
1dl Eei 3.20.
unde iEeste intensitatea campului electric imprimat al sur sei. iE este un camp stationar
care prezinta interes numai in curent continuu.
Diferenta de potential aplicata la capetele conduc torului determina in interiorul
acestuia un camp electric de intensitate iE, dirijat in sensul cresterii potentialului.
Sub actiunea campului electric E determinat de diferenta de potential si a
campului imprimat iE al sursei, purtatorii liberi de sarcina din conduc tor se deplaseaza.
In conductor se stabileste un curent electric.
Conductorul opune rezistenta trecerii curentului e lectric, determinata de fortele de
frecare. Cu cat rezistenta opusa de conductor trece rii curentului este mai redusa, cu atat
intensitatea curentului electric (respective densit atea de curent j) este mai mare la
acelasi camp total E+iE.
Forma locala a legii se enunta astfel: 1 2 E e dl 1′
2′
bu

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
35 In oricare punct dintr-un conductor electric, suma dintre intensitatea campului
electric si intensitatea campului electric imprimat este egala cu produsul dintre o marime
ce caracterizeaza materialul din care este confecti onat conductorul respectiv numita
rezistivitate electrica si vectorul densitate de cu rent.
jEEi⋅=+ρ 3.21.

Forma integrala a legii
Pentru a stabili forma integrala a legii se consid era un conductor de lungime l si
sectiune constanta s care contine o susa de tennsiu ne electromotoare. Se integreaza relatia
3.21. si se obtine:
∫∫∫⋅ ⋅=⋅+⋅l l
il
dl j dl Edl E
0 0 0ρ 3.22.
Daca se considera ca intensitatea curentului elect ric este uniform distribuita in
sectiunea conductorului sij=, atunci:
∫∫∫⋅⋅=⋅+⋅l l
il
dl sidl Edl E
0 0 0ρ, 3.23.
in care:
dl Eul
⋅=∫
0, reprezinta tensiunea in lungul firului sau tensiu nea la bornele firului,
dl Eel
i⋅=∫
0, reprezinta tensiunea electromotoare a sursei,
∫=⋅=l
sl
sdl R
0ρρ , reprezinta rezistenta electrica a conductorului.
iReu ⋅=+ , reprezinta forma integrala a legii conductiei elect rice pentru o portiune
de circuit neomogena .
Daca portiunea de circuit nu contine surse, este d eci omogena 0=e, iRu⋅=
reprezinta legea conductiei electrice pentru o port iune de circuit omogen.
Daca conductorul respective neomogen este inchis, formeaza un circuit inchis,
atunci se integreaza forma locala a legii si se obt ine:
∫∫∫⋅=⋅+⋅
C Ci
Csdl idl Edl E ρ 3.24.
Prima integrala este nula pentru ca ea reprezinta teorema potentialului electric
care nu se modifica in electrocinetica.
A doua integrala se noteaza cu ∫⋅=
Citdl Ee si repreazinta tensiunea
electromotoare totala.
A treia integrala se noteaza cu ∫=
Ctsdl Rρ si reprezinta rezistenta electrica totala.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
36 iRett⋅=, reprezinta legea conductiei electrice pentru un cir cuit inchis, neramificat
si neinductiv , in care:
– te, reprezinta tensiunea electromotoare totala, care poate fi suma algebrica a mai multor
tensiuni electromotoare, daca pe circuitul respecti v sunt mai multe surse de tensiune
electromotoare;
– tR, reprezinta rezistenta totala, poate fi suma mai m ultor rezistente.

Teorema a II-a a lui Kirchhoff
Teorema a II-a a lui Kirchhoff se deduce folosind legea conductiei electrice. Este
o teorema de ochi care se enunta astfel: Suma algeb rica a produselor dintre rezistentele
electrice si curentii electrici dintr-un ochi de re tea electrica este egala cu suma algebrica a
tensiunilor electromotoare din acelasi ochi de rete a.
k kkeiR∑=⋅∑
Se alege mai intai un sens arbitrar de parcurgere a ochiului respective; daca sensul
de parcurgere coincide cu sensul curentului, atunci produsul kkiR⋅ se va lua cu semnul
plus in suma, daca nu, se va lua cu semnul minus. P rodusul kkiR⋅ se numeste si cadere
de tensiune pe rezistorul kR.
De asemeni daca sensul de parcurgere pe ochi ales conventional coincide cu
sensul tensiunii electromotoare, atunci aceasta se va lua cu semnul plus, daca nu cu
semnul minus.

III.3.5. Legea transformarii energiei in conductoar ele electrice. Legea Joule – Lentz.
Forma locala a legii
Puterea electrica cedata unitatii de volum de cond uctor de catre campul electric
este egala cu produsul scalar dintre intensitatea c ampului electric si densitatea curentului
electric de conductie.
jEp⋅= 3.25.
[ ]mVESI =; [ ]2mAjSI =; [ ]3mWpSI =
Daca se tine cont de forma locala a legii conducti ei electrice, vom avea:
jEEi⋅=+ρ 3.26.
iEjE−⋅=ρ 3.27.
()jEjpi⋅−⋅=ρ 3.28.
jEjp i⋅−⋅=2ρ 3.29.

Se constata ca puterea cedata unitatii de volum de conductor de catre campul
electric are doi termeni: unul pozitiv intotdeauna ()2j⋅ρ, care reprezinta o putere
consumata in unitatea de volum datorata rezistivita tii conductorului, iar celalalt termen
()jEi⋅ este pozitiv, daca sensul campului electric imprim at coinide cu sensul lui j. In
acest caz campul electric imprimat cedeaza la randu l sau putere unitatii de volum de
conductor. Daca insa produsul este negativ inseamna ca sensul campului electric

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
37 imprimat se opune vectorului j si campul electric imprimat nu dezvolta putere ci
consuma.
Pentru a determina forma integrala a legii se consi dera un element de volum de
conductor cu sectiunea constanta s si de lungime dl .
dl sdv ⋅= 3.30.

Se integreaza relatia 3.30. pe intreg volumul de c onductor si se obtine:
∫⋅=
vdv pP , 3.31.
in care P este puterea electrica cedata intregului conductor .
∫∫⋅ ⋅−⋅⋅=
vi
vdv jEdv j P2ρ 3.32.
Daca se tine cont ca i este uniform distribuita in sectiunea conductorulu i sij=,
cele doua integrale de volum devin integrale de lin ie.
dl ssiEdl ssiPi⋅ ⋅⋅−⋅ ⋅⋅= ∫∫ 22
ρ 3.33.
∫⋅⋅−⋅= dl EiiRPi2 3.34.
i eiRP ⋅−⋅=2 3.35.
Relatia 3.35. reprezinta forma integrala a legii t ransformarii energiei in
conductoarele electrice.
2iR⋅, reprezinta puterea electrica consumata in rezisto arele retelei si este intotdeauna
pozitiva.
tiRWc⋅⋅=2 3.36.
Relatia 3.36. reprezinta energia electrica consuma ta.
ie⋅, reprezinta puterea generata de surse. Daca sensul tensiunii electromotoare coincide
cu sensul intensitatii curentului electric ce parcu rge sursa respectiva, atunci produsul
respectiv este pozitiv si sursa respectiva genereaz a putere electrica si in timp sursa
respectiva genereaza energie electrica t i e Wg⋅ ⋅=.
Daca sensul tensiunii electromotoare este opus sen sului intensitatii curentului
electric ce parcurge sursa, atunci produsul respect iv este negativ si sursa respectiva
consuma putere electrica si deci in timp energie el ectrica.
Legea transformarii energiei se foloseste la deter minarea teoremei bilantului
puterilor care se enunta astfel: Puterea electrica cedata de sursele electrice unei retele
electrice este integral consumata in rezistoarele a celei retele electrice .
2
kk kk iRie ⋅∑=⋅∑ 3.37.
Teorema bilantului puterilor se foloseste ca metod a de verificare a calculului
retelelor electrice de curent continuu, indiferent de metoda de calcul folosita.

III.3.6. Reguli de semne in circuitele electrice de curent continuu
Daca se considera mai multe curbe inchise pentru c are se aplica legea conductiei
electrice se va obtine aceeasi valoare a intensitat ii curentului electric.
Fie circuitul electric din figura

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
38

Fig. 3. 4

Fie curba C1 inchisa prin EUREAB ,,,1 pentru care se scrie ecuatia :
EUiRAB =+⋅1 3.38.
1ReUiAB +−= 3.39.
Se considera curba C2 inchisa prin AB UR,2 pentru care se scrie ecuatia:
02 =−⋅AB UiR 3.40
2RUiAB = 3.41.
Se considera curba C3 inchisa prin circuitul insusi, pentru care se scri e ecuatia:
21RRei+= 3.42.
Se constata ca in relatia 3.39. tensiunea AB U are semnul minus, ceea ce inseamna
ca in circuit, s-a tinut cont la scrierea legii con ductiei electrice, de regula semnelor de la
generatoare. In acest caz intensitatea curentului e lectric circula de la B la A pe cand
tensiunea electrica are sensul de la A la B.
In relatia 3.41., tensiunea electrica are semnul p lus, ceea ce insemana ca in circuit,
s-a tinut cont la scrierea legii conductiei electri ce, de regula semnelor de la receptoare.
Intensitatea curentului electric circula de la A la B, iar tensiunea electrica are sensul tot de
la A la B.

III.3.7. Rezistente echivalente. Conductante echiva lente.
a) Legarea in serie a rezistoarelor
Rezistenta echivalenta a n rezistoare legate in ser ie este mai mare decat cea mai
mare dintre cele n rezistoare .
Se considera n rezistoare cu rezistentele nRRR,……., ,21 legate in serie ca in
schema de mai jos:
1u 2u nu i
u 1R 2R nR e i 1R A
B AB U 2R

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
39 Fig. 3. 5
Se alege o curba care se inchide pe la bornele fiec arui rezistor si pe la bornele
circuitului pentru care se scrie teorema potentialu lui electric stationar.
0=⋅∫
Γdl E 3.43.
0 .. ………. 2 1 =−⋅+ +⋅+⋅ uiR iRiRn 3.44.
( )nR RRiu + ++⋅= … ………. 21 3.45.
Presupunand ca si tensiunea electrica u de la bornele circuitului este egala cu
produsul dintre acelasi curent i si o rezistenta electrica, care produce acelasi ef ect ca cele
n rezistoare legate in serie, se numeste rezistenta echivalenta.
( )n e R RRiiR +++⋅=⋅ ………. 21 3.46.
∑
==n
kk eRR
1 3.47.
Inversul rezistentei electrice se numeste conducta nta si se noteaza cu G.
[ ]SGRGSI = =,1
∑
==n
kk eGG111 3.48.

b) Legarea in paralel a rezistoarelor
Se considera n rezistoare cu rezistentele nR RR .,……… ,21 cunoscute si legate in paralel
ca in schema de mai jos:

Fig. 3. 6

La legarea in paralel, tensiunea electrica se cons erva uu uun==== ……….. 21
Daca se aplica teorema I a lui Kirchhoff in nodul 1 vom avea:
0……….. 21 =++++−ni iii 3.49.
ni iii + ++= ….. ………. 21 3.50. u i
1i 2i ni
1R 2R nR

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
40 n nn
nRu
RuiRu
RuiRu
Rui
======
..2 22
211
1
1
3.51.



+++⋅=
nR RRui1…….. 11
21 3.52.
Presupunand ca intensitatea principala este egala cu raportul dintre tensiunea u si
o rezistenta care produce acelasi efect ca cele n r ezistente legate in paralel, numita
rezistenta echivalenta.



+++⋅=
n e R RRuRu 1……. 11
21 3.53.
∑
==n
kk eRR111 3.54.
Rezistenta echivalenta a n rezistoare legate in pa ralel este intotdeauna mai mica
decat cea mai mica rezistenta dintre cele n rezisto are legate in paralel.
Conductanta electrica pentru n rezistoare legate i n paralel este:
∑
==n
kk eGG
1 3.55.

c) Transfigurarea retelelor electrice
In multe cazuri rezistentele echivalente intre 2 bo rne ale unei retele electrice date nu
pot fi calculate cu metode cunoscute (legarea in se rie, paralela sau mixta a rezistentelor),
de aceea este necesar ca reteaua electrica sa fie transfigurata intr-o noua retea echivalenta
cu prima. Conditiile de transfigurare sunt:
– pentru ca reteaua electrica sa poata sa fie transfi gurata trebuie ca ea sa fie pasiva
(sa nu contina surse);
– potentialele electrice a doua borne ale retelei ele ctrice de transfigurat sa fie egala
cu potentialele electrice ale bornelor corespunzato are ale retelei transfigurate;
– bilantul electroenergetic al retelei de transfigura t sa fie acelasi cu bilantul
electroenergetic al retelei transfigurate;
– daca reteaua electrica de transfigurat admite o anu mita simetrie, atunci si reteaua
transfigurata trebuie sa admita aceeasi simetrie.

c1) Transigurarea triunghi – stea
Se considera o retea electrica avand forma unui tri unghi de rezistente 321,,RRR
cunoscute, care trebuie sa fie transfigurata intr-o stea echivalenta de rezistente
31 23 12 ,,RRR necunoscute.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
41

Fig. 3. 7

Pentru a transfigura un triunghi intr-o stea se pro cedeaza astfel: se calculeaza
rezistenta echivalenta intre doua perechi de borne consecutive ale retelei date care trebuie
sa fie egala cu rezistenta echivalenta intre bornel e corespunzatoare ale retelei
transfigurate.
()
321312
23 12 RRRRRRRRRRab b a+++=+ =′ ′ 3.56.
()
321213
31 23 RRRRRRRRRRbc c b+++=+ =′ ′ 3.57.
()
321321
31 12 RRRRRRRRRRca a c+++=+ =′ ′ 3.58.
Se aduna relatiile 3.56., 3.57., 3.58., memebru cu membru, se imparte la 2 si se
obtine relatia 3.59.
321313221
31 23 12 RRRRRRRRRRRR++⋅+⋅+⋅=++ 3.59.
Daca din 3.59., se scad pe rand relatiile 3.56., 3. 57., 3.58 se obtin urmatoarele
relatii:
32121
12 RRRRRR++⋅= 3.60.
32132
23 RRRRRR++⋅= 3.61.
32113
31 RRRRRR++⋅= 3.62.
Relatiile 3.60., 3.61., 3.62. sunt relatiile care d au rezistentele electrice stelate cand
se cunosc rezistentele triunghiului.
Observatie : Se constata ca rezistenta electrica stelata este egala cu produsul
rezistentelor laturilor adiacente ale triunghiului, corespunzatoare laturii stelei, impartita la
suma rezistentelor laturii triunghiului. a
b c 1R 2R
3R a′
b′ c′ 12 R
23 R 31 R

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
42 c2) Transfigurarea stea – triunghi
In acest caz se cunosc rezistentele electrice ale retelei stelate 321,,RRR si trebuie
determinate rezistentele triunghiului 31 23 12 ,,RRR .

Fig. 3. 8

Pentru a gasi formulele de transfigurare se proced eaza in felul urmator: se
scurtcircuiteaza o pereche de borne consecutive si apoi se calculeaza conductanta
echivalenta dintre bornele scurtcircuitate si borna libera si se egaleaza cu conductanta
echivalenta dintre bornele scurtcircuitate corespun zatoare retelei date.
( ) ( )()
321213
31 23 GGGGGGGGGG
sc sc ab b a+++=+ =′ ′ 3.63.
( ) ( )()
321321
31 12 GGGGGGGGGG
sc sc bc c b+++=+ =′ ′ 3.64.
( ) ( )()
321312
12 23 GGGGGGGGGG
sc sc ca a c+++=+ =′ ′ 3.65.
Se aduna relatiile 3.63., 3.64., 3.65., memebru cu membru, se imparte la 2 si se
obtine relatia 3.66.
321313221
31 23 12 GGGGGGGGGGGG++⋅+⋅+⋅=++ 3.66.
Daca din 3.66., se scad pe rand relatiile 3.63., 3. 64., 3.65 se obtin urmatoarele
relatii:
32121
12 GGGGGG++⋅= 3.67.
32132
23 GGGGGG++⋅= 3.68.
32113
31 GGGGGG++⋅= 3.69. a
b c 1R

2R 3R a′
b′ c′ 12 R
23 R 31 R

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
43 321
21 12 RRRRRR⋅++= 3.70.
132
32 23 RRRRRR⋅++= 3.71.
213
13 31 RRRRRR⋅++= 3.72.
Relatiile 3.70., 3.71., 3.72. sunt relatiile care d au rezistentele electrice ale
triunghiului, cand se cunosc rezistentele stelei.

III.3.8. Transportul energiei electrice in retelele de curent continuu
Pentru a transporta energia electrica in curent co ntinuu, este necesara o linie de
transport bifilara (formata din doua conductoare). Linia de transport are parametrii: l
lungimea unui conductor cunoscuta, ρrezistivitatea materialului din care este alcatuit
conductorul, s sectiunea conductorului care trebuie determinata.

Fig. 3. 9
1u- tensiunea de alimentare a linie
2u- tensiunea la receptor (consumator)
De obicei pe linie apare o cadere de tensiune din cauza rezistentei electrice a
liniei.
()iRRul⋅+=1 , iRu⋅=2 3.73.
unde ieste intensitatea curentului din linie.
Se noteaza cu uΔpierderea de tensiune pe linie.
iRuuul⋅=−=Δ21 3.74.
Prin linia respectiva se transporta putere electri ca si in timp energie electrica.
Se noteaza cu 1P puterea de intrare in linie si cu 2P puterea electrica la
consumator (iesirea din linie).
()2
11 iRRiuPl⋅+=⋅= 3.75.
2
22 iRiuP ⋅=⋅= 3.76.
Fie PΔ pierderea de putere in line.
2
21 iRi uPPPl⋅=⋅Δ=−=Δ 3.77.
Pentru ca transportul energiei electrice sa fie ca t mai eficient trebuie ca pierderea
de putere in linie sa fie cat mai mica. Se definest e ca randament de transport al liniei,
raportul celor doua puteri. i eR
R 1u 2u

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
44 1 11
121PP
PPP
PP Δ−=Δ−==η 3.78.
2iRPl⋅=Δ , slRl⋅⋅=ρ2, 22islP⋅⋅=Δρ 3.79.
Se defineste un 100 %
1⋅Δ= ΔPPadmisibil P , unde admisibil P%Δ se impune. Se
admite un admisibil P%Δ intre 3 si 5 %. In aceste conditii % 5%=ΔP . Randamentul de
transport al liniei, ajunge la valoarea de 95% din expresia lui %PΔ.
100 %1PPP⋅Δ=Δ 3.80.
2 12
100 %isl PP ⋅⋅=⋅Δ ρ 3.81.
12
%100 2
PPi ls⋅Δ⋅⋅ ⋅⋅=ρ 3.82.
11
uPi= 3.83.
2
11
%200
uP
Pls ⋅Δ⋅⋅=ρ 3.84.
η2
1PP= 3.85.
2
12
%200
uP
Pls⋅⋅Δ⋅⋅=ηρ 3.86.
Cu relatia 3.86. se calculeaza sectiunea liniei de transport dupa care se compara,
sectiunea calculata cu sectiunea standartizata si s e alege dintre sectiunea standartizata,
sectiunea imediat superioara celei calculate. Cu no ua sectiune se revine in relatia de
calcul si se determina pierderea de putere.

III.3.9.Transferul maxim de putere in retelele de c urent continuu.
Se considera o sursa de tensiune electromotoare ca re alimenteaza un rezistor de
rezistenta R variabila. Se pune problema sa se gase asca valoarea rezistentei R pentru care
puterea electrica consumata in ea sa fie maxima.
2iRP⋅= 3.87.
rRei+=, unde r este rezistenta interna a sursei 3.88.
( )22
rReRP
+⋅= 3.89.
0=dR dP , ()()
( )02
42 2 2
=
+⋅+⋅⋅−+
rRerRRrRe 3.90.
( )02
32=
+⋅−+⋅
rRRrRe 3.91.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
45 rR= 3.92.
Pentru ca la un consumator sa se transfere putere maxima, trebuie ca rezistenta
consumatorului sa fie egala cu rezistenta sursei.
( ) Re
RReRP⋅=
+⋅=42
22
3.93.
( ) 212
=+=⋅+⋅=⋅=⋅⋅=RRR
irRiR
eiR
i eiRη 3.94.
Puterea maxima transferata unui consumator se face cu randament slab de numai
50%.

III.3.10. Notiuni elementare de topologie a retelel or electrice.
Se numeste nod al unei retele electrice, punctul in care se leaga (se stabileste un
contact), trei sau mai multe laturi.
Se numeste latura a unei retele electrice, portiunea de circuit cupr insa intre doua
noduri, care contine cel putin un rezistor sau o su rsa.
Se numeste ochi o succesiune de laturi care formeaza o curba inchi sa.
Metodele utilizate pentru rezolvarea circuitelor d e curent continuu sunt:
1. Metoda teorema lui Kirchhoff.
2. Metoda curentilor ciclici
3. Metoda superpozitiei
4. Metoda potentialelor la noduri
5. Metoda generatorului de curent echivalent (metoda l ui Norton)
6. Metoda generatorului de tensiune echivalent (metoda lui Thevemn)

1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff
Fie o retea electrica care are l laturi si n noduri. Se stabileste sensul de parcurgere al
intensitatilor curentilor electrici din laturile re telei, considetate neconoscutele sistemului
de ecuatii.
De obicei se cunosc rezistentele rezistoarelor si t ensiunile electromotoare ale surselor.
Pentru determinarea intensitatilor curentilor elect rici trebuie sa se scrie un sistem de l
ecuatii cu n necunoscute, deoarece necunoscutele coincid cu numa rul laturilor retelei. In
baza teoremei I a lui Kirchhoff se va scrie n – 1 ecuatii independente. In baza teoremei a
II-a a lui Kirchhoff se va scrie l – n + 1 ecuatii independente.
Relatia l – n + 1 da si numarul ochiurilor fundamentale ale unei rete le. Pentru scrierea
ecuatiilor in baza teoremei a II-a a lui Kirchhoff se alege pe fiecare ochi un sens de
parcurgere al ochiului. Daca sensul de parcurgere c oincide cu sensul intensitatii
curentului dintr-o latura ce apartine ochiului, atu nci produsul iR⋅ din acea latura va fi cu
plus, daca nu acelasi produs va fi cu minus. Daca s ensul de parcurgere al ochiului,
coincide cu sensul tensiunii electromotoare, atunci aceasta se va lua cu semnul plus, daca
nu se va lua cu semnul minus. Dupa scrierea sistemu lui de ecuatii si rezolvarea lui se
determina intensitatiile curentilor electrici ale r etelei date. Pentru verificarea rezultatelor
se foloseste teorema bilantului puterilor.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
46 2. Metoda curentilor ciclici
Prin aceasta metoda se reduce numarul de necunoscut e de la l cate laturi are reteaua la
l – n +1 cate ochiuri fundamentale ale reteaua data. De ace asta data necunoscutele sunt
niste curenti a caror valoare pe ochi nu se modific a, numiti curenti ciclici, simbolizati
printr-un cerc in interiorul caruia se scrie simbol ul j si se ataseaza un sens acestui curent.
Se scrie astfel un sistem de ecuatii de forma:



=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅
∑∑∑
m mmm m mmmmm
ejR jRjRejR jRjRejR jRjR
………. ….. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ……… ………
22 112 2 222 121 1 1 212 111
3.95.

In care coeficientii de forma kk R reprezinta rezistenta totala a ochiului k, parcurs de
curentul ciclic kj. Aceasta rezistenta este intotdeauna pozitiva, deo arece depinde de un
singur curent ciclic.
Coeficientii de forma pk kp RR= reprezinta rezistenta electrica comuna ochiurilor k si
p, parcurse de curentii ciclici kjsi pj. Daca cei doi curenti ciclici parcurg in acelasi s ens
(de sus in jos sau de jos in sus), rezistenta comun a, atunci aceasta se va lua cu plus, daca
nu se va lua cu minus.
Observatie: Se tine cont de sensul curentilor ciclici de parcur gere a rezistentei
comune si nu de sensul lor pe ochi .
mj jj ,,……… ,21 se numesc curentii ciclici, necunoscutele ce trebu iesc determinate.
∑kereprezinta suma algebrica a tensiunilor electromoto are din ochiul k parcurs de
curentul ciclic kj. Daca sensul curentului ciclic kj coincide cu sensul tensiunii
electromotoare ke, atunci aceasta se va lua cu plus, daca nu cu minu s. Dupa rezolvarea
sistemului de ecuatii si determinarea curentilor ci clici, se calculeaza intensitatile
curentilor electrici din laturile retelei, in funct ie de curentii ciclici ce parcurg aceste laturi.
Un curent electric dintr-o latura poate fi suma alg ebrica a cel mult doi curenti ciclici.
Dupa calcul intensitatilor curentilor reali din lat urile retelei se verifica rezultatele folosind
teorema bilantului puterilor.

3. Metoda suprapozitiei (metoda suprapunerii efecte lor)
Prin aceasta metoda se inlocuieste reteaua electric a data cu tot atatea retele
simple, cate surse de tensiune electromotoare are r eteaua data. In fiecare dintre retelele
simple, va actiona o singura sursa de tensiune elec tromotoare, celelalte fiind pasivizate. A
pasiviza o sursa, inseamna a o scoate din latura re spectiva, dar ai pastra rezistenta interna.
Se rezolva retelele simple determinandu-se intensit atile curentilor din laturile lor,
printr-o metoda cunoscuta (metoda teoremelor lui Ki rchhoff sau metoda rezistentelor
echivalente). Apoi se suprapun retelele simple cu r eteaua data si se determina
intensitatiile curentilor din laturile retelei date in functie de intensitatile curentilor din
laturile corespunzatoare retelelor simple. Curentul dintr-o latura a retelei date va fi suma
algebrica a curentilor din laturile corespunzatoare retelelor simple. Dupa calcul

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
47 intensitatilor curentilor din laturile retelei se v erifica rezultatele folosind teorema
bilantului puterilor.

4. Metoda potentialelor la noduri
Prin aceasta metoda se reduce numarul de ecuatii de la l cate laturi are reteaua la n
-1 cate noduri independente are reteaua. Reducerea este cu atat mai mare cu cat numarul
de noduri este mai mic. Metoda este avantajoasa pen tru retele electrice cu multe laturi,
dar cu noduri putine, adica pentru retelele electri ce cu multe laturi in paralel.
Necunoscutele sunt de aceasta data potentialele ele ctrice ale celor n -1 noduri referitoare
la potentialul nodului presupus 0.
Se scrie astfel un sistem de ecuatii de forma:
( )
( )
( )


∑− =⋅++⋅+⋅∑− =⋅++⋅+⋅∑− =⋅++⋅+⋅
m sc mmm m msc mmsc mm
I VG VGVGI VG VGVGI VG VGVG
………. …. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………..
22 112 2 222 121 1 1 212 111
3.96.

Coeficientii de forma kk G reprezinta suma conductantelor laturilor legate la nodul
k. Aceasta suma este intotdeauna pozitiva.
Coeficientii de forma pk kp GG= reprezinta suma conductantelor laturilor, legate
direct, nu prin intermediul vreunui nou intre nodur ile k si p. Acesti coeficienti se iau
intotdeauna cu semnul minus.
mV VV …., ………. ,……… ,21 sunt potentialele electrice necunoscute ale celor n – 1
noduri.
( )k sc I∑−, reprezinta suma curentilor de scurtcircuit de la nodul k, luata cu semn
sechimbat fata de teorema I a lui Kirchhoff. Curent i de scurtcircuit dau numai laturile
care contin surse de tensiuni electromotoare. Curen tul de scurtcircuit dintr-o latura se
defineste ca raportul dintre tensiunea electromotoa re totala a laturii respective si
rezistenta electrica totala a laturii respective.
Daca sursa de tensiune electromotoare are sensul d e a intra in nodul k, atunci
dupa Kirchhoff I curentul respectiv va fi cu minus si tinand cont de minusul din fata
sumei va rezulta in final cu +. Daca insa sursa de tensiune electromotoare are sensul de a
iesi din nodul k, curentul respectiv va fi cu plus si tinand cont de minusul din fata sumei
va rezultat in final cu minus.
Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii si determina rea potentialelor electrice se
calculeaza curentii electrici din fiecare latura, a plicand fiecarei laturi, legea conductiei
electrice ca in modelul de mai jos:
k pm kk eUiR =−⋅ 3.97.
( )mpk
kk VVeRi −+⋅=1 3.98.
( )mpkk k VVeGi −+⋅= 3.99.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
48

Dupa calcul intensitatilor curentilor din laturile retelei se verifica rezultatele
folosind teorema bilantului puterilor.

5. Metoda generatorului de curent echivalent (metod a lui Norton)
Cu ajutorul acestei metode se calculeaza tensiunea electrica la bornele unei laturii
pasive a unei retele electrice.
0AB AB ABsc
AB GGIU+= 3.100.
AB U reprezinta tensiunea electrica ce trebuie determin ata
ABsc I reprezinta intensitatea curentului electric calcul ata dupa ce s-a scos rezistenta laturii
AB si dupa ce s-a scurtcircuitat latura AB. Pentru determinarea curentului respectiv este
necesar sa se aleaga o curba inchisa care sa contin a in mod obligatoriu latura
scurtcircuitata.
0AB G reprezinta conductanta echivalenta intre bornele A si B dupa ce s-a scos latura AB
si dupa ce s-a pasivizat reteaua.
AB Greprezinta conductanta laturii AB

6. Metoda generatorului de tensiune echivalent (met oda lui Thevemn)
Prin aceasta metoda se calculeaza intensitatea cur entului electric dintr-o latura
pasiva a unei retele electrice dupa formula:
00
AB AB AB
AB RRUi+= 3.101.
AB i reprezinta intensitatea curentului electric ce tre buie determinat
0AB Ureprezinta tensiunea electrica intre bornele A si B calculata dupa ce s-a scos
rezistenta laturii AB. Pentru calculul lui 0AB Ueste necesar sa se aleaga un ochi care sa
contina necunoscuta 0AB U, pentru care se aplica legea conductiei electrice. La calculul lui
0AB Uva fi necesar determinarea a cel putin un curent el ectric ce parcurge o parte din
ochiul ales.
0AB Rreprezinta rezistenta echivalenta calculata intre b ornele A si B dupa ce s-a scos
rezistenta laturii AB si dupa ce s-a pasivizat rete aua..
AB Rreprezinta rezistenta laturii AB.

kekRki

pVmV
pm U

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
49 IV. Electrodinamica
Electrodinamica este ramura electromagnetismului c are studiaz ă st ările electrice
și magnetice variabile în timp.
Câmpul magnetic este produs de corpurile magnetiza te, de conductoarele
traversate de curen ți electrici, de corpurile electrizate în mi șcare și de varia ția în timp a
curentului electric.
Câmpul magnetic este pus în eviden ță de for țele și cuplurile pe care acestea le
exercit ă asupra magne ților permanen ți și asupra conductoarelor traversate de curent
electric.
Câmpul magnetic este caracterizat în fiecare punct de dou ă m ărimi vectoriale:
– induc ția magnetic ă B, m ăsurat ă în T;
– intensitatea câmpului magnetic, H, m ăsurat ă în mA.
Câmpul magnetic este o m ărime fizic ă vectorial ă ce caracterizeaz ă spa țiul din
vecin ătatea unui magnet.

IV.1. For țe în câmp magnetic.
1). For ța electromagnetic ă (for ța lui Laplace)
For ța electromagnetic ă, numit ă și for ța lui Laplace, este for ța exercitat ă de un
câmp magnetic asupra unui conductor traversat de cu rent electric, datorit ă interac țiunii
dintre câmpul existent și câmpul creat de curentul electric ce str ăbate conductorul.
Se știe din fizic ă c ă asupra unei sarcini elementare dq care se deplaseaz ă cu viteza
v și p ătrunde într-un câmp de induc ție B, se exercit ă o for ță elementar ă proporțional ă cu
produsul vectorial dintre viteza v și induc ția magnetic ă B.
B x vdq F d⋅= 4.1.
Dac ă se consider ă o por țiune de circuit (de conductor de lungime dl ), atunci viteza
electronilor liberi din por țiunea de conductor are expresia:
dt l dv=, 4.2.
atunci,
B x l ddt dq F d= , 4.3.
ținând cont c ă:
idt dq = (intensitatea curentului ce parcurge elementul de conductor), 4.4.
rezult ă:
B x l d i F d=. 4.5.
Direc ția este perpendicular ă pe planul determinat de curentul electric și de direc ția
câmpului magnetic. Sensul este dat de regula mâinii stângi: se a șeaz ă palma mâinii
stângi de-a lungul conductorului parcurs de curent electric, cu cele patru degete întinse
în sensul curentului electric astfel încât induc ția magnetic ă s ă intre în palm ă iar degetul
mare întins la 90 0 d ă sensul for ței electromagnetice .
αsin dl B idF = . 4.6.
For ța total ă pe întreg conductorul va fii:

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
50 ∫= =l
Bil Bidl F
0sin sin α α , 4.7.
B – induc ția magnetic ă,
i- intensitatea curentului electric ce str ăbate conductorul aflat în câmp magnetic,
l – lungimea conductorului, care se afl ă în câmp,
α- reprezint ă unghiul dintre conductor și direc ția vectorului induc ție magnetic ă.
1. Dac ă 0=α, induc ția magnetic ă este paralel ă cu conductorul și 0=F
2. Dac ă 2πα= atunci for ța respectiv ă este maxim ă și are valoarea Bil F=.

1. Se consider ă un câmp magnetic uniform (cu linii de câmp paralel e și
echidistante), produs de exemplu între poli unui ma gnet permanent și un
conductor rectiliniu, perpendicular pe liniile câmp ului magnetic, traversat de un
curent i.

Fig. nr. 4.1

Experien ța arat ă c ă în câmpul magnetic, conductorul este supus unei fo r țe
magnetice:
Bil F= 4.8.

2. În cazul în care conductorul este înclinat fa ță de liniile câmpului magnetic
uniform cu un unghi α, constat ările experimentale conduc la aceea și concluzie în
privin ța direc ției și sensului for ței, îns ă modului for ței este:
αsin Bil F= 4.9.

Fig. nr. 4.2

3. Se consider ă cazul general al unui conductor filiform oarecare, Γ aflat într-un
câmp magnetic neuniform. Fie M un punct pe curba Γ, l d- elementul de linie, și B α
F B i
F

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
51 Binduc ția magnetic ă în punctul M. Deoarece elementul de linie este foa rte mic se
poate considera c ă în jurul acestuia câmpul magnetic este uniform. Câ mpul
exercit ă asupra elementului de linie for ța elementar ă:
B x l d iF d=, 4.10
∫
Γ=B x l diF . 4.11.

Fig. nr.4.3
Observa ție : Func ționarea unor aparate de m ăsur ă și a ma șinilor electrice se bazeaz ă
pe for ța electromagnetic ă.

2). Teorema lui Amper
Se refer ă la vectorul induc ție magnetic ă și se enun ță astfel: Circula ția vectorului
induc ție magnetic ă pe oricare curb ă care înl ănțuie o singur ă dat ă un circuit închis este
egal ă cu produs dintre curentul electric și o m ărime ce caracterizeaz ă vidul numit ă
permeabilitatea magnetic ă a vidului 0µ.
il d B
C0µ=∫ 4.12.
Dac ă aceea curb ă închis ă nu înl ănțuie circuitul respectiv atunci circula ția
respectiv ă este 0.
0µ – reprezint ă permeabilitatea magnetic ă a vidului și are valoarea:
mH7
010 4−=πµ .
Dac ă mediul magnetic nu este vidul, rela ția devine:
il d B
Cµ=∫, 4.13.
în care µeste permeabilitatea absolut ă a mediului respectiv și este egal ă cu produsul
dintre permeabilitatea vidului și permeabilitatea relativ ă rµµµ0=. l d i Γ
B
F

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
52 rµ permeabilitatea relativa a mediului respectiv, est e un num ăr adimensional care
arat ă de câte ori este mai mare permeabilitatea unui med iu oarecare în compara ție cu
permeabilitatea vidului.
Dac ă circuitul respectiv are N spire (este o bobin ă) atunci teorema devine:
i Nl d B
Cµ=∫ 4.14.
Cu ajutorul teoremei lui Amper se pot calcula indu c țiile magnetice ale anumitor
tipuri de circuite.
a) induc ția magnetic ă produs ă de un conductor infinit lung parcurs de curentul i,
produs ă într-un punct la distan ța d de conductor. Vom considera conductorul
perpendicular pe planul foii.
Se consider ă o curb ă închis ă prin P aflat la distan ța d de conductor. Dac ă mediul
este omogen, atunci curba respectiv ă este un cerc.
il d B
C0µ=∫, 4.15.
iB d0 2µπ=, 4.16.
diBπµ
20=. 4.17.
Dac ă [ ]mH
SI =0µ , []AiSI =, []mdSI =, ⇒ [ ]2mWb BSI =.

Fig. nr. 4.4

Sensul induc ției magnetice este dat de regula burghiului drept. În figura 4.4. se
presupune c ă acel conductor se închide la ∞deoarece numai în acest caz, circul ă
curent prin el. Sensul curentului în conductor este de a intra în planul conductorului.
Induc ția magnetic ă are aceeași valoare în oricare punct al cercului de raz ă d, dar î și
schimb ă sensul în oricare din punctele de pe cerc fiind me reu perpendicular ă pe raza
dus ă din punctul respectiv (tangent la cerc). Cercul re spectiv reprezint ă linia de
induc ție magnetic ă.

b) inducția magnetic ă produs ă de o bobin ă de lungime l și care are N spire parcurse de
curentul i. B P
i d

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
53 i Nl d B
Cµ=∫, 4.18.
i Nl Bµ=⇒ li NBµ=, 4.19.
unde l reprezint ă lungimea activ ă a bobinei cea corespunz ătoare celor N spire.
Observa ție : Expresia induc ției magnetice calculat ă dup ă formula respectiv ă este
valabil ă numai într-un punct în centrul bobinei în axa ei. Valoarea respectiv ă este
numai în centrul bobinei, deoarece lungimea este fi nită.

c) induc ția magnetic ă într-un punct din axul unui torr care are N spire parcurse de
curentul i și care are raza medie Rm. Se va considera c ă acea curb ă se închide prin
axul torrului.
i Nl d B
Cµ=∫, 4.20.
i NBRmµπ=2 ⇒
mRi NBπµ
2= 4.21.
Induc ția magnetic ă este aceea și ca valoarea în oricare punct din axul torrului.

3) For țe electrodinamice
For țele electrodinamice apar între circuite electrice s au între por țiuni de circuite
electrice parcurse de curen ți electrici de conduc ție. Se consider ă dou ă conductoarele
paralele de lungime l fiecare parcurse de curen ții 1i și respectiv 2i. Conductoarele
respective se afl ă în aer sau în vid. În func ție de modul cum sunt parcurse conductoarele
de c ătre curen ții de conduc ție apar întotdeauna for țe de interac țiune numite for țe
electrodinamice. Fie cele dou ă conductoare perpendiculare pe planul caietului. Am bii
curen ți intr ă.

Fig. nr. 4.5

d – este distan ța dintre cele dou ă conductoare,
Conductorul 1, traversat de intensitatea curentulu i i1 produce în oricare punct al
conductorului 2 un câmp magnetic B1, perpendicular pe planul format de cele dou ă
conductoare cu sensul din figur ă. Intensitatea curentului electric i1 creeaz ă un câmp
magnetic B1 care interac ționeaz ă cu intensitatea curentului i 2 determinând apari ția for ței
F12 . B1 B2
i1 i 2 F12 F 21

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
54 l i B F1 2 12 =, 4.22.
diBπµ
22 0
2=, 4.23.
ldi iFπµ
22 1 0
12 = , 4.24.
l i B F2 1 21 =, 4.25.
diBπµ
21 0
1=, 4.26.
ldi iFπµ
22 1 0
21 = . 4.27.
Se constat ă c ă cele dou ă for țe sunt egale în modul și reprezint ă for țe de atrac ție pe
sensurile lor între cele dou ă conductoare.
Dac ă se calculeaz ă induc ția magnetic ă total ă între cele dou ă conductoare se
constat ă c ă aceasta este egal ă cu diferen ța induc țiilor celor dou ă conductoare. Între
conductoare densitatea linilor de induc ție este în acest caz întotdeauna mai mic ă decât cea
din exteriorul conductoarelor astfel c ă aceste conductoare sunt supuse la presiune din
exterior spre interior și for ța este o for ță de atrac ție.
Dac ă cele dou ă conductoare sunt parcurse în sens contrar de cei d oi curen ți, atunci
for ța electrodinamic ă este o for ță de respingere.

Fig.nr.4.6

În acest caz între cele dou ă conductoare, induc țiile magnetice au acela și sens
astfel c ă induc ția total ă este suma celor dou ă induc ții magnetice, deci, în acest caz,
densitatea liniilor de induc ție magnetic ă este mai mare decât în exteriorul conductoarelor,
astfel încât ele sunt supuse unei for țe de respingere.
Dac ă cele dou ă conductoare sunt infinit lungi for ța de interac țiune are expresia
ldi iFr
πµµ
22 1 0= . În acest caz, for ța este o for ță pe unitatea de lungime.
For țele electrodinamice pot ap ărea în circuitele electrice în anumite condi ții care
pot s ă duc ă la distrugerea circuitelor electrice.
În cazul scurtcircuitului pe barele unui post de t ransformare pot ap ărea curen ți
mari și foarte mari care pot duce la dezvoltarea de for țe mari și care în final s ă produc ă
smulgerea barelor. Pentru a evita acest aspect, bar ele respective se dimensioneaz ă și la
for țele electrodinamice.
• i1
F12
B2 i2
F21
B1

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
55 4). For ța lui Lorentz.
For ța lui Lorentz este for ța exercitat ă de un câmp magnetic de induc ție B asupra
unei sarcini q, punctual ă, care se afl ă în mi șcare rectilinie cu viteza v,

Fig. nr. 4.7

Experimental s-a constatat c ă for ța exercitat ă de un câmp magnetic asupra sarcinii
q în mi șcare are modulul:
αsin B v qF= , 4.28.
– α este unghiul dintre vectorii B și v,
– direc ția perpendicular ă pe planul format de vectorii B și v,
– sensul este dat de regula mâinii stângi, astfel î ncât exist ă rela ția:
B x v qF=. 4.29.
Dac ă sarcina se deplaseaz ă în lungul unei linii de câmp, for ța Lorentz se anuleaz ă.
În cazul general, în care sarcina punctual ă q este supus ă ac țiunilor electrice și
magnetice, într-un punct al spa țiului, în care câmpul electric are intensitatea E și câmpul
magnetic are induc ția B, forța exercitat ă asupra sarcinii reprezint ă suma dintre for ța
electric ă (independent ă de vitez ă) și for ța Lorentz (perpendicular ă pe for ța electric ă).
()B x vEqF+= , rela ție care reprezint ă matematic for ța lui Lorentz. 4.30.

IV.2. Actiuni ponderomotoare exercitate de campul m agnetic asupra unei bucle de
curent.
Deoarece campul magnetic exercita o forta asupra u nui element de circuit (forta
lui Laplace), corpul de proba in campul magnetic es te bucla de curent.
Bucla de curent este o spira mica, inchisa cu aria S traversata de un curent i
Bucla de curent se caracterizeaza prin momentul mag netic m, unde n si i au
sensurile asociate dupa regula burghiului drept.
Sn iS im ⋅ ⋅=⋅= 4.31.
Un camp magnetic in vid exercita asupra buclei de curent o forta si un cuplu.
↓
()Bmgrad F ⋅⋅= 4.32.
vBmC⋅= 4.33.
Sageata indica vectorul caruia i se aplica operato rul gradient. Cu vB s-a notat
inductia magnetica in vid. q
F α v
B

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
56 Intr-un camp omogen 0,==Fct Bv . Asupra unui corp mic, magnetizat se
exercita o forta si un cuplu.
Observatie: In regim stationar, un corp mic magnetizat cu momen tul magnetic m si o
bucla de curent traversata de curentul i, cu aria S sunt echivalente atat din punctul de
vedere al actiunilor ponderomotoare exercitate de u n camp magnetic exterior asupra lor,
cat si din punctul de vedere al campului magnetic, produs de acesta in vid, daca,
s im⋅=.

IV.3. Intensitatea campului magnetic. Formula Biot – Savart – Laplace
1. Intensitatea campului magnetic
Intensitatea campului magnetic, notata cu Heste definita in vid, prin raportul dintre
inductia magnerica si permeabilitatea magnetica a v idului.
0µBH=, [ ]mAHSI = 4.34.
In medii liniare din punct de vedere magnetic:
µBH= 4.35.
rµµµ⋅=0 4.36.
µ este permeabilitatea magnetica a mediului
0µ este permeabilitatea vidului
rµ este permeabilitatea relativa

2. Formula Biot – Savart – Laplace
In campuri magnetice stationare si cvasistationare, in vid sau in medii omogene
din punct de vedere magnetic, intensitatea campului magnetic se determina cu
formula stabilita pe cale experimentala de Biot, Sa vart si Laplace.
Se considera un circuit filiform Γ, parcurs de curentul i, care produce intr-un
punct M al spatiului, un camp magnetic de intensitate H. Fie dl un element de circuit
in jurul punctului P. In punctul M, intensitatea campului magnetic are formula:
∫
Γ×⋅⋅⋅=241
rdl iHrµ
π 4.37.
Expresia 4.37. reprezinta formula Biot – Savart – L aplace, in care r este distanta
dintre punctele P si M, iar rµ un versor dirijat dinspre P spre M, rPM
r=µ .

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
57
Fig. 4.8.
Obesrvatie: Integrala se calculeaza pe o curba inchisa deoarece curentii sunt inchisi.

IV.4. Legile campului magnetic
IV.4.1. Legea fluxului magnetic
Fluxul magnetic elementar printr-o suprafata elemen tara ds , se defineste ca
produsul scalar dintre inductia magnetica si elemen tul de suprafata.
s dBd⋅=φ , ds ns d⋅= 4.38.
[ ]2mWb BSI =, []2msSI =, []Wb SI =φ
Fluxul magnetic reprezinta fizic totalitatea linii lor de inductie magnetica ce
strabat suprafata respectiva.
1. Se considera un camp magnetic uniform, cu inductia B si o suprafata S plana,
perpendiculara pe liniile de camp magnetic.

Fig. nr. 4.9
Fie n normala la suprafata, dirijata in sensul vectorulu i inductie magnetica.
Fluxul magnetic prin suprafata S este definit de relatia:
0>⋅=SBφ 4.39.
2. Intr-un camp magnetic uniform, se considera o supra fata S inclinata fata de liniile
de camp. Fie αunghiul dintre vectorii n si B.
Fluxul magnetic prin suprafata S este definit prin produsul scalar dintre inductia
magnetica si suprafata S.
α φ cos ⋅⋅=SB 4.40.
i
Γ P dl
ru
r
M dH
n B S

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
58
Fig. 4.10

Din analiza relatiilor de mai sus, se constata ca fluxul magnetic este o marime
scalar algebrica, aceasta are un semn. Semnul fluxu lui depinde de sensul normalei la
suprafata.
– daca 2πα<, 0cos >⋅α, 0>φ;
– daca 0=α, 1cos =⋅α, φ are valoare maxima;
– daca 2πα=, 0cos =⋅α, 0=φ;
– daca 2πα>, 0cos <⋅α, 0<φ.
Sensul normalei la suprafata, prin care se determin a fluxul, se numeste sens de
referinta sau sens de calcul al fluxului.

3. Se considera cazul general, in care campul este neu niform si suprafata deschisa
prin care se determina fluxul magnetic este oarecar e. Fie M un punct pe suprafata
si un element orientat de suprafata ds ns d⋅=, in jurul punctului M. Elementul de
suprafata fiind foarte mic, se poate considera camp ul magnetic uniform in zona
acestei suprafete.

Fig . 4.11.

Fluul magnetic elementar prin suprafata ds este: S
n B α
S
B M n
dS

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
59 s dBd⋅=φ 4.41.
Fluxul magnetic prin suprafata S se obtine prin integrare.
∫∫⋅=
Ss dBφ 4.42.
Forma integrala a fluxului magnetic
Ansamblul constatarilor experimentale conduc la co ncluzia ca, oricare ar fi sursa
campului si prin orice suprafata inchisa, inductia magnetica este un camp de vectori cu
flux conservativ. Aceasta inseamna ca in orice mome nt, fluxul care intra printr-o parte a
suprafetei iese prin cealalta parte.

Enuntul formei integrale
In orice moment, fluxul magnetic, prin oricare supr afata inchisa din camp este
nul.
∫
∑=⋅0S dB 4.43.
Legea fluxului magnetic este o lege general valabi la, in regimuri stationare si
variabile, exprimand o proprietate intrinseca, de s tructura, a campului electromagnetic si
anume caracterul conservativ al fluxului magnetic.

Forma locala a legii
Daca se transforma integrala de suprafata in integ rala de volum cu ajutorul
formulei Gauss – Ostrogradski relatia devine:
∫ ∫
∑=⋅⋅ ∇=⋅ 0
vdv Bs dB 4.44.
Deoarece suprafata respectiva este oarecare inseam na ca si volumul delimitat de
ea va fi oarecare astfel ca acel volum se poate mic sora oricat de mult pana la un punct,
cand relatia devine:
0=⋅ ∇B 4.45.
Relatia 4.45. reprezinta forma locala a legii flux ului magnetic care se enunta
astfel: In oricare punct divergenta vectorului inductie mag netica este 0 .

Consecinte ale legii fluxului magnetic
1. Deoarece divergenta vectorului inductie magnetica e ste 0, inseamna ca liniile de
inductie magnetica formeaza intotdeauna curbe inchi se.
2. Deoarece rotorul inductiei magnetice este diferit d e 0 (vezi legea circuitului
magnetic), inseamna ca acest camp magnetic este un camp rotational numit camp
solenoidal.
3. La limita de separare a doua medii magnetice diferi te componentele normale ale
inductiei magnetice se conserva.

Demonstratie:
Se considera o suprafata care separa doua medii m agnetice diferite de
permeabilitate 1µsi 2µ. Fie un disc care are bazele pe suprafata SΔ. Discul contine
ambele medii magnetice. Fie 1B inductia magnetica in mediul 1 care se descompune

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
60 in doua componente 1τBtangenta la suprafata discului si 1nB normala la suprafata
discului. De asemenea fie 2B inductia magnetica in mediul 2 care se descompune la
randul ei in 2τB si 2nB. Se aplica legea fluxului magnetic pe discul respe ctiv. Exista
flux magnetic numai prin bazele discului.

Fig. nr. 4.12

Daca se scrie legea fluxul magnetic se obtine:
02211 =Δ ⋅⋅+Δ ⋅⋅ SnBSnB n n 4.46.
00cos cos 2 1 =Δ ⋅ ⋅⋅+Δ ⋅⋅⋅ S BS Bn nπ 4.47.
02 1 =Δ ⋅+Δ ⋅− SBSBn n 4.48.
2 1n nBB= 4.49.
La limita de separare a doua medii magnetice difer ite componentele normale ale
inductiei magnetice se conserva adica sunt egale.

IV.4.2. Legea inductiei electromagnetice
Legea inductiei electromagnetice a fost descoperit a de Faraday, in 1831. Pornind
de la ideea ca un curent electric produce camp magn etic, Faraday a incercat sa obtina un
curent cu ajutorul unui camp magnetic si a constata t ca numai un camp magnetic variabil
produce curent electric.
Fenomenul inductiei electromagnetice consta in pro ducerea unei tensiuni
electromotoare intr-un circuit, sau, in general, in lungul unei curbe inchise, prin variatia
fluxului magnetic printr-o suprafata inchisa.
Fluxul magnetic ce induce tensiune electromotoare se numeste flux magnetic
inductor, iar tensiunea electromotoare produsa se n umeste tensiune indusa. In cazul in 2n 2B
2nB
2τB
1n 1B
1nB
2τB
SΔ 1µ 2µ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
61 care circuitul in care se induce tensiune electromo toare este inchis, in acesta se stabileste
un curent, numit curent indus.

Forma integrala a legii
Tensiunea indusa in lungul oricarei curbe inchise Γ este egala, in orice moment,
cu viteza de scadere a fluxului magnetic prin orice suprafata deschisa ΓSmarginita de
curba Γ.
Forma integrala a legii se exprima matematic prin relatiile de mai jos:
dt deSΓ− =Γφ 4.50.
∫∫∫
Γ⋅− =⋅
Γ SS dBdt dl dE 4.51.

Fig. nr. 4.13.
Observatii:
a. Relatiile de mai sus sunt valabile oricare ar fi cauza de variatie a fluxului magnetic:
– inductia magnetica variabila in timp,
– circuit mobil intr-un camp magnetic permanent (co nstant),
– existenta simultana a celor doua cauze precedente .
Unitatea celor doua fenomene fizice este asigurata de principiul relativitatii:
aceleasi fenomene fizice pot avea efecte diferite i n functie de sistemul de referinta de
observatie. Astfel, fie ca se deplaseaza un circuit intr-un camp constant sau sursa de camp
in sens invers, circuitul fiind fix, se obtine acel asi rezultat.
b. Pentru o orientare aleasa a curbei Γ, marimile
ΓSsi eφ au sensuri bine definite, sensul
elementului de linie l d (care este sensul tensiunii e) si sensul normalei na suprafetei ΓS
sunt asociate dupa regula burghiului drept.
c. Curba Γ este, in general, aleasa in lungul unui circuit, d ar ea poate fi luata printr-un
mediu dielectric sau prin vid.
d. In cazul in care curba Γ este luata in lungul conductorului unei bobine, cu N spire
suprapuse, fluxul
ΓSφ, care intervine in expresia legii este fluxul prin toate spirele, numit
flux total: dS B
n
ΓS
Γ
edl ,

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
62 f SNφφ⋅=
Γ 4.52.
unde fφ este fluxul magnetic prin suprafata unei spire. Te nsiunea indusa in bobina cu N
spire de un flux magnetic variabil este:
dt dNefφ⋅− = 4.53.
e. Relatiile 4. 51. si 4.53. sunt omogene in privin ta unitatilor de masura.
f. Semnul minus din relatiile 4.51. si 4.53. este e xplicat de regulalui Lenz. Legea inductiei
electromagnetice este legea fundamentala a electrom agnetismului. Masinile si aparatele
electrice functioneaza pe baza fenomenului inductie i magnetice.

Caz particular
In regim stationar, fluxul magnetic este invariabi l in timp si tensiunea in lungul
oricari curbe inchise este nula.
0=⋅=∫
ΓΓ l dEe , relatie care exprima teorema potentialului electr ostatic si teorema
potentialului electrocinetic stationar, de unde rez ulta caracterul potential al campurilor
electrostatic si electrocinetic stationar.

Regula lui Lenz
Efectele tensiunii induse se opun variatiei fluxul ui inductor.

Forma integrala dezvoltata a legii
Forma integrala dezvoltata evidentiaza cauzele ten siunii electromotoare induse in
lungul unei curbe si anume:
– tensiunea magnetica variabila in timp,
– deplasarea curbei intr-un camp magnetic uniform.
Se considera o curba care se deplaseaza cu viteza v intr-un camp magnetic variabil in
timp.
In acest caz general inductia magnetica intr-un pun ct al curbei depinde de vectorul de
pozitie ral punctului si de timp ()t r fB,=. In sistemul de coordonate cartezian
Bdepinde de x, y si z si de timp. Derivata in raport cu timpul a inducti ei care intervine in
legea inductiei este o derivata substantiala care a re expresia:
( )vBBvtB
dt B d××∇+∇ ⋅+∂∂= 4.54.
Deoarece fluxul magnetic este conservativ, 0=∇B. Cu formula lui Stokes:
()()l dvBS dvB
S⋅×=⋅××∇ ∫ ∫∫
ΓΓ 4.55.
se obtine forma integrala dezvoltata a legii induct iei electromagnetice:
( )∫∫∫∫
Γ Γ×+∂∂− =⋅
Γl dBvS dtBl dE
S 4.56.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
63
Fig. 4.14. Tensiunea electromotoare indusa intr-o c urba care se deplaseaza intr-un
camp magnetic variabil in timp

Termenul ∫∫
Γ∂∂− S dtB, reprezinta tensiunea electromotoare indusa prin
transformare. Aceasta tensiune electromotoare este nula atunci cand campul magnetic
este invariabil in timp. Pe existenta acestei tensi uni electromotoare induse se bazeaza
functionarea transformatorului electric.
Al doilea termen ()∫
Γ×l dBv reprezinta tensiunea electromotoare indusa prin mi scare
care este diferita de zero numai atunci cand conduc torul in deplasarea sa taie liniile de
camp magnetic. Pe existenta acestei tensiuni se baz eaza functionarea masinilor electrice.

Forma locala a legii
Se aplica formula lui Stokes relatiei 4.56. si se obtine:
( )S dBv S dtBS dE
S S S⋅××∇+⋅∂∂− =⋅×∇ ∫∫∫∫∫∫
Γ Γ Γ, 4.57.
de unde rezulta expresia formei locale:
( )BvtBE ××∇+∂∂=×∇ 4.58.
Enuntul formei locale: In fiecare punct al unui co nductor, rotorul intensitatii
campului electric este egal cu suma dintre viteza d e scadere a inductiei magnetice si
rotorul fortei Lorentz pe unitatea de sarcina.
Campul electric E, produs prin inductie electromagnetica este un cam p
rotational, solenoidal, cu linii de camp inchise. R elatia 4.58. arata ca se obtine camp
electric prin variatia campului magnetic. In cazul particular al mediilor imobile, 0=v,
forma locala a legii are expresia:
tBE∂∂− =×∇ 4.59. x y z
r v
B
Γ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
64 Relatia 4.59. reprezinta a doua ecuatie a lui Maxw ell.

Aplicatii ale legii inductiei electromagnetice
1. Principiul de functionare al transformatorului elec tric
Transformatorul electric este un dispozitiv static, fara piese in miscare, care
transforma parametrii energiei electrice, valorile efective ale tensiunii si curentului.

Fig. nr. 4.15. Transformatorul monofazat de putere

Transformatorul monofazat de putere este construit din doua bobine. Infasurarile
transformatorului sunt dispuse pe un miez feromagne tic. Transferul de energie de la o
infasurare la alta se realizeaza prin inductie elec tromagnetica.
Se alimenteaza infasurarea primara cu tensiunea u s inusoidala, in aceasta se stabileste
curentul i, care produce un camp magnetic variabil in miez, cu expresia:
tmu ⋅⋅=ωφφsin 4.60.
Fluxul magnetic variabil induce in infasurarea sec undara cu n spire tensiunea
electromotoare:
t Ndt dNemu⋅⋅⋅⋅− =⋅− = ωωφφcos 2 2 2 , 4.61.
cu sensul dat de regula burghiului drept in raport cu fluxul util si cu valoarea efectiva:
2max 2
2φ⋅=NE , 4.62
tensiune care poate fi masurata la bornele infasura rii secundare.
Tensiunea electromotoare indusa de fluxul util in infasurarea primara, numita
tensiune de autoinductie, are expresia:
t Ndt dNemu⋅⋅⋅⋅− =⋅− = ωωφφcos 1 1 1 , 4.63.
sensul curentului 1i si valoarea efectiva:
21
1ωφ⋅⋅=mNE 4.64.
Raportul de transformare al transformatorului este definit prin raportul tensiunilor
induse: 1u
1i uφ
1σφ 1N2N
2u 2e

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
65 21
21
NN
EEk== , 4.65.
si este egal cu raportul numerelor de spire ale inf asurarilor.
Se noteaza cu 1σφ fluxul total de dispersie al infasurarii primare. Ecuatia de
tensiuni a infasurarii primare se obtine cu legea c onductiei electrice:
1 11
11 i Rdt d
dt dNuu=−⋅−σφφ 4.66.
de unde rezulta:
11
1 1 1 edt di Ru −+=σφ 4.67.
Atunci cand la bornele infasurarii secundare se le aga o sarcina, aceasta este
traversata de curentul 2i in sensul tensiunii electromotoare induse 2e. Notand cu 2σφ
fluxul de dispersie al infasurarii secundare si cu 2R rezistenta infasurarii secundare,
ecuatia de tensiuni a infasurarii secundare este:
2 22
22 i Rdt d
dt dNuu=− −−σφφ, 4.68.
de unde rezulta:
22
2 2 2 edt di Ru −+=−σφ 4.69.
Semnul minus din fata tensiunii 2us-a ales dupa regula de la generatoare in raport
cu sensul curentului 2i.

Principiul de functionare al generatorului de curen t continuu.
Se considera o spira a infasurarii rotorului care se roteste cu turatia n in campul
uniform produs de stator. Capetele spirei sunt lega te la doua lamele colectoare.
In miscarea lor cu viteza v numai conductoarele AB si CD taie liniile de camp
magnetic. In aceste doua conductoare se induc tensi uni electromotoare cu sensurile din
figura, cu expresia:
( )∫⋅⋅=⋅×=B
AlBvl dBve , 4.70.
unde l este lungimea conductorului.
Atunci cand conductorul AB se afla sub polul nord al campului inductor tensiunea
electromotoare indusa are valoarea maxima. Tensiune a electromotoare se anuleaza atunci
cand spira este perpendiculara pe liniile de camp ( in axa dintre poli inductia campului
inductor este nula). Tensiunea electromotoare isi s chimba sensul (de la B la A) atunci
cand conductorul AB ajunge sub polul sus inductor.
Tensiunea indusa in spira este:
v lBeS ⋅ ⋅⋅=2 4.71.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
66

Fig. nr. 4.16. Principiul de functionare al generat orului de curent continuu

Deoarece B are o repartitie aproximativ sinusoidal a la periferia rotorului,
tensiunea electromotoare indusa Se este aproximativ sinusoidala.
Peria 1P se gaseste mereu in contact cu acea lamela a colec torului la care este
legat conductorul de sub polul nord. Peria 2P este in contact cu lamela la care este legat
conductorul de sub polul sud. Prin urmare, tensiune a electromotoare dintre cele doua
perii isi pastreaza sensul (de la 1P la 2P). Colectorul redreseaza semialternanta negativa a
tensiunii electromotoare induse, transformand-o int r-o semialternanta pozitiva. Se obtine
o tensiune pulsatorie. Atunci cand rotorul este pre vazut cu mai multe spire, si colectorul
cu mai multe lamele, la bornele generatorului (lega te de periile 1Psi 2P) se obtine o
tensiune aproximativ constanta.

IV.4.3. Legea circuitului magnetic
Tensiunea magnetomotoare. Solenatie.
Se numeste tensiune magnetomotoare circulatia inte nsitatii campului magnetic in
lungul unei curbe inchise Γ:
∫
Γ⋅=dl Humm 4.72.
[]AuSI mm =
Se considera o curba inchisa Γ care inconjoara n conductoare filiforme,
traversate de curenti electrici.
Fie dl elementul de linie al curbei Γ, ΓS o suprafata deschisa marginita de curba
Γ, nnormala la suprafata ΓS, suma algebrica a curentilor care traverseaza supr afata:
∑
==
Γn
kk Si
1θ 4.73.
In aceasta suma sunt pozitivi curentii care au sen sul normalei n. Curentii cu sens
opus normalei n intra in suma cu semnul minus. 1P
2P A B
C
D N
S B v
v
e e
n

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
67

Fig. nr. 4.17. Solenatia

Forma integrala a legii
Intr-un punct al curbei Γdin figura de mai sus, fiecare curent ii, produce un camp
magnetic iH. Intensitatea campului magnetic in punctul de pe c urba Γ reprezinta suma
vectoriala a intensitatilor produse de cei n curent i.
Enuntul legii : Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe inc hise Γ,
este egala cu suma dintre solenatia curentilor care strabat o suprafata deschisa ΓS,
marginita de curba Γ si curentul de deplasare.
Curentul de deplasare este egal cu cu derivata in raport cu timpul a fluxului
electric.
Expresiile matematice ale legii circuitului sub fo rma integrala sunt:
dt duS
S mm Γ
Γ Γ⋅+=ϕθ 4.74.
ds Ddt dds Jdl H
S S⋅ +⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
Γ ΓΓ 4.75.
Observatii:
1. dl si ds se asociaza dupa regula burghiului drept;
2. curba Γ si suprafata ΓSsunt arbitrare, insa atasate corpurilor in miscarea lor;
3. deoarece circulatia vectorului H in lungul unei curbe inchise este diferita de zero ,
campul de vectori H nu deriva dintr-un potential scalar si tensiunea m agnetica dintre
doua puncte 1 si 2, depinde de drum (de curba de in tegrare de la 1 si 2).
∫⋅=2
112 dl Hum 4.76.

Forma integrala dezvoltata a legii
In cazul mediilor in miscare, derivata fluxuloui el ectric in raport cu timpul este o
derivata substantiala. ΓS
Γ dl n 1i 2i
ni

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
68 ( ) S dvDDvtDds Ddt d
S S⋅


××∇+∇ ⋅+∂⋅ ∂=⋅∫∫∫∫
Γ Γ 4.77.
Tinand seama de legea fluxului electric sub forma l ocala:
vDρ=⋅ ∇ 4.78.
Forma integrala dezvoltata a legii este:
( ) ( ) S dvD S d v S dtDS dJdl H
S Sv
S S⋅××∇+⋅+∂∂+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
Γ Γ Γ Γ Γρ 4.79
S dJ
S⋅∫∫
Γ- curentul electric total de conductie
∫∫
Γ∂∂
SS dtD- curentul de deplasare propiu-zis determinat de va riatia in timp a fluxului
electric,
∫∫
Γ⋅ ⋅
Ss dv
vρ – curentul de convectie,
()∫∫
Γ⋅××∇
SS dvD – curentul Roentgen teoretic
In cazul particular al corpurilor imobile ()0=v forma integrala a legii circuitului
magnetic este:
∫∫∫∫∫
Γ Γ∂∂+⋅=⋅
Γ S SS dtDS d j l dH 4.80.

Forma locala a legii
Daca se aplica formula lui Stokes, relatiei 4.79. se obtine relatia:
( ) S dvDvtDJS d H
Sv
S⋅


××∇+⋅+∂∂+=×∇∫∫∫∫
Γ Γρ 4.81.
Tinand seama ca legea circuitului magnetic este va labila pe orice suprafata ΓS,
rezulta relatia de mai jos, care expreima matematic forma locala a legii:
( )vDvtDJHv ××∇+⋅+∂∂+=×∇ ρ 4.82.
In cazul particular al corpurilor imobile ()0=v se obtine:
tDJH∂∂+=×∇ 4.83.
Relatia 4.83., reprezinta prima ecuatie a lui Maxw ell.
Enuntul formei locale : In oricare punct al unui camp magnetic, rotorul
intensitatii campului magnetic reprezinta suma dens itatilor curentilor de deplasare,
convectie si Roentgea din punctul considerat.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
69 Teorema a II-a alui Kirchhoff pentru circuite magne tice.
Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru circuite mag netice este o consecinta a legii
circuitului magnetic.
Se considera un circuit magnetic omogen (un circui t magnetic inchis, constituit
din aceeasi substanta, cu lungimea l, cu sectiunea s constanta) pe care se dispune o
bobina cu n spire, traversata de curentului i.

Fig. nr. 4.18. Circuitul magnetic omogen

Circuitul magnetic omogen se comporta ca un tub de linii de camp, liniile
campului magnetic sunt cercuri concentrice. Sensul intensitatii campului magnetic este
dat de regula burghiului drept sau de regula mainii drepte (inconjurand bobina cu mana
dreapta cu degetele in sunsul curentului, degetul m re indica sensul intensitatii campului).
Se aplica legea circuitului magnetic pe curba Γ. Se obtine:
Γ∫
Γ=Sl d Hθ 4.84.
In cazul general al unui circuit magnetic neomogen , prin aplicarea legii circuitului
magnetic pe un ochi de circuit se obtine:
∑ ∑
∈ = ∈ ==L
j iL
j ii i i IH
σ σθ
, 1 , 1 4.85.
Intr-o portiune omogena a unui circuit magnetic
i i i
i ii
i
ii
i i RISIBIH φµφ
µ= == 4.86.
unde
i ii
iSIRµ= este reductanta portiunii de circuit magnetic.
[ ]Wb ARSI =
∑∑
∈ = ∈ ==L
j ii iL
j iiR
σ σφ θ
, 1 , 1 4.87.
Relatia 4.87. exprima matematic cea de-a doua teor ema a lui Kirchhoff pentru
circuite magnetice, care se enunta astfel: suma alg ebrica a tensiunilor magnetomotoare
()iθ ale bobinelor din laturile unui circuit magnetic e ste egala cu suma algebrica a u i
N n
ΓS
Γ l S dl H,

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
70 diferentelor de potential magnetic ()i iRϕ ale portiunilor omogene ale laturilor ochiului
circuitului magnetic.

IV.4.4. Legea magnetizatiei temporare
Legea magnetizatiei temporare exprima dependenta l ocala dintre componenta
temporara a magnetizatiei si intensitatea campului magnetic.
Starile de magnetizatie ale corpurilor pot fi perm anente, cand nu depinde de
inductia magnetica exterioara sau temporare cand de pind de ea. Experimental s-a
constatat ca magnetizatia temporara este proportion ala cu intensitatea campului magnetic
in medii izotrope si liniare.
HMmtλ= 4.88.
in care mλse numeste susceptibilitate magnetica si poate avea valori pozitive sau
negative. Relatia 4.88. reprezinta legea magnetizat iei temporare.
Materialele magnetizate numai temporar se impart d in punct de vedere al
proprietatilor lor magnetice in doua categorii:
– materiale diamagnetice (cuprul, mercurul, aurul, ar gintul) pentru care 0 <mλ;
– materiale paramagnetice (aluminiul, cromul, oxigenu l) pentru care 0 >mλ
Susceptibilitatea magnetica a materialelor diamagne tice este negativa si practic
independenta de timp.
Susceptibilitatea magnetica a metarialelor paramagn etice este pozitiva si depinde
mult de timp, fiind invers proportionala cu tempera tura absoluta.

Legea legaturii dintre inductie, intensitate si mag netizatie
()MHB +=0µ 4.89.

Legea magnetizatiei temporare
Cu legea legaturii, legea magnetizatiei temporare se scrie:
()()HH HHBm m µλµλµ =+=+= 10 0 4.90.
HBµ= 4.91.
rµµµ0= 4.92.
m rλµ+=1 4.93.
in care :
µse numeste permeabilitatea magnetica absoluta a mat erialului
rµse numeste permeabilitatea magnetica relativa
Pentru materialele diamagnetice 0 , 1<<m rλµ , iar pentru materialele
paramagnetice 0 , 1>>m rλµ . Aceste materiale sunt materiale liniare, neforoma gnetice.
Permeabilitatea relativa a materialelor neformagne tice este foarte apropiata de
unitate si se poate considera 0µµ=.
Relatia HBµ=, este valabila numai in cazul materialelor liniare din punct de
vedere magnetic.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
71 Feromagnetism
Fierul, cobaltul, nichelul și unele aliaje se deosebesc de restul materialelor prin
valori extreme de mari ale permeabilit ății relative (de ordinul 5 210 10 K).
Experimental s-a constatat c ă rela ția ()HfB= nu reprezint ă o dreapta ca pentru
celelalte materiale para si diamagnetice, permeabil itatea µfiind func ție de intensitatea
câmpului magnetic H.
În regim sta ționar se poate trasa curba ()HfB=, m ăsurând treptat pe H. Dac ă
măsurarea începe cu materialul ini țial nemagnetizat, se ob ține curba de prima
magnetizare, curba a din figur ă.
Dac ă, dup ă ce s-a parcurs o parte din curba de prima magnetiz are, pân ă la o
valoare max H, se mic șoreaz ă treptat curentul, adica se mic șoreaz ă H și se mic șoreaz ă și
B. Totu și valorile pentru B sunt mai mari decât cele coresp unz ătoare curbei de prima
magnetizare (fenomen de histerezis). Pentru 0=H, B are o valoare care poart ă numele
de induc ție magnetic ă remanent ă rB. C ă s ă se ob țin ă anularea induc ției este necesar s ă se
inverseze curentul de excita ție și deci intensitatea câmpului H. Intensitatea câmpul ui
magnetic necesar ă pentru anularea induc ției B, se nume ște camp magnetic coercitiv CH.
Crescând câmpul H în sens contrar pân ă la valoarea max H−și revenind cu valorile lui H
pân ă la max H+ de la care s-a plecat se ob ține o curba închis ă numit ă ciclu de histerezis
magnetic. Materialele moi din punct de vedere magne tic (fierul cu un adaos de cel mult
4% Si) se caracterizeaz ă printr-un câmp coercitiv mic, un ciclu de histerez is îngust și
permeabilitate foarte mare. Aceste materiale se fol osesc pentru construc ția
transformatoarelor electrice și a materialelor electrice. Un ciclu de histerezis redus
conduce la reducerea pierderilor de energie sub for m ă de c ăldur ă în aceste materiale.
Materialele dure din punct de vedere magnetic (o țelul, aliaje de aluminiu, nichel
și cobalt) au un câmp coercitiv mare mA
cH4000 ≅ , induc ție remanent ă mare,
permeabilit ăți mici. Acestea se folosesc pentru construc ția magne ților permanen ți.

Fig. nr. 4.19

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
72 IV.4.5. Inductivitati
Inductivitatea sau inductan ța se define ște prin raportul dintre fluxul magnetic ce
traverseaz ă o suprafa ță limitat ă de conturul unui circuit și curentul care-l produce.
ILΦ= 4.94.
În medii liniare din punct de vedere magnetic, ind uctivitatea depinde numai de
forma, de dimensiunile circuitului și de permeabilitatea magnetic ă. În medii neliniare
(cazul materialelor feromagnetice) inductivitatea n u este o m ărime constat ă, aceasta
depinde de curent.
Se consider ă dou ă bobine cu 1N, respectiv 2N spire. Prima bobin ă este traversat ă
de curentul electric 1i. Bobina 1 produce fluxul magnetic propriu 11 Φ.
11 11 fNΦ=Φ 4.95.
unde 1fΦ- este fluxul magnetic printr-o spira a bobinei 1, numit flux fascicular.

Fig.nr.4.20

O parte a liniilor câmpului magnetic produs de bob ina 1 traverseaz ă spirele
bobinei 2, determinând fluxul magnetic 21 Φ. Fluxul magnetic 21 Φ este un flux total prin
toate spirele bobinei 2. Fluxul 21 Φ este produs de bobina 1 traverseaz ă bobina 2.
Restul liniilor de câmp magnetic produs de prima bo bin ă și care nu traverseaz ă a doua
bobin ă, formeaz ă fluxul de dispersie al primei bobine fata de cea d e-a doua bobin ă
21 σΦ.

1. Inductivitatea proprie.
Inductivitatea proprie a unui circuit se define ște ca raportul dintre fluxul magnetic
propriu al circuitului și curentul care-l produce.
111
1iLΦ= 4.96. 2N
1N 1i 21 σΦ
11 Φ 21 Φ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
73 Acest raport este întotdeauna pozitiv. În rela ția de defini ție a unei inductan țe,
fluxul se ia cu semnul plus, atunci când acesta are acela și sens cu sensul normalei
pozitive a suprafe ței. Norma pozitiv ă a suprafe ței se alege cu regula burghiului drept, în
raport cu intensitatea curentului care parcurge cir cuitul.
Unitatea de m ăsur ă a inductan ței se nume ște henry (H). Un henry este
inductivitatea unei spire care produce prin suprafa ța spirei un flux magnetic de 1 Wb,
atunci când spira este traversat ă de un curent de 1 A.
În cazul unei bobine cu 1N spire, inductan ța proprie se exprim ă cu rela ția
11
1iLfΦ= 4.97.
Inductan ța unei bobine solenoidale
11
11 1
1
1
11 1
1 1iSli NN
iS BNL µ= = 4.98.
112
1
11lSNLµ= 4.99.
Se consider ă c ă în medii liniare din punct de vedere magnetic, ind uctivitatea
proprie este un coeficient constant care depinde de forma circuitului, de dimensiunile
acestuia, de num ărul de spire și de permeabilitatea magnetic ă a mediului.
Un curent variabil determin ă un flux magnetic variabil. Acest flux induce în
circuitul care l-a produs o tensiune electromotoare indus ă, numit ă autoinductan ță .
dt di Ldt de1
111 − =Φ− = 4.100

2. Inductivitate mutual ă
Se nume ște inductivitate mutual ă M între 2 circuite 1 și 2 raportul dintre fluxul 21 Φ
produs de circuitul 1 care traverseaz ă circuitul 2 și curentul 1i care produce fluxul
magnetic .
121
21 iMΦ= 4.101
În cazul în care cele dou ă circuite sunt 2 bobine solenoidale, inductivitatea
mutual ă are valoarea:
11 21
21 lSNNMµ= 4.102
Prin urmare, valoarea inductan ței mutuale depinde de configura ția geometric ă a
celor 2 circuite și de permeabilitatea magnetic ă a mediului.

Observa ții asupra semnului inductan ței mutuale
Inductivitatea mutual ă este pozitiv ă sau negativ ă, dup ă cum fluxul produs de un
circuit are sau nu acela și sens cu sensul normalei pozitive a celui de-al do ilea circuit.
Aceasta problem ă a semnului inductivit ății mutuale este adesea delicat ă, deoarece
aceasta depinde de sensul de înf ășurare al unei bobine. Pentru a evita orice ambiguit ate,
este bine s ă se foloseasc ă urm ătoarea regula: se marcheaz ă cu un punct intr ările bobinelor

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
74 cu acela și sens de bobinare. În aceste condi ții, curen ții care au acela și sens în raport cu
aceste borne marcate conduc la o inductivitate mutu al ă pozitiv ă, curen ții care au sensuri
opuse în raport cu aceste borne determin ă o inductivitate mutual ă negativ ă.

Fig. 4. 21

Între inductivit ățile mutuale exist ă urm ătoarea rela ție de recirocitate:
MMM ==21 12 4.103

Fig. 4.22. Scheme pentru determinarea semnelelor in ductivitatilor mutuale

3. Inductivitatea de dispersie
Inductivitatea de dispesie a circuitului 1 fa ță de circuitul 2 se define ște cu ajutorul
fluxului magnetic de dispersie.
0
121
21 >=iLσ
σφ 4.104
Gradul de dispersie al circuitelor se define ște cu ajutorul coeficientului de cuplaj
magnetic
2 1L LMK= 4.105
În cazul în care dou ă bobine nu sunt cuplate magnetic, M= 0, K= 0.
Atunci când dou ă bobine sunt cuplate perfect între ele 2 1L LM=, K= 1. În
general 10≤≤K. 1i 2i
0>M 1i 2i
0<M 21 φ
1i 2i
2n
0 021 21 > >Mφ 1i 2i 21 φ 2n
0 021 21 < <Mφ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
75 Se nume ște coeficient de dispersie:
2 12
2 1 21L LML Lk−=−=σ

4. Calculul inductivit ății
Pentru a calcula inductivitatea unui circuit se fol osesc mai multe metode:
a) metoda direct ă: se calculeaz ă fluxul magnetic total produs de curent:
iLφ= 4.106
Fluxul magnetic produs de o bobin ă este:
NBS =φ 4.107

în care: N reprezint ă num ărul de spire; S sec țiunea carcasei; B induc ția magnetic ă.
lNi Bµ= 4.108
l- lungimea bobinei
lSNL2
µ= 4.109
Se constat ă c ă inductivitatea circuitului este o caracteristic ă a lui, depinzând de
parametrii constructivi și de mediul magnetic. În expresia respectiv ă apare µ, deci
bobina are miez de fier.
Dac ă bobina este ideal ă expresia inductivit ății este:
lSNL2
0µ= 4.110
Dac ă bobina respectiv ă este realizat ă într-un singur strat, spir ă lâng ă spir ă, dintr-
un conductor cu diametrul d și având rezistivitatea ρdat ă rezult ă Nd l=.
dNS Lµ= 4.111
Dac ă se ține cont de rezisten ța electric ă atunci din expresia rezisten ței avem:
slRcρ= 4.112
în care cleste lungimea conductorului.
În cazul în care bobina are un singur strat atunci DNlcπ=, cu D diametrul
carcasei.
42dsπ= – sec țiunea conductorului
2 244
dND
dDNRρ
ππρ= = 4.113
ρ42Rd ND = 4.114
dDNL42πµ= , 42DSπ= este sec țiunea carcasei 4.115

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
76 dDRd Lρπµ 16 2
= 4.116
ρπµ 16 RdD L= reprezint ă expresia unei bobine realizat ă într-un singur strat, în func ție de
rezisten ța electric ă, de diametrul conductorului și al carcasei.

Dac ă bobina respectiv ă este un torr care are raza interioar ă 1R și raza exterioar ă
2R, expresia inductivit ății este:
()
( )212
122
4RRRRNL+−=µ 4.117
unde: ()( )2121
22RRRRl +=+= ππ,
()
42
12RRS−=π.
b) meoda de calul a inductivit ății folosind permean ța
λ2NL= 4.118
lSµλ= 4.119
λ – permeanta
lSNLµ2= 4.120

IV.4.6. Energia electromagnetica
Un conductor traversat de un curent electric, adus intr-un camp magnetic este
supus unei forte electromagnetice. Sub actiunea for tei, conductorul se deplaseaza. Pentru
a deplasa conductorul, campul magnetic efectueaza u n lucru mecanic. Deoarece campul
magnetic este capabil sa efectueze lucru mecanic, a cesta poseda energie. Energia
campului magnetic este de natura potentiala.
Se considera n circuite electrice, fiecare avand s urse de tensiune electromotoare,
rezistente electrice si bobine. Circuitele respecti ve pot fi mobile.
Energia electrica dezvoltata de sursele respective in timpul elementar dt se
regaseste ca suma de trei termeni si anume: primul termen reprezinta energia consumata
sub forma de caldura in rezistoarele respective, al doilea reprezinta variatia energiei
electromagnetice, al treilea lucrul mecanic element ar.
LdW dt i R dt i emn
kk kn
kk k δ++ =∑∑
= = 12
1 4.121
Daca se tine cont de legea lui Ohm pentru circuite inductive avem:
k kk
k i Rdt de=−φ 4.122
i kk
k i Rdt de +=φ 4.123

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
77 LdW dt i R dt i R dt idt d
mn
kk kn
kk kn
kkkδφ++ = +∑∑∑
= = = 12
12
1 4.124
∑
==+n
Kk k m idLdW
1φ δ 4.125
Daca circuitele respective sunt imobile atunci luc rul mecanic elementar este nul si
relatia devine:
∑
==n
kk k m id dW
1φ 4.126
Pentru a pune in evidenta toate starile intermedia re se introduce un parametru
variabil λ care poate sa ia toate valorile posibile intre 0 s i 1. 0 fiind pentru starea initiala
si 1 pentru starea finala.

⋅==⋅=
k kkkk k
iidd
λλφφφλφ
4.127
Termenii din stanga egalitatii sunt variabili, iar din dreapta numai λ.
∑
==n
kk k m di dW
1λλφ 4.128
∫∑
==1
01λλφdi Wn
kk k m IV.129
∑
==n
kk k m i W
121φ 4.130
Relatia 4.130, reprezinta expresia energiei electr omagnetice pentru n circuite
electrice.
Daca se considera o singura bobina necuplata indu ctiv atunci:
Li Li Wm2
2
21
21
21 φφ =⋅=⋅= 4.131
i Wm⋅=φ21 NBS =φ lNi B⋅=µ ilBN⋅⋅=µ 4.132
µlS BWm2
21= 4.133
Se noteaza cu sl v=, unde v este volumul miezului de fier, volumul mediului
magnetic. Se defineste densitatea de volum a energi ei electromagnetice raportul dintre
energia electromagnetica si volumul mediului respec tiv
µ2
21B
wWwm
s== 4.134
Densitatea de volum a energiei electromagnetice in tr-un punct depinde numai de
valoarea inductiei din acel punct si de permeabilit atea magnetica a mediului.
Daca sunt doua bobine cuplate inductiv atunci expr esia energiei electromagnetice
este urmatoarea:

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
78 2
2 2 2 12
1 121
21i LiMi i L Wm +±= 4.135
1L- inductivitatea proprie a bobinei 1
2L – inductivitatea proprie a bobinei 2
M- inductivitatea de cuplaj sau cea mutuala 2 1L LM=.
Inductivitatea mutuala poate fi pozitiva sau negat iva in functie de cum sunt
parcurse cele doua bobine, de catre cei doi curenti .

Forte generalizate
In cazul in acre circuitele respective sunt mobile atunci expresia energiei devine:
∑=+k k m idLdW φ δ 4.136
Xdx L=δ reprezinta lucrul mecanic elementar, in care X reprezinta o forta generalizata si
x reprezinta coordonata generalizata.
∑=+k k m id dW Xdx φ 4.137
∑=k k m id dW φ 4.138
Daca se calculeaza derivata energiei in raportul c u fluxul la ct i=, vom avea:
∑=k k m i W φ21 4.139
( )∑== k k ct im id dW φ21 4.140
()ct im k kdW id= ∑=2φ 4.141
() ()ct im ct im dW Xdx dW = ==+2 4.142
()ct imdW Xdx == 4.143
ct im
xWX
=
∂∂= 4.144
Forta generalizata este egala cu derivata partiala a energiei electromagnetice in
raport cu coordonata generalizata la .ct i=
Daca derivam la ct k=φ
0=∑ k kidφ 4.145
() 0=+Xdx dW
kmφ 4.146
ct m
xWX
=


∂∂−=
φ 4.147
Aceeasi forta generalizata este egala cu derivata partiala a energiei
electromagnetice in raport cu coordonata generaliza ta la ct =φ luat cu semnul minus.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
79 V. Retele electrice in regim permanent sinusoidal
V.1. Regim permanent sinusoidal. Marimi variabile, marimi sinusoidale.
Se numeste o functie alternativ sinusoidala o func tie care are expresia :
()αω+⋅ = t Yysin max , 5.1.
in care y se numeste valoare instantanee a functiei si repre zinta valoarea ce o poate lua
functia respectiva la un anumit moment t precizat.
max Yse numeste valoarea maxima a functiei si reprezinta valoarea posibila pe care o poate
lua functia.
αω+⋅treprezinta faza functiei si se masoara in radiani.
pentru ot=, ααω=+⋅t si reprezinta faza initiala a functiei
ω pulsatia functiei este de natura unei viteze unghi ulare fara a fi insa o viteza unghiulara.
f⋅⋅=πω2, Hz f50 =, f se numeste frecventa, Tf1=, Teste perioada functiei si
reprezinta intervalul de timp dupa care functia isi reia valoarea respectiva.
Tπω⋅=2, π ω⋅=⋅2T
Produsul dintre pulsatie si perioada este intotdea una un unghi egal cu π2.
In afara de valorile instantanee si maxime ale une i marimi sinusiodale se mai
cunosc si urmatoarele doua valori:
a1) Valoarea medie pe o perioada
∫=T
ydt TY
01( 5.2.
t Yy ⋅ = ωsin max 5.3.
( )
( ) 00cos 2cos 10cos cos 1cos 1sin 1
max max 0 max
0max
=−⋅− ==−⋅⋅− =⋅⋅− =⋅ ⋅ =∫
πωωωωωω
YTt YTt YTdt t YTYTT(
5.4.
0=Y( – valoarea medie a unei marimi sinusoidale pe o pe rioada este intotdeauna nula.

a2) Valoarea medie pe o semiperioada
dt t YTYT
⋅ ⋅ =∫ωsin
212
0max ( 5.5.
( )
( )max max max max max 0 max
211220cos cos 220cos 22cos 20cos 2cos 2cos 22
Y YY YTTYTt YTYT
π ππππ
ωω
ωωω
=−− − ==− − =−⋅− ==−⋅
⋅− =⋅⋅− =(
5.5.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
80 max 2YYπ=(- valoarea medie pe o semiperioada este diferita de zero.

b) Valoarea efectiva (eficace) a unei marimi sinuso idale
Se defineste matematic ca media geometrica a valor ilor medii a patratelor functiei
respective.
∫=nT
dt ynT Y
021 5.6.
t Yy ⋅ = ωsin max 5.7.
∫⋅ ⋅ =nT
dt t ynT Y
02 2
max sin 1ω 5.8.
∫ ∫ ∫⋅− =⋅−=nT nT nT
dt t y
nT dt y
nT dt tynT Y
0 02
max 2
max
02
max 22cos 1
21
22cos 11 ω ω 5.9.
2 21max
02
max Ydt y
nT YnT
= =∫ 5.10.
2max YY= – reprezinta valoarea efectiva a unei marimi sinus oidale.
Raportul dintre valoarea maxima aunei marimi sinus oidale si valoarea efectiva
este de egala cu 2 numai daca marimea sinusiodala respectiva este o m arime liniara,
adica o marime sinusoidala in care apare numai puls atia ω si nu multiplu sau submultipli
al acesteia.

Semnificatia fizica a valorii efective
Valoarea efectiva reprezinta acea valoare a curent ului alternativ, care alimentand
un rezistor electric produce in acelasi timp t, aceeasi caldura pe care ar produce-o un
curent continuu care alimenteaza acel rezistor in a celasi timp.
Valoarea efectiva amarimii sinusoidale este singur a valoare care poate fi masurata
cu aparatele electrice de masurare.

V.2. Reprezentarea geometrica (fazoriala) a marimil or sinusoidale
O functie sinusoidala caracterizata prin doua valo ri scalare: valoarea efectiva si
faza, se asociaza unui vector liber in plan, caract erizat de asemenea prin doua marimi
scalare: modulul si argumentul. Vectorii de mai sus se numesc fazori.
Fazorul asociat deci unei marimi sinusoidale, este un vector liber, de modul egal
prin conventie cu valoarea efectiva a marimii sinus oidale, multiplicata cu 2si care in
fiecare moment t, face cu o axa de referinta un unghi egal de aseme nea prin conventie cu
faza marimii sinusoidale.
De exemplu:
tUu ⋅ = ωsin 2 este asociat cu fazorul ()A OuFr
=, de modul UOA 2= si de argument
egal cu t⋅ω fata de axa de referinta 0OX .

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
81 ()UuF2=

Aceasta reprezentare se numeste reprezentare cinema tica si fazorul se roteste in
sens trigonometric direct cu viteza unghiulara ω.
Daca marimea sinusoidala are o faza initiala ()αω+⋅ = t Uusin 2 , fazorul face
un unghi constant αcu o axa rotitoare numita axa origine de faza. Axa origine de faza
face un unghi t⋅ωcu axa de referinta.
Valoarea instantanee a marimii sinusoidale, asocia ta fazorului respectiv, la un
moment dat, se determina grafic, proiectand fazorul pe axa 00Y, rotita cu 2π in sens
trigonometric direct, fata de axa de referinta.
Daca in planul fazorilor se reprezinta mai multe m arimi sinusoidale, de aceeasi
pulsatie, toti fazorii sunt in repaus relativ, figu ra geometrica formata de acestia cu axa
origine de faza rotindu-se in ansamblu cu viteza un ghiulara ω. Defazajele intre marimile
sinusoidale respective sunt reprezentate prin unghi uri intre fazori.
Se pot reprezenta in acelasi plan, fazori asociati unor marimi diferite (tensiune,
curent), insa la scari diferite.
De exemplu :
()UuF2=

()Ii F2=

Defazajul βα− coincide cu sensul direct, deci ()0>−βα . ()uF defazat
inaintea lui ()i F.
In circuitele electric de curent alternative uzual intalnite in instalatiile electrice,
marimile electrice care intervin au aceeasi pulsati e. Din acest motiv, reprezentarea
cinematica se simplifica, eliminand din constructia geometrica a fazorilor atat rotatia
ansamblului diagramei cu viteza unghiulara ω(aceeasi pentru toate marimile) cat si
factorul 2, de asemeanea comun.
Cu aceste simplificari, reprezentarea cinetica se inlocuieste cu reprezentare polara
cu vectori ficsi.
In acest caz vectorul este fix, de modul egal cu valoarea efectiva si de
argument egal cu faza initiala a marimii respective .
()UuF=
0Y
0X axa de referinta a
t⋅ω U⋅2
0 ()OA uF= () t Ut ua ⋅⋅⋅== ωsin 2 0 t⋅ω
αω+⋅t
βω+⋅t
α

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
82

In diagramele polare, folosindu-se aceeasi axa de referinta pentru toti fazorii, axa
nu se mai reprezinta si reprezentarea polara ia for ma de mai jos:

Reprezentarea fazoriala este sugestiva, mai ales i n felul in care ea indica modul
cum sunt defazate marimile sinusoidale unele fata d e altele. Reprezentarea fazoriala
usureaza calculul circuitelor electrice de curent a lternativ.

Operatii cu marimi sinusoidale
1. Suma a doua marimi sinusoidale de aceea pulsatie ω este tot o marime
sinusoidala de aceeasi pulsatie ω.
2. Diferenta doua marimi sinusoidale de aceea pulsatie ω este tot o marime
sinusoidala de aceeasi pulsatie ω.
3. Produsul a doua marimi sinusoidale de aceea pulsati e ω nu este tot o marime
sinusoidala de aceeasi pulsatie ω.
4. Raportul a doua marimi sinusoidale de aceea pulsati e ω nu este tot o marime
sinusoidala de aceeasi pulsatie ω.
5. Derivata unei marimi sinusoidale
Fazorul care reprezinta deriva unei marimi sinusoid ale de timp se obtine din fazorul
marimii respective prin inmultirea cu ω si rotirea inainte in sens trigonometric cu 2π.
t Yy ⋅⋅ = ωsin 2 5.11.
( )2sin 2 cos 2πωω ωω +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= t Yt Ydt dy 5.12.
0y
0x axa de referinta axa origine de faza
t⋅ω β α βα−
0 a
b A ()OA uF=
B ()OB i F=
U⋅2 I⋅2
x axa origine de fraza 0 α β βα− U I

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
83

6. Integrala unei marimi sinusoidale
Fazorul care reprezinta derivata unei marimi sinuso idale de timp se obtine din fazorul
marimii respective prin impartirea cu ω si rotirea inapoi cu 2π.
t Yy ⋅⋅ = ωsin 2 5.13.
−⋅ =⋅ − =∫2sin 2 cos 2πωωωωtYtYydt 5.14.

V.3. Reprezentari analitice (in complex)
In reprezentarea geometrica se foloseste proprieta tea functiilor sinusoidale de
timp pentru a putea fi puse in corespondenta biuniv oca cu vectorii liberi din plan.
Fiecarui numar complex ii corespunde biunivoc un pu nct din planul complex (afixul
numarului), si deci ii corespunde si vectorul de p; ozitie al acelui punct. Rezulta ca
identificand planul abstract al reprezentarilor geo metrice cu planul complex, stabilim o
corespondenta biunivoca intre multimea functiilor s inusoidale si multimea numerelor
complexe. Se obtin astfel reprezentari analitici, s au in complex ale marimilor sinusoidale.

Notiuni despre numere complexe
Planul complex are axa abciselor axa reala, sensul pozitiv fiind notat cu simbolul
+1, axa ordonatelor axa imaginara, semnul plus fiin d notat cu simbolul unitatii imaginare
+j.

Y F(y) 
dt dy F
Y⋅ω
Y F(y)
ωY
()∫ydt F
+1 +j
0 a b θ r

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
84
Un numar complex de forma jb aC+=, in care a se numeste abcisa si b
ordonata, se reprezinta in planul complex, printr-u n punct numit afixul numarului
complex.
22bar+= , (5.15.)
abarctg =θ (5.16.)
( )θθθjre j rrbjrarjb aC =⋅+⋅=

+=+= sin cos (5.17.)
f. algebrica f. Trigonometric a f. Exponentiala

Reprezentarea complex simplificat
Metoda de calcul in complex simplificat este ca si metoda diagramelor fazoriale,
o metoda de reprezentare simbolica si ea trebuie sa indeplineasca anumite conditii:
– reprezentarea sa fie biunivoca, adica fiecarei mari mi sinusoidale trebuie sa-i
corespunda un singur simbol ( un singur numar compl ex si reciproc);
– fiecareia dintre operatiile elementare efectuate cu marimi sinusoidale, operatii
care intervin in rezolvarea retelelor de curent alt ernativ, trebuie sa-i corespunda
biunivoc o relatie analoaga efectuata cu numere com plexe.
– Metoda trebuie sa usureze calculul.
Metoda de calcul in complex simplificat prezinta av antajul de a transforma ecuatiile
integro-diferentiale ale circuitului, in operatii a lgebrice usor de rezolvat.

Reprezentarea marimilo sinusoidale prin numere comp lexe
()γω+⋅ = t Iisin 2 (5.18.)
O marimi sinusoidala de pulsatie ω este complet caracterizata de doua valori
scalare: valoarea efectiva I si faza initiala γ.
θjre C= este complet caracterizata ded doua marimi scalare : modulul r si argumentul θ
In electrotehnica, multimea marimilor sinusoidale avand aceeasi pulsatie si
multimea numerelor complexe se pun in corespondenta biunivoca care se realizeaza cu
urmatoarele reguli:
1. Ir=
2. γθ=
()γje Ii C=
Marimea sinusoidala reprezentata in complex se num este imaginea in complex a
marimii si se noteaza cu litera mare a simbolulului marimii sinusoidale, litera care se
subliniaza.

Exemplu
Sa se determine imaginile in complex ale urmatoare lor marimi sinusoidale:
t i ⋅ = ωsin 210 1 (5.19.)
 ⋅+⋅ =32sin 210 2πωt i (5.20.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
85  ⋅−⋅ =32sin 210 3πωt i (5.21.)
10 10 0
1 ==jeI (5.22.)



+−= ⋅+⋅==23
2110 32sin 32cos 10 10 32
2 j j eIj π ππ (5.23.)



−−=
⋅+⋅− = =−
23
2110 32sin 32cos 10 10 32
3 j j eIj π ππ (5.24.)

Se reprezinta in planul complex, vectorii de pozit ie ai afixelor :

Unghiurile pozitive se masoara de la semiaxa pozit iva pana la vectorul de pozitie
in sens trigonometric.
Unghiurile negative se masoara de la semiaxa pozit iva pana la vectorul de pozitie
in sens orar.
Observatie : Fazorul reprezentat in lungul axei abciselor de a rgument nul (reprezinta o
marime sinusoidala cu faza initiala nula), se numes te axa origine de faza.

Trecerea inversa de la imaginea in complex la valoa ra instantanee a marimii.

()γω+⋅ = t Iisin 2 – marime sinusoidala (5.25.)
jb aIe Ij+==γ – imaginea in complex (5.26.)
22baI+= , valoarea efectiva (5.27.)
abarctg =′γ (5.28.)
Se analizeaza semnul functiei sin si cos si se cal culeaza γ

Exemplu
Sa se determine valoarea instantanee, cunoscand im aginea in complex:
j I 3552+− = (5.29.)
10 35522
2 =⋅+=I (5.30.) +1 +j
1I
2I 3I

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
86 ) 3(535−=−=′ arctg arctg γ (5.31.)
( )3 sin 210 2 arctg t i −⋅ = ω (5.32.)

V.3.1. Corespondenta operatiilor elementare in comp lex
1. Operatiei de adunare, de scadedre a doua marimi sinusoidale ii corespunde in complex
o operatie liniar algebrica de adunare, respectiv d e scadere a imaginiilor marimilor.
{}21 21 IIii C +=+ (5.33.)

2. Multiplicarea cu un scalar λ a unei marimi sinusoidale ii corespunde in complex
multiplicarea cu scalarul respectiv a imaginii mari mii.
{}IiCλλ= (5.34.)

3. Imaginea derivatei unei marimi sinusoidale
()γω+⋅ = t Iisin 2 (5.35.)
?=

=dt di C (5.36.)
( ) ++⋅⋅=+ =2sin 2 cos 2πγωωγωω t It Idt di (5.37.)
( )2 2π
γ γω ωπ jj jeeIeIdt di C ⋅=⋅=

 + (5.38.)
{} IIe i Cj==γ (5.39.)
jej=2π este un operator de rotatie care roteste fazorul p e care-l inmulteste cu 2π in sens
trigonometric.
Ijdt di C ⋅⋅=

ω (5.40.)
Derivatei unei marimi sinusoidale ii corespunde in complex inmultirea imaginii
marimii cu ω⋅j, operatie liniar algebrica.

4. Imaginea in complex a integralei unei marimi sin usoidale
()γω+⋅ = t Iisin 2 (5.41.)
{}?=⋅∫dt iC (5.42.) axa origine de faza γ I tj⋅⋅ω
2π

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
87 ( ) −+⋅ =+⋅ − =⋅∫2sin 2cos 2 πγωωγωωtItIdt i (5.43.)
{}( )
ω ωπγ
⋅= =⋅−∫jIeIdt iCj2 (5.44.)
() IIe i Cj==⋅γ (5.45.)
jjej 12=− =⋅ −π este un operator de rotatie, care roteste vectorul pe care-l inmulteste cu 2π
in sens orar
Imaginea integralei unei marimi sinusoidale este e gala cu imaginea marimii
impartite la ω⋅j.

V.3.2. Parametrii complexi (impedanta complexa, adm itanta complexa si puterea
complexa)
Fie un circuit electric dipolar receptor, liniar si pasiv, ale carui laturi interioare nu
sunt cuplate magnetic cu exteriorul, la care se apl ica tensiunea la borne sinusoidala, luata
dupa regula de la receptoare:
()βω+⋅ = t Uusin 2 (5.46.)
βjeUU⋅= (5.47.)
Dipolul absorbe un curent de regim permanent:
()γω+⋅ = t Iisin 2 (5.48.)
γjeII⋅= (5.49.)

V.3.2.1. Impedanta complexa
Raportul dintre tensiunea complexa aplicata la bor nele unui dipol liniar si pasiv si
curentul complex corespunzator nu depinde decat de parametrii elementelor de circuit si γ
axa origine de faza I
ω⋅jI
U I
Z U
I ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
88 de frecventa. Acest raport defineste o marime carac teristica dipolului, numita impedanta
complexa.
( )γ β
γβ
−=⋅⋅==j
jj
eIU
eIeU
IUZ (5.50.)
Dar ZIU= e impedanta reala, iar ()ϕγβ=− este defazajul, care caracterizeaza
circuitul la o frecventa data. Impedanta complexa n u depinde deci de marimile U si I
prin care a fost definita, ci numai de dipolul pe c are-l caracterizeaza.
( )jX R j ZeZZj+=⋅⋅+⋅=⋅=⋅γ ϕϕsin cos (5.51.)
jX RZ+= (5.52.)
Impedanta complexa are modul egal cu impedanta cir cuitului, argumentul egal cu
defazajul circuitului, partea reala egala cu rezist enta circuitului si partea imaginara egala
cu reactanta circuitului:
ZZ= {}Zarg =ϕ {}ZRRe = {}ZXIm = (5.53.)
Valoarea impedantei complexe Z permite o caracterizare completa a circuitului
dipolar considerat, la frecventa data, deoarece per mite deducerea tuturor parametrilor
reali ai circuitului.

V.3.2.2. Admitanta complexa
Raportul dintre curentul complex si tensiunea comp lexa aplicata la bornele unui
dipol liniar si pasiv defineste o marime egala cu v aloarea reciproca a impedantei
complexe numita admitanta complexa.
( ) ϕ γ β
βγ
⋅ − −⋅
⋅=⋅=⋅⋅==j j
jj
eYeYeUeI
UIY (5.54.)
( )jB G j YeYYj−=⋅−⋅=⋅=−ϕ ϕϕsin cos (5.55.)
jB GY−= (5.56.)
Admitanta complexa are modulul egal cu admitanta c ircuitului, argumentul egal
cu defazajul cu semn schimbat, partea reala egala c u conductanta circuitului, argumentul
egal cu defazajul cu semn schimbat, partea reala eg ala cu conductanta circuitului si partea
imaginara egala cu susceptanta circuitului cu semn schimbat.
YY= {}Yarg − =ϕ {}YGRe = {}Y BIm − =. (5.57.)
Valoarea admitantei complexe Y permite o caracterizare completa a circuitului
dipolar considerat, la frecventa data, deoarece per mite deducerea tuturor parametrilor
reali ai circuitului.

V.3.2.3. Puterea complexa
Produsul a doua marimi instantanee nu este o marim e sinusoidala si nu se poate
reprezenta in complex. De aceea, nici puterea insta ntanee p la bornele unui dipol
(generator sau receptor), nu se poate reprezenta in complex dupa regulile reprezentarii
stabilite pentru marimi sinusoidale.
( )βγω ϕ ++⋅⋅⋅−⋅== t UI UI ui p 2cos cos (5.58.)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
89 Se poate defini o marime complexa, care sa stranga in aceeasi expresie puterea
activa, puterea reactiva si puterea aparenta, utili zate pentru caracterizarea regimului
permanent al circuitelor.
Se numeste putere complexa (uneori putere aparenta complexa) marimea S
definita ca produsul dintre tensiunea complexa si v aloarea conjugata a curentului
complex.
()( )( )jQ P j S j IUeIUI USj+= + = +⋅=⋅ ⋅==− ∗ϕϕ ϕϕγ βsin cos sin cos (5.59.)
jQ PS+= (5.60.)
Putereaa complexa are modul egal cu puterea aparen ta, argumentul egal cu
defajazul circuitului, puterea reala egala cu puter ea activa si partea imaginara egala cu
puterea reactiva.
UI SS== {}Sarg =ϕ , {}S UI pP Re cos ~=⋅== ϕ {}S UI Q Im sin =⋅=ϕ (5.61.)

V.3.2.4. Formele complexe ale teoremelor
1. Forma complexa a legii lui Ohm
Forma complexa a legii lui Ohm pentru o latura act iva:
ICjILjI REU⋅⋅+⋅⋅⋅+=+ωω1 (5.62.)




⋅⋅+⋅⋅+=+CjLjRIEUωω1 (5.63.)


⋅−⋅+=+CLjRIEUωω1 (5.64.)
IZEU ⋅=+ (5.65.)
Forma complexa alegii lui Ohm pentru o latura pasiv a:
IZU⋅= (5.66.)

2. Forma complexa a teoremelor lui Kirchhoff
Teorema I a lui Kirchhoff
Suma algebrica a imaginilor curentilor care concur a intr-un nod de retea este
intotdeauna 0:
02
1=∑
=KkI (5.67.)
Teorema a II-a a lui kirchhoff
Prima forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff pent ru un ochi de retea pasiv: Suma
algebrica a imaginilor tensiunilor de la bornele la turilor unui ochi de retea este in fiecare
moment 0.
0
1=∑
=n
kkU (5.58.)
A doua forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff pen tru un ochi de retea activ: Suma
algebrica a tensiunilor electromotoare din laturile unei ochi de retea este egala cu suma
algebrica a caderilor de tensiune din laturile ochi ului.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
90 ∑∑
= ==n
kk kn
kk IZE
1 1 (5.59.)

3. Teorema conservarii puterii in retele de curent alternativ
Suma algebrica a puterilor complexe debitate de to ate sursele retelei, are ca parte
reala, puterea activa consumata in rezistoarele ret elei, iar ca parte imaginara, puterea
reactiva, consumata, produsa de elementele reactive ale laturile retelei.
∑∑∑
= = =∗+ =n
kk kn
kk kn
kk k IXjI R IE
12
12
1 (5.60.)
QjPS ⋅+= (5.61.)

4. Metode particulare de rezolvare a retelelor in r egim permanent sinusoidal
Se constata o analogie intre formele teoremei lui Kirchhoff scrise in complex
pentru retelele electrice care functioneaza in regi m permanent sinusoidal si formele
teoremei lui Kirchhoff scrise in curent continuu.
curent continuu ∑
==n
kkI
10 ∑
==n
kkU
10 ∑ ∑
= ==n
kn
kk K K IRE
1 1 (5.62.)
curent alternativ ∑
==n
kkI
10 0
1=∑
=n
kkU ∑ ∑
= ==n
kn
kk k k IZE
1 1 (5.63.)

V.4. Caracterizarea elementelor de circuit in compl ex
Pentru studiul in complex al circuitelor de curent alternativ este necesar sa se
cunoasca proprietatile si modul de caracterizare al elementelor ideale de circuit: rezistor,
bobina si condensator. Consideram ca li se aplica o tensiune sinusoidala cunoscuta si
determinam curentul, parametrii caracteristici si p uterile.

V.4.1. Rezistorul ideal
Se considera un rezistor de rezistenta ct R=, careia i se neglijeaza inductivitatea
0=L. Rezistorul este alimentat de la o sursa de tensiu ne alternativ sinusoidala
cunoscuta. Rezistorul absoarbe un curent alternativ sinusoidal necunoscut. Necunoscutele
sunt valoarea efectiva I si defazajul ϕ.

iRu⋅= (5.64.)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.65.) R u i

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
91 ()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.66.)
()ϕω ω −⋅ =⋅ t RI t U sin 2 sin 2 (5.67.)
()ϕω ω −⋅ =⋅⋅ t RI t U sin sin (5.68.)
RUI= (5.59.)
ϕωω −⋅=⋅tt ⇒ 0=ϕ (5.60.)
tRUi ⋅ = ωsin 2 (5.61.)
In cazul rezistorului ideal, tensiunea la bornele lui este in faza cu intensitatea
curentului electric.
RUI RU== – reprezinta expresia in complex a tensiunii rezist ive.
RZIU== – reprezinta impedanta complexa a rezistorului ide al

Diagrama fazoriala

t UI ui p ⋅ == ω2sin 2 (5.62.)
( ) t UI tUI p ⋅−=⋅−= ωω2cos 122cos 12 (5.63.)
Puterea instantanee care este produsul celor 2 mar imi sinusoidale tensiune si
curent de aceeasi pulsatie ω nu este o functie sinusoidala de aceeasi pulsatie ω. Ea este
o functie sinusoidala de pulsatie dubla.

V.4.2. Bobina ideala
Se considera o bobina care are inductivitatea Lcunoscuta, dar a carei rezistenta
interna 0=r. Bobina respectiva este alimentata de la o sursa d e tensiune alternativ I
RI U=

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
92 sinusoidala cunoscuta. Bobina absoarbe un curent al ternativ sinusoidal necunoscut.
Necunoscutele sunt valoarea efectiva I si defazajul ϕ.

Daca se aplica legea lui Ohm pentru o portiune de circuit inductiv avem:
iRdt du ⋅=−φ (5.64.)
0=R i L⋅=φ (5.65.)
dt duφ= (5.66.)
dt dL idt di Lu+= , deoarece 0=L (5.67.)
dt di Lu= (5.68.)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.69.)
()ϕω−⋅ = t Iisin 2

+−⋅ ⋅⋅=⋅2sin 2 sin 2πϕω ω ω t ILt U (5.70.)

+−⋅ ⋅=⋅⋅2sin sin πϕω ωω t ILt U (5.71.)
ILU⋅=ω (5.72.)
ωLUI= (5.73.)
Se noteaza cu ωLXL= reactanta inductiva a babonei
[]Ω=SI LX
2πϕωω +−⋅=⋅tt (5.74.)
2πϕ=
−⋅ =2sin 2πωωtLUi (5.75.)
Din exresia intensitatii curentului electric, se c onstata ca la frecventa foarte mari
∞→f, ∞→ω, intensitatea curentului electric este foarte mica ( 0→I). La frecvente L i
u

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
93 foarte inalte, bobina electrica se comporta ca o bl ocare a curentului electric (circuit
deschis).
Intensitatea curentului electric ce parcurge bobin a este intotdeuana defazata cu 2π
in urma tensiunii de la bornele bobinei.

Diagrama fazoriala

−⋅⋅ ⋅⋅==2sin sin 2πω ω t t UI ui p (5.76.)

−⋅ − =22cos 2cos πωπt UI p (5.77.)
−⋅ − =22cos πωt UI p (5.78.)
Si in cazul bobinei ideale, puterea instantanee es te o marime sinusoidala de
pulsatie dubla.

V.4.3. Condensatorul ideal

Se considera un condensator de capacitate C constanta si cunoscuta, fara pierderi
care este alimentat de la o tensiune sinusoidala cu noscuta. Condensatorul absoarbe un
curent alternativ sinusoidal necunoscut. Necunoscut ele sunt valoarea efectiva I si
defazajul ϕ.

2π
I U

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
94

Cqu= (5.79/.)
dt dq i= (5.80..)
∫=idt q (5.81.)
∫=idt Cu1 (5.82.)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.83.)
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.84.)
−−⋅⋅=⋅2sin 2 sin 2πϕωωω tCIt U (5.85.)
−−⋅⋅=⋅2sin sin πϕωωω tCItU (5.86.)
CIU⋅=ω (5.87.)
tUI
⋅=
ω1 (5.88.)
Se noteaza cu tXC⋅=ω1- reactanta capacitiva a sistemului.
[]Ω=SI CX
CUXUI
C⋅⋅== ω (5.89.)
2πϕωω −−⋅=⋅tt (5.90.)
2πϕ− =
+⋅ =2sin 2πωtXUi
C (5.91.)
Din exresia intensitatii curentului electric, se co nstata ca la frecventa foarte mari
∞→f, ∞→ω, intensitatea curentului electric este foarte mare ( ∞→I). La frecvente
foarte inalte, condensatorul elecvtric se comporta ca un scurt circuit. u i
C

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
95 Intensitatea curentului electric ce parcurge conde nsatorul este intotdeuana
defazata cu 2π inaintea tensiunii de la bornele condensatorului.

Diagrama fazoriala

+⋅⋅ =−2sin sin 2πωω tt UI ui p (5.92.)

+⋅−− =2cos 2cos 212πωπt UI p (5.93.)
t UI p ⋅ = ω2sin (5.94.)
Si in cazul condensatorului ideal, puterea instanta nee este o marime sinusoidala
de pulsatie dubla.

V.5. Circuitul serie R-L
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta, legat in serie cu o
bobina ideala de Inductivitate L constanta si cunos cuta. Circuitul este alimentat de la o
sursa de tensiune alternaiv sinusoidala cunoscuta. Circuitul absoarbe un curent alternativ
sinusoidal necunoscut. Necunoscutele sunt valoarea efectiva I si defazajul ϕ.

R L
u Ru Lu i I
U 2π

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
96 LRuuu+= (5.95.)
dt di LRi u+= (5.96.)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.97.)
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.98.)
( ) +−⋅ ⋅+−⋅ =⋅2sin 2 sin 2 sin 2πϕω ωϕω ω t LI t RI t U (5.99.)
( ) +−⋅ ⋅+−⋅ =2sin sin sin πϕω ωϕω ω t LI t RI tU (5.100.)
Solutia ecuatiei i, trebuie sa verifice ecuatia pe ntru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt → ϕω=⋅t
LI U ⋅=ωϕsin (1)
b) 2πϕω=−⋅t → 2πϕω+=⋅t
RI U =+2sin πϕ
RI U=ϕcos (2)
Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( )()22 2 2 2 22cos sin RLI U + = + ωϕϕ (3)
()2 2 222LRIU ω+=
2 2 2LRUI
ω+=
Se noteaza cu 2 2 2LRZ ω+= , impedanta circuitului serie R-L
Daca se impart relatiile 1 si 2 membru cu membru s e obtine relatia 4
RLtg ⋅=ωϕ (4)
 ⋅−⋅
+=RLarctg t
LRUiωω
ωsin 2
2 2 2 (5.101.)
In cazul circuitului R-L, intensitatea curentului electric, depinde de parametrii
constanti ai circuitului R si L, de frecventa tensi unii de alimentare si de valoarea efectiva
a acesteia. Intotdeauna intensitatea curentului ele ctric este defazata cu unghiul ϕ in urma
tensiunii de la bornele circuitului.
In cazul circuitului serie se alege ca axa origine de faza a diagramei, elementul
comun circuitului si anume intensitatea curentului electric.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
97 Diagrama fazoriala

Daca diagrama fazoriala se imparte cu i se obtine un triunghi dreptunghic
asemenea diagramei numit triunghiul impedantelor.

Triunghiul impedantelor

2 2 2LRZ ω+= (5.102.)
ZL⋅=ωϕsin (5.103.)
ZR=ϕcos (5.104)
RLtg ⋅=ωϕ (5.105)
Daca se considera ca origine de faza, tensiunea de la bornele circuitului, diagrama
fazoriala se reprezinta astfel:

aI reprezinta componenta activa a circuitului care es te in totdeauna in faza cu
tensiunea.
rI reprezinta componenta reactiva a circuitului, care in cazul circuitului serie R-L
este defazata cu 2π in urma tensiunii de la borne. I RI LωI
ZI
ϕ
R L⋅ω
Z
ϕ
u aI
RI I ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
98 GU Ia= (5.106)
G reprezinta conductanta circuitului
ϕcos IIr= (5.107)
ZUI= (5.108)
GU ZR
ZU=→ 2ZRG= (5.109)
ϕsin IIr− = (5.110)
UBILr= (5.111)
LB reprezinta susceptanta inductiva.
[]1−Ω=SI LB
LLXB1= (5.112)
ZL
ZUUBL⋅− =ω→ 2 2ZX
ZLBL
L − =⋅− =ω (5.113)
ϕcos 11
ZZR
ZG == (5.114)
ϕsin 1 1
ZZX
ZBL
L − = − =
Se noteaza cu ZY1= admitanta circuitului
[]1−Ω=SI Y

− ==
ϕϕ
sin cos
YBYG
L (5.115)
( )22 2 22sin cos LBG Y +=+ϕϕ (5.116)
22
LBGY += reprezinta relatia de legatura dintre admitanta, c onductanta si susceptanta.

V.6. Circuitul serie R-C
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta, legat in serie cu
un condensator de capacitate C constanta si cunoscu ta. Circuitul este alimentat de la o
sursa de tensiune alternaiv sinusoidala cunoscuta. Circuitul absoarbe un curent alternativ
sinusoidal necunoscut. Necunoscutele sunt valoarea efectiva I si defazajul ϕ.

CRuuu+= (5.117) R
u i
Ru Cu C

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
99 ∫+= idt CRi u1 (5.118)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.119)
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.120)
( ) −−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin 2 sin 2 sin 2πϕωωϕω ω tCIt RI t U (5.121)
( ) −−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin sin sin πϕωωϕω ω tCIt RI tU (5.122)
Solutia ecuatiei i, trebuie sa verifice ecuatia pen tru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt→ ϕω=⋅t
CIU⋅− =ωϕsin (1)
b) 2πϕω=−⋅t → 2πϕω+=⋅t
RI U =+2sin πϕ
RI U=ϕcos (2)
Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( ) += +2 222 2 22 1cos sin CRI Uωϕϕ (3)
+=2 2222 1
CRIUω
2221
CRUI
ω+=
Se noteaza cu CXC⋅=ω1 reactanta capacitiva
2 2
CXRUI
+=
Se noteaza cu 2 2
CXRZ += impedanta circuitului
Daca se impart relatiile 1 si 2 membru cu membru s e obtine relatia 4:
RXtg C− =ϕ (4)
+⋅
+=RXarctg t
XRUiC
Cωsin 2
2 2 (5.123)
Se constata ca intensitatea curentului electric de pinde de parametrii circuitului R
si C, de frecventa f a tensiunii de alimentare si d e valoarea efectiva a acesteia. In cazul

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
100 circuitului serie R, C , intensitatea curentului el ectric este intotdeauna defazata cu unghiul
ϕ inaintea tensiunii.

Diagrama fazoriala

Daca diagrama fazoriala se imparte cu i se obtine u n triunghi dreptunghic
asemenea diagramei numit triunghiul impedantelor.

Triunghiul impedantelor

2 2
CXRZ += (5.124)
ZR=ϕcos (5.125)
ZXC− =ϕsin (5.126)
RXtg C− =ϕ (5.127)

In cazul in care origine de faza a diagramei se al ege tensiunea u de la bornele
circuitului, curentul i va fi defazat cu unghiul ϕ inaintea tensiunii. Acest curent se
descompune in: aI- componenta activa, in faza cu tensiunea si rI- componenta reactiva,
defazata cu 2π inaintea tensiunii u.

I RI
IXC
ZI ϕ
R
CX Z ϕ
u aI rI I
ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
101
GU Ia= (5.128)
ϕcos II
a= (5.129)
ZR
ZUGU = (5.130)
2ZRG= (5.131)
UBICr= (5.132)
CB – susceptanta capacitiva
[]1−Ω=SI CB


−=ZX
ZUUBC
C (5.133)
2ZXBC
C− = (5.134)
ZY1= (5.135)
ϕcos YG= (5.136)
ϕsin YBC= (5.137)
22 2
CBGY+= (5.138)
22
CBGY += (5.139)

V.7. Circuitul serie R- L- C
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta legat in serie cu o
bobina de inductivitate L constanta si cunoscuta si cu un condensator de capacitate C
constnata si cunoscuta.
Circuitul este alimentat de la o sursa de tensiune alternaiv sinusoidala cunoscuta.
Circuitul absoarbe un curent alternativ sinusoidal necunoscut. Necunoscutele sunt
valoarea efectiva I si defazajul ϕ.

CLruuuu ++= (5.140)
Ri ur= (5.141) R L C
u i
ru Lu cu

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
102 dt di LuL= (5.142)
∫=idt CuC1 (5.143)
t Uu ⋅ = ωsin 2 (5.144)
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.145)
( ) −−⋅⋅++−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin 2sin sin 2 sin 2πϕωωπϕωωϕω ω tCItILt RI t U
(5.146)
Solutia ecuatiei i, trebuie sa verifice ecuatia pen tru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt → ϕω=⋅t

⋅−⋅=CLI Uωω ϕ1sin (1)
b) 2πϕω=−⋅t → 2πϕω+=⋅t
IR U ⋅=+2sin πϕ
IR U ⋅=ϕcos (2)
Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( )





⋅−⋅+= +2
22 2 22 1cos sin CLRI Uωω ϕϕ





⋅−⋅+=2
222 1
CLRIUωω
2
2 1
⋅−+=CLRIUωω (3)
Se noteaza cu 2
2 1−+=CLRZωω , unde Z este impedanta circuitului serie
RLC.
[]Ω=SI Z
Se impart relatiile (1) si (2) membru cu membru si se obtine relatia (4)
RXX
RCL
tg C L−=−
=ωω
ϕ1
(4)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
103 


−
−⋅
−−=RCL
arctg t
CLRUiωω
ω
ωω1
sin
12
2
2 (5.147)
Se constata ca intensitatea curentului electric de pinde de parametrii circuitului
RLC, de frecventa tensiunii de alimentare si de val oarea efectiva a tensiunii de la bornele
circuitului.
In functie de reactanta inductiva si de cea capaci tiva, intensitatea curentului
electric poate fi defazata cu unghiul ϕ inaintea tensiunii sau in urma ei astfel:
a) daca ωωCL1>, in circuit predomina reactanta inductiva si inten sitatea curentului
electric este defazata in urma tensiunii cu unghiul ϕ.
b) daca ωωCL1<, in circuit predomina reactanta capacitiva si inte nsitatea
curentului electric este defazata inaintea tensiuni i cu unghiul ϕ.

Diagrama fazoriala

Daca diagrama fazoriala se imparte cu i se obtine u n triunghi dreptunghic
asemenea diagramei numit triunghiul impedantelor.

Triunghiul impedantelor

X se numeste reactanta circuitului
2 2XRZ += (5.148)
ZX=ϕsin (5.149)
zr=ϕcos (5.150) I RI IXL IXC
ZI ϕ
R XXXC L=− Z
ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
104 RXtg =ϕ (5.151)

Daca se considera ca origine de faza, tensiunea de la bornele circuitului, diagrama
fazoriala se reprezinta astfel:

aI reprezinta componenta activa a circuitului care es te in totdeauna in faza cu
tensiunea.
rI reprezinta componenta reactiva a circuitului, care in cazul circuitului serie R-L
este defazata cu 2π in urma tensiunii de la borne.
GU Ia= (5.152)
G reprezinta conductanta circuitului
ϕcos IIr= (5.153)
ZUI= (5.154)
GU ZR
ZU=→ 2ZRG= (5.155)
ϕsin IIr− = (5.156)
BU Ir= (5.157)
B reprezinta susceptanta inductiva.
[]1−Ω=SI B
XB1= (5.158)
ZL
ZUBU ⋅− =ω→ 2 2ZX
ZLB − =⋅− =ω (5.159)
ϕcos 11
ZZR
ZG == (5.160)
ϕsin 1 1
ZZX
ZB − = − = (5.161)
Se noteaza cu ZY1= admitanta circuitului
[]1−Ω=SI Y

− ==
ϕϕ
sin cos
YBYG (5.162) u aI
RI I ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
105 ( )22 2 22sin cos BG Y +=+ϕϕ (5.163)
22BGY += reprezinta relatia de legatura dintre admitanta, c onductanta si susceptanta

V.8. Circuitul paralel R-L
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta legat in paralel cu
o bobina de inductivitate L constanta si cunoscuta. Circuitul este alimentat de la o sursa
de tensiune alternativ necunoscuta. Necunoscutele s unt valoarea efectiva a tenaiunii U si
defazajul ϕ. Se cunoaste curentul principal din circuit.

LRiii+= (5.164)
RuiR=, ∫⋅=dt uLiL1 (5.165)
∫⋅+= dt uLRui1 (5.166)
t Ii ⋅ = ωsin 2 (5.167)
()ϕω−⋅ = t Uusin 2 (5.168)
( ) −−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin 2 sin 2 sin 2πϕωωϕω ω tLUtRUt I (5.169)
( ) −−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin sin sin πϕωωϕω ω tLUtRUtI (5.170)
Solutia ecuatiei u, trebuie sa verifice ecuatia pen tru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt ϕω=⋅t
LUI⋅− =ωϕsin
LXL⋅=ω
2sin
LXUI− =ϕ (1)
b) 2πϕω=−⋅t 2πϕω+=⋅t
RUI =+2sin πϕ u i
Ri Li
R L

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
106 RUI=ϕcos (2)
Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( )


+ =+2 22 2 22 11sin cos
LXRU I ϕϕ (3)



+ =2 22 2 11
LXRUI
2 211
LXRUI +=
2 211
LXRIU
+=
2 2111
LXRZ
+= impedanta circuitului paralel RL
Daca se impart relatiile 1 si 2 membru cu membru se obtine relatia 4:
LXRtg − =ϕ (4)



+⋅
+=
L
LXRarctg t
XRIu ωsin 2
11
2 2 (5.171)
Tensiunea electrica este defazata cu unghiul ϕ inaintea curentului principal. Se
constata ca indiferent de modul de legare serie sau paralel, caracterul inductiv al
circuitului se pastreaza.

Diagrama fazorial
Diagrama fazoriala se construieste alegand ca origi ne de faza tensiunea de la
bornele circuitului

2 2111
LXRZ+= (5.172)
L RL
XR
IItg − =− =ϕ (5.173) LLXUI= RUIR=
U
ZUI= ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
107 L LL
XZ
UZ
XU
II− = − =− =ϕsin (5.174)
RZ
UZ
RU
IIR===ϕcos (5.175)

V.9.Circuitul paralel R-C
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta legat in paralel cu
un condensator de capacitate C constanta si cunoscu ta. Circuitul este alimentat de la o
sursa de tensiune alternativ necunoscuta. Necunoscu tele sunt valoarea efectiva a tenaiunii
U si defazajul ϕ. Se cunoaste curentul principal din circuit.

CRiii+= (5.176)
RUiR= dt du CiC= (5.177)
t Ii ⋅ = ωsin 2 (5.178)
()ϕω−⋅ = t Uu sin 2 (5.179)
( ) +−⋅
⋅+−⋅ =⋅2sin 21sin 2 sin 2πϕω
ωϕω ω t
CUtRUt I (5.180)
( ) +−⋅ +−⋅ =⋅2sin sin sin πϕω ϕω ω tXUtRUtI
C (5.181)
CXC⋅=ω1 se numeste reactanta capacitiva
Solutia ecuatiei u, trebuie sa verifice ecuatia pen tru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt ϕω=⋅t
CXUI=ϕsin (1)
b) 2πϕω=−⋅t 2πϕω+=⋅t
RUI =+2sin πϕ
RUI=ϕcos (2) u i
Ri Ci
R C

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
108 Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( )


+ = +2 22 2 22 11cos sin
CXRU I ϕϕ



+ =2 22 2 11
CXRUI
2 211
CXRUI + = |(3)
2 211
CXRIU
+=
2 2111
CXRZ
+= impedanta circuitului paralel RC
Daca se impart relatiile 1 si 2 membru cu membru se obtine relatia 4:
CXRtg =ϕ (4)



−⋅
+=
C
CXRarctg t
XRIu ωsin 2
11
2 2 (5.182)
Tensiunea electrica este defazata cu unghiul ϕ in urma curentului principal. Se
constata ca indiferent de modul de legare serie sau paralel, caracterul capacitiv al
circuitului se pastreaza.

Diagrama fazoriala
Diagrama fazoriala se construieste alegand ca origi ne de faza tensiunea de la
bornele circuitului.

2 2111
CXRZ+= (5.183) ZUI=
CCXUI=
RUIR= U ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
109 C CC
XZ
UZ
XU
II===ϕsin (5.184)
RZ
UZ
RU
IIR===ϕcos (5.185)
C CR
XR
IItg ==ϕ (5.186)

V.10. Circuitul paralel R-L-C
Se considera un rezistor de rezistenta R constanta si cunoscuta legat in paralel cu
o bobina de inductivitate L constanta si cunoscuta si cu un coindensator de C constanta si
cunoascuta alimentat de la o tensiune alternativ ne cunoscuta. Circuitul este alimentat de
la o sursa de tensiune alternativ necunoscuta. Necu noscutele sunt valoarea efectiva a
tenaiunii U si defazajul ϕ. Se cunoaste curentul principal din circuit.

CLRiiii ++= (5.187)
Rui=; dt uLiL⋅=∫1; dt du CiC= (5.188)
t Ii ⋅ = ωsin 2 (5.189)
()ϕω−⋅ = t Uusin 2 (5.190)
( ) +−⋅
⋅+−−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin 212sin 2 sin 2 sin 2πϕω
ωπϕωωϕω ω t
CUtLUtRUt I
( ) ++⋅⋅+−−⋅⋅+−⋅ =⋅2sin 2sin sin sin πϕω ωπϕωωϕω ω t CU tLUtRUtI (5.191)
Solutia ecuatiei u, trebuie sa verifice ecuatia pen tru oricare valori ale variabilei
ϕω−⋅t deci si pentru valorile partirculare:
a) 0=−⋅ϕωt ϕω=⋅t



− =
L CXXUI11sin ϕ (1)
b) 2πϕω=−⋅t 2πϕω+=⋅t
RUI =+2sin πϕ i
u Ri
Li Ci
R L C

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
110 RUI=ϕcos (2)
Relatiile (1) si (2), se ridica la patrat se aduna membru cu membru si se obtine
relatia (3)
( )







−+ = +2
22 2 22 111cos sin
L CXXRU I ϕϕ







−− =2
22 2 111
L CXXRUI
2
2111



−+ =
L CXXRUI (3)
2
2111



−+=
L CXXRIU
2
21111



−+=
L CXXRZ impedanta circuitului RLC paralel
Daca se impart relatiile 1 si 2 membru cu membru se obtine relatia 4:
L CXR
XRtg −=ϕ (4)







− −⋅



−+=
L C
L CXR
XRarctg t
XXRIu ωsin 2
1112
2 (5.192)
Tensiunea la bornele circuitului poate fi defazata in urma sau inaintea curentului
principal, dupa cum circuitul are un caracter induc tiv sau capacitiv.
Si in cazul circuitului RLC paralel, caracterul in ductiv sau capacitiv al circuitului
se pastreaza.

Diagrama fazoriala
Se traseaza diagrama fazoriala in conditiile in ca re circuitul are un caracter
inductiv.
Se alege axa origine de faza tensiunea la bornele circuitului.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
111
L CL C
RLC
XR
XR
RUXU
XU
IIItg −=−
=−=ϕ (5.193)
L CL C LC
XZ
XZ
ZUXU
XU
III−=−
=−=ϕsin (5.194)
RZ
ZURU
IIR===ϕcos (5.195)

V.11. Fenomenul de rezonanta in circuitele electric e
Un sistem oscilant, mecanic sau electric, e un sist em care, in lipsa unei forte
exterioare (in cazul unui circuit electric, in lips a unei tensiunii aplicate), poate prezenta
oscilatii proprii slab amortizate, adica un regim l iber oscilatoriu amortizat. In cazul
general, aceste oscilatii sunt suprapuneri de oscil atii cvasisinusoidale, cu diferite
frecvente proprii πω
⋅=2p
pf .
Sa presupunem ca unui astfel de sistem oscilant i se aplica o “forta” exterioara
periodica de frecventa unghiulara ω. In regim permanent, oscilatiile fortate ale
sistemului vor avea amplitudini sau faze initiale d ependente de frecventa “fortei”
exterioare. Daca aceasta frecventa variaza lent, se observa urmatoarele: pentru anumite
valori ale frecventei exterioare, aplitudiniile osc iatiilor trec prin valori maxime sau
minime cu atat mai nete, cu cat amortizarea sistemu lui este mai mica; pentru aceleasi
valori ale frecventei (sau foarte apropiate de acea sta), oscilatiile fortate ajung in
cvadratura (deplasari) sau in faza (vitezele) cu “f orta” exterioara; valorile frecventei la
care se observa extremum-ul amplitudinilor sau valo rile critice ale defazajelor sunt foarte
apropiate de frecventele proprii ale sistemului. Ac est fenomen se numeste rezonanta.
In cazul circuitelor electrice in regim permanent sinusoidal sub tensiune aplicata
data, fenomenul de rezonanta consista in trecerea a mplitudinii curentului absorbit din
exterior prin valori maxime (rezonanta propiru-zisa ) sau minime (antirezonanta), cum si
in anularea defazajului si a puterii reactive absor bite – atunci cand frecventa are valori
apropiate de acelea ale frecventelor proprii. u
RUIR= CCXUI= LLXUI=
ZUI=
ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
112 Caracteristica exacta a starii de rezonanta se poa te face in mai multe moduri –
care toate sunt echivalente in practica, pentru cir cuitele slab amortizate ( de inalta
calitate). Astfel pentru pulsatia de rezonanta 1rω se foloseste una din urmatoarele trei
definitii:
– 1rω- pulsatia tensiunii aplicate, la care circuitul ab soarbe o putere reactiva nula,
respectiv la care are defazaj nul;
– 2rω – pulsatia tensiunii aplicate, la care impedanta e minima sau maxima, respectiv
curentul este maxim sau minim la tensiune data;
– p rωω=3 – pulsatia oscilatiilor proprii.
Se va considera pulsatia 1rω ca pulsatie de rezonanta. Pentru circuitele foarte slab
amortizate (cu rezistente foarte mici fata de react antele bobinelor si ale condensatoarelor
la frecventa de rezonanta), cele trei valori de mai sus tind catre o valoare limita unica,
numita pulsatia ideala de rezonanta 0ω:
prrrrrk k Kω ω ωω
020100 lim lim lim
→ → →= = = (limita fiind considerata la valori tinzand catre 0 ale
rezistentelor kr ale laturilor L k,…. 3 , 2 , 1= )

V.11.1. Circuitul cu rezonanta de tensiune (rezonan ta serie)
Daca se considera ecuatia unui circuit serie:
∫⋅++= dt iCdt di LRi u1 (5.196)
In anumite conditii suma dintre tensiunea de la bo rnele bobinei si tensiunea de la
bornele condensatorului pot fi egale cu 0.
01=+∫idt Cdt di L (5.197)
Solutia circuitului serie este:
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 . (5.198)
( ) ( ) 0 cos 2 cos 2 =−⋅⋅−−⋅⋅ ϕωωϕωω tCItL (5.199)
S-a tinut cont de ϕπϕ cos 2sin =+
CL⋅=⋅ωω1 conditia de rezonanta
LC 12
0=ω (5.200)
LC 12
0=ω (5.201)
0 02f⋅⋅=πω (5.202)
CLf
⋅=⋅⋅120π (5.203)

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
113 CLf
⋅⋅=
π21
0 frecventa de rezonanta a circuitului (5.204)
La rezonanta, tensiunea la bornele bobinei si tens iunea de la bornele
condensatorului pot lua valori mari, in timp ce ten siunea de la bornele circuitului este
egala cu tensiunea de la bornele rezistorului.
Ri u=.
Se numeste factor de calitate al circuitului Q, raportul dintre caderea de tensiune
din bobina si cea aplicata la rezonanta.
CL
RRL
RI IL
uuQo L 10
0====
=ωω
ω ω (5.205)

Diagrama fazoriala

V.11.2. Circuitul cu rezonanta de curent (rezonanta paralel)
Daca se considera ecuatia unui circuit paralel:
dt du Cudt LRui + +=∫1 (5.206)
In anumite conditii suma dintre intensitatea curen tului care trece prin bobina si
curentul care trece prin condensator este egala cu 0.
01=+∫dt du Cudt L (5.207)
Solutia circuitului serie este:
()ϕω−⋅ = t Uusin 2 (5.208)
( ) ( ) 0 cos 12cos 2=−⋅
⋅+−⋅⋅− ϕω
ωϕωωt
CUtLU (5.209)
CL⋅=⋅ωω1 (5.210)
CL⋅=1
0ω (5.211)
C LXX11= – conditia de rezonanta a curentilor.

I U=RI LI UL0ω=
CIUC
0ω=

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
114 Diagrama fazoriala

V.12. Puteri in regim permanent sinusoidal. Puterea activa, reactiva si aparenta.
Prin definitie, puterea electrica are valoarea ins tantanee:
ui p= (5.212)
unde u este valoarea instantanee a tensiunii de alimentar e, a circuitului monofazat, fara
faza initiala.
t Uu ⋅ = ωsin 2, (5.213)
iar i este valoarea instantanee a curentului, avand defa zajul ϕ fata de u.
()ϕω−⋅ = t Iisin 2 (5.214)
()ϕωω −⋅⋅ == tt UI ui p sin sin 2 (5.215)

() [ ]ϕωϕ −⋅− = t UI p 2cos cos (5.216)
( ) [ ]∫−⋅−⋅ =T
dt t t UI TP
0cos cos cos 1ϕω ω (5.217)
ϕcos UI P= – se numeste putere activa (5.218)
[]WPSI =
Puterea electrica definita ca viteza de scurgere i n timp a energiei active este
absorbita de rezistoare (elemente de circuit active ). Daca un circuit contine rezistor,
inductivitate si capacitate, atunci numai rezistent a transforma energia electrica in energie
calorica prin curentul de conductie activ.
ϕcos IIa= (5.219)
2cos RI UI UI PA = == ϕ (5.220)
Intr-un circuit rezistenta si tensiunea eficace co nstante, puterea activa este
constanta, deci si curentul activ aI este constant, iar curentul din circuit depinde de
defazajul ϕ al circuitului
ϕcos aII= (5.221)
Este deci avantajos ca marimea ϕcos , numita factor de putere sa fie cat mai
mare. U
RUIR= CCXUI=
LLXUI=

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
115 In circuitele de curent alternativ, reactanta indu ctiva sau capacitiva, provoaca un
schimb bilateral de energie intre sursa si circuit; curentul de conductie rezultat in acest
schimb de energie se numeste curent de conductie re activ:
ϕsin IIr= (5.222)
2sin XI UI UI Qr = == ϕ- se numeste putere reactiva. (5.223)
[]VAr QSI =
Puterea reactiva este absorsita de bobina si consu mata de condensator. Insumand
algebric energiile reactive ale bobinelor condensat oarelor si energiile active ale
rezistoarelor, se obtine energia totala a circuitul ui caracterizata printr-o pate a energiei
absorbite de la sursa (+) si o parte a energiei ced ata inapoi sursei (-), pentru circuite
inductive si pentru circuite capacitive.U
Daca 0>Q ( 0>ϕ), circuitul este inductiv, iar daca 0<Q ( 0<ϕ), – circuitul
este capacitiv, in aceste cazuri energia reactiva s e numeste inductiva si respectiv
capacitiva.
Pentru a intelege din punct de vedere de vedere fi zic semnificatia puterii reactive,
este suficient ca aceasta sa fie exprimata in funct ie de energiile campurilor magnetic si
electric:
− =
⋅−⋅==2 2 2 2
21
2121CU LI ICL XI Q ωωω (5.224)
()e mWWQ − =ω2 (5.225)
Eliminand unghiul de defazaj ϕ din relatiile puterilor activa si reactiva
ϕcos UI P= (5.226)
ϕsin UI Q= (5.227)
se obtine o marime pozitiva
UI QPS =+=22 se numeste putere aparenta. (5.228)
[]VA SSI =
Ultimile trei relatii se pot atasa la triunghiul d reptunghic din figura de mai jos,
numit triunghiul puterilor. Triunghiul puterilor se formeaza din diagrama fazoriala a
circuitul RLC serie prin inmultirea cu I.

22QPS+= (5.229)
Triunghiul tensiunilor este diagrama fazoriala a c ircuitului RLC serie.
P Q S
ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
116
ISU= (5.230)
ϕϕcos cos UIUI
IPUR = == (5.231)
ϕϕsin sin UIUI
IQUX = == c (5.232)
Daca diagrama fazoriala a circuitului RLC serie se imparte la I se obtine
triunghiul impedantelor:

IUZ= (5.233)
ϕϕcos cos ZIU
IURR= == (5.234)
ϕϕsin sin ZIU
IUXX= == (5.235)
2 2 2XRZ+= (5.236)
Daca laturile triunghiului impedantelor se impart la patratul impedantei ()2Z se
obtine triunghiul admitantelor.

ZZZY1
2== (5.237)
ϕϕϕcos cos cos
2 2YZ ZZ
ZRG == == (5.238)
ϕϕϕsin sin sin
2YZZZ
ZXB == == (5.239)
22 2BGY+= (5.240) U
RU
XU ϕ
R X Z
ϕ
G B Y
ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
117 22
2YU ZUZI UI S ==== (5.241)
2 2cos cos GU RI UI SP == = = ϕ ϕ (5.242)
2 2sin sin BU XI UI SQ == == ϕ ϕ (5.243)
GB
RX
PQtg ===ϕ (5.244)
YG
ZR
SP===ϕcos c (5.245)
22BGY += (5.246)

V.13. Factorul de putere si ameliorarea acestuia.
Prin definitie factorul de putere este raportul di ntre puterea activa P si puterea
aparenta S.
ϕϕcos cos = ==UI UI
SPK (5.247)
Unele receptoare cum ar fi: motoarele asincrone de turatie mica, motoarele
asincrone de turatie mare cand merg cu sarcina mica sau in gol, transformatoarele de
retea care merg in gol, cuptoarele de inductie, tra nsformatoarele de sudura, etc.,
micsoreaza factorul de putere. Existenta unui facto r de puetre redus are influente
nefavorabile asupra retelei de energie electrica.
Daca de exemplu mI este curentul maxim pe care-l poate debita o centr ala
electrica si I curentul unui receptor (care are la borne tensiune a U si absoarbe puterea
activa P), rezulta numarul de receptoare identice c are pot fi conectate la centrala:
PUI
IInn m ϕcos == , adica acest numar este direct proportional cu fac torul de putere
ϕcos .
Alt dezavantaj al unui factor de putere redus este pierderea de tensiune UΔ, de
putere PΔ si deci de energie Pt WΔ=Δ
ϕcos UPZZI U==Δ (5.248)
ϕ222
2
cos UPZZI P==Δ (5.249)
adica, aceste pierderi active sunt cu atat mai mari cu cat factorul de putere si tensiunea
sunt mai mici. Ca solutii de reducere a pierderilor de energie se adopta, pentru
transportul; energiei electrice, montarea unor tran sformatoare electrice ridicatoare (dupa
generator) si coboratoare (inaintea receptorului), iar pentru imbunatatirea (cresterea)
factorului de putere , montarea in paralel cu recep torul, a unor condensatoare.

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
118

ϕ ϕ ′′=cos cos I I (5.250)
IIIC′+= (5.251)
UIIICϕ ϕ ′′+=sin sin (5.252)
ϕ ϕ ′′+= sin sin I UUI UI C (5.253)
Daca factorul de putere al unui receptor este ϕcos si din motive tehnico
economice este necesar sa se compenseze (sa creasca ) acesta pana la valoarea 'cos ϕ,
rezulta ca puterea reactiva a elemntului compensato r este:
QQQC′+= (5.254)
PQtg =ϕ (5.255)
( )ϕϕ′−=′−= tg tg PQQQC (5.256)
ϕPtg Q= este puterea reactiva a receptorului consumata la factorul de putere ϕcos
ϕ′=′Ptg Q este puterea reactiva a receptorului consumata la factorul de putere ϕ′cos
P este puterea activa a receptorului
CUXUQ
CC ⋅== ω22
(5.257)
Capacitatea bateriei de condensator care trebuie m ontata in paralel cu receptorul
inductiv pentru imbunatatirea factorului de putere este:
()
2'
2Utg tg P
UQCC
⋅−=⋅=ωϕϕ
ω (5.258)

U
I ϕ I
R ϕcos ,QP U
R ϕcos ,QP 'I I
CI
U aI
'I U
CI '
RI
RI I ϕ 'ϕ

dr. ing. Nicoleta TANASE – Electrotehnica curs – Vo lumul I
119 VI Bibliografie
1. A. Timotin, s.a., – “Lectii de bazele electrotehnic ii”, Editura didactica
si pedagogica, Bucuresti, 1970;
2. B. Rdovici, C. Ionescu, s.a – “Eloectrotehnica, mas urari si masini
electrice”, Editura didactica si pedagogica, 1973;
3. I.S. Antoniu – “Bazele electrotehnicii”, Editura di dactica si
pedagogica, Bucuresti, 1974;
4. R. Radulet, -“Bazele electrotehnicii”, Editura Dida ctica si Pedagogica,
Bucuresti, 1975;
5. I. Dima, s.a, – “Electricitate si magnetism”, Unive rsitatea din
Bucuresti, Bucuresti, 1981;
6. Berkeley, – “Electricitate si magnetism”, Editura d idactica si
pedagogica, 1982;
7. C.I. Mocanu – “Teoria campului electromagnetic”, Ed itura didactica
si pedagogica, bucuresti, 1984;
8. M. Bertin, J.P.Faroux, J Rennault – “Electromagneti sme”, Dunod
Universite, Paris, 1986.
9. J.C. Maxwell, -“Tratat elementar de electricitate” (traducere din limba
engleza), Editura stiintifica si enciclopedica, Buc uresti, 1989;
10. M. Gafencu – “Electrotechnique”, UTCB, Bucuresti, 1996;
11. I.M. Popescu, -“Electricitate si magnetism”, Matri x – Rom,
Bucuresti, 1997;
12. I. Spoanulescu – “Electricitate si Magnetism”, Edi tura Victor,
Bucuresti, 2001;
13. M. Gafencu, s.a., – “Electrotehnica, Electromagnet ism”, Editura
Matrix Rom, Bucuresti, 2002;