© 2002 by Mois ă Altar. All rights reserved. Short sections of text, not exceeding two paragraphs may be quoted without permission provided that full… [600353]
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE
INGINERIE FINANCIAR Ă
– sinteză –
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr
© 2002 by Mois ă Altar. All rights reserved. Short sections of text, not
exceeding two paragraphs may be quoted without permission provided that full
credit, including the © notice, is given to the source.
© Copyright 2002, Mois ă Altar. Toate drepturile asupra acestei lucr ări
aparțin autorului. Scurte fragmen te de text, care nu dep ășesc două paragrafe pot
fi citate f ără permisiunea autorului dar cu men ționarea sursei.
București, ianuarie 2002
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
2/87 Capitolul 1. Introducere.
Sistemul financiar joac ă un rol fundamental în func ționarea economiei
moderne. Cercet ări recente au eviden țiat rolul major ce revine sistemului financiar în
procesul cre șterii economice. Pe lâng ă factorii tradi ționali, respectiv investi țiile în
capitalul fizic și în capitalul uman, sistemul financiar joac ă un rol important în
procesul cre șterii economice.
În arhitectura sistemului financiar, pia ța de capital joac ă un rol central, ea
reprezentând un adev ărat catalizator pentru întreaga activitate economic ă.
În ultimele decenii pia ța de capital s-a dezvoltat continuu prin apari ția de noi
produse financiare , de noi mecanisme și de noi segmente. Acest proces continu ă și în
prezent, el amplificându-se odat ă cu adâncirea globaliz ării și mondializ ării piețelor de
capital.
Un segment foarte alert și care se dezvolt ă continuu în cadrul pie ței de capital
este cel al produselor derivate. De și relativ tân ăr, volumul zilnic al tranzac țiilor pe
piața de derivative însumeaz ă multe zeci de miliarde USD.
Un produs financiar derivat (derivativ ) este un instrument financiar al c ărei
valoare depinde de valoarea altor active sau produse financiare, numite active suport .
Principalele produse derivate utilizate în prezent pe pia ța financiar ă sunt:
• contractele forward
• contractele futures
• swap-uri
• opțiunile
În ceea ce prive ște opțiunile, trebuie men ționat că în prezent se utilizeaz ă o
varietate extrem de mare de astfel de instrumente derivate, multe dintre ele intrând în
așa numita categorie a op țiunilor exotice .
Întrucât un volum extrem de mare de op țiuni și alte derivative se negociaz ă pe
așa numita pia ță OTC (over – the – counter) direct între diverse institu ții financiare,
bănci, fonduri mutuale sau companii, prin intr oducerea de noi clauze în contractele de
opțiuni se ob țin în permanen ță noi tipuri de op țiuni exotice, care dac ă dau rezultate
favorabile sunt adoptate de lumea financiar ă.
Prima pia ță organizat ă pe care s ă se negocieze contracte de op țiuni
standardizate a ap ărut în anul 1973 la Chicago, CBOE (Chicago Board Options
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
3/87 Exchange). Ulterior op țiunile au fost negociate și la American Stock Exchange, la
Pacific Stock Exchange, Philadelphia Exchange, NYSE, Londra, Paris, Amsterdam, etc.
În ceea ce prive ște activul suport
al unui produs financiar derivat, acesta poate
fi:
• acțiuni
• obligațiuni
• indici bursieri
• cursul de schimb
• bunuri de diverse tipuri: petrol, cereale, aur sau alte metale
prețioase, etc.
Produsele derivate sunt utilizate în trei scopuri principale, și anume:
• pentru opera ții de acoperire împotriva diverselor categorii de risc –
hedging
• pentru specula ții pe piața financiar ă
• pentru opera ții de arbitraj
De aici rezult ă și cele trei categorii mari de operatori (traders) pe pia ța de
derivative: hedgers , speculators , arbitrageurs .
Apariția derivativelor a modificat fundamental structura activit ăților
financiare, în special în țările dezvoltate. În primul rând, produsele derivate permit o
mai bună protejare împotriva riscului a investitorilor și a altor categorii de oameni de
afaceri. În al doilea rând, produsele derivate permit realizarea unor opera ții de levier
extrem de eficiente. Acestea au condus la amplificarea activit ăților de investi ții, având
puternice implica ții atât asupra institu țiilor financiare, cât și al institu țiilor
nefinanciare.
Totodată prețurile produselor financiare derivate care reflect ă anticipările
agenților economici privind evolu țiile ce vor avea loc în economie permit o mai bun ă
prognoză macroeconomic ă, o mai bun ă fundamentare a deciziilor de politic ă monetară
pe care le adopt ă băncile centrale ș.a.
În sfârșit, dar nu și în ultimul rând, apari ția derivativelor a condus la un avânt
extraordinar al științei financiare . Apariția în anul 1973 a celebrului model Black-
Merton-Scholes de evaluare a op țiunilor a deschis practic o nou ă eră în domeniul
științei finanțelor.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
4/87 Capitolul 2. No țiuni fundamentale
În acest paragraf vor fi introduse primele no țiuni fundamentale privind
produsele financiare derivate, precum și unele mecanisme care guverneaz ă piața de
capital.
a. Arbitraj financiar
Prin arbitraj financiar vom înțelege posibilitatea realiz ării unei tranzac ții prin
care se poate ob ține un câștig fără ca operatorul s ă-și asume un risc sau s ă investeasc ă
capital.
Întrucât pe pia ța de capital este retribuit numai capitalul și riscul asumat,
arbitrajul financiar reprezint ă o stare anormal ă a pieței, respectiv o stare de non-
echilibru. Întrucât astfel de st ări pot exista numai pe perioade foarte scurte de timp,
ele sunt, în general, ignorate de teoria financiar ă modernă.
În foarte multe ra ționamente și calcule legate de evaluarea produsele
financiare, inclusiv a derivativelor, de presupune c ă piața nu permite opera ții de
arbitraj financiar .
Vom spune c ă efectuăm un raționament de arbitraj financiar dac ă în cadrul
raționamentului elimin ăm posibilitatea realiz ării de opera ții de arbitraj.
Conform ra ționamentului de arbitraj financiar două instrumente financiare
care produc acela și efect trebuie s ă aibă același preț.
Operațiile de arbitraj financiar nu trebuie confundate cu operațiile speculative
în care operatorul î și asumă un risc pentru care a șteaptă o recompens ă. Dintr-o
operație speculativ ă operatorul poate avea fie un câ știg, fie o pierdere.
b. Short selling ( shorting )
Este o opera ție speculativ ă prin care un investitor vinde un activ pe care nu îl
posedă, el fiind de cele mai multe ori împrumutat de brokerul s ău. Investitorul
urmează să cumpere în scurt timp activul și să-l restituie brokerului. Opera țiile de
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
5/87 short selling sunt reglementate prin statutul pie ței. Pentru unele tipuri de active
reglement ările nu permit opera ții de short selling.
În general , speculatorii efectueaz ă operații de short selling când anticipeaz ă o
scădere a pre țului activului, dorind s ă vândă mai scump pentru ca ulterior s ă cumpere
mai ieftin pentru a stinge împrumutul. Evident c ă dacă anticiparea nu a fost corect ă
investitorul poate pierde dintr-o opera ție de short selling.
c. Rata dobânzii continue
Dacă se noteaz ă cu R rata dobânzii care se refer ă la un an, pentru frac țiuni de
an se folosesc în mod obi șnuit două tipuri de rate ale dobânzii:
• rata comercial ă: nR;
• rata corect ă: nrn, unde cu nr s-a notat rata de conversie, solu ție a ecuației:
Rnrn
n+=
+ 1 1 (2.1)
respectiv:
()[]1 11−+=n
n R nr (2.2)
S-a presupus c ă dobânda este compus ă iar cu n s-a notat num ărul de intervale în
care a fost împ ărțit anul.
Între cele dou ă rate ale dobânzii pot exista diferen țe semnifiactive care se
amplifică odată cu creșterea lui n.
De exemplu, dac ă %15=R , rata dobânzii comercial ă pentru un semestru este
de 7,5 %, iar pentru o lun ă ea este de 1,25%. În realitate, o rat ă a dobânzii de de 7,5%
pe semestru corespunde la o rat ă a dobânzii de 15,56% pe an
()( ) 1556,01 075,012=−+ , iar o rată a dobânzii de 1,25% pe lun ă corespunde la o rat ă
anuală de 16,075% pe an ()( ) 16075.01 0125.0112=− + .
Pentru cazul considerat, rata corect ă pentru un semestru este de 7,238%, iar
pentru o lun ă ea este de 1,17%.
Pentru 2=n , rata de conversie ()[]1 11−+=n
n R nr este egal ă cu
%476,142=r , iar pentru 12=n ea este egal ă cu % 058,1412=r .
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
6/87 Cu cât n este mai mare, cu atât rata de conversie este mai corect ă. Aceasta a
condus la utilizarea ratei instantanee, respectiv la rata dobânzii continue :
()()R
nRr rn
nnn+=−+==
∞→ ∞→1ln11 1lim lim1
(2.3)
Așadar, între rata dobânzii obi șnuite R și rata dobânzii continue r, avem
relația:
()R r+=1ln (2.4)
În cazul exemplului ales, rata dobânzii de %15=R , corespunde unei rate a
dobânzii continue de 13,976%.
Factorul de fructificare devine:
reR=+1 (2.5)
iar factorul de actualizare devine:
reR−=+1 (2.6)
Pentru exemplificare, ar ătăm că formula care d ă prețul unei obliga țiuni, în
cazul în care se folose ște rata dobânzii continue devine:
rtT
trt
t Fe eC P−
=−+ =∑
1 (2.7)
Cu tC s-a notat valoarea cuponului din anul t, cu F s-a notat valoarea nominal ă, iar
cu T s-a notat scaden ța (maturitatea) obliga țiunii.
Pentru o obliga țiune zero-cupon având maturitatea T, valoarea nominal ă
1=F și prețul la momentul t egal cu ),(TtB , rentabilitatea la scaden ță (yieldul la
maturitate) este dat ă de formula:
()
tTTtBy−−=, ln (2.8)
care este solu ția ecuației:
()()tTye TtB−−⋅=1 , (2.9)
De exemplu, dac ă 0=t , iar o obliga țiune zero-cupon având maturitatea peste
3 ani () 3=T are prețul () 8,03,0= B , atunci rentabilitatea la scaden ță va fi:
%44,73)8,0ln(= −=y .
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
7/87 d. Contracte forward
Cel mai simplu derivativ este contractul forward. Un contract forward este o
înțelegere între dou ă părți de a vinde, respectiv de a cump ăra un anume activ financiar
sau un bun la o scaden ță și un preț stabilite prin contract.
Contractele forward se tranzac ționează pe piețele OTC (“over-the-counter”) și
ele se încheie, în mod obi șnuit, între dou ă instituții financiare sau între o institu ție
financiară și o institu ție non-financiar ă (de exemplu o companie).
Se spune c ă partea care se angajeaz ă să cumpere activul sau bunul respectiv
are o poziție long , iar cea care se angajeaz ă să vândă are o poziție short .
La emitere valoarea (prima) unui contract forward este zero, deoarece niciuna
dintre părți nu obține prin contract o situa ție privilegiat ă. Așa cum se va vedea în
continuare, aceast ă situație nu mai este valabil ă în cazul op țiunilor, unde operatorul
care are pozi ția long are dreptul, dar nu și obligația de a cump ăra activul, respectiv
bunul care face obiectul contractului.
Dintr-un ra ționament de arbitraj rezult ă că pentru un activ care nu genereaz ă
venit pe perioada la care se refer ă contractul, pre țul forward (pre țul de livrare) este:
rteS TF0 ),0(= (2.10)
Cu 0S s-a notat pre țul spot al activului sau bunului, cu T s-a notat scaden ța, iar cu
),0(TF s-a notat pre țul forward.
Pentru un activ care pe perioada de existen ță a contractului genereaz ă un venit
având valoarea actualizat ă 0V, prețul forward va fi:
()rTeVS TF0 0 ),0( −= (2.11)
De exemplu, dac ă contractul forward se refer ă la o acțiune care d ă dividend,
rata instantanee a dividendului fiind % q, prețul forward va fi:
()TqreS TF−=0 ),0( (2.12)
Pentru a demonstra formula )12.2( , vom observa c ă venitul generat prin dividend în
perioada []T,0 este:
0 0 S eS VqT
T−= (2.13)
Valoarea actual ă este:
qt qt
T eS S eV V− −−==0 0 0 (2.14)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
8/87 Înlocuind pe 0V în formula )11.2( se obține formula )12.2( .
Exemplu. Consider ăm un contract forward pentru o ac țiune al cărei preț spot este
800=S u.m., având scaden ța peste 6 luni ) 5,0 (=T . În cazul în care ac țiunea este ex-
dividend iar rata dobânzii este %10=r , prețul forward va fi:
10,84 80)5,0 ; 0(5,01,0=⋅=⋅e F u.m.
În cazul în care ac țiunea dă dividend, rata instantanee a dividendului fiind % 2=q ,
prețul forward va fi:
()26,83 e80 0,5) ; 0(5,0 0,02-0,1= ⋅=⋅F u.m.
Trebuie men ționat că valoarea (prima) unui contra ct forward este zero numai
în momentul ini țial:
00=f (2.15)
Pe perioada de via ță a contractului, prima contractului poate fi diferit ă de zero. Într-
adevăr, prețul forward în momentul t va fi:
) (),(tTr
teS TtF−= (2.16)
iar prima de contract va fi:
()[]) (),( ,0tTr
t eTtF TF f−−−= (2.17)
Din ) 17.2( rezult ă:
( )) ( ) (
0tTr tTr
trT
t e eS eSf−−−−=
de unde:
trt
t S eSf−=0 (2.18)
Evidend c ă semnul lui tf poate fi pozitiv sau negativ, dup ă cum trtS eS>0
sau trtS eS<0 . Dacă trtS eS=0 , prima tf este egală cu zero.
Exemplu. Un contract forward având scaden ța peste un an are ca suport o ac țiune al
cărei curs spot este 850=S u.m. rata dobânzii este %12=r . Acțiunea este ex-
dividend. Dup ă 6 luni cursul spot al ac țiunii este 87 u.m. în acest caz valoarea
contractului forward este:
256,3 87 256,90 87 855,012,0
5,0 =−=−⋅=⋅e f
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
9/87 e. Contracte futures
Contractele futures au acelea și caracteristici ca și contractele forward, cu
deosebirea c ă se tranzac ționează pe piețe organizate și sunt standardizate.
Pentru majoritatea contractelor futures, operatorii î și închid pozi ția înainte de
scadență. Închiderea pozi ției se poate face relativ simplu luând o pozi ție contrar ă cu
cea avută (long sau short) într-un contract futures similar. Este important de men ționat
că pentru numeroase tipuri de active sau produse, pre țurile futures se public ă zilnic
presa financiar ă.
f. Tipuri de op țiuni
Contractele forward sau futures oblig ă ambele p ărți contractante ca la scaden ță
să onoreze contractul. Este evident c ă, în general, una dintre p ărți va fi dezavantajat ă.
În cazul în care pozi ția pe un contract futures va fi închis ă înainte de scaden ță,
operatorul va fi obligat s ă ia poziție pe un alt contract futures sau pe activul suport.
Spre deosebire de contractele forward sau futures, op țiunile oblig ă numai una
dintre părți să onoreze contractul (pozi ția short), l ăsând libertatea celeilalte p ărți
(poziția long) să decidă dacă onorează sau nu contractul.
Este evident c ă, pentru acest drept pe care-l ob ține, operatorul care are pozi ția
long pe un contract de op țiuni va pl ăti, la încheierea contractului, o prim ă operatorului
care are pozi ția short.
În funcție de dreptul de a cump ăra sau de a vinde un anumit activ, op țiunile se
împart în dou ă mari categorii:
• Opțiuni CALL (de cump ărare)
• Opțiuni PUT (de vânzare)
Opțiunea CALL dă dreptul de a cump ăra la un termen stabilit, la un pre ț
stabilit prin contract (pre țul de exerci țiu), activul care face obiectul contractului
(activul suport ).
Dacă notăm cu S – pre țul activului suport și cu E – pre țul de exerci țiu prevăzut
în contract, la scaden ță valoarea unei op țiuni CALL este egal ă cu:
() 0, max ES− (2.19)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
10/87 Este evident c ă dacă S>E, atunci posesorul op țiunii va cump ăra activul
exercitându- și opțiunea, având astfel un câ știg brut egal cu S-E. În cazul în care pre țul
pe piață a activului este mai mic decât pre țul de exerci țiu prevăzut în contractul de
opțiune (S<E) atunci, evident c ă, operatorul va cump ăra activul direct pe pia ță, iar
valoarea op țiunii este egal ă cu zero.
Funcția (2.19) se nume ște funcția de payoff și ea dă valoarea profitului brut
pe care-l ob ține posesorul op țiunii. Pentru a ob ține valoarea profitului net, din payoff
trebuie sc ăzută prima plătită de operatorul care a cump ărat opțiunea (pozi ția long).
Opțiunea PUT dă dreptul de a vinde la un termen stabilit și la un pre ț stabilit
prin contract activul suport.
În cazul op țiunilor PUT, func ția de payoff este:
() 0, max SE− (2.20)
Operatorul matematic „max” din func țiile de payoff (2.19) și (2.20), în fapt,
cuantifică opționalitatea pe care o are pozi ția long de a- și exercita sau nu contractul.
Din punctul de vedere al modului de exercitare al op țiunilor se disting dou ă
mari categorii de op țiuni:
• Opțiunile de tip european care pot fi exercitate numai la scaden ță;
• Opțiunile de tip american care pot fi exercitate, teoretic, în orice
moment pân ă la expirarea contractului.
Trebuie men ționat faptul c ă atât în Europa, cât și pe continentul american se
tranzacționează ambele tipuri de op țiuni men ționate mai sus. A șadar, adjectivele
„european”, respectiv „american” nu au nimic în comun cu locul geografic în care se
tranzacționează opțiunea.
• Opțiunile de tip bermudan sunt opțiunile ce pot fi exercitate în anumite
momente, prev ăzute în contract.
Aceste tipuri de op țiuni reprezint ă un „mix” între op țiunile de tip european și
cele de tip american.
Între bănci sau alte institu ții financiare sau între institu ții financiare și
companii pot fi încheiate și așa numitele op țiuni de tip exotic .
• Opțiunile de tip exotic sunt opțiuni nestandard care au prev ăzute prin
contract o serie de clauze specifice.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
11/87 De exemplu, opțiunile de tip asiatic , sunt opțiuni exotice în care func ția de
payoff depinde de pre țul mediu al activului suport pe o perioad ă specificat ă în
contract.
O altă categorie de op țiuni exotice sunt op țiunile de tip binar sau digitale
pentru care func ția de payoff este o func ție discontinu ă ca funcție de prețul activului
suport. De exemplu, func ția de payoff poate lua numai valoarea unu sau zero.
Toate categoriile de op țiuni (europene, americane, exotice, etc) sunt de tip
CALL (de cump ărare) sau de tip PUT (de vânzare).
În funcție de evolu ția prețului activului suport, op țiunile pot fi:
• at-the-money , în cazul în care pre țul activului suport este egal cu
prețul de exerci țiu;
• in-the-money , în cazul în care func ția de payoff este egal ă cu ES−,
modul care este strict mai mare ca zero. O op țiune de tip call este in-
the-money dac ă funcția de payoff este 0>−ES , respectiv pre țul
activului suport este mai mare decât pre țul de exerci țiu. O opțiune de
tip put este in-the-money dac ă SE>, respectiv func ția de payoff este
0>−SE ;
• out-the-money , în cazul în care func ția de payoff este zero. O op țiune
de tip call este out-the-money dac ă ES<, iar opțiunea de tip put este
out-the-money dac ă ES>.
g. Duplicarea (clonarea)
Vom spune c ă un activ sau un derivativ a fost duplicat (clonat) dac ă s-a reușit
construirea unui portofoliu care s ă se comporte identic cu activul sau derivativul
inițial.
De exemplu, se va vedea mai departe c ă o acțiune poate fi clonat ă printr-un
portofoliu format dintr-o obliga țiune (pozi ție long) și un num ăr de opțiuni (pozi ție
short).
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
12/87 h. Prima (valoarea) unei op țiuni
Valoarea unei op țiuni reprezint ă prima pl ătită la semnarea contractului sau
prețul la care ea se tranzac ționează pe piață la un moment ulterior emiterii.
La scaden ță valoarea unei op țiuni este egal ă cu funcția de payoff.
Dacă se noteaz ă cu C – valoarea unei op țiuni call și cu P – valoarea unei
opțiuni put, ambele sunt func ții de următoarele cinci variabile:
S – prețul activului suport;
E – prețul de exerci țiu;
σ – volatilitatea activului suport;
r – rata dobânzii pe pia ța monetar ă;
tT− – perioada pân ă la scaden ță. Cu T s-a notat scaden ța, iar cu t momentul
curent (la emiterea op țiunii t=0).
Unitatea de m ăsură a perioadei tT− este anul. Rezult ă că tT− se măsoară în
fracțiuni de an, anul financiar având 252 de zile .
Dacă se noteaz ă generic cu D valoarea unui derivativ (call sau put), avem:
() tTr ESDD − = ,,,,σ (2.21)
În raport cu σ și tT− funcția D este cresc ătoare. Monotonia în raport cu S și
E depinde de tipul de op țiune, respectiv dac ă este de tip call sau put.
Trebuie men ționat, însă că funcția D este omogen ă de gradul unu în raport cu
S și E, respectiv dac ă S și E cresc de λ ori și valoarea derivativului va cre ște de λ
ori. Rezult ă că avem rela ția:
() ( )tTr ESD tTr E S D − ⋅=−⋅⋅ ,,,, ,,, , σλ σλλ (2.22)
Întrucât valoarea unui derivativ depinde în mod esen țial de evolu ția prețului S
al activului suport, iar acesta este o variabil ă stochastic ă, în continuare vor fi
prezentate unele no țiuni elementare de calcul stochastic.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
13/87 Capitolul 3. Elemente de calcul stochastic
1. Legea normal ă. Legea log-normal ă
Multe fenomene din natur ă, tehnică și economie descriu o lege normal ă sau
gausiană. Pentru cunoa șterea unei legi normale sunt suficien ți doi parametri, respectiv
media, µ, și varianța 2σ.
Densitatea de reparti ție în cazul legii normale este:
()()
22
2
21σµ
πσ−−
⋅=x
e xf (3.1)
iar funcția de reparti ție este:
() ()()
dx e dxxf dFd dx
∫ ∫
∞−−
∞−−
⋅= =22
2
21σµ
πσ (3.2)
Funcția de reparti ție, numit ă și probabilitatea cumulat ă cuantific ă
probabilitatea ca variabila aleatoare care descrie legea normal ă să aibă o mărime mai
mică decât d, respectiv:
() ( ) dF dZP=≤ (3.3)
Vom nota cu :
()σµ,Φ (3.4)
O variabil ă aleatoare care este normal distribuit ă, având media µ și varianța
2σ.
Distribuția normal ă pentru care 0 =µ și 1=σ se numește distribu ția standard .
Pentru distribu ția normal ă standard , densitatea de reparti ție este:
()22
21x
e xf−⋅=
π (3.5)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
14/87
Pentru distribu ția normal ă standard func ția de reparti ție va fi notat ă cu N în loc
de F. Avem:
() dxe dNd x
∫
∞−−⋅=22
21
π (3.6)
Din punct de vedere geometric, indicatorul N(d) m ăsoară aria cuprins ă între
graficul func ției f(x) (clopotul lui Gauss), axa orizontal ă și dreapta de ecua ție x=d
(vezi fig.1).
Funcția N(d) are urm ătoarele propriet ăți:
1.
()210= N
2. () 1=∞N
3. () ( ) dN dN −=− 1
Întrucât primitiva func ției (3.5) nu poate fi exprimata prin func ții elementare,
pentru calculul integralei (3.6) se utilizeaz ă formule de aproximare. Pe baza unor
astfel de formule de aproximare sunt întocmite tabele care dau valorile lui N(d) pentru
diverse valori date lui d.
Din astfel de tabele se poate vedea, de exemplu c ă N(1,24)=0,8925. Cu alte
cuvinte probabilitatea ca o variabil ă distribuit ă după legea normal ă standard (media
egală cu zero și varianța egală cu unu) este de 89,25%.
Probabilitatea ca o variabil ă distribuit ă după legea normal ă standard s ă ia
valori în intervalul []βα, este: d
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
15/87 () ( ) ()α β βα ≤−≤=≤≤ xP xP x P , respectiv:
() ( ) ()αββα N N x P −=≤≤ (3.7)
În cazul particular în care βα−= avem:
() ( ) ( ) ()()[]()1 2 1 −⋅=−−=−−=≤≤− α α ααααα N N N N N x P (3.8)
În formula
() ( ) dN dxP=≤
în mod obi șnuit se dă probabilitatea cumulat ă N(d) și nu valoarea variabilei d.
Din tabelele privind probabilitatea cumulat ă la distribu ția normal ă standard
rezultă următoarele valori importante pentru parametrul d, corespunz ătoare
probabilit ăților egale cu 99%, 97,5%, 95% și 90%.
Probabilitatea
(P) Pragul d
( dx
≤)
99% 2,33
97,5% 1,96
95% 1,65
90% 1,29
Din tabelul de mai sus rezult ă că cu o probabilitate de 99% variabila x
distribuită după repartiția normal ă standard va avea o valoare mai mic ă decât 2,33, iar
cu o probabilitate de 90% va avea o valoare mai mic ă decât 1,29.
În cazul în care se dore ște valoarea lui x astfel încât s ă se afle cu o
probabilitate dat ă P în intervalul []ββ,− , prin utilizarea formulei (3.7) avem:
() ( ) 1 2−=≤≤− ααα N x P
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
16/87
rezultă:
Probabilitatea
(P) Pragul α
( αα≤≤− x )
99% 2,58
97,5% 2,24
95% 1,96
90% 1,65
Pe baza tabelului de mai sus putem scrie c ă:
() %95 96,1 96,1 =≤≤− x P
în cazul în care în locul distribu ției normale standard ()1,0Φ consider ăm o
distribuție normal ă ()σµ,Φ atunci din formula:
() ( ) 1 2−=≤≤− ααα N x P
făcând substitu ția :
σµ−=Zx
rezultă:
() ()1 2−=⋅+≤≤⋅− ασαµσαµ N Z P (3.9)
Cu Z s-a notat variabila aleatoare a c ărei lege de distribu ție este ()σµ,Φ .
De exemplu, pentru o variabil ă normal distribuit ă având media 100 și abaterea
medie pătratică %30=σ , cu o probabilitate de 95% ea se va afla în intervalul:
3,096,1 100 3,096,1 100 ⋅+≤≤⋅− Z ,
respectiv:
588,100 412,99 ≤≤Z
Mai sus s-a ținut seama c ă pentru o probabilitate de 95%, 96,1=α .
O variabil ă aleatoare Z pozitivă are o distribu ție log-normal ă dacă logaritmul
său este normal distribuit, respectiv:
()σµ, logΦ≈Z (3.10)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
17/87 Pentru variabile aleatoare având o distribu ție log-normal ă, formula (3.9)
devine:
() ()1 2 log −=⋅+≤≤⋅− ασαµ σαµ N Z P (3.11)
respectiv:
( )()1 2−=≤≤⋅+ ⋅−ασαµ σαµN eZ eP
De exemplu, dac ă () 0,2;0,3 logZΦ≈ , respectiv variabila logZ este normal
distribuită cu 2 ,0=µ și 3 ,0=σ , atunci cu o probabilitate de 95%, variabila se va afla
în intervalul:
3,096,12,0 3,096,12,0 ⋅+ ⋅−≤≤ eZ e
respectiv:
1990,2 6784,0 ≤≤Z
Mai sus cu log s-a notat logaritmul natural, care, în mod obi șnuit se noteaz ă cu
ln.
2. Procese Wiener . Procese Ito
Vom considera o variabil ă ()tx care evolueaz ă în timp într-un mod aleatoriu.
O astfel de variabil ă va fi numit ă variabilă aleatoare . Dacă variabila aleatoare poate
lua numai anumite valori precizate , ea se nume ște variabil ă aleatoare discret ă. Dacă
variabila aleatoare poate lua orice valoare din ℜ, ea se nume ște continu ă.
Rezultă că pentru variabilele aleat oare discre te avem:
()tAtx∈
iar pentru variabilele aleatoare continue avem:
()ℜ∈tx
Mai sus, mul țimea tA este precizat ă pentru fiecare moment t.
În cazul în care pentru fiecare moment t cunoaștem și legea de distribu ție a
variabilei t vom spune c ă avem un proces stochastic .
Procesul stochastic se nume ște proces discret dacă variabila temporal ă t poate
lua valori numai într-o anumit ă mulțime de puncte, bine precizat ă. Dacă ℜ∈t sau lui
+ℜ, procesul stochastic se nume ște proces continuu .
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
18/87 Vom spune c ă procesul stochastic ()tx este un proces Markov (are
proprietatea lui Markov) dac ă pentru a face o predic ție privind evolu ția sa viitoare este
suficient s ă cunoaștem numai starea sa actual ă ()0tx și nu întreaga sa istorie, respectiv
pe ce traiectorie a ajuns starea actual ă ()0tx .
Unul dintre cele mai simple tipuri de procese stochasti ce sunt procesele
Wiener .
Ele poartă numele matematicianului american Norbert Wiener, unul dintre cei
mai celebri speciali ști în domeniul teoriei predic ției din secolul al XX-lea, fondator al
ciberneticii.
Variabila ()tx descrie un proces Wiener, dac ă variația sa x∆ într-un interval
mic de timp este:
t btax ∆⋅⋅+∆⋅=∆ ε (3.12)
unde:
a, b – constante cunoscute
ε – variabil ă aleatoare având o distribu ție normal ă standard.
Notând cu E operatorul de medie, rezult ă că:
() 0=εE și ()()[]()12 2 2 2==−= εεεσε E E E
Media, respectiv varian ța lui x∆ sunt:
() taxE ∆⋅=∆
() t b Et bx ∆⋅=⋅∆⋅=∆2 2 2 2ε σ (3.13)
În cazul în care consider ăm că intervalul de timp t∆ este egal cu unitatea (1
an) atunci avem:
() axE=∆
2 2bx=∆σ (3.14)
Din formula (3.14) rezult ă cu claritate semnifica ția parametrilor a și b, și
anume:
a – este media anual ă a variabilei x;
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
19/87 b – este abaterea medie standard (volatilitatea anual ă) a variabilei x.
Folosind nota țiile consacrate, formula (3.12) se poate scrie:
t t x ∆⋅⋅+∆⋅=∆ εσµ (3.15)
În cazul în care avem:
0=µ și 1=σ (3.16)
iar pentru acest caz special vom schimba litera x cu z, avem:
t z∆⋅=∆ε (3.17)
Pentru z∆avem:
() 0=∆zE
tz∆=2σ (3.18)
Procesul Wiener particular dat de formula (3.17) se nume ște mișcare
brownian ă, fiind pus în eviden ță în secolul al XIX-lea de botanistul Brown.
Mișcarea brownian ă se caracterizeaz ă prin faptul c ă o particul ă car descrie
acest proces, se mi șcă la întâmplare, având media zero și varianța egală cu t∆.
Întrucât abaterea medie p ătratică măsoară gradul de incertitudine (volatilitatea)
rezultă că aceasta cre ște odată cu timpul (cu t∆).
Folosind (3.17), formula (3.15) a procesului Wiener se mai poate scrie:
z t x ∆⋅+∆⋅=∆ σµ (3.19)
Trebuie men ționat că uneori procesul (3.17) se mai nume ște proces Wiener
fundamental , iar procesul (3.19) proces Wiener generalizat .
Dacă în formula (3.12), coeficien ții a și b sunt func ții de t și x și nu constante,
avem un proces Ito . Rezultă că un proces Ito este un proces stochastic descris de
următoarea formul ă:
() () t xtbtxtax ∆⋅⋅+∆⋅=∆ ε, ,
sau
() () zxtbtxtax ∆⋅+∆⋅=∆ , , (3.20)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
20/87 În cadrul cursului vor fi considerat e numai cazuri simple în care func țiile a și b
sunt funcții liniare.
În cazul în care intervalul de timp t∆ este foarte mic ( 0→∆t ), acesta va fi
notat cu nota ția consacrat ă în calculul diferen țial, respectiv cu dt.
Rezultă că pentru cazul continuu ecuațiile (3.19) și (3.20) care descriu
procesele Wiener, respectiv Ito, se scriu astfel:
dz dt dx ⋅+⋅=σµ (3.21)
() () dzxtbdtxta dx ⋅+⋅= , , (3.22)
Ecuațiile (3.21) și (3.22) sunt ecua ții diferențiale stochastice .
3. Prețul unui activ ca proces stochastic
Vom considera un activ având la momentul t prețul ()tS. Mărimea ()tS poate
reprezenta pre țul spot al unei ac țiuni al unui bun fizic (aur, petrol, etc), cursul valutar,
etc.
Vom considera un interval de timp 0ttt−=∆ , precum și creșterea
corespunz ătoare a pre țului ()()0tStSS−=∆ .
Creșterea relativ ă a prețului S se poate scrie:
()
()()
()()
()()
()1 12
01
0 −⋅⋅⋅=
ntStS
tStS
tStS
tStSL (3.23)
Mai sus, intervalul de timp []tt,0 a fost parti ționat astfel:
tt t tttn n=≤≤≤≤≤−1 2 1 0 KK
Prin logaritmare, rela ția (3.23) devine:
∑
= −=n
i ii t
SS
SS
1 1 0ln ln (3.24)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
21/87 Considerând variabilele
1ln
−ii
SS ca fiind variabile aleatoare oarecare,
independente și cu varian ța finită, conform TEOREMEI LIMIT Ă CENTRAL Ă, din
calculul probabilit ăților se știe că pentru n foarte mare, suma acestora tinde la o
distribuție normal ă.
Rezultă că
0lnSSt este normal distribuit, respectiv
0SSt are o distribu ție log-
normală.
Mai sus a fost schi țată justificarea ipotezei conform c ăreia cursul unei ac țiuni,
cursul valutar și în general pre țul unui activ descrie o lege log-normal ă.
Această ipoteză este fundamental ă în domeniul finan țelor moderne.
Întrucât rentabilitatea unei ac țiuni ex-dividend se poate scrie:
1
0 00−=−=∆=SS
SSS
SSRt t
rezultă că
RSSt+=1
0 (3.25)
Din formula de mai sus, rezult ă că
() R RSSt≈+=1ln ln
0 (3.26)
Formula (3.26) valabil ă pentru cazul în care rentabilitatea R nu are valori
exagerat de mari, arat ă că rentabilitatea unui activ este normal distribuit ă,
0lnSSt fiind
normal distribuit.
În aproximarea (3.26) a fost utilizat ă formula cunoscut ă conform c ăreia pentru
valori mici ale lui x avem:
() xx≈+1ln
Întrucât rentabilitatea SS∆ are o distribu ție normal ă, este valabil ă relația:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
22/87
z tSS∆⋅+∆⋅=∆σµ (3.27)
Cu µ s-a notat rentabilitatea anual ă, iar cu σ volatilitatea anual ă a prețului S.
Formula (3.27) se mai poate scrie:
zS tS S ∆⋅⋅+∆⋅⋅=∆ σµ (3.28)
respectiv
dzS dtS dS ⋅⋅+⋅⋅= σµ (3.29)
Exemplu:
Vom presupune c ă se cunosc urm ătoarele date:
%25 %;14 ;50 === σµ S
În acest caz formula (3.27) devine
t t S ∆⋅⋅+∆⋅=∆ ε5,12 00,7 (3.30)
Am înlocuit t z∆⋅=∆ε .
Presupunând c ă t∆ este de cinci zile, respectiv 0198,02525==∆t , obținem:
ε⋅+=∆ 76,1 139,0S (3.31)
Formula (3.31) arat ă că variația prețului S pe o perioad ă de 5 zile are o
distribuție normal ă, cu media egal ă cu 0,139 și abaterea medie standard egal ă cu
1,76%.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
23/87 4. Lema lui Ito
Lema lui Ito joac ă un rol fundamental în calculul stochastic.
În cele ce urmeaz ă ea va fi prezentat ă fără demonstra ție, insistându-se, în
special, asupra modului ei de utilizare.
Lema lui Ito generalizeaz ă regulile de derivare din analiza matematic ă clasică.
Se știe că în cazul în care avem o func ție derivabil ă de forma:
()xtFY ,= (3.32)
În care nu apare nici un element stochastic, diferen țiala sa este:
dxxFdttFdY∂∂+∂∂= (3.33)
În cazul în care variabila x, la rândul s ău, depinde de variabila t și o altă
variabilă z:
()() ztxtFY ,,= (3.34)
avem:
dzzx
xFdttx
xF
tFdY∂∂⋅∂∂+
∂∂⋅∂∂+∂∂= (3.35)
În cazul în care în formula (3.34) apar și elemente stochastice, formula (3.35)
nu mai este valabil ă.
În calculul cu produse derivate apar astfel de situa ții întrucât valoarea acestora
depinde de pre țul activului suport care, la rândul s ău, evolueaz ă aleatoriu.
Lema lui Ito permite solu ționarea unor astfel de situa ții.
Vom considera situa ția în care valoarea derivativului D este dată de formula
()()txtDD ,= (3.36)
Unde ()tx este un proces stochastic de tip Ito. Ecua ția de dinamic ă pentru ()tx
este:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
24/87 () () dzxtbdtxta dx , ,+= (3.37)
Unde dz este un proces Wiener fundamental:
dt dz⋅=ε (3.38)
Lema lui Ito afirmă că:
dzbxDdtbxDaxD
tDdD ⋅⋅∂∂+
∂∂+⋅∂∂+∂∂=2
22
21(3.38)
În cazul unui proces stochastic discret:
() () zxtbtxtax ∆+∆=∆ , , (3.39)
cu
dt dz⋅=ε (3.40)
Formula (3.38) devine:
zbxDt bxDaxD
tDD ∆⋅⋅∂∂+∆
∂∂+⋅∂∂+∂∂=∆2
22
21 (3.41)
Formulele (3.38) și (3.41) arat ă faptul că dacă ()tx este un proces Ito continuu,
respectiv discret, atunci și ()()txtD, este un proces Ito de aceea și natură cu ()tx.
Ceea ce se modific ă pentru procesul ()()txtD, este driftul, respectiv
coeficientul lui dt (sau t∆ în cazul discret), precum și coeficientul lui dz (sau z∆)
care se amplific ă cu xD
∂∂.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
25/87 5. Aplica ții ale lemei lui Ito
a) Ecuația de dinamic ă a unui derivativ de tip op țiune
Vom presupune c ă ecuația de dinamic ă a prețului S al activului suport este de
forma:
dzS dtS dS ⋅⋅+⋅⋅= σµ (3.42)
unde µ este media, iar σ este volatilitatea anual ă a prețului S.
Vom nota cu ()()tStD, valoarea unui derivativ având ca activ suport pe ()tS.
Conform lemei lui Ito, avem:
dzSSDdtSSDSSD
tDdD ⋅⋅⋅∂∂+
⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂= σ σ µ2 2
22
21(3.43)
iar pentru cazul discret avem:
zSSDt SSDSSD
tDD ∆⋅⋅⋅∂∂+∆
⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂=∆ σ σ µ2 2
22
21(3.44)
Exemplu:
Presupunem c ă media anual ă a rentabilit ății activului suport este 15,0=µ , iar
volatilitatea este %10=σ .
În acest caz, formula (3.42) de dinamic ă a activului suport devine:
dzS dtS dS ⋅⋅+⋅⋅= 1,0 15,0 (3.42’)
iar ecuația de dinamic ă a derivativului devine:
dzSSDdtSSDSSD
tDdD ⋅⋅∂∂+
⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂= 1,0 005,0 15,02
22
(3.43’)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
26/87 b) Ecuația de dinamic ă a unui derivativ de tip contract forward
Vom considera un contract de tip forward având ca activ suport o ac țiune ex-
dividend, dinamica pre țului acțiunii fiind dat ă de ecuația (3.42). pre țul forward la
momentul t este:
()tTreS StF−⋅=),( (3.45)
Cu T s-a notat scaden ța contractului.
Pentru a putea aplica formula (3.43) vom calcula, în prealabil, derivatele
parțiale ale lui F.
Din formula (3.45) avem:
()tTreSrtF−⋅⋅−=∂∂
()tTreSF−=∂∂
022
=∂∂
SF (3.46)
Înlocuind formulele (3.46) în (3.43) se ob ține:
() ()( )()dz eSdt eS eSr dFtTr tTr tTr⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=− − −σ µ
respectiv:
()() ()dz eS dt eSr dFtTr tTr⋅⋅⋅⋅+⋅−=− −σ µ (3.47)
Ținând seama de formula (3.45). formula (3.47) devine:
() dz FdtFr dF ⋅⋅+⋅−= σ µ (3.48)
Comparând ecua țiile (3.42) și (3.48), se observ ă că ele sunt similare, cu
deosebirea c ă, driftul pentru pre țul forward este mai mic, respectiv este r−µ .
Ecuația (3.48) se mai poate scrie:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
27/87 () dz dtrFdF⋅+⋅−= σ µ (3.49)
sau
() dz dtr Fd ⋅+⋅−= σ µ ln (3.50)
Ecuația (3.50) pune în eviden ță faptul că prețul forward F descrie în perioada
de la t=0 la t=T o lege log-normal ă, cu media ()Tr−µ și volatilitatea Tσ .
c) Evoluția logaritmului pre țului activului suport
În acest exemplu vom considera c ă:
S Dln= (3.51)
iar dS este dat de ecua ția (3.42). Avem:
0=∂∂
tD
SSD 1=∂∂
2 221
S SD−=∂∂ (3.52)
Pentru acest caz, ecua ția (3.43) devine:
() dzSSdtSSSSSd ⋅⋅⋅+
⋅−⋅= σ σ µ1 1
21 1ln2 2
2 (3.53)
respectiv:
() dz dt Sd ⋅+
−= σσµ2
21ln (3.54)
Ecuația (3.54) pune în eviden ță faptul că lnS are o distribu ție normal ă.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
28/87 Considerând c ă la momentul t=0, prețul activului este 0S, ()
()()
0ln0lnSTS
STS=
va avea urm ătoarea distribu ție normal ă:
()
−Φ≈ T TSTSσσµ ;21ln2
0 (3.55)
Aplicând formula (3.9) rezult ă că
()() 1 221ln212
02−=
⋅+
−≤≤⋅−
− α σασµ σασµ N T TSTST T P (3.57)
În continuare vom prezenta modul în care determin ăm, cu o probabilitate
stabilită de noi, intervalul în care se va afla pre țul activului la momentul T.
Vom stabili pragul de proba bilitate egal cu 99%, deci
() 99.01 2=−αN (3.58)
Folosind tabelele privi nd probabilitatea cumulat ă la distribu ția normal ă,
rezultă că 58 ,2=α .
Vom presupune c ă 0,25 respectiv luni, 3 iar ,100 %;24 ;14,00 = = = == T T Sσµ .
Înlocuind datele stabilite, rezult ă:
25,0 24,058,225,0 24,02114,0100ln 25,0 24,058,225,0 24,02114,02 2⋅⋅+⋅
⋅−≤≤⋅⋅−⋅
⋅−TS(3.59)
Efectuând calculele, rezult ă:
0,3096 0,0278100ln 0,3096- 0,0278 +≤≤TS,
respectiv:
3374.0100ln 2818,0 ≤≤−TS
de unde:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
29/87 3374.0 2818,0
100eSeT≤≤−
Rezultă că, cu o probabilitate de 99% pre țul activului se va afla dup ă 3 luni în
intervalul
3374.0 2818,0100 100 e S eT⋅≤≤⋅−
respectiv:
13,140 442,75 ≤≤TS
Reamintim c ă în momentul ini țial prețul a fost de 1000=S .
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
30/87 Capitolul 4. Modele de evaluare a op țiunilor
Pe baza elementelor de calcul stochastic prezentate în capitolul 3, vom trece la
deducerea modelelor de evaluare a op țiunilor.
Vor fi prezentate dou ă tipuri de modele de evaluare a op țiunilor:
• Modelul Black–Scholes;
• Modelul binomial
Trebuie men ționat că cele două tipuri de modele sunt înrudite, de și în aparen ță
ele pornesc de la ipoteze diferite.
Modelul Black–Scholes a fost publicat în anul 1973, iar modelul binomial în
anul 1979 de c ătre Cox, Ross și Rubinstein.
Ambele tipuri de modele se bazeaz ă pe raționamente de arbitraj și hedging și
pornesc de la premisa c ă piața nu permite opera ții de arbitraj, în sensul men ționat în
capitolul 2.
În prealabil, va fi dedus ă ecuația diferen țială Black–Merton–Scholes , a cărei
soluție este modelul de evaluare Black–Scholes.
Vom presupune c ă sunt îndeplinite urm ătoarele ipoteze privind pia ța și
operațiunile de tranzac ții:
a) Prețul activului suport descrie o lege log-normal ă, respectiv ecua ția
sa de dinamic ă este:
dzS dtS dS ⋅⋅+⋅⋅= σµ sau
zS tS S ∆⋅⋅+∆⋅⋅=∆ σµ
b) Reglement ările pieței permit opera țiuni de short selling;
c) Taxele și costurile de tranzac ții sunt nule;
d) Pe perioada de via ță a opțiunii, activul suport nu genereaz ă venit
(dividend). Cu alte cuvinte, dac ă activul suport este o ac țiune, ea
este exemplu-dividend în perioada considerat ă;
e) Piața nu permite oportunit ăți de arbitraj;
f) Rata dobânzii și volatilitatea sunt constante pe perioada considerat ă
Trebuie subliniat faptul c ă majoritatea ipotezelor prezentate mai sus pot fi
relaxate, ob ținându-se astfel modele de evaluare mult mai apropiate de realitate.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
31/87 În cadrul acestui curs, vor fi relaxate numai o parte dintre ipoteze, de exemplu
cea privind faptul c ă acțiunea este exemplu-dividend.
Relaxarea ipotezei f), respectiv trecerea la modele de evaluare în condi țiile în
care rata dobânzii sau/ și volatilitatea sunt stochastice face obiectul unor cursuri mai
avansate la nivel de MSc și PhD.
1. Ecuația de dinamic ă Black–Merton–Scholes
Se consider ă un activ al c ărui preț are următoarea ecua ție de dinamic ă:
zS tS S ∆⋅⋅+∆⋅⋅=∆ σµ (4.1)
Vom nota cu D valoarea unui derivativ având drept activ suport pe S.
Vom forma portofoliul având urm ătoarea structur ă:
• 1 unitate de derivativ, pozi ție long
• h unități din activul suport, pozi ție short
Rezultă că valoarea portofoliului este:
hSD−=Π (4.2)
Mărimea parametrului h va fi determinat ă ulterior pe baza unor ra ționamente
financiare.
Dinamica portofoliului pe intervalul de timp t∆ va fi:
ShD∆−∆=∆Π
Utilizând ecua ția (4.1) și (3.44), rezult ă:
() zS tS hzSSDt SSDSSD
tD∆⋅⋅+∆⋅⋅−∆⋅⋅⋅∂∂+∆
⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂=∆Π σµ σ σ µ2 2
22
21
Efectuând grup ările se obține:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
32/87 z hSDS t SSDhSDStD∆⋅
−∂∂⋅⋅+∆
⋅∂∂+
−∂∂⋅+∂∂=∆Π σ σ µ2 2
22
21 (4.3)
Vom alege parametrul h astfel încât portofoliul Π să fie „fără risc”, respectiv
mărimea ∆Π să nu fie supus ă factorilor aleatori.
Singurul element stochastic în ecua ția (4.3) este t z∆⋅=∆ε , unde ε este o
variabilă aleatoare având distribu ția normal ă standard.
Așadar vom alege pe SDh∂∂cu egal , mărime presupus ă constant ă pe un
interval de timp mic.
SDh∂∂= (4.4)
În această situație, ecuația (4.3) devine:
t SSD
tD∆
⋅∂∂+∂∂=∆Π2 2
22
21σ (4.5)
Întrucât, conform ipotezelor f ăcute, piața nu permite oportunit ăți de arbitraj,
variația valorii portofoliului dat ă de formula (4.5) va coincide cu varia ția unei sume
egale depus ă într-un cont bancar. Aceasta deoarece portofoliul:
SSDD∂∂−=Π (4.6)
este un portofoliu f ără risc.
Presupunând c ă rata dobânzii este r, pentru suma depus ă într-un cont bancar
pe perioada t∆, avem:
t r∆⋅Π⋅=∆Π (4.7)
respectiv
t SSDDr ∆⋅
∂∂−⋅=∆Π (4.8)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
33/87 Din egalarea expresiilor (4.5) și (4.8) rezult ă:
DrSDSSDSrtD⋅=∂∂⋅+∂∂⋅⋅+∂∂
22
2 2
21σ (4.9)
Ecuația (4.9) reprezint ă ecuația Black–Merton–Scholes de dinamic ă a unui
derivativ.
Ecuația (4.9) este o ecua ție cu derivate par țiale de ordinul doi, liniar ă, de tip
parabolic.
Pentru solu ționarea efectiv ă a ecuației diferen țiale Black– Merton–Scholes
este necesar s ă cunoaștem așa numitele condi ții finale și condiții pe frontier ă.
Trebuie men ționat că ecuația (4.9) este similar ă cu așa-numita ecua ție a
difuziei studiat ă de fizicieni.
2. Modelul Black–Scholes de evaluare a unei op țiuni
În acest paragraf vom presupune c ă derivativul D este o op țiune CALL ( D=C )
sau o opțiune PUT ( D=P ), de tip european.
Pentru cazul în care D=C , la ecuația (4.9) se ata șează condiția finală:
() ( ) 0, max , ES STC −= (4.10)
Precum și condițiile pe frontier ă:
() 0 , lim
0=
→StC
S
()∞=
∞→StC
S, lim (4.11)
Condițiile (4.11) care sunt avute în vedere numai din considerente strict
tehnice, au o interpretare financiar ă simplă.
Soluția ecuației diferen țiale (4.9) cu condi țiile (4.10) și (4.11) este urm ătoarea:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
34/87 () ( )()()2 1 , dN eE dNS StCtTr−−⋅−⋅= (4.12)
unde:
()
tTtT rES
d
−−
++
=
σσ
2ln2
1
tT d d −−=σ1 2 (4.13)
iar ()dN este probabilitatea cumulat ă pentru distribu ția normal ă standard,
respectiv:
() dze dNd z
∫
∞−−=22
21
π
Reamintim c ă valorile pentru ()dN sunt tabelate și pot fi utilizate ca atare.
Formula (4.12) reprezint ă formula (modelul) Black–Scholes pentru calculul
valorii unui call european având ca suport o ac țiune exemplu-dividend.
O formul ă similară se poate deduce și pentru op țiunile de tip put. Formula
Black–Scholes de evaluare a unei op țiuni put este urm ătoarea:
()()() ()1 2 , dNS dN eE StPtTr−⋅−−⋅⋅=−− (4.14)
Reamintim c ă probabilit ățile cumulate N(d) satisfac urm ătoarea rela ție:
() ( ) dN dN −=− 1 (4.15)
În formulele lui Black–Scholes (4.12), respectiv (4.13), semnifica ția
indicatorilor este urm ătoarea:
S – cursul activului suport;
E – prețul de exerci țiu prevăzut în contract;
σ – volatilitatea anual ă a activului suport;
r – rata dobânzii.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
35/87 Exemplu:
Vom calcula valoarea unei op țiuni call pentru care se cunosc urm ătoarele date:
luni) (6 0,5 80;10% 27%; ;80
=====
T-t Er Sσ
Vom calcula parametrii 1d și 2d:
5,0 27,05,0227,01,08080ln2
1⋅⋅
++
=d
5,0 27,01 2 ⋅−=d d
Rezultă:
35735,01=d și
16643,02=d
Conform tabelelor privind probabilitatea cumulat ă la distribu ția normal ă
standard, avem:
() 63959,01=dN ; () 56609,02=dN
Cunoscând valorile pentru ()1dN și ()2dN se poate trece la aplicarea formulei
Black–Scholes:
() ( ) ()25,01,0
180 80 , dN e dN StC⋅−⋅−⋅=
respectiv:
() 56609,0 95123,080 63959,080 , ⋅⋅−⋅=StC
Valoarea rezultat ă pentru op țiunea call este:
() 0886,8 ,=StC
Rezultă că, pentru cazul considerat, valoarea op țiunii call reprezint ă cca 10%
din valoarea activului suport.
Vom calcula acum, pentru acela și exemplu valoarea op țiunii PUT.
Conform calculelor de mai sus avem:
() ( ) 36041,0 63959,01 11 1 = −=−=− dN dN
() ( ) 43391,0 56609,01 12 2 = −=−=− dN dN
Aplicând formulele Black–Scholes pentru op țiuni put, avem:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
36/87 () ( ) ()1 25,01,080 80 , dN dN e StP −⋅−−⋅=⋅−;
() 36041,080 43391,0 95123,080 , ⋅−⋅⋅=StP
Valoarea rezultat ă pentru op țiunea put este:
() 18705,4 ,=StP
Observații: Paritatea PUT – CALL
Teorema de paritate put – call se poate demonstra simplu printr-un
raționament de tip arbitraj. Ea rezult ă, însă, ușor și din formula Black–Scholes.
Într-adevăr, din formula Black–Scholes pentru op țiuni put avem:
()()() ()()()()( )()1 2 1 2 1 1 , dN S dN eE dNS dN eE StPtTr tTr−⋅−−⋅⋅=−⋅−−⋅⋅=−− −−
()()[ ]()[ ]S eE eE dNStTr tTr−⋅+⋅−⋅=−− −−
1
Rezultă:
() ()()[ ]S eE StCStPtTr−⋅+=−−, ,
sau
() ()()[ ]tTreES StP StC−−⋅−+= , , (4.16)
Formula (4.16) reprezint ă teorema de paritate put-call, ea ar ătând relația dintre
prețul unei op țiuni CALL și o opțiune PUT având acela și activ suport, aceea și
scadență și același preț de exerci țiu.
Din relația (4.16) rezult ă:
a) Dacă ()tTreSE−⋅< , atunci:
() ),( , StP StC> (4.17)
Cu alte cuvinte, dac ă prețul de exerci țiu, E este mai mare decât pre țul spot
fructificat, ()tTreS−⋅ , atunci valoarea op țiunii call este mai mare decât pre țul opțiunii
put.
b) Dacă ()tTreSE−⋅> , atunci avem:
() ),( , StP StC< (4.18)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
37/87 c) Dacă ()tTreSE−⋅= , atunci avem:
() ),( , StP StC= (4.19)
Ținând seama c ă în cazul c) avem ()tTreSE−⋅= , formula Black–Scholes se
mai poate scrie:
() ( ) ()[]2 1 , dN dNS StC −= (4.20)
iar pentru acest caz:
()
()() ()
()tT
tTtT
tTtTeES
tTtT rES
dtTr
−=
−−
=
−−+⋅=
−−
++
=−−
22 2ln2ln2 22
1σ
σσ
σσ
σσ
(4.21)
iar
tT tT d d −−=−−=21 2σσ (4.22)
Rezultă că:
() ( ) ()1 1 2 1 dN dN dN −=−=
iar formula (4.20) devine:
() ( )[] 1 2 ,1−⋅⋅= dN S StC
Cu alte cuvinte, în cazul în care:
()tTreSE−⋅=
avem:
() () ()[] 1 2 , ,1−⋅⋅== dN S StP StC (4.23)
unde
tT d −=21σ
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
38/87 Exemplu:
Dacă în cazul exemplului precedent consider ăm că:
5,0 %;27 ;1,0 ;098,76 ;805,01,0= == =⋅==⋅−T-t r eSE S σ
aplicând formula (4.23), rezult ă:
() () [] 3056,4 80 05382,01 52691,0280 , , =⋅=−⋅⋅== StP StC
3. Model de evaluare a op țiunilor pentru cazul în care
activul suport genereaz ă venit – Op țiuni pe ac țiuni cu
dividend; op țiuni pe indici bursieri; op țiuni pe valut ă
Una dintre ipotezele f ăcute de Black–Scholes (1973) prive ște faptul c ă activul
suport este exemplu-dividend. Cu alte cuvinte, pe perioada de via ță a opțiunii, activul
suport nu genereaz ă venit, respectiv nu necesit ă cheltuieli suplimentare de între ținere
în cazul op țiunilor pe produse fizice (petrol, cereale, aur sau alte metale pre țioase,
etc).
La aceast ă cerință restrictiv ă s-a putut renun ța relativ u șor, ținând seama c ă
toate raționamentele privind evaluarea op țiunilor au la baz ă ipoteza de lips ă a
oportunităților de arbitraj, respectiv neutralitatea la risc .
Vom face observa ția important ă că ecuația Black–Merton–Scholes (4.9) de
dinamică a unui derivativ nu con ține nici un element care s ă reflecte atitudinea fa ță de
risc a investitorului.
Elementele care intervin în ecua ția (4.9), respectiv pre țul spot al activului, S,
volatilitatea sa σ și rata dobânzii , r, nu depind de atitudinea investitorului fa ță de risc.
Media rentabilit ății activului suport, respectiv ()µ=RE nu intervine în ecua ția
Black–Merton–Scholes, tocmai datorit ă faptului c ă această medie depinde de
atitudinea investitorului în raport cu riscul.
În aceste condi ții, se poate presupune, f ără a restrânge generalitatea
rezultatelor, c ă investitorii sunt neutrali la risc .
Pentru a vedea ce se întâmpl ă în cazul în care activul suport genereaz ă venit,
vom reaminti câteva elemente privind pre țul forward .
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
39/87 Se știe că prețul forward pentru un contract al c ărui activ suport nu genereaz ă
venit pe perioada de via ță a contractului este dat de formula:
()()tTr
teS TtF−⋅=, (4.24)
Au fost utilizate urm ătoarele nota ții:
()TtF, – p r e țul forward;
tS – pre țul spot al activului suport;
tT− – durata pân ă la maturitate a contractului;
r – rata dobânzii
în cazul în care activul suport genereaz ă pe perioada de via ță a contractului
venit, formula (4.24) devine:
() ( )()tTr
t t eVS TtF−⋅−=, (4.25)
Cu tV s-a notat venitul actualizat pe care-l genereaz ă activul suport.
În cazul în care activul suport este o ac țiune, iar rata dividendului continu ă,
analog cu rata dobânzii continue, este q, avem:
()tTq
t t t eSS V−−⋅−= (4.26)
În acest caz, pre țul forward este dat de urm ătoarea formul ă care rezult ă din
(4.25):
()()()tTqr
teS TtF−−⋅=, (4.27)
Într-un univers neutral la risc, formula (3.29) de dinamic ă a unui activ care nu
generează venit poate fi rescris ă astfel:
dzS dtSr dS ⋅⋅+⋅⋅= σ (4.28)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
40/87 În cazul în care activul genereaz ă venit, rata ritmului instantaneu (continuu)
fiind q, formula (4.28) devine:
() dzS dtSqr dS ⋅⋅+⋅⋅−= σ (4.29)
Ecuația (4.9) a lui Black–Merton–Scholes devine în acest caz:
() DrSDSSDSqrtD⋅=∂∂⋅⋅+∂∂⋅⋅−+∂∂
22
2 2
21σ (4.30)
Pe baza unor calcule asem ănătoare, modelul de evaluare a unei op țiuni pentru
cazul în care activul suport genereaz ă un venit având ritmul instantaneu egal cu q este:
• Pentru op țiuni CALL
()()()()()2 1 , dNE e dNS eStCtTr tTq⋅−⋅=−− −− (4.31)
• Pentru op țiuni PUT
()()()()()1 2 , dNS e dNE eStPtTq tTr−⋅−−⋅ =−− −− (4.32)
unde:
()
tT d d
tTtT qrES
d −−=
−−
+−+
= σ
σσ
1 22
1 ;2ln(4.33)
În formulele (4.31) și (4.32) variabila q va avea urm ătoarea semnifica ție:
• Pentru op țiuni având ca suport ac țiuni care genereaz ă dividend q
reprezintă rata anual ă a dividendului continuu;
• Pentru op țiuni pe indici bursieri q reprezint ă rata medie anual ă a
dividendului continuu; media ratei dividendului se calculeaz ă ținând
seama de dividendele generate de ac țiunile ce sunt incluse în indice
precum și de structura indicelui;
• Pentru op țiuni pe valut ă frq=, unde cu fr s-a notat rata dobânzii din
țara partener ă.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
41/87 Exemple:
1. Vom calcula valoarea unei op țiuni call și a unei op țiuni put având ca
suport o ac țiune pentru care rata dividendului continuu este %5,2=q .
Se cunosc urm ătoarele date:
luni 4 %;27 ;09,0 ;47 ;45 = ==== T-t r E S σ
Aplicând formulele (4.31) – (4.33) se ob țin următoarele rezultate:
3382,2=C ; 3226,3=P .
Vom face observa ția că, în cazul în care ac țiune nu ar genera dividend,
respectiv 0=q , atunci pre țurile opțiunilor call, respectiv put, ar fi:
5197,2=C ; 1306,3=P .
2. Vom calcula valoarea unei op țiuni call având ca suport indicele bursier
S&P 500. Vom presupune c ă:
1000=S ; 980=E ; %20=σ ; 05.0=r ; 6=−tT luni.
Vom presupune c ă rata medie a dividendului continuu pentru cele 500 de
firme care intr ă în componen ța indicelui S&P 500 este %1,2=q . Aplicând
formulele (4.31) și (4.33) rezult ă:
3470,73=C
3. Vom considera un contract call de cump ărare de valut ă. Contractul este
încheiat în SUA pentru a cump ăra lire sterline. Cursul spot este de
4565,1=S , iar pre țul de exerci țiu este de 4350 ,1=E . Scaden ța
contractului este peste trei luni ( 25 ,0=−tT ). Volatilitatea cursului de
schimb USD/GBP este de 15,0=σ . Rata dobânzii în SUA este de
%5=r , iar în Anglia este de % 8,6=fr . Aplicând formulele (4.31) și
(4.33) în care %8,6==frq , vom ob ține următoarea valoare pentru
opțiunea call:
050407,0=C
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
42/87 4. Modelul lui Black de evaluare a unei op țiuni pe un contract
futures
În ultimii ani op țiunile pe contracte futures au luat o extindere deosebit ă, ele
fiind tranzac ționate pe multe pie țe.
În anul 1976 F. Black a publicat un model de evaluare a op țiunilor pe
contracte futures.
Pentru a deduce modelul lui Black, vom porni de la ecua ția de dinamic ă a
prețului futures:
dz dtFdF⋅+⋅=σµ (4.34)
unde dz este un proces Wiener fundamental, respectiv:
dt dz⋅=ε (4.35)
Cu ε s-a notat, ca și până acum, o variabil ă aleatoare normal distribuit ă,
având media zero și varianța egală cu unu.
Vom considera un derivativ având ca suport contractul futures. Valoarea
acestui derivativ este:
()FtDD ,= (4.36)
Aplicând lema lui Ito, se ob ține:
dzFFDdtFFDFFD
tDdD ⋅⋅⋅∂∂⋅+
⋅⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂= σ σ µ2 2
22
21(4.37)
În cazul discret, ecua țiile (4.34), (4.35) și (4.37) devin:
z tFF∆⋅+∆⋅=∆σµ (4.34’)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
43/87 t z∆⋅=∆ε (4.35’)
zFFDt FFDFFD
tDD ∆⋅⋅⋅∂∂⋅+∆
⋅⋅∂∂+⋅⋅∂∂+∂∂=∆ σ σ µ2 2
22
21(4.37’)
La fel ca și în cazul deducerii ecua ției de dinamic ă Black–Merton–Scholes
(paragraful 1 al acestui capitol), vom forma un portofoliu având urm ătoarea structur ă:
• 1 unitate de derivativ, pozi ție long;
• h unități de contracte futures.
Se știe deja din paragraful 1 c ă pentru a elimina factorul stochastic, raportul de
hedging trebuie ales astfel:
FDh∂∂= (4.38)
Întrucât valoarea unui contract futures în momentul ini țial este zero, valoarea
portofoliului format, Π este:
DFDDFhD =⋅∂∂−=⋅−=Π 0
Variația valorii portofoliului pe intervalul de timp t∆ va fi:
FFDD∆⋅∂∂−∆=∆Π (4.39)
Folosind ecua țiile (4.34’) și (4.37’), ecua ția (4.39) devine:
t FFD
tD∆
⋅⋅∂∂+∂∂=∆Π2 2
22
21σ (4.40)
Ținând seama c ă portofoliul format este f ără risc, varia ția ∆Π este egală și cu:
tDrt r ∆⋅⋅=∆⋅Π⋅=∆Π (4.41)
unde r este rata dobânzii.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
44/87 Din relațiile (4.40) și (4.41) rezult ă:
Dr FFD
tD⋅=⋅⋅∂∂+∂∂2 2
22
21σ (4.42)
Ecuația cu derivate par țiale (4.42) este analog ă cu ecuația (4.9) a lui Black–
Merton–Scholes. De asemenea, este analog ă cu ecuația (4.30) dac ă rq=.
Soluțiile ecuației ce derivate par țiale (4.42) pentru cazul în care CD=,
respectiv PD= sunt:
()() []2 1) (dNE dNF eCtTr⋅−⋅ =−− (4.43)
() () []1 2) (dNF dNE ePtTr−⋅−−⋅ =−− (4.44)
unde:
()
tT d dtTtTEF
d
−−=−−+
=
σσσ
1 22
1 ;2ln
(4.45)
Formulele (4.43) – (4.45) reprezint ă modelul lui Black pentru evaluarea unei
opțiuni pe un contract futures.
Vom observa c ă formulele (4.43) – (4.45) sunt asem ănătoare cu formulele
(4.31) – (4.33) dac ă înlocuim pe rq= și FS=.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
45/87 Capitolul 5. Utilizarea op țiunilor în
managementul riscului financiar
1. Indicatorii de senzitivitate ai unei op țiuni
Un număr foarte mare de institu ții financiare, în special b ăncile, utilizeaz ă
opțiunile în managementul riscului. Pentru în țelegerea modului în care op țiunile pot fi
utilizate în managementul riscului este necesar ă cunoașterea semnifica ției
indicatorilor de senzitivitate a valorii unei op țiuni. Se știe că, din punct de vedere
matematic, senzitivitatea unei func ții este cuantificat ă de valoarea derivatei func ției
respective.
Întrucât valoarea unui derivativ (op țiune) depinde de cinci parametri, respectiv
de șase parametri în cazul în care activul suport genereaz ă venit pe perioada de via ță a
opțiuni, rezult ă că vom avea un num ăr corespunz ător de indicatori de senzitivitate.
Conform tradi ției acestea sunt notate cu litere grece ști.
Vom considera op țiunea:
) ,,,,,( tTqr ESDD − =σ (5.1)
Principalii indicatori de senzitivitate a unei op țiuni sunt:
• DELTA: SD
∂∂=∆ ; (5.2)
• NABLA: ED
∂∂=∇ ; (5.3)
• GAMMA: 22
SD
∂∂=Γ ; (5.4)
• VEGA: σ∂∂=ϑD; (5.5)
• THETA: ()tTD
−∂∂=Θ ; (5.6)
• RHO: rD
∂∂=ρ ; (5.7)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
46/87 • MIU: qD
∂∂=µ ; (5.8)
Cu D s-a notat generic o op țiune call, ( D=C ), respectiv o op țiune put ( D=P )
Fiecare dintre cei șapte indicatori se senzitivitate cuantific ă variația valorii
opțiunii corespunz ătoare unei varia ții mici a indicatorului respectiv. Dintre cei șapte
indicatori, probabil cel mai important este indicatorul DELTA care cuantific ă variația
valorii unei op țiuni corespunz ătoare unei varia ții mici a activului suport.
Din modul de deducere a ecua ției Black–Merton–Scholes se știe că indicatorul
SD
∂∂=∆ reprezint ă raportul de hedging care a f ăcut ca portofoliul Π utilizat în
demonstra ție să nu depind ă de factori aleatori.
Teorema 1, care va fi prezentat ă în continuare, va permite deducerea rapid ă a
șase din cei șapte indicatori de senzitivitate. Pentru aceasta, va fi notat generic cu
litera u oricare din cele șase variabile de care depinde func ția (5.1). teorema va fi
formulată pentru op țiuni de tip call. Pentru op țiuni de tip put se poate ob ține similar o
formulă analogă.
Teorema 1
Fie ) ,,,,,( tTqr ESCC − =σ valoarea unei op țiuni call de tip european. Este
valabilă următoarea formul ă:
()()()() ()()
utT
ddNS euE edNuS edNuCtTqtTr tTq
∂−∂
∂∂⋅⋅+∂⋅∂⋅−∂⋅∂⋅=∂∂−−−− −−σ1 ) () (
2) (
1 (5.9)
Demonstra ție:
Conform formulei de evaluare a unei op țiuni call, avem:
() ()2) (
1) (dNE e dNS eCtTr tTq⋅⋅−⋅⋅=−− −− (5.10)
unde:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
47/87 ()
tT d dtTtT qrEF
d
−−=−−
+−+
=
σσσ
1 22
1 ;2ln
(5.11)
Derivând în raport cu u ecuația (5.10) se ob ține:
()() ()()() ()
ud
ddNE euE edNud
ddNS euS edNtTrtTr
tTqtTq
∂∂
∂∂⋅⋅−∂⋅∂⋅−∂∂
∂∂⋅⋅+∂⋅∂⋅−−−−
−−−−
2
22 ) () (
21
11 ) () (
1 (5.12)
Întrucât probabilitatea cumulat ă ()dN este dată de formula:
() dze dNdz
∫∞−−=22
21
π (5.13)
rezultă că:
()22
21d
eddN −=∂∂
π (5.14)
Formula (5.14) rezult ă din relația:
() () ( )∞−−= =∫∞−−FdF dze dNdz
22
21
π (5.15)
unde cu ()⋅F s-a notat o primitiv ă a funcției 22z
e−. Relația (5.15) reprezint ă
formula Leibniz-Newton, cunoscut ă din școala medie.
Prin derivarea rela ției (5.15) rezult ă formula (5.14).
Întrucât tT d d −−=σ1 2 , din formula (5.14) rezult ă:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
48/87 ()() ()
()()
() () tTqrES dtTtT qrES dtTtT dd tT d
e ee eddN
−−++−−−−
+−++−−−−+−−−−
= == = =∂∂
ln22 2ln22 2 2
22
2
12 2 2
12
12
12
1
21
2121
21
π ππ π
σ σσσσ
Rezultă:
()()
()()
()tTrtTq
eEeSe eddNd
tTreEtTqeS d
−−−−
⋅⋅⋅ = =∂∂−−−⋅−−⋅+−
221 ln221
21
21
22
π π(5.15)
Întrucât din formula (5.14) rezult ă că.
() 221
21
11d
eddN−
=∂∂
π (5.16)
rezultă că (5.15) se mai poate scrie astfel:
()()
()()
11
22
ddN
eEeS
ddN
tTrtTq
∂∂⋅
⋅⋅=∂∂
−−−−
(5.17)
Utilizând formula (5.17) în (5.12), rezult ă:
()()()() ()()
()()
ud
ddN
eEeSE eud
ddNS euE edNuS edNuC
tTrtTq
tTr tTqtTr tTq
∂∂
∂∂⋅
⋅⋅⋅⋅−∂∂
∂∂⋅⋅+∂⋅∂⋅−∂⋅∂⋅=∂∂
−−−−
−− −−−− −−
2
11 ) ( 1
11 ) () (
2) (
1
sau
()()()() ()
∂∂−∂∂
∂∂⋅⋅+∂⋅∂⋅−∂⋅∂⋅=∂∂ −−−− −−
ud
ud
ddNS euE edNuS edNuC tTqtTr tTq
2 1
11 ) () (
2) (
1 (5.18)
Ținând seama c ă
tT d d −−=σ1 2
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
49/87 rezultă:
()
utT
ud
ud
∂−∂−∂∂=∂∂ σ1 2
sau
()
utT
ud
ud
∂−∂=∂∂−∂∂ σ2 1 (5.19)
Utilizând rela ția (5.19) în (5.18) rezult ă formula (5.9) pe care ne-am propus s ă
o demonstr ăm. Cu aceasta teorema 1 este demonstrat ă.
Aplicații ale teoremei 1
1. Su=
Vom presupune c ă parametrul Su=. În formula (5.9) vom avea:
() ) () (
tTqtTq
eSS e −−−−
=∂⋅∂
()0) (
=∂⋅∂−−
SE etTr
()0=∂−∂
StTσ
Ținând seama de cele trei rela ții de mai sus din formula (5.9) rezult ă:
()()1dN eSC tTq⋅=∂∂=∆−− (5.20)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
50/87 Formula (5.20) d ă valoarea indicatorului de senzitivitate ∆ care arat ă cu câte
unități se modific ă valoarea op țiunii call dac ă cursul spot al activului suport se
modifică cu o unitate.
În cazul în care ac țiunea suport este exemplu-dividend, respectiv 0=q ,
formula (5.20) devine:
()1dNSC=∂∂=∆ (5.21)
2. Eu=
În cazul în care variabila u este prețul de exerci țiu E, din formula (5.9) rezult ă
că:
()()2dN eEC tTr⋅−=∂∂=∇−−
(5.22)
deoarece
()()()tTrtTr
eEE e −−−−
=∂⋅∂
toate celelalte derivate care interv in în formula (5.9) fiind zero.
Indicatorul NABLA dat de formula (5.22) arat ă cu câte unit ăți se modific ă
valoarea op țiunii call în cazul în care pre țul de exerci țiu se modific ă cu o unitate.
3. σ=u
În cazul în care variabila u este volatilitatea σ, din formula (5.9) rezult ă:
tT e S eCd
tTq−⋅⋅⋅=∂∂=ϑ−−− 2 ) (2
1
21
π σ (5.23)
deoarece
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
51/87 () 221
21
11d
eddN−
=∂∂
π, iar
()tTtT−=∂−∂
σσ
Celelalte derivate ce intervin în formula (5.9) sunt zero.
Formula (5.23) cuantific ă senzitivitatea valorii op țiunii call în raport cu
volatilitatea σ.
4. tTu−=
În cazul în care tTu−= , T fiind scaden ța, iar t timpul curent, rezult ă:
()()()()()()()
tT ddNS e dN eEr dN eSqtTC tTq tTr tTq
−⋅⋅∂∂⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=−∂∂=Θ−− −− −−
21
11
2 1 σ (5.24)
Formula (5.24) m ăsoară senzitivitatea op țiunii call în raport cu perioada de
timp (T-t) până la scaden ță.
În cazul în care valoarea lui T este fixat ă, iar timpul curent este variabil, vom
calcula un al doilea indicator de senzitivitate:
()()
()Θ−=−∂∂−=∂−∂⋅−∂∂=∂∂=ΘtTC
ttT
tTC
tC
1
Rezultă că
()()()()()()
tT ddNS e dN eEr dN eSqtC tTq tTr tTq
−⋅⋅∂∂⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∂∂=Θ−− −− −−
21
11
2 1 1 σ (5.25)
5. ru=
În cazul în care variabila u este rata dobânzii, din formula (5.9) rezult ă:
() ( )()E edNtTrC tTr⋅⋅⋅−∂∂=−−
2 ρ (5.30)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
52/87 Formula (5.30) cuantific ă senzitivitatea valorii op țiunii call în raport cu rata
dobânzii.
6. qu=
În cazul în care variabila u este valoarea q, respectiv rata dividendului
continuu din formula (5.9) rezult ă:
() ( )()S edNtTqC tTq⋅⋅⋅−−=∂∂=−−
1 µ (5.31)
Formula (5.31) cuantific ă variația valorii unei op țiuni call în raport cu rata
continuă a dividendului generat de c ătre acțiunea suport.
Pentru calculul indicatorului gamma vom utiliza formula (5.20):
()()
Sd
ddNe
SC
StTq
∂∂⋅∂∂=
∂∂=∂∆∂=Γ−− 1
11
22
(5.32)
Ținând seama c ă:
()
tT S StTtT qrEF
Sd
−⋅⋅=∂
−−
+−+
∂
=∂∂ σσσ
12ln2
1(5.33)
iar
() 221
21
11d
eddN−
=∂∂
π
din (5.32) rezult ă
()221
21 1
22d
e
tT Se
SC
StTq−
⋅
−⋅⋅=
∂∂=∂∆∂=Γ−−
π σ(5.34)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
53/87 Indicatorul GAMMA este utilizat în cazul în care se dore ște studiul varia ției
valorii unei op țiuni corespunzând unei varia ții a prețului activului suport, varia ție care
nu poate fi considerat ă a fi foarte mic ă.
În acest caz, conform formulei de dezvoltare în serie Taylor, avem:
() ()()()()()2
1 2 212
1 21
1 221S S
SSCS SSSCSC SC −
∂∂+−∂∂=−
respectiv:
() () ( ) ()2
1 2 1 2 1 221S S S S SC SC −⋅Γ+−⋅∆=− (5.35)
În formula (5.35) s-a considerat c ă aproxima ția diferen ței () ()1 2 SC SC− cu
termeni pân ă la gradul doi este satisf ăcătoare.
2. Indicatorii de senzitiv itate pentru op țiuni put
Pentru op țiunile de tip put, indicatorii de senzitivitate vor fi dedu și din
paritatea put-call.
Vom considera formula de evaluare a unei op țiuni europene de tip put,
respectiv:
() () ()1) (
2) (, dNS e dNE eStPtTq tTr−⋅⋅−−⋅⋅=−− −− (5.36)
Ținând seama de faptul c ă
() ()dN dN −=− 1 (5.37)
din relația (5.36) rezult ă:
() ()() ()()1) (
2) (1 1 , dN S e dN E eStPtTq tTr−⋅⋅−−⋅⋅=−− −−
respectiv:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
54/87 () ( ) ()[ ]E eS e dNE e dNS eStPtTr tTq tTr tTq⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=−− −− −− −− ) ( ) (
2) (
1) (, (5.38)
Ținând seama de formulele de evaluare a unei op țiuni de tip call, rela ția (5.38)
se mai poate scrie astfel:
() () [ ]E eS e StCStPtTr tTq⋅−⋅−=−− −− ) ( ) (, , (5.39)
Relația (5.39) reprezint ă relația de paritate put-call pentru op țiuni de tip
european având ca suport un activ care genereaz ă venit pe perioada de via ță a opțiunii.
Reamintim c ă în cazul în care activul suport este o ac țiune, q reprezint ă rata
continuă a dividendului.
În cazul în care avem o op țiune pe valut ă, frq=, fr fiind rata dobânzii în țara
parteneră.
În acest caz, rela ția (5.39) se mai poate scrie:
() () [ ]E eS e StCStPtTr tTrf⋅−⋅ −=−− −− ) ( ) (, , (5.40)
Teorema 2, pe care o prezent ăm în continuare, cuantific ă relația dintre
indicatorii unei op țiuni put și cei ai unei op țiuni call.
Teorema 2
Fie ()StP, valoarea unei op țiuni put și ()StC, valoarea unei op țiuni call având
același activ suport și aceiași scadență. Are loc rela ția:
()()( )
uE eS e
uStC
uStPtTr tTq
∂⋅−⋅∂−∂∂=∂∂−− −− ) ( ) (, , (5.41)
unde u reprezint ă o variabil ă oarecare de care depinde atât valoarea op țiunii
put, cât și valoarea op țiunii call.
Demonstra ție:
Demonstra ția rezultă imediat prin derivarea rela ției (5.39) de paritate put-call.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
55/87 Aplicații
Pentru exemplificare, vom deduce indicatorii DELTA și NABLA pentru o
opțiune de tip put, reliefând în acela și timp rela țiile ce exist ă între indicatorii unei
opțiuni de tip put și cei ai unei op țiuni de tip call.
1) Particularizând în rela ția (5.41) pe Su=, se obține:
()() ) ( , , tTqeSStC
SStP −−−∂∂=∂∂
respectiv:
) (tTq
C P e−−−∆=∆ (5.42)
Cu P∆, respectiv C∆ s-a notat indicatorul DELTA pentru o op țiune put,
respectiv call.
Relația (5.42) pune în eviden ță relația ce exist ă între indicatorii DELTA pentru
cele două tipuri de op țiuni.
Se știe deja că, conform ecua ția (5.20):
()()1dN eSC tTq
C ⋅=∂∂=∆−−
Din relația (5.42) se ob ține:
()()()tTq tTq
P e dN e−− −−−⋅=∆1
sau
()()[]1 1 dN etTq
P −⋅−=∆−−
respectiv
()()1dN etTq
P −⋅−=∆−− (5.43)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
56/87 Relația (5.43) pune în eviden ță faptul că indicatorul DELTA pentru o op țiune
put este întotdeauna negativ .
2) Particularizând în rela ția (5.41) pe Eu=, obținem:
()() ) ( , , tTreEStC
EStP −−+∂∂=∂∂
respectiv:
) (tTr
C P e−−+∇=∇ (5.44)
Ținând seama c ă:
()2) (dN etTr
C−−−=∇
din relația (5.44) rezult ă:
()2) (dN etTr
P − =∇−− (5.45)
Din relația (5.45) se observ ă că indicatorul NABLA pentru o op țiune put este
pozitiv, ceea ce corespunde intui ției financiare, ținând seama de semnifica ția acestui
indicator.
3) Din formula (5.41) se observ ă ușor că indicatorii VEGA sunt egali
pentru cele dou ă tipuri de op țiuni.
Într-adevăr, particularizând σ=u , din relația (5.41) rezult ă:
()()
σ σ∂∂=∂∂ StC StP , , (5.46)
respectiv
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
57/87 C Pϑ=ϑ (5.47)
4) Din relația (5.42) se observ ă că:
S SC P
∂∆∂=∂∆∂ (5.48)
respectiv
C PΓ=Γ (5.49)
Așadar, indicatorii gamma pentru op țiunile de tip put și opțiunile de tip call
sunt egali .
5) Pentru cazul în care tTu−= , respectiv ru=, din relația fundamental ă
(5.41) rezult ă:
()
()()
()E erS eqtTStC
tTStP tTr tTq⋅⋅−⋅⋅+−∂∂=−∂∂ −− −− ) ( ) ( , ,
respectiv
[ ]E erS eqtTr tTq
C P ⋅⋅−⋅⋅+Θ=Θ−− −− ) ( ) ( (5.50)
Dacă ru=, din relația (5.41) se ob ține:
()()E etTrStC
rStP tTr⋅⋅−−∂∂=∂∂ −− ) () (, , (5.51)
respectiv:
E etTtTr
C P ⋅⋅−−=−− )()(ρρ (5.52)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
58/87
Din relația (5.52) se observ ă că dacă opțiunile se apropie de scaden ță,
respectiv () 0→−tT , atunci indicatorii RHO pentru cele dou ă tipuri de op țiuni tind s ă
devină egali, respectiv:
C
tTP
tTρ ρlim lim
0 0 →− →−=
Exemplu:
Se va considera o op țiune call și o opțiune put având ca suport o ac țiune care
generează dividend. Sunt cunoscute urm ătoarele date:
%3 luni; 9 %;35 ;1,0 ;123 ;120 = ===== q T r E S σ
Aplicând formulele cunoscute și efectuând calculele rezult ă:
• Prima call: 6069 ,15=C
• Prima put: 3893 ,12=P
Indicatorii de senzitivitate:
5828,0=∆C ; 3949,0−=∆P
4417,0−=∇C ; 4859,0=∇P
01041,0=ΓC ; 01041,0=ΓP
3547,39=ϑC ; 3547,39=ϑP
7511,40=Cρ ; 8331,44−=Pρ
51879,121−=ΘC ; 6266,41−=ΘP
45,52−=Cµ ; 541,35=Pµ
Indicatorul de senzitivitate în raport cu timpul a fost calculat dup ă formula
(5.25) respectiv derivatele: tC
∂∂; tP
∂∂.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
59/87 Interpretarea rezultatelor:
Din valorile indicatorului DELTA, se observ ă că dacă cursul spot va cre ște cu
o unitate, prima call va cre ște cu 0,5828, în timp ce prima put se va reduce cu 0,3949.
În cazul în care pre țul de exerci țiu va cre ște cu o unitate, din valorile
indicatorului NABLA rezult ă că prima call se va reduce cu 0,4417, în timp ce prima
put va cre ște cu 0,4859.
Indicatorul GAMMA arat ă modul în care se va modifica indicatorul de
hedging DELTA dac ă cursul spot va cre ște cu o unitate.
În același timp, indicatorul gamma permite s ă estimăm valoarea primei pentru
cazul în care modificarea pre țului spot nu este foarte mic ă. Într-adev ăr, din formula
(5.34) rezult ă:
() () ( ) ()2
1 2 1 2 1 221S S S S SC SC −Γ+−∆+=
Vom presupune c ă prețul spot cre ște de la 120 la 123. Aplicând formula de
mai sus, rezult ă:
()()23 01041,0213 5828,0 120 123 ⋅⋅+⋅+=C C
Înlocuind 6069,15)120(= C , rezultă 4021,17)123(= C .
Valoarea de mai sus reprezint ă o aproxima ție acceptabil ă pentru prima call în
cazul în care pre țul spot devine 123=S . Aplicând direct form ula Black–Scholes, se
obține că valoarea exact ă este de fapt 4016,17=C , care este foarte apropiat ă de cea
obținută mai sus prin aplicarea formulei (5.34).
În ceea ce prive ște indicatorul VEGA , acesta arat ă faptul că dacă volatilitatea
activului suport va cre ște cu un punct procentual, respectiv va cre ște de la 35% la
36%, atunci atât prima call, cât și prima put vor cre ște cu:
393547,0 3547,3901,0 01,0 =⋅=ϑ⋅
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
60/87 În mod asem ănător indicatorii RHO arat ă modificarea primei în cazul în care
rata dobânzii se modific ă cu un punct procentual. În cazul în care rata dobânzii se
modifică de la 10% la 11%, prima se va modifica astfel:
• Prima call: 407511 ,0 01,0=⋅Cρ
• Prima put: 448331,0 01,0 −=⋅Pρ
În ceea ce prive ște indicatorul THETA, acestea arat ă modificarea valorii
primei în raport cu factorul timp. Astfel, în cazul exemplului considerat, dup ă o zi
valoarea primei se modific ă astfel:
• Prima call: () 04967,0 51879,122521−= −⋅
• Prima put: () 018359,0 6266,42521−=−⋅
Mai sus, anul financiar a fost considerat a avea 252 zile.
Din cele de mai sus rezult ă că în fiecare zi prima call pierde o valoare egal ă cu
0,04967, în timp ce prima put pierde 0,018359.
3. Indicatorii de senzitivit ate ai unui portofoliu
Indicatorii prezenta ți în paragraful precedent joac ă un rol fundamental în
gestiunea unui portofoliu de active financiare.
Calculul indicatorilor pentru un portofoliu se bazeaz ă pe observa ția
fundamental ă că aceștia sunt func ții liniare în raport cu parametrii de structur ă ai
portofoliului. De exemplu, dac ă avem un portofoliu Π format din n tipuri de op țiuni
având în compozi ția sa kN opțiuni de tipul k, n k , 2,1KK= , atunci indicatorii
portofoliului vor fi:
n nN N N ∆⋅++∆⋅+∆⋅=∆Π KK2 2 1 1
n nN N N Γ⋅++Γ⋅+Γ⋅=ΓΠ KK2 2 1 1
n nN N N ϑ⋅++ϑ⋅+ϑ⋅=ϑΠ KK2 2 1 1 (5.53)
ș.a.m.d.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
61/87
Pentru exemplificare vom considera un portofoliu format din trei tipuri de
opțiuni, având acela și activ suport. Caracteristici le activului suport sunt urm ătoarele:
;85=S %33=σ ; %5,1=q ;
Vom presupune c ă %10=r .
Vom considera c ă structura portofoliului este urm ătoarea:
• 1000 opțiuni call – pozi ție long; 85=E ; 6=T luni
• 800 opțiuni call – pozi ție short; 87=E ; 5=T luni
• 1200 opțiuni put – pozi ție long; 87 =E ; 6=T luni
Calculând pe baza formulei Black–Scholes pre țurile celor trei tipuri de op țiuni
se obține:
5343,91=C ; 6427,72=C ; 9835,63=P .
Pentru cele trei tipuri de op țiuni avem urm ătorii indicatori ∆, Γ și ϑ:
6128,01=∆ 5614,02=∆ 4179,03−=∆
01909,01=Γ 021607,02=Γ 01957,03=Γ
7598,221=ϑ 4677,212=ϑ 3316,233=ϑ
Valoarea portofoliului (ceea ce a pl ătit investitorul) este:
34, 11800 9835,6 1200 6427,7 800 5343,9 1000 =⋅+⋅−⋅=Π
Indicatorii portofoliului vor fi:
() 800,337 4179,0 1200 5614,0 800 6128,0 1000 −=−⋅+⋅−⋅=∆Π
2884,25 01957,0 1200 021607,0 800 01909,0 1000 =⋅+ ⋅−⋅=ΓΠ
56, 33583 3316,23 1200 4677,21 800 7598,22 1000 =⋅+⋅−⋅=ϑΠ
Valoarea indicatorului DELTA arat ă că dacă prețul activului suport va cre ște
cu o unitate, valoarea portofoliului se va reduce cu 337,800 unit ăți.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
62/87 În cazul în care volatilitat ea activului suport va cre ște de la 33% la 34%,
indicatorul VEGA arat ă că valoarea portofoliului va cre ște cu 335,8536 unit ăți.
Vom presupune acum c ă investitorul anticipeaz ă că prețul activului suport se
va modifica, dar nu se știe în ce direc ție. În acest caz el dore ște ca portofoliul s ă fie
∆-neutral.
Pentru aceasta este suficient s ă introduc ă în portofoliu 337,800 ac țiuni –
poziție long. Într-adev ăr, se știe că indicatorul DELTA pentru activul suport este egal
cu 1, respectiv:
1=∂∂=∆SS (5.54)
Dacă vom presupune c ă investitorul nu știe nici direc ția în care se va modifica
volatilitatea, atunci el va dori ca portofoliul s ă fie DELTA-VEGA – neutral.
Pentru ca portofoliul s ă devină VEGA neutral ( 0=ϑΠ ), atunci el
(investitorul) va trebui s ă ia poziție short pe unul dintre tipurile de op țiuni. Vom
presupune c ă ia, în continuare pozi ție short pe op țiunile de tipul doi
( 37, 1564 4677,2156, 33583 = ).
În acest ultim caz, portofoliul nu mai este ∆-neutral, el având acum
24,878 5614,037, 1564 −=×−=∆Π .
Pentru ca portofoliul s ă redevină ∆-neutral, el va trebui s ă ia poziție long pe
încă 878,24 de ac țiuni.
Între indicatorii DELTA, GAMMA și THETA ai unui portofoliu de op țiuni
este o leg ătură foarte strâns ă, rezultată din ecuația Black–Merton–Scholes.
Într-adevăr, conform ecua ției (4.9) avem:
DrSDSSDSrtD⋅=∂∂⋅+∂∂⋅⋅+∂∂
22
2 2
21σ
unde sau DC DP== .
Trecând la un portofoliu de op țiuni, avem:
2
22
21
2rS S rtS Sσ∂Π ∂Π ∂ Π+⋅⋅ + ⋅ =⋅ Π∂∂ ∂ (5.55)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
63/87
respectiv:
22 1
2rS S r σ Π ΠΠ Θ+⋅⋅ ∆+ ⋅ Γ=⋅ Π (5.56)
Dacă portofoliul este DELTA-neut ral, din (5.56) rezult ă:
221
2Srσ Π Π Θ+ ⋅ ⋅ Γ=⋅ Π (5.57)
Din relația (5.57) rezult ă că dacă ΠΘ este pozitiv și are o valoare mare, atunci,
în general ΠΓ va fi negativ și avea, de asemenea, o valoare mare.
În sfârșit, dacă portofoliul este DELTA-GAMMA neutral, atunci avem:
rΠΘ=⋅ Π (5.57)
În sfârșit, vom mai face observa ția că, uneori, în loc de a lucra cu op țiuni
propriu-zise se poate lucra cu „clone” ale acestora, respectiv cu op țiuni sintetice .
Într-adevăr, din rela ția de paritate put-call, pentru cazul în care 0q=, rezultă:
()rT tCP SE e−−=+−⋅
Relația de mai sus pune în eviden ță modul în care putem avea o op țiune call
sintetică. Luând pozi ție long pe o op țiune put și pe o unitate de activ suport și poziția
short pe o obliga țiune având valoarea () rT tEe−−⋅ echivaleaz ă ce a lua pozi ție long pe o
opțiune call.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
64/87
4. Hedging dinamic
În general, dac ă un portofoliu con ținând opțiuni este neutral, el î și pierde
această calitate odat ă cu trecerea timpului.
Pentru exemplificare vom considera cazul unei op țiuni call, pozi ție short. Se
cunosc urm ătoarele elemente:
90 ; 90 ; 35%; 6 ; 10%; 0SE T l u n i r q σ === = = =
Aplicând formula Black–Scholes rezult ă că prima încasat ă este 11,01682C= .
Întrucât volatilitatea ac țiunii suport este mare ( 35%σ= ), la scaden ță prețul
activului suport poate fi foarte mare. De exemplu, dac ă după 6 luni 120S= , atunci
investitorul va trebui s ă plătească diferența 30 SE−= , el încasând o prim ă de numai
11,01682. Rezult ă că va avea o pierdere de cca 19 u.m.
Pentru a nu avea o astfel de pierdere, investitorul va lua pozi ție long pe un
număr de ∆ acțiuni, formându- și un portofoliu DELTA neutral.
În cazul considerat avem: 0,62770∆= .
Rezultă că portofoliul:
0,62770CSΠ=− + ×
este -neutral∆ , respectiv valoarea lui nu este influen țată de variații mici ale lui
∆.
Într-adevăr,
0,62770 0,62770 0,62770 0CS∂Π=−∆ + =− + =∂,
ceea ce arat ă că valoarea portofoliului nu se modific ă dacă S variază puțin.
În cazul în care anticip ăm variații mai mari ale pre țului S, se poate apela la o
operație de DELTA-GAMMA hedging.
Dar, și în aceast ă situație, operația de hedging este valabil ă pe termen scurt,
întrucât, în timp, odat ă cu modificarea pre țului S se modific ă toți indicatorii, inclusiv
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
65/87 ∆. De aceea, trebuie apelat la opera ția de hedging dinamic, respectiv reajustarea
portofoliului la intervale cât mai dese de timp.
Pentru în țelegerea mecanismului de hedging dinamic vom face ipoteza
simplificatoare c ă reajustarea portofoliului se face lunar.
Vom presupune c ă operatorul emite un num ăr de 10.000 op țiuni call de tipul
de mai sus încasând o prim ă egală cu:
10000 11,0168 110168×= .
Pentru a avea un portofoliu DELTA neutral va cump ăra un num ăr de:
10000 0,62770 6227,7×= acțiuni
pentru care va pl ăti suma de:
6227,7 90 564993×=
Acești bani vor fi împrumuta ți, iar dobânda pe o lun ă va fi:
00,1564993 4708, 2712D=× =
Fiind vorba de un termen scurt, mai sus dobânda a fost calculat ă după formula
dobânzii simple.
La începutul lunii a doua , vom presupune c ă 94S= . În acest caz
5 luni 0,4166 Tt−= = , iar indicatorul DELTA devine 0,68788∆= . Cu alte cuvinte
indicatorul DELTA cre ște cu:
0,68788 0,62277 0,06511−=
Rezultă că investitorul va trebui s ă mai cumpere la pre țul de 94S= un număr
de 651,1 ac țiuni pentru care va pl ăti suma de 61203.
Pentru luna a doua investitorul va avea un credit total egal cu 626196,4.
dobânda pe luna a II-a va fi:
10,1626196,4 5218,312D=× =
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
66/87 La începutul lunii a treia, pre țul rămâne în continuare 94S= . Întrucât
4 luni=0,3333 Tt−= , din calcul rezult ă că 0,68480∆= , respectiv scade cu 0,00308.
Rezultă că investitorul va vinde la pre țul de 94S= un număr de 30,8 ac țiuni, iar
pentru luna a treia va avea de pl ătit o dobând ă egală cu:
0,1623301,2 5194,1712×=
La începutul lunii a patra, vom presupune c ă 99S= . Întrucât
3 luni=0,25 Tt−= , din calcul rezult ă 0,78082∆= .
Pentru a-și ajusta portofoliul investitorul va trebui s ă mai cumpere, la pre țul de
99S= , un număr de:
( ) 10000 0,78082 0,68480 960,2×−= acțiuni
pentru care va pl ăti suma de 95059,8. .
Dobânda pe luna a patra va fi:
0,1718361 5986,3412×=
La începutul lunii a cincea, vom presupune c ă prețul urcă la 112S= .
Pentru luna a cincea 0,95716∆= , și deci pentru echilibrarea portofoliului
investitorul va trebui s ă cumpere un num ăr de:
( ) 10000 0,95716 0,78082 1763, 4×−= acțiuni
pentru care va pl ăti suma de:
112 1763, 4 197500,8×=
În această lună, investitorul va avea un credit de 915861,8 pentru care va pl ăti
o dobândă de 7632,18.
La începutul lunii a șasea vom presupune c ă 125S= . Avem 0,08333 Tt−= ,
iar 0,99964∆= .
Investitorul va trebui s ă cumpere un num ăr de:
( ) 10000 0,99964 0,95716 424,8×−= acțiuni
pentru care va pl ăti suma de 53100.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
67/87 În acest moment investitorul are în stoc 9996,4 ac țiuni și un credit egal cu
968961,8 u.m. Dobânda pentru luna a șasea va fi egal ă cu 8074,68.
La scaden ță, investitorul va mai cump ăra 3,6 ac țiuni la pre țul de 125 u.m.
bucata pe care le adaug ă la stocul s ău deja existent de 9996,4. Acestea vor fi livrate
operatorului care a cump ărat cele 10000 op țiuni call în urm ă cu 6 luni.
Dobânda total ă plătită de investitorul care a avut pozi ția short pe cele 10000
opțiuni call este egal ă cu 36813,94.
Câștigul său net este egal cu:
Prima încasat ă 110168
Dobânzi primite 5508,4
Dobânzi pl ătite -36813,94
Diferența de curs la 3,6 ac țiuni -119,0
Câștig net 78743,46
În ceea ce prive ște investitorul care a cump ărat cele 10000 de op țiuni, câștigul
său net este egal cu:
Diferența de curs 10000 35 350000×=
Prima plătită -110168
Pierdere de dobând ă -5508,4
Câștig net 234323,4
Din schema simplificat ă prezentat ă mai sus, rezult ă că prin opera țiile cu
opțiuni, atât operatorul care a avut pozi ția short, cât și cel care a avut pozi ția long au
câștigat.
În cazul în care operatorul care a avut pozi ția short nu ar fi aplicat o schem ă
dinamică de hedging, el ar fi avut o pierdere egal ă ci:
() 10000 125 90 110168 5508,4 234323,6×− − − = care reprezint ă suma pe care
o câștigă operatorul cu pozi ția long.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
68/87 5. Operații de hedging utilizând contracte futures,
opțiuni pe indici bursieri și opțiuni protective
Contractele futures s unt utilizate pe scar ă largă în operațiile de hedging al unui
portofoliu de active și de derivate financiare. Întruc ât contractele futures nu asigur ă un
hedging perfect, este necesar a calcula riscul de baz ă, respectiv Basis-ul.
Prin defini ție, avem:
BASIS = prețul spot al activului ce urmeaz ă a fi acoperit (hedged) – pre țul
futures al contractului utilizat.
În vederea reducerii riscului de baz ă (B ASIS RISK) se impune optimizarea
raportului de hedging. Acesta se poate face utilizând elementele cunoscute din teoria
portofoliului.
Vom utiliza urm ătoarele nota ții:
S∆ – variația prețului spot pe perioada pe care se face opera ția de
hedging;
F∆ – variația prețului futures pe aceea și perioadă.;
,SFσσ – volatilitatea lui S∆, respectiv F∆;
ρ – coeficientul de corela ție dintre S∆ și F∆
În cazul în care efectu ăm operația de hedging luând pozi ția long pe activ și
poziția short pe un contract futures, vom considera portofoliul de hedging de forma:
Sh FΠ=∆ − ⋅∆ (5.58)
Cu h s-a notat raportul de hedging ce urmeaz ă a fi determinat.
Varianța portofoliului Π este:
22 2 22SF S Fhh σσσ ρ σ σΠ=+⋅− ⋅ ⋅ ⋅⋅ (5.59)
Vom defini raportul optim de hedg ing ca fiind acela care minimizeaz ă varianța
portofoliului Π. Din (5.59), prin derivare ob ținem:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
69/87
2
222F SF hhσσρσ σΠ∂=⋅⋅ −⋅⋅ ⋅∂ (5.60)
Rezultă că raportul optim de hedging este:
* S
Fhσρσ= (5.61)
Din formula (5.61) rezult ă că cu cât sau Sσρ este mai mare, cu atât raportul
optim de hedging *h este mai mare. Raportul optim de hedging scade odat ă cu
creșterea volatilit ății Fσ a variației prețului futures.
Exemplu:
Un operator dore ște să cumpere peste trei luni o cantitate de 1000000 unit ăți
de valută. Pentru a se proteja împotriva fluctua ției cursului valutar, el hot ărăște să
cumpere contracte futures. Valoarea unui contract este de 32000 u.m.
Volatilitatea cursului spot pe trei luni este de 2,5%Sσ= , iar volatilitatea
cursului futures pe trei luni este de 3,4%. Coeficientul de corela ție dintre cele dou ă
cursuri este de 0,85ρ= .
Conform formulei (5.61), raportul de hedging este de :
* 0,0250,85 0,6250,034h=× = .
Rezultă că operatorul va trebui s ă cumpere un num ăr de:
10000000,625 19,5332000×= contracte futures.
Evident c ă operatorul va cump ăra 20 de contracte futures, ceea ce va da o
anumită aproxima ție operației de hedging.
În ceea ce prive ște contractele futures pe indici bursieri, acestea pot fi utilizate
cu succes în opera țiile de modificare a volatilit ății unui portofoliu de ac țiuni.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
70/87 De exemplu, dac ă un investitor a investit într-un portofoliu de ac țiuni a cărui
volatilitate este 1, 8β= , ele poate considera c ă acest portofoliu este prea riscant, și
deci îi poate produce pierderi mari. De aceia, el poate hot ărî să reducă volatilitatea, de
exemplu, la 1,1β= .
Aceasta poate di realizat luând pozi ție short într-un num ăr de contracte futures
pe indici bursieri, de exemplu pe S&P–500.
Numărul de contracte futures se calculeaz ă pe baza formulei:
()*nVββΠ=− (5.62)
unde:
n – numărul de contracte;
*β – ținta fixată pentru β;
Π– valoarea portofoliului;
V – valoarea unui contract futures.
Exemplu:
Vom considera 1, 8β= ; *1,1 și 10.000.000β=Π = .
Vom considera c ă valoarea lui S&P-500 este egal ă cu 1000. în acest caz avem:
100 250 250000V=×=
unde valoarea de 250 USD reprezint ă valoarea standard pentru un punct al
indicelui bursier S&P-500 utilizat în SUA.
Rezultă că investitorul va lua pozi ție short pe un num ăr de:
()100000001, 8 1,1 28250000n=−× = contracte futures.
Evident c ă investitorul poate utiliza op țiuni pe indicii bursieri în locul
contractelor futures pentru a efectua opera ții de hedging, respectiv pentru a reduce
volatilitatea portofoliului de ac țiuni. În acest ultim caz opera ția de hedging va fi mai
eficientă, dar ea va implica un anumit cost.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
71/87 În ceea ce prive ște opțiunile put protective, acestea sunt acele op țiuni care sunt
utilizate pentru protejarea portofoliului de ac țiuni împotriva reducerii cursului
acțiunilor.
Evident c ă, orice investi ție într-o ac țiune poate fi protejat ă luând pozi ție long
pe o opțiune put, îns ă raportul de hedging 11÷ este, în general, prea costisitor.
Pentru exemplificarea modului de utilizare a op țiunilor put protective vom
considera urm ătoarea situa ție. Un investitor dore ște să investeasc ă suma W într-un
portofoliu diversificat de ac țiuni, în obliga țiuni și în opțiuni pe indici bursieri.
Orizontul de timp pentru care investitorul ia decizia de investire este T.
Investitorul fixeaz ă un nivel minim TA pentru suma pe care dore ște să o
posede în momentul T.
Evident c ă,
TA W> (5.63)
Întrucât vom presupune c ă nu sunt posibile opera ții de arbitraj, plafonul sigur
TA va îndeplini condi ția:
rT
TA eW⋅≤× (5.64)
unde r este rata dobânzii.
Aceasta deoarece investitorul nu- și poate asigura un venit sigur, f ără a-și asuma
vreun risc, mai mare decât rTeW⋅×.
Vom utiliza urm ătoarele nota ții:
Π – prețul unei unit ăți de portofoliu diversificat (indice bursier);
P – prețul unei op țiuni put protective;
B – suma depus ă într-un cont bancar, sau investit ă în obliga țiuni de stat;
E – prețul de exerci țiu al opțiunii put;
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
72/87
Investitorul va cump ăra un num ăr de unități de portofoliu egal cu num ărul de
opțiuni protective și egal cu:
WBxP−=Π+ (5.65)
În cazul în care la scaden ță valoarea unei unit ăți de portofoliu TΠ este mai
mică decât E, atunci investitorul î și exercită opțiunea call, iar averea sa va fi egal ă cu:
rT
TWeB x E⋅=⋅ + ⋅ (5.66)
În cazul în care TEΠ> , averea investitorului va fi:
rT
TTWeB x⋅=⋅ + ⋅ Π (5.67)
În cazul în care investi ția în acțiuni nu a fost profitabil ă, deoarece TEΠ< ,
atunci trebuie ca:
TTA W=
unde TA este pragul fixat.
Din (5.66) rezult ă:
rT
TA eB x E⋅=⋅ + ⋅ (5.68)
Înlocuind pe x din (5.65) avem:
rT
TWBA eB EP⋅−=⋅ + ⋅Π+
de unde rezult ă valoarea care trebuie investit ă în active f ără risc:
()
()T
rTPAE WB
PeE⋅Π+ − ⋅=
Π+ × − (5.69)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
73/87
Formula (5.69) d ă valoarea care trebuie investit ă în active f ără risc. Din (5.65)
și (5.69) rezult ă:
()
()1 T
rTPAE WxWP PeE⋅Π+ − ⋅=−Π+ Π+ × − (5.70)
care reprezint ă numărul de ac țiuni (unit ăți de portofoliu diversificat) care
trebuie cump ărate, însoțite de opțiunile put protective.
Exemplu:
Vom presupune c ă 10000000W= , iar 10% r= și 3 aniT= . În cazul în care
investitorul nu dore ște să-și asume nici un risc, dup ă trei ani el va dispune de
următoarea sum ă:
0,1 310000000 13498588TWe×=⋅ = .
Vom presupune c ă investitorul î și fixează pragul minim egal cu:
11500000TA=
respectiv averea sa actual ă să crească în trei ani cel pu țin cu 15%, ceea ce
înseamnă un ritm anual de 14,658%r= (dobândă continuă).
Vom presupune c ă 900,Π= iar volatilitatea portofoliului diversificat este
11%σ= . Pentru a calcula pre țul putului protectiv trebuie fixat pre țul de exerci țiu E.
Întrucât investitorul dore ște să-și asigure pe trei ani un prag de rentabilitate de cel
puțin 15%, vom fixa:
900 1,15 1035E=×=
Avem acum toate elementele pentru calculul primei put:
900; E=1035; =11%; 10%; T=3 ani rσ Π= = .
Utilizând formula lui Black–Scholes rezult ă:
17,6395P=
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
74/87 Aplicând formula (5.69), rezult ă:
( )
()0,1 3900 17,6395 11500000 1035 10000000995927,45
900 17,6395 1035B
e×+× − ×==
+× −
Rezultă că investitorul va investi în active f ără risc suma de 995927,45
(aproximativ 1 milion), restul de 9004072,54 investindu-le în ac țiuni și puturi
protective.
El va cump ăra un num ăr de:
9004072,549812,21917,6395=
unități de portofoliu și același număr de opțiuni.
În cazul în care dup ă trei ani 1035MΠ< , atunci el va dispune de urm ătoarea
sumă:
0,1 3995927, 45 9812, 21 1035 1344361,44 10155638,55 11500000TWe×=× + × = + =
respectiv exact pragul TA fixat.
În cazul în care 1035TΠ> , de exemplu 1270TΠ= , atunci el va dispune de:
1344361 9812, 21 1270 13805601TW=×× =
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
75/87 Capitolul 6. Utilizarea ecua ției Black–Scholes în
evaluarea obliga țiunilor corporative
Vom considera o firm ă a cărei bilanț, prezentat schematic, este urm ătorul:
Active Pasive
Acțiuni tS
tA
Datorii tD
Vom face urm ătoarele ipoteze:
a) Datoria firmei, tD, este sub forma unei obliga țiuni zero-cupon având
valoarea nominal ă (face value) egal ă cu F și scadența T;
b) Piața de capital este complet ă și nu permite opera ții de arbitraj;
c) Ecuația de dinamic ă a activelor este de tip standard, respectiv:
t
A
tdArd t d zAσ=⋅ + ⋅ (6.1)
Cu r s-a notat rata dobânzii, iar dz este un proces Wiener fundamental,
respectiv:
tdz dtε=⋅ (6.2)
d) Sunt îndeplinite ipotezele teoremei Miller-Modigliani, respectiv în
lipsa taxelor și a costurilor legate de opera țiile de faliment, valoarea de
piață a firmei nu depinde de structura capitalului firmei. Cu alte
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
76/87 cuvinte, valoarea de pia ță a firmei (tA) nu depinde de raportul între
capitalul propriu și capitalul împrumutat (t
tE
D)1.
e) Acționarii firmei au responsabilitate limitat ă.
Firma fiind cu responsabilitate limitat ă, în cazul în care ea este insolvabil ă la
scadență, ea va fi declarat ă de creditori în stare de faliment. În aceast ă situație,
creditorii vor primi valoarea valorificat ă prin opera ția de faliment.
În cazul în care la scaden ță firma este solvabil ă (TA F>) creditorii vor primi
valoarea F, iar posesorii de ac țiuni rămân cu valoarea rezidual ă TA F−.
Rezultă că, la scaden ță sunt valabile urm ătoarele formule:
dacă
dacă tT
t
TA AFDFA F< =≥ (6.3)
0 dacă
dacă T
t
TTAFEA FA F< =−≥ (6.4)
Grafic, formulele de mai sus, se reprezint ă astfel:
1 Vezi lucrarea: Ion Stancu – “Finan țe”, ediția a treia, Editura Economic ă, București, 2002 ST
AT
F
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
77/87
Relațiile (6.3) și (6.4) se mai pot scrie și astfel:
() min ,TTDF A= (6.5)
() max ,0TTEA F=− (6.6)
Relația (6.5) se mai poate scrie astfel:
() max ,0TTDF F A=− − (6.7)
Relația (6.6) arat ă faptul că întrucât firma a luat un credit având valoarea
nominală F, acesta este din punct de vedere financiar echivalent cu faptul c ă acționarii
acesteia s-au plasat pe pozi ția long pe o op țiune call având pre țul de exerci țiu F.
Conform cu ecua ția Black–Scholes, avem:
()()() 12rT t
ttE A Nd Fe Nd−−=⋅ −⋅ (6.8)
unde:
()2
12 1ln2; t A ArT tFdd d T t
Ttσ
σ
σ++ −
== − −
− (6.9)
DT
AT
FF
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
78/87 Cu Aσ s-a notat coeficientul de volatilitate a firmei (a activelor).
Formula (6.7) arat ă că, în fapt, creditorii de țin un portofoliu format dintr-o
obligațiune, pozi ție long, și o opțiune put, având pre țul de exerci țiu F, poziție short:
Rezultă că:
()(),rT t
ttDF e P t A−−=⋅ − (6.10)
unde:
()()()() 21 ,rT t
tt PtA Fe N d A N d−−=⋅ − −⋅ − (6.11)
Mărimea (),t PtA cuantific ă, în fapt, faptul c ă firma creditat ă este cu
responsabilitate limitat ă, și există riscul ca, la scaden ță, creditul s ă nu poat ă fi
recuperat. O astfel de op țiune put se nume ște put-to-default .
În momentul ini țial 0t=, avem:
()1
00 0,rT rTDF e PA F e− −=⋅ − =⋅ (6.12)
S-a notat cu 1r rata dobânzii aplicat ă de creditori, rat ă care include și prima de
risc de faliment .
Prima de risc va fi:
1rrΠ=− (6.13)
Vom deduce, în continuare formula pentru 1r și pentru Π. Din (6.12) rezult ă:
() () ()1 0
02 110,rT rT rT rT Aee P A e e N d N dFF− −− −=− =− − + −
Din relația de mai sus se deduce:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
79/87 () ()0
21
1lnrT AeN d NdFrT−+−=− (6.14)
Pentru prima de risc de faliment, rezult ă:
() ()0
21
1lnrT AeN d NdFrr rT−+−Π= − = −−(6.15)
Exemplu:
Vom presupune c ă la momentul ini țial valoarea firmei este 01000A= , iar
volatilitatea activelor firmei este 35%Aσ= .
Valoarea nominal ă a creditului este F=700 , el fiind sub forma unei obliga țiuni
zero-cupon cu scaden ța 3, 5 aniT= .
Rata dobânzii pe pia ța monetar ă este 10%r= .
Aplicând formula lui Black–Scholes, rezult ă:
()
()0
00, 538,467
0, 31,749CA
PA=
=
iar valoarea creditului la momentul ini țial este:
()0,1 3,5
00700 0, 493,281 31,749 461,532 De P A−×=× − = − =
Din calculele de mai sus, rezult ă că valoarea pe care o de țin acționarii
(valoarea ac țiunilor) este egal ă cu 538,463. În ceea ce prive ște creditul primit de
firmă, din valoarea nominal ă de 700 u.m. suma de 700 493,281 206,719 . . um − = este
reținută inițial pentru dobânzi, creditul fiind luat sub forma unei obliga țiuni zero-
cupon. Pe parcursul celor 3,5 ani, cât reprezint ă durata de via ță a creditului, firma nu
va mai pl ăti dobânzi. La suma de 206,719 se mai adaug ă valoarea putului, respectiv
31,749 u.m. care reprezint ă suma reținută pentru a acoperi riscul de faliment al firmei.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
80/87 Întrucât cunoa ștem 0461,532 D= , rata dobânzii 1r se poate calcula direct, f ără
a mai face la formula (6.12).
Într-adevăr, din rela ția:
13,5461,532 700re−×=⋅
rezultă:
1ln 700 ln 461,53211,9%3, 5r−==
Prima de risc va fi:
0,119 0,1 1,9%Π= − =
Volatilitatea debitului
Vom nota, ca și până acum, cu tD valoarea de pia ță a creditului:
(),tttDD t A= (6.16)
În ceea ce prive ște tA, știm că:
tt A tdA r A dt A dz σ =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Aplicând lema lui Ito, avem:
2
22
21
2tt t t
tt A t A t
tt tDD D DdD r A A dt A dztA A Aσσ∂∂ ∂ ∂=+ ⋅ +⋅ + ⋅ ⋅∂∂ ∂ ∂ (6.17)
Ecuația (6.17) se poate scrie, generic, sub forma:
t
DD
tDdt dzDµσ∂=+ (6.18)
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
81/87
Din compara ția formulelor (6.17) și (6.18), rezult ă:
tt
DA
ttA D
DAσσ∂=⋅⋅∂ (6.19)
Formula (6.19) d ă valoarea volatilit ății Dσ a debitului.
Ținând seama c ă:
()(),rT t
ttDF e P t A−−=⋅ − (6.20)
rezultă că:
()() 1,t t
P
ttPtA DNdAA∂∂=− =−∆ = −∂∂ (6.21)
Ținând seama de (6.21), forma (6.19) se mai scrie:
()1 t
DA
tANd
Dσσ⋅−=⋅ (6.22)
Folosind și formula (6.20), ob ținem:
()
()() ()1
21t
DA rT t rT
tAN d
Fe e FN d A N dσσ−− −⋅−=⋅
⋅− ⋅ − + ⋅ −
respectiv:
()
() ( )1
21DA
tNd
lN d N dσσ−=⋅⋅+ − (6.23)
Cu tl s-a notat:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
82/87 ()rT t
t
tFelA−−⋅= (6.24)
Care cuantific ă raportul de îndatorare a firmei. Vom observa, îns ă, că
adevăratul raport de îndatorare a firmei la momentul t este:
t
t
tDlA=)
(6.25)
Rezulta ca raportul l t dat de quasi-formula (6.22) reprezinta un raport de
indatorare a firmei.
O observatie importanta cu privir e la volatilitatea debitului D t, dat de formula
(6.22) se refera la faptul ca el nu este constant, ci variaza in timp. Cu alte cuvinte :
()tt Dσσ= (6.24)
In cazul exemplului considerat in acest capitol, la momentul t=0, avem:
49328,01000281,493
0*
0 = ==−
AFelTr
()07977,0 7739,0* 49328,007977,0*35.00+=Dσ
respectiv:
() %05,6 0605,00 ==Dσ
Din formula (6.21) se vede ca intotdeauna avem:
A Dσσ< (6.25)
Revenind la formula (6.12), aceasta se mai poate scrie:
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
83/87 () ()
−+−=−
1
02*
11( ln1dNldN eTrTr
respectiv :
() ()
−+ −=1
02 11( ln1dNldNTrr (6.26)
Din (6.26) rezulta :
()()
01 2 0
1 ln1
ldN dNl
Trr−+−=−=π
respectiv :
() ( )[][]0 1 2 0 1 ln ln1l dN dNlTrr −−+ −=−=π (6.27)
Din (6.21) rezulta :
() ( ) ()1 1 2 0 dN dN dNl
DA−=−+σσ (6.28)
iar din (6.27) se obtine :
()
−− −=−=0 1 1 ln ln1l d N
Trr
DA
σσπ (6.29)
Vom analiza modul in care prima de risc π depinde de diverse caracteristici ale
firmei:
• In raport cu raportul de indatorare l 0 avem :
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
84/87 ()
−∂∂
∂−∂−=∂∂
0 01
11
01*1
lld
ddN
T lπ (6.30)
Din
TTl
TTeFA
dA A
rT
σσ
σσ
21ln2ln2
02
00
1+
=+
=−
rezulta :
11
0
01
−−=∂∂
Tl
ld
Aσ
De asemenea, avem :
2
112
1
21 )(d
eddN −−=∂−∂
π
Din (6.30) rezulta :
− −=∂∂ −
0 02
01 1
21 12
1
lT leT lAd
σππ
01*
211112
0 02
1
>
−=∂∂ −
TelTlAd
σππ (6.31)
Formula (6.31) arata ca prima de risc π creste odata cu raportul de indatorare
l0.
Pentru a vedea modul in care prima de risc in raport cu volatilitatea firmei, este preferabil sa utilizam formula (6.27).
Avem :
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
85/87 () ( )() ( )[]1 2 0
1 2 0*1*1dN dNldN dNlTA A−+∂∂
−+−=∂∂
σ σπ
respectiv :
() ()
−−
−−+−=∂∂
2*2 )( )(1*1
1 2 0
1 2 0Tdf TTdfldN dNlTAσπ (6.31)
Cu f(d) s-a notat densitatea de repartitie pentru repartitia normala, respectiv
()()
ddFdf∂∂=
Din (6.31) rezulta :
[][] 0)( )()( )( *2*1
1 2 0
1 2 0>−−−−+−=∂∂df dfldN dNlT
TAσπ
Cu alte cuvinte, asa cum era de asteptat, prima de risc de faliment π creste o
data cu cresterea volatilitatii firmei.
Cazul creditelor junior
Vom presupune acum ca firma a facut doua credite : unul senior si unul junior.
Creditul senior se plateste cu prioritate. In caz de insolvabilitate a firmei, creditul junior se plateste in limita sumei ramase dupa plata creditului senior.
Notand in acest caz cu D
t,s valoarea creditului senior (prioritar) si cu D t,j valoarea
creditului junior (subordonat), avem:
DT,s=min(F s, AT) (6.32)
DT,j=max[min(A T-Fs, Fj), 0] (6.33)
ET=max[A T-Fs-Fj, 0] (6.34)
Cu F s si F j s-a notat valoarea nominala a creditului senior, respectiv junior.
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
86/87 Din formulele (6.32) si (6.34) se observa ca in ceea ce priveste creditul senior
si valoarea actiunilor, principial nu se midifica nimic. In ceea ce priveste creditul junior, din (6.33) se observa ca se poate scrie:
D
t,j = C(t, F s) – C(t, F s+Fj) (6.35)
Cu alte cuvinte creditorul care a aco rdat un credit junior, in fapt detine un
portofoliu format dintr-o optiune CALL avand pretul de exercitiu egal cu F s –
pozitie long, si o optiune avand pr etul de exercitiu egal cu F s+Fj – pozitie short.
Exemplu
Pentru exemplificare, vom presupune ca in cadrul exemplului analizat in acest
capitol, creditul de 700 u.m. este acordat sub forma unui credit senior in valoare
de F s=500 si al unui credit junior in valoare de F j=200.
In ceea ce priveste E 0, valoarea acestuia va fi la fel ca inainte, respectiv :
E0 = 538,467
Pentru optiunea put P(0, A 0), tinand seama ca acum pretul de exercitiu este
egal cu F j=500, avem:
P(0, A 0)=8,8266
Valoarea creditului la momentul t=0 este:
517,343 8266,8 *5005,3*1,0
,0 =− =−e Ds
Prima de risc in acest caz va fi :
%72,0 0072,01,0 1072,0 ==−=jπ
Pentru calculul creditului junior avem :
C(0,500)=656,4826
C(0,700)=538,4676
de unde rezulta:
D
0,j=656,4826-538,4676=118,015
Prof. univ. dr. Mois ă Altăr – INGINERIE FINANCIAR Ă – sinteză –
87/87
Prima de risc pentru premiul junior va fi :
%07,5 0507,01,0 1507,0 ==−=π
Asa cum era de asteptat, prima pentru riscul de faliment este mai mare pentru
creditul junior.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: © 2002 by Mois ă Altar. All rights reserved. Short sections of text, not exceeding two paragraphs may be quoted without permission provided that full… [600353] (ID: 600353)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.