Mulțimea numerelor complexe [600208]

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator:
Conf.univ.dr.: CRISTIAN IDA
Candidat: [anonimizat]. CRISTINA -ELENA LUNGU
Colegiul Național „GRIGORE MOISIL”, Onești
2015 – 2017

1 UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

ROLUL FORMATIV AL AP LICAȚIILOR
NUMERELOR COMPLEXE Î N STUDIUL
GEOMETRIEI LA LICEU

Coordonator:
Conf.univ.dr.: CRISTIAN IDA
Candidat: [anonimizat]. CRISTINA -ELENA LUNGU
Colegiul Național „GRIGORE MOISIL”, Onești
2015 – 2017

2 Avizul conduc ătorului științific,
Numele și gradul didactic
________________ Conf.univ.dr.: CRISTIAN IDA ________________
Domnule Director,

Subsemnat a CRISTINA -ELENA LUNGU vă rog s ă-mi aprobați
susținerea lucrării metodico – științifice cu titlul „ROLUL FORMATIV
AL APLICAȚIILOR NUMERELOR COMPLEXE ÎN STUDIUL
GEOMETRIEI LA LICEU ”sub îndrumarea d -nei/d- lui prof. conf. univ.
dr. CRISTIAN IDA
Data, Semn ătura,

3 CUPRINS
INTRODUCERE ………………………………………………… 6
CAPITOLUL I. …………………………………………………. 10
INTRODUCEREA NUMERELOR COMPLEXE ………………………………………………. 10
I.1. Mul țimea numerelor complexe. Operații cu numere complexe ………………………….. 10
I.1.a. Modelul geometric al corpului numerelor complexe ………………………………….. 10
I.1.b. Forma algebrică, conjugatul și modulul unui număr complex ……………………… 13
I.1.c. Alte operații cu numere complexe ………………………………………………………….. 17
I.1.d. Aplicații ale numerelor complexe în algebră ……………………………………………. 19
I.2 Planul complex. Reprezentarea geometrică și vectorială a numerelor complexe. …… 23
I.3. Introducerea trigonometrică și exponențială a unui număr complex …………………… 29
CAPITOLUL II. ……………………………………………….. 40
INTERPRETĂRI GEOMETRICE ……………………………………………………………………. 40
II.1. Proprietăți geometrice exprimate cu numere complexe …………………………………… 40
II.1.a. Distanța între două puncte ……………………………………………………………………. 40
II.1.b. Afixul punctului care divide un segment orientat într -un raport dat …………….. 41
II.1.c. Afixul centrului de greutate al unui triunghi ……………………………………………. 41
II.1.d. Condiții ca un punct s ă aparțină unui segment, unei semidrepte, unei drepte … 42
II.1.e. Condiția ca un patrulater să fie paralelogram …………………………………………… 44
II.1.f. Măsura unghiului ……………………………………………………………………………….. 45
II.1.g. Condiția de coliniaritate a trei puncte …………………………………………………….. 46
II.1.h. Condiția de paralelism a două drepte …………………………………………………….. 47
II.1.i. Condiția de perpendicularitate a două drepte ……………………………………………. 47
II.1.j. Condiția ca patru puncte să fie conciclice ……………………………………………….. 47
II.1.k. Asemănarea triunghiurilor …………………………………………………………………… 48
II.2. Transformări geometrice cu numere complexe ……………………………………………… 49
II.2.a. Dreapta …………………………………………………………………………………………….. 50
II.2.b. Cercul ………………………………………………………………………………………………. 53
II.2.c. Transformă ri geometrice ……………………………………………………………………… 54

4 CAPITOLUL III. ……………………………………………… 58
UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE ÎN GEOMETRIE ………………………….. 58
III.1. Inegalitatea triunghiului …………………………………………………………………………… 58
III.1.a. Teorema lui Ptolemeu ………………………………………………………………………… 58
III.1.b. Teorema lui Pompeiu ………………………………………………………………………… 58
III.1.c. Proprietăți ale ortocentrului și centrului de greutate ale unui triunghi …………. 59
III.2. Coliniaritate și concurență………………………………………………………………………… 65
III.2.a. Teorema lui Menelaus . ……………………………………………………………………… 65
III.2.b. Teorema lui G.Desargues …………………………………………………………………… 66
III.2.c. Teorema lui B.Pascal …………………………………………………………………………. 67
III.2.d. Teorema lui G.Ceva ………………………………………………………………………….. 69
III.3. Proprietăți relativ la triunghiuri echilaterale ………………………………………………… 70
III.4. Relații metrice în poligoane ……………………………………………………………………… 75
CAPITOLUL IV. ………………………………………………. 80
ASPECTE METODICE ÎN PREDAREA NUMERELOR COMPLEXE ………………. 80
IV.1. Mulțimea numerelor complexe în liceu ………………………………………………………. 80
IV.2. Metoda rezolvării de probleme – metodă formativă a gândirii creative …………….. 86
IV.2.a. Exemplul 1. Dreapta lui Euler …………………………………………………………….. 87
IV.2.b. Exemplul 2. Cercul lui Euler ………………………………………………………………. 88
IV.2.c. Exemplul 3. Teorema lui Pappus …………………………………………………………. 90
IV.2.d. Exemplul 4. Teorema lui Pompeiu ………………………………………………………. 91
IV.2.e. Exemplul 5. Teorema lui G.Ceva …………………………………………………………. 92
IV.2.f. Exemplul 6 ………………………………………………………………………………………. 93
IV.3. Tehnici de obiectivizare a evaluării ……………………………………………………………. 94
IV.3.a. Evaluarea cunoștințelor și deprinderilor. Docimologia …………………………….. 94
IV.3.b. Notarea …………………………………………………………………………………………… 99
IV.3.c. Teste de evaluare …………………………………………………………………………….. 104
IV.3.d. Eficientizarea învățării …………………………………………………………………….. 109
IV.4. Proiectarea lecț iei …………………………………………………………………………………. 110
IV.4.a . Metode expozitive …………………………………………………………………………… 110
IV.4.b. Metoda conversației ………………………………………………………………………… 111

5 IV.4.c. Problematizarea ………………………………………………………………………………. 111
IV.4.d. Metoda descoperirii …………………………………………………………………………. 112
IV.4.e. Lucrul cu manualul și alte cărți ………………………………………………………….. 113
IV.4.f. Metoda exercițiului ………………………………………………………………………….. 113
IV.4.g. Proiect didactic ………………………………………………………………………………. 114
BIBLIO GRAFIE …………………………………………….. 120

6 INTRODUCERE

„Cel mai scurt drum între dou ă adevăruri din domeniul real,
trece printr -un domeniu imaginar.”(Jacques Hadamard, matematician francez)
Una dintre temele favorite ale matematicienilor de -a lungul istoriei a fost
rezolvarea ecuaț iilor. O disciplin ă matematic ă având vechi r ădăcini istorice este algebra,
care avea ca obiect de studiu rezolvarea ecuațiilor cu coeficien ți numerici. Se poate afirma
că necesitatea rezolv ării diverselor tipuri de ecuații a condus la extinderea succesiv ă a
mulțimii numerelor naturale , cea mai veche mulțime numerică – fundamental ă pentru
toată matematica. Dacă , de exemplu, ecuația 10x−= are o soluție (r ădăcina) natural ă
1x=, în schimb, ecuația 10x+= nu are soluție în , ceea ce a impus acceptar ea
numerelor întregi negative, care împreun ă cu 0 (zero), au completat pe  până la mulțimea
numerelor întregi , în care ecuația 10x+= are soluția 1 x= −∈. Totodat ă, ⊂ .
Ecuația 2 30x+= nu are soluții în ; pentru a putea rezolva ecuații de forma 0 ax b+= ,
,ab∈, 0a≠, a fost necesar ă introducerea mulțimii numerelor raționale , încât ecuația
respectiv ă are soluția bxa= −∈. Au loc relațiile: ⊂⊂ . Se constat ă că orice
ecuație de gradul 1 cu coeficienți raționali are o soluție rațional ă. Nu se poate spune același
lucru despre ecuațiile de gradul 2. O ecuație de forma 24 10x−= are soluțiile raționale
1,21
2x=± , în schimb ecuația 220x−= nu poate fi rezolvat ă în . S-au considerat atunci
numerele iraționale și, odat ă cu ele, mulțimea numerelor reale . Ecuația 220x−=
admite r ădăcinile iraționale 1,2 2 x=± , iar ⊂⊂⊂ . Vom observa, de asemenea,
că orice ecuație de gradul 1 cu coeficienți reali are o soluție real ă, ceea ce nu este valabil
pentru ecuațiile de gradul 2 cu coeficienți reali. De exemplu, pentru ecuația algebric ă
210x+= nici mulțimea  nu este suficient ă pentru a -i preciza soluțiile. Numerele
complexe rezolv ă problema; soluțiile ecuației 210x+= sunt numerele complexe
1,2xi=±∈, unde  este mulțimea tuturor numerelor complexe și ⊂⊂⊂⊂ .
Prin teorema fundamental ă a algebrei a lui D'Alembert, orice ecuație algebrică cu
coeficienți complecși admite soluții (r ădăcini) în mulțimea . Se mai spune c ă  este un
corp algebric închis .

7 Până în secolul XVI matematicienii au evitat ecuațiile p ătratice care nu se puteau
rezolva în . Gerolamo Cardano (1501 -1576) a îndr ăznit primul s ă introduc ă „numere
noi” obținute din extragerea r ădăcinii p ătrate dintr -un num ăr negativ. Raffaello Bombelli
(1526- 1572) a explicat chiar aritmetica acestor „numere noi”. Denumirea de numere
imaginare a fost introdu să în 1637 de René Descartes (1596- 1650), în legă tură cu stabilirea
numărului de r ădăcini pozitive (negative) ale unei ecuații polinomiale. John Wallis (1616 –
1703) este primul care afirm ă că graficul unui num ăr complex este un punct într -un plan.
Pentru Go ttfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) numerele imaginare sunt „la jum ătatea
drumului între a fi și a nu fi”. Notația i pentru unitatea imaginar ă, adic ă :1i= − , a fost
introdus ă de Leonhard Euler ( 1707- 1783) în 1777. Acesta se refer ă la numerele imaginare
scriind: „…aceste numere exist ă în imaginația noastr ă și … nimic nu ne poate împiedica s ă
folosim aceste numere imaginare și s ă le introducem în calcul” [v. 20]. Cel mai fascin ant
lucru în matematic ă este faptul că ii∈, ( ) 0, 207879ii≅ . Lui Euler i se datorează
celebrele formule: cos sinite ti t= + și 10ite+= . În 1799 Caspar Wessel (1745- 1818)
descrie pentru prima dat ă interpretarea geometrică a numerelor complexe în planul
euclidian, iar în 1806 Jean Robert Argand (1768- 1822) dezvolt ă aceeași idee, precizând
funcția (reprezentarea) care aplică fiecare num ăr complex într -un punct din planul
euclidian raportat la un sist em de coordonate carteziene ortogonale (diagrama Argand). El
interpretează înmulțirea cu num ărul i ca fiind o rotație de unghi drept, propune noțiunea de
modul al unui num ăr complex (respectiv, al vectorului corespunză tor).
Cel care a introdus denumirea de num ăr complex și a dezv oltat topica numerelor
complexe , cu notația z a bi= + , a fost Carl Fiedrich Gauss (1777- 1855). Acesta
popularizeaz ă în lucr ările sale diagrama lui Argand (numit ă azi diagrama Argand -Gauss ),
esențial ă din punctul de vedere al aplicațiilor în geometrie (planul euclidian cu
coordonatizarea complex ă, modelul aritmetic complex al planului euclidian), al aplicațiilor
în analiza matematic ă (planul complex, analiza funcțiilor de variabilă complex ă) ș i a l
aplicațiilor în algebr ă (Gauss public ă o prim ă demonstrație corect ă a teoremei
fundamentale a algebrei: fiecare polinom neconstant de o nedeterminat ă cu coeficienți
numere complexe are cel puțin o r ădăcină; mulțimea  este un corp algebric închis).
William Rowan Hamilton (1815 -1897) a dat interpretarea vectorial ă a unui num ăr
complex : z a bi= + este interpretat ca vectorul de coordonate (),ab în raport cu baza {}1,i
; tot el a extins numerele complexe definind cuaternionii.

8 Secolul al XIX -lea a însemnat apariția și dezvoltarea analizei complexe, având ca
s u p o r t p l a n u l c om p l e x ș i c a r e p e r i n i ț ial celebra formul ă a lui Euler : cos sinixe xi x= + ,
x∈, care stabilește relația dintre funcțiile trigonometrice și funcția exponențial ă
complex ă. Cel care a definit noțiunile de bază și a obținut rezultate fundamentale în aceast ă
ramur ă a analizei matematice a fost Augustin Louis Cauc hy (1789- 1857). Acesta a
introdus conceptele de funcție de variabil ă complex ă, funcție olomorf ă (diferențiabil ă,
analitic ă), raz ă de convergenț ă a unei serii de puteri, produsul Cauchy a două serii și a
stabilit mai multe propriet ăți importante : condițiil e de olomorfie a unei funcții complexe
de o variabil ă complex ă (ecuațiile Cauchy -Riemann), celebra inegalitate pentru spații cu
produs scalar (inegalitatea Cauchy -Buniakovski -Schwarz), formula pentru calculul razei de
convergenț ă a unei serii (for mula Cauchy -Hadamard), faimoasa teorem ă integral ă Cauchy,
formula integrală a lui Cauchy, teorema reziduurilor unei funcții complexe ș.a. Contribuții
majore a avut, de asemenea, Georg Friederi ch Bernhard Riemann (1826- 1866) . El a fost
inițiatorul teoriei variet ăților complexe, în cadrul c ăreia a creat noi concepte: suprafaț ă
riemannian ă, suprafaț ă riemannian ă de acoperire, sfera lui Riemann (un exemplu exotic de
suprafaț ă riemannian ă), funcția zeta (a lui Riemann, despre care a lansat o conjectur ă încă
netranșat ă) ș i a d e m on s t r a t p r o p r i e t ăți esențiale: teorema de reprezentare conform ă a lui
Riemann [Orice suprafaț ă riemannian ă simplu conex ă poate fi reprezentat ă conform pe una
din urm ătoarele trei suprafețe riemanniene: sfera lui Riemann; planul complex ; discul
unitate deschis {}1 Dz z= ∈< ], propriet ăți ale funcțiilor analitice globale, ipoteza lui
Riemann (R ădăcinile nenule ale funcției zeta ζ au partea real ă 1
2) ș.a. Așadar, un
remarcabil aport la dezvoltarea analizei complexe l -a avut Karl Weierstrass (1815 -1897)
numit și „tat ăl analizei moderne”. Acesta a construit teoria funcțiilor eliptice (funcția
eliptic ă a lui Weierstrass, care l -a făcut celebru), a construit teoria funcțiilor complexe cu
ajutorul seriilor de puteri, a demonstrat c ă  este unica extensie comutativ ă a corpului 
(o promisiune nerealizat ă a lui Gauss). Analiza complex ă a continuat s ă se dezvolte,
devenind un domeniu fundamental și în matematica contemporan ă. Ea este interesant ă mai
ales datorit ă diferenței dintre „analiticitatea complex ă” și „analiticitatea real ă”, dar are
aplicații numeroase în teoria probabilit ăților (distribuția Cauchy circular ă), în analiza
armonic ă (serii Fourier), în fizic ă (ecuația lui Laplace, la modelarea propag ării undelor –
gravitație, sunet, lumin ă, căldură , electricitate, magnetism ; descrierea st ărilor unui sistem

9 fizic cu funcția de u ndă ori reprezentarea fazorial ă; teoria corzilor sau stringurilor ; teoria
fractalilor – iterații ale unor funcții olomorfe etc.)[v.30].
Lucrarea de faț ă este focalizat ă pe aplicațiile numerelor complexe și ale
propriet ăților lor în geometria euclidian ă plană și în trigonometrie. M ă voi ref eri și la
aplicațiile originare ale acestora, cele din algebr ă. Structura lucr ării conține, pe lâng ă
Introducere și Bibliografie, patru capitole. În Capitolul I este prezentat corpul numerelor
complexe  și se discut ă, succesiv, to ate formele sub care se poate exprima un num ăr
complex. Capitolul II trateaz ă o serie de noțiuni și propriet ăți fundamentale de geometrie
euclidian ă exprimate în coordonate complexe. În Capitolul III este ilustrat ă metoda
coordonatelor complexe pentru rezolvarea mai multor tipuri de probleme din geometria
plană. Capitolul IV conține observații metodice, aplicații tratate cu metode alternative celei
a numerelor complexe, precum și chestiuni de evaluare a elevilor la tema tratat ă.
În concluzie, Capitolul I a re un caracter mixt, dar preponderent teoretic; Capitolul
II este o sinteză de noțiuni și propriet ăți privite dintr -o perspectiv ă metodico -didactic ă ;
Capitolul III are exclusiv un caracter aplicativ , iar Capitolul IV, un caracter metodic –
aplicativ -evaluativ.
Structura și conținutul teoretic al lucr ării, precum și o serie de aspecte metodico –
aplicative, au la bază numeroasele idei și sugestii oferite de dl. profesor Ida Cristian în
discuțiile pe care le- am avut pe perioada elabor ării lucr ării.

10 CAPITOLUL I.
INTRODUCEREA NUMERELOR COMPLEXE

În această secțiune este construit modelul geometric al corpului numerelor
complexe, model utilizat atât în geometrie cât și în analiza matematică El mai poate fi
introdus printr -o definiție axiomatică . Acest e conținuturi respectă punct ul de vedere
adoptat și în referințele: [1], [4], [5], [7], [8], [14], [17], [24], [28].

I.1. Mulțimea numerelor complexe. Operații cu numere complexe
I.1.a. Modelul geometric al corpului numerelor complexe
Vom construi mulțimea numerelor complexe utilizând mulțimea numerelor reale ,
care este un corp comutativ ordonat arhimedian și euclidian.
Fie produsul cartezian (){ }2: ,,ab ab =×= ∈  .
Două perechi ordonate (),ab și ()', 'ab din 2 se numesc egale dacă ' aa= și
' bb=.
()()', ', ''aaab a bbb== ⇔ =
Se notează cu () :,z ab= un element arbitrar din 2.
Pe mulțimea 2 se definesc dou ă operații algebrice: adunarea și înmulțirea.
Adunarea
Se numește adunare operația prin care se asociază perechilor (), z ab= și
() ' ', 'z ab= din 2 perechea ( ) ' : ', ' z z a ab b+=+ + din 2 , numit ă suma lui z cu 'z.
Înmulțirea
Se numește înmulțire operația prin care se asociază perechilor (), z ab= și
() ' ', 'z ab= din 2 perechea ( ) ' : ' ', ' 'z z aa bb ab a b⋅= − + din 2 , numit ă produsul lui z
cu 'z. Se va nota frecvent , mai simplu, ': 'zz z z= ⋅ .
Observație 1. Exist ă încă o operație (extern ă), care asociază unei perechi
()2, z ab= ∈  și unui num ăr real λ∈ perechea ()2:,z abλ λλ= ∈ , numit ă înmulțirea
cu scalari pe 2. Înmulțirea cu scalari este un caz particular al înmulțirii complexe,
deoarece:

11 ()()() , ,0 ,ab abλλ=
Înmulțirea cu scalari este o operație extern ă specific ă unui spațiu liniar. 2 cu
adunarea și înmulțirea cu scalari formează un spațiu liniar 2 -dimensional .
Definiție 1. Se numește mulțimea numerelor complexe ansamblul ()2,,= +⋅ ,
adică 2 cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus. Un element (), z ab= ∈ 
se numește, de acum, un num ăr complex .
Teorema 1. Mulțimea numerelor complexe ()2,,= +⋅ are o structur ă de corp
comutativ.
Demonstrație .
o Se arat ă că  este un grup abelian în ra port cu adunarea:
• adunarea este asociativ ă:
()() ' '' ' '' zz z z z z++= ++ , , ', ''zz z∀∈ 
• adunarea este comutativ ă:
'' zz z z+=+ , ,'zz∀∈
• adunarea are elementul neutru (nul) num ărul complex zero () 0 0, 0= ∈
00z zz+=+= , z∀∈
• adunarea are simetrie, deoarece fiecare nu măr complex are un element opus :
z∀∈, z∃− ∈, astfel încât ()() 0 z z zz+− =− + =
[în baza observației anterioare, dacă (), z ab= ∈ , atunci opusul lui z este
(), z ab−=−−∈ ]
Verificarea propriet ăților adun ării numerelor complexe se bazează pe propriet ățile
adun ării numerelor reale.
Dacă ,'zz∈, atunci num ărul complex () ':'zz z z− = +− se numește diferența
dintre 'z și z. Operația prin care orică ror dou ă numere complexe 'z și z li se asociaz ă
diferența lor se numește scădere . Dacă (), z ab= , () ' ', 'z ab= ∈ , atunci
( ) ' ' ,'z z a ab b−= − −∈ 
o Se arat ă că {}*: \0= este un grup abelian în raport cu înmulțirea :
• înmulțirea este asociativ ă:
()() ' '' ' ''zz z z zz⋅⋅= ⋅⋅ , *, ', ''zz z∀∈ 

12 • înmulțirea este comutativ ă:
''zz zz⋅=⋅ , *,'zz∀∈
• înmulțirea are elementul neutru (unitate) num ărul complex unu ()*1 1, 0= ∈
11z zz⋅=⋅= , *z∀∈
• înmulțirea are simetrie, deoarece fiecare num ăr complex nenul are un element
invers:
*z∀∈, 1*z−∃∈, astfel încât 111 zz z z−−⋅ = ⋅=
[în baza observației anterioare, dacă ()*, z ab= ∈ , atunci inversul lui z este
1*
22 22,abzab ab−= −∈++]
Verificarea propriet ăților înmulțirii numerelor complexe se bazeaz ă pe propriet ățile
înmulțirii numerelor reale.
Dacă ,'zz∈ și 0z≠, atunci num ărul complex 1 ':'zzzz−= ⋅ se numește câtul
dintre 'z și z. Operația prin care numerelor complexe 'z și z li se asociază câtul lor se
numește împărțire . Dacă ()*, z ab= ∈  , () ' ', 'z ab= ∈  , atunci
22 22' ' ' '',z aa bb ab a b
z ab ab+−= ∈ ++. Se deduce imediat că inversul num ărului complex nenul z
este 11zz−=, *z∀∈
o Se arat ă că înmulțirea numerelor complexe este distributiv ă în raport cu
adunarea numerelor complexe :
()' '' ' ''z z z zz zz+= + , , ', ''zz z∀∈ 
În concluzie, mulțimea  este un corp comutativ.
Observație 2. Submulțimea numerelor complexe :
(){ } : ,0R zaa== ∈⊂ 
formeaz ă un subcorp al corpului , care este izomorf cu corpul numerelor reale .
În adevă r, R satisface toate axiomele de corp pentru operațiile :
()()() ,0 ' ,0 ' ,0a a aa R+ = +∈
()()() ,0 ' ,0 ' ,0a a aa R⋅ = ⋅∈ , ,' 0aa≠

13 induse din  (se verific ă imediat) , iar aplicația () : ,0fa a R∈→ ∈⊂ este un
izomorfism de corpuri ( feste o bijecție a lui  pe R, care păstrează cele dou ă operații ,
ceea ce se arat ă fără dificultate). În consecinț ă, dacă se identific ă numărul real a∈ cu
numărul complex (),0aR∈ și reciproc, via izomorfismul f, atunci se poate considera
corpul numerelor reale , ca un subcorp al corpului numerelor complexe , scriind
⊂ ; se spune c ă  este o extensie comutativ ă a lui . Numerele complexe () 0 0, 0=
și () 1 1, 0= se identific ă cu numerele reale 0 și respectiv 1.
I.1.b. Forma algebric ă, conjugatul și modulul unui num ăr complex
Ceea ce am prezentat mai sus este maniera modern ă de introducere a conceptului
de num ăr c o m p l e x ș i a s t r u c t u r i i a l g e b r i c e d e c o r p c o m u t a t i v p e c a r e o a r e m u l ț i m e a
numerelor complexe. Pe de alt ă parte, este binecunoscut că programele școlare de la
nivelul primelor clase liceale abordeaz ă numerele complexe sub alt ă form ă, cea tradițional ă
din punct de vedere istoric, numit ă forma algebric ă a unui num ăr complex. Pentru a realiza
legătura acesteia cu ce le de mai sus, facem urm ătoarea:
Observație 3. Fiecare num ăr complex (), z ab= ∈  se poate scrie sub forma:
()()() ,0 ,0 0,1 za b= + sau ()()() ,0 0,1 ,0 za b= +
Cu identificarea canonică (),0aa= și (),0bb=, dar și cu notația
() : 0,1i=
se obține
z a bi= + sau z a ib= + , unde ,ab∈, 21 i=−
care reprezint ă forma algebric ă a num ărului complex (), z ab= . i se numește unitatea
imaginar ă. Forma algebric ă a unit ății imaginare este 01ii=+⋅ , iar verificarea propriet ății
21 i=− este direct ă (formal se poate scrie 1 i= − pentu a -i confer i un conținut matematic
în ).
Operațiile cu numere complexe sub forma algebrică se exprim ă astfel: dacă
z a bi= + , ' ''z a bi= + , λ∈, atunci
'''aazzbb== ⇔=
()() '' ' z z a a bbi+=+ ++

14 ()() ' ' ' ''z z aa bb ab a b i⋅= − + +
()() z a biλλ λ= +
Fie un num ăr complex (), z a b a bi= =+∈ . Num ărul real a se numește partea
reală a num ărului z și se notează cu () Rez, iar num ărul real b se numește partea
imaginar ă a lui z și se notează cu () Imz. Prin urmare,
()() Re Imz zi z= +
Num ărul complex z este pur imaginar dacă z bi= sau 0a= sau () Re 0z=.
Num ărul complex z este real dacă za= sau 0b= sau () Im 0z=.
Observația 4. Pentru ,'zz∈ și λ∈, se verific ă următoarele relații :
(a) ()()
()()Re Re '
'
Im Im 'zz
zz
zz== ⇔=
(b) ()()() Re ' Re Re 'zz z z±= ± și ()()() Im ' Im Im 'zz z z±= ±
(c) ()()()()() Re ' Re Re ' Im Im 'zz z z z z= − și ()()()()() Im ' Im Re ' Im ' Rezz z z z z= +
(d) ()() Re Re zzλλ= și ()() Im Im zzλλ=
Observația 5. Relațiile care exprim ă puterile întregi ale unit ății imaginare sunt :
41ni= ; 41nii+= ; 421ni+=− ; 43nii+=− , n∀∈
Definiție 2. Se numește conjugatul numărului complex (), z a b a bi= =+∈  numărul
complex (), z a b a bi= −=−∈ 
Numerele z și z se numesc numere complex conjugate , iar aplicația
:cz z∈∈  se numește conjugare complex ă.
Teorema 2. Conjugarea complex ă are urm ătoarele propriet ăți: Pentru ,'zz∀∈ și
λ∀∈
(a) zz=;
(b) () 2Re zz z+= și () 2 Im zz i z−=
(c) ()()22Re Im zz z z⋅= +
(d) zzλλ=
(e) '' zz zz+= +

15 (f) ' ' zzzz⋅=⋅
(g) ()11zz−−= , 0z≠
(h) ''zz
z z=, 0z≠
Se pot stabili, de asemenea, propriet ățile :
(i) n n z zz z zz +++=+++ … …2 1 2 1 , *n∀∈, 12, ,…,n zz z∀∈ 
(j) n n z zz z zz ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ … …2 1 2 1 , *n∀∈, 12, ,…,n zz z∀∈ 
(k) Conjugarea complex ă c este unicul automorfism al corpului , diferit de aplicația
identic ă 1, care invariaz ă numerele reale.
Demonstrație . Vom demonstra câteva dintre propriet ățile enunțate, utilizând, fie definiția
inițială a num ărului complex, fie forma algebric ă a acestuia.
Fie (), z a b a bi= = + , () '' , '' 'z a b a bi= = + , λ∈
(d) ()()()()() ,, , , z ab a b a b ab zλ λλ λ λ λλ λ λ= = − = − = −=
(f) ( ) () ( )( ) ' ' ', ' ' ' ', ' ' ' ', ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b aa bb ab a b⋅ =− + =−−+ =−− − =
()() , ', ' 'a b a b zz=− −= ⋅
(g) dacă 0z≠, atunci 1111 zz zz−−= = ⋅= ⋅ , deci 11z
z−=, adic ă ()11zz−−=
(h) dacă 0z≠, atunci ()111 ' 1''' ' 'zzz zz zz z zz zz−−− = ⋅= ⋅= ⋅ = ⋅ =
(i) și (j) se demonstrează prin inducție asupra lui n
(k) operația de conjugare :cz z∈∈  este o funcție injectiv ă ( ) 12 12zz zz=⇒= și
involutiv ă : ()()()()() c c z ccz cz z z= = = = , z∀∈. Așadar , c este o aplicație
bijectiv ă cu inversa 1cc−=
În baza propriet ăților (e) și (f), c este un automorfism netrivial al lui , cu
proprietatea : ()cz z= dacă și numai dac ă z∈
Definiție 3. Se numește modulul numărului complex (), z a b a bi= =+∈  numărul real
nenegativ
22:z ab+ = +∈ 

16 Teorema 3. Funcția modul zz+ ∈∈  are urm ătoarele propriet ăți : Pentru
,'zz∀∈ și λ∀∈
(a) 0z≥ și 00zz=⇔= , iar () Rezz≤ și () Imzz≤
(b) zz z= = − și 2z zz= ⋅ sau z zz= ⋅ , iar 1 1zz− −= sau 11zz−=
(c) zzλλ= ⋅
(d) ''zz z z⋅=⋅
(e) '' ' z zz zz z− ≤+≤+
(f) ' 'z z
zz= , 0z≠
(g) '' ' z zz zz z− ≤−≤+ și '' z z zz− ≤−
(h) 12 1 2 … …nn zz z z z z+++ ≤ + ++ , *n∀∈, 12, ,…,n zz z∀∈ 
(i) 12 1 2 … …nn zz z z z z⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ , *n∀∈, 12, ,…,n zz z∀∈ 
(j) n nzz= , n∀∈
Demonstrație. Primele trei propriet ăți se verific ă direct, utilizând definițiile anterioare.
Voi demonstra (d): ()()2 22' ' ' '' 'zz zz zz zzzz z z⋅ = ⋅ ⋅ =⋅⋅⋅ = ⋅ de unde rezult ă egalitatea
cerut ă. Pentru a verifica (e) se va observa că : '''zz zz zz⋅=⋅=⋅ , deci 'zz⋅ și 'zz⋅sunt
numere complexe conjugate, iar () ' ' 2Re 'zz zz zz⋅+⋅ = ⋅
()()()() ()2 2 22 2' '' '' ' ' ' 2 R e ' ' zz zz zz zz zz z z z z z z z z z z+ = + + = + + = +⋅+⋅+ = + ⋅ +
()2 2 22 22'' 2'' ' z z zz z z zz z z≤ + ⋅ += + += + , deci '' zz z z+≤+ ; aceast ă relație
se numește inegalitatea lui Hermann Minkowski (1864- 1909). Relația devine egalitate
dacă și numai dac ă () Re ' 'zz z z⋅= ⋅ , adic ă dacă și numai dac ă exist ă t+∈, astfel încât
'z tz=. Pe de alt ă parte, '' ' ' ' ' z zzz zz z zz z=+ −≤++ −=++ , deci '' z z zz− ≤+
Voi verifica (f): zz
zz zz zzzz ' 1' ' ''1 1=⋅=⋅=⋅=− −

17 Voi proba (g): mai întâi () ' ' '' z zz z z zz z− = +− ≤ +− = + , deci ''zz z z−≤+ ; pe
de alt ă parte '' ' ' z zz z zz z=−+ ≤− + implic ă '' z z zz− ≤− ,prin urmare, prima
pereche de inegalit ăți este probat ă . A doua inegalitate de la (g) este imediat ă, căci,
utilizând inegalit ățile precedente, avem, pe de o parte '' z z zz− ≤− , iar din relația
''zz z z−≥ − sau ''zz z z−≥− se obține, pe de alt ă parte ''zz z z−− ≤−
(h) și (i) se stabilesc prin inducție
(j) este o consecinț ă a lui (i) dacă 12 …n zz zz= = = =
I.1.c. Alte operații cu numere complexe
Produsul real a două numere complexe
Definiție 4. Se numește produsul real al numerelor complexe ,'zz∈ numărul real
1' : ( ' ')2z z zz zz= ⋅+⋅ ∈
Se observ ă că 1' ( ' ') '2zz z z z z zz= ⋅+⋅ = , adic ă () Im ' 0zz= , deci produsul real este un
număr real, fapt ce motiv ează denumirea acestei operații .
Teorema 4. Produsul real are urm ătoarele propriet ăți :
(a) 20 zz z= ≥ , z∀∈ și 00 zz z=⇔= ( pozitiva definire)
(b) ''zz z z= , ,'zz∀∈ (simetria )
(c) ()' '' ' ''z z z zz zz+=+  , , ', ''zz z∀∈  (aditivitatea )
(d) ()()() 'z ' 'z z z zzλ λλ= =  , ,'zz∀∈ și λ∀∈ (omogeneitatea)
(e) ()()()2' '' ' ''zz zz z zz⋅ ⋅=
(f) ''zz z z≤⋅ , ,'zz∀∈(inegalitatea lui Cauchy )
Demonstrație . Propriet ățile se verific ă direct cu definiția produsului real. De exemplu, vo i
verifica (c):
()()() ()( )11 1' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' z ' '' ''22 2z z z z z z zz z zz zz zz z zz z zz zz    + = ⋅ + + + = ⋅+⋅+ + = ⋅+⋅+⋅+⋅ =  
()()11' z ' '' '' ' ''22zz z zz zz z z z z= ⋅+⋅ + ⋅ +⋅ = + 

18 (f) se stabilește direct : ()( )11 1' '' ' ' ' ' '22 2z z zz zz zz zz z z z z z z= ⋅+⋅ ≤ ⋅ +⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅
fiindc ă zz= , z∀∈; egalitatea se realizează dacă și numai dac ă exist ă un num ăr
λ∈ , astfel încât 'zzλ=
T.4 permite f ormularea urm ătoarei observații:
Observație 6. Adunarea, înmulțirea cu scalari reali și produsul real determină pe  o
structur ă de spațiu vect orial euclidian ( s.v.e.) real 2-dimensional.
În adev ăr, sunt verificate axiomele de spațiu vectorial.  este un grup aditiv
abelian; înmulțirea cu s calari din  satisface cele patru condiții cunoscute. Produsul real
definește un produs scalar , adic ă o structură euclidiană, pe , conform T.4.
Norma (modulul ) definit ă de produsul scalar pe  este dat ă prin:
:z zz z z= = ⋅ , z∀∈
adică este exact modulul unui num ăr complex. În acest fel se justifică denumirea de modul
(norm ă, lungime) specific ă s.v.e., pentru noțiunea definit ă prin D.3.
„Vectorii” 1 și i din  constituie o bază ortonormat ă ()1,i a lui , fiindc ă 1 și i
sunt liniar independenți ( 10 0a bi a b⋅+⋅= ⇒ = = ); ()1,i generează pe  [
(),1 z a b a bi a b i= = + = ⋅+⋅ ] ; 1 ș i i sunt ortogonali ( 10i= ) ; 1 ș i i sunt unitari (
11i= = ).În concluzie, dim 2=
Produsul complex a două numere complexe
Definiția 5. Se numește produsul complex al numerelor complexe distincte și nenule
,'zz∈ numărul pur imaginar:
()1': ' z '2z z zz z i× = ⋅ −⋅ ∈ ⊂ 
În cazul 0z= sau '0z= sau ' zz=, '0zz×=∈⊂  . Dacă ' zz≠ , ,' 0zz≠, atunci
()()()()11 1' '' ' ' '' '22 2z z zz zz zz zz zz zz z z× = ⋅−⋅ = ⋅−⋅ = − ⋅−⋅ = − × ,
deci () Re ' 0zz×= , adic ă 'zz i×∈ este pur imaginar, ceea ce motiveaz ă denumirea dat ă
operației.
Teorema 5. Produsul comp lex are urm ătoarele propriet ăți:
(a) 0 zz×= , z∀∈ și () ''zz zz×= −× , ,'zz∀∈ (anticomutativitatea)
(b) ()'" ' " z z z zz zz× + =×+× , , ', "zz z∀∈  (distributivitatea faț ă de adunare)

19 (c) ()()() ' ''zz z z z zαα α× = ×= × , ,'zz∀∈ și α∀∈ (omogenitatea)
(d) ()()() 0' " "'"' =××+××+×× zzzzzzzzz , , ', ''zz z∀∈ , numit ă identitatea lui Carl
Jacobi (1804- 1851)
(e) '0zz λ × = ⇔∃ ∈  astfel încât 'zzλ= (coliniaritate)
Demonstrație. Toate afirmațiile din propoziție rezult ă prin calcul, în baza definiției D.5 .
Vom ar ăta doar echivalența celor dou ă relații de la (a) și echivalența de la (e). Mai întâi ,
este clar că relația 0 zz×= este adev ărată pentru orice z∈. Dacă 0 zz×= , z∀∈, iar
'z∈ este arbitrar, atunci ()() ' '0 zz zz+×+ = , deci ' ' ' '0 zzzz zzzz×+×+×+× = , de
unde () ''zz zz×= −×
Reciproc, dacă () ''zz zz×= −× și punem 'zz=, atunci 20zz×= , deci 0 zz×= . Să
presupunem acum c ă '0zz×= , adic ă ''zz zz⋅=⋅ sau ''zz
zz= sau 

=zz
zz ' ', ceea ce
implic ă : 'z
z∈; prin urmare, λ∃∈, astfel încât 'zzλ= . Reciproc, dacă 'zzλ= ,
atunci ()() '0zz z z zz λλ×= × = ×=
Observație 7. Produsul complex determină pe spațiul vectorial real  o structur ă de
algebr ă Lie real ă de rang 2 .
În adev ăr, produsul complex este o operație intern ă pe , care satisface condițiile
unei algebre Lie, adică exact primele patru propriet ăți stabilite prin P.5. În plus,
rang : dim 2= =
I.1.d. Aplicații ale numerelor complexe în algebr ă
1) Orice ecuație algebrică de grad cel puțin egal cu 1, cu o necunoscut ă și cu coeficienți
din  are rădăcinile în . Alte exprim ări echivalente : „ orice polinom [] fX∈ ,
grad 1 f≥, are cel puțin o r ădăcină în ”; „singurele polinoame ireductibile peste  sunt
cele de gradul 1” ; „ corpul  este un corp alge bric închis”. Toate aceste enunț uri sunt
acceptate ca reprezentând teorema fundamental ă a algebrei sau teorem a lui d'Alembert .
Exist ă mai multe tipuri de demonstrații ale acestei teoreme; vezi, de exemplu , [15,
p.284]. De subliniat c ă nicio demonstrație a teoremei nu sugerează vreun procedeu de
aflare a r ădăcinilor ecuației algebrice. Aplicația 3) de mai jos se refer ă concret la ecuația
algebric ă de gradul al doilea, care constituie o chestiune de bază în programele școlare.

20 2) Dacă orice polinom [] fX∈ , grad 1 f≥, are cel puțin o r ădăcin ă complexă, atunci
orice polinom [] gX∈ , grad 1 g≥, are cel puțin o r ădăcin ă complexă. Afirmația
reciproc ă este, evident, adev ărată, deoarece ⊂ . Se obține astfel un alt enunț pentru
teorema fundamental ă.
În adev ăr, să presupunem c ă orice polinom neconstant cu coeficienți reali are cel
puțin o rădăcină complex ă și să consider ăm polinomul arbitrar [] gX∈ , grad 1 g≥.
Fie 01 …n
n g a aX aX= + ++ și ()01 …n
n g z a az az= + ++ , z∈, funcția
polinomială asociat ă lui g. Atunci, ()01 …n
n g z a az az= + ++ , 01 ( ) …n
n g z a az az= + ++ ,
iar funcția polinomială ()()() : f z gz gz= ⋅ are coeficienții reali; de exemplu, coeficientul
lui kz din expresia lui ()fz este
0 1 1 2 2 2 2 11 0 …k kk k k k kb aa aa aa a a a a a a−− −− = +++ +++ ∈  (pentru 21kh= − , termenii lui
kb se grupează în h perechi simetrice cu suma real ă; pentru 2kh= , se grupează în același
fel termenii simetrici ai lui kb, iar termenul din mijloc este 2
hh haa a= , care este, evident,
un num ăr real). Prin urmare, din ipotez ă, polinomul asociat, f, a re c e l p u ți n o r ădăcină
complex ă i.e. 0z∃∈ astfel încât ()00 fz=. Rezult ă că, fie ()00 gz=, fie ()00 gz=. În
concluzie, polinomul g are rădăcina 0z sau 0z.
3) Orice ecuație algebrică de gradul al doilea cu coeficienți din  are rădăcinile în .
Se tratează două situații : a) Coeficienții ecuației sunt din ⊂ ; b) Cel puțin unul
din coeficienții ecuației este din \ .
a) Fie ecuația 20 ax bx c+ += , ,,abc∈, 0a≠. Se consider ă discriminantul ecuației,
24b ac∆= − , al c ărui semn stabileș te natura r ădăcinilor ecuației.
Dacă 0∆≥ , atunci ecuația are ambele r ădăcini reale și sun t date de formula binecunoscut ă
abx22,1∆±−=

21 Dacă 0∆< , atunci ecuația are ambele r ădăcini numere complexe cu partea imaginar ă
nenul ă. Ele se obți n scriind ecuația sub forma 22
2022bax iaa −∆ +− =     , din care se
deduce formula aibx22,1∆−±−= .
Se observ ă că rădăcinile formeaz ă o pereche de numere compl exe conjugate, au loc
relațiile : 12bxxa+= − și 12cxxa⋅= și factorizarea ()()2
12 ax bx c a x x x x+ += − − .
b) Fie ecuația 20 az bz c+ += , ,,abc∈ , 0a≠ și discriminantul s ău 24b ac∆= − . Se
scrie ecuația sub forma 2
2024bazaa ∆ +−=⇔2
224bzaa∆ +=⇔()22az b+= ∆ .
Se face substituția 2t az b= + și se obține ecuația rezolvant ă: 2t=∆ sau 2tiαβ= + , dacă
iαβ∆= + , ,αβ∈.
Soluțiile ecuației rezolvante sunt 1,2 sgn22ti iαααβ β∆+ ∆− = ±+= ± + ⋅
Prin urmare, r ădăcinile ecuației inițiale se obțin revenind la substituție, cu formula
() 1,2 1,21
2z bta= −+
De asemenea, se observ ă că 1z și 2z nu sunt obligatoriu complex conjugate, c ă au loc
relațiile : 12bzza+= − și 12czza⋅= și factorizarea ()()2
12 az bz c a z z z z+ += − − .
Exemplu. Se consider ă ecuația 260z za− += , unde a∈. () 36 4 4 9 aa∆= − = − .
a) Dacă 5a=, atunci 11z=, 25z=; dac ă 9a=, atunci 12 3 zz= = ; dacă 10a= , atunci
13zi= + , 23zi= − .
b) Dac ă ai= , atunci () 36 4 4 9 ii∆= − = − și ()249ti= − ne d ă
1,29 82 9 82222ti+ −+= ± −⋅; în final, 19 82 9 82322zi+ −+= +− ⋅ ,
29 82 9 82322zi+ −+= −+ ⋅
4) Să se calculeze valoarea expresiei:

22 a) 21 …n
nS ii i=++ + + , n∈
b) 21 …n
nP ii i=⋅⋅ ⋅ ⋅ , n∈.
Soluție . a) Avem 4 41 42 430kk k kii i i++++++= , unde k∈. Așadar 1nS=, pentru 4nk= ;
1nSi= + , pentru 41nk= + ; nSi=, pentru 42nk= + ; 0nS=, pentru 43nk= + .
b) Avem 4 41 42 431kk k kii i i+++⋅⋅⋅= − , k∈. Așadar ()1k
nP= − , pentru 4nk= ; ()1k
nPi= −⋅ ,
pentru 41nk= + ; ()11k
nPi+= −⋅ , pentru 42nk= + ; ()11k
nP+= − , pentru 43nk= + .
5) Să se exprime raportul polinoamelor 31 XX−+ și ()4Xi− sub forma :
4 3 2 43
) ( ) ( ) ( ) (1
iXd
iXc
iXb
iXa
iXX X
−+
−+
−+−=
−+− , ,,,abcd∈.
Soluție . Se pune XYi= + în polinomul 31 XX−+ , se ordonează polinomul obținut în
raport cu Y și se revine la polinomul în X, punând Y Xi= − .De fapt, se ordoneaz ă
polinomul 31 XX−+ în raport cu Xi− i.e.
()()()32 31 3 4 12 X X Xi i Xi Xi i− += − + − − − +− . Se scrie raportul cerut sub forma :
4 3 2 43
) (21
) (4
) (3 1
) (1
iXi
iX iXi
iX iXX X
−−+
−−
−+−=
−+−.
6) Să se afle r ădăcinile polinomului 323 38 f X iX X i= − − ++ .
Soluție . Se regrupează termenii polinomului, obținând ()38 f Xi=−+ . Se pune Y Xi= − ,
deci ecuația asociat ă respectiv ă este : 380y+= sau ()()22 240y yy+ −+= . Rădăcinile
acesteia, 1 2 y=− , 213yi= + , 313yi= − , permit scrierea r ădăcinilor lui f:
12 xi= −+ , () 2,3113xi+±
7) Să se arate c ă exist ă un num ăr m∈, pentru care ecuația
()()3233 0 z iz z m i++ −− +=
are cel puțin o r ădăcină reală.
Soluție . Condiția ca ecuația s ă aibă cel puțin o r ădăcină 0z∈ este :
()()32
0 0033 0 z iz z m i++ − − += sau ( )()32 2
000 03 3 10z z z m iz+ − − + −= .

23 Rezult ă că : 32
00033 0z z zm+ − −= și 2
010z−= , relații care sunt satisf ăcute dacă și numai
dacă 0 1 z=± . Valorile lui m, corespunz ătoare celor dou ă rădăcini reale, sunt 1m= și
5m=.
8) Fie ,ab∈, 0a≠ și *n∈. Să se demonstreze că mulțimea { }nH z az b= ∈= este
un subgrup al grupului ()*,⋅ dacă și numai dac ă ab=.
Soluție. H este un subgrup al lui ()*,⋅ dacă și numai dac ă 1'zz H−⋅∈ , ,'zz H∀∈ .
Fie ,'zz H∈ . 1''''n
nn zz bz z H H a b az bz b b a bzz a− ⋅ ∈⇔∈⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔= .
9) Pe mulțimea  se consider ă operația intern ă:
1 2 1 2 12 : z z z z zz=+−⋅ , 12,zz∀∈.
Să se precizeze num ărul complex a∈ , astfel încât {}() \,a să fie un grup.
Soluție . Evident 12zz∈ . Se verific ă asociativitatea lui „”; se determin ă elementul
neutru, care este 0e=. Din axioma elementului simetric, pentru fiecare z trebuie s ă existe
'z, astfel încât '0zz= , echivalent, '1zzz=−, cu condiția 1z≠. Se verific ă imediat c ă,
dacă 1a=, atunci {}\a este un grup în raport cu „ ”.

I.2 Planul complex. Reprezentarea geometrică și vectorială a numerelor
complexe.

Este cunoscut ă reprezentarea geometrică a numerelor reale , ca puncte ale unei axe,
ale unei drepte pe care s -a fixat un sistem de coordonate carteziene no rmale (respectiv, un
reper cartezian normal). În geometrie aceast ă proprietate este o consecinț ă a axiomei
riglei , iar în analiza matematică  este numit ă și dreapta real ă, sugerând astfel mulțimea
total ordonat ă a numerelor reale situate pe o dreapt ă. În aceast ă secțiune se pune o
problem ă asem ănătoare pentru numere complexe.
Se consider ă planul euclidian 2, raportat la un sistem de coordonate carteziene
ortogonale (s.c.c.o.) S xOy= , respectiv la reperul cartezian ortonormal (r.c.o.) asociat,
();, R Oi j=
. Existența s.c.c.o. în plan este asigurat ă de axioma riglei.

24
Se definește aplicația () ()2 :, , z ab a b i M abϕ= =+∈ ∈   care asociaz ă
fiecărui num ăr complex z∈ punctul 2 M∈, ale că rui coordonate carteziene relativ la
S sunt Re și () Imz. ϕ este o funcție bijectiv ă, numit ă reprezentarea geometrică a lui 
în planul 2 raportat la s.c.c.o. S (v. figura de mai sus).
Definiția 6. Punctul ()2 , M ab∈ se numește imaginea geometric ă a num ărului
complex (), z a b a bi= =+∈ . Num ărul complex z a bi= + se numește afixul punctului
(), M ab .
Observații 8. a) Reprezentarea geometrică 2 :ϕ→ relativ la s.c.c.o. S xOy=
transform ă mulțimea numerelor reale  în mulțimea punctelor dreptei Ox , numit ă și axa
reală , iar imaginea geometrică a mulțimii numerelor pur imaginare i este mulțimea
punctelor dreptei Oy, numit ă și axa imaginar ă. În particular, 0∈ are imaginea
geometric ă O – originea s.c.c.o. Prin analogie cu corespondența și terminologia „↔
dreapta real ă”, are loc corespondența și terminologia „↔ planul complex ”.
b) Inversa aplicației 2 :ϕ→, notat ă cu 2:ψ→ , asociază fiecărui punct 2 M∈
numărul complex z∈, afixul lui M i.e. 2 M∀∈, ():Mzψ= ∈, astfel încât
()zMϕ= . Prin urmare, aplicația 2:ψ→ poate fi interpretat ă ca un sistem de
coordonate complexe pe planul euclidian . Dacă 2 M∈, atunci afixul s ău () zMψ= ∈ 
se mai numește și coordonata complex ă a lui M. În particular, ()0 Oψ=. Aceast ă
observație introduce o metod ă nouă și important ă de lucru în geometria euclidian ă plană,
metoda coordonatelor complexe. x y
O b a (), M ab
i
j z

25
c) Coordonatizarea complex ă a planului euclidian 2 nu este unic ă, deoarece ea depinde
în mod esențial de s.c.c.o. S xOy= . Mai precis, fiec ărui s.c.c.o. pe 2 îi corespunde o
reprezentare geometrică a lui  pe 2, respectiv o coordonatizare complex ă lui 2(v.
diagrama de mai sus).
d) Pentru fiecare sistem de coordonate complexe pe plan, 2:ψ→ , distanța unui punct
2 M∈ la originea O a s.c.c.o. care determin ă pe ψ este egal ă cu modulul afixului z al
lui M, adic ă ()() ,OM M zδψ= = (observația rezult ă în baza teoremei lui Pitagora).
Exist ă o reprezentare vectorial ă a numerelor complexe în planul vectorial 2
 al
vectorilor (geometrici) din planul euclidian 2, dacă luăm în considerare reperul cartezian
ortonormal în plan, ();, R Oi j=
. Aplicația ()2 :, : z a b a bi OM ai b jϕ= =+∈ =+∈   
 ,
care asociază fiecărui număr complex vectorul de poziție al imaginii geometrice a
numărului complex respectiv, se numește reprezentarea vectorial ă a lui  în planul
vectorial 2
sau în 2 raportat la r.c.o. ();, R Oi j=
( v. figura anterioar ă ). Vectorul OM
∈2
 se numește imaginea vectorial ă a num ărului complex z∈.
Observație 9. Pentru fiecare r.c.o. ();, R Oi j=
în 2, reprezentarea vectorial ă
corespunză toare 2 :ϕ→
 este un izomorfism liniar ortogonal între 2 – spațiul
vectorial euclidian 2 -dimensional  ( c f . O b s . 8 ) ș i p l a n u l v e c t o r i a l e u c l i d i a n 2E
. Se
închide diagrama . ()2 , M ab∈
()2,ab∈ z a bi=+∈   S ψ
ϕ

26
unde 22 :OM OMθ∈∈ 
 este o aplicație bijectiv ă.
În adev ăr, aplicația 2 :ϕ→
 este bijectiv ă și verific ă propriet ățile de morfism
liniar ortogonal : z a bi= + , ' ''z a bi= +∈ , iar ,λµ∈, atunci :
(a) ()()()()() ' '' ' ' z z a bi a b i a a b b iϕ λµ ϕ λ µ ϕ λµ λµ+= + ++= ++ + =     
()()()()()() ' ' '' ' a ai b bj a ib j a ib j z zλ µ λ µ λ µ λϕ µϕ =+ ++ = ++ + = +    
adică ϕ
este un morfism liniar
(b) ()()()()() ()()11' '' ' ' ' ' '' '22z z zz zz a bi a b i a bi a b i aa bb z z ϕϕ = + = − + ++ − = + = ⋅ 
deci ϕ păstrează produsul scalar, adică este o aplicație ortogonal ă.
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe permite interpret ări și propriet ăți
geometrice ale unor relații, operații ori sisteme de numerelor complexe.
Interpretarea geometrică a unor relații între numere complexe
Fie (), z a b a bi= =+∈  și ()2 , M ab∈, imaginea geometrică a lui z în planul
euclidian raportat la un s.c.c.o. S xOy= .
Observație 10. a) Numerele complexe conjugate sunt afixele a dou ă puncte simetrice faț ă
de axa real ă.
b) Numerele complexe opuse sunt afixele a dou ă puncte simetrice faț ă de originea O a
sistemului de coordonate S.
c) Numerele complexe de modul egal cu r+∈ sunt afixele punctelor cercului (),OrC ,
cu centrul în O și de rază egală cu r Oθ ()2 , M ab∈ z a bi=+∈ 
2 OM ai b j=+∈   
 ψ
ϕ ϕ

27
În adevă r, (), z a b a bi= = + este conjugat complex cu (), z a b a bi= −=− , care are
imaginea geometrică punctul () ',Mab−, adic ă simetricul lui (), M ab în raport cu Ox.
Apoi, opusul lui z este num ărul complex (), z ab−=−− , a c ărui imagine geometrică este
punctul () '' ,M ab−− , adic ă simetricul lui (), M ab în raport cu O [v. figura de mai sus,
unde (), z ab−− este opusul lui z și imaginea geometric ă a lui z− este punctul
() ''' ,M ab− , simetricul lui 'M în raport cu O; în același timp, punctele () '' ,M ab−− și
() ''' ,M ab− sunt simetrice faț ă de axa real ă i.e. zz−= − ]. Afirmația de la c) este
consecința imediat ă a Obs. 8 d); () () ,, zr O M zr M O rδ= ⇔ == ⇔∈ C .
Interpretarea geometrică a sumei și diferenței a dou ă numere complexe
Se consider ă planul 2raportat la s.c.c.o. S xOy= , respectiv la r.c.o. ();, R Oi j=

asociat. Fie (), z a b a bi= = + , () '' , '' 'z a b a bi= = +∈ , (), M ab , () ' ', 'M ab ,
()2 '' ', 'M ab−−∈ , imaginile geometrice ale numerelor complexe ,'zz, respectiv 'z− și
OM
, 'OM , ''OM , imaginile vectoriale ale lui ,'zz, respectiv 'z− (v. figura de mai jos).
Observație 11. a) Num ărul complex ( )()() ' ', ' ' ' zz aa bb aa bbi+=+ + =+ ++ ∈  este
afixul punctului ( )2 ', ' Aa a b b+ +∈ , simetricul punctului O față de mijlocul
segmentului []' MM .
x y
(), M ab () ',Mab− () '' ,M ab−−
() ''' ,M ab− O

28
b) Num ărul complex ( )()() ' ', ' ' 'zz aa bb aa bbi−=− − =− +− ∈  este afixul punctului
( )2 ', ' Da ab b− −∈ , simetricul punctului O față de mijlocul segmentului []'' MM ,
respectiv simetricul lui 'M față de mijlocul segmentului []OM .
În adev ăr, este suficient s ă observă m că, în baza Obs.11, imaginea vectorial ă a lui
' zz+ este vectorul , 'OA OM OM =+ unde A este simetricul lui O față de mijlocul lui
[]' MM ; punctul ( ) ', ' Aa a b b++ este deci imaginea geometrică a lui ' zz+. Pe de alt ă
parte, imaginea vectorial ă a diferenței ' zz− este vectorul
' "' OM OM OM OM OD M M−=+= =      
, unde D este simetricul lui O față de mijlocul
lui []'' MM , respectiv simetricul lui 'M față de mijlocul segmentului []OM ; punctul
( ) ', ' Da ab b−− este deci imaginea geometrică a lui ' zz−.
Din Obs.11 rezult ă încă trei interpret ări geometrice: ale unor inegalit ăți și a
înmulțirii unui num ăr complex cu un num ăr real.
Observație 12. a) Inegalitatea lui Minkowski poate fi denumit ă și inegalitatea triunghiului.
Cu considerațiile și notațiile de mai sus, ' z z OA OA+= = 
, z OM OM= =
,
' ''z OM OM= = 
. Prin urmare, inegalitatea '' zz z z+≤+ este echivalent ă cu
inegalitatea geometrică OA OM MA≤+ în triunghiul OMA , căci 'OM MA=  
. Egalitatea
survine în cazul când 'zzλ= , λ∈, ceea ce revine la condiția geometrică de coliniaritate
a punctelor ,, 'OM M . ( ) ', ' Aa a b b++
O x y
(), M ab () ' ', 'M ab
() '' ', 'M ab−− ( ) ', ' Da ab b−−

29 b) Inegalitatea: '' z z zz− ≤− se poate exprima sub forma echivalent ă:
OM DM OD−≤ în triunghiul OMD , căci ' DM OM=  
. Egalitatea are loc dacă 'zzµ= ,
µ∈ i.e. punctele ,, 'OM M sunt coliniare.
I.3. Introducerea trigonometric ă și exponențial ă a unui num ăr complex

Fie (), z a b a bi= =+∈  și ()2 , M ab∈, imaginea geometrică a lui z în planul
euclidian raportat la s.c.c.o. S xOy= , respectiv la r.c.o. asociat, ();, R Oi j=
.

Observație 13. Punctul M poate fi caracterizat de dou ă elemente: lungimea segmentului
[]OM notat ă cu r, 0r≥ și măsura în radiani a unghiului orientat trigonometric pe care îl
formeaz ă semiaxa pozitiv ă [Ox cu semidreapta [OM , notat cu t, [) 0, 2tπ∈ . Numerele
(),rt se numesc coordonatele polare ale punctului M și sunt unic determinate; r se
numește raza polar ă a lui M, iar t se numește unghiul polar al lui M. Ansamblul
[{}, P O Ox= se numește sistemul de coordonate polare asociat s.c.c.o. S xOy= ; O este
numit pol iar [Ox este numit ă axa polar ă a lui P. P realizează o corespondenț ă
biunivoc ă {}()()[)2 : \ , 0, 0, 2P M O rt π ∈ ∈ ∞× ; se mai scrie (), M rt , iar pentru
punctul O nu exist ă coordonate polare. Coordonatele polare și coordonatele carteziene ale
punctului M sunt legate prin relațiile:
cos ar t= ; sin br t= , ()()[) , 0, 0, 2rt π ∈ ∞×
Ținând seam ă de interpretarea geometrică a modulului unui num ăr complex (Obs. 8
d), se remarc ă 22rz ab= = + adică r reprezint ă modulul lui z. t
x y
O (), M ab
r
() ' ,0Ma () '' 0,Mb

30 Teorema 6. Exist ă o funcție bijectiv ă {} [) arg : \ arg : 0, 2 z O zt π ∈= ∈  , unde t este
soluția unic ă a sistemului de ecuații trigonometrice:
()
()1cos Re
1sin Imtzz
tzz=
= [) 0, 2tπ∈
Num ărul [) : arg 0, 2tz π = ∈ este unghiul polar al punctului M, imaginea se
numește argumentul redus (principal ) al lui z. Cu aceste preciză ri, num ărul complex
() {}*, \0 : z a b a bi= =+∈ =  se poate exprima în mod unic sub forma:
( ) cos sin zr ti t= + , 0r> , [) 0, 2tπ∈
numit ă reprezentarea sau forma polar ă (trigonometric ă) a num ărului complex z.
Demonstrație. Este suficient s ă se verifice că , pentru fiecare ()*, z a b a bi= =+∈ , argz
este unghiul polar al imaginii geometrice M a num ărului complex z (v. figura de mai
sus). Examinând toate pozițiile posibile ale lui M în plan, din triunghiul dreptunghic
'M OM se deduce că , pe de o parte, 22r z OM a b= = = + , () Reza=, () Imzb=, iar
pe de alt ă parte, soluția sistemului de ecuații trigonometrice din enunț este
arctg , 0
,02bkaat
kaπ
ππ+≠=
+= unde 0, pentru 0, 0 sau 0, 0
1, pentru 0 sau 0, 0
2, pentru 0, 0ab ab
k a ab
ab>≥ => 
= <= <
>< 
De aici rezult ă imediat reprezentarea polar ă a lui z. Totodat ă, din considerațiile de
mai sus se evidențiaz ă relațiile care exprim ă coordonatele polare (),rt în funcție de
coordonatele carteziene (),ab ale unui punct din plan.
Observații 14. a) Dacă 0z=, atunci 0z=, prin urmare, 0r=, dar arg 0t= este
nedeterminat. Num ărul complex 0∈ nu are o form ă trigonometric ă determinat ă.
b) Relația ( ) cos sin zr ti t= + , unde *z∈ este dat și rz=, este satisf ăcută și de valori
reale ale lui t care nu aparțin intervalului [) 0, 2π. Aceste valori se numesc argumente
extinse ale lui z, iar mulțimea tuturor argumentelor lui z este
{ } Arg : arg 2 ,z t t z kk π = ∈= + ∈
Au loc urm ătoarele propriet ăți: *
12,,zz z∀∈ , Argtz∈ ,

31 1) ' Argt zh∈ ⇔∃ ∈  astfel încât '2tt hπ−=
2) 12 12
12
1 2 12 Arg Arg arg arg 2zz zzzz
z z zz π= = =⇔⇔= −∈ .
Observația b) este o consecinț ă a periodicit ății funcțiilor sinus și cosinus definite pe .
c) Dacă *z∈ și z este conjugatul lui z, atunci
10, pentru arg 0arg arg2 , pentru arg 0zzzz π− = = = ≠  și { }1Arg Arg Arg Argz z z tt z−= = − = −∈
d) Dacă *z∈, atunci
()[)
[)arg , pentru arg 0,
arg
arg , pentru arg , 2zz
z
zzππ
π ππ+∈−=−+ ∈ 
() () { } Arg arg 2 1 , Arg zt t zk k z ππ −=∈ = + + ∈ = ±+ 
Observațiile c), d) se verifică direct, cu definițile argumentelor. În particular, 1
21 zzzz−= =
deci 1arg argzz−=
Forma trigonometric ă a conjugatului complex, a opusului și a inversului unui
num ăr complex
Din Obs. 14 c), d), rezult ă
Observații 15. Dacă ( )*cos sin zr ti t= +∈ , atunci:
1) ()() ( ) cos 2 sin 2 zr t i t ππ= −+ − , unde 0r>, [) 0, 2tπ∈
2) ()() [)
()() [)cos sin , dac ă 0,
cos sin , dac ă ,2r ti t t
z
r ti t tππ π
π π ππ ++ + ∈ −=−++ −+ ∈
3) ()()11cos 2 sin 2 z ti trππ−= −+ −, unde 0r>, [) 0, 2tπ∈
Produsul și câtul a două numere complexe exprimate sub forma
trigonometric ă
Observația 16. Fie ( )11 1 1 cos sin z r ti t= + , ( )22 2 2 cos sin z r ti t= +*∈, exprimate sub
forma trigonometric ă. Au loc urm ătoarele relații:
1) ()()1 2 1 2 12 12 cos sin z z r r tt i tt⋅= ++ +
()1 2 12 1 2 12 Arg Arg arg arg Arg arg arg 2 z z zz z z zz π ⋅= + = + = + + 

32 2) ()()11
12 12
22cos sinzrtt i ttzr= −+ −
1
12 1 2 12
2Arg Arg arg arg Arg arg arg 2zzz z z zzzπ=−=− =−+

R e l a ț i i l e 1 ) ș i 2 ) n u sunt, în general, formele trigonometrice reduse ale produsului și
respectiv câtului, pentru că 12tt+ și 12tt− nu sunt întotdeauna argumente principale i.e.
din [) 0, 2π. Ele se pot numi forme trigonometrice extinse sau modulo 2π ș i s e o b ț i n
direct prin înmulțirea lui 1z cu 2z, respectiv a lui 1z cu ()()1
2
21cos sin z ti tr−= −+ −,
utilizând formule trigonometrice convenabile. Celelalte relații se verific ă direct cu
definițiile argumentelor.
Puterea a n-a a unui num ăr complex exprimat sub forma trigonometric ă
Fie n∈, 2n≥ și ( )*cos sinkk k kz r ti t= +∈ , 1, 2,…,kn= numere complexe
exprimate sub forma trigonometrică i.e. 0kr>, [) 0, 2ktπ∈ .
Observații 17. a) Produsul numerelor kz este num ărul complex


+ = ∑∑∏∏
= = = =n
kkn
kkn
kkn
kk t it r z
1 1 1 1sin cos ,
1 1Arg arg 2n n
kk
k kzz π
= == +∑∏ 

b) Dac ă 12 …n zz zz= = = = , adic ă 12 …n rr r z= = = = , 12 …n tt tt= = = = , atunci puterea a
n-a a lui z este num ărul complex
()() ( ) cos sinnnz r nt i nt= + , Arg arg 2nznz π = + 
c) Dacă z este unimodular , adic ă 1r=, atunci
( )()() cos sin cos sinnt i t nt i nt+=+
relație numit ă formula lui Abraham de Moivre (1667- 1754)
d) Dacă *n∈, atunci formula lui Moivre, respectiv relația care exprim ă puterea a n-a a
unui num ăr complex rămân valabile.
Cele dou ă numere complexe [produsul de la a) și puterea de la b)] sunt, în general,
exprimate sub forma trigonometric ă extins ă. Relația care exprim ă produsul de la a) se
demonstrează fără dificultate prin inducție matematic ă, iar relația care exprim ă puterea a n
-a a lui z este o consecinț ă direct ă a primeia. Formula lui Moivre este un caz particul ar al

33 relației de la b). În final, fie *n∈, 2 n≤− și ( ) cos sin zr ti t= + , 0r>, [) 0, 2tπ∈ .
Avem :
()() ( )()() ( )()() ( )1 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0cos sin
cos sin cos sinnn
n nniiz r nt i ntz r n t i n t r nt i nt−−−++= = = = +
− +− − +−
Imaginea geometric ă a produsului și câtului a două numere complexe
exprimate sub forma trigonometric ă
Fie ( )11 1 1 cos sin z r ti t= + , ( )*
22 2 2 cos sin z r ti t= +∈  și ()1 11, M rt , ()2 22 2, M rt∈
imaginile geometrice ale lui 1z, respectiv 2z (în coordonate polare). Se notează cu 12,NN ,
intersecțiile cercului unitate (),1OC cu semidreptele [1OM , respectiv [2OM . Se
consider ă punctul ()3 ,1 NO∈C , unic determinat prin condiția ca unghiul polar al s ău să fie
12tt+. Apoi se consider ă punctul [33M ON∈ , astfel încât 3 1 2 12OM OM OM r r=⋅= ⋅ .

Observația 18. Imaginea geometrică a produsului 12zz⋅ este punctul ()3 12 1 2 , M rr t t+ .
În adevă r, afixul punctului ()3 12 1 2 , M rr t t+ este num ărul
()()3 1 2 12 12 1 2 cos sin z r r tt i tt z z= ++ + = ⋅.
Se observă că ()1 23 OAM OM M LUL∆∆ și că raționamentul anterior evidențiaz ă
imaginea geometrică 1M a câtului 3
1
2zzz=. În general, se poate enunța O A 1M 2M 3M
1t 2t
1t 1N 2N 3N

x y

34 Observația 19. Imaginea geometrică a câtului
21
zz este punctul 1
3 12
2',rM ttr−

Rădăcinile de ordinul n ale unui num ăr complex exprimat sub forma
trigonometric ă
Fie n∈, 2n≥ și num ărul complex ( ) cos sin ur ti t= +∈ , 0r>, [) 0, 2tπ∈ . Se
consider ă ecuația polinomială (binomială ) de gradul n cu coeficienți complecși 0nzu−= .
Conform teoremei lui d'Alembert, ea trebuie s ă aibă exact n rădăcini (soluții) din .
Aceste soluții se mai numesc rădăcinile de ordinul n ale lui u.
Dacă 0u=, atunci toate r ădăcinile de ordinul n sunt nule. Cum se obțin aceste
rădăcini când 0u≠?
Teorema 7. Dacă ( )*cos sin ur ti t= +∈ , atunci u are n rădăcini de ordinul n distincte ,
care sunt date de formula:
22cos sinn
ktk tkzr innππ++= + , { } 0,1,2,…, 1kn∈−
Demonstrație. Consider ăm necunoscuta z a ecuației 0nzu−= sub form ă trigonometric ă
(extins ă), adică ( ) cos sin ziρθ θ= + , 0ρ> , θ∈. Prin urmare, ecuația inițial ă devine:
()() ( )( ) cos sin cos sinnn i n r ti tρθ θ += +
cu necunoscutele ρ și θ. Se deduc relațiile:
nrρ= , 2 nthθπ= + , h∈, echivalent , nrρ= , 2
hthnnπθ= + , cu h∈. Prin urmare,
numerele complexe
( ) cos sinn
h hhzr i θθ= + , h∈
verific ă ecuația 0nzu−= . Acum, vom constata că între aceste numere complexe doar n
s u n t d i s ti n c t e ș i a c e l e a v o r f i r ădăcinile de ordinul n ale lui u. În adev ăr, pentru h∈,
!p∃∈ și {}!0,1,…, 1kn∃∈ − , astfel încât h np k= + .Prin urmare,
()2 2222htt th np k k p k pn nn nn nπ ππθ πθ π = + = ++ = + + = + ,
deci hkzz=, { } 0,1,2,…, 1kn∈− . Se observ ă, de asemenea, că
01 1 0 … 2n θθ θ π− ≤<<< <
adică kθ sunt argumente principale distincte, respectiv numerele complexe
corespunză toare,

35 22cos sinn
ktk tkzr innππ++= + , { } 0,1,2,…, 1kn∈−
sunt rădăcinile de ordinul n ale lui u.
Observația 20. Imaginile geometrice ale r ădăcinilor de ordinul n ale unui num ăr complex
nenul ( ) cos sin zr ti t= + sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul cu centrul în
origine și cu raza nr.
În adevă r, dacă 01 1, ,…,n MM M− sunt imaginile geometrice ale numerelor complexe
01 1, ,…, zn zz−, atunci n
kkOM z r= = , cu { } 0,1,2,…, 1kn∈− , deci (),n
kM Or∈C ,
{ } 0,1,2,…, 1kn∀∈ − . Pe de alt ă parte, m ăsurile arcelor de cerc determinate de perechi de
vârfuri consecutive sunt egale, fiindc ă:
()()
121 2 2arg argkkt k tkzznnππ π
++ + −+−= = , { } 0,1,2,…, 1kn∀∈ − și
()012arg arg 2 2 1n zz nnnπππ−− = −−=
În concluzie, 01 1…n MM M− este un poligon regulat cu n vârfuri.
Observația 21. Rădăcinile de ordinul n ale lui 1 se numesc r ădăcinile de ordinul n ale
unității și sunt urm ătoarele:
22cos sinkkkinnππε= + , { } 0,1,2,…, 1kn∈−
Dacă se notează 122: cos sin innππεε= = + , atunci:
1) mulțimea r ădăcinilor de ordinul n ale unit ății este { }02 11 , , ,…,n
nUε εε ε−= =
2) au loc relațiile: 1nε=, 211 … 0nεε ε−++ ++ = , utile în aplicații
3) nU este generat ă de ε și formeaz ă un grup multiplicativ abelian
4) imaginile geometrice ale elementelor lui nU sunt vârfurile unui poligon regulat înscris
în cercul unitate cu centrul O, iar unul din vârfuri este punctul ()01, 0M
5) înmulțirea unui num ăr complex ( ) cos sin zr ti t= + cu un num ăr complex unimodular
cos sinuiθθ= + are urm ătoarea interpretare geometrică : reprezint ă rotația de centru O și
de unghi θ a punctului ()2 , M rt∈.

36 Pentru 2n=, rădăcinile p ătrate ale lui 1 sunt 1 și 1−. Dacă 3n=, atunci
2
32 21 3 4 41 31, cos sin , cos sin3 32 2 3 32 2U i ii iππ ππεε= = + = −+ = + = −−
 are
imaginea geometrică mulțimea vârfurilor unui triunghi echilateral; 31ε=, 1210εε++ = .
Pentru 4n=, {}41, , 1, U ii= −− , ale că rei elemente au ca imagini ge ometrice vârfurile unui
pătrat ș.a.m.d. În fin al, pentru 6n=,
2
613 2 2 131, cos sin , cos sin ,3 3 22 3 3 22U iii iππ π πεε= = + =+ = + = −+

34 5 4 4 13 5 513cos sin 1, cos sin , cos sin3 3 22 3 322i i ii iππ ππεππε ε= + = − = + = −− = + =− 

Imaginea geometric ă a lui 6U este mulțimea vârfurilor unui hexagon regulat înscris în
cercul unitate (),1OC
Teorema 8. R ădăcinile unit ății au o serie de propriet ăți utile în aplicații:
1) dac ă nm (n divide m), atunci orice r ădăcină a ecuației 10nz−= este, de asemenea, o
rădăcină a ecuației 10mz−= ;
2) r ădăcinile comune ale ecuațiilor 10nz−= și 10mz−= sunt r ădăcinile ecuației
10dz−= , unde (), d mn= ; în particular, 10nz−= și 10mz−= au o singur ă rădăcină
comun ă dacă și numai dac ă (),1mn= (m și n sunt prime între ele);
3) dac ă kε este o r ădăcină de ordinul n a unit ății, atunci cel mai mic numă r natural nenul
p pentru care ()1p
kε= este (),npkn= ;
4) o r ădăcină 22cos sinkkkinnππε= + , { } 0,1,2,…, 1kn∈− , a lui 10nz−= se numește
rădăcin ă primitiv ă, dacă (),1kn=; kε este o r ădăcină primitiv ă a unit ății dac ă și numai
dacă {} 1, 2,…, 1pn∀∈ − , ()1p
kε≠;
5) dac ănUε∈ este o r ădăcină primitiv ă de ordinul n a unit ății, atunci pentru orice *p∈,
{ }11, ,…,p p pn
nUεε ε+ +−= .
Demonstrație. Se verific ă fiecare dintre afirmațiile de mai sus. 1) nm implic ă m nh= , cu
2h≥, ()()()( )11 1 1 … 1hhn mn n nz z zz z−−= −= − + + + și afirmația este imediat ă.

37 2) Fie 22cos sinpppinnππε= + , 0, 1pn= − , rădăcinile lui 10nz−= și
22' cos sinqqqimmππε= + , 0, 1qm= − , rădăcinile lui 10mz−= .
Cu aceste preciză ri, se pune condiția ca ecuaț iile s ă aibă rădăcini comune :
22'2pqpqrnmππεε π = ⇔−= , r∈ pqr mp nq rmnnm⇔−= ⇔ −= .
Dacă (), d mn= , atunci 1 n dn= , *
1n∈, 1 m dm= , *
1m∈, ()11,1mn=. Prin urmare,
2
1 1 11 1 1 11 mp nq rmn dm p dn q rd m n m p n q rdm n−= ⇔ − = ⇔ −= .
Se deduce că 11n mp și cum ()11,1mn=, rezult ă 1np sau 11 p np= , cu *
1p∈, astfel c ă
11 1
122 2argpnp p p
n dn dπππε= = = și deci ()()'1dd
pqεε= = .
Așadar, orice r ădăcină comun ă a ecuațiilor 10nz−= și 10mz−= este o r ădăcină a
ecuației 10dz−= . Reciproca este o consecinț ă imediat ă a lui 1). În fine, este clar c ă
ecuațiile 10nz−= și 10mz−= au rădăcina comun ă 1; aceasta este unica r ădăcină comun ă
dacă și numai dac ă (),1 d mn= = .
3) Fie kε o rădăcină a ecuației 10nz−= ; condiția ()1p
kε= implic ă ππrnkp22= , cu
*r∈, deci * kprn= ∈. Dac ă (), d kn= , 1 k dk= , 1 n dn= , ()11,1kn=, atunci
11
11
npk
dnpdk= ∈ N* ; cum 1n și 1k sunt mutual prime, se deduce 1np. Prin urmare, cel mai
mic num ăr natural nenul p cu proprietatea ()1p
kε= este ()1,nnpnd kn= = =
4) kε este o r ădăcină primitiv ă a unit ății i.e. (),1kn= atunci și numai atunci când cel mai
mic num ăr natural nenul p pentru care ()1p
kε= este pn=, a l tf el s p u s , a tu n ci și n um ai
atunci când {} 1, 2,…, 1pn∀∈ − , ()1p
kε≠.
5) Fie nUε∈ și *p∈. Pentru orice { } 0,1,2,…, 1kn∈− , ()() 1n pkpk nεε++= = , deci
pk
nUε+∈ . Se arat ă că 11, ,…,p p pnεε ε+ +− sunt distincte, dacă se observ ă că funcția:
{ } 0,1,2,…, 1pk
n kn U ε+∈ −∈  este injectiv ă.

38 L. Euler a conceput și o scriere exponențial ă a unui num ăr complex unimodular
(de modul egal cu 1). Inspirat din teoria seriilor infinite, în speț ă de seriile Taylor asociate
funcțiilor trigonometrice și funcției exponențiale, Euler a propus urm ătoarea relație care îi
poart ă numele :
cos sinite ti t= + , t∀∈(formula lui Euler, 1748)
Formula lui Euler este justificat ă matematic prin egalitatea seriilor Taylor asociate
celor doi membri ai egalit ății din formulă , dar are și alte maniere de verificare. Un caz
particular al acestei formule este miraculoasa relație între cele cinci numere fundamentale
din matematic ă :
10ieπ+= (identitatea lui Euler ),
care se obține considerând tπ= în formula lui Euler.
Formula lui Euler ne d ă scrierea exponențial ă a num ărului complex unimodular
cos sinz ti t= + , t∀∈, adic ă
itze=, [) 0, 2tπ∈
iar num ărul complex în forma trigonometric ă ( ) cos sin zr ti t= + , [) 0, 2tπ∈ se exprim ă
sub forma exponențial ă:
itz re= , [) 0, 2tπ∈ sau itz ze= , [) 0, 2tπ∈
Observații 22. a) Dacă itz re= , '*''itz re= ∈, atunci
'''2rrzztt kπ== ⇔−=
b) Dac ă * itz re= ∈, atunci
itz re−= și 11itzer−−=
c) Dacă itz re= , '*''itz re= ∈, atunci
()'''it tz z rr e+⋅= și ()'
''it t zrezr−=
d) Dacă * itz re= ∈ și α∈, atunci
itz reα αα=
e) Dacă itu re= și n∈, 2n≥, atunci soluțiile ecuației nzu= sunt numerele complexe:
2tkin n
kz reπ+
= , 0, 1kn= −
În particular, r ădăcinile de ordinul n ale unit ății sunt:

39 2kin
keπ
ε= , 0, 1kn= −
f) Funcția (){}1exp : exp : 1itt t eS z z∈ =∈=∈ =  este reprezentarea complex ă a
proie cției de acoperire a cercului ( v.[1, p.111]). Mai precis, dac ă ()2 : ,1fO→⊂C 
este proiecția de acoperire a cercului unitate ( care definește geometric funcțiile
trigonometrice), atunci exp fψ=, unde ()2 :,M a b z a biψ ∈ =+∈ este sistemul
de coordonate complexe asociat s.c.c.o. S xOy= și ()()1,1OSψ = C .

40 CAPITOLUL II.
INTERPRETĂ RI GEOMETRICE

Exprimarea în complex a unei noțiuni const ă într-o caracterizare cu coordonate
complexe a noțiunii respective, adică exprimarea cu coordonate complexe a propriet ății
definitorii a noțiunii respective. În a cest capitol se evidențiază utilitatea metodei
coordonatelor complexe în abordarea chestiunilor teoretice de geometrie euclidiană plană.
Prin exprimarea în complex a unei proprietăți geometrice a planului euclidian se înțelege
exprimarea cu coordonate complexe a proprietății respective.
Un astfel de demers este posibil doar în condițiile când în planul euclidian 2 se
consider ă un s.c.c.o. sau un r.c.o. și sistemul de coordonate complexe indus, 2:ψ→ (v.
Obs.8 din secțiunea I.2); ψ asociază fiecărui punct din plan afixul s ău (coordonata
complex ă a punctului). În acest capitol considerațiile sunt rezultatul cercet ării referințelor
bibliografice [1], [2], [4], [8], [17], [26],[28].

II.1. Proprietăți geometrice exprimate cu numere complexe

Se consider ă planul euclidian 2 raportat la un s.c.c.o. S xOy= , respectiv la r.c.o.
asociat, ();, R Oi j=
și coordonatizarea complex ă indus ă de acestea, 2:ψ→ . Se va
nota () Mz , dacă ()M z x iyψ= = + ; ()(), z M xyϕ= relativ la S, respectiv R;
jyix OM+= . De asemenea, se va avea în vedere izomorfismul liniar ortogonal
2 :z OMϕ∈∈ 
  care d ă reprezentarea vectorial ă a numerelor complexe și permite
identificarea lui  cu 2
.
II.1.a. Distanța între două puncte
Teorema 1. Fie punctele ()AAz și ()BBz din 2. Distanța între punctele A și B este:
(),AB A B AB z zδ= = −

41 Demonstrație. Dacă AA Az x iy= + și BB Bz x iy= + sunt afixele punctelor A și B, atunci,
pe de o parte, ()()()22,AB AB AB x x y yδ= − +− (formula distanței în coordonate
carteziene), iar pe de alt ă parte, utilizând definiția modulului,
22( ) ( ) () () () ()AB A A B B AB AB AB ABz z x iy x iy x x i y y x x y y−=+−− =−+ − = − +−
Prin urmare, (),AB AB z zδ= − .
II.1.b. Afixul punctului care divide un segment orientat într -un raport dat
Teorema 2. Fie punctele ()AAz și ()BBz din 2. Punctul P care divide segmentul
orientat (),AB în raportul 1k≠ are afixul
1AB
Pz kzzk−=−
Demonstrație. Fie (),pPPx y punctul care divide bipunctul (),AB în raportul k. Prin
urmare, are loc relația vectorial ă PA k PB=   
sau 1OA kOBOPk−=−  
, respectiv relațiile
scalare:
1AB
Px kxxk−=− ,
1AB
Py kyyk−=−
În coordonate complexe, ()PPz divide bipunctul (),AB în raportul k dacă și numai dac ă
()()
11 1 1AA BB AB AB AB
PP Px iy k x iy x kx y ky z kzz x iy ikk k k+− + −− −=+= + = =−− − −
În particular, dacă punctul M este mijlocul segmentului []AB, atunci 1 k=− și M are
afixul 2AB
Mzzz+=
II.1.c. Afixul centrului de greutate al unui triunghi
Corolar 3. Dacă punctele ,,ABC au afixele Az, Bz, respectiv Cz, atunci centrul de
greutate G al triunghiului ABC are afixul
3ABC
Gzzzz++=
Demonstrație. Fie Az, Bz, și Cz afixele punctelor A, B și C, iar M mijlocul segmentului
[]AB. Dacă notăm afixul lui M cu Mz, atunci 2AB
Mzzz+= . Punctul G divide bipunctul
(),MC în raportul 1
2k=− , deci G are afixul

42 11
2 22
13 3122AB
MC C
ABC
Gzzzz zzzzz+++++= = =
+
II.1.d. Condiții ca un punct s ă aparțin ă unui segment, unei semidrepte, unei drepte
Fie punctele ()AAz , ()BBz distincte din 2.
Teorema 4. Un punct ()PPz aparține segmentului ()AB, adic ă () P AB∈ sau APB−− ,
dacă și numai dac ă are loc una din urm ătoarele condiții echivalente:
a) PA B ABzz z z zz− +− = − ;
b) 0k∃> , astfel încât ()PA BPzzk zz−= − ;
c) ()0,1t∃∈ , astfel încât ()1P ABz t z tz= −+ .
Demonstrație. Condiția geometric ă pentru ca APB−− este AP PB AB+= , ceea ce,
cf. T.1, se exprim ă prin condiția de la a). Apoi, , A P B AP PB−−⇔  
sunt coliniari și de
același sens 0k⇔∃ > , astfel încât AP k PB=  
sau 0 PA k PB k=− ⇔∃ >   
, astfel încât P
divide (),AB în raportul ()k− 0k⇔∃ > , cu 01AB
Pz kzzkk+= ⇔∃ >+, astfel încât
()PA BPzzk zz−= − .Este justificat ă astfel condiția b). În fine, se arat ă că b) ⇔ c). Dacă
are loc b), atunci se pune 1ktk=+; evident ()0,1t∈ , iar ()PA BPzzk zz−= − se scrie sub
forma: ()1111P A B ABkz z z t z tzkk= + = −+++
Reciproc, dacă are loc c) , atunci se pune 1tkt=−; 0k> și se deduce că 1ktk=+;
înlocuind în relația ()1P ABz t z tz= −+ , avem :
() () 1111P A BP A BP A B Pkkz z z z kzk z zzk zzkk=− + ⇔ +=+ ⇔−= −++, deci are loc b).
Teorema 5. Un punct ()PPz aparține semidreptei (AB , adic ă (P AB∈ sau A nu separ ă
P și B, dacă și numai dac ă are loc una din urm ătoarele condiții echivalente:
a) 0t∃> , astfel încât ()1P ABz t z tz= −+ ;
b) ()() arg argPA BAzz zz−= − ;

43 c) () 0,PA
BAzz
zz−∈ +∞−.
Demonstrație. ( () P AB P AB∈ ⇔∈ sau PB= sau ()0,1 ABP t− − ⇔∃ ∈ a.î.
()1P ABz t z tz= −+ sau 1t∃= a.î. ()11 1P ABz zz= − +⋅ sau 11 tτ∃= > a.î.
()1B APz zzττ= −+ i.e. 111P ABz zzττ= −+ i.e. ()10P ABz t z tz t= − + ⇔∃ > a.î.
()1P ABz t z tz= −+ și condiția a) se justific ă. Se arat ă acum că a) ⇔ b) : 0t∃> a.î.
()10P ABz t z tz t= − + ⇔∃ > , a.î. ()()() z z z arg argP A B A PA BA t z zz zz− = −⇔ −= − . Se
arată că c) ⇔ a) : ()() 0, 0,PA
BAzztzz−∈ +∞ ⇔∃ ∈ +∞− a.î. 0PA
BAzzttzz−= ⇔∃ >− a.î.
()1P ABz t z tz= −+
Remarc ă. Conform condiției b), fiec ărei semidrepte (AB din plan i se asociaz ă numărul
real ()[) arg 0, 2BAzzθπ= −∈ , numit argumentul semidreptei , care nu depinde de punctul
B, ci doar de semidreapta (AB ; mai precis, dac ă (( AB AP= , atunci
()() arg argPA BAzz zz−= − , (P AB∀∈ . Așadar, o semidreapt ă este co mplet determinat ă
de originea sa și de argumentul s ău.
Teorema 6. Un punct ()PPz aparține dreptei AB, adic ă P AB∈ , dac ă și numai dac ă are
loc una din urm ătoarele condiții echivalente:
a) t∃∈, astfel încât ()1P ABz t z tz= −+ ;
b) PA
BAzz
zz−∈−;
c) 0PAPA
BABAzzzz
zzzz−−=
−− ;
d) 1
10
1PP
AA
BBzz
zz
zz=.
Demonstrație. Dacă se consider ă punctul C AB∈ , simetricul lui B față de A, atunci
(({} AB AB AC A=∪∪ și echivalența condițiilor a), b) cu proprietatea P AB∈ rezult ă din

44 Obs.5 ; mai precis, ( () 0,PA
BAzzP AB tzz−∈ ⇔ = ∈ +∞−și ( (),0PA
BAzzP AC tzz−∈ ⇔ = ∈ −∞−,
iar 0PA
BAzzPAzz−= ⇔=−, de unde rezult ă: P AB t∈ ⇔∃ ∈  a. î. ()1P ABz t z tz= −+
PA
BAzz
zz−⇔∈−.
Apoi, 1
0 10
1PP
PAPA PA PA PA
AA
BA BA BA BABA
BBzz
zzzz zz zz zzzzzz zz zz zzzzzz−− − −−∈⇔ = ⇔ =⇔ =−− − −− , ceea ce
stabilește echivalența condițiilor din T.6.
Remarc ă. T.6 ofer ă condiții necesare și suficiente pentru coliniaritatea a trei puncte dacă
se cunosc afixele acestora.
II.1.e. Condiția ca un patrulater s ă fie paralelogram
Teorema 7. Dacă vârfurile patrulaterului ABCD au afixele Az , Bz , Cz , respectiv Dz,
atunci ABCD este un paralelogram dac ă și numai dac ă are loc relația AC BDzz zz+=+ .

Demonstrație. Fie Az , Bz , Cz și Dz afixele vârfurilor paralelogramului ABCD .
Dacă M este centrul paralelogramului ABCD , atunci avem
2ACzzM+
 și 2BDzzM+

Rezult ă că 22AC BD zz zz++= , deci AC BDzz zz+=+ .
Reciproc, din AC BDzz zz+=+ se deduce egalitatea 22AC BD zz zz++= . Cum termenii
egalit ății sunt afixele mijloacelor segmentelor []AC , respectiv []BD , rezult ă că
diagonalele patrulaterului ABCD au același mijloc i.e. patrulaterul este un paralelogram. A B
M
D C

45 II.1.f. M ăsura unghiului
Teorema 8. Dacă punctele A și B au afixele Az și Bz, iar AOB este un unghi direct
orientat, atunci :
()argB
AzAOBzµ=

Demonstrație. În adevă r, avem: ()()()arg arg argB
BA
AzAOB xOB xOA z zzµ µµ= − =−= .
Teorema 9. Dacă punctele A , B și C au afixele Az, Bz și Cz, iar BAC este un unghi
orientat, atunci:
()argCA
BAzzBACzzµ−=−.
O ()AAz ()BBz
x y
()CCz
'B 'C O ()AAz ()BBz
x y

46 Demonstrație. Fie punctul 'B, astfel încât ' OABB să fie un paralelogram și punctul 'C,
astfel încât ' OACC să fie un paralelogram. ()() '' BAC B OCµµ= și punctele 'B, 'C au
afixele BAzz−, respectiv CAzz−. Prin urmare, ()() ' ' argCA
BAzzBAC B OCzzµµ−= =−.
II.1.g. Condiția de coliniaritate a trei puncte
Teorema 10. a) Punctele ()AAz , ()BBz și ()CCz din plan sunt coliniare dac ă și numai
dacă CA
BAzz
zz−∈−.
b) Punctele ()AAz , ()BBz și ()CCz din plan sunt coliniare dac ă și numai dac ă exist ă trei
numere reale nenule ,,abc , astfel încât:
0ABCaz bz cz++= și 0 abc++= .
Demonstrație. a) Fie punctele ,,ABC coliniare. Atunci, oricare ar fi ordinea punctelor,
() {} arg 0, Im 0CA CA CA
BA BA BAzz zz zzBACzz zz zzµπ− −−= ∈⇔ = ⇔ ∈− −−.
Invers, dacă ( ) cos sinCA
BAzzr ti tzz−= +∈−, atunci sin 0t= , [) 0, 2tπ∈ , adic ă
{} arg 0,CA
BAzztzzπ−= ∈−, ceea ce implic ă (){}0, BACµπ∈ și ,,ABC sunt coliniare.
b) Fie ()AAz , ()BBz și ()CCz coliniare și AB k AC= 
, 0k≠, 1k≠. Atunci, afixul lui B
este 1AC
Bz kzzk−=−, relație care se scrie sub formele echivalente:
() ()() 1 10BA C A B Ckz z k z z k z kz− = − ⇔ + − +− = ; ultima relație este de forma din enunț,
cu 1a= , 1 bk= − , ck=− , 0 abc++= .
Reciproc, presupunem c ă exist ă ,,abc , astfel încât: 0ABCaz bz cz++= și 0 abc++= ;
relația este echivalent ă cu: () ()() 0A B C AC BC az bz a b z a z z b z z+ +−− = ⇔ − = − −
BC
ACzz a
zz b−⇔ = −∈−, ceea ce, cf. a), înseamn ă că punctele ,,ABC sunt coliniare.

47 II.1.h. Condiția de paralelism a dou ă drepte
Teorema 11. Fie punctele ()AAz , ()BBz , ()CCz și ()DDz din planul complex. Atunci
dreptele AB și CD sunt paralele dacă și numai dac ă * AB
CDzz
zz−∈−
În adevă r, (){} {}*, 0, arg 0,AB AB
CD CDzz zzAB CD AB CDzz zzµπ π−−⇔ ∈⇔ ∈⇔ ∈−−
II.1.i. Condiția de perpendicularitate a două drepte
Teorema 12. Fie punctele ()AAz , ()BBz , ()CCz și ()DDz din planul complex. Atunci
dreptele AB și CD sunt perpendiculare dacă și numai dac ă AB
CDzzizz−∈−
Demonstrație.
(), arg22AB AB
CD CDzz zzAB CD AB CD izz zzππµ−−⊥⇔ = ⇔ = ⇔ ∈−−
II.1.j. Condiția ca patru puncte s ă fie conciclice
Teorema 13. Fie punctele ()AAz , ()BBz , ()CCz și ()DDz din planul complex. Atunci,
condiția necesar ă și suficient ă pentru ca punctele ,,,ABCD să fie conciclice sau coliniare
este ca biraportul acestora, :AC AD
B CB Dzz zz
zzzz−−
−− să fie num ăr real.

Demonstrație. ,,,ABCD sunt conciclice sau coliniare dacă și numai dac ă:
a) ()() BCA BDAµµ= sau
b) ,,ABC sunt coliniare și ,,ABD sunt coliniare.
Se tratează fiecare situație : ()AAz
()BBz ()DDz
()CCz

48 a) ()()arg arg :AC AC AD AD
BC BD BC BDzz zz zz zzBCA BDAzz zz zzzzµµ−− −−= ⇔=⇔ ∈− − −−;
b) ,,ABC sunt coliniare și ,,ABD sunt coliniare dac ă și numai dac ă {} arg 0,AC
BCzz
zzπ−∈−
și {} arg 0,AD
BDzz
zzπ−∈−, adic ă dacă și numai dac ă {} arg : 0,AC AD
B CB Dzz zz
zzzzπ−−∈−−, ceea este
echivalent cu :AC AD
B CB Dzz zz
zzzz−−∈−−.
II.1.k. Asem ănarea triunghiurilor
În planul complex se consider ă două triunghiuri asemenea, 123AAA și 123BBB ,
pentru care 123,,aaa , respectiv 123,,bbb , sunt afixele vârfurilor acestora. Au loc relațiile:
3121
3121
BBBB
AAAA= și 
213 213AAA BBB≡ .
Teorema 14. a) Dacă triunghiurile sunt la fel orientate, atunci condiția de asem ănare a
triunghiurilor considerate se exprim ă prin una din relațiile echivalente:
1 31 2
1 31 2
bbbb
aaa a
−−=−− sau 01 11
3 2 13 2 1 =
b bba aa .
b) Dac ă triunghiurile nu au aceeași orientare, atunci condiția de asem ănare a triunghiurilor
se exprim ă prin una din relațiile echivalente :
2 1 21
31 31aa bb
aa bb−−=−− sau 123
123111
0 aaa
bbb=.
Demonstrație. a) rezult ă din relațiile inițiale; cele dou ă condiții sunt, evident, echivalente.

49
b) Se poate considera triunghiul 123MMM , simetricul triunghiului 123BBB față de axa
absciselor. Cum triunghiul 123MMM are aceeași orientare cu triunghiul 123AAA și cum
afixele punctelor kM sunt kb, {} 1, 2, 3k∈ , afirmația rezult ă acum din a).

II.2. Transform ări geometrice cu numere complexe
()22Aa
()33Aa ()11Aa
x y
O () 11Mb
() 22Mb
()22Bb
()11Bb ()33Bb () 33Mb ()22Bb
()33Bb ()22Aa
()33Aa ()11Aa
()11Bb
x y
O

50 Fie planul euclidian 2 raportat la un s.c.c.o. S xOy= și coordonatizarea complex ă
indus ă de S xOy= . Fiec ărui ()2 , M xy∈ îi corespunde ()2 Mz∈, unde iyxz+= este
afixul sau coordonata complex ă a lui M.
Trecerea de la coordonatele carteziene (),xy la coordonata complex ă z,
corespunză toare, se bazează pe urm ătoarele echivalențe:
iyxz+= , iyxz−= zzx+=⇔2 , zziy−=21()2x zz⇔= + ; 1()2y zzi= − .
O ecuație în coordonate carteziene, (),0f xy=, devine o ecuație în coordonata
complex ă, 0),(=zzϕ , cele dou ă relații fiind echivalente.
Ca atare, putem s ă transpunem simplu în complex orice ecuație, expresie ori
condiție geometric ă scrisă în coordonate carteziene. Odat ă transpuse toate elementele
geometrice în complex, aparatul algebric de calcul cu numere complexe conduce la
rezultat; în final, acesta este interpretat geometric în spiritul chestiunii abordate.
II.2.a. Dreapta
Ecuația dreptei :0d ax by c+ += devine 022zz zza bi c+−− += sau
022a bi a bizzc+−+ += ; cu notația *:2a biα−= ∈ 
și :cβ= ∈, se obține o relație de
forma
:0dz zααβ+ +=
numit ă ecuația dreptei d în planul complex sau ecuația dreptei d în complex .
Panta dreptei :0d ax by c+ += , 0b≠, este amb=− i.e. coeficientul unghiular al
dreptei :0dz zααβ+ += este num ărul real
miαα
αα+= ∈
−
Dacă α∈ i.e. αα=, atunci d este o dreapt ă vertical ă (paralel ă cu Oy).
Se numește coeficientul unghiular complex al dreptei :0dz zααβ+ += , 0α≠,
numărul complex
cmα
α= −∈
cm se comport ă ca „pant ă” a lui d, după cum rezult ă din propoziția urm ătoare.

51 Teorem a 15. Se consider ă dreptele 1d și 2d de ecuații:
11 1 1:0dzzααβ+ += și 22 2 2:0d zzααβ+ +=
Dreptele 1d și 2d sunt:
a) paralele dac ă și numai dac ă
22
11
αα
αα= i.e. c cm m2 1= ;
b) perpendiculare dacă și numai dac ă: 0
22
11=+αα
αα i.e. 02 1=+c cm m ;
c) secante dacă și numai dac ă:
22
11
αα
αα≠ i.e. c cm m2 1≠ .
Demonstrație . a) 12
12 1 2 1 2
12ccdd m m m mαα
αα⇔=⇔=⇔=
b) 12
1 2 12 1 2
1210 0 0ccd d mm m mαα
αα⊥ ⇔+ =⇔ + =⇔ + = ⊥ 2d⇔ 1 + m 1m 2 = 0 ⇔
0
22
11=+αα
αα ⇔ 02 1=+c cm m
c) este evident.
Teorema 16. Ecuația dreptei determinate de dou ă puncte ()AAz , ()BBz este:
1
: 10
1AA
BBzz
AB z z
zz=;
Demonstrație. Dacă AA Az x iy= + și BB Bz x iy= + atunci
1221 1
11 1 … 122 41 1
122AA AA
A A AA
BBBB
BB BBzz zz
izz xy
zz zzxy zzixy zzzz zz+−
+−= = =
+−, iar
1 1
: 10 : 10
1 1A A AA
BBBBzz xy
AB x y AB z z
xy zz=⇔= .
Observație 1. Condiția de coliniaritate a trei puncte ()AAz , ()BBz și ()CCz este:

52 1
10
1AA
BB
CCzz
zz
zz=;
Teorema 17. Aria triunghiului determinat de trei puncte ()AAz , ()BBz și ()CCz este:
()1
114
1AA
BB
CCzz
ABC z z
zz= A
Demonstrație. În adev ăr, dacă AA Az x iy= + , BB Bz x iy= + și CC Cz x iy= + , atunci
12 1 1 1
11 1 11 12 1 128 8 41 12 1 1AA AA A A A AAA
B B BB BB B B B B
CCCCCC C C CCzzzz z z zz xy
S xy zzzz z z zzi iixy zzzz z z zz+− −
= =+ −= −= −
+− −
deci () ABC S= A .
Observație 2. Coeficientul unghiular complex al unei drepte determinate de dou ă puncte
de afixe ,ABzz este:
BA
BAzzm
zz−=
−.
Teorema 18. Unghiul a două drepte 1 11 0 zzααβ+ += și 2 22 0 zzααβ+ += este dat de
() 12 1 2
12 1 2tgi αα αα
θ
αα αα−
= ∈
+, 0,2πθ∈
Demonstrație. Relația se stabilește prelucrând formula: 21
12tg1mm
mmθ−=+ tg θ =
211 2
1 mmm m
+−,
unde kk
k
kkmiαα
αα+=
− , {}1, 2k∈ , sunt coeficienții unghiulari (reali) ai celor dou ă drepte.
Ecuația unei drepte determinate de un punct și o direcție
Teorema 19. Fie dreapta :0dz zααβ+ += și punctul ()PPz . Ecuația dreptei paralele cu
d prin punctul P este
() PPzz zzα
α−= − −
Teorema 20. Fie dreapta :0dz zααβ+ += și punctul ()PPz . Ecuația dreptei care
conține punctul P și este perpendicular ă pe dreapta d este

53 () PPzz zzα
α−= −
Observația 3. Fie dreapta :0dz zααβ+ += și punctul ()PPz . Piciorul perpendicularei
din punctul P pe dreapta d este punctul de afix
2PPzzzααβ
α−−=
Observația 4. Fie dreapta :0dz zααβ+ += și punctul ()PPz . Distanța de la punctul P
la dreapta d este dat ă prin
(,)
2PPzz
Pdααβ
δ
αα++
=
Pentru demonstrații voi indica referința [3, p.76 -86]
II.2.b. Cercul
Ecuația cercului 02 2=++++ c by ax y x devine
0=+++ βαα z z zz unde *α∈ și β∈
mai exact, 2iba−=α și cβ=.
Centrul cercului este () Cα−, iar raza cercului este rαα β= − , așa încât ecuația
anterioar ă se poate rescrie sub forma:
()()20 zz rαα+ +−=
Observații 5. 1) Ecuația cercului cu centrul ()0Cz și raza r este
0zz r−= sau 2
00 () ()zz zz r− −=
unde 0z∈ și r+∈
2) Puterea punctului ()PPz față de cercul de ecuație 0=+++ βαα z z zz este:
()PP P P P zz z zρ ααβ= +++
3) Ecuația axei radicale a 2 cercuri 0111 =+++ βαα z z zz și 0222 =+++ βαα z z zz
este
0 ) () (2 1 2 1 2 1 =−+−+− ββαααα z z
4) Formula care d ă unghiul a două cercuri este:

54 ()() 1 2 1 2 12
12cos2rrβ β αα αα
θ+− +
=
În particular, cercurile sunt ortogonale, dacă 21 21 2 1 ααααββ +=+ .
II.2.c. Transform ări geometrice
Fie 22:T→ o transformare a planului. Unui punct ()2 Mz∈ îi corespunde
transformatul s ău ()''Mz , () 'M TM= . Reamintim Obs.8 din I.2, prin care se precizează :
reprezentarea geometrică a numerelor complexe, ()()2 :z , , ab M abϕ= ∈∈   a unui
număr complex; sistemul de coordonate complexe pe 2, 1
2:ψϕ−= →  ; reprezentarea
vectorial ă a numerelor complexe, ()2 :,z a b OM ai b jϕ= ∈ =+∈   
 , care este un
izomorfism liniar ortogonal; inversa lui ϕ este izomorfismul liniar ortogonal
2 :(,) (,)vab z abψ ∈= ∈ 
 .
Se numește reprezentarea complex ă a lui 22:T→ (relativ la coordo natizarea
complex ă a lui 2) aplicația :t→ , dat ă prin 1:tTϕϕ−= i.e. :tTψϕ= . Se
observă că, dacă () 'M TM= , atunci () ' tz z=. În cele ce urmează vom pune în evidenț ă
reprezent ările complexe ale principalelor transformă ri geometrice ale planului euclidian.
Translație
Fie 22:vt→  translația de vector ()2 ,v ab∈ 
. Dac ă () vvψ= ∈  este num ărul
complex a că rui imagine vectorial ă este v
, atunci reprezentarea complexă a translației vt
este dat ă de relația :
'z zv= +
În adevă r, z∀∈ , ()zMϕ= , () 'vtM M=  , ()''Mzψ= , cu ' v MM= 
i.e.
'OM OM v−=   
i.e. 'zzv−= ; prin urmare, 'z zv= + .
Dacă consider ăm z x iy= + , v a ib= + , iar '''z x iy= + , atunci reprezentarea cartezian ă a
translației vt este:
'x xa= + și 'y yb= +
Rotație

55 Fie 22:ORθ→ rotația de centru O și de unghi θ. Dacă u∈ este num ărul
complex de modul unitar i.e. 1u=, cu arguθ=, atunci reprezentarea complexă a rotației
θ
OR este dat ă de relația:
'z uz= ⋅
Mai general, dac ă
0 22:MRθ→ este rotația de centru ()00 2Mz∈ și de unghi θ, atunci
reprezentarea complex ă a lui θ
0MR este dat ă prin:
()00'z z uz z= +−
În adevă r, z∀∈, ()zMϕ= , ()
0'MRM Mθ= , ()''Mzψ= , cu 00 ' MM MM= ,
() 0' MM Mµθ = i.e. 00'z z zz−= − , 0
0'zargz
zzθ−=−, deci 0
0'zzuzz−=−. Relația din enunț
este imediat ă. În particular, dacă 0MO= i.e. 00z=, atunci 'z uz= .
Dacă z x iy= + , '''z x iy= + , 00 0z x iy= + , iar cos sinuiθθ= + , atunci, prin înlocuire în
reprezentarea complex ă, se obține:
()()( )()()0 0 00 ' ' cos sinx x iy y i x x iy y θθ −+−= + −+− ⇔ 
00 0
00 0' ( ) cos ( )sin
' ( )sin ( ) cosx x xx yy
y y xx yyθθ
θθ=+− −−⇔=+− +− care sunt ecuațiile carteziene ale rotației θ
0MR.
Omotetie
Fie 22:k
OH→ omotetia de centru O și de raport 0k≠. Reprezentarea
complex ă a lui k
OH este dat ă de relația:
'z kz=
Mai general, dac ă
0 22:k
MH→ este omotetia de centru ()00Mz ș i d e r a p o r t k, atunci
k
MH
0 are reprezentarea complex ă
()00'z z kz z= +−
În adevă r, z∀∈ , ()zMϕ= , ()
0'k
MHMM= , ()''Mzψ=, cu MMk MM0 0'= sau
) ( '0 0 OM OMk OM OM −=− i.e. ()00'z z kz z−= − sau ()00'z z kz z= +− . În particular,
dacă 0MO= i.e. 00z=, atunci 'z kz=.
Observa ția 6. Orice transformare afin ă 22:T→ este compusa unei rotații cu o
omotetie și cu o translație.

56 Pentru a motiva aceast ă observație, se va ar ăta că reprezentarea complex ă a lui T
e s t e o c o m p u n e r e ( u n p r o d u s ) a u n e i t r a n s l a ț i i c u o r o t a ț i e ș i o o m o t e t i e . Î n a d e v ăr,
reprezentarea complex ă a lui T este de forma:
'z uz v= + , unde *u∈ , v∈
Fie ( ) cos sin uk iθθ= + forma polar ă a lui u. Not ăm cu 0: cos sinuiθθ= + partea unitar ă
a lui u. Prin urmare, reprezentarea complex ă a lui T se poate scrie sub forma:
()0 'z k uz v= + , 0k≠
Se constat ă că relația este compunerea reprezent ărilor: ' ''z zv= + (o translație de vector
()1vvψ−=
), '' '''z kz= (o omotetie de centru O și de raport k) și 0 '''z uz= (o rotație de
centru O și de unghi θ) i.e. k
OO vTtH Rθ= .
Inversiune
Fie {}{}22:\ \k
OIO O → inversiunea de pol O și de modul (putere) *k∈.
Reprezentarea complex ă a lui k
OI este dat ă de relația:
'kz
z=
În adevă r, z∀∈, ()zMϕ= , () 'k
OIM M= , ()''Mzψ= , cu OM OMλ=' și
' OM OM k⋅=  
i.e. 'zzλ= , 'zz k= , de unde rezult ă că k
zzλ=
⋅ , deci 'kzz
zz= ⋅
⋅ sau
'kz
z=.
Observații 7. a) Dacă M are afixul itz re= , atunci () 'k
O M IM= are afixul 'itkzer= .
Punctul () Mz este invariant la inversiunea k
OI dacă și numai dac ă 'MM=, adic ă 'zz=,
adică zz k⋅= sau k z=2; prin urmare, pentru 0k>, punctele care aparțin cercului
(),OkC sunt fixe relativ la k
OI, iar pentru 0k<, punctele cercului () ,Ok− C se
transform ă în punctele diametral opuse. Cercul () ,OkC se numește cercul de
inversiune al lui k
OI.
b) Dac ă ()()11 2 2 2 , Mz Mz ∈ și ()()11 2 2' ', ' 'Mz Mz sunt imaginile lor prin inversiunea
k
OI, atunci:

57 ()()12
12
12,', 'MMMM kOM OMδδ =⋅,
adică relația între distanțele dintre dou ă perechi de puncte inverse.
În adevă r, pentru cele dou ă perechi de puncte inverse, avem:
12
21
2 1 1211''zzzzk k
z z zz −−= − =
, deci ()()()() 12122
21 2 1
112 2'' ' 'zzzz
zzz z k
zzz z−−
− −= .Cf. Obs.1,
()()()2
1212 12 , zzzz M M δ − −= , iar 2
11 1z z OM= , 2
22 2z z OM= ; prin urmare,
()()2
12 22
12 22
12,', 'MMMM kOM OMδδ =⋅, relație echivalent ă cu cea din enunț.
c) Dacă se consider ă în planul complex cercurile:
,:0abazz z z bαα+ + += C , ,ab∈
atunci imaginea lui ,abC prin inversiunea :'k
OkIz
z= este mulțimea punctelor ale că ror
coordonate complexe verifică ecuația:
20 b z zk zkza kαα+++=
care pentru 0b≠ reprezint ă tot un cerc . Dacă 0b=, atunci ,0aCeste un cerc care conține
polul de inversiune, iar imaginea lui prin inversiune este o dreapt ă. Dacă 0a=, atunci 0,bC
este o dreapt ă, a cărei imagine prin inversiune este un cerc ce conține polul de inversiune.
Dacă 0 ab= = , atunci 0,0C este o dreapt ă care conține polul de inversiune și care este
invariant ă prin inversiunea k
OI.

58 CAPITOLUL III.
UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE ÎN GEOMETRIE

În acest capitol voi preze nta o selecție de probleme de geometrie plan ă, care pot fi
rezolvate utilizând numere complexe. Problemele sunt clasate în câteva grupe importante
cu scopul de a marca aplicații semnificative, care s ă scoată în evidență utilitatea și
avantajele metodei coordonatelor complexe. Problemele din acest capitol sunt selectate din
surse le: [4], [8], [10],[12],[18],[19], [22], [23],[24],[26], [27], [28].

III.1. Inegalitatea triunghiului

Reamintim c ă are loc relația (inegalitatea triunghiului, H. Minkovski) :
12 1 2 … …nn zz z z z z+++ ≤ + ++ , 12, ,…,n zz z∀∈  , 2n≥ [v.I.1,T.3]
1. Fie ,,,ABCM patru puncte în plan și ,,,abcz afixele corespunză toare, relativ la
o coordonatizare arbitrar ă. Se verific ă direct identitatea:
()()()()()()0 zabc zbca zcab− −+− −+− −= (1)
Se deduce : ()()()()()() zabc zbca zcab− −= −− −−− − și se obține:
()()()()()() zabc zbca zcab− −≤− −+− − sau
zabc zbca zcab−⋅−≤−⋅−+−⋅− (2)
III.1.a. Teorema lui Ptolemeu
Dacă ,,,ABCM sunt patru puncte arbitrare în plan, atunci are loc inegalitatea
AM BC BM AC CM AB⋅≤ ⋅+⋅ (3)
Demonstrație. Ținând cont c ă, z a AM−= , z b BM−= , z c CM−= , b c BC−= ,
c a AC−= , a b AB−= prin înlocuire în (2) se obține (3).
III.1.b. Teorema lui Pompeiu
Dacă ABC este echilateral, iar M este un punct arbitrar, atunci numerele ,,MA MB MC
pot fi lungimile laturilor unui triunghi.
Demonstrație. Dacă triunghiul ABC este echilateral, adică bc ca ab−=−=− , atunci
relația (2) devine:

59 za zb zc−≤−+− sau MA MB MC≤+ (4)
Deoarece se pot obține relații analoage, permutând circular ,,ABC , aceste relații probeaz ă
existența unui triunghi avand laturile de lungimi ,,MA MB MC .
III.1.c. Propriet ăți ale ortocentrului și centrului de greutate ale unui triunghi
a) Dacă ABC este un triunghi, originea O a s.c.c.o. este centrul cercului circumscris, iar
MH= este ortocentr ul lui ABC , atunci afixul lui H este z abc=++ , iar relația (2)
devine :
bcbc caca abab+⋅−≤+⋅−++⋅− (5)
dacă 111,,ABC sunt mijloacele laturilor, care au respectiv afixele ,,222bc ca ab+++, atunci
relația (2) implic ă inegalitatea:
1 11HA BC HB CA HC AB⋅≤ ⋅+ ⋅ (6)
b) Dacă ABC este un triunghi, originea O a s.c.c.o. este centrul cercului circumscris, iar
MG= este centrul de greutate al lui ABC , atunci afixul lui G este 3abcz++= și relația
(2) devine:
222bc ac abab c bc a ca b+++− −≤ − −+ − − (7)
Dacă ținem cont de afixele mijloacelor laturilor, 111,,ABC , atunci relația (7) revine
la inegalitatea: 1 11AA BC BB CA CC AB⋅≤ ⋅+ ⋅ ; cum au loc ș i celelalte inegalit ăți similare,
se deduce că numerele 1AA BC⋅ , 1BB CA⋅ și 1CC AB⋅ pot fi lungimile laturilor unui
triunghi .
2. Dacă ,,xyz∈ sunt trei numere complexe arbitrare, atunci are loc inegalitatea:
xy yz zx x y z xyz+++++≤+++++ (8)
Demonstrație. Dacă 0z=, atunci se obține egalitate. Dacă z ≠ 0, atunci, împ ărțind cu z și
notând zxu=, zyv=, se obține inegalitatea echivalent ă cu (8):
1 11 1 uv u v u v uv+++++≤+ + +++ (9)
care se poate stabili pe baza inegalit ății modulelor și a propriet ăților produsului scalar. Se
verific ă prin calcul direct, că (9) este echivalent ă cu:

60 ()()()()()() 1 1 1 12121 2 1 1 uvuv u u v v uv u uv v u v+ +++ +++ ++ + ++ + ++ + +≤
()()() ()21 1 1 21 1 u v uv uv uv u v≤+ + +++ ++ + ++ + + sau, mai simplu cu :
≤+++++++++++ uvvvu uv uvu uvvu2 21
2211 1 u v uv u v u uv v uv≤ + + +++++ + ++ + (10)
Relația (10) se deduce adunând, membru cu membru, inegalit ățile imediate:
11u v uv u v uv+++ ≤+++,uv uuv uv uvu +++≤+++2 2 și
22u v v uv u v v uv+ ++≤+++
Iată câteva aplicații ale relației (8)
Propoziția 1. Fie ABC un triunghi oarecare, G centrul s ău de greutate și M un punct din
planul triunghiului. Fie 111,,ABC mijloacele laturilor [][][] ,,BC CA AB . Atunci are loc
inegalitatea:
( )11 1 32 MA MB MC MG MA MB MC+++ ≤ ++ (11)
Demonstrație. Se alege G ca origine a sistemului de coordonate din planul complex.
Notăm cu ,,abc afixele vârfurilor triunghiului ABC și cu x afixul punctului M din
planul triunghiului. Punctele 111,,ABC vor avea, respectiv, afixele 2,2,2baaccb +++.
Inegalitatea (11) este echivalent ă cu :
32222ab bc caxa xb xc x x x x + + +−+−+−+ ≤ − +− +−  (11’)
Dacă notăm: : xa u−= , : xb v−= , : xc z−= ș i ț i n e m c o n t c ă 0 abc++= , atunci
inegalitatea (11’) devine zvuzvuuzzvvu +++++≤+++++ , adic ă tocmai
inegalitatea (8), care a fost stabilit ă. În concluzie, are loc (11).
Observație 1. Cu notațiile : x ab= − , y bc= − , z cd= − , atunci inegalitatea (8) devine :
dbcadbcaaddccbba −−++−+−≥−+−+−+− (12)
Propoziția 2. Fie ABCD un patrulater convex și ,EF , mijloacele diagonalelor []AC,
respectiv BD. Are loc relația:
22 AB BC AB CD AB DA BC CD BC DA CD DA AC BD AC EF BD EF⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅≥⋅+ ⋅+ ⋅
(13)

61 Demonstrație. Notăm cu ,,,abcd , afixele vârfurilor lui ABCD în raport cu o
coordonatizare arbitrar ă a planului; afixele mijloacelor E și F ale diagonalelor []AC și
[]BD vor fi
2ac+, 2bd+. În aceste condiții inegalitatea (12) devine inegalitatea
geometric ă:
2 AB BC CD DA AC BD EF+++≥++ (12’)
Ridicând la p ătrat inegalitatea (12’) și ținând cont c ă
2222 22 24 AB BC CD DA AC BD EF+++=++ (relația lui Euler)
se obține inegalitatea (13).
Propoziția 3. Într-un patrulater inscriptibil ABCD exist ă relația:
()()() 2 AB CD BC AD EF AC BD+ +≥ + (14)
unde ,EF sunt mijloacele diagonalelor []AC și []BD.
Demonstrație. Relația (14) se obține scă zând relația lui Ptolemeu pentru ABCD , adic ă
AB CD BC DA AC BD⋅+⋅=⋅
membru cu membru, din relația (13).
Propoziția 4. Într-un patrulater inscriptibil și circumscriptibil ABCD exist ă relația
()2
12 2 pδδ δ≥+ (15)
unde EFδ= , 1ACδ= , 2BDδ= și p este semiperimetrul patrulaterului.
Demonstrație. În adevă r, dacă ABCD este inscriptibil, atunci are loc (14); dacă ABCD
este și circumscriptibil, atunci AB CD BC AD p+=+= , iar (14) devine (15).
3. Dacă M este un punct din planul triunghiului ABC , atunci:
222sin sin sin 2 AM A BM B CM C σ ++≥ (16)
unde σ este aria lui ABC .
Soluție. Dacă ,,xyz∈, atunci se verific ă direct identitatea:
()()()()()()2 22xyz yzx zxy xyyzzx−+ −+ −=− − − (17)
Aplicând inegalitatea modulului rezult ă inegalitatea:
yxzxzyzyxxzzyyx −+−+−≤−−−2 2 2 (18)
Fie acum m afixul punctului M și ,,abc afixele punctelor ,,ABC . Înlocuind x ma= − ,
y mb= − , z mc= − în relația (18), utilizând teorema sinusurilor în triunghiul ABC și
simplificând prin 2R se obține (16).

62 4. Fie M un punct din planul triunghiului ABC și G centrul de greutate al triunghiului.
Atunci are loc inegalitatea:
333sin sin sin 6 AM A BM B CM C MG σ + + ≥⋅
unde σ este aria lui ABC .
Soluție. Dacă ,,xyz∈, atunci se verific ă direct identitatea :
()()()()()()()3 33xyz yzx zxy xyyzzxxyz−+ − + − = − − − ++
de unde rezult ă :
zyxxzzyyxyxzxzyzyx ++−−−≥−+−+−3 3 3
(19)
Fie ,,,abcm , afixele punctelor ,,,ABCM și x ma= − , y mb= − , z mc= − .
Înlocuind ,,xyz în inegalitatea (19) și țin ând cont c ă afixul lui G este 3cba++, se obține
inegalitatea din enunț.
5. Fie 12,OO , mijloacele diagonalelor []AC și []BD ale unui patrulater convex ABCD și
M, intersecția diagonalelor. Atunci
[][]12 4 ABCD O MOσσ ≥
unde σ notează aria.
Soluție. Fie ,,, ,abcdm , afixele punctelor ,,,,ABCDM . Exprimând lungimile
diagonalelelor în funcție de afixele vârfurilor, avem:
( )( ) BD AC m a m c m b m d⋅ = −+− −+−
Ținând cont de inegalitatea modulelor are loc relația:
( )( )422ac bdma mc mb md m m++−+− −+− ≥ − −
de unde deducem c ă:
12 4 AC BD MO MO⋅≥ ⋅
Înmulțind relația cu 1sin2α (α fiind unghiul diagonalelor) se obține inegalitatea din
enunț.
6. Fie M un punct din planul triunghiului ABC și G centrul de greutate al triunghiului. S ă
se arate că :
3333 MA BC MB CA MC AB MG AB BC CA⋅+ ⋅+ ⋅≥ ⋅⋅⋅

63 Soluție. Se alege originea sistemului de coordonate în M. Fie 0, , ,abc , afixele punctelor
,,,M ABC . Afixul lui G este 3cba++. Dacă în identitatea:
()()()()()()()3 33xzy yxz zyx xyyzzxxyz−+ −+ −=− − − + +
aplic ăm inegalitatea modululu i, se obține:
zxyzxyzyxxyzzxyyzx −−−++≥−+−+−3 3 3.
Ținând cont de faptul c ă ()0M , putem lua xa=, yb=, zc= și se obține inegalitatea din
enunț.
7. Fie ABCD un patrulater înscris într -un cerc de rază R; cu notațiile din problema 5, fie
r raza cercului circumscris triunghiului 12O MO . Să se arate c ă:
2Rr≥
Soluție. Fie ,,,abcd afixele vârfurilor ,,,ABCD . Atunci
] [4 ABCDR caaddcaccbba σ=−−−+−−−
Ținând cont de inegalitatea modulelor obținem:
] [4) )( () )( ( ABCDR addc cbbaac σ≤−−+−−−
de unde rezult ă că
] [42 22 ABCDRcadbbdac σ≤+−+−−
și deci []12 2 AC BD O O R ABCD σ ⋅⋅ ≤ .
Ținând cont c ă 12 2 sin OO r α= , []sin
2AC BDABCDασ⋅⋅= unde () 12O MOαµ= , se
obține: 2rR≤.
8. Dacă M și N sunt dou ă puncte în interiorul triunghiul ABC , atunci:
aMA NA bMB NB cMC NC abc⋅+ ⋅+ ⋅≥
unde ,,abc sunt lungimile laturilor triunghiului ABC .
Soluție. Să consider ăm identitatea în :
1' ' '
1 33
2 33
1 22
3 22
3 11
2 11=−−⋅−−+−−⋅−−+−−⋅−−
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
Aplicând inegalitatea triunghiului pentru numere complexe obținem:
1 33 2 2 1 2 13 3 3 12 2 3 21 1 ' ' ' zzzzzz zzzzzz zzzzzz zzzzzz −−−≥−−−+−−−+−−− ,(20)

64 cu egalitate dacă și numai dac ă toți cei trei termeni ai membrului stâng din inegalitatea
anterio ară sunt numere reale. Fie 123,z , , , 'z z zz afixele punctelor ,,, ,ABCM N . Se deduce
imediat c ă relația din enunț este echivalent ă cu (20). Cazul de egalitate se obține dacă :
BAM NAC≡ ,ABM NBC≡ și BCM NCA≡
adică dacă punctele M și N sunt situate pe dou ă drepte izogonale.
Observații 2. 1) Dac ă MO= (centrul cercului circumscris), atunci NH= (ortocentrul).
În acest caz, are loc inegalitatea:
abcaHA bHB cHCR++≥ (21)
unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC .
2) Dacă MI= (centrul cercului înscris), atunci NI= și obținem în acest caz egalitatea:
aIA bIB cIC abc++= (22)
9. Fie un triunghi oarecare ABC și M un punct arbitrar pe cercul circumscris acestuia.
Minimul ori maximul expresiei 22 2MA MB MC++ se obține când punctul M este una din
extremit ățile diametrului care conține ortocentrul triunghiului ABC .
Soluție. Alegem originea în O, centru l cercului circumscris triunghiului ∆ ABC. Not ăm cu
,,,,abczh , afixele punctelor ,,, ,ABCM H (H fiind ortocentrul triunghiului).
Avem 2a ab bc cR= = = , R fiind raza cercului circumscris triunghiului. De asemenea,
habc=++ . Printr -un calcul simplu, se arat ă că :
=−−+−−+−−=++ ) )( () )( () )( (2 2 2czcz bzbz azaz MC MB MA
23 () () 6z za ab bc c abc z abc z R h zh z= + + + − ++ − ++ = − − (23)
Dar
22 . hz hz hz hz h z R OH const+≤+= =⋅ = (24)
Din (23 ) și (24) rezult ă inegalitatea:
2 2 2 2262 62 R R OH MA MB MC R R OH− ⋅ ≤++≤+ ⋅ (25)
Pentru 12,zz∈, egalitatea 2 1 2 1 z z zz +=+ atrage 12zzλ= , cu 0λ≥. Prin urmare, în
(24) avem egalitate când hz khz= , 0k≥ sau, trecând la module, avem hz k hz= . Cum
hh= și zz=, rezult ă 1k=, deci:
hz hz= (26)
Relația (26) arat ă că M este coliniar cu punctele O și H; în adev ăr,

65 001
10
1hz hz h h
zz= ⇔= .
Punctul diametral opus lui M are afixul z− și, în acest caz, exist ă egalitatea (26), deci
relația (25) este cu semnul egal când punctul M este una din extremit ățile diametrului ce
conține pe H.

III.2. Coliniaritate și concurenț ă

III.2.a. Teorema lui M enelaus .
Fie un triunghi ABC și o dreapt ă care intersectează suporturile laturilor []AB, []BC,
[]CA în punctele ,MN , respectiv P. Să se demonstreze că :
1=⋅⋅PAPC
NCNB
MBMA
(relația lui Menelaus )
Demonstrație. Se alege originea s.c.c.o. în A. Fie afixele punctelor din enunț: ()0A , ()Bb ,
()Cc , () Mm , ()Nn , ()Pp și rapoartele:
1kMBMA=, 2kNCNB=, 3kPAPC=
(1)
Din (1) rezult ă
11
1kbkm−−= ,
22
1kckbn−−= ,
31kcp−=
Punctele ,,MNP sunt coliniare, deci MNk MP= , k∈ sau , în complex, se scrie:
()1 21
31 2 111 1 1kb b kc kb cp m kn m kkk k k−−= − ⇔ + = + ⇔ −− − − 
11 2
121 321
111 11k kk kk kbckkk kk ⇔ −− = −−  −−− −− 
Deoarece punctele ,,ABC nu sunt coliniare i.e. vectorii ,AB AC 
sunt necoliniari, trebuie
ca
01 11
22
3=−+− kkk
k; 01 1 12 11
11=−−−−− kk
kkk
kk (2)
Se elimin ă k din relațiile (2); se rescriu relațiile sub forma:

66 22
3 1 11
kkk
k−−=−, 11
1 121
1 11kkkk kk= +− −−
și se împart membru cu membru, obținând:
()()
()()1 31 2 1
12 3 1 12 1
1 211 111111kkkk kkk k k kk kk kk− − +−= ⇔− − = − + −− −−⇔
12 123 12 123 11 kk kkk kk kkk⇔ −+ = −+ ⇔ =
adică relația lui Menelaus.
III.2.b. Teorema lui G.Desargues
Fie triunghiurile ABC și '''ABC . Dacă dreptele 'AA, 'BB, 'CC sunt concurente
într-un punct O, atunci laturile BC și ''BC , CA și ''CA , AB și ''AB se intersectează în
trei puncte coliniare ,UV , respectiv W (se spune c ă ABC și '''ABC sunt triunghiuri
omologice ).
Demonstrație. Se presupune c ă {} '''AA BB CC O∩∩ = și se consider ă originea axelor în
O. Fie punctele din enunț cu afixe precizate: ()Aa , ()Bb , ()Cc , ()''Aa , ()''Bb , ()''Cc
, iar () Uu , ()Vv , () Ww .
Cum punctele ,, 'OAA sunt coliniare, rezult ă că aka⋅=′1. De asemenea, ,, 'OBB
sunt coliniare și ,,'OCC sunt coliniare , deci bkb⋅=′2 și ckc⋅=′3.
Ecuația dreptei BC este: ()() 0 bcz bczb cb c− ⋅− − ⋅+ − = (1)
Ecuația dreptei ''BC este: () () 0bcz bcz b cb c′′ ′′ ′ ′′ ′− ⋅− − ⋅+ − = (2)
Ecuația (2) se poate scrie: 2 3 2 3 23 ( ) ( ) ( )0k bk cz k bk czk k b cb c− ⋅− − ⋅+ − = (3)
Înmulțind (1) cu ckbk3 2− și (3) cu bc−, apoi sc ăzând relațiile obținute rezult ă:
() ()
()()()()() 2 3 232 3 23
23 23 2 3bc bc k b k c k k b c kb kc kk b czkk bck bk c bck bk c− ⋅ − − ⋅− −− − = =− − − −− − (4)
Din relația (4) se obține, prin împ ărțirea fracției cu produsul 32kk:
32
321111
11bckkz
kk −⋅ − −⋅  =
− (5)
Dacă notăm 11i
ipk+= , {} 1, 2, 3i∈ relația (5) devine: 32
32pb pczupp−= =− (6)

67 Expresia (6) este afixul lui U. Analog se obțin afixele lui V și W:
3 13 1
p papcpv−−= ,
1 21 2
p pbpapw−−=
Condiția ca punctele ,,UVW să fie coliniare este s ă existe trei numere reale 3 2 1,,sss ,
astfel încât owsvsus =++3 2 1 și 03 2 1 =++ sss
Dacă luăm, 1 2 3 1 ) ( p p p s ⋅−= ; 2 3 1 2 ) ( pp p s ⋅−= și 3 1 2 3 ) ( p p p s ⋅−= se obține condiția
de coliniaritate. Punctul O se numește centrul de omologie , iar dreapta UVW se numește
axa de omologie a triunghiurilor ABC și '''ABC .
III.2.c. Teorema lui B.Pascal
Punctele de intersecție a laturilor opuse ale unui hexagon înscris într -un cerc, sunt
trei puncte coliniare.
Demonstrație. Se alege originea axelor în centrul cercului circumscris hexagonului
123456AAAAAA , ale că rui vârfuri au afixele 12345,,,,aaaaa , respectiv 6a și se consider ă,
doar pentru simplificarea calculelor, că raza cercului este egal ă cu unitatea.
Ecuația dreptei 12AA în complex, este: 12 1 2z aa z a a+= + (1)
Ecuația dreptei 45AA în complex, este: 5 4 54 aazaaz +=+ (2)
Înmulțim ecuația (1) cu 54aa și ecuația (2) cu 21aa și apoi sc ădem relațiile obținute;
rezult ă:
()()()() 12 451 2 45 4 5 12
45 12 12 45aa aa a a aa a a aazaa aa aa aa+−+ + −+= =− − (3)
Fie {}12 45 1AA AA B∩= , atunci afixul lui 1B este 1b și este determinat de relația (3):
()()()() 12 451 2 45 4 5 12
1
45 12 12 45aa aa a a aa a a aabaa aa aa aa+−+ + −+= =− − (4)
Analog, pentru {}34 61 2AA AA B∩= și {}23 56 3AA AA B∩= , obținem expresiile
afixelor: ()() 34 61
2
34 61aa aa
b
aa aa+−+
=
−; ()() 23 56
3
23 56aa aa
b
aa aa+−+
=
− (5)
Pentru a ar ăta c ă punctele 123,,BBB sunt coliniare va trebui s ă arătăm c ă
123,,kkk∃∈ , astfel încât:
03 2 1 =++ kkk și 033 22 11 =++ bkbkbk (6)

68 Punând u aa=−4 1 , v aa=−2 5 , w aa=−6 3 , avem:
54 211aaaavub−−= ;
16 432aaaauwb−−= ;
32 653aaaawvb−−=
(7)
Se observ ă că:
()()() 12 45 1 34 61 2 56 23 3waa aa b vaa aa b u aa aa b−+−+− =
()()() wu v vw u uv w= −+ −+ − (8)
și
()()() 12 45 34 61 56 23waa aa vaa aa u aa aa−+ −+ −=
()()()()()() 361 24 5 523 46 1 145 62 3 0 a a aa aa a a aa aa a a aa aa=− − +− − +− − = (9)
Fie αα sin cos i a+= , ββ sin cos i b+= ; atunci:
(cos cos ) (sin sin ) 2sin sin22ab iαβ αβαβ αβ−+−= − + − = − +
2 sin cos 2 sin cos sin22 2 2 2i iiαβ αβ αβ αβ αβ−+ − + + += +  (10)
Din (10) rezult ă 2arg arg
2 2arg) arg(b a bai ba++=++=−π (11)
() ()()() 12 45 12 45 3 6 12 45 arg arg arg arg arg w aa aa w aa aa a a aa aa− ++ −= − + −=
()() 12 4536arg arg arg arg
222 2aa aa aaππ + +=+ ++ =
6
36 1245
1arg arg arg arg arg arg 1arg2 22k
kaa aaaaa ππ
=+ +++= ++ = +∑ (12)
Analog, obținem:
()() ( )6
34 61 56 23
11arg arg arg2k
kv aa aa u aa aa a π
=−= −= + ∑
(13)
Deci:
() 12 45 1ixw aa aa r e−= ⋅
() 34 61 2ixv aa aa r e−= ⋅ (14)
() 56 23 3ixu aa aa r e−= ⋅

69 unde ∑
=+=6
1arg21
kka xπ . I n t r o d u c e m r e l a ț i i l e ( 1 4 ) î n ( 8 ) ș i ( 9 ) ; ț i n â n d s e a m a c ă
0 sin cos ≠+= xix eix, se obține: 033 22 11 =++ brbrbr și 03 2 1=++ rrr , adic ă o condiție de
coliniaritate a punctelor 123,,BBB .
III.2.d. Teorema lui G.Ceva
Se consider ă un triunghi ABC , punctele 'A BC∈ , 'B CA∈ , 'C AB∈ , astfel încât
dreptele 'AA, 'BB, 'CC să fie concurente. Are loc relația:
1 )';,()';,()';,( −= ⋅ ⋅ CBA BAC ACB (relația lui Ceva )
unde factorii din membrul stâng sunt rapoartele simple: ()1 ,;'BC A k=, ()2 ,; 'C AB k=,
()3 ,; 'ABC k=.
Demonstrație . Fie {} '''AA BB CC O∩∩ = și se consider ă o coordonatizare complex ă cu
originea O. Fie punctele de afixe precizate: ()Aa , ()Bb , ()Cc , ()''Aa , ()''Bb , ()''Cc .
Din ipoteza teoremei, 1''kacab=−−, 2''kbabc=−−, 3''kcbca=−− rezult ă apkckba1
11
1=−−=′ ,
1
1
1'1b kca pak−= =−.
Din aceste relații se deduce: 11 ( )( )bk ca bk ca− ⋅= − ⋅ , de unde obținem:
1ab abk
ac ac−=
− (1)
Pe de alt ă parte, bpkakcb2
22
1=−−=′ ; 2
2
2'1c kab pbk−= =−
Din aceste relații rezult ă:22 ( )( )ck ab ck ab− ⋅= − ⋅ , de unde obținem:
2bc bck
ba ba−=
− (2)
În final, avem: cpkbkac3
33
1=−−=′ , 3
3
3'1a kbc pck−= =−.
Din aceste relații rezult ă: 33 ( )( )ak bc ak bc− ⋅= − ⋅ , de unde obținem:
3ca cak
cb cb−=
− (3)
Efectuând înmulțirea relațiilor (1), (2) și (3) se obține 1321−=kkk .

70 5. Fie un patrulater convex ABCD , () N AD∈ , () M BC∈ , NDNA
MCMB= și ,,PQR ,
mijloacele segmentelor []AB , []MN , respectiv []DC . Să se arate că ,,PQR sunt
coliniare.

Soluție: Se consider ă o coordonatizare complex ă a planului și not ăm afixele punctelor cu
litere mici corespunză toare. Fie MB kMC=  ,NA k ND=  
unde {}\1 k∈ , așadar
1b kcmk−=−, 1a kdnk−=−, 2abp+= ,
2cdr+= , ()
() 2 21abk cd mnqk+− ++= =−
Se arat ă că există 123,,kkk cu proprietatea:
1 23 0 k pk qk r++= și 123 0 kkk++=
Este suficient s ă luăm 11
1kk=−−, 21k=, 31kkk=− și obținem condiția ca ,,PQR să fie
coliniare.

III.3. Propriet ăți relativ la triunghiuri echilaterale

Dacă nu se specific ă contrariul, atunci se consider ă că planul are o coordonatizare
complex ă oarecare.
1. Punctele din plan de afixe 01ε=, 1ε, 2ε, unde kε este o r ădăcină complex ă de ordinul
trei a unit ății {}() 0,1, 2k∈ sunt vârfurile unui triunghi echilateral cu centrul cercului
circumscris în originea axelor de coordonate. D
N R C
M Q
B A P

71 Soluție . Fie ()0O , originea axelor de coordonate și punctele ()1A , ()1Bε, ()2Cε.

Știm c ă 221 cos sinkkkinnππε= +, 0, 1kn= − sunt r ădăcinile ecuației: 10nz−= . Deci
pentru 3n= , avem: 0cos 0 sin 0 1 i ε= += , i i23
21
32sin32cos1 +−=+=ππε ,
214 4 13cos sin3 3 22iiππεε= + = −− =
Atunci 113 ABε= −= , 213 ACε= −= , 12 3 BCεε=−= , deci triunghiul ABC
este echilateral.
Analog se arat ă că 1 OA OB OC= = = , deci O este centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
2. Numerele complexe distincte 123,,zzz sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral
dacă și numai dac ă verific ă o relație de forma 2
12 3 0 zz zεε++ = , unde ε este o r ădăcină
complex ă de ordinul trei a unit ății, diferit ă de 1. ()1A ()1Bε
()2Cε O x y

72
Soluție . Fie 123,,zzz afixele vârfurilor unui triunghi echilateral și 0z afixul centrului
cercului circumscris. Numerele 10zz−, 20zz−, 30zz− au proprietatea că :
()20 10zz zzε−= − și ()2
30 10zz zzε−= −
cu ε rădăcină complex ă de ordinul 3 a unit ății, diferit ă de 1, convenabil aleas ă, fiindc ă
vârfurile de afixe 2z și 3z sunt imaginile punctului de afix 1z prin rotații de 2
3π și 4
3π
radiani în jurul centrului cercului circumscris.
Folosind egalit ățile de mai sus și relațiile: 210εε++ = , respectiv 31ε=, avem:
() ()()2 22 2
12 3 12 3 0 1 0 2 0 3 0 1 zz z zz z z z z z z z zεε εε ε ε ε ε++ = ++ − + + = − + −+ −=
()()()()24 2
10 10 10 10 10 zz zz zz zzε ε εε = − +− +− = −+ + =
Reciproc, dacă 2
12 3 0 zz zεε++ = și 123,,zzz sunt distincte dou ă câte dou ă, atunci, ținând
cont c ă 2
11 1 0 zz zεε++ = , se obține prin sc ădere:
()()2
21 31 0 zz zzεε−+ −= sau ()()21 31zz zz ε−= − −
Aplicând modulul obținem: 21 31zz zz−=− . În mod analog deducem: 32 12zz zz−=− .
Prin urmare, 21 32 13zz zz zz−=−=− , adic ă triunghiul este echilateral.
Următoarea problem ă este binecunoscut ă, dar î i v o i d a o s o l u ț i e c u n u m e r e
complexe.
3. Fie un p ătrat ABCD și M un punct în interiorul p ătratului, astfel încât:
()()15 m MAB m MBA= =. Să se arate că triunghiul MCD este echilateral. ()1Az
()2Bz
()3Cz x y
O

73
Soluție. Alegem originea în A și ca ax ă reală dreapta AB, ca ax ă imaginar ă dreapta AD.
Consider ăm latura p ătratului egal ă cu 1, deoarece se simplifică calculele. Atunci afixele
punctelor ,,,ABCD sunt 0,1,1 , ii+. Fie m afixul lui M. Segmentul []BM se obține din
[]AM printr -o rotație de 1500. În planul complex se va scrie:
()( )()( ) 1 0 cos150 sin150 1 cos150 sin150mm i m i m−= = + ⇔ − − = ⇔ 
()31 12 3122 2 2m imm i −⇔ −− − =⇔=+ 
Pentru ca triunghiul MCD să fie echilateral este necesar și suficient ca afixele ,,mcd ale
vârfurilor s ă verifice relația:
( )( ) cos120 sin120 cos 240 sin 240 0 mc i d i+ ++ += 
sau ()12 3 1 3 1 3102 2 22 22i i ii i   −+ ++ −+ +−− =       
ceea ce se verifică imediat.
4. Se dau triunghiurile echilaterale OAB , OCD , OEF și ,,MNP , mijloacele segmentelor
()BC, ()DE , ()FA. Să se arate că triunghiul MNP este echilateral .
Soluție . Alegem originea axelor în O, not ăm cu litere mici afixele corespunz ătoare
punctelor. Avem:
0 abε+= , 0 cdε+= , 0 efε+= , 2bcm+= ,
2den+= , 2fap+= M
A B C D

74 Atunci ()()()2
22022 2 2ab cd e f bc de f amn pε ε εεεεε ε ε+ ++ + + ++ +++ = + + = =.
Deci MNP este echilateral.

5. Fie ABC un triunghi echilateral și două paralele arbitrare ' MM și 'NN la latura BC,
M și N fiind situate pe []AB, iar 'M și 'N pe []AC. Să se demonstreze că mijloacele
segmentelor []CM , []'BN , []'NM formează un triunghi echilateral.

Soluție. Consider ăm că afixele punctelor ABC sunt 21, ,εε , unde 31ε=. ε este r ădăcina
cubic ă a unit ății. Fie, de asemenea, afixele punctelor , , ', 'MNM N notate cu , , ', 'mnm n .
În baza teoremei lui Thales, M
B C A
N
'M 'N
Q S
L A
F O C
E D M
N
P B

75 '
'AM AMkMB M C= = , '
'AN ANhNB N C= = sau MBk MA−= , CMk AM ' '−= , NCh NA−= ,
CNh AN ' '−= .
Rezult ă: 1
1kmkε+=+, 21'1kmkε+=+, 1
1hnhε+=+, 21'1hnhε+=+
.
Fie ,,QLS mijloacele segmentelor []CM , []'BN , []'NM și afixele lor notate cu litere
mici corespunză toare.Deci
()2 22
2 11 1
2 2 1 21m k kkqkkε ε εεεε+ + ++ += = += ++
()22' 11 1
2 2 1 21n h hhlhhε ε εεεε+ + ++ += = += ++
() ()
()()2 211 11 ' 11 1
2 21 1 21 1k kh h hk nm h ksh k khεε εε +++ + +++ + ++= = += + + ++ 
Se arat ă că 20 sl qεε++ = prin calcul direct. Prin urmare, QLS este echilateral.

III.4. Relații metrice în poligoane

1. Laturile neparalele AD și BC ale patrulaterului convex ABCD se intersectează în
punctul O. Punctele P și S sunt mijloacele diagonalelor []BD și []AC . Să se
demonstreze că aria patrulaterului ABCD este de patru ori mai mare decât aria triunghiului
OSP .

76
Soluție. Se alege punctul O ca origine a sistemului de coordonate. Deoarece, pe de o parte,
punctele ()0O , () Dd , ()Aa , iar, pe de alt ă parte, punctele O, ()Cc , ()Bb sunt
coliniare, exist ă numerele reale ne nule λ și µ astfel încât daλ= și cbµ= .
În consecinț ă, ,,,bc bc ad ad sunt numere reale. Deci,
()( )()1Im Im2ABCD ab cb dc ad ab dc= +++ = + A iar
() ()()1 11 1Im Im2 2 2 42 4bd acOSP ba dc ABCD++= ⋅ =⋅⋅ + =
AA
2. Fie un punct M în interiorul unui triunghi ABC . Să se arate că centrele de greutate ale
triunghiurilor MAB , MAC , MBC formeaz ă un triunghi având aria de nou ă ori mai mic ă
decât cea a triunghiului ABC .
Soluție. D B
C A O
P
S

77
Într-o coordonatizare complex ă a planului not ăm cu litere mici corespunză toare afixele
punctelor date în enunț.
Avem: ()11
3g mab= ++ , ()()123g mca= ++ , ()31
3g mcb= ++ . Notând aria
triunghiului 123GGG cu ()123GGGA , avem:
()( ) 123 21 32 131Im2GGG g g g g g g= ⋅ ++ = A
()()()()()()1Im18mcamab mcbmca mabmcb= ⋅ ++ ++ + ++ ++ + ++ ++ =
()()()()222 222 11 1 1 1Im Im Im Im92 2 2 2ab bc ca a m b m c m= ⋅ + + +⋅ + +⋅ + +⋅ + +
()()()()()1 111 1Im Im Im Im Im2 222 2ab ba bc cb ac ca am ma bm mb+⋅ + +⋅ + +⋅ + +⋅ + +⋅ + +
()()11Im29cm mc ABC+⋅ + =A
Deoarece:
222 222, , , ,,, a m b m c m ab ba bc cb ca ac am ma+ + + +++ + sunt numere
reale, rezult ă că părțile lor imaginare lor sunt egale cu 0, deci
()()1231
9G G G ABC= AA
3. Se consider ă un triunghi echilateral ABC înscris într -un cerc și un punct M variabil pe
cerc. Să se demonstreze că :
22 2. MA MB MC const++= A
B 1G 2G
C 3G M

78
Soluție. Alegem originea planului complex în centrul cercului, axa real ă conținând vârful
A. Atunci afixele punctelor ,AB, respectiv C, sunt 2,,rr rεε unde r este raza cercului, ε
este r ădăcină cubic ă complex ă a unit ății, iar afixul lui M este ixre.
()()2 ix ixMA re r re r−= −−
()()2 ix ixMB re r re r εε−= −−
()()2 22 ix ixMC re r re r εε−= −−

Adunând cele trei expresii obținem: 2 2 226 MA MB MC r++= , deoarece 210εε++ = și,
de asemenea, 210εε++ = .
Generalizare: „Pentru poligonul regulat 12…n AA A , 3n≥ înscris într -un cerc și punctul
M variabil pe cerc, avem: 22 2 2
12 … 2n MA MA MA nr++ = , unde r este raza cercului.”
Se alege originea în centrul cercului și axa real ă trecând prin 1A. Atunci afixele
punctelor kA , 1,kn= sunt 1krε− iar afixul lui M este ixre. Calculele decurg analog ca și
la triunghi și avem:
()()2 1 1 2 22 1 2 1
11 1 12nn n n
ix k ix k ix k ix k
k
kk k kMA re r re r nr r e r e εε εε−− − − − −
= = = == − −= − −∑∑ ∑ ∑ B C A
M

79 Dar 211 … 0nεε ε−++ ++ = și de asemenea 211 … 0nεε ε−++ ++ = , ε fiind r ădăcină
complex ă a ecuației 10nx−= , și rezult ă 2
1.n
k
kMA const
==∑
4. În triunghiul ABC , mediana corespunză toare laturii []AB intersectează cercul
circumscris triunghiului în punctul D. Să se arate că , dacă mijlocul G al coardei []CD
este centrul de greutate al triunghiului, atunci 22 22 ab c+= .
Soluție: Alegem pe O centrul cercului circumscris ca origine a sistemului de coordonate.
Fie ,,xyz afixele vârfurilor ,,ABC . Este suficient s ă consider ăm raza cercului circumscris
egală cu unitatea pentru simplificarea calculelor. Rezult ă că:
1 xx yy zz= = = (1)
Atunci afixul lui G, centrul de g reutate al triunghiului ABC , este 3xyzg++= ,
iar afixul punctului D este 22
3x yzd+−= . Din faptul c ă D se afl ă pe cercul circumscris
triunghiului ABC rezult ă că:
1 dd= sau 22 22133x yz x yz+− +−⋅= sau ( )() 22 22 9x yz x yz+− +−= (2)
Ținând cont de (1) și (2) rezult ă:
()()() 4 22x y xy xz xz yz yz+= ++ +
Atunci: ()()()()()() 2xyxy xzxz yzyz− −=− −+− − și
222 2 2 2 22 22 22 x y x z y z AC BC AB b a c− =− +− ⇔ + = ⇔+ =

80 CAPITOLUL IV.
ASPECTE METODICE ÎN PREDAREA NUMERELOR
COMPLEXE

În acest capitol voi trata cele mai importante aspecte metodice și didactice privind
tematica numerelor complexe. Voi pune în evidenț ă de ce, unde și cum este prev ăzută
predarea și înv ățarea numerelor complexe în liceu . Voi sublini a, prin aplicații remarcabile ,
că utilizarea matodei numerelor complexe în rezolvarea unor probleme de geometrie
constituie doar o metod ă alternativ ă, că uneori, aceasta poate fi mai simpl ă, mai sugestiv ă,
mai elegant ă, iar alteori, poate fi mai puțin efici entă sau mai laborioas ă decât alte metode.
Capitolul acesta va lua în discuție aspecte privind evaluarea cunoștințelor – component ă
fundamental ă a oric ărui proces de instruire . Voi preciza principalele chestiuni teoretice
generale despre evaluare, iar apoi voi prezenta câteva modele de teste de evaluare la tema
tratat ă. La elaborarea acestui capitol am consultat referințe diverse: pentru prima parte, [9],
[11], [13], [14], [15], [23], [29]; pentru a doua parte , [3], [8], [10], [12], [15], [18], [22],
[27]; pentru a treia parte, [6], [16], [21], [25], [30].

IV.1. Mulțimea numerelor complexe în liceu

Studiul numerelor complexe este prevăzut de curriculumul educației de bază, chiar
în ciclul inferior al liceului, mai precis, la clasa a X -a în cadrul geometriei. De asemenea,
o serie de propriet ăți ale numerelor complexe este pus ă în evidenț ă de programele școlare
de matematică ale claselor liceale a XI -a ș i a X I I -a, în diferite contexte, toate dovedind
importanța și necesitatea cunoașterii mulțimii numerice .
Volumul de cunoștințe și de aplicații asupra numerelor complexe prev ăzut în
programe se raportează atât la filiera educațional ă cât și la profilul și specializarea în
cadrul acestora. Rezult ă de aici c ă planele cadru corespunză tore acestor filiere și
specializ ări prev ăd programe de matematică diferențiate. Exist ă programe de tip M_mate-
info, M_șt -nat și M_tehnologic. Ne vom referi, pe rând, la fiecare.
Programa M_mate -info se adresează filierei teoretice, profil real, specializarea
matematic ă-informatic ă, precum și filierei vocaționale, profil militar, specializarea
matematic ă-informatic ă, pentru care planul cadru prevede 4 ore pe s ăptămână (2 ore în

81 componenta „trunchi comun” TC și 2 ore în componenta „curriculum diferențiat” CD).
Astfel,
– la clasa a X -a , studiul numerelor complexe se face, tradițional, la Geometrie, fiindu -i
afectate cca 14 ore, într -o unitate de înv ățare distinct ă. Conținuturile sunt: Forma algebric ă
a unui num ăr complex, egalitatea a dou ă numere complexe, conjugatul și modulul unui
număr complex; Operații cu numere complexe; Interpretarea geometrică a operațiilor de
adunare, scă dere și înmulțire cu un num ăr real a numerelor complexe; Rezolvarea în C a
ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali. Ecuaț ii bip ătrate; Forma trigonometrică a
unui num ăr complex, coordonate polare în plan; Înmulțirea numerelor complexe și
interpretarea geometrică a sa; Ridicarea la putere (formula lui Moivre); R ădăcinile de ordin
n ale unui num ăr complex. Ecuații binome; Aplicații în geometrie. Se vizează următoarele
competențe specifice: 1) Observarea și descrierea unor configurații geometrice utilizând
vectori sau numere complexe; 2) Interpretarea deosebirilor și asem ănărilor dintre forma
algebric ă și cea trigonometrică de exprimare a unui num ăr complex; 3) Alegerea formei de
reprezentare a unui num ăr complex pentru optimizarea efectu ării unor calcule; 4)
Modelarea unor configurații date, fie cu ajutorul vectorilor, fie cu ajutorul numerelor complexe. Numere complexe și operații cu ele pot ap ărea la unitatea de înv ățare „Binomul
lui Newton” sau în leg ătură cu calculul unor sume, când este posibil ă utilizarea numerelor
complexe sub forma trigonometric ă, la Geometrie, în leg ătură cu interpretarea lor
vectorial ă, pentru exprimarea distanței între dou ă puncte ș.a.m.d.
– la clasa a XI -a, aproape toate considerațiile de algebr ă liniar ă (calcul matriceal,
determinanți, sisteme de ecuații liniare) implic ă deopotriv ă mulțimea numerelor reale

cât și mulțimea numerelor complexe  și propriet ățile acesteia. Conținuturile prev ăd:
Matrice și operații cu matrice, ecuații matriceale (peste C) ; Determinanți (cu elemente
numere complexe); Matrice inversabile din ()nM , 4n≤; Sisteme de ecuații liniare (cu
coeficienți complecși) cu cel mult 4 necunoscute. Acestor conținuturi le sunt afectate cca
16 ore prin planul cadru și vizeaz ă următoarele competențe specifice: 1) Aplicarea
algoritmilor de calcul în situații practice; 2) Rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații
utilizând algoritmi spec ifici; 3) Stabilirea unor condiții de compatibilitate a sistemelor
liniare, cu metode adecvate; 4) Optimizarea rezolv ării unor probleme prin alegerea
strategiilor și metodelor adecvate.
– la clasa a XII -a, numerele complexe apar la Algebr ă în dou ă unități de înv ățare: „Inele și
corpuri”, respectiv, „Inele de polinoame cu coeficienți într -un corp comutativ”, ambele

82 acoperind cca 32 de ore din planificarea calendaristică a disciplinei de Matematic ă. În
detaliu, conținuturile sunt: Inele numerice, ,,, ; inele de matrice (inclusiv cu
elemente din ); Corpuri numerice, , , , cu primp p−  ; corpuri de matrice (inclusiv
cu elemente din ); Forma algebric ă a unui polinom de o nedeterminat ă (cu coeficienți
din ), funcția polinomială asociat ă, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un
scalar), inelul []X ; Teorema împ ăr ț i r i i c u r e s t a p o l i n o a m e l o r ( c u c o e f i c i e n ț i d i n );
împărțirea cu () Xa−, a∈, schema lui Horner; Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui
Bézout, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a dou ă polinoame; descompunerea unui polinom în
factori ireductibili (peste , peste ); Rădăcini complexe ale polinoamelor, relațiile lui
Viète; Rezolvarea ecuațiilor algebrice cu coeficienți în ,,, , ecuații binome, ecuații
reciproce, ecuații bip ătrate. Sunt vizate urm ătoarele competențe specifice: 1) Identificarea
asem ănărilor și deosebirilor între propriet ățile unor operații pe o mulțime arbitrar ă și cele
din calculul numeric și calculul polinomial; 2) Stabilirea unor izomorfisme ale corpului 
cu alte structuri algebrice; 3) Determinarea unor polinoame, funcții polinomiale sau ecuații
algebrice care verifică condiții date; 4) Folosirea descompunerii în factori a polinoamelor
în probleme de divizibilitate și în rezolv ări de ecuații. Polinoame și ecuații algebrice cu
rădăcini complexe intervin implicit la Elemente de analiz ă matematic ă, cu ocazia
descompunerii fracțiilor raționale în fracții simple, pentru a facilita determinarea
primitivelor și integralelor definite ale unor funcții raționale, c ărora li se aloc ă cca 3-4 ore.
Programa M_șt -nat se adresează filierei teoretice, profil real, specializarea științe
ale naturii, pentru care planul cadru prevede 3 ore pe s ăptămână (TC + CD).Astfel,
– la clasa a X -a, pentru numere complexe sunt prev ăzute cca 13 ore, într -o unitate de
învățare distinct ă din semestrul al doilea. Conținuturile sunt: Numere complexe sub form ă
algebric ă, con jugatul și modulul unui num ăr complex; Operații cu numere complexe sub
form ă algebric ă; Rezolvarea în  a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; ecuații
bipătrate; Interpretarea geometric ă a operațiilor de adunare și sc ădere a numerelor
complexe și a înmulțirii acestora cu un num ăr real; Ore la dispoziția profesorului
(Aplicații). Competențele specifice sunt:1) Identificarea formei de scriere a unui num ăr
complex în contexte specifice; 2) Determinarea echivalenților între forme diferite de
scriere a unui num ăr complex; 3) Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimiz ării
calculelor cu numere complexe; 4) Aplicarea propriet ăților ope rațiilor cu numere
complexe scrise în forme variate în rezolvarea unor ecuații. Numere complexe și operații

83 cu ele pot ap ărea la unitatea de înv ățare „Binomul lui Newton” (2 ore), dar și la Geometrie,
pentru exprimarea distanței între dou ă puncte, relația numerelor complexe cu vectorii din
plan (ore la dispoziția profesorului).
– la clasa a XI -a, considerațiile de algebr ă liniar ă (calcul matriceal, determinanți, sisteme de
ecuații liniare) implic ă, pe lâng ă mulțimea numerelor reale , și mulțimea numerelor
complexe  și propriet ățile acesteia. Conținuturile prev ăd: Matrice și operații cu matrice,
ecuații matriceale (peste ); Determinanți (cu elemente numere complexe); Matrice
inversabile din ()nM , 3n≤; Sisteme de ecuații liniare (cu coeficienți complecși) cu cel
mult 3 necunoscute; Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda lui Cramer, metoda
lui Gauss. Acestor conținuturi le sunt afectate cca 16 ore prin planul cadru și vizeaz ă
următoarele competențe specifice:1) Aplicarea algo ritmilor de calcul în situații practice; 2)
Rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații utilizând algoritmi specifici; 3) Stabilirea unor
condiții de compatibilitate a sistemelor liniare, cu metode adecvate; 4) Optimizarea
rezolv ării unor probleme prin a legerea strategiilor și metodelor adecvate.
– la clasa a XII -a, numerele complexe apar în dou ă unități de învă țare: „Inele și corpuri”,
respectiv, „Inele de polinoame cu coeficienți într -un corp comutativ”, ambele acoperind
cca 22 de ore din planificarea calendaristic ă a disciplinei de Matematică . Conținuturile
sunt: Inele numerice, ,,, ; inele de matrice (inclusiv cu elemente din ); Corpuri
numerice, , , , cu primp p−  ; Forma algebric ă a unui polinom de o nedeterminat ă
(cu coeficienți din ), funcția polinomială asociat ă, op erații (adunarea, înmulțirea,
înmulțirea cu un scalar), inelul []X ; Teorema împ ărțirii cu rest a polinoamelor (cu
coeficienți din ); împ ărțirea cu () Xa−, a∈, schema lui Horner; Divizibilitatea
polinoamelor, teorema lui Bézout, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a dou ă polinoame;
descompunerea unui polinom în factori ireductibili (peste , peste ); Rădăcini complexe
ale polinoamelor, relațiile lui Viète (pentru polinoame de grad cel mult 4); Rezolvarea
ecuațiilor algebrice cu coeficienți în ,,, , ecuații binome, ecuații recip roce, ecuații
bipătrate. Sunt vizate urm ătoarele competențe specifice: 1) Stabilirea unor izomorfisme ale
corpului  cu alte structuri algebrice; 2) Determinarea unor polinoame, funcții
polinomiale sau ecuații algebrice care verifică condiții date; 3) Folo sirea descompunerii în
factori a polinoamelor în probleme de divizibilitate și în rezolv ări de ecuații; 4) Aplicarea
unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice; 5) Aplicarea,
prin analogie, în calculul cu polinoame, a meto delor de lucru din aritmetica numerelor

84 (inclusiv complexe). Polinoame și ecuații algebrice cu r ădăcini complexe intervin implicit
la Elemente de analiz ă matematic ă, cu ocazia descompunerii fracțiilor raționale în fracții
simple, pentru a facilita determinarea primitivelor unor funcții raționale (al c ăror numitor
are gradul cel mult 4), că rora li se aloc ă cca 2 ore.
Programa M_tehnologic se adresează filierei tehnologice, toate calific ările
profesionale, pentru care planul cadru prevede 3 ore pe s ăptămână (TC + CD) la clasa a X –
a, iar programa are conținuturile și competențele specifice de la programa M_șt -nat. La
clasele a XI -a ș i a X I I -a , prev ăzute cu 2 ore pe s ăptămână (CD), în programele de
matematic ă nu mai apare explicit conceptul de num ăr com plex.
În concluzie, consider ăm că școala liceal ă din România asigur ă în bună măsură și
cu multe aplicații studiul numerelor complexe, a că ror importanț ă pentru matematic ă este
fundamental ă. Este mai dificil de explicat la nivelul elevului aplicațiile subtile în fizic ă,
inginerie, dar și unele generaliz ări matematice, ca de pild ă corpul necomutativ al
cuaternionilor. Vom încheia cu prezentarea unui corp matriceal izomorf cu corpul , care
sugerează o definiție alternativ ă a num ărului complex (evident, l a nivelul clasei a XII -a).
Se notează cu ()2M mulțimea tuturor matricelor p ătratice de ordinul 2 cu
elemente reale. Se poate proba că ()2M este un inel (necomutativ) în raport cu
operațiile de adunare și de înmulțire a matricelor.
Teorem ă. Fie K mulțimea matrice lor ()2 Z∈M , de forma abZba−=, unde
,ab∈.
a) Mulțimea K este o parte stabil ă a lui ()2M în raport cu adunarea și înmulțirea
matricelor, iar operațiile induse confer ă mulțimii K o structur ă de corp comutativ.
b) Corpul K este izomorf cu corpul numerelor complexe  i.e. K.
Demonstrație. a) Se arat ă prin verificare direct ă, că suma și produsul a două matrice din K
aparțin, de asemenea, lui K; dac ă 11
1
11abZKba−= ∈ și 22
2
22abZKba−= ∈, atunci
()1 2 12
12
12 1 2aa bbZZ Kbb aa+ −++= ∈ ++, ()1 2 12 12 21
12
12 21 1 2 12a ab b a ba bZZ Ka ba b a ab b− −+⋅= ∈ +−
Se verific ă axiomele de subinel comutativ pentru (),,K+⋅; cu notațiile anterioare,
()1 2 12
12
12 1 2aa bbZZ Kbb aa− −−−= ∈ −−, deci (),K+ este un subgrup al lui ()() 2 ,+M ;

85 elementul nul este 200
00OK= ∈, iar opusul lui abZKba−= ∈ este
abZKba−−= ∈−−; cum 12 21ZZ ZZ⋅=⋅ , iar elementul unitate este 210
01IK= ∈,
rezult ă că (),,K+⋅ este un subinel comutativ al inelului ()( ) 2 ,,+⋅M . Apoi, fiecare
element {}2\abZ KOba−= ∈ este inversabil, că ci ()22det 0 Z ab=+≠ , iar
{}22 22
1
2
22 22\ab
ab abZ KOba
ab ab−
++= ∈ 
−++. Prin urmare, (),,K+⋅ este un corp comutativ.
Observații. 1) Funcția 0:0aja A Ka∈=∈  este injectiv ă; :jK→ este un
izomorfism al corpului numerelor reale  pe subcorpul ()j al lui K, ale c ărui elemente
sunt matrice diagonal ă. Identificând fiecare num ăr real x cu matricea diagonal ă 0
0x
x
 și
reciproc, se poate interpreta ()j  ca un subcorp al lui K.
2) Fiecare element abZKba−= ∈ se poate scrie sub forma:
0 00 1
0 0 10abZab−     = +        ;
Cu notația 01:10iK−= ∈, Z se poate scrie sub forma simplificat ă:
Z A Bi= + , unde 0
0aAa=, 0
0bBb=, 2 10
01i−=−.
Aceast ă ultim ă expresie seam ănă surprinz ător cu forma algebric ă a unui num ăr complex,
unde unitatea imaginar ă este i!!
b) Aplicația () :,abz ab Z Kbaϕ−= ∈= ∈  , respectiv,
:z a bi Z A Bi Kϕ=+∈ =+∈  , este un izomorfism de corpuri, ceea ce se verifică
direct. ϕ invariaz ă fiecare num ăr real, deoarece

86 () ()0: ,00aaa A j Kaϕ=∈ = ∈⊂   este un izomorfism al lui  pe subcorpul
()j  al lui K, via identificarea j de mai sus.
Observație. În virtutea teoremei de mai sus, în care s -a evidențiat o caracterizare a
corpului C, se poate afirma că am g ăsit o manier ă alternativ ă de definire (de introducere) a
mulțimii numerelor complexe. Subliniem c ă exist ă și alte maniere de definire a acestora.
Întrucât în lucrarea noastr ă am precizat definiția mulțimii numerelor complexe  (D.1 din
I.1), corpul K, ca și corpul [][]{ }1: ,, X f X f a bX a b= ∈ = +∈  cu operația de
adunare a polinoamelor și cu înmulțirea: : fg r∗= ∈ , r fiind restul împ ărțirii
polinomului fg la ()21X+ reprezint ă modele algebrice ale lui  (unul matriceal , celălalt
polinomial ).

IV.2. Metoda rezolvării de probleme – metodă formativă a gândirii
creative

Rezolvarea problemelo r, în general, a problemelor de matematic ă și, implicit a
problemelor de geometrie, în special, constituie acte de creație și de inventivitate. Prin
aceast ă activitate elevul câștig ă pe mai multe planuri: a) consolideaz ă cunoștințele
teoretice; b) cap ătă certitudinea utilit ății cunoștințelor acumulate; c) cap ătă deprinderile și
abilit ățile de a aplica metodele și algoritmii înv ățați la rezolvarea altor probleme; d)
transfer ă cunoștințele și tehnicile asimilate la situații noi, inclusiv din practica reală ; e)
poate descoperi noi procedee de rezolvar e a aceleași probleme și poate deveni el însuși un
creator de probleme; f) dezvolt ă gândirea creativ ă și imaginația, rigoarea și ordinea,
devenind poate un matematician, dar în mod sigur un adult cu un sistem de gândire bine structurat și eficient.(Polya)
Rezolvarea problemelor de geometrie cu ajutorul numerelor complexe prezint ă, din
punctul meu de vedere, urm ătoarele avantaje: 1) se bazează pe o interpretare și o imagine
geometric ă direct ă, grație variatelor forme sub care se face util num ărul complex (pe reche
de numere reale i.e. coordonate carteziene, expresie algebrică , punct în planul euclidian,
vector geometric, r ădăcină de ordin natural a unit ății i.e. vârf al unui poligon regulat,
transformare geometrică – translație, rotație, coordonat ă complex ă – afix, expresie
trigonometric ă i.e. pereche de coordonate polare, exponențial ă complex ă, matrice

87 pătratic ă); aceasta îi confer ă variabilitate și adaptabilitate în numeroasele aplicații pe care
le are, nu numai în geometrie și matematică , ci și în mecanic ă, fizic ă, inginerie etc.; 2)
utilizează o tehnic ă algebric ă, mai precis este o metod ă a coordonatelor complexe (fiecare
punct are o singur ă coordonat ă – afixul s ău), un „alter ego” al metodei coordonatelor
carteziene pentru planul euclidian, ceea ce însea mnă procedee de calcul algebric elementar,
comod, care sunt bine agreate de elevi;
3) de multe ori conduce la soluții spectaculoase, soluții echivalente cu cele vectoriale, dar
mai ușor primite de elevi decât acestea din urm ă.
Dacă am analiza dificult ățile în rezolvarea problemelor cu ajutorul numerelor
complexe, atunci am sesiza că : 1) în general, soluțiile în complex necesit ă o bună
cunoaștere a tuturor aspectelor teoretice relativ la numerele complexe, dar mai ales a
propriet ăților și raționamentelor geo metrice care însoțesc, de regul ă, rezolvarea și
interpretarea final ă a rezultatelor; 2) deși aparent este o metod ă general ă, metoda
coordonatelor complexe nu este indicat ă pentru orice problem ă de geometrie, deoarece
poate genera calcule laborioase, incomo d de gestionat; 3) metoda numerelor complexe este
aplicabilă doar problemelor de geometrie plan ă.
IV.2.a. Exemplul 1. Dreapta lui Euler
Fie triunghiul ABC și punctele ,,OGH cu semnificațiile uzuale. S ă se demonstreze că
punctele ,,OGH sunt coliniare ( dreapta lui Euler a triunghiului) și s ă se precizeze raportul
în care G divide segmentul orientat (),OH .
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Se consider ă o coordonatizare complex ă a
planului ABC având originea în punctul O (centrul cercului circumscris triunghiului
ABC ). Fie ()()() ,, Aa Bb Cc și ()'Aa− simetricul lui A în raport cu O. Atunci G are
afixul
3abcg++= și cum ' HBA C este un paralelogram, rezult ă:
2 2cbah+=− (afixul
mijlocului M al lui []BC), de unde se deduce că H are afixul habc=++ . Prin urmare,
3hg= , deci ,,OGH sunt coliniare. Deoarece se poate scrie:
211210
++
=h
g , rezult ă că G
divide bipunctul (),OH în raportul 1
2k=− .
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) Cu notațiile de la soluția precedent ă,
raționamentul este urm ătorul: 1) ' HBA C este un paralelogram ( BH AC⊥ și 'A C AC⊥

88 ' BH A C⇒ ; CH AB⊥ și 'A B AB⊥ ' CH A B⇒ ); 2) În triunghiul 'A AH , OM este
linie mijlocie, deci OM AH , 1
2OM AH= ; 3) Mediana AM a triunghiului ABC (dar și
a triunghiului 'A AH ) intersectează segmentul ()OH într-un punct 'G; se va ar ăta că 'G
este centrul de greutate G al triunghiului ABC ; 4) Are loc asem ănarea ''G OM G HA
(teorema fundamental ă a asem ănării), din care se deduce că : 21
''
''===HAOM
AGMG
HGOG;
rezul tă, pe de o parte, c ă 'GG=, adic ă punctele ,,OGH sunt coliniare, iar, pe de alt ă
parte, c ă G divide ()OH în raportul 1
2k=− .
Soluția 3. (metoda vectorial ă) OH OC OB OA OG31) (31=++= , deci punctele ,,OGH
sunt coliniare; cum 3 OH OG= , rezult ă că () G OH∈ sau OGH−− și GH GO21−= ,
adică G divide pe ()OH în raportul 1
2k=− .
Observație. Consider ăm că toate cele trei soluții sunt frumoase, având un profund caracter
geometric. Soluțiile 1 și 3, aparent mai simple și de calcul algebric, relev ă interpretarea
vectorial ă a numerelor complexe, iar soluția 2 este demonstrația clasică , pe care or ice elev
ar trebui, cel puțin s ă ia cunoștinț ă de ea.
IV.2.b. Exemplul 2. Cercul lui Euler
Fie triunghiul ABC , punctele ,,OGH , cu semnificațiile uzuale, ,,MNP , mijloacele
laturilor []BC, []CA, respectiv []AB, ,,DEF , proiecțiile vârfurilor ,AB, respectiv C, pe
laturile opuse, iar ', ', 'ABC , mijloacele segmentelor []AH , []BH , respectiv []CH . Să se
demonstreze că punctele ,,,' ,' ,'DEF A B C aparțin cercului circumscris triunghiului
median MNP (numit cercul medial sau cercul lui Euler sau cercul celor nou ă puncte al
triunghiului ABC ).
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Se consider ă o coordonatizare complex ă a
planului ABC având originea în punctul O. Fie ()()() ,, Aa Bb Cc ; atunci G are afixul
3abcg++= și H are afixul habc=++ . Dacă ()''Aa , () Mm , atunci: 2bcm+= ,
'22ah bcaa++= = + . Prin urmare, mijlocul segmentului []'AM este punctul 1O de afix

89 1'
23a m abco+ ++= = . Se observ ă că 1o este simetric în ,,abc , deci 1O este, de asemenea,
mijlocul segmentelor []'BN , []'CP . Cum 1O este, evident, mijlocul lui []OH , rezult ă că
punctele , , , , , , ', ', 'M NPDEF A B C sunt conciclice, pe cercul lui Euler, care are centrul 1O.
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) 1) Se arat ă că patrulaterele MNPD ,
NMPE , PNMF sunt trapeze isoscele (1
2MN DP AB= = ; 1
2NM EP AB= = ;
1
2PN FM BC= = ), deci ,,DEF aparțin cercului lui Euler; 2) 'NA NM⊥ (
'' 'NA CH NA AB NA NM⇒⊥ ⇒⊥ ), 'PB PN⊥ ( '' 'PB AH PB BC PB PN⇒⊥⇒⊥
), 'MC MP⊥ ( '' 'MC BH MC AC MC MP ⇒⊥ ⇒⊥ ); rezult ă că
()() ' ' 180 mA N M mA D M +=, ()() ' ' 180 m B PN m B EN +=,
()() ' ' 180 mCM P mCF P +=, deci patrulaterele cu vârfurile ', , ,A NMD , respectiv,
', , ,B PNE , respectiv, ', , ,C M PF , sunt inscriptibile, ceea ce înseamn ă că ', ', 'ABC
aparțin cercului lui Euler.
Soluția 3. (metoda coordonatelor ) Se consider ă un s.c.c.o. xOy, având originea O
proiecția D a vârfului A pe BC , OX BC= , OY OA= . Prin urmare, fie ()0,Aa ,
(),0Bb , (),0Cc . Rezult ă : ,02bcM+
, ,22caN
, ,22baP
. Ecuațiile laturilor
triunghiului ABC sunt: : 10xyABba+ −= ; :0BC y=; : 10xyCAca+ −= iar ecuațiile
înălțimilor sunt: :0AO x=; () :cBE y x ba= − ; () :bCF y x ca= − . Se obțin coor donatele
ortocentrului {}H AO BE= ∩ , rezolvând sistemul de ecuații ale dreptelor respective și
avem 0,bcHa−. Similar se obțin proiecțiile vârfurilor: ()0, 0D ,
22
22 22(),bc ca ac c bEac ac+−
++, 22
22 22(),ba cb ab b cFab ab+−
++. În fine, mijloacele segmentelor []AH
, []BH , []CH sunt punctele 22' 0,2a bcAa−
, ',22b bcBa−, ',22c bcCa−. Se scrie

90 ecuația cercului circumscris triunghiului lui Euler: 0
1111
2 22 22 22 2
=
++++
P P P PN N N NM M M M
y x y xy x y xy x y xy x y x
i.e.
0
12 2 412 2 4102 4) (1
2 22 222 2
=
+++++
a b b aa c c acb cby x y x
, de unde rezult ă: 2
22022b c a bcxy x ya+−+− − =
.
Se verific ă succesiv, că ecuația este verificat ă de coordonatele punctelor ,,,' ,' ,'DEF A B C ,
adică ele aparțin cercului lui Euler.
Observție. Calculele nu sunt dificile, dar sunt laborioas e, de aceea aceast ă metod ă, deși
general ă, nu este întotdeauna recomandat ă. Exist ă, d e a s e m e n e a , r i s c u l u n o r g r e ș e l i d e
calcul. Este deci preferabil ă una dintre metodele anterioare. Prima soluție pare cea mai
convenabil ă, deși nu este foarte simpl ă, căci necesit ă un spirit de observație educat. Este
recomandat ă soluția 2, ca exemplu str ălucit de raționament geometric.
IV.2.c. Exemplul 3. Teorema lui Pappus
Fie triunghiul ABC și punctele 'A BC∈ , 'B CA∈ , 'C AB∈ , astfel încât:
kBCAC
ABCB
CABA===''
''
'', 0k>.
Să se demonstreze că triunghiurile ABC și '''ABC au același centru de greutate.
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Se alege o coordonatizare, pentru care
originea sa fie centrul de greutate G al triunghiului ABC . Prin urmare ()0G și dac ă
()()() ,, Aa Bb Cc , atunci 0 abc++= . Punctele ', ', 'ABC divid bipunctele (),BC ,
(),CA , respectiv (),AB , în același raport: ()k− dacă ', ', 'ABC sunt pe laturi, respectiv k
dacă ', ', 'ABC sunt în exteriorul laturilor. Se tratează similar fiecare caz. Astfel, dacă
suntem în primul caz și ', ', 'abc sunt afixele punctelor ', ',AB respectiv 'C, atunci:
'1a kbak+=+, '1b kcbk+=+, '1c kack+=+,
iar centrul de greutate 'G al triun ghiului '''ABC are afixul:
()11' ' ' ' ( )033g abc abc= ++ = ++ = ,

91 ceea ce înseamn ă că 'GG=.
Soluția 2. (metoda vectorial ă) Avem:
1''' ( )1 1 11AB k AC BC k BA CA kCB kAA BB CC AB BC CA Ok k kk− − −+++ = + + = ++=− − −−                
.
Pe de alt ă parte, dacă ,'GG sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ABC și 'B'C'A ,
atunci GA GB GC O++=    
, '' '' ''GA GB GC O++=   
și
' ' ' '' ' '' ' '' ' 3 'AA BB CC AG GG G A BG GG G B CG GG G C GG++=++ + ++ + ++ =              

Prin urmare, 'GG O= 
, adic ă 'GG=.
Observație. La aceast ă problem ă sunt recomandate oricare dintre soluțiile algebrice de mai
sus, chiar și metoda coordonatelor carteziene. Evident, toate abord ările acestei teoreme
sunt la nivelul liceal.
IV.2.d. Exemplul 4. Teorema lui Pompeiu
În plan, distanțele unui punct la vârfurile unui triunghi echilateral pot fi lungimile laturilor
unui triunghi.
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Soluția s -a dat în secțiunea III.1., Apl. 1).
Soluția 2. (metoda transform ărilor geometrice) Fie un triunghi echilateral ABC și
punctul M ABC∈ . Se consider ă rotația 3
22:BRπ
→ , de centru B și de unghi
3π, pentru
care ()3
BRACπ
= , ()3'BRC Cπ
= , ()3'BRM Mπ
= . Deoarece 3π
BR este o izometrie,
''BM BM MM= = , 'M C MA= . Prin urmare, triunghiul 'M CM are laturile de lungimi
,,MA MB MC .

Observație . Prima soluție este pur algebrică , căci vizează realizarea condiției de triunghi
prin verificarea unor inegalit ăți și are la baz ă o identitate algebric ă între numere complexe. B C
'M 'C M A

92 Acea util ă identitate trebuie îns ă memorat ă. Soluția 2 este remarcabil ă, deoarece este
geometric ă și constructiv ă. Cu aceast ă metod ă, se evidențiaz ă un triunghi () 'M CM având
laturile de lungimi prescrise ( ) ,,MA MB MC . Un profesor recomand ă aceast ă soluție.
IV.2.e. Exemplul 5. Teorema lui G.Ceva
Fie un triunghi ABC și punctele 'A BC∈ , 'B CA∈ , 'C AB∈ , astfel încât dreptele
(ceviene) ', ', 'AA BB CC sunt concurente într -un punct O. Să se demonstreze că are loc
relația:
()()() ,; ' ,; ' ,; ' 1BC A C AB ABC⋅⋅= −
unde factorii din membrul stâng sunt rapoartele simple: ()1 ,;'BC A k=, ()2 ,; 'C AB k=,
()3 ,; 'ABC k=.
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Soluția s -a dat în secțiunea III.2.,Apl.4.
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) Se notează cu () ABCA aria
triunghiului ABC .

Utilizând arii, se pot scrie relațiile: ()
()' '
''AA B AB
A AC AC=A
A; ()
()' '
''OA B AB
O AC AC=A
A, care implic ă
()
()'
'AOB AB
AOC A C=A
A (proporție derivat ă). Analog se obțin celelalte dou ă relații similare:
()
()'
'BOC BC
BOA B A=A
A; ()
()'
'COA CA
COB C B=A
A. Prin înmulțirea membru cu membru a celor trei
relații se deduce: ()
()()
()()
()'''1'''AOB BOC COA AB BC C A
A C B A C B AOC BOA COB⋅⋅= ⋅ ⋅ =AAA
AAA.
Deoarece exist ă două posibilit ăți: A
B C O
'A 'B
'C

93 a) toate cele trei puncte ', ', 'ABC aparțin laturilor, caz în care ()',;''ABBC AAC=− ;
()',; ''BCC ABBA=− ; ()',; ''CAABCCB=− sau
b) doar unul din punctele ', ', 'ABC aparține triunghiului, celelalte dou ă fiind exterioare
acestuia, caz în care, de exemplu, ()',;''ABBC AAC=− ; ()',; ''BCC ABBA= ; ()',; ''CAABCCB= .
În concluzie, relația din enunț este v erificat ă.
Soluția 3. (metoda raționamentului geometric) Să presupunem c ă () 'A BC∈ . Se aplic ă
teorema lui Menelaus triunghiului 'AA B și punctelor coliniare ,,'OCC :
1'''
'=⋅⋅ACBC
CBCA
OAOA (1)
Se aplic ă teorema lui Menelaus triunghiului 'AA C și punctelor coliniare ,, 'OBB :
1'''
'=⋅⋅ABCB
BCBA
OAOA (2)
Se împarte membru cu membru relația (2) la relația (1) și se obține:
'''1'''AB BC C A
AC B A C B⋅⋅= i.e. ()()() ,; ' ,; ' ,; ' 1BC A C AB ABC⋅⋅= −
Observație . Soluția 1 este pur algebric ă și pare mai comod ă. S o l u ț i a 2 e s t e m a i r a r
utilizat ă, dar relev ă o proprietate interesant ă a ariilor triunghiurilor cu o în ălțime comun ă.
Soluția 3 este cea clasic ă, fiind o aplicație a teoremei lui Menelaus.
IV.2.f. Exemplul 6
Fie un p ătrat ABCD și M un punct în interiorul p ătratului, astfel încât
()()15 m MAB m MBA= =. Să se arate că triunghiul MCD este echilateral.

94
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Soluția s -a dat în secțiunea III.3., Apl.3.
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) Deoarece MAB este isoscel, iar
() DAM CBM LUL≡ , rezult ă că MD MC= , deci M aparține mediatoarei lui []CD și
triunghiul MCD este isoscel. Se consider ă acum punctul 'M pe mediatoarea lui []CD și
interior p ătratului, pentru care triunghiul 'M CD este echilateral i.e. ''M C M D CD= = .
Rezult ă atunci c ă triunghiurile ' DAM și ' CBM ar fi isoscele, având unghiurile de la bază
de m ăsură 75 i.e. ()() ' ' 75 m DAM m CBM = =. Prin urmare,
()() ' ' 15 m M AB m M BA = =, adic ă 'M AB MAB≡ , respectiv 'M BA MBA≡ , ceea ce
atrage obligatoriu 'MM= . Deci triunghiul MCD este echilateral.
Observație. Consider ăm că ambele soluții sunt interesante și simple, iar soluția geometric ă
este accesibil ă și este recomandat ă, inclusiv la nivelul clasei a VI -a din gimnaziu.

IV.3. Tehnici de obiectivizare a evaluării

IV.3.a. Evaluarea cunoștințelor și deprinderilor. Docimologia
Evaluarea este actul didactic complex care îndeplinește funcția de conducere și
coordonare a instruirii și realizează principiul conexiunii inverse în procesul de înv ățământ.
Evaluarea este un act integrat întregului proces de înv ățământ, care asigur ă evidențierea
cantit ății cunoștințelor și deprinderilor dobândite, dar și a valorilor (nivelul, performanțele
și eficiența ) acestora la un moment dat – în mod curent, periodic și final, oferind soluții de M
A B C D

95 perfecționare a actului de predare- învățare ( evaluarea formativ ă). Evaluarea este totodat ă
actul didactic care determin ă promovarea sau nepromovarea tineretului studios dint r-o
etapă (an sau ciclu) de înv ățământ în altele, iar în cazul când ea se realizează sub form ă de
concurs – asigur ă ocuparea unui loc într -un grad (profil sau form ă) de învă țământ sau într –
un loc de munc ă din domeniul de activitate social -utilă, în conform itate cu competența
profesional ă (evaluarea certificativă). Calitatea, valoarea și eficiența ridicate ale evalu ării
implic ă pricepere, corectitudine, obiectivitate și responsabilitate din partea profesorilor
examinatori; de asemenea, necesit ă eliminarea subiectivit ății în aprecierea celor
examinați.Evaluarea are câteva componente distincte:
Controlul – compararea programului activit ății instructiv – cognitive cu rezultatele ei.
Aprecierea – indicatorul nivelului realiz ării corecte și exacte a însărcinărilor, a
independenței și activismului elevului.
Evidența – fixarea datelor esențiale, dobândite de că tre profesor în urma controlului
cunoștințelor elevului.
Notarea – rezultatul aprecierii de că tre profesor, exprimat printr -o form ă cantitativ ă.
Autoaprecierea – aprecierea potențialului personal de că tre elevul însuși.
Conceptul de evaluare este adesea asimilat celui de examinare, estimare, verificare
(control), apreciere, notare etc., dar conținutul termenilor enumerați nu este întotdeauna
același.
Docimologia, numit ă și „știința examin ării” (evalu ării), este o ramur ă științific ă a
pedagogiei, care studiază : a) evaluarea prin examene și concursuri (problemele examin ării
și not ării candidaților la examene și concursuri, procesul de elaborare și aplicare a probelor
sau testelor de evaluare necesare pentru notarea cât mai exact ă și obiectiv ă a elevilor –
candidați, dar și a profesorilor -examinatori implicați în aceast ă activitate proiectat ă la
nivelul sistemului de înv ățământ); b) sistemele de notare a candidaților la examene și
concursuri ( moduri de notare, factori subiectivi ai not ării, variabilitatea not ării la
examinatori diferiți și la același examinator, validitate și fidelitate etc.); c)
Comportamentul celor care examineaz ă și al celor examinaț i (ceea ce are tangenț ă cu
psihologia experimental ă și cu fiziologia); d) Mijloacele pentru asigurarea obiectivit ății
examenelor și concursurilor, pentru optimizarea condițiilor, metodelor și tehnicilor de
examinare și notare.[v.28]
Termenul provine din gr eceștile: dokime = prob ă, test și logos = științ ă, iar cel care
l-a propus, numind- o docimologie este H. Piéron (1922), care viza tehnica de examinare
„idocimastica adocimasticos” („apt pentru examinare”). Ceilalți termeni utilizați în

96 definiție sunt: exam en din latinescul examen = cânt ărire); concurs (din latinescul
concursus = confruntare, lupt ă); test = prob ă = m ăsurare, introdus prima dat ă de
J.M.K.Cattrell (1890); validitatea unui test este calitatea acestuia de a fi m ăsurat valoarea
dorit ă; fidelitat ea unui test este calitatea acestuia de a avea aceeași semnificație, indiferent
de persoana care evalueaz ă.
Componentele evalu ării
Evaluarea implic ă trei componente interdependente (în interacțiune): a) controlul
(verificarea); b) aprecierea; c) notarea.
a) Controlul (verificarea) este componenta evalu ării de constatare de că tre profesor sau de
calculator a volumului și calit ății cunoștințelor teoretice și practice dobândite de elev.
b) Aprecierea este componenta evalu ării care asigur ă estimarea (evidențierea) valorii,
nivelului și performanțelor atinse de elev.
c) Notarea este componenta evalu ării care realizează măsurarea și validarea rezultatelor
pregătirii elevului, în urma controlului și aprecierii, care se obiectiveaz ă prin anumit e
semne (coduri sau simboluri) convenționale, denumite note. Nota reprezint ă un indicator
sintetic, cantitativ și calitativ al performanțelor obținute de elevi ca urmare a preg ătirii lor.
Funcțiile evalu ării
Funcțiile se refer ă la sarcinile, obiectivele, r olul și destinațiile evalu ării. Evaluarea
realizează următoarele funcții: a) educativ ă; b) selectiv ă și competițional ă; c) diagnostic ă și
prognostic ă; d) cibernetic ă; e) social -economic ă.
a) Funcția educativ ă. Este funcția cea mai specifică și mai important ă a evalu ării, care
urmează stimularea (dinamizarea) obținerii de performanțe superioare în preg ătirea
elevilor, ca urmare a influențelor psihomotivaționale și sociale ale rezultatelor ce le obțin
prin evaluare. Îndeplinirea funcției educative necesit ă conștientizarea rezultatelor evalu ării
în situațiile succesului, insuccesului și mediocrit ății școlare; este cunoscut că succesul
școlar bucur ă, ofer ă satisfacție, dinamizând sporirea rezultatelor la înv ățătură; de
asemenea, insuccesul școlar supără, determin ă insatisfacție, dar dacă este conștientizat, ca
fiind corect și obiectiv, și aceasta poate dinamiza înl ăturarea nereușitei la înv ățătură.
b) Funcția selectiv ă. Aceasta este funcția de competiție care asigur ă ierarhizarea și
clasificarea elevilor sub raport valoric și al performanțelor în cadrul grupului studios.
Funcția selectiv ă asigur ă satisfacția și recompensarea elevilor prin obținerea de burse, prin
obținerea prin concurs a unui loc într -un nou profil sau grad superior de înv ățământ, prin
câștigarea prin concurs a unui loc de muncă , pe baz ă de competiție profesional ă.

97 c) Funcțiile diagnostic ă și prognostic ă. Funcția diagnostic ă pe bază de testare, evidențiaz ă
valoarea, nivelul și performanțele preg ătirii elevului la un moment dat – trimestru
(semestru), an școlar, terminarea unui ciclu de studii etc. Funcția prognostică – pe baza
analizei datelor oferite de diagnoză , în comparație cu obiectivele și cerințele documentelor
școlare (plan de înv ățământ, program ă analitică , manual, predarea profesorului etc.),
prevede, probabilistic, valoarea, nivelul și performanțele ce ar putea s ă le obțin ă elevul în
etapa urm ătoare de preg ătire.
d) Funcția cibernetic ă sau de feedback (de reglaj și autoreglaj). Analizând finalit ățile
învățământului – rezultatele preg ătirii elevului, evidențiate de apreciere și notare, deci a
ieșirilor, din care se stabilește m ărimea de corectare a intr ărilor, se stipuleaz ă optimizarea
procesului de predare- învățare, aplicându -se principiul feedback -ului.
e) Funcția soc ial-economic ă. Aceast ă funcție se refer ă și evidențiaz ă eficiența
învățământului în planul macro -socio -economic, care influențează hotărârile factorilor de
decizie privind dezvoltarea și perfecționarea înv ățământului, în funcție de valoarea și
calitatea „produsului” școlii – „omul preg ătit prin studii”, care asigur ă așezarea „omului
pregătit la locul potrivit”, desigur, pe baz ă de concurs.
Forme de evaluare
1) Formele de evaluare determinate de perioada de studiu:
a) Evaluarea inițial ă, care are ca obiectiv: diagnosticarea nivelului de preg ătire la
începutul anului, la începutul predă rii unei discipline, pentru a cunoaște de unde de
pornește, ce mai trebuie perfecționat; se folosesc barem uri minimale de obicei; sunt și
barem uri medii sau de performan ță;
b) Evaluarea curent ă (continu ă, de progres), care are ca obiectiv: asigurarea preg ătirii
sistematice și continue, pentru realizarea feedback -ului pas cu pas; nu se programează , nu
se anunț ă dinainte; înv ățarea zilnic ă este o îndatorire a elevilor;
c) Evaluarea periodic ă (intermediar ă), care are ca obiectiv: verificarea gradului de
restructurare a materiei în module informaționale mai mari și realizarea feedback -ului
corespunză tor;
d) Evaluarea final ă (de încheiere, de bilanț ori cumulativ ă sau sumativ ă), care are ca
obiectiv: verificarea structur ării în sistemul informațional a capacit ății de sintez ă privind
cunoașterea întregii materii de studiu. Reușita școlar ă anual ă se materializează prin
promov ări. În situația insuccesului școlar anual apar fenomene de: corigențe (la una sau
mai multe discipline); reexamin ări – până la începerea noului an școlar sau cu prelungiri
până la anumite date; repetenție – în caz de nereușit ă.

98 2) Forme de evaluare determinate de procedeele de efectuare :
a) Evaluarea (ascultare) orală: evaluare curent ă, examene, concursuri; dezavantaje: nu
exist ă barem uri controlabile, se poate strecura subiectivitate, pot ap ărea inhibiția,
intimidarea; nu se pot recorecta r ăspunsurile etc.; avantaje: pentru profesor: poate pune
întrebă ri suplimentare; pentru elev: i se pot pune întreb ări ajut ătoare etc.
b) Evaluarea scris ă (teze, probe de control, alte lucr ări scrise) – avantaje și dezavantaje:
elevul nu este tracasat, tensionat și poate lucra independent; existând baremuri și punctaje,
pot fi mai obiective la corectare; ceea ce scrie r ămâne; se pot recorecta (poate fi avantaj și
dezavantaj pentru elev); probele scrise tradiționale au numai 2 – 3 subiecte, ceea ce nu
oferă cunoașterea preg ătirii întregii materii; se poate copia, în anumite condiții, situație
care se cere prevenit ă.
c) Evaluarea pratic ă: probe practice de laborator, atelier la discipline experimental
aplicative, la anumite profile de înv ățământ tehnic, medical, economic, pedagogic etc.
d) Evaluarea sub form ă de examinare : are rolul de a asigura promovarea la o disciplin ă a
u n u i a n ș c o l a r s a u a u n u i c i c l u d e î n v ățământ; se pot folosi una sau mai multe din
modalit ățile de evaluare menționate mai sus: oral, scris și practic, dup ă caz;
e) Concursuri : sunt examene de se lecție a valorilor, în care se confrunt ă și se ierarhizeaz ă
competențele în funcție de num ărul de locuri și de baremuri; exemple: concursuri de
admitere (în licee, în școli profesionale, în facultate etc.) ; concursuri pentru ocuparea unor
posturi (adminis trative, științifice, tehnice, economice, didactice, medicale etc.), în care se
folosesc forme de evaluare variate ; scrise, îndeosebi, dar dup ă caz, și probe orale și
practice.
3) Forme de evaluare care optimizează modalit ățile tradiționale :
a) Testele docimologice (grilele ): (test = prob ă), sunt modalit ăți scrise, care conțin 50 – 60
întrebă ri (chestiuni sau itemuri), la care se dau r ăspunsuri, determinându- se cele corecte cu
ajutorul grilei. R ăspunsurile pot fi: binare: da sau nu ; alegerea din mai multe r ăspunsuri
din care numai unul este corect; construite sau formulate de elev. Avantaje: chestiuni din
întreaga materie; baremuri (punctaje) care duc la o corectare mai rapid ă și mai obiectiv ă.
Dezavantaje: fragmentează materia și înl ătură verifi carea capacit ății de sintez ă; se pot
cunoaște dinainte – mai ales cele bazate pe grile.
b) Evalu ări sub form ă de discuții orale , libere , pe baza unei tematici dinainte stabilite.
Avantaj: ofer ă elevului posibilitatea de a se exprima degajat. Dezavantaj: dificultatea în
apreciere și notare ; neputându -se realiza baremuri, poate ap ărea subiectivitatea aprecierii.

99 c) Evalu ări cu ajutorul mijloacelor electronice – calculatoare ; pe baza unor programe de
evaluare, dispozitivele electronice compar ă și apreciaz ă cu note cunoștințele; dezavantaj:
subiectivitatea se poate menține, dar se asigur ă aceeași exigenț ă (severitate) și
corectitudine pentru toți examinații, în raport cu programa de evaluare; avantaj: egalitate în
apreciere și notare pentru toți examinații ce au dovedit aceleași cunoștințe;
diferențierea(ierarhizarea) valorilor mai obiectiv ă decât în evaluarea tradițional ă.
d) Evaluarea (corectarea mai ales) de tip „Delphi” : evaluarea (corectare) în echip ă, în
general, pentru probele scrise și, după caz, practice: avantaj: un grup de evaluatori (de cca.
11 experți) elimină în mare m ăsură subiectivitatea; dezavantaj: durează foarte mult timp,
mai ales la concursuri cu mulți candidați. Metoda „Delphi” ca soluție simplificat ă este
aplicat ă la admiterea în înv ățământul superior: doi experți (corectori) care evalueaz ă
independent lucr ările scrise (practice) și un expert (supracorector) – în cazul decalajului
mai mare de un punct între primii doi corectori; prin contestații, adesea la obținerea unei note mai mici, d atorit ă exigenței corectorilor, se pot uneori obține și note m ărite, dar de
ordinul zecimalelor, care uneori nu contează prea mult.
IV.3.b. Notarea
1. Sisteme convenționale de notare
a) Prin cifre (5-20 trepte): cu 5 trepte – de la 1 -5, în ț ările C.S.I. et c., cu 6 trepte – de la1 -6,
în Germania, Elveția, Bulgaria; cu 7 trepte – de la 1 -7, în Suedia, Norvegia; cu 10 trepte –
de la 1 -10, în România, Finlanda și alte ț ări; cu 13 trepte – de la 1 -13, în Danemarca; cu 20
trepte – de la 1 -20, în Franța și Rom ânia (pentru perfecționarea medicilor); în România a
fost aplicat sistemul de la 1 -20 în înv ățământul superior înainte de cel de -al doilea r ăzboi
mondial, notele de promovare fiind de la 12 în sus.
b) Prin calificative : foarte bine, echivalentul notelor de 9 ș i 10; bine, echivalentul notelor
de 7 și 8; suficient (satisf ăcător), echivalentul notelor de 5 și 6; insuficient (nesatisf ăcător),
echivalentul notelor de la 1 la 4.
c) Prin litere (notare literal ă): 6-7 litere (A, B
+, C -,…), în Anglia etc.
d) Prin sistem binar : admis sau respins (promovat sau nepromovat); se utilizează la
examene de perfecționare a cadrelor didactice (definitivat, gradul II, inspecții speciale), la probe practice, în unele concursuri și la unele probe, cum sunt colocviile etc.
e) Cu bile colorate : albe – foarte bine, roșii – suficient, negre – insuficient.
f) Cu aprecieri în limba latin ă: “Magna cum laude” (cu mare laud ă) – pentru foarte bine,
“cum laude” (cu laud ă) – pentru bine.
g) Cu diplom ă de merit : (la bacalaureat și la absolvi rea unor cicluri de înv ățământ etc.).

100 Sistemul cu puține trepte (binar, cu bile colorate, cu calificative, cu puține cifre etc.) este
dificil a se converti în sistemele cu multe trepte (de 10, 13, 20), înl ăturând ierarhizarea mai
precis ă a valorilor.
2. Ca racteristicile not ării corecte
a) obiectivitate : exactitate, precizie, corectitudine, responsabilitate și competenț ă
docimologic ă;
b) validitate (valabilitate): nota acordat ă să corespund ă poziției (treptei) ierarhice din
sistemul de notare (cu cifre, calificative etc.);
c) fidelitate (constanț ă): nota acordat ă de un examinator se menține la orice alt examinator,
dacă ar reface evaluarea.
3. Criterii de notare exigent ă și obiectiv ă
Criterii de note exigent ă și obiectiv ă (care s ă respecte normele docimologice de
notare):
a) luarea în considerare a cantit ății și calit ății cunoștințelor dobândite, în comparație cu
cantitatea și calitatea celor prev ăzute de documentele evalu ării școlare, bibliog rafiei
recomandate și cunoștințelor predate;
b) luarea în considerare a calit ăților și performanțelor capacit ăților intelectuale și
profesionale – după caz, manifestate în abordarea divers ă a problemelor, așa cum sunt
calitățile și performanțele memoriei, gândirii – îndeosebi creative, imaginației, spiritul de
observație, spiritului critic etc.;
c) luarea în considerare a greșelilor, îndeosebi a gravit ății acestora, gravitatea
determinându- se în corelație cu criteriul de la a);
d) luarea în considerare a rezultatelor preg ătirii pe parcursul trimestrului (semestrului sau
anului școlar), în cazul în care frecvența este obligatorie; desigur, în situația frecvenței
facultative acest criteriu nu mai poate fi aplicat;
e) luarea în considerare a rezultatelor verifi cate (probelor de evaluare) din timpul
trimestrelor (semestrelor), la extemporale, teze, probe de control etc.
În practică , în unele cazuri, în care un elev și -a perfecționat continuu preg ătirea, iar la
evaluarea final ă obține rezultate foarte bune, este p osibil s ă nu se mai fac media aritmetică
a rezultatelor anterioare, ci s ă se acorde nota ce i se cuvine la ultima examinare. Așa se
procedează la practica pedagogică . Se practică și procedeul prin care, dacă un elev dorește
să obțină o not ă mai mare dup ă o examinare programat ă, i se ofer ă aceast ă posibilitate,
fiindc ă este favorabil creșterii eficienței înv ățămăntului (al înv ățării) și obținerii unor
succese și satisfacții mai mari.

101 4. Acordarea (stabilirea) notelor
Acordarea (stabilirea) notelor: se pot acorda bonificații de pân ă la 50 sutimi; notele
finale s ă fie note întregi, f ără minusuri și plusuri etc. În funcție de criteriile menționate se
acord ă (se stabilesc) notele, astfel: notele de 10 și 9 se acord ă atunci când raportul dintre
ceea ce s -a cerut și ceea ce a dat elevul este de 1 – 0,9 ; notele de 8 și 7 se acord ă atunci
când raportul este de 0,8 – 0,7; notele de 6 și 5 se acord ă atunci când raportul este de 0,6 –
0,5. Cea mai dificil ă decizie este atu nci când se d ă nota 5 (cinci), c ăci este nota de
promovare (în sistemul românesc) și ca atare stabilește dacă a înv ățat materia la limit ă.
Este o decizie de responsabilitate didactic ă, etic ă și social ă. Nota 1 de obicei nu se pune în
procesul de înv ățământ curent. Ea se pune pentru copiat (în școli). În unele cazuri (la
concursuri etc.) se d ă din oficiu. Exist ă situații când media de promovare este mult mai
mare: la bacalaureat: 6 (șase); la definitivat în înv ățământ: 7 (șapte); la gradul II în
învățământ: 8 (opt) ; la gradul I în înv ățământ: 9 (nou ă); la doctorat: 8 (opt) etc.
În învă țământul românesc notele de nepromovare, de corigenț ă și repetenție sunt cele între
4 și 1.
5. Notarea subiectivă
Fenomene (efecte, situații extra- docimologice) ce conduc la o notare subiectiv ă, ce
trebuie înlăturate din actul evalu ării:
a) Efectul „halo” – remarcat de Ed.Thorndike – SUA, care în engleză înseamn ă iradiere; în
cazul evalu ării înseamn ă iradiere (influențare) negativ ă asupra not ării; de exemplu, notele
mici la unele discipline, influențeaz ă negativ acordarea de note mai mici decât le merit ă la
o altă disciplin ă; notele mai mari la discipline considerate importante influențează negativ
să dai note mai mari decât le merit ă la alt ă disciplin ă; media pe un semestru infl uențează
mediile pe cel ălalt semestru, o ierarhie stabilit ă într-un an influențeaz ă ierarhia în anii
următori; aprecierile generale asupra unei persoane au tendința s ă se extind ă asupra unor
aspecte particulare legate de acea persoan ă; amiciția sau antipatia, pot influența la
acordarea notelor mai mari (la amiciție) sau mai mici (la antipatie).
b) Fenomenul de contrast : elev bun și elev slab; elev cuminte și elev cu abateri; elev notat
mai bine dac ă este examinat dup ă un elev slab și es te notat mai r ău dac ă este examinat
după un elev bun și alte situații menționate și la efectul „halo”. Evaluarea corect ă,
obiectiv ă cere: dacă elevul bun nu știe, s ă i se acorde nota ce o merit ă; dac ă elevul slab știe,
să i se acorde nota pe care o merit ă. La evaluarea scris ă, o lucrare medie poate fi notat ă mai
bine dac ă este corectat ă după o lucrare slab ă ș.a.m.d.

102 c) Fenomenul „oedipian” (de prezicere, preconceput – așa cum se cunoaște din mitologia
greacă că Oedip și -a omorât tat ăl, pentru c ă acest fapt era prezis de oracol). Este bine s ă
cunoaștem elevii, dar s ă nu preconcepem (prezicem) notele ce le vom da, astfel spunând: x
va lua 10, y va lua 4 etc. Numai situația concret ă, preg ătirea dovedit ă la examinare, cu
aplicarea criteriilor de notare corect ă, sunt elemente care ne conduc s ă dăm nota.
Prezicerea (preconceperea) unei not ări ne denaturează modul de gândire și acțiune
docimologic ă și ne determin ă la o apreciere și o notare subiective.
d) Efectul „de ordine” . Notarea poate fi influențat ă negativ de efectul de ordine, astfel c ă
unii profesori sunt exigenți într -o anumit ă parte a zilei (dimineața, la prânz, seara sau într -o
anumit ă parte a semestrului sau a anului școlar sau universitar; profesorii trebuie s ă
dovedească constanț ă în exigențele de evaluare pe tot timpul zilei, trimestrului, semestrului
sau anului școlar .
e) Stabilirea nivelului mediu al clasei ca punct de referinț ă în evaluare, denaturează
concepția docimologic ă și duce la subiectivitate. În evaluare se pornește d e la nivelul cel
mai înalt al programei și în funcție de acesta se fac baremurile de verificare, apreciere și
notare; aceasta asigur ă o ierarhizare obiectiv ă a elevilor pe scara de notare.
f) Comportamentul elevului poate influența rezultatul evalu ării cun oștințelor. La stabilirea
notelor pentru cunoștințe nu ar trebui luate în considerare faptele comportamentale ale elevilor, decât numai în cazul copiatului (furtului de cunoștințe), când, așa cum am ar ătat,
se dă nota 1 (unu). Pentru comportare neregulamentar ă exist ă alte sancțiuni, precum
eliminarea din examen, nota la purtare sau, în caz extrem, exmatricularea.
6. Autoevaluarea (autocontrolul și autoaprecierea)
Evaluarea obiectiv ă, corect ă, responsabil ă, competent ă trebuie s ă dezvolte
(formeze) la elevi capacit ățile de autoevaluare (autocontrol și autoapreciere). Acest
deziderat se realizează când elevii sunt conștientizați de cantitatea și calitatea cunoștințelor
lor, de nivelul și performanțelor obținute, de capacit ățile intelectuale și profesionale, du pă
caz, dovedite la evaluare. Evaluarea trebuie s ă fie însoțit ă de fenomenul de feedback, care,
după caz, s ă asigure corecțiile necesare. De aceea, înainte de acordarea notelor este necesar
să se omologheze ceea ce este mediocru și ceea ce este greșit, nesatisf ăcător în r ăspunsurile
scrise, orale sau practice ale elevilor. Nu se recomand ă ca profesorul s ă se târguiasc ă cu
elevul asupra notei ce i se va acorda. Se poate, îns ă, solicita propunere a grupului școlar
(uneori chiar a elevului) privind nota ce ar trebui acordat ă. Aceasta poate constitui un
„exercițiu” de autocontrol, autoapreciere și autonotare. Desigur, profesorul este investit s ă
acorde nota, s ă manifeste rolul de dirijor și responsab il în actul evalu ării. Numai astfel

103 elevii pot conștientiza rezultatul preg ătirii lor. Obiectivitatea, validitatea și înțelegerea
corectitudinii la acordarea notelor dezvolt ă capacitatea de autoevaluare, de autoreglaj.
„Aprecierea f ăcută de profesor și int eriorizat ă prin explicații acoperitoare de că tre elev
devine autoapreciere (…) Nota profesorului are funcția de control, iar controlul admis și
interiorizat de elev, devine autocontrol” (V. Pavelcu, Principii de docimologie. Introducere
în știința examin ării, Ed.Did.și Ped., București, 1968, p.48).
Se pot elabora și modele de autoevaluare și, îndeosebi, de autonotare, care s ă aibă
la bază anumite probe de evaluare și barem uri de corectare standardizate.

104 IV.3.c. Teste de evaluare
Testul nr. 1

1. a) Dacă ()5, 6 z= − , () ' 1, 2z= −∈ , atunci ' … zz+= ; ' …zz⋅=
b) Dac ă ()1, 2z= , () ' 3, 4z= ∈ , atunci 1… z−= ; …'z
z=

2. Fie 1
2zi= −+ , 1'32iz= −+∈ . Să se calculeze: ' zz+, 'zz⋅,
zz'.

3. Să se precizeze care este valoarea sumei : 105 23 56 94i iii++−
a. 1 b. 0 c. 2 d. i−

4. Care sunt valorile numerelor ()3Re 2ai= − și ()3Im 1 2bi= −+ ?
a. 2; 1ab= =− b. 1; 1ab= = c. 2 ab= = d. 2; 2ab= =−

5. Să se rezolve ecuația ()318 26 0 zi−+ = , unde z x iy= + , ,xy∈.

Scopul testului : Se verific ă modul în care elevii st ăpânesc operațiile aritmetice cu numere
complexe sub forma algebric ă

Punctajul : Oficiu 1p; 1. a) 1p; b) 1p; 2. 2p; 3. 1p; 4. 2p; 5. 2p.

Timp de lucru: 40 minute.

Răspunsuri :1.a) () ' 4, 4 zz+= − ; () ' 7,16zz⋅= , b) 1 12,55z−= −; 11 2,' 25 25z
z=;
2. 53'62zz i+= −+ ; 17'3 12zz i⋅= −− ; '8
15 15zi
z= + ; 3. c; 4 d; 5. 3zi= + ;

105 Testul nr. 2

1. Care este rezultatul operației: i ii
3420
4355
++−+?
a. 1i+ b. 3i− c. 3i+ d. 23i−+

2. Să se determine ,xy∈, astfel încât iiy
ix=−−++−
33
33

3. Fie z∈. Să se stabileasc ă corespondența între numerele din prima coloan ă și natura
fiecăruia dintre ele :
a. zz−
b. zz⋅ A. real
c. zz zz⋅+⋅ B. pur imaginar
d. zz zz⋅−⋅

4. Fie ,'zz∈ cu proprietatea că '1 zz= = și '1zz⋅ ≠− . Să se arate că
'
1'zz
zz+∈+

5. Să se demonstreze urm ătoarea identitate ( L.Euler ):
()2 2 22
12 12 1 2 2 zz zz z z+ +− = + , 12,zz∀∈ 

Scopul testului : Se verific ă maniera în care elevii operează cu conjugatul și modulul unui
număr complex.
Punctajul : Oficiu 1p; 1. 1 p; 2. 1 p ; 3. 2 p; 4. 2,5 p ; 5. 2,5 p.
Timp de lucru: 50 de minute

Răspunsuri :1.b; 2. 2, 8 xy= −= ; 3.aB, bA, cA, dA; 4. ''
1' 1'zz zz
zz zz++=++; 5. Utilizăm
2z zz=

106 Testul nr. 3

Se consider ă planul raportat la un s.c.c.o. S xOy= , respectiv la r.c.o. ();, R Oi j=
.

1. Se dau punctele ()2, 1A−, ()1, 3B . Utilizând interpretarea geometrică a operațiilor cu
numere complexe, se cere:
a) Să se determine coordonatele punctului C, astfel încât OACB să fie un paralelogram.
b) Să se determine coordonatele punctului D, astfel încât OABD să fie un paralelogram.
c) Să se determine coordonatele punctului (E OB∈ , astfel încât OB OE 3= .

2. Să se determine mulțimea punctelor planului complex care sunt imagini ale numerelor
complexe z x iy= + ce verific ă relația: 19z<< .

3. Un triunghi echilateral are dou ă vârfuri în punctele de afixe 1 1 z=− și 2 23 zi= −+ . Să
se precizeze afixul celui de al treilea vârf.
a. 32zi= b. 3 3 z=− c. 3 3 zi= d. 31zi= +

4. Să se determine imaginea geometrică a numerelor complexe *z∈, pentru care 23,,zz z
sunt afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic.
a. (Oy b.11,0 ,22Oy C∪−C c. {}11,0 , \22C Oy O−∪C d.11,0 ,22C−C

Scopul testului : Se verific ă felul în care elevii pot utiliza în aplicații interpretarea
geometric ă a numerelor complexe și a operațiilor cu acestea.
Punctajul : Oficiu 1p; 1. 3 p ; 2. 2 p; 3. 2 p ; 4. 3 p
Timp de lucru: 45 de minute

Răspunsuri :1.a)()3, 2C ; b)()1, 4D− ; c)()3, 9E ; 2. 19OM<< și (), M xy ; 3. b; 4. c

107 Testul nr. 4

Se consider ă planul raportat la un s.c.c.o. S xOy= , respectiv la r.c.o. ();, R Oi j=
.

1. Care este forma polar ă (trigonometric ă) a num ărului complex 13zi= − ?
a. 55cos sin33iππ+ b. 222 cos sin33iππ+ c. 552 cos sin33iππ+ d. 2 cos sin66iππ+

2. Care sunt coordonatele polare ale punctului ()2, 2 M− din plan?
a. 72 2,4π
 b. 2,6π
 c. 32,4π
 d. 32 2,4π

3. Să se determine forma polar ă a num ărului complex
() sin 1 cosz ai a= ++ , [)0,aπ∈

4. Să se calculeze ()()
()510
1013
13ii
z
i−+
=
−− și să se compare rezultatul cu :
a. 2 b. 2i− c. 1− d. i e. 1

5. Să se afle câte numerele complexe z∈ verific ă relațiile 1=z și 1zz
zz+= :

a. 8 b. 4 c. 6 d. 1 e. 3

Scopul testului : Se verific ă modul în care se cunoaște, se operează și se aplică forma
polar ă a unui num ăr complex.
Punctajul : Oficiu 1p; 1. 1 p; 2. 1 p; 3. 2 p ; 4. 2 p; 5. 3 p.
Timp de lucru: 40 de minute

Răspunsuri :1.c; 2. d; 3. 2cos cos sin22 2aa aziππ − −= + ; 4. 1 z=− ; 5 a

108 Testul nr. 5
1. Să se determine numerele naturale n∈, pentru care are loc egalitatea:
223 1
23 1=


−−+


+−n n
i i.
a. 21nk= + b. 31nk= + c. {} 0,3 ,5 ,7n∈ d. 3nk= , k∈
2. Dou ă poligoane regulate sunt înscrise în același cerc. Primul poligon are 1989 de laturi,
iar al doilea are 201 7 laturi. Dac ă poligoanele ar avea vârfuri comune, cât de multe pot fi
aceste vârfuri?
a. 29 b. 1 c. 3 d. 56 e. 0
3. În planul cu o coordonatizare complex ă se consider ă punctele ()143Mi+ , ()247Mi+ ,
()387Mi+ . Să se stabileasc ă corespondențele corecte între elementele coloanelor
următoare:
a) () 123MMMµ x)
4π
b) () 213MMMµ y)
2π
c) () 312MMMµ z) 47π
( unghiurile considerate sunt unghiuri orientate)
4. În planul complex se consider ă punctele ()()() ,,ABCAz Bz Cz , astfel încât:
C B A z z z== și 0=++C B A z z z . Să se arate că ABC este un triunghi echilateral.
5. Utilizând proprietatea de la problema precedent ă să se demonstreze teorema lui
Napoleon: În exteriorul unui triunghi ABC se consider ă trei triunghiuri echilaterale pozitiv
orientate ', ', 'AC B BA C CB A . Centrele de greutate ale acestor trei triunghiuri sunt vârfurile
unui triunghi echilateral.
Scopul testului : Se verific ă abilit ățile elevilor de a trata aplicații ale puterilor și r ădăcinile
unui num ăr complex în geometria triunghiului și poligoanelor.
Punctajul : Oficiu 1p; 1. 2 p; 2. 2 p ; 3. 1 p ; 4. 2 p; 5. 2 p .
Timp de lucru: 50 de minute.

109 Răspunsuri :1.d; 2. b; 3. ay, bz, cx ; 4. B AC AC Bzz zz zz−=−=− ; 5 Fie ,MN ,
respectiv P cele trei centre de greutate. Cu 2
3ieπ
ε= avem 31ε= și 110εε++ = .
()() ap bpε−= − ; ()() bm cmε−= − ; ()() cn anε−= −
()3inpe mp M N Pπ
⇒−= − ⇒ triunghi echilateral
IV.3. d. Eficientizarea învățării
Profesorul trebuie să creeze condiții favorabile fiecărui elev de a- și forma și
dezvolta competențele într -un ritm individual, de a -și transfera cunoștințele acumulate
dintr -o zonă de studiu în alta. Trebuie vizate următoarele aspecte ale învățării:
– Citire a corectă și conștientă a enunțului unei probleme
– Interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia
– Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme
– Exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme in limbaj matematic
– Compararea, observarea, unor asemănări și deosebiri, folosirea unor criterii de
clasificare pentru descoperirea unor proprietăți, reguli
– Utilizarea unor repere standard sau a unor formu le standard în rezolvarea de
probleme
– Formarea obișnuinței de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată
– Exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obișnuinței de a căuta toate soluțiile sau de a stabili unicitatea soluții lor, analiza
rezultatelor
– Folosirea particularizării, a generalizării, a inducției sau a analogiei pentru
alcatuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la proprietatea sau
problema dată
– Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite
– Transferul și extrapolarea solu țiilor unei probleme pentru rezolvarea altora
– Utilizarea rezultatelor ș i a metodelor pentru creearea de strategii de lucru.

110 IV.4. Proiectarea lecț iei

Pentru ca drumul dificil pe care îl au elevii de parcurs în aprofundarea noțiunilor de
matematică să fie mai eficient și mai ușor, trebuie respectată logica științei (selectarea și
prezentarea noțiunilor să urmeze în ordinea lor firească) și logica didacticii (prezentarea conținutului făcându -se numai în funcție de capacitățil e reale de asimilare a elevilor). De
asemenea, noile achiziții vor fi introduse în mod sistematic și selectiv.
Introducerea fiecărei noțiuni parcurge următoarele etape:
– De elaborare și motivație;
– Formarea propriu -zisă a noțiunii;
– De consolidare prin operarea cu noțiunea respectivă.
O noțiune se consideră asimilată dacă ea devine instrument de dobândire a unor noi
cunoștințe și dacă elevii pot lucra cu ea în situații noi. În acest sens, trebuie ca în mintea elevilor să existe o ordonare a noțiunilor, o corelare firească a lor , o motivație, pentru că
numai o bază de cunoștințe bine asimilate facilitează asimilarea cunoștințelor noi.
Alegerea celor mai adecvate metode de predare poate contribui la aceentuarea
caracterului formativ activ și conștient al do bândirii cunoștințelor. Un punct central în
aplicarea oricărei metode didactice este urmărirea unui grad cât mai înalt de participare
activă a elevilor.
IV.4.a. Metode expozitive
Metode le expozitive povestirea, descrierea, explicația, prelegerea sunt metode care
asigură transmiterea ordonată, sistematică și continuă a cunoștințelor, reprezentând o cale simplă, rapidă , economică și eficientă de instruire. Expunerea trebuie să suscite imaginația
elevilor, să fie clară, accesibilă, expres ivă. Ea trebuie să fie însoțită, de frumusețea și
plasticitatea cuvântului, eleganța dicției, spre expresia emoțională. Profesorul însuși trebuie
să par ă interesat, să manifeste curiozitate în timpul propriei sale expuneri, să realizeze o
comunicare vie cu elevii, solicitându -le permanent atenția. Profesorul trebuie să controleze
dacă este urmărit de elevi . Mimica elevilor este edificatoare întrebări, repetiții, explicații
suplimentare, permit și ele acest control . Explicațiile survin când se introduc terme ni
matematici noi, când se introduce un nou tip de demonstrație sau când se elaborează și fixează o schemă generală de rezolvare a unor probleme. În general în matematică
recurgem la explicație atunci când tema este complet nouă și printr -o alta metodă mai

111 activă nu se poate descoperi acest nou . Metodele expozitive nu se aplică de- a lungul unei
ore întregi ci se îmbină cu celelalte metode de predare.
IV.4. b. Metoda con versației
Conversația este una din metodele de bază în dialogul necesar dintre profesor și
elev. În funcție de tipul lecției se poate folosi con versația euristică, de consolidare, de
sistematizare, de v erificare. Convers ația euristică, ca activitate comună de gândire, căutare,
cercetare poate conduce la evitarea transmiterii de noi cunoștințe î ntr-un singur sens (spre
elev) . Valoarea primitvă a conversației, eficiența ei sunt condiționate de structura
întrebărilor care trebuie să fie concise, bine direcționate și enunțate astfel încât dificultățile
să fie eșalonate gradat, dozând scopul între în trebare și răspuns, care trebuie să fie unic și
neambiguu . Chiar dacă o metodă de rezolvare propusă de elev nu este optimă, ea nu
trebuie reprimată ei substituită prin alta căreia îi subliniem prin comparației avantajele. O
importanță deosebită a metodei conversației este aceea că ea ajută la dezvoltarea limbajului matematic, contribuind astfel la dezvoltarea personalității elevului
IV.4. c. Problematizarea
Este metoda care se bazează pe crearea unor situații –problemă a căror rezolvare
solicită efort autentic de investigare în vederea găsirii soluțiilor, ceea ce conduce la
îmbogățirea fon dului cognitiv . Noțiunea de situație–problemă desemnează o stare
contradictorie, conflictuală ce rezultă din trairea a două realității d e cunoaștere și
motivaționale diferite pe de o parte, experiența anterioar ă de care dispune elevul
(informația existentă), iar pe de altă parte, elementul de noutate, necunoscutul cu care este
confruntat și în fața căruia datele vechi se dovedesc a fi efic iente pentru a -l înțelege și a
duce la rezolvarea dorită Această confruntare generează o stare de curiozitate, de uimire,
incită la investigații, formulare de ipoteze, soluții Contradicții de acest gen pot să apară
între:
– Cunoștințele vechi și datele noi c e nu pot fi explicate pe baza informației
anterioare;
– Concepții vechi și ipoteze noi;
– Abordarea teoretică a unor probleme și rezolvarea lor practică;
– Moduri diferite de acțiuni practice.
În folosirea acestei metode se disting trei momente succesive:
– Moment ul pregătitor care constă în crearea s ituației problemă;

112 – Momentul tensional, când se conștientizează contradicția dintre problema pe
care o au elevii de rezolvat și cunoștințele de care ei dispun, obstacolul pe care
ei trebuie să îl depășească prin mijloace co gnitive;
– Momentul rezolutiv care vizează aflarea soluției și confirmarea de către
profesor.
Rezolvarea problemelor îndeamnă la observații, la reflecții adânci, la
experimentarea mintală și la originalitate în găsirea răspunsurilor. Bucuria de a descoperi
crează și întreține o trebuință lăuntrică de cunoaștere și de autodepășire.
IV.4. d. Metoda descoperirii
Prin aplicarea în practică a problematizării, rezultatul final este întotdeauna
descoperirea soluției problemei puse . Descoperirea deci, în matematică, o vedem ca o
întregire a problematizării . Vorbim despre descoperire dacă elevul gă sește el însuși, printr –
un efort personal de analiză, inducție, generalizare o teoremă, o demonstrație, un procedeu
de calcul etc. Descoperirea face parte din met odele asa -zise form ativ-participative. Ea
solicit ă elevul să gândească , îi pune la încercare voința, îi dezvoltă imaginația și îi
îmbogațește experiența de rezolvare a diverselor problme. Aplicarea acestei metode trebuie
să țină seama de nivelul de dezvolare intelectuală a elevilor, de complexitatea problemelor
iar, rezultatele obținute individual trebuie să fie analizate și sistematizate cu întreaga clasă.
Învățarea prin descoperire poate fi de tip inductiv, deductiv sau analog dupa natura
raționamentelor utilizate . Descoperirea este inductivă când elevii, analizând o serie de
cazuri particulare, elaborează o regulă generală care apoi este demonstrată. În descoperirea
de tip deductiv elevii obțin rezultate noi (pentru ei) aplicând raționamente asupra
cunoșt ințelor anterioare, combinându- le între ele sau cu noi informații . Acest tip de
descoperire apare frecvent la toate disciplinele matematice. Descoperirea prin analogie
constă în transpunerea unor relații, algoritmi, etc. La contexte diferite dar analoage î ntr-un
sens bine precizat. Evident că, corectitudinea în noul context trebuie verificată printr -o
demonstrație specifică . Analogiile în matematic ă pot fi de conținut sau de raționament . Ele
pot fi de anvergură mai mare sau cu efect „local”. Analogii din ul timul tip se întâlnesc
foarte frecvent. Rolul analogiilor în procesul de rezolvarea problemelor este la fel de mare,
fie că este vorba de analogii „mici” sau de analogii „mari”, fie că este vorba de analogii de
conținut sau analogii de metodă. În rezolvarea unor probleme analogiile pot apărea în
aspecte felurite, în diverse puncte ale rezolvării .
Cunoștințele obț inute prin metoda descoperirii sunt mai stabile, cu mai mare șansă
de a fi integrate în sistemul general de cunoștințe.

113 IV.4. e. Lucrul cu manualul și alte cărți
Cartea continuă să fie o sursă valoroasă de informații și cunoaștere, condensând și
transmițând inestimabilul tezaur al valorilor culturale ale umanității. Manualele, culegerile
de probleme, alte cărți de matematică îi ajută pe elevi să -și însușească noi cunoștințe, să le
sistematizeze și fixeze, să-și formeze priceperi și deprinderi de muncă intelectuală. Elevii
trebuie să învețe în școală cum să folosească manualele și alte cărți pentru a ști cum să le
utilizeze ulterior pentru perfecționarea lor continuă. Lucrul cu manualul de matematică
presupune în primul rând descifrarea textului matematic. Prin natura lor textele de matematică nu pot să conțină absolut toate detaliile: manualele ar deveni enorme. Apare
astfel necesar un efor t al elevului de a completa detaliile lipsă, efort care este evident un
efort de înțelegere a textului și deseori de recreare a acestuia. Lucrând cu manualul, elevul
este activ,obține cunoștințe printr -un efort propriu încât această metodă „o cale de in struire
prin descoperire”.
IV.4. f. Metoda exercițiului
Constă în efectuarea conștientă și repetată a unor acțiuni și operații, în scopul
form ării unor deprinderi teoretice și practice, consolidării cunoștințelor, dezvoltării unor
aptitudini și capacități, stimulării potențialului creativ . Este o metodă care stimulează
intens activitatea elevelui, solicitând din partea acestuia, efort intelectual sau fizic. Are o
largă aplicabilitate, putând fi folosită la toate clasele și obiectele de studiu și pentru
realizarea unor variate sarcini didactice:
– Formarea deprinderilor de natură intelectuală și practică, acțională;
– Mai buna înțelegere a cunoștințelor teoretice prin aplicarea lor în situații și
contexte diferite;
– Prevenirea uitării, evitarea fenomenului de inter ferență;
– Asigurarea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, crearea posibilităților de transfer ale acestora;
– Dezvoltarea unor capacități intelectuale și fizice, a unor trăsături de voință și
caracter;
– Stimularea și dezvoltar ea capacităților creative, a originalității, a spiritului de
independență și inițiativă.
Rezultă că exercițiul nu trebuie înțeles ca având numai un caracter reproductiv, el
poate avea în egală măsură, și un caracter productiv atunci când se desfășoar ă sub forma
unor activități libere, creatoare și generează noi forme de acțiune.

114 IV.4. g. Proiect didactic
Școala : Colegiul Național ”GRIGORE MOISIL” Onești
Profesor : LUNGU CRISTINA -ELENA
Data : 7 aprilie 2016
Clasa : a X -a D (științe ale naturii, 4 ore/săptămână)
Unitatea de învățare : Mulțimi de numere
Tema : Mulțimea numerelor complexe
Tipul lecției : Lecție de sistematizare a cunoștințelor
Locația : Sala de clasă
Competențe generale :
C.G.1 : Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite
C.G.2 : Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse
în enunțurile matematice
C.G.3 : Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală
sau globală a u nei situații concrete
C.G.4 : Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei
situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
C.G.5 : Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
C.G.6: Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii
Competențe specifice :
C.S.1 : Identificarea caracteristicilor tipuri de numere utilizate în algebră și formei de
scriere a unui număr complex în contexte specifice.
C.S.3 : Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe pentru
optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații.
C.S.4 : Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex funcție de contexte în
vederea opti mizării calculelor.
C.S.5: Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.
C.S.6 : Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere complexe
scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații.
Obiective operaționale :
Cognitive:
O.C.1 . Elevii să fie capabili să opereze cu numere complexe

115 O.C.2 . Elevii să fie capabili să aplice proprietăți ale operațiilor cu numere complexe
O.C. 3. Elevii să fie capabili să rezolve ecuații de gradul II, cu coeficienți reali și 0∆<
O.C. 4. Elevii să fie capabili să interpreteze geometric numere complexe
Psihomotorii:
O.P.1 . Elevii să scrie corect diverse forme ale unui număr complex
O.P.2 . Elevii să reprezinte grafic numere complexe
Afective:
O.A.1 . Elevii vor participa activ la desfășurarea lecției
O.A.2 . Elevii vor manifesta interes pentru rezolvarea exercițiilor
Strategii didactice:
Principii didactice
-Principiul participării și învăță rii active
-Principiul asigurării și progresului gradat al performanței
-Principiul conexiunii inverse
Metode de învăț are/de instruire
-conversația euristică
-explicația
-algoritmizarea
-exercițiul
-problematizarea
-descoperirea dirijată
Forme de organizare a clasei:
-frontală
-individuală
-pe grupe
Conținutul învățării:
-Câmpul de informații: manualul de matematică.
-Informațiile și cunoștințele care au legătură directă cu competențele stabilite.
Resurse:
-Materiale didactice: proiect didactic , fișe de lucru.
-Mijloace de învățământ: tabla, marker.
-Procedurale: investigația științifică, problematizarea, observarea sistematică a elevului,
rezolvarea de probleme/situații problemă.
-Umane: 30 elevi

116 -De timp: 50min
Secvențele activității didactice:
-Moment organizatoric
-Enunțarea titlului lecției și a obiectivelor
-Actualizarea cunoștințelor
-Recapitularea, sistematizarea și consolidarea cunoștințelor
-Analiza rezultatelor activității și elaborarea concluziilor
-Precizarea și explicarea temei pentru acasă

117 Secvențele
activității
didactice Activitatea profesorului Activitatea elevului Strategii didactice
Evaluare Metode de
învăț are Mijloace
de învăț are Forme de
organizare
a activității
1. Moment
organizatoric (2′) – se asigură condițiile optime pentru desfășurarea
lecției: tablă curată, marker, burete curat , curățenia
din clasă, uniforma elevilor
– se verifică prezența la oră și tema pentru acasă
– se strâng temele pentru lecția de zi – răspund la întrebările puse de
profesor, își însușesc observațiile și
recomandările primite – conversația – – frontală Observația
2. Enunțarea titlului
lecției și a
obiectivelor (3′) – se enunță și scrie pe tablă titlul lecției „ Mulțimea
numerelor complexe ”, precum și obiectivele – notează în caiete titlul lecției și
obiectivele urmărite – expunerea – – frontală –
3. Actualizarea
cunoștințelor (4′) – se reactualizează noțiunea de număr complex,
forme și operații, interpretare geometrică – răspund la întrebări și exemplifică
la tablă – conversația
– explicația chestionarul – frontală – analiza
răspunsurilor
4. Recapitularea,
sistematizarea și
consolidarea
cunoștințelor (35′) – se împart elevilor fișe de lucru formând grupe de
elevi
– se discută modul de rezolvare al fiecărui tip de
problemă din fișă
– se rezolvă la tablă exercițiile propuse
– se notează răspunsurile primite – ies pe rând la tablă pentru
rezolvarea exercițiilor propuse în
fișa de lucru
– răspund la întrebările profesorului – exercițiul
– conversația
euristică
– algoritmizarea
– învățarea prin
descoperire – fișe de lucru – frontală
– individuală – observarea
sistematică a
elevilor

5. Analiza
rezultatelor activității și
elaborarea
concluziilor (
3′) – se apreciază verbal elevii care au ieșit la tablă
– se notează elevii care s -au remarcat – elevii își însușesc observațiile
primite
– prezintă carnetele de note – conversația
euristică – – frontală – aprecierea
răspunsurilor
primite
– evaluarea
răspunsurilor
6. Precizarea și
explicarea temei
pentru acasă (3′) – se comunică elevilor tema:
Exercițiile din fiș e – notează tema în caiete – expunerea – caiet de
notițe – frontală – observația

118 FIȘĂ de LUCRU
Mulțimea numerelor complexe
clasa a X -a D, științe ale naturii, 4h/săpt.

1. Să se determine numerele reale x și y astfel încât 12zz= dacă:
(a) ()1 24 z xy xy i=++ −− , ()2 3 42 z x y x yi= −+ +− −
(b) 22
1 27 zx y= +− , 2
2 3 z y xyi= ++
(c) ()()12 1 23 z xy x y i= −−+ − + , ()()22
2 3 21 zy xy i=++ + +
(d) 132
11xyzii−−= ++− , 213zi= −
2. Fiind date două numere complexe 132zi= + și 2 7 zi= −+ să se determine numerele
reale x și y astfel încât să aibă loc egalitatea ()()12 12 32ixy i iz z+ + =+++
3. Calculați 12zz+, 12zz−, 12zz⋅, 1
2z
z, 1z și 1
2z− unde
(a) 113zi= − și 22zi= +
(b) 123
3izi+=− și 213
42izi+=+
(c) ()131 4z ii+ −=− și ()()22 1 5 2 7 26iz iz i+ = − ++
4. Descompuneți în factori expresia 222zz++
5. Să se determine 1zz−−+ știind că () 3 21 2zz i−= +
6. Calculați 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2017234567 S iiiiiii= +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅
7. Să se determine z∈ știind că 2z= și 15z−=
8. Știind că 24 50zz− += are rădăcinile 1z și 2z să se determine valoarea expresiei
22
12
1211E zzzz=+++
9. Determinați z∈ cu proprietatea 213
22zi= +
10. Determinați numerele complexe z care verifică ecuația 425 40zz+ +=
11. Dacă α este una dintre rădăcinile ecuației 210 xx++= , calculați valoarea expresiei
()20162017 2 2015 21 Eα α α αα= + + + ++

119 12. Rezolvați ecuația 639 80zz− +=
13. Se consideră în planul complex punctele A și B de afixe 12Azi= −+ și 3Bzi= −− .
Determinați afixul punctului C astfel încât OACB să fie paralelogram.
14. Pentru 12 zi= −+ construiți imaginile geometrice corespunzătoare numerelor z și z−.
Aceeași problemă pentru numerele 113zi= + , 2 33 zi= −− și 31zi= −
15. Să se reprezinte în plan imaginile geometrice ale numerelor complexe z care
îndeplinesc condiția 2
212zi
zi+=−

120
BIBLIOGRAFIE

[1] Albu, I.D.(2000), Geometrie .Concepte și metode de studiu . Partea a- II-a : Metode
algebrice în geometria euclidiană, Reșița : Ed. Timpul
[2] Albu, I.D.(2002) , Geometrie .Concepte și metode de studiu. Metoda coordonatelor în
planul euclidian, Timișoara: Ed. de Vest
[3] Albu, I.D.; Bîrchi, I.D.(2005), Geometrie vectorial ă în liceu , Timișoara: Ed. Bîrchi
[4] Andreescu, T.; Andrica D.(2005), Complex Numbers from A to…Z , Boston, Basel,
Berlin : Ed. Birkhauser
[5] Andrica, D.; Bișboac ă, N.(2001), Numere complexe de la a… la…z , Alba Iulia: Ed.
Millenium
[6] Banea, H.(1995), Metodica predării matematicii, Pitești: Ed. Paralela 45
[7] Borș C.; Borș D.(1962), Numere complexe, București: Ed. Tehnic ă
[8] Brânzei D.; Anița S.; Cocea C.(1986), Planul și spațiul euclidian, București: Ed.
Academiei
[9] Burtea M.; Burtea G.(2000), Matematic ă, Manual pentru clasa a X -a, Pitești: Ed.
Carminis
[10] Burtea M.; Burtea G.(2000), Matemat ică, clasa a X -a – Culegere de probleme , Pitești:
Ed. Carminis
[11] Coța A.; R ăduțiu M.; Radò M.(1984), Geometrie și trigonometrie, Manual pentru
clasa a X -a, București: Ed. Didactic ă și Pedagogic ă
[12] Dinc ă M.; Chiriț ă M.(1996), Numere complexe în matematica de liceu , București: Ed.
All Educational
[13] Ganga M.(2003), Matematic ă, Manual pentru clasa a X -a, Ploiești: Ed. Mathpress
[14] Ganga M.(2007), Matematic ă, Manual pentru clasa a XII -a, Ploiești: Ed. Mathpress
[15] Ianuș S.ș.a.(1983), Probleme de geometrie și trigonometrie pentru clasele IX – X,
București: Ed. Didactică și Pedagogică
[16] Joița E.(1994), Didactic ă aplicat ă, Craiova: Ed. “Gheorghe Alexandru”
[17] Mihă ileanu N.N.(1968), Utilizarea numerelor complexe în geometrie, București: Ed.
Tehnică
[18] Mih ăileanu N.N.(1996), Probleme de Geometrie, București
[19] Modenov P.S.(1981), Problems in Geometry , Moscow: MIR

121 [20] Nahin P.J.(2000), An Imaginary Tale. The Story of 1−(Rom anian), Bucharest: Ed.
Theta
[21] Nicola I.; Farcaș D.(1993), Teoria educației și noțiuni de cercetare pedagogic ă,
București: Ed. Didactică și Pedagogică
[22] Nicolescu L.; Boskoff V.(1990), Probleme practice de geometrie, București: Ed.
Tehnic ă
[23] Nicula V.(1983), Numere complexe. Probleme și exerciții pentru clasa a X -a,
București : Ed. Scorpion 7
[24] Nicula V.(1999), Complex Numbers (Romanian), Bucharest: Ed. Scorpion 7
[25] Radu I.T.(2004), Evaluarea în procesul didactic , București: Ed. Didactic ă și
Pedagogic ă
[26] S ălăgean Gr.S .(1997), Geometria planului complex , Cluj- Napoca: Ed. Promedia- Plus
[27] Țițeica G.(1981), Probleme de geometrie (ediția a VI -a), București: Ed. Tehnic ă
[28] Yaglom I.M.(1968), Complex Numbers in Geometry , New York: Academic Press
[29] Internet: Programe Matematic ă, www.edu.ro :: Curriculum.edu.ro (Ciclul liceal).
[30] Internet: Wikipedia & MathWorld: Complex Numbers. Applications.

122 DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE A
LUCR ĂRII METODICO – ȘTIINȚIFICE
DE GRAD DIDACTIC I

Subsemnatul/(a)
____________________________________________________________________
legitimat cu __________ seria _________ nr. _______________
CNP__________________________ telefon ___________________________ autorul lucrării
____________________________________
_____________________________________
_________________________________________________________________________
elaborat ă în vederea susținerii examenului de grad didactic I in anul universitar 2016 –
2017 organizat de c ătre Departamentul pentru Preg ătirea Personalului Didactic din cadrul
Universită ții “Transilvania” din Brașov, pentru seria 2015 – 2017, luând în considerare
Metodologia form ării continue a personalului didactic din învă țământul preuniversitar
aprobat ă prin O.M. nr. 5720/20.10.2009, respectiv Ordinul MECTS nr. 5561/07.10.2011 cu
adaugiri, declar pe proprie r ăspundere c ă aceast ă lucrare a fost elaborat ă în întregime de
către mine, nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost
preluate texte, date sau elemente de grafic ă din alte lucr ări sau din alte surse f ără a fi citate
și fără a fi precizat ă sursa prelu ării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezint ă alte lucr ări
ale mele și că lucrarea nu a mai fost folosit ă în alte contexte de examen sau de concurs.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice, hărți sau alte surse
folosite fără respectarea legii române și a convențiilor internaționale privind drepturile de
autor.
Brașov,
Data Semnătura
______________ _________________