Lector univ. dr. MONICA FLORA [600169]
Lector univ. dr. MONICA FLORA
CURS DE FIZIC Ă
Editura Universit ății din Oradea
2010
CUPRINS
Pag.
CAP.I. M ĂRIMI ȘI UNITǍȚI FUNDAMENTALE 5
I.1. Introducere 5 I.2. Unități de măsură. Sisteme de unit ăți 5
CAP.II. MECANICA PUNCTULUI MATERI AL 7
II.1. Introducere 7
II.2. Cinematica punctului material 8
II.3. Principiile dina micii 11
II.4. Lucru mecanic. Energia mecanic ă 12
II.5. Momentul cinetic 16
II.6. Gravita ția 22
CAP. III. OSCILA ȚII ȘI UNDE 29
III.1. Caracteristici generale 29
III.2. Fenomene specifice undelor 31
III.3. Câmpul sonor 38 III.4. Efectul Doppler 39
CAP. IV. ELECTROMAGNETISM 41
IV.1. Mărimi fizice caracteristice câmpului electromagnetic 41
IV.2. Câmpul electrostatic 42
IV.3. Lucrul mecanic al for țelor electrice. Energia câmpului elec tric 46
IV.4. Poten
țialul electric 49
IV.5. Câmpul magnetic 52
IV.6. Câmpul magnetic în substan țe 55
IV.7. Ecua țiile lui Maxwell ale câmpului electromagnetic 59
IV.8. Energia câmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting 61 IV.9.Poten țialeelectrodinamice 63
IV.10. Teoria electromagnetic ă a luminii 64
Cap. V. BAZELE FIZICII CUANTICE 67
V.1. Despre electron în limbaj ondulatoriu și corpuscular 67
V.2. Construirea ecua ției lui Schrödinger monodimensionale 70
V.3. Interpretarea probabilistic ă a undelor de Broglie 72
V.4. Ecua ția lui Schrödinger 74
V.5. Ecua ția Schrödinger temporal ă 75
V.6. Condi ții care se impun func ției de und ă. Valori proprii. Func ții proprii 76
V.7. Numere cuantice 77
CAP. VI. NO ȚIUNI GENERALE DE TERMODINAMIC Ă 78
VI.1. Sistem termodinamic. Stare a sistemului . Parametrii termodinamici 78
VI.2. Mărimi energetice specifice sistemelor termodinamice 78
VI.3. Echilibrul termic, no țiunea de temperatur ă, termometrie 81
VI.4. Structura discret ă a substan ței. Molul 82
VI.5. Principiile termodinamicii 83 VI.6. Aplica ții ale principiilor termodinamicii 85
VI.7. Distribu ția moleculelor func ție de vitez ă 89
VI.8. Distribu ția moleculelor unui gaz în câmp gravita țional 93
VI.9. Legea lui Boltzmann 95 VI.10. Poten țiale termodinamice 95
VI.11. Semnifica ția statistic ă a potențialelor termodinamice 97
CAP. VII. APLICA ȚII 102
VII. 1. Celula fotovoltaic ă 102
VII. 2. Pompe de c ăldură 105
VII. 3. Energia nuclear ă 108
CAP.I. M ĂRIMI ȘI UNITǍȚI FUNDAMENTALE
I.1. Introducere
Obiectul fizicii îl constituie cunoa șterea lumii înconjur ătoare în totalitate, și
anume de la microcosmos (structura atomilor și moleculelor) pân ă la macrocosmos.
Unul din scopurile esen țiale ale înv ățării fizicii este aplicarea cât mai corect ă și cât mai
completă în practica productiv ă a legilor acesteia.
Fizica, prin obiectul s ău, se define ște ca o știință fundamental ă care studiaz ă
structura și propriet ățile materiei, fenomenele legate de transform ările acesteia și legile
generale care guverneaz ă procesele din univers. A șadar cuno ștințele noastre despre
lumea material ă se extind actualmente pe un domeniu spa țial de peste 40 de ordine de
mărime, adic ă, de la 10 bilioane de ani-lumin ă (10
26m) până la o bilionime de micron
(10-15m). La o extindere temporal ă foarte mare au ajuns cuno ștințele despre durata de
viață a unor particule și sisteme. Astfel, de la vârsta unei galaxii la timpul mediu de
viață a unor particule elementare exist ă o diferen ță de 35 de ordine de m ărime.
Sistemele de care se ocup ă fizica sunt alc ătuite din corpuri și câmpuri iar
interacțiunile între elementele sistemelor se manifest ă prin forțe și momente. Rezultatul
acestor interac țiuni este mi șcarea, transformarea. Prin urma re, fizica are ca obiect de
studiu cele mai generale forme de mi șcare a materiei precum și legătura reciproc ă dintre
acestea.
Teoriile care descriu evolu ția sistemelor fizice la scar ă macroscopic ă sunt
numite, adesea, teorii clasice . Ele sunt în unele cazuri, folosite și în studiul anumitor
sisteme în care apare structura molecular ă ca de exemplu în teoria molecular ă a gazelor.
Studiul experimental arat ă însă că, la scară microscopic ă, ori de cate ori e nevoie de o
aproxima ție mai bun ă, teoriile clasice nu sunt suficiente. În acest caz sunt folosite teorii
de alt tip, numite teorii cuantice . Tot prin studiu experimental se poate ar ăta că, într-
adevăr, elementele din care sunt alc ătuite sistemele cu care se ocup ă fizica microscopic ă
se comport ă în unele cazuri ca și particule, în alte cazuri ca și unde.
Unele legi ale fizicii sunt generale, cele în care apar constantele universale, iar
alte legi, exprimate prin rela ții care con țin constante caracteristice diferitelor materiale,
se numesc legi de material.
I.2. Unități de măsură. Sisteme de unit ăți
În procesul de cunoa ștere, trecerea de la observarea calitativ ă a unui fenomen la
cercetarea lui cantitativ ă impune determinarea valorilor m ărimilor fizice ce
caracterizeaz ă sistemul studiat, de ci efectuarea unor m ăsurători. A m ăsura o m ărime
înseamnă a o compara cu o m ărime de aceea și natură, considerat ă ca unitate. O m ărime
A, măsurată cu o anumit ă unitate [a] are o valoare a; m ăsurată cu o unitate [A’] are o
valoare a’ etc., asfel încât:
A = a[A] = a’[A’]
][]'[
'AA
aa
ceea ce exprim ă faptul că raportul valorilor unei m ărimi, obținute în urma folosirii a
două unități de măsură, este egal cu invers ul raportului celor dou ă unități. Rezultă, deci,
că valorile unei m ărimi măsurate cu diferite unit ăți de măsură, sunt într-un anumit
raport, care depinde de raportul dintre unit ățile de măsură respective. Din cele de mai
sus rezult ă, de asemenea c ă raportul valorilor a dou ă mărimi de aceea și specie nu
depinde de unitatea de m ăsură folosită (principiul semnifica ției absolute a unei valori
relative).
O lege fizic ă exprimă o relație între mai multe m ărimi. În general în formula
care concretizeaz ă această relație, pe lâng ă mărimile respective intervin și anumite
constante. Aceasta se datore ște adeseori faptului c ă formula, este ob ținută printr-una sau
mai multe integr ări. Astfel de constante sunt de terminate cu ajutorul unor condi ții
inițiale sau la limit ă. De exemplu dependen ța de timp a spa țiului parcurs în cursul unei
mișcări accelerate.
S = At2 + Bt + C unde: A = 2a, B = v 0, C = s 0,
a-fiind accelera ția, v 0-viteza ini țială, s0-spațiul inițial, parcurs de mobil înainte de
începerea m ăsurătorii și se obține prin integrarea expresiei:
adtsd22
Operația de alegere a unit ăților de m ăsură a condus la rezultatul c ă există un
oarecare num ăr de mărimi, numite mărimi fundamentale , pentru care alegerea unit ăților
se face prin conven ție, pentru celelalte numite mărimi derivate , alegerea unit ăților
făcându- se prin intermediul rela țiilor de defini ție. În aceast ă ultimă operație apare,
uneori, un oarecare arbitrar, și anume coeficientul parazit.
Ansamblul alc ătuit din unit ățile mărimilor fundamentale și unitățile mărimilor
derivate din acestea constituie un sistem coerent de unit ăți. Se folosesc mai multe
asemenea sisteme, care se deosebesc unul de altul fie prin natura m ărimilor
fundamentale, fie prin unit ățile alese pentru astfel de m ărimi, de exemplu:
-în tehnic ă se folose ște sistemul MKfS, în care m ărimile fundamentale sunt
următoarele: lungimea cu metrul, for ța cu kilogramul-for ță și timpul cu secunda;
-cu ajutorul m ărimilor fundamentale: lungime, mas ă și timp au fost definite
sistemele: -CGS- centimetru, gram, secund ă
-MKS- metru, kilogram, secund ă
Ambele sisteme au fost stabilite ini țial pentru a cuprinde, pe lâng ă mărimi geometrice,
în special m ărimile mecanice.
În domeniul științelor exacte, pe scar ă largă este adoptat sistemul interna țional
de unități (SI) bazat pe urm ătoarele mărimi fundamentale:
Mărime fundamental ă Unitate de m ăsură Simbol
Lungime metru m
Masă kilogram kg
Timp secund ă s
Intensitatea curentului electric amper A
Temperatur ă kelvin K
Intensitate luminoas ă candel ă cd
Metrul a fost etalonat prin compara ție cu lungimea de und ă, în vid, a radia ției
emise de atomul izotopului cu num ărul de mas ă 86 al kriptonului, în tranzi ția între
nivelele 2p10 și 5d5 și este egal cu 1650763,73 lungimi de und ă ale acestei radia ții.
Kilogramul este definit ca masa prototipului, confec ționat din platin ă, păstrat la
Biroul Interna țional de M ăsuri și Greutăți de la Sevres.
Secunda este durata a 919263131770 perioade ale radia ției corespunz ătoare
tranziției între cele dou ă nivele hiperfine ale st ării fundamentale a atomului izotopului
cu numărul de mas ă 133 al cesiului.
Amperul este intensitatea unui cu rent electric cons tant care, men ținut în dou ă
conductoare paralele, recti linii, cu lungime infinit ă și cu secțiune circular ă neglijabil ă,
așezate în vid la o distan ță de 1metru unul de altul, produce între aceste conductoare o
forță egală cu 2 10-7 N/m liniar.
Kelvinul, unitatea de temperatur ă termodinamic ă absolută, este frac țiunea
1/273,16 din temperatura termodinamic ă a punctului triplu al apei. La a 13-a Conferin ță
generală de măsuri și greutăți s-a hotărât că unitatea kelvin (K) s ă se foloseasc ă și
pentru a se exprima temperatur a unui interval sau o diferen ță de temperatur ă. În afara
temperaturii termodinamice absolute (T) exprimat ă în Kelvin se folose ște și temperatura
exprimată în scara Celsius cu simbolul ”t” definit ă prin relația:
t = T-T 0 unde T 0 = 273,15 K
Un interval sau o diferen ță de temperatur ă pot fi exprimate atât în grade Celsius
cât și în grade Kelvin.
Unitatea cantit ății de substan ță și anume molul, a fost adoptat ă la cea de-a 14-a
Conferință Internațională de Măsuri și Greutăți din anul 1971.
1. Molul este cantitatea de substan ță a unui sistem care con ține atâtea
entități elementare câ ți atomi exist ă în 0,012 kg de carbon, izotopul
12. Masa de 0,012 kg de 12C conține un num ăr de atomi egal cu
numărul lui Avogadro (N A = 6,022 1023 mol-1).
2. De câte ori se întrebuin țează molul, entit ățile elementare trebuie
specificate, ele putând fi atomi, mo lecule, ioni, alte particule sau
grupuri specificate de asemenea particule.
Candela este intensitatea luminoas ă, într-o direc ție dată a unei surse care emite o
radiație monocromatic ă cu frecven ța de 540
1012 hertzi și a cărei intensitate
energetică, în aceast ă direcție, este 1/683 dintr-un watt pe steradian.
CAP.II. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL
II.1. Introducere.
Mecanica este o parte a fizicii care studiaz ă schimbarea pozi ției corpurilor și
condițiile în care un corp r ămâne în repaus. Part ea Mecanicii care studiaz ă modul în
care corpurile î și schimbă poziția față de un reper, f ără să se țină seama de
interacțiunile (for țele) care intervin între corpuri, se nume ște Cinematic ă. Partea care
studiază schimbările de pozi ție ale corpurilor ca urmare a ac țiunii forțelor se nume ște
Dinamică. Partea din Mecanic ă care se ocup ă cu studiul condi țiilor în care corpurile
rămân în repaus se nume ște Statică. În sens mai larg, se consider ă că Mecanica are în
studiu și deformările corpurilor sub ac țiunea for țelor.
În studiul mi șcărilor mecanice, viteza este m ărimea cea ma i important ă,
care face leg ătura spațio-temporal ă între elementele fundamentale ale mi șcării:
spațiul și timpul (distan țele și duratele).
În Mecanica clasic ă se studiaz ă deplasările corpurilor cu o vitez ă mică
(neglijabil ă) în raport cu o vitez ă limită, care este viteza lumi nii în vid. Depla-
sările care se efectueaz ă cu viteze apropiate de viteza luminii sunt studiate de
Mecanica Relativist ă.
În general, ca în toate capitolele Fizicii și în cadrul Mecanicii putem
distinge o Mecanic ă experimental ă care se ocup ă cu studiul experimental al
fenomenelor mecanice și o Mecanic ă teoretic ă care urm ărește cuprinderea și
explicarea acestora în cadrul unor teorii abstracte generale.
Studiul evolu ției unui ansamblu mare de puncte materiale, f ără să fie
posibilă u r mărirea fiec ărui punct în parte, se face în Mecanica Statistic ă,
bazată pe rezultatele Mate maticii Statistice.
Pe lângă Mecanica Clasic ă și Mecanica Relativist ă, ale cărei legi sunt
valabile pentru dimensiuni și durate relativ mari, exist ă Mecanica (respectiv
Fizica) Cuantic ă, care studiaz ă procesele ce se petrec în microcosm: procese ale
căror legi sunt valabile pentru dimensiuni și durate oricât de mici, având deci ca
obiect de studiu particule de di mensiuni moleculare, atomice și subatomice.
II.2. Cinematica punctului material
În cele ce urmeaz ă se vor eviden ția principalele probleme privind cinematica
punctului material. Prin punct material se în țelege un punct geometric care posed ă masă
și poate interac ționa cu mediul înconjur ător. Dar în studiile de cinematic ă nu intereseaz ă
masa și interacțiunile.
Mișcarea, având loc în general în spa țiul tridimensional, se raporteaz ă la
un anumit punct consider at fix, numit referen țial, care împreun ă cu axele de coor-
donate formeaz ă un sistem de referin ță. Față de reperul ales, pozi ția punctului
material este determinat ă printr-un vector r, cu originea în originea sistemului de
referință și extremitatea în punctul ma terial, numit vector de pozi ție.
Schimbarea pozi ției punctului material fa ță de reperul ales, definit ă ca
mișcare mecanic ă, este determinat ă atunci când se cunosc în fiecare moment
coordonatele acestui punct. Aceasta înseamn ă că vectorul de pozi ție este o
funcție vectorial ă uniform ă, derivabil ă (cel puțin de dou ă ori), dependent ă de
timp:
)(trr
Această relație reprezint ă legea de mi șcare a punctului material. Proiectat ă
pe axele unui sist em ortogonal care mai poate fi scris ă sub forma a trei func ții
scalare de timp, numite ecua țiile scalare ale mi șcării:
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t).
Dacă se elimin ă timpul din aceste rela ții se obține traiectoria punctului
material sau locul geometric al punctelor succesive prin care a trecut mobilul.
Când mi șcarea punctului material este raportat ă la un punct de pe tra-
iectorie, ecua ția mișcării se poate scrie sub forma:
s = s(t) – relație care reprezint ă legea mi șcării.
În figura al ăturată este reprezentat ă lungimea por țiunii de traiectorie par-
cursă de mobil în timpul t.
Pentru a putea stabili ecua ția de mișcare a punctului material se define ște
viteza punctului material ca fiind:
0lim
tvrdtrd
tr
Fig.II.1.
Modulul vectorului vitez ă va fi dat de rela ția: dtdsv v
unde ds este elementul de lungime pe traiectoria mi șcării (fig.II.l.).
În cazul în care vi teza este constant ă, prin integrarea rela ției:
ds = v dt,
se obține ecuația mișcării pentru mi șcarea uniform ă:
s=s o+vt.
În cazul în care viteza mobilului nu r ămâne constant ă ca mărime și
direcție (vectorul vitez ă nu este constant). În studiul mi șcării se introduce o
nouă mărime numit ă accelera ție, definit ă prin rela ția:
. lim
0vdtvd
tva
t
vreprezint ă derivata vitezei în raport cu timpul.
Vectorul vitez ă fiind tangent la trai ectorie în fiecare punct, poate fi scris
sub forma:
vv
unde reprezint ă versorul tangentei iar v modulul vitezei.
Ținând cont de defini ția accelera ției, prin derivare ob ținem:
.v va
Fiindcă Rn
dsd
Putem scrie c ă .nRv
dtds
dsd
dtd
.2
nRvvnRvv va
În relația de mai sus v reprezint ă componenta tangen țială a accelera ției
(accelera ția tangen țială) care se datore ște variației mărimii vitezei, iar
Rv2
reprezint ă componenta normal ă a accelera ției (accelera ția normal ă) și se
datorește variației direcției vitezei.
Cunoașterea accelera ției permite ob ținerea, prin dou ă integrări sucesive
a ecuației de mi șcare s = s(t).
In cazul când pozi ția punctului material în mi șcare este dat ă prin coor-
donatele sale carteziene ca func ții de timp, vectorul de pozi ție )(trare expresia:
kzjyixr
unde kji
,, : sunt versorii corespunz ători axelor 0x, 0y și 0z. Viteza este:
.kzjyixrv
iar accelera ția
kzjyixrva
Valoarea absolut ă a vitezei în coordonate carteziene respectiv în
coordonate polare în plan este:
,022 2 2 2 2 2 rr y x vv vvy x
iar valoarea absolut ă a accelera ției
,002 02 22 2 2 2 2 rr rr y x a a aay x
Compunerea vitezelor și accelera țiilor se face prin însumarea
vectorial ă a componentelor lor.
II.3. Principiile dinamicii
Legile fundamentale sau principiile, care stau la baza studiului mi șcării corpului
ca rezultat al interac țiunilor cu mediul exterior, au primit o formulare științifică în
celebra lucrare a lui Newton "Principiile ma tematice ale filozofiei naturale”. Aceste
principii sunt:
a) Principiul iner ției: un punct material asupra c ăruia nu ac ționează nici o for ță,
rămâne în repaus sau se deplaseaz ă rectiliniu și uniform. In lucr ările lui Newton, în loc
de punct material se vorbea de un corp material, dar acesta desigur nu poate fi
considerat decât ca un punct material , deoarece solidul rigid poate avea și o mișcare de
rotație. De asemenea se precizeaz ă că o mișcare uniform ă este o mi șcare cu vitez ă
constantă.
Dacă se introduce no țiunea de impuls (numit uneori, cantitate de
mișcare), definit ca produsul dintre masa m a corpului (presupus ă constant ă) și
viteza v a acestuia, adic ă:
vmp
atunci principiul iner ției poate fi formulat astfel: în lipsa ac țiunii oric ărei forțe
impulsul r ămâne constant. Principiul iner ției poate fi interpretat ca fiind legea
conservării impulsului mecanic.
După cum se demonstreaz ă în teoria relativit ății, masa unui corp în mi ș-
care depinde de viteza cu care se deplaseaz ă corpul și este dat ă da relația:
220
1cvmm
unde m0 este masa de repaus, iar c viteza luminii în vid. A șadar legea
inerției, în toate cazur ile, se va scrie:
.,
1
220cst
cvvmp
în absen ța oricărei forțe.
b) Principiul for ței: forța căreia i se datore ște mișcarea unui corp este
egală cu derivata impul sului acestuia în ra port cu timpul:
.pdtpdF
In cazul general prin F
se înțelege rezultanta tuturor for țelor care
acționează asupra corpului în mi șcare.
În condițiile în care viteza m obilului este neglijabil ă față de viteza luminii
în vid, masa acestuia poate fi considerat ă constant ă și deci rela ția care exprim ă
principiul for ței (numit și legea varia ției impulsului) poate lua forma:
.amdtvdmvmdtd
dtpdF
Dacă poziția mobilului este dat ă în fiecare moment prin raza vectoare
relativă la un reper fix, rela țiile de mai sus sunt echivalente cu:
Frmdtrdm
22
Dacă mișcarea este raportat ă la un sistem de axe carteziene ultima rela ție
este echivalent ă cu:
xFdtxdm22
yFdtydm22
zFdtzdm22
unde F x, Fy și Fz sunt componentele for ței pe direc țiile celor trei axe de coordo-
nate. Aceste rela ții reprezint ă ecuațiile dinamice ale mi șcării punctului material.
Legea vectorial ă de mișcare )(trrși legea natural ă de mișcare s=s(t) se
obțin prin integrarea ecua țiilor dinamice ale mi șcării punctului material. Con-
stantele ce apar la integrarea acestor ecua ții diferen țiale se determin ă din condi-
țiile inițiale, pozi ția inițială și viteza ini țială,
c) Principiul egalit ății acțiunilor reciproce: î n u r m a f i e c ărei
acțiuni apare ca r ăspuns o for ță egală și de sens contrar numit ă reacțiune.
Reacțiunea este totd eauna contrar ă ca și sens dar egal ă în modul cu ac țiunea.
Conform acestei legi for țele apar totdeauna numai perechi. Existen ța
concomitent ă a acțiunii și a reacțiunii este confirmat ă de practic ă prin faptul c ă
într-o serie de interac țiuni dintre dou ă corpuri este vizibil efectul reac țiunii nu
cel al acțiunii.
d) Principiul independen ței acțiunii for țelor: L a c e l e t r e i
principii ale lui Newton, în studiul mi șcărilor, se mai adaug ă principiul
independen ței acțiunii forțelor sau legea superpozi ției forțelor. Conform acestei
legi fiecare dintre for țele la care este supus un punct material, ac ționează
independent de existen ța celorlalte for țe aplicate punctului. Aceasta înseamn ă că
forțele aplicate asupra punc tului material î și suprapun ac țiunile. Mi șcarea este
aceeași ca și când asupra punctu lui material ar ac ționa o singur ă forță rezultant ă,
obținută prin însumarea vectorial ă a tuturor for țelor aplicate punctului.
Principiile lui Newton sunt legi generale cu caracter axiomatic, care nu se
pot demonstra. Ele reprezint ă generalizarea și abstractizarea experien ței și
cunoașterii umane referitoare la mi șcare ca rezultat al interac țiunilor dintre cor-
puri. Aceste legi n-au putut fi infirmate prin nici o experien ță.
Referitor la principiile dinamicii mai trebuie ar ătat că acestea sunt
satisfăcute numai în condi țiile unor sisteme de referin ță inerțiale (care sunt în
repaus sau în mi șcare rectilinie și uniform ă față de sistemul în care corpul studiat
se află în repaus, numit sistem propriu).
Conform principiilor lui Newton un even iment se petrece simultan în toate
sistemele iner țiale; de asemenea distan ța spațială are aceea și valoare în toate
sistemele iner țiale în care este m ăsurată.
II.4. Lucru mecanic. Energia mecanic ă.
Se știe că în toate activit ățile fizice apar dou ă elemente comune și anume
acțiunea unei for țe și deplasarea. Ca m ăsură a activităților practice s-a introdus no țiunea
de lucru mecanic.
Prin defini ție, lucrul mecanic elementar efectuat de c ătre o forță constant ă
F
când punctul s ău de aplica ție parcurge arcul de traiectorie sdeste mărimea
fizică dată de produsul scalar:
cos. . dsFsdF dL
fig.II.2.
Din figura II.2 se poate vedea c ă, dacǎ mișcarea este raportat ă la referen țialul O
și este dat ǎ prin evolu ția în timp a vectorului de pozi ție r(t),lucrul mecanic
poate fi scris și sub forma:
rdF dL
.
rd fiind diferen ța vectorilor de pozi ție r și drr ai punctelor P respectiv P',
prin care a trecut mobilul la momentele t respectiv t+dt.
Ținând cont de legea a II-a a lui Newt on lucrul mecanic el ementar se poate
scrie:
dtrrmrdrmrdF dL
.
căci .dtrrd
Se observ ă că ultimul termen este o diferen țială totală exactă și deci:
).21( )21(22mvd rmd dL
Mărimea din parantez ă, notată prin E c (sau T)
2
21mv ETc
Este energia cinetic ă a mobilului câ știgată sub acțiunea for ței F
. Așadar
avem:
, .cdErdF dL
Relație care exprim ă faptul c ă lucrul elementar al for ței care ac ționează asupra
unui mobil este egal cu diferen țiala energiei cinetice a acestuia. Sub form ă finită
ecuația de mai sus se scrie:
2
1.
1 2LrdF E Ec c
și exprimă faptul că variația energiei cinetice în depl asarea mobilulu i de la punc-
tul l la punctul 2 este egal ă cu lucrul mecanic efectuat de for ța care cauzeaz ă
această deplasare.
Se observ ă că derivata energiei cinetice în raport cu viteza d ă valoarea
impulsului:
p mv mvdvd
dvdEc )21(2
În cazul în care avem de-a face cu mi șcarea unui punct material într-un
câmp de for țe care deriv ă dintr-un poten țial adică pentru care avem:
,) ( UkzjyixU gradU F
Expresia lucrului mecanic elementar devine:
), ( . dzzudyyudxxurdF dL
Deci:
dL=dU.
În acest caz lucrul meca nic efectuat de for ța F
care își deplaseaz ă punctul
de aplica ție din P 1 într-un punct P 2 este:
1 22
1p pU U dL L
Dacă U este o func ție univoc ă, valoarea lucrului mecanic efectuat pentru a
ajunge din P 1 în P 2 nu depinde de drumul urmat între cele dou ă puncte, iar
valoarea integralei în lungul unul circui t închis este nul ă:
0 dU L
Când func ția U este independent ă de timp și este o func ție univoc ă de
coordonate, ea reprezint ă o funcție de punct E p, numită energie poten țială a
mobilului. Un câmp de fort ă caracterizat printr-o astfel de func ție se nume ște
câmp conservativ sau câmp poten țial.
În cazul unei deplas ări elementare într-un câmp conservativ pe baza celor
arătate mai sus avem: dEc=dL=-dE p
sau dEc+dE p=d(E c+E p)=0
de unde prin in tegrare rezult ă: Ec+E p=E=const
Așadar energia cinetic ă și cea poten țială a unui mobil aflat într-un câmp
potențial se transform ă una într-alta astfel încât suma lor la un moment dat
rămâne constant ă dacă asupra mobilului nu ac ționează alte for țe exterioare
câmpului.
Într-un câmp de for țe conservativ se definesc suprafe țele locului
geometric pentru care U=const. Acestea sunt numite suprafe țe echipoten țiale ale
câmpului. Din defini ția lor rezult ă că prin fiecare punct al câmpului trece o
singură s u p r a f a ță echipoten țială și că la deplasarea unui punct material pe o
asemenea suprafa ță nu se efectueaz ă lucru mecanic.
Într-un câmp de for țe pot fi trasate, prin fie care punct, curbe tangente la
vectorul for ță. Acestea trec prin punctele de aplica ție ale for țelor și se numesc
linii de for ță sau linii de câmp. Rezult ă că liniile de câmp s unt ortogonale la
suprafețele echipoten țiale. Aceste propriet ăți sunt cuprinse în rela ția
gradU F
. Într-adev ăr, la orice deplas ări ale mobilului pe aceea și suprafa ță
echipoten țială lucrul mecanic fiind nul, tre buie ca cei doi vectori, for ță și
deplasare, s ă fie perpendiculari . Din legea conserv ării energiei mecanice, ținând
cont că energia cinetic ă este o m ărime pozitiv ă sau nul ă, rezultă că energia
potențială este E Ep.
E fiind energia total ă. Aceast ă condiție delimiteaz ă acele regiuni din
spațiu în care este posibil ă mișcarea punctului materi al. De exemplu dac ă energia
potențială variază ca în figura II.3 rezult ă că în punctele A, B, C, energia cinetic ă
este nulă deoarece v=0 iar x A,xB,xС sunt puncte de în toarcere.
pE
fig.II.3.
Condiția E Ep este satisf ăcută numai în regiunea AB, singura deci în care
mișcarea este posibil ă. Această regiune constituie o groap ă de poten țial și este
mărginită de domenii în care mi șcarea nu este posibil ă, numite bariere de
potențial. Trecerea unui mobil printr-o asemenea barier ă nu este posibil ă din
punct de vedere al mecanicii clasice f ără modificarea energiei totale.
Un câmp de for țe care nu deriv ă dintr-un poten țial U se nume ște turbionar.
Condiți a c a u n c â m p s ă nu fie turbio nar se deduce din defini ția câmpului
potențial gradU F
, adică:
.,,
zUFyUFxUF
zyx
Derivatele par țiale:
yxU
xFsixyU
yF y x
2 2
vor fi egale deoarece ordinea de derivare poate fi intervertit ă.
Deci: 0
xF
yF y x
și în mod analog: xF
zFz x
=0 și 0
yF
zFx y
Diferențele derivatelor par țiale din membrul în tâi al acestor rela ții sunt
componentele unui vector numit rota ționalul lui F
. Deci condi ția ca un câmp s ă
fie poten țial mai poate fi scris ă, ca:
0 Fx Frot
Faptul că rotorul câmpului poten țial este nul înseamn ă că liniile de for ță ale unui
astfel de câmp sunt curbe deschise.
II.5. Momentul cinetic
Dacă o forță acționează asupra unui corp care are un punct fix îi produce
acestuia o rota ție până când direc ția forței trece prin punctul fix. Ca m ăsură a efectului
de rotație se define ște momentul for ței în raport cu punctul fix.
Dacă F
este forța care ac ționează asupra mobilului în punctul P (fig.II.4)
momentul for ței în raport cu punctul 0 este m ărimea: Fxr M
fig.II.4.
Pentru un punct material în mi șcare față de un punct fix, considerat
reper, se define ște un moment al impulsului, numit moment cinetic
.vxmrpxrj
Momentul cinetic j
este un vector perpendicular pe planul determinat de vr,,
având originea în punctul fix.
Se demonstreaz ă că viteza de varia ție a momentului cinetic este egal ă cu
momentul for ței care determin ă mișcarea mobilului.
Într-adev ăr
pxrpxrpxrdtdj
Având în vedere c ă vectorii vmpsivr au aceea și direcție, produsul lor
vectorial este nul, iar din ultima rela ție rămâne.
MFxrpxrj
După cum se vede din ultima rela ție, atunci când asup ra mobilului nu
acționează nici o for ță sau acționează o forță centrală (al cărei moment fa ță de
centrul de rota ție este nul) mo mentul cinetic r ămâne constant. Intr-adev ăr,
deoarece 0 j
constjd j
Adică, în aceste condi ții momentul cinetic se conserv ă.
Cazuri particulare:
Mișcarea unui punct material într-un anumit câmp de for ță depinde de
structura acestui câmp și se studiaz ă fie cu ajutorul legilor lui Newton, fie
folosind principi ul conserv ării energiei. Dintre cazurile particulare ale mi șcării
punctului material în dife rite câmpuri aici prezent ăm urmatoarele:
a) Mișcarea într-un câmp uniform. În acest caz în orice punct al
câmpului for țele au acea și valoare, direc ție și sens. Câmpul gravita țional într-o
regiune nu prea mare, câmpul for țelor arhimedice într-un vas con ținând un lichid
omogen, câmpul for țelor electrostatice dintre arm ăturile unui condensator plan
pot fi considerate astfel de câmpur i. În câmpurile uniforme suprafe țele
echipoten țiale sunt plane, iar liniile de for ță sunt drepte paralele.
Considerând ca exemplu caz ul cîmpului gravita țional dac ă alegem ca ax ă 0z
direcția greutății (F x =F y =0, F z=G=mg), func ția de for ță (energia poten țială) va
satisface rela ția:
,dzdUFGz
de unde Gdz dU
iar C Gz Gdz U
Când z=0 și C=0 avem : U=-mgz
Deci energia poten țială a unui corp cre ște propor țional cu în ălțimea (cota)
față de nivelul co nsiderat zero.
Ecuația dinamic ă a mișcării într-un câmp în care for ța F
este constant ă
va fi:
Fdtvdmrm
sau ,dtmFvd
de unde prin integrare
0vtmF
dtrdv
iar printr-o nou ă integrare se ob ține: 0 02
21rtvtmFr
Relațiile de mai sus reprezint ă ecuația vitezei și spațiului în mi șcarea
uniform accelerat ă.
Un caz interesant îl constituie arunc ările în câmp constant. Pentru
simplificarea studiului se alege sistemul de referin ță astfel că la momentul t 0= 0
0or, iar viteza 0vde aruncare imprimat ă punctului material și forța F
să fie
coplanare. Dac ă se alege O y F
(fig.II.5) ecua țiile scalare ale mi șcării sunt
cos0tvx ,
sin21
02tvtmFy
fig.II.5.
Eliminând timpul se ob ține ecua ția traiectoriei în coor donate carteziene, de
forma unei parabole
xtg xvgy 2
2 2
0cos2
unde am notat F/m = g.
Făcând pe y = 0 se obține distan ța maxim ă pe orizontal ă (bătaia) la care
ajunge corpul aruncat
2sincos22
02 2
0
gvtggvxm
Se poate observa c ă pentru corpuri aruncate cu aceea și viteză v0, xm este
maxim când unghiul α, pe care-l face direc ția vitezei de aruncare cu orizontala,
satisface condi ția: sin 2α = 1, adic ă α = 45°.
Înălțimea maxim ă (săgeata traiectoriei ) la care se urc ă c o r p u l s e o b ține
pentru o abscis ă egală cu jumătatea bătăii, adică pentru
2sincos22
02 2
0
gvtggvxm .
Ordonata devine
gtg v
gtg v
vgy 2 2 2
0
22 4 4
0
2
0maxcos cos
2 ,
iar după restrângere se ob ține:
. sin222
0
max gvy
Formulele rezultate sunt valabile în cazul arunc ării în vid. În caz real, la
aruncarea în aer, datorit ă rezisten ței pe care o întâmpin ă mobilul, traiectoria
devine o curb ă balistică având forma unei parabole cu ramura coborâtoare mai
puțin întinsă.
In cazul mi șcării într-un câmp de for țe uniform dintr-un mediu fluid
experiența arată că rezisten ța opusă de mediu este func ție de viteza mobilului.
Există două cazuri particulare:
1° Rezisten ța este propor țională cu viteza. Consider ăm ca exemplu
căderea unei bile în tr-un mediu vâscos în care rezisten ța vr6R este dată de
legea lui Stokes. Ecua ția dinamic ă a unei astfel de c ăderi este:
.1vk mgdtdvm
Integrând, pentru condi țiile inițiale t= 0 și v = 0, se ob ține expresia vitezei :
tmkekmgv1
11
de unde se vede c ă după un timp lung viteza tinde c ătre o valoare limit ă
,
1maxkmgv
atinsă atunci când for ța de rezisten ță k1v, este egal ă și de sens contrar cu mg
(echilibru dinamic)
2°. Rezisten ța este propor țională cu viteza la p ătrat (R=k 2v2).
Asemenea rezisten țe se întâlnesc la mi șcarea cu viteze mari a unui corp în aer.
Ecuația dinamic ă a unei asemenea mi șcări va fi:
2
2vkFdtdvm
unde F este for ța constant ă de tracțiune.
Integrând avem
.
21
1
2
22
2ctk
vk Fvk F
l
F
Dacă la momentul t = 0, v = 0, rezult ă C = 0 și expresia vitezei este
,2
2 2 22 2
2tFkthkF
tFk etFketFk etFke
kFv
care arată că viteza tinde și în acest caz c ătre o valoare limit ă
2maxkFv
Când t . Distanța la care se atinge v max este finit ă, fiind vorba și aici de un
echilibru dinamic.
b) Mișcarea într-un câmp de for țe elastice. For țele elastice apar ca
rezultat al schimb ării poziției de echilibru al particulelor ce formeaz ă un corp
solid. Mărimea for țelor elastice este propor țională cu deplasarea r a punctelor
față de poziția lor de echilibru.
Se cunoa ște faptul c ă forța care apare la deformarea elastic ă a unui corp
este dată de legea lul Hooke:
rk F
k fiind cons tanta elastic ă a materialului.
Mișcarea punctului material sub ac țiunea unei for țe elastice efectuându-se
în lungul unei axe, s ă zicem Ox, ecua ția dinamic ă a mișcării este:
kx xm
Integrând aceast ă ecuație diferen țială
obținem: x=Asin(( ωt+φ)
unde A și φ sunt dou ă constante de integrare a c ăror valoare depi nde de condi țiile
inițiale. Dup ă cum se vede, ecua ția cinematic ă a mișcării este o oscila ție, x fiind
elongația, iar mk pulsația mișcării.Mărimea unghiular ă ωt+φ este faza
oscilației la momentul t, φ este faza ini țială, iar A amplitudinea (elonga ția
maximă).
Viteza punctului material în mi șcarea oscilatorie este:
) ( cos* t Axv
iar accelera ția:
. ) sin(2 2x t A xa
Forțele elastice fiind de forma:
F=-kx=-m ω2x,
se observ ă ușor că ele deriv ă dintr-un poten țial
dxdUkx F
de unde
xx
xkkxdx Fdx U
002
2
Deci energia poten țială într-un corp elastic deformat este:
2
2xkU Ep
În cazul unei oscila ții elastice libere energia total ă este egal ă cu energia cinetic ă
maximă (corespunz ătoare momentului trecerii oscilatorului prin pozi ția de
echilibru):
222
max
21
2max A mmvEcE
Această valoare coincide cu maximul energiei poten țiale:
22 2
max21
2A m AkU
Dacă punctul material pus în mi șcare se af ă sub acțiunea a dou ă forțe de aceea și
constantă elastică traiectoria nu va mai fi,în general, o dreapt ă. In cazul a dou ă
forțe elastice perpendiculare
ix m Fx 2 și ,2jy m Fy
vom avea mi șcările oscilatorii:
x=Asin(ωt+φ1) și y=Bsin( ωt+φ2)
Mișcarea rezultant ă a punctului material poate fi considerat ă ca o mi șcare
compusă din cele dou ă oscilații. Eliminând timpul din ecua țiile oscila țillor
componente se ob ține traiectorie punctului
2
22
22
sin cos2
ABxy
By
Ax
unde 2 1 reprezint ă defazajul între fazele oscila țiilor componente.
După cum se poate observa, mi șcarea rezultat ă din compunerea a
două mișcări oscilatorii armonice de aceea și pulsație are ca traiectorie în general
o elipsă. În func ție de valoarea lui aceasta poate degenera într-o dreapt ă
(= 0 sau = ) sau într-un cerc ( =2 sau A=B).
În cazul compunerii a dou ă oscilații armonice paralele de frecven țe diferite
tv ax1 1 1 2sin și tv ax2 2 2 2sin
Amplitudinea mi șcării rezultante va fi variabil ă în timp:
.) (2cos 22 1 212
22
12tvv aa a a A
Pentru 2 ktvv 2) (2 1 amplitudinea are valoarea maxim ă A 2 1aa ,
iar pentru 2 )12() (2 1 k tvv amplitudinea este minim ă, A .2 1aa
Notând cu θ timpul dintre dou ă maxime consecut ive oarecare avem:
tvv ) (22 1 și )1(2) )( (22 1 k tvv
Scăzând obținem:
.1
2 1vv
În mod analog se ob ține acela și timp între dou ă minime consecutive. Aceast ă
apariție a maximelor și minimelor prin compunerea a dou ă vibrații constituie
fenomenul de b ătaie. Frecven ța bătăilor este:
v12= v 1-v2.
chiar diferen ța frecven țelor vibra țiilor componente.
Fenomenul de b ătaie este foarte u șor de realizat și observat în cazul
vibrațiilor sonore a dou ă diapazoane identice, care vibreaz ă simultan,
dacă unuia i se ata șează o agraf ă de un bra ț (schimbând pu țin prin
aceasta frecven ța proprie de vibra ție).
II.6. Gravita ția
Kepler, studiind mi șcarea planetelor pe ba za datelor furnizate de
observațiile astronomice, a stabilit c ă mișcarea lor în sistemul helicentric este
guvernat ă de următoarele trei legi generale:
1. Planetele descriu traiectorii elipti ce, Soarele aflându-se în unul din
focare.
2. Suprafe țele măturate de razele vectoare sunt propor ționale cu timpul
(viteza areolar ă este constant ă).
3. Pătratul perioade lor de revolu ție este propor țional cu cubul axelor mari
ale elipselor descrise 3
21 2
21)()(aa
TT
Newton, c ăutând motiva ția legilor lui Kepler, a descoperit legea atrac ției
universale. El a considerat c ă forțele de interac țiune dintre a ștri sunt de aceea și
natură cu forța care atrage corpur ile spre centrul P ământului. Deducând și
verificând legea de interac țiune dintre doi a ștri, Newton a extins aceast ă lege
asupra tuturor corpurilor din univers. Aceast ă lege are urm ătorul enun ț: două
corpuri (a ștri) se atrag cu o for ță direct propor țională cu produsul maselor lor și
invers propor țională cu pătratul distan ței dintre centrele lor. Adic ă:
221
rmmkF
unde factorul de propor ționalitate k este constanta gravita ției universale.
Forțele gravita ționale sunt for țe centrale care se manifest ă în jurul fiec ărui corp,
formând câmpuri gravita ționale. Natura gravita ției nu este elucidat ă. Einstein a
presupus existen ța undelor gravita ționale care s-ar propaga cu viteza luminii, dar
încercările de detectare ale acestora au e șuat.
Câmpurile gravita ționale sunt câmpuri poten țiale. Pentru câmpul unui
astru (corp) de mas ă M se poate scrie:
k drF dU . ,2drrMm
iar rMmkU
unde r =r 0+h este suma dintre raza r 0 a astrului și altitudinea h a punctului
în care calcul ăm potențialul.
Să urmărim în continuare de ducerea legii atrac ției universale. Pentru
aceasta pornim de la expresia accelera ției
nrvva2
Pentru simplificare s ă presupunem c ă mișcarea are loc pe o traiectorie
circulară (elipsă cu axele egale). În aceste condi ții legea ariilor impune 0vși
deci arv2
forța centrifug ă a Planetei este:
2 2 232
24
rm
rm
Trr mF
unde 2324
Tr este o constant ă deoarece raportul 23
Tr are aceea și valoare pentru
orice planet ă, conform legii a treia a lui Kepler. Aceast ă forță este egal ă cu forța
cu care Soarele es te atras de planet ă
2rMF
unde M mare este masa Soarelui și o constant ă. Din egalarea celor dou ă forțe
rezulă:2 2rM
rm deunde km M
deci km și km , care introduse în expresiile for țelor dau
2rMmkF
Aceasta reprezint ă expresia for ței de atrac ție dintre Soare și o planet ă ce
se rotește în jurul s ău. Ea a fost extins ă la toate corpuri din Univers, cu condi ția
ca distan ța dintre centrele de mas ă ale celor dou ă corpuri s ă fie mult mai mare
față de dimensiunile lor. Constanta gravita ției universale k reprezint ă forța cu
care se atrag dou ă corpuri cu masa de l kg aflate la distan ță de l m. Dimensiunile
lui k rezult ă din relația:
212.
mmrFk ; 2 31
222
TLMML MLTk
Valoarea constantei gravita ționale universale este k = 6,67.10-11 Nm2/kg2,
și a fost determinat ă experimental da c ătre Cavendish. Dispozitivul folosit pentru
aceasta a constat dintr-o balan ță de torsiune de construc ția speciala (fig.II.6).
Din firul de torsiune T este suspendat ă
orizontal o bara foarte u șoară având la capete
cîte o mas ă m de plumb. Dou ă sfere mari de
plumb, având fiecare masa M, sunt a șezate în
fața sferelor mici. Cuplul for țelor de atrac ție
dintre m și M va fi:
22 2.rMmdk dF
unde r este distan ța dintre centrele sferelor, iar
d jumătatea barei.
Pentru a determina valoarea lui k se
măsoară valoarea cuplului prin momentul de
răsucire a firului de susp ensie. Pentru aceasta cu goniometrul G se m ăsoară
unghiul θ cu care trebuie r ăsucit firul pentru a readuce bara în pozi ția inițială.
Această poziție se repereaz ă cu ajutorul unui fascicul luminos, provenit de la un
proiector P, reflectat de o oglind ă 0 solidar ă cu bara pe o rigla gradat ă R. Prin
readucerea spot ului în pozi ția inițială momentul for țelor gravita ționale este
compensat de momentul de torsiune al firului:
22rMmdk D
Unde D este constanta de torsiune a firului, care se determin ă din expresia
perioadei pendulul ui de torsiune, DJ T / 2 ,
– J fiind momentul de iner ție al echipajului mobil.
S-a obținut o precizie mare lucr ând în vid, cu un fi r de torsiune din cuar ț.
Odată determinat ă constanta gravita ției universale k, se poate determina
masa Pământului. Într-adev ăr, forța de atrac ție dintre P ământ și un corp
oarecare de mas ă m poate fi scris ă astfel:
mgRMmk2
de unde masa p ământului M este
kgkgRM24
1123 2
10.610.67,6)10. 6400(8,9
Ca urmare, experien ța lui Cavendish a fost numit ă pe bune
dreptate,"Cânt ărirea Pământului".
Considerând P ământul ca o sfer ă omogen ă de rază R6400 km, se
obține densitatea medie a P ământului :
3 3324
3550)10. 6400(14,3.410.6.3
34 mkg
RM
cunoscând c ă densitatea medie a scoar ței este în jur de 2000 kg/m3
urmează că densitatea în interiorul P ământului este mult mai mare.
Variația greutății cu altitudinea și latitudinea. Legea a doua a lui Newton
definește greutatea unui corp de mas ă m în câmpul gravita țional prin rela ția
G=mg, unde accelera ția gravita țională g reprezint ă intensitatea câmpului în
punctul în care se afl ă corpul.
Variația accelera ției gravita ționale cu altitudinea rezult ă din
identificarea interac țiunii dintre p ământ și un corp oarecare dat ă pe de o parte
de legea a II a dinamicii și pe de alta de legea gravita ției universale.
2) ( hRMmk mgh
unde g h este accelera ția gravita țională la altitudinea h; va loarea ei va fi:
),
211() (
22 0 2
Rh
RhghRMk gh
iar în cazul unor altitudini mici(h<<R și h2/R2 0)
),21(
4121
211
0
22 0 0Rhg
RhRh
g
Rhg gh
g0 fiind accelera ția gravita țională la altitudinea zero.
Fig.II.7.
Accelera ția gravita țională se modific ă și cu latitudinea datorit ă compunerii cu
accelerația centrifug ăr2, ce apare ca rezultat al rota ției pământului. Intr-
adevăr considerândr2, mult mai mic ca g 0,valoarea accelera ției gravita ționale
gλ sa poate eproxima de stul de bine prin rela ția
2 2
02
0 cos cos R g r g g
unde r λ=R cos λ.
La ecuator ( λ=0)accelera ția gravita țională va fi:
RTgR g g22
2
04
În cazul în care perioada de rota ție a pământului în jurul axei sale ar fi de 17
ori mai mic ă, corpurile de la ecuator ar pluti, putând p ărăsi Pământul. Datorit ă
turtirii P ământului și faptului c ă l a p o l i (2) termenul 2 2cosr este nul,
accelerația gravita țională la poli este mai ma re ca la ecuator.
Valoarea accelera ției gravita ționale determinat ă experimental este: 9,83m/s2 la
poli, 9,78m/s2 la ecuator și 9,805m/s2 la Bucure ști.
Vitezele cosmice. Prima vitez ă cosmică este viteza minim ă necesar ă unui
mobil
pentru a se roti în jurul P ământului. Considerând un corp de mas ă m care este
aruncat orizon tal la o altitudine mic ă cu o asemenea vitez ă, va trebui ca for ța
centrifug ă de inerție să echilibreze greutatea. Adic ă
mgrmv2
01 de unde rezult ă: rg v01
În aceste condi ți i c o r p u l s e r o t e ște în jurul P ământului, devenind satelit
artificial al acestuia. C onsiderând r=R+ h=6400km și g = 9,8 m/s2 se obține:
./ 79008,9.10. 64003
01 sm v
Dacă satelitul este la nsat la o altitudine h re lativ mare, atunci viteza v1 va
satisface rela ția
22
1
) ( hRMmkhRmv
de unde
..01 1hRRvhRR
RMkhRMk v
Din cazul unor sateli ți staționari, folosi ți în televiziune, care trebuie s ă fie
situați mereu de asupra aceluia și punct de pe glob, perioada lor trebuind s ă fie
de T=24 ore, vite za mai satisface și relația:
). (21 hR Tv
Din aceste rela ții rezultă condițiile de vitez ă și altitudine pent ru un asemenea
satelit. Dac ă viteza tangen țială de lansare a sateli ților este mai mare ca prima
viteză cosmică, traiectoriile de scrise de ace știa vor fi eliptice. In cazul în care
viteza de lansare dep ășește o anumit ă limită v02, mobilul iese din sfera de
atracție a Pământului și intră în sfera de atrac ție a altor planete, a Lunii și mai
ales în a Soarelui.
Pentru a calcula viteza v02 numită a doua vitez ă cosmică, consider ăm că
energia cinetic ă imprimat ă la lansare este suficient ă pentru ca mobilul s ă se
deplaseze la infinit fa ță de Pământ. Așadar energia cinetic ă se va transforma
integral în energie poten țială, în câmpul gravita țional al P ământului, când
corpul lansat cu viteza v02 va fi suficient de departe de P ământ. Adic ă
R RmMkRkmM drrMmkmv)11(222
02
de aici rezult ă :
skmvRkMv 2,1129,72 201 02
Viteza v o3 pe care trebuie s ă o aibă un corp pentru ca pornind de pe P ământ să
se elibereze de atrac ția Soarelui (s ă părăsească sistemul solar) se nume ște a
treia viteză cosmică. Calcule analoge celor de sus dau pentru aceast ă viteză
valoarea
v03= 16,7 km/s.
Ecuația lui Mescerski pentru mi șcarea rachetei este ecua ția vitezei unui
corp de mas ă variabilă. Masa unei rachete ale c ărei motoare sâ nt în func țiune
este o func ție de timp datorit ă pierderii de mas ă prin arderea rezervei de
combustibil. Dac ă viteza de ejec ție a gazelor care se formeaz ă prin arderea
combustibilului este w (în raport cu corpul rachet ei), iar viteza rachetei este
v, ecuația diferen țială (dinamic ă) a mișcării este:
ePwm mdtd
dtvdm
) (0
unde m 0 este la masa de pornire. Intrucât weste constant
dtdmwPdtvdme
Unde m=m(t)este masa la momentul t iar P
e suma tuturor for țelor exterioare.
Mărimea dtdmwR
reprezint ă forța de reac ție îndreptat ă în sens contrar cu
w(întrucât dtdm<0).
În absen ța forțelor exterioare (gravita ție, frecări etc.) putem scrie:
dtmmwvd
de unde
t tnmwdtmmwv
0 0
și deci
)()(0
tmmnw tv .
Dacă racheta este cu mai multe trep te, atunci viteza în timpul func ționării unei
trepte oarecare este:
)(0
0tmmnwvv
unde v0 este viteza la începutul func ționării motoarelor treptei respective, iar m0
masa în acel moment
Ecuația lui Mescerski, dat ă de ultima rela ție, stă la baza studiului mi șcării
rachetei. Se observ ă că este mult mai avantajos s ă se mărească viteza de ejec ție
a gazelor decât rapotul maselor.
Cap. III. OSCILA ȚII ȘI UNDE
III.1. Caracteristici generale
Un punct material care apar ține unui mediu între particulele c ăruia se exercit ă forțe
elastice execut ă o mișcare oscilatorie dac ă este scos din pozi ția de echilibru. Aceast ă
mișcare este transmis ă din aproape în aproape și celorlalte particule ale mediului,
datorită forțelor de interac țiune dintre ele. Procesul de propagare a unei oscila ții în
mediul ambiant se nume ște undă. Unda este un fenomen periodic, iar din punct de
vedere energetic are acelea și caracteristici ca și oscilația, energia undei putând ramâne
constantă sau nu, prin procese par țial reversibile sau irever sibile. Intrucât un punct
care oscileaz ă posedă o energie total ă (cinetică și potențială), conform rela ției:
2 22 2
222A mA mE
Dacă în cursul propag ării oscila țiilor într-un mediu energia lor mecanic ă se
transform ă în căldură sau în alte forme de energie se spune c ă mediul este absorbant.
Dacă energia de oscila ție a sursei î și păstrează mărimea în timpul propag ării undelor,
mediul se nume ște transparent pentru oscila țiile respective.
Forma și mecanismul de propagare a unei mi șcări oscilatorii se nume ște undă. Unda
este un fenomen variabil în timp care se propag ă din aproape în aproape.
Locul geometric al punc telor celor mai îndep ărtate de surs ă atinse la un moment dat
de mișcarea oscilatorie se nume ște front de und ă.
Dacă se consider ă un centru oscilator (o surs ă) punctiform într-un mediu elastic
tridimensional, infinit, omogen și izotrop, undele se vor propaga în toate direc țiile la
fel, frontul de und ă fiind o sfer ă. Viteza în lungu l razei, a frontului de und ă este viteza
de propagare sau viteza de faz ă.
Se numește lungime de und ă distanța parcurs ă de oscila ție în timp de o perioad ă.
Dacă notăm cu λ -lungimea de und ă, cu v -viteza de propagare cu T și ν –perioada
respectiv frecven ța oscilației atunci avem:
vvT
Cel mai simplu caz particular al unei unde periodice este unda armonic ă plană care
pune fiecare particul ă într-o mi șcare armonic ă simplă. Ecuația unei astfel de unde va
fi dată de relația:
t A sin
La o distan ță x de surs ă, elongația unui punct M va fi:
) (2sin ) ( sin ) ( sin`
x
TtAvxt A tt A
Tipuri de unde
Tipul undelor depinde de starea de agrega re a mediului prin care se propag ă.
Deasemenea putem distinge mai multe ti puri de unde, considerând modul în care
mișcările particulelor de substan ță sunt corelate cu direc ția de propagare a undelor.
Dacă mișcările particulelor materiale care tr ansmit unda sunt perpendiculare pe
direcția de propagare a undei avem o und ă transversal ă. De exemplu, când o coard ă
verticală sub tensiune este pus ă să oscileze înainte și înapoi, de-a lungul corzii se va
propaga o und ă transversal ă. Ecuația care descrie propagarea oscila țiilor transversale
se numește ecuația coardei vibrante. Conform legii fundamentale a dinamicii
ecuația mișcării elementului de coard ă va fi:
dxxFtdm 2
22
Introducem masa unit ății de lungime și exprimăm din nou ecu ția de mai sus astfel:
dxdm
xFt 2
22
Considerând Fvt2
Viteza undelor transversale este deci: / / E F vt unde E este modulul de
elasticitate transversal.
Dacă însă mișcarea particulelor care transport ă o undă mecanică are loc înainte și
înapoi de-a lungul direc ției de propagare, avem atunci o undă longitudinal ă. De
exemplu, dac ă un resort vertical s ub tensiune este pus s ă oscileze în sus și în jos, de-a
lungul resortului se va propaga o und ă longitudinal ă. Viteza undei longitudinale este:
/ / E F vl unde E – modulul de el asticitate longitudinal
Undele pot fi clasificate de asemenea în unde uni-, bi-, și tridimensionale, dup ă
numărul de dimensiuni în care ele propag ă energia.
Undele de suprafa ță (cum ar fi ondula țiile de pe ap ă), produse prin c ăderea unui
obiect sunt unde bidimensiona le. Undele sonore sau undele luminoase care sunt emise
radial de la surs ă sunt tridimensionale.
Să consider ăm o perturba ție tridimensional ă. Putem duce o suprafa ță prin toate
punctele care sufer ă o aceea și perturba ție la un moment dat. Apoi se pot trasa
suprafețe analoage pentru perturba țiile următoare. Pentru o und ă periodic ă putem
generaliza ideea trasând suprafe țele ale căror puncte se afl ă în aceeași fază a mișcării.
Aceste suprafe țe se cheam ă fronturi de und ă. Dacă mediul este omogen și izotrop,
direcția de propagare este întotdeauna perpendicular ă pe frontul de und ă.
Fronturile de und ă pot avea mai multe forme. Dac ă perturbațiile se propag ă într-o
singură direcție, undele se numesc unde plane .
Un alt caz simplu este cel al unde lor sferice. În acest caz perturba ția se propag ă în
toate direc țiile de la o surs ă de unde punctiform ă. Fronturile de und ă sunt sfere, iar
razele sunt linii radiale care pleac ă de la sursa punctiform ă în toate direc țiile.
Fronturile de und ă sferice au o curbur ă foarte mic ă și pe o regiune limitat ă ele pot fi
adesea privite ca plane. Este un fapt experimental constatat c ă pentru multe tipuri de unde, dou ă sau mai
multe unde se pot pr opaga prin acela și spatiu, indepent un a de alta. Faptul c ă undele
acționează independent una de alta înseamn ă că elongația unei particule la un
moment dat, este pur și simplu rezultanta elonga țiilor pe care le-ar produce fiecare
undă individual ă. Acest proces de compunere vectorial ă a elonga țiilor unei particule
se cheamă suprapunere (superpozi ție). De exemplu undele ra dio de diferite frecven țe
care trec prin antena de radio. Analog, in tr-un sunet putem asculta notele emise de
instrumentele individuale dintr-o orchestr ă,desi unda sonora car e ajunge la urechile
noastre de la intreaga orch estra este foarte complex ă.
Principiul lui Huygens : orice punct de pe o suprafa ță de undă, având centrul de
oscilație în sursa S0 emite unde secundare de oscila ție, acesta putând fi ales ca surs ă
secundară de oscila ție și fiecare din aceste suprafe țe de unde secundare are o raz ă vt la
momentul t , iar înf ățurătoarea tuturor undelor secundare formeaz ă o nouă suprafață
care constituie frontul de und ă la momentul t.
Pentru undele din medii deformabile se îndepline ște principiul suprapunerii
(superpozi ției) care este valabil ori de câte ori rela ția matematic ă dintre deforma ție și
forța elastică este o simpl ă proporționalitate. O astfel de rela ție este exprimat ă
matematic printr-o ecua ție liniară. Pentru undele electr omagnetice principiul
suprapunerii este valabil din cauz ă că relațiile matematice dintre câmpul electric și cel
magnetic sunt liniare. Importan ța principiului suprapunerii este aceea c ă, acolo unde
este valabil, el face posibil ă analizarea mi șcării ondulatorii complexe ca o combina ție
de unde simple. Dup ă cum a ar ătat matematicianul francez J. Fourier (1768-1830) tot
ceea ce este necesar pentru a construi cea mai general ă formă a unei unde periodice
sunt undele armonice. Fourier a ar ătat că orice mi șcare periodic ă a unei particule
poate fi reprezentat ă ca o combina ție a mișcărilor armonice simple. De exemplu: dac ă
y(t) reprezint ă mișcarea unei surse de unde cu perioa da T, putem descompune pe y(t)
după cum urmeaz ă:
t2cosBt cosB t3sinAt2sinAt sinA A)t(Y2 1 3 2 1 0
Această expresie se cheam ă serie Fourier. Coeficien ții A și B sunt constante care au
valori bine definite pentru orice mi șcare periodic ă particular ă y(t). Dac ă mișcarea nu
este periodic ă, cum este o perturba ție, suma se înlocuie ște cu o integral ă, așa numita
integrală Fourier. Prin urmare orice mi șcare a unei surse de unde, poate fi
reprezentat ă cu ajutorul mi șcării armonice simple. Deoarece mi șcarea sursei
generează undele, nu este o surpriz ă că undele îns ăși pot fi analizate ca fiind
combinații de unde armonice simple. În aceasta const ă importan ța mișcării armonice
simple și a undelor armonice simple.
III.2. Fenomene specifice undelor
1. Reflexia și refracția. O undă de orice natur ă care ajunge la suprafa ța de
separație a două medii diferite sufer ă fenomenele de reflec ție și refracție, adică parțial
trece dintr-un mediu în altul, iar par țial se întoarce în mediul în care a fost produs.
Această concluzie generalizeaz ă numeroasele experiment e efectuate cu toate
categoriile de unde. Legile experimentale ale reflexiei și refracției pot fi reg ăsite
teoretic impunând anumite condi ții de continuitate pe suprafa ța de separa ție. Vom
stabili în cele ce urmeaz ă legile acestui fenomen în cazul undelor scalare care se
propagă în medii izotrope, liniare, nedispersive, conservative și omogene.
Fie mediile I și II caracterizate prin vitezele de faz ă v1 și v2 separate prin suprafa ța
plană σ. Din mediul I sose ște spre suprafa ța II unda incident ă a cărei direcție de
propagare dat ă de versorul in face cu normala la planul σ unghiul σ1 numit unghi de
incidență. Consider ăm unda incident ă, unda armonic ă plană de frecven ță ωi și
amplitudine a i
)
vrnt(i
i i1i
iea
unda refractat ă de amplitudine a r se propag ă după direcția dată de versorul rn
și face
cu normala la planul de separa ție unghiul α2 numit unghi de reflexie.
)
vrnt(i
r r1r
ri
ea
Unda refractat ă, numită și undă transmisă, de amplitudine a t se propag ă în mediul II
după o direcție dată de versorul tn
și face unghiul α3 numit unghi de refrac ție cu
direcția normal ă la planul σ
)
vrnt(i
t t2i
tea
Vom impune func ției de und ă condiția de a fi continu ă pe suprafa ța de separa ție dintre
cele două medii. O astfel de condi ție rezultă din considerente fizice: dac ă ψ este
presiunea undei elastice ea trebuie s ă aibă aceeași valoare pe ambele fe țe ale
suprafeței.
t r i
adică
2t
t
1r
r
1i
irnt i
trnt i
rrnt i
i ea ea ea
Condiția trebuie satisf ăcută identic pentru orice valori ale m ărimilor independente
între ele t și r. Ceea ce înseamn ă că pe planul σ cele trei unde au aceea și fază.
2t
t
1r
r
1i
irntrntrnt
relație care este satisf ăcută pentru orice valoare a lui t și r deci:
1r
2t
1it r irnrnrn
relațiile de mai sus exprim ă legile reflexiei, refrac ției după cum urmeaz ă:
1.
Frecvența unei unde este invariant ă în raport cu procesele de reflexie – refrac ție.
Scriem cu ajutorul cosinusurilor director i produsele scalare cons iderate la suprafa ța de
separație (z = 0 ), astfel:
1 1 1 ii cosz cosy cosxrn
2 2 2 rr cosz cosy cosxrn
3 3 3 tt cosz cosy cosxrn
Fig.IV.2.
Punem condi ția ca unda incident ă să fie cuprins ă în planul XOZ (cosγ
1=0)
1 ii cosxrn
2 2 rr cosy cosxrn
3 3 tt cosy cosxrn
Scriem condi țiile impuse anterior
23 3
12 2
11 cosy cosx cosy cosx cosx
se obține:
23
12
11 cos cos cos
0cos cos cos
23
12
11
această ultimă relație permite definirea urm ătoarei legi:
2. Direcțiile de propagare ale und elor incidente, reflectat ă și transmis ă și direcția
normalei la suprafa ța de separa ție sunt coplanare . De asemenea se ob țin următoarele
relații:
2 1 2 1 adică
3. Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de inciden ță și
Nsinsin cos cos
21
31
23
11
4. Raportul dintre sinu sul unghiului de inciden ță și sinusul unghiului de refrac ție este
egal cu raportul vit ezelor de propagare al e undelor în cele dou ă medii și se nume ște
indicele relativ al mediilor. Pentru a calcula amplitudinea undei reflectate și undei
transmise vom scrie condi ția de continuitate și din egalitatea fazelor se ob ține
următoarea rela ție între amplitudinile celor trei unde:
t r i a aa
Pornim de la faptul c ă unei mărimi scalare ψ, i se poate asocia o m ărime vectorial ă
r
unde χ este o constant ă de material
Dacă ψ este o func ție de undă atunci și
este o func ție de undă pentru care se poate
impune condi ția de continuitate pentru componenta normal ă la suprafa ța de separa ție
nt nr ni n n n
krmti
ii
i i1i
eina
după efectuarea calculelor se ob ține:
ntt
22
trr ni1
11nna nna nna
dar: 1 ni cos nn
1 nr cos nn
2 nt cos nn
t
12
21
21
t i acoscosaa
notăm cu z o nouă constantă de material pe car e o vom numi impedan ța
mediului
t r it
12
21
21
r i
a aaacoscosaa
rezolvând sistemul de mai sus rezult ă
i
2 2 1 12 2 1 1
r acosz coszcosz cosza
i
2 2 1 11 1
t acosz coszcosz2a
Observație:
În cazul particular al inciden ței normale α1 = α2 = 0 formulele devin:
i
2 12 1
r azzzza
i
2 11
r azzz2a
dacă i r 2 1 a a z z și dacă, i r 2 1 a a z z
are loc schimbarea semnului de echivalen ță cu modific area fazei cu deoarece
1 ei. Modificarea fazei modific ă diferența de drum 2 k
2. Interferen ța undelor. Interferen ța se refer ă la efectele fizice ale suprapunerii a
două sau mai multe unde. S ă considerăm două unde de frecven țe și amplitudini egale
care se propag ă cu aceeași viteză pe aceea și direcție (+OX) dar cu o diferen ță de fază
între ele. Ecua țiile celor dou ă unde vor fi:
t kxsinY Ym 1 și t kxsinY Ym 2
Putem retranscrie prima ecua ție sub dou ă forme echivalente:
tkxksinY Ym 1 sau
t xksinY Ym 1
Ecuațiile ne sugereaz ă faptul că dacă luăm un „instantaneu” al celor dou ă unde la un
moment t, le vom g ăsi deplasate una fa ță de alta de-a lungul axei OX cu o distan ță
constantă k. Ecuațiile ne sugereaz ă faptul că dacă ne-am așeza în orice punct x, cele
două unde vor da na ștere la dou ă mișcări armonice simple având o diferen ță de timp
constantă . Aceasta ne d ă o privire asupra semnifica ției diferen ței de fază .
Să găsim acum unda rezultant ă care în ipoteza c ă se produce suprapunerea este egal ă
cu suma ecua țiilor sau
t kxsin t kxsinY y yym 2 1
Din formula trigonometric ă pentru suma sinusurilor a dou ă unghiuri
2BCcos2CBsin2CsinBsin obținem
2cos2t kxsin2YYm
2t kxsin2cosY2Ym
Unda rezultant ă corespunde unei noi unde având aceeasi frecven ță dar cu
amplitudinea
2cosY2Ym A
Dacă este foarte mic (în compara ție cu 1800), amplitudinea rezultant ă va fi
apropiată de 2y m. Adică dacă este foarte mic, 2cos cos 0=1. Dac ă este 0, cele
două unde au peste tot aceea și fază. Maximul unei unde corespunde cu maximul
celeilalte și analog pentru minime. Se spune atunci c ă undele interferă constructiv
deci se înt ăresc. Amplitudinea rezultant ă este egal ă cu dublul amplitudinii unei
singure unde. Dac ă este apropiat de 1800, amplitudinea rezultant ă va fi aproape 0.
Adică pentru
1800 2cos cos 900=0.
Dacă este exact 1800 maximul unei unde corespunde ex act cu minimul celeilalte. Se
spune atunci c ă undele interfer ă distructiv deci se sl ăbesc.
În practic ă, efectele de interferen ță se obțin cu trenuri de unde care sunt generate de
aceeași sursă (sau de surse care au o diferen ța de fază fixă între ele) dar care parcurg
drumuri diferite pân ă la punctul de interferen ță. Diferența de fază dintre undele care
ajung într-un punct poa te fi calculat ă aflând diferen ța dintre drumurile parcurse de ele
de la surs ă până la punctul de interferen ță. Diferența de drum este k sau
2. Dacă
diferența de drum este 0, , 2, 3,… etc. astfel încât =0, 2, 4, etc. cele dou ă unde
interferă constructiv. Pentru diferen țe de drum de 21 , 23 , 25 , = , 3, 5 și
undele interfer ă distructiv.
Unde sta ționare. Undele transversale (parti culele mediului oscileaz ă perpendicular
pe direcția de propagare) sunt posibile numai în mediile solide elastice. În cazul
corzilor (fire elastice cu sec țiune constant ă) viteza frontului de und ă în coarda supus ă
unei tensiuni mecanice T
și având o densitate liniar ă = Lm este: 21
Tv
În coardă se propag ă în sens direct unde progresive, ia r în sens invers unde regresive.
Pentru oscila ții armonice, func țiile de und ă care descriu propagarea undei progresive
și a undei regresive sunt:
xkt sinAvxt sinAvxtf1
xkt sinAvxt sinAvxtf2
unde 2
vk este numărul de und ă. Interferen ța acestor unde va da na ștere în
coarda elastic ă unor unde numite unde sta ționare descrise de ecua ția:
t cosxksinA22t sin2xkcosA2 f f F2 1
Această ecuație reprezint ă ecuația undelor sta ționare sau a modurilor de vibra ție într-
o coardă. Conform acestei ecua ții fiecare punct al mediului execut ă o oscilație de
amplitudine constant ă în timp, dar distribuit ă în spațiu după relația:
xksinA2xA
Valorile minime ale amplitudinii se ob țin în anumite puncte numite noduri , care
satisfac condi ția:
0xA adică: nxk
de unde se ob ține:
2n
2n
knxnod ; n = 1,2,3,…
Valorile de amplitudine maxim ă, numite ventre , satisfac condi ția:
A2 xA adică: 21n2xk
sau 41n2 xventru ; cu ,3,2,1n
Energia undelor sta ționare rămâne localizat ă, neputându-se transmite, teoretic, prin
noduri. La capete, deoarece coarda este fix ă, vor exista noduri, iar lungimea corzii și
lungimea de und ă vor fi legate prin rela ția de cuantificare a luiTaylor:
nL22nL
nn unde ,3,2,1n
Figura IV.2. Moduri de vibra ție într-o coard ă de lungime L.
Ținând cont de viteza undelor transmise prin coard ă, rezultă că undele stationare, sau
modurile de vibra ție ale corzii, pot avea numai anumite frecven țe, cuantificate prin
relația:
21
nnT
L2n v
unde ,3,2,1n
Pentru n=1 se ob ține frecvența fundamental ă, 1, căreia îi corespunde modul
fundamental de vibra ție (armonica fundamental ă) iar pentru celelalte valori ale lui n
se obțin armonicele superioare. Frecven țele pentru care coarda vibreaz ă în regim
staționar alcătuiesc un spectru discret de valori proprii de vibra ție al corzii, sau
rezonanțele. Acesta formeaz ă modurile de vibra ție ale corzii, care sunt ilustrate în
figura IV.2.
III.3. Câmpul sonor
Acustica este un capitol al fizicii care studiaz ă producerea, propagarea și
recepționarea undelor sonore. Domeniul de frecven ță al acestora este cuprins între 16
– 20000 Hz. Undele pe care le-am considerat pân ă acum au fost de tip armonic
simplu, în care elonga țiile în fiecare moment sunt reprezentate de o curb ă sinusoidal ă.
Am observat c ă prin suprapunerea unui num ăr mare de astfel de unde, având aceea și
frecvență și viteză, dar amplitudini și faze arbitrare rezult ă o undă de același tip. Dacă
însă suprapunem unde care au frecven țe diferite, unda rezultant ă va fi o und ă
complexă. Într-o und ă complex ă mișcarea unei particule nu mai este o mi șcare
armonică simplă și forma undei nu mai este o curb ă sinusoidal ă. Undele sonore sunt
un exemplu de acest tip. Timpanul urechii noa stre va vibra în modul reprezentat de
rezultanta lor, dar noi vom auzi și interpreta acestea ca și când cele dou ă frecvențe
inițiale, sunt independente indiferent de diferen ța lor de faz ă. Viteza undelor sonore
corespunde cu viteza undelor longitudinale. O m ărime fizic ă care prezint ă interes este
presiunea sonor ă p. Prin defini ție
dxdESFp unde prin S am notat suprafa ța de acțiune a for ței F
Înlocuind valoarea ) ( cosvxt av dxd și ținând cont de ecua ția /E vl
presiunea sonor ă instantanee este: ) ( cos ) ( cosmaxvxt pvxt avp
Ținând seama de expresia vitezei partic ulelor din câmpul sonor putem scrie:
v p
Iar pentru presiunea maxim ă: va v p max max
Câmpul sonor poate fi caracterizat și prin intensitatea sonor ă care reprezint ă fluxul
de energie ondulatorie pr in unitatea de suprafa ță:
2 2
21vaSI
III.4. Efectul Doppler
Unda emis ă de o surs ă de oscila ții se propag ă de la surs ă până la recept orul care o
detectează. Prin detectarea undei se în țelege măsurarea unei anumite m ărimi
caracteristice ei, de exemplu, frecven ța undei. Dac ă sursa și receptorul sunt în repaus
unul fața de celalalt, frecven ța undei m ăsurată de receptor este egal ă cu frecven ța
undei emis ă de sursă. Dacă însă sursa de oscila ții este în mi șcare fața de receptor,
frecvența undei m ăsurate de receptor difer ă de aceea a undei emise de sursa de
oscilații. Acest efect care se observ ă când sursa și receptorul sunt în mi șcare unul fa ță
de celălalt, se nume ște efect Doppler si afost descoperit in anul 1842 de catre
Christian Doppler. Explicația fenomenului a fost dat ă de către Hyppolyte Fizeau în 1859. Dac ă sursa se
mișcă, de exemplu din S în S’, undele sferic e emise succesiv, se apropie unele de
altele în sensul de mi șcare al sursei. Distan ța dintre suprafe țele sferice de faz ă egală
reprezintă lungimea de und ă; se observ ă astfel că la receptorul R sta ționar, ajung în
unitatea de timp, unde cu suprafe țele sferice mai apropiat e între ele în compara ție cu
situația în care sursa ar fi în repaus fa ță de receptor. Întrucât suprafe țele de faz ă egală
sunt aparent mai apropiate, lungimea de und ă aparentă
a este mai mic ă și deci
frecvența undelor m ăsurate de receptor este în acest caz mai mare. Dac ă sursa este
staționară, iar receptorul se deplaseaz ă către sursa S, acesta întâlne ște în unitatea de
timp mai multe unde sferice, decât dac ă receptorul ar fi fost fix și undele ar fi ajuns la
el. Ca urmare receptorul în mi șcare către sursă detecteaz ă o frecven ță mai mare.
Pentru a exprima cantitativ modificarea frecven ței în efectul Doppler se noteaz ă cu u
viteza de deplasare a sursei S fa ță de receptor, cu S frecvența undelor emise de surs ă
și cu R frecvența undelor m ăsurate de receptor. Undele studiate se propag ă cu viteza
v în mediul în care se g ăsesc sursa și receptorul; aceast ă viteză fiind o caracteristic ă a
mediului respectiv nu este afectat ă de mișcarea sursei sau a receptorului.
În timpul t sursa emite S*t și, dacă sursa ar fi fix ă, aceste unde ar parcurge distan ța
v*t. Lungimea de und ă se obține ca raportul intre distan ța v*t parcurs ă si numărul de
unde care acoper ă această distanța adică:
ntv
Relația obținută este binecunoscut ă, dar ea a fost stabilit ă printr-un ra ționament nou
care va fi folosit în cazul în care exist ă mișcarea sursei sau a receptorului.
Dacă sursa se deplaseaz ă către receptor cele S*t unde emise de sursa se vor r ăspândi
într-un spa țiu mai mic decât v*t, deoarece în timpul t sursa îns ăși s-a deplasat cu
distanța u*t. Aceasta înseamn ă că numărul de unde S*t emise de surs ă în timpul t se
vor găsi în spațiul v*t-u*t , iar lungimea de und ă aparentă, definită ca raportul între
spațiul v*t-u*t si num ărul de unde S*t .
Frecvența corespunz ătoare lungimii de und ă a este frecven ța măsurată de receptor
R.
Dacă sursa se dep ărtează de receptor, num ărul de unde S*t se întind pe distan ța
v*t+u*t; lungimea de und ă aparentă este în acest caz a =(v+u)/ S. Adoptând
convenția că u este pozitiv pentru mi șcarea sursei c ătre receptor și negativ când sursa
se îndepărtează de receptor, rela ția de mai sus este aplicabil ă și în acest caz.
uvv
0
Presupunând apoi c ă receptorul se mi șcă spre surs ă cu viteza u’, viteza sa relativ ă față
de unde este v+u’, iar num ărul de unde pe care receptorul le întâlne ște în timpul t este
(v+u’)t/a în care a=v/S. Frecvența măsurată de receptor este:
vuv0
Dacă receptorul se dep ărtează de sursă, la el ajung mai pu ține unde în timpul t, (v-
u’)t/a, și deci frecven ța măsurata de receptor va fi (v-u’) a. Convenția ca u’ s ă fie
pozitiv când receptorul se apropie de surs ă și negativ când se dep ărtează de sursă, face
ca relația (2) să se aplice și în acest caz.
În cazul în care atât sursa cât si receptorul sunt în mi șcare unul fa ță de altul, rela ția
generală pentru calculul frecven ței este:
coscos
0uvuv
R
care se reduce pentru u’=0 (R sta ționar) și la (2) pentru u=0 (S sta ționar). În rezumat
frecvența măsurată crește R>S, la apropierea relativ ă, adică fie pentru u>0 fie
pentru u’>0 și frecvența măsurată scade, R<S, la depărtarea relativ ă, adică fie pentru
u<0 fie pentru u’<0.
Aceste rezultate sunt aplicab ile în multe cazuri. De exemplu pentru undele sonore un
observator percepe o frecven ță mai mare, adic ă sunete mai înalte dac ă sursa de sunete
se apropie de el si o frecven ță mai mic ă, adică sunete mai joase, dac ă sursa se
depărtează.
Efectul Doppler este foarte impor tant în astronom ie unde prin m ăsurarea frecven ței
radiațiilor care provin de la stele sau galaxii îndep ărtate se poate stabili mi șcarea
acestora fa ță de planeta noastr ă. Prin astfel de m ăsurători se ob ține întotdeauna o
frecvență mai mic ă a radiațiilor luminoase caracteristice a ștrilor respectivi. Aceasta
înseamnă că lungimea de und ă măsurată este mai mare decât cea reala; cu alte cuvinte
are loc o deplasare spre „ro șu” a radia țiilor luminoase respective) lumina ro șie are
lungimea de und ă cea mai mare în domeniul vizibil). Valoarea varia ției frecven ței
crește cu distan ța de la P ământ, ceea ce sugereaz ă că întregul Univers este în
expansiune, adic ă toți aștrii se îndep ărtează spre limitele Universului, cu viteze din ce
în ce mai mari pe m ăsură ce sunt mai dep ărtați de Pământ. Aceasta este o problem ă
majoră a cosmologiei și studiul ei se bazeaz ă în principal pe efectul Doppler.
CAP. IV. ELECTROMAGNETISM
IV.1. Mărimi fizice caracteristice câmpului electromagnetic
Din punct de vedere al teoriei macr oscopice câmpul electromagnetic este
generat de o distribu ție de sarcini și de curen ți electrici. Câmpul electromagnetic
reprezintă o formă de existen ță a materiei într-un domeniu al spa țiului caracterizat de
patru vectori: intensitatea câmpului electric ) ,,,( tzyxE
, inducția electric ă
),,,( tzyxD
, intensitatea câmpului magnetic ) ,,,( tzyxH
și inducția magnetic ă
),,,( tzyxB
. Vectorii ) ,,,( tzyxE
și ),,,( tzyxB
sunt considera ți vectori de câmp
fundamentali, iar vectorii ) ,,,( tzyxD
și ) ,,,( tzyxH
se pot ob ține din primii
împreună cu propriet ățile electrice și magnetice care caracterizeaz ă mediul în care se
manifestă câmpul.
În electromagnetism sarcina electric ă este o m ărime fundamental ă la fel ca și
masa, lungimea, și timpul în mecanic ă. Sarcinile electrice aflate în repaus și (sau) în
mișcare exercit ă forțe asupra altor sarcini electrice, numite for țe electromagnetice, iar
câmpurile corespunz ătoare, câmpuri electromagnetice. Din punct de vedere
experimental s-a demonstrat c ă:
1. există două tipuri de sarcini electrice: pozitive și negative
2. orice sarcin ă electrică din natur ă este un multiplu întreg al sarcinii electrice
elementare care are valoarea 1910 602,1e C
3. sarcina electric ă se conserv ă și este un invariant scalar
4. Toate sarcinile electrice î și au originea în existen ța a dou ă particule
elementare: electron și proton; masa protonului f iind de aproximativ 1837 ori
mai mare decât a electronului.
5. Sarcina electric ă are caracter de substan ță, ea nu poate fi creat ă sau distrus ă, ci
numai trecut ă de la de pe un corp pe altul.
Sarcina electric ă q conținută într-un volum V poate fi exprimat ă cu ajutorul densit ății
de sarcină volumică ) ,,,( tzyx sub forma:
VdV q
Sarcinile electrice în mi șcare genereaz ă curenți electrici. Intens itatea curentului
electric reprezint ă cantitatea de sarcin ă netă care traverseaz ă o suprafa ță în unitatea de
timp și este definit ă de relația:
dtdqI
IV.2. Câmpul electrostatic
Conceptul de câmp electrostatic a fost introdus de c ătre Michael Faraday, iar
unitatea de m ăsură pentru câmpul electric este CN (newton /coulomb), unitate
echivalent ă cu mV (volt/metru), iar din punct de vedere matematic este un câmp
vectorial tridimensional. Intensitatea acestui cîmp electri c este direct propor țională cu
mărimea sarcinii care genereaz ă cîmpul și descrește invers propor țional cu p ătratul
distanței de la aceasta.
Pentru ca sarcin ile electrice s ă poată fi observate ele trebuie întâi s ă fie separate cele
negative s ă fie acumulate într-o parte, iar cele pozitive în alt ă parte. Existen ța
sarcinilor electrice se pune în eviden ță prin apari ția în jurul lor a unor interac țiuni.
Electrostatica are ca și obiect de studiu sarcinile electrice în repaus.
Să considerăm, într-o regiune din spa țiu în care exist ă câmp electric, și două
puncte P1 și P2 unite printr-o curb ă Γ. În orice punct de pe curba Γ câmpul electric
este caracterizat de vectorul intensitate a câmpului electric E
.
Produsul scalar: ld E = dC
se numește circula ția infinitezimal ă a câmpului
electric pe curba Γ. „Suma” circula țiilor elementare ale vectorului intensitate a
câmpului electric pe curba Γ,
ld E = CP
P2
1
se numește integrala curbilinie a vectorului pe curba Γ sau circula ția vectorului între
punctele P1 și P2 pe curba Γ. Așa cum se știe de la analiza matematic ă, integrala
curbilinie între dou ă puncte depinde în general, de curba pe care se efectueaz ă
integrala. Vrem s ă vedem dac ă integrala curbilinie a vectorului intensitate a câmpului
electric depinde sau nu de dr umul parcurs între cele dou ă puncte.
Să studiem circula ția câmpului electric , produs de o sarcin ă punctiform ă, între
două puncte:
Fig. IV.1. Circula ția câmpului electric produs de o sarcin ă punctiform ă
Intensitatea câmpului electric în punctul M este
u
rq 41 = E2
o
unde u este vectorul vers or al vectorului r. Circulația elementar ă pe curba Γ, a
vectorului E
este:
ru ld 4q = ld E = dC2
o
cum: dl = dr cos
rezultă:
)r1 4qd(- =
rdr
4q = dC
o2
o
Relația de mai sus arat ă că valoarea infinitezimal ă a câmpului electric produs
de o sarcin ă punctiform ă este o diferen țială totală exactă.
În analiza matematic ă se demonstreaz ă că integrala curbilinie între dou ă
puncte pentru astfel de func ții nu depinde de curba aleas ă. Valoarea integralei
curbilinii depinde doar de pozi ția punctelor ini țial și final.
Circulația între punctele P1 și P2 ale câmpului produs de o sarcin ă punctiform ă
este:
r 4q –
r 4q = C
Po PoP
P
2 12
1
Pentru un sistem de sarcini electrice punctiforme q1,q2,…,q n, aplicând
principiul superpozi ției câmpurilor electrice, circula ția elementar ă a intensit ății
câmpului electric este:
n
i ii
iin
in
iirqdrqd dC dC
1 0 0 1 1)4( )41(
Fig. IV.2. Câmpul electric produs de un sistem de sarcini electrice
Dacă sarcinile electrice sunt punctiforme, rezult ă că, în conformitate cu
formula de mai sus, circula ția câmpului electric este o diferen țială totală exactă.
În cazul distribu țiilor continue de sarcin ă, suma din rela ția precedent ă se
transform ă în integral ă. Și în acest caz, rezult ă că, circulația infinitezimal ă este o
diferențială totală exactă.
Dacă curba pe care se face integrala este o curb ă închisă (punctul P1 coincide
cu punctul P2) atunci:
0 = ld E
Un câmp vectorial – cum este câmpul electrostatic – care satisface rela ția de
mai sus, se nume ște câmp conservativ .
Fie curba închis ă Γ într-o regiune din spa țiu în care exist ă câmp electric. În
conformitate cu teorema lui Gr een, oricare ar fi suprafa ța S ce se sprijin ă pe curba Γ,
este valabil ă relația:
Sd E rot = ld E
Fig. IV.3. Reprezentarea grafic ă a teoremei lui Green
Deoarece membrul stâng al rela ției de mai sus este nul și suprafața este arbitrar ă,
rezultă că:
0 = E rot
E E Ez y xk j i
= E = E rot
z y x
IV.3. Lucrul mecanic al for țelor electrice. Energi a câmpului electric
După cum se cunoa ște din mecanic ă, unui sistem de corpuri ce interac ționează
prin forțe conservative i se poate asocia o energie poten țială prin relația:
dL – = dW
unde W este energia poten țială iar L este lucrul for țelor conservative. Evident, energia
potențială este definit ă până la o constant ă aditivă. Pentru a fixa aceast ă constantă
impunem condi ția: energia poten țială a unui sistem de sarc ini electrice ce se afl ă
depărtate între ele la distan ță foarte mare este 0. În aceste condi ții, energia poten țială a
unei configura ții de sarcini este egal ă cu lucrul mecanic efectuat de for țele electrice
pentru a duce sistemul din configura ția dată într-o configura ție în care toate
particulele se afl ă la distanțe foarte mari una de alta.
Fie un sistem de dou ă sarcini electrice punctiforme. Ținând cont de conven ția
de mai sus și de formula:
)V – V( q = L P P PP 2 1 21
rezultă:
rq q 41 = W21
o
Această relație se mai poate scrie și astfel:
)q V + q V( 21 = )q rq
41 + q rq
41( 21 = W22 11 21
o12
o
unde V1 este poten țialul creat de sarcina q2 în punctul în care se afl ă sarcina q1 iar V2
este poten țialul creat de sarcina q1 în punctul în care se afl ă sarcina q2.
Formula (12) poate fi generalizat ă pentru un sistem de sarcini punctiforme,
rezultând:
q V 21 = Wi in
1 = i
Dacă sarcina electric ă este distribuit ă în mod continuu, energia poten țială a
sistemului de sarcini va fi:
dV V(r) 21 = W
D
Fie o sarcin ă distribuit ă uniform pe o suprafa ță sferică de rază a și o suprafa ță
gaussiană, Σi, de formă sferică, concentric ă cu distribu ția de sarcin ă electrică, de rază
r < a . Datorit ă simetriei sferice, intensitatea câmpului electric, pe suprafa ța
gaussiană, se poate calcula cu ajutorul legii lui Gauss forma integral ă:
0 = q = r 4 E
0i 2
i
Din relația de mai sus rezult ă: 0 =Ei
Pentru a afla intensitatea câmpului într-un punct exterior distribu ției de
sarcină, se alege o suprafa ță gaussian ă de rază r > a . În conformitate cu legea lui
Gauss, rezult ă:
02
2
ia 4 = r 4 E
deci:
r a = E2
o2
e
Fig. IV.4. Distribu ția tridimensional ă a liniilor de câmp electric
După cum se observ ă, intensitatea câmpului electric, la suprafa ța distribu ției de
sarcină, suferă o discontinuitate.
Fig. IV.5. Câmpul electric al un ei sarcini superficiale sferice
Este deosebit de important s ă se cunoasc ă valoarea câmpului el ectric chiar pe
suprafața sferei de raz ă a.
Pentru a afla valoarea câmpului pe suprafa ța distribuției de sarcin ă, se porne ște
de la observa ția fizică conform c ăreia sarcina electric ă nu poate s ă fie perfect
superficial ă. Să admitem c ă sarcina electric ă este distribuit ă în mod uniform într-un
strat de grosime r << a.
Pe suprafa ța Σ, câmpul electric poate fi cal culat cu legea lui Gauss:
o2
2 x )r – (a 4 = )x + r – (a 4 E
Din condi ția r, x << a, rezult ă:
x = E
o
Se constat ă că intensitatea câmpului electric, în interiorul stratului de sarcin ă
electrică, este o func ție liniară de x. Valoarea medie a câm pului electric ce ac ționează
în strat va fi:
r 2 = 2E(r) + E(o) = E
o
Sarcina electric ă ce se afl ă pe unitatea de suprafa ță a sferei de raz ă a este
r = . Formula precedent ă se scrie deci astfel:
os 2 = E = E
Datorită existenței câmpului de intensitate ES pe suprafa ța sferei, asupra
sarcinii de pe elementul de suprafa ță acționează forța:
dq E = dFs
dS 2 = dS E = dF
o2
s
Această forță tinde să mărească raza sferei. Pentru a mic șora raza sferei de
sarcină cu dr, trebuie efectuat un lucru mecanic împotriva for ței electrice, de valoare:
dr a 2 = dr dS 2 = dW22 2
0 0
Singurul efect al comprim ării sferei este crearea, în stratul de grosime dr, a
unui câmp electric; în restul spa țiului câmpul r ămâne nemodificat.
Lucrul mecanic poate fi exprimat, în func ție de noul volum dV ocupat de
câmp, prin formula:
dV E 21 = dV 21 = dW22
0
0
unde E este intensitatea câmpului elect ric în volumul de grosime dr.
Este firesc s ă admitem c ă energia mecanic ă, cheltuită prin efectuarea lucrului
mecanic dW, să fie înmagazinat ă în zona de câmp nou creat ă și deci mărimea:
E 21 = w2
0
să reprezinte densitatea de energie a câmpului electric.
În cazul în care câmpul electric ocup ă domeniul D, energia înmagazinat ă în
câmp va fi:
dV E 21 = W2
0
D
I
V.4. Poten țialul electric
Pentru a descrie câmpul electric se poate folosi una din cele dou ă mărimi:
intensitatea câmpului electric, care este un vector, sau poten țialul electric, care este un
scalar. Este evident c ă cele dou ă mărimi, descriind aceea și realitate fizic ă pot fi
deduse una din alta.
Pentru a determina leg ătura dintre poten țialul electric și intensitatea câmpului
electric ne folosim de rela ția de defini ție a diferen ței de poten țial:
dzE -dy E – dx E – = ld E – = dVz y x
Cum poten țialul electric este o func ție de punct: z) y , ,(x V = V
diferențiala acestei func ții se poate scrie astfel:
dz zV +dy yV + dx xV = dV
Comparând cele dou ă relații, rezultă că:
zV- = E ; yV- = E ; xV- = E z y x
Pentru a prezenta sintetic acest rezultat se folose ște notația: V grad – = E
.
Gradientul unei m ărimi scalare este produsul dintre operatorul și acel scalar:
k za + j ya + i xa = a
Fiind un vector operatoru l gradient are o direc ție bine precizat ă. Pentru a
determina direc ția operatorului gradient, diferen țiem scalarul a:
rd a grad =dz za +dy ya + dxxa = ad
Fie o suprafa ță pe care a este constant. Rezult ă: 0 = ad
Din relația precedent ă și din defini ția produsului scalar a doi vectori rezult ă:
rd a grad
cum rd este pe suprafa ța a = const ., înseamn ă că vectorul grad a este perpendicular
pe această suprafață. Mărimea acestui vector este egal ă cu derivata func ției scalare a
după direcția perpendicular ă la suprafa ța a = const .. Din cele dou ă afirmații de mai
sus, rezult ă că sensul gradientului este în sensul cre șterii lui a pe direcția
perpendicular ă la suprafa ța a = const. .
Se numesc suprafe țe echipoten țiale suprafe țele care îndeplinesc condi ția:
V = constant
Din defini ția gradientului și din cele discutate mai sus rezult ă că liniile de
câmp electric sunt perpe ndiculare pe suprafe țele echipoten țiale, fiind îndreptate spre
zona descre șterii poten țialului electric.
Fig. IV.6. Liniile de câmp pe suprafe țele echipoten țiale
Deoarece, pe componente, intens itatea câmpului electric reprezint ă derivata
potențialului și ținând cont c ă în orice punct (cu excep ția punctelor în care densitatea
de sarcină este infinit ă) intensitatea are o valoare finit ă rezultă că în nici un punct
potențialul electric nu prezint ă discontinuit ăți. Altfel spus, poten țialul electric este o
mărime continu ă.
Earnshaw a f ăcut următoarea afirma ție: „nu exist ă o configura ție de sarcini
fixe care s ă fie în echilibru stabil”.
Să presupunem c ă echilibrul este stabil. Dac ă o sarcină este deplasat ă puțin din pozi ția
de echilibru, for țele electrice tind s ă readucă sarcin în pozi ția inițială. Acesta
înseamnă că liniile de câmp iradiaz ă din punctul de echilibru al sarcinii. Rezult ă că
fluxul, pe o suprafa ță închisă ce înconjoar ă punctul de echilibru, este diferit de zero.
În conformitate cu legea lui Gauss, în interiorul acestei suprafe țe, deci în punctul de
echilibru, exist ă o sarcin ă electrică. Cum noi am îndep ărtat sarcina din punctul
considerat, rezult ă că acest lucru este neadev ărat. Am ajuns astfel la o contradic ție.
Contradic ția poate fi înl ăturată numai dac ă afirmația lui Earnshaw este adev ărată.
Ecuațiile Poisson și Laplace.
Aplicând rela ției (19) operatorul divergen ță, rezultă:
0 = V – = gradV) (- div = Ediv
Operatorul = = 2se numește laplacean și are formula:
z +
y +
x = 22
22
22
Ecuația:
0 = + V
0
se numește ecuația Poisson.
Dacă ρ = 0 ecuația devine: 0 = V și se nume ște ecuație Laplace.
Cu ajutorul ecua ției Poisson se poate cunoa ște potențialul electric dac ă se dă
distribuția surselor sale. Legea lui Coulomb, legea lui Gauss precum și ecuația lui
Poisson sunt forme diferite de descriere matematic ă ale aceluia și grup de fenomene:
fenomenele electrostatice. Aceste legi au fost determinate în cadrul sistemelor de sarcini electrice aflate în repaus și nu exist ă nici un motiv teoretic s ă admitem c ă ele
sunt valabile și pentru sarcinile electrice aflate în mi șcare. Pentru a verifica acest lucru
este necesar s ă se facă apel la noi experien țe în care sarcinile electrice s ă fie în
mișcare.
IV.5. Câmpul magnetic
Forțele de natur ă magnetic ă se pot împ ărți formal în trei categorii dup ă
cauzele fizice care dau na ștere câmpului magnetic și felului interac țiunii dintre
corpuri. Astfel sunt:
– forțe magnetostatice , care se execit ă între magne ți permanen ți,
– forțe electromagnetice , care se exercit ă între un conductor parcurs de curent
electric și un magnet permanent,
– forțe electrodinamice de înterac țiune între conductoare parcurse de curen ți
electrici,
– forțe Lorentz care se exercit ă între o sarcin ă aflată în mișcare și un câmp
magnetic.
Se introduce vectorul B
, inducția câmpului magnetic, ca o m ăsură a forței
exercitate de câmpul magnetic as upra sarcinilor electrice în mi șcare sau asupra
curentului electric. Vectorul B
caracterizeaz ă câmpul magnetic în sensul în care
vectorul E caracterizeaz ă câmpul electric. Dac ă sarcina q se deplaseaz ă cu viteza v
într-un domeniu din spa țiu în care câmpul el ectric are intensitatea E iar câmpul
magnetic induc ția B, asupra acesteia va ac ționa o for ță dată de relația :
BxvEqF
unde EqF
este componenta electric ă
iar BxvqF
este componenta magnetic ă
Această forță este cunoscut ă sub numele de forță Lorentz .
Observații:
Din relația de defini ție forța Lorentz este perpendicular ă pe direcția de
deplasare a particulei și pe liniile de câmp, iar sensul este dat de regula
burghiului.
Această forță permite definirea unit ății de măsură pentru induc ția
câmpului magnetic
2 2 2 2. .
…
..
mWb
msV
CmsJ
CmsmN
CmsNBSI
T
mWbBSI2
Modulul for ței Lorentz variaz ă de la zero la o valoare maxim ă;
20 0
sin
qvBpentruFpentru F
qvBF
Forța Lorentz permite definirea induc ției câmpului magnetic;
qvFBmax
este numeric egal ă cu forța maximă ce acționează asupra unei sarcini egal ă cu
unitatea (q=1C) ce se deplaseaz ă cu viteza unitate ( V=1 m/s)
Deoarece for ța Lorentz este perpendicular ă pe traiectoria particulei ea se
comportă din punct de vedere mecanic ca o for ță centripetă având ca efect
curbarea traiectoriei, raza ce curbur ă fiind dată de relația:
sinsin2
qvmvRRmvqvBF Fcp L
Considerăm un conductor parcurs de curent aflat în c ămp magnetic. Asupra
fiecărei sarcini electrice q care se deplaseaz ă în conductor va ac ționa forța lorentz
perpendicular ă pe v și respectiv B
.
) (Bxvq FL
dacă în unitatea de volum ΔV se află n purtători de sarcin ă electrică, atunci în
elementul de volum ,vom avea n ΔV purtători de sarcin ă și asupra elementului de
volum va ac ționa forța totală:
VBxj BxvqVn Fmag
asupra unit ății de volum al conductorului va ac ționa forța:
Bxjf
dacă se introduce elementul de volum al conductorului ca produsul ΔAΔl vom obține:
lBxI FlBAxjlABxj F
magmag
Forța magnetic ă ce acționează asupra elementului de lungime dl munit ă forță
Laplace este:
BxldI Felm
Observații:
Forța Laplace este perpendicular ă pe direcția câmpului magnetic și
pe direcția curentului electric din conduc tor, sensul ei find dat de
regula burghiului.
Dacă conductorul se deplaseaz ă în câmpul magnetic pe distan ța dx
în lungul for ței lucrul mecanic elem entar efectuat este:
Între două conductoare rectilinii, paralele, filiforme și foarte lungi parcurse de
curenți se exercit ă forțe de interac țiune. Conductorul parcurs de curentul i 2 se află în
câmpul magnetic de induc ție magnetic ă B1 și va fi supus ac țiunii unei for țe acărei
valoare este:
1 2lBiF
dacă se ține seamă că inducția magnetic ă a câmpului produs de un conductor parcurs
de curent :
diB22
0
rezultă relația care exprim ă forța lui Ampère ,de forma:
ldiiF221
0
Observații:
Dacă conductorii sunt parcur și de curen ți în acelasi sens între ei se
va exercita o for ță de atracție, iar dac ă sensul curen ților este opus
forța este de respingere.
Pornind de la formula for ței electrodinamice se poate da o defini ție
standardizat ă a unității pentru intensitatea curentului, a amperului;
dacă i1=i2=1A și d=1m
rezultă pentru raportul F/l=2.10-7N/m
Legea fluxului magnetic
Se consider ă într-un câmp magnetic o suprafa ță S și dS un element din aceast ă
suprafață: analog cu fluxul câmpul ui electric se define ște și fluxul induc ției magnetice
prin relația:
SdB d
.
Fluxul total ce str ăbate întreaga suprafa ță S este:
SdB
Pornind de la rela ția de defini ție a fluxului se define ște unitatea de m ăsură:
21 1 1 metru teslax weber
Experiența arată că fluxul total prin orice suprafa ță închisă este nul. Dac ă suprafața
este închis ă numărul liniilor de câmp care intr ă prin suprafa ță este egal cu num ărul
liniilor care ies din suprafa ță, deoarece liniile de câmp magnetic sunt întotdeauna
curbe închise. Fluxul total printr-o suprafa ță închisă este egal cu zero.
0SdB
Observație:
Deoarece fluxul total este zero prin an alogie cu fluxul electric total rezult ă că
sarcina magnetic ă este zero q m=0
Dacă se folose ște teorema lui gauss de transfor mare a integralei de suprafa ță într-o
integrală de volum se ob ține:
0
BdivdVBdiv SdB
V
această ultimă relație exprim ă o proprietate general ă important ă a câmpului magnetic
,cunoscut ă sub denumirea de conser varea fluxului magnetic.
Legea circuitului magnetic. Legea lui Ampère
Legea circuitului magnetic ,formulat ă de Ampere, verific ă caracterul
sinusoidal al câmpului magnetic.S ă considerăm în vid un circuit liniar parcurs de un
curenti și un contur închis de form ă circulară cu raza a , aflat într-un plan
perpendicular pe direc ția circuitului. Un asemenea contur coincide cu o linie de
inducție magnetic ă din jurul curentului i.
Circula ția vectorului B
de-a lungul unei asemenea linii închise ( contur de
integrare) se scrie:
Bdl ldBBdl ldB
cos
Înlocuind valoarea vectorului B , rezult ă:
i dlaiBdla
2
00 02
` Rela ția ultimă se poate ob ține ca rezultat al unei generaliz ări independent de forma
liniei închise, care înconjur ă curentul; ea exprim ă legea lui Ampere în form ă
integrală: Circulația vectorului induc ție magnetic ă în lungul unei curbe închise din
jurul unui conducto r, este propor țională cu intensitatea curent ului din conductor.
i ldB0
Înlocuind curentul cu dens itatea de curent, avem rela ția
Sdj ldB
Folosind teorema lui Stokes se ob ține
j BrotSdj SdBrot ldB
Această relație pune în eviden ță proprietatea câmpului magnetic de a avea un caracter
rotațional; ea arat ă că rotorul intensit ății câmpului magnetic este egal cu densitatea de
curent
Legea induc ției electromagn etice. Legea lui Faraday.
Induc ția electromagnetic ă este fenomenul prin care , în orice circuit închis ,
variația fluxului magneti c printr-o suprafa ță limitată de circuitul respectiv induce un
curent electric, resp ectiv o tensiune electromotoare, de induc ție. Acest fenomen a fost
studiat pe cale experimental ă de către Faraday , care a dat urm ătoarea lege: Tensiunea
electromotoare de induc ție este numeric egal ă cu viteza de varia ție a fluxului
magnetic prin aria circuitului și de semn minus arat ă că sensul tensiunii induse este
astfel încât efectele ei se opun cauzei care l-a produs . Matematic se scrie:
dtdei
Observație :
Demonstrarea acestei legi se poate face pe cale energetic ă. Pentru aceasta se
consideră un conductor care se deplaseaz ă într-un câmp magnetic constant de induc ție
B cu viteza constant ă v. Lucrul mecanic necesar deplas ării conductorului este:
d W = i d Φ
Acest lucru mecanic este che ltuit pentru deplasare uniform ă , este deci un lucru
mecanic rezistent. În circuit apare un cu rent care la trecerea prin conductor va
dezvolta o energie prin efect Joule a c ărei valoare în timpul dt este:
d W = e
Ii dt
din legea conserv ării energiei rezult ă relația
dtdei
IV.6. Câmpul magnetic în substan țe
Modelul presupune c ă în fiecare nod al re țelei exist ă o particul ă cu spin
)(n n RS S și că spinii interac ționează între ei, interac ția fiind descris ă de
hamiltonianul Heisenberg și este este interac ție de schimb:
mnmn nmSSJ H
,
,
unde ) (m n nm R RJ J
În funcție de semnul lui nmJ, orientarea spinilor are loc paralel sau antiparalel.
Orientarea paralel ă corespunde cazului fe romagnetic, cea antiparalel ă cazului
antiferomagnetic. Dac ă există un camp magnetic exterior de induc ție B, spinii
interacționează și cu acest câmp, energia de interac țiune fiind
BSg WnB
.
Hamiltonianul devine:
nn B
mnmn nm BS g SSJ H
,, unde pentru electroni
factorul giromagnetic g=2, iarBeste magnetonul Bohr-Procopiu.
Deoarece interac ția scade repede cu distan ța, se poate neglija interac ția între spinii
care nu sunt vecini, luându-se în considerare doar interac ția între spinii vecini de
ordinul intâi în re țea.
Termenul Heisenberg din hamiltonian devine:
nn vmmn
mnmn
mnmn nm SS J SS J SSJ
)( , , 21
, sumarea dup ă m fiind f ăcută doar
pentru vecinii de ordinul I ai lui n.
Hamiltonianul devine:
nn BN
nn vmmn BS g SS J H
1) ( 21.
Suma de stare a ansamblului generali zat aflat la temperatura T este:
HeTr BTZ,, și nu poate fi calculat ă exact datorit ă termenului Heisenberg din
hamiltonian.
Pentru a se putea calcula se foloseste o metod ă de calcul aproximativ, numit ă metoda
câmpului mediu, sau metoda câmpului mo lecular sau metoda câmpului efectiv.
Spinul din termenul Heisenberg se inlocuie ște cu valoarea lui medie statistic ă, plus
abaterea lui de la valoarea medie. Într-o prim ă aproxima ție se neglijeaz ă produsul
abaterilor, acestea fiind mici.
n m m n m n m m n n mn S S SS SS S S S S SS
Deoarece toate nodurile re țelei sunt identice, valorile medii nu depind de nod:
S S Sm n
, iar S S SS S Sm m n n
, =>
2S S SS SSm n mn
Cu aceast ă aproxima ție hamiltonianul devine:
2 2
..21
21S pJN SB g S pJN SB g SS pJ H
nn ef B
nn B
nn mc
unde
efB
este un
câmp efectiv dat de: SgpJB B
Bef
. În acest caz fiecare spin se mi șcă într-un
câmp efectiv determinat de media statistic ă ..mcH
meSTr S
.
Alegem axa Oz astfel încât B B ,0,0
, în acest caz și S
va fi orientat dup ă Oz
=>
N
S pJNN
nS
S SSBgS pJNS
S SS Bg S
S SS pJN
xSxSS
e e e e e BTZ
nznzefB
NzN
nnz efB
z
21sinh21 2sinh
… ,2
12 22
,,2
,1,
1,2
unde kTBgxef B este raportul dintre energia magnetic ă și energia termic ă.
Energia liber ă magnetic ă a sistemului este:
2
21
21sinh21 2sinh
ln , ln , S pJN
xSxSS
NkT BTZ kT BTF
Valoarea medie a spinului se determin ă din condi ția de minim a energiei libere: 0
SF
Valoarea medie a spinului depinde de câmp, și se poate scrie:
BF
BS
SF
BF
dBdF
cel de-al doilea termen este nul datorit ă condiției de echilibru.
Magnetizarea este:
x SB ngdBdF
VMS B1,
unde
xS SxSS
SSxBS21coth21
21 2coth21 2e funcția Brillouin pentru
spinul S
.
Din condi ția de minim se ob ține: x SB SS care poate fi înlocuit ă în relația
magnetizării
=> S ng MB =>
M
ngpJBkTSgSB ng M
BB
S B 2 2
unde s-a înlocuit valoarea lui x și a câmpului efectiv.
În cazul în care câmpul extern este nul, 0B
ecuația de self-consisten ță:
kT ngpJSMSB ng M
BS B
Această ecuație nu se poate rezolva analitic.
Se noteaz ă cu S ng MB0 magnetizarea de saturatie.
Magnetizarea relativ ă devine:
mkTpJSBMTMTmS2
0
Notăm cu mkTpJSx2
Ecuația devine: xBkTpJSxS2
Ecuația poate fi rezolvat ă grafic prin intersec ția dreptei y=x cu curba
xBkTpJSyS2
.
Metoda este prezentat ă în figura urm ătoare:
Fig. IV.7.
Funcția Brillouin pentru valori mici al e argumentului poate fi aproximat ă prin
dezvoltarea în serie a lui: xSSxBS31 .
Dacă coeficientul lui x este mai mic decât 1, curba va intersecta dreapta numai în
origine, având doar solu ția banală m=0.
Dacă valoarea coeficientului este mai mare decât 1, se ob țin soluții 0m . În
acest caz sistemul are o magnetizare spontan ă deoarece sistemul de spini se auto-
ordonează.
Deoarece panta curbei depinde de temperatur ă, va exista o temperatur ă peste
care ecuația nu are decât solu ția banală. Această temperatur ă se numește temperatur ă
critică CT.
Ea se determin ă punând condi ția ca dreapta y=x s ă fie tangent ă la curbă în
origine, adic ă
)1(311311 |2
0 S pJS kTSS
kTpJS
dxdy
c x
Sistemele care prezint ă magnetizare spontan ă se numesc feromagnetice.
În prezența câmpului extern, ecua ția are solu ții nenule pentru M
și pentru CTT ,
acest domeniu de temperaturi se nume ște domeniu paramagnetic.
Considerând câmpul mic, se poate dezvolta func ția Brillouin în serie
reținându-se doar primul ordin de m ărime =>
mkTpJS
kTSBg
SSmB2
31 =>
C
CTTBTTCTm ,
unde
kS gCB
31 se numește constanta Curie.
Rezultă că susceptibilitatea magnetic ă în domeniul paramagnetic este:
CTTC
legea Curie-Weiss.
În domeniul feromagnetic (CTT ), susceptibilitatea magnetic ă nu are sens, existând
magnetizare chiar și pentru câmp nul. La CTT susceptibilitatea devine infinit ă.
IV.7. Ecua țiile lui Maxwell ale câmpului electromagnetic
În cele prezentate mai sus s-a considerat cazul sta ționar al interac țiunilor
electromagnetice; densitatea de sarcin ă electrică cât și densitatea de curent j nu
depind explicit de timp. Dac ă aceste m ărimi nu mai r ămân constante și se modific ă în
timp atunci ecua țiile fundamentale ob ținute anterior vor avea o alt ă formă. Această
formă finală este dat ă de ecua țiile lui Maxwell care stau la baza construc ției
axiomatice a electromagnetismului și care au avut la baza lor observa ția
experimental ă că, în regiunea din spa țiu unde este creat un câmp electric variabil
există în același timp și un câmp magnetic variabil și invers. Cele dou ă câmpuri fiind
într-o interconexiune, condi ționându-se reciproc, sunt dou ă aspecte ale câmpului
electromagnetic.
a) Ecuația lui Maxwell – Faraday
Această relație exprim ă faptul că fenomenul de induc ție electromagnetic ă se poate
produce în orice regiune unde exist ă un câmp magnetic variabil în timp și apare un
câmp electric independent de faptul c ă există conductor sau nu. Ea se va ob ține din
legea induc ției electromagnetice dup ă cum urmeaz ă:
dtdei
Exprimând tensiunea indus ă cu ajutorul circula ției vectorului electric, iar fluxul total
exprimat prin legea lui Gauss avem:
SdBtldE
dar
SdEx ldE
rezultă
tBEx
Ecuația Faraday – Maxwell
Observații:
– ecuația obținută exprimă legătura dintre varia ția în timp a lui B
într-un punct și
câmpul electric E
pe care-l induce în acel punct sau, orice varia ție de câmp magnetic
intr-o regiune din spa țiu determin ă apariția unui câmp rota țional .
– ecuația exprim ă caracterul rota țional al câmpului electric indus.
b) Ecuația Ampère – Maxwell
Această ecuație este o generalizare a le gii lui Ampère în condi țiile unui câmp
magnetic variabil. Câmpul magnetic variabil genereaz ă un câmp magnetic variabil,
fenomen numit induc ție magnetoelectric ă.
Pentru a deduce aceast ă ecuație să vedem limitele de aplicare a legii lui
Ampère.
j Brot
sau j Hrot
această formă arată că un curent sta ționar de densitate j
, genereaz ă un câmp
magnetic , deci ecua ția de continuitate se va scrie:
tH divrot
această relație nu este valabil ă dacă tr, deoarece t0, iar divergen ța unui
rotor este totdeauna zero, deci nici legea lui Ampère nu este valabil ă când densitatea
volumică de sarcin ă electrică depinde explicit de timp. În acest caz formula este
incomplet ă în cazul curen ților electrici nesta ționari.
j Hrot
+(?)
Problema pus ă de Maxwell legat ă de întrebarea ce anume trebuie s ă se adauge in
relație la curentul de conduc ție j
?
Dacă simetria dintre vectorii E și B se respect ă atunci ea se va respecta și în cazul
vectorilor H și D și ar trebui s ă avem o rela ție de forma
tDHrot
Maxwell a considerat c ă acesta este termenul care lipse ște din formula de mai sus,
adică ea trebuie scris ă: tDJ Hrot
ecuația Ampère – Maxwell
Observații:
– termenul tD
este introdus pentru a completa curentul de conduc ție și a
fost denumit de c ătre Maxwell , densitatea curentului de deplasare Jd
– noul termen, densitatea de curent de deplasare este necesar pentru ca
expresia care leag ă câmpul magnetic de curentul electric s ă fie compatibil ă
cu ecuația de continuitate și în cazul în care curen ții de conduc ție variază
în timp.
– această relație indică existența unui nou fenomen de induc ție conform
căruia câmpul electric variabil în timp genereaz ă câmp magnetic (induc ția
magnetoelectric ă ).
– acest fenomen nu a fost pus în eviden ță experimental deoarece este
necesar ca varia ția câmpului electric s ă fie sensibil ă într-un interval de
timp dt necesar propag ării luminii între arm ăturile condensatorului, adic ă
frecvența câmpului electric trebuie s ă fie foarte mare.
Concluzie:
Sistemul de ecua ții elaborat de c ătre Maxwell și care pune bazele Teoriei
unitare a câmpului el ectromagnetic este:
DdivBdivtBErottDj Hrot
0
Aceste ecua ții trebuie completate cu ecua țiile de material:
E D
0 P
și J H B
0
unde P este vectorul polariza ție electric ă, iar J este polariza ția magnetic ă
Pentru mediile polarizate liniar au loc rela țiile:
E D
0 și H B
0
Ecuațiile prezentate mai sus sunt valabile în urm ătoarele condi ții:
corpurile materiale aflate în câmpul electromagnetic se afl ă în repaus; m ărimile r,
r și care caracterizeaz ă proprietățile de material ale mediului nu depind de timp și
nici de intensitatea câmpurilor; în câmpurile studiate nu se afl ă magneți permanen ți și
substanțe feromagnetice.
Nu toate cele patru ecua ții ale lui Maxwell sunt independente: ecua țiile II și III nu
sunt independente, din identi tatea div rot =0 rezult ă că ecuația III joac ă rolul unei
condiții suplimentare pentru ecua ția II; de asemenea nici ecua țiile I și IV nu sunt
independente, dac ă aplicăm operatorul div ecua ției I se impune ecua ția IV , pentru a
obține ecuația de continuitate;
Deci pot fi considerat e independente numai ecua țiile I și II și respectiv, ecua țiile de
material.
tHErottEE Hrot
rr
00
Se obține astfel un sistem de dou ă ecuații care permit ob ținerea vectorilor E
și B
pentru condi țiile inițiale și de limită stabilite.
IV.8. Energia câmpului electromag netic. Teorema lui Poynting.
Exprimarea energiei câmpului electroma gnetic prin vectorii caracteristici ai
câmpului electromagnetic permite compararea concluziilor ecua țiilor lui Maxwell cu
date experimentale.
Densitatea de energie a câmpului electromagnetic este dat ă de suma dintre
densitatea de energie a câmpului electric w e și densitatea de energie a câmpului
magnetic w m:
2 2
21) (21
H E wBHDE w wwm e
Considerăm în regim variabil un sistem de co rpuri în volumul V limitat de suprafa ță
S, energia câmpului din volumul V va fi :
2 2
21H E W
Într-un interval de timp dt energia W a câmpului electromagnetic poate s ă scadă din
cauza disip ării energiei prin efect Joule sau din cauza disip ării energiei prin
propagarea câmpului electromagnetic spre ex teriorul volumului. Putem scrie deci:
P dVj P PtW
J 2
unde P j este puterea disipat ă prin efect Joule, iar P Σ este puterea care iese prin
suprafața Σ datorită propagării câmpului electromagnetic. Sc ăderea energiei câmpului
în unitatea de timp se scrie sub forma:
dVtHHtEEtW
Calculăm mărimile tE
și tH
din ecuațiile lui Maxwell și anume:
ErottHj HrottE
folosind aceste rela ții se obține:
dVHrotEErotH dVjtW) (2
folosind formula:
div ( E x H)=H rot E – E rot H
se obține relația:
dVHxEdiv dVjtW)2
introducem m ărimea: HES
denumit ă vectorul Poynting al c ărui modul
reprezintă densitatea fluxului de energie, adic ă energia transferat ă prin unitatea de arie
a suprafeței Σ în unitatea de timp. Unitatea de m ăsură a acestei m ărimi este:
2 2.mW
smJ
mA
mVS
Relația obținută sub forma:
dnS dVjtW
.2
reprezintă legea conserv ării energiei pentru câmpul electromagnetic.
Observație:
– Formula a fost ob ținută în ipotezele c ă mediul în volumul V este omogen
și izotrop, iar în interiorul volumului nu exist ă surse de tensiune
electromotoare.
– Se neglijeaz ă unda electromagnetic ă reflectată în interiorul volumului V.
IV.9. Poten țiale electrodinamice
În electrostatic ă ( din cauz ă că rotorul vectorului E
este întotdeauna zero )
este posibil ă relația:
grad E
unde φ este un câmp scalar de
potențiale electrice
Potențialul scalar φ se define ște până la o constant ă aditivă. Câmpurile φ și φ+c
reprezintă aceeași situație fizică, adică le corespund acela și câmp electric
E.
grad E
gradc grad )c ( grad E
= grad E
La fel putem defini poten țialul vector A
care define ște câmpul magnetic. Deoarece
0Bdiv
rezultă că îl putem reprezenta pe B
ca fiind rotorul unui câmp vectorial A
.
Pentru a stabili în mod univoc un asemenea poten țial, mai trebuie impus ă valoarea
Adiv
, întrucât un câmp de vectori este caracterizat complet numai dac ă se dă atât
rotorul, cât și divergen ța lui. Condi ția care fixeaz ă divergența potențialului vector se
numește condiție de etalonare a potențialelor electrodinamice. În regim sta ționar s-a
folosit condi ția de etalonare 0Adiv
. În regim general variabil se va folosi o alt ă
condiție de etalonare.
Introducând în legea induc ției electromagnetice induc ția magnetic ă exprimat ă cu
ajutorul poten țialului vector, se ob ține relația:
0)tAE(rot
care stabile ște caracterul poten țial al vectorului din parantez ă. Se poate deci introduce
un potențial electrodinamic scalar Ve, prin rela ția:
gradtAE
Relațiile de mai sus sunt exprim ări sub altă formă a legii fluxului magnetic și a legii
inducției electromagnetice. Ele permit calculul câmpurilor E
și B
, dacă se cunosc
potențialele electrodinamice A
și .
Cu ajutorul celorlalte dou ă ecuații ale lui Maxwell se vor stabili ecua țiile pe care le
satisfac aceste m ărimi, în medii omogene, liniare și fără câmpuri imprimate, dup ă
cum urmeaz ă:
tEJ Brot
, Ediv
și presupun cunoscute reparti țiile sarcinii electrice )t,r(
și a densității curentului de conduc ție )t,r(J
.
Dacă: ArotB
se poate calcula poten țialul vectorial A
după cum urmeaz ă:
zx y
z yz x
y xy z
x ByA
xAA ,BxA
zAA ,BzA
yAA
Ca urmare componentele poten țialului vectorial A
se scriu:
2xByBA ,2zBxBA ,2yBzBAy x
zx z
yz y
x
Deci obținem pentru acest poten țial expresia: 2rBA
IV.10. Teoria electromagnetic ă a luminii.
În cadrul teoriei electromagnetice a luminii sunt utilizate numai propriet ățile clasice
ale câmpurilor electrice, pe baza acesteia explicându-se pe deplin fenomenele de interferen ță, difracție, reflexie, refrac ție, absorb ție și dispersie. Exist ă și alte fenomene
cum ar fi emisia și absorbția radiațiilor optice, efectele fotoelectric și Compton etc, în
care intervine sub o form ă detaliată interacțiunea dintre lumin ă și atomi, molecule,
care nu pot fi explicate pe baza teoriei electromagnetice a luminii (Maxwell) și este
necasară teoria cuantic ă.
Ecuația de propagare a unei unde electromagnetice se poate ob ține plecând de la
ecuațiile Maxwell și legile de material. Astfel:
tEH
tHE
Aplicăm operatorul rota țional primei ecua ții și derivăm în raport cu timp ul pe cea de-a
doua ecua ție obținem:
tEH
) (
22
tH
tE
Combinând aceste rela ții rezultă: 22
) (tHH
Ținând cont c ă: H H H 2) ( ) ( și 2 22
tHH
În cazul unui mediu dielectric perfect,deci f ără sarcini spa țiale (ρ = 0) și fără curenți
electrici ( j = 0 ), un mediu izolant, omogen, ob ținem ecua ția:
22
tEE
unde 22
22
22
z y x
iar v2/1)( reprezint ă viteza de propagare a undei.
Ecuația undei electromagnetic e (componenta electric ă) se scrie:
01
22
2tE
vE
Eliminând pe E
din ecuațiile Maxwell și ținând seama de legile de material, rezult ă o
ecuație de undă pentru componenta magnetic ă H
identică cu cea a componentei
electrice E
:
01
22
2tE
vE
În cele ce urmeaz ă, vom considera ψ(r,t)→ E(r ,t). Ținând seama de valorile
permitivit ății electrice ε0 respectiv a permeabilit ății magnetice μ0 în vid
][104 ;10361(7
09
0 SI , rezultă pentru viteza undei electromagnetice
valoarea: c = (ε0 μ0)-1/2 ≈ 3 108 m/s.
Se găsește exact aceea și valoare cu cea a vitezei lumi nii în vid, aceasta fiind o
confirmare str ălucită a ipotezei lui Maxwell c ă lumina este datorat ă propagării
undelor electromagnetice (natura electromagnetic ă a luminii). Într-un mediu
transparent, altul decât vidul, caracterizat de ε=ε0 εr și μ=μ0 μr se poate defini indicele
de refracție al mediului prin rela țiile: vcn și r n2 care sunt verificate
pentru frecven țe foarte joase (I.R. îndep ărtat). În cazul frecven țelor mari (I.R.
apropiat, Viz., U.V. etc.), se constat ă că ε =ε (ν).
Considerăm cazul particular al problemei în care E = E(x,t). Atunci ecua ția undelor se
reduce la: 01
22
2 22
tE
v xE
;
a cărei integral ă generală prin analogie cu ecua ția undelor mecanice este:
) ( sin0vxt EE
Acesta este cazul undei armonice plane. Pe baza celor prezentate mai sus se poate
redefini câmpul electromagneti c ca fiind regiunea din spa țiu, care este sediul undelor
electromagnetice. Locul geometric al puncte lor din mediu care sunt la un moment dat
în fază poartă numele de front al undei electromagnetice .
IV.11. Polarizarea undelor luminoase.
Unda luminoas ă este un câmp electromagnetic care se propag ă astfel încât în fiecare
moment sunt satisf ăcute ecua țiile lui Maxwell. Undele electromagnetice sunt unde
transversale, adic ă vectorii E
și H
oscilează perpendicular pe direc ția de propagare.
Dacă vectorul câmp electric E
ocilează astfel încât r ămâne tot timpul paralel cu o
direcție din planul perpendicular pe direc ția de propagare, se spune c ă unda este liniar
polarizată sau plan polarizat ă. De obicei planul în care oscileaz ă vectorul E
se
numește plan de vibra ție, iar planul în care oscileaz ă vectorul H
se numește plan de
polarizare.
Cap. V. BAZELE FIZICII CUANTICE
V.1. Despre electron în limbaj ondulatoriu și corpuscular
Despre structura atomului redat ă în Fizica Atomic ă se poate vorbi abia de la
începutul secolului XX, când au fost ela borate primele modele atomice. Atomul, cea
mai complex ă particulă existent ă în natur ă este alc ătuit din nucleu și înveliș
electronic. Înveli șul electronic al atomului se compune din orbitele electronice pe care
sunt așezați și se rotesc electronii. Vorbi nd despre electron, suntem obi șnuiți să-l
considerăm drept o particul ă cu masa de repaus 31
0 10 10955,9m kg și o sarcin ă
electrică e = 1910 60219,1 C.
Înveli șul electronic al atomului se com pune din orbitele electronice pe care
sunt așezați și se rotesc electronii. Orbitele electronice sunt dispuse la exteriorul
nucleului atomic pe șapte straturi K, L, M, N, O, P, Q și șapte substraturi s, p, d, f, g,
h, i care con țin un num ăr de 140 de orbite electronice indi ferent de natura atomului. În
anul 1920, Davisson ini țiază o serie de experien țe care aveau drept scop sondarea
câmpurilor electrice din interiorul atomului, cu ajutorul unor facicu le de electroni de
energie corespunz ătoare. Interac ționând cu electronii ce intr ă în compozi ția atomului,
acești electroni ar fi urmat s ă fie devia ți de la direc ția lor ini țială de deplasare,
distribuția lor unghiular ă urmând s ă aducă informații asupra câmpurilor electrice
atomice. Instala ția experimental ă utilizată de Davisson este redata in fig.6.1.
Electronii emi și de filamentul incandescent F, și apoi accelera ți, cad pe placa metalic ă
M care îi împr ăștie.
Distribuția unghiular ă a acestor electroni este determinat ă cu ajutorul de tectorului D,
curentul m ăsurat de galvanometrul G fiind propor țional cu num ărul de electroni
captați de detector în unitatea de timp. Detectorul nu înregistreaz ă decât acei electroni
împrăștiati a căror energie este egal ă cu energia electronilor inciden ți pe placa
metalică M.
Unghiul din fig.VI.1 poate fi variat, ceea ce permite determinarea distribu ției
spațiale a electronilor împr ăștiați. Davisson constat ă că distribuția unghiular ă a
electronilor împr ăștiați se modific ă substanțial atunci când print-un tratament termic
corespunzator se modifica asezarea atomilor in reteaua cristalina, fenomenul devenind
deosebit de manifest atunci metalul tr ece din stare policristalina in starea
monocristalina. Din acest punct de vedere, co mportarea electronilor in acest fenomen
are multe trasaturi comune cu fenomenul de difractie a razelor X pe un cristal,
fenomen studiat mai sus.
În anul 1924 Louis de Broglie propune ca fiec ărei particule în mi șcare să i se
asocieze o und ă. Știind că între impulsul fotonului p și lungimea de und ă a undei
electromagnetice exista rela ția
ph
Fig.V. 1.
De Broglie consider ă prin analogie c ă lungimea de und ă a undei asociate de o
particulă de masă m ce se deplaseaz ă cu viteza v este data de
mVh
Elsasser face o legatur ă între rezultatele experien țelor lui Davisson și ipoteza lui de
Broglie, afirmând c ă în experien țele lui Davisson se manifest ă pregnant propriet ățile
ondulatorii ale electronului. În 1927, Davisson și Germer, experien țele făcute inițial cu scopul de a
confirma experimental ipoteza lui De Broglie. Metalul M este înlocuit acum cu un monocristal de nichel având constanta re țelei egală cu d (la nichel a = b = d) unghiul
este men ținut constant și egal cu unghiul de inciden ță, variindu-se în limite largi
viteza electronilor inciden ți pe monocristal, num ărul de electroni emi și de filamentul
F în unitatea de timp fiind men ținut constant. Dac ă U reprezint ă diferența de poten țial
care produce accelerarea el ectronilor, atunci viteza cu ca re ei cad pe cristal este
v = ( 2/1) 2mUe
iar lungimea de und ă a undei asociate lor este dat ă de: 2/1) 2( mUeh
mVh
Dacă ipoteza lui De Broglie este valabil ă, atunci pentru o lungime de und ă a undei
asociate electronilor care satisface condi ția:
x dsin 2
Curentul m ăsurat de galvanometrul G trebuia s ă indice o valoare maxim ă. Condiția se
rescrie în felul urm ător:
2/1) 2(sin 2mUehk d de unde sin 2) 2(2/12/1
d mehk U
În fig.V.2. sunt reprezentate rezultatele experimentale ob ținute de Davisson și
Germer. Este redat ă aici dependen ța curentului I m ăsurat de galvanometrul G, de
radicalul tensiunii care produce accelerarea electronilor inciden ți. Se constat ă că
intensitatea acestui curent prezint ă o serie de maxime echidistante, distan ța dintre
două astfel de maxime fiind în concordan ță cu relația de mai sus, fiind egal ă cu
d =
sin 2) 2(2/1 d meh
fig.V.2.
Nu mult dup ă experien țele efectuate de Davisson și Germer au fost eviden țiate
fenomene asem ănătoare lucrând cu neutroni, atomi sau molecule.
Experien ța eviden țiază deci că particulele posed ă ca și fotonii propriet ăți
corpusculare și ondulatorii. Extinzând la electron cele stabilite în cazul fotonului,
putem face urm ătoarele afirma ții :
– un electron a c ărui probabilitate de localizare este aceea și în toate punctele
din spațiu este asociat cu o und ă plană monocromatic ă. Un astfel de electron are un
impuls perfect determinat și o localizare spa țială total nedeterminat ă;
– un electron a c ărui probabilitate de lo calizare este diferit ă d e z e r o î n t r – o
anumită porțiune din spa țiu este asociat cu o und ă ce prezint ă un spectru continuu;
– așa cum densitatea probabilit ății de localizare a fotonul ui într-un punct este
proporțională cu pătratul amplitudinii intensit ății câmpului electric în punctul
respectiv, vom admite c ă densitatea probabilit ății de localizare a electronului într-un
punct care este propor țională cu pătratul unei func ții de und ă ( r, t ), m ărimea r
determinând pozi ția punctului în care se determin ă densitatea probabilit ății de
localizare iar t timpul la care se face aceast ă determinare. În regim sta ționar aceast ă
funcție este independent ă de timp;
– ca orice und ă și unda asociat ă electronului poate fi caracterizat ă printr-o
viteză de fază și printr-o vitez ă de grup. În cazul fo tonului, viteza de faz ă este prin
definiție raportul dintre lungimea de und ă și perioada oscila ției
eP chh
Vfotonf
,
h reprezentând energia fotonului iar p =
ch impulsul s ău. Amplificând
această relație în cazul unui electron liber, ob ținem
222
,v
mvvm
PEVc
electronf
viteza de faz ă a electronului fiind de dou ă ori mai mic ă decât viteza sa în mi șcare
rectilinie și uniformă pe care o execut ă.
Pentru viteza de grup a electronului ob ținem:
vmp
dpmpd
dpdEVc
electrong )2(2
,
viteza de grup a electronului fiind egal ă cu viteza sa în mi șcarea rectilinie și uniform ă
pe care o execut ă. În relațiile de mai sus cEreprezintă energia cinetic ă a electronului
iar p impulsul s ău.
V.2. Construirea ecua ției lui Schrödinger monodimensionale
Pista fundamental ă în construirea ecua ției lui Schrödinger este ipoteza c ă
energia total ă a electronului este egal ă cu h. Astfel pentru electronul liber, care
posedă numai energie cinetic ă: hmh
mpEc 2 22 2
iar pentru electronul care se deplaseaz ă într-un câmp de for țe care îi confer ă o energie
potențială V:
hvVmhVmpEt 2 22 2
Dac ă intensitatea câmpului electric într-un punct se determin ă rezolvând
ecuația diferen țială a undei electromagnetice, func ția de undă ( r, t ) se ob ține prin
rezolvarea ecua ției lui Schrödinger pe care ne propune m s-o construim în continuare.
Dac ă deplasarea electronului este unidimensional ă având loc de-a lungul axei
OX, atunci probabilitatea evenimentului care const ă în faptul c ă el este localizat între
x și x + dx este dat ă de dxx)(2 . Funcția ψ(x) se supune condi ției de normare:
1 )(2
dxx
Relația exprim ă certitudinea realiz ării evenimentului care const ă în faptul c ă
electronul este localizat undeva, pe dreapta pe care are loc deplas area sa. Întrucât
soluțiile ecuației lui Schrödinger pot fi imaginare în unele conditii. Astfel se alege
drept măsură a probabilit ății de localizare a electronului, m ărimea dxx x )()(* în
care ) (*x reprezent ă complex conjugatul lui ) (x .
Dac ă funcția de und ă ( x, t ) descrie comportarea unui electron localizat
într-o anumit ă porțiune de extensie finit ă pe care are loc depl asarea sa, atunci în
concordan ță cu cele stabilite mai sus ea poate fi exprimata prin integrala Fourier.
dv c)v( )t,x()v/xt(v2i
Construirea ecua ției lui Schrödinger const ă de fapt în st abilirea unei leg ături între
derivata de ordinul întâi a lui (x, t) în raport cu timpul și derivata de ordinul doi a
lui ( x, t) în raport cu x. Coordonata x este masurat ă evident pe direc ția pe care are
loc deplasarea electronului.
Derivând membrul stâng și membrul drept al rela ției de mai sus în raport cu
timpul ob ținem:
dv c)v()hE
hE(2i dv c)v( 2it)t,x()v/xt(v2i p c )v/xt(v2i
Limitându-ne doar la cazurile când energia poten țialǎ a particulei este
constantǎ, relația precedent ă poate fi scris ă și sub forma
dv c)v(Eh2i)t,x( Eh2ih)t,x()v/xt(v2i
c p1
Derivând rela ția de două ori în raport cu x ob ținem succesiv
dv c)v()vv( 4x)t,x(dv c)v( vV2ix)t,x(
)v/xt(v2i 21 2
22)v/xt(v2i 1
și fiindcă
cE
hm
hpvVhp vV
2 22
211 1
2) (/ ) (
dv c)v(E mh8
x)t,x()v/xt(v2i
c2 2
22
22
22
)v/xt(v2i
0x)t,x(
m8hdv c)v(E
Înlocuind aceast ă valoare ob ținem
22
1 2 2
p1
x)t,x()m8(h)t,x( Eh2it)t,x(
Relație cunoscut ă sub denumirea de ecua ția Schrödinger monodimensional ă
dependent ă de timp. În regim sta ționar t Eh2i vt2i1c)x( c)x( )t,x(
și în consecin ță
t Eh2i
22
1
2t Eh12 1
11
c
x)x(Eh2i
x)t,x(2c)x( Eh2it)t,x(
iar ecuatia lui Schrödinger devine în regim sta ționar
0)() (8)(
22
22
x EE
hm
xx
p
Rela ția de incertitudine a lui Heisenberg face ca sistemele pe care le studiem
să nu fie niciodat ă în stare sta ționară, deoarece orice încercare a noastr ă de a obține
informații asupra sistemului îl scoate din starea sta ționară, în aceste condi ții funcția
fiind o func ție atât de coordonata x cât și de timpul t, putem spune c ǎ sistemele ne
oferǎ informații numai atunci când ele trec dintr-o stare sta ționarǎ în alta. Cu toate
acestea, conceptul de und ǎ asociatǎ se dovede ște a fi util.
V.3. Interpretarea probabilistic ă a undelor de Broglie
Interpretarea probabilistic ă a undelor de Broglie a fost dat ă de Max Born în
anul 1926. Conform acestei interpret ări, în mecanica cuantic ă nu se poate vorbi decât
despre probabilitatea de a g ăsi o microparticul ă într-un anumit punct al spa țiului, la un
anumit moment. Probabilitatea respectiv ă este propor țională cu pătratul amplitudinii undelor de
Broglie asociate acestor microparticule. Star ea unui anumit sistem cuantic (una sau
mai multe particule) este descris ă în mecanica cuantic ă ca o func ție complex ă numită
funcție de und ă care depinde de coordonatele de pozi ție ale microparticulelor și de
timp. Pătratul modulului func ției de und ă este egal cu densitatea de probabilitate
(probabilitatea raportat ă la unitatea de volum).
*2wdVdp
* este func ția complex conjugat ă a funcției de und ă .
Probabilitatea fiind o m ărime pozitiv ă, iar func ția de und ă o mărime complex ă este
necesar să se considere produsul * ca fiind pozitiv, pentru ca și rezultatul s ă fie
pozitiv. Probabilitatatea (dP) de a g ăsi o microparticul ă într-un element de volum dV
delimitat de domeniul D este:
dV dV dP *2
Probabilitatea de a g ăsi cu certitudine microparticula unde va în interiorul domeniului
D, la un moment t, este egal ă cu unitatea
1 dV P
D2
Aceasta exprim ă condiția de normare a func ției de und ă. Undele de Broglie associate
microparticulelor nu au sens fizic analog undelor clasice, ele nefiind legate de un
transport de energie. Undele de Br oglie sunt unde de probabilitate.
Cunoscând probabilitatea diferitelor pozi ții ale microparticulei, în spa țiu,
putem calcula valoarea medie a razei vectoare r utilizând defini ția statistic ă a
mediei.
dV r rdP r2
dVr r *
Această formulă poate fi scris ă pentru toate componentele x,y,z ale vectorului de
poziție r
dx x * ; dyy y * ; dzz z * ;
Așadar, cunoscând func ția de und ă ),,( zyx în reprezentarea coordonatelor putem
calcula probabilitatea cu care în urma m ăsurătorilor, putem ob ține valori ale unor
variabile dinamice, func ții de coordonate, precum și valorile medii ale acestora.
Deocamdat ă este mai important s ă vedem cum se poate calcula func ția de und ă
pentru o microparticul ă aflată într-un câmp de for țe.
V.4. Ecua ția lui Schrödinger
Aspectul matematic al dualismului und ă-corpuscul este dat de ecua ția lui
Schrödinger. S ă considerăm mișcarea unei particule de mas ă 0m și energie ε care nu
este supus ă acțiunii vreunui câmp de for țe și căr e i a î n p r o c e s u l m i șcării îi este
asociată o undă plană -unda de Broglie care se deplaseaz ă cu viteza de faz ă:
kU reprezentat ă prin func ția de undă ),(tr
ti tier ezyx tzyx tr )( ),,( ),,,( ),(
Problema esen țială constă în aceea ca din cunoa șterea func ției de und ă ) ,(tr la un
moment dat, s ă se determine aceast ă funcție de und ă ) ,(tr la un moment ulterior.
Această problem ă impune cunoa șterea ecua ției de propagare a undei reprezentat ă
prin funcția ),(tr .
O asemenea ecua ție de propagare (care este chiar ecua ția Schrödinger) nu se deduce
ci se postuleaz ă, iar dovada valabilit ății ei se face prin confruntarea rezultatelor
teoretice ob ținute cu ajutorul ei cu datele experimentale.
Ecuația de propagare a undelor este dat ă de relația:
0),( 1),(22
2ttrtr
și poate fi extins ă și în cazul propag ării undelor de Broglie; calcul ăm derivatele în
funcție de unda ),(tr
tier it)(
ti ti tierTer er it )(4)( )(22
2 2 2
22
Înlocuind în ecua ție obținem:
0)(4)(0)(4)(
22222
r rrTur
Ținând seama de rela ția lui de Broglie:
22
22
04 2
hp
ph
vmh
Și de legea conserv ării energiei avem:
const WrVmprVum )(2)(202 2
0
putem scrie deci:
)(202
rVWmp )( [202rVWm p
sau
)]( [2 4
20
22
22
rVWhm
hp
Înlocuind în ecua ția undelor se ob ține o ecua ție stationar ă a lui Schrödinger, ecua ție
independent ă de timp:
0)()]( [2)(20 r rVWhmr
Ecua ția Schrödinger atemporal ă nu descrie evolu ția sistemelor atomice ci
descrie propriet ățile acestora în st ările staționare. Solu țiile acestei ecua ții diferențiale
de ordinul doi, liniare și omogene permit s ă se determine energiile sistemelor atomice
în stările staționare dac ă se cunoa ște energia poten țială )(rV a sistemului precum și
funcțiile de und ă corespunz ătoare stărilor respective.
Pentru tratarea problemelor privind fenomene le în care starea sistemului atomic
variază în timp trebuie folosit ă o ecuație în care func ția de und ă trebuie s ă depindă și
de timp nu numai de coordonatele spa țiale.
V.5. Ecua ția Schrödinger temporal ă
Funcția de undă poate fi pus ă sub forma:
t
hWitier er tr )( )( ),(
Derivând în raport cu timpul ob ținem:
),(),(trHiW
ttr
ttr
ihw),(
În aceast ă ecuație atemporal ă se înlocuie ște mărimea )t,r(W cu cea calculat ă
anterior:
0 )(22),()(2),(0
20 rVm
ttr
ih
hmtr
Care se retranscrie sub forma
)(2
220
02
rhm
mh
tih
Această ecuație reprezint ă ecuația temporal ă a lui Schrödinger. Fa ță de cealalt ă formă,
ecuația obținută nu mai con ține energia total ă W și are un caracter mai general.
V.6. Condi ții care se impun func ției de und ă. Valori proprii. Func ții
proprii
Pentru ca rezultatele ob ținute pe baza solu țiilor ecua ției lui Schrödinger s ă fie
în concordan ță cu datele experimentale, se impun asupra acestora urm ătoarele
condiții:
-să fie continue și să aibă derivate continue;
-să fie continue în tot spa țiul căci altfel interpretarea probabilistic ă a lui 2 nu ar mai
avea sens;
-să fie univoce în întreg spa țiul, adică în fiecare punct al spa țiului func ția )(r să
aibă o singură valoare;
-să se anuleze la infinit;
Astfel de solu ții nu se pot g ăsi decât pentru anumit e valori ale energiei
……. ,….. ,….3 2 1 W W W numite valori proprii, iar solu țiile corespunz ătoare acestor valori
proprii se numesc func ții proprii n ,……,2 1 .
Dacă la o singur ă valoare proprie W corespund mai multe func ții proprii 2 1, ….. se
spune că avem degenerescen ță, iar dacă la o singur ă valoare proprie W corespunde o
funcție proprie nu avem degenerescen ță.
Dacă valorile proprii nW sunt negative (nW<0) ecuația lui Schrödinger nu admite
soluții decât pentru valorile propii care formeaz ă un spectru discret(prin spectru se
înțelege totalitatea valorilor proprii) în care caz microparticulele su nt localizate într-
un domeniu finit. Dac ă valorile proprii W
n sunt pozitive (W n>0) acestea formeaz ă
un spectru continuu, func țiile de und ă nu se anuleaz ă la infinit, iar
microparticulele nu sunt localiz ate într-un domeniu finit.
Func țiile proprii, în cazul în care nu exist ă degenerescen ță, formeaz ă un sistem
ortogonal satisf ăcând condi ția de ortogonalitate:
0 dVm
Dn , nm
Unde
m este func ția complex conjugat ă a funcției de und ă m. Ca urmare
m și n sunt func țiile de und ă proprii care corespund valorilor proprii
Wm și W n, atunci când m și n satisfac condi ția de normare:
1 dVm
Dn , nm
Aceste dou ă condiții pot fi descrise de rela ția de ortonormare:
mn m
DndV =
nmnm
,1,0
V.7. Numere cuantice
Soluțiile ecuației lui Schrödinger permit determinarea probabilit ății prezen ței
electronului în jurul nucleu lui pe orbitalul atomic. Electronul ocupând o orbit ă este
caracterizat de patru numere cuantice:
1. Numărul cuantic principal n determină numărul straturilor electronice.
Electronii cu acela și număr cuantic principal se g ăsesc la aceea și distanță de
nucleu formând un stra t electronic. Num ărul cuantic principal n poate avea
valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7 care se numesc stratul K, L, M, N, O, P și Q.
2. Numărul cuantic secundar l determină substraturile electronice, adic ă
orbitele și forma lor care poate fi circular ă sau eliptic ă. Valorile lui l depind de
n și anume l[0, n-1]
3. Numărul cuantic magnetic m determină poziția spațială a planului orbitelor
electronice m [-l, l]
4. Numărul cuantic al spinului s se datoreaz ă mișcării electronului în jurul
propriei axe s
21,21
Reguli de distribuire a electronilor:
Regula lui Klechkowski ordinea de completare a orbitalilor atomici(O.A.) urmeaz ă
riguros principiul energiei care este dat de succesiunea sumei (n+l) a diferi ților O.A.
În cazul în care 2 sau mai mul ți O.A. au aceea și sumă (n+l), se completeaz ă mai întâi
O.A. cu n minim.
Principiul lui Pauli doi electroni ai unui atom difer ă prin cel pu țin un num ăr cuantic.
Regula lui Hund O.A. de aceea și energie (degenera ți, din acela și substrat) se ocup ă
cu electroni astfel încât s ă aibă spin maxim.
Fiecare strat de electroni este format din s ubstraturi, iar substrat urile din una sau mai
multe orbite între care exist ă diferențe de energie, astfel:
– într-n substrat s
există 1 orbită s;
– într-un substrat p
există 3 orbite p; Fig.V.3.
– într-un substrat d
există 5 orbite d;
– într-un substrat f există 7 orbite f;
– într-un substrat g există 9 orbite g;
–
într-un substrat h
există 11 orbite h;
– într-un substrat i există 13 orbite i;
CAP. VI. NO ȚIUNI GENERALE DE TERMODINAMIC Ă
Termodinamica studiaz ă procesele fizice care au loc în sistemele cu un num ăr
foarte mare de particule în care intervin și fenomene termice.
Ea analizeaz ă producerea, transportul, transformarea și utilizarea c ăldurii și a lucrului
mecanic. Studiul fenomenelor se face cu ajutorul legilor generale empirice.
VI.1. Sistem termodinamic. Stare a sist emului. Parametrii termodinamici.
Vom face definirea sist emului termodinamic în viziunea microscopic ă asupra substan ței
ținând cont de structura discret ă a acesteia.
Prin sistem termodinamic (ST) se în țelege o por țiune din univers delimitat de mediul
exterior printr-o suprafa ță reală sau imaginar ă, realizată din unul sau mai multe corpuri
macroscopice, con ținând o cantitate finit ă de substan ță, care este alc ătuită dintr-un num ăr
mare de particule elementare constituente (molecule, atomi, electroni liberi, etc.) și care poate
interacționa cu mediul înconjur ător.
Exemple de sisteme termodinamice: orice form ă geometric ă solidă, orice lichid aflat
într-un vas, orice gaz aflat într-o incint ă, orice amestec solid, lichid, gazos sau mixt,
organismele biologice etc. Si stemele termodinamice pot fi:
a) Izolate, dacă sistemul nu schimb ă nici energie și nici substan ță cu mediul exterior;
b) Închise , dacă sistemul schimb ă doar energie, dar nu și substanță cu mediul exterior;
c) Deschise, dacă sistemul schimb ă și energie, și substanță cu mediul exterior.
Starea unui sistem termodinamic. Mulțimea parametrilor fizici care descriu
sistemul termodinamic la un moment dat constituie starea sistemului. Dac ă acești parametri
se mențin constan ți în timp, spunem c ă sistemul termodinamic se afl ă în stare staționară, iar
dacă acești parametri evolueaz ă sistemul se afl ă în stare nesta ționară.
Parametrii de stare ai unui sistem termodinamic. Pentru a putea studia starea sau
evoluția unui sistem termodinamic, acestuia i se pot asocia o multitudine de parametri fizici
definitorii, atât de natur ă macroscopic ă cât și de natur ă microscopic ă.
Parametrii termodinamici sunt m ărimi observabile, m ăsurabile, care caracterizeaz ă sistemul
termodinamic; de exemplu: densitatea, vol umul, presiunea, temperatura, etc. Dac ă parametrii
de stare nu variaz ă, sistemul termodinamic se afl ă în echilibru. Un set de parametri de stare
determină o anumit ă stare a ST.
Presiunea p este m ărimea fizic ă scalară numeric egal ă cu raportul dintre m ărimea
forței F, care apas ă perpendicular pe o suprafa ță plană a unui mediu fluid, și aria S a acestei
suprafețe: SFp.
Unitatea de m ăsură pentru presiune se nume ște pascal : PamNpSI2.
Presiunea unui gaz, v ăzută macroscopic este un parametru direct m ăsurabil
experimental (cu un manometru). În schimb v ăzută microscopic, este legat ă de viteza
molecular ă medie <v> a moleculelor de gaz ca re ciocnesc unitatea de suprafa ță transferând
impuls senzorului manometric. Ma tematic expresia ei este urm ătoarea:
p = nm<v2>/3
unde: n -reprezint ă numărul de molecule în unitatea de volum
m -reprezint ă masa
Volumul specific se refer ă la o anumit ă substanță și este volumul geometric ocupat de
un număr de molecule egal cu num ărul lui Avogadro
NA = 6,023·1023molecule/mol
Temperatura unui sistem este de asemenea legat ă de o mărime microscopic ă și anume
energia cinetic ă medie a moleculelor. De exemplu pe ntru gazele perfecte expresia este
următoarea: <w> = 3kT/2 unde:
<w> – energia cinetic ă medie
T – este temperatura absolut ă
K = R/N 0 este constanta lui Boltzmann
Cu ajutorul acestor trei parametri presiune, volum și temperatur ă, putem descrie starea
oricărui sistem termodinamic. Asfel rela ția:
f (p, V, T) = 0
reprezintă legătura dintre parametrii de stare pentru orice stare de echilibru a sistemului.
Relația nu dă nici o indica ție asupra st ărilor intermediare ale unui proces termodinamic dar ea
poate lega dou ă stări una considerat ă inițială și cealaltă finală.
Considerând un sistem termodinamic cu parametrii p, V, T, o cre ștere dV a volumului
va putea fi scris ă sub forma:
dV = Adp + BdT unde A și B pot fi ni ște funcții de p și T
Deoarece într-o transformare varia ția lui V nu depinde de drumul urmat,
∫
AB dV = cst.
Adică dV este o diferen țială totală exactă. Matematic acest lucru se scrie:
pB
TA
Exemplul acesta este verificat de ecua ția gazelor prefecte: pV = nRT
Numărul gradelor de libertate ale unui sistem termodinamic îl constituie num ărul
parametrilor de stare independen ți care pot descrie integral un anumit proces fizic. Exist ă și
alți parametri considera ți necesari pentru descrierea respectivului proces fizic, ace știa se
numesc parametri dependen ți. Între ei se pot stabili rela ții matematice de leg ătură.
VI.2. Mărimi energetice specifice sistemelor termodinamice
Energia intern ă a unui sistem termodinamic U este o mărime fizic ă scalară, de stare a
unui sistem termodinamic. Particul ele constituente ale unei substan țe se află într-o continu ă
mișcare de agita ție termică. La un moment dat, fiecare particul ă posedă o energie cinetic ă dată
de natura particulei și de conjunctura în care se afl ă cu particulele vecine.
Căldura Q este o mărime fizic ă scalară de proces care măsoară transferul de energie prin
contact termic între sistemele termodinamice în procesele care au loc între acestea. C ăldura se
măsoară, în S.I. în jouli (J), ca și energia.
SIQ J
Caloria este unitatea de m ăsură tolerată în tehnică: 1 cal = 4,18 J
Contactul între un sistem termodinamic și un alt sistem din medi ul exterior lui se
realizează atunci când sistemul dat nu mai es te izolat de mediul exterior, și au loc interac țiuni
cu celălalt sistem. Contactul dintre cele dou ă sisteme poate fi:
a) Contact mecanic, atunci când schimbul de energie dint re sisteme se face prin lucrul
mecanic realizat de for țele efectuate de unul dintre sisteme asupra celuilalt;
b) Contact termic, atunci când schimbul de energie dint re sisteme se face exclusiv prin
căldură;
c) Contact prin shimb de substan ță între cele dou ă sisteme .
Procesul termodinamic se definește ca fiind trecerea unui sistem termodinamic dintr-o stare
de echilibru în alt ă stare de echilibru. Pro cesul termodinamic mai poart ă și numele de
transformare de stare.
Clasificarea proceselor termodinami ce din punct de vedere al evolu ției paramatrilor de
stare ai sistemului
Procesele cvasistatice se desfășoară lent, parametrii de stare
corespuzători stărilor intermediare pot fi determina ți.
Procesele nestatice se desfășoară rapid, dintr-o stare ini țială de
echilibru într-o stare final ă de echilibru. Parametrii st ărilor intermediare
nu se pot determina și reprezenta grafic, deoarece nu sunt st ări de
echilibru.
Clasificarea proceselor termodinami ce din punct de vedere al posibilit ății evoluției
procesului termodinamic dintr-o stare în alta și invers(în ambele sensuri)
Procese reversibile sunt acele procese în care evolu ția poate fi în
ambele sensuri, iar st ările intemediare de echilibru sunt acelea și în
ambele sensuri ale evolu ției.
Procese ireversibile sunt acele procese în care cel pu țin una dintre
condițiile de defini ție ale proceselor revers ibile nu este îndeplinit ă.
Clasificarea proceselor termodina mice din punct de vedere al rela ției dintre starea
finală și cea inițială
Procesele ciclice sunt acele procese în care starea final ă coincide cu
starea inițială.
Procesele neciclice sunt acele procese în care starea final ă nu coincide
cu starea ini țială.
Lucrul mecanic. Reprezentarea grafic ă a transform ărilor de stare (proceselor
termodinamice) într-un sistem de axe de coor donate (cum ar fi presiune volum) permite
calculul matematic al lucrului mecanic L. Prin defini ție lucrul mecanic este:
2
1V
V2
1pdV SdxSFrFL
Fig. VI.1.
Într-adevăr se vede u șor că acesta reprezint ă aria de sub curba procesului
termodinamic. Semnul lucrului mecanic im plicat într-o transformare se alege ținând cont de
convenția de conform c ăreia L se consider ă pozitiv când este disponibi l pentru a fi utilizat și
negativ când trebuie s ă-l efectuăm noi. Deci lucrul mecanic efect uat într-o destindere este
pozitiv, iar cel cheltuit pentru mic șorarea volumului (comprimare) este negativ.
VI.3. Echilibrul termic, no țiunea de temperatur ă, termometrie
Starea de înc ălzire a unui sistem termodinamic form at din molecule depinde de mi șcarea
dezordonat ă datorită agitației termice a moleculelor sale.
Agitația termic ă reprezintă mișcarea permanent ă și dezordonat ă a moleculelor unui
sistem termodinamic în toate direc țiile și determin ă starea de înc ălzire a sistemului.
Difuzia este fenomenul care const ă în pătrunderea moleculelor unei substan țe printre cele
ale altei substan țe. Fenomenul de difuzie este foarte pregnant în cazul pune rii în contact a
două gaze, dar într-o mai mic ă măsură la punerea în contact a dou ă lidhide. Difuzia se
produce mai repede la înc ălzirea sistemelor ale c ăror particule difuzeaz ă. Moleculele sau ionii
din orice substan ță aflată într-una din st ările de agregare cunoscute sunt în permanen ță în
mișcare, care depinde de starea de agregare și de starea de înc ălzire.
Echilibrul termic. Realizând un contact termic între două corpuri (unul cald și altul rece),
fără schimb de energie prin efectuare de lucru mecanic sau schimb de substan ță între ele,
acestea ajung spontan și ireversibil, dup ă un interval de timp, s ă aibă aceeași stare de
încălzire. În aceast ă situație, corpurile nu mai schimb ă între ele energie sub form ă de căldură
și se spune c ă se află în echilibru termic.
Temperatura empiric ă. Unei anumite st ări de încălzire a sistemului termodinamic i se
pune în coresponden ță un parametru numit temperatur ă empirică a sistemului. Pentru un
sistem dat, temperatura este un parametru termodinamic intern de tip intensiv , având valori
egale pentru st ările de echilibru termodinamic care sunt între ele în echilibru termic și valori
diferite pentru st ările de echilibru termodi namic care nu sunt în rela ție de echilibru termic.
Scări de temperatur ă. Temperatura empiric ă este cuantificat ă printr-o m ărime unitar ă
numită grad și prin definirea conven țională în grade a unor sc ări de temperatur ă. Măsurarea
temperaturii, conform unei sc ări definite, se realizeaz ă cu anumite dispozitive denumite
termometre.
Scara Celsius cuantificat ă în grade Celsius (șC) este o scar ă centigrad ă convențională
și are ca temperaturi de referin ță, prin conven ție, valoarea 0șC, corespunz ător situației
când ghea ța pură se topește la presiune normal ă, și 100șC, corespunz ător situației când
apa pură fierbe la presiune nomal ă.
Scara Kelvin, adoptată în Sistemul International de Unit ăți de Măsură, are fixat
punctul zero al scalei la temperatur a -273,15șC. Temperatura absolut ă, egală cu zero
(T0=0K), corespunde st ării materiei în care ar înceta mi șcarea de agita ție, termic ă a
moleculelor. Unitatea de temperatur ă adică Kelvin-ul, are aceea și mărime ca și gradul
de pe scara Celsius: 1K=1șC T[K] = t[șC] + 273,15
Scara Fahrenheit fixează aceleași stări de referin ță ca și scara Celsius, dar le atribuie
alte valori: 32șF, corespunz ător situației când ghea ța pură se topește la presiune
normală, și 212șF, corespunz ător situației când apa pur ă fierbe la presiune nomal ă.
T(șF)=32+1,8t(șC)
Masa molecular ă (absolută) a unei molecule, notat ă m0, este masa unei molecule de
substanță exprimat ă în kilograme.
Unitatea atomic ă de masă este definit ă ca a 12-a parte din masa izotopului de carbon
C12
6.
271066.112 112
6 Cm
u kg.
Masa molecular ă relativă a unei molecule, notat ă mr, reprezint ă numărul
adimensional care arat ă de câte ori masa absolut ă a unei molecule este mai mare decât masa
etalon u:ummr0 .
VI.4. Structura discret ă a substan ței. Molul.
Noțiunea de mas ă, definită la mecanic ă, exprimă proprietățile inerțiale macroscopice
ale unui sistem. Pentru eviden țierea structurii discrete a substan ței definim alte m ărimi,
referitoare la particule elmentare cos tituente ale unui sistem, la cantitatea și numărul acestora.
Orice corp este constituit din atomi asocia ți în molecule.
Molul este unitatea fundamental ă pentru exprimarea cantit ății de substan ță dintr-un
sistem fizic. Un mol este defi nit ca fiind cantitatea de substan ță a cărei masă, exprimat ă în
grame, a unui sistem con ținând atâtea particule constituente câ ți atomi exist ă în 12 grame de
carbon 12 ( C12
6).
Orice sistem termodinamic este caracterizat de m ărimile prezentate mai jos:
Masă molară, notată μ, este masa unui mol dintr-o substan ță constituit ă din molecule,
exprimată în grame, care este numeric egal ă cu masa molecular ă relativă a moleculelor
constituente și depinde exclusiv de natura substan ței: kg/kmolsau /molgmr ;
1kmol’103mol.
Numărul lui Avogadro, notat N A, reprezint ă numărul de molecule dintr-un mol de
substanță:23
2410 023,61066,11 1uNA .
Volumul molar V μ reprezintă volumul ocupat de un mol de substan ță. În acelea și
condiții de presiune și temperatur ă, toate gazele ocup ă același volum molar. În condi ții
normale de presiune și temperatur ă (p0’1,013105N/m2 și θ0=0șC), toate gazele ocup ă
volumul molar
0V 22,41 kmol /m 22,41 mol/ 103 3 3 m .
Cantitatea de substan ță a unui sistem, notat ă υ, exprimă numărul de moli con ținuți
de aceasta. Substan ța este caracterizat ă de masa molar ă μ și volumul molar V μ, iar
sistemul con ține N particule elementare (molecule , atomi, ioni, nuclee), ocupând un
volum V și având o mas ă totală m.
VV m
NN
A .
VI.5. Principiile termodinamicii
Postulatul fundamental al termodinamicii
Un sistem terodinamic izolat de mediul exterior și aflat într-o stare de neechilibru va
evolua spre o stare de echilibru termodinamic, în care va ajunge dup ă un interval de timp și pe
care nu o va p ărăsi de la sine.
Postulatul al doilea : Două sisteme termodinamice c ă sunt în echilibru termic (sau
echilibru termodinamic) dac ă aduse în contact termic nu schimb ă căldură între ele. Astfel
echilibrul termic reclam ă existența unui parametru intensiv ce de pinde de parametrii extensivi
ai sistemului și de energia intern ă a acestuia. Acest parametru s-a numit temperatur ă
empirică și manifest ă proprietatea de tranzitivitate . Postulatul al doilea afirm ă că
„tranzitivitatea este o proprietate fundamental ă a echilibrului termic.”
Primul principiu al termodinamicii: energia intern ă a unui sistem este func ție
univocă de starea lui și variază numai sub influen ța interacțiunii cu exteriorul. Matematic se
scrie:
QU L
sau în scriere sub form ă diferențială:
Qd U Lđđ
de unde
dU Q Lđđ
relație care confirm ă că variația energiei interne a unui sist em termodinamic în urma evolu ției
acestuia între o stare ini țială și una final ă rezultă din schimbul de c ăldură și de lucru mecanic
cu exteriorul. Ultima rela ție exprim ă și constatarea c ă deși Qđ și Lđ nu sunt diferen țiale
totale exacte, diferen ța QLđđ este diferen țială totală exactă a energiei interne , ceea ce
conferă energiei interne calitatea de funcție de stare . Aceasta înseamn ă că variația Ua
energiei interne între o stare ini țială și una final ă nu depinde de drumul urmat între cele dou ă
stări ci numai de valorile energiei interne U între cele dou ă stări.
Lucrul mecanic și căldura sunt funcții de proces variația lor între dou ă stări depinzând de
tipul procesului care a condus la starea final ă. Alegând ca și variabile independente
temperatura absolut ă T și volumul V, putem demonstra în felul urm ător:
dV]p)VU[( dT)TU(Ld dU QdT V
Pentru ca Qd să fie diferen țială totală exactă este necesar s ă fie satisfăcută condiția:
pVU
T TU
V
Ceea ce implic ă:
0Tp
V
Condiție neconfirmat ă experimental.
În ceea ce prive ște pdV Ld , acesta poate fi scris, în general, ca:
xdy pdV Ld
unde x=0 și y=T sau p. Atunci, condi ția ca Ld să fie diferen țială totală exactă este:
0)Vx()yp(y V
Condiție care duce la un rezultat absurd pentru c ă: dacă 01 py iar dac ă
0)Tp( TyV ; condiție neconfirmat ă experimental.
Principiul al doilea . În timp ce primul principiu al termodinamicii eviden țiază energia
internă ca funcție de stare, principiul al doilea eviden țiază entropia S ca funcție de stare:
TQddS
Principiul al treilea. Se poate observa c ă în considera țiile de mai sus lipse ște
precizarea privind comportamentul sistemelor fizice în vecin ătatea temperaturii de zero
absolut. Aceast ă precizare a fost postulat ă pe baza unor da te experimentale
Experiența a demonstrat c ă nu există proces ciclic în care c ăldura să poată fi transformat ă
integral în lucru mecanic și că procesele necvasistatice irever sibile ale unui sistem izolat
adiabatic sunt înso țite întotdeauna de cre șterea entropiei. A șadar practica impune formularea
unui postulat suplimentar care se opune realiz ării temperaturii de zero absolut. Acest postulat
reprezintă una din formul ările celui de-al treilea principiu al termodinamicii. Adic ă: zero
absolut nu se poate atinge prin nici o experien ță; sau în formularea lui Nernst : entropia S spre
zero Kelvin înceteaz ă să mai fie o func țiede stare, tinzând sp re o valoare constant ă 0S care nu
mai depinde de parametrii de stare. În cazul u nui sistem fizic condensat (solid sau lichid)
însăși entropia tinde c ătre zero când 0 TK .
0Slim
0T
Acest fapt se atribuie naturii cuantice a sistemel or fizice. Cu toate c ă principiul trei nu
introduce noi func ții de stare, din punct de ve dere cantitativ el precizeaz ă valoarea constantei
aditive care apare prin integrarea expr esiei matematice a principiului doi.
VI.6. Aplica ții ale principiilor termodinamicii
1. Transformarea politrop ă. Se numește transformare politrop ă, transformarea
termodinamic ă pe parcursul c ăreia sistemul schimb ă atât căldură cât și lucru mecanic cu
mediul înconjur ător. Pentru a determina legea transform ării politrope se scriu urm ătoarele
ecuații:
Ecuația termică de stare:
RT pv
Forma diferen țială a legii fundamentale a calorimetriei:
nn
ccdTcq cdTq
unde nc reprezint ă căldura specific ă a gazului perfect pe durata transform ării.
Principiul I al termodinamicii:
pdv duq
unde:
dTc duv
Relațiile lui Mayer:
vpv p
ccR c c
v nv nccpdvdT pdv dTc dTc
Diferențiem ecuația termică de stare:
v pv pv p
c cvdp pdvdT vdp pdv dTc cc cR vdp pdv RdT
;
Vom obține astfel:
pv vdp pdvccc cvdp pdvccc cvdp pdv pdvccc c
c cvdp pdv
ccpdv
n vn pv nv pv nv p
v p v n
:00 1
Se noteaz ă nccc c
n vn p
, unde n – exponent politropic
0pdp
vdvn
Prin integrare, se ob ține:
const pv const p vnnln ln) ln( ln ln
Legea transform ării politrope
constTpconst Tvconst pv
nnnn
11
Se particularizeaz ă transformarea politrop ă pentru celelalte transform ări simple ale gazelor
perfecte.
Dac ă ctv p ctvp nn 11
(izocoră).
Dac ă ctp ct pv nn0 (izobară).
Dac ă ct pv ct pv nn1 (izotermă).
Dacă
ct pv ct pvccknk n
vp adiabatic) (exponent (adiabatic ă).
Calculul c ăldurii în transformarea politrop ă
Prin defini ție:
Notăm
1 2 1 2 122 1 1 22
112
1 11 1
TTnknc TTnc ncqnknc cnc ncc ccn c c nccc cTTc TTc dTc q
vn vv np v
n n v n p
n vn pn n n
Calculul lucrului mecanic în transformarea politrop ă
Prin defini ție:
2
11
112
12
111112
1121nvvpvdvvp dvvvppdv ln
n
nn
nn
Deoarece:
1111
11
nvdvvvdvvvpp pv vp
n
n
nnn
n n
Rezultă că:
1
21
111 1
21
111
121
11
211
121 1
1 1 1n nn
n nn
n nn
v v nvpv vnvpl v vnvpl
din relația 1
1 1 1n nvv v
1
21 11
12 11n
vv
nvpl
Dar n
n n
pp
vvvp vp1
12
21
22 11
Se scrie mai departe:
nnnn
nn
ppvpvpn pp
nvpl1
11
2
11 111
12 11
121111
Următoarele rela ții pot fi scrise;
2 122 11
12221
221
21
211
11
11
111
1 1
11
1 1TTnR
nvpvplvp pvp pvpp p p
pp
nn
n nn
nn nnn
nn
nn
Variația energiei interne:
1 21 21 2 1 2 12 121 2
11
1
TTmc UTTcuTTnkc TTnknc l quTTc dTc u
vvv vv v
Transform ări simple ale gazului perfect. Transform ările termodinamice care pot ap ărea
în cazul gazelor, considerând m =const., sunt:
Transformare izoterm ă, dacă pe tot parcursul desf ășurării procesului, temperatura
rămâne constant ă (T=const.);
Transformare izocor ă, dacă pe tot parcursul desf ășurării procesului, volumul r ămâne
constant ( V=const.);
Transformare izobar ă, dacă pe tot parcursul desf ășurării procesului, presiunea
rămâne constant ă(p=const.);
Transformare oarecare, dacă pe tot parcursul desf ășurării procesului, nici unul dintre
parametri p, V, T nu rămâne constant;
Transformare adiabatic ă, dacă procesul se desf ășoară fără schimb de c ăldură cu
exteriorul ( Q=0).
În transformarea izocor ă ecuația procesului este:
Lucrul mecanic efectuat
J p pkVTTcm U U QLTT
ppctTp
v 10 ;
1 2 1 2 1 2 1221
21
În transformarea izobar ă:
JTTcm L Q U UJ TTcm QJ TTmR V Vp LTT
VVctTV
vp
;
1 2 12 12 1 21 2 121 2 1 2 1221
21
În transformarea izoterm ă:
J L QJVVVpVVmRTppVpVVVp LVV
ppct pV
log 303,2 ln ln ln ;
12 1212
11
12
12
11
12
11 1212
21
știind că:
VVpp pV VpV VpVdVVp pdV
11
112
1 11 11 ln
Pentru transformarea adiabat ă
J TTkmR
TT
kVpLJpp
kVp
VV
kVpVp Vp Lpp
VV
TTVV
ppct pV
kkkkkkk
k
111 1111 11 ;
2 1
12 11
121
12 111
21 11
22 11 121
211
12
2112
21
1 1 0
1 2 1 2 11 22 11 22 1 21 2 12 2 112
TTcm TTmRkkVp VpkkVp Vp U UJ TTcm L U UQ
pv
VI.7. Distribu ția moleculelor func ție de vitez ă
Pentru gazul monoatomic ideal, particula are numai trei grade de libertate de
translație. De asemenea interac țiunea între particule este neglijat ă astfel încât energia este
doar energie cinetic ă de transla ție și nu există energie poten țială de interac țiune, energie
cinetică de rotație sau energie de vibra ție:
mp
mk mv
k2 2 22 22 2
23
23 3 2
32 12
hmkTVrdpd e
hmkTp
e
=> emkTp
phmkTn n 223
222
Dar p = mv => ekTmv
vhmkTn n 223
222
, unde 2 2 2 2
z y x v v v v
Pentru a g ăsi numărul mediu de particule pe un itatea de volum se integreaz ă după
impulsuri în spa țiul fazelor (x x x mdv mvd dp ) () :
z y xkTv v vm
dvdvdv
hm
hmkTn n ez y x
2) (
3323
22 2 22
În coordonate sferice ( dvvm mvd mv dpp23 2 2)()( ):
0222
0 03323
22
sin2dv vd dhm
hmkTn n ekTmv
Pentru a ob ține numărul mediu de particule cu componenta xva vitezei între xvși
x xdvv indiferent de valorile lui yvși zvse integreaz ă după yvși zv:
zv
kTm
yv
kTm
xv
kTm
dv e dv e dv ekTmn nz y x2 2 2
2 2 223
2
mkTdxemkTdv ex
yv
kTm
y 2 2 22
2
unde s-a f ăcut substitu ția
dxmkTdvkTmvxx vkTm
y y y2;2;22 2
analog pentru z,
=>
x xvkTm
xvkTm
vdn dv ekTmn dv emkT
kTmn nx x2 2
2 223
22
2
=> xvkTm
x dv ekTmn vdnx2
2
2
Funcția de distribu ție este:
2
xvkT2m
xx
x ekT2m
ndvvdnvf
Funcția de distribu ție are urm ătoarea reprezen tare grafic ă [3]:
Pentru a determina num ărul mediu de particule pe unita tea de volum care au modulul
vitezei cuprins între v și v+dv se integreaz ă în coordonate sferice în raport cu unghiurile:
)( 222||) cos(202223
022 2
0 023
2 2
vdn dv vkTmn dv vkTmn n e ekTmv
kTmv
=> dv vkTmnvdn ekTmv
2223 2
)2(4 )( =>
e ekTmv
kTmv
vkTmvkTm
ndvvdnvf 2223
2223
2 2
24
24)()(
Maximul func ției de distribu ție este viteza cea mai probabil ă =>
2 0222 0 0)(2222 222 2 2
kTmvkTvmv v vdvd
dvvdf
pkTmv
kTmv
kTmv
e e e
=> mkTvp2
Viteza medie a moleculelor este:
02323
0 0 02
24)( )(1)(1dv vkTmdvvvf dvvvnfnvvdnnv ekTmv
02
0222
022
023 2
21)(212 2 2
dx xmkTvd v vdv v dv v e e e ex
kTmv
kTmv
kTmv
unde s-a f ăcut substitu ția: dxmkTvd xmkTvkTmvx2)(2
22 22
1)10( | | )' (0
00
0 0
e e e e ex x x x xdx x dx x dx x =>
mkT
mkT
mkT
kTmv 228224223
mv
mkTv2 2 2
Func ția de distribu ție are urm ătoarea reprezen tare grafic ă [3]:
Pe grafic s-a marcat cu linie ro șie vertical ă viteza cea mai probabil ă, respectiv cu linie verde
verticală viteza medie.
Similar se poate calcula viteza termic ă:
02423
02
02
02 22
24)( )(1)(1dv vkTmdvvfv dvvnfvnvdnvnv v ekTmv
T
25
024 2
232
kTmdv vekTmv => mkTvT3
(integrala a fost calculat ă cu Maxima: http://maxima.sourceforge.net )
VI.8. Distribu ția moleculelor unui gaz în câmp gravita țional
În mișcarea lor dezordonat ă, moleculele unui gaz se di stribuie uniform în volumul
vasului astfel c ă în medie în unitatea de volum este con ținut un acela și număr de molecule. În
starea de echilibru, presiunea și temperatura manifest ă aceleași valori în întreg volumul. Toate
aceste afirma ții funcționează atâta vreme cât moleculele gazului nu sunt agregate de for țe
exterioare care s ă le modifice reparti ția spațială în volumul incintei.
În realitate asupra moleculelor gazului ac ționează forța de gravitate. Dac ă nu ar exista agita ția
termică, moleculele de aer ar c ădea pe Pământ formând un covor sub țire de molecule de aer
pe suprafa ța terestră, iar în absen ța atracției gravita ționale toate moleculele ar evada în spa țiu
spre infinit. Mi șcarea de agita ție termic ă și atracția gravita țională împiedic ă atât căderea
moleculelor pe P ământ cât și răspândirea lor spre infinit dete rminând stabilirea unei reparti ții
moleculare a c ărei lege ne propunem s ă o stabilim în cele ce urmeaz ă.
Pentru aceasta vom considera o coloan ă verticală de aer și vom presupune c ă aproape de
suprafața Pământului la z =0, presiunea aerului este p 0 în timp ce la altitudinea z valoarea
presiunii este p. La o varia ție a altitudinii cu dz presiune a va varia cu dp. Cantitatea dp
măsoară diferența greutăților coloanelor de aer având ar iile bazelor egale cu unitatea și
înălțimile z+dz și z.
dp gdz
unde ρ este densitatea aerului iar g accelera ția gravita țională. Dacă m este masa unei
molecule iar n num ărul din unitatea de volum,
nm
Înlocuind presiunea p cu nk BT, rezultă
Bmp
kT și obținem:
Bmgdp pdzkT
din care,
Bdp mgdzpk T
Considerând c ă temperatura este aceea și la orice altitudine (presupunere ce nu este tocmai în
concordan ță cu realitatea) se ob ține prin integrare:
ln – ln
Bmgpz CkT
unde lnC reprezint ă constanta de integrare. Ecua ția este echivalent ă cu,
Tkmgz
BCep
Constanta C se determin ă impunând condi ția ca la z=0 presiunea s ă fie p 0. Se obține formula
barometric ă
care reprezint ă legea scăderii presiunii cu altitudinea.
Ținând seam ă că B pn k T obținem o expresie similar ă și pentru varia ția densității
moleculelor cu altitudinea:
TkmgR
0Benn
În realitate temperatura variaz ă cu altitudinea astfel c ă aceste ecua ții vor func ționa corect
numai pentru diferen țe de altitudine relativ mici, pentru care modificarea temperaturii nu este
semnificativ ă.
De asemenea aceste calcule nu au luat în considerare dependen ța accelera ției gravita ționale
de altitudine, considerând constant ă valoarea pentru g. Pentru a ltitudini mai mari trebuie s ă se Tkmgz
0Bep p
țină seama că accelerația gravitațională scade cu altitudinea urmând legea:
22()()MMgrrR h
unde
2
2 Nm
Kg
M este masa P ământului iar R raza medie a acestuia. Se ajunge astfel la formula barometric ă
corectată
0exp 1
BmgR RppkT R h
Din aceast ă formulă se constat ă că pentru z presiunea ar avea o valoare nenul ă:
TkmgR
0Bep p
Aceasta înseamn ă că atmosfera P ământului ca și a altor planete ar trebui s ă se întind ă la
infinit și că în întreg Universul ar trebui s ă avem o densitate a gazului definit ă de zero. Cum
numărul moleculelor este finit iar Universul infinit va trebui s ă consider ăm că atmosfera
terestră nu este în stare de echilibru și că există o difuzie continu ă a gazului spre infinit.
Difuzia va continua înc ă milioane de ani deoarece un num ăr infim de molecule particip ă la
fenomen. Alte corpuri cere ști mai mici ca de exemplu Luna dac ă au avut atmosfer ă au
pierdut-o dea lungul milioanelor de ani.
VI.9. Legea lui Boltzmann
Formula barometric ă numită și formula lui Laplace con ține la exponen țială expresia
mgz a energiei poten țiale a moleculei la în ălțimea z. Se poate afirma c ă această formulă
exprimă numărul n al particulelor di n unitatea de volum a c ăror energie este Um g z în
funcție de num ărul n 0 de particule din unitatea de volum a c ăror energie este nul ă (s-a
considerat ca nivel de referin ță U=0 pentru energie, energia particulelor la cota zero). Nu
există nici un motiv pentru care am putea crede c ă s-ar obține o altă lege de varia ție a
densității moleculare cu altitudinea dac ă în locul greut ății moleculare am considera o alt ă forță
ce acționează asupra acestora, expresia energiei poten țiale U căpătând în consecin ță o altă
formă.
Prin urmare, dac ă gazul se afl ă într-un câmp de for țe oarecare astfel c ă particulele sale
dobândesc o energie poten țială U, densitatea de par ticule care au dobândit aceast ă energie
potențială se calculeaz ă cu formula lui Boltzmann:
TkU
0Benn
Această formulă arată că fracțiunea
0n
nde particule ce au dobândit energia U depinde atât de
valoarea acestei energii cât și de temperatura constant ă ceea ce ne determin ă să considerăm
temperatura ca o m ărim determinant ă în distribu ția particulelor ca func ție de energia lor. În
virtutea acestei distribu ții observăm că numărul moleculelor cu energii mari, este mai mic și
anume cu atât mai mic cu cât valoarea lui U es te mai mare. De asemenea cu cât temperatura
este mai sc ăzută cu atât mai repede frac țiunea
0n
n scade cu cre șterea valorilor U.
VI.10. Poten țiale termodinamice
Metoda poten țialelor termodinamice sau metoda analitic ă a fost introdus ă de Gibbs
utilizând ecua ția fundamental ă a termodinamicii sub forma:
kk kdXP dU TdS
Unde P k -sunt parametrii de tip intensivi
X k –sunt parametrii de tip expensiv
Se numește potențial termodinamic o func ție caracteristic ă a cărei valoare descre ște în timpul
evoluției spre echilibru a sistemului termodinamic. S-au definit urm ătoarele poten țialele
termodinamice:
1. Entalpia: , HH p S
HUp V
în cazul c ăreia s-a stabilit c ă:
;
p SHHTVSp
și relația:
p STV
p S
numită a doua rela ție Maxwell.
2. Energia liber ă definită cu relația: , FF V T TSUF
;
VTFFSpTV
și relația:
TVSp
VT
numită a treia rela ție Maxwell .
3. Entalpia liber ă: , GT p numită și potențial Gibbs .
GFp V
S-au stabilit rela țiile:
;
p TGGSVTp
și a patra rela ție Maxwell
p TVS
Tp
4. Și energia intern ă U este poten țial termodinamic, care verific ă relațiile:
;
VSUUTpSV
și prima rela ție Maxwell:
SVTp
VS
Cu aceste rela ții avem:
prima ecua ție Gibbs – Helmholtz:
VFUF TT
a doua ecua ție Gibbs – Helmholtz:
pGHG TT
Prima ecua ție Gibbs – Helmholtz a fost utilizat ă pentru a extrage enun țul principiului al
treilea al termodinamicii. Celelalte rela ții vor fi importante în stabilir ea caracterului statistic al
parametrilor termodinamici.
VI.11. Semnifica ția statistic ă a potențialelor termodinamice
Este interesant de calculat expresia statistic ă a funcțiilor termodinamice, cum este de
exemplu temperatura,entropia s-au alte m ărimi termodinamice.
Vom incepe prin a c ăuta semnifica ția statistic ă a entropiei pe baza distribu ției microcanonice.
Pentru aceasta consider ăm două subsisteme care au num ărul de particule N 1
caracterizate de 2s 1 coordonate generalizate și N2 caracterizate de 2s 2 coordonate generalizate,
volumele V 1 și V 2 și energiile respective E 1și E2. Elementele de volum din spa țiul fazelor sunt
dГ1 și dГ2. Punem în contact termic cele dou ă subsisteme. Starea de echilibru a primului
sistem este dat ă de funcția hamilton H 1 și de mărimea a1 care caracterizeaz ă starea termic ă a
sa, iar pentru al doilea subsistem starea de echilibru este determinat ă de hamiltoniana H 2 și de
mărimea a2.
Cele dou ă subsisteme formeat ă un sistem izolat,descrierea st ării acestuia se face în
spațiul (2s 1+2s 2) dimensional de hamiltoniana H=H 1+H 2 și de parametrii (a 1 și a2).Energia
sistemului este E=E 1+E2. Acestui sistem i se poate aplica distribu ția microcanonic ă.
Densitatea de probabilitate a întregului sistem este diferit ă de zero și constant ă numai
între suprafe țele de energie E și E+ ΔE în toate celelalte regiuni fiind nul ă.
E E H pentruE
EEE E H pentruE
aaqpqps
is
is
is
i10
212 2 1 1
Probabilitatea ca punctul repre zentativ al sistemului S s ă se afle într-un element de volum d Г=
dГ1 dГ2 din spațiul fazelor este: ρ dГ1 dГ2
Dac ă luăm în considerare numai subsistemu l 1 atunci probabilitatea ca el s ă se
găsească în elementul de volum d Г1independent de starea su bsistemului 2 este egal ă cu: ρ1
dГ1. Această probabilitate se poate exprima și cu ajutorul rela ției, ρ dГ1 dГ2 integrând pentru
toate stările posibile ale subsistemulu i 2 care are energia cuprins ă în intervalul:
E – E 1≤E2≤E-E 1+ΔE,
energia subsistemului 1 fiind bine determinat ă.
1 2 12 1 1 1
E EEEEEd d d
integrala reprezint ă volumul Г2(E2) cuprins între suprafe țele de energie constant ă E-E 1 și E-
E1+ΔE și are valoarea:
E EE EEEEEE 1 2
11 2
2 2
se obține:
1 1 2 1 1 211 2
1 1 1
11
dEE const dEEEEEEEEd
EEd
deoarece energia total ă a sistemului E și densitatea de st ări ω(E) sunt constante. Aceast ă
ultimă relație reprezint ă formula de distribu ție a stărilor mecanice ale unui subsistem cuprins
într-un sistem. Calcul ăm în continuare probabilitat ea ca punctul reprezentativ s ă fie cuprins în
intervalul de energie E 1 și E!+ ΔE1 când este în contact cu subs istemul 2, deoarece energian
subsistemului nu are valoarea bine determinat ă.Aceasta se calculeaz ă cu relația:
1 1 11 1 2
E EEEd EE constp
Integrala reprezint ă volumul cuprins între suprafe țele de energie constant ă E1 și E1+ ΔE1
1 1 1 1
11 1
1 1 E E EEEE
astfel că putem scrie sub forma:
1 1 1 1 2 tan EE EEt consp
Densitatea de probabilitate, împ ărțind relația cu ΔE1, este
1 1 2 2 1 1 1 2 tan E E const E EEt cons
Funcțiile ω2(E2) și ω1(E1) sunt func ții rapid cresc ătoarede variabilele lor. Dac ă insă E1 crește ,
obligatoriu E 2 scade , deoarece suma lor este constant ă. Aceasta înseamn ă că densitatea de
probabilitate are un maxim foarte pronun țat pentru o anumit ă valoare a lui E 1 numită energia
cea mai probabil ă Ecmp. Pentru a determina maximul func ției trebuie s ă derivăm această
funcție și să o anulăm. Este mai comod ca s ă logaritm ăm funcția și numai dup ă aceea să
facem celelalte opera ții.
0} ln {ln1 1 2 2
1 E EdEd
deoarece, 02 1dE dE relația de mai sus devine:
11 1
22 2 ln ln
dEE d
dEE d
Această egalitate este adev ărată în starea special ă cănd energia sistemului are valoarea
E=E cmp.Se vede c ă la echilibru fiecare termen depinde numai de caracteristicile specifice ale
fiecărui subsistem, ace ști termeni fiind egali. Se știe că la echilibru, parametrul care are
aceeași valoare în tot sist emul este o func ție numai de temperatur ă. Din acest motiv, termenii
de mai sus reprezint ă niște funcții de temperatur ă, funcții care pân ă la o constant ă oarecare
sunt chiar temperaturile termodi namice ale subsistemelor. deci,
2 22 2
2 21 11 1
1 1
1 ln1 ln
dEE dTdEE dT
unde θ se numește temperatur ă statistică.
Mărimea fizic ă exprimat ă prin relația:
2 2 21 1 1
lnln
E EE E
se numește entropie statistic ă pentru cele dou ă sisteme considerate.Dac ă variația energiei
sistemului S 1 se face numai pe seama schimbului de c ăldură cu sistemul S 2
d E = δQ
rezultă: 1QEd
Relație care reprezint ă principiul al doilea al termodinamicii și arată că există un factor
integrant al c ăldurii schimbate cu exteriorul. Înlocuind θ cu relația θ= kT, unde k este
constanta lui Boltzmann, iar T temperatura absolut ă, obținem rela ția între entropia statistic ă și
entropia termodinamic ă:
Ek ESkESE
și în final putem scrie:
EEk ESln
0ln ln
11 1
22 2 dEE d
dEE d
Relația obținută reprezint ă celebra rela ție a lui Boltzmann, rela ție care face leg ătura dintre
entropie, parametru macroscopic și caracteristicile microscopice ale sistemului, con ținute în
densitatea de st ări.
Formula lui Boltzmann este deosebit de important ă, deoarece ea stabile ște caracterul
statistic al entropiei și în același timp ne d ă posibilitatea s ă determin ăm ecuațiile de stare, ceea
ce este imposibil de determinat în termodinamic ă.
În acest fel am determinat condi țiile macroscopice care trebuie îndeplinite la echilibru
(egalitatea temperaturilor) cât și expresia statistic ă a entropiei. Celelalte func ții
termodinamice, ca și ecuațiile de stare rezult ă din acestea.
Etapele de lucru care trebuie urmate în rezolvarea oric ărei probleme , atunci când se
folosește distribu ția microcanonic ă, sunt urm ătoarele:
1) se calculeaz ă energia total ă E a sistemului
2) se determin ă densitatea de st ări
EEE
3) se calculeaz ă entropia pân ă la o constant ă aditivă, cu ajutorul formulei lui
Boltzmann S=k ln ω(E)
4) se exprim ă energia sistemului în variabile (S,V ); în acest caz ea coincide cu energia
internă a sistemului E(S,V)=U(S,V)
5) se determin ă celelalte func ții termodinamice din rela țiile cunoscute:
SV
VUpSUT
VvTUcTS pV UGTSUF
În finalul discu țiilor vom prezenta urm ătorul tabel recapitulativ
Distrib
uția Condiții
îndeplinite Densitatea de
probabilitate Relația de
bază Etape de lucru Func ții
termodinamice determinate
Micro
canonic N;V;E=co
nst EE1 S=klnω(E) Se calculeaz ă energia
totală
Se determin ă densitatea de
stări
Se calculeaz ă entropia
Se exprim ă energia
sistemului în variabile (SV)
Se determin ă celelalte
funcții termodinamice
SV
VUPSUT
F=U-TS
G=U+PV-TS
canonic N;V;T=co
nst kTE
eZ1 F=-kTlnZ Se calculeaz ă energia
totală a sistemului
Se calculeaz ă integrala
statistică sau integrala de
configura ție
Se determin ă energia
liberă F
Se calculeaz ă celelalte
funcții termodinamice VT
TFSVFp
G=F+pV
U=F+ST
Macro canonic V;T;μ=co
nst
kTN E
e
Z
~1
Z U~ln
Se calculeaz ă energia
sistemului
Se calculeaz ă integrala
statistică macroscopic ă
Se determin ă energia
internă din integrala
statistică
Se calculeaz ă celelalte
funcții termodinamice dTTCSTUC
T
VVV
0
F=U-TS
VII.2. Pompe de c ăldură
Pompa de c ăldură este o instala ție termică cu ajutorul c ăreia se absoarbe c ăldură dintr-
un mediu cu temperatur ă mai scăzută și se cedeaz ă altui mediu cu temperatur ă mai ridicat ă.
Se știe că un sistem termodinamic care efectueaz ă un ciclu Carnot în sensul acelor de
ceasornic, constituie o ma șină termică ideală care preia c ăldura Q 1 de la sursa cald ă și cedează
sursei reci c ăldura Q 2 efectuând lucrul mecanic L conform rela ției:
2 1Q QL
Vom arăta mai jos c ă parcurgând ciclul Carnot invers sensului acelor de ceasornic sistemul
poate răci sursa rece preluând de la aceasta o c ăldură 2Q și transferând sursei calde o c ăldură
1Q astfel încât 2 1Q Q , cu condi ția ca asupra sistemului s ă se efectueze din exterior un
lucru mecanic egal cu diferen ța 2 1Q Q .
Pentru a ar ăta acest lucru pornim de la ciclul Carnot ilu strat în fig. VII.5. în coordonate T – S
(temperatur ă – entropie).
Fig.VII.5.
Procesul a-b constituie o destindere adiabat ă sistemul termodinamic r ăcindu-se de la
temperatura 1T a sursei calde, la temperatura mai mic ă 2T a sursei reci, cu efectuarea unui
lucru mecanic baL dat de ecua ția:
0)TT(C L1 2 V ab
În ramura b-c sistemul sufer ă o destindere izoterm ă, efectuând lucrul mecanic 0 Q L2 bc .
În procesul c-d sistemul fiind comprimat adiaba tic, prin efectuarea din exterior a unui lucru
mecanic, se înc ălzește de la temperatura 2T la temperatura 1T :
0 TTC L2 1 V cd
Și în sfârșit, în procesul d-a, sistemul este comprimat izoterm la temperatura 1T, efectuându-
se din exterior un lucru mecanic și transferându-se sursei calde o c ăldură echivalent ă
0 Q Q LQ Q
1 1 da1 1
Lucrul total efectuat asupra si stemului pentru preluarea c ăldurii 1Q de la sursa rece și
transferarea c ăldurii 2Q sursei calde va fi
2 1 da cd bc ab Q Q L L L LL
Un ciclu de tipul celui descris mai sus este denumit și pompă de căldură. Referitor la
funcționarea acestor dispozitive se subliniaz ă încă odată că în asfel de procese este posibil ă
preluarea de c ăldură de la sursa rece, numai prin efectur ea din exterior a unui lucru mecanic.
Mărimea caracteristic ă unei pompe termiceeste eficien ța pompei sau randamentul:
LQ1
Ținând seama c ă procesul este ciclic și considerat cvasistatic reversibil, se poate aplica rela ția:
0TQ
TQ
22
11
Care rezult ă din egalitatea lui Clausius:
d
ca
dc
bb
a0TdQ
TdQ
TdQ
TdQ
TdQ
0TQ
TQ
TdQ
22
11
Din care se deduce:
22
11
TQ
TQ
Cu aceasta și cu expresia lucrului mecanic dat ă mai sus ob ținem pentru randament
2 11 1
TTT
LQ
când 2 1T T
Se poate constata cu u șurință că această mărime este subunitar ă.
Utilizarea pompei de c ăldură este economic ă atunci când se dispune de o energie
termică provenit ă din recuper ări sau ape geotermale și când se poate asigura un consum
rațional de energie electric ă. O instala ție centralizat ă de încălzire și preparare a apei de
consum în dou ă trepte, cu pomp ă de căldură este reprezentat ă schematic în fig. VII.6.
Fig.VII.6.
1 – pomp ă de circula ție a agentului termic; 2 – condensator; 3 – compresor; 4 – ventil de
laminare; 5 – vaporizator; 6 – pomp ă de circula ție a agentului termic recuperat; 7 – acumulator
de apă; 8 – schimb ător de căldură trepta a-II-a; 9 – rezervor pentru amestec; 10 – instala ție de
încălzire; 11 – instala ție pentru ap ă caldă de consum; 12 – schimb ător de căldură trepta I-a.
Instala ția are trei circuite distincte: circuitul de ap ă caldă recuperat ă dintr-un proces
tehnologic sau ap ă geotermal ă la temperatura de 30 -35ͦ C, circuitul agentului de lucru al
pompei de c ăldură (freonul) și circuitul instala ției de înc ălzire. În vaporizatorul care este un
schimbător de căldură multitubular în care prin țevi circul ă agentul cu c ăldură recuperat ă, se
produce evaporarea freonului, compresorul (3) aspir ă și comprim ă vaporii de freon ob ținuți,
până la presiunea corespunz ătoare temperaturii de condensar e. Acest fenomen are loc în
condensatorul (2) care este tot un schimb ător, în care în exteriorul țevilor se produce
condensarea vaporilor de freon cu cedarea unui debit de c ăldură către apa care circul ă în
interiorul țevilor și care reprezint ă circuitul de înc ălzire. Ventilul de laminare are rolul de a
alimenta constant vaporizatorul cu agentul de lucru în stare lichid ă prin destinderea lichidului
de la presiunea de condensare pân ă la valoarea presiunii de vapor izare. Apa din circuitul de
întoarcere al instala ției de încălzire (10), cedez ă o parte din c ăldură în schimb ătorul de c ăldură
(12) reprezentând trepta I-a, apoi intr ă în condensatorul (2) de unde preia c ăldura rezultat ă din
condensarea agentului de lucru. Atunc i când temperatura agentului de înc ălzire nu este
corespunz ătoare graficului de reglaj, se realizeaz ă o ridicare a temperaturii în rezervorul de
amestec (9) cu ajutorul unei surse suplimentare de c ăldură (centrală termică sau surs ă
electrică). După obținerea temperaturii necesare, agentul termic este pompat în schimb ătorul
de căldură trepta a-II-a (8) a apei calde de consum și în instala ția de încălzire.
Tipuri de pompe de c ăldură. Cele dou ă tipuri principale de pompe de c ăldură sunt
pompe de c ăldură cu compresie și pompe de de c ăldură cu absorb ție. Pompele de c ăldură cu
compresie întotdeauna func ționează pe energie mecanic ă (prin energie electric ă), în timp ce
pompele de c ăldură cu absorb ție pot rula și pe căldură ca sursă de energie (prin intermediul de
energie electric ă sau combustibili). O serie de su rse sunt folosite ca surse de c ăldură pentru
încălzirea clădirilor private și administrative:
pompe de c ăldură pe sursă de aer (extrag c ăldura din aerul exterior)
o pompe de c ăldură aer-aer (transfer ă energie termic ă aerului din interior)
o pompe de c ăldură aer-apă (transferă energie termic ă la un rezervor de ap ă)
pompe de c ăldură geotermale (extrag c ăldura din sol sau din surse similare)
o pompe de c ăldură geotermale-aer (transfer de energie termic ă către aerul din
interior)
pompe de c ăldură sol-aer de (solul este surs ă de căldură)
pompe de c ăldură rocă-aer de (roca este surs ă de căldură)
pompe de c ăldură apă-aer (corp de ap ă ca sursă de căldură)
o pompe de c ăldură geotermale-apa (transfer ă caldură la un rezervor de ap ă)
pompe de c ăldură sol-apă (solul este surs ă de căldură)
pompe de c ăldură roca-apă (roca este surs ă de căldură)
pompe de c ăldură apă-apă (corp de ap ă ca sursă de căldură)
CAP. VII. APLICA ȚII
VII.1. Celula fotovoltaic ă
Este o aplica ție a efectului fotoelectric care a fost descoperit în 1887 de c ătre Hertz.
Studiul acestui efect a fost reluat de c ătre Hallwachs, Wiedemann și Stoletov. Prin efect
fotoelectric se în țelege emisia de electroni de c ătre unele substan țe sub acțiunea luminii.
Pentru studiul emisiei fotoelectrice se folose ște un dispozitiv alc ătuit dintr-un tub vidat cu doi
electrozi montat într-un circuit în care diferen ța de poten țial poate fi variat ă atât ca m ărime cât
și ca sens. Galvanometrul G indic ă valoarea curentului pentru o anumit ă tensiune și la o
anumită iluminare a catodului K (Fig. VII.1).
Fig. VII.1.
În acest fel se poate studia varia ția curentului fotoelectric func ție de tensiunea aplicat ă și
funcție de intensitatea fluxului de lumin ă incident pe catod. Varia ția curentului fotoelectric cu
tensiunea aplicat ă este ilustrat ă în fig. VII.2. prin curba plin ă.
Fig. VII.2.
În cazul unui vid mai pu țin înaintat și al unor electrozi mai slab purifica ți caracteristica curent
tensiune are alura curbei punctate. Când curentul atinge valoarea de satura ție toți electronii
emiși sunt colecta ți la anod. Inversând sensul tensiunii se constat ă o scădere monoton ă a
fotocurentului iar la valoarea –U f a tensiunii curentul se anuleaz ă. La aceast ă tensiune de
frânare energia cinetic ă maximă a electronilor este compensat ă de energia câmpului electric
conform rela ției:
2
f mv21eU unde e- sarcina electronului iar
m- masa acestuia
Mărind fluxul luminos, intensitatea curentului fotoelectric de satura șie crește după cum este
ilustrat în fig. VII. 3.
Fig.VII.3.
Deasemenea s-a constatat experimental c ă tensiunea de frânare cre ște liniar cu frecven ța
radiației incidente. Ca urmare s-au stabilit urm ătoarele legi ale efectului fotoelectric:
1.
Pentru producerea efectului fotoelectric este necesar ca lumina incident ă să aibă o
frecvență mai mare decât o valoare limit ă numită prag fotoelectric. Pragul ro șu al
efectului fotoelectric este specific fiec ărui metal.
2. Energia cinetic ă maximă a electronilor emi și nu depinde de iluminarea
fotocatodului metalic ci numai de frecven ța luminii incidente, crescând cu aceasta.
3. Numărul fotoelectronilor cre ște proporțional cu iluminarea fotocatodului.
4. Fenomenul se declan șează practic instantaneu.
În 1905 Einstein a reu șit să explice în mod unitar și complet legile efectului fotoelectric. El
aplică legea conserv ării energiei asupra procesului:
2mvW h2
e
unde h- reprezint ă energia fluxului de fotoni inciden ți
eW- este energia de extrac ție caracteristic ă fiecărui metal
2mv2
– este energia cinetic ă a electronilor extra și
În cazul în care fotonul doar smulge electronul f ără să-i comunice și energie cinetic ă, putem
scrie: e 0W h unde prin 0 am notat frecven ța de prag.
hWe
0 și
e 00Wch c
Rescriem ecua ția lui Einstein și obținem pentru energia cinetic ă a electronului rela ția:
) (h h h W h2mv
0 0 e2
Care arată în mod clar dependen ța liniară a energiei cinetice a fotoelectronului de frecven ța
luminii incidente. Conform teoriei lui Einstein în cazul efectului fotoelectric are loc o ciocnire mecanic ă
între particula foton și corpusculul electron. A șadar lumina nu poate fi conceput ă ca având
numai caracter ondulatoriu electromagnetic ci și caracter corpuscular. Corpusculul de lumin ă
este fotonul. Efectul fotoelectric dovede ște în acest fel natura discontinu ă a luminii și a
radiației în general.
În cazul unor semiconductori pe lâng ă efectul fotoelectric extern se poate pune în eviden ță și
efectul fotoelectric intern. El const ă în creșterea conductivit ății electrice sub ac țiunea luminii.
Aceasta înseamn ă că un electron din banda de valen ță absorbind un foton
h poate trece în
banda de conduc ție, mărind astfel densitatea purt ătorilor de sarcin ă mobili în semiconductor.
Apariția sarcinilor electrice sub ac țiunea luminii atrage dup ă sine modificarea conduc ției
electrice a semiconductorului, fenomen care se nume ște fotoconduc ție intrinsec ă. În
semiconductori exist ă posibilitatea convertirii directe a en ergiei fluxului luminos în tensiune
electromotoare, fenomen cunoscut sub denumirea de efect fotovoltaic. Pe principiul efectul ui fotoelectric func ționează o serie de dispoz itive cu o mare
răspândire în automatizare și în conversia energiei ra diante în energie electric ă. Un prim
exemplu îl constituie celulele fotoelectrice.
Celulele fotoelectrice cu vid precum și celula fotoelectric ă cu gaz folosesc efectul
fotoelectric extern cu scopul de a închide un ci rcuit electric sub ac țiunea luminii. În cazul
celulelor cu gaz datorit ă ionizărilor, pentru un flux luminos dat se pot ob ține curenți mult mai
mari. Fotorezisten țele folosesc efectul fotoelectric in tern care apare la unii semiconductori.
La o fotorezisten ță semiconductorul (cum ar fi seleniu, sulfur ă de cadmiu, de plumb, de taliu,
etc.) este depus sub form ă de strat pe o pl ăcuță izolatoare, iar la marginile stratului sunt prinse
două contacte metalice. Legând ace ști electrozi într-un circuit, cu rentul va putea fi modificat
prin iluminarea fotorezisten ței.
Celula fotovoltaic ă poate fi confec ționată dintr-o lam ă din cupru pe care se depune
oxid cupros Cu
2O iar suprafa ța dintre cele dou ă substanțe permite trecerea electronilor numai
în sensul Cu 2O Cu formând un strat de baraj. Peste stratul de Cu 2O se depune o pelicul ă
subțire metalic ă, transparent ă la lumin ă, care constituie împreun ă cu placa de cupru cei doi
electrozi ai fotocelulei. Sub ac țiunea luminii electronii de valen ță din Cu 2O sunt activa ți în
banda de conduc ție. Aceștia trec prin stratul de baraj înc ărcând placa de cupru negativ și astfel
acest dispozitiv devine generator. Pe lâng ă celulele cu Cu 2O se mai utilizeaz ă și celule cu
seleniu și plumb sau telur și plumb. Sensibilitatea foarte mare a acestor celule de pân ă la
1mA/lumen precum și faptul că pot lucra într-un domeniu foarte larg de lungimi de und ă face
ca aceste celule s ă poată fi folosite ca și luxmetre. Luxmetrul const ă dintr-o celul ă cu strat de
baraj în circuitul c ăreia s-a conectat un instrument de m ăsură adecvat cu scala gradat ă direct
în unități de iluminare (lx). Celula fotovoltaic ă produce deci curent pe seama energiei
luminoase este deci un convertizor de energie. Randamentul ei îns ă este cuprins între 10-35%.
În tehnic ă se utilizeaz ă celulele cu siliciu. În concluzie putem produce energie electric ă
folosind celula fotovoltaic ă, pe care o a șezăm în contact cu razele so arelui. Panourile solare
fotovoltaice sunt compuse din mai multe celule fotovoltaice conectate în serie și paralel
pentru a ob ține o tensiune de lucru normat ă la 12V, 24V sau 48V. În general panourile
fotovoltaice au tensiunea de lucru mult ma i mare decât tensiunea standard operabil ă, iar unul
dintre motive este regulatorul solar utilizat în aplica ții off-grid. Panourile fotovoltaice sunt
folosite pentru producerea de energie electric ă în domenii diverse, în cepând de la centrale
solare și terminând cu dispozitive complexe, cum ar fi sateli ții.
Fig. VII.4. Scchema func țională a unei instala ții de captare aenergiei solare pentru prepararea
apei calde de consum
1- captator solar; 2- pomp ă circulație agent înc ălzire; 3- schimb ător de căldură; 4- pomp ă
circulație apă potabilă; 5- acumulator ap ă caldă consum; 6- scimb ător de căldură cu agent
termic surs ă auxiliară
Modulele pot fi situate pe sol, pe acoperi șuri care au o înclinar e de aproximativ 30ͦ sau pe
terase. Acestea pot fi de tip izolat (Stand Alone) care se instaleaz ă în zonele în care nu exist ă
rețele electrice sau pot fi conectate la re țeaua electric ă (grid connected) în care sistemul
produce electricitate pentru consumul curent.
VII.3. Energia nuclear ă
Energia nuclear ă a debutat cu descoperirea radia țiilor ionizate, care au constituit doar o
curiozitate de laborator, cunoscut ă numai câtorva ini țiați. Descoperirea radioactivit ății
artificiale și apoi aceea a fisiunii uraniului, în deceniul al patrulea al acestui secol, au dat un
puternic imbold cercet ărilor de fizic ă nucleară. Pentru marele publ ic, energia nuclear ă a ieșit
însă din anonimat abia dup ă aruncarea celor dou ă bombe nucleare în 1945 asupra Japoniei.
Asfel putem spune c ă ea a fost adus ă la cunoștința omenirii prin for ța distructiv ă și va fi
privită multă vreme cu suspiciune. De aceea acest domeniu întâmpin ă destule obstacole în
drumul dezvolt ării ei în scopuri pa șnice constructive.
Energia nuclear ă se bazeaz ă pe reacții nucleare care sunt transform ări suferite de nucleele
atomilor unor substan țe cînd sunt bombardate cu particul e alfa (nuclee de heliu), beta
(electroni și pozitroni) și neutroni. Exist ă două tipuri de reac ții:
a) endoenergetice, dac ă energia de reac ție Q < 0 și ele se petrec cu absorb ția unei părți din
energia cinetic ă a particulelor incidente.
b) exoenergetice, dac ă energia de reac ție Q > 0 în care se elibereaz ă energie nuclear ă fie sub
formă de energie cinetic ă, fie sub form ă de căldură sau ambele.
Prima reac ție nuclear ă a fost descoperit ă în 1919 când Rutherford a constatat c ă nucleele de
N14
7 bombardate cu particule 4
2 de energie mare, prov enite din dezintegrarea
radionuclidului Po210
84 se transform ă în nuclee de O17
8 cu emisia unui proton. Se nume ște
reacție nuclear ă transformarea unui nucleu atomic provocat ă de ciocnirea cu un alt nucleu
atomic, ea poate fi scris ă analog unei reac ții chimice sub forma:
QyYxX
Sau se mai folose ște notația comprimat ă: Y)y,x(X
Într-o reac ție nuclear ă numărul de nucleoni care intr ă în reacție, este egal cu num ărul de
nucleoni rezulta ți din reac ție. În 1934 Enrico Fermi a studiat reac ții pe nucleele grele la
bombardarea acestora cu neutroni. În experien țele lor Joliot Curie și Svitch, stimula ți de
Fermi au g ăsit printre produ șii derivați un element beta – activ, pe care l-au luat drept un
izotop al radiului. Otto Hahn și F. Strassman au încercat s ă identifice acest izotop. Uraniul la
bombardarea cu neutroni len ți se scindeaz ă în două fragmente aproximativ egale ca m ărime în
urma procesului eliberându-se c ăldură și neutroni. Pentru energii nu prea mari ale particulelor
bombardante, și anume sub 10 MeV, reac țiile nucleare se produc în general în dou ă etape
distincte. Termenul de energie nuclear ă este folosit în dou ă contexte:
La nivel microscopic, energia nuclear ă este energia asociat ă forțelor de coeziune a nucleonilor
dată de interac țiunea tare a protonilor și neutronilor din nucleele atomice.
La nivel macroscopic prin energie nuclear ă se înțelege energia eliberat ă prin reac țiile de
fuziune nuclear ă din stele și din bombele cu hidroge n, respectiv cea eliberat ă prin fisiune
nucleară în bombele atomice și în aplica țiile civile (centrale nucleare).
Exemple: bombardarea nucleului de azot cu o particul ă a:
14
7N + 4
2a 17
😯 + 1
1H unde 1
1H ș 1
1p,
deci rezult ă un izotop al oxigenului și un proton, iar reac ția se nume ște transmuta ție nuclear ă.
7
3Li + 1
1p 2 4
2a + Q unde Q » 836.109J;
9
4Be + 4
2a 12
6C + 1
0n, 1
0n este un neutron care se transmut ă.
Fisiunea nuclear ă este scindarea unui nucleu greu în dou ă nuclee medii. Exemple de reac ții de
fisiune nuclear ă:
1
0n + 235
92U ® 145
56Ba + 88
36Kr + 3 1
0n
1
0n + 235
92U ® 140
54Xe + 94
36Sr + 2 1
0n
Explicația se poate face cu ajutorul modelului pic ătură al nucleului – un neutron lent (termic)
captat de un nucleu greu, comunic ă nucleonilor acestuia energia lui de leg ătură și energia lui
cinetică (vezi figura) și ca urmare cre ște agitația termică a nucleonilor, nucleul începe s ă
vibreze, se alunge ște învingând for țele de tensiune superficial ă, până când for țele de
respingere electrostatic ă dintre nucleoni, îl rup în dou ă părți. Energia din starea de excitare a
nucleului care este s upus fisiunii se nume ște energie critic ă; de exemplu 235
92U are W c =
6,5MeV; 238
92U are W c = 7MeV. Sunt mai u șor fisionabile nucleele cu un num ăr de masă
impar (235
92U, 239Pu) cu neutroni len ți și 238
92U cu neutroni rapizi. Fisiunea nuclear ă elibereaz ă
o însemnat ă cantitate de energie, care se poate calcula prin diferen ța de mas ă, fiind de
aproximativ 200MeV; deci 1kg 235
92U produce prin fisiune 8.1013J, energie care este
echivalent ă cu arderea a 2500 tone de huil ă. Neutronii rezulta ți în urma proceselor de fisiune
nucleară, dispun de o energie cinetic ă mare, ei putând îndeplini rolul de particule proiectil,
dacă întâlnesc în drumul lor alte nuclee fisionabile . Pentru a avea loc reac ția de fisiune,
nucleele u șoare trebuie s ă se apropie la o distan ță mai mică de 10-15m, distan ța la care apar
puternic for țele de respingere coulombian ă, deci nucleele care se unesc trebuie s ă aibă o
energie cinetic ă inițială mare, care se poate ob ține prin cre șterea temperaturii la valori mari T
» 5.109K, de aceea aceste reac ții se mai numesc și reacții termonucleare.
Reacția în lanț. În fisiunea nucleelor de uraniu s-a g ăsit o reacție care este declan șată de un
neutron și care la rândul ei elibereaz ă 1-3 neutroni; prin aceasta procesul furnizeaz ă proiectile
noi și există posibilitatea ca procesul de fisiune s ă fie menținut, fără alimentare cu neutroni
din exterior, sub forma unei reac ții continue pân ă la epuizarea complet ă a materialului
fisionabil, deci avem o reac ție în lanț; lucru care se poate întâmpla la nucleele de 235
92U,
233
92U, 239
92U unde neutronii expulza ți provoac ă la rândul lor fisiunea altor nuclee. Uraniul
natural este format dintr-un amestec de trei izotopi 235
92U (0,714%), 238
92U (99,28%) și 234
92U
(0,00548%), dar la reac ția în lanț participă exclusiv 235
92U, dar nu to ți neutronii rezulta ți în
urma fisiunii pot produce alte fisiun i, o parte dintre ei fiind capta ți de nuclee de impuritate,
alții de nuclee de 238
92U, iar altă parte ies din volumul de uraniu. Pentru a între ține reacția în
lanț, în medie cel pu țin unul din neutronii rezulta ți dintr-un nucleu, trebuie s ă producă o nouă
fisiune. La o compozi ție a materialului fisionabil aceast ă condiție este cel pu țin egală cu o
valoare, numit ă masă critică. Când mai mult de unul din neutronii expulza ți dintr-un nucleu
produc noi fisiuni, num ărul fisiunilor în unitatea de timp cre ște în progresie geometric ă și are
loc explozia nuclear ă. Dacă numai un singur neutron dintr-un nucleu produce o nou ă fisiune,
numărul fisiunilor din unitatea de timp r ămâne constant și atunci avem reac ție în lan ț
controlată. Energia eliberat ă în urma fisiunii nucleare este de 200 MeV, iar la fisiunea tuturor
nucleelor dintr-un kg de uraniu, se elibereaz ă energia de 4,7 1026 MeV = 7,5 1013J, deci de 3
1016ori mai eficace decât huila.
Fuziunea nuclear ă. La fisiune se câ știgă energie, deoarece fr agmentele nucleare posed ă
energie de leg ătură medie per nucleon mai mare decât a nucleului de uraniu și rezultă ideea că
energia eliberat ă la unirea constituien ților nucleari într-un nucleu s-ar putea valorifica.
Fuziunea nuclear ă este reac ția nuclear ă de sintez ă a unui nucleu greu, mai satbil, din nuclee
mai ușoare. Dac ă energia de leg ătură a unui nucleon a nucleelor ini țiale este mai mic ă decât a
nucleului final, diferen ța va fi eliberat ă în cadrul reac ției; acest lucru este valabil pentru
nucleele u șoare: 1
1H, 2
1D, 3
1T, 3
2He, 7
3Li, deoarece din varia ția energiei de leg ătură per
nucleon, în func ție de num ărul de mas ă A, se constat ă că până la aproximativ A = 6; raportul
DW 1/A este cresc ător continuu și variază mult mai rapid în zona elementelor u șoare, decât în
zona elementelor grele și deci energia degajat ă în procesul de fisiune va fi mult mai mare
decât cea din reac țiile de fisiune (ex: 0, 85MeV/nucleon la fisiune și 4,95MeV/nucleon la
fuziune). Pentru exemplificare d ăm câteva reac ții de sintez ă (fuziune) a unor nuclee u șoare și
energia eliberat ă:
1
1H + 3
1H ® 4
2He + 19,8MeV 3
1H + 2
1H ® 4
2He + 1
0n + 17,6MeV
2
1H + 2
1H ® 3
1H + 1
1p + 4,02MeV 2
1H + 2
1H ® 3
2He + 1
0n + 3,25MeV
3
1H + 2
1H ® 4
2He + 1
1p + 18,3MeV
Reactorul nuclear. Schema simplificat ă a unui reactor nuclear este prezentat ă în fig. VII.7.
fig.VII.7. [16]
1. bară pentru oprire de urgen ță
2. bare de control
3. combustibil
4. protecție biologic ă
5. ieșirea vaporilor
6. intrarea apei
7. protecție termică
Reactorul nuclear este o instala ție în care este ini țiată o reacție nuclear ă în lanț, controlat ă și
susținută la o rată staționară (în opozi ție cu o bomb ă nucleară, în care reac ția în lanț apare
într-o frac țiune de secund ă și este complet necontrolat ă). Conceptul unui reactor nuclear a fost
teoretizat înc ă din 1956 de Paul Kurola de la University of Arkansas. De și omenirea a
îmblânzit recent puterea nuclear ă, primele reactoare nucleare care au ap ărut în mod natural,
au fost g ăsite de către Francis Perrin în vestul Afric ii. Aceste cincispr ezece reactoare de
fisiune nuclear ă naturale, sunt numite „React oare Fosile Oklo”, ele func ționează de
aproximativ 150 de milioane de ani, și au o putere medie de 100 kW.
Reactoarele nucleare sunt folosite pentru numeroase scopuri. Cea mai semnificativ ă utilizare
este pentru generarea de putere electric ă. Reactoarele de cercetare sunt folosite pentru
producerea de izotopi și pentru experimente cu neutroni li beri. Din punct de vedere istoric,
prima folosire a reactoarelor nucleare a fost pentru producerea plutoniu lui folosit la bomba
atomică. O altă utilizare militar ă este propulsia submarinelor și a vapoarelor (de și aceasta
presupune un reactor mult mai mic decât cel folosit într-o central ă nuclearo-electric ă).
În mod curent, toate reactoarele nucleare comerciale sunt bazate pe fisiunea nuclear ă și
prezintă atât nesiguran ță cât și risc crescut asupra s ănătății. Centrala nuclear ă este o metod ă
sigură și nepoluant ă de generare a energiei electrice care folose ște o tehnologie bazat ă pe
fuziunea nuclear ă în locul fisiunii nucleare. Exist ă și alte instala ții în care au loc reac ții
nucleare într-o manier ă controlat ă, incluzând generatoarele te rmoelectrice radioizotope și
bateriile atomice, care genereaz ă căldură și putere exploatând dezintegr ările radioactive
pasive, cum ar fi, de exemplu, instala țiile Farnswoth-Hirsch de producere a radia țiilor
neutronice.
Aplicații. Principalele aplica ții ale reactoarelor nucleare s unt: 1) în centralele nuclearo-
electrice pentru produc ția de căldură și generarea de electricitate folosite la înc ălzirea
domestică și industrial ă; precum și pentru produc ția de hidrogen. 2) În propulsia nuclear ă
utilizată în marină și la rachetele termonucl eare. 3) În transmuta ție de elemente, la produc ția
de plutoniu pentru ar mele nucleare; la ob ținerea diver șilor izotopi radioactivi folosi ți în
medicină. 4) În cercetare pentru asig urarea de surse de radia ții cu neutroni și pozitroni.
Centralele nucleare de și oferă energie electric ă ieftină, au o mare problem ă și anume
deșeurile radioactive. Aceste a sunt rezultatul activit ăților zilnice de între ținere, repara ții, al
opririlor programate sau neprogramate ale centralei. De șeurile radioactive sunt:
solide (plastic, celuloz ă, sticlă, etc.)
lichide organice (ulei, solvent, lichid scintilator) amestecuri solide – lichide inflamabile
La sortarea de șeurilor radioactive se aplic ă anumite criterii cum ar fi: sursa de provenien ță,
felul materialului,con ținutul de radionuclizi, debitulde doz ă la contact.
Dup
ă sortare, de șeurile radioactive sunt stocate în containere speciale de inox. De șeurile
radioactive lichide organice urmeaz ă a fi solidificate pentru eliminarea pericolelor de
inflamabilitate. Unele de șeuri sunt compactate cu o pres ă hidraulic ă pentru reducerea
volumului. Stocarea de șeurilor radioactive solide sa u solidificate este asigurat ă pentru toat ă
perioada de exploatare a centralei în condi ții de securitate și păstrare optime. Depozitarea
finală a acestor de șeuri se va realiza numai dup ă condiționarea în matrice solide, sigure, care
să garanteze c ă cel puțin 300 de ani nu vor avea impact negativ asupra mediului înconjur ător.
După 50 de ani de energetic ă nucleară întrebarea „cum s ă se administreze aceste resturi
materiale ?” se confrunt ă cu probleme de securitate și tehnice. Una din importantele direc ții
de acțiune a industriei nucleare o constituie aceste costuri și riscuri pe termen lung asociate cu
managementul de șeurilor radioactive. Administrarea co mbustibilului ars poate include variate
combinații de stocare, reprocesare și depozitare final ă. În practic ă, combustibilul ars este
stocat în piscine cu ap ă ușoară normală, de obicei chiar în incinta centralei. Apa asigur ă
răcirea combustibilului ars și este un ecran de protec ție împotriva radioactivit ății acestuia.
După perioade de r ăcire și diminuare a nivelului de radia ții, combustibilul ars este stocat
(stocare uscat ă) fie în containere intermediare de o țel și beton monitorizate cu aten ție, fie în
depozite sub form ă de puțuri adânci s ăpate în diferite forma țiuni geologice. Reprocesarea
combustibilului ars este atractiv ă deoarece permite reciclar ea combustibilului nuclear și
asigură pregătirea deșeurilor pentru depozitarea final ă. Totuși, depozitarea final ă este mult
mai economicoas ă deoarece reprocesarea combustibilului ars conduce la cre șterea de 17 ori a
cantității de deșeuri radioactive sub form ă lichidă.
Bibliografie selectiv ă:
1.
Gh. Ciobanu, Termodinamica si Fizica Statistica, Ed. Tehnica Bucuresti 2004
2. R. Titeica, I. Popescu, Fizica Gene rala vol I, Ed. Tehnica Bucuresti 1971
3. Graficele au fost realizate cu Sage: www.sagemath.org
4. E. Gerlach, P. Grosse, Physik eine Ei nführung für Ingenieure, B. G. Teubner
Stuttgart, Leipzig 1999.
5. I. Cosma, Fizica, Institutul Politehnic Cluj-Napoca, 1976
6. B. Rothenstein, Fizica I și II, Institutul Politehnic ”T raian Vuia” Timisoara 1982.
7. R. Feynman, Fizica modern ă, vol. I, II, III, editura tehnic ă București, 1970.
8. I. M. Popescu, Fizic ă, vol. I și II, Editura Didactic ă și Pedagogic ă București1983.
9. S. Filip, L. Marcu, Mecanic ă Fizică, Editura Universit ății din Oradea, 1998.
10. D. Auslender, I. Macavei, Fizic ă generală și nucleară, Editura Didactic ă și
Pedagogic ă, București, 1982.
11. Halliday, R. Resnick, Fizic ă I și II, Editura didactic ă și pedagogic ă, București, 1975.
12. Gh. Cristea, Curs de fizic ă generală, Universitatea Babe ș-Bolyai, 1990.
13. T. I. Crețu, Fizică generală, I, II, Editura Tehnic ă, București, 1986.
14. C. Plăvițiu, I. Petrea, A. Hristev, L. Georgescu, D. Bor șan, V. Dima, R. Moldovan,
Fizică molecular ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă București, 1982.
15. V. Șimon, Allgemeine Physik für Biol ogen und Chemiker, Cluj University
Press,1999
16. http://ro.wikipedia.org/ wiki/Reactor_nuclear.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Lector univ. dr. MONICA FLORA [600169] (ID: 600169)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.