Lect. univ. dr. Adrian T ,urcanu [600131]

UNIVERSITATEA DIN PITES ,TI
FACULTATEA DE MATEMATIC A-INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT ,A
Numere speciale
Coordonator s ,tiint ,ic:
Lect. univ. dr. Adrian T ,urcanu
Absolvent: [anonimizat] ,a
{ 2017 {

2

Cuprins
0.1 Scurt a descriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Cum au ap arut numerele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Constante matematice 9
1.1 Cuadratura cercului s ,i num arul. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Num arul e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Num arul i (unitatea imaginar a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Num arul c (constanta lui Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Raportul de aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Identitatea lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 S ,iruri de numere speciale 25
2.1 Numere prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Numere Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Numere Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Numere Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Diverse alte tipuri de numere speciale 31
3.1 Numere prietene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Numere perfecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Numere pitagoreice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Gemene prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Numere cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Aplicat ,ii 35
4.1 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3

4 CUPRINS

Introducere
0.1 Scurt a descriere
Dac a matematica este supranumit a "regina s ,tiint ,elor", "regina matematicii"
nu poate  alta dec^ at, as ,a cum "decreta" ^ nsus ,i Gauss acum dou a secole,
"teoria numerelor". Acest univers innit al numerelor a fascinat s ,i a creat
at^ at de mult a emulat ,ie precum nici un alt domeniu al s ,tiint ,elor, din cele mai
vechi timpuri p^ an a ast azi.
Este s ,i motivul pentru care am ales s a scriu ^ n aceast a lucrare povestea
c^ atorva categorii de numere speciale, cu istoria lor ce acapareaz a preocuparea
majorit at ,ii matematicienilor din Grecia Antic a la perioada Renas ,terii s ,i p^ an a
la era calculatorului.
Dup a mica povestioar a despre aparit ,ia numerelor^ n viat ,a oamenilor preis-
torici s ,i pas ,ii f acut ,i p^ an a la abstractizare s ,i aparit ,ia matematicii, urmeaz a pri-
mul capitol care prezint a cele mai cunoscute s ,i folosite constante (except^ and
numerele naturale uzuale) ^ n matematic a: num arul s,i povestea proble-
mei a c arei rezolvare se ^ ntinde pe milenii – cuadratura cercului, num arul
(raportul/sect ,iunea) de aur, constantele es,iC, c arora, al aturi de alt ,ii, ma-
rele matematician Leonhard Euler le-a dedicat mare parte din activitate,
unitatea imaginar a s ,i trecerea de la mult ,imea numerelor reale la mult ,imea
numerelor complexe, precum s ,i cea mai frumoas a relat ,ie care exist a ^ ntre cele
mai cunoscute numere din matematic a (identitatea lui Euler).
Capitolul al doilea, care vorbes ,te despre c^ ateva s ,iruri de numere speciale,
trateaz a ^ n primul r^ and istoria numerelor prime s ,i rolul lor ^ n matematic a s ,i
informatic a, precum s ,i c^ ateva dintre nenum aratele conjecturi, probleme des-
chise ce preocup a s ,i vor preocupa generat ,ii ^ ntregi de matematicieni, legate
de numere prime (s ,i prime Mersenne) s ,irul lui Fermat. De asemenea, des-
coperit ^ n ^ ncercarea de a rezolva o problem a simpl a de ^ nmult ,ire a iepurilor
dintr-o ferm a, Fibonacci r am^ ane ^ n istoria matematicii prin celebrul s ,ir care
^ i poart a numele s ,i care se reg ases ,te ^ n acest capitol.
^In cel de-al treilea capitol sunt amintite o mic a parte din numerele sau
grupurile de numere devenite celebre prin propriet at ,ile lor "ies ,ite din comun".
5

6 CUPRINS
^Is,i au locul aici perechile de numere prietene (^ n leg atur a cu care Pitagora
face o analogie cu prietenia dintre oameni), numerele perfecte, tripletele pita-
goreice sau gemenele prime. Am ^ ncheiat capitolul cu o categorie mai aparte
de numere, din simplul motiv c a sunt mai greu de intuit ind o "descoperire"
mai recent a ca celelalte, s ,i anume numerele cardinale (care exprim a cardina-
lele mult ,imilor innite) al c aror domeniu este ^ n plin a dezvoltare ast azi.
^In ne, urmeaz a partea practic a a lucr arii, probleme rezolvate^ n care apar
(e ^ n enunt ,, e ^ n solut ,ie) aceste categorii de numere speciale despre care
am vorbit ^ n capitolele precedente, precum s ,i probleme propuse de autor,
enunt ,uri "survenite" de-a lungul cercet arii f acute pentru realizarea acestei
lucr ari.
0.2 Cum au ap arut numerele
C^ and str amos ,ii nos ,tri au ^ nceput s a adune ^ n jurul lor diverse lucruri (pietre,
fructe, oase, scoici, etc.) ele st ateau as ,ezate ^ n gr amezi, cu timpul acestea
ind din ce ^ n ce mai multe s ,i mai diversicate, drept pentru care a fost
necesar s a g aseasc a o modalitate de a deosebi o gr amad a de alta (compuse
din acelas ,i fel de obiecte, dar ^ n num ar diferit).
F ar a s a vrea s ,i f ar a s a s ,tie, aces ,tia au descopeit num ararea^ n momentul^ n
care, pentru a t ,ine evident ,a obiectelor mai de pret ,(precum pieile de animale)
c autau o gr amad a de pietricele s ,i atingeau c^ ate o pietricic a de ecare obiect,
pun^ andu-le deoparte s ,i p astr^ andu-le pentru a verica mai t^ arziu sporirea sau
mics ,orarea averii. Secole de-a r^ andul num ararea, mai exact socotirea, s-a
f acut prin aceast a corepondent , a unu la unu.
^In drumul spre num arare, urm atorul pas a fost folosirea degetelor, care
^ n prim a faz a trebuia s a treac a de un hop: mult ,imile cu peste 10 obiecte.
Treptat s-a inventat, astfel, sistemul zecimal prin gruparea obiecctelor ^ n
gr amezi de c^ ate 10 (c^ ate degete avem la m^ aini), descoperindu-se unitatea
zecilor, apoi a sutelor s ,.a.m.d., sistem care se foloses ,te s ,i ^ n ziua de azi s ,i pe
care s-au cl adit treptele civilizat ,ie noastre.
Arheologii sust ,in c a folosirea primelor semne ca simboluri pentru numere
este datat a cu mai bine de 32 de milenii ^ n urm a. Evident c a de atunci s ,i
p^ an a la abstractizarea lor au trecut multe alte milenii, interval ^ n care specia
uman a a reus ,it s a stabileasc a o corespondent , a ^ ntre o colect ,ie de obiecte s ,i
o mult ,ime de alte obiecte (degete, pietre, etc.) s ,i s a extrag a o proprietate
comun a a acestora (num arul).
^In cartea "Elemetele" scris a de Euclid, num arul este denit ca "o mult ,ime
de unit at ,i", deci orice num ar era privit ca o m arime, care se m asura prin
intermediul unit at ,ii. Treptat, o dat a cu aparit ,ia s ,colilor greces ,ti, oamenii au

0.2. CUM AU AP ARUT NUMERELE 7
descoperit diferite propriet at ,i ale numerelor care nu aveau leg atur a direct a
cu num ararea sau m asurarea, lucru ce a st^ arnit dorint ,a de noi cercet ari care
au dus ^ ntr-un nal la aparit ,ia aritmeticii, cu operat ,iile sale ale c aror reguli
s-au stabilit treptat.

8 CUPRINS

Capitolul 1
Constante matematice
1.1 Cuadratura cercului s ,i num arul 
Descoperirea num arului se pierde undeva ^ n vremuri str avechi c^ and, poate
vreun iscusit v^ an ator, a descoperit, probabil din ^ nt^ amplare, taina minunat a
a cercului, descoperind num arul , adic a raportul dintre lungimea cercului s ,i
diametrul acestuia, des ,i pe vremea aceea era asimilat num arului 3. ^In c^ ampia
Mesopotamiei, a fost, spre exemplu, descoperit a o pl acut , a de c ar amid a ars a
pe care scria "Dac a 60 este lungimea cercului, a treia parte din 60 este 20.
Aceasta este diametrul." Acest raport apare, de a asemenea, ^ n cele mai vechi
papirusuri egiptene, ^ n scrierile vechilor hindus ,i, ale popoarelor din sudul
Mexicului, ale chinezilor, dar s ,i ^ n Biblie, unde se consemneaz a: "A mai
f acut un vas, turnat din aram a, rotund cu totul, de 10 cot ,i de la o margine
p^ an a la cealalt a s ,i gros c^ at cuprinde o sfoar a lung a de 30 de cot ,i." Evident,
toate aceste scrieri cuprind procedeul practic, intuitiv de construct ,ie s ,i nu o
demonstrat ,ie a acestor observat ,ii.
O problem a mai dicil a dec^ at lungimea cercului s ,i care a preocupat oame-
nii ^ nc a din preistorie a fost aceea a m arimii ariei lui; o problem a ingenioas a
deoarece conturul cercului ind o curb a nu se mai putea ^ ncadra ^ n metoda
de m asurare a ariilor de tip dreptungi, triunghi, poligon, etc. Sub forma ei ce
a pasionat s ,i intrigat numeroase generat ,ii de ^ nt ,elept ,i, aceea de comparare a
ariei unui cerc cu a unui p atrat, este cunoscut a drept "problema cuadraturii
cercului", cea mai renumit a problem a de geometrie din toate timpurile, cea
care se confund a, practic, cu povestea num arului .
Luat a ^ n considerare de geometrii greci, ea a fost considerat a deosebit a
mai ales din perspectiva construirii cu rigla s ,i compasul a unui p atrat de
arie egal a cu a unui cerc, aspect ce i-a preocupat ^ n mare m asur a ^ n special
pe pitagoreici ^ ncep^ and cu secolul al VI-lea ^ .e.n., scriind nenum arate lucr ari
9

10 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
pe marginea acestui subiect. Unele dintre cele mai apreciate sunt cele ale
lui Hippocrat din Chios care, ^ ncerc^ and s a rezolve cuadratura cercului a
descoperit mai multe guri cuadrabile s ,i as ,a-numitele curbe cuadratice.
Una dintre cele mai cunoscute curbe cuadratice este linia helicoidal a sau
"spirala lui Arhimede" care descrie o curb a plan a determinat a de locul geo-
metric al unui punct ce se deplaseaz a cu vitez a constant a (plec^ and dintr-un
punct O) pe o dreapt a ce se rotes ,te cu vitez a unghiular a constant a ^ n jurul
punctului O. Arhimede demonstreaz a c a aria cuprins a ^ ntre prima spir a s ,i
semidreapta init ,ial a OA este egal a cu o treime din aria cercului de raz a OA.
Geometrii greci au ar atat totus ,i, f ar a s a demonstreze imposibilitatea cua-
draturii cercului cu rigla s ,i compasul, c a problema nu se ^ ncadreaz a ^ n as ,a-
zisele probleme "plane", ci mai degrab a zice, lucru divedit abia in secolul al
XIX-lea. Pe l^ ang a ^ ncercarea de a g asi solut ,ia problemei cu ajutorul curbelor
cuadrice, unii matematicieni greci, precum Antifon, a intuit metoda obt ,inerii
ariei cercului (as ,a cum este cunoscut a s ,i azi) prin ^ nscrierea ^ n cerc a unui
poligon regulat cu un num ar c^ at mai mare de laturi. Revenind la aproxima-
rea num arului , ^ n scrierea "M asurarea cercului" a lui Arhimede este dat a
o aproximare a raportului dintre lungimea cercului s ,i diametrul s au:
310
7131
7
Arhimede a avut astfel posibilitatea s a determine cu exactitate primele dou a
zecimale ale raportului, aproxim^ and astfel, as ,a cum este ast azi cunoscut,
= 3;14. Valoarea determinat a de Arhimede a fost folosit a de astro-
nomii greci pentru determinarea lungimii razei P am^ antului. Arhimede, ^ n
^ ncercarea sa de a rezolva problema cuadraturii cercului, este singurul geo-
metru din antichitate care a formulat s ,i rezolvat corect problema cuadraturii
suprafet ,elor plane m arginite de linii curbe, ind, astfel, precursorul calculului
integral ce se va dezvolta abia ^ n secolul al XVII-lea, prin lucr arile matema-
ticienilor Newton s ,i Leibniz. Des ,i nu a putut demonstra cuadratura cercului,

1.1. CUADRATURA CERCULUI S ,I NUM ARUL 11
Arhimede a realizat cuadratura "segmentului de parabol a", ar at^ and c a aria
acestuia este3
4din aria triunghiului ce are aceeas ,i baz a s ,i aceeas ,i ^ n alt ,ime cu
a segmentului de parabol a.
Interesul pentru num arul nu a fost numai al matematicienilor greci.
^In cea mai veche culegere chinezeasc a, "Matematica ^ n nou a p art ,i", prin
generalizarea metodei lui Arhimede, consider^ and un poligon cu 3072 de laturi,
s-a ajuns la aproximarea lui cu 5 zecimale exacte, = 3;14159. Un alt
matematician care a a ar atat un interes deosebit asupra num arului a fost
persanul al-Biruni (973-1048) care, f ar a s a aib a vreo dovad a precis a, credea
c a raportul dintre lungimea cercului s ,i diametrul s au nu se poate calcula
dec^ at aproximativ.
^Incep^ and cu dezvoltarea matematicii ^ n Europa (p^ an a ^ n secolul XI euro-
penii erau mult ^ n urm a fat , a de orientali ^ n acest domeniu) au existat mult ,i
matematicieni care au crezut ^ n posibilitatea cuadraturii cercului cu rigla s ,i
compasul. Printre ei, Jordanus Nemorarius, Campanus din Novara (r amas
celebru prin traducerea "comentat a" a "Elementelor" lui Euclid), Thomas
Bradwardinus (poreclit "doctor profundis", a sust ,inut cuadratura cercului
pe baza "unghiului de contingent , a"), sau Albertus de Saxa (primul rector al
Universit at ,ii din Viena).
Des ,i provenea din zona umanist a, ind cunoscut ca losof, Nicolaus din
Cusa (1401-1464) a fost unul dintre cei care a deschis calea aproxim arilor c^ at
mai exacte a num arului .^Incepe o nou a era^ n povestea acestui num ar: com-
pararea rezultatelor aproxim arilor s ,i, cu ajutorul aproxim arilor c^ at mai bune
ale lui, rezolvarea problemei cuadraturii cercului ^ n sensul imposibilit at ,ii
ei. Chiar dac a fusese desoperit a cu mult timp ^ n urm a de c atre Arhimede
s,i folosit a apoi de matematicienii din Orient, metoda poligoanelor ^ nscrise
sau circumscrise unui cerc (cu un num ar din ce ^ n ce mai mare de laturi)
este cea care aduce la sf^ ars ,itul secolului al XVI-lea, 35 de zecimale exacte ale
num arului, calcul rezultat din folosirea poligonului cu 261 laturi.
^In cartea sa "Vera circuli et hyperbolae quadratura" din 1667, matemati-
cianul englez James Gregory prezint a o demonstrat ,ie prin care dovedea impo-
sibilitatea cuadraturii cercului cu rigla s ,i compasul s ,i ofer a o nou a metod a de
aproximare a num arului , folosind, ^ n locul lungimii arcului de cerc cuprins
^ ntre laturile poligoanelor regulate ^ nscrise sau circumscrise cercului, aria sec-
torului de cerc aproximat a cu ariile sectoarelor poligoanelor. Ajunge astfel
s a eludeze metodele geometrice clasice folosite p^ an a atunci, prezent^ andu-l pe
ca limita unui s ,i convergent de numere (des ,i not ,iunea de limit a era foarte
vag a la acea dat a)
Evident c a nu putea r am^ ane indiferent la chemarea num arului marele
matematician Leonhard Euler (1707-1783). El s ,i-a ^ ndreptat atent ,ia asu-
pra s ,irurilor de poligoane ^ nscrise sau circumscrise cercului care au acelas ,i

12 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
perimetru, metod a cunoscut a drept metoda izoperimetrelor, demonstr^ and
urm atoarea:
Teorema 1.1.1. Dac aans,ibnsunt razele cerucurilor ^ nscrise, respectiv
circumscrise unui poligon regulat cu nlaturi, iara2ns,ib2nrazele cercurilor
^ nscrise, respectiv circumscrise poligonlui regulat cu 2nlaturi, dar de acelas ,i
perimetruP, exist a relat ,iile:
a2n=an+bn
2;
b2n=q
bn(an+bn)
2=pa2nbn
Indiferent de num arul laturilor poligonului, perimetrul acestuia este cur-
pins ^ ntre lungimile cercurilor ^ nscris, respectiv circumscris:
2a2n<P < 2b2n
Trec^ and la limit a se poate deduce valoarea lui . Pornind calculul prin
metoda trigonometric a se obt ,ine urm atorul rezultat:
2
= lim
n!1cos
4cos
8cos
16:::cos
2n+2(1.1.1)
Euler mai prezint a ^ n volumul I al c art ,ii "Opuscula analitica", dou a fract ,ii
continue care exprim a num arul :

2= 1 +2
3 +1
3
4+3
5
4+5
7
4+:::(1.1.2)
4
= 1 +2
7 +1
3
8+3
5
8+5
7
8+:::(1.1.3)
Cu put ,in timp ^ nainte, demosntr^ and o teorem a (s ,i reciproca ei) enunt ,at a de
T.F. Lagny:
Teorema 1.1.2. Dac a tangenta trigonometric a a unui arc de cerc este num ar
irat ,ional, atunci lungimea arcului corespunz ator este un num ar rat ,ional
un alt mare matematician, J.H. Lambert (1660-1777) reus ,es,te s a de-
monstreze riguros faptul c a num arul este irat ,ional (plec^ and de la relat ,ia
tg
4= 1, f ac^ and astfel un pas important spre claricarea naturii acestuia.
Folosindu-se de teoria fract ,iilor continue a lui Euler, exprim a s ,i el num arul
sub aceast a form a:
4=1
1 +12
2+32
2+52
2+:::(1.1.4)

1.1. CUADRATURA CERCULUI S ,I NUM ARUL 13
Aceast a ingenioas a demonstrat ,ie a irat ,ionalit at ,ii num arului a fost reluat a^ n
1794 de c atre A.M. Legendre (1752-1883), acesta demonstr^ and s ,i irat ,ionalitatea
num arului2.
Cu toate c a se obt ,inuser a ^ nc a din secolul al XVIII-lea aceste dou a re-
zultate impresionante, problema cuadraturii cercului era ^ nc a departe de a
^ nchis a, put^ andu-se desena m arimi irat ,ionale cu rigla s ,i compasul. Cam ^ n
aceeas ,i perioad a, John Machin (1685-1715) a ajuns la calculul cu exactitate a
primelor 100 de zecimale ale lui . Pornind de la o serie a lui Gregory s ,i folo-
sind o teorem a a tangentei trigonometrice, a ajuns la urm atoarea dezvoltare
^ n serie, care a fost folosit a de Euler pentru determinarea alteia:

4= (1
21
3
23+1
5
25:::) + (1
31
3
33+1
5
35:::) (1.1.5)
cu ajutorul c areia stabiles ,te 128 de zecimale ale lui . Tot el este cel care con-
sacr a notat ,ia "", introdus a prima oar a de W.Jones – reprezent^ and init ,iala
cuv^ antului grecesc "periphereia", pentru raportul dintre lungimea cercului s ,i
a diametrului acestuia.
Povestea num arului ar  trebuit s a se termine ^ n anul 1882 c^ and Carl
Louis Ferdinand Lindemann (1852-1939) demonstreaz a extrem de riguros c a
num aruleste transcendent s ,i, astfel, este imposibil a cuadratura cercului cu
rigla s ,i compasul. El pleac a de la realt ,ia lui Euler (pe care o vom ment ,iona
separat mai t^ arziu): ei+1 = 0, scriind-o sub forma ei+e0= 0 s ,i baz^ andu-se
pe o ecuat ,ie de tip Hermite, demonstreaz a o alt a relat ,ie care duce la concluzia
clar a c a num arul nu poare  irat ,ional algebric, ci transcendent.
^Ins a b ataia pentru a
area c^ at mai multor zecimale exacte ale num arului
a continuat cu William Shanks (707 zecimale), dar mai ales o dat a cu
aparit ,ia calculatoarelor. Primul calculator folosit ^ n acest scop a calculat ^ n
1949 primele 2037 de zecimale ^ n aproximativ 70 de ore. Mai t^ arziu, ^ n 1973,
milionul de cifre zecimale este dep as ,it.
Formula preferat a de programatori pentru a calcula un num ar c^ at mai
mare de zecimale cu ajutorul thenologiei avansate se bazeaz a pe o dezvoltare
foarte ingenioas a descoperit a de Srinivasa Ramanujan la ^ nceputul secolului
al XX-lea
1
=2p
2
98011X
k=0(4k)!(1103 + 26390 k)
(k!)43964k(1.1.6)
O alt a formul a de descoperire recent a este formula Bailey{Borwein{Ploue
care permite calcularea ^ n scriere binar a sau hexazecimal a a oric arei cifre f ar a
a le cunoas ,te pe cele dinainte:
=1X
k=01
16k(4
8k+ 12
8k+ 41
8k+ 51
8k+ 6) (1.1.7)

14 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
Folosind o formul a similar a, ^ n anul 2000 s-a stabilit c a bitul cu num arul
1.000.000.000.000.000 al lui este 0.
Obsesia pentru acest num^ ar a dus la inventarea as ,a-ziselor "pieme", poezii
ale c aror cuvinte, ^ n ordine, au tot at^ atea litere c^ at are cifra cu acelas ,i num^ ar
de ordine ^ n scrierea lui . Cartea Recordurilor ^ l ment ,ioneaz a pe studentul
chinez de 24 de ani Lu Chao, care a memorat nu mai put ,in de 67.890 de
cifre ale faimosului num ar. Timpul ^ n care le-a "recitat" f ar a gres ,eal a este
de 24 de ore s ,i 4 minute. Probabil c a aceast a fascinat ,ie va continua, exist^ and
s,i ast azi c^ ateva probleme deschise ^ n leg atur a cu , cea mai cunoscut a ind
despre "normalitatea" acestuia, adic a referitor la distribut ,ia uniform a sau nu
a cifrelor ^ n scrierea sa, ^ n orice baz a de numerat ,ie.
De-a lungul timpului num arul s,i-a g asit aplicabilitatea ^ n diverse do-
menii (geometrie, trigonometrie, analiz a matematic a, numere complexe, in-
tegrabilitate, statistic a s ,i probabilit at ,i, mecanic a, zic a, etc.
Figura 1.1: Num arul
^ n scriere binar a;
"alb"=0, "negru"=1
S,i pentru c a este un num ar care fascineaz a s ,i ^ n ziua de azi generat ,iile de
elevi, dar mai ales pentru larga sa popularitate, Senatul american a decretat
ziua de 14 martie (care ^ n scriere anglo-saxon a a datei este 3/14) drept ziua
num arului, zi care este s arb atorit a ^ n s ,coli s ,i universit at ,i din Statele Unite,
dar care se r asp^ andes ,te rapid s ,i ^ n afara t arilor anglo-saxone.

1.2. NUM ARUL E 15
1.2 Num arul e
Interesul pentru cercet arile astronomice, dar s ,i dezvoltarea navigat ,iei ^ n ves-
tul Europei au ^ mpins matematicienii secolului XV spre g asirea de mijloace
prin care s a^ mbun at at ,easc a tabelele trigonometrice s ,i astronomice, ^ ntocmite
cu dou a secole mai devreme. A ^ nceput astfel o minc a de Sisif care a con-
tinuat s ,i ^ n secolul urm ator. Cel care revolut ,ioneaz a, ^ ns a, cu adev arat,
calculele astronomice prin publicarea ^ n 1614 la Edinburgh a lucr arii "Miri-
ci logarithmorum canonis descriptio" este John Napier (cunoscut ^ n istoria
matematicii sub numele de Neper). Tabelele pe care le public a acesta reduc
orice ^ nmult ,ire la o adunare, ridicarea la putere la o ^ nmult ,ire, iar extragerea
r ad acinii devenea o simpl a ^ mp art ,ire.
Neper habar nu avea la acea vreme c a logaritmii calculat ,i de el aveau
nevoie de o baz a. El a intuit posibilitatea cre arii logaritmilor, plec^ and de la
o corespondent , a pe care o observase ^ ntre termenii unei progresii geometrice
s,i cei ai unei progresii aritmetice, prin asimilarea operat ,iei de ^ nmult ,ire ^ ntre
termenii progresiei geomtetrice celei de adunare a termenilor progresiei arit-
metice. Des ,i existaser a ^ naintea lui mai mult ,i matematicieni care observaser a
aceste propriet at ,i s,i leg aturi ^ ntre cele dou a tipuri de progresii (ba chiar le
aplicaser a ^ n probleme), Nepler este primul care le d a o aplicat ,ii practic a, el
calcul^ and, ^ n denitiv, logaritmii numerelor.
Pentru acuratet ,ea calculelor, Neper a ales ca rat ,ie a progresiei geometrice
un num^ ar c^ at mai apropiat de 1, s ,i anume 11
107s,i a calculat tabelul s au de
logaritmi prin ^ nmult ,iri repetate. Astfel, ^ n structura logarimtmilor denit ,i
de Neper, este introdus num arul e, cu mult mai devreme ca el s a e efectiv
ment ,ionat.
Primul pas spre aceast a identicare l-a f acut ^ n 1643 matematicianul G.
Roberval, care se ocupa cu determinarea ariilor gurilor plane m arginite de
linii curbe. El a descoperit, astfel, o similitudine ^ ntre segmentele de arii ale
hiperbolei echilatere s ,i logaritmi. 4 ani mai t^ arziu, Gregorius a St. Vicentio
arat a c a logaritmii lui Neper au ca imagine geometric a ariile segmentelor
de hiperbol a cuprinse ^ ntre o asimptot a s ,i dou a paralele duse la cealalt a
asimptot a. Mai t^ arziu, ^ n 1668, N. Mercator arat a faptul c a aria hiperbolei
echilatere se poate deni cu ajutorul logaritmilor s ,i reduce calculul tabelelor
de logaritmi la cuadratura acestei hiperbole; el a fost cel care, pentru a se
deosebi de logaritmii zecimali, a introdus denumirea de logaritm natural (sau
hiperbolic) s ,i a stabilit dezvolatarea ^ n serie de puteri:
ln (1 +x) =x1
2×2+1
3×31
4×4+::: (1.2.8)
Un an mai t^ arziu, Isaac Newton, f ar a a utiliza notat ,iile cunoscute ast azi, a

16 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
dezvoltat ^ n serie de puteri funct ,ia invers a funct ,iei logaritmice:
ex= 1 +x
1!+ +x2
2!+x3
3!::: (1.2.9)
. Pentru cazul particular x= 1, tot Newton g ases ,te faptul c a 1 +1
1!+ +1
2!+
1
3!:::+1
n!+:::reprezint a num arul al c arui logaritm natural este egal cu 1.
Num arule, f ar a s a poarte ^ nc a acest nume, era astfel denit ca limita unei
serii innite de numere rat ,ionale.
Independent de Newton, Leibniz stabilies ,te s ,i el o dezvoltare ^ n serie de
puteri a funct ,iilor exponent ,iale s ,i observ a reducerea unor ecuat ,ii exponent ,iale
la ecuat ,ii cu logaritmi. Cercet arile ulterioare au dus la concluzia c a funct ,ia
logaritmic a era inversa funct ,iei exponent ,iale. Primul care d a o denit ,ie clar a
logaritmilor s ,i care introduce not ,iunea de "baz a" este, ^ n 1748, Leonhard
Euler. Tot el este cel care introduce notat ,iaepentru baza logaritmilor na-
turali s ,i care deschide drumul denirii clare a logaritmilor s ,i a operat ,iilor cu
aces ,tia.
^In 1728, Daniel Bernoulli demonstreaz a c a:
e=limn!1(1 +1
n)n(1.2.10)
formul a generalizat a de Euler:
ex=limn!1(1 +x
n)n(1.2.11)
undexeste un num ar real oarecare. Totodat a el foloses ,te seria:
e= 1 +1
1!+1
2!+1
3!+:::+1
n!+::: (1.2.12)
pentru a calcula valoarea lui ecu 23 de zecimale exacte. Determinarea lui
Euler de a calcula aceste 23 de zecimale exacte vine ^ n special din dorint ,a
de a stabili natura num arului e. Dac a acesta ar  fost un num ar irat ,ional
s-ar  as ,teptat s a pun a ^ n evident , a periodicitatea cifrelor. Cum aceasta nu a
ap arut, Euler s-a oprit din calculat, ind convins c a nu o va g asi nici dincolo
de aceste 23 de zecimale.
Aparit ,ia ^ n 1722 a c art ,ii postume a lui Roger Cotes, "Harmonia mensu-
rarum", ^ n care num arul eapare sub form a de fract ,ie continu a:
e= 2 +1
1 +1
2+1
1+1
4+:::(1.2.13)
^ l determin a pe Euler s a se ocupe mai asiduu de teoria fract ,iilor continue, ^ n
leg atur a cu care public a o lucrare ^ n 1937, ^ n care arat a c a orice num ar

1.2. NUM ARUL E 17
rat,ional se dezvolt a ^ n fract ,ii continue nite s ,i regulate, iar orice num^ ar
rat,ional ^ n fract ,ii continue innite. El demonstreaz a, g asind s ,i alte dezvolt ari
^ n fract ,ii continue, c a numerele es,ie2sunt numere irat ,ionale.
^In afar a de Lambert (care demonstreaz a s ,i c a m arimile circulare s ,i lo-
garitmice nu pot  r ad acini ale ecuat ,iilor algebrice) s ,i Legendre, Fourier d a
o demonstrat ,ie direct a a irat ,ionalit at ,ii luiefolosind principiul reducerii la
absurd:
Demonstrat ,ie 1. Presupun^ and c a eeste rat ,ional, exist a numerele naturale
p;qastfel ^ nc^ at e=p
qRezult a c ap
q= 1 +1
1!+1
2!+1
3!+:::+1
n!+:::^Inmult ,ind
egalitatea cu q! obt ,inemp(q1)! =N+1
q+1+1
(q+1)(q+2)+:::undeNeste un
num ar natural. Dar1
q+1+1
(q+1)(q+2)+:::<1
q+1+1
(q+1)2+:::=1
qSe obt ,ine,
as,adar, inegalitatea N < p (q1)!< N +1
qde unde rezult a contradict ,ia
(p(q1)! nu este num ar natural).
Cu ajutorul formulei lui Euler:
eix= cosx+isinx (1.2.14)
din care rezult a formula lui Moivre:
einx= cosnx+isinnx (1.2.15)
s-a rezolvat disputa dintre Leibniz s ,i Bernoulli privind natura logaritmilor
numerelor negative s ,i imaginare, ^ n favoarea lui Leibiz. Astfel logaritmul
unui num ar negativ este un num ar complex.
Des ,i a adus contribut ,ii importante, ^ n leg atur a cu problema logaritmilor,
Euler nu a putut r aspunde la problema naturii irat ,ionalit at ,ii num arului e(la
fel ca a num arului ), asta s ,i pentru c a, la vremea aceea, nu se cunos ,teau
alte numere irat ,ionale ^ n afar a de cele obt ,inute prin operat ,ii cu radicali.
Abia la 39 de ani de la moartea lui, c^ and Niels Abel demonstreaz a faptul c a
ecuat ,iile algebrice de grad minim 5 nu se pot rezolva prin radicali, s-a ^ nt ,eles
faptul c a numerele irat ,ionale nu au toate aceeas ,i natur a. Mai mult, Richard
Dedekind, ^ n 1872, observ a c a nici dezvoltarea ^ n serii, nici cea ^ n fract ,ii
continue, des ,i dau aproxim ari foarte bune, nu l amuresc nimic din natura
unui num ar irat ,ional. ^Incerc^ and s a rezolve aceste aspecte, Dedekind, prin
publicat ,iile lui, reus ,es,te s a ^ mpart a lumea matematicii ^ n 3 curente losoce
(^ n funct ,ie de baza de fundamentare a aritmeticii):
– logicism;
– intuitionism;
– formalism;

18 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
L as^ and la o parte aspectele losoce, secolul al XIX-lea, prin matemati-
cieni ca Evariste Galois (1811-1832), C.G. Iacobi (1804-1851), Charles Her-
mite (1822-1901), aduce contribut ,ii importante ^ n ceea ce prives ,te numerele
irat ,ionale. Astfel, pe l^ ang a innitatea numerelor rat ,ionale sub form a de radi-
cali, se descoper a alte dou a categorii innite de numere irat ,ionale: numerele
algebrice de gradul n;n5, precum s ,i numerele transcendente, care nu veri-
c a nici o ecuat ,ie algebric a cu coecient ,i rat ,ionali. Ultima categorie este pus a
^ n evident , a mai ^ nt^ ai de J. Liouville care a ar atat cum se pot g asi mult ,imi
de numere transcendente.
Cu toate aceste descoperiri, a fost nevoie (la fel ca ^ n cazul num arului
) de o metod a particular a de identicare a naturii lui e. Aceasta a venit
^ n 1873 prin intermediul lui Charles Hermite, care a demonstrat c a eeste
transcendent, aduc^ and un rezultat care ^ ncheia o lung a istorie de cercet ari
matematice. Aceast a descoperire a dat sperant ,a c a s ,i num arului i se va
putea stabili natura, lucru ce se va ^ nt^ ampla 9 ani mai t^ arziu, as ,a cum am
povestit ^ n capitolul precedent.
Num arule, reprezint a nu numai ^ n matematic a o poveste aparte, ^ ns as ,i
natura folosindu-l. Spirala logaritmic a, singura curb a asemenea cu ea ^ ns as ,i,
este cea care exprim a legea cres ,terii organismelor vii.
Figura 1.2: Spirala lo-
garitmic a

1.3. NUM ARUL I (UNITATEA IMAGINAR A) 19
1.3 Num arul i (unitatea imaginar a)
Des ,i ecuat ,iile algebrice de gradul al doilea fuseser a studiate ^ n antichitate
de matematicienii greci, arabi, hindus ,i sau chinezi, abia ^ n secolul al XVI-
lea matematicienii italieni consider a necesar a introducerea num arului i, care
mult a vreme a fost privit doar ca un simbol; Leonhard Euler, cel care l-a
botezat astfel ^ i spunea "imaginar s ,i imposibil".
Cu toate c a mult ,i matematicieni europeni ajunseser a la concluzia c a
num arulitrebuia introdus, recunoas ,terea existent ,ei sale ca num ar a tre-
cut printr-o serie de peripet ,ii, t ,in^ and seama s ,i de faptul c a p^ an a ^ n secolul
al XV-lea toate operat ,iile aritmetice erau f acute aproape exclusiv cu numere
reale pozitive, deci era sub^ nt ,eles c a s ,i r ad acinile ecuat ,iilor erau tot pozitive.
Ulterior, treptat, numerele imaginare ^ ncep s a capteze atent ,ia mai multor
matematicieni, iar ^ n 1831 s a e introduse (s ,i ^ n sf^ ars ,it acceptate) prin inter-
mediul lui Gauss care a reus ,it indubitabil s a devedeasc a existent ,a numerelor
complexe de forma a+bi, undei2=1, c^ and a stabilit teoria resturilor
bip atrate.
S-a observat imediat ciclicitatea puterilor lui i. Astfel
8
>>><
>>>:i4k= 1
i4k+1=i
i4k+2=1
i4k+3=i(1.3.16)
pentru orice knum ar ^ ntreg
Prin ad augarea unit at ,ii imaginare care veric a ecuat ,iax2+ 1 = 0 s ,i a
numerelor complexe s-a dat sens tuturor operat ,iilor aritmetice s ,i algebrice,
directe sau inverse. Prin aceast a extindere s-a creat mult ,imea numerelor
complexe, C, s,i s-a ajuns la enunt ,area s ,i demonstrarea urm atoarei teoreme
Teorema 1.3.1 (Teorema fundamental a a algebrei) .Orice ecuat ,ie algebric a
de graduln;n2N, admitenr ad acini ^ n mult ,imea numerelor complexe.
De asemenea, d'Alemebert stabiles ,te faptul c a numerele complexe for-
meaz a un sistem de numere complet s ,i ^ nchis ^ n raport cu toate operat ,iile
algebrice, cu ajutorul teoremei sale prin care "orice funct ,ie de oric^ ate varia-
bile complexe se reduce la o expresie de forma a+bi".
De-a lungul anilor ce au urmat, mult ,i matematicieni au ^ ncercat o nou a
extindere a mult ,imii numerelor complexe, fapt ce s-a dovedit imposibil, da-
torit a sistemului ^ nchis fat , a de toate operat ,iile algebrice cunoscute. Totus ,i,
^ ncep^ and cu Gauss, mult ,i nu s-au oprit aici, ^ ncerc^ and introducerea de unit at ,i

20 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
noi, chiar dac a s-au lovit de faptul c a mult ,imile astfel obt ,inute se supuneau
aceloras ,i reguli de calcul cu al polinoamelor algebrice. S-a ajuns astfel la
not ,iunea de mult ,ime "hipercomplex a", prin eliminarea uneia sau mai multor
propriet at ,i ale calculului algebric uzual. Primul dintre matematicieni care a
reut ,it s a dezvolte un astfel de sistem hipercomplex a fost W.R. Hamilton,
care, ^ n 1843, renunt , a la comutativitatea ^ nmult ,irii s ,i introduce cuaternio-
nii, prin ad augarea a trei unit at ,i cuaternionice, i;j;k diferite ^ ntre ele, cu
propriet at ,ilei2=j2=k2=1 s,i:
8
><
>:i
j=j
i=k
j
k=k
j=i
k
i=i
k=j(1.3.17)
Dac a un num ar complex se scrie sub forma a+bi, un cuaternion se scrie
astfel:n+ai+bj+ck, unden;a;b;c sunt numere reale iar i;j;k sunt legat ,i
prin relat ,iile de mai sus. Cum am mai spus aceast a mult ,ime a cuternionilor
p astreaz a toate propriet at ,ile operat ,iilor cu numere complexe, cu except ,ia
comutativit at ,ii. Cu toate c a^ nmult ,irea cuaternionilor se deosebes ,te, astfel de
^ nmult ,irea numerelor complexe, exist a o similitudine foarte mare ^ n privint ,a
interpret arii geometrice. Este, de altfel, baza de la care a plecat Hamilton:
cum orice num ar complex este privit ^ n planul cartezian ca un vector (tot
Hamilton este cel care a introdus not ,iunea de vector), a observat faptul
c a ^ nmult ,irea a dou a numere complexe corespunde unei rotat ,ii a vectorului
produs fat , a de vectorul^ nmuls ,itor. El^ ncearc a, astfel, inventarea unei algebre
care s a geberalizeze aceste rotat ,ii ^ n spat ,iu. Legenda spune c a, dup a 15
ani de cercet ari, ideea esent ,ial a ^ i vine ^ n cadrul unei plimb ari cu sot ,ia pe
podul Brougham din Dublin, de aceea, ^ n semn de recunos ,tint , a, ar  gravat
formulele pe parapetul acelui pod.
Cu ajutorul aparit ,iei num arului imaginar s ,i prin introducerea numerelor
complexe s ,i a cuaternionilor, geometria, teoria numerelor, zica, etc. au
putut deschide noi orizonturi de aplicabilitate.
1.4 Num arul c (constanta lui Euler)
^In jurul anului 1700 seriile innite, ^ n special cele numerice (deoarece ele
aproximau valorile unor funct ,ii pentru argumente particulare), constituiau
obiectul predilect de studiu al multor matematicieni. Dup a rezultatele ce
stabileau deosebirea ^ ntre o serie convergent a s ,i una divergent a, Jacob Ber-
noulli public a o serie de articole sub numele "Proport ,ii aritmetice despre
seriile innite s ,i despre sumele lor nite", ^ n care, printre altele, dovedise c a

1.4. NUM ARUL C (CONSTANTA LUI EULER) 21
seria armonic a:
1 +1
2+1
3+:::+1
n+::: (1.4.18)
era divergent a.
Fiind ^ n permanent , a preocupat de g asirea celor mai ingenioase s ,i fru-
moase solut ,ii pentru probleme matematice, Leonhard Euler descoper a, spre
surpinderea tuturor, c a, des ,i seria armonic a era divergent a, diferent ,a dintre
s,irul sumelor ei part ,iale s ,i lnnare limit a nit a, un num ar irat ,ional botezat
^ n cinstea lui Euler s ,i notat cuC. Avem astfel:
lim
n!1(1 +1
2+1
3+:::+1
nlnn) =C (1.4.19)
El a calculat s ,i primele 6 zecimale ale constantei C= 0;577215
Formula stabilit a de Euler nu este interesant a doar prin rezultatul ei,
ci s ,i prin faptul c a ne arat a variat ,ia a dou a funct ,ii care tind spre innit.
Constanta Ca devenit una dintre marile enigme ale analizei matematice,
nici p^ an a ^ n zilele noastre neput^ andu-se stabili natura ei. Nici m acar nu s-a
demonstrat irat ,ionalitatea ei, cu at^ at mai put ,in s a se decid a dac a este un
num ar algebric sau transcendent.
Pentru calculul aproximativ al acestei constante, Euler ajunge la o for-
mul a aproximativ a:
pX
n=11
nln (1 +n) +C (1.4.20)
cu ajutorul c areia, pentru p= 10, obt ,ine primele 16 zecimale ale lui C
Printre numeroasele serii numerice care au ca sum a num arul C, un mare
succes a avut-o cea stabilit a ^ n mod empiric de Gregorio Fontana (1735-
1803), publicat a de L. Mascheroni (1750-1800) s ,i demonstrat a ^ n 1812 de
F.W. Bessel:
C=1
2+1
22
3+1
22
32
4+::: (1.4.21)
Cu ajutorul acesteia, Mascheroni a calculat primele 32 de zecimale ale lui C,
cu toate c a mai t^ arziu s-a dovedit c a 13 dintre ele nu erau exacte. Nici gauss
nu a r amas indiferent fat , a de aceast a constant a ci, folosind o dezvoltare ^ n
serie a lui Euler, a a
at primele 40 de zecimale. Mai t^ arziu, W. Shanks a
ajuns p^ an a la 110, iar J.C. Adams la 263.
De asemenea, matematicieni renumit ,i, precum E. Catalan (1814-1894),
P.L. Ceb^ s ,ev (1821-1894) sau Paul Appell (1855-1930), s ,i-au dat silint ,a pen-
tru a
area naturii lui C,^ ns a f ar a succes. ^Intr-o scrisoare pe care Ch. Hermite
(cel care descoperise transcendent ,a num arului e) o trimite ^ n 1888 prietenu-
lui s au Th.J. Stieljes, acesta constat a: "Cu privire la constanta lui Euler,

22 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
cred c a pot s a v a asigur c a nici un ochi omenesc nu a putut sonda, p^ an a
acum, misterul irat ,ionalit a^ aii ei. Ar  o mare s ,i frumoas a descoperire dac a
s-ar demonstra c a Ceste incomensurabil, dar de unde ar putea veni o raz a
de lumin a ^ ntr-o problem a as ,a de tainic a, as ,a de profund a?"
Cercet ari de dat a mai recent a ad^ ancesc s ,i mai mult misterul asupra acestei
constante. Sunt cunoscute p^ an a azi, printre altele, urm atoarele identit at ,i:
C=1X
n=2(1)n(n)
n= (leg atura cu funct ,ia Zeta Riemann) (1.4.22)
C=Z1
0exlnxdx (1.4.23)
1.5 Raportul de aur
Notat cu  , num arul de aur, cunoscut mai ^ nt^ ai instinctiv de c atre oameni,
reprezint a raportul supraunitar ^ n care un punct C ^ mparte un segment AB
astfel ^ nc^ at lungimea segmentului mai mare (s a zicem AC) s a e media ge-
ometric a a lungimilor segmentelor BC s ,i AB. ^In geometrie i se mai spune s ,i
"t aietura de aur" sau "^ mp art ,irea unui segment ^ n medie s ,i extrem a rat ,ie"
Atfel, dac a not am AB =x;AC =y;BC =z, raportul de aur este
num arul
 =y
z(1.5.24)
Avem, as ,adar  =y
z=x
y, de unde, t ,in^ and cont c a x=y+z, rezult a
y
z=y+z
y) = 1 +1
(1.5.25)
De aici deducem ecuat ,ia de gradul al doilea a c arei solut ,ie pozitiv a este
num arul de aur:
21 = 0) =1 +p
5
2= 1;61803398::: (1.5.26)
Raportul de aur este, as ,adar, un num ar irat ,ional. Este incert a data primei
lui formul ari, ^ ns a este sigur c a egiptenii antici cunos ,teau acest raport, ind

1.5. RAPORTUL DE AUR 23
folosit, spre exemplu ^ n construirea marii piramide a lui Keops (aria unei fet ,e
laterale este egal a cu aria unui p atrat ce are ca latur a ^ n alt ,imea piramidei).
De la aces ,tia au a
at, probabil, grecii despre t aietura de aur, ind studiat a
la s ,coala lui Pitagora s ,i ap ar^ and, de altfel, sub un alt nume, ^ n "Elementele"
lui Euclid.
Mai t^ arziu,^ n perioada Renas ,terii, nu doar matematicienii au fost fascinat ,i
de acest num ar, dar s ,i arhitect ,ii, artis ,tii. Descoperind acest raport prin stu-
dierea proport ,iilor dintre diferite p art ,i ale corpului, Leonardo da Vinci a fost
cel care l-a numit "sectio aureo" (t aietura de aur).
Pe l^ ang a binecunoscutele construct ,ii de poligoane, poliedre regulate, etc.,
mai exista un motiv pentru care num arului de aur ^ i era atribuit a o aur a
mistic a. El reprezenta raportul dintre dou a numere consecutive din s ,irul lui
Fibonacci, iar acest s ,ir exprima, dup a cum vom vorbi mai jos, legea cres ,terilor
organice (exemplicat a de Fibonacci prin legea de ^ nmult ,ire a unei perechi
de iepuri).
O alt a observat ,ie interesant a asupra num arului de aur este c a el se poate
scrie prin fract ,ii continue ^ n care nu apare dec^ at cifra 1:
 = 1 +1
1 +1
1+1
1+1
1+1
1+:::(1.5.27)
Tot numai cu cifra 1 se poate exprima num arul de aur printr-un s ,ir innit
de radicali suprapus ,i:
 =p
1 +  =q
1 +p
1 +  =r
1 +q
1 +p
1 +  =:::
=s
1 +r
1 +q
1 +p
1 +:::(1.5.28)
Am dat doar c^ ateva exemple prin care iese ^ n evident , a explicat ,ia interesu-
lui crescut asupra raportului de aur. Fiind o punte de leg atur a ^ ntre multiple
domenii, matematicienilor nu li s-au al aturat doar artis ,ti sau arhitect ,i, ci s ,i
loso, psihologi sau biologi. Mai multe cercet ari au relevat faptul c a ochiul
uman prefer a, din instinct, m arimile ale c aror dimensiuni se a
 a ^ n celebrul
raport.
Cel care introduce denumirea de  acestui raport este matematicianul
american Mark Barr, care foloses ,te aceast a notat ,ie^ n cinstea celebrului sculp-
tor antic grec Phidias, cel care, se pare a folosit de nenum arate ori acest raport
^ n operele sale

24 CAPITOLUL 1. CONSTANTE MATEMATICE
Figura 1.3: Raportul
de aur apare de foarte
multe ori ^ n arhitec-
tura Parthenonului
1.6 Identitatea lui Euler
Demonstrat a init ,ial ^ n 1714 de Roger Cotes sub forma
ln (cosx+isinx) =ix (1.6.29)
Euler a pulbicat formula sub forma
eix= cosx+isinx (1.6.30)
care pentru cazul particular x=devine ceea ce este cunoscut sub identita-
tea lui Euler, frumoasa folmul a matematic a ce combin a, ^ ntr-un mod extrem
de simplu, cele mai folosite 5 constante matematice: 0 ;1;;e;i :
ei+ 1 = 0 (1.6.31)
Keith Devlin, profesor la Universitatea Standford, spunea: "Ca un sonet
shakespearean care surprinde ^ ns as ,i esent ,a iubirii sau ca o pictur a care scoate
^ n evident , a frumuset ,ea formei umane mult mai ad^ anc dec^ at nivelul pielii,
ecuat ,ia lui Euler ajunge p^ an a ^ n ad^ ancurile existent ,ei"

Capitolul 2
S,iruri de numere speciale
2.1 Numere prime
Denit ,ia 2.1.1 (Num ar prim) .Se numes ,te num ar prim, un num ar natural
care are exact doi divizori naturali.
Mult ,imea numerelor prime este P=f2;3;5;7;11;13;17;19;23;:::g. Pri-
mul care a demonstrat c a mult ,imea numerelor prime este innit a a fost Euclid
^ m anul 300 ^ .e.n. astfel:
Demonstrat ,ie 2. Presupunem c a mult ,imea numerelor prime este nit a.
Rezut a c a exist a p=max(P). Fie num arul m=p! + 1. Conform teoremei
^ mp art ,irii cu rest rezult a c a mnu se divide cu nici unul dintre numerele
2;3;:::;p , de unde rezult a c a meste num ar prim, deci m2P, dar, evident,
m > p)m > max (P). Contradict ,ie! As ,adar presupunerea f acut a este
fals a, deci mult ,imea numerelor prime este innit a.
As,adarPeste o submult ,ime innit a a mult ,imii numerelor naturale, deci
este o mult ,ime num arabil a s ,i ^ i putem organiza elementele ca termeni ai unui
s,ir. Fie as ,adar (pn)n1cup1= 2;p2= 3;p3= 5;:::s,irul numerelor prime.
Un subs ,ir interesant al acestuia este ( pk)k2Padic a subs ,irul cu indici numere
prime al s ,irului numerelor prime, ale c arui elemente mai sunt supranumite
"numere superprime."
Se pare c a not ,iunea de num ar prim a fost descoperirea pitagoreicilor,
iar la baza ei a stat, foarte probabil, ideea de m asurare (10 litri de vin se
pot ^ mp art ,i ^ n cantit at ,i egale de 1,2,5 sau 10 litri, pe c^ and 7 litri nu pot
m asurat ,i dec^ at ^ n cantit at ,i de 1 sau 7 litri – inclusiv Euclid denes ,te num arul
prim ca acel num ar care poate  m asurat doar prin unitate), care mai apoi a
fost abstractizat a, ap ar^ and, astfel, numerele prime, numere care au fascinat
s,i fascineaz a ^ nc a generat ,iile de matematicieni.
25

26 CAPITOLUL 2. S ,IRURI DE NUMERE SPECIALE
Dup a cum am spus, la s ,coala pitagoreicilor numerele prime au ^ ncetat
s a e str^ ans legate de practic a, ele c ap at^ and un caracter teroetico-losoc,
ind asimilate elemetelor primare (ireductibile) din natur a, concept ,ii care au
culminat ^ n losoa atomis ,tilor Leucip s ,i Democrit (numerele prime, asemeni
atomilor, formeaz a ^ mpreun a elementele compuse).
De aici s ,i ideea descompunerii oric arui ^ ntreg ^ n produs de factori primi:
Propozit ,ia 2.1.2 (Teorema fundamental a a aritmeticii) .Oricare ar  num arul
^ ntregn;jnj2, exist a numerele prime p1< p 2< ::: < p ks,ia1;a2;:::;ak2
Nastfel ^ nc^ at
n=p1a1p2a2:::pkak- descompunerea canonic a a num arului ^ ntreg n^ n pro-
dus de factori primi
Cea mai grea problem a, r amas a nerezolvat a ^ n totalitate, ^ n leg atur a cu
numerele prime este legat a de distribut ,ia acestora sau de identicarea unei
expresiif(n);n2Nprin care s a exprime orice num ar prim. De-a lun-
gul timpului au fost enunt ,ate s ,i/sau demonstrate nenum arte ipoteze despre
"densitatea" numerelor prime ^ n mult ,imea numerelor naturale, sau despre
diverse alte propriet at ,i ale acestora. Vom aminti c^ ateva dintre ele:
Propozit ,ia 2.1.3 (Conjectura lui Goldbach) .Orice num ar natural par nenul
poate  scris ca sum a de dou a numere prime
Exemplul 2.1.4.
6=3+3
12=5+7
100=53+47
Conjectura lui Goldbach, r amas a nerezolvat a, se s ,tie (p^ an a acum) ca ind
adev arat a pentru orice num ar par mai mic dec^ at 4
1018.
Teorema 2.1.5 (Mica teorem a a lui Fermat) .Dac apeste un num ar prim
atunci, oricare ar  num arul ^ ntreg a; ap11(modp ).
Teorema 2.1.6 (Teorema lui Dirichlet) .Fien;r2Nastfel ^ nc^ at (n;r) = 1 .
^In progresia aritmetic a n;n+r;n+ 2r;:::;n +kr;::: exist a o innitate de
numere prime.
Propozit ,ia 2.1.7 (Postulatul lui Bertrand) .Fienun num ar natural mai
mare sau egal cu 2.^In intervalul (n;2n)exist a cel put ,in un num ar prim.
Propozit ,ia 2.1.8 (Conjectura lui Andrica) .Diferent ,a radicalilor oric aror
dou a numere prime consecutive este subunitar a.

2.2. NUMERE MERSENNE 27
Una dintre cele mai cunoscute probleme r amase deschise s ,i pentru care
Clay Mathematics Institute ofer a un premiu de un milion de dolari este
Ipoteza Riemann care sust ,ine c a zerourile netriviale ale funct ,ie zeta Riemann
sunt situate toate pe aceeas ,i dreapt a. Demosntrarea acestei conjecturi ar
aduce o informat ,ie foarte valoroas a asupra distribut ,iei numerelor prime foarte
mari.
De o important , a deosebit a este s ,i terorema numerelor prime care descrie
o distribut ,ie asimptotic a a acestora ^ n mult ,imea numerelor naturale:
Teorema 2.1.9. Fie(x)num arul numerelor prime mai mici sau egale cu
x. Atunci:
lim
x!1(x)
x
logx= 1
^In afar a de important ,a lor ^ n teoria numerelor, numerele prime sunt fo-
losite ast azi pe scar a larg a ^ n majoritatea algoritmilor de criptare, ajut^ and
astfel la securizarea datelor. De altfel, se pare c a marile institut ,ii nanci-
are mondiale ar dori nerezolvat a problema repartit ,iei numerelor prime, altfel
sistemul de securizare a datelor folosit ^ n momentul de fat , a ar putea  vul-
nerabil.
Cel mai mare num ar prim cunoscut p^ an a ^ n prezent este un num ar prim
de tip Mersenne (despre care vom vorbi ^ n continuare): 22742072811
2.2 Numere Mersenne
Denit ,ia 2.2.1 (Num ar prim Mersenne) .Un num ar de forma 2n1 care
este prim se numes ,te num ar prim Mersenne (sau, pe scurt, num ar Mersenne).
Denumirea este dat a de c alug arul francez Marin Mersenne (1588-1648)
care are o poveste de viat , a interesant a.
Propozit ,ia 2.2.2. Dac a un num ar de forma 2n1este prim atunci neste
num ar prim.
Legat de numerele de acest tip, a fost enunt ,at a conjectura Lenstra {
Pomerance { Wagsta care spune c a exist a o innitate de numere prime
Mersenne s ,i le aproximeaz a asimptotic printr-o funct ,ie logaritmic a ^ n care
apare s ,i constanta lui Euler (C) despre care am discutat mai sus.
As,a cum am ment ,ionat anterior, cel mai mare num ar prim cunoscut este
un num ar Mersenne care are 22.338.618 cifre. De fapt, pentru c a algoritmii
de a
are a acestor numere sunt mult mai rapizi, cele mai mari 6 numere
prime cunoscute sunt numere Mersenne

28 CAPITOLUL 2. S ,IRURI DE NUMERE SPECIALE
2.3 Numere Fermat
Denit ,ia 2.3.1 (Num ar Fermat) .S,irul (Fn)n0 denit prin Fn= 22n+ 1
se numes ,te s ,irul lui Fermat, iar elementele sale se numesc numere Fermat.
Se poate demonstra prin induct ,ie c a s ,irul lui Fermat poate  caracterizat
prin urm atoarele recurent ,e:
Fn= (Fn1)2+ 1
Fn=F0F1:::Fn1+ 2, pentru n1
Des ,i s,i-a dat seama c a nu poate demonstra la acea vreme, Fermat a
presupus, calcul^ andu-le pe primele 5, c a toate numerele din acest s ,ir sunt
prime. ^In 1732, Leonhard Euler a inrmat aceast a ipotez a, ar at^ and c a F5
este divizibil cu 641. De fapt, p^ an a ^ n zilele noastre, singurele numere Fermat
prime cunsocute sunt aceleas ,i pe care le calculase s ,i Fermat. Cu toate acestea
interesul pentru aceste numere a r amas ^ n lumea matematicii, at^ at timp c^ at
au r^ amas ipoteze nel amurite privind innitatea (sau nu) a numerelor prime
din s ,ir, fapt care este interesant pentru criptarea datelor t ,in^ and seama c a
valoarea numerelor din s ,ir cres ,te extrem de repede.
Se s ,tie p^ an a acum c a F5;F6;:::;F 32 sunt numere compuse. Cel mai mare
num ar Fermat despre care se s ,ie c a este num ar compus este F3329780
Numerelor Fermat le dator am, totus ,i, mai multe teoreme, cum ar :
Teorema 2.3.2. Dac a 2m+ 1este un num ar prim mai mare sau egal cu 3
atuncimeste de forma 2n.
Teorema 2.3.3 (Lucas) .Orice divizor prim al lui Fneste de forma k2n+2+1.
O alt a chestiune interesant a ^ n leg atur a cu aceste numere este:
Propozit ,ia 2.3.4. Un poligon regulat cu nlaturi poate  construit cu rigla
s,i compasul, dac a s ,i numai dac a neste un produs de forma 2qFi1Fi2:::Fik,
undeFi1;Fi2;:::;Fiksunt numere prime din s ,irul lui Fermat.
2.4 Numere Fibonacci
Denit ,ia 2.4.1 (Num ar Fibonacci) .S,irul (un)n0 denit prin relat ,ia de
recurent , au0= 0;u1= 1;un+2=un+1+unpentru orice n0 se numes ,te
s,irul lui Fibonacci, iar elementele sale se numesc numere Fibonacci.
Fibonacci, pe numele s au adev arat Leonardo din Pisa (1175-1250), a por-
nit de la urm atoarea problem a:

2.4. NUMERE FIBONACCI 29
Exercit ,iul 2.4.2 (Problema iepurilor) .S,tiind c a o pereche de iepuri d a
nas ,tere ^ n ecare lun a unei perechi de iepuri, s a se determine, plec^ and de la
o singur a pereche s ,i consider^ and c a ^ n aceast a perioad a nu moare nici unul
dintre ei, c^ at ,i iepuri vor exista dup a n luni?
A descoperit astfel relat ,ia de recurent , a de mai sus pentru n1, r aspunsul
problemei ind uniepuri.
Figura 2.1: Secvent , a
din s ,irul lui Fibonacci,
sub form a de spiral a, s ,i
leg atura cu raportul de
aur
Numerele s ,i s,irul lui Fibonacci au interesat generat ,ii ^ ntregi de oameni de
s,tiint , a, de atunci s ,i p^ an a ast azi, ind folosite nu doar ^ n matematic a, dar s ,i,
spre exemplu, ^ n informatic a, biologie, exist^ and chiar s ,i un jurnal s ,tiint ,ic
publicat din 1963 p^ an a azi ^ n Statele Unite ale Americii numit "Fibonacci
Quarterly"

30 CAPITOLUL 2. S ,IRURI DE NUMERE SPECIALE

Capitolul 3
Diverse alte tipuri de numere
speciale
3.1 Numere prietene
Cunoscute ^ nc a de pe vremea s ,colii lui Pitagora, unde li s a d adea conotat ,ii
mistice, dou a numere naturale se numesc numere prietene dac a ecare dintre
cele dou a numere este suma tuturor divizorilor celuilalt strict mai mici dec^ at
cel alalt num ar.
Exemple: 220 s ,i 284, 1184 s ,i 1210, 2620 s ,i 2924
3.2 Numere perfecte
Un num ar natural se numes ,te num ar perfect dac a este egal cu suma divizo-
rilor s ai mai mici strict dec^ at el ^ nsus ,i.
Exemple:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
Calcul^ and primele 4 numere perfecte, Euclid a observat c a sunt numere
de forma 2n1(2n1) s ,i, ^ n plus, condit ,ia necesar a ca un num ar de forma
2n1(2n1) s a e num ar perfect este ca 2n1 s a e num ar prim (num ar
Mersenne).
Peste foarte mult ,i ani, cel care demonstreaz a faptul c a toate numerele
perfecte pare sunt de forma descoperit a de Euclid este Euler.
O problem a deschis a r amas a ^ n leg atur a cu numerele perfecte este dac a
exist a sau nu numere perfecte impare. C^ ateva condit ,ii care se impun ^ n
leg atur a cu existent ,a acestora au fost demonstrate. Astfel, un num ar impar
31

32CAPITOLUL 3. DIVERSE ALTE TIPURI DE NUMERE SPECIALE
perfect:
– este mai mare dec^ at 101500
– se descompune ^ n produs de factori primi distinct ,i de formapap2a1
1p2a2
2:::p2ak
k
cu proprietatea pa1(mod4)
Cel mai mare num ar perfect cunoscut este 274207280(2742072811) un num ar
descoperit ^ n 2016 care are 44 :677:235 de cifre.
3.3 Numere pitagoreice
Numerele pitagoreice sunt de fapt triplete de numere naturale nenule de
forma (x;y;z ) cu propietatea c a x2+y2=z2. Denumirea vine de la faptul c a
numerele ce formeaz a aceste triplete pot  lungimile laturilor unui triunghi
drpteunghic (fapt ce se demonstreaz a cu teorema lui Pitagora). Cel mai
cunoscut exemplu este tripletul (3 ;4;5).
Un rezultat evident este faptul c a mult ,imea tripletelor pitagoreice este
innit a. ^Intr-adev ar, not^ and aceast a mult ,ime cuP, dac a (x;y;z )2P, atunci
oricare ar  m2N;(mx;my;mz )2P. Demonstrat ,ia este trivial a.
Un rezultat care este folosit s ,i ^ n rezolvarea unor ecuat ,ii diofantice este
forma general a a acestor triplete. Astfel, ( x;y;z )2P,exist a numerele
naturale prime ^ ntre ele p;q;p>q astfel ^ nc^ at au loc relat ,iile:
x=p2q2
y= 2pq
z=p2+q2
3.4 Gemene prime
Numerele gemene prime sunt perechi de numere prime a c aror diferent , a este
2. Natura s ,irului lor, (3 ;5);(5;7);(11;13);(17;19);:::nu este cunoscut a ^ nc a.
De aceea exist a nerezolvat a conjectura numerelor prime gemene, a c arei ipo-
tez a este faptul c a exist a o innitate de perechi de prime gemene.
3.5 Numere cardinale
Denit ,ia 3.5.1 (Mult ,imi echipotente) .Dou a mult ,imiA;B se numesc echi-
potente dac a exist a o funct ,ie bijectiv a f:A!B.
Se demonstreaz a us ,or c a, dac a avem o mult ,imeXale c aror elemete sunt
mult ,imi, relat ,ia de echipotent , a este o relat ,ie de echivalent , a care ^ mparte pe
X^ n clase de echivalent , a.

3.5. NUMERE CARDINALE 33
Clasa de echivalent , a a unei mult ,imiA,fB2Xjexist af:A!B
bijectiv agse numes ,te cardinalul mult ,imiiAs,i se noteaz ajAjsaucard(A)
Denit ,ia 3.5.2 (Mult ,ime nit a) .O mult ,imeAse numes ,te nit a dac a exist a
n2Ns,i o biject ,ief:f1;2;3;:::;ng!A.
^In acest caz, prin convent ,ie,card(A) =n(num arul de elemente al mult ,imii
A).
Tot prin convent ,ie,card(?) = 0.
O mult ,ime nevid a care nu este nit a se numes ,te innit a.
Frumoasa poveste a numerelor cardinale apare ^ n leg atur a cu mult ,imile
innite, t ,in^ and seama de urm atoarea:
Observat ,ia 3.5.3. Dac a exist a MBs,i o biject ,ief:A!Matunci
card(A)card(B)
Cu ajutorul axiomei alegerii se poate ar ata oricare dou a mult ,imi au car-
dinalul comparabil, deci exist a o relat ,ie de ordine total a pe mult ,imea cardi-
nalelor unor mult ,imi.
Denit ,ia 3.5.4 (Mult ,ime num arabil a) .O mult ,imeAse numes ,te num arabil a
dac a exist a o biject ,ief:N!A.
O mult ,ime nit a sau num arabil a se numes ,te cel mult num arabil a.
Observat ,ia 3.5.5. O mult ,ime num arabil a este innit a.
O mult ,ime este num arabil a dac a poate  organizat a ca termenii unui s ,ir.
Orice mult ,ime innit a are cel put ,in o submult ,ime num arabil a.
Cel care a observat c a mult ,imile innite au cardinali diferit ,i a fost ma-
tematicianul Georg Cantor (1845-1918). El a fost, de altfel, cel care a s ,i
introdus conceptul de cardinal al unei mult ,imi.
Atfel, cardinalul unei mult ,imi num arabile (de exemplu N;Z;Qsau orice
submult ,imi innite ale lor) este notat @0.
Cardinalul mult ,imii numerelor reale se mai numes ,te s ,i puterea continuului
s,i este notat cu c. Puterea continuului este s ,i cardinalul mult ,imii numerelor
complexe, al oric arui interval de numere reale, sau al mult ,imiiRn;n1.
Plec^ and de la acest cardinal putem deduce o innitate de cardinale astfel:
Not am cufcardinalul mult ,imii funct ,iilor ce se pot deni pe o mult ,ime de
"puterec", apoi cu f1cardinalul mult ,imii funct ,iilor ce se pot deni pe o
mult ,ime de "putere f", s ,.a.m.d. Evident, c<f;f 1<:::
Interesul cel mai mare st^ arnit de teoria numerelor cardinale ^ l constituie
^ ntrebarea dac a exist a vreun cardinal situat ^ ntre "alef zero" s ,i "puterea con-
tinuului". P^ an a acum r aspunsul la aceast a ^ ntrebare (prin care se dovedes ,te

34CAPITOLUL 3. DIVERSE ALTE TIPURI DE NUMERE SPECIALE
adev arat a ipoteza continuului, aceea c a nu exist a un astfel de cardinal) se
bazeaz a pe sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC).
Ins a exist a deja dou a grupuri de cercetare care lucreaz a la un alt set de
axiome, ^ n baza c arora, se pare, ipoteza continuului ind fals a, exist^ and un
unic cardinal ^ ntre cele dou a cunoscute.

Capitolul 4
Aplicat ,ii
4.1 Probleme
Problema 4.1.1. Ar atat ,i c a pentru orice x2[0;1]
arccosx+ arccos (x) =
Solut ,ie 1. Not am arccos x=a2[0;]
Rezult ax= cosa2[1;1]) x=cosa2[1;1]) x=
cos (a))arccos (x) = arccos (cos ( a))
0a)a0)0a)arccos (cos ( a)) =
a
De unde arccos (x) =a)arccos (x) =arccosx
Deci arccos x+ arccos (x) =, pentru orice x2[0;1]
Problema 4.1.2. Studiat ,i natura s ,irurilor (dn)n1;(cn)n1
dn= (1 +1
n)n+1
cn= 1 +1
21
3+:::+1
nlnn
Solut ,ie 2. Observ am c a dn>0;8n2N
dn+1
dn=(1+1
n+1)n+2
(1+1
n)n+1=n+2
n+1(n2+2n
n2+2n+1)n+1=n+2
n+1
1
(1+1
n2+2n)n+1; (1)
Conform inegalit at ,ii lui Bernoulli, avem (1 +1
n2+2n)n+11 +n+1
n2+2n=
n2+3n+1
n2+2n(1))dn+1
dnn+2
n+1
n2+2n
n2+3n+1=n3+4n2+4n
n3+4n2+4n+1<1
Rezult a, as ,adar, c adn+1
dn<1, deci s ,irul (dn)n1este strict descresc ator.
Rezult a 0<dnd1= 4;8n2N)(dn)n1este m arginit.
Conform teoremei lui Weierstrass, rezult a c a ( dn)n1este convergent s ,i
lim
n!1(1 +1
n)n+1= lim
n!1(1 +1
n)n(1 +1
n) =e
1 =e
35

36 CAPITOLUL 4. APLICAT ,II
Observat ,ia 4.1.3. T,in^ and seama de faptul c a limita unui s ,ir strict cresc ator
este mai mare strict dec^ at tot ,i termenii s ,irului s ,i limita unui s ,ir strict des-
cresc ator este mai mic a strict dec^ at tot ,i termenii s ,irului, rezult a
pentru orice n2N;(1 +1
n)n<e< (1 +1
n)n+1
,nln (1 +1
n)<1<(n+ 1) ln (1 +1
n)
De unde, cu ajutorul operat ,iilor cu logaritmi, obt ,inem
1
n+1<ln (n+ 1)lnn<1
n; (2)
cn+1cn= 1 +1
21
3+:::+1
n+1ln (n+ 1)(1 +1
21
3+:::+1
nlnn) =
1
n+1ln (n+ 1) + lnn(2)
<0 pentru orice n2N
Rezult a, as ,adar, c a (cn)n1este strict descresc ator.
D^ and succesiv valori lui n^ n (2) obt ,inem:
1
2<ln 2ln 1<1
11
3<ln 3ln 2<1
3
………………
1
n<lnnln (n1)<1
n1
De unde prin adunare
(
1
2+1
3+:::+1
n<lnn
lnn<1 +1
2+1
3+:::+1
n1
Rezult a (
1 +1
2+1
3+:::+1
nlnn<1
1 +1
2+1
3+:::+1
nlnn>1
n>0
Rezult a c a s ,irul (cn)n1este m arginit.
Conform teoremei lui Weierstrass ( cn)n1este convergent s ,i
lim
n!1cn= lim
n!1(1 +1
2+1
3+:::+1
nlnn) =C
Problema 4.1.4. Calculat ,i
lim
n!1(1
n+ 1+1
n+ 2+:::+1
2n)
Solut ,ie 3. Se observ a imediat c a s ,irul este cresc ator, as ,adar limita exist a.
Avem1
n+1+1
n+2+:::+1
2n= 1 +1
2+1
3+:::+1
2n(1 +1
2+1
3+:::+1
n) =
(1 +1
2+1
3+:::+1
2nln 2n)(1 +1
2+1
3+:::+1
nlnn) + ln 2nlnn
Rezult a c a
lim
n!1(1
n+ 1+1
n+ 2+:::+1
2n) =CC+ ln 2 = ln 2

4.1. PROBLEME 37
Problema 4.1.5. Rezolvat ,i ^ n mult ,imea numerelor complexe ecuat ,ia
zn1=z;n2N
Solut ,ie 4. Fiez2Ccare satisface ecuat ,ia dat a. Rezult a zn1=z.
Dac an= 0 ecuat ,ia devinez1=z)1
z=z,jzj= 1
Dac an= 1 ecuat ,ia devinez0=z)z= 1,z= 1
Dac an= 2 ecuat ,ia devinez=z,z2R
Pentrun3 ecuat ,ia devinezn1=z)jzn1j=jzj,jzn1j=jzj=
jzj,jzjn1=jzj,jzj= 0 saujzj= 1,z= 0 saujzj= 1.
^In acest ultim caz, ecuat ,ia devinezn1=1
z,zn= 1,z2fcosk
2+
isink
2jk=0;n1g
Problema 4.1.6. Ar atat ,i c a mult ,imea numerelor rat ,ionale este mult ,ime
num arabil a
Solut ,ie 5. Scriem elementele mult ,imiiQ
+astfel:
1
1;1
2;1
3;1
4;1
5:::
2
1;2
2;2
3;2
4;2
5:::
3
1;3
2;3
3;3
4;3
5:::
4
1;4
2;4
3;4
4;4
5:::
………………..
Observ am c a, pornind din colt ,ul dreapta sus, putem organiza pe Q
+ca
mult ,imea termenilor unui s ,ir (an)n1, astfel:
a1=1
1,a2=2
1,a3=1
2,a4=1
3,a5=2
2,a6=3
1,a7=4
1,a8=3
2, …
Rezult a, as ,adar, c a mult ,imeaQ
+este num arabil a.
Cum funct ,iaf:Q
+!Q
;f(x) =xeste evident bijectiv a, rezult a
c aQ
este num arabil a, de unde
Q=Q
+[f0g[Q
este num arabil a, deci cardinalul s au este @0
Problema 4.1.7. Ar atat ,i c a mult ,imea numerelor reale nu este mult ,ime
num arabil a
Solut ,ie 6. Presupunem c a Reste num arabil a.
Rezult a c a poate  organizat a ca mult ,imea termenilor unui s ,ir (yn)n1cu
oricare doi termeni distinct ,i:
y1=m1;x11x21x31x41:::
y1=m2;x12x22x32x42:::
y1=m3;x13x23x33x43:::
Consider am num arul real z=z0;z1z2z3:::cu proprietatea c a zi6=xii8i2
N.
Cumzeste num ar real, rezult a c a el este termen al s ,irului, deci exist a
p2Nastfel ^ nc^ at z=yp=mp;x1px2p:::xpp:::.

38 CAPITOLUL 4. APLICAT ,II
Din egalitatea numerelor reale rezult a xpp=zp. Contradict ,ie!
Rezult a c a mult ,imea numerelor reale nu este num arabil a.
Problema 4.1.8. Ar atat ,i c a termenii de rang divizibil cu 5 ai s ,irului lui
Fibonacci sunt divizibili cu 5.
Solut ,ie 7. Fie (un)n0, cuu0= 0;u1= 1 s ,iun+2=un+1+un8n2Ns,irul
lui Fibonacci
Avemu2= 1 + 0 = 1 ;u3= 1 + 1 = 2 ;u4= 2 + 1 = 3 ;u5= 3 + 2 = 5
Deci avemp(1) :u5divizibil cu 5 propozit ,ie adev arat a.
S a demonstr am conform principiului induct ,iei matematice c a p(k))
p(k+ 1), adic a u5k…5)u5k+5…5.
^Intr-adev ar, u5k+5=u5k+4+u5k+3=u5k+3+u5k+2+u5k+2+u5k+1=
u5k+2+u5k+1+ 2(u5k+1+u5k) +u5k+1=u5k+1+u5k+u5k+1+ 2u5k+1+ 2u5k+
u5k+ 1 = 5u5k+1+ 3u5k…5
Conform principiului induct ,iei matematice u5n…5;8n2N
Problema 4.1.9. S a se arate c a numerele Fermat satisfac relat ,ia:
Fn=F0F1:::Fn1+ 2
Solut ,ie 8.F0F1:::Fn1= (220+1)(221+1):::(22n1+1))(2201)F0F1:::Fn1=
(2201)(220+ 1)(221+ 1):::(22n1+ 1))1
F0F1:::Fn1= (2211)(221+
1):::(22n1+ 1))F0F1:::Fn1= (2221)(222+ 1):::(22n1+ 1) =:::=
(22n11)(22n1+ 1) = 22n1 = 22n+ 12 =Fn2
Rezult aFn=F0F1:::Fn1+ 2
Problema 4.1.10. Fie (un)n0, cuu0= 0;u1= 1 s ,iun+2=un+1+un8n2
Ns,irul lui Fibonacci. Dac a
un<x<un+1<y<un+2;n2N
atuncix+ynu poate  num ar Fibonacci
Solut ,ie 9. Avem
(
un<x<un+1
un+1<y<un+2)un+un+1<x+y<un+1+un+2)un+2<x+y<un+3
As,adarx+yeste strict cuprins ^ ntre dou a numere Fibbonaci consecutive.
Rezult a c a x+ynu poate  num ar Fibonacci

4.2. PROBLEME PROPUSE 39
4.2 Probleme propuse
Problema 4.2.1. Fiefun polinom cu coecient ,i ^ ntregi de grad n4 care
are 4 r ad acini numere ^ ntregi distincte. Ar atat ,i c a, oricare ar  anum ar
^ ntreg,f(a) nu poate s a e num ar prim.
Solut ,ie 10. Fiex1;x2;x3;x4dstincte oricare dou a cele 4 r ad acini ^ ntregi ale
luif
Rezult a c a exist a h2Z[X] astfel^ nc^ at f(X) =h(X)(Xx1)(Xx2)(X
x3)(Xx4)
Presupunem c a exist a a2Zastfel ^ nc^ at f(a) =pcupnum ar prim.
Rezult ah(a)(ax1)(ax1)(ax1)(ax1) =p. Contradict ,ie!
Deoarece un num ar prim nu poate  scris ca produs de cel put ,in 4 numere
^ ntregi distincte.
As,adar, nu exist a anum ar ^ ntreg astfel ^ nc^ at f(a) s a e num ar prim
Problema 4.2.2. C^ ate numere reale averic a pentru orice num ar natural
n;n2 inegalitatea
1
an(1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)<1<(n
a)n
1
n!
Solut ,ie 11. Fieaun num ar care veric a pentru orice num ar natural n;n2
inegalitatea
1
an(1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)<1<(n
a)n
1
n!
)1
an(1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)<1<1
an
nn
n!
)(1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)<an<nn
n!
Facem observat ,ia evident a c a aeste un num ar pozitiv
)nq
(1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)<a<nq
nn
n!
Fie s ,irurile (xn)n2;(yn)n2cu
(
xn= (1 +1
2!)(1 +1
2!+1
3!):::(1 +1
2!+1
3!+:::+1
n!)
yn=nn
n!
xn+1
xn= 1 +1
2!+1
3!+:::+1
(n+1)!
Rezult a c a
lim
n!1xn+1
xn=e
s,i, conform criteriului Cuachy-d'Alembert, rezult a
lim
n!1npxn=e
; (1)

40 CAPITOLUL 4. APLICAT ,II
yn+1
yn=(n+1)n+1
(n+1)!
(n!
nn=(n+1)n
nn= (1 +1
n)n
Rezult a c a
lim
n!1yn+1
yn=e
s,i, conform criteriului Cuachy-d'Alembert, rezult a
lim
n!1npyn=e
; (2)
Din (1) s ,i (2) rezult a c a exist a un singur num ar acare veric a dubla
inegalitate a enunt ,ului s ,i anume
a=e
Problema 4.2.3. S a se rezolve ^ n mult ,imea numerelor prime Mersenne,
ecuat ,ia:
x+y+z= 8349
Solut ,ie 12. Fie (x;y;z ) o solut ,ie a ecuat ,iei)(y;z;x );(z;x;y ) solut ,ii ale
ecuat ,iei.
Putem presupune, as ,adar, f ar a a restr^ ange generalitatea, c a xyz
Numerele prime Mersene sunt numere de forma 2p1 cupnum ar prim.
Fiep;q;r2Nastfel ^ nc^ at
8
><
>:x= 2p1
y= 2q1
z= 2r1
Cum funct ,iaf: (N)!(R),f(t) = 2t1 este strict cresc atoare, rezult a
c apqr
Pe de alt a parte, 213<2p+ 2q+ 2r= 8352<214, decipqr13
Dac ar= 13)2p+ 2q= 8352213= 83528192 = 160
Presupun^ and c a pq6)2p+ 2q26+ 26= 27= 128<160.
Rezult aq= 7, de unde 2p= 1602q= 160128 = 32)p= 5
Dac ar= 12)2p+ 2q= 8352212= 83524096 = 4256
Presupun^ and c a pq11)2p+ 2q211+ 211= 212= 4096<4256.
Rezult aq= 12, de unde 2p= 42562q= 42564096 = 160)p =2(N)
Presupun^ and c a pqr11)2p+ 2q+ 2r211+ 211+ 211=
3
211= 6244<8352.
Cum 251;271;2131 sunt toate numere prime (deci numere prime
Mersenne) rezult a c a mult ,imea solutiilor ecuat ,iei date este
f(251;271;2131);(271;2131;251);(2131;251;271)g

4.2. PROBLEME PROPUSE 41
Problema 4.2.4. S a se calculeze:
lim
n!1(npe
n+n
npe+np
e2
n+n
np
e2+:::+npen
n+n
np
en)
Solut ,ie 13. Fiean= (npe
n+nnpe+np
e2
n+n
np
e2+:::+np
en
n+nnp
en) =1
n(e1
n
1+1
e1
n+e2
n
1+1
e2
n+
:::+en
n
1+1
en
n)
Consider am funct ,iaf: [0;1]!R,f(x) =ex
1+1
ex
Evidentfcontinu a pe [0 ;1], deci integrabil a pe [0 ;1]
Consider am diviziunea
= ( x0;x1;:::;xn) a intervalului [0 ;1] cuxi=i
n
s,i sistemul de puncte intermediare = (1;2;:::;n) cui=xi
Rezult a
an=nX
i=1f(i)(xixi1)
Rezult a
lim
n!1an=Z1
0f(x)dx=Z1
0ex
1 +1
exdx=Z1
0e2x
ex+ 1dx
Facem schimbarea de variabil a u1(x) =ex=t,u1: [0;1]![1;e]
Rezult ax= lnt=u(t),u: [1;e]![0;1],u0(t) =1
t
Rezult aR1
0e2x
ex+1dx=Re
1f(u(t))u0(t)dt=Re
1t2
t+1
1
tdt=Re
1t
t+1dt=Re
1t+11
t+1dt=
Re
1dtRe
11
t+1dt=te
1Re
1(t+1)0
t+1dt=e1ln (t+ 1)e
1=e1(ln (e+ 1)
ln 2) =e1lne+1
2
Deci
lim
n!1an=e1lne+ 1
2
Problema 4.2.5. S a se scrie un program ^ n C++ care s a as ,eze primele 5
perechi de numere prietene.
S a se arate c a exist a printre acestea o pereche a c arei diferent , a se poate
scrie ca suma dintre dou a gemene prime s ,i un num ar perfect.
Solut ,ie 14.

42 CAPITOLUL 4. APLICAT ,II

Concluzii
43

44 CAPITOLUL 4. APLICAT ,II

Bibliograe
[1] F.T. C^ ampan, Poves ,ti despre numere m aiestre , Editura Albatros,
Bucures ,ti, 1981.
[2] C.P. Popovici, Teoria numerelor , Editura Didactic a s ,i Pedagogic a,
Bucures ,ti, 1973.
[3] P. Radovici-M arculescu, Probleme de teoria elementar a a numerelor , Edi-
tura Tehnic a, Bucures ,ti, 1994.
[4] W. Sierpinski, Ce s ,tim s ,i ce nu s ,tim despre numerele prime , Editura
S,tiint ,ic a, Bucures ,ti, 1966.
[5] L. Panaitopol, L. Gica, Introducere ^ n aritmetic a s ,i teoria numerelor ,
Editura Universit at ,ii Bucures ,ti, Bucures ,ti, 2001.
[6]Gazeta Matematic a – Edit ,ie electronic a 1895-2010 , SSMR, Bucures ,ti,
2014.
45