1.1 Teorema lui Rolle. Consecint e si aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Enunt , demonstrat ie [600032]

Cuprins
1 Teoreme de medie pe R 3
1.1 Teorema lui Rolle. Consecint e si aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Enunt , demonstrat ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Interpretarea geometric a a teoremei lui Rolle . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Consecint e ale teoremei lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Teorema lui Lagrange. Consecint e  si aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Enunt , demonstrat ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Aplicat ii ale teoremei lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Consecint ele teoremei lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Aplicat ii ale consecint elor teoremei lui Lagrange . . . . . . . . . . . 26
1.3 Teorema lui Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.1 Enunt , demonstrat ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.2 Teorema lui Cauchy generalizat a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

2 CUPRINS
1.4.3 Aplicat ii ale teoremei lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5 Teorema de medie pentru funct ii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Enunt, demonstrat ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Aplicat ii ale teoremei de medie pentru funt ii integrabile . . . . . . . 51
2 Teoreme de medie pe Rn59
3 Formula de medie pentru funct ii armonice 67
3.1 Enunt , observat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Aplicat ii ale teoremei de medie pentru funct ii armonice . . . . . . . 73
3.2 Teorema lui Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Funct ii sub-armonice  si funct ii supra-armonice . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Formula de medie pentu ecuat ia c aldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Funct ii cu proprietatea de medie (
N=
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Capitolul 1
Teoreme de medie pe R
1.1 Teorema lui Rolle. Consecint e si aplicat ii
1.1.1 Enunt , demonstrat ie
Teorema 1.1.1. (Rolle ): Fief:I!R; IRo funct ie  si a;b2I; a<b . Dac a:
a)feste continu a pe [a; b] si derivabil a pe (a; b).
b)f(a) =f(b)
atunci9c2(a; b)a.^ f0(c) = 0 .
Demonstrat ie. Dac afeste constant a pe ( a; b) atuncif0(x) = 08×2(a; b). Dac afeste
neconstant a, deoarece este continu a pe [a; b], conform teoremei lui Weierstrass, feste
m arginit a ,  si ^  si atinge marginile. Fie ;2[a; b] cuf()6f(x)6f().
a) Dac a2(a; b) este punct interior , conform teoremei lui Fermat f0(x) = 0,  si astfel,
putem alege c=.
b) Dac anu este interior, atunci =asau=b. Avemf(a) =f(b)<f(). Dar
nu poate  egal nici cu a, nici cub, rezult a c a este un punct interior  si aplic^ and
teorema lui Fermat, se obt ine f0() = 0  si putem alege c=.
3

4 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Observat ii : (Vom vedea c a toate condit iile din enunt ul teoremei sunt esent iale.)
1. Dac a funct ia nu este continu a, e f: [0;1]!R,
f(x) =(
x; x2(0;1]
1; x= 0
feste discontinu a ^ n 0  si derivabil a pe (0;1); f(0) =f(1), darf0(x) = 18×2
(0;1). Deci, nu exist a c2(0;1) a.^ .f0(c) = 0.
2. Dac a valorile la capete nu sunt egale, adic a f(a)6=f(b) atunci (de exemplul f:
[0;1]!R,f(x) =x),feste continu a  si derivabil a pe [0 ;1]; f(0)6=f(1), se arat a
c a nu exist a c2(0;1) a.^ .f0(c) = 0
3. Fie:
f: [0;2]nf1g!R; f(x) =(
x; x2[0;1]
2x; x2(1;2]
feste continu a  siderivabil a pe domeniul de denit ie, f(0) =f(2), ^ ns a derivata nu
se anuleaz a ^ n nici un punct din domeniu.
4. Fief: [1;1]!R; f(x) =jxj.feste continu a pe [1;1],nederivabil a pe (1;1),
neind derivabil a ^ n 0, f(1) =f(1). Nu exist a c2(1;1) a.^ .f(c) = 0
1.1.2 Interpretarea geometric a a teoremei lui Rolle
Fiefo funct ie care admite tangent a la grac ^ n toate punctele interioare domeniului
[a; b], iar punctele A
a; f(a)

; B
b; f(b)

au aceea si ordonat a , atunci exist a cel put in
un punctc2(a; b) a.^  tangenta la grac ^ n punctul C
c; f(c)

este paralel a cu axa Ox.
1.1.3 Exemple
1. S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle  si ^ n caz armativ, s a se aplice
teorema pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f: [1;1]!R; f (x) =x4+ 2×21

1.1. TEOREMA LUI ROLLE. CONSECINT E SI APLICAT  II 5
A B
c af(a)
O xf(x)
Figura 1.1.1:
(b)
f: [1;1]!R;f(x) =(
x+ 1; x2[1;0];
x21; x2(0;1)
(c)
f: [2;2]!R; f(x) =x21
(d)
f: [2;2]!R; f(x) =p
x21
Solut ii :
(a)feste continu a pe [1;1]  si derivabil a pe (1;1) ind funct ie elementar a ,
f(1) =f(1). Funct ia ^ ndepline ste condit iile de aplicabilitate a teoremei lui
Rolle, deci exist a c2(1;1) a.^ f(c) = 0; c= 0:
(b)fnu este continu a ^ n x= 0:
(c)
f(x) =(
x21; x2[2;1]\[1;1);
1x2; x2(1;1)
este continu a pe [ 2;2]
f0
s(1) =2; f0
d(1) = 2, deci nu se poate aplica teorema.
(d)feste continu a pe [2;2]  si derivabil a pe (2;2),f(2) =f(2) =p
5, deci se
poate aplica teorema lui Rolle.
Exist ac2(2;2) a.^ f0(c) = 0; c = 0:

6 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
2. Determinat i a; b; p2Ra.^ f(x) =8
<
:x2+ax+b; x2[1;0]
px2+ 4x+ 4; x2(0;1]
s a satisfac a condit iile teoremei lui Rolle pe intervalul [ 1;1]  si s a se aplice efectiv
teorema.
Solut ie :
f(1) =a+b+ 1; f(1) = 8 +pdecib+ 1a= 8 +p
Din continuitate se obt ine:
lim
x!0x<0f(x) =b; lim
x!0x>0f(x) =b
decib= 4.
f0
s(0) = lim
x!0x<0x2+ax+bb
x=ilim
x!0(x+a) =a
f0
d(0) = lim
x!0x>0px2+ 4x+ 44
x= 4
decia= 4. A sadar, a=b= 4  sip= 7. Funct ia se scrie:
f(x) =(
x2+ 4x+ 4; x2[1;0]
7×2+ 4x+ 4; x2(0;1)
Conform teoremei lui Lagrange exist a c2(1;1) a.^ .f0(c) = 0.
Dac ac2[1;0], rezolv^ and ecuat ia f0(c) = 0, 2c+4 = 0 se obt ine c=2=2[1;0].
Dac ac2(0;1),14c+ 4 = 0)c=2
72(0;1). Deci,c=2
7.
3. Fie funct ia h: [a; b]!R,
h(x) =x f(x) 1
b f (b) 1
a f(a) 1
cufo funct ie continu a pe [ a; b]  si derivabil a pe ( a; b); a < b . Vericat i dac a se
poate aplica teorema lui Rolle funct iei h si ^ n caz armativ, s a se aplice.

1.1. TEOREMA LUI ROLLE. CONSECINT E SI APLICAT  II 7
Solut ie : Dup a calculul determinantului se obt ine:
h(x) =
f(b)f(a)

x(ba)f(x) +b
f(a)a
f(b)
cuh(a) =h(b) = 0.heste continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b). Conform
teoremei lui Rolle, exist a c2(a; b) a.^ h0(c) = 0
h0(x) =f(b)f(a)f0(x) (ba)
Exist ac2(a; b) a.^ f(b)f(a) =f0(c) (ba). S-a obt inut teorema lui Lagrange.
4. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a  siderivabil a pe (a; b) a.^ .f2(b)f2(a) =b2a.
S a se arate c a exist a c2(a; b) a.^ .f0(c)
f(c) =c.
Solut ie :
Consider am funct ia auxiliar a h: [a; b]!R; h(x) =f2(x)x2,hcontinu a pe [a; b]
 siderivabil a pe (a; b).^In plus,h(a) =h(b); aplic^ and teorema lui Rolle rezult a c a
exist ac2(a; b) a.^ .h0(c) = 0.
h0(x) = 2f(x)f0(x)2x,h0(c) = 0,f(c)
f0(c) =c
5. Dac af: [a; b]!R; a> 0 este o funct ie continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b)
a.^ .
f(a)
a=f(b)
b:
Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ cf0(c) =f(c).
Solut ie :
Fieh: [a; b]!R; h(x) =f(x)
x; heste continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b) a.^ .h(a) =h(b);
deci conform teoremei lui Rolle, rezult a c a exist a c2(a; b) a.^ .b0(c) = 0.
h0(x) =x
f0(x)f(x)
x; h0(0) = 0)c
f0(c) =f(c)
6. (a) Fie f: [0;2]!(0;1) o funct ie continu a pe [0;2]  si derivabil a pe (0;2).
Ar atat i c a funct ia g: [0;2]!R; g(x) =x(x2)f(x) este o funct ie Rolle.

8 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
(b) Ar atat i c a exist a c2(0;2) a.^ .
f0(c)
f(c)=1
2c1
c;
unde funct ia fa fost denit a la punctul a.
Solut ii :
(a) Evident, geste continu a pe [0;2]  si derivabil a pe (0;2).g(0) =g(2) = 0
(b) Aplic am Rolle funct iei gde la punctul a.
7. Fieu;v: [a; b]!Rdou a funct ii continue. S a se arate c a exist a c2(a;b) solut ie a
ecuat iei:
u(x)x
av(t) dt=v(x)b
xu(t) dt:
Solut ie :
Se consider a funct ia ': [a; b]!R:
'(x) =x
av(t) dt
x
au(t) dt
Observ am c a '(a) ='(b) de unde rezult a, conform teoremei lui Rolle c a exist a
c2(a; b) a.^ .'0(c) = 0. Derivata lui 'este:
'0(x) =v(x)b
xu(t) dtu(t)x
av(t) dt
8. Se consider a funct ia f: [a; b]!Rcuf
a+b
2
6= 0. Ar atat i c a exist a c2(a; b)
a.^ . :
c
af(t) dt=f(c) (ca) (cb)
a+b2c
Solut ie : Aplic am Rolle funct iei ': [a; b]!R,
'(x) = (xa) (xb)
x
af(t) dt:
'(a) ='(b) = 0 iar
'0(x) = (2xab)x
af(t) dt+ (xa) (xb)f(x):

1.1. TEOREMA LUI ROLLE. CONSECINT E SI APLICAT  II 9
9. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a pe [ a; b]  si derivabil a pe ( a; b) cub
af(x) dx= 0.
S a se arate c a exist a 2(a; b) a.^ .:
f0(c)c
af(x) dx=f2(c)
Solut ie : Aplic am Rolle funct iei ': [a; b]!R,
'(x) =f(x)b
af(t) dt; ' (a) ='(b) = 0
'0(x) =f0(x)ix
af(t) dt+f2(x):
10. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .:
c
af(t) dtb
cf(t) dt= (a+b2c)f(c)
Solut ie : Consider am funct ia ': [a; b]!R,
'(a) = (ax)x
af(x) dt(bx)b
xf(t) dt
c areia ^ i aplic am teorema lui Rolle.
'(a) ='(a) = (ab)b
af(t) dt:
'0(a) =x
af(t) dt+b
xf(t) dt+f(x) (a+b2x):
11. Fief: [a; b]!R;a<b o funct ie Rolle. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .:
f(a)f(c) = (cb)f0(c)
Solut ie : Consider am funct ia '((x) = (xb)f(x)xf(a); ' (a) =b
f(a),
'(b) =b
f(a), deci'(a) ='(b). Conform teoremei lui Rolle exist a c2(a; b) a.^ .:
'0(c) = 0,f(c) + (cb)f0(c)f(a) = 0,f(a)f(c) = (cb)f0(c)

10 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
12. Fief: [0;4]![1;2] o funct ie derivabil a pe [0;4]. Atunci, exist a c2[0;4] a.^ :
(c1) (c2)f0(c) = 32c:
Solut ie :
Fie': [0;4]!R,'(x) = (x1) (x2)ef(x) si se aplic a Rolle.
13. Fief: [0; ]!Ro funct ie Rolle cu f(x)6= 08×2(0; ). S a se arate c a exist a
c2(0; ) a.^ .:
f0(c)
f(c)+ ctgc= 1
Solut ie :
Lu am funct ia '(x) =exf(x) sinx,  si avem:
'(0) = 0; '() = 0; '0(x) =ex
f(x) sinx+f0(x) sinx+f(x) cosx
'0(c) = 0,f(c) sinc=f0(c) sinc+f(c) cosc= 0,f0(c)
f(c)= 1ctgc
14. Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a cu f0(a) =f0(b). Atunci exist a c2(a; b) a.^ .:
f(c)f(a) = (ca)f0(c)
Solut ie :
Consider am funct ia:
'(x) =8
<
:f(x)f(a)
xax2(a; b]
f0(a); x =a
'(a) =f0(a); ' (b) =f0(a)
Cu Rolle exist a c2(a; b) a.^ .'0(c) = 0
'0(x) =f(x) (xa)f(x) +f(a)
(xa)2; x2(a; b]

1.1. TEOREMA LUI ROLLE. CONSECINT E SI APLICAT  II 11
15. Fief: [a; b]!Ro funct ie Rolle pentru care f(1) = 0. S a se arate c a pentru orice
6= 0 esist a un cdin intervalul (0 ;1) a.^ .
c2
f(c) +jjf(c) = 0
Solut ie :
Consider am funct ia auxiliar a
'(x) =f(x)ejj=x; x2[0;1]
'(0) ='(1); '0(x) =f0(x)ejj=x+jj
x2f(x)ejj=x
Concluzia rezult a din aplicarea teoremei lui Rolle funct iei '.
16. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a . Atunci, exist a c2(0;1) a.^ .
(1c)1
cf(x)dx=c
f(c)
Solut ie : Fie funct ia ': [0;1]!R,
'(x) =x
ex1
xf(t) dt
'(0) ='(1) = 0; ' este derivabil a pe [0;1]. Conform teoremei lui Rolle exist a
c2(0;1) a.^ '0(c) = 0:
'0(x) =ex1
xf(t) dtx1
xf(t) dtx
f(x)
'0(c) = 0)1
cf(t) dtc1
cf(t) dtc
f(c))(1c)1
cf(t) dt=c
f(c)
1.1.4 Consecint e ale teoremei lui Rolle
Fie o funct ie f:I!R,Iinterval,IR,find derivabil a pe I.
1.^Intre doua r ad acini ale funct iei fse a
 a cel put in o r ad acin a a derivateif0a luif.

12 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Demonstrat ie. Fiex1; x22Ia. ^ .f(x1) =f(x2) = 0 conform teoremei lui Rolle
aplicat a pe intervalul [ x1; x2] rezult a c a exist a c2(x1; x2) a.^ .f0(c) = 0.
2.^Intre doua r ad acini consecutive alederivatei se a
 a cel mult o r ad acin a a funct iei f.
Demonstrat ie. Fiex1; x2doua r ad acini ale funct iei f0. Presupunem prin reducere la
absurd c a exist a ^ ntre x1 six2cel put in dou a r ad acini ale funct iei f. Fie acestea a si
b, a.^ .x1<a<b<x 2.
Deoarecef(a) =f(b) = 0, aplic^ and prima consecint  a, rezult a c a exist a cel put in un
num arc2(a; b) a.^ f0(c) = 0, adic a x1 six2nu ar mai  r ad acini consecutive ale
luif, ceea ce este o contradict ie .
Consecint a a doua fundamenteaz a  sirul lui Rolle . Acesta este un  sir de semne :
dac axi sixi+1sunt dou a puncte consecutive ale  sirului lui Rolle pentru care f(xi)

f(xi+1)>0, atunci pe intervalul [ xi; xi+1] funct iafnu se anuleaz a. Dac a f(xi)

f(xi+1)<0 atunci pe ( xi; xi+1)fse anuleaz a o singur a dat a.
1.1.5 Exemple
1. Aplic^ and prima consecint  a a teoremei Rolle, obt inem c a derivata funct iei
f:R!R; f(x) =x(x1) (x2) (x3)
are toate r ad acinile reale.
2. Determinat i num arul solut iilor reale ale ecuat iilor:
(a)
x36×2+ 9x10 = 0
(b)
x3+ 6×2+ 9x+ 12 = 0
(c)
3×48×36×2+ 24x10 = 0
Solut ii :
(a) Fief:R!Rf(x) =x36×2+ 9x10
f0(x) = 3×212x+ 9 = 3
x24x+ 3

= 3 (x1) (x3)

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 13
Zerourile derivatei sunt: x= 1  six= 3. C aut am limitele la plus siminus innit .
Alc atuim tabelul:
x1 1 3 + 1
f(x)1 610 +1
Din variat iile de semn se obt ine c a ecuat ia are o singur a r adacin a real a ^ n
intervalul (3 ;1).
(b)
f:R!Rf(x) =x3+ 6×2+ 9x+ 12; f0(x) = 3 (x+ 1) (x+ 3)
x1 31 +1
f(x)1 12 8 + 1
Ecuat ia are o r adacin a real a diferit a de 0 ^ n intervalul ( 1;3).
(c)
f:R!R; f(x) = 3×48×36×2+24x10; f0(x) = 12×324×212x+24
f0(x) = 0)x=1; x = 2
x1 1 1 2 + 1
f(x)1 29 32 +1
Ecuat ia are trei r ad acini reale.
1.2 Teorema lui Lagrange. Consecint e  si aplicat ii
1.2.1 Enunt , demonstrat ie
Teorema 1.2.1. (J. Lagrange 1736-1813, a cre sterilor nite )
Fie f o funct ie Rolle pe un interval compact [a; b]. Atunci exist a c2(a; b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a) = (ba)f0(c)

14 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Demonstrat ie. Vom considera funct ia auxiliar a F(x) =f(x) +kx x2[a; b] cuk
constant a real a pe care o vom determina din F(a) =F(b).
A sadar,
f(a) +ka=f(b) +kb; decik=f(b)f(a)
ba
Pentru acest k, funct iaFveric a condit iile teoremei lui Rolle,  si ca atare exist a un punct
c2(a; b) ^ n careF0(c) = 0:Pe de alt a parte,
F0(x) =f0(x) +k;8×2(a; b)
deci
f0(c) +k= 0; f0(c) +f(b)f(a)
ab= 0
 si se obt ine relat ia din enunt .
Interpretarea geometric a: Rezult a din interpretarea geometric a a derivatei  si este urm aroarea:
exist a cel put in un punct c2(a; b) pentru care tangenta la gracul lui f^ n
c; f(c)

este paralel a cu "coarda" determinat a de punctele
a; f(a)

;
b; f(b)

.
1.2.2 Aplicat ii ale teoremei lui Lagrange
1. S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funct iile de mai jos,  si ^ n
caz armativ, s a se aplice:
(a)
f: [0;3]!R; f(x) =x3
(b)
f: [4;3]!R; f(x) =(x
2+ 1; x2[4;0]
px+ 1; x2(0;3]
(c)
f: [1;2]!R; f(x) = lnx
Solut ii :

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 15
(a)fcontinu a pe [0 ;3]  si derivabil a pe (0 ;3), ind funct ie elementar a.
f(3)f(0)
30=f0(c); c2(0;3))f0(c) = 9)3c2= 9)(
c1=p
3=2(0;3)
c2=p
3
(b)
lim
x!0x>0f(x) = 1;lim
x!0x>0f(x) = 1
Decifeste continu a pe [ 4;3]  si derivabil a pe ( 4;3).
Exist ac2(4;3) a. ^ .f(4)f(3)
43=f0(c))f0(c) =7
3
f0(x) =8
<
:1
2; x2[4;0]
1
2px+ 1; x2(0;3])c=13
362(0;3)
(c)fcontinu a pe [1 ;2]  si derivabil a pe (1 ;2), ind funct ie elementar a. Cu teorema
lui Lagrange:
9c2(1;2) a.^  ln 2ln 1 =1
c)c=1
ln 22(1;2)
2. Determinat i paramentrii reali m; n a.^  funct iei fs a i se poat a aplica teorema lui
Lagrange pe domeniul de denit ie  si s a se aplice efectiv teorema:
(a)
f: [1;1]!R; f(x) =8
<
:x2+ 2x+ 1; x2[1;0]
msinx+n; x2(0;1]
(b)
f: [0;2]!R; f(x) =8
<
:x2+ 3x+m; x2[0;1]
nx+ 1; x2(1;2]
Solut ii :
(a) Din continuitatea funct iei ^ n x= 0 avem n= 1. Studiem derivabilitatea ^ n
x= 0; ^ n rest, pe [1;1]nf0gfeste continu a.

16 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
f0
s(0) = lim
x!0x<0f(x)f(0)
x0= lim
x!0x<0x2+ 2x+ 11
x= lim
x!0x<0(x+ 2) = 2
f0
d(0) = lim
x!0x>0f(x)f(0)
x0= lim
x!0x>0msinx+n1
x= lim
x!0x>0msinx
x= lim
x!0x>0msinx
x=m
m= 2)m=2

Aplic am Lagrange,  si rezult a c a:
9c2(1;1) a.^ f(1)f(1)
1 + 1=f0(c))10
2=f0(c))f0(c) =1
2
Dac ac2(1;0) atunci: f0(c) = 2c+ 2 = 2 (c+ 1);2 (c+ 1) =1
2)
)c1=3
42(1;0)
Dac ac2(0;1) atunci: f0(c) = 2 cosc=1
2)c2=1
5arcos1
4
(b)
lim
x!1x<1f(x) = 4 +m; lim
x!1x>1f(x) =n+ 1)mn=3
Studiem derivabilitatea ^ n x= 1
f0
s(1) = lim
x!1
x<1f(x)f(1)
x1= lim
x!1
x<1×2+ 3x+m4m
x1= lim
x!1
x<1×2+ 3x4
x1= lim
x!1
x<1(x1) (x+ 4)
x1= 5
f0
d(1) = lim
x!1
x>1f(x)f(1)
x1= lim
x!1
x>1nx+ 14m
x1= lim
x!1
x>1n(x1)
x1=n)n= 5;deci(
n= 5
m= 2
f(x) =(
x2+ 3x+ 2; x2[0;1)
5x+ 1; x2(1;2]
Cu teorema lui Lagrange, 9c2(0;2) a.^ .:
f(2)f(0)
20=f0(c); f0(c) =9
2;f0(c) =8
<
:2x+ 3;x2[0;1)
5; x2(1;2);
Dac ac2[0;1)) 2c+ 3 =9
2)c=3
4
3. Demonstrat i inegalit at iile urm atoare:

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 17
(a)
xy
y<lnx
y<xy
x;0<x<y
(b)
n(ba)an1<bnan<n(ba)bn1;0<a<b; n> 1
(c)
jcosxcosyj6jxyj;8x; y2R
(d)
jsinxsinyj6jxyj;8x; y2R
(e)
arctgx>x
1 +x2; x> 0
Solut ii :
(a) Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [x; y]!R; f(t) = lnt:
lnylnx= (yx)f0(c); c2(x; y) sau ln xlny= (xy)1
c
Avem1
y<1
c<1
x;decixy
y<lnx
y<xy
x
(b) Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [a; b]!R;f(t) =tn.
(c) Consider am funct ia: f: [x; y]!R;f(t) = cost.
Cu Lagrange, avem: cos ycosx= (yx) sinc; c2(x; y). Trec^ and la modul:
jcosxcosyj=j(xy) sincj si, t in^ and cont c a jsincj61;
se obt ine inegalitatea dorit a.
(d) Analog c)
(e)
arctgxarctg 0 =x1
1 +c2; c2(0; x);1
1 +c2>x
1 +x2

18 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
4. Ar atat i c a  sirul an= 1 +1
2+1
3+:::; ::: +1
neste divergent .
Solut ie :
Avem inegalit at ile:
ln 2ln 1>1
2;ln 3ln 2>1
3; ::: :::; lnnln (n1)>1
n:
Prin adunare se obt ine:
1 +1
2+1
3+::: :::; +1
n<1 + lnn!1
5. Ar atat i c a  sirul an= 1 +1
2+1
3+::: :::; +1
n+ lnneste convergent,  si limita
sa apart ine intervalului (0 ;1).
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [k; k + 1]!R; k2N;
f(x) = lnx si avem:
9ck2(k; k + 1) a.^ . f(k+ 1)f(k) =1
ck;dar1
ck21
k+ 1;1
k
Deci:
1
k+ 1<ln (k+ 1)ln (k)<1
k
Pentruk21;navem:
1
2<ln 2ln 1<1
1
1
3<ln 3ln 2<1
2…
1
n+1<ln (n+ 1)lnn<1
n
Prin sumare se obt ine:
1
2+1
3+::: +1
n+ 1<ln (n+ 1)<1 +1
2+::: +1
n
an+ 1an=1
n+ 1ln (n+ 1) + lnn= lnn
n+ 1+1
n+ 1<0
Am t inut cont c a:
1
n+ 1<lnn+ 1
n,1
n+ 1<ln
1 +1
n
,
, ln
1 +1
nn+1
>e este o inegalitate adev arat a :
Deci (ak)neste descresc ator .
an>ln (n+ 1)lnn>0; an+1<1)an2(0;1)
Conform teoremei lui Weierstrass  sirul este convergent ,ak!c; c2(0;1)

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 19
6. S a se calculeze limitele:
(a)
lim
n!1n
en
nen+1
n+ 1
(b)
lim
n!1×2
e1=xe1=(x+ 1)
Solut ii :
(a)f: [n; n + 1]!R; f (x) =ex
x. Aplic^ and teorema lui Lagrange:
9cn2(n; n + 1) a.^ .en+1
n+ 1en
n=f0(cn)
f0(cn) =ecn(cn1)
c2n;en
nen+1
n+ 1=f0(cn)
f0este descresc atoare , de unde rezult a:
n
en
nen+1
n+ 1
>nen(n1)
n2!1
Deci, limita cerut a este 1
(b)f:h1
x+ 1;1
xi
!R; f(t) =et. Aplic am teorema lui Lagrange,  si t inem cont
c a
lim
x!0x2
x= 1 c^ and x!1Cx!0:
7.
Fief:R!R; f(x) =nX
k=1akcoskxa.^ .ai2R; i21;n:
Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ .:
f(c) =a0+nX
k=1aksink
k:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei:
g(x) =a0x+nX
k=1aksinkx
kpe (0;1)
9c2(0;1) a.^ .g(1)g(0) =g0(c); g(0) = 0; g(1) =a0+nX
k=1aksink
k
g0(x) =a0+nX
k=1akcoskx
k
k=f(x); g(1)g(0) =g0(c) =f(c)

20 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
8. Se consider a funct ia
f:R!R; f(x) =nX
k=1akxk; ak2R:
Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ .f(c) =nX
k=1ak
k+ 1:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei:
g(x) =nX
k=1akxk+1
k+ 1pe (0;1))8
>><
>>:g(0) = 0
g(1) =nX
k=1ak
k+ 1
g0(x) =nX
k=1akxk=f(x); g(1)g(0) =g0(c))nX
k=1ak
k+ 1=f(c)
9. Fief(x) =Pn
k=1aksinkx sijf(x)j6jsinxj8x2R:
Ar atat i c aja1+ 2a2+:::+nanj61:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange pe intervalul [0 ; x] funct ieiif:
f(x)f(0)
x=f0(cx)
C^ andx!0; cx!0. Trec^ and la limit a, avem:
lim
x!0f(x)f(0)
x=f0(0)= lim
x!0f(x)
sinx
sinx
x
= lim
x!0
sinx
x
61
Decif0(0)61;adic a:ja1+ 2a2+::: nanj61
10. S a se rezolve ecuat iile:
(a)
3x+ 6x= 5x+ 4x
(b)
x+ 2x= 3x
Solut ii :

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 21
(a) Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f:R!R; f(t) =txpe intervalele
[3;4]  si [5;6]  si avem:
4x3x=xcx1
1;cuc12(3;4)
6x5x=xcx1
2;cuc22(5;6)
Obt inem ecuat ia xcx1
1=xcx1
2care are solut iile:
x= 0
x= 1
(b) Ecuat ia se scrie: 3x2x=xform a ce ne sugereaz a aplicarea teoremei lui
Lagrange funct iei f(x) =txpe [2;3]. Se obt ine: x2
0;1
11. Fief:I!Ro funct ie de dou a ori derivabil a. Dac a xx;x2;x3 si, respectiv
f(x1);f(x2);f(x3) sunt progresie aritmetic a , atunci, exist a C2Ia.^ .f00(c) = 0,
undex1;x2;x32I.
Solut ie : Avem:
x2=x1+x3
2 sif(x2) =f(x1) +f(x2)
2
Echivalent cu:
x1x2=x2x3 si respectiv f(x1)f(x2) =f(x2)f(x3)
Aplic^ and teorema lui Lagrange:
9c12(x1; x2)  sic22(x2; x3) a.^ .f0(c1) =f0(c2)
Aplic^ and din nou teorema lui Lagrange funct iei f0pe [c1; c2], rezult a c a exist a
c2(c1; c2) a.^ .f00(c) = 0.
12. Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a a<c<b2R. Atunci:
912(a; c)  si 22(c; b);  1< 2 si2(1; 2) a.^ .
f0() =f0(1) + (1)f0(2)82[0;1]
Solut ie :
Conform teoremei lui Lagrange,
92(a; c)  si2(c; b) a.^ .(
f(a)f(c) = (ac)f0()
f(c)f(b) = (cb)f0()

22 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Dar:
f(b)f(a)
ba=f(b)f(c)
bc
bc
ba+f(c)f(c)
caca
ba=f0() + (1)f0()
lu^ and=bc
ba; 2(0;1);)f(b)f(a)
ba2
f0(); f0()
f0are proprietatea lui Darboux, rezult a c a:
92(; ) cuf0() =f(b)f(a)
baiar=1 si=2
13. Determinat i funct iile f: (a; b)!Rderivabile pe ( a; b) cu proprietatea:
(1 +x)f0(x)f(x) = 0;8×2(1; b); 2R
Solut ie :^Inmult im relat ia cu (1 + x)1. Rezult a:
(1 +x)f0(x)(1 +x)1f(x) = 0)
(1 +c)f(x)0= 0)
) (1 +x)f(x) =c)f(x) =c(1 +x):
14. Fief: [a; b]!Ro funct ie convex a . S a se arate c a are loc inegalitatea:
(ba)f
a+b
2
6b
af(x) dx
Solut ie :
Fief: [a; b]!R; f(x) =b
af(t) dt(xa)fa+x
2
:
Aplic^ and teorema lui Lagrange pe intervalula+x
2; x
rezult a c a
f(x)fa+x
2
=xa
2f0(cx); cx2a+x
2; x
f0(x) =xa
2
f0(cx)f0a+x
2
>08×2[a; b]
deci,feste cresc atoare pe [ a; b], rezult a:
f(b)>f(a) = 0

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 23
1.2.3 Consecint ele teoremei lui Lagrange
Teorema lui Lagrange are consecint e de important  a major a ^ n analiza matematic a.
Consecint a 1: Dac a o funct ie denit a pe un interval are derivata nul a, atunci este constant a.
Demonstrat ie. Fief:I!Ra. ^ .f0(x) = 08x2I. Fiea; b2I, aplic^ and
teorema lui Lagrange rezult a:
f(a)f(b) = (ba)f0(c) = 0; de unde rezult a: f(a) =f(b)
adic a funct ia este constant a.
Aceast a consecint a este adev arat a numai dac a funct ia este denit a pe un interval,
fapt ilustrat de exemplul urm ator:
Funct ia
f: (0;1)[(5;6)!R; f(x) =(
2; x2(0;1)
5×2(5;6)
Calculul arat a c a derivata este nul a, f ar a ca funct ia s a e constant a.
Consecint a 2: Dac a derivatele a dou a funct ii derivabile sunt egale pe un interval, atunci
diferent a lor este constant a.
Demonstrat ie. Fieh(x) =f(x)g(x); f; g :I!R derivabile. h0(x) = 0, de
unde, aplic^ and prima consecint a rezult a c a f=g
La fel ca  si la prima consecint  a, este esent ial ca domeniul funct iei s a e un interval.
Fie
f; g : (1;1)[(3;4)!R; f (x) = 1; g (x) =(
1; x2(1;1)
1×2(3;4)
f0(x) =g0(x);darf(x)g(x) =(
0; x2(1;1)
2; x2(3;4)
Deci,fgnu este o funct ie constant a.

24 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Consecint a 3: Fief:I Ro funct ie derivabil a,  si IR, un interval.
Atunci:
dac af0>0)fstrict cresc atoare.
dac af0<0)fstrict descresc atoare.
Demonstrat ie. Presupunem f0(x)>0;8x2I. Fiex1< x 2; x 1; x22I,  si
aplic^ and Lagrange pe intervalul [ x1; x2] rezult af(x2)f(x1) = (x2x1)f0(c),
c2(x1; x2). T  in^ and cont c a derivata este strict pozitiv a, rezult a f(x2)>f(x1)>0,
adic afeste cresc atoare.
Analog se demonstreaz a c and f0<0.
Dac af0(x)>0 atunci funct ia este monoton cresc atoare, f ar a a  neap arat strict
cresc atoare, a sa cum arat a urm atorul exemplu: f:R!R; f(x) =x+ sinx.
Avem c af0(x) = 1cosx>0, ^ ns a funct ia este strict crasc atoare, a sa cum arat a
urm atorul rezultat: Dac a f:I!R; IR, o funct ie derivabil a a. ^ . mult imea
fx2Ijf0(x) = 0gare toate elementele izolate, atunci
dac af0>0 rezult afeste strict cresc atoare.
dac af060 rezult afeste strict descresc atoare.
Pentru demonstrat ie, vom presupune, prin reducere la absurd, c a feste monoton
cresc atoare . Atunci, pentru x1; x22I, cux1<x2avemf(x1) =f(x2).
Dac ax2(x1; x2) avemf(x1)6f(x)6f(x2), adic afeste constant a pe [x1; x2],
de unde rezult a c a f0(x) = 0;8×2[x1; x2], rzult a c a mult imea zerourilor derivatei
este un interval, ci nu o mult ime izolat a , dontradictie.
^In exemplul nostru, f:R!R; f(x) =x+ sinx, mult imeafx2Rjf0(x) = 0g
este egal a cu
2kjk2Z
,  si este format a numai din puncte izolate, astfel feste
strict cresc atoare .
Consecint a 4: (Corolarul teoremei lui Lagrange):
Fief:I!R; IRun interval, x02I. Dac a
f este continu a ^ n x0,
f este derivabil a pe In
x0
9lim
x!x0f0(x)i=l; l2R

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 25
atunci,fare derivat a ^ n x0 sif0(x0) =l.
^In plus, dac a l2R, atuncifeste derivabil a ^ n x0.
Demonstrat ie. Aplic am teorema lui Lagrange funct iei fpe intervalul [ x; x 0]; x<x 0
 si rezult a:
f(x)f(x0)
xx0=f0(cx);cucx2(x; x 0)
f0
s(x0) = lim
x!0x<0f(x)f(x0)
xx0= lim
x!0x<0f0(cx) =l; cx!x0;
f0
d(x0) =l;
decifare derivat a ^ n x0 si aceasta este egal a cu l.
Corolarul teoremei lui Lagrange d a o condit ie necesar a pentru existent a derivatei
unei funct ii ^ ntr-un punct, ea nu este  si sucient a.
Astfel, funct ia
f:R!R; f(x) =8
<
:x2sin1
x; x6= 0
0; x = 0
este derivabil a ^ n x= 0  sif0(0) = 0. ^Ins a:
lim
x!0f0(x) nu exist a, deoarece f0(x) = 2x
sin1
xcos1
x;pentru c a @lim
x!0cos1
x:
Funct ia
f: [0;1]!R; f(x) =(
0; x2[0;1)
1x= 1este derivabil a pe [0 ;1)  si lim
x!1x<1f(x) = 0
darfnu este derivabil a ^ n x= 0, neind continu a ^ n acest punct.
Exist a funct ii discontinue ^ ntr-un punct dar au totu si derivat a ^ n acel punct, de
exemplu:
f:R!R; f(x) =8
><
>:arctg1
x; x6= 0
0; x = 0
este discontinu a ^ n x= 0, darf0(0) =1, deoarece:
lim
x!0arctgx
x= 0:

26 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
1.2.4 Aplicat ii ale consecint elor teoremei lui Lagrange
1. Ar atat i c a:
arcsinx+ arccosx=
2
Solut ie :
Fief: [1;1]!Rf(x) = arcsinx+arccosx; f0(x) =1p
1x21p
1x2= 0
Rezult a, conform primei consecint e c a feste constant a, f(x) =f(0) =
2.
2. S a se arate c a:
(a) sin2x+ cos2x= 1;8x2R
(b) arcsin
3x4×3

3 arcsinx= 0
(c) arccos1x2
1 +x2= 2
arctgx;8x>0
Solut ii :
(a)f:R!R; f(x) = sin2x+ cos2x; f0(x) = 0)fconstant a;
f(x) =f(0) = 1
(b)f:
1
2;1
2
!R; f(x) = arcsin
3x4×3

3 arcsinx; f0(x) = 0)
)f(x) =f(0) = 0
(c)f: [0;1)!R; f(x) = arccos1x2
1+x2= 2
arctgx; f0(x) = 0)f(x) =
f(0) = 0:
3. Fief: [a; b] a.^ .jf(x)f(y)j6jxyj1+;8x; y2[a; b]; ; M > 0.
Ar atat i c afeste constant a.
Solut ie :
jf(x)f(y)j6jxyj1+,f(x)f(y)
xy6jxyj
Prin trecerea la limit a x!y, rezult af0(y) = 0, adic a, feste constant a.
4. Determinat i funct ia f:R!Rcare are propriet at iile:
8
><
>:f0(x) + 3f(x) = 0;8x2R
 si
f(1) =e

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 27
Solut ie :
^Inmult im relat iile de mai sus cu e3x si se obt ine:

f
e3x0
= 0 adic a; f
e3x= constant a :
f(1)
e3=e
e3=e2,f(x) =1
e3x
e2=1
e3x+2:
5. Determinat i funct ia f:R!Rderivabil a a.^ .
f(0) = 0  si f0(x) + 4f(x) = 0;8x2R:
Solut ie :
f0(x)+4f(x) = 0
e4x)
f(x)
e4x0
= 0 adic a f(x)
e4x=c)f(x) =c
e4x
Pentrux= 0 rezult a:
f(0) =c
e0=c
f(0) = 0)
)c= 0;
Deci,f(x) = 0;8x2R:
6. Ar atat i c a funct iile
f(x) = arcsinx1
2 (1 +x2); sig(x) = arctgx
difer a printr-o constant a pe ( 1;1). Ar atat i c a arcsin3
5+
2= arctg 7:
Solut ie :
f0(x) =g0(x);8×2(1;1); f(x)g(x) =c; c =f(1)g(1) =
4
Lu amx= 7.
7. Determinat i inegalit at ile:
(a)
arcsinp
1x2+ arccosx=;x2[1;0]
(b)
arctgxarctga= arctgx1
1 +ax; x>1
a; a> 0

28 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
(c)
2 arctgx+ arcsin2x
1 +x2=sgn(x)
Solut ii :
f: [1;0]!R; f(x) = arcsinp
1x2+ arccosx
f0(x) =2x
2p
1(1x2)
p
1x21p
1x2=x
jxjp
1x21p
1x2=x
xp
1x21p
1x2
f(x) =c; c =f(0) =
8. Ar atat i c a urm atoarele funct ii sunt strict monotone:
(a)f:R!R; f(x) =x+ cosx
(b)f:R!R; f(x) =xsinx
Solut ii :
(a)f0(x) = 1sinx>0. Mult imea A=n
xjf0(x) = 0o
=n
2+ 2ko
are numai
puncte izolate, rezult a feste strict cresc atoare.
(b) Analog a)
9. Studiat i monotonia funct iei f: (0;1)!R; f(x) =lnx
x si deducet i inegalitatea
nn+1>(n+ 1)n; n>3.
Solut ie :
f0(x) =1lnx
x2. Dac ax2(0; e), frunct ia este cresc atoare , iar dac ax2(e;1),
funct ia este descresc atoare . Inegalitatea nn+1>(n+ 1)n, devine prin logaritmare
ln (n+ 1)
n+ 1<lnn
n
inegalitate adev arat a, deoarece feste descresc atoare pe intervalul ( e;1)
10. Stabilit i punctele de extrem  si natura lor pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f:R!R; f(x) =x3+ 2×23

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 29
(b)
f:Rn[1;0]!R; f(x) =
1 +1
xx
(c)
f:R!R; f(x) =(x21;jxj>1
eex2;jxj<1
Solut ii :
(a)
f0(x) = 3×2+ 4x= 0)(
x1= 0
x2=4
3
x1 4
30 + 1
f0+ + + + 0 0 + + + +
f1 % & 3% +1
f
4
3
=49
27; f (0) =3
Din tabelul de valori, rezult a c a punctul A
4
3;49
27
este un punct de maxim ,
iarB(0;3) este un punct de minim .
(b)
f(x) =eln(1+1
x)x
=exln(1+1
x);f0(x) =h
ln
1 +1
x
1
x+ 1i
exln(1+1
x)
Din studiul monotoniei funct iei
g:Rn[1;0]!R; g(x) = ln
1 +1
x
1
x+ 1
rezult a c a f0este pozitiv a8x2Rn[1;0], deci funct ia feste strict
cresc atoare pe domeniul de denit ie.
(c)
f(x) =8
><
>:x21;jxj>1
eex2;jxj<1;f0(x) =8
><
>:2x; x2(1;1)[(1;1)
2xex2; x2(1;1)
fnu este derivabil a ^ n x=1  six= 1.
x1 1 0 1 + 1
f0 j + + + 0 j + + + +
f% % & %
x=1  six= 1 sunt puncte de minim , iarx= 0 este punct de maxim.

30 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
11. Demonstrat i inegalit at ile urm atoare:
(a)
ex>x+ 1;8x2R
(b)
ln (1 +x)>x
x+ 1;8x>1
(c)x+ 1
2x+1
6xx;8x>0
(d)
cosx>1x2
2;8x2R
(e)
x(2 + cosx)>3 sinx; x> 0
(f)
3p
2 +3p
5<3p
3 +3p
4
Solut ii :
(a)
Fief:R!R; f(x) =exx1; x = 0 punct de minim )f(x)>f(0) = 0
(b)
f: (1;1)!R; f(x) = ln (x+ 1)x
x+ 1; f0(x) =x
(1 +x)2;
x= 0 punct de minim ; f(x)>f(0) = 0
(c) Se logaritmeaz a,  si vom considera funct ia:
f: (0;1)!R; f(x) = (x+ 1)h
ln (x+ 1)ln 2i
xlnx:
f0(x)<08×2(0;1); f(x)>f(0) = 0
(d)
f:R!R; f(x) = cosx+x2
21; f(x) =f(x) atuncifeste par a:
E sucient s a stiudiem funct ia pe (0 ;1).
f0(x) =sinx+x; f00(x) =cosx+ 1>0; f0(x)>f0(0) = 0;
fcresc atoare; f(x)>f(0) = 0

1.2. TEOREMA LUI LAGRANGE. CONSECINT  E S I APLICAT  II 31
(e)
f: (0;1)!R; f(x) =3 sinx
2 + cosxx; f0(x)6f(0) = 0
(f)
f(x) =3px+3p
7x; f0(x)>0 pentrux2[2;3]; f(2)6f(3)
12. Folosind corolarul teoremei lui Lagrange, studiat i derivabilitatea funct iilor:
(a)
f:R!R; f(x) = sin
t23t+ 2

; t2[x; x + 1]:
(b)
f:R!R; f(x) =(
x2; x 61
lnx+x; x> 1
(c)
f:R!R; f(x) = arccos1x2
1 +x2
(d)
f:R!R; f(x) = arcsin2x
1 +x2
Solut ii :
(a) Se reprezint a grac funct ia g:R!R; g(t) =t23t+ 2. V^ arful parabolei are
coordonatele3
2;1
4
. Dac ax+ 1<3
2, adic ax<1
2;
f(x) = (x+ 1)3 (x+ 1) + 2 = x2x.
Dac ax21
2;3
2
; f(x) =1
4:
Dac ax>3
2; f(x) =x23x+ 2:
f0(x) =8
>>>>>><
>>>>>>:2x1; x2
1;1
2
0; x21
2;3
2
2x3; x23
2;+1
feste continu a ^ n x=1
2 six=3
2:
f01
2
= 0; f03
2
= 0

32 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Decifeste derivabil a peR
(b) f este derivabil a pe Rnf1g. Studiem derivabilitatea ^ n x= 1:
f0(x) =(
2x; x< 1
1
x+ 1; x> 1
fcontinu a ^ n x = 1 :
f0
s(1) = 2; f0
d(1) = 2)
)feste derivabil a ^ nx= 1:
(c)
f0(x) =4x
(1 +x2)
2jxj
f0(x) =8
>><
>>:2
1 +x2; x< 0
2
1 +x2; x> 0)fderivabil a pe Rn
0
f0
s(0) = 2;
f0
d(0) =2;)
)fnueste derivabil a ^ n x= 0
(d)
f0(x) =2
x21

j1x2j
(1 +x2)
f0(x) =8
>><
>>:2
1 +x2; x2(1;1)[(1;+1)
2
1 +x2; x2(1;1)
(
f0
s(1) =1;
f0
d(1) = 1;(1)(
f0
s(1) = 1;
f0
d(1) =1;(2)
Din (1)  si (2))feste derivabil a peRn
1

1.3. TEOREMA LUI POMPEIU 33
1.3 Teorema lui Pompeiu
Teorema 1.3.1. (D. Pompeiu )Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a pe [a; b],
derivabil a pe (a; b) si strict pozitiv a pe [a; b]. Atunci9c2(a; b)astfel ^ nc^ at
f(b)
f(a)=e(ba)f0(c)
f(c)
Demonstrat ie. Aplic am Teorema lui Lagrange funct iei
F(x) = lnf(x)
A sadar,9c2(a; b) astfel ^ nc^ at
F(b)F(a) = (ba)F0(c)
CumF0(c) =f0(c)
f(c)8×2(a; b);rezult a
lnf(b)
f(a)= lnf(b)lnf(a) = (ba)f0(c)
f(c)
Corolar 1.3.2. e1x<1
x8x2(0;1)
Demonstrat ie. Fiex2(0;1) xat  si a;b2R+; a < b astfel ^ nc^ at x=a
b.
Aplic^ and Teorema lui Pompeiu pentru funct ia f(x) =x; x2[a; b] avem:
b
a=e(ba)1
c>e(ba)1
b=e1a
b
^In continuare ne propunem s a obt inem c^ ateva rezultate complementare, folosind Teorema
de medie a lui Pompeiu, ^ n loc s a folosim Teorema lui Cauchy.
^In 1946 Pompeiu d a o variant a a teoremei lui Lagrange cunoscut a ca teorema de medie a
lui Pompeiu.
Teorema 1.3.3. Pentru orice funct ie cu valori reale, derivabil a pe un interval [a; b]ce
nu cont ine pe 0,  si8x16=x2din[a; b];atunci92(x1; x2)astfel ^ nc^ at
x1f(x2)x2f(x1)
x1x2=f()f0()

34 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Demonstrat ie. DenimF:h1
b;1
ai
!RprinF(t) =t f1
t

Cumfeste derivabil a pe1
b;1
a
 si
F0(t) =f1
t
1
tf01
t
Aplic^ and Teorema lui Lagrange funct iei Fpe un interval [ x; y]h1
b;1
ai
g asim
F(x)F(y)
xy=F0();cu2(x; y)
Fie
x2=1
x; x1=1
y si=1

Cum2(x; y) avemx1< <x 2.
Avem
x f1
x
y f
1
y
xy=f
1

1
f0
1

adic a
x1f(x2)x2f(x1)
x1x2=f()f0()
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia teoremei.
Interpretare geometric a: Ecuat ia secantei ce une ste punctele
x1; f(x1)

 si
x2; f(x2)

este dat a de
y=f(x1) +f(x2)f(x1)
x2x1(xx1)

1.4. TEOREMA LUI CAUCHY 35
Aceast a dreapt a intersecteaz a axa Oy^ n punctul (0 ; y) unde
y=f(x1) +f(x2)f(x1)
x2x1(0x1) =x1f(x2)x2f(x1)
x1x2
Ecuat ia tangentei ^ n punctul ( ; f()) este
y= (x)f0() +f():
Tangenta intersecteaz a axa Oy^ n punctul (0 ; y) unde
y= f0() +f()
Interpretarea geometric a a Teoremei lui Pompeiu este: tangenta ^ n punctul
; f()

intersecteaz a axa Oy^ n acela si punct ca  si secanta care une ste punctele
x1; f(x1)

 si
x2; f(x2)

.
1.4 Teorema lui Cauchy
1.4.1 Enunt , demonstrat ie
Teorema se mai nume ste  si a doua teorem a a cre sterilor nite . Teorema lui Lagrange este
caz particular al teoremei lui Cauchy.
Teorema 1.4.1. (Cauchy ): Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii Rolle, a.^ . g0(x)6= 08×2
(a; b). Atunci,g(a)6=g(b) si exist ac2(a; b)a.^ :
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f0(c)
g0(c)
Demonstrat ie. Dac a presupunem c a g(a) =g(b) atunci, conform teoremei lui Rolle,
rezult a c a exist a c2(a; b), a.^ g0(c) = 0, ceea ce este ^ n contradict ie cu faptul c a
g0(x)6= 0;8×2(a; b).

36 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Pentru cealalt a parte a demonstrat iei, consider am funct ia
h: [a; b]!R; h(x) =f(x)k
g(x):
Pentru determinarea lui k, punem condit ia ca h(a) =h(b). Se obt ine:
k=f(b)f(a)
g(b)g(a)
Aplic^ and teorema lui Rolle funct iei hrezult a:
9c2(a; b) a.^ .h0(c) = 0)f0(c)k
g0(c) = 0)k=f0(c)
g0(c)
Observat ie. Teorema lui Lagrange poate  obt inut a prin aplicarea Teoremei lui Rolle
funct ieih: [a; b]!R
h(x) =x f(x) 1
b f(b) 1
a f(a) 1
a<b  sifcontinu a pe [a; b], derivabil a pe (a; b).
Evident
h(a) =h(b) = 0
h(x) =x
f(b)f(a)

f(x)(ba) +b
f(a)a
f(b)
h0(x) =f(b)f(a)f0(x)(ba)
9c2(a; b)astfel ^ nc^ at h0(c) = 0 . Rezult a
f(b)f(a)
ba=f0(c)

1.4. TEOREMA LUI CAUCHY 37
1.4.2 Teorema lui Cauchy generalizat a
Teorema 1.4.2. Teorema lui Cauchy generalizat a.
Fiea; b2R; a<b  s if;g: (a; b)!Rdou a funct ii cu propriet at ile:
1f(a+); f(b); g(a+); g(b)exist a  si sunt nite;
2f sigsunt derivabile  si g0(x)6= 0 (8)x2(a; b):Atuncig(a+)6=g(b) si9c2(a; b)
astfel ^ nc^ at
f(b)f(a+)
g(b)g(a+)=f0(c)
g0(c)
Demonstrat ie. Avemg(a+)6=g(b) altfel ar rezulta c a 9c2(a; b) cug0(c) = 0, absurd.
Fie': (a; b)!Ro funct ie denit a astfel:
'(x) =h
f(b)f(a+)i

h
g(x)g(a+)i
h
g(b)g(a+)i

h
f(x)f(a+)i
Evident'derivabil a  si '(a+) ='(b) = 0 deci (9)c2(a; b) astfel ^ nc^ at '0(c) = 0  si se
continu a ca ^ n teorema nr lui Cauchy.
1.4.3 Aplicat ii ale teoremei lui Cauchy
1. Studiem aplicabilitatea teoremei lui Cauchy pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f;g: [1;4]!R; f(x) =8
><
>:p4x3; x2[1;3)
x2
9+ 2; x2[3;4]; g (x) =x2
(b)
f;g:p
2;2
!R; f(x) = lnx; g (x) =x2
Solut ii :

38 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
(a)
lim
x!3x<3p
4x3 = 3; lim
x!3x>3
x2
9+ 2
= 3 deci feste continu a pe [1 ;4]
f0
s(3) = lim
x!3x<32p4x3=2
3
f0
d(3) = lim
x!3x>32
9x=2
39
>>=
>>;) decifeste derivabil a pe (1;4):
g0(x) = 2×6= 08×2(1;4)
Conform teoremei lui Cauchy, exist a c2(1;4) a.^ .:
f(4)f(1)
g(4)g(1)=f0(c)
g0(c),34
91
161=f0(c)
2c,f0(c) =50c
9
15=10c
27
^Ins af0(c) =8
><
>:2p4x3; x2(1;3)
2x
9; x2[3;4]
I) Dac ac2(1;3) avem5
27=1
cp5c3:Funct iah: (1;3)!R;
h(x) =1
xp4x3este continu a,  si are proprietatea lui Darboux , deci exist a
c12(1;3) a.^ .h(c1) =5
27.
II) Dac ac2[3;4);5
276=1
9deci nu exist a c2[3;4) a.^ .f0(c)
2c=5
27
Am g asitc2(1;3) care veric a teorema lui Cauchy.
(b) Evident, funct iile sunt continue  si derivabile, ind funct ii elementare.
g0(x) = 2×6= 08×2p
2;2

:Deci, sunt ^ ndeplinite condit iile teoremei lui
Cauchy.
9c2p
2;2

a.^ .f0(c)
g0(c)=f(2)fp
2

g(2)gp
2
)1
c
2
c=lnp
2
2)c2=1
lnp
2

1.4. TEOREMA LUI CAUCHY 39
)c=r
1
lnp
2)c=r
2
ln 2
Alegemc=r
2
ln 22p
2;2

2. Ar atat i c a:
jarctgaarctgbj6jarcsinaarcsinbj
Solut ie :
Aplic am teorema lui Cauchy funct iilor f;g: [1;1]!R; f(x) = arctgx; g (x) =
arcsinx. Rezult a c a exist a c2(1;1) a.^ :
arctgaarctgb
arcsinaarcsinb=1
1 +c2
1p
1c2=p
1c2
1 +c2
Din tabelul de variat ie al funct iei
h:R!R; h(x) =p
1x2
1 +x2
deducem c a pe intervalul ( 1;1) funct ia are ^ n x= 0 un maxim egal cu 1.
A sadararctgaarctgb
arcsinaarcsinb61:
3. Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii continue  si g(x)6= 08×2(a; b). Ar atat i c a
existac2(a; b) a.^ .:
f(c)b
ag(x) dx=g(c)b
af(x) dx
Solut ie :
Aplic am teorema lui Cauchy, funct iilor
F(x) =x
af(t) dt; siG(x) =x
ag(t) dt
F(b)F(a)
G(b)G(a)=F0(c)
G0(c)=f(c)
g(c); c2(a; b)
b
af(t) dt
b
ag(x) dt=f(c)
g(c)

40 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
1.5 Teorema de medie pentru funct ii integrabile
1.5.1 Enunt, demonstrat ie
Teorema 1.5.1. (Formula de medie )
Fief; g : [a; b]!Rdou a funct ii integrabile cu g>0. Atunci (9)
2[m; M ], unde
m:= inff
[a; b]

M:= supf
[a; b]

astfel ^ nc^ at
b
afg=
b
ag
^In particular, dac a g= 1, avem
b
af=
(ba)
Demonstrat ie. Evident avem m6f6M, deci
m
g6fgM
g
 si deci
mb
ag6b
af
g6Mb
ag
i) Dac ab
ag= 0 atuncib
afg= 0, deci putem lua
orice num ar din [ m; M ].

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 41
ii) Dac ab
ag>0 atunci:

:=b
afg
b
ag2[m; M ]
 si avem
b
afg=
b
af
Corolar 1.5.2. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a  si g: [a; b]!Ro funct ie
integrabil a  si nenegativ a. Atunci (9)2[a; b]astfel ^ nc^ at
b
afg=f()b
ag
^In particular, dac a g= 1, avem
b
af= (ba)f():
Demonstrat ie. Din teorema anterioar a rezult a c a ( 9)
2[m; M ] undem= inff
a; b
 siM= supf
a; b
astfel ^ nc^ atb
afg=
b
ag
Funct iafind continu a, exist a x0; x12[a; b] astfel ^ nc^ at
f
a; b
=h
f
x0

; f
x1
i
=
m; M
deci
2f
a; b
 si deci92[a; b] cuf() =
:
Observat ie.

42 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
1. Punctul nu este numaidec^ at unic determinat.
2. Fief: [a; b]!Ro funct ie integrabil a. Atunci num arul
[f] :=1
bab
af
se nume ste valoarea medie a lui fpe[a; b].
Lema 1.5.3. Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile  si

N= (a=x0<x1<:::<xn=b)
cu
xk:=a+k
n(ba):
Atunci (8)i2h
mi(f); Mi(f)i
 sii2h
mi(g); Mi(g)i
avem relat ia
lim
n!1nX
i=1ii(xixi1) =b
afg
Demonstrat ie. FieL=b
afg  si">0 xat.
Deoarecek
k! 0 pentru (n!0), rezult a c a
ba
nnX
i=1(fg)(xi)!b
afg (n!1 )
deci9N0>1 astfel ^ nc^ at
Lba
nnX
i=1(fg)(xi)<"
3(8)n>N0
Atunci (8)n>N0avem

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 43
LnX
i=1ii(xixi1)6Lba
nnX
i=1(fg)(xi)+ba
nnX
i=1g(xi)
f(xi)i+
+ba
nnX
i=1i
g(xi)i6"
3+kgk1ba
nnX
i=1
Mi(f) +mi(f)
+
+kfk1ba
nnX
i=1
Mi(g)mi(g)
6
6"
3+kgk1
Sf(
N)sg(
N)
+kfk1
Sg(
N)sg(
N)
:
Funct iilef sigind integrabile, rezult a c a ( 9)N00>1 astfel ^ nc^ at
Sf(
N)sf(
N)6"
3kgk1
Sg(
N)sg(
N)6"
3kfk1
(8)n>N0:
Prin urmare (8)n>N:= maxfN0; N00gavem:
Lba
nnX
i=1(fg)(xi)6"
3+"
3+"
3="
deci
lim
n!ba
nnX
i=1(fg)(xi) =L:
Teorema 1.5.4. (a II-a formul a de medie).

44 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile cu gmonoton a. Atunci (9)2[a; b]astfel
^ nc^ at
b
afg=g(a)
af+g(b)b
g
Demonstrat ie. Presupunem g>0; gmonoton a descresc atoare  si e n2N si

N= (a=x0<x1<:::<xn=b)
xk:=a+k
n(ba)
Not am
i:=1
xixi1xi
xi1f
i21;n

Din I formul a de medie avem
mi(f)6i6Mi(f)8i21;n
deci conform Lemei
b
afg= lim
n!1nX
i=1ig(xi1)(xixi1)
Dac aF(x) :=x
af; x2[a; b];atunci avem:
i(xixi1) =xi
xi1f=xi
afxi1
af=F(xi)F(xi1)

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 45
Ln=nX
i=1ig(xi1)(xixi1) =nX
i=1g(xi1)F(xi1)
F(xi)F(xi1)
=
=nX
i=1g(xi1)F(xi)nX
i=1gr(xi1)F(xi1) =nX
i=1g(xi1)F(xi)nX
i=1g(xi)F(xi) =
=g(xn1)F(xn) +n1X
i=1
g(xi1)g(xi)
F(xi):
Not am
M:= supF
[a; b]
m:= infF
[a; b]
 si t in^ and seama c a g(xn1)>0  sig(xi1)g(xi)>08i21;n, rezult a
Ln6g(xn1)M+n1X
i=1
g(xi1)g(xi)
M=Mg(a)
 si analog
Lm>m g(a);
deci
m61
g(a)Ln6M
Cum
lim
n!1Ln=b
afg

46 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
avem
m61
g(a)b
afg6M
Funct iaFind continu a avem:
F
[a; b]
= [m; M ] deci (9)2[a; b] astfel ^ nc^ at
F() =1
g(a)b
afg
 si deci
b
afg=g(a)
af:
Revenind la cazul general, presupunem gmonoton descresc atoare arbitrar a  si e h(x) =
gg(b). Atuncih>0  sihmonoton descresc atoare, deci din rat ionamentul f acut rezult a
c a (9)2[a; b] astfel ^ nc^ at
b
afg=h(a)
af
 si deci
b
a(fgfg) =
g(a)g(b)
af
prin urmare
b
afg=g(b)b
af+
g(a)g(b)
af=g(a)
af+g(b)b
f:
Corolar 1.5.5. Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile astfel ^ nc^ at g este monoton
descresc atoare  si nenegativ a. Atunci (9)2[a; b]astfel ^ nc^ at

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 47
b
afg=g(a)
af
Observat ie. A II-a formul a de medie se mai nume ste Teorema Bonnet-Weierstrass.
Inegalitatea lui Ostrowski via teorema de medie a lui Pompeiu
Urm atorul rezultat este cunoscut ^ n literatura matematic a ca inegalitatea lui Ostrowski.
Teorema 1.5.6. Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a pe (a; b)cu proprietatea c a
jf0(t)j6M;8t2(a; b). Atunci
f(x)1
bab
af(t)dt62
6641
4+0
B@xa+b
2
ba1
CA23
775(ba)M;8×2[a; b]:
Observat ie. Constanta1
4este cea mai bun a posibil a, ^ n sensul c a nu poate  ^ nlocuit a
cu una mai mic a.
^In [2], autorul demonstreaz a urm atoarea inegalitate de tip Ostrowski:
Teorema 1.5.7. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a; b], cua>0,  si derivabil a pe (a;b).
Fiep2Rnf0g si presupunem c a:
Kp
f0

:= sup
u2(a; b)
u1pf0(u)
<1
Atunci avem:
f(x)1
bab
af(t)dt6Kp(f0)
jpj(ba)P(x; A; L )
Unde, am folosit notat ia:
P(x; A; L ) =8
>>><
>>>:2xp(xA) + (bx)Lp
p(b; x)(xa)Lp
p(x; a); dac ap2(0;1)
(xa)Lp
p(x; a)(bx)Lp
p(b; x)2xp(xa);dac a2(1;0)nf1g
(xa)L1(x; a)(b; x)L1(b; x)2
x(xa); dac ap=1

48 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
8×2(a; b); a6=b
A=A(a; b) :=a+b
2media aritmetic a.
Lp=Lp(a; b) ="
bp+1ap+1
(p+ 1) (ba)#1
p
este media plogaritmic a.
Alt rezultat de acest gen este obt inut tot ^ n aceea si lucrare:
Teorema 1.5.8. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a; b];(cua>0), derivabil a pe (a; b).
Dac a
p
f0

:= sup
u2(a; b)uf0(x)<1
atunci avem inegalitatea:
f(x)1
bab
af(t)dt6p(f0)
ba"
ln 
I(x; b)bx

I(a; x)xa!
+2(xA) lnx#
8×2(a; b); a6=b
I=I(a; b) :=1
e
bb
aa1
ba
Cunosc^ and anumite informat ii ^ ntr-o vecin atate a punctului x2(a; b);putem stabili
urm atorul rezultat:
Teorema 1.5.9. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a; b] si derivabil a pe (a; b). Fie
p2(0;1) si presupunem c a pentru un x2(a; b)dat avem:
Mp(x) := sup
u2(a; b)
jxuj1pf0(u)
<1
Atunci avem inegalitatea:

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 49
f(x)1
bab
af(t)dt61
p(p+ 1) (ba)h
(xa)p+1+ (bx)p+1i

Mp(x)
Evaluarea integralei de medie
Teorema 1.5.10. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a; b], derivabil a pe (a; b)cu0=2[a; b].
Atunci pentru orice x2[a; b]avem:
a+b
2
f(x)
x1
bab
af(t)dt6ba
jxj2
6641
4+0
B@xa+b
2
ba1
CA23
775
kfl fk1
undel(t) =t8t2[a; b]
Constanta1
4este cea mai bun a posibil a.
Demonstrat ie. Aplic^ and teorema de medie a lui Pompeiu pentru orice x; t2[a; b], cu
^ ntrex sitastfel ^ nc^ at
tf(x)x f(t) =
f()f0()
(tx)
avem
(1)jt f(x)x f(t)j6sup
2[a; b]jf()f0()jjxtj=kflfk18t; x2[a; b]
Integr^ and pe [ a; b] dup a t avem:
(2)f(x)b
atdtxb
af(t) dt6kflfk1b
ajxtjdt=
=

flf0

1
(xa)2+ (bx)2
2
=
=

flf0

1"
1
4(ba)2+
xa+b
22#

50 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
 si cumb
atdt=b2a2
2din (2) rezultatul dorit.
Presupunem c a9k>0 o alt a alegere a constantei
Avem,8×2[a; b]:
a+b
2f(x)
x1
bab
af(t) dt6ba
jxj2
664k+0
B@xa+b
2
ba1
CA23
775

flf0

1
Consider am f: [a; b]!R; f(t) =t+; ; 6= 0:
Atunci,

flf0

1=jj;
1
bab
af(t) dt=a+b
2
+
 si din inegalitatea precedent a deducem:
a+b
2
+
x

a+b
2+6ba
jxj2
664k+0
B@xa+b
2
ba1
CA23
775jj
 si ^ n nal:
(3)a+b
2x6(ba)k+0
B@xa+b
2
ba1
CA2
8×2[a; b]
Dac a ^ n (3) lu am x=asaux=bdeducemk>1
4ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Corolar 1.5.11. ^In ipotezele teoremei 1:4:13(anterioar a) avem:

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 51
f
a+b
2
1
bab
af(t)dt6ba
2ja+bj

flf0

1
1.5.2 Aplicat ii ale teoremei de medie pentru funt ii integrabile
1. Fief: [0;3]!R; f(x) =x23x. A
at i valoarea medie a funct iei f.
2. Folosind funct ia
F(x) =x
af(t)dt; x2(a; b)
demonstrat i teorema de medie .
3. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a, a.^ .
1
0f(x)dx=1
2:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a.^ .f(x0) =x0.
4. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2[a; b] a.^ .
c
af(t)dt=b
cf(t)dt:
5.Fief : [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .
c
af(x) = (bc)f(c)
6. Ar atat i c a ecuat ia x
1f(t)dt=x23;
undef: [1;1]!(1;1) este continu a  si are solut ie pe intervalul (1 ;2).
7. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a a.^ .
b
af(x)dx=b2a2
2:
Ar atat i c a exista c2(a; b) a.^ .f(c) =c.
8. Fief;g: [a; b]!Rdou a funct ii continue a.^ .
b
af(x)dx=b
ag(x)dx:
Ar atat i c a exist a c2[a; b] a.^ .f(c) =g(c).

52 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
9. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si
1
0f(x)dx=2
:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a.^ .f(x0) = sinx0
10. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si
1
0f(x)dx= 1 +1
2+:::+1
n
cun2N. Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ .f(c) =1cn
1c.
11. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a a.^ .
61
0f(x)dx= 2a+ 3b+ 6c:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a. ^ .f(x0) =ax2
0+bx0+c.
12. Calculat i urm atoarele limite:
(a)
lim
x!0x
0et3dt:
(b)
lim
n!1n+1
nepxdx:
(c)
lim
n!11
4n2
1xnxdx:
(d)
lim
n!1n3n+2
nx
1 +x5dx:
(e)
lim
x!0x2
0et2dt
sin2xdx:
(f)
lim
n!1n+1
np
x2+ 2x
xdx:

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 53
(g)
lim
n!1n+1
nlnx
x2+ 1dx
13. Fief: [a; b]!R
+o funct ie continu a neconstant a  si n2Nxat. Atunci exist a
1; 2; :::; n2[a; b];distincte ^ ntre ele astfel ^ nc^ at
1
nnX
i=1f(i)
respectiv nY
i=1f(i)!1
2

=1
bab
af(x) dx
14. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si nenegativ a. Atunci ( 8)n>1 exist a
06x16x26:::6xn61
o diviziune a intervalului [0 ;1] de norm a mai mic a sau egal a cu2
ncu proprietatea c a
1
0f2
61
nnX
i=1f2(xk)
Solut ii :
1.
M(f) =1
33
0
x23x

dx= 0
2. Aplic am teorema lui Lagrange:
F(b)F(a) = (ba)F0(c); c2(a; b)
DarF0(c) =f(c):
3.1
0f(x)dx=1
2,1
0
f(x)x

dx= 0:

54 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
Aplic am teorema de medie funct iei f(x)xde unde rezult a c a exist a x02(0;1) a.^ 
1
0
f(x)x

dx=f(x0)x0= 0
4. Fie:
G: [a; b]R; G (x) =x
af(t)dtb
xf(t)dt:
G(a) =b
af(t)dt:
G(b) =b
af(t)dt:
G(a)G(b) = b
af(t)dt!2
609
>>>>>>>>=
>>>>>>>>;) 9c2[a; b] a.^ .G(c) = 0
5. Fie:
F: [a; b]!R; F (x) = (bx)x
af(t)dt:
Feste derivabil a
F(a) =F(b) = 0) conform teoremei lui Rolle exist a c2(a; b) a.^ .
F0(c) = 0, c
af(t)dt+(bc)f(c) = 0; F0(x) =x
af(t)dt+(bx)f(x)
6. Fie funct ia:
F(x) =x
1f(t)dtx2+ 3:
F(1) = 1; F (2) =2
1f(t)dt1: f(t)<1)F(2)<0
F(1)F(2)<0) 9c2(1;2) a.^ .F(c) = 0
7.
b
af(x)dx=b2a2
2,b
af(x)dx=b
ax dx,b
a
f(x)x

dx= 0

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 55
Aplic^ and teorema de medie, rezult a c a exist a c2(a; b) a.^ .:
b
a
f(x)x
dx= (ba)
f(c)c

= 0)f(c) =c:
8. Aplic am teorema de medie funct iei f(x)g(x). Rezult a c a exist a c2[a; b] a.^ .:
b
a
f(x)g(x)

dx= (ba)
f(x)g(x)

= 0)f(x) =g(x)
9. 1
0f(x)dx=1
0sinxdx  si se aplic a teorema de medie.
10.
1
0
1 +x+x2+:::+xn1
dx=
x+x2
2+:::+xn
n1
0= 1 +1
2+:::+1
n
1
0f(x)dx=1
0
1 +x+x2+:::+xn1
dx)

1
0
f(x)1xx2:::xn1

dx= 0) ) 9c2(0;1) a.^ .f(c)1c
c2:::cn1= 0 echivalent cu f(c) =cn1
c1=1cn
1c
11.
61
0f(x)dx= 2a+ 3b+ 6c,1
0f(x)dx=1
0
ax2+bx+c
dx)
) 9×02(0;1) a.^ .f(x0) =ax2
0+bx0+c:
12. Se aplic a teorema de medie:
(a)x
0et3dt=xec3
x; cucx2(0; x):
C^ andx!0; cx!0. Limita cerut a este egal a cu 0.

56 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R
(b)n+1
nepxdx=epcn=1
epcn; cn2(n; n + 1):
C^ andn!1; cn!1 . Limita este egal a cu 0
(c)
2
1xnxdx=cnccuc2(1;2):Dar1
4n<1
4n2
1xnxdx<c
22n
!0
(d)n+2
nx
1 +x5dx=2cn
1 +c5n; cn2(n; n + 2):
Dar,2n5
1 + (n+ 2)5<n3n+2
nx
1 +x5dx<2 (n+ 2)n4
1 +n5:Limita este egal a cu 2
(e)
lim
x!1x2
0et2dt
sin2x= lim
x!0cx!0x2ec2
x
sin2x= 1:lim
x!0sin2x= 0
(f)
Exist acn2(n; n + 1) a,^ .n+1
np
x2+ 2x
x=p
c2n+ 2cn
cn:C^ andn!1; cn!1:
lim
cn!1p
c2n+ 2cn
cn= 1
(g)
lim
n!1n+1
nlnx
x2+ 1dx= lim
cc!1lncn
c2n+ 1= lim
cn!11
cn
2
cn= lim
cn!11
2c2n= 0
13. S a ar at am prima parte a armat iei din enunt .
Conform primei formule de medie exist a 2[a; b] astfel ^ nc^ at
f() =1
bab
af(x) dx:

1.5. TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II INTEGRABILE 57
Deoarecef>0, rezult a imediat relat ia
m<f ()<M;
unde
m= inff([a; b])  siM= supf([a; b]):
Atunci exist a y1;y2;:::;yn2[m; M ] astfel ^ nc^ at
f() =1
nnX
x=1yi
Fiei2[a; b] cuf(i) =yi(16i6n).
Evident avem:
1
nnX
x=1f(i) =1
bab
af(x) dx
14. Utiliz^ and inegalitatea lui Cauchy  si apoi formula de medie, obt inem:
1
0f2
= nX
k=1k=n
(k1)=nf!2
6nnX
k=1k=n
(k1)=nf2=
=n
k
nk+ 1
n2nX
k=1f2(xk) =1
nnX
k=1f2(xk)
undexk2
k1
n;k
n
.

58 CAPITOLUL 1. TEOREME DE MEDIE PE R

Capitolul 2
Teoreme de medie pe Rn
^In cele ce urmeaz a, plec^ and de la o analiz a atent a a teoremei lui Lagrange pentru funct ii
reale, vom pune ^ n evident  a dou a forme ale acesteia pentru funct ii vectoriale: una pentru
cazul funct iilor denite pe submult imi ale lui Rncu valori reale  si alta pentru funct ii
denite pe submult imi ale lui Rncu valori ^ n Rm.
Dac a pentru prima teorem a vom constata o form a analoag a aceleia ^ n care funct iile sunt
denite pe intervale compacte din R, vom  surprin si, la prima vedere, de ce-a de-a doua
form a care nu se mai exprim a printr-o egalitate ci printr-o inegalitate.
S a trecem la demonstrarea primei teoreme de medie pentru funct ii denite pe submult imi
ale lui Rncu valori reale.
Teorema 2.0.1. (Teorema de medie pentru funct ii cu valori reale )
Fie[a; b]un segment din Rn. Dac af:D!Reste diferent iabil a pe un deschis Ddin
Rncare cont ine segmentul [a; b], atunci exist a un punct
2A=fx2Rnjx=a+(ba); 2(0;1)Rg
a sa ^ nc^ at
f(b)f(a) = df() (ba):
Demonstrat ie. S a denim funct ia G: [0;1i]!Dprin:
59

60 CAPITOLUL 2. TEOREME DE MEDIE PE RN
G(t) =a+t(ba)8t2[0;1]
EvidentGeste continu a pe [0 ;1]; G((0;1)) =A si c aGeste diferent iabil a pe (0 ;1).
Conform teoremei de diferent iere a funct iilor compuse, funct ia
 =fG: [0;1]!R
este diferent iabil a pe (0 ;1) iar
d(t) = df
G(t)

dG(t)8t2(0;1)
Dac aheste arbitrar din R, atunci
d(t) (h) = df
G(t)

dG(t) (h) (0)
Dar
d(t) (h) = 0(t) (h)
00

iar
dG(t) (h) =
dg1(t) (h);dg2(t) (h); :::; dgn(t) (h)

(1)

aiciG= (g1;g2;:::;gn) cugi: [0;1]!R; i21;n

^Inlocuind
dgi(t) (h) =g0
i(t)h
^ n (1) avem
dG(t) (h) =
g0
1(t)h; g0
2(t)h; :::; g0
n(t)h

61
care introdus a ^ n (0), ^ mpreun a cu (0') antreneaz a
0(t)h= df
G(t)

g0
1(t)h; g0
2(t)h; :::; g0
n(t)h

sau
0(t) = df
G(t)

g0
1(t); g0
2(t); :::; g0
2(t)

(2)
Dac aa= (a1; a2; :::; an)  sib= (b1; b2; :::; bn), atunci:
g0
i(t) =biai; i21;n
 si deci din (2) obt inem:
0(t) = df
G(t)

(b1a1; b2a2; :::; bnan) = df
G(t)

(ba)
Observ am acum c a funct ia  : [0 ;1]!Rsatisface condit iile teoremei lui Lagrange
^ ntruc^ at  este continu a pe [0 ;1] – ind compunerea funct iilor continue G sif,  si este
derivabil a pe (0 ;1).
Atunci92(0;1) un punct, astfel ^ nc^ at:
(1)(0) = 0() (4)
Dar (1) = f(b)  si (0) = f(a)  si atunci (4) devine, t in^ and cont  si de (3),
f(b)f(a) = df
G()

(ba)
unde
G() =a+(ba)2A
Not^ and cu =G(), obt inem:

62 CAPITOLUL 2. TEOREME DE MEDIE PE RN
f(b)f(a) = df() (ba)
Observat ie. ^In principal teorema va  aplicat a pentru a estima diferent a ^ ntre f(x+h)
 sif(x)atunci c^ and se cunoa ste h.
Corolar 2.0.2. Dac a ^ n ipotezele teoremei precedente mult imea
fkdf(u)k;u2Dg
este majorat a de M, atunci
jf(b)f(a)j6Mkbak
undekdf(u)k^ nseamn a norma operatorului d f(u).
Demonstrat ie. FieM > 0 astfel ^ nc^ atkdf(u)k6M (8)u2D.
T  in^ and cont de inegalitatea care ne asigur a c a dac a T:X!Yeste un operator liniar
continuu ^ ntre dou a spat ii normate, atunci:
kT(x)k6kTkkxk 8x2X
obt inem
jf(b)f(a)j=kdf(x) (ba)k6kdf()kkbak6Mkbak
Teorema 2.0.3. (de medie pentru funct ii vectoriale)
Fie funct ia F:D!Rm;undeDeste un deschis din Rn(n>1; m>1), diferent iabil a
peD.
Dac a exist a M > 0astfel ^ nc^ at

63
kdF(x)k6Mpentru8x2C
undeCeste o mult ime convex a inclus a ^ n D, atunci pentru orice dou a puncte a; b2C
are loc inegalitatea:
kF(b)kF(a)6Mkbak
Demonstrat ie. Fie funct ia auxiliar a ': [0;1]!Rmdenit a prin:
'(t) =F
a+t(ba)

(8)t2[0;1]R
Se vede c a
'(1) =F(b)  si'(0) =F(a)
Fie">0 arbitrar. S a not am prin
A=ft2[0;1] ;k'(t)'(0)k6Mtkbak+"t+"g:
^Intruc^ at'este obt inut a prin compunerea a dou a funct ii diferent iabile, este o funct ie
diferent iabil a, deci continu a, atunci Aeste o mult ime ^ nchis a.
^In acela si timp, se observ a c a Aeste nevid a (cont ine cel put in punctul 0)  si m arginit a .
Prin urmare, Aeste o mult ime compact a .
Fie= supA. CumAeste compact a  si este un punct aderent mult imii A rezult a c a
2A.
T  in^ and seama de continuitatea lui '^ n 0, rezult a c a exist a >0 astfel ^ nc^ at:
k'(t)'(0)k<"6M+kbak+"t+";pentrujtj<
ceea ce antreneaz a c a exist a cel put in un punct t >0 astfel ^ nc^ at t2A; prin urmare
 >0.

64 CAPITOLUL 2. TEOREME DE MEDIE PE RN
S a ar at am c a = 1. ^Intr-adev ar, dac a am presupune c a  <1, ^ ntruc^ at
a+(ba)2(a; b) = [a; b];fa; bg >0
iarfeste diferent iabil a pe D, rezult a'diferent iabil a ^ n  si atunci pentru orice 0 <t<
are loc inegalitatea:
k'(+t)'()k6kd'()kt+"t6Mtkbak+"t
De aici obt inem
k'(+t)'(0)k6k'(+t)'()k+k'()'(0)k6
6Mtkbak+"t+Mkbak+"+"=
=M(+t)kbak+ (+t)"+"
care presupune c a +t2A, ceea ce contrazice faptul c a = supA. Deci= 1.
Atunci t in^ and seama c a = 12Aavem:
k'(1)'(0)k6Mkbak+ 2";
cum"este arbitrar,
kF(b)F(a)k6Mkbak
De aici obt inem imediat:
Corolar 2.0.4. FieF:D!Rm, undeDeste un deschis din Rn(n>1; m>1),
diferent iabil a pe D. Dac aa;i b2Dala ^ nc^ at segmentul [a; b]D, atunci are loc
inegalitatea:

65
kF(b)F(a)k6kbaksup
x2(a; b)kdF(x)k
Exemplu: Fieu:
!R;
Rn si presupunem c a exist a x02
;9r >0 astfel ^ nc^ at
B(x0;2r)
:S a se demonstreze c a exist a real astfel ^ nc^ at
ju(x)u(y)j6jxyj
2r
1rN
r
sup
B(x0;2r)juj; x; y2B(x0; r)
Solut ie: Fiex; y2B(x0; r). A sadarjxyj<2r
Cu teorema de medie avem:
ju(x)u(y)j6jxyj
sup
z2[x; y]jru(z)j6
6jxyjN
rsup
B(x0; r)jruj6jxyjN
r
sup
B(x0;2r)juj6
6jxyjjxyj1N
r
sup
B(x0;2r)juj6
6jxyj(2r)1rN
r
sup
B(x0;2r)juj

66 CAPITOLUL 2. TEOREME DE MEDIE PE RN

Capitolul 3
Formula de medie pentru funct ii
armonice
3.1 Enunt , observat ii
Fie
RNdeschis
Teorema 3.1.1. (Formula de medie ): Fieu:
!Ro funct ie armonic a. Atunci:
i)u(x) =
@B(x;r)u(y)d(y)8×2
; B(x; r)
ii)u(x) =
B(x;r)u(y)dy8x2
; B(x; r)
Demonstrat ie. Presupunem c a am demonstrat punctul i)  si ^ n continuare demonstr am
punctul ii):
67

68 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE

B(x;r)u(y) dy=N
!NrN
B(x;r)u(y) dy=N
!NrNr
00
B@
@B(x;1)u(y) d(y)1
CA=
=N
!NrNr
0
u(x)!NsN1

dsi)=N
!NrN
!Nu(x)r
0sN1ds=
=u(x)
Fix amx2
 si denim
'(r) =
@B(x;r)ud=1
!nrN1
@B(x;r)u(y) d(y)
Dorim s a demonstr am c a
'0(r) = 0  si '(r) =u(x); y2@B(x; r)
dac a  si numai dac a
jyxj=radic ayx=rpentruz2@B(x;1)
Efectu am schimbarea de variabil a
y=x+rz
d(y) = d(x+rz) =rN1d(z)
'(r) =1
!nrN1
@B(0;1)u(x+rz)rN1d(z) =1
!N
@B(0;1)u(x+rz)d(z)
Calcul am

3.1. ENUNT  , OBSERVAT  II 69
'0(r) =1
!N
@B(0;1)z
ru(x+rz) d(z) =
=1
!N
@B(x;r)ru(y)
yx
r1
rN1d(y) =1
!nrN1
@B(x;r)ru(y)yd(y) =
=1
!nrN1
@B(x;r)
u(y) d(y) = 0
Deci'(r)c0;80<r< d(x; @
) undec0este o constant a real a
c0= lim
r&0
@B(x;r)ud=u(x)
Am obt inut astfel '(r)u(x).
Am folosit aici un rezultat apart in^ and lui A. Lebesgue,  si anume:
Lema 3.1.2. Fiex02RN siu:RN!Ro aplicat ie continu a.
Atunci
lim
r!0
@B(x0;r)u=u(x0)
Demonstrat ie. Estim am

70 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE

@B(x0;r)udu(x0)=1
!nrN1
@B(x0;r)udu(x0)
1=
1
!nrN1
@B(x0;r)ud(y)u(x0)1
!nrN1
@B(x0;r)d(y)=
=1
!nrN1
@B(x0;r)[u(y)u(x0)] d(y)1
!nrN1
@B(x0;r)"d
Observat ie. Dac aueste o funct ie liniar a (deci armonic a) pe un interval al axei reale,
atunci valoarea sa ^ n orice punct este media aritmetic a a valorilor pe extremit at ile oric arui
subinterval centrat ^ n acel punct. Formula de medie pentru funct ii armonice este o
generalizare interesant a a acestei propriet at i pentru funct ii armonice de mai multe variabile.
O aplicat ie interesant a a formulei de medie este urm atoarea teorem a a lui Newton:
Teorema 3.1.3. (Teorema lui Newton )
"C^ ampul gravitat ional al unui corp sferic omogen este, ^ n exteriorul acestuia, identic cu
c^ ampul unui corp punctiform de mas a egal a, plasat ^ n centrul sferei."
Observat ie. Acest principiu fundamental permite ca ^ n studiul interact iunii corpurilor
sferice, de exemplu planetele, acestea s a e ^ nlocuite cu puncte materiale.
Demonstrat ie. ^Intr-adev ar, m arimea c^ ampului gravitat ional al unei sfere de raz a R si de
centrux0, ^ ntr-un punct exterior x, este egal a cu

(x0) =
@B(x0;r)c
jxyjdy
undeceste produsul densit at ii de mas a cu constanta gravitat iei. Funct ia

3.1. ENUNT  , OBSERVAT  II 71
u(y) =cjxyj1
este armonic a pe R3nf0g si deci

(x)
4R2=u(x0)
A sadar,

(x) = 4R2c
xx0
ceea ce trebuia demonstrat.
^In continuare prezent am o demonstrat ie alternativ a a formulei de medie pentru funct ii
armonice folosind teorema Green-Riemann:
Fier>0;
:=B(x;r), iaru:
!Ro funct ie armonic a.
Aplic am Teorema Green-Riemann  si obt inem:
u(x) =
B(x;r)
u(y)E(xy)
@B(x;r)@u
@(y)E(xy) d(yi) +
@B(x;r)u(y)@E(xy)
@yd(y)
Estim am
I=
B(x;ri)@u
@(y)E(xy) d(y)
CazulN= 2:
I=
B(x;r)@u
@(y)1
2lnjxyjd(y) =1
2lnr
B(x;r)
u(y)dy= 0
CazulN>3 :

72 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
I=1
!N(2N)
B(x;r)@u
@(y)1
jxyjN2d(y) = 0
A sadar,
u(x) =
@B(x;r)u(y)@E
@y(xy) d(y) =
=
@B(x;r)u(y)ryE(xy)y(xy) d(y) =
=
@B(x;r)u(y)1
!Nyx
jyxjNyx
jxyjd(y) =
=1
!NrN1
@B(x;r)u(y) d(y) =
@B(x;r)u(y) d(y)
pentru (8)r>0;B(x;r)
UndeE(x) reprezint a solut ia fundamental a a ecuat iei lui Laplace
E(x) =8
>>><
>>>:1
(N2)!NjxjN2;pentruN>3
1
2lnjxj; pentruN= 2
!N=2n
2
n
2
m asura sferei unitate din RN( este funct ia lui Euler)
jxj= NX
j=1×2
j!1
2

3.1. ENUNT  , OBSERVAT  II 73
3.1.1 Aplicat ii ale teoremei de medie pentru funct ii armonice
1. Pentru orice 2NNnf0gexist a o constant a c=c(N;  ) astfel ^ nc^ at, dac a ueste o
funct ie armonic a  si m arginit a pe
Rnatunci:
jDu(x)j6c

dist(x; @
)
jjsup

juj; x2
Solut ie: Dac a@
= , adic a
= RN, inegalitatea de demonstrat revine la faptul c a
D2(u) este funct ie nul a, ceea ce rezult a din Teorema lui Liouville.
Fie deci@
6= . Se poate demonstra c a dac a u2C2(
) este o funct ie armonic a pe
,
atunciu2C1(m
)  si pentru orice 2NNfunct iaD2(u) este armonic a pe
.
Pe baza acestei observat ii este sucient s a estim am derivatele de ordinul ^ nt^ ai.
Pentrur<dist (x; @
), avem:
@u
@xj(x) =N
!NrN
B(r;x)@u
@xj(y) dy=N
!NrN
@B(r;x)u(y)j(y) d
 si inegalitatea rezult a dac a se t ine cont de faptul c a
jjj61  sirm as (@Br) =Nm as (Br)
2. S a se demonstreze c a inegalitatea de la exercit iul anterior are loc pentru urm atoarea
expresie a constantei c:
c(N;  ) = (Ne)jjjj!
e
Solut ie: Se presupune c a formula este adev arat a pentru  si se arat a c a ea r am^ ane
valabil a  si pentru cu
jj=jj+ 1

74 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
Pentru un astfel de avem
Du=@Du
@xj
pentru un anumit j.
Fix am un num ar 2(0;1)  si aplic am versiunea "plin a" a formulei de medie funct iei Du
 si bileiBr(x), unde ca mai sus, r<dist (x; @
).
Obt inem
D2u(x) =1
!N(r)N
Br(x)@D2u
@xjdy=1
!N(r)N
Br(x)Du(y)yixj
jyxjdy
^Ins a dup a cum s-a presupus, avem
jDu(y)j6
Ne
(1)rjjjj!
esup

juj; y2@Br(x)
Rezult a
Du(y)6
Ne
rjj+11
(1)jjjj!
e2sup

juj
^In nal se alege
=1
jj
 si se folose ste inegalitatea:

11
jjjj
6
11
jjjj
6e:

3.2. TEOREMA LUI LIOUVILLE 75
3.2 Teorema lui Liouville
Teorema 3.2.1. O funct ie armonic a pe Rnm arginit a inferior sau superior este constant a.
Demonstrat ie. F ar a a restr^ ange generalizarea se poate presupune c a u>0:
Fiex1; x22Rndou a puncte arbitrare  si
r1=r2+jx1x2j>r2>0
Atunci
B2=B(r2; x2)Br1(x1) =B1
 si aplic^ and versiunea "plin a" a formulei de medie g asim
u(x2) =N
!NrN
2
B2u(y) dy6N
!NrN
2
B1u(y) dy=
r1
r2N
u(x1)
Pentrur2!1 se obt ineu(x2)6u(x1)
Analogu(x1)6u(x2)
O alt a demonstrat ie a teoremei lui Liouville poate  dat a utiliz^ and teorema lui Harnack.
3.3 Funct ii sub-armonice  si funct ii supra-armonice
Am v azut c a funct iile armonice pe un interval ( a; b) sunt funct ii liniare pe ( a; b). Vom
numi sub-armonic a pe (a; b), orice funct ie continu a  si convex a pe ( a; b). Amintim c a
o funct ieucontinu a pe ( a; b) este convex a dac a  si numai dac a satisface inegalitatea lui
Jensen:

76 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
u(x)6u(xr) +u(x+r)j
2
oricare ar  intervalul [ xr; x+r](a; b)
O funct ieuse va numi supra-armonic a pe (a; b) dac aueste sub-armonic a pe ( a; b),
adic aueste continu a  si concav a pe ( a; b). Pentru cazul funct iilor de mai multe variabile,
aceste not iuni sunt generalizate dup a cum urmeaz a:
Denit ie 3.3.1. O funct ieu2C(
)este sub-armonic a pe
dac a
u(x)61
!NrN1
@B(x;r)u(y)d
oricare ar  B(x;r)
Denit ie 3.3.2. Spunem c a u2C()este supra-armonic a pe
dac aueste subarmonic a
pe
.
Pe baza teoremei de medie a funct iilor armonice rezult a c a suma unei funct ii sub-armonice
cu o funct ie armonic a este o funct ie sub-armonic a.
Not am principalele propriet at i ale funct iilor sub-armonice.
Teorema 3.3.3. Fieu2C2(
). Atunciueste sub(supra)-armonic a pe
dac a  si numai
dac a
u>(6) 0pe
.
Demonstrat ie. Dac a
u>0 pe
, atunci aplic^ and formula lui Green bilei B=B(x; r)  si
t in^ and cont de expresia funct iei lui Green pentru sfer a, ca  si de pozitivitatea ei, obt inem:

3.3. FUNCT  II SUB-ARMONICE S I FUNCT  II SUPRA-ARMONICE 77
u(x) =
B
u(y)G(x;y) dy
@Bu(y)@G
@y(x; y) d(y)6

@Bu(y)@G
@y(x; y) d(y) =
Bu(y)@G
@y(0; yt) d(y) =
=1
!NrN1
@Bu(y) d
ceea ce arat a c a funct ia ueste sub-armonic a pe
Reciproc, prima egalitate de mai sus implic a:

B
u(y)G(x; y) dy=
B
u(y)G(0; yx)dy>0
De aici,

u(x)
BG(0; yx) dy>
BG(0; yx) [
u(x)
u(y)] dy
de unde concluzia
u>0 rezult a dac a se alic a a doua formul a de medie pentru integrala
din membrul drept, se ^ mparte la integrala din membrul st^ ang  si se trece la limit a cu
r!0.
Folosind formula lui Poisson putem deduce cu u surint  a reciproca teoremei de medie pentru
funct ii armonice. Reamintim aici enunt ul formulei lui Poisson:
Fieg2C
@Br(0)

. Atunci funct ia
u(x) :=8
>>><
>>>:R2jxj2
R!N
@Brg(y)
jxyjNd(y)8x2Br(0)
g(x) 8×2@Br(0)

78 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
satisfaceu2C2(Br)\C
Br

 si veric a problema
8
<
:
u= 0 ^ nBr(0)
u=g pe@Br(0)
Corolar 3.3.4. (Reciproca teoremei de medie pentru funct ii armonice )
Fieu:
!Ro funct ie continu a astfel ^ nc^ at pentru orice x2
, exist ar(x)>0cu
proprietatea c a
u(x) =
@B(x; R)u(y)d(y)8r<r (x)
Atunci u este o funct ie armonic a ^ n
.
Demonstrat ie. Este sucient s a ar at am c a ueste armonic a ^ n orice bil a cont inut a ^ n
.
Fie a sadar B=B(x; R )
. Conform formulei lui Poisson, exist a o funct ie vcare
este armonic a ^ n Bastfel ^ nc^ at
u=v;pe@B
Mai precis,
v(y) :=8
>><
>>:R2jyxj2
R!N
@Bu(z)
jzyjNd(z) dac ay2B
u(y) dac a y2@B
Din ipotez a  si din faptul c a veste o funct ie armonic a (deci este valabil a "directa" teoremei
de medie) rezult a c a
sup
B(vu) = inf
B(vu) = 0
adic au=v^ nB. Prin urmare, ueste o funct ie armonic a ^ n B, ceea ce ^ ncheie
demonstrat ia.

3.4. FORMULA DE MEDIE PENTU ECUAT  IA C ALDURII 79
3.4 Formula de medie pentu ecuat ia c aldurii
Fiex2RN; t2R sir>0 xat i, denim "bila ecuat iei c aldurii" centrat a ^ n ( x; t)  si de
raz arprin
E(x; t) =8
><
>:1
(4t)N=2ejxj2
4t(x; t)2RN(0;1)
0 ( x; t)2RN(1;0]
se nume ste solut ia fundamental a a ecuat iei c aldurii
ut
u= 0 ^ n RN(0;1)
Vom demonstra mai ^ nt^ ai urm atorul rezultat auxiliar:
Lema 3.4.1. Avem

@B(0;0;1)jxj2
s2dxds= 4
Demonstrat ie. Fie (x; s)2B(0;0; 1)
Din denit ia acestei "bile" rezult a c a
1
(4s)N=2ejxj2
4>1
adic a
jxj6p
2Nsln (4s)
Prin urmare, apinc^ and formula schimb arii de variabil a avem:

80 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE

B(0;1;1)jxj2
s2dxds=!N0
1
4ds
s2 p
2Nsln(4s)
0rN+1dr!
=
=!N
N+ 20
1
4(2N)N+2
2(s)N
21[ln (4s)]N
2+1ds=
=!N
N+ 2 1
4
0(2N)N+2
2uN
21[ln (4s)]N
2+1du=
=!N
N+ 2(2N)N+2
2(4)N
21
0tN
21(lnt)N
2+1dt=
=!N
N+ 2(2N)N+2
2(4)N
21
0e(N
21)ueuuN
2+1du=
=!N
N+ 22N
2+1uN
2+1N
21
0eNu
2uN
2+1du=
=2N
2
(N+ 2) n
2
2N
2+1NN
2+1 1
2NN=2
N
2+ 1

N
2+ 1
= 4
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Teorema 3.4.2. Presupunem c a funct ia u2C2(RT)este o solut ie a ecuat iei c aldurii.
Atunci:
u(x; t) =1
4rN
B(x;t;r)u(y; s)jxyj2
jtsj2dyds
pentru orice "bil a" B(x; t;r)inclus a ^ n RT.
Demonstrat ie. Putem presupune, f ar a a afecta cu nimic generalitatea enunt ului, c a
(x; t) = (0;0):
Convenim s a not am prin B(r) "bila"B(0;0;r).

3.4. FORMULA DE MEDIE PENTU ECUAT  IA C ALDURII 81
Pentrur>0 denim expresia
'(r) :=1
rN
B(r)u(y; s)jyj2
s2dyds
Prin schimbarea de variabil a
y=ry0 sis=r2s0
observ am c a
'(r) =
B(1)u
ry; r2s
jyj2
s2dyds (1)
Pe de alt a parte,
E(y;s) =1
(4s)N=2ejyj2
4t;8(y; s)2
(1;0) (2)
Observ am c a:
Eyi=y0
2s;8i= 1;2;:::;N
 si
lnE=N
2ln (4s) +jyj2
4s(3)
Din (1) deducem c a
'0(1) =B(1)nX
i=1
yiuyijyj2
s2+ 2usjyj2
s
dyds=:A+B
30

Folosind acum (2)  si (3) g asim, folosind formula lui Green:

82 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
B=
B(1)4usNX
i1yi(lnE)yidyds=
=
B(1)
4NuslnE+ 4NX
i=1usyiyilnE!
dyds (4)
Observ am c a nu apare nici o integral a pe frontier a ^ n 4 deoarece ln E= 0 pe@B(1).
Integr^ and prin p art i ^ n (4) obt inem:
B=
B(1)
4uslnE+ 4X
i=1uyiyi(lnE)s!
dyds=

B(1)"
4NuslnE+ 4nX
i=1uyiyi
N
2sjyj2
4s2#
dyds=

B(1)
4NuslnE2N
sNX
i=1uyiyi!
dydsA (5)
T  in^ and acum cont c a uveric a ecuat ia c aldurii  si utiliz^ and (30)  si (5) obt inem
'0(1) =
B(1)
4N
ulnE2N
sNX
i=1uyiyi!
dyds=
NX
i=1
B(1)
4Nuyi(lnE)yi2N
suyiyi
dyds= 0 (6)
Folosind (6) ^ mpreun a cu observat ia important a c a u
rx; rt(t)

veric a, de asemenea,
ecuat ia omogen a a c aldurii, obt inem

3.5. FUNCT  II CU PROPRIETATEA DE MEDIE (
N=
) 83
'0(r) = 0;8r>0
Deci
'(r) = lim
t!1'(t) =u(0;0)
lim
t!11
tN
B(t)jyj2
s2dyds= 4u(0;0);
c aci, conform lemei
1
tN
B(t)jyj2
s2dyds=
B(1)jyj2
s2dyds= 4:
3.5 Funct ii cu proprietatea de medie (
N=
)
Vom studia consecint ele care decurg din teorema de medie pentru funct iile armonice.
Aceast a teorem a arm a c a dac a ueste o funct ie armonic a ^ n domeniul
N

Neste presupus compact

, atunci pentru orice x2
N si oricer < d (x; @
) este
valabil a egalitatea
u(x) =Mx
r[u] (1)
media sferic a ind calculat a pe sfera de raz a rcu centrul ^ n punctul x.
Scopul principal este de a ar ata c a dac a u2C0

N

veric a relat ia (1) atunci unu este
neap arat o funct ie armonic a.
Observ^ and c a relat ia (1) are sens pentru funct ii continue ^ n
N, vom da urm atoarea
denit ie:
Denit ie 3.5.1. Se nume ste funct ie cu proprietatea de medie ^ n
Norice funct ie continu a
^ n
Ncare veric a relat ia (1)pentru orice x2
N si oricer<d (x; @
N).

84 CAPITOLUL 3. FORMULA DE MEDIE PENTRU FUNCT  II ARMONICE
Evident, mult imea funct iilor cu proprietatea de medie nu este vid a, deoarece funct iile
armonice (a c aror mult ime nu este vid a) sunt funct ii cu proprietatea de medie; ^ n plus
aceast a mult ime formeaz a un spat iu vectorial.
Dac a funct iile u1 siu2au proprietatea de medie, vom avea:
u1(x) =Mx
r[u1]; u2(x) =Mx
r[u2]
 si t in^ and seama de liniaritatea operatorului Mx
rvom g asi egalitatea:
a1u1(x) +a2u2(x) =a1Mx
r[u1] +a2Mx
r[u2] =Mx
r[a1u1+a2u2]
care arat a c a funct ia a1u1+a2u2care este evident continu a ^ n
N, are proprietatea de
medie (constantele a1 sia2se presupun reale).
Teorema 3.5.2. (de unicitate a funct iilor cu proprietatea de medie )
Dac a funct iile u1 siu2cu proprietatea de medie au valori egale pe @
n, atunci ele coincid
 si ^ n
N:
Demonstrat ie. Funct iau=u1u2va avea de asemenea proprietatea de medie ^ n
N,
iar
uj@
N= 0
deci
min
x2
Nu(x)6u(x)6max
x2
Nu(x)
iar
min
x2
Nu(x) =u(x2)
 si

3.5. FUNCT  II CU PROPRIETATEA DE MEDIE (
N=
) 85
max
x2
Nu(x) =u(x1)
x2@
N
A sadar,
u(x1) =u(x2) = 0
 si rezult au= 0 ^ n
N; deciu1=u2^ n
N.
Teorema 3.5.3. Orice funct ie cu proprietatea de medie este armonic a ^ n
N.
Demonstrat ie. Vom ar ata c a ^ n orice sfer a din
N, orice funct ie fcu proprietatea de
medie este totodat a  si o funct ie armonic a.
Fie decikyzk6ro sfer a complet interioar a lui
N. Restrict ia lui fla aceast a sfer a
este o funct ie continu a, cu ajutorul c areia scriem formula lui Poisson pentru sfer a.
Vom avea:
u(x) =
kyzk=rk(xz; yz)f(y) d(y)
Funct iauva  armonic a ^ n interiorul sferei kxzk=rcare pe sfer a ia valorile f.
Deoareceuare proprietatea de medie, conform cu teorema anterioar a u=f^ n aceast a
sfer a  si teorema este astfel demonstrat a, deoarece fdevine o funct ie armonic a ^ n orice
punct din
N.