ASEMĂNAREA ÎN DEDUCEREA RELAȚIILOR METRICE UTILE ÎN CALCULUL LUNGIMII, ARIEI ȘI VOLUMULUI APLICAȚII ADAPTATE ELEVILOR DE LA ȘCOLILE SPECIALE [311476]

UNIVERSITATEA VALAHIA TÂRGOVIȘTE

DEPARTAMENTUL PREGĂTIRII PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE DE LICENȚĂ

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:

PROF.UNIV.DR. CONSTANTIN GHIȚĂ

ABSOLVENT: [anonimizat]

2017

[anonimizat] – APLICAȚII ADAPTATE ELEVILOR DE LA ȘCOLILE SPECIALE

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:

PROF.UNIV.DR. CONSTANTIN GHIȚĂ

ABSOLVENT: [anonimizat]

2017

CUPRINS

INTRODUCERE

Omul prin educație devine ceea ce este.

[anonimizat] l-a însoțit, l-a modelat, l-a spiritualizat.

Practica umană a fost și este dublată de interogație și de punere sub semnul și ghidajul raționalității.

În centrul preocupărilor actuale ale școlii românești se situează cultivarea accentuată a gândirii logice. Unul din cele mai bune mijloace pentru a rezolva o [anonimizat] a conceptelor și prin introducerea progresivă a limbajului matematic modern.

De aceea se obligă ca în școală să se observe elevului mijloacele necesare progresului în cunoaștere și adaptare.

[anonimizat], metode de învățare prin activitate proprie.

[anonimizat] – științifică.

Dar fiecare lecție în parte este o [anonimizat], este obligatorie o evaluare continuă a randamentului școlar al bagajului de cunoștințe reale și operaționale ale elevului.

Grija pentru constituirea treptată a unei forme de muncă a elevului este o cerință pedagogică a organizării în vederea obținerii unui câmp motivațional adecvat.

Disciplina a [anonimizat] a ordinii în viață și muncă este MATEMATICA.

Capacitatea omului de a se adapta este foarte mare și greutatea pe care o întâmpină uneori e diferită de la om la om.

[anonimizat] a ideilor, [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat].

Participand la ore in clasă de gimnaziu mi-a [anonimizat]. [anonimizat].

Primul capitol va cuprinde un scurt istoric și parti componente de baza capitolele doi și trei alcătuiesc o analiză a temei propuse și anume a două rapoarte, a [anonimizat], [anonimizat] a asemănărilor.

Fiecare noțiune va fi însoțită de probleme aplicative.

Importanța activității matematice este de a exersa copilului intelectul, etapele de cunoaștere, de a-l face apt să descopere relații abstracte pe baza situațiilor întâlnite în activitatea obișnuită.

CAPITOLUL I

SCURT ISTORIC ȘI ELEMENTE FUNDAMENTALE

Un mare filozof grec care a trăit între anii 624 – 546 Î.C. a fost Thales Deși nici una dintre scrierile lui nu a fost găsită, cunoaștem munca sa din scrierile altora. Thales este considerat tatăl științelor în Grecia, matematician și filozof. El a fost prima persoană care și-a pus întrebări despre natura universului și a dat răspunsuri care nu luau în considerare zeii și demonii. Renunțarea la mitologie a fost un pas foarte important în gândirea științifică și a condus la o revelatie intelectuală care a durat sute de ani.

Fondatorul filozofiei grecești și al Școlii Milesiene a cosmologiștilor a fost Thales. Fiind contemporan cu Solon și Cresus a fost considerat unul din Cei Șapte înțelepți – șapte oameni care au trăit între anii 620 – 550 Î.C., și care, prin înțelepciunea lor, s-au distins ca legislatori, conducători, sfetnici sau autori de maxime.

Pentru a evita uneori răspunsuri la probleme practice, Thales era văzut de unii oameni ca un om înțelept, dar imprudent: o scriere a lui Platon ni-l prezintă căzând într-o fântână pentru ca era prea ocupat să studieze stelele. Totuși, această aparent imprudentă observare a stelelor a condus la aplicații practice în navigație: el a studiat mișcarea stelelor din Carul Mic după care navigau fenicienii.Tot Thales el a demonstrat caracterul practic al filozofiei sale când și-a folosit cunoștințele pentru a prevesti o recoltă bogată de măsline și să pună monopol pe presele de ulei de măsline.

Călătorind foarte mult, fiind implicat și în comerț. în timpul călătoriilor și-a insușit o mulțime de cunoștințe pe care le-a oferit lumii grecești. De exemplu, Herodot povestește cum a prezis eclipsa de soare din 585 Î.C., cu ajutorul cercetărilor și cunoștințele dobândite de la preoții babilonieni. Thales a fost primul filozof grec care a introdus noțiunea de element material primar al tuturor lucrurilor și fenomenelor cosmice și pe care l-a identificat ca fiind apa. Importanța apei în viața și în natură a fost, probabil, principalul motiv care l-a condus pe Thales la aceasta concluzie. în Teologia Orphica este precizat că „apa exista de la începuturi și ea este materia din care s-a solidificat pământul". Apa, aerul, focul sau orice alt principiu a fost pentru filozofii presocratici rădăcina vieții, a sufletului și, în general, puterea naturii vii. Vechii greci au numit aceasta putere „Fiesthe". Hieronymus din Rhodos ne descrie cum a măsurat Thales piramidele din Egipt folosind umbrele (a determinat momentul zilei în care umbra noastră este egală cu înălțimea). Călătoriile în Egipt l-au ajutat pe Thales să aprofundeze studiul geometriei. Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii grecești.

Thales a demonstrat urmatoarele:

1. un cerc este împărțit în două părți egale de diametru;

2. unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale;

3. unghiurile opuse la vârf sunt egale;

4. un triunghi este determinat dacă sunt date o latură și unghiurile adiacente ei;

5. unghiul înscris într-un semicerc este unghi drept.

Cea de a patra teorema este asociată cu realizarea practică a măsurării distanței dintre vasele de pe mare.

Diogenius Laertius, în cartea „Viețile și opiniile marilor filozofi" ne povesteste că „Thales a fost primul care a determinat cursa soarelui de la un solstițiu la celalalt și a declarat că mărimea soarelui ar fi a 720-a parte din cercul solar și mărimea lunii ar fi aceeași fracție din cercul lunar. Se spune ca el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului impartindu-le în 365 de zile".

Unul dintre cei mai importanți oameni ai timpului său, atât ca filozof și om de știință, cât și ca om de stat și legiuitor prin maximele și zicerile sale a fost Thales. Ca drept dovadă a acestui lucru stă mărturie Plutarch, care povestește că niște pescari au găsit un tripod care ar fi aparținut Elenei din Troia. Mergând la templul din Delphi, preoteasa pythiană a lui Apollo le-a spus pescarilor să dea tripodul celui mai înțelept om. Aceștia i-au dat tripodul lui Thales. Avea orgolii temperate ironic. Se spune că obișnuia să zică că mulțumește soartei pentru trei binefaceri: „Mult, pentru că m-am născut om, și nu animal, apoi, pentru că-s bărbat, și nu femeie, și al treilea, pentru că sunt grec, și nu barbar".

Thales a decedat la o vârstă înaintată în timpul unor manifestări sportive datorită căldurii excesive. Pe mormântul său există o inscripție care spune: „Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuși renumita sa înțelepciune a ajuns la ceruri".

CAPITOLUL II

REZULTATELE FUNDAMENTALE ALE ASEMĂNĂRII

2.1. Raportul a două segmente

DEFINIȚIE. Raportul a doua segmente, măsurate cu aceeași unitate de măsură, este raportul lungimilor lor.

EXEMPLE:

)

Proporția segmentelor [AB] și [CD] este

b) M

MN = 15 mm

NP= 30 mm

În ambele exemple am prezentat lungimile celor două segmente cu aceeași unitate de măsură.

2.2. Segmente proporționale

Reamintim: Șirurile de numere reale nenule (a1, a2, a3, …, ax, …) și (b1,b2,b3, …, bx,…) sunt proporționale dacă unde x N, x 2.

Raportul constant k se numește factor de proporționalitate (sau raport de proporționalitate). Scriem (a1, a2, a3, …., b1, b2, b3….).

DEFINIȚIE: Șirurile de segmente ([A1B1], [A2B2], [A3B3], …) și ([A’1B’1], [A’2B’2], [A'3B’3],…) se numesc proporționale dacă șirurile lungimilor lor sunt proporționale.

EXEMPLE:

Dacă AB = 2 dm, BC = 6 dm, CD = 8 dm, EF = 3 dm, FG = 9 dm, GH = 12 dm, atunci ([AB], [BC], [CD]) ([EF], [FG], [GH]), deoarece

Rezultă segmentele ([AB], [BC], [CD]) sunt proporționale cu segmentele ([EF], [FG], [GH]), și factorul de proporționalitate este

OBSERVAȚII:

1. Ordinea în care sunt scrise segmentele este esențială.

2. Când factorul de raport este 1 randuril de numere coincid (segmentele sunt congruente).

2.3. Împărțirea unui segment într-un raport dat

Propoziția 1

Există numai un punct interior segmentului care împarte un segment dat într-un raport dat.

Rezolvare:

Fie [AB] segmentul dat și r raportul dat. Trebuie să găsim un punct M, M (AB) astfel încât = r, ceea ce este echivalent cu .

A M’ B

Raportul obținut pentru o singură valoare a lui AM și anume

Deoarece rezultă că AM < AB (dacă așezăm segmentul [AM] peste segmentul [AB] plecănd din punctul A, obținem punctul M care corespunde propoziției) , deci punctul M este în interiorul segmentulu [AB].

în mijlocul segmentului [AB] este singurul punct interior ce imparte segmentul în rapotul r = 1. Dacă r = 1 atunci M este mijlocul segmentului.

Propoziția 2

Există numai un punct exterior segmentului care împarte un segment dat într-un raport dat, numai dacă acesta este diferit de 1.

Demonstrație:

Fie [AB] segmentul dat și r 1 raportul dat. Determinăm un punct M' AB – [AB] astfel încât

Exemplul r < 1

Determinăm punctul M' pe dreapta AB astfel încât A (MB).

Cazul r > 1

Determinăm punctul M' pe dreapta AB astfel încât B (M’A).

2.4. Teorema paralelelor echidistante

Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.

Demonstrație

Cu notatiile din figură avem [A1A2] [A2A3] [A3A4], trebuie demonstrat că [B1B2] [B2B3] = [B3B4].

Constuim A12 || e, C2 g; A2C3 || e, C3 g. Deducem că A1A2C2 A2A3C3 A1C2 = A2C3. Din paralelogramele A1C2B2B1 și A2C3B3B2 rezultă că A1C2 = B1B2 și A2C3 = B2B3. Prin urmare avem B1B2 = B2B3.

Aplicație

Pentru a împărți un segment [AB} în mai multe părți egale se aplică teorema paralelelor echidistante.

Rezolvăm astfel:

Considerăm o semidreaptă oarecare (AX pe care luam un punct C1.

Construim punctele C1, C2, C3, …, Cx, … (AX astfel că [A1C1] [C1C2] [C2C3]…

Prin punctele C1, C2, C3 trasăm dreptele paralele cu CXB care intersectează segmentul [AB] în punctele D1, D2, D3.

Rezultă că [AD1] [D1D2] [D2D3].

2.5. Teorema lui thales

Fie dreptele d, d' și punctele A, B, C d și A', B', C' d', astfel încât AA' || BB' || CC'. Dacă B (AC), atunci B (A'C).

Demonstrație:

Deoarece AA’ || BB’, rezultă că punctele A și A’ sunt situate de aceeași parte a dreptei BB’. La fel rezultă că și punctele C și C' sunt situate de aceeași parte a dreptei BB'. Datorită faptului că punctele A și C sunt situate de o parte și de alta a dreptei BB', rezultă că și punctele A’ și C sunt situate de o parte și de alta a dreptei BB'. Ceea ce este egal cu B (A'C).

TEOREMA LUI THALES

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

Demonstrație

Putem avea mai multe situații în funcție de latura la care se duce paralela și poziția acesteia față de triunghi. Astfel, considerând cazul în care am trasat o paralală la latura BC, putem obtine:

1. Paralela intersectează laturile AB și AC.

Demonstrație

2. Paralela nu intersectează laturile AB și AC ci prelungiri ale acestora

Teorema lui Thales

1. Paralela nu intersectează laturile AB și AC ci prelungirile acestora.

TEOREMA LUI THALES

Stuiind minitios relațiile date de teoerma lui Thales, constatăm că, de fapt, ele sunt identice indiferent de poziția dreptei construite.

TEOREMA LUI THALES

Raportul segmentelor determinate de paralelă pe laturile triunghiului înseamnă că lungimile segmentelor de pe o latură se pot obține din lungimile segmentelor de pe cealaltă latură prin înmulțire cu un număr real nenul, adică:

TEOREMA LUI THALES

Problemă rezolvată:

în tr ABC, AB = 36, AC = 48, BC = 60. Se consideră D pe AB așa încât AD = 12 și se duc dreptele: DE paralelă cu BC, E pe AC, EF paralelă cu AB, F pe BC, FG paralelă cu AC, G pe AB, GH paralelă cu BC, H pe AC, HI paralelă cu AB, I pe BC și IK paralelă cu AC, K pe AB. Se cere DK.

Desenam figura corespunzătoare datelor problemei.

Construind figura, observăm că punctele K și D coincid, sau sunt foarte apropiate, deci, s-ar părea că DK = 0. Să facem calculele pentru a demonstra acesată observație. Pentru a nu modifica inutil figura, vom scoate separat, de fiecare dată, numai elementele care ne interesează.

Pasul 1.

Pasul 2.

Pasul 3.

Pasul 4.

Pasul 5

Pasul 6

APLICAȚIE

împărțirea unui segment într-un raport dat. Dându-se un segment AB, să se determine cu rigla (negradată) și compasul un punct M, interior segmentului, astfel încât AM/MB = k, unde k este un număr rațional dat.

Vom demonstra rezolvarea problemei pentru k=2/3.

Din AM/MB = 2/3 obținem că AM = 2p și MB = 3p.

Deoarece M se află în interorul segmentului, obținem că AM = 5p. Prin A trasăm o dreaptă oarecare pe care luăm punctele P, Q, R, S, T așa încât AP = PQ = QR = RS = ST (deci, 5 segmente congruente). Unim T cu B și prin Q ducem o paralelă la BT. Notând cu M intersecția acesteia cu AB, conform teoremei lui Thales, avem AQ/QT = AM/MB și cum primul raport este 2/3 rezultă că M este punctul căutat.

APLICAȚIE

GENERALIZAREA TEOREMEI LUI THALES

Trei sau mai multe drepte paralele determină pe două secante segmente proporționale adică, măsurile segmentelor de pe o secantă se află înmulțind măsurile segmentelor de pe cealaltă secantă cu un număr real nenul.

2.6. RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES

Dacă o dreaptă intersectează laturile AB și AC ale unui triunghi ABC și determină pe acestea segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu BC.

Evident că în loc de raportul de mai sus putem avea o proporție derivată, rezultatul rămânând identic.

Observație. Afirmația rămâne adevărată și atunci când punctele de intersecție sunt (ambele) pe prelungirile laturilor, dar poziționarea lor trebuie să fie similară.

Aplicație.

Fie ABCD un paralelogram, M pe AB, N pe AC așa încât MN paralelă cu BC, P pe AD așa încât NP paralelă cu DC. Demonstrați că MP este paralelă cu BD.

În triunghiul ABC, deci, cf. t. Thales,

2.7. TEOREMA LUI THALES – PROBLEME PROPUSE

Trasati un segment AB și luați un punct P AB, pentru care:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Segmentul MN = 48 cm și P (MN).

a) Dacă aflați lungimea segmentelor MP și NP

b) Dacă aflați lungimea segmentelor MP și NP

Dacă aflați lungimea segmentelor MP și NP

3. în triunghiul ABC, MN || BC, (M (AB) și N (AC)).

a) Dacă AM = 2 cm, AB = 5 cm, AN = 4 cm, aflați lungimea segmentelor MB, NC, AC.

b) Dacă AB = 3,2 cm, MB = 0,7 cm, AC = 9,6 cm, aflați lungimea segmentelor MA, NA, NC.

c) Dacă AM = cm, MB = cm, CN = cm, aflați lungimea segmentelor AB, NA, AC.

4. în triunghiul ABC, MN || BC, M (AB și N (AC.

a) Dacă AM = 12 cm, AB = 4 cm, AN = 24 cm, aflați lungimea segmentelor MB, AC, NC.

b) Dacă AM = 9,5 cm, AB = 4,3 cm, AC = 12,9 cm, aflați lungimea segmentelor MB, NC, AC.

c) Dacă AM = cm, AB = cm, CN = cm, aflați lungimea segmentelor MB, CA, AN.

5. în triunghiul ABC, MN || BC, M (CA și N (BA.

a) Dacă AB = 10 cm, BN = 15 cm, AM = 4 cm, aflați lungimea segmentelor AN, AC, MC.

b) Dacă AB = 8,4 cm, BN = 10,5 cm, AC = 9,6 cm, aflați lungimea segmentelor AN, AM, MC.

c) Dacă AC = cm, MC = cm, AN = cm, aflați lungimea segmentelor MA, AB, BN.

Solutia 2) a) 8 cm, 40 cm. b) 19,2 cm, 28,8 cm. c) 14,4 cm, 33,6 cm. 3) a) 3 cm, 6 cm, 10 cm. b) 2,5 cm, 7,5 cm, 2,1 cm. c) cm, cm, cm. 4) a) 8 cm, 8 cm, 16 cm. b) 5,2 cm, 15,6 cm, 28,5 cm. c) cm, cm, cm. 5) a) 5 cm, 8 cm, 12 cm. b) 2,1 cm, 2,4 cm, 12 cm. c) cm, cm, cm.

6. în triunghiul ABC, construim DE || FG || BC, unde D,F AB și E, G AC.

a) Dacă AD = 4cm, AF = 10 cm, AB = 22 cm, EG = 3 cm, aflați lungimea segmentelor DF, FB, AE, AG, GC, AC.

b) Dacă AD = 4,2 cm, AF = 7,8 cm, AB = 17,4 cm, AE = 1,4 cm, aflați lungimea segmentelor DF, FB, GE, CG, GA, AC.

c) Dacă AD = cm, AF = cm, AB = cm, CG = cm, aflați lungimea segmentelor DB, FD, FB, AE, AG, AC.

7. în triunghiul ABC cu AB = 10 cm, BC = 20 cm, AC = 15 cm, luăm un punct E (AB), cu BE = 4 cm. Prin punctul E trasam EF || AC, (F (BC)) și EG || BC, (G (AC)), iar prin F ducem FH || AB, (H (AC)). Aflați lungimea segmentelor AH, HG, GC, EA, FB, AG.

8. în triunghiul ABC luăm un punct De (AB) și ducem DE || BC, (E (AC)) și EM || AB (M (BC)). Demonstrați că:

a)

b)

9. în patrulaterul ABCD luăm punctul M (AC) și ducem MQ || CD, (Q (AD)) și MP || BC, (P (AB)). Demonstrați că PQ || BD.

10. în patrulaterul ABCD luăm punctul M (AB) și ducem MN || AC, (N (BC)) și MP || AD, (P (BD)). Demonstrați că PN || CD.

11. în triunghiul ABC luăm punctele M (AB) și N (AC). Cercetați dacă MN || BC în următoarele cazuri

a) AM = 2 cm, AB = 8 cm, AN = 3 cm, NC = 9 cm.

b) AB = 11 cm, MB = 3 cm, AN = 12 cm, NC = 4 cm.

c) AB = 8,6 cm, MB = 5,2 cm, AN = 10,2 cm, NC = 15,6 cm.

d) AM = 2,7 cm, MB = 3,2 cm, AC = 23 cm, AN = 10,8 cm.

e) AM = cm, MB = cm, AC = cm, NC = cm.

f) AB = cm, AM = cm, AN = cm, NC = cm

Răspuns: 6) a) 6 cm, 12 cm, 2 cm, 5 cm, 6 cm, 11 cm. b) 3,6 cm, 9,6 cm, 1,2 cm, 5,8 cm, 2,6 cm, 8,4 cm. c) cm, cm, cm, cm, cm, cm. 7) 6 cm, 3 cm, 6 cm, 6 cm, 8 cm, 9 cm. 11) a) da. b) nu. c) da. d) nu. e) da. f) nu.

2.8. Teorema paralelelor neechidistante

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

Trebuie să demonstrăm că

Dacă s1 și s2 sunt paralele atunci A1A2B2B1 șiA2A3B3B2 sunt paralelogame și avem Dacă dreptele s1 și s2 nu sunt paralele trasam paralela la s1 care intersectează dreptele d1,d2,d3 în punctele C2,C3, deci A1A2 = B1C2 și A2A3 = C2C3 și considerând triunghiul B1C3C3 și aplicăm teorema lui Thales avem deci rezultă

2.9. Teorema bisectoarei

GEOMETRIE

1. Relații metrice în triunghiul oarecare

1. 1. Teoreme ale bisectoarelor

Teorema 1.1.1. (Teorema bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A și D (BC), atunci:

Demonstrație.Trasam prin B o paralelă la AD care întâlnește pe CA în M. Aplicăm teorema lui Thates în triunghiul CBM și obținem:

(1)

(AD fiind bisectoarea interioară a unghiului A, avem că: < < BAD, dar < BAD < ABM (alterne interne) și < BMA < Dac (corespondente). Deci < BMA < ABM. Obținem astfel că triunghiul ABM este isoscel cu

AM = AB (2)

Din relațiile (1) și (2) obținem că și astfel teorema este demonstrată.

Din obținem sau de unde care se mai scrie:

(3)

Atunci deci

(4)

Observație. Pentru un plus de precizie se poate numi aceasta „prima teoremă a bisectoarei interioare".

Teorema 1.1.2. (Teorema reciprocă a teoremei bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, D (BC) astfel încât atunci (AD este bisectoarea interioară a unghiului <DA

Demonstrație. Facem aceeași construcție ca la teorema directă, adică ducem prin B o paralelă la AD care întâlnește pe CA în M. Din ipoteză rezulta:

(1)

Fiindcă AD | |MB obținem:

(2)

Din (1) și (2) obținem AB = AM, deci triunghiul AMB este isoscel cu

< ABM < BMA (3)

Din paralelism avem:

< MBA < BAD (alterne interne) (4)

și

< BMA <DAC (corespondente) (5)

Din relațiile (3), (4), (5) obținem că < BAD < DAC, adică (AD este bisectoarea interioara a unghiului A).

Teorema 1.1.3. (Teorema bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC cu AB AC. Dacă (AE este bisectoarea exterioară a unghiului < A, E BC, atunci

Demonstrație. Trasăm prin punctul B o paralelă la AE care întâlnește pe AC în N. Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul CAE:

(1)

Din paralelism obținem ANB MAE (corespondente), ABN EAB (alterne interne). Din ipoteză avem că < MAE < EAB, deci < ANB < ABN, adică triunghiul ABN este isoscel cu

(AB) (AN) (2)

Din (1) și (2) obținem: și teorema este demonstrată.

CAPITOLUL III

Consecințe ale teoremei fundamentale a ASEMĂNĂRII

3.1. Triunghiuri asemenea

Există figuri geometrice care „seamană", dar care prin suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor).

Figurile geometrice sunt identice. Și triunghiurile ABC și MNP sunt asemenea.

Ele au :

< A = < M

< B = < N

< C = < P

Dacă între două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt asemenea și scriem ΔABC ~ ΔMNP. Perechile de unghiuri < (A, P), < (B, M), < (C, N) și perechile de laturi (AB, MN), (BC, NP), (AC, MP) se numesc corespondente sau omoloage.

Raportul lungimilor laturilor se numește raport de asemănare.

Daca triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemanare este 1.

3.2. Teorema fundamentală a asemănării

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel inițial.

Dacă avem triunghiul ABC și trasăm paralela MN la latura BC se formeaza ΔABC ~ ΔAMN.

Triunghiurile au laturile proporționale și unghiurile congruente.

DEMONSTRAȚIE :

< B= < M, < C = < N (1).

Fie

Obținem în mod analog egalitatea ; pe de alta parte MNPB paralelogram MN = BP (3); din (1), (2) și (3) rezultă ΔABC ~ ΔAMN.

OBSERVAȚII:

1. Teorema asemănării completează teorema lui Thales având aceeași ipoteză, dar concluzia diferă, referindu-se la toate laturile triunghiurilor.

2. Teorema asemănării rămâne valabilă și în cazul în care segmentul MN se afla în exteriorul triunghiului ABC (se disting două cazuri).

PROPRIETĂȚI:

i) ΔABC ~ ΔABC (reflexivitate);

ii) ΔABC ~ ΔMNP ΔMNP ~ ΔABC (simetrie)

iii) (tranzitivitate)

iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche de unghiuri ascuțite congruente.

v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de unghiuri congruente.

vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.

vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea.

viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea.

ix) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt asemenea.

x) Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul de asemanare al laturilor este egal cu:

– raportul bisectoarelor;

– raportul înălțimilor;

– raportul medianelor;

– raportul razelor cercurilor înscrise;

– raportul razelor cercurilor circumscrise.

Problema rezolvată

Se dă trapezul ABCD. Cu AB || CD, AB > CD, iar punctul O este intersecția diagonalelor. Să se arate că

REZOLVARE:

AB || CD ΔAOB ~ ΔCOD

Deci,

3.3. Criterii de asemănare a triunghiurilor

Pentru a arăta că două triunghiuri sunt asemenea nu este nevoie să verificăm toate condițiile date la definiția triunghiurilor asemenea. Este suficient să verificăm doar două condiții. Ca și la congruența triunghiurilor, aceste teoreme se numesc criterii.

CAZUL 1

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent și laturile care care îl formează proporționale.

CAZUL 2

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri respective congruente.

CAZUL 3

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile proporționale.

Demonstrație: luăm pe latura AC a triunghiului ABC.

Segmentul AD congruent cu segmentul MP.

Din punctul D se trasează o paralelă la latura CB. Rezulta că Δ ADE ~ Δ ACB conform teoremei asemănării.

Pentru cazurile de asemănare vom lua pe rând:

1. < A = < P

2. < A = < P, < C = < M

3.

APLICAȚIE

în orice triunghi rezultatul dintre lungimea unei laturi și lungimea înălțimii corespunzătoare ei este constant.

Trasăm înălțimile AM, BN, CP. Vrem să demonstrăm că AC BN = CB AM = AB CP

Vom arăta ca BC AM = AC BN.

Cealaltă egalitate se demonstrează la fel. BC și BN sunt laturi ale triunghiului BNC.

Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC deoarece sunt triunghiuri dreptunghice; deci au un unghi drept, iar unghiul ACM este comun. Putem scrie că rezultă că BC AM = AC BN, ceea ce trebuia să demonstrăm.

3.4. Teorema lui menelaus

Dacă o transversală intersectează dreptele AB, BC, AC care conțin laturile [AB], [BC], [AC] ale triunghiului ABC în punctele A1;B1, respectiv C1, are loc relația:

Demonstrație

Fie t o transversală care intersectează dreptele AB, BC, AC care conțin laturile [AB], [BC], [AC] ale triunghiului ABC în punctele A1,B1, respectiv C1. Trasam semidreptele paralele (AA2, (BB2, (CC2 care intersectează transversal t în punctele A2, B2, C2. Rezultă că segmentele [AA2], [BB2], [CC2] sunt paralele. Consideram trei omotetii care transformă pe B în C, C în A, pe A în B. Prin urmare avem

Rezultă că înmulțind membru cu membru cele trei relații rezultă relația cerută.

3.5. Teorema lui Ceva

Se consideră un triunghi ABC și punctele A' BC, B’ CA, C' AB. Dacă dreptele AA’ BB’ și CC’ sunt concurente atunci:

(*)

Demonstrație:

Fie {P} =

Aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA’B și punctele coliniare Cm P, C’. Rezultă:

Aplicând apoi teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA’C și punctele coliniare B, P, B’. Rezultă:

înmulțind ultimele două relații vom obține

(Vectorial): A, B, C necoliniare și C’A’B’ astfel încât și

Să se arate că AA’, BB’ și CC’ sunt concurente dacă și numai dacă αβγ=1.

Demonstrație:

Orice să arătăm că sunt coliniare.

coplanare, unde

în triunghiul AA’C aplicăm teorema lui Menelaus și

adică αβγ =1

Reciproca teoremei lui Ceva. Fie ABC un triunghi și punctele Dacă:

atunci dreptele AA', BB' și CC' sunt concurente.

Demonstrație:

Fie și fie

Se aplică teorema lui Ceva pentru triunghiul ABC și dreptele concurente AA", BB' și CC'.

Rezultă:

Din ultima egalitate și din relația dată în enunț rezultă:

Deoarece A' și A" sunt puncte interioare segmentului (BC) se obține A' = A”.

Observație: Reciproca teoremei lui Ceva este adevărată și în cazul în care unul din punctele A', B', C' se găsește pe o latură a triunghiului de exemplu A' aparține lui (BC), iar celelalte două puncte B' aparține dreptei AC, C' aparține dreptei AB și verifică condiția BB' nu este paralel cu CC'.

Fig. 2

3.6 Raportul ariilor triunghiurilor asemenea

Proporția ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

Raportul volumelor a două corpuri geometrice asemenea este egal cu cubul raportului de asemănare.

Două triunghiuri care au aceeași arie se numesc echivalente.

3.7. Aplicații

Probleme rezolvate

1. Să se afle distanța de la un observator situat în punctul B de pe mal la un pom situat în punctul A pe malul celălalt.

Rezolvare:

Se realizează doi țăruși un triunghi ABC și un segment DE || BC astfel încât A, D, B și A, E, C să fie coliniare. Din TFA .

Lungimea segmentelor DE, DB, BC, DE se pot calcula de aici înlocuind în formula se află distanța.

2. Un vânător are o pușcă AB de lungime 1,2 m. Partea AD de la un capăt până la trăgaci este o treime din lungime. El ochește o pasăre C care se află la 100 m depărtare. Dar în momentul în care trage pușca se rotește și punctual D se ridica cu un segment DE = 2 mm. Cu câți m deasupra țintei trage glonțul?

Rezolvare

AC = 100 m = 10000 cm; DE = 2 mm = 0,2 cm; AB = 1,2 m = 120 cm.

3. Determinarea înălțimii unei piramide cu ajutorul umbrei (cu metoda lui Thales).

4. Calculați distanța dintre două persoane situate într-un teren de o parte și de alta a unui lac.

Mai intâi se fac măsurători în teren. Datele problemei sunt: AM = x, MB = 8 m, BC = 15 m, MN = 13m.

CAPITOLUL IV

Probleme propuse

1. În triunghiul ABC avem AB = 12 cm, BC = 10 cm și AC = 14 cm. Fie EF BC, F (AB), E (AC) astfel încât AE = 3 cm. Să se calculeze lungimile laturilor triunghiului AEF.

2. Fie triunghiul ABC, EF BC, E (AB), F (AC) și M mijlocul [BC], AM EF = {P}. Să se arate ca [EP] = [PF].

3. Triunghiul ABC are lungimile laturilor [AB], [BC], [AC], egale cu 2 cm, 3 cm, 4 cm, iar triunghiul A’B’C’ are A’B’ = x cm și B’C’ = (x + 2) cm.

a) Să se determine x astfel încât ΔABC ΔA’B’C’

b) Să se calculeze perimetrul triunghiului A’B’C’

4. Triunghiurile ABC și ABD sunt situate în același plan și P (AB). Dacă PM BC, M AC; PN BD, N AD. Să se arate că:

a)

b)

5. În triunghiul ABC, M (AB), N (AC), MN BC. Completați tabelul următor:

7. (25 p). Fie triunghiul ABC și punctele D (AB), E (AC) astfe încât DE BC.Știind ca AD = 5 dm, AE = 7 dm, EC = 5 dm atunci AB = …

7. (25 p) Se știe că și AB = 3 cm, BC = 5 cm și AC = 6 cm, DE = 33 cm. SĂ se afle

a) EF = ………..

b) DF = …………

8. (25 p) Pe laturile unghiului XOY se iau punctele A, C (OX și B, D (OY astfel încât AB OB, CD OD. Arătați ca BC2 = AB CD .

9. ΔABC~ ΔDEF

Determinati x și y.

10. Fie ΔABC~ ΔDEF avand raportul de asemanare

a) Dacă AB = 4; AC = 5; BC = 6, aflați lungimile laturilor ΔDEF.

b) Calculati

11. Fie ΔABC, M [AB], MN || BC,N [AC].

a) Știind ca AM = 3 cm; MN = 6 cm; AB = 10 cm, AN = 5 cm, determinati MB; AN; NC; BC.

b) Dacă MN = 5 cm; BC = 15 cm; AC = 12 cm; AB = 9 cm, aflați AM; MB; AN; NC.

c) Dacă MN = 1 cm; BC = 4 cm; NC = 2 cm; AM = 8 cm, aflați AB; AC; AN; MB.

12. în ΔABC AB = 20 cm; BC = 25 cm; AC = 30 cm. Fie D BC, astfel încât și paralelele DE la AB, E (AB), iar DF la AC, F (AB). Aflați perimetrul patrulaterului AFDE.

13. În figura de mai jos, dreptele MN și QR sunt paralele.

a) Dacă PN = 3; PQ = 6; MN = 2, aflați QR.

b) Dacă QR = 8; PR = 3; PM = 2, calculați MN.

14. Fie trapezul ABCD cu AB || CD, AC BD = {O}. Aflați AO; OB; CO; OD știind că:

a) AB = 20; CD = 10; AC = 21; BD = 12;

b) AB = 2; CD = 1; AC = 15; BD = 9.

15. Fie ABCD trapez cu bazele AB || CD, AB = 36 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm, BC = 16 cm. Dacă AD BC = {M}. Determinați perimetrul triunghiului MDC.

16. Fie ABCD paralelogram cu AB = 20 cm, DC = 30 cm, M (AC), astfel încât Prin M se duc MN || AD, N (DC) și MP || DC, P (AD). Să se determine perimetrul paralelogramului MNDP.

17. Prin M (BC) a triunghiului ABC se duc Paralele la AB și la AC. Aceste paralele intersectează AB și AC în P, respectiv N. Demonstrați că

17. Fie M un punct pe diagonala AC a unui patrulater convex ABCD. Se duc MP || AB, P (BC) și MQ || CD, Q (AD). Să se demonstreze că constant.

18. Fie ΔABC, se trasează printr-un punct oarecare P al bazei BC o paralelă la mediana AD care intersectează dreptele AB și AC în N și M. Să se arate ca PM + PN = constant.

Puncte inaccesibile

Calculați distanța de la un observator aflat în punctul B de pe mal, la copacul A de pe malul celalalt.

Puncte inaccesibile

Un vânător are o pușcă AB, lungă de 1,20 m. Partea AD de la un capăt al puștii până la trăgaci este 1/3 din pușcă. El are în vizor o pasăre C care se află la 100 m depărtare de el. Dar vânătorului tremurăndu-i mâna și din cauza aceasta, în momentul când apasă pe trăgaci pușca se rotește în jurul capătului A astfel încât punctul D se ridică cu un segment DE = 2 mm.

Cu câți m deasupra țintei trece glonțul?

BIBLIOGRAFIE

1. Lupu Costică – „Didactica matematici", Editura Coba, București, 2006.

2. Neacșu Ion – „Metode și tehnice de învățare eficientă", Editura militară, București, 1990.

3. Andrica, D., Varga, Cs., Văcărețu, D. – „Teme și probleme alese de geometrie”, Plus , București, 2002.

4. Brânzei, D., Bazele raționamentului geometric, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

5. Hadamard, J., Lecții de geometrie elementară, Editura Tehnică, București, 1960.

6. Lalescu, N., Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova, 1993.

7. Mihăilescu, N., Complemente de geometrie sintetică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1971.

8. Nicolescu, L., Metode de rezolvare a problemelor de geometrie, Editura Univ. București, 1993.

9. http ://www. Matematic.ro/

10. http ://www.pro-didactica.ro/

11. http://www.recreatiimatematice.ro/

12. http://egovbus.net/rdl