CONTRIBUȚII PRIVIND OPTIMIZAREA ȘI CORECTAREA PERFORMANȚELOR FUNCȚIONALE LA UNELE SISTEME ROBOTIZATE CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC Cam.(r)prof.univ.dr.ing…. [311399]

ROMÂNIA

MINISTERUL APĂRĂRII NAȚIONALE

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

ing. MIRONESCU DORU

REZUMAT TEZĂ DE DOCTORAT

TEMĂ:

CONTRIBUȚII PRIVIND OPTIMIZAREA
ȘI CORECTAREA PERFORMANȚELOR FUNCȚIONALE LA UNELE SISTEME ROBOTIZATE

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC

Cam.(r)prof.univ.dr.ing. Dan Ioan IONESCU

BUCUREȘTI

2006

[anonimizat] 4R în vederea optimizării și corectării performanțelor la unele sisteme robotizate.

[anonimizat], destinat efectuării unor funcții motoare sau intelectuale ale omului. Printre diferitele clase de roboți una dintre cele mai importante o [anonimizat].

În realizarea sistemului de conducere a roboților industriali și a celulelor de fabricație flexibilã se propune aplicarea unor tehnici ale inteligenței artificiale pentru realizarea nivelelor ierarhice superioare și a [anonimizat], în materializarea nivelului ierahic inferior.

Un robot industrial este un echipament care nu funcționeazã [anonimizat]ã împreunã cu alți roboți și/[anonimizat], ajungându-se astfel la noțiunea de celulã flexibilã de fabricație. Dacã acest termen este acceptat și folosit adesea împreunã cu acela de sistem de tip CIM (Computer Integrated Manufacturing), conducerea și optimizarea funcționãrii unei celule de fabricație este încã o problemã deschisã. Pentru obținerea flexibilitã[anonimizat]ã [anonimizat] o abordare unitarã a unei celule de fabricație robotizatã, care sã îmbine elementele de automaticã și cele de inteligențã artificialã (IA).

Lucrarea de doctorat are următoarele obiective:

ﭽ Analiza funcționării și structurii generale a unui robot industrial în vederea introducerii in procesele de fabricatie;

ﭽ Prezentarea arhitecturii unui robot industrial 4R;

ﭽ Optimizarea constructiv funcțională a robotului industrial 4R;

ﭽ Programarea robotului industrial 4R pentru operațiuni de sudură;

ﭽ Planificarea mișcării robotului în coordonate carteziene și generarea traiectoriilor care unesc două puncte ale spațiului de lucru;

ﭽ Realizarea conducerii simultane a articulațiilor robotului 4R cu motoare electrice pas cu pas;

Teza de doctorat conține următoarele capitole:

Capitolul 1 “cercetări actuale în construcția si utilizarea roboților industriali” conține domeniile de aplicare a [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat], etc. Se prezintă o clasificarea pe generații folosind drept criteriu de bază capacitatea mașinii de percepere și interpretare a [anonimizat]. Se prezintă:

– Manipulatoarele manuale (prima generație);

– Manipulatoare automate (generația a doua);

– Manipulatoare inteligente (generația a treia);

– [anonimizat] 3 axe (dintre care cel puțin 2 [anonimizat]);

– Roboții industriali din generația a doua;

– Roboții industriali din generația a treia sunt dotați cu senzori inteligenți (prelucrare locală a informației) și utilizează elemente de inteligență artificială;

– Roboții inteligenți sunt dotați cu programe de inteligență artificială avansate, au capacitate de autoinstruire.

Aplicarea inteligenșei artificiale (IA) se referă la modalitățile prin care poate fi imitată inteligența umană cu ajutorul calculatoarelor electronice și a unor programe performante. O definiție operațională a inteligenței artificiale este Testul Turing, care constă într-o conversație (discuție prietenească – chat), la distanță, între un om (operator) și un calculator. La sfârșitul testulu, calculatorul se consideră inteligent când operatorul nu poate spune dacă a dialogat cu un alt operator uman sau cu o mașină.

Roboții care își planifică singuri traiectoria de mișcare sunt dotați cu funcții de decizie și încadrați în clasa roboților inteligenți. Există roboți la care traiectoria nu se planifică, este fixă și marcată pe teren. Ín acest caz ei trebuie să evite numai obstacole interpuse accidental pe traseul marcat și să prelucreze informația de navigație realizând astfel urmărirea traiectoriei fixate. Acești roboți mobili nu sunt inteligenți, dar sunt deosebit de utili pentru asigurarea transportului în atelierele flexibile ale producției.

Capitolul 2 “Analiza cinematică a mecanismelor din compunerea roboților” conține date privind mișcarea solidului rigid în raport cu un sistem de referință, prin stabilirea pozițiilor, vitezelor și accelerațiilor unui sistem de referință, solidar legat de solidul rigid, cu ajutorul matricei transformării la schimbarea axelor de coordonate.

Translația unui sistem de axe de coordonate se definește prin deplasarea sistemului, astfel ca axele să rămână paralele cu ele însele și de același sens. Rotația axelor de coordonate este definită prin mișcarea sistemului Oxyz în raport cu , astfel încât originea să rămână aceeași.

Poziția și mișcarea solidului rigid , față de sistemul cartezian fix , corespund poziției și mișcării unui triedru Oxyz atașat rigidului respectiv.

În rotația axelor de coordonate, în spațiu, intervin nouă unghiuri (cosinusuri directoare), câte trei pentru fiecare axă, nouă în raport cu cele trei axe inițiale considerate fixe. Aceste nouă cosinusuri directoare nu sunt independente între ele, ci sunt legate prin relații fundamentale referitoare la o direcție în spațiu.

În paragraful 2.7 se utilizează sistemul de coordonate Denavit-Hartenberg în analiza cinematică a unui sistem robot format dintr-un set de brațe rigide, conectate între ele prin diferite articulații simple, cum sunt articulațiile de rotație și articulațiile de translație, care au un singur grad de libertate a mișcării, unghiul de rotație pentru articulațiile de rotație și respectiv, valoarea deplasării liniare în cazul articulațiilor prismatice. Scopul analizei cinematicii directe este de a determina cumularea efectelor întregului set de variabile, asociate articulațiilor. O convenție de alegere a acestor sisteme foarte des întâlnită în aplicațiile cu roboți este convenția Denavit-Hartenberg.

Capitolul 3 “Bazele teoretice ale dinamicii roboților industriali” conține formulări matriceale și tensoriale utile în calculul impulsului unui sistem material, a momentului cinetic al sistemului material în raport cu un punct O și a energiei cinetice. Este calculat torsorul de reducere al impulsurilor în cazuri particulare de mișcare a sistemelor materiale și deduse teoremele impulsului (prima teoremă a impulsului și teorema momemtului cinetic) pentru un sistem oarecare de puncte materiale și rigide în mișcare, la un timp oarecare.

Mișcarea generală a rigidului se presupune compusă dintr-o mișcare de translație cu viteza a centrului maselor rigidului C și dintr-o rotație cu viteza unghiulară în jurul axei instantanee trecând prin centrul C.

În studiul de caz 3.1 se consideră robotul TRTRT (fig. 3.1.1) pentru care se calculează energiile cinetice ale ansamblurilor ce compun robotul, ținând seama de faptul că fiecare cuplă își imprimă mișcarea la toate, ansamblurile care urmează de la cupla respectivă, până la efectorul final.

În paragraful 3.13.”Utilizarea metodelor analitice în determinarea ecuațiilor diferențiale ale roboților industriali” sunt prezentate coordonatele generalizate, legăturile și. deplasările utilizate în mecanica analitică.

Sunt formulate analitic:

– Principiul lui dAlembert;

– Principiul deplasărilor virtuale,

și deduse ecuațiile lui Lagrange de speța întâia și de speța a doua.

Capitolul 4 “Arhitectura unui model de robot 4R. Cinematica și dinamica robotului” conține onfigurația generală a modelului 4R, părțile componente:

– baza, platforma;

– braț 1, braț 2 și efectorul robotului.

Platforma are în compunere două motoare elcetrice care asigură mișcare platformei față de bază (motor 1) și mișcarea brațului 1 față de platformă (motor 2) . Pentru brațele robotului sunt prezentate sistemele de referință fixate de acestea, distanțe între axe, pozițiile centrelor de masă față de axele de referință și caracteristicile masice.

Mișcarea robotului 4R, proiectat special pentru a permite realizarea obiectivelor tezei de doctorat, se realizează în două etape:

– aducerea robotului din poziția inițială, corespunzătoare situației în care brațele robotului sunt poziționate vertical, iar platforma nu este rotită față de bază, până în poziția de lucru;

– realizarea procesului tehnologic pe masa de lucru.

Este analizat un proces tehnologic care necesită deplasarea vârfului efectorului după un segment de dreaptă în planul orizontal al mesei de lucru, cu o viteză constantă.

Pentru un proces tehnologic care necesită deplasarea vârfului efectorului după un arc de cerc în planul orizontal al mesei de lucru, cu o viteză constantă, se determină legile de rotație ale motoarelor.

Capitolul 5 “Starea de tensiune și deformație în brațele robotului 4R” prezintă date privind analiza liniar elastică. Folosind ipotezele micilor deplasări și a liniarității materialului se ajunge la ecuația generală a metodei elementelor finite.

În cazul aplicațiilor neliniare, se remarcă două categorii de analize și anume: cazul analizei neliniare statice (se neglijază atât forțele masice de inerție cât și cele de amortizare) și cazul analizei dinamice (se ține cont de cel puțin una din categoriile de forțe specificate mai sus). În ambele cazuri, analiza neliniară se desfășoară în timp, desemnându-se un timp inițial, unul final și un pas de timp pentru parcurgerea intervalului de timp.

În cazul deformațiilor mari, variația tensiunilor și a deformațiilor specifice se iau în considerație prin folosirea tensorului Piola-Kirchhoff al tensiunilor de ordinul al doilea și a tensorului Green-Lagrange, al deformațiilor specifice. Un alt tensor al tensiunilor care este folosit în analiza neliniară prin metoda elementelor finite, este tensorul vitezei tensiunilor Jaumann. Tensorul deformațiilor specifice folosit împreună cu tensorul vitezei tensiunilor Jaumann, este tensorul vitezei deformațiilor specifice, sau tensorul vitezei deformațiilor,

Capitolul 6 “Metode de optimizare. Optimizarea constructiv funcțională a robotului industrial 4R” conține bazele optimizării matematice și utilizarea metodelor numerice în optimizarea constructiv funcțională a robotului industrial 4R proiectat de autorul tezei de doctorat. Sunt sistematizate date privind extremele funcțiilor reale de mai multe variabile, extremele libere și cu legături și metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Optimizarea constructiv funcțională a robotului industrial 4R se bazează pe determinarea capacității de încărcare a robotului și pe capacitatea de încărcare a angrenajului interior cu dinți drepți. Solicitările produse de forțele de inerție la mișcarea de rotație accelerată a platformei, ale brațelor și a efectorului, și de forțele de greutate ale brațelor și efectorului, precum și momentul de inerție rezistent obținut la mișcarea de rotație a platformei, sunt preluate de articulațiile cilindrice dintre brațul 1 și platformă, brațul 1 și brațul 2 și brațul 2 și efector. Articulația cea mai solicitată din acest punct de vedere este cea dintre brațul 1 și platformă.

Scopul optimizării brațului 2 este reducerea masei deci și a momentelor de inerție, prin controlarea grosimii pereților. Grosimea inițială din construcție este de 5 mm. Calculul de otimizare a grosimii peretelui brațului 2, se concretizează prin determinarea grosimii de 2,75 mm. Frecvența modului doi de vibrație corespunzătoare aceste grosimi este de 330,11 Hz, fiind superioară pragului limită de 330 Hz, eroarea fiind de 0,033%..

Capitolul 7 “Precizia în funcționarea roboților industriali” prezintă influența parametrilor dinamici și de precizie ai mecanismelor asupra indicilor de performanță ai unui sistem mecanic automat. Se evidențiază doi parametri de precizie ai mecanismelor:

– eroarea de poziție (deplasare) a mecanismului definită ca diferența între poziția (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real (afectat de abateri de prelucrare) și cel ideal la aceeași pozitie (deplasare) a elementelor conducătoare, în ambele mecanisme;

– eroarea de pozitie (deplasare) a elementului condus în mecanism definită ca diferența între poziția (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real și ideal, datorită impreciziei mecanismului, inclusiv a impreciziei pozitiei elementului conducator.

O caracteristică de bază a mecanismelor o constituie precizia de transmitere și recepționare a fluxului de semnale.

Erorile care pot afecta precizia unui mecanism pot fi: teoretice, de formă, constructive și datorate forțelor interne. O eroare de calcul minimă între două legi, legea de propagare a fluxului de semnale și liniarizarea acesteia, se obține prin soluționarea problemei abaterii prin metoda apropierii uniforme a funcțiilor.

În studiul de caz din paragraful 7.3 se analizează eroarea deplasării a vârfului efectorului F și eroarea vitezei în cazul în care funcția are perturbația . Variația în timp a perturbației are reprezentarea grafică din fig. 7.6, iar perturbația vitezei vârfului F este dată în fig. 7.7. Se analizează precizia vitezei unghiulare la roțile dințate cu dantură în evolventă la care, din cauza jocurilor din lagăre și a erorilor de pas, la module mici apare angrenarea pe muchie.

Capitolul 8 “Concluzii și contribuții” conține principalele concluzii rezultate din lucrarea de doctorat și contribuțiile originale ale autorului tezei de doctorat.

Lucrarea are la bază preocupările autorului de cercetare teoretică și de modelare, cu ajutorul metodelor numerice, a stării de tensiune și a deformațiilor din elementele componente ale roboților industriali.

Aduc calde mulțumiri Conducerii Academiei Tehnice Militare, conducătorului științific domnul Cam. prof. univ. dr. ing Dan – Ioan Ionescu pentru îndrumarea permanentă și exigența științifică pe toată durata pregătirii prin doctorat, cadrelor didactice din ATM care m-au îndrumat cu ocazia susținerii examenelor și a referatelor de cercetare științifică, membrilor Catedrei de sisteme integrate de aviație și mecanică din ATM pentru sugestiile date cu privire la elaborarea lucrării de doctorat, precum și familiei mele pentru sprijinul moral acordat.

CAPITOLUL 1

CERCETĂRI ACTUALE ÎN ANALIZA

ROBOȚILOR INDUSTRIALI

1.1 Scurt istoric și aplicații ale roboților neindustriali

Noțiunea de robot datează de peste 4 mii de ani. Omul și-a imaginat dispozitive mecanizate inteligente care să preia o parte însemnată din efortul fizic depus. Astfel a construit jucarii automate și mecanisme inteligente sau și-a imaginat roboții in desene, cărti, filme "SF" etc.

Termenul "robot" a fost folosit în 1920 de cehul Karel Capek într-o piesă numită "Robotul universal al lui Kossum". Ideea era simplă: omul face robotul dupa care robotul ucide omul. Multe filme au continuat să arate că roboții sunt mașinării dăunătoare și distrugătoare.

În 1941 Isaac Asimov a folosit cuvântul "robotizare" pentru descrierea tehnologiei roboților și a prezis creșterea unei industrii robotice puternice. În 1956 a luat ființa prima companie ce realiza roboți industriali, iar in 1961 Compania de automobile "Genral Motors" "angaja" primul robot industrial. Începând cu 1980 asistăm la o expansiune a roboților industriali în diverse industrii.

Primele cercetări în domeniul roboticii au fost inițiate începând cu anul 1960. Dupa un avânt substanțial al aplicațiilor roboticii în domeniul industrial, cu precadere în industria automobilelor, după 1990 s-au conturat multiple aplicatii in domeniile neindustriale (nemanufacturiere).

Această dezvoltare, chiar spectaculoasă, în direcția aplicațiilor neindustriale justifică trecerea în revistă a principalelor subdomenii în care roboții nemanufacturieri sau roboții de serviciu își pot gasi aplicabilitate.

1.2 Clasificarea roboților industriali.

Definiții, domenii de utilizare, evoluție

Robotul este un sistem automatizat de înalt nivel al cărui principal rol este manipularea pieselor și uneltelor, înlocuind acțiunea umană.

Principalele aplicații în care utilizarea roboților industriali are avantaje evidente:

– sudură prin puncte sau pe contur;

– operații de ansamblare;

– vopsire;

– turnarea în forme a pieselor mari;

– controlul calității;

– manipularea substanțelor toxice, radioactive;

Robotul industrial este definit în prezent ca un manipulator tridimensional, multifuncțional, reprogramabil, capabil să deplaseze materiale, piese, unelte sau aparate speciale după traiectorii programate, în scopul efectuării unor operații diversificate de fabricație. Pentru diferitele componente ale roboților industriali (fig. 1.1.), s-au definit termeni specifici preluați din literatura anglo – saxonă.

a. b. c.

Fig. 1.1 Roboți industriali tip manipulator

1.2.1 Clasificarea manipulatoarelor și roboților pe generații

Clasificarea pe generații folosește drept criteriu de bază capacitatea mașinii de percepere și interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum și de adaptare la mediu în timpul procesului de lucru. Deosebim:

– manipulatoarele manuale (prima generație);

– manipulatoare automate (generația a doua);

– manipulatoare inteligente (generația a treia);

– roboții industriali din prima generație sunt manipulatoare automate programabile, având cel puțin 3 axe (dintre care cel puțin 2 axe sunt programabile prin învățare sau printr-un limbaj simbolic);

– roboții industriali din generația a doua;

– roboții industriali din generația a treia sunt dotați cu senzori inteligenți (prelucrare locală a informației) și utilizează elemente de inteligență artificială;

– roboții inteligenți sunt dotați cu programe de inteligență artificială avansate, au capacitate de autoinstruire.

Majoritatea roboților industriali folosiți în prezent sunt din generația 1 și 2. În funcție de scara evolutivă a treptelor de automatizare roboții industriali se clasifică în:

1.2.2 Clasificare pe categorii

Din punctul de vedere al relației om-robot în timpul desfășurării lucrului roboților, acestia se impart in trei mari categorii:

• Roboți automați,

• Roboți biotehnici,

• Roboți interactivi.

În cazul robotiior comandați pas cu pas, prin acționarea de către operatorul uman a unui buton sau manetă, este pus in funcțiune unul din gradele de mișcare ale robotului. Roboții master-slave sunt constituiți din doua lanțuri cinematice deschise, primul lanț (master) având mișcarea comandată de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scară această mișcare și efectuând operațiile de manipulare pentru care este destinat robotul. In alte cazuri, legatura dintre master și slave este indirectă, prin teletransmisie. In ambele cazuri, operatorul uman trebuie să vadă tot timpul mișcarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastră sau pe un ecran display.

În cazul roboțiior biotehnici semiautomați, operatorul uman participă nemijlocit în procesul de comandă, dar în acelasi timp cu el lucrează și un calculator universal sau specializat. Semnalul de comandaă la aceste sisteme este dat de operatorul uman, obisnuit printr-o manetă de comandă ce poate avea 3-6 grade de mișcare. Semnalul obținut prin apăsarea manetei după un grad de mișcare oarecare este preluat de calculator, care efectuează calcule și formează semnalele de comandă pentru fiecare grad de mișcare al organului de execuție al robotului.

Roboții ce acționează in medii industriale au capătat denumirea de roboți industriali. In general, acestia sunt roboți automați și în cazuri mai rare se utilizează in industrie și roboți biotehnici sau interactivi. Sunt răspândiîi, in special, roboții programați și, mai puțin, cei adaptivi. Roboții inteligenți se află în faza de încercări în laboratoare sau aplicații la unele operații de montaj automat.

1.3 Domeniul inteligenței artificiale (IA)

Se consideră că obiectul IA se referă la modalitățile prin care poate fi imitată inteligența umană cu ajutorul calculatoarelor electronice și a unor programe performante.

Referitor la inteligența artificială se consideră [35, 120] că:

IA este domeniul de studiu care își propune să explice și să modeleze comportamentul inteligent în termenii proceselor de calcul;

IA este de natură interdisciplinară care implică știința calculatoarelor, matematica, psihologia proceselor cognitive ș.a.

Ingineresc IA se ocupă cu generarea reprezentărilor procedurilor care în mod automat și autonom permit rezolvarea până acum numai de oameni;

Obiectul IA este abordarea inteligenței ca pe un calcul posibil de efectuat, fezabil.

O definiție operațională a inteligenței artificiale este Testul Turing, care constă într-o conversație (discuție prietenească – chat), la distanță, între un om (operator) și un calculator. La sfârșitul testului, calculatorul se consideră inteligent când operatorul nu poate spune dacă a dialogat cu un alt operator uman sau cu o mașină.

Se obțin următoarele concluzii:

IA poate fi descrisă drept domeniu al informaticii care se ocupă cu proiectarea și construirea sistemelor capabile să realizeze funcții ale intelectului uman, cum ar fi învățatrea din experiență, înțelegerea limbajului naturalsau utilizarea unui raționament pentru rezolvarea problemelor;

este mai ușor de exprimat ce trebue să facă mașinile inteligente decât descrierea a ceea ce trebue să fie ele;

structura arhitecturală a calculatoarelor electronice rămâne încă foarte diferită de structura sistemelor biologice,

comportamentul inteligent se caracterizează prin:

– flexibilitate – disponibilitatea de adaptare la condiții noi;

– feed – back (reacție) – posibilitatea de a compara rezultatele acțiunilor cu așteptările și apoi modificarea corespunzătoare a acțiunilor;

– memoria – pentru înmagazinarea informațiilor în vederea utilizării ulterioare.

1.4 Roboți mobili

Unul din obiectivele esențiale ale roboticii este elaborarea roboților autonomi. Asemenea roboți ar putea accepta o descriere naturală – formală – (de nivel înalt) a sarcinilor de îndeplinit și executarea comenzilor fără alte intervenții umane. Descrierile necesare vor preciza ce dorește utilizatorul și nu cum să execute comenzile. Roboții capabili să îndeplinească aceste operații vor fi dispozitive mecanice versatile, echipate cu senzori de perceperea a mediului și aflate sub controlul unui sistem de calcul [43, 43, 80].

Orientarea într-un mediu total necunoscut, folosind senzori pentru detectarea obstacolelor și comunicația cu un calculator aflat la distanță sunt două aspecte importante care trebuie luate în considerare atunci când lucrăm cu un robot mobil.

Fără senzori, roboții nu ar putea executa altceva decât sarcini fixate dinainte, repetând operațiile ce le are de realizat iar și iar, dar dotați cu senzori, roboții au capacitatea de a face mult mai mult decât atât.

Problemele specifice ce apar la roboții mobili sunt următoarele:

evitarea impactului cu obiectele staționare sau în mișcare;

determinarea poziției și orientării robotului pe teren;

planificarea unei traiectorii optime de mișcare.

Ín cazul unui sistem robotic automat distribuit pozițiile spațiale sunt de o extremă importanță și de ele depinde îndeplinirea scopurilor dorite și funcționarea întregului sistem. Cu alte cuvinte, robotul trebuie să fie capabil să-și planifice mișcările, să decidă automat ce mișcări să execute pentru a îndeplini o sarcină, în funcție de aranjamentul momentan al obiectelor din spațiul de lucru.

Planificarea mișcărilor nu constă dintr-o problemă unică și bine determinată, ci dintr-un ansamblu de probleme dintre care unele sunt mai mult sau mai puțin variante ale celorlalte.

Evitarea coliziunii cu obstacole fixe sau mobile (de exemplu alți roboți mobili) aflate în spațiul de lucru al robotului se poate face prin mai multe metode: realizarea unei apărători mecanice care prin deformare oprește robotul, folosirea senzorilor care măsoară distanța până la obstacolele de pe direcția de deplasare, folosirea senzorilor de proximitate, folosirea informațiilor corelate de la mai multe tipuri de senzori.

Localizarea obiectelor se poate realiza și prin contact fizic, dar acesta impune restricții asupra vitezei de mișcare a structurii manipulate. Contactul fizic dintre robot și obiectele din mediu generează forțe de reacțiune care modifică starea robotului. Vitezele mari de lucru fac ca efectele dinamice ale unui contact fizic cu obstacole sau obiecte manipulate să fie riscante (pot duce la deteriorarea obiectelor sau a robotului).

Sistemul senzorial mai este numit și sistem de măsurare. El asigură măsurarea unor mărimi fizice și eventual perceperea unor modificări semnificative a acestor mărimi.

1.5.3 Laborator de fabricație asistată de calculator

Dezvoltarea unor cercetari privind conducerea inteligentă și optimală a unui sistem flexibil de fabricatie și concretizarea metodelor și algoritmilor intr-un sistem informatic integrat pentru conducerea fabricatiei a condus la realizarea unui sistem integrat de laboratoare pentru studiul domeniului fabricatiei asistate de calculator.

În realizarea studiilor teoretice privind analiza si optimizarea sistemelor de fabricatie se inpun:

– modelarea sistemului de fabricatie din laboratorul de fabricatie asistata de calculator ca un sistem cu evenimente discrete;

– cercetari privind programarea robotilor industriali;

– cercetari privind conducerea asistata de calculator a masinilor unelte;

– dezvoltarea unui sistem de vedere artificiala pentru conducerea inteligentă și optimală a unui sistem flexibil de fabricatie;

– cercetari privind folosirea sistemelor expert in planificarea si monitorizarea unui sistem flexibil de fabricatie.

Un laborator de fabricație asistată de calculator are următoarea organizare:

Fig. 1.8. Arhitectura sistemului de fabricație flexibilă [15, 37 ]

1. Robot industrial (IRB 1400), 2. Robot industrial (IRB 2400), 3. Mașină unealtă cu comandă numeric (EMCO PC Mill 55 CNC), 4. Sistem de vedere artificială (OptiMaster), 5. Conveior, 6. Magazie piese finite, 7. Magazie piese brute, 8.Buffer piese, 9.Controler Robot (IRB 1400), 10. Controler Robot (IRB 2400)

1.5.4 Modelarea și analiza sistemelor cu evenimente discrete

1.5.4.1 Rețele Petri

Retelele Petri reprezintă o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dacă se cunosc mulțimile nodurilor si arcelor acestuia. Diferența dintre un graf și o rețea Petri constă în faptul că, în cazul acesteia din urmă, mulțimea nodurilor este înlocuită cu doua mulțimi disjuncte [32, 33]:

– mulțimea locurilor , i = 1, …, n (reprezentate prin cercuri);

– mulțimea tranzițiilor , j = 1, …, m (reprezentate prin bare verticale sau prin pătrate).

Arcele unei retele Petri sunt unidirecționale. Un arc nu poate lega decât fie o tranzitie de un loc, fie un loc de o tranzitie. La o tranziție sau la un loc pot ajunge mai multe arce, iar de la o tranzitie sau de la un loc pot pleca de asemenea mai multe arce. Un loc și o tranziție pot fi legate prin cel mult un arc. Structura unei rețele Petri este astfel complet definită de cele trei mulțimi anterioare: a locurilor, a tranzițiilor și a arcelor.

Fig. 1.9. Retea Petri cu trei locuri și trei tranziții

În fig. 1.9 toate arcele au evaluare unitara, cu excepția arcelor de la T2 la P3 și de la T3 la P1, care au evaluarea 2:

a() = a() = a() = a() = a() = 1;

a() = a() = 2. (1.3)

Matricea de incidență a rețelei din fig. 1.9 este

, (1.4)

unde elementele și au valori nule deoarece intre locul și tranziția , sau intre locul și tranziția nu există nici un arc; elementele și au valori negative deoarece tranzițiile corespunzatoare sunt tranziții de ieșire ( și sunt tranziții de iesire din iar este tranziție de iesire din și ).

Marcajul rețelei din fig. 1.9. este M = (2, 1, 0), deoarece locul contine 2 jetoane, locul conține un jeton iar locul nu conține nici un jeton.
Reguli de funcționare:

Fiind dată o rețea Petri marcată, se spune că o tranziție a acestei rețele este activabilă pentru marcajul M dacă și numai dacă, pentru orice loc care este loc de intrare în tranziția , marcajul locului este mai mare sau la limita egal cu evaluarea arcului dintre și .

Dacă o tranziție este activabilă atunci ea poate fi activată. Activarea unei tranziții constă în modificarea marcajelor locurilor de intrare și de ieșire din tranziția respectivă.

La activarea tranziției , marcajul unui loc de intrare în tranziția respectiva scade cu o cantitate egală cu evaluarea arcului (, ). Daca este un loc de ieșire din tranziția , atunci marcajul său crește cu o cantitate egală cu evaluarea arcului (,). Dacă un loc al rețelei nu este legat de tranziția prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului rămâne neschimbat.

1.6 Sistem robotizat de montaj

Folosind noțiunile din teoria sistemelor, o unitate de productie se poate considera că este compusă dintr-o serie de subsisteme, montajul fiind unul dintre acestea și ocupând locul final. Costul de productie in construcția de mașini este influențat in mare masura (30 % – 40 %) de volumul de muncă din montaj, care poate atinge 25 % – 30 % din volumul total. In construcția de aparate, volumul de munca in montaj poate ajunge pina la 40 % – 70 %. Se consideră la nivel mondial ca optimizarea acestei munci poate conduce la o puternica economisire a resurselor.

Numarul mare al parametrilor ce trebuie inregistrați și luați in considerare ca de fapt problema de rezolvat “montajul robotizat” conduce la realizări sub formă complexă a cuplului “instalatii periferice – robot industrial “. Un rol esențial in asigurarea flexibilității il reprezintă utilizarea elementelor senzoriale și a efectorilor finali specializați pentru compensarea erorilor inerente ce apar.

1.7 Planificarea mișcărilor robotului industrial

Robotul fiind o mașină cu abilități în mișcare și/sau de manipulare una din cele mai importante probleme de rezolvat este de a îi planifica mișcările, ceea ce implică modelarea spațiului de lucru, cu obstacolele pe care le conține, și a robotului, ca entitate de formă complexă și variabilă.

Planificarea mișcărilor poate fi considerată ca problema realizării algoritmilor pentru a calcula automat o traiectorie continuă pentru o mulțime de obiecte (posibil legate) astfel încât să se deplaseze de la o poziție la alta evitând coliziunile cu alte obiecte fixe sau având mișcare proprie.

Pentru un robot cu bază fixă problema se poate formula mai simplu prin alegerea unei traiectorii ferite de coliziuni pentru brațul robotului, între două poziții, în cazul unui spațiu închis.

Reprezentarea parametrică

Reprezentarea parametrică tratează reprezentarea parametrică a curbelor și suprafețelor, expunând modul de abordare a reprezentării curbelor Bézier și B-spline, precum și construcția porțiunilor de suprafață pe baza acestor tipuri de curbe.

O curbă parametrică este definită printr-o mulțime discretă de puncte cunoscute ca puncte de control împreună cu un set de funcții de bază. Această metodă de specificare a curbei este complet diferită față de cea matematică normală, care are forma unei funcții implicite.

Cercetări recente [ 6, 7] sunt orientate spre:

►Reprezentarea parametrică a curbelor tridimensionale:

– curbele cubice Bézier

– unirea segmentelor de curbe cubice Bézier

– curbele B-spline, uniforme și neuniforme;

►Reprezentarea suprafețelor cubice biparametrice:

– combinarea porțiunilor de suprafață Bézier

– porțiuni de suprafață B-spline

– editarea suprafețelor parametrice

► Reprezentarea parametrică a spațiilor de lucru proprii ale roboților prin utilizarea Matlab:

– funcții utilizate în programele Matlab scrise pentru generarea reprezentărilor grafice;

– modelarea suprafețelor descrise de efectorul final

Program de calcul pentru trasarea curbelor Bezier

Parametrii curbei

unde x și y sunt coordonatele punctelor de control.

Pentru variația se obține următoarea reprezentare grafică a curbei Bezier:

Fig. 1.14 Curbă Bezier

CAPITOLUL 2

ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR

DIN COMPUNEREA ROBOȚILOR

Solidul rigid este un sistem de puncte materiale la care distanțele dintre acestea rămân constante în timpul mișcării și nu își modifică pozițiile în raport cu un reper fixat de rigid. A cunoaște mișcarea unui solid înseamnă a determina, la un moment dat, vectorul de poziție, viteza și accelerația unui punct oarecare al acestui solid.

2.1.1 Translația axelor de coordonate

Translația este determinată prin vectorul de poziție al noii origini față de originea sistemului inițial (fig. 2.1).

Relațiile de legătură între coordonatele unui punct , față de sistemul inițial și coordonatele aceluiași punct M(x,y,z), față de sistemul translatat Oxyz, se obțin în urma proiectării ecuației vectoriale [43, 84, 125].

(2.1)

Fig.2.1 Sisteme de referință

Matriceal, se scrie sub forma:

, (2.3)

sau

. (2.4)

Poziția și mișcarea solidului rigid , față de sistemul cartezian fix , corespund poziției și mișcării unui triedru Oxyz atașat rigidului respectiv. Cele șase grade de libertate ale rigidului vor fi determinate de vectorul de poziție al originii O și de poziția versorilor mobili ai axelor Ox, Oy și Oz (fig. 2.3).

Fig. 2.3. Determinarea gradelor de libertate ale solidului rigid

Vectorul de poziție al punctului M în raport cu sistemul mobil este [128, 131]:

, (2.21)

Proiecțiile vectorului pe axele sistemului fix se pot deduce făcând produsele scalare corespunzătoare:

(2.24)

unde:

(2.25)

2.2 Determinarea distribuției de viteze și accelerații

Produsul scalar a doi vectori poate fi exprimat matriceal sub forma

, (2.37)

iar cel vectorial

(2.38)

unde: este matricea antisimetrică asociată vectorului ,

– matricea coloană asociată vectorului .

Poziția punctului M în raport cu sistemul de referință fix este determinată prin vectorul:

, (2.39)

de unde, prin derivare în raport cu timpul, se obține viteza punctului M în raport cu sistemul fix:

. (2.40)

Pentru a determina proiecțiile vitezei punctului M în raport cu sistemul de referință mobil (sistemul propriu), se înmulțește la stânga cu operatorul , obținându-se:

. (2.41)

Pe baza relației (2.46) expresia vitezei punctului M în raport cu sistemul propriu Oxyz dată de relația (2.42) devine:

(2.47)

unde:

(2.48)

Mențiuni

1. Ecuația se multiplică la stânga cu matricea , obținându-se:

, (2.49)

respectiv ecuația se multiplică la dreapta cu matricea , rezultând

, (2.50)

două relații foarte importante pentru stabilirea regulilor de derivare, în vederea obținerii ecuațiilor cinematice;

2. Matricea antisimetrică joacă rolul unui operator diferențial aplicat unui vector, exprimat prin proiecțiile sale pe axele unui sistem de referință mobil (propriu):

. (2.51)

Pe baza formulei (2.51) se obțin, în cazul versorilor mobili , relațiile lui Poisson:

(2.52)

Ținând cont de relația (2.49), ecuația (2.40) devine

. (2.53)

Accelerația punctului M, exprimată în raport cu proiecțiile sale pe axele sistemului de referință fix, se obține prin derivare în raport cu timpul a ecuației (2.53), obținându-se:

(2.54)

2.4 Determinarea matricei de rotație în cazul unei rotații oarecare

Se consideră în acest caz rotația solidului rigid în jurul unei axe oarecare, , cu un unghi [84, 125, 128, 131](fig. 2.6).

Fig. 2.6. Rotația rigidului în jurul axei

Se consideră axa de rotație (), definită în raport cu sistemul triortogonal fix , prin cosinușii directori:

și sistemul de referință a cărui axă coincide cu axa de rotație (), iar axa este situată în planul .

Considerăm că un punct M definit în sistemul , de vector , se obține ca rezultat al rotației de unghi în jurul axei () din punctul M ce aparține sistemului , de vector . Știind că expresia analitică a vectorului de poziție este un invariant față de rotirea axelor de coordonate, se poate scrie

,

din care, prin multiplicare la stânga cu matricea , se obține

. (2.85)

Relația (2.91) devine

,

și deci matricea transformării este

. (2.92)

Matricea , definită de relația (2.92), definește rotația solidului rigid în jurul axei (), cu unghiul , în raport cu sistemul de referință fix.

Notăm și efectuând produsele matriceale,

și

în final, matricea transformării, , devine

(2.93)

unde:

;

;

;

;

; (2.94)

;

;

;

Semnul pentru este determinat de regula burghiului drept, când rotația are loc în sensul pozitiv al axei ().

Fiind dată matricea de rotație, se pot determina cosinusurile directoare și unghiul de rotație:

, (2.96)

. (2.97)

2.6. Mișcarea compusă a solidului rigid

2.6.1 Distribuția vitezelor

Se consideră că se cunosc parametrii cinematici ai mișcării solidului rugid față de un sistem mobil , precum și parametrii cinematici ai mișcării acestui sistem de referință în raport cu cel fix . Se consideră referențialul triortogonal invariabil legat de solidul rigid [30, 43, 67, 84](fig.2.8).

Fig. 2.8. Mișcarea compusă a solidului rigid

Poziția solidului rigid față de triedrul este dată prin coordonatele originii și prin unghiurile lui Euler formate de axele cu axele mobile

. (2.119)

Matricea de trecere de la sistemul , la sistemul este

. (2.120)

Parametrii de poziție ai triedrului mobil față de reperul fix , vor fi coordonatele ale originii și unghiurile lui Euler care formează matricele coloană:

, (2.121)

iar matricea transformării are componentele date de relațiile (2.108).

Poziția punctului M față de referențialul mobil este dată de componentele vectorului de poziție , unde

. (2.122)

Știind că (fig. 2.8)

, (2.123)

, (2.124)

, (2.125)

se obțin proiecțiile vitezei punctului M pe axele sistemului legat :

. (2.126)

Folosind notațiile:

(2.127)

ecuația (2.126) capătă forma:

. (2.128)

2.6.2 Distribuția accelerațiilor

Pentru determinarea accelerației punctului M, se derivează în raport cu timpul viteza punctului M, obținându-se

(2.132)

Prin multiplicarea la stânga cu , se obține accelerația punctului M dată prin proiecțiile sale pe axele sistemului legat :

(2.133)

Revenind în sistemul fix, prin multiplicare la stânga cu , se obține

(2.135)

Pe baza relațiilor (2.129) și (2.134), se poate scrie

(2.136)

ceea ce permite scrierea accelerației punctului M sub forma

(2.137)

atunci când se cunoaște accelerația originii a sistemului de referință legat de solidul rigid.

2.7 Sistemul de coordonate Denavit-Hartenberg

Scopul analizei cinematicii directe este de a determina cumularea efectelor întregului set de variabile, asociate articulațiilor. Deși, este posibil să se deducă modelul geometric direct al unui robot folosind sisteme de coordonate arbitrar asociate articulațiilor unui robot, este util să se sistematizeze alegerea acestor sisteme de coordonate. O convenție de alegere a acestor sisteme foarte des întâlnită în aplicațiile cu roboți este convenția Denavit-Hartenberg [43, 52, 84, 119,125].

În cadrul acestei formulări, trecerea de la un sistem de coordonate la altul se face printr-o succesiune de patru transformări distincte: o rotație și o translație în jurul axei X, urmată de o rotație și o translație în jurul axei Z, sau a doua variantă în care succesiunea este inversă o rotație și o translație în jurul axei Z, urmată de o rotație și o translație în jurul axei X. Astfel, în funcție de ordinea axelor în jurul cărora se realizează cele două mișcări posibile, X urmată de Z sau Z urmată de X, putem spune că există două metode de stabilire a matricilor omogene de transformare, care diferă prin modul de alocare a sistemelor de coordonate atașate articulațiilor și a parametrilor asociați.

2.7.1 Prima metodă de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-Hartenberg

Prima metodă de alocare a sistemelor de coordonate este prezentată în fig.2.9.

Fig. 2.9. Conexiunea Denavit-Hartenberg

În această convenție matricea de transformare omogenă de la sistemul “ i ” la sistemul “i-1” notată cu reprezintă rezultatul celor patru transformări și anume : (2.138)

unde cei patru parametri , reprezintă parametri Denavit-Hartenberg asociati brațului “i”.

Această abordare presupune îndeplinirea a două condiții ce asigură unicitatea matricii de transformare omogenă de la sistemul “i” la sistemul “i-1” :

– Ipoteza – DH1: axa să fie perpendiculara pe axa

– Ipoteza – DH2: axa să intersecteze axa

Respectându-se aceste condiții există un set unic de parametrii a, d, , astfel încât :

(2.139)

Cele două ipoteze (DH1) și (DH2) sunt reprezentate în figura 2.10

Fig. 2.10 Reprezentarea ipotezelor ce asigură unicitatea matricii de transformare

omogenă de la sistemul “ i” la sistemul “ i-1”

Conform ipotezei (DH1) vectorul r1 (prima coloana a matricei R, care reprezintă proiecția lui i1 în sistemul “0”) este ortogonal cu vectorul , de unde rezultă că r31 = 0. În continuare trebuie să arătam că există două unghiuri unice și (între 0 și 2) astfel încât [43, 52, 84, 119,125]:

. (2.141)

Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31 = 0 rezultă că

. (2.142)

Relațiile (2.142) conduc la valori unice pentru și astfel încât :

și . (2.143)

Odată gasite valorile lui și , este usor de verificat că elementele rămase din matricea R corespund formei (2.141), folosind faptul că matricea R este o matrice de rotație.

Ceea ce s-a discutat anterior reprezintă semnificațiile logice și condițiile necesare aplicării formalismului Denavit-Hartenberg și a alegerii parametrilor. În plus se pot desprinde și semnificații fizice ale parametrilor și anume:

– a reprezintă distanța dintre axele și , măsurată de-a lungul lui ,

– unghiul este masurat într-un plan perpendicular pe între axele și ,

– parametrul d reprezintă distanța între și intersectia lui cu axa măsurată de-a lungul lui ,

– unghiul reprezintă unghiul dintre și măsurat într-un plan perpendicular pe axa .

Se poate arăta că pentru un sistem manipulator se pot alege întotdeauna sistemele de coordonate 0, 1,…, n în așa fel încât să se respecte cele două ipoteze Denavit-Hartenberg, (DH1) și (DH2), în condițiile în care se acceptă posibilitatea că sistemul “i” să nu aparține în unele situații articulației “i”.

2.7.2 A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate conform

formalismului Denavit-Hartenberg

A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate și de stabilire a parametrilor Denavit-Hartenberg este prezentată în fig.2.12:

Fig. 2.12. Alocarea sistemelor de coordonate

Regulile folosite sunt următoarele:

Sistemul de coordonate cu originea se va plasa în articulația "i – 1". Primul sistem de coordonate se stabilește în baza sistemului de mișcare și nu reflectă prima tendință de mișcare. Sistemul de coordonate în jurul căruia se realizează prima mișcare, de translație sau de rotație, este .

Axa este axa de mișcare, adică se alege astfel încât mișcarea articulației “i” să fie de rotație în jurul axei , sau de translație de-a lungul axei . Cu această regulă se stabilesc toate axele din articulațiile robotului.

Axa se stabilește de-a lungul perpendicularei comune între axele și .

Axa se alege astfel încât să completeze sistemul cartezian de coordonate .

Parametrii Denavit-Hartenberg sunt dați de următorul set de valori:

– unghiul de rotație în jurul axei pentru a suprapune vectorul peste vectorul (paralela la dusa din ).

– distanța măsurată de-a lungul axei , de la originea până la punctul de intersecție dintre axele și .

– unghiul de rotație în jurul axei pentru a suprapune vectorul (paralela la dusă din peste vectorul .

– distanța măsurată de-a lungul axei , de la originea până la punctul de intersecție dintre axele și .

Matricea de transformare omogenă este :

(2.147)

CAPITOLUL 3

BAZELE TEORETICE ALE DINAMICII

ROBOȚILOR INDUSTRIALI

Roboții industriali sunt structural constituiți din lanțuri cinematice deschise și se caracterizează prin poliprogramabilitatea operațiilor care le execută.

Modul de lucru a roboților industriali depinde de :

numărul gradelor de libertate;

dimensiunile și forma spațiului de lucru;

comandă și

indici specifici, dintre care subliniem: mobilitatea, capacitatea de încărcare, suplețe, etc.

În stadiul de proiectare este necesară evaluarea acestor indici în vederea obținerii unei optimizări, aspect posibil numai printr-un studiu dinamic al roboților industriali.

3.1 Formulări matriceale și tensoriale

3.1.1 Tensor de inerție

Tensorul de ordinul doi

, (3.1)

se numește tensorul momentelor de inerție (tensor de inerție) al sistemului material raportat la reperul Oxyz.

Fie reperele și . Se notează cu

, (3.2)

iar formulele de transformare a coordonatelor unui punct față de cele două repere sunt.

, (3.3)

cu sumare după indicele care se repetă.

3.1.2 Notații matriceale

a. Vectorul în reprezentare matriceală are forma:

.

b. Produsul scalar a doi vectori :

, (3.4)

unde .

3.1.3 Produsul vectorial a doi vectori

Fie vectorii

și .

Se atașază vectorului matricea antisimetrică . (3.7)

3.3 Calculul impulsului unui sistem material

În cazul unui sistem de puncte materiale, rigide etc. în mișcare, impulsul total , la un moment oarecare, este suma vectorială a impulsurilor părților componente sale, adică

, (3.9)

mi fiind masa unui punct material din sistem, – viteza punctului material la momentul considerat, M masa totală a sistemului și viteza centrului maselor sistemului. Rezultă că impulsul total al unui sistem în mișcare este impulsul centrului său de masă în care se presupune concentrată întreaga masă a sistemului.

Dacă , atunci impulsul are expresia

,

sau matriceal:

, (3.10)

unde este matricea antisimetrică asociată vectorului , iar este matricea momentului static al sistemului material:

, . (3.11)

Rezultă:

, . (3.12)

3.4 Calculul momentului cinetic al sistemului material în raport cu un

punct O

Momentul cinetic total în raport cu un punct O, la un timp oarecare, este suma vectorială a momentelor cinetice ale tuturor punctelor materiale, adică:

, (3.13)

mi fiind masa punctului material Pi din sistem, este vectorul de poziție al punctului material față de punctul O, iar viteza punctului material la timpul considerat.

În cazul relația (3.13) devine:

. (3.15)

Impulsul total și momentul cinetic total alcătuiesc torsorul de reducere în O al tuturor impulsurilor sistemului în mișcare considerat.

3.6 Teoremele impulsului

Fie un sistem oarecare de puncte materiale, rigide etc., în mișcare, la un timp oarecare.

Se notează cu impulsul total al sistemului și cu momentul său cinetic total în raport cu un punct fix O, fie în raport cu centrul C al maselor sistemului. Se notează cu rezultanta tuturor forțelor exterioare date și de legătură care acționează sistemul și cu suma momentelor tuturor acestor forțe îa raport cu O, sau în raport cu C.

Prima teoremă a impulsului

Derivata în raport cu timpul a impulsului total este egală cu rezultanta forțelor exterioare :

(3.39)

interioare.

A doua teoremă a impulsului (Teorema momentului cinetic)

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total (în raport cu O sau C) este egală cu suma momentelor forțelor exterioare luată în raport cu același punct.

(3.43)

În mișcarea relativă a doua teoremă a impulsului se enunță: “derivata momentului cinetic în raport cu timpul în mișcarea relativă a sistemului material, în raport cu centrul maselor (ca și cum C ar fi fix) este egală cu suma momentelor forțelor exterioare în raport cu centrul maselor”, adică:

. (3.52)

3.7 Energia cinetică

Energia cinetică totală Ec a unui sistem în mișcare, compus din puncte materiale și rigide, la un moment oarecare pentru o poziție oarecare este suma energiilor cinetice ale tuturor componentelor.

În cazul relația (3.54) devine:

. (3.55)

Matriceal relația (3.55) devine:

(3.56)

Se notează

, (3.57)

vector cu șase componente;

, (3.58)

matrice pătrată de ordinul șase.

Utilizând relațiile (3.57) și (3.58), expresia energiei cinetice (3.56), se scrie sub forma:

. (3.59)

3.8 Rigid în mișcare generală

Mișcarea rigidului se poate presupune compusă dintr-o mișcare de translație cu viteza a centrului maselor rigidului C și dintr-o rotație cu viteza unghiulară în jurul axei instantanee trecând prin centrul C (fig. 3.4).

Fig. 3.4. Mișcarea generală a rigidului

Viteza a unui punct P, al cărui vector de poziție este , este dată de expresia

. (3.69)

Energia cinetică a rigidului ăn mișcarea generală se calculează cu relația

, (3.70)

în care este distanța de la punct până la axa .

Prin urmare

(3.72)

adică energia cinetică a rigidului se compune din energia sa cinetică pentru o translație cu viteza a centrului maselor și din energia sa cinetică pentru o rotație cu viteza unghiulară în jurul axei instantanee trecând prin centrul maselor. Relația (3.72) reprezintă formula matematică a teoremei lui König.

3.10 Teorema energiei cinetice

Fie un sistem de puncte materiale în mișcare, supus la diferite forțe exterioare date și de legătură și la diferite forțe interioare în două poziții succesive, poziția A și poziția B, și anume poziția A la un timp tA și poziția B la un alt timp tB > tA.

Pentru fiecare punct material care compune acest sistem se scrie teorema energiei cinetice:

, (3.76)

care prin integrare între două poziții A și B, devine:

. (3.77)

Scriem relația (3.77) pentru toate punctele materiale ce compun sistemul și însumăm pentru . Rezultă:

(3.78)

în care reprezintă energia cinetică totală a sistemului în poziția B, este energia cinetică a sistemului în poziția A iar LA–B suma lucrurilor mecanice ale tuturor forțelor date, de legătură și interioare între poziția A și poziția B.

Relația (3.78) se poate scrie sub forma:

, (3.79)

care exprimă teorema energiei cinetice și se enunță: variația energiei cinetice totale între două poziții ale unui sistem oarecare în mișcare este egală cu suma lucrurilor mecanice ale tuturor forțelor exterioare, date și de legătură, ale forțelor interioare, efectuate în deplasarea dintre cele două poziții.

Studiu de caz 3.1

Se consideră robotul TRTRT (fig. 3.1.1) la care se cunosc:

– Masele celor 5 ansambluri element- cuplă corespunzătoare, în cadrul masei m5 fiind inclusă și masa manevrata de efectorul final.

– Momentele de inerție ale ansamblurilor 2 și 3 în raport cu axa cuplei de rotație 2, care este axă O1z1 conform convenției Denavit – Hartenberg.

– Momentele de inerție ale ansamblurilor 4 și 5 în raport cu axe paralele la axa cuplei 2 și care trec prin centrele lor de greutate.

– Momentele de inerție ale ansamblurilor 4 și 5 în raport cu axa cuplei de rotație 4, care este axă O3z3.

Se calculează energiile cinetice ale ansamblurilor ce compun robotul, ținând seama de faptul că fiecare cuplă își imprimă mișcarea la toate, ansamblurile care urmează de la cupla respectivă, până la efectorul final.

Energia cinetica a ansamblului cupla 1 – element l

Cupla l fiind cuplă de translație, energia cinetică imprimată de ea ansamblului respectiv se calculează cu relația:

. (1)

Fig. 3.1.1. Schema robotului TRTRT

Energia cinetica a ansamblului cupla 2 – element 2

Mișcarea acestui ansamblu este determinată atât de cupla de translație l cât și de cupla de rotație 2 și se calculează cu relația:

. (2)

Similar se vor calcula energiile cinetice a ansamblurilor următoare, ținând seama de succesiunea de cuple de rotație și translație, precum și de legea de variație a momentelor de inerție în raport cu axe paralele. Astfel:

Energia cinetică a ansamblului cupla 3 – element 3

. (3)

Energia cinetică a ansamblului cuplui 4 – element 4

, (4)

în care

. (5)

Energia cinetică a ansamblului cupla 5 – element 5 , (6)

unde:

. (7)

Energia cinetică a robotului este egală cu suma energiilor cinetice ale părților componente:

, (8)

va avea expresia:

. (9)

3.13 Utilizarea metodelor analitice în determinarea ecuațiilor

diferențiale ale roboților industriali

Mecanica analitică prezintă avantajul că dă posibilitatea extinderii câmpului de investigație al fenomenelor, în afara fenomenelor mecanice la fenomene fizice care pot fi modelate după cele mecanice. Metoda analitică este mai cuprinzătoare, permițând o eficiență sporită în aplicarea sistemelor de ecuații diferențiale ale mecanicii și scoaterea în evidență a proprietăților deosebit de interesante și utile ale acestor ecuații sau sisteme de ecuații diferențiale.

3.13.1 Coordonate generalizate. Legături. Deplasări

Coordonatele generalizate ale unui sistem material sunt parametrii independenți q1, q2, …,qs care determină complet configurația sistemului, adică poziția tuturor punctelor sale în raport cu sistemul de referință ales. Coordonatele generalizate posedă caracterul analitic, abstract al unor parametri generali și nu pe cel fizic al celor din geometria euclidiană.

Numărul gradelor de libertate ale unui sistem material este numărul “s” de mișcări independente posibile ale sistemului.

Starea unui sistem dinamic este determinată prin poziția (configurația) și starea de mișcare în momentul trecerii prin poziția specificată.

În mecanica analitică se iau în considerare numai legăturile fără frecare care se pot exprima cu ajutorul unor relații matematice. Se disting, de asemenea, legături unilaterale și legături bilaterale; primele impun restricția într-un singur sens, iar celelalte o impun în ambele sensuri.

3.13.2 Principiul lui dAlembert

În mecanica newtoniană, pentru a studia mișcarea unui punct material supus la legături se aplică axioma legăturilor și ca atare, se introduc forțele de legătură alături de forțele active și se consideră punctul material liber.

În mecanica analitică, dAlembert arată că numai o parte din forțele active produc accelerația punctului, iar cealaltă parte se pierde din cauza legăturilor la care este supus punctul material. Partea care se pierde poartă numele de forță pierdută și mai este denumită și vectorul lui dAlembert și se notează cu . Forțele pierdute și forțele de legătură formează un sistem în echilibru, adică:

. (3.10) Se mai poate scrie că:

, (3.103)

relație care exprimă principiul lui d'Alembert ce poate fi enunțat astfel:

În mod asemănător se poate reface raționamentul pentru un sistem de puncte materiale sau pentru un corp sau sistem de corpuri. În acest caz, se obțin expresiile:

, (3.104)

. (3.105)

3.13.4 Ecuațiile lui Lagrange

Pentru deducerea ecuațiilor de mișcare a unui sistem material cu s grade de libertate, precizate de cei s parametrii scalari , în care vectorul de poziție al unui punct oarecare are forma

, (3.110)

iar deplasarea virtuală este

, (3.111)

prin aplicarea principiului deplasărilor virtuale, rezultă:

. (3.112)

Deoarece legătura este olonomă, deplasările virtuale , sunt independente și se poate considera pe rând câte una nenulă. Procedând în acest mod, se determină un sistem de n ecuații diferențiale de tip:

, (3.114)

care se numesc ecuațiile lui Lagrange de speța I-a. Ele rezolvă, în principiu, problema, scrierii directe a sistemului de ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem material, în absența forțelor de legătură.

Din relația (3.115) rezultă:

. (3.125)

Sistemul (3.125) format din s ecuații diferențiale de ordinul doi, care se pot scrie pentru un sistem material cu s grade de libertate, poartă numele de ecuațiile lui Lagrange de speța II-a.

CAPITOLUL 4

ARHITECTURA UNUI MODEL DE ROBOT 4R.

CINEMATICA ȘI DINAMICA ROBOTULUI

4.1 Arhitectura robotului 4R

Configurația generală a modelului 4R este prezentată în figura 4.1. Părțile componente specificate în figură, sunt: baza, platforma, braț 1, braț 2 și efectorul robotului [43, 61, 119].

Fig. 4.1 Configurația robotului 4R

Baza. În figura 4.2 este prezentată baza robotului. Are fixată o roată dințată cu dinți drepți cu 100 de dinți, modulul 2, unghiul de presiune de 20, lățimea dinților de 12 mm. Coaxial cu roata dințată sunt doi rulmenți care asigură o articulație cilindrică între bază și platformă.

Fig. 4.2. Baza

Platforma. În figura 4.3.a este prezentată platforma și sistemul de referință față de care s-au exprimat coordonatele centului de masă și momentele de inerție.

Platforma are în compunere două motoare elcetrice (figura 4.3.c), care asigură mișcare platformei față de bază (motor 1) și mișcarea brațului 1 față de platformă (motor 2) . În figura 4.3.d este prezentată poziționarea lagărului de prindere al brațului 1 față de axa de rotație a platformei.

c. d.

Fig. 4.3 Platforma robotului

Pe axa motorului 1 este prinsă o roată dințată cu 17 dinți care angrenează cu roata dințată prinsă pe bază, asigurând mișcarea de rotație a platformei.

Axa lagărului de prindere a brațului 1 se află la cota z = 320 mm față de sistemul de referință. Pe axul motorului 2 este prinsă o roată dințată cu dinți drepți, cu 20 de dinți, modulul 1 mm, = 20, lățimea de 12 mm, care angrenează la interior cu o coroană dințată de 100 dinți, prinsă de brațul 1, asigurând mișcarea de rotație a brațului 1 față de bază.

Brațul 1. În figura 4.4.a este prezentat sistemul de referință al brațului 1 și distanța între axele lagărelor. Caracteristicile masice ale brațului 1 sunt:

a. b.

Fig. 4.4 Brațul 1

Brațul 1 are în componență un motor electric (fig. 4.4.b) care antrenează în miscare de rotație brațul 2, printr-o angrenare cilindrică interioară. Pe axul motorului electric este prinsă o roată dințată cu 20 de dinti, modul 1 mm, = 20 și lățimea dinților de 12 mm.

Brațul 2. În figura 4.5.a este prezentat sistemul de referință al brațului 2 și distanța între axele lagărelor.

a. b.

Fig. 4.5 Brațul 2 al robotului

Brațul 2 are în componență un motor electric (fig. 4.5.b) care antrenează în miscare de rotație brațul 3 împreună cu efectorul.

Efectorul. În figura 4.6.a este prezentat sistemul de referință al brațului 2 și distanța între axele lagărelor.

Fig. 4.6 Efectorul robotului

4.2 Deplasarea varfului efectorului din poziția inițială

în poziția de lucru

Se consideră poziția inițială (figura 4.7) corespunzătoare situației în care brațele robotului sunt poziționate vertical, iar platforma nu este rotită față de bază.

a. b.

Fig. 4.7 Robotul în poziția inițială

Considerând un sistem de referință fix cu originea în centrul bazei, poziția vârfului efectorului are coordonatele:

mm;

mm;

mm.

Se alege o poziție inițială a vârfului efectorului pentru un proces tehnologic ce urmează a fi desfășurat de robot. Astfel punctul în care trebuie să ajungă vârfului efectorului este:

mm;

mm;

mm.

În figura 4.8 este prezentată poziția finală a robotului la aducerea efectorului în poziția de lucru. Considerând masa de lucru paralelă cu planul de coordonate xOy al sistemului de referință fix, se pune condiția ca axa efectorului să fie normală pe acest plan.

Fig. 4.8 Poziția finală a robotului la aducerea efectorului în poziția de lucru

Se prezintă în continuare variațiile în timp ale unghiurilor de rotație ale axelor motorarelor 1, 2, 3 și 4, exprimate în radiani. Pentru motorul 1 prins de platformă și care rotește platforma în jurul bazei, se consideră:

unde coeficienții sunt:

iar timpii sunt

Fig. 4.8 Variatia în timp a unghiului de rotație

a axului motorului 1

Pentru motorul 2 prins de platformă, care acționează brațul 1, avem o lege asemănătoare cu cea a motorului 1, unde coeficienții sunt:

iar timpii

Motorul 3 care este prins pe brațul 1 și acționează brațul 2, are o lege asemănătoare cu cea a motorului 1, unde coeficienții sunt:

,

,

,

iar timpii sunt:

Motorul 4 este prins de brațul 2 și acționează efectorul, variația în timp a unghiului de rotație fiind definită de coeficienții:

timpii fiind:

Componentele vitezei și accelerației centrului de masă ale platformei variază în timp după legile [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121]:

Fig. 4.12 Viteza centrului de masă al platformei

Variația în timp a energiei cinetice a platformei se prezintă în figura 4.14.

Fig. 4.14 Energia cinetică a platformei

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 1, variază în timp după legile:

Fig. 4.15 Componentele vitezei centrului de masă al brațului 1

Variația energiei cinetice în timp a brațului 1 este:

Fig. 4.17 Energia cinetică a brațului 1

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 2, variază în timp după legile :

Fig. 4.18 Componentele vitezei și accelerației centrului de masă al brațului 2

Variația energiei cinetice în timp a brațului 2 este:

Fig. 4.20 Energia cinetică a brațului 2

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale efectorului, variază în timp după legile:

Fig. 4.21 Componentele vitezei centrului de masă ale efectorului

Variația în timp a energiei cinetice a efectorului este:

Fig. 4.23 Energia cinetică a efectorului

4.3 Deplasarea varfului efectorului după un segment de dreaptă

cu o viteză constantă

Considerându-se un proces tehnologic care necesită deplasarea vârfului efectorului după un o dreaptă în planul orizontal al mesei de lucru, cu o viteză constantă, se determină legile de rotație ale motoarelor.

Vârful efectorului își schimbă pe timpul mișcării coordonata după axa Ox, celelalte coordonate rămânând constante. Mișcarea începe la timpul inițial t = 4s, perioada s fiind corespunzătoare poziționării efectorului (mișcarea de poziționare se termină după 3,34928 s). Pentru variația coordonatei după axa Ox s-a ales legea prezentată în figura 4.24. Poziția finală a vârfului efectorului este punctul de coordonate x = 500, y = 600 și z = 407. Legea de variație a coordonatei după x, între x = -500 și x = 500, este dată de [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121]:

unde coeficienții sunt:

timpul final fiind de 204 s.

Fig. 4.24 Legea de variație a coordonatei după Ox a vârfului efectorului

Unghiurile de rotație ale motoarelor în radiani, variază după legile prezentate în figurile 4.25, 4.26, 4.27 și 4.28.

Figura 4.25 Variația în timp a unghiului Figura 4.26 Variația în timp a unghiului

de rotație al motorului 1 de rotație al motorului 2

Figura 4.27 Variația în timp a unghiului Figura 4.28 Variația în timp a unghiului

de rotație al motorului 3 de rotație al motorului 4

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale platformei, variază în timp după legile:

Fig. 4.29 Componentele vitezei centrului de masă ale platformei

Variația în timp a energiei cinetice a platformei este:

Fig. 4.31 Energia cinetică a platformei

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 1, variază în timp după legile:

Fig. 4.32 Componentele vitezei centrului de masă ale brațului 1

Variația în timp a energiei cinetice a brațului 1 este:

Fig. 4.31 Energia cinetică a brațului 1

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 2, variază în timp după legile:

Fig. 4.32 Componentele vitezei centrului de masă ale brațului 2

Variația în timp a energiei cinetice a brațului 2 este:

Fig. 4.34 Energia cinetică a brațului 2

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale efectorului, variază în timp după legile:

Fig. 4.35 Componentele vitezei centrului de masă ale efectorului

Variația în timp a energiei cinetice a efectorului este:

Fig. 4.37 Energia cinetică a efectorului

În figura 4.38 este prezentat filmul mișcării robotului, când vârful efectorului parcurge o dreaptă din planul mesei de lucru.

t = 4 s t = 44 s t = 84 s

t = 124 s t = 164 s t = 204 s

Fig. 4.38 Pozițiile robotului pentru diferite momente de timp

În figura 4.39 se prezintă traiectoria vârfului efectorului.

Fig. 4.39 Traiectoria vârfului efectorului

4.4 Deplasarea varfului efectorului după un arc de cerc

cu o viteză constantă

Considerându-se un proces tehnologic care necesită deplasarea vârfului efectorului după un arc de cerc în planul orizontal al mesei de lucru, cu o viteză constantă, se determină legile de rotație ale motoarelor.

Vârful efectorului își schimbă pe timpul mișcării coordonatele după axele ox și oy, coordonata z rămânând constantă. Arcul de cerc are deschiderea , centrul cercului fiind situat pe axa Oy [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121].

Fig. 4.40 Poziția vârfului efectorului

Mișcarea începe la timpul inițial t = 4s, când vârful efectorului este în punctul de coordonate (-500, 600, 407) și se termină când timpul t = 318.159 s, adică vârful efectorului ajunge în punctul de coordonate (500,600,407). Variația în timp a coordonatelor vârfului efectorului este dată de:

Alegând pentru (t) o variație definită de legea din figura

Fig.4.41 Variația unghiului în timp

unde

;

– timpul de accelerare de la viteza 0 la 5 mm/s, care este egal cu

timpul de decelerare;

– unghiul inițial;

– unghiul final în radiani;

– viteza unghiulară corespunzătoare unei viteze periferice de

5 mm/s la o rază de 500 mm.

În figurile 4.42-4.45 sunt prezentate variațiile unghiurilor motoarele în timp care asigură traiectoria impusă a vârfului efectorului.

Figura 4.42 Variația în timp a unghiului Figura 4.43 Variația în timp a unghiului

de rotație al motorului 1 de rotație al motorului 2

Figura 4.44 Variația în timp a unghiului Figura 4.45 Variația în timp a unghiului

de rotație al motorului 3 de rotație al motorului 4

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale platformei, variază în timp după legile:

(a)

Fig. 4.46 Componentele vitezei și accelerației centrului de masă ale platformei

Variația în timp a energiei cinetice a platformei este:

Fig. 4.48 Energia cinetică a platformei

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 1, variază în timp după legile:

Fig. 4.49 Componentele vitezei centrului de masă ale brațului 1

Variația în timp a energiei cinetice a brațului 1 este:

Fig. 4.51 Energia cinetică a brațului 1

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale brațului 2, variază în timp după legile:

Fig. 4.52 Componentele vitezei și accelerației centrului de masă ale brațului 2

Variația în timp a energiei cinetice a brațului 2 este:

Fig. 4.54 Energia cinetică a brațului 2

Componentele vitezei și ale accelerației centrului de masă ale efectorului, variază în timp după legile:

Fig. 4.55 Componentele vitezei centrului de masă ale efectorului

Variația în timp a energiei cinetice a efectorului este:

Fig. 4. 57 Energia cinetică a efectorului

În figura 4.58 se prezintă pozițiile robotului la diferite momente de timp.

t = 4 s t = 66,8 s t = 129,6 s

t = 192,4 s t = 255,2 s t = 320 s

Fig. 4.58 Poziția robotului la diferite momente de timp

Traiectoria descrisă de vârful efectorului este reprezentată în figura 4.59.

Fig. 4.59 Traiectoria descrisă de vârful efectorului

CAPITOLUL 5

STAREA DE TENSIUNE ȘI DEFORMAȚIE

ÎN BRAȚELE ROBOTULUI 4R

5.2 Ecuațiile incrementale ale mișcării

În analiza neliniară cea mai folosită cale de abordare pentru obținerea ecuației metodei elementului finit, este cea bazată pe principiul lucrului mecanic virtual. Întrucât configurația structurii cu comportament neliniar poate fi diferită la anumite momente și pentru a putea folosi ecuațiile obișnuite ale mecanicii corpului deformabil (relații de echilibru, ș.a.), este necesară formularea incrementală.

Figura 5.1 Configurația structurii la diferite momente de timp

Sistemul de referință poate fi unul cartezian staționar, caz în care discretizarea este cunoscută și sub numele de meșă Lagrangeană, sau nestaționar, cea ce conduce la o modelare în elemente finite numită meșă Euleriană.

Abordarea Lagrange incrementală, se face exprimând echilibrul corpului la momentul (t+t), folosind principiul deplasărilor virtuale, cea ce se poate exprima astfel [82, 87, 88, 95, 138]:

(5.1)

în care: sunt componentele carteziene ale tensorului tensiunilor (Cauchy), sunt componentele carteziene ale tensorului deformațiilor specifice infinitezimale, semnifică variația virtuală a componentelor respective, astfel:

(5.2)

În relațiile de mai sus, tensiunile Cauchy sunt privite ca forțe interne pe unitatea de suprafață în configurația de la momentul t + t, iar componentele deformațiilor specifice infinitezimale sunt referitoare tot la acest moment, pentru care configurația este necunoscută.

Cu această observație, membrul drept al relației (5.1) reprezintă lucrul mecanic virtual al forțelor exterioare, având expresia:

(5.3)

unde și sunt componentele vectorilor forțe aplicate, pe suprafață (S), sau de volum (B), iar ui este componenta "i" a vectorului deplasării virtuale.

5.8 Calculul prin metoda elementelor finite a stării de tensiune

și deformații în brațele 1 și 2 ale robotului 4R

Se consideră cazul deplasării efectorului pe arcul de cerc (cap 4).

În figura 5.3 sunt prezentate variațiile în timp ale forței rezultante și ale componentelor după axele sistemului de coordonate, din articulația cilindrică dintre platformă și brațul 1.

Fig. 5.3 Variația forței din articulația cilindrică dintre platformă și brațul 1

Cu linie continuă rezultanta, cu liniuțe componenta după ox,

cu puncte componenta după oy și cu liniută – punct, componenta după oz

Se determină maximul forței rezultante pentru timpul t = 162,08 s.

În figurile 5.4, 5.5 și 5.6 se prezintă variația unghiurilor de poziționare a elementelor robotului. Astfel se detrmină pentru momentul de timp 162,08 s o rotire de 36,164 a brațului 1 față de verticală, o rotire de 73,322 între brațele 1 și 2 ale robotului și o rotire de 19,486 între brațul 2 și efector.

Fig. 5.4 Variația în timp a unghiului dintre axa brațului 1 și verticală

Fig. 5.5 Variația în timp a unghiului dintre axa brațului 1 și brațul 2

Fig. 5.6 Variația în timp a unghiului dintre axa brațului 2 și efector

Discretizarea brațului 1 este prezentată în figura 5.7. Pentru discretizare s-au folosit elemente tetraedrale cu 4 noduri.

Fig. 5.7 Discretizarea brațului 2

În figura 5.8 se prezintă condițiile în deplasări ale brațului 2.

Fig. 5.8 Condițiile la limită pentru lagărul dintre brațul 1 și brațul 2

Materialele considerate sunt: pentru bucșa danturată la interior, iar pentru pereții brațul 2 – aluminiu.

Încărcarea brațului 2 se realizează prin greutatea proprie a brațului și din greutatea efectorului. Datorită accelerațiilor reduse corespunzătoare procesului tehnologic, forțele de inrție se neglijează.

În figura 5.9 se prezintă câmpul deplasărilor, al tensiunilor echivalente Von Misses și al deformațiilor specifice pentru cazul considerat.

Fig. 5.9 Câmpul deplasărilor, tensiunilor și deformațiilor specifice

Componentele reacțiunii pentru suprafața cilindrică cu diametru 120 mm, de contact cu rulmentul, pusă în evidență în figura 5.10, sunt:

, .

Componentele reacțiunii pentru suprafața cilindrică cu diametru 120 mm, de contact cu rulmentul, pusă în evidență în figura 5.11, sunt:

, .

Discretizarea brațului 2 este prezentată în figura 5.12 și un detaliu în figura 5.13. Pentru discretizare s-au folosit elemente tetraedrale cu 4 noduri.

Fig. 5.12 Discretizarea brațului 1

Condițiile în deplasări ale brațului 1 sunt prezentate în figura 5.14 iar condițiile în forțele sunt reprezentate în figura 5.15. Încărcarea suprafețelor cilindrice de contact cu rulmenții s-a realizat printr-o distribuție trigonometrică a forței de încărcare a rulmenților determinată la brațul 2.

Fig. 5.14 Condițiile la limită pentru lagărul 5.15 Condițiile la limită pentru lagărul

dintre brațul 1 și platformă dintre brațul 1 și brațul 2

Materialele considerate sunt: pentru bucșa danturată la interior, pentru roata dințată mică din care antrenează brațul 2 și pentru arborele ei – oțel. Pentru brațul 1 – aluminiu.

În figura 5.16 se prezintă câmpul deplasărilor și al tensiunilor echivalente Von Misses (vedere din față și spate). În figura 5.17 se prezintă câmpul deformațiilor specifice (vedere din față și spate).

Fig. 5.16 Deplasările, tensiunile echivalente Von Misses în vedere față și spate a brațului 1

Fig. 5.17 Deformația specifică în vedere față și spate a brațului 1

Se constată o tensiune echivalentă mare, de 94 N/mm2, la baza arborelui care transmite mișcarea de la motorul 3 (figura 5.18). Pentru a diminua valoarea tensiunii și deci și deplasarea roții dințate se adoptă o construcție a brațului 1 ca cea din figura 5 . Acestă formă duce la scurtarea lungimii arborelui motorului 3 (fig. 5.19).

Fig. 5.18 Varianta inițială a axului Fig. 5.19 Varianta scurtată a axului

motorului 3 motorului 3

Fig. 5.20 Variantă constructivă

CAPITOLUL 6

METODE DE OPTIMIZARE.

OPTIMIZAREA CONSTRUCTIV FUNCȚIONALĂ A ROBOTULUI INDUSTRIAL 4R

Optimizarea este un principiu fundamental al unei multitudini de probleme complexe de alocare și decizie, care implică selecția de valori pentru o multime de variabile interrelaționate, prin realizarea unui singur obiectiv ales special. Obiectivul este de obicei o functțe sau funcțională, care este maximizat sau minimizat, cu posibile constrângeri care limitează alegerea valorilor pentru variabile.

În construirea unui model matematic care descrie exact complexitatea problemei și care este fezabil din punct de vedere numeric trebuie stapânit compromisul și dobândirea de abilități pentru a putea construi modele in mod expert. În acest sens se impune:

– identificarea și surprinderea aspectelor importante ale unei probleme;

– abilitatea de a distinge modelele fezabile de cele nefezabile prin studierea tehnicilor existente și a teoriei asociate.

O măsură a complexitații unei probleme de programare este dimensiunea măsurată în termenii numărului de variabile necunoscute și/sau numarul de constrangeri. Având în vedere performanța calculatoarelor moderne distingem urmatoarele clase de probleme:

– dimensiune mică (având până la 5 variabile și/sau constrângeri);

– dimensiune medie, având intre 5 și 100 variabile;

– dimensiune mare, având mai mult de 100 poate 1000 sau mai multe variabile.

6.1 Extremele funcțiilor reale de mai multe variabile

Fie funcția f: A . Punctul (a,b) se numește punct staționar atunci când

. (6.1) Teoremă

Fie f: A un punct staționar. Presupunem că pe o vecinătate V a punctului (a, b) funcția admite derivate parțiale de ordinul doi continue.

Considerăm expresia:

1. Dacă E < 0 atunci (a,b) este un punct de extrem local și anume:

minim când > 0, (6.2)

și

maxim când < 0. (6.3)

2. Dacă E > 0, punctul (a, b) este punct șa, nefiind punct de extrem local

Generalizare

Fie funcția f: și ,

un punct din A [82, 87, 88, 95, 138]. Funcția f are minim local în punctul dacă există o vecinătate V a lui astfel încât pentru orice . Punctul este punct de maxim local pentru funcția f dacă pentru orice .

În cazul în care funcția f are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv, într-o vecinătate a punctului staționar atunci:

a. dacă este pozitiv definită (ca formă pătratică în creșterile argumentelor), punctul este un punct de minim pentru f;

b. dacă este negativ definită (ca formă pătratică), este un punct de maxim pentru f;

c. dacă ia și valori pozitive și valori negative, nu este punct de extrem.

6.1.1 Extreme libere sau necondiționate. Forme pătratice.

Matricea hessiană

Punctele de maxim local și punctele de minim local ale funcției , se numesc puncte de extrem local ale funcției f(x, y), iar valoarea funcției f(x, y) într-un astfel de punct local M, f(M) se numește extrem (maxim sau minim) local al funcției f(x, y) [82, 87, 88, 95, 138].

Dacă asupra variabilelor x și y nu sunt puse condiții sau restricții se spune că avem extreme libere sau necondiționate.

Alegând o vecinătate V a punctului astfel ca restul formulei lui Taylor să fie neglijabil, putem scrie aproximarea

, (6.6)

și ca urmare semnul creșterii este dat de semnul diferențialei de ordinul doi , care este o formă pătratică în variabilele dx, dy.

. (6.7)

În cazul, dacă punctul este punct de minim iar dacă atunci este punct de maxim.

Semnul formei pătratice , se poate determina cu ajutorul metodei lui Jacobi. Se notează cu matricea hessiană definită astfel:

, (6.8)

care este o matrice pătratică de ordinul n.

Forma canonică a funcționalei pătratice este:

, (6.9)

unde

, ,. (6.10)

În concluzie dacă toți atunci și punctul este punct de minim local, iar dacă , atunci și este punct de maxim local.

6.1.2 Extreme cu legături sau extreme condiționate

Fie o funcție reală de n variabile reale, f: și funcțiile definite tot pe și cu valori reale. Notăm cu S mulțimea soluțiilor sistemului [82, 87, 88, 95, 138]:

(6.11)

adică

Presupunem că m < n, fapt care, în ipoteza compatibilității sistemului (3.12), sistemul are o infinitate de soluții.

Definiție: Funcția f(x) admite în punctul un extrem relativ la mulțimea S sau condiționat de faptul că , dacă restricția funcției f(x) la mulțimea S are în punctul un extrem obișnuit (sau liber). Extremele funcției f(x) relative la submulțimea se numesc extreme condiționate.

6.2 Algoritmi iterativi și convergența soluției

Cei mai mulți algoritmi dezvoltați pentru a rezolva probleme de optimizare sunt iterativi:

– se selectează un vector intițial in mulțmea S;

– algoritmul generează un vector mai bun ;

– algoritmul este repetat și pe baza lui și/sau este selectat un vector și mai bun ;

– se găsește un șir de puncte din ce in ce mai bune care tinde catre punctul solutie ;

– procesul este terminat imediat ce se ajunge la sau când este găsit un punct suficient de apropiat.

6.4 Căutare unidimensională prin interpolare

Pentru funcții cu un anumit grad de netezime se pot obține algoritmi de căutare eficienți. Ideea principală este interpolarea unui numar de câteva puncte printr–o curbă netedă pe baza căreia se obține o estimare a punctului de minim. Există o mare varietate de metode de interpolare depinzând de numarul de puncte de interpolare, ordinul derivatelor folosite, criteriul utilizat pentru evaluarea calitătii interpolarii :

– metoda lui Newton,

– metoda falsei poziții,

– interpolare cubică,

– interpolare pătratică.

6.4.1 Metoda lui Newton

Ipoteze: Funcția , și primele două derivate pot fi evaluate în

fiecare punct curent din domeniul de definiție [82, 87, 88, 95, 138].

Se construiește un interpolant de gradul 2

(6.22)

în punctul curent și găsim un nou punct ca minim al lui q(x):

implică , (6.23)

De menționat că procesul de căutare nu depinde de valoarea iar metoda lui Newton poate fi interpretată și ca o metodă de rezolvare iterativa a ecuațiilor g(x) = 0.

Fig. 6.1 Metoda lui Newton

6.4.3 Interpolare cubică

Dându-se punctele și impreună cu valorile , , , , se construiește un interpolant q(x) de gradul 3, conducand la procesul iterativ [82, 87, 88, 95, 138]:

(6.27)

unde:

, (6.28)

(6.29)

6.4.4 Interpolare pătratică

Această metodă este cel mai adesea folosită în căutări unidimensionale având avantajul esențial că nu necesită nici o informație privitoare la derivate.

Dându-se punctele , impreună cu valorile , se construiește o funcție de interpolare de gradul 2 care trece prin aceste puncte [82, 87, 88, 95, 138]:

. (6.30)

Noul punct se determină ca punctul în care derivata lui se anulează.

Se obține:

, (6.31)

unde .

6.5 Determinarea stării de tensiune din angrenajul dintre

brațul 1 și brațul 2

Mișcările brațelor robotului 4R al cărui model a fost prezentat în capitoul 4, se realizează într-un singur plan (întotdeauna vertical dacă baza este prinsă pe o suprafață plană orizontală). Rotirea acestui plan în jurul axei verticale a robotului este asigurată de mișcarea de rotație a platformei.

Momentele de inerție produse de mișcarea de rotație accelerată a brațelor în planul brațelor și momentele forțelor de greutate sunt preluate de angrenajele cilindrice interioare și de motorul care pune în mișcare efectorul. Angrenajul cel mai solicitat este cel dintre brațul 1 și platformă.

Solicitările produse de forțele de inerție la mișcarea de rotație accelerată a platformei, ale brațelor și a efectorului, și de forțele de greutate ale brațelor și efectorului sunt preluate de articulațiile cilindrice dintre brațul 1 și platformă, brațul 1 și brațul 2 și brațul 2 și efector. Articulația cea mai solicitată din acest punct de vedere este cea dintre brațul 1 și platformă.

Analizând cu metoda elementelor finite angrenajul cilindric interior pentru situația transmiterii unui moment maxim pentru mișcarea de poziționare, rezultă câmpul tensiunilor echivalente prezentat în figurile 6.7 și 6.8 [138].

Pentru realizarea contactului dintre dinții care angrenează, s-a folosit tipul de contact nod-nod.

Proprietățile de material ale roților dințate sunt:

Fig. 6.7 Câmpul tensiunilor echivalente von Mises

6.7 Optimizarea constructiuvă a brațului 2

Scopul optimizării brațului 2 este reducerea masei deci și a momentelor de inerție, prin controlarea grosimii pereților. Grosimea inițială din construcție este de 5 mm. În figura 6.11 se prezintă ansamblul dintre brațul 2 și efector și sistemul de referință atașat brațului 2 a cărui axă Oz este suprapusă cu axa articulației cilindrice dintre brațul 1 și brațul 2 [138].

Fig. 6.11 Ansamblul brațul 2 – efector

O solicitarea critică pentru angrenaj poate apare atunci când brațul 2 este accelerat în mișcare de rotație cu o accelerație limită care produce un moment corespunzător celui capabil roții danturate la interior.

Alegând o poziție orizontală a brațului și a efectorului, și scriind teorema momentului cinetic față de axa Oz, rezultă:

Momentul de inerție

unde momentul de inerție al efectorului este determinat față ce trece prin centrul de masă și este paralelă cu axa articulației iar este distanța dintre axa articulației cilindrice dintre brațului 2 și brațul 1 și axa ce trece prin centrul de masă al efectorului.

Calculul de optimizare se bazează pe minimizarea masei de aluminiu a brațului 2. Variabila considerată este grosimea peretelui.

Calculul se rezalizeză pe baza a două studii: calculul de rezistență al brațului și calculul modal al brațului 2.

Pentru calculul de rezistență se alege un prag minim al tensiunii echivalente maxime Von Misses de 0 N/mm2 și un prag maxim de 20 N/mm2.

Pentru calculul modal se alege un prag minim al frecvenței de 330 Hz și un prag maxim de 400 Hz.

Fig. 6.12 Condițiile la limită

Pentru calculul de oprimizare s-a luat în considerare modul 2 de vibrație datorită faptului că oscilațiile brațului 2 corespunzătoare acestui mod sunt în planul mișcării brațului, după cum se poate observa în figura 6.14.

Fig. 6.14 Modurile de vibtație 1 și 2 pentru grosimea peretelui de 5 mm

Primul pas:

grosimea peretelui: 5 mm

masa părții de aluminiu: 3288,93 grame

momentul de inerție față de axa articulației cilindrice este:

acceleratia unghiulară este

În tabelul 6.1 se prezintă frecvențele proprii ale brațului pentru primele cinci moduri proprii de vibrație.

În figurile 6.15 se prezintă câmpul tensiunilor echivalente Von Misses (a), deplasărilor rezultante (b) și a deformațiilor specifice (c).

Tabelul 6.1

(a) (b) (c)

Fig. 6.15 Câmpurile tensiunii Von Misses, deplasării rezultante și deformației specifice

Pasul al doilea:

grosimea peretelui: 4 mm

masa părții de aluminiu: 2722,15 grame

momentul de inerție față de axa articulației cilindrice este:

acceleratia unghiulară este

În tabelul 6.2 se prezintă frecvențele proprii ale brațului pentru primele cinci moduri proprii de vibrație.

În figurile 6.16 se prezintă câmpul tensiunilor echivalente Von Misses (a), deplasărilor rezultante (b) și a deformațiilor specifice (c).

Tabelul 6.2

(a) (b) (c)

Fig. 6.16 Câmpurile tensiunii Von Misses, deplasării rezultante și deformației specifice

În figurile 6.22 și 6.23 sunt prezentate variațiile tensiunii echivalente maxime și ale deformației rezultante maxime a brațului 2 în funcție de grosimea peretelui brațului. Se constată că din punct de vedere al capacității de încărcare, barațul 2 are rezerve importante, tensiunile echivalente maxime nedepășind 5 N/mm2.

Fig. 6.22 Variația tensiunii echivalente Von Misses maxime (N/mm2) în brațului 2

în funcție de grosimea peretelui (mm)

Fig. 6.23 Variația deformației rezultate maxime (mm) în brațului 2

în funcție de grosimea peretelui (mm)

Calculul de otimizare a grosimii peretelui brațului 2, se concretizează prin determinarea grosimii de 2,75 mm. Frecvența modului 2 de vibrație corespunzătoare aceste grosimi este de 330,11 Hz, fiind superioară pragului limită de 330 Hz, eroarea fiind de 0,033%.

CAPITOLUL 7

PRECIZIA ÎN FUNCȚIONAREA ROBOȚILOR INDUSTRIALI

7.1 Noțiuni generale

7.1.1 Relația precizie – dinamică în funcționarea mecanismelor

Indicii de performanță ai unui sistem mecanic automat sunt influențați în mare măsură de parametrii dinamici și de precizie ai mecanismelor ce le compun.

În literatura de specialitate sunt definiți o serie de parametri de precizie ai mecanismelor, dintre care menționăm:

– eroarea de poziție (deplasare) a mecanismului definită ca diferența între poziția (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real (afectat de abateri de prelucrare) și cel ideal la aceeași pozitie (deplasare) a elementelor conducătoare, în ambele mecanisme;

– eroarea de pozitie (deplasare) a elementului condus în mecanism definită ca diferența între poziția (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real și ideal, datorită impreciziei mecanismului, inclusiv a impreciziei pozitiei elementului conducator.

De menționat că eroarea de poziție sau deplasare este provocată în principal de o serie de abateri dimensionale, de formă sau de poziție relativă, care caracterizează construcția cuplelor cinematice din structura mecanismului. Aceste abateri sunt numite în literatura de specialitate erori inițiale (elementare, primare, de intrare etc.) fiind definite ca abateri de dispunere pe elementul cinematic, a suprafetelor cuplelor cinematice de la poziția ideală și abateri de la forma geometrică prescrisă a acestor suprafețe. De asemenea, se înțelege că nu toate erorile elementare au aceeași contribuție la generarea erorii de poziție sau deplasare a mecanismului.

7.1.2 Metode și relații generale de calcul

Parametrii cinematici de ordin zero (poziți) ai elementelor cinematici dintr-un mecanism se exprimă prin funcții explicite de pozițiile elementelor conducatoare, dimensiunile și configurațiile tuturor elementelor cinematice. Tipul dependenței funcționale este perfect cunoscut odată cu structura și dimensiunile mecanismelor.

Pentru un mecanism ideal (neafectat de nici un fel de abateri) poziția elementelor conduse se exprima prin:

, (7.1)

unde sunt variabile independente ce exprimă poziția elementelor conducătoare și dimensiunile tuturor elementelor cinematice.

În realitate parametrii sunt afectați de o serie de abateri dimensionale, de formă sau poziție a suprafețelor, (erori inițiale), încât relația anterioară devine:

. (7.2)

Dezvoltând expresia (7.2) în serie Taylor în punctul zero și reținând numai termeni de ordin zero și unu obținem pentru erorile parametrilor de poziție ai elementelor cinematice conduse, relația:

, (7.3)

unde J este matricea jacobianâ a functiei Y în raport cu variabila X și se exprimă cu relațiile:

. (7.4)

Dacă se urmărește abaterea unui anumit parametru de iesire (Y), relația (7.3) capată următoarea formă particulară:

. (7.5)

7.1.4 Abordarea stohastică a problemei preciziei

Teoria liniară a preciziei nu rezolvă definitiv problema preciziei mecanismelor, mai ales într-o serie de situații specifice, dintre care menționăm:

– precizia mecanismelor fabricate în serie, după același proiect tehnologic,

– mecanismele cu legături superioare,

– mecanisme încărcate aleator cu forțe sau care își modifică legea de mișcare aleator,

– când este necesară evaluarea preciziei vitezelor sau accelerațiilor, etc., în general parametri neliniari.

Dezvoltarea generală a tehnicii de calcul electronic din ultimii ani furnizează elaborarea de metodologii și algoritmi ce permit modelarea și rezolvarea stohastică a problemelor de precizie. Aceste metodologii sunt aplicabile și pertinente în toate situațiile cerute de practică.

7.2 Precizia mecanismelor cu pârghii. Eroarea teoretică

O caracteristică de bază a mecanismelor o constituie precizia de transmitere și recepționare a fluxului de semnale. Astfel este necesar ca la proiectarea mecanismelor să se stabilească erorile existente la propagarea fluxului de semnale și modul în care acestea modifică legea teoretică de transmitere.

Erorile care pot afecta precizia unui mecanism pot fi: teoretice, de formă, constructive și datorate forțelor interne.

Soluționarea aproximativă a sintezei conduce la o primă sursă de erori. Eroarea este cunoscută din etapa de proiectare și din acest motiv este limitată la o valoare convenabilă prin premizele de calcul. Această eroare se definește ca teoretică (de calcul). Ea este datorată în primul rând simplificării legii de propagare a fluxului de semnale, ca de exemplu liniarizarea variației (denumită și caracteristica semnalului) și în al doilea rând, proiectării mecanismelor în raport de carcateristica statică a acestora.

7.3 Studiu de caz . Eroarea deplasării și eroarea vitezei

Se analizează eroarea deplasării a vârfului efectorului F și eroarea vitezei în cazul în care funcția are perturbația (fig.7.4 )

Fig. 7.4. Mișcarea vârfului efectorului (F) în lungul axei x

Se adoptă următoarele valori numerice:

Se notează valoarea unghiului la momentul în care vârful F ocupă poziția corespunzătoare distanței .

Se determină prin calcul numeric:

Distanța parcursă de vârful efectorului F () se presupune că este parcursă în timpul .

Ecuația spațiului, în cazul în care nu există perturbații, are expresia:

Viteza vârfului F este și are reprezentarea:

Fig. 7.5. Variția vitezei vârfului efectorului F

Pentru introducerea perturbației se scrie:

iar ecuația mișcării cu perturbații a vârfului efectorului are forma:

Variația în timp a perturbației are reprezentarea grafică din fig. 7.6. Vteza perturbată a vârfului F este: . Perturbația vitezei vârfului F este dată în fig. 7.7.

Fig. 7.6. Variția perturbației a vârfului efectorului F

7.4 Determinarea preciziei vitezei unghiulare la roțile dințate cu

dantură în evolventă

La roțile dințate cu dantură în evolventă din cauza jocurilor din lagăre și a erorilor de pas, la module mici apare angrenarea pe muchie. Datorită acesteia (fig.7.8), linia de angrenare este formată din segmentul de dreaptă AD și arcele de cerc și . Dacă la angrenarea pe segmentul AD, raportul de transmitere este constant (în ipoteza unor profile de dinți executate riguros după evolventă), la contactul dinților pe arcele de cerc și raportul de transmitere instantaneu al mecanismului este variabil [36, 50, 55, 69, 70, 73].

Mărimea acestui raport se obține considerându-se mecanismele patrulatere din figurile 7.8.a,b, echivalente, obținute prin transformarea cuplelor superioare din punctele .

Raportul de transmitere la o angrenare înainte de pol este:

, (7.20)

unde I este centrul instantaneu relativ de rotație al elementului 1 față de elementul 2; a – distanța între axe ( reprezentând variația distanței între axe a angrenajului; – distanța între axele de referință).

a.

b.

Fig. 7.8. Angrenarea pe muchie a angrenajelor în evolventă

7.5.1 Influența jocurilor de flanc asupra preciziei

Fiecare roată generează un joc de flanc format din două componente:

– o componentă constată, care este datorată în mare măsură modului de proiectare și de execuție a roții, fiind introdusă în mod deliberat, în scopul evitării blocajului;

– o componentă variabilă, datorată unor excentricități existente în sistem (excentricitatea danturii, a lagărelor, a arborilor, a roții la montajul acesteia etc.) și altor factori, ca, de exemplu, variația grosimii dinților, deformarea arborilor, influența mediului ambiant, erorilor de profil etc.

a. b.

Fig. 7.10. Jocul de flanc

Se poate scrie o relație de forma:

, (7.38)

unde reprezintă componenta constantă a jocului de flanc, iar jnv componenta variabilă a acestuia.

Valoarea jocului unghiular (fig.7.10.,a) se determină cu relația:

, (7.39)

iar eroarea liniară pe cercul de divizare

. (7.40)

Mărimea se compune din componenta constantă:

, (7.41)

și componenta variabilă:

(7.42)

Componenta variabilă a acestui joc se obține cu ajutorul unui aparat de angrenare pe două flancuri. Jocul variabil prezintă o componentă datorată excentricităților și una dependentă de , variația distanței între axe la angrenarea unei singure perechi de dinți. Perioada de variație a primei componente corespunde unei rotații complete a roții dințate, cea de-a doua domeniului de angrenare a unei perechi de dinți.

Reprezentarea grafică a jocului se obține pentru valorile:

sub forma:

Fig. 7.11. Influența jocului variabil de flanc

Din analiza jocului de flanc se constată că acesta influențează eroarea totală de poziție, prin ambele componente ale sale, dacă se schimbă sensul de mișcare al roților, aflate în angrenare, și prin componenta sa variabilă la angrenajele cu un singur sens sau în ambele sensuri, dacă acestea permit soluții constructive de eliminare a jocului.

7.5.2 Eroarea de transmitere a roților dințate

Este independentă de mărimea jocului de flanc însă poate fi influențată de erori care generează jocul de flanc ca, de exemplu, excentricitățile arborilor, roților sau lagărelor [36, 50, 55, 69, 70, 73].

Eroarea de transmitere se determină cu relația:

, (7.43)

unde Ecs este eroarea de construcție a carcasei; se consideră în special influența excentricităților de montaj:

, (7.44)

în care:

reprezintă influența excentricităților de construcție și montaj care au o variație sinusoidală în raport cu unghiul de rotație , însă sunt defazate cu , față de acest unghi;

Ec – eroarea cinematică;

Es – eroarea suplimentară de poziție care ia în considerare o serie de factori ca de exemplu excentricitățile datorate unor cuplaje, alunecarea lagărelor (dacă nu au fost montate cu strângere) etc.

Eroarea de transmitere la o roată dințată este:

. (7.45)

La calculul erorii de transmitere, distanța între axe se consideră constantă.

7.6 Variantă constructivă la care eroarea depinde de un singur

parametru

Se consideră o altă variantă constructivă (fig.7.13) la care atât eroarea de transmitere cât și jocul de flanc sunt influențate de un parametru cu un singur ciclu de variație pentru o rotație completă a roții. Considerându-se excentricitatea rezultantă e, ca o cauză comună a jocului de flanc variabil cât și a erorii de transmitere, trebuie avut în vedere că între cele două erori există un defazaj de 90°, adică:

. (7.48)

Eroarea totală de poziție se obține prin însumare:

. (7.49)

Ca poziție de referință a jocului de flanc s-a considerat poziția medie a jocului dintre dinți.

Se consideră următoarele valori numerice:

rezultă reprezentarea grafică:

Fig. 7.13. Eroarea de transmitere dependentă de un joc variabil de flanc

Se constată că față de eroarea de transmitere, din cauza jocului variabil, eroarea de poziție totală se mărește pentru prima jumătate a ciclului de rotație, datorită unei creșteri reale a jocului de flanc, odată cu mărirea distanței între axe. Pentru cealaltă jumătate de ciclu de rotație, eroarea totală de poziție se micșorează odată cu jocul total de flanc și distanța între axe. Porțiunea colorată indică influența jocului de flanc variabil prin schimbarea sensului de mișcare a roții. Această influență a jocului de flanc se manifestă și la transmisiile cu roți prevăzute cu soluții constructive pentru preluarea jocului de flanc.

O soluție practică trebuie să ia în considerare și componenta constantă a jocului de flanc. Efectul introducerii acestei componente (fig.7.14) este acela al despărțirii curbelor erorii totale de poziție din figura 7.13 prin valoarea jocului de flanc constant. Eroarea totală de poziție se determină cu relațiile:

(7.50)

pentru cursa activă, și:

(7.51)

pentru cursa de întoarcere.

Se constată că, dacă nu există soluții constructive pentru preluarea jocului de flanc, la trecerea de la curba la curba apare o eroare de poziție totală mare, a cărei valoare este:

. (7.52)

7.7 Calculul erorilor după metode statistice

În calculul erorilor după metode statistice se neglijează influența componentei variabile a jocului de flanc și se consideră eroarea de transmitere determinată statistic cauzată prin combinarea unor excentricități defazate în raport cu unghiul de rotație . Pentru fiecare excentricitate considerată, se determină cât mai riguros valorile lor medii și abaterea medie pătratică . Conform literaturii de specialitate abaterea medie pătratică și valoarea medie a erorii de transmitere la roțile dințate se determină cu relațiile:

, (7.53)

și:

. (7.54)

7.7.1 Eroarea de transmitere datorată jocului de flanc

Se calculează pentru următoarele situații:

– pentru o roată cu joc de flanc constant

, (7.55)

și

; (7.56)

– pentru o roată cu joc de flanc variabil cu relațiile (7.53) și (7.54), unde și sunt valorile medii și abaterile medii pătratice ale parametrilor ce cauzează aceste jocuri:

Dacă există joc de flanc constant și variabil se determină influența jocului

total de flanc cu relațiile:

(7.57)

și

. (7.58)

7.7.2 Eroarea totală de poziție

Eraoarea totală de poziție se determină cu relația:

. (7.59)

CAPITOLUL 8

CONCLUZII ȘI CONTRIBUȚII

8.1 Concluzii

Construcția roboților s-a fundamentat ca domeniu științific pe baza mecanicii și a ciberneticii. In același timp, dezvoltarea soluțiilor constructive ale roboților au fost formulate intro-o serie de domenii învecinate care au favorizat dezvoltarea acestora.

Obiectivul practic al creării roboților a fost transferarea asupra lor a acelor tipuri de activități care pentru om sunt dificile, monotone și/sau periculoase pentru viață și sănatate.

Roboții, destinați pentru efectuarea unor funcții motoare și de comandă în procesul de producție se numesc industriali. Tocmai necesitatea rezolvării unor probleme de producție a determinat evoluția rapidă în ultimele trei decenii a cercetărilor în doemniul constructive și fabricării roboților.

Roboții industriali sunt unul dintre cele mai importante mijloace de automatizare complexă a producției, de creștere a productivității muncii, de îmbunătățire a calității producției. Față de mijloacele tradiționale de automatizare, roboții industriali se deosebesc prin universalitate, posibilitatea reglării rapide pentru o nouă operație, ceea ce permite să se creeze pe baza unor echipamente universale complexe tehnologice robotizate, sisteme de fabricație flexibile, și sisteme automatizate de fabricație flexibile

Un robot manipulator conține două subansambluri legate organic: dispozitivul de comandă și manipulatorul. Dispozitivul de comandă include sistemul de senzori, subsistemul de prelucrare și stocare a informației (calculator, dispozitiv de stocare a informatiei) și sistemul de transmisie (transmisia).

Cerințele ridicate privind viteza de execuție și precizia mișcării conduc la necesitatea luării în considerare a elasticității elementelor mecanismelor de bază și de transmitere ale unui robot industrial. Complexitatea calculului manipulatoarelor a determinat desolater unor metode orientate spre utilizarea calculatoarelor electronice.

Conform formalismului Denavit-Hartenberg axa cuplei de rotație , formată din elementele i și , este axa cuplei cilindrice, solidarizată de elementul i, în jurul căreia se rotește elementul . Pentru cupla de translație axă este orice dreaptă paralelă cu vectorul viteză al mișcării de translație al elementului în raport cu elementul i.

Numerotăm toate elementele manipulatorului de la bază (elementul ,,0”) până la dispozitivul de prehensiune (elementul n) și atașăm de fiecare ele propriul sistem de coordonate carteziene, ales în următorul mod special :

– axa zi este dirijată după axa cuplei cinematice ;

– originea sistemului de coordonate i, solidarizat de elementul i, se află pe perpendiculara comună la axele zi-1 și zi, sau în punctul lor de intersecție, dacă un astfel de punct există, sau în orice punct al axei cuplei cinematice, dacă axa zi coincide cu axa zi-1 sau este paralelă cu ea; axa xi este dirijată după perpendiculara comună dusă prin axele zi-1 și zi și este orientată de la punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa zi-1 spre punctul ei de intersecție cu axa zi (sau în orice sens după normala la planul ce conține axele zi-1 și zi, dacă ele se intersectează, sau într-un mod arbitrar dacă axele zi-1 și zi sunt orientate după aceeași dreaptă); yi se alege după regula sistemului de coordonate drept.

Originea sistemului de coorodnate ,,0”, adică a sistemului solidarizat de bază, se poate afla în orice punct ale axei cuplei ; axa x0 se orientează în mod arbitrar.

Alegerea sistemului n de asemenea decurge din regula generală, întrucât nu există elementul . De aceea se propune să se aleagă orice fel de cuplă și după aceea să se aleagă sistemul după regula generală. Originea sistemului ales în acest mod se numește centrul dispozitivului de prehensiune.

Alegerea specială a sistemelor de coordonate ale elementelor manipulatorului permite să se descrie trecerea de la un sistem de coordonate la altul cu ajutorul a numai patru parametri și nu cu ajutorul a șase parametri, ca în cazul general. Sistemul se poate transforma în sistemul i cu ajutorul unei rotații, a două translații și a încă o rotație, realizate în următoarea succesiune:

1) rotirea sistemului în jurul axei zi-1 cu un unghi θi până când axa xi-1 devine paralelă cu axa xi;

2) o translație a sistemului rotit în jurul axei zi-1 pe o distanță si până când axele xi-1 și xi se vor găsi pe aceeași dreaptă;

3) o translație de-a lungul axei xi pe o distanță ai până când coincid originile sistemelor de coordonate;

4) o rotire în jurul axei xi cu un unghi αi până la suprapunerea axelor zi-1 și zi.

8.2 Contribuții

Din cercetările efectuate în optimizarea și precizia performanțelor la unele sisteme robotizate.au rezultat primele contribuții personale, dintre care le subliniez pe următoarele:

► 1. Defenitivarea arhitecturii robotului industrial 4R folosit în operații tehnologice de sudare, tăiere și trasare.

Motorul 3 pune în mișcare de rotație brațul 2, iar motorul 4 rotește efectorul.

Robotul 4R este echipat cu patru motoare electrice pas cu pas. Platforma are două motoare elcetrice, care asigură mișcare platformei față de bază (motor 1) și mișcarea brațului 1 față de platformă (motor 2)

► 2. Determinarea funcțiilor care asigură mișcarea robotului. Se consideră că în poziția inițială brațele robotului sunt poziționate vertical, iar platforma nu este rotită față de bază. Mișcarea robotului se realizează în două etape. În prima etapă robotul este adus din poziția inițială în poziția de lucru. A doua etapă de mișcare corespunde deplasării vârfului efctorului pe masa de lucru, situație în care se inpun două condiții:

tija efectorului să rămână tot timpul perpendiculară pe masa de lucru;

viteza vârfului tijei să fie constantă în timp.

► 3. Elaborarea unui program pentru trasarea curbelor Bezier între două puncte, din spațiul de lucru al robotului 4R, cu ajutorul parametrilor curbei. Pentru parametrii:

unde x și y sunt coordonatele punctelor de control și variația se obține următoarea reprezentare grafică a curbei Bezier:

► 4. Elaborarea unui algoritm pentru introducerea perturbației la legea de rotație a brațului 2, care permite calculul variației vitezei vârfului efectorului F al robotului 4R.

► 5. Determinarea erorii deplasării a vârfului efectorului F și a erorii vitezei în cazul în care legea de rotație a brațului 2 (fig, 7.4) are perturbația . Rezultă graficele:

► 6. Determinarea variațiilor în timp ale forței rezultante și ale componentelor după axele sistemului de coordonate, din articulația cilindrică dintre platformă și brațul 1 al robotului 4R. Pentru fiecare serie de date s-au dedus patru polinoame de regresie:

pentru forța coeficienții polinomului sunt

pentru componentele forței coeficienții polinoamelor sunt

► 7. Determinarea cu metoda elementelor finite a câmpului deplasărilor, al tensiunilor echivalente Von Misses și al deformațiilor specifice în brațul doi al robotului 4R, la încărcarea brațului prin greutatea proprie și a greutății efectorului:

► 8. Optimizarea lungimii arborelui motorului 3

Din studiul tensiunilor cu metoda elementelor finite angrenajul cilindric interior, pentru situația transmiterii unui moment maxim pentru mișcarea de poziționare, rezultă o tensiune echivalentă de 94 N/mm2 la baza arborelui care transmite mișcarea de la motorul 3.

Pentru a diminua valoarea tensiunii și deci și deplasarea roții dințate se adoptă o construcție a brațului 1 ca cea din figura 8.9. Acestă formă duce la scurtarea lungimii arborelui motorului 3 și la micșorarea tensiunii echivalente maxime.

► 9. Optimizarea arhitecturii brațului 2 al robotului 4R, bazată pe minimizarea masei de aluminiu, variabila considerată fiind grosimea peretelui.

Calculul se rezalizeză pe baza a două studii: calculul de rezistență al brațului și calculul modal al brațului 2. Pentru calculul de rezistență se alege un prag minim al tensiunii echivalente maxime Von Misses de 0 N/mm2 și un prag maxim de 20 N/mm2. Pentru calculul modal se alege un prag minim al frecvenței de 330 Hz și un prag maxim de 400 Hz. În calculul de oprimizare s-a luat în considerare modul 2 de vibrație datorită faptului că oscilațiile brațului 2 corespunzătoare acestui mod sunt în planul mișcării brațului.

Se constată că valoarea capacității de încărcare a barațului 2 are rezerve importante, tensiunile echivalente maxime nedepășind 5 N/mm2. Calculul de otimizare a grosimii peretelui brațului 2, se concretizează prin determinarea grosimii de 2,75 mm. Frecvența modului 2 de vibrație corespunzătoare aceste grosimi este de 330,11 Hz, fiind superioară pragului limită de 330 Hz, eroarea fiind de 0,033%.

♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Rezultatele obținute în teza de doctorat sunt utile în proiectarea, cercetarea și utilizarea roboților industriali.

Se pot face dezvoltări ținând seama de tendințele și prioritățile europene și mondiale de proiectare, concepere de noi produse din materiale compozite care să satisfacă condițiile impuse de criteriile de exploatare a diferitelor structuri robotizate, utilizate în diferite sectoare industriale: construcții de mașini, electrotehnică, domeniul forestier, metalurgic, aviație, transporturi rutiere și navale, militar, chimie, petrochimie, utilaj tehnologic, construcții speciale etc.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ