Elemente de geometria poliedrelor [311100]

UNIVERSITATEA „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE

FACULTATEA DE ȘTIINȚE ȘI ARTE

SPECIALIZAREA: [anonimizat]: [anonimizat] „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE

FACULTATEA DE ȘTIINȚE ȘI ARTE

SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ DIDACTICĂ

TEMA: [anonimizat]: [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat], se face prin reprezentarea punctelor (vârfurilor) și a dreptelor (muchiilor) care le determină. Astfel, [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat]-[anonimizat], numit contur aparent. Deci, [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat] a [anonimizat] :

-[anonimizat], [anonimizat];

-conturul aparent este vizibil;

-o față a [anonimizat];

-[anonimizat] o muchie a [anonimizat];

-[anonimizat] (care nu aparține conturului aparent) este vizibilă sau invizibilă;

-[anonimizat], după cum punctul (vârful) este vizibil sau invizibil.

În natură apar poliedre sub formă de cristale (sulful, cuarțul, sarea); [anonimizat], [anonimizat], metal, [anonimizat]-I [anonimizat], fie din necesități impuse de tehnică. Reprezentarea în plan a poliedrelor se face prin figuri convenționale; [anonimizat], [anonimizat]-o anumită parte.

Lucrarea , [anonimizat] 1 [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat] , [anonimizat].

[anonimizat] , cilindru ,[anonimizat], etc.

[anonimizat] ( de la cele mai simple la cele mai complexe , avand un grad de dificultate ridicat ).

CAPITOLUL I

1.1 Relații metrice în prisma, paralelipiped, cub

Poliedrele sunt corpuri geometrice mărginite de fețele poligonale plane. Denumirea provine din limba greacă de la cuvintele grecești poly (multe) și edra(bază)) este o formă tridimensională formată din fețe poligonale plane, care se întâlnesc în muchii, iar la rândul lor se întâlnesc în vârfuri.

Intersecția a două fețe determină o muchie ,iar intersecția a cel puțin trei fețe determină un vârf al poliedrului.

Poliedru = un corp a cărui suprafață este alcătuită dintr-o multitudine de poligoane unite între ele de-a lungul muchiilor.

Poliedru regulat = poliedru ale cărui fețe sunt poligoane regulate congruente. Există numai 5 poliedre regulate și anume

Tetraedrul= poliedrul marginit de patru fete, triunghiuri echilaterale

Cubul= poliedrul marginit de sase fete patrate

Octaedrul= poliedrul marginit de opt fete triunghiuri echilaterale,

Dodecardrul= poliedrul marginit de douasprezece fete pentagoane regulate

Icosaedrul= poliedrul marginit de douazeci de fete triunghiuri echilaterale,

Poliedrele neregulate sunt prisma si piramida cel mai frecvent întalnite .

Un poliedru poate fi convex dacă este situate de aceeași parte a planului si concave dacă este intersectat de planele fețelor sale.

În natură apar poliedre sub formă de cristale (sulful, cuarțul, sarea); de asemenea, în

construcții de diferite feluri, din lemn, piatră, metal, omul prelucrează materialul brut, dându-i

forme poliedrice, fie din motive estetice, fie din necesități impuse de tehnică. Reprezentarea în

plan a poliedrelor se face prin figuri convenționale; fețele poliedrelor se reprezintă prin

poligoane, laturile acestor poligoane fiind desenate cu linii pline sau punctate, după cum ele sunt

vizibile sau nu, în ipoteza că poliedrul este un corp opac privit de un observator dintr-o anumită

parte.

Prisma

Prisma este un corp geometric care are două baze- poligoane congruente, situate în plane paralele,iar muchiile laterale sunt congruente și paralele.

O prismă dreaptă este o prismă în care muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor(fețele laterale sunt dreptunghiuri).

O prismă regulată este o prismă dreaptă, cu bazele poligoane regulate.

Teorema 1: Dacă se taie o suprafață prismatică prin două plane paralele (care taie toate

muchiile), secțiunile sunt două poligoane egale.13 Dacă presupunem că cele două poligoane sunt

niște patrulatere (fig. 1) ABCD și A’B’C’D’, ele au laturile respective paralele și egale AB cu

A’B’, BC cu B’C’, CD cu C’D’ și DA cu D’A’.

Acest lucru rezultă simplu, din faptul că două plane paralele taie oricare plan neparalel cu

ele după drepte paralele, deci patrulaterele ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, ADD’A’ sunt

paralelograme și deci AB=A’B’, BC=B’C’. Unghiurile celor două poligoane sunt respective

egale, având laturile paralele și de aceleași sensuri.

În mod curent se înțelege prin prismă porțiunea dintr-o suprafață prismatică limitată de

două plane paralele. Prisma apare astfel ca un poliedru cu două fețe paralele egale, numite baze,

celelalte fețe, numite fețe laterale, fiind niște paralelograme sau cazuri particulare de

paralelograme (romburi, dreptunghiuri, pătrate). Muchiile care nu sunt laturi ale bazelor se

numesc muchii laterale ale prismei și ele sunt paralele și evident egale. Suma ariilor fețelor

laterale ale prismei formează aria laterală a prismei.14

Înălțimea prismei este distanța dintre planele bazelor; pentru a construi, se ia un punct M

în planul uneia din baze și se duce perpendiculara MM’ pe planul celeilalte baze. Înălțimea este

MM’.

O prismă este dreaptă , când muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei; atunci

fețele laterale sunt dreptunghiuri sau pătrate; în acest caz, muchiile laterale sunt egale chiar cu

înălțimea prismei.

O prismă care nu este dreaptă se numește oblică. O prismă se numește triunghiulară,

patrulateră,hexagonală după cum bazele sunt triunghiuri, patrulatere etc.

Intersecția suprafeței unei prisme cu un plan se numește secțiunea făcută în prismă de

acel plan; dacă planul de secțiune este perpendicular pe muchiile laterale, secțiunea se numește

dreaptă. Secțiunile drepte într-o prismă sunt egale (pentru că sunt paralele ).

O prismă se numește regulată, atunci când este dreaptă, iar bazele ei sunt poligoane

regulate.

Observații: Definiția prismelor regulate nu coincide întru totul cu definiția poliedrelor

regulate. Totuși, prin extindere, și acest tip de prisme au căpătat denumirea de regulate. Aceeași

neconcordanță o întâlnim și la piramide.

Ținând seama de definiția poliedrelor regulate, singura prismă poliedru regulat este

cubul, iar singura piramidă poliedru regulat, tetraedrul regulat.

Prisma patrulatera regulata dreapta:

bazele sunt patrate si plane paralele;

fetele laterale sunt dreptunghiuri congruente;

fetele laterale opuse sunt in plane paralele;

fetele laterale sunt perpendiculare pe baze;

.

Prisma triunghiulara regulata dreapta:

bazele sunt triunghiuri echilaterale si plane paralele;

fatele laterale sunt dreptunghiuri congruente;

fetele laterale sunt perpendiculare pe baze.

Elementele prismei triunghiulare regulate:

bazele: triunghiurile echilaterale si

fetele laterale: dreptunghiurile ABB’A’, BCB’C’, ACC’A’

muchiile bazei [AB], [AC], [BC]; [A’B’]; [A’C’]; [B’C’]

muchiile laterale: [AA’]; [BB’]; [CC’]

latura bazei notata cu l si inaltimea prismei triunghiulare regulate AA’

Prisma hexagonala regulata dreapta:

bazele sunt hexagonale regulate si plane paralele;

fetele laterale sunt dreptunghiuri congruente;

fetele laterale opuse fata de centrul lor sunt plane paralele;

fetele laterale sunt perpendiculare pe baze.

2) Paralelipipedul

Definitie: Paralelipipedul dreptunghic este o prismă patrulateră dreaptă în care toate fețele sunt dreptunghiuri.

Un paralelipiped drept are ca baze două dreptunghiuri (pătrate),paralelipipedul este dreptunghic; oricare fețe opuse am lua ca baze, el rămâne prismă dreaptă. La paralelipipedul dreptunghic, cele trei muchii care pleacă din același vârf se numesc dimensiunile paralelipipedului (L=lungime, l=lățime, h=înălțime). Un paralelipiped are patru diagonale: AC’, BD’, CA’, DB’.

Teorema 1. Cele patru diagonale ale unui paralelipiped oarecare trec prin același punct,care este mijlocul fiecăreia din ele, numit centrul de simetrie al paralelipipedului. Cele șase plane diagonale trec și ele prin centrul de simetrie.

Teorema 2. Într-un paralelipiped dreptunghic, cele patru diagonale sunt egale între ele(lungimea comună se numește diagonala paralelipipedului). Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni.15

Notăm cu L, l, h cele trei dimensiuni ale unui paralelipiped dreptunghic; în triunghiul dreptunghic AA’C’ aplicăm teorema lui Pitagora: AC’ 2 =AA’ 2 +A’C’. În triunghiul dreptunghic A’B’C’ aplicăm aceeași teoremă:

A’C’ 2 =A’B’ 2 +B’C’ 2 ;

A’C’ 2 =A’B’ 2 +B’C’ 2 +AA’ 2 ;

AC’ 2 =L 2 +l 2 +h 2

Volumul paralelipipedului. Volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul celor trei dimensiuni (sau cu aria bazei înmulțită cu înălțimea).

.

Elementele paralelipipedului:

varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’

bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD, A’B’C’D’

fetele laterale sunt dreptunghiuri: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’

muchiile laterale sunt congruente: AA’, BB’, CC’, DD’

diagonalele paralelipipedului: AC’, BD’, A’C, B’D.

Dimensiunile.paralelipipedului:

lungimea:(L=AB)

latimea:(l=BC)

inaltimea (h=AA’)

Cubul

Definitie: Cubul este poliedrul cu șase fețe pătrate congruente.Cubul face parte din familia prisme –subfamilia paralelipipede,dar este inclus și îngrupa Solidelor Platon.

Elementele cubului sunt: vârfurile,muchiile și fețele.

Cubul are

– 6 fețe, 12 muchii , 8 vârfuri;

– fețele sunt pătrate,

– vârfurile sunt tridreptunghice ( trei unghiuri drepte au vârful comun și două câte două laturile comune ).

Alte elemente:

-secțiunile diagonale , într-un cub sunt șase secțiuni determinate de intersecția cubului cu planele care trec prin câte două diagonale paralele din fețe opuse;

-apotema bazei: OP;

– diagonala bazei este un segment congruent cu diagonala oricărei fețe, iar într-un cub sunt 12 diagonale de acest fel;

– vârfurile opuse în cub sunt două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe;

– segmentul ce unește două vârfuri opuse în cub se numește diagonala cubului; un cub are patru diagonale

-punctul lor de intersecție se numește centrul cubului.

-punctul de intersecție al diagonalelor unei fețe este centrul de greutate al acelei fețe

-se numește înălțime în cub segmentul care unește centrele de greutate ale bazelor. S

-segmentul ce unește centrul unei fețe cu o latură a acelei fețe și este perpendicular pe ea se numește apotema bazei.

Scurt istoric pentru cub

Tot în dialogul „Timaios“ se află o descriere plastică a cubului . Mai întâi este definit triunghiul dreptunghic isoscel: „ dintre aceste triunghiuri, unul are, de fiecare parte, jumătate dintr-un unghi drept, a cărui împărțire este determinată de laturi egale“ și „ patru asemenea triunghiuri ale căror ale căror unghiuri drepte se întâlnesc în centru și formează un singur pătrat echilateral“. Urmează definiția cubului: „ Șase asemenea pătrate unite între ele dau naștere la opt unghiuri în spațiu, fiecare fiind constituit din câte trei unghiuri plane. Iar figura astfel obținută este cubică, ea având drept baze șase pătrate plane echilaterale“.

„Să conferim pământului figura cubică. Căci, dintre cele patru genuri, pământul este cel mai greu de mișcat și , dintre corpuri, cel mai ușor de modelat.“

CAPITOLUL II

Corpuri rotunde

Cilindrul circular drept

Elementele unui cilindru circular drept:

bazele: două cercuri congruente situate în plane paralele

înălțimea cilindrului OO' (distanța dintre cele două baze)

generatoarea: G=h=BB'.

Dreptunghiul ABB'A' este secțiunea axială a cilindrului.

Desfășurarea suprafeței lateralea unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu dimensiunile:

Cilindrul circular drept : desfășurare și formule

În figura 1, Notăm cilindru cu ABCD. Înălțimea h a cilindrului este distanța dintre cele două baze, adică distanța dintre planele lor și este lungimea h=AD=BC=A'D'= OO'=…. Cele două discuri sunt congruente , adică au aceeași rază pe care o notăm cu R.
Exemple de raze R = OC = OD = O'A = O'B = OT = OT', unde T este orice punct de pe cercul de jos, iar T' orice punct de pe cercul de sus.

Aria unei baze este Aria cercului = πR2 .
Aria laterală a cilindrului circular drept din figura 1 este aria dreptunghiului AA'D'D din figura 2, deci
Aria laterală = AA' • AC = perimetrul cercului bază • h = 2πR•h .
Reținem că Al = 2πRh.

Aria totală a cilindrului circular drept este

At = Al+2 Abaza= 2πRh+2πR2 =2πR(h+R)

deci At = 2πR(h+R) .

Volumul cilindrului circular drept este

V= Abază• h = πR2h, deci V = πR2h.

Conul circular drept

Definiție: Conul este corpul obținut prin rotația completă a unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete sau, mai puțin formal o figură geometrică în spațiu care se ascute pornind de la o bază plană rotundă spre un punct numit vârf.

Teorema1: Cilindrul,conul și trunchiul de con circular drept sunt corpuri de rotație . Se obțin prin rotație în jurul unei laturi respectiv a unui dreptunghi ,triunghi dreptunghic sau trapez dreptunghic.

Elementele conului circular drept:

baza conului: cercul de centru O și rază R

înălțimea conului h=VO (distanța de la vârf la planul bazei)

generatoarea G=VB=VA.

Triunghiul isoscel VAB este secțiunea axialăa conului.

Desfășurarea suprafeței laterale a conului este un sector circular de centru V și rază G=VA.

Dacă notăm cu n unghiul la centru corespunzător sectorului circular, atunci:

Formule pentru arii și volum:

Trunchiul de con circular drept

Definitie: Corpul geometric obtinut prin sectionarea unui corp cu un plan paralel cu baza si indepartarea conului mic rezultat se numeste trunchiul de con

Elementele trunchiului de con:

baza mare: cercul de centru O și rază R

baza mică: cercul de centru O' și rază r

înălțimea h=OO' (distanța dintre cele două baze)

generatoarea G=BB'=AA'

Trapezul isoscel ABB'A' este secțiunea axială a trunchiului de con.

Formule pentru arii și volum:

Sfera

Definitie: Sfera este corpul geometric format din mulțimea punctelor din spațiu situate la aceeași distanță față de un punct fix, numit centrul sferei.

Sfera , ca suprafață, este mulțimea punctelor din spațiu egal depărtate de un punct fix din spațiu. O notăm cu Sf. Punctul fix se numește centrul sferei și se notează de obicei cu O. Orice punct A,B,C, M, … de pe sferă se află la o distanță R de centrul O. R se numește raza sferei.
Orice segment ce trece prin centrul O al sferei și are capetele pe suprafața sferei se numește diametru al sferei. Diametru are lungimea egală cu 2R.

Teoremă
1) Dacă planul α intersectează sfera , atunci există un diametru al sferei perpendicular pe acest plan.
2) Intersecția dintre un plan și o sferă este un punct , un cerc sau mulțimea vidă.
3) Dacă intersecția dintre o sferă și un plan este un cerc ,atunci diametrul perpendicular pe plan intersectează planul cercului în centrul cercului.

Centrul sferei: punctul O

Raza sferei r = OA (distanța de la centru la un punct oarecare situat pe sferă).

Formulele pentru arie și volum:

Definitii:

1.Corpul generat prin rotația unui sector circular în jurul unui diametru care nu-l traversează se numeste sector sferic.

2. Segmentul sferic este porțiunea de sferă cuprinsă între două plane paralele.

3. Un poligon sferic este o porțiune de sferă mărginită de arce de cerc mare, mai mici decât un semicerc.

4.Zona sferică este porțiunea de suprafață sferică cuprinsă între două plane paralele –bazele zonei . Distanța dintre cele două plane ale bazelor este înălțimea zonei. Dacă una din baze se reduce la un punct suprafața se numește calotă sferică.

CAPITOLUL III

Probleme – Relatii metrice in poliedre

1. Suma pătratelor diagonalelor unui paralelipiped dreptunghic oarecare este egală cu suma pătratelor muchiilor.

Soluție: Fie paralelipipedul dreptunghic ABCD și să notăm cu E și F proiecțiile punctelor și pe AC . Aplicând teorema lui Pitagora generalizată în triunghiurile AC și AC

Adunând și ținând seama de AE=FC, AC= obținem :

Analog :

de unde:

Dar

Deci:

2 .Fie două paralelipipede dreptunghice asemenea . Primul are lungimile muchiilor și diagonala : al doilea are lungimile muchiilor și diagonala . Să se demonstreze relația :

Soluție :

. Știm că

Deci relația de demonstrate se reduce la

Paralelipipedele fiind asemenea, înseamnă că

Sau

Înlocuind în (1) pe din (2) se obține o identitate evidentă, deci relația din enunț este verificată.

Observaț Se poate verifica și reciproc că dacă relația din enunț este adevărată atunci paralelipipedele sunt asemenea. Într-adevăr , relația din enunț este echivalentă cu (1) , din identitatea lui Lagrange .

Și din (1) rezultă

Ceea ce poate avea loc numai dacă

De unde se obține imediat

3. Un paralelipiped drept ABCDA ’ B ’ C’D’ are ca baza un patrat cu latura AB=a si

inaltimea AA’=2a. În planul BCC’B’ se duce o semidreaptă BE care face cu BC un unghi de 4

iar in planul ABB’A’ o semidreaptă BF care face cu AB un unghi cu masura de 4 .

a) Să se demonstreze că planul determinat de dreptele BE și BF taie paralelipipedul după un

romb.

b) Să se afle aria rombului.

c) Să se calculeze unghiurile rombului.

Solutie:

a) Planul determinat de punctele BEF taie planele D’C’CD si ABA’B’ după drepte paralele.

Paralela din E la FB trece prin D’ simetricul lui B față de mijlocul lui EF (BF║ED’)

Analog:

DF’║BE deci secțiunea este paralelogram, EB=FB== secțiunea este romb.

b) dar EF=AC= si BD’ 2 =B +D BD’=

c) Rombul este format din triunghiurile echilaterale FEB și FD’E deci

Observație: Dacă AA’=a, atunci planul de secțiune este determinat de dreptele BC’, BA’ deci

secțiunea în acest caz este un triunghi echilateral ( paralelipipedul este un cub). Dacă AA’<a,

dreptele BE și BF intersectează muchiile CC’ și AA’ în afara paralelipipedului. În acest caz

planul de secțiune este un triunghi isoscel BE’F’ unde E’ si F’ sunt punctele în care BE și BF

intersectează muchiile A’B’ și B’C’. Dacă AA’>2a planul taie muchia DD’ într-un punct G situate între D si D’ (G simetricul lui B fața de mijlocul segmentului EF) ; secțiunea este romb.

4.O prismă triunghiulară regulată are latura bazei a și înălțimea b. Pe muchiile laterale se iau punctele M , N , P astfel încât :

Fie d dreapta de intersecție a planului bazei ABC cu planul (M ,N ,P).

Dacă se notează cu intersectiile dreptelor BC respective AC cu dreapta d, sa se arate ca triunghiul este dreptunghic și că unghiul este unghiul plan corespunzător diedrului format de planul bazei prismei cu planul ( M , N , P).

Să se calculeze aria triunghiului MNP în funcție de a și b.

Soluție:

Din asemănarea triunghiurilor cu și cu rezultă

de unde . Deoarece unghiul este de , triunghiul este dreptunghic in

Dreapta d fiind perpendicular pe planul (B,N,) , deci este perpendicular pe d. Atunci unghiul este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A, B , C ) și (M , N , P).

Proiecția triunghiului MNP pe planul bazei este triunghiul ABC

Atunci :

Dar

De unde

5 .In paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD se cunosc A’B=25 cm, AA’=15 cm si AD’=17 cm. Calculati:
a) lungimea segmentului
b) lungimea segmentului
c) Aria totala a paralelipipedului
d) Volumul paralelipipedului
Solutie:

In triunghiul dreptunghic aplicam teorema lui Pitagora si astfel obtinem
.
Cum stim A’B’ stim si AB deci AB=20 cm, deoarece bazele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri si astfel cele doua baze sunt congruente.
Acum ca sa aflam AD, in triunghiul dreptunghic AA’D aplicam Teorema lui Pitagora, astfel obtinem
.
c) Calculam acum
Calculam mai intai

Acum calculam :

.
Calculam acum volumul paralelipipedului dreptunghic

.

6.Prisma dreapta ABCDA’B’C’D’ are baza patratul ABCD cu latura 4 cm , iar diagonala BD’ face cu planul un unghi cu masura de 30 de grade. Determinati:
a) lungimea inaltimii prismei
b) volumul prismei
c) aria laterala a prismei

Solutie:

Cum stim ca latura bazei este de 4 cm, iar baza este patrat, AC diagonala in patratul ABCD, deci , mai stim ca , observam de asemenea ca , cum triunghiul BDD’ este dreptunghic, aplicam functiile trigonometrice
.
Iar acum aplicam , astfel gasim ca
.
Sau putem aplica tangenta de 30 de grade
.
b)Volumul prismei
.
c)

7.Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’care are AB=12cm si AA=12cm. Calculați:

a) Aria totală și volumul prismei

b) Sinusul unghiului format de dreptele A’C și BC΄

d) Distanța de la punctul A΄ la dreapta BM

Solutie:

Atot = Al + 2Ab; Al = Pb · h; Pb = 3 · l = 3 · 12 = 36cm; Al = 36 · 12= 432cm2;

Ab = == 36cm2; Atot = 432+72=72(6+)cm2; V=Ab·h=36·12=432cm3.

C΄M A΄C ∢(A΄C, BC΄)=∢(BC΄, C΄M)=∢BC΄M

BCC΄ dr BC΄2=C΄C2+BC2; BC΄2=288+144; BC΄2=432 BC΄==12cm

C΄M =12 cm

BM2=BC2+CM2-2BC·CM·cos∢BCM; BM2=144+144-2·12·12·cos1200; BM2=288+144 BM==12cm; BC΄=C΄M=BM=12BC΄M echilateral

m∢BC΄M=600sin∢BC΄M=.

BCM isoscel, m∢BCM=1200m∢CBM=300m∢ABM=900AB┴BM; Conf T3P d(A΄, BM)=A΄B=12cm

8. Într-un cub cu lungimea muchiei a, ABCD și A’B’C’D’ sunt doua fețe opuse. Dacă M este mijlocul muchiei A’B’ să se calculeze distanta de la vârful C’ la dreapta BM și cosinusul unghiului BMC’.

Solutie:

dreptunghic

isoscel

dreptunghic –

Dar

conform teoremei cosinusului

9. Un tetraedru regulat ABCD cu AB 10cm . Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor CD , respectiv BC .

a) Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este egală cu 60cm.

b) Arătați că aria totală a tetraedrului ABCD este egală cu 3 dm2 .

c) Demonstrați că dreapta PQ este paralelă cu planul ( ABD) , unde punctele P și Q sunt situate pe segmentele AM , respectiv DN astfel încât

Soluție:

Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este egală cu 6AB =610 =60cm

ABCD este tetraedru regulat, deci Atotală =4 A ABC =

deci Q este mijlocul segmentului DO , unde O este centrul de greutate al BCD

TQ este linie mijlocie în ODBTQ BD , unde T este mijlocul segmentului OB

PT II AB , și cum PT

Cum PQ (PTQ), obținem PQ II(ABD)

10.Un cilindru circular drept cu generatoarea AA' =12 cm . Segmentul AB este diametru al bazei cilindrului, AB =10 cm și punctul O' este mijlocul diametrului A'B' .

a) Arătați că aria laterală a cilindrului circular drept este egală cu 120cm2 .

b) Demonstrați că segmentul A'B are lungimea mai mică de 16 cm .

c) Calculați valoarea sinusului unghiului dintre dreapta AO' și planul uneia dintre bazele

cilindrului circular drept.

Soluție :

=2RG =1012 =120c

ABA' este dreptunghic, deci A'B =+ = = cm

Cum 244 256 , obținem A'B =16cm

M(∢(AO',planul bazei) m(∢(AO', AO) m(∢OAO'), unde O este centrul bazei

cilindrului circular drept

AO =5cm și, cum OAO' este dreptunghic, obținem AO' =13cm, deci sin (

11. Un cub ABCDA'B'C'D' cu AB = 6cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AA' , respectiv BB' .

a) Arătați că volumul cubului ABCDA'B'C'D' este egal cu 216cm3 .

b) Demonstrați că dreptele BM și CO sunt coplanare, unde punctul O este mijlocul segmentului AD' .

c) Calculați valoarea tangentei unghiului determinat de dreptele BD' și C'N .

Solutie:

VABCDA'B'C'D' =A= =216cm3

MO este linie mijlocie în AD' A' , deci MO A'D'

A'D' II BCMO II BC , de unde obținem că dreptele MO și BC sunt coplanare, deci și dreptele BM și CO sunt coplanare

C'N II D'M , deci m(∢(BD',C'N))m∢BD',D'M 

BD' 6 cm , D'M BM 3 cm și, dacă P este mijlocul lui BD' , atunci MD'P este dreptunghic în P , de unde obținem tg  tg(

12. Un con echilateral are aria sectiunii axiale36√3 . Se cere:

a)Aria totala si volumul conului ;

b)Aria si unghiul sectorului de cerc obtinut prin desfasurarea suprafetei laterale a conului.

c)La ce distanta de baza trebuie dus un plan paralel cu aceasta astfel incit aria sectiunii obtinute sa fie 16

Solutie:

a)Daca conul este echilateral∆VAB – echilateral

b)

Aria desfășurării

c)Aria secțiunii =

cm

13. Două sfere egale au fiecare centrul pe suprafața celeilalte. Care este rapotul între suprafața exterioară astfel format și suprafața cercului celor două sfere

Soluție: Dacă raza sferelor este R , raza cercului de secțiune este înalțimea ăn triunghiul echilateral format de centrele sferelor și un punct comun de pe suprafața lor. Deci această rază este egală cu .

Solidul considerat este format din două calote eferice egale , având înalțimea Atunci aria cercului este iar aria solidului . Raportul căutat este

14. Se consideră conurile drepte circumscrise unei sfere de rază dată r; printre aceste conuri există două cu volumul de fiecare. Să se afle unghiurile de la vârf ale acestora.

Soluție: Folosim notațiile obișnuite și notăm raza sferei cu R, unghiul AVB cu . Din ipoteză se obține relația Din triunghiuri asemenea rezultă iar din triunghiul dreptunghic BCV

Din aceste ralații se găsește si ajungem la rezolvarea ecuației bipătrate

Care are soluțiile reale

De aici se calculează unghiul de la vârf și se obține

și

Prin urmare primul con are unghiul de la vârf egal cu de două ori , deci de , iar al doilea .

15. Să se determine un con circular drept, înscris într-o sferă dată astfel ca volumul sferei să fie de k ori volumul conului.

Soluție: Fie o secțiune axială . Considerăm R dat și căutăm expresia lui h în funcție de R. Din condiția data se obține

Din triungiul dreptunghic ABD :

Prin urmare h este dat de ecuația

Notând membrul întâi al acestei ecuații cu folosim teorema lui Rolle . Se găsește derivata funcției

cu rădăcinile 0 ,

Se formează șirul lui Rolle

Înseamnă că avem o rădăcină care fiind negativă nu corespunde problemei. Dacă atunci și nu mai sunt rădăcini reale ; dacă avem o rădăcină dublă , iar dacă avem două soluții reale în intervalele ).

Din datele geometrice se vede că deci cea de a doua rădăcină trebuie să aparțină intervalului (

16. Secțiunea axială a unui trunchi de con circular drept este un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare . Raza bazei mari este egală cu 12 cm , iar înălțimea conului din care provine trunchiul este de 24 cm.

a) Calculați volumul conului

b) Calculați volumul trunchiului de con

c) Arătați că măsura unghiului sectorului de cerc sub care se desfășoară conul este mai mică de

Soluție:

Dacă

Cum

U=

17. Un trunchi de con desfășurat pe un plan dă un sector de coroană circulară cu unghiul la centru de Generatoarea trunchiului de con fiind 20 cm și aria laterală 1946,8 să i se calculeze volumul.

Soluție :

Notând razele coroanei circulare cu x respectiv y avem :

Presupunând aria laterală și generatoarea cunoscută obținem

Din aceste relații obținem

Înălțimea trunchiului de con

În cazul numeric

18. Se dă o sferă de centru O și de rază R. Un plan P taie acestă sferă după cercul (c) și o împarte în două calote care au polurile respectiv R și Q. Să se determine distanța de la centrul sferei la planul P astfel ca aria calotei cu polul Q să fie egală cu aria laterală a conului cu vârful în P și care are ca bază cercul (c) .

Soluție : Notând ca în prima figură ,

Din egalitatea ariilor cerute obținem

Se calculează din triunghiul Folosind relațiile de mai sus se găsește

19. Un punct S se găsește la distanța de 175 cm de centrul O al unui cerc. Coarda unește punctele de contact ale tangenetelor duse din S la cerc. Diametrul cercului se trece prin S taie în A și și coarda în C , se dă SC=112 cm . Se cere :

a) aria suprafeței generate prin rotirea segmentului ST și arcului de cerc în jurul diametrului .

b) volumul și suprafața corpului generate prin rotirea triunghiului în jurul diametrului perpendiculare pe

Soluție: Folosind notațiile din figura de mai sus se poate calcula

a)Aria generată este suma dintre aria laterală a conului și aria calotei

b)Corpul obținut prin rotația în jurul diametrului este simetric față de diametrul Volumul lui este suma volumelor a două trnchiuri de con egale , din care se scade volumul cilindrului interior. Dimensiunile corpurilor sunt următoarele : raza cilindrului egală cu raza mică a trunchiului de con OC=63 cm , raza mare a trunchiului de con S0=175 cm , înălțimea comună a jumătății corpului Tc= 84 cm . Efectuînd calculele se obține volumul V= 1500752

20. Se dă o sferă de rază r și se consideră conul de rotație circumscris sferei cu vârful S pe diametrul AB al sferei și cu baza în planul tangent în B la sferă , având unghiul de deschidere CSB=x.

a) să se calculeze aria laterală a conului în funcție de r și x

b) să se determine x astfel ca aria bazei conului să fie egală cu aria ferei

Soluție : a) Folosind notațiile obișnuite , obținem relațiile

Din relația triunghiului egală cu semiperimetrul înmulțit cu raza cercului înscris

Din aceste ralații se ajunge la o ecuație în g cu soluția accesibilă

Se calculează

b) condiția cerută ne dă R=2. Înlocuind valorile găsite ajungem la ecuația trigonometrică lineară cu soluția convenabilă

.

21. Să se detremine un con circular drept , înscris într-o sferă astfel ca volumul sferei să fie de k ori volumul conului.

Soluție : Fie o secțiune axială și notațiile din figura de mai sus . Considerăm R dat și căutăm expresia lui h în funcție de R. Din condiția dată se obține

Din triunghiul dreptunghic

Prin urmare h este dat de ecuația

Notând membrul întâi al acestei ecuații cu f(h) folosim teorema lui Rolle . Se găsește derivata funcției

Se formează șirul lui Rolle

Înseamnă că avem o rădăcină reală în intervalul (- care fiind negativă nu corespunde problemei. Dacă și nu mai sunt rădăcini reale . Dacă avem o rădăcină dublă iar dacă avem două soluții reale în intervalele respectiv (

Din datele geometrice se vede că deci cea de a doua rădăcină trebuie să aparțină intervalului .

22. Fie o sferă O de rază r și SS’ un diametru al său. Se înscrie în sfera O, Conul de rotație cu vârful în S și avînd unghiul de deschidere apoi se înscrie cilindrul circular drept având baza comună cu conul , în consecință el detașează din con un trunch de con . Să se determine astfel ca suprafața laterală a trunchiului de con să fie din suprafața sferei.

Soluție : Fie figura de mai sus CN=R’ , AM=R , OM=x , SA=g ;I unghiul ASM=.

Relația din enunț ne dă

Pentru calcularea elementelor necesare considerăm o secțiune exială și obținem relațiile

Din acest sistem de trei ecuații se poate calcula R=r sin , x=rcos și g=2rcos .

Înlocuind în relația dată în enunț se obține și prin urmare

23. Între ariile a trei tetraedre regulate , primul înscris,al doilea circumscris prin muchii și al treilea circumscris prin fețe aceleiasi sfere, avem relațiile.

Adică volumele formează o progresie geometrică.

Soluție : a) Fie ABCD etredrul înscris în sferă cu muchia AB=a ( figura de mai sus) .Centrul sferei circumscrise se găsește la intersecția perpendicularelor pe fețe ridicate în centrul cercului circumscris triunghiului . Tetraedrul fiind regulat aceste axe coincid cu înălțimile lui, deci punctul O se găsește la intersecția înălțimilor CG și AF , iar OA este raza sferei R. Stabilim relația între R și a . Înălțimea tetraedrului AF=dacă notăm cu A’ punctul diametral opus lui A, unghiul ACA’ este drept. AA’ fiind perpendicular pe CF se găsește

Folosind relația OF+OA=AF se găsește

b) Tetraedrul cu muchiile tangente la sferă .

24. Fie o prismă dreaptă cu baza triunghiul echilateral ABC. Se știe că muchiile AB și AA’ sunt congruente , iar volumul prismei este egal cu 432

Calculați lungimea laturii AB

Calculați aria totală a prismei

Dacă D este mijlocul laturii BC, calculați distanța de la B’ la dreapta AD

Calculați măsura unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (ADB’) si (BCC’).

Soluție

Cum

AD

AD

Concluzii și dezvoltări ulterioare

Motto :Geometria nu ne învață să desenăm aceste linii, ci ne cere să le desenăm; ea cere ca elevul să fie învățat la început să descrie liniile cu exactitate, mai înainte de a învăța geometria; apoi să i se arate cum pot fi rezolvate problemele prin intermediul acestor operații

Motto: ”Matematica seamănă cu o moară: dacă veți turna în ea boabe de grâu, veți obține făină, dar dacă veți turna în ea tărâțe, tărâțe veți obține

Totul ce este în jurul nostru e o geometrie”. Mediul în care trăim e consistent în figuri și corpuri geometrice: case, construcții, munți și câmpuri etc.. Pentru a le putea percepe frumusețea lor ne ajută geometria.

Tetraedrul, simbolul focului, fețele lui sunt 4 triunghiuri echilaterale; cubul are 6 fețe pătrate și este simbolul pământului; octaedrul, mărginit de 8 triunghiuri echilaterale, este simbolul aerului; icosaedrul, cu 20 de triunghiuri echilaterale ca fețe, este simbolul apei și în fine, dodecaedrul, simbol al cosmosului cu tot ce cuprinde el, este singurul poliedru regulat cu fețe formate din pentagoane în număr de 12 și nu din triunghiuri sau din pătrate. În esența ei, matematica nu-i decât un ansamblu de vederi și de procedee schematice ale spiritului nostru, replica conștientă a activității inconștiente care creează în noi o imagine a lumii și un ansamblu de norme după care noi acționăm și reacționăm. Nu-i un edificiu ancorat undeva într-o absolută soliditate, ci o construcție aeriană care rezistă ca prin minune: cea mai îndrăzneață și neverosimilă aventură a spiritulu.

Am ales acestă lucrare Elemente de geometria poliedrelor din dorința de a dobandi cat mai multe cunosinte din domeniu poliedrelor. În timpul celor trei ani de studiu din cadru facultatii de matematică am acumulat diverse cunostinte in ceea ce priveste poliedrele dar din dorinta de mai mult am gasit ca aceasta tema ar fi cea mai oportuna dezvolarii capacitatii mele de a lucra cat mai bine cu poliedrele.

Bibliografie

Lucrări de autori și colective

Miron Oprea, Scurtă istorie a matematicii, Ed. Premier, Ploiești, 2008;

M. Dinescu, I. Olivotto, R. Gruida, Matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1970;

N. Kolmogorov, F. Semenovici, F. Naghibin, S. Cerkasov, A. Gusev, Geometrie pentru clasele VI– VIII, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1979;

Maria Huschitt, Aurel Ioanoviciu, Nicolae Mihăileanu, Maria Neumann, Petre Stanciu, Eugen Vișa , Culegere de problem de geometrie sintetică si proiectivă, Ed. Didactică și pedagogică, bucurești 1971;

Constantin Ionescu-Țiu Mihail Popescu , Probleme alese de liceu , Editura Universitară, 2014;

Gh. D. Simionescu , Probleme de sinteză de geometrie plană și în spațiu , Editura Tehnică , 1978;

A. N. Perepiolchina, Geometrie, Editura Universitatea victor bases Cluj, 1958;

Severin , Cristinel , Geometria poliedrelor , Aspecte metodice , Editura Iași , 2015;

Reviste matematice

Gazeta Matematică , Nr. 1, 1983

Gazeta Matematică , Nr. 2 , 1976

Surse de internet

https://ro.wikipedia.org/wiki/Matematic