LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT [309308]
UNIVERSITATEA „ALEXANDRU IOAN CUZA” [anonimizat] I ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT
Derivabilitate. Probleme practice. [anonimizat]: [anonimizat] ”V. Adamachi”, Iași
Iași
2020
Argument
Lucrarea va pune în evidență importanța cunoașterii și studierii cu atenție a [anonimizat]. [anonimizat], fizică, chimie, biologie. Astfel, [anonimizat], care dovedesc rolul important al matematicii în
marile descoperiri științifice și în creșterea calității vieții.
Lucrarea va fi structurată pe patru capitole astfel: [anonimizat], al treilea capitol va avea cinci subcapitole iar al patrulea capitol va avea opt subcapitole.
Capitolul I: [anonimizat].
[anonimizat], [anonimizat]. Ea a apărut din probleme precum tangenta la o curbă, viteza unui mobil și exprimă sugestiv variația unor fenomene modelate matematic prin funcții reale.
Se vor prezenta:
Probleme care conduc la noțiunea de derivată (tangenta la o curbă, viteza instantanee), [anonimizat], [anonimizat] a derivatei, puncte remarcabile pentru graficul unei funcții ([anonimizat])
Reguli de derivare. [anonimizat], [anonimizat].
[anonimizat], [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat] l’Hospital, Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor.
Capitolul II. [anonimizat] a noțiunii de derivată a unei funcții reale de o variabila reală
II.1 [anonimizat].
II.2 Extreme locale pentru funcții reale de mai multe variabile reale—se definesc noțiunile de punct critic (staționar), [anonimizat], [anonimizat].
Capitolul III. Aplicații ale funcțiilor derivabile. [anonimizat], care dovedesc rolul important al matematicii în marile descoperiri științifice și în creșterea calității vieții.
Reprezentarea grafică a [anonimizat] (log, exponențială, polinomială, rațională) [anonimizat] a [anonimizat] o fișă de exerciții
Aplicații în algebră și geometrie
-în algebra: rădăcinile multiple ale unui polinom, stabilirea unor egalități
-în geometrie- tangent într-un punct la reprezentarea graficului unei funcții
Aplicații în fizică, chimie, biologie și economie: viteza și accelerația unui mobil, intensitatea curentului electric,viteza media a reacției chimice.
Modelare matematică
Capitolul IV. Aspecte metodice privind aplicațiile practice
IV.1. Importanța aplicațiilor practice în procesul de învățare – Procesul de predare trebuie să se realizeze prin descoperire, se impune necesitatea utilizării unor soft-uri educaționale în procesul de predare- învățare, desfășurarea unor activități practice și accentuarea caracterului interdisciplinar al acestor noțiuni.
IV.2. Metode de predare/învățare
IV.3 Metode de evaluare ( metode clasice și moderne)
IV.4. Mijloace de învățământ (materiale : manual, creta, fișe de lucru, planșe, mijloace tehnice : calculator, internet, softuri educaționale)
IV.5. Optimizarea activității didactice –prin dezvoltarea gândirii critice,profesorul nu este numai o sursă de informare a elevilor; el este în același timp, specialistul care știe să trateze această informație, s-o prelucreze astfel încât s-o adapteze la sistemul de gândire al celor ce învață, s-o facă asimilabilă.
IV.6.Principii etice și deontologice
IV.7. Proiectare didactică – voi prezenta proiecte didactice din capitolul Derivabilitate,pentru fiecare tip de lecție
IV.8 Platforma educațională Ael – vor fi exemple de lecții realizate anterior pe această platforma
Alte aplicații:
Mathlab- pentru grafice si calcule
GeoGebra poate fi folosit cu succes în predarea și învățarea geometriei și algebrei la orice nivel școlar, dar și pentru înțelegerea multor noțiuni complexe ale analizei matematice de liceu.
MAFA Plotter de grafice matematice este un program care calculează si generează grafice de funcții matematice introduse de utilizator.
https://solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/derivative_calculator/
Pentru teste (grila) se poate folosi: HotPotatoes3 și Kahoot!
https://www.proprofs.com/quiz-school (pentru teste cu raspuns grila și completare)
"… nu există nici un domeniu în matematică care să nu fie vreodată aplicabil fenomenelor lumii reale …" N. I. Lobacevschii
Funcții derivabile
Noțiuni introductive.
Probleme care conduc la noțiunea de derivată.
Tangenta la o curbă
Considerăm o funcție continuă și mulțimea
ca fiind graficul funcției f.
Fie punctul de pe grafic de abscisă .
Dorind să dea un sens dreptei tangente în , Leibniz a fost condus la noțiunea de derivată a unei funcții într-un punct.
Figura 1.Derivata unei funcții într-un punct
Fie și punctul . În Fig.1 am notat cu ᴦ graficul lui f în reperul xOy, A, B, secanta AB prin S, tangenta din A cu T, α unghiul tangentei cu axa Ox, β unghiul secantei AB cu axa Ox unde . Pentru β>0, unghiul este măsurat în sens trigonometric, iar pentru β<0 în sens antitrigonometric. Am dus AC paralelă cu Ox. Atunci AC=. BC= f(x)-f(. Panta (coeficientul unghiular) al dreptei AB este
,
Adică raportul între creșterea funcției (și creșterea argumentului (.
Dacă , atunci și punctul B se mișcă pe ᴦ către A.
Dacă în această situație unghiul β tinde către o valoare α diferită de atunci există limita
și reprezintă panta tangentei la ᴦ în A.
Atunci ecuația tangentei în Aᴦ este: y-=(x- și corespunde la
Dacă , atunci , iar ecuația tangentei din A este și este o dreaptă paralelă cu Oy.
Newton a studiat problema vitezei instantanee a unui punct material și astfel a fost condus la studiul limitei unui raport de tipul lui mx.
Se presupune că un punct se deplasează pe o axă s, prin urmare considerăm s=f(t)- coordonata sa la momentul t.
Atunci reprezintă drumul parcurs în intervalul .
Raportul , unde , reprezintă viteza medie în intervalul de timp , iar limita (dacă există) se numește viteză instantanee la momentul
Definiția derivatei unei funcții într-un punct
Noțiunea de derivată, alături de noțiunea de integrală, este cea mai importantă noțiune matematică.
Vom considera funcția , unde E este un interval sau o reuniune de intervale din .
Definiție: Spunem că funcția f are derivată în dacă limita există în .
În acest caz acestă limită se notează cu și se numește derivata funcției f în punctul .
Deci .
Definiție: Spunem că funcția f este derivabilă în dacă limita există în (există și este finită).
Și în acest caz limita se notează, de asemenea, cu , adică
Observații:
Dacă funcția f are derivată într-un punct , aceasta poate fi un număr real finit, caz în care spunem că f este derivabilă în , dar poate fi ±∞ și atunci în acest caz vom spune că f are derivată infinită în (f nu este derivabilă în ).
Pentru uneori se utilizează notațiile D, .
Creșterea funcției este notată iar diferența este numită cresterea argumentului și atunci reprezintă limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, când creșterea argumentului tinde la zero, adică
Schimbând variabila în limita raportului prin h= avem
.
Dacă funcția f (continuă în are derivată în punctul graficul său ᴦ admite tangentă în punctul A astfel:
Dacă derivata este finită, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu m=, atunci ecuația tangentei are forma .
Dacă derivata este infinită, atunci tangenta este paralelă cu Oy și are ecuația x=.
Exemplu de exercițiu
Să se arate că funcția este derivabilă în =3 și să se calculeze derivata.
Rezolvare:
Verificăm existența limitei în punctul =3
În concluzie f`(3)=27 și evident funcția este derivabilă în x=3.
Utilizând definiția derivatei să se calculeze derivata funcției
în punctul .
Conform definiției
Definiție: Spunem că funcția f este derivabilă pe intervalul I daca este derivabilă în fiecare punct al intervalului I.
Este evident că, pentru ca f să fie derivabilă pe I este necesar în primul rând ca I să fie conținut în domeniul de definiție al lui f. Dacă f este derivabilă pe tot domeniul său de definiție vom spune mai simplu că f este derivabilă, fără altă specificație.
Observație
Nu are sens să se vorbească despre derivabilitatea unei funcții în puncte care nu se află
în domeniul de definiție al funcției.
Derivate laterale
Noțiunea de derivata la stânga sau la dreapta pentru funcții se introduce în aceeași manieră ca și noțiunile de continuitatea la stânga sau la dreapta sau limita la stânga sau la dreapta, într-un punct.
Derivata la stânga
Fie , unde E este un interval sau o reuniune de intervale din .și pentru care
Definiție: Spunem că f are derivată la stânga în dacă limita
În acest caz limita se notează cu sau
Definiție: Spunem că f este derivabilă la stânga în dacă limita R.
Derivata la dreapta
Fie , unde E este un interval sau o reuniune de intervale din .și pentru care
Definiție: Spunem că f are derivată la dreapta în dacă limita
În acest caz limita se notează cu sau
Definiție: Spunem că f este derivabilă la stânga în dacă limita
R.
Legătura între derivata într-un punct și derivatele laterale
Fie , unde E este un interval sau o reuniune de intervale din .și .
Teoremă:
O funcție f are derivată în dacă și numai dacă f are derivate laterale în și în plus ele sunt egale adică:
Funcția f este derivabilă în dacă și numai dacă f este derivabilă atât la stânga cât și la dreapta (adică bilateral) în și
Demonstrația este imediată, se ține cont de legătura între existența derivatei unei funcții într-un punct și derivatele laterale în acest punct.
Exemplu
Se cere să se studieze derivabilitatea funcțiilor în punctele specificate
Rezolvare:
Verificăm dacă funcția este derivabilă la stânga.
. Deci ceea ce arată că funcția f este derivabilă la stânga în .
Verificăm daca funcția este derivabilă la dreapta.
. Deci ceea ce arată că funcția f este derivabilă la dreapta în .
După cum se observă , de aici rezultă că funcția f nu este derivabilă în.
Observăm că funcția este continuă în .
Rezolvare:
Verificăm dacă funcția este derivabilă la stânga.
. Deci ceea ce arată că funcția f este derivabilă la stânga în .
Verificăm daca funcția este derivabilă la dreapta.
. Deci ceea ce arată că funcția f este derivabilă la dreapta în .
După cum se observă , de aici rezultă că funcția f este derivabilă în
.
Interpretarea geometrică a derivatei. Puncte remarcabile pentru graficul unei funcții
Considerăm funcția
Vom studia forma graficului funcției f în jurul punctului A( în următoarele situații:
f are derivate laterale infinite egale în
f are derivate laterale infinite diferite în
f are derivate laterale diferite în și cel puțin una din ele este finită
Puncte de inflexiune
Definiție: Spunem că este punct de inflexiune al funcției f dacă funcția este continuă în , are derivată în (finită sau infinită) și dacă graficul este convex (respectiv concav) de o parte a lui și concav (respectiv convex) de cealaltă parte a lui .
De exemplu: Fie funcția
Pentru avem ceea ce arată că punctul (0, f(0)).este punct de inflexiune
Figura 2. Graficul funcției
Puncte de întoarcere
Definiție: Spunem că punctul A( se numește punct de întoarcere pentru graficul funcției f, dacă derivatele laterale ale funcției f în sunt infinite și diferite.
In Figura 3 a) iar în Figura 3 b
Exemplu:
Fie funcția .
Vom arăta că punctul A(0,0) este punct de întoarcere pentru graficul funcției f. Vom calcula derivatele laterale în x=0.
În concluzie punctul A(0,0) este punct de întoarcere pentru graficul funcției f.
Puncte unghiulare
Definiție: Spunem că punctul A( se numește punct unghiular pentru graficul funcției f, dacă derivatele laterale ale funcției f în sunt diferite și cel puțin una este finită.
Exemplu:
Pentru funcția | se demonstrează ușor că punctele A(2,0) și B(-2,0) sunt puncte unghiulare pentru graficul funcției f și are graficul următor.
Figura 4 Graficul funcției f(x)=|
Reguli de derivare. Derivatele funcțiilor elementare
După cum am văzut derivata unei funcții este definită printr-o limită ceea ce face calculul direct destul de delicat, de aceea este avantajos de a stabili reguli generale pentru aceste calcule. In principal vor fi reguli asociate operațiilor elementare efectuate între două funcții și cele relative la compunerea a două funcții.
Fie , f derivabilă pe în cazurile.
Funcția constantă f(x)=c, unde c este un număr real, și derivata sa este f’(x)=0.
Demonstrație: Fie , un punct arbitrat. Calculăm raportul R(x) și obținem
Rezultă că cuma fost ales arbitrat deducem că f’(x)=0.
Funcția identică f(x)=x este derivabilă și derivata sa este f’(x)=1.
Demonstrație:
Fie , un punct arbitrar. Calculăm raportul R(x) și obținem
Rezultă că cuma fost ales arbitrar deducem că f’(x)=1.
Funcția putere cu exponent număr natural , unde n este număr natural, este derivabilă și derivata sa este egală cu .
Demonstrație:
Fie , un punct arbitrar. Calculăm raportul R(x) și obținem
De aici cuma fost ales arbitrar deducem că f’(x)=.
Funcția trigonometrică sinus este derivabilă pe R și derivata sa egală cu
Demonstrație:
Fie , un punct arbitrar. Calculăm raportul R(x) și obținem
=
de aici prin trecerea la limită obținem
Cuma fost ales arbitrar deducem că
Funcția trigonometrică cosinus este derivabilă pe și derivata sa egală cu
Demonstrație:
Fie , un punct arbitrar. Calculăm raportul R(x) și obținem
–
de aici prin trecerea la limită obținem
Cuma fost ales arbitrar deducem că f’(x)=-sin x.
Operații cu funcții derivabile
Suma
Fie două funcții și .
Teoremă: Dacă funcțiile f și g sunt derivabile în , atunci f + g este derivabilă în și avem egalitatea: .
Demonstrație:
Scriem raportul R(x) pentru f+g și vom obține:
, dacă
Trecând la limită pentru și ținând seama de faptul că f și g sunt derivabile în și obținem:
.
Consecință
Dacă f și g sunt derivabile în orice punct din E, atunci f+g este o funcție derivabilă pe E și vom scrie (derivate sumei este egală cu suma derivatelor).
Observație:
Prin inducție se poate demonstra ca suma a n funcții derivabile pe E este o funcție derivabilă pe E și (.
Dacă este derivabilă nu rezultă că f și g sunt derivabile.
Exemplu:
Funcția este derivabilă pe și În particular .
Produsul
Fie două funcții și .
Teoremă: Dacă funcțiile f și g sunt derivabile în , atunci f ∙ g este derivabilă în și avem egalitatea: .
Demonstrație:
Scriem raportul R(x) pentru f∙g și vom obține:
=, dacă
Deoarece g este derivabilă în dacă , ea este continuă în acest punct și atunci
Funcțiile f și g sunt derivabile în prin urmare vom obține:
Trecând la limită în raportul R(x) vom obține:
=.
Consecință: Dacă funcțiile f și g sunt funcții derivabile pe E atunci și produsul lor este o funcție derivabilă pe E și
Observații:
Dacă sunt trei funcții derivabile pe E atunci este o funcție derivabilă pe E și avem:
Demonstrație:
Această formula se poate generaliza pentru n funcții derivabile iar demonstrația se poate face prin inducție.
Dacă , adică f este o funcție constantă și g este o funcție derivabilă, atunci este o funcție derivabilă și (constanta iese în fața derivatei)
Derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor
Dacă este derivabilă pe , atunci f,g pot (sau nu) să fie derivabile.
Câtul
Fie două funcții și .
Teoremă: Dacă funcțiile f și g sunt derivabile în , g( atunci și funcția-cât este derivabilă în și are lor egalitatea:
.
Demonstrație:
Pentru considerăm raportul R(x) relativ la funcția ;
=
Deoarece g este derivabilă în dacă , ea este continuă în acest punct și atunci
Funcțiile f și g sunt derivabile în prin urmare vom obține:
Trecând la limită în raportul R(x) vom obține:
Teoremă: Dacă funcțiile f,g sunt derivabile pe E, , atunci funcția-cât este derivabilă pe E și .
Pentru demonstrație se folosește definiția funcției derivabile pe o mulțime și propoziția precedentă.
Exemplu:
Fie
Derivarea funcțiilor compuse
Teoremă: Fie I, J intervale și două funcții. Dacă f este derivabilă în , iar g este derivabilă în punctul f(, atunci funcția compusă este derivabilă în și mai mult .
Demonstrație
Verificăm daca
Definim funcția astfel: F(y)=
Evident F este continuă în deoarece
Are loc egalitatea
Într-adevăr, dacă f(x)= f(atunci ambii termeni sunt nuli. Dacă , atunci și = și se constată că relația (1) se verifică.
Trecând la limită în (1) după avem:
, unde am utilizat relațiile
și faptul că f este derivabilă în .
Teoremă: Fie I, J intervale și două funcții. Dacă f este derivabilă pe , iar g este derivabilă pe J, atunci funcția compusă este derivabilă pe I și mai mult
.
Observații:
Dacă se consider trei funcții derivabile atunci funcția este derivabilă și
În concluzie derivata unei funcții compuse se obține înmulțind derivatele funcțiilor care se compun în ordinea compunerii lor.
Voi prezenta 2 exemple pentru a ilustra cum se pot folosi derivatele funcțiilor compuse:
Pentru funcția
Derivarea funcției inverse
Teoremă de derivare a funcției inverse
Fie I, J intervale și , f continuă și bijectivă. Dacă f este derivabilă în punctul și atunci funcția inversă este derivabilă în punctul și mai mult:
Demonstrație:
Știind că f este bijectivă are sens să vorbim de inversa ei, .Cum atunci .
Vom examina limita raportului .
Din și continuitatea lui în , se deduce =.
Rescriem raportul initial sub forma următoare:
Unde am folosit că , și acum trecem la limită după și obținem
Ceea ce arată că
Observație
Dacă în enunț în loc de se ia , atunci , dacă f este o funcție strict crescătoare (deoarece și au același semn și prin urmare ) și , dacă f este o funcție strict descrescătoare (deoarece și au semne contrare).
În concluzie pentru , funcția nu este derivabilă în dar are derivată infinită în .
Teoremă: Dacă , I, J intervale, f continuă și bijectivă este o funcție derivabilă pe I și atunci funcția inversă este derivabilă pe J și mai mult:
Demonstrație: Afirmația rezultă din definiția funcției derivabile pe o mulțime J și din teorema precedentă.
Având în vedere toate regulile de derivare, derivatele elementare dar și derivatele funcțiilor compuse se impune sistematizarea lor sub forma următorului tabel:
Figura. 5 Tabelul derivatelor funcțiilor compuse
Exemplu:
Funcția definită prin relația este o funcție bijectivă. Inversa funcției f este . Funcția este derivabilă pentru și . Folosind regula inversie, funcția este derivabilă și are loc relația: .
Derivate de ordin superior
Fie , interval sau reuniune de intervale din și fie o funcție.
Definiție. Funcția f se numește derivabilă de ordinul I dacă este derivabilă.
Funcția se numește derivata de ordinul I a lui f.
Dacă f este derivabilă, atunci pentru și deci se poate defini o funcție , g(x)=(x) pe care am denumit-o derivata lui f.
Definiție. Funcția f este de două ori derivabilă în , dacă:
-f este derivabilă într-o vecinătate a lui
– este derivabilă în .
În caz contrar derivata lui în se numește derivata a doua (sau de ordinul doi) a lui f în punctul și se notează . Așadar
Definiție. Funcția f este de două ori derivabilă dacă este derivabilă.
Funcția se numește derivata de ordinul doi a lui f.
În loc de .
În mod inductiv presupunem că f este derivabilă de ordinul n și este derivata de ordinul n a lui f, unde
Prin convenție derivata de ordinul zero .
Definiție. Fie . Funcția f se numește derivabilă de ordinul n+1 dacă este derivabilă de ordinul n și dacă derivata sa de ordinul n, este derivabilă și se notează .
Conform principiilor inducției matematice, presupunerea a fost adevarată.
Definiție. Funcția f se numește derivabilă de ordinul sau încă funcție infinit derivabilă dacă este derivabilă de ordin n, .
Observație: Orice funcție elementară este infinit derivabilă.
Proprietățile funcțiilor derivabile
În acest capitol voi prezenta proprietățile remarcabile pe care le au funcțiile derivabile definite pe un interval.
Teoreme fundamentale ale analizei matematice
Puncte de extrem ale unei funcții
Fie funcția E un interval sau reuniune de intervale.
Definiție: Un punct se numește punct de maxim local al funcției f dacă există o vecinătate V a lui a, în care funcția are valori mai mici decât în a, adică , .
Observație: Daca punctul a este un punct de maxim local al lui f, atunci f(a) se numește maxim al lui f, iar punctul (a, f(a)) de pe grafic se numește punct de maxim local, adică inegalitatea , are loc pe o anume vecinătate V a punctului a.
Definiție: Un punct se numește punct de minim local pentru funcția f dacă există o vecinătate V a lui b, în care funcția are valori mai mari decât în b, adică , .
Observație: Daca punctul b este un punct de minim local al lui f, atunci f(b) se numește minim al lui f, iar punctul (b, f(b)) de pe grafic se numește punct de minim local.
Definiție: Un punct de minim local sau maxim local pentru o funcție f se numește punct de extrem local al funcției.
Valorile funcției în punctele sale de extrem, maximele și minimele funcției se numesc extremele locale ale funcției. Punctele de maxim și de minim local ale graficului se numesc puncte de extrem local ale graficului.
Definiție: Un punct se numește punct de maxim absolut al funcției f dacă .
Observații:
Punctul se numește punct de maxim absolut al funcției f dacă valorile funcției pe domeniul de definiție sunt cel mult egale cu valoarea funcției f în .
Orice punct de maxim absolut este și punct de maxim local (reciproca nu este adevărată).
O funcție poate avea mai multe puncte de maxim absolut.
Definiție: Un punct se numește punct de minim absolut al funcției f dacă .
Observații:
Punctul se numește punct de minim absolut al funcției f dacă valorile funcției pe domeniul de definiție sunt cel puțin egale cu valoarea funcției f în .
Orice punct de minim absolut este și punct de minim local (reciproca nu este adevărată).
O funcție poate avea mai multe puncte de minim absolut.
Definiție: Un punct de maxim absolut sau de minim absolut se numește punct de extrem absolut.
Teorema lui Fermat
Teoremă: Fie , E interval, iar un punct de extrem din interiorul intervalului. Dacă funcția f este derivabilă în , atunci .
Demonstrație:
Putem presupune că este un punct de maxim local. Prim urmare există o vecinătate și atunci un număr astfel încât pentru care
. Fie . Atunci .
Având în vedere că f este o funcție derivabilă în atunci există și în plus, de mai sus, (1) .
Acum vom alege pentru care . Procedând ca în cazul anterior deducem că (2).
Din relațiile (1) și (2) rezultă că
Observație:
Demonstrația pentru punct de minim se face exact la fel doar ca se înlocuiește f cu -f.
Interpretare geometrică
Din faptul că , rezultă că tangenta la grafic în punctul este paralelă cu axa în punctele sale de extrem (de maxim sau de minim) care nu coincid cu extremitățile graficului.
Figura 6. Puncte de extrem
Observații:
Teorema lui Fermat are caracter local, vizând comportarea funcției în vecinătatea unui punct fixat.
Dacă punctul nu ar fi din interiorul intervalului, atunci concluzia lui Fermat nu mai este adevărată.
De exemplu funcția pentru care .
În general, reciproca teoremei lui Fermat, nu este adevărată, adică derivata unei funcții se poate anula într-un punct, fără ca acesta să fie punct de extrem.
Pentru a ilusta afirmația vom considera ca exemplu funcția pentru care și deci , dar nu este punct de extrem pentru f.
Un punct poate fi punct de extrem pentru f fără să existe .
Vom considera spre exemplificare funcția , pentru care este punct de minim, dar știm că funcția aceasta nu este derivabilă în 0.
Dacă este o funcție derivabilă pe un interval deschis E, atunci zerourile derivatei sunt numite puncte critice ale lui f pe E.
Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcții derivabile f sunt printre punctele critice, adică punctele de extrem local ale lui f sunt printre soluțiile ecuației .
Teorema lui Rolle
Teorema lui Rolle:
Fie o funcție
Dacă:
f este continuă pe intervalul închis [a,b]
f este derivabilă pe intervalul deschis (a,b)
f are valori egale la capetele intervalului, ), atunci există cel puțin un punct c din intervalul deschis (a,b), în care derivata se anulează .
Demonstrație:
Se analizează cazurile:
Funcția f este constantă pe [a,b]. În acest caz și deci orice punct răspunde concluziei teoremei.
Funcția f nu este constantă. Cum f este continuă pe un compact [a,b], atunci (conform teoremei lui Weierstrass) f este mărginită și își atinge marginile pe compact, adică astfel încât unde sunt marginea superioară respectiv marginea inferioară a lui f. Deoarece f nu este constantă rezultă m<M. Dacă punctul de minim se află în interiorul intervalului [a,b], atunci conform teoremei lui Fermat, Deci luând c= teorema este demonstrată.
Dacă deci coincide cu unul din capetele intervalului [a,b] atunci f(a)=f(b)=f(. În acest caz este clar că punctul punctul de maxim a lui f , se află în interiorul intervalului [a,b].
Aplicând din nou teorema lui Fermat deducem că .
Deci și teorema este complet demonstrată.
Corolar: Fie continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și f(a)=f(b)=0 (a și b sunt rădăcini pentru f).
Atunci există cel puțin un punct astfel încât
De aici deducem că între două rădăcini ale funcției f se află cel puțin o rădăcină a derivatei .
Interpretarea geometrică
Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă.
Dacă graficul funcției continue f pe [a,b] admite tangentă în fiecare punct din [a,b] cu excepția extremităților și dacă dreapta ce unește extremitățile graficului este paralelă cu axa x-lor, atunci există cel puțin un punct al graficului (care nu coincide cu extremitățile) în care tangenta este paralelă cu axa x-lor.
Figura 7. Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle
Observații:
Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
În particular, dacă în teorema lui Rolle f(a)=f(b)=0, atunci rezultă că între două rădăcini a,b ale funcției f există cel puțin o rădăcină c a derivatei.
Toate cele trei condiții ce apar în teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică atunci concluzia teoremei nu mai are loc.
Punctul c din teorema lui Rolle nu este unic. Pot exista mai multe puncte în care derivata se anulează.
În continuare voi prezenta câteva exemple în care nu sunt verificate toate cele trei condiții din teorema lui Rolle.
Fie funcția definită prin
Această funcție verifică cerințele 2) și 3) din teorema lui Rolle dar nu verifică prima condiție, adică f nu este continuă la dreapta în x=0. Deci f nu este continuă pe [0,1]. Avem și prin urmare
Să considerăm pentru care se verifică prima condiție în sensul că funcția este continuă pe [-1,1] și a treia condiție pentru că f(-1)=f(1)=1, dar nu verifică a doua condiție întrucât f nu este derivabilă în x=0. Prin urmare nu există un punct intermediar în care , pentru că .
Fie .
Acestă funcție verifică primele două condiții dar nu verifică cea de-a treia condiție a teoremei lui Rolle ( adică f(0)=0≠f(1)=1 ). Așadar nu există deoarece .
Următorul exemplu vine să atragă atenția că necesitatea ca domeniul de definiție al funcției să fie un interval este esențială.
Fie ,
Funcția f este dervabilă pe și și totuși f nu se anulează pe
. Mulțimea de definiție nu este interval.
Teorema lui Cauchy
Fie două funcții continue cu următoarele proprietăți:
f,g sunt continue pe [a,b]
f,g sunt derivabile pe (a,b)
Atunci există un punct astfel încât
Demonstrație:
Vom demonstra mai întâi
Presupunem prin reducere la absurd g(b)=g(a). Atunci funcția g satisface condițiile din teorema lui Rolle și atunci există un punct astfel încât , ceea ce este în contradicție cu a treia ipoteza a teoremei. Prin urmare, raportul din membrul întâi al formulei lui Cauchy are sens. Pentru a demonstra formula lui Cauchy se consideră funcția auxiliară
Din ipotezele 1) și 2) rezultă că h este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b). Constanta reală k va fi determinată din cerința h(a)=h(b), adică h să satisfacă condițiile teoremei lui Rolle.
Deci din h(a)=h(b), adică iar de aici
Aplicând teorema lui Rolle pentru funcția h cu valoarea lui k cunoscută, obținem că există astfel încât adică , de unde .
Prin urmare, , adică teorema este demonstrată.
Teorema lui Lagrange
Teorema lui Lagrange:
Fie . Dacă:
f este continuă pe intervalul închis [a,b]
f este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),
atunci există cel puțin un punct c din intervelul deschis (a,b), pentru care
Demonstrație:
Dacă considerăm funcția g(x)=x, pentru orice , atunci perechea de funcții f,g satisface condițiile teoremei lui Cauchy întrucât g este derivabilă pe [a,b] și , adică pe [a,b]. Prin urmare, din teorema lui Cauchy, rezultă că există astfel încât
adică teorema este demonstrată.
Observații:
Teorema lui Cauchy și Lagrange se mai numesc teoreme de medie.
Punctul c din teorema lui Cauchy sau din teorema lui Lagrange nu este unic determinat.
Interpretarea geometrică
Dacă graficul funcției continue f admite tangentă în fiecare punct, cu excepția eventual a extremităților, există cel putin un punct al graficului, care nu coincide cu extremitățile, în care tangenta este paralelă cu dreapta ce unește extremitățile.
Figura 8.Interpretarea geometrică a teoremei lui Lagrange
Consecințe ale teoremei lui Lagrange
Următoarele consecințe ale teoremei lui Lagrange sunt extrem de importante în analiza matematică.
Prima consecință (Funcții cu derivata nulă)
Corolar 1. Dacă o funcție are derivata nulă pe un interval, atunci ea este constantă pe acest interval.
Demonstrație:
Fie f o funcție cu derivate nulă. Fie a un punct fixat dintr-un interval I și un punct arbitrar. Aplicând teorema lui Lagrange pe intervalul [a,x] (sau [x,a]), rezultă că există așa că .
Cum rezultă oricare ar fi și deci f este constantă.
Observații:
Afirmația reciprocă a acestei consecințe este clară. Dacă o funcție este constantă pe un interval, atunci derivata acesteia este nulă pe interval.
Consecința demonstrată dă un procedeu de lucru prin care să arătăm că o funcție definită pe un interval este constantă. Calculăm derivata acesteia și dacă , atunci există o constantă astfel încât . Pentru determinarea constantei se alege o valoare particulară din interval pentru care are o formă cât mai simplă. Alteori dacă intervalul are forma (a,b), atunci pentru determinarea constantei se apelează la calculul sau .
Exemplu: Să se arate că funcția este constantă.
Calculăm derivata și obținem:
Cum pe (-1,1) rezultă că .
Pentru determinarea lui k alegem și calculăm f(0), care este . Așadar
De asemenea , deducem că
Concluzia acestei consecințe nu mai este adevărată dacă f nu este definită pe un interval. Așa este funcția :(, pentru care , fără ca f să fie funcție constantă.
Totuși dacă f este definită pe o reuniune de intervale și , atunci f este constantă pe fiecare interval, așa cum este exemplul de mai sus.
A doua consecință (Funcții cu derivate egale)
Corolar 2. Dacă două funcții au derivatele egale pe un interval, atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval.
Demonstrație:
Fie , derivabile pe interiorul lui E (E-interval) și continue pe E cu . Această condiție scrisă sub forma arată că se poate aplica corolarul 1. Deci există o constantă astfel încât , altfel spus, cele două funcții diferă printr-o constantă pe intervalul E.
Observație:
Cerința ca E să fie interval este esențială.
Următorul exemplu ilustrează acest fapt.
Fie .
Evident .
este o constantă pe fiecare interval. Deci f-g diferă prin câte o constantă pe fiecare interval.
A treia consecință (Rolul derivatei întâi. Intervale de monotonie. Puncte de extrem)
Corolar 3. Fie .
Dacă atunci f este crescătoare pe E;
Dacă , atunci f este descrescătoare pe E;
Sau
Dacă , atunci f este strict crescătoare pe E;
Dacă , atunci f este strict descrescătoare pe E.
Demonstrație:
Fie . Se aplică teorema lui Lagrange pe intervalul []. Prin urmare există () astfel încât ceea ce arată că Așadar din rezultă ceea ce demonstrează că f este crescătoare pe E.
Prin urmare este clar că dacă atunci am fi obținut ceea ce conduce strict la f strict crescătoare pe E, adică 1’).
Analog dacă se obține că ceea ce arată că Așadar din rezultă ceea ce demonstrează că f este descrescătoare pe E.
Prin urmare este clar că dacă atunci am fi obținut ceea ce conduce strict la f strict descrescătoare pe E.
Observații:
Pentru a marca monotonia unei funcții utilizând semnul derivatei se procedează astfel:
-se calculeaza derivata funcției f
– se rezolvă în R ecuația
– se determină intervalele în care păstrează același semn
-se ține seama de corolarul 3 și se stabilesc intervalele de monotonie și pentru asta utilizează tabele ca cele de mai jos.
Puncte de extrem local pentru o funcție
Cu ajutorul monotoniei putem determina punctele de minim sau de maxim local pentru o funcție derivabilă.
Un punct din interiorul domeniului de definiție este punct de minim local dacă avem situația de la punctul a) și de maxim local daca avem situația de la punctul b).
b)
În ambele cazuri, se poate observa că există o vecinătate V a lui în care are loc inegalitatea
sau .
Punctele de extrem local sunt soluții ale ecuației , pentru o funcție derivabilă f, însă absența punctelor critice (adică absența soluțiilor reale ale ecuației ) nu înseamnă inexistența valorilor minimale sau maximale.
A patra consecință ( Derivata unei funcții într-un punct)
Corolar 4: Fie Dacă:
f este continuă în ;
f este derivabilă pe E-{};
există ,
Atunci f are derivată în și .
Dacă , atunci f este derivabilă în și .
Demonstrație:
Se aplică teorema lui Lagrange funcției f pe un interval și avem De aici deoarece dacă Analog există și este egală cu l. Deci f are derivată în .
Observații:
Acest corolar al teoremei lui Lagrange, pentru studiul derivabilității unei funcții într-un punct, permite să calculăm derivatele laterale într-un punct.
Corolarul acesta dă o condiție suficientă pentru existența derivatei unei funcții într-un punct. Pentru a arată că nu este și o condiție necesară voi prezenta următorul exemplu:
Fie este derivabilă în origine și , dar nu există .
Dacă una din condițiile corolarului nu este satifsăcută atunci concluzia nu este adevărată.
Pentru a demonstra această observație voi prezenta următorul exemplu:
Fie este derivabilă pe [0,1) și dar totuși f nu este derivabilă în x=1, nefiind continuă în acest punct.
Totuși nu este exclusă posibilitatea ca o funcție discontinuă într-un punct să aibă derivată în acel punct.
Dacă funcția f este derivabilă în , atunci derivata f’ este continuă în ( în condițiile corolarului).
Regulile lui L’Hospital
În calculul unor limite de funcții s-a putut observa că poate conduce la cazul dar și la celelalte forme de nedeterminare de tipul Regulile lui l’Hospital se pot aplica in cazurile iar celelalte cazuri se pot reduce la acestea.
Prima teoremă a lui l’Hospital (Cazul )
Fie două funcții cu proprietățile:
f, g derivabile pe (a,b);
;
există
Atunci există limita și mai mult .
(limita raportului este egală cu limita raportului derivatelor)
Demonstrație: Se contruiesc prelungirile ale lui f și g pe [a,b) astfel:
Fie Funcțiile sunt continue pe [a,x], derivabile pe (a,x) și , pe (a,x) ceea ce permite aplicarea teoremei lui Cauchy. Deci există cel puțin un punct astfel încât sau .
Dacă , atunci și ținând seama de ipoteză avem , adică ceea trebuia demonstrat.
Observații:
Teorema rămâne adevărată și dacă .
Teorema demonstrată are loc și dacă punctul de acumulare iar în acest caz se folosește substituția și se reduce la cazul în care a=0.
Dacă expresia reprezintă un nou caz de nedeterminare ( și dacă funcțiile satisfac condițiile teoremei precedente, atunci .
A doua teoremă a lui l’Hospital (Cazul )
Fie două funcții cu proprietățile:
f, g sunt derivabile pe (a,b);
;
există
Atunci există limita și mai mult .
Demonstrație: Fie . Funcțiile f, g verifică cerințele din teorema lui Cauchy aplicată pe intervalul [x, ]. Prin urmare există cel puțin un punct astfel încât , de unde rezultă că , (1).
Fie dat un . Din ipoteza 4) rezultă că există un astfel încât pentru orice are loc inegalitatea .
Alegem . Atunci și , (2).
Din ipoteză și deci există un astfel încât pentru să avem: , (3)
Utilizând relațiile (2) și (3) din egalitatea (1) obținem:
+ pentru
=min(,). Așadar .
Observații:
Teorema rămâne adevărată și dacă și la fel dacă .
În baza celor doua teoreme putem spune că există o metodă generală de calcul a limitei câtului a două funcții bazată pe egalitatea numită regula lui l’Hospital.
Dacă funcțiile satisfac condițiile teoremei precedente, atunci .
Dacă aplicarea regulii conduce la o contradicție atunci cel puțin una dintre condițiile teoremei nu este indeplinită.
Reciproca teoremei lui l’Hospital este falsă, adică dacă are limită în x=a , nu rezultă că și are limită în x=a.
Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Convexitate și concavitate
Am observat că studiul monotoniei unei funcții se poate realiza cu ajutorul semnului primei derivate. De asemenea semnul celei de-a doua derivate ne poate oferi informații despre convexitatea sau concavitatea unei funcții. Aceste informații sunt necesare în realizarea graficului unei funcții.
Definiție
O funcție interval convexă pe intervalul E dacă are loc inegalitatea .
O funcție interval concavă pe intervalul E dacă are loc inegalitatea .
Observații:
Dacă în definiția precedentă inegalitățile sunt stricte atunci spunem că funcția este strict convexă respectiv strict concavă.
Dacă funcția f este concavă atunci -f este convexă.
Condiție suficientă de convexitate(concavitate)
Teoremă: Fie o funcție de două ori derivabilă pe [a,b].
Dacă atunci f este convexă pe [a,b].
Dacă atunci f este concavă pe [a,b].
Demonstrație:
Fie . Pentru fiecare punct se aplică teorema lui Lagrange funcției f pe intervalele [], [] și deci există (), () astfel încât .
Cum rezultă (știind că atunci este crescătoare) adică .
Din faptul că avem că . Înlocuind pe x în inegalitatea de mai sus vom obține relația ceea ce arată că f este convexă pe [a,b].
Relația a doua se demonstrează asemănător.
Observații:
Afirmația reciprocă este valabilă, adică dacă este de două ori derivabilă pe [a,b] și este convexă respectiv concavă atunci
Derivata a doua fiind derivata primei derivate, din faptul că se deduce faptul că este o funcție crescătoare, ceea ce din punct de vedere geometric, înseamnă că pentru un grafic convex panta tangentei la grafic crește când punctul de tangență se deplasează spre dreapta.
Figura 9. Interpretarea geometrică a funcției convexe
Pentru determinarea intervalelor de convexitate respectiv concavitate se parcurg următoarele etape:
Se calculează
Se rezolvă ecuația
Cu ajutorul rădăcinilor derivatei a doua se determină intervalele pe care derivata a doua păstrează același semn
Dacă pe un interval atunci f este convexă pe acel interval și concavă în caz contrat.
Pentru exemplificare vom determina intervalele de convexitate și concavitate pentru funcția
Rezolvare:
Calculăm după care calculăm .
Rezolvăm ecuația
Realizăm tabelul de semn pentru
Deci f este concavă pe și convexă pe .
Diferențiala unei funcții
Fie I un interval deschis din și o funcție derivabilă într-un punct . Atunci avem:
Vom nota cu
Știind că f este derivabilă în a rezultă că și atunci
luând prin definiție .
De aici rezultă că dacă x se apropie de „a”, diferența se poate aproxima prin
, adică .
Dacă notăm cu atunci relația anterioară se poate scrie astfel:
, iar pentru valori ale lui h suficient de mici, diferența se poate aproxima prin produsul și atunci relația devine .
În concluzie într-o vecinătate a unui punct de derivabilitate a funcției, funcția are o comportare liniară. Problema liniarizării locale a unei funcții conduce la introducerea noțiunii de diferențiabilitate.
Definiție:
Fie I un interval deschis al lui și o funcție derivabilă pe I.
Spunem că f este diferențiabilă în punctul dacă există un număr real A (care depinde de f și a) și o funcție cu astfel încât
Spunem că f este diferențiabilă pe I dacă f este diferențiabilă în orice punct .
Teoremă
Fie I un interval deschis al lui . Funcția este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă f este derivabilă în a.
Demonstrație
Să presupunem că f este diferențiabilă în punctul . Atunci există și o funcție
cu astfel încât .
Luăm și împărțind ambii membri ai egalității prin x-a avem
Cum rezultă că există , adică f este derivabilă în punctul a.
Reciproc, voi presupune că f este derivabilă în punctul a și voi arăta că f este diferențiabilă în a.
Din derivabilitatea funcției f în punctul a rezultă că există
Considerăm următoarea funcție:
Se observă că
Deci este continuă în a și .
Din definiția lui rezultă că pentru are loc
,
egalitate care evident este verificată pentru x=a.Prin urmare funcția f este diferențiabilă în punctul a iar A=f’(a).
Observație:
Teorema exprimă faptul că noțiunile de diferențiabilitate și derivabilitate în punct sunt echivalente. Se poate observa de asemenea că dacă f este diferențiabilă în punctul a, atunci pentru valori mici ale lui h diferența . Prin urmare într-o vecinătate V a lui a funcția f se poate aproxima prin funcția polinomială de grad 1,
.
Definiție: Fie (I-un interval deschis din R) derivabilă în punctul . Fie funcția , se numește diferențiala funcției f în punctul a și se notează , adică
Atunci relația se mai poate scrie
Vom nota prin df(x) diferențiala funcției f în punctul curent .
Pentru funcția avem , ceea ce arată că diferențiala funcției identice este egală cu creșterea h a argumentulului. De obicei pentru dx se utilizează denumirea de diferențiala argumentuluu.
Din raportul deducem c[ derivata lui f(x)este egală cu raportul a două diferențiale. De aici , adică diferențiala lui f este egală cu produsul dintre derivata lui f și diferențiala argumentului.
Interpretarea geometrică
Lungimea segmentului MN=dx reprezintă creșterea argumentului h=dx, iar .
În triunghiul dreptunghic MNT avem: . De aici , adică lungimea segmentului NT este diferențiala df(x).
Creșterea este lungimea segmentului NM’. Pentru creșteri dx suficient de mici ale argumentului, segmentele NT și NM’ sunt aproximativ egale.
În concluzie, în jurul punctului M, pe o porțiune suficient de mică, graficul poate fi înlocuit cu un segment al tangentei.
Figura 10. Interpretarea geometrică a diferențialei unei funcții
Voi considera următorul exemplu în care am calculat diferențialele funcțiilor .
atunci
Pentru x=1 avem , pentru x=0 avem df(0)=0.
pentru t=1 avem
Reguli de diferențiere
Din fiecare regulă de derivare se obține o regulă de diferențiere, înlocuind derivata unei funcții cu diferențiala sa și obținem:
Diferențiala unei funcții compuse
Fie f(u(x)) o funcție compusă, derivabilă pe un interval I. Derivata sa este:
și diferențiala sa este :
Dar este diferențiala funcției u(x) adică astfel încât diferențiala funcției compuse se scrie astfel: .
Exemplu:
Diferențiabilitate în
În acest capitol voi prezenta o extindere în a noțiunii de derivată a unei funcții reale de o variabilă reală adică diferențiabilitatea în .
Definiție: Fie D un deschis din .
Spunem că funcția F este diferențiabilă în dacă există o aplicație liniară astfel încât
Spunem că funcția F este diferențiabilă pe D dacă F este diferențiabilă în orice punct .
Considerăm notația , și atunci formula de mai sus devine:
unde înseamnă norma elementului h în .
Definiție: Dacă D este un deschis din este diferențiabilă în punctul , atunci aplicația liniară care apare în formula se numește diferențiala funcției F în punctul a sau derivata Frѐchet a funcției F în punctul a și se notează prin
Teoremă: Dacă D este un deschis din , atunci diferențiala sa în a este unică.
Demonstrație:
Presupunem că înafară de aplicația T ar mai exista o aplicație astfel încât:
Dacă notăm , atunci obținem:
Cum pentru orice are loc
Pentru obținem:
Observăm că pentru orice , dacă în R, rezultă că și atunci, considerând y arbitrar din cu și punând din ultima relație obținem:
ceea ce înseamnă că , adică S(y)=T(y), de unde obținem că S=T.
Interpretare geometrică
În încercarea de a vizualiza noțiunea de diferențială într-un punct pentru funcții vectoriale F ce acționează între două spații euclidiene și vom considera , unde D este un deschis din . Observăm că dacă și F este diferențiala în acest punct, atunci imaginea F(a) este un subspațiu linear al lui și când translatează cu vectorul F(a) el devine tangent la imaginea lui F în punctul F(a), așa cum se poate observa în figura de mai jos pentru n=2 și m=3.
Figura 11. Interpretarea geometrică a diferențialei
Teoremă: Fie D un deschis în . Dacă este diferențiabilă în , atunci F este continuă în a.
Demonstrație:
Cum F este diferențiabilă în a atunci există o aplicație lineară și o aplicație
cu așa că
Având în vedere că operatorul T este continuu pe deci și în a, iar este continuă în a rezultă că și funcția F este continuă în punctul a.
Teoremă: Fie D un deschis din , în care cu . Funcția F este diferențiabilă în dacă și numai dacă funcțiile sunt diferențiabile în a și în acest caz , adică diferențiala lui F în a are drept componente diferențialele ca aplicații liniare de la la R.
Demonstrație:
Dacă F este diferențiabilă în a, atunci există o aplicație liniară cu componentele și o aplicație cu componentele în care astfel încât
Acestă egalitate este echivalentă cu:
pentru orice unde sunt aplicații liniare și pentru orice .
Prin urmare, egalitățile de mai sus exprimă tocmai condiția de diferențiabilitate a funcțiilor în a și în plus cum rezultă că .
Reguli de diferențiabilitate în
Dacă este o funcție constantă atunci F este diferențiabilă în iar în orice punct a din are loc relația .
Dacă , unde D este un deschis din , sunt diferențiabile în a și , atunci sunt diferențiabile în a și avem relațiile:
Dacă , unde D este un deschis din , sunt diferențiabile în a , atunci este diferențiabilă în a și are loc relația: .
Derivate parțiale pentru funcții reale de mai multe variabile reale
Fie un versor din și fie D un deschis din .
Dacă a este un punct din D, vom numi dreaptă prin a de direcție v mulțimea
.
Pentru funcții de mai multe variabile putem considera un tip de derivată a funcției f după direcții, adică limita raportului corespunzător de creșteri va fi luată după puncte care se găsesc pe anumite drepte ce trec prin acel punct.
Definiție: Fie , unde D este un deschis din .
Numim derivată a lui f în a după versorul v limita :
Dacă vom spune că f este derivabilă în a după versorul v.
Fie , unde D este un deschis din și fie
baza canonică a lui .
Definiții:
Spunem că o funcție are derivată parțială în raport cu variabila în punctul a dacă există unde iar se numește derivata lui f în raport cu în punctul a. Aceasta se notează .
Spunem că este derivabilă parțial în raport cu variabila în punctul a dacă .
Spunem că este derivabilă parțial în raport cu variabila pe D dacă f este derivabilă parțial în raport cu variabila în orice punct .
Pentru n=2 notând punctul prin (x,y) obținem:
Pentru n=3, punctul curent va fi notat cu (x,y,z) și obținem:
În concluzie, în practică pentru a obține această derivată parțială se calculează derivata funcției f în raport cu ca pentru funcții de o variabilă reală considerând constante.
Exemplu: Să se calculeze derivatele parțiale ale funcției
Aplicăm regulile uzuale de calcul cu derivate și obținem:
Definiție:
Fie , unde D este un deschis din .
Spunem că f este derivabilă parțial pe D dacă f este derivabilă parțial în orice punct în raport cu toate variabilele . În acest caz se pot defini n funcții , numite derivatele parțiale ale lui f pe D.
Spunem că f este de clasă pe D dacă f este derivabilă parțial pe D iar funcțiile cu , sunt continue pe D. În acest caz vom nota
Teoremă: Fie D un deschis din și fie . Dacă f este diferențiabilă în punctul , atunci f este derivabilă parțial în raport cu toate variabilele și în plus , iar , unde este aplicație de proiecție definită pe prin , pentru orice .
Demonstrație:
Cum f este diferențiabilă în punctul a atunci f este derivabilă în a după orice versor v. În particular, dacă v= obținem că , adică tocmai egalitatea cerută. Pentru a arăta a doua egalitate din teoremă, considerăm un punct arbitrar x din și fie baza canonică din . Atunci se poate scrie . Cunoscând faptul că este un operator liniar de la la R obținem că , de unde avem că . Întrucât este arbitrar, rezultă a doua egalitate a teoremei date.
Observație:
Ținând seama de aplicațiile de proiecție sunt operatori liniari formula din acestă teoremă devine:
Dacă f este diferențiabilă în , atunci
Dacă n=2, atunci relația se mai scrie
Iar pentru n=3, relația se scrie astfel:
Corolar: Fie D un deschis din . Dacă este de clasă pe D, atunci f este diferențiabilă pe D.
Definiție: Fie D un deschis din și fie unde în care .
Spunem că funcția F este derivabilă parțial în (respectiv derivabilă parțial pe D) dacă orice funcție ) este derivabilă parțial în a (respectiv derivabilă parțial pe D), în raport cu toate variabilele .
Spunem că funcția F este de clasa pe D, notat (D), dacă toate funcțiile sunt de clasa pe D.
Exemplu:
Pentru exemplificare vom considera următoarea funcție:
Fie funcția definită prin în care vom scrie diferențiala acestei funcții în punctul (1,1,1).
Observăm că:
Și atunci
Matrice Jacobiană
Fie diferențiabilă în punctul Atunci este diferențiabilă, deci derivabilă parțial în raport cu toate variabilele în
Introducem matricea asociată diferențialei care este operator liniar a funcției F în punctul
numită matricea jacobiană a funcției F în punctul a. (denumirea este dată în onoarea matematicianului german Carl Jacobi).
Dacă
În situația în care m=n, este matrice pătratică,
iar
se numește determinantul jacobian (determinantul funcțional) al lui F în a.
Voi prezenta un exemplu în care funcția F exprimă legătura între coordonatele carteziene și coordonatele polare, în .
Exemplu: Fie funcția , unde D este un deschis din , definită prin
Observăm că F este o funcție diferențiabilă pe D pentru că funcțiile sunt diferențiabile pe D.
Matricea Jacobiană a lui F în punct curent va fi
Iar jacobianul va fi:
Extreme locale ale funcțiilor de mai multe variabile reale
Definiție: Fie A o submulțime din și .
Spunem că punctul este un punct de minim absolut pentru funcția f dacă
Spunem că punctul este un punct de maxim absolut pentru funcția f dacă
Numărul se numește valoare minimă a funcției f pe A iar
se numește valoare maximă a funcției f pe A.
Definiție: Fie și .
Un punct spunem că este un punct de minim local sau minim relativ pentru funcția
f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
Un punct spunem că este un punct de maxim local sau maxim relativ pentru funcția
f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
Punctele de maxim sau de minim local se numesc puncte de extrem local sau de extrem relativ.
Definiție: Fie D un deschis din și . Spunem că un punct este un punct staționar sau punct critic pentru funcția f dacă f este diferențiabilă în a și
Teorema lui Fermat: Fie D un deschis din . Dacă funcția este diferențiabilă într-un punct care este în același timp un punct de extrem local pentru f, atunci , adică a este punct critic.
Demonstrație: Fie v un versor arbitrar din . Întrucât a este un punct de extrem local al funcției f, există o sferă deschisă pe care diferența păstrează semn constant. Fie funcția definită prin
Cum a este punct de extrem local diferența păstrează semn constant pentru , de unde rezultă că t=0 este punct de extrem local pentru . Conform teoremei lui Fermat pentru funcții de o variabilă reală rezultă că . Dar aceasta antrenează .
În particular, considerând v unul din versorii bazei canonice obținem că , ceea ce antrenează că
Observație:
Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcții diferențiabile se găsesc printre punctele sale critice. Deci condiția ca diferențiala să se anuleze într-un punct este necesară dar nu și suficientă pentru ca punctul să fie de extrem local.
Pentru a exemplifica vom considera următorul exemplu:
Fie funcția definită prin .
Atunci Dar punctul (0,0) nu este nici punct de maxim nici de minim local pentru că nu există nici o sferă deschisă cu centrul în (0,0) pe care diferența să păstreze semn constant.
Mai mult se observă că funcția are minim în 0 iar funcția are maxim în 0.
Figura 12. Reprezentarea grafică a funcției
Definiție: Un punct staționar care nu este punct de extrem se numește punct șa.
Teoremă: Fie D un deschis din și o funcție de clasă pe D. Dacă este un punct de minim local pentru f atunci .
Demonstrație:
Cum , putem să aplicăm formula lui Taylor cu . Prin urmare, pentru orice există un punct astfel încât
Conform teoremei lui Fermat și atunci, din relația precedentă, obținem
de unde adunând și scăzând obținem:
pentru
Cum f este punct de minim rezultă că .
Dacă notăm , atunci din ultimele două relații avem
pentru
Fie acum și fie astfel încât , adică .
Atunci în relația de mai sus punând h=tx și ținând seama că depinde tot de t obținem:
pentru orice t cu , de unde
sau
Făcând în ultima relație și ținând seama că iar este continuă în a rezultă că
cu care teorema este complet demonstrată.
Observații:
Un rezultat analog are loc dacă a este un punct de maxim local.
Mai precis dacă unde D este un deschis din , și este un punct de maxim local pentru f atunci
Teoremă: Fie f o funcție de clasă unde D este un deschis din și a un punct critic pentru f. Dacă forma pătratică este:
pozitiv definită, atunci a este punct de minim local;
negativ definită (adică -este pozitiv definită), atunci a este punct de maxim local.
Demonstrație: 1. Să presupunem, mai întâi că forma pătratică este pozitiv definită. În acest caz matricea asociată este simetrică. Aplicând teorema anterioară formei pătratice rezultă că există astfel încât
Pe de altă parte, cum putem să aplicăm formula lui Taylor cu q=2. Prin urmare, pentru orice există un punct astfel încât
Deoarece a este un punct staționar, avem și atunci din relația precedentă obținem: ,
de unde adunând și scăzând găsim
Dar f este de clasă pe D și atunci derivatele parțiale de ordin doi fiind continue paranteza se poate scrie sub forma unde Utilizând relațiile anterioare obținem:
Cum și putem găsi un astfel încât pentru .
Deci pentru ceea ce spune că a este punct de minim local.
2.Dacă este negativ definită se aplică rezultatul de la punctul 1 funcției -f, de unde se obține imediat afirmația teoremei de la punctul 2.
Teoremă:
Fie D un deschis din și iar a un punct critic pentru f. Să notăm A=(a),
Dacă:
, atunci a este un punct de minim local;
atunci a este un punct de maxim local;
atunci a nu este punct de extrem.
Demonstrație:
Fie și un punct generic din D. Observăm că:
(
Presupunând, fără a micșora generalitatea, că avem:
Dacă notăm cu , atunci observăm că are semn constant dacă și numai dacă trinomul are rădăcini complexe, adică dacă
În acest caz semnul său este dat de semnul lui A.
Prin urmare va fi pozitiv definită dacă și negativ definită dacă Conform teoremei precedente, pentru punctul a este punct de minim local (resp. punctul 1 din teoremă), iar pentru , punctul a este punct de maxim local (resp. punctul 2 din teoremă).
Dacă atunci nu mai păstrează semn constant și atunci diferența nu mai păstrează semn constant pe nici o vecinătate a punctului a, ceea ce spune că a nu este punct de extrem.
Observație: Dacă nu ne putem pronunța dacă numărul punctul a este sau nu de extrem. În acest caz semnul diferenței depinde de semnul diferențialelor lui f de ordin superior.
În continuare voi prezenta un exemplu de aplicabilitate a acestei teoreme.
Exemplu: Să se determine punctele de extrem local ale funcției , definită prin
Observăm că și .
Rezolvând sistemul format din ecuațiile se obține soluția x=-1, y=1.
Prin urmare punctul este punct staționar.
Pentru a vedea dacă a este punct de extrem voi calcula și derivatele parțiale de ordin doi si voi abține:
de unde
Prin urmare, și cum rezultă că a este punct de minim.
Lemă: Fie o matrice simetrică de numere reale () și fie
forma pătratică asociată. Dacă este pozitiv definită, adică
pentru orice ,atunci există o constantă astfel încât
Teoremă: În ipotezele lemei de mai sus, dacă:
Toate numerele , , … , unde
, sunt strict pozitive, atunci forma pătratică este pozitiv definită și a este punct de minim local;
Toate numerele sunt strict pozitive, atunci forma pătratică este negativ definită și a este punct de maxim local; ().
Demonstrația teoremei este o consecință imediată a următorului rezultat algebric. Fie o formă pătratică a cărei matrice asociată este simetrică. Dacă:
Minorii principali ai matricei, adică , , … ,
, sunt pozitivi, atunci este pozitiv definită;
sunt pozitivi, atunci este negativ definită;
Exemplu:
Fie funcția definită prin
Avem:
, , .
Rezolvând sistemul: și găsim a(0,0,-1) punct critic al funcției f.
Pentru a vedea dacă a este punct de extrem vom calcula derivatele parțiale de ordin 2 și vom obține:
De unde matricea hessiană devine:
. De aici putem observa că ceea ce spune că forma pătratică este pozitiv definită și deci a este punct de minim local al funcției f.
Extreme condiționate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange
Metoda prezentată anterior nu poate fi utilizată în cazul în care punctele de extrem aparțin restricției funcției la domeniul său de definiție. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange este o metodă care se aplică, în special, în cazul în care nu poate fi găsită în mod explicit forma funcției .Acestă metodă constă în a asocia funcției f o funcție convenabilă, numită funcția lui Lagrange, căreia I se pot determina punctele de extrem prin metodele deja studiate.
Fie D un deschis din (sau, echivalent ) sunt funcții de clasă pe D. Se cere să se determine punctele de extrem ale funcției f supuse la condiția suplimentară
g(x,y)=0
sau echivalent cu:
(1’) .
Vom nota cu
Definiție: Spunem că un punct este un punct de extrem local al funcției f cu restricțiile (1) sau punct de extrem local condiționat, dacă există o vecinătate a punctului astfel încât să păstreze semn constant pentru și anume:
dacă vom spune că este punct de minim condiționat, iar
dacă vom spune că este punct de maxim condiționat.
În concluzie, spunem că punctul este punct de extrem condiționat pentru f dacă este punct de extrem pentru restricția funcției f la mulțimea A.
Definiție: Spunem că un punct este punct staționar condiționat sau punct critic condiționat al funcției f dacă este un punct staționar al restricției f la mulțimea A.
Teoremă (Existența multiplicatorilor lui Lagrange):
Fie D un deschis din adică cu sunt funcții de clasă pe D, iar un punct de extrem local al lui f cu restricțiile (1). Dacă , atunci există m numere reale astfel încât dacă se consideră funcția punctul să verifice sistemul de ecuații: adică este punct critic al funcției L.
Demonstrație
Conform teoremei funcțiilor implicite există o vecinătate U a punctului și o funcție
de clasă pe U (echivalent există pe U ) așa încât iar )=0 pentru orice .
Utilizând teorema de diferențiere a funcțiilor compuse obținem
Fie funcția , . Cum este punct de extrem local cu restricțiile (1) pentru f iar rezultă că punctul este punct de extrem local, necondiționat, pentru F pe U.
Ținând seama de teorema lui Fermat obținem că:
Ceea ce antrenează
Întrucât , rezultă că sistemul liniar
are soluție unică. Să notăm această soluție cu Să arătăm acum că pentru funcția
sunt îndeplinite condițiile din teoremă.
Cum ( rezultă că .
Vom calcula derivatele parțiale ale lui L în raport cu și obținem:
Ținând seama de relația (2), obținem:
De unde, cum este soluția sistemului (3) rezultă că
ceea ce antrenează că
Pe de altă parte, derivând în raport cu și ținând seama din nou, că este soluția sistemului (3) obținem:
Prin urmare, condițiile teoremei fiind satisfăcute, teorema este complet demonstrată.
Observații:
Numerele reale obținute în teorema precedentă se numesc multiplicatorii lui Lagrange.
Punctele de extrem ale funcției f cu restricțiile (1) se găsesc printre punctele critice condiționate ale funcției f, adică printre punctele critice ale funcției asociate
Prin urmare, orice punct de extrem condiționat este un punct critic condiționat al funcției
f. Reciproca acestei afirmații nu este adevărată, întrucât există puncte critice condiționate care nu sunt puncte de extrem condiționat.
Cu alte cuvinte, condiția ca un punct să fie punct critic condiționat este o condiție necesară
dar nu și suficientă pentru ca punctul respectiv să fie punct de extrem condiționat.
Dacă în relația presupunem că sunt
variabile, atunci funcția , poartă numele de Lagrangian sau funcția lui Lagrange.
În practică, pentru determinarea punctelor critice condiționate se procedrează astfel:
Se asociază funcția lui Lagrange pe
Se anulează toate derivatele parțiale ale lui L, în număe de n+2m
Se rezolvă sistemul astfel format cu necunoscutele
Orice soluție ,,…, a sistemului conduce la un punct staționar (,) pentru f, iar ,…, corespunzători sunt multiplicatorii lui Lagrange.
În continuare, vom pune în evidență condițiile suficiente pentru ca un punct staționar condiționat () să fie punct de extrem condiționat, dar pentru asta vom studia semnul diferenței
pentru acele puncte (x,y) ce verifica relația (1).
Dacă sunt multiplicatorii lui lagrange, atunci a cerceta semnul diferenlei de la relația (4) este echivalent cu a cerceta semnul diferenței pentru că
Vom presupune că Aplicând formula lui Taylor funcției L cu restul de ordin 2 și ținând seama că avem:
Se observă că semnul diferenței este dat de semnul formei pătratice
Întrucât variabilele nu sunt independente (satisfac condițiile (1)) rezultă că nici diferențialele , . nu sunt independente deci vom putea determina , în funcție de ,.
Diferențiind sistemul (1’) obținem:
…………………………………
Cum , utilizând regula lui Cramer, putem determina în funcție de care înlocuiți în ne vor conduce la forma pătratică
Aplicăm aceleași considerații algebrice demonstrate anterior și obținem următoarele rezultate:
Dacă toți determinanții
, , … ,
sunt pozitivi, atunci forma pătratică este pozitiv definită deci unde V este o vecinătate a punctului (). În acest caz () este un punct de minim condiționat.
Dacă este îndeplinită condiția
atunci forma pătratică este negativ definită deci unde V este o vecinătate a punctului () și în acest caz () este un punct de maxim condiționat.
Metoda ilustrată mai sus, utilizată pentru determinarea punctelor de extrem condiționat se numește metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Exemplu:
Să se determine extremele funcției cu legătura .
Fie funcția
Vom determina punctele staționare.
Vom rezolva sistemul format din cele trei ecuații:
Sistemul
Nu trebuie să aibă numai soluția nulă și deci
Dacă și atunci din obținem soluțiile
Dacă și atunci din obținem soluțiile
În concluzie avem patru puncte staționare. Pentru avem Dar , de unde
.
Prin urmare, , ceea ce antrenează că punctele staționare și adică sunt puncte de minim.
Pentru avem Dar , de unde .
Prin urmare, , adică această formă pătratică este negativ definită și în consecință punctele staționare și adică sunt puncte de maxim.
Aplicații ale funcțiilor derivabile. Modelare
Reprezentarea grafică a funcțiilor cu ajutorul softurilor matematice
În studiul variației unei funcții și trasarea graficului recomandăm parcurgerea următoarelor etape de determinarea succesivă a unor elemente caracteristice ale funției:
Stabilirea domeniului maxim de definiție, notat cu D și dacă este cazul precizarea parității sau imparității și a periodicității funcției.
Determinarea perioadei și a simetriilor permit limitarea mulțimii pe care studiem, dacă funcția are perioada principală atunci se va studia funcția pe un interval de lungimea unei perioade de exemplu [0,], se trasează graficul pe acest interval după care se generează intreg graficul pe tot domeniul de definiție prin translatare.
Dacă funcția este pară sau impară , atunci este suficient studiul funcției pe submulțimea . Dacă funcția este pară graficul funcției este simetric în raport cu axa Oy, iar dacă este impară atunci graficul funcției f este simetric în raport cu originea O a reperului cartezian xOy.
Determinarea intersecțiilor graficului funcției cu axele de coordonate
, se rezolvă ecuația și se rețin acele valori care sunt situate în domeniul de definiție
, dacă .
Calcularea valorilor limitelor lui f la capetele intervalelor lui D
Derivata întâi
Se stabilește mulțimea punctelor în care funcția este derivabilă și se precizează natura punctelor în care f nu este derivabilă (unghiulare, de întoarcere).
Se calculează prima derivată
Se rezolvă ecuația . Rădăcinile acestei ecuații vor fi eventualele puncte de minim sau maxim ale lui f.
Se stabilește semnul lui pe intervale
Derivata a doua
Se calculează a doua derivată
Se rezolvă ecuația . Rădăcinile acestei ecuații vor fi eventualele puncte de inflexiune
Se stabilește semnul lui pe intervale
Asimptote – Se determină două categorii de asimptote, dacă există.
Asimptote verticale
Se determină punctele a, pentru care cel puțin una din limitele laterale , este infinită.
Asimptote oblice
Dacă sau , (a finit) atunci dreapta este asimptotă orizontală spre respectiv spre .
În caz contrar, se calculează , dacă , atunci se calculează
.
Dacă (respectiv ) este finit atunci este asimptota oblică , respectiv dreapta asimptota oblică .
Tabelul de variație
Rezultatele din etapele precedente vor fi cumulate într-un tabel numit tabelul (tabloul) de variație al funcției astfel:
Pe prima linie sunt trecute valorile remarcabile ale lui x obținute anterior
Pe a doua linie conține semnul lui
Pe a treia linie se trec valorile corespunzătoare funcției f precum și săgețile care marcheaza monotonia funcției dupa semnul primei derivate
Pe linia a patra se trec valorile și semnul derivatei a doua.
Trasarea graficului
Punctele remarcabile care rezultă din tablou, sunt reprezentate apoi în planul . Se trasează asimptotele, dacă există. Ținând seama de indicațiile date de derivata întâi și a doua se unesc printr-o curbă continuă, ținând seama de asimptote, monotonie, convexitate, concavitate, etc.
În continuare voi prezenta graficele câtorva funcții.
, funcția nu este nici pară, nici impară și nici periodică.
Intersecția cu axele de coordonate:
Rezolvând ecuația . În concluzie obținem punctele A(-3,0) și O(0,0).
Asimptote
Remarcăm că funcția nu admite asimptotă verticală deoarece funcția este continuă.
Verificăm existența asimptotelor orizontale sau oblice.
deci nu admite asimptotă orizontală.
în concluzie nu are nici asimptotă oblică.
Derivata întâi
care are rădăcinile x=0 sau x=-2
Derivata a doua
cu rădăcina x=-1
Tabelul de variație a funcției este:
Reprezentarea grafică
Figura 13. Reprezentarea grafică a funcției
D=.
Intersecția cu axele:
Se rezolvă ecuația f(x)=0 și obținem
.
Asimptote
Se constată că reprezentarea graficului nu are asimptote.
Deoarece 0 este punct de acumulare pentru mulțimea de definiție calculăm
.
Derivata întâi
Calculăm derivata de ordinul întâi și obținem și rezolvând ecuația obținem .
Derivata a doua
Din derivata de ordinul doi obținem
Tabelul de variație a funcției este:
Reprezentarea grafică a funcției este:
Figura 14. Reprezentarea grafică a funcției f(x)=xlnx
După cum se observă, D= și funcția este continuă pe . Nu este nici pară, nici impară și nici periodică.
Intersecția cu axele de coordonate
Ecuația are rădăcinile . Deci .
.
Asimptote
Nu are asimptotă verticală și nici asimptotă orizontală, prin urmare vom calcula asimptota oblică.
, prin urmare ecuația asimptotei oblice spre este .
Derivata întâi
Pentru .
.
.
Deci punctul de coordonate (-1,0) este punct de întoarcere, iar în punctul de coordonate (3,0) reprezentarea graficului are tangentă în dreapta de ecuație x=3.
Derivata a doua
Pentru .
Tabelul de variație a funcției este:
Observație:
Punctul de coordonate (3,0) este punct de inflexiune pentru reprezentarea graficului dat.
Reprezentarea grafică a funcției este:
Figura 15. Reprezentarea grafică a funcției
Domeniul de definiție
Calculăm limitele în capetele intervalului și obținem:
Intersecția cu axele de coordonate
și rezolvând ecuația
.
Asimptote
Asimptota verticală:
deci x=0 este asimptota verticală la stânga și la dreapta la
Asimptota orizontală deci este asimptota orizontală la .
Derivata întâi
Explicităm funcția
Studiem derivabilitatea funcției:
pentru
Rezolvând ecuația deci este punct critic.
Pentru rezolvând ecuația
Pentru rezolvând ecuația .
Pentru x=1 funcția este continuă (condiție asigurată de funcția modul)
Studiem derivabilitatea în
și
Cum derivatele laterale există, dar sunt diferite rezultă că f nu este derivabilă în x=1. Mai mult, deoarece derivatele laterale sunt finite, atunci x=1 este punct unghiular.
Derivata a doua
Pentru rezolvând ecuația obținem
Pentru rezolvând ecuația obținem
Pentru rezolvând ecuația obținem
Tabelul de variație al funcției:
Observații:
– Punctul x=1 este punct de extrem pe frontieră, de aceea .
-Punctele de extrem sunt: și
-Funcția este crescătoare pe și este descrescătoare pe
-Funcția este convexă pe și este concavă pe (1,3]
Trasarea graficului funcției:
Figura 16.Reprezentarea grafică a funcției
Comentariu metodic: Acest tip de exercițiu este considerat greu de către elevi pentru că se rezolvă în mai mulți pași în plus trebuie să cunoască explicitarea modulului și să studieze derivabilitatea funcției. La exercițiile de acest gen am împărțit funcția în alte două funcții pe care le-am rezolvat anterior după care am propus spre rezolvare o funcție cu modul. Este utilă genul acesta de împărțire pentru că elevii exersează etapele reprezentării grafice și își fixează cunoștințele din capitolul derivabilitate.
Deci D=[-2,2].
Din relația rezultă că punctul este centru de simetrie pentru reprezentarea graficului funcției f. Deci este suficient să reprezentăm graficul funcției pe [0,2].
Intersecția cu axele de coordonate
și
Asimptote
Funcția este continuă pe [-2,2] prin urmare nu are asimptote verticale.
Nu are sens să ne punem problema existenței asimptotelor oblice sau orizontale pentru că nu sunt puncte de acumulare pentru [-2,2].
Derivata întâi
După efectuarea calculelor se obține că după explicitarea modulelor obținem:
Derivata a doua
.
Tabelul de variație a funcției pe intervalul [0,2]:
Reprezentarea grafică a funcției pe [-2,2] este cea din figura următoare:
Fig. 16. Reprezentarea grafică a funcției
Separarea rădăcinilor reale ale unei ecuații. Șirul lui Rolle
O aplicație importantă a teoremei lui Rolle o reprezintă șirul lui Rolle asociat unei funcții de forma , unde f este o funcție derivabilă, cu ajutorul căruia se poate determina numărul rădăcinilor reale ale ecuației precum și intervalele în care aceste rădăcini sunt situate.
Prin separarea rădăcinilor reale ale unei ecuații se întelege determinarea unor intervale astfel ca fiecare interval să conțină numai o rădăcină a ecuației.
Următorul rezultat este important în demersul nostru:
Lemă 3.2.1: Fie o funcție derivabilă pe un interval E. Între două rădăcini (zerouri) consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a ecuației .
(Zerourile derivatei separă zerourile funcției).
Demonstrație:
Fie rădăcini consecutive ale derivatei. În concluzie în intervalul () derivata nu se mai anulează. Presupunem, prin reducere la absurd, că în intervalul () ar exista cel puțin două rădăcini (zerouri) ale lui f, Pe intervalul [] se poate aplica teorema lui Rolle. Deci există cel puțin un punct pentru care , adică se mai anulează în cel puțin un punct , contradicție cu alegerea punctelor .
Analog se arată că dacă (respectiv ) este cea mai mică (respectiv cea mai mare) rădăcină a lui în intervalul E, atunci la stânga lui (respectiv la dreapta lui ) există cel mult o rădăcină a lui f.
Etapele formării șirului lui Rolle
Se precizează intervalul de studiu E al ecuației , funcția fiind presupusă derivabilă.
Rezolvăm ecuația și aranjăm valorile în ordine crescătoare rădăcinile reale, din E, ale acestei ecuații:
.
Calculăm valorile funcției f în aceste puncte, la care adăugăm limitele lui f, notate , la capetele din stânga respectiv din dreapta ale intervalului E. Obținem șirul de valori (.
Șirul lui Rolle este șirul semnelor acestor valori (poate figura și valoarea zero).
Concluzii privind numărul de rădăcini reale ale ecuației și intervalele în care acestea sunt plasate.
Distingem următoarele cazuri:
Dacă în șirul lui Rolle apar două semne alăturate identice, adică pentru să avem fie , fie atunci în intervalul () nu există rădăcini reale ale ecuației
Demonstrația acestei afirmații este imediată. Dacă ar exista cel puțin două rădăcini ale funcției, atunci conform teoremei lui Rolle ar exista astfel încât , contradicție deoarece sunt rădăcini consecutive ale lui .
Dacă ar fi o singură rădăcină a lui f, atunci din rezultă că în mod necesar c este un punct de extrem pentru f, ceea ce înseamnă că , absurd.
Dacă în șirul lui Rolle apar două semne alăturate diferite, de exemplu, atunci conform lemei și proprietății lui Daroboux pe care o au funcțiile continue, există cel mult și respectiv cel puțin o rădăcină în intervalul , adică ecuația are exact o rădăcină în intervalul .
Dacă în șirul lui Rolle apare zero, de exemplu , atunci este rădăcină multiplă a ecuației , iar în intervalele , ecuația nu mai are rădăcini.
Concluzie: Numărând schimbările de semn și zerourile se determină numărul de rădăcini reale (fără a determina ordinele de multiplicitate ale acestora) ale ecuației considerate și intervalele în care sunt situate aceste rădăcini.
Exemple:
Fie ecuația , să se determine numărul de rădăcini reale.
Vom parcurge etapele prezentate anterior.
Fie
.
Șirul lui Rolle este șirul de la etapa precedentă adică: +,-,-,-,+.
Concluzii:
Constatăm două schimbări de semn ale funcției f(x), deci ecuația considerată are două rădăcini reale și anume, una în intervalul și una în intervalul . Celelalte două rădăcini sunt complexe.
Deoarece ecuația este bipătrată, se verifică ușor că cele doua rădăcini reale sunt , așa cum se pot observa și din graficul funcției.
Graficul funcției taie axa Ox în două puncte .
Fig. 17. Reprezentarea grafică a funcției
Să se discute după valorile parametrului real a numărul de rădăcini ale ecuației
.
Se consideră funcția , derivabilă, cu derivata egală cu:
. Ecuația are soluțiile pentru care .
După cum se observă valorile funcției f în punctele în care derivata se anulează depind de parametrul real a. Vom face discuția șirului lui Rolle în funcție de acest parametru, egalând valorile funcției cu zero, adică
Tabelul cu șirul lui Rolle este:
Fie ecuația , unde m este un parametru. Să se discute rădăcinile reale ale acestei ecuații, după valorile parametrului real m.
Se consideră funcția . Dupa derivare se obține funcția
. Rezolvând ecuația vom obține soluțiile .
Formăm șirul lui Rolle
Numărul rădăcinilor reale depinde de semnul numerelor și -9+m.
Valorile lui m pentru care și -9+m se anulează sunt – și 9. Discuția semnului acestor numere este sintetizată în tabelul de mai jos.
Aplicații în algebră și geometrie,
“Matematica este cheia de aur a tuturor științelor experimentale”
(George St. Andonie- Despre puterea educativă a matematicii)
În capitolele anterioare am arătat că semnul și rădăcinile derivatei întâi oferă indicații asupra punctelor de extrem ale funcției. De asemenea, am văzut că semnul derivatei a doua permite să stabilim rapid dacă un extrem este un maxim sau un minim. În continuare vom folosi aceste rezultate pentru rezolvarea unor probleme din algebră și geometrie.
Aplicații în algebră
Să se scrie numărul 8 ca sumă a două numere pentru care suma cuburilor să fie cea mai mică posibilă.
Rezolvare:
Fie x,y cele două numere a căror sumă este egală cu 8. Deci . De aici obținem că
. Se cere să determinăm x pentru care funcția ia cea mai mică valoare.
Pentru a determina punctul de extrem al acestei funcții se calculează .
Se rezolvă ecuația
Se verifică faptul că este punct de minim al funcției când .
Din obținem că . Prin urmare cele două numere sunt
Să se arate că
Rezolvare:
Inegalitatea de demonstrat este echivalentă cu .
Se consideră funcția căreia trebuie să îi găsim extremele. Vom compara valorile funcției în punctele în care se anulează cu valorile funcției la capetele intervalului.
Avem .
Realizăm tabelul de variație a funcției.
Din acest tabel se deduce că . Așadar .
Să se demonstreze inegalitatea .
Rezolvare:
Vom logaritma în baza e inegalitatea și astfel vom obține:
Vom considera funcția
Derivata întâi a acestei funcții este: . Având în vedere că se poate constata că prin urmare funcția f este strict descrescătoare pe .
Din faptul că rezultă că , adică exact inegalitatea cerută.
Să se arate că .
Rezolvare:
Se consideră funcția pentru care vom calcula derivata întâi, și vom obține .
Se observă că nu este usor de rezolvat ecuația , prin urmare pentru a putea stabili semnul derivatei întâi trebuie să calculăm derivata a doua.
Prin urmare se deduce ce aici ca este crescătoare pe .
Realizăm tabelul de variație:
În concluzie, f este crescătoare pe . Din , adică exact inegalitatea cerută.
Aplicații în geometrie
Să se determine dreptunghiul de arie maximă înscris într-un cerc de rază R.
Rezolvare:
Notăm cu dimensiunile dreptunghiului ABCD înscris în cercul de centru O și rază R ale cărui diagonale sunt diametre și deci intersectează în O, asa cum este reprezentat în figura de mai jos.
Fig.18. Dreptunghi înscris în cerc
Notăm cu S aria dreptunghiului, deci Încercăm să îl exprimăm pe y în funcție de x și în acest fel aria devine o funcție de o singură variabilă.
În triunghiul ABC aplicăm teorema lui Pitagora și obținem:
. Prin urmare aria S este egală cu:
Se cere să determinăm valoarea lui x pentru care aria S este maximă. Pentru asta vom calcula derivata funcției S(x) și vom rezolva ecuația
, iar ecuația are soluția
Concluzie: Prin urmare, , așadar dreptunghiul de arie maximă înscris în cercul de rază R este pătratul de latură .
Să se determine conul cu cel mai mare volum înscris într-o sferă de rază R.
Rezolvare:
Vom nota cu r și h respectiv raza și înalțimea conului. Volumul conului este
Fig.19. Con înscris în sferă
În triunghiul dreptunghic ABC, înălțimea r este media geometrică între segmentele h și 2R-h adică: , deci .
Înălțimea h este cuprinsă între 0 și 2R, deci funcția V(h) este definită pentru .
Pentru a afla maximul acestei funcții calculăm derivata și îi aflăm rădăcinile.
În concluzie, este punctul de maxim, prin urmare conul cu volumul cel mai mare are înălțimea
și raza . Volumul conului este
Dacă a, b, c reprezintă lungimile laturilor unui triunghi, arătați că sunt lungimile laturilor unui nou triunghi.
Rezolvare:
Vom considera funcția , care este indefinit derivabilă pe și în plus . Rezultă că f este concavă și cum , rezultă că Atunci și ținând cont că
, vom avea:
Ținând cont de simetria numerelor ce apar în inegalitatea anterioară, rezultă că reprezintă laturile unui triunghi.
Observație:
Dacă este crescătoare și concavă, iar f(0)=0, atunci în ipoteza că reprezintă lungimile laturilor unui triunghi, rezultă că reprezintă lungimile laturilor unui nou triunghi.
Demonstrați inegalitățile:
Rezolvare:
Tranformăm unghiul din grade în radiani și prin urmare .
Considerăm funcția , care este o funcție Rolle.
Conform teoremei de medie a lui Lagrange, există astfel încât :
Deoarece și funcția este o funcție crescătoare pe , iar
Atunci:
De unde se obține:
Observații: Dificultatea acestei probleme a constat în alegerea domeniului de definiție al funcției dar și în alegerea funcției cos pentru demonstrarea egalității.
Aplicații în diferite domenii
„Calculul diferențial este o descriere a lumii din jurul nostru, făcută în limba matematică. Derivata ne ajută să rezolvăm cu succes nu numai probleme matematice, ci și probleme practice în diverse domenii ale științei și tehnologiei.”
Aplicații în fizică
Viteza și accelerația unui mobil
Cunoscând legea de mișcare a unui mobil pe o axă
Și presupunând că s este o funcție de două ori derivabilă într-un punct , atunci definim:
Viteza instantanee la momentul :
Accelerația la momentul :
Intensitatea curentului electric
Cunoscând sarcina care trece printr-o secțiune a unui conductor în intrevalul de timp [0,t], atunci se definește intensitatea curentului electric la momentul prin:
Formula de aproximare liniară
Dacă f este o funcție derivabilă într-un punct , are loc formula de aproximare liniară a lui f în jurul punctului .
pentru orice x „suficient de aproape” de .
Acestă formulă stă la baza unor calcule cu aproximații, formula este eficientă dacă putem calcula relativ ușor pe f() și .
Să se determine sub ce unghi față de orizontală trebuie aruncat un corp cu viteza , astfel încât să atingă distanța maximă R.
Fig.20. Reprezentarea unui corp aruncat cu o viteza dată
Sub acțiunea forței gravitaționale, corpul descrie o parabolă care taie orizontala în punctul R.
Știind că ecuația traiectoriei este . sunt coordonatele punctului de pe traiectorie în care corpul a ajuns după t secunde.
Proiecția vitezei pe orizontală este , iar proiecția pe verticală este influiențată de acțiunea gravitației,
Eliminând pe t, se obține . Punctele în care traiectoria atinge orizontala se obțin rezolvând ecuația . Se obțin punctele 0 și .
În concluzie, distanța R este o funcție ce depinde de unghiul .
Vom determina maximul acestei funcții prin rezolvarea ecuației 0
Derivata a doua a acestei funcții este . Deci este
un punct de maxim al funcției nostre. Prin urmare pentru a realiza distanța maximă, corpul trebuie aruncat sub un unghi de față de orizontală.
Aplicații în chimie
Derivata– noțiunea fundamentală a matematicii, caracterizează viteza variației funcției într-un punct anumit, ea ne permite să determinăm și viteza reacțiilor chimice.
Viteza medie de dizolvare a sării de bucătărie în apă în intervalul de timp [t0 ;t1 ] (masa căreia se schimbă după legea х = f(t)) este determinată de formula:
Viteza reacției chimice este determinată de schimbarea concentrației substanței reactive în unitatea de timp dată.
Pentru o reacție de tipul produși, variația concentrației reactantului în timp este dată de relația , unde:
este concentrația substanței A la momentul ,
c este concentrația substanței A la momentul t și
k este constanta de viteză
Știind că viteza medie de reacție se calculează după relația , să se determine expresia vitezei la un moment dat.
Rezolvare:
Viteza la momentul se calculează astfel:
unde .
Deci .
Aplicații în economie
Venitul unei întreprinderi pentru un an este descrisă prin funcția U (t) = 0.15t³ – 2t² + 200, unde t este luna, U-milioanele câștigate(mln). Determinați venitul întreprinderii în a 9-a și a 10-a lună.
Rezolvare:
Cercetăm venitul întreprinderii utilizând derivata:
U '(t) = 0,45t² – 4t
U '(9)= 0,45*81-4*9=36,45-36=0,45
U '(10) =0,45*100-4*10=45-40=5
Venitul a fost în luna a noua – 0,45milioane. În a 10-a lună -5milioane
În mod similar, cu ajutorul derivatei, pot fi determinate multe unități economice care au un caracter limitat.
Aplicație în biologie
Populațiile de viețuitoare de orice tip au o tendință naturală de a crește numeric în mod exponențial. Această afirmație se poate scrie matematic printr-o ecuație diferențială liniară de tipul
, unde N(t) este o măsură a numărului de indivizi ce aparțin populației supuse studiului, iar r este un coeficient pozitiv de proporționalitate. De asemenea r poate fi interpretat ca fiind viteza de creștere a populației respective, este o funcție de dimenstiunea populației . Acestă ecuație poartă numele de ecuație Kolmogorov iar f(N) este cunoscută în Ecologie sub denumirea de funcție trofică.
Modelare matematică
Lumea vie este alcătuită dintr-o multitudine de sisteme biologice complexe, aflate într-o continuă interacțiune. Biologia, ca știință care se ocupă de studiul organismelor vii și a fenomenelor legate de ele, recurge la modele care să explice în termeni măsurabili dezvoltarea, complexitatea și interacțiunile dintre acestea.
Printre modelele matematice utilizate în descrierea interacțiunilor biologice se numără cele bazate pe ecuații diferențiale ordinare (EDO). Acestea descriu în limbaj matematic evoluția numerică în timp a diverșilor factori ce descriu entități biologice.
Pentru vizualizarea comparativă rapidă a rezultatelor tuturor acestor modele aplicate pe instanțe diferite, în funcție de condițiile inițiale și dimensiunea problemei am recurs la implementarea modelelor în limbajul Matlab și am realizat reprezentarea grafică pentru a putea urmări și formula mai ușor concluziile fenomenelor studiate.
Modelul corzii vibrante
Stiința undelor și a mișcărilor vibrante este esențiială pentru o largă gamă de aplicații. În forma sa simplă, o vibrație este o agitație manifestată într-un mediu. De la studiul comportamentului undelor în apă, în aer ca sunet, în pământ sub formă de cutremure, savanții și matematicienii au reușit să ne aducă tehnologii importante realizând astfel conexiuni puternice între discipline. Studiul acusticii a fost primul care a utilizat ideea undelor pentru explicarea și înțelegerea mișcării undelor.
În 550 î.Hr. Pitagora a observat că o coardă vibrantă produce sunete și a studiat legătura matematică dintre frecvența sunetului și lungimea corzii.
În secolul al XVII-lea, știința propagării undelor a fost în atenția lui Galileo Galilei, Robert Boyle și Isaac Newton. În secolul al XVIII-lea matematicianul și savantul francez Jean Le Rond d’Alembert6 a derivat ecuația undelor. Această elegantă descriere a undelor a determinat progrese în toate domeniile, de la geologie la fizica cuantică și continuă, ajutându-ne să înțelegem lumea din jurul nostru.
Derivarea ecuației undelor
Presupunem că avem o coardă de lungime L, cu aceeași densitate și bine fixată la ambele capete ca în figura de mai jos.
Figura 21. Coarda de lungime L fixată la ambele capete
Considerăm masa corzii, w și k, g constante ale materialului, cu g diferită de accelerația gravitațională. Ecuația corespunzătoare este:
unde
= deplasarea corzii la momentul t
= masa corzii
= constante ale materialului
= rezistența opusă de coardă (forța de rezistență)
= constantă
= forța exterioară
Notăm:
Exemplu:
Pentru simularea în Matlab vom crea un fișier function phi.m
function rez = phi (t, y)
global w b k g
rez = [ y (2); -g*(k*y (1) + b*y (2)) / w];
și un fișier script sol.m
global w b k g
L = input (’ L = ’ );
w = input (’w = ’ ); % w = 110
b = input (’b = ’ ); % b = 1
k = input (’k = ’ ); % k = 2
g = input (’g = ’ ); % g = 32.1725
t0 = 0;
y01 = 1;
y02 = 1;
[t y] = ode45(’phi’, [t0 L], [y01; y02]);
plot (t, y ( : ,1), t , y( : , 2 ),’r’); grid
legend(’deplasarea’,’viteza’,0)
Figura 22. Coardă vibrantă fixată la ambele capete
Se observă că oscilațiile corzii se amortizează.
Molia mugurelui de molid
Modelul moliei mugurelui de molid conduce la o problema cu valori inițiale (IVP) pentru ecuații diferențiale ordinare (EDO). Acestă molie este o insectă ce se hrănește cu mugurii coniferelor și produce pagube pădurilor din America de Nord.
Figura 23. Molia mugurelui de molid
Vom considera numărul de indivizi ai populației moliei mugurelui de molid la momentul . Evoluția sa poate fi descrisă după modelul:
ceea ce înseamnă că evoluția populației nu depinde numai de rata naturală a fertilității și a mortalității, ci și de rata mortalității indusă de surpapopulare. În forma scris mai sus, r și K sunt parametri adimensionali referitori la grupuri, r reprezintă rata intrinsecă de creștere și K este capacitatea de susținere a mediului. Atunci este rata suplimentară de mortalitate datorată suprapopulației.
Presupunem că Pentru putem avea unul din următoarele trei cazuri:
ceea ce implică
Teste numerice:
Vom adăuga acum un termen prădător. Prădătorul este reprezentat de păsări. Noua ecuație este:
unde
Figura 25. Graficul pentru p(N) pe [0, 20], pentru A = 2, B = 1.5
Dacă adăugăm o condiție inițială vom obține o problema Cauchy cu valori inițiale:
În Matlab avem funcția
function z = sbw1 (x,y)
global r K A2 B
y2 = y*y;
z = r*y*(1 – y/K) – B*y2/(A2 + y2);
Fișierul script corespunzător este ist1.m
global r K A2 B
r = input ('r = ');
K = input ('K = ');
A = input ('A = ');
A2 = A*A;
B = input ('B = ');
T = input ('T = ');
N0 = input ('N(0) = ');
h = 0.01;
tspan = 0:h:T;
[x y ]= ode45('sbw1', tspan, N0);
plot (x, y, 'r*'); grid
xlabel('\bf t', 'FontSize', 16)
ylabel('\bf N(t)', 'FontSize', 16)
Figura 26. Graficul lui N(t) pentru r = 0:3; K = 5; A = 2; B = 1,5; T = 20; N0 = 30
Monitorizarea plumbului în corp
Plumbul este un ingredient în multe obiecte din viața de zi cu zi: baterii mașină, conducte de apă, articole de sticlă, ceramică, pictură și benzină. Dar plumbul este toxic iar nivelurile ridicate din sânge și țesuturi vă vor deteriora capacitatea de a vă deplasa și mental.O modalitate de a începe să înțelegem acest lucru este să construim un model pentru fluxul de plumb în corp.
Plumbul intră în sistemul circulator prin alimente, aer și apă. Se acumulează în sânge, țesuturi și mai ales oase. O parte din plumb este îndepărtat prin rinichi, și prin păr, unghii, transpirație. Dezvoltăm un model matematic pentru fluxul de conduce prin fiecare dintre cele trei componente ale corpului: sânge, țesuturi și oase.
Figura 27. Transportul plumbului în corp
Numerotând compartimentele corpului cu 1, 2 și 3, diagrama din figura de mai sus, reprezintă circuitul de plumb prin compartimente. reprezintă plumbul absorbit de corp. Cantitatea de plumb din compartimentul i în momentul t este notată cu Rata de transfer a plumbului în compartimentul j al compartimentului i este proporțional cu (o lege a primei rate) și constanta de proporționalitate este notat de . Se presupune că întotdeauna ≥ 0. Dacă nu există transfer de plumb în compartimentul j din compartimentul i, apoi = 0.Poate să apară și un transfer invers de la compartimentul j la compartiment i dar rata constantă este diferită de. Vârful săgeților ne oferă rata de producția de plumb dintr-un compartiment și rata de intrare în altul. Plumbul trece prin de asemenea, din sângele din urină (cu rata de schimb ) și din țesuturile din păr, unghii și transpirație (cu rata de schimb ).
Modelul matematic
Conform legii conservării
Rata netă a schimbului = Rata de intrare – Rata de ieșire
Aplicarea legii conservării fluxului de plumb în compartimentele de sânge,țesuturi și oase din diagrama din figura 27, obținem un sistem de trei ecuații ale ratei:
pentru Adăugăm condițiile inițiale
ceea ce înseamnă că la momentul nu există plumb în corp.
Programul Matlab de integrare și reprezentare a graficelor fluxului de plumb este următorul:
clear
global k01 k21 k31
global k02 k12 k13
global I1
disp('Introduceti parametrii modelului:');
k01 = input ('k01 = ');
k21 = input ('k21 = ');
k31 = input ('k31 = ');
k02 = input ('k02 = ');
k12 = input ('k12 = ');
k13 = input ('k13 = ');
I1 = input ('I1 = ');
disp('Introduceti datele: ');
L = input('Momentul final: ');
y01 = input('y1(0) = ');
y02 = input('y2(0) = ');
y03 = input('y3(0) = ');
tspan = 0 : 0.01 : L;
[t y]= ode45('lrhs1', tspan, [y01; y02; y03]);
plot (t, y(:,1), 'ro', t, y(:,2),'*', t, y(:,3),'gs'); grid
% legend (’Sange’, ’Tesuturi’, ’Oase’,0)
text(400, 400, '\bf{Tesuturi}')
text(400, 1400,'\bf{Sange}')
text(400, 2000, '\bf{Oase}')
Funcția rhs, lrhs.m este următoarea:
function out1 = lrhsl(t,y)
global k01 k21 k31
global k02 k12 k13
global I1
out1 = [-(k01 + k21 + k31)*y(1) + k12*y(2)+ k13*y(3) + I1; k21*y(1)-(k02 + k12)*y(2);k31*y(1)- k13*y(3)];
Pentru un prim experiment numeric vom considera condițiile inițiale: L = 600 (zile), I1 = 49.3 micrograme pe zi și următorii coeficienți: k01 = 0.0211, k21 = 0.0111, k31 = 0.0039, k02 =0.0162, k12 = 0.0124, k13 = 0.000035.
Figura 28. Reprezentările pentru ,
În mod remarcabil, așa cum se constată și din graficele de mai jos, indiferent de datele inițiale, nivelurile plumbului în sânge și țesuturi se apropie de un nivel de echilibru după primele 200 de zile, dar nivelul de plumb în oase nu începe sa scadă nici după 8000 zile, așa cum se poate observa în figura 29, deoarece coeficientul de transfer pe zi al plumbului din oase înapoi în sistemul circulator este foarte mic și prin urmare sistemul scheletic acumulează și depozitează plumbul ca un rezervor.
Eliminarea plumbului din corp
Presupunem că este administrată o doza de medicamente începând cu ziua 500 iar coeficientul de eliminare este înzecit cu 0.211. Vom înlocui rata constantă a plumbului cu o funcție ce depinde de timp:
unde sunt contante pozitive și .
Introducem variabilele globale în fișierul script corespunzător pe (pentru variabila timp t’). Funcția rhs este:
function out1 = lrhs2(t,y)
global k01 k21 k31
global k02 k12 k13
global I1 I2 tsw
if t > tsw
a = I2;
else
a = I1;
end
out1 = [-(k01 + k21 + k31)*y(1) + k12*y(2)+ k13*y(3) + a; k21*y(1)-(k02 + k12)*y(2); k31*y(1)- k13*y(3)];
Figura 30 a). Evoluția plumbului după ce a fost aplicată o medicamentație
Am considerat aceleași date de intrare ca și în figurile anterioare Se observă din figură că nivelul de plumb din sânge scade brusc, dar doza de medicamente aplicate poate ucide pacientul.
Modificând valoarea coeficientului cu 50% ajungând la 0.0316 arată nivelele diminuate cu o doza de medicamente mai realistă, așa cum se poate observa din Figura 30 b).
Figura 30 b). Evoluția plumbului după ce a fost aplicată o medicamentație mai realistă
Modelul pradă-prădător
“Lupta pentru existență apare în mod inevitabil la toate ființele organice care tind să se înmulțească. Fiecare specie, care pe perioada vieții produce mai multe ouă sau mai mulți pui, trebuie să fie diminuate într-o anumită perioadă a vieții sale, în timpul unui anumit sezon sau an; altfel, conform principiului creșterii geometrice, numărul de indivizi ar crește atât de mult, iar populația ar deveni atât de numeroasă astfel încât nici o țară nu ar putea suporta acea specie. Deci cu cât sunt generați mai mulți indivizi, trebuie să fie în fiecare caz o luptă pentru existență fie între indivizii din aceeași specie, fie între indivizii diferitelor specii, fie între condițiile fizice de viață și indivizi. Este o doctrină a lui Malthus aplicată cu o forță variabilă tuturor regnurilor vegetale și animale; pentru cazul nostru nu există o creștere artificială a mâncare și nici o interdicție pentru înmulțire. Chiar dacă indivizii din anumite specii acum cresc rapid sau moderat, în număr de indivizi, nu pot fi în creștere simultană toate speciile.
Cantitatea de hrană pentru fiecare specie determină limita extremă de înmulțire, dar în mod frecvent, nu hrana constituie limita ci faptul că sunt pradă pentru alte animale, ceea ce determină ponderea indivizilor speciilor. „ (Charles Darwin-"Struggle for Existence", The Origin of Species, new ed., Chap. 3, New York: Appeleton, 1882.)
Cel mai simplu model pradă-prădător include creșterea și descreșterea naturală a populațiilor și interacțiunea dintre acestea. Restul interacțiunilor sunt neglijate. Vom presupune că populația pradă crește exponențial în absența prădătorului, în timp ce prădătorul scade exponențial dacă scade populația pradă. Interacțiunea pradă-prădător este modelată de mulțimile acțiunilor proporționale cu înmulțirea celor două populații. Acest model formează sistemul pradă-prădător (sau Lotka-Volterra):
unde este populația de prădător și este populația pradă, iar constantele sunt pozitive. Termenii liniari și modelează creșterea naturală a prădătorului și a prăzii dacă fiecare populație este separată de cealaltă (deci nu mai este hrană pentru ). Termenii pătratici și modelează efectele interacțiunii schimbului dintre două specii: hrana determină creșterea ratei populației prădătorlui și scăderea ratei de creștere a pradei care servește ca hrană.
Coordonatele punctelor de echilibru se determină rezolvând sistemul de ecuații:
Punctele de echilibru sunt originea și cele de coordonate care sunt în interiorul cadranului populației.
Pentru exemplificare vom considera sistemul de ecuații:
cu punctele de echilibru În acest caz vom obține următoarele traiectorii:
După cum se observă, traiectoriile calculate numeric în Figura 31. a) prin punctele (5, 20), (5, 30) și (5, 40) par să fie închise (adică cercuri) care se învârt în sensul acelor de ceasornic în jurul punctului de echilibru (5, 10). Componentele graficului din Figura 31 b) sugerează faptul că soluțiile sunt într-adevăr periodice, iar apogeul traiectoriei prădătorului este atins în același timp cu apogeul pradei.
Matematicianul italian Vito Volterra a efectual un studiu statistic al capturii a doua specii de pește din Marea Adriatică și a ajuns la același sistem de ecuații de tip pradă – prădător, ca și Lotka. Volterra a rezumat concluziile sale referitoare la soluțiile și traiectoriile sistemului
sub forma a trei legi. Presupunem că sunt contante pozitive întotdeauna.
Teorema 3.5.1 (Legea ciclului periodic): Fluctuațiile populațiilor pradă și prădător sunt periodice. Perioada depinde de valoarea ratei coeficienților sistemului (1) și condițiile inițiale. Aceasta crește cu o amplitudine corespunzătoare ciclului.
Pentru a găsi o ecuație pentru cicluri vom împărți a doua ecuație a sistemului (1) din prima ecuație și vom obține:
unde am înlocuit temporar pe cu pentru a evita confuzia cu simbolul de la diferențiala . Prin separarea variabilelor ecuației diferențiale (2) obținem:
Integrând fiecare termen al acestei ecuații vom observa că o ecuație pentru traiectoriile din cadranul populației este:
unde este o constantă. Dacă dorim să exprimăm ecuația ce trece prin punctul de coordonate , unde sunt pozitive, atunci îl vom exprima pe după cum urmează:
Sub formă exponențială această ecuație se poate scrie astfel:
unde, am înlocuit pe . Acestă formulă nou obținută definește o curbă închisă simplă (adică un ciclu) pentru fiecare în interiorul cadranului populației ceea ce înseamnă că soluția corespunzătoare a sistemului (1), este într-adevăr periodică, așa cum se poate observa și din Figura 31 a).
Teorema 3.5.2 (Legea mediilor): În sistemul (1), mediile populațiilor prădător și pradă pe perioada unui ciclu sunt c/d și respectiv a/b.
Pentru a vedea de ce este adevărată acestă lege a mediilor, vom presupune că este o doluție neconstantă (variabilă) care definește un ciclu de perioadă T. Populațiile medii pe durata unei perioade sunt definite de
Vom arăta că . Rearanjăm termenii din a doua ecuație a sistemului (1) obținând
Integrăm apoi pe intervalul [0, T] fiecare parte a ecuației de mai sus, împărțim prin T și obținem:
deoarece . Analog se arată că ceea ce arată că legea mediilor este adevărată.
Legea a treia a lui Volterra explică ce se întâmplă când două specii sunt recoltate. Cel mai simplu model este cel al recoltării constante, pentru care cantitatea recoltată pe unitate de timp este proporțională cu populația:
Numerele nenegative și sunt coeficienții de recoltate. Când intervine recoltarea, punct de echilibru apărut în interiorul cadranului populației se schimbă, crește de la către punctul
Se presupune că În caz contrar, recoltarea masivă a prăzii nu lasă suficientă hrană pentru prădător, așadar populația speciilor prădător tinde să dispară.
Conform legii mediilor, media populației din orice ciclu este dată în jurul coordonatelor punctului de echilibru. Deoarece recoltarea determină ca punctul de echilibru să se deplaseze în sus și în stânga poziției inițiale în cadranul populației, recoltarea cauzează creșterea mediei populației pradă dar și scăderea populației prădător.
Teorema 3.5.3 (Legea recoltării): Recoltarea constantă crește media populației pradă și scade numărul mediu de prădători.
În termeni procentuali acestă lege poate fi formulată astfel:
Teorema 3.5.4 (Legea recoltării procentuale): Recoltarea contantă crește procentul prăzii pe ciclu din populația de pește totală și scade procentul prădătorilor pe ciclu.
Dacă coeficienții de recoltare din relația (3) sunt prea mari, punctul intern de echilibru depășește partea pozitivă a axei Oy iar una (sau ambele populații) dispar.
Efectul unei recoltări constante
Voi considera problema cu valori inițiale cu coeficienții de recoltare egali :
Figura 32. Efectele recoltării
Acestă figură arată traiectoriile pentru patru valori diferite ale coeficientului de recoltate:
O descreștere a ratei de recoltare determină o creștere a procentului prădătorului, în timp ce o creștere a ratei de recoltare determină o descreștere a procentajului prădătorului.
Considerăm un model în care populația pradă este suprapopulată. Apetitul prădătorului este saturabil pe măsură ce populația crește. Populația prădător cu apetit saturabil la momentul o vom nota cu iar populația pradă corespunzătoare o vom nota cu . Dinamica sistemului pradă-prădător este descrisă de următorul sistem de ecuații diferențiale:
În acest caz sunt constante nenegative. Parametrul pozitiv k măsoară frecvența saturației prădătorului. Un mic înseamnă că este nevoie de o cantitate mare de pradă până să ajungă la saturație, în schimb ce un mare înseamnă că saturația apare rapid, pe măsură ce cantitatea de pradă crește.
Programul Matlab care rezolvă problema determinată de ecuațiile (4) și condițiile este următorul:
% Modelul de saturatie – sp1.m
clear
global a b c d e f k
disp('Introduceti parametrii modelului:');
a = input ('a = ');
b = input ('b = ');
c = input ('c = ');
d = input ('d = ');
e = input ('e = ');
f = input ('f = ');
k = input ('k = ');
disp('Introduceti datele:');
L = input('Timpul final: ');
y01 = input ('y1(0) = ');
y02 = input ('y2(0) = ');
lw = input('Grosimea liniei: '); % pentru grafic functiei plot
tspan = 0 : 0.01 : L;
[t, y]= ode45('sprhs1', tspan, [y01; y02]);
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r','LineWidth', lw); grid
legend('Pradator', 'Prada', 0);
text(80, 0.65, 'Pradator','FontSize', 16);
text(80, 0.03, 'Prada','FontSize', 16);
Funcția rhs corespunzătoare sistemului este următoarea:
function out1 = sprhs1(t,y)
global a b c d e f k
out1 = [-a*y(1) + b*y(1)*y(2)/(c + k*y(2));(d – e*y(2))*y(2) – f*y(1)*y(2)/(c + k*y(2))];
Figura 33. Distribuția prăzii și a prădătorilor
Pentru a obține o reprezentare în planul vom schimba partea grafică din sp1.m cu:
plot(y(:,1),y(:,2),'*'); grid
axis([0 1 0 1])
xlabel('\bf y_1', 'FontSize',16);
ylabel('\bf y_2', 'FontSize',16);
Figura 34. Reprezentarea prăzii și a prădătorilor în coodonate
Am introdus următoarele condiții inițiale
Figura 35. Condițiile inițiale si parametrii modelului
Aspecte metodice privind Aspecte metodice privind aplicațiile practice
Nu e destul să știi, trebuie să aplici,
Nu e destul să vrei, trebuie să faci. (G. Goethe)
În acest capitol, am prezentat o serie de aspecte metodice privind aplicațiile practice în matematică. Astfel au fost vizate următoarele aspecte: importanța aplicațiilor practice în procesul de învățare, metode de predare-învățare-evaluare, unele direcții privind optimizarea activităților de învățare, principii etice și deontologice, mijloace de învățământ și prezentarea unor softuri educaționale ce pot fi folosite în predare-învățare și evaluare.
Drept surse bibliografice am utilizat
, , ,,,,,,.
Importanța aplicațiilor practice în procesul de învățare
Matematica apare în cele mai diverse științe, de la astronomie, chimie, la medicină prin urmare putem afirma cu convingere că ea constituie fundamentul culturii moderne. Indiferent de domeniul în care activează, omul modern trebuie să dobândească o bună pregătire matematică, pentru a putea face față provocărilor vieții socio-profesionale. Matematica formează o gândire critică și inovatoare, originală și modernă.
Gândirea este definită ca procesul cognitiv al insulei centrale în reflectarea realității care, prin abstractizarea și generalizarea acțiunilor mentale coordonate, extrage și prelucrează informații despre relațiile categorice și determinante sub formă de concepte, judecăți și raționamente.
Pentru a-și extinde înțelegerea fenomenelor care se află în simțurile sale marginalizate, omul folosește, alături de alte modalități de cunoaștere, cunoștințele de matematică. Problemele matematicii sunt strâns legate prin înscrierea lor în practică, dar și prin rezolvarea lor. Cunoștințele matematice au o contribuție specială la dezvoltarea logicii și a creației logice, la dezvoltarea receptivității elevilor. Învățând matematica, se creează o serie de atitudini: să folosească personal și activ, să folosească analogii, să analizeze o problemă și să o descompună în probleme simple, precum și o serie de abilități de matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea pentru a trece de la diferențial la întreg sau invers, plurivalentul gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat.
Matematica este un exercițiu al minții, pregătitor pentru marile probleme ale vieții, ale profesiei, ale carierei.
Aspectele aplicative sunt indispensabile și esențiale în toate domeniile științei. Cele mai multe dintre noțiunile și rezultate matematicii au luat naștere din necesitatea rezolvării unor situații concrete, unele din viața cotidiană, altele din nevoia soluționării unor probleme din domenii științifice înrudite (fizică, chimie, informatică, etc) iar altele fiind impuse de unele aspecte din același domeniu, matematica.
Aplicațiile practice au rolul de a convinge elevii despre utilitatea și indispensabilitatea noțiunilor, proprietăților și metodelor matematice în rezolvarea unor probleme de ordin practic.
La fiecare conținut nou prezentat, elevii ne întâmpină cu întrebarea ”La ce se folosesc toate aceste lucruri?”. Prin urmare, în cadrul fiecarui capitol, profesorul are rolul de a prezenta aplicații sugestive, atractive și convingătoare pentru a crește motivatia elevului.
În clasele mici elevii pot primi exemple din domeniul cotodian, putem aminti aici anumite probleme de măsurare, de determinare a unor termeni necunoscuți dar și de rezolvare de probleme în funcție de interesul acestora. De exemplu,la lecția ”Media aritmetică, media ponderată”, profesorul poate formula aplicații de genul ”Elevul Andrei are la matematică notele 9, 8, 9 și se întreabă ce notă trebuie să ia la teză pentru a avea media 9?” Pentru ca învățarea să se producă ca efect al predării, elevii vor fi motivați să rețină acea formulă,și își pot calcula la tabla, fiecare, după notele pe care le are în acel moment în catalog.
La clasele mai mari aplicațiile pot avea caracter interdisciplinar. O gamă foarte largă de aplicații o are analiza matematică în algebră (în rezolvarea ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații), în geometrie (calculul ariilor unor suprafețe, lungimilor unor curbe, volumele unor corpuri de rotație, panta tangentei la curbă, etc) și chiar în analiză prin studiul variației funcțiilor, determinarea punctelor de extrem, trasarea graficului unei funcții, calculul limitelor, etc.
Aplicațiile practice reprezintă o activitate didactică de dezvoltare a deprinderilor și priceperilor la elevi, fiind o activitate creatoare, care valorifică cunoștințele teoretice și transformă cunoștințele fundamentale în cele funcționale. Practica educațională ne demonstrează că lecțiile – aplicație practică în procesul instructiv-educativ dobândesc funcții psihopedagogice semnificative, asigurând participarea activă a elevilor, sporind interesul de cunoaștere față de conținuturile care li se propun spre însușire. În sistemul educațional la matematică aplicațiile practice au următoarele funcții:
Cognitivă – elevii își extind cunoștințele și priceperile, fiind îndrumați de profesor să observe, să compare, să generalizeze informația recepționată.
De sistematizare a cunoștințelor – cunoștințele teoretice achiziționate sunt sistematizate pentru a rezolva exerciții, probleme, a deduce cauze, a face unele concluzii.
De integrare – are loc integrarea noilor cunoștințe în arhitectura activității mintale proprii. De perfecționare a comunicării – elevii comunică colegilor rezultatele obținute în urma unor
investigații.
Demonstrativă – demonstrează rezultatul studiului de caz, prin reprezentări grafice.
Formativă – de formare și dezvoltare a priceperilor și deprinderilor.
Se cunoaște faptul că mulți elevi au un semtiment de teamă sau chiar repulsie față de matematică datorită caracterului său abstract dar și datorită elementelor pierdute sau neînțelese din materia predată în clasele precedente. În acest caz, rolul profesorului este și de a recupera elementele pierdute dar și de a schimba atitudinea elevilor față de această disciplină.
În concluzie, elevii trebuie să fie atrași și motivați prin aplicații specifice domeniului lor de interes dar și încurajați în a descoperi noțiunile și rezultatele căutate punând în evidență în principal doar ceea ce a reușit să asimileze și nu micile lor erori
Metode de predare/învățare
Profesorul are misiunea deosebită de a forma, de a ”șlefui” tinere personalități, dar și de a asigura pregătirea profesională a acestora. Prin urmare profesorului îi revine sarcina de a crea toate condițiile necesare necesare schimbării de comportament și atitudini, pentru dobândirea de cunoștințe pe baza unei activități centrate pe elev. Pentru a face cât mai atrăgătoare și eficiente orele de predare, profesorul poate folosi metode și tehnici interactive ce ajută elevii să realizeze judecăți de valoare și îi sprijina în întelegerea conținuturilor.
Metodele de predare – învățare servesc unor scopuri de cunoaștere,de instruire (asimilarea unor cunoștințe, priceperi, deprinderi și operații de lucru) și formative (de formare și perfecționare a trăsăturilor de personalitate).
Clasificarea metodele de învățământ, din literatura de specialitate, este realizată după următoarele criterii, astfel:
din punct de vedere istoric:
metode clasice sau tradiționale:expunerea, conversaâia, exercițiul, demonstrația;
metode moderne (de dată mai recentă): problematizarea, expunerea însoțită de mijloace tehnice, modelarea, algoritmizarea, instruirea programată;
după gradul de angajare a elevilor la lecție:
metode expozitive sau pasive, pun accent pe memoria reproductivă și ascultarea pasivă;
metode activ-participative, favorizează activitatea de explorare personală și interacțiunea cu ceilalți colegi;
în funcție de modalitatea principală de prezentare a cunoștințelor:
metode verbale, bazate pe cuvântul scris sau rostit;
metode intuitive, bazate pe observarea directă, concret-senzorială a obiectelor și fenomenelor, a realității sau a substitutelor acestora.
sau
metode de comunicare orală:
a1) metode expozitive: povestirea, expunerea, prelegerea, explicația, descrierea
a2) metode interogative : conversația euristică;
a3) metode care presupun discuții și dezbateri: problematizarea, brainstorming- ul
metode bazate pe contactul cu realitatea: demonstrația, modelarea, experimentul.
după forma de organizare a muncii:
metode individuale, adresate fiecărui elev în parte;
metode de predare – învățare în grupuri de elevi (omogene sau eterogene)
metode frontale, aplicate în activitățile cu întregul efectiv al clasei,
metode combinate, alternări/îmbinări între variantele de mai sus.
după funcția didactică principală:
metode de predare și comunicare;
metode de fixare și consolidare;
metode de verificare și apreciere a rezultatelor activității școlare.
în funcție de axa învățare prin receptare (învățare mecanică) – învățare prin descoperire (învățare conștientă):
metode bazate pe învățarea prin receptare: expunerea, demonstrația cu caracter expozitiv;
metode bazate preponderant pe descoperirea dirijată: conversația euristică, observația dirijată, instruirea programată, studiul de caz etc.;
metode de descoperire propriu-zisă: observarea independentă, exercițiul euristic, rezolvarea de probleme, brainstorming-ul, etc.
Metodele clasice (tradiționale) sunt centrate pe profesor, acesta reprezentând singura sursă de informare pentru elev. Comunicarea utilizată în aplicarea acestor metode este unidirecțională cu rol doar de transmitere de cunoștințe.
Evaluarea clasică se realizează prin reproducerea cunoștințelor parcurse.
Modul de organizare a lecțiilor desfășurate doar prin metodele clasice determină o stare de pasivitate a elevilor, influențată de autoritatea cadrului didactic.
Cel mai important aspect al instruirii active îl constituie faptul că elevii devin coparticipanți la propria lor instruire și educare. Astfel sunt îndeplinite cerințe psihopedagogice ale activizării ca:
pregătirea psihologică pentru învățare;
asigurarea unui limbaj comun între educator și educat;
prevenirea și reducerea influențelor negative ale diferitelor surse perturbatorii;
utilizarea unor activități eficiente de activizare.
Prin utilizarea metodelor de predare –învățare este stimulată învățarea și dezvoltarea personală, favorizând schimbul de idei, de experiențe și cunoștințe, asigură o participare activă, promovează interacțiunea, conducând la o învățare activă cu rezultate evidente.
Acest mod de predare transformă elevul într-un actor, participant activ în procesul învățării, pregătit să-și însușească cunoștințele prin efort propriu, mobilizându-l în raport cu sarcinile de învățare date. Elevul se identifică cu situația de învățare în care este antrenat, fiind parte activă a propriei transformări și formări generată de cunoaștere.
Pentru o utilizare eficientă a acestor metode, în practica didactică, este necesară cunoașterea teoretică, o minimă experiență în utilizarea acestor metode și integrarea corespunzătoare în proiectul didactic, în interrelație cu metodele tradiționale.
Practica didactică bazată pe metode interactive presupune:
responsabilitate colectivă și individuală;
interacțiuni verbale și socio-afective nemijlocite între elevi, cu ajutorul cărora se dezvoltă competențe intelectuale și sociale transferabile în diferite contexte formale și informale;
atitudine deschisă, activă bazată pe inițiativă personală;
învățare prin colaborare cu ceilalți colegi;
angajarea intensivă a elevilor în realizarea sarcinilor – chiar dacă în cazul unora dintre ei nu se produce la primele experiențe de acest gen;
valorizarea schimburilor intelectuale și verbale, mizând pe o logică a învățăturii care ține cont de opiniile elevilor.
Un profesor care utilizează metodele interactive trebuie să fie:
un sfătuitor, ce își motivează elevii să își prezinte propriul punct de vedere și care îi ajută în rezolvarea problemelor;
un animator, care inițiază metodele, pregătește materialele didactice, prezintă scopurile învățării și le explică elevilor;
un observator și un ascultător, care observă elevii în timpul activității și îi poate aprecia corect;
un participant la învățare, care nu are impresia că este perfect și învață pe tot parcursul vieții;
un partener – care poate modifica „scenariul” lecției, dacă clasa cere acest lucru.
Prin utilizarea metodelor interactive și prin”rolul” său în timpul lecției, profesorul:
– crează deprinderi;
– facilitează învățarea într-un ritm propriu;
– stimulează cooperarea, nu competiția.
Din aceste motive profesorul și elevii sunt responsabili de rezultatele muncii în comun.
Metodele de predare- învățare interactive reprezintă o abordare care presupune un stil de învățare activ și integrarea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de învățare al elevului.
În funcție de valențele formative ce le urmărește profesorul prin aplicarea lor la ore, metodele de predare – învățare interactive se clasifică în 2 mari categorii:
Metode cu valențe creatoare (formative): Brainstormingul, Ciorchinele, Turul galeriei, Metoda Phillips 6/6 sau 6-3-6, Dezbaterea panel,”Debate”, Jocul de rol.
Metode cu valențe activizatoare: Metoda cadranelor, Știu/Vreau să știu/ Am învățat,
Mozaicul, Discuția, Cubul, Problematizarea, Studiul de caz, Experimentul, Organizatorii grafici- de tip comparativ (Diagramele Venn), de tip descriere (Ciorchinele), de tip secvențial, de tip cauză – efect, de tip problemă – soluție.
În cadrul fiecărei lecții de matematică sunt folosite mai multe metode, de regulă se îmbină metodele tradiționale cu cele moderne și se alternează cu metodele active de învățare.
Voi descrie pe scurt câteva dintre metodele cel mai des folosite la orele mele.
IV.2.1 Expunerea sistematică a cunoștințelor
Este o metodă care se prezintă în mai multe variante: povestirea, prelegerea și explicația,
aceasta din urmă fiind cel mai des întălnită. Povestirea este mai puțin folosită, chiar și în clasele
mici. Pentru clasele de liceu și numai la anumite teme se poate folosi prelegerea.
Povestirea constă în descrierea unor fapte, evenimente, intâmplări sau personaje. Prin
povestire, la matematică se transmit date istorice legate de studiul unei discipline noi (de exemplu
analiza matematică la clasa a XI-a) sau în prima lecție din cadrul unei unități de învățare, se prezintă importanța temei respective dar și anumite date despre autorii descoperirilor teoriei matematice respective.
Prelegerea constă în prezentarea de către profesor a unui conținut matematic în mod neîntrerupt. Se prezintă definiții, proprietăți, teoreme, demonstrații, algoritmi fără ca elevului să i se adreseze o întrebare. Totuși această metodă se folosesște mai rar eventual, la clasele terminale de liceu, când elevii au o mai mare putere de concentrare și de păstrare a atenției spre un obiect.
Explicația constă în transmiterea unor cunoștințe într-un timp relativ scurt de către profesor, în situații când elevul pe baza cunoștințelor anterior însușite, nu le poate descoperi singur. Este o
metodă foarte des întâlnită în predarea matematicii. Profesorul expune logic și argumentat modul
lui de gândire iar elevii îl urmăresc căutând să-l înțeleagă.
Pentru a mări eficiența explicației, este necesar ca profesorul să prezinte conținutul la nivelul de întelegere al elevilor, modul de expunere să fie clar și cu anumite cauze și, de asemenea profesorul trebuie să controleze dacă este urmărit elevi, observând mimica lor, să uzeze de întrebări, repetiții și explicații suplimentare.
Explicația trebuie să dezvolte la elevi imaginația, ea trebuie să fie clară și convingătoare.
Metoda explicației se poate aplica la introducerea noțiunilor (de exemplu: ecuații, structuri algebrice, determinanți, logaritmi, derivate etc.), la descrierea unor algoritmi (de exemplu: împărțirea polinoamelor, Schema lui Horner, de determinare a extremelor locale etc.), raționamente (de exemplu: metoda reducerii la absurd etc.), metode de construcții grafice, efectuarea de desene la geometrie (de exemplu: cum se folosesc instrumentele geometrice la construcția perpendicularei dintr-un punct și dintr-un punct pe o dreaptă, realizarea desenelor la geometria în spațiu etc.)
IV.2.2 Metoda conversației
Metoda conversației constă în dialogul între profesor și elev și se bazează pe întrebări și răspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adresează întrebările elevilor dar și răspunde la
întrebările acestora. Această metodă stimulează gândirea elevilor în vederea însușirii de cunoștințe
noi fixarea, sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor asimilate anterior. Conversația ajută la formarea raționamentului matematic la elevi, la realizarea obiectivelor formative ale învățării
matematice.
Există mai multe clasificări ale conversației, respectiv:
1) După numărul de indivizi cărora li se adresează intrebarea conversația este:
-individuală (între profesor și un singur elev);
-frontală (întrebările se adresează întregii clase, iar răspunsurile vin de la elevi diferiți).
2) După momentul în lecție conversația este :
-introductivă (folosită în momentele captării atenției și reactualizării cunoștințelor
anterioare);
-folosită în scopul transmiterii de cunoștințe noi (desfășurată în evenimentul de dirijare a
învățării);
-folosită pentru fixarea noilor cunoștințe
-folosită pentru recapitulare
-folosită pentru procesul evaluării cunoștințelor elevilor.
3) După tipul de raționament efectuat de elev când dă răspunsul, conversația este:
-euristică (când întrebările se adresează gândirii și o dirijează spre efectuarea de
raționamente, judecăți);
-catehetică (când întrebările se adresează memoriei iar răspunsurile sunt reproduceri de
definiții, formule, reguli)
În cadrul conversației este foarte important ca întrebările pe care le formulăm să fie precise,
să nu fie vagi, să vizeze un singur răspuns și să nu conțină răspunsul, să nu ceară răspunsul prin
”da” sau ”nu”, să contribuie la dezvoltarea gândirii, adică sa fie instructive.
Metoda conversației determină dezvoltarea limbajului. Exprimarea matematică se realizează prin limbajul natural, terminologie matematică și simbolistică scrisă sau desenată.
O importanță deosebită se va acorda limbajului matematic cu care se abordează conversația, realizând unitatea lecției dar netrecând peste o idee fără să o contureze bine.
Atenție se acordă atât limbajului oral cât și celui scris. Când răspunsurile sunt greșite vor fi
corectate imediat prin discuții mai ample din care profesorul va deduce și cauza greșelii.
IV.2.3 Demonstrația matematică
Demonstrația matematică este o metodă de predare-învățare specifică matematicii și apare ca oformă a demonstrației logice care constă într-un șir de raționamente prin care se verifică un anumit adevăr, exprimat prin propoziții.
Demonstrația matematică este metoda specifică de justificare a teoremelor și constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea mai logic. În orice demonstrație ne putem baza numai pe axiome sau/și teoreme demonstrate anterior. Nu este admis
să fie utilizate propoziții/proprietăți care încă nu au fost demonstrate, acestea din urmă putându-se
baza la rândul lor chiar pe teorema de demonstrat.
Demonstrațiile pot fi: demonstrație prin analiza și sinteză, demonstrație prin metoda reducerii la absurd și demonstrație prin metoda inducției matematice.
Demonstrația matematică prin analiză și sinteză
Demonstrația în care se pornește de la propoziții generale spre propoziții particulare se numește demonstrație analitică. În acest tip de demonstrație se pornește de la ceea ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adevărat. Propoziția ce trebuie dovedită ca adevărată se înlocuiește pe rând cu propoziții echivalente cu ea. Acest șir de propoziți se termină cu o propoziție despre care se cunoaște că este adevărată. Gândirea elevului este dirijată pentru a răspunde la întrebarea ”ce trebuie să știu pentru a dovedi că…? ”
Demonstrația în care se pornește de la propoziții particulare spre propoziții generale se numește demonstrație sintetică. În acest tip de demonstrație se pornește de la o propoziție care este cunoscută ca fiind adevărată, din ea se deduc propoziții care de asemenea știm că sunt adevărate și ultima este ceea ce trebuia să demonstrăm. Raționamentele sunt legate prin aplicații adevărate. Gândirea elevului este dirijată pentru a răspunde la întrebarea: ” Dacă știu… ce pot să aflu ?”.
În general se folosesc metode combinate – analitică și sintetică – pentru demonstrarea diverselor propoziții matematice.
Demonstrația matematică prin metoda reducerii la absurd
Metoda reducerii la absurd constă în demonstrarea propoziției contrară reciprocei (nonB→nonA), care are aceeași valoare de adevăr cu propoziția directă.
Raționamentul metodei constă în următorii pași:
-se neagă concluzia propoziției de demonstrat;
-se efectuează, pornind de la ipoteza propoziției și ipoteza contrarei reciprocei, A nonB, un șir de raționamente corecte;
-în urma acestor raționamente corecte ajungem la o propoziție care este falsă (ajungem la o
contradicție).
Demonstrația prin metoda inducției matematice
Metoda de raționament prin care se realizează trecerea de la propoziții particulare la
propoziții generale se numește inducție. Dacă o propoziție care se referă la o mulțime infinită de elemente este adevărată în unele cazuri particulare, atunci, pentru demonstrația sa, se poate utiliza o metodă specială de raționament numită metoda inducției matematice.
La baza acestei metode stă principiul inducției matematice care se enunță astfel :
” Dacă o propoziție P(n) (care depinde de un număr natural, n) este adevărată pentru și, din faptul că este adevărată pentru , rezultă că este adevărată pentru numărul natural n=k+1, atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice număr natural
.”
Distingem doua etape în demonstrația faptului că propoziția P(n) este adevărată pentru
orice utilizând inducția matematică:
(I) Etapa de verificare:
Se demonstrează teorema 1 este adevărată.
(II) Etapa de demonstrație
Se demonstrează teorema 2: Dacă P(k) este adevărată pentru un arbitrar, atunci P(k+1) este adevărată.
Metoda demonstrației prin inducție matematică se aplică tuturor propozițiilor matematice ce depind de un număr natural. Cu această metodă dezvoltăm la elevi aptitudini necesare abordării inductive și deductive. Demonstrația matematică este o metodă ce implică multe procedee, tehnici de învățare și domină întreaga activitate matematică.
Voi prezenta un exemplu pentru a ilustra metoda demonstrației.
Demonstrați inegalitatea (Inegalitatea lui Bernoulli)
Rezolvare:
Considerăm funcția .
Calculăm derivata întâi și rezolvăm ecuația și obținem:
știind că și atunci avem că .
. Realizăm tabelul de semn pentru această funcție.
Din tabel se observă că funcția admite minim deci , adică .
IV.2.4 Metoda exercițiului
Exercițiul presupune efectuarea conștientă și repetată a unor operații sau acțiuni mintale sau
motrice în vederea formării de priceperi și deprinderi pentru dezvoltarea unor capacități intelectuale și toate acestea în scopul învățării matematicii. Putem spune că în orice lecție de matematică rezolvăm exerciții, ca operații mintale, respectiv în toate momentele lecției. De exemplu în cadrul evenimentului de reactualizare exercițiile efectuate ușurează învățarea noilor cunoștințe. În evenimentul de prezentare a noului material, determină descoperirea de către elev de noțiuni, proprietăți, algoritmi noi.
Prin metoda exercițiului se urmărește, în primul rând, să se dea modele de rezolvări care
ulterior să-l determine pe elev să rezolve atât exerciții de tipurile prezentate cât și descoperirea de
noi metode sau algoritmi.
Exercițiile pot fi :
Exerciții de recunoaștere a unor noțiuni, proprietăți, figuri geometrice, formule etc.
Exerciții de aplicare imediată a unor formule sau algoritmi care se propun pentru asigurarea conexiunii inverse, în scopul formării de priceperi și deprinderi. Rolul acestor exerciții constă în exemplificarea unor formule și/sau a unor reguli, algoritmi.
Exerciții grafice, în cadrul cărora se folosește figurarea datelor unor teoreme sau probleme
având același aport intelectual.
Exerciții de autoinstruire, prin care se urmărește însușirea de cunoștințe noi pornind de
la cele dobândite anterior.
Exerciții de calcul mintal, care își lărgesc aplicabilitatea în toate domeniile ușurând
formarea deprinderilor și însușirea cunoștințelor. Calculul mintal este o adevărată gimnastică a minții.
– Exerciții comentate, prin care se poate începe orice muncă independentă a elevilor.
Aceste exerciții comentate se pot găsi în culegeri, dar esențiale sunt exercițiile rezolvate în clasă ca model pentru cele propuse. Formele de organizare a activității bazate pe metoda exercițiului sunt variate. De exemplu se poate lucra independent (individual sau pe grupe cu fișe de exerciții) sau frontal (cu clasa). În cadrul muncii independente exercițiile pot fi diferențiate sau nu.
În cazul activității frontale un elev este la tablă iar cei din bancă pot lucra independent și să
compare numai rezultatele parțiale sau rezultatul final. Se poate impune același ritm întregii clase
dacă un elev dictează cu voce tare unele dintre operațiile ce le efectuează iar alt elev continuă.
În general, în predarea-învățarea matematicii, nu există lecție în care să nu se aplice metoda exercițiului.
În continuare voi prezenta pe scurt câteva metode de învățare activă.
IV.2.5 Brainstorming
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile. O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:
– deschiderea sesiunii de brainstorming în care se prezintă scopul acesteia și se discută
tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate;
– perioada de acomodare durează 5-10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în atmosfera brainstormingului, unde participanții sunt stimulați să discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior;
– partea creativă a brainstormingului are o durată de 25-30 de minute. Este recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas, să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai acorde câte 3-4 minute în plus. În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie stimulați să-și spună părerile fără ocolișuri.
– la sfârșitul părții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse.
– pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s-au pliat cel mai bine pe conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare a procesului în sine. Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică.
Sunt recomandate 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, acceptați toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina progresul în învățare al elevilor este necesar să îi antrenați în schimbul de idei; faceți asta astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
Exemplu de aplicare a metodei brainstorming în rezolvarea unui exercițiu.
Etape:
Alegerea sarcinii de lucru
Se consideră funcția .
a)Precizați domeniul de definiție al funcției.
b) Calculați .
c) Determinați ecuația tangentei în punctul .
d) Precizați intervalele de monotonie și de convexitate.
e)Reprezentați grafic funcția
Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea exercițiului. Sub nici un motiv, nu se vor admite referiri critice.
Cereți elevilor să propună strategii de rezolvare a exercițiului. Pot apărea, de exemplu, sugestii legate de rezolvarea subpunctelor în altă ordine, sau trasarea graficului punctual (alegând cât mai multe puncte ce se află pe grafic). Se lasă elevii să propună orice metodă le trece prin minte!
Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă). Anunțarea unei pauze pentru așezarea
ideilor (de la 15 minute până la o zi).
Se notează toate propunerile elevilor. La sfârșitul orei, elevii vor transcrie toate aceste idei și li se va cere ca pe timpul pauzei, să mai reflecteze asupra lor.
Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.
Pentru problema analizată, cuvintele-cheie ar putea fi: proprietăți ale fucțiilor derivabile, derivate raportului, ecuația unei drepte, etc.
Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior.
Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru exercițiul supus atenției.
Se pun întrebări de tipul: Am putea rezolva exercițiul făra a ne folosi de rezolvarea unor
subpuncte anterioare? Au întrebările exercițiului legătură între ele? Ce e cel mai ușor de rezolvat?
Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, schițe, grafice, etc.
Ca urmare a discuțiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a exercițiului
IV.2.6 Metoda mozaicului (Metoda Jigsaw)
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (team-learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.
Există mai multe variante ale metodei mozaic iar noi vom prezenta varianta standard a acestei metode care se realizează în cinci etape.
1. Pregătirea materialului de studiu
Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional, poate stabili pentru fiecare sub-temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul,atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.
Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub-teme propuse și care va fi oferită fiecărui grup.
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă).
Fiecare elev din echipă, primește un număr de la 1 la 4-5 și are ca sarcină să studieze în mod independent, sub-tema corespunzătoare numărului său.
El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu numărul 1 din toate echipele de învățare formate vor aprofunda sub-tema cu numărul 1. Cei cu numărul 2 vor studia sub-tema cu numărul 2, și așa mai departe.
Faza independentă: fiecare elev studiază sub-tema lui, citește textul corespunzător. Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu acelați număr se reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu numărul 1 părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub-tema cu numărul 1. La fel procedează și ceilalți elevi cu numerele 2, 3, 4 sau 5. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.
Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au
studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlați membrii din echipa inițială. Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă de învățare.
Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.
Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audiovizuale, diverse materiale.
Specialiștii într-o sub-temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să pună întrebări și să-și noteze, fiecare realizându-și propriul plan de idei.
5. Evaluarea
Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.
Ca toate celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:
stimularea încrederii în sine a elevilor;
dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;
dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;
dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva
Exemplu: Proprietățile funcțiilor derivabile
Clasa este împărțită în 4 grupe. Fiecare grupa primește câte un material teoretic și câte o fișă de sarcini în care se aplică materialul teoretic primit, după cum urmează:
prima echipă primește Teorema lui Fermat
a doua echipă primește Teorema lui Rolle și Șirul lui Rolle
a treia echipă primește Teorema lui Lagrange
a patra echipă primește Consecințe ale teoremei lui Lagrange
De exemplu fișa de sarcini poate avea următoarea structură:
Pentru prima ehipă putem avea următoarele sarcini de lucru:
Definiți punctele de extrem ale unei funcții și enunțați teorema lui Fermat
Prezentați câteva exemple și justificați necesitatea îndeplinirii stricte a tuturor ipotezelor teoremei lui Fermat
Prezentați un contraexemplu pentru a demonstra că reciproca teoremei este falsă
Alegeți din fișa de exerciții acele probleme care se pot rezolva folosind Teorema lui Fermat.
Fiecare echipă trebuie sa studieze materialul primit și să rezolve fișa primită, și așa formează grupa de experți.
Fiecărui grup nou format i se atribuie o fișă de probleme adecvată temei și aspectelor urmărite.
IV.2.7 Metoda cubului
Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.
Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului.
Descrie: culorile, formele, mărimile, etc.
Compară: ce este asemănător? Ce este diferit?
Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune.
Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești?
Aplică: ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
Argumentează: pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
Argumentează: pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Această metodă este o metodă de predare-învățare ce valorifică resursele elevilor de participare conștientă la descoperirea noțiunilor și a relațiilor dintre acestea, fiind o metodă consacrată dezvoltării gândirii critice.
IV.2.8 Turul galeriei
Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între elevi, care sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme. Această metodă presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi. Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învățare) susceptibilă de a avea mai multe soluții (mai multe perspective de abordare).
2. Produsele muncii grupului se materializează într-o schemă, diagramă, inventar de idei etc. notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într-o veritabilă galerie.
4. La semnalul profesorului, grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina soluțiile propuse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt scrise pe posterul analizat.
5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziția inițială, înainte de plecare) fiecare echipă își reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile și comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Turul galeriei se folosește cu succes împreună cu metoda cubului.
IV.2.9 Ciorchinele
Deși este o variantă mai simplă a brainstorming-ului, ciorchinele este o metodă care
presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, ce poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind
modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut. și reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de
hârtie.
2. Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage
linii între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp
acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul
alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul
ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
În concluzie, acestă metodă este o tehnică flexibilă, putând fi realizată atât în perechi cât și individual sau ca activitate de grup. Folosit în grup, el poate servi drept cadru pentru ideile grupului, ceea ce oferă fiecărui participant ocazia de a afla asociațiile și relațiile logice stabilite de ceilalți.
Exemplu: La clasa a XI-a la Studiul unei funcții reale se obține următorul ciorchine.
Metode de evaluare
Alături de predare și învățare, evaluarea este o componentă esențială a procesului de învățământ care furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia.
Evaluarea pedagogică reprezintă o acțiune proprie sistemelor socio-umane, care solicită raportarea rezultatelor obținute, într-o anumită activitate, la un ansamblu de criterii specifice domeniului în vederea luării unor decizii optime. Evaluarea îndeplinește deopotrivă funcții sociale și pedagogice.
Analiza rezultatelor școlare oferă societății posibilitatea să se pronunțe asupra învățământului ca subsistem, să confirme sau să infirme acumularea de către cei instruiți a cunoștințelor și abilităților necesare unei activități social-utile.
Din punct de vedere pedagogic evaluarea oferă informații referitoare la relațiile dintre componentele interne ale procesului educațional, în special a celor dintre profesor și elev.
Funcțiile învățării sunt următoarele:
1. Asigurarea feed-backului în procesul de instruire
Procesul de învățământ integrează două activități: actul transmiterii sau comunicării de informație, actul receptării și însușirii acesteia. Profesorul trebuie să-și dea seama despre rezultatele activității de predare, să obțină informații despre modul de receptare a datelor oferite, despre dificultăți și lacune în asimilare. O asemenea informație feed-back trebuie să aibă un caracter sistematic și continuu pentru a închide ciclul predării și al învățării.Pe de altă parte elevul are nevoie de validarea corectitudinii noțiunilor și raționamentelor însușite, de corectarea greșelilor.
2. Măsură a progresiei învățării
Echivalența evaluare-măsurare pune în lumină o funcție importantă a verificării și notării,
măsurarea randamentului școlar, a progresului realizat pentru a ști cât mai corect unde se situează
aceștia pe firul obiectivelor instruirii.
3. Funcția motivațională a evaluării
Valorificarea/ascultarea ritmică face pe elev să învețe cu regularitate, între frecvența ascultării la lecție și reușita școlară există o corelație directă pentru că nu ne putem aștepta ca un elev să fie mereu conștiincios și să învețe sistematic și cu regularitate dacă nu este evaluat în mod constant.
4. Moment al autoevaluării, al formării conștiinței de sine
Aprecierea obținută în școală este asimilată, interiorizată de elev, devenind reper în autoapreciere, în formarea imaginii de sine. Notele școlare reprezintă de regulă, și note de inteligență; disocierea dintre acestea în ochii elevilor se produce abia în clasele mari. Pe de altă parte, aprecierea profesorului este însușită de grupul-clasă, se resfrânge în sfera relațiilor interpersonale, în statutul sociometric al elevului.
5. Funcția de reglare
Datele verificării și evaluării constituie un factor de reglare a activității de predare-învățare:
pentru profesor: cum să-și dozeze materialul, ce trebuie reluat în pași mai mici, evidența
surselor de eroare, etc.;
pentru elevi: indiciu în reglarea efortului de învățare (un reper în dozarea investiției în timp
în viitor, ”semnal de alarmă” pentru promovare etc.); grație evaluării, elevul ia act de cerințele societății față de pregătirea sa și își conturează aspirațiile proprii;
pentru părinți: o bază de predicție sau garanție a reușitei în viitor, indiciu pentru acordarea
de sprijin. Presiunea familiei împinge uneori la supramotivare, în timp ce teama de eșec a copilului îl face să aspire la ”mai puțin”, deci presiunea spre ”mai mult” are drept effect aspirația spre ”mai puțin”, pentru a evita decepția.
IV.3.1 Metode și procedee în evaluarea continuă
A. Observarea și aprecierea verbală
Constă în urmărirea modului în care elevii participă la asimilarea cunoștințelor, la îndeplinirea sarcinilor și responsabilităților cu care sunt investiți. Profesorul face aprecieri verbale asupra modului cum elevii operează cu cunoștințele însușite anterior, cum ele sunt transferate și folosite în condiții noi ale procesului de învățare. Este o metodă pe care o folosesc la fiecare intervenție a elevului. Eu consider că elevii devin motivați să învețe mai mult și e cea mai rapidă formă de evaluare.
B. Chestionarea orală
Este o formă particulară a conservației prin care se verifică gradul de însușire a cunoștințelor și deprinderilor, priceperea de a prelucra datele, stăpânirea operativă a materialului în cadrul aplicațiilor practice. Are avantajul că permite o verificare directă pe fondul unei comunicări totale.
Exigențe deosebite trebuie să avem față de răspunsul elevilor. Chestionarea orală poate fi curentă sau finală.
Chestionarea curentă se desfășoară frontal sau individual cu precădere în timpul lecțiilor.
Chestionarea finală se folosește în ore special destinate acestui scop, la sfârșit de capitol, semestru,an școlar.
C. Lucrările scrise
Permit verificarea randamentului unui număr mare de elevi, într-un timp relativ scurt. Ele acoperă o arie mai vastă de cunoștințe. Dintre formele mai răspândite amintim: lucrările scrise curente și lucrările scrise semestriale.
D. Verificare prin lucrări practice
Este vorba de probele practice folosite în vederea verificării și evaluării capacității elevilor de a aplica cunoștințele în practică, cât și a priceperilor și deprinderilor formate anterior.
E. Verificarea prin proiecte
Permite identificarea unor elemente de performanță individuală a elevilor.
F. Testele docimologice
Conțin seturi de itemi care verifică și evaluează nivelul asimilării cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele prin raportarea răspunsurilor la o scară de apreciere etalon.
IV.3.2 Tipuri de teste în sistem de examen
Testul este un instrument metodologic de evaluare scrisă a unei relații măsurabile: aptitudini, abilități, atitudini, informații etc. Prin test se măsoară progresele sau dificultățile din activitatea de învățare, cantitatea și calitatea cunoștințelor sau capacităților cerute de programa școlară.
Principalele tipuri de teste utilizate în situații de examen sunt:
a) după obiectivul aplicat prioritar avem:
Testele de sondaj inițial (pretest) sunt aplicate la începutul semestrului, anului școlar, sau la
început de ciclu școlar și au ca scop verificarea gradului însușire a materiei din anii anteriori și identificarea lacunelor.
Testele de achiziții (de progres, diagnostic, formativ) se aplică după parcurgerea unor teme
sau capitole și indică eficiența procesului de predare și învățare, progresul realizat de elevi, identifică lacunele și erorile.
Testele de progres (randament) își propun să pună în evidență ceea ce elevul și-a însușit
dintr-o programă dată.
Testele de progres pot fi:
-normative – în care performanțele elevului sunt evaluate în raport cu cele ale unui grup de referință
-criteriale – în care performanțele elevului sunt apreciate în raport cu un criteriu, reprezentat de cerințele programei transpuse în obiective operaționale.
Testele diagnostice sunt cele proiectate în mod special pentru a pune în evidență lacunele și
greșelile elevilor. Pe baza rezultatelor obținute nu se poate face o clasificare a elevilor.
Testele de sinteză (sumative) se aplică la sfârșitul unui capitol sau la sfârșitul anului școlar
după parcurgerea temelor de sinteză. Au ca scop notarea și ierarhizarea elevilor.
b) după scopul testării avem:
Testele de diagnoză care se folosesc pentru evaluarea cantității și calității cunoștințelor la un anumit moment.
Testele de prognoză, în funcție de competențele și capacitățile evidențiate prin testare, se folosesc pentru orientarea elevilor spre anumite domenii.
Testele de plasament se folosesc pentru repartizarea elevilor în grupe cu niveluri relativ omogene, pentru a adopta strategii de predare și învățare.
Testele de cuantificare se folosesc pentru acordarea de calificative sau note.
Testele de ierarhizare sunt folosite la examene sau concursuri și au ca scop ierarhizarea sau
selecția candidaților.
IV.3.3 Calitățile instrumentelor de evaluare
Principalele calități ale unui instrument de evaluare sunt: validitatea, fidelitatea, obiectivitatea, aplicabilitatea.
Validitatea se definește ca fiind calitatea unui test și măsoară ceea ce și-a propus să măsoare.
Fidelitatea este calitatea unui test de a da rezultate constante în urma aplicării sale repetate. Un test cu grad ridicat de fidelitate, aplicat în condiții identice, aceluiași grup de elevi, dar în diferite ocazii trebuie să conducă la obținerea aproximativ a acelorași rezultate.
Pentru estimarea fidelității se folosesc următoarele metode:
-metoda test-retest
-metoda formelor echivalente
– metoda test-retest cu forme echivalente
-metoda înjumătățirii
Obiectivitatea este gradul de concordanță între aprecierile făcute de evaluatori independenți referitor la un răspuns ”bun” pentru fiecare din itemii unui test.
Aplicabilitatea este calitatea unui test de a fi administrat și interpretat cu ușurință. Criteriile de selecție pentru un test cu aplicabilitate bună sunt:
-concordanța între conținut și nivelul de vârstă al elevilor
-importanța informației vizate
-costul și timpul cerut pentru administrare
-obiectivitatea în cotarea și interpretarea rezultatului.
IV.3.4 Metode și tehnici de măsurare și evaluare
A. Itemi obiectivi
A.1. Itemi cu alegere duală sunt acele sarcini care probează capacitatea elevului de a identifica valoarea de adevăr a unei afirmații, obiectivitatea ei sau raportul ”cauză-efect” dintre două afirmații.
Itemul solicită elevului să asocieze unul sau mai multe enunțuri cu una dintre componentele
unor cupluri de alternative duale: adevărat-fals, da-nu, corect-greșit, acord-dezacord, enunț factual,
enunț de opinie etc.
Domenii de utilizare:
a) Cunoașterea unor termeni, date factuale sau principii
b) Capacitatea de a diferenția enunțurile factuale de cele de opinie
c) Capacitatea de a identifica relații de tip cauză efect
Cerințe pentru construirea itemilor cu alegere duală:
-se va include un număr inegal de premise și răspunsuri, iar elevii să fie instruiți ca fiecare răspuns să poată fi folosit o dată, de mai multe ori sau niciodată
-limbajul și terminologia folosite să fie adecvate grupei de vârstă a elevilor
-enunțurile să nu fie prea lungi și complexe
-să nu folosim enunțuri nerelevante din punt de vedere educațional
-să nu folosim enunțuri cu structuri ambigue, dificil de înțeles
-să nu folosim enunțuri cu caracter foarte general, când se solicită aprecierea lor drept adevărate sau false
-să nu introducem mai multe idei într-un enunț (excepție: itemii ”cauză-efect”)
-să nu furnizăm în enunț indicii care să faciliteze ”ghicirea” soluției
-se va evita utilizarea enunțurilor negative și în special folosirea dublei negații
Avantaje:
-măsoară într-un timp relativ scurt un volum semnificativ de rezultate ale învâțării
-se construiesc rapid și sunt ușor de cuantificat
-prezintă o fidelitate mare.
Limite:
-dificultatea de a găsi un material omogen semnificativ pentru obiectivele și rezultatele pe care vrem să le măsurăm
-tipul de rezultate ale învățării ce pot fi măsurate se plasează la nivele cognitive inferioare
-acest tip de itemi sunt vulnerabili față de răspunsurile date la întâmplare. Elevul având șansa de 50% de a selecta răspunsul corect.
-identificarea unui enunț ca fiind neadevărat nu implică cunoașterea de către elev a alternativei adevărate.
Pentru a verifica dacă elevul deține soluția itemului se elimină inconveniența de mai sus prin folosirea altei variante a itemilor cu răspuns dual, așa numita ”Modificare a variantei false”, unde se cere elevilor să schimbe parțial enunțul pentru ca acesta să devină adevărat.
Exemplu:
Citește cu atenție afirmațiile de mai jos. În cazul în care apreciezi că afirmația este adevărată
încercuiește litera A, în caz contrar încercuiește litera F.
A.2. Itemi de tip pereche solicită elevilor cunoașterea unor elemente aflate într-o relație dată.
Aceste elemente pot fi: litere, cuvinte, propoziții, fraze, numere sau alte categorii de simboluri. Elementele sunt distribuite pe două coloane paralele. Prima coloana fiind enunțul itemului (premisele), iar cea de a doua coloană cuprinde răspunsurile. Coloanele cu premise și răspunsuri sunt precedate de instrucțiuni ce cuprind criteriile pe baza cărora se stabilește răspunsul corect.
Pentru a nu sugera rezolvarea (corelarea), ca o necesitate în proiectare o constituie prezența în coloana răspunsurilor a unui număr mai mare de elemente decât în coloana premiselor.
Domenii de utilizare
Utilizarea acestor itemi se limitează la măsurarea informațiilor factuale, bazându-se pe asociații, respectiv pe abilitatea de a identifica relația existentă între două câmpuri. În general acoperă o varietate de domenii cu tipuri de relații:
-principii-exemplificări
-reguli-exemple
-termeni-definiții
-simboluri-concepte
-autori-opere
-părți componente-utilizări
-personalități-realizări deosebite
-date-evenimente istorice.
Cerințe pentru alcătuirea itemilor de tip pereche:
-includerea unui număr inegal de premise și răspunsuri
-instruirea elevilor pentru ca fiecare răspuns să fie folosit o dată, de mai multe ori sau niciodata
-utilizarea unui material omogen, respectând regula de a selecta din același domeniu obiectele ce vor fi corelate
-premisele și răspunsurile să fie plasate pe aceeași pagină
-pentru a evita furnizarea oricăror indicii ce ar conduce elevul spre ”ghicirea” răspunsului corect, coloana răspunsurilor să fie aranjată într-o ordine logică (alfabetică, crescătoare, descrescătoare).
Avantaje: -se construiesc rapid și cu ușurință
-măsoară un volum mare de rezultate ale învățării într-un timp scurt.
Limite:-dificultatea de a găsi un material omogen semnificativ pentru obiectivele și rezultatele pe care vrem să le măsurăm
-tehnica nu poate fi folosită pentru abordarea unor rezultate complexe ale învățării
A.3. Itemi cu alegere multiplă
Itemul cu alegere multiplă solicită elevul să aleagă un răspuns dintr-o listă de răspunsuri oferite pentru o singură premisă. Acest tip de itemi este alcătuit dintr-o premisă și o listă de alternative, care conține soluțiile posibile ale itemului respectiv sub forma unor cuvinte, fraze, numere simboluri. Elevul trebuie să aleagă singurul răspuns corect sau cea mai bună variantă alternativă.
Acești itemi pot fi utilizați pentru:
Măsurarea rezultatelor învățării, a cunoștințelor asimilate
– cunoașterea terminologiei
– cunoașterea unor principii
– cunoașterea unor elemente specifice
– cunoașterea unor metode sau proceduri
Măsurarea rezultatelor învățării ca reflectare a nivelului comprehensiv și aplicativ:
– capacitatea de a interpreta relații cauză-efect
– capacitatea de a justifica metode și proceduri
– abilitatea de a identifica aplicații ale faptelor și principiilor
– abilitatea de a aplica teoria în rezolvarea problemelor.
Cerințe pentru alcătuirea itemilor cu alegere multiplă:
– premisa va conține o singură problemă bine definită
– premisa să fie formulată într-un limbaj corespunzător nivelului de vârstă al elevilor
– distractorii să fie plauzibili și paraleli
– răspunsurile pe cât posibil să aibă aceeași lungime
– răspunsurile să nu fie opuse sau sinonime ca înțeles
– alternativele trebuie să fie omogene și să urmeze logic și gramatical enunțul.
Avantaje :
– se caracterizează printr-o mare fidelitate
– se cuantifică rapid și cu ușurință
– pot aborda game largi de rezultate ale învățării
– au o mare flexibilitate
– asigură omogenitatea internă a fiecărui element de test, datorită folosirii unei premise unice
– reduc subiectivitatea corectării în cazul corectarii unui număr mare de lucrări.
Limite :
– necesită un timp relativ lung de elaborare
– testează cu precădere nivele cognitive interioare
– în unele situații permit ghicirea răspunsului
– nu sunt indicate când profesorul dorește să afle dacă elevul este capabil să-și organizeze și
să-și exprime curent ideile
– în cazul folosirii lor excesive conduce la familiarizarea elevilor cu ei, având repercusiuni
asupra modului de învățare.
B. Itemi semiobiectivi
Itemii semiobiectivi sunt acei itemi prin care elevului i se cere să i se dea un răspuns în totalitatea lui sau o parte componentă a unei afirmații, a unei afirmații grafice, astfel încât aceasta să capete sens și valoare.
Principalele caracteristici ale itemilor semiobiectivi sunt sintetizate de N. Gronlund:
– trebuie să aibă precizate: obiectivul, enunțul și schema de notare
– răspunsul cerut elevului poate fi limitat ca spațiu, formă, conținut prin structura întrebării
– libertatea elevului de a reorganiza informația primită și de a formula răspunsul în forma
dorită este redusă
– pentru a oferi răspunsul corect, elevul trebuie să demonstreze nu numai cunoașterea dar și
abilitatea de a structura, de a elabora cel mai potrivit și scurt răspuns.
Principalele tipuri de itemi semiobiectivi sunt:
1) Itemi cu răspuns scurt/de completare
2) Întrebări structurate
B.1. Itemi cu răspuns scurt/de completare
Itemii cu răspuns scurt sunt acei itemi pentru care elevii trebuie să ofere răspunsul sub forma unui cuvânt, simbol, număr sau sub forma unei propoziții, fraze. Sunt folosiți în evaluarea unor rezultate ale învățării care vizează nivelurile scăzute din domeniul cognitiv și unele capacități destul de simple.
Itemi de completare sunt cei care solicită în general drept răspuns doar unul sau două cuvinte, care să se încadreze în contextul-suport oferit.
Diferența între itemii cu răspuns scurt și cei de completare este forma diferită de prezentare
a cerinței sau problemei și în unele cazuri dimensiunea răspunsului cerut. Diferența de formă a cerinței este că la itemi cu răspuns scurt se folosește o întrebare directă, iar la cei de completare un enunț sau o reprezentare grafică incompletă.
Cerințe pentru alcătuirea itemilor cu răspuns scurt/de completare:
– răspunsul solicitat să fie scurt și bine definit
– spațiul liber furnizat să sugereze dacă răspunsul va conține un cuvânt sau mai multe (propoziții, fraze)
– dacă mai multe cuvinte trebuie scrise atunci spațiile libere vor avea aceeași lungime pentru a nu oferi elevilor indicii privind răspunsul
– unitățile de măsură vor fi precizate atât în întrebare, cât și după spațiul liber, astfel încât un răspuns greșit al elevului să nu fie urmarea unei erori de citire sau de înțelegere a întrebării
– nu se indică folosirea unui text din manual, deoarece s-ar încuraja memorarea și s-ar putea
testa altă capacitate decât cea dorită
– se va evita excesul de spații albe și formulările incomplet definite, care cresc imprecizia
Avantaje:
– se construiesc ușor, datorită complexității reduse a rezultatelor de învățare testate
– existența unui model complet al răspunsului corect facilitează construirea lor, iar apariția
unor ambiguități este limitată
– permit evaluarea unui număr mai mare de concepte, priceperi și capacități – solicită un anumit grad de coerență în realizarea răspunsului
– sarcina structurată și răspunsul scurt cerut evită influența altor tipuri de abilități
– se marchează destul de ușor și relativ obiectiv, dacă se elaborează o schemă de notare
adecvată
Limite:
– nu sunt adecvați pentru măsurarea capacităților superioare (rezolvarea de probleme, analiza, sinteza)
– față de itemii obiectivi, pentru fiecare zonă de conținut avem nevoie de un număr mai mare
de itemi
– uneori, răspunsurile scurte cerute, nu duc la dezvoltarea abilităților complexe
Exemplu.
Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate:
1)Fie funcția: .
a)Intervalul pe care funcția este strict crescătoare este ……………..
b)Intervalul pe care funcția este strict descrescătoare este ………………
2)Fie funcția
a)Intervalul pe care funcția este convexă este ……………….
b)Intervalul pe care funcția este concavă este…………………
B.2. Întrebări structurate
Întrebările structurate sunt itemi care conțin mai multe sarcini de lucru, lăsând celor examinați posibilitatea alegerii modalităților de formulare a răspunsurilor. O ”întrebare structurată” este formată din mai multe subîntrebări de tip obiectiv; semiobiectiv sau eseu scurt; legate între ele printr-un element comun.
Această tehnică de evaluare umple golul dintre tehnicile de evaluare cu răspuns liber (deschis) și cele cu răspuns limitat (închis) solicitat de itemii de tip obiectiv. Este o tehnică adecvată și unor obiective specifice care nu pot fi evaluate cu ușurință prin alte tehnici.
Modul de prezentare al unei întrebări structurate include:
– un material/stimul (diagrame, grafice,date etc.)
– subîntrebări
– date suplimentare
– alte subîntrebări
Cerințe pentru construirea întrebărilor structurate:
– întrebările structurate trebuie să solicite răspunsuri simple la început și să crească dificultatea spre sfârșit
– fiecare subîntrebare va fi autoconținută și nu va depinde de răspunsul corect la subîntrebarea precedentă
– subîntrebările trebuie să fie în concordanță cu materialele/stimulii utilizați
– fiecare subîntrebare utilizează testează unul sau mai multe obiective
– pe foaia de răspuns se va lăsa un spațiu liber corespunzător lungimii fiecărui răspuns
așteptat
Întrebările structurate permit:
– transformarea unui item de tip eseu într-o suită de itemi de tip obiectivi, semiobiectivi sau
minieseuri
– structurarea subîntrebărilor, astfel încât să testeze o varietate de cunoștințe, priceperi și
capacități
– alcătuirea unui număr de subîntrebări legate printr-o temă comună
– construirea progresivă a unei dificultăți și complexități dorite
– utilizarea de materiale auxiliare (grafice, diagrame, tabel de date)
Limite:
– unele materiale auxiliare sunt dificil de proiectat
– pentru proiectare necesită costuri ridicate (timp, bani)
– răspunsul la o subîntrebare depinde uneori de răspunsul la subîntrebările precedente, atunci
când nu există o atenție suficientă în proiectarea itemului.
Exemplu.
Se consideră funcția unde n este un număr natural.
Arătați că
Arătați că pentru orice număr natural nenul n.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația are soluție în intervalul (0,1]
C. Itemi subiectivi (cu răspuns deschis)
Itemii cu răspuns deschis solicită construirea răspunsului de către elevi, testându-le obiective ce vizează creativitatea, originalitatea, caracterul original al răspunsului. Itemii cu răspuns deschis dau posibilitatea elevilor de a face dovada nu numai a stăpânirii unor cunoștințe și deprinderi ci și a capacității de exprimare corectă, logică, argumentală etc.
Ca tehnici de utilizare amintim: rezolvarea de probleme, eseul structurat și eseul liber.
Eseu este o tehnică specifică disciplinelor umaniste prin urmare voi descrie doar tehnica rezolvării de probleme.
Rezolvarea de probleme sau a unei situații – problema desemnează antrenarea elevilor într-o activitate nouă, ieșită din tiparele obișnuite ale procesului instructiv-educativ, cu scopul dezvoltării creativității, gândirii multidisciplinare, imaginației, a capacității de generalizare etc.
Obiectivele urmărite prin utilizarea rezolvării de probleme sunt :
– înțelegerea problemei
– obținerea informațiilor necesare rezolvării problemei
– formularea și testarea ipotezelor
– descrierea metodelor de rezolvare a problemei
– elaborarea unui scurt raport despre rezultatele obținute
– posibilitatea de generalizare și de transfer a tehnicilor de rezolvare.
Cerințe:
– situația-problemă să fie adecvată nivelului de vârstă și de pregătire a elevilor
– în funcție de natura și de conținutul problemei activitatea se poate desfășura individual sau
în grup
– activitatea să fie în concordanță cu obiectivele și conținutul disciplinei
– modul de evaluare a activității să fie relevant prin urmărirea criteriilor de bază stabilite prin schema/baremul de notare
– utilizarea în cadrul activității a unor resurse materiale simple, puțin costisitoare și ușor
confecționabile
– folosirea unor metode alternative de rezolvare
– obținerea rezultatelor pe căi clare și verificabile
– prezentarea în redactarea finală a raționamentelor, calculelor , diagramelor, graficelor care
sunt mai importante și ajută la înțelegerea realizării sarcinilor.
Avantajele acestei metode ar fi că permite evaluarea cunoașterii metodelor și capacităților de alegere a metodei adecvate, activează atitudinea critică și învață pe elevi să aprecieze metoda cea bună de lucru,oferă posibilitatea analizei erorilor și oferă posibilitatea unei interdependențe.
Limitele acestei metode constau în faptul că necesită un timp lung de proiectare, implică resurse materiale costisitoare, nu poate fi utilizată frecvent, necesită un timp mai mare de administrare și completare a sarcinii și evaluarea poate fi subiectivă și dificilă pentru că atunci când se dorește notarea fiecărui elev, aceasta trebuie făcută nuanțat, în funcție de ajutorul acordat de profesor, contribuția fiecărui elev în cadrul grupului etc.
Dacă metoda este utilizată în grup și nu numai atunci se va ține seama de abordarea problemei, strategia grupului pentru rezolvarea sarcinii, soluția problemei (măsura în care problema a fost rezolvată corect), modul de realizare a sarcinii ( dacă s-a folosit o metodă adecvată, și dacă s-au verificat rezultatele), generalizarea problemei, comunicarea cu profesorul, originalitatea și creativitatea în abordarea rezolvării.
Metode alternative de evaluare
Dintre principalele metode alternative de evaluare la matematică, al căror potențial formativ susține individualizarea actului educațional prin sprijinul acordat elevului amintim:
a) observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor
b) referatul
c) portofoliul
d) autoevaluarea
e) investigația
f) proiectul
g) tema pentru acasă
h) evaluarea activității de grup
i) evaluarea activităților extrașcolare
a) Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor
Furnizează profesorului informații relevante asupra performanțelor elevilor din perspectiva
competențelor, abilităților, a capacității de acțiune și relaționare. În esență metoda este subiectivă,
iar în privința costurilor, ea este ieftină, dar mare consumatoare de timp.
Pentru a înregistra informațiile asupra activității și a comportamentului elevilor, profesorul are la dispoziție rapoarte privind rezultatele obținute de elevi la probele de evaluare periodică, fișa de evaluare periodică, fișa de evaluare, scara de clasificare, lista de control și verificare.
1) Raportul conține:
-activitatea pe care elevul a desfășurat-o
-criteriile în raport cu care este evaluată activitatea elevului
-participarea elevului în clasă: individual sau în grup
-comportamentele elevului: persistență, independență, respect pentru ceilalți
-activități suplimentare de care elevul este capabil
-sugestii asupra activității viitoare
2) Fișa de evaluare
În ea profesorul înregistrează date factuale despre evenimentele cele mai importante pe care
profesorul le identifică în comportamentul sau în modul de acțiune al elevilor săi (probleme comportamentale, evidențierea unor atitudini deosebite într-un domeniu etc.) Aceste fișe de evaluare au un avantaj că nu depind de capacitatea de comunicare a elevului cu profesorul. Au dezavantajul că sunt mari consumatoare de timp și nu au o cotă ridicată de obiectivitate.
3) Scările reprezintă modalități de comparare care operează asupra unor produse. De obicei scara este adaptată unei situații concrete și rezultatele constatate cu ajutorul ei au o valoare limitată.
În alcătuirea scărilor există două operații elementare: ”a grada” și a ”a ordona” date prin stabilirea unor intervale egale care formează treptele scării. În practica evaluării sunt mai des folosite scările pentru desen și scris.
Principalele tipuri de scări sunt:
-scări pentru desen care compară caracteristicile finale ale desenelor
-scări pentru scris care compară și ordonează calitatea și claritatea scrisului
-scări pentru redactare
-scări de cotare se referă la activitatea profesorilor, conduita elevilor, caracteristicile manualelor
4) Lista de control sau verificare indică prezența sau absența unei caracteristici, comportament etc., fără a emite o judecată de valoare.
Exemplu: (atitudinea față de sarcina de lucru)
A urmat instrucțiunile :
Da Nu
A cerut ajutor când a avut nevoie:
Da Nu
A cooperat cu colegii
Da Nu
A dus activitatea până la capăt
Da Nu
Lista de control are avantajul că se elaborează ușor, fiind obiectivă în evaluarea abilităților ce pot fi divizate în pași specifici.
b) Referatul
Referatul este o metodă de dobândire de cunoștințe, de formare de priceperi și deprinderi de
muncă intelectuală, o metodă de verificare a intereselor pozitive față de investigația științifică, de
verificare a capacității de selecție dintr-o cantitate informațională a cunoștințelor la nivelul capacităților de înțelegere a elevului.
Etapele întocmirii unui referat:
1. Precizarea temei de către profesor.
2. Precizarea de către profesor a bibliografiei ce trebuie studiată, dându-se elevilor libertatea de a completa lista cu alte materiale.
3. Justificarea de catre profesor a temei referatului.
4. Precizarea timpului de lucru.
5. Precizarea sarcinilor de lucru astfel încât elevul să poată selecta din materialul parcurs numai ceea ce este necesar.
6. Precizarea de către profesor a modului de întocmire cu referiri concrete la forma si fond.
7. Întocmirea referatului de către elevi.
8. Verificarea conținutului de către profesor.
9. Susținerea referatului de către elev.
10. Pe bază de întrebări profesorul verifică efortul depus de elev pentru descoperirea noilor
cunoștințe, pentru aprofundarea lor, pentru aplicabilitatea lor.
11. Notarea activitații.
Avem două categorii de referate mai des întâlnite:
a) ”Referat de investigație științifică independentă” – referat bazat pe descrierea demersului
unei activități desfășurate în clasă și analiza rezultatelor obținute.
Exemple: ”Aplicații ale derivatelor în fizică”, ”Aplicații ale integralelor definite”
b) Referat bibliografic – care are la bază o informare documentară.
Exemple: ” Joseph Louis Lagrange (25.01.1736-10.04.1813)”, ”Numărul ”
Mai întâlnim:
a) referate pentru stimularea elevilor față de însușirea de noi cunoștințe
b) referate pentru stimularea interesului elevilor pentru fixarea unor cunoștințe
c) referate pentru stimularea intereului elevilor față de aprofundarea și extinderea
cunoștințelor.
Întocmirea referatului solicită elevilor studiul individual, efectuarea de lucrări practice,
cultivarea spiritului de cercetare, pasiunea pentru descoperire, ceea ce duce la dezvoltarea unei
trăsături esențiale ale personalității elevului.
Caracteristici în utilizarea referatului în evaluare:
– este un instrument cu un pronunțat caracter formativ și creativ, reușind în același timp să
înglobeze zone întinse de conținut;
– permite abordarea unor domenii noi, ce reprezintă ”extinderi” ale conținutului lecțiilor clasice, în măsura în care tematica propusă este interesantă, justificată didactic și dacă există resurse în abordarea ei;
– evaluarea are un caracter strict individualizat rezultatul activității fiind în mod direct expresia abilităților și competențelor dobândite de către fiecare elev;
– are prin excelență un caracter sumativ, angrenând cunoștințe, priceperi, abilități și atitudini
diverse construite pe parcursul unei perioade mai îndelungate de învățare;
– prin referat se poate releva și motivația intrinsecă de învățare a unor elevi față de a majorității elevilor, care se pregătesc pe baza unor factori exteriori lor;
– cu ajutorul acestui instrument se poate aprecia destul de exact gradul de implicare individuală a elevilor la un efort de învățare ”suplimentar” și în acest mod la identificarea eventualelor premise pentru evoluții ulterioare în domeniu;
– cu ajutorul referatului de tip documentar se pot exersa în mod organizat activități de cercetare bibliografică independentă, care sunt utile în formarea ulterioară și în educația permanentă;
– tematica referatelor are un caracter deschis putând fi abordate probleme diverse, de actualitate;
– cu ajutorul referatului se pot realiza conexiuni cu alte obiecte de învățământ și cu
modalitățile de investigație transdisciplinare;
– are un profund caracter integrator, atât pentru procesele de învățare anterioare, cunoștințele
disciplinare și interdisciplinare, metodologia formării și cercetării științifice, fiind în acest fel o modalitate de evaluare foarte sugestivă, precisă, intuitivă și predictivă.
c) Portofoliul
Portofoliul reprezintă ”cartea de vizită” a elevului urmărindu-i progresul de la un semestru
la altul, chiar de la un an școlar la altul.
Profesorul împreună cu elevii discută și stabilesc elementele de portofoliu:
– tematica din care se face evaluarea
– problemele ce trebuie rezolvate și dezbătute
– forma optimă de evaluare
– itemii de notare pentru efectuarea unei aprecieri obiective
După prezentarea elementelor de portofoliu elevii realizează lucrarea, apoi are loc evaluarea.
Această formă de evaluare are avantajul că elevii se pot pregăti din timp pentru evaluare, participă la stabilirea tematicii, sunt de acord cu itemii ce vor fi aplicați la evaluare.
Portofoliul este un instrument complex de evaluare ce include rezultatele semnificative obținute prin celelalte metode și tehnici de evaluare. Totodată vizează comportamentul elevilor, observarea activității lor. Una din cele mai importante decizii în proiectarea portofoliului este cea referitoare la conținut și anume alegerea elementelor reprezentative din activitățile desfășurate de elev: lucrări de ”cercetare”, temele pentru acasă, notițele din clasă, casete video conținând prezentări orale ale elevului etc.
Evaluarea tip portofoliu a apărut ca alternativă viabilă la modalitățile tradiționale de evaluare.
Iată câteva dintre valențele formative ale evaluării de tip portofoliu:
– oferă profesorului o imagine la zi asupra performanțelor elevilor, în raport cu abilitățile și
capacitățile de evaluat ”dând” informații asupra activității elevului;
– oferă posibilitatea elevului de a arăta ce știe în diverse situații;
– asigură o realizare interactivă a predării-învățării valorificând potențialul creativ al elevului;
– exersează abilitățile practico-aplicative ale creierului.
În determinarea scopului evaluării de tip portofoliu avem în vedere: conținutul, atitudinile pe care elevii ar trebui să le dezvolte, ce sunt capabili elevii să facă.
Un alt element al portofoliului ce trebuie avut în vedere este contextul, abilitățile și interesele elevilor, nevoile, vârsta elevilor.
Conținutul portofoliului trebuie raportat la anumite cerințe standard, cunoscute înainte de realizarea lui.
Portofoliul stimulează creativitatea, ingeniozitatea, implicarea elevului în activitatea de învățare.
d) Autoevaluare
Autoevaluarea îl are pe elev participant activ la actul evaluării, după un sistem de criterii de
apreciere pe care și le-a însușit, elevul compară răspunsul său cu un model. Cerințele sunt discutate
cu elevii supuși autoevaluării. După stabilirea răspunsurilor corecte, după prezentarea itemilor de
notare, elevul apreciază dacă a răspuns sau nu corect. Elevul își stabilește nota ce crede că o merită.
Elevii au nevoie să se autocunoască, fapt ce are implicații pe plan motivațional și atitudinal.
Informațiile obținute în urma autoevaluării trebuie valorificate prin diferite modalități:
– comparate cu informațiile obținute prin intermediul altor metode alternative
– inserate în portofoliul elevului
– prezentate periodic părinților pentru a completa imaginea asupra evoluției elevului
e) Investigația
Investigația este o metodă complementară de evaluare, ce oferă posibilitatea elevului în cadrul unei ore să aplice în mod creativ cunoștințele însușite.
Obiectivele care se urmăresc sunt:
– înțelegerea și clarificarea sarcinilor
– determinarea procedeelor pentru găsirea de informații
– colectarea și organizarea datelor
– formularea și testarea ipotezelor de lucru
– schimbarea planului de lucru sau colectarea altor idei dacă este nevoie
– scrierea unui scurt raport privind rezultatele investigației.
Activitatea didactică prin intermediul acestei practici poate fi organizată individual sau pe
grupuri de lucru. Aprecierea modului de realizare a investigației este de obicei de tip holistic.
f) Proiectul
Proiectul este un plan sau o lucrare cu caracter aplicativ, întocmită pe baza unei teme date ce solicită elevilor să facă o cercetare, o activitate în echipă, o creație.
După demersul realizat avem:
-proiect de tip constructiv (să redacteze un articol, o revistă etc.)
-proiect de tip problemă (să rezolve o situație problemă)
-proiect de tip învățare (să-și imbogățească o tehnică sau o procedură de instruire)
Etapele realizării unui proiect sunt:
1. Alegerea subiectului sau temei
2. Planificarea activității (stabilirerea obiectivelor, formarea grupelor, alegerea subiectului în cadrul temei pentru fiecare elev-grup, stabilirea resposabilităților, identificarea surselor de informare)
3. Cercetarea propriu-zisă
4. Realizarea materialelor
5. Prezentarea materialelor.
6. Evaluarea.
g) Tema pentru acasă – poate fi considerată ca o metodă de evaluare dacă sunt respectate unele cerințe:
1.Prin intermediul ei să se asigure realizarea funcției formativ-educative a evaluării
2.Tema pentru acasă trebuie să respecte raportul informativ-formativ. Ea trebuie să-și găsească corespondent în obiectivele lecției, sa măsoare prin cerințele ei creativitatea, ritmul de lucru. Prin tema de casă urmărim dacă elevii pot opera cu informațiile ce le dețin. De aceea trebuie întâi învățată lecția și apoi efectuată tema.
3. Tema nu trebuie dată întâmplător. Cerințele ei trebuie să urmărească descriptorii de performanță specifici lecției predate. Pentru cerițele dificile se dau explicații suplimentare.
4. Tema pentru acasă trebuie să conțină cerințe diverse și atractive.
5. Tema trebuie reglată în raport cu volumul de timp, cu vârsta. Trebuie evitată supraîncărcarea.
6. Temele pentru acasă trebuie corectate pentru a stabili realizarea ulterioară a obiectivelor. După corectare se calculează procentul de realizare a descriptorilor de performanță și se acordă nota.
h) Evaluarea activității de grup
Se poate face atât în perioada de predare – învățare cât și în perioada de evaluare semestrială. Este o formă de evaluare care se face la nivelul unui grup de elevi. Evaluarea se face de obicei frontal, pe baza unor discuții libere. Se pot aprecia contribuțiile aduse de unii elevi în cadrul grupului sau pot fi notați membrii unui grup. Munca în grup solicită întreaga clasă, presupune eliminarea individualismului și promovarea muncii în echipă. Activitatea în grup oferă posibilitatea profesorului de a cunoaște capacitatea fiecărui elev de a se dărui pentru realizarea unui scop al grupului.
i) Evaluarea activităților extrașcolare
În general, elevii sunt sensibili la cuvinte de încurajare. Această activitate extrașcolară trebuie stimulată, încurajată.
Pasiunea elevilor pentru mai multe soluții la o problemă, generalizările pentru problemele
studiate din manual sau revistele de specialitate nu trebuie neglijată.
Putem aprecia activitatea elevilor în cercurile de matematică, la concursurile școlare,
preocupările elevilor de a rezolva probleme de logică, rebusuri matematice, probleme distractive.
IV.3.5 Modele de teste aplicate la clasa a XI-a respectiv a XII-a în anul școlar 2019-2020
În continuare voi atașa testul inițial, borderoul de corectare dar și analiza rezultatelor și planul de măsuri remediale pentru testul pe care l-au susținul elevii clasei a XII-a D în anul școlar 2019-2020.
Testul conține itemi semiobiectivi de tip rezolvare de probleme dispuși în două subiecte: primul din clasele IX-X și al doilea din clasa a XI-a.
Timpul de lucru efectiv este 50 de minute, iar punctajul maxim acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
Instrumentul care conferă validitatea testului este matricea de specificații. Aceasta realizează corespondența dintre competențele de evaluat (corespunzătoare nivelurilor taxonomice) și unitățile de învățare /conceptele-cheie/conținuturile/temele specifice programei școlare de matematică pentru clasele IX- XII, M2 (3 ore -TC). Competențele de evaluat se stabilesc prin derivare din competențele generale și/sau din competențele specifice programei școlare.
COMPETENȚELE DE EVALUARE ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE INIȚIALĂ PENTRU CLASA a XII-a
C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice
C2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn etc.)
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului algebric sau geometriei pentru rezolvarea de ecuații și inecuații
C4.Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice
C5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ sau calitativ utilizând proprietățile algebrice sau de ordine ale mulțimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații –problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate.
Matricea de specificații
liniile matricei precizează conținuturile abordate;
coloanele matricei conțin competențele de evaluat.
TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
MATEMATICĂ clasa a XII-a
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute
BAREM DE CORECTARE
Subiectul I (30 puncte)
Subiectul II (30 puncte)
10 puncte din oficiu
ANALIZA EVALUĂRII INIȚIALE – MATEMATICĂ – AN ȘCOLAR 2019 – 2020
PLAN REMEDIAL
Lipsuri ale elevilor
nu se cunosc: formulele necesare rezolvării subiectului I la bacalaureat, de exemplu Teorema cosinusului
nu se cunosc : determinarea inversei unei matrice
determinarea ecuației tangentei la grafic in punct, alcătuirea tabelului de monotonie al unei funcții
Greșeli frecvente
calculul puterii unei matrice, dar și a inversei sale
determinarea intervalelor de monotonie ale unei funcții derivabile
Plan de măsuri
reactualizarea proprietăților operațiilor cu matrice în cadrul capitolului “Grupuri” la grupuri de matrice
recapitularea derivatelor înainte de introducerea primitivelor
aprofundarea continuității la aplicații tip de demonstrare a faptului ca o funcție admite primitive
realizarea de către elevi a unor fișe tip ciorchine: proprietățile adunării matricelor în oglindă cu proprietatile înmulțirii matricelor;respectiv derivate cu primitive
teme cu exerciții din variantele pentru bacalaureat propuse de minister în anii anteriori
realizarea unui program de pregătire suplimentară în vederea susținerii și promovării examenului de bacalaureat cu elevii clasei a 12-a
PLAN GENERAL DE MĂSURI AMELIORATIVE :
centrarea activității didactice pe rezolvarea de exerciții de formare de priceperi și deprinderi în detrimentul celei de introducere de noțiuni teoretice;
se vor da teme zilnic cu o pondere mărită a exercițiilor de bază și se va urmări rezolvarea acestora;
în fiecare clasă se vor realiza echipe mixte “expert-ucenici”– elevii mai buni vor ajuta elevii mai slabi;
formarea deprinderii elevilor de a scrie ipoteza și concluzia unei probleme, precum și rezultatele folosite pe parcursul rezolvării ei;
scrierea formulelor matematice în cuvinte pentru aprofundarea mecanismului intern al acestora;
implicarea elevilor în crearea de exerciții și probleme pe care apoi să le rezolve pentru aprofundarea formulelor de bază în vederea abordării subiectului I la examenul de bacalaureat
realizarea pregătiirii suplimentare cu elevii clasei a XII-a
organizarea de teste tip simulare examen de bacalaureat / sesiuni suplimentare de simulare a examenului de bacalaureat
implicarea colegilor de la celelalte discipline în promovarea calculului matematic prin rezolvarea de probleme specifice disciplinei predate cu ajutorul matematicii
realizarea unei baterii de teste tip bacalaureat dupa modelul variantelor din anii anteriori, inclusiv pentru simularea examenului de bacalaureat
implicarea elevilor participanți la proiectul Rose în diseminarea aplicațiilor la nivelul colectivelor claselor din care fac parte
întărirea relației părinte-profesor – elev pentru conștientizarea nivelului real de pregătire și a măsurilor de remediere necesare.
Acum voi prezenta un test de evaluare structurat pe trei părți, atât cu răspuns la alegere cât și cu rezolvare completă.
TEST DE EVALUARE LA MATEMATICĂ
NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii . Se acordă 30 p din oficiu . Timp de lucru efectiv 50 minute .
Evaluarea progresului elevilor
Pentru evaluarea progresului elevilor și reglarea procesului de instruire, testele reprezintă principalul mijloc de colectare a unor date relevante. În continuare voi prezenta graficul de evoluție la sfârșitul unui semestru pentru elevii clasei la care am atribuit și testul inițial prezentat.
Mijloace de învățământ
Mijloacele de învățământ sunt instrumente sau complexe instrumentale menite a facilita transmiterea unor cunoștințe, formarea unor deprinderi, evaluarea unor achiziții, realizarea unor aplicații practice în cadrul procesului instructiv-educativ.
Instrumentalizarea acțiunilor ce prezidează activitatea paideutică vine în întâmpinarea optimizării procesului de învățământ, a redimensionării raportului dintre latura verbalistă și cea acțional productivă ale practicii didactice. În același timp, mijloacele de învățământ (mai ales cele
audivizuale) facilitează punerea în contact a elevilor cu obiecte și fenomene mai greu accesibile perceperii directe, cu procese intime, cu aspecte ale realității rare sau greu sesizabile, care nu pot fi deslușite dacât prin lucrări sofisticate cu ajutorul unor tehnici și instrumente speciale.
Mijloacele de învățământ solicită și sprijină operațiile gândirii, stimulează căutarea și cercetarea, afectează pozitiv imaginația și creativitatea elevilor. Totodată, ele îi sensibilizează în privința unor probleme, stârnindu-le curiozitatea și motivându-i, în plus, în defrișarea a noi teritorii cognitive.
Prin armonizarea acestora în cadrul lecțiilor, prin aportul lor la concretizarea designului instrucțional și chiar prin formele lor estetice, mijloacele de învățământ pot favoriza cultivarea simțului echilibrului și frumosului, chiar dacă în acest context, se concretizează doar un aspect al
frumosului, cel purtat de tehnică.
Mijloacele de învățământ se pot grupa în două mari categorii:
mijloace de învățământ ce cuprind mesaj didactic;
mijloace de învățământ care facilitează transmiterea mesajelor didactice.
În prima categorie se pot include următoarele mijloace:
obiecte naturale, originale (animale vii sau conservate, ierbare, insectare, diorama,
acvarii etc.);
obiecte substitutive, funcționale și acționale (machete, mulaje, modele etc.);
suporturi figurative și grafice (hărți, planșe iconice, albume fotografice, panouri etc.);
mijloace simbolico-raționale (tabele cu formule, planșe cu litere, cuvinte, scheme, etc.);
structurale sau funcționale etc.);
mijloace tehnice audiovizuale (diapozitive, filme, discuri, benzi audio și/sau video
etc.).
Printre mijloacele care favorizează transmiterea informațiilor didactice, se pot enumera următoarele
instrumente, aparate și instalații de laborator;
echipamente tehnice pentru ateliere;
instrumente musicale și aparate sportive;
mașini de instruit și calculatoare electronice;
jocuri didactice (obiectuale, electrotehnice, electronice);
simulatoare didactice, instalații pentru laboratoare fonice etc.
Gruparea mijloacelor de învățământ în cele două categorii este relativă. În fond, mijloacele care cuprind mesaj didactic se constituie simultan și în suporturi pentru facilitarea transmiterii, după cum și suporturile (mediile) însele induc, direct sau indirect, mesaje educaționale. Clasificarea de mai sus s-a făcut plecând de la funcțiile dominante, la un moment dat, ce concură la sublinierea identității și a rolului jucat de un anumit mijloc de învățământ. În afară de cele două grupe de mijloace, și-au făcut apariția mijloacele de măsurare a rezultatelor învățării, care ajută la evaluarea randamentului școlar în unele circumstanțe educative.
Mijloacele de învățământ se dovedesc a fi utile în măsura în care sunt integrate organic în
contextul lecțiilor și li se imprimă o finalitate explicit pedagogică, fără supralicitări sau exagerări.
Nu trebuie uitat faptul că forma (de expunere, de prezentare a cunoștințelor) nu se poate substitui în nici un caz fondului (conținutului educativ propriu-zis), iar mijloacele de învățământ nu pot înlocui niciodată actul predării, în care rolul principal, în coordonarea și supravegherea acestuia, îl joacă profesorul. De aceea orice apel la mijloacele audiovizuale va pune în balanță o serie de avantaje și dezavantaje, ce trebuie conștientizate de fiecare cadru didactic. Printre avantaje, menționăm următoarele: mijloacele tehnice suplimentează explicațiile verbale, oferindu-le un anumit support vizibil, intuitive, îi familiarizează pe elevi cu o realitate mai greu sau total inaccesibilă pe o cale directă, provoacă și susțin interese și motivații cognitive, consolidează cunoștințe și abilități, eficientizează folosirea timpului de instruire. Referitor la dezavantaje, trebuie să precizăm că mijloacele audiovizuale predispun la o anumită standardizare și uniformizare a perceperii și interpretării realității, îmbie la receptare pasivă, produc, uneori exagerări și denaturări ale fenomenelor etalate, contribuind la formarea unor imagini artificiale despre orizontul existențial.
Stabilirea și integrarea mijloacelor de învățământ se realizează prin racordarea permanentă a acestora la obiectivele instruirii, la conținuturile concrete ale lecțiilor, la metodele și procedeele
didactice.
Eficiența utilizării mijloacelor de învățământ ține de inspirația și experiența didactică ale profesorului în a alege și a-și sprijini discursul pe un suport tehnic care, în mod virtual, posedă calități ce așteaptă să fie exploatate.
IV.4.1 Manualul școlar și alte auxiliare curriculare
Dacă pentru profesor, documentul operațional principal este programa școlară, pentru elev,
un asemenea document este manualul școlar. Acesta este primul, principalul factor și izvor de informație pentru elev.
Manualul școlar constituie un suport de învățare pentru elev și un suport de predare pentru profesor. Este instrumental de lucru pentru elevi, poate cel mai important, care detaliază sistematic temele recomandate de programele școlare la fiecare obiect de studiu și pentru fiecare clasă.
Pentru ca un manual să fie funcțional, trebuie să satisfacă următoarele condiții:
de informare astfel încât să se asigure progresivitatea și să se evite supraîncărcarea;
să realizeze filtrajul și selecția cunoștințelor prin reduceri , simplificări, reorganizări;
de structurare a învățării în mai multe feluri: de la experiența practică la teorie; de la teorie la aplicații practice, prin controlarea achizițiilor; de la expozeu la exemple, ilustrări; de la exemple la ilustrări la observație și analiză;
de ghidare a învățării prin repetiție, memorizare, imitarea modelelor, prin activitatea
deschisă și creativă a elevului, care poate utiliza propriile sale experiențe și observații.
În elaborarea unui manual de calitate se cer criterii specifice/exigențe:
-științifice (informații corecte, noi);
-psihologice (informații adaptate la specificul vârstei);
-pedagogice (informații structurate după cerințe pedagogice);
-economice (preț);
-estetice, atractive (calitatea tehnoredactării, a imaginilor , a hârtiei etc.);
-rezistente la utilizare intensă (calitatea materialelor folosite, a legării);
-igienice (imprimare).
Din 1990 s-a redeschis problema manualelor alternative în învățământul românesc, ca semn
al normalizării școlii în direcția democratizării învățării. Manualele alternative sunt necesare pentru că nici profesorii nu sunt identici și nici nu există elev ”în general”, neutru, unul și același căruia să-i prescriem o evoluție standard în școală.
Manualele alternative trebuie să reflecte program școlară care prevede ceea ce este comun
pentru toți elevii (asigurându-se astfel, indiferent de manualul parcurs, același tip de diplomă precum și accesul elevilor la diferite cursuri de completare a studiilor). Profesorul alege dintre manualele alternative existente pe piață și aprobate de M.E.C.T.S., acel manual care, din punctul său de vedere conduce cel mai bine la însușirea programei școlare de către elevi.
Pot fi folosite de către profesor mai multe manuale alternative asigurîndu-se în acest fel surse altenative de inspirație. Se poate antrena și capacitatea elevilor de a desprinde și a structura
informația, de a organiza lucrări pe baza surselor multiple.
Manualul tradițional prezintă o selecție rigidă a conținuturilor cu informații standardizate, se axează pe un tip de învățare bazată pe memorizare și reproducere iar mecaniscum de formare a cunoașterii este de tip ideologic.
Manualul modern prezintă o selecție permisivă a conținuturilor, pune accentul pe creație, au informații deschise, urmărește formarea unor competențe, valori și atitudini. Aici învățarea esre bazată pe întelegere și explicare iar accentul se pune pe gândirea critică.
Auxiliarele curriculare reprezintă ansamblul materialelor didactice aflate la dispoziția profesorului și elevilor:
ghiduri școlare pentru elevi și pentru profesori;
caiete speciale pentru elevi și pentru profesori;
cărți de uz școlar sintetic: culegeri , crestomații, antologii;
cărți de uz școlar specific: atlase, albume, dicționare, tabele numerice / transformative, portofolii ilustrative, hărți etc.;
cărți beletristice prelucrate pedagogic (asortimentate cu prefață în scop didactic, tabel cronologic, termeni explicați în subsolsau în glosar adiacent, extrase din studii critice focalizate pe textile prezentate etc.);
seturi imprimate de probe evaluative specifice (teste tipărite, de regulă de tip grilă);
diverse materiale imprimate adiacente: broșuri tematice, pliante, fascicole, postere/afișe jubilare;
materiale imprimate, tipărite pe alt suport decât hârtia: fișierele dintr-un PC, dischete, CD-uri, DVD-uri, microfilme, diapozitive etc.;
softuri educaționale ca programe informative pentru predarea unor teme specifice, alături de numeroasele posibilități de informare utilizate în cadrul instruirii asistate de calculator (sistemul A.E.L. etc.).
Dintre cele mai importante mijloace de învățare utilizate la orele de matematică amintim :
I. tabla, retroproiectorul, tabla interactivă – este un echipament de mare performanță ce se folosește împreună cu un software special, adecvat curiculei școlare, ușor de utilizat ce permite profesorilor să transforme orele în adevărate experiențe interactive. Se pot utiliza instrumentele de geometrie virtuale.
II. manualul, culegerea de probleme, fișa de lucru
III. modele (figuri geometrice, corpuri geometrice)
IV. planșe (grafice, tabele, formule)- ce pot fi confecționate și de elevi, sunt menite să determine o mai bună însușire a noțiunilor predate (cu atât mai mult dacă ele vor rămâne în clasă, la vedere, și după terminarea orei de matematică)
V. calculatorul (instruirea asistată de calculator, A.E.L.)- asigură o mai bună colaborare între cadru didactic și elev, ducând transpunerea primului în moderator sau indrumător a activității de învățare.
Instruirea asistată de calculator îi oferă elevului posibilitatea de a învăța prin cercetare, prin
descoperire, de a interacționa și de a răspunde la diverși stimuli vizuali sau auditivi. Calculatorul oferă un set variat de informații, de întrebări sau probleme, prezentate sub formă sonoră sau vizuală, prin texte, imagini fotografice, imagini video animate, desene sau grafice. Calculatorul este un mediu interactiv care menține atenția și motivația elevului treze, indiferent de gradul de dificultate. Ca orice metodă didactică și instruirea asistată de calculator are avantaje, care trebuie cunoscute de cadrul didactic pentru a fi valorificate sau, dimpotrivă , evitate.
În primul rând utilizarea calculatorului înseamnă o mare economie de timp, fiind totuși foarte costisitoare. În al doilea rând, calculatorul stimulează unele fenomene și procese, dar nu înlocuiește experimentele sau observația lor directă. Orice apel la mijloace tehnice pune în balanță avantaje și dezavantaje.
Avantaje : ele suplimentează explicațiile verbale ipostaziind un suport vizibil, intuitiv, mijlocesc elevilor o realitate greu accesibilă direct, provoacă și susțin motivații cognitive, consolidează cunoștințe, eficientizează folosirea timpului de instruire.
Dezavantaje : predispun la o standardizare a perceperii și interpretării realității, îmbie la
receptarea pasivă, uneori produc denaturări a fenomenelor etalate și concură la formarea unor imagini artificiale despre societate.
Utilizarea unui singur mijloc de invățământ, indiferent din ce categorie face parte și indiferent cât de bine conceput și realizat ar fi el, nu poate da maximul de eficiență. Eficiența mijloacelor tehnice de învățământ depinde, în mare masură de pregătirea profesorului, de nivelul la care el stăpânește materialul ce urmează a fi utilizat, de măsura în care este familiarizat cu aparatele, în același timp fiind necesară și pregătirea elevilor pentru a le utiliza în activitatea lor.
Optimizarea activității didactice
Metodele moderne trec învățarea înaintea predării, sunt axate pe participarea și pe activitatea elevului, sunt centrate pe elev, pe exersarea și dezvoltarea capacităților și aptitudinilor (Cerghit, I., 2006).
Algoritmizarea, modelarea, problematizarea, studiul de caz , metodele de simulare, instruirea programată fac parte din această categorie.
Algoritmizarea este o metodă ce se bazează pe folosirea algoritmilor în actul predării. Algoritmii reprezintă un grupaj de scheme procedurale, o suită de operații standard, prin parcurgerea cărora se rezolvă o serie mai largă de probleme asemănătoare. Reușita metodei depinde de capacitatea algoritmilor pedagogici aleși de a interveni ca modele operaționale care eficientizează activitatea de învățare prin intermediul aplicării unei reguli, formule sau coduri de acțiune didactică exacte și riguroase. Specificul algoritmilor didactici rezultă din contextul pedagogic în care are loc acțiunea automatizată, în alte situații această acțiune nu presupune înțelegerea operațiilor și a mecanismelor sale specifice. Activitatea didactică solicită însă acțiuni automatizate care trebuie nu doar înțelese de către elev, ci și construite uneori de acesta prin angajarea directă a proceselor sale cognitive superioare. Valorificarea algoritmilor didactici implică raționalizarea procesului de instruire la nivelul unui învățământ programat care conduce elevul spre rezultat pe căile cele mai eficiente. Angajarea lor în acțiuni de instruire programate pe calculator stimulează dezvoltarea psihologică a elevului prin înlănțuirea operațiilor prezentate într-o ordine foarte determinată care permite rezolvarea unei probleme sau a unei clase de probleme.
Se pot evidenția următoarele tipuri de algoritmi didactici:
Algoritmi de sistematizare a materiei, aplicabili prin intermediul unei reguli de
definire a conceptelor, principiilor, legilor; de realizare a judecăților a raționamentelor; de stăpânire a formulelor; de analiză-sinteză a teoriilor;
Algoritmi de rezolvare a problemelor, aplicabili prin intermediul unor reguli și
ipoteze de lucru, de calcul, de proiectare, de investigație etc.;
Algoritmi de consolidare a cunoștințelor dobândite, aplicabili prin reguli de
proiectare și perfecționare a unor deprinderi intelectuale, sociale sau psihomotorii;
Algoritmi de optimizare a unor capacități, aplicabili prin reguli de perfecționare a
standardelor de rezolvare a unor probleme;
Algoritmi de creație, aplicabili prin reguli de rezolvare a unor situații-problemă,
exprimate la nivelul unor tehnici de gândire divergentă productivă;
Algoritmi de programare a materiei, aplicabili prin reguli de ierarhizare a
secvențelor didactice la nivelul unor coduri specifice (instruiri programate sau instruiri asistate pe
calculator).
În funcție de aceste clasificări, se observă că algoritmizarea poate fi folosită cu succes în orice moment al lecției. Valențele sale euristice sunt valorificate pe tot parcursul unei activități didactice. Pentru profesor, aceasta presupune delimitarea momentelor în care însușirea algoritmizată a cunoștințelor solicită deschiderea spre anumite orizonturi de ordin euristic.
IV.5.1 Exemplu pentru a găsi numărul de rădăcini reale ale unei ecuații de forma:
Rezolvare:
Fie funcția , continuă și derivabilă pe Atunci și vom rezolva ecuația de unde obținem soluțiile reale .
Calculăm și limitele în capetele intervalului și obținem: .
Realizăm tabelul de semn dar întâi calculăm valorile funcției în soluțiile derivatei și obținem: , .
Din șirul lui Rolle, conform tabelului realizat, se observă ca avem o singură schimbare de semn, prin urmare ecuația dată are o singură rădăcină reală în intervalul .
Modelarea didactică este denumirea metodei de predare-instruire în cadrul căreia mesajul ce urmează a fi transmis este cuprins într-un model. Modelul reprezintă o reproducere simplificată a unui original (obiect, fenomen, proces tehnologic, sistem de funcționare etc.) în așa fel încât să fie pus în evidență elementul care interesează. Modelarea este de doua categorii: similară și analogică. Modelarea constă în realizarea unui sistem de aceeași natură cu originalul care să permită evidențierea trăsăturilor esențiale ale originalului. Această modelare este mai puțin folosită în matematica (mai mult în tehnică, biologie etc.)
Modelarea analogica presupune o asemănare analogică cu originalul. Ea constă în construirea unui sistem a cărui descriere matematică este aceeași cu a sistemului original , deși de natură diferită. Prin investigații matematice asupra sistemului se găsesc soluții ce se pot
aplica sistemului . Trecerea de la original la model se face prin simplificare, care însă nu trebuie să fie exagerată și de asemenea nu trebuie uitat esențialul.
În matematică modelarea are o valoare euristică, pentru că prin utilizarea ei se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de analiză, de sinteză, se dezvoltă creativitatea și flexibilitatea
raționamentului.
În prima etapă profesorul este cel care construiește modelul. Se vor analiza trăsăturile modelului și se compară cu originalul, se dau contraexemplele cele mai potrivite.
În a doua etapă elevii vor fi deprinși să-și construiască singuri modelele.
Eficacitatea metodei modelării este mărită de utilizarea a cât mai multor modele, ținând cont
de particularitățile de vârstă și de cunoștințele elevilor.
IV.5.2 Exemplu:
Studiul vitezei instantanee a unui punct material a condus la studiul limitei unui raport de tipul ce reprezintă panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct.
Astfel, dacă presupunem că un punct se deplasează pe o axă s și fie s=f(t) coordonata sa la
momentul t, atunci , reprezintă drumul parcurs în intervalul , iar raportul , reprezintă viteza medie în intervalul de timp , iar limita (dacă există) se numește viteză instantanee la momentul .
Problematizarea este metoda, denumită și predare prin rezolvare productivă de probleme, ce constă în punerea în fața elevului a unor dificultăți create în mod deliberat, numite situații problemă, în depășirea cărora, prin efort propriu, elevul învață ceva nou.
Dintre situțiile-problemnă întâlnite amintim:
Dezacord (conflict, contradicție) între cunoștințele anterioare ale elevului și condițiile noi
de rezolvare a unei probleme.
Selectarea din cunoștințele anterioare a acelora cu valoare operațională, adică elevul este
pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punct de vedere teoretic și imposibilitatea lui de aplicare practică.
Încadrarea cunoștințelor anterioare într-un sistem, conștientizarea că acest sistem nu este
întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.
Din punct de vedere pedagogic problema trebuie să îndeplinească următoarele condiții esențiale:
să aibă sens, să țină seama de cunoștințele anterioare ale elevului;
să fie adresate în cel mai oportun moment din punctul de vedere al elevului;
să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului;
Rezolvarea de probleme trebuie privită ca pe un proces prin care elevul descoperă că o combinație de reguli învațate anterior o poate aplica pentru a ajunge la o soluție referitoare la o nouă situație problematică. Din acest punct de vedere, etapele în rezolvarea unei situații problemă
ar fi:
Prezentarea situației-problemă (verbal, scris, tabel, grafic, folosind mijloace auxiliare etc.)
de către profesor;
Definirea problemei de către elev, adică distingerea caracteristicilor esențiale ale situației,
însușirea enunțului, găsirea legăturii dintre date;
Formularea de ipoteze de către elev care pot fi aplicate în vederea unei soluții;
Realizarea verificării ipotezelor sau a unor ipoteze succesive de către elev până găsește una
care să-l conducă la soluția căutată.
Astfel pentru a introduce ”Rolul derivatei întâi. Intervale de monotonie. Puncte de extrem.” se poate porni de la rezolvarea urmatoarelor probleme:
Studiați monotonia funcțiilor:
Prin metoda raportului, precum și aplicând teorema lui Lagrange pe un interval (observând mai întâi semnul derivatei). Ce observați. Ce concluzie putem trage ?
Studiul de caz vizează transpunerea elevului într-o situație reală de viață sau într-un exemplu semnificativ, prin a cărei observare, întelegere, interpretare, urmează să se realizeze un progres în cunoaștere. Procurarea informației în legătură cu cazul se realizează prin metode ca: observarea, ancheta, experimentul; iar dezbaterea asupra informației culese poate avea loc prin: dezbatere tip masă rotundă, brainstorming, Phillips 6-6.
Astfel, ca un exemplu, presupunând cunoscut spatiul, se poate afla viteza unui automobil facand derivata spatiului astfel:
1) Dacă mobilul se mișcă pe axa Ox după legea , viteza sa este
Viteza mobilului este constantă, fapt care se explică prin aceea că mișcarea este uniformă.
2) Dacă legea de mișcare pe axa Ox este , viteza sa este
La momentul t = 0, mobilul are viteza ; la momentul viteza este
Instruirea programată este o metoda multifuncțională, cuprinzând o înlănțuire de algoritmi, dar și de probleme de rezolvat, prezentate preponderent în formă verbală, dar și cu includerea unor aspecte intuitive. Mijloacele utilizate pot fi: fișele programate, manualele programate, mașinile de învățat, cele mai riguroase fiind calculatoarele, care pe langă afișarea programelor pe ecran, realizează și conducerea învățării. În acest sens programele didactice AEL oferă nenumarate aplicații cu funcții derivabile.
De exemplu, lecția ”Rolul derivatelor în studiul funcțiilor” este disponibilă pentru platforma AEL la clasa a XI-a cu 5 momente și un număr recomandat de 3 ore.
Cele 5 momente sunt:
1. Rolul derivatelor în studiul funcțiilor (prima consecință a teoremei lui Lagrange – monotonia)
2. Derivata întâi. Aplicații. (Puncte de extrem)
3. Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor (convexitate, concavitate)
4. Puncte de inflexiune
5. Derivata a doua. Aplicații.
Principii etice și deontologice
Morala este un ansamblu de norme universale, ce fac referire la comportamentele ce îi vizează pe ceilalți, reglementează relațiile din cadrul grupului de apartenență și se aduc în discuție termenii de amoral și imoral.
Etica face referire la știința despre morală, deși ambele subiecte se definesc ca obicei, obișnuință, cutumă chiar morav. Etica este ceea ce trebuie făcut, presupune detașare, reflectare, este teoria a ceea ce trebuie de făcut, este în strânsă legătură cu societatea. Cele două concepte nu se opun ci se completează ca și când una ar fi teoria iar cealaltă practica. Ca și diviziuni ale eticii se pot reaminti: metaetica, sociologia morală, psihologia morală, etica și deontologia profesională, bioetica și etologia.
Deontologia privește conceptul de știință a moralei, formând ideea de datorie a datoriei. Deontologia este datoria pe care o are orice muncitor din orice domeniu de a promova și de a menține binele și fericirea. Deontologia se definește ca fiind știința care studiază respectarea drepturilor și îndeplinirea obligațiilor.
Normele de drept sunt norme obligatorii iar nerespectarea acestora atrage sancțiuni. Procesul educativ poate fi considerat un ansamblu de dileme morale. Munca în educație este ea însăși o practică etică, deoarece profesorii sunt cei care operează cu diverse categorii de valori, ținta poate fi de cele mai multe ori vulnerabilă, iar modalitățile de influențare sunt diferite față de cele ale altor profesori. Lumea școlii constituie un mediu aparte unde normele etice sunt puse în aplicare și sunt interpretate cu totul diferit decât în alte medii profesionale.
Etica este clasificată gradual: etica generală, etica profesională și etica profesiei didactice. O altă modalitate de clasificare a normelor etice văzută din prisma deontologiei este: etica generală, deontologie, deontologie profesională și deontologia profesiei didactice. Pornind de la termenul de deontologie se pot identifica în spațiul educativ mai multe subramuri: deontologia didactică, deontologia educativă, deontologia învățământului, deontologia profesorului. Deontologia profesiei didactice se referă la studiul datoriilor pe care le au educatorii față de elevi, cum ar fi: datorii în raport cu procesul didactic, datorii în raport cu părinții, comunitatea, în raport cu instituția școlară.
Codurile deontologice sunt o categorie autonomie profesională și care dau naștere unor principii deontologice: principiul raportării la axiologie, principiul eficientizării comunicării, principiul polivalenței luării deciziei etice, principiul reflectării responsabilităților profesionale ale cadrelor didactice.
Etica promovează formarea judecății morale, facilitează alegerile raționale, promovează socializarea, responsabilizează. Argumentele au grade diferite de generalitate, de la motivații la principii, abstracte.
Argumentele de natură psihosocială pun în prim plan aspectul uman, încrederea, empatia,
dezvoltarea ființei umane. Educatorul lucrează cu oameni, pentru oameni și asupra oamenilor.
Argumentele de natură interculturală privesc clasa ca un mediu social specific, care are în
compoziția sa persoane de diferite etnii, vârste, religii și condiții socio-economice, dar care sub procesul instructiv-educativ preiau comportamente, modele de socializare, credințe și valori.
Argumentele de natură instituțională și organizațională sunt întemeiate pe baza relației
educator-elev.
Argumente statuare vizează profesorul ca fiind un artist care jonglează cu diferite axe ale procesului educativ: axa de elaborare a curriculumului, axa organizării evaluărilor, axa acompaniamentului individualizat al elevului, axa deontologiei învățământului, axa organizărilor parteneriale dintre școală și societate, axa cunoștințelor fundamentale, etc.
Acțiunea pedagogică trebuie să țină cont de măsură, în exigențe, în atitudine, în gesturi, în vorbe, în ton, etc, iar empatia empatia este capacitatea de a vibra la bucuriile și suferințele elevilor.
Orice model al eticii profesionale în învățământ presupune înțelegerea rolurilor și atribuțiunilor complexe ale educatorilor, centrul de greutate al modelului este perspectiva clientului, orice model al eticii profesionale nu poate face abstracție de principiile etice din comunitate, modelul este o construcție echilibrată, acordând importanța cuvenită.
Educația și valorile educaționale sunt esențiale în domeniile cunoașterii, iar valoarea educațională este foarte complexă antrenând capacități fizice, intelectuale și estetice. Aceste valori educaționale sunt asociate educației drept învățare, sunt în strânsă legătură cu mediul în care copiii își desfășoară activitatea, antrenează în mare măsură criteriul afectivului, sunt valori circulante și nu valori oficiale, sunt valori pentru grupurile sociale, stau sub semnul relativismului, sunt imperative, fără a fi neapărat etice.
Principalele valori transmise de școală sunt valori de tip teoretic (cele mai importante din categoria valorilor), valori morale (este adevărata valoare și revine valorilor civice), valorile construite (sunt valorile create în școală și reprezintă modul unic, original de transformare a valorilor impuse de către fiecare unitate școlară). Elevul este un creator și un receptor de valori. Aceste valori sunt transpuse în rezultate.
Educația reprezintă o natură etică extrinsecă. Constantin Cucoș vorbește despre valoare ca raportul optim dintre mijloacele de realiza.Valorile non-etice sunt etic neutre (sănătatea, statutul, fericirea, autorealizarea, plăcerea). Valorile etice sunt reprezentate de credința binelul moral, valoarea spirituală. Acestea sunt valori scop ce au un caracter imperativ, universal, iar condiția fundamentală a practicării acestor valori o reprezintă libertatea voinței. Spațiul etic este spațiul dilemelor. Tot în acest capitol este adus în discuție și termenul de libertate, ca fiind oportunitatea de a crea un spațiu deschis comunicării, de formulare a scopurilor și de a sprijinii realizarea acestora.
Autonomia este în strânsă legătură cu libertatea. Autonomia este definită capacitatea de a elabora norme, reguli, de a acționa în mod independent, pornind de la interiorizarea valorilor și normelor colective. Autonomia este diminuată în 4 situații: constatarea dificultăților personale de controlare a dorințelor, emoțiilor și acțiunilor, realizarea unor greșeli de judecată și raționament, confruntarea cu dificultăți în selectarea informației relevante și ultima situație caracterul oscilant al intereselor personale. Modurile diferite de înțelegere a autonomiei de către educatori generează numeroase probleme etice în planul practicilor educative. Pe lângă autonomia educatorilor și autonomia elevilor apare și controlul. Controlul în școală este exercitat de către director, profesori.
Toleranța este un alt termen important și reprezintă capacitatea de a recunoaște libertatea altuia atunci când acesta nu îngrădește libertatea celorlalți, de a accepta ca drepturile altuia sunt egale cu drepturile mele.
Responsabilitatea este un concept vehiculat și înseamnă respectarea cuvântului dat, conformitatea vorbelor cu acțiunile. Răspunderea este termenul ce are o strânsă legătură cu responsabilitatea și face referire la respectarea normelor deja prescrise. Responsabilitatea vizează comportamente nenormate și neobligatorii, ce provin din propria inițiativă a unui individ.
Grija este o atitudine complexă, delimitată de diverse niveluri și implicând o relație specială dintre purtătorul de grijă și receptorul.
Integritatea se referă la moralitate prin excelență și își are esența în valorile morale ale omului, deoarece este o sinteză de valori. Este totodată atitudine, scop și mijloc.
Educația morală este finalitate pentru toți educatorii, indiferent de specialitate și obiect de învățământ predat.
Fața întunecată a predării: neglijența, incompetența, eșecul. Opusul obligației profesională este neglijența și înseamnă lipsa supravegherii. Tot aici sunt întâlnite două standarde și anume: standardul responsabilității și standardul prevederii.
Didactogenia este efectul negativ al acțiunilor întreprinse de profesor asupra elevilor. Printre comportamentele de evitat sunt enumerate: tratarea elevilor cu dispreț, absența sau diminuarea controlului asupra propriilor vorbe și acțiuni, exagerarea unor greșeli făcute de elevi, ignoranța cadrului didactic cu privire la particularitățile psihosociale ale vârstei.
Imoralitatea este extinsă la nivelul profesorilor. Incompetența este caracterizată prin intermediul termenilor de profesori incompetenți, cu slabe rezultate, este un fenomen cu diferite implicații, este eșecul de a desfășura activități la nivel minim acceptabil. În explicarea incompetenței cadrelor didactice se enumeră mai mulți factori: Inabilitatea de a exprima clar conținuturile, abilitățile slabe de management al clasei, judecata profesională slabă, atitudinea lipsită de calitate, comportamente dăunătoare moralei, slabe abilități de citire, scriere, vorbire, lipsa cunoștințelor de specialitate, eșec în predarea curriculumului, refuzul supunerii la normele școlare, neplanificarea lecțiilor, nepreocupare pentru dezvoltarea profesională, relații negative cu ceilalți profesori, lipsa comunicării cu părinții, performanțe slabe ale elevilor, abandonul excesiv al elevilor.
Teoretic categoriile incompetenței vizează probleme de comportament moral. Incompetența are o sferă mai largă decât imoralitate, iar practicile lipsite de etică nu sunt legate doar de imoralitatea în relații ci și de aspecte didactice, tehnice.
În concluzie, rolul respectării principiilor etice determină, circumstanțiază și întărește profesionalismul cadrului didactic. Mai mult, conduce la întărirea identității ocupaționale, la creșterea statutului și demnității profesionale. Acest cadraj luminează și conștientizează mai mult, scoate în evidență atribuții dar și restricții acțional-comportamentale, conduce la o mai puternică înțelegere a unor așteptări și responsabilități.
Proiectare didactică
Proiectarea didactică este procesul de anticipare a pașilor ce urmează a fi făcuți în realizarea activității didactice, deci este un demers de anticipare a obiectivelor, conținuturilor, metodelor și mijloacelor de învățare, a instrumentelor de evaluare și a relațiilor specifice de organizare a activității didactice.
Conceptul de proiectare este corelat de alte concepte, cum ar fi:
design instrucțional care presupune analiza tuturor componentelor curriculumului (finalități, conținuturi, strategii de predare, strategii de evaluare );
abordarea comparativă a metodelor proiectării, astfel:
Tradițional: modelul didacticist – reprezintă un model centrat asupra conținuturilor,
respectiv asupra acțiunilor de predare, subordonând obiectivele, metodologia și evaluarea într-o logică proprie ”învățământului informativ” care supralicitează transmiterea de cunoștințe, dirijarea exclusivă a instruirii, unilateralizarea procesului de formare a elevilor;
Modern: modelul curricular- este centrat asupra obiectivelor activității de instruire/
educație urmărind, cu prioritate, optimizarea raporturilor de corespondență pedagogică între elementele componente (obiective-conținuturi-metodologie-evaluare), între acțiunile de predare-învățare-evaluare, subordonate finalităților angajate la nivel de sistem și de proces.
Funcțiile proiectării pedagogice sunt:
de anticipare – definirea proiectării ca un ansamblu de operații de anticipare, de
prefigurare a desfășurării procesului instructiv-educativ;
de orientare – raportarea proiectării la obiectivele educaționale, care sunt criterii de
referință;
de organizare – planificare instruirii printr-un complex de operații;
de dirijare -identificarea posibilităților de acțiune, a strategiei de realizare a
activității instructiv-educativ;
de reglare- autoreglare – raportarea rezultatelor finale la obiective;
de decizie – ameliorarea și optimizarea activității instructiv- educative;
de inovare -schimbarea concepției privind conținutul programelor și manualelor
școlare, metodelor didactice, tipurile de învățare, relațiile pedagogice.
Un cadru didactic bine intenționat trebuie să-și pună următoarea întrebare: Cum aș putea face astfel încât întotdeauna activitățile didactice pe care le desfășor să fie eficiente?”
Se știe că un lucru bine făcut are la bază un proiect bine gândit prin urmare proiectarea didactică repsectă patru etape: obiectivele educaționale care trebuie fixate și realizate, resursele educaționale de care dispune sau trebuie sa dispună profesorul, stabilirea strategiei educaționale, coerente și pertinente pentru atingerea scopurilor și metodologia de evaluare a eficienței activității desfășurate.
Elementul central în realizarea proiectarii didactice este programa școlară. Ea reprezintă un document normativ în sensul că stabilește obiective, adică țintele ce urmează a fi atinse prin intermediul actului didactic. Chiar dacă în proiectare sunt obligatorii obiectivele, remarcăm faptul că, adesea, același obiectiv se realizează prin mai multe conținuturi și resurse, după cum mai multe obiective pot fi realizate cu același conținut și aceleași resurse, după cum mai multe obiective pot fi realizate cu același conținut și cu aceleași resurse. Aprecierea acestora este la latitudinea profesorului.
Proiectarea activității didactice presupune:
Lectura programei
Fiecărui obiectiv cadru îi sunt asociate două sau mai multe obiective de referință. Pentru realizarea acestora, profesorul poate organiza diferite tipuri de activități de învățare. Unele activități sunt recomandate prin programă iar profesorul poate opta pentru folosirea lor sau poate construi activități proprii. Atingerea obiectivelor de referință se realizează cu ajutorul unităților de conținut. Profesorul le selectează pe acelea care mijlocesc atingerea obiectivelor.
Planificarea calendaristică
În contextul noului curriculum, planificarea calendaristică se transformă într-un document administrativ formal care repeta modul de gestionare a timpului propus de programa analitică, într-un document de interpretare personală a programei, care asigură un demers didactic concordant cu situația concretă din clasă. Planificarea activității didactice presupune o lectură atentă și permanentă a programei școlare de a analiza obiectivele și a inventaria tipurile de activități și resursele necesare.
În elaborarea planificării procedăm astfel:
citim atent programa
stabilim succesiunea de parcurgere a conținuturilor
corelăm fiecare conținut în parte cu obiectivele de referință vizate
verificăm concordanța dintre traseul educațional propus și oferta de resurse didactice (manuale, ghiduri, caiete)
alocăm timpul necesar pentru fiecare conținut, în concordanță cu obiectivele de referință vizate
Proiectarea secvențiala (sau a unității de învățare)
O unitate de învățare poate să acopere una sau mai multe ore de curs. Alocarea timpului afectat unei unități de învățare se face prin planificarea anuală.
O unitate de învățare este:
coerență din punct de vedere al obiectivelor vizate;
unitară din punct de vedere tematic (adică al conținutului);
finalizată prin evaluare.
Realizarea unei unități de învățare presupune un demers didactic proiectat de fiecare profesor în parte.
Metodologia de proiectare a unei unități de învățare constă într-o succesiune de etape, înlănțuite logic, ce contribuie la detalierea conținuturilor, în vederea atingerii obiectivelor de referință. Etapele proiectării sunt aceleași, oricare ar fi unitatea de proiectare vizată.
Proiectarea unei unități de învățare se recomandă a fi făcută ținând seama de următoarele:
• centrarea demersului didactic pe obiective (nu pe conținuturi)
• implicarea în proiectare a următorilor factori:
• -activitati de invatare
• -resurse
• -evaluare
PROIECTUL UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE: FUNCȚII DERIVABILE
ANEXA 2
TEST DE EVALUARE
FUNCȚII DERIVABILE
SUBIECTUL I: Exersare – 70 puncte
(10 puncte) Se consideră funcția ,
Să se calculeze ;
(20 puncte)Fie funcția,
Să se calculeze ;
(20 puncte) Se consideră funcția ,.
Să se determine punctele de extrem ale funcției ;
(20 puncte)Se consideră funcția ,
Să se studieze derivabilitatea funcției în punctul .
SUBIECTUL II: Sinteză – 20 puncte
Se consideră funcțiile , și .
(5 puncte) Să se demonstreze că ;
(10 puncte) Să se demonstreze că ;
(5 puncte) Să se rezolve ecuația , unde .
NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.
Timp de lucru 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
PROIECTUL UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE: STUDIUL FUNCȚIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR
ANEXA 1
FIȘĂ DE LUCRU
STUDIUL FUNCȚIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR
Se consideră funcția .
Să se calculeze derivata funcției ;
Să se determine intervalele de monotonie ale funcției ;
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcția .
Să se calculeze ;
Să se arate că funcția este crescătoare pe ;
Să se calculeze unde .
Se consideră funcția ; .
Să se calculeze derivata funcției ;
Să se determine intervalele de monotonie ale funcției ;
Să se demonstreze că: .
Se consideră funcția;
Să se calculeze ;
Să se arate că este descrescătoare pe și crescătoare pe .
Să se determine ecuația asimptotei oblice către la graficul funcției .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă .
Să se arate că este convexă pe .
Se consideră funcția , .
Să se calculeze .
Să se verifice că .
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcția ,
Să se calculeze
Să se demonstreze că funcția nu are asimptotă către .
Să se demonstreze că funcția este convexă pe .
Se consideră funcția ,
Să se calculeze
Să se verifice că
Să se determine ecuația asimptotei orizontale către la graficul funcției .
Se consideră funcția definită prin unde
Să se calculeze pentru .
Să se verifice că
Să se determine astfel încât și
Se consideră funcția,
Să se studieze continuitatea funcție în punctul
Să se calculeze
Să se studieze derivabilitatea funcție în punctul
Se consideră funcțiadefinită prin .
Să se calculeze .
Să se demonstreze că funcția este descrescătoare pe intervalul .
Să se calculeze
Se consideră funcția definită prin
Să se calculeze
Să se demonstreze că funcția este convexă pe intervalul.
Să se demonstreze că .
Se consideră funcția definită prin
Să se verifice că .
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției .
Să se demonstreze că pentru
Se consideră funcțiadefinită prin
Să se calculeze
Să se determine ecuația asimptotei orizontale spre a graficului .
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcțiile date prin și pentru
.
Să se calculeze .
Să se determine ecuația asimptotei orizontale către a graficului funcției
Să se calculeze
Se consideră funcția de forma unde .
Să se determine astfel încât funcția să fie continuă în punctul .
Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă .
Să se calculeze .
Se consideră funcția definită prin .
Să se calculeze
Să se demonstreze că funcția este descrescătoare pe .
Să se arate că
Se consideră funcția,
Să se verifice că pentru .
Să se calculeze
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze .
Să se calculeze
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcția ,
Să se calculeze .
Să se verifice că
Să se demonstreze că .
Se consideră funcția defintă prin
Să se calculeze .
Să se demonstreze că funcția admite două puncte de extrem.
Să se determine ecuația asimptotei oblice către la graficul funcției .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze.
Să se calculeze .
Să se determine intervalele de monotonie ale funcției .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se determine numărul punctelor de extrem ale funției .
Să se calculeze .
Se consideră funcția definită prin
Să se calculeze.
Să se determine punctele de extrem ale funcției .
Să se demonstreze că pentru .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se demonstreze că pentru
Să se scrie ecuația asimptotei oblice către la graficul funcției .
Se consideră funcția definită prin .
Să se calculeze derivata funcției .
Să se determine intervalele de monotonie ale funcției .
Să se arate că .
Se consideră funcția , .
Să se calculeze .
Să se studieze monotonia funcției .
Să se determine ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției .
Se consideră funcția de forma .
Să se studieze continuitatea funcție în punctul
Să se determine ecuația asimptotei oblice către la graficul funcției .
Să se arate că funcția este concavă pe .
Se consideră funcția, , .
Să se arate că .
Să se determine punctele de extrem ale funcției .
Să se calculeze .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze .
Să se arate că funcția este convexă pe .
Să se rezolve în ecuația .
Se consideră funcția , .
Să se arate că , .
Să se calculeze .
Să se demonstreze că , pentru .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se arate că funcția este concavă pe .
Să se demonstreze că panta tangentei în orice punct graficul funcției este mai mare
decât .
Se consideră funcția, .
Să se verifice că , .
Să se determine ecuația asimptotei orizontale către la graficul funcției .
Să se arate că , .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se determine .
Să se demonstreze că funcția este crescătoare pe.
Se consideră funcția defintă prin .
Să se verifice că, pentru .
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției .
Să se demonstreze că pentru este adevărată inegalitatea .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției .
Să se arate că tangenta la graficul funcției , dusă în punctul de coordonate
, unde , este paralelă cu axa Ox.
Se consideră funcția definită prin .
Să se verifice că .
Să se arate că , .
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției
defintiă prin .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze
Să se determine intervalele de monotonie ale funcției .
Știind că este funcția definită prin să se determine .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze .
Să se determine punctele de extrem ale funcției .
Să se rezolve în ecuația .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze .
Să se determine ecuația tangentei la graficul funcței în punctul de abscisă .
Să se calculeze .
Se consideră funcția, .
Să se calculeze .
Să se verifice că .
Să se arate că funcția este descrescătoare pe intervalul .
Se consideră funcția,
Să se determine
Să se demonstreze că funcția este convexă pe .
Să se calculeze .
Se consideră funcția, .
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției .
Să se arate că
Să se demonstreze că avem .
Se consideră funcția,
Să se verifice că .
Să se arate că funcția f este convexă pe .
Să se calculeze .
Se consideră funcțiile , și
Să se verifice că pentru
Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției .
Dacă este un interval, să se demonstreze că funcția este crescătoare pe
dacă și numai dacă funcția este convexă pe .
Bibliografie:
1.) – examenul de bacalaureat – 2008
ANEXA 2
TEST DE EVALUARE
STUDIUL FUNCȚIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR
SUBIECTUL I: Exersare – 70 puncte
(20 puncte) Să se demonstreze că funcția , admite două puncte de extrem.
(20 puncte) Să se demonstreze că funcția , este descrescătoare pe .
(10 puncte) Să se arate că funcția , este concavă pe .
(20 puncte) Se consideră funcția , . Să se demonstreze că pentru este adevărată inegalitatea .
SUBIECTUL II: Sinteză – 20 puncte
Se consideră funcția definită prin .
(5 puncte) Să se verifice că .
(5 puncte) Să se arate că , .
(10 puncte) Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției defintiă prin .
NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.
Timp de lucru 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Disciplina: Matematică
Profesor: Vatamanu Simona Ionela
PROIECT DE LECȚIE
Clasa : a XI-a A
Data:
Clasa: a 11-a D
Profil: Științe ale naturii
Subiectul lecției: Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Unitatea de învățare: Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor
Tipul lecției: mixtă
Conpetențe generale :
Caracterizarea unor funcții utilizând reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare.
Interpretarea unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentarilor grafice.
Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese.
Exprimarea cu ajutorul noțiunilor derivabilitate, tabel de variație a unor proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții.
Studierea unor funcții din punct de vedere cantitativ si calitativ utilizand diverse procedee: majorări, minorări pe un interval dat, proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, aproximarea unor funcții mai simple cunoscute.
Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți.
Explorarea unor proprietăți cu caracter local și/sau global utilizând continuitatea și derivabilitatea.
Competențe specifice :
Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme.
Determinarea intervalelor de convexitate și concavitate a funcțiilor.
Determinarea punctelor de inflexiune.
Obiective operaționale:
Să identifice situațiile în care pot aplica derivata a doua a unei funcții
Să aplice algoritmi specifici calcului diferențial în rezolvarea unor probleme, în funcție de situația problemei.
Să determine punctele de inflexiune ale unei funcții, precum și intervalele de convexitate și concavitate.
Strategia didactică: activ-participativă.
Metode și procedee didactice:conversația euristică, exercițiul, demonstrația, munca independentă, problematizarea, expunerea.
Material didactic utilizat: manual clasa a-XI-a, fișe de lucru.
Tipuri de actitati: frontală și individuală.
Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a atenției, verificarea cantitativă și calitativă a temei.
FIȘĂ DE LUCRU
Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Să se determine intervalele de convexitate și intervalele de concavitate ale funcțiilor , date de formulele:
Să se determine punctele de inflexiune pentru funcțiile :
Se consideră funcția .
Să se determine știind că este punct de extrem, iar , este punct de inflexiune pentru funcția .
Pentru valorile lui găsite, să se determine intervalele de monotonie, convexitate, concavitate și punctele de extrem și de inflexiune ale funcției .
Să se determine punctele de extrem și de inflexiune ale funcției , , știind că .
Se consideră funcția .
Să se determine știind că și .
Pentru valorile lui și găsite, determinați intervalele de monotonie, convexitate și concavitate și punctele de inflexiune ale funcției .
Fie .
Să se determine știind că ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de inflexiune cu abscisa pozitivă este .
Pentru , să se studieze monotonia funcției, intervalele de convexitate-concavitate și să se afle punctele de extrem și de inflexiune ale funcției.
Softuri educaționale
Software-ul, pentru prezentarea interactivă a noilor cunoștințe, este folosit cu succes în procesul didactic. Calculatorul este o adevărată enciclopedie activă capabilă să facă utile profesorilor și elevilor un mare repertoriu de date, riguros structurat. Calculatorul vine astfel să susțină predarea, ajutând profesorul să desfășoare în condiții mai bune predarea. Noul conținut este prezentat interactiv elevilor reușind să-i determine elevi să utilizeze avantajele feed-back-ului imediat.
Calculatorul constituie un bun suport pentru învățare fiind conceput pentru a facilita învățarea subiectelor și chiar pentru a accelera asimilarea cunoștințelor și a obiceiurilor de formare. Software-ul tutorial îi ajută pe elevii cu rezultate bune să progreseze mai repede și îi ajută pe cei cu rezultate slabe în școală.
Introducerea computerelor a stat la baza acestei revoluții, iar odată cu trecerea timpului, pe măsură ce suntem conectați la smartphone-uri, tablete etc., aceste dispozitive au câștigat un loc important în sălile de clasă pentru învățare. Cărțile se înlocuiesc treptat cu materiale educaționale electronice, cum ar fi discurile optice sau dispozitivele cu stilouri.
Un sistem de învățare bazat pe predarea formalizată, dar cu ajutorul resurselor electronice este cunoscut sub numele de eLearning. ELearning-ul este definit ca un proces de învățare interactivă în care conținutul de învățare este disponibil online, iar elevul poate oferi și primi feed-back automat la activitățile de învățare.
eLearning reprezintă învățarea prin utilizarea tehnologiilor electronice și accesarea curriculumului educațional în afara unei săli de clasă tradiționale. În cele mai multe cazuri, se referă la un curs, un program de învățare care este furnizat online.
Folosind software-ul educațional, elevul beneficiază de secvențe, care pot fi etape ale lecțiilor, teste și metode de a-și fixa cunoștințele. Prin intermediul acestor secvențe, el poate accesa informații (biblioteci virtuale), poate primi o notă sau poate contacta alți elevi care lucrează la același produs.
Profesorul care are acces la programele educaționale poate alege anumite etape din lecție care sunt în concordanță cu subiectele din programa școlară, dar poate crea și secvențe bazate pe feed-backul primit de la un anumit grup de elevi sau pe strategiile pe care dorește să le folosească.
Cel mai mare avantaj îl reprezintă posibilitatea de a primi feed-back de la toți elevii din clasă care, la rândul lor, pot lucra independent, în funcție de nivelul sau abilitățile lor. Astfel, procesul educațional poate fi gândit direct pe grupul de elevi cu care profesorul lucrează, iar aceasta are loc datorită flexibilității și adaptabilității conținutului didactic educațional.
Principalul avantaj didactic al acestor lecții îl reprezintă faptul că ele implementează o metodologie de predare bine gândită, recurgând la o strategie de lucru interactivă, subiectul predat fiind prezentat într-un mod variat, cu ajutorul unor tehnici de programare specifice. Aceste tehnici apelează și declanșează abilitățile specifice ale elevului, care îi permit să învețe mai ușor. Printre aceste abilități se numără descoperirea, observarea exploratorie, demonstrația, modelarea, astfel încât elevii trebuie să răspundă la o varietate mare de întrebări și să rezolve sarcini practice.
Dezvoltarea procesului de învățare electronică este mai mult un proces dinamic, el fiind determinat de mai mulți factori, cum ar fi subiectele, nivelul de cunoaștere al publicului și mediul din care face parte clasa de instruiți. Utilizatorii joacă, de asemenea, un rol important în modul în care doresc să învețe, deoarece nu toți utilizatorii au aceeași abordare a învățării, același stil sau motivație. Un factor major care afectează procesul de învățare electronică este cantitatea de informații pe care utilizatorul dorește să o primească. Utilizatorii trebuie să decidă singuri ce informații sunt importante pentru ei într-un moment și cât de mult pot procesa. Toți acești factori au afectat foarte mult modul în care e-învățarea s-a dezvoltat de la începuturi până în prezent.
În continuare voi prezenta câteva dintre softurile ce pot fi utilizate în cadrul lecțiilor de predare-învățare-evaluare.
IV.8.1
AeL este o platformă completă de eLearning pusă la dispoziție de Siveco România proiectat pentru asistarea profesorilor, elevilor și a celorlalți participanți la procesul de învățământ.
AeL conține un pachet de lecții interactive, conceput special pentru a completa metodele de predare. Lecțiile AeL reprezintă un mod nou de a învăța, complementar celor pe care le folosesc elevii deja, ajutându-i să își formeze o imagine mai corectă despre ceea ce se predă și oferindu-le posibilitatea de a “atinge” molecule, atomi, grafice de funcții sau componente ale celulelor.
Lecțiile AeL permit vizualizarea și administrarea a numeroase tipuri de conținut educațional, precum: materiale interactive, tutoriale, exerciții, simulări, jocuri educative.
Aceste tipuri de lecții sunt optimizate atât pentru învățare împreună cu un profesor, acesta controlând în întregime lecția, creând, coordonând și monitorizând procesul educațional, dar oferă, de asemenea, facilități pentru studiu individual, în ritmul fiecărui elev.
AeL este optimizat pentru:
învățare sincronă – profesorul controlează în întregime procesul educațional, creând, adaptând și monitorizând mediul de instruire;
învățare asincronă – studiu în ritmul personal al elevilor, proiecte de colaborare;
testare și evaluare – pentru a veni în întâmpinarea nevoilor instituțiilor de învățământ de a măsura impactul și eficacitatea procesului didactic.
Principalele beneficii oferite de utilizarea platformei AeL în procesul de predare/învățare sunt:
sprijinirea procesului didactic prin mijloace informatice moderne, punând la dispoziția profesorilor un instrument complementar, flexibil și eficient;
monitorizarea procesului de instruire și a rezultatelor obținute de cursanți, atât pe perioada cursurilor, cât și după finalizarea acestora;
posibilitatea de a planifica în mod eficient resursele (profesori, săli de curs);
facilitarea procesului de învățare, mărind receptivitatea și gradul de asimilare a cunoștințelor:
stimularea multisenzorială în prezentarea informației;
activitatea de explorare/căutare individuală a informației și de operare asupra ei;
schimbul de informații și colaborarea în rezolvarea unor sarcini de lucru;
diversitatea surselor de informație;
stimularea gândirii analitice;
învățarea orientată spre rezultate.
stimularea creativității și competiției, a lucrului individual și în echipă;
posibilitatea de simulare a unor fenomene ca substitut pentru materialele și instrumentele didactice costisitoare sau dificil de procurat;
trecerea de la învățarea bazată pe memorarea mecanică a informației ("Learning by memorizing") la învățarea bazată pe experiment, pe descoperire ("Learning by doing").
Exemple de lecție de predare:
Dar și aplicații:
IV.8.2
GeoGebra este un program gratuit utilizat în multe sisteme educaționale din Europa și din lume pentru predarea și învățarea matematicii. Softul GeoGebra poate fi folosit cu succes în predarea și învățarea geometriei și algebrei la orice nivel școlar, dar și pentru înțelegerea multor noțiuni complexe ale analizei matematice de liceu. Softul GeoGebra este programat în Java și poate fi utilizat gratuit atât on-line, pe site-ul GeoGebra, cât și off-line.
GeoGebra se descarcă de pe site-ul www.geogebra.com și este ușor de instalat pe aproape orice computer cu platforme Windows, Mac OS, Linux. Softul GeoGebra are o versiune mai ușoară, adecvată pentru studiul matematicii în gimnaziu (Geometrie WebStart GeoGebra) și o versiune completă pentru liceu și învățământul superior. Tutorialele scrise și video sunt disponibile gratuit.
Geogebra este un soft gratuit folosit în geometrie (ariile unor figuri plane, construcții de figuri plane: triunghiuri, poligoane, drepte, cercuri, elipse, construcții de unghiuri, bisectoarele unghiurilor, mediatoarele laturilor unui triunghi, simetrice față de un punct, de o dreaptă), algebră vectorială (adunări și scăderi de vectori), grafice de funcții, algebră liniară (calcul matricial).
Exemple concrete utilizând Geogebra:
Rezolvarea ecuațiilor:
Am considerat două exemple, o ecuație de gradul I și o alta de gradul al II-lea pentru a ilustra soluțiile acestora.
Grafice de funcții
Am considerat funcția . Pentru acestă funcție am
afișat graficul ei, punctul de extrem, derivata dar și , după cum se poate observa în figura de mai jos.
Figuri geometrice- Am reprezentat o piramidă, am afișat aria unei fețe, volumul
piramidei și înălțimea ei.
IV.8.3
Wolfram Alpha (WolframAlpha sau Wolfram|Alpha) este un motor de căutare computațional dezvoltat de Wolfram Research. Acest serviciu online oferă răspunsuri la întrebări factuale și nu o listă de link-uri așa cum oferă motoarele de căutare obișnuite.
Wolfram Alpha a fost lansat pe 18 mai 2009 și este bazat pe un produs anterior Mathematica, o platformă computațională care integra capacități de calcul algebric, numeric, simbolic , statistica precum și facilități de afișare grafică.
Răspunsurile oferite de Wolfram Alpha constau nu în linkuri, ci în grafice, diagrame, tabele și cifre; acesta nu va oferi doar răspunsul exact, ci va prezenta o pagină ordonată cu informații suplimentare din surse verificate.
Acest motor de cautare bazat pe modele matematice si algoritmi ar putea fi ideal intr-un web semantic.
WolframAlpha are o tastatură personalizată pentru o căutare care include tastatura qwerty standard, precum și numerele și simbolurile de mai sus. Acest lucru vă oferă acces rapid la simboluri pe care le-ar trebui în mod normal să apese butonul "123" pentru a ajunge la acestea. Odată ce ați primit datele pe care le-ati căutat, rezultatele sunt afișate și acestea vor include probabil (în funcție de datele necesare) diagrame, grafice, tabele, hărți și imagini. Vă puteți extinde majoritatea secțiunilor de date pentru a vedea mai multe informații și acces la date similare. Totul pe pagina este redat ca o imagine care poate fi salvata la rola camerei , copiate , distribuite pe Twitter sau prin e-mail. De asemenea, aveți posibilitatea să copiați textul din interiorul unei imagini pentru atașarea ușoară la un e-mail sau sms . Puteți utiliza datele dintr-un rezultat ca următoarea dumneavostra căutare. WolframAlpha , de asemenea, vă permite să deschideți rezultate în Safari, să adăugați o căutare specifică la favorite pentru un acces ușor mai târziu, precum și sa utilizați un browser în aplicație pentru a afla mai multe despre un anumit subiect.
Exemplu1:
Exemplu 2:
Să se scrie ecuația tangentei pentru funcția în punctul .
Pentru calculul derivatei se poate utiliza spre exemplu aplicația gratuită https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=68f209d2f41af3d60dc1d2278ab3a002
IV.8.4
Desmos vrea să construiască o lume în care fiecare student învață matematica și iubește să învețe matematica, unde accesul unui student la puterea și frumusețea matematicii nu depinde de locul lor de naștere, de rasă, de etnie, de sex sau de orice alt aspect al identității lor. Suita gratuită de instrumente software de matematică, inclusiv renumitul Desmos Graphing Calculator și Scientific Calculator, sunt folosite anual de peste 40 de milioane de profesori și studenți din întreaga lume. Instrumentele alimentează curricula de matematică pentru mulți dintre cei mai mari editori din lume. Desmos este, de asemenea, parteneriat cu consorțiul de evaluare inteligentă echilibrată, MYP internațional de bacalaureat și alte examene naționale în SUA.
Tehnologia de vârf oferită gratuit, alimentează activitățile în clasa digitală, concepute cu gândire de profesori pentru a susține diferitele moduri în care elevii cunosc matematica. Aceste activități sunt ghidate de filozofia pedagogică și deschid o lume de posibilități pentru studenți de a explora mai profund conceptele, de a colabora cu colegii lor în soluționarea problemelor și de a aplica cunoștințele în mod creativ ca matematicieni.
În 2020, Desmos a lansat programul lor de matematică pentru școala medie, care împerechează programa școlară de învățământ mediu din SUA, din Matematica Ilustrativă și Resurse Deschisă, cu tehnologia puternică, pedagogia umanizatoare și designul intuitiv al lui Desmos. Lucrează cu o cohortă incredibilă de școli și raioane pentru a implementa și îmbunătăți în continuare acest program în anii următori.
Pentru exemplificare, voi continua exemplul 2 de mai sus unde vom reprezenta grafic utilizând Desmos (https://www.desmos.com/calculator/qtzamwcdrk)
Ecuația tangentei va fi :
IV.8.5
Kahoot ca joc online folosit într-o clasă creează un context în care se poate observa cooperarea și autonomia, distracția și competitivitatea dezvoltând astfel motivația intrinsecă. În prezent, învățarea bazată pe jocuri a devenit mai frecventă în educație. Cele mai multe lucrări de cercetare legate de acest subiect arată că învățarea bazată pe joc are un efect pozitiv în comparație cu metodele tradiționale de învățare. În ceea ce privește performanța elevilor, cercetarea a demonstrat că elevii care învață folosind învățarea bazată pe joc sunt semnificativ mai buni decât elevii care învață folosind metodele tradiționale.
Una dintre platformele de învățare bazate pe jocuri, utilizate în instituțiile de învățământ, este Kahoot. Această platformă de învățare bazată pe jocuri în timp real este disponibilă în mod liber și a câștigat o largă adeziune la nivel global, având peste 30 de milioane de utilizatori din întreaga lume. Aceasta permite profesorilor să creeze chestionare bazate pe joc, sondaje și întreceri în care participanții concurează unul împotriva celuilalt, iar câștigătorul este afișat la sfârșitul sesiunii Kahoot în tabela de scoruri.
Un avantaj important al platformei este faptul că rezultatele, inclusiv datele de analiză descriptivă, pot fi exportate și salvate de profesori pentru referințele viitoare.
Modul de lucru este relativ ușor:
– pentru a crea jocul Kahoot, instructorii trebuie să se conecteze la site-ul Kahoot
( https: // getkahoot.com);
– după alegerea opțiunii Kahoot, se pot crea întrebări folosind funcțiile disponibile;
– în final, se primește un cod generat automat. Folosind laptopul sau smartphone-ul, elevii lor pot accesa jocul utilizând aplicația Kahoot sau navigând pe site-ul www.kahoot.it. Ei vor trebui să introducă codul afișat pe ecran și să-și înregistreze numele. După începerea jocului Kahoot, elevii vor câștiga puncte pe baza răspunsurilor corecte date și pentru rapiditatea răspunsurilor.
Kahoot este folosit ca un instrument suplimentar pentru evaluarea formativă în timpul sesiunii de feed-back. Există momente specifice pentru elevi – de obicei de două ori pentru fiecare curs – în care trebuie să se adune în sala de laborator pentru o sesiune Kahoot. Pentru fiecare sesiune, se pun cel puțin 20 de întrebări. Câștigătorii fiecărui Kahoot vor fi anunțați la sfârșit, iar numele câștigătorilor vor fi afișate pe un cadru dedicat – cunoscut sub numele de "Kahooters of the Month".
Testele create în Kahoot!
Exemplu de test creat în Kahoot!
Avantajele și limitele privind utilizarea platformelor educaționale
Un sistem perfect de învățare electronică prezintă un amestec de beneficii. În teorie, sistemul de eLearning perfect va permite elevilor să învețe de la domiciliu, având în același timp sprijin și interacțiune în timp real cu alți elevi care urmează aceleași cursuri care ar putea fi dificil de realizat în cazuri reale.
Avantaje:
– este un mod convenabil de a învăța lucrurile, deoarece acestea pot fi accesate oricând, oriunde și în funcție de nevoi;
– este un sistem privat de învățare și este în mare parte flexibil pentru cursanți;
– utilizează resursele media, facilitând astfel înțelegerea;
– este repetabil deoarece conținutul este stocat în dispozitivele de stocare și de fiecare dată când elevul accesează acest conținut, același studiu poate fi reluat;
– este ușor de urmărit progresul elevilor în sistemul de eLearning;
– conținutul materialelor de învățare este compatibil pentru toți utilizatorii, indiferent de locație sau ora de acces.
Dezavantaje ale platformelor eLearning:
– Lipsesc interacțiunile față-în-față pe care le-ar obține elevii din clasă;
– Lipsa unor orientări stricte poate demotiva elevii și poate duce la abandonarea prematură a procesului de învățare;
– Este uneori dificil să se măsoare fiabilitatea sistemelor de învățare;
– Conectarea lentă la internet sau problemele de servere pot face procesul de învățare să se înrăutățească;
– Poate dura un timp până ce elevul înțelege cum funcționează platforma eLearning;
– Elevii se pot simți izolați din cauza lipsei de interacțiune socială;
– Interacțiunile în timp real pot să nu fie disponibile în momentul în care elevii au nevoie, ceea ce poate fi frustrant.
Este utilă realizarea (prin dialog frontal cu elevii) de legăturii dintre noțiunile teoretice studiate și exercițiu precum și identificarea etapelor rezolvării. De asemenea, este utilă rezolvarea de exerciții de același tip în mod tradițional, astfel încât elevii să conștientizeze asemănările și deosebirile dintre cele două abordări. În cazul de față, elevul va găsi ușor răspunsul prin utilizarea săgeților.
În concluzie, valorificarea în educație a acestor tipuri de lectii depinde de gradul în care profesorul este pregătit să le integreze în procesul educativ, precum și de resursele tehnologice disponibile.
Calculatorul tinde să devină instrument de utilitate universală, iar informatica o a doua limbă maternă, ceea ce face ca dobândirea competențelor digitale să fie o necesitate a educației în oricare dintre țările lumii. Această necesitate impune o alta, și anume cea a dezvoltării în cadrul colectivelor de profesori a unui nou mod de gândire și motivare pentru adoptarea atitudinilor deschise în ceea ce privește introducerea în procesul de învățare a instruirii asistate de calculator. Ca oricare alt mijloc didactic însă, calculatorul nu poate înlocui eficiența dialogului științific și afectiv – emoțional realizat la orele de clasă între profesor și elevi, dar nici munca individuală susținută și serioasă, necesară elevului pentru însușirea temeinică a cunoștințelor de matematică. Profesionalismul și devotamentul profesorului care împărtășește cu generozitate elevilor cunoștințele și experiența acumulată vor rămâne întotdeauna cele mai importante condiții care asigură succesul rezultatelor elevilor; utilizând mijloace didactice informatice, eforturile sale vor fi substanțial reduse, iar satisfacțiile vor fi imediate și mai mari.
Note istorice
În acest capitol am preluat de pe site-ul www.wikipedia.ro câteva informații cu caracter general despre matematicienii amintiți în această lucrare.
1. Alfred James Lotka (1880-1949)- matematician american a fost un matematician
american, chimist fizic și statisticist, celebru pentru munca sa în dinamica populației și energetic. Biofizician american, Lotka este cel mai cunoscut pentru propunerea sa de model de pradă prădător, dezvoltat simultan, dar independent de Vito Volterra. Modelul Lotka – Volterra este încă baza multor modele utilizate în analiza dinamicii populației în ecologie
Augustin Louis Cauchy ( 21 august 1789, Paris – d 23 mai 1857, Sceaux, Hauts-de-Seine) a fost unul dintre cei mai importanți matematicieni francezi. A demarat un proiect important de reformulare și demonstrare riguroasă a teoremelor de algebră, a fost unul dintre pionierii analizei matematice și a adus o serie de contribuții și în domeniul fizicii. Datorită perspicacității și rigurozității metodelor sale, Cauchy a avut o influență extraordinară asupra contemporanilor și succesorilor săi.
Cauchy a lăsat posterității un număr enorm de lucrări matematice care au fost publicate din 1882 pâna în 1974 în Opere complete. Este vorba de 27 volume ce cuprind circa 800 de articole din domeniile: algebră, analiză matematică, mecanică și teoria probabilităților.
Cauchy a îmbunătățit rezultatul teoremei lui Lagrange referitoare la rezolvare ecuațiilor algebrice generale, obținând ceea ce azi numim teorema lui Cauchy.
În algebra modernă, studiază legile de compoziție, fiind, alături de Lagrange, precursorul teoriei grupurilor.
Dezvoltă teoria determinanților și determină proprietățile principale ale acestora.
În cadrul algebrei liniare studiază ceea ce ulterior se va numi matricea lui Cauchy.
Introduce noțiunile de "modul al unui număr complex", "numere complexe conjugate".
Cauchy dă o fundamentare nouă analizei matematice. Definește riguros infinitul mic prin trecere la limită. A dat definiția continuității funcției și a studiat funcțiile cu variabile complexe.
Contribuțiile lui Cauchy în domeniul analizei matematice au fost atât de bine fundamentate, că și-au păstrat valoarea până în zilele noastre. Abia la sfârșitul secolului al XIX-lea, acestea au fost revizuite pe baza teoriei mulțimilor a lui Georg Cantor.
Deși erau utilizate în calcule, seriile și seriile de funcții nu aveau o teorie clară și bine fundamentată. În Curs de analiză, Cauchy definește riguros convergența seriilor, se ocupă în special de seriile de termeni pozitivi și de seriile trigonometrice. Mai mult, în ceea ce privește comparația seriilor, descoperă un criteriu de convergență, care azi îi poartă numele: criteriul lui Cauchy. Studiind seriile de numere întregi, obține raza de convergență, iar, în cadrul produsului a două serii, obține produsul lui Cauchy.
Câteva din contribuțiile sale:
definește șirul Cauchy;
criteriu de convergență: criteriul Cauchy; extinde rezultatele lui Bolzano;
duce mai departe lucrările lui E. Heine și Cantor privind definirea riguroasă a mulțimii numerelor reale;
demonstrează convergența seriilor geometrice;
descoperă formula Cauchy-Hadamard cu care calculează raza de convergență a unei serii de puteri;
obține produsul Cauchy al seriilor și studiază convergența acestuia;
demonstrează și întărește teorema lui Taylor;
demonstrează mai strict convergența șirului lui Euler, etc.
Fermat Pierre (1601-1665)- a fost un avocat, funcționar public și matematician francez, cunoscut pentru contribuțiile sale vaste în diferite domenii ale matematicii, precursor al calculului diferențial, geometriei analitice și calculului probabilităților. Lui Fermat îi este atribuit într-o măsură mai mică calculul modern, în special, pentru contribuția sa referitoare la tangente și punctele staționare. Fermat este considerat de unii autori "părinte" al calculului diferențial și al teoriei numerelor. A avut contribuții și în geometria analitică și probabilitate.
A aplicat calculul diferențial pentru aflarea tangentei la o curbă.
În 1639 a stabilit o metodă generală pentru rezolvarea problemelor de maxim și de minim, metodă care ulterior a devenit celebră.
A descoperit derivata funcției putere.
A rezolvat cuadratura parabolei și a hiperbolei. A calculat aria foliului lui Descartes și a buclei lui Agnesi.
A stabilit că subtangenta la cisoidă este proporțională între cele trei segmente cunoscute și pe baza acesteia a executat construcția tangentei la cisoidă.
A descoperit și a studiat spirala care îi poartă numele (spirala lui Fermat).
Între 1636 și 1658 a creat teoria numerelor: s-a ocupat de divizibilitatea numerelor și a stabilit un procedeu pentru aflarea sistematică a tuturor divizorilor unui număr. De numele lui Fermat sunt legate două probleme principale din teoria numerelor:
Marea teoremă a lui Fermat, în cazul când nu poate avea ca rădăcini numere întregi, problemă rezolvată abia în 1994 de către Andrew Wiles.
Mica teoremă a lui Fermat: dacă numărul prim p nu divide pe a, atunci demonstrată mai târziu de Euler.
Fermat s-a ocupat mult cu numerele perfecte, a arătat legătura acestora cu alte probleme de teoria numerelor.
În domeniul algebrei, Fermat a furnizat o metodă de eliminare a unei necunoscute între două ecuații cu două necunoscute și a întreprins numeroase cercetări în legătură cu teoria ecuațiilor. A aplicat algebra în geometrie prin rezolvarea unor ecuații pe cale geometrică (rezolvarea grafică a ecuațiilor). A rezolvat ecuații cu numere întregi, precum și cuadratura a mai multor curbe.
Fermat este unul dintre precursorii calculului probabilităților și a contribuit la deschiderea unei noi etape în teoria combinărilor. L-au preocupat și pătratele magice. A creat o serie de probleme recreative cu caracter paradoxal, cum este paradoxul vârstei. Este autorul unor probleme de mecanică. A inventat un aerometru și un hidroscop.
4.L’Hospital (Guillaume Francois Antoine (1661-1704)-matematician francez.
Numele său este legat de ceea ce în analiza matematică avea să fie ulterior denumită regula lui l'Hôpital. Tânărul l'Hôpital ar fi urmat aceeași carieră militară ca și tatăl său, dar datorită unor probleme cu vederea (miopie) renunță și urmează calea studiului matematicii, domeniu spre care avea înclinație încă din copilărie.
5.Lagrange, Joseph Louis (1736-1813), faimos matematician francez care a adus numeroase contribuții în matematică și mecanică, fiind considerat cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Napoleon l-a supranumit „piramida grandioasă a științelor matematice”.
În matematică, Lagrange este considerat fondator al calculului variațiilor (simultan cu Euler) și al teoriei formelor pătratice. A demonstrat teorema lui Wilson pentru numere prime și conjectura lui Bachet referitoare la descompunerea unui număr întreg în patru pătrate perfecte. Numele său apare aproape peste tot în matematică. Astfel, este celebră teorema din teoria grupurilor care îi poartă numele, o altă teoremă referitoare la fracțiile continue, precum și ecuația diferențială a lui Lagrange.
În analiza matematică el a dat formula restului pentru dezvoltările în serie Taylor, formula creșterilor finite și formula de interpolare; a introdus metoda multiplicatorilor pentru rezolvarea problemei aflării extremelor condiționate.
În algebră a elaborat teoria ecuațiilor (a cărei generalizare este teoria lui Galois), a găsit metoda de calcul aproximativ al rădăcinilor ecuațiilor algebrice cu ajutorul fracțiilor continue, metoda de separare a rădăcinilor ecuațiilor, algebrice, metoda de eliminare a variabilelor dintr-un sistem de ecuații.
În domeniul ecuațiilor diferențiale, Lagrange a elaborat teoria soluțiilor singulare, precum și metoda variației constantelor.
În fizică, precizând principiul minimei acțiuni și utilizând calculul variațiilor, el a descoperit funcția care satisface ecuațiile Lagrange, funcție care îi poartă numele.
A dezvoltat mecanica analitică, introducând metoda multiplicatorilor Lagrange (1788).
S-a implicat, de asemenea, în astronomie, efectuând cercetări ample cu privire la problema celor trei corpuri, unul din rezultatele sale fiind punerea în evidență a punctelor de oscilare („punctele lui Lagrange”) în 1772.
O teoremă celebră îi este atribuită: Teorema lui Lagrange. Teorema lui Lagrange se mai numește și prima teoremă a creșterilor finite sau prima teoremă de medie.
6.Rolle Michel (1652-1719)- matematician francez, care a demonstrate pentru prima dată teorema pentru funcții polinomiale, cu contribuții importante la istoria calculului diferențial și integral. Este cel mai cunoscut pentru Teorema lui Rolle (1691) și co-inventator al algoritmului lui Gauss (1690).
7.Vito Volterra (1860-1940)- matematician și fizician italian de origine evreiască, cunoscut pentru contribuțiile sale din biologie matematică și ecuații integrale, în special ecuația Lotka-Volterra care descrie dinamica sistemelor biologice în care doar 2 specii interacționează, prădătorul și prada.
8.Thomas Robert Malthus (1766 – 1834) a fost un teoretician economic englez, fondatorul teoriei care îi poartă numele, conform căreia populația crește în progresie geometrică, în timp ce mijloacele de subzistență cresc în progresie aritmetică. Teoria sa este cunoscută sub numele de malthusianism; ca o consecință a acestei relații dintre populație și starea economică, Malthus consideră că sărăcia, bolile, epidemiile și războaiele sunt factori pozitivi pentru omenire, dat fiind că asigură echilibrul între numărul populației și cantitatea mijloacelor de subzintență.
Concluzii
Concluzie
Derivata și-a găsit o largă utilizare:
a) în algebră și analiza matematicii la studiul funcțiilor și construirea graficelor lor;
b) în fizică, la rezolvarea problemelor de determinare a vitezei și accelerației la mișcarea neuniformă, densității unui corp eterogen etc.
c) în trigonometrie, la determinarea unghiului format de tangentă la curbă și axa pozitivă Ox, precum și în geometrie, astronomie, aerodinamică, chimie și economie, biologie și medicină.
Aplicații online folosite:
https://www.desmos.com/calculator
https://www.geogebra.org/classic?lang=ro
Webografia
https://www.math.uaic.ro/~gavrilut/depozit/Culegere%20Analiza%202_%20Gavrilut- Croitoru-Varianta%201.pdf accesat la data 31.05.2020.
https://www.math.uaic.ro/~gavrilut/depozit/Culegere%20Analiza%202_%20Gavrilut- Croitoru-Varianta%201.pdf accesat la data de 08.07.2020
https://www.math.uaic.ro/~gavrilut/depozit/Culegere%20Analiza%202_%20Gavrilut- Croitoru-Varianta%201.pdfaccesat la data de 28.07.2020
Aplicații online folosite:
https://www.desmos.com/calculator
https://www.geogebra.org/classic?lang=ro
https://www.scilab.org/tutorials?field_tutorials_tid=15
Site-uri folosite
https://www.math.uaic.ro/~gavrilut/depozit/Culegere%20Analiza%202_%20Gavrilut- Croitoru-Varianta%201.pdf la data 31.05.2020.
https://www.math.uaic.ro/~arnautu/depozit/N03R.pdf accesat la data de 08.07.2020
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT [309308] (ID: 309308)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.