Ordinea efectuării operațiilor [309278]

CUPRINS

INTRODUCERE

1. Motivarea alegerii temei lucrării

2. Importanta, rolul și locul matematicii în învățământul primar

CAPITOLUL I [anonimizat]

I.1. [anonimizat]

I.2. Noțiunea de problemă rezolvarea problemelor

I.3. Importanța rezolvării problemelor

I.4. Etapele rezolvării de probleme

I.4.1. Cunoașterea enunțului problemei

I.4.2. Înțelegerea enunțului problemei

I.4.3. Analiza problemei și întocmirea planului logic

I.4.4. Alegerea și efectuarea operațiilor în ordinea corespunzătoare

I.4.5. Activități suplimentare după rezolvarea problemei

I.5. Formarea competenței de rezolvare a problemelor la clasele I-IV

I.5.1. Definirea competenței

I.5.2. Componentele structurale ale unei competențe

I.5.3. Relația: competență-comportament-performanță

I.5.4. Formarea și dezvoltarea competenței de a rezolva probleme de matematică

CAPITOLUL II METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR LA CLASELE C.P. -IV

II.1.Clasificarea problemelor

II.1.1.După finalitate și după sfera de aplicabilitate

II.1.2.După numărul operațiilor

II.1.3.După conținutul specific

II.1.4.După metoda folosită în rezolvare

II.1.5.După gradul de complexitate

II.2.Rezolvarea problemelor simple

II.2.1.Probleme rezolvate

II.2.2.Probleme propuse

II.3.Rezolvarea problemelor compuse

II.3.1.Probleme rezolvate

II.3.2.Probleme propuse

II.3.3.Metoda sintetică

II.3.4.Metoda analitică

II.4.Rezolvarea problemelor tipice

II.4.1.Metoda figurativă

II.4.1.1.Figurarea prin desen

II.4.1.2.Figurarea prin segmente de dreaptă

II.4.2.Metoda comparației

II.4.3.Metoda falsei ipoteze

II.4.4.Metoda mersului invers

II.5.Rezolvarea problemelor cu mărimi proporționale

II.6.Rezolvarea problemelor de mișcare

II.7.Rezolvarea problemelor cu conținut geometric

II.8.Rezolvarea problemelor nonstandard

II.9.Rezolvarea problemelor folosind metode euristice

II.9.1.Metoda Ciorchinele

II.9.2.Metoda Gândiți / lucrați în perechi / comunicați

II.9.3.Metoda Știu / vreau să știu / am învățat – S.V.I.

II.9.4.[anonimizat].9.5.Metoda instruirii programate

II.9.6.Metoda Brainstormin

II.9.7.Metoda Cubul

II.10.Factori care pot influența eficiența metodelor de rezolvare a problemelor

CAPITOLUL III COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRI APLICATIVE

III.1. Ipoteza, obiectivele și etapele cercetării

III.2. Metode de cercetare utilizate pentru colectarea datelor

III.2.1. Metoda observației

III.2.2. Experimentul

III.2.3. Metoda analizei produselor activității și a cercetării documentelor

III.2.4. Convorbirea

III.2.5. Metoda testelor

III.2.6. Eșantionul experimental

CAPITOLUL IV ANALIZA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR

IV.1. Evaluarea inițială

IV.1.1. Prelucrarea datelor

IV.1.2. Interpretarea datelor

IV.2. Evaluarea formativă

IV.2.1. Prelucrarea datelor

IV.2.2. Interpretarea datelor

IV.3. Evaluarea finală (sumativă)

IV.3.1. Prelucrarea datelor

IV.3.2. Interpretarea datelor

IV.4. Analiza și evaluarea progreselor

CONCLUZII

ANEXE

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Motivarea alegerii temei lucrării

Preocuparea actuală de modernizare a învățământului și de racordare a [anonimizat], [anonimizat], care să activeze elevul și să îl transforme în coparticipant la propria sa formare.

În același context actual de modernizare a învățământului, eforturile de implementare a unui învățământ matematic de calitate ocupă un rol prioritar. Nu se poate vorbi de cultură modernă în absența matematicii, deoarece, indiferent de domeniul în care activează, omul modern trebuie să posede o bună pregătire matematică pentru a soluționa multiplele probleme ale vieții. Din aceste motive, este esențială formarea convingerii la elevi că această disciplină este una a realității, având o aplicabilitate practică imediată.

Rezolvarea euristică a problemelor de matematică contribuie la clasificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu, dar și cere elevilor eforturi de gândire care să fie îndreptate spre un anumit scop, care necesită orânduirea judecăților într-o anumită ordine, fapt ce datermină formarea unei gândiri logice, coerente. Este necesar ca problemele propuse spre rezolvare să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunțarea clară, conform experienței de viață a elevului, nivelului său intelectual și mai ales gradului său de pregătire.

Am ales ca temă de cercetare Euristica rezolvarii problemelor de matematică având convingerea că studierea mai amplă a problematicii rezolvării problemelor va contribui la creșterea eficienței muncii și măiestriei profesionale. Tema aleasă are menirea de a aborda, pe baza documentării teoretice și experienței practice la catedră, diferite modalități de rezolvare a obiectivelor pe care le urmărește predarea matematicii în general și în mod special dezvoltarea gândirii elevilor pe baza rezolvării și compunerii de probleme.

Din experiența la catedră am constatat că numai ceea ce se dobândește prin mult efort propriu este temeinic. Ca urmare a acestei constatări am căutat să folosesc în activitatea desfășurată acele metode și procedee care să-i activeze pe elevi, să-i facă să persevereze în munca desfășurată, dându-le încredere în forțele proprii prin încurajări și aprecieri deosebite la adresa muncii desfășurate.

Tema aleasă Euristica rezolvarii problemelor de matematica a fost supusă cercetării pe parcursul unui an școlar, la clasa I de la Școala Gimnazială „Alexandru Ioan Cuza” Bacău, perioadă în care am aplicat probe care au cuprins compunere și rezolvare euristică de probleme.

Datorită diversificării conținuturilor ce trebuie asimilate de elev și verificate de cadru didactic, metodele și tehnicile moderne, au cunoscut o îmbogățire rapidă. Modernizarea învățământului românesc, centrarea acestuia pe calitate, inclusiv a evaluării, a dat naștere unor controverse în rândul practicienilor mai ales, care se împart în tabere pro și contra reformă. În cele mai multe cazuri, această discriminare este făcută în funcție de vârstă, de convingerile fiecăruia și de percepția pe care o au asupra noului.

Toate aceste lucruri m-au convins că activizarea elevilor este o componentă importantă a procesului didactic și că merită să fie investigată în profunzime, pentru a-și putea realiza scopurile cu care este investită și a fi proiectată, aplicată și valorificată corespunzător.

Scopul și obiectivele temei / cercetării

Alegerea acestei teme are ca scop îmbinarea instruirii cu alte metode și mijloace curente și forme de organizare, care să constituie o modalitate eficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor. Învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare-învățare, să acționeze pentru a-și valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un subiect creator în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor didactice. Pin intermediul motivațiilor care sunt subordonate scopului activității de predare-învățare-evaluare, învățătorul dinamizează acțiunea didactică, într-o perspectivă pronunțat formativă.

Ipoteza de lucru

Pornind de la aceste considerente, lucrarea dorește să demonstreze că utilizarea euristicei de rezolvare a problemelor în lecțiile de matematică, reprezintă o cerință fundamentală, cu multiple valențe formative în dezvoltarea operațiilor gândirii, cale care duce la creșterea randamentului școlar.

Experiența didactică m-au îndreptățit să verific importanța folosirii metodelor active, de aceea pe parcursul acestei lucrări atât prin fundamentarea științifică, psihopedagogică și metodologică să pornesc de la următoarea ipoteză de lucru: Dacă în actul predării-învățării sunt folosite cu eficiență euristica de rezolvare a problemelor de matematică, cu multiple valențe formative în dezvoltarea operațiilor gândirii, atunci acestea vor duce la creșterea randamentului școlar iar rezultatele elevilor vor fi mult îmbunătățite.

Structura lucrării

Coroborând aspecte din experiența proprie cu cele din literatura de specialitate, am desprins în lucrarea de față, câteva aspecte care mi-au reținut atenția prin tangențele pe care le au cu subiectul temei de cercetare. Astfel, prima parte cuprinde fundamentarea teoretică a problemei, urmată de partea a doua, practică, în care sunt prezentate testele susținute, interpretarea datelor obținute și concluziile extrase. Lucrarea este structurată în patru capitole cu subcapitolele adiacente.

Capitolul I Rezolvarea problemelor, cadru optim pentru dezvoltarea gândirii elevilor debutează cu o prezentare curriculară a programei, o tratare teoretică de ansamblu a particularităților fizice și psihice ale școlarului mic, cu implicațiile sale în învățarea matematicii și continuă cu expunerea teoriei și fundamentării didactice a formării noțiunilor matematice și a limbajului matematic.

Capitolul II Metodologia rezolvării problemelor la clasele I-IV aritmetice fundamentează științific conceptele și noțiunile matematice prevăzute în programa școlară: elemente de logică, mulțimi, relații, funcții, număr natural.

Capitolul al III-lea Coordonate metodologice ale cercetări aplicative insistă pe integrarea strategiilor de activizare a elevilor centrate pe activități de grup, în actul didactic matematic, fapt demonstrat în urma efectuării unei cercetări de tip ameliorativ-experimentală. În acest capitol sunt descriși pașii cercetării aplicative privind dezvoltarea potențialului creativ al elevilor prin utilizarea euristicei de rezolvare a problemelor. Sunt stabilite obiectivele și ipoteza cercetării, eșantioanele și etapele cercetării și descrise principalele metode de cercetare utilizate în derularea cercetării.

Sunt proiectate și derulate un demers metodic centrat pe dezvoltarea potențialului creativ al școlarilor, evidențiind aspecte din activitățile desfășurate în care sunt utilizate metode interactive de grup. Apoi am descris probele de creativitate aplicate în demararea cercetării.

Capitolul al IV-lea Analiza și interpretarea rezultatelor insistă pe integrarea strategiilor euristice de rezolvare a problemelor, de activizare a elevilor în actul didactic matematic, fapt demonstrat în urma analizei și interpretării unei cercetări de tip ameliorativ-experimentală.

Prin urmare, folosirea unor strategii euristice de rezolvare are un efect formativ eficient și face ca elevul să devină practic un participant activ în procesul învățării, un cercetător al frământărilor și reușitelor lui. Cercetarea a fost realizată pe parcursul anului școlar 2018 – 2019 pe un eșantion experimental – clasa I B de la Școala Gimnazială Alexandu Ioan Cuza Bacău.

În urma analizei fiecărui tip de evaluare am analizat noi strategii de ameliorare a obiectivelor mai puțin realizate. Concluziile finale și bibliografia consultată vin să întregească această lucrare.

Importanta, rolul și locul matematicii în învățământul primar

Matematicii îi revine un rol esențial în formarea și dezvoltarea intelectuală a elevului. A studia matematică înseamnă a investiga, a explora și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii.

Învățând corect matematica elevii își formează deprinderea de concentrare a atenției asupra celor studiate, de a observa diferite fapte și relații, de a le compara și a le confrunta. Rezolvarea problemelor este forma primară a muncii creatoare, de studiu a copilului, rezultat al activității comune între gândire și imaginație.

Profilul de formare-componentă reglatoare a curriculumului național care descrie așteptările față de absolvenți, fundamentându-se pe cerințele sociale și pe caracteristicile psiho-pedagogice ale elevului, include printre capacitățile, atitudinile și valorile ce trebuie formate la elevi și dezvoltarea gândirii critice-domeniu în care rolul matematicii este unul esențial. Gândirea critică presupune:

utilizarea, evaluarea și ameliorarea permanentă a unor strategii proprii pentru rezolvarea de probleme;

elaborarea unor modele de acțiune și de luare a deciziilor adecvate într-o lume dinamică;

formarea și utilizarea unor deprinderi de judecată critică;

folosirea unor tehnici de argumentare variate în contexte sociale diferite.

Învățătorul trebuie să organizeze activități centrate pe valorificarea cunoștințelor și deprinderilor de utilizare a conceptelor matematice în contexte motivante pentru elevi, insistând pe aplicarea acestora în situații variate. Generalizările matematice, aprecierea validității unor calcule, crearea de exerciții și probleme folosind tehnici variate, găsirea unor strategii alternative de investigare și rezolvare a problemelor, căutarea soluțiilor dincolo de cadrul strict al celor învățate, se constituie în oportunități de exersare a gândirii critice, creative.

Importanța studierii matematicii este subliniată și de prevederile Uniunii Europene în domeniul educației (Recomandare cu privire la competențele cheie, 2006). În contextul în care globalizarea ridică noi probleme, fiecare cetățean trebuie să aibă un set de competențe- cheie care să-l ajute să se adapteze într-o lume care evoluează rapid, caracterizată printr-un nivel ridicat de interconexiune. Cadrul de referință descrie opt competențe cheie, între care și competențe matematice șiccompetențe de bază în științe și tehnologii. Competența în matematică este capacitatea de a dezvolta și aplica un raționament matematic, pentru a rezolva diferite probleme ale vieții de zi cu zi. Bazat pe o solidă stăpânire a calculului, accentul se pune pe raționament și pe activitate, precum și pe cunoștințe. Competența în matematică implică, în diferite grade, capacitatea și disponibilitatea de a folosi tipuri de gândire matematică (gândirea logică și spațială) și modalități de prezentare (formule, modele, construcții grafice/diagrame).

Contribuția matematicii la formarea și dezvoltarea competențelor cheie europene este nuanțată și diversificată, incluzând atât contribuția directă la formarea și dezvoltarea unei competențe cheie din sfera matematicii, cât și contribuția indirectă/transversală la formarea și dezvoltarea altor competențe cheie: comunicare în limba română, comunicare în limbi străine, competență digitală, sensibilizare și exprimarea culturală, competențe sociale și civice, a învăța să înveți, spirit de inițiativă și antreprenoriat.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsurări. Sensul major al referințelor actuale în predarea-învățarea matematicii este mutarea accentului de pe predarea de informații pe formarea de capacități.

Apelând la o formulă sintetică, tabelul următor include cunoștințe, deprinderi și atitudini vizate explicit, sau implicit, prin studiul matematicii la ciclul primar, reflectate de noile abordări curriculare pentru această disciplină.

Finalități ale studierii matematicii în ciclul primar

Locul și rolul matematicii în cadrul Curriculumului Național

Problematica locului și a rolului matematicii în cadrul Curriculumului Național românesc trebuie abordată în contextul mai larg al reformei curriculare, segment individualizat în cadrul amplei reforme a învățământului.

Pe baza unor elemente definitorii regăsite în diversele abordări contemporane ale conceptului, literatura pedagogică actuală operează cu următoarea definiție: curriculumul se referă la oferta educațională a școlii și reprezintă sistemul experiențelor de învățare directe și indirecte oferite educaților și trăite de aceștia în contexte formale, neformale și chiar informale. El rămâne realitatea interactivă între educatori și educabili, cu efecte concrete, anticipate realist asupra celor din urmă și asupra procesului însuși. Se pune accentul așadar pe experiența de învățare propusă elevilor, ca element declanșator al formării acestuia, precum și pe relația fundamentală elev-cadru didactic, ca deținătoare de calitate și evoluție.

Dinamismul ce caracterizează în prezent științele educației nu este străin nici de domeniul curriculumului. Reforma curriculară este una din componentele esențiale ale reformei învățământului, care se referă la regândirea planurilor de învățământ, a programelor și a manualelor, dar mai ales la schimbări în planul practicii educaționale, în ceea ce privește organizarea experiențelor de învățare și formare prin asigurarea interdependențelor necesare între obiectivele educaționale, conținuturile învățământului, strategiilor instructiv-educative și strategiile de evaluare. Reforma curriculară oferă astfel un argument în plus, pe lângă cele rezultate din teoriile contemporane asupra învățării școlare în susținerea necesității unei metodologii didactice axate pe metode activ-interactiv-incluzive, întrucât Curriculumul Național, ce operează în prezent, susține o schimbare a practicilor educative, în sensul accentuării individualizării demersurilor de învățare propuse elevilor.

În cadrul noului Curriculum, Aria curriculară Matematică și Științe ale naturii se focalizează pe:

formarea capacității de a construi și interpreta modele și reprezentări adecvate ale realității;

interiorizarea unei imagini dinamice asupra științei, înțeleasă ca activitate umană în care ideile științifice se schimbă în timp și sunt afectate de contextul social și cultural în care se dezvoltă;

construirea de ipoteze și verificarea lor prin explorare și experimentare.

Studiul matematicii la clasele primare își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază, vizând calculul matematic, noțiuni introductive de geometrie, măsurare și măsuri.

În ansamblul său, noua programă vizează o serie de schimbări în abordarea conținuturilor, în ceea ce se așteaptă de la elev, schimbări în concepția privind predarea, învățarea, evaluarea. Sunt preconizate următoarele arii de intervenție și dezvoltare:

schimbări în abordarea conținuturilor-înlocuirea conținuturilor teoretice cu o multitudine de contexte problematice care să dezvolte capacitățile matematice ale elevilor;

schimbări în așteaptările elevului-aplicarea mecanică a unor algoritmi va fi înlocuită cu elaborarea și folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;

schimbări în învățare-schimbarea accentului de la activități de memorare la activități de explorare-investigare, stimularea atitudinii de cooperare;

schimbări în predare-schimbarea rolului învățătorului de la transmițător de informații la cea de organizator de activități variate de învățare pentru toți copiii, indiferent de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia.

Matematica este prevăzută în planurile-cadru pentru clasele P.-IV cu plajă orară, fiind alocate trei-patru ore/săptămânal. Învățătorul, în funcție de structura colectivului de elevi și de nevoile educaționale ale acestora, poate opta pentru o schemă orară bazată pe combinația optimă între curriculum-nucleu, curriculum-aprofundat, curriculum-extins, curriculum opțional.

Pentru o imagine de ansamblua noilor conținuturi ale învățării la disciplina matematică, tabelul următor prezintă o schematizare și sistematizare a acestora pe clase și domenii conceptuale (numerație, operații cu numere, elemente de geometrie și măsurarea mărimilor).

Conținuturile învățării la matematică în ciclul primar

CAPITOLUL I

REZOLVAREA PROBLEMELOR, CADRU OPTIM PENTRU DEZVOLTAREA GÂNDIRII ELEVILOR

I.1. Aspecte psiho-pedagogice ale dezvoltării copiilor cu implicații în învățarea matematicii

Fiecare disciplină care se studiază la școală are menirea de a construi și reconstrui logic și progresiv în structurile mentale ale elevului un sistem de cunoștințe științifice, care să se apropie de logica științei respective. Matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate. Ca abstracțiuni ale abstracțiunilor, ele se construiesc la diferite etaje prin inducție, deducție, transducție.

Logica didactică a învățământului matematic are drept temei logica internă a științei matematice, dar se construiește ținând seama și de particularitățile psihice ale celor care învață matematica.

Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică se manifestă printr-o proprietate esențială, anume aceea de a fi concret-intuitivă. Școlarul mic gândește mai mult operând cu mulțimi concrete, în ciuda faptului că principiile logice pretind o detașare progresivă de bază concretă, iar operațiile cer o interiorizare, adică o funcționare pe plan mental. În acest cadru teoretic se înscrie și cerința ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice la clasele mici să ia în considerare formele și operațiile specifice gândirii copilului. Perioada se caracterizează prin apariția grupărilor operaționale care permit conceptualizări și coordonări de concepte. Grupările se constituie, se complică și perfecționează în acest stadiu, iar prin generalizarea unor date rezultă situații concrete, intuitive și ele prefigurează grupul operațiilor formale.

Structurile operatorii, luate în sine, sunt abstracte și definesc o logică calitativă (a ordinii și claselor), dar conținutul lor rămâne în mare măsură concret, deoarece se reflectă asupra obiectelor și relațiilor concrete dintre ele. Operațiile concrete, în rândul cărora clasificarea constituie operația principală, se exercită asupra realității concrete sau asupra reprezentărilor și efectuează conservările progresiv, trecând de la o categorie la alta–după cum observa Piaget–uneori prin decalaje între domenii de 2-3 ani (la vârsta de 7-8 ani, copiii admit conservarea materiei, către nouă ani recunosc conservarea greutății și abia la 11-12 ani, conservarea volumului). Surprinderea invariației, deci a ceea ce este constant și identic în lucruri, se bazează pe capacitatea de a coordona între ele operațiile gândirii, de a le grupa în sisteme unitare, în cadrul cărora devine posibilă reversibilitatea, capacitatea de efectuare în sens invers a drumului de la o operație la alta (exemplu: copilul apreciază că firul subțire din plastilină cântărește tot atât cât bucata sferică inițială pentru că este tot atâta, deci, cantitatea nu s-a schimbat).

Reversibilitatea prin inversiune (adunare-scădere, înmulțire-împărțire, asociere-disociere etc.) se produce simultan, fără desfășurări fazice. Este un fenomen caracteristic minții omenești care poate să se miște simultan în sensuri opuse și astfel să conserve invariantul în conceptul care este întotdeauna general. Există și o reversibilitate prin reciprocitate (A este fratele lui B precum B este fratele lui A) care își întârzie constituirea în acest stadiu și rămâne detașată de reversibilitatea prin inversiune.

La finalul studiului operațiilor concrete se produce o reorganizare a structurilor operatorii și o ierarhizare a lor, astfel încât să constituie, la un nivel de integrare mai înalt, supraordonat, mecanismele de coordonare logică și matematică. Prin această operare supraordonată ce se exercită asupra altor șiruri operaționale (cele concrete) controlând corectitudinea lor ca atare (indiferent de conținut) intelectul trece treptat, între 12-17 ani, în stadiul său superior, care este cel denumit stadiul operațiilor formale.

Caracteristicile stadiului gândirii concrete generează și unele opțiuni metodologice bazate pe strategii alternative destinate formării și învățării conceptelor matematice. În acest sens, prioritate va avea nu atât stadiul strict delimitat în care se găsesc elevii din punct de vedere al vârstei, cât, mai ales, zona proximei dezvoltări a capacităților intelectuale ale acestora. Aceasta nu înseamnă o situație exactă în stadiu și nici a sări în predare-învățare cu mult peste posibilitățile copiilor. Esențial este ca formarea noilor noțiuni și operații mintale să pornească de la modele concrete. Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea conceptelor și pentru formarea operativității matematice.

Toate acestea ne conduc la idea că gândirea logică la clasele mici nu se poate dispensa de intuiție, de operațiile concrete cu mulțimi de obiecte. De aceea procesul de predare-învățare a matematicii la clasele P.-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuniconcrete, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv operații logice, abstracte. Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, la niveluri succesive, unde relația dintre concret și logic se modifică în direcția esențializării realității. În acest proces trebuie valorificate diverse surse intuitive: experiența empirică a copiilor, materializarea realității înconjurătoare, operații cu mulțimi concrete de obiecte, limbajul grafic. Astfel, se pot ilustra noțiunile de mulțimi, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune etc., cu obiecte reale (caiete, cărți, bănci) și cu obiecte cunoscute de elevi (păsări, copaci, flori). Însușirea caracteristică a obiectelor ce aparțin mulțimii respective este intuită de copii, sesizată prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificare a obiectelor care au însușirea de a caracteriza mulțimea respectivă și aparțin acesteia.

Prin compararea mulțimilor, prin procedeul formării perechilor, se poate face apel la cărți, caiete, scaune-elevi, pentru mulțimile cu tot atâtea elemente se pot compara mulțimi ca elevi-paltoane, ghiozdane-elevi. Putem efectua cu elevii clasificări de genul: băieți – fete = copii, câine–pisică=animale domestice, urs – lup = animale sălbatice, vrăbiuță – rândunele= păsărele etc.

Școala are sarcina să dezvolte la copii trăsături ale gândirii, cum sunt: perspicacitatea, spiritul critic și inovator, flexibilitatea, originalitatea, fără de care nu se poate concepe o gândire creatoare. Una din sarcinile procesului instructiv-educativ este aceea de a-l ajuta pe micul școlar să depășească inerția mentalității empirice cu care era obișnuit, să combată învățarea prin reproducere textuală a cunoștințelor. Realizarea acestei sarcini este posibilă prin libertatea pe care trebuie să o lăsăm elevilor ca, în fața unei probleme, să aducă sugestii cât mai multe, să emită păreri, idei, propuneri de rezolvare.

Punând pe elev în situația de a se ridica de la concret la abstract, de a extrage esențialul în modalități diferite, de a descoperi operații și situații noi, oferim căi de formare a unei gândiri flexibile și creatoare.

O evidentă însemnătate o are orientarea și concentrarea atenției elevilor asupra celor ce se discută în cadrul unei lecții. Atenția este trezită imediat de ceea ce este nou. Materialul intuitiv trebuie să fie mare, în culori contrastante. Mișcarea, variația atrag atenția. Preocuparea de a trezi interesul copiilor are o importanță esențială în procesul învățării. Un rol hotărâtor îl are și intervenția învățătorului prin cuvânt. Memoria este cu atât mai temeinică, cu cât mai activă este învățarea.

În clasele ciclul primar se formează noțiunile matematice elementare, de bază, cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic. Sub aspectul funcției instrumentale, tot acum, se formează instrumentele mentale de bază (deprinderi de calcul, de rezolvare a problemelor, de măsurare etc), unele aptitudini și abilități ale gândirii, precum și aptitudini și abilități ale învățării.

Formarea noțiunilor matematice de-a lungul micii școlarități și impactul psihologic al acestora

Problema vârstei la care se poate începe formarea noțiunilor matematice a preocupat mult specialiștii din domeniul pedagogiei și psihologiei, iar rezultatele au stabilit că primele noțiuni abstracte se pot forma începând cu vârsta preșcolară.

Nu se poate afirma că orice copil are o anumită înclinație pentru matematică începând cu cea mai fragedă vârstă, dar el poate fi înzestrat cu unele premise psihologice ale ei. Aptitudinea matematică se structurează pe baza acelor premise, dar numai în contact activ și repetat cu matematica.

Ereditatea determină doar potențialitățile unor procese cognitive, ale unor particularități ale proceselor de gândire. În contactul activ cu lumea obiectelor și a fenomenelor, cu societatea și cultura, cu știința și tehnica, posibilitățile native se transformă în realități psihologice, în funcții și operații mintale (analiză-sinteză, abstractizare și generalizare, clasificare și scriere), formând condițiile interne, subiective ale receptivității matematicii. Condițiile interne, la rândul lor, în cazul apropierii active și sistematice ale copilului de matematică, se modelează după natura și structura activității matematice, depind de gradul de dezvoltare a funcțiilor mintale necesare pentru formarea aptitudinii, de felul contactului cu matematica, de măsura în care acest contact are un caracter activ sau pasiv, de metodele învățământului matematic, de factorii motivaționali, de personalitatea învățătorului.

Implicațiile psihologice ale contactului școlarului mic cu noțiunile de matematică

Pentru o ilustrare a modului de formare a noțiunilor matematice la ciclul primar, am considerat oportună prezentarea unor caracteristici ale procesului de conceptualizare a acestora însoțite de sugestii metodologice.

Exemplificare-Procesul de conceptualizare la matematică (selectare a notelor comune, efort de prelucrare, transformare, structurare, fundamentat pe operațiile de abstractizare și generalizare).

Clasa I

Conceptualizarea presupune următoarele elemente:

Interacțiunea dinamică dintre particular și general, dintre concret și abstract

Consecințe didactice-adesea în procesul de conceptualizare, strategiile inductive, deductive și cele analogice prin care se introduc, se asimilează și se operaționalizează conceptele, se împletesc și se susțin reciproc.

Exemplu:

În extinderea conținutului conceptului de lungime, prin introducerea metrului ca unitate de măsură a lungimii, se poate proceda:

– inductiv-se pornește de la măsurarea cu palma, creionul, cotul, pasul și piciorul a lungimii unor obiecte; se observă, se analizează rezultatele împreună cu elevii și se desprinde necesitatea introducerii unei unități de măsură unice: metrul;

– analogic-se pot introduce unitățile de măsurat masa prin analogie cu unitățile de măsurat capacitatea.

Interdependența funcțională dinamică între conceptele între care se stabilesc interacțiuni și care sunt structurate logic, structural, funcțional;

Consecințe didactice: câmpul conceptual/aura conceptuală poate depăși domeniul disciplinei.

Exemplu:

Conceptul figuri geometrice este studiat la disciplina Matematică, dar și la disciplina Educație plastică prin subiectul Figuri geometrice, având ca activitate de învățare: exerciții de realizare a unui contur din puncte foarte apropiate între ele.

Structurare-caracteristica se referă la specificul integrativ și dinamic al conceptelor;

Consecințe didactice: în proiectarea și organizarea predării se vor avea în vedere achizițiile concrete, precise ale copiilor și posibilitățile de relaționare a acestora cu alte concepte de interes.

Exemplu:

Conceptul de valoare este strâns legat de o serie de alte concepte. Introducerea noțiunii de valoare ridică probleme metodico-științifice complexe. Înțelegerea conștientă a noțiunii de valoare va permite degajarea ideii de măsurare a ei. Conceptul de valoare este strâns corelat cu o serie de concepte ca: prețul unui produs (alimentar, electronic, casnic, etc.), bani, sumă de bani, cumpărare, costul unor cumpărături, bani sub formă de monede, restul primit de la casa unui magazin, schimburi echivalente cu bani.

Organizare și ierarhizare-caracteristică ce evidențiază faptul că, rareori, conceptele științifice sunt izolate unele de altele;

Consecințe didactice: în activitatea didactică, în scopul creșterii gradului de înțelegere a conceptelor și a relațiilor dintre acestea, se apelează la harta conceptuală.

Exemplu:

Harta conceptuală pentru evidențierea interrelațiilor dintre conceptele specifice mărimilor. În programa școlară pentru clasa I sunt prevăzute a se studia mărimile fundamentale: lungimea, masa și timpul. Ca mărimi derivate se studiază valoarea și volumul. Sintagmele-cheie corelate cu mărimile fundamentale și derivate sunt cele de unități de măsură și instrumente de măsură.

Caracter evolutiv, mobil, flexibil, dinamic-o dată formate, conceptele își modifică, în permanență, conținuturile și sfera de cuprindere

Consecințe didactice: însușirea conținuturilor se realizează în perspectivă globală, integratoare, cu evidențierea dinamismului procesului cunoașterii și al conceptualizărilor, precum și a celorlalte caracteristici ale procesului.

Exemplu:

Caracterul dinamic are în vedere dinamica societății și a diverselor sale domenii de activitate, care determină îmbogățirea continuă a culturii sociale, implicit a conținutului învățământului și a culturii matematice. Problemele propuse, prin conținuturile lor, se apropie de preocupările și interesele elevilor de vârstă școlară mică: cumpărături din magazine, jocul pe calculator, spectacole, etc. Clovnii s-au așezat la circ unul în spatele celuilalt. Mirela îi spune lui Cristi, care era în spatele lui: Eu am în spatele meu 4 colegi. Cristi îi răspunde: Eu am în fața mea doar 3 colegi. Câți clovni sunt în șir?

I.2. Noțiunea de problemă rezolvarea problemelor

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul, algoritmi, metode), precum și deprinderi de aplicare a acestora. Rezolvarea de probleme trebuie să decurgă ca o necesitate firească solicitată de situații concrete de viață.

Rezolvarea problemelor, în ciclul primar, reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și de aplicare a algoritmilor, cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul săpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide, precum și deprinderi de aplicare a acestora. Această activitate solicită capacitățile intelectuale ale elevilor.

De regulă, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare implică procesul de gândire și calcul.

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori necunoscute, se cere determinarea valorilor necunoscute

După G. Polya părțile principale ale unei probleme de aflare sunt: datele, necunoscutele și condiția. Datele sunt ceea ce se cuoaște (ipoteza), necunoscutele sunt ceea ce trebuie aflat (concluzia), iar condiția reprezintă legătura dintre ele .

Pe baza înțelegerii datelor și condiția problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscutei, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei. Misiunea învățătorului este de a-1 conduce pe firul logic de rezolvare a acesteia.

Capacitatea de a rezolva probleme este determinată, în mare măsură, de nivelul de pregătire al individului, de experiența de care dispune. G.Polya arată că pentru rezolvarea problemelor se impune să avem, în prealabil, cunoștințe relevante și să realizeze mobilitatea și organizarea lor. El mai subliniază că nu este suficient să avem cunoștințe pentru cazul dat, ci trebuie să ni le reamintim în momentul când avem nevoie, să le mobilizăm, facându-le utile scopului urmărit, adaptându-se problemei pe care urmează să o rezolvăm.

Rezolvarea problemei trece prin mai multe etape, în cadrul fiecărei etape, datele apărând în combinații noi, în legături noi, fapt care duce treptat la găsirea soluției la începutul școlarității, înțelegerea cauzală se produce la nivelul succesional de tipul: dacă … atunci.

Pentru rezolvarea problemelor trebuie adoptată o anumită strategie care urmărește firul logic al conexiunilor din problemă și o tactică corespunzătoare cuprinzând verigile elementare prin care se realizează rezolvarea. O strategie bună duce la reușită printr-un număr mic de încercări. Încercările efectuate trebuie să furnizeze maximum de informații, astfel încât încercările ulterioare să se apropie cât mai repede de direcția justă de rezolvare a problemei. În demersul rezolvării problemei are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor apoi noi formulări ale problemei pe baza activității orientate a elevului, fiind vorba de o îmbinare a analizei cu sinteza.

Momentul principal în rezolvarea problemei îl constituie nașterea ideii sau ideea decisivă a rezolvării. Apariția idei conducătoare — constituie un moment de încheiere a fazei de tensiune, a căderii, de destindere, care dă satisfacție descoperirii. În rezolvarea problemelor, copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat, deoarece la el capacitatea de a folosi cunoștințele anterioare este încă nerezolvată. El pierde, uneori, ideea centrală nemaiștiind ce să facă cu un rezultat parțial. Rostul școlii este acela de a forma copii capabili să se orienteze singuri într-un câmp de probleme noi. Școala trebuie să-i stimuleze să gândească și să lucreze prin eforturi personale.

I.3. Importanța rezolvării problemelor

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate complexă prin care se îmbină efortul elevilor de a întelege noțiunile învățate cu aplicarea cunoștințelor matematice (noțiuni, reguli, tehnici de calcul), prin intermediul problemelor pe care le rezolvă elevii în clasă, precum și acasă. În general ,rezolvarea problemelor constituie mijlocul optim pentru realizarea scopurilor urmărite de predarea matematicii .Rezolvarea problemelor are un rol instructiv,precum și unul formativ.

Studiul teoretic și practic al aritmeticii bazat pe rezolvarea unor probleme reale din viață, care contribuie la abordarea sau aplicarea unor noțiuni matematice, conduce la rezultate superioare în însușirea acestui obiect de învățământ.

Rezolvarea problemelor contribuie la dezvoltarea gândirii, memoriei și imaginației, la formarea unor trăsături de personalitate (voință, perseverență, simțul ordinii și al disciplinei în munca). Activitatea de rezolvare a problemelor îmbogățește volumul de cunoștințe al elevilor contribuind la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor de matematica în clasele C.P. – IV, reprezintă rezolvarea unor situații problematice reale pe care le-au trăit sau le trăiesc, le cunosc sau măcar le înteleg.De aceea datele din probleme trebuie prelucrate din realitatea existentă în jurul copiilor, din experiența oferită de vârsta și din mediile de viață respective.

A ști să rezolvi o problemă înseamnă a ști să selecționezi elementele din experiența anterioară, utile într-o situație dată, să apelezi la ordonarea, combinarea și evaluarea lor, emiterea de ipoteze, verificarea ipotezelor, prin toate acestea activitatea de rezolvare a problemelor contribuind la activizarea tuturor proceselor intelectuale,în special, la cultivarea gândirii creatoare.

Caracterul inventiv, creator al activității de rezolvare a problemelor este subliniat și de George Poyla. El spune că a rezolva o problema înseamna a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamna o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil, a găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței umane.

Rezolvarea problemelor de matematică conduce la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului de colectivitate, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși dar și cu alții.

I.4. Etapele rezolvării de probleme

Procesul de rezolvare se prezintă ca o activitate mintală de căutare în cursul căreia, în baza datelor, sunt emise diferite ipoteze de lucru care sunt supuse verificării pe rând. Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape.Toate aceste etape formează o activtate unitară, una din cele mai complexe activități intelectuale, care cuprinde: inducții și deducții logice, analogii, raționamente ipotetice, analize și generalizări.

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe masură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, o dată cu învatarea primelor operații aritmetice adunarea și scăderea se începe rezolvarea, pe cale orala și pe baza de intuiție, a primelor probleme simple.Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.Varietatea și complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor. Trebuie delimitate,însă, două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:

Când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problema-tip care se rezolvă prin aceeași metodă, comună tuturor problemelor de tipul respectiv;

În acest caz, elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament ,în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare. În cazul problemelor tipice, această schemă se fixează ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei.

Când elevul are de rezolvat probleme noi, necunoscute,unde nu mai poate aplica o

schemă mintală cunoscută;

În acest caz gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși, prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta, el realizează un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei. În cursul rezolvării problemelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei care conduc către soluție, găsirea ideii centrale, a algoritmului de rezolvare.

Apariția ideii conducătoare constituie momentul de încheiere a fazei de tensiune a căutării, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii. Etapele rezolvării unei probleme sunt:

I.4.1. Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Înainte de a enunța problema, propunătorul, prin 2-3 întrebari potrivite, readuce în atenția elevilor noțiunile și ideile pe care le conține aceasta,stabilește împrejurările veridice în care se desfășoară actiunea ei și localizează aceste împrejurări astfel încât elevii să-și poată imagina faptele.

După ce se asigură de deplina atenție și concentrare a elevilor asupra problemei ce urmează a se enunța, propunătorul, enunță textul propriu-zis, modelându-și vocea pentru a scoate în evidență datele și relațiile dintre ele, precum și întrebarea problemei.

I.4.2. Înțelegerea enunțului problemei

În vederea analizei problemei, elevii trebuie să înțeleagă, să pătrundă și să-și însușească corect conținutul respectiv. Înțelegerea enunțului unei probleme implică urmatoarele activități:

– repetarea enunțului de către propunător cu scrierea datelor pe tablă, iar elevii pe caiete folosind scrierea pe orizontală sau pe verticală;

– explicarea cuvintelor sau expresiilor neînțelese;

– repetarea enunțului de către 2-3 elevi;

– ilustrarea enunțului cu ajutorul planșelor, desenelor, schemelor, graficelor.

I.4.3. Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se elimină aspectele care nu prezintă semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului. În această fază se evidențiază legătura dintre datele problemei și necunoscută.

Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor,a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute, ajungem să ne ridicăm de la situații concrete pe care le prezintă problema, la nivelul abstract care vizeză relațiile dintre parte și întreg.

Transpunând problema într-o schemă, desen sau diagramă,scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană, evidențiem reprezentarea matematică a conținutului ei. Soluția problemei e ca și descoperită în momentul în care elevii au transpus-o în relații matematice.

I.4.4. Alegerea și efectuarea operațiilor în ordinea corespunzătoare

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și a rezultatului final.

Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesar să se eșaloneze pe puncte, să se descompună în tot atâtea probleme simple cerute de conținutul prezentat, care urmează să se efectueze într-o anumită ordine.

De aceea se va trata separat fiecare punct al planului de rezolvare, arătându-se procesul de gândire care stă la baza stabilirii operației corespunzătoare, pentru a justifica operația respectivă. O importanță majoră în formarea priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme îl are etapa următoare.

I.4.5. Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Această etapă constă în verificarea soluției problemei, la găsirea altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. În această etapă se realizează autocontrolul asupra felului în care s-a însusit enunțul, precum și demersul de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea este făcută frontal, sau prin activitate independentă, este posibil ca în șirul de raționamente ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună. În plus, prin folosirea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții diferite sau la soluții ilogice, neconforme cu realitatea de genul-vârsta tatălui este de…250 de ani.

După rezolvarea unei probleme, se recomandă – pentru a scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea transpunerea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz în fragmente de exercițiu. Raționamentul problemei se generalizează prin formula numerică respectivă, iar treptat după rezolvarea mai multor probleme care se încadrează în acest algoritm, el poate fi exprimat printr-o formula generală. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme.

O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină fragmentele după o logică riguroasă. Acesta este drumul pe care-l face elevul ridicându-se de la înțelegerea conținutului concret al problemei prin reformularea treptată a ei, în scopul descoperirii relațiilor logice și ajungerii la soluție.

Aceasta presupune capacitatea de a cuprinde în raza gândirii întregul raționament pe care să-l exprime într-o formulă literală.

Aceasta se poate realiza prin rezolvarea problemei cu ajutorul schemelor, graficelor, rezolvarea unor probleme cu explicații orale sau în scris, analiza problemelor până la sesizarea raționamentelor, fără a mai face rezolvarea propriu-zisă, formularea algoritmului de rezolvare prin punerea rezolvării într-un exercițiu.

I.5. Formarea competenței de rezolvare a problemelor la clasele C.P. – IV

I.5.1. Definirea competenței

Conform DEX, competența este capacitatea cuiva de a se pronunta asupra unui lucru, pe temeiul unei cunoașteri adânci a problemei in discuție. (DEX, pag.177)

Literatura de specialitate asociază în mod frecvent termenul de competență unor alți termeni psihologici ca aptitudini, priceperi și abilități ale intelectului (Ursula Șchiopu); capacitate (Paul Popescu Neveanu); inteligență concretă, teoretic-abstractă, socială (Alexandru Roșca).

Delimitările conceptuale între categoriile de mai sus sunt greu de stabilit iar geneza și natura lor au provocat numeroase dispute încă de la începuturile științelor psihologice. Alte definiri: competențele sunt expresii condensate ale variabilității umane (Ursula Șchiopu), rezultate ale însumării factorilor eredității cu factori educativi, din această perspectivă pentru calificarea conceptului s-au mai dat și alte definiții:

Competența: capacitatea de a rezolva probleme într-un context dat (S.Michel, M.Ledru);

Competența: procesul cognitiv de realizare a produsului vizibil, tradus în performanțe măsurabile (G. Meyer);

Competențele reprezintă efecte formative explicite și implicite, proiectate prin intermediul structurilor de conținut predate-învățate-evaluate, conform programelor școlare. Ele pot fi de ordin cognitiv, afectiv, psihomotor (S. Cristea).

Aș putea numi competența, în urma studiului efectuat în literatura de specialitate, ca un bloc cognitiv opțional format din interacțiunea mai multor fenomene psihice, puse în funcție de o activitate problematică de ordin cognitiv, motoriu sau afectiv.

I.5.2. Componentele structurale ale unei competențe

În dobândirea unei competențe este necesară asimilarea unor conținuturi: conținuturi cognitive specificate stocate sub formă logică de noțiuni, judecăți, raționamente; deprinderi intelectuale, psihomotrice, estetice; strategii cognitive; atitudini față de cunoaștere.

În manifestarea ei se pun în acțiune corelativă mai multe procese psihice: operațional, calitățile și formele gândirii, operațiile și calitățile memoriei, precum și componente ale personalității: atitudinile, priceperile și deprinderile, independența, spiritul inventiv, ineligența.

Gradul și ponderea de implicare a fiecăreia dintre componentele enumerate nu pot fi măsurate, controlate. Ele se manifestă global, îmbrăcând forma unei strategii operaționale manifestate, cu randament înalt, concretizată în performanțe.

I.5.3. Relația: competență-comportament-performanță

Psihologia contemporană clarifică raportul dintre obiectivele de conținut informative, care se materializează în performanțe controlabile,dar sunt evaluate în termeni de competențe dobândite, măsurabile în anumite limite de spațiu și timp.

După J . P . Guilford, orice activitate cognitivă are trei dimensiuni: una care privește operațiile latura operațională care, însumate, dau competența evaluările,operațiile convergente, operațiile divergente, memoria gândirea,inteligența; a doua care se referă la conținuturi comportamentul concret inclus în deprinderi, priceperi și abilități intelectuale, deprinderi motorii,strategii cognitive, atitudini față de cunoaștere; a treia dimensiune se referă la produse, traduse în performanțe concrete măsurabile.

Astfel procesul de predare-învățare-evaluare este un proces invizibil, supus evaluării formative și un produs vizibil, măsurabil, ce poate fi cuantificat prin evaluare normativă. Componentele invizibile se manifestă în comportamente generatoare de performanțe observabile, măsurabile. Performanțele reprezintă produsul vizibil al competențelor manifestate în comportamente iar competențele nu se pot măsura direct și nici comportamentele nu pot fi evaluate, ci traducerile acestora în produse imaginate de cadrele didactice în standarde de performanță.

I.5.4. Formarea și dezvoltarea competenței de a rezolva probleme de matematică

Rezolvarea problemelor de matematică este o activitate importantă ce inițiază elevii în descoperirea matematicii științifice, contribuie la formarea lor intelectuală, permite dezvoltarea a numeroase atitudini, capacități și competențe generale.

Formarea acestei competențe este un proces și un produs supus dezvoltării și perfecționării continue pe întreaga perioadă a demersului educativ instituționalizat iar formarea și dezvoltarea ei depinde de funcționarea optimă a tuturor mecanismelor cognitive implicate în rezolvarea de probleme. Aptitudinile intelectuale sunt cele care duc spre performanțe însă nu toți elevii dispun de aceeași capacitate intelectuală, impunându-se astfel identificarea factorilor care conduc la succes / insucces și adoptarea unor măsuri corective imediate pentru elevii ce întâmpină dificultăți în învățare și a unor activități de dezvoltare pentru cei cu ritm rapid.

Dat fiind faptul că la vârsta școlară mică se pun bazele structurilor primare ale competenței de rezolvare a problemelor de matematică, activitatea depusă în acest scop prezintă o importanță sporită în întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de matematică, de formare a priceperilor și deprinderilor și a capacității de rezolvare a problemelor. Această activitate are și un important rol educativ prin contribuția adusă la dezvoltare proceselor cognitive, cu deosebire a gândirii, antrenând operațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.Totodată stimulează inițiativa și contribuie la dezvoltarea voinței, perseverenței, a spiritului de răspundere, a încrederii în forțele proprii, deci am putea spune că îmbogățește volumul de cunoștințe al elevilor și contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.

De altfel Programa școlară pentru disciplina MATEMATICĂ vizează clar această componentă rezolvarea problemelor prin unul din obiectivele cadru formulate, și anume Dezvoltarea capacităților de explorare / investigare și rezolvare de probleme, iar standardele sale sunt:

-formularea și rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operații;

-rezolvarea de probleme din alte discipline utilizând limbajul matematic adecvat;

-folosirea corectă a unor modalități simple de organizare și clasificare a datelor;

-realizarea de estimări pornind de la situații practice;

-utilizarea de reguli și corespondențe pentru formarea de șiruri.

În vederea realizării, și nu numai, a acestui obiectiv am realizat și prezenta lucrare cu noțiunile prezentate în următoarele capitole.

CAPITOLUL II

METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR LA CLASELE P-IV

II.1. Clasificarea problemelor

A . – după finalitate și după sfera de aplicabilitate:

teoretice

aplicații practice

B. – după numărul operațiilor:

probleme simple

probleme compuse

C. – după conținutul specific problemele pot fi:

geometrice

de mișcare

de amestec și aliaj

algebrice

D. – după metoda folosită în rezolvare:

probleme generale

probleme tipice particulare:

metoda figurativă

metoda comparației

metoda falsei ipoteze

metoda mersului invers

metoda reducerii la unitate

probleme nonstandard.

În mod obișnuit clasificarea problemelor se face, după complexitate lor în:

probleme simple

probleme compuse

probleme tipice

II.2. Etapele rezolvării problemelor

În literatura de specialitate se vorbește despre evenimentele implicate în rezolvarea problemelor, care sunt:

Evenimentul inițial este constituit de prezentarea problemei, care se poate realiza prin formularea verbală sau pe altă cale.

Definirea problemei este făcută de elev, care distinge caracteristicile esențiale ale situației din problemă.

Formularea ipotezelor este făcută de elev, care distinge ipotezele ce pot fi aplicate unei situații.

Verificarea ipotezelor sale sau ipoteze succesive până ce se găsește una care duce la soluția căutată.

Aceste evenimente sunt cunoscute ca etapele de rezolvare a problemelor. Procesul de rezolvare se prezintă ca o activitate mintală de căutare în cursul căreia, în baza datelor, sunt emise diferite ipoteze de lucru care sunt supuse verificării pe rând. Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape. Toate aceste etape formează o activitate unitară, una din cele mai complexe activități intelectuale care cuprinde: inducții și deducții logice, analogii, raționamente ipotetice, analize și generalizări. În cursul rezolvării problemelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei, care conduc la soluție.

Apariția ideii conducătoare constituie momentul ele încheiere a fazei de tensiune a căutării, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii.

Etapele rezolvării unei probleme după (Lupu, C., Săvulescu, D., Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice, Editura “Paralela 45”, Pitești, 2000, pag. 180-181) sunt:

a) Cunoașterea enunțului problemei;

b) Înțelegerea enunțului problemei;

c) Analiza problemei și întocmirea planului logic;

d) Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

e) Activități suplimentare:

– verificarea rezultatului;

– scrierea sub formă de exercițiu;

– găsirea altor căi și metode de rezolvare;

– generalizare;

– compunerea de probleme după o schemă asemănătoare.

Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Înainte de a enunța problema, propunătorul, prin 2-3 întrebări potrivite, readuce în atenția elevilor noțiunile și ideile pe care le conține acesta, stabilește împrejurările veridice în care se desfășoară acțiunea ei și localizează aceste împrejurări astfel încât elevii să-și poată imagina faptele. După ce se asigură de deplina atenție și concentrare a elevilor asupra problemei ce urmează a se enunța, propunătorul, modelându-și vocea pentru a scoate în evidență datele și relațiile dintre ele, enunță textul propiu- zis.

Înțelegerea enunțului problemei

În vederea analizei problemei, elevii trebuie să înțeleagă, să pătrundă și să-și însușească corect conținutul respectiv. Înțelegerea enunțului unei probleme implică următoarele activități:

repetarea enunțului de către propunător cu scrierea datelor pe tablă, iar elevii pe caiete;

explicarea cuvintelor sau expresiilor neînțelese;

repetarea enunțului de către 2-3 elevi;

ilustrarea enunțului cu ajutorul planșelor, desenelor, schemelor, graficelor.

Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se elimină aspectele care nu prezintă semnificația matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului. În aceasta fază se evidențiază legătura dintre datele problemei și necunoscută.

Prin exerciții de analiză a datelor, semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne ridicăm de la situații concrete pe care le prezintă problema, la nivel abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg. Transpunând problema într-o schemă, desen sau diagramă, scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană, evidențiem reprezentarea matematică a conținutului ei. Soluția problemei e ca și descoperită în momentul în care elevii au transpus-o în relații matematice.

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic.

Aceasta etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și a rezultatului final.

Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesar să se eșaloneze pe puncte, să se descompună în tot atâtea probleme simple cerute de conținutul prezentat, care urmează să se efectueze într-o anumita ordine. De aceea se va trata separat fiecare punct al planului de rezolvare, arătându-se procesul de gândire care stă la baza stabilirii operației corespunzătoare, pentru a justifica operația respectivă.

O importanță majoră în forma priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme îl are etapa următoare.

Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Se referă la verificarea soluției problemei, la găsirea altor metode de rezolvare și de alegerea justificată a celei mai bune. În aceasta etapă se realizează autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul, precum și demersul de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea este făcută frontal, sau prin activitate independentă, este posibil ca în șirul de raționamente ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună. În plus, prin folosirea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții diferite sau la soluții logice.

Raționamentul problemei se generalizează prin formula numerică respectivă, iar treptat după rezolvarea mai multor probleme care se încadrează în acest algoritm, el poate fi exprimat printr-o formula generală.

Acesta este drumul pe care-1 face elevul ridicându-se de la înțelegerea conținutului concret al problemei prin reformularea treptată, în scopul descoperirii relațiilor logice și ajungerii la soluții.

Aceasta presupune capacitatea de a cuprinde în raza gândirii întregul raționament pe care să-1 exprime într-o formulă.

Aceasta se poate realiza prin rezolvarea problemei cu ajutorul schemelor, graficelor, rezolvarea unor probleme cu explicații orale sau scrise, analiza problemelor până la sesizarea raționamentelor, fără a mai face rezolvarea propiu-zisă, formularea algoritmului de rezolvare prin punerea rezolvării într-un exercițiu.

II. 3 Metode generale de rezolvare a problemelor

Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de aritmetică este una dintre cele mai sigure căi ce conduce la dezvoltarea gândirii, imaginației și atenției și a spiritului de observației ale elevilor.

În matematică nu există căi universale, motiv pentru care prin metode de rezolvare a problemelor nu se poate înțelege prezentarea unui rețetar absolut, care să asigure soluționarea tuturor problemelor de matematică pe baza unor formule cunoscute sau algoritmi prestabiliți.

Îndrumarea elevului spre însușirea tehnicii rezolvării problemelor de aritmetică, presupune din partea învățătorului multă răbdare, pricepere și mai ales o muncă susținută și bine organizată.

În această activitate trebuie să se dea o atenție deosebită – printre altele – la două aspecte importante și anume:

în permanență să fie dirijată gândirea elevului, să depisteze în enunțul problemei aspecte esențiale care fac ca aceasta să aparțină grupului de probleme care se rezolvă după anumite procedee cunoscute;

cel de-al doilea aspect este legat de efortul care trebuie depus pentru dirijarea gândirii elevului spre generalizare. Este bine ca rezolvarea unor probleme să conducă la sistematizarea cunoștințelor elevilor după tipuri de probleme.

Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii:

A. metode algebrice;

B. metode aritmetice.

A. Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor tehnica specifică calcului algebric, adică bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva algebric o problemă se parcurg următoarele etape:

– stabilirea necunoscutelor și notarea lor;

– punerea problemei în ecuație, adică traducerea în limbaj algebric a relațiilor dintre valorile cunoscute și necunoscute, prin utilizarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații;

– rezolvarea ecuației sau a sistemului de ecuații respectiv;

– interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problemă pentru a stabili în ce măsură acestea corespund naturii și condițiilor problemei, aprecierea faptului dacă problema admite una sau mal multe soluții, ori dacă soluțiile impun anumite limite și, în general, dacă soluțiile sunt sau nu posibile, din punct de vedere logic, și plauzibile, din punct de vedere practic.

Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune, astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora dintre metodele aritmetice în a căror alegere nu se pot stabili criterii precise. De aceea, cu deosebire în situațiile în care rezolvarea prin metode aritmetice întâmpină dificultăți, este să se utilizeze întâi metoda algebrică, aceasta punând la îndemâna rezolvitorului instrumentul matematic adecvat și orientându-l just în alegerea și aplicarea metodelor aritmetice.

Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode creează avantajul evitării eforturilor inutile. Sunt însă împrejurări în care metodele algebrice se împletesc atât de strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin raționamente specifice aritmetice se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute, adică la ecuații și sisteme de ecuații.

Exemplu: Dacă lungimea unei grădini dreptunghiulare se mărește cu 6 m și lățimea cu 3 m, aria ei crește cu 180 m, iar dacă lungimea grădinii se micșorează cu 4 m și lățimea se mărește cu 2 m, aria ei se micșorează cu 20 m, să se afle dimensiunile inițiale ale grădinii.

Rezolvare: Notăm lungimea grădinii cu x, lățimea cu y și ținând seama de faptul că aria dreptunghiului este egală cu produsul dimensiunilor lui, putem scrie sistemul:

(x+6).(y + 3) = xy + 180

(x-4).(y + 2) = xy – 20

care, după desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea, devine:

3 x + 6y = 162 x + 2y = 54 x = 24 (m)

2x-4y=-12 x – 2y =-6 y=15(m)

B. Metodele aritmetice se clasifică în două categorii:

metode fundamentale sau generale;

metode speciale sau particulare.

Metodele aritmetice generale se aplică într-o mai mare sau mai mică măsură în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii care se numesc metoda analitică și metoda sintetică.

Metoda analitică

A exprima o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple din care e alcătuită într-o succesiune logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.

Exemplu: La un magazin s-au adus 10 lădițe cu mere a câte 30 kg fiecare și 12 lădițe cu prune a câte 25 kg fiecare .

Câte kilograme cântăresc în total lădițele cu mere și cu prune ?

Schema:

Plan de rezolvare:

1. Care este cantitatea de mere?

10 x 30 = 300 (kg)

2. Care este cantitatea de prune?

12 x 25 = 300 (kg)

3. Care este cantitatea totală?

300+ 300 = 600 (kg)

Verificarea și punerea în exercițiu:

10 x 30 +12 x 25 = 300 + 300 = 600 (kg)

A verifica și, în final, a rezolvat o problemă prin metoda sintezei înseamnă a porni de la datele problemei spre întrebare prin formulări și rezolvări simple, adică se pornește de la cunoscut spre necunoscut. În cursul rezolvării avem grijă ca dintre două cunoscute, să calculăm valorile acelor mărimi care, la rândul lor, să fie legate de mărimile necunoscute din problemă și să ne ajute, din aproape în aproape, la găsirea valorilor lor.

Exemplu: La o stațiune s-a cheltuit pentru 30 de adulți în 20 de zile cât s-a cheltuit pentru 40 de copii în 18 zile.

Cât s-a cheltuit pentru 45 de adulți în 21 de zile dacă pentru 15 copii s-au

cheltuit 13500 lei în 12 zile ?

Rezolvare:

a) Cunoscând ce sumă s-a cheltuit pentru 15 copii în 12 zile se poate afla cât s-a cheltuit pentru un copil în 12 zile:

13 500 : 15 = 900 (lei)

b) Cunoscând cât s-a cheltuit pentru un copil în 12 zile putem afla cât s-a cheltuit pentru un copil într-o zi:

900 : 12 = 75 (lei)

c) Știind cât se cheltuiește pentru un copil pe zi se poate afla cât se cheltuiește pentru un copil în 18 zile:

75 x 18 = 1 350 (lei)

d) Cunoscând cât se cheltuiește pentru un copil în 18 zile putem afla cât se cheltuiește pentru 40 de copii în 18 zile:

1 350 x 40 = 54 000 (lei)

e) Dacă pentru 30 de adulți s-au cheltuit în 20 de zile 54 000 lei putem afla cât se cheltuiește pentru 30 de adulți într-o zi: 54 000 : 20 = 2 700 (lei)

f) Cunoscând suma cheltuită pentru 30 de adulți pe zi putem afla cât se
cheltuiește pentru un adult pe zi: 2 700 : 30 = 90 (lei)

g) Știind că pentru un adult pe zi se cheltuiește suma de 90 lei putem afla suma cheltuită de 45 de adulți într-o zi: 90 x 45 = 4 050 (lei)

h) În final cunoscând acest ultim rezultat putem calcula suma cheltuită de 45 de adulți în 21 de zile: 4 050 x 21 = 85 050 (lei)

Metoda sintetică

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relațiile dintre ele, astfel să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a se așeza aceste probleme într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date:

Exemplu: Problema enunțată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:

Plan de rezolvare:

1. Câte kilograme de mere s-au adus?

10 x 30 = 300 (kg)

2. Câte kilograme de pere s-au adus?

12 x 25 = 300 (kg)

3. Ce cantitate de fructe s-a adus?

300+ 300 = 600 (kg)

Verificare și punere în exercițiu:

10 x 30 +12 x 25 = 300 + 300 = 600 (kg)

Se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă. Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Acest proces se repetă când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

Exemplu:

Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 de adulți în 21 zile trebuie să știm cât se cheltuiește pentru un adult pe zi. Fie acest număr x.

Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 de copii în 18 zile trebuie să știm cât se cheltuiește pentru 30 de adulți în 20 de zile, adică:

Cunoscând că pentru 40 de copii în 18 zile se cheltuiesc 600x lei, putem afla cât se cheltuiește pentru un copil pe zi: 600x .7:(40xl8)= 5x:6;

d) iar pe de altă parte pentru un copil se cheltuiesc pe zi : 13 500 : (12×15) = 75 (lei);

e) Am găsit pentru aceeași mărime două rezultate, deci le putem egala:

75 = 5x : 6 ; 75 x 6 = 5x; x = (75×6):5; x = 90 lei.

Metoda sintetică este mai ușoară, mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu necesită un proces de gândire prea complex. Metoda analitică este mai dificilă fiindcă presupune un proces de gândire amplu și din acest motiv este uneori ocolită.

Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii își dezvoltă gândirea reproductivă, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitică le dezvoltă gândirea productivă, creatoare. Este deci recomandat ca măcar la clasele mai mari ( – IV) elevii să analizeze și să rezolve problemele și prin metoda analitică.

În practică, rar se întâmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei sau numai prin cea a analizei. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme. De obicei, se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim, apoi se recurge la analiză.

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se și reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia dintre aceste metode: în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sunt situații când una devine dominantă.

Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar deseori sub o denumire unică: metoda analitico- sintetică.

II.4 Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic la școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare. Respectând particularitățile de vârstă ale elevilor din clasa I activitatea de rezolvare și compunere a problemelor se va face la început numai pe cale intuitivă. Primele probleme se vor introduce sub formă de joc și au caracter de probleme acțiune folosindu-se un bogat material didactic ilustrativ. Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret ca acțiuni de viață (au mai venit … fetițe, s-au mai spart … baloane, au plecat … băieți, i-a dat …creioane colorate, au mâncat …bomboane) ilustrate prin pagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără, plătește sau copilul este la școală și primește cărți sau creioane).

Pe baza experienței dobândite în etapa preșcolară, precum și în lecțiile de matematică elevii reușesc ușor să traducă în operații matematice acțiunile cerute în enunțul problemei propuse spre rezolvare. În aceasta fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află aproape de aceea de calcul. Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de problemă, întrebarea problemei, rezolvarea problemei, rezultatul problemei.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să prezinte elevilor săi, rezolvând sub îndrumarea și controlul său, toate genurile de probleme care pot fi rezolvate printr-o operație. Momentul cel mai important în rezolvarea problemelor simple îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații. Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple este necesar ca elevii să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire, astfel încât alegerea unei anumite operații să poată fi justificată în mod rațional.

Împrejurările care determină alegerea unei anumite operații sunt diferite. Astfel:

1. Adunarea se întrebuințează pentru:

a) aflarea sumei a două sau mai multe numere;

b) aflarea unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat.

2. Scăderea se utilizează în următoarele cazuri:

a) de aflare a restului;

b) când se cere aflarea unui număr care să fie cu câteva unități mai mic decât numărul dat;

c) când problema se referă la gruparea prin diferență a doua numere sau mărimi pentru a stabili care este mai mare sau mai mică și cu cât.

3. Înmulțirea se întrebuințează în rezolvarea problemelor:

a) de aflare a câtului în cazul împărțirii egale;

b) de aflare a câtului în cazul împărțirii prin cuprindere;

c) de aflare a unui număr care sa fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

d) de aflare a unei singure părți dintr-un întreg;

e) de aflare a raportului dintre două numere.

În general, pentru alegerea operației pe care o comportă rezolvarea unei probleme simple se pornește de la întrebarea problemei și cu ajutorul unui proces de gândire se stabilește corespondența dintre aceasta întrebare și unul din cazurile specificate mai sus. Reținerea întrebării problemei este un moment foarte important în activitatea de compunere și rezolvare de probleme. Învățătorul trebuie să-i învețe pe elevi să afle pluralitatea de soluții, care se pot construi în tot atâtea raționamente, judecăți și probleme distincte. De multe ori aceeași problemă pusă sub forme diferite, îi pune pe elevi în încurcătură. De aceea nu este de ajuns rezolvarea problemelor simple numai sub o formă, ci trebuie analizate în toate formele. Astfel îi facem pe elevi să gândească, să descopere, singuri căile de rezolvare, îi obișnuim să se descurce singuri în diferite situații problemă.

Pe elevii din clasa I de multe ori cifrele îi determine să ignore conținutul problemei și să fie preocupați de ceea ce ar putea face cu ele și nu ce trebuie de fapt să facă ținând cont de textul și întrebarea problemei. Ajungând la aceste concluzii, am căutat încă din primele ore de rezolvare a problemelor să înțeleagă componența unei probleme și etapele de rezolvare.

În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi, însă apar și dificultăți de genul:

includerea răspunsului în enunț;

neglijarea unei date;

confundarea operației ce trebuie efectuată, datorită neînțelegerii sensului semantic al cuvintelor adăugat, crescut, rest, diferență, cu atât mai mult, cu atât mai puțin, de atâtea ori mai mult, de atâtea ori mai puțin.

Pentru depășirea acestor dificultăți am căuta să rezolv cât mai multe probleme care să aibă enunțuri variate, cerând elevilor să facă o analiză temeinică în rezolvarea fiecărei probleme. În activitatea la clasă am prezentat datele unei probleme cerând elevilor să pună mai multe întrebări:

II.4.1.Probleme rezolvate

Rezolvarea problemelor simple contribuie la exersarea flexibilității și fluienței gândirii. Rezolvarea de problemelor îi determină să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipate.

După lecția în care s-a consolidat adunarea și scăderea numerelor,elevii sunt familiarizați cu probleme ilustrateși încurajați să le compună singuri găsind diferite formulări.

Exemplu: Într-o livadă s-au plantat 40 meri si 25 peri.

Întrebări posibile:

a) Câți pomi fructiferi s-au plantat?

b) Cu câți peri s-au plantat mai puțin decât meri?

c) Cu câți meri s-au plantat mai mulți decât peri?

d) Câți peri ar mai fi trebuit plantați pentru a fi tot atâția cât meri?

Într-un coș am pus 4 mere și 3 pere.

Câte fructe sunt în coș ?

4+3=?

sau

Într-un cuib erau 7 vrăbiuțe.Trei vrăbiuțe au plecat.

Câte vrăbiuțe au rămas ?

7-3=?

* Ionel a cumpărat 3 banane , 4 portocale și 2 lămâi.

Câte fructe a cumpărat Ionel ?

3+4+2=?

La clasele C.P. – II concomitent cu învățarea operațiilor de adunare și scădere se vor rezolva și probleme simple pentru a ilustra cazurile de adunare, scădere și adunarea de termeni egali, în concentrele respective :0-10; 10-30 ; 30-100, fără trecere peste zece și cu trecere peste ordin. De asemenea se vor introduce probleme ținând seama și de unitățile de măsură învățate.

Exemple:

Gheorghiță are de săpat un șanț lung de 6 m. El a săpat 4 m.

Câți metri mai are de săpat?

Într-un bidon erau 5 l de lapte și în altul 3 l .

Câți litri sunt în ambele bidoane?

Dintr-un vas de 100 l s-au scos 50 l.

Câți litri au mai rămas?

Toate aceste probleme se solicită să fie compuse de elevi pe baza imaginilor schițelor, după care se rezolvă oral scoțând în evidență adunarea sau scăderea ca operații necesare pentru a răspunde la întrebările problemei.

La sfârșitul primului semestru se trece la problema cu text scris când se urmărește atât așezarea corectă în pagină a textului cât și analiza corectă a problemei delimitând datele cunoscute cu relațiile dintre ele și întrebarea problemei.

Acum e perioada când pe lângă problemele de tipul celor rezolvate anterior se adaugă cele de forma :

Maria are 12 mere . Nicu are cu 3 mere mai mult.

Câte mere are Nicu ?

Irina a citit 15 pagini din carte, iar Radu cu 3 mai puțin .

Câte pagini a citit Radu ?

La început se scriu de către elevi datele scurt , sub formă de coloană delimitând întrebarea de datele cunoscute. Ilustrarea problemei prin semne grafice este de un real folos, pregătindu-i pentru rezolvarea problemei prin metoda figurativă.

Exemple:

31 băieți

fete – cu 12 mai mult

Câte fete sunt în tabără ?

Tot acum este momentul de a introduce planul și rezolvarea problemei oral și în scris.

Rezolvare:

Câte fete sunt în tabără ?

31 + 12 = 43 (fete )

R= 43 fete

I bidon – 45 litri

II-lea bidon – cu 20 litri mai puțin

Câți litri sunt în al doilea bidon ?

Rezolvare :

Câți litri sunt în al doilea bidon ?

45 – 20 = 25 (litri)

R = 25 litri

La clasa a-II-a apar în plus probleme simple la operația de înmulțire și împărțire.

II.4.2.Probleme propuse

Gelu a strâns 32 de melci, iar Mihai a strans cu 10 mai mulți.

Câti melci au strâns împreună?

Sorin are 18 ani, iar Ana este cu 10 ani mai mică.

Câți ani au împreună?

Un acvariu are 29 de pești, iar altul cu 9 mai puțin.

Câți pești sunt în cele doua acvarii?

Bunica are 24 de gaini, iar curci cu 3 mai puține, iar rațe cu 4 mai multe decât curci.

Câte păsări are în total?

Ana are 8 ani, iar mama ei este cu 20 de ani mai mare, iar bunica este cu 21 de ani mai mare decât mama.

Câți ani au împreună?

Ionel a cules 68 de mere, pere cu 50 mai puțin, iar gutui cu 10 mai multe decât pere.

Câte fructe a cules în total Ionel?

Fiica are 10 ani, iar mama este cu 23 de ani mai mare.

Câți ani au împreună?

La un magazin de jucarii s-au adus 24 de mașinute, trenulețe cu 3 mai puține, iar vaporașe cu 4 mai multe decât trenulețe.

Câte jucării s-au adus la magazin?

Un țăran avea 35 de porumbei albi, iar porumbei negri cu 12 mai puțin.

Câți porumbei avea țăranul?

florăreasă a vândut 25 de lalele, zambile cu 11 mai multe, iar narcise cu 10 mai puține decât zambile.

Câte flori a văndut florăreasa?

II.5. Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor simple constituie prima etapa în formarea deprinderii de a rezolva probleme. După ce s-au rezolvat suficient de multe asemenea probleme și elevii au căpătat o oarecare îndemânare în rezolvarea lor, se poate trece la rezolvarea problemelor compuse. Baza de sprijin atunci când trecem la rezolvarea problemelor compuse o constituie cunoașterea elementelor și tehnicii rezolvării problemelor simple.

Dacă în rezolvarea problemelor ce necesită o singură operație ne folosim doar de cele două date cu care rezolvăm problema, în cadrul problemelor compuse este necesar un efort al gândirii mai mare, pentru că acestea conțin mai multe date și trebuie alese perechile de valori care se leagă într-o relație determinată. Aceasta activitate cere un anumit efort al gândirii și o anumită experiență în rezolvarea problemelor care să-i conducă pe elevi în desprinderea problemelor simple de cele compuse. Acest proces de analiză trebuie orientat către întrebarea problemei.

Având în vedere complexitatea sarcinilor ce revin în rezolvarea problemelor compuse, trecerea de la probleme simple la cele compuse trebuie făcută cu mare atenție, introducându-i pe elevi treptat în tainele acestei activități prin familiarizarea lor cu elementele problemei compuse.

Acest lucru se poate face prin mai multe moduri:

Realizarea unei acțiuni care să cuprind două faze distincte: formularea problemei și rezolvarea acelei probleme.

II.5.1. Probleme rezolvate

Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a doua. În utilizarea primei posibilități am avut grijă ca acțiunea să fie regizată în fața clasei cu obiecte existente în clasă.

În vederea trecerii de la rezolvarea unei probleme simple la alta compusă, în clasă I, am creat multiple situații, cum ar fi:

Problema 1

Într-o cutie sunt 3 creioane, iar în alta sunt 2 creioane.

Câte creioane sunt?

Elevii observă așezarea creioanelor în cutie întocmai datelor problemei, prin numărare apoi apelând la o operație de adunare, concluzionează rezultatul.

3 creioane ………………… 2 creioane …………………. ?

Rezolvare 3 + 2 = 5 (creioane).

Se trece la complicarea problemei adăugându-se încă 3 creioane în a doua cutie; se apelează acum și la noțiunea cu atât mai mult.

Conținutul problemei se modifică:

Într-o cutie sunt 3 creioane, iar în a doua sunt cu 2 mai mult.

Câte creioane sunt în total?

Rezolvarea are următoarele fomulări:

I -3 creioane

II – cu 2 mai mult

Total creioane?

Câte creioane sunt în a doua cutie? 3 + 2 = 5 ( creioane)

Câte creioane sunt în total? 3 + 5 = 8 (creioane)

Problema 2

Pe o ramură sunt 5 vrăbiuțe, iar pe alta ramură sunt cu 2 vrăbiuțe mai puțin.

Câte vrăbiuțe sunt pe cele două ramuri?

I -5 vrăbiuțe

II- cu 2 vrăbiuțe mai puțin

Câte vrăbiuțe sunt în total?

Rezolvare:

1. Câte vrăbiuțe sunt pe a doua ramură? 5 – 2 = 3 ( vrăbiuțe )

2. Câte vrăbiuțe sunt pe cele două ramuri? 5 + 3 = 8 (vrăbiuțe)

Răspuns: 8 vrăbiuțe

Alt mod de a transforma o problemă simplă în una compusă este aceea de a cere elevilor să pună întrebarea euristică pentru ca problema să se poată rezolva în două sau mai multe moduri.

Problema 3

Codrin are 40 bomboane. El dă lui Ionel 13 bomboane și Mădălinei 15 bomboane. Puneți întrebarea și rezolvați în două moduri.

I mod

1. Câte bomboane a dat? 13 + 15 = 28 (bomboane)

2. Câte bomboane i- au mai rămas? 40 – 28 = 12 (bomboane)

II mod

Câte bomboane i-a rămas după ce i-a dat lui Ionel? 40 – 13 = 27 (bomboane )

Câte bomboane i-au mai rămas după ce i-a dat Mădălinei? 27 – 15= 12 (bomboane)

Elevii au fost obișnuiți ca de fiecare dată să transpună sub formă de exerciții (formula numerică).

I mod II mod

40 – ( 13 + 15) = 12 (40 – 13) – 15 = 12

II.5.2. Probleme propuse

Într-un coș sunt 16 mere și 20 de prune. Anghel mănâncă 5 fructe. Câte fructe au rămas în coș?

Într-o vază sunt 11 garoafe și 25 lalele. Mama pune 13 flori în altă vază. Câte flori rămân în prima vază?

În penar sunt 24 creioane roșii și cu 3 mai puține creioane albastre. Câte creioane sunt în penar?

George are în colecție 66 timbre, iar Vlad cu 43 mai puține. Câte timbre au colecționat cei doi băieți împreună?

Într-o clasă sunt 25 elevi, iar în alta cu 5 elevi mai puțin. Câți elevi sunt în cele două clase?

În parcul școlii s-au plantat într-o zi 25 de trandafiri, iar în altă zi cu 4 mai puțini. Câți trandafiri s-au plantat în cele două zile ?

La un magazin sunt 42 rochii albe și cu 21 mai puțin rochii roșii. Câte rochii sunt la magazin?

Pe un raft sunt 39 cărți. Pe alt raft sunt cu 29 mai puține cărți. Câte cărți sunt pe cele două rafturi?

Maria a cules 36 ciuperci.Ion a cules cu 24 mai puține ciuperci. Câte ciuperci au cules cei doi copii împreună?

Un pescar a pescuit 65 de pești,iar altul a pescuit cu 33 pești mai puțin. Câți pești au pescuit cei doi pescari?

II.5.3.Metoda sintetică

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea ei a o descompune în probleme simple din care este alcătuită și a le aranja într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea prolemei date.

II.5.4.Metoda analitică

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a le așeza într-o succesiune logică astfel încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

Cele două metode nu pot fi separate deoarece în procesul gândirii ele formează o unitate, astfel că nu putem vorbi de folosirea în exclusivitate numai a uneia dintre cele două metode. În analiza unei probleme intervin ambele metode, ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, dar în unele momente una din ele este dominantă.

Descompunerea unei probleme compuse în probleme simple di care este formată , constituie prin esență un proces de analiză, iar formarea planului de rezolvare cu stabilirea succesiunii problemelor simple constituie un proces de sinteză.

În practică s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. Metoda anlitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și, folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

La un aprozar s-au adus 960 kg mere. În prima zi s-au vândut 140 kg, a doua și cu 130 kg mai mult, iar a trei zi cu 150 kg mai puțin decât în primele două zile. Ce cantitate de mere a rămas nevândută ?

Schema metodei analitice

Notăm : I — cantitatea din prima zi

II — cantitatea din a-II-a zi

III — cantitatea di a-III-a zi

R — cantitatea rămasă

Schema metodei sintetice

În casetă se află ceea ce nu se cunoaște, elevii rezolvând de la prima operație și ajungând la rezultatul final.

Planul de rezolvare poate fi formulat fie prin propoziții interogative, fie prin propoziții afirmative.

I.1.Câte kg de mere s-au vândut a doua zi?

140 + 130 = 270 (kg)

2. Câte kg de mere s-au vândut în primele două zile?

140 + 270 = 410 (kg)

3. Câte kg de mere s-au vândut a treia zi ?

410 – 150 = 260 (kg)

4.Câte kg de mere s-au vândut în cele trei zile?

410 + 260 = 670 (kg)

5.Câte kg de mere au rămas nevândute?

960 – 670 = 290 (kg)

Răspuns: 290 kg

Verificare:

140 + 270 + 260 + 290 =960

II.1. Cantitatea de mere vândută a doua zi.

140 kg + 130 kg = 270 kg

Cantitatea de mere vândută în primele două zile.

140 kg + 270 kg = 410 kg

Cantitatea de mere vândută a treia zi.

410 kg – 150 kg = 260 kg

Cantitatea vândută în cele trei zile.

410 kg + 260 kg = 670 kg

Cantitatea rămasă.

960 kg – 670 kg = 290 kg

Exercițiul problemei (sau formula numerică a problemei)

960 – { 140 + ( 140 + 130 ) + [140 + ( 140 + 130 ) – 150 ]} =

Pentru ca problemele să fie mai atractive, mai interesante, se vor folosi expresii: dublat, triplat, îndoit, înzecit – după însușirea înmulțirii și împărțirii.

O deosebită atenție trebuie acordată problemelor care admit mai multe procedee de rezolvare prin care se cultivă mobilitatea și flexibilitatea gândirii, creativitatea, se formează un deosebit simț al esteticului prin eleganța, simplitate, economicitatea și organizarea modului de rezolvare. Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor. De multe ori elevi nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare. Sarcina învățătorului este aceea ca prin măiestria sa pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi să gândească și alte modalități de rezolvare.

1) La o fermă s-au cules într-o zi 54 kg cătină și 42 kg afine.

Câte lădițe au folosit, dacă în fiecare lădiță au pus câte 6 kg?

Unii elevi pot rezolva problema efectuând operațiile necesare în ordinea acțiunilor cuprinse în enunț.

I mod:

1. Aflăm numărul lădițelor pentru cătină.

54 : 6 = 9 lădițe

2. Aflăm numărul lădițelor pentru afine.

42 : 6 = 7 lădițe

3. Aflăm numărul total de lădițe.

9 + 7 = 16 lădițe

Răspuns: 16 lădițe

Exercițiul problemei:

( 54 : 6 ) + ( 42 : 6 ) =

Alți elevi analizân mai bine problema, renunță la ordinea acțiunilor cuprinseîn enunț și caută valorile între care pot stabili o relație utilă, mai economicoasă și mai simplă pentru rezolvarea problemei.

Al II-lea mod:

Cantitatea de fructe.

54 + 42 = 96 (kg)

2. Numărul lădițelor necesare.

96 : 6 = 16 (lădițe)

Răspuns: 16 lădițe

Exercițiul problemei:

( 54 + 42) : 6 =

2 La o alimentară s-au adus 30 cofraje cu ouă care s-au vândut. A doua zi numărul cofrajelor s-a triplat, dar s-au vândut jumătate.

Câte cofraje cu ouă au rămas?

Rezolvare:

1.Câte cofraje cu ouă s-au adus a doua zi?

30 x 3 = 90 (cofraje)

2. Câte cofraje au rămas?

90 : 2 = 45 (cofraje)

Răspuns: 45 cofraje

Exercițiul problemei:

( 30 x 3 ) =

3) Dacă în fiecare zi aveți câte 4 ore și învățați 5 zile pe săptămână, câte ore aveți în două săptămâni?

Rezolvați în două moduri.

Rezolvare:

I mod:

1. Câte ore se învață într-o săptămână?

4 x 5 = 20 (ore)

2. Câte ore se ânvață în două săptămâni?

20 x 2 = 40 (ore)

Răspuns: 40 ore

Exercițiul problemei:

(4 x 5) x 2 =

Al II-lea mod:

Câte zile se învață în două săptămâni?

5 x 2 = 10 (zile)

Câte ore se ânvață în două săptămâni?

10 x 4 = 40 (ore)

Răspuns: 40 ore

Exercițiul problemei:

( 5 x 2 ) x 4 =

4) La un club școlar s-au înscris 482 elevi la cercul de pictură, 372 elevi la cercul folcloric, iar 102 elevi și la cercul de pictură și la crecul folcloric. Să se afle:

a) Câți elevi participă numai la cercul de pictură?

b) Câți elevi participă numai la cercul folcloric?

c) Câți elevi participă cel puțin la unul din cercuri?

Rezolvare:

Câți elevi participă numai la cercul de pictură?

482 +102 = 584 (elevi)

Câți elevi participă numai la cercul de folclor?

372 + 102 = 474 (elevi)

Câți elevi participă numai la unul din cercuri?

482 +372 + 102 =956 (elevi)

Răspuns : a)-584 elevi

b)-474 elevi

c)- 956 elevi

5) În urma recoltării, cartofii de pe o tarla au fost stânși în trei grămezi respectiv de 421, 230 și 275 tone. Pentru însilozare cartofii au fost transportați cu camioane având capacitatea de încărcare de 7 tone.

Câte transporturi au avut loc, dacă deplasările s-au făcut numai cu încărcătura maximă? Ce cantitate a trebuit trnsportată la urmă cu un mijloc de transport mai mic?

Rezolvare:

I mod:

1. Câte transporturi au loc pentru prima grămadă?

421 :7 = 60 (transporturi) rest 1 tonă

Câte transporturi au loc pentru a doua grămadă?

230 : 7 = 32 (transporturi) rest 6 tone

4. Câte transporturi au loc pentru a treia grămadă?

275 : 7 = 39 (transporturi) rest 2 tone

5. Ce cantitate a rămas din cele patru grămezi?

1 + 6 + 2 = 9 (tone)

6. Câte transporturi se mai pot face din cantitatea rămasă?

9 : 7 = 1 (transport) rest 2 tone

7. Câte transporturi au fost efectuate?

60 + 32 + 39 +1 =132 (transporturi)

Răspuns : 132 transporturi

2 tone

Al –II-lea mod

Ce cantitate de cartofi trebuie transportată?

421 t +230 t + 275 t = 926 t

2. Câte transporturi cu încărcătură maximă se pot face?

926 : 7 = 132 (transporturi) rest 2 tone

Răspuns : 132 transporturi

2 tone

6) Lățimea unui dreptunghi este de două ori mai mică decât lungimea. Să se afle dimensiunile dreptunghiului, știind că perimetrul este de 2148 m.

Rezolvare:

I mod:

L = l x 2

P = l x 6 , P =L x 3 dar P = 2148 m

L = ? , l = ?

1) Care este lățimea?

2148 : 6 = 358 (m)

2) Care este lungimea?

358 x 2 = 716 (m)

Răspuns : L = 716 m

l = 358 m

Al II-lea mod :

1) Care este lungimea?

2148 : 3 = 716 (m)

2) Care este lățimea?

716 : 2 = 358 (m)

Răspuns : L = 716 m

l = 358 m

7) Într-o magazie se află depozitată o cantitate de 538000 kg făină albă. Făina s-a pus în saci de câte 50 kg fiecare. 3860 saci au fost repartizați la o cantină, iar restul au fost împărțiți ân mod egal la 15 alimentare.

Câte q de făină au fost repartizate fiecărei alimentare? Rezolvați în două moduri.

Rezolvare:

I mod

1. Numărul total al sacilor.

538000 : 50 = 10760 (saci)

Numărul sacilor repartizați alimentarelor.

10760 – 3860 = 6900 (saci)

Numărul sacilor destinați unei alimentare.

6900 : 15 = 460 (saci)

4. Cantitatea de făină repartizată fiecărei alimentare.

460 x 50 = 23000 (kg)

23000 kg = 230 q

Răspuns : 230 q făină

Al II-lea mod

Cantitatea de făină repartizată cantinei.

3860 x 50 = 193000 (kg)

2. Cantitatea de făină repartizată alimentarelor.

538000 – 193000 = 345000 (kg)

3. Cantitatea de făină repartizată fiecărei alimentare.

345000 : 15 = 23000 (kg)

23000 kg = 230 q

Răspuns : 230 q făină

8) Lotul unei școli are lungimea de 250 m ți lățimea reprezintă 2/5 din lungime. Jumătate din suprafață se cultivă cu porumb, iar restul cu cartofi.

a) Câți ari s-au folosit pentru cultivarea cartofilor?

b) Ce lungime are gardul care împrejmuiește terenul?

Rezolvare:

1. Care este lățimea terenului?

250 : 5 x 2 = 100 (m)

2. Care este suprafața lotului?

250 x 100 = 25000 (m pătrați )

3. Care este suprafața folosită pentru cultivarea cartofilor?

25000 m pătrați = 250 ari

250 : 2 = 125 (ari)

Ce lungime are gardul care împrejmuiește terenul?

( 250 x 2 ) + ( 100 x 2 ) = 700 (m)

Răspuns : a) 125 ari

b)700 m

II.6.Rezolvarea problemelor tipice

Categoria problemelor tipice este acea categorie de probleme a căror specific este rezolvarea lor prin metode speciale. În rezolvarea acestor probleme accentul cade pe un anumit mod de a gândi pentru a descoperi soluția problemei, care este tipic, același pentru tipul respectiv de problemă.

Metodele de rezolvare a problemelor tipice diferă de la un tip la altul. Ele se caracterizează atât prin felul de așezare a datelor și efectuarea operațiilor cât și prin utilizarea selectivăa operațoolor gândirii.

Cu toate că problemele propuse pentru fiecare tip urmăresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului), nu înseamnă că în urma rezolvării lor, rezolvitorul să se transforme într-un robot a cărui sarcină ar fi doar să stabilească tipul problemei, să tragă cartela corespunzătoare și să o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de probleme trebuie să fie pe lângă un bun specialist al obiectului și un tip creator, novator, întreprinzător.

În funcție de metodele de rezolvare utilizate, problemele de aritmetică s-ar putea clasifica în:

I—probleme cu operațiile relativ evidente. În funcție de date și de relațiile dintre ele și dintre ele și necunoscută, acestea sunt:

a) probleme simple;

b) probleme compuse.

Ca metode de rezolvare a acestor probleme sunt în principal două: metoda sintetică și metoda analitică.

II—probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În această categorie includem și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

III—probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație);

IV—probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze);

V—probleme gen rest din rest (metoda mersului invers );

VI—probleme de amestec și aliaj cu două variante:

de categoria I;

de categoria a-II-a.

VII—probleme de mișcare (bazate pe relația S= vxt), cu două variante:

în același sens;

în sensuri opuse.

VIII—probleme cu mărimi proporționale cu trei variante:

împărțirea unui număr în părți direct proporționale;

împărțirea unui număr în părți invers proporționale;

împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date .

IX—probleme care, depinzând de formularea ântrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate la categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific:

probleme cu conținut geometric;

probleme cu conținut de fizică;

probleme asupra acțiunii și muncii în comun.

X—probleme nonstandard (recreative, rebisistice, de perspicacitate, probleme-joc etc.)

De precizat faptul că metodele care se folosesc mai des la clasele a-II-a și a-III.-a sunt:

– metoda figurativă:

– metoda reducerii la unitate;

iar la clasa a- IV – a:

-metoda comparației;

– metoda mersului invers.

În cele ce urmează, voi exemplifica cu probleme rezolvate acele tipuri de probleme pentru care se poate identifica și o stuctură a metodei (procedeului) de rezolvare.

II.6.1.Metoda figurativă

Prin aceasta metodă reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele utilizează elemente grafice sau desene și scheme. În aplicarea acestei metode se poate face apel la categoria de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și specificului lor cât și etapei de școlarizare.

II.6.1.1.Figurarea prin desen

Se folosește încă din clasa I când elevii fac cunoștință cu noțiune de problemă – când baza o constituie intuiția.

Exemplu:

Două fetițe au oferit mamei lor flori. Fetița mai mare 3 flori, iar cea mai mică o floare.

Câte flori a primit mama, dacă și soțul ei i-a oferit 5 flori?

3 + 1 = 4

4 + 5 = 9

II.6.1.2.Figurarea prin segmente de dreaptă

Este folosită în clasa a II -a când se introduc problemele tipice:

aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor

Exemplu: Într-o grupă sportivă sunt 17 copii. Băieții sunt cu 3 mai mult decât fetele.

Câți baieti și câte fete sunt în grupă?

I mod

f

+ 3 17

b

Aflăm dublul numărului fetelor. 17 – 3 = 14 (fete)

2. Aflăm numărul fetelor. 14 : 2 = 7 (fete)

3. Aflăm numărul băieților. 17 – 7 = 10 (băieți)

Răspuns: f = 7, b = 10

II mod

f

+ 3 17

b

Aflăm dublul numărului băieților. 17 + 3 = 20 (băieți)

2. Aflăm numărul băieților. 20 : 2 = 10 (băieți)

3. Aflăm numărul fetelor. 17 – 10 = 7 (fete)

Răspuns: f = 7, b = 10

Figurarea schematică

Exemplu:

Un grup de fete și băieți au fost repartizați la culesul merelor. Inițial numărul băieților era de 3 ori mai mare decât numărul fetelor, dar după ce 4 fete și 4 băieți pleacă la încărcatul lăzilor, numărul băieților a devenit de 4 ori mai mare decât al fetelor.

Câte fete și câți băieți au fost repartizați la început la culesul merelor?

1. Pentru a putea reprezenta prin elemente grafice vom utiliza majuscule F (fete) și B (băieți).

Situația inițială se prezintă astfel:

B B B B B B B

BF ……………………

2. După repartizarea celor 4 fete și 4 băieți în altă parte, situația este reprezentată astfel:

* * B B B B B

*** B*B B*B B*B .

Cei 8 băieți rămași stingheri se repartizează câte unul la fiecare grup rămas

intact, astfel încât fiecărei fete îi corespund 4 băieți ca în figura următoare:
B B B B B B B

B B B B B B B

Cu cei 8 băieți se pot completa în acest mod 8 grupuri de câte o fată și 4 băieți. Deci:

1. Acum – numărul băieților este: 8 x 4 = 32 (băieti)

– numărul fetelor este: 8 x 1 = 8 (fete)

2. Numărul inițial a fost:

32 + 4 = 36 ( băieți)

8 + 4= 12 (fete)

Răspuns: 12 fete și 36 băieți

Avantajele pe care le reprezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei:

are caracter general, aplicându-se orice categorii de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității;

are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal;

prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre
ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.

II.6.2.Metoda comparației

Ca operație a gândirii logice, comparația intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt egale între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.

Metoda constă în a face ca cele două mărimi să aibă aceeași valoare și în acest fel problema devine mai simplă, cu o singură necunoscută. Într-o astfel de problemă, așezarea datelor se face prin respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleeași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile de același fel unele sub altele.

Procedeele de rezolvare a unor probleme duc la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere. Dacă valorile aceleeași mărimi sunt legate prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relației respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. Prin această metodă se rezolvă probleme de egalizare la o relație cu o singură necunoscută.

Când au un același termen de comparație:

Exemplu:

Miruna a cumpărat luni 2 kg de zahăr și 3 kg făină, plătind 115 lei. Marți a cumpărat 2 kg zahăr și 7 kg făină, plătind 215 lei.

Cât costă un kg de zahăr și un kg de faină?

Rezolvare:

2kg Z 3kg F 115 lei

2 kg Z . 7kg F 215 lei

? kg Z ? kg F

Am scăzut valorile de sus din cele de jos:

2 – 2 = 0 kg Z;7-3=4kg F; 215 – 115 = 100 lei

1 kg F………………. 100 : 4 = 25 lei

3 kg F ……………………………………. 25 x 3 = 75 lei

2 kg Z ……………… 115 lei – 75 lei = 40 lei

1kg Z ……………………….. 40 lei : 2 = 20 lei

Răspuns: 1 kg F = 25 lei; l kg Z = 20 lei

Verificare:

2 x 20 + 3 x 25 = 2 x 20 + 7 x 25 =

= 40 + 75 = = 40 + 175 =

= 115 = 215

De aducere la același termen de comparației

Exemplu:

Mama a cumpărat 5 kg cartofi și 2 kg ridichi și a plătit 35 lei, a doua zi a cumpărat 15 kg cartofi și 5 kg ridichi și a plătit 95 lei.

Cât a costat 1 kg de cartofi și cât a costat 1 kg de ridichi?

Rezolvare :

5 kg C 2 kg R………… 35 lei

15kg C… 5 kg R……………. 95 lei

1 kg C ? 1 kg R ?

Deoarece nicio mărime nu are aceeași cantitate, problema este dificilă, în acest caz vom interveni cu o problemă simplă pentru a-i ajuta pe elevi să descopere singuri rezolvarea. (Presupunem că în prima zi ar fi cumpărat de 3 ori mai mult, atunci triplăm suma).

15 kg C 6kgR………. 105 lei

15 kgC 5kgR.. … 95 lei

1 kg R …………….. 10 lei

2 kg R ……………. 10 x 2 = 20 lei

5 kg C + 20 lei = 35 lei

5 kg C = 35 lei – 20 lei

5 kg C = 15 lei

1 kg C = 15 lei : 5

1 kg C = 3 lei

Răspuns: 1 kg C = 3 lei; 1 kg R = 10 lei

Verificare:

15 lei + 20 lei = 35 lei 15 x 3 lei + 5 x 10 lei = 45 lei + 50 lei = 95 lei

II.6.3.Metoda falsei ipoteze

Orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale, poate fi rezolvată prin metoda falsei ipoteze. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, făcând asupra mărimii ce o căutăm o presupunere arbitrară, dar nu în contradicție cu datele din enunț. Se reface problema pe baza presupunerii făcute și se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel din problemă. Este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. Se compară rezultatul pe baza presupunerii cu cel real; din nepotrivirile obținute se trage concluzia corectă de rezolvare a problemei.

Exemplu:

Cu 1300 lei se pot cumpăra 30 bilete de tren de 30 lei și 50 lei.

Câte bilete sunt de fiecare ?

Rezolvare :

a) presupunem că toate biletele costă 50 lei. Atunci toate cele 30
bilete ar costa:

30×50 = 1500 (lei)

b) comparând cu prețul real se obține o diferență :

1500 – 1300 = 200 (lei)

c) această diferență din faptul că biletele de 30 lei le-am cumpărat
mai scumpe cu :

50 – 30 = 20 (lei)

d) la câte astfel de bilete am adăugat 20 lei din suma, care a apărut
în plus, de 200 lei ?

200: 20 = 10 (bilete)

30 – 10 = 20 (bilete)

Răspuns: 10 bilete de câte 30 lei; 20 bilete de câte 50 lei

Exemplu:

Într-o curte sunt găini, rațe și oi. Știind că în total sunt 100 de capete și 280 de picioare, iar numărul rațelor este o treime din numărul găinilor, să se afle câte păsări de fiecare sunt în acea curte.

Această problemă se rezolvă prin metoda falsei ipoteze combinată cu metoda grafică.

Rezolvare:

a) presupunem că toate capetele au câte 2 picioare : 100 x 2 = 200 (picioare)

b) comparând numărul de picioare cu cel din problemă se obține o diferență : 280 – 200 = 80 (picioare)

c) această diferență provine din faptul că în curte sunt și animale cu patru picioare, deci cele 80 de picioare le împărțim câte 2 la fiecare cap pentru a afla câte oi sunt: 80 : 2 = 40 (oi)

d) aflăm câte păsări sunt: 100 – 40 = 60 (păsări).

Din acest punct, problema se rezolvă prin metoda grafică:

r

g

e) adunăm părțile : 1+3=4 părți

f) aflăm câte rațe sunt: 60 : 4= 15 (rațe)

g) aflăm câte găini sunt: 15 x 3 = 45 (găini)

Răspuns: 15 rațe, 40 oi

Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ipoteze sau a mai multora, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Întrucât ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se mai numește a falsei ipoteze. Problemele a căror rezolvare se bazează pe această metodă, se pot clasifica în două categorii:

probleme de categoria I, pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

probleme de categoria a II-a pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemplu:

Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și gâște, în total 3 444 capete și 11 520 picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare decât al vacilor, iar al gâștelor de 3 ori mai mic decât al găinilor, să se afle separat câte vaci, oi, găini și gâște are ferma.

Rezolvare:

Ținând seama că vacile și oile au câte 4 picioare, iar găinile și gâștele câte două, se va afla întâi câte animale au 4 picioare și câte au 2 picioare, și apoi câte dintre cele cu 4 picioare sunt vaci sau oi și câte dintre cele cu două picioare sunt găini sau gâște. În acest scop se presupune că toate animalele sunt cu câte 4 picioare.

3 444 x 4 = 13 776 (picioare); 13 776 – 11 520 = 2 256, 2 256 : 2 = 1 128 (păsări);

1 128 : 4 = 282 (gâște); 282 x 3 = 846 (găini); 3 444 – 1 128 = 2 316 (animale: vaci și oi);
2 136 :6 = 386 (vaci); 386 x 5 = 1930 (oi)

Exemplu:

Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe bancă, rămân 4 bănci libere.

Câte bănci sunt în sală și câți spectatori ?

Rezolvare :

Ipoteza I: Se presupune că ar fi 30 bănci.

30 x 4 = 120 (spectatori); 30 – 4 = 26 (bănci ocupate);

120 + 18 = 138 (spectatori); 26 x 5 = 130 (spectatori);

138 – 130 = 8 (diferența dintre spectatori).

Ipoteza a- II-a: Se presupune că ar fi 31 de bănci.

31 x 4 = 124 (spectatori); 31 – 4 = 27 (bănci ocupate);

124 + 18 = 142 (spectatori); 27 x 5 = 135 (spectatori);

142 – 135 = 7 (diferența dintre spectatori).

Dacă numărul băncilor s-a mărit cu 1, diferența s-a micșorat cu o unitate, de unde rezultă că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 pentru ca diferența de spectatori să se acumuleze .

Deci: 38 x 4 = 152 (spectatori); 38 – 4 = 34 (bănci ocupate);

152 + 18 = 170 (spectatori); 34 x 5 = 170 (spectatori).

II.6.4.Metoda mersului invers

Se folosește în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul șirului de relații dat în enunț. Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația inversă celei din enunț. Deci, nu numai „mersul” este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse decât cele din problemă. Exercițiile de tipul celor degajate din enunțul problemei sunt de fapt ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care se rezolvă prin raționament aritmetic cu ajutorul relațiilor ce există între rezultatele operațiilor și termenii cu care se operează. Rezolvarea unei asemenea probleme se poate combina și cu metoda figurativă.

Exemplu:

Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători. Primul îi vinde o jumătate din cantitate, celui de-al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest.

Câți pepeni a avut producătorul, dacă i-au mai rămas 16 pepeni?

Rezolvare :

1 din T (total)

2

R1

1 din R1

3

R2

1 din R2

5

Se observă că reprezintă 4/5 din restul al doilea. Câți pepeni reprezintă restul al doilea?

16 : 4×5 = 20 (pepeni)

Tot 20 reprezintă 2/3 din primul rest. Câți pepeni constituie primul
rest? 20: 2×3 = 30 (pepeni)

30 reprezintă 1/2 din totalul inițial. Câți pepeni erau în total ? 30 x 2 = 60 (pepeni).

A rezolva un exercițiu sau o problemă prin mersul invers înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la un element de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Se numește metoda mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecare operații corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în timpul respectiv.

Exemplu:

Se consideră un număr notat cu a, la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește cu 6, din produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5, obținându-se 25.

Cât este a?

[(a + 7) x 6 – 10] : 4 + 5 = 25

Rezolvare:

[(a + 7) x 6 – 10] : 4 = 25 – 5; [(a + 7) x 6 – 10] : 4 = 20; (a + 7) x 6 – 10 = 20 x 4;

(a + 7) x 6 – 10 = 80; (a + 7) x 6 = 80 + 10; (a + 7) x 6 = 90; a + 7 = 90 : 6; a + 7 = 15; a = 15 – 7; a = 8.

II.7.Rezolvarea problemelor cu mărimi proporționale

În probleme cu mărimi proporționale intervin două feluri de mărimi:

1. Mărimi direct propoționale – două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă o mărime se mărește sau se micșorează de un număr de ori cealaltă se mărește sau se micșorează de același număr de ori.

Exemple:

– cantitatea de marfă și valoarea ei în unități monetare;

– timpul de lucru și retribuția;

– spațiul și timpul în mișcare uniformă;

– debitul și cantitatea de lichid acumulat într-un timp determinat.

2. Mărimi invers proporționale – două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă prima mărime se mărește de un număr de ori, valoarea corespunzătoare din mărimea a doua se micșorează de același număr de ori și invers.

Exemple:

– numărul muncitorilor și timpul de lucru pentru volum de muncă dat;

– viteza și timpul în mișcare uniformă pentru un spațiu dat;

– dimensiunile unui dreptunghi de arie data.

Exemplu:
Trei muncitori cu aceeași calificare lucrează respective 5 piese, 8 piese și 7piese de

același fel, pentru care primesc 7600 lei. Ce sumă primește fiecare?

În clasele C.P. – IV apar probleme de genul celor de împărțire în părți direct proporționale cu numere date. Elevii vor înțelege cu ușurință că, dacă muncitorii care intră în componența unei echipe de lucru aduc o contribuție diferită în realizarea unui produs, este firesc ca contribuția lor să fie diferită. Pentru stabilirea sumei ce se cuvine fiecărui muncitor, proporțional cu numărul de piese lucrate, este necesar să se cunoască cât se primește pentru o singură piesă lucrată.

De aici rezultă că metoda prin care se stabilește suma corespunzătoare pentru o singură piesă, pentru o singură unitate se numește reducere la unitate. Rezolvarea problemei comportă două etape distincte:

aflarea sumei corespunzătoare pentru o singură piesă (reducere la unitate);

aflarea numerelor corespunzătoare pentru 5 piese, respective 8 și 7 piese.

Planul rezolvării:

Aflăm numărul total de piese. 5 + 8 + 7 = 20 (piese)

Aflăm suma corespunzătoare unei singure piese. 7600 : 20 = 380 (lei)

Aflăm suma corespunzătoare pentru 5 piese. 380 x 5 = 1 900 (lei)

Aflăm suma corespunzătoare pentru 8 piese. 380 x 8 = 3 040 (lei)

Aflăm suma corespunzătoare pentru 7 piese. 380 x 7 = 2 660 (lei)

Acest procedeu poate fi formulat astfel:

– pentru a împărți un număr în părți proporționale cu anumite numere date se
împarte acel număr la sumele numerelor date, iar catul se înmulțește cu fiecare din aceste nume

În categoria problemelor în care intervin mărimi proporționale o categorie o constituie problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă. Metoda de baza o constitue reducerea la unitate, regula de trei simplă costituie doar o formulă anumită de așezare a datelor.

În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin două mărimi direct sau invers proporționale, fiecare mărime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscuta. În această categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul cărora se găsește cea de-a patra valoare, fapt care justifică numerele regula de trei.

Considerând mărimile x și y cu perechile de valori x1, x2, respectiv y1,y2.

Dacă mărimile x, y sunt direct proporționale putem scrie: x1/x2 = y1/y2 sau x1/y1 = x2/y2

Proporții în care termenul necunoscut reprezintă cel de-al patrulea proporțional și se poate afla ca atare: y2 = x2 ∙ y1 sau y2 = y1 ∙ x2

x1 x1

Dacă mărimile sunt invers proporționale, putem scrie:

x1/x2 = y2/y1 sau x1/y2 = x1/y1

Dacă y2 este cunoscut, y2 = x1 ∙ y1 sau y2 = y1 ∙ x2

x1 x2

Din cele de mai sus rezultă că pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă este suficient să se așeze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare și calcul să se utilizeze metoda proporțiilor (aflarea celui de-al patrulea proporțional).

Dar metoda care se utilizează în rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă este metoda reducerii la unitate, deoarece ea urmărește un raționament mai apropiat de înțelegerea concretă a elevilor.

Metoda proporțiilor cere însă cunoștințe matematice pe care elevii le parcurg abia la gimnaziu (ea merge pentru elevii care participa la cercul de matematică).

Exemplu:

O cantitate de 250 kg de cartofi a fost ambalată în 10 lăzi.

Dar 375 kg cartofi în câte lăzi se vor ambala?

250 kg …………………………………………….. 10 lăzi

375 kg ………………………………………… x lăzi

Mărimile fiind direct proporționale și aplicând reducerea la unitate:

250kg …………………………………… … 10 lăzi

1 kg ………………………………………. 10/250 lăzi

375 kg………………………………………… 10 . 375:250 = 3750 = 15 lăzi

Dacă 9 zile ………………………………….8 muncitori

1 zi …………………………8 x 9 muncitori

4 zile …………………..8 x 9:4 = 18 muncitori

Din cei 18 muncitori, 8 erau angajați și lucrau deja, astfel că mai trebuie angajați 18 – 8 = 10

II.8.Rezolvarea problemelor de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea. Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om) exprimat în unități de lungime (metru, multiplii sau submultiplii lui). Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată în unități de lungime pe unități de timp ( m/s, km/h). Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge spațiul.

În general, în problemele de mișcare se vorbește despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică, în intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz, cele trei mărimi s,v,t, sunt legate prin relația : s = v x t; v = s/t; t = s/v

La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice.

Exemplu:

Doi turiști parcurg distanțe de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist este de 4 km /h, iar a celui de-al doilea de 6 km/h.

Să se determine distanța de la A la B.

Rezolvare:

I ( aritmetică): v1= 4 km /h, v2 = 6 km h; v2 – v1 = 2 km/h.

Deci primul a rămas în urmă cu spațiul: s = 4 km/ h x 2 h = 8 km

8 : 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4 h și a parcurs, 4 x 6 = 24 km, AB = 24km.

II. ( algebrică ): t1= s/4 (timpul necesar parcurgerii spațiul AB de primul turist)

t2= s/6 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al doilea turist)

s/4 – s/6 = 2; 3s – 2s = 24, s = 24, AB = 24 km

Tot în cadrul problemelor de mișcare sunt înscrise și probleme de întâlnire:

mobilele se deplasează în sens contrar;

mobilele se deplasează în același sens;

mobilele se deplasează în sens contrar

D

A B

v1 v2

Formula după care calculăm timpul de întâlnire într-o problemă de mișcare în sensuri contrare este: t = s/ v1 + v2

Exemplu:

Din orașul A pleacă la ora 11 dimineață un biciclist, spre B. El merge cu o viteză de 16 km/h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din oraș B spre orașul A cu viteza de 2 km/h.

Când și unde se vor întâlni ei, dacă distanța de la A la B este de 328 km?

Rezolvare :

Recunoaștem din enunț, o problemă de mișcare în sensuri contrare, care se deosebește foarte mult de problemele standard, comentate anterior. Cunoaștem vitezele celor două mobile și trebuie să stabilim la ce distanță se aflau unul de altul în momentul când începem să considerăm mișcarea, unuia către celălalt.

Facem următorul desen:

328 km

48 km 280 km

A B

v1 = 16 hm/h v2 = 16 km/h

Etalon de rezolvare:

Până în momentul plecării din B celui de-al II -lea biciclist, primul parcurge:

16 x 3=48(km)(AC).

El se află ia distanța de 328 – 48 = 280 ( km ) față de biciclistul al II-lea (CB), în momentul plecării acestuia din B.

Din acest moment, problema s-a redus la o problemă tipică de mișcare în sensuri contrare. În fiecare oră, distanța dintre cei doi se micșorează cu: 16 km + 12 km = 28 km

Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind

28 km în 280 km, adică, 280 km : 28 km/h = 10 ore.

Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau la

10 + 3 = 13 ( ore ) după plecarea celui din A.

Ei se vor întâlni la ora : 11 + 13 = 24 (h), la distanța de: 16 x 13 = 208 km de orașul A.

b) mobilele se deplasează în același sens

Aceste probleme pot fi redate schematic ca în figura de mai jos:

A B

v2

v1

Formula după care calculăm timpul de întâlnire într-o problemă de mișcare în același sens este: t = s/ v1 – v2

Exemplu:

Un biciclist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din orașul A, în aceeași direcție, un motociclist, având viteza de 42 km /h.

În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist ?

Rezolvare

A B

Vb = 24 km/h

Vm = 42 hm/h

În 3 ore biciclistul parcurge o distanță de: 24 x 3 = 72 ( km)

Motociclistul parcurge în fiecare oră, în plus: 42 – 24 = 18 ( km)

Cei 72 de km vor fi recuperați în: 72 : 18 = 4 ( h), timp după care biciclistul va fi ajuns

Distanța de întâlnire va fi: 42 x 4 = 168 (km).

II.9.Rezolvarea problemelor cu conținut geometric

Predarea și învățarea cunoștințelor de geometrie în clasele primare au drept scop principal dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copii necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei, deci o bază reală și sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind fermele spațiale ale materiei .

Studiul geometriei la clasele C.P. – IV, implică înarmarea elevilor cu un sistem de cunoștințe coerent și bine structurat despre formele obiectelor lumii reale, mărimea și propriatățile acestora, a efectua măsurători, a stabili mărimi și distanțe, a calcul, a defini corect noțiunile și elementele care se constituie apoi fundament pentru învățarea în clasele următoare a cursului sistematic și logic de geometrie.

În geometrie, desenul este de o importanță covârșitoare, rațiune pentru care, încă de la primele clase, construcția figurilor trebuie să constituie o verigă importantă a structurii lecțiilor cu conținut geometric. Construcția unei figuri geometrice are avantajul că prezintă prin câteva linii forma figurilor, sugerează relații între elementele lor, pe baza cărora elevii sunt puși să descopere alte proprietăți care se pot verifica prin raționament. Desenul trebuie mai întâi să fie explicat pentru ca fiecare segment trasat să-și găsească corespondentul în modelul real alăturat.

De asemenea, o altă cerință de bază a activității didactice în predarea și învățarea elementelor de geometrie, precum și în rezolvarea problemelor aferente o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunoștințe și abilități geometrice care sunt funcționale , adică spre acele cunoștințe ce pot fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu (teoretică sau practică). În această ordine de idei, învățătorulu trebuie să rețină că:

a) abilitatea practică de a ști (putea) să rezolvi probleme se capătă prin exercițiu prin studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumată, printr-o activitate de grup și în mod obligatoriu printr-o activitate personală;

b) acitvitatea de rezolvare de probleme asigură și consolidarea cunoștințelor de geometrie, realizând deschideri în planul motivațiilor favorabile continuării studiului, dezvoltării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

În continuare voi prezenta câteva exemple de probleme al căror conținut geometric se complică progresiv, de la identificare, măsurare, notare, până la aflarea perimetrului și a ariei figurilor geometrice învățate.

1) Desenați o dreaptă, apoi un punct ce aparține drepte. Ce s-a obținut?

Rezolvare

Se execută desenul, respectând cerințele din enunț, constatându-se faptul că s-a obținut o semidreapt, deoarece este mărginită la un capăt. Apoi se notează semidreapta cu literă mare din alfabet.

Calculați lungimea segmentului și ilustrați grafic segmentul respectiv:

BC, știind că: AB = 6 cm, AC = 9 cm;

AC, știind că: AB = 10 cm, BC = 4 cm.

Punctele A, B, C sunt în linie dreaptă, iar B se află între A și C.

Rezolvare:

În cazul enunțurilor de acest tip se insistă pe citirea și recitirea textului cu atenție până la capăt. După ce s-a observat și discutat faptul că punctele A, B și C sunt coliniare, precum și după reactualizarea noțiunii de segment, se trece la calcularea segmentului cerut:

a) BC = AC – AB b) AC = AB + BC

BC = 9 – 6 AC = 10 + 4

BC = 3 cm AC = 14 cm

O dată calculată lungimea cerută se execută desenul respectând dimensiunile calculate și cele din enunțul problemei:

Desenați un dreptunghi cu lungimea de 8 cm și lățimea cu 6 cm mai mică. Notați, apoi scrieți unghiurile formate și laturile paralele.

Rezolvare:

a) Alfăm lățimea:

8 – 6 = 2 cm

A B

D C

b) < DAB; < ABC; < BCD; < CDA,

c) AD // BC.

O ramă dreptunghiulară are lungimea de 2 m, iar lățimea cu 70 cm mai mică. Aflați perimetrul ramei în centimetri.

Rezolvare:

Problemele cu conținut geometric constituie un cadru propice consolidării cunoștințelor despre unități de măsurat lungimea. Astfel după citirea șiconștientizarea enunțului, se efectuează mai întâi transformările.

2 m = 200 cm

Desenul, în astfel de cazuri nu se poate efectua la tablă sau pe caiete de aceea, se trece direct la calcularea perimetrului. Totuși, se poate desena un dreptunghi nu la dimensiunile din enunț, care să faciliteze deducerea formulei perimetrului.

Aflăm lățimea:

200 – 70 = 130 cm

b) Aflăm perimetrul:

(200 x 2) + (130 x 2) = 660 cm

Răspuns: 660 cm

5) Un dreptunghi are lățimea de 600 cm iar lungimea de 5 ori mai mare. Câți metri pătrați are aria dreptunghiului?

Rezolvare:

600 cm = 6 m

a) Aflăm lungimea:

6 x 5 = 30 m

b) Aflăm aria:

30 x 6 = 180 m pătrați

Răspuns: 180 m pătrați

PROBLEME PROPUSE

1) Ilustrați grafic mijlocul segmentului AB în următoarele cazuri :

a) AB = 18 CM; b) AB =AC + CB unde AC = 7 cm, CB = 5 cm; c) AB =AC – CB, unde AC = 8cm, CB = 6 cm.

2) Desenați un dreptunghi ABCD cu lungimea de 4 cm, iar lățimea cu un cm mai mică. Uniți punctele A cu C și B cu D. Ce figuri geometrice ați obținut? Aflați perimetrul și aria dreptunghiului.

3) Un trapez are baza mare de 140 cm, baza mică de două ori mai mică, iar laturile neparalele dar egale au câte 40 cm. Care este perimetrul trapezului?

4) Perimetrul unui romb este 600 dm. Câți metri are latura rombului?

5) Terenul unei livezi este în formă de pătrat cu perimetrul de 2000 m. Pe 1/5 din suprafața livezii sunt vișini, pe 2/5 din suprafață sunt caiși iar pe restul sunt meri. Știind că pentru dezvoltarea normală a unui pom sunt necesari 2 m pătrați, aflați câți vișini, câți caiși și câți meri sunt în livadă.

II.10.Rezolvarea problemelor nonstandard

O categorie aparte de probleme, care nu se supune exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care permite aplicarea unei metode învățate, este cunoscută sub numele de probleme nonstandard. Această categorie include probleme în fața cărora, după citirea enunțului, rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu reușesc să le introducă în canoanele metodei de rezolvare bine știute. În această situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvatorul devenind, în situația în care reușește rezolvarea, un creator. Conduita este creatoare deoarece nicio problemă nu seamnă cu alta, de fiecare dată rezolvatorul fiind obligat să găsească o anume cale de rezolvare proprie fiecărei probleme.

Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează: cultivarea creativității elevilor din clasele C.P.-IV (îndrăzneală, istețime, spirit novator, iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metodei); crearea unor situații generatoare de motivație intrinsectă, cu consecințe favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, al apariției unor satisfacții noi, care întăresc pozitiv motivația școlară în sfere mai largi de activitate; educarea unor trăsături volative pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire controlată didactic etc). Datorită marii varietăți a acestui gen de probleme și a gradului înalt de articularitate al fiecăreia, este greu să se facă analogii, să se opereze transferurile de metodă. Asemenea probleme se vor rezolva mai ales în cadrul cercului de matematică. Deoarece rezolvarea unei probleme nonstandard reprezintă un act creator, vom încerca o regăsire a fazelor procesului de creație așa cum au fost elaborate de G.Wallas.

Exemplu:

Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul dintre ei îl întreabă pe celălalt câți copii are și ce vârstă au. Cel întrebat răspunde: Am trei copii. Ce vârstă au? Ghicește! Deoarece amândoi erau buni de glumă, între ei se înfiripă următorul dialog: – Nu pot. Dă-mi câteva informații. – Produsul vârstelor este 36. – Nu-mi ajunge această informație. – Suma vârstelor este cât numărul acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm. După ce s-a gândit puțin, cel care întrebase spune : – Tot nu pot să răspund. Mai dă-mi o informație. – Da, cel mai mic are ochi albaștri.

După această informație el reușește să răspundă. Cum a procedat, știind că vârstele copiilor au fost exprimate în numere întregi?

1. Prepararea este momentul în care rezolvitorul (care este de fapt elevul și nu unul dintre cei doi părinți) receptează activ toate sursele de sprijin posibile: – știe clar ce trebuie să afle (vârsta celor trei copii); – adunarea materialelor – reactualizează toate datele problemei; – munca reală de creație – deoarece rezolvitorul nu cunoaște decât produsul vârstelor care este 36, el va încerca toate posibilitățile existente:

a) 1 x 1 x 36 = 36 b) 1 x 2 x 18 = 36 c)lx3xl2 = 36 d)lx4x 9 = 36

e)lx6x 6 = 36 f) 2x2x9 = 36 g)2x3x 6 = 36 h)3x3x 4 = 36

Cea de-a doua informație în legătură cu suma vârstelor îi este rezolvatorului necunoscută, încercând din nou toate posibilitățile:

a) 1 + 1 + 36 = 38 b) 1 + 2 + 18 = 21 c) 1+3+ 12 = 16 d) 1 + 4+ 9 =14

e)l+6+6=13 f) 2 + 2+ 9 =13 g) 2 + 3+ 6=11 h) 3+3+ 4 = 10

2. Incubația este perioada activității inconștiente. După o scurtă perioadă de timp apare o viziune de ansamblu asupra strategiei de lucru și aposibilei soluții. Pe baza jocului liber al imagina ției și intuiției creatoare, are loc înțelegerea problemei, pregătindu-se cea de-a treia fază.

3. Iluminarea – rezolvitorul înțelege că aflându-se în oricare dintre situațiile a), b),

c), d), e), f), g), h) (menționate mai sus) celui de față i-ar fi fost ușor să afle vârsta. Deoarece a mai cerut detaliu este evident că se aflau în dreptul casei cu numărul 13, având două posibilități. Din acel detaliu, care la început pare banal, lipsit de importanță, atât părintele ce rezolvă problema, eât și elevul, înțeleg că important este faptul că există un copil ca fiind cel mai mic, iar culoarea ochilor este de fapt elementul perturbator menit să direcționeze greșit gândirea. Atunci dintre cele două variante posibile va alege prima variantă, deci cea în care vârstele ar fi: 1 an, 6 ani, 6 ani.

4. Elaborarea și verificarea se realizează în mintea rezolvatorului
stabilind valoarea de adevăr a soluției găsite:1 x 6 x 6 = 36 ; 1 + 6 + 6 = 13; există într-adevăr un copil ca fiind cel mai mic.

II.11.Rezolvarea problemelor folosind metode euristice

II.11.1.Metoda Ciorchinele

Ciorchinele presupune organizarea informațiilor în jurul anumitor categorii. Se plasează în centru conceptul de referință, iar în jurul lui se vor plasa conceptele conexe și ideile derivate. Deseori, poate rezulta un ciorchine cu mai mulți sateliți. Realizarea lui presupune comparații, raționamente, clasificări, ierarhizări.

Structura metodei:

Se scrie un cuvânt nucleu/o propoziție în mijlocul unei pagini.

Se solicită elevilor să scrie cuvinte sau expresii care le vin în minte legate de tema respectivă. Se scriu atâtea idei până când elevii se încadrează în timpul dat sau nu mai au idei de scris. Se solicită elevilor să unească ideile care se leagă într-un fel.

Metoda este antrenantă și dă posibilitatea fiecărui elev să participe activ, individual, în pereche sau în grup. Solicită gândirea elevilor, realizând un brainstorming în legătură cu un concept-nucleu, reprezentativ pentru lecție, în jurul căruia gravitează toate cunoștințele lor. Elevii colaborează, negociază, comunică, organizează cunoștințele. Este utilizată pentru a stimula gândirea înainte de a studia un anumit conținut și poate fi folosit și ca mijloc de a rezuma ceea ce s-a studiat.

Efectele formative:

a) la nivel mintal (cognitiv):

Stimulează valorificarea cunoștințelor, părerilor și convingerilor personale;

Captează atenția elevilor;

Dezvoltă gândirea liberă și deschisă;

Stimulează creativitatea elevilor;

b) la nivel atitudinal:

Stimulează o atmosferă de emulație între participanți;

Stimulează motivația elevilor pentru a participa la activitate;

Formează răspunderea individuală și de grup;

Contribuie la formarea capacității de autocunoaștere și autoevaluare, prin comparație cu ceilalți participanți.

Exemplificare: folosirea metodei Ciorchinele la ora de matematică la ciclul primar

Metoda poate fi utilizată în secvențe de recapitulare a noțiunilor teoretice matematice. Prin întrebări, învățătorul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice:

Metoda aceasta dă rezultate deosebite în folosirea muncii pe echipe. Fiecare membru al echipei va găsi cel puțin două feluri de a compune numărul 25. Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea.

II.11.2.Metoda Gândiți / lucrați în perechi / comunicați

Metoda se poate folosi chiar de mai multe ori în timpul unei lecții și are ca etape:

Timp de 1-4 minute, fiecare răspunde individual la una sau mai multe întrebări formulate în prealabil de cadrul didactic. Sunt de preferat întrebările care suscită mai multe răspunsuri posibile;

Se formează perechile; partenerii își citesc răspunsurile și convin asupra unuia comun, care cuprinde ideile ambilor;

Cadrul didactic va cere ca 2-3 perechi să rezume, în circa 30-60 de secunde fiecare, discuțiile purtate și concluzia formulată.

Mă voi referi la folosirea metodei, la clasa a II-a, în rezolvarea de probleme. Se propune elevilor o problemă:

Într-o lădiță erau 60 de portocale și în alta cu 4 mai multe mere. Din lădițe s-au consumat 40 de fructe. Câte fructe au mai rămas în lădițe?

Elevilor li se adresează următoarele întrebări: 1) Ce cunoaștem? 2) Ce nu cunoaștem? 3) Câte portocale sunt? 4) Câte mere sunt? 5) Ce înseamnă cu 4 mai multe? 6) Câte fructe s-au consumat? 7) Ce ne întreabă problema? 8) Cum aflăm? 9) Prin ce operație? 10) Ce rezultat s-ar obține, dacă s-ar mai aduce 10 portocale?.

Răspund întâi individual la întrebări (care de fapt îi ajută să rezolve problema) și apoi se grupează în perechi. Fiind un număr mai mic de elevi, de obicei gruparea se face pe bănci de câte doi elevi (cu dreptul de a-și alege, dacă vor un alt coleg/ colegă de bancă). Își citesc și discută răspunsurile, alegându-le pe cele corecte:

1) erau 60 portocale;

s-au consumat 40;

2) numărul de mere;

3) 60;

4) nu știm;

5) adunare: 60 + 4 = 64 (mere);

6) 40;

7) Câte fructe au rămas?;

8) știind numărul de portocale și mere, aflăm numărul de fructe:

60 + 64 = 124 (fructe); scădem din totalul obținut ce s-a consumat:

124 – 40 = 84 (fructe au rămas);

9) scădere;

10) 84 + 10 = 94 (fructe, dacă s-ar mai aduce 10 portocale).

Confruntându-și răspunsurile (mai multe perechi chiar) se vor alege 2-3 perechi (numite de cadrul didactic) care vor rezuma răspunsurile în planul de rezolvare a problemei astfel:

1. Câte mere sunt?

60 + 4 = 64 (mere)

2. Câte fructe sunt în cele două lădițe?

60 + 64 = 124 (fructe)

3. Câte fructe au rămas în lădițe?

124 – 40 = 84 (fructe)

Răspuns: 84 fructe

Această metodă a fost bine primită de elevi deoarece au colaborat, și-au expus părerile ascultându-se și unii chiar s-au împrietenit mai bine. Așezarea în bănci nu este permanentă, mutând elevii, săptămânal sau la două săptămâni, pentru a nu se ajunge la nici un fel de discriminare sau situații în care unii lucrează, gândesc și alții nu fac nimic.

II.11.3.Metoda Știu / vreau să știu / am învățat – S.V.I.

Metoda pornește de la premisa că informația anterioară a elevului trebuie luată în considerare atunci când se predau noi informații.

Etapa Știu, realizată în momentul de reactualizare a cunoștințelor anterioare, implică două momente: un brainstorming cu rol de anticipare și o activitate cu rol de categorizare. Pe baza informațiilor obținute prin brainstormimg, se efectuează operații de generalizare și categorizare. Bazându-se pe experiența lor de viață și pe cunoștințe deja cunoscute din activitățile școlare anterioare sau din alte surse decât școala, elevii vin în întâmpinarea cunoștințelor noi cu ceea ce știu despre tema ce urmează a fi abordată.

Etapa Vreau să știu face trecerea spre abordarea noului conținut. Elevii își exprimă cu interes curiozitățile despre tema pe care urmează să o învețe. Curiozitatea se satisface formulând întrebări în legătură cu ceea ce ar dori ei să afle. Elevii devin conștienți de propriile lor nevoi de formare. În această etapă elevii își formulează scopuri de învățare.

În etapa Am învățat informațiile dobândite sunt sistematizate, rearanjate conform categoriilor identificate anterior. Se formează deprinderea de selectare și organizare a informațiilor, de prezentare orală a acestora.

Exemplificare: Aplicarea metodei la ora de matematică

Tema: Ordinea efectuării operațiilor

II.11.4.Metoda Tehnica Lotus – floare de nufăr

Este o metodă asemănătoare metodei ciorchinelui, dar cu unele diferențe. Avantajele acestei metode sunt acelea că: poate fi desfășurată cu succes în grup și se poate aplica excelent ca un exercițiu de stimulare a creativității și pentru autoevaluare.

Pașii care trebuie urmați sunt:

Se dă problema sau tema centrală care se va scrie în mijlocul tablei / planșei;

Se cere copiilor să se gândească la ideile sau aplicațiile legate de tema centrală;

Ideile elevilor se trec în cele 8 petale, în sensul acelor de ceasornic;

Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme centrale pentru alte câte 8 petale.

Este o metodă care se poate aplica bine în clasa a III-a sau a IV-a. Elevii trebuie să facă conexiuni complexe între noțiunile pe care le vor descoperi, iar acestea la rândul lor vor aduce alte informații.

Am aplicat această metodă la capitolul Elemente intuitive de geometrie – Forme plane, lecție de predare – învățare. Elevii având deja noțiuni despre formele plane, a fost ușor să aplic această metodă care prin caracterul ei se poate prelungi de-a lungul mai multor ore. Am observat că nu se insistă asupra rezolvării problemelor de geometrie și de aceea am aplicat această metodă la acest capitol.

Am pornit de la forme geometrice plane (dreptunghi, triunghi, pătrat, cerc →poligoane). Elevii au spus și notat informațiile esențiale legate de temă. Pentru o dezbatere mai largă (care a urmat și în alte ore) elevii s-au gândit ce ar putea spune despre fiecare informație notată. Pornind de la caracteristicile fiecărui poligon, elevii au compus și rezolvat probleme.

În prima oră de matematică elevii au găsit opt elemente esențiale legate de tema centrală astfel:

Fiecare petală obținută va constitui o nouă temă de discuție.

Exemplu:

Pornind de la aceste informații am cerut elevilor să alcătuiască și să rezolve o problemă folosind aceste noțiuni găsite de ei.

Perimetrul unui dreptunghi este 982 metri. Lungimea este cu 223 metri mai mare decât lățimea. Câți metri are fiecare latură?

Rezolvare:

Elevii cunosc termenul de perimetru (suma tuturor laturilor). Dreptunghiul are două lungimi și două lățimi, deci perimetrul va fi:

P = 2 x L + 2 x l sau P = L + l + L + l. Se cunoaște valoarea perimetrului, dar nu se știu laturile, doar că lungimea e mai mare cu 223 metri decât lățimea. În desen vom reprezenta acest lucru astfel:

L 223 m

|

l l

L

Deci L = l + 223 m

În rezolvare pornim de la perimetru pe care îl cunoaștem. Presupunem că toate laturile sunt egale, astfel vom calcula:

982 – (223 x 2) = 982 – 446 = 536 m

Deci 4 lățimi ar fi 536 metri. Putem afla cât este lățimea:

536: 4 = 134 m.

Știm că lungimea este mai mare decât lățimea cu 223 m, putem afla câți metri are lungimea:

134 + 223 = 357 m

Răspuns: 134m; 357m.

Verificare:

2 x 134 + 2 x 357 = 268 + 714 = 982 (metri →perimetrul)

Un alt exemplu de folosire al metodei este prin utilizarea altei noțiuni din cele opt de la început.

Chiar dacă unele informații se repetă sau coincid cu cele din prima oră, este benefic deoarece elevii își consolidează astfel cunoștințele.

II.11.5.Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează activitatea didactică, aplicând principiile ciberneticii la nivelul activității de predare-învățare-evaluare, concepută ca un sistem dinamic complex,constituit dintr-un ansambvlu de elemente și inter relații.

Procesul de învățământ valorifică următoarele principii cibernetice:

-principiul transmiterii și receptării informației – prin mecanisme specifice de programare și comandă;

-principiul prelucrării și stocării informației- prin mecanisme specifice de organizarea materialului transmis și difuzat în secvențe și relații de întărire;

-principiul autoreglării raporturilor dintre efectele și cauzele informației- prin mecanisme specifice de conexiune inversă;

-principiul asigurării concordanței dintre programarea externă și asimilarea internă a informației – prin mecanisme specifice de individualizare a activității.

Metoda instruirii programate dezvoltă propriile sale principii:

-principiul pașilor mici – constă în divizarea materiei în unităși de conținut care asigură elevului șansa reușitei și a continuității în activitatea de predare-învățare-evaluare;toate aceste unități logice prezentate într-o succesiune univocă constituie programul acivității;

-programul comportamentului activ – presupune dirijarea efortului elevului în direcția selecționării, înțelegerii și aplicării informației necesare pentru eleborarea unui răspuns corect Elevul este obligat să răspundă fiecărei unități logice ce i se prezintă, altfel nu poate trece mai departe;

-principiul evaluării immediate a răspunsului urmărește întărirea pozitivă sau negativă a comportamentului elevului în funcție de reușită sau eșec în îndeplinirea sarcinii de învățare corespunzătoare fiecărui pas. După parcurgerea fiecărei unități elevul este informat dacă a răspuns corect sau nu;

-principiul ritmului individual de învățare – vizează respectarea și valorificarea particularităților elevului, demonstrate prin modul și timpul de parcurgere a fiecărei secvențe.

Mijloacele didactice specifice metodei sunt programele de învățare sau soft-urile didactice. Oclasificare a soft-urilor este după funcția pedagogică specifică pe care o pot îndeplini în cadrului procesului de instruire și anume:

-soft-uri de exersare;

-soft-uri interactive pentru predarea de noi cunoștințe;

-soft-urile de simulare;

-soft-urile pentru testarea cunoștințelor;

-jocurile educative.

Din punct de vedere al metodologiei, instruire programată ridică probleme legate de mijloacele instruirii programate și de organizare a lecțiilor. Instruirea programată se realizează în condiții optime cu ajutorul calculatorului. Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace didactice curente și forme de organizare constituie o modalitate eficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor.

II.11.6.Metoda Brainstormin

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode de stimulare a creativității.Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain(creier) și storm(furtună), plus desinența ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, efervescență, aflux de idei, o stare de intensă activitate imaginativă. Un principiu al brainstorming-uluieste: cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Brainstorming-ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În momentul în care în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze, în mintea acestuia apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, trebuie apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia.

Exemplu:

Compuneți o problemă folosind numerele 20 și 4.

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi unele situații de a le analiza, de a luadecizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea creativității.

II.11.7.Metoda Cubul

Această metodă este utilizată în cazul în care se dorește explorarea unui subiect/situații din mai multe perspective-oferă posibilitatea de a dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și integratoare.

Cubul este o metodă activă ce poate fi folosită frontal, individual sau pe grupe. Varianta în echipe, cere împărțirea clasei de elevi în șase grupe. Fiecare grupă are sarcina de lucru diferită ca grad de dificultate față de celelalte grupe. Elevii aruncă zarul. Fiecărei fețe a cubului, învățătorul îi asociază o cerință, care trebuie obligatoriu să înceapă cu cuvintele: descrie, compară, explică, argumentează, analizează, respectiv aplică.

Avantajele utilizării acestei metode:

determină participarea conștientă a elevilor prin implicarea maximă a acestora în rezolvarea sarcinilor;

permite diferențierea sarcinilor de învățare;

formează deprinderi de muncă intelectuală;

stimulează gândirea logică a elevilor;

crește responsabilitatea elevului față de propria învățare, dar și față de grup;

sporește eficiența învățării- elevii învață unii de la alții;

familiarizează elevii cu cercetarea științifică;

dezvoltă abilități de comunicare și cooperare;

Exemplificare I

Tema: Adunarea și scăderea-recapitulare, clasa I

Descrie importanța cifrei 2 în fiecare din numerele: 271, 321, 402, 222.

Compară numerele: 425 cu 219; 675 cu 576; 348 cu 483

Explică proprietatea adunării numită comutativitate prin două exemple date de tine.

Argumentează valoarea de adevăr a următorului calcul matematic, efectuând proba în două moduri:

963 – 425=538

Analizează propozițiile de mai jos și anuleaz-o pe aceea care nu prezintă un adevăr:

termenul necunoscut al adunării se află prin adunare

primul termen al scăderii, descăzutul, se află prin adunare

al doilea termen al scăderii, scăzătorul, se află prin scădere

Aplică proprietățile cunoscute ale adunării pentru a rezolva exercițiul rapid.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =

Exemplificare II-metoda Cubul aplicată sub forma activităților pe grupe, își sporește potențialul formativ deoarce este sprijinită de o formă de învățare interactivă

Tema: Rezolvare de probleme (activitate pe grupe)

1. DESCRIE

Alcătuiește o problemă după exercițiul:

94 – (5 × 7 + 8 × 4)

2. COMPARĂ

sfertul numărului 36 cu dublul numărului 3;

produsul numărului 8 și 4 cu jumătatea numărului 64;

câtul numerelor 81 și 9 și câtul numerelor 72 și 8.

3. ANALIZEAZĂ

Analizează datele problemei și întocmește planul de rezolvare al acesteia:

O cantitate de 35 l de lapte se toarnă în bidoane de câte 5 l, altă cantitate de 42 l se toarnă în bidoane de 7 l fiecare. Câte bidoane sunt necesare pentru tot laptele?

4. ASOCIAZĂ

Asociază corespunzător:

jumătatea numărului 846 615

numărul de 5 ori mai mare decât 123 423

5. APLICĂ

Compuneoo problemă care se rezolvă prin două operații de înmulțire, folosind numerele: 9, 7, 5.

6. ARGUMENTEAZĂ

Completează următoarele argumente:

a) dacă înmulțim un număr cu 5 obținem un număr (de 5 ori mai mare);

b) dacă scădem 16 dintr-un număr obținem un număr (cu 16 mai mic);

c) dacă împărțim un număr la 7 obținem un număr (de 7 ori mai mic).

II.12. Factori care pot influența eficiența metodelor de rezolvare a problemelor

În soluționarea problemelor elevii pot întâmpina serioase dificultăți. Cadrul didactic îi poate ajuta dând o mai mare atenție însușirii temeinice de către copii a ideilor ancoră care au o importanță centrală și care pot fi utilizate într-o varietate de probleme. Aceste idei ar putea fi concretizate în trei întrebări: Ce se dă?; Ce se cere?; Cum aflăm?. Trebuie să se prezinte operatorii utilizați frecvent în rezolvarea de probleme, ca elevii să-i folosească în mod conștient și sistematic.

Folosirea unor scheme logico – grafice (cum ar fi în cazul metodei figurativ – grafice) prezentate pe tablă / planșă poate fi de un mare ajutor. Prin desen copilul poate înțelege mai bine despre ce este vorba, vizualizarea îl ajută.

Exemplu: Într-o curte sunt gâște și purcei. În total sunt 20 de capete și 60 de picioare. Câte gâște și câți purcei sunt în curte?

Pentru a înțelege cum se va rezolva problema li se explică elevilor cum poate fi reprezentată fiecare ființă. Ei știu că fiecare vietate are câte un cap, dar gâștele au două picioare, iar purceii patru. De aceea se va reprezenta capul printr-un cerc și picioarele prin liniuțe. Se va obține următorul desen:

………………. Dacă elevii nu înțeleg se vor

desena 20 de cercuri.

20 de capete

Fiecare vietate are cel puțin două picioare. Atunci se va realiza desenul completat și cu picioarele:

…………….

20 capete → 40 picioare

20 x 2 = 40 (picioare)

Se face diferența dintre numărul de picioare cunoscut și ceea ce s-a aflat: 60 – 40 = 20 (picioare).Cele 20 de picioare sunt ale purceilor. Știm că purceii nu au două picioare ci patru, deci ca număr ei vor fi: 20 : 2 = 10 (purcei). Din numărul de capete vom scădea numărul de capete ale purceilor (fiindcă am aflat câți purcei sunt) și aflăm câte gâște sunt: 20 – 10 = 10 (gâște).

Cadrul didactic trebuie să aibă grijă în ceea ce privește gradarea dificultăților propuse spre învățare. Niciodată nu se va trece mai întâi la rezolvarea unor probleme grele și apoi la cele ușoare. Trebuie să se pornească de la probleme simple și apoi să se treacă la probleme mai complexe. Pentru început elevii au fost îndrumați să înțeleagă sensul unor cuvinte cum ar fi: adăugat; crescut; s-a consumat; s-a luat; s-a adus; total; rest; a mai rămas etc. — cuvinte care să îi conducă pe elevi mai ușor spre operația respectivă. Înțelegerea acestor sensuri i-a ajutat în rezolvarea problemelor.

Exemplu: Andreea are 3 păpuși, iar Maria are 4 păpuși. Câte păpuși au în total cele două fetițe?

În întrebare apare cuvântul total. Fiind o problemă simplă, elevii vor trebui să înțeleagă că rezolvarea necesită operația de adunare, făcând legătura și cu faptul că rezultatul adunării se numește sumă sau total.

În rezolvarea unei probleme mai grele dificultatea constă în legătura dintre verigi și construirea raționamentului.

Exemplu: Dan, Virgil și Ion colecționează timbre pe care le pun într-un album. Dan a pus 17 timbre în album, iar Virgil 12 timbre. Ion a adus cu 5 timbre mai mult decât Dan și Virgil împreună. Câte timbre au adus împreună cei trei copii?

În rezolvarea problemei elevii trebuie să cunoască înțelesul expresiei: cu … mai mult pentru a ști ce operație trebuie să facă și ce vor afla (operația de adunare) și înțelesul expresiei: împreună care însemnă tot adunare. Astfel vor putea afla:

1) Câte timbre are Ion?

5 + 17 + 12 = 34 (timbre)

Știind acum câte timbre are fiecare copil vor putea răspunde la întrebarea problemei:

2) Câte timbre au adus împreună cei trei copii ?

17 + 12 + 34 = 63 (timbre)

Răspuns: 63 timbre

Un alt blocaj ar putea fi rigiditatea algoritmilor anteriori. Elevii se obișnuiesc să aplice într-o situație un anumit algoritm și, deși nu pare a se potrivi, uneori ei stăruie să-l aplice, în loc să încerce altceva. Principalul algoritm care este urmărit deseori în rezolvarea de probleme este schematizarea principalelor etape:

Elevul ia cunoștință cu problema prin citirea textului;

Urmează înțelegerea problemei;

Reținerea și scrierea datelor;

Analiza datelor cunoscute și a relațiilor dintre ele;

Degajarea schemei de rezolvare (a planului de rezolvare);

Răspunsul, verificarea și activități suplimentare.

Planul de rezolvare este în fond algoritmul de rezolvare al problemei respective, în care fiecare pas- etapă trebuie motivată (De ce facem acest lucru?). În caz contrar se ajunge în situația ca raționamentul să fie trunchiat, elevul neputând să sesizeze întregul din cauza părților asupra cărora s-a insistat prea mult. O astfel de situație se întâmplă atunci când învățătorul împletește raționamentul cu operațiile; se face judecata pentru rezolvarea unei părți din problemă și se fac operațiile corespunzătoare, apoi se trece la partea următoare. Pierderea legăturii dintre verigi este un inconvenient deosebit și creează dificultăți serioase elevilor în înțelegerea fondului problemei.

Exemplu: Un teren în formă de dreptunghi are lățimea de 120 metri, iar lungimea de două ori cât lățimea. Care este perimetrul terenului?

Elevii vor citi problema. Înțelegerea ei se face pornind chiar de la prima propoziție (se face judecata problemei):

– Ce este un dreptunghi? (figură geometrică cu patru laturi);

– Cum se numesc laturile dreptunghiului? (lungime, lățime);

– Care latură o cunoaștem? (lățimea);

– Cât este lățimea? (120 metri);

– Ce știm despre lungime? (este de două ori cât lățimea);

– Ce înseamnă acest lucru? La ce operație ne gândim? ( la înmulțire);

– Ce ne întreabă problema? (Care este perimetrul terenului?);

– Ce este perimetrul? (suma tuturor laturilor);

– Care este formula perimetrului la dreptunghi?

[ L + l + L + l sau 2 x l + 2 x L sau 2 x (L + l)];

– Putem calcula perimetrul? (nu);

– De ce ? (nu cunoaștem lungimea);

– Deci, ce trebuie să aflăm prima dată? (lungimea);

– Apoi ce putem afla? (perimetrul).

Rezolvare:

A L B

l l

D L C

AB = 2 x AD

1) Cât este lungimea?

2 x 120 m = 240 m

2) Cât este perimetrul?

120m + 240m + 120m + 240m = 720m

sau: 2 x 120 m + 2 x 240 m = 240m + 480m = 720 m

Răspuns: 720m

Totodată important este asigurarea variației tipurilor de probleme care se rezolvă prin diferite metode sau moduri. Nu trebuie să ducem la extrem insistența pe un anumit tip de probleme. Acest fapt poate duce la creșterea rigidității în rezolvare, ceea ce, constituie unmare dezavantaj.

În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe moduri constituie o cale de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Important este ca ei să înțeleagă în mod conștient toate căile de rezolvare, să poată să le explice și să le reproducă. Se va cere elevilor în rezolvare să aleagă calea cea mai simplă sau pe cea pe care au înțeles-o mai bine.

Activitățile de rezolvare a problemelor prin mai multe moduri începe din clasa I, după ce elevii și-au format deprinderi temeinice de rezolvare a problemelor compuse.

Exemple:

1. În curtea școlii sunt 16 copii. Mai vin 4 copii, apoi pleacă 9. Câți copii au mai rămas în curtea școlii?

Rezolvare:

Modul I: 1) Câți copii sunt în curte?

16 + 4 = 20 (copii)

2) Câți copii au rămas în curte?

20 – 9 = 11 (copii)

Modul al II-lea: Câți copii au rămas în curtea școlii?

16 + 4 – 9 = 11 (copii)

Răspuns: 11 copii

2. Pe primul raft al unui magazin sunt 7 pachete cu făină a 4 kg fiecare. Pe al doilea raft sunt 8 pachete cu făină a câte 4 kg fiecare.

Câte kg de făină sunt pe cele două rafturi?

Rezolvare:

Modul I: 1) Câte pachete sunt pe cele două rafturi?

7 + 8 = 15 (pachete)

2) Câte kg de făină sunt în pachete?

15 x 4 = 60 (kg)

Modul al II-lea: 1. Câte kg de făină sunt pe primul raft?

7 x 4 = 28 (kg)

2. Câte kg de făină sunt pe al doilea raft?

8 x 4 = 32 (kg)

3. Câte kg de făină sunt pe cele două rafturi?

28 + 32 = 60 (kg)

Răspuns: 60 kg

Elevii trebuie să observe că în ambele moduri se obține același rezultat, condiție de mare importanță.

Există și blocaje emotive cum ar fi: teama de a nu greși (supraaprecierea capacităților reale ale elevului); de a nu se face de râs (că nu știe să rezolve); se descurajează rapid deoarece nu găsește repede soluția. Acești elevi trebuie încurajați și ajutați în timp scurt pentru a putea face față și pentru a nu se mai simți stânjeniți. Nu e bine să solicităm un singur elev să rezolve o problemă dificilă. Este o supraîncărcare emoțională defavorabilă efortului de gândire. Problema poate fi soluționată în clasă, fie individual, fie în grupe mici, fie cu întreg colectivul (în acest fel se adună mai multe idei, soluții de rezolvare alegându-s cele mai corecte și mai potrivite pentru problema respectivă).

Graba de a accepta prima idee/ primul răspuns este o altă eroare, fiindcă nu întotdeauna soluția apare chiar de la început, nu fiecare elev a gândit problema în același fel (și nu va înțelege prea repede răspunsul fără a afla de ce? trebuie rezolvat așa sau în acea ordine de idei). Și în acest caz este vorba de problemele care se pot rezolva prin mai multe moduri (exemplificate anterior).

În rezolvarea problemelor important este să se mențină trează atenția elevilor, iar în acest scop să se folosească metode activizante. Dacă elevul este distras de cu totul altceva, nu va putea înțelege și rezolva sarcinile de învățare. Nu poate exista act de cunoaștere eficientă și cu atât mai mult unul organizat în cadrul unei lecții fără o focalizare a conștiinței elevului, fără câștigarea atenției sale.

De aceea în cadrul lecției de matematică un rol important îl are veriga captarea atenției. Această verigă se poate realiza în mai multe moduri, în funcție de clasă și an școlar, cu ajutorul următoarelor activități:

Mișcări și vocalize ritmice:

1, 2 Joacă-te cu noi!

3, 4, 5 Plici, plici, plici!

6, 7 Duci mâna la spate!

8, 9 Bați din palme două!

Și-apoi 10

Nimeni nu ne-ntrece!

Ghicitoare matematică:

16 fluturi în grădină

Se rotesc lâng-o tulpină.

Mâța stă și mi-i pândește,

Hector latră și-i gonește.

2 din fluturii zglobii

S-au ascuns în bălării,

Ceilalți zboară tocmai sus,

Socotiți-i, câți s-au dus?

Probleme recreative:

Ionel are o sumă de bani. După ce dublează suma,cheltuiește 20 lei și constată că i-au mai rămas 60 lei. Ce sumă a avut Ionel?

Planșe, imagini:

Rebusuri matematice:

1.rezultatul înmulțirii;

2.rezultatul scăderii;

3.parte componentă principală a unei probleme;

4.parte componentă a unei probleme prin care se cere ceva;

5.problemele se rezolvă după un …..;

6.numerele care se adună se numesc …. ;

7.rezultatul adunării;

8.împărțirea este o …… repetată;

A – B; chestiune a cărei soluționare se obține prin gândire și calcul.

A

Jocuri matematice:

Observă steluța matematică, scrie pe caiet operațiile notate pe fiecare braț, apoi află numerele care lipsesc:

O altă situație de blocaj poate fi lipsa de motivație a elevului în ceea ce face. El trebuie stimulat, apreciat prin calificative și aprecieri verbale pentru a ști care este rezultatul muncii sale. Eforturile necesare în rezolvarea unei probleme se bazează pe o motivație, un interes, fără de care nu se poate realiza nimic. Motivele sunt cauzele conduitei noastre, mai exact cauzele interne ale comportamentului. Motivația de realizare capătă o intensitate maximă atunci când individul știe că acțiunile sale vor fi apreciate cu ajutorul unui standard. Dorința de a obține un succes depinde firește de atractivitatea performanței.

Pentru copil motivația școlară se împarte în două grupe: motivația extrinsecă și motivația intrinsecă. În centrul motivației intrinseci găsim curiozitatea, dorința de a afla cât mai multe. Menținerea ei trează e în funcție de măiestria cadrului didactic și constituie un factor important al trăiniciei celor asimilate. Astfel elevul trebuie să ia contact cu cât mai multe probleme (diverse, simple/ complexe; care se rezolvă prin mai multe moduri/ prin diverse metode; care sunt distractive) pentru a i se menține trează curiozitatea.

CAPITOLUL III

COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRI APLICATIVE

III.1. Ipoteza, obiectivele și etapele cercetării

A. Ipoteza de cercetare

Dacă utilizăm unele metode moderne cum ar fi: Știu/ Vreau să știu/ Am învățat, Cadranele, Cubul, Ciorchinele, Diagrama Venn în orele de matematică, vom contribui la dezvoltarea capacității de investigare, la creșterea motivației elevilor și a randamentului școlar al elevilor de clasa I.

B. Obiectivele cercetării

– să demonstrez că, indiferent de domeniu, rezolvarea euristică de probleme trebuie să fie atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s-ar afla: școală, familie, mediu, societate;

– să realizez o cercetare psihopedagogică privind rezolvarea problemelor de matematică, îmbinând metode tradiționale cu metode și procedee active și de cooperare;

– să promovez ideea că prin rezolvarea problemelor de matematică se dezvoltă gândirea și operațiile ei, creativitatea, tăria de caracter, sentimentele și atitudinile pozitive, spiritul de competiție intelectuală.

În vederea verificării ipotezei, au fost stabilite o serie de sarcini, și anume:

Consultarea și studierea literaturii de specialitate, în legătură cu tema abordată;

Cunoașterea metodelor de cercetare care pot fi utilizate în realizarea studiului;

Alegerea și stabilirea numărului de subiecți;

Centralizarea și prelucrarea datelor.

C. Variabilele cercetării

Pornind de la formularea ipotezei, în cadrul exprimentului am stabilit următoarele variabile:

– variabila independentă- constă în strategiile didactice utilizate de învățător în vederea determinării unei receptări dinamice a conținuturilor orerelor de matematică;

variabila dependentă- vizează modificările așteptate în ceea ce privește îmbunătățirea situației la învățătură a elevilor la disciplina matematică, ca urmare a introducerii factorului de progres

III.2. Metode de cercetare utilizate pentru colectarea datelor

Dezvoltarea pedagogiei ca știință a fost condiționată întotdeauna de cercetarea pedagogică. În genere, cercetarea padagogică se plasează la originea îmbogățirii conținuturilor teoretice explicative și predictive ale acestei ramuri a cunoașterii, a găsirii unor metode și procedee de predare-învățare-evaluare, a perfecționării practicii educaționale corespunzătoare exigențelor contemporane.

Ansamblul de metode, procedee, tehnici adecvate utilizate în procesul de cercetare, constituie metodologia cercetării. Prin metodă de cercetare înțelegem calea, itinerarul, structura de ordine sau programul după care se reglează acțiunile intelectuale și practice în vederea atingerii unui scop (C., Dumitriu, Introducere în cercetarea psihopedagogică, București, Editura Didactică și Pedagogică, 2004, p.5)

Tehnica este definită în general, ca ansamblu de prescripții metodologice pentru o acțiune eficientă. Tehnicile de cercetare sunt subsumate metodelor și se referă la demersul operațional al abordării fenomenelor studiate.

Procedeul este maniera de acțiune de utilizare a instrumentelor de investigare. La rândul lor, instrumentele sunt unelte materiale de care se folosește cercetătorul pentru cunoașterea științifică a fenomenelor cercetate ( ex. Foaia de observației).

În circumscrierea metodelor de cunoaștere a colectivului de elevi, important este nu numai cum sunt alese, ci și modul în care sunt folosite și combinate. Tinând seama de interdependența care există între sintalitatea colectivului de elevi și personalitatea membrilor săi, va trebui să apelăm la metode specifice ambelor domenii cu condiția ca ele să fie astfel aplicate și folosite încât să ne ofere cât mai multe date despre colectiv ca întreg.

Metode și tehnici de cercetare psihopedagogică

În literatura de specialitate întâlnim diferite moduri de clasificare a metodelor de cercetare pedagogică.

Având drept criteriu fundamental obiectivul urmrăit în cercetare și aspectul funcțional al metodelor în demersul întreprins, procedează la următoarea clasificare: (E., Joița, Educația cognitivă, Iași, Polirom, 2002, pp.45-46)

metode pentru sesizarea problemei, clasificarea bazei teoretice și a studiului cercetării, formularea ipotezei și a obiectivelor (tehnici de documentare, metoda comparativă etc.)

metode de acumulare empirică și științifică a datelor, în diferite faze ale cercetării (observația, analiza produselor activității elevilor, analiza documentelor școlare, tehnicile sociometrice, chestionarul, interviul, studiul de caz etc.)

metode pentru introducerea, aplicarea măsurilor ameliorative, de intervenție educativă, verificarea ipotezei (experimentul pedagogic)

metode pentru interpretarea parțială sau finală a rezultatelor (metodele de interpretare cantitativă, metodele de interpretare calitativă)

metode pentru finalizarea cercetării, valorificarea rezultatelor (tehnicile specifice de redactare, comunicare, de generalizare).

III.2.1. Metoda observației

Definiție: este o metodă des utilizată în cunoașterea manifestărilor comportamentale ale elevilor furnizând informații bogate și variate. Cu ajutorul acestei metode pot fi obținute informații valoroase cu privire la reacțiile elevului la întrebările adresate: gradul de concentrare pentru formularea răspunsului; rapiditatea, spontaneitatea, stabilitatea atenției; gradul de rezistență la efort; motivația pentru învățare; perseverența; nivelul dezvoltării deprinderilor motrice etc. (Dumitriu, C., Introducere în cercetarea psihopedagogică, București, Editura Didactică și Pedagogică, 2004, pp.59-64)

Clasificare

Observația calitativă poate fi :

participativă;

neparticipativă.

Observația participativă

Presupune implicarea activă în viețile celor studiați. Cercetătorul este acceptat ca membru al grupului. Este cea mai calitativă dintre toate metodele de cercetare.

Observația neparticipativă

Când cercetătorul alege să observe grupul fără să se implice. Cercetătorul studiază grupul din exterior. Cercetătorul privește mai mult decât ia parte.

Avantaje

permite surprinderea manifestărilor comportamentale naturale;- oferă date de ordin calitativ.

Limite

necesită timp mai îndelungat, deoarece fenomenul urmărit nu poate fi provocat;

fenomenul urmărit este greu de desprins și de analizat, deoarece rareori apare izolat;

intervine subiectivismul celui care realizează observația.

În cadrul orelor de matematică am observat modul de participare al elevilor, capacitatea de efort intelectual, ritmul de lucru, interesul și îndemânarea, curiozitatea, influența aprecierilor. Observațiile au fost făcute atât în cadrul activităților teoretice, cât și practice, surprizând activitatea intelectuală a elevilor și capacitatea lor la efort. Aceste date au fost consemnate într-o grilă de observație.

Elevele: T.C.(x) Școala Gimnazială Alexandru Ioan Cuza Bacău

M.S.( y) Școala Gimnazială Alexandru Ioan Cuza Bacău

Disciplina: Matematică

Subiectul: Adunareași scăderea numerelor naturale 0-100

III.2.2. Experimentul

Experimentul psihopedagogic

Definiție: reprezintă o formă participativă a experimentului natural în condițiile procesului instructiv-educativ

Clasificare:

constatativ – vizează măsurarea și consemnarea unei situații existente la un moment dat;

formativ – presupune intervenția în grupul școlar, în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor factori de progres.

Etape de realizare

testarea inițială a grupului experimental;

introducerea factorului de progres în lotul experimental;

retestarea sau testarea finală a celor două grupuri prin aplicarea probelor folosite în evaluarea inițială și compararea performanțelor pentru evidențierea rolului factorilor de progres.

Avantaje

furnizează date de ordin cantitativ și calitativ, cu grad sporit de precizie;

datele sunt concludente, ușor de prelucrat și interpretat cu ajutorul metodelor și tehnicilor statistico –matematice;

Limite

se desfășoară în condiții multiple și variate ce nu pot fi în totalitate controlate;

rezultatele obținute se pot datora atât factorilor de progres introduși în experiment, cât și influențelor exercitate de aceste condiții.

Experimentul l-am folosit pentru schimbarea comportamentul elevilor, pentru îmbunătățirea relațiilor dintre ei prin introducerea factorilor de progres, sensibilizând și antrenând copiii în activitatea de cercetare.

III.2.3. Metoda analizei produselor activității și a cercetării documentelor

Definiție: furnizează informații despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor din prisma obiectivării lor în produsele activității: desene, lucrări, portofolii, lucrări de creație, proiecte.

Avantaje

permite identificarea elevilor cu potențial creativ;

descifrarea unor tensiuni și aspirații scăpate de controlul conștient și angajate în aceea activitate;

vizează calitatea cunoștințelor, deprinderilor, capacitatea de concentrare a atenției; profunzimea înțelegerii diferitelor materiale cercetate etc.

Cu ajutorul acestei metode am obținut date din orice produs realizat de copii, incluse în portofoliile acestora. Din corectarea caietelor de teme la matematică sau chiar a fișelor de lucru, am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul / regresul înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a cunoștințelor teoretice, capacitatea de reprezentare, bogăția vocabularului și precizia lui, nivelul și calitatea cunoștințelor și a deprinderilor.

Aeastă metodă a furnizat date despre:

– bogăția de idei și imaginația copiilor;

– nivelul priceperilor și deprinderilor;

– gradul de originalitate;

– progresul înregistrat de la o etapă la alta a experimentului.

III.2.4. Convorbirea

Definiție: furnizează informații pentru înțelegerea motivelor interne ale conduitei, a opiniilor, intereselor, aspirațiilor, trăirilor afective etc., într-un timp relativ scurt. Se desfășoară ca o discuție între două persoane.

Clasificare

convorbirea standardizată, structurată- bazată pe întrebări adresate în aceeași formă și ordine tuturor subiecților;

convorbirea semistandardizată- unele întrebări sunt reformulate, se adresează și întrebări suplimentare;

convorbirea liberă, spontană- se desfășoară în funcție de trăsăturile psihoindividuale ale subiectului, de particularitățile situației;

Avantaje

relație directă, de tipul față în față între cercetător și subiect;

sinceritatea subiectului;

evitarea răspunsurilor incomplete, a celor deformate în mod voluntar;

tactul și abilitatea cercetătorului de a se face plăcut, de a inspira încredere obținând astfel o angajare autentică a subiectelor, a colaborării sale;

capacitatea empatică a cercetătorului, transpunerea sa în stările psihice ale subiecților pentru o mai bună înțelegere a modului în care acesta gândește, simte, evaluează, acționează.

Limite

pentru reușita convorbirilor este necesar ca profesorul să se gândească anticipat la ea, să-și structureze întrebările, să intuiască răspunsurile copilului, pentru a ști cum să se comporte în situații neprevăzute ca: blocarea în a da răspunsuri sau refuzul elevului de a răspunde.

Convorbirea a fost un instrument de investigație care a susținut prezenta cercetare prin intermediul informațiilor pe care le-am obținut despre copii.

III.2.5. Metoda testelor

Definiție: este o probă standardizată, riguros elaborată și aplicată, folosită pentru măsurarea și evaluarea personalității umane.

Condiții necesare:

standardizarea, crearea acelorași condiții pentru toți subiecții supuși testării, fără a-i favoriza pe unii și defavoriza pe alții. Se standardizează conținutul probei (stimulii prezenți), instructajul dat subiecților în legătură cu sarcina ce trebuie executată; timpul de aplicare a probei; modul de cotare a reacțiilor;

validitatea – testul se măsoară, se stabilește unui etalon la care se raportează rezultatele obținute;

etalonarea – unitatea de măsură, stabilirea unui etalon la care se raportează rezultatele obținute;

– fidelitatea- se referă la însușirea testelor de a permite obținerea unor performanțe relativ asemănătoare la o nouă aplicare.

A. Cosmovici (1996) realizează următoarea clasificare:

1. teste de inteligență și de dezvoltare intelectuală;

2. teste de aptitudini și capacități;

3. teste de personalitate;

4. teste docimologice.

Testul docimologic

Ca metode de psihodiagnoză, testele sunt frecvent utilizate pentru diagnosticarea elevilor și pentru formularea pe această bază a unui pronostic asupra evoluției lor viitoare. Există teste de limbaj, de reprezentare, de atenție, de percepție, de imaginație, de memorie, de inteligență, nu luate global ci diferențiat pentru caracteristicile particulare ale acestora. Aplicate periodic în procesul instructiv – educativ în cadrul orelor de matematică, dar și la alte obiecte, au ajutat la determinarea nivelului de cunoștințe, priceperi, deprinderi, dar și a gradului de dezvoltare a capacităților intelectuale. Testele au fost concepute în corelație cu obiectivele operaționale stabilite, cuprinzând seturi de itemi prin care am urmărit înregistrarea și evaluarea performanțelor școlare.

III.2.6. Eșantionul experimental

Această temă a fost supusă cercetării pe parcursul anului școlar 2018 – 2019, la clasa I B pe un grup experimental de 36 elevi dintre care 20 băieți și 16 fete de la Școala Gimnazială Alexandru Ioan Cuza Bacău, jud. Bacău. Grupurile de elevi participanți la cercetarea întreprinsă sunt relativ omogene ca vârstă, ca nivel de dezvoltare intelectuală și ca mediu de proveniență.

Etapele realizării experimentului

Cercetarea s-a realizat în trei etape:

Etapa evaluării inițiale (constatativă) – s-a desfășurat în perioada 14 septembrie – 1 octombrie 2018. Etapa evaluării inițiale are ca obiectiv diagnosticarea nivelului de dezvoltare intelectuală, de pregătire la începutul unei activități de cercetare, pentru a cunoaște nivelul de la care se pornește. În această perioadă am afectuat testarea inițială a celor două grupuri prin aplicarea unei probe de evaluare inițială prin care am urmărit nivelul de cunoștințe al elevilor, condițiile în care aceștia se pot integra în activitatea care urmează. Cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, a nivelului de pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare asimilării conținutului etapei care urmează, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice.

Obiectivele evaluate au fost următoarele:

să utilizeze sistemul pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât 100;

să compare numere naturale mai mici decât 100, utilizând semnele de comparație potrivite;

să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 100, fără și cu trecere peste ordin;

să rezolve problema dată.

Proba de evaluare inițială

Clasa I

Diciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Numerele naturale de la 0 la 100

Etapa formativă (introducerea factorului de progres) s-a desfășurat în perioada 2 octombrie 2018 – 31 mai 2019. Această etapă a cuprins proiectarea, organizarea și desfășurarea demersului didactic la disciplina matematică, introducerea factorului de progres (folosirea metodelor activ-participative în rezolvarea problemelor de matematică), în care am urmărit antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei lor formări.

Am utilizat evaluarea continuă care are ca obiectiv asigurarea pregătirii sistematice și continue. Ea s-a realizat pe tot parcursul programului de instruire în cadrul unităților de învățare și la sfârșitul acestora.

Cunoașterea nivelului atins de elevi m-a ajutat să determin aspectele pozitive și lacunele procesului de instruire, prin raportarea la obiectivele avute în vedere. Astfel, am urmărit îndeosebi cum a rezolvat fiecare elev problemele de aritmetică, ce dificultăți au întâmpinat în rezolvarea acestora în vederea ameliorării sau chiar a înlăturării acestora prin intermediul situațiilor de instruire organizate la clasă. Au fost utilizate metodelor active și de cooperare.

Ca forme de organizare am folosit: activitatea frontală, în perechi, pe grupe și individual.

Am folosit mijloace didactice:

obiecte concrete (riglete, bețișoare) la rezolvarea unor probleme simple cu ajutorul operației de adunare sau scădere;

imagini, planșe, reprezentări grafice (demonstrație figurativă);

desene la tablă;

mijloace tehnice didactice vizuale: videoproiectorul, calculatorul.

În această etapă am parcurs la clasă conținutul următoarelor unități de învățare și am urmărit atingerea obiectivelor de referință aferente acestora:

Dintre metodele didactice specifice învățării active și învățării prin cooperare, nou apărute în sistemul de predare-învățare, brainstorming-ul, mozaicul, ciorchinele, Știu/ Vreau să știu/Am învățat, metoda Cadranelor, Cubul și jocul didactic, am încercat să aplic și în lecțiile de matematică, obținând un real succes.

Ilustrez aplicații ale metodelor activ-participative realizate în rezolvarea problemelor de matematică și câteva jocuri matematice:

a. Metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat

Rezolvarea problemelor a fost efectuată atât sintetic (de la date spre întrebare), cât mai ales analitic (de la întrebare spre date), pentru a solicita mai mult gândirea elevilor, pentru a nu aplica mecanic algoritmul de rezolvare, pentru a mă asigura că elevii au înțeles foarte bine datele și condiția fiecărei probleme, că au raportat datele cunoscute la cerințe și condiții, ceea ce îi ajută să construiască șirul de judecăți. Acestea conduc la găsirea soluției, stimulând în acest fel exersarea gândirii logice la elevi.

La început voi cere elevilor să facă o listă cu tot ceea ce știu despre tema ce urmează a fi discutată, apoi fiecare grupă va citi de pe fișă ceea ce au notat. Împreună cu elevii vom stabili ce ar trebui să fie notat în tabel la rubrica Știu, apoi se completează prima rubrică a tabelului, atât pe fișe cât și pe tablă.

Etapa Vreau să știu

Voi solicita elevii să formuleze întrebări despre ce ar dori să știe legat de tema propusă. Dirijând cu tact conversația, îi voi ajuta pe elevi să formuleze întrebări despre lucrurile de care nu sunt siguri sau lucrurile despre care ar vrea să cunoască ceva nou. Se notează aceste întrebări în coloana din mijloc a tabelului, atât la tablă, cât și pe fișe.

În continuare, pot preda elevilor, conținutul lecției, utilizând metodele și mijloacele didactice adecvate temei, nivelului clasei și modului de organizare al clasei.

Etapa Am învățat

După predarea conținutului, se revine asupra întrebărilor pe care le-au formulat elevii în etapa anterioară și pe care le-au trecut în coloana Vreau să știu. Se reia fiecare întrebare și se notează răspunsurile aflate în timpul predării noului conținut în coloana a treia.

Dacă rămân întrebări la care nu s-a găsit răspuns, se poate discuta cu elevii pe acea temă sau pot rămâne ca punct de plecare pentru alte activități.

În încheierea lecției, pentru a se realiza un scurt feedback, elevii revin la schema S/V/A și decid ce au știut la începutul lecției, ce au vrut să învețe pe parcursul ei și ce au învățat din lecție. Se va da elevilor să completeze un text lacunar:

Luna ianuarie are … zile, iar aprilie are … zile. Dacă acul mic este în dreptul cifrei 2 iar cel mare în dreptul cifrei 6 , este ora ….. Trei zile au ……. ore. Elevii vor completa textul lacunar fără a se folosi de tabelul completat anterior.

În cadrul acestei metode se utilizează unele procedee didactice cum sunt: conversația, demonstrația, explicația, problematizarea, exercițiul.

Aplicând acest model în predare se obțin: o lectură activă, o rată crescută a retenției informației, creșterea capacității de a realiza categorizări, interes crescut pentru învățare. Se realizează o învățare adevărată și de durată prin asimilarea unor noi cunoștințe și reorganizarea activă a unor scheme mentale, dezvoltându-se capacitatea de exprimare orală, elevii reformulând cu propriile lor cuvinte cele învățate.

Metoda a oferit feedback continuu și eficient, a antrenat toți elevii, individual, frontal și în perechi, elevii și-au sistematizat cunoștințele, și-au clarificat pe loc ceea ce se cunoaște în problemă și ceea ce se cere. Lucrând în perechi sau în grup s-a contribuit la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă (simțul responsabilității față de grup), a prieteniei, a cooperării între elevi, a toleranței, ceea ce a stimulat, încurajat și motivat mai ales pe elevii mai timizi, mai neîncrezători în forțele proprii.

b. Metoda cadranelor

Metoda cadranelor am folosit-o frontal, individual și pe grupe în rezolarea problemelor. Am considerat această metodă eficientă deoarece a delimitat în mintea copilului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei.

În această situație elevii au avut de rezolvat o problemă soluționată și prin metoda anterioară, cu deosebirea că este încadrată diferit în pagina caietului.

Exemplu:

VARIANTA 1

Când elevii au înțeles etapele pe care trebuie să le parcurgă în rezolvarea problemei, am modificat structura cadranelor:

VARIANTA 2

Exemplu:

Raționamentul de rezolvare concretizat în planul de rezolvare și exercițiul problemei a fost elaborat prin interferențe deductive, în care cunoașterea s-a realizat de la general la particular (expresia cu atât … mai puțin și noțiunea de total sugerează folosirea operației de adunare) În consecință, am urmărit stimularea gândirii deductive la elevi, care are un caracter riguros sistematic, cu rol însemnat în înțelegerea și rezolvarea problemelor.

În mod asemănător s-a procedat și la rezolvarea problemei dată mai sus, la metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat

Un sătean a dus la piață 9 saci a câte 5 kilograme fiecare și 6 saci a câte 9 kilograme fiecare. Să se afle cât cântăresc împreună sacii duși la piață.

Se poate realiza prin adunare repetată de termeni egali

c. Metoda Cubului

Este o metodă de învățare prin colaborare și are la bază împărțirea grupului în mai multe grupuri de lucru, coordonate de învățător.

Etapele metodei:

– se realizează un cub pe ale cărui fețe se specifică: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează;

– se pot nota direct cerințele unei probleme;

– se împarte clasa în 6 grupe;

– atribuirea perspectivei de lucru pentru fiecare echipă se face prin rostogolirea cubului;

– fiecare grup va rezolva perspectiva unei fețe a cubului;

– lucrarea în forma finală poate fi desfășurată pe tablă, pe flanelograf sau pe pereții clasei.

În cadrul unităților de învățare am aplicat această metodă, iar elevii au avut de rezolvat sarcini precum:

Exemplul 1

DESCRIE

Descrie modul de formare a numerelor:

COMPARĂ

Completați cu semnele potrivite (< , = , >):

20 + 7 3 8 – 8 44 + 10 28 – 4 34 – 2 21 + 11

ANALIZEAZĂ

Analizează și rezolvă problema.

Înrt-un stup erau 79 de albine. Au zburat 65 albine. Cu câte albine a rămas?

ARGUMENTEAZĂ

Calculați apoi scrieți dacă este adevărată sau falsă relația din exercițiile următoare:

20 + 50 – 60 = 20 (….) 88 – 30 – 8 = 40 (….)

35 + 10 – 45 = 0 (….) 4 + 64 – 48 = 20 (….)

APLICĂ

Pune semnul ,,+” sau ,, – “pentru ca exercițiile să fie corecte:

64 22 = 42 43 36 = 79

10 10 = 20 20 4 = 24

Exemplul 2

Asociază:

50 lei 10 lei 500 lei

100 lei 1 leu 200 lei

Aplică

Ordonează crescător următoarele bancnote și monede:

Compară pușculițele

Analizează

Alege (colorează) banii potriviți pentru a cumpăra mașinuța:

25 lei

Argumenteză

Mihai are în pușculiță 30 lei. De ce nu poate cumpăra bicicleta?

Descrie

În pușculița lui Andrei sunt monede și bancnote.

ASOCIAZĂ

Asociază cu rezultatul corect

d. Metoda ciorchinelui

Această metodă am folosit-o cu succes în lecțiile cu ordinea efectuării operațiilor, operațiile cu numere naturale, diferite tipuri de probleme, elemente de geometrie etc. Aceasta dă rezultate deosebite în folosirea muncii pe echipe. Fiecare membru al echipei va găsi cel puțin două soluții la problema dată. Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea. Am folosit metoda ciorchinelui și în secvențe de recapitulare a noțiunilor teoretice matematice.

Prin întrebări, învățătorul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice:

Găsiți exerciții al căror rezultat este numărul 80.

e. Diagrama Venn

Are rolul de a reprezenta sistematic, într-un mod cât mai creativ, asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii date: operații matematice, figuri geometrice, etc..Această metodă utilizată în echipă are rezultate deosebite în orice moment al lecției.

Exemplul 1

Reprezentați în diagrama Venn ceea ce știți voi despre pătrat și dreptunghi:

Exemplul 2

Reprezentați în diagrama Venn ceea ce știți voi despre operația de adunare și de scădere:

f. Jocuri didactice matematice

Exemplific mai jos o problemă transformată în joc didactic pe care am folosit-o la clasa I:

1. Alin are 4 bile roșii și 4 bile albastre. El a dăruit colegului său 4 dintre ele.

Câte bile roșii și câte bile albastre pot fi printre cele dăruite?

Soluțiile pot fi:

a) Jocuri didactice matematice pentru însușirea numerelor naturale

Pentru compunerea și descompunerea numerelor naturale în concentrul 0 – 10 am folosit jocuri cum sunt: Domino

Jocuri cu șirul numerelor naturale și cu sistemul zecimal pozițional al scrierii acestor numere

Completați numerele naturale din șirul:

Șirul s-a întrerupt

a. 2, 4, 6, ……………………..

b. 5, 10, 15 …………………..

c. 1, 4, 7, 10 …………………

d. 8, 12, 20, 24 …………….

c) Jocuri pentru recunoașterea semnelor de relație

Semnul s-a pitit

1 4 20 + 6 17

17 17 30 – 5 15

42 35 20 – 8 11

d) Jocuri pentru recunoașterea semnului operației

Ce semn lipsește?

5 3 = 8 8 2 = 10

7 7 = 0 9 9 = 0

6 3 = 9 0 6 = 6

Jocul numărului 3 Soluția jocului

3 3 3 3 = 0 (3 + 3) – (3 + 3) = 0

3 3 3 3 = 1 (3 : 3) x (3 : 3) = 1

3 3 3 3 = 2 (3 : 3) + (3: 3) = 2

3 3 3 3 = 3 (3 x 3) – (3+ 3) = 3

3 3 3 3 = 4 (3 : 3) + 3 = 4

3 3 3 3 = 5 (3 +3) – (3 : 3) = 5

e) Jocuri pentru aflarea numărului necunoscut

Trifoiul gânditor

Cine urcă și coboară scara mai repede!

f) Jocuri de perspicacitate

În jocurile de perspicacitate elevii sunt solicitați să descopere relații matematice între

diferiți termeni cu timp limitat.

Găsește drumul cel mai scurt și continuă calculul

Indicați prin săgeți termenii din primul cerc care corespund sumelor din al doilea cerc!

Pătratele magice

Să se completeze pătratul desenat mai jos astfel încât suma numerelor pe linii și coloane sa fie egală cu 15:

Să se completeze pătratul desenat mai jos cu numerele de la 5 la 16, încât suma elementelor pe linii, coloane sau diagonale să fie 34.

Cât de eficient este jocul în recuperarea cunoștințelor de către elevii cu un nivel mai scăzut de pregătire am dedus din următorul aspect:

Într-una din zile, în recreația de după ora de matematică, am auzit pe unul dintre elevi, un elev mediocru, cum îl ruga pe un elev bun: Hai să facem împreună exerciții de care n-am știut la joc, ca să nu mai piardă echipa noastră data viitoare!

Florile matematicieni

Scopul jocului: însușirea și consolidarea operațiilor matematice de adunare și scădere a numerelor naturale până la 100, cu și fără trecere peste ordin.

Materiale: cercuri albastre în care sunt înscrise numerele.

Regula jocului: Fiecare echipă alege un număr pe care îl lipește pe cercul din mijloc.

Membrii echipei caută să completeze celelate cercuri cu operații de scădere și adunare în care rezultatul operației este cel din cerc.

Rezolvarea și compunerea problemelor

1.Pe catedră am așezat două penare cu creioane colorate. O elevă a numărat creioanele din fiecare penar, constatând că în primul penar sunt 11 creioane, iar în al doilea penar sunt 17 creioane. Creioanele din primul penar le-am introdus în al doilea penar, după care am formulat întrebarea:

Câte creioane sunt în total?

Rezolvare

Care este întrebarea problemei? (Câte creioane sunt în total?)

Cum am aflat? (Am pus la un loc toate creioanele.)

11 + 17 = 28 (creioane)

R: 28 (creioane)

2. Într-o poiană erau 5 brazi și 4 stejari.

Câți copaci sunt?

Rezolvare

55+ 4 = 9 (copaci)

R: 9 (copaci)

În rezolvarea problemelor care conțin expresiile cu atât mai mult, cu atât mai puțin, elevii au întâmpinat greutăți.

Petruț are 10 lei, iar fratele lui are cu 6 lei mai puțin.

Câti lei are sora lui Ionel?

Rezolvare

Folosind desenul s-a obținut:

X X X X X X X X X X 10

X X X X 4

10 – 6 = 4 (lei are fratele lui Petruț)

Verificare: 4 + 6 = 10

R: 4 (lei)

În continuare am cerut elevilor să compună o problemă care să se rezolve prin operația de scădere. Nu am precizat ce numere să folosească.

Un elev a compus următoarea problemă:

Pe un lac erau 12 bobocei și cu 5 mai puține rățuște.

Câte rățuște erau?

În vederea deprinderii elevilor de a înțelege cele două părți ale problemei (enunțul și întrebarea) am cerut să compună probleme fie cu enunțul dat, fie având întrebarea și lipsindu-i enunțul.

Pe o casă sunt 6 porumbei. Mai vin 4 porumbei.

Elevii au formulat următoarele întrebări:

Câți porumbei sunt pe casă?

Câți porumbei sunt la un loc?

Câți porumbei s-au adunat?

Activizarea gândirii elevilor am realizat-o prin compunerea de probleme având

formulată întrebarea, iar ei trebuind să creeze enunțul.

Câți (Câte) sunt la un loc?

Pe o etajeră sunt 5 cărți, iar pe alta 7 cărți

Într-o vază sunt 5 lalele galbene și 2 lalele roșii

Compuneți probleme după următoarea schemă:

Alexandru are 60 castane. El mai ia de la prietenul său 20 castane, apoi ii dă lui Alin 50 castane.

Câte castane mai are Alexandru ?

S-a alcătuit schema problemei pe calea sintezei pentru a evidenția acțiunile făcute de Ionel.

Pornind de la întrebarea problemei am alcătuit schema pe calea metodei analitice.

1. Într-un vas erau 24 litri de benzină. S-au mai pus încă 6 litri.

Câți litri de benzină sunt în total?

2. Din cei 30 litri de benzină aflați într-un vas s-au consumat 15 litri.

Câți litri de benzină mai sunt?

Elevii observă că 30 litri, care este rezultatul primei probleme, se află ca dată în a doua problemă.

Din cele două probleme se poate compune o singură problemă.

2. Într-un vas erau 24 l benzină și s-au mai pus 6 litri. S-au consumat apoi 15 litri.

Câți litri au mai rămas în vas?

Pornind de la întrebarea problemei se alcătuiește schema:

24 + 6 – 15 = 15 (l de benzină)

a + b – c = d

Formularea întrebării unei probleme contribuie la dezvoltarea gândirii elevilor mai ales

când se indică numărul de operații.

3. În excursie au plecat 20 băieți, iar fete de 2 ori mai puține.

Puneți întrebarea astfel încât problema să se rezolve printr-o singură operație.

Să se formuleze întrebarea în așa fel încât problema să se rezolve prin două operații.

Să se modifice relațiile dintre datele problemei astfel încât problema să se rezolve

printr-un singur fel de operații (adunarea, scăderea) sau (înmulțire, adunare), (înmulțire, scădere) etc.

O atenție deosebită am acordat problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare.

4. O sală are lungimea de 18 m și lățimea cu 3 mai mică decât lungimea.

Câți metri are clasa de jur împrejur?

Rezolvare

Câți metri are lățimea?

18m – 3 = 15 m

Câți metri are sala de jur împrejur?

18 m + 18m + 15m + 15m = 66 m

Au existat elevi care au găsit căi ingenioase de rezolvare a problemei.

Un elev a rezolvat problema astfel:

Care este lățimea totală?

(18-3)+(18-3) = 30 m

Care este lungimea totală?

18m +18m = 36 m

Care este lungimea sălii?

30m + 36m = 66 m

Alt elev a exprimat rezolvarea problemei printr-un exercițiu:

(18-3)+(18-3)+18+18 = 66(m)

III. Etapa evaluării finale – s-a desfășurat în luna iunie. Am aplicat o probă de evaluare la unitatea de învățare ,,Recapitulare finală” pentru a se stabili nivelul de pregătire al elevilor și modul în care au evoluat de la testul inițial.

Obiectivele evaluării au fost următoarele:

să utilizeze sistemul pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât 100;

să compare numere naturale mai mici decât 100, utilizând semnele de comparație potrivite;

să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 100, fără și cu trecere peste ordin;

să afle numărul necunoscut dintr-o operație de adunare, de scădere;

să rezolve corect problema dată.

Probă de evaluare finală

Clasa I

Diciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Recapitulare finală

CAPITOLUL IV

ANALIZA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR

IV.1. Evaluarea inițială

Evaluarea inițială realizată prin test de cunoștințe ne poate oferi informații referitoare la nivelul minim de achiziții privind rezolvarea problemelor cu operații de același ordin. Această evaluare inițială a fost realizată în urma recapitulării cunoștințelor din clasa C.P.

Clasa: I

Obiectul: Matematica și explorarea mediului

Capacitatea: Evaluarea competențelor dobândite în clasa pregătitoare

Obiective de evaluare:

O1 – să recunoască formele geometrice după anumite criterii;

O2 – să continue șirul de forme geometrice după modelul dat;

O3 – să stabiliească valoarea de adevăr a propozițiilor din imaginile sugerate;

O4 – să asocieze imaginile date pentru a forma perechi;

O5 – să numere crescător în concentrul 0-31;

O6 – să găsească cardinalul unei mulțimi de obiecte;

O7 – să calculeze corect adunări și scăderi în concentrul 0-31;

O8 – să identifice părțile unei plante după auz.

Descriptori de performanță

Foarte bine ( 86 – 100 puncte )

I1a – Identifică/colorează toate figurile geometrice plane și taie cubul cu o linie oblică;

I1b – rezolvă toate sarcinile de lucru, orientându-se în spațiu în funcție de reperele/direcțiile precizate;

I1c – ilustrează anotimpul toamna, ploaia și desenează 3 fructe și legume;

I2 – decorează covorașul cu toate cele 3 figuri geometrice, respectând ordinea cerută;

I3 – colorează corect cu verde toate cele 3 propoziții adevărate;

I4 – rezolvă corect toate cele 3 cerințe propuse:

trasează câte o linie dreaptă de la flori la fluturași;

scrie corect numărul de perechi obținute;

încercuiește cei doi fluturași fără pereche.

I5 – scrie răspunsul corect pentru toate cele trei cerințe:

colorează cu portocaliu al doilea dovleac;

scrie cifra lipsă din șir;

completează corect numărul de dovleci rămași.

I6 – notează corect numărul de elemente al fiecărei mulțimi;

I7 – calculează corect 9-10 adunări și scăderi;

I8 – colorează corespunzător toate părțile componente ale plantei.

Bine (66 – 85 puncte)

I1a – Identifică/colorează toate figurile geometrice plane;

I1b – rezolvă două sarcini de lucru, orientându-se în spațiu în funcție de reperele/direcțiile precizate;

I1c – ilustrează anotimpul toamna, ploaia și desenează 2 fructe și legume;

I2 – decorează covorașul cu toate cele 2 figuri geometrice, respectând ordinea cerută;

I3 – colorează cu verde doar 2 propoziții adevărate din cele 3;

I4 – rezolvă corect două cerințe din cele trei propuse:

a și b, a și c sau b și c

I5 – scrie răspunsul corect pentru două cerințe din cele trei:

a și b, a și c sau b și c

I6 – notează corect numărul de elemente doar pentru două din cele trei mulțimi;

I7 – calculează corect 6-8 adunări și scăderi;

I8 – colorează corespunzător cel puțin trei părți componente ale plantei.

Suficient ( 45 – 65 puncte )

I1a – Identifică/colorează 2-3 figurile geometrice plane;

I1b – rezolvă o sarcinină de lucru, orientându-se în spațiu în funcție de reperele/direcțiile precizate;

I1c – ilustrează anotimpul toamna, ploaia și desenează un fruct sau o legumă;

I2 – decorează covorașul cu o singură figură geometrică, așezată corect;

I3 – colorează cu verde o singură propoziție adevărată;

I4 – rezolvă corect o singură cerință din cele trei propuse:

a sau b sau c

I5 – scrie un singur răspuns corect:

a sau b sau c

I6 – notează corect numărul de elemente doar pentru o mulțime;

I7 – calculează corect 4-5 adunări sau scăderi;

I8 – colorează corespunzător cel puțin două părți componente ale plantei.

Punctaj acordat

I1 – 15 puncte (câte 5 puncte pentru fiecare cerință rezolvată corect/ a, b, c);

I2 – 9 puncte (pentru completare și colorarea corectă a celor trei figuri geometrice, respectând ordinea cerută);

I3 – 9 puncte (câte 3 puncte pentru fiecare propoziție colorată corect);

I4 – 15 puncte (câte 5 puncte pentru fiecare cerință rezolvată corect/a, b, c);

I5 – 15 puncte (câte 5 puncte pentru fiecare cerință rezolvată corect/a, b, c);

I6 – 9 puncte (câte 3 puncte pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I7 – 9 puncte (câte 0,90 puncte pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I8 – 9 puncte (câte 2.25 puncte pentru fiecare parte componentă a plantei, colorată corect).

10 puncte din oficiu

Total – 100 puncte

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

(Matematică)

Clasa I

Observă desenul de mai jos și rezolvă următoarele cerințe:

Colorează cercurile mari cu verde, triunghiul mare cu portocaliu, pătratele mici cu galben, iar dreptunghiurile cu maro. Găsește cubul și taie-l cu o linie oblică.

Colorează florile din dreapta. Încercuiește păsările care se află deasupra casei. Desenează un fluture deasupra copacului din stânga.

Completează peisajul astfel încât să fie ilustrat anotimpul toamna. Ilustrează un fenomen al naturii specific toamnei. Desenează sub imagine 3 fructe și legume.

2. Continuă și decorează covorașul pe spațiul gol, ca în modelul dat:

Colorează cum dorești!

O să vă citesc câteva propoziții despre elefant și iepuraș. Compară elefantul cu iepurașul și colorează cu verde pătrățelele din dreptul propozițiilor pe care le consideri adevărate.

4. Fluturașii vor să poposească fiecare pe câte o floare. Vă propun să îi ajutăm.

a. Unește, trasând câte o linie dreaptă, fiecare floare cu câte un fluturaș.

b. Scrie în pătrățelul alăturat câte perechi ai obținut.

c. Încercuiește imaginile care nu au pereche.

5. Acum o să ne jucăm cu dovleci!

a. Colorează cu portocaliu al doilea dovleac.

b. Scrie cifra lipsă din șir.

c. Scrie pe spațiul punctat câți dovleci rămân, dacă luăm primul și ultimul dovleac: ………

6. Scrie în pătrățele câte elemente are fiecare mulțime:

7. Calculează adunările și scăderile:

2 + 3 = 4 – 2 =

7 + 1 = 6 – 6 =

5 + 5 = 9 – 1 =

0 + 9 = 7 – 0 =

6 + 4 = 3 – 3 =

8. Colorează părțile plantei după cum auzi:

IV.1.1. Prelucrarea datelor

Tabelul 4.1. Rezultatele obținute de elevi la evaluarea inițială pentru fiecare item – clasa experimentalǎ

Tabelul 4.2. Tabelul sintetic – reflectă rezultatele elevilor la proba inițială

Analizând datele tabelelor, putem afirma că:

rezultatele obținute de elevii clasei experimentale reprezintă informații cu privire la bagajul de cunoștințe pe care îl posedă elevul respectiv și lacunele pe care le are acesta;

totalul de puncte la nivelul clasei l-am realizat din suma punctelor obținute la fiecare item plus punctul din oficiu.

IV.1.2. Interpretarea datelor

Rezultatele obținute la acest test au condus la următoarele concluzii:

– colectivul clasei I este unul omogen, cu posibilități intelectuale (un număr de 25 elevi obținând rezultate bune și foarte bune);

– unii elevi întâmpină dificultăți în rezolvarea unor sarcini, cum ar fi:

nu recunosc fenomenele naturii specifice toamnei;

nu toți elevii continuă șirul de figuri geometrice după modelul dat;

unii elevi nu rezolvă corect adunări și scăderi în concentrul 0-31;

ritmul de lucru al unor elevi a fost de nivel mediu;

majoritatea elevilor au obținut punctaj maxim.

În urma acestui test, pe parcursul activităților didactice următoare, la fiecare unitate de învățare studiată voi urmări estomparea lacunelor descoperite prin rezolvări de exerciții cu adunări și scăderi a numerelor naturale pentru a observa dacă situația constatată în acest test poate fi modificată odată cu aplicarea testului final.

Analiza datelor obținute din evaluarea inițială a competențelor, cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor elevilor a luat în considerare și faptul că testarea inițială a elevilor a avut loc la începutul anului școlar.

Tabelul 4.3. Tabelul sintetic – reflectă nivelul performanțelor atinse în procente la testul inițial

Număr de copii/ procente Calificativ

În urma înregistrării acestor date, am concluzionat următoarele cu privire la nivelul inițial de pregătire al elevilor:

dificultățile întâmpinate de elevi s-au înregistrat la formularea morale desprinse dintr-un text;

media nivelului clasei este de 7,3, aceasta reprezentând punctul de plecare în realizarea cercetării propuse.

Figura 4.1. Histograma – reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare inițială

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.2. Poligonul de frecvență – reflectă rezultatele elevilor la testul inițial

Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.3. Diagrama areolară – reflectă rezultatele elevilor la testul inițial

Diagrama areolară – reflectă rezultatele elevilor la testul inițial unde elevii au obținut urmatoarele calificative reprezentate în procente: F.B. 30%; B 39%; S 17%; I 14%.

Figura 4.4. Diagrama procentuală – rezultatele obținute de elevi la proba de evaluare inițială

Aplicarea testului inițial mi-a permis cunoașterea dificultăților elevilor în faza incipientă și legat de amploarea lor, staționarea mai îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea unui nivel corespunzător de pregătire de către toți elevii.

Nu toți elevii din clasă sunt atenți la activitățile desfășurate;

Aceleași metode tradiționale cu care ei s-au obișnuit nu mai sunt eficiente, fiind necesară îmbinarea metodelor tradiționale cu cele moderne activ – participative precum și utilizarea unor mijloace didactice mai variate și mai atractive pentru activizarea lor;

Spiritul de observație nu este antrenat suficient fiind limitat la observarea imaginilor din manual sau a desenelor pe tablă, lipsind posibilitatea exersării și dezvoltării acestuia;

Atitudinea față de învățare este pasivă, copiii nu prezintă interes pentru noul conținut, nefiind activați în lecție;

Copiii înțeleg vag noțiunile învățate fără a-și fi format reprezentările clare, precise în legătură cu acestea;

Învățarea este bazată mai mult pe memorarea mecanică și nu pe raționamente logice.

Ca urmare a acestor constatări voi avea în vedere ca în orele de matematică să utilizez mai frecvent mijloacele moderne și mai ales să las copiii să lucreze mai mult, atât individual cât și pe grupe.

IV.2. Evaluarea formativă

Etapa ameliorativă – s-a desfășurat pe perioada octombrie 2018 – mai 2019. În această etapă, pe baza centralizării observațiilor obținute în etapa inițială, a prelucrării și analizei lor, am proiectat și implementat strategii pentru dezvoltarea gândirii. În perspectivă formativă au fost aplicate teste pentru măsurarea și aprecierea randamentului școlar al elevilor, au fost aplicate metode și tehnici alternative de evaluare a rezultatelor școlare.

Aplicarea testului inițial mi-a permis cunoașterea lacunelor elevilor în faza incipientă și legat de amploarea lor, staționarea mai îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea unui nivel corespunzător de pregătire de către toți elevii.

Între evaluarea inițială și cea finală s-au realizat și evaluări formative (ameliorative) pentru a se observa creșterea motivației învățării și a randamentului școlar în urma aplicării situațiilor problemă, dezvoltarea gândirii logice și stimularea creativității elevilor ca urmare activităților de rezolvare și compunere a exercițiilor și problemelor la disciplina matematică.

Am observat că elevii s-au implicat și au depus efort pentru a rezolva cu succes situațiile problematice propuse. Atunci când au întâmpinat dificultăți, au colaborat cu ceilalți colegi sau au apelat la ajutorul învățătorului.

În următoarea fază au fost situații în care elevii au dorit să rezolve singuri exerciții și probleme pe care le-au propus spre rezolvare clasei.

Astfel am urmărit permanent activizarea elevilor prin strategii creative, formarea unor gândiri critice, stimularea și dezvoltarea creativității, formarea încrederii în sine și a curajului de a se implica în rezolvarea oricărei situații și găsirea soluțiilor corecte.

Testele de evaluare formativă aplicate în lecțiile de matematică mi-au permis cunoașterea imediată a dificultăților de învățare ale elevilor.

În vederea eliminării greșelilor am recurs la diferențierea activității. În urma analizei testelor am prezentat obiectivele operaționale nerealizate de elevi pentru a putea fi urmărite în activitățile de recuperare propuse.

TEST DE EVALUARE FORMATIVĂ

Clasa: I

Obiectul: Matematica și explorarea mediului

Capacitatea: Numerele naturale în concentrul 0 – 100

Obiective de evaluare:

O1 – să scrie crescător numerele de la 0 la 100;

O2 – să identifice numerele impare dintr-un șir;

O3 – să precizeze vecinii numerelor date;

O4 – să compună numere în concentrul 0 -100;

O5 – să compare numere naturale în concentrul 0 – 100,

O6 – să efectueze operații de adunare și scădere în concentrul 0 – 31;

O7 – să afle numărul necunoscut din operațiile date;

O8 – să completeze exerciții cu semnele + , – pentru a obține relații adevărate;

O9 – să rezolve corect probleme cu o singură operație;

O10 – să. recunoască plantele sau părțile plantei descrise;

O11 – să identifice plantele cultivate de om și pe cele care cresc la noi în țară.

Descriptori de performanță

Foarte bine ( 86 – 100 puncte )

I1 – numerotează și colorează corect toate numerele impare;

I2 – precizează corect toți vecinii numerelor;

I3 – compune corect toate numerele cerute;

I4 – colorează toate casetele cu numere mai mari;

I5 – calculează toate exercițiile cu adunări și scăderi;

I6 – identifică toate semnele care lipsesc;

I7 – scrie 5 operații de scădere a căror rezultat este 6;

I8 – completează + , – cu semnele care lipsesc;

I9 – rezolvă corect problema;

I10 – rezolvă corect problema;

I11 – recunosc plantele/părțile plantelor;

I12 – identifică toate variantele corect;

I13 – încercuiesc corect plantele cerute.

Bine (66 – 85 puncte)

I1 – completează doar numerele cerute;

I2 – precizează corect două numere;

I3 – compune două numere cerute;

I4 – colorează 4 -5 numere;

I5 – calculează 4 – 5 exerciții cu adunări și scăderi;

I6 – identifică 4 – 5 semne care lipsesc;

I7 – scrie 3 – 4 operații de scădere a căror rezultat este 6;

I8 – completează + , – 3 – 4 operații cu semnele care lipsesc;

I9 – rezolvă problema punând doar rezultatul;

I10 – rezolvă problema punând doar rezultatul;

I11 – recunosc două plante/părți plantelor;

I12 – identifică 4 – 5 variante;

I13 – încercuiesc 4 – 5 plante.

Suficient ( 45 – 65 puncte )

I1 – completează si colorează cu erori numerele date;

I2 – precizează corect un număr;

I3 – compune un număr;

I4 – colorează 1 – 2 numere;

I5 – calculează 1 – 2 exerciții cu adunări și scăderi;

I6 – identifică 1 – 2 semne care lipsesc;

I7 – scrie 2 – 3 operații de scădere a căror rezultat este 6;

I8 – completează + , – 1 – 2 operații cu semnele care lipsesc;

I9 – rezolvă problema cu erori de calcul;

I10 – rezolvă problema cu erori de calcul;

I11 – recunosc o plantă/o parte a plantei;

I12 – identifică 2 – 3 variante;

I13 – încercuiesc 2 – 3 plante.

Punctaj acordat

I1 – 10 puncte (câte 1 punct pentru fiecare cerință rezolvată corect);

I2 – 3 puncte (câte 0,5 puncte pentru fiecare vecin);

I3 – 3 puncte (câte un punct pentru fiecare număr compus);

I4 – 3 puncte (câte 0,5 puncte pentru fiecare casetă colorată corect);

I5 – 6 puncte (câte un punct pentru fiecare exercițiu rezolvat corect).

I6 – 6 puncte (câte 1 punct pentru fiecare exercițiu rezolvat corect).

I7 – 5 puncte (câte 1 punct pentru fiecare operație corectă).

I8 – 6 puncte (câte 0,5 pentru fiecare semn completat corect).

I9 – 10 puncte (10 puncte pentru rezolvarea corectă a problemei).

I10 – 10 puncte (10 puncte pentru rezolvarea corectă a problemei).

I11 – 6 puncte (câte 2 puncte pentru fiecare răspuns corect).

I12 – 10 puncte (câte un punct pentru fiecare răspuns corect).

I13 – 12 puncte (câte 2 puncte pentru fiecare răspuns corect).

10 puncte din oficiu

Total – 100 puncte

TEST DE EVALUARE

Matematica și explorarea mediului

Unitatea de învățare: Primii pași în tainele literelor și ale numerelor

1. Numerotează frunzele de mai jos cu numere de la 0 la 10 și colorează-le pe cele care conțin numere impare.

2. Precizează vecinii numerelor!

3 21 98

3. Compune numerele!

48 6 6 90

4. Colorează caseta care conține numărul mai mare!

5. Află!

a) suma numerelor b ) diferența numerelor

40 și 3 50 și 3

18 și 2 77 și 17

11 și 60 60 și 10

6. Completează cerculețele cu numerele care lipsesc.

3 + = 7 + 80 = 100 – 2 = 16

– 6 = 3 15 – = 5 6 + = 40

7. Scrie cât mai multe scăderi care să aibă rezultatul 6!

8. Completează cu semnele care lipsesc.

2 3 = 5 44 4 = 40 10 11 = 21

9 1 = 10 77 6 = 71 5 5 = 10

9. Mama a cules 30 mere roșii și 50 mere galbene.

Câte mere a cules mama?

10. Tata a plantat 56 peri. Trei peri s-au uscat.

Câți peri mai are tata în livadă?

11. Ghici cine sunt?

Sunt o parte a plantei și absorb din sol apa cu substanțe hrănitoare ………………………………….

Sunt o plantă formată din rădăcină, trunchi și coroană. Am crengi și frunze ……………………….

Sunt o parte a plantei cu petale și parfum ……………………………

12. Citește cu atenție și încercuiește denumirea corectă pentru fiecare plantă sau parte a plantei.

13. Încercuiește!

a ) plantele cultivate de om

b) plantele care nu cresc la noi în țară

IV.2.1. Prelucrarea datelor

Tabelul 4.7. Rezultatele obținute de elevi la evaluarea inițială pentru fiecare item – clasa experimentalǎ

IV.2.2. Interpretarea datelor

Tabelul 4.4. Tabelul sintetic – reflectă rezultatele elevilor la proba de evaluare formativă

Din tabelul anterior rezultă că nivelul clesei a crescut: I a scăzut de la 5 la 2, S a scăzut de la 6 la 3, B a scăzut de la 14 la 12 și F.B a crescut de la 5 la 7, a mai crescut punctajul de la 276 la 299, media a crescu și ea de la 7 la 8,3, procentajul a crescut și el de la 69% la 86%

Tabelul 4.5. Tabelul sintetic – reflectă nivelul performanțelor atinse în procente la testul formativ

Număr de copii/ procente Calificativ

Figura 4.5. Histograma – reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare formativă

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.6. Poligonul de frecvență – reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare formativă

Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe

abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.7. Diagrama areolară – reflectă rezultatele elevilor la evaluarea formativă exprimate în procente

Diagrama areolară – reflectă rezultatele elevilor la testul formativă unde elevii au obținut următoarele calificative, reprezentate în procente: F.b. 53%, B 33%, S 8%, I 6%.

Figura 4.8. Diagrama procentuală – reprezintă procentul de promovabilitate

Am observat o creștere a nivelului de pregătire față de testul inițial. Pentru elevii care au întâmpinat dificultăți am inițiat un program de lucru suplimentar în afara orelor de curs.

Rezultatele obținute la acest test au condus la următoarele concluzii:

– colectivul clasei I este unul omogen, cu posibilități intelectuale (un număr de 31 elevi obținând rezultate bune și foarte bune):

majoritatea elevilor rezolvă corect exerciții de adunare și de scădere cu și fără treccere peste ordin în concentrul 0 – 100;

mai bine de jumătate din elevi reușesc să utilizeze corect terminologia specifică operațiilor de adunare și de scădere;

19 elevi nu au reușit să finalizeze rezolvarea problemei propuse;

ritmul de lucru al celor mai mulți elevi a fost cel mediu;

19 elevi au obținut punctaj maxim.

În urma acestui test, pe parcursul lecțiilor de matematică, la fiecare unitate de învățare studiată, voi rezolva intensiv exerciții și probleme folosind operații cu numere naturale și metode activ-participative, pentru a le dezvolta elevilor gândirea logică, pentru a observa dacă situația constatată în acest test poate fi modificată până la aplicarea testului final.

IV.3. Evaluarea finală (sumativă)

Etapa finală – s-a desfășurat la sfârșitul semestrului II. Reprezintă etapa în care au fost aplicate teste de evaluare sumativă pentru a înregistra progresul, evoluția elevilor din grupul experimental. Rezultatele obținute la testele aplicate le-am înregistrat în tabele centralizatoare, analitice și sintetice, care au permis depistarea lacunelor în pregătirea elevilor, diferențierea și personalizarea curriculumului, inițierea unor programe de compensare sau dezvoltare specifice, prin valorificarea valențelor activ – participative ale metodelor care au fost alease ca factor de progres.

În etapa finală am propus teste de evaluare sumativă și am înregistrat și prelucrat rezultatele obținute în vederea constatării progresului prin raportarea la testul inițial și la obiectivele stabilite în desfășurarea cercetării.

Clasa: I

Obiectul: Matematica și explorarea mediului

Capacitatea:

Obiective de evaluare:

O1 – să scrie, să citească și să formeze numerele naturale în concentrul 0-100;

O2 – să compare numerele naturale în concentrul 0 – 100;

O3 – să ordoneze numerele naturale în concentrul 0-100, folosind poziționarea pe axa numerelor, exprimări, aproximări;

O4 – să efectueze adunări și scăderi mental și în scris în concentrul 0-100 recurgând frecvent la numărare;

O5 – să utilizeze vocabularul specific matematicii în rezolvări de probleme;

O6 – să identifice consecințe ale unor acțiuni, fenomene, procese simple;

O7 – să rezolve probleme în care inervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0-100 cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice.

Descriptori de performanță

I1 – rezolvă adunări și scăderi prin calcul scris în concentrul 0-100;

I2 – rezolvă enunțuri matematice și realizează corespondențe;

I3 – completează șirul de numere și identifică numerele pare și impare;

I4 – ordonează crescător/descrescător numerele date;

I5 – compară numere folosind semnele de relație;

I6 – rezolvă enunțuri matematice;

I7 – identifică organele interne ale animalelor/părți componente plante;

I8 – stabilește valoarea de adevăr a unor enunțuri date;

I9 – rezolvă problema cu două operații.

Foarte bine (86 – 100 puncte)

I1 – rezolvă 9 – 10 adunări și scăderi prin calcul scris în concentrul 0-100;

I2 – rezolvă 3 – 4 enunțuri matematice și realizează corespondențe;

I3 – completează șirul cu numere pare și impare;

I4 – ordonează crescător/descrescător toate numerele date;

I5 – compară corect toate numere folosind semnele de relație;

I6 – rezolvă toate enunțurile matematice;

I7 – identifică 9 – 10 organe interne ale animalelor/părți componente plante;

I8 – stabilește valoarea de adevăr pentru 4 – 5 enunțuri date;

I9 – rezolvă problema cu două operații.

Bine (66 – 85 puncte)

I1 – rezolvă 7 -8 adunări și scăderi prin calcul scris în concentrul 0-100;

I2 – rezolvă două enunțuri matematice și realizează corespondențe;

I3 – completează 7 numere;

I4 – ordonează crescător/descrescător 7 numere date;

I5 – compară 3 numere folosind semnele de relație;

I6 – rezolvă 2 enunțuri matematice;

I7 – identifică 7 – 8 organe interne ale animalelor/părți componente plante;

I8 – stabilește valoarea de adevăr 2 – 3 enunțuri date;

I9 – rezolvă problema parțial corect.

Suficient (45 – 65 puncte)

I1 – rezolvă 5 –6 adunări și scăderi prin calcul scris în concentrul 0-100;

I2 – rezolvă un enunț corect;

I3 – completează 4 numere;

I4 – ordonează crescător/descrescător 4 numere date;

I5 – compară 1 – 2 numere folosind semnele de relație;

I6 – rezolvă corect un enunț matematice;

I7 – identifică 4 – 5 organe interne ale animalelor/părți componente plante;

I8 – stabilește valoarea de adevăr pentru un enunț dat;

I9 – rezolvă problema cu erori de calcul.

Punctaj acordat

I1 – 10 puncte (câte 1 punct pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I2 – 10 puncte (câte 2,5 puncte pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I3 – 10 puncte (câte 1 punct pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I4 – 10 puncte (câte 1 punct pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I5 – 10 puncte (câte 2,5 puncte pentru fiecare exercițiu rezolvat corect);

I6 – 10 puncte (câte 5 puncte pentru fiecare cerință rezolvată corect);

I7 – 10 puncte (câte 1 punct pentru fiecare cerință rezolvată corect);

I8 – 10 puncte (câte 2,5 puncte pentru fiecare cerință dată, rezolvată corect);

I9 – 10 puncte (câte 5 puncte pentru fiecare operație rezolvată corect).

+ 10 puncte din oficiu

Total 100 puncte

TEST DE EVALUARE FINALĂ

Matematica și explorarea mediului

Calculează în scris și oral iar ursul polar vă va răsplăti cu o înghețată.

43 + 76 – 27 + 57 – 100 –

5 6 39 28 45

62 + 4 = _____ 73 + 7 = _____ 41 + 43 – 55 = _______________________

48 – 5 = _____ 88 – 9 = _____

Află ce peștișor va pescui fiecare pinguin.

Află câte flori a vizitat albinuța. Colorează cu roșu petalele florilor cu numere pare și cu albastru petalele florilor cu numere impare.

Ordonează crescător numerele: Ordonează descrescător numerele:

52, 37, 67, 25, 84; 56, 69, 48, 84, 29; ___, ___, ___, ___, ___ ___, ___, ___, ___, ___

Compară numerele folosind semnele de relatie <, >, =

Rezolvă cerințele:

Află numărul cu 38 mai mare decât diferența numerelor 98 și 75.

_____________________ / _________________________

Află numărul cu 30 mai mic decât suma numerelor 25 și 55.

_______________________ / _______________________

Colorează cu roșu bulinele din dreptul organelelor interne la animale si cu verde bulinele reprezentând părtile componente ale plantelor.

Citește informațiile si notează adevărat (A) sau fals (F).

_____ Tulpina absoarbe apa și substanțele hrănitoare din pământ.

_____ Zăpada este apă în stare lichidă.

_____ Prin fierbere apa se transformă în vapori.

_____ Inima are rol în respirație.

_____ Soarele este doar sursă de lumină.

Problemă

La un concurs de înot participă 18 fete și cu 6 mai mulți băieți.

Câți copii participă la înot?

Rezolvare

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

R: ________________

IV.3.1. Prelucrarea datelor

Tabelul 4.10. Rezultatele obținute de elevi la evaluarea inițială pentru fiecare item – clasa experimentalǎ

IV.3.2. Interpretarea datelor

Tabelul 4.11. Tabel sintetic – reflectă rezultatele elevilor la proba de evaluare surmativă

Din tabelul anterior rezultă că nivelul clesei a crescut: I a scăzut de la 2 la 0, S a scăzut de la 3 la 2, B a crescut de la 12 la 13 și F.B a crescut de la 19 la 21, a mai crescut punctajul de la 299 la 340,9, media a crescu și ea de la 8 la 9,1, procentajul a crescut și el de la 86% la 94%.

Tabelul 4.12. Tabel sintetic – reflectă nivelul performanțelor atinse în procente la testul final

Din analiza datelor din tabel, am constatat că majoritatea copiilor au înregistrat o creștere semnificativă a calificativelor, rezolvând corect cerințele itemilor.

Figura 4.14. Histograma – reflectă rezultatele elevilor la testul sumativ

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.15. Poligonul de frecvență – reflectă rezultatele elevilor la testul sumativ

Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Figura 4.16. Diagrama areolară – privind rezultatele elevilor la testul sumativ

Din datele tabelului sintetic rezultă că s-au realizat 202,9 puncte din totalul de 240 posibile. Punctajul realizat reprezintă 94% iar cel nerealizat 6%.

Figura 4.17. Diagrama procentuală – reprezintă procentul realizat ca punctaj la testul sumativ

IV.4. Analiza și evaluarea progreselor

Comparând rezultatele probelor susținute se constată că performanțele elevilor au crescut datorită antrenamentelor zilnice, folosindu-se metode diverse. Urmărind cele două grafice se poate observa linia ascendentă a rezultatelor testului final în comparație cu rezultatele testului inițial, ceea ce confirmă afirmația de mai sus privind progresul continuu realizat de elevi.

În etapa de evaluare finală a nivelului de învățare și aprofundare a cunoștințelor, rezultatele au indicat o creștere semnificativă la clasa experimentală.

Figura 4.18. Poligonul de frecvență – reprezintă rezultatele elevilor din clasa experimentală, la testul inițial respective testul sumativ

Astfel dacă la testul inițial procentul calificativelor de Suficient și Insuficient erau în proporție de 31%, la testul sumativ procentul acestor calificative scade la 6%, cu mențiunea că nu mai există nici un calificativ de Insuficient, iar calificativele de Foarte Bine și Bine cresc procentual de la 69% la testul inițial, la 94% pentru testul de evaluare sumativă.

S-au înregistrat evoluții remarcabile la elevii slabi și mediocri care au reușit să obțină calificative mai bune la testarea sumativă decât la cea inițială sau cea formativă. Acest progres a fost posibil datorită faptului că pe parcursul procesului didactic am folosit metode de lucru activ – participative.

Elevii au participat cu entuziasm și responsabilitate la corectarea testelor, iar permanentizarea controlului imediat anunțat a contribuit la dezvoltarea unor deprinderi de autocontrol și apreciere obiectivă. Concluzionez că verificarea elevilor trebuie să devină o activitate complexă de cunoaștere a pregătirii lor, de depistare și de analiză la momentul oportun a deficiențelor în însușirea cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor de activitate intelectuală.

CONCLUZII

La nivel teoretic au fost create premisele de conceptualizare euristice de rezolvare euristică a problemelor de matematică. Din analiza teoriilor și abordărilor contemporane, pot fi desprinse o serie de concluzii:

dețin o poziție privilegiată în ansamblul factorilor responsabili pentru succesul școlar al elevilor;

folosirea metodelor euristice active și de cooperare în cadrul lecțiilor de matematică și nu numai, are un impact benefic asupra elevilor, în sensul că au contribuit la dezvoltarea abilităților de comunicare și de lucru în echipă;

metodele activ-participative constituie o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât și pentru cadrul didactic;

În urma aplicării metodelor euristice, am constatat că utilizarea acestora cu obiectiv precis, la momentul potrivit, poate duce la rezultate satisfăcătoare, cum ar fi:

elevii și-au depășit blocajele în comunicare și rezolvare;

și-au format deprinderi de rezolvare euristică a problemelor de aritmetică;

au manifestat un comportament adecvat față de colegii din grupul lor;

a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai toleranți;

îmbinarea formelor de lucru (frontală, pe grupe, individuală) a creat posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor;

elevii au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.

Rezultatele obținute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că prin utilizarea metodelor euristice în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, am contribuit la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potențialului intelectual și creativ al elevilor, la obținerea performanțelor fiecăruia în funcție de particularitățile de vârstă și individuale.

Educația autentică trebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la cunoașterea diversității caracteristicilor și forțelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau individualitate în parte. Cunoașterea structurii și dinamicii caracteristicilor personalității, a nivelului de dezvoltare intelectuală, emoțională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a oricărui proces educațional care își propune formarea dirijată a omului, influențarea modului său de comportare, adaptare și integrare în viața socială. (Dumitriu, Gh., 2004, p.6)

Astfel, în anul școlar 2018 / 2019, mi-am propus să creez condiții optime de afirmare a potențialului individualității fiecărui elev în situații personalizate sau socializate de învățare, în special în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică. Am avut în vedere folosirea în activitatea didactică a unor variate metode euristice în rezolvarea problemelor, crearea unor situații de învățare bazate pe autonomia intelectuală și acțională a elevilor, stimularea imaginației creatoare, a potențialului lor creator, a gândirii critice, dar și a gândirii divergente centrată pe strategii euristice.

Am intenționat:

să nu fiu doar un simplu transmițător de informații, ci un bun organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

să îi fac pe elevi să aibă încredere în ei, facilitând învățarea și stimulând pe copii să lucreze în echipă;

să le stimulez eforturile intelectuale, să le formez și să le educ calitățile moral – volitive;

să le dezvolt interesul și sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații problematice cu conținut matematic;

să stimulez colaborarea, interesul și motivația pentru aplicarea matematicii în contexte

variate;

să îmbin modalitățile de învățare reproductivă cu cele de învățare euristică în activitatea de rezolvare și compunere de probleme;

să adaptez metodele de predare – învățare – evaluare pentru fiecare conținut, pentru fiecare formă de organizare și pentru profilul psihologic al elevilor.

Elevii și-au format deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, au exprimat clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin:

transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;

justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme;

utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei probleme.

Au manifestat inițiativă în a transpune diferite situații în context matematic, propunând modalități diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluții la anumite probleme, scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei, compunerea unei probleme după un exercițiu sau după o schemă grafică. Exercițiile și problemele au fost judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care-l solicită de la elevi și rațional programate atât în suita de lecții, cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conducând la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.

Elevii au depășit cu succes blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare – eroare noi căi de rezolvare.

În urma documentării pe baza bibliografiei consultate, a experienței didactice și a probelor (testelor de cunoștințe) aplicate elevilor am ajuns la următoarele concluzii:

• rezolvarea de probleme, compunerea de probleme matematice prezintă o influență deosebită privind gradul de flexibilitate a gândirii logice aplicative și de tip divergent, a dezvoltării creativității, a gândirii independente, a modificărilor structurii personalității, a gradului de relaționare bazată pe sinceritate și corectitudine, de respect față de munca celor din jur, de dezvoltare a spiritului de activitate în grup, colaborare și ajutor;

• rolul important pe care îl are climatul socio-afectiv, al relației învățător – elev și elev-elev, în desfășurarea activităților didactice.

În desfășurarea experimentului am avut în vedere, ca o garanție în realizarea obiectivului propus, cunoașterea individualității elevilor (prin diverse metode: observație , discuții individuale și cu familia, teste aplicate elevilor și părinților) deoarece elevul trebuie să fie în centrul desfășurării întregii activități didactice și că, funcție de el, se stabilesc strategiile eficiente în predarea învățării modalităților de rezolvare aritmetică a problemelor. Învățătorul este cel de care depinde, la această vârstă, interesul sau dezinteresul față de școală, încrederea sau neîncrederea în forțele proprii, dorința de a fi din ce în ce mai bun. Activitățile educative bine motivate, bine echilibrate și, mai ales, bine organizate, oferă posibilitatea valorificării acumulărilor elevilor pe parcursul întregului ciclu de pregătire și unele dintre acestea pot avea ecou în sufletul elevului toată viața.

În demersul experimental, am plecat de la premiza că, asigurarea unui climat socio-afectiv și utilizarea unor metode activ-participative în aplicarea metodelor aritmetice de rezolvare a problemelor, a unor metode alternative de evaluare conduc la dezvoltarea caracteristicilor de personalitate ale școlarului mic.

Perceperea învățătorului ca partener în activitatea școlară are efecte pozitive asupra elevilor: dezvoltarea gradului de comunicare, eliminarea unor situații stresante la care ar putea fi supuși elevii (de neîncredere, de lipsă de curaj, de lipsă de interes, de izolare de colectivul clasei și care ar avea un rol negativ în structurarea personalității acestora.

Climatul socio-afectiv, apropierea învățătorului față de elev, perfecționarea relației învățător-elev, duc la realizarea unui învățământ eficient care să dezvolte responsabilitatea, inițiativa, creativitatea, formarea unui comportament adecvat fiecărei situații.

Rezultatele finale redau progresul obținut de elevi în ceea ce privește însușirea cunoștințelor dar și în dezvoltarea capacităților creatoare. Aceste rezultate oferă informații detaliate care pot fi luate în considerație la elaborarea măsurilor ameliorative pentru elevi, astfel: elevii cu capacități reduse de înțelegere și asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel reproductiv și de cunoaștere pentru a-i ajuta să realizeze obiectivele programei; iar celor cu potențial intelectual dezvoltat li se vor crea condiții propice în care să li se poată dezvolta capacitățile creative a gândirii logice aplicative, practice.

Metodele folosite în rezolvarea aritmetică și compunerea de probleme, îmbinarea activităților frontale cu munca independentă, a celor individuale cu cele de grup, utilizarea de mijloace didactice adecvate vârstei lor și specificului conținuturilor au ca efect obținerea de rezultate pozitive în privința asimilării de cunoștințe și formarea deprinderilor de lucru, matematica fiind o știință a realității înconjurătoare, indispensabilă diverselor activități umane practice și, nicidecum, doar o activitate abstractă, pură.

Înțelegerea modalităților de rezolvare aritmetică a problemelor matematice, de a stăpâni raționamentul de calcul al soluțiilor specific fiecărui tip de problemă va conta foarte mult în înțelegerea modurilor de rezolvare algebrică a problemelor în activitatea școlară după ciclul primar.

Pentru elevul ce stăpânește metodologia de rezolvare aritmetică a problemelor, rezolvarea algebrică va oferi ocazia de a avea un sentiment de satisfacție, de mulțumire a realizărilor sale, ceea ce va constitui un imbold în învățarea matematicii sau, chiar în activitatea sa de mai târziu.

Transpunerea rezolvării problemei într-un exercițiu conduce la formarea unei gândiri pluri cuprinzătoare și sintetice în același timp, exercițiile de sintetizare a rezolvării problemelor cu date numerice, apoi cu simboluri literale, reprezintă modalități de exersare a gândirii în generalizarea algoritmului de rezolvare.

A-i învăța pe elevi cum să învețe să rezolve o problemă a devenit o cerință majoră a școlii. Iată de ce, în activitatea didactică, în vederea formării și dezvoltării capacităților logice, aplicative, creative, un loc deosebit să îl ocupe utilizarea acelor metode de rezolvare pe cale aritmetică prin care elevul învață să descopere și să redescopere soluții noi, să aibă șansa exersării spontaneității și libertății de acțiune, acțiuni ce au drep scop înlăturarea fricii de a contrazice învățătorul, instalarea unor îndemânări de lucru (de a se descurca, de a lua inițiativă, de a hotărî, de a emite soluții), dezvoltarea capacității de a analiza faptele, de a le explica.

Învățătorul cu o înaltă motivație creatoare și o mare curiozitate intelectuală, cultivă de la sine aceleași calități în rândul elevilor și va trebui să aibă în vedere că factorul grup va fi în folosul fiecărei individualități specifice.

În ce privește modalitățile de aplicare a metodelor de rezolvare aritmetică a problemelor matematice, trebuie avute în vedere unele aspecte : – nivelul de înțelegere al elevilor ; – capacitățile de analiză și sinteză a acestora ; – mijloacele didactice avute la dispoziție ; – obiectivele și conținuturile prevăzute de programa școlară ; – utilizarea metodelor pedagogice sau combinarea lor privind implicarea activă a elevilor; – modul de utilizarea al formelor de organizare în desfășurarea acțiunilor didactice (frontală, pe grupe sau individuală) ponderea metodelor de rezolvare aritmetică adecvate pe măsura parcurgerii unităților de învățare.

Important în aplicarea acestor metode aritmetice și în a-i determina pe elevi să înțeleagă este modalitatea de comunicare la clasă, de conținuturile problemelor, ținând cont permanent de principiul accesibilității și gradul de implicare al elevilor.

Rămân adepta ideii că, indiferent în ce condiții lucrăm cu elevii la matematică, individual, cu întreg grupul clasei, pe grupe mari sau, mai mici, dezvoltarea capacităților intelectuale, practice și creative ale elevilor depind foarte mult de tipul relației socio-afective, elev-învățător, de modul cum gradează și organizează activitatea de rezolvare a problemelor, de procedeele utilizate, dar și de atitudinea pe care o are învățătorul față de elevii săi, de pregătirea și de pasiunea pe care o manifestă față de tot ce este nou în predarea matematicii

Am avut în permanență în vedere ca modul de relaționare cu elevii să fie adecvat funcție de natura activităților desfășurate ca acestea să constituie un prilej de mulțumire, satisfacție a muncii depuse, ca elevii să vină cu plăcere la școală, știindu-se că, din anumite motive, pentru unii elevi, școala poate să fie locul în care ei se pot simți bine, le oferă.condiții în care ei să se simtă bine. Am constatat că un climat socio-afectiv bazat pe o comunicare sinceră, precizându-se totdeauna obiectivele ce trebuie realizate și motivând în permanență ,de ce facem acest lucru, de ce este necesar, asigură îndeplinirea celor propuse și că acestea se reflectă în activitatea și rezultatele muncii lor. Am încercat să-i determin pe elevi să vadă în învățător un prieten care trebuie să-i îndrume, să-i organizeze, să le propună conținuturi. să le formeze priceperi și deprinderi, să le dezvolte capacități și competențe de comunicare și relaționare psihosociale (sociabilitatea, spiritul de echipă, inteligența emoțională, capacități de autocunoaștere și autoevaluare ), să-i ajute și mai ales să-i înțeleagă atunci când au de rezolvat probleme personale de orice natură.

Ținând cont de programele școlare, conținuturile avute la dispoziție, în aplicarea metodologiei de rezolvare a problemelor prin metode aritmetice, se ridică o serie de probleme în ce privește influența matematicii asupra structurii personalității copilului de vârstă școlară mică.

Câteva propuneri în acest sens: – implicarea în mod deosebit a psihologului școlar, mai ales în cunoașterea psihologică a elevilor în vederea stabilirii unor strategii didactice eficiente; – acordarea unui număr mai mare de ore acestui obiectiv; – în manualele școlare să fie cuprinse cât mai multe și diverse tipuri de probleme; – elaborarea unor culegeri de probleme care să se adreseze în special elevilor cu potențial logic, creativ superior, cu toate că numărul culegerilor apărute este destul de mare ele vizează, în majoritate formarea algoritmilor.

BIBLIOGRAFIE

Aron, I. (1972), Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV, Editura Didactică și Pedagogică, București;

Badea, C., Gardin, F., Gardin, M., Berechet, F., Berechet, D. (2006), Matematică-Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a IV-a, Editura Paralela 45, Pitești

Blaga, V., Maior, A. (2003), Culegere de matematică clasele II-IV, Editura Aramis, București;

Cojocariu,V. (2004), Teori și metodologia instruirii, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București;

Cucoș, C.,coord,(1998), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, Iași;

Dănilă, I., Dănilă, E.(2004), Matematică distractivă, Editura Sigma, București;

Dimidov, C., Săvulescu, D.(2006), Culegere de exerciții și probleme de matematică, Editura Egal, Bacău;

Dimidov, C., Săvulescu, D.(2004), Caiet de muncă independentă clasa I, Editura Egal, Bacău;

Dumitriu, C. (2004), Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București ;

Dumitriu, C. (2002), Metodologia cercetării psihopedagogice, Bacău;

Dumitriu, Gh.(1998), Comunicare și învățare, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București;

Dumitriu, Gh., Dumitriu, C. (2004), Psihopedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București;

Dumitriu, Gh., Dumitriu, C. (1997), Psihologia procesului de învățământ, Editura didactică și Pedagogică, R.A., București;

Dumitrașcu, M. ,Anton, M., Radu, E., Vârlan, I.(2006), Matematică-Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a IV-a, Editura Deșteptarea, Bacău;

Gardin, F., Gardin, M., Berechet, F., Berechet, D. (2006), Matematică clasa a IV-a, Editura Delta Cart Educațional, Pitești;

German, A.(2005), Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV, Editura Elis, București;

Golu, P., Verza, E., Zlate, M.(1995), Psihologia copilului, Editura Didactică și Pedagogică, București;

Lupu, C. (1998), Metodica predării matematicii.Manual pentru licee pedagogice clasa a XII-a, Editura Paralela 45, Pitești;

Lupu, C. (2006), Didactica matematicii pentru învățământ preșcolar și primar, Editura Caba, București;

Lupu, C., Săvulescu, D. (1997), Metodica predării matematicii.Manual pentru liceele pedagogice clasa a XI-a, Editura Paralela 45, Pitești;

Lupu, C., Săvulescu ,D. (1996), Aritmetică – ghid pregătitor pentru elevii și absolvenții școlilor normale, Editura Paralela 45, București;

Lupu, C., Săvulescu ,D. (2006), Metodica predării în ciclul primar, Editura “Gheorghe Alexandru”, Craiova;

Neacșu, I.(1990), Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura Militară, București

Neacșu, I.,coord, (1988), Metodica predării matematicii la clasele I-IV-manual pentru liceele pedagogice, clasele XI-XII, Editura Didactică și Pedagogică, București;

Neagu, M., Mocanu, M. (2007), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași;

Nicola, I., (1996), Tratat de pedagogie școlară, Editura Didactică și Pedagogică, București;

Popescu, Neveanu, P. (1996), Dicționar de psihologie, Editura Albatros, București;

Rusu, E. (1974), Aritmetică-manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică și Pedagogică, București;

Săvulescu, D.,coord,(2006), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Gheorghe Alexandru, Craiova;

Șchiopu, U.,Verza, E. (1981), Psihologia vârstelor, Editura Didactică și Pedagogică, București;

***Curriculum Național.Ghiduri metodice pentru aplicarea programei pentru aria curriculară Matematică și Științe pentru învățământ primar, (2001)

*** Descriptori de performanță pentru învățământul primar, Ed. Pro Gnosis București, 2000;

*** Manualele de matematică pentru clasele I-IV;

*** Manualul de matematică- clasa I.