După parcurgerea bibliografiei recomandate, am structurat lucrarea în patru capitole, astfel: [308878]

INTRODUCERE

"Aportul la cultura generală a [anonimizat], generalizator, transferabil, de la un domeniu la altul." – [anonimizat], inspirarea și stimularea lor. [anonimizat] o formulă magică unică pentru motivarea elevilor. [anonimizat], [anonimizat] a [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat], dorințe, sau interese. [anonimizat].

Tema tratată în această lucrare vine să răspundă întrebărilor frecvente legate de aceste noțiuni. [anonimizat]-[anonimizat], [anonimizat], pentru că descrie o parte din metodele de măsurare a mărimilor electrice și magnetice. Importanța abordării unei astfel de teme este justificată pe de altă parte de spațiul din ce în ce mai restrâns alocat studiului efectelor electrice și magnetice în programa de fizică pentru gimnaziu și liceu.

[anonimizat], astfel:

În capitolul I – [anonimizat] (Formula lui Coulomb; Legea Gauss; Teorema potențialului electrostatic etc.), [anonimizat].

[anonimizat] – Formalismul câmpului MAgnetic în vid asociat stării electrocinetice staționare, m-am referit la studiul câmpului magnetic creat în vid de curentul de conducție staționar. [anonimizat], cum sunt: [anonimizat], [anonimizat] – Laplace, [anonimizat].

[anonimizat] – [anonimizat], de o importanță crucială în dezvoltarea teoriei electromagnetismului clasic și într-o mulțime de aplicații practice. [anonimizat] a ei. [anonimizat], stabilindu-[anonimizat].

[anonimizat] a lucrării. Acest capitol conține două părți: prima prezintă trei lucrări de laborator și a [anonimizat] a distribuției câmpului magnetic produs de circuitele de curent continuu în vid. Prima lucrare de laborator este Verificarea legii Biot – Savart și determinarea distribuției câmpului magnetic de-a lungul axului unui mănunchi de spire circulare parcurse de curent electric. A doua lucrare este Verificarea legii Biot – Savart și determinarea distribuției câmpului magnetic de-a lungul axului unui solenoid parcurs de curent electric. A treia lucrare este Determinarea componentei orizontale a câmpului magnetic terestru cu ajutorul busolei de tangentă.

CAPITOLUL I

Formalismul câmpului electrostatic în vid

1.1 Starea de electrizare. Sarcina electrică. Câmpul electric

1.1.1 Definiția stării de electrizare

Studiul fenomenelor electrice și magnetice este mult mai dificil decât studiul celorlalte fenomene fizice din mecanică, căldură, optică, acustică etc., deoarece ființa umană nu este înzestrată cu simțuri speciale care permit perceperea directă a fenomenelor care formează obiectul electromagnetismului. Numai undele electromagnetice (din domeniul vizibil) sunt direct perceptibile de ființa umană. Din această cauză studiul fenomenelor electrice și magnetice presupune (și se bazează pe) cunoașterea forțelor, momentelor și a reacțiilor chimice la care sunt supuse corpurile în regiunile spațiului unde există stări electrice sau magnetice.

a) Astfel, introducerea "stării de electrizare" s-a făcut în urma unui experiment în care se analizau forțele de interacție dintre bobița de soc a unui pendul electrostatic și un baston de sticlă. În cazul apropierii bastonului de sticlă de bobița de soc a pendulului, bobița rămâne nemișcată, ceea ce înseamnă că forțele gravitaționale care acționează în acest caz sunt atât de slabe încât pendulul nu permite punerea în evidență a atracției dintre bastonul de sticlă și bobița pendulului. Apropiind același baston de sticlă, după ce în prealabil a fost frecat cu o bucată de postav, bobița de soc este atrasă. În urma frecării, bastonul de sticlă este în "stare electrizată", caracterizată de faptul că poartă ceea ce numim o sarcină electrică. Prin stare fizică se înțelege ansamblul proprietăților unui corp (sistem fizic, în general) care se găsește în condiții bine definite, proprietățile lui fiind caracterizate cu ajutorul mărimilor fizice.

b) Mărimea fizică numită sarcină electrică are asemenea proprietăți încât se poate manifesta atât prin forțe de atracție (înainte de a atinge bobița cu bastonul), cât și prin forțe de respingere (după atingere). Forțele de acest gen, care în mod curent sunt de multe miliarde de ori mai intense decât cele gravitaționale, se numesc forțe electrice și ele reprezintă măsura interacțiunii dintre corpurile în stare de electrizare și sarcina electrică. Deci, sarcina electrică q este mărimea fizică primitivă (introdusă direct pe cale experimentală), care caracterizează starea de încărcare electrică a unui corp. Corpurile aduse în "stare de electrizare" interacționează între ele prin forțe și momente electrice suplimentare numite acțiuni ponderomotoare. Prezența acestor forțe ne conduce la întrebarea firească: cum se transmit aceste interacțiuni? Transmiterea interacțiunii dintre corpurile electrizate se face prin intermediul unui câmp fizic.

c) Câmpul fizic de forțe, produs de corpurile aflate în stare de electrizare se numește câmp electric. În acest context, sarcina electrică capătă și sensul de sursă a unui câmp fizic, câmpul electric. Într-o regiune oarecare din spațiu există deci câmp electric dacă, aducând în acea regiune, în repaus, un mic corp electrizat, asupra acestuia se exercită o forță condiționată de starea lui de electrizare. Experiența arată că există și alte procedee în afară de electrizarea prin frecare în urma cărora, asupra corpurilor să se exercite acțiuni ponderomotoare, când sunt aduse în repaus, în vecinătatea unor corpuri electrizate prin frecare (adică în câmpul electric al acestor corpuri). Toate aceste procedee se numesc procedee de electrizare, iar corpurile se numesc electrizate și produc la rândul lor câmp electric. Asemenea procedee sunt electrizarea prin contact și prin influență.

d) Conductori și izolatori. Un corp electrizat prin frecare își poate păstra starea de electrizare un timp îndelungat sau dimpotrivă o poate pierde foarte repede în funcție de natura mediului în care se găsește sau de natura corpului cu care vine în contact. Pierderea stării de electrizare se numește descărcare electrică, iar câștigarea acestei stări se numește încărcare. Materialele care aduse în contact cu un corp electrizat, conduc la descărcarea practic instantanee a acestuia se numesc conductori electrici, iar cele care nu afectează practic starea lui de electrizare se numesc izolatori electrici. Nu există practic materiale perfect izolante. Pentru izolatorii buni, timpul de descărcare este de zeci de zile, în timp ce pentru conductori, este de ordinul zecimilor și sutimilor de microsecundă. Când timpul de descărcare este de ordinul fracțiunilor de secundă, corpurile se numesc semiconductori și așa cum este deja cunoscut, ele au anumite proprietăți speciale.

e) Pentru studiul experimental al fenomenelor din electrostatică, pe lângă pendulul electric se mai folosesc electroscopul și corpul de probă. Prin corp de probă se înțelege un corp, electrizat suficient de slab (pentru a nu modifica starea de electrizare a corpurilor din jur, respectiv câmpul electric în care este introdus) și de dimensiuni foarte mici pentru a putea permite explorarea unor regiuni oricât de mici din spațiu. Starea de electrizare a unui corp de probă menținut izolat electric de orice alte corpuri se consideră invariabilă dacă în condiții exterioare egale, asupra lui se exercită forțe electrice egale, oricare ar fi șirul stărilor intermediare. De regulă, starea de încărcare cu sarcină a corpului de probă este caracterizată prin parametrul η, parametru care scade atunci când corpul se descarcă și crește când corpul de probă se încarcă (de exemplu prin contact cu alte corpuri electrizate).

1.1.2 Sarcina electrică. Definiție. Măsură. Proprietăți

Se numește stare de încărcare electrică acea stare de electrizare care este complet caracterizată de sarcina electrică q. Pentru ca această definiție să aibă sens trebuie ca mărimea q să poată fi definită precis și deci măsurată pentru un corp oarecare respectiv pentru o porțiune din corp și nu numai pentru un corp de probă cum s-a arătat anterior. În acest scop se consideră o regiune ΔV din spațiu (vid), în care câmpul electric este staționar (invariabil în timp) și omogen (în punctele căreia vectorul itensitate a câmpului are aceeași orientare și aceeași mărime). Practic, un câmp electrostatic omogen se poate obține între două armături apropiate ale unui condensator, legate fiecare prin fire conductoare la câte unul din polii unei mașini electrostatice. Menținând invariabilă starea de electrizare a corpurilor ce produc câmpul electric omogen (adică aici, starea electrică a armăturilor) și aducând în acest câmp în repaus, un corp electrizat oarecare, experiența arată că asupra corpului se exercită o forță electrică rezultantă , care este independentă de poziția și de orientarea lui (în elementul de volum ΔV), are direcția vectorului câmp exterior: și este proporțională cu aceasta. Factorul de proporționalitate dintre forța electrică rezultantă și vectorul câmp electric exterior depinde numai de starea de încărcare a corpului considerat și definește sarcina electrică (adevărată) a lui:

(1.1)

Pentru stări de electrizare diferite ale corpului de probă, sensul forței electrice poate să difere.

– În felul acesta s-a tras concluzia că sarcina electrică se prezintă sub două forme: sarcină pozitivă (+) și sarcină negativă (–). Sarcina este pozitivă când forța este omoparalelă cu câmpul, și este negativă atunci cînd forța este antiparalelă cu câmpul, . În același mod se poate măsura sarcina Δq a unei porțiuni mici a unui corp electrizat, detașând-o din acel corp (astfel încât să rămână mereu izolată electric), aducând-o într-un câmp electric omogen de intensitate cunoscută (măsurată în prealabil cu un corp de probă) și măsurând forța exercitată asupra ei. Se poate verifica astfel, experimental, faptul că sarcina electrică caracterizează o proprietate localizată a corpurilor în acord cu principiul localizării, implicat de concepția de acțiune din aproape în aproape și are astfel o anume repartiție spațială în cuprinsul fiecărui corp încărcat electric.

– Un corp poate fi încărcat electric local, în diferite porțiuni ale lui cu sarcini de semne opuse, astfel încât sarcina totală să fie nulă. De aceea un corp este neîncărcat electric (este în stare neutră din punct de vedere electric) numai dacă niciuna din părțile lui nu are sarcină.

– Sarcina electrică este o mărime primitivă, deoarece poate fi evaluată experimental pe baza forțelor la care este supusă din partea unui câmp electric.

– Conservarea sarcinii este o altă proprietate importantă a sarcinii electrice. Dacă se freacă două corpuri, unul se încarcă cu sarcină pozitivă, iar celălalt cu sarcină negativă, dar egală cu cea pozitivă. De regulă, producerea sau dispariția unei sarcini electrice este însoțită simultan de producerea sau dispariția, pe același corp izolat, a unei sarcini egale dar de semn contrar. Legea conservării sarcinii electrice poate fi formulată astfel: Sarcina totală a unui sistem izolat (înconjurat de materiale izolante) este constantă, cu formularea matematică echivalentă:

(1.2)

Această lege este valabilă și relativist în sensul că observatorii din diferite sisteme inerțiale, care măsoară sarcina obțin aceeași sarcină electrică, cu alte cuvinte sarcina electrică totală a unui sistem izolat (prin suprafața sistemului nu intră și nu iese materie) – este un invariant relativist. Un exemplu interesant de conservare a sarcinii electrice îl constitue crearea unui electron negativ (-e) și a unui electron pozitiv (+e) dintr-un foton de energie înaltă. Sarcina particulelor formate este zero, ca și cea a fotonului. De asemenea, procesele de dezintegrare sunt reale exemple de conservare a sarcinii electrice și a masei:

(1.3)

– Cuantificarea sarcinii. Studiul microfizic a permis să se constate că cele mai mici corpuri cunoscute, particulele elementare cu masă de repaus, pot fi încărcate pozitiv (pozitronul, protonul, mezonii pozitivi etc.) sau negativ (electronul, antiprotonul, mezonii negativi) sau pot fi neutre din punct de vedere electric (neutrino, neutronul, mezonii neutri etc.). Starea de încărcare electrică este deci proprie microparticulelor (cu masă de repaus), iar sarcina electrică e o mărime de stare a lor, asemănătoare masei, momentului cinetic de spin, momentului magnetic de spin etc. Proprietățile microparticulelor sunt cuantificate, adică sunt susceptibile de a fi caracterizate prin mărimi având un spectru discret de valori. Experiența arată că sarcina tuturor particulelor elementare încărcate este în modul, aceeași și egală (până la semn) cu e = 1,60219 · 10-19 C (Coulombi), adică spectrul de sarcină al microparticulelor este restrâns la 3 valori: +e, 0, -e. Sarcina electronului, -e, este numită sarcină electrică elementară și valoarea ei a fost determinată în experiențe de mare finețe cu o precizie de 10-20 e. Cele mai simple asociații stabile de microparticule intrând în structura elementelor chimice sunt atomii; alcătuiți dintr-un nucleu central, pozitiv (compus din protoni și neutroni) și electroni periferici (negativi), care se rotesc pe orbite în jurul nucleului, sarcina negativă a electronilor compensând exact sarcina pozitivă a nucleului. În stare neelectrizată, corpurile macroscopice sunt alcătuite din asociații de atomi caracteristice substanțelor, bine definite și numite molecule. Starea macroscopică de încărcare electrică se datorează excesului sau lipsei locale de purtători de sarcină liberi (care se pot deplasa oricât în interiorul corpului) și care pot fi: electroni liberi (în special în metale), ioni pozitivi (fracțiuni de atomi sau molecule cu un deficit de electroni periferici), ioni negativi (fracțiuni de atomi sau molecule cu exces de electroni periferici). Încărcarea și descărcarea electrică a corpurilor macroscopice corespunde așadar unui schimb de purtători de sarcină liberi. Sarcina netă pozitivă cu care este încărcat un corp macroscopic va fi q = ne, iar sarcina electrică negativă este q = -ne. Conductoarele se caracterizează printr-un număr mare de purtători de sarcină liberi cu mobilitate mare, pe când izolatorii se caracterizează printr-un număr mic de purtători de sarcină liberi. În afara purtătorilor liberi de sarcină, corpurile macroscopice conțin și particule legate în atomi sau molecule, a căror structură spațială se poate modifica, determinând apariția la scară macroscopică a unui alt tip de stare de electrizare numită stare de polarizare electrică.

Există deci două clase de stări de electrizare ale corpurilor macroscopice și două clase de mărimi primitive asociate lor și anume:

1) starea de încărcare electrică cu sarcină, caracterizată de sarcina electrică q;

2) starea de polarizare electrică caracterizată prin momentul electric

1.1.3 Distribuții continui de sarcină

La scară microscopică, așa cum a rezultat din proprietățile sarcinii electrice, sarcina este discontinuă (cuantificată) în spațiu. La scară macroscopică sarcina electrică se distribue în spațiu în mod continuu, în sensul că sarcina electronului este prea mică pentru a evalua variațiile de la un punct la altul a sarcinii macroscopice, induse de prezența lui. Pentru studiul distribuțiilor macroscopice de sarcină continuă se introduce noțiunea, utilă, de densitate de sarcină.

1.1.3.1 Densitatea liniară de sarcină

Când corpul macroscopic este caracterizat în chip dominant de o singură dimensiune (sarcină repartizată pe fire subțiri, foarte lungi, în mod neuniform), Fig. 1.1, starea de încărcare electrică a lui se descrie prin intermediul densității liniare de sarcină definită prin relația:

(1.4)

Densitatea liniară de sarcină reprezintă limita raportului dintre sarcina Δq, distribuită pe elementul de lungime Δl, când acesta tinde către zero și când limita există.

Se impun niște precizări: în sens matematic, Δl → 0 sugerează faptul că limita se referă la calculul raportului (1.4), pentru un element de lungime Δl foarte mic centrat pe punctul P(x,y,z); Δl trebuie să fie însă suficient de mare pentru a conține un număr mare de sarcini elementare discrete, astfel încât Δq conținută pe el să poată fi considerată continuă; pe de altă parte însă, Δl trebuie să fie suficient de mic pentru a putea considera sarcina totală q constantă pe firul de lungime L. Densitatea λ definită de ecuația (1.4) este o funcție scalară care depinde de punct, deci de coordonatele spațiale, (x,y,z). Făcând însumarea sarcinilor elementare dq = λ(x,y,z)dl de pe toată lungimea L a firului, se obține sarcina totală:

(1.5)

De aceea se impune precizarea ca Δl să fie foarte mic astfel încât sarcina totală să rămână constantă (dacă Δl ar fi mai mare atunci când îl înmulțim cu un λ definit într-un punct, ce poate fi mult diferit de λ din punctele învecinate și însumând aceste produse se poate obține o sarcină mai mare decât sarcina q a corpului). Expresia λ = nu are decât un sens matematic comod în calcule, pe când sensul fizic corect este cel dat în definiție. Relația (1.5) sugerează faptul că sarcina q a corpului depinde de legea de variație a densității de sarcină liniară λ(x,y,z), cât și de forma corpului, ca urmare acestea trebuie cunoscute atunci când se dorește calculul sarcinii q. În cazul în care sarcina q este distribuită uniform, λ nu mai depinde de punct și relația (1.5) permite calculul sarcinii q prin simplul produs dintre densitatea de sarcina și lungimea corpului.

1.1.3.2 Densitatea superficială de sarcină

Se consideră o suprafață oarecare, S, încărcată cu sarcina electrică q. Riguros vorbind, un strat de sarcini electrice situat pe o suprafață ocupă un volum bine definit, dat fiind natura corpusculară a sarcinilor, deci nu poate fi concentrat pe o suprafață infinit subțire (din punct de vedere geometric). În cazul când grosimea acestui strat este mult mai mică în raport cu distanțele la punctele din câmpul electrostatic în care se studiază diversele fenomene, stratul de sarcini poate fi considerat superficial (în sens geometric), în același sens în care și sarcinile sunt considerate punctiforme. Starea de încărcare a suprafeței corpului electrizat este caracterizată de densitatea superficială de sarcină σ. În cazul în care sarcina q ar fi distribuită pe suprafața S, densitatea de sarcină superficială reprezintă sarcina pe unitatea de arie și se măsoară în C/m2. Dacă sarcina electrică nu este distribuită uniform pe suprafața dată S, atunci aceasta se împarte în elemente de suprafață Δs, Fig. 1.2, care trebuie să îndeplinească aceleași condiții ca și elementul de lungime Δl. În acest caz, densitatea superficială de sarcină se definește prin relația:

(1.6)

unde Δq este sarcina de pe elementul de suprafață Δs centrat pe punctul P(x,y,z). Deci, σ este funcție de punct. În relația (1.6), nu are decât un sens matematic, comod în calcule, sensul fizic al său este cel dat în definiție. Dacă se cunoaște σ(x,y,z), cât și forma suprafeței S, atunci sarcina q de pe suprafața S a corpului macroscopic se poate calcula cu ajutorul integralei de suprafață:

(1.7)

1.1.3.3 Densitatea volumică de sarcină

Starea de încărcare a unui corp de volum V în care este distribuită uniform sarcina q este descrisă de densitatea volumică de sarcină ρ, care reprezintă sarcina unității de volum din acel corp și se măsoară în C/m3. În cazul în care sarcina q este distribuită neuniform în tot volumul V al corpului, Fig. 1.3, acesta se împarte în elemente de volum mici, Δv îndeplinind aceleași condiții ca Δl și Δs (adică să fie suficient de mare pentru a asigura continuitatea sarcinii, dar suficient de mic pentru ca sarcina q de pe întregul corp să rămână constantă în volumul V). Elementul de volum Δv conține sarcina elementară Δq și atunci densitatea volumică de sarcină se definește prin:

(1.8)

Sarcina q fiind distribuită neuniform, Δq variază de la punct la punct, ca atare ρ este funcție de punct: ρ(x,y,z). Și aiciare aceeași semnificație ca și . Cunoscând ρ(x,y,z) și forma corpului, sarcina totală q poate fi calculată cu ajutorul integralei de volum:

(1.9)

În cazul distribuțiilor uniforme ρ este constantă, nu mai depinde de punct și relația (1.9) permite calcularea sarcinii q dacă se cunoaște forma corpului.

Observație: Cu ajutorul densităților de sarcină se poate exprima un element de sarcină dq, care poate fi considerat ca o sarcină punctiformă și apelând la expresiile intensității câmpului și a potențialului unei sarcini punctiforme și la principiul superpoziției se pot calcula aceste mărimi pentru orice distribuție continuă de sarcină. Elementul de sarcină dq va conține după tipul distribuției de sarcină un element de lungime dl, de suprafață ds sau de volum dv, care vor intra în integralele de linie, de suprafață, de volum cu care se calculează mărimile câmpului. Pentru ușurarea calculelor elementele de linie, de suprafață, de volum, trebuie exprimate într-un sistem de coordonate, corespunzător simetriei corpului electrizat. Aceste elemente geometrice evident se vor exprima diferit de la un sistem de coordonate la altul, și este foarte util să fie cunoscut modul în care se transformă ele trecând de la un sistem de coordonate la altul. Mai mult decât atât, operatorii diferențiali care vor fi folosiți în tratarea electromagnetismului, au forme diferite în funcție de sistemul de coordonate în care sunt scriși.

1.1.4 Interacții electrostatice. Legea lui Coulomb

Introducerea mărimilor ce caracterizează câmpul electrostatic se poate face numai după ce este cunoscută forța cu care câmpul respectiv acționează asupra propriei cauze. În acest sens, se impune mai întâi studiul interacției dintre sarcinile electrice, în esență "Teorema (legea) lui Coulomb", care exprimă forța de interacție dintre sarcinile electrice punctiforme imobile.

1.1.4.1 Legea lui Coulomb

Charles Augustin de Coulomb (1785) a măsurat, cu ajutorul unei balanțe de torsiune de tip Cavendish, reprezentată sistematic în Fig.1.4, forțele care se exercită între două corpuri de probă punctiforme încărcate cu sarcini electrice. Se impune precizarea că aceste corpuri de probă sunt considerate punctiforme când distanțele dintre ele sunt mari în raport cu dimensiunile lor liniare (dar mai riguros ele sunt considerate punctiforme dacă dimensiunile lor sunt mai mici decât eroarea care afectează măsurarea distanței dintre ele).

Cadrul electrostaticii este fixat prin condițiile:

a) sarcini punctiforme;

b) imobilitatea sarcinilor în raport cu sistemul laboratorului.

Variind valorile absolute ale sarcinilor și semnele lor, precum și distanțele dintre ele, el a stabilit dependența modulului forței de interacție dintre două sarcini în funcție de aceste mărimi. Formula stabilită pe această cale de Coulomb, numită și Legea lui Coulomb, se poate enunța astfel:

Forța exercitată în vid de un corp punctiform încărcat cu sarcina electrică q1, asupra unui corp punctiform încărcat cu sarcina q2 este direct proporțio-nală cu produsul sarcinilor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele, fiind orientată după dreapta care le unește:

(1.10)

În relația (1.10) versorul este orientat de la sarcina 1 către sar-cina 2, Fig. 1.5, iar mărimea k0 este o constantă pozitivă care depinde de sistemul de unități de măsură. Constanta k0 este o constantă universală pentru vid, deoarece experiența arată că la unități date celorlalte mărimi fizice, care intervin în relația (1.10), ea poate avea o singură valoare, adică nu depinde de nicio altă mărime sau proprietate (de exemplu nu depinde de materi-alul din care sunt confecționate corpurile de probă). Pentru vid, în SI, ea are valoarea , unde ε0 este permitivitatea vidului (sau constanta electrică), a cărei valoare depinde de sistemul de unități de măsură ales și are valoarea:

ε0 = 8,8538 · 10-12 F/m.

Cu aceasta, se mai poate scrie și în forma:

(1.11)

În cadrul teoriei lui Maxwell, relația care exprimă legea lui Coulomb reprezintă o teoremă care rezultă din alte relații mai generale și în principal din legea fluxului electric (vezi capitolul următor). Ea nu mai este valabilă în cazul stărilor variabile în timp, ca de exemplu în cazul a două particule încărcate, în mișcare cu viteză suficient de mare. Fiind o "lege" specifică concepției de acțiune la distanță, relația lui Coulomb nici nu poate fi generalizată în cazul mișcării sarcinilor, fără a i se aduce modificări esențiale. De aceea va fi numită corect "Formula lui Coulomb". Revenind la Fig. 1.5, forța , cu care sarcina punctiformă q2 acționează asupra sarcinii punctiforme q1 este:

(1.12)

Se observă că: = – , în deplin acord cu principiul al treilea al dinamicii (Newton). În general, Formula lui Coulomb se poate scrie:

(1.13)

în care este vectorul de poziție al sarcinii q2 în raport cu sarcina q1. Din (1.13) se vede că atunci când:

q1 q2 > 0 (forță de respingere);

q1 q2 < 0 (forță de atracție).

Până acum s-a făcut referire la forța de interacție dintre două sarcini punctiforme imobile plasate în vid, adică într-un spațiu liber în care nu este posibilă niciun fel de influență străină asupra celor două sarcini punctiforme care interacționează. În cazul în care cele două sarcini q1 și q2 se găsesc într-un mediu liniar, omogen și izotrop, Formula lui Coulomb se scrie astfel:

(1.14)

în care k ≠ k0, respectiv ε ≠ ε0 și care arată influența mediului respectiv asupra interacțiunii dintre cele două sarcini. Constanta ε se numește permitivitatea absolută a

mediului respectiv. Raportul se numește permitivitatea relativă a mediului și este o constantă adimen-sională, arătând de câte ori forța de interacție dintre sarcinile electrice, plasate în vid este mai mare decât forța de interacție dintre aceleași sarcini, situate la aceeași distanță în mediul respectiv. Măsurătorile arată că pentru aerul uscat, în condiții normale εr = 1,00058, deci practic interacția dintre sarcinile plasate în aer este aceeași cu cea dintre ele când se află în vid. Un alt mediu însă, are o mare importanță asupra interacției electrostatice.

Valorile permitivității electrice relative pentru câteva materiale sunt date în Tabelul 1.1.

1.1.4.2 Principiul superpoziției

Anterior am arătat că principiul al treilea al dinamicii este valabil în cazul interacțiunilor existente în sisteme de sarcini la echilibru electrostatic. S-a pus atunci problema extinderii principiului superpoziției (sau principiul suprapunerii acțiunii forțelor) din mecanică și la cazul sistemelor de sarcini. Principiul superpoziției în mecanică afirma că: Dacă un punct material se găsește în prezența simultană a mai multor sisteme fizice S1, S2, S3,…, Sn, asupra lui se exercită o forță egală cu suma vectorială a forțelor pe care le-ar exercita asupra punctului material fiecare dintre sistemele fizice S1,…, Sn , dacă s-ar găsi singur în aceeași stare în prezența lui.

(1.15)

a) Principiul superpoziției în cazul unui sistem de sarcini punctiforme

Se consideră sistemul de sarcini punctiforme q1, q2, q3,…, qn, Fig. 1.6, la echilibru electrostatic, în aproprierea căruia se aduce foarte încet sarcina punctiformă q0, pentru a elimina orice efect legat de deplasarea ei. Conform legii Coulomb, fiecare sarcină din sistem va acționa asupra sarcinii q0 cu o forță dată de relația:

(1.16)

iar sistemul în întregime va acționa asupra lui q0 cu suma vectorială a acestor forțe. Deci forța cu care un sistem de sarcini puncti-forme (q1,…, qn) acțio-nează asupra sarcinii punctiforme q0 este egală cu suma vectorială a forțelor individuale care se exercită asupra sarcinii q0 din partea fiecărei sarcini din sistem:

(1.17)

Relația (1.17) poate fi interpretată în sensul că forța electrică de interacție dintre două sarcini punctuale este independentă de celelalte forțe electrice.

b) Principiul superpoziției în cazul distribuțiilor continui de sarcină

Într-un sistem format din două corpuri electrizate în care sarcina este distribuită continuu, Fig. 1.7, se poate exprima o forță elementară între două elemente de sarcină dq1 și dq2 aflate la distanța unul față de celălalt, prin expresia:

(1.18)

Între cele două distribuții finite de sarcină repartizate în corpurile având volumele V1 și V2 se va exercita forța:

(1.19)

Evident, integralele pot fi evaluate dacă se cunosc densitățile de sarcină volumică și și forma fiecărui corp încărcat cu sarcină electrică.

1.1.5 Câmpul electrostatic. Intensitatea câmpului electric Coulombian

1.1.5.1 Câmpul electrostatic, definiție

Câmpul electric Coulombian este câmpul electrostatic asociat repartițiilor de sarcini electrice invariabile, care se calculează în baza formulei lui Coulomb. Câmpul fizic, având ca sursă sarcina electrică în echilibru static, este câmpul electrostatic. Pentru caracterizarea câmpului electric se poate folosi oricare dintre manifestările sale, s-a convenit însă să se caracterizeze câmpul electric prin forțele electrice, cu care acționează asupra corpurilor încărcate imobile, introduse în câmp. În acest sens se utilizează un mic corp solid, conductor (metalic sau metalizat), numit corp de probă sau sondă, care trebuie să satisfacă anumite condiții și anume:

(i) – să fie încărcat cu sarcină electrică invariabilă în timp astfel încât în condiții exterioare egale, asupra lui să se exercite forțe de natură electrică egale (pentru satisfacerea acestei condiții experiența arată că starea lui fizico-chimică trebuie să nu se schimbe și el trebuie să fie înconjurat de un dielectric perfect și de vid sau numai de vid, cu alte cuvinte el trebuie să fie perfect izolat din punct de vedere electric față de exterior);

(ii) – starea corpului de probă trebuie să fie astfel încât prezența lui să nu modifice sensibil starea electrică inițială a sistemului care este studiat (în primul rând să nu modifice câmpul electric de studiat). Această condiție cere ca aceste corpuri de probă să fie cât mai mici posibil. Respectând aceste condiții, experimental se constată că asupra a două corpuri de probă având sarcinile q1 și q2 aduse în același punct al unui câmp electric se exercită forțele și care verifică relația:

(1.20)

Tot experimental se constată că un același corp de probă cu sarcina q plasat în două puncte diferite P și P' este acționat de două forțe diferite F și F' astfel încât:

(1.21)

unde E (respectiv E') este o o mărime care nu mai depinde de sarcina corpului de probă, ci caracterizează câmpul în fiecare punct al său. Din acest experiment rezultă că putem caracteriza câmpul electric prin intermediul unei mărimi dependentă de punct pe care o vom numi intensitatea câmpului electric definită astfel: Intensitatea câmpului electric este mărimea fizică vectorială funcție de punct, numeric egală cu raportul dintre forța electrică , cu care câmpul acționează asupra unui corp de probă imobil încărcat cu sarcină pozitivă, plasat în câmpul respectiv și valoarea q a sarcinii electrice a corpului de probă:

(1.22)

Dacă se cunoaște intensitatea câmpului electric , atunci forța pe care aceasta o exercită asupra unei sarcini punctuale q se exprimă prin:

(1.23)

Relația (1.23) este evident și o consecință imediată a relațiilor (1.20) și (1.21), arătând că forța electrică exercitată asupra unui corp de probă este proporțională cu sarcina q a corpului de probă și cu mărimea vectorială , care reprezintă intensitatea câmpului electric. Așa cum se constata la studiul legii Coulumb, principiul acțiunii și reacțiunii este valabil și în cazul interacțiunii dintre sarcinile electrice, deci și sarcina q de pe corpul de probă este o sursă a unui câmp electric și ca atare reacționează asupra surselor câmpului inițial, în consecință relația de definiție a intensității (relația 1.22) este supusă ambiguității. O definiție mai corectă a intensității câmpului electric se poate da prin intermediul relației:

(1.24)

ceea ce înseamnă că dacă într-un același punct al unei regiuni în care există câmpul electric de intensitate se introduc cu ajutorul corpului de probă sarcini din ce în ce mai mici, atunci asupra acestora se vor exercita forțe din ce în ce mai slabe, iar raportul mărimii dintre forță și sarcina respectivă va varia apropiindu-se de o valoare limită bine definită care este tocmai intensitatea câmpului electric (mărime care caracterizează așadar numai câmpul creat de sursa sa). Definiția este valabilă pentru cazul sarcinii distribuite continuu, adică la scară macroscopică, pentru că la scară microscopică sarcina este cuantificată, având o valoare limită nenulă. În Sistemul Internațional unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului electric este V/m (volt pe metru).

1.1.5.2 Intensitatea câmpului electric al unei sarcini punctiforme

Revenind la intensitatea câmpului electric, în cazul unei sarcini punctiforme Q, Fig.1.8, apelând la legea Coulomb și la relația (1.22) se obține:

(1.25)

Intensitatea câmpului electric creat de o sarcină punctiformă într-un punct este direct proporțională cu sarcina generatoare, invers proporțională cu pătratul distanței de la sarcina generatoare la punctul în care se calculează câmpul și este orientată radial dinspre sarcina pozitivă spre exterior și dinspre exterior spre sarcina negativă, Fig. 1.9.

Fig. 1.9 Vectorul intensitate a câmpului electric al unei sarcini punctiforme

Exemplu: Sarcina generatoare Q a cărei poziție față de originea sistemului de coordonate este dată de vectorul de poziție , creează în punctul P de vector de poziție , Fig. 1.10, câmpul electric de intensitate:

unde: (1.26)

Deci, componentele câmpului electric sunt:

(1.27)

1.1.5.3 Principiul superpoziției câmpurilor coulombiene

În cazul sistemului de n sarcini punctiforme q1…qn, Fig. 1.11, s-a constatat că este valabil principiul supra-punerii acțiunii forțelor electrice scriind relația:

(1.28)

Intensitatea câmpului electric creat de acest sistem de sarcini într-un punct va fi:

(1.29)

adică este egală cu suma vectorială a intensităților câmpurilor create de fiecare sarcină din sistem în punctul respectiv.

În baza aceluiași principiu al superpoziției se poate calcula intensitatea câmpului electric produs de distribuțiile continui de sarcină. Considerând un element de sarcină dq din corpul respectiv, Fig. 1.12, acesta va crea într-un punct P(x,y,z) un câmp elementar a cărei intensitate este:

(1.30)

și conform principiului superpoziției prin trecere la limită se obține intensitatea câmpului creat de întreaga distribuție de sarcină, cu ajutorul integralei:

(1.31)

a) În cazul unei distribuții liniare de sarcină, Fig. 1.1, dq = λ(x0, y0, z0)dl și apelând la principiul superpoziției, intensitatea câmpului electric se va obține calculând integrala de linie:

(1.32)

b) Pentru o distribuție superficială de sarcină, Fig. 1.2, dq = σ(x0, y0, z0)dS și intensita-tea câmpului electric se va obține calculând integrala de suprafață:

(1.33)

c) Pentru o distribuție volumică de sarcină, Fig. 1.3, dq = ρ(x0, y0, z0)dV, deci intensita-tea câmpului electric va fi dată de integrala de volum:

(1.34)

În cazul general al unui sistem de corpuri încărcate [sarcini punctiforme și corpuri pe care sarcina este distribuită în mod continuu (distribuție liniară, de suprafață, de volum)], intensitatea câmpului electric creat în vid este dată de relația:

(1.35)

Evaluarea integralelor din (1.35) necesită folosirea unui sistem de coordonate adecvat, impus de simetria corpului respectiv. În aceste condiții relațiile generale pentru elemen-tele de lungime, de suprafață, de volum exprimate în funcție de un sistem de coordonate curbilinii triortogonale, își găsesc pe deplin utilitatea.

Exemplu: Să se calculeze intensitatea câmpului electric creat de o sarcină q distribuită pe suprafața unui disc de rază a, într-un punct P de pe axa de simetrie a discului, aflat la înălțimea h față de planul acestuia în cazurile: a) sarcina q este distribuită uniform cu densitatea superficială σ; b) sarcina este distribuită neuniform cu densitatea superficială σr = kr, unde k este o constantă, iar r este distanța de la centrul discului către periferia lui.

a) (1.36)

(1.37)

Datorită simetriei se observă că Ex = Ey = 0 (sau ținând seama de faptul că la integrarea după φ apar mediile lui sinφ și cosφ pe o perioadă, care sunt nule), ca urmare:

(1.38)

Deci:

(1.39)

pentru

pentru

pentru (identic cu cel al unei suprafețe plane, infinite, încărcată uniform cu σ)

pentru

Într-adevăr, dintr-un punct foarte depărtat de suprafața discului acesta se vede ca o sarcină punctiformă și deci câmpul are aceeași formă ca și cel al unei sarcini punctiforme.

b) În cazul distribuției de sarcină, descrisă de σr = kr, folosind aceeași figură și introducând în relația (1.38) σr = kr se obține:

(1.40)

care după integrare prin părți conduce la:

(1.41)

Dacă sarcina totală de pe disc este q, atunci constanta k poate fi determinată astfel:

(1.42)

1.1.5.4 Linii de câmp. Tub de linii de câmp. Spectre electrice

O imagine grafică a câmpului electric se obține prin intermediul liniilor de câmp definite ca fiind curbele tangente în orice punct vectorului intensitate (sau înfășurătoa-rea direcțiilor vectorului câmp electric). Totalitatea liniilor de câmp ocupă întregul spațiu din jurul sistemului de corpuri electrizate, spațiu mărginit de o suprafață complicată ca formă, care dă o imagine spațială a câmpului. În mod curent însă se desenează numai liniile de câmp cuprinse într-un plan ce trece prin sursa câmpului, Fig. 1.14, desenul alcătuindu-se astfel încât pe fiecare unitate de arie normală la liniile de câmp să se găsească un număr de linii proporțional cu valoarea absolută a intensității câmpului. În acest mod se obține spectrul liniilor de câmp ale intensității câmpului electric.

Direcția locală a liniilor de câmp ale intensității câmpului electric în vid se poate determina cu ajutorul acului electric, iar spectrul liniilor de câmp cu ajutorul unor fibre ușoare sau cristale de gips așezate pe o placă izolantă. Liniile de câmp pot începe din orice punct și continuă până la un punct de discontinuitate. Aceasta discontinuitate are loc numai în sursele câmpului. Liniile de câmp nu se pot intersecta între ele deoarece intensitatea câmpului electric este o funcție de punct univoc determinată. Dacă s-ar intersecta două linii într-un punct ar rezulta că în același punct există doi vectori intensitate și fiecare tangent la o linie de câmp, deci așa ceva nu există, câmpul electric fiind univoc determinat în orice punct din spațiu.

Tub de linii de câmp sau tub de câmp

Regiunea din spațiu mărginită de o suprafață oarecum cilindrică formată din liniile de câmp care se sprijină pe un contur închis (regulat sau neregulat) se numește tub de linii de câmp. Fluxul se conservă de-a lungul unui tub de linii – fluxul care intră prin una din bazele tubului este egal cu fluxul care iese prin cealaltă bază, aceasta fiind consecință a legii lui Gauss.

1.2 Potențialul electrostatic al câmpului electric

Câmpul electric din jurul distribuțiilor de sarcină staționară poate fi caracterizat și de o funcție scalară numită potențial electric, care exprimă potența câmpului de a efectua un lucru mecanic. Introducerea acestei funcții scalare este foarte utilă deoarece, în primul rând simplifică mult rezolvarea unor probleme de electrostatică și în al doilea rând, prin intermediul lui se precizează o serie de coordonate geometrice ale câmpului, așa cum se va vedea în cele ce urmează. Deși potențialul electric are o semnificație fizică concretă, el poate fi definit, în sens matematic, mult mai simplu și proprietățile potențialului asociat unui câmp de vectori în general va permite o caracterizare mult mai completă a câmpului electrostatic.

1.2.1 Potențialul electrostatic coulombian al unei sarcini punctiforme

Așa cum s-a văzut în capitolul anterior, spațiul din jurul unei distribuții de sarcină invariabilă în timp este descris de câmpul vectorial (intensitate a câmpului electrostatic). Pentru a introduce potențialul electrostatic, va trebui să analizăm proprietățile câmpului vectorial și să vedem dacă el permite introducerea unui potențial. În cazul câmpului electrostatic Coulombian al unei sarcini punctiforme Q, Fig. 1.15, vec-torul câmp electric este orientat pe direcție radială și este dat de relația:

(1.43)

Fiind un câmp de tip central, circulația lui între două puncte P1 și P2 nu trebuie să depindă de curba pe care se face integrarea (de drum), ci numai de capetele drumului.

Într-adevăr, considerând punctele și în câmpul electrostatic al sarcinii punctiforme Q, Fig. 1.15, se arată că circulațiile câmpului electric între punctele P1 și P2 pe cele două drumuri:

, respectiv (1.44)

sunt egale.

Orice strat sferic cuprins între r și r+dr va intersecta amele curbe C1 și C2.

Circulația elementară a vectorului câmp electric pe ambele drumuri este aceeași:

(C1)

(C2) (1.45)

De observat că circulațiile finite (1.44) vor fi egale:

(1.46)

Considerând o curbă închisă C = C1+C2, atunci:

(1.47)

Relația (1.46) arată că vectorul câmp electric al câmpului electrostatic al unei sarcini punctiforme are circulația între două puncte P1 și P2 independente de drum și respectiv relația (1.47) arată că circulația lui pe o curbă închisă este nulă, adică satisfac pe deplin proprietățile caracteristice unui câmp conservativ sau câmp potențial. Rezultă că vectorul câmp electric este un câmp potențial, adică există o funcție scalară pe care o vom nota cu V, numită potențial electric Coulombian a cărui gradient este egal cu . Dacă analizăm expresia lui observăm că:

(1.48)

sau

(1.49)

Diferențiala funcției scalare V în raport cu vectorul deplasare este dată de relația:

(1.50)

Prin integrare în lungul unei curbe arbitrare de la un punct oarecare la un punct curent , se obține expresia potențialului în funcție de câmp:

(1.51)

Evident în cazul câmpului Coulombian al unui corp punctiform încărcat cu sarcina Q și plasat în vid, pentru care intensitatea câmpului electric într-un punct aflat la distanța r de sarcina generatoare este observăm că și atunci:

(1.52)

Deci, potențialul electric al unei sarcini punctiforme este dat de:

(1.53)

Pe de altă parte, folosind relația de definiție a potențialului, ecuația (1.51) și punând condiția ca potențialul să fie zero la infinit, se obține aceeași expresie pentru potențialul electric al unei sarcini punctiforme:

(1.54)

Relația 1.54 arată că potențialul creat de un mic corp încărcat cu sarcina electrică Q, într-un punct aflat la distanța r de el, este direct proporțional cu sarcina acestuia și invers proporțional cu distanța de la sarcina generatoare la punctul respectiv.

1.2.1.1 Principiul superpoziției. Expresia generală a potențialului Coulombian

Dacă se consideră câmpul electrostatic în vid al unui sistem de n sarcini, care ocupă un volum finit din spațiu, Fig. 1.16, intensitatea câmpului creat de acest sistem într-un punct este, conform principiului super-poziției:

(1.55)

unde:

Dar în baza relației: intensitatea câmpului electrostatic creat de sistemul de sarcini în punctul P se poate scrie:

(1.56)

unde este potențialul electric creat de sarcina qi la distanța ri față de ea.

Operatorul gradient este un operator liniar, ca urmare:

(1.57)

Atunci: și (1.58)

Potențialul câmpului electric al unui sistem de sarcini punctiforme într-un punct este egal cu suma algebrică a potențialelor create de fiecare sarcină din sistem în punctul respectiv.

În acest raționament s-a păstrat convenția făcută cu privire la constanta aditivă pentru fiecare potențial Vi și anume presupunerea că această constantă este nulă la infinit.

În baza principiului superpoziției în cazul distribuțiilor de sarcină continui, potențialul se va scrie astfel:

a) (1.59)

pentru o distribuție volumică de sarcină descrisă de

b) (1.60)

pentru o distribuție superficială de sarcină descrisă de

c) (1.61)

pentru o distribuție liniară de sarcină descrisă de

În general, pentru un sistem de corpuri încărcate electric în care există sarcini discrete repartizate punctual qi ca și sarcină distribuită continuu cu densitatea de sarcină liniară , de suprafață , de volum , expresia potențialului se obține prin trecere la limită și însumare:

(1.62)

expresii valabile numai atâta timp cât funcționează condiția ca potențialul să fie nul la infinit .

1.2.1.2 Câmpul și potențialul electric create de o distribuție continuă de sarcină descrisă de densitatea volumică ρ repartizată uniform într-o sferă de rază a

Potențialul creat de această distribuție într-un punct P aflat la distanța h față de centrul distribuției, Fig. 1.17, se va calcula folosind principiul superpoziției.

Elementul de volum conține sarcina

deci va crea în punctul P potențialul elementar:

(1)

În această ecuație modulul vectorului de poziție R este:

.

Cu aceasta, potențialul elec-tric creat de distribuția de sarcină în punctul P se va obține prin efectuarea integralei triple (de volum):

(2)

unde:

(3)

Explicitarea integralei I(r) se face ținând seama de relația dintre r și h:

a) Dacă P este în exteriorul sferei (h > a > r) (4)

b) Dacă P se află în interiorul sferei există două situații și anume:

P se află deasupra elementului de volum (h > r)

P se află sub elementul de volum (h < r)

Cu discuția integralei I(r) din (4) rezultă:

(5)

ca și când sarcina totală ar fi concentrată în centrul sferei.

(6)

Pe suprafața sferei (h = a), potențialul este continuu (Vext = Vint la r = a).

Dependența potențialului creat de această distribuție de sarcină, de distanța de la centrul sferei este arătată în Fig. 1.18 a).

Cunoscând potențialul se poate determina intensitatea câmpului electric în exteriorul și interiorul distribuției de sarcină, apelând la relația .

Pentru h = a, , .

Dependența intensității câmpului electric de distanța de la centrul sferei este arătată în Fig. 1.18 b).

1.2.2 Semnificația fizică a potențialului

Considerând o sarcină punctiformă q0, care se mișcă fără accelerație între punctele P1 și P2 din regiunea unde se află câmpul electrostaticFig. 1.19, lucrul mecanic efectuat la deplasarea sarcinii de probă q0 din punctul P1 în punctul P2 este egal cu diferența energiilor potențiale pe care le are sarcina q0 în cele două puncte. Dacă lucrul me-canic este efectuat de forțele câmpului, atunci energia potențială a sar-cinii în punctul final este mai mică decât energia potențială a sarcinii în punctul inițial. În cazul în care lucrul mecanic este efectuat de către o forță exterioară, atunci energia potențială a sarcinii în punctul final este mai mare decât energia potențială în punctul inițial. Se va considera că sarcina q0 se deplasează uniform și foarte încet, între punctele P1 și P2 sub acțiunea unei forțe exterioare: împotriva câmpului electrostatic (s-a considerat că , astfel încât viteza să fie constantă și energia cinetică să se conserve). Lucrul mecanic total efectuat de forța exterioară pentru a deplasa sarcina q0 din punctul P1 în punctul P2 este:

(1.63)

Deci: (1.64)

raportul dintre lucrul mecanic efectuat de forța exterioară pentru deplasarea sarcinii q0 între cele două puncte P1 și P2 este egal cu (–) circulația câmpului electric între cele două puncte, adică este egal cu diferența de potențial dintre cele două puncte. Ca urmare, lucrul mecanic efectuat de forța exterioară la deplasarea unității de sarcină între cele două puncte este chiar diferența de potențial ΔV = V(P2) – V(P1) între cele două puncte:

(1.65)

Ceea ce se poate măsura și defini exact este numai diferența de potențial. Atunci potențialul într-un punct P2 este:

(1.66)

adică este egal cu potențialul dintr-un alt punct (P1) luat ca referință la care se adaugă lucrul mecanic ce trebuie cheltuit din exterior pentru a deplasa o particulă de sarcină unitate din punctul de referință în punctul considerat. De regulă punctul de referință P1 se ia la infinit, iar potențialul lui se consideră nul, astfel încât relația de definiție a potențialului într-un punct oarecare dat de (1.66) devine:

(1.67)

În acord cu ecuația (1.67), potențialul câmpului într-un punct P este mărimea fizică scalară egală cu lucrul mecanic necesar pentru a deplasa unitatea de sarcină de la infinit în punctul respectiv. Dacă alegerea potențialului de referință duce la valori infinite pentru potențial, atunci punctul de referință nu poate fi luat la infinit.

1.2.2.1 Calculul tensiunii electrice cu ajutorul potențialului

Fie un câmp electric în vid al cărui spectru este reprezentat în figura 1.20 și o curbă C situată în acest câmp. Tensiunea electrică, în vid, între două puncte A și B de-a lungul curbei (C) este o mărime fizică care caracterizează proprietățile câmpului electric de-a lungul acestei curbe, și este definită de relația:

(1.68)

Din definiție rezultă că tensiunea electrică depinde de modul de integrare A→B sau B→A și anume: UAB = – UBA pentru că .

Sensul de integrare al tensiunii, adică sensul elementului se mai numește și sens de referință al tensiunii și se indică printr-o săgeată, de exemplu la bornele unui circuit electric.

Dacă și

În cazul câmpului Coulombian însă,

și (1.69)

deci:

(1.70)

În câmpul electrostatic, tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferența potențialelor electrice ale celor două puncte, în acord cu sensul de referință, deci UAB = – ΔV (adică este (–) variația potențialului).

Interpretarea energetică a tensiunii electrice constă în faptul că ea reprezintă lucrul mecanic efectuat de forțele electrice la deplasarea unității de sarcină pozitivă în lungul curbei considerate:

(1.71)

1.2.3 Suprafațe echipotențiale

Suprafețele definite de ecuația: V(x,y,z) = constant se numesc suprafețe echipotențiale. Dacă se consideră două puncte infinit apropiate, de pe aceeași suprafață echipotențială, separate de elementul atunci:

(pentru că V = constant) (1.72)

Din relația (1.72) rezultă că liniile de câmp electric sunt normale pe suprafețele echipotențiale. Așadar, cu ajutorul potențialului electric se pot preciza o serie de proprietăți geometrice ale câmpului potențial și anume:

a) Liniile de câmp electric sunt tot timpul perpendiculare pe suprafețele echipotențiale;

b) În lungul unei linii de câmp, considerând o deplasare rezultă:

(1.73)

Deci, în lungul unei linii de câmp, potențialul scade sau cu alte cuvinte vectorul câmp electric este orientat de la un potențial mai ridicat către un potențial mai coborât. Evident , deci gradientul potențialului este deasemenea un vector normal pe suprafața echipotențială orientat în sensul creșterii potențialului dinspre punctul în care se reprezintă (adică de la un potențial mai coborât către unul mai ridicat).

c) Vectorul câmp electric este mai intens în regiunile unde suprafețele echipotențiale sunt mai dese. Într-adevăr, urmărind două suprafețe echipotențiale între care diferența de potențial este constantă (dV = V2 – V1 = const.), Fig. 1.21, pe baza relației:

(1.74)

intensitatea câmpului electric crește acolo unde distanța între cele două suprafețe este mai mică, astfel încât dV să fie constant:

EAB · dAB = ECD · dCD = = constant

d) În interiorul conduc-toarelor omogene la echili-bru electrostatic, câmpul electric este nul, deoare-ce dacă nu ar fi nul ar exista o mișcare ordonată a purtătorilor de sarcină (adică un curent electric) și deci n-ar mai fi echilibru

electrostatic. Atunci dife-rența de potențial între un punct de pe suprafață și unul din interior este zero, deci potențialul în interiorul conductorului omogen este constant și egal cu cel de pe suprafață. Suprafața conductorului de asemenea, este o suprafață echipotențială și liniile de câmp exterioare sunt perpendiculare pe suprafața conductorului.

1.2.4 Teorema potențialului electrostatic

Pe baza proprietăților potențialului câmpului electric analizate până acum, se pot trage câteva concluzii generale referitoare la potențialul electric al câmpului Coulombian, concluzii care au condus la formularea teoremei potențialului electrostatic.

1.2.4.1 Forma integrală a teoremei

Experimental se arată că un câmp electric o dată stabilit se menține fără a fi nevoie de vreun aport energetic din exterior. Ca urmare, din legea de conservare a energiei rezultă în acest caz următoarea proprietate: în câmpurile electrostatice nu se poate produce (nici consuma) lucru mecanic prin efectuarea unei transformări ciclice reversibile. Dacă ciclul de transformare, reversibil, constă în deplasarea pe o curbă oarecare a unui mic corp de probă încărcat cu sarcina q, mișcarea acestui corp de probă fiind destul de lentă pentru ca fiecare din stările lui intermediare să fie considerate stări electrostatice, Fig. 1.22, lucrul mecanic efectuat de forța electrică , care se exercită asupra micului corp de probă are expresia: (1.76)

în care Winițial și Wfinal sunt energiile corpului în starea inițială și finală. Daca însă starea inițială coincide cu cea finală, Winit = Wfinal, rezultă că circulația intensității câmpului elctrostatic este nulă pentru orice curbă închisă:

(1.77)

Aceasta este forma integrală generală a teoremei potențialului electrostatic.

Ea se deduce și din legea inducției electromagnetice ca teoremă general valabilă în toate câmpurile electrice staționare în care nu există fluxuri magnetice variabile în timp. Din teorema potențialului electrostatic rezultă câteva consecințe deosebit de importante, care sunt prezentate în continuare:

a) În câmpul electrostatic nu există linii de câmp închise deoarece, în acord cu teorema potențialului electrostatic, circulația vectorului este nulă pe orice curbă închisă. Presupunând că ar exista linii de câmp închise, Fig. 1.23, atunci circulația vectorului de-a lungul curbei Γ ar trebui să fie diferită de zero, reprezentând suma produselor mereu pozitive, ori aceasta contravine teoremei potențialului electrostatic. În concluzie, liniile de câmp sunt deschise. Ele încep acolo unde sunt sarcini pozitive și sfârșesc acolo unde sunt sarcini negative.

b) În câmpul electrostatic tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum. Într-adevăr, considerând curba închisă C = C1 + C2, Fig. 1.24, și integrând pe conturul punctat se poate scrie:

(1.78)

Conform definiției tensiunii electrice între două puncte și ținând seama de ecuația (1.78), rezultă:

(1.79)

deci fie pe drumul (C1) fie pe drumul (C2) tensiunea U12 este aceeași.

c) Deoarece în câmpul electrostatic este îndeplinită condiția ca integrala de linie între două puncte a vectorului să fie independentă de curba pe care se calculează, se poate defini o funcție scalară de punct numită potențial care se calculează după următoarea relație:

(1.80)

cu arbitrar ales, iar drumul de integrare C, Fig. 1.25, fiind de asemenea arbitrar ales.

Relația (1.80) se mai poate scrie:

(1.81)

în care este forța care trebuie aplicată din exterior pentru a învinge forța electrică și pentru a aduce (extrem de lent) corpul de probă, cu sarcina q0, din punctul de referință (P0) în punctul dat (P). Relația (1.81) se mai poate scrie:

(1.82)

conducând la următoarea semnificație fizică pentru potențial: potențialul într-un punct (P) este egal cu potențialul din punctul (P0) luat ca referință, la care se adugă lucrul mecanic care trebuie cheltuit din exterior pentru a deplasa o particulă încărcată cu sarcina pozitivă egală cu unitatea de sarcină, din punctul de referință în punctul considerat.

Adesea punctul de referință se ia la infinit, iar potențialul la infinit se consideră nul; dacă o astfel de alegere duce la valori infinite pentru potențial, punctul de referință nu poate fi luat la infinit.

d) În câmpul electrostatic tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferența de potențial dintre aceste două puncte:

(1.83)

În câmpuri electromagnetice variabile în timp, din cauza fenomenelor de inducție electromagnetică, câmpul electric nu mai este egal cu gradientul unui potențial (cu semn schimbat) și circulația lui pe o curbă nu mai este independentă de drum, ca urmare tensiunea electrică depinde de curba în lungul căreia e calculată și nu mai este egală cu o diferență de potențial. Circulația lui pe o curbă închisă într-un câmp electromagnetic variabil în timp nu mai este nulă, ci așa cum se va vedea la studiul fenomenului de inducție electromagnetică, această circulație este egală cu viteza de variație a fluxului magnetic cu semn schimbat.

1.2.4.2 Forma locală a teoremei potențialului electrostatic

Din definiția potențialului, rezultă:

Deci

(1.84)

Deci la o repartiție dată a potențialului intensitatea câmpului electric este univoc determinată de relația (1.84), .

Aceasta este una din formele locale ale teoremei potențialului.

O a doua formă locală a teoremei potențialului electrostatic presupune exprimarea locală a conținutului teoremei, cu ajutorul unor ecuații cu derivate parțiale satisfăcute de componentele vectorului câmp electric. Acest lucru, însă, se poate face cu ajutorul rotorului lui , , operator vectorial, diferențial, spațial, care acționează asupra unui vector dintr-un câmp de vectori conducând la un alt câmp vectorial.

1.2.4.2.1 Rotorul unei funcții vectoriale

În forma integrală teorema potențialului electrostatic este:

(1.85)

Se pune întrebarea ce devine circulația câmpului electrostatic pe o curbă, care se micșorează din ce în ce mai mult, până când ajunge să se apropie infinit de un punct din câmp?

Se consideră curba Γ care mărginește o suprafață SΓ oarecare. Prin alegerea unui sens de parcurgere al conturului Γ (dat de sensul lui ), se va orienta normala la suprafața SΓ, prin regula burghiului drept. Circulația lui pe curba Γ va fi dată de integrala de linie din membrul stâng al ecuației (1.85).

Dacă împărțim suprafața SΓ în două părți atunci se obțin curbele Γ1 și Γ2 care conțin drumul AB comun, Fig. 1.26 b) și calculând circulațiile lui pe aceste două curbe în

același sens se observă că suma lor este egală cu circulația lui pe curba Γ:

(1.86)

deoarece în cele două integrări drumul AB este parcurs în sensuri opuse și atunci în integrale rămâne doar contribuția celor două părți ale buclelor care formează curba inițială Γ. Dacă se continuă divizarea suprafeței SΓ în suprafețe mai mici , limitate de curbele Γ1 … Γn, Fig. 1.26 c), se constată că circulația pe conturul Γ este suma circulațiilor elementare pe curbele Γi:

(1.87)

Micșorând în continuare buclele Γi se micșorează, tinzând către zero, și circulația de-a lungul oricărei bucle, deci aceasta nu poate reprezenta o descriere locală a câmpului. Se observă, însă, că simultan cu micșorarea buclelor, se micșoreaza și suprafețele ΔΓi , pe care le mărginesc, și atunci limita raportului dintre circulația buclei și aria buclei , are o valoare finită nenulă și poate reprezenta o mărime care descrie local câmpul.

(1.88)

Dar considerarea acestei limite fără o precizare făcută în legătură cu ridică anumite probleme și anume aria mărginită de curba Γi este o mărime vectorială și nu se poate face raportul dintre un scalar și un vector. De aceea trecerea la limită nu se poate face, decât în raport cu o anumită orientare a unui element de suprafață , evident arbitrar aleasă dar sigur, rezultatul va fi altul de fiecare dată. Se alege o orientare oarecare pentru elementul de suprafață aflat într-unul din ultimile stadii de divizare. Vectorul unitar , indică normala la acest element de suprafață și el rămâne constant la micșorarea drumului din jurul punctului P (sensul lui este corelat cu sensul de parcurgere al buclei Γi prin regula burghiului drept). Limita raportului dintre circulația lui pe această buclă Γi și aria elementului de suprafață , definită de ecuația (1.88), reprezintă o mărime scalară asociată punctului P și direcției , în câmpul vectorial . Alegând trei direcții independente nx, ny, nz se obțin trei numere diferite care pot fi considerate drept componentele unui vector. Acest vector se numește rotorul câmpului vectorial . Cu alte cuvinte limita raportului dintre circulația vectorului pe curba Γi și aria a acesteia, pentru o anumită direcție este egală cu componenta vectorului rot pe acea direcție:

(1.89)

De exemplu în cazul unui sistem de coordonate cartezian, componenta x a rotorului lui se obține alegând , componenta y se obține alegând , iar componenta z, alegând , Fig. 1.27. Bucla Γi, micșorându-se în jurul punctului P, ea rămâne într-un plan perpendicular pe axa Ox, sau Oy, sau Oz. În general rot variază de la punct la punct pentru că în orice punct al suprafeței normala la suprafață poate avea o altă direcție și pe de alta parte și raportul dintre circulație și arie poate avea o altă valoare depinzând de natura funcției vectoriale . Aceste afirmații întăresc convin-gerea că rotorul unei funcții vectoriale, aici este însăși o funcție vectorială.

Definiție: Rotorul unei funcții vectoriale este o funcție vectorială având modulul egal cu valoarea limită a circulației pe unitatea de arie a planului din jurul punctului ales, fiind perpendicular tot timpul la planul care trece prin acel punct și pentru care circulația este maximă.

Exemplu de calcul al rotorului unei funcții vectoriale , având componentele:

Circulația câmpului electric de-a lungul curbei Γ1, considerată în planul yOz, Fig. 1.27, este:

Deci:

(1.90)

Considerând conturul Γ2 în planul xOz, Fig. 1.27

(1.91)

În mod asemănător se obține: (1.92)

Cu acestea, rotorul funcției vectoriale în coordonate carteziene este:

(1.93)

Deci rot este așa numita "derivată transversală" care reprezintă viteza de variație a lui Ex pe direcția lui y sau z. Dacă se folosește operatorul , atunci:

(1.94)

Pornind însă de la relația generală de definiție a rotorului:

(1.95)

operatorul rotor se va calcula, în sistemul de coordonate curbilinii triortogonale, considerând curbele Γi arătate în Fig. 1.28, astfel:

Cu acestea, operatorul rotor în coordonate curbilinii triortogonale este:

(1.96)

Pentru diferite sisteme de coordonate, se obține operatorul rotor înlocuind coeficienții Lame corespunzători sistemului de coordonate respectiv, astfel:

a) Pentru coordonate carteziene:

b) Pentru coordonate cilindrice:

(1.97)

c) Pentru coordonate sferice:

1.2.4.2.2 Teorema lui Stokes

Anterior s-a arătat că circulația funcției vectoriale pe curba Γ care delimitează suprafața SΓ este egală cu suma circulațiilor în lungul curbei Γi care delimitează elementul de suprafață ΔSi. Această sumă se scrie astfel:

(1.98)

Dar , deci practic suma din membrul drept al ecuației (1.98) reprezintă suma produselor dintre componenta pe direcția normalei la elementul de suprafață ΔSi, a rotorului și aria acestui element ΔSi. Această sumă, extinsă peste toate elementele de suprafață care formează suprafața SΓ, delimitată de curba Γ, este la limită, integrala de suprafață pe suprafața SΓ a rotorului lui.

Deci:

(1.99)

Deci teorema lui Stokes, în formularea matematică:

(1.100)

afirmă că integrala de linie a unei funcții vectoriale pe o curbă închisă (circulația câmpului) este egală cu fluxul rotorului câmpului prin suprafața mărginită de curba Γ.

1.2.4.2.3 Forma locală a teoremei potențialului electrostatic

Cunoscând acum semnificația operatorului și a modului de calcul al lui, să urmărim cum este formulată teorema potențialului electrostatic. Pentru aceasta se va calcula această mărime vectorială pentru câmpul electrostatic, exprimat prin.

Deci în câmpul electrostatic :

peste tot (1.101)

La același rezultat se ajunge dacă se folosește teorema Stokes. Forma integrală, generală, a teoremei potențialului electrostatic este:

(1.102)

Deci o proprietate generală a câmpului electrostatic este următoarea: fiind un câmp care derivă dintr-un potențial, un câmp conservativ, într-un anumit domeniu, el are rotorul intensității câmpului nul în orice punct al domeniului. Invers, condiția necesară și suficientă ca un câmp să fie conservativ, adică ca el să poată fi definit de gradientul unei funcții scalare, este ca peste tot. Această ecuație este forma locală a teoremei potențialului electrostatic.

1.3 Fluxul câmpului electric Coulombian în vid. Teorema fluxului (Legea lui Gauss)

1.3.1 Fluxul unui vector câmp. Unghiul solid

a) În analiza vectorială o noțiune fundamentală pentru teoria câmpurilor de vectori este integrala de suprafață a unui vector câmp printr-o suprafață S:

(1.103)

în care este un element de suprafață orientat prin normala la suprafață , este funcția vectorială, considerată constantă în elementul de suprafață infinitezimal dS, iar α este unghiul dintre și , Fig. 1.29.

Definiție: Integrala de suprafață a vectorului câmp prin suprafața S poartă numele de fluxul vectorului prin suprafața S, fiind exprimată prin:

(1.104)

Este evident că fluxul vectorului este nul printr-o suprafață nestrăbătută de liniile de câmp (adică pentru care ). În cazul suprafețelor închise, normala se consideră pozitivă atunci când ea este orientată de la interior spre exterior. În acest caz fluxul unui vector câmp este pozitiv atunci când din suprafața respectivă ies liniile lui și negativ când liniile lui intră în suprafață.

b) Unghiul solid, ΩΓ este o mărime geometrică ce caracterizează deschiderea unui con generalizat, sub care se vede conturul Γ dintr-un punct oarecare P, Fig. 1.30.

Definiție: Unghiul solid ΩΓ este egal cu câtul dintre aria pe care o interceptează conul pe o sferă de rază r, cu centrul în P și pătratul acestei raze. Generatoarele conului se află pe conturul Γ care mărginește o suprafață deschisă SΓ așa cum se vede în Fig. 1.30.

Conform acestei definiții, rezultă:

(1.105)

Această mărime este caracterizată efectiv de deschiderea conului deoarece nu depinde de raza r a sferei și nici de suprafața SΓ, ci numai de conturul Γ. Ultima formă din relația (1.105) arată că unghiul solid este egal cu fluxul vectorului prin suprafața SΓ și rezultă din faptul că pentru orice con elementar sprijinit de elementul de arie dS pe SΓ și pe sferă există proporționalatitatea:

(1.106)

Dacă suprafața SΓ ocupă întregul spațiu în jurul punctului P, transformându-se într-o suprafață închisă Σ care conține punctul P, în interiorul ei, atunci:

(1.107)

Când punctul P este în afara unei suprafețe curbe oarecare închise, unghiul solid ia valoarea zero ΩΓ = 0.

1.3.2 Forma integrală a teoremei fluxului electric (a Legii lui Gauss)

Prin definiție, fluxul câmpului electrostatic printr-o suprafață este egal cu produsul scalar dintre vectorul și vectorul suprafață , adică este produsul dintre vectorul suprafață și componenta normală a câmpului la aceasta. În cazul în care este constant în modul, în orice punct al suprafeței, fluxul este dat de relația:

(1.108)

Unghiul α este unghiul dintre vectorul normal unitar la suprafață și câmpul electric, Fig. 1.31. În general, când variază de la punct la punct în suprafața respectivă, se poate defini întâi conform relației (1.108) un flux elementar prin elementul de suprafață orientat prin normala , în punctul P, ca fiind:

(1.109)

și atunci fluxul total prin suprafața S va fi:

(1.110)

Mărimea ce caracterizează câmpul electric, definită de relația (1.108) se numește flux, prin analogie cu ce se-ntâmplă la curgerea unui fluid printr-o suprafață (unde de exemplu produsul reprezintă fluxul de particule dintr-un lichid, care străbat cu viteza suprafața orientată și se măsoară în m3/s). Dar dacă, în cazul fluidului în curgere există ceva care trece prin suprafața , în cazul fluxului electric nimic nu se "mișcă", nimic nu "curge", câmpul electrostatic fiind staționar.

a) Să presupunem acum că o suprafață S deschisă este străbătută de câmpul electric creat de o sarcină punctiformă q. Considerând elementul de suprafață dS centrat pe punctul P, aflat la distanța de sarcina punctiformă q, Fig. 1.32, fluxul elementar al câmpului electric prin acest element de suprafață va fi:

(1.111)

Fluxul câmpului electric creat de sarcina q prin elementul de suprafață dS este proporțional cu sarcina generatoare q și cu elementul de unghi solid dΩ sub care se vede suprafața din punctul în care se află sarcina q. Fluxul total prin suprafața S se obține integrând relația (1.111), care conduce la:

(1.112)

b) Se consideră acum o suprafață închisă Σ, care delimitează un volum finit din spațiu. Se va calcula fluxul câmpului electric produs de o sarcină punctiformă q în trei cazuri particulare și anume: (i) când sarcina punctiformă q se află în interiorul suprafeței Σ; (ii) când q se află în exteriorul suprafeței Σ și (iii) când sarcina q se află pe suprafața respectivă.

(i) Corp punctiform încărcat cu sarcina q, aflat în interiorul suprafeței

Din punctul în care se află sarcina q, se pot imagina că pornesc mai multe conuri cu deschiderea dΩ. În Fig. 1.33 sunt figurate două astfel de conuri. Pentru conul care intersectează suprafața Σ o singură dată:

(1.113)

Deci fluxul câmpului electric al sarcinii punctiforme q prin suprafața închisă Σ este proporțional cu sarcina q a corpului punctiform din interiorul ei. Pentru conul care intersectează suprafața Σ de trei ori fluxul este:

(1.114)

deoarece . Fluxul câmpului electric prin suprafața Σ va fi și în acest caz:

(1.115)

Orice con cu vârful în punctul în care se află sarcina punctiformă q din interiorul suprafeței Σ va tăia suprafața Σ de un număr impar de ori și în acord cu relația (1.114), la calculul fluxului total va contribui fluxul elementar prin primul element de arie dS1 interceptat de con pe suprafața Σ. Din această analiză se trage concluzia că fluxul câmpului electric creat de un corp încărcat cu sarcina q aflat în interiorul unei suprafețe Σ, prin aceasta, este direct proporțional cu sarcina din interiorul suprafeței indiferent de poziția acesteia în interiorul ei:

(1.116)

(ii) Corp punctiform încărcat cu sarcina q, aflat în exteriorul suprafeței Σ

În acest caz un con cu deschiderea dΩ intersectează suprafața Σ de un număr par de ori, Fig. 1.34. Așa cum rezultă din această figură, două câte două fluxurile prin ariile elementare intercep-tate de același con sunt egale și de semne contrarii.

Prin integrare pe suprafața închisă Σ, în cazul conului care o intersectează de două ori, Fig. 1.34, se obține:

(1.117)

Deci câmpul unei sarcini punctiforme nu creează flux printr-o suprafață închisă, dacă sarcina este situată în exteriorul suprafeței, deoarece liniile câmpului electric fie că nu intersectează deloc suprafața, fie că o intersectează de un număr par de ori.

(iii) Sarcina punctiformă aflată pe suprafața închisă Σ

Dacă sarcina electrică q' se află chiar pe suprafața închisă Σ, Fig. 1.35, con-form analizei prezentate în cele două cazuri descrise mai sus, rezultă:

(1.118)

În acest caz unghiul solid sub care se vede suprafața închisă, dintr-un punct al ei este egal cu jumătate din unghiul solid întreg, (2π).

Se consideră acum o suprafață închisă Σ care închide un volum finit VΣ din spațiu. Presupunând că în interiorul suprafeței se găsește o distribuție discretă de sarcini , în exteriorul suprafeței se găsește o altă distribuție discretă de sarcini , iar pe suprafața Σ distribuția , câmpul total în domeniul amintit este:

(1.119)

Cu aceasta, fluxul total care traversează suprafața închisă Σ este:

(1.120)

și conform celor demonstrate anterior rezultă:

(1.121)

Se obține astfel Legea lui Gauss în formă integrală, care afirmă că:

Fluxul total al câmpului electric printr-o suprafață închisă Σ este egal cu (1/ε) înmulțit cu (sarcina totală din interiorul suprafeței + jumătate din sarcina totală de pe suprafață):

(1.122)

Dacă în interiorul volumului VΣ sarcina Qint este distribuită continuu cu densitatea ρ(x',y',z') atunci legea lui Gauss se va scrie în forma:

(1.123)

Legea lui Gauss în formă integrală permite calculul câmpului electric în cazul când distribuțiile de sarcină prezintă simetrie ridicată.

1.3.2.1 Aplicație: Exemplul care va fi prezentat în continuare este tot cel al unei distribuții continue și uniforme de sarcină electrică, descrisă de densitatea de sarcină volumică ρ, repartizată într-o sferă de rază a, Fig. 1.36. Intensitatea câmpului electric s-a calculat anterior, folosind relația . Aici se va apela la teorema Gauss calculându-se mai întâi câmpul în interiorul și exteriorul distribuției și apoi cu ajutorul relației se va calcula potențialul. Pentru a calcula câmpul electric (câmp cu simetrie radială), în exteriorul distribuției de sarcină, se alege gaussiana Σe de formă sferică având r > R și aplicând teorema lui Gauss rezultă:

(1.124)

În cazul gaussienei Σi, dusă în interiorul distribuției de sarcină, (r < R), rezultă:

(1.125)

Cunoscând intensitatea câmpului electric în exteriorul și interiorul distribuției de sarcină, potențialul în aceste regiuni va fi:

(1.126)

(1.127)

Relații care au fost obținute și pe baza principiului superpoziției.

Avantajul oferit însă de teorema Gauss este evident. Continuitatea câmpului și potențialului în tot spațiul este evidentă și aceasta este un fapt general, în prezența unei sarcini distribuite în volum.

Observație: De regulă, teoremei Gauss i se spune Legea Gauss, întrucât ea este echivalentă cu Legea lui Coulomb și poate fi la fel de bine considerată ca o lege fundamentală a interacțiunilor electrostatice după ce sarcina și câmpul au fost definite. Legea Gauss și legea lui Coulomb nu sunt două legi fizice independente, ci reprezintă una și aceeași lege exprimată în moduri diferite, există o diferență neesențială aici dar importantă la studiul sarcinilor în mișcare. (Legea Gauss este valabilă pentru o clasă mai largă de câmpuri decât cel electrostatic. În particular, un câmp fără simetrie sferică, invers proporțional cu r2, poate satisface legea Gauss. Cu alte cuvinte numai legea Gauss nu implică simetria sferică a câmpului unei surse punctiforme care în legea lui Coulomb este esențială și se subînțelege).

Demonstrația legii Gauss se bazează pe faptul că interacțiunea este invers proporțională cu pătratul distanței și pe valabilitatea principiului superpoziției. Astfel, teorema este aplicabilă oricărui câmp din fizică în care interacția este invers proporțională cu pătratul distanței, ca de exemplu în cazul câmpului gravitațional, studiat la mecanică. Este evident că legea lui Gauss nu mai este valabilă dacă, de exemplu, câmpul este invers proporțional cu puterea a cincea a distanței. Fluxul câmpului creat de sarcina q printr-o sferă de rază r este în acest caz:

(1.128)

Se observă că legea lui Gauss nu mai este valabilă pentru că dacă mărim puțin sfera Σ, fluxul scade rapid prin sfera mărită (scade cu 1/r3), deși sarcina din interiorul ei rămâne constantă. Este evident faptul că legea Gauss lărgește posibilitățile de a înțelege fenomenele generate de sarcinile electrice statice în sensul că ea relevă legătura dintre câmp și sursele sale.

Pe de altă parte, dacă legea lui Coulomb permitea determinarea câmpului când se cunoșteau sarcinile, legea Gauss permite și ea acest lucru și în plus permite determinarea sarcinii electrice dintr-o regiune oarecare dacă se cunoaște câmpul electric în acea regiune prin intermediul integralei .

1.3.2.2 Tub de flux

Atunci când s-au introdus liniile de câmp ale câmpului electrostatic, s-a definit și noțiunea de tub de linii de câmp (căruia i se mai spune și tub de flux), ca fiind porțiunea din câmp delimitată de totalitatea liniilor de câmp care trec prin toate punctele unui mic contur închis Γ. Aplicând legea lui Gauss suprafeței închise Σ care limiteză o porțiune de tub de flux, Fig. 1.37, rezultă:

(1.129)

în condițiile în care în interiorul suprafeței Σ nu există corpuri încărcate cu sarcină electrică. În relația (1.129) este fluxul prin secțiunea S1 prin care liniile de câmp intră în porțiunea de tub, în timp ce fluxul prin secțiunea S2 prin care liniile de câmp ies din porțiunea de tub (normala coincide ca sens cu ). Fluxul prin aria laterală a porțiunii de tub este nul deoarece aici . Din relația (1.129) se poate trage concluzia că: în regiuni ale spațiului unde nu există sarcini electrice, fluxul prin diferite secțiuni transversale ale unui tub se conservă (deci fluxul are aceeași valoare de-a lungul unui tub de linii de câmp în vid).

1.3.3 Forma locală a legii fluxului electric în vid (a legii lui Gauss)

1.3.3.1 Divergența unei funcții vectoriale

Variația locală a unei funcții vectoriale de coordonate (x,y,z) poate fi caraterizată prin intermediul unui operator diferențial numit divergența funcției vetoriale. Fie vectorul dintr-un câmp de vectori. Fluxul vectorului prin suprafața S, care limitează volumul finit V de formă arbitrară este dat de integrala de suprafață a lui extinsă pe toată suprafața S: , Fig. 1.38 a). Împărțind volumul V în două volume V1 și V2, prin diafragma D, Fig. 1.38 b), se observă că suma integralelor de suprafață ale lui G prin cele două suprafețe S1 și S2 care limitează cele două volume, va da fluxul total a lui prin S. Cele două volume sunt delimitate de suprafețele S1, respectiv S2 care includ aria diafragmei D. Orice flux care iese din V1 prin D este un flux care intră în V2 prin D, pentru că fiecare porțiune din D contribuie în mod egal cu un semn în prima integrală și cu semn opus în cea de-a doua. Evident, direcția spre exterior într-un caz devine direcție spre interior în celălalt caz, restul suprafeței este identic cu cel al volumului inițial întreg.

(1.130)

Continuând divizarea volumului V într-un mare număr de volume: V1…Vi…VN, cu suprafețele care le delimitează: S1…Si…SN, Fig. 1.38 c), în baza aceleiași proprietăți, se poate afirma că:

(1.131)

La limită, când N devine foarte mare, se dorește a se găsi însă, ce este caracteristic câmpului vectorial, pentru o porțiune foarte mică și în final pentru o vecinătate foarte strânsă în jurul punctului P. Integrala de suprafață singură, nu poate ajuta în acest sens (adică să dea o descriere locală a câmpului ), pentru că pe măsură ce volumele Vi se micșorează și suprafețele Si scad și ca urmare, integrala Φi scade. De remarcat însă că dacă s-ar considera raportul , aceasta la limită tinde către o mărime finită care să descrie o proprietate locală, caracteristică funcției vectoriale în vecinătatea unui punct. Limita acestui raport când și când ea există, definește divergența funcției vectoriale și se scrie astfel:

(1.132)

Deci operatorul divergență poate fi definit astfel: este fluxul pe unitatea de volum ce iese din volumul Vi, pentru Vi infint de mic. Divergența este o mărime scalară și variază de la punct la punct. Valoarea ei într-un punct oarecare (x,y,z) este dată de limita raportului dintre integrala de suprafață a funcției prin suprafața Si și volumul Vi delimitat de suprafața Si când acesta devine din ce în ce mai mic cuprinzând tot timpul punctul respectiv. Conform relației (1.132), ea va depinde de sistemul de coordonate în care se lucrează așa cum se va arăta în cele ce urmează. Dacă funcția are componentele față de un sistem de coordonate curbilinii , iar elementul de suprafață ΔS are componentele dS1, dS2, dS3, atunci:

Elementul de volum este , în care sunt coeficienții metrici.

(1.133)

Această expresie poate fi obținută, în coordonate curbilinii triortogonale, astfel:

Se consideră un element de volum de forma unui paralelipiped cubiliniu cu muchiile:

(1.134)

Vezi Fig. 1.39.

Fluxul lui prin suprafața care mărginește elementul de volum este format din suma fluxurilor celor trei componente, G1, G2, G3, prin fețele paralelipipe-dului perpendiculare pe direcțiile q1, q2, q3:

(1.135)

Φ1 este diferența dintre fluxul valorii medii a lui în fața 2 și fluxul valorii medii a lui în fața 1. Deci:

(1.136)

Dar:

atunci

iar Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3, de unde rezultă:

(1.137)

Înlocuind pe rând coeficienții metrici h1, h2, h3, pentru cele trei sisteme de coordonate: cartezian, cilindric, sferic se obțin expresiile:

În coordonate carteziene:

(1.138)

În coordonate cilindrice:

(1.139)

În coordonate sferice:

(1.140)

1.3.3.2 Teorema Gauss-Ostrogradski

Prin introducerea unei funcții scalare se poate găsi o relație interesantă între fluxul unei funcții vectoriale printr-o suprafață S și divergența funcției vectoriale.

Fluxul funcției prin suprafața S, care mărginește volumul V, este:

(1.141)

Acesta se poate scrie conform relației (1.131), astfel:

(1.142)

La limita când termenul din paranteza dreaptă devine divergența lui și suma trece într-o integrală de volum. Așadar:

(1.143)

Aceasta este Teorema Gauss-Ostrogradski, valabilă pentru orice câmp, pentru care există limita scrisă în ecuația (1.132).

1.3.3.3 Forma diferențială (locală) a legii lui Gauss

Revenind la câmpul electric, care este un câmp vectorial, este normal ca și el să se supună teoremelor stabilite pentru orice câmp vectorial. Așadar, Legea lui Gauss în formă integrală în cazul unei distribuții continue de sarcină se scrie:

(1.144)

Dar, conform Teoremei Gauss-Ostrogradski, , de unde rezultă că pentru orice volum ales din câmp, indiferent de formă, dimensiune și dispunere este adevărată relația: (1.145)

Egalitatea integralelor din (1.145) are loc numai atunci când integranzii sunt egali, deci:

(1.146)

Aceasta este forma locală, sau diferențială a legii lui Gauss, stabilind relația locală dintre câmpul electric și sursele lui deoarece atât , cât și ρ sunt funcție de coordonatele aceluiași punct P(x,y,z) din spațiu.

În cazul când spațiul este vidat (ρ = 0), ecuația (1.146) devine:

(1.147)

Deoarece , iar , atunci .

Să vedem acum dacă aceste ecuații sunt valabile în cazul discutat anterior al câmpului creat de o distribuție continuă de sarcină din sfera de rază a, distribuție descrisă de densitatea ρ.

În exteriorul distribuției de sarcină (spațiu presupus vidat):

În exterior unde nu există sarcină, Fig. 1.36, fluxul total care iese din orice volum mare sau mic este zero, astfel încât limita câtului flux/volum este zero.

În interiorul distribuției de sarcină (s-a presupus că permitivitatea electrică este aceeași, ca și pentru vid):

pentru că în punctul Pi există sarcina ρ.

Dacă este pozitivă, într-un punct oarecare P, în care se găsește o singură sarcină punctiformă, atunci din acel punct liniile câmpului electric diverg, având simetrie sferică.

1.3.4 Ecuațiile Poisson și Laplace. Ecuațiile Maxwell pentru electrostatică

1.3.4.1 Ecuațiile Poisson și Laplace

Prima ecuație locală pentru câmpul electrostatic, dedusă pe baza teoremei potențialului, reprezintă, așa cum s-a arătat anterior, condiția necesară și suficientă pentru ca să fie dat de gradientul unei funcții potențiale Deci prin intermediul ei, câmpului electrostatic i se poate asocia o funcție scalară V.

Cea de-a doua ecuație scalară , reprezentând forma locală a Legii lui Gauss, exprimă legătura locală dintre intensitatea câmpului electric și sursele lui și introduce evident o a doua funcție scalară asociată câmpul electric.

Ambele ecuații conțin intensitatea câmpului electric, prima realizând legătura dintre câmp și potențial, iar a doua legătura dintre câmp și sursele lui, ca urmare dacă se dorește stabilirea unei ecuații care să exprime local legătura directă dintre potențialul electric și distribuția de sarcină, aceasta se poate obține prin eliminarea intensității câmpului electric între cele două ecuații:

(1.148)

Operatorul aplicat lui V în ecuația (1.148) se numește divergența gradientului sau operatorul lui Laplace sau simplu Laplacean și se scrie: . El este un operator diferențial de ordinul II care acționează asupra unei funcții scalare, dar poate acționa și asupra unei funcții vectoriale, acționând asupra componentelor ei. Dacă se ține seama de expresia operatorului "nabla" în coordonate carteziene:

atunci laplaceanul în coordonate carteziene va fi:

(1.149)

Evident acest operator va avea forme diferite în funcție de sistemul de coordonate în care se lucrează. În coordonate curbilinii, se va scrie:

(1.150)

Înlocuind coeficienții metrici, se va obține expresia operatorului Laplacean, după cum urmează:

În sistemul de coordonate carteziene:

(1.151)

În sistemul de coordonate cilindrice:

(1.152)

În sistemul de coordonate sferice:

(1.153)

a) Ecuația lui Poisson

Revenind la ecuația (1.148), ea reprezintă o relație locală între densitatea de sarcină electrică într-un punct oarecare și funcția potențială în imediata lui vecinătate. Această ecuație este numită "Ecuația lui Poisson" și ea leagă densitatea de sarcină cu derivatele de ordinul II ale potențialului. În coordonate carteziene se scrie:

(1.154)

Prin rezolvarea ei se obține expresia potențialului creat de o distribuție de sarcină într-un punct de forma:

(1.155)

Rezolvarea ecuației (1.154) nu este întotdeauna comodă, dar în câteva cazuri (de regulă simetrii înalte ale distribuțiilor de sarcină) ea poate fi rezolvată ușor, obținând astfel atât câmpul cât și potențialul chiar mai ușor dacât apelând la una din metodele prezentate până acum (bazate pe principiul superpoziției sau pe legea lui Gauss).

b) Ecuația lui Laplace

Peste tot unde ρ = 0, adică în spațiul liber (în toate punctele spațiului care nu conțin sarcini electrice), potențialul electric V satisface relația:

sau

(1.156)

numită "Ecuația lui Laplace", întâlnită în multe capitole ale fizicii.

Din punct de vedere matematic, în majoritatea cazurilor, teoria clasică a câmpurilor constă în studiul soluțiilor acestei ecuații. Clasa de funcții care satisfac ecuația Laplace se numesc funcții armonice. Aceste funcții armonice au proprietăți remarcabile, una dintre ele fiind următoarea:

Dacă funcția φ(x,y,z) satisface ecuația lui Laplace, atunci valoarea medie a lui φ pe suprafața unei sfere oarecare este egală cu valoarea ei în centrul sferei.

O aplicație directă a ecuației Laplace pe care o satisface potențialul electrostatic în spațiul liber este demonstrația teoremei lui Earnshaw, teoremă care se enunță astfel:

O particulă încărcată aflată în spațiul liber nu poate rămâne în echilibru numai sub acțiunea unui câmp electrostatic, cu alte cuvinte în spațiul liber potențialul electrostatic V(x,y,z) nu poate avea maxime sau minime.

Într-adevăr, dacă ar exista puncte de extrem pentru potențial, atunci punctele de maxim pentru potențial ar fi puncte în care energia unei particule negative ar fi minimă (stare de echilibru pentru particule încărcate cu sarcină negativă), iar punctele în care potențialul e minim ar fi puncte în care energia unei particule pozitive ar fi minimă (stare de echilibru pentru particule încărcate cu sarcină pozitivă).

Pentru a demonstra teorema să presupunem că potențialul este funcție doar de două coordonate (x,y), astfel încât V(x,y) să fie o suprafață.

Presupunem, contrar teoremei, că într-un punct P(x,y) funcția V(x,y) trece printr-un minim așa cum se arată în Fig. 1.40. În jurul punctului P construim o sferă mică. Deoarece , înseamnă că avem un câmp electric care pătrunde în sferă (orientat de la un potențial mai mare către potențialul minim din P). Dar, conform teoremei Gauss, , acest câmp orientat către punctul P, pe direcție radială trebuie să provină dintr-o sarcină negativă –q, aflată în interiorul sferei. S-a presupus însă că punctul P este în spațiul liber în care nu avem nici un fel de sarcină. Deci presupunerea că V(x,y) ar avea un minim este infirmată. La fel se demonstrează și imposibilitatea existenției unui maxim al funcției V(x,y) în spațiul liber.

Într-o regiune în care avem o distribuție continuă de sarcină ρ, potențialul V poate avea un maxim sau un minim, dar nu trebuie să uităm că distribuția continuă nu este altceva decât o idealizare. Într-o astfel de distribuție va trebui să considerăm fiecare electron sau proton ca o sarcină izolată și vom constata imposibilitatea echilibrului (pe distanțe foarte mici între sarcini). Ecuația lui Laplace se poate folosi pentru a demonstra teorema Earnshaw mult mai ușor. Pentru ca V(x,y,z) să aibă un maxim sau un minim trebuie ca toate derivatele de ordinul 1 ale lui V să fie nule, respectiv derivatele de ordinul 2 să aibă același semn (negativ sau pozitiv), în acele puncte. Pe de altă parte, suma acestora trebuie să fie zero conform ecuației Laplace, ca atare acest lucru este posibil numai când ele sunt simultan zero. Dacă derivatele de ordinul 1 și 2 sunt simultan zero, atunci V = constant, deci o suprafață fără maxime sau minime, adică o suprafață echipotențială.

1.3.4.2 Ecuațiile Maxwell pentru electrostatică

În paragrafele anterioare am întâlnit două ecuații fundamentale pentru câmpul electrostatic, atât în forma integrală cât și locală și anume:

1) Teorema potențialului electrostatic:

(1.157)

2) Teorema fluxului electric sau legea lui Gauss pentru câmpul electric:

(1.158)

Exprimarea diferențială a celor două legi valabile pentru câmpul electrostatic:

(1.159)

reprezintă ecuațiile Maxwell pentru electrostatică, când sarcinile electrice, în repaus, se găsesc în vid. Așa cum s-a văzut, prima ecuație arată că acest câmp electrostatic este un câmp potențial , iar a doua face legătura locală între câmpul electric și sursele lui.

CAPITOLUL II

Formalismul câmpului MAgnetic în vid

asociat stării electrocinetice staționare

2.1 Câmpul magnetic. Definiție. Caracterizare

Magnetostatica se ocupă cu studiul câmpului magnetic generat de curentul continuu care se stabilește în diferite circuite. În acest capitol se va face referire la câmpul magnetic care se stabilește în jurul circuitelor de curent continuu aflate în vid.

2.1.1 Experiențe care confirmă existența câmpului magnetic. Forțe magnetice

Încă din antichitate s-a constatat că există roci între care se exercită forțe de atracție sau respingere, forțe care depind de poziția relativă dintre ele. Primele roci, descoperite într-o regiune din Asia Mică, numită Magnesia, au făcut ca fenomenul respectiv să se numească magnetism.

Mai târziu, în 1820, Oersted observă că un conductor străbătut de un curent electric acționează asupra acului magnetic, Fig. 2.1 a), și cunoscută fiind acțiunea pe care o exercitau rocile de magnetită asupra acului magnetic s-a tras concluzia că și curentul electric creează un câmp similar cu cel creat de magnetită.

La mai puțin de două săptămâni de la descoperirea lui Oersted, A. M. Ampère a arătat că între doi conductori parcurși de curent electric se exercită forțe de atracție sau de respingere, după cum cei doi curenți sunt de același sens sau de sensuri contrarii. El remarcă faptul că aceste forțe sunt de cu totul altă natură decât cele ce se exercită între doi conductori electrizați. O primă dovadă în acest sens o constituie faptul că un ecran metalic interpus între cei doi conductori nu modifică forța de interacțiune dintre ei, așa cum se întâmplă în cazul în care conductorii sunt electrizați. Această observație îl determină să presupună că această forță trebuie să fie de aceeași natură cu forța care se exercită între un conductor parcurs de curent și acul magnetic, deci trebuie să fie o forță magnetică.

Este însă greu de găsit corespondența dintre acul magnetic și un conductor parcurs de curent electric. Ampère a fost cel care a găsit această corespondență. El a presupus că acul magnetic conține un număr foarte mare de curenți circulari microscopici, pe care i-a numit curenți moleculari.

Astfel, dacă în experiența lui Oersted se plasează o bobină în locul acului magnetic, Fig. 2.1 b), aceasta se va roti în jurul firului de suspensie ca și acul magnetic, sensul de rotație depinzând de sensul curentului electric atât prin ea cât și prin conductor.

Era deci necesar să se stabilească rolul conductorilor în existența acestor forțe. Se punea întrebarea: aceste forțe se datoresc proprietății conductoarelor de a poseda electroni cvasiliberi ce se mișcă haotic în conductoare?, sau se datorau prezenței curentului electric prin conductoare?, adică prezenței sarcinilor electrice în mișcare cu o viteză de drift diferită de zero.

S-a constat că acest proces de mișcare ordonată a purtătorilor de sarcină este cauza prezenței forțelor magnetice. Deci, asemenea forțe magnetice se exercită între oricare două sarcini electrice care se mișcă, așa cum preciza ulterior Maxwell. Experimentele cu raze catodice au demonstrat că într-adevăr asupra sarcinilor electrice în mișcare se exercită, din partea câmpului magnetic a unui magnet permanent sau a câmpului magnetic creat de un conductor străbătut de curent, forțe magnetice. Fasciculul de electroni dintr-un tub catodic, de exemplu, este deviat dacă în apropierea lui se aduce un conductor străbătut de curent și sensul de deviere depinde de sensul curentului electric. Aceste forțe magnetice care se exercită între sarcini electrice în mișcare pot fi atribuite existenței în jurul lor a unui câmp fizic numit câmp magnetic.

În consecință, unui curent electric i se poate asocia un câmp magnetic care se manifestă în jurul lui. Orice altă particulă încărcată electric care se mișcă în jurul conductorului străbătut de curent electric simte o forță proporțională cu intensitatea câmpului magnetic din locul respectiv. S-a verificat experimental că această forță este întotdeauna perpendiculară pe viteza de deplasare a sarcinii și pe câmpul magnetic, astfel încât se poate afirma că, câmpul magnetic este un câmp vectorial care determină o forță ce acționează asupra unei particule încărcate în mișcare, forță proporțională cu viteza particulei și perpendiculară pe direcția de mișcare a acesteia.

În continuare ne vom ocupa de o caracterizare amănunțită a câmpului magnetic creat de curentul electric continuu și, cu această ocazie, vom formula legile de bază pentru magnetostatică. Dar studiul acestui capitol presupune, ca și în cazul electrostaticii, precizarea unui model de studiu și a unui corp de probă.

2.1.2 Bucla de curent

Corpul de probă folosit la explorarea câmpului magnetic este o spiră foarte subțire, confecționată dintr-un material conductor, străbătută de curentul electric. Acest corp de probă se numește buclă de curent sau, adesea în tehnică, bobină de explorare și este realizată dintr-o spiră sau un mănunchi de spire, cu terminalele răsucite, Fig. 2.2. În aceste condiții, acțiunile ponderomotoare exercitate de câmpul magnetic în care este introdusă se exercită numai asupra buclei, nu și asupra conductorilor de conexiune (terminalelor).

Bucla plană de curent se caracterizează printr-o mărime vectorială

numită momentul magnetic al buclei, mărime definită de relația:

(2.1)

Unde: I este intensitatea curentului care străbate bucla, iar este aria suprafeței delimitată de buclă, fiind normala la suprafața buclei. Normala la suprafața buclei are sensul corelat cu sensul curentului electric prin ea. Sensul normalei se determină cu regula burghiului drept, el fiind dat de sensul de înaintare al burghiului așezat perpendicular pe planul spirei când este rotit în sensul curentului prin spiră. Definind vectorul suprafață asociat spirei ca fiind vectorul care are modulul egal cu aria suprafeței iar orientarea dată de normala la suprafață , atunci și .

Din relația (2.1) se vede că dacă , pentru ca expresia momentului să fie finită trebuie ca intensitatea curentului să tindă către infinit ().

Dacă curba Γ care formează conturul buclei este plană, vectorul arie are ca modul chiar aria curbei plane. În cazul în care curba nu este plană, Fig. 2.3, vectorul arie este definit de relația:

(2.2)

în care este vectorul de poziție al elementului de lungime de pe contur luat în raport cu o origine O a sistemului de referință ales. Relația (2.2) se deduce prin integrarea de-a lungul conturului Γ a vectorilor arie ai ariilor elementare care formează aria suprafeței conice cu vârful în O:

(2.3)

Vectorul nu depinde de originea aleasă. Pentru demonstrarea acestei proprietăți se consideră o altă origine O' față de care vectorul arie se presupune că ar avea o valoare diferită și atunci rezultă:

(2.4)

pentru că fiind o mărime constantă (distanța dintre cele două origini OO'), atunci când parcurge bucla în întregime, produsul vectorial schimbă semnul și atunci . Dacă modulul vectorului arie al buclei este independent de forma suprafeței delimitată de buclă și momentul ei păstrează aceeași proprietate.

2.1.3 Inducția magnetică în vid

2.1.3.1 Cuplul ce se exercită asupra unei bucle de curent în câmp magnetic

Experimental se constată că atunci când o buclă de curent se aduce într-un câmp magnetic, asupra ei se exercită din partea câmpului, acțiuni ponderomotoare (forțe și cuplu de forțe). Introducerea mărimilor caracteristice câmpului magnetic (intensitatea sau inducția ) presupune, înainte de toate, cunoașterea acțiunilor ponderomotoare exercitate de câmpul respectiv asupra propriei cauze (aici un conductor strabătut de curent sau un moment magnetic, asociat unui magnet permanent sau buclei de curent).

Momentul static al forțelor care se exercită asupra buclei de curent în raport cu centrul ei de masă se notează cu și experimental se constată următoarele:

– în fiecare punct din câmp există o direcție privilegiată, caracterizată în Fig. 2.4 prin versorul astfel că dacă momentul magnetic este orientat în această direcție cuplul este nul;

– într-o poziție oarecare a buclei, pentru care face unghiul α cu , cuplul tinde să aducă normala la buclă () după orientarea lui și este proporțional cu sinα, având ca factor de proporționalitate valoarea maximă a cuplului. Deci se poate scrie:

(2.5)

– cuplul maxim Mc max este proporțional cu inten-sitatea I și cu aria buclei S, în rest depinde de punctul în care se așează bucla în câmp printr-un factor :

(2.6)

Revenind la cele trei constatări experimentale precedente, se obține expresia cuplului:

(2.7)

în care s-a arătat că direcța arătată de depinde numai de punctul în care se așează bucla și nu de curent sau aria buclei. Ori, ținând seama de definiția momentului buclei, relația (2.7) se mai scrie:

(2.8)

în care este o mărime ce caracterizează câmpul magnetic în fiecare punct.

Așadar, cuplul care se exercită în vid asupra unei bucle de curent din partea câmpului magnetic în care a fost introdusă este egal cu produsul vectorial dintre momentul magnetic al buclei și o mărime vectorială de stare a câmpului numită inducție a câmpului magnetic în vid sau simplu inducție magnetică.

Inducția magnetică în vid caracterizează starea locală a câmpului magnetic în vid. Cuplul tinde să rotească bucla în așa fel încât momentul magnetic al ei să devină paralel cu inducția câmpului magnetic. Deci, pe baza acestui experiment s-a introdus inducția câmpului magnetic ca o mărime vectorială ce caracterizează starea locală a câmpului și care este răspunzătoare de prezența cuplului magnetic ce se exercită asupra buclei de curent introdusă în acel punct din câmp.

2.1.3.2 Forța exercitată de câmpul magnetic asupra unui conductor străbătut de curent electric (Forța electromagnetică – Laplace)

Pentru introducerea inducției magnetice a câmpului magnetic se poate apela și la analiza altor acțiuni ponderomotoare cu care câmpul magnetic acționează asupra curentului electric, cum ar fi forțele.

Măsurând experimental forța ce se exercită asupra unui element de conductor de lungime care face parte dintr-un circuit străbătut de curentul de intensitate I și plasat într-un câmp magnetic exterior de inducție (Fig. 2.5) se constată că aceasta poate fi scrisă prin expresia:

(2.9)

Această expresie poate fi demonstrată cu ajutorul relației (2.7) a momentului cuplului. Se va considera cazul particular al unui cadru dreptunghiular de dimensiuni a și (Fig. 2.6), parcurs de curentul de intensitate I și așezat într-un câmp magnetic uniform de inducție .

Conform relației (2.9), forțele care se exercită asupra laturilor cadrului sunt perpendiculare pe planul format de și .

Cadrul se poate roti în jurul axei punctate OO'. În consecință, vor da momente nenule numai forțele paralele care se exercită asupra laturilor de lungime ale cadrului, deoarece acelea care se exercită asupra laturilor a sunt paralele cu axa de rotație.

Momentul cuplului este:

(2.10)

Înlocuind valoarea forței din (2.9) în (2.10) se obține:

(2.11)

pentru că și este orientat pe direcția normală la planul spirei, adică are aceeași orientare cu .

Presupunând deci că forța care se exercită asupra conductorului este corectă, așa cum a fost definită, găsim că momentul cuplului ce se exercită asupra acestei bucle de curent are aceeași expresie care a fost stabilită în urma experimentului descris anterior. Dar orice buclă de curent poate fi descompusă în spire dreptunghiulare de tipul celei din Fig. 2.6, ca urmare putem afirma că expresia forței electromagnetice cu care câmpul magnetic acționează asupra unui conductor străbătut de curentul de intensitate I, plasat în câmp este dată de forța Laplace:

(2.12)

În cazul particular al unui conductor liniar de lungime străbătut de curentul de intensitate I, plasat într-un câmp magnetic uniform de inducție (Fig. 2.7), forța Laplace capătă forma:

(2.13)

având modulul , și sensul dat de regula burghiului drept. Dacă , forța F are valoarea maximă:

(2.14)

Ca urmare, , astfel încât pe baza forței electromagnetice se poate defini inducția câmpului magnetic, , ca fiind mărimea fizică de stare, vectorială, numeric egală cu forța cu care câmpul magnetic respectiv acționează asupra unității de lungime dintr-un conductor străbătut de unitatea de curent, atunci când conductorul este plasat perpendicular pe liniile câmpului magnetic.

Unitatea de măsură pentru în MKSA raționalizat este:

(2.15)

Un câmp magnetic de 1T este foarte intens. Pentru a înțelege acest lucru sunt demne de reținut următoarele exemple: componenta orizontală a câmpului magnetic terestru este de 0,24 Gs = 2,4·10-5 T; câmpul magnetic dintre polii unui electromagnet atinge 1-2 T, atunci când prin înfășurarea lui trece un curent de 50-100 A, iar un câmp magnetic foarte intens (7-8 T) se obține cu ajutorul unor electromagneți speciali cum sunt cei cu supraconductori. Un T este inducția câmpului magnetic care determină exercitarea asupra unei bucle de curent cu momentul de 1 Am2, a unui cuplu de 1 Nm. Adesea pentru se mai folosește Wb/m2 pe care o vom defini ulterior pe baza fluxului magnetic.

2.1.3.2.1 Densitatea de forță electromagnetică

În cazul conductorilor masivi, se introduce mărimea numită densitate a forței electromagnetice. Pentru introducerea ei se consideră un tub de linii de curent, de intensitate I, plasat într-un câmp magnetic de inducție B.

Considerând volumul elementar din tub și forța electromagnetică , exercitată asupra acestui element de volum din conductor, Fig. 2.8, se poate scrie:

(2.16)

Ca urmare, densitatea de volum a forței este:

(2.17)

Deci asupra unui conductor masiv, străbătut de curentul de conducție I, se exercită o forță a cărei densitate de volum este egală cu produsul vectorial dintre densitatea de curent și inducția magnetică în punctul considerat.

În practică sunt multe exemple în care această forță se face simțită. De exemplu deformarea unei spire în momentul în care se stabilește un curent de intensitate mare prin ea este o consecință a prezenței acestor forțe transversale, care tind să lărgească bucla sub influența câmpului magnetic propriu, Fig. 2.9 a).

În cuptoarele de inducție, prin topitura metalică trec curenți intenși care creează câmp magnetic propriu ce acționează asupra topiturii cu forțe electromagnetice, mai exact electrodinamice ce determină efectul "pinch", efect care gâtuie până la întrerupere coloana de fluid metalic.

În pompele electromagnetice, Fig. 2.9 b), prin trecerea unui curent transversal prin lichidul conductor de pompat situat în câmpul magnetic , asupra lichidului se exercită forța care poate pune lichidul în mișcare.

2.1.3.3 Forța electrodinamică dintre două conductoare paralele străbătute de curent. Forța lui Ampère

Tot în ideea analizei câmpului magnetic (câmpul fizic creat de curentul electric), André-Marie Ampère a constat (în 1820-1821) că între două conductoare paralele filiforme și foarte lungi parcurse de curenții I1 și I2 se exercită forțe de atracție când curenții I1 și I2 sunt în același sens și forțe de respingere când curenții circulă în sens opus.

Din studiul experimental se constată că forța cu care conductorul 1 acționează asupra conductorului 2, Fig. 2.10, este:

(2.18)

unde: l este lungimea de conductor pentru care se calculează forța; este vectorul de poziție relativ dintre cei doi conductori, iar este versorul acestui vector, orientat de la conductorul 1 către 2. Constanta de

proporționalitate , numită permeabilitatea magnetică a vidului, este o constantă universală.

Pe baza relației (2.18), Ampère definește unitatea de măsură pentru intensitatea curentului electric, A, unitate ce-i poartă numele (Amperul) și care este definit ca fiind acea valoare a intensității curentului continuu care menținut în două conductoare filiforme, paralele, rectilinii, infinit de lungi, așezate în vid la distanța de 1 m unul de celălalt, determină între acestea o forță de 2·10-7 N pe fiecare metru de lungime.

Cu ajutorul permeabilității vidului și a inducției magnetice în vid se poate defini pentru câmpul magnetic o mărime care să caracterizeze numai geometria de curent ce creează câmpul, fără a ține seama de proprietățile mediului în care se propagă câmpul. Această mărime este intensitatea câmpului magnetic în vid, notată cu și definită prin:

(2.19)

Observație: Dacă se revine la forța de interacțiune dintre două conductoare paralele străbătute de curenții I1 și I2, , se observă o analogie de formă între aceasta și forța electrostatică dintre două fire încărcate cu sarcină electrică descrisă de densitățile liniare de sarcină λ1 și λ2, Fig. 2.11, forță dată de:

(2.20)

Dar, în electrostatică, între cele două distribuții liniare de sarcină se exercită o forță de respingere când sunt încărcate cu sarcină de același semn și o forță de atracție când sarcinile sunt de semne contrare, contrar observațiilor referitoare la interacția curenților. Analogia aceasta, dintre electrostatică și magnetostatică, permite introducerea mărimilor specifice câmpului magnetic într-o manieră similară cu cea folosită la caracterizarea câmpului electrostatic.

2.2 Câmpul magnetic al circuitelor de curent continuu în vid

2.2.1 Formula Biot – Savart – Laplace

În electrostatică, expresia câmpului electric produs de repartiții cunoscute de sarcină în vid a fost stabilită pe baze experimentale directe cu ajutorul relației:

(2.21)

și a formulei lui Coulomb

(2.22)

rezultând, în cazul sarcinii punctiforme, expresia:

(2.23)

iar pentru o distribuție de sarcină volumică expresia:

(2.24)

În studiul câmpului magnetic staționar se poate urma o cale analoagă pentru a stabili pe baze experimentale expresia câmpului magnetic produs de un circuit de curent continuu, expresie analoagă cu (2.24) și cunoscută sub numele de formula Biot – Savart – Laplace.

Relația analoagă ecuației (2.21) este pentru magnetostatică formula lui Laplace:

(2.25)

iar cea analoagă formulei lui Coulomb (ecuația 2.22) se poate considera forța electrodinamică dintre două conductoare paralele .

Dar analogia aceasta are un caracter particular (în câmpul magnetic neexistând un corp de probă atât de simplu cum este micul corp încărcat cu sarcina electrică), ca urmare raționamentele în magnetostatică sunt mai complicate și vor fi prezentate simplificat, iar premisa experimentală pe care o constituie relația forței electrodinamice (2.18) este insuficientă.

Ea poate fi înlocuită și completată de experiențele făcute de Jean-Baptiste Biot și Felix Savart. Ca rezultat al acestor experiențe, s-a stabilit pentru intensitatea câmpului magnetic , produs în vid de un circuit filiform închis parcurs de curentul continuu I expresia:

(2.26)

numită formula Biot – Savart – Laplace în care:

– este elementul de lungime dl pe conturul Γ al circuitului, cu sensul dat de sensul pozitiv al curentului, Fig. 2.12;

– este vectorul de poziție de la la punctul P în care se calculează câmpul.

Observație: La operarea cu această formulă trebuie să se sublinieze că integrarea trebuie efectuată numai asupra unei curbe închise, rezultatul efectuării ei asupra unei curbe deschise fiind lipsit de semni-ficație fizică deoarece curenții continui sunt totdeauna închiși. Experiența verifică această expresie în câmpuri magnetice staționare (și chiar cvasistaționare) în vid sau așa cum se va vedea ulterior, în medii omogene. De aceea, din punct de vedere al formulării bazelor experimentale ale teoriei câmpurilor magnetice staționare, această formulă are același rol ca și cel pe care îl are expresia câmpului electric coulombian în formularea bazelor experimentale a teoriei electrostaticii.

Demonstrația riguroasă a formulei Biot – Savart – Laplace se face pe baza legilor generale ale câmpului magnetic, acceptate ca postulate ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic și va fi dată ulterior. În cele ce urmează însă se va prezenta deducerea pe baze experimentale a acestei formule așa cum a fost ea concepută de Biot, Savart și Laplace, deducere care prezintă mai mult interes istoric.

a) Experiențele lui Biot și Savart (1880-1921)

Apelând la expresia forței electrodinamice a lui Ampère măsurabilă experimental și încercând să o pună sub forma forței Laplace cu care câmpul magnetic creat de conductorul (1) acționează asupra conductorului (2) de lungime , se poate pune în evidență expresia intensității câmpului magnetic creat de un conductor liniar infinit de lung. Astfel:

(2.27)

Dar

(2.28)

Pentru scrierea ecuației (2.28) s-a asociat conductorului (2) străbătut de I2 vectorul cu sensul lui I2 și s-a considerat că eventualul câmp magnetic creat de conductorul (1) în punctul în care se află conductorul (2) nu poate fi decât perpendicular pe planul conductorilor astfel încât forța electromagnetică să fie în planul conductorilor așa cum se constata experimental, Fig. 2.13. Așadar, identificând relațiile (2.27) și (2.28) s-a obținut pentru intensitatea câmpului magnetic creat de primul conductor la distanța de el expresia:

(2.29)

Liniile câmpului ale unui conductor liniar sunt cercuri concentrice situate în plane transversale față de curentul care-l determină.

Relația (2.29) a fost stabilită independent de formula lui Ampère, experimental, cu ajutorul unui mic ac magnetic de către Biot și Savart, dar expresia (2.29) nu este suficientă pentru a putea deduce câmpul magnetic produs de un circuit de formă oarecare. Biot și Savart și-au extins însă experiențele și la câmpul unui fir infinit, îndoit în unghiul 2α (Fig. 2.14), măsurând intensitatea câmpului magnetic într-un punct P situat pe bisectoarea unghiului astfel format de deschiderea 2α, la distanța R de punctul M din vârful unghiului.

Vectorul a fost găsit perpendi-cular pe planul determinat de unghi, orientat după regula burghi-ului drept față de prelungirile oricăreia dintre laturile unghiului și de mărime:

(2.30)

Relația (2.30) generalizează rezultatul precedent (2.29) pentru că dacă din (2.30) rezultă (pentru că

Pentru a putea deduce din relația (2.30) expresia intensității câmpului magnetic produs de un circuit de formă oarecare (Fig. 2.15), marele matematician Laplace (1749-1827) a utilizat ipoteza că acest câmp este rezultanta obținută prin superpoziția unor câmpuri elementare produse de fiecare element de circuit de lungime în parte, adică:

(2.31)

Înainte de a examina validitatea însăși a acestei ipoteze (care din punct de vedere fizic s-a dovedit inadecvată), vom arăta cum poate fi folosită ea pentru a deduce din expresiile lui Biot și Savart și în particular din (2.30), expresia generală a lui .

Din motive de simetrie, aplicând principiul superpoziției, adică relația (2.31) la conturul în unghi din Fig. 2.14 se poate spune că fiecare latură a unghiului contribuie la câmp cu:

(2.32)

Considerând o latură a conductorului semiinfinit, Fig. 2.15, intensitatea câmpului magnetic în punctul P, aflat la distanța r = cst. de conductor este

iar pe de altă parte, conform principiului superpoziției, relația (2.31) se poate scrie: , care în cazul particular al firului semiinfinit (se admite că circuitul este închis la infinit) devine echivalent cu alegerea unui sistem de referință cu originea în punctul O și orientat în sensul lui I:

(2.33)

Diferențiind relația în raport cu se obține, dacă presupunem distanța r (de la punctul P la conductor) constantă:

(2.34)

Deci:

Dacă apelăm la triunghiul MPN (cu PN = r = const.) observăm că

și rezultă:

Dar, tot din triunghiul MNP rezultă , deci

și în final:

S-a ținut seama de faptul că, câmpul trebuie să fie perpendicular pe planul ce conține conductorul și ca sens el coincide cu sensul produsului vectorial dintre elementul de lungime și .

Așadar, plecând de la expresiile Biot – Savart și considerând valabil principiul superpo-ziției postulat de Laplace, pentru câmpul elementar ipotetic pe care-l creează un element de circuit, , într-un punct P, aflat la distanța față de el, s-a obținut expresia:

(2.35)

Atunci expresia intensității câmpului magnetic dat de întreg circuitul Γ în punctul P (Fig. 2.12) rezultă prin integrare, obținând formula Biot – Savart – Laplace:

(2.36)

Observație: Deși rezultatul obținut este corect, ipoteza superpoziției câmpurilor elementare formulată de Pierre Laplace prin relația (2.31) este incorectă, deoarece nu pot exista elemente de circuit rupte de circuitul din care fac parte (independente de acesta), curentul continuu circulând întotdeauna pe căi închise. Din acest motiv relația (2.35) nu reprezintă un câmp elementar (pentru că nu există ), ci reprezintă integrantul din relația (2.36), care dă câmpul magnetic creat de un circuit închis Γ într-un punct P aflat la distanța de elementul de contur ales.

Evident, pentru inducția câmpului magnetic în vid se poate da expresia:

(2.37)

De multe ori formula Biot – Savart – Laplace se exprimă în funcție de densitatea de curent. Considerând un element de volum dintr-un conductor dV cu volumul , atunci .

Cu aceasta, relația (2.37) devine:

(2.38)

adică este dat de integrala pe volumul circuitului străbătut de curentul de densitate , din .

În principiu, formula Biot – Savart – Laplace în formele (2.37) sau (2.38) permite calculul inducției câmpului magnetic în vid pentru orice geometrie de curent. În cele ce urmează vor fi date câteva exemple de calcul a mărimilor câmpului magnetic cu ajutorul formulei Biot – Savart – Laplace.

a) Calculul inducției câmpului magnetic creat, în vid, de o spiră circulară de rază a, pe axa de simetrie a ei, la distanța h de planul acesteia, Fig. 2.16

Rezultă:

(2.39)

Deci are numai componentă normală la planul spirei și este dat de relația (2.39). Pentru h = 0 (centrul spirei) , iar pentru , B = 0. Graficul lui B(h) de o parte și de alta a planului spirei este dat în Fig. 2.17.

Dacă se evaluează câmpul în puncte suficient de depărtate de centru spirei, se constată că inducția câmpului magnetic se poate exprima în funcție de momentul magnetic al spirei, astfel:

(2.40)

Dacă două spire de raze a sunt așezate la distanța a între ele și străbătute de același curent, fluxurile lor sunt aditive, determinând un câmp rezultant practic independent de poziția în lungul axei de simetrie.

Un sistem de două bobine paralele, cu același număr de spire, așezate la distanța a egală cu raza lor formează sistemul bobinelor Gaugain – Helmholtz, Fig. 2.18. Câmpul magnetic rezultant la h = a/2 este:

În centrul uneia dintre bobine este:

Între cele două bobine, B variază de la până la , deci se poate considera că este practic constant.

2.2.2 Potențialul magnetic scalar al unei spire

În cazul spirei circulare din Fig. 2.16, pentru care s-a calculat inducția câmpului magnetic pe baza formulei Biot – Savart – Laplace, intensitatea câmpului magnetic este:

(2.41)

Deci există numai componenta normală la planul spirei a lui H și această componentă este dependentă de 1/R3. O asemenea comportare avea și intensitatea câmpului electric creat de o spiră circulară de rază a încărcată uniform cu densitatea de sarcină liniara λ. Analizând această analogie electrostatică – magnetostatică e firesc să ne punem întrebarea: se poate introduce și pentru câmpul magnetic un potențial magnetic scalar al cărui gradient să conducă la intensitatea câmpului magnetic?

În anumite condiții, care vor fi discutate în continuare, prin analogie cu potențialul electric definit de:

(2.42)

se poate introduce și pentru câmpul magnetic un potențial magnetic scalar, astfel încât:

(2.43)

În această relație, Vm este potențialul magnetic scalar, care poate fi exprimat din formula Biot – Savart – Laplace. El poate fi introdus însă numai acolo unde este satisfăcută relația , adică în puncte din câmpul magnetic depărtate de orice sursă a câmpului magnetic, astfel încât în acele puncte măcar local câmpul să poată fi considerat ca un câmp cu linii de câmp deschise. În cazul spirei circulare din Fig. 2.19, potențialul magnetic scalar în punctul P se calculează prin analogie cu ecuația (2.42) astfel:

(2.44)

Fixând prin convenție și , rezultă:

(2.45)

Dacă se face schimbarea de variabilă:

rezultă:

(2.46)

Dar, conform Fig. 2.19, unghiul solid sub care se vede spira de contur Γ din punctul P este:

(2.47)

Deci potențialul magnetic scalar îl putem exprima în funcție de unghiul solid ΩΓ sub care se vede conturul Γ străbătut de curentul I din punctul în care se calculează Vm.

Deci în cazul spirei circulare se obține:

(2.48)

Se poate demonstra că formula (2.48) este valabilă oricare ar fi forma spirei și poziția punctului din câmpul magnetic al acestei spire.

Deci potențialul magnetic scalar (definit până la o constantă arbitrară aditivă) este egal cu produsul dintre intensitatea curentului electric ce străbate spira și unghiul solid sub care se vede spira din punctul considerat, raportat la 4π. Pentru unghiul ΩΓ se face următoarea convenție de semn: ΩΓ > 0 dacă spira este văzută din punctul P ca fiind parcursă de curent în sens trigonometric și ΩΓ < 0 în caz invers.

Observație: Se va arăta ceva mai târziu că potențialul magnetic scalar se poate defini numai în regim staționar și numai în regiunile unde densitatea de curent electric este nulă, adică unde . Deoarece aceste regiuni sunt, în general, multiplu conexe, potențialul magnetic scalar este neuniform, adică are în același punct un șir diferit de valori, dependente de curba de integrare utilizată pentru calcularea lui.

Desigur, în condițiile de valabilitate precizate, se poate calcula ușor potențialul magnetic scalar prin relația și calculând gradientul lui se găsește intensi-tatea câmpului magnetic, uneori mult mai ușor decât apelând la legea Biot – Savart – Laplace.

(2.49)

2.2.3 Teorema lui Ampère (Legea circuitală Ampère)

În electrostatică, proprietățile generale ale câmpului electrostatic în vid sunt descrise de: a) teorema potențialului electrostatic ; b) teorema lui Gauss .

În contextul analogiei electrostatică – magnetostatică este de așteptat ca și câmpul magnetic creat în vid de curentul electric staționar să fie caracterizat de proprietăți generale analoage, una referitoare la circulația vectorului câmp și alta la fluxul vectorului inducție sau intensitate a câmpului magnetic.

2.2.3.1 Forma integrală a legii circuitului magnetic (Legii circuitale Ampère)

Ca și în cazul câmpului electric se va calcula circulația câmpului magnetic pe un contur închis Γ din câmpul magnetic. Pentru exemplificare se consideră mai întâi cazul câmpului creat de un conductor rectiliniu infinit de lung la care se cunoaște inducția câmpului magnetic la distanța r de el.

Circulația lui pe conturul ABCDA care nu înlănțuie conductorul, Fig. 2.20, este:

(2.50)

Observație: Deoarece orice contur Γ ce nu înlănțuie curentul poate fi descompus în contururi de tipul ABCDA, se poate afirma că circulația câmpului magnetic de-a lungul unui contur închis ce nu înconjoară curentul I este nulă.

Considerând conturul Γ ce înconjoară curentul chiar pe o linie de câmp (Fig. 2.20), B este constant la distanța de conductor și:

(2.51)

Pentru generalizare, se va considera un al doilea exemplu, cel al câmpului magnetic creat de o spiră plană, de contur Γ', parcursă de curent, (Fig. 2.21). Calculând circulația câmpului magnetic produs de această spiră plană de-a lungul conturului ACBDA care înlănțuie spira și ale cărei puncte A și B sunt în planul spirei se obține:

(2.52)

Dar

(2.53)

(Într-adevăr spira este privită de sus și sensul curentului prin ea este sensul trigonometric, iar pentru că spira este privită dintr-un punct exterior situat în planul ei.)

Analog

(2.54)

Aici și (văzut de jos, curentul prin spira Γ' este în sens invers celui trigonometric, deci ).

Revenind la (2.53) și (2.54), se obține:

(2.55)

Se poate extinde aceasta la cazul unei curbe care înlănțuie mai mulți conductori parcurși de curenți electrici, Fig. 2.22, aplicând principiul superpoziției și atunci se poate scrie:

(2.56)

Relația (2.56) exprimă teorema lui Ampère, al cărui enunț este: Integrala de linie a inducției magnetice în vid este egală cu produsul între permitivitatea și suma algebrică a curenților înlănțuiți. Curenții se consideră pozitivi când sensul în care ei străbat conturul Γ se asociază după regula burghiului drept cu sensul în care se face integrarea. De exemplu, în Fig. 2.22, I3 și I1 > 0 și I2 < 0 deci:

(2.57)

Când conturul Γ înlănțuie o bobină cu N spire, relația (2.56) devine:

(2.58)

deoarece I trece prin suprafața SΓ de N ori, iar în general când conturul Γ înlănțuie mai multe circuite, aceasta se reduce la:

Mărimea θ poartă denumirea de solenație și se măsoară în A·spiră.

Definiție: Tensiunea magnetică în lungul unei curbe închise, adică integrala de linie a intensității câmpului magnetic, este proporțională cu solenația înlănțuită de curba respectivă.

Observație: Tensiunea magnetică între două puncte nu depinde de drum numai dacă drumurile care leagă cele două puncte alcătuiesc împreună o curbă închisă care nu înlănțuie diferite circuite străbătute de curenți. În cazul general tensiunea magnetică dintre două puncte depinde de drum. Aceasta se datorește faptului că în prezența curenților electrici câmpul magnetic nu este irotațional. Numai în domeniile simplu conexe, în care densitatea de curent este peste tot nulă, câmpul magnetic este irotațional și poate fi considerat ca gradientul potențialului magnetic scalar. Aceste observații vor fi exprimate într-o manieră similară cu cea din electrostatică, apelând la forma locală a legii circulației câmpului magnetic, adică la forma locală a legii circuitale Ampère.

Astfel, dacă conturul Γ înlănțuie un tub de linii de curent de densitate , Fig. 2.23, atunci Legea circuitală Ampère se scrie:

(2.59)

unde SΓ este suprafața ce se sprijină pe curba Γ.

Apelând la teorema Stokes se obține:

(2.60)

din care rezultă forma diferențială a legii Ampère:

(2.61)

Această ecuație reprezintă una dintre ecuațiile Maxwell valabilă numai pentru magnetostatică, adică în regim electrocinetic staționar.

În regim variabil în timp, de exemplu în curent alternativ sau tranzitoriu, ecuația (2.61) nu mai este valabilă, în membrul drept mai trebuie adăugat un termen. Acest termen este adăugat de Maxwell, curentul de deplasare, care a fost introdus deja cu ocazia definirii densității de curent. Deci, în cazul unui sistem de corpuri imobile () prima ecuație Maxwell capătă forma:

(2.62)

în care termenul este densitatea curentului de deplasare.

Într-un context și mai general, în cazul mediilor în mișcare când suprafața SΓ poate fi antrenată de corpuri în mișcarea lor, forma locală a circuitului magnetic devine:

(2.63)

în care pe lângă curentul de conducție , de deplasare mai apare densitatea curentului de convecție , despre care experiența și teorema lui Rowland arată că el creează câmp magnetic, ca și curentul teoretic sau Röentgen (dat de mișcarea unui corp polarizat cum ar fi cel din exemplul lui Röentgen de rotire a unui disc dielectric între armăturile unui condensator încărcat). Toți acești termeni apar dacă se calculează derivata substanțială a fluxului inducției electrice printr-o suprafață mobilă, Fig. 2.24. Demonstrația derivatei substanțiale a fluxului electric:

Dar conform teoremei Gauss la momentul t, deci:

Deci revenind la legea circuitului magnetic în forma locală:

și integrând pe suprafața SΓ ce se sprijină pe curba Γ se obține:

(2.64)

Forma integrală dezvoltată a legii circuitului magnetic:

(2.65)

Circulația câmpului magnetic pe o curbă Γ închisă este egală cu solenația și derivata substanțială a fluxului electric prin suprafața SΓ mobilă ce se sprijină pe curba Γ.

Aplicație: Forma integrală dezvoltată a legii circuitului magnetic poate fi folosită la calculul câmpului magnetic în cele mai diverse situații.

De exemplu la calculul câmpului magnetic al unei sarcini q aflată în mișcare lentă cu viteza , Fig. 2.25. Particula cu sarcină pozitivă ce se mișcă cu este echivalentă cu un curent filiform ce va avea un câmp magnetic cu liniile de câmp de forma unor cercuri concentrice plasate într-un plan perpendicular pe traiectoria particulei.

Alegând curba Γ de formă circulară de rază r, de-a lungul liniei de câmp magnetic, rezultă conform ecuației(2.65):

Dar .

Rezultă:

Observație:

Revenind la cazul și regim pur staționar și chiar și mai mult în regiunile din câmpul magnetic în care densitatea de curent de conducție este nulă, de exemplu în vid, în acord cu ecuația (2.64), rotorul câmpului magnetic este nul sau , ca urmare, în acest caz, conform teoremei din analiza vectorială se poate defini pentru câmpul magnetic un potențial scalar. În general însă câmpul magnetic nu este un câmp potențial (un câmp care să derive din gradientul unei funcții scalare), pentru că nu întotdeauna ci numai în anumite regiuni unde nu există nici un fel de sursă a câmpului magnetic.

Teorema circuitului magnetic a lui Ampère în formă integrală este foarte utilă la calculul intensității câmpului magnetic pentru diferite geometrii de curent. Se pot da o mulțime de exemple, ca determinarea inducției câmpului magnetic: la distanța r de un conductor liniar infinit de lung străbătut de curent electric; pe axa unui solenoid infinit de lung; într-o bobină toroidală etc. Legea circuitului magnetic permite de asemenea demonstrația ecuației de trecere pentru intensitatea câmpului magnetic la interfața dintre două medii cu proprietăți diferite, care va fi prezentată în continuare.

În cazul suprafețelor de discontinuitate dintre două medii magnetice diferite (1 și 2), (Fig. 2.26), aplicând legea circuitului magnetic în lungul micului contur de lungime Γ rezultă, în cazul când pe suprafață nu există curenți:

Rezultă:

(2.66)

Deci, în cazul când nu există curenți superficiali, componenta tangențială a intensității câmpului magnetic este continuă la trecerea prin suprafața de separare dintre două medii diferite.

2.2.4 Teorema Gauss pentru câmpul magnetic

2.2.4.1 Forma integrală a Teoremei Gauss pentru câmpul magnetic

A doua proprietate generală importantă a câmpului magnetic se referă la fluxul vectorului inducție magnetică printr-o suprafață închisă Σ care este identic nul oricare ar fi suprafața , spre deosebire de situația din electrostatică, unde fluxul vectorului inducție electrică printr-o suprafață închisă este egal cu sarcina localizată în interiorul suprafeței.

Ca verificare a acestei proprietăți, se poate considera într-un caz particular câmpul magnetic al unui fir conductor infinit de lung străbătut de curentul de intensitate I, calculând integrala de suprafață a lui pentru două suprafețe Σ1 și Σ2 ca în Fig. 2.27 (Σ1 o suprafață cilindrică conținând firul și Σ2 care nu conține firul).

Ținând seama de faptul că liniile de câmp sunt cercuri concentrice dispuse într-un plan perpendicular pe conductor este evident că nu există flux prin bazele lui Σ1 iar prin suprafața laterală fluxul este zero (), în orice poziție, deci .

Fluxul prin fețele AA'DD' și BB'CC' ale paralelipipedului Σ2 paralele cu liniile de câmp este nul iar fluxul net prin fețele ABCD și A'B'C'D' intersectate normal de către liniile de câmp este din nou nul ținând seama de faptul că normalele și sunt antiparalele.

Deci și pentru suprafețe de tipul Σ2 se poate scrie:

Așadar, indiferent de forma suprafeței închise și indiferent de faptul că ea conține sau nu conductorul străbătut de curent, fluxul câmpului magnetic printr-o suprafață închisă este nul.

(2.67)

De fapt, poate fi dată o demonstrație în context general pentru această teoremă, dacă se utilizează formula Biot – Savart – Laplace aplicată la cazul geometriei de curent folosită în raționamentul de mai sus, și anume:

(2.68)

(S-a folosit relația din analiza vectorială: )

Dar pentru că operatorul acționează asupra lui x, y, z (Fig. 2.28), iar:

evident (2.69)

Cel de-al treilea termen din relația (2.68) este din nou zero, pentru că:

În baza acestor demonstrații se poate enunța teorema lui Gauss pentru câmpul magnetic, astfel:

Fluxul câmpului magnetic printr-o suprafață închisă este nul. Această proprietate se datorează formei liniilor de câmp ale inducției magnetice, care sunt totdeauna linii închise. De asemenea, fluxul inducției magnetice este conservativ, adică dacă se consideră un tub de linii de câmp ca în Fig. 2.29 rezultă:

adică fluxul care intră este egal cu fluxul care iese din volumul mărginit de suprafața închisă considerată și această constatare este valabilă pentru orice câmp magnetic.

Teorema Gauss pentru câmpul magnetic se poate enunța astfel:

Fluxul liniilor de câmp magnetic printr-o suprafață închisă este egal cu zero, indiferent de forma câmpului sau structura surselor care-i dau naștere:

(2.70)

2.2.4.2 Forma locală a Teoremei Gauss pentru câmpul magnetic

În baza teoremei Gauss – Ostrogradski se poate scrie:

(2.71)

unde S este suprafața închisă, iar V volumul limitat de suprafața S, rezultând astfel:

(2.72)

una din ecuațiile Maxwell pentru magnetostatică. Aceasta poate fi demonstrată direct pe baza formulei Biot – Savart – Laplace cum s-a arătat anterior.

Relațiile (2.70) și (2.72) reprezintă forma integrală, respectiv diferențială a legii lui Gauss pentru câmpul magnetic.

Aceste relații sugerează faptul că liniile câmpului magnetic sunt continui.

Spre deosebire de câmpul electric , pentru care această concluzie era valabilă doar într-un spațiu fără surse (sarcini electrice), pentru câmpul magnetic ea este valabilă oriunde, ceea ce corespunde faptului că pentru câmpul magnetic nu există analogul sarcinilor electrice din cazul câmpului electric. Altfel spus, nu există monopoli magnetici. Argumentul experimental fundamental care infirmă existența sarcinilor magnetice constă în faptul că asupra particulelor elementare aduse într-un câmp magnetic uniform de inducție nu se exercită forțe omoparalele cu intensitatea câmpului de forma .

2.2.5 Potențialul magnetic vector

Anterior, s-a arătat că proprietatea câmpului magnetic de a nu fi creat de sarcini magnetice este exprimată prin una din ecuațiile Maxwell:

Dar ținând seama de teorema enunțată în cazul algebrei și analizei vectoriale, care afirmă: dacă divergența unei mărimi vectoriale este zero, atunci există o altă mărime vectorială cu proprietatea că rotorul acestei mărimi este egal cu mărimea vectorială ce are divergența nulă.

În acord cu această teoremă, în magnetostatică se poate introduce o mărime vectorială numită potențial magnetic vector, având proprietatea:

(2.73)

Se va calcula potențialul magnetic vector apelând la formula Biot – Savart – Laplace. Considerând cazul conductorului rectiliniu de lungime l (Fig. 2.30):Exprimând vectorul de poziție și densitatea de curent în coordo-nate carteziene,

și , rezultă:

Deci, componenta după axa x a inducției câmpului magnetic va fi:

(2.74)

Dar

și

deci

(2.75)

Ținând seama că derivatele parțiale se fac după y și z, iar densitatea de curent de conducție () este funcție de coordonatele (x',y',z'), componentele densității de curent pot fi trecute după operatorul de derivare, ecuația (2.75) devenind:

(2.76)

Integrarea se face după volumul V(x',y',z') al porțiunii finite de conductor iar derivarea se efectuează în punctul în care se calculează inducția, ca urmare operatorul de integrare poate comuta cu cel de derivare și (2.76) devine:

(2.77)

Se observă că dacă se notează cu mărimea , în membrul drept al ecuației (2.77) se află componenta după direcția x a rotorului mărimii .

Procedând analog la calculul componentelor By și Bz ale inducției, se obține:

(2.78)

Mărimea

(2.79)

se numește potențial magnetic vector și are proprietatea enunțată:

Determinarea expresiei potențialului magnetic vector se poate face într-o maniera mult simplificată, pornind de la Legea Biot – Savart – Laplace și ținând seama de setul de coordonate asupra căruia acționează operatorii de derivare și de integrare. Astfel, pentru geometria de curent folosită în Fig. 2.30, rezultă:

Mărimea

(2.80)

reprezintă cea de a doua formă a potențialului magnetic vector al câmpului magnetic creat de circuitul filiform Γ, străbătut de curentul de intensitate I. Integrarea se face de data aceasta după conturul Γ al circuitului și nu după volumul circuitului străbătut de curentul de conducție a cărei densitate este ca în cazul relației (2.79). Ambele relații sunt utile la rezolvarea unor probleme pentru că de multe ori este mai convenabil să se calculeze potențialul magnetic vector și apoi inducția câmpului magnetic cu ajutorul rotorului din .

Observație: Sistemul de ecuații (2.78) are o infinitate de soluții pentru componentele vectorului . Acest lucru rezultă imediat dacă se observă că și vectorul , unde Ψ este un scalar oarecare, are același rotor ca și vectorul . Într-adevăr, deoarece rotorul gradientului oricărei funcții scalare este nul:

Deci potențialul magnetic vector este o funcție neunivoc determinată. Această nedeterminare impune vectorului o condiție suplimentară și anume (evident că este legat direct de de pe un circuit închis și nu are de ce să aibă divergența ≠ 0).

Vectorul care satisface ecuațiile și se numește potențial magnetic vector al câmpului . De fapt o mărime vectorială este perfect determinată dacă i se cunoaște rotorul și divergența.

Existența acestei mărimi este condiționată de valabilitatea legii fluxului magnetic, respectiv de legea lui Gauss pentru magnetism. Cu ajutorul lui legea Gauss devine care arată că fluxul prin orice suprafață ce se sprijină pe Γ este același.

Deși nu este evidentă utilitatea introducerii lui, aceasta va rezulta în continuare prin folosirea lui în câteva cazuri particulare, atât pentru obținerea câmpului magnetic creat de o distribuție oarecare de curenți, cât și pentru rezolvarea ecuațiilor Maxwell în capitolul referitor la câmpul electromagnetic.

Aplicații:

1) Demonstrația Teoremei lui Rowland, care afirmă că și curentul de convecție creează câmp magnetic

Enunț:

Un corp electrizat în volum cu densitatea de sarcină volumică ρ se mișcă uniform cu viteza , de-a lungul axei Ox. Să se calculeze inducția câmpului magnetic creat de acest corp în mișcare cu viteza .

Rezolvare:

Corpul electrizat, în mișcare cu viteza , Fig. 2.31, generează curentul de convecție a cărui densitate este . Acest curent va crea în vid, la distanța de originea sistemului de coordonate considerat, un câmp magnetic al cărui potențial vector este:

(1)

În acord cu definiția potențialului vector, inducția câmpului magnetic în același punct este:

(2)

În ultimul termen din ecuația (2) s-a ținut seama de faptul că potențialul electric creat de distribuția de sarcină în punctul în care se calculează potențialul magnetic vector este: .

Vectorul viteză având componentele (vx,0,0), rezultă pentru componentele vectorului inducție a câmpului magnetic, expresiile:

(3)

Cu acestea, modulul inducției câmpului magnetic este:

(4)

Cum distribuția de sarcină de densitate ρ creează întotdeauna un câmp electric la distanța de centrul ei, descris prin mărimile sau , este evident că în acel punct există și un câmp magnetic a cărui inducție este direct legată de mărimile câmpului electric așa cum arată ecuațiile (3) și (4).

2) Independența fluxului magnetic de forma suprafeței care se sprijină pe curba Γ

Considerând două suprafețe și care se sprijină pe curba Γ, Fig. 2.32, se poate demonstra că fluxul magnetic prin oricare dintre aceste suprafețe este același. Într-adevăr, apelând la potențialul magnetic vector se poate exprima fluxul magnetic prin cele două suprafețe astfel:

rezultă deci că fluxul prin oricare suprafață SΓ ce se sprijină pe Γ este același și nu depinde decât de Γ.

2.2.5.1 Dezvoltarea multipolară a potențialului magnetic vector

În capitolul dedicat electrostaticii s-a demonstrat că potențialul câmpului electric generat de o distribuție de sarcină statică, într-un punct suficient de depărtat de centrul distribuției de sarcină poate fi pus, după o dezvoltare în serie corespunzătoare, sub forma sumei dintre potențialul unei sarcini punctiforme, potențialul de dipol, potențialul de cuadrupol ș.a.m.d.

În continuare, ținând seama de relația s-a putut exprima intensitatea câmpului electric a unei sarcini punctiforme a unui dipol, a unui cuadrupol etc.

Pe baza analogiei dintre electrostatică și magnetostatică, la care s-a făcut apel deseori, se pune problema dezvoltării și a potențialului magnetic vector într-un punct depărtat de centrul unei distribuții de curent și punerea în evidență a unor termeni similari și anume potențialul de monopol, de dipol, cuadrupol magnetic ș.a.m.d.

Fie distribuția de curenți din interiorul volumului V', caracterizată în fiecare punct prin densitatea de curent (Fig. 2.33).

Potențialul magnetic vector al acestei distribuții de curent în punctul este:

(2.81)

unde

(2.82)

În condiția rezultă:

Dacă rezultă:

(2.83)

Ținând seama de aceasta, potențialul magnetic vector al distribuției de curenți devine:

(2.84)

unde

sunt respectiv contribuțiile de monopol, dipol și cuadrupol magnetic la potențialul magnetic vector în punctul . Se observă că, la fel ca și în cazul potențialului electric, dependența acestor termeni de distanța este de forma pentru termenul de monopol magnetic, pentru termenul de dipol magnetic, pentru termenul de cuadrupol magnetic etc. și cu cât ne depărtăm de centrul distribuției de curenți, contribuția potențialului magnetic de grad superior, dipol, cuadrupol etc. la potențialul magnetic total în punctul este din ce în ce mai slabă.

Se remarcă, de asemenea, că în fiecare termen din dezvoltarea (2.84) integrantul depinde atât de coordonatele distribuției de curenți prin cât și de poziția punctului de observație prin .

Analizând pe rând fiecare termen din dezvoltarea (2.84) se va înțelege semnificația potențialului de monopol, dipol și cuadrupol magnetic.

a) Monopolul magnetic. În cazul distribuției de sarcini electrice acest termen pentru potențialul electric dependent de era asociat sarcinii electrice punctiforme și era cel mai important ca tărie (dependență de ).

În cazul câmpului magnetic, așa cum s-a afirmat anterior la interpretarea Legii Gauss pentru magnetism, potențialul de monopol este nul pentru că nu există monopoli magnetici. Într-adevăr: 1) curenții electrici staționari sunt asociați numai circuitelor închise și 2) sediul acestor curenți este volumul V (curenții nu ies prin suprafața S' ce-l delimitează). Pe baza acestor observații se pot imagina curenții din volumul V' circulând prin tuburi de curent închise care umplu întreg volumul, fără să iasă din el. Dacă intensitatea curentului prin al j-lea tub de curent a cărei secțiune transversală este aj o notăm prin: , atunci:

(2.85)

Deoarece fiecare tub de curent este un circuit închis, ceea ce arată că termenul de monopol are o contribuție nulă la potențialul magnetic vector.

b) Dipolul magnetic. Termenul corespunzător potențialului de dipol magnetic din (2.84) poate fi prelucrat astfel încât să poată fi pus în evidență momentul magnetic de dipol astfel:

(2.86)

Se ia separat integrala și se va prelucra astfel încât să fie adusă la o expresie ușor de interpretat fizic. Pentru aceasta se înmulțește cu un vector constant arbitrar , obținându-se:

(2.87)

Se observă că:

și

Deci

(2.88)

unde este un scalar.

Ținând seama de divergența produsului dintre un scalar și un vector, rezultă:

(2.89)

rezultă:

(2.90)

Deci

dar pentru curenții cvasistaționari și rezultă:

deoarece curenții nu ies din suprafața Sv’ circulând numai pe tuburi de curent închise. Deci

Am folosit: . Aici .

Așadar și rezultă:

(2.91)

Revenind la potențialul magnetic vector asociat dipolului, se obține:

(2.92)

În (2.92) s-au făcut următoarele schimbări:

Apoi integrala de volum se face după dv' care depinde numai de (x',y',z'), adică de și , deci s-a putut limita integrala după volum numai la expresia și a putut fi scos în afara integralei.

Se observă că integrala depinde numai de distribuția de curenți oarecare din volumul V', ca urmare ea este o mărime specifică acestei distribuții de curenți din volumul V' și se va nota cu:

(2.93)

numindu-se moment magnetic al distribuției de curenți.

Cu aceasta, potențialul magnetic de dipol devine:

(2.94)

Expresia (2.94) a potențialului magnetic vector de dipol este valabilă pentru oricare distribuție de curenți, deoarece ea a fost dedusă considerând o distribuție oarecare de curenți, fără a specifica forma spațială a curenților din volumul V'. Singura restricție de care trebuie să se țină seama este ca punctul în care se calculează să fie suficient de depărtat de distribuția de curenți.

Din (2.94) rezultă că potențialul magnetic vector al unui dipol magnetic este un vector perpendicular pe planul lui și și orientat în sensul de înaintare al burghiului așezat perpendicular pe planul atunci când este rotit astfel încât să se suprapună peste după unghiul cel mai mic.

Distribuția de curenți cel mai des întâlnită în practică este o buclă plană de curent de formă oarecare.

Se consideră o buclă plană de curent de formă oarecare plasată în planul xOy și străbătută de curentul de intensitate I (Fig. 2.34).

Dacă secțiunea conductorului este atunci și momentul magnetic al buclei este conform definiției (2.93):

(2.95)

Se vede că este aria elementului de suprafață hașurat, iar acesta integrat pe curba Γ va da suprafața totală a buclei orientată prin normala la suprafață (sensul normalei dat de regula burghiului).

S-a regăsit astfel, într-un context mai general, momentul magnetic al buclei de curent, definit la începutul capitolului.

Momentul magnetic, , al buclei de curent este normal pe planul buclei și orientat în sensul de înaintare al unui burghiu rotit în sensul curentului prin buclă, iar modulul este În cazul acestei bucle de curent plană având momen-tul , potenția-lul megnetic vector al dipolului magnetic este conform ecuației (2.94):

(2.96)

În Fig. 2.34 este prezentat potențialul magnetic vector al buclei plane într-un punct oarecare situat la distanța de originea SR și se vede că este paralel cu curentul electric prin buclă.

c) Cuadrupolul magnetic. Cel de-al treilea termen din dezvoltarea (2.84):

care este potențialul magnetic de cuadrupol este dependent de și cu atât mai puțin prezintă interes, și cum cel de monopol este oricum nul și cel de cudrupol este foarte slab, atunci potențialul vector al unei distribuții de curenți oarecare se reduce practic la potențialul magnetic de dipol (termenul II din dezvoltarea (2.84)) de aceea în general se poate scrie:

(2.97)

pentru oricare distribuție de curent cu momentul de dipol .

Câmpul magnetic al buclei plane de curent

Revenind din nou la bucla de curent din Fig. 2.34, ne propunem să calculăm inducția câmpului magnetic într-un punct din exteriorul ei aflat la distanța față de originea SR folosind potențialul magnetic vector.

Dorim să exprimăm în funcție de mărimea specifică ei, care este momentul dipolului magnetic .

(2.98)

iar

(2.99)

Deci

Dar și rezultă:

Deci

Dar iar pentru că și rezultă:

(2.100)

Apelând la sistemul de coordonate sferice rezultă:

(2.101)

Comparând relația (2.100), sau pe componente (2.101) cu câmpul de dipol electric situat în originea sistemului de coordonate și orientat în același mod ca și

constatăm că ele sunt identice. Deci topografia câmpului magnetic creat de o buclă de curent de moment la distanțe mari de buclă este identică cu topografia câmpului electric creat de un dipol electric de moment plasat în originea sistemului de coordonate și orientat la fel ca .

Dar în punctele apropiate de dipolul electric și de bucla de curent circulară și mai ales între sarcinile dipolului electric și în interiorul buclei de curent, câmpul electric al dipolului electric este total diferit de câmpul magnetic al buclei.

De notat că între sarcinile electrice ale dipolului, câmpul electric este orientat în sens opus lui , pe când câmpul magnetic în interiorul buclei este orientat în sensul lui , deși în exterior topografia câmpurilor este similară.

Topografia liniilor câmpului magnetic este de așa natură încât asigură satisfacerea ecuației în toate punctele câmpului, deci și în interiorul sursei. Liniile câmpului magnetic sunt închise, nu au un început și un sfârșit cum se întâmpla în cazul câmpului electric.

Relația lui obținută pe componente plecând de la se poate stabili direct apelând la analiza vectorială astfel:

Sau cel mai ușor se obține din

(2.102)

2.2.6 Analogii cu electrostatica

1) În electrostatică fenomenele electrostatice sunt produse de distribuții de sarcină de densitate volumică ρ și sunt descrise de mărimile și ale căror proprietăți sunt date de relațiile:

(2.103)

În dielectrici perfecți omogeni și izotropi:

iar , rezultând în final ecuația Poisson:

(2.104)

a cărei soluție este:

(2.105)

Dacă rezultă ecuația Laplace:

2) În magnetism, fenomenele magnetice sunt produse de repartiția densității de curent (sau de magneți echivalenți) și sunt descrise de mărimile vectoriale și pentru care sunt valabile ecuațiile:

(2.106)

Într-un mediu perfect omogen și izotrop și deci

,

substanța fiind omogenă și izotropă rezultă:

(2.107)

Deci

sau

Prin condiția impusă potențialului magnetic vector încă din definiție () rezultă ecuația de tip Poisson pentru potențialul vector:

(2.108)

cu soluția:

(2.109)

sau dacă rezultă ecuația de tip Laplace:

(2.110)

adică în formalismul magnetostaticii potențialul magnetic vector definit prin și se comportă similar potențialului scalar din electrostatică, adică satisface aceleași ecuații Poisson, Laplace și se exprimă în funcție de sursele câmpului magnetic printr-o relație similară (2.109).

2.3 Forța Lorentz

Acțiunea câmpului magnetic asupra curentului electric reprezintă în esență acțiunea câmpului magnetic asupra sarcinilor electrice în mișcare. Forța cu care câmpul magnetic acționează la scară microscopică asupra unei sarcini electrice în mișcare se numește forța Lorentz.

Expresia ei poate fi stabilită folosind expresia forței electromagnetice (Laplace) cu care câmpul magnetic acționează asupra curentului electric.

Astfel, considerând o porțiune de conductor de lungime străbătut de un curent de intensitate I, Fig. 2.35, asupra elementului de curent acționează câmpul magnetic de inducție , cu forța:

(2.111)

Dacă dq este o sarcină pozitivă elementară transportată de curentul de intensitate I în intervalul de timp dt prin porțiunea de conductor de lungime , atunci:

(2.112)

iar viteza de deplasare a sarcinii este:

(2.113)

Deci elementul de lungime din conductor poate fi exprimat prin viteza de deplasare a sarcinii elementare dq prin relația:

(2.114)

Revenind la relația forței Laplace (2.111) cu (2.112) și (2.114) se obține:

(2.115)

dt fiind scalar.

Prin integrarea pentru întreaga sarcină se obține forța cu care câmpul magnetic acționează asupra sarcinii q ce străbate conductorul:

(2.116)

Aceasta este formula forței Lorentz. Se observă că ea este perpendiculară pe planul determinat de viteza sarcinii și inducția câmpului magnetic și sensul este dat de sensul produsului vectorial , mediat cu semnul sarcinii.

De pildă în cazul electronului, forța Lorentz va fi adică este de sens opus produsului vectorial .

Forța Lorentz este de natură neelectrică, putând fi echivalentă cu forța determinată de un câmp electric imprimat cu intensitatea:

(2.117)

2.3.1 Mișcarea unui electron într-un câmp magnetic de inducție

Mișcarea unui electron într-un câmp magnetic poate fi ușor analizată folosind ecuația de mișcare:

(2.118)

Dacă electronul intră într-un câmp de inducție cu viteza (Fig. 2.36) atunci componentele vitezei vor fi:

(2.119)

Componenta vy a vitezei, paralelă cu inducția câmpului magnetic, nu determină acțiunea forței Lorentz, ca urmare electronul se va mișca pe direcția câmpului magnetic cu vy = const .

Pentru celelalte două direcții, perpendiculare pe , rezultă:

(2.120)

Înmulțind în diagonală acești termeni se obține:

(2.121)

sau

Integrând o dată în raport cu timpul se obține:

(2.122)

ceea ce ilustrează că sub acțiunea câmpului magnetic viteza electronului se menține constantă și deci un câmp de inducție magnetică nu produce nicio variație a energiei cinetice a electronului, spre deosebire de un câmp electric.

Folosind ecuațiile de mișcare (2.120) se poate deduce ecuația traiectoriei astfel:

(2.123)

(2.124)

sau

(2.125)

care este ecuația unui cerc, .

Deoarece electronul sub acțiunea componentei vy suferă o mișcare rectilinie uniformă pe direcția câmpului magnetic, rezultă că sub acțiunea câmpului magnetic acesta va descrie în general o elice circulară cu o viteză constantă vy (Fig. 2.36).

Dacă viteza lui nu are decât componentă pe direcția câmpului, vy, iar vxz = 0 atunci electronul se mișcă paralel cu , cu viteza vy, iar dacă vy = 0 și vxz ≠ 0 atunci electronul descrie un cerc într-un plan perpendicular pe .

Fie , raza traiectoriei,

perioada fiind deci independentă de viteză. Pe acest fenomen se bazează funcționarea acceleratoarelor de particule, dintre care aici va fi prezentat ciclotronul (1932). El este constituit dintr-un cilindru metalic separat în două jumătăți, Fig. 2.37, aflate în vid și alimentate la tensiunea alternativă de amplitudine U și perioadă:

(2.126)

Particula pătrunde în ciclotron în punctul M, când tensiunea U are valoare pozitivă și este accelerat de această tensiune de ordinul a 104 V. După o jumătate de perioadă, particula ajunge în N când tensiunea este negativă și capătă un nou impuls proporțional cu tensiunea U. Energia maximă la care poate fi accelerat este:

(2.127)

depinzând de B și R.

Crescând viteza particulei după câteva cicluri de accelerare crește raza traiectoriei dar crește și masa m a particulei conform relației relativiste a masei

(2.128)

deci, automat va crește și durata ciclului T0, ceea ce limitează performanțele ciclotronului, în sensul că ciclotronul este desincronizat, perioada de rotație a particulei ≠ de perioada tensiunii alternative T.

Un alt accelerator de particule este betatronul (1941), al cărui principiu de funcționare se bazează pe accelerarea permanentă a purtătorilor de sarcină într-un câmp electric de inducție.

2.3.2 Efectul Hall

Una dintre aplicațiile cele mai interesante ale acțiunii forței Lorentz este efectul Hall, care constă în apariția unei diferențe de potențial UH între fețele unei plăcuțe metalice sau semiconductoare plasată într-un câmp magnetic, când este străbătută de curentul I.

Tensiunea UH apare pe o direcție perpendiculară atât pe direcția densității curentului electric cât și pe cea a inducției câmpului magnetic așa cum se vede în Fig. 2.38.

La trecerea curentului electric de densitate pe direcția Oy apare un câmp electric numit câmp Hall , proporțional cu densitatea de curent ix și cu inducția câmpului magnetic .

(2.129)

unde R este constanta Hall.

Apariția câmpului Hall se datorește faptului că în câmpul magnetic sarcinile mobile sunt deviate sub acțiunea forței Lorentz într-o direcție perpendiculară pe viteza lor și pe .

Ele se acumulează pe o față a probei pe care o încarcă cu un tip de sarcină, pe cealaltă apărând sarcină egală dar se semn opus. Procesul de separare a sarcinilor continuă până când câmpul creat de sarcinile acumulate pe fețe dă naștere la o forță suficient de mare pentru a egala forța Lorentz care acționează în sens opus:

(2.130)

În stare staționară (curent nul pe direcția Oy) trebuie să existe relația:

(2.131)

În cazul analizat câmpul Hall va fi

(2.132)

Dar viteza sarcinii vx poate fi determinată din expresia densității de curent astfel:

(2.133)

Deci câmpul Hall va fi:

(2.134)

S-a considerat că în material există un singur tip de purtători de sarcină q ce-și conțin semnul.

Din expresia (2.134) a câmpului Hall rezultă într-o primă formă constanta Hall:

(2.135)

Se vede că semnul constantei Hall este dat de semnul sarcinii:

R > 0 dacă q > 0 (pentru goluri în semiconductori)

R < 0 dacă q < 0 (pentru electroni în semiconductori și metale)

Deci din determinarea semnului constantei Hall se poate determina semnul sarcinilor purtătorilor majoritari în semiconductorii extrinseci.

În semiconductori (cu conducție mixtă) constanta Hall se modifică conținând și mobilitățile purtătorilor și .

(2.136)

Această expresie se reduce la expresia (2.135) pentru semiconductorii de tip n în care :

Pentru conducția mixtă, conform cu (2.136) semnul constantei Hall depinde de diferența . Se poate vedea astfel că semnul constantei Hall nu corespunde tot timpul purtătorilor majoritari, mai ales dacă mobilitățile sunt foarte diferite. În cazul intrinsec (n = p), deși electronii și golurile sunt deviate spre aceeași față a probei, câmpul Hall nu se anulează deoarece așa cum rezultă din (2.136) pentru n = p = ni constanta Hall depinde de diferența mobilităților:

(2.137)

De regulă, , astfel încât pentru semiconductorii intrinseci semnul constantei Hall este negativ.

Dacă așa cum se întâmplă în mulți semiconductori compuși:

(2.138)

adică la concentrații egale electronii predomină prin mobilitatea lor superioară celei a golurilor.

Deoarece în semiconductori concentrația purtătorilor este mult mai mică decât în metale (1017-1018 cm-3 la semiconductori față de 1022-1023 cm-3 la metale), rezultă că RH și UH sunt mai mari în semiconductori decât în metale cu câteva ordine de mărime.

Expresiile de mai sus pentru constanta Hall nu sunt riguroase, fiind obținute în presupunerea că toți purtătorii au aceeași viteză, fără a se lua în considerație distribuția lor după viteze sau energii. Un calcul mai corect, bazat pe rezolvarea ecuației Boltzmann, cu timp de relaxare dependent de energie, de forma , dă pentru constanta Hall în cazul nedegenerat la B mici, expresia:

(2.139)

unde raportul are diferite valori pentru diferite mecanisme de împrăștiere.

Determinarea constantei Hall și a dependenței sale de temperatură este deosebit de importantă în studiul semiconductorilor, permițând determinarea concentrației purtătorilor de sarcină, energiei de ionizare a impurităților și lărgimii benzii interzise.

Combinând măsurători ale constantei Hall cu măsurători de conductibilitate electrică se pot determina valorile mobilităților Hall ale purtătorilor:

(2.140)

În cazul probei din Fig. 2.38, înmulțind câmpul Hall cu lățimea probei b se obține tensiunea Hall:

(2.141)

Reprezentând grafic pentru un Bz = constant, panta dreptei, permite determinarea constantei Hall:

rezultând:

(2.142)

În condițiile măsurării efectului Hall între contactele 3, 4 pe direcția Oy, în afara tensiunii Hall se mai culeg trei tensiuni corespunzătoare efectelor galvanomagnetice Ettinghausen, Nerst – Ettinghausen, Righi – Leduc:

2.4 Forța cu care acționează câmpul magnetic al unui curent asupra altui curent (forța electrodinamică)

Dacă în paragraful 2.1 s-a prezentat forța electrodinamică așa cum a fost ea introdusă în plan experimental de către Ampère, acum este momentul să fie prezentată printr-o deducere logică în acord cu formalismul câmpului magnetic asociat stării electrocinetice staționare.

Asupra unui element de curent (Fig. 2.39) câmpul magnetic creat de curentul ce străbate primul conductor, reprezentat în figură prin elementul de curent , va acționa cu o forță .

Ținând seama de expresia forței electromagnetice, aceasta va fi:

(2.143)

La rândul său, curentul din cel de-al doilea conductor () va acționa asupra elementului cu o forță . În cazul a doi curenți finiți forța cu care curentul I acționează asupra lui I' va fi:

(2.144)

sau, ținând seama de relația dintre intensitatea curentului și densitatea de curent, se obține:

(2.145)

Relația (2.145) a forței electrodinamice stă la baza definiției amperului (A), una din unitățile de măsură fundamentale din S.I., definiție care a fost dată în primul paragraf al acestui capitol.

2.5 Momentul dipolului magnetic

Aminteam cu ocazia aplicației legii Biot – Savart – Laplace referitoare la spira străbătută de curent, prezența unei mărimi cu care putem caracteriza un circuit străbătut de curent din punct de vedere al câmpului magnetic pe care-l creează. Această mărime al cărei modul era a fost numită momentul dipolului magnetic. Aici se va analiza în detaliu un dipol magnetic și momentul dipolului magnetic asociat, folosindu-se un circuit electric închis de formă dreptunghiulară, plană și apoi se va extinde noțiunea de moment al dipolului magnetic la un circuit electric oarecare.

Intensitatea curentului electric în circuit este I, laturile circuitului fiind a și respectiv b, Fig. 2.40. Potențialul magnetic vector într-un punct aflat la distanța de elementul de curent , atunci când sunt îndeplinite condițiile:

(2.146)

este:

(2.147)

care în cazul circuitului dreptun-ghiular, pentru care se consideră un sens pozitiv de parcurgere, se scrie:

(2.148)

unde și sunt versorii axelor Ox și Oy.

Ținând seama de relația (2.146) și dezvoltând în serie Taylor pe se poate scrie:

(2.149)

alți termeni de ordin superior ai dezvoltării în serie fiind neglijați.

Ținând seama de:

și efectuând doar derivata parțială în raport cu x' rezultă:

(2.150)

Cu aceasta (2.149) devine:

(2.151)

Folosind această expresie pentru fiecare din mărimile pentru potențialul magnetic vector se va obține:

Deci

(2.152)

Relația (2.152) permite echivalarea circuitul electric considerat cu un dipol magnetic al cărui moment are modulul:

(2.153)

unde ab este aria limitată de circuitul dreptunghic plan.

Se observă că relația (2.152) a potențialului magnetic vector este un caz particular al expresiei:

(2.154)

și anume cazul în care

Într-adevăr.

(2.155)

Deci momentul dipolului magnetic este un vector perpendicular la circuitul electric, care are sensul pozitiv acela de înaintare a burghiului drept rotit în sensul curentului prin circuit.

Trecând acum la un circuit de formă oarecare, trebuie precizat că și în acest caz se folosește noțiunea de moment al dipolului magnetic numai atunci când potențialul magnetic vector se calculează într-un punct situat la distanță mare în comparație cu dimensiunile circuitului.

Circuitul poate fi înlocuit cu o rețea rectangulară, în ramura unui ochi al rețelei, trecând într-un sens un curent de aceeași intensitate ca în oricare altă ramură (Fig. 2.41).

În laturile ochiurilor rețelei, parcurgând ochiurile în sens trigonometric, curenții se anulează cu excepția laturilor de la margine, care aproximează destul de bine circuitul electric dacă laturile ochiurilor sunt luate suficient de mici.

Pentru un ochi oarecare al rețelei momentul dipolului magnetic este:

(2.156)

unde I este intensitatea curentului electric din ramurile ochiului, iar versorul normalei la ds.

Într-un punct depărtat de ochiul considerat potențialul magnetic vector creat de acest ochi va fi:

(2.157)

Momentul dipolului magnetic asociat circuitului finit se va obține prin însumarea momentelor elementare asociate ochiurilor rețelei rectangulare, cu care a fost echivalat circuitul:

(2.158)

unde S este aria limitată de marginile rețelei rectangulare care poate fi luată egală cu aria circuitului real. Potențialul magnetic vector în cazul circuitului finit se va scrie:

(2.159)

aceeași expresie ca în cazul circuitului dreptunghiular.

2.6 Forța și cuplul exercitate de câmpul magnetic asupra unui circuit electric

Se consideră un circuit electric închis, de formă oarecare, în care s-a stabilit un curent de intensitate I. Plasat într-un câmp magnetic extern de inducție circuitul va fi supus acțiunii unor forțe din partea câmpului care-l vor determina să se deplaseze, să se rotească și să se deformeze.

Sub acțiunea forței exercitate de câmpul magnetic extern, o porțiune se va deplasa pe distanța până în poziția în care porțiunea este notată cu , Fig. 2.42.

Pentru această deplasare câmpul magnetic efectuează un lucru mecanic a cărui expresie este:

(2.160)

Dar forța cu care câmpul magnetic acționează asupra elementului de circuit este conform forței Laplace:

(2.161)

Revenind cu (2.161) în (2.160) rezultă:

(2.162)

sau

(2.163)

Produsul vectorial din paranteza reprezintă suprafața măturată de în deplasarea sa.

Această suprafață înmulțită scalar cu inducția câmpului magnetic dă fluxul elementar măturat de când efectuează deplasarea .

Pentru a afla fluxul măturat de întregul circuit va trebui efectuată integrala:

(2.164)

În membrul doi este încă diferențiala de ordinul întâi a fluxului, pentru că în integrala din stânga ce se face doar după rămâne elementul diferențial .

Ținând seama de (2.164), lucrul efectuat de câmp la deplasarea întregului circuit pe distanța încă elementară este:

(2.165)

Relația (2.165) ia forme diferite în funcție de tipul de mișcare al circuitului. În cazul în care circuitul efectuează o translație, componentele forțelor pe cele trei direcții fiind:

(2.166)

(2.167)

Din identificarea relațiilor (2.166) și (2.167), rezultă:

(2.168)

Când circuitul în ansamblu, sub acțiunea forțelor câmpului efectuează o rotație în jurul axei, atunci variația elementară a fluxului poate fi exprimată cu ajutorul unei coordonate unghiulare θ astfel:

(2.169)

așa încât lucrul efectuat de câmp va fi:

(2.170)

Apare astfel momentul cuplului exercitat de câmp asupra circuitului:

(2.171)

În cele două situații analizate mai sus deformările circuitului au fost neglijate.

Expresia este utilă și pentru stabilirea formei pe care o ia forța exercitată de câmpul magnetic asupra unui circuit, atunci când acesta este echivalat cu un dipol magnetic de moment .

Dacă în circuit se stabilește un curent de intensitate constantă, lucrul efectuat de câmp se poate scrie:

(2.172)

Dar , deci:

(2.173)

Dacă câmpul magnetic este constant ca modul și orientare pe suprafața S a circuitului atunci (2.173) devine:

(2.174)

În această situație expresia lucrului mecanic ce acționează asupra unui dipol magnetic va fi:

(2.175)

În cazul unui câmp magnetic constant ca modul și orientare , circuitul suferă o deplasare dacă este variabil.

În cazul în care momentul dipolului magnetic este constant în modul și orientare, atunci într-un câmp magnetic neuniform circuitul va suferi o translație iar componentele forțelor se găsesc astfel:

(2.176)

de unde se extrag componentele forțelor Fx, Fy, Fz. Forța F rezultantă este orientată în sensul câmpului crescător.

În cazul în care este constant ca modul și orientare în tot spațiul, asupra dipolului corespunzător nu se exercită forțe ().

Când dipolul păstrează modulul momentului constant dar orientarea nu, atunci asupra dipolului se va exercita un cuplu de forțe care-l va roti.

Expresia momentului cuplului se poate stabili pornind de la relația și folosindu-se o constantă unghiulară .

Dar din Fig. 2.43 rezultă că:

Rezultă:

(2.177)

Momentul rezultant este perpendicular pe vectorii și și tinde tot timpul să suprapună pe peste . Când , Mc este maxim și bucla se află în echilibru instabil, iar când și echilibrul este stabil.

2.7 Energia unui dipol magnetic plasat în câmp magnetic

Expresia energiei potențiale Wm a unui dipol magnetic de moment , aflat într-un câmp magnetic de inducție se poate deduce plecând de la formula generală a lucrului mecanic pe care-l efectuează câmpul magnetic asupra unui circuit străbătut de curentul de intensitate I, când în câmpul magnetic se aduce de la infinit un circuit străbătut de curentul I.

Forțele exterioare care produc deplasarea circuitului efectuează un lucru mecanic egal și de semn opus lucrului efectuat de forțele electromagnetice.

Acesta reprezintă energia potențială:

Deci expresia energiei magnetostatice de interacție între un circuit parcurs de curentul I și inducția magnetică în care se află este:

(2.178)

CAPITOLUL III

Inducția electromagnetică și autoinducția

3.1 Inducția electromagnetică

3.1.1 Experiențele lui Faraday

Fenomenul de inducție electromagnetică a fost descoperit în 1831 de către Michael Faraday pe baza câtorva experiențe, din care aici vor fi descrie doar câteva.

a) Dacă printr-o spiră se stabilește un curent electric I, într-o spiră învecinată apare un curent de scurtă durată pus în evidență de un galvanometru (Fig. 3.1).

Fig. 3.1 Două spire învecinate folosite pentru a demonstra fenomenul de inducție electromagnetică

b) Dacă o spiră sau o bobină formată din mai multe spire se află în apropierea unei surse de câmp magnetic (care poate fi un magnet permanent, Fig. 3.2 sau un solenoid) în mișcare, în spiră apare de asemenea un curent, care durează atât timp cât durează mișcarea ei.

Fig. 3.2 Magneți permanenți care mișcându-se în raport cu o spiră conductoare, induc în aceasta un curent electric, indicat de galvenometru

În ambele experiențe, curentul indicat de galvanometru era mic și de scurtă durată, motiv pentru care adeseori contemporanii lui aveau să-i minimalizeze descoperirea.

Venind în întâmpinarea acestora, Faraday imaginează o experiență cu ajutorul căreia a reușit să producă în mod continuu curent electric într-un circuit.

Discul care-i poartă numele (Fig. 3.3) a fost primul generator de curent continuu, care se baza pe un alt principiu decât elementele galvanice.

Esențial în acest experi-ment era faptul că o porți-une a circuitului electric, în cazul de față raza ab, taie liniile câmpului mag-netic.

Fig. 3.3 Discul conductor aflat în mișcare de rotație într-un câmp magnetic perpendicular pe suprafața lui este sediul unei tensiuni electromotoare între centrul și periferia lui

Deoarece curenții induși, produși în aceleași condi-ții sunt proporționali cu conductanța circuitului, este mai potrivit să vorbim de o t.e.m. indusă decât de un curent indus.

Cu aceste constatări experimentale, fenomenul de inducție electromagnetică a lui Faraday poate fi astfel rezumat: o tensiune electromotoare (t.e.m.) este indusă: a) într-un circuit rigid staționar care se află într-un flux magnetic variabil în timp; b) într-un circuit rigid care se mișcă într-un câmp magnetic staționar sau care se află într-un câmp magnetic ale cărui surse sunt în mișcare, astfel încât fluxul care străbate circuitul se modifică; c) într-o porțiune a unui circuit care taie liniile câmpului magnetic.

Toate aceste constatări experimentale și-au găsit explicația fizică mult mai târziu. Beneficiind de descoperirile lui Einstein și Lorentz, se va arăta că t.e.m. indusă, respectiv curentul indus observat experimental de Faraday este o consecință firească a acțiunii forței Lorentz.

3.1.2 Legea inducției electromagnetice (Legea Faraday)

Legea inducției electromagnetice a lui Faraday poate fi formulată astfel: Forța (tensiunea) electromotoare de inducție care apare într-un circuit prin variația în timp a fluxului magnetic limitat de circuit este proporțională cu rata de variație a fluxului magnetic (Fig. 3.4).

Conform Fig. 3.4, deplasarea circuitului C din poziția 1 în poziția 2 în câmpul magnetic de inducție , în intervalul de timp dt, determină variația fluxului magnetic limitat de circuit cu rata:

(3.1)

Expresia matematică a legii Faraday este:

(3.2)

Fig. 3.4 Spiră conductoare care se deplasează într-un câmp magnetic de inducție

unde este t.e.m. indusă în circuit, iar k este un factor de proporționalitate a cărui semnificație va fi dată ulterior. T.e.m indusă este independentă de natura materialului din care este construit circuitul precum și de modul în care este realizată variația în timp a fluxului magnetic. Valoarea t.e.m. induse depinde doar de rata de variație a fluxului magnetic limitat de circuitul închis.

3.1.3 Legea Lenz

Legea Lenz capătă următoarea formulare:

Sensul t.e.m. este astfel încât curentul electric de inducție pe care-l produce într-un circuit închis să dea naștere unui flux magnetic care se opune variației fluxului magnetic inductor, deci cauzei care determină apariția însăși a t.e.m.

Atât legea Faraday cât și legea Lenz au fost stabilite experimental, astfel încât pe baza determinărilor experimentale se găsește pentru factorul de proporționalitate valoarea

(3.3)

În Fig. 3.5 se dau ilustrări experimentale ale legii Lenz. Dacă liniile de câmp magnetic sunt tăiate de o spiră circulară care intră în câmpul magnetic sau iese din câmp, curentul indus prin spira circulară are un astfel de sens încât câmpul magnetic generat de acesta, se opune variației fluxului magnetic primar.

În cazul în care spira pătrunde în camp, Fig. 3.5 a) (fluxul inductor prin ea crește), curentul indus generează un câmp magnetic în sens opus lui, ducând deci la scăderea variației variației fluxului inductor.

În cazul în care spira iese din câmp, Fig. 3.5 b) (fluxul inductor prin suprafața limitată

Fig. 3.5 Ilustrare a regulii Lenz

de spiră scade), curentul indus generează un câmp magnetic de același sens cu , deci care se opune scăderii fluxului inductor, ducând la creșterea acestuia.

3.1.4 Forma integrală dezvoltată a Legii inducției electromagnetice (Faraday)

Combinarea celor două legi, a lui Faraday și a lui Lenz conduce la legea inducției electromagnetice a cărei formulare matematică este:

(3.4)

Enunț: Tensiunea electromotoare indusă în lungul unei curbe închisă este proporțională cu rata de scădere a fluxului magnetic prin oricare dintre suprafețele care se sprijină pe această curbă .

Trebuie remarcat faptul că această rată de variație a fluxului și respectiv t.e.m. indusă pot căpăta forme diferite în funcție de modul de obținere a variației fluxului.

Dar t.e.m. poate fi exprimată ca integrala de linie a câmpului imprimat de-a lungul unei curbe închise , iar fluxul magnetic prin orice suprafață care se sprijină pe curba se exprimă prin integrala de suprafață a lui prin această suprafață (Fig. 3.6), așa că legea inducției electromagnetice se poate scrie explicit:

(3.5)

La aplicarea legii inducției electromagnetice trebuie să se țină seama de următoarele:

a) Curba închisă este adesea luată în lungul unui conductor electric filiform. În cazul general, acest lucru nu este necesar și curba , de formă oarecare, poate fi dusă și prin medii izolatoare sau prin vid;

b) Dacă mediul considerat este în mișcare, curba este atașată corpurilor în mișcarea lor (ca și-n cazul Legii circuitale Ampère);

Fig. 3.6 Curba , pe care se sprijină suprafața S

c) Sensul de integrare pe curba (sensul lui ) și sensul normalei la suprafața S în raport cu care se calculează fluxul (adică sensul lui ) sunt asociate după regula burghiului drept, adică normala este pozitivă atunci când are același sens cu sensul de înaintare al burghiului rotit în sensul de parcurgere al curbei ;

d) În cazul când conturul este luat în lungul conductorului unei bobine cu N spire suprapuse, fluxul magnetic care intervine în calculul t.e.m. induse este fluxul printr-o suprafață care se sprijină pe întregul contur, adică fluxul prin toate spirele și deci .

Afirmam că t.e.m. indusă poate căpăta forme diferite, în funcție de modul în care are loc variația fluxului , ori acest lucru va apărea dacă se face derivata temporală a fluxului, deci membrul drept al ecuației (3.5).

Derivata fluxului magnetic în raport cu timpul este o derivată substanțială și ea va conține variația fluxului produsă printr-o suprafață fixă ca urmare a variației lui în timp ca și variația fluxului printr-o suprafață mobilă într-un câmp magnetic constant în timp. O astfel de derivată substanțială s-a calculat și pentru a scrie forma integrală dezvoltată a legii circuitului magnetic ().

Se consideră că într-un câmp magnetic variabil în timp se află o spiră de contur , Fig. 3.7, pe care se sprijină suprafața SΓ, care se află în mișcare cu viteza , fiind legată de conturul în mișcare.

La momentul t fluxul prin suprafața S1 limitată de curba t (la momentul t) este:

(3.6)

iar la momentul t + dt, fluxul va fi:

(3.7)

Prin definiție, derivata în timp a fluxului, este limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, când acesta tinde către zero, deci:

(3.8)

unde:

(3.9)

Pentru a calcula diferența de la numărătorul ecuației (3.9) se va folosi teorema lui Gauss, care va fi aplicată la volumul cilindric generat la deplasarea suprafeței

(3.10)

unde s-a ținut seama, tot timpul, că normala la suprafață este pozitivă numai când este orientată de la interior către exterior, iar elementul de volum din acest cilindru este .

Observație: Teorema lui Gauss se aplică unor valori instantanee ale câmpului . Dezvoltând în serie Taylor inducția câmpului magnetic se obține:

(3.11)

Cu aceasta ecuația (3.9) devine:

(3.12)

Dar din ecuația (3.10) rezultă:

Deci

(3.13)

Transformând integrala de linie din ecuația (3.13) într-una de suprafață cu ajutorul teoremei Stokes se obține:

sau

(3.14)

Se observă că, în general, viteza de variație a fluxului poate fi dată de: a) variația în timp a lui printr-o suprafață constantă în timp; b) de mișcarea suprafeței într-un câmp magnetic independent de timp (ultimul termen din (3.14)) și dacă, câmpul magnetic mai este și neomogen mai apare termenul () (zonă de linii de câmp deschise, depărtate de surse).

În cazul câmpului magnetic așa că viteza de variație a fluxului magnetic este:

(3.15)

Deci legea inducției electromagnetice în formă integrală dezvoltată, devine:

(3.16)

în care primul termen reprezintă t.e.m. indusă prin transformare (sau prin pulsație) datorată variației în timp a lui

(3.17)

iar al doilea termen reprezintă t.e.m. indusă prin mișcare (translație, rotație, deformare în câmp magnetic constant)

(3.18)

Tensiunea electromotoare de mișcare poate fi scrisă, pe baza relației Stokes, ca integrala de linie:

(3.19)

Deci, în cazul particular al mișcării unui conductor de lungime care taie transversal liniile de câmp magnetic cu o viteză , restul circuitului din care face parte fiind fix (Fig. 3.8), unghiurile dintre fiind drepte, unghiul dintre și este nul, ca urmare:

(3.20)

cu sensul produsului vectorial pe circuit.

Dacă doi dintre vectori, , , sunt paraleli sau antiparaleli, produsul mixt , ca urmare componenta de mișcare a tensiunii electromotoare este nulă.

Se poate formula, deci, următoarea regulă:

Tensiunea electromotoare de mișcare se induce numai dacă conductorul taie, în mișcarea sa, liniile de câmp magnetic.

3.1.5 Forma locală dezvoltată a Legii inducției electromagnetice

În cazul domeniilor de continuitate, aplicând teorema lui Stokes membrului stâng din ecuația (3.16) se obține:

(3.21)

Cum suprafața SΓ este arbitrară, rezultă forma locală dezvoltată a legii inducției electromagnetice:

(3.22)

Pentru corpurile imobile , forma locală a legii inducției electromagnetice devine:

(3.23)

recunoscută ca fiind cea de-a doua ecuație Maxwell.

Ea are o însemnătate deosebită, arătând că într-un spațiu oarecare unde există câmp magnetic variabil în timp ia naștere și un câmp electric cu liniile de forță închise în jurul câmpului magnetic.

Observație: În câmpul electrostatic liniile de câmp sunt deschise (având circulația pe o curbă închisă nulă; , câmpul electrostatic fiind un câmp irotațional). În cazul câmpului electromagnetic variabil în timp pot apărea, la orice variație a câmpului magnetic, linii de câmp electric închise în jurul câmpului magnetic, obținându-se astfel un câmp rotațional, condiționat însă de variația în timp a câmpului magnetic. În câmpul electric rotațional (de inducție), tensiunea electrică dintre două puncte depinde de drum și nu mai poate fi pusă sub forma diferenței de potențial, nu se poate deci defini un potențial electrostatic în acest tip de câmp.

3.1.6 Interpretarea și justificarea energetică a fenomenului de inducție electromagnetică

Se poate găsi expresia t.e.m. dată de legea inducției electromagnetice pe baza unui raționament energetic.

Se consideră schema din Fig. 3.9, în care pe doi conductori liniari 1 și 2 alunecă fără frecare un al treilea conductor C. Un câmp magnetic de inducție este perpendicular pe planul conductorilor. Conductorul C este legat la o sursă galvanică de t.e.m. ε și, ca urmare, prin el va trece un curent I care depinde de rezistența conductorului C, de rezistența internă a sursei și de rezistența conductorilor de conexiune. Conductorul C, fiind străbătut de curentul I, câmpul magnetic va acționa asupra lui cu forța orientată către stânga. Această forță va determina deplasarea conductorului cu viteza .

Într-un interval de timp dt foarte scurt, sursa furnizează circuitului energia:

(3.24)

Această energie se regăsește, pe de o parte, în energia disipată în conductorul C prin efect electrocaloric:

(3.25)

iar pe de altă parte, în lucrul mecanic consumat pentru deplasarea conductorului:

(3.26)

Deci ecuația bilanțului energetic este:

adică

(3.27)

Împărțind cu se obține:

(3.28)

Se constată că termenul are dimensiunile unei tensiuni electromotoare.

Trecând ultimul termen din membrul drept în cel din stânga, se obține:

(3.29)

Relația găsită mai poate fi scrisă sub forma:

(3.30)

unde s-a notat

(3.31)

Dar se observă că . Cu aceasta (3.31) devine:

(3.32)

S-a regăsit expresia t.e.m. induse în conductorul C, ca urmare a deplasării lui în câmpul magnetic.

Din raționamentul făcut mai sus rezultă că lucrul consumat la deplasarea conductorului C în câmp magnetic trece într-o formă de energie legată nemijlocit de apariția t.e.m. de inducție i.

3.1.7 Interpretarea și justificarea electronică a fenomenului de inducție electromagnetică

Se consideră un conductor metalic de lungime l, care se deplasează într-un câmp magnetic, cu o viteză perpendiculară pe inducția câmpului magnetic (Fig. 3.10). Conductorul este perpendicular pe planul .

Ținând seama de sensurile vectorilor și și de faptul că în metal purtătorii de sarcină liberi sunt electronii, se pot stabili semnele sarcinilor ce apar la capetele conductorului datorită acțiunii câmpului magnetic.

Electronii cvasiliberi din conductor, când acesta se deplasează cu viteza perpendicular pe inducția câmpului magnetic, vor fi supuși fiecare în parte acțiunii forței Lorentz:

(3.33)

Datorită acestei forțe, electronii se vor deplasa spre unul din capetele conductorului încărcându-l negativ, celălalt capăt se va încărca cu sarcină pozitivă constituită din sarcinile necompensate ale nodurilor rețelei cristaline a metalului. Datorită acestei polarizări a capetelor conductorului, apare un câmp electric care acționează asupra electronului în sens invers forței Lorentz, cu forța:

(3.34)

Datorită acestei forțe, se realizează o stare staționară când

(3.35)

rezultând:

(3.36)

Apare astfel un câmp electric indus asociat mișcării conductorului cu viteza în câmpul magnetic de inducție .

Câmpul indus, conform definiției dată în paragraful referitor la câmpul imprimat, este:

(3.37)

Acesta este orientat de la – la + în interiorul conductorului, ca și câmpul din interiorul unei surse în general.

Înmulțind scalar cu (lungimea conductorului) câmpul electric datorat polarizării conductorului, se obține:

(3.38)

În membrul stâng, recunoaștem o mărime care are dimensiunile unei tensiuni electrice, iar în dreapta, ținând seama de geometria experienței, avem variația fluxului magnetic sau, cu alte cuvinte, fluxul magnetic măturat în unitatea de timp de conductorul care se deplasează cu viteza :

(3.39) regăsind astfel din nou legea inducției electromagnetice.

3.1.8 Curenții Foucault

Un disc metalic se rotește în câmp magnetic de inducție perpendicular pe disc, Fig. 3.11. O porțiune de lungime de pe raza discului, taie câmpul magnetic cu viteza tangențială:

(3.40)

Elementul de conductor, de lungime, va fi sediul unei t.e.m. care, conform legii inducției electromagnetice, este:

(3.41)

Deoarece rezultă

(3.42)

T.e.m. indusă care ia naștere de-a lungul unei raze va fi:

(3.43)

Fig. 3.11 a) Disc metalic care se rotește cu viteza unghiulara în câmpul magnetic de inducție , creat de un magnet permanent în forma de potcoavă; b) Element de lungime , de pe direcția razei care taie liniile de câmp magnetic cu viteza

presupunând că este constant de-a lungul razei discului.

Această tensiune determină apariția unor curenți turbionari așa cum se vede în Fig. 3.11 b), numiți curenți Foucault.

În disc unde liniile de curent se închid, se disipă căldura Joule. Acești curenți nu sunt doriți într-o serie de dispozitive electrice sau electronice. Se cunosc însă soluții tehnice care conduc la micșorarea densității curenților turbionari, ceea ce determină micșorarea pierderilor Joule.

Un alt caz de curenți turbionari sunt cei care apar în conductori parcurși de curentul alternativ.

Considerăm că un conductor liniar cu secțiunea circulară de rază R0, este parcurs de un curent alternativ.

Presupunând că densitatea de curent este uniformă în interiorul conductorului și aplicând legea circuitală Ampère se poate calcula inducția câmpului magnetic în interiorul și exteriorul conductorului. Considerând liniile de câmp electric indus într-un plan paralel cu axa conductorului, adică perpendicular pe și înlănțuindu-l, curenul de inducție va crea de sens opus lui și va duce la scăderea lui și în interior și la creșterea lui și către exterior.

;

În exterior

Reprezentarea grafică a lui B(r) este aratată în Fig. 3.12.

Fig. 3.12 Dependența inducției câmpului magnetic de distanța de la axul unui conductor gros străbătut de curent electric

Dar, datorită variației lui i în timp, variază în timp, iar în interiorul și exteriorul conductorului va apărea o t.e.m. indusă și un câmp electric circular indus care vor genera curenți de inducție de sens opus lui i(t). Acești curenți de inducție , conform regulii Lenz se vor opune variației a fluxului inductor și vor determina deci scăderea lui . Aceasta are loc numai când în interiorul conductorului se va reduce. Această reducere este posibilă doar dacă curentul se concentrează la suprafața conductorului, fapt care duce la o nouă dependență a inducției câmpului magnetic de distanța de la axul conductorului.

Fig. 3.13 Distributia curentului în interiorul unui copnductor masiv parcurs de un curent alternativ de frecvența mare, ca urmare a "efectului skin"

În interiorul conductorului câmpul magne-tic este zero, fără ca aceasta să afecteze câmpul magnetic din exteriorul conducto-rului. Astfel, curenții turbionari au tendința de a limita distribuția de curenți alternativi pe o peliculă subțire la suprafața conducto-rului, ducând automat la creșterea rezistenței conductorului, Fig.3.13. Efectul este cu atât mai mare cu cât frecvența curentului alternativ este mai mare. Acest efect al curenților turbionari se numește efect pelicular sau "efect skin".

3.2 Autoinducția

3.2.1 Coeficientul de inducție proprie (Selfinductanța)

În absența unor materiale magnetice, valoarea câmpului magnetic creat de către o spiră parcursă de curentul i(t) (Fig. 3.14) este, conform legii Biot – Savart – Laplace, proporțională cu intensitatea curentului.

Ca urmare, fluxul magnetic creat de curentul electric printr-o suprafață mărginită de spiră va fi proporțional cu intensitatea curentului:

(3.44)

Fig. 3.14 Linii de câmp mag-netic creat de o spiră străbătută de curentul de intensitate I(t)

Având în vedere convenția de semn a fluxului printr-o suprafață dată (semnul fluxului printr-o suprafață este dat de semnul produsului scalar , unde este vectorul suprafață orientat prin normala la suprafață) se va constata că, dacă se parcurge circuitul în sensul curentului, fluxul propriu sau "autofluxul" spirei este pozitiv, deci L este o constantă pozitivă, care depinde doar de parametrii geometrici ai circuitului și care se numește inductanța proprie a circuitului, autoinductanța sau selfinductanța.

Deoarece s-a presupus că spira este parcursă de un curent variabil în timp, rezultă că și fluxul propriu care străbate spira este variabil în timp, ca urmare, conform legii inducției electromagnetice, în spiră se va induce o t.e.m. autoindusă:

(3.45)

Inductanța L fiind întotdeauna pozitivă, relația (3.45) arată că t.e.m. indusă de variația curentului printr-o bobină sau printr-un inductor are un asemenea sens încât determină un curent care se opune modificării curentului prin inductor.

Altfel spus, conform regulii Lentz, t.e.m. autoindusă într-un inductor determină apariția unui flux care tinde să compenseze variația fluxului magnetic propriu.

Relația (3.45) se va scrie:

(3.46)

Deci relația de definiție a inductanței este dată de viteza de variație a fluxului în raport cu propriul curent. Unitatea de măsură pentru inductanță este denumită Henry, și este definită, prin derivare, după cum urmează:

(3.47)

a) Exemplu de calcul al inductanței proprii a unei bobine toroidale

Fie o bobină toroidală conținând N spire bobinate pe un miez inelar cu secțiunea pătrată, având razele ri și re (Fig. 3.15). Grosimea miezului este h. Să se calculeze inductanța .

Aplicând legea circuitului Ampère se determină inducția câmpului magnetic în miez, liniile de câmp fiind cercuri concentrice:

Fig. 3.15 Bobina toroidală, cu N spire bobinate pe un miez inelar având secțiunea pătrată

Prin elementul de suprafață se stabilește fluxul

(3.48)

Deci , (3.49)

b) Inductanța proprie a unui solenoid de lungime l, secțiune S și cu N spire

(3.50)

3.2.2 Inductanța mutuală

Un curent dependent de timp, care străbate o bobină, determină variația fluxului magnetic nu numai prin ea însăși ci și prin oricare altă bobină sau circuit învecinat.

Să considerăm două circuite închise, unul în apropierea celuilalt (Fig. 3.16). La un moment dat, prin cele două circuite se stabilesc curenții I1, respectiv I2, iar prin suprafețele limitate de cele două circuite, fluxurile magnetice 1(I1, I2) și 2(I1, I2).

Fig. 3.16 Două spire strabătute de curenți electrici variabili în timp, aflate în interacțiune magnetică

Când în circuitul C1 curentul variază cu dI1, prin suprafața limitată de C2, fluxul va varia cu Se definește inductanța mutuală a circuitului C2 față de circuitul C1 ca fiind mărimea:

(3.51)

Când în circuitul C2 curentul variază cu dI2 prin suprafața limitată de curentul C1 fluxul magnetic variază cu d1.

Inductanța mutuală a circuitului C1 față de circuitul C2 va avea expresia:

(3.52)

Coeficienții M21 și M12 se numesc coeficienți de inducție mutuală și sunt constante care depind de parametrii geometrici ai celor două circuite și de poziția lor relativă.

Calculele detaliate ale celor doi coeficienți de inducție mutuală, pentru o mare varietate de bobine de forme diferite, aflate în vid, în poziții diferite una față de alta și când nu sunt constituite din materiale feromagnetice au dus la concluzia că

(3.53)

În continuare se va arăta că relația (3.53) este valabilă în general, astfel încât, în cazul a două bobine de forme diferite aflate în apropiere, se poate vorbi de un singur coeficient de inducție mutuală a celor două circuite.

Fie două circuite C1 și C2 de formă oarecare așezate unul în apropierea celuilalt, Fig. 3.17. Pentru a demonstra relația (3.53) este suficient să arătăm că fluxul 12 ce străbate circuitul C1 datorită curentului i din circuitul C2 este egal cu fluxul 21 ce străbate circuitul C2 dacă în circuitul C1 ar circula același curent i.

Valoarea potențialului vector creat de curentul i, care parcurge circuitul (C1), într-un punct oarecare (x2, y2, z2) ce aparține circuitului (C2) (Fig. 3.17) este:

(3.54)

Aplicând teorema Stokes potențialului vector se obține:

adică circulația potențialului vector pe un contur închis (C2) este egală cu fluxul câmpului magnetic asociat prin suprafața S2 mărginită de conturul respectiv.

Fig. 3.17 Două circuite învecinate, de formă oarecare, folosite pentru demonstrarea formulei Neumann

Deci

(3.55)

În mod analog fluxul câmpului magnetic asociat potențialului magnetic vector creat de curentul i din circuitul C2, într-un punct al circuitului (C1) va fi:

(3.56)

Deoarece , iar valoarea integralelor nu este afectată de ordinea în care se efectuează integrarea de-a lungul celor două circuite, cele două fluxuri au aceeași valoare și deci valabilitatea relației (3.53) este demonstrată pentru un caz general.

Expresia generală a inductanței mutuale a două circuite (C1) și (C2) este:

(3.57)

Relația (3.57) reprezintă expresia matematică a teoremei lui Neumann. Revenind la Fig. 3.16, se observă că variația fluxului prin circuitul (C1) este determinată atât de variația curentului I1 cât și de variația curentului I2 din circuitul (C2) astfel încât rata de variație a fluxului din (C1) în timp poate fi exprimată astfel:

(3.58)

În mod analog rata de variație a fluxului prin circuitul (C2) la variația lui I2 și I1 va fi:

(3.59)

Dar se observă că în membrii drepți ai relațiilor (3.58) și (3.59) intervin coeficienții de inducție proprii ai celor două circuite cât și coeficienții de inducție mutuală așa încât ratele de variație a fluxului prin cele două circuite se scriu:

(3.60)

(3.61)

Ratele de variație a celor două fluxuri vor determina apariția în cele două circuite a tensiunilor electromotoare induse

(3.62)

(3.63)

care exprimă forme particulare ale legii inducției electromagnetice.

Când între mai mult de două circuite apar influențe electromagnetice sau, în alți termeni, când există mai multe circuite cuplate inductiv, pentru un circuit oarecare i, inductanța lui mutuală față de un alt circuit k este:

(3.64)

definită în condițiile când toți ceilalți curenți în afară de cel din circuitul k sunt constanți în timp.

Se observă însă că fluxul i din circuitul "i" depinde de curenții din toate circuitele cuplate inductiv.

Totodată, circuitul i este caracterizat și de selfinductanța Li care se exprimă prin:

(3.65)

Când circuitele sunt plasate în vid și nu sunt constituite din materiale feromagnetice, mărimile Mik și Li sunt constante în timp, pentru o geometrie dată a sistemului de circuite, fluxul total prin circuitul Ci este egal cu suma fluxurilor induse prin el de toate celelalte circuite, astfel încât se poate scrie relația Maxwell:

(3.66)

Pentru i = k; Lii reprezintă coeficientul de inducție proprie iar pentru i k , Lik = Lki = = Mik reprezintă coeficientul de inducție mutuală.

3.2.3 Inductanța unor circuite electrice

1) Circuitul format dintr-o singură bobină

O porțiune de circuit care are drept caracteristică dominantă selfinductanța L se numește bobină.

Pe lângă selfinductanță, bobina va avea și rezistență, precum și capacitate. Considerând că bobina are numai rezistența R și inductanța L, o sursă de tensiune menține la capetele bobinei tensiunea U, în bobină se va stabili curentul de intensitate I. Dacă acest curent variază cu dI, în bobină se va induce t.e.m. de inducție: , astfel încât în baza legii Ohm se scrie:

(3.67)

sau

(3.68)

2) Circuit format din două bobine înseriate, cuplate inductiv

Aplicând legea Ohm pentru fiecare bobină conform cu (3.58), se scrie:

(3.59)

Însumând tensiunile date se obține:

(3.70)

unde semnul + se ia pentru cuplaj adițional (fluxurile prin cele două bobine se adună) iar semnul – pentru cuplaj diferențial (fluxurile prin cele doua bobine se scad).

Circuitul considerat se comportă ca și când ar avea selfinductanța

(3.71)

și rezistența

(3.72)

Cuplajul dintre cele două bobine poate fi modificat prin modificarea poziției relative a celor două bobine. Pentru o geometrie dată a bobinelor și pentru o poziție relativă a lor se atinge valoarea maximă a inductanței mutuale.

3) Două circuite cuplate inductiv, conținând fiecare câte o bobină

Un caz ce prezintă interes pentru laboratorul de electricitate este cel a două bobine aflate în circuite diferite, bobinele fiind cuplate inductiv.

Printr-un circuit se stabilește un curent I când la capetele circuitului se menține tensiunea U.

Când prin acest circuit variază curentul cu dI atunci se poate scrie:

(3.73)

unde I este intensitatea momentană din circuitul primar (cu sursa de tensiune) iar I' intensitatea momentană din circuitul secundar (fără sursă, U' = 0).

Circuitul secundar este un circuit închis (scurt-circuit), deci:

(3.74)

Din (3.74):

(3.75)

Înlocuind (3.75) în (3.73) se obține:

(3.76)

sau

(3.77)

Când se neglijează ultimul termen din (3.77) se obține:

(3.78)

deci circuitul primar în care intensitatea momentană este I se comportă ca și cum ar avea inductanța proprie

(3.79)

Se observă că deci

(3.80)

Se definește coeficientul de cuplaj:

(3.81)

și se observă că . Când circuitul se comportă ca și când ar avea o selfinductanță care tinde către zero.

CAPITOLUL IV

Metodică

4.1 Lucrări de laborator

4.1.1 Verificarea legii Biot – Savart și determinarea distribuției câmpului magnetic de-a lungul axului unui mănunchi de spire circulare parcurse de curent electric

Considerații generale

Formula Biot-Savart scrisă în forma

(4.1)

permite calculul inducției câmpului magnetic în vid pentru orice geometrie de curent.

Inducția câmpului magnetic creat în vid de o spiră circulară de rază a, străbătută de un curent de intensitate I, într-un punct P aflat pe axa de simetrie a spirei, la distanța z de centrul acesteia, Fig. 4.1, se calculează astfel:

(4.2)

Rezultă

(4.3)

și vectorial:

(4.4)

Singura componentă nenulă a vectorului inducție magnetică generat de un curent circular este cea dea-a lungul axei de simetrie Oz a spirei și este dată de relația (4.3).

Valoarea vectorului inducție magnetică în centrul spirei circulare se obține înlocuind în relația (4.3) valoarea z = 0, adică:

(4.5)

și vectorial:

(4.6) Pentru , B = 0.

Graficul lui B(z) de o parte și de alta a planului spirei este dat în Fig. 4.2.

Inducția câmpului magnetic de-a lungul axului unui mănunchi de N spire circulare parcurse de curent electric este:

(4.7)

Dispozitivul experimental, determinări, prelucrarea datelor

Inducția câmpului magnetic de-a lungul axului unui mănunchi de spire circulare parcurse de curent electric se măsoară cu ajutorul unei sonde Hall axiale, care este sensibilă pe direcția axei de simetrie a spirelor și se verifică relația între inducția câmpului magnetic de-a lungul acestei axe și distanța z de la planul spirelor.

Valorile numerice și dependențele experimentale sunt comparate cu predicțiile teoretice ale legii Biot – Savart.

Dispozitivul experimental utilizat este prezentat în figura 4.3.

Schema de montaj a dispozitivului experimental este reprezentată în figura 4.4.

Modul de lucru

Se realizează circuitul serie din Fig. 4.4, alcătuit din sursa de tensiune, conductorul reprezentat de mănunchiul de spire circulare și ampermetru. Se leagă sonda Hall axială pentru măsurarea inducției magnetice la teslametru cu ajutorul cablului coaxial, se fixează de stativ și se aliniază astfel încât senzorul Hall să se afle pe axa de simetrie a spirelor.

Înainte de a începe măsurarea, se verifică zero-ul teslametrului, pentru a elimina contribuția câmpului ambiant: în absența curentului prin spire, teslametrul trebuie să indice B = 0.

Se măsoară inducția câmpului magnetic produs de curentul electric ce străbate spirele circulare în funcție de distanța z față de centrul lor, adică în diferite puncte aflate pe axa de simetrie. Pentru aceasta, se menține constantă intensitatea curentului prin spire și se variază distanța de la sonda Hall la planul spirelor.

Distanța față de conductorul circular se măsoară pe rigla pe care este fixat stativul cu sonda Hall, iar valoarea inducției magnetice se citește pe afișajul teslametrului digital.

Se notează indicațiile corespunzătoare ale teslametrului într-un tabel. Se reprezintă grafic curba pentru I = const., adică valorile inducției magnetice în funcție de distanța z. Se compară dependențele obținute experimental cu cele rezultate teoretic, verificând astfel relația (4.7).

Tabel cu date măsurate și calculate

– numărul de spire circulare:

N = 154 spire

– diametrul unei spire: D = 39,6 cm

– raza unei spire:

– intensitatea curentului electric ce stăbate spirele: I = 2,009 A

– permeabilitatea magnetică a vidului:

Concluzii

Conductorul circular parcurs de curent electric generează un câmp magnetic atât în interiorul, cât și în afara lui. Câmpul magnetic este maxim în centrul mănunchiului de spire și scade treptat în punctele situate pe axa de simetrie, în mod asemănător în stânga și dreapta planului spirelor (datorită simetriei), pe măsură ce ne îndepărtăm de centru.

Concordanța dintre teorie (formula Biot – Savart) și datele experimentale este destul de bună (vezi graficul).

4.1.2 Verificarea legii Biot – Savart și determinarea distribuției câmpului magnetic de-a lungul axului unui solenoid parcurs de curent electric

Considerații generale

Bobina (solenoidul) este o înfășurare lungă de formă elicoidală a unui fir conductor, ca în figura 4.6, prin care trece un curent electric. Dacă spirele înfășurării sunt apropiate iar lungimea acesteia este mult mai mare decât diametrul său, liniile de câmp magnetic din interiorul bobinei sunt distribuite aproape uniform (sunt aproape echidistante). Prin urmare, o bobină ideală este cea a cărei lungime este infinită. Liniile de câmp magnetic ale bobinei ideale sunt echidistante și paralele cu axa sa în interior și nule în exteriorul acesteia.

Într-o bobină cu lungimea finită liniile de câmp magnetic sunt reprezentate în figura 4.6. Acestea sunt linii închise conform legii lui Gauss pentru câmpul magnetic care stabilește că .

Bobina este formată dintr-un număr foarte mare de spire circulare paralele, așezate foarte aproape unele de altele, ca în figura 4.7.

Alegem un element din lungimea bobinei de grosime aflat la distanța z’ de capătul din stânga al bobinei. Prin acest element de bobină circulă curentul electric:

, (4.8)

unde este numărul de spire din unitatea de lungime a bobinei, N fiind numărul total de spire.

Contribuția la inducția câmpului magnetic din punctul P al acestui element de curent electric este egală cu:

(4.9)

Adunăm contribuțiile tuturor elementelor de curent, adică integrăm pe toată lungimea bobinei relația (4.9) și obținem modulul vectorului inducție magnetică pe axa bobinei.

(4.10)

Calculăm separat integrala.

Dacă

Fie

;

(4.11)

Relația (4.11) reprezintă expresia inducției magnetice a câmpului generat de curentul electric ce parcurge o bobină finită într-un punct de pe axa acesteia aflat la distanța z de capătul acesteia.

În cazul unei bobine considerată infinită, și , iar

(4.12)

Dispozitivul experimental, determinări, prelucrarea datelor

Inducția câmpului magnetic în interiorul bobinei se măsoară cu ajutorul unei sonde Hall care este sensibilă pe direcția axei acesteia și se determină distribuția câmpului magnetic de-a lungul axei bobinei.

Dispozitivul experimental utilizat este prezentat în figura 4.8.

Schema de montaj a dispozitivului experimental este reprezentată în figura 4.9.

Modul de lucru

Se așază bobina în suportul pentru fixare și se leagă la sursa de tensiune electrică. Se leagă sonda Hall pentru măsurarea inducției magnetice la teslametru cu ajutorul cablului coaxial, se fixează de stativ și se aliniază astfel încât senzorul Hall să se afle pe axa corpului de plastic al bobinei.

Înainte de a începe măsurarea, se verifică zero-ul teslametrului, pentru a elimina contribuția câmpului ambiant: în absența curentului prin bobină, teslametrul trebuie să indice B = 0.

Se măsoară inducția câmpului magnetic produs de curentul electric ce străbate bobina în funcție de distanța z față de un capăt al bobinei, de-a lungul axei sale. Pentru aceasta, se menține constantă intensitatea curentului prin bobină și se variază distanța de la sonda Hall (senzorul sondei) la originea aleasă în capătul bobinei.

Se notează indicațiile corespunzătoare ale teslametrului într-un tabel. Se reprezintă grafic curba pentru I = const., adică valorile inducției magnetice în funcție de distanța z. Se compară dependențele obținute experimental cu cele rezultate teoretic, verificând astfel relația (4.10).

Tabel cu date măsurate și calculate

– numărul de spire ale bobinei: N = 300 spire

– diametrul bobinei: D = 41 mm

– raza bobinei:

– lungimea bobinei: l = 16 cm

– distanța de la corpul de plastic al bobinei (unde s-a ales originea) pâna la prima spiră: d = 1,4 cm;

– intensitatea curentului electric ce stăbate bobina: I = 1 A

– permeabilitatea magnetică a vidului:

Concluzii

Spre deosebire de modul în care arată distribuția câmpului magnetic de-a lungul axului pentru un solenoid infinit de lung, la solenoidul finit distribuția câmpului magnetic este localizată, practic, în interiorul solenoidului. La solenoidul infinit câmpul este distribuit pe distanță infinită. Evident că în situațiile practice, reale, avem nevoie să cunoaștem distribuția reală a câmpului magnetic. Se observă (vezi graficul) că un solenoid finit parcurs de curent creează în interiorul său un câmp magnetic aproximativ constant și spre marginile sale câmpul scade rapid spre zero. Această particularitate pe care am analizat-o în lucrarea de față este folosită în electrotehnică și în cercetare pentru obținerea de câmpuri magnetice constante necesare pentru diverse analize.

Concordanța dintre teorie (formula Biot – Savart) și datele experimentale este bună (vezi graficul).

4.1.3 Determinarea componentei orizontale a câmpului magnetic terestru cu ajutorul busolei de tangentă

Considerații generale

Ansamblul fenomenelor legate de câmpul magnetic al Pământului constituie obiectul de studiu al unei ramuri a magnetismului denumită magnetism terestru.

Câmpul magnetic terestru se caracterizează prin vectorul inducție magnetică terestră , care în planul meridianului magnetic are două componente: una verticală, BV și una orizontală BO (Fig. 4.11). Modulul vectorului inducție este:

(4.13)

Orientarea acestui vector se definește cu ajutorul unghiurilor de înclinație și declinație magnetică, iar intensitatea sa se evaluează prin valoarea componentei orizontale . Aceste trei elelmente definind vectorul inducție magnetică terestră, înclinația, declinația și componenta orizontală, constituie elementele magnetismului terestru și se pot măsura prin diferite metode și cu diferite instrumente. Astfel, busola de înclinație și declinație servesc la măsurarea primelor două, în timp ce componenta orizontală se poate măsura cu ajutorul busolei de tangentă sau prin alte metode.

Principiul de măsură. Un câmp magnetic constant cu inducția magnetică și direcția cunoscute, este suprapus peste câmpul magnetic terestru necunoscut. Câmpul magnetic al Pământului poate fi calculat din inducția magnetică și direcția câmpului rezultant. Când nu trece curent prin bobine, acul magnetic al busolei se aliniază cu componenta orizontală BO (direcția nord-sud) a câmpului magnetic terestru. Când un câmp magnetic adițional B este suprapus peste acesta, generat fiind de curentul ce trece prin bobinele Helmholtz, acul magnetic este supus acțiunii simultane a celor două câmpuri și se va roti cu un unghi θ, orientându-se după direcția rezultantei BR (Fig. 4.12). Considerăm cazul special când bobinele sunt așezate în planul meridianului magnetic pământesc, deci axa bobinelor este perpendiculară pe direcția nord-sud.

Din figura (4.12) se vede că:

(4.14)

de unde

(4.15)

Bobinele Helmholtz sunt un ansamblu de două bobine subțiri, paralele, de rază a, aflate la o distanță a una de alta, parcurse de un curent I în același sens (Fig. 4.13).

(4.16)

(4.17)

Pentru un ansamblu de bobine dat (mărimile a și N cunoscute), măsurând intensitatea curentului ce trece prin ele și unghiul de rotație al acului magnetic, cu ajutorul relației (4.17) se poate determina valoarea componentei orizontale a câmpului magnetic terestru.

În țara noastră, componenta orizontală a inducției magnetice terestre are valori variind între în sud-est și în nord.

Pentru un loc dat (BO = const.), cunoscând caracteristicile ansamblului de bobine (N și a) și măsurând unghiul de rotație al acului magnetic, pe baza relației (4.17) se poate determina intensitatea curentului ce trece prin bobine.

(4.18)

(4.19)

K este factorul de calibrare care trebuie determinat experimental. Acesta se determină din reprezentarea grafică , fiind egal cu panta dreptei. Panta unei drepte se definește ca tangenta unghiului pe care-l face dreapta cu orizontala (Fig. 4.14).

Dispozitivul experimental, determinări, prelucrarea datelor

Lucrarea are drept scop determinarea componentei orizontale a câmpului magnetic terestru. Montajul experimental utilizat pentru această determinare este prezentat în figura 4.15.

Schema de montaj a dispozitivului experimental este reprezentată în figura 4.16.

Modul de lucru

Se plasează busola în centrul bobinelor Helmholtz. În cazul acestora, distanța dintre planele lor este egală cu raza unei bobine. Se fac reglajele geometrice. Se orientează suportul bobinelor astfel încât axa lor să fie perpendiculară pe direcția acului busolei (nord-sud). În timpul determinărilor, busola se va așeza cât mai departe de orice câmp magnetic care ar putea influența orientarea acului magnetic. Se măsoară unghiul θ pe care-l face acul busolei cu direcția inițială nord-sud, în funcție de curentul prin bobine. Rezultatele obținute se trec într-un tabel. Se determină factorul K din reprezentarea grafică , apoi componenta orizontală a câmpului magnetic terestru BO, dată de relația (4.19).

Tabel cu date măsurate și calculate

– numărul de spire al unei bobine:

N = 154 spire

– diametrul bobinei:

D = 39,6 cm

– raza bobinei:

– permeabilitatea magnetică a vidului:

Din graficul în Origin a rezultat factorul K = 57,04545 A-1.

Calculând componenta orizontală a câmpului magnetic terestru BO cu relația (4.19), am obținut valoarea: BO = 0,12 · 10-4 T = 0,012 mT.

Concluzii

Cu ajutorul sistemului Gaugain-Helmholtz, am determinat componenta orizontală a câmpului magnetic terestru într-un laborator din Facultatea de Fizică, Universitatea din București. Valoarea obținută este, în limita erorilor experimentale, în concordanță cu alte determinări metrologice făcute în zona țării noastre. Am obținut valoarea: BO = 0,12 · 10-4 T.

Sistemul Gaugain-Helmholtz se caracterizează prin faptul că în zona centrală câmpul magnetic produs de curentul electric este aproximativ constant într-o zonă geometrică semnificativă. În această zonă a fost plasat acul busolei și am putut să calculez câmpul magnetic produs de curentul electric cu precizie destul de bună – vezi formula (4.16).

4.2 Probleme reprezentative de calcul

4.2.1. Un conductor rectiliniu de lungime L este străbătut de un curent de intensitate I. Să se determine inducția câmpului magnetic într-un punct M aflat la distanța a de conductor, unghiurile sub care se văd capetele conductorului din punctul M fiind θ1 și θ2. Să se studieze cazurile când punctul M este situat:

a) pe mediatoarea conductorului;

b) în planul ce conține unul din capetele conductoare;

c) la distanța d de unul din capetele conductorului semifinit.

Rezolvare

Elementul de conductor străbătut de curentul de intensitate I creează în punctul M, Fig. 4.18, câmpul magnetic a cărui inducție este, conform legii Biot – Savart:

(4.20)

sau

(4.21)

Dar:

, și (4.22)

Din (4.21) și (4.22) rezultă:

(4.23)

Integrând, se obține B:

(4.24)

Relația (4.24) poate fi scrisă în funcție de dimensiunile conductorului (Fig. 4.18) și astfel:

(4.25)

Observație: Pentru un conductor infinit de lung, .

(4.26)

a) Dacă punctul M se află pe mediatoarea conductorului (Fig. 4.19), atunci sau și din relațiile (4.24) și (4.25) rezultă:

(4.27)

b) În cazul (Fig. 4.20):

(4.28)

c) În cazul(Fig. 4.21), dacă

(4.29)

și dacă , atunci:

(4.30)

4.2.2. O spiră circulară de rază R este străbătută de un curent continuu de intensitate I. Să se calculeze inducția câmpului magnetic într-un punct P aflat pe axa de simetrie a spirei la distanța h de planul acesteia.

Rezolvare

Curentul de intensitate I din elementul de lungime de pe spiră (Fig. 4.22) creează în punctul P câmpul magnetic a cărei inducție este:

(4.31)

Ținând seama de faptul că :

(4.32)

Datorită simetriei, componentele și sunt nule și rezultă:

(4.33)

Prin integrare se obține:

(4.34)

deci:

(4.35)

Observație: În centrul spirei () inducția este:

(4.36)

4.2.3. O spirală plană deasă cu N spire are diametrul exterior 2R și este parcursă de curentul de intensitate I. Să se calculeze inducția câmpului magnetic într-un punct P situat pe axa de simetrie a spiralei la distanța h de planul acesteia.

Rezolvare

Dacă spirele sunt uniform repartizate, atunci pe unitatea de lungime sunt spire, ca atare inelul de rază x și grosime dx (Fig. 4.23) va fi străbătut de curentul

(4.37)

Acest inel creează în P câmpul de inducție :

(4.38)

Integrând, se obține:

(4.39)

sau

(4.40)

4.2.4. Un corp electrizat în volum cu densitatea de sarcină se mișcă cu viteza orientată pe direcția axei Ox. Să se calculeze intensitatea câmpului magnetic creat de acest corp în mișcare (Verificarea legii lui Rowland).

Rezolvare

Corpul electrizat (Fig. 4.24) în mișcare cu viteza generează curentul de convecție a cărui densitate este:

(4.41)

Acest curent va crea potențialul magnetic vector:

(4.42)

Având potențialul magnetic vector, inducția câmpului magnetic este:

(4.43)

Ținând seama de potențialul electric creat de distribuția de sarcină

(4.44)

relația (4.39) devine:

(4.45)

Vectorul viteză având componentele (Fig. 4.24) rezultă pentru componentele vectorului inducție:

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Deci:

(4.49)

Deci legea lui Rowland, care afirmă că efectele magnetice sunt produse și de curentul de convecție este verificată.

Cei trei vectori , și sunt reprezentați în Fig. 4.24.

și sensul lui este cel de înaintare a unui burghiu așezat perpendicular pe planul format de și , când este rotit astfel încât să se suprapună peste după unghiul cel mai mic.