Obiectul și importanța cartografiei [308582]

Capitolul 1

Obiectul și importanța cartografiei

Obiectul cartografiei și părțile componente

Cartografia este știința care studiază baza matematică a hărților, metodele lor de construcție și multiplicare.

[anonimizat]. Fiind o [anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat], precum și principiile organizării și planificării producției cartografice.

[anonimizat], [anonimizat], agrosilvice, meteorologice, ecologice, etc.. [anonimizat], luptelor și deplasărilor.

[anonimizat] o anumită scară sau metrică. [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat], imaginile baleiate (scanate) , imaginile radar sau cele realizate cu calculatorul.

Suporturile geoimaginilor pot fi :hârtia, [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat]..

[anonimizat], [anonimizat], animațiile 3-D, [anonimizat].

Din subclasa geoimaginilor dinamice fac parte seriile de hărți sau fotografii (fotograme) [anonimizat], [anonimizat], etc.

Obiectul de studiu al cartografiei l-a [anonimizat] o [anonimizat]. [anonimizat]-[anonimizat] a obiectelor sau fenomenelor din acest spațiu ([anonimizat], [anonimizat], etc.).

[anonimizat], [anonimizat], ci și cu reprezentarea ei în plan. [anonimizat] a devenit o [anonimizat], chiar un sistem de științe. Dintre ramurile cartografiei amintim:[anonimizat], cartoeditarea, cartoreproducerea și cartometria.

Cartografia este știința care se ocupă cu întocmirea și utilizarea hărților. [anonimizat], [anonimizat]. Cu timpul a devenit o [anonimizat]:

·      cartologia – [anonimizat] a acestora;

·      [anonimizat] a reprezenta elipsoidul terestru pe un plan;

·      întocmirea hărților – studiază metodele necesare pentru întocmirea originalului hărții;

·      cartoreproducerea – studiază metodele și procedeele tehnice de editare a originalului hărții și de multiplicare a lui;

·      cartometria – este ramura cartografiei care studiază instrumentele și metodele cu ajutorul cărora se pot face diferite măsurători pe hartă.

În prezent, datorită multiplelor genuri de hărți care se întocmesc, având la bază materialele unor științe diferite, cât și datorită particularităților de întocmire a acestor hărți, s-a ajuns la apariția unor noi ramuri, cum ar fi: cartografia fizico – geografică, cartografia economico – geografică, cartografia geologică etc.

O dată cu dezvoltarea altor științe și a impactului acestora cu cartografia au apărut noi discipline, precum cartografia fizio-geografică, cartografia economico-geografică, cartografia geologică, cartografia cosmică, cartografia asistată de calculator, etc..

Istoricul cartografiei

Încă din antichitate, babilonienii și egiptenii au alcătuit hărți sumare, în scopul delimitării proprietăților. Apoi au fost întocmite hărți ale unor teritorii vaste, pentru facilitarea călătoriilor, după care au apărut hărțile special concepute pentru navigație.

În 1930, în apropiere de Kirkouk, a fost descoperită o tăbliță (Figura 1.1.) ce reprezintă o regiune, cu munți, cursuri de apă, sate etc., totul însoțit de explicații (inclusiv indicarea punctelor cardinale est și vest). Această hartă gravată datează cel puțin de la sfârșitul mileniului al III-lea î.Hr.

Figura 1.1.

Reprezentarea cartografică de la Ga-Sur pe tăbliță de argilă de la sfârșitul mil.III

Dar poate că numele de cea mai veche hartă din lume ar trebui dat papirusului policrom păstrat la Torino (Figura 1.2.), care provine din Egipt și care datează din anul 1200 î.Hr. Sunt reprezentate cursul Nilului, un drum care traversează toată regiunea și detalii: ape, desenate cu albastru, mine, cu roșu, drumuri, cu negru. Harta cuprinde și o legendă. Se pare că acest papirus a folosit conducătorului unui transport de blocuri mari de piatră.

Figura 1.2. Papirusul policrom de la Torino (1200 î.Hr)

În Grecia, nevoia de hărți s-a făcut simțită mai ales după cuceririle lui Alexandru cel Mare. Primul document cartografic al epocii este atribuit lui Anaximander . Lumea cunoscută este înscrisă într-un cerc, în care Europa se află în partea de sus, iar Asia în partea de jos, fiind despărțite de Marea Mediterană.

Figura 1.3. Harta lui Anaximander

Începând cu sfârșitul secolului al IV-lea, se pun bazele științifice ale cartografiei. Eratostene furnizează o măsură apropiată razei terestre și alcătuiește un mapamond pe care pământurile cunoscute formează trei continente: Europa, Lybia (adică Africa) și Asia. Continentele sunt înconjurate de Marea Exterioară (Atlanticul). Pe această hartă (Figura 1.4.) apare, pentru prima dată, un sistem, încă embrionar, de paralele și meridiane.

Figura 1.4. Harta lui Eratostene

În secolul al II-lea î.Hr., Hiparh a formulat regulile de reprezentare în plan a suprafeței curbe a Pământului. Nu s-au păstrat decât puține documente romane: un fragment dintr-un plan al Romei, alcătuit în timpul lui Septimus Severus (secolul al II-lea) și „Tabula peutingeriana” (Figura 1.5.) , care este o hartă a drumurilor imperiului și datează din secolul al III-lea.

Figura 1.5. Tabula peutingeriana

Cel mai mare cartograf al antichității este, fără îndoială, astronomul și filozoful grec Ptolemeu (Figura 1.6.) care a trăit la Alexandria în secolul al II-lea.

Figura 1.6. Ptolemeu

El a redus deformările rezultate din proiecția în plan a suprafeței sferice a Pământului și a găsit metode pentru determinarea coordonatelor. De asemenea, a scris o geografie însoțită de 27 de hărți, prefigurând atlasul modern. Hărțile alcătuite de el (Figura 1.7.) și de discipolul său, Agathodemon, vor inspira generații de cartografi și vor fi folosite până în secolul al XVI-lea.

Figura 1.7. Fragment din harta lui Claudius Ptolomaeus (sec. II p. Chr.) privind teritoriul Daciei între munții Carpați și Balcani (Hemus).

În evul mediu, cartografia a stagnat, îngrădită fiind de teoriile susținute de Biserică: Pământul este plat și trebuie reprezentat sub forma unui disc al cărui centru este ocupat de Ierusalim, iar periferia, de „Mare Oceanum”. În acest timp, Bagdadul a devenit un centru de cultură, arabii desenând hărți ale Mediteranei și Oceanului Indian.

În secolul al XIII-lea, odată cu apariția caravelelor și a busolei, a început epoca marilor călătorii, care a determinat apariția hărților nautice,”portulanele”, desenate pe pergament, uneori chiar de către marinari, corectate și aduse la zi în permanență. Portulanul indica distanțele dintre principalele porturi și puncte de acostare, situând aceste puncte cu ajutorul rozei vânturilor, ale cărei rumburi sunt prelungite prin linii.

În secolul al XV-lea, cartografia progresează: sunt redescoperite și publicate hărțile lui Ptolemeu; apar hărți noi ca urmare a descoperirilor geografice; sunt perfecționate portulanele. Totuși, navigatorii nu sunt feriți de surprize fiindcă, în absența cronometrelor, încă nu poate fi determinată cu precizie longitudinea, iar noile hărți nu sunt niciodată identice. Astfel, în cursul unei călătorii, se întampla ca un navigator să adauge pe harta sa o insulă ori o gură de fluviu care figurau deja, sub alt nume și într-o altă poziție!

Secolul al XVI-lea va fi extrem de rodnic în domeniul cartografiei. Este perioada în care studiile geodezice fac progrese, iar proiecțiile suprafețelor sferice în plan sunt studiate matematic Acum apar doi mari reprezentanți ai cartografiei flamande: Gerhard Kremer, supranumit Mercator, și Abraham Ortelius.

În 1538, Mercator a alcătuit o hartă a lumii cunoscute (Figura 1.8.), iar trei ani mai târziu, un glob terestru. În 1550, una dintre hărțile sale are înscrise, pentru prima dată, capurile indicate de acul magnetic. Ulterior, a inventat și a pus la punct celebra sa metodă de proiecție cilindrică, folosită și în prezent, în special pentru alcătuirea hărților nautice. Cercetările sale nu s-au oprit aici și, în 1569, a început realizarea primei mari hărți a lumii destinată navigației, iar în 1585 a alcătuit o lucrare pe care a numit-o „Atlas”(aluzie la numele gigantului din mitologie care ținea lumea pe umeri). Dar primul atlas demn de acest nume fusese deja publicat în 1570 de către Ortelius și conținea 70 de hărți în 53 de planșe gravate în aramă.

Figura 1.8. Harta lumii a lui Mercator

(Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569)

În secolul al XVIII-lea, cercetările englezului Isaac Newton și ale olandezului Christiaan Huygens îi determină pe cartografi să abandoneze ipoteza învechită a Pământului rotund și să adopte elipsoidul de revoluție, căruia îi calculează aplatizarea. Este o perioadă de mari realizări în domeniul cartografiei. În 1737, englezul Christopher Packe a publicat prima hartă geologică; în 1791, în Anglia, a fost înființat primulInstitut Național de Cartografie; în 1820, Brandes a realizat prima hartă climatică a lumii.

Inventarea fotografiei, apoi cea a avionului, au revoluționat metodele cartografice. După 1957, sateliții artificiali furnizează mijlocul de a determina cu precizie coordonatele de puncte fixe ale suprafeței terestre. Rețele de triangulație bazate pe aceste puncte permit trasarea de hărți cu mult mai exacte decât înaint.

În spațiul românesc, primul cartograf a fost Dimitrie Cantemir. Autor al lucrării „Descriptio Moldaviae” („Descrierea Moldovei”), scrisă în 1716, în limba latină, la cererea Academiei din Berlin, Cantemir acorda un rol important componentei geografice, aceasta conținând descrierea formelor de relief, a florei, faunei și bogățiilor minerale și prezentării târgurilor și capitalelor țării de-a lungul timpului. Dimitrie Cantemir elaborează prima hartă a Moldovei.

Figura 1.9. Prima hartă a Moldovei (Dimitrie Cantemir)

În anul 1800, la Viena s-a tipărit primul atlas realizat de un român, și anume de Gh. Golescu, dar în limba greacă. În anul 1832 au apărut primele foi ale atlasului lui Gh. Asachi, primul atlas editat în limba română.

Între anii 1855-1857, la ordinul domnitorului Alexandru Ioan Cuza, s-a realizat prima hartă a Țării Românești (cunoscută și sub numele de „Harta Satmari“) (Figura 1.10.), având scara 1:57 600. Harta cuprinde provinciile istorice Oltenia și Muntenia și este prima hartă pe care apare denumirea de România.

Figura 1.10. O porțiune din Harta lui Cuza (Satmari), 1864, din împrejurimile Râmnicului Sărat

Tot în această perioadă, pentru efectuarea măsurătorilor terestre s-a introdus sistemul metric, folosirea sa devenind obligatorie în anul 1866.

După primul război mondial, datorită necesităților economice, politice și administrative, s-a trecut la întocmirea unei hărți la scară mare (1:20 000, 1:10 000 și chiar 1:5 000) prin reproducerea și multiplicarea originalelor de teren deja existente.  Noile documente cartografice, cunoscute sub numele de „planuri directoare de tragere“ au fost întocmite într-o proiecție unică pentru tot teritoriul țării și anume în proiecția Lambert (Figura 1.11.).

Figura 1.11. Planuri directoare de tragere

După cel de-al doilea război mondial, cartografia românească a cunoscut o puternică dezvoltare. Astfel, pentru obținerea de planuri și hărți topografice  într-un timp cât mai scurt și la un preț cât mai redus, în anul 1958 s-a înființat Centrul de Fotogrammetrie, care în 1970 a devenit Institutul de Geodezie, Fotogrammetrie, Cartografie și Organizarea Teritoriului (I.G.F.C.O.T.), în cadrul căruia s-au realizat planurile de bază la scările 1:2 000, 1:5 000 și 1:10 000 necesare economiei naționale, fie pentru evidența funciară, fie pentru sistematizarea localităților.

De asemenea, s-a întocmit harta topografică modernă la scara 1:25 000 (1972-1981), utilizându-se proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger și elipsoidul Krasovski.

Rezultate deosebite în domeniul cartografiei au fost obținute și de Direcția Topografică Militară (D.T.M.), unde s-au întocmit 11 foi din harta internațională la scara 1:2 500 000.

Sub egida Ministerului Educației și Cercetării au apărut numeroase hărți, mai importante fiind hărțile fizice și politice ale lumii la scările 1:22 000 000 și 1:18 000 000; hărțile fizice și economice ale României la scările 1:400 000 și 1:500 000.

Academia Română, prin Institutul de Geografie, între anii 1974-1978 a publicat Atlasul Național, care cuprinde 76 de planșe și are un conținut deosebit de variat. Tot sub egida Academiei Române în anul 1996 a apărut lucrarea România – Atlas istorico-geografic. Ambele atlase reprezintă sinteze reușite ale succeselor obținute în cartografie, atât din punct de vedere al conținutului, cât și al metodelor de lucru.

Cu ajutorul datelor obținute prin teledetecție s-a trecut la realizarea unor hărți tematice, așa cum sunt cele realizate de Institutul de Geologie și Geofizică sau de Institutul Național de Meteorologie și Hidrologie.

Mai recent, hărți tematice de o valoare aplicativă deosebită au început să se realizeze și în cadrulCentrului Român pentru Utilizarea Teledetecției în Agricultură (C.R.U.T.A.).

Pentru realizarea unor lucrări deosebite, pentru perfecționarea instrumentelor și metodelor de întocmire a hărților, cartografia românească se bucură de aprecieri deosebite pe plan mondial.

Legătura cartografiei cu alte științe

Cartografia este legată de alte științe naturale, tehnice, filozofice etc, cu care se găsește într-o interdependență evolutivă. Cartografia a preluat concepte ale altor științe, dar a și contribuit la dezvoltarea acestora.

O deosebită importanță o au legăturile cu științele Pământului (geoștiințele) și ale planetelor care includ: geodezia, topografia, fotogrammetria, teledetecția, geografia, ecologia, astronomia, planetologia etc.

Elementele elipsoidului terestru, studiate de geodezie, sunt strict necesare pentru calculul elementelor proiecțiilor cartografice. Coordonatele planimetrice și altimetrice ale unor puncte necesare întocmirii hărților sunt puse la dispoziție de geodezie, topografie și fotogrammetrie.

Complexitatea legăturii dintre cartografie și geografie este dată atât de rolul cunoștințelor geografice în înțelegerea naturii și societății, cât și de utilizarea de către geografie a cartografiei și a produselor cartografice în studierea problemelor geografice specifice.

Legături similare există cu științele economice, sociale, cu istoria, arheologia, etnografia și alte discipline, împreună cu care formează o bază pentru cartografierea tematică și pentru utilizarea hărților într-un spectru larg de scopuri științifice sau aplicative.

Dezvoltarea conceptului teoretic de sistem cartografic, a metodelor de modelare în cartografie se bazează pe logică și filozofie (teoria reflectării, teoria modelării, logica formală, analiza sistemică ș.a.).

Cartografia are legături cu științele matematice (analiza matematică, geometria analitică, statistica și teoria informației, teoria grafelor ș.a.), care sunt aplicate în teoria proiecțiilor cartografice, modelarea matematică și cartografică, managementul producției cartografice.

Cartografia are legături foarte importante cu ingineria și automatica (ingineria sistemelor, electronica, ingineria semiconductoarelor, ingineria laserilor, ingineria chimică, poligrafia ș.a.). A câștigat noi valențe legătura cartografiei cu teoria conducerii sistemelor, informatica și cibernetica.

Interacțiunea cartografiei cu alte științe și tendința sa de a satisface necesitățile practice conduc la formarea a noi discipline cartografice:

1) de absorbție – care apar când noua ramură este mai puternică decât cea tradițională (de exemplu, cartometria este considerată în prezent independentă de utilizarea generală a hărților);

2) de graniță – cartografia geologică, cartografia de aeronavigație, cartografia medicală etc;

3) nodale – formând sfera contactelor între cartografie și alte științe și metode avansate de cercetare (de exemplu,. cartografia planetară – bazată pe cartografie, planetologie, astronomie și teledetecție);

4) de legătură – care acoperă ramurile relaționate, umplu golurile apărute pe timpul diferențierii cunoștințelor științifice (de exemplu, geoiconica ce unește cartografia, fotogrammetria, teledetecția și grafica cu calculatorul).

O legătură deosebită o are cartografia cu geoinformatica, ducând la apariția cartografiei asistate de calculator, dezvoltată separat sau ca parte componentă a sistemelor informaționale (informatice) geografice (S.I.G.).

Legăturile cartografiei cu S.I.G. sunt date de aspecte, ca: 1) hărțile topografice și tematice constituie sursa principală a geoinformației organizate temporal și spațial; 2) hărțile sunt mijlocul principal de interpretare topografică sau geografică și de organizare a altor informații folosite în S.I.G. (statistică, analitică, de teledetecție etc); 3) analiza cartografică permite determinarea eficientă a regularităților și neregularităților geografice și topografice, iar modelarea matematico-cartografică este metoda de bază a transformării informației în procesul de management; 4) imaginea cartografică este cea mai potrivită formă de prezentare la utilizatori a ieșirilor oricărui S.I.G. (hărți obținute automat, modele tridimensionale, videohărți etc.).

Capitolul 2

Teoria generală a proiecțiilor cartografice

Forma și DIMENSIUNEA pământului

Pământul, deși prezintă mari denivelări datorită formelor de relief, are forma unei sfere ușor turtită la poli. Denivelările reliefului sunt importante: cota altimetrică maximă: Everest – 8.848 m (Himalaya) și cota batimetrică maximă – 11.033 m (Insulele Mariane). Totuși aceste denivelări raportate la scara globului sunt aproape neglijabile. Astfel dacă Pământul ar fi reprezentat printr-un glob cu diametrul de 1m, atunci cea mai mare înălțime terestră ar avea 0,7mm.

Sfera ușor turtită la poli cu care poate fi deci aproximat globul terestru se numește geoid și acesta este imaginat ca fiind obținut prin prelungirea pe sub continente a suprafeței mărilor și oceanelor în starea lor liniștită.

Principala caracteristică a geoidului este faptul că în orice punct, suprafața sa este perpendiculară la vectorul forței gravitaționale. Geoidul este o formă dinamică, formă guvernată de legile atracției gravitaționale, deci nu este o formă geometrică care să respecte legi matematice (Figura 2.1).

Figura 2.1 Secțiune prin scoarța terestra a Pământului

Cu toate acestea, suprafața geoidului este folosită ca suprafață de referință pentru cote, adică în raport cu acestea se stabilește poziția pe înălțime a punctelor topografice. Pentru a putea fi folosit ca suprafață de referință, pe care să fie proiectate elementele din teren, este necesar ca geoidul să fie aproximat cu un elipsoid de referință. Acest corp geometric (Figura 2.2) se obține prin rotirea unei elipse, în jurul axei mici (Figura 2.3).

Figura 2.2. Forma geoidului

Figura 2.3. Elipsa meridiană terestră și

sistemul de axe de coordonate carteziene XOZ

Ecuația elipsei: (2.1)

– a – semiaxa mare

– b – semiaxa mică

– P(xp, zp) – punct curent pe elipsă de coordonate xp și zp.

Figura 2.4

Ecuația elipsoidului de referință: (2.2)

P(xp, yp, zp) – punct aparținând elipsoidului (Figura 1.3)

Sisteme de coordonate utilizate în cartografie

Coordonate geografice

Considerăm suprafața globului terestru la care notăm axa polilor PP' (Figura 2.5).

Prin intersecția planelor ce conțin axa polilor și suprafața terestră, rezulta meridianele. Din infinitatea de meridiane, se considera în mod convențional ca meridian „0” meridianul care trece prin observatorul Greenwich. Poziția celorlalte meridiane este dată de unghiul diedru format între planul meridianului respectiv și planul meridianului origine. Unghiul diedru este exprimat în grade sexagesimale, iar sensul de măsurare este de la vest la est.

Unghiul diedru format de planul meridian ce trece prin Greenwich, și planul meridian al locului, se numește longitudine, notată cu „” sau „L”. Prin intersecția globului terestru cu planele paralele la Ecuator, rezultă paralelele. Paralela „0” sau paralela medie este considerată Ecuatorul EE'. Unghiul format de verticala locului și proiecția acesteia pe planul ecuatorial, se numește latitudine, notată cu „” sau „B”.

Figura 2.5. Coordonate geografice

Pe suprafața elipsoidului terestru, latitudinile geografice (φ, se măsoară de la Ecuator spre Polul Nord, fiind denumite, în emisfera nordica, latitudini nordice sau pozitive, cu valori între 0° și 90°. În mod asemănător, se măsoară și în emisfera sudica, de la Ecuator spre Polul Sud unde sunt denumite latitudini sudice sau negative, cu valori între 0° și -90° (Figura 2.6).

Longitudinile geografice (λ), se măsoară de la meridianul origine Greenwich spre est și spre vest, fiind estice sau pozitive, de la 0° la 180° și, respectiv, vestice sau negative, de la 0° la -180° (Figura 2.6). Punctele situate pe aceeași paralelă au aceeași latitudine, iar cele situate pe același meridian au aceeași longitudine.

Teritoriul României este cuprins aproximativ între latitudinile nordice de 43°35'07" la SUD și 48°15'08" la NORD, având o latitudine medie φm = 46° si, respectiv, între longitudinile estice de 20°15'44" la VEST și de 29°14'24" la EST, cu o longitudine medie λm=25°. Din punct de vedere practic, sistemul de coordonate geografice (φ, λ) formează un sistem unitar de coordonate pe suprafața elipsoidului, iar cele doua familii de linii (φ =const.; λ =const) determină rețeaua cartografică de paralele și meridiane (Figura 2.6).

Figura 2.6. Rețeaua cartografică de paralele și meridiane

Coordonate carteziene și polare

Sistemul de coordonate carteziene este sistemul a cărui axe sunt ortogonale. Sistemul de referință cartezian este folosit la suprafețele plane de proiecție.

Sistemul de referință cartezian este constituit astfel: axele x și y formează planul de referință care este tangent în punctul 0 la suprafața topografică (Figura 2.7). Axa x este dirijată după direcția meridianului ce trece prin 0, iar axa y este tangentă la paralela corespunzătoare punctului 0. Axa Oz este dirijată după verticala locului. Față de sistemul de referință, poziția unui punct P este definită de următoarele elemente:

xp, yp, zp – coordonatele carteziene ale punctului P;

d – distanța măsurată în planul de proiecție;

φ- unghiul format de segmentul OP cu planul de proiecție;

θ- orientarea topografică – unghiul format de proiecția segmentului OP cu direcția nordului, respectiv axa Ox.

(2.3)

Figura 2.7. Coordonate carteziene și polare

Se observă din figură că poziția punctului P este bine determinată, dacă sunt cunoscute fie coordonatele carteziene (xp, yp, zp), fie coordonatele polare (d, , φ).

Legătura ce există între aceste coordonate este:

Dar: (2.4)

Elemente de definire a elipsoidului de referință

Parametrii elipsoidului de referință

Considerăm suprafața elipsoidului de referință ca suprafață a unui elipsoid de rotație ; atunci se poate admite că acesta rezultă prin rotația unei elipse meridiane în jurul axei mici. Fie elipsa meridiană ce generează elipsoidul de rotație situată în planul xOz (Figura 2.8).

Figura 2.8. Elipsa meridian

Putem sa atașam acestei elipse ecuația cunoscută :

(2.5)

în care :

a – semiaxa mare ecuatorială a elipsoidului ;

b – semiaxa mică polară a elipsoidului.

Prin intermediul celor două semiaxe se definesc:

prima excentricitate, notată cu “e”;

a doua excentricitatea, notată cu “e' “ ;

turtirea, notată cu “α” ;

astfel :

(2.6)

Parametrii a, b, e, e', α sunt parametrii de bază care determină elipsa meridiană, problema fiind rezolvabilă în cazul în care sunt cunoscuți doi dintre aceștia (din care un parametru fiind o lungime).

Relațiile scrise între parametrii de bază pot avea și alte forme după cum urmează :

sau : (2.7)

sau : (2.8)

sau : (2.9)

sau : (2.10)

(S-a considerat =0, fiind foarte mic).

Un parametru întâlnit foarte frecvent în calculele geodezice îl constituie și raza de curbură polară C exprimată prin relația :

(2.11)

ECUAȚIILE parametrice ale elipsoidului de REFERINȚĂ

Reprezentând elipsoidul de rotație la sistemul de referință Oxyz (Figura 2.9),distingem următoarele elemente cu specificațiile următoare:

EE1 diametrul cercului ecuatorului;

PGP' meridianul origine;

E'E'1 diametrul paralelului punctului oarecare Mo;

normala la suprafața elipsoidului a punctului Mo;

tangenta în Mo la curba meridiana ;

tangenta în Mo la paralelul punctului Mo .

Figura 2.9. Elipsoidul de referință

Vectorii și determină un plan care intersectează suprafața elipsoidului după curba meridianului punctului Mo cu centrul de curbură în punctul O'.

Vectorii și determină un alt plan care intersectează suprafața elipsoidului după curba S Mo F (normala la precedenta) cu centrul de curbură în punctul O.

Poziția punctului Mo poate fi stabilita prin coordonatele rectangulare rectilinii (x, y, z) cat și prin coordonatele geografice elipsoidale (φ,λ).

A stabili ecuațiile parametrice ale elipsoidului de referința înseamnă a stabili o corespondenta între cele doua sisteme de coordonate, de forma :

În acest scop considerăm elipsa meridiană ce trece prin Mo. Punctul Mo fiind punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonate r,z care verifica relația:

(2.12)

Fie un punct M’o situate la distanta elementara față de punctul Mo (Figura 2.8). Acestui punct îi corespund față de punctul Mo creșterile în coordonate –dr și dz

Creșterea coordonatei r a punctului M'o este negativă pentru faptul că, la o creștere a latitudinii φ odată cu deplasarea punctului Mo în M'o distanța O2Mo scade.

Figura 2.10.

Notăm : (2.13)

și cu aceasta avem :

(2.14)

Ecuațiile (2.14) reprezintă ecuațiile parametrice ale elipsei meridiane.

Analizând Figura 2.10. se observă că putem scrie :

(2.15)

Folosind ecuațiile (1.11) , (1.12) și (1.13) putem forma sistemul de ecuații următor

(2.16)

Ecuațiile (1.22) reprezintă ecuațiile parametrice ale elipsoidului de referință.

ELIPSOIZI UTILIZAȚI LA NIVEL MONDIAL

Pentru determinarea dimensiunilor elipsoidului terestru se folosesc rezultatele lucrărilor geodezice superioare, astronomiei și gravimetriei.

De regulă, în funcție de elementele cunoscute ale elipsoidului terestru, se determină mărimile semiaxei mari a și turtirea În prezent există un număr însemnat de determinări ale dimensiunilor elipsoidului, efectuate de diferiți oameni de știință în secolele XIX și XX. Câteva din aceste determinări sunt prezentate în tabelele de mai jos:

Tabelul 2.1.

Principalii elipsoizi utilizați la nivel mondial

În decursul timpului, în țara noastră, au fost folosiți ca elipsoizi de referință următorii elipsoizi

Tabelul 2.2.

Elipsoizi utilizați în România

Parametrii geometrici ai elipsoidului Krasovski – 1940

Începând cu anul 1951, s-a adoptat atât în țara noastră, cât și în alte țări europene, elipsoidul Krasovski – 1940 împreună cu proiecția cilindrică transversală conformă Gauss-Krüger, cu sistem de referință pentru cote Marea Baltică, în vederea întocmirii planurilor și hărților topografice de bază. Dimensiunile elipsoidului de referință Krasovski – 1940 au fost determinate cu o eroare de ± (50 – 60 m) în semiaxa mare ecuatoriala ( a ) și de o unitate (± 1) în numitorul din expresia turtirii α = (a – b ) / a.

În anul 1973, s-a introdus proiecția azimutală perspectivă stereografică oblică conformă în plan secant – 1970, având la baza elementele elipsoidului Krasovski determinate în 1940 și planul de referință pentru cote Marea Neagra, în vederea întocmirii planurilor topografice de baza la scările 1:2 000, 1:5 000 și 1:10 000, precum și a hărții cadastrale la scara 1:50 000. Se menționează că precizia și densitatea rețelelor de triangulație geodezică de ordinele I – IV ale României, ce s-au calculat în proiecția Stereografica – 1970, asigură cerințele de precizie ale măsurătorilor topografice, fotogrammetrice și cadastrale.

Pe baza valorilor parametrilor a și α ai elipsoidului de referință Krasovski se calculează în mod aproximativ sau în mod riguros celelalte valori numerice ale parametrilor b,e2,e ‘2si C cu ajutorul relațiilor de mai sus.

In mod aproximativ, se estimează următoarele valori pentru parametrii b, e2, e’2
si C , funcție de valorile parametrilor a și α :

Pentru semiaxa mica polara (b), se obține valoarea :

(2.17)

Pentru prima excentricitate ( e2), se obține valoarea :

(2.18)

Sau: (2.19)

Pentru a doua excentricitate (e'2) se obține valoarea :

(2.20)

d) Pentru raza de curbură polara (C) se obține valoarea :

(2.21)

În calculele geodezice și cartografice riguroase se folosesc următoarele valori ale parametrilor geometrici uzuali și auxiliari ai elipsoidului de referință Krasovski:

Semiaxa mare ecuatorială: a = 6378245,000000 m

Semiaxa mica polară: b=6356863,018770m

Turtirea geometrică: 𝛂 = 0, 003 352 329 869

Prima excentricitate: e2 = 0,006 693 421 623

A doua excentricitate: e'2 = 0, 006 738 525 415

Raza de curbură polara: C = 6 399 698, 901 780 m

Parametrii geometrici ai elipsoidului WGS – 84

Prin introducerea în geodezie a tehnologiei GPS (Global Positioning System), pe baza utilizării unei constelații de 24 sateliți, ce se deplasează pe o orbita cunoscută în jurul Pământului la înălțimi foarte mari, precum și a receptoarelor GPS, realizate de diferite firme constructoare din S.U.A, Elveția, Franța și alte tari, se obține rețeaua geodezica GPS. Prelucrarea datelor se efectuează într-un sistem unitar pe elipsoidul internațional WGS-84, care pentru Europa este sistemul ITRF 92 epoca 1994.

În cazul teritoriului României, s-a realizat intr-o prima etapa un număr de 7 puncte răspândite pe întreaga suprafață a țării, fiind determinate din rețeaua internațională, și care formează rețeaua geodezică de ordinal A: Odorhei, Moșnița, Stănculești, Sfântu Gheorghe, Dealul Piscului, Sarca și Constanța. Aceste puncte au fost măsurate cu aparatura GPS de tipul Trimble 4 000 SSE, timp de 4 zile, iar din 4 în 4 ore au fost colectate datele meteorologice pentru corectarea fenomenului de refracție. Pentru efectuarea unei comparații ulterioare cele 7 puncte GPS de ordinul A au fost cotate prin nivelment geometric de precizie. Inițial s-au calculat coordonatele provizorii cu soft-ul oferit de Trimble, iar ulterior, s-au determinat coordonatele definitive, cu ajutorul unui soft specializat și a măsurătorilor simultane de la unele stații permanente din Europa.

Pe baza soft-ului specific măsurătorilor GPS, se realizează prelucrarea datelor și determinarea coordonatelor în sistemul unitar al elipsoidului internațional WGS – 84. în continuare se executa o transformare tridimensionala din sistemul global elipsoidal WGS – 84, în sistemul cartezian global elipsoidal Krasovski și apoi în sistemul STEREO – 70. Transformarea coordonatelor dintr-un sistem elipsoidal în alt sistem elipsoidal se bazează pe determinarea următorilor 7 parametri : 3 cosinuși directori independenți, 3 translații și 1 factor de scară.

Pentru diferite calcule geodezice și cartografice de precizie, se utilizează următoarele valori ale parametrilor geometrici ai elipsoidului internațional WGS – 84 :

Semiaxa mare ecuatorială: a= 6 378 137, 000 000 m

Semiaxa mica polară: b=6 356 752, 314 270 m

Turtirea geometrică: α=0, 003 352 810 66

Prima excentricitate: e2=0, 006 964 379 982

A doua excentricitate: e’2=0, 006 739 496 734

Raza de curbură polară : C=6 399 593, 625 720 m

Raze de curbură într-un punct situat pe suprafața elipsoidului de referință

Generalități

Fie punctul Mo (Figura 2.11), un punct oarecare pe suprafața elipsoidului de referință. Prin acest punct poate fi dusa o infinitate de curbe la suprafața, din care doua se numesc principale. Este vorba de curba meridiană și de curba normală la aceasta curba sau curba primului vertical. Aceste curbe au raze de curbură diferite în punctul Mo, respectiv curba meridiană cu centrul de curbură în O' are raza de curbură M, iar curba normală la curba meridiană cu centrul de curbură în O are raza de curbură N. Razele de curbură M și N se numesc raze principale de curbură, cunoscute și sub numele de raza mică și raza mare. Oricare alta curbă ce aparține infinității de curbe concurente în punctul Mo va avea raza de curbură corespunzătoare a cărui valoare se află cuprinsă între M și N. Indicele razei de curbură precizează faptul că, curba considerată determină în punctul Mo unghiul de orientare geografică .

Figura 2.11.. Elipsoidul de referință

Așadar, într-un punct oarecare considerat pe suprafața elipsoidului de referință există o infinitate de raze de curbură, corespunzătoare infinității de curbe situate pe suprafața elipsoidului și concurente în punctul respectiv. Valorile extreme ale acestei raze sunt date de razele principale.

În calculele geodezice intervine și așa numita rază medie Rm într-un punct, al cărei valoare se obține pe baza valorilor tutor razelor de curbură existente în punctul respectiv.

In cele ce urmează se vor stabili expresiile razelor de curbură M, N, și Rm.

Expresia razei mici de curbură M

Considerăm un punct oarecare Mo de latitudine pe suprafața elipsoidului de referință și elipsa meridiană ce trece prin acesta (Figura 2.12). Pe elipsa meridiană fie punctul M'o de latitudine situat la distanta elementara ds față de Mo.

Arcul elementar M0M'o se admite ca arc de cerc de raza M, deci putem scrie :

(2.22)

si de la aceasta egalitate : (2.23)

Figura 2.12. Raza mică de curbură – M

Din Figura 2.10. rezultă

(2.24)

și deci :

sau : (2.25)

În final se obține expresia razei mici de curbură M:

(2.26)

Se observă că ca raza mica de curbură este funcție de latitudinea punctului în care se determina.

Raza mare de curbură N

Considerăm din nou punctul Mo de latitudine și elipsa meridiană ce trece prin el (Figura 2.13). Daca r este raza paralelului pe care se află punctul considerat, atunci din triunghiul dreptunghic MoO2O rezultă :

(2.27)

sau : (2.28)

Raza mare de curbură este funcție de asemenea de latitudinea punctului în care se determină.

Figura 2.13. Raza mare de curbură – N

Expresia razei de curbură după o direcție oarecare

Dacă într-un punct oarecare Mo considerat pe suprafața elipsoidului de referință se duce o curbă oarecare de orientare geografica , atunci raza de curbură a acesteia va fi (Figura 2.14).

Figura 2.14. Raza după o direcție oarecare

(2.29)

Analizând expresia (1.23) se constată că raza de curbură a unei curbe de orientare geografica α este funcție de latitudinea punctului în care se determina și unghiul de orientare geografică α ce poziționează curba pe suprafața elipsoidului.

Expresia razei medii de curbură Rm

Elipsoidul ca suprafață de referință se utilizează în cazul în care este necesară reprezentarea unor suprafețe mari de teren, sau uneori chiar reprezentarea întregii suprafețe terestre. Pentru reprezentarea unor suprafețe care se încadrează într-un triunghi cu latura de 263 km, se poate utiliza ca suprafață de referință, suprafața sferei de rază medie Gauss a cărei mărime este dată de relația:

(2.30)

unde:

M – raza de curbură a meridianului;

N – raza de curbură a primului vertical (raza curbei obținută prin secționarea suprafeței de referință cu un plan ce conține verticala și este perpendicular pe planul meridianului) (Figura 2.15).

Figura 2.15. Raza medie

Valoarea medie stabilită pentru sfera Gauss este R = 6.378m.

Pentru reprezentarea unei suprafețe de teren ce se încadrează într-un cerc de rază mai mică sau egală cu 10 km, se poate utiliza, ca suprafață de referință, o suprafață plană, elementele din teren proiectându-se ortogonal pe aceasta.

Lungimea arcului de meridian

Considerăm egalitatea cu ajutorul căreia putem stabili lungimea arcului de meridian cuprinsa între doua puncte P1si P2 de latitudinea φ1 și φ 2 situate pe aceasta și scriem :

(2.31)

cu expresia , relația(2.31) devine :

(2.32)

Integrala obținută poate fi rezolvată, utilizând rezolvările în serie:

Astfel:

Se știe că:

…………………………………………………….

Cu aceste relații obținem :

în care coeficienții A,B,………sunt dați de expresiile:

În limita aproximațiilor acceptate, integrala (1.26) devine:

(2.33)

Pentru cazul particular:

– punctul P1 la ecuator

– latitudinea a punctul P2

se obține lungimea arcului de meridian de la ecuator la un punct oarecare situat pe meridian.

Formula finală de calcul este:

(2.34)

Practic, pentru a calcula arcul de meridian de lungime finită folosim relația:

(2.35)

În care:

– lungimea arcului de meridian între latitudinile φ 1 și φ 2

– lungimea arcului de meridian de la Ecuator la latitudinea φ 2

– lungimea arcului de meridian de la Ecuator la latitudinea φ 1

Lungimea arcului de paralel

Pe un paralel de raza r și de latitudine φ se consideră două puncte P1 și P2 situate la o distanță d φ (Figura 2.16).

În această situație vom longitudinea λ-dλ, deci între cele doua puncte exista diferența de longitudine dλ.

Pentru arcul elementar de parale poate fi scrisa relația:

(2.36)

Când punctele P1P2 la distanța finită, longitudinile lor fiind λ1și λ2 se poate stabili lungimea arcului de paralel integrând egalitatea (2.36), respectiv :

(2.37)

Figura 2.16. Lungimea arcului de paralel

Practic, arcul de paralel finit se calculează cu relația:

(2.38)

(2.39)

În care:

Scara hărții. MODULI DE DEFORMARE

scara hărții

Să consideră, elipsoidul de rotație nu în mărime reală ci micșorat de N ori, de atâtea ori cât este necesar ca o regiune din suprafața sa să se poată reprezenta pe o foaie de hârtie normală servindu-ne de ecuațiile hărții.

Notăm cu ds, elementul liniar dintre două puncte oarecare ale elipsoidului micșorat și cu ds0 distanța corespunzătoare de pe suprafața elipsoidului terestru(neredus). Vom nota cu 0 și vom numi scară principală sau generală a hărții raportul:

Sau: , (unde ) (2.40)

Când se reprezintă suprafața elipsoidului pe plan, se caută pe cât posibil să se mențină nedeformate unghiurile, ariile sau anumite linii. În general, nu poate să existe o hartă (o reprezentare) care să păstreze lungimile, pentru că, în acest caz, s-ar obține o asemănare între figurile finite de pe suprafața terestră și între figurile finite din plan. Acest lucru nu e posibil pentru că suprafața terestră nu e desfășurabilă în plan.

Însă, anumite reprezentări păstrează nedeformate o linie sau o familie de linii.. În acest caz, raportul dintre segmentele omoloage ds’, ds0 de pe hartă și respectiv de pe suprafața elipsoidului terestru(neredus):

(2.41)

va fi egal cu scara principală a hărții. Acest raport în celelalte direcții este mai mic sau mai mare decât scara generală.

Raportul (2.22) se numește scară principală a hărții.

Când se reprezintă elipsoidul terestru pe plan, nu este posibil să facem ca scara particulară să fie peste tot egală cu scara principală.

În general, scara particulară pe hartă variază continuu de la un punct la altul, dar chiar și în același punct variază când se trece de pe o direcție pe alta. Deci scara particulară este funcție de coordonatele punctului și de azimut:

(2.42)

MODULUL DE DEFORMARE LINIARĂ

Suprafața Pământului, cu toate neregularitățile generate de forma sa, precum și de formele de relief existente, se poate reprezenta pe un plan prin utilizarea unor proiecții cartografice, caracterizate de deformații caracteristice. În acest scop se utilizează funcții specifice proiecției respective, prin care se realizează legătura biunivoca dintre poziția punctului pe elipsoid (sau pe sferă) reprezentată prin coordonatele geodezice B și L și poziția sa în planul de proiecție, prin coordonatele plane x, y:

(2.43)

Deformația liniară este exprimată, de obicei, prin raportul dintre elementul liniar din planul de proiecție și elementul de arc de pe suprafața folosită pentru aproximarea formei Pământului.

Figura 2.17.

Notăm cu ’ și vom numi modul de deformare liniară, raportul dintre elementele liniare omoloage ds’, ds de pe hartă și de pe elipsoidul terestru(redus), deci:

(2.44)

Pentru direcțiile care rămân nedeformate, modulul de deformare liniară este egal cu unitatea. Pe celelalte direcții modulul de deformare liniară va fi mai mare sau mai mic decât unitatea. El variază continuu de la un punct la altul și în același punct când se trece de la o direcție pe alta. Deci modulul este funcție de coordonatele punctului și de azimut:

Dacă înmulțim modulul de deformare liniară cu scara generală, căpătăm scara particulară a hărții într-un punct dat și pe o direcție dată:

(2.45)

Cu cât scara particulară diferă mai puțin de scara generală 0, în toate punctele hărții , cu atât proiecția aleasă pentru harta respectivă este mai precisă.

Din formula (2.45) se vede că această condiție este îndeplinită când modulul de deformare liniară are o valoare foarte apropiată de unitate. Deci, cele mai bune proiecții sunt acelea pentru care modulul de deformare liniară diferă foarte puțin de unitate. Abaterea de la unitate a modulului de deformare liniară o vom nota cu v, adică:

,

de unde:

(2.46)

Diferența ds’-ds reprezintă deformarea absolută a lungimii elementului ds când este reprezentat de pe elipsoidul redus pe hartă, iar raportul este deformarea relativă a aceleiași lungimi. Dacă înmulțim acest raport cu 100 sau 1000, obținem deformarea relativă a lungimilor la sau la :

și

Așadar, diferența v a modulului de deformare liniară de la unitate reprezintă deformarea relativă a lungimilor. Cu cât valoarea v în toate punctele hărții este mai mică, cu atât proiecția aleasă pentru hartă este mai bună.

Modulii de deformare areolară și unghiulară

Vom însemna cu p și vom numi modulul de deformare areolară raportul între elementele de arie omoloage dS’, dS din plan și de pe suprafața terestră:

(2.47)

Dacă:

p>1 – ariile pe hartă se dilată;

p=1 – ariile pe hartă se păstrează, avem în acest caz hărți echivalente

p<1 – ariile pe hartă se contractă.

Vom însemna cu și vom numi modulul de deformare unghiulară relativ la direcția , diferența între unghiurile și corespunzătoare, de pe elipsoid și din plan:

(2.48)

Când =0, avem hărți conforme.

Curbe pe suprafața elipsoidului de referință

Elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafața terestră

Se dă suprafața S ale cărei ecuații parametrice sunt:

(2.49)

Elementul de arc al unei curbe trasată pe suprafața S este dat de expresia:

(2.50)

Diferențiind (2.49), avem: (2.51)

Din (2.50) și (2.51) rezultă:

(2.52)

sau cu notația lui Gauss: (2.53)

vom avea: (2.54)

Expresia din membrul al doilea poartă numele de prima formulă pătratică fundamentală, coeficienții săi E,F,G intervenind frecvent în teoria suprafețelor.

Se poate verifica ușor că ds este întotdeauna real, adică membrul al doilea este mereu pozitiv.

Discriminantul acestei forme EG2-F2>0 și este egal cu pătratul matricei:

ale cărui elemente, prin ipoteza făcută sunt toate reale.

Trinomul păstrează semnul lui E oricare ar fi valoarea raportului , adică oricare ar fi curba ce trece prin M.

Pe curba =const. avem , deci elementul său de arc ia forma simplă:

, (2.55)

iar pe curba =const. avem:

, (2.56)

În cazul când suprafața S este un elipsoid de rotație relațiile (2.49) devin:

(2.57)

unde:

Derivând parțial pe X, Y,Z în raport cu și obținem:

unde M și N sunt razele de curbură principale, ale căror valori sunt date de expresiile:

Înlocuind valorile derivatelor parțiale obținute mai sus, în expresiile coeficienților E, F, G obținem:

(2.58)

unde este raza paralelului corespunzător latitudini .

Deci elementul de arc al curbei trasată pe suprafața elipsoidului de rotație este dat de expresia:

(2.59)

Pe paralel avem =const. și d=0, deci elementul de arc de paralel are forma următoare:

(2.60)

iar pe meridian =const., d=0 și avem:

(2.61)

Dacă presupunem că suprafața Pământului este sferică, atunci meridianele vor fi cercuri mari și vom avea, dacă notăm cu R raza sferei:

iar formulele (2.59.),(2.60) și (2.61) vor deveni:

(2.62)

(2.63)

(2.64)

Unghiul curbelor parametrice

Cosinușii directori ai tangentei la curba =const. În punctul M(,) sunt:

În mod asemănător cosinușii directori ai tangentei la curba =const sunt:

Însemnând cu unghiul dintre cele două direcții considerate pozitive, avem:

(2.65)

Condiția necesară și suficientă pentru ca liniile de coordonate să se intersecteze sub un unghi drept este:

Din (2.65) deducem:

Sau: (2.66)

unde:

Unghiul a două curbe trasate pe suprafața terestră

Figura 2.18. Unghiul a două curbe pe suprafața terestră

Vom însemna cu și vom numi azimut, unghiul pe care-l face elementul de arc ds cu direcțiile pozitive a liniei de coordonate =const., în punctul M(,) (adică unghiul pe care-l face elementul ds în direcția nord a meridianului).

Cosinușii directori ai elementului ds=MM1 se obțin împărțind cu ds membrii ai doilea ai relațiilor :

Deci vom avea (2.67)

sau având în vedere expresiile:

vom obține: (2.68)

Din relația (2.68) se deduce:

Înlocuind pe ds2 prin valoarea sa data de și extrăgând rădăcina pătrată, obținem:

, (2.69)

Împărțind (2.69) la(2.68.) obținem:

(2.70)

Considerăm două elemente liniare care merg din punctul M () în punctele M() și M(). Vom însemna cu unghiul între aceste elemente. Azimutele celor doua elemente le vom nota cu α și α’, ele fiind date de expresiile:

Deci: (2.71)

(2.72)

În caz când suprafața se consideră elipsoid de rotație avem:

(2.73) (2.74)

(2.75)

(2.76)

Din relația (2.76) deducem: (2.77)

În cazul când suprafața terestră se consideră sferă avem:

(2.78)

(2.79)

(2.80)

Elementul de arie al suprafeței terestre

Să împărțim aria suprafeței terestre prin curbe parametrice =const. și =const. Curbele și care trec prin M și curbele determină un patrulater curbiliniu care poate fi asimilat cu un paralelogram ale cărui laturi sunt și iar este unghiul cuprins între ele.

Deci: (2.81)

În cazul când suprafața terestră se consideră elipsoid de rotație avem:

(2.82)

iar când se consideră sferă avem:

(2.83)

Puncte, elemente de linie, element de arie și unghiuri corespunzătoare pe hartă, celor de pe suprafața terestră

Raportăm punctele hărții la două axe rectangulare, Ox, Oy (Figura 2.20). Punctul M de pe suprafața terestră (Figura 2.19) îl facem să-i corespundă punctul M’(x,y) de pe hartă, cu ajutorul funcțiilor arbitrare:

(2.84)

care definesc sistemul de proiecție.

Figura 2.19. Elemente de linie, arie și unghiuri pe suprafața terestră

Figura 2.20. Elemente de linie, arie și unghiuri pe hartă

În mod asemănător, punctelor S, M1 și S1 le vom face să le corespundă punctele S’, M’1 și S1’.

Dreptunghiului curbiliniu infinit mic MSM1S1 de pe suprafața terestră îi va corespunde pe hartă paralelogramul infinit mic M’S’M1’S1’. Elementul de arc ds îi va corespunde pe hartă elementul de arc ds‘ care este dat de expresia:

(2.85)

Diferențiind (2.84) avem:

(2.86)

Din (2.85) rezultă: (2.87)

iar după ridicarea la pătrat a termenilor din membrul al doilea și după transformări simple, obținem:

(2.88)

unde: (2.89)

Elementelor de arc dsp și dsm le vor corespunde pe hartă elementele de arc:

(2.90)

Azimutului îi va corespunde în plan unghiul , care va fi dat de expresiile:

(2.91)

(2.92)

(2.93)

unde: iar

Din expresia (2.93) deducem :

(2.94)

Vom exprima unghiul în funcție de azimutul :

(2.95)

Egalitatea (2.95) dă legătura dintre unghiurile și , rezolvând-o în raport cu obținem:

(2.96)

Formula (2.96) permite să găsim valoarea unghiului i, dintre lungimile meridianelor și paralelelor pe plan(pe hartă). Pentru aceasta va trebui să facem în formula (2.96) pe Dar dacă facem pe în formula amintită, căpătăm o nedeterminare.

Pentru înlăturarea nedeterminării vom împărți și numărătorul și numitorul membrului al doilea al formulei cu și obținem:

(2.97)

Făcând în formula de mai sus pe obținem:

(2.98)

Dar:

Deci se va obține: (2.99)

Deseori în lucrările practice de cartografie nu se folosește în calcule unghiul i ci diferența lui de la 900, adică tocmai unghiul care exprimă valoarea deformării unghiului dintre meridianele și paralelele suprafeței elipsoidului terestru, care este egal cu 900.

Presupunem că , atunci:

(2.100)

Modulul de deformare liniară

Să considerăm elipsoidul de rotație nu în mărime reală ci micșorat de N ori, de atâtea ori cât este necesar, pentru ca o regiune din suprafața sa se poată reprezenta pe o foaie de hârtie normală servindu-ne de ecuațiile hărții.

Vom nota cu ds elementul de arc de curbă cuprins între două puncte M și M1 de pe suprafața elipsoidului terestru(astfel redus) și cu ds’ distanța corespunzătoare între punctele omoloage din plan.

Numim modul de deformare liniară raportul dintre elementele de arc omoloage ds’ și ds de pe suprafața elipsoidului terestru :

(2.101)

Având în vedere expresiile elementelor de arc ds și ds’ obținem:

(2.102)

sau : (2.103)

de unde

Înlocuind în (2.103) pe u prin valoarea sa dată de , obținem :

(2.104)

Din relația (2.104) rezultă că modului de deformare liniară depinde în general de :

poziția punctului M(,) din care pornește elementul ds, pentru că e,f,g,M,r sunt funcții de coordonate ,

azimutul al aceluiași element(ds).

Înlocuind în expresia (2.104) pe =0 și =900, obținem expresiile modulilor de deformare liniară în direcția meridianului m==0 și în direcția paralelului n=’=900

(2.105)

(2.106)

Dacă facem următoarele notații :

obținem pentru ’2 următoarele expresii:

(2.107)

Vom deduce expresiile modulului de deformare liniară în funcție de unghiul .

Din formula rezultă:

(2.108)

Se poate deduce că: (2.109)

Înlocuind egalitățile (2.109) în expresia (2.108) obținem:

(2.110)

Cu notațiile:

obținem: (2.111)

Modul de deformare areolară

Prin modul de deformare areolară se înțelege raportul dintre elementele de arie omoloage dS’, dS al planului și al suprafeței terestre:

(2.112)

a) b)

Figura 2.21.

Determinarea modulului de deformare areolară

Pe suprafața elipsoidului terestru, liniile de coordonate și are trec prin M(,) și liniile determină un dreptunghi curbiliniu infinit mic, ale cărui laturi sunt dsm, dsp. Suprafața dreptunghiului este

(2.112)

În reprezentarea pe plan a punctului M(,) îi va corespunde punctul M’(,); dreptunghiul din M se va reprezenta pe plan printr-un paralelogram infinit mic, ale cărui laturi sunt dsm’, dsp’, iar unghiul dintre laturile paralelogramului este i.

Suprafața paralelogramului este:

(2.113)

Deci, expresia modulului de deformare areolară se poate scrie:

(2.114)

Dar: (2.115)

iar pe baza formulei avem:

(2.116)

Deci: (2.117)

Modulul de deformare areolară este dat de expresia:

(2.118)

Modulul de deformare unghiulară

Modulul de deformare unghiulară relativ la direcția este egal cu diferența unghiurilor și corespunzătoare de pe suprafața terestră și din plan:

(2.119)

Scriem relația trigonometrică:

(2.120)

înlocuind în această formulă pe prin expresia sa dată de

și obținem după transformări simple expresia cu ajutorul căreia putem obține după transformări simple expresia cu ajutorul căreia putem determina modulul de deformare unghiulară:

(2.121)

Elipsa deformațiilor

Prin elipsa de deformație se înțelege imaginea unui cerc infinit mic de pe suprafața elipsoidului sau a sferei în planul unui sistem de proiecție cartografică, unde deformațiile liniare depind și de azimut. Se consideră pe elipsoidul de rotație o suprafața elementara ABCD, în care se înscrie un cerc cu raza ds = 1 (Figura 2.22), căreia în planul de proiecție îi va corespunde patrulaterul A'B'C'D', iar cercului ii va corespunde o elipsa (Figura 2.23).

Figura 2.22. Cerc infinit mic pe suprafața elipsoidului (R=ds=1 ; R=OV=OT)

Figura 2.23. Elipsa de deformație în planul de proiecție (a=O’V’ ; b=O’T’)

Se observă că, prin proiecția cercului infinit mic de pe elipsoid în planul de proiecție, rezultă în general, o elipsa ale cărei semiaxe (a,b) indica direcțiile principale (I'-I) și (n'-n') pe care se produc deformațiile maxime și, respectiv, deformațiile minime .

Direcțiile principale de pe suprafața elipsoidului (I-I) și (II-II) și din planul de proiecție (I'-I') și (n'-n') pe care se produc deformațiile și mărimea acestora sunt perpendiculare între ele. În unele cazuri axa mare coincide cu direcția meridianului de longitudine λ, iar axa mica cu direcția paralelului de latitudine φ sau invers, dar în general, aceste direcții au o poziție diferită (Figura 2.23).

Dacă suprafața elipsei de deformație este mai mare sau mai mică decât suprafața cercului de pe elipsoid rezultă că în urma reprezentării, suprafețele s-au modificat în sens pozitiv sau în sens negativ, iar unghiurile au deformații în proiecție.

Dacă cercul de pe elipsoid se reprezintă tot prin cerc rezultă că, deformațiile sunt uniforme pe cele doua direcții principale, iar proiecțiile sunt conforme.

Din punct de vedere practic, repartizarea deformațiilor de pe o harta se poate analiza cu ajutorul unor tabele de deformații, ce se anexează la harta respectivă sau cu ajutorul izocolelor, ce se reprezintă sub forma unor cercuri concentrice sau a unor linii care unesc punctele egale ale deformațiilor de pe o harta.

Modulul într-un punct M(,) în general este funcție de azimutul ; pentru diferite azimute 1, 2,… vom avea diferiți moduli ’1, ’2,… în reprezentarea pe plan, în punctul M’(x,y) azimutelor 1, 2,… le vor corespunde unghiurile 1, 2,…. Vom lua imaginea meridianului care trece prin M drept meridian axial. Ducem din punctul M’(x,y) diferite direcții care formează cu tangenta la imaginea meridianului axial, unghiurile 1, 2,…măsurăm pe aceste direcții, începând de la punctul M’, diferite segmente egale cu valorile modulilor de deformare liniară corespunzători direcțiilor respective și apoi unim extremitățile acestor segmente cu o linie curbă continuă. Vom demonstra că această curbă este o elipsă.

Figura 2.24.

Determinarea elipsei deformațiilor

Considerăm punctul M’ drept originea sistemului de coordonate dreptunghiular. Drept axa X luăm tangenta la imaginea meridianului axial. Din Figura 2.24. rezultă:

(2.122)

Din relația:

rezultă: (2.123)

Având în vedere (2.122) obținem:

(2.124)

Ecuația (2.124) este ecuația curbei pe care trebuie să o determinăm. Pe baza ecuației (2.124) tragem concluzia că această curbă este o elipsă, deoarece:

(2.125)

Această elipsă de numește elipsa indicatoare sau elipsa deformațiilor.

Dacă pe suprafața elipsoidului terestru descriem un cerc infinit mic cu centrul în punctul M(,) și cu raza ds, oricare ar fi funcțiile x(,) , y(,) care determină modul de reprezentare, acestui cerc infinit mic îi va corespunde pe hartă o elipsă de asemenea infinit mică.

Această concluzie nu este valabilă numai pentru suprafața de rotație și plan, ci și pentru două suprafețe oarecare.

Astfel s-a determinat legea fundamentală a deformațiilor, care nu depinde nici de natura suprafețelor, nici de modul de reprezentare adoptat. Aceasta se enunță astfel: reprezentarea unei suprafețe pe alta poate fi înlocuită în jurul fiecărui punct printr-o proiecție ortogonală la o scară convenabilă.

Determinarea elementelor elipsei deformațiilor

Determinarea semiaxelor elipsei deformAȚIILOR

Diametrelor perpendiculare MN și MF ale cercului infinit mic de pe suprafață terestră, ale căror direcții corespund cu direcțiile meridianului și paralelului, le corespund în elipsa deformațiilor doi diametri conjugați M’N’ și M’F’. Vom nota modulii de deformare liniară în lungul acestor diametri prin literele m și n.

Când se studiază o proiecție cartografică, aproape întotdeauna se deduc expresiile care dau valorile modulilor m și n pe direcția meridianului și paralelului pe hartă.

Notăm azimutul direcției principale MK pe suprafața terestră prin litera , iar unghiul corespunzător acestui azimut N’M’K’ de pe hartă .

Înlocuind în formula:

pe prin m, iar unghiul u prin unghiul (întrucât unghiul u se măsoară de la direcția principală MK până la direcția respectivă în sensul acelor de ceas, înseamnă că unghiul are semnul minus) și atunci vom avea:

(2.126)

În același mod, având în vedere că MN și MF sunt perpendiculare, putem scrie pentru n expresia:

(2.127)

adunând aceste două expresii obținem:

(2.128)

Din formula obținem:

(2.129)

Comparând formula de mai sus cu formula rezultă:

(2.130)

Aceste două ecuații (2.129) și (2.130) permit să se determine valorile a și b, dacă sunt cunoscute valorile m, n și i.

Înmulțim ambii membri ai expresiei (2.130.) cu 2, și apoi adunăm și scădem rezultatul obținut din expresia (2.129) se obține:

de unde: (2.131)

Cunoscând m, n și i cele două semiaxe se calculează ușor.

Determinarea orientării direcțiilor principale

În fiecare punct al hărții se poate trasa meridianul M’N’. Dacă se cunoaște unghiul , vom putea determina cu ajutorul acestuia direcția principală M’K’, în lungul căreia modulul de deformare liniară este maxim a.

Direcția corespunzătoare pe suprafața terestră MK se determina cu ajutorul unghiului .

Pentru a determina aceste unghiuri vom folosi expresiile (2.126) și (2.127), în care vom înlocui pe sin2 și cos2 respectiv prin 1 – cos2 și 1 – sin2:

(2.132)

În mod asemănător scriem:

(2.133)

Din aceste expresii se pot ușor determina valorile sin, cos și tg.

(2.134)

(2.135)

(2.136)

Pentru determinarea valorii folosim formula:

în care, în locul valorilor u’ și u vom pune 3600-, respectiv 3600 – și în acest fel obținem:

(2.137)

Înlocuind tg valoarea sa din (2.136) obținem:

(2.138)

Ca încheiere trebuie , în mod special, să subliniem că valorile deformărilor: lungimilor, unghiurilor și ariilor sunt cele mai bune indicații pentru a stabili calitatea unei proiecții.

Iată motivul pentru care la discutarea unei proiecții oarecare trebuie să se indice valoarea acestor deformări. Pentru a fi mai expresivă rețeaua cartografică ar fi de dorit ca pe ea să se traseze locul geometric al punctelor cu deformări egale. Curbele ale căror puncte au deformări unghiulare și liniare egale se numesc curbe izocole sau simplu izocoli.

Capitoul 3

Clasificarea proiețiiloR cartografice

Elementele unui sistem de proiecție

Trecerea oricărei porțiuni de pe glob pe o suprafața plană necesită aplicarea unui sistem de proiecție. Numărul acestor sisteme de proiecții este foarte mare. Pentru o mai bună înțelegere a acestor sisteme de proiecții, se impune cunoașterea unor noțiuni în legătură cu proiecțiile, și anume :

planul de proiecție P este suprafața pe care se face proiectarea porțiunii de pe elipsoid ( Figura 3.1). Planurile de proiecție pot fi suprafețele plane , tangente sau secante la suprafața de reprezentat, de pe glob, suprafețe desfășurabile sub formă de cilindru sau con;

punctul central al proiecției c este punctul din centrul zonei de proiectat față de care se face proiecția acestei zone. Acest punct poate fi materializat sau fictiv ( centrul proiecției stereografice folosită în țara noastră are un punct fictiv situat în centrul țarii în zona munților Perșani );

Figura 3.1. Elementele unui sistem de proiecție

punctul de vedere 0 este punctul în care se consideră așezat ochiul observatorului când privește zona de proiecție;

scara reprezentării într-un punct dat al proiecției de coordonate ( rețele ) x, y pe o direcție oarecare a unui segment de pe hartă și lungimea S a aceluiași segment considerat pe glob.

Deci , în care s=f(x,y,);

rețeaua geografică este rețeaua de meridiane și paralele de pe globul terestru care se proiectează pe hartă;

rețeaua cartografică este rețeaua de linii drepte sau curbe rezultate din proiecția în plan a meridianelor și paralelelor globului pământesc;

rețeaua rectangulară este formată din drepte echidistante paralele cu sistemul de axe rectangulare plane Ox și Oy.

Clasificarea proiecțiilor cartografice

Sistemul de proiecție sau proiecția cartografică este procedeul matematic cu ajutorul căruia se reprezintă suprafața curbă a Pământului pe o suprafață plană. Proiecția cartografică asigură corespondența între coordonatele geografice (φ, λ) ale punctelor de pe elipsoidul terestru și coordonatele rectangulare (X, Y) ale acelorași puncte pe hartă.

Sistemele de proiecții se clasifică, în cartografia matematică, după o serie de criterii, și anume:

după caracterul deformărilor

după aspectul rețelei cartografice

după utilizarea proiecțiilor în construcția hărților etc. (Figura 3.2)

Figura 3.2. Clasificarea proiecțiilor cartografice

Clasificarea proiecțiilor cartografice după caracterul DEFORMAȚIILOR

Proiecții conforme – numite și echiunghiulare, ortogonale sau ortomorfe, sunt proiecțiile care păstrează nedeformate unghiurile. În acest gen de proiecție, scările pe toate direcțiile ce pornesc dintr-un punct sunt egale între ele. Elementele deformate sunt în primul rând suprafețele și apoi distanțele.

Figura 3.3. Proiecții conforme ()

Figura a’ b’ c’ d’ din planul de proiecție este asemenea cu figura a b c d de pe glob, însă cu suprafețe deformate.

Proiecțiile conforme mai poartă denumirea de proiecții echiunghiulare, autogonale sau ortomorfe.

Dacă pe o suprafață (S) există un sistem de coordonate u și v, iar pe o altă suprafață (S') un alt sistem u' și v' și dacă se cere reprezentarea primei suprafețe (S) pe a doua suprafață (S'), trebuie să se găsească legătura funcțională biunivocă și bicontinuă de forma:

(3.1)

în care forma funcțiilor f1 și f2 rezult[ din condițiile reprezentării. Pentru condiția reprezentării conforme, dacă (u,v) și (u',v') sunt coordonate izometrice sau simetrice, atunci trebuie să fie satisfăcute condițiile Chauchy-Riemann :

(3.2)

Din relațiile generale (3.2) rezultă următoarele cazuri particulare :

Reprezentarea conformă a suprafeței elipsoidului de referință în plan :

(3.3)

unde : x și y reprezintă ecuațiile hărții.

Reprezentarea conformă a suprafeței sferei terestre în plan:

(3.4)

unde : x și y reprezintă ecuațiile hărții.

În reprezentările conforme, figurile infinit mici de pe elipsoid sau sferă, se reprezintă în plan prin figuri asemenea, fiind diferite ca mărime a suprafeței, dar se deformează lungimile și suprafețele.

Modulul de deformare a lungimilor ( µ ), în orice punct al proiecției, nu depinde de azimutul direcției considerate, iar scările pe cele două direcții principale (meridiane și paralele) sunt egale între ele, adică :

(3.5)

de unde rezultă că elipsa deformațiilor cu semiaxele a și b se transformă într-un cerc :

(3.6)

Modulul de deformare areolară (p) se obține cu relația:

(3.7)

în care : m = n = 𝛍 și i = 90°, de unde rezultă :

(3.8)

Modulul de deformare unghiulară (𝜔):

(3.9)

Proiecții echivalente – sunt cele care păstrează nedeformate suprafețele.

În cazul proiecțiilor echivalente se păstrează nedeformate suprafețele atât ale figurilor infinit mici, cât și ale figurilor finite. Deci, se menține constant raportul dintre ariile din planul de proiecție (harta) și cele corespunzătoare de pe suprafața terestră (elipsoid de rotație sau sferă), dar se deformează lungimile și unghiurile .

Figura 3.4. Proiecții conforme

Condiția diferențiala a reprezentării echivalente a elipsoidului de rotație în plan se stabilește avându-se în vedere relația generală a modulului de deformare areolara:

(3.10)

În relația (3.10) se introduce condiția de echivalență și se obține:

(3.11)

în care: (3.12)

Se introduce expresia lui H din (3.12) in (3.11) și rezultă condiția diferențială a reprezentării echivalente a elipsoidului de rotație în plan:

(3.13)

Condiția diferențiala a reprezentării echivalente a sferei în plan se exprimă cu ajutorul relației (3.13), unde în membrul al doilea se efectuează înlocuirile: M = R și r = R cos𝜑 , obținându-se :

(3.14)

In reprezentările echivalente, un cerc infinit mic de pe suprafața elipsoidului sau a sferei se reprezintă în planul proiecției printr-o elipsă cu suprafața echivalentă, deformându-se lungimile și unghiurile.

Modulul de deformare areolara:

(3.15)

Modulii de deformare a lungimilor se obțin din Condiția de echivalență a suprafețelor data de relația : p = m-n = 1, de unde rezulta :

(3.16)

în care : m=a și n=b, unde a și b semiaxele elipsei de deformare , pe care se consideră deformații maxime () si, respectiv, ().

Modulul de deformare unghiulară maximă (w), se poate calcula cu una din formulele generale:

(3.17)

Sau: (3.18)

Proiecții echidistante – fac parte din categoria proiecțiilor afilactice sau arbitrare și nu deformează distanțele.

În cazul acestor proiecții se păstrează nedeformate lungimile pe unele direcții caracteristice (meridiane și paralele), pentru latitudinea polului (φ0=90°) și respectiv, (verticaluri și almucantarate), pentru latitudinea polului (φ0≠90°). Pe aceste direcții, modulul de deformare a lungimilor este egal cu unitatea:

(3.19)

Pe celelalte direcții se deformează atât lungimile, cat și mărimea suprafețelor și a unghiurilor reprezentate în planul de proiecție.

Clasificarea proiecțiilor cartografice după suprafața pe care se face proiectarea și aspectul rețelei cartografice

În planul de proiecție, verticalurile (A = constant) și almucantaratele (Z = constant) formează o rețea de linii de coordonate curbilinii , fiind denumita rețea normală, ce corespunde sistemului de coordonate sferice polare, cu polul . În mod asemănător, meridianele (𝝀=constant) și paralelele (𝝋=constant) sau colatitudinea (w = constant) formează o rețea de linii de coordonate curbilinii, fiind denumita rețea cartografica, ce corespunde sistemului de coordonate geografice (𝝋,𝝀).

Pe globul terestru, poziția rețelei normale formata din verticaluri și almucantarate se modifică odată cu schimbarea polului , în timp ce poziția rețelei cartografice de meridiane și paralele este fixa. Se menționează că, proiecțiile drepte (), polul coincide cu polul geografic (PN sau PS), iar rețeaua normala formata din verticaluri și almucantarate coincide cu rețeaua cartografică formată din meridiane și paralele. În proiecțiile oblice () și în cele transversale (), cele două rețele sunt distincte, deoarece rețeaua normală formată din imaginile plane ale verticalurilor și almucantaratelor se stabilește în funcție de poziția polului al proiecției.

În funcție de aspectul rețelei normale formată, în general, din imaginile plane ale verticalurilor și almucantaratelor pentru și în particular, din imaginile plane ale meridianelor și paralelelor pentru , proiecțiile cartografice se clasifică în următoarele grupe :

proiecții azimutale;

proiecții cilindrice;

proiecții conice;

proiecții pseudocilindrice;

proiecții pseudoconice;

proiecții policonice;

proiecții circulare.

Proiecții azimutale (Figura 3.5) – proiectarea se face pe un plan, iar rețeaua cartografică poate avea paralelele sub formă de cercuri, iar meridianele sub formă de linii drepte sau în unele cazuri, cu excepția meridianului central și a ecuatorului, toate celelalte meridiane și paralele sunt curbe. Canevasele azimutale pot fi construite atât prin proiectare propriu-zisă numindu-se perspective, cât și prin calcul numindu-se neperspective. Se folosesc mai ales pentru reprezentarea suprafeței terestre pe emisfere (E, V, N, S) și pentru reprezentarea unor teritorii cu aspect mai mult sau mai puțin circular.

Proiecțiile azimutale perspective se împart în 4 categorii în funcție de poziția punctului de perspectivă: ortografice, stereografice, centrale și exterioare.

Figura 3.5. Proiecții azimutale și aspectul rețelei normale in proiecțiile azimutale oblice și transversale și in proiecțiile azimutale drepte

Proiecții cilindrice (Figura 3.6) – proiectarea se face pe suprafața laterală a unui cilindru, care apoi se desfășoară prin tăierea în lungul unei generatoare. După felul cum suprafața cilindrului atinge suprafața sferei care reprezintă globul pământesc proiecțiile cilindrice pot fi tangente sau secante. Meridianele și paralelele în unele cazuri sunt linii drepte, paralele între ele și perpendiculare unele pe celelalte. Sunt și cazuri când meridianele și paralelele, cu excepția meridianului central și a ecuatorului sunt curbe.

Figura 3.6. Proiecții cilindrice și aspectul rețele normale în cazul proiecțiilor echidistante, echivalente și conforme

Proiecții conice (Figura 3.7) – proiectarea se face pe suprafața laterală a unui con. Paralelele sunt arce de cerc, iar meridianele linii drepte ce se întâlnesc într-un punct corespunzător cu vârful conului. Aceste proiecții conice au o proprietate importantă, anume aceea că unghiurile din canevas sunt mai mici ca cele din natură.

Figura 3.7. Proiecții conice și aspectul general al rețelei normale in proiecțiile conice drepte și in proiecțiile conice oblice și transversale

Proiecții policonice

Rețeaua normală de paralele și meridiane a proiecțiilor policonice drepte se reprezintă după cum urmează:

paralelele, prin arce de cercuri excentrice;

meridianul mediu, printr-o linie dreapta, unde sunt situate centrele arcelor de cercuri, iar celelalte meridiane prin curbe simetrice față de dreapta care reprezintă meridianul mediu (Figura 3.8)

Dintre cele mai utilizate proiecții policonice, se menționează proiecția policonica simpla americana, în care lungimile se reprezintă nedeformate pe direcția meridianului mediu (= 1) și pe toate paralelele (n = 1).

Figura 3.8. Aspectul general al rețelei de paralele și meridiane in proiecțiile policonice

Proiecții poliedrice – proiectarea se face pe suprafața unui poliedru, meridianele și paralelele fiind linii drepte, iar rețeaua rezultată se prezintă sub formă de trapeze.

Proiecții pseudocilindrice

Rețeaua normală se aseamănă cu aspectul rețelei proiecțiilor cilindrice drepte numai prin modul de reprezentare a paralelelor, ce se reprezintă prin drepte paralele între ele și perpendiculare pe dreapta care reprezintă imaginea plana a meridianului mijlociu al zonei de cartografiat. Celelalte meridiane se reprezintă prin linii curbe, simetrice fata de meridianul mediu.

Figura 3.9. Rețeaua normala in proiecția pseudocindrică echivalenta a lui SANSON

În această proiecție :

paralelele se reprezintă prin drepte paralele, pe care lungimile se mențin nedeformate (n = 1);

meridianul mediu se reprezintă printr-o dreapta, pe care lungimile nu se deformează (= 1);

meridianele, cu excepția meridianului mediu, se reprezintă prin sinusoide.

Proiecții pseudoconice

Proiecțiile pseudoconice se aseamănă cu cele conice drepte numai prin reprezentarea paralelelor, ce se reprezintă prin arce de cercuri concentrice. Meridianele se reprezintă prin linii curbe, simetrice față de meridianul mijlociu, a cărei imagine plană este o linie dreapta. Pe meridianul mijlociu se găsește centrul arcelor de cerc ce reprezintă imaginile plane ale paralelelor. După caracterul deformaților, proiecțiile pseudoconice sunt echivalente și arbitrare, din care se exemplifica proiecția pseudoconică echivalentă Bonne (Figura 3.10) folosită și în țara noastră in perioada 1873 – 1916.

Figura 3.10. Aspectul rețelei de paralele și meridiane în proiecția pseudoconică echivalentă BONNE

Proiecții circulare – meridianul periferic se prezintă sub formă de cerc, iar celelalte meridiane și paralelele pot fi curbe cu excepția ecuatorului și a meridianului central.

Rețeaua de paralele și meridiane în proiecția circulară conformă a lui LAGRANGE (Figura 3.11), reprezintă un paralel și meridianul mediu ca linii drepte, iar celelalte paralele și meridiane, ca arce de cercuri. Se menționează că, meridianul mediu se consideră axa de simetrie pentru celelalte meridiane.

Figura 3.11. Aspectul rețelei de paralele și meridiane în proiecția circulară conformă LAGRANGE

Proiecții derivate – sunt acelea ce pornesc de la alte proiecții și prin diferite construcții ajung la diverse forme și pot avea meridianele și paralelele sub formă de curbe, arce de cerc, elipse, parabole.

Clasificarea proiecțiilor cartografice după poziția pe glob a centrului rețelei cartografice

Proiecții normale sau drepte – sunt cele în care axa polilor, deci axa globului, coincide cu axa conului sau cilindrului, în cazul proiecțiilor conice și cilindrice, iar în cazul proiecțiilor azimutale, planul de proiecție este tangent în pol și deci paralel cu planul ecuatorului.

Proiecții transversale sau ecuatoriale – sunt proiecții în care axa cilindrului sau conului este perpendiculară pe axa polilor, iar în cazul proiecțiilor azimutale, planul de proiecție este tangent la ecuator și prin urmare este paralel sau se confundă cu planul meridianului.

Proiecții oblice – sunt acelea în care axa cilindrului sau conului face cu axa polilor un unghi mai mic decât un unghi drept, iar în cazul proiecțiilor azimutale, planul de proiecție face un anumit unghi cu axa polilor.

a) Proiecții drepte b) Proiecții oblice c) Proiecții transversale

a) Proiecții drepte b)Proiecții oblice c)Proiecții transversale

a) Proiecții drepte b) Proiecții oblice c) Proiecții transversale

Figura 3.12. Clasificare proiecțiilor după poziția pe glob a centrului rețelei cartografice

; b) ; c)

Clasificarea proiecțiilor cartografice după intersecțía planului de proiecție cu globul

Proiecții tangente

Proiecții secante

Figura 3.13. Proiecții tangente și secante

Clasificarea proiecțiilor cartografice dupĂ modul de utilizare la Întocmirea hĂrȚilor

După modul de utilizare în construcția hărților, proiecțiile cartografice se clasifică în următoarele grupe:

proiecții cartografice utilizate pentru întocmirea hărților universale:

• proiecția AITOV-HAMMER;

• proiecția GRINTEN;

• proiecția MERCATOR;

• proiecția MOLLWEIDE;

• proiecția SANSON – FLAMSTEED.

proiecții cartografice utilizate pentru întocmirea hărților emisferelor:

• proiecția azimutală ecuatorială LAMBERT;

• proiecția azimutală ecuatorială POSTEL

• proiecția azimutală ecuatorială STEREOGRAFICA;

• proiecția azimutală ecuatorială ORTOGRAFICA;

• proiecția sferică sau globulară;

• proiecția MOLLWEIDE.

proiecții cartografice utilizate pentru întocmirea hărților continentale:

• proiecția azimutală orizontală LAMBERT;

• proiecția azimutală ecuatorială LAMBERT;

• proiecția azimutală orizontală POSTEL;

• proiecția azimutală polară POSTEL;

• proiecția SANSON – FLAMSTEED;

• proiecția pseudoconică echivalentă BONNE;

• proiecția cilindrică transversală conformă GAUSS – KRUGER.

Pentru harta topografica de bază a teritoriului țării noastre s-au utilizat următoarele proiecții cartografice:

• proiecția pseudoconică echivalentă BONNE (1873 – 1916);

•proiecția conică conformă modificată LAMBERT – CHOLESKY (1916-1933);

•proiecția azimutală stereografică conformă pe plan secant BRAȘOV (1933-1951);

•proiecția cilindrică transversală conformă GAUSS – KRUGER (1951-1973);

•proiecția azimutală stereografică conformă pe plan secant – 1970 (1973- prezent).

Capitolul 4

Proiecții cilindrice

În cazul proiecțiilor cilindrice, se consideră că suprafața elipsoidului de rotație sau a sferei terestre de raza R se reprezintă pe suprafața laterală a unui cilindru, tangent sau secant și orientat într-un anumit fel față de elipsoid sau sferă. Suprafața laterală a cilindrului se taie pe una din generatoare și se desfășoară în plan, obținându-se în acest fel o proiecție cilindrică. Orientarea cilindrului este definită prin coordonatele geografice ale polului Q0(φ0,λ0), în care axa cilindrului înțeapă suprafața terestră.

Operațiile de calcul ale proiecțiilor cilindrice se desfășoară, în general, în următoarea succesiune:

Suprafața elipsoidului de rotație se reprezintă mai întâi, în cazul proiecțiilor oblice și al celor transversale, pe suprafața unei sfere de raza R, în condițiile reprezentărilor conforme, echivalente și echidistante, iar în cazul proiecțiilor drepte acest calcul se efectuează numai pentru unele rezolvări particulare.

Coordonatele geografice (φ,λ) de pe sfera terestră de rază R se transformă în coordonate sferice polare (A, Z), în cazul proiecțiilor oblice și al celor transversale.

Se calculează coordonatele rectangulare plane (xy).

Se efectuează construcția grafică a rețelei cartografice de meridiane și paralele, precum și a imaginilor plane ale unor detalii ce trebuie să fie reprezentate, pe baza coordonatelor rectangulare plane (x,y).

Se calculează modulii de deformare liniară, areolară, precum și deformațiile maxime ale unghiurilor, în funcție de condițiile de bază ale reprezentărilor cartografice.

Din punct de vedere practic, proiecțiile cilindrice se folosesc atât pentru reprezentări la scări mici, în cazul întocmirii hărților universale, cât și pentru reprezentări la scări mari, din care se exemplifică:

– proiecția cilindrică dreaptă echidistantă cu rețeaua pătratică se utilizează pentru construcția hărților universale, ale zonelor din jurul ecuatorului, precum și ale unor regiuni mari de pe glob (Ex.: harta Oceanului Atlantic);

– proiecția cilindrică dreaptă Lambert, în cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre de rază R, se folosește pentru hărți universale necesare pentru reprezentarea vegetației, a populației și alte elemente;

– proiecția cilindrică dreaptă conformă Mercator, în care rețeaua cartografică se construiește numai până la paralele de ±80°. Se utilizează la întocmirea hărților universale de navigație maritima, în cazul cilindrului tangent la sferă și a hărților bazinelor oceanice, în cazul cilindrului secant la sferă;

– proiecția cilindrică transversală conformă Gauss – Krüger, se întrebuințează în cazul reprezentărilor la scări mari.

Clasificarea proiecțiilor cilindrice

După poziția planului de proiecție față de sfera terestră sau după orientarea cilindrului, definită prin latitudinea a polului ), se disting :

proiecții cilindrice drepte (normale sau plane), cu latitudinea (= 90°), iar axa cilindrului coincide cu axa polilor;

proiecții cilindrice oblice, cu latitudinea , iar axa cilindrului formează un unghi oarecare cu axa polilor;

proiecții cilindrice transversale (ecuatoriale), cu latitudinea =si cu axa cilindrului conținută în planul ecuatorului, fiind perpendiculara pe axa polilor.

După caracterul deformațiilor, se disting:

proiecții cilindrice conforme (w = 0);

proiecții cilindrice echivalente (p = 1);

proiecții cilindrice echidistante pe meridiane (m = 1);

proiecții cilindrice oblice fi transversale echidistante pe verticaluri (=1).

După aspectul rețelei cartografice normale, se disting:

proiecții cilindrice cu rețeaua normala în pătrate;

proiecții cilindrice cu rețeaua normala în dreptunghiuri egale ;

proiecții cilindrice cu rețeaua normala în dreptunghiuri neegale.

După modul în care suprafața cilindrului atinge sfera terestra, se disting:

proiecții cilindrice tangente, în cazul cilindrului tangent la suprafața terestră, unde linia de tangență este un cerc mare, care în mod obișnuit este Ecuatorul;

proiecții cilindrice secante, în cazul cilindrului secant la suprafața terestră, care este întretăiată după două cercuri mici.

Din punctul de vedere al proprietăților și al formulelor generale de calcul, proiecțiile cilindrice se diferențiază în doua grupe distincte: proiecții cilindrice drepte, cu proprietăți și formule generale de calcul specifice și proiecții cilindrice oblice și transversale, cu proprietăți și formule generale proprii.

Proiecții cilindrice drepte

Proiecțiile cilindrice drepte sau normale sunt proiecțiile în care axa cilindrului tangent sau secant la elipsoid sau la sfera terestra coincide cu axa polilor.

Rețeaua normală a proiecțiilor cilindrice drepte

În cazul proiecțiilor cilindrice drepte, rețeaua normală coincide cu rețeaua cartografică principală de meridiane și paralele, care se reprezintă după cum urmează:

• Meridianele de longitudine se reprezintă prin drepte paralele la distanțe între ele proporționale cu diferențele de longitudine dintre meridianele respective

de 10, 5°, 10°, 15°,…

• Paralelele de latitudine se reprezintă prin drepte paralele ce sunt perpendiculare pe dreptele corespunzătoare meridianelor. Se precizează că dreptele ce reprezintă paralelele sunt echidistante sau neechidistante intre ele, în funcție de condițiile ce se impun proiecției considerate.

Pe suprafața desfășurată a cilindrului meridianele M1, M2, M3, …, de pe glob, duse de exemplu din 100 în 100 se vor reprezenta în plan prin liniile drepte echidistante , etc. Ecuatorul se va reprezenta prin dreapta EQ, normală pe proiecțiile meridianelor, Figura 4.1.

Figura 4.1. Proiecția cilindrică dreaptă

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice drepte

Pentru reprezentările cartografice la scări mari, Pământul se considera un elipsoid de rotație, iar pentru scări mici se consideră o sferă terestră de rază R.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege cu originea O în punctul de intersecție dintre imaginea plana a meridianului origine sau a meridianului mediu al zonei considerate de longitudine și respectiv, a ecuatorului de latitudine =0° (Figura 4.1) sau a unui paralel oarecare, în care :

• axa OX este orientata pe direcția Nord – Sud și reprezintă, în general, meridianul origine sau meridianul mediu al zonei de reprezentat sau unul dintre meridiane ;

• axa OY este orientata pe direcția Est – Vest și reprezintă în general ecuatorul de latitudine sau paralelul ce trece prin partea cea mai de sud a zonei considerate, de latitudine minimă sau una dintre paralele.

a b

Figura 4.2. Aspectul rețelei normale în proiecția cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane

Ecuațiile generale ale hărții

Ecuațiile hărții (x,y), în cazul proiecțiilor cilindrice drepte, au următoarea forma :

(4.1)

in care:

• funcția se determina pe baza condiției impuse de caracterul deformațiilor, în cazul reprezentării echidistante pe meridiane (m = 1); echivalente (p = 1) sau conforme (w = 0 și m = n);

• α este o constantă, care se determină în baza unei condiții suplimentare, avându-se în vedere că cilindrul poate sa fie tangent sau secant la elipsoid sau la sfera terestra;

• , reprezintă diferența de longitudine.

Figura 4.3.

Facem următoarele notații (Figura.4.3):

R0 – raza globului;

– diferența latitudinii;

– diferența longitudinii.

Din figură rezultă:

Pe suprafața desfășurată a cilindrului tangent la ecuator, obținem următoarea imagine (Figura 4.4).

Figura 4.4. Suprafața desfășurată

Facem următoarele notații:

x – distanța liniară pe plan dintre 2 paralele;

y – distanța liniară pe plan dintre 2 meridiane.

Înlocuind arcele prin proiecțiile lor din plan, obținem:

Deoarece am văzut că în această proiecție vom considera = , vom obține:

Deformațiile în cazul reprezentării elipsoidului de rotație

În baza principiilor fundamentale ale proiecțiilor cilindrice drepte și a relațiilor determinate anterior pentru modulii de deformare liniară, areolară și unghiulară, se vor obține formulele generale ale deformațiilor, după cum urmează :

Modulul de deformare liniară pe direcția meridianului (m)

Se consideră expresia modulului de deformare a lungimilor pe direcția unui meridian:

(4.2)

unde:

– elementul de arc de meridian din planul de proiecție, ce se obține din relația generală a elementului liniar al unei curbe oarecare de forma:

(4.3)

În relația (4.3) se consideră cazul particular dλ= 0, de unde rezultă:

(4.4)

– elementul de arc de meridian de pe suprafața elipsoidului:

(4.5)

Deci, se va obține: (4.6)
În relația (4.6), se înlocuiește expresia lui :

(4.7)

Modulul de deformare liniară pe direcția paralelului (n)

Modulul de deformare liniară pe direcția paralelului (n) se determină în mod asemănător, pornindu-se de la expresia:

(4.8)

Unde se consideră: (4.9)

Dar: (4.10)

Deci, se poate scrie: (4.11)

În relația se introduce expresia lui dy rezultată din diferențierea ecuației

(4.12)

Și se obține: (4.13)

Rezultă că modulul n de deformare liniară după paralele este întotdeauna mai mare ca 1, deoarece sec 1, deci în reprezentarea în plan a porțiunilor de paralele vom avea deformări sub forma unor alungiri.

Acest lucru este foarte firesc, deoarece deși pe glob (Figura 4.5. a) distanțele liniare dintre două meridiane se micșorează pe măsură ce ne îndepărtăm de ecuator, aceste distanțe sunt menținute constante în plan (Figura 4.5. b).

b.

Figura 4.5.

Modulul de deformare areolara (p)

Se consideră expresia de forma generala a modulului de deformare areolară :

(4.14)

Astfel se va obține:

(4.15)

În expresia (4.15) se introduc modulii: și și va rezulta:

(4.16)

Modulul de deformare unghiulara (𝝎)

Modulul de deformare unghiulară (ω) se calculează cu relațiile următoare :

(4.17)

în care : ω / 2 este deformația maximă a unei direcții;

ω este deformația maximă a unui unghi.

Din formulele generale se observă că deformațiile proiecțiilor cilindrice drepte depind numai de latitudine (𝛗). Deci, liniile de deformații egale ale ariilor sau ale unghiurilor denumite "izocole" se confundă cu imaginile plane ale paralelelor.

Deoarece direcțiile principale din planul de proiecție (I'-I') și (II’-II’) după care se produc deformațiile coincid cu meridianele și paralelele, se poate considera că modulii de deformare liniara (m, n) de pe aceste direcții au valori extreme. De exemplu, modulul de deformare liniară maximă este egal cu semiaxa mare a elipsei deformațiilor (m = a), iar modulul minim este egal cu semiaxa mică a elipsei (n = b) sau invers (n = a și m =b).

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice drepte pentru reprezentarea elipsoidului:

(4.18)

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice drepte pentru reprezentarea sferei :

(4.19)

Proiecția cilindrică dreapta cu rețeaua pătratică

Această proiecție a fost realizată pentru prima dată de către prințul Henri Navigatorul în anul 1438. Cilindrul se consideră tangent la ecuator, iar rețeaua cartografică are aspectul unei rețele de pătrate. Laturile unui pătrat reprezintă arcele de meridiane și paralele considerate întinse. Proiecția cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane (m = 1), cu rețeaua pătratică, în cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre (=0°), se calculează și se construiește grafic, pe baza următoarelor formule:

(4.20)

În care :

x și y se vor exprima în centimetri;

= 1 / N, scara reprezentării, unde N = 1 000 000; 5 000 000 sau 10 000 000;

R = 6 371 116m, reprezintă raza sferei terestre cu o suprafața egală cu cea
a elipsoidului de referință Krasovski -1940;

10°; 15°; 20°; diferența de latitudine și de longitudine dintre
doua paralele și respectiv, dintre doua meridiane alăturate ;

.

Deformațiile proiecției se determină cu ajutorul relațiilor:

(4.21)

Deformațiile pot fi analizate în următorul tabel:

Tabelul 4.1.

Deformații în proiecția cilindrică pătratică

Figura 4.6. Harta lumii și repartizarea deformațiilor

în proiecția cilindrică pătratică

Proiecția cilindrică dreaptă cu rețeaua dreptunghiulară

Această proiecție a fost studiată pentru prima dată, încă din antichitate, de către filosoful și matematicianul Anaximandru (610 – 546 î.e.n). Acesta a schițat chiar o hartă geografică a Pământului în această proiecție, având în mijlocul zonei de reprezentat Marea Mediterană.

Proiecția cilindrică normală dreptunghiulară constă în a reprezenta o porțiune de pe glob pe suprafața desfășurabilă a unui cilindru secant la globul terestru, în scopul micșorării deformărilor.

În proiecția cilindrică dreapta echidistantă cu rețeaua în dreptunghiuri egale unde în afara de meridiane se mai reprezintă nedeformate ca lungime și doua paralele de latitudine , după care cilindrul intersectează sfera terestră, se consideră următoarele condiții ale reprezentării:

ecuatorul de latitudine = 0 se reprezintă printr-o linie dreapta;

proiecțiile meridianelor de longitudine se reprezintă prin linii drepte echidistante, iar distantele Y dintre imaginile plane ale meridianelor sunt egale cu lungimea metrică a arcului paralelei de secanță cu latitudinea (), corespunzătoare cu diferența longitudinilor (Dλ0);

proiecțiile paralelelor de latitudine se reprezintă prin linii drepte echidistante, unde distantele X dintre acestea sunt egale cu lungimea metrica a arcului de meridian, corespunzător cu diferența latitudinii (Dφ°).

Se menționează că echidistanța metrică corespunzătoare unghiului Dφ° a arcului de meridian este mai mare decât lungimea metrică a unui arc al paralelului de secționare corespunzător unghiului Dλ0 de aceeași mărime.

Figura 4.7. Proiecția cilindrică normală dreptunghiulară

Formule pentru calculul și construirea rețelei cartografice (Figura 4.8)

Figura 4.8. Determinarea valorilor r și y0

Problema care se pune este de a determina:

– mărimile x1 = x2 = x3 = …;

– mărimile y1 = y2 = y3 = … .

Determinarea mărimilor x1 = x2 = x3 = … se face aplicând aceeași formulă stabilită la proiecția cilindrică pătrată:

(4.22)

Determinarea mărimilor y1 = y2 = y3 = … se face notându-se:

– P1 P2 și P3 P4 cele două paralele de secționare de latitudine 0;

– y0 este lungimea unui arc de paralel de pe glob;

– y este lungimea unui arc de paralel de pa hartă;

– 0 este latitudinea paralelului de secționare;

– este latitudinea paralelului oarecare.

Rezultă din Figura 4.8. că:

(4.23)

dar: (4.24)

Vom avea: (4.25)

în care: este latitudinea unui paralel oarecare.

Luând însă 0 în loc de , deci considerând paralelul de secționare în loc de un paralel oarecare, vom avea:

(4.26)

sau: (4.27)

Rezultă că pe hartă, y reprezintă latura mică a unui dreptunghi și are aceeași valoare, ca lungime, ca și valoarea arcului paralelului de secționare.

Deformațiile pot fi analizate în următorul tabel:

Tabelul 4.2.

Deformații în proiecția cilindrică pătratică

Din acest tabel rezultă că scara pe meridiane este egală cu scara principală și de asemenea, scara pe paralela 450 este egală cu scara principală. Pe paralela 450 distanțele, suprafețele și unghiurile sunt nedeformate, adică sunt linii de deformații nule.

Figura 4.9.

Harta lumii și repartizarea deformațiilor în proiecția cilindrică dreptunghiulară

Proiecția cilindrică dreapta echivalenta Lambert (p = 1), cu latitudini descrescande

Proiecția cilindrică dreapta echivalenta Lambert (p = 1), cu latitudini descrescânde, în cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre ( = 0°), denumita și "izocilindrică", se calculează cu ecuațiile:

(4.28)

Deformațiile proiecției se exprimă cu formulele :

(4.29)

Figura 4.10. Harta lumii în proiecția Lambert

Proiecția cilindrică dreaptĂ conformĂ Mercator

(𝛚= 0) cu latitudini crescÂnde

Această proiecție a fost realizată în anul 1569 de către cartograful olandez Gerhard Kremer numit și Mercator, unul din principalii fondatori ai geografiei matematice.

Această proiecție presupune reprezentarea globului pe suprafața desfășurată a unui cilindru a cărui axă coincide cu axa de rotație a Pământului și tangent de-a lungul ecuatorului.

Întrucât pentru construirea rețelei cartografice se pune condiția de conformitate, calculul acestei rețele urmează regulile speciale corespunzătoare, după cum se va vedea în cuprinsul studiului acestei proiecții.

Figura 4.11. Harta lumii în proiecția Mercator și repartizarea deformațiilor

Calculul și construcția rețelei cartografice

Figura 4.12. Rețeaua normală în proiecția Mercator

Pe direcția meridianelor nu avem deformări, deoarece:

(4.30)

Pe direcția paralelelor deformările se prezentau sub forma unor alungiri, deoarece:

(4.31)

dar: (4.32)

deci: (4.33)

Aspectul rețelei cartografice în proiecția Mercator derivă din cel al proiecției cilindrice pătrate, ținând însă seama că proiecția Mercator este o proiecție conformă și că această condiție cere ca în orice punct al proiecției elipsa deformărilor să devină un cerc, deci ca:

(4.34)

La proiecția cilindrică pătrată aspectul elipsei deformațiilor era următorul (Figura 4.13):

Figura 4.13. Aspectul elipsei deformațiilor în proiecția cilindrică pătrată.

Deci, pentru a transforma această elipsă a deformațiilor într-un cerc ar părea că sunt două soluții:

– să micșorăm axa mare a = n de “sec ” ori, adică:

(4.35)

Acest lucru însă nu este posibil, deoarece prin aceasta ar însemna să transformăm din nou harta în glob;

– să mărim axa mică m de “sec ” ori, deoarece tot cu această cantitate sunt deformate prin alungire și lungimile după paralele; aceasta este singura soluție acceptabilă.

Rezultă că fiecare porțiune de meridian a rețelei cartografice din proiecția cilindrică pătrată cuprinsă între două paralele să fie înmulțită cu “sec ”, în care este latitudinea paralelului respectiv.

Deformații în proiecția Mercator

Deformațiile liniare

În proiecția Mercator, avem: n = sec , m = sec și prin urmare se poate scrie m = n = sec sau a = b = sec .

Rezultă că în această proiecție deformațiile liniare sunt egale în orice direcție cu sec .

Dar, cum elipsa deformațiilor este locul geometric al extremităților tuturor vectorilor care au ca mărime valorile modulelor de deformare liniare și cum acești vectori sunt egali, înseamnă că aici nu mai este vorba de o elipsă a deformațiilor, ci un cerc cu r = sec .

Valorile deformațiilor liniare vor fi:

(4.36)

Deoarece sec variază de la 1 la , rezultă că în această proiecție deformațiile liniare vor avea aspectul unor alungiri. Aceste deformări cresc cu latitudinea.

Regiunile polare nu pot fi reprezentate, deoarece:

(4.37)

Deformațiile direcțiilor și unghiurilor

Deformația direcțiilor este dată de formula:

(4.38)

deoarece am văzut că a = b, atunci:

(4.39)

Deformația unghiulare sunt de asemenea nule, deoarece:

(4.40)

Rezultă că proiecția Mercator este o proiecție conformă, întrucât atât direcțiile, cât și unghiurile nu sunt deformate și, ca atare, un cerc de pe sferă se va reprezenta pe proiecție tot printr-un cerc rezultă că elipsele deformărilor vor fi cercuri, însă de suprafață diferită.

Deformațiile pot fi analizate în următorul tabel:

Tabelul 4.3.

Deformații în proiecția cilindrică Mercator

În figura 4.14. se exemplifică modul repartizării deformațiilor cu ajutorul profilului omenesc.

Figura 4.14. Repartizarea deformațiilor utilizând profilul omenesc

Se observă că în timp ce unghiurile rămân nedeformate pe toată suprafața hărții, nu același lucru se poate spune despre distanțe și suprafețe. Astfel, distanțele sunt cu atât mai deformate, cu cât se depărtează de linia de deformări nule, care este în cazul de față ecuatorul. Spre exemplu, la latitudinea de 60, distanțele sunt reprezentate pe proiecție de două ori mai mari la ecuator, unde scara este egală cu scara principală. Suprafețele sunt deformate însă și mai mult decât distanțele.

Acest lucru se observă și din analiza valorilor din coloana p, în care sunt indicate scările suprafețelor, dar însăși din figura 4.11. în care este reprezentată harta lumii. Este suficient să se facă o comparație între Groenlanda și Africa sau între Peninsula Scandinavică și cele trei peninsule sudice ale Europei, considerate la un loc. Astfel, Groenlanda în proiecția Mercator apare ca fiind aproximativ egală în suprafață cu continentul Africa, pe când în realitate se știe că Africa este de circa 15 ori mai mare decât Groenlanda. De asemenea, Peninsula Scandinavică apare mai mare decât cele trei peninsule sudice considerate la un loc (Iberică, Italică și Balcanică), ale Europei, lucru iarăși inexact.

Importanța hărților în proiecția MERCATOR

Hărțile în această proiecție au o mare importanță în navigația maritimă și aeriană, deoarece proiecția fiind conformă, iar rețeaua cartografică formată din linii perpendiculare, loxodroma va fi o linie dreaptă. Această linie face cu fiecare din proiecțiile meridianelor același azimut.

Această caracteristică importantă a hărților în proiecția Mercator, constituie o mare înlesnire pentru conducerea vaselor și avioanelor în ceea ce privește comoditatea orientării lor pe parcurs.

Într-adevăr, pe o hartă în proiecția Mercator, linia dreaptă AB reprezintă loxodroma, iar linia curbă AB ortodroma (adică distanța cea mai scurtă dintre 2 puncte de pe glob și care reprezintă arcul cercului mare ce trece prin A și B).

Mergând de la B spre A și folosind o hartă în proiecția Mercator, comandantul navei are grijă ca direcția de înaintare să facă cu proiecția meridianelor același unghi .

Figura 4.15. Loxodroma și ortodroma în proiecția Mercator.

Pentru aceasta el va trebui să meargă după loxodroma AB care pe harta mercatoriană se proiectează după linia dreaptă AB, dar care, pe glob, are un traseu ocolit, deci este mult mai mare ca linia dreaptă – ortodroma, linia cea mai scurtă ce unește 2 puncte de pe glob și care este un arc al cercului mare ce trece prin aceste 2 puncte – ortodromă care în proiecția Mercator se reprezintă printr-o linie curbă AB.

Deși nava mergând după loxodromă va face un drum ocolit, deci mai mare decât distanța cea mai scurtă dintre cele 2 puncte de pe glob – ortodroma -, totuși în acest fel are avantajul de a cunoaște, în orice punct, direcția de orientare a navei și deci, de a păstra direcția.

De exemplu: distanța Moscova – San Francisco după ortodromă – arcul cercului mare ce trece prin aceste 2 localități – este de 9476 km, iar loxodroma în proiecția Mercator, deși se reprezintă în aceste hărți printr-o linie dreaptă, are o lungime de 10.051 km, deci cu 575 km mai lungă decât ortodroma.

Loxodroma și probleme de cartometrie legate de loxodromă. Stabilirea ecuației loxodromei

Se consideră pe glob distanța AB ce trebuie parcursă de o navă, între localitățile A și B, situate pe meridiane și paralele diferite (Figura 4.16).

Figura 4.16. Reprezentarea loxodromei

Din triunghiul ABC rezultă:

(4.41)

Integrând vom obține: (4.42)

Presupunând că în punctul de plecare al navei A(A, A) considerăm 1 = 0, 1 = 0, vom avea:

(4.43)

Această expresie reprezintă ecuația loxodromei pe elipsoidul de revoluție; în cazul în care pământul este considerat sferă, ecuația loxodromei va fi de forma:

(4.44)

sau:

în care e este baza logaritmului natural.

Pentru = 00, avem U = ; rezultă că loxodroma este o spirală care înconjoară polul ce constituie punctul asimptotic.

În apropierea polului se găsește spirala logaritmică, deoarece:

(4.45)

S-a amintit mai sus că în planul de proiecție loxodroma are aspectul unei linii drepte care intersectează proiecțiile meridianelor sub același unghi (Figura 4.17).

Figura 4.17. Determinarea loxodromei

Considerăm în planul de proiecție loxodroma cuprinsă între punctele de coordonate A(x1, y1) și B(x2, y2); din triunghiul ABC, rezultă:

(4.46)

Din aceste relații, rezultă că loxodroma în proiecția Mercator se reprezintă în planul de proiecție printr-o linie dreaptă; ea nu arată distanța cea mai scurtă dintre cele 2 puncte de pe glob. După cum am văzut, ortodroma în această proiecție se reprezintă printr-o curbă oarecare

V.V. Vitcovschi în lucrarea sa “Cartografia” dă următoarele valori ale diferențelor dintre lungimile loxodromelor și ortodromelor, în proiecția Mercator:

Importanța practică a proiecției Mercator constă în aceea că ea întrunește toate calitățile unei hărți ce se folosește în navigația maritimă.

O hartă marină trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

Să se poată fixa cu ușurință poziția unui punct prin coordonatele sale și respectiv să se determine coordonatele unui punct. Pentru rezolvarea mai ușoară a acestui lucru este bine ca meridianele și paralelele să fie perpendiculare.

Harta trebuie să fie construită într-o proiecție conformă.

Loxodroma să se reprezinte printr-o linie dreaptă

Să se poată măsura cu ușurință distanțele pe ea.

Proiecția Mercator se întrebuințează pentru reprezentarea unor suprafețe întinde de pe glob, iar rețeaua cartografică poate fi ușor construită după tabelele întocmite de cartografii sovietici Kavraiski și Urmaev, tabele care simplifică foarte mult calculele. Se mai utilizează pentru hărți din atlase.

Proiecții cilindrice oblice și transversale

În cazul acestor proiecții, forma Pământului se consideră în mod obișnuit o sferă de rază R. Unghiul format de axa cilindrului și axa polilor variază între 0° și 90° (proiecțiile oblice) și este egal cu 0° (proiecțiile transversale), când axa cilindrului coincide cu ecuatorul, fiind perpendiculara pe axa polilor.

Rețeaua normala

Rețeaua normală este formată din verticaluri (A = constant) și almucantarate (Z = constant), ce se reprezintă, în general, prin curbe oarecare, fiind simetrice față de o dreaptă, care este imaginea plana a meridianului de longitudine al polului al sistemului de coordonate sferice polare.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege cu originea O, care reprezintă imaginea plana a polului al sistemului de coordonate sferice polare, cu condiția ca toate valorile absciselor X sa fie pozitive pentru teritoriul reprezentat.

• Axa OX este orientata pe direcția Nord – Sud și coincide cu dreapta care reprezintă meridianul de longitudine al polului .

• Axa OY este orientata pe direcția Est – Vest, fiind reprezentata de imaginea plana a paralelului de latitudine al polului cu condiția ca valorile lui X sa fie pozitive pentru zona respective

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice oblice și ale proiecțiilor cilindrice transversale

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice oblice și ale proiecțiilor cilindrice transversale se obțin din formulele generale ale proiecțiilor cilindrice drepte pentru reprezentarea elipsoidului de rotație (4.18) și a sferei de raza R (4.19), în urma efectuării înlocuirilor de mai jos :

longitudinea cu azimutul A ;

latitudinea cu diferența (90°- Z);

colatitudinea (90°-) = Ψ cu distanta zenitala (Z);

modulul de deformare liniara m cu (verticaluri);

modulul de deformare liniara n cu (almucantarate);

Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice oblice și transversale în cazul reprezentării sferei terestre de raza R:

(4.47)

in care : azimutul (A) și distanta zenitala (Z) sunt coordonatele sferice polare măsurate din polul .

Proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger

Acest sistem de proiecție a fost conceput în anii 1825-1830 de către celebrul matematician german Karl Friedrich Gauss (1777-1855), iar mai târziu Johannes Krüger (1857-1923), a elaborat, în anul 1912, formulele necesare pentru trecerea coordonatelor punctelor de pe elipsoidul de rotație în planul de proiecție. Deoarece primele formule de calcul au fost elaborate de către J. Krüger, a fost adoptata denumirea de "proiecția Gauss – Krüger", precum și "reprezentarea conformă Gauss", iar în practica curentă "proiecția Gauss".

În România, proiecția Gauss a fost introdusa în anul 1951, când s-a adoptat și elipsoidul de referință Krasovski – 1940. Sistemul de proiecție Gauss s-a folosit la întocmirea planului topografic de baza la scara 1:10000, a hărții topografice de baza la scara 1:25000, precum și a hărților unitare la diferite scări, pana în anul 1973.

Reprezentarea se caracterizează prin aceea că o anumită porțiune din suprafața terestră se reprezintă pe suprafața unui cilindru tangent și transversal la suprafața de referință considerată sferică (Figura 4.18).

Figura 4.18. Proiecția Gauss Krüger

Elementele geometrice

Se consideră elipsoidul de rotație ca formă matematică a Pământului, iar pentru proiectare, suprafața interioară desfășurată în plan a unui cilindru imaginar, tangent la un meridian, adică în poziție transversală (Figura 4.19);

Pentru reprezentarea unitară a elipsoidului terestru în planul de proiecție au fost stabilite meridianele de tangență pentru întregul Glob, rezultând un număr de 60 de fuse geografice de câte 6° longitudine, începând cu meridianul de origine Greenwich;

Pentru proiectarea celor 60 de fuse se consideră elipsoidul înfășurat în 60 de cilindri succesivi, în poziție orizontală, unde fiecare cilindru este tangent la meridianul axial corespunzător fusului.

a) b)

Figura 4.19. – Proiectarea elipsoidului pe fuse geografice de 6° (a)
si aspectul fuselor în planul de proiecție (b)

În cadrul acestui sistem de proiecție se consideră că elipsoidul se rotește spre vest, până când fiecare meridian axial multiplu de 6° longitudine devine tangent la cilindru. După tăierea cilindrului pe direcția unei generatoare care trece prin polii geografici și desfășurarea acestuia în plan, se obține planul de proiecție al fuselor de 6° longitudine.

Aspectul rețelei cartografice și condițiile reprezentării

Rețeaua cartografica în proiecția Gauss este formata din imaginea plana a meridianului axial al fiecărui fus de 6° longitudine, a ecuatorului și a celorlalte meridiane și paralele (Figura 4.20) ce se reprezintă după cum urmează:

b)

Figura 4.20. Aspectul general al rețelei cartografice în proiecția Gauss (a)
si dintr-un fus de 60 longitudine (b)

– Meridianul axial al fusului de 6° longitudine se reprezintă în plan printr-o linie dreapta (NS), care constituie axa de simetrie a fusului și totodată axa absciselor (XX');

– Arcul de ecuator cuprins între meridianele marginale ale unui fus de 6 ° longitudine se reprezintă printr-un segment de dreapta (WE), perpendicular pe proiecția meridianului axial (NS), fiind considerat ca axa a ordonatelor (YY');

– Meridianele de longitudine față de meridianul axial de longitudine λ0 se reprezintă prin linii curbe convergente la poli, având concavitatea îndreptată spre meridianul axial al fusului considerat, fiind simetrice față de imagine plana a acestuia (NS);

– Paralelele de latitudine față de ecuator se reprezintă prin linii curbe cu concavitatea îndreptată spre polii geografici, fiind simetrice față de imaginea plana a ecuatorului (WE).

In cadrul fiecărui fus de 6° longitudine se realizează câte o reprezentare plană separată, care trebuie să satisfacă următoarele condiții de baza :

– Reprezentarea plană să fie conformă (w=0), iar imaginile plane ale meridianelor și paralelelor formează o rețea curbilinie, care se intersectează sub unghiuri drepte (i = 90°);

– Deformațiile liniare și areolare sunt nule în orice punct de pe imaginea plană a meridianului axial (m0 = 1 și p0= 1);

– Deformațiile liniare și areolare cresc de la meridianul axial spre cele marginale(m=n>1 și p>1), iar deformațiile maxime se înregistrează în apropierea ecuatorului, deoarece meridianele marginale sunt cele mai depărtate față de meridianul axial.

Sistemul de numerotare al fuselor de 60 longitudine

În baza unei înțelegeri internaționale, pe care a adoptat-o și țara noastră, numerotarea fuselor de 6° se face cu cifre arabe, de la 1, 2,…, la 60, începând cu fusul 1 limitat de meridianele de 180° și de -174° longitudine vestica. Numerotarea fuselor se continuă spre est până la fusul nr. 30 (cuprins intre -6° longitudine vestica și 0° – meridianul Greenwich). Se observă din schema numerotării, că meridianul Greenwich este un meridian marginal, care separa fusul 30, situat la vest, de fusul 31, situat la est (Figura 4.21).

Se continua numerotarea fuselor de 6° longitudine cu fusul 31 (cuprins intre meridianul Greenwich de 0° longitudine și meridianul de 6° longitudine estica) și până la fusul 60, limitat de meridianul de 174° longitudine estică și de meridianul de 180° .

Teritoriul României se reprezintă cartografic în doua fuse de cate 6° longitudine cu numerele 34 și 35 cu meridianele axiale de 21° și 27° longitudine est Greenwich și în patru fuse de cate 3 ° longitudine cu numerele 7, 8, 9 și 10 și cu meridianele axiale de 21°, 24°, 27° și 30° longitudine est Greenwich.

Fusul 34 cu meridianul axial de 21° est Greenwich, care trece la vest de Timișoara și fusul 35 cu meridianul axial de 27° est Greenwich, ce trece pe linia est – Roman ; est Bacău ; vest Focșani; vest Râmnicu – Sărat; est – Buzău și est – Oltenița se racordează pe meridianul marginal cu longitudinea de 24 ° est Greenwich. Pentru realizarea racordării dintre fusele vecine de la marginile de est și de vest ale fiecărui fus de 6° longitudine, se creează o  zona de acoperire între cele doua fuse alăturate. În ,,zona de acoperire" se calculează coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y) ale punctelor geodezice în ambele fuse, iar la marginea cadrului hărții și planurilor sunt înscrise coordonatele liniilor caroiajului kilometric din cele doua fuse alăturate.

Figura 4.21. Numerotarea fuselor de 6° în proiecția Gauss

SISTEMUL ȘI ORIGINEA AXELOR

În proiecția Gauss, se consideră pentru fiecare fus de 6° longitudine un sistem propriu axe de coordonate rectangulare plane, a cărui origine O se găsește la intersecția meridianului axial, care reprezintă axa OX cu Ecuatorul, ce reprezintă axa OY (Figura 4.22) . Deci, pentru
reprezentarea întregii suprafețe a Globului terestru, se vor utiliza un număr de 60 sisteme de coordonate rectangulare plane.

Coordonatele rectangulare plane ale unui punct oarecare P(xp,yp) din emisfera nordica a Globului terestru, se vor exprima, în cazul absciselor X numai prin valori pozitive, care la latitudinea României sunt mai mari de 5000km.

Valorile ordonatelor y, sunt pozitive sau negative, în funcție de poziția punctelor față de meridianul axial, care sunt situate în dreapta (ordonate pozitive) sau în stânga (ordonate negative).

Figura 4.22. Sistemul și originea axelor de coordonate plane Gauss

Pentru pozitivarea valorilor negative ale ordonatelor Y din stânga meridianului axial al unui fus de 6° longitudine, s-a efectuat translarea originii sistemului de axe cu +
500 km spre vest. Deci, ordonatele tuturor punctelor se vor modifica prin adăugarea valorii de + 500 km, funcție de coordonatele originii translate :

O' ( X0 = 0, 000 m și Y0 = 500 000, 000 m ).

În funcție de originea translatată a coordonatelor plane, se observa că toate punctele situate în dreapta meridianului axial vor avea ordonata y mai mare cu 500 km, iar cele din stânga vor avea ordonata y mai mica de 500 km. Deoarece este posibil ca din punct de vedere practic sa se obțină aceeași valoare a ordonatei Y pentru mai multe puncte, ce sunt situate în fuse diferite, s-a convenit sa se scrie în față valorii ordonatei Y și numărul de ordine al fusului de 6°. Cifrele (4) și (5) înscrise în fața ordonatei Y, semnifică numărul de ordine al fusului 34 și 35.

Spre exemplu, coordonatele plane Gauss ale unui punct din dreapta meridianului axial al fusului 35, au valorile :Xp=5 244 670,219 m și Yp = (5) 556 687, 082 m.

Deformații în proiecția gauss kruger

Determinarea deformațiilor liniare în proiecția Gauss implică cunoașterea valorilor modulilor de deformare liniară care se exprimă prin raportul dintre mărimea elementelor omologe, din planul de proiecție și de pe suprafața terestră.

(4.48)

Luând în considerare relația:

(4.49)

precum și faptul că: – α este azimutul elementului de linie pe suprafața elipsoidului, expresia (4.48) devine:

(4.50)

sau sub altă formă:

de unde: (4.51)

Pentru ca, modulul de deformare liniară nu depinde de azimut, considerăm expresia (4.49) pe direcția paralelului, deci pentru cazul când α=900 și avem:

(4.52)

Se obține: (4.53)

sau, considerând: (4.54)

(4.55)

Pe de altă parte putem scrie:

(4.56)

Introducând expresiile (3.112) și (3.13) în (3.109) obținem:

(4.57)

Rezultă:

cu care (4.57) devine: (4.58)

sau: (4.59)

Luând în considerare expresiile razelor de curbură expresia (4.59) ia forma:

(4.60)

sau: (4.61)

Dacă la latitudinea medie a țării noastre fusul de 1o are lățimea de 80km, în zona periferică a fusului, adică la 3o de meridianul axial deformația pe km poate ajunge la 0,70 m/km. Pentru reprezentările la scări mari deformația fiind foarte mare se recurge la fusuri de câte 3o când la periferie deformația pe km este de numai 0,18 m/km.

Calculul deformațiilor lungimilor, în funcție de coordonatele geografice

Se considera modulul de deformare liniară în cazul general al reprezentării unui
element de distanta de pe elipsoid (ds) în planul proiecției (dS), de forma :

(4.62)

În care: (4.63)

Dacă se introduc relațiile (4.63) în (4.62) și se efectuează toate calculele si
transformările corespunzătoare, va rezulta :

(4.64)

Relația (4.64) exprima modulul de deformare liniară sau scara reprezentării în proiecția Gauss, în funcție de coordonatele geografice.

Deformația relativă a lungimilor se poate calcula cu expresia :

(4.65)

Din relațiile de mai sus se observa că deformațiile lungimilor sunt nule pe meridianul axial (1 = 0) și maxime la extremitățile fusului de pe direcția cercului ecuatorial.

Calculul deformațiilor lungimilor, în funcție de coordonatele rectangulare

Dacă se exprimă coordonatele geografice (φ,λ) din relația (4.64) prin coordonatele Gauss (x,y), rezultă o altă formulă de calcul a modulului de deformare liniară (m):

(4.66)

în care : y = (y – y0) – reprezintă distanța punctului dat față de meridianul axial;

– raza medie de curbura în punctul considerat.

Deformația liniară relativă se obține cu relația :

(4.67)

În baza relațiilor (4.66) și (4.67) rezultă că pe meridianul axial (y=0), deformațiile liniare sunt nule, iar în celelalte puncte ale planului de proiecție sunt pozitive și cresc relativ direct proporțional cu pătratul distanței față de meridianul axial.

Pentru exemplificarea modului de variație a deformațiilor liniare relative (D m/km), în funcție de depărtarea (y=d) față de meridianul axial (1=0) și (y=0), se considera punctele : 1,2,… ,7 situate pe paralelul cu latitudinea φ = 46° (tabelul 4.4).

Tabelul 4.4.

Deformațiile liniare relative intr-un fus de 6° longitudine, pe paralelul de f =46°

Din datele prezentate în Tabelul 4.4., se evidențiază modul de repartiție a deformaților, în cazul fuselor de 3° si, respectiv, de 6° longitudine, după cum urmează :

pe meridianul axial deformațiile liniare sunt nule ;

la marginea fuselor de 3°, deformațiile produse sunt comparabile ca mărime
cu eroarea de determinare în poziție planimetrica a punctelor geodezice,
care este de ±15 cm ;

la marginea fuselor de 6 °, deformațiile liniare relative de +0,664m/km sunt
de patru ori mai mari decât cele produse în limitele fuselor de 3 °.

Calculul deformațiilor areolare

Deformarea suprafețelor se produce ca urmare a deformării lungimilor, fapt ce determina alungirea figurilor geometrice. Deformațiile areolare înregistrează numai creșteri pozitive, fiind în funcție de variația latitudinii (φ) și de diferența de longitudine (λ) față de meridianul axial de 3° sau de 6° longitudine al punctului dat.

Modulul de deformare areolara (p) din proiecția Gauss, se determină pe principiul reprezentării conforme, pornindu-se de la formula generala :

în care:

de unde rezulta (4.68)

Modulul de deformare liniara (m) se calculează pentru punctul central al trapezului de ridicare în plan, cu una din relațiile (4.64) sau (4.66).

În ipoteza folosirii relației (4.66), se obține următoarea expresie :

(4.69)

iar în urma neglijării termenului, care are o valoare mica, rezulta:

(4.70)

Deformațiile areolare sunt nule pe meridianul axial, După care cresc, pe măsura depărtării față de meridianul axial.

Ariile trapezelor de lângă meridianul axial sunt egale cu cele de pe elipsoid, fiind considerate suprafețe de control în lucrările de cadastru general.

Se observa din diagrama de mai jos (Figura 4.23) că în proiecția Gauss deformațiile liniare relative sunt pozitive și direct proporționale cu distanța fața de meridianul axial.

Figura 4.23. Diagrama deformațiilor în reprezentarea Gauss – Krüger

Nomenclatura hărților în proiecția Gauss – Krüger

Pentru harta 1/500.000 s-a împărțit trapezul 1/1.000.000 în 4 părți și fiecare parte s-a notat prin primele 4 litere mari ale alfabetului: A, B, C, D. Deci, dimensiunile acestei foi vor fi 20/30, iar nomenclatura uneia va fi de exemplu: L – A.

Pentru harta 1/200.000 s-a împărțit trapezul 1/1.000.000 în 36 părți, notându-se fiecare parte în cifre romane de la I – XXXVI. Dimensiunile acestei hărți vor fi 40/10, iar nomenclatura L – 34 – XI.

Pentru harta 1/100.000 s-a împărțit trapezul 1/1.000.000 în 144 părți, deci fiecare latură a trapezului în 12 părți. S-au obținut astfel foile la 1/100.000 cu dimensiunile 20/30, iar pentru nomenclatură s-a stabilit a se numerota fiecare planșă cu cifre arabe de la 1 – 144, de exemplu L – 34 – 144.

Pentru harta 1/50.000 s-a împărțit harta 1/100.000 în 4 părți, notându-se aceste părți cu primele 4 litere mari ale alfabetului. Exemplu: L – 34 – 94 – B, cu dimensiunile 10/15.

Pentru harta 1/25.000 s-a împărțit trapezul 1/50.000 în 4 părți, notându-se acestea cu primele 4 litere mici ale alfabetului. Exemplu: L – 34 – 116 – B – c, cu dimensiunile 5/730.

În fine, pentru harta 1/10.000 s-a împărțit trapezul 1/25.000 în 4 părți, notându-se prin primele 4 cifre arabe. De exemplu: L – 34 – 131 – B – G – 4, dimensiunile fiind 230/345.

Pentru harta 1/5.000 se împarte trapezul 1/10.000 în 4 părți. Fiecare trapez rezultat va avea dimensiunea 1’15’’/1’15’’,5 notându-se cu cifre romane I,II,III și IV. De exemplu L-34-144-A-a-4-IV

Pentru harta 1/2.000 fiecare trapez 1/5.000 se împarte în 4 trapeze notate cu cifre 1,2,3,4. Dimensiunile sunt 25’’/37’’,5. De exemplu L-34-144-A-a-4-IV-4

O hartă ( trapez ) la scara 1: 1 000 000 se împarte în 4 trapeze la scara 1: 500 000, notate cu A, B, C, D ( Figura 4.24. ), în 9 trapeze la scara 1: 300 000, notate cu cifre romane I…….IX, în 36 trapeze la scara 1: 200 000 și în 144 trapeze la scara 1: 100 000. Datele sunt prezentate în tabelul 4.5.

Tabelul.4.5.

Nomenclatura și dimensiunile trapezelor în proiecția Gauss

Figura 4.24. Nomenclatura trapezelor la sc. 1:1.000.000

Foaia de hartă la scara 1:100 000 servește drept bază la împărțirea și la nomenclatura foilor de hartă sau plan la scări mai mari – 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000, 1: 5 000, 1: 2 000 – tabelul 4.6.. și figura 4.25.

Tabelul 4.6.

Nomenclatura și dimensiunile trapezelor în proiecția Gauss având drept bază

scara 1:100 000

Figura 4.25. Nomenclatura trapezelor la sc. 1:50.000, 1:25.000, 1:10.000 (a)

si la sc. 1:5.000, 1:2.000 (b)

Calculul coordonatelor plane Gauss în funcție de coordonatele geografice prin Metoda funcțiilor analitice

Formulele ce urmează a se stabili se referă la calculul coordonatelor plane în funcție de coordonatele geografice pe elipsoid , deci vor avea următoarea forma generală :

(4.71)

Considerăm două puncte infinit vecine P1 și P2 pe suprafața de referință și corespunzătoare acestora în planul de proiecție (Figura 4.26. a și b).

Coordonatele punctului P1 sunt α și λ, iar coordonatele lui P2, și .

Fie OE, ecuatorul elipsoidului și OP meridianul axial al zonei de reprezentat, (meridianul axial fiind și meridianul original).

b)

Figura 4.26. Reprezentarea unui arc infinit mic intr-un fus de 6° longitudine
pe suprafața elipsoidului (ds) și m planul proiecției Gauss (dS)

Pe planul de proiecție aceste două linii curbe ale suprafeței se reprezintă prin două linii drepte perpendiculare între ele și formează axele de coordonate.

Notăm aceste axe prin O'X- axa absciselor și O'Y axa ordonatelor.

Distanța elementară între punctele P1 și P2 o Notăm cu ds , iar corespunzătoare acesteia în planul de proiecție, deci distanța între punctele cu dS.

Examinând figura se observa că triunghiul P1P2P3 este un triunghi dreptunghic cu :

(4.72)

si în care, dat fiind ca este triunghi infinit mic, putem scrie :

(4.73)

Triunghiul plan este tot dreptunghic (proiecția fiind conformă) cu laturile.

(4.74)

în care putem scrie : (4.75)

Elementul liniar de pe suprafața ce se transpune în proiecție prin elementul liniar dS, raportul dintre acestea arătând gradul de deformare liniara pe direcția definite de punctele P1 și P2.

Raportul notat cu se numește modul de deformare liniara și se exprima astfel :

(4.76)

sau mai putem scrie :

Înlocuind expresiile elementelor liniare obținem :

(4.77)

Sau : (4.77')

Notăm : (4.78)

și avem : (4.79)

Pentru ca proiecția sa fie conformă trebuie ca modulul de formare liniara sa fie același indiferent de direcția pe care se calculează ; rezultă că acesta trebuie sa fie în funcție numai de coordonatele punctului în care se consideră, dar nu și de azimut.

Matematic condiția de conformitate este îndeplinită atunci când expresia modulului de deformare liniară nu depinde de raportul sau , care determină azimutele segmentelor ds și dS.

Cum însă , ca sa nu depindă de înseamnă că să nu depindă de .

Se știe din teoria funcțiilor de variabilă complexă că raportul :

(4.80)

nu este funcție de atunci când este o funcție analitică de variabilă complexă , adică când există o legătură de forma :

(4.81)

Scriem expresia pătratului modulului de deformare liniară sub forma complexă :

(4.82)

Sau : (4.82')

ca să nu fie în funcție de trebuie ca și să nu depindă de sau, conform cu proprietatea enunțată a funcțiilor analitice trebuie ca :

(4.83)

Si : (4.84)

Invers, daca au loc ultimele relații scrise, atunci :

(4.85)

Și : (4.86)

Cu această expresie a pătratului modulului de deformare liniară este :

(4.87)

Derivatele și (se observă după relațiile de plecare) sunt funcție de coordonatele punctelor x și y sau și , dar nu de diferențialele lor, prin urmare nici expresia (3.95) nu depinde de aceste diferențiale.

Se observă că dacă există :

atunci există și :

Pentru aceasta e suficient să înlocuim pe i cu –i.

Așadar, proiecția este conformă atunci când este îndeplinită condiția :

(4.88)

În reprezentarea elipsoidului pe plan aplicând proiecția Gauss trebuie să avem în vedere următoarele condiții :

– meridianul axial al zonei ce se reprezintă se proiectează printr-o linie dreaptă ; rezultă că pentru , y trebuie să fie egal cu zero.

– meridianul axial fiind meridianul în lungul căruia cilindrul de proiecție este tangent la suprafața terestră deformațiile în direcția acestuia sunt nule ; asta înseamnă că distanța de la ecuatorul în proiecție până la un paralel oarecare este egală cu lungimea metrică a arcului meridian cuprins între ecuator și paralelul considerat pe suprafață și în consecință pentru :

(4.89)

Dezvoltând în serie Taylor funcția din (4.88) se obține :

(4.90)

sau, ținând seama de (4.89) putem scrie :

(4.91)

Se știe că :

deci : (4.92)

S-a obținut o egalitate de două numere complexe care, avea loc atunci când partea reală este egală cu partea reală și partea imaginară este egală cu partea imaginară.

Așadar, putem scrie :

(4.93)

Pentru a stabili coordonatele plane x,y în funcție de coordonatele geografice φ,λ e necesar a se determina expresiile derivatelor :

Calculul derivatei

Știm că :

Împărțim și obținem : (4.94)

Calculul derivatei

Sau :

Dar, conform relației putem scrie :

Și atunci :

Pe de altă parte :

Stabilind raportul  , în baza relațiilor și obținem :

Substituind în expresia derivatei a doua obținem :

Deci: (4.95)

Calculul derivatei

dar:

și:

Cu acestea :

Calculam separat raportul

Înlocuind în expresia derivatei obținem :

Folosind notațiile putem scrie :

(4.96)

Procedând în același mod rezultă :

(4.97)

(4.98)

Utilizând numai derivatele până la ordinul trei , deci oprindu-ne la primii doi termeni ai formulelor ce determină coordonatele rectangulare plane, acestea au forma :

(4.99)

Calculul coordonatelor geografice în funcție de coordonatele plane Gauss prin Metoda funcțiilor analitice

Când au fost calculate coordonatele plane x, y ale unui punct oarecare situat pe suprafața terestră în proiecția cilindrică transversală, a fost necesar a se cunoaște coordonatele geografice ale punctului.

Problema se poate examina și invers, adică fiind cunoscute coordonatele x, y ale unui punct din planul de proiecție se pot determina coordonatele geografice , ale punctului corespunzător situat pe suprafața terestră.

Cu referire la figura 4.26, să considerăm cunoscute coordonatele plane ale punctului P(x, y).

Dacă B este piciorul perpendicularei coborâte din P1 pe meridianul axial , atunci se va proceda inițial la determinarea latitudinii 1 a acestui punct.

Latitudinea 1 se folosește în continuare la calculul diferenței 1- și a longitudinii , după care latitudinea se găsește din expresia evidentă :

(4.100)

S-a arătat că în lungul meridianului axial nu există deformații, modulul de deformare liniară este egal cu unitatea. Datorită acestui fapt abscisa x este egală cu lungimea arcului de meridian de la ecuator până la paralelul de latitudine 1.

Pe baza acestui considerent valoarea lui 1 se găsește după cum urmează.

Din tabelele cu lungimile arcelor de meridian, se scoate mărimea xt foarte aproape de x și care corespunde latitudinii t.

Se știe că pentru calculul lungimii arcului de meridian se folosește relația :

(4.101)

în care Mm este raza mică de curbură calculată pentru :

(4.102)

În cazul nostru pentru diferența de latitudine 1-t corespunde o lungime de arc de meridian egală cu x-xt, deci putem scrie :

(4.102’)

Cu această relație se calculează 1-t și deci 1. Având în vedere că m nu este cunoscut se folosește în calcul metoda aproximărilor succesive.

La prima exprimare avem :

(4.103)

unde (Mm)1 corespunde latitudinii m=t

În a doua exprimare avem :

(4.104)

(Mm)2 corespunde latitudinii

Pentru calculul diferenței (1-t) cu exactitate până la 0„, 0001 este suficient să ne oprim la a doua aproximare.

Odată obținută diferența (1-t) se stabilesc în continuare formulele pentru calculul diferenței (1-t) se stabilesc în continuare formulele pentru calculul diferenței (1-t) și .

Amintim că pentru proiecția cilindrică transversală condiția de conformitate este îndeplinită atunci când :

De aici rezultă că : (4.105)

Dezvoltând în serie partea dreaptă a ecuației și având în vedere că pentru y=0, =0 și:

(4.106)

atunci :

(4.107)

Derivatele λ și q corespund latitudinii 1, ceea ce în expresie este reprezentat prin dezvoltarea (4.107).

Egalând partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară rezultă :

q=(q)1- (4.108)

(4.109)

Calculul derivatelor se efectuează cunoscând că :

și :

Cu acestea : (4.110)

Pentru diferențiere se obține :

sau :

Egalitatea se mai poate scrie:

Pentru determinarea rapoartelor și scriem :

Înlocuind obținem :

sau : (4.111)

Diferențiind în continuare în raport cu x se obține :

(4.112)

(4.113)

(4.114)

Substituind expresiile derivatelor în relațiile ce determină pe q și obținem pentru =1:

(4.115)

(4.116)

Dacă longitudinea se obține direct din relația (3.121) în schimb pentru calculul diferenței 1- ne vom folosi de diferența cunoscută q1-q dată de relația (3.120).

Este cunoscută relația :

deci :

și :

Se poate spune invers, că este o funcție de q respectiv

și :

Cum însă :

putem scrie : (4.117)

Dar :

(4.118)

Cu (4.118), (4.117) devine :

(4.119)

însă :

Și în continuare :

sau :

După efectuarea calculelor rezultă :

Cu aceste derivate în care se va înlocui cu 1 și cu expresiile (4.115) și (4.117) obținem:

(4.120)

Cu diferența 1- se calculează latitudinea după relația (4.100).

Transformarea coordonatelor în proiecția Gauss

Prin operata de transformare a coordonatelor se înțelege transcalculul coordonatelor, cunoscute într-un sistem de coordonate, în alt sistem. În proiecția Gauss se efectuează următoarele operații de transcalcul a coordonatelor dintr-un sistem în alt sistem:

• Transformarea coordonatelor geografice în coordonate rectangulare plane Gauss ;

• Transformarea coordonatelor plane Gauss în coordonate geografice ;

• Transformarea coordonatelor plane Gauss din fus de 6° în fus de 3° longitudine ;

• Transformarea coordonatelor plane Gauss din fus de 3° în fus de 6° longitudine ;

• Transformarea coordonatelor plane Gauss din fus de 6° în fus vecin de 6° sau din
fus de 3° în fus vecin de 3° longitudine;

Transformarea coordonatelor se efectuează prin doua metode distincte :

•Metoda coeficienților variabili, ce se folosește pentru cazurile în care transformarea nu trebuie sa afecteze precizia de determinare a coordonatelor punctelor considerate. Coeficienții variabili se calculează pe baza formulelor respective în funcție de latitudinea y, fiind valabili pentru toate fusele din zona respectiva sau se extrag din tabele ;

•Metoda coeficienților constanți, care se aplică pe zone limitate pe latitudine, unde valorile numerice ale coeficienților s-au calculat pentru latitudinea medie a zonei stabilite. în cazul teritoriului României s-a stabilit latitudinea medie φ0 = 46° și latitudinile extreme,la sud φ = 42° și la nord φ=50°, avându-se în vedere menținerea preciziei de determinare a coordonatelor prin operația de transcalcul. Coeficienții constanți sunt valabili pentru toate fusele din zona respectivă fiind independenți de longitudine.

Metodele de transformare menționate mai sus, se vor alege în funcție de precizia operațiilor de transcalcul, iar formulelor se face în funcție de fiecare caz de transformare, avându-se în vedere următoarele două categorii de termeni ai relațiilor respective:

termeni funcționali, care se calculează cu ajutorul datelor de baza ale transformării coordonatelor;

termeni sau coeficienții, care se calculează în funcție de latitudine (variabili) sau se utilizează în baza calculului tabelar (coeficienți constanți).

Pentru transformarea coordonatelor dintr-un sistem în alt sistem, s-au folosit atât rezolvările clasice pe baza calculului tabelar, cât și rezolvările moderne cu ajutorul diferitelor programe realizate pentru executarea acestor operații în sistem automatizat cu calculatoare electronice.

Transformarea coordonatelor geografice în coordonate rectangulare plane Gauss prin metoda coeficienților constanți

Se cunosc:

φ0= longitudinea meridianului axial al fusului în care se reprezintă punctul;

φ,λ= coordonatele geografice ale punctului, elipsoidul Krasovski 1940.

Toate coordonatele geografice sunt în gradație sexagesimală.

Formulele de calcul cu coeficienți constanți sunt:

(4.121)

Sau:

Dacă notăm parantezele cu S0, S2, S4, S6 și S1, S3, S5 obținem relațiile :

(4.122)

Șablonul de calcul este următorul:

Transformarea coordonatelor rectangulare plane Gauss în coordonate geografice prin metoda coeficienților constanți

Se cunosc coordonatele rectangulare Gauss ale unui punct oarecare A și longitudinea meridianului axial al fusului (λ0).

Se cere să se calculeze coordonatele geografice (φ, λ) ale punctului corespunzător pe suprafața elipsoidului de referință.

Formulele de calcul cu coeficienți constanți utilizate pentru această transformare sunt:

(4.123)

unde l este diferența de longitudine a punctului, față de meridianul axial.

Dacă notăm parantezele cu S0, S2, S4, S6 și S1, S3, S5,S7 obținem relațiile :

(4.124)

Șablonul de calcul este următorul:

Calculul unghiului de convergență al meridianului

Unghiul de convergență al meridianelor într-un punct al proiecției este unghiul format în acel punct de meridianul punctului și o paralelă (trasată prin punct) la meridianul axial. (Deoarece unghiul format de două curbe se definește ca unghiul făcut de tangentele la curbe, rezultă că unghiul de convergență se face între tangenta la meridianul punctului și paralela la meridianul axial dusă prin punct). Proiecția fiind conformă, unghiul de convergență se mai formează și între tangenta la paralela punctului și o paralelă dusă prin acest punct la axa y-lor (adică la proiecția ecuatorului).

Convergența meridianelor poate fi exprimată în funcție de coordonatele geografice sau în funcție de coordonatele plane.

Figura 4.27. Unghiul de convergență al meridianului

Conform definiției unghiului de convergență a meridianelor este unghiul format de A0A0’ cu tangenta A0t.

Același unghi îl întâlnim și ca unghiul format de dreapta A0A0’’ și tangenta la paralelul punctului A0t1 – prin faptul că proiecția fiind conformă curbele A0m și A0p sunt ortogonale și în consecință tangentele A0t și A0t1 fac între ele un unghi drept.

(4.125)

Împărțind numărătorul și numitorul la d avem:

(4.126)

(4.127)

Daca ne oprim numai la primii termeni ai expresiilor stabilite rezulta:

(4.128)

Considerând toți termenii expresia tangentei devine:

(4.129)

sau:

Dezvoltând și neglijând termenul în λ5 obținem:

Se știe că:

dezvoltare care pentru x=tg γ se scrie:

Oprindu-ne numai la primul termen din dezvoltare și neglijând termenul t2 obținem:

(4.130)

Valorile unghiurilor de convergență ale meridianelor în diferite puncte se pot găsi în tabele speciale, dar pe scurt, pot fi calculate și cu ajutorul următoarei formule:

(4.131)

În care:

∆λ – diferența de longitudine dintre longitudinea punctului și a meridianului axial al fusului respectiv;

φ– latitudinea cercului paralel al punctului dat.

Importanța deosebită a unghiului de convergență al meridianelor constă în aceea că servește la determinarea unghiului ce trebuie să existe între liniile verticale de caroiaj și nordul magnetic; cu aceasta din urmă efectuându-se orientarea planșetei topografice.

Considerăm două trapeze, unul situat în dreapta meridianului axial, iar celălalt în stânga meridianului axial(Figura 4.28).

Figura 4.28. Convergența meridianelor

În figură s–a notat:

OO1 – meridianului axial al fusului;

OM – meridianul mediu al trapezului(cadrul planșetei);

MM1 – paralela la meridianul axial(caroiajul rectangular al trapezului);

MN – direcția nordului magnetic care face cu direcția meridianului geografic < δ (unghi de declinație magnetic).

Unghiul de declinație magnetică se determină pentru fiecare trapez și anume în punctul ce reprezintă centrul acestuia.

Daca figurăm pentru cazul trapezului din dreapta meridianului axial (Figura 4.29. a) cele trei direcții(direcția caroiajului, direcția nordului magnetic și direcția meridianului geografic), se poate scrie simplu că:

(4.132)

Δ este unghiul dintre liniile verticale de caroiaj și nordul magnetic. Δ fiind cunoscut e suficient ca, cu un declinator așezat pe direcția linilor de caroiaj să rotim planșeta până citim valoarea lui și în felul acesta avem planșeta orientată, adică:

b)

Figura 4.29. Convergența meridianelor și declinația magnetică

Liniile de caroiaj sunt paralele la meridianul geografic axial.

Același lucru pentru cazul trapezului situat în stânga meridianului axial (Figura 4.29. b) cu deosebirea că aici:

(4.133)

Calculul coordonatelor plane Gauss prin metoda reducerii la coardă

Să presupunem că pe elipsoid în punctul P1 (Figura 4.30. a) s – au măsurat: azimutul T12 și distanța s12. Având cunoscute coordonatele Gauss – Krüger ale punctului P1 , ne propunem să determinam coordonatele punctului P2.

Din figură se vede că pentru a determina pe x2 și y2 ne sunt necesare elementele “S12” și “t12”. (Figura 4.30. b).

b)

Figura 4.30. Metoda reducerii la coardă

S–a notat:

S12 – distanța în plan ( se demonstrează că este egală în limitele de precizie necesară cu distanța proiectată )

t12 – azimutul în plan;

s12 – distanța pe elipsoid;

T12 – azimutul pe elipsoid.

Având aceste elemente se poate scrie direct:

(4.134)

Anterior, la paragraful deformații, s–a stabilit că raportul de mărire pe o direcție oarecare în cazul proiecției Gauss este de forma:

Sau: (4.135)

Conform relațiilor (4.134.) putem scrie

(4.136)

sau: (4.137)

Folosind egalitatea (4.137), (4.135) devine:

(4.138)

Distanța finită este data de expresia:

Sau: (4.139)

Dar

și astfel: (4.140)

Pentru a obține valoarea lui t12 scriem (Figura 4.30 b):

(4.141)

T12 – azimutul măsurat pe elipsoid și deci cunoscut

γ – unghiul de convergență al meridianelor, de asemeni cunoscut.

Rezultă că pentru a putea afla valoarea lui t12 , după relația

(4.142)

este necesar a determina pe “δ12” (corecția de reducere la coardă)

Figura 4.31. Calculul corecției de reducere la coardă

Considerăm un element dσ pe curba plană (Figura 4.31)

Notând cu ρ raza de curbură se poate scrie:

(4.143)

( s – a considerat ds dσ)

Pe de altă parte se știe: (4.144)

Așadar avem: (4.145)

Pe de altă parte patrulaterul P1P2P3P4 va avea corespondent în plan patrulaterul (Figura. 4.32)

Suma unghiurilor patrulaterului de pe elipsoid este egală cu 3600 +ε. Suma unghiurilor din patrulaterul plan este egală cu 3600 + δ 12 + δ21.

Ținând seama că reprezentarea este conformă, sumele unghiurilor din aceste doua figuri trebuie să fie egală între ele, adică:

Figura 4.32. Calculul excesului sferic

(4.146)

Sau: (4.147)

Luând δ 12 = δ21 și ținând seama de formula excesului sferic

în care: – suprafața trapezului curbiliniu vom obține:

(4.148)

Notând: (4.149)

se obține: (4.150)

Pentru segmentul infinit mic luat în considerație diferența x2 – x1 va deveni dx, ym va fi o valoare y, iar:

δ 12 = δ 21 = d δ

și: (4.151)

Revenind la relația se poate scrie:

(4.152)

Întrucât axa este dirijată în lungul coardei P1’P’2 înseamnă că:

dS=d, iar S=

și atunci : x2 = x1+cos t12

dx = d cos t (4.153)

y2 = y1+sin t12

Ținând seama de aceste ultime expresii, vom obține:

(4.154)

Integrând ecuația (4.154) și considerând pe R constant și egal cu Rm vom obține :

(4.155)

În expresiile (4.155) c1 și c2 sunt constante arbitrare.

Determinăm aceste constante, luând în considerare condițiile inițiale. Întrucât în punctul P1’:

și

Reiese că putem obține:

În punctul P’2 ordonata iar și deci :

de unde :

sau, conform relațiilor:

rezultă: (4.156)

Relația (4.156) poate fi modificată după cum urmează :

(4.157)

Formula obținută este valabilă pentru calculul reducerilor în triangulația de ordinul II. Pentru triangulația de ordinul III și inferioară se poate folosi formula :

(4.158)

Corecțiile obținute trebuie scăzute din valoarea direcției măsurate.

Pentru calculul corecțiilor coordonatele trebuie calculate aproximativ.

Proiecția UTM

Această proiecție este o variantă a proiecției Gauss – Krüger, utilizată în Statele Unite ale Americii și în alte țări, având o importanță deosebită în ultimul timp și pentru România datorită integrării în noile structuri politice și militare.

În sistemul UTM (Universal Transversal Mercator) proiecția suprafeței curbe / sferice a Pământului se face pe un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe axa polilor.

Acest aranjament face imposibilă reprezentarea întregii suprafețe a Pământului pe același plan, proiecția făcându-se pe planuri diferite, fiecare în lungul unui meridian, numit meridian central. Pentru minimizarea deformărilor s-a ales ca lățimea unei felii (numită fus) să fie de 6° longitudine, în intervalul delimitat de paralele de 80° latitudine sudică și 84° latitudine nordică(Figura 4.33) , rezultând 360° / 6° = 60 zone (fusuri). Numerotarea fusurilor începe de la meridianul de 180° din zona Oceanului Pacific. România se află parțial în fusul 34 (18°-24°) (jumătatea vestică) și parțial în 35 (24°-30°)(jumătatea estică).

În cadrul fiecărui fus există un punct central al proiecției la intersecția dintre Ecuator și meridianul central al proiecției. Pentru fusul 34 meridianul central al proiecției este 21° iar pentru fusul 35 meridianul 27°. În mod normal originea sistemului ar trebui să fie acest punct de intersecție (x = 0, y = 0). Însă asta ar însemna că la stânga de origine am avea valori negative iar mai jos de origine de asemenea. În măsurători de distanțe acest lucru poate fi supărător. De aceea, s-a făcut un artificiu pentru a elimina valorile negative: pe abscisă originea sistemului (punctul 0) este plasat cu 500 km mai la vest (stânga), în așa fel încât întregul spațiu reprezentat în cadrul aceluiași fus să intre în zona de valori pozitive.

Elipsoidul de referință adoptat pentru reprezentarea suprafeței Pământului în planul proiecției este elipsoidul internațional WGS – 84, pentru care:

Semiaxa mare::

Turtirea geometrică:

Figura 4.33. Reprezentarea cartografică a proiecției UTM

Cilindrul de proiecție (Figura 4.34) este modificat prin reducerea dimensiunilor sale eliptice și aducerea lui în secanta cu elipsoidul de-a lungul a 2 linii paralele cu meridianul central (axial). Aceasta înseamnă ca într-o zona de 6 grade exista doua linii de secanta situate la aproximativ 180 000 m E și V de meridianul axial.

Pentru a evita folosirea coordonatelor negative, s-a introdus utilizarea coordonatelor false, și anume:

Figura 4.34. Cilindrul de proiecție

1 – axul cilindrului situat în plan ecuatorial;

2 – meridianul axial ce se reprezintă printr-un segment de dreaptă care este axă de simetrie;

3 – meridianele de secanta;

4 – meridianul de margine al fusului de 6 ;

– raza de curbura a elipsei meridiane de latitudine φ

– arcul de meridian β dintre 2 paralele φ 1 și φ 2

Pe meridianul axial scara de reprezentare este

Poziția unui punct oarecare pe suprafața elipsoidului de referința se determina prin coordonate elipsoidale sau geodezice.

Legătura între coordonatele rectangulare plane UTM și coordonatele rectangulare plane Gauss se realizează cu ajutorul relațiilor:

Sistemul U.T.M. care folosește proiecția Mercator se pretează la întreg globul terestru având avantajul ca reduce erorile de reprezentare în plan datorita introducerii unui factor de scara, care face ca deformările liniare de la marginea fusului proiectat în plan sa se reducă la jumătate.

Adoptându-se sistemul de reprezentare pe fuse de 6° longitudine, reprezentarea în plan este destul de fidela.

Folosind proiecția Mercator care, fiind o proiecție conforma aceasta nedeformând unghiurile și modul μ de deformare liniara fiind mici duce la o reprezentare precisa a întregului glob terestru.

Un dezavantaj al reprezentării pe fuse duce la o îngreunare a calculelor în zona de vecinătate a fusului, dar acest lucru se poate îmbunătăți cu ajutorul tehnicii modeme de calcul.

În figura 4.35 este prezentată harta țării noastre în proiecția UTM.

Figura 4.35. Harta României în Proiecția UTM

Deformații în Proiecția UTM

Proiecția UTM este conformă, astfel că unghiurile nu se deformează la reprezentarea în planul de proiecție. Deformațiile liniare se obțin cu ajutorul modulului de deformație liniară:

(4.159)

Sau:

unde:

D UTM este deformația liniară relativă în proiecția UTM;

D Gauss este deformația liniară relativă în proiecția Gauss;

R este raza medie de curbură în punctul considerat;

În proiecția UTM există două linii de deformații nule în fiecare zonă. Între acestea se produc deformații liniare negative, pe meridianul axial acestea atingând valoarea maximă și anume: -40 cm/km. Între liniile de deformații nule și meridianele axiale se produc deformații liniare pozitive care sunt aproximativ de +31 cm/km în sudul României (pe paralelul de latitudine ).

Valorile deformației liniare în proiecția UTM sunt direct proporționale cu distanța față de meridianul axial și cresc începând de la valoarea negativă -40 cm/km (Figura 4.36).

Figura 4.36. Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția UTM

În Figura 4.37. se poate observa diferența deformațiilor în proiecția UTM față de proiecția Gauss – Krüger.

Figura 4.37. Diagrama comparativa a deformațiilor liniare relative în

proiecția GAUSS-KRüGER și UTM

Capitolul 5

Proiecții azimutale

Clasificarea proiecțiilor azimutale

Proiecțiile azimutale sunt acele proiecții în care diferitele puncte ale elipsoidului terestru sunt proiectate pe planul de proiecție tangent la acest elipsoid, în punctul central al proiecției (centrul zonei de reprezentat).

Proiecțiile azimutale se clasifica după următoarele criterii generale :

După poziția planului de proiecție față de sfera terestră dată de valoarea latitudinii 0 a polului proiecției Q0(0,λ0) se disting:

Proiecții azimutale drepte (normale sau polare) pentru latitudinea = 900;

Proiecții azimutale oblice pentru latitudinea 00 900

Proiecții azimutale transversale pentru latitudinea = 00

După caracterul deformațiilor, proiecțiile azimutale se împart în trei grupe:

Proiecții azimutale conforme (w = 0);

Proiecții azimutale echivalente (p = 1);

Proiecții azimutale echidistante pe anumite direcții (m = 1).

După modul de proiectare pe o suprafață plană, proiecțiile azimutale au fost împărțite în următoarele doua categorii:

Proiecții azimutale neperspective, ce se obțin în urma unor proiectări teoretice a suprafeței Pământului pe o suprafață plană, unde se consideră condițiile de reprezentare pe care trebuie sa Ie îndeplinească un sistem de proiecție: conformitate, echivalență sau echidistanță pe ambele direcții, fiind impuse de modul de construcție al rețelei cartografice și de mărimea deformațiilor.

Proiecții azimutale perspective, la care proiectarea suprafeței Pământului pe un plan de proiecție se face printr-o proiectare propriu-zisă, pe baza utilizării legilor perspectivei liniare, unde punctul de vedere este situat pe unul din diametrele sferei sau pe prelungirea acestuia, iar planul de proiecție este perpendicular pe diametrul sferei terestre.

În funcție de poziția punctului de vedere, proiecțiile azimutale perspective pot fi împărțite în:

ortografice, când punctul de perspectivă se consideră la infinit, iar razele proiectoare sunt paralele și perpendiculare pe planul de proiecție; sunt proiecții afilactice, păstrând nedeformate distanțele pe anumite direcții și sunt folosite pentru realizarea de mapamonduri;

stereografice, în situația în care  razele proiectoare pornesc dintr-un punct diametral opus celui de tangență; sunt proiecții conforme, deformează foarte mult suprafețele și formele și se utilizează pentru hărții ale regiunilor polare sau pentru mapamonduri;

centrale, când razele proiectoare pornesc din centrul sferei; sunt proiecții afilactice, deformează foarte mult distanțele spre exterior, ajungând la infinit pe margini și sunt folosite pentru hărți ale navigației, având în vedere că ortodroma se reprezintă printr-o linie dreaptă;

exterioare, dacă razele proiectoare pornesc dintr-un punct exterior Terrei, la o distanță mai mare decât diametrul acesteia și mai mică de infinit, opus planului de proiecție; sunt afilactice, dar cu deformații mai mici decât proiecțiile ortografice și stereografice.

Proiecții azimutale drepte

În cazul proiecțiilor azimutale, suprafața terestră sau o porțiune din această suprafață
se reprezintă în planul de proiecție, după anumite condiții ale reprezentării pentru
proiecțiile neperspective și după legile perspectivei liniare pentru cele perspective.

Figura5.1. Proiecția azimutală dreaptă

Aspectul general al rețelei normale

Rețeaua normală a proiecțiilor azimutale drepte (0= 90°) coincide cu rețeaua
cartografică de meridiane și paralele (Figura5.2), în care:

Figura5.2.

Aspectul general al rețelei normale în proiecțiile azimutale drepte (φ,λ)

• Meridianele se reprezintă prin drepte convergente într-un punct, care este imaginea plană a polului geografic (pn), ce se intersectează sub unghiuri egale cu diferențele de longitudine dintre meridianele considerate:

• Paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice cu centrul comun în punctul de intersecție a dreptelor care reprezintă meridianele, fiind echidistante sau neechidistante, funcție de condițiile de baza ce se impun proiecțiilor azimutale.

Sistemul de axe de coordonate plane polare și rectangulare

Poziția punctelor din planul proiecțiilor azimutale se determina atât prin coordonate plane polare (d,r), cât și prin coordonate plane rectangulare (x, y), în cazul sistemului de axe de coordonate plane.

• în sistemul de coordonate plane polare al proiecțiilor azimutale drepte se consideră că axa polară una din dreptele care reprezintă imaginea plană a meridianului de origine sau a celui opus, iar ca pol se ia imaginea plană a polului geografic (Figura5.3.a).

• în sistemul de coordonate plane polare al proiecțiilor azimutale oblice sau transversale se ia ca axa polară dreapta care reprezintă imaginea plană a meridianului de longitudine λ0 al polului Q0(0,λ0),a cărui imagine plană reprezintă originea sistemului de coordonate plane.

• Sistemul de axe de coordonate plane rectangulare se stabilește cu originea în polul sistemului de coordonate polare, cu axa XX' în coincidenta cu axa polara. (Figura 5.3. b).

a) b)

Figura 5.3. Sistemul de axe de coordonate plane polare (a)

si plane rectangulare (b) în Proiecțiile azimutale

Formulele de calcul ale coordonatelor plane polare și rectangulare

În cazul proiecțiilor azimutale drepte, se exprima coordonatele plane polare (d,r) și plane rectangulare (x, y), pe baza următoarelor formule generale:

Coordonatele plane polare (d,r) sunt de forma generala :

(5.1)
în care:

D – unghiul polar;

l – diferența de longitudine, ce se măsoară de la meridianul a cărui imagine plană se considera ca axa polara în planul de proiecție ;

r – raza vectoare;

f – latitudinea geografica a punctului de pe sfera.

Coordonatele plane rectangulare (x,y) se determina în funcție de coordonatele plane polare:

(5.2)

Formulele de calcul ale modulilor de deformaRE

Pentru stabilirea formulelor de calcul ale modulilor de deformare se consideră arce elementare de meridian și de paralel pe sfera terestra de raza R (Figura5.4.a) și imaginile plane corespunzătoare, în cazul proiecțiilor azimutale drepte (Figura5.4.b).

(a)- sfera terestră de raza R (b) – planul proiecției azimutale drepte

Figura 5.4. Arce elementare de meridian și de paralel pe sfera (a)
si în planul proiecției azimutale drepte (b)

În baza principiilor de reprezentare ale proiecțiilor azimutale și a relațiilor generale ale modulilor de deformare, se obțin următoarele formule :

modulul de deformare liniara pe meridiane (m):

(5.3)

unde semnul minus de la numărător (-dr) este stabilit de faptul că, pe măsura creșterii latitudinii φ, raza vectoare (r) se micșorează.

Daca se considera colatitudinea Ψ= 90°-φ, relația (5.3) se poate scrie sub forma :

(5.4)

modulul de deformare liniară pe paralele (n):

(5.5)

unde : în cazul proiecțiilor azimutale drepte.

(5.6)

modulul de deformare areolara (p):

(5.7)

deformațiile unghiulare maxime (w): se exprima cu ajutorul formulelor cunoscute în capitolele anterioare, care sunt valabile pentru toate proiecțiile azimutale.

Formulele generale ale proiecțiilor azimutale drepte pentru reprezentarea sferei terestre de raza R

(5.8)

Formulele generate ale proiecțiilor azimutale drepte, pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie terestru

(5.9)

Proiecții azimutale oblice și transversale

În cazul proiecțiilor oblice, care reprezintă cazul general al proiecțiilor azimutale se efectuează următoarele operații de calcul:

Suprafață elipsoidului de rotație se reprezintă pe suprafață unei sfere;

Coordonatele geografice de pe sfera terestră de rază R(φ,λ) se transformă în
coordonate sferice polare (A, Z);

Se determină coordonatele plane polare (d,r), în funcție de coordonatele sferice polare (A, Z);

Se determina coordonatele plane rectangulare (x, y) în funcție de coordonatele plane polare(d,r);

Se determina modulii de deformare (m, n, p) și deformația unghiulara maxima (w).

Formulele generale ale proiecțiilor azimutale oblice și ale celor transversale

Formulele generale ale proiecțiilor azimutale oblice și ale celor transversale, se obțin în cazul reprezentării sferei terestre de raza R din formulele proiecțiilor azimutale
drepte, în care se efectuează următoarele înlocuiri:

• longitudinea λ cu azimutul (A);

• latitudinea φ cu diferența (90°-Z);

• colatitudinea Ψ cu distanta zenitala (Z);

• modulul de deformare liniară pe meridiane (m) cu modulul deformare liniară pe
verticaluri µ1

• modulul de deformare liniară pe paralele (n) cu modulul de deformare liniară pe
almucantarate µ2

(5.10)

Din formulele de mai sus se observa că, atât în proiecțiile azimutale drepte φ= 90°, cât și în proiecțiile oblice (0°< φ <90°), deformațiile depind numai de latitudine și respectiv, numai de distanța zenitala (Z), adică de depărtarea față de polul Q0 al proiecției. Deci, izocolele respective se vor reprezenta sub formă de cercuri concentrice, cu centrul în punctul reprezentat de imaginea plană a polului proiecției azimutale drepte sau oblice.

proiecții azimutale neperspective

În proiecțiile azimutale neperspective, ecuațiile proiecțiilor și rețeaua cartografică se determină pe baza condițiilor de conformitate, echivalență sau echidistanțare.

În cazul proiecțiilor azimutale neperspective drepte sau polare,, meridianele sunt drepte convergente într-un punct ce reprezintă chiar imaginea polului geografic, intersectându-se sub unghiuri egale cu diferența longitudinilor meridianelor corespunzătoare. Paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice având centrul comun în punctul de convergență al meridianelor și pot fi echidistanțate sau neechidistanțate în funcție de condițiile ce se impun proiecției (Figura 5.5).

Rețeaua cartografică de meridiane și paralele constituie rețeaua principală a proiecției, spre deosebire de rețeaua normală care corespunde celei mai simple reprezentări într-o proiecție dată a rețelei de linii de coordonate, proprie unui sistem determinat de coordonate.

Figura 5.5.. Rețeaua cartografică în proiecțiile azimutale neperspective drepte

În proiecțiile drepte sau polare, rețeaua principală coincide cu rețeaua normală, spre deosebire de proiecțiile oblice și transversale, în care aceste rețele nu coincid una cu alta. În proiecțiile oblice și transversale rețeaua normală este formată din imaginea almucantaratelor. și a verticalelor, primele fiind cercurile rezultate din intersecția sferei terestre cu plane paralele la planul orizontului locului, iar verticalele fiind cercuri mari rezultate din intersecția sferei terestre cu plane ce trec prin axa polară QQ1, respectiv axa ce trece prin punctul considerat centrul zonei de reprezentat și centrul sferei.

În aceste proiecții, verticalele se reprezintă prin linii drepte convergente într-un punct (polul proiecției), intersectându-se sub unghiuri egale cu diferența azimutelor verticalelor corespunzătoare, iar almucantaratele se reprezintă prin cercuri concentrice având centrul comun în punctul de convergență al verticalelor, respectiv polul sistemului oblic sau transversal și ele pot fi echidistante sau neechidistante, în funcție de condițiile ce se impun proiecției.

Meridianul polului sistemului oblic sau transversal, se reprezintă printr-o linie dreaptă, care este chiar axa de simetrie pentru celelalte meridiane.

De aici se trage concluzia că în proiecțiile oblice și transversale, rețeaua normală nu coincide cu rețeaua principală și în consecință meridianele și paralelele se reprezintă prin curbe oarecare (Figura 5.6. și Figura 5.7). Ecuațiile generale ale proiecțiilor azimutale neperspective drepte sau polare în coordonate polare sunt:

(5.11)

în care δ este unghiul polar, iar ρ este raza vectoare, egală cu raza proiecției paralelului reprezentat în plan.

Drept pol al sistemului de coordonate polare plane se consideră punctul de convergență al meridianelor, iar drept axă polară se consideră meridianul mediu al zonei de reprezentat de la care se măsoară longitudinea λ. Unghiul polar δ este egal cu longitudinea λ, deoarece prin proiecție s-a stabilit că meridianele se intersectează sub unghiuri egale cu diferențele da longitudine ale meridianelor corespunzătoare. De aici se trage concluzia că proiecțiile neperspective azimutale pot fi considerate un caz particular al proiecțiilor conice în care constanta α este egală cu unitatea, respectiv α = l.

Figura 5.6. Rețeaua cartografică în proiecțiile azimutale neperspective transversale

Figura 5.7.. Rețeaua cartografică în proiecțiile azimutale neperspective oblice

Funcția se determină pe baza condițiilor ce se impun, de conformitate, de echivalență, sau de echidistanțare. În proiecțiile azimutale drepte neperspective, direcțiile principale coincid cu meridianele și paralelele și drept consecință, modulii de deformare liniară m și n de pe aceste direcții au valori extreme, respectiv modulul de deformare liniară maxim este egal cu a, iar cel minim este egal cu b, ași b fiind semiaxele elipsei Deformațiilor.

În proiecțiile azimutale neperspective drepte, în afara sistemului de coordonate polare, se întrebuințează și sistemul de coordonate rectangulare, în care axa absciselor X coincide cu axa polară, iar originea acestui sistem se consideră polul sistemului de coordonate sferice polare. În consecință, coordonatele rectangulare sunt:

(5.12)

În conformitate cu principiile fundamentale ale proiecțiilor azimutale neperspective enunțate mai sus și a relațiilor stabilite anterior se obțin următoarele formule generale ale proiecțiilor azimutale neperspective drepte în cazul reprezentării sferei terestre :

(5.13)

Din relațiile (5.13) se constată că Deformațiile liniare, areolare și unghiulare în cadrul proiecțiilor azimutale neperspective drepte, sunt funcție numai de latitudine, fapt care determină ca izocolii să se reprezinte prin cercuri concentrice care coincid cu imaginile paralelelor.

În ceea ce privește proiecțiile azimutale neperspective oblice și transversale, ecuațiile generale ale acestora au aceeași formă cu ecuațiile stabilite la proiecțiile azimutale drepte (5.13) cu singura deosebire că longitudinea λ se înlocuiește cu azimutul a, iar latitudinea φ se înlocuiește cu 900-z, în care z este distanța zenitală a punctului considerat :

(5.14)

Proiecții azimutale perspective

Principiile de baza și proprietățile generale ale proiecțiilor azimutale prezentate în paragrafele anterioare sunt valabile și pentru proiecțiile azimutale perspective, cu observația că, în acest caz se utilizează legile perspectivei liniare.

Principiile reprezentarii și clasificarea proiecțiilor azimutale perspective

În cazul proiecțiilor azimutale perspective se consideră următoarele principii caracteristice ale reprezentării punctelor de pe sfera, în planul de proiecție (Figura 5.8):

Figura 5.8. Principiile reprezentării și semnificația parametrilor D și K în cazul proiecțiilor azimutale perspective (O1B=R; VO1=D; VO=K )

Pământul se considera sfera de raza R;

Planul de proiecție, pe care se face reprezentarea cartografică mai poartă denumirea și de planul tabloului (T);

Polul proiecției Q0(0,λ0) se alege aproximativ în mijlocul teritoriului de reprezentat, care în cazul României este punctul Q0(0 = 46°00'00" și λ0= 25°00’00 ‘’);

Diametrul QQ0 al sferei de raza R poarta denumirea de diametru principal, iar pe lungimea sau pe prelungirea lui se alege un punct de vedere (V);

Distanța dintre punctul de vedere (V) și centrul sferei de raza R se notează cu D, iar distanța dintre punctul de vedere (V) față de planul de proiecție (T) se notează cu K, cu mențiunea ca planul T este perpendicular pe diametrul principal QQ0;

Dreptele care pornesc din punctul de vedere (V) și trece prin diferite puncte de pe suprafața sferei terestre poarta denumirea de drepte proiectante (VB);

Punctul B de coordonate geografice și λ de pe sfera se proiectează în punctul B' de coordonate plane polare d și r sau de coordonate plane rectangulare x și y, pe planul tabloului (T), în care dreapta proiectanta VB ce trece prin B înțeapă planul de proiecție.

Proiecțiile azimutale perspective se clasifica în baza criteriilor prezentate în cazul
proiecțiilor azimutale, la care se adaugă și clasificarea după poziția punctului de vedere
(V) fata de centrul sferei terestre O1, fiind evidențiată de mărimea distanței D dintre cele
două puncte (Figura 5.9).

Figura 5.9. Principiul reprezentării unui punct (B) de pe sfera terestra în proiectile azimutale perspective

Prin proiectarea aceluiași punct B de pe sfera de raza R pe un plan de proiecție tangent la sfera în punctul Q0(0,λ0), pe baza folosirii legilor perspectivei liniare s-au obținut imaginile plane Bi',B2',B3', B4’, b5' ale punctului B.

În funcție de distanța D, dintre punctul de vedere V, care poate fi V1, V2, V3, V4 și V5 și centrul O1 al sferei terestre,se disting:

Proiecții azimutale perspective centrale, cu V1=O1 și D=0 ;

Proiecții azimutale perspective interioare, cu V2 și 0<D<R ;

Proiecții azimutale perspective stereografice, cu V3=Q și D=R ;

Proiecții azimutale perspective exterioare, cu V4 și R<D<∞ ;

Proiecții azimutale perspective ortografice, cu V5=∞ și D=∞ ;

Poziția reciprocă dintre punctul de vedere (V), sfera terestra și planul de proiecție se
definește prin următoarele elemente:

coordonatele geografice (0,λ0) ale polului proiecției Q0;

distanta (D), dintre punctul de vedere și centrul sferei terestre ;

distanta (K) dintre punctul de vedere și planul de proiecție.

Pe baza acestor parametri s-au determinat formulele de calcul ale diferitelor proiecții
azimutale perspective.

Proiecția perspectivă ortografică

Proiecția perspectivă ortografică este acea proiecție perspectivă în care punctul de vedere se consideră la infinit față de centrul sferei, razele ce vin spre zona de proiectat se consideră deci paralele (Figura 5.10).

Figura 5.10. Proiecția perspectivă ortografică

În această proiecție :

Figura 5.11. Rețeaua cartografică în proiecția perspectivă ortografică

paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice cu centrul în proiecția polului geografic; pe măsura depărtării de centrul proiecției spre margini, distanțele dintre cercurile ce reprezintă paralelele globului, se micșorează;

meridianele se reprezintă prin drepte radiale, convergente în proiecția polului geografic; aceste drepte paralele fac între ele unghiuri egale cu diferențele longitudinii lor.

În cazul proiecției perspective ortografice oblice (orizontale), aspectul rețelei cartografice va fi același ca și la proiecția ortografică polară.

almucantaratele se vor reprezenta sub forma unor cercuri concentrice;

verticalurile se vor reprezenta sub forma unor trepte radiale.

Formule pentru calculul rețelei cartografice

Considerăm cazul general al proiecției ortografice oblice.

Se cunoaște că : (5.15)

Scriem această expresie sub forma:

(5.16)

În proiecțiile azimutale perspective ortografice, punctul de vedere fiind la infinit, înseamnă că D = K, deci:

(5.17)

Și deoarece

rezultă că: (5.18)

Deci, pentru calculul rețelei cartografice prin coordonate polare se vor utiliza formulele:

(5.19)

Cazul construirii rețelei cartografice prin coordonate rectangulare:

Considerăm formulele generale pentru construcția rețelei cartografice prin coordonate rectangulare, de la teoria generală a proiecțiilor perspective:

(5.20)

Scriem această expresie sub forma:

(5.21)

Deoarece am văzut că în această proiecție D = K, vom avea:

(5.22)

Dar, întrucât am considerat D = , rezultă că: , deci:

(5.23)

Plecând de la relația: (5.24)

și procedând în mod analog ca și la determinarea lui x, obținem:

(5.25)

Sintetizând, formulele generale pentru calculul rețelei cartografice sunt următoarele:

(5.26)

Proiecțiile perspective ortografice normale și oblice sunt utilizate pentru întocmirea hărților astronomice.

Deformații

Considerăm cazul general al proiecției perspective ortografice oblică (Figura 5.12).

Figura 5.12.

Facem următoarele notații:

1 – modulul de deformare liniară după vertical;

2 – modulul de deformare liniară după almucantarat.

Valorile modulelor 1 și 2 de deformare liniară după vertical și almucantarat vor fi (Figura 5.13):

Figura 5.13.

(5.27)

Modulul de deformare areolară:

în care: a = 2 și b = 1 = cos z, deci:

(5.28)

Deformația unghiurilor:

(5.29)

deci:

Proiecția perspectivă centrală

Generalități și definiții

Proiecția perspectivă centrală este acea proiecție perspectivă în care punctul de vedere se consideră situat în centrul sferei (Figura 5.14).

Figura 5.14. Proiecția perspectivă centrală

În acest caz, rezultă: D = 0, K = R.

Aceste proiecții au fost aplicate acum 2500 de ani în urmă de către filozoful și matematicianul grec Thales, în vederea întocmirii unei hărți astronomice.

Principala însușire a acestei proiecții este faptul că, deoarece planurile tuturor cercurilor mari trec prin centrul sferei, iar punctul de vedere este situat în acest centru, proiecțiile cercurilor mari vor fi reprezentate în planul tablou prin linii drepte. Deci, distanța cea mai scurtă dintre două puncte de pe glob prin care trece un cerc mare, în această proiecție se va reprezenta printr-o linie dreaptă și prin urmare, ortodroma va fi reprezentată în proiecția orizontală perspectivă centrală printr-o linie dreaptă.

Rezultă că, dacă pe o hartă întocmită în această proiecție se unesc printr-o linie dreaptă 2 puncte, această linie reprezintă distanța cea mai scurtă pe glob dintre aceste 2 puncte (ortodroma).

Proiecțiile azimutale perspective centrale se împart în:

– normale;

– oblice;

– transversale.

Aspectul rețelei cartografice

Considerăm proiecția perspectivă centrală normală. În această proiecție:

paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice cu centrul comun în proiecția polului geografic; distanțele dintre proiecțiile paralelelor se măresc foarte mult pe măsura îndepărtării de la centrul proiecției spre margini. Ecuatorul nu se poate reprezenta (Figura 5.15).

meridianele se reprezintă prin drepte radiale, cu punctul de convergență în proiecția polului geografic; acestea fac între ele unghiuri egale cu diferențele de longitudini ale meridianelor (Figura 5.15).

Figura 5.15. Aspectul rețelei cartografice în proiecția perspectivă centrală

Formule pentru construirea rețelei cartografice

Cazul proiecției perspective centrale oblice:

Scriem formulele proiecției perspective :

(5.30)

Am văzut că în această proiecție punctul de vedere fiind considerat în centrul sferei, avem: D = 0 și K = R.

Prin urmare, formulele de mai sus vor deveni:

(5.31)

Cazul proiecției perspective centrale normale:

În această proiecție, considerând polul sistemului normal al coordonatelor sferice în polul geografic, deci 0 = 0 și l = , formulele de mai sus vor deveni:

(5.32)

Deci: (5.33)

Aspectul rețelei cartografice în proiecție azimutală normală se poate deduce și pe cale analitică în modul următor:

– ridicăm la pătrat relațiile (5.33):

(5.34)

– adunăm aceste două relații:

(5.35)

– notăm: R tg = a, deci:

– rezultă că: (5.36)

– sau  putem scrie :

(5.37)

Din relațiile de mai sus rezultă că în proiecția azimutală perspectivă centrală normală, paralelele se reprezintă prin cercuri, iar meridianele prin linii drepte radiale ce trec prin originea axelor de coordonate.

Deformații

Considerăm cazul general al proiecției centrale oblice (Figura 4.24).

Figura 5.16. Proiecția centrală oblice

Determinarea modulului de deformare 1 (Figura 5.17):

Figura 5.17. Determinarea modulului de deformare 1

În această proiecție elementul infinit mic AB de vertical de pe glob se va proiecta după dreapta ab. Conform definiției modulului de deformare liniară, vom avea:

(5.38)

Coborâm din a pe dreapta Ob, perpendiculara ad. În triunghiul abd există relația:

(5.39)

Aceasta, deoarece unghiul AOB este infinit mic, iar unghiul ZOA, la limită, când punctul B se suprapune în A, este egal cu unghiul ZOB, deci:

Pe de altă parte, triunghiurile AOB și aOd fiind asemenea, vom avea relația:

Dar:

iar:

deci:

Înlocuim pe ad din expresia de mai sus prin valoarea sa:

deci: (5.40)

Determinarea modulului de deformare 2 (Figura 5.18):

Figura 5.18. Determinarea modulului de deformare 2

Considerăm pe glob elementul infinit mic de almucantarat AC. În planul tablou, acest element se va proiecta după segmentul ac. După definiția modulului de deformare, vom avea:

(5.41)

Dar:

în care:

rezultă:

sau:

în care:

deci:

Rezultă că: (5.42)

Determinarea modulului p:

(5.43)

Determinarea deformațiilor direcțiilor

(5.44)

în care: a = 1 și b = 2.

(5.45)

dar: ;

(5.46)

Deci: (5.47)

Proiecția este aplicată pentru întocmirea hărților necesare aviației și marinei, datorită caracteristicii principale a acestei proiecții de a reprezenta prin linii drepte porțiuni ale cercurilor mari ale sferei.

Dacă pe hărțile întocmite în această proiecție se unește printr-o linie dreaptă punctul de plecare și cel de destinație al navei, atunci se obține distanța cea mai scurtă pe glob între aceste 2 puncte considerate.

Formulele generale ale proiecțiilor azimutale perspective oblice exterioare

Pentru calculul coordonatelor plane polare (d,r) și plane rectangulare (x, y) se consideră reprezentarea în proiecția azimutala perspectivă oblică exterioară (R<D<∞), care constituie și cazul general al acestor proiecții.

Calculul coordonatelor plane polare

Se consideră secționarea sferei terestre de raza R cu planul verticalului unui punct oarecare B de pe sfera, poziția punctului de vedere V pe prelungirea diametrului principal Q0Q și imaginile plane O și B' ale punctelor Q0(0,λ0) și B(,λ) de pe sferă (Figura5.19).

Figura 5.19.

Secțiunea prin planul verticalului care trece prin punctul B de pe sfera terestră

– raza vectoare a punctului B’ din plan

– raza almucantaratului ce trece prin punctul B

– distanța zenitală a punctului B

• Coordonatele plane polare (d,r) se determina avându-se în vedere elementele din Figura 5.19 și formulele de calcul ale proiecțiilor azimutale oblice de forma:

(5.48)

Se consideră triunghiurile asemenea VOB' și VO2B, de unde rezultă:

Sau : (5.49)

Din relația (5.49), se obține:

(5.50)

Deci, formulele de calcul ale coordonatelor polare plane (d,r), în cazul general al proiecțiilor azimutale perspective oblice exterioare, se vor scrie sub forma: d=A

Calculul coordonatelor rectangulare, în funcție de coordonatele sferice polare

Pentru calculul coordonatelor plane rectangulare (x, y), funcție de coordonatele sferice polare (A, Z) se considera sistemul general de axe de coordonate plane al proiecțiilor azimutale (Figura 5.20).

Figura 5.20. Coordonate plane polare (𝛅,𝛒) și plane rectangulare (x,y)

Din formulele generale de calcul ale coordonatelor plane rectangulare, în care se introduc coordonatele plane polare, rezulta :

(5.51)

in care:

(A,Z) – coordonatele sferice polare ce definesc pe sfera terestră poziția
punctului considerat, în raport cu polul proiecției Q0(0,λ0);

(D,K) – parametri constanți care caracterizează principiul de reprezentare al
proiecției azimutale perspective.

Cu ajutorul relațiilor (5.51) se exprimă coordonatele plane rectangulare în toate sistemele de proiecții azimutale perspective.

Calculul coordonatelor plane rectangulare, în funcție de coordonatele
geografice sferice

Pentru exprimarea coordonatelor plane rectangulare în funcție de coordonatele geografice sferice, se vor transforma produsele sinZ cosA și sinZ sinA, precum și cosZ, pe baza formulelor fundamentale ale trigonometriei sferice. în acest scop, se considera cazul general al unui triunghi sferic oarecare (Figura5.9.a) și cazul particular al unui triunghi sferic format de polul geografic, polul proiecției și un punct oarecare de pe sfera (Figura 5.21. b).

• Produsul sinZcosA din relația (5.51) se transformă pornindu-se de la formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, ce se scriu în cazul unui triunghi sferic oarecare ABC (Figura 5.21. a).

b)

Figura 5.21. Triunghiul sferic general ABC (a) și triunghiul sferic PQ0B’ (b)

(5.52)

Se înlocuiește cosa din prima relație a formulelor (5.52) în a doua relație a lui cosb, obținându-se expresia de forma:

(5.53)

În relația (5.53) se introduc notațiile corespunzătoare laturilor și unghiurilor triunghiului sferic PQ0B (Figura 5.21.b) :

Deci, se obține:

Sau : (5.54)

• Produsul sinZ sinA din relația (5.51) se transformă cu ajutorul teoremei sinusurilor, ce se aplică în triunghiul sferic PQ0B:

de unde rezultă:

sau: (5.55)

• Termenul cosZ din relația (5.51) se obține din formula cosinusului unei laturi a triunghiului sferic PQoB :

Sau : (5.56)

• În baza expresiilor (5.54), (5.55) și (5.56) se obțin formulele generale de calcul ale coordonatelor rectangulare plane, în funcție de coordonatele geografice φ și λ, care sunt valabile pentru orice proiecție azimutală perspectiva :

(5.57)

• Pentru cazul proiecțiilor azimutale perspective drepte, unde (φ0 = 90°, formulele (5.57) se vor scrie sub o forma simplificată:

(5.58)

Se menționează că diferența de longitudine , care se folosește în relațiile (5.57) și (5.58), este pozitivă la est și negativă la vest de meridianul origine Greenwich.

Proiecția Stereografică

Considerații generale și aspectul rețelei cartografice

Proiecția perspectivă stereografică este acea proiecție în care punctul de vedere se consideră situat pe sferă, iar planul tablou trecând prin centrul sferei.

Rezultă că în această proiecție, vom avea în general: D = K = R (Figura 5.22).

Figura 5.22. Proiecția perspectivă stereografică

Uneori, planul tablou se poate considera fie tangent la sferă în punctul central al proiecției, fie secant la această sferă, planul secant trecând la o distanță oarecare față de centrul zonei de proiectat.

Paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice; distanțele între diferitele proiecții ale paralelelor se măresc pe măsura îndepărtării de la centrul zonei, spre margini.

Meridianele se reprezintă prin linii drepte convergente în punctul comun al cercurilor (Figura 5.23).

Figura 5.22. Aspectul rețelei cartografice în proiecția perspectivă stereografică.

Principala însușire a proiecției stereografice este faptul că această proiecție este conformă, deci unghiurile de pe glob se proiectează pe planul tablou, fără deformații.

Formule pentru construirea rețelei cartografice

Considerăm cazul general al proiecției stereografice oblice (Figura 5.23).

Figura 5.23. Proiecția stereografică oblică

Cazul construirii rețelei cartografice prin coordonate polare:

Se consideră formulele de la teoria generală pentru determinarea rețelei cartografice prin coordonate polare:

(5.59)

Am văzut că în această proiecție D = K = R. În acest caz, relația care dă valoarea , devine:

(5.60)

deoarece: (5.61)

Cazul construirii rețelei cartografice prin coordonate rectangulare:

Scriem formulele x, y de la teoria generală a proiecțiilor perspective:

(5.62)

Făcând D = K = R, obținem:

(5.63)

sau: (5.64)

Deformații

Modulul de deformare liniară 1 după vertical

Considerăm pe verticalul Z0ABO un element infinit mic AB, de vertical. Proiecția acestui arc infinit mic pe planul tablou este segmentul infinit mic, ab (Figura 5.24).

Figura 5.24.

După definiția modulului de deformare liniară, vom avea:

Pentru determinarea valorii 1 facem următoarele precizări (Figura 5.25):

Figura 5.25.

Triunghiurile OAB și Oab sunt asemenea, deoarece au: unghiul AOB comun și unghiurile OAB și abO egale, deoarece:

– alterne interne

deoarece: , având ca măsură jumătatea arcului BO;

Aceste triunghiuri fiind asemenea, între laturile lor va exista următoarea proporționalitate:

Trecând la limită, adică vom considera punctul B infinit apropiat de A, rezultă că și punctul b va fi infinit apropiat de a și deci, în acest caz, vom avea:

deci:

Rezultă că: (5.65)

Pe de altă parte, din triunghiurile asemenea AOK și aOC, rezultă următoarea proporționalitate între laturi:

deci:

sau: (5.66)

Modulul de deformare liniară după almucantarat

Proiecția stereografică fiind o proiecție conformă, rezultă că:

(5.67)

Modulul p de deformare areolară

(5.68)

Proiecția stereografică este aplicată pentru reprezentarea la scări mici a emisferelor globului sau numai a unor părți ale acestuia; în ultimul timp, în atlasele moderne, această proiecție este înlocuită din ce în ce mai mult cu proiecția azimutală echivalentă și echidistantă.

Proiecția Stereografică veche

Întocmirea hărții țării noastre în proiecția perspectivă stereografică s-a realizat în anul 1930, ca urmare a faptului că vechea hartă realizată în proiecție conică conformă Lambert – Choleschi nu îndeplinea condițiile de precizie cerute de o bună hartă topografică. Noua hartă s-a dorit a fi uniformă și bine închegată pentru toată suprafața țării noastre, iar pentru o precizie mai bună s-a impus ca proiecția perspectivă stereografică să fie sprijinită ăe o rețea de triangulație nouă.

Elementele de bază ale acestei proiecții sunt:

Punctul astronomic fundamental al triangulației hărții vechi în proiecția perspectivă stereografică este un punct al observatorului București, constituit din pilastru de beton și care are următoarele coordonate astronomice:

Latitudinea determinată la observatorul astronomic București cu ajutorul cercului meridian Ganter în anul 1895

Longitudinea determinată în anul 1900

Azimutul punctului Cotroceni față de orizontul observatorului București

Punctul de plecare pentru toate calculele întregii triangulații necesare hărții a fost considerat capătul E al bazei București, bază sprijinită pe punctele Militari și Ciorogârla. Coordonatele geografice ale acestor două puncte au fost obținute din coordonatele punctului fundamental printr-o rețea de triangulație locală.

Valorile coordonatelor geografice după compensare au fost:

Coordonatele rectangulare stereografice ale capetelor bazei București:

Punctul central al proiecției este un punct fictiv situat în zona munților Perșani cu următoarele coordonate:

Rezultă că meridianul punctului central al proiecției se află la 0080’00’’,00 V față de punctul astronomic fundamental și la 0069’36’’,200 V față de capătul de est al bazei București.

Decalajul axelor de coordonate s-a efectuat în ambele direcții și a lui X și lui Y astfel încât originea axelor să aibă coordonatele:

Astfel toate punctele de pe întreaga suprafață a țării să aibă ordonate numai pozitive.

Elipsoidul de referință folosit în calculele rețelei de triangulație a fost elipsoidul Hayford cu următoarele dimensiuni:

Proiecția Stereografică 1970

Proiecția azimutală perspectivă stereografică oblică conformă, cu planul de proiecție secant unic 1970, fiind denumita și „ Proiecția STEREO – 70 ", a fost folosită începând cu anul 1973 la întocmirea planurilor topografice de baza la scările 1 : 2 000, 1 : 5 000 și 1 : 10 000, precum și a hărții cadastrale la scara 1 : 50 000. Acest sistem de proiecție s-a adoptat, având la baza elementele elipsoidului Krasovski -1940 și planul de referință pentru cote MAREA NEAGRA – 1975.

La adoptarea proiecției stereografice – 1970 s-au avut în vedere o serie de principii, care satisfac atât cerințele de precizie, cat și avantajele reprezentărilor cartografice, din care se menționează :

• Teritoriul de reprezentat are o forma aproximativ rotundă, ce poate fi încadrat într-un cere cu raza de circa 300 km ;

• Suprafață teritoriului României se poate reprezenta pe un singur plan de proiecție, obținându-se un sistem unic de coordonate plane rectangulare, cu originea în punctul central al proiecției;

• Suprafață terestra se proiectează după legile perspectivei liniare, în cazul proiecțiilor azimutale perspective stereografice oblice, cu latitudinea punctului central al proiecției φ0 cuprinsa intre 0° și 90°;

• Proiecția fiind conformă (w = 0), îndeplinește condițiile de simetrie față de meridianul de longitudine λ0 al punctului central;

• Deformațiile liniare și areolare din planul secant al proiecției nu influențează precizia elementelor reprezentate pe planurile topografice de baza la scările 1 : 2 000 ; 1 : 5 000 și 1 : 10 000 ;

• Valorile deformațiilor liniare și areolare, ce se produc pe planul secant unic la marginile teritoriului României au fost analizate în vederea optimizării lor, în cazul distantelor de 275 km, 300 km și 380 km dintre centrul de proiecție Qo (𝛗o,𝛌o) și punctele extreme;

• Distanțele măsurate de la centrul de proiecție la punctele extreme, încadrează în cea mai mare parte (90 %) limitele de hotar ale tarii în cercuri cu raza de 280 – 300 km , iar cele maxime sunt de circa 380 km la Beba Veche, Mangalia și Sulina ;

Deformațiile liniare negative ce se produc în centrul de proiecție sunt aproximativ egale cu deformațiile liniare pozitive de la marginile zonei de reprezentat;

• Deformațiile areolare negative și pozitive trebuie să fie relativ egale și să se compenseze, adică prin reprezentarea teritoriului considerat în planul de proiecție să fie menținută valoarea suprafeței totale a țării noastre.

În etapa actuală de introducere a lucrărilor de cadastru general și de publicitate imobiliară, în baza prevederilor din Legea nr. 7/1996, se preconizează efectuarea de noi măsurători geodezice și topografice, care să asigure cartografierea completă și exactă a teritoriilor cadastrale.

Elemente geometrice

Sistemul de proiecție stereografic – 1970 are la baza principiile și formulele aplicate și în sistemul de proiecție stereografic – 1930, ce au fast definite de geodezul francez H. Roussilhe, în 1924. Parametrii proiecției stereografice – 1970 au fost determinați în funcție de elementele elipsoidului de referință, de poziția punctului central Qo(𝛗o,𝛌o), și de adâncimea planului secant unic față de planul tangent din punctul central.

În vederea racordării și utilizării foilor hărții și planurilor întocmite în proiecția stereografica – 1970 cu cele vechi din proiecția Gauss, s-a menținut împărțirea foilor de harta și de plan pe trapeze, ce sunt limitate de proiecțiile meridianelor și paralelelor.

Reprezentarea (proiecția) stereografică se caracterizează prin aceea că o anumită porțiune din suprafața terestră se reprezintă pe suprafața unui plan care poate fi tangent sau secant la suprafața de referință (Figura 2.17).

Elementele geometrice ale reprezentării sunt:

H – planul de proiecție tangent sau secant la suprafața de referință;

C – centrul de proiecție;

O1 – punctul de vedere din care pornesc razele de proiecție, situat pe suprafața de referință diametral opus punctului C;

P – punctul care se reprezintă;

P' – proiecția punctului P pe planul H.

axa x pe direcția meridianului punctului C;

axa y pe direcția paralelului punctului C;

pentru realizarea anumitor probleme tehnice cât și economice s-a păstrat împărțirea foilor pe hartă din proiecția Gauss. La stabilirea planului secant s-a avut în vedere ca deformările liniare de la periferie să fie egale cu deformările de la centrul de proiecție (Figura 5.26.).

Pentru ca toate coordonatele să fie pozitive originea axelor se translatează și devine O (500Km; 500Km).

Coordonatele geografice ale punctului C sunt:

(5.69.)

Punctul C este situat în apropierea orașului Făgăraș.

Figura 5.26. Proiecția stereografică cu plan tangent și plan secant

Figura 5.27. Deformațiile regionale în proiecția Stereografică pe plan secant unic al României

Punctul central al proiecției

Punctul central al proiecției este un punct fictiv (nematerializat pe teren), fiind situat aproximativ în centrul geometric al României, la Nord de orașul Făgăraș, ceea ce permite încadrarea teritoriului de reprezentat intr-un cerc cu raza de 400 km, care din punct de vedere principial satisface cerințele optime ale reprezentării cartografice (Figura 5.28.).

Figura 5.28. Punctul central al proiecției stereografice -19 70 și organizarea administrativa a teritoriului României.

Coordonatele geografice ale punctului central al proiecției, denumit și polul proiecției Qo(𝛗o,𝛌o), sunt următoarele :

LATITUDINE NORDICA

LONGITUDINE EST GREENWICH

Elipsoidul de referință

Elipsoidul de referință Krasovski – 1940, care s-a folosit în proiecția Gauss, în perioada 1951 – 1973, a fost menținut și în proiecția Stereografica – 1970, fiind orientat la PULKOVO (RUSIA) și având următorii parametrii de baza :

• Semiaxa mare: a = 6 378 245,000 000 m

• Semiaxa mică: b – 6 356 863,018 770 m

• Turtirea geometrică: α= 0,003 352 329 869

• Prima excentricitate: e2=0, 006 693 421 623

• Raza medie de curbură: Ro =6 378 956, 681 m

Punctul fundamental al „ sistemului de coordonate 1942"

Rețeaua geodezica s-a dezvoltat pe baza punctului astronomic fundamental materializat în cadrul Observatorului Astronomic din Pulkovo (Rusia), definit prin coordonatele geografice :

LATITUDINE NORDICA

LONGITUDINE EST GREENWICH

Adâncimea planului de proiecție secant unic -1970

În vederea reducerii deformațiilor liniare și areolare, s-a adoptat planul secant unic – 1970, la adâncimea H = 3 189,478 m față de planul tangent, în punctul central al proiecției Qo(𝛗o,𝛌o). În urma intersectării sferei de raza Ro cu planul secant, a rezultat un cerc al deformațiilor nule, cu raza ro = 201,718 km.

Deformațiile lungimilor și suprafețelor

Deformația regională pe unitatea de lungime (1 km) în planul secant unic – 1970, din punctul central al proiecției Qo(𝛗o,𝛌o), este de -0,25 m/km, după care scade în valoare negativă până la distanța de ro = 201,718 km, unde este nula.

În exteriorul cercului de deformație nula (d > ro), deformația liniara relativa creste în valoare pozitiva pana la valori de + 0,25 m/km la distanta d=285 km de punctul central al proiecției și respectiv, până la + 0,637 m/km la distanta de d=385 km.

Proiecția stereografică – 1970 satisface precizia reprezentărilor în cazul planurilor topografice întocmite la scările 1 : 2 000, 1 : 5 000 și 1 : 10 000, în toate zonele unde deformația regională a lungimilor nu depășește valoarea de ± 0.15 m/km.

Figura 5.29. Cercul deformațiilor în proiecția Stereo 1970

Sistemul axelor de coordonate rectangulare plane

Originea sistemului (O) reprezintă imaginea plană a punctului central al proiecției Qo(𝛗o,𝛌o), fiind situat aproximativ în centrul tarii, unde :

– axa absciselor (XX') orientata pe direcția Nord – Sud reprezintă imaginea plană a meridianului punctului central Qo, de longitudine 𝛌o = 25°;

– axa ordonatelor (YY') orientata pe direcția Est – Vest reprezintă tangenta la proiecția paralelei punctului central Qo, de latitudine 𝛗o = 46°.

Pentru lucrările topo-cadastrale și pentru unele calcule cartografice se folosește sistemul convențional de axe, care a rezultat din translarea sistemului cu originea în punctul O (Xo = 0,000 m și Yo = 0,000 m) cu cate + 500 000, 000 m spre vest și respectiv spre sud, obținându-se punctul O' cu Xo = 500 000,000 m și Yo = 500 000,000 m (Figura 5.30.).

Figura 5.30. Sistemul de axe de coordonate plane, în proiecția stereografica -1970

Modulul sau coeficientul de reducere la scara

Pentru transformarea coordonatelor plane stereografice (X<70>;Y <70>) din planul tangent – 1970, în planul secant unic – 1970, paralel cu cel tangent, precum și pentru alte calcule cartografice, se efectuează înmulțirea acestora cu modulul sau coeficientul de reducere la scară:

Modulul sau coeficientul de revenire la scara

Pentru transformarea inversă a coordonatelor plane stereografice (X<70>;Y<70>) din planul secant unic – 1970, în planul tangent – 1970, precum și pentru alte calcule cartografice, se efectuează înmulțirea acestora cu coeficientul de revenire la scara :

Calculul elementelor geometrice ale PROIECȚIEI STEREOGRAFICE 1970

Proiecția stereografică – 1970 este o proiecție azimutala perspectiva conformă, în care, din punct de vedere geometric, Pământul se consideră o sferă de rază , iar polul proiecției Qo(𝛗o,𝛌o) este reprezentat de punctul central al zonei de cartografiat.

Pentru calculul elementelor geometrice ale sistemului de proiecție stereografic – 1970, se consideră o secțiune prin sfera de raza medie și imaginea generală a reprezentării stereografice (Figura 5.31.).

Figura 5.31. Elementele geometrice ale reprezentării stereografice
pe planul tangent și pe planul secant unic -1970

Qo (𝛗o,𝛌o) ; O(xo,yo); QQo=2Ro ; OD= Ro ; QoC=H ; CD=ro ;  ;

Calculul adâncimii planului secant unic (H)

Pentru stabilirea adâncimii planului secant unic (H) fata de planul tangent în punctul central al proiecției Qo (𝛗o,𝛌o) se observă că mărimea respectivă se poate obține din relația:

(5.70)

in care :

QQo=2Ro, este diametrul sferei terestre de raza Ro ;

QC se determină din triunghiurile QCB" și QQoB', în care se scriu rapoartele dintre laturile omoloage:

Dintre laturile omoloage: rezultă:

(5.71)

în care :

CB"= SB" – lungimea din planul secant al arcului de meridian de pe sfera (SB) ;

QoB'=SB'=xb – lungimea din planul tangent al arcului de meridian de pe sfera (sb), care reprezintă abscisa x a punctului B situat pe meridianul ce trece prin punctul central Qo(𝛗o,𝛌o).

Avându-se în vedere principiul anularii deformaților liniare din planul secant, se poate considera că arcul de meridian QoB =SB se proiectează nedeformat în cazul planului secant, obținându-se :

(5.72)

Deci, relația (5.71) se poate scrie sub forma:

(5.73)

În urma înlocuirii relației (5.73) în (5.70), se obține relația de calcul a adâncimii planului secant, de forma :

(5.74)

În relația (5.74), s-a exprimat valoarea termenului, s/x = C, în baza valorilor deformațiilor regionale maxime ale lungimilor corespunzătoare distanțelor de 275 km, 300 km și 380 km de centrul proiecției, adoptându-se valoarea constanta :

Deci, pentru valoarea coeficientului de reducere la scara si a razei de curbura , s-a determinat :

(5.75)

Calculul razei cercului de secanta (ro)

În funcție de adâncimea planului secant (H), adoptată în baza celor trei variante de calcul a deformațiilor liniare regionale, s-a calculat și raza cercului (ro), după care planul secant intersectează sfera de raza medie Ro.

Din triunghiul dreptunghic OCD (Figura 5.31.) se poate scrie :

(5.76)

Se exprima mărimea segmentului OC = OQo- QoC în funcție de Ro și H sub forma :

, iar în urma înlocuirii în relația (6-7), se determina :

De unde rezulta:

In funcție de valoarea coeficientului de reducere la scara (C) și de mărimea razei de curbura a sferei terestre (Ro), s-a obținut:

(5.77)

Transformarea coordonatelor din plan tangent în plan secant

Dacă pentru un punct oarecare situat pe suprafața de referință, coordonatele în cele două sisteme de proiecție se notează cu xt, yt și xs, ys atunci putem scrie:

(5.78)

Din ecuațiile de mai sus se poate realiza și transformarea inversă și anume:

(5.79)

Principiile transformării coordonatelor geografice în coordonate rectangulare
plane stereografice 1970

Se consideră imaginea generala a reprezentării stereografice și un punct oarecare B situat pe sferă, de coordonate geografice (φ,λ), cu latitudinea izometrica q și proiecția acestuia pe planul tangent, în punctul B' de coordonate rectangulare x și y (Figura 5.32.).

Figura 5.32. Reprezentarea stereografica și legătura dintre mărimile s și Xm

Coordonatele punctului central al proiecției Qo sunt coordonatele geografice (𝛗o,𝛌o) și latitudinea izometrica qo. Din punctul Q = V opus polului Qo se proiectează toate punctele de pe sferă pe un plan de proiecție tangent în Qo(𝛗o,𝛌o) sau pe un plan secant paralel cu planul tangent.

Reprezentarea stereografică realizată după legile perspectivei liniare îndeplinește următoarele condiții:

corespondența între punctele de pe sferă sau elipsoid și cele din planul de proiecție se realizează pe baza unei reprezentări conforme ;

meridianul de longitudine 𝛌o care trece prin polul Qo(𝛗o,𝛌o) trebuie să se reprezinte printr-o dreaptă ce se consideră ca axă XX', cu sensul pozitiv spre nord, fiind și o axă de simetrie;

originea O a sistemului de coordonate rectangulare stereografice (x, y) este imaginea plană a polului Qo(𝛗o,𝛌o,qo);

unui punct oarecare B(𝛗o,𝛌o,qo) situat pe meridianul central de longitudine 𝛌o îi corespunde în planul de proiecție coordonata Xm data de relația :

(5.80)

în care :

Ro – raza sferei Gauss la latitudinea 𝛌o;

s = β – lungimea unui arc de meridian, cuprins intre paralelele 𝛗 si 𝛌o.

Din punct de vedere teoretic, mărimea Xm dată de relația (5.80) prin distanța QoB' reprezintă raza vectoare r a proiecțiilor azimutale perspective stereografice (Xm = r), iar unghiul (s / Ro) este distanța zenitală a punctului B.

Deoarece reprezentarea în proiecția stereografică este conformă trebuie ca în baza condițiilor Chauchy – Riemann, coordonatele rectangulare plane (x + iy) sa fie determinate de o funcție analitica de variabila complexa (q + il), adică :

(5.81)

în care :

x și y – coordonatele rectangulare plane stereografice ale punctului dat;

q și l – latitudinea izometrica și diferența de longitudine dintre punctul dat și centrul proiecției.

Daca se exprimă diferențele dintre coordonatele geografice ale punctului B(𝛗,𝛌,) și ale
punctului central Qo(𝛗o,𝛌o) și, respectiv intre latitudinile izometrice q și qo, se obține :

Sau : (5.82)

În relația (5.81) se introduce expresia q = qo + Δq din relațiile (5.82):

(5.83)

Pentru stabilirea formulelor de calcul a coordonatelor rectangulare plane stereografice (x, y), s-a efectuat dezvoltarea în serie Taylor a termenului din relația (5.83), după puterile variabilei în jurul punctului central Qo(𝛗o,𝛌=0,qo), considerat ca origine a sistemului de coordonate rectangulare :

(5.84)

Avându-se în vedere ca: f(qo)=0 și f(q)=Xm se vor exprima derivatele de ordinal I, II, III,…, n, sub forma :

(5.85)

În urma introducerii notațiilor a1, a2,…, an, din (5.85) în (5.84), rezulta :

(5.86)

Se efectuează ridicările la putere din relația (5.86), iar după separarea părții reale de cea imaginară, se obține forma generala a coordonatelor (x,y), funcție de diferența de latitudine izometrica (Δq) și de longitudine (l):

(5.87)

Pentru stabilirea relațiilor practice de calcul a coordonatelor plane stereografice 1970 din coordonatele geografice, se parcurg următoarele etape de calcul, pornindu-se de la formulele generale (5.87) :

Se efectuează trecerea de la diferența de latitudine izometrica (Δq) la diferența de latitudine geografică (Δf);

Se calculează coeficienții a1, a2,…, an și c1,c2,…,cn :

Se exprimă coeficienții aij și bij, în funcție de coordonatele geografice ale punctului central, de forma :

a10=a1c1; a20 = a1 c2 + a2 c12 ; … ; b01=a1 ; b11=2a2c1 ; …

Se scriu formulele de calcul a coordonatelor rectangulare stereografice din planul tangent, pe baza coeficienților constanți :

(5.88)

În care:

Se efectuează transformarea coordonatelor rectangulare stereografice din planul
tangent (xtg;ytg), în planul secant unic 1970, prin înmulțirea coordonatelor xtg
si ytg cu coeficientul de reducere la scara C = 0,999 750 000 :

(5.89)

Se exprima coordonatele rectangulare plane în sistemul oficial
STEREO 70 cu originea translata, pe baza relațiilor :

(5.90)

unde : X0 = 500 000, 000 m și Y0-500 000,000m.

Coordonatele rectangulare plane STEREO 70 se exprima cu trei zecimale. Transformarea coordonatelor geografice în coordonate plane STEREO 70, pe baza formulelor cu coeficienți constanți, se face cu o precizie de determinare de ± 0,01 m.

Aplicarea formulelor de transformare a coordonatelor geografice în coordonate plane STEREO 70 se poate face atât pentru colțurile trapezelor geodezice, cât și pentru diferite puncte izolate de pe suprafață elipsoidului de referință KRASOVSKI – 1940.

Rezolvarea practică a formulelor cu coeficienți constanți se poate face în cadrul tabelelor tipizate, unde sunt înscrise valorile numerice ale coeficienților constanți, precum și cu ajutorul unui program de calcul tabelar MICROSOFT EXCEL.

Calculul coordonatelor

Calculul coordonatelor rectangulare plane STEREO 70 din coordonatele geografice

In baza formulelor (5.90) cu coeficienți constant, care în cazul teritoriului României au fost calculați pentru centrul de proiecție Qo(φo=46°, λo= 25°) și elipsoidul de referință Krasovski, se efectuează transformarea coordonatelor geografice (φ,λ) în coordonate rectangulare plane STEREO 70 (x, y).

Pentru exemplificare, se considera coordonatele geografice (φ,λ) ale punctului P din cadrul unui trapez la scara 1 : 5 000.

Transformarea se efectuează într-un formular tipizat asemănător cu cel prezentat la proiecția Gauss, unde sunt înscrise valorile numerice ale coeficienților constant și în care se înregistrează: coordonatele geografice, numărul punctului, nomenclatura și scara trapezului.

Operațiile de transformare a coordonatelor (φ,λ) în coordonate STEREO (x, y), se
efectuează mai întâi pe planul tangent (xtg,ytg) și apoi pe planul secant (X<70>,Y<70>), în
următoarea succesiune:

Se calculează diferențele:

care se transforma în secunde și apoi se scriu sub forma :

Se efectuează următoarele calcule:

Se efectuează produsele dintre sumele So, S2, S4, S6 și termenii l, l2, l4, l6 si
respectiv, dintre S1, S3, S5 și l, l3, l5 pe baza cărora se obțin rezultatele parțiale ro, r2
r4, r6 și r1, r3, r5:

Se însumează algebric rezultatele parțiale (r) și se exprima coordonatele din planul tangent de proiecție stereografica 1970 :

Prin înmulțirea coordonatelor, xtg și ytg cu coeficientul de reducere la scară, rezulta coordonatele din planul secant:

Se efectuează translarea coordonatelor rectangulare plane din planul secant (Xsec,ysec) în sistemul oficial STEREO-70, cu originea translata, în baza relațiilor:

Calculul coordonatelor geografice din coordonatele rectangulare plane
STEREO 70

Pentru verificarea modului de transformare a coordonatelor geografice (φ,λ) în coordonate STEREO -70 (X<70>,Y< 70 >) se efectuează în mod asemănător, și transformarea inversă în vederea obținerii diferențelor de latitudine (Δφ) și de longitudine (Δλ) dintre punctul dat P (X<70>,Y< 70 >) și centrul de proiecție Qo(Xo,Yo) se consideră funcția de forma:

(5.91)

Se scrie dezvoltarea în serie Taylor a membrului al doilea al funcției de variabilă complexa (5.91) după puterile variabilei (x + iy), în jurul punctului central al proiecției: Qo (φo; λ=0 ; qo=0), considerat originea sistemului de coordonate rectangulare plane O (Xo = 0,000 și Yo = 0,000), obținându-se :

(5.92)

După efectuarea operațiilor și separarea părții reale de cea imaginara din relația (5.92) se obțin expresiile Δq și λ :

(5.93)

în care coeficienții: a1, A2,…, A6 se deduc din expresia de forma generala :

(5.94)

În urma parcurgerii algoritmului de calcul prezentat anterior, rezultă următoarele formule de calcul:

(5.95)

în care se exprima : X = Xtg 10-5 și Y = ytg 10-5

Coeficienții constanți A00, A10, A20,…,A06 și B01, B11, B21, …, B15, s-au calculat pentru teritoriul României, în funcție de latitudinea φo= 46° și parametrii elipsoidului Krasovski, în vederea transformării coordonatelor stereografice, din planul tangent (xtg,ytg) în coordonate geografice (φ,λ).

Rezolvarea formulelor (5.95) se face cu ajutorul formulelor tipizate sau cu programe adecvate, în limitele unei aproximații de determinare de ordinul ± 0", 0001.

Pentru exemplificare se considera cunoscute coordonatele STEREO – 70 din planul secant (Xsec, Ysec) ale punctului P, din cadrul unui trapez, la scara 1 : 5 000, ce se înscriu intr-un formular tipizat.

Calculul propriu-zis de transformare a coordonatelor stereografice (Xsec,Ysec) în coordonate geografice (φ,λ) cuprinde următoarele etape :

In prima etapa se efectuează anularea translației originii sistemului de coordonate plane și transformarea coordonatelor din planul secant în planul tangent:

In a doua etapa se efectuează transformarea coordonatelor stereografice din planul
tangent (xtg,ytg), mai întâi în diferențele de latitudine și de longitudine (Δφ" și
Δλ"), apoi în coordonatele geografice (φ0,λ0) pe elipsoidul de referință Krasovski, după cum urmează :

Se calculează termenii:

Se exprima: X2,X3,X4,X5 și Y2, Y3, Y4, Y5, Y6;

Se determină :

Se calculează coordonatele:

Calculul coordonatelor stereografice prin metoda reducerii la coardă

Metoda reducerii la coardă utilizată la calculul coordonatelor stereografice, constă ca și în proiecția Gauss în reducerea direcțiilor măsurate și distanțelor la planul de proiecție.

Dacă se consideră direcția AB pe elipsoid sau sferă în planul de proiecție va fi A’B’ după linia curbă de lungime AB (Figura 4.33).

Figura 5.33 Metoda reducerii la coardă

A reduce direcția considerată înseamnă a stabili corecțiile de reducere la coardă A’B’ notate cu AB și BA și distanța dintre punctele A’ și B’ luată după coarda A’B’ notată cu SAB.

Reducerea direcțiilor la planul de proiecție

Suma unghiurilor în triunghiurile ABC și A’B’C este aceeași (proiecția este conformă), deci putem scrie:

La distanțe mici curba A’B’ este un arc de cerc și

deci = 2 și

Dar : (5.96)

Se calculează coordonatele preliminare față de un sistem particular de referință, care are originea în punctul C și atunci xc = 0, yc = 0, iar

(5.97)

Reducerea distanțelor la planul de proiecție

Se demonstrează că între SAB și sAB există o legătură:

(5.98)

în care:

În proiecția cu plan secant obținem distanța:

(5.99)

De precizat că în calculul reducerilor coordonatele x1, y1, x2, y2 se introduc prin valori preliminarii (aproximate la ordinul metrilor).

Cadrul și dimensiunile trapezelor pe elipsoidul de referință și în planul de proiecție stereografic 1970

Hărțile și planurile topografice în proiecția STEREOGRAFICA 1970 au un cadru geografic, ce rezulta din imaginile plane ale unor arce de meridiane și de paralele, care pe elipsoidul de referință delimitează trapeze curbilinii, denumite și trapeze geodezice sau în mod curent trapeze, iar în planul de proiecție poartă denumirea de foi de harta sau foi de plan (Figura 5.34.a și b).

(a) – Elipsoidul de referință (b) – Planul secant unic -1970

Figura 5.34. Cadrul și dimensiunile trapezelor pe elipsoid (a)
și în planul secant al proiecției stereografice (b)

Cadrul și dimensiunile trapezelor pe elipsoidul Krasovski

Lungimile arcelor de meridian (Sm) și de paralel (SpN,SpS) se determină în funcție de diferența de latitudine (Δφ) dintre arcele de paralel care delimitează un trapez, la o scară standard, la nord (φN) și la sud (φS) și respectiv, de longitudine (Δλ) dintre arcele de meridian care delimitează un trapez la est (λE) și la vest (λw), pe baza relațiilor:

(5.100)

în care :

Mm – raza medie de curbura a elipsei meridiane ;

φm=(φN+φS)/2 – latitudinea medie a trapezului;

(5.101)

în care : r – raza de curbură a paralelului de latitudine (φN);

(5.102)

în care : r – raza de curbura a paralelului de latitudine (φS)

Deoarece meridianele și paralele formează pe suprafață elipsoidului de referință, o rețea curbilinie rectangulara (i=90°), se poate calcula lungimea diagonalei trapezului (sd), în cazul unui triunghi infinitezimal considerat plan, cu ajutorul unei formule care exprima media geometrica.

(5.103)

Aria trapezului (T) de pe elipsoidul Krasovski, delimitat de două meridiane de longitudine (λE) și (λw) și de doua paralele de latitudine (φN) și (φS) se determină în funcție de coordonatele geografice respective, cu ajutorul formulelor cu coeficienți constanți :

(5.104)

în care :

ΔT(φN)Δλ=1‘ și ΔT(φS) Δλ=1‘ – elemente de arie elipsoidală;

(λE -λw)' – diferența de longitudine, exprimată în minute și părți de minute.

Cadrul și dimensiunile trapezelor în planul secant al proiecției
stereografice 1970

Dimensiunile trapezelor din planul secant al proiecției stereografice – 1970 reprezintă imaginile plane ale lungimilor corespunzătoare de pe suprafața elipsoidului de referință, care se determină fie din coordonatele plane STEREOGRAFICE (X<70>;Y<70>), fie prin aplicarea unei corecții de reducere la planul STERO 70 a elementelor elipsoidale, în funcție de mărimea modulului de deformare liniara (µ) și areolara (p =µ2).

În cazul folosirii coordonatelor rectangulare plane STEREO 70 se aplica următoarele formule :

(5.105)

În tabelul 5.1., se prezintă ca exemplu, dimensiunile trapezului cu nomenclatura
L-35-31-A-C-1-I, care s-au calculat pe elipsoidul de referință Krasovski și în planul secant
al proiecției STEREO 70.

Tabelul 5.1.

Dimensiunile trapezului cu nomenclatura L-35-31-A-C-1-I

Pe baza elementelor dimensionale și a coordonatelor plane STEREO-70 ale colțurilor trapezelor, se raportează și se verifică cadrul interior al originalului foilor de plan sau de harta.

Totodată, se întocmește schema cu dimensiunile trapezului în cm (laturile, diagonala) și aria trapezului (S) în ha, ce se desenează ca element cartografic în afara cadrului, în partea stângă și de sud a foii de plan.

Proiecția Stereografică utilizând planul secant local

Proiecția stereografică 1970, pe plan secant unic, fiind o proiecție conformă perspectiva păstrează nealterate unghiurile figurilor de pe teren și deformează pe plan tangent radial lungimile; în acest fel satisface majoritatea reprezentărilor în plan pentru scările 1:10 000, 1: 5 000, iar în anumite zone și pentru scara 1:2 000, unde deformația lungimilor nu depășește 10 cm. Pentru zonele de mare importanța economică, cum ar fi: zone industriale, centre populate, construcții hidrotehnice, lucrări miniere etc. unde multitudinea detaliilor impune să se întocmească planuri topografice la scări mari 1:500- 1:2 000, proiecția stereografică 1970 pe plan unic secant nu mai satisface ca precizie. În aceste cazuri se adoptă un plan secant local în funcție de situația zonei ce trebuie ridicată topografic în plan. Prin aplicarea planului unic secant, se micșorează deformația cu 33 cm/km. În unele părți ale periferiei țării există totuși o deformație de +67 cm/km. În orașe unde se creează o precizie mai mare, instrucțiunile prevăd folosirea unui plan secant local paralele cu planul unic secant, dacă deformația liniară în orașul respectiv depășește +- 15 cm/km. Planul secant local va trece printr-un punct de triangulație al orașului, fie că el a fost determinat mai înainte, fie că se va determina din nou. Se va calcula coeficientul de transcalculare a coordonatelor care este raportul dintre distanța în planul secant local și cea corespunzătoare în planul unic secant, în felul următor:

Fie punctul P2(x2,y2) ale cărui coordonate sunt date în planul unic secant. Acestui punct îi corespunde punctul P pe sferă și punctul P1 în proiecția stereografică cu plan tangent.

Cu ajutorul coordonatelor x2 și y2 se va calcula distanța d2. Această distanță se va împărți cu coeficientul 0,99966667 obținându-se distanța d1 în planul stereografic tangent;

Se va calcula apoi distanța ON în mod aproximativ:

(5.106)

Unde d este înlocuit cu d2.

Figura 5.35. Planul secant unic (I)

Distanța TN se calculează aproximativ astfel:

(5.107)

Astfel se poate calcula distanța d cu ajutorul relațiilor din triunghiurile T1LP2, T1NP și T1TP1 cu următoarele relații:

(5.108)

Cu ajutorul acestei relații se poate calcula din nou:

și: (5.109)

Se calculează apoi din nou din ecuația 5.106. pe d, procedeu ce se va repeta de mai multe ori până când între două valori consecutive ale lui d nu mai este nici o diferență.

Se formează apoi coeficientul cu ajutorul căruia se va înmulți fiecare coordonată din planul unic secant și se va obține coordonata respectivă în planul secant local. Se va observa că, coeficientul c va fi mai mare decât 1 pentru toate planurile locale care se vor pune între planul unic secant și planul tangent, ajungând aici la valoarea maximă. Coeficientul c va fi subunitar pentru toate planurile secant locale care vor fi puse sub planul unic secant.

În afara metodei aproximațiilor succesive, transcalcularea coordonatelor punctelor geodezice din planul unic secant într-un plan secant local se mai poate realiza și astfel:

Figura 5.36. Planul secant unic (II)

Din figură rezultă: (5.110)

unde:

i/2R este valoarea cu care se micșorează un km din planul tangent prin proiectarea lui în planul unic secant;

h/2R este valoarea cu care se micșorează un km din planul tangent în planul secant local. Planul secant local, trecând prin punctual P1, deformația în jurul acestui punct va fi 0. Va trebui deci calculată deformația în planul tangent și apoi anulată prin scăderea acestei valori din lungimea de 1km din planul tangent.

În acest scop se va împărți coordonatele punctului P’1 date în planul unic secant prin coeficientul 0,99966667, adică: , respectiv

Obținând x și y în planul tangent. Apoi se va calcula: și

(5.111)

Înmulțind fiecare coordonată din planul unic secant cu coeficientul k, vom obține coordonatele în planul secant local care trece prin punctual P1.

Deformații

În această proiecție lungimile se deformează diferențiat, în funcție de depărtarea de la punctul central al proiecției către periferie.

Proiecția stereografică cu plan tangent

Figura 5.37. Proiecția stereografică cu plan tangent

Analizând figura 5.37. putem scrie:

(5.112)

Dar:

Dezvoltând în sere Taylor:

și înlocuind în (5.112) iar apoi făcând calculele necesare obținem:

(5.113)

Deci, în concluzie deformația liniară este:

(5.114)

Proiecția stereografică cu plan secant

Figura 5.38. Proiecția stereografică cu plan secant

Analizând figura putem scrie:

(5.115)

Dezvoltând în sere Taylor

Și cunoscând că:

Putem scrie:

(5.116)

Derivând se va obține: (5.117)

Se observă că în planul secant deformația este mai mică decât în planul tangent cu 1/4.000

Pentru trecerea coordonatelor geodezice din planul de proiecție stereografic 1970 într-o proiecție locală ( plan tangent ) fără deformații se folosesc relațiile:

și invers:

în care;

– reprezintă coordonatele geodezice în planul de proiecție stereografică 1970 ( pe plan unic secant );

– coordonatele geodezice în proiecția stereografică pe plan tangent (locală);

C – raportul de reducere la scară ( C= 0,999750);

C- raportul de revenire la scară ( C.

Pentru județele marginale ale țării ( Constanța, Timiș etc. ) când se execută lucrări speciale ( fără deformații de proiecție ) se poate adopta un alt plan secant, cu caracter local, prin trecerea coordonatelor punctelor din planul secant unic în plan tangent și apoi pe planul secant local adoptat. În acest caz coordonatele în proiecția stereografică locală ( coordonate ce nu mai sunt afectate de nici o deformație ) vor fi :

în care:

reprezintă coordonatele în proiecția stereografică locală;

– coeficient de transformare,

Cu ajutorul coeficientului de transformare K se multiplică coordonatele x și y ale unui punct de proiecție stereografică 1970 după ce în prealabil s-a calculat distanța din coordonate de la centrul de proiecție la punctul considerat și se obțin coordonatele punctului în proiecția stereografică pe plan unic secant 1970 – se folosesc relațiile:

în care:

Deformațiile liniare locale în funcție de depărtarea față de punctul central al proiecției Stereo 1970 sunt redate în tabelul următor (R0=66378956,681 m).

Tabelul 5.2.

Deformațiile liniare locale în funcție de depărtarea față de punctul central al proiecției

Curba deformațiilor regionale (locale) pe plan secant unic este redată în Figura 5.39.

Figura 5.39. Diagrama deformațiilor în Proiecția Stereo70

Convergența meridianelor în Proiecția Stereografică 1970

Unghiul de convergenta a meridianelor în proiecția stereografica – 1970 este unghiul
g format de tangenta la meridianul ce trece prin punctul dat (A'M') cu paralela dusa prin
același punct (A') la axa absciselor (A'X'), care reprezintă imaginea plană a meridianului
centrului de proiecție de longitudine l0 = 25° (Figura 5.40.)

Figura 5.40. Convergența meridianelor

Din definirea convergentei meridianelor care este identica cu cea prezentata in
proiecția Gauss, rezulta :

(5.118)

În relația (5.118) se introduc derivatele coordonatelor (x,y), stabilite în funcție de
coordonatele izometrice (Δq, l) și se obține :

(5.119)

Se introduc relațiile (5.119) în (5.118), iar după efectuarea operațiilor și inversarea
funcției trigonometrice, se obține formula de calcul a unghiului g, în funcție de
coordonatele geografice (φ,λ) ale punctului considerat, din planul tangent.

(5.120)

în care:

(5.121)

Cu relația (5.120) se obține convergenta meridianelor din planul tangent, care se
transforma în planul secant prin înmulțirea cu coeficientul de scara.

(5.122)

Convergenta medie a meridianelor pentru un trapez se obține din media aritmetica a
unghiurilor de convergenta din cele patru colturi.

Capitolul 6

Proiecții conice

Teoria generală. Definiții

Proiecții conice se numesc acele proiecții în care o zonă de pe suprafața globului este proiectată pe suprafața desfășurabilă a unui con tangent sau secant la zona dată.

În funcție de poziția conului față de globul pământesc, proiecțiile conice se clasifică în:

Proiecții conice drepte sau normale, când axa conului coincide cu axa polilor.

Figura 6.1. Proiecția conică dreaptă

Proiecții conice transversale când axa conului face cu axa polilor un unghi drept, deci coincide cu un diametru al ecuatorului.

Figura 6.2. Proiecția conică transversală

Proiecții conice oblice, când axa conului formează cu axa polilor un unghi ce variază între 00 și 900.

Figura 6.3. Proiecția conică oblică

După felul cum suprafața conului atinge suprafața globului, proiecțiile conice pot fi tangente ) și secante.

Rețeaua cartografică, în proiecția conică este o rețea formată din:

proiecțiile meridianelor, care se reprezintă prin linii drepte concurente în același punct(vârful conului) și care fac între ele unghiurile ’ proporționale cu longitudinile ;

proiecțiile paralelelor, care se reprezintă prin arce de cerc concentrice având ca centru punctul de intersecție a meridianelor

Paralelul de tangență (paralelul mediu al zonei) este paralelul după care conul atinge globul.

Caracteristica principală a paralelului de tangență este că, după desfășurarea conului, aceste paralele își păstrează lungimea.

Paralelele de secționare sunt cele 2 paralele determinate de conul care intersectează sfera, după o zonă oarecare.

Coeficientul de proporționalitate este raportul dintre unghiul ’ format de cele 2 apoteme corespunzătoare celor 2 meridiane și unghiul – diferența de longitudine dintre aceste 2 meridiane:

(6.1)

Când =1, ’=, adică proiecția conică se transformă în proiecție azimutală cu planul tangent în punctul P de convergență a meridianelor în care caz, se reduce la planul tangent în P.

Figura 6.4. Proiecția conică

În figura 6.4 se fac următoarele notații:

A0B0D0 – paralelul de tangență

0 – latitudinea paralelului de tangență egală cu latitudinea punctului B0

– longitudinea punctului B0

’ – unghiul dintre cele 2 apoteme ale conului corespunzătoare celor 2 meridiane ce face între ele unghiul

ρ0 – raza paralelului de tangență

– distanța polară a punctului A0 de pe paralelul de secționare:

A0B0 C0D0 – zona de reprezentat în proiecția conică

A0B0 , C0D0 – paralelele extreme ale zonei de reprezentat

P1 P2 – paralelul de tangență sau paralelul mediu al zonei.(Figura 6.5)

Figura 6.5. Proiecția conică (cazul conului tangent)

Rețeaua cartografică și formulele generale ale proiecțiilor conice

Rețeaua normală se reprezintă sub forma de arce de arcuri concentrice si drepte concurente in centrul comun al arcelor de cerc, drepte ce formează între ele unghiuri egale.

Figura 6.6. Rețeaua cartografică a proiecției conice

O – punctul central al proiecției

P1’P2’ – paralelul de tangență

A’B’, C’D’ – paralelele extreme ale zonei de reprezentat

S1, S2, S3…S6 – proiecțiile diferitelor meridiane

1, 2 – latitudinea paralelelor extreme

0 – latitudinea paralelului mediu

Rezultă că rețeaua cartografică va fi formată din:

proiecțiile meridianelor – linii drepte convergente;

proiecțiile paralelelor – arcuri de cercuri concentrice, cu centrul în punctul comun S, razele ale acestor cercuri sunt funcții de latitudinea sau de distanța polară

Formulele generale ale proiecțiilor conice sunt de forma:

(6.2)

Proiecțiile conice aplicate în cartografia matematică sunt:

proiecții conice echidistante:

pe con tangent

pe con secant

proiecții conice conforme

proiecții conice echivalente

deformații

Modulii m și n de deformație liniară (Figura 6.7a și 6.7 b)

a b

Figura 6.7.

Determinarea deformațiilor în proiecțiile conice

Considerăm pe glob zona de reprezentat infinit mică MNKL cuprinsă între paralele externe P1 P2 și între 2 meridiane MN și KL foarte apropiate ce fac între ele unghiul infinit mic d corespunzător lui d’.

Lungimile celor 2 apoteme ale conului corespunzătoare celor 2 paralele sunt 01 și 02; diferența lor este lungimea de arc X cuprinsă între cele 2 paralele, deci:

(6.3)

considerând creșterea coordonatei X de la S spre punctul de tangență, fiind crescător în sens contrar.

În plan vom avea cele 2 meridiane infinit vecine SN’ și SL’ ce fac între ele unghiul d’ și cele 2 paralele infinit vecine N’L’ și M’K’ la o distanță una de alta egală cu:

(6.4)

Rezultă că modulul de deformație liniară după meridian va fi:

(6.5)

Se observă însă că la acest modul de deformație valoarea lui d este invers proporțională cu valoarea lui d, deoarece odată cu creșterea latitudinii valoarea 0 descrește; deci unei creșteri pozitive d a latitudinii îi corespunde o creștere negativă d.

Formula va deveni atunci:

(6.6)

În cazul considerat elipsoid vom avea:

(6.7)

în care M este raza de curbură a elipsei meridiane.

Pentru a obține acum modulul de deformație liniară după meridian în funcție de distanța polară se înlocuiește d cu d și deoarece unei creșteri pozitive d a distanței polare îi corespunde o creștere pozitivă d a apotemei conului , valoarea raportului este cu semnul +:

sau (6.8)

Modulul de deformație liniară după paralel este :

(6.9)

Am văzut însă că

Înlocuind pe d’ în formula de mai sus , prin valoarea sa:

(6.10)

sau: (6.11)

în care N este raza de curbură a primei verticale(marea normală).

Pentru a obține pe n în funcție de distanța polară θ se observă că:

Deci: (6.12)

Modulul de deformație areolară

Deoarece în proiecțiile conice meridianele și paralelele se reprezintă respectiv prin drepte și arce de cerc concentrice perpendiculare, rezultă că , deci .

Deformația direcțiilor

Se știe că: (6.13)

Înlocuind a=n, b=m, obținem:

(6.14)

Sintetizând se întocmește următorul tabel cu formulele generale ale proiecțiilor conice:

TABEL CU FORMULE GENERALE ALE PROIECȚIILOR CONICE

Proiecția conică dreaptă a lui Ptolemeu

Se numește proiecția lui Ptolemeu deoarece a fost construită pentru prima dată de învățatul grec din Alexandria Claudiu Ptolemeu (87-150).

În această proiecție, conul se consideră tangent la glob, iar meridianele se reprezintă ca linii drepte concurente în punctul care este și centrul comun al arcelor ce reprezintă cercurile paralele.

Pentru calcularea unghiului dintre meridiane se folosește formula =’sin0, în care ’ este diferența de longitudine dintre două meridiane consecutive, iar 0 este latitudinea paralelei de tangență.

Figura 6.8.

Raza 0 a cercului care va descrie arcul de cerc corespunzător paralelei de tangență.

Din figura 6.8. rezultă că 0 este:

,

în care:

R este raza globului pământesc micșorată la scara aleasă (principală);

0- latitudinea paralelei de tangență.

Valorile razelor celorlalte cercuri paralele de proiecție vor fi :

I=0-R(I-0) sau I=0+R(0-I),

în care:

I – este raza cercului paralel care se proiectează;

I – latitudinea paralelei ce se proiectează.

Întotdeauna paralela după care se face tangența se ia în așa fel ca ea să fie la egală distanță de paralelele extreme ale regiunii de reprezentat. Considerând că suprafața unei țări este cuprinsă între paralelele de 35 și 85, paralela de tangență 0 va fi de :

Deci paralela de tangență va avea latitudinea de 60.

În privința deformațiilor, în această proiecție distanțele se păstrează nedeformate pe meridiane, iar pe paralele întotdeauna scara secundară este mai mare decât scara principală, excepție făcând pe paralela de tangență.

PROIECȚIILE POLICONICE

În cazul proiecțiilor policonice, suprafața globului se proiectează nu pe suprafața unui con, ci pe suprafețele mai multor conuri, care se consideră tangente la paralele diferite (Figura 6.9.).

Figura 6.9. Harta lumii în proiecție policonică

În aceste proiecții, cercurile paralele se reprezintă prin arce de cerc, care de data aceasta nu mai sunt concentrice, însă toate centrele din care se descriu arcele de cerc sunt situate pe o dreaptă care nu este altceva decât prelungirea meridianului central – singurul de altfel redat prin linie dreaptă. Dintre paralele, numai ecuatorul se reprezintă în proiecție prin linie dreaptă.

Meridianele se reprezintă prin linii curbe, cu aspect variat de la proiecție la proiecție, determinat de condițiile respective ce trebuie îndeplinite.

Proiecțiile policonice sunt utilizate pentru hărți la scări mari și uneori și pentru hărți la scări mici. Dintre proiecțiile policonice, amintim proiecția policonică simplă, al cărei aspect este redat în figura 6.10., în care sunt desenate și continentele.

Figura 6.10. Proiecția policonică simplă

Din punct de vedere al deformărilor, proiecția policonică simplă nu păstrează nici unghiurile, nici suprafețele. Distanțele rămân nedeformate pe paralele și pe meridianul central.

Proiecția policonică simplă a constituit baza pentru proiecția adoptată pentru harta internațională la scara 1:1000000.

Capitolul 7

proiecții convenționale și proiecții derivate

Proiecții convenționale

PROIECȚII PSEUDOCILINDRICE

În proiecțiile pseudocilindrice paralelele rețelei normale se reprezintă prin drepte paralele, perpendiculare pe meridianul axial care este o linie dreaptă iar restul meridianelor se reprezintă prin curbe oarecare care sunt simetrice față de meridianul axial.

Dintre proiecțiile pseudocilindrice, cele mai frecvent întâlnite în construirea hărților sunt: proiecția Sanson, proiecția Mollweide, proiecția Eckert, proiecțiile lui Kavraiski, Ghinyburg și Urmaev.

Proiecția Sanson

Această proiecție a fost realizată de către geograful francez Sanson (1600 – 1667). Este denumită și proiecția Flamsteed, după numele celui care a utilozat-o și a popularizat-o.

Pentru construirea rețelei cartografice se consideră două drepte perpendiculare una pe alta, din care cea verticală reprezintă meridianul central al regiunii pentru care se construiește harta, iar cea orizontală, ecuatorul (Figura 7.1,).

Figura 7.1. Rețeaua cartografică și harta lumii în proiecția Sanson

Pe linia verticală, de o parte și alta a ecuatorului, se notează valorile x, care reprezintă distanța dintre paralele și care se deduce din relația , în care R este raza globului micșorată la scara principală a hărții, iar este latitudinea paralelei ce se proiectează. Se obține pe proiecția meridianului central o serie de puncte, prin care se vor desena paralele la ecuator și care reprezintă de fapt proiecția paralelelor.

Pentru construirea rețelei de meridiane se determină pe paralelele desenate, punctele prin care vor trece meridianele proiectate. Astfel se vor calcula lungimile arcelor de paralele dintre două meridiane consecutive, iar lungimile arcelor de paralele se vor considera de o parte și alta a meridianului central.

Lungimile y ale arcelor de paralele se calculează astfel:

,

în care:

R este raza globului redusă la scara principală;

– longitudinea meridianului ce se proiectează și care delimitează arcul de paralel care se măsoară de la meridianul central;

– latitudinea paralelului pe care se consideră arcul respectiv.

Această proiecție este avantajoasă la întocmirea hărților la scări mici, în special la reprezentarea regiunilor ecuatoriale.

Proiecția Mollweide

A fost propusă de matematicianul Mollweide (1774-1835). Această proiecție mai este cunoscută și sub denumirea de proiecție homalografică (Figura 7.2.).

Figura 7.2. Rețeaua cartografică și harta lumii în proiecția Mollweide

Construirea rețelei cartografice pornește de la un cerc de bază a cărui rază , în care R este raza globului redusă la scara principală.

Suprafața acestui cerc este egală cu jumătate din suprafața sferei pământești, adică cu 2R2. Pe acest cerc de bază se desenează diametrele vertical și orizontal, care reprezintă meridianul central și ecuatorul.

Paralele se reprezintă prin linii drepte paralele la ecuator, însă cu condiția ca suprafața dintre două paralele consecutive să fie egală cu jumătate din suprafața zonei sferice corespunzătoare de pe glob.

Pentru a se obține punctele pe diametrul vertical pe unde vor trece dreptele ce reprezintă paralelele, se utilizează expresia:

sau

în care:

x este distanța de la ecuator până la paralela considerată;

ψ – colatitudinea paralelei respective;

– latitudinea paralelei considerate.

Această distanță x se notează atât la nord, cât și la sud de diametrul orizontal, respectiv ecuatorul. În tabela alăturată sunt date valorile lui x pentru o densitate de 10 și acestea se înmulțesc cu valoarea razei redusă la scară, deoarece au fost calculate pentru cazul când raza R=1.

Rețeaua de meridiane în interiorul cercului de rază se obține parcurgând următorii pași: diametrul orizontal, ca și toate paralele, se va împărți în atâtea părți egale câte solicită densitatea stabilită. Trasarea meridianelor constă de fapt în desenarea unor elipse a căror axă mare corespunde cu meridianul central, iar axa mică este pe direcția ecuatorului. Se obține astfel o rețea cartografică pentru o emisferă.

Pentru obținerea rețelei cartografice pentru întreg globul pământesc, se procedează astfel:

se prelungește ecuatorul de o parte și alta cu câte un segment egal cu raza cercului de bază;

prin capetele diametrului vertical – respectiv cei doi poli – și prin punctele E și E’ se desenează o elipsă a cărei axă mare este dreapta E- E’ , iar axa mică este tocmai meridianul central;

se prelungesc dreptele ce reprezintă paralelele până la această elipsă;

pentru reprezentarea meridianelor în exteriorul cercului de bază, se desenează elipse a căror axă mare este direcția ecuatorului, iar cea mică pe direcția meridianului central, în funcție de densitatea aleasă.

Proiecția Mollweide este o proiecție echivalentă din punct de vedere al deformațiilor și deci un cerc infinit mic de pe globul pământesc se va reprezenta printr-o elipsă echivalentă.

Deformațiile cresc o dată cu depărtarea de meridianul central, dar mai ales în exteriorul cercului de bază. Totuși, aceste deformații sunt mai mici decât în proiecția lui Sanson. Scara pe paralele este aceeași pentru toate punctele de pe o paralelă și se modifică o dată cu schimbarea latitudinii. Scările pe meridian depind atât de schimbarea latitudinii, cât și a longitudinii. Deformațiile unghiulare cresc o dată cu latitudinea, iar punctele de deformații nule sunt pe meridianul central la intersecția cu paralelele de latitudine .

Proiecția Mollweide se întrebuințează pentru hărți universale și ale emisferelor sau ale unor regiuni întinse. În figura 7.3., pe lângă rețeaua cartografică în proiecția Mollweide, sunt repartizate și deformațiile prin intermediul profilului omenesc.

Figura 7.3. Repartizarea deformațiilor

În figura 7.4. este reprezentat planiglobul în care jumătatea din stânga este în proiecție Sanson, iar jumătatea din dreapta este în proiecția Mollweide.

Figura 7.4. Planiglobul în proiecție Sanson și Mollweide

Proiecția sinusoidală Eckert

Această proiecție este o proiecție pseudocilindrică echivalentă în care polii sunt reprezentați prin linii polare (linii drepte). Meridianele se reprezintă prin sinusoide simetrice față de meridianul axial, iar paralelele se reprezintă prin drepte cu scopul de a se micșora deformațiile unghiurilor dintre meridiane și paralele. Această proiecție se întrebuințează în special la întocmirea hărților oceanelor Pacific și Indian.

În figura 7.5. este reprezentată harta lumii în proiecția sinusoidală Eckert.

Figura 7.5. Harta lumii în proiecția sinusoidală Eckert

Proiecția pseudocilindrică a lui G.A. Ghinzburg

Această proiecție este propusă de G.A. Ghinzburg pentru construirea hărții lumii. Meridianele sunt reprezentate prin linii curbe simetrice față de meridianul central, reprezentat printr-o linie dreaptă. Paralelele sunt reprezentate prin linii drepte paralele și în același timp sunt perpendiculare pe meridianul central.

Proiecția Robinson

Această proiecție a fost realizată de către Arthur H. Robinson pentru a fi folosită în scop didactic sau media, deoarece în această proiecție hărțile au un aspect vizual deosebit. Este o proiecție arbitrară și deformează toate elementele, dar într-un mod acceptabil. A fost utilizată de către Rand McNally începând cu anii 1960 și de către compania National Geographic între 1988 și 1998.

În figura 7.6 este prezentată harta lumii în proiecția Robinson

Figura 7.6. . Harta lumii în proiecția Robinson

PROIECȚII PSEUDOCONICE

Dintre proiecțiile pseudoconice amintim: proiecția pseudoconică Bonne și proiecție Soloviev.

Proiecția pseudoconică Bonne

Proiecția pseudoconică Bonne a fost utilizată pentru prima dată de geodezul francez Bonne, în anul 1752, pentru construirea hărții Franței, iar către sfârșitul secolului al XIX-lea și în țara noastră.

În această proiecție cercurile paralele în această proiecție sunt reprezentate prin arce de cercuri concentrice.

Meridianul central se reprezintă prin linie dreaptă, iar celelalte meridiane prin linii curbe. Pentru construirea lor, într-o parte și alta a meridianului central, pe arcele de cerc ce reprezintă cercurile paralele, se notează lungimea arcului de cerc paralel cuprins între două meridiane date. Prin punctele rezultate se desenează linii curbe, care sunt meridianele (Figura 7.7.).

Figura 7.7. Rețeaua cartografică în Proiecția pseudoconică Bonne

Când această proiecție se utilizează pentru construirea unor hărți la scări mari, trasarea meridianelor se va face prin puncte cărora li se calculează coordonatele X și Z. Din punct de vedere al deformațiilor, este o proiecție echivalentă. Scara principală se păstrează numai în sensul paralelelor și în lungul meridianului central; pe celelalte meridiane, scările secundare sunt mai mari decât scara principală.

Proiecția pseudoconică Soloviev

Este o proiecție derivată din cea a lui Bonne, dar cu formulele modificate. Este elaborată de profesorul rus M. D. Soloviev.

Rețeaua cartografică (Figura 7.8.) în această proiecție se realizează astfel: meridianul central se reprezintă printr-o linie dreaptă, ce constituie în același timp o axă de simetrie pentru celelalte meridiane, care sunt reprezentate prin linii curbe. Cercurile paralele sunt arce de cerc concentrice, centrul fiind situat pe prelungirea meridianului central; este o proiecție echivalentă.

Figura 7.8.Rețeaua cartografică în proiecția Soloviev

PROIECȚII CIRCULARE

Proiecția Grinten

Această proiecție a fost propusă de către Alphons J. van der Grinten în anul 1904 și se construiește respectând două condiții:

de-a lungul ecuatorului să nu fie deformații;

aspectul rețelei cartografice să fie circular, adică meridianele și paralele să fie arce de cerc. (Figura 7.9.)

Figura 7.9.Harta lumii în proiecția Grinten

Datorită faptului că la ecuator nu sunt deformații, rezultă că această proiecție poate fi utilizată pentru hărțile regiunilor ecuatoriale. De o parte și alta a ecuatorului, pe o zonă ce se întinde până la paralelele de 60, deformațiile ce se produc prin proiecție nu sunt foarte mari. Dar, o dată cu trecerea acestor cercuri paralele, deformațiile se măresc foarte mult, ajungând ca la pol să fie maxime.

După caracterul deformațiilor, proiecția Grinten este o proiecție arbitrară – echidistantă pe ecuator – ocupând o poziție intermediară între proiecțiile conforme și echivalente, însă mai apropiată cele conforme.

În figura 7.10. este reprezentată rețeaua cartografică în proiecția Grinten și modul repartizării deformațiilor cu ajutorul profilului omenesc.

Proiecția Grinten se folosește pentru construirea hărților universale. În țara noastră, în această proiecție sunt construite hărțile planiglobului – fizic și politic – la scara 1:22000000.

Figura 7.10.Rețeaua cartografică și repartizarea deformațiilor

Proiecția globulară

Proiecția globulară sau sferică, a fost propusă de italianul Nicolozo la jumătatea secolului XVII-lea.

Construcția grafică a acestei proiecții se realizează pornind de la un cerc a cărui rază , în care R este raza globului redusă la scara propusă. Raza cercului de bază este egală cu lungimea unui sfert de meridian pământesc, considerat în linie dreaptă.

În figura 7.11. este reprezentată rețeaua cartografică în această proiecție și repartizarea deformațiilor prin profilul omenesc.

În funcție de deformații, proiecția globulară face parte din grupa proiecțiilor arbitrare echidistante pe meridianul central. Ea se utilizează pentru construirea hărților emisferelor.

Figura 7.11. Rețeaua cartografică și repartizarea deformațiilor

PROIECȚIILE DERIVATE

Aceste proiecții cartografice care derivă din alte proiecții cartografice, dar păstrează aceleași caracteristici în privința deformațiilor ca și proiecțiile din care derivă.

Cele mai importante proiecții cartografice derivate sunt:

proiecția Aitov;

proiecția Aitov-hammer;

proiecția despicată Mollweide-Goode;

proiecția despicată Eckert-Goode;

proiecția stelată.

Proiecția Aitov

Această proiecție a fost realizată și propusă de cartograful rus D.A. Aitov (1800-1864) fiind o proiecție care derivă din proiecția azimutală ecuatorială echidistantă. Proiecția Aitov este o proiecție echidistantă și se utilizează pentru hărți ale lumii.

Figura 7.12. Proiecția Aitov

Proiecția Aitov-Hammer

Această proiecție este o proiecție echivalentă, care derivă din proiecția azimutală ecuatorială echivalentă Lambert. În figura 7.13. este prezentată harta lumii în proiecția Aitov-Hammer.

Figura 7.13. Harta lumii în proiecția Aitov-Hammer

În această proiecție meridianele și paralelele sunt reprezentate prin curbe. Meridianele sunt simetrice față de meridianul axial ce se reprezintă printr-o linie dreaptă, iar paralelele sunt simetrice față de ecuator care se reprezintă de asemenea printr-o line dreaptă.

Meridianele de longitudine dau cercul principal de rază .

Această proiecție se utilizează cel mai avantajos în reprezentarea întregii suprafețe terestre, dar nu răspunde complet tuturor condițiilor ce trebuie să le îndeplinească o proiecție pentru întocmirea hărții lumii.

Proiecția despicată Mollweide-Goode

Această proiecție se bazează pe principiul construcției proiecției Mollweide, ce a fost transformată de către americanul Goode în scopul micșorării deformațiilor, care se măresc o dată cu depărtarea față de meridianul central, dar mai ales în exteriorul cercului de bază.

Pentru acest lucru s-a construit o hartă în care rețeaua cartografică să nu mai fie continuă, ci ruptă în unele locuri stabilite, în funcție de suprafața pe care o cuprinde harta.

De exemplu, în figura 7.14. este reprezentată o hartă a lumii în proiecția despicată Mollweide-Goode. Se observă că s-a respectat continuitatea în ce privește reprezentarea suprafeței uscatului. Dacă, dimpotrivă, ar fi trebuit reprezentată suprafața oceanului planetar, ruperea s-ar face pe suprafețele uscatului.

Figura 7.14. Harta lumii în proiecția despicată Mollweide-Goode

Pentru harta continentelor în această proiecție se aplică următorul sistem în care longitudinile se măsoară de la Greenwich:

Zona I America de Nord – meridianul axial cu longitudinea

Zona II America de Sud – meridianul axial cu longitudinea

Zona III Europa și Asia – meridianul axial cu longitudinea

Zona IV Africa – meridianul axial cu longitudinea

Zona V Australia – meridianul axial cu longitudinea

Proiecția despicată Eckert-Goode

Această proiecție are la bază principiul proiecției Eckert, dar rețeaua cartografică nu este continuă, ci prezintă rupturi, care însă sunt dispuse astfel încât să se asigure continuitatea suprafeței de reprezentat, fie a uscatului, fie a apei. În figura 7.15. este redată harta lumii în proiecția despicată Eckert-Goode.

Figura 7.15. Harta lumii în proiecția despicată Eckert – Goode

Ca și exemplu redăm în continuare o schemă de folosire a proiecției despicate Ekert-Goode:

Zona I America de Nord – meridianul axial cu longitudinea

Zona II America de Sud – meridianul axial cu longitudinea

Zona III Europa și Asia – meridianul axial cu longitudinea

Zona IV Africa – meridianul axial cu longitudinea

Zona V Australia – meridianul axial cu longitudinea

Rupturile unghiulare în partea de nord a hărții se produc pe ecuator în punctul de longitudine , în partea de sud, pe ecuator în punctul de longitudine , . Aceste longitudini au fost măsurate de la Greenwich.

Proiecția stelată

Această proiecție se utilizează pentru hărți la scări mici. Suprafața Pământului se împarte în fuse, de obicei 4-5-6, în sensul meridianelor, fuse ce se unesc în polul nord. Avantajul acestei proiecții este că dă posibilitatea unei priviri de ansamblu asupra continentelor. Prezintă și dezavantaje, deoarece prin construcție se elimină unele porțiuni din suprafața Pământului. Există diverse variante ale acestei proiecții (Figura 7.16.).

Figura 7.16. Hărți ale lumii în proiecția stelată

Proiecții cartografice utilizate în Europa

În toate țările din Europa se utilizează proiecțiile conforme pentru întocmirea hărților topografice. Acestea au proprietatea de a păstra asemănarea figurilor infinit mici de pe elipsoid cu cele corespunzătoare din planul de proiecție. Proiecțiile conforma sunt preferate în practică deoarece unghiurile măsurate în teren se prelucrează direct în planul de proiecție și de asemenea unghiurile măsurate pe hărțile topografice pot fi aplicate direct pe teren în diverse lucrări de proiectare.

La momentul actual în Europa sunt utilizate următoarele proiecții cartografice

Proiecție stereografică oblică: Olanda, Polonia, România

Proiecția cilindrică conformă oblică: Ungaria, Elveția

Proiecție Gauss-Krüger: Bulgaria, Croația, Germania, Slovenia;

Proiecție transversală conformă Mercator: Albania, Austria, Bulgaria, Finlanda, Grecia, Irlanda, Italia, Lituania, Luxemburg, Irlanda de Nord, Marea Britanie, Norvegia, Polonia, Portugalia, România, Rusia, Suedia, Turcia, Ucraina ;

Proiecție Universală Transversală Mercator: Cipru, Danemarca, Gibraltar, Islanda, Italia, Malta, Norvegia, Portugalia, Spania, Turcia;

Proiecție conică conform: Lambert: Belgia, Estonia, Franța ;

Proiecție conică conformă oblică: Republica Cehă, Republica Slovacă ;

Proiecție Bonne: Portugalia

Pentru reprezentarea zonelor de mari dimensiuni (ex. : România) deformațiile în proiecția cartografică respectivă sunt destul de mari. În funcție de proiecția adoptată, care poate să aibă deformații pozitive dar și negative, se poate rezolva această problemă prin alegerea parametrilor ce definesc proiecția respectivă astfel încât valorile de semn contrar să se reducă într-o proporție ridicată.

Proiecții cartografice recomandate de uniunea Europeană

În momentul actual în Uniunea Europeană se utilizează cinci elipsoizi de referință diferiți și opt tipuri de proiecții cartografice.

În viitor se dorește introducerea unui singur sistem de proiecție și a unui singur sistem de stocare a datelor spațiale pentru întreg continental.

Astfel, se recomandă din partea Comisiei Europene a se utiliza următoarele tipuri de proiecții cartografice:

Proiecția azimutală echivalentă Lambert: pentru analizele statistice;

Proiecția conică conformă Lambert: pentru realizarea hărților la scări mai mici sau egale cu 1:500.000;

Proiecția conformă UTM: pentru întocmirea hărților la scări mai mari de 1:500.000.