Deartamentul de Teoria Mecanismelor și a Roboților [307533]

Universitatea POLITEHNICA din București

Facultatea de Ingineria și Managementul Sistemelor Tehnologice

Deartamentul de Teoria Mecanismelor și a Roboților

Studii universitare de Masterat

Programul de studii

Modelarea și Simularea Sistemelor Mecanice Mobile

MSSMM

RAPORT DE CERCETARE

SEMESTRUL I

Numere particulare în structuri biologice și în tehnică

2017 – 2018

Numere particulare în structuri biologice și în tehnică

Cuprins

Istoria numărului de aur 3

Descrierea matematică a numărului de aur 5

[anonimizat] a numărului de aur 11

Generalizarea numărului de aur în spațiul n-dimensional 14

Șirul lui Fibonacci 14

[anonimizat] 15

7. Natura, un iscusit constructor 19

8. Numărul de aur în artă 22

9. Savanții și numărul de aur 28

10. Câteva întrebări…. 30

11. Bibliografie 31

ISTORIA NUMĂRULUI DE AUR

Eminescu spunea despre … număr: „O singură mișcare există în univers. Viața individului nu este decât o fracțiune a acelei unități. Dar dacă într-o serie de necunoscute o fracțiune ne e cunoscută, atunci și restul de termeni se rezolvă. E evident dar că cel dintâi lucru al omenirii s-a [anonimizat], legile raportului fracțiunii către întreg au fost cele dintâi cercetate cu multă exactitate. Și fiindcă luând această fracțiune ca unitate s-a ajuns a [anonimizat] o putere divină.”

Ideea că universul e guvernat de numere a fascinat, [anonimizat], fizicieni,teologi sau filozofi..

[anonimizat], [anonimizat] a fi și a [anonimizat]. Pentru a [anonimizat]-o situație de o [anonimizat] o soluție: „ … să facă o scurtă pauză în zbuciumul zilnic pentru a redescoperi sensurile profunde ale Naturii, a [anonimizat].”

[anonimizat] s-a „inspirat” [anonimizat] o [anonimizat] a [anonimizat]. Implicațiile acestui mod de abordare se fac resimțite pornind de la definirea științei cogniției și până la restructurarea tehnologiei în sens fenomenologic (ortotehnologic).

[anonimizat]: „poate cea mai curioasă tendință manifestată în știința modernă este întoarcerea ei la Pitagorism”.

Se pare că omul a fost șocat de diversitatea celor văzute în jur și a [anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat]; scopul căutării nu se deosebește prea mult de cel al anticilor. Azi se caută într-o [anonimizat] a modelelor, [anonimizat] „umplut” cu „stringuri” și „străbătut de găuri de vierme”.

[anonimizat] o [anonimizat] (numit uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, sau Secțiunea de aur), notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau cu φ (phi minuscul), care se citesc "fi", este primul număr irațional descoperit și definit în istorie; reprezintă, în viziunea multora, o filosofie a naturii, a universului în general. Această proporție încearcă să găsească o legătură, o unitate în natură, să postuleze, printr-o legitate matematică, o teoremă unică a lumii.

Deși de-a lungul timpului s-au căutat numeroase proporții, numere iraționale sau complexe, nici unul nu a reușit să se impună în totalitate.

Nu trebuie neglijat efortul tuturor generațiilor anterioare de a ordona tot ce se întâmplă în jurul nostru sub un număr, chiar dacă legile fizicii enunțate în ultimii 60 de ani conduc spre idea hazardului total.

Numărul de aur arăta că în întreaga creație se păstrează această proporție, probabil de aici i s-a tras și numele de “formula fericirii”, demonstrând existența unei sfere de armonie și frumusețe în întregul univers.

Fără a elimina rolul întâmplării, studiile arată existența raportului de aur în toate domeniile, pornind de la astrofizică și până la nivel cuantic, de la formele anorganice la cele organice, în geometria orbitelor planetare, în evoluția cutiei craniene, a mutațiilor cromozomiale, etc.

S-a observat existența unor concordanțe în:

*aplicarea legii a doua a lui Kepler

*expansiunea unor nebuloase

*evaluarea semiaxelor orbitelor planetare

*aproximarea masei, a diametrului ecuatorial și a accelerației gravitaționale a unor planete și a sateliților acestora

*egătura dintre temperatura de fierbere și de congelare a unor elemente chimice (He–H, N–O)

*reacțiile halogenilor

*raportul capacității craniene la Australopitecus, Homo erectus și Homo sapiens și în raportul altor oase ale scheletului

*volumul și ritmul respirator, cardiac sau al undelor alfa

*apariția unor boli cum ar fi cancerul

*densitatea populației pe continente

*constatări psihologice (puseurile de violență socială)

*recorduri sportive

*domeniul muzicii, etc.

DESCRIEREA MATEMATICĂ A NUMĂRULUI DE AUR

Secțiunea de aur, un număr irațional, cu nesfârșit de multe zecimale, ce nu se repetă după vreo regulă, si care începe cu 1,618…., a fost și este un subiect mult tratat, dar mai puțin cunoscut.Raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său este cel mai faimos dintre numerele cunoscute în lume, valoarea sa fiind 3,14159.. Se notează cu cu Pși se reține ușor după rețeta „așa este util a scrie renumitul număr”

.

Aplicând raportul de aur în segmentarea acestei lungimi se obține

De-a lungul timpului s-a observat că minunatul aranjament al petalelor unui trandafir, faimoasa pictură a lui Salvador Dali- Cina cea de taină-, cochiliile separate ale moluștelor și înmulțirea iepurilor au în comun un număr, de fapt o progresie geometrică cunoscută din antichitate, pe care mai târziu Leonardo da Vinci a numit-o „numărul de aur/ raportul de aur/ secțiunea de aur”

Cu trei secole înainte de Hristos, fondatorul geometriei-Euclid l-a denumit pe Φ ca fiind simpla împărțire a unui segment de dreaptă în ceea ce el a numit "medie" și "extremă rație". Iată cuvintele lui: "Spunem că un segment de dreaptă a fost împărțit în medie și extremă rație atunci când segmentul întreg se raportează la segmentul mai mare precum se raportează segmentul cel mare la cel mai mic".

Secțiunea de aur a unui segment a+b este realizată atunci când raportul dintre a+b și a este egal cu raportul dintre a și b. În acest caz, a este numit "extremă rație", iar b este numit "medie".

Care conduce la:

{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0.}

Această ecuație algebrică de gradul al doilea are două soluții (rădăcini):

{\displaystyle \varphi _{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,…}

și

{\displaystyle \varphi _{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\approx -0,61803\,39887\,…}

Deoarece  este o fracție cu numitor și numărător pozitiv,  este întotdeauna pozitiv:

În secolul V î.Hr. matematicianul grec Hippasus din Metapontum a descoperit că Φ este un număr cu un număr infinit de zecimale, care nu prezintă nici o regularitate în repetarea lor (adică este neperiodic, și anume irațional). El a descoperit că Φ nu poate fi exprimat ca un raport între două numere întregi (de ex. 1/2, 3/4, 76/98, … etc.).

Valoarea exactă a lui Φ până la cea de-a două mia zecimală apare în cartea "Secțiunea de Aur:Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr" de Mario Livio:

1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 – cea de-a cincizecea zecimală

28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 – cea de-a o suta zecimală

84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766

72635 44333 89086 59593 95829 05638 32266 13199 28290 26788

06752 08766 89250 17116 96207 03222 10432 16269 54862 62963 – cea de-a două sute cincizecea zecimală

13614 43814 97587 01220 34080 58879 54454 74924 61856 95364

86444 92410 44320 77134 49470 49565 84678 85098 74339 44221

25448 77066 47809 15884 60749 98871 24007 65217 05751 79788

34166 25624 94075 89069 70400 02812 10427 62177 11177 78053

15317 14101 17046 66599 14669 79873 17613 56006 70874 80710 – cea de-a cinci suta zecimală

13179 52368 94275 21948 43530 56783 00228 78569 97829 77834

78458 78228 91109 76250 03026 96156 17002 50464 33824 37764

86102 83831 26833 03724 29267 52631 16533 92473 16711 12115

88186 38513 31620 38400 52221 65791 28667 52946 54906 81131

71599 34323 59734 94985 09040 94762 13222 98101 72610 70596

11645 62990 98162 90555 20852 47903 52406 02017 27997 47175

34277 75927 78625 61943 20827 50513 12181 56285 51222 48093

94712 34145 17022 37358 05772 78616 00868 83829 52304 59264

78780 17889 92199 02707 76903 89532 19681 98615 14378 03149

97411 06926 08867 42962 26757 56052 31727 77520 35361 39362 – cea de-a o mia zecimală

10767 38937 64556 06060 59216 58946 67595 51900 40055 59089

50229 53094 23124 82355 21221 24154 44006 47034 05657 34797

66397 23949 49946 58457 88730 39623 09037 50339 93856 21024

23690 25138 68041 45779 95698 12244 57471 78034 17312 64532

20416 39723 21340 44449 48730 23154 17676 89375 21030 68737

88034 41700 93954 40962 79558 98768 72320 95124 26893 55730

97045 09595 68440 17555 19881 92180 20640 52905 51893 49475

92600 73485 22821 01088 19464 45442 22318 89131 92946 89622

00230 14437 70269 92300 78030 85261 18075 45192 88770 50210

96842 49362 71359 25187 60777 88466 58361 50238 91349 33331

22310 53392 32136 24319 26372 89106 70503 39928 22652 63556

20902 97986 42472 75977 25655 08615 48754 35748 26471 81414

51270 00602 38901 62077 73224 49943 53088 99909 50168 03281

12194 32048 19643 87675 86331 47985 71911 39781 53978 07476

15077 22117 50826 94586 39320 45652 09896 98555 67814 10696

83728 84058 74610 33781 05444 39094 36835 83581 38113 11689

93855 57697 54841 49144 53415 09129 54070 05019 47754 86163

07542 26417 29394 68036 73198 05861 83391 83285 99130 39607

20144 55950 44977 92120 76124 78564 59161 60837 05949 87860

06970 18940 98864 00764 43617 09334 17270 91914 33650 13715 – cea de-a două mia zecimală

O proprietate a raportului de aur este incomensurabilitatea segmentelor aflate în tăietura de aur. Prin scăderea din primul segment pe cel de-al doilea segment, restul obținut se află și el în raport de aur. Astfel rezultă un șir de segmente ce se scad unele din altele la nesfârșit. Euclid afirmă despre această proprietate în Cartea a X-a a Elementelor: “ Se numesc mărimi comensurabile acelea care se pot măsura cu aceeași măsură, iar incomensurabile cele pentru care nu se poate afla o măsură comună”.

Proporția apare ca o consonanță între părți și întreg, consonanță ce conferă ansamblului armonie (stabilitate, funcționalitate și fiabilitate ridicată?). Dintre proporțiile analizate de antici, proporția economică rămâne și azi în atenția oamenilor de știință și artă, căci determină: Secțiunea și Numărul de AUR.

proporția disjunctă:

proporția continuă:

proporția economică:

Notândrezultă

cu soluțiile:

Numărul de aur:

Proprietăți:

„Dar nu este posibil ca doi termeni să formeze singuri o compoziție frumoasă fără un al treilea. Căci trebuie să se afle între ei o legătură care să-i apropie pe amândoi. Ori, dintre toate legăturile, cea mai frumoasă este aceea care își dă sieși și termenilor pe care îi leagă, unitatea cea mai completă. Și aceasta este proporția care o realizează, firește în modul cel mai frumos”.

Platon – Timeus

3. VOLUMUL DE AUR – EXTINDERE ÎN SPAȚIUL TRIDIMENSIONAL A NUMĂRULUI DE AUR

Anticii s-au oprit la o materializare a proporției continue doar pentru spațiul bidimensional.Obiectele reale sunt tridimensionale și ar fi poate mai nimerit ca ele să fi constituit o primă sursă de inspirație pentru spiritul cercetător așa că se pune întrebarea: există oare și un număr de aur atașat spațiului 3D?

Se pune întrebarea: dacă numărul poate fi utilizat la construcția unui dreptunghi de excepție, numit dreptunghiul de aur ce are atâtea proprietăți matematice nebănuite, atunci nu există oare și un paralelipiped de aur?

Știind că la facultate se lucrează, din primul an de studiu, într-un spațiu matematic n-dimensional, atunci nu există în fiecare spațiu câte un volum de aur descris de un număr de aur specific?Și dacă da, atunci care este acea serie de numere de aur?

Fiecare epocă este limitată de tehnologia de care dispune. Marii învățați ai vremii nu știau să rezolve probleme de algebră banale azi pentru un elev din clasa a VIII-a. Ei rezolvau problemele prin metode grafice, utilizând pentru aceasta doar rigla și compasul. Aceste unelte și metodologia de construcție geometrică stăpânită cu măiestrie, nu erau suficiente însă pentru a aborda complexitatea ecuațiilor de gradul 3, specifice formalizării problemelor în spațiu și cu atât mai puțin a generalizării conceptelor pentru un spațiu geometric abstract n-dimenional.

O proporție continuă, definită prin trei numere a, b, c, poate sta la baza construcției unui corp în spațiu (un paralelipiped).

Ideea este materializată de Hippocrate în rezolvarea problemei privind dublarea volumului unui cub dat:

Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,… sunt denumite puncte-diagonale și se află pe o spirală logaritmică conținută în planul Q

Distanțele 1-Ag , 11-Ag , 14-Ag etc., formează o progresie geometrică cu rația 1/ .

4.GENERALIZAREA NUMĂRULUI DE AUR
ÎN SPAȚIUL N-DIMENSIONAL

Construcția unui corp de aur în spațiul n-dimensional, implică utilizarea proporției continue drept relație de legătură între laturile succesive ale acestuia. Considerând un paralelipiped de aur n-dimensional, divizarea sa conduce, la limită, la identificarea unui punct de convergență Ag. Exprimarea coordonatelor centrului de convergență în raport cu baza n-dimensională în care s-a construit corpul, implică utilizarea unui invariant notat:

unde verifică ecuația caracteristică:

Pe măsură ce dimensiunea spațiului de construcție a structurii de aur crește, valoarea numărului de aur corespunzător scade de la 1,618034… spre 1.

5.ȘIRUL LUI FIBONACCI

Șirul lui Fibonacci este o secvență de numere în care fiecare număr se obține din suma precedentelor două din șir. Astfel, primele zece numere ale șirului lui Fibonacci sunt: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Șirul Fibonacci în matematică, se referă la explicațiile metafizice ale codurilor din universul nostru. Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fapt, sistemul de numărare al naturii, un mod de măsurare al Divinității.

În același timp numerele Fibonacci apar în numeroase probleme de știință, pornind de la fizica clasică, chimie, matematică, până la cele mai moderne domenii ale cunoașterii (sinergetica, teoria fractalilor, teoria haosului, în calculatoarele neuronale și automatele celulare), sunt utilizate în generatorii pseudo aleatori de numere, precum și în diverse procedee și metode de optimizare.

Ele se regăsesc în analiza algoritmului lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun a două numere întregi, în rezolvarea problemei lui Hilbert, în teorema lui Zeckendorf, etc. În muzică, numerele Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea acordajelor.

Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, percuție și celestă, a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând numerele Fibonacci.

Viitorul și nevoia de cunoaștere și înțelegere a oamenilor s-ar putea să confere acestor numere unice, noi aplicații și interpretări, ajungând poate chiar și pe terenul incert al fenomenelor paranormale.

ȘIRUL LUI FIBONACCI ÎN TEHNICĂ- OPTIMIZĂRI

Șirul lui Fibonacci se utilizează și în tehnică. Un exemplu ar fi folosirea lui în metode de optimizare în cazul funcțiilor obiectiv neliniare, dependente de o variabilă.

Metoda Fibonacci, pentru determinarea punctului de minim, constă în folosirea șirului Fibonacci la alegerea unor subintervale ale intervalului inițial.

Fie o funcție care are un punct de minim local în intervalul (v. Fig. 2.2.3). În interiorul acestui interval se consideră două puncte și . Pentru a reduce intervalul de căutare a punctului de minim, se compară valorile funcției în punctele și și se alege intervalul dacă sau intervalul dacă . Localizarea punctelor și , în interiorul intervalului , se face folosind șirul numerelor Fibonacci. Pentru început se consideră poziția lui cunoscută. Poziția punctului se alege astfel încât mărimea , a intervalului , să fie egală cu mărimea a intervalului , adică:

sau

.

Algoritmul cel mai eficient, în sensul evaluării de un număr cât mai mic de ori a funcției , este un algoritm în care se folosește șirul numerelor lui Fibonacci. Șirul acestor numere se determină cu relația de recurență:

,

unde: .

Divizarea intervalului în metoda Fibonacci

Folosind șirul numerelor lui Fibonacci, se determină o secvență de intervale care satisfac relația:

.

Mărimea intervalului este de forma:

,

unde reprezintă cel mai mic număr Fibonacci pentru care se realizează intervalul , astfel încât să fie îndeplinită condiția:

,

unde este o eroare inițială impusă.

Ca urmare a celor expuse mai sus, determinarea punctelor și , interioare intervalului , se face cu ajutorul relațiilor:

Dacă în relațiile de mai sus se înlocuiește subintervalul , se obțin relațiile:

unde .

Corespunzător algoritmului de folosire a șirului FIBONACCI, s-a întocmit subprogramul OPTIMFIB de tip PROCEDURE, a cărui linie de definiție este:

PROCEDURE OPTIMFIB(FCT:FUNCT;A,B,EPS:REAL;VAR XFMIN,FMIN:REAL);

Parametrii formali ai procedurii OPTIMFIB au următoarele semnificații:

parametrii de intrare:

FCT – numele unui subprogram de tip FUNCTION construit de utilizator, în care se definește funcția al cărei minim trebuie căutat;

A, B – limitele inferioară și superioară ale intervalului inițial, în care se caută minimul funcției;

EPS= – mărime cu ajutorul căreia se testează subintervalul ();

parametrii de ieșire:

XFMIN – valoarea abscisei pentru care funcția are valoare minimă;

FMIN – valoarea minimă a funcției.

Șirul numerelor Fibonacci se determină cu ajutorul procedurii FIBONACC, a cărei linie de definiție este:

PROCEDURE FIBONACC(A,B,EPS:REAL;VAR ITER:INTEGER;VAR

FIB:VECTOR1);

Parametrii formali ai procedurii FIBONACC au următoarele semnificații:

parametrii de intrare:

A, B – limitele inferioară și superioară ale intervalului inițial, în care se cauă minimul funcției;

EPS = ε – mărime cu ajutorul căreia se testează subintervalul ;

parametrii de ieșire:

ITER – numărul valorilor din șirul Fibonacci;

FIB – tablou de dimensiune ITER, care conține valorile numerelor Fibonacci necesare procedurii OPTIMFIB.

Exemplu de calcul

Fie mecanismul bielă-manivelă din figura de mai jos. Dimensiunile elementelor 1 și 2 sunt: m, m. Excentricitatea mecanismului este m, iar pistonul 3 se deplasează de-a lungul axei Dx. Elementul 1 se rotește în jurul punctului A cu o viteză unghiulară rad/s.

Se cere să se determine poziția mecanismului pentru care punctul C are viteză maximă.

Schema cinematică a mecanismului bielă-manivelă

Rezolvare

Poziția mecanismului este precizată prin parametrul independent . Pentru scrierea ecuațiilor de poziții se folosește metoda contururilor [Chr. Pelecudi]. Pe conturul independent se scrie ecuația vectorială

,

care proiectată pe axele sistemului de coordonate conduce la două ecuații scalare

Prin eliminarea unghiului (se scoate din a doua relație și se introduce în prima ) se obține parametrul dependent S, de forma:

.

Expresia vitezei punctului C se obține prin derivarea în raport cu timpul a parametrului S, și anume:

,

unde.

NATURA, UN ISCUSIT CONSTRUCTOR

Structurile vii create de natură cu multă ingeniozitate sunt adevărate modele de inginerie, cu o funcționare ultraperfecționată.

Pe măsură ce omul a cunoscut mai bine relațiile anatomo-fiziologice dintre diferite organe, el a încercat să adopte unele structuri în lucrările inginerești direct după modelele oferite de natură.

De exemplu, peștii au fost model pentru forma hidrodinamică a diferitelor ambarcațiuni (submaribe, vapoare, bărci), iar la construirea avioanelor modele au fost forma corpului insectelor și păsărilor zburătoare.

Periscopul submarinelor a avut ca model ochii melcilor, cu care poate fi investigat un câmp vizual de formă aproape sferică

Inspirația omului în construirea unor roboți multifuncționali, unii utilizați în spațiul extraterestru, a venit din forma corpului unor artropode.

Unele structuri tubulare, cum sunt cele ale oaselor si paiului de grâu, au dus la construirea stâlpilor din beton armat, mai flexibili și mai rezistenți.

Construcțiile cu sute de etaje au copiat, pentru scheletul fundației, modelul sistemului radicular al copacilor si tot în construcții “ s-a furat” de la albine ingeniozitatea construirii fagurilor în scopul economisirii la maximul a materialelor de construcție.

O “licență” unică pentru filtrele de polarizare în fotocolor este inspirată din ochiul compus al insectelor.

Structura rețelelor neuronale a “pozat” pentru rețelele de automatizare electronice și cibernetice.

Îmbunătățirea contrastului imaginilor în televiziune a fost permisă în urma studierii ochiului la cerb.

Aparatul pentru prognosticarea furtunilor cu zece ore înainte de declanșarea lor a fost realizat luând ca model „organul auditiv”al meduzei.

Exemplele pot continua aproape la nesfârșit. Alte modele din natură își așteaptă descifrarea, cu siguranță. Un exemplu ar fi eliminarea fazelor intermediare pentru obținerea energiei, conversia directă a energiei luminoase în lucru mecanic sau curent electric etc.

Disciplina de graniță dintre biologie, chimie, fizică și tehnică, bionica, își propune să creeze noi modele tehnice și tehnologice după modelele oferite de natură, care sunt superioare față de cele oferite de mintea și mâna omului.

Apărând acolo unde te aștepți mai puțin- așa se explică forța de atracție a „secțiunii de aur”! Un exemplu concludent este modul în care se suprapun petalele unui trandafir peste predecesoarele lor, după o regulă bazată pe „secțiunea de aur”

Se spune deseori că aranjamentele florale asemănătoare florii soarelui au 55 de spirale într’o direcție și 89 în cealaltă (55 și 89 suntnumere adiacente din șirul Fibonacci), lucru valabil pentru inflorescențele din stratul exterior și care sunt cele mai vizibile.

De exemplu crinii și irișii au 3 petale, pintenul cocoșului are 5, nemțișorii au 8 petale, gălbenelele au 13, ochiul boului poate avea 21, în timp ce margaretele pot avea 34, 55 sau chiar 89 de petale. Dacă se privește o plantă de sus în jos se observă că frunzele sale sunt astfel dispuse încât cele de deasupra nu le obturează pe cele de dedesubt. În acest fel fiecare frunză primește suficientă lumină solară și permite apei de ploaie să alunece către tulpină și să fie dirijată spre rădăcină – o altă armonie a naturii înconcordanță cu secvența lui Fibonacci.

Trecând la regnul animal putem observa structurile spiralate ale cochiliilor de moluște, melcul și nautilus, cohlea urechii, ce au inspirat unele construcții arhitecturale celebre, ca de exemplu muzeul Guggenheim din New York unde vizitatorii coboară o rampă în spiral avansând, așa cum molusca își construiește cămăruțele sale în spirale.

NUMĂRUL DE AUR ÎN ARTĂ

Ce e bun, bineînțeles este frumos,

iar frumusețea nu duce lipsă

niciodată de proporții.”

Luca Pacioli

Folosit în artă, raportul de aur este cel mai misterios dintre toate strategiile compoziționale.

În strânsă legătură cu secvența Fibonacci (întâlnită fie în lecțiile de matematică școlară, fie în romanul lui Dan Brown, Codul lui Da Vinci), Raportul de Aur descrie relația perfect simetrică dintre două proporții.

Aproximativ egal cu un raport 1: 1.61, Raportul de Aur poate fi ilustrat folosind un dreptunghi de aur: un dreptunghi mare format dintr-un pătrat (cu laturi egale în lungime până la cea mai mică lungime a dreptunghiului) și un dreptunghi mai mic.

Dacă scoatem acest pătrat din dreptunghi, rămânem cu alt dreptunghi de Aur mai mic, acest lucru putând continua infinit, cași numerele Fibonacci – care funcționează în sens invers. (Adăugarea unui pătrat egal cu lungimea laturii celei mai lungi a dreptunghiului te apropie din ce în ce mai mult de un dreptunghi de aur și de raportul de aur).

Dreptunghiul de Aur este o formă geometrică unică și foarte importantă în matematică. Apare în natură, muzică, este folosită și în artă și arhitectură.

Caracteristica specială a Dreptunghiului de Aur este ca raportul dintre lungime și lățime este egal cu aproximativ 1,618 și numit Raportul de Aur.

Dreptunghiul de Aur este considerat a fi una dintre cele mai frumoase forme geometrice, fiind motivul pentru care mulți artiști l-au folosit în operele lor, cei mai faimoși fiind Leonardo da Vinci și Piet Mondrian.

Marele pictor italian renascentist, dar si om de știință și inventator al secolului XV, Leonardo da Vinci, este cel care a examinat cel mai minuțios proporțiile corpului uman și a găsit multe forme ale raportului de aur și a dreptunghiului de aur.

Capodoperă a artei- Mona Lisa- este un exemplu foarte bun pentru a vedea cum a folosit da Vinci raportul de aur în artă.

Desenând un dreptunghi în jurul chipului Mona Lisei, acel dreptunghi se va dovedi a fi de aur. Dimensiunile picturii în sine formează un dreptunghi de aur. Proporțiile corpului Mona Lisei dezvăluie mai multe raporturi de aur; de exemplu, un dreptunghiul de aur se poate desena de la gât pâna deasupra mâinilor.

Ca și da Vinci, artistul olandez modern Piet Mondrian( 1872- 1944) credea că matematica și arta sunt apropiat conectate, el lansând ideea că fiecare formă e posibil de creat cu formele geometrice de bază la fel cum orice culoare poate fi creată prin diferite combinații de roșu, albastru și galben.

Chiar și în operele de artă create de om se regășește „secțiunea de aur”. Salvador Dali în “ Sacramentul Cinei cea de Taină” și-a înrămat pictura într-un dreptunghi de aur. Urmând tehnica lui da Vinci, celebrul pictor a poziționat masa exact la secțiunea de aur a înălțimii picturii sale, a poziționat cei doi discipoli lângă partea lui Isus, la secțiunile de aur a lățimii compoziției, iar ferestrele din fundal sunt formate din 12 pentagoane care exprimă relațiile phi în proporțiile lor.

Secțiunea de aur a fost folosită extensiv de Leonardo da Vinci. În tabloul lui celebru dimensiunile cheie ale camerei și ale mesei se bazau pe secțiunea de aur , care era cunoscută în perioada renascentistă ca “proporția divină”

Se spune că Leonardo Da Vinci folosea Proporția de Aur pentru a păstra proporțiile figurilor umane din picturile sale – în acest fel proporția de aur a ajuns în paginile nuvelei lui Dan Brown- reprezentativ fiind Omul Vitruvian ”Omul în Acțiune”. Putem desena multe linii de dreptunghiuri în această figură. Apoi, sunt trei seturi distincte de Dreptunghiuri de Aur: fiecare pentru zona capului, corpului și picioarelor.

El susținea misterul acestei proporții, afirmând că forma armonioasă a corpului uman se explică prin existența acestui raport de aur între diferite părți ale sale, de exemplu buricul împarte lungimea corpului omenesc. După această regulă sunt construite toate statuile antice.

Georges Pierre Seurat-pictor francez impresionist- spunea că „a atacat fiecare pânză cu secțiunea de aur” ,: orizontul cade exact la secțiunea de aur din înălțimea tabloului, copacii și oamenii sunt plasați la secțiunile de aur ale secțiunilor mai mici din tablou- asa cum se poate observa în figura alăturată:

În creația sa “ Scările de aur”, secțiunile de aur apar în sunetul trompetei purtată de a patra femeie din partea de sus dar și în scări. Lățimea ușei interioare aflate în spatele scărilor este o secțiune de aur a lățimii părții de sus a deschiderii ferestrei de sus.

Grecii antici foloseau de asemenea raportul de aur atunci când construiau Partenonul.

Vechea arhitectură greacă a folosit Raportul de Aur pentru a determina relațiile dimensionale plăcute între lățimea unei clădiri și înălțimea acesteia, mărimea porțiului și chiar poziția coloanelor care susțin structura. Rezultatul final este o clădire care se simte în întregime proporțională. Mișcarea de arhitectură neoclasică a reluat și aceste principii.

Ca desenarea unei fețe să aibă realism și frumusețe, mulți profesori de artă susțin ca ea poate fi împărțită în jumătăți și treimi folosind raportul de aur, rezultând astfel diferențe subtile care sunt create în lungimea nasului și a proporției feței in general. Diferențele matematice între cele două abordări sunt minore, dar destul de puternice ca să facă o diferență

Așa se explică de ce portretele făcute “ca la carte” tind să aibă fețe lungi .

SALVADOR DALI ȘI MATILA GHYKA

Colaborarea între Salvador Dali și Matila Ghyka este puțin cunoscută în România. Matila Ghyka (1881-1965) a devenit celebru în 1931, când a publicat cartea "Le nombre d'or" (Numărul de aur) , care a avut o mare influență pe plan internațional. Biblioteca personală a lui Dali include două cărți de Matila Ghyka: "The Geometry of Art and Life" (Geometria artei și vieții) și "Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts" (Estetica proporțiilor în natură și în arte), ambele pline de note ale lui Dali.
Dali l-a întâlnit pe Matila Ghyka în 1947, în Los Angeles, unde Matila Ghyka preda estetica la Universitatea din California de Sud și o colaborare fructuoasă s-a stabilit între ei. În acel moment, Dali lucra la „Leda Atomica” și redacta cartea 50 Secrets of Magic Craftsmanship (50 de secrete ale măiestriei magice) .

Matila Ghyka este cel care calculează, pentru „Leda Atomica”, proporțiile pentagonului în care femeia reprezentată în pictură (Gala, soția lui Dali) este înscrisă. „Madonna de la Port-Lligat”, „Corpus Hypercubus” și surprinzătoarea pânză „Sacramentul Cinei cea de Taină” (1955) sunt, de asemenea, realizate pe baza pe considerentelor estetice elaborate de Ghyka.

David Lomas subliniază, în pătrunzătorul său studiu “’Painting is dead – long live painting’: Notes on Dali and Leonardo” (“’Pictura este moartă – trăiască pictura’: Note privind Dali și Leonardo”: „Realizarea Cinei cea de Taină este o lecție admirabilă în divina proportione. Sutanele preoților și capetele plecate în rugăciune formează o serie repetată de pentagoane, iar dimensiunile generale ale pânzei sunt cele ale unui dreptunghi al secțiunii de aur. Partea superioară a lucrării este dominată, de o versiune gigantică tridimensională al unui desen al lui Leonardo pentru Pacioli (într-o abatere îndrăzneață față de original), a cărei armatură scheletică se deschide, ca o fereastră, spre un peisaj format de marea și cerul de la Port Lligat. Figura geometrică se profilează pe această scenă ca o stranie halucinație a unui dodecaedru vid, despre care Dalí l-a chestionat pe Matila Ghyka într-un schimb de scrisori din 1947 …”

Matila Ghyka l-a ajutat pe Dali să înțeleagă mai bine tehnica picturală a lui Leonardo. Cartea lui Salvador Dalí "50 Secrets of Magic Craftsmanship", scrisă în 1948, este plină de referiri la Matila Ghyka și este foarte instructivă pentru a înțelege adânca seriozitate a lui Dali privind matematica și geometria (a vedea fotografia alăturată – Referință la secțiunea de aur și la prințul Matila Ghyka în Salvador Dalí, "50 Secrets of Magic Craftsmanship", Dial Press, New York, 1948, p. 178).

Basarab Nicolescu- cu Mayra Ledesma-Arront–https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10205914953646635&set=a.3146230648363.144007.1042934081&type=3

"Un alt tablou bazat pe teoriile lui Matila Ghyka este Madona de la Port Lligat, realizat și el în 1949. Tabloul respectă o construcție geometrică precisă, figura Madonei fiind încadrată într-un triunghi așezat peste dreptunghiul format de tabernacul, proporțiile formelor geometrice respectând teoriile estetice ale lui Ghyka. Liniile diagonale se intersectează pe un ochi al pruncului Isus care este situat în centrul tabloului.[54]
În 1955, Dalí a pictat Cina cea de Taină, o evocare a tabloului lui Leonardo Da Vinci având aceeași temă. Proporțiile generale ale tabloului respectă regulile „secțiunii de aur” așa cum au fost definite de Matila Ghyka. Isus Christos nu este așezat la masă cu ucenicii, ci este reprezentat în partea superioară a tabloului, deasupra unui dodecaedru suprapus peste o imagine a golfului din Port Lligat. Tabloul cuprinde și alte elemente ale secțiunii de aur: grupul ucenicilor în rugăciune formează o linie de pentagoane regulate.[55]"https://youtu.be/f7UCV4yIXBM

Brancusi a utilizat numarul de aur mult mai des decat pare la prima vedere si era perfect constient de valoarea estetica a utilizarii acestuia. Tainele gandirii lui Brancusi pot fi ceva mai usor descifrate cunoscute fiind cartile pe care le tinea-n biblioteca….Altminteri, coperta de carte prezentata mai sus e exteriorul unui volum coordonat de Solomon Marcus.

Desigur, ca,probabil, nu ajungea el la perfectiunea si esenta subiectelor din opera sa fara cunoasca tainele proportiilor clasice. Cel putin la Mademoiselle Pogany -un subiect preferat- are numeroase studii in acest sens- una dintre variante fiind redate mai jos:

Sunt prea multe exemple de acest fel pentru a atribui instinctului ceea ce se explica simplu prin cunoastere si actiune constienta.[din "Dictionar de matematici generale",V.Bobancu,Ed.enciclopedica romana,1974]. Și pentru că Brâncuși a studiat cu multă luare-aminte articolele 53-56 din "Timaios" am concluzionat căși Masa Tăcerii are o explicație perfect logică (Notez căîn cazul Coloanei din Tg.Jiu nu-i valabil unghiul de 36 grade,dar există o variantă din lemn unde artistul-filosof s-a jucat cu ideea)

"Pe de altă parte, numărul de aur a fost utilizat și în construcția de instrumente muzicale. Astfel, în 1969, lutierul Johann Goldfuß a construit o vioară ale cărei dimensiuni respectau proporția de aur. Aceste proporții elimină anumite efecte de rezonanță și asigură o uniformitate mai pronunțate a intensității sunetelor. Proporții legate de numărul de aur și de teoriile lui Ghyka se regăsesc în marea majoritate a instrumentelor cu coarde [60]."https://youtu.be/DW63yeu2fWA

SAVANȚII ȘI NUMĂRUL DE AUR

Unii savanți susțin că egiptenii au aplicat raportul de aur atunci când au construit marile piramide, încă din anul 3000 î.Hr. S-a scris enorm despre secretul piramidelor, observându-se ca axul culoarului este centrat pe steaua polară, iar raportul dintre apotema și baza triunghiurilor este 1,618. s-a scris enorm.

Distanța Pământ-Soare (150 milioane Km) poate fi exprimată calculată înmulțind înălțimea piramidei cu un miliard. Perimetrul bazei împărțit la înălțime da ”2 Pi”, dublul lui 3,14, ceea ce s-a putut verifica abia dupa 1670 de Leibnitz.

În 300 î.H. Euclid a descris secțiunea de aur în scrierea elementelor lui Euclid , iar înainte de aceasta, în jurul anului 500 î.Hr., Pitagora a susținut că raportul de aur este baza proporțiilor figurinei umane.

Marele nostru matematician Gheorghe Țițeica,(1873 – 1939) spunea, despre secțiunea de aur, că strămoșii noștri cei mai îndepărtați “aveau în instinct simțul proporției și cunoșteau, fără să fi învățat vreodată, proprietățile figurilor asemenea”. Segmentele ale căror lungimi sunt în raportul de aur stârnesc instinctiv sentimentul de armonie.

Exemplul cel mai cunoscut, și plastic totodată, este linia care desparte marea de cer. Această linie nu e niciodată așezată la mijloc, ci în așa fel încât grosimea celor două benzi să fie una față de alta în raportul secțiunii de aur.

Acest exemplu îl alege și Timerding. El precizează faptul că ochiul uman compară grosimea benzii mai înguste cu a celei mai late, taie o măsură din banda lată egală cu grosimea celei înguste și atunci obține o bandă care satisface această proporție.

De aici apare impresia de repaus, de constanță, de siguranță, într-un ritm continuat într-un mod nedefinit. Secțiunea de aur se im-pune ori de câte ori două părți consecutive care fac parte, printr-o nouă subdiviziune, dintr-o progresie geometrică, se reunesc formând astfel triplul efect al echipartiției, al succesiunii și al proporției continue. Folosirea secțiunii de aur nu este decât un caz particular al unei reguli generale, a aceleia de revenire la aceeași proporție, în detaliile unui ansamblu.

Savantul român Henri Coandă a ”ascuns” numărul de aur 1,61803 în proiectul avionului cu reacție. Specialiștii Asociației Henri Coandă, care aveau sarcina să preleveze cote de pe imaginile primului avion cu reacție fotografiat la Salonul de Aeronautica de la Paris, din 1910, au observat că, la construcția formei profilului de aripă (secțiunea transversală) au fost folosite de Coandă mai multe forme eliptice. Nu mică le-a fost mirarea, când au constatat ca raportul dintre raza mare și raza mica a elipsei este chiar… Numărul de Aur.

10.CÂTEVA ÎNTREBĂRI….

Există o unică proporție ce stă la baza a tot ce este în natură sau fiecare lucru are „proporția” sa?

Această proporție, dacă există, este Numărul de aur despre care se vorbește?

Faptul că trunchiem acest număr rațional la primele lui zecimale are vreo influență asupra proprietăților „magice” ale valorii?

Are vreo influență asupra metabolismului ființelor vii sau este doar o chestiune de estetică și eficacitate acest Număr de aur?

Suferim pentru faptul că nu cunoaștem și nu suntem în permanență înconjurați de astfel de proporții?

Dorința noastră de a pune ordine în toate nu este cumva cea care a generat această idee și se încăpățânează să o promoveze?

Bibliografie

Biologie- manual pentru clasa a 9 a – Ioana Ariniș, Aurora Mihail, Ștefan Viorel Costache

https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur

A Guide to the Golden Ratio (AKA Golden Section or Golden Mean) for Artists

http://www.creativebloq.com/design/designers-guide-golden-ratio-12121546/2

‎Cela Udrea‎ în Comunitatea profesorilor de matematică din România

6 Noiembrie 2017 •

https://graficvorbind.wordpress.com/category/elemente-de-grafica/raportul-de-aur/

https://www.youtube.com/watch?v=bpZndlBWbug&feature=youtu.be- Matematician Academician Prof. Univ. Dr. Alex Radulescu, Decan la Universitatea din Bucuresti.

http://www.academia.edu/4078898/Arte_e_Matematica

https://www.google.ro/search?q=%22Din+istoria+catorva+numere+de+seama%22%2Cde+Florica+T.+Campan+%2C&oq=%22Din+istoria+catorva+numere+de+seama%22%2Cde+Florica+T.+Campan+%2C&aqs=chrome..69i57&sourceid=chrome&ie=UTF-8

https://www.google.ro/search?q=Proportia+divina%22.&oq=Proportia+divina%22.&aqs=chrome..69i57&sourceid=chrome&ie=UTF-8

https://www.google.ro/search?q=Matila+Ghyka+y+el+numero+de+oro&oq=Matila+Ghyka+y+el+numero+de+oro&aqs=chrome..69i57.49265866j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Mesajul real din pictura ,,Cina cea de taină” a lui da Vinci, decriptat după sute de ani. Cine era Iisus?

Victor Moise- Tehnici de optimizare

CURIOZITĂȚI DESPRE NUMĂRUL DE AUR

Numărul de aur sau secțiunea divină este un număr foarte cunoscut în artă, avându-și originile

fundamentale în natură, astfel încât, orice element din natură este proporțional cu Phi. Dacă

înlocuim literele PHI cu numerele corespunzătoare, obținem 781, a cărei sumă totală se reduce la 7.

Adunând și cifrele 1618 vedem că ne dă tot 7, care este considerat a fi cel mai frumos număr dinunivers, însemnând numărul perfecțiunii, numărul lui Dumnezeu.Sunt șapte zile în săptămâna, șapte note muzicale, șapte minuni ale lumii, șapte centri energetici(chakre), șapte culori ale curcubeului. Numărul 7 apare de 77 de ori în Vechiul Testamentși este cheia către Noul Testament, care se referă la cele șapte peceți, șapte îngeri, șapte biserici, șapte trâmbițe, șapte semne, șapte chivoturi

MODALITĂȚI DEREDARE A NUMĂRULUI DE AUR

Una dintre cele mai folosite metode pentru evidențierea atât artistică cât și științifică a proporției de aur au fost fractalii-figură geometricăfragmentată sau frântă care poate fidivizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului. Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în1975 și este derivat din latinescul fractus,însemnând "spart" sau "fracturat".

Fractalii sunt de obicei considerați ca fiind infinit complecși, părând identici la orice nivel de magnificare. Fulgii de zăpadă, lanțurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă și norii sunt câteva exemple de obiecte naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel .Linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplinește celelalte caracteristici- contraexemplu că , nu toate obiectele autosimilare sunt fractali.

FRACTALII ÎN ȘTIINȚĂ

De-a lungul timpului,frumoasele modele haotice au fost descoperite de aproape toate disciplinele științifice.De la banala funcție cosinus până la metoda lui Newton- fractalii răsăreau din fiecareecuație sau procedură binecunoscută.

La începutul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alăturat rândurilor mereu crescânde de"fractalieri", dezvoltând o metodă unică, nouă, de desenare a fractalilor, intitulată "Jocul Haosului". Orice imagine din lume poate fi reprezentată cu ajutorul unei binecunoscute categorii de fractali- au demonstrat în 1985, Barsley și John Elton . Cu ajutorul unei tehnici se creau mulți fractali, altă tehnică pornea automatecelulare și o alta simula înregistrările grafice ale cutremurelor, iar o tehnică diferită era necesară pentru a realiza minunatele vârtejuri și focalizări. Ce doi au prevăzut metoda unică și simplă de realizare a aproape tuturor imaginilor autoreflective, incluzând și toate imaginile despre care nimeni nu se gândise că ar fi auto-reflective.

Fizicienii, găseau tulburătoare opere de artă apărând pe imprimantele lor, trasând grafic starea particulelor . "Boli dinamice",care apar când ritmurile fractale devin desincronizate- au fost diagnosticate de biologi și psihologi. Valuri fractale care străbat scoarța terestră au fost descoperite de seismologi. Economiștii, chimiștii, hidrologii și meteorologii- aproape toate ramurile inginerești se întâlneau cu forme care erau mult mai frumoase decât previzibile.

Michel Hanon , astronomla Observatorul din Nisa,în Franța, la începutul anilor 1960a inventatunul dintre primii și cei mai faimoși fractali matematici, observând o comportare tulburătoare într-un simplu model al stelelor care orbitează într-o galaxie.

Câteva dintre orbite erau line și stabile, în timp ce altele păreau aproape aleatoare. El și colegii lui, la început, au ignorat pur și simplu orbitele anormale presupunînd că ele apar datorită unorinexplicabile erori de calcul. În cele din urmă, Henon a descoperit că acest tip de comportare haotică era o parte esențială a dinamicii orbitelor stelare.

FRACTALII ÎN ARTĂ

Chiar înainte ca fractalii să fie larg acceptați ca matematică adevărată, imaginile pe care ei le produceau au devenit foarte populare. Matematicienii artiști, cum ar fi Richard Voss, Greg Turk și Alan Norton au perfecționat procedurile de bază ale lui Mandelbrot pentru a crea peisaje uimitoare, atât realiste cât și abstracte.

Brusca revenire a matematicii ca artă a fost mult întârziată. Știința și matematicile secolelor al XIX-lea și al XX-lea pierduseră legătura cu vizualul și intuitivul. Teoriile moderne, ca relativitatea și mecanica cuantică, sunt frumoase și elegante dar trebuie să fii un Albert Einstein sau ErwinSchrodiger pentru a le aprecia frumusețea. Pe de altă parte, atât nespecialiștii cât și matematicienii pot aprecia chiar și cea maiabstractă imagine fractală.

Tot pe baza șirului lui Fibonacci se realizează și mandalele, care sunt desene în formă de cerc, cunoscute în culturile străvechi și utilizată pentru puterile sale, în special cele de vindecare. Ele se regăsesc pe pereții, pardoselile și ferestrele bisericilor, templelor, palatelor. Acestea reprezintă geometria sacră – limbajul cosmosului. Un ochi atent le va descoperi în diversele forme din natură.

Prin simpla privire a structurilor cristaline colorate, în creier se creează interconexiuni ale celor două emisfere și omul își percepe propriul său centru. Creierul recunoaște vibrația culorilor și activează conexiunile de lumină care învăluie cromozomii. Astfel pot fi dizolvate blocaje ale corpului eteric, permițând din nou curgerea nestingherită a energiei vitale.