Învățăturile lui Pitagora mai sunt cunoscute și sub denumirea de quadrivium. Ele corespund celor patru niveluri ale Tetraktys-ului după cum urmează: [307466]

Capitolul 1. [anonimizat], cealaltă ramură fiind studiul numerelor. Denumirea vine din limba greacă: geo, [anonimizat], care înseamnă măsură.

[anonimizat] 3000 î.Hr. Începuturile geometriei au fost marcate de o [anonimizat], [anonimizat] a [anonimizat].

Figurile geometrice care au exercitat o influență puternică asupra gândirii simbolice a [anonimizat]. [anonimizat].

Cercul simbolizează totalitatea unitară (centrul) [anonimizat], absența diferențierii sau a împărțirii. [anonimizat], [anonimizat], ciclul anotimpurilor și al planetelor.

Pătratul este imaginea concretizării, a perfecțiunii în materie și a stabilității. [anonimizat] o [anonimizat]. Pătratul semnifică ideea de stagnare și de solidificare.

[anonimizat]. Drumul cel mai cunoscut de la pătrat la triunghi e reprezentat de Pitagora în celebra imagine a tetraktys-ului. [anonimizat]-ul este un triunghi echilateral format din 10 [anonimizat] 1.1.

Figura 1.1

Învățăturile lui Pitagora mai sunt cunoscute și sub denumirea de quadrivium. [anonimizat]:

[anonimizat]. [anonimizat] (1+2+3+4=10) conțin elementele fundamentale ale aritmeticii.

[anonimizat] a proporțiilor.

[anonimizat], care studiază celetrei

dimensiuni: lungime, lățime și înălțime. [anonimizat], [anonimizat], care este prima formă tridimensională.

[anonimizat], care

studiază obiectele tridimensionale în cea de-a [anonimizat]-timp. Astronomia cuprinde fiecare din primele trei știinte și o a [anonimizat], patru simbolizând aici cele patru elemente fundamentale ale realității fizice: aer, foc, apă și pământ.

[anonimizat], precum și proprietăți ale punctelor situate pe acestea. În partea a [anonimizat], de o importanță deosebită în rezolvarea unor probleme de geometrie. La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [7], [8], [10], [13], [14], [15] și [19].

Linii importante în triunghi

Bisectoarea

Definiția 1.1. [anonimizat].

Construcția bisectoarei unui unghi se realizează cu rigla și compasul. Fiind dat

un unghi cu vârful în punctul A, vom parcurge următoarele etape:

Cu ajutorul compasului se desenează un arc de cerc cu centrul în A. Acesta

intersectează laturile unghiului în punctele B și C. Este evident faptul că , deoarece sunt raze.

Cu aceeași deschizătură a compasului se desenează un arc de cerc cu centrul în

punctul B.

– Tot cu aceeași deschizătură se mai desenează un arc de cerc cu centrul în punctul C. Cele două arce de cerc se vor intersecta într-un punct P, care se află în partea opusă a lui 𝐴 față de segmentul [𝐵𝐶].

– Unim punctele A și P, obținând astfel bisectoarea unghiului A.

În figura 1.2 este reprezentată construcția bisectoarei unghiului A.

Figura 1.2

Teorema 1.2. (Proprietatea bisectoarei) Dacă un punct se află pe bisectoarea unui unghi, atunci el este egal depărtat de laturile unghiului.

Demonstrație: Se consideră și punctul P situat pe bisectoarea lui. Construim PEOA, unde EOA și PFOB, unde FOB, ca în figura 1.3.

Figura 1.3

Deoarece și OP latură comună, putem spune că conform cazului de congruență a triunghiurilor dreptunghice I.U, și că , adică P este egal depărtat de laturile unghiului.

Teorema 1.3. (Reciproca teoremei 1.2) Dacă un punct situate în interiorul unui unghi este egal depărtat de laturile acestuia, atunci acel punct se află pe bisectoarea unghiului dat.

Demonstrație: Se consideră și punctul P situat în interiorul acestuia, astfel încât , unde PEOA, EOA și PFOB, FOB, ca în figura 1.4.

Figura 1.4

Deoarece și OP latură comună, putem spune că conform cazului de congruență a triunghiurilor dreptunghice I.C. Rezultă astfel că , deci și că , deci punctul P se află pe bisectoarea

Definiția 1.4. Bisectoarea interioară într-un triunghi dat este bisectoarea unui unghi al triunghiului.

În figura 1.5 este reprezentată bisectoarea interioară .

Figura 1.5

Observația 1.5. Orice triunghi are trei bisectoare interioare. Acestea sunt reprezentate în figura 1.6.

Figura 1.6

Teorema 1.6. (Concurența bisectoarelor interioare) Bisectoarele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație: Fie și I punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor ABC și ACB. Trebuie să arătăm este bisectoarea

Notăm cu M, N și P picioarele perpendicularelor duse din punctul I pe laturile , și respectiv ale triunghiului, ca în figura 1.7.

Figura 1.7

Conform teoremei 1.2, ținând cont că este bisectoare, rezultă că

, (1.1)

iar din faptul că este bisectoare, obținem

. (1.2)

Din relațiile (1.1) și (1.2) deducem că , conform teoremei 1.3, înseamnă că este bisectoarea unghiului BAC. În concluzie, bisectoarele interioare ale sunt concurente în punctul I.

Observația 1.7. Punctul de intersecție a bisectoarelor unui triunghi se numește centrul cercului înscris în triunghi și se notează, de obicei, cu I, ca în figura 1.8.

Figura 1.8

Distanța de la I la oricare dintre laturile acestui triunghi se notează cu și se numește raza cercului înscris în triunghi.

Aplicații:

Fie ABC un triunghi oarecare și BM bisectoarea unghiului B (MAC). Paralela

dusă prin M la BC intersectează latura AB în N (figura 1.9).

a) Să se arate că [BN] ≡ [MN].

b) Dacă [BM] ≡ [MC], să se arate că MN este bisectoarea AMB.

A

N M

B C

Figura 1.9

Demonstrație:

a) Deoarece MNBC, unghiurile NMB și CBM sunt congruente (ca unghiuri alterne interne). Dar MBC≡NMB, deci BMN≡MBN, adică BMN isoscel, deci [BN] ≡ [MN].

b) MBC este isoscel, cu [BM] ≡ [MC]. Dar AMN ≡ ACB (unghiuri corespondente), MCB ≡ CBM și CBM ≡ MBN, deci AMN ≡ MBN. Ținînd cont că MBN ≡ NMB, rezultă că BMN ≡ AMN, deci MN este bisectoarea AMB.

Fie triunghiul oarecare A BC. Pe prelungirile laturii BC se construiesc

segmentele [BD] ≡ [AB], BDC și [CE] ≡ [CA], CBE. În triunghiurile isoscele ABD și ACE ducem înălțimile BF și CG și notăm cu Y intersecția lor (figura 1.10). Să se arate că AY este bisectoarea unghiului BAC. (cf. [12])

A

F G

D B C E

Y

Figura 1.10

Demonstrație:

In triunghiul isoscel ABD, BF fiind înălțime este și bisectoarea unghiului ABD. Deci Y este egal depărtat de AB și DB. Analog CG este bisectoarea ACE, deci Y este egal depărtat de AC și DE. Cum Y este egal depărtat de AB și AC, înseamnă că este situat și pe bisectoarea unghiului BAC.

Mediatoarea

Definiția 1.8. Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment.

Ea mai poate fi definită și ca locul geometric al punctelor (dintr-un plan ce conține segmentul) egal depărtate de extremitățile acestui segment.

Construcția bisectoarei unui unghi se realizează cu rigla și compasul. Fiind dat

un segment , vom parcurge următoarele etape:

Cu ajutorul compasului se desenează un arc de cerc cu centrul în 𝐴 și de rază 𝑟=𝐴𝐵.

Se desenează apoi un arc de cerc cu centrul în B și de rază 𝑟=𝐴𝐵.

Se notează cu P și Q punctele de intersecție ale arcelor de cerc.

Se desenează segmentul [𝑃𝑄]. Deoarece 𝑃 este echidistant față de 𝐴 și 𝐵, 𝑃 se află pe mediatoarea lui [𝐴𝐵]; din același motiv 𝑄 se află pe mediatoarea lui [𝐴𝐵].

Figura 1.11

În figura 1.11 este reprezentată construcția mediatoarei segmentului [𝐴𝐵]. Pentru construcție se poate lua ca rază orice deschidere a compasului mai mare decât jumătate din lungimea segmentului [𝐴𝐵].

Mediatoarea laturii BC a este reprezentată în figura 1.12.

Figura 1.12

Proprietatea 1.9. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct notat cu O și numit centrul cercului circumscris triunghiului. Acest lucru este evidențiat în figura 1.13. R este raza cercului circumscris triunghiului.

Figura 1.13

Demonstrație: Dacă O este punctul de intersecție a mediatoarelor laturilor AB și BC ale triunghiului, din definiția mediatoarei rezultă că OA=OB=OC,

ceea ce înseamnă că O aparține mediatoarei laturii AC.

În funcție de tipul triunghiului, centrul cercului circumscris triunghiului este situat după cum urmează:

a b c

Figura 1.14

Centrul cercului circumscris triunghiului ascuțitunghic se află în interiorul triunghiului, după cum se vede în figura 1.14a.

Centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei, după cum se vede în figura 1.14b.

Centrul cercului circumscris triunghiului obtuzunghic se află în exteriorul triunghiului, după cum se vede în figura 1.14c.

Aplicații:

În triunghiul ABC, MP este mediatoarea laturii BC, M ∈[BC], P∈ [AC]. Dacă

AB = 7cm și AC = 13cm , calculați perimetrul triunghiului ABP.

A

P

B M C

Figura 1.15

Demonstrație:

Deoarece MP este mediatoarea laturii BC a ABC, rezultă că punctul P este egal depărtat de extremitățile segmentului [BC], deci PB=PC. Perimetrul ABP se calculează cu relația =AB+BP+PA. Dar BP+PA=PC+PA=AC, deci =AB+AC.

=7cm+13cm

=20cm.

Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu m(A)=90o. Notăm cu O mijlocul laturii

BC, prin care ducem o dreaptă d perpendiculară pe BC. Dreapta d intersectează laturile AC și AB ale triunghiului în punctele M, respectiv N. Fie P punctul de intersecție a lui BM cu CN. Dacă AM=AN, arătați că BP este mediatoarea segmentului CN.

N

d

A P

M

B O C

Figura 1.16

Demonstrație:

Deoarece AB=AN și CABN, rezultă că CA este mediatoarea segmentului BN. Dar NO este mediatoarea laturii BC și NOCA={M}, deci BM este mediatoarea segmentului NC. Prin urmare, BM este și mediatoarea segmentului NC, deci BPNC.

Înălțimea

Definiția 1.10. Înălțimea unui triunghi reprezintă segmentul ce unește un vârf al

triunghiului cu piciorul perpendicularei duse din vârf pe latura opusă acestuia.

Construcția înălțimii triunghiului se face cu ajutorul echerului. Se așează

echerul cu o latură pe una din laturile triunghiului și se deplasează pe latură, menținându-ne tot timpul pe aceasta, până când cealaltă latură a echerului trece prin vârful opus laturii triunghiului. Trasăm apoi înălțimea triunghiului, așa cum se vede în figura 1.17.

Figura 1.17

Înălțimea dusă din vârful A al triunghiului sau înălțimea corespunzătoare laturii BC este AD, adică ha, unde a reprezintă lungimea laurii opuse vârfului A.

Observația 1.11. În orice triunghi putem construi trei înălțimi. Acestea sunt reprezentate în figura 1.18.

Figura 1.18

Cele trei înălțimi ale triunghiului se intersectează într-un punct notat cu H și numit ortocentrul triunghiului.

Demonstrație: Fie triunghiul ABC și A”, B”, C” picioarele perpendicularelor duse din vârfuri pe laturile opuse. Prin vârfurile triunghiului ABC ducem paralele la laturile opuse, care se intersectează în punctele A', B', C', ca în figura 1.19. Din construcție, ABCB' și BCAC' sunt paralelograme, deci {\displaystyle |BC|=|AC'|=|AB'|}{\displaystyle |BC|=|AC'|=|AB'|}.

{\displaystyle |BC|=|AC'|=|AB'|}Pentru că  {\displaystyle BC||B'C'} și  {\displaystyle AA''\perp BC}, rezultă că   {\displaystyle BC||B'C'} {\displaystyle AA''\perp B'C'}. Deci AA' este mediatoarea segmentului . Analog, BB” și CC” sunt mediatoarele segmentelor A'C' respectiv A'B'. Prin urmare, conform concurenței mediatoarelor unui triunghi, rezultă că și înălțimile triunghiului ABC sunt concurente.

Figura 1.19

În funcție de tipul triunghiului, centrul cercului circumscris triunghiului este situat după cum urmează:

Ortocentrul triunghiului ascuțitunghic este situat în interiorul triunghiului, ca în

figura 1.20.

Figura 1.20

Ortocentrul triunghiului dreptunghic este situat în vârful unghiului drept al triunghiului, ca în figura 1.21.

Figura 1.21

Ortocentrul triunghiului obtuzunghic este situat în exteriorul triunghiului, ca în

figura 1.22.

Figura 1.22

Definiția 1.12. Triunghiul determinat de picioarele înălțimilor unui triunghi se

numește triunghi ortic.

Figura 1.23

După cum se observă în figura 1.23 triunghiul ortic este , unde E, F și D

sunt picioarele înălțimilor .

Aplicații:

Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90o (figura 1.24). Pe

latura (AC) se ia un punct D astfel încât [BA] ≡ [BD] și pe latura (AB) se ia un punct E astfel încât [CA] ≡ [CE]. Notăm cu M mijlocul lui [AE] și cu N mijlocul lui [AD] și fie {P}= CM ∩ BN. Arătați că APBC.

Demonstrație:

Din datele problemei avem [BA] ≡ [BD], rezultă ABD este isoscel (are două laturi congruente și prin urmare are și unghiurile alăturate bazei tot congruente).  În acest triunghi isoscel se construiește punctul N la jumătatea lui AD. De aici rezultă că [AN] ≡ [ND].

Figura 1.24

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care unește vârful B al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din ABD. Cunoaștem de la proprietățile liniilor importante ale triunghiului isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile congruente) este, totodată, înălțime, mediatoare și bisectoare deoarece triunghiurile ABN și BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece [BA] ≡ [BD], din ipoteză, BAN ≡ BDN în triunghiul isoscel ABD și [ND] ≡ [BD], din ipoteză).   Din congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile BNA și BND sunt congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu măsura de 180o, rezultă că BNA ≡ BND=90o. În concluzie BNAD și este înălțimea dusă din vârful B pe latura opusă în ABD. De asemenea BN este înălțime și în triunghiul ABC, fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC, deoarece punctele A, D și C sunt coliniare.

În ACE, avem  [CA] ≡ [CE], din datele problemei, rezultă că ACE este isoscel. Putem afirma astfel că unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul lor, congruente: CAM = CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE, deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel  (vârful din care pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălțime și bisectoare, deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei,  unghiurile CEM și CAM sunt congruente în triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei). Rezultă că și celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor congruente două câte două, cum sunt  CMA și CME. Suma acestor două unghiuri este de 180o, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90o. Rezultă că CMAE, sau în triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este înălțime și în ABC, fiind prependiculara dusă din vârful C pe latura opusă AC (punctele A, C și E sunt coliniare).

În ABC observăm acum că BNAD sau BNAC (deoarece A, D și C sunt coliniare). BN este o înălțime în triunghi, deci CMAE sau CMAB (deoarece A, B și E sunt coliniare). CM este astfel cea de-a doua înălțime a triunghiului.

{P}= CM ∩ BN

Punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi este un punct unic. Acest punct se numește ortocentru. P aparține segmentului AR, rezultă că AP este tot înălțime .

APBC

Fie triunghiul isoscel ABC (AB=AC) și AD înălțimea dusă din A pe BC. Ducem

DEAC (EAC) și notăm cu F mijlocul lui DE. Să se arate că AF este perpendiculară pe BE. A

Figura 1.25

Demonstrație:

Ducem FG || DC, GEC (figura 1.25). FG este linie mijlocie în EDC. Deoarece ADBC, rezultă că ADFG. Dar G este mijlocul lui EC și D mijlocul lui BC, rezultă că DG este linie mijlocie în triunghiul CBE, deci DG || BE.

In ADG avem FG și DE înălțimi (unde F este ortocentrul ADG), deci AF este înălțime în ADG, adică AFDG, deci AFBE.

Mediana

Definiția 1.13. Mediana într-un triunghi reprezintă segmentul care unește un

vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf.

Figura 1.26

În figura 1.26 este reprezentată mediana corespunzătoare laturii a triunghiului ABC, notată cu .

Construcția medianei este foarte simplă. Se găsește mijlocul segmentului prin măsurarea acestuia și împărțirea la doi a lungimii găsite. După marcarea și notarea cu M a mijlocului segmentului, acesta se unește cu vârful opus laturii BC a triunghiului.

Observația 1.14. Orice triunghi are trei mediane. Acestea sunt reprezentate în figura 1.27.

Figura 1.27

Teorema 1.15. Medianele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație: Pentru a demonstra concurența medianelor vom utiliza teorema lui Ceva, care spune că dacă segmentele , , respective   sunt concurente, rezultă că:

Dacă cele trei mediane sunt concurente în punctul G, trebuie să se verifice și teorema lui Ceva, adică: Deoarece , , și , rezultă că relația (1.3) este adevărată, deci medianele triunghiului sunt concurente în punctul G. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului și este situat, pe fiecare mediană, la o treime de bază și două treimi de vârf.

Pentru , cu medianele și avem:

și

și

și

În concluzie, .

Proprietatea 1.16: Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente, adică de arii egale.

Figura 1.28

După cum se observă în figura 1.28, mediana corespunzătoare laturii BC împarte în două triunghiuri: și .

și

Se observă astfel că , deci cele două triunghiuri sunt echivalente.

Aplicații

În triunghiul ABC medianele AE, BF și CD sunt concurente în G.

E

Figura 1.29

Demonstrație:

AE, BF și CD sunt medianele ABC, deci G este centrul de greutate al

triunghiului. Prin urmare AG=2GE, adică AG=27cm.

AG=cm

CD este o mediană a ABC, deci putem spune că =, de unde

rezultă că =2 . Dar =105cm2, deci =2105cm2.

=210cm2

Fie I punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD, E și F mijloacele

bazelor [AB] și [CD] ale trapezului, iar G și H mijloacele diagonalelor [AC] și [BD]. Se iau punctele și simetricele punctului I în raport cu G, respectiv cu H. Să se arate că dreptele EF, H și G sunt concurente și 2GK =K, unde K este punctul de intersecție al dreptelor G și H.

Figura 1.30

Demonstrație:

Cum este simetricul lui I față de G, iar este simetricul lui I față de H, rezultă IG=G și HI=H Prin urmare, G și H sunt mediane în .

Deci EF, H și G sunt concurente, iar 2·GK = K.

Linii importante în cerc

Cercul

Geometria lui Euclid (aprox. 325-265 î.e.n.), cuprinsă în celebra lucrare.

"Elementele", a constituit bazele predării geometriei, aproape fără modificări, până în secolul al XX-lea. Și astăzi geometria euclidiană deține o parte foarte importantă din predarea geometriei în școli, la peste 2000 de ani de la apariție.

În lucrarea sa, "Elementele", Euclid a creat cinci postulate (afirmații care trebuie considerate adevărate și fundamentale fără dovezi în acest sens) care au pus bazele geometriei ce îi poartă numele. De interes pentru noi sunt primele trei:
– o linie dreaptă poate fi trasă între oricare două puncte;
– o linie dreaptă poate fi prelungită la infinit;
– un cerc poate fi desenat având ca centru orice punct și orice segment ca rază.

Nici unul dintre aceste postulate nu face referire la folosirea obligatorie a liniei și a compasului, însă grecii au înțeles că desenarea figurilor geometrice se face cu ajutorul acestor două instrumente.

Cercul a fost o preocupare importantă a matematicienilor încă din cele mai vechi timpuri. El a avut nenumărate aplicații în diverse domenii și a condus la multe îmbunătățiri ale vieții cotidiente , de exemplu, inventarea roții a ușurat transportul.

Definiția 1.17. Fie O un punct în plan și r un număr pozitiv. Cercul cu centrul în O și rază r, notat C(O,r) este mulțimea punctelor din plan situate la distanța r față de

punctul O. Deci, orice punct situat pe circumferința cercului este situat la o distanță egală cu raza față de centrul cercului. În plan nu mai există alte puncte, decât cele de pe cercul desenat, care să fie la distanța r față de O.

Figura 1.31

În geometria euclidiană cercurile sunt linii curbe închise, care separă planul în două regiuni, interior și exterior.

n N

Exterior

Figura 1.32

În figura 1.32 observăm că mulțimea punctelor M din plan situate la o distanță OM se numește interiorul cercului și se notează IntC(O,r), iar mulțimea punctelor N din plan situate la o distanță OM se numește exteriorul cercului și se notează ExtC(O,r). Reuniunea dintre mulțimea punctelor cercului și interiorul cercului se numește disc și se notează D(O,r).

Propoziția 1.18. Prin două puncte distincte A și B putem duce o infinitate de cercuri.

Demonstrație: Fie două puncte distincte Ași B.

Figura 1.33

Demonstrație: Fie mediatoarea segmentului . Deoarece punctele situate pe mediatoare sunt egal depărtate de capetele segmentului , vom avea și , deci oricare două cercuri cu centrele în și vor trece prin punctele A și B.

Teorema 1.19. Trei puncte necoliniare date determină un un cerc și numai unul.

Demonstrație:

Fie trei puncte necoliniare A, B și C (figura 1.34). Orice punct egal depărtat de Ași B se află pe mediatoarea segmentului AB și orice punct egal depărtat de B și C se află pe mediatoarea lui BC. Dacă O este punctul de intersecție al celor două mediatoare, el este egal depărtat de A, B și C. Astfel OA=OB=OC. În concluzie, punctele A, B și C se află pe cercul cu centrul în O și de rază OA. Mediatoarele fiind unice, punctul O este unic determinat, deci nu există decât un cerc ce trece prin punctele A, B și C.

A

M O

C

B N

Figura 1.34

Linii importante în cerc

Fiind dat un cerc C(O,r), segmentul ce unește centrul cercului cu orice punct de

pe cerc reprezintă raza cercului.

Definiția 1.20. Segmentul ce unește două puncte distincte siuate pe cerc se numește coardă. P M

N

Q

Figura 1.35

Definiția 1.21. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru.

În figura 1.35 segmentul este coardă, iar segmentul este diametru. Diametrul cercului se notează cu D și este egal cu dublul razei.

Punctele Pși Q sunt extremitățile diametrului și se numesc diametral opuse.

Definiția 1.22. Porțiunea de cerc cuprinsă între două puncte distincte de pe cerc se numește arc de cerc. Punctele care determină arcul de cerc se numesc capetele arcului.

În figura 1.35 observăm că punctele M și N determină arcul de cerc Dacă ne deplasăm pe cerc între punctele M și N, dar trecând prin punctul P, spunem că am parcurs arcul mare de cerc Dacă capetele arcului de cerc sunt diametral opuse, arcul de cerc se numește semicerc.

Definiția 1.23. Un unghi cu vârful în centrul cercului se numește unghi la centru.

Figura 1.36

Măsura unui arc mic de cerc este egală cu măsura unghiului la centru. Deoarece un cerc are , măsura unui semicerc este egală cu .

Spunem că două coarde sunt congruente dacă au aceeași lungime, iar două arce de cerc sunt egale dacă au aceeași măsură.

Teorema 1.24. Într-un cerc sau în cercuri congruente, coardelor congruente le corespund arce de cerc congruente.

Figura 1.37

Demonstrație:

Teorema 1.25. Într-un cerc sau în cercuri congruente, arcelor de cerc congruente le corespund coarde congruente.

Demonstrație: Urmărim desenul din figura 1.37.

Teorema 1.26. Într-un cerc, un diametru perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acesteia și determină, pe fiecare din arcele subîntinse de această coardă, arce congruente.

Figura 1.38

Demonstrație: Fie cercul C(O,r), ca în figura 1.38. Punctele A și B situate pe cerc determină coarda Construim diametrul . Fie E punctul de intersecție al diametrului cu coarda AB. Se consideră triunghiurile dreptunghice AOE și BOE.

Deci, E este mijlocul coardei AB.

Din congruența triunghiurilor AOE și BOE rezultă că

Teorema 1.27. Dacă două coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distanțele de la centru la coarde sunt egale.

Figura 1.39

Demonstrație: În figura 1.39 avem un cerc C(O,r) și două coarde AB și CD. Construim înălțimile ON și OM ale triunghiurilor AOB și COD, unde Se observă că , și . Conform cazului de congruență LLL rezultă că triunghiurile AOB și COD sunt congruente, deci și înălțimile lor sunt congruente.

Teorema 1.28. Coardele egal depărtate de centru sunt congruente.

Dacă studiem pozițiile relative ale unei drepte față de cerc constatăm că acestea sunt următoarele:

dreaptă exterioară cercului dreaptă tangentă la cerc dreaptă secantă cercului

Figura 1.40

Teorema 1.29. O dreaptă d este tangentă la cercul C(O, r), în punctul A, dacă și numai dacă d ⊥ OA.

Demonstrație:

d

B

A

Figura 1.41

Se consideră dreapta d tangentă la cercul C(O, r) în punctul A. Vom demonstra că d ⊥ OA. Presupunem, prin reducere la absurd, că dreapta d nu este perpendiculară pe OA . Fie atunci OB ⊥ d, B ∈ d. În triunghiul OAB, cu ∢OBA = 90°, avem ∢OBA > ∢OAB, deci OA > OB. Deoarece punctual A este pe cerc, rezultă că punctul B este în interiorul cercului și atunci dreapta d ar mai avea un punct, diferit de A, comun cu cercul. Se ajunge astfel la o contradicție. Presupunerea făcută este falsă, prin urmare d ⊥ OA. Dar, știm că într-un punct A, al unei drepte OA, se poate construi o singură perpendiculară d, ceea ce ne spune că singura dreaptă perpendiculară pe OA în punctul A este tangenta la cerc, în acest punct.

Teorema 1.29. (Teorema ciocului de cioară) Prin orice punct A, exterior unui cerc C(O, r), se pot construi două tangente AM și AN, la cerc. Segmentele determinate de punctul A și punctele de tangență sunt congruente.

Demonstrație:

Figura 1.41

Se consideră punctul A care aparține exteriorului cercului C(O, r), deci OA > r. A găsi punctul de contact al unei tangente din A la cerc înseamnă a construi un triunghi dreptunghic cu ipotenuza AO și cu vârful unghiului drept pe cercul dat. Știm că un unghi drept este înscris într-un semicerc, deci vom construi cercul de diametru AO. Notăm centrul său cu Q, iar raza va fi R = . Notăm cu M, respectiv N, punctele de intersecție a celor două cercuri, unghiurile ∢OMA și ∢ONA fiind unghiuri drepte. Dreptele AM și AN sunt tangente la cerc. Considerăm triunghiurile OAM și OAN, dreptunghice și congruente (OA latură comună și [OM ]≡ [ON], ca raze ale cercului); deci catetele corespunzătoare, MA și NA sunt congruente.

Congruența triunghiurilor OAM și OAN ne oferă încă un rezultat remarcabil, foarte util în rezolvarea problemelor:

Semidreapta determinată de un punct exterior unui cerc și centrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangentele la cerc din acel punct. În figura 1.41, semidreapta AO este este bisectoarea unghiului ∢MAN.

Aplicații

1. Prin punctul C al diametrului AB al unui cerc, se duc coardele DE și FG, astfel încât DCB =GCB. Să se arate că:

a) Coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.

b) Patrulaterul EFDG este trapez isoscel.

Demonstrație:

a) Deoarece DCB =GCB, atunci CB este bisectoarea unghiului DCG și cum

OCB, rezultă că centrul cercului este egal depărtat de laturile unghiului DCG, adică de CD și CG. Altfel spus, coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.

D

F

C

A B

E

G

Figura 1.40

b) Coardele DE și FG, fiind egal depărtate de centru, sunt congruente, de unde deducem că și arcele subîntinse de ele sunt congruente, adică

și rezultă că , deci EFDG. În conclizie, patrulaterul EDFG este trapez care are vârfurile pe cerc, deci este un trapez isoscel.

Prin mijlocul E al arcului al cercului circumscris triunghiului ABC, se duce

coarda EF paralelă cu AB, F fiind un punct pe cercul circumscris triunghiului. Demonstrați că arcele șisunt congruente.

A

F B

C

E

Figura 1.41

Demonstrație:

Știind că EFAB și AE secantă, rezultă că BAEFEA. Dar , deci CAEEAB. Prin urmare CAEFEA, deci . Deoarece =,

= și , rezultă că .

Capitolul 2. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI ȘI CERC ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU

Geometria are o puternică influență asupra dezvoltării personalității și a formării elevilor. Istoria geometriei reflectă istoria gândirii umane. Dacă urmărim dezvoltarea geometriei din Egiptul Antic și Grecia Antică, de-a lungul Evului Mediu și al Renașterii până în epoca modernă, putem vedea dezvoltarea științei și transformarea ideilor despre lume și univers. Construcțiile geometrice ale vechilor greci erau în spiritul filosofiei contemplative și a credinței în armonia universală a lui Pitagora.

Thales din Milet cunoștea teoremele privitoare la asemănarea triunghiurilor cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul unor teoreme de geometrie, el ar fi măsurat înălțimea marii piramide a lui Keops. Se poate caracteriza o geometrie prin atributul „thalesiană”, indicând că în acea geometrie funcționează teorema lui Thales.

În acest capitol sunt prezentate noțiuni teoretice despre relațiile metrice în triunghiul oarecare. S-a pus accent pe teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării, teoreme ce stau la baza mai multor aplicații cu caracter practic. Apoi sunt prezentate relațiile metrice în triunghiul greptunghic și în cerc.La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [7], [11], [13], [14], [16]. [24] și [26].

2.1.Relații metrice în triunghiul oarecare

Definiția 2.1. Raportul a două segmente este raportul lungimilor acestora, exprimate în aceeași unitate de măsură.

Propoziția 2.2. Pentru orice număr real pozitiv k există un punct unic C pe segmentul AB, astfel încât .

A C B

Figura 2.1

Spunem astfel că punctul C împarte segmentul AB în raportul k.

Propoziția 2.3. Pentru orice număr real pozitiv k ≠ 1 există un unic punct C, exterior segmentului AB, astfel încât .

A B C

Figura 2.2

În cazul în care k=1, punctul C este mijlocul segmentului

A B C

Figura 2.3

Definiția 2.4. Distanța dintre două drepte paralele d1 și d2 este lungimea

segmentului AB, unde A ∈ d1 și B ∈ d2, iar AB ⊥ d1.

Notăm distanța dintre dreptele paralele d1 și d2 cu d(d1, d2)=AB.

A d1

d1 d2

B d2

Figura 2.4

Definiția 2.5. Un șir de drepte paralele între ele, d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ … ∥ dn ,

n ∈ , n ≥ 3, se numesc paralele echidistante dacă d(d1, d2) = d(d2, d3) =

= d(d3, d4) = … = d(dn−1, dn).

Teorema 2.6.(Teorema paralelelor echidistante) Mai multe drepte paralele și echidistante determină, pe orice secantă, segmente congruente.

Detaliind, înțelegem că dacă dreptele paralele d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ … ∥ dn , n ∈ ,

n ≥ 3determină pe o secantă segmente congruente, atunci aceste drepte vor

determina pe orice secantă segmente congruente.

d1

d2

d3

d4

d5

dn-1

dn

Figura 2.5

Teorema 2.7.(Teorema paralelelor neechidistante) Mai multe drepte paralele determină pe două secante segmente proporționale.

d1

d2

d3

d4

dn-1

dn

Figura 2.6

Aplicație

Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat.

Fiind dat un segment de dreaptă AB de lungime oarecare, să se găsească un

punct M pe acest segment, astfel încât .

1 2 3 4

A M B

C1

C2

C3

C4

C5

C

Figura 2.7

Prin punctul A se trasează o semidreaptă AC cu o înclinație oarecare față de AB.

Pe această semidreaptă se trasează cu compasul, sau se măsoară cu o riglă gradată, începând din punctul A, cinci segmente egale și se notează ca în figura 2.7. Se unește punctul C5 cu punctul B. Prin celelalte puncte, de la C1 la C4, trasăm paralele la BC5, paralele care intersectează segmentul AB în punctele notate cu 1, 2, 3 și 4. Am împărțit astfel segmentul AB în 5 părți egale. Punctul M cerut corspunde punctului 2.

Avem astfel .

Această problemă poate fi generalizată, folosind același procedeu. Se împarte segmental AB în q părți egale și se numără apoi p segmente, găsindu-se astfel poziția punctului M.

Fiind dat un segment AB de lungime oarecare, se cere să se găsească un punct

M pe acest segment astfel încât .

1 2 3 4 5 6

A M B

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C

Figura 2.8

Problema seamănă cu problema de la punctul (a), dar trebuie să fim atenți, pentru că acum, cerința reformulată este: să se găsească pe segmentul AB un punct M care să formeze pe acesta două segmente AM și MB al căror raport să fie . Procedeul este analog ca la punctul (a), dar de data aceasta, segmentul AB trebuie împărțit în 7 părți egale (2+5).

În general, dacă se împarte segmentul dat în p+q părți egale, numărăm p segmente de la A spre B și găsim poziția punctului cerut.

2.1.1. Teorema lui Thales

O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

A

M N

B C

Figura 2.6

Cu notațiile din figura 2.6 putem scrie teorema lui Thales în

Dacă M∈AB, N∈AC și MN∥BC, atunci .

Teorema rămâne valabilă și în cazul în care paralela la una din laturi intersectează prelungirile acestora.

În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctele Mși N nu se află pe segmentele AB și AC, obținem figura 2.7. Aplicăm teorema lui Thales în :

A

B C

M N

Figura 2.7

Aplicăm teorema lui Thales în obținem . Folosind proporțiile derivate vom avea , adică .

În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctul A se află atât pe segmentul BM , cât și pe CN, obținem figura 2.8.

N M

A

D E

B C

Figura 2.8

Știm că MN∥BC. Construim DE∥BC, D∈AB și E∈AC, astfel încât punctele D și E să fie simetricele punctelor M, respective N față de punctul A. Putem spune astfel că AM=AD și AN=AE. În aplicăm teorema lui Thales, deci . Folosind proporțiile derivate vom avea , adică , rezultând astfel că

. O altă proporție derivată este , adică .

Aplicația 2.8.(Teorema bisectoarei) Se consideră un triunghi oarecare ABC și AD bisectoarea , D∈BC. Demonstrați că .

E

A

B D C

Figura 2.9

Demonstrație: Construim CE || AD, E ∈AB. Aplicând teorema lui Thales în EBC obținem . Dar (corespondente) și (alterne interne). Deoarece rezultă că , deci AEC este isoscel și AE=AC. Prin urmare, relația devine .

Observație: Pentru cazul AB ≡ AC, triunghiul ABC este isoscel, deci bisectoarea AD este și mediană, ceea ce arată că 1.

2.1.2. Reciproca teoremei lui Thales

Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu a treia latură a triunghiului.

A

N

M N1

B C

Figura 2.10

Fie M și N punctele în care o dreaptă intersectează laturile AB, respectiv AC ale triunghiului ABC, așa cu se observă în figura 2.10, și care determină pe AB, respectiv AC, segmente proporționale, adică . Vom demonstra că dreapta

Presupunem, prin reducere la absurd, că MN și BC nu sunt paralele. Atunci, ducem prin M o paralelă MN1 la BC, N1 fiind punctul de intersecție cu AC. Aplicând teorema lui Thales în ABC, pentru obținem . Dar , rezultă că . Aplicăm proporțiile derivate și obținem , deci, . Este evident că AN=AN1, deci punctele N și N1 coincid. Am ajuns la o contradicție, deci presupunerea făcută este falsă. În concluzie,

Rezultatul demonstrat rămâne valabil și în cele două cazuri în care punctul M se află pe prelungirea laturii AB, ceea ce împlică și despre punctul N același lucru.

Aplicația 2.9.(Reciproca teoremei bisectoarei) Se consideră un triunghi oarecare ABC și un punct D situat pe latura BC a triunghiului ABC, după cum se vede în figura 2.11, astfel încât . Demonstrați că AD este bisectoarea unghiului A.

E

A

B D C

Figura 2.11

Demonstrație: Contruim AE=AC pe prelungirea laturii AB a ABC. Dacă , putem scrie că , deci, conform reciprocei teoremei lui Thales rezultă că Dar (corespondente) și (alterne interne). Deoarece , triunghiul AEC fiind isoscel, rezultă că , prin urmare AD este bisectoarea

2.1.3. Teorema fundamentală a asemănării

Pentru a putea enunța teorema fundamentală a asemănării este necesar a se introduce noțiunea de triunghiuri asemenea.

Definiția 2.10. Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile opuse acestora respectiv proporționale.

Fie două triunghiuri, ABC și A1B1C1.

Figura 2.12

Dacă , și , spunem că ABC  A1B1C1, unde k se numește coeficient de asemănare.

Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină cu celelalte două laturi sau cu prelungirile acestora un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

Cazul I: Fie un triunghi ABC. Ducem o paralelă DE la latura BC a triunghiului, ca în figura 2.13. Vrem să demonstrăm că ABCADE. Pentru aceasta construim o paralelă prin punctul E la latura AB, paralelă ce intersectează latura BC în punctul F.

A

D E

B F C

Figura 2.13

Deoarece DEBC, rezultă că (alterne interne) și (alterne interne). Dar este unghi comun celor două triunghiuri, deci putem afirma că cele două triunghiuri au unghiurile repectiv congruente.

Având în vedere că DEBC, putem aplica teorema lui Thales în ABC, deci putem spune că . Deoarece DEBC și EFAB putem afirma că DEFB este paralelogram, prin urmare DE=BF. Aplicând teorema lui Thales tot în ABC, dar luând în considerare relația EFAB, obținem . Înlocuim pe BF cu DE și ajungem la relația . Dacă și , rezultă că , ceea ce reprezintă chiar proporționalitatea laturilor. În concluzie, putem afirma că ABCADE.

Teorema fundamentală a asemănării rămâne valabilă și dacă o paralelă la una din laturile unui triunghi intersectează prelungirile celorlalte două laturi. Mai avem astfel două situații:

Cazul II: A

B C

D F E

Figura 2.14

În figura 2.14 se vede că punctul B este situat pe segmentul AD, punctul C este situat pe segmentul AE și DEBC. Considerând triunghiul ADE și dreapta BC paralelă cu latura DE a triunghiului ADE, ne regăsim în condițiile date de cazul I. Aplicând rezultatul demonstrat, se obține congruența unghiurilor și proporționalitatea laturilor, deci putem spune că ABCADE.

Cazul III: De această dată punctul A este situat pe segmentele BD și CE, iar DEBC, așa cum se observă în figura 2.15. Pentru DE ∥ BC și secanta BD, avem ∢ADE ≡ ∢ABC (alterne interne), iar pentru DE ∥ BC și secanta CE, avem ∢AED ≡ ∢ACB

(alterne interne). Pe de altă parte, ∢DAE ≡ ∢BAC (opuse la vârf), deci am demonstrat congruența unghiurilor celor două triunghiuri, ABC și ADE.

Construim apoi CF ∥ AD, F ∈ DE și AG ∥ BC, G ∈ CF, deci BC ∥ AG ∥ DF. Atunci, BCFD, AGFD și BCGA sunt paralelograme și au loc relațiile DF = BC, GF = AD și GC = AB. În triunghiul CEF, avem AG ∥ EF. Aplicând teorema lui Thales, obținem sau . În triunghiul CEF, avem AD ∥ CF. Aplicând teorema lui Thales, obținem sau . În concluzie,

Am demonstrat astfel și proportionalitatea laturilor celor două triunghiuri. Fiind îndeplinite toate condițiile cerute de asemănarea a două triunghiuri putem spune că și în acest caz ABCADE.

E D F

A G

B C

Figura 2.15

Măsurarea obiectelor, chiar și cu ajutorul instrumentelor geometrice, poate conduce la valori aproximative, ceea ce nu ne satisface întotdeauna.De multe ori, măsurarea directă este imposibilă, fie din cauza distanțelor foarte mari, fie din cauza unor obstacole care nu permit accesul în apropierea obiectelor.

Thales a aplicat teorema fundamental a asemănării în rezolvarea unor probleme practice de această natură. Este celebră problema aproximării înălțimii unei piramide folosind umbrele. Thales a folosit proprietățile triunghiurilor asemenea pentru a afla distanța de la țărm la o corabie sau distanța dintre două corăbii, el aflându-se pe țărm.

Trebuie menționat faptul că, în aceste situații, valorile obținute sunt totuși aproximative, nu din cauza calculelor, ci din cauza erorilor care pot interveni în stabilirea unor direcții și în măsurarea unor distanțe sau a unor măsuri de unghiuri. De-a lungul timpului au fost create instrumente performante, care apropie foarte mult rezultatele obținute de cele reale. Cu toate acestea, folosirea tehnicilor practice, intuitive, sunt foarte interesante și sunt de mare folos în anumite situații.

Aplicații

Se consideră trapezul ABCD, cu ABCD, AB=b, CD=a, ab și M(AD)

astfel încât Calculați lungimea segmentului [MN], unde MNAB și N(BC).

Demonstrație:

Conform teoremei paralelelor neechidistante avem deci .

D a C

M a P N

A b Q B

Figura 2.8

Construim CQAD, unde Q(AB). Avem MN=MP+PN. Deoarece MPCD este parallelogram, rezultă MP=CD=a. Pentru a calcula lungimea segmentului [PN] vom aplica teorema fundamental a asemănării în CQB, unde NPQB.

Obținem . Rezultă PN=QB=(b-a).

Calculăm MN=NP+PN=a+(b-a)=a+b.

Cazuri particulare:

k=1 ( M este mijlocul segmentului [AB] și MN este linie mijlocie)

Obținem MN= (MN este media aritmetică a lungimilor bazelor).

k=

În acest caz k== .

MN= = (MN este media armonică a lungimilor bazelor).

Pentru ce valoare a lui k MN este media geometrică a lungimilor bazelor

trapezului?

Trebuie ca MN=.

Din a+b= obținem a+kb=(k+1), deci k(b-)=-a.

k(-)=(-)k=.

Teorema lui Menelaus: Fie triunghiul ABC și punctele A (BC), B (CA) și

C (AB). Daca punctele A`, B`, C` sunt coliniare, atunci are loc egalitatea :

A

C`

B`

D

B C A`

Figura 2.9

Fiind vorba de rapoarte și legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare necesitatea de a utiliza asemănarea triunghiurilor. Ne fiind triunghiuri asemenea, trebuie să le construim.

În acest sens ducem CD║ AB, unde D CA.

ABC ACD

BCD BAC

Înmulțind cele două relații, obținem că:

de unde:

Fie un triunghi și trei puncte , și , diferite de

vârfurile triunghiului. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Punctele sunt coliniare.

Avem relația: .

Demonstrație

Notăm , , .

Figura 2.10

Demonstrăm implicația .

Presupunem că și vom arăta că sunt coliniare.

Avem , deci .

Vom exprima în funcție de , iar în funcție de . Avem: , deoarece . , deoarece .

Obținem: .

Cum , avem . Întradevăr .

În concluzie există , cu și , deci punctele sunt coliniare.

Demonstrăm implicația .

Presupunem, prin absurd, că există punctele care sunt coliniare și totuși .

Notăm , deci și . Construim unicul punct astfel încât . Din rezultă că sunt coliniare, iar din rezultă că . Prin urmare dreptele și au în comun două puncte distincte, și , deci ele coincid, ceea ce este fals.

Fie un triunghi și trei puncte coliniare astfel ca ,

și . Să se arate că: .

Demonstrație

Figura 2.11

Se duce prin o paralelă la care intersectează dreapta în . Din teorema fundamentală a asemănării rezultă:

și deci sau .

, de unde se obține și .

Așadar , de unde rezultă .

Teorema lui Ceva: Fie un triunghi ABC și D, E, F trei puncte situate pe laturile

[BC], [CA], [AB] ale triunghiului. Dacă dreptele AD, BE și CF sunt concurente, atunci:

1.

A

F E

M

B D C

Figura 2.12

Demonstrație:

Fie M punctul de intersecție al dreptelor AD, BE și CF. Aplicăm teorema lui Menelaus astfel:

în ABD cu secanta CF: 1, de unde obținem .

în ADC cu secanta BE: 1.

În final obținem 1, deci 1.

Observație: Într-un triunghi, dreapta care unește un vârf al acestuia cu un

punct de pe latura opusă se numește ceviană.

Reciproca teoremei lui Ceva: Dacă AD, BE și CF sunt trei ceviene în triunghiul ABC și 1, atunci cevienele sunt concurente.

Această teoremă ne ajută să demonstrăm concurența unor linii importante în triunghi.

2.1.3. Aplicații practice ale asemănării triunghiurilor

A. Aproximarea distanțelor, în situații practice, folosind asemănarea triunghiurilor

1) Aproximarea înălțimii unor obiecte

Ne propunem să calculăm înălțimea Turnului Eiffel din Paris.

A

B D C

Figura 2.16

Măsurăm distanța de la centrul bazei turnului la punctul din exterior unde ne aflăm, adică distanța BC. Plasăm între raza vizuală care merge spre vârf și cea care merge spre punctul de la baza turnului, pe verticală, o mărime cunoscută DE și măsurăm distanța DC. Avem acum date suficiente pentru a determina înălțimea turnului.

Dreptele AB și DE sunt paralele (ambele au direcția verticală) și atunci triunghiurile

ΔABC și ΔEDC sunt asemenea. Scriem relația de proporționalitate a laturilor, adică , Din egalitatea următooarelor rapoarte, , rezultă că .

2) Aproximarea distanței până la un punct fix

Figura 2.17

Dacă suntem într-un punct B pe plajă și vrem să estimăm distanța până la un vapor aflat în larg, în punctul A, ne deplasăm din punctul B până în punctul C, măsurând distanța BC. Marcăm pe nisip direcțiile BA și CA. Pe direcția BA considerăm punctul D, prin care ducem o paralelă la BC. Aceasta intersectează dreapta AC în E. Măsurăm lungimile BD și CE. În triunghiul ABC, cu DE ∥ BC, aplicăm teorema fundamentală a asemănării și rezultă următoarea relație de proporționalitate între laturi:

Vom realiza o proporție derivată de forma

, de unde rezultă că Dacă luam doar o egalitate de două rapoarte, adică , obținem .

3) Aproximarea distanței dintre două puncte

D E

C

Figura 2.18

Ne aflăm într-un punct A și dorim să calculăm distanța până la punctul B. Observăm că măsurarea directă este imposibilă din cauza prezenței unui lac, așa cum apare în figura 2.18. Pentru a afla distanța dintre punctele A și B vom găsi un punct C din care putem măsura distanțele AC și BC. Trasăm apoi direcțiile CA și CB. Dorim să fixăm un segment DE cu capetele pe CA, respectiv CB, astfel încât DE și AB să fie paralele. Trebuie ca între punctele D și E să nu fie alte obstacole. Vom proceda astfel:

Alegem punctul D, pe segmentul CA.

Măsurăm lungimile CD, AC și BC.

Luăm punctul E pe segmentul CB astfel încât .

Măsurăm segmentul DE.

Aplicăm reciproca teoremei lui Thales și rezultă DE ∥ AB.

În ΔABC aplicăm teorema fundamental a asemănării și obținem

Rezultă astfel că , deci am aflat distanța AB.

B. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Teorema 2.11. Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k, atunci:

a) raportul medianelor corespunzătoare este egal cu k;

b) raportul înălțimilor corespunzătoare este egal cu k;

c) raportul bisectoarelor corespunzătoare este egal cu k.

Demonstrație: Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de asemănare k. Atunci:

, și .

Fie M și N mijloacele laturilor BC și EF ale triunghiurilor reprezentate în figura

2.19. A

D

B M C E N F

Figura 2.19

Atunci și . Știm că ∢E ≡ ∢B și, conform criteriului de asemănare L.U.L. ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul medianelor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

Fie M și N picioarele perpendicularelor duse din A și D pe laturile BC, respectiv

EF, reprezentate în figura 2.20.

A

D

B M C E N F

Figura 2.20

Din ∢AMB ≡ ∢DNE, ∢B ≡ ∢E și cazul de asemănare U.U., rezultă că ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul înălțimilor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

Fie AM și DN bisectoarele unghiurilor ∢BAC și ∢EDF, reprezentate în figura

2.21. A

D

B M C E N F

Figura 2.21

Deoarece ∢B ≡ ∢E, ∢BAM===∢EDN, conform cazului de asemănare U.U., rezultă că ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul bisectoarelor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

Teorema 2.12. Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k, atunci raportul ariilor acestora este egal cu k2.

Demonstrație: Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de asemănare k. Atunci:

, și .

Vom folosi figura de la teorema 2.11, punctual b.

Observație: Aplicațiile triunghiurilor asemenea prezentate anterior se folosesc atunci când nu se cere o precizie prea mare, deoarece cer multe măsurări pe teren, fixări de țăruși, construcții de drepte paralele, care dau naștere unor erori.

Pentru determinări precise (ridicări topografice, geodezice) se folosesc metode trigonometrice, care cer însă aparate de mare precizie.

C. Aflarea punctului de aplicație al rezultantei a două forțe paralele

În cazul a două forțe paralele și de același sens F1, F2, cu punctele de aplicație în

A și B, (figura 2.22.a), se știe de la fizică, că rezultanta lor este o altă forță de mărime R= F1+F2, al cărei punct de aplicație O se află pe segmentul AB, astfel încât F1OA= F2OB. Pentru a determina poziția punctului O scriem relația sub forma . Apoi construim AC= F2 în sens contrar lui F1 și BD= F1 în același sens cu F2. Dreapta CD intersectează dreapta AB în punctul O. Pentru a calcula distanța punctului O față de punctele de aplicație ale celor două forțe, aplicăm teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiurile asemenea AOC și BOD.

C O

B

O B F1 D

A A F2

F1 D

F2 C

a b

Figura 2.21

Dacă forțele paralele sunt de sens contrar, atunci rezultanta are mărimea R= F1-F2, iar

punctul O de aplicație al ei este exterior, astfel încât F1OA= F2OB (figura 2.22.b). Și în acest caz AC= F2 și BD= F1. În același mod se găsește poziția punctului O pe dreapta AB și distanța acestuia față de punctele de aplicație ale forțelor.

În cazul mai multor forțe paralele, cu punctele de aplicație coliniare, se compun

mai întâi primele două forțe, apoi rezultanta se compune cu cea de a treia forță, procedeul continuând până la ultima forță.

D. Fractali- Triunghiul lui Sierpinski

Fractalii sunt figure geometrice care pot fi divizate în părți, astfel încât fiecare parte să fie o copie miniaturală a întregului. Unul dintre cele mai cunoscute modele de fractali este Triunghiul lui Sierpinski.

Pornim de la un triunghi și construim cele trei linii mijlocii ale acestuia. Se obțin astfel patru triunghiuri identice, asemenea cu triunghiul dat. Triunghiurile din colțuri se colorează. Pentru cele trei din colțuri repetăm acțiunile anterioare. Acest procedeu poate fi repetat la nesfârșit. Ceea ce obținem este Triunghiul lui Sierpinski.

În acest caz, triunghiul lui Sierpinski a fost obținut prin construcția liniilor mijlocii în triunghi, deci a unui raport de asemănare În figura 2.22 sunt prezentați pașii ai construcției, începând cu , adică triunghiul inițial, până la , construcția putând continua cât dorim.

Figura 2.22

Triunghiul lui Sierpinski se poate obține pornind de la orice triunghi și utilizând orice raport de asemănare.

2.2.Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Alături de triunghiul echilateral, triunghiurile cu un unghi drept, pe care le numim triunghiuri dreptunghice, apar în numeroase aplicații și studii. Cunoștințele despre triunghiul dreptunghic apar încă de la începutul istoriei matematicii, rezultatele descoperite de-a lungul timpului fi ind aplicate în multe domenii ale vieții sociale.

Primele texte matematice descoperite, (2000-1800 I.Hr.), scrise pe tăblițe de argilă de babilonieni (Plimpton 332) sau pe papyrus (Rhind Mathematical Papyrus), vorbesc despre numere care pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic (numere pitagoreice) și despre proprietăți ale triunghiului dreptunghic.

2.2.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă

Definiția 2.13. Proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

A

A` d

Figura 2.22

Punctul A` este proiecția punctului A pe dreapta d. Pentru a proiecta un segment pe o dreaptă este suficient să proiectăm extremitățile segmentului pe dreapta dată. Distingem trei situații:

Dacă segmentul este paralel cu dreapta, atunci proiecția acestuia este un segment

congruent cu segmentul dat (figura 2.23a).

Dacă segmentul nu este paralel cu dreapta, atunci proiecția acestuia este un

segment a cărui lungime este mai mare dacât lungimea segmentului dat (figura 2.23b).

Dacă segmentul este perpendicular pe dreaptă, atunci proiecția acestuia este un

punct (figura 2.23c).

A B A A

B

B

d d d

A` B` A` B` A`=B`

a b c

Figura 2.23

Teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

C

D

A B

Figura 2.24

Demonstrație:

Deoarece ∢CAD și ∢ABD sunt unghiuri cu laturile respective perpendiculare, spunem că ele sunt congruente. Dar ∢ADC∢ADB, deci ACDADB. Rezultă că

, deci AD2=BDDC.

Această egalitate este echivalentă cu AD=.

Prima reciprocă a teoremei înălțimii

Dacă într-un triunghi lungimea înălțimii corespunzătoare unei laturi este media geometrică a lungimilor proiecțiilor celorlalte două laturi pe latura respectivă, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind cel determinat de laturile proiectate.

Conform figurii 2.24 putem afirma că, dacă AD2=BDDC, unde ADBC, atunci ABC este dreptunghic, iar m(∢BAC)=90o.

A doua reciprocă a teoremei înălțimii

Dacă într-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90o și DBC se verifică relația AD2=BDDC, atunci ADBC.

Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

C

D

A B

Figura 2.25

Demonstrație:

Deoarece ∢ABC∢ABD (unghi comun) și ∢BAC∢ADB, rezultă că ABCDBA. Scriem proporționalitatea laturilor astfel:

Din această relație rezultă că AB2=BDBC.

Această teoremă se poate aplica și pentru cealaltă catetă, adică AC2=CDCB.

Aceste egalități sunt echivalente cu relațiile AD= și AC=, ceea ce duce la o nouă formulare a teoremei catetei: într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

Prima reciprocă a teoremei catetei

Fie triunghiul dreptunghic ABC și D un punct situat pe BC astfel încât ADBC. Dacă este verificată una dintre relațiile AB2=BDBC sau AC2=CDCB, atunci triunghiul ABC este dreptunghic în A.

A doua reciprocă a teoremei catetei

Fie triunghiul ABC și D un punct situat pe BC. Dacă este verificată una dintre relațiile AB2=BDBC sau AC2=CDCB, atunci ADBC.

Observații:

Teorema înălțimii și teorema catetei exprimă „legături” între lungimile

elementelor unui triunghi dreptunghic: înălțimea, catetele, ipotenuza și proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Aceste „legături” se numesc relații metrice.

Reciproca teoremei catetei și reciproca teoremei înălțimii reprezintă modalități

de a arăta perpendicularitatea unor drepte.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma

pătratelor lungimilor catetelor.

BC2=AB2+AC2

C

D

A B

Figura 2.26

Demonstrație:

Vom demonstra această teoremă utilizând teoria proporțiilor.

Deoarece m(∢ADC)= m(∢BAC)=90o și m(∢ACD)= m(∢ACB), rezultă că ADCABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: Din această relație rezultă că AC2=CDBC.

Deoarece m(∢ADB)= m(∢BAC)=90o și m(∢ABC)= m(∢ABD), rezultă că ABDABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: Din această relație rezultă că AB2=BDBC.

Prin adunarea celor două relații se obține:

AB2+ AC2= BDBC+ CDBC=BC(BD+CD)=BCBC=BC2.

Tripletul pitagoreic:

Un triplet pitagoreic este format din trei numere naturale nenule a, b și c, cu proprietatea că a2 + b2 = c2. Acest triplet este de obicei notat (a, b, c), iar printre exemplele cele mai întâlnite se numără tripletul (3, 4, 5).

Dacă (a, b, c) este un triplet pitagoreic, atunci (ka, kb, kc) este tot un triplet pitagoreic pentru oricare număr întreg pozitiv k.

Exemplu: Pentru k=2, tripletul este (6, 8, 10).

62+82=102 36+64=100

Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a, b și c astfel încât numerele să fie prime între ele. Un astfel de triplet este (3, 4, 5).

Numele este derivat din denumirea teoremei lui Pitagora; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic.

Forma generală a unui triplet pitagoreic este dată de relațiile:

a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2, unde m și n sunt numere prime între ele și m>n.

Exemplu: Fie m=7 și n=5.

a=72-52=49-25=24

b=275=70

c=72+52=49+25=74

Verificăm dacă a2 + b2 = c2.

242+702=742 576+4900=5476, relație care este adevărată.

Teorema lui Pitagora stabilește echivalența între o proprietate geometrică (a fi un triunghi dreptunghic) și o proprietate numerică (suma pătratelor a două numere este pătratul altui număr), trasând o legătură între geometrie și aritmetică. Putem astfel reprezenta pe axa numerelor reale, cu exactitate, un număr irațional de forma . Reprezentarea se face utilizând teorema lui Pitagora, rigla și compasul.

Figura 2.27

În figura 2.27 este descris modul de reprezentare pe axă a lui Se construiește un segment cu lungimea egală cu , adică lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale cu 1. Apoi, cu ajutorul compasului trasăm un arc de cerc cu raza egală cu găsind astfel poziția pe axă a numărului

Figura 2.28

În figura 2.28 este prezentat modul de construcție a unor segmente de lungime . Construcția acestora poate continua, obținându-se astfel o spirală, numită spirala lui Arhimede.

Exemple:

Să se construiască un segment cu lungimea egală cu .

Figura 2.29

34=25+9=52+32

Să se construiască un segment cu lungimea egală cu .

Figura 2.29

15=9+4+1+1=32+22+12+12

O altă variantă este următoarea:

Figura 2.30

15=151=(8+7)(8-7)=82-72

Reciproca teoremei lui Pitagora:

Dacă suma pătratelor lungimilor a două laturi ale unui triunghi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind opus laturii a treia.

Dacă BC2=AB2+AC2, triunghiul ABC este dreptunghic, cu m(∢A)=90o.

Demonstrație: C

A B

D

Figura 2.31

Pe perpendiculara în A pe AB considerăm punctul , astfel încât AD ≡ AC, punctele D, C fiind situate în semiplane diferite determinate de dreapta AB.

În triunghiul ABD, dreptunghic, m(∢BAD) = 90° (din construcție) aplicăm teorema lui Pitagora: BD2 = AB2 + AD2. Din ipoteză, BC2 = AB2 + AC2 = AB2 + AD2.

Rezultă că [BD]≡[BC]. Comparând triunghiurile ABD și ABC avem: [AB]≡[AB], [AD]≡[AC] și [BD]≡[BC]. Cazul de congruență L.L.L. ne conduce la congruența

triunghiurilor ABD și ABC, deci la congruența unghiurilor ∢BAC și ∢BAD. Deoarece

m(∢BAD) = 90°, rezultă că triunghiul ABC este dreptunghic, cu ipotenuza BC.

Aplicații

Să se calculeze înălțimile într-un triunghi isoscel ABC în care AB=AC=10cm și

BC=12cm. A

E

B C

D

Figura 2.32

Demonstrație:

În ABC construim ADBC și BEAC.

În ACD aplicăm teorema lui Pitagora: AC2=AD2+DC2. De aici rezultă că

AD2= AC2- DC2=102-62=100-36=64

AD==8cm.

Cealaltă înălțime a triunghiului isoscel se obține din egalitatea ariilor, adică

=. Din această relație determinăm înălțimea ===9,6cm.

Să se calculeze înălțimea corespunzătoare laturii BC a unui triunghi oarecare cu

laturile AB=5cm, AC=6cm și BC=7cm.

Demonstrație:

În ABC construim ADBC. Notăm BD= x și DC=7-x. Aplicăm Teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice formate: ADB și ADC.

AD2=AB2-BD2=52-x2=25-x2

AD2=AC2-CD2=62-(7-x)2=36-49+14x-x2 = -13+14x-x2

Din cele două relații rezultă că 25-x2 = -13+14x-x2x =, deci BD= .

AD=cm.

A

B x 7-x C

D

Figura 2.33

Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu m(∢A) = 90°, ADBC, DBC.

Demonstrați relațiile: (1) ADBC=ABAC

(2)

A

B D C

Figura 2.34

Demonstrație:

Pentru a demonstra această relație se folosește egalitatea ariilor. Deoarece

ABC este dreptunghic, vom calcula aria acestuia în două moduri:

Egalând aceste două relații obținem:

Pentru a demonstra a doua relație vom porni de la relația (1), pe care o vom

ridica la pătrat. Vom obține:

Observație:

Relațiile (1) și (2) au numeroase aplicații și mai sunt cunoscute și sub denumirea de a doua, respectiv a treia teoremă a înălțimii.

Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Trigonometria se referă la legăturile dintre unghiurile și laturile unui

triunghi. În limba greacă, trigonon înseamnă triunghi, iar metron înseamnă măsurare.

Fie ABC un triunghi dreptunghic, cu m(∢A) = 90° și m(∢B) = .

C

A B

Figura 2.35

În acest triunghi dreptunghic se definesc următoarele rapoarte constante:

Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și

lungimea ipotenuzei.

Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi și lungimea ipotenuzei.

Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate acestui unghi.

Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse acestui unghi.

Deoarece unghiurile ascutțite ale unui triunghi dreptunghic sunt unghiuri complementare putem spune:

Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său.

sin = cos(90◦ − )

Cosinusul unui unghi este egal cu sinusul complementului său.

cos = sin(90◦ − )

Tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului său.

tg = ctg(90◦ − )

Cotangenta unui unghi este egală cu tangenta complementului său.

ctg = tg(90◦ − )

Aplicând teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABC, putem demonstra

formula fundamentală a trigonometriei: (sin )2+( cos )2=1.

AB2+AC2=BC2 1 (sin )2+( cos )2=1

Cele mai utilizate unghiuri sunt cele prezentate în figura 2.36, unde apar și valorile funcțiilor trigonometrice ale acestora.

Figura 2.36

Valorile pentru sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiurilor de la 1o până la 89o se găsesc în tabelele de mai jos.

Pe coloanele numite „sin”, „cos”, „tg” sau „ctg” sunt măsurile unghiurilor de la 1o până la 89o, din grad în grad. În coloanele din dreapta coloanelor „sin” și „tg” sunt valorile pentru sinus, respectiv tangentă. În coloanele din stânga coloanelor „cos” și „ctg” sunt valorile pentru cosinus, respectiv cotangentă.

Exemplu: sin 19o = 0,325, cos 48o = 0,669, tg 55o = 1,428, ctg 82o = 0,140.

Aplicații ale funcțiilor trigonometrice în determinarea ariilor unor poligoane

Aria triunghiului

A

ha

B D C

Figura 2.37

Fie și ha înălțimea corespunzătoare laturii BC. Aria acestui triunghi se determină astfel:

Aria paralelogramului

D C

A B

E Figura 2.38

Fie ABCD un paralelogram și h înălțimea acestuia.

Aria rombului

A

B D

C

Fie ABCD un romb și h înălțimea acestuia. Calculăm aria acestuia ca dublul ariei triunghiului ABD.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina toate elementele triunghiului (lungimile laturilor, lungimea înălțimii și măsurile unghiurilor ascuțite) atunci când cunosc două dintre ele, dintre care, cel puțin una este lungime. Aceasta se poate face folosind teoremele metrice învățate și rapoartele trigonometrice.

Aplicații

2.3.Relații metrice în cerc

Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente. Pentru a le construi ne folosim de un cerc. Se numește centrul unui poligon regulat centrul cercului circumscris poligonului.

Când vorbim de un poligon regulat, ne referim la: latura poligonului, un unghi al poligonului, raza cercului circumscris poligonului, diagonalele poligonului, apotema poligonului, perimetrul și aria acestuia. În numeroase cazuri, cunoaștem un element sau câteva dintre elementele unui poligon regulat și le determinăm pe celelalte.

Vom studia, în acest sens, poligoanele regulate cu 3, 4 respectiv 6 laturi. Notăm ln latura poligonului regulat cu n laturi, n ∈ {3, 4, 6} și R raza cercului circumscris acestui poligon.

Se numește apotemă a unui poligon regulat perpendiculara dusă din centrul poligonului pe una dintre laturi și se notează cu an.

Triunghiul echilateral

Figura 2.37

Dacă notăm l3, a3, S3 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui triunghi echilateral și R raza cercului circumscris, atunci:

Pătratul

Figura 2.38

Dacă notăm l4, a4, S4 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui pătrat și R raza cercului circumscris, atunci:

Hexagonul regulat

Figura 2.39

Dacă notăm l6, a6, S6 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui hexagon regulat și R raza cercului circumscris, atunci:

Aplicații

1. Un patrulater inscriptibil are diagonalele perpendiculare. Să se arate că perpendiculara dusă din punctual de intersecție al diagonalelor pe una din laturi trece prin mijlocul laturii opuse.

Demonstrație: D

M

A C

B

Figura 2.40

Conform figurii 2.40 putem spune că . Dar , prin urmare . Rezultă că și . Analog se demonstrează că , de unde rezultă că

Dreapta lui Simpson

Proiecțiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic pe

laturile sale sunt coliniare.

C A`

M

B

A

Figura 2.41

Cu notațiile din figura 2.41 putem scrie că patrulaterul MA`CB` este inscriptibil deoarece și . În concluzie,

Capitolul 3. PRINCIPIUL ÎNVĂȚĂRII CONȘTIENTE ȘI ACTIVE FOLOSIT ÎN PREDAREA-ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Capitolul 4. METODE TRADIȚIONALE ȘI MODERNE ACTIV-PARTICIPATIVE FOLOSITE ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU