2.1. Traductorul electrotensometric rezistiv 16 2.2. Elementul elastic 23 2.3. Lanțul de măsurare 30 2.4. Dispozitive auxiliare 34 CAPITOLUL 3 37… [306466]

CUPRINS

CAPITOLUL 1 2

CAPTOARE 2

CAPITOLUL 2 15

CONSTRUCȚIA CAPTOARELOR 15

2.1. Traductorul electrotensometric rezistiv 16

2.2. Elementul elastic 23

2.3. Lanțul de măsurare 30

2.4. Dispozitive auxiliare 34

CAPITOLUL 3 37

ELEMENTELE ELASTICE ALE CAPTOARELOR 37

3.1. Elementul elastic 38

3.2. Solicitările elementului elastic 42

3.3. Rigiditatea și liniaritatea elementului elastic 48

CAPITOLUL 4 62

METODE DE CALCUL PENTRU ELEMENTELE ELASTICE ALE CAPTOARELOR 62

4.1. Generalități 63

4.2. Starea plană de tensiuni 66

4.3. Metode numerice 68

CAPITOLUL 5 82

APLICAȚII ALE CALCULULUI ELEMENTULUI FINIT PENTRU BRAȚUL DE MACARA 82

5.1 Exemple de calcul 83

5.1.1 [anonimizat] 83

Bibliografie 91

CAPITOLUL 1

CAPTOARE

Un lanț de măsurare are în componența sa și un captor (fig. 1.1).

[anonimizat] (de măsurare) pot avea elemente suplimentare sau pot fi mai simple (comparativ cu figura 1.1).

Captorul poate conține pe lângă cele două componente fundamentale (elementul elastic și traductoarele rezistive), o serie de dispozitive sau subansamble.

Performanța procesului de măsurare depinde de calitatea fiecărei verigi componente.

Fig. 1.1

Precizia lanțului în ansamblu va fi mai mică comparativ cu veriga cu cea mai scăzută precizie. De aceea trebuie asigurată omogenitatea performanțelor metrologice ale tuturor verigilor.

Pentru a [anonimizat]; altfel, fie se obține un lanț cu performanțe superioare cerințelor (și mai scump) sau un lanț cu performanțe sub cele necesare.

[anonimizat], piezoelectrice, capacitive etc. [anonimizat] o suplețe mult mai mare în ceea ce privește integrarea lor în lanțul cinematic.

În continuare vor fi enumerate caracteristicile principale ale captoarelor.

Sarcina (tipul sarcinii) este mărimea fizică de intrarea a captorului care produce un semnal (sau variația unui parametru) electric. Axele (sau axa) primare sunt axele după care trebuie aplicată sarcina în condițiile garantării tuturor caracteristicilor captorului. Fiecare axă este definită de originea și direcția sa.

Sarcina nominală (sau capacitatea) a captorului este cea mai mare valoare a sarcinii care poate fi aplicată captorului pentru o [anonimizat].

Semnalul de ieșire al captorului este variația mărimii electrice la bornele acestuia când sarcina variază. Aceasta poate fi o [anonimizat].

Scala totală de ieșire este diferența algebrică între semnalele de ieșire ale captorului obținute pentru sarcina nulă și sarcina nominală.

Curba de etalonare este dependența dintre semnalului de ieșire al captorului și sarcina aplicată. [anonimizat].

Liniaritatea este diferența maximă dintre curba de etalonare și o dreaptă trasată între punctele corespunzătoare sarcinii nule și sarcinii nominale (fig. 1.2). [anonimizat]

(1.1)

Fig. 1.2

Fidelitatea captorului este caracteristica acestuia de a da indicații cu o [anonimizat], în condiții identice.

Totdeauna procesul de măsurare a unei mărimi a cărei adevărată valoare este m este afectată de erorile aleatorii ceea ce conduce la obținerea rezultatelor măsurătorilor

(1.2)

de asemenea aleatorii. Repetând de un număr mare de ori, în condiții identice, măsurarea mărimii m, se constată că rezultatele aleatorii ale măsurătorii sunt caracterizate de o lege de repartiție bine determinată.

Fidelitatea captorului se evaluează cantitativ prin mărimea dispersiei erorilor ce se obțin la utilizarea sa. În continuare se presupune că erorile sistematice ale captorului sunt nule.

Cazul când adevărata valoare a mărimii ce se măsoară este constantă.

Dacă măsurătorile sunt nedistructive (cazul captorului) este posibilă repetarea de n ori a măsurării mărimii m avută în vedere și captorul furnizează valorile date de relația (1.2) pentru

Dacă valorile au o repartiție normală, înseamnă că și variația erorilor este normală, fiind centrată în raport cu m. Înseamnă că definirea fidelității captorului se poate face pornind de la valorile observate pentru care se calculează dispersia

Cazul când adevărata valoare a mărimii ce se măsoară este variabilă.

Dacă se utilizează un singur aparat care măsoară o singură dată o anumită valoare a mărimii ce se studiază se obține:

(1.3)

Pentru rezolvarea problemei, fie se repetă măsurările, fie se utilizează mai multe aparate care fac măsurători simultan.

Pentru aplicațiile practice, uzual fidelitatea se mai numește și repetabilitate și se definește ca diferența maximă dintre semnalele de ieșire obținute prin aplicarea succesivă a aceleași sarcini, în aceleași condiții (se exprimă în procente față de scala totală la ieșire).

Precizia (denumită și justețe sau toleranță): caracteristica unui captor de a da indicații cât mai apropiate de cele ale adevăratei valori a mărimii pe care o măsoară. Precizia captorului se estimează prin erorile cinematice ale indicațiilor sale. Dar cum aceste erori afectează valoarea mediei aritmetice a indicațiilor captorului, înseamnă că precizia unui captor nu se poate verifica decât prin comparație cu alte captoare.

1. Compararea erorilor sistematice. Dacă c este numărul captoarelor cu care se măsoară n valori ale unei mărimi, se obține pentru fiecare captor câte un șir de n determinări . Precizia captoarelor este aceeași dacă media aritmetică a abaterilor aleatorii corespunzătoare fiecăruia din cele c șiruri de date este aceeași. Această concluzie este valabilă sub rezerva verificării prealabile a egalității fidelității captoarelor pentru care se face determinarea.

2. Etalonarea unui captor. Etalonarea unui captor este determinată pentru precizia acestuia.

Curba de etalonare a captorului (definită anterior) poate fi privită ca o funcție dintre adevăratele valori m ale mărimii ce se măsoară și indicațiile x ale captorului. Procesul de măsurare fiind afectat de erorile aleatorii z, rezultă

(1.4)

Pentru o mărime dată, există o zonă de incertitudine ca urmare a împrăștierii indicațiilor x ale captorului (fig. 1.3).

Se presupune că repartiția valorilor aleatorii x este normală și centrată pe valoarea x și abaterea medie pătratică este s. Dacă repartiția se limitează la atunci există probabilitatea de 95% ca indicația a captorului să se afle în zona .

Fig. 1.3

În practica măsurătorilor problema este inversă, adică pentru o indicație a captorului să se determine Dar lui îi corespundeun interval de încredere asociat IS având probabilitatea de 95% să îl conțină pe Se poate scrie:

(1.5)

Rezultă că este inutil ca diviziunile scării aparatului să fie mai mici decât cele corespunzătoare intervalului de încredere IS, orice interpolări în interiorul acestui interval fiind lipsite de sens.

Cantitativ precizia se definește ca cea mai mică valoare care este cu certitudine superioară diferenței dintre sarcina reală aplicată și valoarea determinată pe curba de etalonare și se exprimă în procente față de sarcina nominală.

Sensibilitatea captorului este caracteristica acestuia de a pune în evidență cele mai mici variații ale sarcini, sdică, având două rezultate și a două măsurări, se pune problema dacă valorile adevărate corespunzătoare sunt diverite.

În acest caz relația (1.4) duce la expresiile

de unde, scăzând a doua relație din prima, rezultă

Valoarea minimă , care se traduce printr-o variație semnificativă a semnalului de ieșire al captorului are valoarea

în care s și au aceleași semnificații ca la caracteristica anterioară.

Uzual prin sensibilitatea captorului se înțelege panta curbei de etalonare și se definește prin raportul dintre o variație a semnalului de ieșire și variația sarcinii corespunzătoare.

Pragul de sensibilitate reprezintă cea mai mică variație a sarcinii care produce o variație perceptibilă a semnalului de ieșire.

Histerezisul este diferența dintre semnalele de ieșire obținute pentru aceeași sarcină aplicată mai întâi crescător, pornind de la zero și apoi descrescător, pornind de la sarcina nominală. De regulă histerezisul se definește pentru o valoare a sarcinii egală cu jumătate din sarcina nominală și se exprimă în procente față de scala totală la ieșire. Măsurile pentru determinarea histerezisului trebuie executate suficient de rapid pentru a nu fi influențate de fluaj.

Eroarea combinată (liniaritate și histerezis) reprezintă diferența maximă dintre dreapta ce trece prin punctele corespunzătoare sarcinii nule și sarcinii nominale și curbele de etalonare obținute pentru sarcini crescătoare și descrescătoare. Se exprimă în procente față de scala totală de ieșire.

Fluajul este ansamblul fenomenelor de curgere în timp a elementelor componente ale captorului (element elastic, adeziv, traductoare rezistive etc.) și se manifestă prin variații ale semnalului de ieșire sub sarcină în funcție de timp. Fluajul se definește pentru sarcina nominală (toate celelalte mărimi fiind constante), în procente față de scala totală la ieșire, pentru o anumită perioadă de timp.

Fluajul rezidual apare ca urmare a variației semnalului de ieșire după anularea sarcinii și se exprimă în procente față de scala totală de ieșire, pentru o anumită perioadă de timp.

Independența captorului este definită de pragul de sensibilitate la variațiile altor mărimi, altele decât cele pentru care a fost construit captorul. Aceste mărimi pot avea aceeași natură fizică (de exemplu forța laterală pentru un dinamometru care măsoară forța axială) sau pot fi de natură diferită (de exemplu zgomotul pentru un accelerometru).

Ambianța reprezintă ansamblul acelor mărimi caracteristice ale mediului ambiant care pot influența parametrii funcționali ai captorului și care trebuie avuți în vedere la etalonarea și utilizarea captorului.

Dezechilibrul inițial este semnalul de ieșire pentru o sarcină nulă. În cazul în care semnalul de ieșire este o tensiune, dezechilibrul inițial se exprimă prin raportul dintre tensiunea corespunzătoare dezechilibrului și tensiunea de alimentare (mV/V).

Deriva reprezintă variația semnalului de ieșire la sarcină constantă și se exprimă în procente față de scala totală la ieșire pentru o perioadă de timp nedefinită.

Deriva echilibrului este variația dezechilibrului inițial în absența sarcinii, fără cauze termice, pentru o perioadă de timp nedefinită.

Revenirea la zero reprezintă diferența dintre semnalele de ieșire la sarcină nulă, înainte de aplicarea sarcinii și după înlăturarea ei.

Derivarea termică de zero este definită de variația semnalului de ieșire produsă de variația temperaturii în absența sarcinii și se exprimă în procente față de scala totală la ieșire pentru o variație a temperaturii de

Efectul termic asupra sensibilității este definit de variația semnalului de ieșire produsă de variația temperaturii, pentru sarcina nominală. Se exprimă în procente față de scala totală la ieșire pentru o variație a temperaturii de

Efectul gradientului termic reprezintă influența asupra preciziei captorului produsă de o diferență de temperaturaă de dintre două puncte anumite ale captorului.

Compensarea: formată din dispozitivele accesorii (macanice și electrice), destinate să amelioreze eventualele imperfecțiuni ale elementului elastic sau ale circuitelor electrice în vederea îmbunătățirii caracteristicilor captorului.

Temperaturile extreme de compensare sunt temperaturile inferioară și superioară, care nu pot fi depășite decât cu riscul de a compromite definitiv unele dintre caracteristicile captorului.

Temperaturile extreme de utilizare reprezintă temperaturile inferioară și superioară care definesc intervalul pentru care funcționarea captorului are garantate caracteristicile normale de funcționare.

Excitația: tensiunea de alimentare a captorului.

Rezistența de intrare este rezistența electrică măsurată între firele cărora li se aplică excitația, firele de ieșire fiind libere (neconectate).

Rezistența de ieșire este rezistența electrică măsurată între firele de legătură ale captorului cu următoarea verigă a lanțului de măsurare, firele de intrare fiind libere.

Rezistența de izolație reprezintă rezistența electrică dintre circuit și masa captorului, de obicei măsurarea efectuându-se la tensiunea de 50V c.c. Eventual rezistența de izolație se definește în funcție de condițiile de mediu, de exemplu la imersarea captorului în apă pentru un anumit interval de timp.

Variația rezistenței de intrare în funcție de variația temperaturii se exprimă în procente pentru

Variația rezistenței de ieșire în funcție de variația temperaturii se exprimă în procente pentru

Deplasarea (sau săgeata) este distanța dintre pozițiile punctului de aplicație a sarcinii corespunzătoare sarcinii nule și nominale.

Frecvențele proprii ale vibrațiilor libere, pe direcția sarcinii, în absența acesteia; se exprim în Hz.

Suprasarcinile electrice admisibile defines parametrii sursei de alimentare a captorului care nu pot fi depășiți fpră riscul de a se modifica una sau mai multe dintre caracteristicile captorului sau de a-l distruge definitiv.

Suprasarcinile mecanice admisibile sunt valorile maxime ale sarcinilor care se recomandă să nu fie depășite deoarece există riscul de a se modifica una sau mai multe dintre caracteristicile captorului sau de a-l distruge definitiv. Diferența dintre sarcina nominală și suprasarcini constă în aceea că sarcina nominală poate fi aplicată captorului de un număr indefinit de ori pe când suprasarcinile acționează doar accidental, de un număr mic de ori.

Pentru celule de sarcină, cu tensorezistoare, pentru măsurat forțe sau mase, se definesc caracteristici, precum: intervalul nominal de măsurare, intervalul maxim de utilizare, intervalul maxim de încărcare, sarcina minimă de măsurare, sarcină maximă de utilizare, sarcină maximă de încărcare, sarcină neaxială excentrică, sarcină laterală maximă admisibilă, capacitate de încărcare dinamică, caracteristică de convertire liniară, bandă de erori în regim static (fig. 1.4).

Pentru fiecare captor în parte, în funcție de destinația sa și de lanțul de măsurare în care urmează să fie conectat, trebuie stabilite valorile optime ale caracteristicilor. Impunerea unor caracteristici prea severe duce la scumpirea excesivă a captorului, după cum acceptarea unor caracteristici cu un nivel nesatisfăcător duce la erori prea mari în procesul de măsurare (o creștere a preciziei de zece ori duce la o creștere a prețului de cost cu cel puțin același factor).

Fig. 1.4

Uzual pentru aparatura de măsurare în general și pentru captoare în special, se definesc diverse clase de precizie. În tabelul 1.1 se prezintă valorile câtorva caracteristici ale captoarelor pentru măsurarea greutăților și ale celor pentru măsurarea presiunilor pentru trei clase de precizie: utilizare curentă, precizie îmbunătățită și înaltă precizie. Valorile se dau în procente față de scala totală la ieșire. Informativ se dă și prețul relativ.

Unele caracteristici sunt contradictorii, ca de exemplu sensibilitatea și sarcina nominală, ceea ce duce la limitarea sensibilității pentru o sacină nominală dată și invers, pentru o sensibilitate impusă, sarcina nominală rezultă. Desigur că aceste limitări, ca și altele de acest gen, depind de tipul captorului.

Trebuie remarcat faptul că, pe de o parte, foarte multe dintre caracteristicile enumerate nu sunt independente ci derivă din combinarea altora, iar pe de altă parte contribuția diverselor caracteristici la obținerea performanțelor globale ale captorului este de asemenea foarte diferită. Unele caracteristici pot fi obținute cu ușurință (de exemplu rezistențele de intrare, de ieșire și de izolație), iar altele cu eforturi deosebite (de exemplu precizia).

Tabelul 1.1

Valorile unor caracteristici ale captoarelor

Pentru realizarea unui ansamblu de valori satisfăcătoare ale caracteristicilor unui captor proiectantul nu dispune de o metodologie standard generală, care să ducă la o soluție unică, ci dimpotrivă, are de ales între un foarte mare număr de variante, căi și mijloace pentru a obține o configurație optimă, care este un compromis între diverse cerințe contradictorii. De fapt, un captor este (mai mult sau mai puțin) sensibil la toate fenomenele ambiante, care se manifestă prin variații ale presiunii, temperaturii, accelerației etc. Pentru a măsura una singură dintre aceste mărimi trebuie ca mărimea reapectivă să fie dominantă, adică trebuie ca ea să dea o informație importantă, astfel încât celelalte fenomene să producă semnale de intensități neglijabile în raport cu cel al mărimii ce urmează să se măsoare. Semnalele produse de variațiile celorlalte mărimi se numesc parazite și formează așa numitul “zgomot”.

Prin urmare, valorile dorite ale preciziei, sensibilității și fidelității unui captor nu pot fi obținute decât în măsura în care acesta este insensibil la variațiile mărimilor parazite. Principalele mijloace prin care se poate atinge acest obiectiv derivă din concepția mecanică a captorului, amplasarea traductoarelor rezistive și utilizarea unor dispozitive anexe.

Relativ frecvent captoarele sunt incluse în mari sisteme automatizate ca de exemplu cele din industria chimică, energetică, transporturi feroviare, complexe aerospațiale etc. Deoarece astfel de sisteme conțin un număr mare de componente trebuie luate măsuri de prevenire a unei pene a întregului sistem ca urmare a defectării unei piese. În consecință toate subansamblele principale ale sistemului se dublează sau se triplează și se verifică sau se înlocuiesc periodic chiar dacă sunt în perfectă stare de funcționare.

În acest context apare necesitatea cunoașterii fiabilității sistemului în ansamblu, care este funcție de durata de exploatare (estimată cu un anumit nivel de încredere prestabilit) a tuturor componentelor. Pentru evaluarea cantitativă a fiabilității unui sistem sau a unei componente se definește timpul mediu al bunei funcționări, care se determină prin calcul sau experimental.

Pentru un captor timpul mediu al bunei funcționări (intervalul de timp în care funcționarea captorului este sigură, cu un anumit nivel de încredere, fără a fi necesare reglaje sau reparații) depinde de o mulțime de factori care pot fi grupați în următoarele categorii:

Partea mecanică a cărei componentă de bază este decrementul elastic. Fiabilitatea acestuia depinde de forma sa, de materialul și de calitatea tehnologiei de fabricație.

Partea electrică (cu excepția traductoarelor) cuprinde cablurile, anexele (de exemplu rezistențele de echilibrare) și conexiunile respective. Fiabilitatea acestor componente trebuie precizată în normele de fabricație.

Traductoarele rezistiveau fiabilitatea garantată de firma producătoare, menționată în documentația care însoțește produsul. Se disting două situații în practică:

• prin natura funcției pe care trebuie să o realizeze, traductorului i se impune durata de viață. Pentru fiecare tip de traductor firma producătoare a determinat durabilitatea, care este dată sub forma curbelor de oboseală. Cunoscând parametrii ciclului real de solicitare (coeficientul de asimetrie și amplitudinea deformației specifice) se poate estima durata de viață a traductorului pentru condițiile respective. Trebuie menționat că diagramele rezistențelor la oboseală determinate de fabricant au fost obținute pentru traductoare care au fost lipite și cablate cu grijă. Dacă pentru situația reală nu se realizează condiții asemănătoare, rezistența la oboseală efectivă poate fi mult diminuată.

• traductorul măsoară o deformație specifică constantă sau cvasinulă. Durata de viață depinde fundamental și în acest caz de calitatea operațiilor de montaj.

În concluzie, durata de viață a traductoarelor montate corespunzător este realativ mare. Limitările duratei de viață sunt determinate de calitatea operațiilor de montaj ale traductoarelor pe elementul elastic și de calitatea conexiunilor.

Măsuri deosebite trebuie avute în vedere la proiectarea și execuția captoarelor destinate unor utilizări de lungă durată. Acesta este cazul captoarelor destinate supravegherii unei construcții de importanță deosebită, a unui baraj, a unui pod etc. În legătură cu funcționarea unui astfel de captor, după perioade de ani sau zeci de ani, încep să apară unele îndoieli, deși practica a arătat că traductoarele rezistive sunt adecvate unor astfel de utilizări. Când captorul indică o valoare constantă se pune întrebarea dacă este fidel; dacă, dinpotrivă,arată o variație a sarcinii se pune întrebarea dacă aceasta este deriva captorului sau este efectul unei evoluții a structurii supravegheate. Aceste întrebări trebuie anticipate, deoarece captorul devine inutil dacă nu se iau în considerare informațiile pe care el le furnizează. Găsirea soluțiilor optime ale acestor probleme implică foarte multă ingeniozitate. Ideal este ca să se prevadă posibilitatea descărcării de sarcină a captorului pentru a fi verificat, reetalonat sau eventual, înlocuit. O altă cale este utilizarea unor captoare fictive “martori”, identice cu cele active, aflate în aceleași condiții de mediu, dar nesolicitate. Determinând modificările în timp ale captoarelor “martori”, se pot estima, cu o anumită probabilitate, modificările captoarelor active. Se practică, relativ mult pentru astfel de utilizări, dublarea sau triplarea captoarelor. Dacă indicațiile acestora sunt identice există o mare probabilitate ca ele să fie juste. Oricare ar fi situația, trebuie totdeauna cunoscute condițiile de exploatare, pentru a prevedea posibilități de control, singurele în măsură să înlăture incertitudinele.

CAPITOLUL 2

CONSTRUCȚIA CAPTOARELOR

2.1. Traductorul electrotensometric rezistiv

Captoarele sunt dispozitive electromecanice complexe, care, printr-un șir de transformări succesive, convertesc variația mărimii mecanice de intrare în semnal electric de ieșire. Deoarece informațiile furnizate de captor nu pot fi folosite ca atare ci trebuie prelucrate ulterior, se impune studiul captorului în legătură cu întregul lanț de măsurare.

Trebuie menționat că există o strânsă legătură între componentele mecanice (elementul elastic sau sensibil, dispozitive mecanice asociate) și cele electrice din structura captorului (traductoarele, elementele de conexiuni, dispozitivele electronice încorporate), încât ele trebuie gândite împreună încă din faza de proiectare, spre a obține un captor performant din toate punctele de vedere.

Traductorul electrotensometric rezistiv (TER), denumit și senzor rezistiv, tensorezistor sau marcă tensometrică, cel mai răspândit mijloc de măsurare în analiza experimentală a tensiunilor din diverse structuri elastice, este totodată și elementul de bază utilizat în captoarele pentru măsurarea electrică a mărimilor mecanice.

TER (fig. 2.1) este alcătuit dintr-un circuit metalic în formă de rețea (A), așezat pe un suport izolant subțire (B), pe care sunt marcate repere (C) pentru alinierea pe piesa testată; deasupra rețelei se află o îmbrăcăminte izolantă (D), ce lasă libere terminalele (E), care permit conectarea în circuitul electric. Porțiunea sensibilă la deformație este , numită bază de măsurare.

Fig. 2.1 Traductorul electrotensometric rezistiv

La baza utilizării TER stă fenomenul de variație a rezistenței electrice a unui conductor datorită deformației sale mecanice. Variația rezistenței traductorului este, între anumite limite, practic proporțională cu deformația specifică suferită de aceasta o dată cu piesa pe care este aplicat. Se definește o constantă k a traductorului:

(2.1)

unde R este rezistența inițială a mărcii, – variația rezistenței electrice cu solicitarea mecanică, – deformația specific (raportul dintre alungire a rețelei deformate și
– lungimea sa inițială). Valoarea uzuală pentru TER din constantan este

În figura 2.2 sunt prezentate mai multe tipuri de TER: cu fir sub formă de grilă plană (a) sau înfășurat (b), cu folie (c), obținută prin procedee fotochimice, asemănătoare cu cele folosite pentru circuitele imprimate din electronic sau cu material semiconductor (d).

Fig. 2.2

Rozetele tensometrice reunesc pe un suport unic două până la patru TER. Deoarece elementele elastice ale captoarelor au de obicei forme care prezintă diverse plane de simetrie sau sunt calculate prin metode analitice (cele din rezistența materialelor) și numerice (de exemplu, metoda elementelor finite) sau studiate experimental (fotoelasticitate, holografic), se cunosc direcțiile principale ale deformațiilor specifice, deci sunt suficiente rozete pe două direcții. Principalele tipuri de rozete, recomandate în construcția captoarelor pentru mărimi mecanice, sunt prezentate în tabelul 2.1. Prin variatatea și caracteristicile lor, rozetele pe două direcții sunt utile într-o arie largă de aplicații, pentru măsurări în regim static și dinamic.

Principalele criterii de alegere a TER pentru utilizări în domeniul captoarelor sunt următoarele:

– materialul elementului elastic, care impune un anumit coeficient de temperatură al mărcii tensometrice;

– adezivul disponibil, tinând seama de tabelele de compatibilitate față de diferitele tipuri de suporturi ale TER. Pentru captoarele cu performanțe ridicate este obligatorie utilizarea unui adeziv cu tratament în cuptor;

– gradientul deformării specifice (fig. 2.3), care determină baza de măsurare optimă. O marcă integrează deformațiile specifice și indică o valoare mai mică decât cea maximă. Un traductor cu baza foarte mică poate sesiza maximul lui , cu condiția de a fi poziționat cu mare precizie pe elementul elastic;

– rezistența mărcii tensometrice, care trebuie să satisfacă două cerințe contradictorii: să fie suficient de mică în comparație cu rezistența de izolație dintre conductorul metallic din componența TER și structura metalică a elementului elastic al captorului, dar să fie cât se poate de mare față de rezistența conductorului de lagătură spre aparatul electronic de măsurare;

Tabelul 2.1

Tipuri de rozete pe două direcții

Fig. 2.3 Gradientul deformării specifice

– constanta k a traductorului, legată de posibilitățile de reglaj ale punții tensometrice, dacă

– mărimea deformației specifice, care nu trebuie să depășească, în concordanță cu limita de elasticitate a materialului elementului sensibil al captorului, valoarea adică (microdeformații);

– flexibilitatea suportului, rezultând raza de curbură minimă a elementului elastic pe care se poate lipi TER;

– precizia cerută, direct proporțională cu costul măsurării;

– stabilitatea deformației specifice statice;

– durabilitatea, adică durata de viață la solicitări ciclice;

– comportarea în regim dinamic, ținând seama de recomandarea ca baza TER să fie de cel mult o zecime din lungimea de undă a fenomenului studiat (astfel frecvența maximă poate ajunge la 100kHz);

– durata încercării, cerând TER cu histerezis și fluaj redus;

– domeniul de temperatură, care implică mai multe aspect, începând cu sensibilitatea suportului la lipirea terminalelor cu ciocanul de lipit și terminând cu condițiile de disipare termică ale TER în timpul măsurării;

– condițiile de lucru (laborator, hală industrial, teren), care impugn măsuri corespunzătoare de protecție la influența factorilor ambientali;

– raportul semnal/zgomot;

– spațiul disponibil pentru instalare la elementele elastice miniaturale sau de forme complicate;

– simplitatea instalării, care depinde de materialele avute la dispoziție și de îndemânarea operatorului.

Datorită multitudinii acestor criterii, adesea contradictorii, alegerea TER este o problemă delicată, care necesită cunoștințe pluridisciplinare, experiență și ingeniozitate, atribute indispensabile realizării unor captoare cu performanțe ridicate.

Montajul cel mai bun pentru a sesiza micile variații de rezistență ale mărcilor tensometrice în procesul de măsurare () este puntea Wheatstone (fig. 2.4). TER se amplasează în cele patru brațe ale punții. Pe diagonala de alimentare (în c.c. sau c.a.) se aplică o tensiune constantă iar pe diagonala de măsurare se obține semnalul de ieșire care, în metoda punții dezechilibrate, ideală pentru captoare, este o expresie directă a variației rezistențelor din brațele active ale punții.

Fig. 2.4

Condiția de echilibru cunoscută pentru punte

(2.2)

impune o regulă fundamentală pentru tensometria electrică rezistivă și anume:

– efectele din două brațe opuse se adună;

– efectele din două brațe adiacente se scad.

Modelul matematic liniarizat al punții Wheatstone complete se obține făcând următoarele ipoteze:

impedanța sursei de alimentare este neglijabilă;

impedanța instrumentului de măsură este infinită;

TER sunt identice (luate din același pachet), adică

(2.3)

– variația rezistenței mărcii este mult mai mică decât valoarea sa inițială: unde

În aceste condiții, se ajunge la relația:

(2.4)

,în care este tensiunea de alimentare a punții, aleasă astfel încât să nu se producă o încălzire excesivă a traductoarelor, n – numărul de brațe active sau factorul de punte, obținut prin însumarea valorilor alocate pentru fiecare braț; 1- dacă TER este activ, așezat pe direcția principală de solicitare: (coeficientul lui Poisson) – dacă TER este așezat transversal, 0 – pentru TER pasiv (nelipit pe structura elastică) sau rezistor de completare a punții; k – factorul de sensibilitate al mărcii, cu valori uzuale între 1,9 și 2,1; – deformația specifică sub marcă; – tensiunea în diagonale de măsurare.

Traductoarele tensometrice se pot conecta în punte în mai multe moduri:

sfert de punte (fig. 2.5, a), completând schema cu trei rezistențe calibrate montate în aparat;

semipunte (fig. 2.5, b), la care celor două TER exterioare li se adaugă două rezistențe calibrate interioare;

punte completă (fig. 2.5, c), unde toate cele patru brațe sunt alcătuite din mărci tensometrice.

Fig. 2.5

Montajul preferat pentru captoare este puntea completă, care asigură următoarele avantaje importante:

posibilitatea eliminării fenomenelor nedorite (temperatură, solicitare transversală);

“amplificarea” efectelor nedorite, deci mărirea sensibilității măsurării;

eliminarea dependenței captorului de rezistențele de completare din aparat.

Se poate amplasa pe elementul elastic al captorului a două sau mai multe punți independente cu TER, având următoarele scopuri:

o punte asigură indicarea permanentă sau periodic, în timp ce alta este inclusă în bucla de reglare automată;

puntea de rezervă intră în funcțiune în caz de avarie la cea principal, evitând oprirea unei instalații complexe, costisitoare;

mai multe punți pot asigura măsurarea unor solicitări diferite (întindere, încovoiere, torsiune) ale unui element elastic complex pentru un captor multicomponent
(3 forțe + 3 cupluri) sau pot realiza medierea statistică pentru o solicitare unică a unui captor standard.

2.2. Elementul elastic

O clasificare sumară a elementelor elastice după tipul solicitării este dată în tabelul 2.2. Sunt analizate trei elemente elastice cu secțiuni clasice (circulară, dreptunghiulară, inelară), supuse la solicitări simple (întindere-compresiune, încovoiere, torsiune). Pentru fiecare caz se dau formulele de calcul ale deformațiilor specifice după direcțiile principale. În formule intervin forța axială N, momentul încovoietor respectiv momentul de torsiune dimensiunile geometrice ale secțiunilor (b, h, D, d), modulul de elasticitate longitudinal E (Young) și cel transversal G.

Se observă că, în cazul întinderii și încovoierii, direcția principală 1 este în lungul axei elementului elastic, în timp ce direcția principală 2 este perpendiculară pe prima. Măsurarea momentului de torsiune se face pe baza celor demonstrate în teoria elasticității, anume că pe direcții la față de axa arborelui se produc tensiuni de intindere, respectiv de compresiune, egale cu cea de torsiune ( ).

Tabelu 2.2

Deformațiile specifice în cazul solicitărilor simple

În general, este sensibil orice element elastic la mai multe tipuri se solicitări simultane, astfel încât TER amplasat pe el indică o deformație specifică ce reprezintă suma algebrică a deformațiilor specifice coespunzătoare fiecărei solicitări în parte. Separarea componentelor deformației specifice complexe se poate face numai dacă în secțiunea respectivă se aplică mai multe traductoare. În cazul particular al secțiunilor cu axe de simetrie, când axa neutră coincide cu una dintre aceste axe, se poate măsura direct o anumită componentă a deformației specifice, dacă amplasarea TER în secțiune și conectarea lor în brațele punții tensometrice se face ținând seama de proprietatea punții Wheatstone de a aduna algebric variațiile rezistențelor din același braț sau din brațele opuse și de a scădea algebric variațiile rezistențelor din brațe adiacente.

În tabelul 2.3 sunt sistematizate câteva cazuri de amplasare a TER și de conectare a lor în punte în vederea determinării componentelor deformațiilor specifice care apar în cazul solicitărilor compuse la bare drepte. În primele cazuri (1…12) barele au secțiune dreptunghiulară și sunt solicitate la întindere (compresiune) și încovoiere, în timp ce pentru ultimile cazuri (13…15), barele au secțiune circulară și sunt solicitate în plus la torsiune. Deformațiile specifice sunt măsurate după direcțiile principale și au următoarele semnificații: deformația specifică produsă de forța axială N; deformația specifică produsă de momentul încovoietor deformația specifică produsă de momentul de torsiune deformația specifică citită la punte; deformația specifică aparentă produsă de variația de temperatură coeficientul de contracție transversal (Poisson).

Tabelul 2.3

Scheme de amplasare și conectare în punte a TER pentru determinarea deformațiilor specifice în cazul solicitărilor compuse în barele drepte

Studiul comparativ al datelor din tabelul 2.3 conduce la următoarele concluzii privind elementele elastice ale captoarelor:

trebuie evitate schemele 1 și 5, care nu asigură compensarea termică, după cum și schemele 2 și 7, care realizează compensarea efectului temperaturii prin rezistențele C amplasate pe plăcuțe separate, dificil de aplicat la captoare din lipsă de spațiu;

schemele 1, 2, 3 și 6 nu realizează separarea componentelor și deci trebuie de asemenea evitate;

pentru separarea eficientă a componentelor deformației specifice, se impune montajul în punte completă. Cazurile 4 și 12 sunt semipunți realizate pe lamelă supusă la încovoiere;

separarea întinderii de încovoiere, în condiții de sensibilitate tensometrică identică, este ilustrată în cazurile 9 și 11. Se observă că cele patru TER sunt amplasate diferit în cele două cazuri comparate, deci, pentru a măsura corect ambele componente ale solicitării compuse, sunt necesare două punți independente. Conectarea din cazul 10 este dezavantajoasă, deoarece duce la scăderea sensibilității;

maximul de sensibilitate pentru componentele separate ale solicitării complexe este obținut cu montajele în punte completă. Validând considerațiile cu privire la factorul de punte n din formula (2.4), se poate aprecia că îl “amplifică” pe (de sub marcă), astfel: a) la întindere: pentru cazul 9; b) la încovoiere în cazul 8; c) la torsiune: la oricare dintre cazurile 13…15, opțiunea depinzând de spațiul disponibil pentru amplasarea TER. Pentru cazul 13 din tabebul 2.3 există o rozetă specială (fig. 2.6), alcătuită din patru TER așezate pe direcții la față de axa arborelui solicitat la torsiune.

Fig. 2.6

Elementele elastice trebuie să prezinte în zonele învecinate deformații specifice mari și de semne contrare. Forma acestor elemente elastice se poate optimiza cu ajutorul metodelor numerice (elemente finite) sau al celor experimentale (fotoelasticitate).

În figura 2.7, a se prezintă dubla lamelă în consolă, care, solicitată la încovoiere, se deformează în formă de S. În schema de conexiuni (fig. 2.7, b), traductoarele 1 și 3 sunt întinse, iar 2 și 4 scurtate, ceea ce impune modul de legare în punte. S-ar putea folosi două mărci tensometrice de tip “dublet” (două rețele paralele, înglobate în aceeași folie). Există o folie complexă care conține toate cele patru TER, împreună cu elementele de compensare și conexiune (fig. 2.7, c). Sunt mărci tensometrice pentru anumite elemente elastice, obținute prin depuneri de pelicule rezistive subțiri direct pe corpul elastic. Se realizează astfel o serie de captoare miniaturalizate, sensibile și ieftine.

Sensibilitatea măsurării tensometrice se poate mări dacă se amplasează mai multe TER în fiecare braț al punții. În tabelul 2.3, cazurile 4 și 12 par echivalente, deoarece numărul de brațe active este tot 2. Dar, plasând câte două TER în brațele active, rezistența se dublează, deci se poate dubla tensiunea de alimentare a punții, implicit și semnalul util, indicația citită la puntea tensometrică. Această observație conduce la ideea realizării unor montaje de punte completă cu 8, 16 sau chiar și mai multe TER. În figura 2.8 este prezentată o schemă cu 8 traductoare individuale, amplasate pe direcțiile iar în figura 2.9 o schemă cu 4 rozete pe două direcții deci tot cu 8 TER. Ambele montaje realizează o mediere pe două diametre active, diminuând eventualele nesimetrii și elimină efectul nedorit al încovoierii când solicitarea pricipală este de compresiune. Alegerea tipurilor de TER în cele două cazuri este determinată de adectarea mărcilor pentru cele două elemente elastice deosebite: tub simplu (fig. 2.8, a), respectiv tub cu fante orizontale reprezentat desfășurat în figura 2.9, a. O schemă mai bună, cu 16 TER, este prezentată în figura 2.10. Montajul este realizat cu 8 rozete tensometrice pe două direcții
(), amplasate pe corpul elastic cilindric comprimat, pentru a media pe 4 diametre
(fig. 2.10, b). Traductoarele sunt conectate în punte Wheatstone completă, câte patru în combinație serie-paralel în fiecare braț (fig. 2.10, a).”Harta” legăturilor este dată în reprezentarea desfășurată din figura 2.10, c.

Fig. 2.7 Fig. 2.8

Fig. 2.9

Fig. 2.10

2.3. Lanțul de măsurare

Captoarele cu TER se caracterizează printr-o suplețe deosebită la integrarea în lanțul de măsurare. Modalitățile optime de interfațare vor fi prezentate în continuare. Mărimea mecanică de la intrarea sistemului de măsură suferă un șir de transformări succesive, până devine semnal electric de ieșire (fig. 2.11).

Se consideră că mărimea de intrare este forța F (celelalte mărimi mecanice se pot reduce la forță, pe baza unor relații clasice: m fiind masa elementului elastic). Forța este proporțională cu tensiunea mecanică prin intermediul unui termen constant – aria A sau modulul de rezistență sau – definit de caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale a elementului elastic. Deformația specifică depinde liniar de prin modulul de elasticitate E, conform legii lui Hooke se lucreză până la limita de proporționalitate a caracteristicii sarcină-deformație. TER transformă deformația specifică în variație relativă de rezistență prin factorul de sensibilitate al mărcii k, conform relației (2.1), iar puntea Wheatstone o convertește în variație a tensiunii electrice prin factorul de punte n, conform modelului matematic liniarizat (2.4). Etajul de amplificare, prin factorul de amplificare electronică (minimum 100), furnizează indicația Se obține o dependență liniară între indicația a intrumentului electric și sarcina F aplicată elementului elastic al captorului, liniaritatea probată de etalonarea întregului sistem de măsurare, prin care se determină sensibilitatea sa globală (factorul global de cuplaj electromagnetic).

Fig. 2.11

Captoarele (cu traductoare) rezistive nu pot funcționa singure, ci trebuie înblobate într-un lanț de măsurare, a cărui schemă-bloc este prezentată în figura 2.11. Triada sesizare – amplificare – indicare trebuie privită ca un tot unitar.

Pe lângă traductoarele rezistive, care amplasate pe elementul elastic și conectate în punte, convertesc solicitarea mecanică în semnal electric, mai sunt necesare o serie de rezistențe, cu diverse funcțiuni: reglarea zeroului, stabilitatea amplificării, îmbunătățirea liniarității. O schemă completă, care sintetizează toate dezideratele de compensare și reglaj, este prezentată în figura 2.12. Semnificațiile notațiilor sunt următoarele: compensarea coeficientului termic diferit al TER (deriva zeroului impune folosirea unor rezistoare cu redus, conectate în serie și/sau în paralel cu TER); reglajul fin al zeroului; compensarea variației modulului de elasticitate cu temperatura, dacă TER și elemental elastic nu sunt din acelați material; compensarea variației ariei secțiunii transversale în timpul încărcării; resistor pentru liniarizare; compensarea nesimetriei solicitării, dacă elementul elastic este mai sensibil la intindere decât la compresiune; reglajul sensibilității, în vederea realizării unor captoare cu sensibilități standardizate, deci interschimbabile (deriva termică a sensibilității se compensează prin rețele cu termistori); reglajul impedanței de intrare la valoarea necesară; echilibrarea inițială, în cazul pretensionării diferite a TER în cursul lipirii lor pe elementul elastic; rezistența pentru etalonarea electrică a lanțului de măsurare.

Ultimele două rezistențe se utilizează doar dacă nu există facilitățile corespunzătoare la amplificatori, alături de reglajul amplificării prin

Fig. 2.12

Valorile tuturor acestor rezistențe de determină prin calculul sau experimental. Pentru captoare de serie mare se produc rezistențe imprimate reglabile, montate în cascadă. Numărul mare de rezistențe impune apelul la microelectronică cu computerizarea reglajelor necesare.

Puntea tensometrică se poate alimenta în c.c. sau c.a.

Avantajele alimentării în curent alternativ (cu frecvență purtătoare) sunt următoarele:

precizia măsurării este mai puțin afectată de deriva zeroului amplificatorului;

raportul semnal/zgomot mai mare;

sensibilitate redusă la interferență electromagnetică;

insensibilitate la efectul termoelectric;

circuitul de ieșire independent electric de cel de intrare.

Schema bloc a unei punți tensometrice cu frecvență purtătoare este prezentată în figura 2.13.

Avantajele alimentării în curent continuu sunt următoarele:

sursă stabilă, cu reglaj mai bun;

stabilitate mai bună a amplificării în timp și cu temperatura;

erori de liniaritate mai mici (caracteristică de transfer liniară);

bandă mai largă de frecvențe pentru măsurări dinamice;

dispariția echilibrării capacitive;

eliminarea influenței rezistenței cablului de legătură dintre captor și amplificator;

posibilitatea funcționării în tensiune constantă sau în curent constant.

Fig. 2. 13

2.4. Dispozitive auxiliare

Dispozitivele auxiliare electrice facilitează trecereasemnalelor utile spre amplificatorul tensometric. În ordinea amplasării în fluxul informațional, elementele anexe electrice sunt următoarele:

Contacte intermediare (fig. 2. 14), fabricate cu aceleași tehnologii ca și TER. Sub formă de folie cu două „puncte” pentru o singură marcă tensometrică sau de șir de „puncte” pentru mai multe TER, aceste contacte intermediare servesc simultan ca loc de sosire pentru firele de conexiune de la terminalele traductoarelor și ca loc de plecare pentru conductoarele de legătură care materializează puntea Wheatstone. În lipsa acestora se pot improviza plăcuțe din circuite imprimate.

Circuite imprimate pentru TER (fig. 2.18), care elimină operațiunea migăloasă de “cablare” a TER pe elementul elastic. Ele sunt mai dezvoltate decât rozetele prezentate în tabelul 2.1 și cumva asemănătoare cu grupajele tensometrice din figurile 2.6 și 2.7. Diferența constă în aceea că aici TER și circuitul imprimat sunt dispuse pe cele două fețe opuse ale foliei de rășină, justificând analiza separată a circuitului ca element – anexă. Se realizează două variante: pentru elemente elastice solicitate la torsiune (fig. 2.15, a) sau la intindere-compresiune (fig. 2.15, b).

“Asamblarea” din construcție prezintă câteva avantaje majore: circuitele nu se intersectează, dispare pericolul de rupere la oboseală a conductoarelor (deoarece sunt înglobate în suport), simetria electrică perfectă compensează efectele termice.

Fig. 2.14 Contacte intermediare

Fig. 2.15 Elemente elastice

a. Solicitate la torsiune b. Solicitate la intindere-compresiune

Conectorii de diverse tipuri, cu rolul de a “transfera” legătura în puncte de pe elementul elastic al captorului la amplificator. Identificarea diverselor puncte importante din schema de măsurare se face cu ajutorul firelor colorate diferit. În figura 2.16 este dat un exemplu de marcare a punții tensometrice în codul ISO. Sunt necesare cel puțin 5 poziții (contacte) pe regletă: câte două pentru diagonalele de alimentare și de măsură ale punții, plus una pentru ecranare. În figura 2.17 sunt prezentate conectoarele circulare (mufe) folosite la punțile tensometrice.

Fig. 2.16 Conectoare circulare

Fig. 2.17

Cabluri pentru măsurători, care realizează legătura dintre captor și amplificator.

Cerințele impuse cablurilor sunt:

să aibă rezistență electric cât mai scăzută și rezistență mecanică cât mai ridicată;

să fie suficient de flexibile;

să permită efectuarea unor lipituri de calitate durabile;

să realizeze o bună ecranere.

CAPITOLUL 3

ELEMENTELE ELASTICE ALE CAPTOARELOR

3.1. Elementul elastic

Foma elementului elastic se alege ținând seama de următoarele cerințe :

să fie respectate dimensiunile de gabarit ale captorului, impuse de spațiul care îi este destinat în instalația în care va lucra;

locurile de pe suprafațe elementului elastic în care se vor aplica TER, să permită accesul ușor pentru lipirea, protejarea și conectarea acestora;

deformațiile specifice ale suprafețelor pe care se aplică TER să fie suficient de mari și cât mai uniforme;

să se foloseasă posibilitățile de amplificare a semnalului electric, prin conectarea în punte a unor TER care sunt întinse împreună cu altele care sunt scurtate atunci când elementul elastic se deformează;

captorul ca ansamblu, să aibă frecvența proprie și rigiditatea cerute;

pentru captoarele ce lucrează în mediu lichid, cu vapori sau coroziv, să poată fi realizată etanșarea și protecția corespunzătoare;

forma elementului elastic, să permit execuția ușoară și precisă, la un preț de cost scăzut.

În tabelul 3.1 se prezintă o clasificare a elementelor elastice ale captoarelor după formă și după tipul sarcinii: deplasare, forță, cuplu, presiune, accelerație.

Primul demers în proiectarea elementului elastic al unui captor este alegerea tipului solicitării și forma acestuia.

A doua etapă presupune determinarea din aproape în aproape, prin îmbunătățiri succesive, forma detaliată și dimensiunile optime.

Pentru a stabili implicațiile tipului solicitării și a formei elementului elastic asupra unor caracteristici de bază ale captorului, în tabelul 3.2 se prezintă comparativ trei elemente elastice simple (bară dreaptă solicitată axial, bară dreaptă în consolă solicitată la încovoiere, inel circular solicitat diametral pentru care s-au calculat volumul V, sensibilitatea constanta elastică k și frecvența proprie f). Se presupune că pentru cele trei variante sarcina nominală P, parametrul dimensional b și modulul de elasticitate E al materialului sunt aceleași. Pentru a putea formula unele concluzii cantitative, s-au considerat unele relații de formă între dimensiunile celor trei elemente.

Tabelul 3.2

Caracteristici comparative ale elementelor elastice

Din analiza comparativă a rezultatelor prezentate în tabelul 3.2 se constată diferențe foarte mari între valorile celor patru caracteristici de bază ale celor trei tipuri de elemente elastice avute în vedere și anume:

volumul calcular cu dimensiunile de gabarit variază de la 1 pentru bara solicitată axial la 441 pentru inelul circular;

sensibilitatea variază de la 1 pentru bara solicitată axial la 240 pentru bara solicitată la încovoiere;

constanta elastică variază în același mod, de la 1 la 1/32000;

asemănător variază și frecvența proprie, de la 1 la 1/178,9.

În principiu se poate admite că orice element elastic poate fi utilizat pentru măsurarea oricărui tip de sarcină: deplasare, forță, cuplu, presiune, accelerație. În realitate însă, trebuie determinată forma adecvată pentru fiecare tip de sarcină, în acest scop fiind necesară luarea în considerare a diverselor condiții pe care trebuie să le îndeplinească fiecare captor. De exemplu, captoarele pentru măsurarea deplasărilor trebuie să să aibă constantele elastice cât mai mici, pentru ca forțele necesare pentru acționarea lor să fie cât mai reduse. În caz contrar apar fenomene de uzură, de pierdere a stabilității sau de modificare a parametrilor structurii pentru care se face măsurarea având în vedere că în această situație captorul se montează, de regulă, în paralel cu structura.

Pentru măsurarea forțelor, constanta elastică trebuie să fie cât mai mare, în acest caz captorul montându-se în serie cu structura.

Caracteristica de bază a captoarelor pentru măsurarea deplasărilor și accelerațiilor vibrațiilor, este frecveța proprie. Un captor seismic funcționând în regim de vibrometru trebuie să aibă frecvența proprie de circa 5 ori mai mică decât frecvența minimă a fenomenului care se studiază. Dimpotrivă, un captor funcționând în regim de accelerometru trebuie să aibă frecvența de cel puțin 10 ori mai mare decât frecvența maximă a fenomenului care se studiază.

În ceea ce privește sensibilitatea, ea trebuie să fie totdeauna cât mai mare. De obicei creșterea sensibilității duce la creșterea dimensiunilor de gabarit și la scăderea valorii sarcinii nominale (celelalte condiții rămânând neschimbate).

Pentru captoareledestinate măsurării presiunii prima condiție care trebuie avută în vedere este ca elementul elastic să aibă o formă care să permită o etanșare simplă și eficace a fluidului a cărui presiune se măsoară.

La alegerea formei elementului elastic trebuie avut în vedere că existența unor simetrii este bună, deoarece acestea permit compensarea unor eventuale imperfecțiuni de execuție și montaj prin utilizarea mai multor perechi de traductoare amplasate simetric. De asemenea, în astfel de condiții influența unor eventuale variații ale poziției punctului de aplicație și direcției sarcinii sunt mult mai mici asupra semnalului de ieșire al captorului. Un exemplu în acest sens este captorul cu element elastic toroidal destinat măsurării forțelor, prezentat în figura 3.1. Ca urmare a existenței numeroaselor simetrii independența semnalului de ieșire față de punctul de aplicație și de direcția sarcinii, este remarcabilă.

Proiectarea atentă a elementului elastic poate rezolva unele aspecte importante ale exigențelor impuse captorului, cum ar fi eliminarea frecărilor dintre elementul elastic și reazemele sale, ca de exemplu, pentru situația prezentată în figura 3.2. Elementul elastic este de tipul unei bare încastrate la capete, solicitată la încovoiere. Pentru a reduce solicitarea axială și a înlătura deplasările cu frecări ale barei în încastrări, în bară s-au practicat (în zona centrală) o serie de crestături transversale.

Fig. 3.1

Fig. 3.2

Un element elastic care s-a dovedit a fi o realizare reușită, pentru un anumit domeniu de lucru, poate constitui modelul pentru alte game de măsuri, trecerea de la o gamă la alta făcându-se pe baza legilor de similitudine ale sistemelor elastice.

În procesul de alegere și definitivare a formei elementului elastic trebuie avute în vedere și prevenite fenomenele de instabilitate elastică (flambaj). În consecință trebuie efectuate verificări experimentale și (sau) prin calcul ale stabilității elastice a elementului respectiv.

Marea diversitate a condițiilor în care trebuie efectuate măsurători ale mărimilor mecanice o include și pe aceea când nu este posibilă (sau nu este economică) amplasarea unui captor în serie sau paralel cu structura ce se studiază. În astfel de cazuri se realizează așa numitele“pseudo-captoare” prin lipirea traductoarelor rezistive pe unele din elementele structurii pentru care se face măsurarea, elementele respective devenind astfel elementele elastice ale pseudo-captoarelor. Efectuarea măsurării presupune etalonarea pseudo-captoarelor. Dacă această operație nu este posibilă, sarcina se poate determina prin calcul, în acest caz existând riscul unor erori sistematice a căror mărime poate fi dificil de evaluat. Desigur că un pseudo-captor reprezintă o soluție în extremis, aceasta, de regulă, neputând avea performanțele unui captor proiectat și realizat în condiții adecvate scopului urmărit. În figura 3.3 se prezintă un pseudo-captor de forțe obținut prin lipirea traductoarelor pe inima unei șine care este calea de rulare a unui vehicul ferovial, a unei instalații de ridicat și transportat etc. Cu un ansamblu corespunzător de astfel de captoare se pot determina sarcinile pe roțile trenului de rulare al instalației ce se deplasează pe calea de rulare considerată.

Fig. 3.3 Pseudo-captor de forțe

3.2. Solicitările elementului elastic

Determinarea formei și dimensiunilor optime ale elementului elastic se face în primul rând pe baza informațiilor obținute din analiza stării de solicitare (analiza de tensiuni) a acestuia.

În figura 3.4 se prezintă starea de tensiuni într-un element elastic de tip bară în consolă (folosit în construcția captoarelor de forță și de deplasări). Se consideră bara de secțiune constantă, de formă dreptunghiulară cu dimensiunile bxh. Tensiunea normală într-un punct oarecare al secțiunii, având ordonata y, se calculează cu formula (Navier)

(3.1)

,în care este momentul încovoietor și – momentul de inerție al secțiunii, calculat în raport cu axa Gz.

Fig. 3.4

Valorile extreme ale tensiunii sunt în punctele cele mai depărtate de axa neutră Gz, pentru puncte în care se lipesc TER

(3.2)

Înlocuind în (3.2), și se obține

(3.3)

,în care l este distanța de la punctul de aplicație al forței P la mijlocul rețelei traductorului.

Deoarece bara este solicitată sub limita de elasticitate, este valabilă relația lui Hooke

(3.4)

în care E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului barei și – deformația specifică longitudinală (corespunzătoare unui TER activ). Din relația (3.3), rezultă

(3.5)

Pentru elementele elastice confecționate din oțel, aliaje de cupru sau aluminiu, scala totală la ieșire trebuie să fie de 1000…1500 Deplasarea punctului de aplicație al forței este dată de relația

(3.6)

unde L este distanța de la acest punct până la încastrare. Înlocuind din relația (3.2) în (3.6) se obține

(3.7)

sau luând în considerare relația (3.4)

(3.8)

Din relația (3.5) rezultă forța

(3.9)

Relația (3.8) arată că deplasarea v la un impus este independentă de material și de lățimea barei, fiind direct proporțională cu raportul Pentru a asigura o sensibilitate ridicată, trebuie luat deoarece, după cum arată relația (3.5), este direct proporțional cu l. Deci deplasarea v este direct proporțională cu și invers proporțională cu h.

Prin urmare, pentru elementele elastice de tip bară în consolă, care intră în alcătuirea captoarelor pentru măsurarea deplasărilor mari este necesar ca Deoarece se impune ca dimensiunile de gabarit ale elementului elastic să fie minime, scăderea rigiditățiisale se obține micșorând grosimea h.

Grosimea minimă a barei trebuie să fie astfel aleasă încât, prin aplicarea adezivului (traductorului și stratului de protecție), să nu se producă o rigidizare sensibilă a barei. Aceasta ar afecta rigiditatea, liniaritatea și histerezisul captorului.

Folosind adezivi foarte fluizi și traductoare foarte subțiri, rigiditatea produsă poate fi nesemnificativă și grosimea barei se poate coborâ chiar sub 0,25mm. Uneori, pentru mărirea flexibilității barei se adoptă soluția constructivă din figura 3.5.

Fig. 3.5

Pentru ca influența aproximării asupra deplasării v să fie cât mai mică, trebuie să se folosească TER cât mai scurte (de regulă baza traductorului este sub 0,1L).

De mare importanță este etalonarea captorului.

Elementele elastice ale captoarelor pentru măsurarea deplasărilor se construiesc de forma unor bare de egală rezistență la încovoiere (fig. 3.6). Deplasarea punctului de aplicație a forței, este în acest caz

(3.10)

În oricare secțiune a barei valorile extreme ale tensiunilor normale (de pe suprafețele superioară și inferioară, la ) se calculează cu relația

(3.11)

Din (3.10) și (3.11), ținând seama de (3.4), rezultă

(3.12)

Formulă cu care se face dimensionarea elementului elastic pentru măsurarea unei săgeți v cu o anumită sensibilitate (pentru un singur TER activ).

Fig. 3.6

Examinând relațiile (3.8) și (3.12), se observă că utilizând un element elastic de egală rezistență, se pot măsura deplasări de 1,5 ori mai mari decât dacă se folosește o bară de secțiune constantă din același material și cu aceleași dimensiuni L, b, h. Dimensiunile lamelei din figura 3.6, se aleg astfel încât în timpul funcționării, săgeata să nu depășească valoarea

(3.13)

unde – limita de proporționalitate (limita de curgere) a materialului. Dacă limita de elasticitate a materialului este mai mică decât atunci în relația (3.13) se înlocuiește cu

Din relația (3.10) se determină forța ce trebuie aplicată asupra lamelei pentru obținerea săgeții v

(3.14)

În cazul extensometrului cu TER, prezentat în figura 3.7 trebuie să se aibă în vedere ca forța P, corespunzătoare deplasării relative maxime a cuțitelor A și B, să fie mai mică decât forța de frecare dintre cuțite și epruveta supusă la tracțiune. Trebuie să se prevadă, în plus, o legătură elastică între cuțite și epruvetă, pentru compensarea contracției transversale a acesteia.

Fig. 3.7

Când elementul elastic de tip bară dreaptă în consolă de secțiune constantă se folosește pentru măsurarea forței, unele din condițiile formulate anterior se schimbă. Relația (3.9) arată că pentru o sensibilitate impusă (determinată astfel încât să nu fie depășite limitele și ) forța maximă care poate fi măsurată este direct proporțională cu E, b, și invers proporțională cu l.

Deci, pentru a măsura forțe mari, se va prefera oțelul aliajelor de cupru și aluminiu și se vor utiliza bare mai groase și mai scurte.

În construcția captoarelor de deplasări se recomandă să se folosească elemente elastice de rigiditate mică cât mai lungi, confecționate din materiale cu modul de elasticitate mic (aliaje de Al și Cu).

Pentru elemente elastice cu forme complicate este posibil ca volumul calculelor să devină deosebit de mare sau chiar să fie imposibil de utilizat metode analitice de calcul. În astfel de situații se folosesc metode numerice ca, de exemplu, metoda deplasărilor, metoda elementelor finite, metoda elementelor de frontieră, metoda diferențelor finite, metoda relaxării dinamice etc. Aplicarea practică a acestor metode presupune utilizarea calculatoarelor, în acest scop fiind elaborate programe corespunzătoare pentru analize statice, dinamice și de stabilitate, care pot fi folosite cu succes pentru proiectarea rațională a elementelor elastice cu cele mai diferite forme și situații de încărcare.

3.3. Rigiditatea și liniaritatea elementului elastic

Rigiditatea elementului elastic și a captorului ca ansamblu trebuie să fie astfel estimată, încât să nu producă modificări sensibile ale parametrilor sistemului mecanic ce se studiază, cu care captorul se montează în serie sau în paralel. De regulă, captoarele pentru măsurarea forțelor se montează în serie cu sistemul mecanic, iar cele pentru măsurarea deplasărilor – în paralel cu acestea.

Se obține astfel un ansamblu în care cele două componente mecanice se influențează reciproc.

Se impune efectuarea unei analize a montajului pentru a aprecia în ce condiții prezența captorului produce modificări neglijabile ale valorilor parametrilor ce urmează să fie măsurați.

În calculele respective intră constanta elastică a captorului sau rigiditatea.

În tabelul 3.3 se dau relații de calcul pentru constanta elastică k (definită ca valoare a sarcinii pentru care captorul are o deplasare egală cu unitatea), în cazul unor elemente elastice cu forme mai des utilizate.

Tabelul 3.3

Relații de calcul pentru elemente elastice

Se notează cu constanta elastică a captorului, cu constanta elastică a sistemului mecanic înainte de montarea captorului și cu constanta elastică a ansamblului format din sistemul mecanic și captor, după realizarea montajului. Trebuie determinate condițiile în care între și sunt diferențe foarte mici, tehnic neglijabile, de exemplu de 0,1%. Pentru montajul captorului în paralel cu sistemul mecanic (fig. 3.8, a) constanta elastică rezultantă este Dacă rezultă Pentru montajul în serie (fig. 3.8, b), Dacă se obține În concluzie, pentru a nu “altera” constanta elastică a sistemului pentru care se face măsurătoarea cu mai mult de 0,1% trebuie ca la montajul în paralel (de exemplu, pentru măsurarea deplasărilor) captorul să aibă o constantă elastică de cel puțin 1000 de ori mai mică decât a sistemului, iar la montajul în serie (de exmplu, pentru măsurarea forțelor) constanta elastică a captorului să fie de cel puțin 1000 de ori mai mare ca a sistemului.

Scala aparatului indicator are diviziuni echidistante, adică ecuația acestei scale este

(3.15)

exprimă dependența liniară dintre indicația a punții și sarcina P aplicată captorului.

Fig. 3.8 Montaj a. in paralel b. in serie

Pentru studiul dependenței dintre sarcină și o mărime proporțională cu mărimea de ieșire (tensiunea ), se poate folosi ecuația scalei aparatului indicator, adică

(3.16)

În figura 3.9 s-a prezentat cu linie groasă dreapta de ecuație (3.16), care se observă că unește punctele corespunzătoare sarcinii nule și sarcinii nominale. Cu linie întreruptă a fost prezentată curba reală de încărcare (L), denumită și curbă de etalonare. Se definește mărimea numită coeficient de neliniaritate, prin relația

(3.17)

scrisă pentru intervalul de variație de sarcină

(3.18)

unde este cea mai mică valoare a sarcinii ce se poate măsura cu precizia garantată a captorului, sarcina nominală, ecuația curbei L.

După determinarea experimentală a curbei de încărcare, din (3.16) și (3.17) se obțin c și punând condiția ca să fie minim. În figura 3.9 s-au construit două drepte OA și OB, fiecare din ele având numai câte un punct de contact cu (L), în afara originea axelor. Punctele de contact pot fi la extremitățile intervalului sau puncte de tangență situate în interiorul acestui interval. Dacă se duce bisectoarea unghiului AOB, se obține valoarea constantei care asigură un minim.

Fig. 3.9

Problema minimizării coeficientului de neliniaritate este u caz particular de aproximare a funcțiilor prin polinoame Cebîșev. Fie sistemul de funcții liniar independente, continue și derivabile pe intervalul

Funcțiile formează un sistem Cebîșev, dacă polinimul

(3.19)

are nu mai mult de n rădăcini în intervalul

În continuare, se determină coeficienții pentru ca polinimul să se deosebească pe un interval cât mai puțin de o funcție dată

Coeficienții trebuie să fie astfel determinați încât diferența maximă dintre valorile funcțiilor și , pe intervalul să fie minimă, adică

(3.20)

când

Problema se rezolvă cu ajutorul teoremei Cebîșev. Pentru polinomul

al sistemului de funcții Cebîșev, să se deosebească cât mai puțin de funcția continuă dată pe intervalul necesar și suficient ca diferența

să ia de cel puțin ori, valorile limită semnele + și – alternând succesiv pe intervalul

(3.21)

apoi încă ecuații de forma

(3.22)

pentru

Sistemul obținut este compatibil și determinat.

Valorile coeficienților obținute prin rezolvarea sistemului format din ecuațiile (3.21) și (3.22), determină un polinom pentru care cea mai mare abatere de la funcțiaa impusă este minimă.

Adesea toate funcțiile se anulează pentru sau ori simultan pentru și Teorema lui Cebîșev rămâne valabilă.

Se vor aplica considerațiile de mai sus pentru barele de secțiune pătrată și circulară supuse la tracțiune sau compresiune și al barei de secțiune constantă în consolă, pentru care se urmărește să se determine c și

Fie elementul elastic de tip coloană cu secțiune pătrată solicitat la întindere, ca în figura 3.10, a. Conform legii lui Hooke generalizată, deformațiile specifice sunt

(3.23)

(3.24)

în care este coeficientul de contracție transversală.

Valoarea tensiunii normale sub TER este

(3.25)

în care este aria secțiunii transversale deformate, adică

(3.26)

Dacă se introduce notația după înlocuirea lui (3.26) în (3.25), se obține ecuața

(3.27)

de la care se reține soluția pozitivă minimă (intindere)

(3.28)

Fig. 3.10

Dezvoltând după binomul lui Newton, rezultă:

(3.29)

Se rețin numai trei termeni din dezvoltare, deoarece următorii sunt foarte mici în comparație cu aceștia. În acest caz relația (3.29) capătă forma:

(3.30)

Aceasta formulă permite să se ia în considerare neliniaritatea elementului elastic de tip bară de secțiune pătrată. Pentru evaluarea neliniarității, se examinează curba de încărcare din figura 3.11. Dacă se aproximează curba (L) prin dreapta eroarea relativă este
(tinând seama de (3.30))

Fig. 3.11

Conform relațiilor (3.17) și (3.22) se obține sistemul:

ale cărui soluții sunt:

(3.31)

(3.32)

Dacă în relația (3.32) se neglijează al doilea termen al numitorului, se obține

(3.33)

unde

Dacă se impune o valoare admisibilă pentru coeficientul de neliniaritate, se poate determina tensiunea admisibilă:

și sarcina limită (nominală) este:

Pentru o aplicație numerică, se obține din relația (3.33),

Dacă se compară această valoare cu cea admisă frecvent de 0,05%, rezultă că elementul elastic de acest tip poate să nu dea satisfacție în cazul măsurătorilor de precizie, deoarece în calculul coeficientului de neliniaritate nu au fost luați în considerare o serie de factori.

Pentru o bară de secțiune circulară (fig. 3.10, b), deformația specifică longitudinală este dată de legea lui Hooke iar deformația specifică radială, este

(3.34)

unde u este deplasarea unui punct de pe suprafața exterioară a elementului elastic, față de axa sa de simetrie, iar un unghi la centru ce definește un arc de cerc infinit mic pe cercul exterior.

Se scrie, asemănător cazului precedent [16]

(3.35)

Tinând seama de (3.34), notând și neglijând termenii mici, din relația (3.35), rezultă

(3.36)

Ca și în cazul coloanei de secțiune pătrată, se obține:

unde

Pentru bara de secțiune constantă în consolă, ca în figura 3.12, după efectuarea calculelor, se obține o relație între momentul încovoietor și sarcina P sub forma:

în care: distanța de la încastrare la mijlocul rețelei TER; l – lungimea barei. Valoarea tensiunii maxime în bara de secțiune constant se calculează cu formula lui Navier

Fig. 3.12

Realizând, că pentru bara solicitată la întindere, o aproximare Cebîșev (fig. 3.13), se obține ecuația scalei aparatului indicator (dreapta de aproximare a curbei de încărcare) sub

forma .

Eroarea relativă este:

Condițiile de minim ale acestei erori pe intervalul sunt:

(3.37)

Rezolvând acest sistem, rezultă

Neglijând al doilea termen de la numitorul lui se obține

(3.38)

Fig. 3.13

Uneori , pentru obținerea unui semnal electric mai mare, se folosește un element elastic de forma unei bare de egală rezistență, în consolă.

În acest caz, coeficientul de neliniaritate are expresia

(3.39)

în care este momentul de inerție al secțiunii din încastrare. Se poate constata ușor că coeficientul de neliniaritate al barei de egală rezistență este cu aproximativ 10% mai mare decât al barei de secțiune constantă. Pentru micșorarea neliniarității barelor în consolă se folosesc pârghii de compensare (fig. 3.14).

Pentru analiza neliniarității unor elemente elastice complexe, se recomandă folosirea metodei elementului finit (se vor folosi calculatoarele).Fig. 3.14

!!!

!!!!!

CAPITOLUL 4

METODE DE CALCUL PENTRU ELEMENTELE ELASTICE ALE CAPTOARELOR

4.1. Generalități

Calculele elementelor elastice ale captoarelor se face în funcție de solicitări, condiții impuse și a formei acestora. În cazurile simple se pot folosi metodele elementare din rezistența materialelor; în cazurile complicate se utilizează metode analitice sau numerice.

Folosirea calculatorului conduce la obținerea unor rezultate corecte, dacă programul este bine elaborat.

Scopul fundamental al proiectării unui element elastic (și al captorului în ansamblu), este de a obține cel mai bun sistem pentru un ansamblu de cerințe impuse. Pentru aceasta se concepe un sistem “candidat” și se studiază cum se comport acesta.

Calculul de rezistență este un calcul de verificare, adică pentru o solicitare dată se determină valorile deplasărilor, tensiunilor, frecvențelor vibrațiilor proprii. Pentru aceasta trebuie ca problema să fie formulată în termini numerici.

Pentru calculul de rezistență al unei structuri trebuie elaborate un model de calcul, acest demers fiind posibil numai după ce s-au stabilit condițiile generale privind performanțele ansamblului, tehnologia, materialul, durata de viață etc. Pentru ca modelul să fie corect și eficient trebuie rezolvate cel puțin următoarele aspect ale modelării:

Stabilirea nivelului la care se face modelarea. În primele faze ale proiectării se modelează captorul în ansamblu, după care se modelează în detaliu elementul elastic și ulterior, eventual, numai unele zone, denumite substructuri, ale acestuia. Se pot modela ulterior sau simultan cu elemental elastic celelalte componente ale captorului: dispozitivul de aplicare a sarcinii, sistemul de protecție la suprasarcini etc.

Alegerea concepției de calcul. Structura ce se calculează trebuie să răspundă cerințelor de funcționalitate, siguranță și economicitate. Siguranța exprimă proprietatea structurii ca într-un interval de timp dat, să satisfacă, prin nivelul performanțelor sale, condițiile de exploatare, ținând seama de destinația și importanța ansamblului în care trebuie să se integreze (fiabilitatea). Concepția actual de calcul este probabilistic și ține seama de caracterul aleatoriu al parametrilor structurii și al sarcinilor, siguranța fiind evaluată prin

Modelarea geometriei. Constă în aproximarea structurii reale printr-un sistem echilibrat de bare, plăci și învelișuri. De exemplu, un element elastic poate fi schematizat ca o bară, ca un sistem spațial de bare, ca un system de plăci și bare etc. Modelul trebuie să reproducă cât mai bine dimensiunile și rigidității reale.

Determinarea intensității sarcinilor și a caracterului acestora. Se face pe baza parametrilor de exploatare, prin calcul sau prin determinări experimentale pe modele sau structuri similare existente. Trebuie să se stabilească intensitățile sarcinilor pentru diverse regimuri de exploatare ale captorului: nominal, maxim, de transport, de avarie etc. Se precizează care este modul de variație a sarcinilor în funcție de timp: statice, variabile staționare deterministe, variabile aleatoare, prin șoc etc.

Schematizarea distribuției sarcinilor. Solicitarea elementului elastic este produsă de sarcina aplicată captorului și se transmite acestuia prin piese cu care elementul elastic interacționează. Deoarece toate piesele sunt deformabile, legea de distribuție a sarcinilor depinde de rigiditățile pieselor în contact. De regulă, determinarea distribuției exacte este dificilă și costisitoare. Din aceste motive distribuția reală, necunoscută, se înlocuiește cu una simplificată, schematizată. Înlocuirea trebuie să se facă cu prudență și discernământ astfel încât aceasta să aibă în vedere modul în care deformațiile, jocurile din îmbinări, abaterile de la forma geometrică, variațiile de temperatură etc. ale pieselor care interacționează modifică legile de variație ale sarcinilor.

Alegerea metodei de calcul. Trebuie făcută în strânsă concordanță cu modelul de calcul căruia urmează să i se aplice. Calculul de rezistență, oricât de exact ar fi nu poate suplini sau compensa o modelare nerealistă.

Interpretarea rezultatelor obținute și definitivarea soluției sau perfecționarea modelului. Elaborarea unui model de calcul și obținerea cu ajutorul lui a unor rezultate cantitative nu reprezintă un scop în sine, ci doar un mijloc de a putea anticipa comportarea captorului în exploatare. Aceasta spune că rezultatele (de obicei numerice) trebuie analizate critic și formulate concluzii temeinic fundamentate, pe baza cărora fie se definitivează proiectul captorului, fie se îmbunătățește modelul utilizat și se continiă precesul “iterativ” de analiză al acestuia.

Ecuațiile teoriei elasticității

Metodele de calcul utilizate în mecanica solidulu deformabil sunt de o mare varietate, analitice sau numerice, exacte sau aproximative. În principiu, oricare ar fi problema ce se rezolvă sau metode de calcul utilizate, se pornește de la ecuațiile teoriei elasticității, care pot fi scrise sub forma:

Ecuațiile diferențiale de echilibru (ecuațiile lui Cauchy)

(4.1)

în care X, Y, Z reprezintă proiecțiile, pe cele trei axe de coordinate, ale forței masice aplicate asupra unității de volum a corpului (de exemplu, greutatea proprie).

Relații între deplasări și deformații specifice

(4.2)

Relații între deformații specifice și tensiuni (legea lui Hooke generalizată), pentru materiale izotrope

(4.3)

în care E este modulul de elasticitate longitudinal, G – modulul de elasticitate transversal, – coeficientul de contracție transversal, între ele existând relația

(4.4)

Relațiile (4.3) se scriu condensate sub formă matriceală

(4.3’)

în care este tensorul tensiunilor, tensorul deformațiilor specifice și

(4.3’’)

este matricea de elasticitate.

4.2. Starea plană de tensiuni

Se definește drept stare plană de tensiuni starea de solicitare dintr-un corp elastic care poate fi caracterizat astfel:

Corpul elastic are forma unei plăci plane, de grosime constantă foarte mică, raportată la axele Ox și Oy situate în planul ei median, ca în figura 4.1.

Suprafețele inferioară și superioară ale corpului nu sunt încărcate: deci în aceste plane

Pe suprafața lateral încărcarea nu variază pe grosime, adică și nu depend de z.

Forțele masice (dacă există) au component numai în planul 0xy, adică Z=0.

Fig. 4.1

În aceste condiții rezultă

(4.5)

Pentru starea plană de tensiuni, ecuațiile generale ale teoriei elasticității se simplifică considerabil, devenind:

ecuațiile diferențiale de echilibru

(4.6)

relațiile dintre deplasări și deformații specifice

(4.7)

relațiile dintre deformații specifice și tensiun

(4.8)

În teoria elasticității se definește și starea plană de deformații, dar aceasta nu interesează în calculul elementelor elastice. Din relațiile (4.7), prin derivare, se obține relația

(4.9)

Care se numește ecuația de continuitate a deformațiilor.

Pentru rezolvarea efectivă a unei probleme date este necesar ca soluția găsită să satisfacă ecuațiile (4.6), (4.7) și (4.8) sau (4.9) în toate punctele corpului, inclusiv pe contur.

Condițiile de echilibru, scrise într-un punct oarecare de pe contur, între sarcinile aplicate și tensiunile interioare se numesc condiții la limită. Fie într-un punct de pe conturul corpului componentele și ale sarcinii pe unitatea de suprafață ce acționează în punctul respectiv. Dacă în jurul punctului considerat se definește o prismă triunghiulară infinit mică (fig. 4.2), ecuațiile de echilibru după direcțiile x și z duc la relațiile

(4.10)

în care l și m sunt cosinusurile directoare ale normalei N la conturul corpului în punctul respectiv.

Fig. 4.2

4.3. Metode numerice

Metodele numerice de calcul pot fi aplicate unor clase generale de probleme. În marea lor majoritate (metodele numerice) se pretează pentru a fi utilizate pe calculatore (electronice numerice).

Metoda elementului finit

Primul demers pentru înțelegerea bazelor metodei elementului finit este definirea procesului de discretizare a structurii reale, ceea ce constă în înlocuirea structurii date, care este continuă, cu o structură discretă, discontinuă și idealizată. Procesul constă în împărțirea structurii în subregiuni foarte mici, numite elemente finite, obținute cu ajutorul unor rețele de suprafețe sau linii convenabile. Studiul structurii date se înlocuiește cu studiul ansamblului de elemente finite obținut în urma discretizării.

Pentru elementul elastic din figura 4.3, a, având forma unei bare încastrată la un capăt, solicitată cu o forță concentrată P, discretizarea se poate face printr-o rețea de triunghiuri cu laturile drepte și grosimea constantă (egală cu grosimea barei), ca în figura 4.3, b. Elementele finite se consideră asamblate numai în anumite puncte, numite noduri. În figura 4.3, b nodurile sunt vârfurile rețelei de triunghiuri. Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare, interacționând cu celelalte elemente numai prin noduri.

Ca necunoscute ale problemei se consideră deplasările nodurilor denumite deplasări nodale. Pentru problema plană considerată (fig. 4.3, b) fiecare nod are două grade de libertate geometrică, cărora le corespund deplasările u și v, după axele Ox și Oy ale reperului global. Se presupune că deplasările nodale determină univoc starea de tensiuni din interiorul unui element finit, adică o dată cunoscute deplasările nodale, se pot calcula tensiunile în oricare punct al fiecărui element.

Se consideră că încărcarea exterioară acționează numai în noduri. Sarcinile distribuite se înlocuiesc cu un sistem de forțe concentrate static echivalente, adică cu același torsor.
De asemenea, legăturile structurii reale se înlocuiesc cu legături ale nodurilor structurii ideale.
De exemplu, pentru structura din figura 4.3, încastrarea s-a înlocuit cu articulații în nodurile de pe latura AB.

Fig. 4.3

Ca urmare a celor arătate rezultă că funcțiile continue necunoscute u(x, y) și v(x, y) ale structurii date se înlocuiesc cu un număr finit de necunoscute – deplasările nodale. Deci structura reală este înlocuită cu un ansamblu de elemente finite a cărui comportare este definită de un număr finit de parametri – deplasări nodale. Având în vedere că pentru structura idealizată se aleg (de obicei) ca necunoscute deplasările nodale, metoda elementelor finite poate fi privită ca o generalizare a metodei deplasărilor, elementul de bară putând deveni un element de placă cu formă de triunghi, dreptunghi sau patrulater oarecare, plan sau spațial sau chiar un poliedru drept sau curbiliniu.

Pentru o structură de bare, metoda elementului finit este exactă, pe când pentru structuri din plăci, învelișuri și blocuri metoda este aproximativă, diferența față de soluția exactă fiind dependentă de finețea rețelei de discretizare, de tipurile elementelor finite alese etc. Comportarea elastică a unui element finit este definit de matricea de rigiditate proprie, analog cu o bară dreaptă de secțiune constantă. Pentru fiecare tip de element finit matricea sa de rigiditate va avea altă expresie.

Metodologia de deducere a matricei de rigiditate pentru elementul finit plan triunghiular cu noduri în vârfurile triunghiului

Se consideră elementul din figura 4.4, a, raportat la un reper local Oxy. Elementul este definit de nodurile i, j, k în care se acționează forțele X și Y, ca în figura 4.4, b. Matricea de rigiditate a elementului leagă vectorul deplasărilor

de vectorul forțelor nodale

Adică trebuie determinată o relație de forma

(4.11)

Vectorii și pentru elementul triunghiular sunt similari cu cei corespunzători ai elementului de bară dreaptă, cu mențiunea că în cazul elementelor finite, vectorul nu mai are o semnuficație specială, ca ăîn cazul barelor. Relația (4.11) trebuie interpretată astfel: deplas[rile nodale ale elementului finit produce în mod unic forțele acționând în modurile acestuia. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite valori ale forțelor nodale se pot obține o infinitate de vectori ai deplasărilor nodale, aceștia fiind diferiți prin deplasările de corp rigid ale elementului. Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de cele șase deplasări nodale, forțele nodale nu sunt independente, deoarece elementul trebuie să fie în echilibru, adică forțele trebuie să satisfacă ecuațiile

Fig. 4.4

Rezultă că trei forțe nodale independente nu pot determina univoc șase deplasări. În consecință, matricea de rigiditate [k] a elementulu considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.

Se presupune că deplasările u și v variază liniar în interiorul elementului, sub forma

(4.12)

ceea ce duce la deformații și tensiuni constante în interiorul elementului

(4.13)

Pentru determinarea parametrilor se pune condiția ca în noduri deplasările să fie componentele vectorului adică

ceea ce duce la obținerea unui sistem de șase ecuații prin rezolvarea căruia se obțin constantele

(4.14)

în care s-a notat

și este valoarea determinantului Înlocuind valorile (4.14) în expresiile (4.12) rezultă: (4.12’)

în care sunt funcții de interpolare și au expresiile

Cu relațiile (4.12’) se pot calcula componentele deplasărilor unui punct oarecare din interiorul elementului în funcție de deplasările nodale. În nodurile elementului funcțiile de interpolare au valorile

Pentru determinarea matricei de rigiditate a elementului finit considerat se aplică teorema de extrem a energiei potețiale totale. Energia de deformație a elementului este

în calculul căreia se iau în vedere relațiile (4.13) și legea lui Hooke, ceea ce duce la tensiunile

care sunt constante în toate punctele elementului. Valoarea absolută a determinantului este dublul ariei triunghiului ijk și volumul elementului este în care t este grosimea. Rezultă expresia energiei de deformație

(4.15)

Energia potențială a sarcinii nodale este

în care s-a notat cu transpusa matricei coloană

Energia potențială totală trebuie să fie minimă în raport cu deplasările nodale, adică trebuie îndeplinite condițiile:

(4.16)

În calculul derivatelor expresiei (4.15) se va avea în vedere că

După efectuarea calculelor, condițiile (4.16) pot fi scrise explicit sub forma sistemului de ecuații:

(4.17)

ai cărui coeficienți (pentru și ) sunt chiar elementele matricei de rigiditate din relația (4.11) în care s-au folosit notațiile și

(4.18)

Matricea de rigiditate este simetrică, ca urmare a teoremei reciprocității forțelor, caz particular al teoremei lui Betti. Semnificația fizică a elementelor matricei de rigiditate este cea de forțe nodale produse de deplasări unitare. De exemplu, elementele primei linii reprezintă forțele nodale produse de o deplasare celelalte deplasări fiind nule, așa cum rezultă și din relațiile (4.17).

Aceleași rezultate se pot obține într-o formă condensată dacă se utilizează formularea matriceală. Relațiile (4.13) scrise matriceal sunt

sau

Analog, relațiile (4.14) devin de unde sau

(4.19)

dacă în care

Legea lui Hooke se scrie sub forma

sau

în care se poate înlocui relația (4.19)

(4.20)

Expresia energiei de deformare pentru elementul finit considerat capătă forma

în care se înlocuiesc expresiile (4.19) și (4.20) și rezultă

(4.21)

deoarece

Cu notația

(4.22)

expresia energiei potențiale totale este

(4.23)

pentru care se pune condiția de minim de unde rezultă că expresia (4.22) este chiar matricea de rigiditate a elementului finit.

Scrise în formă matriceală, expresiile (4.21), (4.22) și (4.23) sunt generale, valabile pentru orice tip de element finit. Trebuie avut în vedere faptul că matricea leagă vectorul deformațiilor de vectorul deplasărilor nodale iar este matricea de elasticitate (4.3’’), care intervine în expresia legii lui Hooke.

Pentru unele tipuri de elemente finite pot apare dificultăți în calculul relației (4.22). Pentru elementul triunghiular considerat în cazul de față, expresia de sub operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la

(4.18)

care este forma matriceală a relației (4.18) a matricei de rigiditate.

Matricea de rigiditate se calculează pentru fiecare element al structurii idealizate. Pentru a putea identifica elementele, nodurile structurii se numeroteză, ca în figura 4.3, b.

Etapa următoare este determinarea matricei de rigiditate a întregii structuri care se obține prin asamblarea matricelor de rigiditate ale elementelor. Pentru cazul particular când reperele locale ale tuturor elementelor sunt paralele cu reperul global al structurii, nu este necesară rotirea matricelor de rigiditate ale elementelor. Translațiile nu modifică expresia matricei de rigiditate.

Pentru a ilustra modul în care se face asamblarea matricelor de rigiditate ale elementelor se consideră exemplul unei plăci pătrate, solicitate în planul ei și încastrate pe una din laturi, ca în figura 4.5, a. Structura reală s-a discretizat prin opt elemente finite triunghiulare, ca în figura 4.5, b. Încastrarea a fost înlocuită cu articulații în nodurile 1, 2, 3 pentru care deplasările sunt nule, adică Structura are loc în total 12 grade de libertate geometrică, fiecare din cele șase noduri rămase nefixate introducând câte două grade de libertate.

Modul cum se face asamblarea se prezintă în figura 4.6: se adună elementele metricelor de rigiditate ale elementelor finite care se referă la același nod și la același grad de libertate geometrică. Pentru claritatea prezentării elementele fiecărei matrice de rigiditate s-au figurat cu câte un simbol convențional, definit prin legenda din figura 4.6. Dacă într-o “căsuță”, materializând un element al matricei de rigiditate a întregii structuri, se găsesc mai multe simboluri convenționale, aceasta înseamnă că matricele de rigiditate ale elementelor finite corespunzătoare se adună algebric pentru a se obține elementul respectiv al matricei de rigiditate a întregii structuri. În figura 4.6 s-a reprezentat schematic și matricea de rigiditate a elementului finit cu nodurile 1, 3, 5 în care s-au hașurat diferit submatricile 2×2, care se referă la fiecare nod. Hașura se regăsește în matricea de rigiditate a întregii structuri, indicându-se astfel locul pe care îl ocupă fiecare element al matricei elementului finit în matricea structurii. În “căsuțele” în care nu există nici un simbol convențional, elementele respective sunt nule.

Fig. 4.5

Fig. 4.6

Matricea de rigiditate a structurii este de tip bandă și este simetrică, ceea ce permite să se lucreze numai cu jumătate din aceasta, de obicei cu jumătatea superioară. În interiorul benzii unele elemente sunt nule, numărul lor putând fi uneori destul de mare. Lățimea semibenzii se măsoară pe orizontală, până la ultimul element nenul, pentru structura considerată fiind opt
(fig. 4.6).

Pentru o anumită discretizare a unei structuri date, lățimea semibenzii depinde de modul în care se numerotează nodurile.

Trebuie ca lățimea semibenzii să fie cât mai mică, deoarece de ea depinde într-o mare măsură timpul necesar pentru rezolvarea pe calculator a sistemului de ecuații al deplasărilor nodale. În acest scop trebuie căutat modul optim de numerotare a nodurilor structurii. Desigur, că numărul elementelor nenule din matricea de rigiditate a structurii nu depinde de numerotarea nodurilor; deci cu cât banda este mai îngustă, cu atât ea va cuprinde mai puține elemente nule.

Condițiile din legături (în care deplasările nodale sunt nule) se au în vedere prin eliminarea liniilor și coloanelor din matricea de rigiditate a structurii, care se referă la deplasările anulate de legăturile respective. De menționat că acest procedeu se poate folosi numai dacă sunt anulate deplasările după direcțiile reperului global (al structurii) și numai dacă legăturile anulează efectiv deplasările. Legăturile care anulează deplasările după direcții oarecare, precum și legăturile elastice, se iau în considerare prin introducerea, în nodul și pe direcția respectivă, a unui element finit de tipul unui arc.

Pentru structura din figura 4.5 nodurile 1, 2 și 3 sunt articulații, ceea ce înseamnă că ambele grade de libertate geometrică ale acestora se anulează și prin urmare, se elimină primele șase linii și șase coloane ale matricei de rigiditate din figura 4.6. Astfel se obține matricea de rigiditate a întregii structuri, ca în figura 4.7, corespunzătoare unui sistem de ecuații care se poate scrie sub forma

(4.24)

în care sunt deplasările după gradele de libertate geometrică nefixate ale structurii, iar încărcările după aceleași grade de libertate. Ecuațiile sistemului (4.24) reprezintă condiții de echilibru nodal exprimate în deplasări. În figura 4.8 se prezintă echilibrul nodului 4 al structurii considerate pentru exemplificare, ceea ce duce la ecuațiile:

care sunt primele două linii ale sistemului din figura 4.7 (ecuații hașurate) exprimate în deplasări prin intermediul metricelor de rigiditate ale elementelor finite care conțin nodul 4 și anume elementele 124, 245 și 457.

Fig. 4.7

Dacă structura nu ar avea legături, aceasta ar putea executa în plan trei mișcări independente de corp rigid: două translații și o rotație. Rezultă că matricea de rigiditate a structurii obținută imediat după asamblare – înainte de punerea condițiilor în legături – este singulară și anume rangul ei este egal cu numărul de linii sau coloane minus trei (minus șase, pentru structuri spațiale). Prin urmare trebuie împiedicate cel puțin mișcările de corp rigid, adică structura trebuie să fie cel puțin static determinată. În concluzie, metoda deplasărilor nu face distincție între structuri static determinate și static nedeterminate.

Fig. 4.8

În principiu sistemul inițial de ecuații se poate scrie așa cum se prezintă schematic în figura 4.9, în care s-a notat cu numărul gradelor de libertate fixate prin legături, numărul gradelor de libertate nefixate, vectorul reacțiunilor în legături (reazeme); submatricea dreptunghiulară Porțiunea hașurată din matricea de rigiditate nu intervine în calcul deoarece elementele respective se înmulțesc cu deplasări nule. Se observă că sistemul inițial de ecuații se desface în două: sistemul (4.24), prin rezolvarea căruia se află deplasările ale structurii și sistemul din care se determină reacțiunile

Fig. 4.9

Calculul unei structuri cu metoda elementului finit duce la un volum mare de calcule, ceea ce impune o legătură strânsă între metoda în sine și posibilitățile sistemului de calcul. Pentru analiza statică a unei structuri etapele principale de calcul sunt următoarele:

Determinarea matricelor de rigiditate ale tuturor elementelor în care a fost discretizată structura, calculate față de reperele locale ale elementelor respective;

“Rotirea” matricelor de rigiditate ale elementelor de la reperul local la reperul global – al structurii;

Asamblarea matricelor de rigiditate ale elementelor finite în matricea de rigiditate a întregii structuri;

Punerea condițiilor din legături (condiții de deplasări nule) prin eliminarea liniilor și coloanelor din matricea de rigiditate a structurii care se referă la grade de libertate geometric fixate;

Formarea termenului liber al încărcării exterioare nodale ;

Rezolvarea sistemului de ecuații (4.24) din care se determină deplasările nodale ale structurii. Aceasta este etapa cea mai important a metodei, ea fiind determinantă pentru performanțele programului de calculator. Cea mai utilizată metodă pentru rezolvarea sistemului de ecuații este metoda triunghiularizării a lui Gauss. La rezolvare se are în vedere că sistemul are matricea bandă, lățimea benzii fiind mică de obicei;

Determinarea tensiunilor din fiecare element finit al structurii. Pentru elementele finite utilizate la rezolvarea ecuațiilor teoriei elasticității tensiunile se calculează cu relația (4.20).

Rezultatele care se afișează sunt uzual deplasările nodale și tensiunile din elementele finite ale structurii.

CAPITOLUL 5

APLICAȚII ALE CALCULULUI ELEMENTULUI FINIT PENTRU BRAȚUL DE MACARA

5.1 Exemple de calcul

Pentru ilustrarea metodologiei de analiză statică, dinamică și de stabilitate a elementelor elastice, precum și pentru evidențierea posibilităților pe care le oferă programele de calculator existente în vederea realizării unor analize complexe, cât mai complete, se prezintă în continuare câteva exemple de calcul pentru elemente elastice ale unor captoare destinate măsurarii forțelor. Calculele s-au efectuat analitic și cu metoda elementelor finite, în acest scop utilizându-se programul SAP V2 .

5.1.1 Element elastic spațial, compus din bare

Se prezintă rezultatele calculelor efectuate pentru elementul elastic al unui captor propus în brevetul de invenție. Elementul are forma din fig. 5.1 a. și a fost modelat în vederea calculului cu metoda elementelor finite, ca o structură spațială din bare (fig. 5.1 b). Structura s-a discretizat în 12 noduri și 13 elemente finite de tip bară dreaptă solicitată spațial. În figura 5.1 b. numerele nodurilor s-au înscris în cerculețe iar ale elementelor in dreptunghiuri.

Fig. 5.1

Datele de intrare pentru programul utilizat au fost: coordonatele nodurilor în raport cu sistemul global OXYZ (fig.5.1,b); caracteristicile geometrice ale secțiunilor elementelor
(tabelul 5.1) definite în raport cu sistemul de axe principale locale (fig.5.2); constantele elastice ale materialului și anume modul de elasticitate E=2,1*10 5 N/mm2 și coeficientul de contracție transversală v=0,3.

Elementele finite utilizate au câte șase grade de libertate – trei deplasări liniare și trei rotiri, definite în raport cu sistemul de coordonate global OXYZ – pentru fiecare nod.
Pentru realizarea rezemării structurii se elimină unul sau mai multe grade de libertate ale unuia/sau mai multor noduri.

S-au considerat doua variante de rezemare și încărcare a structurii:

Structura este încastrată complet în nodul 2 și este încărcată în nodul 11
(fig 5.1,b), care are blocate deplasările după direcțiile OX și OY. Această schemă de încărcare corespunde unei construcții a captorului la care se asigură aplicarea forței P strict după axa OZ și se împiedică deplasările după direcțiile OY și OZ, de către un dispozitiv de încărcare corespunzător.

Caracteristicile geometrice ale secțiunilor elementelor structurii Tabelul5.1

Structura este încastrată complet în nodurile 1, 2 , 3 și este încărcată în nodul 11, care are toate gradele de libertate deblocate. Această schemă de încărcare corespunde unei construcții a captorului la care punctul de aplicație al forței P se poate deplasa liber, în procesul de deformație.

În prima etapă s-au facut calculul static al structurii considerate, în urma căruia s-au obținut deplasările nodurilor – deplasări liniare și rotiri – raportate la sistemul global de coordonate și eforturile R1, R2, R3, M1, M2, M3 din fiecare element de bară ( fig. 5.2).

Fig.5.2

Ca elemente sensibile ale structurii ( pe care se lipesc TER) sunt considerate barele 5,6,8,9 care sunt solicitate preponderent la răsucire. Traductoarele tensometrice se lipesc pe direcții la
45◦ față de axele barelor respective (fig. 5.1,a), conectarea în punte a TER făcându-se ca în
fig 5.1, c.

Pentru o încărcare a structurii cu P = 100 N, s-au obținut următoarele rezultate:

– pentru varianta a de încărcare și rezemare, pentru momentul de răsucire M1 s-a obținut valoarea 1935 N mm pentru barele 5,6 si valoarea 2065 N mm pentru barele 8,9. Deplasarea pe verticala a punctului de aplicație al forței P (nodul 11) au rezultat

Deformația specifică pe care o suferă rețeaua unui traductor se poate calcula cu relația:

iar tensiunea tangențială maximă:

în care G este modul de elasticitate transversal al materialului, iar a este latura secțiunii pătrate a barei. Cu datele problemei prezentate : a = 9 mm; ; M1 = 2000 N mm , rezultă și Deoarece toate cele opt TER sunt active, schema de conexiuni asigură un semnal de ieșire relativ mare , căruia îi corespunde o sensibilitate a captorului egală cu = 6,512

Presupunând că elementul elastic se realizează dintr-un material în care se poate admite producerea unei deformații specifice , rezultă că acest tip de captor se poate utiliza pentru măsurarea unei forțe în domeniul 10 – 1800 N.

În vederea determinării sensibilității captorului la componente transversale ale sarcinii,
s-au considerat încă două cazuri de solicitare pentru varianta b de rezemare și încărcare: câte o forță după direcția X, respectiv Y, aplicată în nodul 11. Analizând valorile obținute pentru momentul de răsucire și cele patru bare pe care sunt lipite TER, se pot formula următoarele concluzii :

1) Solicitarea cu o forța după direcția OX produce deformații specifice egale cu cele produse de o forță de aceeași valoare, care acționează după direcția OZ. Deci captorul va da același semnal de ieșire când forța P își păstrează valoarea (modulul), dar își modifică direcția în planul XOZ, între anumite limite.

2 ) Solicitarea cu o forță după direcția OY produce în barele 5, 6 deformații specifice de circa două ori mai mici, iar în barele 8,9 de circa douăzeci de ori mai mici decât cele produse de o forță de aceeași valoare, care acționează după direcția OZ. Deci captorul va avea sensibilitate relativ redusă la o componentă a sarcinii după direcția OY.

3 ) Solicitarea cu o forță după direcția OY produce în bară 7 deformații specifice de 2,3,4 ori mai mari decat cele produse în barele 5, 6, 8, 9 de către o forță de aceeași valoare, care acționează după direcția OZ. Rezultă că acest captor poate fi folosit și pentru măsurarea forțelor după direcțiile OX si OY.

Elementul elastic prezentat poate fi utilizat și pentru realizarea unui captor destinat măsurării cuplurilor. În acest caz TER se lipesc pe bara 7, ca in figura 5.1, b.
Bara 7 este solicitată la înconvoiere – diagrama de momente încovoietoare fiind antisimetrică. Secțiunea barei fiind dreptunghiulară (tabelul 5.1), modulul de rezistență este W3=2I3/b=1152/6=192 mm3. Tensiunea normală maximă și deformația specifică a rețelei unui traductor sunt:

1000/192=5,2 N/mm2;

,

în care s-au considerat :

Deoarece toate cele patru TER sunt active, semnalul de ieșire al captorului este
Deci domeniul de măsurare al captorului poate fi 1000 – 30000 Nmm. Efectuând calculul cu metoda elementelor finite a rezultat o rotire relativă dupa direcția OZ dintre nodurile 2 si 11 de 0,0438◦, pentru un moment M3 = 1000 N mm.

Tot cu programul SAP V2 s-a efectuat și un calcul de stabilitate a elementului elastic studiat, pentru cele doua variante de încărcare și rezemare, forța P – 100 N fiind aplicată în nodul 11 după direcția OZ. S-au obținut următoarele valori pentru multiplicatorul încărcarii:
pentru prima variantă, respectiv pentru cea de a doua, sarcina corespunzătoare pierderii stabilității fiind Modul în care se deformează structura când își pierde stabilitatea se prezintă în figura 5.3.

Fig. 5.3

Elementul elastic studiat poate fi utilizat și la realizarea unor captoare pentru măsurări în regim dinamic. În acest scop s-a facut o analiză a vibrațiilor proprii libere ale structurii considerate. S-a presupus că în nodul 11 există o masă de 0,3 kg, care acționează după direcția OZ.

Valorile frecvențelor corespunzătoare primelor patru moduri de vibrație se dau în tabelul 5.2, pentru cele două variante de rezemare și încărcare prezentate mai sus.

Modurile de vibrație se prezintă în figura 5.4, pentru variantele a și b de rezemare și încărcare. Din analiza valorilor continue în tabelul 5.2 se constată o variație relativă mare a frecvențelor proprii pentru cele două variante avute în vedere, fiind maximă pentru modul al patrulea și anume 47,79 %.

Valorile frecvențelor proprii ale vibrațiilor structurii din figura 5.1

Tabelul 5.2

În continuare s-a determinat răspunsul captorului la o forță P care are o creștere liniară de la 0 la 20 N, după care rămâne constantă. S-au considerat două variante: creșterea forței are loc în 0,3 s, în acest caz variația fiind denumită de tip rampă; creșterea forței are loc în 0,02 s, în acest caz variația fiind denumită de tip treaptă. S-a presupus că structura are amortizare și aceasta este 0,1 sau 0,6 din cea critică (. Forța P s-a aplicat în nodul 11, după direcția OZ. Răspunsul structurii s-a determinat cu programul SAP IV folosind metoda suprapunerii modurilor proprii pentru un pas de 0,01s. În figura 5.5 s-au reprezentat grafic, pentru variantele precizate mai sus, variațiile în timp ale deplasării a nodulului 11, în care se aplică forța P. Valorile maxime ale deplasării și timpul t la care acestea se produc, se dau în tabelul 5.3. Celălalte deplasări ale nodurilor structurii sunt mult mai mici.

Deplasare statică a nodulului 11, în care se aplică forța P = 20 N, este de 0,0401 mm în varianta a de rezemare și încărcare și de 0,0391 în varianta b.

Analiza valorilor deplasărilor din tabelul 5.3 arată că acestea sunt mai mari pentru o variație a forței P după o lege de tip treaptă pentru , reprezentând față de solicitarea statică creșteri de 16,1 % în varianta a , respectiv 32,8 % în varianta b de rezemare și încărcare.

Fig.5.4

Tabelul 5.3

Valorile maxime ale deplasării a punctului de aplicație a forței P.

Fig. 5.5

Bibliografie

Alămoreanu, M., Tișea T., – Mașini de ridicat,vol. I, Editura Tehnică, București, 1996.

Alămoreanu, M., Tișea T., – Mașini de ridicat,vol. II, Editura Tehnică, București, 2000.

Boleanțu, L., – Culegere de materiale pentru documentare la mașini de ridicat, Institutul

Politehnic, Timișoara, 1969;

Cataramǎ, I., – Teoria generală a mașinilor de ridicat și transportat materiale, Institutul

Politehnic, București, 1993;

Cârjali E., Organe de mașini, vol. I, Editura Ovidius University Press, Constanța, 2009.

Cârjali E., Organe de mașini, vol. II, Editura Ovidius University Press, Constanța, 2010.

Cârjali E., Organe de mașini, vol. III, Editura Ovidius University Press, Constanța, 2011.

Cârjali E., Organe de mașini, Îndrumar proiectare, Editura Ovidius University Press,

Constanța, 2007.

Chișiu, A., ș.a.- Organe de mașini, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981;

Dinulescu, S., – Îndrumător pentru exploatarea și repararea excavatoarelor cu roți cu cupe, Editura Tehnică, București, 1981;

Drǎghici, I., Jula, A., ș.a – Organe de mașini – Probleme, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981;

Gafițanu, M., ș.a. – Organe de mașini, vol. 2, Editura Tehnică, București, 2002;

Palaghian L., Siguranță, durabilitate și fiabilitate la oboseală, Editura Tehnică, București, 2007.

Sandu, A., Sandu, M. –Dispozitiv cu traductoare resistive destinat măsurării precise a forțelor și cuplurilor, Simpozion național de roboți industriali TITAN 85, București 1985.

Șaganai, N.-Scule și dispozitive pentru exploatare portuară, cursSDEP, Constanța, 1994.

Ștefănescu, D. M., Gurău, N. – Cecetări privind realizarea unui aparat tensometric pentru măsurarea forțelor, Memoriu tehnic N-250, I.M.F.C.A., București, 1982.

Ștefănescu, D.M., Alămoreanu, E., Găvan, N. – Instalație pentru determinarea modulelor de elasticitate la încovoierea epruvetelor, Metrologie aplicată, 1984.

*** Colecția de STAS-uri.

*** Prescripții tehnice pentru construirea, montarea, exploatarea și verificarea macaralelor, mecanismelor de ridicat și dispozitivelor auxiliare RI-87, Colecția ISCIR, Ediție oficială, București, 1988.