Numere complexe conjugate forma algebrica forma trigonometrica (Anexa 1) [305283]

[anonimizat]. [anonimizat], a matematicii a [anonimizat] o materie cu necontestate valențe formative. In același timp a sporit responsabilitatea celor chemați să facă matematica înțeleasă și apreciată.

Matematica este considerată de multe ori de către elevi o [anonimizat], neplăcută. Acest lucru se datorează în mare măsură strategiilor tradiționale. [anonimizat], al dascălilor este de a [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat] – formative, [anonimizat], afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

Această lucrare încearcă să ofere o [anonimizat], concretă, se găsește într–o [anonimizat], să certifice inepuizabilitatea direcțiilor de dezvoltare ale geometriei elementare și trigonometriei. [anonimizat], deoarece bogatul conținut de exemple poate oferi o baza de lucru consistenta.

[anonimizat] (clasa a X–a), [anonimizat] a acestor genuri de probleme la olimpiadele și concursurile școlare. [anonimizat], au contribuit la alegerea acestei teme în vederea obținerii gradului didactic I în învățământ.

Capitolul 1 – STRATEGII DIDACTICE

Termenul de strategie își are originea “într–un cuvânt grecesc cu semnificația de generalitate și până de curând a avut un înțeles strict militar: arta planificării și conducerii războiului.”

The American Heritage Dictionary of the English Language (1969) scoate în evidență faptul că folosirea strategiilor în educație implică măiestrie și artă sau “o capacitate (abilitate, pricepere) în folosirea lor” și sugerează că “profesorii trebuie să învețe această artă”.

[anonimizat] “[anonimizat]:

pe termen lung: [anonimizat], ele implicând în mod clar evoluția viitoare;

multidimensionale: [anonimizat], mijloace și constrângeri;

interactive: deciziile sunt luate încercând să se anticipeze inițiativele și reacțiile” participanților la activitate (ale elevilor și studenților). (Bernard Gazier, 2003, p. 9)

[anonimizat]–[anonimizat], deprinderile, aptitudinile, sentimentele și emoțiile. [anonimizat]de, tehnici, mijloace de învățământ și forme de organizare a activității, complementare, pe baza cărora profesorul elaborează un plan de lucru cu elevii, în vederea realizării cu eficiență a învățării.

STRATEGIA DIDACTICĂ reprezintă modalitatea de alegere, îmbinare și aplicare a metodelor, tehnicilor, procedeelor didactice în moduri de organizare diferite ale procesului educațional în funcție de situațiile diferite de învățare, de particularitățile de vârstă și individuale ale subiecților educaționali.

Cele mai eficiente strategii didactice sunt cele diferențiate și personalizate în funcție de nivelul școlar, de tipul de școală, de forma de specializare, de clasă, de profesorii și elevii care vor pune în practică aceste strategii.

Conceptul de strategie se referă la un set de acțiuni orientate intenționat către atingerea unor finalități specifice. Procesul de învățământ nu se produce la întâmplare, în mod haotic, ci în baza unei abordări strategice. Predarea implică gândire strategică, ceea ce face posibilă stăpânirea cu succes a situațiilor de instruire (Cucoș, 2001).

Strategiile didactice sunt ansambluri de metode, mijloace și procedee didactice subordonate obiectivelor, pentru realizarea situației de învățare specifice unui anumit demers didactic. Operaționalizarea unei strategii didactice se constituie ca un exercițiu de rezolvare creativă a unei situații–problemă ce implică abordări și soluții metodologice complexe din partea profesorului.

Raportul dintre strategia didactică și metoda didactică evidențiază diferențele existente la nivelul timpului pedagogic angajat în proiectarea și realizarea activităților de instruire/educație. Astfel, “metoda didactică reprezintă o acțiune care vizează eficientizarea învățării în termenii unor rezultate imediate, evidente la nivelul unei anumite activități de predare–învățare–evaluare. aplicarea lor în încercarea de a atinge obiectivele pedagogice specifice. În elaborarea unei strategii didactice exista următoarele variabile pe care le poate alege profesorul:

Tipul de demers/raționament (inductiv, deductiv, dialectic și analogic);

Metodele (expozitive, interogative, active etc.);

Tehnicile:

de animare, întrebare, sintetizare, reformulare, încurajare stimulare, revenire;

de experimentare, expozitive;

exerciții aplicative;

de declanșare;

de instruire programată;

Mijloacele și materiale didactice;

Modul de organizare a colectivului: frontal, grupal, individual;

Nivelul de performanță atins de elevi;

Combinând aceste elemente se pot concepe diferite strategii. Alegerea strategiei didactice se va face în funcție de obiectivele specifice prioritare, ponderea unei variabile din cele enunțate, situația (contextul pedagogic) și stilurile didactice.

O strategie didactică presupune identificarea unei combinații eficiente între intenții, resurse, modalități de activare a acestora, metode de activare a proceselor cognitive în simbioză cu susținerea motivării și interesului pentru învățare / studiu. Alegerea strategiei de învățare reflectă finalizarea căutării condițiilor specifice în conceperea situației de învățare, sub forma unui program de acțiune, de dirijare, de îmbinare a metodelor și mijloacelor, a comunicării. Găsirea strategiei adecvate presupune formularea de variante inițiale, prin raportare la diverși factori, interni și externi, ai situației de învățare analizați în prealabil.

Imperativul calității în educație obligă la o reconsiderare a demersului educațional al profesorului, astfel încât strategiile didactice elaborate să fie centrate pe învățare și, respectiv, pe cel care învață.

Centrarea pe elev devine atât o conditie de calitate si eficienta a procesului formativ cât si una dintre cele mai la îndemâna cai de rezolvare a numeroaselor dificultati pe care le cunoaste si amplifica învatamântul contemporan: diminuarea motivatiei pentru învatatura, lipsa de atractivitate a programului scolar pentru elevi, scaderea gradului de implicare a acestora în activitatea de învatare, diminuarea importantei acordate imaginatiei, creativitatii si afectivitatii elevilor în favoarea pretuirii exagerate a gândirii si memoriei acestora, favorizarea abordarilor mecanice si reproductive în învatare în defavoarea celor euristice, accentuarea pronuntata a abordarii pasive de catre profesor/elev a activitatii didactice, rutina si monotonie în procesul de învatamânt, tratarea frontala nediferentiata a întregii clase de elevi de catre profesori, scaderea performantelor scolare.

Directiile în care ar urma sa se manifeste responsabilitatea elevului sunt:

sa se exprime pe sine (sincer, deschis, cu încredere în valoarea sa autentica dincolo de inerentele limitari, în polivalenta personalitatii sale si autenticitatea acesteia, în drepturile si libertatile sale, pe baza de respect acordat celorlalti, în frumusetea si atractivitatea diversitatii lor);

sa comunice (adecvat, empatic, asertiv, valorificând limbajul proactiv, autentic, curajos, coerent, tolerant, cu rabdare fata de interlocutor si cu atentie fata de punctul sau de vedere);

sa participe activ la instruire/autoinstruire, respectiv, dezvoltare/ autodezvoltare (renuntând treptat la ipostaza de comoditate si confort induse de cunoscut, la atitudinea pasiva sau de relativa „neputinta”, la solicitarea repetata si nejustificata a sprijinului din partea profesorului sau a unor „algoritmi ai succesului”, verificati într–o perioada precedenta în practica scolara. Sa caute solutii, sa colaboreze cu ceilalti, sa valorifice experiente diferite, sa continue procesul de instruire si dezvoltare permanent, în afara cadrului institutionalizat, sa extinda si valorifice achizitiile realizate, indiferent de tipurile si timpurile activitatii);

sa acorde timp pentru instruire si autoinstruire (din multitudinea optiunilor de petrecere a timpului sa aloce în mod constient, prin decizie proprie, timp pe care sa–l foloseasca productiv si creativ în scopul instruirii si autoinstruirii, nu prin constrângere, obligativitate sau sanctiune, fara a necesita control din partea adultilor);

sa fie activ în relatia cu profesorii sai (prin dezvaluirea sinelui si implicare deschisa în sarcina, eliminarea falselor obstacole de tip cognitiv sau afectiv, prin formulare de întrebari si solutii lipsit de complexe si de frica greselii, prin consolidarea unor relatii echilibrate, de implicare si valorizare a colegilor si a celorlalti participanti la procesul formativ) ;

sa ia decizii în ceea ce–l priveste, sa aleaga (prin implicare în proces în cunostinta de cauza, prin relativa analiza si identificare a efectelor, prin acceptarea posibilitatii de a gresi si a obtine rezultate atât asteptate cât si, mai ales, neasteptate, posibil neplacute, prin angajamentul de a suporta demn consecintele negative ale propriilor decizii).

Câstigul final îl reprezinta raportarea mai adecvata la realitate din perspectiva dimensiunii trairii si manifestarii libertatii personale spre deosebire de paradigma traditionala, care, în mod corespunzator, îngradeste accesul la libertate si manifestarea acesteia.

Se observa ca tot mai des tindem catre o scoala în care elevii sa devina capabili sa îsi asume responsabilitatea dobândirii competentelor, profesorul devenind un organizator al experientelor de învatare. În acest sens, el îsi asuma sarcini suplimentare în generarea unui climat de încredere în posibilitatile elevilor, în diminuarea complexului de inferioritate al multora dintre ei si, de asemenea, în combaterea algoritmilor de uniformizare a conditiilor de învatare si dezvoltare pentru elevii capabili de performante superioare. Stimularea creativitatii acestora, încurajarea lor permanenta, teme variate la nivelul continuturilor si metodologiei, crearea unui context favorabil gândirii independente, asocierii libere a ideilor, dezvoltarea capacitatii de argumentare, motivare pentru alegerile facute sunt câteva directii importante de actiune.

Una dintre țintele procesului educațional este de a–i instrumenta pe elevi cu abilitatea de a face față situațiilor problematice cu care se confruntă, deci de a rezolva probleme. Spre deosebire de celelalte componente ale sistemului cognitiv (ex: procesarea informației vizuale, atenția, memoria etc.), care formează sisteme funcționale specifice, mecanismele rezolvării de probleme au un caracter globalist, cuprinzând toate celelalte sisteme. Rezolvarea de probleme este, așadar, o rezultantă a funcționării interactive a tuturor mecanismelor cognitive.

Pentru a putea deveni capabili de a rezolva probleme, elevii trebuie să identifice și definească o problemă, să cunoască metode specifice de investigare a procesului rezolutiv (strategii algoritmice si euristice) și, de asemenea, să poată realiza raționamente.

Principalele procese rezolutive cu care elevii trebuie familiarizați sunt, în concepția lui M. Zlate (2006), următoarele:

interpretarea situației sau reprezentarea problemei;

elaborarea scopurilor și planificarea;

memorarea evenimentelor critice;

evaluarea rezultatelor acțiunii.

În funcție de caracterul determinant al învățării, Cerghit deosebește două clase de strategii:

prescrise (de dirijare riguroasă a învățării): imitative, explicativ-reproductive (expozitive), explicativ-intuitive (demonstrative), algoritmice, programate, computerizate.

neprescrise/participative (de activizare a elevilor):

euristice: explicativ-investigative (descoperire semidirijată), investigativ-explicative, de explorare observativă, de explorare experimentală, de descoperire (independentă, dirijată, semidirijată), bazate pe conversația euristică, problematizante, bazate pe elaborare de proiecte, bazate pe cercetarea în echipă s. a.;

creative (bazate pe originalitatea elevilor);

mixte: algoritmico-euristice, euristico-algoritmice.

In instrucția școlara are loc de fapt un proces care se poate numi învățare prin descoperire dirijată. Este vorba de îndrumarea de către profesor a procesului de descoperire efectuat de elevi, sub forma unor sugestii sau precizări. De aceea vom avea tipuri diferite de descoperiri:

1. Descoperirea inductivă – are la baza raționamentul inductiv. Ea cuprinde analiza, clasificarea, ordonarea și ierarhizarea unor date, unor cunoștințe. In acest context elevul reușește ca pe bază de lectură, de date materiale, fapte, să ajungă la noțiuni, reguli, definiții, generalizări, principii sau legi.

2. Descoperirea deductivă este bazată pe raționamentul deductiv. Ea constă din trecerea de la general la particular, de la concretul logic la concretul sensibil și are drept scop obișnuirea elevilor de a opera cu noțiuni științifice și filozofice abstracte.

3. Descoperirea transductivă sau prin analogie

Aceasta se bazează pe stabilirea de relații între diverse serii de date. Această formă de descoperire se folosește în special la clarificarea unor noțiuni nou însușite prin intermediul cunoștințelor anterioare ale elevilor.

Învățarea prin descoperire trebuie utilizată cu atenție pentru a constitui un sistem sigur de dobândire a informațiilor.

Matematica studiată în școală urmărește două aspecte importante cu privire la finalitățile urmărite și anume:

Cuprinderea unor noțiuni de bază necesare aprofundării unei matematici superioare, respectiv noțiuni necesare studiului celorlaltor științe;

Formarea unor capacități intelectuale și abilități specifice, cum ar fi logica în gândire, aprecierea adevărului, respect pentru corectitudine etc.

Conținutul învățământului matematic, văzut ca un sistem, promovează următoarele valori:

cunoștințe;

priceperi și deprinderi (abilități) intelectuale și practice;

capacități intelectuale și practice;

competențe intelectuale și practice;

atitudini;

aptitudini;

comportamente;

conduite etc.

Scopul principal al metodelor didactice este orientarea proceselor de predare-învățare, (autoînvățare)-evaluare (autoevaluare), rămânând subordonate acestor procese. Metodele însoțesc acțiunea educativă, dar nu se identifică cu aceasta. Eficiente în predarea-învățarea matematicii sunt metodele activizante, cele care le pretind elevilor să desfășoare o activitate continuă, atât în planul gândirii, al logicii, cât și în planul practic, al acțiunii.

Utilitatea metodelor active în lecțiile de matematică are ca scop demonstrarea faptului că ele semnifică o cerință de bază, cu diverse valențe formative pentru cunoașterea și aprofundarea operațiilor gândirii, ducând astfel la o ascensiune a randamentului școlar.

1.1. Descrierea principalelor metode didactice

Operationalizarea unei strategii didactice necesita o pregatire temeinica si în primul rând selectarea celor mai potrivite metode centrate pe elev pentru abordarea activitatii instructiv–educative. În calitate de elemente factice, metodele sunt cosubstantiale strategiilor. Ca demersuri teoretico–actionale, ele desemneaza anumite modalitati de executie a operatiilor implicate în realizarea sarcinilor de predare si învatare. Calitatea procesului instructiv–educativ depinde si de metodele folosite, dezvoltarea personalitatii elevului fiind conditionata nu numai de continuturile vehiculate, ci si de maniera în care acestea îi sunt aduse la cunostinta.

Plasarea elevului într–o situatie de învatare presupune o anumita modalitate de a proceda la realizarea sarcinii, o metoda prin care sa se dobândeasca ceea ce este prefigurat în obiective.

Ca modalitati de actiune, unele metode îl solicita mai mult pe profesor (prelegerea, expunerea), altele mai mult pe elev (exercitiul, lectura individuala sau colectiva), iar altele presupun actiuni didactice care antreneaza deopotriva profesorul si elevii (problematizarea, abordarea euristica).

Metodele dialogate (conversative) – constau în stabilirea unui dialog între profesor si elevi, în care profesorul nu trebuie să apară în rolul unui examinator permanent, ci în rolul unui partener care pune întrebari pentru: a stimula gândirea elevilor, a asigura însusirea cunostintelor, a fixa cunoștintele nou predate.

Există mai multe criterii care pot sta la baza clasificării formelor de conversație, astfel:

După numărul de persoane cărora li se adresează întrebarea:

Individuală (profesor-elev)

Frontală (profesor – colectivul clasei)

După obiectivele urmărite în diversele variante de lecții:

introductivă

de comunicare a materialului nou

de repetare si sistematizare

conversatia de fixare si consolidare

conversatia de verificare si apreciere

conversatia finala

De asemenea, conversația este clasificată în:

Euristică

catehetică

Conversatia poate lua forma discutiilor individuale sau a discutiilor colective (dezbaterile). Scopurile metodelor conversative (dialogate):

stimularea gândirii logice a elevilor, formarea raționamentului matematic

aprofundarea cunostintelor, găsire a unor noi soluțiii de rezolvare a problemelor

formarea și dezvoltarea limbajului matematic al elevilor,

deprinderea elevilor de a rezolva singuri o problemă indiferent de natura acesteia..

Indiferent de forma conversației purtate, profesorul trebuie să aibă în vedere formularea cu abilitate a unor întrebări, în alternanță cu răspunsuri de la elevi, destinate descoperirii de noi date, informații.

Întrebarile pot fi spontane sau premeditate, determinându–l pe elev să învingă dificultățile inerente cunoașterii.

Tipurile de întrebari trebuie să îndeplinească anumite condiții:

să fie clare, precise, să nu vizeze decât un singur răspuns;

să nu conțină răspunsul sau să ceară un răspuns de tipul”da” sau „nu”

să fie instructive.

O clasificare în funcție de diverse criterii se poate prezenta astfel:

Dupa nivelul si modul de adresare – frontale, directe, nedirijate, de completare, de reluare, imperativă, de controvesrsă;

Dupa obiective urmarite – de definire, factuale, de interpretare, de comparare, de opinie, de justificare ;

Dupa efortul intelectual solicitat elevului- reproductive, reproductiv-cognitive, productiv – cognitive, anticipative , de evaluare, sugestive.

1.1.1. Problematizarea (metoda rezolvarii de probleme)

Problematizarea este considerata una dintre cele mai valoroase metode deoarece orienteaza gândirea scolarilor spre rezolvarea independenta de probleme.

Utilizând metoda în discutie, profesorul pune pe scolar în situatia de a cauta un raspuns pertinent, o solutie pentru problema cu care se confrunta. Problematizarea și învățarea prin descoperire realizează o înlănțuire logică între cunoștințele vechi și noile cunoștințe; unitățile didactice nu sunt secvențe separate, ele se intercondiționează în cadrul unei situații de instruire contribuind la o mai bună înțelegere a acestora, întrucât valorifică și activează experiența anterioară de cunoaștere a elevilor.

Procesul prin care elevii își construiesc noile cunoștințe, prin efort propriu, pe baza celor dobândite anterior, este un proces ciclic, cu durata unei activității de învățare. Modificările evolutive ale cunoștințelor sunt rezultatul fenomenului inductiv între problematizare și descoperire. Acest fenomen de inducție mutuală se produce între achizițiile dobândite prin problematizare și cele dobândite prin descoperire

Punctul de pornire îl constituie crearea situatiei – problema, care desemneaza o situatie contradictorie, conflictuala între experienta de cunoastere anterioara si elementul de noutate cu care se confrunta scolarul.

Situatia – problema este necesar sa prezinte urmatoarele caracteristici:

sa reprezinte o dificultate cognitiva pentru scolar, rezolvarea acesteia necesitând un efort real de gândire

sa trezeasca interesul scolarului

sa orienteze activitatea scolarului în directia rezolvarii problemei prin activarea cunostintelor si experientelor dobândite anterior.

Problematizarea presupune patru momente fundamentale:

punerea problemei si perceperea ei de catre elevi (inclusiv primii indici orientativi pentru rezolvare).

studierea aprofundata si restructurarea datelor problemei

cautarea solutiilor posibile la problema pusa

analizeaza atent si cu discernamânt materialul faptic

formuleaza ipoteze privind solutionarea problemei si le verifica pe fiecare în parte.

obtinerea rezultatului final si evaluarea acestuia– elevul compara rezultatele obtinute prin rezolvarea fiecarei ipoteze.

Metoda are un pronuntat caracter formativ deoarece:

antreneaza întreaga personalitate a elevului (intelectul, calitatile volitionale, afectivitatea), captând atentia si mobilizând la efort

cultiva autonomia actionala

formeaza un stil activ de munca

asigura sustinerea motivatiei învatarii

da încrederea în sine.

1.1.2. Metoda asaltului de idei (Brainstorming – ul)

Este o varianta a discutiei în grup, având ca obiectiv producerea de idei noi sau gasirea celei mai bune solutii pentru o problema de rezolvat, prin participarea membrilor grupului.

Cracteristici:

Se poate organiza cu toata clasa sau doar cu un grup special selectat.

Ideile sunt avansate (produse) în cadrul discutiilor sau dezbaterilor, valorizarea (evaluarea) lor având loc la sfârsitul lectiei.

Metoda ofera elevilor posibilitatea sa se exprime în mod liber, contribuind la formarea si dezvoltarea calitatilor imaginativ–creative, a unor trasaturi de personalitate cum ar fi spontaneitatea, curajul de a exprima un punct de vedere, vointa etc.

Fazele activitatii didactice axate pe aceasta strategie:

împartirea clasei în grupuri de elevi (maxim 10)

alegerea unui secretar (care va contabiliza ideile în ordinea emiterii lor)

comunicarea regulilor de desfasurare a activitatii:

se interzic aprecierile critice, ironizarile, cenzurarile, contrazicerile, obstructionarile

se exprima liber orice idee care–i trece elevului prin minte (pentru a stimula imaginatia)

se cere producerea unei cantitati cât mai mari de idei

se încurajeaza asociatiile originale de idei (pentru a afla raspunsul / solutia)

fiecare grup va emite câte o idee la o interventie

alegerea problemei si prezentarea ei de catre profesor

stabilirea, de catre profesor, la sfârsitul actiunii a unui grup de evaluare care vor prelucra ideile, le vor ierarhiza functie de valoarea lor, le vor prezenta.

1.1.3. Metoda „Phillips 6 – 6”

Metoda contribuie la exprimarea personalitatii elevului și se cupleaza perfect cu prelegerea – dezbatere, dar si cu jocul de decizie devenind – în aceste cazuri – procedeu didactic.

Profesorul are rolul de a dirija învatarea. Aceasta modalitate de lucru asigura abordarea într–un timp limitat a mai multor aspecte ale unei probleme, facilitând comunicarea, confruntarea si luarea deciziilor.

Procedura:

se împarte clasa în grupe eterogene de câte 6 elevi

se anunta tema / subiectul

profesorul explica succint scopul si modul de desfasurare a activitatii, precizând si durata: 4 minute –organizarea; 6 minute – discutii în cadrul grupului; 2 minute – prezentarea raportului fiecarui grup de catre un elev delegat.

fiecare grup desemneaza un coordonator si un purtator de cuvânt

timp de 6 minute au loc discutii în grup, facându–si schimb de idei

se întocmeste (dupa 6 minute) un raport în care se prezinta solutia / rezultatul la care s–a ajuns

purtatorul de cuvânt al grupului prezinta raportul celorlalte grupuri

profesorul împreuna cu raportorii fac o sinteza a rapoartelor stabilind solutia finala, conform opiniei majoritare.

1.1.4. Studiul de caz

– este o metoda de explorare directa dar si o metoda actionala

– consta în etalarea unor situatii tipice, reprezentative pentru o clasa de fenomene, ale caror trasaturi sunt cercetate

– studiul de caz urmareste:

a) identificarea cauzelor care au determinat declansarea fenomenului respectiv

b) evolutia fenomenului comparativ cu fapte /evenimente similare

– foloseste atât pentru cunoasterea inductiva (pornind de la premise particulare se trece la concluzii generale), cât si deductiva (particularizând si concretizând unele aspecte de ordin general)

Etapele prezentarii studiului de caz:

descoperirea cazului si întelegerea profunda a acestuia

examinarea cazului din mai multe perspective:

teoretica

documentara

practica

selectarea metodelor de analiza

prelucrarea cazului respectiv

sistematizarea informatiilor

analiza situatiilor prezentate

stabilirea variantelor de rezolvare

stabilirea concluziilor (alegerea variantei optime)

Studiul de caz este o metoda care apropie principiul de învatare de modelul vietii, al practicii, având mare valoare euristica si aplicativa. Ea îi obliga pe elevi sa caute si sagaseasca mai multe variante de solutionare a problemei în fata careia se afla. În aceasta ipostaza, studiul de caz nu urmareste dobândirea de noi cunostinte, ci mai degraba aplicarea practica a unor cunostinte însusite deja, în conditii si sub forme noi, impuse de situatia–problema ce urmeaza a fi solutionata prin gândire si imaginatie.

Aplicarea metodei studiului de caz se poate realiza, în principal, sub forma a trei variante.

Varianta 1: Metoda situatiei (Case – Study – Method) care presupune o prezentare completa a cazului – problema, cu toate informatiile necesare solutionarii. Discutarea cazului începe imediat dar prezintă dezavantajul că este mai departe de realitate și obliga educatorul sa–si procure informatiile necesare.

Varianta 2: Studiul analitic al cazului (Incidence Method) presupune prezentarea completa a situatiei existente, dar informatiile necesare solutionarii sunt redate numei partial sau deloc. Aceasta varianta este mai aproape de realitate, obliga la cautarea si procurarea personala a informatiilor .

Varianta 3: Studiul fara prezentarea completa a informatiilor necesare rezolvarii cazului; elevilor li se propun doar sarcini concrete de rezolvat, urmând sa se descurce prin eforturi proprii.

1.1.5. Metoda cubului

Metoda cubului – folosita pentru a facilita explorarea unui subiect/situație din mai multe perspective, în vederea dezvoltarii competentelor necesare unei abordari complexe si integratoare

Etapele metodei:

Pe cele 6 fete ale cubului se mentioneaza sarcinile: descrie, compara, analizeaza, asociaza, aplica, argumenteaza.

Anunțarea temei/situatiei puse în discutie

Împărtirea clasei în 6 grupuri, care examineaza tema conform cerintei înscrise pe fața cubului alocată fiecarui grup. Prin brainstorming, elevii emit idei pe care le includ în tema respectivă, în paragrafe distincte.

Descrie: culorile, formele, marimile/dimensiunile

Compara: asemanarile si diferentele specifice fata de alte realitati

Asociază: tema la ce te îndeamna sa te gândesti?

Analizează: spune din ce se compune, din ce este facut etc.?

Aplică: cum poate fi folosita? Ce poti face cu ea?

Argumentează pro sau contra ei, enumerând suficiente motive care sa sustina afirmatiile tale.

Fiecare grup prezinta oral în fata celorlalte grupuri concluziile la care au ajuns (materialul elaborat)

Pe tabla, în forma cvasi–finala, vor fi desfasurate concluziile celor 6 grupuri, se comenteaza si, în final, se da un format integrat final lucrarii respective.

1.1.6. Studiul în pe grupuri mici:

Argumente privind studiul în grupuri mici:

Elevii învață mai bine dacă discută între ei;

Sensul conceptelor este mai bine conturat prin activități comune

Dezvoltă creativitatea elevilor;

Dezvoltă abilități de comunicare;

Dezvoltă încrederea în sine;

Mărimea grupului:

Grupuri de 3–5 elevi. Avantaje:

Elevii se simt mai siguri;

Ajung mai ușor la un punct de vedere comun;

Se discută fără un coordonator;

Fiecare membru poate să–și spună punctul de vedere.

Grupuri de 8 și peste 8 elevi – se formează atunci când clasa are de rezolvat probleme ce implică două soluții de tipul da–nu, pro sau contra. Avantajul lor constă în:

Crește varietatea ideilor;

Activitatea în grup este mai dinamică;

În interiorul grupului se exersează mai multe roluri.

Exemple de situații în care se optează pentru asemenea grupuri ar putea fi:

Când se practică brain–storming–ul;

Când se lucrează în cerc;

Când se dezvoltă o idee în lanț.

1.1.7. Metoda Predării/Învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar, 1986)

Este o strategie de învățare a tehnicilor de studiere a unui text. După ce sunt familiarizați cu metoda, elevii interpretează rolul profesorului, dezvoltând dialogul elev – elev.

Metoda învățării reciproce este centrată pe patru strategii de învățare:

Rezumarea înseamnă expunerea a ceea ce este mai important din ceea ce s–a citit; se face un rezumat.

Punerea de întrebări se referă la listarea unei serii de întrebări despre informațiile citite; cel ce pune întrebările trebuie să cunoască bineînțeles și răspunsul.

Clarificarea presupune discutarea termenilor necu–noscuți, mai greu de înțeles, apelul la diverse surse lămuritoare, soluționarea neînțelegerilor.

Prezicerea se referă la exprimarea a ceea ce cred elevii că se va întâmpla în continuare, bazându–se pe ceea ce au citit.

Avantajele metodei predării/învățării reciproce:

este o strategie de învățare în grup, care stimulează și motivează;

ajută elevii în învățarea metodelor și tehnicilor de lucru cu textul, tehnici de muncă intelectuală pe care le poate folosi apoi și în mod independent;

dezvoltă capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operațiile ei și capacitatea de ascultare activă;

stimulează capacitatea de concentrare asupra textului de citit și priceperea de a de a selecționa esențialul.

1.1.8. Expunerea

Avantajele pe care le oferă prezentarea, expunerea prin intermediul cuvântului rostit și receptat mintal prin auz a făcut ca metodele expozitive să fie utilizate în procesul de învățământ, încă de la primele forme instituționalizate de educație.

Folosirea metodelor expozitive prezintă însă dezavantajul că fac apel la receptivitatea elevilor fără ca ei să participe activ la elaborarea de noi achiziții, să–și exerseze gândirea și spiritul critic; activitatea lor este redusă, din care cauză poate să apară plictiseala și chiar oboseala; se poate instala predispoziția spre superficialitate și formalism în învățare.

Explicația, o variantă a expunerii, presupune aflarea, pe baza unei argumentații deductive – de la general la particular – a unor adevăruri noi. Profesorul pornește de la enunțarea clară a unor concepte, reguli, norme, teoreme etc. pe care elevii le cunosc deja, după care analizează argumentele, premisele sau cauzele, iar apoi prezintă și exemple sau diferite cazuri aplicative, particulare; pe această cale se asigură dezvăluirea sau deslușirea, întărirea și confirmarea celor expuse. Astfel, elevii sunt ajutați să–și clarifice și să adâncească înțelegerea unor concepte, reguli, principii, legi etc. prin raportarea lor la structuri de ordin inferior acestora.

Definitia are o valoare metodologica deosebita în cadrul procesului de instruire, prin intermediul sau fiind posibil accesul la notiunile (conceptele) specifice diferitelor domenii ale cunoasterii. Eficienta demersului didactic, eficienta prelucrarii, transmiterii si receptarii informatiei depinde, printre altele, de gradul de organizare interna al ansamblului de notiuni vehiculate, care, la rândul sau, depinde în mod direct de folosirea corecta a operatiilor logice cu notiuni, dintre care un rol deosebit îl are definitia.

Prin intermediul definitiei este surprinsa, descrisa si explicata, într–o forma concisa, lapidara, esenta obiectelor, fenomenelor sau proceselor exprimate prin notiuni (concepte), conform însusirilor (calitatilor) ce le caracterizeaza. Din perspectiva logica, a defini înseamna sau a indica o determinare proprie (caracteristica) unui obiect al cunoasterii sau a da semnificatia unui termen ori a arata caracteristicile pe care trebuie sa le aiba o clasa de obiecte ce urmeaza sa o construim. Pe scurt, operatia de definire presupune a dezvalui caracteristici, a da semnificatii, a da reguli de constructie, a identifica, a descrie, altfel spus, a elucida un obiect de cunoastere.

1.1.9. Demonstrația

Demonstrația – presupune a prezenta elevilor obiecte, fenomene, procesele – reale sau fictive – imagini ș.a., în scopul asigurării unui suport perceptiv, pentru ușurarea efortului de explorare a realității, pentru a asigura accesibilitatea și înțelegerea în procesul cunoașterii.

Aristotel a fost cel care a elaborat, pentru prima data, o teorie logica a întemeierii, distingând doua forme ale acesteia: întemeierea demonstrativa si întemeierea argumentativa. Într–o demonstratie se evidentiaza ceea ce este necesar pentru a întemeia teza în discutie, pornind de la niste premise date.

În funcție de materialul demonstrativ ce se utilizează exista:

demonstrația figurativă (cu ajutorul reprezentărilor grafice),

demonstrația cu ajutorul desenului la tablă sau cu ajutorul modelelor (fizice, grafice etc.),

demonstrația cu ajutorul imaginilor audiovizuale, demonstrația prin exemple ș.a..

Condiții care asigură eficiență sporită folosirii demonstrației:

materialul intuitiv se arată elevilor numai în momentul în care va fi folosit efectiv;

în măsura în care e posibil, fără a se forța nota, este bine ca perceperea materialului să se facă prin intermediul a cât mai mulți analizatori;

obiectele și fenomenele să fie prezentate, de la caz la caz, pe etape, faze specifice dezvoltării (evoluției) unui proces;

în dirijarea observației să se pornească de la perceperea în ansamblu a obiectului, către părțile sale componente, cu sublinierea, pe baza comparațiilor, a unor asemănări și deosebiri și prin raportarea fiecărei părți la întreg;

în timpul demonstrării să se asigure angajarea efortului intelectual al elevilor, în scopul formării și dezvoltării unor capacități de cunoaștere, a spiritului de observație; să se realizeze o explorare perceptivă, mobilizând și exersând procesele de cunoaștere.

1.1.10. Argumentarea

Daca demonstratia releva ceea ce este în întregime cunoasterea certa, evidenta, argumentarea releva opinii posibil de admis, o perspectiva, un punct de vedere asupra subiectului discutat, fapt pentru care este esentialmente un domeniu al dezacordului, al conflictului. În timp ce prima este obiectiva, cea dea doua este subiectiv orientata. Printr–o întemeiere demonstrativa reusim sa convingem pe cineva ca o sustinere este sigur adevarata, pe când printr–o întemeiere argumentativa urmarim sa influentam auditoriul, cu mijloacele discursului, sa adere la o opinie, sa accepte o idee, sa fie de acord cu noi într–o privinta. Scopul oricarei actiuni comunicative este schimbul de informatii. În unele situatii se vehiculeaza cunostinte al caror adevar nu poate fi pus sub semnul îndoielii, acestea fiind produsul unei cunoasteri demonstrative, care are întotdeauna ca rezultat adevaruri necesare. Dar atunci când profesorul si elevii se antreneaza într–o actiune comunicativa ce ia forma dialogului sau dezbaterii colective (polilogul) purtate asupra unei probleme sunt elaborate mai multe raspunsuri posibile, raspunsuri continând fiecare o solutie relativa la problema respectiva.

Întemeierea presupune argumente si operatia de argumentare, care pot determina elevul sa recunoasca adevarul unui enunt sau sa–si adapteze convingerea la o stare de fapt. Un argument este structurat în propozitii aflate în anumite relatii unele cu altele, relatii în baza carora concluzia (teza) este consecinta necesara a propozitiilor argumentative (premisele) sau este în opozitie cu acestea. Daca relatiile dintre propozitiile argumentative si teza sunt de conditionare, atunci avem o situatie de sustinere a tezei, în schimb, daca aceste relatii sunt de opozitie, avem de–a face cu respingerea ei (C. Salavastru, 2003).

Împreuna, teza si propozitiile argumentative constituie un rationament si traduc pozitia de pe care locutorul urmareste sa obtina modificarea universului epistemic al interlocutorului. Operatiile logice, prin care acestea sunt puse în relatie, se deruleaza sub forma unor rationamente de ordin inductiv sau deductiv. Prin rationament întelegem operatia prin care derivam un enunt din cel precedent sau prin care extragem dintr–un fapt sau afirmatie consecintele care pot rezulta în mod logic. În functie de rationamentele pe care se cladesc argumentele, distingem doua tehnici de argumentare: deductive si inductive. Distinctia tine seama de mersul gândirii: de la cunostinte cu caracter general la cele cu caracter particular si invers, de la cunostinte cu caracter particular la cele cu caracter general. În cazul tehnicilor deductive, premisele sunt conditia suficienta a tezei, care este consecinta lor necesara, pe când în cazul celor inductive, premisele sunt o conditie probabila a concluziei, iar aceasta este consecinta probabila a lor.

Metode activ–participative:

1.1.11. Metoda ciorchinelui

Deși este o variantă mai simplă a brainstorming–ului, ciorchinele este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor. Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut., reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.

Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:

Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.

Elevii vor fi solicitați să–și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându–se linii între acestea și cuvântul inițial.

În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate.

Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s–a atins limita de timp acordată.

Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:

Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.

Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.

Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.

Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.

Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:

În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.

Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile facilizându–se reținerea și înțelegerea acestora.

Adesea poate rezulta un “ciorchine” cu mai mulți “sateliți”.

Utilizarea acestor metode antrenează elevii într–o continuă participare și colaborare, crește motivarea intrinsecă deoarece li se solicită să descopere fapte, să aducă argumente pro și contra. Lucrul în echipă dezvoltă atitudinea de toleranță față de ceilalți și sunt eliminate motivele de stres iar emoțiile se atenuează.

1.1.12. Metoda piramidei

Metoda piramidei sau a „bulgărelui de zăpadă” are la bază împletirea activității individuale cu cea desfășurată în cadrul grupurilor. Ea constă în încorporarea activității fiecărui membru al colectivului într–un demers colectiv mai amplu, menit să ducă la rezolvarea unei sarcini sau a unei probleme date (Oprea, 2007, 192).

C. L. Oprea (2007, 192–193) prezintă etapele realizării acestei metode:

Faza introductivă: sunt prezentate datele problemei, de către cadrul didactic.

Faza lucrului individual:

într-un interval de cinci minute, fiecare elev încearcă să soluționeze problema lucrând singur;

elevii notează întrebările ce apar în legătură cu problema luată în studiu.

Faza lucrului în perechi:

elevii formează perechi și discută soluțiile identificate în etapa anterioară;

elevii solicită colegilor răspunsuri la întrebările identificate anterior.

Faza reuniunii în grupe mai mari:

perechile se reunesc și alcătuiesc două grupe mari, cu număr egal de participanți;

se discută soluțiile de rezolvare a problemei identificate în etapa 3;

se găsesc răspunsuri la întrebările nesoluționate.

Faza raportării soluțiilor în colectiv:

se analizează, la nivelul întregii clase, soluțiile găsite;

soluțiile pot fi scrise pe tablă pentru a putea fi văzute de toți și comparate unele cu celelalte;

se dau răspunsuri la întrebările nesoluționate, de data aceasta cu ajutorul cadrului didactic.

Faza decizională:

se alege soluția cea mai potrivită de rezolvare a problemei;

se trag concluzii cu privire la demersurile elevilor.

Avantaje ale aplicării metodei piramidei:

dezvoltă învățarea prin cooperare;

stimulează manifestarea spiritului de echipă;

dezvoltă capacitățile comunicaționale;

dezvoltă capacitatea de analiză, de argumentare;

sporește încrederea în forțele proprii.

Limitele acestei metode pot fi:

contribuția fiecărui participant este foarte greu de apreciat;

lipsa implicării din partea unor elevii și transferul responsabilităților acestora către colegi.

1.2. Metode de predare – învățare specifice Matematicii

Metode pedagogice tradiționale de predare – învățare a matematicii în școală

1.2.1. Demonstrația matematică

Este o metodă de predare–învățare specifică matematicii și apare ca o formă a demonstrației logice care constă într-un șir de raționamente prin care se verifică un anumit adevăr, exprimat prin propoziții.

Demonstrația matematică este metoda specifică de justificare a teoremelor și constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic.

Demonstrația se bazează numai pe axiome sau pe teoreme demonstrate anterior.

Este esențial ca în predarea–învățarea teoremelor să se țină seama de următoarele aspecte:

să se asigure însușirea faptului matematic exprimat în teoreme;

să se desprindă ipoteza de concluzie;

să se transcrie în simboluri matematice ipoteza și concluzia;

efectuarea demonstrației, utilizând formele de scriere specifice cu atenționarea necesară efectuării eventuale a dublei implicații pentru teoremele cu formulările: „condiția necesară și suficientă…”, sau „dacă…și numai dacă…”

Demonstrația matematică prin analiză și sinteză

Demonstrația în care se pornește de la propoziții generale spre propoziții particulare se numește demonstrație analitică. În acest tip de demonstrație se pornește de la ceea ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adevărat. Propoziția ce trebuie dovedită ca este adevărată se înlocuiește pe rând cu propoziții echivalente cu ea, până când se ajunge la o propoziție cunoscută, despre care se știe că e adevărată.

Demonstrația în care se pornește de la propoziții particulare spre propoziții generale se numește demonstrație sintetică. În acest tip de demonstrație se pornește de la o propoziție care este cunoscută ca fiind adevărată, din ea se deduc propoziții care de asemenea știm că sunt adevărate și ultima este ceea ce trebuia demonstrat. Raționamentele sunt legate prin implicații adevărate.

Demonstrația matematică prin reducere la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche, folosită și în geometrie, încă din antichitate, pentru demonstrarea unor teoreme sau a unor probleme cu caracter teoretic.

La baza acestei metode stă una dintre legile fundamentale ale logicii clasice, care se anunță astfel: Dintre două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă falsă, iar a treia posibilitate nu poate exista.

Practic în matematică se procedează astfel: se presupune că ceea ce trebuie demonstrat nu este adevărat, adică se neagă concluzia teoremei date . Apoi pe baza presupunerii făcute, se fac o serie de deducții logice, care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta conduce la concluzia că presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia teoremei date. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.78).

Demonstrația prin metoda inducției matematice

Cuvântul inducție provine din latinescul inductionis care, tradus înseamnă „aducere”, „introducere”, „dovedire prin exemple”.

În logică, prin inducție se înțelege o formă de raționament în care gândirea noastră pleacă de la particular la general, sau de la cunoștințe cu un grad de generalitate mai mic la cunoștințe cu grad de generalitate mai mare . În geometrie primele adevăruri au fost obținute pe calea observației, deci pe alea inducției. De exemplu, la început, pe bază de experiență prin observații și măsurători, vechii egipteni au stabilit aproximativ raportul dintre lungimea cercului și diametrul său.

În procesul generalizării prin raționamentul inductiv se întâlnesc două cazuri:

Se obține o concluzie generală despre o anumită mulțime de obiecte de același fel pe baza cercetării tuturor elementelor ei.

Al doilea caz de generalizare pe cale inductivă este acela în care concluzia despre o clasă de obiecte se obține pe baza studiului care nu cuprinde toate obiectele clasei care se cercetează . Acest fel de raționament se numește inducție incompletă.

1.2.2. Expunerea sistematică a cunoștințelor

Este metoda care se prezintă în mai multe variante: povestirea, prelegerea și explicația.

Povestirea este mai puțin folosită la matematică.

Povestirea constă în descrierea unor fapte, evenimente, întâmplări sau personaje. La matematică prin povestire se transmit date istorice legate de studiul unei discipline noi sau în prima lecție din cadrul unei unități de învățare .

Prelegerea constă în prezentarea de către profesor a unui conținut matematic în mod neîntrerupt. Se prezintă definiții, proprietăți, teoreme, demonstrații, algoritmi fără ca elevului să i se adreseze vreo întrebare. Se recomandă ca această metodă să fie folosită mai rar, și doar la clasele terminale de liceu, când elevii au o putere mai mare de concentrare.

Explicația constă în transmiterea unor cunoștințe într–un timp relativ scurt de către profesor, în situații când elevul, pe baza cunoștințelor anterior însușite, nu le poate descoperi singur. Este o metodă foarte des întâlnită în predarea matematicii. Profesorul expune logic și argumentat modul lui de gândire iar elevii îl urmăresc căutând să înțeleagă. Este necesară prezentarea de către profesor a conținutului la nivelul de înțelegere a elevilor. Modul de expunere să fie clar și cu anumite pauze.

Profesorul trebuie să controleze limbajul non–verbal (mimica, gesturile) elevilor, să pună întrebări, pentru a observa dacă este urmărit de elevi. Explicația trebuie să dezvolte la elevi imaginația, să fie clară și convingătoare.

1.2.3. Metoda conversației

Această metodă constă în dialogul dintre profesor și elev și se bazează pe întrebări și răspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adresează întrebări elevilor dar și răspunde la întrebările acestora. Stimulează gândirea elevilor în vederea însușirii de cunoștințe noi sau fixarea, sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor dobândite anterior. Conversația ajută la formarea raționamentului matematic la elevi.

Există mai multe clasificări ale conversației:

După numărul de indivizi cărora li se adresează întrebarea conversația este:

individuală (între profesor și un singur elev)

frontală (întrebările se adresează întregii clase, iar răspunsurile vin de la elevi diferiți).

După momentul în lecție conversația poate fi:

introductivă (folosită în momentele captării atenției și reactualizării cunoștințelor anterioare)

folosită în scopul transmiterii de cunoștințe noi (folosită în evenimentul de dirijare a învățării)

folosită pentru fixarea noilor cunoștințe

folosită pentru recapitulare

folosită în procesul evaluării cunoștințelor elevilor

După timpul de raționament efectuat de elev când dă răspunsul se deosebesc conversația:

euristică (când întrebările se adresează gândirii și o dirijează spre efectuarea de raționamente, judecăți)

catehetică (când întrebările se adresează memoriei iar răspunsurile sunt reproduceri de definiții, formule, reguli)

În cadrul conversației este foarte important ca întrebările formulate să fie precise, să vizeze un singur răspuns și să nu conțină răspunsul, să contribuie la dezvoltarea gândirii.

Metoda conversației determină dezvoltarea limbajului. Se va acorda o importanță deosebită limbajului matematic. Când răspunsurile sunt greșite vor fi corectate imediat prin discuții mai ample din care profesorul va deduce cauza greșelii. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.76)

1.2.4. Metoda exercițiului (LEARNING BY DOING)

Exercițiul presupune efectuarea conștientă și repetată a unor operații sau acțiuni mintale în vederea formării de priceperi și deprinderi, pentru dezvoltarea unor capacități intelectuale și toate acestea în scopul învățării matematicii.

Aceasta metodă are ca semnificație elaborarea unor răspunsuri imediate și sigure, de tipul unor deprinderi specifice unor situații standard. Exersarea înseamnă repetarea unor acțiuni până la stăpânirea automată a acestora, până la formarea unor deprinderi ca răspunsuri sau reacții automatizate în fața unor situații bine definite.

Evaluarea performanței se realizează prin exerciții.

În rezolvarea exercițiilor se recomandă următoarele etape:

cunoașterea de către elevi a enunțului exercițiului;

înțelegerea exercițiului de către elevi;

rezolvarea propriu–zisă a exercițiului;

verificarea rezultatului obținut.

Prin metoda exercițiului se urmărește, în primul rând, să se dea modele de rezolvări care ulterior să-l determine pe elev să rezolve atât exerciții de tipurile prezentate cât și descoperirea de noi metode sau algoritmi.

Formele de organizare a activității pe metoda exercițiului sunt variate. Se poate lucra independent sau frontal, exercițiile pot fi diferențiate sau nu.

1.2.5. Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice

Metoda muncii cu manualul este o formă de muncă independentă utilizată în scopul studierii și asimilării de noi cunoștințe de matematică. În același scop se folosesc și culegeri de probleme, reviste de matematică, monografii. Manualul este principalul material bibliografic al elevului și constituie ghid pentru pregătirea profesorului pentru lecție. Pentru elev manualul școlar conține cantitatea de informație necesară nivelului său de învățare obligatorie.

Învățarea din manual presupune un efort propriu din partea elevului în a dezlega o problemă, în a aborda subiecte complementare celor folosite de profesor în clasă. Folosirea manualului ajută la utilizarea limbajului matematic scris pe lângă cel simbolic. Studiul individual stă la baza autoperfecționării, formează la elevi abilități de comunicare scrisă în specialitatea respectivă.

Introducerea în munca cu manualul, respectiv cu alte auxiliare matematice, se face treptat sub îndrumarea profesorului, dar trebuie continuată independent de către elev, având totuși indicații din partea profesorului asupra obiectivelor ce trebuie să fie urmărite.

Prin această metodă se realizează unul dintre obiectivele fundamentale ale predării matematicii: de a–l învăța pe elev cum să învețe. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.85)

Metode pedagogice moderne de predare – învățare a matematicii în școală

1.2.6. Problematizarea

Situațiile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin activitate proprie să găsească definiția unei noțiuni, enunțul unei propoziții matematice, un algoritm de calcul sau o nouă metodă de demonstrație se numesc situații–problemă.

În predarea problematizată profesorul, dă posibilitate elevului să asimileze prin exerciții niște scheme fundamentale de abstractizare, de conceptualizare, de raționament și interpretare. Aceste stări sunt situații–problemă.

În pedagogie sunt descrise aceste situații–problemă astfel:

Dezacord (conflict, contradicție) între cunoștințele anterioare ale elevului și condițiile noi de rezolvare a unei probleme.

Selectarea din cunoștințele anterioare a acelora cu valoare operațională, adică elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punctul de vedere teoretic și imposibilitatea lui de aplicare practică.

Încadrarea cunoștințelor anterioare într–un sistem, conștientizarea că acest sistem nu este întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.

Prin aplicarea în predare a problematizării, rezultatul final este întotdeauna descoperirea soluției de către elev a problemei propuse. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.93)

Utilizarea imaginilor (planșelor) și folosirea unor argumente intuitive în rezolvarea problemelor

Abordarea unei probleme prin prisma unor interpretări geometrice duce la o mai bună înțelegere a afirmației demonstrate, la sporirea atracției pentru matematică.

1.2.7. Învățarea prin descoperire (PROBLEM SOLVING)

Descoperirea, ca mijloc de instruire, constituie aspectul unor intense preocupări ale didacticii moderne. Găsirea unor soluții în diferite probleme concrete presupune o activitate de descoperire. Elevii pot descoperi astfel o formulă, o noțiune, un principiu, o regulă, o definiție sau teoremă. Elevii descoperă adevăruri deja cunoscute, deci de fapt descoperirea de tip didactic este o redescoperire.

Aparent asemănătoare metodei problematizării, învățarea prin descoperire presupune analiza unei situații–problemă la care elevii trebuie să descopere soluții posibile.

Învățarea prin descoperire se poate realiza:

independent, atunci când elevul desfășoară întreaga activitate iar profesorul doar urmărește desfășurarea acesteia;

dirijat, atunci când profesorul coordonează întreaga activitate.

Sensul principal al aplicarii acestei metode este de a încuraja activitatea mintală a elevilor, de a provoca facultatea de combinare (asociere) și de a dezvolta invenția și creativitatea, rezolvarea de probleme și creativitatea fiind culmi ale performanței cognitive. Rezolvarea de probleme este un fel de învățare prin descoperire complexa, altceva decât un simplu exercițiu de aplicare a unor achiziții anterioare.

Metoda descoperirii dirijate este folosită destul de des în cadrul lecțiilor de matematică, dirijarea de către profesor a activității elevului se realizează într–o măsură mică; elevii prin efort personal, prin analiză, sinteză, inducție, generalizare, analogie sunt lăsați să descopere o teoremă, o demonstrație, un algoritm de calcul

1.2.8. Modelarea matematică

Modelarea este o metodă pedagogică prin care gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului, având la bază raționamentul prin analogie.

Modelele pot fi clasificate în:

modele materiale care se folosesc sub formă de machete, dar pot fi și ilustrate în film, tv, video sau softuri pentru computere;

modele ideale: grafice, logice, matematice.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.118)

1.2.9. Metoda învățării pe grupe

Metoda învățării pe grupe constă în faptul că sarcinile de lucru sunt executate de grupe de elevi și presupune o activitate comună în cadrul grupului. Prin munca în grup se urmărește pe lângă educarea elevului în spiritul muncii sociale, dezvoltarea responsabilităților individuale cu efect asupra grupului.

Din ce în ce mai mulți profesori folosesc această metodă recunoscându–i eficacitatea. Grupele se pot forma de către profesor sau se pot autoalege . Criteriile de formare sunt: omogenitatea, eterogenitatea, criteriul afectiv. Grupele omogene conțin elevi de același nivel de pregătire, cele eterogene sunt formate din elevi de toate categoriile iar cele alcătuite pe criteriul afectiv sunt bazate pe prietenii, vecinătate de bancă sau de domiciliu, preocupări comune.

Numărul elevilor dintr–un grup variază de la 2 la 10, randamentul maxim este oferit de grupurile de 4–6 elevi.

Activitatea pe grupe presupune următoarele etape:

repartizarea materialului de lucru pe grupe;

munca independentă a grupului;

discuția în comun a rezultatelor.

Sarcinile de lucru pot să difere în funcție de tipul grupelor: la grupe omogene se vor repartiza sarcini corespunzătoare nivelului de omogenitate; în celelalte cazuri se dau sarcini echivalente tuturor grupelor cu sarcini suplimentare pentru polii grupului.

La sfârșitul activității soluțiile se prezintă pe tablă, se poartă discuții privind corectitudinea și variantele de rezolvare. Rolul profesorului este de a incita discuțiile în scopul dezvoltării de raționamente și de a trage concluziile în încheiere.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.122)

1.2.10. Algoritmizarea

Este o metodă folosită frecvent în cadrul orelor de matematică. Algoritmizarea presupune existența unor scheme logice care să permită rezolvarea unor sarcini de lucru.

Algoritmizarea reprezintă o metodă didactică de învățământ care angajează un lanț de exerciții dirijate, integrate la nivelul unei scheme de acțiune didactică standardizată, care urmărește îndeplinirea sarcinii de instruire în limitele demersului prescris de profesor

1.2.11. Instruirea programată

Instruirea programată reprezintă o metodă de învățământ care organizează acțiunea didactică, aplicând criteriile ciberneticii la nivelul activității de predare–învățare – evaluare, concepută ca un sistem dinamic complex, constituit dintr–un ansamblu de elemente și inter–relații. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.137)

1.2.12. Softuri educaționale

Softurile educaționale sunt de asemenea metode didactice folosite în procesul predării – învățării matematicii.

Sunt programe interactive prin care exersarea se face nu numai prin exerciții și probleme, ci și prin jocuri educaționale interactive. Conțin module de predare care ajută elevul să–și reamintească lecția predată în clasă . Conțin teste pe nivele de dificultate, respectiv sinteze la sfârșit de capitol. Aceste softuri educaționale sunt ideale pentru pregătirea evaluărilor la sfârșitul unității de învățare; asociază noțiunile teoretice cu elemente din viața reală; sunt atractive pentru elevi, deci sunt utile atat elevilor cat si profesorilor.

Metode activ–participative utilizate în lecția de matematică

Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe. Învățarea nu mai are ca unic scop de memorarea și reproducerea de cunoștințe, ci presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor nu produce învățare, decât în foarte mică măsură. Este mult mai eficient dacă elevii participă activ la procesul de învățare.

1.2.13. Investigația

Investigația oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite,in situații noi și variate. Metoda presupune definirea unei sarcini de lucru cu instrucțiuni precise, înțelegerea acesteia de către elevi înainte de a trece la rezolvare propriu–zisă. Prin această metodă elevul demonstrează și exersează totodată, o gamă largă de cunoștințe și capacități în contexte variate.

Investigația oferă elevului posibilitatea de a se implica activ în procesul de învățare .

Stimulează inițiativa elevilor pentru luarea deciziilor, oferă un nivel de înțelegere mult mai profund a evenimentelor și fenomenelor studiate, motivează elevii în realizarea activităților propuse.

Prin realizarea unei investigații pot fi urmărite următoarele elemente esențiale:

înțelegerea și clarificarea sarcinii de lucru;

identificarea procedeelor pentru obținerea informațiilor necesare;

colectarea și organizarea datelor sau informațiilor necesare;

formularea și testarea unor ipoteze de lucru;

schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, dacă este necesar;

colectarea altor date, dacă este necesar;

motivarea opțiunii pentru anumite metode folosite în investigație;

scrierea / prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigației.

Demersul investigației poate fi raportat la trei etape esențiale care trebuie parcurse:

definirea problemei;

alegerea metodei / metodologiei adecvate;

identificarea soluțiilor.

Sarcinile de lucru adresate elevilor de către profesor în realizarea unei investigații pot varia ca nivel de complexitate a cunoștințelor și competențelor implicate.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.140)

1.2.14. Proiectul

Metoda proiectului înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a colectării și prelucrării unor date referitoare la o temă fixată anterior. Este activitatea cel mai pregnant centrată pe elev. Este un produs al imaginației acestora, menit să permită folosirea liberă a cunoștințelor însușite, într–un context nou și relevant. Este o activitate personalizată, elevii putând decide nu numai asupra conținutului său, dar și asupra formei de prezentare.

Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru. În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru și fixează termenele pentru diferite etape ale proiectului.

După corelarea datelor și organizarea materialului, proiectul se încheie în clasă prin prezentarea rezultatelor obținute.

Metode interactive de grup utilizate în lecția de matematică

Nu ne–am propus sa descriem toate metodele interactive utilizate la clasa pentru predarea notiunilor de matematica. Ne vom opri doar la cateva dintre acestea, la cele care pot fi aplicate cu succes fara a le combina cu alte metode interactive, ci doar cu cele traditionale. Fiecare dintre ele înregistrează avantaje și dezavantaje, important este însă momentul ales pentru desfășurarea lor.

1.2.15. Tehnica DIAGRAMEI VENN

Tehnica ce poartă numele logicianului englez John Venn reprezintă o tehnică de organizare grafică a informațiilor. Are rolul de a reprezenta sistematic, într–un mod cât mai creativ, asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice. Dă rezultate deosebite la activitatea în echipă. ( Pfeifer, G. , www.pagini–școlare.ro )

Diagrama reprezintă una sau mai multe mulțimi și o relație logică între acestea. Mulțimile sunt reprezentate sub forma unor cercuri/elipse. Zona de suprapunere a doua cercuri/elipse (mulțimi) conține elementele comune ambelor mulțimi, și reprezintă o a treia mulțime.

Cercurile/elipsele care nu se întretaie reprezintă mulțimi fără elemente comune (disjuncte).

Exersarea sarcinilor ce implică Diagrama Venn facilitează :

Concentrarea atenției.

Eficientizarea rezolvării unei probleme sau situații problemă.

Formarea spiritului de analiză sistematică.

Transferarea soluției la o altă situație asemănătoare.

Diagrama Venn are o scară largă de aplicabilitate, în orice etapă a lecției, la orice tip de lecție, în cadrul tuturor modurilor de organizare a clasei ( frontal, individual, în perechi, pe grupe).

Exemplu 1:

Tema: Numere complexe conjugate forma algebrica – forma trigonometrica (Anexa 1)

Etape:

Comunicarea sarcinii de lucru și activitatea individuală

Activitatea în grup – Se formează grupe a câte 4 elevi fiecare și în fiecare grup, elevii completează diagrama Venn pentru cele trei figuri geometrice plane și proprietățile acestora, adăugând sau corectând informațiile găsite independent. Între elevi are loc un schimb de informații, argumente, aprecieri, analize comparative și se definitivează sarcina inițială.

Activitatea frontală – Pe tablă se realizează diagrama Venn și se completează cu idei de la toate grupele.

1.2.16. Metoda CADRANELOR

Metodă a gândirii critice, este o modalitate de rezumare și sintetizare a unui conținut informațional solicitând participarea și implicarea elevilor în înțelegerea lui adecvată. Metoda presupune trasarea a două axe principale perpendiculare în urma cărora apar ”patru cadrane”. În cadrul acestei metode se poate lucra individual sau cu clasa împărțită pe grupe și atunci fiecare grupă va primi câte o fișă. Se pot propune diferite cerințe în cadrul metodei cadranelor în funcție de obiectivele urmărite în lecția respectivă. Activitatea se poate desfășura pe grupe sau ca activitate independentă. În cazul organizării pe echipe, fiecare grup va avea propriul cadran. La finalul exercițiului dirijat de cadrul didactic, se vor prezenta variantele lucrate, fie într–un Tur al galeriei, fie prin completarea unui cadran la tablă. Lucrul individual, în echipe sau participarea întregii clase la realizarea “cadranului” este o provocare și determină o întrecere în a demonstra asimilarea corectă și completă a cunoștințelor noi, conexiuni legate de termenul propus.

Metoda poate fi folosită la o lecție de consolidare, dar și ca evaluare, după o serie de activități ce au presupus aceași abordare. (Breben S,Gangea E.,Fulga M., 2002, apud www.paginișcolare.ro)

Se poate utiliza această metodă în lecțiile ce presupun rezolvare de probleme, deoarece stimulează atenția și gândirea și conduce cu ușurință la sintetizarea informațiilor, scoțând în evidență modul propriu de gândire și înțelegere al elevului.

Metoda este eficientă deoarece delimitează clar în mintea elevului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei. Poate fi utilizată și în compunerea de probleme: acoperind cadranul I și descoperind doar cadranele II, III sau IV se poate cere elevilor să compună probleme asemănătoare (reprezentării grafice, sau planului de rezolvare).

Exemplu :

Tema: Probleme care se rezolvă prin ecuații cu coeficienti complecsi (Anexa 5)

1.2.17. Metoda ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM ÎNVĂȚAT

KWL elaborată de Donna M. Ogle în 1986 , (Wilson, Nick et al., 2001 apud Neagu, M., Mocanu. M., 2007, p.49) este o metodă de învățare prin descoperire prin care elevii realizează un inventar a ceea ce știu deja despre o temă și apoi formulează întrebări legate de tema noua la care vor găsi răspunsuri prin valorificarea cunoștințelor anterioare.

Etapele metodei :

colectivul clasei se organizează în perechi/grupe și fiecare pereche/grupă primește ca sarcină realizarea unei liste cu tot ceea ce știe sau crede că știe despre o anumită temă. În timp ce elevii realizează lista, profesorul desenează pe tablă un tabel pe care elevii îl vor completa întâi în perechi/grupe și apoi la tablă;

Știu Vreau să știu Am învățat

Informații pe care elevii le Întrebări pe care elevii le au Informații dobândite

dețin cu privire la tema ce în legătură cu tema după

urmează să fie abordată. respectivă. activitatea de învățare.

fiecare pereche/grupă va completa propriul tabel și se vor nota apoi, în tabelul de pe tablă, în coloana din stânga, informațiile cu care toată clasa este de acord ;

elevii vor formula întrebările generate de noua temă, iar profesorul le va scrie în a doua coloana a tabelului. Aceste întrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legătură cu tema aflată în discuție ;

elevii citesc individual lecția din manual, iar după lectură, se revine asupra întrebărilor din a doua coloana și se analizează la care dintre întrebări s–a găsit răspunsul în text; răspunsurile elevilor vor fi notate în coloana AM ÎNVĂȚAT.

elevii compară ceea ce cunoșteau deja în legătură cu tema respectivă (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului); unele dintre întrebările lor pot rămâne fără răspuns sau pot genera întrebări noi, în aceste cazuri, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații personale.

informațiile cuprinse în coloana AM ÎNVĂȚAT vor fi structurate sub forma lecției noi.

Exemplu:

Tema lecției: Exercitii si probleme de geometrie rezolvate cu ajutorul numerelor complexe (Anexa 4)

Etape:

Se formează 5 grupe a câte 5 elevi fiecare. Elevii aleg câte un cartonaș pe care sunt scrise numere de la 1 la 5. Pe mesele de lucru se plasează de asemenea câte un cartonaș cu numere de la 1 la 5, astfel că, elevii care au ales cartonașele cu numărul 1 formează grupa cu numărul 1 și se așează la masa de lucru unde se află cartonașul cu numărul 1, elevii care au ales cartonașele cu numărul 2 formează grupa cu numărul 2 și se așează la masa de lucru unde se află cartonașul cu numărul 2 ș.a.m.d.

Elevii citesc textul problemei (Pe mulțimea numerelor întregi Z se definește aplicația: x*y=x+y–2. Să se arate că (Z,*) este grup comutativ) și în cadrul grupului din care fac parte încearcă să stabilească ceea ce știu și ceea ce vor să știe. Apoi, se discută părerile elevilor, discuția având loc frontal.

Elevii notează pe fișa de lucru ceea ce știu și ceea ce vor să știe în rubricile corespunzătoare.

Se completează rubrica „Am învățat”. Aici, elevii scriu operațiile și rezultatele corespunzătoare fiecărei întrebări din rubrica „Vreau să știu”.

1.2.18. Metoda TEHNICA LOTUS (FLOAREA DE NUFĂR – LOTUS BLOSSOM TECHNIQUE)

Tehnica florii de nufăr presupune deducerea de conexiuni între idei, concepte, pornind de la o temă centrală. Problema sau tema centrală determină cele 8 idei secundare care se construiesc în jurul celei principale, asemeni petalelor florii de nufăr.

Etape:

Construirea diagramei, conform figurii prezentate;

Scrierea temei centrale în centrul diagramei;

Participanții se gândesc la ideile sau aplicațiile legate de tema centrală. Acestea se trec în cele 8 “petale” (cercuri) ce înconjoară tema centrală, de la A la H, în sensul acelor de ceasornic.

Folosirea celor 8 idei deduse, drept noi teme centrale pentru celelalte 8 cadrane. (“flori de nufăr”).

Etapa construirii de noi conexiuni pentru cele 8 noi teme centrale și consemnarea lor în diagramă. Se completează în acest mod cât mai multe cadrane. (“flori de nufăr”).

Etapa evaluării ideilor. Se analizează diagramele și se apreciază rezultatele din punct de vedere calitativ și cantitativ. Ideile emise se pot folosi ca sursă de noi aplicații și teme de studiu în lecțiile viitoare.

Tehnica Lotus stimulează munca colaborativă în echipă și efortul creativ al fiecărui membru al grupului în soluționarea sarcinii date. Există și o oarecare competiție între grupe, în sensul găsirii celei mai potrivite idei (care poate fi supusă discuției în etapa nr. 5), în rapiditatea cu care lucrează un grup față de altul, cu toate că acestea nu se înscriu în dezideratele metodei. Scopul central este participare tuturor elevilor la un exercițiu creator și, în unele cazuri, la găsirea unei soluții la o problemă dată.

Varianta 2:

Etape:

Cadrul didactic sau elevii propun tema centrală.

Moment de lucru independent: fiecare elev se gândește la ideile conexe.

Discutarea ideilor obținute și trecerea lor în diagramă. (Oprea, C.L., 2009, p.208)

Constituirea grupurilor. De data aceasta nu mai este necesar să se constituie numărul fix de 8 grupe, ci a unora similare ca număr de elevi sau ca posibilități creative.

Fiecare grup își aduce contribuția la întreaga diagramă, având în vedere dezvoltarea, atât cât poate, a fiecăreia dintre cele 8 noi teme centrale stabilite. Astfel, având o limită de timp, membrii grupului A, de exemplu, vor elabora pe rând, cât mai multe idei (maxim 8 idei) pentru temele A, B, C, D, E, F, G, H, trecându–le în diagrama pe care fiecare grup o are la dispoziție.

La un semn (dat de cadrul didactic), diagramele se schimbă între grupuri, în sensul acelor de ceasornic. Locurile (cercurile) din diagramă rămase goale de la grupul precedent au șansa de a fi completate acum. Rotirea diagramelor se face până când acestea ajung la grupul inițial.

În final se citesc diagramele și se apreciază rezultatele.

Dacă diagrama este completată în întregime (toate cele 8 cadrane), rezultă un număr de 64 de idei noi, conexe, care împreună cu cele 8 teme din care decurg, alcătuiesc 72 de idei generate de tema centrală.

În stabilirea temei centrale se poate pleca de la una propusă de cadrul didactic sau de către elevi: Tema poate fi anunțată sau nu în lecția premergătoare. În cazul în care ea este dinainte cunoscută de către elevi, aceștia sunt motivați să lucreze singuri acasă înainte, căutând variante, culegând materiale pentru a găsi cât mai multe soluții. (Oprea, C.L., 2009, p.209)

Capitolul 2 – INTRODUCEREA NUMERELOR COMPLEXE

Știm că în mulțimea numerelor reale nu putem rezolva o ecuație de gradul II, al cărei discriminant (expresie matematică formată din coeficienții ecuației, mai exact b2–4ac, unde ecuația dată este ax2+bx+c=0) este negativ. Numerele complexe au apărut ca o necesitate a rezolvării acestor ecuații și au fost introduse începând cu secolele XVII–XVIII de matematicieni celebrii ca Euler, Moivre sau Gauss. Însă, pentru prima oară s–a vorbit de „numere imaginare” încă din anul 1545, de către matematicianul și medicul italian Girolamo Cardano.

2.1. Mulțimea numerelor complexe.Forma algebrică a unui număr complex

Mulțimea numerelor complexe

Construcția mulțimii numerelor complexe se face utilizând mulțimea numerelor reale ℝ, care este un corp comutativ ordonat arhimedian și euclidian .

Fie produsul cartezian ℝ2 = ℝ ℝ := {(a, b) a,b ℝ}.

Două perechi ordonate (a, b) și (a', b') din ℝ2 se numesc egale dacă a = a' și b = b'. Deci (a, b) = (a',b') ⟺ a = a', b = b'.

Se notează cu z := (a, b) un element arbitrar din R2.

Pe mulțimea ℝ 2 se definesc două operații algebrice: adunarea și înmulțirea.

Adunarea

Se numește adunare operația prin care se asociază perechilor z = (a, b) și z' = (a', b') din ℝ2 perechea z+z'=(a+a', b+ b') din ℝ2, numită suma lui z cu z'.

Înmulțirea

Se numește înmulțire operația prin care se asociază perechilor z = (a, b) și z' = (a', b') din ℝ 2 perechea z·z'=( aa'–bb', ab'+a'b) din ℝ2, numită produsul lui z cu z'. Se va nota frecvent, mai simplu, zz'=z z'.

Observația 1. Există încă o operație (externă), care asociază unei perechi z=(a, b)ℝ2 și unui număr real λ ℝ perechea notată λz=( λa, λb) ℝ2, numită înmulțirea cu scalar pe ℝ2. Înmulțirea cu scalar este un caz particular al înmulțirii complexe, deoarece
λ(a, b)=(λ, 0)·(a, b).

Totodată, înmulțirea cu scalar este o operație externă specifică unui spațiu liniar. ℝ 2 cu adunarea și înmulțirea cu scalari formează un spațiu liniar bidimensional, dar interpretarea numerelor complexe ca vectori se va discutata în secțiunea următoare.

Definiție. Se numește mulțimea numerelor complexe ansamblul ℂ=( ℝ 2, +, ·), adică ℝ 2 cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus. Un element z=(a, b)ℂ se numește, de acum, un număr complex.

Teorema 1. Mulțimea numerelor complexe ℂ = (ℝ 2, +, ·) are o structură de corp comutativ.

Demonstrație. Se arată că ℂ este un grup abelian în raport cu adunarea:

adunarea este asociativă:

(z+z')+z"=z+(z'+z"), z, z', z"ℂ;

adunarea are elementul neutru (nul) numărul complex zero 0=(0, 0)ℂ, căci

z+0=0+z=z, zℂ;

adunarea are simetrie, căci fiecare număr complex are un element opus:

zℂ, (–z)ℂ, astfel încât z+(–z)=(–z)+z=0;

[ în baza observației anterioare, dacă z=(a, b), atunci opusul lui z este –z=(–a, –b)]

adunarea este comutativă :

z+z'=z'+z, z, z'ℂ.

Verificarea proprietăților adunării numerelor complexe se bazează pe proprietățile adunării numerelor reale.

Se arată apoi că ℂ*=C\{0} este un grup abelian în raport cu înmulțirea;

înmulțirea este asociativă:

(z∙z')∙z"=z∙(z'∙z"), z, z', z"ℂ*;

înmulțirea are elementul neutru (unitate) numărul complex 1 = (1, 0)ℂ*, căci

z∙1=1∙z, zℂ*;

înmulțirea are simetrie, căci fiecare număr complex nenul are un element invers:

zℂ*, z–1ℂ*, astfel încât z∙z–1 =z–1∙z=1;

[dacă z=(a, b)ℂ*, atunci ]

înmulțirea este comutativă :

z∙z'=z'∙z, z, z'ℂ*.

Se arată apoi că înmulțirea numerelor complexe este distributivă în raport cu adunarea numerelor complexe :

z∙(z'+z")=z∙z'+z∙z", z, z', z"ℂ.

În concluzie , mulțimea ℂ este un corp comutativ.

Dacă z , z'ℂ , atunci numărul complex z'–z=z'+(–z) se numește diferența dintre z' și z .Operația prin care oricăror două numere complexe z' și z li se asociază diferența lor se numește scădere. Dacă z=(a, b), z'=(a', b')ℂ , atunci

z'–z=(a'–a, b'–b).

Dacă z, z'ℂ și z0, atunci numărul complex =z'∙z–1 se numește câtul dintre z' și z. Operația prin care numerelor complexe z' și z li se asociază câtul lor se numește împărțire. Dacă z=(a, b)ℂ*, z'=(a', b')ℂ, atunci

.

Se deduce imediat că

z –1=, zℂ*.

Observația 2. Submulțimea numerelor complexe:

R={z=(a, 0) aℝ}ℂ

formează un subcorp al corpului ℂ, care este izomorf cu corpul numerelor reale ℝ.

În adevăr, R satisface toate axiomele de corp pentru operațiile:

(a, 0)+(a', 0)=(a+a', 0),

(a, 0)∙(a', 0)=(a∙a', 0), a, a' 0 ,

induse din ℂ (se verifică imediat), iar aplicația f:aℝ(a, 0)Rℂ este un izomorfism de corpuri (f este o bijecție a lui ℝ pe R, care păstrează cele două operații, ceea ce se arată fără dificultate). În consecință, dacă se identifică numărul real aℝ cu numărul complex (a, 0)R și reciproc, via izomorfismul f , atunci se poate considera corpul numerelor reale ℝ , ca un subcorp al corpului numerelor complexe ℂ, scriind ℝℂ; se spune că ℂ este o extensie comutativă a lui ℝ. Numerele complexe 0=(0, 0) și 1=(1, 0) se identifică cu numerele reale 0 și respectiv 1.

Forma algebrică, conjugatul și modulul unui număr complex

Programele școlare de la nivelul primelor clase liceale abordează numerele complexe sub o formă tradițională din punct de vedere istoric, numită forma algebrică a unui număr complex. Pentru a realiza legătura acesteia cu cele prezentate anterior, se face următoarea

Observația 3. Fiecare număr complex z=(a, b)ℂ se poate scrie sub forma:

z=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) sau z=(a, 0)+(0, 1)(b, 0).

Cu identificarea canonică (a, 0)=a și (b, 0)=b, dar și cu notația

i=(0, 1),

se obține

z=a+bi sau z=a+ib, unde a, b ℝ și i2=–1,

care reprezintă forma algebrică a numărului complex z=(a, b), i se numește unitatea imaginară. Forma algebrică a unității imaginare este i=0+1∙i, iar verificarea proprietății
i2=–1 este directă (formal se poate scrie i=, pentu a–i conferi un conținut matematic în ℂ).

Operațiile cu numere complexe sub forma algebrică se exprimă astfel: dacă z=a+bi , z'=a'+b'i, λR , atunci

z=z'⟺a=a'; b=b';

z+z'=(a+a')+(b+b')i;

z∙z'=(aa'–bb')+(ab'+a'b)i;

λ∙z=(λa)+(λb)i.

Fie un număr complex z=(a, b)=a+biℂ. Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z și se notează cu Re(z), iar numărul real b se numește partea imaginară a lui z și se notează cu Im(z). Prin urmare,

z=Re(z)+i∙Im(z).

Numărul complex z este pur imaginar dacă și numai dacă z=bi sau a=0 sau Re(z)=0. Numărul complex z este pur real dacă și numai dacă z=a sau b=0 sau Im(z) = 0.

Observația 4. Pentru z , z'ℂ și λℝ, se verifică următoarele relații:

z=z' ⟺ Re(z)=Re(z'), Im(z)=Im(z');

Re(zz')=Re(z)Re(z'); Im(zz')=Im(z)Im(z');

Re(zz')=Re(z)Re(z')–Im(z)Im(z'); Im(zz')=Im(z)Re(z')+Im(z')Re(z);

Re(λz)=λRe(z); Im(λz)=λIm(z).

Observația 5. Relațiile care exprimă puterile întregi ale unității imaginare sun :

i4n=1; i4n + 1=i; i4n + 2=–1; i4n + 3=–i, nℤ.

Definiție. Se numește conjugatul numărului complex z=(a, b)=a+biℂ numărul complex

,

numerele z și se numesc numere complex conjugate, iar aplicația c:z se numește conjugare complexă.

Teorema 2. Conjugarea complexă are următoarele proprietăți z, z'ℂ, λℝ,

;

; ;

;

;

;

;

, z0;

;

Se pot stabili, de asemenea, proprietățile :

, nℕ*, z1, z2,…, znℂ;

, nℕ*, z1, z2,…, znℂ.

Conjugarea complexă c este unicul automorfism al corpului ℂ, diferită de aplicația identică 1C , care invariază numerele pur reale.

Demonstrație. Vom demonstra câteva dintre proprietățile enunțate, utilizând, fie definiția inițială a numărului complex, fie forma algebrică a acestuia.

Fie z=(a, b)=a+bi, z'=(a', b')=a'+b'i, λR.

4) ;

6)

7) dacă z 0, atunci 1, deci , adică ;

8) dacă z 0, atunci ==;

9) și 10) se demonstrează prin inducție asupra lui n ;

11) operația de conjugare c:zeste o funcție injectivă ( și involutivă (cc)(z)=c(c(z))=c(=z, z ℂ.

Prin urmare, c este o aplicație bijectivă cu inversa c–1=c; în baza proprietăților 5) și 6), c este un automorfism netrivial al lui ℂ , cu proprietatea c(z)=z dacă și numai dacă zℝ.

Definiție. Se numește modulul numărului complex z=(a, b)=a+biℂ numărul real nenegativ

Teorema 3. Funcția modul zz are următoarele proprietăți z , z' ℂ , λℝ,

z0; z=0 ⟺ z=0; ; ;

z==–z; z2=z∙ sau ; z–1=z–1 sau z–1=;

λ∙z=λ∙z;

z∙z'=z∙z'; z∙+∙z'=2Re(z∙);

z–z'z+z'z+z';

, z0;

z–z'z–z'z+z'; z–z'z–z';

z1+z2+…+znz1+z2 +…+zn, z1 , z2, …, znℂ;

z1∙z2∙…∙zn =z1∙z2∙…∙zn , z1, z2, …, znℂ;

zn=zn, nℤ.

Demonstrație. Primele trei proprietăți se verifică direct, utilizând definițiile anterioare. Vom demonstra

4) z∙z'2=(z∙z')∙()=z∙z'∙=z∙∙z'∙=z2 ∙z'2, de unde rezultă prima egalitate cerută. Apoi, din rezultă că z∙ și∙z' sunt numere complexe conjugate; prin urmare, z∙+∙z'=2Re(z∙).

Pentru a verifica 5) se va observă că z + z'2 = (z+z')·=(z+z')·(=z2+ +z·+·z'+z'2=z2+2Re(z·)+z'2z2+2z·+z'2=z2+2z·z'+z'2=(z+z')2, deci z+z'z+z'; această relație se numește inegalitatea lui Hermann Minkowski (1864–1909). Relația devine egalitate dacă și numai dacă Re(z·)=z·z', adică dacă și numai dacă există tℝ+, astfel încât z'=t z. Pe de altă parte,

z=z+z'–z'z+z'+–z'=z+z'+z', deci z–z'z+z'.

Vom verifica 6) .

Vom proba 7) mai întâi, z–z'=…=z+(–z')z+–z'=z+z', deci z–z'z+z'; pe de altă parte, z=z–z'+z'z–z'+z' implică z–z'z–z', prin urmare, prima pereche de inegalități este probată. A doua inegalitate de la 7) este imediată, căci, utilizând inegalitățile precedente, avem, pe de o parte z–z'z–z'+z–z', iar din relația z'–zz'–z sau z–z'z'–z se obține, pe de altă parte –z–z'z–z'.

8) și 9) se stabilesc prin inducție.

10) este o consecință a lui 9), dacă z1=z2=…=zn=z.

Forma polară (trigonometrică) și forma exponențială a unui număr complex

Fie z=(a, b)= a+biℂ și M(a, b)E2, imaginea geometrică a lui în planul euclidian raportat la sistemul cartezian de coordonate ortonormat S = Oxy, respectiv la r.c.o. asociat , R = (O, ).

Observația 6. Punctul M poate fi caracterizat de două elemente: lungimea segmentului [OM] notată cu r (r0) și măsura în radiani a unghiului orientat trigonometric pe care îl formează semiaxa pozitivă [Ox cu semidreapta [OM, notat cu t, t[0, 2π). Numerele (r, t) se numesc coordonatele polare ale punctului M și sunt unic determinate; r se numește raza polară a lui M, iar t se numește unghiul polar al lui M. Ansamblul P = {O; [Ox } se numește sistemul de coordonate polare asociat s.c.c.o. S=Oxy; O este numit pol iar [Ox este numită axa polară a lui P. P realizează o corespondență biunivocă

P:ME2\{O}(r, t)(0, )[0, 2π);

se mai scrie M(r, t), iar pentru punctul O nu există coordonate polare. Coordonatele polare și coordonatele carteziene ale punctului M sunt legate prin relațiile:

a=r∙cos t; b=r∙sin t, (r, t)(0, )[0, 2π).

Ținând seamă de interpretarea geometrică a modulului unui număr complex (Obs.10 d), se observă că r=|z|=, adică r reprezintă modulul lui z.

Teorema 4. Există o funcție bijectivă

arg:zℂ\{0} arg z=t[0, 2π),

unde t este soluția unică a sistemului de ecuații trigonometrice:

, 0t<2π .

Numărul t=arg z[0, 2π) este unghiul polar al punctului M, imaginea se numește argumentul redus (principal) al lui z. Cu aceste precizări, numărul complex z=(a, b)= =a+biℂ\{0}=ℂ* se poate exprima în mod unic sub forma: z=r∙(cos t+i∙sin t), r>0, t[0, 2π), numită reprezentarea sau forma polară (trigonometrică) a numărului complex z.

Demonstrație. Este suficient să se verifice că, pentru fiecare z=(a, b)=a+biℂ*, arg z este unghiul polar al imaginii geometrice M a numărului complex z (vezi figura de mai sus). Examinând toate pozițiile posibile ale lui M în plan, din triunghiul dreptunghic ΔM'OM se deduce că, pe de o parte, r=|z|=OM=, Re(z)=a, Im(z)=b, iar pe de altă parte, soluția sistemului de ecuații trigonometrice din enunț este

, unde .

De aici rezultă imediat reprezentarea polară a lui z. Totodată, din considerațiile de mai sus se evidențiază relațiile care exprimă coordonatele polare (r, t) în funcție de coordonatele carteziene (a, b) ale unui punct din plan.

Observații 7. a) Dacă z=0, atunci |z|=0, prin urmare, r=0, dar t=arg 0 este nedeterminat. Numărul complex 0ℂ nu are o formă trigonometrică determinată.

b) Relația z=r∙(cos t+i∙sin t), unde zℂ* este dat și r=|z|, este satisfăcută și de valori reale ale lui t care nu aparțin intervalului [0, 2π). Aceste valori se numesc argumente extinse ale lui z, iar mulțimea tuturor argumentelor lui z este

Arg z={ tℝ| t=arg z+2kπ, kℤ}.

Au loc următoarele proprietăți: z , z1 , z2ℂ*, tArg z ,

t' Arg z ⟺ hℤ, a.î. t'–t=2hπ ;

z1 =z2 ⟺ |z1|=|z2| și Arg z1=Arg z2 ⟺ |z1|=|z2| și arg z1–arg z22πℤ.

Observația b) este o consecință a periodicității funcțiilor sinus și cosinus definite pe ℝ.

c) Dacă zℂ* și este conjugatul lui z , atunci

arg =arg z–1=. Arg =Arg z–1=–Arg z={ –t| tArg z}.

d) Dacă zℂ* , atunci

arg (–z) =

Arg (–z)={tℝ| t=arg z+(2k+1)π, kℤ}=π+Arg z .

Observațiile c), d) se verifică direct, cu definițile argumentelor. În particular,
z–1=, deci arg z–1=arg .

Forma trigonometrică a conjugatului complex , a opusului și a inversului unui număr complex

Din Obs. 7 c), d), rezultă:

Observații 8. Dacă z=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ*, atunci:

=r∙[cos(2π–t)+i∙sin(2π–t)], unde r>0, t[0, 2π);

–z=

z–1=cos(2π–t)+i∙sin(2π–t)], unde r>0, t[0, 2π).

Produsul și câtul a două numere complexe exprimate sub forma trigonometrică

Observația 9. Fie z1=r1∙(cos t1+i∙sin t1), z2=r2∙(cos t2+i∙sin t2)ℂ*, exprimate sub forma trigonometrică. Au loc următoarele relații:

z1z2=r1∙r2∙[cos(t1+t2)+i∙sin(t1+t2)] ;

Arg (z1z2)=Arg z1+arg z2=arg z1+Arg z2=arg z1+arg z2+2πℤ;

[cos(t1–t2)+i∙sin(t1–t2)];

Arg =Arg z1–arg z2=arg z1–Arg z2=arg z1–arg z2+2πℤ.

Relațiile 1) și 2) nu sunt, în general, formele trigonometrice reduse ale produsului și respectiv câtului, pentru că t1+t2 și t1–t2 nu sunt întotdeauna argumente principale i.e. din [0, 2π). Ele se pot numi forme trigonometrice extinse sau modulo 2πZ și se obțin direct prin înmulțirea lui z1 cu z2 , respectiv a lui z1 cu =[cos(–t)+i sin(–t)], utilizând formule trigonometrice convenabile .Celelalte relații se verifică direct cu definițiile argumentelor.

Puterea a n–a a unui număr complex exprimat sub forma trigonometrică

Fie nN, n2 și zk=rk(cos tk+i sin tk)ℂ*, k=1, 2,…, n, numere complexe exprimate sub forma trigonometrică i.e. rk >0, tk[0, 2π).

Observații 10. a) Produsul numerelor zk este numărul complex

; Arg=Z.

b) Dacă z1=z2=…=zn=z, adică r1=r2=…=rn=r, t1=t2=…=tn=t, atunci puterea a n–a a lui z este numărul complex

zn=rn(cos nt+i∙sin nt); Arg zn=n∙arg z+2πZ.

c) Dacă z este unimodular, adică r=1, atunci

(cos t+i∙sin t)n=cos nt+i∙sin nt ,

relație numită formula lui Abraham de Moivre (1667 – 1754)

d) Dacă nℤ*, atunci formula lui Moivre, respectiv relația care exprimă puterea a n–a a unui număr complex rămân valabile.

Cele două numere complexe [produsul de la a) și puterea de la b)] sunt, în general, exprimate sub forma trigonometrică extinsă. Relația care exprimă produsul de la a) se demonstrează fără dificultate prin inducție matematică, iar relația care exprimă puterea a n–a a lui z este o consecință directă a primeia. Formula lui Moivre este un caz particular al relației de la b). În fine, fie nℤ*, n–2 și z=r(cos t+i∙sin t), r>0, t[0, 2π). Avem:

.

Imaginea geometrică a produsului și câtului a două numere complexe exprimate sub formă trigonometrică

Fie z1 =r1(cos t1+i∙sin t1), z2 = r2(cos t2+i∙sin t2)ℂ* și M1(r1, t1), M2(r2, t2)E2 imaginile geometrice ale lui z1, respectiv z2 (în coordonate polare). Se notează cu N1, N2, intersecțiile cercului unitate C(O, 1) cu semidreptele [OM1, respectiv [OM2. Se consideră punctul N3C(O, 1), unic determinat prin condiția ca unghiul polar al său să fie t1+t2. Apoi se consideră punctul M3[ON3, astfel încât OM3=OM1·OM2=r1·r2.

Observația 11. Imaginea geometrică a produsului z1z2 este punctul M3 ( r1∙r2 , t1+t2).

În adevăr, afixul punctului M3(r1∙r2 , t1+t2) este numărul

z3 = r1 r2 [ cos(t1 + t2) + i sin(t1 + t2)] = z1 z2 .

Se observă că ΔOAM1~ΔOM2M3 (LUL) și că raționamentul anterior evidențiază imaginea geometrică M1 a câtului . În general, se poate enunța:

Observația 12. Imaginea geometrică a câtului este punctul M3'(.

Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex exprimat sub forma trigonometrică

Fie nℕ, n2 și numărul complex u=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ, r>0, t[0, 2π). Se consideră ecuația polinomială (binomială) de gradul n cu coeficienți complecși zn–u=0. Conform teoremei lui d'Alembert, ea trebuie să aibă exact n rădăcini (soluții) din ℂ. Aceste soluții se mai numesc rădăcinile de ordinul n ale lui u.

Dacă u=0, atunci toate rădăcinile de ordinul n sunt nule. Cum se obțin aceste rădăcini când u 0 ?

Teorema 5. Dacă u=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ*, atunci u are n rădăcini de ordinul n distincte, care sunt date de formula:

zk=, k=0, 1, 2, …, n–1.

Demonstrație. Considerăm necunoscuta z a ecuației zn–u=0 sub formă trigonometrică (extinsă ), adică z=ρ∙(cos θ+i∙sin θ), ρ>0, θℝ. Prin urmare, ecuația inițială devine:

ρn(cos nθ+i∙sin nθ)=r∙(cos t+i∙sin t),

cu necunoscutele ρ și θ. Se deduc relațiile :

ρn=r, nθ=t+2hπ, hℤ, echivalent, ρ=, θh=, cu hℤ. Prin urmare, numerele complexe

zh=(cos θh +i∙sin θh), hℤ.

verifică ecuația zn–u=0. Acum, vom constata că între aceste numere complexe doar n sunt distincte și acelea vor fi rădăcinile de ordinul n ale lui u. În adevăr, pentru hℤ, ! pℤ și !
k{0, 1, …, n–1}, astfel încât h=n∙p+k. Prin urmare,

θh===θk+2pπ ,

deci zh=zk, k{0, 1, …, n–1}. Se observă, de asemenea, că

0θ0θ1 … <θn–12π,

adică θk sunt argumente principale distincte, respectiv numerele complexe corespunzătoare,

zk=, k=0, 1, 2, …, n–1,

sunt rădăcinile de ordinul n ale lui u.

Observația 13. Imaginile geometrice ale rădăcinilor de ordinul n ale unui număr complex nenul z=r(cos t+i∙sin t) sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul cu centrul în origine și cu raza .

În adevăr, dacă M0, M1, …, Mn–1 sunt imaginile geometrice ale numerelor complexe z0, z1, …, zn–1, atunci OMk=zk=, cu k{0, 1, …, n–1}, deci MkC(O, ), k{0, 1, …, n–1}. Pe de altă parte, măsurile arcelor de cerc determinate de perechi de vârfuri consecutive sunt egale, căci:

arg z k+1–arg z k=, k{0, 1, …, n–1} și

arg z0–arg zn–1=2π–2(n–1)=.

În concluzie, M0M1…Mn–1 este un poligon regulat cu n vârfuri.

Observația 14. Rădăcinile de ordinul n ale lui 1 se numesc rădăcinile de ordinul n ale unității și sunt următoarele :

εk=cos , k{0, 1, …, n–1}.

Dacă se notează ε= ε1=cos , atunci:

mulțimea rădăcinilor de ordinul n ale unității este Un={1=ε0, ε, ε2, …, εn–1};

au loc relațiile: εn=1, 1+ε+…+εn–1=0, utile în aplicații;

Un este generată de ε și formează un grup multiplicativ abelian;

imaginile geometrice ale elementelor lui Un sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul unitate cu centrul O, iar unul din vârfuri este punctul M0(1, 0).

înmulțirea unui număr complex z=r(cos t+i∙sin t) cu un număr complex unimodular u=cos θ+i∙sin θ are următoarea interpretare geometrică: reprezintă rotația de centru O și de unghi θ a punctului M(r, t)E2.

Pentru n=2, rădăcinile pătrate ale lui 1 sunt 1 și –1. Dacă n=3, atunci

U3={1, ε=, ε2=}

are imaginea geometrică mulțimea vârfurilor unui triunghi echilateral; ε3=1, 1+ε+ε2=0. Pentru n=4, U4={1, i, –1, –i}, ale cărei elemente au ca imagini geometrice vârfurile unui pătrat ș.a.m.d. În fine, pentru n=6,

U6={1, ε=cos=, ε2=,
ε3=cos π+i∙sin π =–1, ε4=, ε5=cos}.

Imaginea geometrică a lui U6 este mulțimea vârfurilor unui hexagon regulat înscris în cercul unitate C(O, 1).

Teorema 6. Rădăcinile unității au o serie de proprietăți utile în aplicații:

dacă n|m (n divide m), atunci orice rădăcină a ecuației zn–1=0 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației zm–1=0;

rădăcinile comune ale ecuațiilor zn–1=0 și zm–1=0 sunt rădăcinile ecuației zd–1=0, unde d=(m, n); în particular, zn–1=0 și zm–1=0 au o singură rădăcină comună dacă și numai dacă (m, n)=1 (m și n sunt prime între ele);

dacă εk este o rădăcină de ordinul n a unității, atunci cel mai mic număr natural nenul p pentru care (εk)p=1 este p=;

rădăcină εk=cos, k{0, 1, …, n–1}, a lui zn–1=0 se numește rădăcină primitivă, dacă (k, n)=1; εk este o rădăcină primitivă a unității dacă și numai dacă

p{1, 2, …, n–1}, (εk)p1;

dacă εUn este o rădăcină primitivă de ordinul n a unității, atunci pentru orice pℕ*,

Un={εp, εp+1, …, ε p+n–1}.

Demonstrație. Se verifică fiecare dintre afirmațiile de mai sus.

1) n | m implică m=n h, cu h2, deci zm–1=(zn)h–1=(zn–1)(z(h–1)n+…+zn+1) și afirmația este imediată.

2) Fie εp=p=, rădăcinile lui zn–1=0 și

εq'=, q=, rădăcinile lui zm–1=0.

Cu aceste precizări, se pune condiția ca ecuațiile să aibă rădăcini comune:

εp=εq' ⟺ rℤ ⟺ ⟺ mp–nq=rmn .

Dacă d=(m, n), atunci n=dn1, n1ℕ*, m=dm1, m1ℕ*, (m1, n1)=1. Prin urmare,

mp–nq=rmn ⟺ dm1p–dn1q=rd2m1n1 ⟺ m1p–n1q=rdm1n1.

Se deduce că n1|m1p și cum (m1, n1)=1, rezultă n1|p sau p=n1p1 , cu p1ℕ*, astfel că

arg εp= și deci (εp)d=(εq')d=1.

Așadar, orice rădăcină comună a ecuațiilor zn–1=0 și zm–1=0 este o rădăcină a ecuației
zd–1=0. Reciproca este o consecință imediată a lui 1). În fine, este clar că ecuațiile zn–1=0 și
zm–1=0 au rădăcina comună 1; aceasta este unica rădăcină comună dacă și numai dacă d=(m, n)=1.

3) Fie εk o rădăcină a ecuației zn–1=0; condiția (εk)p=1 implică , cu rℕ*, deci ℕ*. Dacă d=(k, n), k=dk1, n=dn1, (k1, n1)=1, atunci ℕ*; cum n1 și k1 sunt mutual prime, se deduce n1|p. Prin urmare, cel mai mic număr natural nenul p cu proprietatea
(εk)p=1 este p=n1==.

4) εk este o rădăcină primitivă a unității i.e. (k, n)=1 atunci și numai atunci când cel mai mic număr natural nenul p pentru care (εk)p=1 este p=n, altfel spus, atunci și numai atunci când
p{1, 2, …, n–1}, (εk)p1.

5) Fie εUn și p ℕ*. Pentru orice k{0, 1, …, n–1}, (εp + k)n=(n)p + k=1, deci εp + kUn.
Se arată că εp, εp+1, …, ε p+n–1 sunt distincte, dacă se observă că funcția :

k {0, 1, …, n–1} p + kUn

este injectivă.

L. Euler a conceput și o scriere exponențială a unui număr complex unimodular (de modul egal cu 1). Inspirat din teoria seriilor infinite, în speță de seriile Taylor asociate funcțiilor trigonometrice și funcției exponențiale, Euler a propus următoarea relație care îi poartă numele :

eit=cos t+i sin t, t ℝ (formula lui Euler , 1748) .

Formula lui Euler este justificată matematic prin egalitatea seriilor Taylor asociate celor doi membri ai egalității din formulă, dar are și alte maniere de verificare. Un caz particular al acestei formule este miraculoasa relație între trei numere fundamentale din matematică :

eiπ+1=0 (identitatea lui Euler),

care se obține considerând t=π în formula lui Euler.

Formula lui Euler ne dă scrierea exponențială a numărului complex unimodular
z=cos t+i∙sin t, t [0, 2π) , adică

z=eit, t[0, 2π),

iar numărul complex în forma trigonometrică z=r(cos t+i sin t), t[0, 2π) se exprimă sub forma exponențială:

z=r eit, t[0, 2π) sau z=zeit, t[0, 2π).

Observații 15. a) Dacă z=reit, z'=r' eit' ℂ* , atunci z=z' ⟺ r=r'; t–t'=2k ;

b) Dacă z=reitℂ*, atunci =re–it și z–1=e–it;

c) Dacă z=reit, z'=r'eit'ℂ*, atunci z·z'=rr'ei(t + t'); ei(t–t');

d) Dacă z=reitℂ* și αℝ, atunci zα=rαeiαt;

e) Dacă u=reit și nℕ, n2, atunci soluțiile ecuației zn=u sunt numerele complexe:

zk=, k=;

În particular, rădăcinile de ordinul n ale unității sunt:

k=, k=.

f) Funcția exp: tℝ exp(t)=eitS1={zℂ |z|=1} este reprezentarea complexă a proiecției de acoperire a cercului ( v.[1, p.111]). Mai precis, dacă f:ℝC(O, 1)E2 este proiecția de acoperire a cercului unitate (care definește geometric funcțiile trigonometrice), atunci
exp=f, unde :M(a,b)E2z=a+biℂ este sistemul de coordonate complexe asociat s.c.c.o.
S=Oxy și (C(O, 1))=S1.

2.2. Corpul numerelor complexe

Corpul numerelor complexe este o structură matematică fundamentală. El poate fi introdus, fie printr–o definiție axiomatică, fie prin construcția unui model al acestuia.

Propozitție. Corpul (ℝ; +; ∙) al numerelor reale este un corp complet ordonat.

Demonstratție. Operatția de adunare a numerelor reale are proprietățile

(a+b)+c=a+(b+c)

a+b=b+a

a+0=0+a=a

a+(–a)=(–a)+a=0;

astfel că (ℝ; +) este un grup abelian. În ceea ce privește operatția de Înmulțire,

(a∙b)∙c=a∙(b∙c)

a∙b=b∙a

a∙1=1∙a=a

a∙0=0∙a=0

a∙1/a=1/a∙a=1 pentru orice a diferit de 0;

astfel că (R; ∙) este un monoid comutativ cu element absorbant 0, iar (R\{0}; ∙) este un grup comutativ.

Capitolul 3 – UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE
ÎN GEOMETRIE ȘI TRIGONOMETRIE

Problena „Dacă ABC este un triunghi echilateral și M un punct arbitrar în planul său, lungimile MA, MB, MC sunt laturile unui triunghi eventual degenerat.” poartă numele lui Dimitrie Pompeiu. Acesta o demonstrează atât sintetic, cât și utilizând operații cu numere complexe, realizând încă odată legătura între geometrie și algebră.

3.1 Aplicații ale numerelor complexe în geometrie

Împărțirea unui segment într–un raport dat

Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 și respectiv z2 și fie P un punct pe dreapta A1A2, astfel încât , unde λ∈ℝ, λ≠1. Dacă P are afixul zP atunci:

Formula reprezintă afixul punctului care împarte un segment într–un raport dat.

Afixul mijlocului unui segment

Dacă P este mijlocul segmentului A1A2, atunci λ=–1 .din formula precedentă se obține:

Patrulaterul M1M2M3M4, unde punctele Mi au afixele zi, i= este paralelogram dacă și numai dacă:

Centrul de greutate al unui triunghi

Fie ABC un triunghi ale cărui vârfuri au afixele zA, zB, zC. Atunci centrul de greutate G al triunghiului are afixul:

Distanța dintre două puncte; ecuația cercului.

Dacă A1A2 sunt puncte în plan de afixe z1 și respectiv z2, atunci lungimea segmentului A1A2 este:

|A1A2|=|z1–z2|

Rezultă că cercul de centru A0(z0) și rază r are ecuația:

Condiția de coliniaritate

Punctele M1, M2, M3 de afixez1, z2 respectiv z3 sunt coliniare dacă și numai dacăexistă
k1, k2, k3∈ℝ cu k1+k2+k3=0 și k1z1+k2z2+k3z3=0.

Într–adevăr dacă M1, M2, M3 sunt coliniare, atunci există k∈ℝ cu . Deci , adică z1–(1–k)z2–kz3=0.

Pentru k1=1, k2=1–k, k3=–kobținem concluzia.

Reciproc, din k1+k2+k3=0 cu k2=–k1–k3 obținem:

k1(z1–z2)=–k3(z3–z2)

Pentru obținem , adică M1, M2, M3 sunt coliniare.

Măsurarea unghiului orientat

Măsura unghiului orientat ∢ M1OM2, în sens trigonometric, semidreapta OM1, se rotește în sens trigonometric peste semidreapta OM2, față de un reper cu originea în Oeste:

Unde z1, z2 sunt afixele punctelor M1, respectiv M2.

Dacă punctele M1, M2, M3 au afixe z1, z2, respectiv z3, atunci măsura unghiului orientat (în sens trigonometric) ∢ M1M2 M3 este:

Dacă punctele M1, M2, M3 au afixe z1, z2, z3, și =ρε, unde ρ>0, ε=cos α+isin α cu α∈[0, 2π), atunci:

Ecuația dreptei care trece prin duuă puncte.

Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 și respectiv z2. Atunci dreapta A1A2 reprezintă mulțimea punctelor din plan ale căror afixe z sunt de forma

z=(1–λ)z1+λz2.

O altă formă a ecuației unei drepte în ℂ.

Punctul P aparține dreptei A1A2 dacă și numai dacă afixul său z verifică egalitatea:

.

Unghiul a două drepte.

Fie punctele M1, M2, M3, M4, distincte în plan, diferite de origine, cu afixele zi, i=. Măsura unghiului orientat (în sens trigonometric) al dreptelor M1M2 și M3M4 este:

Dreptele M1M2 și M3M4 sunt:

M1M2⊥M3M4 dacă și numai dacă

M1M2∥M3M4 dacă și numai dacă

Punctele M1, M2, M3, M4 sunt conciclice dacă și numai dacă raportul anarmonic al afixelor lor este real, adică:

Ortocentrul unui triunghi

Fie ABC un Triunghi înscris într–un cerc cu centrul în originea O a stemului xOy. Înălțimile AA1, BB1 și CC1 ale triunghiului sunt concurente într–un punct H care îndeplinește condiția vectorială

Dacă afixele vârfurilor triunghiului sunt z1, z2, z3 pentru punctele A, B respectiv C atunci afixul ortocentrului este h și este:

Dacă originea reperului cartezian nu este în centrul cercului circumscris triunghiului, atunci punctul O are afixul o și are loc relația:

Față de un reper cu originea în centrul cercului circumscris triunghiului ABC, centrul cercului lui Euler are afixul:

Centrul cercului înscris într–un triunghi

Fie ABC un triunghi ale cărui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c. Centrul I al cercului înscris în triunghiul ABC are Afixul:

Aria triunghiului

Dacă zi, i=, sunt afixele vârfurilor triunghiului ABC, notat în sens trigometric, atunci aria triunghiului este:

Fără a restrânge generalitatea problemei putem considera că originea sistemului ortogonal de axe se află în interiorul triunghiului.

Folosind forma trigonometrică a celor trei afixe:

atunci:

Calculăm

Carecterizarea triunghiului dreptunghic

Triunghiul ABC înscris în cercul C(O,R) este dreptunghic dacă și numai dacă |a+b+c|=R, unde A(a), B(b), C(c).

Demonstrație. Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, cu unghiul drept în A, atunci B și C sunt diametral opuse, deci b=–c, de unde |a+b+c|=|a|=R.

Reciproc, dacă|a+b+c|=R, atunci |a+b+c|2=R2, adică , deci:

echivalent cu

adică două dintre punctele A, B, C sunt diametral opuse. q.e.d.

Formula rotației în complex

Dacă punctul M3(z3) se obține printr–o rotație de centru M2(z2) și unghi α∈[0, 2π), a punctului M3(z3), atunci:

unde dacă rotația se efectuează în sens trigonometric sau ε= , dacă rotația se efectuează în sens invers trigonometric.

Triunghiul ABC este echilateral dacă și numai dacă

unde , dacă triunghiul ABC este orientat în sens trigonometric sau ε= , dacă triunghiul ABC este orientat în sens invers trigonometric.

3.2. Probleme de algebră și trigonometrie rezolvate cu numere complexe

1. I. Să se arate că ∀ a∈ℝ, numărul complex are ca modul 1.

II. Reciproc, fiind dat un număr complex z de modul 1, să se studieze dacă e posibil de a fi scris sub forma și să se exprime a în funcție de argumentul z.

III. Să se arate că ecuația admite n rădăcini reale și să se determine aceste rădăcini. Să se arate că această ecuație nu admite alte rădăcini în corpul numerelor complexe.

Soluție: I. 1+ia și 1–ia sunt conjugate, raportul lor are ca modul 1 (au același modul și argumente opuse).

II. Toate numerele complexe de modul 1 se scriu . Oricare ar fi a, putem scrie . Dacă punem , θ∈(–π, π), obținem forma de mai sus.

III. Deoarece x=–i nu e rădăcină, ecuația se poate scrie sau

. Dacă notăm cu θ unul din numerele obținem, punând , , ecuație ce admite ca rădăcină unică x=a. Ecuația dată admite ca rădăcini n valori ale lui . Ecuația fiind de gradul n, nu poate admite mai mult de n rădăcini în corpul numerelor complexe. În consecință toate rădăcinile sale sunt reale.

2. Să se construiască ecuația care are ca rădăcini valorile lui , cunoscănd că tga=b.

Soluție: Din formula lui Moivre avem cos5x=cos5x–10cos3xsin2x+5cosxsin4x, sin5x= =5cos4xsinx–10cos2xsin3x+sin5x, de unde . Punând 5x=a și apoi , avem ecuația y5–5by4–10y3+10by2+5y–b=0, care este ecuația căutată.

3. Utilizând formula lui Moivre să se calculeze cos 5x și sin 5x respectiv în funcție de cosx și sinx. Să se deducă apoi valuarea exactă a lui și .

Soluție: Avem cos5x=16cos5x–20cos3x+5cosx; sin5x=16sin5x–20sin3x+5sinx. Dacă , sin5x=0, deci este o rădăcină nenulă a ecuației 16×5–20×3+5x=0. La fel dacă , cos5x=0, deci este de asemenea o rădăcină nenulă a acestei ecuații. Rădăcinile pozitive și nenule ale acestei ecuații ne dau ; .

4. Să se afle toate numerele complexe z, pentru care este real.

Soluție: Notând z=x+iy, expresia este reală dacă , deci pentru numerele complexe a căror imagini se găsesc pe cercul de centru și raza . ( Se exclude punctul de coordonate (0; 1) căruia îi corespunde numărul complex i pentru care expresia dată nu are sens.)

5. Să se determine numerele complexe z, astfel ca O să fie centrul cercului circumscris triunghiului format de imaginile lui z, z2, z3.

Soluție: Notănd , avem și . Distanțele la origine ale imaginilor celor trei numere, trebuie să fie egale, deci . Rezultă r=0, deci cazul banal z=0, sau r=1, în care , deci imaginile numerelor z, z2 și z3 sunt situate pe cercul cu centrul în origine și raza unitate, argumentele lor fiind θ, 2θ și 3 θ. Există o infinitate de soluții.

6. Să se determine numerele complexe z, astfel ca O să fie centrul de greutate al imaginilor numerelor z, z2, z3.

Soluție: Trebuie să avem , deci afară de soluția banală z=0, rezultă 1+z+z2=0, deci . În ambele cazuri se obține triunghiul echilateral înscris în cercul cu centrul în origine și raza unu, unul dintre vârfuri fiind pe axa reală pozitivă.

3.3 Diverse probleme care se rezolva cu ajutorul numerelor complexe

1. În exteriorul triunghiului neechilateral ABC se consideră triunghiurile asemenea ABM, BCN și CAP astfel încât MNP să fie echilateral. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiurilor ABM, BCN și CAP.

(Olimpiada Națională, 2010)

Soluție: Fie triunghiul ABC direct orientat. Din ipoteză, avem: .

Rezultă: m = ka + (1 – k)b; n = kb + (1 – k)c; p = kc + (1 – k)a.

Din MNP triunghi echilateral, rezultă: .

Rezultă: sau , de unde . Deoarece triunghiul ABC nu este echilateral, deducem că , iar din m = ka + (1 – k)b, rezultă , de unde triunghiul AMB este isoscel cu un unghi de măsură . Celelalte două unghiuri au .

2. Fie triunghiul ABC și astfel încât . Demonstrați că, dacă centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor DEF și ABC coincid, atunci triunghiul ABC este echilateral.

(Olimpiada Națională, 2008)

Soluție: Considerăm un reper cu originea în O – centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă , atunci și analoagele. Triunghiul DEF are același centru cu triunghiul ABC dacă |d| = |e| = |f|, deci . Cum , obținem , de unde rezultă că .

3. Fie ABCD un patrulater, astfel încât . Să se arate că mijlocul lui (MN) aparține segmentului determinat de mijloacele diagonalelor.

Soluție: Notăm .

Rezultă: m = a(1 – k) + bd; n = bk + (1 – k)c, .

Din , rezultă concluzia.

4. Fie ABC un triunghi oarecare și astfel încât . Să se arate că dreapta AE este paralelă cu dreapta determinată de mijloacele segmentelor (BC) și (DF).

Soluție: Dacă , atunci , iar M mijlocul lui BC, N mijlocul lui DF, avem (și .

5. Pe laturile (BC), (CD) ale patrulaterului ABCD se consideră punctele M și N astfel încât . Fie P punctul de intersecție a dreptelor AM și BN. Dacă , arătați că ABCD este paralelogram.

Soluție: Notăm cu x afixul unui punct X față de un reper oarecare.

Găsim:

,

de unde a + c = b + d și de aici concluzia.

6. Fie ABC un triunghi și M un punct în planul său, mijloacele laturilor BC, CA, AB și . Arătați că sunt concurente.

Soluție: Față de un reper oarecare, notăm x, afixul punctului X.

.

Căutăm un punct astfel încât afixul său, q să se exprime simetric în funcție de a, b, c.

Cum , alegem x astfel încât , deci . Pentru acest x, . Rezultă că dreptele date sunt concurente în Q.

Capitolul 4 – CONSIDERATII METODICE ASUPRA TEMEI

Studiul matematicii în cadrul liceului urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării și conexiunilor cunoștințelor din alte domenii, dar și înzestrarea elevilor cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă și a unei culturi comune pentru toți elevii determinând, pe de altă parte, trasee individuale de învățare.

Întrucât organizarea și obiectivele formulate de diferitele tipuri de licee presupun o mare varietate de modalități de a utiliya cunoștințele matematice, dar și din cauza numarului de ore alocat diferit pentru fiecare tip de liceu, organizarea Curriculum-ului este structurată pe mai multe tipuri de programe, respective M1, M2, M3.

Astfel, planurile cadru pentru clasele a IX–a și a X–a de liceu (anexa 1 la OMECT 5723 / 23.12.2004) sunt structurate pe trei componente: trunchi comun (TC), curriculum diferențiat (CD) și curriculum la decizia școlii (CDȘ).

În elaborarea programei s–au avut în vedere schimbările intervenite în structura învățământului preuniversitar: pe de o parte, prelungirea duratei învățământului obligatoriu la 10 clase, iar pe de altă parte, apartenența claselor a IX–a și a X–a la învățământul liceal sau la învățământul profesional – școala de arte și meserii. De asemenea, s–a ținut cont de modificarea structurii liceului prin noile planuri–cadru de învățământ.

Noul curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.

În mod concret, s–a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia; continuitatea și coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într–o formă accesibilă, în scopul stimulării motivației pentru studiul matematicii și, nu în ultimul rând, asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.

Programa școlară de Matematică este structurată pe formarea de competențe. Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare; ele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.

PROIECTUL UNITATII DE INVATARE ”NUMERE COMPLEXE”

NUMERE COMPLEXE/ 13ORE

PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

Clasa: a – X – a,

Disciplina: Algebră

Titlul Activității: Numere complexe – Operatii cu numere complexe.

Tipul lectiei: Lectie de predare – fixare de noi cunostinte

Scopul: Formarea si dezvoltarea de capacitati, priceperi si deprinderi in vederea rezolvarii diferitelor situatii–problema

COMPETENTE GENERALE :

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora

Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații–problemă

Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

COMPETENTE SPECIFICE :

Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în vederea optimizării calculelor.

Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.

Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale și complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații.

Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:

O1. să identifice numerele complexe

O2. să utilizeze si sa opereze cu numere complexe

O3. să efectueze operatii cu numere complexe si sa aplice puterile lui i

Metode didactice: explicația, rezolvarea de probleme, conversația euristică,

Mijloace didactice: tabla, creta, manualul

Evaluare: continuă, frontală, globală

MOMENT ORGANIZATORIC:

Pregătesc materialul didactic și verific prezența elevilor

VERIFICAREA MODULUI DE INSUSIRE A CUNOSTINTELOR DOBANDITE ANTERIOR :

Metode folosite: conversatia, examinarea

Fie , ,

Se numeste partea reala a numarului complex

Se numeste coeficientul partii reale a numarului complex

Exemple de nr. Complexe z = 2+3i

Z=–12 – 13i

Operatii studiate – egalitatea z1=a1+b1i

Z2=a2+b2 i , Z1=Z2 daca a1=a2 si b1=b2

FIXAREA CUNOSTINTELOR: (prezentarea de material nou, obtinere de performanta)

Metode folosite: demonstrația, explicația,conversația euristică

OPERATII CU NUMERE COMPLEXE

1. ADUNAREA

Fie

APLICATII :

1. Dacă să se calculeze:

a) b)

2. Dacă să se calculeze:

a) b)

2. INMULTIREA

Fie

APLICATII:

1. Dacă să se calculeze

2. Dacă să se calculeze:

a)

b)

CONJUGATUL UNUI NUMAR COMPLEX

DEFINITIE : Se numeste conjugatul numarului nr. notat

Obs :

3. IMPARTIREA :

Fie ,

OBS. Inversul unui numar complex z= x+ yi , z∊ℂ , este numarul z–1 =1/z.

APLICATII :

1. Dacă să se calculeze: a)

2. Să se scrie sub forma algebrică .

APLICATII:

1. Dacă să se calculeze:

a) b) c) d)

e)

2. Să se scrie sub forma algebrică .

3. Dacă să se calculeze:

a)

4. Să se determine nr. dacă:

a)

b)

5. Să se determine z ∊ℂ daca: .

PUTERILE LUI i : (i2 = –1)

Exemple :

APLICATII :

Calculați ; S =i2000+2i2001 +3i2002+4i2003+5i2004+6i2005+7i2006

Calculati : S=i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8

Obs. Verificarea OBTINERII DE PERFORMANTA se face pe baza unei lucrari scurte.

ASIGURAREA FEED–BACK–ULUI:

Metode folosite: Conversatia, Scurta lucrare.

Fac o scurta recapitulare a noțiunilor care au fost utilizate în decursul lecției.

INCHEIEREA ACTIVITATII:

Stabilesc tema pentru acasă (manual,pagina 80,81 ,ex. 7,9 10,11.). Ofer indicatii cu privire la rezolvarea problemelor ce ar putea prezenta dificultăți.

CONCLUZII

Toate actiunile din cadrul procesului instructiv–educativ vizeaza elevul/studentul, formarea si educarea acestuia. Pozitia lui nu este cea a materialului inert din care sculptorul realizeaza opera de arta, elevul/studentul constituie o resursa activa devenind partener în interactiunea cu profesorul.

În general este greu să se facă o delimitare clară a strategiilor de predare–învățare, lecțiile fiind de regulă o îmbinare de strategii. Profesorul trebuie să fie conștient că cel mai mic efort de a–l implica pe elev în propria instruire este un pas înainte în creșterea motivației învățării matematicii, în atingerea obiectivelor educației. Prin strategiile folosite profesorul urmareste dezvoltarea unor sisteme cognitive bazate pe stimularea gândirii reflexive prin implicarea elevilor în situatii din viata reala precum si utilizarea în contexte variate a cunoasterii acumulate si a abilitatilor formate.

trategiile educaționale sunt astfel concepute si folosite, încât asigură condițiile pentru întelegerea și interpretarea științei, pentru relaționarea cunoștințelor si evidențierea legăturilor dintre diferite științe. Performanțele tinerilor se vor concretiza în facilitarea luării deciziilor bazate pe valori și relationarea acestor decizii cu realitatea socială.

Lucrarea de față și-a propus doar să exemplifice posibilitățile numeroase de aplicare a numerelor complexe într-o ramură a matematicii care este studiată, din păcate, de către elevii de liceu din ce în ce mai superficial, geometria. Astfel, au fost prezentate câteva noțiuni elementare ale geometriei plane traduse foarte natural în limbajul numerelor complexe, câteva strategii didactice de predare-învățare a numerelor complexe, precum și un set de probleme (unele chiar dificile, altfel), care au câștigat o soluționare mult ușurată, datorată folosirii acestor numere. Tema este, evident, infinit mai vastă și lasă loc ideii de studiu aprofundat.

ANEXE – ASPECTE METODICE. EXERCITII PROPUSE SPRE REZOLVARE CU AJUTORUL METODELOR DESCRISE

ANEXA 1 – DIAGRAMA VENN

FORMA TRIGONOMETRICA A NUMERELOR COMPLEXE

Comparati forma trigonometrica a numerelor complexe cu forma algebrica a acestora. In zona suprapusa notati asemanarile.

Scrieti sub forma trigonometrica conjugatul numarului 9i–6

Sa se afle numarul complex scris sub forma trigonometrica (cos Pi/4 – i sin pi/8)

Sa se determine modulul si argumentul numarului sina+icosa

ANEXA 2 – LEARNING BY DOING

Fie z=1+i.Sa se demonstreze ca:
–+–+…=*cos(n)/4 si

–+–+…=*sin(n)/4

indicatie Se va ridica numarul z la puterea n folosind prima data binomul lui Newton si a 2–a oara formula lui Moivre

Să se determine numerele reale x și y din relația : (x + y) + (3x + y)i = 3 – i. 

Rezolvare

Observăm că în fiecare membru al egalității avem câte un număr complex. Pentru ca acestea să fie egale vom pune condițiile din definiția 2 : .

Se rezolvă acest sistem și obținem: x = – 2 și y = 5.

3 .Să se rezolve ecuația .

Rezolvare

deci ecuația are rădăcini complexe:     și analog .

4. Să se găsească numerele reale x și y astfel încât :

a) (1 – 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i

b) (2 + i)x – (2 – i)y = x – y + 2i.

5. Să se calculeze:

6. Să se arate că numerele complexe , sunt soluții ale ecuației

7.Să se calculeze:

8. Să se reprezinte geometric numerele complexe:

a) 3 + 5i ; b) 4 – i ; c) 3i ; d) – 5 – 5i.

9. Să se rezolve în C ecuațiile:

.

10. Să se calculeze unde

11. Să se determine astfel încât numărul să fie real.

a) m = 2 b) m = 0 c) m = 1 d) m = 3 e) m = –1 .

12. Să se rezolve în C ecuațiile: ;

13. Să se determine numerele complexe z, astfel încât

14. Dacă și sunt rădăcinile ecuației , să se calculeze:

15. Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie .

ANEXA 3 – PROBLEM SOLVING

1. Sa se calculeze numarul x = sin[5arcsin(1/3)].

Rezolvare:

obtinem, in baza formulei lui Moivre:

se dezvoltă egalitatea în baza formulei binomului lui Newton.

Se egalează coeficienții lui i din cele două rezultate, se efectuează calculele și se găsește

valoarea lui x.

2. Coordonatele polare ale unui numar complex z=x+i·y sunt

,

Reprezentați punctul corespunzător numărului complex z= 3+2·i. Care este forma polară a acestui număr complex. Scrieți acest număr în forma polară. Calculați modulul și numărul complex conjugat ale acestui număr complex.

3. Aplicând relațiile de mai sus să se calculeze produsul și raportul a două numere complexe z1= x1+y1·i și respectiv z2= x2+y2·i.

4. Să se arate că dacă n este număr întreg : i4n≡1 și i2n≡ –1.

5. Folosind forma polară a numerelor complexe z(r,θ)=r·eiθ să se calculeze z1·z2 și z1/z2. De asemenea să se calculeze zn și z1/n.

6. Să se calculeze rădăcina cubică a numărului –8 folosind forma trigonometrică a numerelor complexe.

ANEXA 4 – K.W.L.

I. Reprezentarea geometrica a numerelor complexe.

Execitiu;

Punctele M( 2,0) si N( 3,4) au ca afixe numerele complexe zM = 2 si zN = 3 + 4i.

Numerele complexe z1 = 2i si z2 = 3 – i au ca imagine geometrica punctele A( 0,2) si B(3,–1)

Prin asocierea z = x + iy”<< M(x,y), multimii R a numerelor reale ii corespunde axa Ox numita, in acest context, axa reala, iar multimii iR a numerelor imaginare, axa Oy, numita axa imaginara. Planul ale carui puncte se identifica cu numerele complexe prin functia g o f, definita mai inainte, se numeste planul complex. In acest fel, putem transfera pe C proprietatile geometrice definite pe V2 sau P si reciproc, orice relatie stabilita intre numere complexe poate fi interpretata in V2 sau P .

II. Descrierea geometrica a operatiilor cu numere complexe. Distanta dintre doua puncte.

Exercitii:

1) Se considera punctele A, B, C si I de afixe , si respectiv 2 + i. Sa se arate ca punctele A, B si C se gasesc pe un acelasi cerc cu centrul in I.

Solutie:

Calculam distantele:

Deci A, B, C sunt puncte ale cercului cu centrul in I si raza 3

2) Sa se reprezinte in planul complex multimea punctelor M al caror afix z verifica egalitatea

.

Solutie:

Fie A si B punctele de afixe zA = –1 –i si zB = 3

Relatia data se scrie , adica MA = MB. Multimea cautata este mediatoarea segmentului AB.

III. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie.

1) Impartirea unui segment intr–un raport dat.

Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 si respectiv z2 si fie P un punct pe dreapta A1A2, astfel incat , unde R, –1. Daca P are afixul zP, atunci:

zP =

Formula reprezinta afixul punctului care imparte un segment intr–un raport dat. Demonstratia formulei foloseste expresia vectoriala a punctului P: .

2) Afixul mijlocului unui segment.

Daca P este mijlocul segmentului [ A1A2], atunci = 1. Din formula precedenta se obtine:

zP =

3) Centrul de greutate al unui triunghi.

Fie ABC un triunghi ale carui varfuri au afixele zA, zB, zC. Atunci centrul de greutate G al triunghiului are afixul

zG = ( zA + zB + zC)

4) Distanta dintre doua puncte; ecuatia cercului.

Daca A1, A2 sunt puncte in plan de afixe z1 si respectiv z2, atunci lungimea segmentului [A1A2] este

Rezulta ca cercul de centru Ao(zo) si raza r are ecuatia

5) Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte.

Fie A1, A2, doua puncte distincte din plan de afixe z1, respectiv z2.Atunci, dreapta A1A2 reprezinta multimea punctelor din plan ale caror afixe z sunt de forma:

z = ( 1 – ) z1 + z2 , R

6) O alta forma a ecuatiei unei drepte in C

Punctul P apartine dreptei A1A2 daca si numai daca afixul sau z verifica egalitatea:

7) Ortocentrul unui triunghi. Dreapta lui Euler.

Fie ABC un triunghi inscris intr–un cerc cu centrul in originea O a sistemului cartezian xOy. Inaltimile AA1, BB1 si CC1 ale triunghiului sunt concurente intr–un punct H care indeplineste conditia vectoriala:

8) Centrul cercului inscris intr–un triunghi

Fie ABC un triunghi ale carui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c. Centrul I al cercului inscris in triunghiul ABC are afixul

zI =

9) Fie afixele vârfurilor triunghiului ABC astfel încât și . Să se arate că:

a)

b)

c)

1. Rezolvați ecuațiile:

a) |z – a| + |z – b| = b – a, z număr complex, a, b numere reale fixate, b > a.

b) |z| + |z – 1| + |z – 2| + |z – 3| = 4, z număr complex.

Soluție: Alegem un reper XOY, A, B pe OX și M(z), A(a), B(b).

a) ecuația este echivalentă cu MA + MB = AB, de unde rezultă că M se află pe [AB], deci z este număr real,

b) 4 = |z| + |z – 1| + |z – 2| + |z – 3| |z – (z – 3)| + |z – 1 – (z – 2)| = 4, de unde rezultă |z| + |z – 3| = 3 și |z – 1| + |z – 2| = 1 .

2. Să se arate că nu există trei numere complexe cu modulele egale cu 1, care să verifice:

.

Soluție: Fie . După calcule, obținem:

și

, de unde ;

.

Rezultă: .

Cum (egalitățile pentru sinx = 0, cosx = 1 sau sinx = 1, cosx = 0), rezultă , fals.

3. . Fie a, b, c trei numere complexe, astfel încât . Demonstrați că

.

(Olimpiada Națională, 2008)

Soluție: Dacă unul dintre numere este nul, concluzia este evidentă.

În caz contrar, fie , deci și . În acest caz, diferențele dintre argumentele numerelor sunt egale cu . Rezultă, din teorema cosinusului, că și analoagele. Prin înmulțirea acestor relații, rezultă concluzia.

4 . Fie a, b, c numere complexe. Demonstrați că:

Soluție: iar

. Prin înmulțire, rezultă concluzia.

5. Fie n un număr întreg, și . Considerăm mulțimile și

. Să se determine .

Soluție: Avem: .

Fie . Există astfel încât . Cum

Din , deci n este par. Astfel, pentru n impar, ={1}, iar pentru n par .

ANEXA 5 – EXERCITII DE PREGATIRE A EXAMENULUI DE BACALAUREAT

NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ TRIGONOMETRICĂ

5.1 Să se determine mulțimea punctelor din plan ale căror afixe satisfac:

a) ; b) ; c) ; d) .

5.2

Să se determine forma trigonometrică a următoarelor numere complexe:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Fie un număr real nenul. Să se arate că forma trigonometrică a lui este:

Fie un număr complex nenul. Să se arate că:

Să se determine modulele și argumentele numerelor:

a)

b)

c)

d) , .

Să se calculeze produsul sub forma trigonometrică

Să se calculeze modulele și argumentele reduse ale următoarelor numere complexe:

a) d)

b) e )

c) f)

Să se calculeze:

a) ; b) ; c) , , .

Să se arate că, dacă numerele naturale și sunt prime între ele, atunci ecuațiile și au o singură rădăcină comună.

Să se rezolve următoarele ecuații binome:

a) c)

b) d) .

Să se rezolve ecuațiile:

a) c)

b) d) .

5.5 Să se reprezinte mulțimile punctelor din plan ale căror afixe satisfac:

a) d)

b) e) .

c)

a) Știind că , , să se calculeze .

b) Să se calculeze , știind că .

Să se demonstreze că formula lui Moivre este adevărată și în cazul în care este un număr întreg negativ.

Să se demonstreze:, unde: , .

Să se efectueze calculele:

a) ; b) .

Fie expresia . Să se calculeze .

Exercitii:

Să se calculeze rădăcinile de ordin ale lui în următoarele cazuri:

a) c)

b) d) .

Să se determine rădăcinile de ordin 3, 4 și 8 ale unității.

Să se demonstreze că rădăcinile de ordin ale unității sunt egale cu puterile unei rădăcini particulare ( o astfel de rădăcină se numește rădăcina primi–tivă de ordin al unității ).

, , fiind rădăcinile de ordin 3 ale unității, să se arate că:

a) ; b) ; c)

Știind că numărul complex verifică ecuațtia , să se arate că nume–rele , și verifică aceeași ecuație.

Aplicație: Să se calculeze și să se deducă rădăcinile de ordinul 4 ale numărului .

Să se verifice poziția celui de–al treilea vârf al triunghiului echilateral, afixele a 2 vârfuri fiind: , .

Fie trei numere complexe, nenule, distincte 2 câte 2 și de module egale. Să se demonstreze că dacă , și sunt numere reale, atunci .

Notând cu mulțimea rădăcinilor de ordinul ale unității,

să se demonstreze că:

a) ; b)

Să se determine numerele complexe de modul 1 care verifică .

Fie ecuația , și și . Să se arate că ecuația dată are cel puțin o rădăcină de modul egal cu 1.

Fie trei numere complexe nenule, astfel încât .

a) Să se demonstreze că numerele complexe și astfel încât , și

b) Să se rezolve ecuația în raport cu una din necunoscute.

c) Folosind eventual rezultatele de la a) și b) să se demonstreze că dacă atunci sau numerele sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

BIBLIOGRAFIE

Albu, I. D. Geometrie. Concepte și metode de studiu. Partea I: Construcția axiomatică a geometriei euclidiene, Editura Mitron, Timișoara 1998

Andreescu T., Andrica D., Complex Numbers from A to Z, Birkhausser Boston, 2006

Ardelean, L., Secelean, N., Didactica matematicii-noțiuni generale, comunicare didactică specifică matematicii, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007

Banea H., Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, Pitești,1995

Bobic F.I.– Lucrare metodico–științifică pentru obținerea gradului didactic i în învățământ,

Bocoș M., Jucan D., Teoria și metodologia instruirii și Teoria și metodologia evaluării. Repere și instrumente didactice pentru formarea profesorilor, Casa Cărții de Știință, Cluj – Napoca, 2007

Brânzei D. și alții, Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei, București, 1983

Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești 2010

Cerghit I., Metode de învățământ, EDP R.A, București, 1997

Chirilă C. și alții, Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012

Cîrjan F., Didactica Matematicii, Ed. Corint, București, 2008

Cucoș, C. (coord.). Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, ed. a II–a revăzută și adăugită, Editura Polirom, Iași, 2008

Cucoș, C. Teoria și metodologia evaluării, Editura Polirom, Iași, 2008

Ghircoiașiu N., Iasinschi M. Fișe de algebră pentru elevi și absolvenți de licee. Ed. Dacia, Cluj–Napoca, 1976

Iucu, B. R. Instruirea școlară, Editura Polirom, Iași, 2002

Joița, E., Pedagogie și elemente de psihologie școlară pentru examenele de definitivare și obținerea gradului didactic II (profesori, institutori, învațători, educatoare), Editura Arves, 2003.

Mihăileanu, N., Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Ed. Tehnică, București, 1968

Neagu M., Petrovici C., Elemente de didactica matematicii, PIM, Iași 2002

Oprea, C.L, Strategii didactice interactive. București: E.D.P., 2006

Radovanovic M., Complex Numbers in Geometry, The IMO Compedium Group, 2007

Radu I., Miron I., Didactica modernă, Ed. Dacia, Cluj – Napoca; 1995

Sălăgean S¸ Geometria planului complex, Promedia–Plus, Cluj Napoca, 1997.

Soitu, L; Cherciu, R.D. (coord), Strategii educationale centrate pe elev, Bucuresti 2006

Zlate, M, Psihologia mecanismelor cognitive, Editura Polirom, Iași, 2008

Zlate, M. Fundamentele psihologiei, Editura Universitară, București, 2006

Zlate, St. s.a. Strategii moderne de predare-învățare-evaluare, Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013, Axa prioritară 1 – Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii economice și dezvoltării societății bazate pe cunoaștere Domeniul major de intervenție 1.3 – Dezvoltarea resurselor umane în educatie si formare profesională

Manuale alternative de Matematică pentru clasele, a X – a, a XI – a, Editurile Didactică și Pedagogică, Teora, All, Petrion, Mathpress, 1995 – 2012

www.Wikipedia ; www.MathWorld

www.matestn.ro/Matematica%20in%20judet.htm

www.edu.ro

www.didactic.ro