Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a se ține seama de mase și de forțe, urmărindu-se doar aspectul ei geometric. În cinematică intervin două… [304893]

Cinematica

1.1. Noțiuni introductive

Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a [anonimizat]-se doar aspectul ei geometric. [anonimizat]: spațiu și timp.

Se poate vorbi aici despre doua sisteme de referință:

[anonimizat].

[anonimizat].

1.2. Cinematica punctului material

Mișcarea punctului material este cunoscută dacă putem să precizăm la orice timp poziția punctului și cum se mișcă acesta față de un sistem de referință.

(1.1)

Mișcarea punctului material este:

continuă;

uniformă;

de clasă C2 (finită în modul);

[anonimizat], accelerației.

Traiectoria

Locul geometric al pozițiilor succesive ale punctului material în mișcare (la vârful vectorului de poziție ) se numește traiectorie.

a) Sistem de coordonate cartezian

(1.2)

b) Sistem de coordonate cilindric

(1.3)

[anonimizat]:

(1.4)

Viteza

(1.5)

(1.6)

– viteza este un vector tangent la traiectorie:

Accelerația

(1.7)

Viteza unghiulară

(1.8)

Accelerația unghiulară

(1.9)

1.2.1. Mișcarea punctului material în diverse sisteme de coordonate

a) Sistemul de coordonate cartezian

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

b) [anonimizat].

– ecuația analitică a traiectoriei (1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

c) [anonimizat] o funcție vectorială de trei coordonate scalare independente între ele.

(1.26)

Cunoașterea mișcării punctului revine la cunoașterea funcțiilor:

d) Sistemul de coordonate intrinseci (triedrul Frenet)

Se folosește atunci când se cunoaște traiectoria punctului.

– ecuația orară a mișcării (1.27)

tangențiala,

[anonimizat].

– ecuația intrinsecă a traiectoriei (1.28)

Notații:

(1.29)

(1.30)

ρ- raza de curbură a traiectoriei.

(1.31)

Observații:

* [anonimizat].

* numai in mișcarea rectilinie.

1.2.2. Mișcări particulare ale punctului material

Mișcarea rectilinie

a) uniformă dacă se mișcă cu )

(1.32)

b) uniform variată

(1.33)

Mișcarea circulară

a) în coordonate carteziene

R,

b) în coordonate polare (fig. 1.10)

c). în coordonate intrinseci (fig. 1.11)

1.3. Probleme rezolvate

Problema 1.3.1.

Să se determine:

1. traiectoria, viteza și accelerația pentru un punct material ale cărui ecuații parametrice de mișcare în coordonate carteziene sunt:

.

2. reprezentarea grafică pentru ; ; ; ; .

Soluție

a) Traiectoria.

.

Traiectoria reprezintă o elipsă cu centrul în C(0,0), având semiaxe .

b) Viteza.

c) Accelerația.

2. Reprezentarea grafică:

Problema 1.3.2.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei: . Se cere:

1) traiectoria viteza și accelerație;

2) reprezentarea grafică pentru ; .

Soluție

1) Pentru aflarea traiectoriei din ecuațiile parametrice se elimină parametrul ce depinde de timp.

Viteza:

Accelerația:

2. Reprezentare grafică:

Problema 1.3.3.

Se consideră mecanismul de bare articulate din figura 1.16, unde O1A = O3B = l, AB = O1O3 = 2l, , . Se cer:

a) ecuațiile parametrice ale mișcării punctului M;

b) viteza și accelerația punctului.

Soluție:

a) Pentru a afla ecuațiile parametrice ale punctului M, trebuie să parcurgem următoarele etape:

ne alegem un sistem de coordonate cartezian;

scriem coordonatele punctului M (vectorul ).

Traiectoria punctului M este cerc cu centrul în punctul C(λ,0) și rază l.

b)

Se știe că

.

Accelerația:

Problema 1.3.4.

Pe semicercul din figură se ală 2 puncte materiale, P1 și P2. Punctele P1 și P2 pornesc simultan din A: unul pe diametrul AB ce are o mișcare uniformă cu viteza vo, iar punctul P2 pe semicerc. Punctul P2 pleacă din repaus și are o mișcare uniform accelerată. Cele două puncte ajung simultan în B. Se cer:

a) ecuația orară a punctului P1, s1(t) = ?;

b) ecuația orară a punctului P2, s1(t) = ?;

c) viteza punctului P2, în coordonate Frenet, v2 = ?, la t = tB;

d) accelerația punctului P2, în coordonate Frenet, a2 = ?, la t = tB.

Fig. 1.17.

Soluție:

a)

Constanta de integrare c1 se determină din condițiile inițiale.

La , . Ecuația orară este:

b)

Din condițiile inițiale de poziție și viteză rezultă constantele c2 și c3:

;. Ecuația orară este: .

c) la .

Punctul P2 parcurge arcul de cerc AB;

.

d)

Problema 1.3.5.

Se consideră o bară AB care alunecă de-a lungul a doi pereți (unul vertical și unul orizontal) ca în figura 1.18. La distanța d față de capătul din A se găsește un punct material M. Capătul din A se deplasează cu .

Se cere să se determine traiectoria, viteza și accelerația punctului M.

Soluție:

Pentru aflarea ecuațiilor parametrice ale traiectoriei în punctul M, scriem coordonatele acestui punct care elimină timpul (t).

.

Prin ridicare la pătrat și adunare, obținem:

Traiectoria punctului M este o elipsă cu centrul în O(0,0) și de semiaxe și .

Viteza:

Pentru aflarea vitezei punctului M trebuie să-l determinăm pe .

Pentru aflarea lui ne folosim de faptul că .

.

.

Accelerația:

1.4. Probleme propuse

Problema 1.4.1.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei .

Se cere:

1) traiectoria, viteza și accelerația;

2) reprezentare grafică pentru ; ; .

Problema 1.4.2.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei:

sunt constante pozitive.

Se cere:

1) traiectoria, viteza și accelerația;

2) reprezentare grafică pentru : .

Problema 1.4.3.

Se consideră un cerc de rază R pe care se află două puncte (P1, P2), care pornesc simultan din punctul M, ca în figura 1.20. Punctul P1 se mișcă uniform încetinit, iar punctul P2 își păstrează constant modulul vitezei. Punctele P1 și P2 se întâlnesc în B, unde P1 se oprește.

Se cere:

a) Legea de mișcare a punctului P1;

b) Poziția punctului B unde se oprește P1;

c) Timpul de la începutul mișcării până la întâlnire.

Problema 1.4.4.

Se consideră mecanismul bielă-manivelă din fig. 1.21, unde O1A = R, AM = r, BM = .

Pentru cunoașterea mișcării punctului M se cere să se determine ecuațiile parametrice ale traiectoriei, viteza și accelerația în funcție de parametrul .

Fig. 1. 21

Problema 1.4.5.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei: .

Se cere să se determine traiectoria, viteza și accelerația.

Cinematica rigidului.
Mișcarea generală a rigidului

2.1. Introducere

Modelului de corp rigid îi corespunde în tehnică o formă geometrică bine definită (fig. 2.1) care poate fi descrisă cu ajutorul unui sistem de referință (ortogonal în mod curent) legat de corp.

În general, un ansamblu rigid poate fi descompus în corpurile geometrice din care este alcătuit.

Dar, prin mișcarea mecanică se înțelege schimbarea în timp a poziției în spațiu a unui corp în raport cu altul ales ca reper.

Așadar, studiul mișcării unui corp presupune și alegerea unui reper, a unui sistem de referință, considerat fix.

Prin urmare pentru determinarea elementelor mișcării rigidului (traiectorii, viteze, accelerații) este necesară alegerea a două sisteme de referință:

un sistem de referință (presupus) fix O,x,y,z, și

un sistem de referință mobil O,x,y,z,O’,x’,y’,z’ solidar cu rigidul în mișcare.

2.2. Problema traiectoriilor (spațiul traiectoriilor)

Fie punctul curent M al rigidului care are coordonatele (x1,y1,z1) față de sistemul de referință fie și coordonatele (x,y,z) față de sistemul de referință mobil.

Ca urmare pentru vectorii din relația:

(2.1)

se poate scrie:

; și

(2.2)

Dacă (i,i,i) sunt cosinuși directori ai axelor sistemului de referință mobil față de cel fix, adică:

; ;

; ;

; ; (2.3)

Atunci:

(2.4)

Dacă se înlocuiesc relațiile (2.4) și (2.5) în (2.1) rezultă prin identificarea coeficienților lui și:

x1 = x0 + 1x + 2y + 3z

y1 = y0+1x+2y+3z (2.5)

z1 = z0 + 1 x +2y + 3z

Se folosesc următoarele notații matriciale:

; ; (2.6)

(2.7)

Cu [R] s-a notat matricea rotațiilor sistemului de referință mobil față de cel fix.

Cu aceste notații relația vectorială (2.1), respectiv ecuațiile (2.5), se scriu:

{r1}= {r0}+[R]{r} (2.8)

Relația (2.8) rezolvă problema traiectoriilor dacă se cunoaște legea de mișcare a originii sistemului de referință mobil față de cel fix, adică funcțiile x0(t), y0(t), z0(t) și legile de variații ale cosinușilor directori, adică funcțiile i(t), i(t), i(t); i =1,2,3.

Observație:

Relația (2.8) se mai poate pune și sub forma:

(2.9)

unde I – este matricea unitate

Sau într-o reprezentare în coordonate omogene sub forma:

Sau:

(2.10)

2.3. Distribuția vitezelor

Viteza unui punct curent M al rigidului față de triedrul fix T1 rezultă prin derivarea relației (2.10):

(2.14)

unde: – este viteza punctului față de sistemul de referință fix;

– – reprezintă viteza originii sistemului de referință mobil față de cel fix. Adică:

(2.15)

Pentru calculul lui se are în vedere că x,y,z, coordonatele punctului M, în raport cu sistemul de referință mobil sunt constante, deci . Așadar:

(2.16)

sunt derivatele unor versori, adică ai unor vectori de mărime unitate și de direcție variabilă care, așa cum s-a văzut în cazul coordonatelor polare, sunt noi vectori rotiți cu în sensul de variație al unghiului lor de poziție.

Dacă se are în vedere că proiecția unui vector pe o axă de versor este dată de produsul scalar , atunci pentru și se poate scrie:

(2.17)

Sau:

(2.18)

Din relațiile (2.3) și (2.4) prin derivare rezultă că:

; ; (2.19)

; ; (2.20)

Din relațiile (2.19) rezultă că proiecțiile care apar în matricea pătrată pe diagonala principală sunt nule. Din relațiile (2.20) rezultă celelalte proiecții pe care le vom nota cu:

; ; (2.21)

Cu aceste relații (2.18) se scrie:

(2.22)

Atunci:

; ; (2.23)

Dacă se interpretează scalarii x,y,z drept componentele unui vector :

Rezultă că:

; ; (2.24)

deoarece

În mod analog se verifică și celelalte relații (2.24). Relațiile (2.24) se numesc formulele lui Poisson.

Cu aceasta rezultă că (2.16) se scrie:

Adică:

(2.25)

Prin urmare relația (2.15) se scrie:

(2.26)

Această relație dă distribuția de viteze în mișcarea generală a rigidului și este cunoscută sub numele de formula lui Euler pentru distribuția de viteze.

Formula lui Euler poate fi scrisă matricial astfel:

(2.27)

Sau dezvoltat:

(2.28)

Unde este matricea antisimetrică atașată vectorului .

2.3.1. Distribuția accelerațiilor

Dacă se derivează relația (2.27) în raport cu timpul, se obține accelerația unui punct curent al acestuia, adică:

(2.29)

Unde: – este accelerația originii sistemului de referință mobil.

– este accelerația unghiulară

Deoarece rezultă că relația (29) se scrie:

(2.30)

Relația (2.30) se numește formula lui Rivals pentru distribuția de accelerații în mișcarea generală a rigidului.

Relația (2.30) mai poate fi scrisă matricial sub forma:

(2.31)

Unde și sunt matricele antisimetrice atașate vectorilor și .

Relația (2.32) dezvoltată capătă forma:

(2.32)

2.3.2. Mișcarea de translație

Un rigid are mișcare de translație dacă o dreaptă oarecare a lui rămâne paralelă cu ea însăși tot timpul mișcării.

Pot fi translații rectilinii, circulare și oarecare (alte mișcări)

Un rigid în mișcare de translație în spațiu are trei grade de libertate, poziția lui fiind determinată de trei funcții scalare independente: ,,. Cum sistemele fix și mobil au fost alese cu axele paralele, rezultă că versorii ,, au direcții fixe.

va rezulta că: .

a) Studiul vitezelor

Plecând de la formula generală:

și ținând seama de relațiile și , se obține formula distribuției de viteze în mișcarea de translație:

(2.33)

adică, la un moment dat, toate punctele au aceeași viteză ca vector liber.

În mișcarea de translație, vectorul viteză este un vector liber.

b) Studiul accelerațiilor

Pornind de la formula generală:

.

și ținând seama de relațiile și , se obține formula distribuției de accelerații în mișcarea de translație:

(2.34)

adică, la un moment dat, toate punctele rigidului au aceeași accelerație ca vector, care este prin urmare în această mișcare un vector liber (fig. 2.3).

2.3.3. Mișcarea de rotație

Un rigid are mișcare de rotație dacă două puncte ale lui rămân fixe tot timpul mișcării. Cele două puncte fixe definesc axa mișcării de rotație.

Problema traiectoriei

-ec. parametrice ale traiectoriei (2.35)

Distribuția de viteze și accelerații

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Vectorii și se scriu:

(2.39)

(2.40)

În mișcarea de rotație vectorul are direcția axei de rotație, la fel și , ei sunt vectori alunecători.

a) Distribuția de viteze

(2.41)

(2.42)

(2.43)

Proprietăți:

singurele puncte de viteză nulă se găsesc pe axa de rotație.

vectorul viteză se găsește într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație vitezele sunt egale între ele.

pe o dreaptă perpendiculară pe axa de mișcării de rotație, vitezele variază proporțional cu distanțele de la punct la axa de rotație.

b) Distribuția de accelerații

(2.44)

(2.45)

Proprietăți:

singurele puncte de accelerație nulă se găsesc pe axa de rotație.

vectorii accelerație se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație accelerațiile au aceeași valoare.

pe o dreaptă perpendiculară pe axa mișcării de rotație, accelerația variază proporțional cu distanța de la punct la axa de rotație.

Observații:

mișcarea de rotație este uniformă dacă .

mișcarea de rotație este uniform variată dacă .

mișcarea de rotație este variată dacă .

turația ; viteza unghiulara când se cunoaște turația se determina astfel:

(2.46)

2.3.4. Mișcarea elicoidală

Un rigid are mișcare elicoidală dacă două puncte ale sale se găsesc tot timpul mișcări pe o dreaptă fixă din spațiu numită axa mișcării elicoidale.

Problema traiectoriei

(2.47)

Distribuția de viteze și accelerații

a) Distribuția de viteze

(2.48)

Proprietăți:

în mișcarea elicoidală nu există puncte de viteză nulă.

punctele de viteză minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, vitezele au aceeași valoare.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, vitezele variază liniar.

b) Distribuția de accelerații

(2.49)

(2.51)

Proprietăți:

în mișcarea elicoidală nu există puncte de accelerație nulă.

punctele de accelerație minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, accelerațiile au aceeași valoare.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, accelerațiile variază liniar.

Caz particular – mișcarea de șurub

Un rigid în mișcare elicoidală are mișcare de șurub dacă sunt îndeplinite condițiile:

(C→constantă) (2.50)

Rigidul are un grad de libertate și dacă la o rotație completă în jurul lui (∆) rigidul se deplasează pe (∆) cu un pas:

(2.51)

2.3.5. Mișcarea plan-paralelă

Un rigid are mișcare plan paralelă dacă trei puncte ale sale, necoliniare rămân tot timpul mișcării într-un plan fix.

Problema traiectoriei

(2.52)

Distribuția de viteze și accelerații

a) Distribuția de viteze

(2.53)

Proprietăți:

în mișcarea plan paralelă există puncte de viteză nulă; ele se găsesc pe o dreaptă perpendiculară pe planul mișcării. Punctul de viteză nulă din planul mișcării se numește C.I.R (centrul instantaneu de rotație) sau polul vitezelor și se notează cu I (ξ,η,ζ ).

(2.54)

distribuția de viteze în mișcarea plan paralelă este identică cu cea din mișcarea de rotație, ca și cum rigidul s-ar roti în jurul CIR-ului.

Se numește BAZĂ – locul geometric al centrului instantaneu de rotație față de sistemul de referință fix.

Se numește ROSTOGOLITOARE – locul geometric al centrului instantaneu de rotație față de sistemul de referință mobil.

Baza și rostogolitoarea sunt tangente în centrul instantaneu de rotație iar rostogolitoarea se rostogolește fără să alunece peste bază.

b) Distribuția de accelerații

(2.55)

(2.56)

Proprietăți:

în mișcarea plan paralelă există puncte de accelerație nulă. Punctul de accelerație nulă se numește polul accelerațiilor sau centrul instantaneu al accelerațiilor, notat cu J (u,v).

(2.57)

(2.58)

distribuția de accelerații în mișcarea plan paralelă este identică cu cea din mișcarea de rotație ca și cum rigidul s-ar roti în jurul polului accelerațiilor.

(2.59)

2.3.5.1. Metode pentru determinarea distribuției de viteze

a) Metoda CIR-ului

Metodă grafoanalitică ce se bazează pe proprietatea că distribuția de viteză arată ca o mișcare de rotație în jurul CIR-ului.

Necesități:

– să se cunoască mecanismul la scară (ke).

– să se cunoască viteza unui punct al rigidului ca vector.

– să se cunoască direcția vitezei unui alt punct al rigidului.

b) Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului vitezelor

(2.60)

→ viteza lui B față de A ca și cum A ar fi fix.

Planul vitezelor

Planul vitezelor se construiește ducând vectori echipolenți cu vectorii viteză ai punctelor rigidului dintr-un pol numit polul vitezelor.

2.3.5.2. Metode pentru determinarea distribuției de accelerații

Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului accelerațiilor

(2.61)

2.3.6. Mișcarea sferică

Un rigid are mișcare sferică dacă un punct al lui rămâne fix.

– unghi de nutație,

– unghi de rotație proprie,

– unghi de precesie

a) Distribuția de viteze

b) Distribuția de accelerații

2.4. Probleme rezolvate

Problema 2.4.1.

Se consideră placa dreptunghiulară OABC unde OA = BC = 3 m, AB = OC = 4 m, care se rotește în planul său, în jurul punctului O cu turația n 120 rot/min.

Se cere să se determine viteza și accelerația punctelor A, B, C, M.

Soluție:

Metoda I: .

m/s.

m/s.

m/s.

m/s.

( = const.)

Toate punctele considerate au numai accelerație normală, deoarece  = const.

Problema 2.4.2.

Se consideră rigidul din figura 2.19, la care se cunosc dimensiunile: OA = AB = 2l; O’B = O’C = care se rotește cu viteza unghiulară .

Se cere distribuția de viteze și accelerații.

Soluție:

.

Problema 2.4.3.

Paralelipipedul OABCDEFH din fig. 2.21, de laturi OA = 0,1 m, OC = 2 m, OD = 0,3 m, se rotește în jurul diagonalei OF după legea .

Se cere să se determine vitezele și accelerațiile punctelor A, B, C, D, E, G.

Soluție:

Pentru determinarea vitezelor se utilizează formula lui Euler: .

–

(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)

Pentru determinarea accelerațiilor se folosește formula lui Rivals.

(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)

.

.

Problema 2.4.4.

Pentru bara din figura 2.22, care rămâne tangentă la cercul de rază r, iar capătul O2 alunecă pe tangenta orizontală a cercului, se cer baza și rostogolirea mișcării.

Fig. 2.22.b

Proiectând punctul I pe axele fixe (O2x1y1) obținem ecuațiile parametrice ale bazei.

Eliminând parametrul rezultă ecuația bazei:

Proiectând punctul I pe axele mobile, obținem ecuațiile parametrice ale rostogolitoarei:

Eliminând parametrul se obține ecuația rostogolitoarei:

.

Problema 2.4.5.

Se consideră un mecanism format din 5 elemente articulate între ele ca în figura 2.23. Știm toate elementele geometrice (lungimi si unghiuri ) și, ca elementul conducător, OA se mișcă după legea ω = ω0 =cost.

Se cer: Distribuția de viteze și accelerații, folosind metoda planului de viteze și a planului de accelerații.

Fig. 2.23.

Soluție:

Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan-paralelă, elementul 3 are mișcare de rotație, elementul 4 are mișcare plan-paralelă, elementul 5 are mișcare de translație. (fig.2.24.a,b)

;

;

;

;

;

Problema 2.4.6.

Date: ω = ct; toate elementele geometrice. (fig. 2.25a)

Se cer:

;;;; ω2; ω3; ω4 = ?

;;;ε2; ε3; ε4 = ?

Fig. 2.25.

Soluție:

Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan-paralelă, elementul 3 are mișcare de rotație, elementul 4 are mișcare plan-paralelă, elementul 5 are mișcare de translație.

Fig.2.25a.

;

;

Fig.2.25b.

2.5. Probleme propuse

Problema 2.5.1.

Paralelipipedul OABCDEFG din figura 2.26 se rotește în jurul laturii OE după legea de variație . Se cunosc laturile paralelipipedului OA = 0,1 m; OC = 0,2 m, OE = 0,3 m.

Se cere să se determine:

a) = ? pentru t = 2s;

b) = ? pentru t = 2s;

c) distribuția de viteze pentru t = 2s.

d) distribuția de accelerație pentru
t = 2s.

Problema 2.5.2.

Se consideră mecanismul format din două bare articulate de lungimi O1A = l și AB = 2l (fig. 2.24), care se mișcă în plan, pozițiile lor la un moment dat fiind date de parametrii și . Se cere să se determine vitezele și accelerațiile punctelor A și B la momentul dat de parametrii
și .

Fig. 2.27.

Problema 2.5.3.

Se consideră un mecanism plan format din patru bare articulate (fig. 2.25). Se cunosc toate elementele geometrice (dimensiuni și unghiuri), precum și viteza elementului conducător .

Se cere să se determine distribuția de viteze și accelerații.

Fig. 2. 28

Problema 2.5.4.

Se dă mecanismul din figura 2.29 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 29

Se cer:

a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitezele unghiulare ale elementelor);

b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze;

c) Distribuția de accelerații cu metoda planului de accelerații.

Problema 2.5.5.

Se dă mecanismul din figura 2.30 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 30

Se cer:

a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitezele unghiulare ale elementelor);

b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze;

c) Distribuția de accelerații cu metoda planului de accelerații.

2.6. Mișcarea relativă a punctului material

(2.62)

Mișcarea Absolută – mișcarea punctului fată de sistemul de referință fix, traiectorie, viteză, accelerație.

Mișcarea Relativă – mișcarea punctului față de sistemul de referință mobil, traiectorie, viteză, accelerație.

Mișcarea de Transport – mișcarea punctului solidarizat cu sistemul de referință mobil, viteză, accelerație.

Derivata absolută sau locală a unui vector

(2.63)

(2.64)

– viteza unghiulară a sistemului de referință mobil.

Observații:

derivata absolută și relative a vectorului este identică.

Compunerea vitezelor și accelerațiilor în mișcarea relativă a punctului

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

– accelerația Coriolis, complementară

(2.75)

2.7. Probleme rezolvate

Problema 2.7.1.

Se consideră o culisă M care se deplasează pe cadrul OAB după legea . În același timp cadrul se rotește în jurul punctului O după legea . Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru culisa M.

Soluție: .

Mișcarea relativă: este reprezentată de mișcarea culisei. Ea este o mișcare rectilinie după legea .

Mișcarea de transport: este reprezentată de mișcarea culisei împreună cu cadrul, dacă încetează mișcarea relativă, deci este o mișcare circulară după legea , pe cercul de rază

Calculul vitezei absolute:

;

Calculul accelerației absolute:

Pentru a determina mărimea accelerației, se proiectează relația vectorială a accelerației absolute pe cele două axe de coordonate, ca în fig. 2.33d.

Problema 2.7.2.

Se consideră axul vertical O1O2 pe care se găsește o bară sudată de el și înclinată cu unghiul (fig. 2.34). Pe bară se află o culisă M ce se deplasează după legea . Culisa se rotește în jurul axei O1O2 după legea .

Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru punctul M.

Soluție:

Mișcarea relativă este reprezentată de mișcarea culisei M. Culisa are o traiectorie rectilinie după legea , mișcarea de transport este reprezentată de mișcarea culisei în jurul axului vertical O1O2 după legea .

Calculul vitezei absolute:

; ;

Calculul accelerației absolute:

Pentru a determina modulul accelerației se proiectează relația vectorială a accelerației:

Problema 2.7.3.

Un cadru dreptunghiular ABCD (AB=DC=l) se rotește cu , în jurul axei lagărelor AD (fig. 2.35). În același timp, pe latura CD un punct M cade liber cu accelerația g. Se cere viteza și accelerația punctului M.

Soluție: (fig. 2.35a)

;

;

;

;

Problema 2.7.4.

Un cadru ABCD, care are porțiunea BC semicirculară de rază R, se rotește cu ω1=const. în jurul axei lagărelor AD, generând o sferă. În același timp, pe porțiunea semicirculară a cadrului se mișcă un punct M, care se rotește cu ω2=const. în jurul lui O (fig. .a). Se cer viteza și accelerația punctului M.

Mișcarea relativă este mișcarea circulară a lui M cu viteza unghiulară ω2 pe un cerc de rază OM=R (pe cadru). Mișcarea de transport este mișcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază , centrul fiind O’, cu viteza unghiulară ω1. Mișcarea absolută este mișcarea M față de batiu.

Studiul vitezelor.

.

.

Viteza absolută ,

deoarece componentele sunt perpendiculare.

Studiul accelerațiilor.

Accelerația relativă are componentele:

Accelerația de transport are componentele:

Accelerația Coriolis este și are suportul perpendicular pe planul cadrului, sensul din figura 9.5.b și modulul

Accelerația absolută este și are modulul:

deoarece

2.8. Probleme propuse

Problema 2.8.1.

Pe cercul de rază R, care este sudat pe o bară în prelungirea diametrului (fig. 2.37), se rotește în planul său față de punctul O cu viteza unghiulară . Pe extremitatea cercului se mișcă un punct M după legea . Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.2.

Pe placa dreptunghiulară din fig. 2.38, se ală un punct material m ce se deplasează cu viteza . Placa se rotește după legea , . Se cunosc laturile dreptunghiului OA = BC = 0,4 m și OC = AB = 0,3 m.

Se cere: viteza și accelerația absolută a punctului M.

Problema 2.8.3.

Pe cadrul circular de rază R (fig. 2.39), se găsește un punct material ce se deplasează pe cadru după legea . Cadrul se rotește în jurul axei O1O2, după legea . Se cere: viteza și accelerația absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.4.

Un punct material se deplasează pe generatoarea conului din fig. 2.40, după legea , . Conul, cu unghiul la vârf 2α, se rotește în jurul axei sale cu viteza unghiulară , . Se cer viteza și accelerația absolută pentru punctul material.

Fig. 2.