CONF. DR. ING. MARIUS ADRIAN SPIROIU ABSOLVENT, MARIN GABRIEL-COSMIN Universitatea Politehnică din București Facultatea de Transporturi Departamentul… [304219]

[anonimizat]. MARIUS ADRIAN SPIROIU

ABSOLVENT: [anonimizat],

CONF. DR. ING. MARIUS ADRIAN SPIROIU

ABSOLVENT: [anonimizat]

3.1..Sistematizarea datelor experimentale…………………………………………………………………..

3.2. Analiza Pareto……………………………………………………………………………………………….

3.3. AMDEC…………………………………………………………………………………………………………….

CAPITOLUL IV Indicatori de fiabilitate………………………………………………………………………….

CAPITOLUL V [anonimizat]-Campo……………………………….

CAPITOLUL VI Estimarea modelului matematic al fiabilității…………………………………………

6.1. [anonimizat], exponențială………………….

6.2. Metoda regresiei……………………………………………………………………………………………………

6.3. Estimarea modelelor matematice ale fiabilității……………………………………………….

CAPITOLUL VII Validarea modelului matematic al fiabilității……………………………..

CONCLUZII……………………………………………………………………………………….

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………………..

ANEXE……………………………………………………………………………………………….

INTRODUCERE

Această lucrare își propune studierea prin mai multe analize a unui tren de marfă de tip EACS. Pentru a realiza o astfel de analiză avem nevoie de o evidență clară a vagoanelor care să cuprindă componentele defecte și momentul în care aceste defecte au apărut.

[anonimizat]. Mi-au fost de mare ajutor materialele bibliografice existente în Biblioteca Facultății de Transporturi.

Am beneficiat de sprijinul acordat de domnul conf. dr. ing. Spiroiu Marius pe toată perioada redactării lucrării.

Transportul feroviar presupune existența unei infrastructuri specifice. [anonimizat], [anonimizat], uzura lor morală fiind relativ lentă. [anonimizat], [anonimizat] privind natura defectărilor și cronologia producerii acestora în exploatare fiind în principiu mai ușor de obținut decât în cazul altor produse industriale.

Transportul feroviar de marfă realizează deplasarea bunurilor cu ajutorul mijloacelor de tracțiune (locomotive) și a celor tractate (vagoane de marfă). Circulația mărfurilor se relizează pe caile ferate. Transporturile feroviare se realizează regulat, în toate anotimpurile, ziua sau noaptea și dispun de o capacitate mare de transport.

Vehiculele feroviare se deplasează pe calea ferată care reprezintă o de construcție specială prin intermediul roților. Acestea trebuie să realizeze o serie de funcții uzuale, comune practic tuturor mijloacelor de transport terestre: susținerea pe verticală a vehiculului, rularea, propulsia și frânarea. Principala caracteristică particulară a vehiculelor de cale ferată, care le distinge de vehiculele rutiere, este faptul că se autoghidează prin forțele de contact dintre roți și șine, ceea ce conferă posibilitatea de a circula cu viteze mari într-o deplina siguranță și independent de condițiile atmosferice. Faptul că atât șinele cât și roțile sunt metalice, asigură vehiculului capabilitatea de a suporta sarcini mari, care asociată cu aceea de autoghidare, permite formarea convoaielor de vehicule cu tonaje ridicate, conferindu-se astfel sistemului feroviar o mare capacitate de transport.[1]

De asemenea, rezistența specifică redusă la înaintare datorita rostogolirii roților pe șine determină totodată un consum specific de energie pe unitatea transportată mult mai mic decăt la toate celelalte mijloace de transport terestre.

În special datorită acestor caracteristici tehnice, cu importantele avantaje economice pe care le conferă, sistemul roată – șină, calea ferată s-a impus continuu de la apariția sa, ajungând să constituie mijlocul de transport terestru, care are un mare potențial și constituie o modalitate de dezvoltare durabilă, in concordanță cu mediul a sistemului de transport. [1]

Fiabilitatea reprezintă capacitatea unui produs sau sistem tehnic de a avea o probabilitate mare de funcționare fară defectare. Pentru a stabili un nivel optim al fiabilitații trebuie obtinut un raport preț-calitate favorabil. O fiabilitate mai mare presupune apariția rară a unor defecte mici. Siguranța circulației feroviare presupune întreținerea, repararea și modernizarea infrastructurii existente, verificarea elementelor infrastructurii și a vechiculelor de cale ferată, dotarea cu echipamente si tehnologii moderne precum și organizarea de cursuri de perfecționare a propriului personal.

Ingineria fiabilității s-a dezvoltat din nevoia evitării unor catastrofe materiale dar mai ales a pierderilor de vieți omenești. În domeniul ingineriei feroviare se poate afirma că este un indicator indispensabil.

CAPITOLUL I

CONCEPTUL DE FIABILITATE

Fiabilitatea exprimă dorința beneficiarilor de a utiliza un produs sau sistem tehnic cat mai mult, adică timpul în care acesta este apt să îndeplineasca funcția pentru care a fost creat sa fie cât mai îndelungat.

Fiabilitatea este aptiudinea unui produs (sistem tehnic) de a îndeplini o funcție, o misiune sau un serviciu în condiții date, de-a lungul unei durate de timp precizate.

Un sistem tehnic este nefiabil nu doar în situația apariției unei defectări ci și în cazul în care parametrii de calitate ai misiunii, serviciului sau funcției îndeplinite nu se încadrează în limitele admisibile.

Fiabilitatea unui sistem tehnic nu este o caracteristică măsurabilă dar poate fi exprimată astfel: dacă T este variabila aleatoare reprezentând timpul după care survine defectarea (echipamentul funcționat fără defctare până la acel moment), fiabilitatea R(t) se exprima ca fiind probabilitatea de funcționare fără dectare în intervalul de timp (0, t):

R(t) = P(T>t),

deci, fiabilitatea este dată de probabilitatea ca momentul defectării să fie ulterior momentului de timp la care ne raportăm. [2]

Mentenabilitatea este caracteristica unui sistem tehnic de a putea fi rapid readus în stare de bună funcționare după o defectare.

Mentenabilitatea poate fi exprimată cantitativ într-un mod asemănător cu cel utilizat anterior în cazul fiabilității: dacă T este variabila aleatoare reprezentând timpul de restabilire a stării de bună funcționare după o defectare a unui sistem tehnic, mentenabilitatea M(t) se exprimă ca fiind probabilitatea de efectuare a reparației în intervalul de timp (0, t):

M(t) = P(T < t

deci mentenabilitatea este dată de probabilitatea ca momentul încheierii reparației să fie anterior momentului de timp la care ne raportăm.

Mentenanța reprezintă totalitatea activităților desfășurate de beneficiar în vederea menținerii sau restabilirii stării de bună funcționare a unui sistem tehnic.[2]

Experiența arată că de-a lungul vieții unui sistem tehnic costurile de exploatare depășesc cu mult costul de achiziție al acestuia. Întrucât fiabilitatea și mentenabilitatea influențează în mod decisiv costurile de exploatare, este important ca realizarea de echipamente cât mai sigure și cât mai ușor și mai rapid reparabile să reprezinte obiectivul principal al producătorului. [2]

Clasificarea fiabilității :

din punct de vedere al etapei de realizare:

fiabilitatea previzională – determinată pe baza considerentelor legate de concepția și proiectarea sistemului tehnic, precum și pe baza fiabilității elementelor (componentelor) sale în condiții de exploatare prescrise;

fiabilitatea experimentală (tehnică) – determinată experimental în laboratoare, pe standuri de probă sau stații de încercări fiind simulate condițiile din exploatare ;

fiabilitatea operațională (de exploatare) – demonstrată de sistemul tehnic în condiții reale de exploatare ;

din punct de vedere al modului de estimare:

– fiabilitatea nominală – prescrisă în standarde, norme tehnice sau inscripționată pe produs ;

– fiabilitatea estimată – determinată, cu un interval și un nivel de încredere pe baza datelor obținute fie experimental, prin încercări, fie prin observarea în exploatare a sistemului tehnic. [2]

CAPITOLUL II

PREZENTARE VAGON EACS

EACS – Vagon de marfă descoperit, autodescărcător, pe 4 osii (tip gondolă).

Transportă:

Mărfuri granuloase în vrac:- minereuri, carbune, cocs, produse de balastieră si carieră

Fier vechi, fontă veche, fontă în bucăți și deșeuri feroase și neferoase

Laminate diverse, a caror lungime minimă să depășească cel puțin trei trape ale vagonului

Material lemnos

Material pentru construcții:cherestea, prefabricate din beton (care nu necesită dispozitive speciale de fixare).

Fig. 2.1. Vagon de marfă descoperit și schita acestui tip de vagon

Tabel 2.1.

Tabel 2.2.

CAPITOLUL III

ANALIZA MODURILOR DE DEFECTARE

3.1 Sistematizarea datelor experimentale

Într-un studiu de fiabilitatea, în primul rând, trebuie să obținem date privind comportarea sistemului tehnic analizat. Aceste date pot fi obținute fie prin testarea, fie prin obervarea în exploatare a unui eșantion.

Pentru a fi relevante, datele experimentale trebuie să se refere la produse sau sisteme tehnice identice, puse în funcțiune la același moment de timp și având condiții de funcționare similare. Pentru efectuarea unui studiu de fiabilitate este necesară cunoașterea, pentru fiecare unitate în parte, a defectului înregistrat și a momentului producerii defectării, care poate fi exprimat, în funcție de tipul sistemului tehnic, în ore de funcționare, kilometri parcurși.[3]

Aceste date trebuie să fie apoi sistematizate, fiind necesară ordonarea, clasificarea, gruparea și reprezentarea lor grafică. Sistematizarea datelor trebuie să permită punerea în evidență a frecvenței diferitelor moduri de defectare, a repartiției lor în timp, dar și să constituie o bază pentru etapele ulterioare ale studiului. [3]

Datele experimentale sistematizate se prezintă sub formă grafică, modurile de reprezentare cel mai des folosite fiind diagrama cu bare, histograma si poligonul frecvențelor.

Această analiză a modurilor de defectare ale vagonului de tip EACS a fost facută pe baza unor date reale din exploatare, pe o perioada de observație de doi ani.

Tipuri de defecte și numărul de apariții

Tabel 3.1.

Sortare după tipul defectului

Fig. 3.1.

În graficul 1 sunt prezentate defectele vagoanelor si numărul de apariții ale acestora pe întreaga perioadă de observare.

Sortare după timpul în care au apărut defectele

Fig. 3.2.

În graficul 2 este reprezentat numărul defectelor care au apărut în timp pe o durată de 2 ani exprimată în intervale de 30 de zile. Se poate observa o rată redusă a vagoanelor ce prezintă defecte în primul an de observare în timp ce în al doilea an numărul vagoanelor defecte este considerabil mai mare.

Sortare după defectele care aparțin boghiului

Fig. 3.3.

În acest grafic sunt reprezentate defectele vagoanelor care țin de boghiu și de subansamblurile acestuia. Datele sunt ordonate în funcție de numărul de apariții al defectelor.

Sortare după timpul în care au apărut defectele boghiului

Fig. 3.4.

Graficul prezintă numărul defectelor boghiului care au apărut în timp pe o durată de 2 ani exprimată în intervale de 30 de zile. În primul an se observă un număr redus de defecte față de al doilea an.

Sortare după defectele cutiei

Fig. 3.5.

În grafic sunt reprezentate numărul și tipul defectelor care au apărut la nivelul cutiei vagoanelor.

Sortare după timpul în care au apărut defectele cutiei

Fig. 3.6.

Graficul prezintă apariția pe o periadă de 2 ani a defectelor cutiei vagoanelor. În primele 300 de zile se observă că niciun vagon nu a prezentat defecte la nivelul cutiei.

Sortare după defectele osiei

Fig. 3.7.

În grafic se observă tipul și numărul defectelor care au apărut la nivelul osiei.

Sortare după timpul în care au apărut defectele osiei

Fig. 3.8.

Numărul vagoanelor ce prezintă defecte la osie reprezentate în intervale de 30 de zile.

3.2. Analiza Pareto

Principiul Pareto (cunoscut de asemenea ca regula 80/20 sau legea celor puțini dar critici) prevede că, pentru multe evenimente, aproximativ 80% din efecte sunt produse de 20% din cauze.

Joseph M. Juran a fost cel care a propus principiul și l-a denumit după economistul italian Vilfredo Pareto, care a remarcat legătura 80/20 pe când activa la Universitatea din Lausanne⁠, în 1896, și a publicat-o în prima lui lucrare, „Cours d'economie politique”. În esență, Pareto arăta că aproximativ 80% din suprafața Italiei, era deținută de 20% din populație; Pareto a dezvoltat principiul observând că aproximativ 20% din păstăile de mazăre din grădina lui produceau 80% din recoltă.

Este o regulă generală⁠ frecvent utilizată în domeniul afacerilor; de exemplu, „80% din vânzări provin de la 20% din clienți”. Din punct de vedere matematic, regula 80/20 este aproximativ urmată de o distribuție a legii puterii⁠ (cunoscută și ca distribuția Pareto⁠) pentru un anumit set de parametri, și s-a demonstrat empiric că multe fenomene naturale prezintă o astfel de distribuție.

Principiul Pareto este doar tangențial legat de eficiența Pareto. Pareto a dezvoltat ambele concepte în contextul distribuției veniturilor⁠ și a bogăției în rândul populației. [4]

Fig. 3.9.

Fig. 3.10

Fig. 3.11.

Fig. 3.12

În toate graficele am aplicat principiul Pareto pentru a exemplifica defectele vagoanelor cât și pentru subansamblurile acestora (boghiu, osie și cutie). Se poate observa că în toate aceste analize principiul Pareto este valabil și 80% din efecte fiind produse de 20% din cauze.

3.3. Analiza Amdec

Metoda AMDEC este un instrument de baza în managementul proiectelor, al mentenanței și în cel al calității totale.

AMDEC pote fi întreprinsă în orice etapă a proiectării, dezvoltării, omologării, fabricării și exploatării unui produs.

Dezvoltarea metodei AMDEC a dus la crearea unor seturi de instrumente pentru analiza preventivă sistematică cu grad foarte mare de aplicabilitate.

În practică s-a demonstrat că costurile pentru corectarea unui defect nedetectat într-o etapă anterioară cresc de 10 ori de la un stadiu de implementare la altul.

Principala contributie a metodei AMDEC este aceea ca descrie un defect pe baza unui indice de criticitate (C), luând în considerare toate riscurile. Pentru defectul unui component particular, criticitatea este evaluata în functie de riscurile sociale: riscul pentru utilizator, riscul comercial, riscul financiar, se pot stabili chiar ierarhii de riscuri. Ca urmare, criticitatea defectului se va aprecia cu ajutorul urmatoarei relatii:

C = PxGxD

Dificultatea consta în aprecierea corecta a factorilor P, G, D, pentru aceasta trebuind a fi consultat întregul istoric de date al mentenantei. Modalitatea de calcul a criticitatii devine însa relativ simpla, mai ales ca se va recurge la fise tipizate AMDEC.

Metoda AMDEC este extrem de eficace când este aplicată în analiza defectărilor simple ale elementelor ce conduc la defectarea globală a sistemului. Datorită caracterului sistematic și a rețelei de studiu fin, metoda constituie un instrument prețios de identificare a defectărilor potențiale și a mijloacelor de limitare a efectelor și a probabilității de producere.

Scopul aplicării metodei AMDEC îl reprezintă identificarea acțiunilor corective ce trebuie aplicate pentru ameliorarea unui sistem, pe baza unei triplete: cauză – mod de defectare – efect. Metoda AMDEC este extrem de eficace când este aplicată în analiza defectărilor simple ale elementelor ce conduc la defectarea globală a sistemului. Datorită caracterului sistematic și a rețelei de studiu fin, metoda constituie un instrument prețios de identificare a defectărilor potențiale și a mijloacelor de limitare a efectelor și a probabilității de producere.

Analiza AMDEC, prin aspectele funcționale și structurale caracteristice metodologiei sale, se prezintǎ ca o metodǎ de analizǎ a riscurilor care ar putea fi integratǎ în cadrul unui Diagnostic de Securitate. Pentru realizarea acestei analize am ales note de la 1 la 4 pentru parametrii ( gravitate, probabilitate, detectabilitate) si modul in care am atribuit notele in functie de acesti parametrii.

Tabel 3.2.

Observăm că nivelul de criticitate cel mai ridicat este prezent la următoarele defecte: saboți uzați, etieră de siguranță ruptă și pene portsabot neconforme. Aceste defecte aparțin boghiului în special sistemului de frânare afectând în mod direct siguranța circulației.

CAPITOLUL IV

INDICATORI DE FIABILITATE

Indicatorii de fiabilitate se determină prin prelucrarea datelor experimentale rezultate din observarea funcționării unui lot (eșantion) de echipamente identice, exploatate sau încercate în condiții similare. Se consideră efectuarea unui test complet, desfășurat până la defectarea tuturor unităților eșantionului.

Valorile teoretice considerate valori adevărate, ale indicatorilor de fiabilitate se obțin doar considerând toate produsele de același tip. În situația în care se studiază doar eșantioane ale produselor, ca în cazul de față, se obțin estimații ale valorilor teoretice ale indicatorilor de fiabilitate.

Se notează cu n(t) numărul de produse identice aflate în stare de bună funcționare după scurgerea unui timp t de la punerea lor în funcțiune. Numărul total de produse observate sau testate este dat de numărul inițial de produse, puse în funcțiune la momentul t = 0, adică n(0).

Funcția de fiabilitate R(t) se definește ca o probabilitate de bună funcționare în intervalul de timp (0, t), care se exprimă prin raportul dintre numărul de produse care au funcționat fără defectare până la momentul t și numărul total de unități supuse testării:

, (4.1)

T fiind variabilă aleatoare care reprezintă timpulîn care produsul funcționează bine până la defectare.

Funcția de defectare F(t) se definește ca o probabilitate de defectare în intervalul de timp (0, t):

.

Întrucât buna funcționare și defectarea sunt evenimente contrare, între funcția de fiabilitate și funcția de defectare există relația:

,

de unde rezultă:

, (4.2)

astfel, funcția de defectare se exprimă prin numărul de unități care s-au defectat până la momentul t raportat la numărul total de produse.

Densitatea de probabilitate a defectărilor f(t) se definește ca raportul dintre probabilitatea de defectare într-un interval de timp și mărimea intervalului considerat:

.

Probabilitatea de defectare în intervalul este:

rezultând

. (4.3)

Cu relația (4.3) se determină valoarea medie a densității de probabilitate a defectărilor în intervalul de mărime t. Pentru a obține valoarea instantanee se trece la limită:

.

Rata de defectare (t) (rata defectărilor), numită uneori și intensitatea de defectare, se definește prin probabilitatea ca un produs aflat în stare de bună funcționare la momentul t să se defecteze în intervalul (t, t+t), raportată la mărimea intervalului considerat:

. (4.4)

Numărătorul expresiei (4.4) constituie o probabilitate condiționată care se scrie, ținând cont și de faptul că P(T > t) = R(t),

Deci

, (4.5)

aceasta fiind expresia ratei medii de defectare în intervalul de mărime t ; și în acest caz, valoarea instantanee se obține în situația unui interval elementar de timp:

.

Indicatorii de mai sus au fost prezentați făcându-se referire la timpul de funcționare, aceasta fiind situația cea mai frecventă. În funcție de tipul sistemului tehnic analizat, timpul de funcționare poate fi înlocuit cu numărul de kilometri parcurși sau numărul de cicluri de funcționare.

Pentru analiza de față, valorile indicatorilor de fiabilitate se estimeaza pe baza datelor experimentale ordonate si grupate in clase (intervale de 30 zile). Numărul k de clase se poate determina utilizând una dintre relațiile (1.1),(1.2). Se notează cu ti limitele acestor clase. Astfel, limita inferioară a intervalului i este ti-1, cea superioară ti . Pentru primul interval, având ca limite t0 și t1, se consideră t0=0.

Fiind cunoscut numărul de defectări survenite în fiecare interval de grupare (ri ), se deduce cu ușurință numărul de unități în stare de bună funcționare la orice moment de timp ti , adică la sfârșitul fiecărui interval i :

Valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate se calculează, pentru fiecare interval în parte, cu relațiile:

; (4.6)

; (4.7)

; (4.8)

. (4.9)

În cazul densității de probabilitate a defectărilor f(t) și a ratei defectărilor (t) se pot estima doar valorile medii pe intervale, nu și cele instantanee.

În situația – întâlnită în cele mai multe dintre cazuri – în care perioada de observare este împărțită în clase de aceeași amplitudine (mărimea intervalelor este identică și egală cu t ) formulele (4.8) și (4.9) devin:

(4.10)

respectiv

. (4.11)

Rezultatele obținute prin aplicarea relațiilor (4.6) … (4.11) se centralizează astfel:

Tabel 4.1.

Valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate se reprezintă grafic:

Fig. 4.1.

Se observa ca functia de fiabilitate R(t) este aproximativ constanta in primul an în timp ce în al doilea an scade rapid iar functia F(t) ne arata că întradevar probabilitatea de defectare in al doilea an este mult mai mare decat în primul an.

Fig. 4.2.

Deoarece în primul an nu s-au observat modificari majore a valorilor functiilor de fiabilitate R(t) si de defectare F(t) am refacut aceasta analiza doar pentru al doilea an.

Fig. 4.3.

Fig. 4.4.

CAPITOLUL V

EVALUAREA TIPULUI DE UZURA – METODA BARLOW-CAMPO

Uzarea este un proces progresiv care alterează caracteristicile calitative legate de forma, dimensiunile și structura internă a elementelor, ducând în timp la defectarea sau la funcționarea defectuoasă, în afara limitelor admise ale parametrilor de calitate. Experiența arată că uzura este cauza cea mai frecventă a defectărilor.

Procesul de uzare se manifestă diferit în cele trei etape ale vieții echipamentelor: în perioada de rodaj uzura progresează rapid, în perioada de bază viteza de uzare atinsă la sfârșitul perioadei de rodaj se menține aproximativ constantă (uzura evoluează lent), iar în perioada finală uzura progresează din nou foarte rapid.

Viteza de uzare depinde, în general, de caracteristicile calitative ale elementelor și de solicitările, active și pasive, suportate de acestea. Durata de viață a unui element depinde atât de viteza de uzare cât și de nivelul admisibil al uzurii pentru elementul respectiv.

Uzura poate evolua mai rapid în cazul unor deficiențe de proiectare sau de execuție ale sistemului tehnic sau în situația în care exploatarea și mentenanța acestuia nu se desfășoară în conformitate cu indicațiile producătorului.

Uzarea este un proces inevitabil, dar consecințele sale din punct de vedere al fiabilității sistemelor tehnice pot fi limitate, chiar eliminate, prin înlocuirea preventivă a elementelor afectate de uzură. Se au în vedere în primul rând elementele a căror defectare ar avea consecințe economico-sociale grave; de exemplu, este inadmisibilă căderea unui element implicat în realizarea siguranței circulației unui vehicul de cale ferată sau depășirea limitelor prescrise ale uzurii acestuia; în aceste cazuri nu se va aștepta defectarea cauzată de uzură ci se va înlocui preventiv elementul în cauză.

Prin efectuarea corespunzătoare a reviziilor periodice la intervale de timp adecvate, cu programarea înlocuirii elementelor aflate spre sfârșitul perioadei principale de funcționare, un sistem tehnic nu mai este afectat de uzură, el acuzând doar defectări accidentale. O strategie de acest tip este absolut necesară în cazul vehiculelor de cale ferată, ele fiind produse complexe, cu durată mare de utilizare, pentru care o defectare în timpul serviciului (în parcurs) constituie un eveniment cu implicații economice și sociale importante, în cel mai bun caz fiind afectată calitatea serviciului, iar în cel mai rău caz urmările pot fi catastrofale.

Din punct de vedere al fiabilității, prin uzură se înțelege orice modificare în timp a caracteristicilor de fiabilitate, în sensul îmbunătățirii sau înrăutățirii acestora.

Metoda Barlow-Campo este un procedeu grafic ce permite identificarea tipului de uzură a unui element sau sistem tehnic. Metoda utilizează timpul total de funcționare, mai exact dependența acestuia de probabilitatea de defectare F. Astfel, definind funcția:

, (5.1)

unde tF este cuantila timpului de funcționare, se observă că numitorul acesteia este media timpului de bună funcționare MTBF, iar numărătorul reprezintă media timpului de funcționare până la momentul tF (până la atingerea valorii F a probabilității de defectare).

Metoda Barlow-Campo utilizează reprezentarea grafică a funcției T(F), reprezentare cunoscută sub numele de diagrama Barlow-Campo.

Pentru cazul concret al unui eșantion alcătuit din n unități (identice) pentru care se cunosc timpii de funcționare până la defectare, ordonați crescător:

,

funcția (5.1) devine:

. (5.2)

În expresia (5.2), probabilitatea de defectare a fost estimată prin raportul dintre numărul de unități defectate la un moment dat – r și numărul lor total – n; TTFr reprezintă timpul total de funcționare până la cea de-a r-a defectare, având deci expresia timpului total de funcționare din cazul testelor cenzurate:

, (5.3)

iar TTFn este timpul total de funcționare până la defectare al celor n unități ale eșantionului:

. (5.4)

Dând lui r valori între 1 și n și trasând curba ce trece prin punctele [r/n, TTFr/TTFn] se obține diagrama Barlow-Campo (figura 5.1). De remarcat este că, întrucât valorile maxime ale lui r și TTFr sunt n, respectiv TTFn, graficul T(F) este cuprins într-un pătrat având latura egală cu unitatea.

În figura 5.1. se prezintă cele trei forme posibile ale graficului obținut prin metoda Barlow-Campo. Concavitatea sau convexitatea curbei indică tipul de uzură: pozitivă, pentru o rată a defectărilor crescătoare în timp sau negativă, pentru o rată a defectărilor descrescătoare în timp. Dacă graficul obținut este o dreaptă, aceasta indică lipsa uzurii (rata defectărilor este constantă).

Întrucât forma curbei precizează caracterul (monotonia) ratei defectărilor, diagrama Barlow-Campo este utilă și din punct de vedere al identificării modelului statistic al fiabilității adecvat datelor experimentale și poate chiar oferi indicii privind mărimea parametrilor acestuia.

Estimarea valorilor principalilor indicatori de fiabilitate prin metoda neparametrică, pe baza datelor experimentale. Indicatorii se determină prin prelucrarea datelor experimentale rezultate din observarea funcționării unui lot (eșantion) de echipamente identice, exploatate sau încercate în condiții similare. Se consideră efectuarea unui test complet, desfășurat până la defectarea tuturor unităților eșantionului.

Fig. 5.2

Fig. 5.3

Fig. 5.4

Fig. 5.5

Fig. 5.6.

Fig. 5.7

CAPITOLUL VI

ESTIMAREA MODELULUI MATEMATIC AL FIABILITĂȚII

Repartiția exponențială este, din punct de vedere cronologic, prima repartiție utilizată intensiv în cadrul teoriei fiabilității. Caracteristica sa fundamentală este constituită de o rată a defectărilor constantă (independentă de timp), ceea ce conduce la expresii foarte simple din punct de vedere matematic ale indicatorilor de fiabilitate. Datorită acestei particularități (=ct.), repartiția exponențială este utilizabilă atunci când se poate neglija efectul uzurii, în perioada de bază a vieții de serviciu a sistemelor complexe având în componență elemente eterogene, caracterizate de rate diferite ale defectărilor.

funcția de fiabilitate în cazul repartiției exponențiale are expresia:

.

Funcția de defectare este dată de relația :

.

Media timpului de bună funcționare este :

, (6.1.1.)

deci

.  (6.1.2.)

6.1. Repartiții probabilistice utilizate în studiul fiabilității – Weibull, exponențială

Repartiția a fost propusă de către suedezul Weibull ca o alternativă la repartiția exponențială, care – din cauza presupunerii unei rate constante a defectărilor – nu modela cu suficientă precizie legile de defectare în toate situațiile, în unele cazuri realizând doar o aproximare grosolană a realității.

Modelul probabilistic Weibull este caracterizat de o rată a defectărilor variabilă în timp, fiind adecvat în special pentru modelarea legilor defectărilor cauzate de uzură și îmbătrânire.

. (6.1.3.)

Relația de mai sus constituie expresia fiabilității în cazul modelului Weibull biparametric; în cazul cel mai general legea Weibull a fiabilității este triparametrică :

, (6.1.4.)

în care:

 este parametrul de locație ;

 – parametrul de scală ;

 – parametrul de formă.

6.2. Metoda regresiei

Regresia constituie o metodă de cercetare a dependenței între mai multe variabile, dintre care una – Y – este variabilă dependentă, iar celelalte (Xi , i=1,2,…, n) sunt variabile independente, Y fiind deci corelată cu toate variabilele Xi,.

Modelul matematic ce descrie legătura dintre Y și Xi , dat de forma funcției f, poate fi liniar sau neliniar (parabolic, hiperbolic, exponențial, etc.). Regresia liniară presupune o dependență de forma:

, (6.2.1.)

ai fiind coeficienții de regresie.

Dintre modelele neliniare, o importanță aparte din punct de vedere al analizei fiabilității o are modelul exponențial, caracterizat de o ecuație de regresie de forma:

.

Pentru o pereche de valori (xi,, yi) această abatere este:

Suma pătratelor celor n abateri este:

. (6.2.2.)

Condiția de minimizare a expresiei (8.6) conduce la un sistem de ecuații prin a cărui rezolvare se obțin valorile coeficienților a0 și a1 care minimizează pe D :

Prin rezolvarea sistemului rezultă:

; (6.2.3.)

, (6.2.4.)

unde

; . (6.2.5.)

6.3. Estimarea modelelor matematice ale fiabilității

Valorile teoretice (reale), numite și valori adevărate, ale indicatorilor de fiabilitate sau ale parametrilor legii de repartiție ce modelează defectarea unui element sau sistem tehnic se obțin doar în situația în care se consideră întreaga populație, adică totalitatea unităților de același tip. De asemenea, nici o presupunere făcută asupra modelului statistic al fiabilității pentru sistemul tehnic analizat nu poate fi certificată decât în situația în care populația este testată integral.

Prin eșantion se înțelege deci o subpopulație asupra căreia se aplică metodele statistice în scopul de a trage concluzii asupra întregii populații.

Datele empirice rezultate în urma observării eșantionului (eșantioanelor) reprezintă însă doar o parte din mulțimea valorilor posibile (corespunzătoare întregii populații), astfel că valorile indicatorilor de fiabilitate sau ale parametrilor legii de repartiție obținute prin prelucrarea statistică a acestor date nu coincid, în general, cu cele teoretice, ce caracterizează populația. Valorile unui parametru oarecare, determinate prin prelucrarea datelor empirice obținute prin observarea mai multor eșantioane, diferă de la un eșantion la altul. Fiind determinate pe baza unor date experimentale aleatoare, aceste valori se distribuie aleator în jurul valorii adevărate conform unei legi proprii de repartiție.

Prin urmare, valorile unui parametru obținute prin observarea eșantioanelor constituie doar estimații ale valorilor teoretice.

Prin ESTIMARE se înțelege evaluarea parametrilor necunoscuți ai unei populații pe baza unui sondaj statistic.

Estimarea indicatorilor de fiabilitate se poate face prin:

metode neparametrice, în cadrul cărora nu se face apel la legea de repartiție a timpului de bună funcționare (nu este necesară cunoașterea acesteia);

metode parametrice, în cadrul cărora se face apel la legea de repartiție a timpului de bună funcționare (este necesară cunoașterea acesteia).

Estimarea se poate realiza:

punctual;

cu interval de încredere.

Estimarea punctuală a unui parametru sau a unui indicator constă în determinarea unei valori izolate a parametrului sau indicatorului respectiv, pe baza datelor experimentale.

Estimarea cu interval de încredere a unui parametru sau a unui indicator constă în determinarea unui interval în interiorul căruia se află, cu o probabilitate dată, valoarea adevărată, teoretică, a parametrului sau a indicatorului estimat.

CAPITOLUL VII

VALIDAREA MODELULUI MATEMATIC AL FIABILITĂȚII

Testarea concordanței dintre repartiția empirică și cea normală prin calculul parametrilor statistici, verificarea proprietăților repartiției teoretice normale și aplicarea testului de concordanță Kolmogorov-Smirnov.

Testul Kolmogorov-Smirnov este un test „de distanță”, utilizând drept criteriu abaterea maximă a funcției de repartiție empirice față de funcția de repartiție teoretică presupusă. Testul este aplicabil indiferent de tipul repartiției teoretice și el impune parcurgerea următoarelor etape:

datele experimentale se ordonează crescător și se repartizează în clase (intervale);

se determină valorile funcției de repartiție empirice (ca frecvență relativă cumulată) și ale funcției de repartiție teoretice pentru cele k limite ale claselor xi ;

se identifică abaterea maximă a funcției de repartiție empirice față de funcția de repartiție teoretică:

; (4.9)

se ia decizia:

dacă

, (4.10)

se acceptă ipoteza potrivit căreia repartiția teoretică este adecvată datelor empirice;

dacă , ipoteza se respinge.

Pentru verificarea condiției (4.10) se utilizează valorile tabelate ale lui K() și 

Am ales =2.4 si am verificat modelul probabilistic Weibull cat si cel exponential.

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

Tabel 1

Tabel 2

Tabel 3

Tabel 4

Tabelul 5

Tabelul 6