O ABORDARE METODICĂ A STUDIULUI UNOR FENOMENE PERIODICE [302578]

[anonimizat]-NAPOCA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

O ABORDARE METODICĂ A [anonimizat]. univ. dr. BLAGA CRISTINA

Candidat: [anonimizat] 2017-2019

Introducere

Moto: ” Statistical thinking will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write”

H.G.[anonimizat] a clasamentului WTA. Simona Halep a câștigat în trei seturi (3-6, 6-4, 6-1) finala împotriva sportivei Sloane Stephens. [anonimizat]:

Rezultatele la examenul de Evaluare Națională 2018, matematică, Colegiul Național “Inochentie Micu Clain” Blaj, clasa a VIII-a B:

Tabel 1: Rezultate EN matematică 2018

media clasei: 6,31 (incluzând elevii cu CES) sau 6,82 (fără elevii cu CES).

Comparativ, [anonimizat], la aceeași clasă:

Tabel 2: [anonimizat]: 4,67 (incluzând elevii cu CES) sau 5,07 (fără elevii cu CES).

Evoluția cursului valutar în perioada 20.06.2017-20.06.2018

În luna mai 2016 temperatura maximă medie a fost de 20oC, iar temperatura minimă medie a fost de 8oC, în luna mai 2017, în medie s-au înregistrat temperaturi de 21oC respectiv 10oC, luna mai a anului 2018 fiind mai călduroasă cu 5oC la temperaturile mari (o medie de 25oC) respectiv 1oC la temperaturile joase (o medie de 11oC). Ca nivel de precipitații luna mai a anului 2018 a [anonimizat], în medie 1,6 zile cu precipitații față de 2016 când s-[anonimizat], 3,5 zile cu precipitații.

Punctul comun al exemplelor de mai sus este analiza fenomenelor date din punct de vedere statistic:

O imagine matematică a [anonimizat], pentru abordarea jocurilor următoare cu respectiva jucătoare.

Notele luate de către elevi la EN reflectă evoluția lor în decursul celor 4 [anonimizat], precum și pentru imaginea școlii.

Evoluția cursului valutar ne afectează zi de zi prin variația prețurilor și prin variația inflației. Reflectând stabilitatea economiei și a pieței, [anonimizat], pentru salariați.

[anonimizat]. [anonimizat]: [anonimizat], diferențe foarte mari de temperatură de pe o zi pe alta. Comparând evoluția temperaturilor și a precipitațiilor din luna mai pentru ultimii 3 ani se poate observa o creștere semnificativă a temperaturilor (temperatura maximă având o medie mai mare cu 5oC decât acum 3 ani) precum și o scădere accentuată a precipitațiilor.

Toate aceste exemple sunt doar câteva din totalitatea fenomenelor modelate prin statistică. [anonimizat], [anonimizat] o imagine matematică asupra fenomenelor naturale și sociale.

Prezenta lucrare prezintă o abordare statistică a fenomenelor periodice, cu accent pe activitatea solară. Fizica Soarelui reprezintă o ramură importantă a astrofizicii, Soarele fiind cea mai apropiată stea ea joaca un rol important in studiul evoluției stelare. Activitatea Soarelui este monitorizată zilnic, fiind urmărită și studiată îndeaproape. Există o legătură strânsă între activitatea solară și schimbările climatice resimțite pe Pământ.

Lucrarea este structurată pe trei capitole astfel: Capitolul I conține o descriere generală a Soarelui și a petelor solare precum și noțiuni despre ciclul solar și modul în care activitatea Soarelui afectează viața pe pământ.

Capitolul II este rezervat cercetării. Prima și a doua parte a capitolului conțin noțiuni introductive de statistică descriptivă: reprezentarea și interpretarea datelor provenite din diverse fenomene, cu ajutorul graficelor și a indicatorilor statistici. Fiecare noțiune teoretică este însoțită de exemple practice, paragrafele fiind încheiate cu probleme propuse. În partea a treia a capitolului se pune accent pe fenomene periodice—serii cronologice, cu aplicații la ciclurile solare. Plecând de la înregistrarea și reprezentarea datelor pe perioade scurte (compararea evoluției activității solare pe parcursul a două luni) am introdus și analizat datele ultimului ciclu solar și, comparativ a ultimelor cinci cicluri solare. Folosind metodele specifice seriilor de timp, de la stabilirea trendului și până la ajustarea datelor, am ales să folosesc programul Office EXCEL, fiind predat și folosit în școli. Capitolul II se încheie cu corelarea datelor ultimului ciclu solar cu două predicții ale acestui ciclu.

Capitolul III este rezervat abordării metodice a seriilor cronologice și a instrumentelor statistice. După o prezentare teoretică a diferitelor strategii moderne de predare-învățare, am prezentat un plan de lecție care poate fi aplicat atât la nivelul clasei a VII-a cât și la nivelul clasei a VI-a, fiind aplicație la măsuri de unghiuri, estimări, distanțe, în același timp studiind evoluția în timp a unui fenomen real. Pentru evaluare am propus un test la nivelul clasei a VI-a, unitatea de învățare Rapoarte și proporții—Elemente de organizare a datelor, test ce respectă programa școlară în vigoare. De asemenea, având în vedere numărul tot mai mare a elevilor cu dificultăți în învățare, având nevoie de adaptări curriculare, testul l-am adaptat astfel încât să poată fi aplicat pentru adaptare curriculară la nivelul clasei a V-a. Unitatea de învățare propusă urmărește programa clasei a X-a la capitolul de Statistică și probabilități, profil socio-umane.

Lucrarea conține un număr de 40 de probleme propuse, probleme care pot fi folosite fie la unitățile de învățare dedicate studiului statistic, cât și aplicații ale programului Office Excel. Problemele abordează teme din diverse domenii de cercetare, tocmai pentru a evidenția aplicabilitatea statisticii matematice. Nu am considerat necesară o anexă cu rezultatele aferente exercițiilor, acestea fiind aplicații directe ale părților teoretice.

I. Activitatea solară și influența ei asupra Pământului

Principala sursă de energie a Sistemului Solar este Soarele. Studierea Soarelui a început din cele mai vechi timpuri, Soarele fiind sursa principală a apariției și existenței vieții. Soarele a reprezentat în multe culturi divinitatea într-un fel sau altul, deși nu era considerat ca fiind centrul Sistemului Solar, ci rotindu-se în jurul Pământului (sistemul geocentric). Primele observații ale mișcării aparente ale Soarelui s-au concretizat în apariția primelor forme de măsurare a timpului, prin construcții megalitice descoperite pe toate continentele. Deși primele însemnări despre petele solare apar în scrierile chinezești datând cu 4 secole înainte de Cristos, în Europa Soarele era considerat obiectul ceresc perfect. În 1543 Nicolas Copernicus a fost primul care a propus modelul heliocentric, punând Soarele unde îi este locul, în centrul Sistemului Solar. Primele observații la Soare, făcute cu un instrument astronomic, sunt observațiile făcute de Galileo Galilei și Thomas Harriot, care în jurul anului 1612 au făcut primele consemnări ale petelor solare.

Figură 3: Desene ale petelor solare realizate de Galileo Galilei

I.1. Structura Soarelui

Soarele este o stea de mărime medie—pitică galbenă, având clasa spectrală GII, cuprinzând 99,8% din masa întregului Sistem Solar. Aflat la o distanță de 149,6x106km (1 unitate astronomică) față de Pământ, diametrul Soarelui este de 1,39x106km, iar masa sa este de aproximativ 1,989x1030kg.

Începând cu anul 1990 studiul Soarelui s-a amplificat odată cu primele misiuni spațiale pentru observarea Soarelui. Astfel s-a putut determina structura Soarelui, de la nucleu până la straturile exterioare:

Figură 5: Structura Soarelui, credit NASA/Jenny Mottar

Nucleul este zona cea mai fierbinte din Soare, aici având loc reacții termonucleare. Radiația produsă aici este trimisă spre straturile exterioare prin zona radiativă, zonă care este traversată în aproximativ 170000 ani.

Straturile exterioare ale Soarelui, vizibile prin observații directe, încep cu fotosfera. Având o grosime de aproximativ 500 km, fotosfera principalul emitent al energiei solare pe care o primim. Temperatura fotosferei variază între 6400K și 4400K către suprafață. Următorul strat care este direct observabil este cromosfera. Având o grosime de aproximativ 2500km, în cromosferă temperatura crește din nou ajungând până la 20000K. Ultimul strat al atmosferei Soarelui îl reprezintă corona solară care se întinde la câteva raze solare, temperatura aici fiind extrem de mare, ajungând până la 2000000K. Cromosfera și corona solară sunt foarte ușor vizibile în timpul unei eclipse de Soare, cromosfera apărând ca un strat roșiatic la suprafața Soarelui, pe când corona apare ca formațiuni albicioase ce se întind în spațiu.

Figură 6: Corona solară văzută la eclipsă

I.2. Petele solare/ciclu solar

Odată cu prima lunetă îndreptată înspre Soare, studiul Soarelui a devenit o necesitate. Dacă Galileo Galilei a fost primul care a făcut o înregistrare sistematică a petelor solare, în secolul XIX se făceau primele conexiuni între numărul de pete de pe suprafața Soarelui și schimbări climatice la nivelul Pământului. Petele negre sunt regiuni mai întunecate ce apar pe fotosfera Soarelui, regiuni caracterizate prin temperaturi mult mai mici față de media temperaturii de pe fotosferă (aproximativ 3500K), ceea ce duce la întunecarea acestor zone. Această diferență de temperatură se datorează unor aglomerări de linii de câmp magnetic foarte puternice, care nu permit căldurii să iasă la suprafață. Prin studierea petelor solare s-a putut observa mișcarea de rotație a Soarelui în jurul propriei axe, mișcare mult mai complexă ca a Pământului sau a celorlalte planete: sunt observate cel puțin trei zone de rotație: la ecuator și cele două emisfere a căror rotație nu are loc în același timp. Înregistrarea zilnică a numărului de pete solare a dus la observarea ciclicității activității solare, un ciclu având în jur de 11,8 ani (astronomul german Heinrich Schwabe, a fost primul care a determinat ciclicitatea activității solare în 1843). După cum se poate observa în imaginea de mai jos, ciclul solar 23 a început în anul 1996, activitatea solară fiind minimă, a avut un maxim în 2001 când activitatea solară a fost maximă, încheindu-se în 2006, când s-a înregistrat un nou minim al activității solare. Intensitatea activității solare în ciclul 23, corespunde cu numărul de pete înregistrat în aceeași perioadă.

Figură 7: Ciclul solar 23, credit NASA

Dispunerea petelor solare pe discul Soarelui nu este aleatorie, observându-se periodicități și simetrii în apariția lor. Astfel petele solare sunt grupate în două benzi de latitudine, în jurul ecuatorului, după cum se poate observa în diagrama fluture, diagramă obținută la Observatorul Regal Greenwich, Marea Britanie. Este interesant de observat faptul că, la începutul ciclurilor solare petele apar la latitudini mai mari, spre sfârșitul perioadei concentrându-se în jurul ecuatorului.

Figură 8: Diagrama fluture, media zilnică a nuărului de pete solare mediat pentru fiecare rotație solară (https://solarscience.msfc.nasa.gov/SunspotCycle.shtml)

Având în vedere că, de cele mai multe ori, petele solare sunt dispuse în grupuri, metoda de determinare a numărului de pete zilnice este metoda Zurich de determinare a numărului de pete (numărul lui Wolf):

,

unde g—reprezintă numărul de grupe de pete (fiecare grupă conținând în medie 10 pete)

s—reprezintă numărul de pete individuale observate

Petele solare pot varia în dimensiuni, de la câțiva kilometri (>1000km) având o durată de viață de câteva ore, până la zeci de mii de kilometrii (20000km) având o durată de viață de până la câteva luni, putând fi observate fără instrumente optice de mărire.

Figură 9: Pete solare mici (pori) si structura unei pete solare (http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/sun/sunspots.shtml)

I.3. Influența ciclurilor solare asupra vieții pe Pământ

Condițiile meteo și activitatea zilnică pe Pământ sunt strâns corelate cu activitatea Soarelui. Perioade îndelungi de inactivitate solară duc la modificări majore ale climei. Cel mai bun exemplu este perioada 1650-1700, când s-a înregistrat perioada cea mai lungă de inactivitate solară, începând cu anul 1610 când s-au făcut primele observații asupra Soarelui:

Figură 10: Ciclurile solare începând din 1600, (https://solarscience.msfc.nasa.gov/images/ssn_yearly.jpg)

Perioada respectivă, cunoscută și ca Perioada de Minim Maunder, se remarcă printr-o scădere a temperaturii, în geologie fiind cunoscută ca Mica Glaciațiune, zăpada fiind prezentă pe tot parcursul anului la altitudini mici.

Petele solare sunt însoțite de ejecții de masă, explozii coronare care, ajungând pe Pământ afectează desfășurarea vieții de zi cu zi.

Figură 11: Activitate solară, credit NASA/SDO/AIA/HMI/Goddard Space Flight Center

Cele mai vizibile și mai spectaculoase efecte ale activității solare pe Pământ sunt aurorele. Acestea apar în momentul în care vântul solar (particulele din ejecțiile coronare) intră în contact cu atmosfera Pământului.

Figură 12: Aurora boreală văzută de pe ISS, credit NASA/ESA (https://www.nasa.gov/image-feature/aurora-and-the-pacific-northwest)

De asemenea radiațiile emise în urma activității solare afectează buna funcționare a sateliților artificiali, resimțită în viața de zi cu zi îndeosebi în telecomunicații, putând duce de la întreruperea parțială a telecomunicațiilor la căderea rețelelor electrice.

Probleme propuse:

1. Cunoscând dimensiunile Soarelui, determinați scara imaginii și dimensiunea petei solare aflată cel mai central pe suprafața Soarelui. Comparați cu dimensiunile Pământului.

Figură 13: Pete solare, credit SOHO/NASA

2. În imaginile de mai jos se văd trei momente ale unei explozii coronale de masă CME (satelit LASCO/C2). Astfel de explozii coronale au fost observate pentru prima dată în 1970 de către Orbiting Solar Observatory (OSO 7).

Pe cele trei planșe sunt prezentate trei momente ale propagării frontului exploziei care are forma unui arc ce se extinde. Imaginile sunt luate cu un coronograf în care imaginea Soarelui este obturată, dar este indicat prin cercul central marginea Soarelui. Folosind imaginile determinați viteza de deplasare a frontului jetului. Distanțele se măsoară în diviziuni (sau mm) cu rigla pe planșe.

Planșa 1

Planșa 2

Planșa 3

II. Metode de studiere și predicție a unor fenomene periodice

II.1. Noțiuni introductive de statistică

Statistica este ramura matematicii ce se ocupă cu colectarea, analiza și interpretarea datelor precum și realizarea de predicții privind evoluția viitoare a acestora. Astfel sunt bine stabilite două ramuri mari ale statisticii:- statistică descriptivă (se studiază în școală, sub diverse forme, începând cu clasa a V-a) ce se ocupă cu organizarea datelor prin grafice și indicatori statistici

– statistică inferențială (inductivă) ce se ocupă cu interpretarea datelor folosind modele matematice.

Pentru efectuarea corectă a unui studiu statistic e nevoie de stabilirea unor parametrii pentru care se va face studiul. Pentru început trebuie stabilită populația statistică.

Definiție: Se numește populație statistică o mulțime supusă unei analize statistice.

Definiție: Elementele populației statistice se numesc indivizi sau unități statistice.

Ex.1. Se dorește studierea comportamentului albinelor în condiții de secetă prelungită. Populația supusă studiului este mulțimea albinelor. Având în vedere numărul mare de albine existente, devine extrem de greu studierea comportamentului întregii populații. De aceea se recomandă alegerea unor indivizi reprezentativi ai populației. Pentru a putea face un studiu cât mai corect, indivizii aleși trebuie să fie cât mai variați cu putință.

Definiție: Se numește eșantion partea de populație care este supusă efectiv studiului statistic.

Revenind la exemplul anterior, pentru a putea deduce comportamentul albinelor in condiții de secetă prelungită trebuie ales un eșantion cât mai reprezentativ.

Ex.2. Un alt exemplu poate fi aplicarea unui sondaj în vederea viitoarelor alegeri parlamentare. Populația statistică este dată de toți cetățeni cu drept de vot. Având în vedere numărul mare al acestora e foarte dificil aplicarea sondajului pe întreaga populație. Se impune deci alegerea unui eșantion reprezentativ: trebuie să cuprindă respondenți din toate categoriile sociale, urban și rural în același timp. Pentru o reprezentare cât mai variată, alegerea respondenților se face, de obicei, prin tragere la sorți, alegându-se între 2000 și 5000 de indivizi.

Definiție: Se numește caracteristică trăsătura comună a tuturor unităților statistice ce formează populația statistică.

Definiție: Se numește variabilă statistică mulțimea valorilor pe care o caracteristică le ia pentru fiecare unitate statistică a populației. Se notează cu litere mari de tipar, de obicei de la sfârșitul alfabetului: X, Y, Z.

Definiție: Valoarea variabilei statistice se numește dată (stare) statistică. Se notează cu litere mici, corespunzătoare variabilei (xi, yi, zi) și poate fi un număr sau un cuvânt.

Revenind la ex.1. avem:

Populația statistică: mulțimea albinelor din România

Eșantion: albinele din stupinele din zona Blaj

Caracteristică: comportamentul albinelor

Variabila: X = comportamentul albinelor în condiții de secetă prelungită

Datele: xi = comportament normal, agitate, agresive

În funcție de tipul de date, variabilele statistice pot fi:

Variabile calitative: descriu proprietăți ale populației, iar datele pot fi cuvinte (variabile nominale) sau coduri (variabile ordinale)

Variabile cantitative: se obțin din măsurători sau prin numărare, datele fiind strict numerice.

Variabilele cantitative, la rândul lor, pot fi:

– discrete: datele sunt cel mult numere raționale, provenind din numărare

– continue: datele provin din măsurători, putând fi reprezentate printr-un interval de numere reale

În funcție de natura lor, variabilele pot fi:

Atributive—exprimă o însușire esențială a unităților statistice dintr-o populație, însușire pe baza căreia se face gruparea în clase omogene

De timp—exprimă timpul în care au luat ființă sau perioada de timp în care au existat unitățile statistice ale unei populații. Permit cunoașterea tendințelor evolutive ale populației.

De spațiu—permit cunoașterea variabilității populației în spațiu.

Ex.3. Evidența mediilor la examenul de bacalaureat 2018: variabila statistică este de tip cantitativ, discret (mediile de la examenul de bacalaureat)

Ex.4. Clasificarea craterelor lunare în funcție de diametrul lor: variabilă statistică de tip cantitativ, continuu

Ex.5. Evidența agenților economici de pe raza localității Blaj, în funcție de profilul de activitate: variabilă statistică de tip calitativ.

Ex.6. Numărul petelor solare în decursul unui an: variabilă de timp, cantitativă, discretă.

Exerciții:

1. Identificați variabila statistică și tipul ei:

Consumul de tutun în rândul minorilor, în România.

Timpul petrecut pe rețelele de socializare de către adolescenții cu vârste cuprinse între 14 și 16 ani.

Tipul de flori vândute de o florărie în decursul unui an.

Dimensiunea asteroizilor cunoscuți

Tipurile de sol din România

Calitatea aerului în zona Cluj Napoca

II.2. Reprezentarea datelor cantitative (elemente de statistică descriptivă)

II.2.1. Frecvențe statistice

După culegerea datelor statistice urmează prelucrarea lor. Având valori numerice, datele cantitative se pot prelucra cel mai ușor, din punct de vedere statistic. Primul pas în prelucrarea datelor statistice îl reprezintă înregistrarea datelor în serii statistice.

Definiție: Seria statistică este un mod de înregistrare/reprezentare a datelor statistice, care redă distribuția și variația populației în funcție de una sau mai multe variabile.

Seriile statistice se clasifică, în funcție de tipul și numărul variabilelor astfel:

După numărul variabilelor avem

serii unidimensionale—conțin o singură variabilă

serii bidimensionale—au la bază două variabile

serii multidimensionale—conțin trei sau mai multe variabile

După conținutul variabilei avem

serii de distribuție (de frecvențe)—se referă la o variabilă atributivă

serii de timp (cronologice)—se referă la variabilele de timp

serii teritoriale (de spațiu)—se referă la variabilă de spațiu.

După natura variabilei avem

serii calitative (homograde)—au la bază variabilele calitative

serii cantitative (heterograde)—au la bază variabilele cantitative

Definiție: Se numește volumul populației (N) numărul total de unități statistice ce formează populația statistică (cardinalul populației statistice). Dacă referirea se face la numărul total de indivizi în cadrul unui eșantiona, volumul populației se notează n.

Definiție: Se numește frecvență absolută (ni) numărul de unități statistice corespunzătoare datei xi dintr-un studiu statistic.

Astfel, o serie statistică unidimensională se reprezintă astfel:

, unde dacă se lucrează pe întreaga populație, sau dacă studiul se efectuează pe un eșantion reprezentativ.

Seria statistică bidimensională va fi reprezentată astfel:

Unde nji, —frecvența absolută corespunzătoare unității la care se întâlnește simultan data statistică xi, respectiv data statistică yj

—frecvența absolută corespunzătoare unității xi a variabilei X, indiferent de valoarea caracteristicii Y

—frecvența absolută corespunzătoare unității yi a variabilei Y, indiferent de valoarea caracteristicii X

dacă se consideră întreaga populație, sau

dacă se lucrează pe un eșantion reprezentativ

Orice serie bidimensională se poate descompune în serii unidimensionale astfel:

serii de repartiție marginale în funcție de X sau Y:

,

serii de repartiție unidimensională în raport cu X (Y), condiționată de Y=yj (X=xi), numărul acestora fiind egale cu numărul de stări ale variabilei Y (X):

,

Ex.7. Sosiri ale turiștilor pe județe în perioada 1.01-31.05.2018

Ex.8. Repartiția în funcție de înălțime a elevilor clasei a VIII-a de la Colegiul Național ”Inochentie Micu Clain”, Blaj:

Definiție: Frecvența relativă (fi) reprezintă ponderea unităților statistice din volumul populației (eșantionului). Se exprimă în procente sau ca raport, astfel sau .

Analog, pentru seria statistică bidimensională, se definește frecvența relativă ca fiind raportul dintre frecvența absolută și volumul populației (eșantionului): , și , .

Revenind la ex.8., seria statistică, în funcție de frecvența relativă este:

, , adică 39,58% dintre elevii clasei a VIII-a au înălțimea cuprinsă între 1,60 m și 1,65 m.

Definiție: Frecvența cumulată crescător a unei grupe este egală cu numărul unităților ce au valorile variabilelor mai mici sau egale cu limita superioară a grupei.

Frecvența absolută cumulată crescător corespunzătoare variabilei xi:

Frecvența relativă cumulată crescător corespunzătoare variabilei xi: .

Definiție: Frecvența cumulată descrescător a unei grupe este egală cu numărul unităților ce au valorile variabilelor mai mari sau egale cu limita inferioară a grupei.

Frecvența absolută cumulată descrescător corespunzătoare variabilei xi:

Frecvența relativă cumulată descrescător corespunzătoare variabilei xi: .

Ex.9. Pentru repartiția notelor la matematică la examenul de evaluare națională 2018, clasa a VIII-a B, cu un efectiv total (volum) de 16 elevi, seria statistică este:

Alegând una dintre variabile pentru interpretate se obține:

5 elevi au obținut note între 7 și 8, ceea ce reprezintă 31,25% din efectivul total al clasei; 9 elevi au obținut note mai mici de 7, adică 56,25% din total; 2, adică 12,5% dintre elevi au obținut note mai mari de 8.

În acest exemplu s-a folosit seria statistică sub forma intervalelor de variație: clase de valori. Pentru o serie statistică de tip continuu, numărul intervalelor poate fi prestabilit (empiric) sau poate fi stabilit folosind relația lui Sturges , rotunjindu-se la un număr întreg (e recomandată folosirea unui număr între 4 și 10 intervale-pentru un număr de până la 100 de unități, respectiv până la 20 de intervale pentru mai mult de 100 de unități, pentru o mai mare precizie a studiului statistic). Pentru a determina mărimea unui astfel de interval se folosește relația , construindu-se apoi intervalele:

…

Probleme propuse:

Echipa națională de handbal feminin a României are în componență 18 jucătoare având înălțimile 177 cm, 181 cm, 178 cm, 171 cm, 175 cm, 180 cm, 181 cm, 177 cm, 177 cm, 176 cm, 178 cm, 186 cm, 177 cm, 174 cm, 186 cm, 181 cm, 173 cm, 168 cm, greutatea: 73 kg, 73 kg, 71 kg, 70 kg, 73 kg, 70 kg, 71 kg, 70 kg, 71 kg, 70 kg, 64 kg, 78 kg, 72 kg, 69 kg, 78 kg, 72 kg, 65 kg, respectiv 60 kg.

Construiți seria statistică în funcție de înălțime, specificând: populația, variabila și tipul acesteia, datele statistice

Determinați frecvența relativă a seriei construite și frecvențele cumulate crescătoare, respectiv descrescătoare

Se pot grupa aceste date statistice în intervale de variație? Dacă da, stabiliți numărul intervalelor și mărimea acestora. Dacă nu, explicați de ce.

Construiți seria statistică în funcție de greutate, determinând frecvența relativă.

Conform Anuarului Statistic al României 2017, în învățământul profesional, postliceal și de maiștri, în școlile postliceale în perioada 2014-2017, situația elevilor înscriși la câteva specializări arată astfel:

– profil Turism: – anul școlar 2014-2015: înscriși 2728

– anul școlar 2015-2016: înscriși 2794

– anul școlar 2016-2017: înscriși 2570

– profil Servicii, – anul școlar 2014-2015: înscriși 1744

– anul școlar 2015-2016: înscriși 1655

– anul școlar 2016-2017: înscriși 1719

– profil Informatică, – anul școlar 2014-2015: înscriși 4029

– anul școlar 2015-2016: înscriși 3777

– anul școlar 2016-2017: înscriși 3771

– profil Sanitar, – anul școlar 2014-2015: înscriși 69239

– anul școlar 2015-2016: înscriși 63912

– anul școlar 2016-2017: înscriși 60126

– profil Cultură, – anul școlar 2014-2015: înscriși 184

– anul școlar 2015-2016: înscriși 185

– anul școlar 2016-2017: înscriși 130

Construiți seria statistică corespunzătoare datelor de mai sus.

Determinați frecvența relativă pentru seria construită mai sus.

Determinați seriile marginale.

Cu cât la sută sunt mai mulți înscriși la Turism față de Servicii?

Cum a evoluat situația înscrișilor, în cei trei ani, per total și pentru fiecare profil în parte?

Situația imigranților în România între anii 2011-2016, este redată în tabelul de mai jos. În care dintre cei 6 ani, diferența între ponderea imigranților de sex masculin și a celor de sex feminin a fost cea mai mică? Dar cea mai mare?

II.2.2. Reprezentarea grafică a datelor statistice

După înregistrarea datelor statistice în serii statistice, pentru o interpretare cât mai adecvată se folosește reprezentarea grafică a datelor statistice. Reprezentarea cu ajutorul unui grafic a datelor statistice permite compararea variabilelor statistice și studierea schimbărilor la care sunt supuse variabilele statistice.

Printre cele mai întâlnite reprezentări grafice ale datelor statistice sunt:

Diagrama circulară

Reprezentarea prin batoane orizontale sau verticale

Grafic liniar pe porțiuni

Histograma

Poligonul frecvențelor

Diagrama circulară se folosește, de obicei, pentru a reprezenta variabile calitative, nominale. Datele sunt reprezentate ca sectoare de cerc proporționale cu frecvențele corespunzătoare variabilelor. Pentru fiecare sector de cerc se menționează variabila și frecvența relativă în procente.

Ex.10. Rezultatele obținute de echipele României la Olimpiada Internațională de astronomie în cele 15 ediții la care a participat, și rezultatele obținute la Olimpiada Internațională de Astronomie și Astrofizică, în cele 11 ediții desfășurate.

La reprezentarea prin batoane verticale, reprezentarea se face într-un sistem ortogonal de axe, pe axa Ox fiind reprezentate variabilele, iar pe axa Oy, frecvențele corespunzătoare, pe când la reprezentarea prin batoane orizontale, pe axa Ox sunt reprezentate frecvențele, iar pe axa Oy, variabilele. Reprezentarea grafică prin batoane este cea mai bună reprezentare pentru a compara două serii statistice, fiind folosită atât pentru variabile calitative cât și pentru variabile cantitative.

Ex.11. Medaliile obținute la Olimpiada Internațională de Astronomie (OIA) comparativ cu medaliile obținute la Olimpiada Internațională de Astronomie și Astrofizică (OIAA) de către echipele României participante la aceste olimpiade (15 ediții OIA, respectiv 11 ediții OIAA).

De asemenea, când suma frecvențelor relative depășește 100% sau când e mai mică ca 100% e indicată folosirea reprezentării prin batoane.

Ex.12. Suma frecvențelor relative depășește 100%:

Situația elevilor înscriși la probele scrise ale examenului de bacalaureat 2018, proba Ea) Limba și literatura română și proba Ec) obligatorie a profilului. Diferența până la 100% se datorează faptului că cele 4 mulțimi de candidați nu sunt disjuncte. Situația celor 173 de candidați se prezintă astfel:

Ex.13. Suma frecvențelor relative este mai mică de 100%:

Distribuția în funcție de religie a 28 de elevi dintr-o clasa de a 12-a (diferența până la 100% se datorează unei variabile lipsă, cei care nu au dorit sa-i declare religia):

Ex.14. Reprezentând seria statistică de la ex.7., sosiri ale turiștilor în 14 județe ale țării, se obține:

Graficul liniar pe porțiuni este format din segmente de dreaptă ce se obțin
prin unirea valorilor frecvențelor corespunzătoare a două variabile diferite, consecutive. Se reprezintă într-un sistem de axe ortogonale, axei Ox corespunzându-i variabilele statistice, iar pe axa Oy se reprezintă frecvențele corespunzătoare.

Ex.15. La un sondaj, 50 de persoane au fost întrebate câți pași fac într-o oră. Răspunsurile primite sunt reprezentate mai jos:

Pentru reprezentarea datelor statistice grupate în clase de valori se folosește histograma. Histograma e tot o reprezentare prin batoane (dreptunghiuri), acestea fiind lipite între ele, pe axa Oy sunt reprezintă valorile absolute, în timp ce pe axa orizontală marginile claselor de valori. Lățimile dreptunghiurilor sunt proporționale cu mărimea claselor, lungimile fiind date de frecvența valorii mediane a intervalului: , clasa fiind .

Ex.16. Comerțul internațional de bunuri, exprimat în milioane de euro, în anul 2011, cu o parte din țările europene poate fi reprezentat cu ajutorul histogramei astfel:

sau, folosind valorile medii pentru fiecare clasă:

Poligonul frecvențelor este tot un grafic liniar prin segmente, aplicat de data asta variabilelor de tip continuu. Pentru a trasa poligonul frecvențelor se determină mai întâi valorile medii ale fiecărei clase de valori, și apoi se construiește graficul liniar prin segmente, folosind valorile găsite.

Ex.17. Pentru situația exporturilor în 2011, poligonul frecvențelor arată astfel:

Reprezentarea grafică a seriei statistice în funcție de frecvențele cumulate se numește ogivă. Ogiva este tot un grafic liniar prin segmente, pe axa Oy fiind reprezentate frecvențele cumulate crescătoare sau descrescătoare.

Ex.18. Ogiva seriei statistice de la ex.15., în funcție de frecvența cumulată absolută crescătoare:

Probleme propuse:

În graficul de mai jos sunt reprezentate datele statistice, în funcție de frecvențele relative, obținute în urma unui sondaj aplicat pe 50 de persoane privind cantitatea de apă consumată într-o zi.

a) Determinați cantitatea de apă, în ml, consumată de fiecare din cei 50 de respondenți.

b) Ce procent, din cei 50 de respondenți, consumă mai mult de 1000 ml de apă într-o zi?

c) Câți respondenți consumă mai puțin de 800 ml de apă într-o zi?

Temperaturile medii lunare (în oC), înregistrate în luna ianuarie 2016 în 18 orașe ale țării sunt: -2,1; -3,1; -0,6; -2,8; -2,8; -2,8; -2,5; -0,3; -1,9; -3,0; -12,6; -2,2; -2,7; -1,9; -2,0; -3,4; -2,5; 0,2. Să se construiască histograma acestor date, folosind frecvențele relative. În stabilirea claselor nu o să se ia în considerare temperatura de -12,6oC. Care este procentul orașelor cu o temperatură mai mică decât -2,0oC?

Conform Anuarului Statistic al României 2017, situația ariilor protejate din România în anul 2016 este reprezentată în tabelul:

a) Reprezentați grafic, folosind reprezentarea prin batoane, situația ariilor protejate în funcție de numărul lor și apoi în funcție de suprafața lor.

b) Ce procent din suprafața totală a ariilor protejate îl reprezintă parcurile naturale?

Reprezentați grafic seria statistică, în funcție de înălțime, construită la exercițiul 2.

Construiți poligonul frecvențelor pentru seria statistică dată de:

Construiți diagrama circulară pentru seria statistică dată de:

Măsurând diametrul a 26 cratere lunare s-au obținut următoarele valori, în km: 14,5; 11,6; 13,8; 11,1; 11,6; 11,9; 15,4; 18,3; 17,5; 18,3; 14,7; 17,5; 18; 13,2; 11,3; 12,4; 18; 14,8; 13,8; 13; 20,8; 19,3; 10,9; 12,7; 10,1; 12,5.

a) Construiți histograma datelor de mai sus.

b) Analizând datele se poate explica forma histogramei?

Notele la limba și literatura română și matematică ale unui elev sunt reprezentate în graficul de mai jos:

a) Cum s-ar putea explica forma graficului notelor de la matematică? Dar a notelor de la limba și literatura română?

b) Ce procent din totalul notelor obținute la matematică sunt mai mici decât 8?

c) Ce procent din totalul notelor obținute la limba și literatura română sunt mai mari decât 7?

II.2.3. Indicatori statistici

După înregistrarea și reprezentarea datelor statistice, pentru o mai bună interpretare a lor se folosesc indicatorii statistici.

Conform Anuarului Statistic al României ”Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene, procese, activități sau categorii economice sau sociale, manifestate în timp, spațiu și structuri”.

Indicatorii statistici permit caracterizarea sintetică a unei serii statistice fără a ține cont de fiecare caracteristică. În statistica inferențială se folosesc, cu precădere, două mari categorii de indicatori statistici: – indicatorii tendinței centrale

– indicatorii de variație.

Pentru o serie cantitativă, cei mai folosiți indicatori ai tendinței centrale sunt: media, mediana și modul (modala).

Media unei serii statistice este media aritmetică a caracteristicilor seriei. Dacă media se calculează pentru un eșantion reprezentativ, vom avea: , iar dacă media se raportează la întreaga populației statistică . Media indică locul unde datele au tendința de a se aglomera.

Pentru o serie statistică reprezentată prin clase statistice, calculul mediei se face pentru valorile medii ale fiecărui interval ce definește clasa, astfel:

– valoarea medie a clasei se calculează ca fiind

– media seriei va fi .

Dacă datele statistice sunt grupate în funcție de frecvențe, pentru calculul mediei se va folosi media aritmetică ponderată: .

Ex.19. Se consideră seria , unde caracteristicile reprezintă masa (în kg) celor 18 elevi ai unei clase a VIII-a. Să se determine masa medie a clasei:

Deci masa medie a clasei este de 55,61 kg.

Ex.20. În 2016, conform Anuarului Statistic al României 2017, transportul rutier de mărfuri pe capacități de transport este sistematizat astfel:

Capacitatea medie a autovehiculelor se va determina astfel:

– valorile medii ale claselor:

– capacitatea medie de transport este dată de:

.

Obs. 1. Media păstrează unitatea de măsură a caracteristicilor.

2. Media este cuprinsă în intervalul de variație: , unde este cea mai mică valoare a caracteristicilor, iar este cea mai mare valoare a șirului caracteristicilor.

3. Dacă în șirul caracteristicilor nu există caracteristică negativă sau nulă, și există diferențe mari între oricare două caracteristici consecutive, pentru calculul mediei se poate folosi și media geometrică (media geometrică ponderată): , respectiv .

4. Dacă, într-o serie, predomină valorile mari ale caracteristicilor, pentru calculul mediei, se poate folosi media pătratică (media pătratică ponderată): , respectiv

Mediana unei serii statistice este caracteristica ce împarte șirul caracteristicilor în două șiruri de lungimi egale. Pentru o serie cu un număr impar de caracteristici ordonate, mediana este caracteristica din mijlocul seriei: . Pentru o serie cu un număr par de caracteristici, mediana este media aritmetică a celor două caracteristici centrale. De exemplu, pentru un șir cu 50 de caracteristici, locul medianei în șir se va stabili astfel: , ceea ce înseamnă că mediana se află între a 25-a și a 26-a caracteristică.

Ex.21. Pentru șirul caracteristicilor reprezentând masele elevilor dintr-o clasă de a VIII-a: 47 kg, 47 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 50 kg, 50 kg, 50 kg, 55 kg, 55 kg, 61 kg, 61 kg, 70 kg, 70 kg, 70 kg, 70 kg, locul medianei în șir este dată de , adică mediana se află între a 9-a și a 10-a caracteristică: .

Pentru o serie statistică în care datele sunt înregistrate în funcție de frecvențe, pentru a determina mediana se urmăresc etapele:

– găsirea locului medianei în cadrul seriei: , unde

– calculul frecvențelor cumulate crescătoare, determinându-se acea frecvență care este imediat mai mare sau egală cu locul medianei

– mediana este caracteristica corespunzătoare frecvenței cumulate crescător găsită în etapa anterioară.

Ex.22. La un sondaj, 50 de persoane au fost întrebate câți pași fac într-o oră. Răspunsurile primite sunt reprezentate în tabelul de mai jos.

În medie respondenții fac un număr de 3136 pași/oră, iar mediana seriei, aflată între a 25-a și a 26-a caracteristică va fi caracteristica corespunzătoare frecvenței cumulate crescător 33. În concluzie de pași iar de pași.

Pentru o serie a cărei date sunt grupate în clase statistice, pentru a determina mediana se urmează aceeași pași ca mai sus:

– se determină locul medianei în șirul caracteristicilor

– se calculează frecvențelor cumulate crescătoare, determinându-se acea frecvență care este imediat mai mare sau egală cu locul medianei

– intervalul corespunzător frecvenței cumulate găsită mai sus se numește interval median. Pentru o serie statistică , fie intervalul median, de amplitudine h, având frecvența absolută ni, și frecvența absolută cumulată crescătoare Ni. Mediana se determină după formula: .

Ex.23. Pentru repartiția notelor la matematică la examenul de evaluare națională 2018, clasa a VIII-a B, cu un efectiv total (volum) de 17 elevi, seria statistică este:

iar mediana se va calcula astfel: intervalul median este , h=1, ni=7, Ni-1=2

.

Grafic, mediana este abscisa punctului de intersecție a celor două ogive (crescătoare și descrescătoare).

Modul (modala sau dominanta) unei serii statistice este caracteristica cu cea mai mare frecvență. Depinde de modul de grupare a datelor statistice. Dacă, într-o serie statistică, toate caracteristicile au aceeași frecvență, seria statistică nu are mod. Dacă două caracteristici au frecvențele egale, și maxime ca valoare, seria statistică este bimodală. În cazul în care trei sau mai multe caracteristici au frecvența maximă, seria este multimodală.

Pentru a determina modul unei serii statistice reprezentată prin clase de variație se procedează astfel: – se determină intervalul modal (cu cea mai mare frecvență): cu frecvența relativă ni

– se calculează diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului precedent:

– se calculează diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului următor:

– modul va fi dat de

Ex.24. Revenind la seria statistică a numărului de pași făcut de 50 de persoane în decurs de o oră:

Frecvența maximă este n1=14, de unde se deduce ușor modul ca fiind Mo=1200 pași.

Ex.25. Pentru seria statistică ce prezintă repartiția notelor la matematică la examenul de evaluare națională 2018, clasa a VIII-a B, cu un efectiv total (volum) de 17 elevi:

Frecvența maximă este n2=7, clasa modală fiind . În acest caz modul seriei va fi:

.

Datele unei serii statistice pot fi grupate în jurul mediei sau pot fi dispersate. De aceea e necesară studierea gradului de împrăștiere a datelor statistice prin indicatorii de variație. Indicatorul de variație cel mai ușor de calculat este amplitudinea absolută seriei statistice: diferența între cea mai mare și cea mai mică valoare a caracteristicii . (În cazul amplitudinii relative ). Oferă informații despre intervalul maxim în care datele seriei statistice iau valori. O amplitudine mare poate însemna date împrăștiate sau un număr foarte mare de valori.

Abaterea de la medie determină variația fiecărei valori a caracteristicilor de la medie. Prezintă interes abaterea de la medie maximă pozitivă, precum și abaterea de la medie minimă, negativă, oferind date despre gradul de împrăștiere a fiecărei caracteristici de la valoarea medie. Poate fi calculată atât pentru valori absolute: cât și pentru valori relative . Suma abaterilor de la medie este nulă:

Abaterea medie liniară arată cu cât se abate, în medie, fiecare caracteristică de la medie. Se calculează ca medie aritmetică a valorilor abaterii de la medie, în valoare absolută. Păstrează unitatea de măsură a caracteristicii, acordând aceeași importanță tuturor abaterilor individuale (abaterile mari influențând în mai mare măsură gradul de variație al caracteristicii). Pentru serii statistice reprezentate prin frecvențele absolute, abaterea medie liniară va fi: , iar pentru frecvențe relative abaterea medie liniară este: .

Pentru a evita suma nulă a abaterilor de la medie, ca indicator de împrăștiere a datelor statistice în funcție de medie se folosește dispersia. Dispersia se calculează ca medie aritmetică a pătratelor abaterilor de la medie.

Dacă studiul statistic este realizat pe un eșantion reprezentativ, dispersia va fi dată de:

Dacă referirea se face la întreaga populație, dispersia va fi:

O valoare mare a dispersiei înseamnă o împrăștiere mare a datelor din serie. Nu se poate folosi pentru a compara două seturi de date, având unitatea de măsură a caracteristicilor ridicată la pătrat, însă permite compararea în cadrul aceluiași set de date folosind abaterea medie pătratică (abaterea standard).

Abaterea medie pătratică se calculează ca fiind radicalul de ordin 2 din dispersie. Pentru o serie statistică pe un eșantion reprezentativ, abaterea medie pătratică va fi:

,

iar pentru întreaga populație abaterea standard va fi dată de:

.

De remarcat că, atât dispersia cât și abaterea medie pătratică sunt valori pozitive. Abaterea standard păstrează unitatea de măsură a caracteristicilor, având o valoare comparabilă cu abaterile individuale de la medie. Dacă abaterea standard este nulă, toate datele statistice au aceeași valoare. La o abatere standard mare datele din serie sunt foarte împrăștiate. Pentru orice serie de date statistice are loc teorema Cebîșev:

Teorema Cebîșev: Pentru orice set de date, în intervalul , unde , sunt cuprinse cel puțin date statistice.

Asta înseamnă că: – cel puțin 75% din date sunt cuprinse în intervalul

– cel puțin 89% din date sunt cuprinse în intervalul – cel puțin 95% din date se află în intervalul

Pentru o distribuție normală (sub formă de clopot) a datelor statistice, o regulă empirică spune că: – aproximativ 68% din date sunt cuprinse în intervalul

– aproximativ 95% din date sunt cuprinse în intervalul

– aproximativ 99,7% din date sunt cuprinse în intervalul

Omogenitatea seriei se determină cu ajutorul coeficientului de variație:

sau .

Dacă v=0 seria este perfect omogenă, datele statistice având toate aceeași valoare. Dacă seria este omogenă iar dacă seria este eterogenă iar media nu este reprezentativă.

Ex.26. Pentru studiul statistic privind numărul de pași realizat de 50 de persoane în decurs de o oră, după determinarea mediei, medianei (vezi ex.22.) și a modului (vezi ex.24.) studiul statistic se continuă cu determinarea indicatorilor de împrăștiere:

pași

pași

Mo=1200 pași

– abaterea medie liniară:

– dispersia:

– abaterea medie pătratică: pași/oră

– coeficientul de variație: , deci seria nu este foarte omogenă, existând variații destul de mari.

Probleme propuse:

Demonstrați că suma abaterilor de la medie pentru o serie statistică este egală cu 0.

Arătați că dispersia se poate calcula și ca: .

La examenul de bacalaureat notele celor 270 de candidați respectă o distribuție normală, cu o medie de 7,2 și o abatere medie pătratică de 0,8. Determinați cu aproximație, numărul notelor cuprinse între 6,4 și 8,0, precum și cele cuprinse între 5,6 și 8,8.

Să se calculeze media, mediana, modul și abaterea medie patratică pentru seriile statistice definite la exercițiile 2; 5 și 11.

Pe perioada iernii, în medie, într-o gospodărie se adună 5,5 ouă/zi. Având în vedere că în majoritatea zilelor se strâng între 0 și 3 ouă iar doar în câteva zile se strâng peste 10 ouă, să se determine un interval optim care să conțină 75% din producția de ouă. Abaterea medie pătratrică este de 2,5.

La o cofetărie cantitatea de zahăr, în grame, folosită la 15 categorii de prăjituri variază astfel: 172 g, 140 g, 123 g, 130 g, 115 g, 148 g, 108 g, 129 g, 137 g, 161 g, 123 g, 152g, 133 g, 128 g, 142 g.

a) Calculați abaterea medie standard pentru datele de mai sus.

b) Reprezentați grafic datele obținute.

c) Determinați mediana și modulul seriei.

d) Determinați intervalul optim în care să se regăsească peste 75% din cantitățile de zahăr utilizate.

Pentru a determina calitatea apei pentru consum, compania de apă a prelevat 100 de probe pentru analiză. Cantitatea de impurități în mg/l găsită în cele 100 de probe este dată de seria:

a) Calculați media, mediana, modul și abaterea standard a seriei.

b) Ce procent din cantitatea totală de impurități găsită se află la o abatere standard de 2 față de medie?

Abaterea medie pătratică se poate aproxima empiricca fiind o pătrime din amplitudinea seriei. Să se determine empiric, abaterea medie pătratică pentru datele de la exercițiile 18 și 19, comparându-se rezultatele cu abaterea standard calculată analitic.

Analizând cele două grafice de mai jos, răspundeți la întrebările:

a) Seriile statistice prezentate în cele două grafice au aceeași mediană? Argumentați răspunsul.

b) Abaterea standard pentru primul grafic este mai mică sau mai mare decât abaterea standard a datelor din al doilea grafic? Argumentați răspunsul.

Eliminând valoarea extremă a temperaturii de -12,6oC, determinați media, mediana și modul seriei date la exercițiul 6. Aproximați empiric abaterea standard și apoi calculați-o analitic, comparând cele două rezultate obținute. Ce abatere standard are temperatura de -2,7oC?

Calculați media, mediana și modulul seriei ținând cont de toate temperaturile date. Comparați cu rezultatele obținute mai sus. Ce concluzii se pot desprinde?

Vârsta medie a populației din România în anul 2016 a fost de 40,9 ani, iar in 2017 a fost de 41,2 ani. Găsiți două motive pentru care vârsta medie a crescut. Argumentați.

La Campionatul Mondial de Natație 2017, la proba de ștafetă 4x100m liber, echipa Statelor Unite a obținut un timp mediu de 49,9s, cu o abatere medie pătratică de 1,5s, echipa Canadei a obținut un timp mediu de 50,9s, cu o abatere standard de 1,3s iar echipa Olandei a scos timpul mediu de 50,5s cu o abatere standard de 1,2s. Unul dintre înnotătorii americani a obținut un timp de 52,71s, pe când unul dintre înnotătorii canadieni a avut timpul de 48,68s iar pentru Olanda, unul dintre înnotători a scos timpul de 52,33s.

a) Care este cel mai rapid înnotător raportat la echipa sa? Argumentați.

b) De ce înnotătorul american este considerat a fi mai bun decât înnotătorul canadian, chiar dacă acesta din urmă are un timp mai bun?

Realizați un sondaj printre colegi, privind timpul petrecut pe rețelele de socializare ăn decursul unei săptămâni, analizând răspunsurile obținute prin prisma indicatorilor statistici.

Conform Institutului Național de Statistică, în 2016 situația populației înscrise la învățământ liceal a fost următoarea:

a) Conform datelor din tabel, în medie, cu cât este mai mare numărul fetelor decât numărul băieților ce urmează învățământul liceal?

b) Cât de îndepărtați față de medie sunt elevii de 14 ani? Dar cei de 20 de ani?

c) Conform datelor statistice numărul elevilor de 18 ani este mai mic decât al elevilor de 17 ani. Găsiți trei motive care ar putea explica acest fenomen.

d) Comparați, reprezentând grafic, populația școlară masculină cu cea feminină. Ce concluzii se pot deduce?

27. Genul de emisiuni difuzate la radiourile de pe teritoriul țării, după numărul de ore de difuzare sunt:

a) Reprezentați grafic datele din tabel.

b) Care este media orelor de difuzare a tipurilor de emisiuni?

c) Care este ponderea emisiunilor literare și de artă, din totalul emisiunilor difuzate? Dar a celor dedicate educației, științei și învățământului?

d) Exceptând emisiunile muzicale și de actualități, în cadrul căror genuri de emisiuni publicitatea are ponderea mai mare? Dar mai mică?

II.3. Serii cronologice (de timp)

Pentru studierea fenomenelor cu evoluție în timp se folosesc seriile de timp. Seria de timp se poate reprezenta sub forma a două șiruri de date: un șir fiind format din valorile variabilei timp, iar celălalt șir din valorile variabilei înregistrate pentru o anumită perioadă de timp: .

Particularitățile seriei de timp sunt: – variabilitatea, acestea modificându-se în timp

– omogenitatea, seriile de timp conținând date ce au aceeași unitate de referință, rezultate din fenomene de același gen.

Dacă se urmărește dezvoltarea fenomenului într-o succesiune de momente, seriile cronologice se numesc serii de momente. Dezavantajul unei astfel de serii este faptul că, prin însumarea datelor unei astfel de serii, rezultatul obținut nu are nici o semnificație (dezvoltarea fenomenului studiat, într-un anumit moment implică toate datele anterioare acelui moment).

Ex.27. Evidența populației în România, în ultimii 5 ani, în luna august

Seriile de intervale (diferențiale), spre deosebire de seriile de momente, urmăresc evoluția fenomenelor pe anumite perioade de timp (zile, luni, ani etc.). Datorită aceste particularități, datele seriei de intervale pot fi însumate astfel încât studiul permite stabilirea rezultatelor pe intervale mari de timp. De exemplu dacă se însumează datele zilnice din decursul unei luni, se obține o serie cu date lunare.

Ex.28. Evoluția petelor solare în ultimii 5 ani.

Analiza seriilor de timp trebuie să țină cont de analiza factorilor ce influențează evoluția fenomenului, cei mai importanți fiind:

– factorii esențiali ce imprimă o tendință generală seriei cronologice, cu acțiune de lungă durată

– factorii sezonieri a căror acțiune este pe perioade scurte, ducând la modificări sezoniere ale seriei

– factorii ciclici imprimă oscilații în jurul tendinței generale, ducând la periodicitatea seriei

– factorii întâmplători au ca rezultat variații accidentale ce se pot compensa la un număr mare de perioade de timp și a căror acțiune poate fi estimată cu metode specifice.

Seriile cronologice sunt bine descrise de două modele:

modelul aditiv, dacă seria prezintă oscilații de amplitudine egală și constantă față de trend. În acest caz seria va fi determinată de suma factorilor ce influențează evoluția fenomenului:

yt = trend+sezonier+ciclic+rezidual

modelul multiplicativ, dacă seria prezintă oscilații a căror amplitudine variază față de trend, seria fiind determinată de produsul factorilor ce influențează evoluția fenomenului:

yt = trend x sezonier x ciclic x rezidual

Obiectivele analizei seriilor cronologice sunt:

– stabilirea proprietăților statice ale seriei (medie, varianță, autocorelație)

– identificarea relațiilor care există pe termen lung între variabile

– modelarea seriei

– prognoza pe termen scurt, pe baza modelului identificat.

Primul pas în analiza seriei cronologice, la fel ca orice serie statistică, este reprezentarea seriei într-un mod cât mai accesibil. De aceea e utilă reprezentarea grafică sub diverse forme.

II.3.1. Reprezentarea grafică a unei serii cronologice (de timp)

Printre cele mai întâlnite reprezentări grafice ale unei serii cronologice este reprezentarea prin coloane sau benzi. La reprezentarea prin coloane, pe axa Ox a unui sistem cartezian de coordonate xOy, se reprezintă timpul, iar pe axa Oy, sunt reprezentați termenii seriei; pentru reprezentarea prin benzi, timpul este reprezentat pe axa ordonatelor iar datele seriei pe axa absciselor.

Ex.29. În decembrie 2017 s-au înregistrat următoarele date pentru pete solare:

Din cel două reprezentări se poate observa o aglomerare de pete în două perioade ale lunii decembrie, 10-12 decembrie, respectiv 19-27 decembrie 2017, perioade în care Pământul s-a confruntat cu două furtuni solare.

Reprezentarea grafică specifică seriilor cronologice este cronograma (historiograma). Se trasează tot într-un sistem cartezian de axe, pe axa absciselor fiind reprezentat timpul, iar termenii seriei sunt uniți prin segmente de dreaptă.

Ex.30. Evoluția numărului petelor solare în luna ianuarie 2018 este dată în graficele de mai jos (primul grafic prezintă situația pentru toate zilele lunii ianuarie, pe când al doilea grafic reflectă situația petelor doar în zilele în care a fost înregistrat un număr nenul de pete solare)

II.3.2. Indicatori statistici pentru serii cronologice (de timp)

Indicatorii ce descriu o serie de timp sunt împărțiți în trei mai categorii:

Indicatori absoluți

Indicatori relativi

Indicatori medii.

i) Indicatorii absoluți:

a) Primul indicator absolut îl reprezintă indicatorul de nivel.

Indicatorii de nivel, , sunt chiar termenii seriei, redând nivelul fenomenului la un moment dat t, sau într-un interval de timp (în acest caz obținându-se prin însumare).

Ex.31. pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decembrie 2017, indicatorii de nivel sunt: {13, 11, 11, 12, 13, 11, 16, 19, 25, 26, 29, 24, 16, 13, 13}.

b) Modificarea absolută (sporul absolut) compară evoluția fenomenului în două perioade de timp calculându-se ca diferența între doi termeni ai seriei.

Dacă toți termenii sunt comparați cu un același termen fixat, de obicei primul, modificarea absolută va fi modificare absolută cu bază fixă:

Dacă fiecare termen este comparat cu predecesorul său, modificarea absolută va fi modificare absolută cu bază mobilă:

Proprietăți: 1.

2. .

Obs. Dacă modificările absolute iau valoarea zero se spune despre serie că are ”creștere zero”, iar dacă modificările absolute iau valori negative, seria are ”creștere negativă”.

Ex.32. Pentru datele din ex.31. vom avea:

ii) Indicatori relativi

a) Indicele de dinamică se folosește pentru compararea a doi termeni ai seriei, prin raportarea unuia dintre termenii la celălalt.

Dacă toți termenii se raportează la un același termen, de obicei primul termen al seriei, indicele de dinamică se va numi indice de dinamică cu bază fixă: sau, ca procent,

Dacă fiecare termen se raportează la termenul precedent, indicele de dinamică se numește indice de dinamică cu bază mobilă: sau, ca procent .

Proprietăți: 1.

2.

b) Ritmul de dinamică arată cu câte procente s-a modificat un termen față de alt termen.

Dacă raportarea se face la un același termen fixat, ritmul de dinamică se va numi ritm de dinamică cu bază fixă: sau

Dacă raportarea se face la termenul precedent, vom avea ritm de dinamică cu baza în lanț (mobilă): sau .

Obs. .

c) Valoarea absolută a unui procent de dinamică este raportul dintre modificarea absolută și ritmul de dinamică. În funcție de termenul la care se face raportarea vom avea:

valoarea absolută a unui procent de dinamică cu baza fixă, ce exprimă câte unități, din sporul înregistrat într-un an, revin la fiecare procent din ritmul sporului:

valoarea absolută a unui procent de dinamică cu baza mobilă (în lanț)

.

Ex.33. Pentru seria statistică reprezentând numărul de pete solare în luna decembrie 2017, neținând cont de zilele cu 0 pete solare, indicatorii absoluți și relativi sunt dați de:

Pentru seria statistică reprezentând variația petelor solare în luna decembrie 2017, indicatorii absoluți și relativi vor fi, ținând cont de zilele cu 0 pete solare, luând y1=13.

Se poate observa că nu se pot calcula indicii de dinamică cu bază în lanț, precum și ritmul de dinamică cu bază în lanț. Se poate constata, de asemenea, creșterea negativă din multe zile ale lunii.

iii) Indicatorii medii

A) Nivelul mediu al serie de timp se determină pentru fiecare tip de serie astfel:

– pentru serie cronologică de intervale nivelul mediu va fi:

– pentru serie cronologică de momente, cu intervale neegale între momente, nivelul mediu se calculează ca fiind o medie cronologică ponderată (fiind singurul indicator mediu al seriei) astfel:

– fie lungimea intervalelor de momente

– media cronologică ponderată

Ex.34. Nivelul mediu al numărului de locuitori ai localității Blaj:

locuitori

– pentru serie de momente la intervale egale, nivelul mediu este dat de media cronologică simplă: .

B) Modificarea medie absolută este media aritmetică a modificărilor absolute cu baza mobilă:

.

C) Indicele mediu de dinamică arată de câte ori s-a modificat, în medie, nivelul fenomenului studiat: .

În cazul în care, pentru aceeași serie statistică, există mai mulți indici medii de dinamică (parțiali) ce caracterizează subdiviziuni succesive ale perioadei de timp, indicele mediu de dinamică va fi: , unde k-numărul indicilor medii parțiali, ni-numărul indicilor de dinamică cu bază mobilă ce intră în calculul indicelui mediu parțial, – indicele mediu parțial

D) Ritmul de dinamică arată cu câte procente s-a modificat, în medie, nivelul fenomenului analizat, de la o perioadă la alta:

Ex.35. Revenind la situația petelor solare din luna decembrie 2017, indicatorii medii calculați vor fi: , , , , ceea ce înseamnă că, în medie, s-au observat aproximativ 8 pete solare/zi, fără a înregistra, în medie, creșteri zilnice.

Ex.36. În ceea ce privește situația petelor din luna ianuarie 2018:

Am considerat y1=13 (4/1/2018) iar yn=12 (31/1/2018). Pe întreaga lună ianuarie se pot constata doar patru zile cu creșteri ale numărului de pete solare, majoritatea zilelor înregistrând creșteri negative. În medie s-au măsurat 6,8 pete solare/zi, (), având o creștere negativă de -0,03 (), cu o rată de -0,3% zilnic ().

Ex.37. Analizând evoluția petelor solare în decursul anilor 2017 și 2016 se poate observa o ciclicitate a graficelor, și o tendință de scădere a numărului de pete:

Folosind mediile lunare se poate observa tendința de scădere a numărului de pete:

Calculând indicatorii medii pentru cele două serii statistice se obține:

– pentru anul 2017, în medie, au fost observate 21,8 pete solare pe zi având o abatere standard de 21.4, cu o rată a creșterii de și un coeficient de variație de 98.17%.

– pentru anul 2016, în medie, au fost observate 39,8 pete solare pe zi având o abatere standard de 24,7, cu o creștere negativă de pete/zi, având o rată de scădere de -0.33% zilnic, cu un coeficient de variație de 62,06%.

Pentru un studiu cât mai complet al unei serii de timp, după reprezentarea grafică a acesteia, se impune ajustarea datelor seriei.

II.3.3. Ajustarea seriei cronologice

Ajustarea seriilor de timp constă în aplicarea de metode specifice pentru a determina tendința generală a fenomenului (trendul) și o prognoză a evoluției fenomenului studiat, prin înlocuirea termenilor reali ai seriei cu valorile trendului.

Pentru o determinare optimă a trendului se folosesc două tipuri mari de metode:

– mecanice: metoda grafică, metoda mediilor mobile, metoda sporului mediu, metoda indicelui mediu de dinamică.

– analitice: bazate pe modelare prin funcții și folosind metoda celor mai mici pătrate.

3.1. Metoda grafică de ajustare a unei serii cronologice este una dintre metodele mecanice și constă în unirea, printr-o curbă/dreaptă trasată pe graficul seriei, a valorilor extreme ale seriei, astfel încât valorile reale să aibă abateri minime de la curba trasată. Este o metodă empirică ce ajută la determinarea intuitivă a trendului, ajutând la alegerea metodei optime de determinare a tendinței generale a seriei cronologice.

3.2. Metoda mediilor eșalonate presupune gruparea valorilor consecutive câte două, trei sau mai multe, pentru calculul mediei aritmetice a lor. Oricare două grupe diferite sunt disjuncte. Dacă seria are n valori, mediile eșalonate se vor calcula conform exemplului de mai jos:

Dacă seria conține foarte multe valori se poate continua procedeul, pentru mediile obținute, găsindu-se medii eșalonate de nivel superior.

3.3. Metoda mediilor mobile presupune calculul mediei aritmetice parțiale a p<n valori consecutive ale seriei. Un termen al seriei poate apărea în mai multe grupe considerate. Dacă o grupă este formată dintr-un număr par de termeni, numărul mediilor ajustate va fi mai mic cu p termeni, astfel:

Ceea ce se poate observa e faptul că, mediile parțiale (MP) calculate nu pot înlocui nici o valoare inițială a seriei (sunt între termeni). De aceea e necesar calculul mediei ajustate (MCA) pentru centrarea valorilor, repetând procedeul anterior pentru mediile parțiale calculate.

Dacă grupele sunt formate din număr impar de temeni se vor obține n-(p-1) medii mobile ajustate, astfel:

Ex.38. Curba trendului seriilor statistice reprezentând evoluția numărului de pete solare în anii 2016 și 2017 este dată în graficele de mai jos. Având în vedere că datele înregistrate sunt zilnice, am folosit, pentru a determina mediile mobile ajustate (MCA) grupe de câte 7 valori. Pentru primele două grafice, pentru comparare am folosit și grupe de câte patru valori. Tendința obținută în cele trei grafice se apropie de valorile inițiale ale seriei. Pentru al treilea grafic, având în vedere că sunt reprezentate datele zilnice din decursul a doi ani, am folosit pentru a determina MCA, grupe de câte 30 de valori—MCA30 (corespunzător unei luni). Din curba obținută se poate observa tendința generală de scădere a numărului de pete, deși în 2017, luna august a fost o lună cu activitate solară destul de intensă.

3.4. Metoda sporului mediu (metoda modificării medii absolute) presupune o legătură între primul termen (sau un termen reprezentativ al seriei), modificarea medie absolută și un termen oarecare al seriei. Matematic, această legătură este o progresie aritmetică de forma:

,

rația progresiei fiind modificarea medie absolută.

Valorile ajustate obținute sunt reprezentate sub forma unei drepte, eliminându-se fluctuațiile întâmplătoare ale seriei.

Ex.39. Pentru seria reprezentând numărul de pete pentru anul 2016, dreapta obținută este dată de graficul de mai jos, observându-se clar tendința de scădere.

Ex.40. Pentru seria reprezentând numărul de pete pentru anul 2017, dreapta obținută este dată de graficul de mai jos, observându-se o tendință de evoluție constantă.

Ex.41. Pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decursul anilor 2016-2017, dreapta obținută arată clar tendința de scădere a numărului de pete.

3.5. Metoda indicelui mediu de dinamică presupune o legătură între primul termen (sau un termen reprezentativ al seriei), indicele mediu de dinamică și un termen oarecare al seriei. Matematic, această legătură este o progresie geometrică de forma:

,

rația progresiei fiind indicele mediu de dinamică.

Valorile ajustate obținute sunt reprezentate sub forma unei curbe, eliminându-se fluctuațiile întâmplătoare ale seriei.

Ex.42. Pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decursul anilor 2016, curba obținută arată clar tendința de scădere a numărului de pete.

Valorile ajustate folosind metoda sporului mediu și metoda indicelui mediu de dinamică, pentru luna ianuarie a anului 2016 sunt prezentate în tabelul de mai jos, unde valoarea inițială pentru fiecare din cele două metode a fost aleasă astfel încât erorile obținute să fie cât mai mici, adică Graficele de mai sus s-au obținut extrapolând metodele folosite pentru toată perioada studiată.

Valorile seriilor cronologice sunt ajustate și cu ajutorul metodelor analitice. Pentru aceasta se folosesc funcții a căror reprezentare grafică modelează cel mai bine reprezentarea seriei. Cele mai folosite funcții sunt: funcția de gradul I (liniară), funcția de gradul II (parabolică), funcția hiperbolică, funcția exponențială și funcția logistică. Trendul imprimat de aceste funcții unei seri cronologice poate fi unul sau mai multe dintre variantele:

trend liniar, imprimat de funcția de gradul I, , variabila fiind timpul iar coeficienții urmând a fi determinați

trend parabolic, imprimat de funcția de gradul II, , coeficienții urmând a fi determinați

trend exponențial, , având coeficienții

trend hiperbolic, , având coeficienții

trend logistic, , având coeficienții

Pentru oricare din aceste funcții parametrii se determină folosind metoda celor mai mici pătrate: ceea ce înseamnă că derivatele parțiale de ordin I în funcție de fiecare din parametrii să fie nule.

Pentru funcția de gradul I, parametrii se determină astfel:

Derivatele parțiale de ordin 1 fiind zero se obține: , de unde .

Analog se obțin coeficienții pentru trendul parabolic și hiperbolic.

Pentru funcția exponențială , logaritmând se reduce la a afla coeficienții unei funcții de gradul I:

, notând și , funcția devine ,

coeficienții ce trebuie determinați fiind A și B, apoi folosind legătura între a și A, respectiv b și B, se determină funcția exponențială corespunzătoare trendului, unde:

.

Pentru a alege una dintre funcțiile de mai sus trebuie ținut cont de forma graficului seriei statistice: dacă, vizual, seria are un trend liniar se folosește funcția de gradul I, dacă seria are tendințe de creșteri absolute din ce în ce mai mari se folosește funcția exponențială. Condiția pentru una sau alta dintre metodele aplicate este ca . De aceea originea valorilor de timp se alege ca fiind la mijlocul seriei (dacă numărul total al variabilelor este impar), considerându-se a avea valoarea 0, valorile precedente fiind notate descrescător -1, -2, -3…, iar valorile ce urmează, crescător 1, 2, 3….Dacă numărul total al variabilelor este par, originea valorilor de timp se alege ca fiind între cele două valori centrale, folosind notațiile: …-3, -2, -1, 1, 2, 3….

Ex.43. Seria cronologică reprezentând datele zilnice ale ciclului curent al Soarelui este reprezentată grafic astfel:

Curba de trend MCA6 este calculată folosind metoda mediilor mobile grupele având o amplitudine corespunzătoare a 6 luni (180 de zile), iar curba de trend Poly.(tot) reprezintă o aproximare a trendului printr-o funcție polinomială de gradul VI:

.

Pe lângă trend, un factor important al seriei cronologice îl reprezintă sezonalitatea/ciclicitatea seriei. Sezonalitatea/ciclicitatea seriei cronologice reprezintă oscilații periodice în jurul trendului. Dacă oscilațiile au loc la intervale regulate cu perioade scurte (sub un an), seria cronologică va fi sezonieră, iar dacă perioadele sunt pe mai mulți ani seria este ciclică.

Ex.44. Din analiza petelor solare lunare în perioada 1963-2018 se poate constata ciclicitatea seriei cu o perioadă de aproximativ 11 ani:

Maximele seriei se pot observa a fi în jurul anilor 1969, 1980, 1991, 2002, 2014, cu o diferență de aproximativ 11 ani între ele.

Sezonalitatea se studiază în funcție de trend. Variația sezonieră se exprimă printr-un coeficient de sezonalitate. Pentru determinarea coeficientului de sezonalitate (Sj) cea mai folosită metodă este metoda mediilor mobile.

Algoritmul de determinare a sezonalității este:

i) se elimină trendul (determinat cu metoda mediilor mobile):

– pentru modelul aditiv: ,

– pentru modelul multiplicativ: ,

unde uij reprezintă factorul rezidual al seriei, numărul curent al perioadei, numărul curent al subperioadei, – indicele de sezonalitate

ii) se elimină factorii reziduali, obținându-se factori sezonieri intermediari :

– pentru modelul aditiv: dacă

– pentru modelul multiplicativ: dacă

Dacă sau , se trece la pasul următor:

iii) se determină indicii de sezonalitate corectați, astfel

– pentru modelul aditiv

– pentru modelul multiplicativ .

Termenii seriei ajustați în funcție de sezonalitate/ciclicitate, depinzând doar de trend și elementele reziduale, vor fi:

– pentru modelul aditiv:

– pentru modelul multiplicativ: .

Ex.45. Datele desezonalizate ale seriei cuprinzând numărul de pete solare pentru perioada 2008-2011 sunt date în tabelul de mai jos:

Indicii de sezonalitate folosiți pentru ajustarea datelor sunt:

Folosind acești indici am desezonalizat întreaga serie statistică cuprinzând numărul de pete solare din perioada 1963-2018.

Ex.46. Reprezentarea grafică a serie comparativ cu datele desezonalizate este:

Un nou ciclu solar începe în momentul în care numărul de pete atinge minimul. De asemenea se poate observa că fiecare ciclu are două maxime, interesant la ultimul ciclu solar este faptul că al doilea maxim este mai mare decât primul. De asemenea, pentru ultimul ciclu solar, începutul ar fi trebuit să fie în anul 2007, însă anul 2008 a fost anul cu cele mai multe zile fără activitate solară, din ultimele cinci cicluri solare:

II.3.4. Corelarea datelor obținute cu predicții publicate

De-a lungul timpului au fost făcute numeroase predicții ale ciclului 24, unele mai exacte alte mai puțin exacte. Una dintre predicții a fost realizată de către o echipă de cercetători sub numele de The Solar Cycle 24 Prediction Panel, NOAA și NASA. Corelând datele utimului ciclu solar cu predicțiile făcute se obține:

Datele corelate sunt reprezentate, începând cu anul 2007, cu albastru, trendul fiind trasat cu verde. În toate predicțiile maximul ciclului era indicat în jurul anului 2012, când, într-adevăr, a avut loc primul maxim, însă maximul ciclului s-a atins in anul 2014.

O altă predicție a fost făcută de către prof. dr. Mircea Rusu, Universitatea București. Pentru toate predicțiile, faptul că minimul a fost atins în 2008 nu în 2007 a fost una dintre problemele apărute. În acest caz al doilea maxim a fost prezis în jurul anului 2013 mult mai mic decât primul maxim, datele corelate arătând că al doilea maxim a fost mai mare decât primul, având loc în 2014.

Analiza ciclurilor soare și predictibilitatea lor este un domeniu de mare actualitate, având în vedere numărul tot mai mare de sateliți ce orbitează Pământul. Importanța acestor studii se traduce, în primul rând prin asigurarea bunei funcționări a sateliților trimiși în spațiu, precum și siguranța echipajelor de astronauți și cercetători ce se află la bordul Stației Spațiale Internaționale.

Probleme propuse:

28. Arătați că, pentru un trend liniar , acesta va conține punctul de coordonate .

29. Având următoare serie statistică (mediile lunare ale numărului de pete solare în anii 2014, 2015) determinați coeficienții a și b pentru trend liniar:

30. Aceeași cerință pentru un trend exponențial.

31. Pentru graficul de mai jos se poate stabili un trend liniar de forma:

Folosind graficul, determinați ecuația trendului.

32. Determinați coeficienții trendului polinomial de gradul II al seriei reprezentate mai jos:

III. Aplicații ale studiului fenomenelor periodice în activitatea de predare-învățare

III.1. De ce statistică?

Primele noțiuni de statistică apar la nivelul clasei I, când elevii, culegând datele din grafice, trebuie sa răspundă la o serie de cerințe de genul:

Sau sunt puși în postura de a învăța prin descoperire, efectuând experimente de genul celui prezentat în imaginea de mai jos:

Noțiunile de statistică sunt continuate și în celelalte clase primare, prin cerințe de felul:

– clasa a II-a, punându-se accentul pe interpretarea datelor reprezentate grafic

– clasa a III-a, înregistrarea datelor în tabele și interpretarea lor, citirea datelor din diferite tipuri de diagrame:

– clasa a IV-a, cu un capitol special dedicat Organizării și Interpretării datelor elevii sunt puși în postura de a culege, înregistra și reprezenta grafic date:

Dacă în clasele primare, accentul se pune pe interpretarea intuitivă a datelor statistice, din clasa a V-a se introduc primii indicatori statistici, prin calculul mediei aritmetice simple și ponderate. Se continuă reprezentarea intuitivă a datelor înregistrate în tabele, iar în clasa a VII-a se introduc primele noțiuni despre sistemul ortogonal de axe, avantajele reprezentării grafice a datelor în sisteme de coordonate alese convenabil.

Studiul statistic continuă la nivel de liceu, în clasa a X-a, când, pe lângă diversele reprezentări ale datelor statistice, interpretările nu se vor mai face la nivel intuitiv ci folosind indicatorii statistici. Pentru elevii de la profilul uman, specializare socio-umane, studiul statisticii continuă și în clasa a XI-a, prin culegerea, înregistrarea, reprezentarea și interpretarea datelor statistice rezultate din studii de caz și sondaje de opinie.

Deși, la nivel de liceu, studiul statistic și probabilistic este minimalizat ca importanță, acesta constituie un instrument aflat la îndemână pentru creșterea interesului studiului științelor exacte: într-una din generațiile trecute (2015-2016), profil socio-umane, în clasele a IX-a și a X-a am putut constata un interes scăzut față de noțiunile matematice, însă începând cu noțiunile de statistică, interesul a crescut considerabil, de la media clasei de 5,65 la unul dintre testele date, am ajuns la media clasei de 9,30 la partea de statistică (mediile clase menținându-se în jurul lui 9 pe tot parcursul studierii statisticii).

Într-un fel sau altul, statistica se regăsește în toate domeniile de cercetare, în toate domeniile economice sau sportive, fiind cel mai la îndemână instrument pentru analiza în perspectivă a unor fenomene periodice sau neperiodice. De la cantitatea de aer pe care o respirăm până la procentul de substanță activă în medicamente, de la viteza unui sportiv pe pistă până la numărul de pasageri ai curselor aeriene, de la modificările cursului valutar până la starea vremii sunt doar câteva dintre fenomenele studiate prin prisma statisticii. De aceea, predarea statisticii oferă cea mai bună oportunitate de îmbinare a metodelor clasice cu metodele activ-participative, centrate pe elevi, de a-i familiariza pe aceștia cu metode de cercetare, precum și cadru pentru evidențierea trans- și inter-disciplinarității.

Cel mai controversat subiect dat la examenul de Evaluare Națională a fost un subiect de statistică:

Controversa a plecat de la dificultatea elevilor de a citii corect o diagramă, dintr-o dată foarte mulți părinți, și parte a opiniei publice devenind ”experți” în statistică, controversa plecând de la legenda graficului, graficul fiind bine făcut, legenda explicită. Însă această controversă nu a făcut altceva decât să evidențieze gradul tot mai mare de analfabetism funcțional cu care se confruntă toate societățile, în contradicție cu efectul Flynn de creștere a coeficientului de inteligență cu aproximativ 3 puncte/deceniu, începând cu anul 1900:

Tocmai de aceea e nevoie de schimbarea perspectivei cadrului didactic în procesul de predare învățare, aducerea în fața elevilor a unor subiecte de actualitate, care îi pasionează tot mai mult, cum ar fi folosirea internetului în scopuri educative, subiecte legate de Univers. Deși astronomia nu se mai predă în școli, subiectele legate de astronomie, locul Pământului în spațiu, configurațiile de pe bolta cerească pe timp de noapte sunt lucruri extrem de captivante și de interesante din prisma elevilor.

În clasa a VII-a sunt introduse primele noțiuni de trigonometrie, începând cu definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în triunghiuri dreptunghice, elevii fiind nevoiți, prin prisma a ceea ce se cere de la ei, să memoreze niște formule și valorile acestor funcții pentru unghiurile de 30o, 45o respectiv 60o, însă majoritatea nu văd utilitatea acestor formule. Oricât de multe exemple ar rezolva, fiind puși în fața unei probleme reale de măsurarea a distanțelor nu reușesc să facă legătura între funcțiile trigonometrice învățate și ceea ce au de făcut. În anul școlar 2014-2015 am efectuat un experiment cu o clasă de a VII-a, folosind trigonometria în determinarea circumferinței Pământului, tehnică folosită de Eratostene cu aproximativ 2100 de ani în urmă. Experimentul constă în măsurarea umbrei unui băț vertical, pentru ușurarea calculelor bățul se recomandă a avea o lungime de 100 cm, la amiaza adevărată (prin măsurători succesive, se determină valoarea cea mai mică a umbrei bățului, valoare corespunzătoare momentului amiezii adevărate). Aplicând funcțiile trigonometrice în triunghi dreptunghic și folosind scara unei hărți se poate determina fără probleme circumferința Pământului. Experimentul e relevant din punct de vedere statistic prin prisma culegerii și înregistrării datelor, s-au realizat minim 10 măsurători, pentru determinarea momentului amiezii adevărate. Eroarea obținută, făcând calculele prin raportare la linia ecuatorului, a fost de 100 km, valoarea circumferinței obținute fiind de 40175 km, față de 40075km. Un foarte bun motiv pentru determinarea cauzelor ce pot produce erori în calcule. Elevii au participat cu entuziasm la experiment, chiar dacă aceasta a însemnat două ore petrecute sub Soarele arzător. Pe lângă rezultatele strict legate de experimentul Eratostene, elevii au înțeles cum se calculează distanțe folosind trigonometrie elementară, au înțeles că funcțiile trigonometrice se pot aplica pentru orice unghiuri (putând fi calculate fără probleme cu ajutorul calculatoarelor științifice), au descoperit utilitatea calculatorului științific de pe telefon, au aplicat fără probleme scara unei hărți, găsind metoda cea mai adecvată de măsurarea a distanței pe hartă.

III.2. Considerente metodologice

Deși tendința actuală este spre metode centrate pe elev, activ-participative, în practica la clasă încă predomină metodele clasice. Motivele sunt multiple, de la lipsa timpului, prin prisma unei programe aglomerate și a unor examene cu itemi standardizați la un nivel mediu spre mic. Totuși, prin prisma a ceea ce așteaptă și își doresc elevii, noi metode își fac loc în demersul didactic. Din această cauză voi face o prezentare teoretică a unor metode didactice compatibile cu predarea statisticii, metode aflate în concordanță cu prevederile programei școlare aprobate de MEN, ce respectă conținutul științific, stadiul actual al gândirii științifice asupra naturii problemelor studiate, ierarhizarea cunoștințelor pe grade de dificultate, realizarea unui demers didactic logic, cu legături între ceea ce se știe și ceea ce se învață, adecvarea la vârsta și la nivelul de cunoștințe deja dobândite, stimularea creativității elevului de a adapta informațiile dobândite, încurajarea demersului intelectual independent al elevului, motivarea pentru lucrul în echipă, evitarea stereotipiilor și a prejudecăților. Filosoful irlandez John Locke, spunea în carte sa ”Some Thoughts Concerning Education” că: ”Este imposibil ca elevii să învețe ceva cât timp gândurile lor sunt robite și tulburate de vreo patimă. Întrețineți-i deci într-o stare de spirit plăcută, dacă vreți să vă primească învățăturile. Este tot atât de imposibil să imprimi un caracter frumos și armonios într-un suflet care tremură, pe cât este de greu să tragi linii frumoase și drepte pe o hârtie care se mișcă.”

Metodele de predare-învățare, datorită importanței deosebite pe care au în procesul didactic, au constituit permanent un subiect de dezbatere și analiză. Specialiștii din domeniul științelor educației au propus și elaborat, în timp, diverse modalități de clasificare a metodelor de învățământ. Din punct de vedere pragmatic, importanța nu este elaborarea unei taxonomii a metodelor didactice, respectiv încadrarea rigidă a unei metode într-o anumită categorie, ci identificarea principiilor și a cerințelor care stau la baza utilizării ei eficiente, desigur, în combinație cu alte metode didactice și în așa fel încât să țină cont de caracteristicile situației de instruire.

Didactica modernă susține că „metoda de învățământ este înțeleasă ca un anumit mod de a proceda care tinde să plaseze elevul într-o situație de învățare, mai mult sau mai puțin dirijată care să se apropie până la identificare cu una de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a adevărului și de legare a lui de aspectele practice ale vieții”.

Diversificarea situațiilor de instruire a dus, în timp, la diversificarea metodologiei didactice; „școala de astăzi se declară în favoarea diversificării și flexibilizării metodologiei de instruire“, ceea ce conduce la extinderea ariei problematice a domeniului; criteriile de clasificare sunt foarte numeroase și autori diferiți adoptă una/alta dintre variante. Le voi enumera pe cele mai frecvent citate în lucrările de didactică reprezentative.

Am ales să redau clasificarea metodelor de învățământ realizată de M. Ionescu care le împarte în:

i) metode de transmitere și însușire a cunoștințelor.

– metode de comunicare orală:

a) metode de comunicare orală expozitivă (expunerea, expunerea cu oponent, povestirea, descrierea, explicația, informarea, prelegerea-școlară, prelegerea-dezbatere, conferința-dezbatere, cursul magistral);

b) metode de comunicare orală conversativă (conversația, discuția, dezbaterea, asaltul de idei, colocviul);

c) metoda problematizării.

– metode de comunicare scrisă:

a) lectura (explicativă, dirijată);

b) activitatea cu manualul.

– metode de comunicare la nivelul limbajului intern:

a) reflecția personală;

b) introspecția.

ii) metode de cercetare a realității:

– metode de cercetare directă a realității:

a) observația sistematică și independentă;

b) experimentul;

c) abordarea euristică (în plan material);

d) învățarea prin descoperire (în plan material).

– metode de cercetare indirectă a realității:

a) abordarea euristică (în plan mental);

b) învățarea prin descoperire (în plan mental);

c) demonstrația;

d) modelarea.

iii) metode bazate pe acțiune practică:

– metode de acțiune reală:

a) exercițiul;

b) rezolvări de probleme;

c) algoritmizarea;

d) lucrări practice;

e) studiul de caz;

f) proiectul/tema de cercetare.

– metode de acțiune simulată:

a) jocuri didactice;

b) jocuri de simulare;

iv) instruirea și autoinstruirea asistată de calculator.

Parcurgerea acestor metode relevă dinamismul metodologiei didactice dar și evoluția cercetării pedagogice în domeniu. Toate lucrările de specialitate descriu conținutul acestor metode, avantajele și dezavantajele pe care utilizarea lor le induce.

III.2.1 Problematizarea

Vizează dezvoltarea gândirii independente productive, dezvoltă schemele gândirii divergente, antrenează aptitudinile creatoare, asigurând motivarea intrinsecă a învățării;

Problema sau situația-problemă reprezintă o interacțiune cognitivă între subiect-obiect. Interacțiunea are următoarele proprietăți:

– există anumite lacune în cunoștințele elevului;

– declanșează nevoia de cunoaștere;

– incertitudine, necunoscut.

– profesorul trebuie să creeze situații problemă, preluate, structurate în raport cu tematica obiectului de studiu; elevului i se cere efectuarea unei analize a situației problemă;

– tema propusă trebuie să trezească surpriza, mirarea, uimirea;

– elevul parcurge următoarele momente:

– perceperea problemei și a primilor indici orientativi pentru rezolvare (profesorul descrie situația problemă);

– studierea datelor problemei;

– căutarea soluțiilor posibile la problema pusă;

– obținerea rezultatului final și evaluarea lui.

III.2.2. Abordarea euristică

În strategia euristică, cele care fac obiectul procesului de predare-învățare sunt conceptele. Ele determină selecția obiectelor și evenimentelor discutate. Problema rezultă din raporturile particulare în care se află diferite concepte.

Abordarea euristică presupune:

– momente de incertitudine, căutări, tatonări;

– selecție a posibilităților;

– alegerea celor mai bune căi;

– angajarea elevului într-o sarcină de cunoaștere pentru care are o experiență insuficientă.

III.2.3. Învățarea prin descoperire

Presupune ca elevii să descopere adevărul refăcând drumul elaborării cunoștințelor prin activitate independentă. În accepțiunea primară s-a numit maieutică; profesorul îi determină pe elevi să găsească rezultatul dorit printr-o serie de întrebări bine formulate. În școală are loc un proces denumit învățare prin descoperire dirijată, adică îndrumarea de către profesor a procesului de descoperire efectuat de elevi sub forma sugestiilor și a indicațiilor;

Avantajele metodei:

– asigură condiții pentru o activitate intelectuală intensă;

– structurarea celor descoperite în achiziții trainice;

– dezvoltarea unei motivații intrinseci;

– însușirea unor metode euristice de descoperire.

III.2.4. Algoritmizarea

Algoritmul are trei note definitorii (A.A. Markore, 1954):

caracter precis determinat;

valabilitatea sa pentru o clasă de obiecte problemă;

finalitate certă, rezultativitatea sa.

Algoritmizarea poate fi considerată ca fiind prezentă în interiorul fiecărei metode de învățământ.

III.2.5. Munca în grup

Presupune cooperare și activitate comună pentru a rezolva o sarcină.

Metoda valorifică avantajele muncii școlare și extrașcolare în grup:

atenuarea unei manifestări exagerate a individualității;

rezultatele îmbinării muncii individuale cu cea de grup etc.

Cerințele în utilizarea metodei sunt:

cunoașterea modului în care vor fi realizate grupele (4-6 membri);

constituirea unor grupe permanente sau ocazionale după diferite criterii;

efectuarea unui plan:

analiza temei;

împărțirea sarcinilor;

emiterea unor teze;

efectuarea investigației propriu-zise;

notarea rezultatelor obținute;

interpretarea rezultatelor;

elaborarea referatului final;

judecarea, evaluarea, aprecierea rezultatelor.

modificarea sistemului obișnuit de notare prin folosirea unui sistem de punctaj, utilizarea unor grile;

îmbinarea formei competitive de lucru cu forma cooperativă.

III.2.6. Proiectul, tema de cercetare

Presupune efectuarea de către elevi, a unei cercetări ce are obiective practice și finalizate printr-un produs: instalații, obiecte, aparate, albume etc.

Un proiect îmbină munca de investigare științifică cu activitatea practică a elevului.

Tema de cercetare se concretizează în:

– efectuarea de investigații în mediul înconjurător (elaborarea unor sondaje, studii privind evoluția în timp a unei localități, istoricul unei școli etc.);

– proiectarea și confecționarea unor aparate, instalații modele necesare în învățământ;

– lucrări științifice pe o temă prestabilită;

– participarea elevilor la elaborarea unor proiecte de amplasare a unor obiective industriale, sau culturale, de sistematizare a localității etc.;

– lucrare de diplomă.

III.2.7. Studiul de caz

Este o metodă de instruire și de învățare activă și de cercetare (psihologie, pedagogie, sociologie, economie etc.). R. Nuchielli, precizează următoarele cazuri:

– incidente semnificative care denotă o stare de fapt neclară sau chiar penibilă;

– o situație particulară, desfășurată în timp;

– o persoană aflată la un moment dat în încurcătură (cu dificultăți de diferite naturi);

– un moment problematic în viața profesională școlară.

Studiul de caz are rol formativ deoarece elevii:

– se obișnuiesc să adune informații, să le selecteze, să le valorifice, să elaboreze decizii în mod argumentat;

– își dezvoltă capacitatea de examinare critică a diferitelor strategii și variante de soluționare;

– își dezvoltă capacitatea de a anticipa evoluția evenimentelor;

– iau decizii eficiente;

– trebuie să-și argumenteze ipotezele, explicațiile proprii prin participarea activă la soluționarea cazului;

Profesorul, în studiul de caz, este necesar:

să dețină o gamă largă de cazuri adaptate disciplinei și particularităților de vârstă a elevilor;

să conducă desfășurarea studiului de caz astfel încât acesta să devină un exercițiu al căutării, al descoperirii;

să evidențieze reguli de soluționare a mai multor cazuri similare;

să prezinte cazul, să organizeze, să conducă întregul proces de analiză a acestuia, să dirijeze dezbaterile;

profesorul poate sugera mai multe variante de soluționare, incitând la căutarea celei mai bune.

III.2.8. Ciorchinele

Ciorchinele creează structura necesară pentru a stimula gândirea cu privire la legăturile între idei. Această metodă încurajează o formă neliniară de gândire care reflectă felul în care funcționează mintea noastră. Poate fi folosită pentru a stimula gândirea înainte ca un subiect să fie studiat mai în detaliu. De asemenea poate fi utilizată ca mijloc de rezumare a ceea ce s-a studiat, ca mod de construire a unor noi asocieri sau ca mod de reprezentare grafică a noilor rațiuni. În general, este o modalitate de accesare a propriilor cunoștințe, rațiuni sau convingeri despre un subiect. Deoarece este o activitate de scriere, servește la informarea autorului asupra cunoștințelor și legăturilor de care acesta nu era conștient.

Ciorchinele poate fi realizat individual sau ca activitate de grup. Ca activitate de grup poate servi drept cadru pentru ideile grupului, oferindu-le elevilor prilejul să cunoască asocierile și relațiile pe care alți elevi le deduc din îndrumări. Activitatea individuală de elaborare a ciorchinelui reprezintă o alternativă la brainstorming-ul de grup, deoarece este rapidă și permite tuturor elevilor să se implice activ în procesul de gândire.

Etapele care pot fi parcurse prin metoda ciorchinelui sunt:

scrierea unui cuvânt sau expresii ce constituie „nucleul”;

adăugarea altor cuvinte sau expresii legate de „nucleul” dat, până la epuizarea timpului dat sau până la epuizarea ideilor;

realizarea conexiunilor între cuvinte sau expresii;

compararea în perechi, pentru ciorchinele realizat individual, sau cu întregul grup.

III.2.9. Metoda mozaicului

Metoda mozaicului este o metodă de învățare prin colaborare. Presupune împărțirea clasei în grupuri cooperative, fiecare membru al grupului devenind expert pe o anumită parte din tema propusă spre studiu. Astfel metoda cubului începe prin formarea grupurilor cooperative, prin împărțirea materialului în 4-5 subteme. Clasa va fi împărțită în grupe de 4-5 elevi, fiecărui elev din grupă revenindu-i o subtemă din cele propuse, devenind astfel expert pe porțiunea respectivă. Se continuă cu gruparea elevilor în grupe de experți, experții pe aceeași temă formând o grupă în cadrul căreia se studiază și se aprofundează materialul pentru a fi înțeles și explicat (predat) colegilor. Ultima parte specifică metodei, constă în refacerea grupurilor inițiale (grupuri cooperative), în cadrul cărora fiecare expert își prezintă tema astfel încât toți elevii din cadrul unui grup vor fi puși în dublă ipostază: de a preda tema însușită și de a învăța și a înțelege celelalte teme din cadrul lecției.

Evaluarea se poate realiza fie folosind aprecieri verbale, fie prin realizarea unor proiecte sau prin autoevaluare.

Cu toate că metoda presupune riscul ca nu toți elevii să-și însușească corect noțiunile, metoda are numeroase avantaje dintre care se pot pune în evidență următoarele:

dezvoltarea competențelor cognitive și de comunicare

participarea activă a elevilor la lecție, prin implicarea tuturor elevilor în realizare sarcinilor de predare-învățare

compararea modalităților de învățare

dezvoltarea capacităților de cooperare

III.2.10. Metoda asaltului de idei (brainstorming-ul)

Metoda a fost inițiată de Alex. F. Osborn, iar sub aspect pedagogic are două sensuri:

– originar, fiind o metodă de stimulare a creativității participanților, de descoperire a unor soluții inovatoare pentru problemele în domeniu;

– al doilea sens este de a fi cadru propice pentru instruirea școlară.

Metoda presupune:

O primă etapă de ordin cantitativ, care reunește un grup de 5-12 persoane ce emit timp de o oră mai multe idei, nicio afirmație nu este supusă unui demers critic. Astfel, se dezvoltă o atmosferă constructivă, fiecare idee primind maximum de atenție. Deoarece nu se critică, se diminuează factorii inhibitori și se elimină blocajele din gândire favorizate rutinei intelectuale.

Brainstorming-ul presupune respectarea următoarelor reguli:

– toate ideile, cu caracter de cunoștințe vor fi primite ca atare de către membrii grupului;

– nicio sugestie nu se critică;

– membrii grupului sunt încurajați să construiască pe ideea altuia, la final nicio idee nu aparține nimănui, se încurajează combinațiile de idei;

– sunt solicitați și cei tăcuți din grup, aceștia fiind investiți cu această structură de rol și de putere;

– calitatea e mai puțin importantă decât cantitatea, dar nu înseamnă că membrii grupului nu trebuie să gândească inteligent și creativ.

2. A doua etapă constituie „perioada de incubare”, de reflecție, de evaluare și selecție a ideilor sau soluțiilor propuse. În practica pedagogică trebuie ca grupul care a emis ideile să fie același cu cei care le evaluează la finalul sesiunii.

Aplicarea metodei asaltului de idei în practica școlară a permis desprinderea următoarelor concluzii:

– elevii se integrează greu într-o asemenea activitate;

– grupul care a emis ideile să fie același care le evaluează la sfârșitul sesiunii (se poate ca investirea unor elevi cu titlul de evaluator ai ideilor emise de colegii lor să inducă o atmosferă inhibitorie și conflictuală în cadrul grupul);

– elevii trebuie obișnuiți cu specificitatea unei astfel de metode (se pot aplica situații de brainstorming amuzante și nespecifice);

– se pot aplica simultan mai multe metode de stimulare;

– metoda se realizează mai ușor pe grupe omogene, dar este mai puțin eficientă în ceea ce privește originalitatea ideilor, dacă are lor pe grupe eterogene;

– una dintre limitele serioase ale metodei „tradiționale” este că se consumă o mare cantitate de timp, datorită inhibiției, anumite persoane pot dovedi un ritm de creativitate sensibil, mai ridicat față de altele;

– grupul poate fi dominat de un membru ineficient.

III.2.11. Controversa creativă

Metoda nu este centrată doar pe problemă și pe rezolvarea acesteia, ci pe regăsirea prin experiența părților unor contradictorii.

Modelul a fost propus de David și Roger Johnson și presupune :

– divizarea grupului de lucru în microgrupuri care conțin patru persoane;

– în astfel de microgrupuri doi participanți susțin cu fermitate poziția într-un caz controversat, iar ceilalți doi vor susține cu aceeași fermitate poziția controversă. De exemplu, doi vor susține că învățarea prin expunere este mai avantajoasă decât cea presupusă de tehnicile active, iar ceilalți doi vor insista pe argumentele calitative ale tehnicilor active care dezvoltă strategii de gândire, de memorare conștientă;

– prezența celor două echipe în poziție evidentă de opoziție și concurență, de aceea se cultivă spiritul de competiție, de implicare profundă și completă;

– ca liderul, conducătorul lecției să ceară fiecărui susținător al unei anumite poziții să se retragă din microgrupul de dezbateri și să discute cu alți colegi din alte microgrupuri ce au același rol și apără aceeași perspectivă ca ei. Ulterior se vor reîntoarce și vor discuta în microgrupul de origine ideile pe care le-au găsit.

III.2.12. Evaluarea

Evaluarea poate fi realizată în orice moment pe parcursul unui program educațional, majoritatea programelor educaționale cuprinzând elemente sumative, formative și diagnostice. Scurta trecere în revistă a diferitelor tipuri de evaluare prezentată mai jos scoate în evidență faptul că evaluarea servește unor scopuri diferite în situații diferite. Kellough (1999) descrie aceste scopuri ca fiind:

de a asista învățarea elevilor

de a identifica punctele tari și punctele slabe ale elevilor

de a evalua eficacitatea unei anumite strategii de instruire

de a evalua și îmbunătății eficacitatea programelor curriculare

de a evalua și îmbunătății eficacitatea predării

de a oferi date care să sprijine procesul de luare a deciziilor

de a comunica cu părinții și a implica părinții

Printre tehnicile de evaluare cel mai des folosite în practică sunt:

Evaluarea sumativă

Evaluarea sumativă este un test de un anumit fel, în general administrat la sfârșitul semestrului sau programului. Examinările pentru calificări sunt exemple de evaluări sumative. Evaluarea sumativă se raportează la scopurile și obiectivele curriculumului, furnizând o măsură a gradului în care aceste scopuri și obiective au fost îndeplinite. În majoritatea programelor educaționale, scopul final este de a aduna date de evaluare sumativă care reflecte învățarea „cumulată” a elevilor.

În timp ce „informațiile sumative de calitate pot contura modul în care profesorii își organizează cursul sau ce oferă școlile elevilor” (NCFOT, 1999), există dovezi că evaluările sumative, cum ar fi examenele standardizate, pot afecta în mod negativ elevii (Swearingen 2004 citat din Black 1999).

Evaluarea formativă

Evaluarea formativă poate fi realizată la începutul și pe tot parcursul unui program educațional. Scopul evaluării formative este de a oferi elevului și profesorului informații și feedback cu privire la progresul înregistrat până în acel moment și la pașii următori. Evaluarea informală realizată în clasă este una din cele mai obișnuite tehnici de evaluare formativă. De exemplu, când profesorii folosesc fraze precum „Foarte bine, cred că ar trebui să treci la…” sau „Mai fă unul, dar de data aceasta folosește calculatorul”, ei realizează o evaluare formativă. Scopul evaluării formative este de a îmbunătăți calitatea învățării elevului. Nu trebuie să fie niciodată evaluativă sau să implice acordarea de note elevilor.

Evaluarea formativă poate duce și la schimbări în ceea ce privește competențele. S-a sugerat că evaluarea formativă este deosebit de eficientă pentru elevii cu rezultate mai slabe la învățătură; că poate facilita reducerea distanței dintre elevii cu rezultate slabe și cei cu rezultate bune la învățătură concomitent cu creșterea nivelului general de performanță. Se susține de asemenea că dacă scopul principal al evaluării este de sprijini învățarea de calitate, atunci acest scop se realizează cel mai bine printr-o utilizare sporită a evaluării formative.

Evaluarea diagnostică

Evaluarea diagnostică se realizează în general înainte de începerea predării pentru a evalua punctele tari și punctele slabe ale unui elev. Aceasta se realizează pentru a oferi un program educațional adecvat și pentru a stabili necesitățile de resurse suplimentare care trebuie asigurate. Gândirea actuală acordă o importanță deosebită evaluării diagnostice ca mijloc de maximizare a oportunităților de învățare și de abordare a nevoilor individuale. Evaluările diagnostice nu implică în mod normal acordarea de note; acesta nu este scopul lor. Scopul lor este de a informa profesorul și elevul despre ceea ce trebuie să facă în continuare pentru a progresa.

Autoevaluarea

Autoevaluarea este un aspect esențial al procesului de evaluare. Ajută elevul să se orienteze, informându-l cu privire la ceea ce a realizat și la ceea ce mai are încă de realizat. Când elevii participă la activități de autoevaluare, au ocazia de a reflecta asupra modului cum învață și asupra modalităților prin care învață cel mai eficient; adică, dezvoltă abilități meta-cognitive. Beneficiile autoevaluării se aplică în aceeași măsură tuturor elevilor, profesorul câștigând și el la fel de mult ca urmare a practicii reflexive.

Similar majorității activităților de învățare, autoevaluarea este o abilitate care trebuie învățată. De aceea, elevii neobișnuiți cu practica autoevaluării vor avea nevoie de ajutor și îndrumare în realizarea primilor pași, în alegerea întrebărilor pe care trebuie să și le adreseze și în interpretarea rezultatelor.

Procesul de autoevaluare cere elevului să:

analizeze ceea ce a realizat

identifice zonele în care se simte încrezător

identifice zonele unde este necesară o dezvoltare suplimentară

analizeze și evalueze progresul

Printre întrebările tipice din autoevaluare se numără:

Ce am învățat astăzi?

Ce am făcut bine?

De ce nu sunt sigur?

Unde am nevoie de ajutor?

Despre ce vreau să cunosc mai multe?

La ce voi lucra în continuare?

Unul din scopurile autoevaluării este de a determina elevii să-și stabilească singuri obiective. Stabilirea obiectivelor sau a scopurilor este o etapă importantă în procesul de învățare. Realitatea arată că, pe măsură ce câștigă experiență în practica autoevaluării, elevii devin mai conștienți de propriile nevoi, abilități, stiluri de învățare etc.

LUMINILE SEMAFORULUI

Priestley sugerează că semafoarele sunt o tehnică utilă în inter-evaluare și în autoevaluare. Când folosesc culorile semaforului, elevii etichetează activitățile în concordanță cu nivelul lor de înțelegere:

Roșu (Nu înțeleg)

Galben-portocaliu (Înțeleg o parte)

Verde (Înțeleg tot)

Priestley sugerează că elevii pot apoi forma grupuri de învățare și de analiză în funcție de nivelul lor de înțelegere (pe care l-au stabilit ei înșiși). De exemplu: galbenii și verzii lucrează împreună în timp ce roșii lucrează cu profesorul.

III.3. Lecția

Unitatea didactică fundamentală și funcțională în actul educațional îl reprezintă lecția. Aceasta trebuie să fie centrată pe competențe, implicând conținuturi și strategii didactice bine conturate. După Bocoș M. ”lecția modernă se constituie într-un program didactic și educațional, respectiv un sistem de procedee de lucru și acțiuni comune profesorului și elevilor (expuneri, explicații, demonstrații logice și experimentale, rezolvări de probleme etc.), structurate și organizate în vederea atingerii obiectivelor operaționale propuse și în vederea activizării elevilor în procesul didactic”. După majoritatea autorilor, lecțiile sunt împărțite în trei categorii mari:

lecții de comunicare sau însușire de noi cunoștințe

lecții de formare de priceperi și deprinderi intelectuale/practice

lecții de fixare și sistematizare

lecții de verificare și evaluare

lecții mixte.

În cadrul fiecărui tip de lecție este importantă stabilirea strategiilor didactice și alegerea metodei de lucru, în funcție de particularitățile elevilor clasei. Îmbinarea metodelor clasice cu cele moderne în cadrul unei lecții duc la o creștere a implicării elevilor și la rezultate mai ridicate. Scopul final al lecției este ca toți elevii să-și însușească competențele propuse.

III.3.1. Model de lecție mixtă

Mai jos prezint un model de lecție mixtă (îmbină fixarea și sistematizarea cunoștințelor cu acumulare de noi deprinderi, și evaluare). Metoda folosită este metoda mozaicului. Lecția prezentată poate fi folosită atât la clasa a 6-a urmărind deprinderea elevilor cu măsurare de unghiuri și cu scara unei hărți, precum și la clasa a 7-a, prin poziționarea punctelor într-un sistem de axe. Tema aleasă nu e printre temele propuse în programa școlară, însă urmărește competențe prevăzute în programele școlare în vigoare.

PROIECT DE LECTIE FOLOSIND METODA MOZAIC

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Profesor: Anca-Cătălina Marian

Școala: Colegiul Național Inochentie Micu Clain, Blaj

Unitatea de învățare: Elemente de organizare a datelor

Tema lecției: Evoluția în timp a Polului Nord magnetic

Clasa: a VII-a

Tipul lecției: mixtă

Scopul lecției însușirea de cunoștințe, formarea de priceperi și deprinderi pentru a determina coordonatele unui punct în plan, reprezentarea unei serii cronologice

Competențe cadru:

O1. Cunoașterea și înțelegerea conceptelor, terminologiei și a procedurilor de calcul specifice

O2. Dezvoltarea capacității de investigare, explorare și rezolvare de probleme

O3. Dezvoltarea capacității de a comunica folosind terminologia specifică

O4. Dezvoltarea motivației pentru aplicarea metodelor specifice matematicii în contexte variate

Competențe operaționale:

Competențe cognitive:

La sfârșitul activității elevii vor:

reprezenta puncte în plan

identifica coordonatele carteziene ale unui punct

identifica coordonatele polare ale unui punct

determina distanțe folosind harta polară

reprezenta grafic o serie cronologică

Competențe afective:

La sfârșitul activității elevii vor:

deprinde să participe activ la lecție

manifesta independență în gândire și acțiune

dezvoltarea abilităților elevilor în folosirea instrumentelor geometrice pentru a măsura unghiuri și distanțe folosind coordonatele polare

Resurse procedurale:

conversația; explicația; problematizarea; metoda mozaicul; exercițiul.

Resurse materiale:

Instrumente geometrice, cretă, fișe de lucru pe grupe, tabla

Forme de organizare:

Clasa va fi organizată în 7 grupe eterogene a câte 4 elevi

Evaluare:

Aprecierea verbală (satisfăcător, optim, excepțional), autoevaluarea, evaluarea activității în grup

Desfășurarea lecției:

După prezentarea conținutului noțional al lecției (20 minute), se împarte clasa în grupe eterogene de câte 4 elevi, grupuri casă: Grupa 1: Mercurieni; Grupa 2: Venusieni; Grupa 3: Pământeni; Grupa 4: Marțieni; Grupa 5: Jupiterieni; Grupa 6: Saturnieni; Grupa 7: Uranieni. (20 minute)

Se organizează patru grupe de experți fiecare grupă având câte un reprezentant din fiecare grup casă. După formarea experților aceștia revin la grupul clasă, pentru a explica celorlalți din grup partea sa de expertiză.

Exercițiu:

Scop: investigarea mișcării Polului Nord magnetic

Obiectiv: dezvoltarea abilităților elevilor în folosirea instrumentelor geometrice și trigonometrice pentru a măsura unghiuri și distanțe folosind coordonatele polare, precum și reprezentarea grafică a unei serii cronologice

Mijloace procedurale și materiale: metoda mozaicului, foi cu schița unei hărți polare oarbe, fișe de lucru

Metode de evaluare: evaluarea activității din grup, evaluare verbală

Conținut noțional:

Schița alăturata reprezintă o hartă schematică a unei regiuni a globului Pământesc (regiune aflată în imediata vecinătate a PN), având în centru Polul Nord geografic (PN). Latitudinea este reprezentată de cercurile concentrice, Polul Nord geografic având latitudinea egală cu 90o. Longitudinea se măsoară în grade plecând de la meridianul Zero (Meridianul Greenwich), în sens trigonometric, astfel încât poate lua valori între 0o (Meridianul Zero) și 360o.

După prezentarea obiectivelor și a conținutului noțional, fiecare grupă de experți primește sarcina de lucru, sub formă de fișe de lucru, având la dispoziție 10 minute pentru rezolvarea și stabilirea modalităților de predare a sarcinilor primite.

FIȘA 1

Având harta de mai jos, măsurați coordonatele punctelor date. Valorile pentru latitudine vor fi aproximate știind că cercurile concentrice sunt așezate din 2o în 2o, iar valorile pentru longitudine vor fi aproximate știind că unghiul dintre două linii este de 300.

Coordonatele punctului A sunt date.

FIȘA 2

Poziționați pe harta de mai jos, punctele a căror coordonate sunt date în tabelul următor, știind că valorile pentru latitudine vor fi aproximate știind că cercurile concentrice sunt așezate din 2o în 2o, iar valorile pentru longitudine vor fi aproximate știind că unghiul dintre două linii este de 300.

FIȘA 3

Utilizând scara dată pentru distanțe, construiți o scară care să vă permită să măsurați distanțe până la 2000 km. Folosind harta de mai jos, determinați distanța dintre punctele date în tabelul următor:

FIȘA 4

În tabelul de mai jos sunt date pozițiile estimate ale Polului Nord magnetic în decurs de 2000 de ani. Marcați pe harta dată aceste poziții. (tabelul este preluat din The Earth's Magnetic Field, de Ronald Merrill și Michael McElhinny, apărută în 1983 la Academic Press, pagina 100).

Comparați poziția Polului Nord magnetic în anul 1000 cu poziția Polului Nord magnetic în anul 1100:

1. Cu ce distanță s-a deplasat Polul Nord magnetic?

2. Care este distanța pe care s-a deplasat Polul Nord magnetic (în km) în decursul unui an?

3. Estimați când Polul Nord magnetic coincide cu Polul Nord geografic (latitudine 90o).

După rezolvarea sarcinilor primite, experții revin în grupurile inițiale și își prezintă subtemele colegilor (15 minute).

Evaluarea activității constă în autoevaluare și evaluări verbale ale activității. Lecția se încheie cu discuții și concluzii legate de tema primită (5 minute).

III.3.2. Model de lecție de verificare și evaluare

Evaluarea activității și a gradului de însușire a competențelor vizate se face în cadrul tuturor tipurilor de lecții, însă ca și evaluare sumativă se impune o lecție creată special pentru evaluare. Pentru acest tip de lecție propun un test sumativ pentru unitatea de învățare Elemente de organizare a datelor, clasa a VI-a.

Evaluare clasa a VI-a

Având în vedere caracterul eterogen al claselor de elevi, în ultimii ani sunt tot mai mulți elevi la ciclul gimnazial care au nevoie de adaptare curriculară. Am ales un test la clasa a VII-a pentru a pune în evidență evaluarea diferită a elevilor, în funcție de nivelul de adaptare curriculară.

Precizia și eficiența evaluării sunt strâns legate de formularea competențelor și de desfășurarea demersurilor de instruire. În aceste condiții, probele de evaluare trebuie selectate și elaborate în strânsă legătură cu competențele urmărite și, mai ales în funcție de gradul de complexitate al obiectivului (asimilare de cunoștințe, aplicație, sinteză, evaluare), precum și în funcție de rezultatele așteptate ale instruirii (cunoștințe, deprinderi sau capacități intelectuale, priceperi și deprinderi practice). Urmând tipologia curriculum-ului național, în proiectarea testului am urmărit următoarele competențe generale:

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

Plecând de la competențele generale stabilite, competențele specifice pe care elevi trebuie să le atingă sunt:

2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporții pentru organizarea de date

3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții și mărimi direct/invers proporționale

4.2. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor și a mărimilor care apar în probleme cu rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale

5.2. Analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a colecțiilor de date

6.2. Modelarea matematică a unei situații date în care intervin rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale

În elaborarea testului am parcurs următoarele etape:

stabilirea scopului: aplicarea unui test la clasa a VI-a pentru a afla nivelul de înțelegere și de aplicabilitate a cunoștințelor acumulate de către fiecare elev;

selectarea conținuturilor și a obiectivelor corespunzătoare

formularea itemilor; având în vedere clasificarea itemilor, am cuprins în test trei categorii de itemi: itemi de completare, itemi cu alegere multiplă și itemi cu răspuns deschis

stabilirea unei grile de corectare și elaborarea baremului de notare

aplicarea testului pe parcursul a 50 minute.

Obiectivele de evaluare sunt:

determinarea unui procent dintr-un număr dat

organizarea și reprezentarea de date sub formă de grafice, tabele sau diagrame statistice

calcularea probabilității în contexte practic aplicative

determinarea valorilor minime, maxime și medii dintr-un set de date

organizarea informațiilor pe baza unor criterii, utilizând sortarea, clasificarea și reprezentarea grafică

interpretarea datelor înregistrate în tabele, grafice sau diagrame

interpretarea mediei unui set de date

exprimarea semnificației unor elemente dintr-un grafic

interpretarea unui set de date descrise grafic sau numeric

aplicarea operațiilor cu numere raționale în determinarea mediei unui set de date

calcularea mediei aritmetice simple și ponderate

abordarea eficientă a problemelor propuse

redactarea coerentă și completă a soluției unei probleme

folosirea eficientă a calculatorului de buzunar pentru operații cu numere raționale

TEST: Reprezentarea datelor prin grafice

Clasa a VI-a

Subiectul I (20 puncte) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:

(10p) 1. Cei 44 de elevi ai clasei a VI-a au participat la un sondaj privind tipul de telefon utilizat. Rezultatele sondajului sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Conform diagramei, procentul de telefoane de tip IPhone folosite este de…

(10p) 2. Într-un magazin, Aidin a cheltuit o sumă de bani astfel:

În medie, Aidin a cheltuit …

Subiectul II (10 puncte) Încercuiți răspunsul corect:

(5p) 3. Conform diagramei de mai jos, înălțimile copacilor dintr-un parc încep de la 1m.

Numărul copacilor care depășesc 2m în înălțime este:

a) 100 b) 75 c) 45 d) 85

(5p) 4. Patru colegi vor să cumpere un joc, fiecare contribuind cu sumele din grafic.

Conform graficului, prețul jocului este de:

a) 60 lei b) 80 lei c) 75 lei d) 70 lei

Subiectul III (50 puncte) La problema 5 se cere rezolvare completă. Pentru efectuarea calculelor se poate folosi calculator de buzunar, neprogramabil:

5. În urma unui sondaj privind timpul petrecut, în minute, folosind telefonul pe parcursul unei zile, răspunsurile celor 44 elevi ai clasei a VI-a sunt:

10, 30, 60, 30, 180, 150, 60, 180, 240, 110, 60, 150, 30, 50, 180, 120, 120, 60, 180, 150, 60, 150, 150, 110, 240, 120, 60, 180, 150, 60, 60, 30, 30, 30, 30, 150, 120, 120, 120, 180, 150, 30, 60, 120.

(20p) a) Completați tabelul:

(10p) b) Reprezentați, folosind coloane, datele din tabel.

(10p) c) Determinați cât timp se petrece, în medie, folosind telefonul.

(10p) d) Câți elevi folosesc telefonul mai puțin de 120 de minute?

(10p) e) Calculați probabilitatea ca, alegând un elev, acesta să folosească telefonul 150 de minute zilnic.

NOTĂ: – se acordă 10 puncte din oficiu;

– timp de lucru 50 minute SPOR LA TREABĂ

MATRICEA DE SPECIFICAȚII GENERALĂ:

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

Subiectul I+Subiectul II: nu se acordă fracțiuni de punct

Subiectul III

5 a) Organizarea datelor în tabel …………………………….5p

Calculul procentelor: ………………….15p

b) reprezentarea grafică corespunzătoare…………….10p

c) calculul mediei aritmetice ponderate………………10p

minute

d) citirea și interpretarea corectă a datelor de pe grafic sau din tabel: mai puțin de 120 minute înseamnă 10min, 30min, 50min, 60min respectiv 110min, rezultând un număr de:

1+8+1+9+2=21 de elevi ………………..10p

e) calculul probabilității

Cazuri favorabile: numărul de elevi care folosesc telefonul timp de 150 min

Cazuri posibile: numărul total de elevi

…………………….10p

Notă: se acordă 10p din oficiu, nota calculându-se prin împărțirea punctajului total la 10.

CORESPONDENȚA DINTRE ITEMII PROBEI ȘI COMPETENȚELE SPECIFICE, OBIECTIVELE DE EVALUARE ȘI PUNCTAJ:

Pentru elaborarea unui astfel de test pentru elevi ce au nevoie de adaptare curriculară (diagnostic ”intelect la limită”), se pot folosi aceleași competențe, și aceleași obiective de evaluare, punându-se însă accent pe citirea și interpretarea datelor, folosirea corectă a calculatorului de buzunar. După cum se poate observa gradul de dificultate al itemilor e adaptat, dând posibilitate elevilor aflați în această situație să fie evaluați conform competențelor deprinse. Mai jos am adaptat itemii testului de mai sus pentru adaptare curriculară:

TEST: Reprezentarea datelor prin grafice—adaptare curriculară

Clasa a VI-a

Pentru efectuarea calculelor se poate folosi calculator de buzunar, neprogramabil:

Subiectul I (20 puncte) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:

(10p) 1. Cei 44 de elevi ai clasei a VI-a au participat la un sondaj privind tipul de telefon utilizat. Rezultatele sondajului sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Conform diagramei, procentul de telefoane de tip IPhone folosite este de…

(10p) 2. Într-un magazin, Aidin a cheltuit o sumă de bani astfel:

În medie, Aidin a cheltuit …

Subiectul II (10 puncte) Încercuiți răspunsul corect:

(10p) 3. Conform diagramei de mai jos, înălțimile copacilor dintr-un parc încep de la 1m.

Numărul copacilor care depășesc 2m în înălțime este:

a) 100 b) 75 c) 45 d) 85

(10p) 4. Patru colegi vor să cumpere un joc, fiecare contribuind cu sumele din grafic.

Conform graficului, prețul jocului este de:

a) 60 lei b) 80 lei c) 75 lei d) 70 lei

Subiectul III (50 puncte) La problema 5 se cere rezolvare completă.

5. În urma unui sondaj privind timpul petrecut, în minute, folosind telefonul pe parcursul unei zile, răspunsurile celor 10 elevi ai clasei a VI-a sunt:

10, 30, 60, 30, 180, 150, 60, 180, 60, 150

(20p) a) Completați tabelul:

(10p) b) Completați, folosind datele din tabel, graficul de mai jos:

(10p) c) Determinați cât timp se petrece, în medie, folosind telefonul.

(10p) d) Câți elevi folosesc telefonul mai puțin de 60 de minute?

NOTĂ: – se acordă 10 puncte din oficiu;

– timp de lucru 50 minute SPOR LA TREABĂ

III.4. Unitatea de învățare

Realizarea eficientă a activității educaționale are nevoie de proiectare corespunzătoare. Proiectarea didactică însumează toate resursele, procedeele și strategiile didactice pentru optimizarea rezultatelor. Prin proiectare se anticipează acțiunile desfășurate pe perioada unui an școlar, a unui semestru, a unei unități de învățare sau a unei lecții. Anticiparea demersului didactic pentru un an școlar se realizează prin planificările calendaristice, planificări prin care se structurează conținutul ce urmează a fi predat, pe perioada unui an. De obicei, planificarea anuală este doar orientativă, având în vedere influența factorilor întâmplători ce ar putea apărea în decursul unui an. De aceea se impune o proiectare pe termen scurt, o proiectare care să lege competențele specifice cu conținuturile, strategiile și resursele educaționale. Proiectarea pe unități de învățare se face ritmic, pe parcursul anului, fiind anticipate activități pe durata a maxim 8 ore, activitatea didactică, putând astfel fi personalizată. Conform Miron Ionescu, Mușata Bocoș ”Demersurile de proiectare a unităților de învățare presupun, practic, ca pe baza indicațiilor din planificare să se realizeze detalierile pe orizontală, ierarhizând activitățile în succesiunea derulării lor, raportându-le la câte un obiect de referință/competență specifică menționând și resursele necesare bunei desfășurări a procesului instructiv-educativ”. Prin proiectarea unității de învățare, procesul educativ poate fi structurat după schema propusă de Cucoș, astfel:

În cele ce urmează am realizat proiectarea unității de învățare ”Elemente de statistică”, elaborate la nivelul clasei a X-a, respectând programa în vigoare, aprobată prin OMEN 4598 / 31.08.2004. Numărul de ore alocate pe întraga unitate este de 6, în funcție de modul în care sunt percepute și asimilate informațiile de către elevi putând a se mai aloca o oră suplimentară.

PROIECTAREA PE UNITATE DE ÎNVĂȚARE

ANUL ȘCOLAR …

III.5. Probleme propuse

33. Situația fondului forestier din regiunea centru în perioada 1990-2017 este redată în tabelul de mai jos:

a) Comparați, reprezentând grafic datele de mai sus.

b) Determinați trendul pentru Rășinoase, și încercați să faceți o previziune a evoluției suprafețelor cu rășinoase.

34. Seria reprezentată mai jos reprezintă situația regenerărilor artificiale ale pădurilor de rășinoase, din regiunea centru, în perioada 1990-2018.

a) Conform graficului, seria este sau nu sezonieră?

b) Determinați ritmul de dinamică al seriei.

c) Determinați trend-ul seriei.

35. Începând cu anul 2004, numărul de mesaje text trimise a fost:

a) Reprezentați grafic seria dată.

b) Determinați indicatorii medii ai seriei statistice.

c) Găsiți un argument pentru care numărul mesajelor scrise a început să scadă.

36. Tabelul de mai jos conține date privind Rata de fertilitate în rândul adolescentelor (nașteri la 1000 de fete cu vârste cuprinse între 15 și 19 ani), în câteva țări din Europa și Statele Unite ale Americii

a) Reprezentați în același grafic seriile cronologice din tabelul de mai sus.

b) Calculați indicatorii medii pentru România și pentru Ungaria.

c) Analizați comparativ situația din România cu cea din Bulgaria, Ungaria și Republica Moldova.

d) Determinați trendul seriilor corespunzătoare României și Statelor Unite ale Americii. Care este pronosticul pentru anul 2017 pentru cele două țări?

37. Emisiile de dioxid de carbon, măsurate în tone pe cap de locuitor sunt date in tabelul de mai jos:

a) Comparați, grafic, emisiile de dioxid de carbon din Statele Unite ale Americii cu cele ale Federației Ruse. Analog, comparați emisiile din Austria, Germania și Marea Britanie.

b) Comparați, grafic, totalul emisiilor de dioxid de carbon din Franța, Ungaria, Moldova, România cu cele din Statele Unite ale Americii.

c) Calculați indicatorii medii pentru datele corespunzătoare României.

d) Stabiliți trendul pentru datele corespunzătoare României.

38. Situația vaccinărilor împotriva pojarului la copii cu vârsta cuprinsă între 12 și 23 luni (% din totalul copiilor cu vârsta între 12-23 luni) este:

a) Reprezentați grafic datele corespunzătoare Austriei, Bulgariei, Moldovei și României.

b) Care țară are cea mai spectaculoasă creștere în imunizarea populației contra pojarului? Dar scădere?

c) Analizați, prin prisma tuturor indicatorilor statistici, situația prezentată în tabelul de mai sus.

III.6. Concluzii

Statistica stă la baza a numeroase cercetări științifice: de la științe sociale la medicină sau sport, de la evoluții economice la evoluții stelare. Tocmai de aceea statistica este un instrument foarte util de a pune elevii în ipostaza cea mai apropiată de munca unui cercetător. Îmbinând metode clasice cu metode moderne, activ-participative, predare-învățarea statisticii poate deveni o plăcere pentru elevi. Dacă, până la nivelul clasei a VIII-a se pune accentul pe reprezentarea grafică a datelor statistice, începând cu clasa a X-a se face legătura cu teoria probabilităților, oferind un câmp foarte variat de teme ce pot fi studiate de către elevi fie prin proiecte de cercetare pe anumite teme: pariuri sportive vs. rezultate și predicții ale rezultatelor sportive (fără a încuraja pariurile sportive, realitatea arată că foarte mulți elevi la nivel liceal joacă la pronosport), tipuri de mașini preferate, caracteristici ale acestora (capacitate, viteză, consum), folosirea zilnică a internetului etc., precum și prin studii de caz prin aplicarea de chestionare, metodă folosită cu succes la nivelul clasei a XI-a profil științe sociale. Fiind puși în ipostaza de a lucra în echipă, de a-și stabili întrebările la chestionare astfel încât informația obținută să fie cât mai relevantă, până la a aplica, înregistra și analiza rezultatele, elevii pot fi evaluați formativ, pe parcursul desfășurării studiului de caz, activitatea încheindu-se cu prezentarea rezultatelor obținute. Un exemplu de chestionar aplicat de elevii clasei a XI-a științe sociale este prezentat mai jos, cu înregistrarea rezultatelor pe categorii de vârstă, pentru prima întrebare. Proiectul a constat în efectuarea analizei răspunsurilor primite la cele trei întrebări, în funcție de vârstă, de mediu, de sex. La un proiect de acest fel au lucrat în grupe de 2-3 elevi, fiecare grupă concepându-și și aplicând chestionarul pe o temă generală dată (ex. tipul de cărți citite, genuri de muzică preferată etc.). Proiectul s-a desfășurat pe parcursul unui semestru, pentru fiecare noțiune nou introdusă completându-se proiectul. Finalizarea a constat în prezentarea rezultatelor și a concluziilor obținute (ex. fetele fac, în medie, mai puțină mișcare decât băieții; băieții citesc mai puțin ca fetele, genul preferat fiind fiction; sporturile de echipă sunt preferate celorlalte activități sportive) iar provocarea a fost găsirea unor posibile explicații ale rezultatelor obținute.

Fiind puși în situații inedite pentru ei, elevii au reacționat foarte bine, interesul pentru orele de matematică crescând considerabil. Posibilitatea îmbinării competențelor de TIC, cu noțiunile de matematică este un plus în creșterea motivației elevilor. De foarte multe ori, prin prisma cadrului didactic, o problemă majoră o reprezintă munca independentă a elevilor (aceasta tinzând spre zero), însă prin aplicarea unor proiecte prin care elevii sunt puși în situația de a-și realiza singuri proiectele, cu supervizare, pe o perioadă suficientă de timp, de a-și prezenta proiectele într-o manieră aleasă de ei crește gradul de implicare și colaborare al acestora. După cum spunea Alexander Wittenberg în cartea sa Bildung und Mathematik: ”The real essence of teaching is not found in the subject-related material but in the process of working on it”.

Bibliografie:

Benestad, R., (2006) Solar Activity and Earth’s Climate, 2nd Edition, Springer Praxis

Blaga, P., (2001) Statistică matematică, Ediția a II-a, Universitatea ”Babeș-Bolyai”, Cluj Napoca

Brânzei, D., Brânzei, R., (2000) Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45

Chiș, V., (2005) Pedagogia contemporană-pedagogia pentru competențe, Casa Cărții de Știință, Cluj Napoca

Cucoș, C., (2006) Pedagogie, ediția a II-a, editura Polirom

Dean, S.; Illowsky, B, (2013) Introductory Statistics, 2nd Edition, OpenStax College

Iagăr, M.E.; Gered, B.; Ciuchea, A.; Vaida-Muntean, Gh., (2018) Anuarul Statistic al României 2017, Institutul Național de Statistică

Ionescu M., (2000) Demersuri creative în predare și învățare, Editura Presa Universității Clujeană

Ionescu, M.; Bocoș, M., (2009) Tratat de didactică modernă, editura Paralela 45

Ionescu M.; Radu I., (2001) Didactica modernă, Ed. Dacia, București

James, G.; Witten, D.; Hastie, T.; Tibshirani, R., (2013) An Introduction to Statistical Learning, Springer Praxis

McEhhinny, M.; Merrill, R., (1983) The Earth’s Magnetic Field, Academic Press

Stix, M., (1989, 2002) The Sun – An Introduction, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Astronomy and Astrophysics Library

Șaronov, V.V., (1955) Soarele și observarea lui, Editura Tehnică

Wackerly, D.; Mendenhall, W.; Scheaffer, R., (2008) Mathematical Statistics with Applications, ediția a VII-a, Thomas Learning Inc., USA

Wittenberg, A., (1990) Bildung und Mathematik, Klett-Verlag

Al-Khayat BYT, Hamdi MS (2018) Modeling and Periodicity Analysis of Sunspot Time Series 1700-2015. J Appl Computat Math 7: 385. doi: 10.4172/2168-9679.1000385

Rusu, M., (2007) The asymmetry of the solar cycle: A result of non-linearity, în Advances in Space Researche—ADV SPACE RES. 40, 1904-1911

Shaikh, Y.H.; Khan, A. R., (2008) Sunspots data analysis using time series, în Fractals, Vol.16, Nr. 3, 259-265

Programa școlară pentru disciplina matematică, clasele a V-a, a VIII-a, aprobată prin OMEN 3393/28.02.2017

Matematică, Manual pentru clasa a IV-a, partea a II-a, editura Art, 2016

Caietul elevului de clasa I, Matematică și explorarea mediului, Editura Intuitext 2017

Caiet de vacanță, Comunicare în limba română/Matematică și explorarea mediului, Editura Taida 2017

Manual de clasa I, Matematică și explorarea mediului, Partea I, Editura CDPress 2017

Matematică și explorarea mediului, Manual de clasa a II-a, Partea a II-a, Editura DPH 2014

Matematică, Manual pentru clasa a III-a, partea a II-a, Editura Intuitext, 2016

Locke, J., Some Thoughts Concerning Education, Cambridge Univ. press, 1889, digitalizată 2006, https://archive.org/details/somethoughtsconc00lockuoft, accesată la data de 20.06.2018

Institutul național de statistică, http://statistici.insse.ro, accesat la data de 18.07.2018

Subiecte Evaluare Națională 2016, http://subiecte2016.edu.ro, accesat la data de 01.08.2018

Solar Math, http://spacemath.gsfc.nasa.gov, 2012, accesat la data de 02.02.2017

The World Bank, http://www.worldbank.org/, accesat la data de 10.08.2018

Sunspot index and Long term Solar observations, http://www.sidc.be/silso/datafiles, accesat la data de 20.03.2017

https://sohowww.nascom.nasa.gov/, accesat la data de 20.03.2017

https://www.swpc.noaa.gov/content/solar-cycle-24-prediction-updated-may-2009, accesat la data de 20.07.2018

https://solarscience.msfc.nasa.gov, accesat la data de 06.07.2018

http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/sun/sunspots.shtml, accesat la data de 06.07.2018

https://www.libertatea.ro/simona-halep/simona-halep-sloane-stephens-finala-de-la-roland-garros-2285233, accesat la data de 08.06.2018

http://evaluare.edu.ro, accesat la data de 23.06.2018

https://www.cursbnr.ro, accesat la data de 20.06.2018

https://ourworldindata.org/intelligence, accesat la data de 08.08.2018

Declarație pe proprie răspundere privind autenticitatea lucrării de Gradul I

Subsemnatul(a) Marian Anca Cătălina_, legitimat(ă) cu _CI___ seria _AX_ nr. ___528557___ CNP __2790817013930__, autorul lucrării cu titlul ____O ABORDARE METODICĂ A STUDIULUI UNOR FENOMENE PERIODICE__ (coordonator științific ___conf. univ. dr. Cristina Blaga__), elaborată în vederea susținerii examenului de gradul I, sesiunea 2017-2019 la specializarea _matematică, declar pe proprie răspundere, că această lucrare este rezultatul propriei activități intelectuale, pe baza cercetărilor mele și pe baza informațiilor obținute din surse care au fost citate, în textul lucrării, și în bibliografie.

Declar, că această lucrare nu conține porțiuni plagiate, iar sursele bibliografice au fost folosite cu respectarea legislației române și a convențiilor internaționale privind drepturile de autor.

Declar, de asemenea, că această lucrare nu a mai fost prezentată, de către alt candidat, în alte contexte evaluative.

În cazul constatării ulterioare a unor declarații false, voi suporta sancțiunile administrative, respectiv, anularea examenului de licență/disertație.

Data

Semnătura