Școala Doctorală de Inginerie Mecanică și Industrială [301736]

Universitatea Dunărea de Jos din Galați

Școala Doctorală de Inginerie Mecanică și Industrială

Facultatea de Inginerie

Referat numărul 2

[anonimizat]. Lorena DELEANU

Student: [anonimizat]- Rusu Viorel

Membrii comisiei de coordonare

Prof. univ. dr. fiz. Gabriel Murariu

Conf. dr. ing. Doina Boazu

Conf. dr. ing. Constantin Georgescu

Galați 2020

Cuprins

Introducere

Principiul general de acțiune defensivă pentru a [anonimizat] a [anonimizat] a [anonimizat], în ultimă instanță, a pierderii de vieți omenești.

[anonimizat], [anonimizat], [anonimizat]. De-a [anonimizat] a [anonimizat], timp de secole nefiind descoperit nici un material care să ofere protecție individuală în cazul unui conflict deschis.

[anonimizat], însă, au fost realizate din mătase (Badea, S., 2011). Studiul se concentrează pe trecerea în revistă a [anonimizat].

Principala tendință menținută până în prezent este de reducere a [anonimizat]. [anonimizat] – BOL ([anonimizat]), [anonimizat], a [anonimizat].

Cuvinte cheie: Simulare a impactului, [anonimizat].

Capitolul 1. Evoluția densității de suprafață a [anonimizat]-o măsura mai mică fibre polietilenice sau fibre celulozice. Recent, s-a [anonimizat] a rășinilor epoxidice modificate, a siliconilor și a altor polimeri cu rezistență termică mare.

[anonimizat], [anonimizat], lovire și o [anonimizat] a acestora, cum ar fi: construcțiile aeronautice și tehnica militară.

[anonimizat] – matrice. [anonimizat], chimice și de finisare cu pelicule de polimeri peliculogeni.

Blindajul cu o structură compozită realizată din diferite materiale ce au o trăsătură comună reprezintă protecția împotriva amenințărilor balistice și capacitatea de a rezista impacturilor multiple. Acestea trebuie să ofere protecție și împotriva altor tipuri de amenințări, cum ar fi radiațiile și undele de o anumită lungime.

Materialul tradițional este sticla, însă pentru un nivel satisfăcător de protecție, grosimea acesteia trebuie să fie mare, ceea ce înseamnă masă ridicată.Pentru remedierea acestui aspect, au fost dezvoltate materiale de tip sticlă-ceramică, obținute prin încorporarea unei mase dense de nanocristale de ceramică într-o matrice amorfă de siliciu

Fibra de sticlă

Studiul prelucrabilității fibrelor de sticlă la prepararea compozitelor cu matrice, prezintă un studiu practic de realizare a mostrelor de material compozit armat cu fibre, pentru identificarea și rezolvarea dificultățile întâmpinate în realizarea amestecurilor omogene de material. Uniformitatea la rezistență a materialelor compozite armate depinde în mare măsură de gradul de omogenitate la care ajunge amestecul în urma proceselor mecanice de prelucrare și din acest motiv încorporarea omogenă a fibrelor de sticlă este de maximă importanță. Fibre de sticlă Sunt utilizate cel mai frecvent pentru armarea materialelor compozite (aproximativ de 70%) Fibrele de sticlă în general, sunt împărțite în două clase: -fibre cu aplicații generale; -fibre cu destinații specifice.

În prezent se produce o gamă foarte variată de fibre de sticlă în funcție de compoziția chimică, după cum urmează: -fibre de sticlă tip ”A” – conține alcali; -fibre de sticlă tip ”AR” – rezistență ridicată la acțiunea alcalilor; -fibre de sticlă tip ”C” – rezistentă la acțiunea agenților chimici; -fibre de sticlă tip ”E” – rezistență electrică bună; folosită la compozite cu matrice polimerică, inclusiv în construcții;

-fibre de sticlă tip ”L” – absorb radiațiile;

-fibre de sticlă tip ”S” – rezistență înaltă.

Domenii principalele de aplicație ale fibrelor de sticlă sunt: industria aeronautică, industria constructoare de mașini, ingineria civilă, bunuri de larg consum, industria electronică, filtre etc. Totuși cel mai important domeniu de utilizare a fibrelor de sticlă rămâne materialele compozite, utilizate tot mai des la ranforsarea betonului în special la cel folosit pentru pardoseli industriale, realizări de pavele, conducte etc. Alegerea și utilizarea corectă a materialelor și proceselor de prelucrare a acestora trebuie să se facă conform rigorilor științifice, pentru a răspunde unor exigențe din ce în ce mai mari. În proiectare, alegerea optimă a materialelor se face în funcție de condițiile de utilizare, de solicitările existente, de procesele de prelucrare, de forma, dimensiunile și performanțele produselor, de reglementările în vigoare și nu în ultimul rând de cost.

Teoria elementară a impactului

Primii cercetători ai impactului au fost Galilei și Newton. Galilei a fost cel care a studiat căderea corpurilor, descoperind faptul că fenomenul respectă legea mișcării uniform accelerate, iar Newton a fost cel care a sistematizat prima mecanică corectă, cea pe care o numim clasică în ziua de azi. Impactul este fenomenul de contact brusc a două sau mai multe corpuri, însoțit de variația instantanee a vitezelor acestora. Contactul se derulează într-un interval de timp Δt≠0, foarte scurt, când viteza își modifică brusc caracteristicile – mărimea, direcția și, uneori, sensul. Impactul privit ca un fenomen mecanic de ciocnire Studiul ciocnirilor poate fi efectuat în condițiile renunțării la ipoteza rigidității corpurilor. Această ipoteză este luată în considerare în mecanică, admițându-se faptul că pe durata impactului corpurile se deformează atât elastic cât și plastic. În timpul impactului corpurile sunt supuse la acțiunea unor forțe foarte mari, numite forțe percutante. Toate celelalte forțe (de greutate, de frecare etc.) sunt neglijabile. Forțele percutante au variații foarte rapide în intervalul Δt=t’-t, (t reprezintă momentul în care corpurile care se ciocnesc intră în contact iar t’ este momentul când acestea se desprind). Intervalul Δt este foarte mic, astfel încât se poate considera faptul că nu are loc o variație a poziției corpurilor pe durata impactului.

Impactul dinamic a două corpuri

Există mai multe abordări ale fenomenului de impact, deoarece acesta se face în funcție de complexitatea și de parametrii care intervin în studierea fenomenului. Impactul se mai numește ciocnire sau coliziune. Ciocnirea dinamică este un fenomen fizic remarcabil nu numai pentru schimbarea condițiilor pentru fiecare punct de contact al ambelor corpuri de la început până la sfârșit, dar și tensionarea progresivă a corpurilor. Principalii parametrii care se modifică în urma acestui fenomen sunt: deformațiile și deplasările care descriu teoria impactului.

Cercetătorii au încercat să clasifice tipurile de impact în funcție de viteze, dar și de daunele obținute în urma acestora, [1, 2, 3, 4] astfel: 1) impact elastic (cvasi-static); 2) impactul plastic; 3) impactul hidrodinamic (duritatea de material este neglijată); 4) impactul supersonic (vaporizarea, explozie). Kilchert a și delimitat vitezele de impact astfel: -impactul cu viteză redusă l-a încadrat între (0-50 m / s), -impact de mare viteză (50-1000 m / s) – impactul cu hiper-viteză sau (> 1000 m / s)

Procesul de deformație

Procesul de deformație în timpul impactului elastic a fost caracterizat de M. Szarvas, în [1], care a studiat modelul impactului elastic dintre o placă și un proiectil. După coliziune proiectilul creează o undă temporară de șoc care acționează pe placă producând tensiuni care se continuă până la capătul plăcii. Dacă o placă este formată din mai mult de un strat, atunci o mică parte a undei se va întoarce, iar o mare parte va continua spre placă. În partea în care unda de șoc se propagă și nu mai revine, în cazul încovoieriii ea poate produce distrugerea materialului. Unda de șoc în secțiune transversală are o formă apropiată de un con și durează câteva milisecunde, după care aceasta se transformă în undă de încovoiere și va modifica punctele de suport la ambele capete. Deformarea generală va fi o combinație dintre contactul Hertzian și deformarea totală care provoacă tensiuni mari, producând și încovoierea plastică a plăcii. In timpul procesului de deformare va exista întotdeauna o parte dominantă. Dacă este răpuns structural atunci distrugerea placii se va produce prin trei posibilități: – unde de tensiuni, în cazul în care intervalul de timp (de impact) este scurt și solicitarea nu reușește să ajungă la zonele de margine ale plăcii, – contactul Herzian este dominant, atunci când placa este suficient de rezistentă sau energia impactului este o deformare relativ scăzută și în general poate fi neglijată, -vibrații în cazul în care greutatea plăcii este mică în comparație cu proiectilul, se poate considera deformare statică în loc de vibrații de ordin superior.

Criterii de plasticitate

Aceste teorii se bazează pe înlocuirea stării de tensiune date cu o tensiune limită, σl, care reprezintă tensiunea principală a unui element imaginar supus la tracțiune, executat din același material ca și elementul dat și care se află într-o stare de tensiune tot atât de critică sau periculoasă ca și elementul real.

Pentru stările simple de solicitare s-a admis că deformațiile plastice se produc atunci când tensiunea devine egală cu valoarea corespunzătoare limitei de curgere a materailului. La o stare complexă de solicitare este necesar a se stabili relațiile care trebuie să existe între diferitele tensiuni, în special între tensiunile normale principale, pentru ca să apară starea plastică. Aceste relații poartă numele de condiții sau criterii de plasticitate și constituie o extindere la calculul de plasticitate prin utilizarea ipotezelor de atingere a stărilor limită prezentate anterior. Deci, un criteriu de plasticitate este o ipoteză privind limita comportării elastice sub orice combinație posibilă a componentelor tensorului tensiune.

Se cunoaște că tensorul tensiune din vecinătatea oricărui punct, care aparține unui corp deformabil poate fi exprimat funcție de tensiunile normale principale și că tensiunea hidrostatică, σh, nu modifică starea unui corp din punct de vedere al comportării plastice. Ca urmare, tensiunile principale conduc la același comportament plastic.

Sisteme neliniare simple

Când relația dintre sarcina externă și deformarea indusă într-un sistem deformabil nu poate fi reprezentată printr-o funcție liniară, sistemul se consideră neliniar. Frecvența naturală a unui asemenea sistem este de cele mai multe ori dependentă de amplitudine, spre deosebire de cazul sistemului perfect liniar, la care frecvența rămâne constantă, îndiferent de amplitudine. Conceptul perioadei (frecvenței) naturale în analiza impactului constă în faptul că deformarea față de poziția inițială. Pentru sisteme care acționează după un impuls stabilit, obiectivele sunt determinarea deformației (pseudo-amplitudinii) și durata mișcării.

Capitolul 2. Aspecte teoretice ale impactului (traducere adaptată după Szuladzinski Formulas for Mechanical

Despre nelinialități

Ecuația mișcării unui oscilator este

(2.1)

cu o ecuație diferențială liniară pentru este necunoscută și funcția because the unknown function deoarece derivatele ei apar la puterea 1. Când ecuația de mișcare nu satisface această condiție, ecuația este neliniară și sistemul descris de ea este neliniar. Majoritatea sistemelor reale au o deviație de la liniaritate, dar de multe ori se ignoră din motive practice de a simplica modelul de calcul. Când amplitudinile deformației sunt mici în comparație cu dimensiunile corpurilor, este realist să se presupună o proporționalitate între deformații și rezistența elastică. Când deplasările modifică substanțial modul în care acționează sarcinile externe pe sistem, nu se mai poate ignora neliniaritatea sistemului.

Un exemplu de sistem neliniar este o aripă de avion, supusă la forțe aerodinamice care sunt dependente de radicalul vitezei. O altă clasă de probleme este cea a sistemelor cu o forță rezistentă generală R(u)

(2.2)

Funcția R(u) este considerată caracteristica sistemului. În Figure 4.1a este un exemplu cu o caracteristica neliniară: o grindă ușor curbată în sus în stare nesolicitată. Când este supusă unei forțe verticale, orientate în jos, lungimea liberă a grinzii se micșorează deoarece grinda se așează lent pe planul rigid. rezultă că pentru fiecare increment de deplasare, este necesar un increment din ce în ce mai mare a forței W.

Fig. 2.1 Sistem cu durificare (rigidizare) (a) sistem cu ”înmuiere” (b).

Fig. 2.2 Caracteristici ale sistemelor neliniare

Sistemele în care rezistența crește mai repede decât deplasările sunt numite sisteme rigidizante (cu rigidizare) sau sisteme cu durificare

Figura 2.1b dă un exemplu de componentă moale. Aceiași grindă ca cea din exemplu a), dar încărcată cu o forță de compresiune, fără nicio altă resctricție. pe măsură ce deformarea crește, procesul de deformare se realizează mai ușor, cel puțin până la un punct. Deaorece brațul real al forței W față de punctul de încastrare al grinzii se mărește. caracteristicile ambelor sisteme neliniare sunt date în Figura 2.2. Deci, efectele neliniare pot fi produse nu numai de forma și materialul componentei, ci și de modul de solicitare și de mărimea deformării

Majoritatea materialelor curg după un anumit niveld de solicitare. După inițierea curgerii, caracteristica componentei deviază de la panta inițială, proces numit și neliniaritate de material, dar sistemul poate avea, suplimentar neliniaritate geometrică indusă de modificarea formei sau de constrângeri apărute pe durata solicitării. Problema impactului implică ambele tipuri de neliniarități, deoarece modificarea ariei de contact poate fi acompaniată de curgere. Spre deosebire de problemele liniare, pentru cele neliniare există doar puține soluții disponibile și, deci, rezolvarea implică aproximații, ceea ce face din dinamica neliniară un domeniual mecanicii, dificil de abordat. Un aspect important al sistemelor neliniare este acela că principiul suprapunerii efectelor nu se aplică în general. Când un sistem este supus la câteva sarcini dinamice care acționează în același timp, întreaga încărcare trebuie luată în considerare simultan.

Sisteme neliniare elastice

Un sistem sau un corp este considerat elastic dacă există o relație de proporționalitate între deformație și solicitare. Dacă curba deformație-încărcare este o linie dreaptă, corpul este nuit liniar elastic, dacă nu, neliniar elastic.

În practică, o caracteristică liniar elastică este inaplicabilă, deci inginerul este tentat să o înlocuiască cu segmente, devenind astfel liniară pe intervale diferite, dar panta segmentelor fiind și ea diferită. Câteva exemple sunt date în Figura 2.3. Toate sunt constituite din linii cu două pante distincte, dar termenul de bi-liniar (BL) se aplică de obicei doar caracteristicii din Fig. 4.3.b (Mărimea pantelor este dată de k1 și k2).

Fig. 2.3. Caracteristici neliniare simple

Simetria graficelor de elasticitate înseamnă că, dacă semnul deformației se modifică, se modifică și sensul forței aplicate, dar mărimea deformației nu se schimbă. pentru un astfel de material, este suficient să se traseze curba din cadranul 1 (pozitivă) pentru deplasări. Dintre graficele din Fig. 2.3, numai primul nu are simetrie elastică. Curbele din figură pot fi exemplificate pe un oscilator dublu-acționat ca în Fig. 2.4. mai întâi să considerăm aranjamentul în care nu există arc pretensionat și nici spațiu între ele.

Simetria în domeniul elastic înseamnă că dacă sensul deformării (deplasării) se schimbă, la fel se întâmplă și cu forța rezistentă, dar mărimea celei din urmă rămâne neschimbată. Este suficient să se definească curba rezistență-deformație pentru valorile pozitive ale deplasării. Printre graficele din Fig. 2.3, numai primul nu arată simetrie elastică. pentru a obține caracteristicile din Fig. 2.3 se pot face aranjamente destul de simple, ca oscilatorul din Fig. 2.4, mai întâi să considerăm aranjamentul în care nu există arc pretensionat și nici spațiu între ele. Acesta poate corespunde Fig. 2.3a pentru arcuri de rigidități diferite. O discontinuitate a pantei, ca în Fig. 2.3c poate fi cauzată de arcuri care inițial sunt rigide și apoi încep să curgă de la un nivel R0. Un spațiu pe ambele laturi va da naștere unei discontinuități orizontale, ca în Fig. 2.3d. Pentru a obține o comportare ca în Fig. 2.3b, este necesar un set adițional de arcuri adiționale

Fig. 2.4. Oscilator dublu.

Spre deosebire de cazul liniar, frecvența naturală a unui sistem este acum dependentă de amplitudinea vibrațiilor sistemului. Sistemul cu durificare va avea o descreștere a perioadei naturale o dată cu creșetrea amplitudinii.

Neliniaritatea de material, materiale ductile

Odată ce punctul de curgere este depășit, modelul liniar elastic (LE) nu mai este valabil. Se adu câteva modele simple, utile de material, și care aproximează relația adevărată tensiune-deformație. Cele mai populare aproximații în dinamica neliniară pare să fie modelele elastic-perfect plastic (EPP) și rigid-plastic (RP) (Fig. 2.5). Ultimul reprezintă un material care se presupune că este nedeformabil până la un anumit nivel σ0, numit limită de curgere. Când se atinge acest nivel, alungirea ulterioară are loc fără creșterea rezistenței. În aproximarea EPP, domeniul elastic este realizat prin deformare până la nivelul cisntant σ0, limita efectivă de curgere, atinsă când deformația atinge valoarea εy. În general, modelul EPP oferă o reprezentare mai realistă deaorece are un parametru suplimentar.

Fig. 2.5 Curba tensiune – deformație originală și două aproximări simple

Fig. 2.6 Celelalte modele simple (a) și modelul BL cu un segment neîncărcat (b).

Curbele din Fig. 2.5 nu sunt desenate la scară, pentru claritate. Există două nivele pentru σ0, unul pentru modelul elastic-perfect plastic și unul pentru modelul RP. Există un punct numit limită de proporționalitate, la care σ–ε începe să se abată de la linia dreaptă. Simplificarea de aici ignoră acest fapt și curba este liniară până la punctul de curgere. Când deformarea este mare încât să atingă valori multiple ale lui εy, în majoritatea cazurilor, cele două nivele coincid sau aproape..

Alte modele sunt date în Figura 2.6. Acestea sunt: biliniar (BL), rigid, cu durificare prin deformare (RSH), și Ramberg–Osgood (RO). Sunt date detalii numai pentru BL: modulul lui Young E, modulul în domeniul plastic Ep, și porțiunea neîncărcată a curbei, care pentru oțeluri are aceiași pantă cu modulul inițial E. Unul din modele nu este ilustrat aici, modelul după legea puterii (PL). Când se reprezintă grafic, este similar cu RO. (Când se folosește forma RO, n > 1. Pentru PL, n < 1.) Ecuațiile pentru tensiunea de tracțiune sunt

(2.3a)

(2.3b)

(2.3c)

(2.3d)

(2.3e)

(2.3f)

(2.3g)

Numai în cazul modelului RO este mai convenabil să se exprime deformația în funcție de tensiune. Modelul este foarte util pentru prelucrarea materialelor metalice la temperaturi ridicate. De multe ori se poate observa o relație cu un singur termen tensiune-deformație, scrisă similar cu al doilea termen din RO sau PL, așa cum sunt scrise mai sus. Modelul BL este frecvent utilizat; sunt date două expresii alternative pentr domeniul plastic.

Aria de sub curba tensiune-deformație este o măsură a abilității materialului de a absorbi energia de deformare și specialiștii se referă la ea ca fiind reziliența tenacitatea materialului. Când deformația atinge valoarea , se atinge tenacitatea reziliența . Acest fapt este echivalent cu următoarea definiție a tenacității rezilienței

(tensiune de tracțiune, compresiune, încovoiere) (2.4a)

(tensiune de forfecare) (2.4b)

Pentru un material RP, la care curgerea are loc la tensiunea sau , expresia de mai sus este simplă: și , în care și sunt deformația la rupere și unghiul de rotire la rupere. În cazurile care vor fi discutate, o expresie a energiei de deformare este dată ca o funcție de deformația maximă atinsă, . Când această este înlocuită cu , rezultă .

Pentru a completa această descriere a materialelor ductile, trebuie discutată și curba unui oțel ductil, un material care are, de obicei, între 200 MPa și 350 MPa (Fig. 2.7). În afara platoului la nivelul limitei de curgere , materialul mai are și punctul de curgere mai înalt . Limita de proporționalitate este tensiunea la care caracteristica arată o deviație de la linia dreaptă. Cunoașterea acesteia este necesară doar în cazuri excepționale. Deformația la rupere este o valoare specificată de producător. |Există lucrări care se referă la deformația la rupere, dar în multe cazuri, se face referire la . Partea descrescătoare a curbei, între și este asociată cu descreșterea ariei secțiunii eșantionului după punctul de maxim.

Fig. 2.7. Curba tensiune-deformație pentru un oțel moale

Discuția de până acum a fost pentru rezultate și simplificări la testul de tracțiune. Dacă un eșantion scurt este supus la compresiune, răspunsul tensiune-deformație este similar celui de la tracțiune. La deformații mari apare o expandare a eșantionului și alte efecte secundare. Prezentarea tensiunilor de tracțiune și compresiune pe o scară logaritmică a deformației face ca similaritatea curbelor să fie apropiată. Când deformația crește, apar fisuri circumferențiale pe eșantion, ceea ce nu este foarte relevant pentru proprietățile la compresiune. Nu este posibil să se inducă o distrugere la compresiune, analoagă celei de tracțiune.

S-a prezentat o selecție a curbelor tensiune-deformație, dar nu înseamnă că sunt accesibile. Acestea trebuie construite pe baza datelor experimentale. Tipic, când se lucrează cu materiale metalice la temperatura ambiantă, există trei valori pentru caracterizarea rezistenței materialului: ,și . Se poate construi un model BL cu aceste date, cât și cu E și , dacă nu există argumente ca forma curbei să fie altfel. Dacă materialul este simplificat să semene cu EPP, atunci punctul de curgere trebuie selectat astfel încât reziliența să se conserve.

Forfecarea și răsucirea arborilor

Testarea materialelor se face de obicei pe eșantioane, dar același material lucrează deseori în forfecare sau torsiune, și astfel apare problema constantelor de material. Pentru materialele metalice, curgerea și limita rezistența la rupere la forfecare pură, și sunt legate de proprietățile la tracțiune astfel:

(2.5a)

(2.5b)

în care prima relație rezultă din teoria Huber-von Mises și a doua este o ipoteză obișnuită legată de rezistența la rupere. Aceste relații se bazează pe teoria deformațiilor mici. O determinare a parametrilor curbei tensiune-deformație la forfecare este prezentată pentru un material BL în Cazul 2.8. Când relațiile 2.4a și 2.5b au crescut prin impunerea unei limite asupra deformației la forfecare, adică , relația dintre caracteristicile la tracțiune și cele de la forfecare devine completă. Exemplul lor pentru un material RSH este dată în Fig. 2.8. În timp ce limita de mai sus pentru deformația la forfecare nu are justificare teoretică, această dă o relație simplă între modulele în domeniul plastic, , care este consistentă pentru , alocat în general pentru acest domeniu. Acest raport între și este adevărat numai pentru materialul RHS, dar când plasticitatea este bine dezvoltată poate fi o aproximare bună pentru multe materiale.

a) b)

Fig. 2.8. a) Curba tensiune-deformație (la tracțiune) și b) curba corespunzătoare tensiune de forfecare-deformație unghiulară pentru un material RSH

Torsionarea arborilor este detaliată în Cazul 2.29. În general acest mod de deformare este mai complex decât tracțiunea, din cauza unei neuniformități în distribuția tensiunii pe secțiuen. Acest proces de curgere graduală a unui solid, arbore circular, începe la fibrele exterioare și continuă până la cele dinspre centru, atingând limita de curgere, într-un mod asimptotic. Dacă se folosește un model EPP, distribuția uniformă a tensiunii de forfecare este o condiție limitativă. În practică abordarea este făcută doar când unghiul de răsucire este cel puțin cu un ordin de mărime mai amre decât răsucirea asociată cu inițierea curgerii. la Cazul 2.29 aproximarea se bazează pe ignorarea unghiului de răsucire asociat cu redistribuirea de tensiuni. Din această cauză, un arbore realizat dintr-un material RSH (Fig. 2.6a) poate avea caracteristica reprezentată de o formă trapezoidală similară. Arborele cu pereți subțiri este o excepție. caracteristica lui este simplu o caracteristică de material scalată, deoarece nu are loc nicio redistribuire (a tensiunii).

Proprietățile betonului

Betonul are un pronunțat caracter neliniar pe curba tensiune deformație (Fig. 2.9). Modului lui Young nominal este luat ca un modul secant care poate fi legat de rezistența lui la compresiune astfel:

(2.6)

în care (în MPa) este rezistența la compresiune nominală și pentru majoritatea mărcilor industriale. este rezistența medie la compresiune după 28 de zile. Curba are o pantă descrescătoare continuă, cu maximul tangentei pentru în origine. Deformația la rupere distrugere se presupune că este de obicei la 0,002 la proiectare. Următoarea aproximare este utilă pentru materialele pe bază de ciment și pentru roci dure:

(2.7)

cu în MPa dacă este tot în MPa.

Fig. 2.9. Curbă tensiune-deformație tipică pentru beton, indicând modulul inițial și modulul nominal .

Rezultatele de mai sus descriu comportarea unui cilindru din beton supus la compresiune axială. Există și un alt test, numit compresiune triaxială, care pune în evidență o proprietate importantă a betonului, anume sensibilitatea la solicitarea mediului în care se găsește. Eșantionul este plasat într-un dispozitiv care face posibilă aplicarea unei presiuni hidrostatice uniforme pe suprafață, în plus față de compresiunea axială. Cu cât presiunea înconjurătoare este mai mare, cu atât mai mare este rezistența axială aparentă. Una din relațiile cele mai simple a fost propusă de Reinhardt.

(2.8)

în care

este rezistența nominală

este rezistența la presiunea mediului sub presiunea hidrostatică .

O relație similară poate fi scrisă pentru roci dure.

Când este descris betonul, utilizatorii se concentrează pe proprietățile de compresiune. la tracțiune, materialul acesta este slab, deoarece nu poate suporta decât o tensiune

(2.9)

în care este rezistența nominală la compresiune, cu ambele valori în MPa. așa cum este dată mai sus este rezistența la încovoiere, pentru o aplicație tipică. Tracțiunea pură asupra elementelor din beton este rară. Totuși, rezistența la tracțiune este importantă, deoarece aceasta dictează localizarea primei fisuri, cât și ruperea ulterioară.

Tensiunea și deformația în domeniul deformațiilor mari

Când deformația este mare, trebuie făcută distincția între deformația inginerească și deformația naturală (reală) (sau logaritmică) . Există conceptul de deformație ”reală”, . Același termen se aplică de unii autori pentru deformația logaritmică definită mai sus. Odată stabilit faptul că specificarea deformației este o chestiune de convenție, este evident că termenul de “deformație reală adevărată” este un termen eronat. Prima deformație cea inginerească este legată de modificarea lungimii față de cea inițială L și a doua utilizează lungimea curentă la momentul t:

(2.10a)

(2.10b)

Deformația naturală totală reală este suma incrementelor deformațiilor elementare:

(2.11a)

și

(2.11b)

Deformațiile sunt presupuse mici și nu este nevoie să se facă distinție între și . Din acest motiv, deformația este desemnată de obicei ca , deoarece , atât timp cât nu depășește câteva procente. De exemplu, dacă , atunci , există deja o diferență notabilă.

Dacă deformațiile sunt mari, înseamnă, pentru majoritatea materialelor, că ele sunt în afara domeniului elastic. Este de presupus că volumul de material rămâne același invariant, adică , în care progresează, A și l sunt, respectiv, aria și lungimea. Pe măsură ce deformarea (întinderea), secțiunea descrește (se reduce):

(2.12a)

sau

(2.12b)

Rezultatele din testele de tracțiune sunt de obicei date cu tensiunea inginerească sau forța de întindere împărțită la aria inițială a eșantionului, și cu deformația inginerească. dacă se definește o tensiune reală S prin împărțirea forței la aria curentă A, rezultă

(2.13a)

sau

(2.13b)

O curbă convențională care este tipic convexă pentru materiale metalice devine mai puțin convexă (sau chiar devine concavă) când este convertită în deformație reală. Acest lucru este important când sunt implicate torsiuni mari.

Există câteva definiții pentru deformație. Care este mai bună depinde de scop. Dacă obiectivul este investigația pentru a determina curba sarcină- deformație a unui element solicitat la tracțiune, atunci tensiunea și deformația inginerească sunt adecvate, deoarece testele de tracțiune le folosesc. Nu este greșit, de exemplu, să se specifice tensiunea reală versus deformația inginerească. În timp ce tensiunea reală este o mărime fundamentală, expresia deformației este o chestiune de convenție.

Trebuie amintit că discuția de mai sus are doar o mică relevanță pentru proiectarea tipică. Materialele metalice folosite în aerospațiale, de exemplu, au deformația maximă care nu depășește 15% și uneori sub 10%. Compozitele au chiar alungiri mai mici. Când se consideră condiții de impact neobișnuite, deformația maxim admisibilă va fi, în cel mai bun caz, numai jumătate din aceste valori, și, deci, dacă nu se specifică altfel, investigațiile neliniare vor fi în domeniul deformațiilor mici. Betonul poate suporta doar foarte mici deformații fără să se fisureze.

Unele caracteristici ale răspunsului la impact

Elementele NL sunt denumite după caractersticile de material cu forme similare: RP, EPP, BL, RSH, RO și PL. Există două soluții de bază pentru fiecare dintre ele: răspunsul la viteza inițială și răspunsul la creșterea sarcinii. Prima soluție este mereu disponibilă, deși pot exista dificultăți algebrice. Soluțiile pentru al doilea caz au unele limitări.

Forța maximă din element și deplasarea maximă indusă de un pas de sarcină poate fi găsită prin aplicarea ecuației de conservare a energiei. Pentru un sistem liniar, încărcat astfel, factorul dinamic este 2,0 ceea ce înseamnă

(2.14)

Acest lucru este adevărat în cazul EPP și BL atât timp cât . Când este calculat după această ecuație și este mai mare decât , ne spune că deformția este în domeniul plastic. Egalând energia de deformare cu lucrul mecanic al forței externe , se obține deformația maximă.

O deformație nu poate fi determinată în cazul sistemului RP când se aplică pasul de sarcină. Nu apare nicio deformație pentru și când , deplasarea deveneind nelimitată. Ceea ce inseamnă că sistemul este incapabil să reziste aplicării unei sarcini de această mărime.

În graficele sarcină-deformație date tabelar, sunt analizate după tipuri de curbe tensiune-deformație pentru diverse materiale. Ele sunt relații generale, dar din acestea se pot obține curbe tensiune-deformație pentru un tip particular de materiale. Pentru orice relatie caracterizată de două linii, se poate urmări transformarea

(2.15)

rezultând o curbă tensiune-deformație de formă corespunzătoare. Valoarea cazurilor de tip “oscilator simplu” care sunt enumerate, nu constă numai în răspunsurile materialului; deseori toate elementele răspund după scheme așa simple. Să considerăm două aproximări: Cazul 2.2 pentru un material RP și Cazul 2.5 pentru un material EPP. Valorile maxime (de vârf) ale deplasărilor induse de viteza inițială sunt, respectiv:

(2.16a)

și

(2.16b)

și diferența între ele este termenul , legat de proprietățile eleastice ale sistemului. Acesta este și termenul oscilatoriu pentru EPP, în timp ce sistemele RP determină numai deplasări permanente. Această diferență între cele două, este subestimarea vârfului de deformare dacă se utilizează un material RP în locul unuia EPP. Diferența analoagă la calcularea răspunsului există dacă se aplică impulsul rectangular descris de o forță .

Durata mișcării ulterioare cu o viteză inițială prescrisă

Chiar și cu neliniarități marcante implicate, mișcarea ulterioară a masei impactate poate semăna cu un sfert dintr-o perioadă armonică, în special când viteza inițială este dată. O bună aproximare poate deci să fie obținută prin presupunerea că deplasarea este o funcție armonică de timp, pentru un oscilator neamortizat:

(2.17)

cu maximum de deplasare obținut pentru sau un sfert din perioada naturală. Funția de rezistență poate avea orice formă, dar cu cât este mai netedă, cu atât este mai bună aproximarea. Ecuația mișcării urmărește formula 2.2:

(2.18)

Ținând cont de metoda Ritz cu o singură variabilă, descrisă în Cazul 4.7, o pseudofrecvență se calculează și apoi durata fazei de încărcare este dată de

(2.19)

Când impulsul S asociat cu forța R este dat, există o altă posibilitate pentru aproximarea lui . Dacă deformația este o funcție sinusoidală de timp, la fel este și este forța arcului, R în acest caz. este ușor de verificat că pentru un sfert de perioadă impulsul poate fi exprimat astfel:

(2.20a)

ceea ce dă

(2.20b)

Ceea ce arată că dacă impulsul este stabilit cu mijloace cinetice și reacția maximă este cunoscută, durata poate fi ușor calculată.

Se poate deriva o aproximare mai simplă din principiile elementare. Fie cunoscut maximul deformației atinsă pe durata mișcării, cât și vârful forței de reacție . Din mecanică deformația se poate scrie ca

în care este accelerația medie. Această valoare medie este legată de un interval de timp, decât de o distanță. Din această cauză se adoptă următoarea expresie pentru calculul accelerației medii:

(2.21)

în care reacțiunea inițială este este deseori considerată nulă. Timpul asociat este sau

(2.22)

Care formulă de aproximare se folosește depinde de problema și precizia dorită.

Durata fazei de încărcare a mișcării poate fi estimată folosind conceptul unui oscilator liniar echivalent. Fie o masă M atașată la un arc neliniar elastic și vibrator cu amplitudinea A. Imaginati-vă un sistem liniar asociat cu un arc de rigiditate , astfel ales încât deplasarea maximă , energia de deformare este aceiași pentru ambele arcuri (Fig. 2.11). Perioada naturală a sistemului neliniar, care se caracterizează prin , poate fi aproximată de

(2.23)

Rigiditatea liniară echivalentă este valabilă doar pentru o deplasare extremă dată . Deviația curbei de la linia dreaptă trebuie să fie mică pentru a face ecuația 2.23 suficient de precisă.

Nu este relevant dacă non-liniaritatea caracteristatea sistemului provine din cauze geometrice sau de material.

Ținând cont că durata este acum egală cu un sfert din perioada naturală, se poate scrie

sau (2.24)

Fig. 2.10. Caracteristica a obiectului real și a oscilatorului lui echivalent liniar cu rigiditatea

Acest lucru este evident adevărat pentru un element liniar, deaorece , dar pentru alte sisteme este mai degrabă o aproximare secantă a caracteristicii. Totuși, poate fi o formulă eficace dacă raportul , în loc să fie luat literar, este ajustat să corespundă cât mai bine cu , așa cum se vede în Fig. 2.11. Dacă curbele de încărcare, descărcare sunt aceleași, validitatea ecuației 2.24 se extinde și acoperă întreaga perioadă. Dacă se aplică un increment de sarcină, atunci faza de încărcare durează .

Deformări mari ale elementelor simple

În “Tensiuni și deformații într-un interval mare de deformații“, este nevoie să se folosească tensiunea reală S și deformația logaritmică Când sunt implicate distorsiuni mari (ale formei). Totuși, pentru a evita notația nefamiliară, acestea vor fi desemnate prin și , reținându-se în minte că sunt cele reale.

Cand o bară este trasă, atât tensiunea și deformația cresc. Există următorul gradient al forței , cu privire la deformație:

(2.25)

deoarece se poate concluziona din Ecuațiile 2.12 și 2.13 că . Condiția maximă pentru P, , pentru că, la o simplă privire,

(2.26)

Sarcina suportată de bară este o funcție de deformația curentă instantanee :

(2.27)

pe baza Ecuației 2.12a. Pentru un material specific este necesar să se cunoască .

Creșterea lui P pe măsură ce elongația crește, este dictată de panta curbei , deci este nevoie de o caracteristică simplificată pentru a păstra un oarecare realism. O curbă BL, care este adecvată în multe situații, poate fi utilă aici numai dacă are o ușoară schimbare de pantă a curbei originale . Pentru un material BL: pentru

(2.28)

Din ecuația 2.26, tensiunea și deformația de instabilitate, și forța critică corecpunzătoare sunt:

(2.29a)

(2.29b)

(2.29c)

Pentru un material PL

(2.30a)

și atunci

(2.30b)

Condiția de maxim devine:

(2.31a)

cu

(2.31b)

Din Ecuația 2.27

(2.32)

Acest efect al capacității de încărcare atingând un vârf înainte de ruperea materialului este menționat ca o instabilitate de tracțiune. Termenii provin din două observații. prima este că după punctul critic, are loc o creștere ulterioară a deformației cu o descreștere graduală a forței de rezistență.

De asemenea, de îndată ce tensiunea critică este depășită, există o tendință în metale de a se gâtui, care semnalizează proximitatea ruperii la tracțiune.

Aceeași metodă se poate aplica pentru un inel circular , sarcina distribuită fiind w (N/m), pentru care se caută maximul. Se poate exprima astfel:

(2.33)

în care ultima inegalitate a fost scrisă cu ajutorul Ecuației 2.12a. Diferențiind-o față de (cu ca o funcție de ) și stabilind derivata egală cu zero, condiția de extrem se obține ca:

(2.34)

și condiția vârfului de presiune este

(2.35)

Uneori caracteristica de material este astfel încât instabilitatea la tracțiune nu poate fi atinsă. Se poate ușor verifica că pentru , forța de întindere este monoton descrescătoare. Valorea maximă a lui P este, deci, în punctul de curgere, . Ecuația 2.27 se folosește, ca și înainte, pentru a calcula încărcarea curentă P.

Tuburi cu pereți groși și învelișuri din material EPP

Metoda prezentată înainte este aplicabilă numai pentru inele moderat de groase, să zicem . Când tubul este mai gros, este necesar să se facă distincție între condiția la raza interioară, unde în afară de tensiunea tangențială hoop stress, există și presiunea aplicată, și raza exterioară, pe care nu se exercită presiune. Analiza este, de obicei făcută pentru starea elastică, care se termină când se atinge sarcina limită , asociată cu inițierea plasticității. Pentru orice încărcare mai mare există o etapă elasto-plastică, de tranziție, când partea interioară a tubului este în condiție plastică și partea exterioară este încă elastică, așa cum se vede în Fig. 2.11. Această stare se termină când încărcarea atinge valoarea ultimă limită care coincide cu grosimea tubului în condiție plastică.

După Kalizsky aceste valori critice, pe baza teriei HUber-Mises, sunt

(2.36a)

(2.36b)

(2.37)

În relațiile de mai sus, este deplasarea la raza interioară, la încărcarea ultimă (tub complet plastic cu ) și B este lățimea tubului. Folosind expresia

(2.38)

se poate afla, după transformarea expresiei de mai sus ca în Anexa B, că Ecuațiile 2.36a și b au aceiași formă, ca limită, deoarece pentru tuburi cu pereți subțiri, cu excepția efectului coeficientului tensiunii multiaxiale, .

Fig. 2.11. Etapele de deformare din cauza presiunii interne, așa cum este ilustrată în cele patru cadrane: elastic (a), elastoplastic (b), total plastic (c) și total plastic, asociată cu deformații mari (d). (Pentru majoritatea materialelor inginerești, deplasările legate de starea etapa complet plastică sunt foarte mici.)

Analiza convențională se termină, de obicei, aici deoarece este încărcarea cea mai mare la care tubul poate rezista. pentru a determina rezistența la deformații mai mari, ipoteza volumului constant al materialului se folosește ca înainte. Dacă lățimea B este invariantă (deformații plane), atunci condiția este . Mai întâi se observă că din Ecuația 2.36b, că dacă R crește, h trebuie să descrească și așa va fi și cu raportul . Ceea ce înseamnă că încărcarea care trebuie să mențină tubul în poziția deformată descrește cu creșterea razei medii mean radius. Cealaltă ipoteză este că Ecuația 2.36b se menține nu numai pentru valoarea inițială, ci și pentru valorile curente instantanee ale razelor interioară și exterioară.

Dacă în Ecuația 2.38, scrisă pentru geometria curentă, se desemnează în conformitate expresia aproximativă pentru încărcarea imstantanee curentă este

(2.39)

în care invarianța volumului a fost folosită pentru a înlocui cu , produsul ultim fiind o constantă.

Ecuația dezvoltată pentru un inel este adecvată și pentru un tub cilindric, dacă și w este înlocuit cu presiunea p. Un înveliș sferic necesită derivări noi, dar pașii sunt exact aceiași ca înainte. Condiția de conservare a volumului este acum . (Aceasta este aproximativă, spre deosebire de condiția pentru inelul de mai sus). Se poate observa că descreșterea capacității de încărcare este mult mai rapidă abruptă pentru un înveliș sferic decât pentru un înveliș cilindric corespunzător, așa cum este evidențiat prin puterea mai mare a razei mediane r în numitorul celui dinainte.

Să determinăm lucrul mecanic necesar deformării expandării inelului și învelișurilor din material EPP. Expresia generală pentru incrementul lucrului mecanic făcut de încărcarea w (N/m), aplicată la raza interioară a inelului este , în care este o încărcare statică corespunzătoare razei curente a. Lucrul mecanic efectuat între razele și este, deci,

(2.40)

Interesul este să se determine acest lucru mecanic în domeniul plastic, începând cu punctul în care se atinge condiția de complet plastic. Folosind o integrare Simpson în trei puncte, se obține, ignorându-se deformația elastică mică:

(2.41)

în care indicii 0, 1 și 2 se referă punctul de expansiune inițial, de mijloc și final, cu referire la raza interioară a. Punctul inițial 0 coincide cu încărcarea limită (finală) . Pentru materiale ca oțelul, deplasările până la punctul definit de sunt foarte mici și la fel este și lucrul mecanic de dilatare. Se poate deci folosi o expresie aproximativă pentru domeniul elasto-plastic:

(2.42)

și lucrul mecanic de dilatare total este Ecuațiile sunt aplicabile pentru un cilindru tip tub, dacă și w este înlocuită cu presiunea p. Pentru un înveliș sferic cu presiune internă, incrementul lucrului mecanic este , deci expresiile rezultante diferă.

Pentru inele de grosime moderată, sunt posibile unele simplificări. Prin decuparea unui inel în jumătate după diametru și arătând echilibrul de forțe, se obține . Folosind invarianța volumului și notând că

(2.43)

Ecuația 2.40 poate fi scrisă în termeni de r și nu de a. Simplificarea presupune acum că să fie constantă, inserând valorile medii ale lui h și r pe durata procesului de dilatare. Rezultatul la sfârșit pentru lucrul mecanic plastic de deformare dilatare până la raza curentă r este

(2.44)

Inelele subțiri și învelișurile sunt mai ușor de analizat din punct de vedere analitic. Pentru acestea, tensiunea tangențială se presupune constantă și nu există influență asupra tensiunii radiale în investigarea condiției de curgere.

Distincția dintre gradele de grosime este oarecum arbitrară. Deoarece ne interesează deformările mari în stare plastică, este adecvat să se considere uniformitatea tensiunii tangențiale în condiția de plasticitate completă ca un parametru. În acest caz, un inel are un raport între tensiunea tangențială interioară și cea exterioară egal cu . Dacă se fixează (ceea ce dă ) ca un raport maxim al razelor pentru un inel subțire, atunci , ceea ce are o uniformitate destul de rezonabilă. Pentru o grosime moderată, (echivalent cu ) dă . Un corp cu un raport mai mare va fi numit inel gros. Același criteriu se aplică și învelișurilor cilindrice.

Un corp de masă variabilă

Când masa unui corp M este constantă, modul uzual de a exprima legea lui Newton este

(2.45)

Dacă masa M variază în timp, adică , atunci este aplicabilă o formă mai generală:

(2.46)

Fie o formă specială particulară a acestei ecuații, în care este constantă. Integrarea relației de mai sus, pentru cazul vitezei inițiale nule, dă

(2.47)

în care produsul a două funcții de timp, M și v, este proporțional cu timpul. Pentru un puls impuls care durează , crește la și rămâne constantă după aceea. Utilitatea acestei relații provine din faptul că la un moment oarecare, fie M, fie v, pot deveni cunoscute, ceeace face posibil să se găsească cealaltă din Ecuația 2.47.

CAPITOLUL 3. Criterii de randament

Stresul la un punct este un tensor, ceea ce înseamnă că sunt necesare trei componente pentru a-l defini. Având aceste trei componente, σx, σy, și τ într-un sistem de coordonate, nu este întotdeauna semnificativ. Din acest motiv, se caută adesea valorile extreme sau trei variații de stres, σmin, σmax, și τm. Având aceste trei variații se clarifică starea de stres, dar nu se răspunde la întrebarea esențială: Va suferi materialul deformare permanentă sau daune din cauza fiind subliniat la acest nivel?

De obicei, materialele sunt testate într-un mod uniaxial: oțel în tensiune, beton în compresie, etc. Elementele structurale, care sunt realizate din aceste materiale, sunt de obicei supuse la mai mult de o componentă de stres. Pentru a răspunde la întrebările legate de efectul unui domeniu prescris, un proiectant trebuie să se refere la teoriile combinate ale stresului. Cea mai veche dintre acestea este teoria stresului maxim. Pentru a decide cu privire la efectele de stres se calculează stresul maxim direct și îl compară cu valoarea admisibilă. Această teorie funcționează bine pentru materiale fragile, cum ar fi beton, rocă, și, adesea, sol. Pentru aceste materiale, deteriorarea înseamnă, de obicei, fractură. Pentru materialele ductile, rezistența la tracțiune Fy este principala proprietate materială, în ceea ce privește randamentul. Formulările de rezistență a randamentului sunt adesea extinse la rupere. Teoria stresului maxim de forfecare asociată cu numele de Tresca, este probabil cea mai populară, în ceea ce privește calculele de mână ale structurilor metalice. Randamentul are loc atunci când stresul maxim de forfecare atinge valoarea sa critică. Cercul Mohr ne spune că într-o simplă tensiune de magnitudine σ, cea mai mare forfecare este σ/2 (la 45° în direcția tensiunii); în consecință, o formă simplă de randament condiție este de a spune că

τ = τm=Fy/2 (3.1)

În cazul în care starea de stres este tridimensională (3D), atunci avem trei tensiuni principale: σ1, σ2, și σ3 și trei cercuri Mohr reprezentând trei planuri de tăiere reciproc perpendiculare.

Conform teoriei lui Tresca, materialul rămâne elastic dacă niciuna dintre principalele diferențe de stres nu o depășește pe Fy. Acest lucru este echivalent cu scrierea

|σ1 − σ2| < Fy; |σ2 − σ3 |< Fy ; și |σ3 − σ1| < Fy | (3.2)

Pentru o stare de stres 2D σ3 = 0, astfel încât ecuația de mai sus este redusă la

|σ1 − σ2| < Fy ; |σ2| < Fy ; și |σ1| < Fy (3.3)

Ecuația 3.2 are prioritate atunci când componentele principale sunt de semne opuse, deoarece atunci cel mai mare cerc Mohr este cel construit pe σ1 și σ2.

În Figura 3.1., planul punctelor de randament, conform acestei teorii, este indicat de liniile mai subțiri pentru un caz 2D.

6.2

FIGURA 3.1. Curbe de interacțiune pentru teoria lui Tresca (T) și Huber-Mises (HM).

(3.4)

(3.5)

O teorie mai recentă, care datează de la începutul secolului XX, este cea a teoriei energiei distorsiunii, denumită și ipoteza Huber-Mises (HM), așa s-a menționat anterior.* Conform acestui concept, starea de stres poate fi rezolvată într-o componentă volumetrică sau hidrostatică și o componentă de distorsiune sau forfecare. Randamentul poate fi cauzat numai de acesta din urmă, ceea ce duce la următoarea condiție de randament:

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3- σ1)2 ≤ 2 (3.6)

Pentru o stare de stres 2D, unde σ3 = 0,

– σ1σ2 +≤ (3.7)

Atunci când inegalitatea de mai sus este înlocuită cu semnul egal, este prescrisă condiția de randament pentru o stare plană de stres. Aceasta este o elipsă, care este reprezentată grafic în linie mai groasă în figura 3.1. Un proces de diferențiere ne dă coordonatele punctelor P și Q.

Este interesant faptul că una dintre componentele de stres poate depăși puterea de randament Fy cu condiția ca celălalt are o valoare suficient de mare și ambele componente au același semn. Elipsa în Figura 3.1. este o intersecție a unui cilindru în plan spațial 3D (σ1, σ2 și σ3) cu planul σ1 – σ2.

Probabil cel mai simplu mod de a privi cele două teorii este de a folosi un concept de un stres echivalent σeq ca măsură combinată a tuturor celor șase componente aplicate.

Prezența sau absența randamentului, precum și marja de siguranță se găsește prin compararea σeq cu stresul randamentului Fy sau un stres analog admisibil. Condiția de nonyielding (fără cedare) este satisfăcută atunci când

= || ≤ (Tresca) (3.8)

cu condiția, desigur, ecuația de mai sus reprezintă cel mai mare diametru al cercului Mohr.

Cealaltă condiție (HM) este în ceea ce privește principalele solicitări:

(3.9)

Dacă toate cele șase componente independente ale stresului sunt prezente, stresul echivalent se găsește în:

(3.10)

Puterea randamentului în forfecare pură poate fi găsită observând că într-o astfel de stare avem σ1 = τ și σ2 = −τ, în conformitate cu cercul Mohr asociat. Substituind în Ecuația 3.9 și observând că la debutul randamentului σeq = Fy, se obține

(3.11)

conform teoriei HM. O problemă foarte comună este cea a stresului direct σ și forfecare τ aplicate în unghiuri drepte față de prima așa cum se întâmplă, de exemplu, într-un arbore care este îndoit și răsucit. Folosind cercul Mohr și înlocuindu-se în ecuațiile 3.9 și 3.10, se poate demonstra cu ușurință că

(Tresca) (3.12)

(HM) (3.13)

Prima dintre ecuațiile de mai sus este puțin mai conservatoare decât a doua. Aceste două teorii funcționează bine pentru metale ductile în care rezultatele testelor se încadrează între cele două, dar, de obicei, sunt oarecum mai aproape de cea de-a doua.

Criteriile de tensiune pentru defecțiune pot fi, de asemenea, derivate, folosind conceptul similar de tensiune echivalentă. Din păcate, s-a constatat că nu sunt de acord cu experimentele. O excepție este atunci când predomină o singură componentă a tensiunii. Depășirea tensiunii materiale finale în acest caz va duce la deformarea corpului.

Sarcină aplicată

Deformarea este un proces de crăpare, care de obicei duce la o dezintegrare completă a unei părți structurale. Subiectul în întregime este destul de complex, implicând multe variabile. Această scurtă discuție aici este doar o imagine de ansamblu simlificată. La prima, se limitează la materiale ductile sub sarcini cvasistatice.

În cazul în care un material de probe randamentele la stresul de Fy și nu reușește la Fu, atunci raportul de sarcină între două state este pur și simplu Fu/Fy. Pentru elementele, care sunt mai complexe decât probele de tracțiune, există, de obicei, o redistribuire a stresului, pe care s-ar putea numi o auto-ajustare a stresului. Efectul redistribuirii este de așa natură încât raportul dintre sarcina care nu reușește și cea de la debutul randamentului este mai mare decât Fu/Fy. Efectul beneficiar al unei astfel de redistribuiri este unul dintre subiectele științei plasticității, pe care au fost scrise mai multe cărți. Deformarea părților din gama de plastic este adesea sinonim cu depășirea tensiunii finale εu..

Cele de mai sus este valabil pentru piesele care au o geometrie ușor de variat. Dacă au discontinuități, atunci situația devine mai puțin favorabilă, deoarece poate exista o creștere semnificativă a tensiunii locale în apropierea crestăturii. Acest lucru duce nu numai la reducerea sarcinii la defectare, dar poate reduce drastic deformarea admisibilă a piesei.

Efectul dinamicii, care înseamnă aplicarea rapidă a forțelor, nu simplifică lucrurile. În primul rând, chiar și o probă de material netedă este adesea sensibilă la viteza de aplicare a sarcinii, așa-numitul efect al ratei de tensiune. De obicei, există o creștere a rezistenței materiale aparente, cea mai mare parte în Fy, dar, de asemenea, în Fu. Acest lucru este, cu toate acestea, compensate într-o anumită măsură, de ductilitate, scăzut. În părțile reale, există, de asemenea, un efect de scurtă durată a creșterii sarcinii, care împiedică o parte din beneficiul de redistribuire a plasticului de la care are loc. Atunci când o creșterea sarcinii este foarte rapidă, undele de stres rezultate ascund situația în continuare.

Materialele fragile, prin definiție, au doar o mică diferență între stresul randamentului (sau, poate mai precis, în cazul în care se întâlnește o abatere marcată de la linearitate) la schimbarea formei. Redistribuirea beneficiilor stresului sunt mici. Pierderea ductilității datorită unei posibile complicații a formei este, prin urmare, de asemenea mică. De obicei, o parte fragilă nu reușește atunci când stresul de vârf depășește puterea materialului. Diferența dintre punctele forte de tracțiune și cele de compresie poate fi foarte mare, după cum sugerează figura 3.1.

Inițierea cracării locale duce la fisură atâta timp cât un nivel de sarcină rezonabil este menținut. Există unele, deși redus, capacitatea de o parte cu o fisură inițială pentru a rezista la sarcină. O situație de importanță practică apare atunci când apare o fisură din cauza unui istoric de încărcare trecut. O altă aplicare, scurtă a unei sarcini moderate nu va rupe partea în întregime, ci va mări doar fisura. Cuantificarea unei astfel de dezvoltări aparține științei mecanicii fracturilor și este în afara domeniului de aplicare al acestei cărți.

Efecte ale vitezei asupra probelor de material

Teoriile descrise mai sus se bazează pe o întindere foarte lentă, cvasistatică a probelor de material. Atunci când un capăt al unui eșantion este fixat și celălalt se mișcă cu u, tulpina de inginerie este definită ca ε = u/L, unde L este lungimea eșantionului. Rata de tulpină, numită uneori rata de timp a tulpinii este

(3.14a)

sau

(3.14b)

care este viteza finală împărțită la lungime. Această cantitate are o influență importantă asupra rezistenței materiale măsurate; de fapt, cele mai multe materiale de inginerie par mai puternice atunci când sfârșitul unui eșantion este tras mai repede. Există o serie de formule care cuantifică efectul de tulpină asupra rezistenței randamentului și printre cele relația Cowper-Symonds pare a fi cea mai populară:

(3.15)

unde

σ01 este rezistența în stare cvasistatică

σ0n se măsoară atunci când viteza de deformare ε este în vigoare

Coeficientul D reprezintă o rată de tensiuneF necesară pentru a dubla puterea randamentului, indiferent de valoarea q. Majoritatea autorilor folosesc 1/s ca o unitate de rată de tulpină, ceea ce face coeficientul D 1000 × mai mare (D = 40.4 pentru oțel ușoară, atunci). Nu s-a stabilit care este limita superioară de aplicabilitate a expresiei de mai sus în ceea ce privește rata de tensiune.

În timp ce există o literatură abundentă pe tema creșterii rezistenței metalelor, atunci când un eșantion este întins la o rată mai mare decât în mod normal, există, de asemenea, o întrebare legată, și anume efectul de încordare rapidă asupra capacității materialului de a absorbi energie înainte de deformare. Acest lucru se traduce la întrebarea mai simplă: puterea a crescut influența capacității de a întinde, de asemenea, cunoscut sub numele de ductilitate?

Există mai multe texte bune care se ocupă cu efectul tulpină-rată, dar indicii pentru a răspunde la întrebarea de mai sus sunt puține și departe. Una dintre excepții este Stronge și Yu [84], care, în dezvoltarea sa referitoare la balamalele din plastic în grinzi, au propus ca, pentru a ține seama de alungirea scăzută la rate ridicate de tensiune, produsul stresului de randament σ0 și alungirea finală corespunzătoare εu să fie menținută invariantă, indiferent de rata de tensiune implicată. În discutarea unei probleme de impact balistic, Teng [107] citează două seturi de proprietăți ale materialelor testate. Una dintre ele a fost pentru oțelul Weldox 460E, care a arătat o scădere a εu atunci când rata de tensiune a fost în creștere și cealaltă pentru aluminiu 2024-T351, care a arătat o tendință opusă.

Există unele dovezi experimentale interesante disponibile, care aruncă lumină asupra performanței oarecum dezordonate a materialelor sub rate foarte ridicate de tensiune. Un astfel de set lung de experimente a fost efectuat de Lamforn [51] care a lucrat la fragmentarea cochiliilor cilindrice umplute cu explozivi El a comparat ductilitatea dinamică, sau tensiunea maximă înainte de ruptură, cu proprietăți statice, după cum reiese din testul standard de tracțiune și a găsit o corelație mică în general. De fapt, întinderea rapidă ar îmbunătăți ductilitatea materialelor mai fragile și ar agrava performanța celor care au apărut destul de ductil într-un test static. A existat o anumită corelație între ductilitatea dinamică și energia de testare Charpy, dar a fost o tendință generală, mai degrabă decât relația 1:1.

O altă referință este un articol puțin cunoscut de Belayev et al. [8], care descrie testele de întindere de mare viteză pe eșantioane de mai multe metale. Experimentele au demonstrat că, pe măsură ce rata de tulpină crește, ductilitatea crește, de asemenea, deși ușor și apoi începe să scadă la un moment dat. Această scădere continuă până când se atinge o limită în cazul în care se observă o fractură fragilă. Pentru oțeluri de construcții testate această limită a fost găsită ca ε . = 16.000/s, ceea ce înseamnă o rată de întindere balistică.

Concept material echilibrat

În figura 3.2. sunt prezentate câteva parcele de stres-tulpină, idealizate pentru un model elastic, perfect material plastic. Toate au partea elastică definită de σ = Curba Eε, dar punctele forte din plastic diferă datorită diferențelor în ratele de tulpină. Curba 1 este pentru testare statică, iar suprafața eclozată de sub ea reprezintă energia de tulpină absorbită Π. În cazul în care procesul de întindere se extinde la aproape un punct de rupere, ca în figura 3.2., zona eclozată se numește tenacitatea materialului. Celelalte două curbe vor fi discutate mai jos.

Figura 3.2. Material elastic-perfect plastic (EPP) supus unor rate diferite de alungire.

Ideea unui material echilibrat este că păstrează aceeași duritate, indiferent de rata de tulpină implicată. Acest lucru trebuie aplicat celei mai frecvente situații de proiectare, și anume, atunci când datele privind absorbția energiei la rate ridicate de tulpină sunt necunoscute sau incerte. O expresie generală a conținutului de energie de tulpină într-un cub de dimensiune unitară din material elastic, perfect plastic este:

(3.16)

Indicele "1" din expresia de mai sus se referă la curba cvasistatică 1. Pentru o rată de tulpină mai mare care rezultă în curba 2, stresul de curgere σ02 se calculează din ecuația 3.15, iar conținutul de energie limitativ Π = Ṣ este același. Alungirea finală este, prin urmare,

(3.17)

Un calcul similar este valabil pentru curba 3, corespunzând unei rate de tulpină și mai mari. Linia punctată din figura 3.2. este planul nivelurilor de tulpină de defectare văzute ca o funcție a ε. Tulpina de defectare εu scade odată cu creșterea rezistenței randamentului σ0, până când ajunge la linia elastică la σM. Apoi avem:

(3.18)

Explicațiile de mai sus indică faptul că planul cu linie întreruptă din figura 3.2. este desenat pentru un material echilibrat. În majoritatea rapoartelor de testare, cu toate acestea, se pare că nu există o tendință clară în ceea ce privește tulpina finală atinsă, atunci când sunt trasate curbe pentru mai multe rate de tulpină. Recomandarea lui Stronge, menționată anterior, echivalează cu a afirma că

(3.19)

fie că rezistența la curgere σ0 și alungirea finală corespunzătoare εu rămân invariante, indiferent de rata de tulpină implicată. Când tulpina de vârf este un ordin de mărime mai mare decât tulpina la debutul randamentului (o situație tipică), declarația de mai sus coincide cu conceptul de material echilibrat.

Rezistența elementelor crestate la încărcare dinamică

Până în prezent, atenția noastră a fost axată pe elemente netede, probe de testare atent pregătite supuse la sarcini de tracțiune. Cele mai multe părți structurale, cu toate acestea, au discontinuități puternice de formă, de obicei, la capete, dar uneori chiar și în interior. Acest lucru a fost cunoscut pentru o lungă perioadă de timp, că astfel de discontinuități provoca concentrațiile de stres și că acestea degradează ductilitatea elementelor care le conțin.

Acest lucru se poate manifesta printr-o defecțiune prematură atunci când o astfel de parte este supusă unei încărcări de șoc. Acesta este un subiect foarte larg, care va fi redus în această secțiune la următoarele condiții: (1) materialul este ductil (2) există o slăbire locală, sau o scădere locală a rezistenței de-a lungul unei căi de încărcare și (3) sarcina este aplicată brusc și menținută constantă pentru o perioadă de timp. Pentru a face discuția mai semnificativă, aceasta se va referi la un exemplu specific prezentat în figura 3.3.

Figura 3.3. Un membru structural, cu grosimea de 1 mm, cu o gaură. Sarcina se aplică ca o funcție pas de timp.

σ = W/Amin desemnează stresul mediu în secțiunea minimă și să se lase σm = σ0 să stea pentru stresul maxim (efectiv) la punctul B. Se calculează următoarele variabile:

(3.20a)

(3.20b)

unde

Kσ este factorul de concentrație a stresului

εm este tulpina maximă asociată cu σm

(Această a doua relație simplă deține doar pentru un stres liber-margine, care, prin definiție este unidimensional și care pare a fi relevante pentru multe concentrații de stres.)

În cazul în care modelul material este PPE pe scurt, caracterizat prin puterea fl ow σ0, relațiile de mai sus dețin numai până la σm = σ0 sau până la ε = εy, alungirea la debutul randamentului la concentrația de stres la punctul B. În cazul în care sarcina aplicată crește până în acel punct, este desemnat ca Wy, sarcina la debutul de randament. Când sarcina continuă să crească, tulpina finală este atinsă în punctul critic, apoi ruperea este pe cale să înceapă. Creșterea sarcinii între debutul randamentului (Wy) și începutul ruperii (Wu) aparține domeniului inelastic, neliniar (Figura 3.4.).

Figura 3.4. Schimbarea distribuției stresului între debutul randamentului (a) și starea finală (b) pentru o secțiune transversală cu un punct de concentrație a stresului (material PPE).

Atunci când ruperea este pe cale să înceapă, elementul important este deplasarea medie a uu marginea încărcată, deoarece acest lucru determină energia de tulpină absorbită. Se presupune aici că această din urmă deplasare, obținută ca urmare a proceselor inelastice, poate fi exprimată după urmează:

(3.21)

în timp ce încărcarea crește de la Wy la valoarea finală a Wu. Această ipoteză se bazează pe o observație repetată că creșterea tulpinii de vârf este întotdeauna mult mai rapidă decât cea a deflecției generale. În ultima egalitate, se presupune că deformarea plastică este atât de extinsă încât, în secțiunea critică, stresul devine distribuit uniform și atinge nivelul σ0. Avem apoi Wu /Wy = σ0/σ, care, prin definitie, este la fel ca Kσ (Figura 3.4.). Din ecuația 3.21, deplasarea la debutul ruperii, se găsește uu și apoi energia de tensiune absorbită:

(3.22)

Ecuația de mai sus nu ia în considerare deformarea elastică mică și presupune sarcina de plastic complet dezvoltat Wu de la început. Ignoră energia suplimentară absorbită în timpul ruperii. Într-o perspectivă mai generală, ecuația 3.21 ar trebui considerată ca o extrapolare a rezultatelor materialelor liniare într-un domeniu de material neliniar.* Formularea de mai sus este limitată la o curbă tensiune, care este fl la depășirea punctului de randament. Dacă există o întărire a tensiunii sau dacă curba are un caracter mai general, procedura de estimare a stresului și a tensiunii în intervalul neliniar nu este atât de simplă, dar nu este prea dificilă. Procedura implică utilizarea ipotezei lui Neuber și poate fi găsită în Fuchs și Stephens [25]. De asemenea, atunci când se utilizează o curbă tensiune mai generală, a doua egalitate din ecuația 3.21 nu trebuie utilizată și FEA ar trebui utilizată pentru a determina Wu.

Privind problema din punctul de vedere al unui proiectant structural, să presupunem că o bandă cu o gaură din figura 3.3. trebuie supusă unei aplicații de sarcină, cu o magnitudine încât tensiunea, ε este de 150 MPa. Deoarece suprafața secțiunii nete este jumătate pe secțiunea completă, stresul mediu aplicat este, prin urmare, de 300 MPa la secțiunea cea mai slabă. Acest lucru este mult sub punctul de randament de 350 MPa, prin urmare, nu pare a fi nici o problemă. Fără a fi specific, se știe că va exista doar un factor de concentrație (zona netă) de 2,0 sau 3,0 (în cazul unui element mult mai larg) din cauza prezenței găurii, dar acest lucru va induce doar un stres de vârf localizate pentru a fi mai târziu netezite de plasticitate. Acest raționament este corect atunci când se aplică numai sarcini statice; de fapt, pentru o lungă perioadă de timp, structurile aeronavelor au fost proiectate folosind această abordare. Corect, dar nu foarte simplu de manevrat, deoarece se concentrează doar pe statică. Ignorarea efectului discontinuităților poate fi fatală în mai multe sensuri. Nivelul de stres poate fi limitat, dar tensiunile sunt ridicate, ceea ce poate provoca o eroare de oboseală. Atunci când se aplică încărcarea șoc/impact, nu numai un anumit stres nominal trebuie să fie rezistat, dar, de asemenea, un puls de energie este absorbit, care nu poate fi posibil cu o ductilitate limitată.

Discuția de mai sus se aplică materialelor ductile, unde cea mai mare parte a energiei este absorbită înainte de cracare. Pentru aceste materiale, inițierea fisurilor vizibile poate fi considerată, în scopuri practice, o defecțiune.

Faza elastică a impactului se termină atunci când se inițiază obținerea materialului. Randamentul materialului ductil începe atunci când presiunea medie de contact σav între suprafețele sferice (forța împărțită la suprafața de contact proiectată) atinge 1.241Fy.

Stronge și Yu [84] prezintă o imagine detaliată a tranziției între diferite faze de contact ale suprafețelor sferice ductile. Începutul fazei elastoplastice, în conformitate cu cele de mai sus, este la σav ≈ 1.1Fy și sarcina rezultată este desemnată de Wy. Când sarcina de contact crește, zona de plastic de sub suprafață se răspândește și ajunge la suprafață. Condiția devine complet plastic atunci când σav = 2.8Fy. În acest moment rezultatul este Wp ≈ 424Wy și creșterea în continuare a sarcinii de contact se datorează numai creșterii zonei de contact, în timp ce stresul de suprafață rămâne egal cu 2.8Fy. Mulți factori iau valoarea 3Fy ca începutul fazei plastice de deformare. În practică, tranziția este o problemă oarecum academică și necesită studii FEA foarte exigente. Ipoteza unei interacțiuni complet plastice, de la începutul până la sfârșitul fazei de încărcare, este mult mai ușor de gestionat, cel puțin din punct de vedere tehnic.

Mai des, un inginer care efectuează o analiză de impact va găsi stresul rezultat mai mare decât punctul de randament al materialului. Cu cât depășirea este mai mare, cu atât formulele Hertz devin mai puțin precise. În intervalul elastoplastic, descris mai sus, pot fi elaborate unele reguli de deflecție maximă și forță de vârf, dar ele vor fi descrise numai pentru combinația specifică de materiale. Situația devine mai ușor de gestionat atunci când se presupune că impactul este complet plastic.

Atunci când un proiectil are o formă compactă sau ascuțită, acesta poate crea o adâncitură sau un crater în suprafața afectată. Acest lucru este chiar mai probabil să se întâmple atunci când un proiectil este fabricat dintr-un material mai puternic decât suprafața țintă. Cea mai simplă abordare într-un astfel de caz este de a presupune (1) că, în urma impactului, proiectilul pătrunde în corpul afectat de um și (2) că nivelul de stres de contact fc rămâne constant în timpul impactului. Geometria evenimentului este prezentată în figura 3.5, pentru un proiectil cu suprafață curbată, care se presupune că este rigid. Creșterea forței de contact, pe măsură ce lovitura se deplasează în jos, este atribuită extinderii zonei de contact. Pentru a menține imaginea simplă, suprafața afectată din afara zonei de contact este tratată ca nedeformabilă; nu se scufundă sau umflă.

Figura 3.5. O lovitură care indentează o suprafață

Se folosește un dispozitiv de lovitură de suprafață sferic cu rază R presat pe o suprafață deformabilă plană ca exemplu. La adâncimea de penetrare u, raza de contact r este dată de

(3.23)

și forța de contact, în conformitate cu normele de hidrostatică, devine

(3.24)

Acest lucru este liniarizat prin ignorarea celui de-al doilea termen în parantezele de mai sus. Energia absorbită de această compresie locală este apoi

(3.25)

Dacă ne gândim la deformabilitatea suprafeței în termeni de arc echivalent cu o rigiditate ke, energia de tulpină stocată în acel arc este keu2/2, prin urmare,

(3.26)

Ecuația de mai sus ne permite să tratăm acest impact ca pseudoliniar, deoarece rigiditatea efectivă a curbei este constantă. Energia cinetică poate fi exprimată fie prin înălțimea de cădere h, fie prin viteza inițială echivalentă, = . Deflexia maximă um se obține prin echivalarea energiei a loviturii, Mgh = M /2 cu energia de tensiune:

(3.27)

în timp ce forța maximă corespunzătoare este

(3.28)

Ecuațiile liniarizate (Ecuațiile 3.25 până la 3.28) sunt destul de precise pentru un caz tipic de u/R fiind o mică fracție. Aceste expresii servesc numai până la un punct în care adâncimea de penetrare devine egală cu adâncimea segmentului sferic, u = d în figura 3.5 sau când = . În acest caz, forța maximă realizabilă de contact devine

(3.29)

și apoi rămâne constantă cu o creștere suplimentară a deplasării. Atunci când un proiectil este hemisferic cu o rază a, atunci W0 = πa2fc poate fi atins.

Durata fazei de încărcare poate fi găsită prin echivalarea energiei la um din ecuația 3.25 cu energia cinetică inițială. Relații similare pot fi găsite în Johnson [41].

Procedura pentru o lovitură de suprafață cilindrică cu raza R este destul de similară.. Forța este acum proporțională cu . Adevărata caracteristică când defecțiunile nu sunt neapărat mici, este ilustrată în Figura 3.6. În acest caz, o încercare de a liniariza caracteristica bazată pe energie egală este mult mai puțin precisă.

Ecuațiile de mai sus implică numai componenta de deflecție rezultată din deformarea locală a suprafeței. Aplicarea lor principală este de a furniza estimări preliminare, dar ele pot fi, de asemenea, utile atunci când se creează un model de calculator în stabilirea unei rigidități locale la punctul de impact.

Figura 3.6. Adevărata caracteristică pentru un proiectil cilindric

Aceste relații au fost prezentate de acest autor [94], ca parte a unui studiu al loviturilor de oțel care au impact asupra grinzilor grele din beton. Intervalul vitezelor de impact a fost între 1 și 10 m/s. S-a pus problema de a selecta valoarea fc pentru a se potrivi cel mai bine cu datele de testare. Acest autor a anticipat următoarea relație: fc = nF′c, unde n este un multiplicator și F′c este rezistența compresiune convențională a betonului. Pe baza acestor teste, precum și a altor experimente în mecanica rocilor cu viteză redusă, a fost selectat n = 3. Această metodă a dat rezultate mult mai bune, în ceea ce privește forța de impact calculată, decât formulele Hertz. Referirea la o abordare similară, deși într-un cadru mai general, este dată de Goldsmith [26]. Exact același rezultat pentru proictilul sferic este dat de Johnson [40], care nu a interpretat corect semnificația fc în cartea sa altfel excelentă.

Masă rigidă care afectează o bară axială

Figura 3.7 ilustrează ce se întâmplă atunci când o forță prescrisă este aplicată la un capăt liber al unei bare. Amploarea forței în aceste exemple a fost constantă, dar nu este necesar să fie așa. Dacă forța ar scădea în timp, atunci diagrama forței din figura 3.7 ar scădea, atunci când se merge de la stânga la dreapta.

Figura 3.7 Starea la scurt timp după forța finală care este aplicată unei bare axiale, o undă de tracțiune arată viteza particulelor direcționată spre dreapta, dar frontul de undă se deplasează în sens opus.

Figura 3.7. Bară

Dacă există un obiect de masă M atașat la o bară, bara în sine acționează ca un amortizor proporțional cu viteza. În cazul în care se descrie mișcarea unei mase M cu viteza inițială , mișcarea rezistată de un amortizor cu un C constant, am avut

v(t)= (3.30)

Figura 3.8 prezintă o bară afectată la sfârșit, pentru care constanta de amortizare corespunzătoare este C = Aρ, Viteza finală variază în funcție de

v(t) = (3.31)

Apoi, în figura 3.8(b) este prezentată unda inițială, cu fața de magnitudine a

= Aρși forța curentă P la coadă, corespunzătoare vitezei curente v(t). La = L/ această undă se va reflecta de la capătul fix, cu aceeași magnitudine P0 (provocând o dublare temporară a forței la 2P0 la acel capăt) și va călători până la capătul afectat. Starea din figura 3.8(c) este indicată pentru timpul t ≈ 1.5L/.

Figura 3.8. (a) Bară afectată; (b) distribuția forței axiale la momentul t; (c) prima trecere a undei (sub linia orizontală) și după reflexie (mai sus).

În cazul în care mișcarea capătului afectat este prescrisă, ca și în acest caz, acest scop nu mai este liber. Din această cauză, unda de intrare se va reflecta din ea ca într-un capăt fix, forța totală ridicându-se la

(3.32a)

cu

(3.32b)

sau

(3.33)

Cele de mai sus se întâmplă la = 2L/, iar viteza se calculează din ecuația 3.31. După arată investigațiile detaliate (Timoshenko [108] și Goldsmith [26]), dezvoltarea ulterioară depinde de raportul de masă, α=AρL/M. Cu excepția cazului în care apare o pierdere a contactului dintre M și bară (însoțită de forța finală afectată care scade la zero), valul compresiv va reflecta de la capătul fix și va avea din nou un impact asupra celuilalt capăt. Forța maximă reală atinsă la capătul afectat va varia în funcție de α, dar P2 poate fi utilizat ca o estimare practică a vârfului respectiv. Cea mai mare forță de comprimare apare la capătul fix.

Acesta este doar unul dintre exemplele în care acțiunea valurilor nu este în concordanță cu intuiția inginerească de bază. În primul rând, o bară, al cărei capăt este condus în mod prescris, reacționează ca un amortizor, mai degrabă decât un arc. De asemenea, ne-am aștepta ca forța de contact să depindă de masa de impact M. Deși există o anumită relație între forța de contact și raportul de masă, cel puțin în faza inițială, numai viteza de impact contează.

Când masa izbitoare este foarte mică, adică M << AρL, atunci al doilea termen între paranteze pătrate din ecuația 3.33 devine neglijabil și forța de vârf din bară este aproape de 2P0.

Când reversul este adevărat, și anume, M >> AρL, al doilea termen tinde spre unitate.

Această ultimă posibilitate, M >> AρL, aduce în evidență problema unei diferențe substanțiale între rezultatele obținute aici și ceea ce se obține atunci când se realizează abordarea stereomecanică de bază. În cazul în care masa barei este mică, este natural să se trateze bara ca pe un arc fără masă pentru a găsi forța de impact de vârf a Rm = . Acest lucru poate fi rescris prin notarea k = EA / L și în cele din urmă am găsit Rm = Aρ, care este identic cu P0, cum este definit aici.

Astfel, pentru a obține forța de contact maximă prin ignorarea masei barei și tratarea acesteia ca un arc, se obține o subestimare substanțială pentru raporturile mici M/(mL). Diferența, desigur, nu este la fel de mare ca aici, din cauza amortizării, care nu au fost contabilizate și care vor reduce valorile de vârf. Prin această abordare, contactul dintre corpuri durează jumătate din perioada naturală, calculată în mod obișnuit, și anume,

(3.34)

și forța de contact se calculează pe caz 3.2 cu k = EA/L. În conformitate cu ceea ce a fost spus înainte, ar trebui să crească forța de vârf cu următorul P0 pentru a obține o mai bună aproximare:

(3.35)

Bară axială cu arc

Această configurare are nevoie de o abordare analitică diferită. După cum arată figura 3.9, viteza inițială aplicată barei este echivalentă cu viteza constantă aplicată bazei rigide, dar a doua opțiune este mai ușor de manevrat. Din nou, presupunând că forța de compresie să fie pozitivă, se pot scrie deplasările și vitezele pentru capetele arcului, după cum urmează:

și (3.36)

La capătul condus 1 =, A doua dintre expresiile de mai sus poate fi scrisă ca

(3.37)

Această ecuație diferențială de prim ordin pentru P poate fi rezolvată cu ușurință prin separarea variabilelor cu condiția inițială a lui P(0) = 0:

cu (3.38)

Figura 3.9. Bara axială cu impact asupra peretelui printr-un arc.

Acordarea vitezei inițiale barei este echivalentă cu aplicarea vitezei constante v0 pe perete. Forțele interne sunt prezentate mai jos.

Această ecuație este valabilă numai până la tm = 2L/c, adică până când unda compresivă inițială revine ca tracțiune, după ce reflectă de la capătul liber. Înainte de acel moment

(3.39)

a fost, din toate motivele practice, forța maximă de comprimare. Rețineți că, pe măsură ce raportul k/(EA/L) devine mai mare, la fel și Pm, care se poate apropia de P0, dar nu pentru a-l depăși. Arcul poate fi, de asemenea, utilizat pentru a reprezenta un element care acționează în conformitate cu teoria Hertz, cu condiția ca elementul respectiv să fie liniarizat în conformitate cu principiile descrise anterior, dând constanta kef exprimată prin ecuația 7.38a și b. Sarcina de vârf Wm este necunoscută, provocând necesitatea unor aproximări succesive, dar un punct de plecare rezonabil face ca procesul să convergă rapid.

Observații

O serie de simplificări au fost utilizate pentru a face o descriere a evenimentelor fizice mai ușor de gestionat. În cazul impactului stereomecanic, de exemplu, natura contactului dintre o bază solidă cu impact și baza rigidă a rămas invariabilă pe tot parcursul evenimentului, excluzând posibilitatea de alunecare intermitentă. Coeficientul de restituire a fost definit numai pentru componenta viteza normala. Relaxarea acestor limitări poate duce ocazional la o mai bună înțelegere a fizicii, dar face, de asemenea, analiza mai complexă și mai puțin transparentă.

O cantitate echitabilă de spațiu a fost dedicată determinării unei flexibilității locale, care este adesea dominantă pentru corpurile de formă compactă. Când a fost investigată deformarea unei bare axiale, s-a constatat că bara axială răspunde la un impact de masă ca un amortizor, mai degrabă decât un arc, cel puțin în faza inițială de contact. Atunci când un corp elastic are impact asupra unui obstacol, au loc vibrații intense. Acest lucru face ca forța de contact să oscileze și să treacă printr-un număr de vârfuri și văi succesive. Analizele noastre simplifice pot prezice un singur vârf, care ar trebui considerat ca fiind cel mai înalt.

Capitolul 4. Impact masă-placă

Metoda de bază pentru problema impactului plăcii de masă este o abordare tehnică simplă o placă este tratată ca un membru flexibil, fără masă.. Forma sa elementară a fost deja prezentată în cazurile 3.27 și 3.28, unde aplicarea ecuației balanței energetice dă forța de impact maximă. Următorul pas în a face afirmația problemei un pic mai realistă este de a introduce o flexibilitate de contact 1/k, care de obicei nu este neglijabilă.. (Chiar dacă proiectilul în sine este foarte greu, există o deformare locală a secțiunii plăcii, care este apoi reprezentată de un arc cu o rigiditate k.). Forța de contact de vârf (impact) este

(4.1)

unde

este viteza de impact

M este masa unui atacant

k* este rigiditatea efectivă a două arcuri din serie, una reprezentând placa, iar cealaltă fiind rigiditatea de contact.

Figura 4.1 Rigiditatea de contact

Precizia acestei metode este destul de limitată, în special în ceea ce privește forța de contact de vârf. De obicei, un astfel de impact se caracterizează printr-o forță de contact, care scade rapid cu timpul. În prima clipă domină modul de forfecare a deformării, ceea ce sugerează utilizarea unui model de placă de forfecare prezentat mai devreme. Conceptul de undă de forfecare care se răspândește de la punctul de impact este implementat într-un mod similar cu cel care a fost făcut pentru grinzi, cu excepția faptului că acum se utilizează o viteză medie a undelor de forfecare:

(4.2)

unde hs = h/1.2 este grosimea eficientă pentru forfecare a unei plăci solide. Raza măturată de val este

R(t) = (4.3)

unde este raza unei inserții rigide în centrul plăcii. Viteza deplasării laterale în centru, sub o sarcină constantă W0, se calculează astfel:

cu B = (4.4)

Sistemul echivalent pentru impactul plăcii de masă, constă dintr-o masă M, un arc de contact k și un amortizor C reprezentând placa. Viteza laterală a centrului plăcii descris de ecuația 4.4 scade cu timpul. Valoarea sa medie este

(4.5)

Problema este acum simplificată pentru tratarea acestei relații viteză-forță ca reprezentativă pentru întreaga durată a impactului. Acesta poate fi pus într-o formă de

(4.6)

Ecuația 4.6 ne spune pur și simplu că centrul unei plăci, atunci când este apăsată, se mișcă ca un capăt al unui amortizor vâscos cu un C constant. Atunci când unda de forfecare ajunge la raza R(t), deformarea sa poate fi găsită din statica unei plăci de forfecare cu raza R(t).

Odată ce constanta amortizorului C este disponibilă, analiza devine echivalentă cu căutarea unui răspuns al unui element Maxwell. Următoarea procedură este utilizată de dragul simplității matematice. Din dinamica elementară se știe că forța de contact maximă a unui sistem de masă-arc care afectează un perete rigid este

Pms = . Acest lucru se întâmplă atunci când amortizorul este rigid.

Dacă arcul este presupus rigid, forța este Pmd = . Cea mai mare forță de impact reală Pm poate fi estimată acum de la

(4.7)

care este o ecuație ușor modificată pentru două elemente dintr-o conexiune de serie. Pm rezultat este întotdeauna mai mic decât oricare dintre cele două componente; diferă marginal de cea de mai sus, de dragul unei acurateți îmbunătățite.) Când se atinge Pm, arcul este complet comprimat și viteza asociată este

(4.8)

Instanța asociată va fi denumită punct de inversare, un concept, care este util în determinarea vitezei de revenire. Trebuie reținut faptul că analiza descrisă are sens numai atunci când impactul este relativ greu, astfel încât forța de contact maximă să poată fi atinsă înainte de devieri semnificative de îndoire dezvolta.

O modalitate alternativă de determinare a parametrilor de impact este utilizarea metodei de coliziune. Cu toate acestea, în cazul în care numai răspunsul momentului plăcii este de interes, metoda de bază descrisă la începutul acestei secțiuni ar trebui să fie suficient în majoritatea cazurilor.

Valorile limită ale forțelor interne și debutul curgerii

Capacitatea momentului de îndoire a unei plăci este legată de capacitatea unei grinzi dreptunghiulare cu lățimea unei unități, o astfel de grindă fictivă fiind parte dintr-o secțiune transversală a unei plăci. Pe măsură ce momentul de îndoire crește, se atinge o stare atunci când stresul exterior al fibrelor atinge , debutul randamentului. Momentul de îndoire asociat este My. Cu o creștere suplimentară a sarcinii se atinge o distribuție de stres din plastic complet dezvoltată, iar momentul atinge capacitatea maximă de M0.

(4.9a)

și

(4.9b)

Pentru plăci, în cazul în care secțiunile sunt solide, omogene, cu o lățime și o grosime unitară h, Z = h2 /4I = h3/12, c = h/2 și cele de mai sus simplifică

(4.10a)

și

(4.10b)

Stresul de forfecare a randamentului sau puterea fluxului în forfecare, , este în concordanță cu teoria Huber-Mises. Debutul corespunzător al randamentului în forfecare și capacitatea de forfecare sunt, respectiv,

(4.11a)

(4.11b)

în cazul în care hef este suprafața secțiunii lățimii unității, eficient pentru starea limitativă, h este suprafața totală a acestei secțiuni transversale. Pentru un dreptunghi, α = 3/2 și hef ≈ h. Capacitățile de plastic de mai sus sunt scrise pentru un material rigid-plastic (RP). Sarcina externă corespunzătoare debutului static al randamentului, poate fi găsită prin echivalarea valorii momentului din Ecuația 4.10a, cu expresiile momentului general,

(4.12a)

și

(4.12b)

(4.13)

Ecuația 4.13 provine din efectuarea unei operațiuni similare pentru sarcinile punctuale. O procedură similară se aplică pentru forfecare, în cazul în care combinarea Ecuației 4.11(a și b) în timp ce se utilizează α = 3/2, devine

(4.14a)

și

(4.14b)

(4.15a)

și

(4.15b)

pentru plăci dreptunghiulare și, respectiv, circulare.

Penetrare și perforare. Aspecte teoretice

Un obiect în mișcare rapidă, capabil să afecteze structurile este uneori menționat ca o amenințare energetică cinetică. Un astfel de obiect poate fi o tragere de muniție, împușcat intenționat pentru a provoca daune, dar poate rezulta, de asemenea, dintr-un eveniment accidental; de exemplu, o foaie de acoperișuri aruncat de vânt puternic.

Cel puțin unele dintre efectele acestor obiecte asupra elementelor structurale aparțin balisticii terminale, o ramură a ingineriei militare. În timp ce termenii cum ar fi penetrarea și perforația sunt înțelese calitativ de către cititori, definiția exactă a acestuia din urmă depinde de zona de aplicare.

Impact pe un mediu semi-infinit

O modalitate de a cuantifica acest tip de eveniment este de a corela viteza de impact cu deformarea plasticului, la care mediul este supus. O cantitate nedimensională, ρ /Fy, se numește numărul de deteriorare, deoarece este o măsură relativă a gradului de pregătire din plastic care rezultă din impact. Numărătorul este proporțional cu energia cinetică per suprafață afectată () în timp ce numitorul este proporțional cu puterea medie a debitului țintei. Densitatea proiectilului ρ este utilizată pentru a face numărul nedimensional. Johnson [40] prezintă un tabel (tabelul 4.1) cu numărul de daune pentru oțelul ușor, care, la unele ajustări formale, este prezentat mai jos.

Aceste limite de viteză au fost scrise cu referire la oțel, dar se consideră că sunt relevante și pentru alte materiale. O rășină vinil-ester, de exemplu, unde ρ = 0,0016 și Fy = 5, atunci când este afectată de un glonț de viteză medie–mare din același material, la 750 m/s, va avea ρv2/Fy = 180, ceea ce o plasează undeva între fluxul avansat de plastic și hipervelocitate în scara acestui tabel. După cum observă Johnson, într-un interval cu viteză redusă, un număr alternativ de daune, ρ/Fy, poate fi mai util pentru studii comparative.

Un alt mod de a descrie pe scurt modul în care viteza de impact influențează proprietatea materialului este aceasta: atunci când viteza de impact depășește 1 km/s, comportament fluid care este experimentat pe unele metale. Pentru o viteză mai mare de 10 km/s, impactul poate fi asociat cu vaporizarea și explozia obiectelor care se ciocnesc.

Când două obiecte similare au impact asupra unei suprafețe medii, diferențele lor de formă contează. Un obiect care furnizează mai multă energie cinetică pe unitatea de suprafață afectată, va provoca mai multe daune. În cazul mediilor ductile, amprenta acelui obiect va fi mai adâncă, adică o penetrare mai mare.

Cu o viteză de impact suficient mare, sau cu un mediu suficient de slab, avem nu numai o deteriorare a suprafeței de la impact, dar, de asemenea, o penetrare a unui proiectil într-un mediu.

TABELUL 4.1 Numărul daunelor pentru diverse materiale

Luând în considerare un caz de proiectil nedeformabil de masă M care se deplasează într-un mediu solid scriem ecuația mișcării sale ca

(4.16)

în care care primul termen din dreapta este o rezistență hidrodinamică, al doilea este o rezistență vâscoasă, iar al treilea termen este independent de viteză și legat de proprietățile medii. Matematic cel mai simplu este o mișcare cu o rezistență constantă F0:

(4.17a)

sau

(4.17b)

În acest caz, viteza se modifică liniar de la inițial la zero atunci când proiectilul atinge adâncimea de penetrare completă X. Accelerația este constantă, a = F0/M. Cel mai simplu mod de a-l găsi pe X este de a echivala energia cinetică inițială, și anume, F0X.

Acest lucru oferă

(4.18)

Când rezistența include atât componenta hidrodinamică F2, cât și constanta F0, penetrarea maximă este

(4.19)

O expresie mai detaliată pentru componenta hidrodinamică este

(4.20)

Impact pe o țintă cu grosime finită

Cu o viteză de impact suficient de mare sau cu un material țintă suficient de slab, proiectilul poate traversa întreaga grosime și poate apărea pe cealaltă parte, rezultând astfel perforație. Figura 4.2 ilustrează ce se întâmplă cu obiectul lovit în ceea ce privește daunele fizice.

Ar trebui remarcat faptul că toate aceste forme de deteriorare sunt asociate în principal cu materialele ductile, cu excepția figurii 4.2c, care este rezultatul fragilității. După cum sugerează schițele, proiectilul este tratat ca rigid. Viteza proiectilului, după despărțirea de țintă, se numește viteza de ieșire sau viteza reziduală.

Limita de viteză balistică, desemnată de este cea mai mică viteză la care proiectilul poate perfora ținta. Starea înainte de perforare și după este prezentată în figura 4.2,. Viteza inițială este și viteza de ieșire este Vr. În concordanță cu aceasta, energiile cinetice corespunzătoare sunt și, respectiv, . Când proiectilul perforează, dar se oprește imediat după aceea, aceasta înseamnă =, iar energia inițială corespunzătoare poate fi desemnată de . Într-un caz general, se poate scrie = + , sau

(4.21)

Capitolul 5. Criterii de cedare

De regulă, în aplicații practice, când corpurile sunt supuse unor solicitări multiaxiale, sunt utilizate frecvent două funcții de curgere: Tresca și Huber-Mises-Hencky.

Criteriul Tresca sau criteriul T

Cea mai simplă formă a funcției lui Tresca este:

(5.1)

Determinarea constantei k se poate face prin impunerea condiției

= și rezultă (5.2)

Criteriul a fost formulat în 1864 și evident un asemenea criteriu face abstracție de influența tensiunii normale intermediare .

(5.3)

Criteriul Huber-Mises-Hencky sau criteriul HMH

O altă funcție simplă care ar ține seama și de influența tensiunii normale , este funcția Huber-Mises-Hencky,

(5.4)

Formularea analitică a acestui criteriu rezultă prin aplicarea condiției

și astfel se obține:

(5.5)

Criteriul HMH consideră că starea plastică se produce atunci când energia specifică de deformație pentru modificarea formei este egală cu cea care produce apariția curgerii la solicitarea de întindere simplă.

Tabel 5.1 Teorii de atingere a stărilor limită

în care:

E- Modulul de elasticitate longitudinal;

W- Energia specifică de deformație;

– tensiunea normală limită;

– tensiunea tangențială limită;

– tensiunea normală limită de tracțiune;

– tensiunea normală limită de compresiune;

A,B,α,β- constante care depind de material

Capitolul 6. Modele constitutive de material

Modele de comportare a materialelor la viteze de deformație mari

Calibrarea parametrilor modelelor constitutive este deseori realizată prin tehnici de regresie aplicate datelor experimentale, fără a se ține seama de altgoritmul numeric folosit pentru implementarea modelului constitutiv., de exemplu, altgoritmul de plasticitate. Acest lucru nu anulează responsabilitatea utilizatorului de a verifica că parametrii selectați urmăresc datele care au fost obținute, adică dacă reproduc datele obținute din testare prin simple simulări numerice care utilizează modelul constitutiv. Când s-a verificat implementarea formelor opționale cu viteză de deformare descrise în continuare, s-a observat o inconsistență între parametrii modelului de calibrare și răspunsul altgoritmului. Aceste inconsistențe s-au centrat pe utilizarea alotor răspunsuri decât cele cvasi-statice pentru a calibra curgerea de tip Johnson-Cook de bază și parametrii de durificare/întărire. Formele opționale ale vitezei de deformare au fost introduse și calibrate pe date de laborator pentru oțel marca A36. În final, toate cele 4 formulări ale lui Johnson-Cook sunt prezentate de Schwer. Sunt prezentate și rezultate cu un alt model de calibrare, utilizând date cvasi-statice pentru a sublinia rolul parametrului în relația Johnson-Cook.

Modelul constitutiv Johnson-Cook

Apărut în 1983, acest model este un model fenomenologic, adică nu se bazează pe teoria clasică de plasticitate care reproduce câteva răspunsuri importante ale materialelor observate la impactul și penetrarea metalelor. Cele trei răspunsuri cheie ale materialului sunt durificarea prin deformare (ecruisarea), electele viteyei de deformare și înmuierea termică. Combinate, aceste trei efecte sunt introduse de modelul constitutive Johnson Cook

(6.1)

= deformare plastică efectivă

= (6.2)

reprezintă viteza de deformare folosită pentru a determina constantele A.B.N.

=, (6.3)

= temperatura de topire

= temperatura de referință, când se determină A,B,N

, (6.4)

unde reprezintă densitatea masei, iar reprezintă căldura specifică.

Partea rezistenței la curgere din modelul constitutiv Johnson-Cook are cinci parametri: A, B, N, C și M și trei caracteristici de material: , și . În plus, se cer și parametrii de elasticitate. Tipic, modelul de elasticitate la forfecare este dată de intrare în ecuația de stare (EOS) folosită pentru a defini presiunea față de răspunsul deformării în volum: pentru presiuni mici, EOS se presupune a fi definită de modulul de elasticitate în volum.

Johnson și Cook au extins modelul lor de bază cu includerea unui model pentru rupere bazat pe deteriorarea cumulativă. În implementarea în LS-DYNA a modelului constitutiv al lui Johnson-Cook, se dă relația:

= (6.5)

cu D=, iar ruperea apare când D=1

– tensiunea efectivă P- presiunea medie

Expresia este similară cu modelul de curgere cu trei termeni combinați într-un mod multiplicativ pentru a include efectele triaxialității tensiunilor, vitezei de deformare și a încălzirii locale. Această porțiune a modelului constitutiv Johnson-Cook necesită încă 5 termeni adiționali de material.

Lucrările din 1983 și 1985 ale lui Johnson și Cook descriu testele pentru caracterizarea materialelor, necesare pentru a calibra parametrii modelului. De exemplu, pentru oțelul laminat la cald A36, NAVEODTECHDIV a furnizat următoarele valori :

Tabel 6.1 Valori pentru oțelul laminat la cald A36

Modele constitutive

Forma standard a modelului Johnson-Cook este liniar logaritmic față de viteza de deformare. Deși această formă este adecvată, majoritatea materialelor au o dependență biliniară a rezistenței față de logaritmul vitezei de deformare.

Fig. 6.1. Diagrama caracteristică cu principalele stări limită

Figura 6.1. arată date pentru viteza de deformre pentru oțelul ASTM A36 laminat la cald, obținute din bare de torsiune Hopkins, raportate de Battelle (Seidt, 2005) și un model Johnson-Cook care se potrivește datelor.

Fiecare punct reprezintă tensiunea efectivă la o valoarea efectivă a valorii deformării plastice de 10%. Calitatea evaluării este dată de valoarea RMS, adică radical din media pătratelor diferențelor dintre date și valoarea regresiei.

RMS= (6.6)

în care este valoarea dată experimental pentru și este valoarea corespunzătoare a funcției de regresie

Alegerea parametrului este uneori făcut într-o manieră de convenabilitate, sau posibil din neînțelegerea rolului acestui parametru. Adeseori se gândește că acest parametru joacă rolul de a face unitățile de timp în termeni adimensionali pentru viteza de deformare. Partea importantă a selectării acestui parametru este să se observe că el trebuie să fie consistent cu alegerea parametrilor curgerii și durificării, parametrii A și B. dacă parametrii A și B sunt determinați din tensiuni efective cvasi-statice versus date efective ale deformației plastice, atunci parametrul ar trebui setat la valoarea efectivă a vitezei de deformare plastică folosită în testul cvasistatic, adică . dacă totuși, se alege , atunci valorile determinate pentru A și B necesită să fie adecvat modificate. Ca ilustrare, modelul Johnson-Cook este mai întâi evaluat folosind parametrii de la viteza de deformare plastică zero, , iar viteza de deformare plastică efectivă de și apoi la fel cu aceiași excepție .

= =41.5 ksi (6.7)

=1.0 =35.0 ksi (6.8)

Această ilustrare indică că folosind parametrul cu parametrii A și B determinați din testarea cvasi-statică, rezultatele unui model Johnson-Cook se potrivesc subestimează răspunsul static; această subestimare a răspunsului static se poate vedea în Figura 6.1.

Johnson-Cook Modelul constitutiv și date (parametrii) pentru metale supuse la tensiuni mari, viteze mari de deformare și temperaturi ridicate. (traducere selectivă)

De-a lungul ultimilor ani au fost depuse numeroase eforturi îndreptate spre calcule computerizate pentru determinarea vitezelor mari de impact și a detonării explozive. Capacitățile codurilor de computer actuale au fost extinse pâna la punctul în care factorul de limitare este deseori acela care definește în mod adecvat caracteristicile materialelor la rezistență și rupere. O abordare comună este aceea de a repeta pur și simplu calculele cu diferite caracteristici de material până la obținerea unui acord cu experimentul. În mod clar, ar fi de dorit, să se caracterizeze materialele cu un număr limitat de teste de laborator, astfel încât calculele inițiale să fie folosite cu mai mare încredere. Acest lucru ar conduce la o proiectare mai eficientă și ar oferi, de asemenea, o înțelegere mai bună a acestor procese complicate care apar în timpul condițiilor de încărcare intense.

Lucrarea prezintă un model constitutiv care este destinat în principal calculelor. Este cunoscut mai mult decât alte modele mai complexe, deoarece poate da descrieri mai exacte a comportării materialelor. Similar, diverse modele pot da descrieri mai bune pentru diferite materiale. În multe cazuri, calculele nu pot integra cu ușurință diversele și complicatele modele. Rezultatul este o constantă, adesea folosită, tensiunea de deformație dinamică.

Testele se vor efectua pe trei materiale metalice și anume Cupru OFHC, Fier ARMCO și Oțel 4340. Rezultatele pentru celelalte nouă materiale vor fi incluse, dar cu discuții limitate. În final, modelul și datele experimentale vor fi evaluate prin compararea rezultatelor computaționale de la testul cu cilindrul impactor.

Datele testului

Datele de torsiune pentru aceleași trei materiale sunt prezentate în Fig.6.2.

Fig. 6.2. Curbe tensiune-deformație din testele de torsiune la diferite viteze de deformare

Această tehnică de testare oferă câteva caracteristici, ce se referă la faptul că starea de solicitare este bine definită și efortul mare de forfecare poate fi realizat fără a se forma instabilități geometrice, iar o gamă largă de viteze de deformare pot fi obținute cu aceeași tehnică de testare.

Starea de tensiuni-deformații cvasi-statică pentru testele de torsiune și tensiune sunt prezentate în Figura 6.3. Un efort echivalent de tracțiune este obținut din datele de torsiune folosind regulile Von Mises. Tensiunea la întindere este σ=, iar efortul de întindere corespunzător este .

Tensiunea pentru încercarea la tracțiune este bazată pe aria curentă a gulerului, iar efortul este definit ca ln (A0/A), unde A0 și A reprezintă aria inițială și aria finală a gulerului.

Figura 6.3. Tensiuni-deformații cvasi-statice din testele de torsiune și tensiune

Fig.

După începutul gâtuirii apar tensiuni mari. Tensiunea de întindere a rețelei este mai mare decât tensiunea de dformație plastică la întindere. Acest lucru se datorează prezenței tensiunii hidrostatice. Tensiunea echivalentă de deformație plastică, obținută din datele de tensiune este determinată aproximativ folosind factorul de corecție Bridgman.

În toate cele trei exemple (ipostaze), datele de tensiune (efortul) tind să indice o forță mai mare decât cele derivate din datele de torsiune. Prin urmare, este de dorit să avem date din ambele teste, tensiune și torsiune, astfel încât discrepanța dintre cele două moduri de deformație să poată fi identificată.

Figura 6.4. ne arată efectul vitezei de deformare atât pentru tensiune, cât și pentru torsiune. În toate cazurile tensiunea crește odată cu creșterea vitezei de deformare.

Figura 6.4. Efectul vitezei de deformare

Analiza datelor și dezvoltarea modelului constitutiv.

Modelul pentru tensiunea de deformație plastică von Mises, σ, este exprimată astfel:

σ= [A+B ɛn] [1+C ln ̇ *] [1-T*m] (6.9)

unde: ɛ reprezintă deformația plastică relativă echivalentă

̇ *= ̇ /̇ 0 reprezintă viteza plastic de deformare adimensională, pentru ̇ 0=1s-1

T* reprezintă temperatura omoloagă

A, B, C, n, m sunt constante de material.

Expresia din prima paranteză ne dă tensiunea ca o funcție de deformație pentru ̇ *=1 și T*=0. Expresiile din a doua și a treia paranteză reprezintă efectul vitezei de deformare și al temperaturii.

Primul pas în acest proces este acela de a determina constantele din prima paranteză.

A reprezintă limita de curgere

B,n sunt constante care introduc efectele durificării prin deformare, în condiții izoterme (T*=0).

Deoarece datele de torsiune includ viteza de deformare (̇ *=1), s-a găsit o procedură simplă pentru a obține constantele pentru această viteză de deformare. În orice caz, aceste constant sunt pentru condiții izotermice.

Aceleași trei constante pot fi de asemenea derivate din datele de tensiuni. Punctul de start este echivalentul efortului de curgere la tracțiune (figura 4.). Această tensiune de deformație aproximativă obținută folosind factorul de corecție Bridgman este bazată pe simularea(modelarea) cu element finit al testelor de tensiune. Tensiunea de deformație plastică propriu-zisă va da rezultate care sunt în concordanță cu testele de tensiune din figura 4. În general, factorul de corecție Bridgman dă rezultate acceptabile.

Tensiunea de deformație este determinată eventual din testele de tensiune și are valoarea ̇ *=0,002 și pentru aceasta trebuie ajustată la ̇ *=1. Acest lucru este făcut prin creșterea valorilor cvasi-statice ale constantelor A și B, cu raportul solicitărilor la ̇ *=1 și ̇ *=0,002 .

Precedentul ne dă două seturi de constante, unul pentru torsiune și unul pentru tensiune. Pentru scopuri computaționale generale media valorilor A,B și n poate fi folosită. Tensiunea de deformație adiabatică rezultată pe baza valorilor medii ale constantelor este în general de 10% din ceea ce s-a obținut, folosind fie starea de torsiune, fie cea de tensiuni.

OFHC copper arată aproximativ ca dependența liniară față de T*. Acest lucru nu este în concordanță cu datele statice, deoarece tinde să se înmoaie rapid odată cu creșterea temperaturii. Acest lucru este evident, înmuierea termică fracționară tinde să crească odată cu creșterea vitezei de deformare.

Model de impact cu cilindri.

O evaluare a modelului constitutiv și a datelor poate fi făcută prin compararea rezultatelor computerizate cu datele de la testul de impact cu cilindri. Acest test are o viteză de deformare excesivă (105s-1) și deformație relativă mare (ε=2). De asemenea, o gamă de deformații la întindere și forfecare este experimentată.

Calculele au fost efectuate cu codul(softul) EPIC 2. Pentru aceste calcule, o presiune medie a fost folosită pentru fiecare set de elemente triunghiulare adiacente, astfel încât rigiditatea excesivă asociată cu elementele triunghiulare este eliminată

Această lucrare prezintă o analiză a datelor rezultate din același model constitutiv material, bazat pe date experimentale și model dezvoltat de Johnson și Cook. Același caz de impact al unui corp cilindric pe o țintă perfect rigidă a fost rulat cu patru discretizări diferite (2 mm, 1 mm, 0,5 mm și 0,25 mm). Aici, criteriul de comparare a fost valoarea maximă a stresului von Mises, s-a subliniat că cea mai fină plasă prezentată aici este mai aproape de realitate. În funcție de aplicația de caz, se poate adopta o plasă mai fină sau grosieră, dar nu atât de grosieră pentru a denatura realitatea deformării și defectării corpului. de a decide? Având resurse de calculator performante (hardware și software) și care rulează mai multe discretizări pentru a observa convergența unui parametru sau, mai fiabile, un set de criterii care ar putea include asemănarea calitativă cu corpurile reale în ceea ce privește defectarea și deformarea, materialelor implicate, valorile de deformare, în aceleași momente. Din acest studiu au fost formulate următoarele concluzii: discretizarea mai fină prezintă o deformație mai devreme în timp și a calculat un stres mai mare pentru aceste momente.

În 1983, Johnson și Cook au publicat o lucrare în care propunea un model de material constitutiv, bazat pe teste de impact cu cilindru, cu o rată de deformație mai mare de 105 s-1 și deformații mai mari de 2. Hooke a propus cea mai simplă dependență în câmpul elastic,. Acest model a evaluat tensiunea randamentului von Mises,

(6.10)

unde ℇ este deformația de echivalentă,este rata de deformare adimensională a plasticului , iar T*este un parametru adimensional pentru temperatură. A, B, C, n și m sunt constante materiale. Primele frâne reflectă efectul tensiunii asupra stresului pentru.

Al doilea dă efectele ratei de deformatie iar al treilea modifica concentratorul de tensiune datorat scimbării temperaturii. Temperatura omogenă a fost exprimată ca

(6.11)

Unde este temperatura de topire, este temperatura de referință pentru determinarea constantelor A, B și n. , cu

, (6.12)

fiind densitatea materialului și este căldura specifică a materialului.

Astfel, acest model ar putea fi introdus cu ușurință în codurile de calculator ca

Rezultatele pentru cupru OFHC a oferit cel mai mic acord, dar acceptabil.

Fig. 6.5. Cupru OFHC, viteza de impact 180 m/s [Johnson, 1983][1]

Tabelul 6.2. Constante în modelul Johnson-Cook pentru cupru OFHC

În 2007, Schwer [Schwer, 2007] [2] a prezentat mai multe expresii pentru dependența a modelului constitutiv pentru un grad de oțel A36, pe baza datelor experimentale. Autorul a comparat alte trei modele constitutive (Huh-Kang [Huh, 2002][3], Allen-Rule-Jones [Allen, 1997][4] și Cowper-Symonds[Cowper, 1958][5]). Concluzia a fost că deformatia efectiv în funcție de tulpina plastică eficientă este preferat să fie introdus cu ajutorul modelului Johnson Cook, chiar clasic, dar și Allen Rule Jones este adecvat. Această recomandare este susținută de faptul că parametrii de randament și de întărire sunt calibrați dintr-o tulpină de stres de dependență obținută în condiții cvasi-statice și nu prin utilizarea unei calibrări în funcție de rata de tulpină a1.0 s-1.

Burley et al. [Burley, 2018] [6] a prezentat o metodologie de evaluare a unui parametru de sensibilitate a ratei de tulpină pentru deformarea plastică a materialelor metalice în vrac. Aceasta implică un impact balistic cu un proiectil sferic dur, urmat de modelarea fem repetată, cu rezultate prezise (parcele de deplasare-timp și/sau forme reziduale de indent) fiind comparate cu experimentul. Valoarea parametrului "corect" se găsește prin încercarea de a maximiza valoarea unui parametru "bunătatea potrivirii" (g) care caracterizează acordul dintre rezultatele experimentale și cele prezise. Intrarea pentru modelul FEM include date care caracterizează plasticitatea cvasi-statică (dependentă de temperatură). Deoarece sensibilitatea la rata de tulpină se caracterizează printr-o singură valoare a parametrului (C în formula Johnson–Cook), convergența valorii sale optime este simplă, deși este necesar, de asemenea, un parametru care caracterizează frecarea interfacială. Utilizând date experimentale din probe de cupru (atât întărite la locul de muncă, cât și din cele care au fost refăcute), această procedură a fost efectuată și s-au obținut valori ale C (~0,016 și 0,030). Ratele de tulpină operative în timpul acestor experimente au fost ∼104–106 s-1. Pachetele software care permit extragerea automată a acestor valori din seturi de date experimentale sunt în prezent în curs de dezvoltare.

Sjöberg, Kajberg și Oldenburg [Sjöberg, 2017] [7] au prezentat o metodologie de caracterizare a fracturilor la rate diferite de tulpină, temperaturi și triaxialități de stres, la rate de tulpină de la 1 la 1000 s-1, și temperaturi ridicate de până la 650 °C. Patru geometrii de specimene au fost folosite pentru a obține o gamă largă de triaxialități de stres la fractură. Materialul exibitează o relație între temperatura și triaxialitatea stresului controlând tulpina fracturii. Orice tendințe clare au fost greu de găsit pentru dependența rata de tulpina. Deși tulpina la defectare variază în funcție de rata de tulpină, singurul specimen în care s-a putut observa un fel de tipar a fost specimenul de forfecare, unde tulpina de fractură scade pe măsură ce crește rata de tulpină. Chiar dacă orice model clar în dependența rata de tulpina nu a putut fi stabilită de la rezultatele, este evident că rata de tulpina nu influențează tulpina la fractură, mai ales atunci când se analizează rezultatele testelor de forfecare.

Capitolul 7. Modelul impactului unui proiectil pe ținta rigidă

Modelul impactului unui cilindru din material elasto-plastic pe o țintă rigidă

Un proiectil cilindric, cu un diametru de 7,52 mm și o lungime de 25,4 mm, lovește o placă rigidă pătrată.

Autorii au selectat următoarele valori pentru dimensiunea elementului: 0,25 mm, 0,5 mm, 1 mm și 2 mm. Burley [Burley, 2018] a considerat că proiectilul rămâne elastic pe tot parcursul, deși poate fi important în munca de înaltă precizie de această natură să nu-l trateze ca pe un corp rigid. Toate proprietățile materialelor au fost considerate a fi izotrope. Viteza de impact a fost stabilită la 70…180 m s−1 [Johnson, 1983], dar în acest model viteza chiar înainte de impact a fost considerat 300 m s−1. Ora de sfârșit a fost setată pentru 1×10-4 s.

Tabelul 7.1. Numărul nodurilor și elementelor pentru fiecare caz de discretizare

Următorii parametri ai simulărilor sunt păstrați constant: rata de creștere fixată pentru 1,2, raportul de tranziție este de 0,272, eroarea maximă de energie este 0,1, factorul de siguranță al treptei de timp este 0,9. Toate cazurile sunt considerate izotermice, la 22 °C.

Tabelul 7.2. Caracteristicile materialului

Tabelul 7.3. Constante pentru Modelul constitutiv Jonhson-Cook pentru puterea de cupru-OFHC-F (de la Johnson, 1958)

Tabelul 7.4 Johnson Cook criteriu pentru-OFHC-F cupru

Există, de asemenea, problema contactului de frecare între proiectil și țintă în timpul impactului. Reprezentarea standard a acestui efect (în cadrul Ansys) este de a atribui un coeficient de frecare, μ, la contactul interfacial, astfel încât alunecarea între cele două suprafețe necesită un stres de forfecare, τ, dat de

(7.1)

unde σn este stresul normal la interfata. Valoarea μ este în mod clar de așteptat să depindă de rugozitatea de suprafață (de proiectil și țintă), stres și de alți factori, și, prin urmare, este greu să fie prezis a priori. Deoarece ambele suprafețe sunt netede, o valoare relativ scăzută (<∼0.2) este considerată adecvată de Burley [Burley, 2018][6]. În acest studiu, frecarea este neglijată.

Criteriul de cedare (rupere) a materialului proiectilului este considerat deformația plastică echivalentă la rupere (EPS).

Calcularea EPS, eliminând deformația elastică, caracteristică zonei liniare a curbei tensiune-deformație (Fig. 7.1) din deformația totală; se observă linia paralelă cu segmentul de elasticitate liniară a materialului, trasată de la valoarea tensiunii la rupere până intersectează abscisa; segmentul astfel obținut este EPS la rupere.

În acest model s-a introdus funcția de deteriorare, modelul Johnson Cook.

Fig. 7.1. Deformația plastică, pe curba tensiune – deformație

Influența discretizării modelului

Figurile 7.2. și 7.3. prezintă proiectilul după atingerea țintei, pentru două momente diferite, t=1×10-5 s și t=1×10-4 s. Pasul de timp este foarte important în simularea impactului, un pas prea mare ar putea ascunde vârfuri de tensiuni, ruperi, deformații locale mari, ceea ce implică “ocolirea” sau “ascunderea” valorilor ridicate pentru tensiune și viteza de deformare și care nu sunt introduse pentru a fi prelucrate în continuare.

Discutia rezultatelor simulării se face analizând toate momentele simulării, activitate care este elaborioasă dar fără decare nu se poat evidenția momentele importante cum ar fi schimbarea formei proiectilului, prima fisură pe bordura periferică, ordinea fisurilor următoare.

Softul utilizat (explicit dynamics, Ansis) permite evaluarea simulării prin distribuție de tensiuni de diferite tipuri (echivalente, principale de forfecare, etc.) și distribuții de deformații (elastice plastice totale), pe vederea întregului ansamblu stau cu corpuri invizibile sau pe secțiuni pentru a puncta procese mecanice care au loc pe durata simulării.

Introducerea unor modele constitutive complexe care introduc mai mulți factori care influențează valoarea tensiunii permite obținera unor rezultate mai apropiate de realitate.

Validarea rezultatelor simulării prin comparația cu rezultate experimentale permite calibrarea modelului și utilizarea lui pentru simularea altor cazuri de interes pentru inginer.

La momentul t=1×10-5 s, valoarea cea mai mare a tensiunii echivalente s-a obținut pentru mesh-ul de 0,25 mm, ceea ce reflectă procesul de impact ,este foarte dinamic și o discretizare prea grosieră nu permite evaluarea corectă, mai realistă a valorilor extreme pentru tensiuni și deformații. Deocamdată influența mărimii discretizării nu este foarte relevantă. Ea devine relevantă în următoarele momente. La acest moment s-au obținut urmîtoarele valori maxime pentru tensiunea echivalentă, situate pe suprafața de contact a proiectilului cu ținta..

Figura 7.2. Influența dimensiunii disacretizării asupra distribuției stresului von Mises și a formei proiectilului, în momentul în care t=1×10-5 s

De exemplu, în acest moment t=1×10-5 s, au fost obținute următoarele valori pentru valoarea maximă de deformare:

,

,

.

Diferența, luând în considerare , este -14.9% pentru și numai -3.4%, ceea ce înseamnă că numai pentru acest moment, discretizarea de 0,5 și 0,25 ar putea fi acceptate pentru simulări realiste suplimentare. Dar la t=2×10-5 s, aceste valori sunt distribuite diferit:

,

,

.

Diferența dintre discretizările mai grosiere ar putea fi considerată acceptabilă, dar pentru discretizarea cu 0,25 mm, valoarea crește la 624,7 MPa, ceea ce înseamnă un procent de +31,4% față de valoarea discretizării de 2 mm.

La momentul t=3×10-5 s, și t=9×10-5 s valoarea cea mai mare a tensiunii echivalente s-a obținut pentru mesh-ul de 0,25 mm. Influența mărimii discretizării este foarte relevantă.

Dacă se compară imaginile din, Fig. 7.5, discretizarea de 2 mm nu oferă o simulare realistă, discretizarea de 1 mm nu are nicio rupere la marginea deformată a proiectilui, dar fisura este prezentă pentru discretizare mai fină (0,5 mm și 0,25 mm).

Modelarea permite identificarea etapelor în distrugerea proeictilului, Această discuție se va face face numai pe discretizarea de 0.25 și modelul fără frecare deaorece discretizarea mai fină s-a dovedit a fi mai apropare de realitate.

Etape observate pe simulare

– deformarea proiectilului cu toată baza în contact cu ținta, până la momentul t=2×10-5 s (Fig. 7.6 a și b), materialul bazei este în contact cu ținta,

– etapa de deformare a proiectilului cu formarea unei margini puternic roluită / întoarsă fără fisurare, până la t=4×10-5 s,

– fisurarea marginii, cu mai multe ințieri de fisuri, succesive în timp

Din figura 7.6 se observă că la momentul t=2×10-5 s, baza deformată a proiectilului este cea mai solicitată atingând 464 MPa pe suprafața în contact cu ținta și pe un sector periferic de câțiva milimetri (Fig. 7.6a) Se observă o tendință slabă de asimetrie a distribuției de tensiuni cauzată foarte probabil, de modificarea dimensiunilor elementelor și care va duce în următoarele momente la loclizare a fisurii.

Figura 7.7 arată momentul dinaintea fisurării muchiei deformate. Se observă că există deformații mult mai mari în zonele în care va apăre fisura.

Tabel 7.5. Deformarea proiectilului pe durata simulării, mesh=0,25 mm

Au fost analizate distribuția stresului von Mises și valorile maxime.

Fig. 7.10. Valorile maxime ale stresului von Mises pentru toate discretizările încercate

Chiar dacă panta la momentul t=1×10-5 s este aproape la fel, atunci valorile pentru stresul maxim von Mises evoluează foarte diferit. Pentru cea mai grosieră plasă (2 mm), această valoare crește la 501 MPa, dar apoi urmează un platou în jurul valorii de 450 MPa, cu un vârf de 545 MPa la t=4×10-5 s, cele mai mari valori (aproximativ 600 MPa) fiind obținute numai la t=6.5×10-5…7×10-5 s. Cea mai mare valoare a fost obținută pentru cea mai fină discretizare, ceea ce înseamnă că această plasă produce mai repede fractura materialului decât celelalte . Maximele vor fi în jurul valorii de 500…600 MPa.

Cea mai grosieră plasă (2 mm) generează vârfuri de stres cu o întârziere de 5×10-5 s. Concluzia este că ar trebui stabilită o convergență și pentru evoluția stresului maxim în timp.

Fig. 7.11. Diferența procentuală pentru stresul maxim von Mises în fiecare moment analizat, luând ca referință valoarea maximă obținută pentru o dimensiune a elementelor (mesh) de 0,25 mm.

Viteza punctului central de pe fața fața opusă impactului (inițial este centrul cercului care nu lovește ținta) nu scade brusc în primul interval de timp, dar apoi scade semnificativ, ajungând la 8 m/s (aproape repaos) la momentul t=1×10-4 s

Accelerația (decelerația) are un vârf abrupt în primul interval de timp, când viteza se modifică cel mai mult, apoi mai are un al doilea vârf care semnifică ruperea bordurii deformate și care permite proiecilului să avanseze mai repede.

a) b)

Fig. 7.12.

a) Frontal b) Înapoi

Fig. 7.12. Gloante extrase dintr-un panouri țesături aramid (panourile nu au fost penetrate, și focul au fost în acord cu ISO / FDIS 14876-2 Îmbrăcăminte de protecție – Armura corp – Partea 2: Rezistenta la gloante; Cerințe și metode de testare, 2002 și NIJ 0101.04/2000 Rezistența balistică a armurii corporale personale] [Pirvu, 2015]

Prima ruptură observată în timpul simulării are loc mai devreme pentru discretizările fine (0,5 mm și 0,25 mm) și este mai adâncă spre axele corpului, a doua sau chiar a treia fiind mai superficială. Analizând eșecul real al trei proiectile FMJ de 9 mm, după ce au fost arestate într-un panou format din țesături aramide (Fig. 7.12.), forma ciupercii este vizibilă și, de asemenea, trei sau patru fracturi ale marginii, nu egale cu adâncimea și deschiderea. Desigur, condițiile nu sunt similare cu această simulare (viteza de impact a fost de aproximativ 400 m/s, panoul este fabricat din materiale elasto-plastice și proiectilul sunt constrânse să se deformeze în interiorul panoului), dar se poate observa, de asemenea, asemănarea de deformare a marginii și fractură.

Concluzii

În funcție de caz, inginerii ar putea adopta o discretizare mai fină sau grosieră, dar nu atât de grosieră pentru a denatura deformarea și cedarea corpului.

Cum să decid?

Având resurse performante de calculator și rulând mai multe discretizări pentru a observa convergența unui parametru sau, mai bine, a unui set de criterii care ar putea include

asemănarea calitativă cu corpurile reale în ceea ce privește distrugerea și deformarea,

date experimentale privind discretizarea corpului (a cilindrului cazul noastru),

valori ale deformație și ale tensiunii, în același timp.

Discutia rezultatelor simulării se face analizând toate momentele simulării, activitate elaborioasă, dar fără de care nu se pot evidenția momentele importante, cum ar fi

schimbarea formei proiectilului,

prima fisură pe bordura periferică,

ordinea fisurilor următoare.

Softul utilizat (explicit dynamics, Ansys) permite

evaluarea simulării prin distribuții de tensiuni de diferite tipuri (echivalente, principale de forfecare, etc.) și distribuții de deformații (elastice plastice totale), pe vederea întregului ansamblu sau cu corpuri invizibile, pe secțiuni pentru a puncta procese mecanice care au loc pe durata simulării,

introducerea unor modele constitutive complexe care introduc mai mulți factori care influențează valoarea tensiunii permite obținera unor rezultate mai apropiate de realitate,

validarea rezultatelor simulării prin comparația cu rezultate experimentale permite calibrarea modelului și utilizarea lui pentru simularea altor cazuri de interes pentru inginer.

Concluzia: rețeaua mai fină prezintă o distrugere mai devreme în timp și a calculat o deformație mai mare pentru aceste momente.

Bibliografie

Johnson G. R., Cook W. H., A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures, pp. 541-550

Schwer L., Optional Strain-Rate Forms for the Johnson Cook constitutive model and the Role of the Parameter Epsilon_01, Dynamore GmbH, 2007

Huh H., Kang W.J., Crash-worthiness assessment of thin-walled structures with high-strength steel sheet, International Journal of Vehicle Design, vol. 30, no.1/2, 2002

Allen D.J., Rule W. K., Jones S. E., Optimizing material strength constants numerically extracted from Taylor impact data, Experimental Mechanics, vol. 37, no. 3, 1997

Cowper GR, Symonds P.S., Strain hardening and strain rate effects in the impacting loading of cantilever beams, Brown University, Applied Mathematics Report, 1958

Burley M., Campbell J.E., Dean J., Clyne T.W., Johnson-Cook parameter evaluation from ballistic impact data via iterative FEM modelling, International Journal of Impact Engineering 112 (2018) 180–192

Sjöberg T., Kajberg J., Oldenburg M., Fracture behaviour of Alloy 718 at high strain rates, elevated temperatures, and various stress triaxialities, Engineering Fracture Mechanics 178 (2017) pp. 231–242

Pirvu C., Contributions on numerical and experimental study of ballistic packages made of aramid fibers (in Romanian) PhD thesis, Dunarea de Jos University, 2015.

Lucrări științifice

1) V. Totolici- Rusu, G. G. Ojoc, C. Pirvu, L. Deleanu, „Influence of element size in a case of impact simulation”, 8th Edition of the Scientific Conference of the Doctoral Schools of Dunarea de Jos University – SCDS-UDJG 2020, Galați, published in Mechanical Testing and Diagnosis, volum 4, pag. 24-29, 2020.

2) G. G. Ojoc, V. Totolici- Rusu, C. Popescu, C. Pirvu, L. Deleanu, „Influence of friction in a case of impact simulation”, 8th Edition of the Scientific Conference of the Doctoral Schools of Dunarea de Jos University – SCDS-UDJG 2020, Galați, accepted for publication in INCAS BULLETIN volum 12, pag.145-154, 2020.

3) V. Totolici Rusu,, „Design of a composite and impact tests”, published in Mechanical Testing and Diagnosis volum 4, pag. 9-16, 2017.

4) George Ghiocel Ojoc, V. Totolici -Rusu, Lorena Deleanu „ How Friction Could Influence the Shape and Failure International Mechanism in Impact, with the Help of a Finite Element Model ”International Conference on Materials Science and Tehnologies-RoMat 2020 November 26-27, 2020 “Dunarea de Jos” University, Galati, Romania.