Psihopedagogia Gandirii

Psihopedagogia gandirii

Cuprins

I. INTRODUCERE

I.1 Argument

II. GÂNDIREA

II.1 Considerații generale privind psihopedagogia gândirii

II.2 Caracterizarea gândirii

II.3 Operațiile gândirii

II.4 Procesele gândirii

II.5 Modalități ale gândirii

II.6 Tipuri de gândire. Gândirea creativă.

II.7 Rezolvarea de probleme

II.8 Profilul psihologic al școlarului mic

III. PREDAREA MATEMATICII LA CICLUL PRIMAR

III.1 Noțiunea de problemă și etapele rezolvării ei

III.2 Valențele formative ale activității de rezolvare a problemelor

III.3 Clasificarea problemelor

III.4 Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică

IV. CULTIVAREA CREATIVITĂȚII PRIN REZOLVARE ȘI COMPUNERE DE PROBLEME

IV.1 Necesitatea utilizării unor elemente de logică

IV.2 Algoritmi, scheme logice și posibilitățile de folosire a lor în rezolvarea problemelor

IV.3 Tipuri de probleme și modalități ce stimulează dezvoltarea gândirii creatoare

v. CERCETAREA PEDAGOGICĂ LA CLASĂ

V.1 Precizarea obiectivelor și formularea ipotezelor

V.2 Metodica cercetării

V.3 Prelucrarea și interpretarea datelor

V.4 Concluzii

INTRODUCERE

1.ARGUMENT

IMPORTANȚA ACORDATĂ PREDĂRII MATEMATICII ÎN ȘCOALA CONTEMPORANĂ

În contextul preocupărilor pentru modernizarea învățământului , pentru racordarea lui la cerințele epocii contemporane, cele destinate ridicării calității învățământului matematic ocupă un loc prioritar. Ritmul alert al dezvoltării competiției în toate domeniile de activitate ne impune să gândim repede și bine, iar afirmația că este nevoie de matematică este insuficientă. Se poate chiar susține că nu se poate trăi fără matematică.

La fel ca multe discipline științifice, matematica își datorează începutul, și în bună parte chiar dezvoltarea sa, unor necesități practice, izvorâte din lunga și neîntrerupta confruntare a omului cu natura externă și cu propria-i ființă.

Așa au fost în trecutul îndepărtat nevoile legate de evidența obiectelor și animalelor, împărțirea terenurilor, determinarea distanțelor, calcularea dimensiunilor unor construcții, întocmirea hărților, efectuarea schimburilor comerciale ș.a. Așa au fost ceva mai târziu cele vizând fenomene și relații specifice domeniului fizicii și astronomiei, geografiei și geologiei, chimiei și biologiei.

Matematica este știința conceptelor cele mai abstracte, de o extremă generalitate. Ca abstracțiuni ale altor abstracțiuni , ele se construiesc la diferite etaje prin inducție, deducție și transducție. Matematica este o excelentă școală de formare a gândirii în etape, care ordonează lucrurile conform complexității lor, care dezvoltă spiritul metodic de abstragere a faptelor date din experiență și intuiție, de cele ce decurg logic din ele. Ea dezvoltă gândirea recurentă, ne învață să abordăm studiul proceselor cu o infinitate de etape, prin reducerea lor la procesele cu un număr finit de etape.

Laboratorul gândirii matematice reprezintă un model de activitate inovatoare, un teren deosebit de fertil pentru formarea, dezvoltarea și investigarea aspectelor subiective ale descoperirii și creației în general. Tot matematica dezvoltă gândirea combinatorie, gândirea analogică, dezvoltă capacitatea de a descoperi o structură comună în fenomene aparent diferite.

În condițiile în care în știința contemporană asistăm la o veritabilă constelație a modurilor de gândire inductive ( analitic-constructiv, axiomatic-deductiv, statistic, algoritmic recursiv, analogic etc ), intervenția matematicii ne apare evidentă nu doar de natură instrumentală, care ar înarma o gândire formată și educată prin alte mijloace, ci și una esențială , constitutivă, prin abordarea problemelor din orice domeniu de cunoaștere care a atins un nivel relativ înalt de maturizare teoretică.

În clasele I-IV se însușesc noțiunile de bază, instrumentele cu care elevul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic.

Dacă sunt predate în mod sistematic, ținându-se cont de particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor, dacă sunt însușite în mod conștient și temeinic, cunoștințele de matematică aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate al elevilor încă din ciclul primar. Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ,de a folosi analogii, de a analiza o problemă și a o descompune în probleme simple etc. De asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu echipamentul pe care îl dau aceste patru clase, elevul face întreaga călătorie în domeniul acestei științe. Mulți copii întâmpină dificultăți în învățarea matematicii pentru că nu-și însușesc la timp aceste noțiuni. Important este ca învățătorul să respecte valoarea formativă a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul particularităților psihice de înțelegere.

Utilizarea și apoi transferul noțiunilor matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii,mai ales prin efort propriu al elevului. Activitățile matematice necesită astfel o bună mobilizare a tuturor comportamentelor psihicului uman, cu precădere a inteligenței și a gândirii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual, elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general. Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația de a căuta și descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior, sunt metode euristice: modelarea, problematizarea, învățarea prin descoperire. În categoria acestor strategii se înscriu metodele de predare-învățare-evaluare care privesc atât activitatea elevului cât și a învățătorului și care își sporesc eficiența formativă cu cât îl implică mai mult pe elev, adică sunt mai activante, mai participative.

Se poate afirma că matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ, este investită cu bogate valențe educativ-formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

În același timp matematica se adresează și laturii afective: câte bucurii, câte nemulțumiri – întovărășite uneori cu lacrimi – nu trăiesc copiii în procesul activităților matematice ?! În primele clase se naște la copil atractivitatea, dragostea sau repulsia pentru matematică, în funcție și de măiestria pedagogică, respectiv de aptitudinile matematice ale învățătorului.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază, vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri, rezolvarea diferitelor tipuri de probleme , în vederea dezvoltării unei gândiri flexibile, a unei gândiri creatoare.

În cadrul procesului de învățământ, obiectivele coroborate cu celelalte componente ale sale sunt determinante pentru alegerea modalităților, a mijloacelor și căilor de realizare a activității instructiv-educative. Metodele folosite trebuie să aibă un caracter mobilizator, activant, care să mărească potențialul creator al elevilor prin angajarea lor la un efort personal în actul învățării.

Matematica făcută cu creionul și hârtia capătă mai puțină importanță și devine mult mai importantă utilizarea unei varietăți de obiecte care trebuie manipulate în procesul învățării; se trece de la memorare de reguli și socotit la activitate de rezolvare de probleme prin tatonări, încercări, implicare activă în situații practice, căutare de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate.

În zilele noastre societatea are nevoie de un om cu gândire creatoare, inventiv, explorator, îndrăzneț, de aceea este necesară modernizarea matematicii, perfecționarea învățământului, în vederea sporirii eficienței sale formative. Dar nu orice perfecționare, orice introducere a noului înseamnă modernizare, ci căutarea de noi mijloace, folosirea celor existente cu scopul de a mări eficiența, de a asigura calitatea învățării, de a forma oameni capabili să stăpânească cunoștințele și deprinderile necesare și să le poată aplica în viață, în producție.

Deci, ținând seama de importanța științei matematicii în contextul contemporan, școala trebuie să contribuie într-o măsură cât mai mare la dezvoltarea aptitudinilor matematice la școlari.

II. GÂNDIREA

1. Considerații generale privind psihopedagogia gândirii

Subsistemul cognitiv al omului atinge punctul culminant al complexității, organizării și eficienței sale la nivelul gândirii. Luată în forma sa constituită și consolidată, așa cum se prezintă la subiectul adult normal, și cum a fost de altfel tratată de cercetarea psihologică tradițională, până , gândirea pare a fi entitatea psihică cea mai enigmatică și mai plină de mister. Așa se și explică de ce abordarea ei experimentală și de laborator a început mult mai târziu decât a celorlalte funcții, iar aceasta a avut un caracter timid și intermitent. În fața complicatei întrebări care este natura și esența gândului, a ideii ?, psihologia clasică a bătut de fiecare dată în retragere, căutând răspunsul nu atât în faptele experimentale și în expresiile comportamentale ale omului concret, cât în speculațiile filosofice: asociaționismul – în filosofia senzualist-empiristă, gestaltismul – în fenomenologie și apriorismul kantian, și behaviorismul – în materialismul vulgar și pragmatism. Cât despre freudism, această orientare s-a dezinteresat total de studiul gândirii ca atare, mulțumindu-se a o considera o modalitate secundară (în ordine genetică) de satisfacere a motivației biologice .

Curentul asociaționist considera gândirea cu precădere sub aspect cumulativ-cantitativ, ca fiind produsul multiplicării formelor de senzații și al articulării succesive (în lanț) sau simultane (spațiale) a imaginilor. Noțiunea nu este nimic mai mult decât o gamă de senzații, fiecare din acestea reprezentând o anumită însușire sau componentă a subiectului. A rămas celebru, din acest punct de vedere, exemplul lui J. St. Mill cu noțiunea de casă. Aceasta este definită ca o reuniune a imaginilor particulare de temelie, perete, fereastră, acoperiș. O asemenea optică reducționistă a făcut ca școala asociaționistă clasică să rămână cea mai săracă în cercetări experimentale și în studii consacrate gândirii ca proces psihic specific.

Max Wertheimer includea în coordonatele modelului asociaționist și abordarea behavioristă a gândirii. O asemenea judecată este evident greșită, pentru că între asociaționism și behaviorism există o deosebire metodologică esențială: asociaționismul admite existența lumii subiective interne, a conștiinței, chiar dacă aceasta este văzută doar ca un mozaic de imagini, în vreme ce behaviorismul a debutat prin negarea caracterului real al conștiinței și prin substituirea ei cu reacțiile comportamentale externe. În cazul asociaționismului, legile asociației acționează în sfera imaginilor, în cel al behaviorismului, acestea vizează relația dintre stimulii externi și reacțiile de răspuns ale organismului.

În raport cu asociaționismul, gestaltismul a marcat un pas înainte din punct de vedere metodologic, admițând specificul calitativ al gândirii ca formă distinctă a organizării psihice și ireductibilitatea ei la reprezentare sau senzație. Aceasta i-a și determinat pe reprezentanții de seamă ai curentului – W. Kohler, M. Wertheimer și K. Dunker – să conceapă și să efectueze cercetări experimentale coerente și sistemar includea în coordonatele modelului asociaționist și abordarea behavioristă a gândirii. O asemenea judecată este evident greșită, pentru că între asociaționism și behaviorism există o deosebire metodologică esențială: asociaționismul admite existența lumii subiective interne, a conștiinței, chiar dacă aceasta este văzută doar ca un mozaic de imagini, în vreme ce behaviorismul a debutat prin negarea caracterului real al conștiinței și prin substituirea ei cu reacțiile comportamentale externe. În cazul asociaționismului, legile asociației acționează în sfera imaginilor, în cel al behaviorismului, acestea vizează relația dintre stimulii externi și reacțiile de răspuns ale organismului.

În raport cu asociaționismul, gestaltismul a marcat un pas înainte din punct de vedere metodologic, admițând specificul calitativ al gândirii ca formă distinctă a organizării psihice și ireductibilitatea ei la reprezentare sau senzație. Aceasta i-a și determinat pe reprezentanții de seamă ai curentului – W. Kohler, M. Wertheimer și K. Dunker – să conceapă și să efectueze cercetări experimentale coerente și sistematice asupra fenomenologiei gândirii. Trebuie menționat însă, din capul locului, că cercetările respective erau astfel proiectate, încât să confirme principiile permanente, a priori ale organizării, care fuseseră dezvăluite încă la nivelul percepției. Așa cum am arătat în capitolul consacrat percepției, esența acestor legi constă în afirmarea caracterului predeterminat, înnăscut al structurilor (formelor) și a primatului ansamblului (întregului) asupra părților componente, acesta având caracteristici proprii, ce nu se pot obține din simpla însumare a părților.

Se poate afirma că, prin aceasta, gestaltismul, aidoma psihologiei introspecționiste a capacităților înnăscute, preia teza cogito-ului, dezvoltată de Socrate, Sf. Augustin și Decartes, potrivit căreia cuget, deci exist, gândesc-exist, sau în reformularea lui Maine de Biran (1802): O ființă nu există pentru ea însăși decât în măsura în care ea știe acest lucru sau în măsura în care gândește la aceasta.

Imanentismul concepției gestaltiste despre gândire este constant subliniat și argumentat în cercetările experimentale întreprinse și în principalele lucrări consacrate acestui proces. Datele experimentale sunt interpretate prin prisma conceptului de câmp și de circuit total organism-mediu, termeni corelativi dinamici. Câmpul este înzestrat cu două atribute esențiale: atributul dinamicității și atributul sintezei sau integrării. Grație acestor atribute, gândirea apare ca o succesiune orientată de transformări, transpoziții și integrări relaționale între stările interne ale subiectului și elementele situației externe.

Prima mare lucrare experimental-teoretică de sorginte gestaltistă a fost elaborată de W. Kohler și se intitulează Despre inteligența maimuțelor (1923).

W. Kohler a conceput cercetările sale ca o replică la cele realizate de către americanul E. L. Thorndike pe animale și care accentuau rolul întăririi, al învățării după principiul învățare-eroare și al experienței anterioare în rezolvarea sarcinilor prevăzute de așa-numita cutie-problemă (problem box).

O altă lucrare reprezentativă pentru abordarea gestaltistă a gândirii aparține lui Max Wertheimer și poartă titlul Gândirea productivă (1941). Tema principală a acestei lucrări o constituie punerea în evidență și demonstrarea caracterului dinamic activ al gândirii autentice și a funcției ei transformativ-structurante în raport cu elementele situației problematice externe.

Max Wertheimer a dovedit că soluțiile problemelor propuse de el aveau întotdeauna un caracter global-integral, ea țâșnind brusc la suprafață, de îndată ce în cadrul câmpului total se închidea o nouă structură (între stările interne ale subiectului și elementele situației, problemei). Se conchide astfel că desfășurarea gândirii nu poate fi subordonată (încorsetată) legilor logicii formale introduse ca atare din afară, ci legilor care se află în interiorul ei însăși. Pe această bază, M. Wertheimer face o severă critică sistemului de instruire școlară din timpul său, sistem excesiv de normativ și dogmatic, abuzând de definiții, reguli, formule și legi gata fabricate, pe care elevii trebuia să le memoreze necritic și să le aplice întocmai în rezolvarea situațiilor problematice concrete. El propune conceperea unei metodologii didactice noi, bazate pe creativitate, libertate de gândire, complementaritate și flexibilitate, exigențe care s-au dovedit nu numai rezonabile, dar și imperios necesare pentru modernizarea învățământului.

Ca limite principale ale modelului gestaltist al gândirii, reținem:

Admiterea caracterului înnăscut, predeterminat al structurilor operatorii;

Ignorarea rolului învățării în organizarea schemelor și conținutului informațional intern (cunoșțințelor);

Absolutizarea fenomenului insightul-ului în rezolvarea problemelor și negarea stadialității, a unor verigi intermediare între starea inițială (prezentarea problemei) și starea finală (soluția);

Exagerarea analizei aspectelor fenomenologice în detrimentul analizei aspectului de conținut, de esență ale gândirii, pe de o parte, ca o componentă fundamentală a sistemului psihic, iar pe de alta, ca funcție instrumental-adaptativă:

Subestimarea aspectelor diferențiale, interindividuale ale gândirii, care, în realitate, trebuie să aibă o pondere deosebită în elaborarea unei teorii explicative unitare și consistente.

Școala de (Denkpsychologie) se constituie și ea ca o reacție la asociaționism și behaviorism, propunându-și să apere statutul și specificitatea gândirii ca proces psihic distinct și ireductibil la asociații de imagini sau la serii de cupluri S-R. Fondatorii acestei școli au fost O. Kulpe, N. Ach, K. Buhler și O. Selz, ultimul desprinzându-se mai târziu și elaborând o teorie proprie a gândirii.

Ca principiu metodologic călăuzitor, corifeii Școlii de au luat idealismul platonician, care postula primordialitatea conceptelor și ideilor generale în raport cu datele simțurilor.

În concordanță cu acest principiu, sarcina cercetării psihopadagogice trebuie să constea în demonstrarea caracterului pur și a esenței spirituale a gândirii.

Pentru aceasta, era necesar, în primul rând, să se demonstreze că procesul de gândire este absolut autonom și independent față de percepție și desfășurarea sa este total liberă de prezența și participarea imaginilor.

Modelul experimental folosit nu a confirmat așteptările. S-a dovedit că un număr foarte mic de subiecți, cu un nivel de instruire și de cultură foarte înalt reușeau să rezolve sarcinile date fără a se sprijini pe imagini-reprezentări și fără a apela la experiența anterioară. Așadar, autorii acestui gen de cercetări s-au văzut nevoiți să-și revizuiască punctul de vedere preconceput de ei, în vederea căruia și-au formulat ipoteza de lucru și să conchidă că gândirea așa cum o considerau ei este atributul doar al unor persoane alese, restul, adică marea majoritate, dispunând doar de facultăți perceptiv-intuitive. Reprezentanții școlii, în cea mai mare parte a lor, au optat pentru ultima variantă, atrăgându-și, cum era și firesc o repudiere generală. Urmarea a fost că, deși a debutat cu mult aplomb și siguranță de sine, Școala de la Wurzburg a eșuat într-un mod lamentabil, ea putând constitui un exemplu instructiv privind modul în care, mai ales în probleme complexe cum este cea a gândirii, cercetarea psihologică poate apuca pe căi greșite sau bizare.

Fără să-și propună acest lucru, Școala de la Wurzburg a demonstrat că, deși gândirea este o entitate psihică distinctă, ireductibilă la percepție sau reprezentare, funcțional ea nu se izolează de acestea, ci, în cursul desfășurării sale, apelează și se sprijină pe ele.

Dându-și seama de artificialitatea modelului experimental adoptat, O. Selz se desprinde de colectivul de la Wurzburg și ia pe cont propriu problema studiului gândirii. Diversificând din punct de vedere tipologic materialul experimental (incluzând sarcini de tipuri diferite) și ierarhizându-l după criteriile grad de complexitate și grad de dificultate, el va obține un mare volum de date, ce-i va permite elaborarea unei ample lucrări asupra gândirii, care a fost caracterizată de unii autori (S.L. Rubinstein, H. Wallon) ca cel mai bun produs al psihologiei clasice în domeniul teoriei gândirii.

Meritul principal al lui Selz constă în realizarea unei analize de tip structural-funcțional al gândirii, făcând pentru prima dată distincția între proces și produs, între operație și conținut. Ca proces, gândirea pune în evidență caracterul său activ și finalist, precum și existența unei succesiuni seriale de secvențe și verigi cu grade diferite de libertate, respectiv de îngrădire.

Limita principală a teoriei lui Selz rezidă în aceea că analizează gândirea ca proces mental pur, fără a o raporta la motivele și scopurile reale ale activității și fără a o încadra și într-o perspectivă genetică.

Behaviorismul, în formula sa clasică dată de J. Watson, schimbând total natura obiectului de studiu al psihologiei, în locul proceselor interne ale conștiinței punând comportamentul extern (secretor, motor, verbo-motor), a trebuit să reducă funcțiile psihice specifice la un tip sau altul de reacții de răspuns la stimulii din afară. Gândirea a fost astfel redusă și dizolvată în categoria reacțiilor laringeale, verbo-motorii.

Cu alte cuvinte, gândirea este o formă de comportament care constă în stabilirea unor lagături instrumental-adaptative între obiectele și evenimentele externe, în calitate de stimuli și cuvinte (mulțimi de sunete verbale), în calitate de răspunsuri. A gândi înseamnă a opera adecvat cu pattern-uri verbale și motorii în contextul unor situații externe mai mult sau mai puțin complexe și problematice, în vederea obținerii unui efect adaptativ. Asemenea pattern-uri nu sunt preformate, înnăscute, ci se elaborează în cursul vieții, prin învățare, care se subordonează principiului încercărilor și erorilor, principiului întăririi și legii efectului (Thorndike).

În această etapă, când manifestarea inteligenței subiectului cercetării (animal sau uman) era urmărită prin folosirea așa numitelor cutii-problemă, în cadrul unor experimente efectuate pe animale, era negată existența unei deosebiri esențiale, calitative, între comportamentul uman și cel animal, astfel că datele și legitățile obținute în cercetările pe animale erau extrapolate automat la om (reducționism mecanicist). Cum asemenea exagerări și absolutizări erau întâmpinate cu tot mai multă rezervă și atitudine critică, concepția behavioristă a fost supusă unei revizuiri de fond. Primul care a realizat această operație, schimbând structura inițială a modelului, a fost C. Tolman (1935-1939), prin reabilitarea și reintroducerea în sistem a verigii subiective interne, a conștiinței, deși doar ca moment final al lanțului comportamental și a stărilor afectiv-motivaționale, ca factori energetico-activatori și vectoriali (drives), toate reunite sub denumirea de variabile intermediare.

Treptat , rolul acestor variabile a fost amplificat, ajungându-se în final la recunoașterea caracterului real al tuturor funcțiilor psihice, inclusiv al gândirii. Noțiunile de thinking și reasoning și-au recăpătat locul cuvenit în vocabularul psihologiei de sorginte behavioristă (mai ales după anii `50), cercetării, gândirii ca atare fiindu-i consacrate studii și lucrări fundamentale, care reprezintă surse indispensabile pentru elaborarea oricărui tratat modern de psihologie.

Enumerarea acestor puncte de vedere asupra psihologiei gândirii susținute de-a lungul timpului de curentele și orientările filosofice precizate anterior, a avut scopul de a evidenția și sublinia marea complexitate a gândirii ca realitate psihologică vie și, implicit, dificultatea abordării ei. Ca premisă a informațiilor ce vor a fi dezbătute în subcapitolul ce urmează, trebuie precizat că, în pofida numeroaselor cercetări experimentale și a imensului material faptic acumulat, nu dispunem încă de o teorie închegată, exhaustivă și unanim acceptată a gândirii, trebuind astfel să ne mulțumim cu modele explicativ-interpretative cu caracter parțial. Ceea ce se impune a fi reținut în acest caz, este faptul că nici un model parțial nu trebuie absolutizat sau opus în mod tranșant celorlalte. Fiecare model parțial are o valoare însemnată în conturarea unei concepții cât mai realiste asupra psihologiei gândirii.

2.Caracterizarea gândirii.

Definiție

Constatarea însușirilor de formă și culoare, perceperea poziției sau a mișcării unui obiect sunt necesare adaptării omului. Ele nu sunt însă suficiente deoarece oferă informații despre obiecte prezente, despre însușirile concrete ale unui obiect, informații care pot fi fragmentare sau schimbătoare. Omul trăiește într-o lume complexă ca-l solicită să înțeleagă și să explice, să depășească obstacolele, să prevadă evenimente sau să se perfecționeze pe sine însuși. Pentru a realiza aceste sarcini adaptative, el utilizează un proces superior celor senzoriale – gândirea.

Gândirea se desfășoară și în absența obiectelor și fenomenelor; contactul cu ele poate să fi avut loc în trecut, ele pot să nu existe încă sau nici să nu fie posibile. Această caracteristică a gândirii se datorează capacității omului de a înlocui un obiect sau fenomen cu un simbol sau semn (vezi J. Piaget Funcția semiotică).

Un proces tipic de gândire este prezentat și în următoarea situație simplă: dacă într-o dimineață de iarnă observi că zăpada nu acoperă uniform solul ci formează ridicături neregulate, gândești: A bătut vântul!. Nu percepi vântul – a încetat! – dar extragi concluzia prin înțelegerea legăturii dintre acțiunea vântului și efectele ei.

Pentru a ajunge la astfel de concluzii nu este suficient să faci constatarea or singură dată; observând de mai multe ori influența vântului asupra dispunerii zăpezii pe sol și memorând-o, omul o extinde la toate situațiile asemănătoare; el își dă seama că această legătură este necesară, stabilă pentru că este determinată de însușirile caracteristice ale vântului și ale zăpezii.

Prin urmare, gândirea, în cazul dat pornind de la o percepție, este multiplu mediată de memorie, de limbaj, de cultură, în orice proces de gândire construindu-se informații despre însușirile generale ale claselor de obiecte și fenomene sau despre relațiile dintre ele.

Gândirea devine mai complexă când se poate detașa de obiecte și fenomene lucrând doar asupra propozițiilor (judecăților). Din judecățile: 1. Dacă bate vântul atunci apar troienele de zăpadă și 2. Troienele de zăpadă nu sunt prezente, se extrage concluzia: Nu a bătut vântul chiar dacă subiectul se află, vara, pe plajă, deci fără ca în câmpul său perceptiv să se afle elementele vânt și zăpadă.

Rezultatele gândirii sunt noțiunile, judecățile și raționamentele, ultimele două fiind numite în logică propoziții, respectiv inferențe.

Ele apar ca produse ale operațiilor gândirii: analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, generalizarea etc. și nu se reduc la selecții efectuate în imaginea senzorială.

Gândirea este procesul psihic cognitiv superior care construiește prin operațiile sale coordonate în acțiuni mintale, informații despre însușirile generale ale claselor de obiecte și fenomene sau despre relațiile dintre ele, sub formă de noțiuni, judecăți sau raționamente.

Am preferat termenul construiește în locul celor mai vechi reflectă deoarece este considerat astăzi neadecvat, procesele psihice fiind active și oglindiri pasive ale lumii interne sau externe.15

3.Operațiile gândirii

Operațiile gândirii sunt moduri de lucru mintal; ele nu sunt înnăscute, ci se formează în timpul vieții pornind de la acțiunile efective cu obiectele materiale și apoi cu înlocuitorii lor.

Un copil de patru ani poate să-și aranjeze lucrurile personale în coșuri diferite: mașinuțele într-un coș, culorile în altul, hainele în dulap și merele în alt coș. El poate să execute aceleași acțiuni și dacă în locul obiectelor propriu-zise i se solicită să sorteze cartonașe cu imagini.

După repetare, prescurtare, transpunere în limbaj, acțiunile externe încep să se desfășoare pe plan mintal cu simboluri sau semne care înlocuiesc obiectul. Școlarul devine capabil să grupeze în coșul imaginar al substantivelor cuvinte care denumesc obiecte, în cel al verbelor cuvinte care denumesc acțiuni etc. El reușește, de asemenea, să descompună mintal o propoziție în părțile din care e alcătuită, fără a utiliza foarfecele.

Procesul de transformare a acțiunilor externe, materiale în operații și acțiuni mintale se numește interiorizare și este unul din mecanismele fundamentale ale gândirii.

Analiza este operația de descompunere pe plan mintal a unui obiect, fenomen în părțile din care este alcătuit.

Astfel se pot analiza propoziții, fraze din punct de vedere gramatical sau stilistic; se poate efectua analiza fenomenelor meteorologice dintr-un interval de timp și o arie geografică etc.

Această operație, ca și celelalte, se desfășoară cu ajutorul cuvintelor. De exemplu, apartenența unui obiect la o persoană a unui element la un întreg se exprimă în plan lingvistic prin cazul genitiv. (Acesta este creionul fetiței) sau printr-o expresie (face parte din…, este inclus în … etc.)

Sinteza este operația inversă analizei și constă în reunirea pe plan mintal a unor elemente într-un întreg nou.

Exemplu: pe baza operelor literare studiate la fiecare scriitor, elevul poate realiza o lucrare de proză de inspirație istorică; pornind de la studiul separat al senzațiilor, percepțiilor și reprezentărilor se pot sintetiza informațiile obținute într-o lucrare nouă, despre rolul proceselor senzoriale în activitatea psihică; un demers asemănător, mai complex, este întreprins de psiholog care, după observarea comportamentului unei persoane în situații diferite, îi construiește profilul psihologic. Ca și în cazul analizei, relațiile reale dintre elemente sunt transpuse în relații sintactice.

Comparația este operația de stabilire pe plan mintal a asemănărilor și deosebirilor dintre două sau mai multe obiecte ori fenomene pe baza unor criterii.

Se pot compara plante, animale, figuri geometrice, opere literare, procese psihice sau fizice, evenimente istorice etc. Rezultatele comparației variază după criteriile folosite; dacă ele sunt însușiri esențiale ale obiectelor, comparația este mai valoroasă decât în cazul în care sunt folosite drept criterii de comparare însușirilor accidentale.

Abstractizarea este operația de evidențiere pe plan mintal a unor însușiri, concomitent cu omiterea intenționată a altora. Ea presupune analiza obiectelor, sinteza si compararea lor.

Abstractizarea se poate aplica de mai multe ori, pe trepte diferite, acelorași obiecte sau fenomene, obținându-se abstractizări ale abstractizărilor, uneori foarte îndepărtate de concret (vezi schemele care urmează).

Generalizarea este operația de unificare într-un model a însușirilor abstrase (latura intensivă) și de extindere a lor asupra unei întregi clase de obiecte (latura extensivă).

Generalizarea presupune deci abstractizare care, la rândul ei, implică analiză și comparație. Generalizarea se aplică și reprezentărilor dar, în acest caz, sunt extinse însușiri concrete, pe când la nivelul gândirii se extind însușiri abstracte, comune unui gen (clasă) de obiecte sau fenomene.

Concretizarea este operația inversă abstractizării.

Este compusă din trei nivele:

revenire la sursa concretă, de la care a pornit abstractizarea;

ilustrare prin alte realități concrete în care se regăsesc însușirile abstrase;

reconstituire pe plan mintal, cât mai completă din abstracțiuni, a unui concret logic. (P. Popescu-Neveanu)

Particularizarea este inversa generalizării și constă în identificarea, pe plan

mintal aceea ce este general într-un obiect.

Operațiile gândirii nu sunt izolate, ele se combină formând cupluri cu elemente opuse: analiză-sinteză, generalizare-particularizare, abstractizare-concretizare. Prin această posibilitate de a parcurge același drum în sensuri opuse, gândirea devine reversibilă.(J. Piaget). Operațiile se înlănțuie formând raționamente deductive sau inductive.

În afara modalităților operaționale prezentate anterior și întâlnite în orice demers al gândirii – numite și operații generale – există și operații specifice, utilizate doar în unele domenii (citirea hărților în istorie sau geografie etc )

C2 C2’

C2 C2’

4. Procesele gândirii

Noțiunea, cuvânt derivat de la latinescul nota care înseamnă calitate, este produsul de bază al gândirii care reunește pe plan mintal însușirile caracteristice ale unei clase de obiecte sau fenomene.

Ansamblul acestor însușiri formează conținutul noțiunii și este rezultatul aplicării laturii intensive a operației de generalizare. Mulțimea nedeterminată a obiectelor care posedă însușirile reflectate de conținut formează sfera noțiunii și este rezultat al palicării laturii extensive a generalizării.

Gradul de abstractizare sau generalizare este diferit de la o noțiune la alta; unele noțiuni sunt mai apropiate de concret, fiindu-le atașată o reprezentare (ex.: crocodil) altele, mai îndepărtate: mamifer, animal, ființă. Dacă primelor li se poate asocia un „portret” al clasei de obiecte, ultima se îndepărtează atât de mult de concret încât nu mai poate fi reprezentată; din ea rămâne doar idea de entitate care se naște, crește, se înmulțește și moare, exprimată cu ajutorul cuvintelor.

Noțiunile cu grad mare de generalitate se mai numesc concepte (în limba latină conceptum înseamnă gândit) dar, uneori cele două nume se utilizează ca echivalente.

Noțiunile stabilesc între ele raporturi de concordanță sau opoziție, care informează asupra relațiilor reale dintre obiecte sau fenomene. Pe baza acestor raporturi, noțiunile se ierarhizează de la cele cu sferă mică, la cele cu sferă mai mare formând sistemul de noțiuni al unei științe; în același fel se ierarhizează noțiunile din toate domeniile cunoașterii ???? sistemul lor a fost numit piramida noțiunilor (L. S. Vâgotski). La baza piramidei se află noțiunile cu sferă mică și conținut bogat; treptat, sfera noțiunilor se lărgește iar conținutul devine mai sărac; în vârf se află conceptele cu cea mai largă sferă numite universali (materie, energie, informație, spirit etc.)

Analiza piramidei arată că fiecare noțiune este un loc de întâlnire, un nod al mai multor noțiuni. Exemplu: evocarea noțiunii poligon atrage reactualizarea celor de figură geometrică, linii, unghiuri, triunghi, patrulater etc.; această însușire este evidentă și în definiții constituite din noțiunile care îndeplinesc rolul de puncte de referință pentru cea dată și din noțiuni care exprimă însușiri ce diferențiază definirea altor noțiuni din același grup; poligonul este definit ca figură plană alcătuită din linii frânte închise. (Mica enciclopedie matematică, p. 193).

Evidențierea raporturilor dintre noțiuni și a locului fix ocupat de fiecare în sistem este posibilă chiar printr-un joc desfășurat între 2 echipe: una stabilește, în secret, o noțiune pe care adversarii trebuie să o identifice prin cel mult 20 întrebări. La aceste întrebări, echipa care a stabilit noțiunea răspunde prin da sau nu. După ce ați jucat 20 de întrebări reprezentați grafic articulațiile succesive prin care ați găsit soluția. Acestei reprezentări i

s-a aplicat caracterizarea este o stratificare arboriformă a presupunerilor despre lume. (E. H. Gombrich, Artă și iluzie, Ed. Meridiane, 1973, pp. 121,122).

După elaborare, noțiunile sunt incluse în noi demersuri ale gândirii, raporturile dintre ele fiind exprimate de judecăți; acestea sunt utilizate de procesele ulterioare, fiind introduse în componența raționamentelor. Exemplu: judecățile – 1. Patrulaterul este poligon și 2. Dreptunghiul este patrulater – sunt alcătuite din noțiunile dreptunghi; patrulater, poligon; aceste judecăți pot constitui premisele unui raționament; din ele se obține o judecată nouă numită concluzie: 3. Dreptunghiul este poligon.

Raționamentele, la rândul lor, se combină în diverse moduri formând teoriile; ansamblul teoriilor pe care le posedă o persoană, coordonate într-un sistem, formează modelul intern al lumii exprimat prin limbaj (H.Ey). Fiecare om posedă un astfel de model cu grade diferite de elaborare și adecvare la realitate. Relațiile exprimate în raționamente, teorii nu sunt plăsmuiri ale minții omenești; ele tind să reconstruiască relațiile existente în realitate, dar nu sunt întotdeauna corecte logic.

Din punct de vedere psihologic, judecățile și raționamentele sunt acțiuni mintale determinate de anumite motive și realizate cu un scop. Orice judecată conține nu numai o informație ci este însoțită de o stare afectivă care exprimă poziția subiectului față de obiectele sau fenomenele la care se referă enunțul său sau față de sine însuși. Judecățile se elaborează ca rezultate ale unui demers intenționat, desfășurat cu eforturi, în care persoana are îndoieli, caută explicații, antrenându-și întreaga ființă.

Formarea noțiunilor, se realizează în ontogeneză parcurgând mai multe trepte: grămezile, colecțiile (sau noțiunile empirice), noțiunile științifice.

L.S. Vâgotski caracterizează aceste trepte astfel:

– grămada corespunde mulțimii neelaborate și neordonate în care obiectele sunt grupate, nu după însușirile caracteristice unei clase, ci la întâmplare, după apropierea în timp sau în spațiu;

– colecțiile corespund stadiului … obiectele sunt grupate pe baza însușirilor concrete (culoare, formă sau utilizare în aceeași activitate: obiecte roșii, îmbrăcăminte, oameni cu barbă); ele sunt pseudo-noțiuni pentru că generalizarea apărută în gândirea copilului amintește de noțiune ca formă dar este, în esență altceva; sunt foarte frecvente la preșcolari și constituie puntea de legătură spre adevăratele noțiuni;

– noțiunile științifice se formează mai târziu presupunând acțiuni externe și operații, relații cu adultul și utilizarea limbajului.

Pentru a înțelege specificul noțiunilor științifice prezentăm mai jos deosebirile dintre ele și noțiunile empirice.

Relațiile dintre cele două tipuri de noțiuni sunt atât generice cât și funcționale:

în ontogeneză apar mai întâi noțiunile empirice apoi cele științifice iar la adult ele coexistă;

noțiunile științifice se formează pornind de la cele empirice, le continuă și parțial le contrazic. Exemplu: noțiunea cerc apare la baza celei de rotund dar o contrazice diferențiind cercul de disc și de sferă;

noțiunile empirice servesc ca ilustrări sau cadru de analize critice pentru consolidarea celor științifice. Exemplu: în limbajul cotidian senzația denumește evenimente neobișnuite, scandaloase, pe când în psihologie înțelesul este diferit.

5. Modalități ale gândirii

Înțelegerea, de la latinescul intellectio – a surprinde ceva sub forma ideii sau de la înțelegere care înseamnă a pune la un loc – este o modalitate a gândirii ce constă în raportarea noilor informații la cele deja existente.

În forma ei elementară, înțelegerea este și în percepție, în fazele unității de recunoaștere și interpretare. Ca formă superioară, înțelegerea presupune în mai mare măsură limbajul și se desfășoară în următoarele faze:

adunarea și organizarea informațiilor;

emiterea de ipoteze și verificarea lor;

formularea concluziilor.

Dacă cele trei faze sunt delimitate clar, parcurse lent, cu eforturi de care subiectul este conștient, înțelegerea este numită discursivă – adică trece de la o idee la alta prin raționament. Când etapele sunt comprimate și parcurgerea lor este rapidă, rezultatul apărând aproape instantaneu, înțelegerea este numită spontană.

În activitatea școlară, o formă frecvent utilizată este înțelegerea textelor scrise.

P. Popescu-Neveanu diferențiază următoarele faze ale acestui tip de înțelegere discursivă:

– orientarea globală asupra textului realizată prin lectura lui integrală;

– clarificarea cuvintelor necunoscute;

– evidențierea cuvintelor-cheie: sunt cuvinte sau expresii care conțin maximum de informație;

– stabilirea unităților de înțeles și emiterea ipotezei corespunzătoare fiecărei unități;

– verificarea ipotezelor și selectarea celor confirmate;

– realizarea zbor unități de înțeles tot mai ample, până la înțelegerea integrală care poate fi chiar o restructurare a ipotezelor inițiale.

Aceste faze nu se desfășoară liniar ci există adesea reveniri ori salturi.

Înțelegerea este dependentă de următorii factori:

vârsta și nivelul de dezvoltare intelectuală.

volumul de cunoștințe deținut de subiect și gradul lor de organizare.

calități ale gândirii, în special flexibilitate și perspicacitate;

gradul dezvoltării limbajului etc.

Vârsta și nivelul de dezvoltare intelectuală constituie factorul cel mai ușor de evidențiat: copiii până la trei ani reușesc să desprindă sensul povestirilor numai dacă li se oferă imagini sau descrieri sugestive; la șase ani ei inventează mai repede o povestire când posedă un tablou, decât atunci când li se enunță tema; la 9 – 10 ani, compun cu ușurință o povestire dacă li se indică numai titlul acesteia. (P. Popescu-Neveanu, op.cit., p.239).

Informația posedată are în înțelegere rol de premisă, de cod, gândirea operând:

prin integrarea noilor informații în vechile scheme; exemplu: cunoștințelor despre mamifere li se subsumează informații despre balenă sau delfini; conceptul de animal deținut de elev la sfârșitul grădiniței este lărgit după clasa a șasea prin includerea reptilelor, păsărilor, peștilor și insectelor; în clasa a zecea, înțelegerea noilor informații despre protozoare lărgește din nou sfera conceptului de animal;

prin introducerea unui concept nou, supraordonat care reorganizează informațiile mai vechi; (ex.: la diverse discipline sau din experiența cotidiană, elevul remarcă existența unor corelații între diferite mărimi: înălțimea corpului variază în funcție de vârstă (o lună – , un an – , din ani – , trei ani – etc.); numărul de microbi născuți dintr-o celulă este cu atât mai mare cu cât timpul de la prima diviziune este mai mare (20 minute –2,40 minute – 4,80 minute – 16); presiunea aerului scade concomitent cu creșterea înălțimii (0 m-766torri, 500m * 716 torri, 1930m – 600 torri, 3400m – 500 torri); înțelegerea matematică a acestor corelații conduce la formarea conceptului de funcție, cu care se pot descrie multe fenomene din natură sau viața socială.

Dificultăți de înțelegere apar dacă:

informația veche este insuficientă;

noile informații se află la o distanță prea mare față de fondul de cunoștințe; (ex.: înțelegerea sintaxei frazei imediat după studiul morfologiei ar fi greoaie pentru că ea necesită cunoașterea sintaxei propoziției);

lipsește organizarea informației sau este prea rigidă; (ex.: definirea izolată a conceptelor de relief sau climă nu este suficientă pentru înțelegerea specificului unei zone geografice); includerea reprezentării în procesele senzoriale, alături de senzație și percepție, trebuie să sublinieze și poziția ei de proces cu o dublă natură, intuitiv – figurativă și intelectiv – operațională, care-i permite să facă trecerea la treapta superioară a cunoașterii.

Empiric înțelegerea este probată de capacitatea subiectului de a răspunde la înțelegere, de a găsi exemple sau a generaliza, de a utiliza informația în situații noi, a reformula un text, a reface o demonstrație sau o problemă. Ușurința înțelegerii presupune un nivel ridicat de inteligență dar și specializare pentru un domeniu al cunoașterii.

II.6.Tipuri de gândire

Gândirea creativă

Gândirea este un proces psihic definitoriu pentru om, și deși caracteristicile, funcțiile și operațiile sale sunt aceleași pentru toți oamenii, ele se structurează în tipuri și stiluri diferite de gândire care îi diferențiază, afirmă specialiștii (M. Zlate, 1999, I. Dumitru, 2000 etc).

Mielu Zlate, constatând pe de o parte o varietate terminologică în ceea ce privește denumirea mecanismului gândirii, și-a propus să realizeze o clasificare și o caracterizare psihologică a unor tipuri generale ale gândirii,independent de specificul domeniului în care sunt utilizate. El propune (1999, pagina 273) o clasificare a modurilor fundamentale ale gândirii după 9 criterii:

1. După orientare: Gândire direcțională și

Gândire nedirecționată

2. După tipul operațiilor prepuse:

Gândire algoritmică și

Gândire euristică

3. După finalitate:

Gândire productivă

Gândire reproductivă și

Gândire critică

4. După sensul de evoluție:

Gândire convergentă și

Gândire divergentă

5. După demersurile logice:

Gândire inductivă

Gândire deductivă și

Gândire analogică

6.După modul de desfășurare:

Gândire verticală și

Gândire laterală

7.După valoare:

Gândire pozitivă și

Gândire negativă

8.După corespondența cu realitatea:

Gândire vigilă și

Gândire autistă (onirică)

9.După eficiență:

Gândire eficientă și

Gândire neeficientă

1. Gândirea direcțională și nedirecționată

În lucrarea sa Leviathan (1659), filosoful englez Hobbes considera că șirul gândurilor este de două feluri: unul neghidat, inconstant, lipsit de plan, gândurile nefiind legate unele de altele, celălalt direcționat, ghidat, constant, bazat pe plan și pe dependența reciprocă a gândurilor. În psihologie, distincția a fost operată de Freud (1900) care deosebea procesele primare și cele secundare ale gândirii, primele fiind dominate de principiul plăcerii, al gratificării imediate, chiar dacă această gratificare era obținută în imaginație, celelalte, de principiul realității. Procesele primare , corespondente gândirii nedirecționate, nu sunt generate de logică, nu se supun realității, în timp ce procesele secundare, corespondente gândirii direcționate, se caracterizează tocmai prin guvernarea lor de către logică.

Într-o lucrare publicată de Sandra Scarr și James Vander Zanden, aceștia consideră

gândirea direcțională sau directivă ca fiind sistemică și logică, deliberată și intenționată, ghidată de un scop, cu ajutorul ei oamenii rezolvând probleme, formulând legi, realizându-și obiectivele propuse. Gândirea nedirecționată sau nondirectivă se caracterizează prin mișcarea liberă, spontană a gândurilor, fără a fi orientată de un scop sau de un plan. Ea este implicată în imaginație, fantezie, reverie, oamenii recurgând la ea pentru a se relaxa, pentru a scăpa de constrângerile cotidiene. Gândirea nedirecționată are o mare importanță în pregătirea momentului gândirii direcționate, a celei productive, creatoare, contribuind astfel indirect la soluționarea problemelor.

2. Gândirea algoritmică și gândirea euristică

Aceste două tipuri de gândire pot fi analizate și individualizate pornind de la conținutul și desfășurarea lor, de la stabilirea câtorva caracteristici generale, și mai ales ținând cont de eficiența lor în rezolvarea anumitor situații problemă.

Gândirea algoritmică este bazată pe operații prefigurate, conservative, habituale, pe treceri riguroase de la o parte la alta în succesiunea obligatorie a evenimentelor în timp, efectuarea corectă a unui pas conducând în mod necesar la soluționarea integrală a problemei. Așadar, operațiile sunt strict determinate și înlănțuite unele de altele, parcurgerea corectă a unei operații declanșând automat operația următoare. Demersurile ordonate ți respectarea regulilor de înlănțuire a operațiilor conduc la obținerea sigură a rezultatului. Gândirea euristică presupune operații în curs de elaborare, care abia urmează a fi descoperite, desfășurarea ei având un caracter arborescent, din fiecare nod subiectul trebuind să aleagă o stare (cale) din mai multe posibile. Operațiile nu sunt strict determinate, ci dimpotrivă, probabiliste, ramificate, fiind posibile nenumărate modalități de abordare. Operarea este dirijată de planuri și strategii, de înaintări prudente, dar și de reveniri treptate, de succese și eșecuri, de încercări și erori. Dacă în gândirea algoritmică rezultatul este sigur, de data aceasta el este incert sau chiar eronat, în caz că nu s-a ales varianta rezolutivă corespunzătoare.

În timp ce algoritmul este orice regulă care dacă este urmată corect, în cele din urmă va rezolva problema, euristica este orice regulă care permite reducerea numărului operațiilor încercate în rezolvarea problemelor, în limbajul colocvial ea fiind sinonimă cu scurtătura (Gray, 1991, pp. 392-393). Algoritmul este o procedură mintală ce nu poate eșua în producerea soluției, pe când euristica o scurtătură mintală sau o regulă care ajută la rezolvarea problemelor și la reducerea efortului mintal (Benstein, 1991, pp.355-356). Prin conținutul și desfășurarea lui, algoritmul corespunde segmentului executiv al gândirii, în timp ce operarea euristică, segmentului orientativ-explorativ.

Eficiența celor două tipuri de gândire este strict determinată de particularitățile situaționale în care se află individul. Gândirea algoritmică este eficientă în situațiile familiare, obișnuite, comune, în cele în care individul este foarte bine informat. De asemenea, în rezolvarea problemelor bine definite, când relația dintre datele problemei și condițiile ei, ca și relația dintre rezultatele parțiale și rezultatele finale pot fi formulate. Gândirea euristică, din contra, este eficientă în situațiile noi, neobișnuite, incerte, atunci când individul nu este bine informat, nu cunoaște nici rezultatele, nici metodele de ajungere la ele, ci acestea trebuie descoperite. Așadar, prima este eficientă în situațiile strict determinate, în care fenomenele au o înlănțuire cauzală, această înlănțuire putând fi dezvăluită și cunoscută integral, iar cea de-a doua, în situațiile cu un mare grad de nedeterminare, aleatorii, ale căror date trebuie descoperite.

Caracteristicile de mai sus ne-ar putea conduce la concluzia eronată că între cele două modalități operatorii ale gândirii există o opoziție totală, o excludere a uneia de către cealaltă. În realitate, relațiile dintre ele sunt nu numai complexe, dar și extrem de diversificate. Astfel, între algoritmic și euristic există relații de succesiune generativă. În plan ontogenetic, se pare că euristicul precedă și generează algoritmicul. În plan funcțional însă, când cele două modalități s-au consolidat, nu este exclus ca algoritmul să declanșeze euristicul. În afara relației de succesiune genetică, între algoritmic și euristic întâlnim și relații de întrepătrundere, de convertire a unuia în altul. Procedeele euristice, odată descoperite și fixate, se pot institui în algoritmi și pot acționa ca atare. La rândul lor, algoritmii, prin combinare și recombinare, se transformă în procedee euristice.

Se poate concluziona că nu există o gândire pur sau exclusiv algoritmică, pur sau exclusiv euristică, ci forme de gândire predominant de un tip sau altul, înlocuindu-se sau completându-se rapid una pe alta, dependent de particularitățile situațiilor rezolutive. Cu cât ele sunt mai adaptate specificului situațiilor problematice, cu atât gândirea, în ansamblul ei, va fi mai eficientă.

3. Gândirea reproductivă, productivă și critică

Distincția dintre cele două tipuri de gândire a fost introdusă în psihologie de Selz. Psihologul german considera că procesul gândirii trece treptat de la nivelul productiv al completării lacunelor dintr-o problemă la nivelul productiv al elaborării unor soluții noi. Gândirea productivă consta, după el, în aplicarea unor mijloace vechi la un material nou. Gândirea reproductivă și cea productivă sunt deci diferențiate între ele pe criteriul rezolvării problemelor noi. Conceptul de gândire productivă a fost preluat și adâncit de Max Wertheimer (1880-1943). În lucrarea sa, Productive Thinking, apărută postum (1945), el susținea ideea potrivit căreia întreaga gândire a omului este productivă, deoarece ea conduce la combinarea într-o structură nouă a unor fapte, elemente, evenimente disparate. Din moment ce orice element psihic (perceptiv sau intelectiv) este fundamental modificat ori de câte ori este introdus într-o nouă structură sau într-un nou gestalt, înseamnă că menținerea diferențierii dintre gândirea reproductivă și cea productivă nu se justifică. În cazul matematicii însă, teoria psihologului german nu poate fi aprobată în mod absolut. Este de la sine înțeles că productivitatea gândirii în cazul matematicii se edifică fără doar și poate având ca temelie cunoștințele și deprinderile obținute în prealabil prin rezolvarea multor exerciții și probleme de tip algoritmic, deci fiind folosite mai întâi mecanismele gândirii reproductive. De altfel, însuși Wertheimer, prin unul din exemplele date, arată cu pregnanță diferența existentă între cele două tipuri de gândire. El relatează o întâmplare din viața celebrului matematician Gauss. Pe când acesta era școlar și avea 6 ani, profesorul a dat elevilor să calculeze cât mai repede suma numerelor de la 1 la10. problema putea fi rezolvată în două moduri: prin adunarea succesivă din aproape în aproape a numerelor pentru obținerea rezultatului final sau prin restructurarea datelor problemei, bazată pe sesizarea faptului că adunând termenii din pozițiile extreme, se obține întotdeauna rezultatul 11, deci suma finală 55. acesta a fost modul de soluționare a problemei la care a recurs Gauss, formulând răspunsul foarte repede, în timp ce colegii săi mai calculau încă.

Cele două moduri de operare a gândirii sunt radical diferite. Primul este simplist, liniar, neproductiv din punct de vedere calitativ, reflectând un nivel extrem de scăzut de integrare activă a operațiilor, el fiind mai degrabă, automatizat și streotipizat. Acest mod de operare aparține tipului de gândire pe care îl numim reproductiv. Cel de-al doilea, mult mai elaborat, presupune descoperirea unui nou principiu de relaționare a datelor problemei decât cel însușit deja. Dat fiind faptul că soluția se obține rapid, acest mod de gândire a fost numit gândire productivă. Unii autori o numesc chiar și gândire creatoare.

Diferențieri există nu numai între gândirea reproductivă și cea productiv-creatoare, ci și între aceasta din urmă și gândirea critică. Dacă gândirea productiv-creatoare urmărește elaborarea cât mai multor soluții posibile, a cât mai multor explorări posibile ale fenomenelor și problemelor, gândirea critică se centrează pe testarea și evaluarea soluțiilor și explorărilor posibile. În afara acestei deosebiri de principiu, autorii citați subliniază și alte diferențieri existente între cele două tipuri de gândire. Gândirea critică este structurată în termenii regulilor logice și conduce întotdeauna la rezultate predictibile, în timp ce gândirea creatoare se desfășoară și după o serie de reguli nonlogice, iar noul produs de ea nu este neapărat previzibil. Dacă gândirea critică este activă, cea creatoare conține în sine și un element pasiv, există în ea procese și metode care ne îndreaptă spre elaborarea cognitivă, dar de care nu suntem întotdeauna conștienți.

Deși gândirea productiv-creatoare și gândirea critică par a fi total diferite una de alta, ele se presupun reciproc. nu trebuie uitat că gândirea creatoare și gândirea critică sunt două fețe ale aceleiași medalii, una fără cealaltă fiind de puțină folosință. (Moore, McCann și McCann 1985).

Cele două forme ale gândirii sunt esențiale pentru finalizarea corespunzătoare a activității intelectual-cognitive a individului. Din păcate, formării și dezvoltării lor nu li se acordă atenția cuvenită. Există chiar o serie de factori inhibitori ai formării și educării lor. Un asemenea factor îl constituie, de exemplu, tendința profesorilor de a recurge la comportamente standard în predarea și evaluarea cunoștințelor, aceasta, fie din lipsa de timp, un volum mare de cunoștințe urmând a fi predat în intervale relativ scurte, fie datorită faptului că răspunsurile creative, neobișnuite ale elevilor, se îndepărtează de modalitățile tipice, producând profesorilor unele dificultăți în evaluare. Un alt factor îl reprezintă insuficienta preocupare a profesorilor de a răsplăti cu note mari răspunsurile creative. Dacă acest fapt este posibil de realizat în clasele cu efective mici de elevi, el devine aproape imposibil în clasele cu efectiv mare de elevi. În acest din urmă caz, profesorul ar trebui să decidă dacă răspunsul divergent (creativ) al elevului este realmente un exemplu de gândire creatoare, sau dacă nu cumva el este expresia ignoranței elevului. Cum acest fapt necesită un oarecare timp, profesorul se mulțumește să aprecieze răspunsurile standard ale elevilor. Un al treilea fapt inhibitor al gândirii creatoare este generat în lanț de precedentul. Elevii care ar dori să facă proba originalității lor își dau seama că nu au timp și să învețe (memoreze) pentru a fi bine apreciați și să gândească asupra materialului. Aflați în fața acestui conflict de valori, ei renunță la gândirea creatoare, concentrându-se pe memorare, sau devin dezinteresați de școală și eșuează. Depășirea acestui conflict se poate obține prin stabilirea cât mai multor legături și transferuri interdisciplinare. Punând o problemă în noi combinații, raportând-o la cât mai numeroase și diverse cadre de referință, se obține creșterea resurselor și abilităților creatoare ale elevilor, dar și îmbunătățirea notelor, materia devenind mai interesantă și putând fi mai bine reținută.

4. Gândirea divergentă și gândirea convergentă

Aceste două tipuri de gândire au fost propuse de Guilford în modelul intelectului. Gândirea divergentă reclamă din partea subiecților căutarea cât mai multor soluții sau îndepărtarea în cât mai multe direcții în raport cu punctul inițial de plecare. Ea se mișcă de la unitate la diversitate, de la sintetic la analitic. Gândirea convergentă se mișcă în sens invers, de la diversitate la unitate, de la disociație la sinteză.

Specificul gândirii divergente reiese din probarea de către subiect a unor capacități cum ar fi: capacitatea generării cât mai multor produse, capacitatea combinării unor elemente pentru a obține cât mai multe variante, capacitatea de explorare și activare a cât mai multor structuri verbale și figurale, capacitatea de enumerare a cât mai multor utilizări ale unor obiecte, capacitatea de formare rapidă a cât mai multe cuvinte, propoziții etc. Pentru determinarea acestor capacități se folosesc teste specifice. De pildă, numerele 1, 2, 3, 4, 5 să fie astfel combinate încât să se obțină cifra 7. Sunt posibile mai multe variante: 2+5=7; 3+4=7; 1+2+4=7; 5+3-1=7. Gândirea divergentă manifestă tendința de proliferare, de diversificare și multiplicare în raport cu punctul inițial de plecare, ea fiind semnul distinctiv al flexibilității și mobilității intelectuale ale individului.

Gândirea convergentă cuprinde capacități de tipul următor: capacitatea de a comprima un număr mare și variat de structuri semantice într-un număr relativ limitat, capacitatea de a forma concepte pornind de la atributele obiectelor și fenomenelor; capacitatea de a restrânge și a denumi corect clasele, relațiile etc., capacitatea de a descoperi și restabili ordinea logică într-o multitudine de cuvinte etc.

Guilford arăta că în gândirea convergentă relațiile sunt extrase din informația dată, sunt logice și în mod esențial, unic determinate de informația dată. Spre deosebire de ea, în gândirea divergentă există o mai mare libertate în producerea informației, dar nu totală. Gândirea divergentă a fost considerată caracteristica distinctivă a creativității, pe când gândirea convergentă, cracteristica distinctivă a inteligenței.

5. Gândirea inductivă, deductivă și analogică

Aceste trei tipuri de gândire conțin în interiorul lor raționamentele inductive, deductive și analogice, pe care unii autori preferă să le împartă în două categorii: raționamente canonice, subordinate unor reguli bine stabilite (cele inductive și cele deductive) și raționamente noncanonice, care nu se supun unor reguli precise (raționamente analogice și raționamentele din viața cotidiană dezvoltate de antropologia cognitivă (vezi Weil-Barais, 1998, p. 490-513. În lucrarea de față, nu voi stărui asupra raționamentelor, ci asupra tipurilor de gândire care le cuprind în consistența lor.

În gândirea inductivă, mișcarea cunoașterii se realizează de la particular la general, de la multitudinea trăsăturilor, atributelor, la concepte, relații, legi. Gândirea inductivă surprinde regularitatea, ceea ce este constant, invariant. Pornind de la stimuli, subiectul construiește o schemă de răspuns căreia i se adaptează. Așadar, gândirea inductivă facilitează extragerea și formularea unei concluzii generale dintr-o multitudine de cazuri particulare. Conatatarea pe bază de observații potrivit căreia cărăbușii au patru aripi, dintre care două membranoase, iar două chitinoase, prilejuiește formularea concluziei că toți cărăbușii, de oriunde și dintotdeauna, posedă aceste însușiri. Un alt exemplu de raționament inductive: observând că apa, alcoolul, mercurul, uleiul etc, se congelează sub acțiunea frigului, inferăm că toate lichidele se congelează atunci când temperature scade sub o anumită limită. Concluzia va rămâne valabilă până când vom întâlni o excepție. Cu alte cuvinte, produsele gândirii inductive nu sunt definitive și nici absolute sigure, dimpotrivă, ele pot fi oricând puse în discuție. În gândirea inductivă intervine adeseori hazardul, de aceea ea își conservă un character probabilistic. Compoziția gândirii inductive este întotdeauna incompletă, neîncheiată, ea tinde a fi totală, dar rareori ajunge să și fie. Produsele gândirii inductive se completează și se corijează unele pe altele, ele având grade diferite de generalitate. Generalizările inductive superioare posedă o înaltă cotă de probabilitate, dar nu și de certitudine (Popescu-Neveanu, 1977, p.183).

Conceptele, relațiile și legile sunt fructele gândirii inductive, formarea lor implicând abstractizări și generalizări, diferențieri și asimilări simultane.

Gândirea deductivă se caracterizează prin mișcarea cunoașterii în sens invers celei inductive, adică de la general la particular. Deducția constă în a extrage un adevăr particular dintr-un principiu foarte general, ceea ce necesită ca principiul general să fie el însuși adevărat; adevărul particulareste el însuși conținut în principiul general (Goguelin, 1988, vol.2, p.248). Autorul francez arăta că gândirea deductivă este un excellent mijloc de a controla conceptele, relațiile și legile obținute prin gândirea inductivă. Dacă un adevăr dedus se dovedește a fi fals prin confruntarea cu realul și dacă regulile raționamentului deductive au fost correct aplicate, atunci legea de la care s-a pornit este ea însăși atinsă de eroare. Prin gândirea deductivă, pornind de la reguli și legități deja stabilite, omul tinde spre obținerea unor noi informații. Inferențele deductive se deosebesc de cele inductive prin caracterul lor de necessitate, ele asigurând, după cum remarca Piaget, conștiința distinctivității elementelor, capacitatea disocierii lor prin abstracție, posibilitatea reunirii lor pentru a obține o nouă informație. Inferențele deductive îndeplinesc un mare rol în înțelegere, în rezolvarea problemelor (permit înțelegerea problemei, planificarea acțiunilor, ordonarea lor în timp), în raționament (asigură trecerea de la premise la concluzii).

Gândirea analogică constă în stabilirea similitudinilor dintre diverse obiecte, fenomene, evenimente, idei etc, acolo unde ele par a nu exista, în transferul de informație de la un obiect cunoscut, asimilat, la altul necunoscut, neasimilat încă, în sfârșit, în elaborarea unor sisteme noționale și procedee metodologice unitare pentru studiul și explicarea unor entități substanțial-calitativ diferite (vezi Golu, 1975, p. 185). Gândirea analogică manifestă o mare deschidere către similitudine, conexiune, noutate. Pornind de la asemănările constatate, gândirea analogică emite ipoteze ce urmează a fi verificate. Dacă gândirea inductivă se bazează pe tratarea informațiilor de aceeași natură, gândirea analogică cercetează fenomene extrm de diferite ca natură.

Gândirea analogică apare atunci când individul inferează o relație dintr-o pereche de termeni și construiește o aceeași relație cu o altă pereche de termeni. Practic, este vorba mai întâi de a abstractiza prima relație și de a o generaliza (transfera) asupra altei relații. Un nivel superior de analogie îl constituie capacitatea de a stabili ,,relații între relații”.

6. Gândirea verticală și gândirea laterală

C onceptul de gândire laterală a fost introdus în 1967 de Edward De Bono. El explica împrejurările în care a apărut acest concept. Fiind preocupat de gândire, în general, de gândirea creativă și perceptuală, în special, ca și de sistemele de autoorganizare, el a ajuns la concluzia existenței unui alt fel de gândire decât gândirea liniară, secvențială, logică. Încercând să explice acest nou fel de gândire, într-un interviu acordat revistei Viața Londoneză, el a arătat că este necesar să ne mișcăm în gândire nu numai vertical, ci și lateral, pentru a găsi noi alternative și abordări diferite de cele cunoscute. Conștientizând că acesta era cuvântul de care avea nevoie, l-a introdus în lucrările sale și apoi l-a lansat în lumea științifică. Astăzi termenul gândire laterală figurează în Oxford English Dictionary. În Concise Oxford Dictionary, în dreptul termenului gândire laterală citim: gândirea laterală este încercarea de rezolvare a problemelor cu metode neortodoxe sau aparent ilogice. Autorul ne atrage atenția asupra faptului că în această formulare cuvântul-cheie este cuvântul aparent. Metodele folosite în rezolvarea problemelor sau în creație pot părea ilogice numai în termenii logicii normale, darn u și în raport cu logica structurilor sistemului. Înțeleasă în acest mod, gândirea laterală se deosebește de gândirea verticală. Dacă în aceasta din urmă individual își stabilește un punct de plecare și apoi construiește pas cu pas pornind de la el, următorii pași fiind strâns legați de cei parcurși până la un moment dat, în gândirea laterală individul se mișcă pieziș, cum spune autorul, încearcă noi percepții, noi concepte, folosește metode variate penrtu a ieși din linia obișnuită de gândire.

Gândirea laterală înseamnă: a vedea și a interpreta în moduri și expresii diferite lucruri și idei care erau văzute și interpretate în același fel; a restructura vechile tipare, a evada din obișnuit și a construi noi modele, a genera nu numai noi idei, ci și a declanșa conflicte între ideile opuse, între cele vechi și cele noi, a lucra prin salturi, nu prin pași mărunți; a ajunge la o soluție concretă nouă, interesantă chiar dacă pașii au fost eronați; a schimba încadrarea în clase și sisteme (ceea ce a fost introdus la un moment dat într-un sistem poate fi introdus la un alt moment într-un alt system); a opera nu doar cu elementele relevante, ci și cu cele irelevante; a permite ca elementele spontane ale gândirii să influențeze gândirea planificată, sistematică, sau invers. Gândirea laterală este, după opinia lui De Bono, concomitent o atitudine față de informație și o metodă de folosire a acesteia, în cadrul ei informația fiind folosită pentru a schimba structura sistemului și nu pentru a deveni parte componentă a lui.

De Bono precizează că termenul gândire laterală poate fi folosit în două sensuri: unul specific (gândirea laterală fiind în acest caz un set de tehnici sistematice utilizate pentru schimbarea percepțiilor și conceptelor și generarea unora noi), altul general (gândirea laterală fiind, din această perspectivă explorarea unor posibilități și abordări multiple în locul urmăririi unei singure abordări) (vezi De Bono, 1992, p. 54). Deși autorul ia în considerare ambele accepțiuni, este în mare măsură preocupat de prima. Ca urmare, într-una dintre cărțile sale, Six Thinking Hats, 1984), propune o sumă de instrumente specifice care, folosite într-un mod systematic, pot conduce la obținerea unor noi idei și concepte. Cele șase pălării gânditoare utilizate în 1990 de IBM pentru instruirea a 40 000 de manageri, sunt următoarele: pălăria albă (are de-a face cu date și informații), pălăria roșie (se referă la emoțiile, sentimentele care însoțesc intuițiile și ideile), pălăria neagră (este pălăria prudenței, rațiunii, analizei critice, ea ferește de greșeală, de dificultăți, pericole, de comportamentele ilegale), pălăria galbenă (asigură optimismul, interpretarea favorabilă, pozitivă a lucrurilor, fezabilitatea, beneficiul); pălăria verde (asigură gândirea creativă, ideile noi, alternativele adiționale, sugestiile valoroase, chiar dacă nici o idée creatoare nu se va materialize, ea merită toată atenția); pălăria albastră (asigură concluziile, deciziile, pașii următori ce trebuie făcuți în gândire, comentariile asupra demersurilor întreprinse la un moment dat, ea permite gândirii să gândească despre sine).

Fiecare dintre aceste pălării este folositoare, esența metodei constând în trecerea rapidă de la o pălărie la alta, în căutarea situațiilor, a ocaziilor pentru folosirea lor, în sfârșit, în utilizarea lor sistematică și nicidecum accidentală.

7. Gândirea pozitivă și gândirea negativă

Aflați în fața unor situații neobișnuite, nefamiliare, cu elemente ambigue, imprevizibile, stresante sau frustrante, oamenii se angajează diferit în analizarea și soluționarea lor: unii se implică activ, ofensiv și constructiv, alții, pasiv, defensiv, neconstructiv. Primii pun în funcțiune așa-numita gândire pozitivă (se poate, este greu, dar posibil, să vedem cum putem ieși din acest impas), alții, dimpotrivă, fac apel la gândirea negativă, la gândirea care-l pune întotdeauna în față pe ,,nu” (nu se poate, nu am nici o scăpare, nu cred că voi fi în stare). Distincția dintre gândirea pozitivă și gândirea negativă s-a făcut de multă vreme. Ea apare și este tratată și în lucrarea lui Norman Vincent Peale, The Power of Positive Thinking, publicată în 1953.

Peste câțiva ani, Norman Vincent Peale a publicat o nouă lucrare {Positive Thinking for a Time Like This, 1961), care a cunoscut mai multe ediții. Tradusă în limba franceză în 1983 sub titlul La Pensie positive, lucrarea lui Peale ajunsese în 1994 la a 12-a ediție. Când posedați ceea ce trebuie pentru a descoperi aspectele creatoare ale lucrurilor vizavi de probele uneori penibile ale existenței umane, când continuați să credeți mereu într-un deznodământ fericit al evenimentelor, sunteți un veritabil gânditor pozitiv (Peale, 1994, p. 11). O simplă înșiruire a capacitătilor pe care le posedă un gânditor pozitiv este sugestivă: forța de a învinge înfrângerile, capacitatea de a nu te teme de nimic; eliberarea de frică ; arta de a trăi fericit cu tine însuți; achiziționarea unei stime de sine normale; capacitatea de substituție; a nu gândi niciodată în termeni deficienți sau lacunari; veselie si entuziasm; diminuarea resentimentelor; a rămâne creator : a vedea posibilități de rezolvare chiar si în cele mai grele si negre situatii; selecția si ierarhizarea dificultăților. Se poate observa ca unele dintre aceste capacități depășesc sfera propriu–zisă a cognitivului.

Ambele tipuri de gândire au efecte benefice asupra comportamentului individului, evident, în proporții diferite. Gândirea pozitivă asigură o mai bună adaptare la solicitările mediului, ea crește încrederea în autoeficiență, în posibilitățile de autoperfecționare, conduce la sporirea autorespectului. Nu trebuie să deducem de aici că gândirea pozitivă este întotdeauna favorabilă. Gândirea pozitivă are avantajele ei, dar când este nerealistă, si costurile sale (Myers, 1983, p. 93). Gândirea pozitivă este pândită de riscul ca individul să fie nerealist în așteptări față de sine, ceea ce derivă nu numai dintr-o înclinație personală, ci și din tendința generală a omului de a-și percepe favorabil propria persoană (ne considerăm mai buni, mai apți, mai dotați decât media populației) si de a atribui reușitele calităților si comportamentelor proprii, iar nereușitele, altora sau conjuncturilor nefavorabile. Teoria atribuirii elaborată în psihologia socială insistă suficient de mult asupra acestei tendințe, așa încât nu ne oprim asupra ei (vezi Wiggins, Wiggins si Vander Zanden, 1994, pp. 188 si urm.). Asemenea tendințe îl îndeparteaza pe om de realitate, îi falsifică imaginea de sine si mai ales imaginea asupra propriilor capacități, care încep a fi percepute eronat. Gândirea pozitivă, pentru a fi cu adevarat pozitivă, trebuie sa fie, pe cât este cu putinta, si apropiata de realitate (Holdevici si Vasilescu, 1988, p. 139). Oricât ar părea de ciudat, si gândirea negativă are o serie de valențe benefice asupra individului, protejându-i acestuia imaginea de sine. Ea furnizează justificari pentru eventualele eșecuri: Prin contrast, gândirea negativa lasa persoana neaparata contra reproșurilor în situația de eșec, dar mărește șansele victoriei (ibidem, 1988, p. 141.

Cele două tipuri de gândire se repercutează asupra profilului general al personalității individului. Persoanele care gândesc pozitiv au o imagine de sine rezonabilă, își cunosc și își evaluează corect atât calitățile, cât si defectele, îsi stabilesc scopurile pe masura posibilităților, au credința că le pot realiza; de aceea obțin performanțe usor peste posibilități, se bucură de o bună sănătate fizică si psihică, au puține trăsături nevrotice. Aceste persoane, după cum arată observațiile empirice dar si cercetările, se descurcă ușor în situații dificile, dispun de o mare capacitate de efort fizic si psihic, rezistă mai bine în situațiile frustrante sau stresante, au o mai mare rezistență la îmbolnăvire, iar dacă s-au îmbolnăvit, se însănătoșesc mai repede Persoanele care gândesc negativ se caracterizează prin anxietate, nefericire, îngrijorare, manifestă rezistență puternică Ia frustrare, sunt ostile, intră permanent în conflict cu sine si cu alții, nu-si fixează scopuri înalte, pentru că se tem că nu le vor putea realiza. Anticiparea eșecului, sentimentele de inferioritate le împiedică să-și valorifice posibilitățile.

În aceste conditii, educarea gândirii pozitive devine o necesitate atât la nivel individual, cât si la nivel institutional. Literatura de specialitate abunda în sfaturi, metode, procedee si tehnici de educare a gândirii pozitive. Iată câteva procedee propuse : procedeul blocării procesului cognitiv (când este sesizată tendința de a se utiliza etichete negative se da comandă, în limbaj interior, STOP ; se repetă procedeul ori de câte ori este necesar); procedeul vidării mintale (reprezinta o deprindere de vizualizare, descrisă de Kassorla în 1984, subiectul imaginându-și un mic aspirator cu care absoarbe toate gândurile și imaginile negative); procedeul schimbării dominantei cognitive (constă în focalizarea gândirii spre aspectele pozitive, negativului schimbându-i-se semnul); procedeul blocării gândirii pozitive (constă în împiedicarea individului să gândească pozitiv). Acest ultim procedeu pare a fi paradoxal, de aceea sunt necesare câteva comentarii. Blocarea gândirii pozitive duce la apariția unor sentimente de nemulțumire, iritare, frustrare. Deși sentimentele respective sunt negative, ele corespund situației reale a subiectului, de aceea, în loc de a-1 demobiliza, îl stimulează pentru a discerne mai bine ce poate și ce nu poate, ce vrea și ce nu vrea, ce este posibil și ce nu este posibil. Așadar, chiar dacă individul trăiește anumite sentimente negative, el reacționează rațional si constructiv în fața lor, fapt care va permite ca sentimentele respective să nu se instaleze, să nu se întărească si mai ales, să nu se permanentizeze. Dimpotrivă, ele vor fi repede depășite. Tehnica blocării gândirii pozitive îi oferă individului posibilitatea de a deveni propriul său sprijin, autoapărându-se sau autoajutându-se. Iată și câteva sfaturi menite a contracara gândirea negativă: decât să spui Nu stiu, mai bine spune O să aflu; în loc să declari Asta nu-i treaba mea, vezi ce trebuie făcut si acționează; decât să faci promisiuni, mai bine ține-te de angajamente; decât să te uiți după lucruri pe care nu le poți face, mai bine uită-te după lucruri pe care le poți face; în loc să spui Nu sunt atât de… sau ca altii, mai bine spune Sunt bun, dar nu atât de bun pe cât pot fi ; decât să afirmi „Asta-i calea cea bună de a face ceva, mai bine spune Poate că e greu, dar nu este imposibil. Se poate remarca faptul că educarea gândirii pozitive se bazează, în principal, pe două principii: principiul conștientizării (propriilor calități sau propriilor limite); principiul restructurării cognitive (care constă în convertirea gândirii negative în gândire pozitivă). Aceste principii stau la baza a două forme de psihoterapii – psihoterapia rațional-emotivă si psihoterapia cognitiv-comportamentală -amplu analizate si ilustrate cu sfaturi practice într-o interesantă lucrare recentă (vezi Holdevici, 1999).

8. Gândirea vigilă si gândirea autistă

Sunt două tipuri de gândire care au suscitat atât interesul psihologilor generaliști, cât si pe cel al psihopatologilor, datorită răspândirii lor (mai ales a gândirii autiste) în viața normală si în viața psihopatologică deopotrivă. În literatura psihologică, cele două noțiuni figurează fie ca atare, expuse în opoziție una cu alta, fie în cupluri cu alte noțiuni. M. Kellar (1957), N. Sillamy (1967) folosesc expres termenii respectivi, gândirea autistă fiind opusă gândirii vigile, pe când Hilgard (1962) opune gândirea vigilă gândirii numite de el impulsivă, iar Berlyne (1965) opune gândirea autistă gândirii direcționale. Chiar dacă se utilizează termeni diferiți, esența lor este aceeași. Nu rareori sunt utilizați si alți termeni pentru diferențierea lor. Astfel, gândirea vigilă mai este numită si realistă, iar gândirea autistă apare sub denumirea de gândire onirică. Deși terminologia este sugestivă prin ea însăși, unele precizări devin absolut necesare.

După opinia mea, cele două tipuri de gândire ar putea fi distinse unul de altul după o multitudine de parametri. Unul dintre aceștia, fără de care ele n-ar putea fi bine identificate și înțelese, este conținutul lor. Gândirea vigilă conține toate fenomenele ce intră în câmpul, mai mult, în focarul conștiinței, fenomene ce asigură actualitatea existențială a individului, în timp ce gândirea autistă cuprinde în sine fenomene refulate de conștiința vigilă, dorințele si aspirațiile nesatisfăcute ale individului, care tind a se satisface in plan imaginativ. Fiind legată de actual, de prezent, gândirea vigilă este realistă, în acord cu lumea externă si cu solicitările ei, pe când gândirea autistă, legată de imaginație, este fantezistă, ireală.

Un al doilea parametru care diferențiază tipurile de gândire avute in vedere este orientarea lor. Gândirea vigilă este orientată spre lumea externă, spre acomodare si adaptare la realitatea înconjurătoare aflată într-o permanentă schimbare, spre deosebire de gândirea autistă, îndreptată spre interioritate si subiectivitate. Bleurer, care a introdus termenul de autism, îl va vedea ca pe un simptom fundamental ce constă într-o introversiune exagerată a individului, în ruperea contactului cu realitatea, mai mult, în opoziție cu realitatea externă. Prin gândirea autistă individul se repliază parțial (în situații de normalitate) sau total (în situații patologice) asupra propriei lumi lăuntrice. De aici derivă trei caracteristici esențiale ale celor două tipuri de gândire. Astfel, gândirea vigilă este subordonată proceselor raționale, formale, ea este critică, legată întotdeauna de realitate si conducând la o mai bună si suplă adaptare a individului. Gândirea autistă este subjugată tendințelor afective, ea scapă controlului si legilor logicii, este necritică, invadată si sufocată de subiectiv, ruptă de realitate, dominată de fantezii si reverii. Apoi, în timp ce gândirea vigilă este socializată, presupunând pentru buna ei funcționare nu doar prezența altora, ci și contactul permanent, interacțiunea activă cu alte persoane, gândirea autistă este nesocializată, ea apare ca fiind închisă, prăbușită în sine însăși, luând uneori forma unui delir halucinatoriu. In sfârșit, spre deosebire de gândirea vigilă, care se exprimă în și prin limbaj, făcând apel la cuvinte, concepte, idei, propoziții, judecăți și fiind destinată pentru a fi comunicată, gândirea autistă se exprimă în simboluri imaginative, constituind, după cum se exprimă Sillamy, o formă de gândire privată (Sillamy, 1967, p. 212). Gândirea autistă nu recurge la limbaj, nu este destinată pentru a fi comunicată, ci pentru a se autosatisface.

Un al treilea parametru prin care se diferențiază cele două tipuri de gândire îl reprezintă rolul lor în existența umană. În esență, gândirea vigilă pregătește si orientează întreg organismul spre comunicare si adaptare, pe când gândirea autistă îi oferă individului posibilitatea de a-și satisface dorințele în plan imaginativ, de a se compensa afectiv prin fantasme. Deși un asemenea rol al gândirii autiste nu trebuie neglijat, trebuie precizat că prin gândirea autistă omul obține o adaptare momentană, aparentă, care, dacă va fi prelungită, va conduce în mod sigur la grave fenomene dezadaptative. Persoana oniră, după cum aprecia Ey, fascinată de imaginarul sau caleidoscopie, de imaginarul Jarâ mundanitate, adică de imaginarul ce se desfășoară fără orizontul lumii, se transformă într-un simplu obiect, în obiectul dorințelor sau al angoasei sale, obiectul a ceea ce îi rămâne din conștiință, al condamnării sale de a nu fi decât simbolic (Ey, 1983, p. 95). Pentru subiect, în afara imaginarului, nimic nu mai rămâne, decât ca un neînsemnat orizont virtual, o vagă prezență de obiecte si de forme, dar și aceasta desfășurată și trecând în fantasmagoric. Conștiința autistului sau oniricului este destructurată, explodată cu violență", ruptă de realitate, de aceea oniricului lumea îi apare ca o simplă aglomerare de evenimente fără istorie, fără spațiu și fără timp, ca o lume fără lume. Evident că în asemenea condiții individul devine absent, el pierzând accesul la lume, adică, așa cum se exprimă același Ey, posibilitatea de a crea (ibidem, p. 96). Gândirea autistă este întâlnită mai ales la schizofrenici, care își construiesc o lume proprie, impenetrabilă, veritabil alienată. Manifestarea gândirii autiste se întâlneste însa nu numai în plan patologic. Referindu-se la autismul omului normal, Maslow desprindea doua tipuri de personalitati autiste, si anume: autistul agitat, care încearca în plan imaginar experiente ce-1 tensioneaza, îl duc la extaz; autistul calm, contemplativ, ce se complace idilic în iluzionism si consolare. Gândirea autista se manifesta mai acut si accentuat în prima copilarie si adolescenta sau, indiferent de vârsta, în perioadele si situatiile de criza si bulversare existentiala si ideologica a individului.

9. Gândirea eficientă și gândirea neeficientă

La întrebarea Ce este gândirea eficientă sau cea ineficientă s-au conturat până în prezent cel puțin trei soluții. Una dintre acestea, cea mai simplă si de aceea si cea mai nespecifică, a fost sugerată chiar de cuplurile diferitelor tipuri de gândire. S-a spus astfel că gândirea reproductivă, gândirea negativă si gândirea autistă (onirică) ar fi exemple tipice de gândire neeficientă, în timp ce toate celelalte tipuri de gândire ar ilustra gândirea eficientă. De exemplu, laitmotivul lucrării lui Norman Vincent Peale, The Power of Positive Thinking, citată anterior, este simplu: gândirea negativă produce rezultate negative, în timp ce gândirea pozitivă produce rezultate pozitive, prima fiind total ineficientă si de repudiat, cea de-a doua dispunând de o eficiență crescută, de aceea, necesar a fi menținută și amplificată. O asemenea soluție este, dupa opinia noastră, limitată. Ea ar putea fi corectă pentru cel mult două, trei cupluri de gândire dintre cele opt analizate. Apoi, ea ar putea fi validă numai în interiorul aceluiași cuplu de tipuri de gândire. Fără îndoială că gândirea reproductivă este ineficientă comparativ cu cea productiv-creatoare, că gândirea negativă este ineficientă comparativ cu gândirea pozitivă. De îndată însă ce ieșim din interiorul cuplului respectiv, descoperim că fiecare tip de gândire este inegal eficient/ineficient, mai mult decât atât, că tipurile de gândire pot trece în contrariul lor, în sensul că cele considerate a fi eficiente sunt sau devin ineficiente și invers. Criteriul în funcție de care trebuie apreciată eficiența sau ineficiența unui tip de gândire îl reprezintă, după părerea mea, situația problematică în care se află individul și particularitățile ei. Vor fi eficiente acele tipuri de gândire care sunt adaptate situațiilor și cerințelor acestora si ineficiente cele care nu corespund sau se opun situațiilor problematice. Dacă un individ se află într-o situație relativ comună, familiară, pe care ar putea-o soluționa apelând la câteva modalități algoritmice, însă el caută, tatonează, încearcă strategii noi apelând la gândirea euristică, atunci gândirea sa va fi ineficientă. Așadar, nu există tipuri de gândire exclusiv eficiente și ineficiente, ci tipuri de gândire mai mult sau mai puțin eficiente sau ineficiente, dependent de modul lor de utilizare. Aceasta caracteristică a reieșit chiar din analiza unor tipuri ale gândirii. Arătăm astfel că gândirea negativă sau cea autistă (onirică) dispun, în anumite situații, de valențe pozitive, deci de un oarecare grad de eficiență.

O a doua soluție formulată la întrebarea Ce este gândirea eficientă? constă în cuplarea a două tipuri de gândire, ambele asigurând eficiența. După opinia lui Moore și a colegilor săi, eficient este doar cuplajul dintre gândirea creatoare si gândirea critică, prima referindu-se, așa cum arătam, la formularea soluțiilor posibile ale diferitelor probleme sau a explorărilor posibile ale fenomenelor, cea de-a doua, la testarea si evaluarea soluțiilor posibile. Gândirea eficientă, considerau cei trei autori, este si creatoare si critică, deoarece ambele tipuri de gândire sunt esențiale în toate domeniile activității umane și, de asemenea, deoarece metodele științei moderne sunt atât creatoare, cât si critice. A crea si a critica sunt caracteristici gemene ale celui care gândește eficient {Moore et al., p. 6). Trăsătura esențială a gândirii eficiente este obiectivitatea ei. Această soluție, deși mai productivă decât cea anterioară, deschide câteva semne de întrebare: de ce numai cuplajul dintre gândirea creatoare si gândirea critică ar ilustra eficiența gândirii ? ; nu cumva si alte cuplaje (de pildă, gândirea divergentă si cea convergentă, gândirea verticală si cea laterală etc.) ar putea fi considerate la fel de eficiente? ; nu este posibil ca lărgind numărul tipurilor de gândire asociate să sporim eficiența gândirii? Răspunsul afirmativ Ia ultimele două întrebări este mai mult decât plauzibil.

După cum se poate remarca, soluțiile formulate la întrebarea Ce este gândirea eficientă/ineficientă? aduc sugestii interesante, însă nu întru totul valide. Limita lor comună constă în considerarea gândirii eficiente/ineficiente ca o caracteristică a altor tipuri de gândire opuse sau asociate. Se poate vorbi însă de gândire eficientă/ineficientă de sine stătătoare ca tipuri de gândire distincte de toate celelalte? – aceasta este marea întrebare pe care ele o generează. În literatura de specialitate întâlnim sugestii care arată ca există asemenea tipuri de gândire. Aceasta constituie, de altfel, cea de-a treia soluție la întrebarea formulată, si anume încercarea de a depista trăsăturile caracteristice ale noilor tipuri de gândire. Moore, pornind de la premisa ca perfecțiunea în gândire este de neatins – o persoană care se așteaptă să rezolve orice problemă si să ia întotdeauna decizii corecte, fiind nerealistă – lansează idea potrivit căreia ar trebui să luptăm mai degrabă pentru o gândire eficientă decât pentru o gândire perfectă. Aceasta îl obligă însă să arate ce înțelege prin gândire eficientă. Răspunsul dat este următorul: gândirea eficientă ar trebui să satisfacă două criterii: a) urmărirea, într-un mod rezonabil, a procedeelor stabilite; b) utilizarea, asa cum este de așteptat, a informației complete (Moore et al., 1985, p. 15). Când aceste două criterii nu sunt luate în considerare, ci dimpotrivă, ele sunt încălcate, avem de-a face cu o gândire ineficientă.

Formarea unei gândiri eficiente este cu atât mai necesară cu cât în ultimul timp problema eficienței umane si sociale a devenit prioritară. Eficiența trebuie să fie o trăsătură esențială nu doar a gândirii umane, ci a întregii personalități.

Gândirea creatoare

1. Gândirea creatoare, componentă principală a creativității

Progresul omenirii nu este posibil fără activitate creatoare, teoretică sau practică, a oamenilor. Din acest motiv este firesc ca activitatea creatoare să fie considerată ca forma cea mai înaltă a activității omenești .

(Alexandru Roșca, Creativitatea)

Logica te va duce din punctual A în punctual B. Imaginația te va duce oriunde vei vrea. (Albert Einstein)

Istoria marilor invenții și descoperiri, a operelor de artă și a revoluției tehnico-științifice este istoria inteligenței și creativității, darul cel mai de preț al omului, care i-a permis să făurească primele unelte, să stăpânească natura prin știință și tehnică.

Bogăția unui popor nu stă în bani și nici în milioanele tone de petrol, ci în munca și gândirea creatoare, acest aur cenușiu de neprețuit al omului. Persoanele caracterizate prin gândire creatoare ajung mai repede la principii și idei noi pentru ele, pentru sectorul lor de activitate, pentru știința cultura și tehnica națională sau mondială. O astfel de persoană ajunge să descopere noi relații între obiecte și fenomene, noi metode sau procedee de investigație, să găsească forme artistice noi etc. Creatoare poate fi și gândirea unei personae care ajunge ,,să descopere” lucruri deja cunoscute pentru știință, dar ajunge la ele pe o cale independentă. Creatoare este și gândirea unui elev care găsește rezolvarea unei probleme de matematică (sau dintr-un alt domeniu) pe o cale diferită, sau mai ,,elegantă” decât cea din manual ori aceea care a fost prezentată de profesor în clasă. Ori de câte ori un copil care se găsește în fașa unei probleme, îi restructurează datele sau imaginează procedeul care conduce la soluție, fie că această problemă este o sarcină școlară, o sarcină a vieții curente sau un test, el înfăptuiește o invenție. (A. Munn)

Gândirea creatoare este componenta principală a creativității (în știință, tehnică, artă etc.), principalul instrument psihologic al creației, dar nu singurul. Creația în orice domeniu presupune,în același timp, anumite însușiri motivaționale și de character, în primul rand atitudine activă în fața dificultăților, sensibilitate ridicată pentru un anumit domeniu sau pentru un cerc mai larg de fenomene, anumite aptitudini speciale, curiozitate vie etc. Este de la sine înțeles rolul condițiilor social-economice și educative, a căror importanță este majoră.

Deși cercetarea sistematică a creativității este relativ recentă, filozofii și psihologii s-au văzut nevoiți, încă de multă vreme să ia o atitudine față de problema gândirii creative.Începuturile cercetării creativității își au originea în cercetările de psihologie a gândirii. Graham Wallas (1926) vorbește de gândirea creativă comună atât artistului cât și omului de știință. Savantul își propune să descopere fapte și principii noi, în timp ce scopul artistului este acela de a interpreta lumea imaginară, obiecte, raporturi sau valori imaginare. Ca și Wallas, și alți autori au ajuns la concluzia că artiștii și oamenii de știință parcurg același process, diferența constând în tehnica, viteza și modul de abordare a problemei.

Apariția unei probleme este legată de momentul de care un individ își propune să atingă un anumit scop și nu știe cum îl poate realize, deoarece nu se poate hotărî să recurgă la procedee cunoscute, specifice, sau la tehnici și operații specifice. În cazurile în care organismul poate să reacționeze fără ezitări, fiind pregătit pentru situația respectivă, nu putem vorbi de existența unei probleme (Graumann, 1965).

Orice situație de stimul care găsește organismul nepregătit, incapabil să răspundă imediat cu o reacție adecvată, creează o problemă a cărei soluționare adduce cu sine un element nou, chiar dacă el este uneori minim (Guilford, 1967).

Orice process creative este un process analog celui de rezolvare a unei probleme: se lucrează cu informațiile existente, se folosesc experiențele trecute, după care urmează combinarea acestor experiențe și informații, pentru a le transfera apoi asupra unor structuri noi (Patterns); acestea vor rezolva, în noua lor configurație, o problemă care satisface o necessitate oarecare a individului (Arnold, 1964).

Paralelismul dintre situația de rezolvare a unei probleme și gândirea creatoare constă în faptul că individual trebuie să dezvolte, în ambele cazuri, o strategie nouă, pe care o va folosi apoi, sau cu alte cuvinte, el trebuie să transforme stimulul neadecvat într-unul adecvat, pentru a-l aplica. În acest mod, orice rezolvare a unei probleme este un proces creativ (Guilford, 1967, pag. 435).

2. Definiția creativității

Prin creativitate înțelegem capacitatea sau aptitudinea de a realize ceva original. Actul creator este însă un process de elaborare prin invenție sau descoperire, cu ajutorul imaginației creatoare, a unor idei, teorii sau produse noi, originale, de mare valoare socială, și aplicabilă în diferite domenii de activitate. În cadrul unor școli psihologice au fost formulate mai multe teorii asupra creativității.

Teoria asociaționistă, elaborată de Mednik (1962), care consideră creativitatea un process de organizare și transformare a unor elemente associative în combinații noi, originale, pe baza gândirii.

Teoria configuraționistă (gestaltistă) definește creativitatea ca produs al imaginației (și nu al gândirii logice), cu ajutorul căreia sesizăm brusc lacunele din configurația întregului, completându-le.

Teoria transferului creativității are ca reprezentant pe J. P. Guilford. El concepe creativitatea ca pe o etapă a învățării, transferabilă și în alte domenii de activitate.

3. Relația dintre inteligență și creativitate. Factorii creativității.

Unii specialiști explică deci procesul creației prin nivelul gândirii logice, alții relevă influența unor factori de personalitate (motivații, atitudini), iar a treia categorie diminuează sau chiar neagă importanța inteligenței, atribuind rol hotărâtor imaginației (Wertheimer). Dacă inteligența este o formă superioară de organizare și de echilibru a structurilor cognitive și dacă a înțelege și a inventa sunt principalele ei funcții, atunci nu putem vorbi de nici un proces creativ fără participarea inteligenței. Pornind de la această idée, orice persoană cu o inteligență normal dezvoltată este mai mult sau mai puțin creativă, iar peste un anumit coeficient de inteligență (după unii cercetători, 120), aceasta nu mai corelează cu creativitatea, rolul important revenind imaginației creatoare și factorilor de personalitate. Ar fi greșit însă dacă am identifica inteligența superioară cu creativitatea, aceasta fiind definită de originalitatea și valoarea produselor create. Cu alte cuvinte, inteligența superioară nu înseamnă neapărat creativitate (Landau), întrucât nu toți oamenii inteligenți sunt și creativi, însă orice persoană creativă este dotată nativ cu un Q.I ridicat.

Definirea și explicarea fenomenului complex al creativității se sprijină și pe încercările de a descifra factorii și variabilele care o caracterizează. Se poate vorbi mai întâi de aptitudini pentru creație. Există anumite structuri cerebrale, pe care nu le cunoaștem, care favorizează imaginația, ele creând predispoziții de diferite grade pentru sinteza unor noi imagini, noi idei. Totuși e nevoie de intervenția mediului, a experienței pentru ca ele să dea naștere la ceea ce numim talent. Sunt unii ce exagerează chiar rolul muncii în creație. De exemplu, Thomas Edison, cunoscutul inventator susținea că geniul este 99% transpirație și doar 1% inspirație. Teza lui Edison însă, nu se aplică și în cazul lui Mozart, capabil să scrie o sonată în câteva zile. De muncă este nevoie, dar nu în proporția preconizată de renumitul inventator.

Un al doilea factor care trebuie amintit îl constituie experiența, cunoștințele accumulate. Importantă este nu doar cantitatea, bogăția experienței, ci și varietatea ei.

Pot fi considerate ca factori interni ai dezvoltării creativității, motivația și voința, amintite și anterior. Creșterea dorinței, a interesului pentru creație, ca și a forței de a birui obstacolele, are evident un rol notabil în susținerea activității creatoare.

Un al treilea factor este, în mod neîndoielnic, inteligența, al cărui rol în dezvoltarea creativității l-am dezbătut mai pe larg într-unul din paragrafele anterioare.

Un alt factor important care influențează creativitatea este societatea. Societatea are un rol foarte important pentru înflorirea spiritului creative într-un domeniu sau altul. În primul rand, intervin cerințele sociale. Strălucita epocă a Renașterii italiene, în domeniul picturii și sculpturii, se explică prin îmbogățirea negustorilor, atrăgând după sine cerința construirii de palate împodobite cu picturi și sculpturi, care a stimulat talentele, existând totdeauna într-un popor; s-au creat școli ilustre permițând ridicarea acestor arte pe cele mai înalte culmi. În secolul nostru, dimpotrivă, interesele societății s-au îndreptat spre progresul tehnicii, aceasta cunoscând o dezvoltare fără precedent. Un alt factor determinant în stimularea creativității îl constituie gradul de dezvoltare a științei, tehnicii, artei. La începutul secolului al XVIII-lea, dezvoltându-se manufactura, a apărut și diviziunea muncii. Prin simplificarea operațiilor efectuate de un muncitor s-a putut contura idea folosirii forței aburului pentru mișcarea unor mecanisme, executând mișcări simple rectilinii ori circulare. De asemenea, Einstein n-ar fi putut formula teoria sa asupra relativității dacă, în prealabil, alți savanți n-ar fi efectuat o serie de experiențe al căror rezultat nu se putea explica prin legile mecanicii cunoscute atunci.

Societatea poate avea și funcția de frână în dezvoltarea cunoașterii. Să ne reamintim de persecuțiile Inchiziției din Spania sau Italia sau de intoleranța stalinistă, împiedicând progresul științelor socialeși biologice.

4. Fazele procesului creativ

Fie că e vorba de creativitatea de tip tehnic, artistic sau științific, munca de creație parcurge mai multe etape:

1) Prerararea este perioada în care se adună informații, se fac observații, se delimitează scopul ori problema, se schițează o ipoteză sau un proiect general;

2) Incubația este răstimpul încercărilor sterile, când nu se găsește soluția, concretizarea operei este nesatisfăcătoare; incubația poate dura foarte mult, chiar și ani de zile!

3) Iluminarea este momentul fericit când apare soluția, când opera este văzută într-o lumină mirifică. Acest fenomen se produce uneori în mod spectaculos: i se spune inspirație dacă artistul trăiește opera în mod intens, conștient de toate componentele și detaliile ei; în știință se vorbește de intuiție = o cunoaștere sintetică, integrală a demonstrației care elucidează toate aspectele problemei; în această etapă se realizează în ritm rapid obiectivele urmărite inițial;

4) Verificarea este necesară după concepția inițială, pentru a elimina eventuale erori ori lacune; artistul își revizuiește creația, face retușuri; sunt cazuri când mari părți din operă sunt rescrise – așa făcea Lev Tolstoi.

5. Factorii cognitivi operaționali (intelectuali) ai creativității

În urma cercetărilor sale în acest domeniu, J. P. Guilford a identificat șase factori ai creativității: fluiditatea gândirii, flexibilitatea acesteia, originalitatea, elaborarea, sensibilitatea față de probleme și redefinirea. Acestui model al aptitudinilor creative, cum le numește Guilford, i se aduce obiecția că este lipsit de dinamism, întrucât nu cuprinde și modul de constituire a raporturilor dintre informații, procesul creației fiind determinat de motivații sau influențe externe. Creația este un proces complex la care participă întreaga personalitate, pe baza acțiunii unitare a factorilor cognitive, de personalitate și sociali.

Dintre factorii intelectuali implicați în actul creator, inteligența și imaginația creatoare sunt cei mai importanți, întrucât ei au și funcția de integrare a celorlalți factori cognitivi-operaționali ai creativității.

A. Inteligența creatoare este forma superioară de organizare a comportamentului creativ, care presupune, în primul rând, sensibilitate față de probleme, apoi fluență, flexibilitate și capacitate de redefinire.

1. Sensibilitatea față de probleme sau receptivitatea față de nou este punctul de plecare al creației, manifestându-se în curiozitate științifică și atitudine interogativă, în capacitatea de a sesiza cu ușurință problemele esențiale și neobișnuite, de a vedea relațiile de dependență cauzală sau funcțională, contradicțiile și inadvertențele.

2. Fluența sau fluiditatea gândirii constă în ușurința asociațiilor dintre cuvinte, fapte, imagini, idei și expresii. Fluența vorbirii este exprimată în bogăția vocabularului și folosirea lui în construcții verbale cu semnificație. Fluența ideilor este capacitatea de a emite într-un timp limitat cât mai multe idei sau ipoteze de rezolvare a unor probleme. Fluența asociativă sau capacitatea de a asocial cuvinte, fapte, idei se măsoară prin găsirea cât mai multor sinonime pentru un cuvânt dat, prin completări de texte sau povestiri. Fluența expresivă se manifestă în ușurința exprimării și noutatea acesteia.

3. Flexibiliatea gândirii este considerată a fi principalul factor psihic cognitiv al creativității. Prin flexibilitate se înțelege modificarea rapidă a mersului gândirii, atunci când situația o cere,restructurarea ușoară a vechilor legături corticale, în conformitate cu cerințele noii situații, ușurința cu care un individ poate schimba un set, poate face asociații îndepărtate. Pentru Torrance, flexibilittea se definește prin capacitatea de adaptare la instrucțiuni schimbate, de a te elibera de inerția gândirii, de afolosi o diversitate de moduri de abordare.

Flexibilitatea de transformare, pusă în evidență de Guilford și identificată cu gândirea divergentă este, după unii autori, cel mai important factor al creativității. Prin cercetarea de obiectul cercetat, gândirea divergentă multidirecțională nu se împacă cu șabloanele. Ea permite jocul liber al imaginației prin plasarea lucrurilor într-o nouă perspectivă, prin renunțarea la vechile ipoteze și formularea altora pe baza combinării, reorganizării, restructurării, sintetizării, transformării și generalizării informațiilor, descoperindu-se noi legături și mai multe soluții pentru rezolvarea problemei cercetate.

S-a atras atenția asupra faptului că flexibilitatea gândirii nutrebuie confundată cu flexibilitatea ca trăsătură temperamentală, deși însușirile temperamentale se pot manifesta și în activitatea gândirii. După P. Popescu-Neveanu și Mihaela Roco, flexibilitatea este un factor important în actul creației, dar nu considerat sub raportul vitezei de restructurare, ci ca o particularitate funcțională de ansamblu.

4. Redefinirea este considerată a patra formă de flexibilitate a gândirii, caracterizată prin renunțarea la forma obișnuită de definire sau de folosire a unui obiect, dându-i o nouă interpretare sau utilizare.

B. Imaginația creatoare este un factor fundamental al creativității, întrucât realizează fuziunea informațiilor în structuri noi, prin contopirea, transformarea și unificarea imaginilor, a ideilor, a obiectelor și fenomenelor într-o nouă semnificație. Dintre variantele imaginației creatoare menționăm: efervescența imagistică bazată pe bogăția reprezentărilor, previziunea imagistică multidirecțională, imaginația combinatorie în plan figurative-ideativ, imaginația probabilistică și analogică.

Un factor deosebit de important al imaginației creatoare este intuiția. Ea constă în reorganizarea și sinteza rapidă a experienței anterioare, în anticiparea sau apariția bruscă a soluției problemei, ca urmare a jocului liber al imaginației sau al unui raționament prescurtat, fără încercări și erori.

O formă superioară a imaginației creatoare este ingeniozitatea, finalizată în găsirea unor soluții simple, surprinzătoare și originale sau a unortehnici de lucru cu un mare grad de eficiență. Un alt factor al imaginației creatoare este originalitatea.

Originalitatea este, după părerea multor oameni de știință, nota definitorie a creativității. În accepțiunea cea mai largă, așa cum am mai arătat, indiciul originalității îl constituie caracterul neuzual al soluțiilor, raritatea lor statistică, ingeniozitatea și caracterul surprinzător al apropierii între cunoștințele utilizate.

Originalitatea este caracterizată prin noutate, inventivitate, previziune, unicitate și capacitate de elaborare a detaliilor necesare trecerii de la idee la planul concret de realizare.

Factorii intelectuali ai creativității nu pot acționa independent unii de alții. Se sugerează faptul că fluența este un factor eficient numai în corelație cu factorii de rațonament. Fiind opusă conformismului și inerției, originalitatea este, după părerea lui Al. Roșca, implicată în flexibilitate. Mai mult, factorii intelectuali ai creativității nu sunt de-sine-stătători, ci dependenți de personalitatea subiectului, primordial nu este factorul, ci persoana în unitatea ei.

În modelul lui Guilford, prezentat mai sus, fluiditatea, flexibilitatea și originalitatea constituie aspecte ale capacității de a realiza producții divergente. Gîndirea divergentă este gândire creativă, care explorează în diverse direcții și produce răspunsuri noi. În timp ce în cazul gândirii convergente intervin în special raționamentul logic, informațuiile și experiența acumulate, în cazul gândirii divergente rolul principal revine fluidității asociative și ideative, originalității, flexibilității, sensibilității la probleme și capacității de redefinire. Se consideră că distincția dintre producțiile divergentă și convergentă este similară, dar mai largă decât distincția între procedeele algoritmice și euristice. Cele din urmă includ în mod obișnuit scurt-circuitări, iluminări.

Datele obținute de psihologi ne permit să presupunem că nu atât valoarea absolută a variabilelor implicate în actul creației este importantă, cât mai cu seamă interacțiunile specifice care se stabilesc între acestea; creația este condiționată de o anumită îmbinare între elementele atitudinale, cognitive și instrumental operaționale.

6. Blocajele creativității

În calea stimulării actului creator, pe lângă factori favorizanți există și numeroase piedici, pe care le numim blocaje.

a) Blocajele sociale sau culturale. Conformismul este unul din ele: dorința oamenilor ca toți cetățenii să se poarte și să gândească în mod obișnuit. Cei cu idei neobișnuite sunt priviți cu suspiciune și chiar cu dezaprobare, ceea ce constituie o descurajare a gândirii inovatoare.

Apoi există o neîncredere în fantezie și o prețuire exagerată a raționamentului strict logic și a judecății critice. Or, nici matematica nu poate progresa fără imaginație creatoare.

b) Blocaje metodologice. Există o rezistență la schimbare, o rigiditate a algoritmilor anteriori . Algoritm se numește o succesiune determinată de operații, permițând rezolvarea unei anumite categorii de probleme. De obicei, într-o problemă încercăm să folosim un algoritm, deși nu pare potrivit, tindem a stărui în loc să căutăm altceva.

Alt blocaj este critica prematură, evidențiată de Al. Osborn, unul din promotorii cultivării creativității..El a observat că, atunci când ne gândim la soluționarea unei probleme complicate, sunt momente când ne vin în minte tot felul de idei. Nu este bine să ne descurajăm și să renunțăm la început, când apare prima sugestie, pe care, de obicei tindem să o criticăm, acest act blocând venirea altor idei în conștiință. Și cum prima sugestie de obicei nu e cea bună, ne aflăm în impas. Când imaginația se află într-un moment de efervescență, să lăsăm ideile să curgă. Osborn recomandă să le notăm pe toate, câtă vreme durează această inspirație. Numai după ce acest moment de inspirație trece, să trecem la examenul analitic al fiecăreia. Osborn a intitulat acest procedeu brainstorming, termen care in traducere literală ar fi asaltul sau furtuna creierului; în limba noastră îl numim asaltul de idei sau evaluare amânată. Brainstormingul poate fi utilizat și în munca individuală, dar el e cunoscut mai ales printr-o activitate de grup.

c) Blocaje emotive. Și acestea au un rol foarte important, întrucât, așa cum se știe, factorii afectivi sunt importanți în blocarea sau stimularea creativității: teama de a nu greși, de a nu se face de râs, poate împiedica pe cineva să exprime sau să dezvolte un punct de vedere neobișnuit. De asemenea, graba de a accepta prima idee este greșită, fiindcă rareori soluția apare chiar de la început. Unii se descurajează rapid, dat fiind că munca de creație,de imaginație este dificilă și solicită eforturi de lungă durată. Și tendința exagerată de a-i întrece pe alții implică evitarea ideilor deosebite și dăunează procesului de creație.

7. Metode pentru stimularea creativității.

a) Brainstormingul sau asaltul de idei, despre care am amintit mai sus, dar utilizat în condițiile unei activități de grup. Iată cum decurge: presupunem că într-o fabrică s-a ivit o problemă dificilă (de pildă, să se modifice, fără mari cheltuieli, modul de transport a unor subansamble în divesse părți ale halei centrale și s-a hotărât convocarea grupului de brainstorming; se trimite câte o invitație membrilor (în număr de 10-12), în care se specifică problema, ora, ziua și locul întrunirii; persoanele respective au fost alese mai demult, urmărindu-se să facă parte din diverse profesiuni, deci, pe lângă ingineri, vor fi un biolog, un ziarist, un istoric, un agronom, un fizician ș.a., asigurându-se în acest fel, din capul locului , o varietate a punctelor de vedere. Acești specialiști iau act de problemă, darn u o analizează în mod special. În ziua stabilită vin adunați în jurul unei mese, și după o luare de contact, începe ședința propriu-zisă, condusă de un mediator. De obicei, pe o tablă mare se scriu cele patru reguli ale brainstormingului: judecata critică este exclusă ( în spiritual evaluării amânate , nu e voie să se comenteze nici o idee, nici să se critice, nici măcar să se râdă nu e permis); cât mai multe idei; dați frâu liber imaginației și ultima, combinările și ameliorările sunt binevenite. Există un secretar care stenografiază tot ce se spune. Membrii prezenți spun rand pe rând toate ideilece le trec prin minte, iar secretarul le notează. În cca 45-60 de minute inspirația secătuiește, ședința se încheie, dar mediatorul reamintește participanților că, dacă ulterior le mai vine vreo idée (în acea zi sau a doua zi dimineața), să o comunice telefonic secretarului. După aceea, se adună specialiștii întreprinderii și, parcurgând lista, caută idea care sugerează o soluție optimă.

Experiențe riguroase au arătat că, lucrând în grup, se produc mai multe idei, se găsesc mai multe soluții, decât dacă membrii grupului ar lucra fiecare separate.

Desigur,nu orice problemă poate fi abordată în felul arătat, mai ales cele care solicită scrisul (ca în cazul celor matematice), și, de asemenea, nu în orice fază, cid oar atunci când impasul este bine precizat.

b) Tot o metodă asociativă este sinectica, inovată de W. Gordon. Acesta era convins de valoarea psihanalizei și deci de rolul hotărâtor al inconștientului. Cum, după această doctrină, sinele se exprimă prin metafore, în centrul metodei se află strădania de a găsi metafore în relația cu problema prezentată. Și aici, din grup fac parte 6-8 persoane de diferite profesii. Mai întâi se prezintă datele problemei, după care se caută metafore, comparații, personificări. Exemplu: un carburetor poate fi comparat cu un plămân care respiră când rar și profound, când superficial și repede; altcineva invocă balena care, după o inspirație puternică, nu mai inspiră multă vreme etc, etc. După ce se formulează 20 de analogii-metafore, aceleași personae studiazăîmpreună cu specialiștii soluționaerea optimă a problemei, sugerată de una sau alta din metafore. Aceasta e partea cea mai dificilă și durează mai multe ore.

c) Metoda 6-3-5. Este vorba de împărțirea unei adunări în grupuri de 6 persoane, în care fiecare propune 3 idei într-un timp maxim de 5 minute. Primul grup discută problema și, pe o fișă, sunt trecute trei idei, fiecare fiind capul unei coloane ce se va completa de către celelalte grupuri. După 5 minute, fișa este trecută unui alt grup care adaugă alte trei idei în coloane, sub celelalte ș. a. m. d., până ce fiecare fișă trece pe la toate grupurile. Conducătorul strânge foile, și se discută pentru a se hotărî care din propuneri să fie însușită.

d) Phillips 6-6. Este tot o metodă menită să consulte un număr mare de persoane (30 până la 60). Această mulțime se grupează în câte 6 persoane, urmând a discuta problema timp de 6 minute. Mai întâi, animatorul explică metoda și avantajul ei, apoi expune problema. Se urmărește ca grupurile să fie cât mai eterogene. Fiecare își alege câte un coordonator și se discută timp de 6 minute. La urmă, fiecare grup își anunță părerea. Urmează o discuție generală-după care se trage concluzia. Astfel, în cca o oră se pot rezuma părerile a 60 de persoane.

Când e vorba de o problemă complexă, se pot organiza grupuri de 4 membri, având la dispoziție 15 minute.

e) Discuția panel. Termenul panel înseamnă în engleză jurați. Și în acest caz e vorba de participarea unor colectivități mai mari. Discuția propriu-zisă se desfășoară într-un grup restrâns (jurații), format din persoane competente în domeniul respectiv. Ceilalți -pot fi zeci de persoane – ascultă în tăcere ceea ce se discută. Aceștia pot interveni prin bilețele trimise juraților. Uneori, bilețelele sunt din hârtie colorată: cele albastre conțin întrebări, cele albe, sugestii, cele roșii, păreri personale. Mesajele sunt primite de unul dintre membrii participanți la dezbatere, care introduce în discuție conținutul unui bilețel atunci când se ivește un moment prielnic (i se spune injectorul de mesaje). Discuția e condusă de un animator.La urmă, persoanele din sală pot interveni și în mod direct, prin viu grai. În încheiere, animatorul face o sinteză și trage concluzii.

8. Dezvoltarea creativității în învățământ

Idealul educațional al școlii românești constă în dezvoltarea liberă, integrală și armonioasă a individualității umane, în formarea personalității autonome și creative.

Caracterizată printr-un înalt grad de complexitate și tehnicitate și printr-un ritm accelerat de dezvoltare, creativitatea a fost apreciată drept o însușire generatoare a progresului.

Dacă a fi matematician sau fizician este rezultatul exersării în domeniul matematicii / fizicii, a fi artist este urmarea educației prin artă, a fi creativ nu poate fi decât efectul educației prin creativitate.

În depistarea și formarea aptitudinilor creatoare, în educația personalității active și inventive, un rol hotărâtor îl are școala. Toți psihologii susțin că toți copiii sunt receptivi până în momentul când adulții, prin sistemul lor educativ, prin autoritate și disciplină impusă, nu le înăbușă originalitatea. Depinde numai de sistemul educativ ca potențialul creativ al unui individ să se dezvolte sau să se anihileze. Educația este un act de creație, iar educatorul un creator.

În funcție de cum este organizat și orientat, procesul de învățământ poate duce fie la dezvoltarea gândirii creatoare, fie la dezvoltarea unei gândiri șablon. Dacă profesorul se mulțumește cu reproducerea textuală, de către elevi sau studenți, a materialului, fie că este înțeles sau nu, și acordă calificative mari pentru o atare reproducere, ei nu se vor strădui să prezinte materialul consultat (notițe, manual, bibliografie) într-o formă personală, să gândească asupra lui, să găsească soluții originale, să grupeze și să ierarhizeze ideile etc. Fără voia lui, un atare profesor va contribui la educarea unei gândiri șablon, la frânarea dezvoltării spiritului critic și a gândirii creatoare. Rezultatele vor fi diametral opuse dacă prin notele atribuite și prin alte căi se va stimula studiul individual al elevului sau studentului, încercarea de a găsi soluții originale, de a interpreta și aplica cunoștințele, de a gândi independent.

Numeroase cercetări experimentale au scos în evidență faptul că în grup eficiența gândirii crește; productivitatea gândirii este mai mare în condițiile rezolvării în grup a problemelor decât în condițiile rezolvării individuale. Din datele obținute, rezultă că ceea ce determină, în primul rând, productivitatea mai mare a grupului, este creșterea flexibilității gândirii subiecților în condițiile rezolvării în grup a problemelor. În fața aceleiași probleme de rezolvat, inițial, orientarea gândirii subiecților este diferită. Această orientare într-o direcție sau alta, determinată de modul de organizare a experienței trecute a fiecăruia, de sistemul legăturilor temporare, prezintă o anumită inerție, o anumită rezistență la restructurare, în raport cu noile condiții. Dat fiind că orientarea subiecților este diferită, în cursul rezolvării are loc o zdruncinare reciprocă a sistemelor de legături temporare, a stereotipiei și scoaterea erciprocă din punctul mort. Această relație din cadrul grupului determină o creștere a flexibilității gândirii la fiecare membru al grupului, ceea ce are ca efect ușurarea rezolvării problemelor.

Utilizarea, până nu demult a conceptului de formare pentru creativitate, conducea de fapt la pierderea obiectivului urmărit, pentru că un obiectiv nu poate fi operaționalizat decât în termeni de comportament, deci a fi creativ este rezultatul unui antrenament creativ, individual sau de grup, care presupune existența unui conținut specific, a unor metode și tehnici de creativitate, ceea ce determină abordarea educației prin creativitate din perspectivă sistemică.

Creativitatea, în orice domeniu, presupune noutate, schimbare. Provocarea la schimbare prin creativitate poate fi percepută ca fiind antrenantă, oferind posibilități de ordin multiplu: intelectual, fizic, creativ etc. Schimbarea este un proces și nu un eveniment. Ea necesită timp. Schimbarea în educație în vederea dezvoltării creativității elevilor trebuie realizată pornind de la nivelul macrosistemic (curriculum-ul educațional stabilit la nivel de minister) și fiind desăvârșită cu pricepere și măiestrie pedagogică de fiecare dascăl în parte în procesul de predare-învățare-evaluare a cunoștințelor. Cum ar trebui să fie realizat acest obiectiv de către cadrul didactic? Învățătorii și profesorii au datoria de a concepe și desfășura demersurile didactice într-un mod creativ ca aspect, să abordeze creativ conținuturile de învățare prin îmbinarea metodelor tradiționale cu cele creative în structurarea lecțiilor, să descopere și să dezvolte potențialul creativ/inventiv al elevilor, valorificând deprinderile creative în activități formale și nonformale.

Folosirea frecventă în activitățile curriculare și extacurriculare a metodelor de învățământ de tip creativ (brainstorming-ul, sinectica, conversația euristică,învățarea prin descoperire, rezolvarea și punerea de probleme, procedeele imaginativ-creatoare ale lui A. Osborn, jocul didactic, discuția panel, turul galeriei, metoda pălăriilor gânditoare, problematizarea, mozaicul etc) și folosirea unor exerciții, probleme sau sarcini de lucru care să incite interesul, curiozitatea, dorința de a descoperi și a cunoaște, antrenând capacitatea creativă a elevilor, este una din condițiile esențiale pentru realizarea unui învățământ de tip creativ.

O altă condiție sine qua non în această privință este asigurarea unui climat educativ propice descătușătii imaginației și creativității elevilor.

Sistemului de învățământ actual i se reproșează încă incapacitatea frecventă de a realiza predarea și învățarea ca pe un proces creativ. Cercetând constatativ și ameliorativ relația dintre profesorii și elevii noștri, a cărei importanță este covârșitoare în educarea creativității elevilor, Luminița Ghiviriga observă la un moment dat că nu se îngăduie de obicei elevilor să-și manifeste curiozitatea, nedumerirea, interesul special stimulat de informația recepționată, de discuțiile din clasă sau chiar de experiența lui de viață. Profesorul rămâne opac și indiferent la întrebările elevilor, dacă nu se revoltă la ceea ce el ar putea interpreta în dovezi de necuviință, de lipsă a respectului din partea elevilor. În rarele cazuri când întrebări de-ale elevilor ajung la profesori, trecând prin ecranul despărțitor de interdicții, ele sunt cotate ca acte de indisciplină, ca manevre răuvoitoare care fac ca profesorul să piardă timpul, să nu asculte și să dea note, să explice mai puțin.

Concluzia firească este că un învățământ care se face atât de vinovat față de originalitatea elevilor ar trebui suprimat. Cum se explică totuși apariția unor creatori de geniu care, volens-nolens s-au format în școală? Fantastica revoluție științifică și tehnică, ce reproșează acum educației școlare că ar fi rămas mult prea în urmă, ar fi fost posibilă dacă învățământul este așa de distructiv față de potențialul creator? În fine, nu putem acuza în bloc educația de a fi nimicit orice talent creator, pentru că realitatea infirmă acuzația.

Ținând seama de valențele formative deosebite ale matematicii, rolul principal revine învățătorilor care, în cele mai multe cazuri, sunt foarte receptivi la nou, ei fiind aceia care creează condițiile necesare descătușării forței creatoare a copilului.

Prin comportamentul adecvat, învățătorul poate duce la crearea unei atmosfere permisive în clasă, care să-i elibereze pe copii de tensiuni, teamă, frica de pedeapsă sau admonestare, o atmosferă interrelațională de înalt spirit de sociabilitate, care favorizează comunicarea, consultarea, conlucrarea în activitatea de învățare. Înrt-o asemenea atmosferă de comunicare liberă de tensiune, activă și favorabilă colaborării în muncă, chiar și copiii cu tendințe spre pasivitate, neobișnuiți cu efortul intelectual, intră treptat în procesul muncii intelectuale și prind gustul rezolvării problemelor școlare, de asemenea, își eliberează treptat energiile latente psihice, prin dorința de autoafirmare.

Aceasta înseamnă formarea omului creator, prin atmosfera stimulatoare a clasei sau a grupului social.

Un elev își exersează spiritul creativ și are un comportament creativ atunci când:

se implică activ în procesul de învățare și formare

gândește critic și are deprinderi de gândire critică

are spirit de observație bine dezvoltat

acționează în totală libertate în planul alegerilor pe care le face

explorează mediul și descoperă soluții personale la diferite probleme

preferă gândirea divergentă, imaginativă, creativă

își dezvoltă imaginația, originalitatea, inventivitatea, fantezia, creativitatea

se descentrează de ceea ce știe deja

problematizează conținuturile cu care se confruntă și face descoperiri

preferă gândirea divergentă complexă

are încredere în propria valoare, o stimă de sine puternică ce îl motivează intrinsec

își asumă riscuri în procesul de învățare și formare

nu se descurajează în fața ambiguității și frustrării

devine responsabil și autonom în dobândirea noului

contribuie prin forțe proprii la atingerea obiectivelor

creează semnificații personale

creează produse intelectuale si materiale unice, originale

S-a constatat experimental că învățătorii cu o înaltă motivație creatoare și o mare curiozitate intelectuală cultivă de la sine aceleași calități în rândul elevilor, în timp ce alții, ale căror valori nu sprijină creativitatea, sunt mai puțin capabili să elibereze potențialul creator al elevilor.

Șansele ca grupurile educaționale, școlare sau extrașcolare, să devină mai eficiente în stimularea creativității elevilor, pot spori dacă ele se vor bucura de existența unor învățători competenți și pasionați.

Găsesc oportun să închei acest subcapitol cu un citat care cred eu că este grăitor pentru a concluziona și care cred că merită luat drept călăuză în activitatea noastră didactică:

Creativitatea reprezintă miraculoasa întâlnire dintre energia neinhibată a copilului cu ceea ce pare a fi opusul și dușmanul ei, simțul ordinii, impus de disciplinata inteligență a adultului. (Norman Podhoretz)

II.7. Rezolvarea problemelor

Omul nu gândește întotdeauna, unele din acțiunile sale desfășurându-se pe bază de automatisme. Gândirea apare când trebuie depășit un obstacol, începe deci cu o problemă (în limba greacă pro întreamnă pentru, iar ballein – ceea ce ți se aruncă în față ca barieră). În sens psihologic, problema este un gol, o lacună, o necunoscută; ea nu se reduce la problemele din matematică, fizică sau chimie, care sunt deja formulate, de cele mai multe ori.

În condițiile vieții reale, există mai întâi situația problematică, subiectul trebuind să sesizeze problema, s-o formuleze și apoi s-o rezolve. Uneori problema constă tocmai în formulare.

Ca și înțelegerea, rezolvarea problemelor parcurge următoarele etape:

organizarea informațiilor;

emiterea ipotezelor și verificarea lor;

extragerea concluziilor.

În interacțiunea om-mediu, gândirea este confruntată cu probleme de tipuri diferite și de dificultate variabilă; ceea ce constituie o problemă pentru un elev, pentru profesorul său este doar o aplicație. O problemă este cu atât mai dificilă cu cât diferă mai mult de cele rezolvate anterior, când subiectul se află în fața unui obstacol care aparține unui tip deja întâlnit și pentru care posedă un plan de rezolvare, el va utiliza procedeele algoritmice; când problema este nouă, va recurge la procedeele euristice. Pentru a evita confuziile, unii psihologi consideră că există o problemă doar atunci când subiectul nu posedă un răspuns deja elaborat, fiind probleme veritabile doar cele rezolvate euristic.

Pentru a ilustra cele două modalități, prezentăm o probă care solicită calcularea rapidă a sumei 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 (M. Golu și A. Dicu, Introducere în psihologie, Ed. Șt., 1972, pp.151-152).

Ea se poate rezolva:

algoritmic, la termenul din stânga adăugându-se cel din dreapta, până la obținerea rezultatului final (1+2=3, 3+3=6, 4+6=10, 5+10+15 etc.);

euristic, analizându-se relațiile dintre termeni pentru a găsi căile de rezolvare, din care se alege una (1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10, 4×10+10+5=55 sau 1+10=11, 2+9=11, 3+8=11, 4+7=11, 5+6=11, 11×5=55).

Deși toate trei procedeele conduc la aflarea soluției, în primul caz ea se obține pe o singură cale, deja cunoscută solicitând gândirea convergentă; în al doilea caz, soluția se obține pe mai multe căi, nou descoperite solicitând gândirea divergentă. Psihologul german M. Wertheimer relatează că rezolvarea euristică, cu adevărat rapidă, ar aparține matematicianului Gauss care a realizat-o când avea șase ani (1+10=11, 2+9=11, 3+8=11 etc.).

Calificativ, procedeul algoritmic este neproductiv fiindcă utilizează o soluție stereotipă, uzuală; al doilea este productiv, calea de rezolvare fiind nouă. Pentru înțelegerea mai profundă celor două strategii prezentăm deosebirile dintre ele.

(Acest model de rezolvare a problemelor este oferit de psihologii americani D. Ausubel și F. Robinson în lucrarea Învățarea în școală, E.D.P., 1981, pp.593-596).

Cei doi autori prezintă următoarele explicații la paradigma rezolvării problemelor:

punerea problemei este prima etapă atât în viață cât și în diferite științe; problema trebuie întâi sesizată într-o situație și apoi formulată; în sfera disciplinelor școlare cele mai multe probleme sunt deja puse;

definirea cerințelor problemei și a punctului de plecare presupune înțelegerea problemei; ea se poate realiza rapid de către cei familiarizați cu un domeniu sau necesită mai multe trepte în care se identifică sensul noțiunilor întâlnite; acum se stabilesc punctul final al rezolvării și poziția inițială, baza pe care se clădește raționamentul;

procesul de umplere a golului este etapa prin care se intră în miezul rezolvării; în acest demers, subiectul antrenează:

ceea ce se dă în problemă – propoziția So;

volumul de cunoștințe, constituit din fapte, reguli, teoreme, legi din care se inspiră pentru a găsi soluția;

regulile de inferență, explicite sau implicite, în funcție de care se formulează concluziile.

Multe probleme se rezolvă doar cu elementele de la 1. Și 2. Prin încercare și eroare: subiectul caută mai mult sau mai puțin la întâmplare, informații în cunoștințele pe care le deține și apoi le examinează prin raportare la datele problemei. Dacă prima informație reactualizată din memorie nu satisface cerințele problemei, apelează la alta, o examinează și pe aceasta până găsește eventual, soluția.

Alteori, subiectul poate fi orientat în căutările sale de modele de selectare a informației, numite strategii.

Spre deosebire de procesul de încercare și eroare, strategiile reduc procentul de întâmplare, timpul de rezolvare și măresc gradul de probabilitate a găsirii soluției. Ele nu se confundă cu algoritmii pentru că nu prescriu, în detaliu, pașii, nu înlătură necesitatea alegerilor și nici îndoielile, dar orientează căutările.

4.verificarea este ultima fază a rezolvării problemelor; după ce soluția a fost găsită, se efectuează controlul erorilor de raționament și, în unele cazuri, soluția se redactează.

Rezolvarea problemelor este un proces complex care solicită și alte fenomene psihice:memoria (volumul de cunoștințe stocate din care se selectează date ori strategii), deprinderi de diverse tipuri, voința. Ea este declanșată numai dacă subiectul este motivat în găsirea soluției; întregul demers rezolutiv este însoțit de trăiri afective: îndoială, bucurii, entuziasm, decepție etc.

2. Dificultăți în rezolvarea problemelor

Rezolvarea problemelor poate fi întreruptă din cauze diferite care se pot grupa astfel:

blocaje afective și voluntare determinate de apariția unor stări afective negative – decepție, teamă, dezgust etc. de concurența unor motive mai puternice;

blocaje cognitive în care sunt descrise mai frecvent transferul negativ, fixitatea funcțională sau a metodei.

Transferul negativ constă în utilizarea necritică a vechilor informații la situații diferite de cele anterioare dar cu asemănări de suprafață. Exemplu: întrebați care dintre numerele 7 și 7/0,25 este mai mare, mulți elevi din clasa a patra răspund 7 deoarece 7/0,25 este o fracție; ei neglijează faptul că 7/0,25 este egal cu 28 care evident este mai mare decât 7.

a. Fixitatea funcțională este tot o influență negativă a experienței: un obiect cunoscut ca având o întrebuințare, o funcție specifică este cu dificultate utilizat în alt scop, deci cu o altă funcție. Exemplu: dacă se solicită unor subiecți să realizeze un cuier de care să fixeze trei ațe oferindu-li-se două cuie cu șurub, o planșetă din lemn și un burghiu, ei vor găsi rezolvarea în timpi diferiți: 1. Dacă planșeta se prezintă cu găurile deja executate, subiecții vot utiliza burghiul în loc de cui, mult mai repede; 2. Dacă subiecții înșiși trebuie să perforeze planșeta cu burghiul, soluția va apare mai târziu din cauza fixării acestuia în funcția de instrument de perfort. (Al. Roșca „Psihologie generală”).

b. Fixitatea metodei poate fi demonstrată dacă se cere unirea a 9 cerculețe așezate câte trei pe trei rânduri prin 4 segmente de dreaptă, fără să ridice creionul și fără să se întoarcă; mulți subiecți nu pot rezolva problema pentru că utilizează o metodă neadecvată acestui caz: ei presupun că liniile de unire nu pot depăși limitele pătratului marcat de cele 8 cerculețe exterioare.

O gândire care transferă soluții corecte pentru unele situații, în altele nepotrivite dar asemănătoare la suprafață, este calificată ca inertă sau rigidă.

c. Rigiditatea se poate manifesta și sub forma unei orientări, a unei atitudini adoptate. A Luchins a propus unor studenți o serie de probleme numerice complicate. De pildă: avem două vase, unul de 5 litri și altul de 7 litri. Cum procedăm pentru a obține 8 litrimăsurați exact? Rezolvarea presupune o serie de manipulări: umplem vasul de 5 l și îl golim în cel de 7l. Aici va rămâne un gol de 2l. Umplem din nou vasul de 5l și turnăm conținutul în celălalt vas. Rămân 3 l în vasul de5. Golim vasul de7l și turnăm în el cei 3l existenți în vasul de 5. Umplând din nou vasul de 5, vom avea împreună cu cei 3 l din vasul mare, exact 8 litri. După ce subiecții au avut de soluționat mai multe asemenea probleme, dintr-o dată Luchins le propunea una extreme de simplă: ave un vas de 4 litri și unul de 9 litri. Cum facem să obținem exact 5 litri? Or s-a constatat că subiecții nu observau imediat simplitatea problemei și se chinuiau imaginând tot felul de combinații complicate. Orientarea spre probleme dificile împiedica perceperea situației reale.

Rolul imaginației fiind evident în cazul procesului de soluționare a problemelor și mecanismul psihologic al acestei funcții fiind prea puțin cunoscut, nici demersul gândirii nu este încă elucidate, decât în cazul unor probleme facile, când sunt suficienți algoritmii bine cunoscuți. Reiese necesitatea unei plasticități intelectuale, a unor scheme ușor modificabile, susceptibile de noi structurări. Este evident rolul operațiilor intelectuale reversibile, al capacității de dezbatere pe plan mintal, al ipotezelor. Certă este marea însemnătatea variației experiențelor, informațiilor și a necontenitei prelucrări pe plan mintal a observațiilor, supozițiilor. Una din recomandările marilor savanți este: să ne gândim mereu la problem ape care vrem să o soluționăm! Nicio descoperire importantă nu s-a făcut fără luni și ani de încordată strădanie, chiar atunci când soluția a venit pe neașteptate.

II.9. Profilul psihologic al școlarului mic

M. Debesse caracterizează vârsta școlară ca vârsta rațiunii, vârsta cunoașterii, vârsta socială, în timp ce P. Osterrieth, sintetizând principalele aspecte ale acestui stadiu, împrumută de la Gessel următoarea caracterizare: 6 ani – vârsta extremismului, a tensiunii, a agitației; 7 ani – vârsta calmului, a preocupărilor interioare, a meditației, în care apare pentru prima dată interioritatea, una din trăsăturile dominante ale stadiului următor; 8 ani – vârsta cosmopolită, a expansiunii, a exravaganței, a interesului universal; 9 ani – vârsta autocriticii, a autodeterminării; vârsta de 10 ani, cu echilibrul și buna sa adaptare, constituie pe drept cuvânt, apogeul copilăriei.

Vârsta școlară se constituie ca un stadiu nou, calitativ superior, bazat pe achizițiile anterioare, pe exteriența cognitivă a copilului, pe care o valorifică și restructurează, în funcție de noile dominante psihofizice și noile solicitări ale mediului.

Trecerea din mediul de viață familial sau din cel de grădiniță, unde activitatea principală a copilului este jocul în mediul școlar unde desfășurarea organizată a procesului de învățământ, viața din colectivul clasei și al școlii îi cer elevului să respecte anumite reguli de conduită, un anumit regim de muncă și odihnă un program mai riguros care-i impune asumarea de responsabilități, formându-i trăsături pozitive de voință și caracter. El reușește de acum să interiorizeze normele morale, trecând în jurul vârstei de 11 ani de la morala eteronomă, impusă de adulți, la morala autonomă, înțeleasă ca o necesitate.

a. Referindu-ne la dezvoltarea gândirii școlarului mic, psihologii sunt de părere că dezvoltarea intelectuală constituie principalul salt calitativ al școlarității mici, gândirea intuitivă cedând locul gândirii operatorii, procedeele empirice, intuitive ale preșcolarității, fiind înlocuite cu construcțiile logice, mediate și reversibile. Vorbim de stadiul operațiilor ,deoarece acțiunile interiorizate devin reversibile, transformându-se astfel în operații.Reversibilitatea constă în posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct și invers, a anticipării rezultatului, efectuării unor corecții, toate acestea desfășurându-se pe plan mintal..

Psihologia genetică (J. Piaget) a demonstrat că la această vârstă copilul este capabil să surprindă fenomene inaccesibile simțurilor, trecând dincolo de aspectele concrete de mărime, formă, culoare etc, și desprinzând ceea ce este identic, constant, permanent, invariabil în obiecte și fenomene. Se formează astfel ideea de invarianță, conservare a unor caracteristici (cantitate, greutate, volum), după cum urmează: la 7-8 ani, copiii admit conservarea substanței, către 9 ani recunosc conservarea greutății, iar la 11-12 ani, conservarea volumului.

Operațiile rămân totuși concrete, deoarece copilul nu poate opera decât cu obiecte concrete și cu reprezentări imediate ale acestora; el nu poate opera cu enunțuri verbale abstracte. Astfel copilul înțelege și poate rezolva corect următoarea problemă: Dacă Ionuț este mai mare decât Cristian, iar Cristian este mai mare decât Diana, care este cel mai mic dintre ei?, cu condiția ca Ionuț, Cristian și Diana să fie copii cunoscuți lui, dar nu poate încă rezolva aceeași problemă exprimată într-o formă abstractă: dacă a>b>c, care este cel mai mic număr? Grupările de operații se perfecționează prin generalizarea unor date furnizate de situații concrete, intuitive, ele prefigurând grupul operațiilor formale, achiziție a stadiului următor: …toate aceste transformări solidare sunt, în realitate,expresia unui același act total, care este un act de decentrare completă sau de conversiune integrală a gândirii… Ea nu mai pornește dintr-un punct de vedere particular al subiectului, ci coordonează toate punctele de vedere distincte într-un sistem de reciprocități obiective (J. Piaget, 1965, pag. 185-186).

Așadar,reversibilitatea prin reciprocitate apare la sfârșitul stadiului.

b. Particularitățile creativității la scolarul mic

Prin definiție, spiritual de creație exprimă o latură activă a personalității, fapt evident la școlarii mici. La aceștia, deși imaginația este relative bogată, spiritual de creație nu este încă organizat. Formarea și dezvoltarea acestuia depinde de influențele educative exercitate de școală.

Dezvoltarea imaginației copilului terbuie să fie dublată de sensibilitate, cunoștințe și abilități solicitate de anumite domenii de activitate.
Russel apreciază: La copiii mici procesul creativ este o unitate dinamic/spontan ce se caracterizează mai degrabă prin spontaneitate și intuiție decât printr-o serie de tehnici logice de rezolvare a problemelor.
Animismul gândirii infantile, interferența firească a umanului cu lumea animală sau cu lumea neînsuflețită îl apropie pe copil de ideea fundamentală a sinecticii care promovează în găsirea soluțiilor originale identificarea imaginară cu animale sau lucruri. În prima copilărie potențialul creativ este specific vârstei, rezultat dintr-o fantezie necontrolată care compensează slăbiciunea componentei raționale. Paralel cu dezvoltarea operațiilor mintale și a capacității logice, copilul înțelege realitatea obiectivă și naivitatea fanteziei înregistrează o scădere bruscă. În mod normal achizițiile de cunoștințe și de tehnici mintale, cât și experiența personală, imprimă apoi un nou reviriment potențialului creativ. Se afirmă, pe baza acestora, necesitatea atmosferei prielnice, al mediului favorabil pentru ca acest potențial să ajungă de la o condiție virtuală existentă la o viitoare performanță creatoare. Pornind de la definirea creativității ca rezolvare de probleme, gândirea creativă a copiilor este considerată drept o formă aparte a comportamentului de rezolvare, caracterizată prin:
• noutate și valoare, chiar dacă numai pentru subiectul în cauză;
• neconvenționalitate, în sensul că cere modificarea sau respingerea ideilor anterioare;
• motivație și persistență ridicate, manifestate fie pe o durata mare de timp, fie la o intensitate înaltă;
• o anumită dificultate în formularea problemei.
Prin urmare, rezolvarea unei probleme teoretice sau practice, găsirea unei soluții experimentale de către școlarul mic, pot fi considerate ca fiind creatoare în cazul în care rezolvarea s-a facut pe o cale independentă, chiar dacă modul de rezolvare nu este nou pentru științele sau disciplinele respective.

III. PREDAREA MATEMATICII LA CICLUL PRIMAR

III.1. Programa analitică de matematică

la clasa a III-a

Ca parte componentă a reformei globale, curriculum-ul de matematică pentru școala primară are în vedere finalitățile acestei etape de învățământ:

asigurarea educației elementare pentru toți copiii;

formarea personalității copilului, respectând nivelul și ritmul său de dezvoltare;

înzestrarea copilului cu acele cunoștințe, capacități și atitudini care să stimuleze raportarea efectivă și creativă la mediul social și natural și să permită continuarea educației.

Programa de matematică pentru învățământul primar își propune să formeze modelul de personalitate cerut de idealul educațional al societății românești actuale, prin intermediul componentelor sale: obiective-cadru, obiective de referință, activități de învățare, conținuturi și standarde de performanță.

Obiectivele-cadru au un grad ridicat de generalitate șicomplexitate și marchează evoluția copilului de-a lungul întregului ciclu primar. Acestea sunt:

Obiectivele de referință măsoară progresia în achiziția de cunoștințe și capacități. Ele au un nivel de generalitate care permite percepția sintetică al întregului demers didactic aferent unui an de studiu.

Standardele curriculare de performanță oferă criterii generale de evaluare, din perspectiva programei, la nivelul școlii primare.

Activitățile de învățare sunt orientative și țin într-o mare măsură de metoda folosită.

Clasele I și a II-a fac parte din ciclul achizițiilor fundamentale. Acesta acoperă grupa pregătitoare a grădiniței, urmată de clasele I și a II-a, având ca obiective majore acomodarea copilului la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială. Acest ciclu curricular vizează:

asimilarea elementelor de bază ale principalelor elemente convenționale (scris, citit, calcul aritmetic);

stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat;

stimularea potențialului creativ al copilului, a intuiției, a imaginației;

formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca o activitate socială.

Clasele a III-a și a IV-a fac parte din ciclul curricular de dezvoltare. Acesta acoperă clasele a III-a, a IV-a, a V-a și a VI-a și are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor.

III.2. Noțiunea de problemă și etapele rezolvării ei.

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formeze ipoteze și apoi să le verifice.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare importanță și atenție.

Această activitate este domeniul matematicii optim pentru dezvoltarea gândirii logice, principalul proces psihic datorită căruia omul poate realiza cunoașterea realității.

Valoarea ei nu constă în numărul de probleme rezolvate, cât și efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu și sistematic.

Cuvântul își are originea în limba latină și a intrat în vocabularul românești prin limba franceză.

Cuvântul folosit de matematicieni și psihologi pro – ballein are semnificația: cea ce ți se aruncă în față ca obstacol sau provocare.

Dacă Dicționarul românesc cuvântul are următoarele definiții:

Problemă – obiect principal al preocupărilor cuiva, temă, materie;

Problemă – sarcină, preocupare majoră care cere o soluționare majoră;

Problemă – enunț care, conținând anumite date, ipoteze, necesită o regulă, una sau mai multe soluții care se pot obține pe baza unor calcule sau raționamente.

O problemă de gândire apare atunci când în calea omului se ivește o dificultate sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi rezolvate adecvat datorită insuficienței sau ineficienței sistemului de răspunsuri ale subiectului (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85).

Când situația se poate rezolva pe baza experienței de care dispune individul, a deprinderilor anterior formate, atunci gândirea nu mai este confruntată cu o problemă.

(apud Lupu, C., 2006, p. 288)

Referindu-se la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei rezolvare se obține

prin procese de gândire și calcul.

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relațiile cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire . Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date si necunoscute) și întrebarea problemei , care se referă la valoarea necunoscută .

După G . Polya, părțile principale ale unei probleme de aflat sunt: datele, necunoscuta și condiția; ale unei probleme de demonstrat sunt: ipoteza (ceea ce se dă) și concluzia (ceea ce trebuie demonstrat)

De asemenea, în activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape, în fiecare etapă având loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei. Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altor căi și metode de rezolvare;

generalizare;

compunerea de probleme după o schemă asemănătoare.

III.3. Valențele formative ale activității

de rezolvare a problemelor

Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de aritmetică este una din cele mai sigure căi ce conduce la dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției și a spiritului de observație ale elevilor. Totodată, prin rezolvarea de probleme cât mai variate se asigură și consolidarea deprinderilor de calcul și utilizarea acestora în practică.

Problemele de aritmetică , fiind strâns legate prin însuși enunțul lor de viață , de practică , dar și de rezolvarea lor , generează la elevi un simț al realității de tip matematic , formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor . Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi , deprinderi si atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme , de a compune ei înșiși probleme.

Rezolvarea de probleme este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare, elevii vor ajunge să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și metode mintale anticipative. Fiecare problemă pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența și gândirea creatoare.

Este necesar ca problemele propuse spre rezolvare să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunțul formulat cât mai clar, conform experienței de viață a elevului,, nivelului său intelectual și mai ales, gradului său de pregătire, iar îndrumarea elevului spre însușirea tehnicilor rezolvării problemelor presupune din partea învățătorului multă răbdare, pricepere, tact pedagogic și mai ales, o muncă sistematică și bine organizată. Învățătorul adevărat are rolul de călăuză a activității celui care învață, în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția specifică acestei activități.

Prin rezolvarea unei probleme, elevii sunt puși în situații noi, pentru care nu găsesc soluții în experiența dobândită anterior sau între mijloacele deja învățate. Când situația nu poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor formate, elevul este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor – problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei să dispună de o serie de competențe în domeniile: informativ, instrumental, formativ. O condiție de bază a unei activități mintale cu adevărat productive este existența unei informații bogate și foarte clar organizate. Activitatea mintală nu se desfășoară în gol. Cu cât aceste informații (cunoștințe) sunt la largi, mai profunde cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în minte să ducă la soluții. După cunoașterea datelor și cerințelor problemei, în activitatea de rezolvare a acesteia există o fază de tensiune, neliniște, căutare, o fază dramatică; se fac o serie de încercări, atenția concentrându-se nu asupra fiecărei verigi în parte ci asupra totului, asupra felului cum se vor lega aceste verigi. Aceste tatonări reprezintă activitatea de descoperire a gândirii, care construiește soluția etapă cu etapă pe un drum liniar. În cadrul acestor căutări, o importanță deosebită revine intuiției logice, matematice. Prin muncă asiduă, prin consecvență și persistență, se ajunge la plăcerea de a rezolva probleme, plăcere dată de satisfacția cunoașterii, a învățării prin descoperire. Astfel elevul ajunge la nivelul în care știe să rezolve orice problemă. A ști să rezolvi o problemă înseamnă a avea capacitățile necesare rezolvării oricărui tip de problemă, întâlnită pentru prima oară.

Aceste capacități se referă la înțelegerea datelor și a ordinii lor, înțelegerea condițiilor problemei, posibilitățile de elaborare a șirului de judecăți pentru a construi raționamentul de rezolvare a problemei. În situația rezolvării unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creație.

Rezolvarea și compunerea de probleme oferă terenul cel mai fertil în domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității elevilor.

Prin conținutul lor , prin tehnicile de abordare si soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea si educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului de disciplină conștientă , dar și a spiritului emulativ , a competiției cu sine însuși și cu alții . Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative, al conduitei rezolutive .

III.4. Clasificarea problemelor

De-a lungul vremii s-au făcut în psiho – pedagogie încercări de clasificare și încadrare a problemelor într-o anumită tipologie.

Din unghiul educării creativității, W. Reitman clasifică problemele în cinci categorii:

Reproductive – necreative – probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare și înțelegere matematică, care necesită doar o gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice.

Exemplu:

Pe o fructieră sunt 7 mere și 5 pere. Câte fructe sunt în total pe acea fructieră?

Etalon de rezolvare:

7+5=12 (fructe)

2. Demonstrativ – aplicative – probleme ce includ aflarea a două numere când se

cunoaște suma și diferența lor, probleme de tip în general, probleme de mișcare, de aliaj.

În astfel de probleme rezolvarea finală este bine specificată, drumul de rezolvare găsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.

Exemplu:

Suma a două numere este 254. Să se afle cele două numere știind că diferența lor este 82.

Etalon de rezolvare:

x + y = 254

R: 12 fructe

x – y = 82

x 82

y

Problema respectivă se poate rezolva prin două moduri:

Primul mod prin afișarea lui x scăzând din 435 pe 19, apoi împărțindu-le la 2 (numărul părților egale), iar al doilea mod, adăugând la 254 pe 82 și-l aflăm pe x împărțind suma obținută la numărul părților egale.

R: x = 168

y = 86

3. Euristic – creative – probleme ce presupun specificarea noțiunii soluțiilor și cerințelor pe care trebuie să le satisfacă:

Exemplu:

Să se afle numerele a, b, și c, știind că:

a + b = c

a – b = b

b + c = 8

Etalon de rezolvare:

Luăm drept punct de plecare ultima relație, care ne indică faptul că numărul b < 8. Apoi, folosindu-ne de a doua relație, aflăm valorile lui a și b prin tatonări:

dacă b = 1; a = 2, iar c = 3; în acest caz nu este validă ultima relație, adică, b + c = 1 + 3 nu este 8;

dacă b = 2 ; a = 4 iar c = 6; în acest caz se verifică și ultima relație, adică b + c = 2 + 6 = 8

dacă b = 3; a = 6, iar c = 9, nici în acest caz nu se verifică ultima relație: b + c # 8 etc, etc.

R: a = 4, b = 2, c = 6.

4. Inventiv – creative – sunt problemele în care ipoteza este bine specificată, menționând elementele prin care se presupune atingerea stării finale oferite. Aici se încadrează problemele cu variabile, compuse de elevi.

Exemplu: Alcătuiți o problemă după operația: 2 x (4 + 3) =

Etalon de rezolvare:

a. Aflați dublul sumei numerelor 4 și 3.

b. Crina a economisit 4 lei, iar fratele său Paul, cu 3 lei mai mult decât Crina. Știind că Robert a economisit dublul sumei lui Paul, aflați câți lei are Robert.

c. Marina a cumpărat 2 buchete cu flori. Știind că fiecare buchet conține câte 4 garoafe roșii și 3 garoafe albe, aflați câte flori sunt în total în cele 2 buchete. Rexolvați în două moduri.

5. Probleme de optimizare – sunt probleme rar întâlnite în ciclul primar. Acestea au un grad de dificultate sporit care solicită mai ales procesul de transfer al cunoștințelor.

Problemele se mai pot clasifica și după alte criterii.

A. După finalitate și după sfera de aplicabilitate

Probleme teoretice – (probleme referitoare la numere, operații și proprietățile operațiilor etc.).

Calculați:

a x b x c x d știind că:

a = 2 x 2; a x b = 20; b x c = 50 și c : d = 5

Etalon de rezolvare:

a = 2 x 2 = 4

Din relația: a x b = 20 => b = 20 : 4 => b = 5;

b x c = 50 => c = 50 : 5 = 10 => c = 10;

c : d = 5 => d = 10 : 5 => d = 2;

a x b x c x d = 4 x 5 x 10 x 2 = 400

Probleme practice (probleme referitoare la mărimi).

Exemplu:

Într-o livadă s-au plantat 180 de pomi, vișini și cireși. Știind că numărul cireșilor a fost de 2 ori mai mare decât numărul vișinilor, aflați câți pomi de fiecare fel s-au plantat în livadă.

Etalon de rezolvare:

Cireși

Vișini

Câți vișini s-au plantat?

180 : 3 = 60 ( vișini)

Câți cireși s-au plantat?

60 x 2 = 120 (cireși)

R: 60 vișini

120 cireși

B. După conținut

I. Probleme de geometrie

Exemplu:

Perimetrul unui dreptunghi este de 280 cm.

Află lățimea, știind că lungimea este de 90 cm.

Etalon de rezolvare:

P = 2 x L + 2 x l

Cât măsoară împreună cele 2 lungimi ?

2 x 90 cm =180 cm

2. Cât măsoară împreună cele 2 lățimi ?

280 cm – 180 cm = 100 cm

3. Cât măsoară lățimea ?

100 cm : 2 = 50 cm

R: l = 50 cm

II.Probleme tipice (de mișcare, aliaj)

Exemplu:

Din Cluj pornește la ora 8 spre Constanța un autocamion cu viteza de 45 km/h. Constatându-se că șoferul a uitat actele de însoțire a mărfii transportate, pleacă la ora 10 în urmărirea sa un automobilist cu viteza de 60km/h.

A) La ce oră automobilistul ajunge camionul ?

b) La ce distanță are loc întâlnirea celor două autovehicule ?

Indicații de rezolvare:

Câți km a parcurs autocamionul dela ora 8 la ora 10 ?

2 x 45 = 90 (km)

Care este diferența de viteză dintre autocamion și automobil ?

6o km/h – 45 km/h = 15 (km/h)

După câte ore automobilul va ajunge autocamionul ?

90 : 15 = 6 (ore)

4. La ce oră automobilistul ajunge camionul ?

10 + 6 = 16 R: la ora 16

5. ) La ce distanță are loc întâlnirea celor două autovehicule ?

6 x 60 = 360 (km)

R: la 360 km distanță de Cluj d

III.De tip algebric etc.

Exemplu:

Suma a trei numere este 325. Primul număr este dublul celui de-al doilea număr, iar diferența dintre al treilea și al doilea este 125.

Să se afle cele trei numere.

Etalon de rezolvare:

S3 = 800 I = ?

I = 2 x II II = ?

III – II = 125 III = ?

Se notează cele 3 numere: I =x; II = y; III = z

Se ia drept necunoscută al doilea număr, y, deoarece despre al doilea număr nu se cunoaște nimic, în raport cu acesta se pot stabili ușor celelalte două numere.

x + y + z = 325

x = 2y;

z – y =125 => z = y + 125

x + y + z = 325 => 2y + y + y + 125 = 325

4y + 125 = 325

4y = 325 – 125 = 200

y = 200 : 4

y = 50

x = 2 x 50 = 100

z = 50 + 125 = 175

R: I = 100

II = 50

III = 175

Această problemă se poate rezolva și prin metoda figurativă, care este familiară elevilor de clasa a III-a.

C.. După numărul operațiilor

I.. Probleme simple:

Cristina a colecționat 45 de timbre, iar sora sa Clara a colecționat 23 de timbre. Câte timbre au colecționat împreună cele două surori ?

II. Probleme compuse:

Gigel are de rezolvat în vacanță 35 de probleme. Știind că a rezolvat în prima zi

10 probleme, iar adoua zi cu 2 probleme mai mult, câte probleme mai are de rezolvat Gigel ?

Se exprimă relația:

35 – 10 – (10 + 2) = 25 – 12 = 13 R: 13 probleme

D. După gradul de generalitate al metodei folosite:

I. Probleme generale care se rezolvă metodele analitică și sintetică:

Exemplu:

La o librărie s-au primit 7 pachete cu câte 10 de cărți fiecare și 15 pachete cu câte 20 de caiete fiecare.

Câte cărți și caiete s-au primit în total la librărie ?

În judecarea pe cale analitică se pornește de la întrebarea problemei: Câte cărți și caiete s-au primit în total la librărie ?

În judecarea problemei pe cale sintetică se pornește de la aflarea numărului de cărți, cunoscând că în fiecare pachet sunt 10 de cărți, apoi aflarea numărului de caiete, cunoscând că în fiecare cutie sunt câte 20 de caiete, ajungându-se la ultima întrebare ce coincide cu întrebarea problemei.

II. Probleme tipice rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, a falsei ipoteze, a comparației, a reducerii la unitate.

E. O categorie aparte, cu multiple valențe formative, o constituie problemele rebusistice, de perspicacitate, de ingeniozitate – probleme nonstandard.

Exemple: 1. Scrieți numărul 45 cu ajutorul a 4 cifre de 4. Apoi pe 49, folosind 5 cifre de 4.

2. Cum pot fi găsite foarte repede 3 numere consecutive a căror sumă să fie 165 ?

3. Un caiet costă 1 leu și jumătate din costul lui. Ce preț are de fapt ?

4. Am mai multe cărți decât sora mea cu 100. Dacă-i ofer 10, cu câte cărți

va avea mai puține decât mine ?

5. Aflarea vârstei unei persoane:

a. își notează vârsta;

b. înmulțește cu 2;

c. adaugă 5;

d. înmulțește suma obținută cu 5;

e. spune numărul la care a ajuns.

Elimin ultima cifră și scad 2. Am ghicit, astfel, câți ani are.

F. După rolul lor:

I. Cu rol informativ:

1. Utile în practic;

2. De cultură generală.

II. Cu rol formativ:

De exersare a gândirii;

De educare a creativității, a manifestării pentru problematic.

Exemplu:

Înlocuiți literele cu cifre de la 1 – 9 și controlați dacă ați calculat corect:

ALINA+ 64 356+

LINA 4 356

INA 356

6 9 0 6 8 69 068

R: A = 6; L = 4; I = 3; N = 5

Aceasta nu înseamnă o clasificare rigidă.

Rezolvarea de probleme este uzual definită ca formularea de noi răspunsuri, mergând de la simpla aplicare a unor reguli învățate, la crearea soluției. (Ioan Nicola, Tratat de pedagogie școlară)

Paralel cu însușirea algoritmilor, un loc important trebuie să ocupe formarea unor procese de natură nealgoritmică. Elevii trebuie să fie capabili să rezolve și probleme pentru care nu există algoritm.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee, de moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt unele deprinderi cu caracter general ca: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură a datelor, posibilitatea de a izola ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, atragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei. Sunt necesare de asemenea unele modalități executorii care se referă la detaliile acțiunilor (operații aritmetice), care se automatizează, se fixează și devin deprinderi. Aceste deprinderi se formează prin exercițiile care se efectuează în timpul rezolvării problemelor. Cu toată varietatea lor, problemele nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Rezolvarea oricărei probleme se face pe baza principiului general al categoriei din care face parte, prin aplicarea acestui principiu la cazul particular dat. Actul recunoașterii și încadrării problemei în categoria respectivă este totuși un act creativ.

Prin rezolvarea unor probleme similare se ajunge la elaborarea algoritmului de rezolvare a problemei care, cu cât este mai labil, mai flexibil, cu atât dă posibilitatea mișcării mai rapide a gândirii. Aceasta se realizează prin varietatea problemelor aparținând aceleiași categorii. Astfel de probleme se rezolvă cu ajutorul unor scheme sau succesiuni logice de operații, care odată descoperite cu ajutorul gândirii logice, dar și a gândirii creatoare, aceste scheme mintale se fixează ca algoritm de calcul care se învață și se aplică la fel ca regulile de calcul. Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare a problemelor, treptat enunțurile care constituiau pentru el o problemă, devin simple exerciții.

După ce a descifrat drumul către soluția problemei, urmează partea de executare a construcției, care constă în aplicarea unor metode și tehnici cunoscute, o activitate de rutină, fără problematic. Gradul de solicitare al efortului mintal al elevului, de solicitare a gândirii logice depinde de structura și complexitatea problemei, de golul care se creează între experiența de care dispune el și noul ce i se cere a fi descoperit.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul film al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme; elevii trebuie să aibă formate capacitățile de analiză și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

După rezolvarea unei probleme, se recomandă, pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte, fixarea algoritmilor de rezolvare, scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu, sau, după caz, în fragmente de exercițiu.Apoi, prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme.

Este o cerință care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau la rigiditatea gândirii, ci dimpotrivă, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

Un învățător slab spune el de-a gata cunoștințele elevilor, pe când un învățător bun îi conduce să le descopere singuri. (W. Diesterweg)

III.5. Metode de rezolvare a problemelor

Varietatea mare de probleme face imposibilă găsirea unei singure căi de rezolvare, a unei singure metode. De aceea și metodele de rezolvare a problemelor sunt multiple și variate.

În Metodica predării matematicii la clasele I-IV, 1988, coordonată de Ion Neacșu, întâlnim următoarea clasificare a metodelor de rezolvare a problemelor de matematică.

Probleme cu operații relativ evidente. În funcție de date și de relațiile dintre ele și necunoscută acestea sunt:

Probleme simple

Probleme compuse.

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă.

În această categorie sunt incluse și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

Probleme de aflare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație).

Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze).

Probleme gen rest din rest (metoda merului invers).

Probleme de amestec și aliaj, cu două variante.

Probleme de mișcare (bazate pe relația s = v x t) cu două variante:

În același sens;

În sensuri contrare.

Probleme cu mărimi proporționale, cu trei variante:

Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

Împărțirea unui număr în părți invers proporționale

Împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date.

Probleme care depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate la categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific:

Probleme cu conținut geometric;

Probleme cu conținut de fizică;

Probleme asupra acțiunii și muncii în comun.

Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc).

Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le propune copilul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă.

De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de joc și au un caracter problemă-acțiune, cărora li se asociază un bogat și variat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la nivel concret ca acțiune de viață (au mai venit … copii, s-au mâncat … fructe, au zburat … păsăr, au mâncat … bomboane) ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără, plătește). Această fază de activitate de rezolvare a problemelor se află aproape de cea de calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. În enunțul unei probleme, formulat de învățător sau de copil, nu se spune 4 copii + 3copii, ci se spune că erau 4 copii și au mai venit 3 copii, nu se spune 3 bomboane – 2 bomboane, ci se spune că au fost 3 bomboane din care s-au mâncat 2 bomboane.

Pe baza experienței pe care o au elevii din etapa preșcolară sau chiar din primele lecții de matematică în efectuarea operațiilor cu mulțimi, ei reușesc, în general, cu ușurință să traducă în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unor probleme.

În rezolvarea problemelor simple momentul cel mai important îl constituie deci stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații.

Întrucât activitatea de rezolvare a problemelor simple se introduce chiar în clasa I, stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, în desfășurarea căruia elevii trebuie inițiați și conduși cu mult tact și deosebită răbdare.

Dacă la început rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret (cu ajutorul bilelor, bețișoarelor), treptat se ajunge la calculul mintal. Elevii sunt conduși în felul acesta să facă trecerea de la gândirea concretă la cea abstractă. Este necesar ca în primul rând învățătorul, și apoi elevul să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația de adunare, toate cazurile care duc la operația de scădere pentru stabilirea operațiilor corespunzătoare fiecărei operații simple, astfel încât alegerea unei anumite operații să fie justificată în mod rațional.

Voi prezenta în continuare genurile de probleme care se rezolvă dintr-o singură operație:

Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

De aflare a sumei a doi termeni:

Exemplu:

Irina are 4 păpuși. Mara are 2 păpuși. Câte păpuși au împreună?

4 + 2 = 6 (păpuși)

+ =

De aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât numărul dat:

Exemplu:

Aflați numărul cu 2 mai mare decât 36.

36 +2 = 38

Probleme de genul cu atât mai mult.

Exemplu:

Mama a cules 12 kg de mere, iar tata a cules cu 5 kg mai mult. Câte kg de mere a cules tata ?

12 + 5 = 17 (kg)

Probleme simple bazate pe scăderi pot fi:

De aflare a restului:

Exemplu:

Radu avea 150 lei. El a cheltuit 50 lei. Câți lei mai are Radu ?

150 – 50 = 100 (lei)

b) De aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai mic decât numărul dat:

Exemplu:

Care este numărul cu 5 mai mic decât 8 ?

8 – 5 = 3

c) De aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei:

Exemplu:

Într-o cutie sunt 72 de bile mari și mici. Știind că 30 sunt bile mari, să se

afle numărul bilelor mici.

72 – 30 = 42 (bile mici)

d) Probleme de genul cu atât mai puțin.

Exemplu:

Adelin are 8 ani. Fratele său Cosmin are cu 6 ani mai puțin. Câti ani are

Cosmin ?

8 – 6 = 2 (ani)

Probleme simple bazate pe înmulțire sunt în general:

De repetare a unui număr de ori a unui număr dat:

Exemplu:

Într-un acvariu erau 8 peștișori . Într-un alt acvariu erau de 2 ori mai mulți

peștișori. Câți peștișori erau în al doilea acvariu ?

2 x 8 = 16 (peștișori)

De aflare a produsului:

Exemplu:

Aflați produsul numerelor 356 și 8.

356 x 8 = 2848

De aflarea unui termen care să fie de un număr de ori mai mare decât numărul dat:

Exemplu:

Aflați numărul de 4 ori mai mare decât 125.

4 x 125 = 500

Probleme simple bazate pe împărțire pot fi:

De împărțire a unui număr dat în părți egale:

Exemplu:

Bunica are 24 de nuci. Ea vrea să le împartă în mod egal la cei 4 nepoți ai

săi. Câte nuci va primi fiecare nepot ?

24 : 4 = 6 (nuci)

De împărțire prin cuprindere a unui număr în altul:

Exemplu:

Câți copii vor primi câte 3 caramele, știind că sunt în total 18 caramele ?

18 : 3 = 6 (copii)

De aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât numărul dat:

Exemplu:

La un aprozar s-au vândut într-o zi 27 de kg de fructe, iar a doua zi o

cantitate de 3 ori mai mică. Câte kg de fructe s-au vândut a doua zi ?

27 : 3 = 9 (kg)

De aflare a unei părți dintr-un întreg:

Exemplu:

Aflați jumătatea numărului 16.

16 : 2 = 8

De aflare a raportului dintre două numere:

Exemplu:

Aflați numărul de 6 ori mai mic decât 486.

486 : 6 = 81

Rezolvarea unei probleme simple trece prin mai multe etape:

enunțarea problemei;

însușirea enunțului;

separarea întrebării de conținut;

alegerea operației corespunzătoare;

formularea răspunsului.

Problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de elevi. Ei întâmpină însă și dificultăți, cele mai frecvente fiind: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuate.

Pentru rezolvarea acestor sarcini învățătorul are posibilități variate:

propunerea spre rezolvare a unui număr suficient de probleme;

analiza temeinică a acestora;

propunerea enunțurilor variate;

prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii trebuie să le completeze și apoi să le rezolve;

prezentarea unor noi probleme la care sunt posibile mai multe întrebări.

Exemple: Într-o clasă sunt 15 fete și 8 băieți.

Câți copii sunt în total în clasă?

Cu cât este mai mare numărul fetelor ?

Cu cât este mai mic numărul băieților ?

prezentarea unor probleme schemă;

completarea unui text dat cu valori numerice conform cu realitatea;

probleme de perspicacitate;

alcătuirea de probleme în mod liber;

alcătuirea de probleme cu respectarea anumitor cerințe: exerciții, scheme;

alcătuirea de către elevi a unor probleme în mod liber, fără a fi limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.

Prin toate aceste procedee nu se urmărește învățarea problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor, care este practic infinită.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați către exersarea operaților gândirii, spre formarea reversibilității acesteia.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse aduce elevilor o dificultate în plus – aceea de a le descompune în cel puțin două probleme simple.

Dificultatea într-o problemă cu două sau mai multe operații constă în efortul de a le păstra legătura dintre verigi. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple la cele compuse.

În prima perioadă se pornește de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple, în care enunțul indică și calea de rezolvare – rezolvarea succesivă în care datele se iau în ordinea din enunț.

Pentru realizarea trecerii de la rezolvarea problemelor simple ( cu o operație) la cele compuse (cu două sau mai multe operații) se vor rezolva succesiv două probleme simple, astfel încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

Exemplu:

Într-un autobuz sunt 25 de pasageri. La prima stație au mai urcat 10 pasageri.

Câți pasageri sunt acum în autobuz ?

La a doua stație au coborât 7 pasageri. Câți pasageri au rămas în autobuz ?

După rezolvarea celor două probleme vom compune enunțul unei singure

probleme:

Î ntr-un autobuz sunt 25 de pasageri. La prima stație au mai urcat 10 pasageri, iar la a doua stație au coborât 7 pasageri. Câți paageri au mai rămas în autobuz ?

Se exprimă relația: 25 + 10 – 7 = 35 – 7 = 28 (km)

Se vor introduce apoi probleme cu o dificultate în plus și anume, ordinea din rezolvare nu coincide cu ordinea din enunț, elevii fiind solicitați să aleagă perechile de date în care să stabilească relații matematice certe.

Exemplu:

Pentru ornarea bradului de Crăciun, mama a cumpărat 14 de globuri roșii, de 2 ori mai puține globuri galbene, iar globuri argintii, cu 3 mai multe decât cele galbene. Câte globuri a cumpărat mama în total ?

14 : 2 = 7 ( )

7 + 3 = 10 ( )

14 + 7 + 10 = 31 ( )

Formula numerică: 14 + (14 : 2) + (14 : 2 + 3) = 31

Formula literală: a + (b : c) + (b : c + d)

Stabilirea formulei numerice și apoi elaborarea formulei literale după planul de rezolvare obligă elevul să gândească asupra întregului raționament, având imaginea tuturor relațiilor posibile din problemă. Prin planul de rezolvare, elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și strategia dezvoltării.

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică deoarece este necesară punerea în corespondență a problemelor simple, sesizarea legăturilor organice dintre ele, a dependenței lor reciproce astfel încât să se poată stabili succesiunea acestor probleme în vederea găsirii rezultatului final.

Pentru a asigura desfășurarea procesului de gândire prin care se caracterizează examinarea unei probleme compuse, este necesar să se clarifice în prealabil textul problemei, să se ajungă la înțelegerea de către elevi a împrejurărilor care au generat acea problemă, să se arate pas cu pas care sunt judecățile care intervin în analiza problemei, cum se înșiruiesc ele, cum depind una de alta și cum se condiționează reciproc, să se recompună apoi diferitele părți ale problemei într-un tot unitar să se facă apoi abstractizări și generalizări.

Examinarea problemei compuse se face prin metoda analitică și sintetică.

Aceste două metode sunt metode general-aplicabile tuturor problemelor cu operații simple și compuse. Ele se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât metoda analitică cât și cea sintetică constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, rezolvate succesiv, duc la găsirea soluției finale.

Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii.

2. Metoda sintetică

A examina o problemă sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, astfel încât să le grupeze după relațiile dintre ele și să formuleze aceste probleme într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei.

Metoda sintetică este mai accesibilă dar nu solicită prea mult gândirea elevilor.

3. Metoda analitică

A examina or problemă prin metoda analitică înseamnă a privi problema în ansamblu, pornind de la întrebarea problemei. Se caută să se afle date sunt necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. Se alcătuiește o problemă simplă. Dacă această problemă nu are toate datele necesare rezolvării ei se ajunge la datele problemei. Acest plan este construit din întrebările problemelor simple, așezate în ordinea lor logică. Metoda analitică este mai complexă, poate mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

Ea este mai grea fiindcă presupune un proces de gândire continuă și de profunzime, fapt pentru care există tendința de a fi în general ocolită. Dar întrebuințarea acestei metode contribuie într-o mare măsură la dezvoltarea gândirii logice și numai cunoașterea și întrebuințarea ei creează posibilitatea rezolvării de către elevi a problemelor în mod independent. De aceea este necesar ca pe măsură ce elevii dobândesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetică, să se treacă treptat la utilizarea metodei analitice, mai ales în clasele a III-a și a IV-a.

În vederea trezirii interesului și al plăcerii pentru rezolvarea de probleme, dar și pentru înlesnirea înțelegerii datelor, se poate propune elevilor spre rezolvare o problemă sub formă de joc didactic:

În lumea basmelor vrăjită

Jucăriile sunt treze.

Pe Frumoasa Adormită

Hotărâte s-o salveze.

Primii au plecat de-acasă

Soldăței, 9 coloane.

Conduc oastea curajoasă,

Câte 7 pe coloană.

Îndârjiți și devotați,

Ursuleții merg cântând,

Pe 5 rânduri ordonați,

Așezați 7 pe rând.

Deasupra lor, cu grație

E-armata de-aviație.

Bâzâie în mare goană,

8 coloane de albine

Câte 9 pe coloană,

Spre zmeul ce cu ură vine.

Voi, copii cu minți istețe

Socotiți cu îngrijire

Câte jucării-ndrăznețe

Au plecat cu îndârjire

Pe Frumoasă s-o salveze?

Rezolvarea problemei pe cale sintetică este:

1. Câți soldăței sunt pe cele 9 coloane? 9 x 7 = 63 (soldăței)

2. Câți ursuleți sunt pe cele 5 rânduri? 5 x 7 = 35 (ursuleți)

3. Câte albine sunt pe cele 8 coloane? 8 x 9 = 72 (albine)

4. Câte jucării sunt în total? 63 +35 +72 = 170 (jucării)

Un alt exemplu, un tip de problemă clasică:

Într-o livadă sunt 8 rânduri a câte 25 de piersici și 12 rânduri a câte 20 de caiși. Câți pomi sunt în total în livadă ?

În judecarea problemei pe cale analitică se pornește de la întrebarea problemei: Câți pomi sunt în total în livadă?

Pentru a răspunde acestei întrebări trebuie să cunoaștem câți piersici sunt pe cele 8 rânduri și câți caiși sunt pe cele 12 rânduri. (Apar astfel două probleme). Pentru a afla câți piersici sunt pe cele 8 rânduri, se pleacă de la informația dată de ipoteza problemei, și anume, că pe un singur rând sunt 25 de piersici, deci pe 8 rânduri sunt 8 x 25 = 200 de piersici. La fel se va judeca și pentru aflarea numărului de caiși din livadă. Apoi, prin operația de adunare, se va afla numărul total de pomi din livadă.

Învățătorul trebuie să-și facă întotdeauna schema relațiilor dintre datele problemei din care rezultă problemele simple componente, pentru a clarifica linia de rezolvare a problemei.

Asemenea scheme se pot folosi și în clasă când introducem pentru prima dată examinarea pe cale analitică. Nu trebuie să se abuzeze de ele pentru a da posibilitatea elevilor să acorde mai multă atenție schemei decât problemei în sine.

În judecarea problemei pe cale sintetică se pornește de la aflarea numărului de piersici, cunoscând că pe un singur rând sunt 25 de piersici, apoi aflarea numărului de caiși de pe cele 12 de rânduri, cunoscând că pe fiecare rând sunt câte 20 de caiși, după care se ajunge la ultima întrebare care coincide cu întrebarea problemei.

Pentru a ilustra bine procesele care au loc în examinarea unei probleme prin cele două metode, le voi prezenta comparativ, sub formă de schemă, în legătură cu problema prezentată mai sus.

Schema rezolvării problemei prin metoda analitică.

Schema rezolvării problemei prin metoda sintetică

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, trebuie să menționăm că procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic întrucât cele două metode formează o unitate în cadrul proceselor de gândire, astfel că nu poate fi vorba de utilizarea cu exclusivitate a uneia sau alteia din aceste metode. În analiza unei probleme intervin ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, dar în anumite momente, una din ele este dominantă.

Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este formată este prin esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple este un proces de sinteză. Cu alte cuvinte, există o strânsă interdependență între procesele de analiză și sinteză, le condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă.

O atenție deosebită am acordat și problemelor ce admit mai multe căi de rezolvare, ele contribuind la dezvoltarea mobilității și creativității gândirii. Determinând elevii să descopere mai multe procedee de rezolvare pentru o problemă, discutându-le apoi pe fiecare, se alege calea cea mai economicoasă, mai elegantă, mai simplă, apreciindu-se organizarea modului de rezolvare. Se apreciază și celelalte căi pentru a preveni descurajarea – mai ales a copiilor care găsesc o singură cale de rezolvare.

Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitatea elevului.

După o perioadă în care s-au rezolvat suficiente probleme, ajutăm elevii să sesizeze că fiecărei probleme i se asociază un model logico-matematic obținut prin metode succesive. Modelul îi ajută pe copii să vadă unitar structura unei probleme, să sesizeze organizarea ei internă.

Elaborarea modelului se poate face în forme cât mai variate: diagrame, scheme, desene, grafice, exerciții, formule literale, fiind un instrument deosebit de eficace. Prin elaborarea lui elevul parcurge o etapă de gândire, o conștientizează, dovedește că înțelege structura logică a conținutului și își exersează gândirea divergentă, creatoare precum și posibilitățile de compunere de probleme.

Astfel elevul învață algoritmul de rezolvare. Schimbarea tipului de problemă face să ia din experiența anterioară doar atât cât îi este necesar pentru a merge mai departe. Rămân insule de informații pe care elevul le structurează și le folosește în alte situații pe care le va întâlni.

III.6. Metodica rezolvării problemelor tip

1. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativ-grafică

Această metodă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și a mărimilor date în problemă.

Ea ajută la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor condițiilor problemei.

În rezolvarea unei probleme care face apel la această metodă ne sprijinim pe raționament, folosind înțelesul concret al operațiilor.

Figura corespunzătoare a problemei trebuie să însemne o schematizare a enunțului pentru a păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concrete ca într-o fotografie.

Avantajele pe care le prezintă această metodă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei. Astfel:

are caracter general, aplicându-se la orice categorie de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarizării;

are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre date făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea, transpunerea acesteia pe plan mintal;

În aplicarea metodei figurativ-grafice se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și accesibilitate sau mai ales utile rezolvitorului. Astfel, se pot folosi:

desenele (pentru clasele mici);

figuri geometrice diferite: segmente, Δ, , ○;

figurarea schematică a relațiilor matematice între datele problemei;

anumite semne convenționale;

litere și combinații de litere.

Tipuri de probleme care se pot rezolva prin metoda grafic-figurativă

Dacă se așează câte un elev într-o bancă, rămân 10 elevi în picioare. Dacă

așezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 4 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?

Rezolvare:

Din analiza primei părți a problemei deducem că dacă fiecărei bănci îi corespunde 1 elev rămân 14 elevi în picioare, ceea ce putem figura astfel:

     … * * * * * * … * *

Analizând partea a doua din enunțul problemei, deducem că așezarea a câte 2 elevi în bancă poate fi făcută în mai multe moduri, dar cel mai bine este să completăm cu câte un elev în fiecare bancă; mai întâi cu 10 elevi rămași în picioare și apoi cu cei 4 elevi din băncile care vor rămâne libere. Vom avea 14 bănci cu câte 2 elevi (10 + 4), deci 28 elevi

(17 x 2) și 14 + 4 = 18 bănci.

        

    

Într-un vas cu fructe sunt de 4 ori mai multe kiwi decât banane. La masă

sunt 6 persoane. Fiecare își ia de pe farfurie câte un kiwi și o banană. Rămân în vas de 7 ori mai multe kiwi decât banane. Câte kiwi și banane erau la început?

Rezolvare:

Analizând problema de mai sus putem figura situația inițială astfel:

Pentru a sugera că persoanele de la masă au luat 4 mere și 4 prune figurăm astfel:

După această operație au rămas de 7 ori mai multe kiwi decât banane, deci trebuie să completăm cele 18 kiwi rămase, distribuite în 6 grupe a câte 3 kiwi fiecare, adică vom completa 6 grupe a câte 1 banană și câte 7 kiwi (pentru că, după ce au mâncat mesenii au râmas de 7 ori mai multe kiwi decât banane), deci vom completa 6 grupe astfel:

Deducem că au fost 6 + 6 = 12 banane și 7 x 6 + 6= 48 kiwi.

R: au fost 12 banane și 48 kiwi

Într-o curte sunt găini și oi. În total sunt 50 de capete și 140 de picioare. Câte

găini și câte oi sunt în curte?

Rezolvare:

Figurăm cele 20 de vietăți astfel:

○ ○ ○ ○ …..○

50 de capete

Cu siguranță fiecare vietate are cel puțin 2 picioare

○ ○ ○ ○ ….. ○

^ ^ ^ ^ ^

50 de capete – >100 picioare

Am folosit 50 x 2 = 100 (picioare). Dar în realitate erau140 de picioare. Mai rămân 140 – 100 = 40 (picioare). Acestea trebuie distribuite câte 2 (pentru a completa 4 picioare pentru oi). Rezultă că vor fi 40 : 2 = 20 (oi) și 50 – 20 = 30 (găini). Se poate face proba:

(30 x 2) + (20 x 4) = 60 + 80 = 140 (picioare)

O rezolvarea asemănătoare se poate face dacă așezăm de la început câte 4 picioare.

O mamă are 51de ani, iar fiul său 30 de ani. Cu câți ani în urmă fiul era de 8 ori

mai mic decât mama ?

Rezolvare:

Figurăm cu un segment vârsta fiului la data respectivă. Atunci situația se poate figura astfel:

Vârsta fiului:

Vârsta mamei: Diferența dintre vârste este constantă și cunoscută: 51 – 30 = 21. Această diferență este de fapt de 7 ori vârsta fiului. Deci:

Vârsta fiului: = 21 : 7 = 3 (ani)

Rezultă că în urmă cu 27 ani, fiul avea 3 ani și era mai mic de 8 ori decât mama (care avea 24 de ani).

Aflarea a două mărimi cunoscând suma și diferența lor.

Exemplu:

Doi muncitori, Radu și Cornel au lucrat împreună 50 de piese. Știind că Radu a lucrat cu 8 piese mai mult decât Cornel, să se afle câte piese a confecționat fiecare.

Rezolvare:

R + C = 200 (piese) C

R = C + 8 (piese) R

R = ? piese

C= ? piese

Numărul pieselor făcute de Cornel îl vom reprezenta figurativ printr-un segment de dreaptă ( ce reprezintă o necunoscută a problemei). Diferența de mărime dintre cele două segmente reprezintă exact diferența dintre numărul de piese lucrate de cei doi muncitori.

Se observă că segmentul de dreaptă care reprezintă numărul de piese confecționate de cei 2 muncitori la un loc, este format din cele două segmente egale și încă un segment, ce reprezintă cele 8 piese lucrate de Radu în plus față de Cornel. Atunci, pentru a determina numărul care reprezintă unul din segmentele egale procedăm astfel:

(50 – 8) : 2 = 42 : 2 = 21 (piese)

Ceea ce reprezintă numărul pieselor făcute de Cornel. Numărul pieselor făcute de Radu este:

21 + 8 = 29 (piese)

Verificare: 21 + 29 = 50 (de piese)

Densitatea muncii intelectuale în asemenea cazuri este mai mare, iar valoarea formativă incontestabilă, mai alea când elevii descoperă singuri al II-lea mod de rezolvare (prin adunare). Elevii care propun singuri cel de-al doilea mod își manifestă creativitatea și oferă celorlalți elevi un stimulent. Îi solicită să gândească mai mult, să caute și să găsească și alte căi de rezolvare pentru aceeași problemă.

Al II-lea mod de rezolvare:

Dacă și Cornel ar fi confecționat cu 8 piese mai mult, atunci cei doi ar avea un număr egal de piese lucrate, dar în același timp și suma va fi mai mare cu 8 piese.

Deci:

50 + 8 = 58 (piese)

Aflăm numărul pieselor făcute de Radu:

58 : 2 = 29 (piese)

Aflăm numărul pieselor făcute de Cornel:

29 – 8 = 21 (piese) sau 50 – 29 = 21 (piese)

Verificare: 29+ 21 = 50 (piese)

Este bine să se încerce rezolvarea acestui gen de probleme prin ambele moduri, în scopul formării unor deprinderi de lucru și a unui raționament matematic adecvat.

Există și probleme cu grad de dificultate sporit.

Exemplu:

O fabrică de jucării a produs într-o lună 2 856 jucării, după cum urmează: ursuleți, cu 92 mai puțini decât păpuși, iar mașinuțe cu 73 mai multe decât ursuleți.

Câte jucării de fiecare fel a produs fabrica?

Observație. Ideea de bază pentru rezolvarea problemelor de acest tip este de a face părțile componente egale prin adunarea sau scăderea unor numere, conform enunțului problemei.

92 + 73 = 165 (jucării)

2 856 – 165 = 2 691 (jucării)

Numărul ursuleților:

2 691 : 3 = 897 (ursuleți)

Numărul păpușilor:

897 + 92 = 989 (păpuși)

Numărul mașinuțelor:

897 + 73 = 970 (mașinuțe)

Verificare:

897 + 989 + 970 = 2 856 (jucării)

Aflarea a două mărimi cunoscând suma sau diferența și raportul lor

Exemplu:

La o cofetărie s-au vândut în total 174 de prăjituri, savarine și eclere. Numărul eclerelor vândute este de 5 ori mai mare decât cel al savarinelor.

Câte savarine și câte eclere s-au vândut?

S = 174 (prăjituri)

E = S x 5

S = ?

E = ?

Dacă reprezentăm numărul savarinelor printr-un segment atunci numărul eclerelor trebuie reprezentat printr-un segment de 5 ori mai mare:

Aflăm valoarea unei părți egale, adică în cazul nostru, numărul savarinelor astfel:

174 : 6 = 29 (savarine)

Aflăm numărul eclerelor:

29 x 5 = 145 sau 174 – 29 = 145 (eclere)

Verificare: 145 + 29 = 174 (prăjituri)

La o seră s-au produs 895 de flori, garoafe și trandafiri. După ce s-au vândut 120 de garoafe și 85 de trandafiri, au rămas la seră de 4 ori mai multe garoafe portocale decât trandafiri. Câte garoafe și câți trandafiri au fost la început în seră?

Rezolvare:

895 – (120 + 85) = 690 (flori)

Trandafiri:

Garoafe:

690 : 5 =138 138 + 85 = 223 (trandafiri)

895 –223 = 672 (garoafe).

Diferența dintre vârsta mătușii și cea a nepotului este de 22 ani. Câți ani are fiecare știind că mătușa este de 3 ori mai în vârstă decât nepoata ?

Rezolvare:

30 ani

Nepoata:

Mătușa:

20 : 2 = 10 ani nepoata = 10 ani

10 + 20 = 30 ani mătușa = 30 ani

Suma a trei numere este 580. Raportul dintre primul și al II-lea număr este de 3/2, iar diferența dintre primul număr și al II-lea este de 70.

Să se afle cele 3 numere.

I = 70

II 580

III

3 x 70 = 210 primul număr = 210

2 x 70 = 140 al II-lea număr =140

580 – (210 + 140) = 230 al III-lea număr = 230

2. Probleme care se rezolvă prin metoda comparației

Ca operație a gândirii logice, comparația intervine în multe momente și situații ale activității matematicii, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.

Metoda constă în a face ca una din cele două mărimi să aibă aceeași valoare și în acest fel problema devine mai simplă, cu o singură necunoscută. Într-o astfel de problemă, așezarea datelor se face prin respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct așezând valorile de același fel unele sub altele.

Procedeele de rezolvare a unor probleme duc la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt legate prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relației respective.

Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. Prin această metodă se rezolvă probleme de egalizare la o relație cu o singură necunoscută.

Metoda aducerii la același termen de comparație

Exemplu:

Gabriel a cumpărat 5 cărți și 4 caiete, pentru care a plătit 58 de lei, iar Cristi a cumpărat 6 cărți și 8 caiete și a plătit 9300 lei. Cât costă un caiet și cât costă o carte ?

4 caiete ………………… 5 cărți…………………. 58 lei

8 caiete ……….……………6 cărți…………………. 76 lei

Deoarece nici o mărime nu are aceeași cantitate, problema este dificilă. În acest caz vom interveni cu o problemă simplă pentru a-i ajuta pe elevi să descopere singuri rezolvarea. (Un elev cumpără 3 creioane și 2 radiere plătind în total 42 lei). Dacă va cumpăra de 2 ori mai multe creioane și radiere cât va plăti? (Deci se va dubla și suma. Dacă vom tripla mărimile se va tripla și suma).

Pentru a avea același număr de caiete în ambele relații, în cadrul acestei probleme va trebui să dublăm (mărim de 2 ori) prima relație și vom avea:

8 caiete……………………. 10 cărți…………………… 116 lei

8 caiete……………………. ..6 cărți …………………… 76 lei

/ …………………………………4 cărți…………………….. 40 lei

40 : 4 = 10 (lei costă o carte)

Am obținut astfel o problemă asemănătoare cu cea anterioară în care nu mai există obstacole deosebite.

Probleme de eliminare prin înlocuire

Exemple:

O rochie și 12 perechi de ciorapi 110 lei. O rochie este de 10 ori mai scumpă decât o pereche de ciorapi. Cât costă o rochie și cât costă o pereche de ciorapi?

Rezolvare:

În enunțul problemei se spune că 1 rochie valorează de 10 ori mai mult decât o pereche de ciorapi. Deci, în loc de 1rochie se pot cumpăra 10 perechi de ciorapi.

În total s-ar putea cumpăra 22 perechi de ciorapi ( 12 + 10 = 22) cu 110 lei.

Rezultă deci că o pereche de ciorapi costă: 110 : 22 = 5 lei.

O rochie va costa de 10 ori mai mult:

10 x 5 = 50 (lei)

Verificare: 50 + (12 x 5) =50 lei + 60 lei = 110 lei.

Tot prin metoda comparației se rezolvă cunoscuta problemă:

Un ogar urmărește o vulpe care are 12 sărituri avans înaintea lui. Câte sărituri va face ogarul până să ajungă vulpea dacă el face 7 sărituri în timp ce vulpea face 8 sărituri și că în 5 sărituri ogarul parcurge aceeași distanță pe are o parcurge vulpea în 6 sărituri.

Rezolvare:

Aducând la același termen de comparație:

În timp ce ogarul face 35 de sărituri, vulpea face 40 de sărituri, dar cu 35 de sărituri ogarul parcurge o distanță egală cu distanța parcursă de vulpe în 42 de sărituri. Deci, la fiecare 35 de sărituri ale ogarului el face în plus o distanță egală cu distanța parcursă de vulpe în două sărituri. Cum vulpea făcuse înaintea ogarului 12 sărituri, acesta va trebuie să recupereze această distanță pentru a ajunge vulpea făcând de 6 ori (12 : 2= 6) câte 35 de sărituri, adică:

35 x 6 = 210 sărituri.

R: după 210 sărituri ale ogarului acesta va ajunge vulpea.

3. Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze

Problemele din această categorie sunt foarte numeroase. Prin această metodă poate fi rezolvată orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor:

Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Această metodă constă în a emite o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza toate de același fel), nu în ideea de a găsi răspunsul, ci pentru a sesiza nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei.

Deci, metoda se numește a falsei ipoteze pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă cu adevărul.

Dacă am aplica o serie de încercări succesive, până la găsirea soluției, ar fi o rezolvare empirică. Comun cu astfel de rezolvare este numai faptul că facem o încercare arbitrară ce o continuăm prin raționament.

Exemplu:

În cadrul unui concurs, un sportiv înscrie 10 goluri și obține 34 de puncte. Să se afle câte goluri a ratat sportivul, știind că pentru un gol marcat a obținut 5 puncte, iar pentru orice încercare ratată a pierdut 3 puncte.

Rezolvare:

Presupunem că a înscris gol la toate încercările. Ar trebui să dețină

10 x 5 = 50 (puncte). În realitate a obținut 34.

50 – 34 = 16

Cele 16 puncte pierdute se datorează faptului că la fiecare gol ratat , în loc să se adune 5 puncte, s-au pierdut 3 puncte, în total s-au pierdut 5 + 3 = 8 puncte. Deci au fost 16 : 8 = 2 goluri ratate și 10 – 2 = 8 goluri marcate.

Observație. Analog se poate rezolva problema dacă presupunem că toate răspunsurile au fost greșite.

Într-o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă s-ar așeza câte 2 elevi, atunci 7 dintre ei nu ar avea loc, dacă în fiecare bancă s-ar așeza câte 3 elevi, atunci 5 bănci ar rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor din sala de clasă.

4. Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers

Prin această metodă se rezolvă unele probleme în care datele depind unele de altele succesiv.

Ea constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfârșit spre început. Analizând operațiile făcute în problemă și cele pe care le facem noi în rezolvare problemei, constatăm că în fiecare etapă facem operația inversă celei făcute în problemă.

Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le face spre rezolvare sunt inverse celor din problemă. Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în enunțul problemei.

Exemplu:

Un număr se împarte la 9 . La rezultat se adaugă 118, noul număr se înmulțește cu 4, iar din rezultat se scade 704, obținându-se numărul 200.

Care este numărul?

Rezolvare:

[( X : 9 + 118 ) x 4] – 704 = 200

Care este ultima operație făcută? Citim din enunț: din rezultat se scade 704, obținându-se numărul 200.

Deci: (x : 9 + 118) x 4 = 200+ 704

= 904

X : 9 +118 = 904 : 4 = 226

X : 9 = 226 – 118 = 108

X = 108 : 9; x = 12

Dacă elevii stăpânesc bine aflarea factorilor și termenilor atunci aceste exerciții vor fi simple.

Victor pleacă în excursie cu o anumită sumă de bani. În prima zi cheltuiește 1/6 din bani și încă 5 lei, în a doua zi cheltuiește 1/5 din banii rămași, iar în a treia zi, ¾ din noul rest, plus încă 9 lei.

Câți lei a cheltuit Victor în fiecare din primele 3 zile?

Rezolvare:

Realizăm un desen ajutător:

Întreaga sumă de bani:

Prima zi:

5 lei

Restul banilor după prima zi:

A doua zi:

Banii rămași după a doua zi:

A treia zi:

9 lei

Observăm că 9 lei reprezintă ¼ din restul banilor după a doua zi. Deci, după a doua zi, Victor mai avea la dispoziție 4 x 9 = 36 lei, care reprezintă 4/5 din restul banilor după prima zi.

Deci, după prima zi, Victor mai avea de cheltuit: 36 : 4 x 5 = 45 lei.

Dar 45 lei + 5 lei = 50 lei, care reprezintă 5/6 din întreaga sumă de bani. Suma cu care a plecat Victor în excursie este, deci: 50 : 5 x 6 = 60 lei.

5. Probleme de amestec și aliaj

O categorie specială în suita problemelor tipice o constituie problemele de amestec și aliaj, care sunt deosebit de utile mai ales din punct de vedere al aplicabilității lor practice.

Avem două tipuri de probleme la aliaje:

Probleme de amestec și aliaj de categoria I;

Probleme de amestec și aliaj de categoria a II-a.

Probleme de amestec și aliaj de categoria I

Se dau:

Cantitățile ce se amestecă: m1, m2 …, mn;

Calitățile lor: c1, c2, …, cn;

Se cere:

Calitatea amestecului.

Calitățile diverselor obiecte, lucrări, mărfuri ce se amestecă se exprimă în lei, grade de temperatură, grade de tărie, valori de note școlare, precum și prin titlu, în cazul aliajelor. Prin titlu unui alia – notat cu litera T – înțelegem raportul dintre masa metalului prețios (m) și masa întregului aliaj (M).

Exemplu: prin titlul unui aliaj de aur de 0,725 înțelegem că la 1000 g de aliaj, avem 725 g aur pur și 275 metal cu care s-a amestecat aurul.

Teorema 1: Dacă amestecăm materiale cu calitățile c1, c2, …, cn și ponderile m1, m2 …, mn calitatea amestecului C se va calcula după formula:

Exemplu: Un elev obține la matematică notele: 10, 10, 10, 9, 9, 8, 8, 8, 8, 5. Având valorile notelor și împărțind rezultatul la numărul lor obținem media aritmetică a notelor, adică media semestrială:

Observăm că în alcătuirea acestei medii, („amestec” de note) nota 10 apare de 3 ori, nota 9 de 2 ori, nota 8 de 4 ori, nota 5 o dată astfel relația devine:

Matematic, spunem că nota 10 intră în alcătuirea mediei cu o pondere de 3, nota 9 cu o pondere de 2, nota 8 cu o pondere de 4 etc.

Un atelier de bijuterie a topit aur de trei calități: 3 kg cu titlul de 0,700; 2 kg cu titlul de 0,800; 4 kg cu titlul de 0,850 și 1 kg cu titlul de 0,650. Care este titlul noului aliaj?

Rezolvare

B. Probleme de amestec și aliaj de categoria a II-a.

Se dau:

Cantitățile care se amestecă;

Calitatea amestecului;

Cantitatea totală de amestec.

Se cere:

Cantitatea ce se amestecă.

Aceste tipuri de probleme se rezolvă prin două metode:

Tratându-se ca probleme de presupunere cu metoda falsei ipoteze.

Cu ajutorul teoremei 2.

Teorema 2

Raportul cantităților ce se amestecă este egal cu raportul invers al abaterilor față de medie.

m1, m2 – cantitățile ce se amestecă;

c1, c2 – calitățile lor;

c – calitatea amestecului.

Exemplu:

Pentru obținerea unui amestec de 50 l s-ua folosit benzină și gazolină, având prețurile de 4 lei, respectiv 3 lei. Câți litri de benzină și câți litri de motorină s-au folosit în realizarea amestecului, știind că întraga cantitate a costat 180 de lei ?

Rezolvare:

Rezolvăm problema prin metoda falsei ipoteze:

Presupunem că tot amestecul conține doar benzină care costă 4 lei/litru.

Cât costă amestecul pe baza acestei presupuneri?

50 x 4 = 200 (lei)

Cu cât am obținut mai mult pe baza presupunerii?

200 – 180 = 20 (lei)

Cu câți lei am socotit mai mult pentru litrul de benzină față de litrul de gazolină?

40 – 30 = 10 (lei)

Câți litri de gazolină s-au folosit ?

200 : 10 = 20 (l)

Câți litri de benzinăs- au folosit?

50 – 20 = 30 (l)

Prin metoda teoremei 2:

Fie: m1 = cantitatea de făină de calitatea I;

m2 = cantitatea de făină de calitatea a II-a

Costul unui kg de făină a amestecului este:

75000 : 15 = 5000 (lei)

Deci: m1 = 2 x 5 = 10 (kg) și m2 = 1 x 5 = 5 (kg)

6. Probleme de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una din mărimile: spațiu (distanță), viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul (S) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc.) exprimat în unități de lungime (metri, multiplii sau submultiplii lui).

Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spațiu.

Viteza (v) este exprimată prin numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp (exemplu. m/s, km/h).

În general, în problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea uniformă a unui mobil. În acest caz se folosesc formulele:

S = v x t

Pentru rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi aritmetice: figurativă, a comparației, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât și cele algoritmice și cele algebrice, de cele mai multe ori aceste metode interferându-se.

Putem clasifica problemele de mișcare în mai multe grupe:

Probleme ce conduc direct la rezolvări simple de aflare a spațiului, vitezei sau timpului;

Probleme de întâlnire (mobilele se deplasează în sens contrar);

Probleme de întâlnire (mobilele se deplasează în același sens).

Exemple:

Un călător a pierdut autobuzul care pleca la ora 7 dimineața din orașul A spre orașul B cu viteza constantă de 40 km/h. La ora 9 călătorul ia trenul accelerat care merge din A spre B cu viteza de 60 km/h. La ce oră trenul accelerat ajunge autobuzul?

Rezolvare:

v1 =4 km/h

A B

v2 = 6 km/h

v1 =4 km/h; v2 = 6 km/h=>v2 – v1 = 2 km/h

Deci, în fiecare oră, autobuzul rămâne în urma trenului cu 60 km/h – 40 km /h = 20 km/h. În cele 2 ore, adică de la ora 7 la ora 9, autobuzul a parcurs 2 x 40 = 80 (km) . tre nul va ajunge autobuzul după :

t = 80 km : 20 km/h = 4 h, adică la ora 13,oo.

Răspuns: la ora 13,oo.

Probleme de întâlnire (mobilele se deplasează în sens contrar)

D

A B

v1 v2

Formula după care calculăm timpul de întâlnire într-o problemă de mișcare în sensuri contrare:

Exemplu:

Distanța dintre orașul A și B este de 380 km. Din orașul A pleacă spre orașul B un autoturism la ora 8 cu viteza de 50 km/h, iar din orașul B pleacă spre orașul A un alt autoturism, la ora 9, cu viteza de 60 km/h. La ce oră și la ce distanță de orașul A se vor întâlni cele două autoturisme ?

Rezolvare:

Recunoaștem din enunț o problemă de mișcare în sensuri contrare, care se deosebește foarte mult de problemele standard, comentate anterior. Cunoaștem vitezele celor două mobile și trebuie să stabilim la ce distanță se aflau unul de altul în momentul când începem să considerăm mișcarea unuia către celălalt.

Facem următorul desen:

380 km

50 km 330km

A B

v1 = 50 km/h v2 = 60 km/h

Etalon de rezolvare:

Până în momentul plecării din B a celui de-al II-lea autoturism, primul parcurge:

(9 – 8) x 50 = 50 (km) (AC)

El se află la distanța de 380 – 50 = 330 (km) față de autoturismul al II-lea (CB), în momentul plecării acestuia din B.

Din acest moment problema s-a redus la o problemă tipică de mișcare în sensuri contrare.

În fiecare oră distanța dintre cei doi se micșorează cu:

50 km + 60 km = 110 km

Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprinde 140 km în 280 km, adică:

330 km : 110 km = 3 ore

Deci, cele două autoturisme se întâlnesc după 3 ore de la plecarea celui din B, sau la 3 + 1 = 4 ore după plecarea celui din A.

Ei se vor întâlni la ora : 8 + 4 = 12 (h), la distanța de:

4 x 50 = 200 (km) de orașul A.

Probleme de întâlnire (mobilele se deplasează în același sens)

Aceste probleme pot fi redate schematic ca în figura de mai jos:

A B

Formula după care calculăm timpul de întâlnire într-o problemă de mișcare în același sens este:

Exemplu:

Din portul Constanța pleacă 2 vapoare în aceeași direcție cu vitezele de 24 km/h și 29 km/h. Primul vapor pornește mai devreme cu 50 de ore față de cel de-al doilea. La ce distanță față de portul Constanța s-au întâlnit cele 2 vapoare?

Rezolvare:

Realizăm următorul desen

A 1 200 km B

În 50 de ore primul vapor parcurge o distanță de: 24 x 50 = 1 200 (km)

Al doilea vapor parcurge în fiecare oră, în plus: 29 – 24 = 5 (km)

Cei 1 200 km vor fi recuperați în: 1 200 : 5 = 240 (h), timp după care primul vapor va fi ajuns de cel de-al doilea vapor.

Distanța de întâlnire va fi: 29 x 240 = 696 (km).

7. Probleme rezolvabile prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se recurge la așezarea datelor problemei într-o schemă care ușurează procesul de gândire în examinarea și rezolvarea situațiilor întâlnite.

Prezintă avantajul că este foarte accesibilă elevilor și poate fi utilizată într-o gamă variată de probleme.

Exemple:

Pentru 7 flori, Ioana plătește 35 lei. Câți lei va plăti pentru 5 flori?

Rezolvare:

7 f …………………………………… 35 lei

1 f …………………………………… 35 : 7 = 5 lei

5 f …………………………………… 5 x 5 = 25 lei

2. Din 10 kg de struguri se obțin 5 l de vin. Cât vin s-a obținut din 2 548 de kg de struguri?

Rezolvare:

Se vor așeza datele problemei pe două șiruri:

10 kg………………………………….. 5 l de vin

2 548 kg…………………………………?l de vin

Raționăm astfel: dacă din 10 kg de struguri se obțin 5 kg de vin, atunci pentru un singur litru de vin câte kg de struguri vor fi necesare ? Mai mult sau mai puțin? De 5 ori mai puțin, deoarece cele două mărimi sunt direct proporționale și dacă una din ele (cantitatea de vin) s-a micșorat și cealaltă (cantitatea de struguri) se va micșora de 5 ori.

Deci, pentru 1l de vin vor fi necesari:

10 kg : 5 = 2 kg de struguri.

Rezultă că am redus la unitate (în cazul nostru un litru de vin) mărimea reprezentată prin cantitatea de vin. Introducem apoi datele problemei pe al doilea șir.

Pe noi ne interesează câți litri de vin vom putea obține din 2 548 kg de struguri.

Dacă pentru 1 l de vin se consumă 2 kg de struguri, din 2 548 kg de struguri se vor obține 2 548 kg : 2 = 1 274 litri de vin.

R: 1 274 l de vin

8. Probleme geometrice

Geometria are o contribuție valoroasă la antrenarea unei gândiri deschise, flexibile, creative, la stimularea independenței în gândire și acțiune, încurajând inițiativa și disponibilitățile de a abandona sarcini variate.

În manualul de clasa a II-a sunt cuprinse primele noțiuni de geometrie structurate într-un capitol separat, deși elevii au făcut cunoștință cu multe dintre ele încă de la grădiniță și mai ales din clasa I.

În clasa a III-a, elevii învață să calculeze perimetrele poligoanelor, să rezolve deja problemele cu elemente de geometrie.

De fiecare dată elevul trebuie dirijat să conștientizeze și să asimileze cerințe cum ar fi: ce este perimetrul unei figuri? Ce este aria ei? (în clasa a IV-a).

Nu ne putem aștepta ca la această vârstă elevii din clasele I-IV să poată abstractiza noțiunile de geometrie, deoarece ei nu le pot gândi fără corespondentul lor real.

Oricum însă, ei trebuie să ajungă treptat, pe măsura gândirii lor operative și a dobândirii cunoștințelor de geometrie, stadiul raționamentului deductiv.

La clasele a III-a și a IV-a, noțiunile de geometrie învățate corect și conștient, pot folosi pentru rezolvarea problemelor aritmetice și invers.

Exemple:

O bucătărie are formă de dreptunghi cu lungimea de 5 m iar lățimea de 3 m. Bucătăria este pardosită cu gresie.

a) Câte bucăți de gresie vor fi necesare dacă o placă are forma de pătrat cu latura de 25 cm ?

b) Aflați perimetrul și aria pardoselei.

Rezolvare:

a) l = 3m = 300 cm

L = 5m = 500 cm

Pe lățimea bucătăriei intră: 300 cm : 25 cm = 12 plăci de gresie

Pe lungimea bucătăriei intră: 500 cm : 25 cm = 20 plăci de gresie

Înseamnă că pardoseala conține 12 rânduri a câte 20 de plăci de gresie, adică:

12 x 20 = 240 plăci de gresie

b) Știm că: P dreptunghiului = 2 x L + 2 x l

P = 2 x 5 m + 2 x 3 m =

P = 10 m + 6 m

P = 16 m

Aria dreptunghiului = L x l

A = 5 m x 3 m

= 15 mp

Elevii rezolvă cu multă plăcere probleme în care se cere aflarea perimetrului, a lungimii sau lățimii unui poligon precum și de aflare a ariilor suprafețelor ce au formă de pătrat sau dreptunghi.

Exemplu:

Să se afle aria unui pătrat care are latura egală cu diferența numerelor 95 și 86.

Rezolvare:

A = l x l

l = 95 – 86 = 9

A = 9 x 9

A = 81

Perimetrul unui pătrat este de 248 m. Aflați aria acestuia.

Rezolvare:

P = 248 m A = l x l

P = 4 x l =.> l = P : 4 A = 62 m x 62 m = 364 m

l = 248 m : 4

l = 62 m

9. Probleme nonstandard

Denumite și recreative, rebusistice, de perspicacitate, problemele nonstandard sunt probleme – joc care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare și care nu permit aplicarea vreunei metode învățate. Cel care le rezolvă trebuie să posede o gândire logică, să fie creator.

În această situație gândirea și imaginația lucrează flexibil, rezolvitorul devenind, în situația în care reușește, un creator.

Diferite ipoteze ce apar în legătură cu problema pusă nu țâșnesc la întâmplare în toate direcțiile, ci ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor obținute anterior.

Cu cât aceste cunoștințe sunt mai vaste, mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ipotezelor care se nasc să ducă mai repede la găsirea soluțiilor.

A ști să rezolvi o problemă presupune a avea capacitățile necesare analizei oricărei situații care a dus la aceasta. Aceste capacități se referă la înțelegerea datelor și a ordinii acestora, la înțelegerea condiției problemei, a posibilității de elaborare a șirului de judecăți pentru a construi raționamentul de rezolvare a problemei. În situația rezolvării unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creație.

Exemplu de problemă rebusistică:

1. Operația matematică ce înlocuiește o scădere repetată

de 2 ori U și N la mijloc

Primul termen al împărțirii

Orice număr înmulțit cu el rămâne neschimbat

Deîmpărțitul se calculează prin …….

Al doilea termen al împărțirii

Semnul grafic folosit pentru scrierea numerelor

Rezultatul înmulțirii

Împărțirea prin el nu are sens

VERTICALA (A-B)

Operație matematică ce înlocuiește o adunare repetată

Exemplu.

Karla a colecționat un număr de timbre. După ce dublează numărul de timbre colecționate, îi mai dă prietenei sale 15 timbre, constatând că i-au mai rămas 80 de timbre. Câte timbre a avut Karla la început?

Rezolvarea:

X = suma de bani

(X x 2) – 14 = 80

X x 2 = 80 + 14

X x 2 = 94

X = 94 : 2

X = 47 timbre

Verificare: ( 47 x 2 ) – 15 = 60 lei

Ce cifre trebuie puse în 8 cercuri legate prin operații aritmetice pentru a obține

rezultatul 10 ?

Rezolvare:

O – O = O O3 – O1 = O2

– + * – + *

O + O = O O1 + O4 = O5

O * O = O O2 * O5 = O10

Alege o cifră de la 1 la 10. Adaugă la aceasta numărul 29. Taie ultima cifră din

suma obținută. Numărul rămas înmulțește-l cu 10. Mai adaugă 4. Suma obținută înmulțește-o cu 3. Din rezultat scade 2. Ai obținut 100?

Rezolvarea:

De exemplu cineva a ales cifra 6.

6 + 29 = 35 (tăiem ultima cifră – 5)

3 x 10 = 30

30 + 4 = 34

34 x 3 = 102

102 – 2 = 100

Orice număr de la 1 la 10 am alege, adunându-l cu 29 vom obține la zeci 3, care, devin unități, după ce tăiem cifra unităților, apoi devin iar zeci, dar zeci întregi (30), în care adunând mereu 4 și rezultatul înmulțindu-l cu 3, obținem mereu 102, scăzându-l pe 2 vom obține mereu 100.

Datorită marii varietăți a acestui gen de probleme și a gradului înalt de particularitate al fiecăruia este greu să se facă analogie, să se opereze transferurile de metodă. Este recomandabil ca asemenea probleme să se rezolve în cadrul cercului de matematică.

IV. Cultivarea creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme

IV.1. Necesitatea utilizării unor elemente de logică în predarea matematicii

În matematica școlară actuală s-a accentuat tendința spre abstract evidențiată prin rigoare, generalizare și sistematizare generală.

Pătrunderea matematicii în cele mai variate domenii de activitate a adus în prim-plan, printre altele și necesitatea unei rigori și precizii sporite. Necesitatea unui învățământ clar și logic, necesitatea exprimării riguroase, și precise încă din clasa I, în strânsă legătură cu predarea acesteia în școală. Se consideră că folosirea permanentă a logicii în prezentarea matematicii ar fi o garanție a însușirii matematicii.

Trebuie să spunem că lucrurile nu stau chiar așa.

Logica ne învață că, mergând pe un drum sau altul, suntem siguri că vom ajunge la țintă. Ea însă nu ne va spune care este drumul care duce la țintă. Este necesar totdeauna să vedem de departe ținta, iar acest lucru îl realizează intuiția. Trebuie, de asemenea să avem o grijă permanentă pentru a păstra un echilibru între cele două laturi amintite.

Să nu uităm nicidecum că prin logică se demonstrează, în timp ce prin intuiție se inventează. Păstrarea echilibrului de care am vorbit poate înlătura dezorientarea care apare la mulți elevi care nu văd nici o legătură între matematică și realitate, și își închipui că aceasta este o lume de nepătruns, accesibilă numai unora și în consecință nu fac nici un fel de efort pentru înțelegerea ei.

Ori tocmai lipsa de interes lipsa de efort care îl face incapabil de a acționa constituie principalul adversar cu care trebuie să luptam în predarea matematicii.

Însușirea unui minim de cunoștințe de logică și folosirea lor ca instrument de lucru cu clasa ar putea avea ca efect obținerea unor rezultate bune în realizarea sarcinilor formative ale învățământului. Elementele de gândire corectă sunt însușite de copii odată cu învățarea limbii și dezvoltarea apoi în școală și familie. În cadrul lecțiilor de matematică multitudinea și varietatea exemplelor poate familiariza elevii cu tainele raționamentului matematic.

A. Înțelegerea de către copii a cuvintelor semnal ce duc la identificarea operației necesare soluției problemei sau a unor expresii întâlnite în probleme

Activitatea de rezolvare a problemelor ocupă un loc important în organizarea lecțiilor de matematică. Învățătorul este acela care îi încurajează permanent pe elevi în munca de rezolvare a problemelor având în vedere efectul formativ al acestei activități care conduce la dezvoltarea capacităților intelectuale ale copiilor.

Timpul consacrat activităților de rezolvare a exercițiilor și a problemelor prin care elevii transformă în deprinderi și priceperi noțiunile, definițiile și regulile cu caracter operațional trebuie să fie mai mare decât cel dedicat explicării propriu-zise a cunoștințelor noi. Practica a demonstrat că și elevii slabi înțeleg mai bine noțiunile teoretice atunci când se aplică în practică.

Efectuarea unor exerciții și probleme cu toata clasa este mai eficientă pentru a verifica în ce măsură elevii au înțeles regulile și noțiunile noi. Mai important decât aspectul cantitativ este aspectul calitativ în care este inclusă conștientizarea integrală a rezolvării tuturor problemelor și contribuția lor la dezvoltarea gândirii logice, creatoare.

Activitatea de rezolvare a problemelor începe în primele lecții de predare a operațiilor matematice de adunare și scădere. Primele probleme rezolvate cu elevii sunt probleme simple. În această perioadă este importantă rezolvarea problemelor în acțiune, precum și cu ajutorul materialului intuitiv.

Astfel, am căutat să ilustrez problemele pentru a înțelege mai ușor modul de rezolvare a acestora, având în vedere că formarea priceperilor și deprinderilor de rezolvare corectă și conștientă a problemelor simple este importantă pentru întreaga activitate matematică.

La început am căutat ca elevii să înțeleagă sensul unor cuvinte semnal, cum ar fi: adăugat, crescut, s-a consumat, s-au luat, real, total etc., care să îi conducă pe elevi mai ușor spre operația respectivă. Înțelegerea, acestor sensuri i-a ajutat atât în rezolvarea problemelor, dar le-a stimulat gândirea creatoare în compunerea problemelor.

Iată două exemple din multele care se pot da:

Pe o fructieră sunt 5 mere și 4 portocale. Câte fructe sunt în total pe fructieră?

În problemă apare cuvântul total, în întrebare. Fiind o problemă simplă elevii vor trebui să înțeleagă că rezolvarea necesită operația de adunare făcând legătura și cu rezultatul adunării care se numește sumă sau total.

Dana a primit de la bunica sa 10 lei. Ea a cheltuit 4 lei. Câți lei i-au mai rămas?

După enunțarea conținutului problemei, în întrebare se precizează și cuvintele au rămas, care-l îndrumă pe elev către operația de scădere. Desigur înțelesul acestor cuvinte nu trebuie privit mecanic. Problemele se rezolvă printr-o analiză amănunțită și nu prin aplicarea în mod mecanic a unei operații, așa cum am întâlnit de multe cazuri în munca cu elevii.

Am căutat să rezolv cu elevii multe probleme care să cuprindă formulări diverse, punându-i pe elevi în situația de a gândi logic, creator.

Iată un exemplu:

Mihai a cumpărat o carte care are 20 de pagini. Din ea, Mihai a citit în prima zi 6 pagini. Știți să-mi spuneți câte pagini mai are Mihai de citit?

În această problemă nu este un cuvânt anume care să-i îndrume spre operația care trebuie să o efectueze. De aceea, elevii trebui să gândească să-și imagineze și să găsească soluția problemei efectuând operația de scădere. Se trage concluzia că mai are de citit 4 pagini. Problema are și un caracter educativ: dragostea pentru lectură, pentru cărți interesante, ideea de economisire a banilor pentru a ne cumpăra lucruri plăcute și utile.

IV.2. Algoritmi, scheme logice și posibilitățile de folosire a lor în rezolvarea problemelor

Gândirea algoritmică, atât de strâns legată de logică, a devenit în ultimul timp, o metodologie generală a cunoașterii, depășind cadrul matematicii, impunându-se prin utilizarea și eficiența ei.

De aceea încă din clasele mici este bine ca elevii să fie familiarizați cu modul de abordare algoritmică a unor probleme, folosind pentru descrierea algoritmilor unei probleme și procese de calcul cu scheme logice. Parcurgând drumul rezolvării unor probleme, elevii parcurg drumul schematizării ei, al descoperii esențialului și structurii ei logice. Acest proces de schematizare trebuie urmărit sistematic și cu multă grijă.

Principalele etape ale acestei schematizării sunt:

elevul ia cunoștință cu problema prin citirea textului ei

urmează înțelegerea ei

reținerea și scrierea datelor

analiza datelor cunoscute și a relațiilor dintre ele

degajarea schemei de rezolvare (a planului de rezolvare)

Planul de rezolvare este în fond algoritmul de rezolvare al problemelor respective. În cazul problemelor simple schemele de rezolvare sunt și ele simple. Prin complicarea problemelor, schemelor de rezolvare devin mai complicate și ele, și în consecință greu de mânuit. Apare necesitatea folosirii unor figuri sau scheme care să fie mai ușor de recunoscut și manevrat.

Figurile grafice folosite în prezentarea schemelor logice au fost chiar standardizate.

Utilizarea schemelor logice nu este o noutate pentru învățământ. Ea este o chestiune veche pusă în condiții noi.

Începând chiar din clasa I, programa de matematică conține numeroase chestiuni legate de algoritmi și scheme logice, fără ca acestea să fie tipizate și recunoscute ca un sistem formal de gândire.

În fond, rezolvarea oricărei probleme este parcurgerea unei succesiuni de etape riguros argumentate pentru găsirea soluției.

Cele mai multe reguli din matematica claselor I-IV se însușesc printr-un sistem de algoritmi bine precizați, ca ce exemplu: algoritmul adunării a două numere naturale, algoritmul înmulțirii, algoritmul împărțirii cu rest etc.

În practică, în foarte multe cazuri lipsește parțial, sau uneori complet motivarea fiecărui pas din algoritmul utilizat sau uneori raționamentul pare trunchiat, elevul neputând să sesizeze întregul din cauza părților asupra cărora s-a insista prea mult.

O astfel de situație se întâmplă atunci când învățătorul împletește raționamentul cu lucrările; se face judecata pentru rezolvarea unei părți din problemă și se fac operațiile corespunzătoare, apoi se trece la partea următoarea etc.

Pierderea legăturii dintre verigi este un inconvenient deosebit și creează dificultăți serioase elevilor în înțelegerea fondului.

Prin aplicarea unui astfel de sistem de lucru cu elevii nu se pot obține decât elevi buni executanți, cu foarte puțină inițiativă și spirit de observație. Efectuarea cu elevii a întregului raționament și fixarea lui pe tablă, printr-un procedeu oarecare, ar putea înlătura o mare parte din efectele amintite. În acest caz atenția nu ar fi dispersată către lucruri neesențiale. Schele logice oferă o modalitate de lucru în acest sens.

Schemele logice care se pot atașa problemelor sunt de două tipuri scheme sintetice și scheme analitice. Folosirea lor depinde de nivelul de dezvoltare intelectuală atins de elevi.

Astfel, la elevii din clasele I și a II-a unde concretul primează și puterea de abstractizare este mică se pot folosi cu succes schemele sintetice.

Iată un exemplu de astfel de schemă:

Rita a economisit 700 lei. Din ei cumpără o bicicletă de 500 lei. Luna următoare primește salariul, adică, 700 lei, din care plătește facturile, în valoare de 300 lei. Câți lei mai are Rita?

Schema sintetică se alcătuiește pornind de la datele problemei și apoi prin operații intermediare se sintetizează rezultatul final. Schema poate avea forma:

Este evident că putem obține mai multe scheme.

Pe măsură ce elevii cresc și câștigă experiență și cunoștințe trebuie îndrumați ca rezolvarea să o facă pe cale inversă. În acest sens este bine ca ei să pornească de la întrebare și să analizeze problema. În acest caz raționamentul ar putea fi condus după schema:

Această schema se va aborda mai pe larg către sfârșitul clasei a IV-a înlocuindu-se cu cunoscutul plan de rezolvare al problemei care dă descrierea etapelor de lucru prin cuvinte.

Schemele și apoi planul de rezolvare sunt deosebit de utile ajungând la desprinderea elevului de concret și favorizându-i gândirea logică. Aici elevul are posibilitatea să-și motiveze etapele de lucru și să le aibă în permanență în față fără un efort prea mare.

Realizarea schemelor logice este incompatibilă cu dezordinea în muncă și gândire, realizarea sarcinilor formative ale învățământului se poate face mai bine dacă utilizăm consecvent acest mijloc incomod de lucru. În același tip am dispune de un auxiliar prețios în munca cu formalismul care își face loc des în însușirea cunoștințelor predate. În munca de cercetare a unei probleme sau a unei clase de probleme elevul, direct angajat pentru descoperirea algoritmului, poate avea beneficii nebănuite. Această activitate favorizează dezvoltarea inteligenței, creativității, spiritului de observație, a capacității de explorare și a altor aptitudini generale ale personalității.

2. Înțelegerea de către elevii a unor expresii

care se întâlnesc în probleme

Încă din clasa I, elevii rezolvă probleme în care întâlnesc expresiile cu atât mai mult, cu atât mai puțin, care se referă la o anumită operație aritmetică. Aceste noțiuni fiind abstracte pentru vârsta lor, ci pot lua valoare numerică dată în problemă, cu atât mai mult, ca o dată cunoscută.

Exemplu:

Crina a cules 4 trandafiri, iar fratele său Victor, cu 3 trandafiri mai mult. Câți trandafiri au cules cei doi copii împreună?

Se întâmplă uneori ca elevii să ia numărul 3 ca o dată cunoscută, lucru care duce la un rezultat greșit al problemei. Cheia corectă de rezolvare este:

4 + 3 = 7 (trandafiri)

4 + 7 = 11 (trandafiri)

Un bun procedeu folosit pentru înțelegerea acestor noțiuni este ilustrarea problemelor. Ilustrarea se poate face cu ajutorul jetoanelor sau flanelograf sau grafic, folosind culorile, ca în schița următoare.

Crina

4 trandafiri

Victor

4 trandafiri 3 trandafiri

Rezolvarea problemei prin metoda grafică contribuie la înțelegerea conștientă a unor expresii ce apar în probleme.

Pentru înțelegerea acestor expresii am rezolvat cu elevii mai multe exerciții de tipul:

Găsirea numărului care este cu mai mare decât;

Găsirea numărului cu 8 mai mic decât ;

Aflați un număr cu 3 mai mare decât;

Aflați un număr cu 5 mai mic decât;

Măriți cu 4 numărul;

Micșorați cu 3 numărul;

Am încercat ca în rezolvarea acestor exerciții (în clasă și ca activități independente) elevii să gândească logic, să înțeleagă la ce operație se referă fiecare expresie dată.

3. Rezolvarea problemelor prin mai multe moduri

În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe moduri constituie o cale de dezvoltare a gândirii logice, creatore. Această activitate îi îndeamnă pe elevi la căutarea unor modalități de rezolvare originale. Important este ca ei să înțeleagă în mod conștient toate căile de rezolvare, să le explice și să le reproducă.

Activitățile de rezolvare a problemelor prin mai multe moduri încep din clasa I, după ce elevii și-a format deprinderi temeinice de rezolvare a problemelor compuse.

Exemple:

Pe ramurile unui copac sunt 15 păsărele. Mai vin 6 păsărele, apoi pleacă 9. Câte păsărele au rămas în copac?

Rezolvarea I:

15 + 6 = 21 (păsărele)

21 – 9 = 12 (păsărele)

Rezolvarea II

(15 -9) + 6 = 12 (copii)

Pe primul raft al unui aprozar sunt 5 lădițe a câte 12 roșii fiecare. Pe al II-lea raft sunt 7 lădițe 12 roșii fiecare. Câte roșii sunt în total pe cele două rafturi? (Rezolvați problema prin două moduri)

Rezolvare:

Câte lădițe sunt pe cele două rafturi?

5+7=12 (lădițe)

Câte roșii sunt în total în cele 12 lădițe?

12 (lădițe) x 12 (roșii) = 144 (roșii)

Rezolvarea II:

Câte roșii sunt pe primul raft?

5 x 12 = 60 (roșii)

Câte roșii sunt pe al II-lea raft?

7 x 12 = 84 (roșii)

Câte roșii sunt pe cele două rafturi?

60+ 84 = 144 (roșii)

La ambele moduri e obține același rezultat (144 roșii), condiție de mare importanță.

În munca cu elevii am valorificat orice posibilitate de rezolvare a unei probleme, dar i-am îndrumat totodată să folosească și să aleagă căile de rezolvare cele mai scurte și mai economicoase.

Exemplu

Cu 95 lei am cumpărat 10 stilouri și 3 cărți. Cât costă un stilou și cât costă o carte, dacă o carte costă de 3 ori mai mult decât un stilou?

Rezolvarea I:

3 cărți…………………..10 stilouri …………………………. 95 lei

c = s x 3

Dacă valoarea unei cărți este egală cu valoarea a 3 stilouri, atunci valoarea a 3 cărți este egală cu valoarea 9 stilouri.

3 x 3 = 9

deci vom înlocui pixurile cu creioane

În rezolvarea acestor probleme vom căuta să înlocuim mărimea mai mare prin mărimea mai mică. Deci:

9 stilouri …………………………10 stilouri…………………. 95 lei

9 s + 10 s = 19 stilouri

95 lei: 19 creioane= 5 lei (un stilou)

5 lei x 3 = 150 lei (o carte)

Rezolvarea II:

P =

P = 1 carte și 1 stilou

3 cărți………………. 10 stilouri

1 =

2=

3 = 95 lei

4 =

5 =

Se va cere elevilor să aleagă calea cea mai simplă (modul I de rezolvare).

Exemple de probleme care se rezolvă prin mai multe moduri sunt multiple, manualele oferindu-ne destul de multe probleme de acest fel și am căutat să valorific acest lucru chiar dacă nu sunt date peste tot indicații în acest sens.

4. Complicarea problemei prin introducerea de noi date

sau prin modificarea întrebării

Acest procedeu contribuie în mare măsură la dezvoltarea flexibilității și creativității gândirii:

Exemplu:

Un magazin de jucării s-a aprovizionat de la un depozit astfel: cu 10 cutii a câte 8 mașinuțe fiecare, 9 cutii a câte 3 păpuși fiecare și 15 de cutii a câte 4 mingi colorate în fiecare cutie.

Câte jucării s-au achiziționat în total de la depozit?

Apoi problema se complică prin schimbarea întrebării, punându-se următoarele întrebării:

1. Câte jucării ar fi trebuit să mai cumpere patronul magazinului pentru 2 luni, știind că acesta este necesarul doar pentru o lună ?

2. Câte cutii de jucării s-au achiziționat?

3. Care din jucăriilecumpărate costă mai mult și cu cât? etc.

La această ultimă întrebare elevii sunt puși în situația de a cumpăra costurile legumelor și de a afla cu cât costă mai mult o anumită cantitate de legume față de altele.

5. Transpunerea rezolvării problemelor

printr-o singură expresie.

O altă cale de stimulare a gândirii logice a elevilor, pe care am folosit-o frecvent în activitatea de rezolvare a problemelor este transpunerea rezolvării sub forma unui singur exercițiu, folosind datele problemei.

Dacă datele problemei sunt înlocuite cu litere exercițiul este generalizat. O asemenea activitate cu elevii este o muncă de creație de gândire de stabilire de legături logice pentru a putea pune sub forma unui singur exercițiu ceea ce de fapt se realizează în mai multe etape prin mai multe exerciții distincte.

În activitatea cu elevii am observat că ei sunt tentați să folosească în formula numerică a problemei alte numere decât datele problemei (necunoscute aflate prin rezolvare). În această direcție am insista mult astfel încât elevii să înțeleagă că în exercițiul problemei se folosesc datele necunoscute ale acesteia sau operațiile prin care am aflat necunoscute folosindu-ne la nevoie de paranteze mici, mari sau acolade. În alcătuirea exercițiului trebuie să ținem cont de ordinea operațiilor din problemă, de ordinea operațiilor în efectuare (ordinul I, ordinul II), precum și de proprietățile operațiilor (comutativitate, asociativitate).

De asemenea am căutat să-i fac pe elevi să înțeleagă că prin rezolvarea exercițiului trebuie să ajungem la rezultatul problemei.

În caz contrar, fie am greșit rezolvarea, fie că am alcătuit sau rezolvat greșit exercițiul.

Câmpul de aplicare al acestei activități creatoare ne este deschis aproape la orice lecție unde rezolvăm probleme. Iată cum au alcătuit elevii exercițiul la unele dintre problemele rezolvate.

Într-un vas sunt trandafiri, garoafe și iriși. Ștind că erau 15 trandafiri, cu 11 mai multe garoafe, iar numărul irișilor era jumătate din numărul garoafelor. Câte flori sunt în vas?

Formula numerică este:

15 + (15 + 11) + [(15 +11) : 2] = 54

Formula literală este:

a + (a + b) + [(a + b) : c] = R

Mama a cumpărat 3 caserole a câte 12 căpșuni fiecare și 3 caserole cu câte 18 căpșuni fiecare. Câte căpșuni a cumpărat mama în total? (Rezolvare în două moduri)

Modul I de rezolvare:

Formula numerică:

(3 x 12) + (3 x 18) = 90 (căpșuni)

Formula literală:

(a x b) + (a x c) = R

Al II-lea mod de rezolvare

– formula numerică:

Formula numerică:

(12 + 18) x 3 = 90 (căpșuni)

Formula literală:

(b + c) x a =R

Dacă elevii își formează priceperi și deprinderi de transpunere corectă a rezolvării problemelor în exerciții aceasta îi va ajuta la activitatea de compunere a problemelor.

IV.3. Tipuri de probleme și modalități ce stimulează dezvoltarea gândirii creatoare

1. Activitatea de compunere a problemelor

Compunerea de probleme este una din modalitățile principale de a dezvolta gândirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor.

Activitatea de rezolvare a exercițiilor și problemelor se întrepătrunde și se completează reciproc cu activitatea de compunere a problemelor. Prin compuneri de probleme elevii observă corelația dintre exerciții și probleme. În lipsa acestei corelații elevii ar rămâne cu ideea că între acestea nu există nici o legătură.

Compunerea de probleme prin muncă independență în clasă și acasă, reprezintă un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independență și creativitate.

Exersarea elevilor în munca de creare a problemelor începe imediat ce au înțeles conceptual de problemă. Este o activitate complexă, elevul fiind obligat să respecte cerința propusă și în raport cu aceasta să elaboreze, textul al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită.

Criteriile care determină complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleași ca rezolvarea de probleme:

stăpânirea tehnicilor de calcul;

deprinderea de a stabili raționamente logice;

vocabularul bogat;

capacitatea de a restructura cunoștințele dobândite pentru a elabora textile cu conținut realist

Sunt propuse numeroase forme de compunere și creare a problemelor într-o succesiune gradată.

2. Compunerea problemelor după obiecte

concrete, tablouri și imagini

În perioada de început am pornit de la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor pe cale intuitivă. Am căutat ca elevii să înțeleagă în mod conștient îmbinările de cuvinte și numere, folosind mai multe nuanțe de exprimare. Primele probleme create de elevi sunt asemănătoare cu cele ale învățătorului, rezolvate de ei în clasă:

Astfel, după ce am rezolvat problema:

Andreea are în mâna dreaptă 4 baloane roșii, iar în mâna stângă 5 baloane verzi. Câte baloane are Andreea în total?

Am așezat apoi pe catedră două coșulețe cu nuci. Elevii au numărat nucile din fiecare coșuleț și am scris datele pe tablă. Le-am cerut apoi să alcătuiască problema.

Majoritatea au compus cu ușurință problema sesizând și operația de adunare prin care se rezolvă.

Am trecut apoi la faza semiconcretă, când am folosit reprezentările obiectelor și în locul nucilor, baloanelor etc., am folosit jetoane cu acestea.

Le-am cerut elevilor, după ce s-au obișnuit să creeze probleme pe bază intuitivă, să le înlocuiască pe baza datelor scrise pe tablă.

Exemplu:

6 rățuște………………………..4 rățuște……………………………… ? rățuște

De fiecare dată am căutat ca elevii să înțeleagă interdependența dintre enunț și întrebare.

3. Completarea întrebării unei probleme

De o eficiență deosebită s-au dovedit activitățile în care elevii au fost puși să completeze întrebarea problemei. Pentru înțelegerea legăturii dintre enunț și întrebare le-am dat un enunț căruia îi lipsea întrebarea. Și le-am cerut să spună ce întrebare se poate pune.

Exemple:

Maria a cules 5 flori. Elena a cules 8 flori.

Elevii au găsit mai multe formulări de întrebare pentru acest enunț.

Câte flori au cules cei doi copii?

Câte flori au cules în total?

Câte flori au cules la un loc?

Cu câte flori a cules mai mult Elena decât Maria?

Cu câte flori a cules mai puțin Maria decât Elena?

Câte flori mai are de cules Maria pentru a avea același număr de flori ca și Elena?

Se observă că o parte din elevi au formulat întrebări cu același conținut, dar diferă enunțul – ei referindu-se la una din operațiile de bază (scăderea sau adunarea).

Rareș are 8 C.D.-uri cu desene animate. Robert are de 2 ori mai multe.

Puneți întrebarea astfel încât problema să se rezolve prin două operații și anume: o înmulțire și o adunare. (Câte C.D-uri au cei doi copii?).

Puneți întrebarea astfel încât problema să e rezolve prin două operații și anume o înmulțire și o scădere. (Care băiat are mai multe C.D.-uri și cu câte?)

Am folosit și procedeul invers. Le-am dat o întrebare, iar elevii au găsit mai multe enunțuri diferite ca exprimare, dar care se refereau la aceeași relație matematică.

Astfel la întrebarea Câte (….) sunt în total?, elevii au găsit următoarele formulării:

Gina are 4 păpuși blonde și 2 păpuși brunete. Câte păpuși are în total?

Într-un an școlar, Andrei a luat 8 buline roșii și 1 bulină neagră. Câte buline a luat în total?

Eric are 2 căței, 3 papagali și un hamster. Câte animale de companie are Eric în total?

Exemplele ar putea continua, deoarece aproape toți elevii din clasă au putut formula corect enunțuri de probleme. Elevilor cu o gândire mai lentă le-am suferit să folosească în alcătuirea problemelor obiecte din mediul înconjurător.

La clasele mai mari am folosit și enunțuri de probleme compuse care le lipsea întrebare:

Diana a rezolvat în vacanța mare 93 de exerciții și probleme. Problemele rezolvate sunt de 2 ori mai puține decât exercițiile. Ce întrebări se pot pune?

Elevii au formulat următoarele întrebări:

Câte exerciții a rezolvat Diana?

Câte probleme a rezolvat Diana?

Cu câte sunt mai multe exercițiile decât problemele rezolvate?

Câte probleme ar fi trebuit să mai rezolve ca să aibă același nr. ca și exercițiile?

Toate aceste modalități de lucru în care elevii sunt solicitați să găsească întrebări la o problemă s-au dovedit a fi eficiente.

4. Compunerea unei probleme după modelul

unei probleme rezolvate anterior

Exemplu:

Compuneți o problemă după modelul problemei:

Sara are 8 bomboane. Ea îi dă Larisei 2 bomboane. Câte bomboane îi rămân?

5. Compunerea problemelor după scheme

Exemplu:

Formulați o problemă care să se rezolve cu ajutorul desenului:

1. 247

65

2.

910

Compunerea problemelor după scheme simple și apoi mai complicate oferă posibilitatea elevilor de a-și forma deprinderi temeinice de formulare a problemelor.

6. Compunerea problemelor cu indicarea operațiilor

matematice ce trebuie efectuate

Compunerea problemelor, la început după exerciții simple, am folosit-o atât în clasă, oral sau muncă independentă, cât și în activitatea de acasă. Din exemplele următoare se poate observa câte enunțuri pot formula elevii sub îndrumarea învățătorului și apoi independent, pornind de la un exercițiu mai simplu:

Compuneri de probleme după o adunare: 235 + 78 =;

Compuneri de probleme după o scădere: 15 – 9 =;

Compuneri de probleme după o înmulțire: 8 x 6 =;

Compuneri de probleme după o împărțire: 30 : 5 =;

Dacă elevii știu să alcătuiască corect și cu ușurință probleme după o operație simplă, putem apoi să le cerem să compună probleme indiferent de numărul de operații.

Inventați o problemă care se rezolvă prin două operații și anume:

o înmulțire și o adunare;

Inventați o problemă care se rezolvă prin două operații:

înmulțire și o scădere;

Spre sfârșitul clasei I am trecut la crearea problemelor compuse, urmărind a se intensifica în clasele următoare. Un accent deosebit l-am pus pe formularea unor probleme compuse care ridică probleme deosebite.

Exemplu:

Inventați o problemă după exercițiul:

9 – (4 + 2) =

Inventați o problemă după exercițiul:

5 + (7 – 3) =

După ce elevii stăpânesc bine compunerea problemelor după formule numerice am trecut la compunerea lor după formule literale:

a + (a + b) =

a + (a – b) =

(a x b) + (a x c) =

Formulele literale dau posibilitatea elevului să-și aleagă singur numerele și domeniul.

7. Compunerea problemelor după un plan stabilit

După ce elevii știu să rezolve corect și conștient problemele compuse pe bază de plan, putem da elevilor un plan de rezolvare după care să alcătuiască o problemă. Înainte de a formula problema, se analizează despre ce se vorbește în problemă, ce conțin întrebările, ce date numerice se folosesc.

Exemplu:

Am date elevilor următorul plan:

Câte kg de varză s-au vândut ?

125 + 50 = 175 kg

Câte kg de vinete s-au vândut ?

175 – 65 = 110 kg

Câte kg de legume s-au vândut în total ?

125 + 175 + 110 = 410 kg de legume

După acest plan au alcătuit următoarea problemă:

La un aprozar s-au vândut 125 kgde roșii, cu 50 kg mai multă varză și cu 65 kg mai puține vinete.

Câte kg de legume s-au vândut în total?

8. Compunerea problemelor cu început dat

Exemplu:

Continuați enunțul problemei:

La o seră s.au cultivat 2 500 de fire de flori: trandafiri, garoafe și gladiole. Știind că trandafirii sunt în număr de 350 de fire …..

9. Compunerea de probleme cu mări date,

cu valori numeri date.

Exemplu :

Creați probleme după exercițiile date:

x + (x – y) = z unde: x = 48 m;

y = 25 m;

x – (y + z) = w unde x = 85 lei;

y = 35 lei;

z = 30 lei

10. Compunerea problemelor cu modificarea

conținutului și a datelor

Exemplu:

Compuneți o problemă prin corectarea conținutului și modificarea datelor.

La o pescărie s-au adus 75 kg de macrou, iar crap de 2 ori mai puțin. Câte kg de păstrăv s-au adus?

Corect

La o pescărie s-au adus 75 kg de macrou, iar crap de 5 ori mai puțin. Câte kg de pește s-au adus?

(Nu putem spune de 2 ori mai puțin deoarece 75 nu se împarte exact la 2)

(Nu putem pune întrebarea “Câte kg de păstrav s-au adus?”, deoarece nu avem nici o relație de legătură cu acesta.

În compunerea problemelor am ținut seama de posibilitățile fiecărui elev, dând astfel sarcini gradate. Am început cu crearea liberă – care este cea mai accesibilă – și am trecut la sarcini îngrădite de anumite cerințe.

Activitatea de compunere a problemelor este un mijloc de însușire creatoare a cunoștințelor prin modul în care sunt solicitate gândirea, atenția imaginația, spiritual de observație, inițiativa, satisfacția succesului, spiritual competițional.

Activitatea de compunere a problemelor dezvoltă gândirea logică; rapiditatea gândirii, deoarece în procesul formulării unei probleme elevii au în minte și planul de rezolvare.

Învățătorul are sarcina să conducă această activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive, prin cerințe raționale să canalizeze gândirea și atenția elevilor prin asocieri din ce în ce mai puțin întâmplătoare. În același timp trebui să-i facă pe elevi să aibă încredere în ei, să le stimuleze eforturile intelectuale, să le educe calitățile moral – volitive, să le dezvolte interesul și sensibilitatea să fie receptivi la situațiile problematice.

Este necesar să avem permanent în atenție îmbunătățirea continuă a exprimării corecte a copiilor, atât din punct de vedere matematic cât și gramatical, îmbogățirea vocabularului matematic, creșterea continuă, a volumului lor de cunoștințe de transfer și de folosire a acestora în practică.

Compunerea de probleme în clasele I-IV poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație,și cu certitudine o modalitate sigură de sporire a rolului formative al învățământului matematic din ciclul primar în strânsă corelație cu celelalte discipline de învățământ.

V.1. Precizarea obiectivelor și formularea ipotezei

Creativitatea poate rezolva aproape orice problemă. Actul de creație, înfrânge-

rea banalului prin originalitate, învinge totul. (George Lois)

Lumea este atât de mare și de frumoasă, și toată lumea aceasta mare este prima

noastră carte de aritmetică. (Eugen Koller)

Cu cât mai intim se leagă primul învățământ al aritmeticii de viața de fiecare zi a copilului și de lumea înconjurătoare apropiată lui, cu atât mai mult se va ocupa copilul cu cifre, chiar și în afara orelor de școală. Odată pus pe urmele lor, copilul le cercetează mai departe în mod independent. (E. Koller)

Am ales drept punct de plecare pentru motivarea temei alese aceste trei citate , tocmai pentru că ele mi se par elocvente și în același timp îndreptățite a demonstra importanța teoretică și practic-aplicativă a temei tratate.

Nivelul superior al gândirii, spre realizarea căruia trebuie să tindă învățământul, este creativitatea, iar o condiție a creativității este flexibilitatea.

Prin însăși natura sa, gândirea are un caracter creator, fiind opusă proceselor psihice neproductive (memoria și acțiunile mintale automatizate), cu care formează însă o strânsă unitate. Totuși, în complexul reproducere-creație, componenta creatoare poate să aibă un rol mai redus sau mai însemnat. Persoanele caracterizate prin gândire creatoare ajung să descopere noi relații între obiecte și fenomene, noi metode sau procedee de investigație etc. Și gândirea unui elev este creatoare dacă el găsește rezolvarea unei probleme de matematică sau din alt domeniu pe o cale diferită sau mai elegantă decât cea vin manual sau aceea care a fost prezentată de profesor. Opusul gândirii creatoare este gândirea stereotipă.

În portretul omului creator, prezența imaginației se afirmă prin anumite caracteristici ale intelectului său. Una dintre ele este fluiditatea, ce constă în bogăția asociațiilor de imagini ori de idei care inundă conștiința umană. Din selecția acestora pot rezulta variate soluții ale unor probleme.

Apoi se distinge flexibilitatea, adică ușurința cu care o persoană e capabilă să schimbe punctul de vedere în abordarea unei situații, a unei probleme. Nu e vorba însă de facilitatea adaptării afective la o împrejurare, aceasta depinzând de un alt factor de natură temperamentală. Este o facilitate care se manifestă mai ales în cadrul efortului de gândire. Gândirea, urmărind rezolvarea unor dificultăți de ordin intelectual, este foarte strâns legată de imaginație și flexibilitatea înlesnește considerabil progresul unei demonstrații. Gândirea permite clasificarea imaginilor furnizate de simțuri și formarea unor concepții asupra realității, asupra ceea ce este util și ceea ce nu este,asupra valorii lucrurilor. În acest fel se poate face o selecție între plăsmuirile imaginației și reține elementele de progres, care permit o transformare pozitivă a realității, a culturii. Gândirea, deci, orientează și verifică în permanență procesul creației.

Știm că orice copil normal dezvoltat din punct de vedere intelectual simte un îndemn lăuntric de căutare și cercetare independentă. Este o cerință esențială a învățământului prin cercetare de a promova acest imbold natural și de a-l ține treaz chiar și dincolo de vârsta școlară, sau, exprimat în mod negativ, de a împiedica pe elevi să accepte fără coparticipare expunerile și explicațiile profesorilor ca pe un lucru inevitabil și, ca urmare, să considere mai târziu și fenomenele cotidiene din jurul lor ca pe niște lucruri de la sine înțelese.

Încă din primele clase, după limba română,matematica constituie al doilea obiect de bază. Acest lucru poate fi ușor constatat și din planul-cadru pentru clasele I-IV ,în care matematicii îi sunt alocate minim 4 ore pe săptămână, respectiv, 136 ore anual.

Obiectivele cadru și de referință ale predării matematicii în clasele a III-a și a IV-a,după cum reiese și din programa școlară,sunt multiple și foarte variate. Acestea vizează învățarea numerației și a operațiilor cu numere naturale, unitățile de măsură, fracțiile ordinare, elemente de geometrie elementară, intuitivă, și nu în ultimul rând, rezolvarea de probleme.

Rezolvarea de probleme reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioare. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative,inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală ale elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția,să formeze ipoteze și apoi să le verifice.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar, programa de matematică acordă problemelor o mare importanță și atenție.

Obiectivele urmărite într-o cercetare psihopedagogică trebuie raportate la comportamentele concrete ale elevilor în școală, la condițiile de învățare ce vizează îmbunătățirea/creșterea randamentului școlar.

Pornind de la aceste premise, în anul școlar 2010-2011, am realizat experimentul psihopedagogic de tip formativ având ca problematică Dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor de clasa a III-a prin rezolvare și compunere de probleme.

Una din principalele etape ale cercetării experimentale este stabilirea ipotezei de lucru pe baza căreia se va proiecta și desfășura experimentul psihopedagogic și în funcție de care se vor alege variabilele, probele psihologice, evaluarea și prelucrarea rezultatelor finale.

Ipoteza de lucru pe baza căreia se desfășoară experimentul lucrării de față vizează următoarele aspecte:

Dacă pe parcursul unui an școlar, în cadrul orelor de matematică se vor realiza în mod sistematic și susținut activități de rezolvare și compunere atât ale tipurilor de probleme din programă cât și ale altor tipuri de probleme, cu caracter creator, folosindu-se strategii pedagogice adecvate (metode euristice, jocul didactic etc), menite să asigure învățarea conștientă și activă, incitarea curiozității și dezvoltarea plăcerii pentru rezolvarea de probleme, asigurându-se un climat afectiv corespunzător, atunci, la sfârșitul anului școlar respectiv,atât rezultatele probelor de evaluare inițială și finală, cât și cele ale probelor de evaluare sumativă propuse pe parcurs, conținând itemi de rezolvare și compunere de probleme aplicate pe eșantionul ales (clasa de elevi cu care s-a lucrat) vor dovedi o evoluție considerabilă în dezvoltarea a fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor.

Din ipoteza formulată se desprind următoarele obiective:

Să testez nivelul de pregătire al elevilor clasei și al potențialului creativ al acestora;

Să demonstrez valoarea formativă și educativă a rezolvării de probleme în orice domeniu de activitate;

Să realizez o cercetare psihopedagogică la clasa a III-a, prin care să demonstrez rolul rezolvării și compunerii de probleme în dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor, îmbinând metode tradiționale cu metode și procedee activ-participative și de cooperare;

Să promovez ideea conform căreia rezolvarea problemelor de aritmetică formează la elevi atitudini și sentimente pozitive față de munca intelectuală, dezvoltă tăria de caracter, spiritul de disciplină și competiție intelectuală.

V.2. Metodica cercetării

Cercetarea pedagogică este definită ca fiind o strategie proiectată și realizată în scopul de a surprinde relații și fapte noi între componentele acțiunii educaționale și de a elabora, pe această bază, soluții optime pentru problemele procesului educațional. Este un demers rațional, organizat în vederea surprinderii relațiilor funcționale și cauzale dintre variabilele acțiunii educaționale practice. (I. Drăgan, I. Nicola). (apud Dumitriu, C., 2004, p. 6)

Metodica este definită ca un sistem de prescripții, procedee, tehnici, mijloace prin care se concretizează aplicarea unei metode sau unui grup de metode; modelul concret de lucru în cercetare (Dumitriu, C., 2004, p. 53).

În vederea testării ipotezei formulate mi-am propus mai multe direcții de acțiune care pot fi considerate totodată etape în derularea cercetării:

Stabilirea eșantionului experimental;

Administrarea factorului de progres;

Înregistrarea, prelucrarea, analiza și interpretarea rezultatelor;

Stabilirea diferențelor între cele două faze (finală și inițială) în cadrul eșantionului.

Acțiunea educațională declanșată prin cercetarea întreprinsă presupune atât înregistrarea și prelucrarea rezultatelor pentru a demonstra eficiența rezolvării și compunerii de probleme, folosind metode și tehnici de lucru activ-participative, într-un climat educativ prielnic, stimulativ, de cooperare, întajutorare între elevii clasei. Pe parcursul etapei formative, aceștia au fost activitățile propuse s-au desfășurat atât frontal și individual, cât mai ales, pe grupe, această formă de organizare demonstrându-se eficientă în stimularea și dezvoltarea gândirii productiv-creatoare. Cercetarea întreprinsă, fiind una experimentală presupune determinarea cantitativă prin măsurare, a fenomenelor investigate. Pe această bază experimentarea oferă posibilitatea evidențierii obiective a eficienței noii tehnologii didactice.

Ținând cont de specificul și cerințele cercetării științifice în pedagogie, precum și de obiectivele investigației, am utilizat metode și instrumente de cercetare:

Experimentul psihopedagogic formativ

Observația

Testul

Analiza produselor activității

Convorbirea

Studiul documentelor școlare

Principala metodă de investigație a fost experimentul, dat fiind faptul că furnizează date precise și obiective. Două aspecte sunt esențiale pentru experiment: capacitatea acestuia de a verifica ipotezele cauzale și posibilitatea pe care o oferă pentru a controla situațiile experimentale.

Experimentul presupune provocarea apariției fenomenelor și modificarea condițiilor de manifestare. Se creează astfel o situație nouă, prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, cu scopul de a verifica ipoteza care a declanșat aceste inovații. Cu ajutorul experimentului se surprind diferite relații cauzale și funcționale dintre variabile în vederea ameliorării și perfecționării acțiunii educaționale.

Experimentul psihopedagogic reprezintă o formă particulară a experimentului natural. Experimentul psihopedagogic formativ presupune intervenția în grupul școlar în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor factori de progres. Acest experiment cuprinde trei etape: testarea inițială, introducerea factorului de progres și testarea finală.

Experimentul psihopedagogic furnizează date de ordin cantitativ, cu grad sporit de precizie și rigurozitate. Ele sunt concludente și ușor de prelucrat și interpretat cu ajutorul metodelor și tehnicilor statistico-matematice. Poate fi folosit și în scop diagnostic (constatativ) pentru evidențierea deosebirilor psihice individuale.

Există unele limite ale acestei forme de experiment: se desfășoară în condiții multiple și variate ce nu pot fi în totalitate ținute sub control. De aceea rezultatele obținute se pot datora atât factorilor de progres introduși în experiment, cât și influențelor exercitate de aceste condiții.

Deși strategia de cercetare utilizată este una experimentală, ea valorifică și valențele investigatoare ale altor metode.

Observația constă în urmărirea sistematică și înregistrarea exactă, sistematică a diferitelor manifestări comportamentale ale elevului (grupului) așa cum se prezintă ele în mod natural. Această metodă a fost utilizată în perioade premergătoare, dar și în timpul desfășurării experimentării, cu scopul de a compara și surprinde comportamentul, reacțiile elevilor și mai ales condițiile psihopedagogice în care metodele activ-participative (în special problematizarea) asigură învățământului o deosebită valoare formativă.

Avantajele acestei metode constau în faptul că ea permite surprinderea manifestărilor comportamentale naturale, în condițiile firești de activitate, oferind date de ordin calitativ și fiind folosită cu multă eficiență în studiul longitudinal al evoluției copilului.

Testul este un instrument standardizat, folosit pentru măsurarea capacităților, a însușirilor psihice ale individului în vederea stabilirii prezenței/absenței lor, a gradului de dezvoltare și a particularităților de manifestare. El este definit ca fiind o probă standardizată, elaborată în vederea înregistrării unei calități, însușiri sau manifestări comportamentale, la un stimul sau un set de stimuli administrați din exterior.

În cercetarea întreprinsă am aplicat testul ca metodă de psihodiagnoză, în vederea diagnosticării nivelului de dezvoltare a fluidității și flexibilității gândirii, dar și ca metodă de testare a cunoștințelor: atât probe de evaluare curentă, cât și probe sau teste de evaluare sumativă, la sfârșitul fiecărei unități de învățare prevăzute de programa școlară. Acestea reprezintă un set de probe cu ajutorul cărora se verifică și se evaluează nivelul asimilării cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele, prin verificarea și aprecierea acestora de către învățător pe baza unor descriptori de performanță , stabiliți în prealabil.

Analiza documentelor școlare și a produselor activității furnizează informații despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma obiectivării lor în produsele activității.

Unele documente, precum catalogul școlar, portofolii, rapoarte, caietele de teme, carnete ne oferă informații importante despre nivelul de pregătire și alte aspecte ale personalității școlarului. De asemenea, prin consultarea unor documente precum programele școlare, proiectarea curriculară realizată la anumite niveluri, lucrări de perfecționare a cadrelor didactice, se obțin date privitoare la acțiunea educațională, mai ales asupra rezultatelor ei. Analiza acestor documente oferă ocazia de a face unele

aprecieri, evaluări asupra muncii elevilor, oferă atât prilejul unor reflecții retroactive, cât și posibilitatea elaborării de previziuni referitoare la evoluția ulterioară a elevilor.

O altă metodă de cercetare utilizată a fost convorbirea. Aceasta s-a desfășurat atât ca metodă de sine stătătoare, cât și integrată altor metode (mai ales în observație).

Convorbirea furnizează informații pentru înțelegerea motivelor interne ale conduitei elevului, a opiniilor, preferințelor sale, dezvăluind demersul gândirii elevului. Marele avantaj al convorbirii constă în faptul că permite obținerea de informații numeroase și prețioase într-un timp relativ scurt. Chiar dacă necesită multă răbdare, spirit de observație, tact ea relevă o serie de aspecte profunde ce sunt greu sesizabile prin observație și experiment.

Instrumentele și tehnicile statistico-matematice includ instrumentele matematice necesare prelucrării datelor adunate cu ajutorul celorlalte metode în vederea realizării unor evaluării și interpretări calitative pentru desprinderea unor concluzii cu valoare practic acțională.

Dintre tehnicile statistice pe care le putem utiliza pentru prelucrarea și prezentarea datelor unei cercetări pedagogice, mai des întâlnite sunt:

Tabele analitice, în care se consemnează rezultatele individuale ale subiecților investigației;

Tabele sintetice în care se grupează datele măsurate, făcându-se abstracție de numele subiecților;

Reprezentări grafice – histograma, poligonul de frecvență, diagrama areolară care reprezintă sintetice rezultatele globale ale cercetării;

Într-o cercetare psihopedagogică sunt utilizate mai multe metode de cercetare pentru strângerea unor informații complementare, limitele unei metode fiind corectate de către altă metodă, acestea având rolul de a da o imagine de ansamblu asupra fenomenului studiat.

V.3 Desfășurarea cercetării, prelucrarea

și interpretarea rezultatelor

Cercetarea întreprinsă s-a desfășurat în anul școlar 2010-2011, utilizând un singur eșantion experimental constituit din elevii clasei a III-a de la Școala cu clasele I-VIII Dimitrie Ghica Comănești, județul Bacău, clasă cu un efectiv de 27 de elevi.

Colectivul de elevi ales ca eșantion este omogen în ceea ce privește vârsta, nivelulș de școlarizare, pregătire anterioară și este eterogen din punct de vedere al pregătirii, conținând elevi de nivel slab,, mediu și ridicat în proporții adecvate.

Cercetarea experimentală a urmărit declanșarea unei acțiuni educaționale originale în vederea descoperirii unor relații cauzale și a unor legități care se desfășoară în procesul educațional. Rezultatele înregistrate și prelucrarea demonstrează eficiența lor educativă. Determinarea cantitativă prin măsurare a fenomenelor investigate oferă posibilitatea evidențierii obiective a eficienței factorului experimental introdus și a generalizării rezultatelor obținute.

Experimentul psihopedagogic întreprins s-a desfășurat în trei etape:

Etapa constatativă, desfășurată în perioada 1.90.2010-1.10.2010, timp în care s-a realizat cunoașterea colectivului de elevi, s-au făcut observații asupra nivelului de pregătire al elevilor, al comportamentului lor în cadrul lecțiilor de matematică, al preferințelor lor în ceea ce privește învățarea, s-au recapitulat cunoștințele însușite în clasele I și a II-a. Tot în această perioadă s-a realizat testarea inițială a eșantionului experimental prin aplicarea unor probe psihologice de testare a fluidității și flexibilității gândirii și a testului predictiv (de evaluare inițială) pentru a evalua nivelul de dezvoltare a gândirii creative din punct de vedere al rezolvării exercițiilor și problemelor aritmetice, până în momentul inițierii experimentului.

Etapa formativ-ameliorativă, desfășurată în perioada 1.10.1010 -31.05.2011, intervalul de timp în care a fost introdus factorul de progres, prin rezolvarea de probleme atât de tip algoritmic, dar mai ales al unor probleme care antrenează gândirea creatoare, al unor probleme nonstandard cu un grad mai ridicat de dificultate, unde un rol foarte important îl are factorul G, adică inteligența fiecărui elev în parte. În această etapă s-au rezolvat intens diverse tipuri de probleme (simple, compuse, probleme care se rezolvă prin mai multe moduri, prin metoda figurativă, prin metoda mersului invers, probleme de eliminare prin înlocuire, cu cerință de modificare a enunțului, de formulare a întrebărilor, probleme cu conținut geometric, probleme nonstandard). Un accent deosebit am pus și pe activitățile de compunere a problemelor: după o formulă dată, după obiecte concrete, tablouri sau imagini, după scheme date, după un plan stabilit, compunerea problemelor cu început dat etc (vezi ANEXA NR. 1). În vederea realizării obiectivelor propuse, am utilizat un bogat material didactic în susținerea metodelor tradiționale, coroborate cu cele moderne, activ-participative: exercițiul, algoritmizarea, explicația, demonstrația ,conversația euristică, învățarea prin descoperire, problematizarea, jocul didactic, metoda cubului, metoda ciorchinelui, Știu/Vreau să știu/Am învățat, metoda cadranelor etc.

Proiectarea lecțiilor, conținuturile și stategiile didactice folosite, realizarea activităților matematice într-un climat educativ de stimulare a motivației și interesului pentru învățare, de colaborare, prietenie și comunicare deschisă învățător-elev, elev-elev, s-au dovedit a fi eficiente în dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare.

Progresul real al elevilor în acest sens este dovedit atât prin rezultatele testelor de psihodiagnoză, ale probelor de evaluare inițială și finală, cât și prin probele de evaluare sumativă aplicate la sfârșitul fiecărei unități de învățare, probe prezentate în detaliu în subcapitolul următor.

Etapa finală, evaluativă, desfășurată în perioada 1.06.2011-19.06.2011, perioadă în care au fost repetate testele de psihodiagnoză și aplicat testul de evaluare finală, conform rezultatelor cărora s-a constatat progresul realizat de elevi prin raportarea lor la obiective.

Am avut în vedere o bună proiectare a conținuturilor, pentru a desfășura activitatea în condiții optime. Am alocat un număr suficient de ore, în special pentru unitatea de învățare Rezolvarea de probleme, dar și celorlalte unități de învățare, în care rezolvarea și compunerea de probleme a avut un rol prioritar. Am asigurat materialul didactic necesar, am căutat ca toți elevii să dețină materialele și instrumentele necesare desfășurării activităților.

O atenție deosebită am acordat și evaluării rezultatelor școlare, determinând astfel măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse, precum și eficiența conținuturilor și strategiilor folosite. Prin instrumentele de evaluare utilizate s-a urmărit evidențierea funcțiilor evaluării în procesul de învățământ: cea de constatare și diagnosticare a performanțelor obținute de elevi, cea de reglare și perfecționare a strategiilor didactice folosite, cea de predicție și decizie, precum și cea de perfecționare a întregului sistem școlar.

Evaluarea nivelului învățării la matematică, pe baza unor instrumente unitare ce derivă din curriculum-ul național are în vedere:

asigurarea unei pregătiri echivalente în condițiile existenței unor colective eterogene, care fac parte din unități școlare cu resurse variate, amplasate în medii diferite;

sporirea obiectivității evaluării formative și sumative;

conștientizarea de către învățător, a dificultăților pe care le întâmpină elevii în învățarea anumitor teme

Elementele care asigură o construcție coerentă a evaluării sunt:

matricele de evaluare

descriptorii de performanță

probele de evaluare formativă și sumativă.

Este necesar ca evaluarea rezultatelor obținute de elevi la matematică să fie obiectivă și să furnizeze tuturor factorilor implicați în procesul de învățământ (învățător, elevi, părinți) informații relevante privind:

nivelul de formare a competențelor vizate prin fiecare dintre obiectivele cadru de tip cognitiv ale programei:

cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

dezvoltarea capacităților de explorare prin investigare și rezolvare de probleme;

formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic.

gradul de însușire a conținuturilor prevăzute de programa școlară.

Descriptorii de performanță detaliază caracteristicile competențelor cuprinse în obiectivele de referință corespunzătoare obiectivelor cadru de tip cognitiv ale programei de matematică. Aceștia descriu patru nivele de performanță în atingerea obiectivelor, considerate drept criterii de apreciere prin cele patru calificative ce asigură promovabilitatea: suficient, bine, foarte bine, excelent. Gradarea celor patru nivele depinde de mai mulți parametri care capătă ponderi variabile, în funcție de obiectivul cadru și de obiectivul de referință vizat.

Acești parametri sunt:

– competența descrisă în termeni de performanță optimală la nivelul obiectivelor de referință ale programei;

– conținuturile aferente programei;

– gradul de intervenție al învățătorului în activitatea elevului;

– gradul de complexitate al sarcinii rezultat în urma interferenței mai multor competențe;

– frecvența și semnificația greșelilor făcute de elev în realizarea sarcinii

Probele de evaluare aplicate pe perioada cercetării experimentale au furnizat date concrete despre nivelul de pregătire al elevilor privind capacitatea și deprinderile de rezolvare a problemelor de aritmetică până în momentul începerii experimentului psihopedagogic și date privind eficiența predării utilizând preponderent metode activ –participative. Rezultatele oferite de probele de evaluare aplicate ne pot furniza date despre modul în care factorul de progres introdus determină anumite schimbări. Se poate verifica astfel rolul formativ și de stimulare a gândirii creatoare al rezolvării și compunerii de probleme și superioritatea unei strategii didactice, în cazul de față superioritatea metodelor activ-participative.

Experimentul psihopedagogic urmărește să ofere date de ordin cantitativ și calitativ cu grad sporit de precizie și rigurozitate. Ele sunt concludente și ușor de prelucrat și interpretat cu ajutorul metodelor și tehnicilor statistico-matematice.

Prin utilizarea experimentului psihopedagogic se compară rezultatele obținute la testarea inițială și finală, sunt descrise modalitățile de introducere a factorului de progres și sunt înregistrate progresele determinate în evoluția intelectuală a elevilor.

În timpul desfășurării cercetării experimentale am căutat să mențin un control riguros asupra tuturor condițiilor care ar putea influența activitatea psihică a subiectului, fiind modificată numai variabila independentă (factorul de progres). Variabilele intermediare, ce mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și dependente, sunt constituite din factori sociali și psihici (cooperare, conflict, etc.). Experimentatorul trebuie să stabilească legături cauzale cât mai sigure între variabile pentru a-și atinge scopul, acela de a verifica ipoteza cauzală.

PROBĂ DE EVALUARE INIȚIALĂ LA

MATEMATICĂ

OBIECTIV FUNDAMENTAL:

Verificarea cunoștințelor matetematice însușite pe parcursul clasei a II-a;

Testarea nivelului de dezvoltare a fluidității și flexibilității gândirii, prin rezolvarea de probleme de tip creativ.

Obiective operaționale:

O. 1. să scrie cu litere numere formate din S, Z și U, respectând anumite condiții;

O. 2. să folosească terminologia matematică, aplicând operațiile impuse de aceasta;

O. 3. să numere crescător și descrescător în concentrul 0-1000

O. 4. să calculeze o sumă de mai mulți termeni, prin 2 metode ( și grupând termenii);

O. 5. să scrie numărul de pătrate dintr-o figură compusă;

O. 6. să rezolve o problemă de probabilități și logică;

1. Scrieți cu litere numerele :

100-

485-

304-

2. Scrieți șase numere consecutive, dintre care unul să fie 704. Găsiți toate soluțiile.

3. Calculați în două moduri:

1 + 2 +3 + 4 +5 + 6 +7 + 8 + 9 =

4. Din suma numerelor 130 și 60 scade diferența numerelor 682 și 591.

Câte pătrate sunt în figurile de mai jos ?

6. Într-un coș sunt ouă de găină și de rață, în total 19 ouă. Câte ouă pot fi din fiecare dacă numărul celor de găină este impar, mai mare decât 11 ?

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 1

Unitatea de învățare

NUMERELE NATURALE DE LA 0 LA 1 000

1. Scrieți toate numerele cuprinse între 756 și 763.

2. Scrieți vecinii numerelor:

<147< <200<

<899< <559<

3. Care sunt numerele:

cu cifra zecilor 6, cea a unităților 4, iar cea a sutelor mai mare decât 5 ?

naturale de 3 cifre care au suma cifrelor unităților si zecilor egală cu cifra sutelor ?

4. Găsiți toate numerele naturale care se pot scrie cu cifrele 2, 9 si 5.

5. Scrieți toate numerele impare de forma a2b care au suma cifrelor egală cu 10.

Compuneți o problemă după operația :

152 – 102 =

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 1

Unitatea de învățare

NUMERELE NATURALE DE LA 0 LA 1 000

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR.2

Unitatea de învățare

NUMERELE NATURALE DE LA 0 LA 1 000 000

1. Scrieți :

cu cifre următoarele numere :

o sută cincizeci de mii trei sute douăzeci și șapte=

două sute mii cinci sute doi=

patru sute de mii trei=

cu litere următoarele numere :

456 015=

12 678=

900 004=

2. Înlocuiți cu cifre literele, astfel încât relațiile următoare să fie adevărate:

_______ _______ _______ _______

47n 504 > 47m 504 ; 54c 837 < 54e 537

Scrieți șase numere consecutive din care unul să fie 704 280.Găsiți toate soluțiile.

Folosind doar cifrele 2, 6 și 8, scrieți cel mai mare și cel mai mic număr natural de 6 cifre.

Dacă scriem toate cifrele mai mari decât 0 și mai mici decât 100, de câte ori vom folosi cifra 1 ? Dar cifra 9 ?

Rotunjiți numerele 28 513 și 428 450 la:

la zeci:

la sute:

la mii:

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR.3

Unitatea de învățare

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR DE LA 1 LA 10 000

1. Calculați și faceți proba:

1 723+ 158= 7 102-3 587=

2.Aflați termenul necunoscut :.

a +1 796=4 153 983 – m > 978

m -6 562 = 6

3. Calculați în două moduri :

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

4. Înlocuiți literele cu cifrele corespuntătoare, astfel încât relația să fie adevătată :

ELE+

EL

___ E_

6EL

5. Ioana a economisit 1 269 lei, iar fratele său Radu a economisit 2 123 lei.

Formulați voi cât mai multe întrebări ale problemei și scrieți operațiile corespunzătoare rezolvării fiecăreia.

Descriptori de performanță:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR.3

Unitatea de învățare

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR DE LA 1 LA 10 000

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 4

Unitatea de învățare

ÎNMULȚIREA NUMERELOR NATURALE MAI MICI DECÂT 100

Calculați și faceți proba :

7 x 8 = 9 x 6 =

Cu cât este mai mare triplul numărului7 decât dublul numărului 9 ?

Calculați :

52 + 16 – 39 =

3 + 7 x 4 – 12 =

Găsiți toate perechile de numere naturale a, b care verifică egalitatea :

(a + 3) x (b + 4) = 36

Costică are 8 jucării. Dacă Vlad ar mai avea 7 jucării, numărul jucăriilor lui ar fi de 5 ori mai mare decât numărul jucăriilor lui Costică.

Formulați întrebarea problemei și apoi faceți planul de rezolvare.

Într-o livadă s-au plantat 4 rânduri de cireși și 7 rânduri de vișini. Pe fiecare rând au fost câte 10 pomi. Din totalul pomilor plantați, s-au uscat 7 cireși și 4 vișini.

Câți pomi au rămas în livadă ?

Rezolvați în două moduri.

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 4

Unitatea de învățare

ÎNMULȚIREA NUMERELOR NATURALE MAI MICI DECÂT 100

PROBA DE EVALUARE NR. 5

Unitatea de învățare

ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR NATURALE

Efectuați și faceți proba:

8 x 9 = 36 : 4 =

Aflați :

Numărul de 5 ori mai mic decât 35

Jumătatea numărului 16

Aflați factorul necunoscut :

a : 6 = 3 b x y = 32

72 : z = 8

Bunica are un număr de portocale. Ea le împarte în mod egal celor 4 nepoți ai săi. Știind că fiecare nepot primește câte 6 portocale, aflați câte portocale a avut bunica. Rezolvați problema folosindu-vă de formula numerică a acesteia.

Calculați :

56 : 8 x 3 :7 =

12 + 6 : (3 + 9 : 3) =

Într-o vază sunt 9 garoafe. Într-o altă vază…..

Continuați voi problema, astfel încât să se rezolve cu 2 operații.

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor :

PROBA DE EVALUARE NR. 6

Unitatea de învățare

ÎNMULȚIREA ȘI ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR NATURALE

DE LA 0 LA 1 000

Calculează :

5 x 10 = 3 x 100 =

90 : 10 = 700 : 100 =

80 : 2 = 60 : 3 =

Află :

Numerele de 4 ori mai mari decât : 12, 23 și 126.

De câte ori se cuprinde : 6 în 84 ; 10 în 100.

În exercițiul 4 x 6 : 2 + 4 – 3, puneți paranteze, dacă e nevoie, pentru a obține pe rând, rezultatele :

8

13

25

Mama lucrează la o fabrică de jucării. Ea are de ambalat 63 de ursuleți și 27 de păpuși, trebuind să așeze câte 9 jucării de același fel în fiecare cutie.

Câte cutii va folosi ? Rezolvați în două moduri.

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor:

PROBA DE EVALUARE NR. 7

Unitatea de învățare

REZOLVAREA DE PROBLEME

1. Modifică datele problemei de mai jos acolo unde este necesar, apoi scrie planul de rezolvare.

Pentru o cantină s-au cumpărat 136 de farfurii întinse și de 3 ori mai puține farfurii adânci.

Câte pahare s-au cumpărat ?

Alcătuiți o problemă după următorul desen :

Alcătuiți o problemă care să se rezolve cu ajutorul reprezentării grafice de mai jos :

Se dă următorul plan de rezolvare :

Câte vișine s-au cules din livada bunicului ?

24 kg – 18 kg = 6 kg

Câte caise s-au cules din livada bunicului ?

3 x 6 kg = 18 kg

Câte fructe s-au cules în total ?

24 kg + 6 kg + 18 kg = 48 kg

R: 48 kg

Formulați o problemă care să fie rezolvată cu ajutorul planului prezentat.

5. Se dă următoarea operatie :

98 : 7 =

Formulați cât mai multe tipuri de probleme care să se rezolve după această operație.

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor :

PROBA DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 8

Unitatea de învățare

ELEMENTE INTUITIVE DE GEOMETRIE

Desenați un segment de dreaptă AB = 4 cm, o linie frântă închisă din 5 segmente și olinie curbă deschisă.

Câte pătrate și câte triunghiuri sunt în desenul de mai jos ?

Un teren în formă de pătrat are suma laturilor de 800 m. Dacă se înconjoară cu plasă de sârmă pe 3 dintre laturi, câte kg trebuie , știind că 1m de plasă are masa de 5 kg.

Aflați:

Suma numerelor din interiorul dreptunghiului,

Produsul numerelor din interiorul pătratului;

Câtul numerelor din interiorul cercului, dar în exteriorul pătratului.

În același corp geometric se ascunde, în fiecare caz, același număr. Află numerele:

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor :

PROBA DE EVALUARE SUMATIVĂ NR. 9

Unitatea de învățare

MĂSURĂRI

1. Efectuează:

25 m + 38 m = 5 x 7 kg =

82 l – 17 l = 32 lei + 20 lei

2. Scrie ce oră indică ceasurile:

3. Transformă:

o oră și un sfert = min

3 luni și 2 săptămâni = zile

1 an și jumătate = luni

4. Cât cântăresc fructele ? Scrie exercițiul prin care ai aflat.

5. Enumeră 3 variante în care se poate primi restul de la 5 lei în bancnote și monede.

6. Când Elena avea vârsta de 8 ani, Corina avea 14 ani. Acum au împreună 40 de ani.

Ce vârstă are fiecare ?

Descriptori de performanță:

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor :

PROBĂ DE EVALUARE FINALĂ

OBIECTIV FUNDAMENTAL: Testarea nivelului de dezvoltare a fluidității și flexibilității gândirii, prin rezolvarea de probleme de tip creativ.

Obiective operaționale:

O. 1. să rezolve corect exerciții, respectând ordinea operațiilor;

O. 2. să folosească terminologia matematică, aplicând operațiile impuse de

aceasta;

O. 3. să rezolve probleme prin diferite metode învățate (metoda mersului

invers, metoda grafică, propleme de probabilități și logică)

O. 4. să scrie formula numerică a unei probleme

O. 5. să deseneze din imaginație un obiect ușor de recunoscut, folosind

figurile și corpurile geometrice învățate;

1.Efectuați,respectând ordinea operațiilor:

(9×7-6:3)-(81-8×8)=

[81:9+7x(2:2+6):7:2=

2.Se dau numerele 30 și 6. Calculați suma dintre suma lor, diferența lor, produsul lor și câtul lor.

3. Ionel are o sumă de bani. După ce dublează suma, cheltuiește 20 lei, constatând că i-au mai rămas 60 lei. Ce sumă a avut Ionel la început ? Rezolvați problema cu ajutorul formulii numerice.

4.Suma a 2 numere este 120. A treia perte din primul este cu 22 mai mare decât a treia parte din al doilea. Care sunt numerele căutate ?

5. Desenați un obiect ușor de recunoccut, care să aibă în componența sa 4 figuri și corpuri geometrice învățate de voi. Denumește fiecare figură folosită.

6. Într-o pungă sunt 10 perechi e ciorapi de diferite culori. Câți ciorapi trebuie scoși pentru a fi sigur că ai scos o pereche ?

Descriptori de performanță:

PROBĂ DE EVALUARE FINALĂ

Înregistrarea și interpretarea rezultatelor :

ÎNREGISTRAREA ȘI REPREZENTAREA GRAFICĂ COMPARATIVĂ A REZULTATELOR:

ANALIZA ȘI INTERPRETAREA

REZULTATELOR OBȚINUTE

Proba de evaluare inițială a avut un grad sporit de dificultate, ea având ca obiectiv

diagnosticarea nivelului de dezvoltare a fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor. Tocmai din cauza gradului sporit de dificultate, rezultatele înregistrate au fost destul de slabe, fapt care dovedește încă o dată că la începutul clasei a III-a, elevii sunt caracterizați printr-o gândire rigidă, algoritmică, convergentă, neproductivă.

Pe parcursul anului școlar, prin introducerea factorului de progres (a variabilei independente; ANEXA Nr.1), am propus în cadrul fiecărei lecții de matematică, activități diverse de rezolvare și/sau compunere de probleme, preocupându-mă în mod deosebit de selectarea conținuturilor de învățare și introducerea gradată a acestora în funcție de dificultatea lor, am acordat elevilor și explicații individuale, acolo unde a fost necesar, făcând și ore suplimentare atunci când timpul alocat de programa școlară orelor de matematică a fost insuficient pentru atingerea obiectivelor propuse. Am fost foarte atentă la organizarea colectivului de elevi, la alegerea și îmbinarea formelor de activitate cu clasa (frontală, individuală sau pe microgrupuri), am selectat cu grijă conținuturile și materialele didactice în funcție de nivelul diagnosticat în urma probelor de evaluare aplicate cu regularitate, toate acestea fiind integrate și sincronizate cu metode de învățământ activ-participative, menite să-l scoată pe elev din ipostaza de obiect al formării, transformându-l în subiect activ, coparticipant la propria formare. Un factor deosebit de important în atingerea obiectivelor propuse în cadrul experimentului, factor căruia, de asemenea i-am acordat atenția cuvenită, este asigurarea unui climat socio-educativ detensionat, de comunicare, de colaborare și întrajutorare, de stimulare a motivației, curiozității, interesului și plăcerii pentru rezolvarea problemelor de aritmetică.

Atât probele de evaluare inițială și finală, cât și probele de evaluare sumativă aplicate după fiecare unitate de învățare, conțin itermi introduși terptat, după gradul lor de dificultate, primii doi itemi având un grad scăzut de dificultate, nesolicitând mult calități ale gândirii creatoare, rezolvarea lor corectă, corespunzând calificativului SUFICIENT. Ultimii itemi propuși, cu numerele 4, 5 sau 6 au un grad de dificultate sporit, solicitând într-o mai mare măsură gândirea creativă a elevilor, supunându-i, la un ridicat efort intelectual.soluționarea corectă a acestora este evaluată cu calificativul FOARTE BINE.

Tabelele sintetice și reprezentările grafice ale rezultatelor obținute de elevi la probele de evaluare inițială și finală, cât și la cele de evaluare sumativă aplicate la sfârșitul fiecărei unități de învățare, demonstrează progresul făcut pas cu pas în dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor, prin formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor de aritmetică. Analizând comparativ aceste rezultate, înregistrate în tabele și grafice, se constată superioritatea nivelului clasei, saltul calitativ înalt realizat de elevi în utilizarea gândirii divergente, a gândirii critice, productiv-creatoare.

CONCLUZII

Dacă aș vrea să reduc toată psihopedagogia la un singur principiu, eu spun: ceea

ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la plecare. Asigurați-vă de ceea ce el știe și instuiți-l în consecință. (D. Ausubel)

În anul școlar 2010 / 2011, mi-am propus să creez condiții optime de afirmare a

potențialului creativ al fiecărui elev al clasei prin realizarea, pe tot parcursul anului școlar, a unor demersuri didactice având ca obiectiv central formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor de aritmetică și a capacităților de compunere de probleme, activități care, în urma confruntării rezultatelor testelor aplicate, s-au dovedit a avea o valoare formativă incontestabilă. Am avut în vedere folosirea în activitatea didactică a unor diverse metode și procedee activ-participative în rezolvarea problemelor, crearea unor situații de învățare bazate pe autonomia intelectuală și acțională a elevilor, stimularea imaginației creatoare, a potențialului lor creator, a gândirii critice, dar și a gândirii divergente centrată pe strategii euristice.

Tabelele sintetice și reprezentările grafice ale rezultatelor obținute de elevi la probele de evaluare sumativă aplicate la sfârșitul fiecărei unități de învățare demonstrează că în urma introducerii factorului de progres pe parcursul anului școlar, progresul făcut pas cu pas în dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor, prin formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor de aritmetică este semnificativ.

Elevii au exprimat clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin:

transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;

justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme;

utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei probleme.

Au manifestat inițiativă în a transpune diferite situații în context matematic, propunând

modalități diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluții la anumite probleme, scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei, rezolvarea unei probleme prin două moduri, introducerea de noi date sau modificarea întrebării compunerea unei probleme după obiecte concrete, tablouri sau imagini, după un exercițiu sau după o schemă grafică, compunerea problemelor după un plan stabilit, compunerea problemelor cu început dat etc.

Elevii au depășit blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare – eroare noi căi de rezolvare. Au manifestat un comportament adecvat cu colegii din grupul de lucru, în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme.

Depășirea blocajelor mintale create în rezolvarea problemelor, și în special a celor de tip creativ, fiind mai dificile, se realizează prin muncă asiduă, necesită tact pedagogic, răbdare și inteligență în organizarea, conducerea și utilizarea situațiilor problemă, pregătire și selectare atentă a conținuturilor, metodelor și mijloacelor de învățământ în scopul înlesnirii înțelegerii problemei. Prin tot ceea ce face, învățătorul trebuie să canalizeze eforturile elevilor în descoperirea soluțiilor problemelor, să îi stimuleze, să îi mobilizeze pentru a-și aduce contribuția în mod activ fiecare dintre elevi, mai ales cei timizi și neăncrezători. Odată depășite barierele sau blocajele mintale mai sus menționate, elevul începe a manifesta o angajare totală a personalității sale, efortul pe care-l face acesta în rezolvarea conștientă a unei probleme, presupunând o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția, toate acestea având ca rezultat o amplă și rapidă dezvoltare intelectuală. Rezolvarea și compunerea de probleme produce o mult mai puternică și mai intensă activizare și dezvoltare a principalelor procese intelectuale, iar rezultatele obținute de elevi sunt semnificative. Aceste activități răspund curiozității și interesului elevului de a cunoaște, de a ști cât mai mult, iar descoperirea soluției creează elevilor stări afective deosebit de intense, oferindu-le satisfacție. Ei devin optimiști, fiind conștienți că realizează rezolvarea situațiilor-problemă prin forțe proprii, manifestând totodată dorința de a înfrunta noi probleme, mai dificile, pentru ca fiecare din ei să participe într-o mai mare măsură la rezolvare.

Lecțiile cu activități de rezolvare și compunere de probleme aritmetice au fost dinamice, plăcute, stimulatoare și au antrenat toți elevii clasei, nepermițând oboselii, rutinei sau plictiselii să-și facă loc nici în activitatea învățătorului, nici în rândul elevilor clasei, pentru care descoperirea soluției creează emoții și satisfacții nebănuite. Prin rezolvarea unei probleme elevul trăiește, la o înaltă tensiune, actul cunoașterii, al învățării, oferind cadrului didactic prilejul de a cultiva sentimentul de respect față de adevărul științific, atitudinea pozitivă față de muncă.

Având în vedere rezultatele la testele date pe parcursul experimentului propus, rezultate care indică un salt calitativ considerabil, se confirmă ipoteza de la care am plecat, și anume că rezolvarea și compunerea de probleme diverse, și în special a celor de tip creativ, prin îmbinarea metodelor tradiționale cu cele moderne, activ-participative, într.un mediu socio-educativ prielnic, va conduce la dezvoltarea fluidității și flexibilității gândirii creatoare a elevilor.

Așadar, atât ipoteza de lucru s-a confirmat, cât și obiectivele propuse au fost atinse, experimentul psihopedagogic aplicat demonstrând încă o dată valoarea formativă incontestabilă a rezolvării și compunerii problemelor de aritmetică, în special în stimularea și dezvoltarea gândirii creatoare, un factor principal în asigurarea progresului societății omenești.

Analiza, evaluarea și critica rămân căile de bază ale unei cunoașteri autentice. Autoanaliza, autoevaluarea și autocritica sunt forme de dedublare psihică, de judecată a celuilalt din noi (Confucius).

ANEXE

ANEXA NR. 1

Tipuri de exerciții, probleme și strategii didactice

propuse în cadrul orelor de matematică ca

FACTOR DE PROGRES

1. Scrieți numerele de 4 cifre distincte, folosind cifrele: 6, 8, 0 și 3.

2. Găsiți cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot scrie cu cifrele: 2, 9,

0, 5, 3, 6.

3. Scrieți toate numerele impare de forma a2b care au suma cifrelor egală cu 10.

4. Scrieți cel mai mic și cel mai mare număr format din:

a. 5 cifre impare;

b. 5 cifre pare.

5. Folosind doar cifrele 3, 5 și 9, scrieți cel mai mic și cel mai mare număr natural de 6 cifre.

6. Găsiți cifra potrivită pentru ca fiecare expresie să fie adevărată:

2?8 < 2?8;

946 > 9?6

37? <37?

7. Scrieți numerele de mai jos rotunjite la zeci, suzte, mii:

8 217;

15 475;

875 912.

8. Se dau 3 numere diferite de o singură cifră: a, b și c. Produs

ul dintre a și b este

9. Se dau numerele:1, 2, 3, 4 și 8.

Calculați suma dintre produsul numerelor pare și produsul numerelor impare.

10. Produsul dintre b și c este 24.

Să se afle produsul celor 3 numere.

11. Găsiți perechi de numere naturale, unde a < b și pentru care

a x b + 3 = 21.

12. Găsiți toate perechile de numere naturale a și b pentru care

2 xa + 3x b = 41. Calculați prin încercări.

13. Costică are 8 jucării. Dcă Vlad ar mai avea 7 jucării, numărul jucăriilor lui ar fi de 5 ori mai mare decât numărul jucăriilor lui Costică.

Câte jucării are Vlad ?

Cu câte jucării are mai puțin Costică decât Vlad ?

14. Într-o livadă s-au plantat 4 rânduri de cireși și 7 rânduri de vișini. Pe fiecare rând au fost câte 10 pomi. Din totalul pomilor plantați, după o lună s-au uscat7 cireși și 4 vișini.

Câți pomi au rămas în livadă? Rezolvați în 2 moduri.

15. Aflați suma dintre produsul numerelor 6 și 7 și câtul numerelor 48 și 6.

16. Patru cutii la fel de mari conțin în total, 24 de prăjituri.

Câte prăjituri conțin 5 cutii ? Dar 7 ?

17. Completați datele și rezolvați problema:

Patruzeci de bomboane au fost puse în mod egal în…. pungulițe. Câte pungulițe au fost necesare ?

18. Aflați factorul necunoscut:

a x 4 = 36; 28 : b = 7; d : 3 = 8; m : 6 > 8.

Strategie de rezolvare propusă:

19. Problemă rezolvată prin metoda cadranelor:

20. Mircea trage la țintă. Din cele 6 trageri, el a obținut 38 de puncte.

Cum a putut obține acest punctaj ?

18. Într-o cutie sunt 20 de bile roșii și albe. Care este numărul bilelor roșii, dacă cel al bilelor albe este un număr par, mai mare decât 15 ?

21. Compuneți probleme după următoarele formule literale :

a = 295; b = a + 46; a + b + c = 903

a + b + c = 810; a = 25; b = 303

22. Calculați în 2 moduri:

1 +2 +3 + 4 + 5+ 6 + 7 + 8 +9 =

23. Diferența a două numere este 5. Dacă din sumă scădem diferența lor, obținem 40. Care sunt cele două numere ?

24. Dacă aș mai avea încă 2 purceluși și 4 rațe, pe lângă celelalte, atunci aș avea în curte 20 de capete și 52 de picioare. Câți purceluși și câte rațe sunt în curte ?

25. Înlocuiți literele cu cifrele corespuntătoare, astfel încât relația să fie adevătată :

MAN+

ANM

NMA

––-

6 6 6

26. Într-o săptămână Ioana a rezolvat 14 probleme, iar exerciții cu 28 mai multe.

Câte probleme și exerciții arezolvat Ioana în total ?

Transformă problema astfel încât problema să se poată scrie:

(14 +28) -14 =

27. Completați careul metematic, astfel încât suma numerelor pe diagonale, pe verticală și orizontală să fie 15.

28. Câte pătrate și câte triunghiuri sunt în desenul de mai jos ?

29. Un teren în formă de pătrat are suma laturilor de 800 m. Dacă se înconjoară cu

plasă de sârmă pe 3 dintre laturi, câte kg trebuie , știind că 1m de plasă are masa de 5 kg.

30.Aflați:

Suma numerelor din interiorul dreptunghiului,

Produsul numerelor din interiorul pătratului;

Câtul numerelor din interiorul cercului, dar în exteriorul pătratului.

.

31. Într-o pungă sunt 6 batiste albe și 6 batiste albastre. Câte batiste trebuie scoase pentru a fi sigur că ai scos o batistă albastră ?

32. O pendulă anunță ora exactă. În acel minut cele două indicatoare formează un unghi drept. Ce oră poate fi ?

33. Cum putem plăti suma de 100 RON, folosind 6, 7, 8 bancnote diferite ?

34. În același corp geometric se ascunde, în fiecare caz, același număr. Află numerele:

35. S–au mai rezolvat și alte probleme prin metoda grafică, probleme de mișcare, probleme de geometrie, probleme nonstandard; ordonare de enunțuri ale problemelor, probleme alcătuite pe baza datelor din tabele și desene, probleme de probabilistică și logică, probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers etc.

ANEXA NR.2

PROIECT DE LECȚIE

OBIECTUL: matematică:

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: ELEMENTE DE GEOMETRIE

SUBIECTUL. Forme plane și corpuri geometrice.

TIPUL LECȚIEI: de recapitulare

SCOPUL LECȚIEI:Recapitularea și consolidarea noțiunilor de geometrie studiate,prin

exerciții,probleme și jocuri didactice .

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

O.C.1. să definească linia frântă,linia curbă,pătratul,dreptunghiul, triunghiul și cercul;

O.C.2. să recunoască în imagini și în obiectele din jurul lor formele plane studiate;

O.C.3. să identifice interiorul și exteriorul unei figuri geometrice

O.C.4. să identifice formele spațiale studiate(cubul,sfera,cuboidul, cilindrul și conul) pe modele fizice,desene sugestive și în mediul înconjurător;

O.C.5. să descrie corpurile geometrice studiate cu observarea vârfurilor, laturilor, fețelor;

O.C.6. să sorteze obiectele după forma lor,

O.C.7. să rezolve exercițiile și problemele propuse in cadrul lecției de recapitulare.

PSIHOMOTRICE:

O.M.1. să deseneze și să noteze punctul;

O.M.2. să construiască drepte în poziții diferite:orizontale,verticale și oblice;

O.M.3. să construiască linii frânte și linii curbe(la tablă, cu bețișoare sau din fire);

O.M.4. să construiască poligoanele studiate,la tablă și pe caiete;

O.M.5. să confecționeze poligoanele studiate din carton sau bețișoare .

AFECTIVE :

O.A.1. să manifeste interes și participare activă la activitățile propuse;

O.A.2. să-și dezvolte gustul și plăcerea pentru matematică.

METODE ȘI PPROCEDEE: explicația,exercițiul, problematizarea, jocul didactic, de-

monstrația, conversația. ,

MIJLOACE DIDACTICE: manualul, planșe, figuri și corpuri geometrice din carton

sau plastic,bețișoare,fire.

FIȘĂ DE EVALUARE

1. Construiește :

a) un segment AB în poziție oblică:

b) o linie frântă deschisă formată din 5 segmente:

c) o linie curbă închisă:

d) un dreptunghi:

2. Câte pătrate sunt în figurile de mai jos ? Dar triunghiuri ?

3. Privește cu atenție imaginea de mai jos,apoi calculează:

b) Produsul numărului aflat în interiorul cercului cu numărul aflat în interiorul pătratului:

c) Câtul dintre numărul aflat în interiorul triunghiului și cel aflat în exteriorul dreptunghiului

4. Scrie denumirea corpurilor geometrice corespunzătoare obiectelor ilus-

trate mai jos:

5. S-a realizat din cuburi litera ,,U”. Cât cântăresc doar cuburile de la bază,dacă toate însumează 100 g?

ANEXA NR. 3

PROIECT DE LECȚIE

OBIECTUL: Matematică

UNITAREA DE ÎNVĂȚARE: REZOLVAREA DE PROBLEME

SUBIECTUL : Probleme de separare din total a unei părți

TIPUL LECȚIEI: de predare-învățare

SCOPUL LECȚIEI: Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare, rezolvare și

compunere de probleme

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

O.C.1. să rezolve corect și probleme de separare a unei părți dintr-un total, dar și alte

tipuri de probleme, folosind diverse metode moderne ;

O.C.2. să scrie formula numerică de rezolvare a unei probleme;

O.C.3. să compună probleme după un model dat, după o formulă numerică, după un

desen, sau după un plan de rezolvare dat;

O.C.4. să rezolve un exercițiu creativ de respectare a ordinii operațiilor;

O.C.5. să folosească corect terminologia matematică;

O.C.6. să argumenteze valoarea restului unei împărțiri în raport cu împărțitorul;

O.C.7. să asocieze literele cu valoarea numerică corespunzătoare, într-un exercițiu dat

PSIHOMOTRICE:

O.M.1. să deseneze tabelul necesar pentru metoda cadranelor;

O.M.2. să scrie frumos și ordonat ;

AFECTIVE :

O.A.1. să manifeste interes și participare activă la activitățile propuse;

O.A.2. să-și dezvolte gustul și plăcerea pentru rezolvarea problemelor de matematică.

METODE ȘI PPROCEDEE: explicația,exercițiul, problematizarea, jocul didactic,

demonstrația, conversația euristică, metoda ciorchinelui, metoda cubului, metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat, metoda cadranelor. ,

MIJLOACE DIDACTICE: manualul, planșe, cub colorat, din carton, flipchart, marker, fișe de lucru, fișe de evaluare.

Anexa A

1. Problemă rezolvată prin metoda cadranelor:

2. Desenul ajutător după care elevii vor compune problema:

Anexa B

Cerințele scrise pe cele 6 fețe ale cubului

1. DESCRIE: Observă atent desenul, apoi alcătuiește o problemă după el:

2. COMPARĂ: Compară produsul numerelor 9 și 8 cu câtul numerelor 91 și 7.

3. ANALIZEAZĂ: Analizează planul de rezolvare și alcătuiește problema corespunzătoare:

1) Câte bomboane a primit fiecare copil de la Dana ?

30 : 2 = 15 (bomboane)

2) Câte bomboane a mâncat Irina, dacă i-au rămas 8 bomboane ?

15 – 8 = 7(bomboane)

R: 7 bomboane

4. ASOCIAZĂ: Înlocuiți literele cu cifrele corespuntătoare, astfel încât relația să fie adevătată :

MAN+

ANM

NMA

––-

6 6 6

5. APLICĂ: În exercițiul 4 x 6 : 2 + 4 – 3, puneți paranteze, dacă e nevoie, pentru a obține pe rând, rezultatele :

81

13

25

6. ARGUMENTEAZĂ: Ce rest se poate obține la o împărțire inexactă la 4? Dar la 8 ?Argumentează răspunsul!

Anexa C

1. Activitate independentă pe grupe.

Grupa nr. 1:

Grupa nr. 2:

* Informațiile scrise cu roșu vor fi precizate pe fișele de lucru, celelalte cu negru, nu.

Grupa nr. 3

Grupa nr. 4

În exercițiul 81: 9 – 3 + 36 : 6, puneți paranteze, dacă e nevoie, pentru a obține pe rând, rezultatele :

15

9

6 și rest 6

Grupa nr. 5

Compune probleme după exercițiul: 96 – (54 + 19) = 23

BIBLIOGRAFIE

1. Badea, Constanța, Berechet, Daniela, Berechet, Florian, Gardin, Maria, Gardin Florin, 2005, Matematică, culegere de exerciții și probleme pentru clasa a II-a, Editura Paralela 45

2. Balan, Bogdan, Boncu, Ștefan, Cosmovici, Andrei, Cozma, Theodor, Crețu, Carmen, Cucoș, Constantin, Dfinoiu, I., Iacob Luminița, Moise, Constantin, Momanu Mariana, Neculau, Adrian, Rodică, Tiberiu, 1998, Psihopedagogie pentru examenele de definitivat și grade didactice, Editura Polirom

3. Barcan, Carmen Mihaela, 2010, Bazele psihopedagogice ale rezolvării problemelor de aritmetică, Lucrare metodico-științifică de obținere a gradului I, Editura Sf. Ierarh Nicolae

4. Chircev, A., Cosmovici, A., Fodor, R., Mare, R., Pavelcu, V., Radu, I., Roșca, Al., Roșca, M., Tucicov-Bogdan, A., Zorgo, B., 1967, Psihologie pedagogică, Editura Didactică și Pedagogică București

5. Cocoradă, Elena, Niculescu, Rodica Mariana, 1999, Psihologie generală pentru liceu, Editura All Educațional;

6. Cojocariu , Venera Mihaela, 2004, Teoria și metodologia instruirii, E.D.P. R.A., București

7. Cosmovici, Andrei – coordonator, Boncu, Ștefan, Dafinoiu, Ion, Dîrțu, Cătălin, Havârneanu, Cornel, 1999, Psihologie, Compendiu pentru bacalaureat și admitere în facultate, Editura Polirom

8. Diea, Ioan, Diea, Lucreția, Teirău, Eugen, Drăgănescu, Vasile, Povestea numerelor – Clasa a IV-a, Editura Interprint

9. Dumitriu, Gheorghe, Dumitriu, Constanța, Psihologia procesului de învățământ, E. D. P., R. A. București

10. Dumitriu, Gheorghe, Dumitriu, Constanța, Psihopedagogie, E. D. P. București;

11. Dumitriu Gheorghe, Dumitriu Constanța, Damian Iulia, Dumitriu Iulia, 2002, Psihopedagogie, Editura Alma Mater Bacău

12. Dușe, Carmen, Sonia, Didactica disciplinelor de specialitate, Editura Universității Lucian Blaga, Sibiu

13. Gardin, Maria, Gardin Florin, , Berechet, Daniela, Berechet, Florian, Badea, Constanța, 2005, Matematică, culegere de exerciții și probleme pentru clasa a III-a, Editura Paralela 45

14. Gârboveanu, Maria, Negoescu, Victoria, Nicola, Grigore, Onofrei, Adriana, Roco, Mihaela, Surdu, Alexandru, 1981, Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, E. D. P. București

15. Hayes, Nicky, Orrell, Sue, Introducere în psihologie. Editura All;

16. Landau, Erika, Psihologia creativității,

17. Lupu, Costică, Săvulescu, Dumitru, 1999, Metodica predării matematicii,

Manual pentru clasa a XI-a, Licee pedagogice, Editura Paralela 45

18. Maior Aurel, Călugăriță Angelica, Maior Elena, 2006, Matematică, Culegere de exerciții și probleme, Clasele a III-a și a IV-a, Editura Aramis Print București

19. Măricuțoiu, Victoria, 1996, Rebusuri, careuri, ghicitori și proverbe pentru ciclul primar, Editura Gheorghe Cârțu Alexandru, Craiova

Radu Nicolae, 1976, Învățare și gândire, Editura Științifică și Enciclopedică București

20. Neacșu, Ion, 1988, Metodica predării matematicii șla clasele I-IV, E.D.P. București

21. Pârâială, Viorica, Pârâială, Dumitru, Pârâială, Cristian-George, 2005 Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Euristica, Iași

22. Polya, G., 1971, Cum rezolvăm o problemă, E.D.P. București

23. Programa școlară pentru clasele I-IV

24. Patriche, Doina, 2007, Lucrare metodico-științifică pentru obținerea gradului didactic I, Metode de predare-învățare a noțiunilor geometrie în ciclul primar

25. Roșca, Alexandru, 1981, Creativitatea generală și specifică, Editura Academiei Republicii Socialiste România

26. Schneider, Gheorghe-Adalbert, Probleme de aritmetică și algebră pentru clasele V-VIII, Editura Hyperion, Craiova

27. Stoica, Ana, 1983, Creativitatea elevilor, E. D..P. București

28. Șchiopu, Ursula, Dezvoltarea operativității gândirii copilului

29. Zorgo B. și Radu I., 1979, Studii de psihologie școlară, E. D. P. București

30. Revista Învățământul primar, Nr. 1 ȘI 2 / 1995, Editura Publistar

31. Revista Învățământul primar, Nr. 1 ȘI 2 / 1996, Editura Discipol

32. Revista Învățământul primar, Nr. 4 / 1998

33. Fișier de pe internet, Tipuri de gândire

BIBLIOGRAFIE

1. Badea, Constanța, Berechet, Daniela, Berechet, Florian, Gardin, Maria, Gardin Florin, 2005, Matematică, culegere de exerciții și probleme pentru clasa a II-a, Editura Paralela 45

2. Balan, Bogdan, Boncu, Ștefan, Cosmovici, Andrei, Cozma, Theodor, Crețu, Carmen, Cucoș, Constantin, Dfinoiu, I., Iacob Luminița, Moise, Constantin, Momanu Mariana, Neculau, Adrian, Rodică, Tiberiu, 1998, Psihopedagogie pentru examenele de definitivat și grade didactice, Editura Polirom

3. Barcan, Carmen Mihaela, 2010, Bazele psihopedagogice ale rezolvării problemelor de aritmetică, Lucrare metodico-științifică de obținere a gradului I, Editura Sf. Ierarh Nicolae

4. Chircev, A., Cosmovici, A., Fodor, R., Mare, R., Pavelcu, V., Radu, I., Roșca, Al., Roșca, M., Tucicov-Bogdan, A., Zorgo, B., 1967, Psihologie pedagogică, Editura Didactică și Pedagogică București

5. Cocoradă, Elena, Niculescu, Rodica Mariana, 1999, Psihologie generală pentru liceu, Editura All Educațional;

6. Cojocariu , Venera Mihaela, 2004, Teoria și metodologia instruirii, E.D.P. R.A., București

7. Cosmovici, Andrei – coordonator, Boncu, Ștefan, Dafinoiu, Ion, Dîrțu, Cătălin, Havârneanu, Cornel, 1999, Psihologie, Compendiu pentru bacalaureat și admitere în facultate, Editura Polirom

8. Diea, Ioan, Diea, Lucreția, Teirău, Eugen, Drăgănescu, Vasile, Povestea numerelor – Clasa a IV-a, Editura Interprint

9. Dumitriu, Gheorghe, Dumitriu, Constanța, Psihologia procesului de învățământ, E. D. P., R. A. București

10. Dumitriu, Gheorghe, Dumitriu, Constanța, Psihopedagogie, E. D. P. București;

11. Dumitriu Gheorghe, Dumitriu Constanța, Damian Iulia, Dumitriu Iulia, 2002, Psihopedagogie, Editura Alma Mater Bacău

12. Dușe, Carmen, Sonia, Didactica disciplinelor de specialitate, Editura Universității Lucian Blaga, Sibiu

13. Gardin, Maria, Gardin Florin, , Berechet, Daniela, Berechet, Florian, Badea, Constanța, 2005, Matematică, culegere de exerciții și probleme pentru clasa a III-a, Editura Paralela 45

14. Gârboveanu, Maria, Negoescu, Victoria, Nicola, Grigore, Onofrei, Adriana, Roco, Mihaela, Surdu, Alexandru, 1981, Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, E. D. P. București

15. Hayes, Nicky, Orrell, Sue, Introducere în psihologie. Editura All;

16. Landau, Erika, Psihologia creativității,

17. Lupu, Costică, Săvulescu, Dumitru, 1999, Metodica predării matematicii,

Manual pentru clasa a XI-a, Licee pedagogice, Editura Paralela 45

18. Maior Aurel, Călugăriță Angelica, Maior Elena, 2006, Matematică, Culegere de exerciții și probleme, Clasele a III-a și a IV-a, Editura Aramis Print București

19. Măricuțoiu, Victoria, 1996, Rebusuri, careuri, ghicitori și proverbe pentru ciclul primar, Editura Gheorghe Cârțu Alexandru, Craiova

Radu Nicolae, 1976, Învățare și gândire, Editura Științifică și Enciclopedică București

20. Neacșu, Ion, 1988, Metodica predării matematicii șla clasele I-IV, E.D.P. București

21. Pârâială, Viorica, Pârâială, Dumitru, Pârâială, Cristian-George, 2005 Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Euristica, Iași

22. Polya, G., 1971, Cum rezolvăm o problemă, E.D.P. București

23. Programa școlară pentru clasele I-IV

24. Patriche, Doina, 2007, Lucrare metodico-științifică pentru obținerea gradului didactic I, Metode de predare-învățare a noțiunilor geometrie în ciclul primar

25. Roșca, Alexandru, 1981, Creativitatea generală și specifică, Editura Academiei Republicii Socialiste România

26. Schneider, Gheorghe-Adalbert, Probleme de aritmetică și algebră pentru clasele V-VIII, Editura Hyperion, Craiova

27. Stoica, Ana, 1983, Creativitatea elevilor, E. D..P. București

28. Șchiopu, Ursula, Dezvoltarea operativității gândirii copilului

29. Zorgo B. și Radu I., 1979, Studii de psihologie școlară, E. D. P. București

30. Revista Învățământul primar, Nr. 1 ȘI 2 / 1995, Editura Publistar

31. Revista Învățământul primar, Nr. 1 ȘI 2 / 1996, Editura Discipol

32. Revista Învățământul primar, Nr. 4 / 1998

33. Fișier de pe internet, Tipuri de gândire