Metode DE Rezolvare A Problemelor DE Aritmetica In Ciclul Primar
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ ÎN CICLUL PRIMAR
Cuprins
INTRODUCERE
Capitolul 1. CONSIDERAȚII GENERALE
1.1. Problema de matematică
1.2. Importanța studierii matematicii în ciclul primar
1.3. Mijloacele și resursele materiale utilizate la matematică
Capitolul 2. CONSIDERAȚII TEORETICE
2.1. Metode aritmetice generale
2.2. Metode aritmetice speciale
Capitolul 3. METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR
3.1. Expunerea, explicația și conversația
3.2. Problematizarea
3.3. Învățarea prin descoperire și observația sistematică
3.4. Modelarea și demonstrația
3.5. Jocul didactic matematic
Capitolul 4. ASPECTE METODICE
4.1. Rezolvarea problemelor simple
4.2. Rezolvarea problemelor compuse
CONCLUZII
BIBLIOGRAFIE
INTRODUCERE
Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de matematică este una din cele mai sigure căi ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției și spiritului de observație al elevilor. Aceastăqactivitateqpuneqlaqîncercareqînqcelqmai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, leqsolicităqacestoraqtoate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motivqpentruqcare,qprogramaqdeqmatematică din ciclul primar acordă rezolvării problemelor oqimportanțăqdeosebită.qAcestaqeste evidențiată de faptul că unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situații noi de învățare, la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investigație.
Metodologia învățământului matematic are ca obiect studierea legităților informative și formative ale acestei activități. Ea areqoqtriplăqvalență:qteoretică (de fundamentare prin cercetare și explicareqlogic-științificăqșiqdidacticăqaqprocesuluiqînvățării matematice), practică- aplicativă (de fundamentareqaqbazelorqelaborăriiqnormelor privind organizarea și conducerea științifică aqactivitățiiqdeqînvățare a matematicii), de dezvoltare, de creare și ameliorare continuă a demersurilor metodice specifice acestei activități, în vederea obținerii unei eficiențe tot mai înalte.
Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de aritmetică conduce la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Toate aceste valențe formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică justifică importanța temei alese, motiv pentru care învățătorul trebuie să îi acorde atenția cuvenită.
Capitolul 1. CONSIDERAȚII GENERALE
1.1. Problema de matematică
Cuvântul „problemă” îșiqareqorigineaqînqlimba latină și a intrat în vocabularul românesc din limba franceză. Cuvântul „proballein” folosit de matematicieni și psihologi are semnificația: „ceea cuprindeqo gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. În sens psihologic, oq„problemă”qesteqoriceqsituație,qdificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoreticăqpentruqcareqnuqexistă un răspuns gata formulat; este „o dificultate sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi rezolvate adecvat datorită insuficienței sau ineficienței sistemului de răspunsuri ale subiectului”.
În general,qoriceqchestiuneqdeqnaturăqpractică sau teoretică ce necesită o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă. După „Dicționarul explicativ al limbii române”, cuvântul problemă are următoarele definiții:
• chestiune careqprezintăqaspecteqneclare,qdiscutabile, care necesită o lămurire, o precizare, careqseqpreteazăqlaqdiscuții;
• chestiune importantăqcareqconstituieqoqsarcină,qoqpreocupare (majoră) și care cere o soluționare (imediată);
• chestiuneqcareqintrăqînqsferaqpreocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al preocupărilor cuiva;
• (mat.) chestiuneqînqcare,qfiindqdateqanumiteqipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, a unor date;
• dificultateqcareqtrebuieqrezolvatăqpentruqa obține un anumit rezultat; greutate, impas”.
În matematică,qprinqproblemăqseqînțelegeq„oqsituațieqaqcăreiqrezolvareqseqobține prin
procese de gândire șiqcalcul”.q„Problemaqdeqmatematicăqreprezintăqtranspunereaqunei situații practice sauqaqunuiqcomplexqdeqsituații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și fațăqdequnaqsauqmai multe valoriqnumericeqnecunoscute,qseqcereqdeterminarea acestor valori necunoscute”. Toate definițiile pentru noțiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi apare în față ca „o barieră, un obstacol”, pentru că „unde nu există o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo finalitatea gândirii lipsește” G. Polya afirma că „a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o caleqdeqaqocoliqunqobstacol,qdeqaqatingequnqobiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția uneiqproblemeqesteqoqperformanțăqspecificăqinteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al speciei umane”.
Problemele de matematică fiind strâns legate, adesea, prin însuși enunțul lor, de viață, de realitate, de practică, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care viața le scoate în calea lor. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive, motivational-afective. Gândirea prin operațiile logice de analiza, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare este cel mai solicitat și antrenat proces cognitiv.
Prin rezolvarea de probleme, elevii își formează priceperi și deprinderiqdeqaqanaliza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care seqobțineqceeaqceqse cere în problema. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică contribuie la clasificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor teoretice învățate. De asemenea,qpredareaqmultoraqdintre problemele teoreticeqseqfaceqprinqrezolvareaquneiaqsau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definiția sau regulă ce urmează a fi explicate. Prin activitatea rezolutivă la matematică elevii își formeazăqdeprinderiqeficienteqdeqmuncăqintelectuală, care vor influența pozitiv și studiul altor discipline de învățământ, își educa și cultiva calitățile.
De asemenea, activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultura generală al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de: distanta, viteza, timp, preț de cost, cantitate, dimensiune, masa, arie, durata unui fenomen, etc.
Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii își formează seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive, care le conferă posibilitatea de a rezolva și a compune ei înșiși, în mod independent, probleme. Problemele de matematică prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul găsirii soluției, contribuie la cultivarea și educarea unor noi atitudini față de muncă, la formarea disciplinei conștiente, la dezvoltarea spiritului de competiție cu sine însuși și cu alții, la dezvoltarea prieteniei. Nu se pot omite nici efectele benefice ale activității de rezolvare a problemelor de matematica pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valentelor formative în personalitatea elevilor, pe care le generează activitatea de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, se justifica de ce programele școlare acorda o atât de mare importanță acestei activități școlare și de ce și institutorul trebuie să-i acorde importanța cuvenită.
Potrivit studiilor de specialitate, s-a constatat faptul că elevii nu reușesc să-și mențină atenția pentru mult timp în cadrul unei prelegeri și de aceea conținuturile prezentate se rețin în mică măsură, sunt reținute mai ușor conținuturile prezentate la început, iar cele de la finalul prelegerii sunt reținute în foarte mică măsură sau chiar deloc. În cazul învățării active, însă, elevii sunt implicați și pe baza cunoștințelor achiziționate își formează noi concepte și își dezvoltă bagajul de cunoștințe dobândite.
Enunțurile matematice nu se memorează pur și simplu, ci se receptează, se înțeleg, se integrează și se îmbogățesc numai în măsura în care elevul operează cu ele. Efortul intelectual ce se desfășoară în activitatea matematică este în continuu antrenament, care are efecte în dezvoltarea intelectuală reală a elevilor, în primul rând, dar și în dezvoltarea generală a acestora. Atitudinea față de matematică reprezintă mai mult decât o simplă dispoziție sau decât o formă de „a plăcea matematica”. Se poate ca elevilor să le placă matematica dar să nu exteriorizeze acele tipuri de comportamente „standardizate”. De exemplu, se poate ca elevilor să le placă matematica și totuși să continue să creadă că rezolvarea de probleme înseamnă întotdeauna găsirea soluției corecte utilizând aceeași cale de rezolvare. Unii elevi pot încerca diverse metode pentru rezolvarea problemelor dar nu se mai opresc să reflecteze asupra soluțiilor găsite. Alții sunt interesați de problemele mai deosebite, non- rutiniere. În timpul desfășurării orelor de matematică atitudinile elevilor sunt reflectate în modul în care aceștia pun întrebări sau răspund la ele, a felului în care abordează problemele și noile cunoștințe.
Viața, realitatea, demonstrează că nu toate situațiile – problema care se întâlnesc au o soluționare unică sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe soluții (conducând la altă problemă: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în funcție de condițiile date), iar altele nu admit soluții. Cum matematica trebuie să modeleze realitatea, este necesar a introduce și pentru elev astfel de probleme, cu soluții multiple sau fără soluție. Se oferă astfel multor elevi posibilitatea să-și prezinte propria rezolvare (corectă), se obișnuiesc cu existența unor astfel de probleme, sau a unor probleme de decizie (alegerea soluției celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere).
După rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie să aibă o intervenție centralizatoare, enumerând soluțiile găsite (eventual ordonându-le după un anumit criteriu), sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea că nu au fost omise soluții), propunând alegerea celei mai bune soluții (în anumite condiții și dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la elucidarea situației. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul să utilizeze date în concordanță cu realitatea, mijloace și procedee care să ofere elevilor împrejurări de viață corespunzătoare, acțiuni veridice, să stabilească între datele problemei relații matematice corespunzătoare.
1.2. Importanța studierii matematicii în ciclul primar
Alături de limba română, matematica este una dintre disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar. În planul de învățământ al ciclului primar, studiului matematicii îi sunt afectate un număr de ore semnificativ pe întregul ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta tocmai datorită importanței ce i se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, disciplină ce servește studiului celorlalte discipline școlare. Acțiunile de predare- învățare în cadrul matematicii, la clasele I-IV, au dete veridice, să stabilească între datele problemei relații matematice corespunzătoare.
1.2. Importanța studierii matematicii în ciclul primar
Alături de limba română, matematica este una dintre disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar. În planul de învățământ al ciclului primar, studiului matematicii îi sunt afectate un număr de ore semnificativ pe întregul ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta tocmai datorită importanței ce i se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, disciplină ce servește studiului celorlalte discipline școlare. Acțiunile de predare- învățare în cadrul matematicii, la clasele I-IV, au determinări concrete: copilul gândește mai mult operând cu mulțimile concrete.
Învățătorul, varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare-învățare, trebuie să acționeze pentru a-și valorifice pe deplin personalitatea, el însuși devenind un creator în materie de metode, procedee, strategii didactice. Studiul matematicii în manieră modernă, urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Există o strânsă legătură între conținutul și forma noțiunilor, care trebuie respectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice fenomen trebuie să aibă acoperire în ce privește înțelegerea conținutului noțional.
Eficiența formativă a învățământului matematic la clasele I-IV poate fi sporită atât prin calitatea sistemului cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, aptitudinilor, cât și prin modul de a organiza și îndruma asimilarea acestora. În ceea ce privește calitatea cunoștințelor se poate afirma că matematica școlară modernă, prin caracterul riguros științific al sistemului ei noțional și operativ pe care-l cuprinde, este investită cu bogate valențe formative. Important este ca învățătorul să respecte rigoarea „relativă” a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul posibilităților lor de înțelegere.
Utilizarea, și mai apoi transferul noțiunilor matematice se realizează, nu prin simpla transmitere a acestora de la învățător către elevi, ci prin îndelungate, dar dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii. Pentru ideea caracterului activ al învățământului pledează și poziția centrală a elevului, anume statutul lui de subiect activ care realizează actul învățării matematice prin efort propriu și care odată cu însușirea noțiunilor respective învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter mai general. Să adăugăm la aceasta și specificul activității matematice, anume faptul că matematica necesită o încordare, o tensiune, o mobilizare a tuturor componentelor psihicului uman, cu precădere a gândirii, a inteligenței.
„În învățarea matematicii, efortul intelectual se situează pe primul plan. Acesta constă în observarea obiectelor și fenomenelor nu sub aspectul particularităților fizice ale acestora, ci sub aspectele lor logice (mulțimi, apartenență, relații). Operarea cu mulțimile concrete de obiecte, cu accent pe logica pe care o relevă aceste operații, conține operații de analiză, sinteză, comparații, clasificări, abstractizări și generalizări, semnificative procese de transfer pe orizontală și pe verticală (intra și interdisciplinaritatea), raționament inductiv și traductiv (analogic) cu precădere la primele clase, dar și deductiv la clasele a III-aqșiqaqIV –a.”
La ciclul primar, învățarea matematicii trebuie să se realizeze pe baza operațiilor concrete cu mulțimi de obiecte, pe suport concret și cu operații logice, elevii fiind puși în situația de a analiza nu o simplă manipulare cu obiecte, la comenzile învățătorului, ci cu un efort mintal vizând operații de clasificare, scriere, ordonare. În clasele I-IV se dobândesc tehnicile de muncă intelectuală, matematica fiind disciplina care operează cu cel mai mare număr de algoritmi (numărare, calcul), pe care elevii îi învață sub forma unor noțiuni, definiții, reguli și pe care îi aplică apoi în mod creativ în rezolvarea unor situații din ce în ce mai complexe. În însușirea matematicii, gândirea și memoria se întrepătrund, se ajută și se completează reciproc. Orice achiziție nouă se bazează pe achizițiile precedente. Are loc, deci, o sistematizare, o completare a fondului de cunoștințe deja asimilate cu cele nou însușite. La această vârstă, elevii învață unele tehnici elementare ale activității intelectuale, interesul pentru studiu fiind într-o fază de început. Interesul pentru matematică se cultivă prin conținutul învățământului matematic, prin dezvăluirea „secretelor științei matematice.” Copiii, în fața unor dificultăți noi, fiind orientați și ajutați să le depășească, trăiesc bucuria succesului, dobândesc încredere în forțele proprii, începe să-i intereseze activitatea matematică.
„Predarea matematicii ar urma să se realizeze și în funcție de rolul și importanța ei în dezvoltarea societății și științei, de ponderea pe care o are, dar mai ales o va avea matematica în viața socială, de aceea, asigurarea succesului în învățarea matematicii de către toți elevii nu este un deziderat, ci un imperativ ” Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri. Studiul matematicii în învățământul primar are ca scop „să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o cultură generală optimă”
În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacitățile de explorare-investigare, interesul șiqmotivațiaqpentruqstudiulqșiqaplicarea matematicii în contexte variate. „Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități, cunoștințe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strâns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale”.
Concretizarea conținutului procesului de învățământ reprezintă acțiunea de elaborare a manualelor școlare. Ele au valoarea unui document oficial care asigură concretizarea programei școlare într-o formă care vizează prezentarea cunoștințelor și capacităților la nivel sistemic, prin diferite unități didactice operaționalizabile în special din perspectiva elevului: capitole, subcapitole, lecții, exerciții rezolvate și propuse etc.
Manualul școlar îndeplinește patru funcții pedagogice destinate elevilor:
• funcția de informare, care evidențiază dimensiunea stabilă a programei școlare;
• funcția de formare, care evidențiază dimensiunea flexibilă a programei prin care se disting unele manuale școlare de altele;
• funcția de antrenare, care evidențiază importanța resurselor metodologice ale programei și asigură activarea și menținerea interesului pentru învățare;
• funcția de autoinstruire, prin care se dă posibilitatea elevului de a-și monitoriza nivelul de cunoștințe.
Cele patru funcții pedagogice ale manualului școlar trebuie să stea la baza selecției unui manual alternativ în detrimentul altuia. Manualele alternative sunt un semn al normalizării școlii în direcția democratizării învățării.
1.3. Mijloacele și resursele materiale utilizate la matematică
Mijloacele didactice reprezintă ansamblul instrumentelor materiale, naturale, tehnice etc. selectate și adaptate pedagogic la nivelul metodelor și al procedeelor de instruire pentru realizarea mai eficientă a sarcinilor proiectate la nivelul activității de predare-învățare-evaluare. Recentele schimbări tehnice și sociale au un impact major și asupra modului în care trebuie gândit sistemul mijloacelor de învățământ. Dacă privim din perspectivă istorică, se poate spune ca rolul principal al profesorului era acela de a-și însuși informația și de a găsi cele mai bune căi pentru a-i face pe elevi să o asimileze. El își asuma astfel rolul de sursă primară de informații pentru elevi. Mijloacele de învățământ erau: tabla, manuscrise, manuale, planșe, retroproiectorul, etc.
Dintr-o perspectivă actuală, probabil că cele mai profunde schimbări care s-au întâmplat, au fost realizate efectiv când o mare cantitate de informații a devenit disponibilă. Acest fenomen a fost descris ca fiind noua explozie informațională. A doua mare schimbare s-a făcut la nivelul căilor prin care informațiile sunt transmise. Dacă la începutul secolului XX, informația era transmisă preponderent cu ajutorul mijloacelor scrise: cărți, reviste, jurnale, etc., ulterior alte tehnologii au evoluat începând cu cel de al doilea război mondial și concurează informația scrisă. Este vorba despre radio, televiziune, telefonie și mai recent Internetul.
Așadar accesul la informație nu mai este făcut numai prin intermediul profesorului sau al școlii, ci se face oriunde, în orice moment. Apare clară necesitatea familiarizării profesorilor cu tehnologiile multimedia și, în special, cu calculatorul și aplicațiile acestuia. Profesorii trebuie să se familiarizeze cu:
• Noțiuni despre mijloacele tehnice;
• Procedee de utilizare a mijloacelor tehnice la clasă;
• Inițiere în tehnica mânuirii mijloacelor tehnice;
• Derularea de aplicații practice în scopul formării deprinderilor;
• Elaborarea de proiecte didactice în care să se prevadă secvențe de predare-învățare cu ajutorul mijloacelor tehnice;
• Folosirea mijloacelor tehnice în scopul realizării materialelor didactice și a documentelor profesorului.
Principalele resurse materiale utilizate la matematică sunt:
•Manualul și culegerile de probleme;
• Tabla;
• Fișele de lucru. Acestea pot fi tipărite, dar și în format electronic, sau chiar făcând parte dintr-un soft educațional;
• Trusele matematice. În această categorie intră: instrumentele matematice (liniare, compas etc.), modele matematice ale diferitelor figuri si corpuri geometrice, jocuri matematice ca: trusa de riglete, trusele Dienes etc.. Acestea pot fi reale sau virtuale;
• Computerul. Acesta este cel mai complex mijloc tehnic de instruire deoarece:
– Lucrează cu programe special concepute;
– Prelucrează texte;
– Prelucrează imagini, grafică provenite de la camere video, aparatură video, televizor, etc.
– Prelucrează sunete provenite de pe CD- uri, microfoane, etc.
– Redă filme video prin utilizarea de DVD- uri;
– Prin cuplare la un video – proiector el poate înlocui aparatura de proiecție;
– Prin conectare la rețele, poate vehicula orice informație de la și către orice utilizator (exemplul cel mai actual fiind Internetul).
Se pot identifica mai multe situații prin care putem integra computerul în procesul de predare-învățare-evaluare a matematicii. Chiar dacă prezența calculatorului la clasă nu este vizibilă, el poate fi folosit de profesor în pregătirea lecțiilor, a documentației, etc. după cum urmează:
• Calculatorul, ca mijloc de predare-învățare, poate fi utilizat ca un retroproiector care pe lângă vizualizarea de imagini statice (texte, grafice) permite prezentarea de softuri educaționale, DVD-uri, informații preluate de pe Internet;
• Programele utilitare intervin în procesul de predare-învățare-evaluare prin:
– realizarea documentelor profesorului (planificări calendaristice, planificări ale unităților de învățare, proiecte de lecții, etc.);
– realizarea de materiale didactice de către profesor (fișe, teste, planșe, etc.);
– redactarea referatelor și a proiectelor de către elevi;
– ajutor în analiza și centralizarea rezultatelor evaluării (prin realizarea de grafice, tabele, medii, etc.) utilizând de exemplu Excel-ul;
– realizarea de prezentări prin utilizarea unor softuri de prezentare, ca de exemplu Power Point.
• Enciclopedii electronice, dicționare, hărți, simulatoare, DVD-uri, etc.
• Utilizarea rețelelor de calculatoare și a mediului Internet pentru:
– transmitere / primire de informații și comunicare cu alte persoane prin: e-mail, chat, verbal cu ajutorul microfonului, etc.;
– căutare de informații.
Se folosesc puțin sau chiar deloc în grădiniță și învățământul primar.
• Softurile educaționale: sunt produse software rezultat al unei prelucrări pedagogice a unor conținuturi științifice. Ele asigură realizarea învățării asistată de calculator și acoperă, de obicei, toate cele trei componente ale procesului de predare-învățare-evaluare.
Capitolul 2. CONSIDERAȚII TEORETICE
2.1. Metode aritmetice generale
Metodele aritmetice generale se aplică într-o măsură mai mare sau mai mică în rezolvarea tuturor problemelor.qUtilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză șiqsintezaqaleqgândirii,qmotivqpentruqcareqseqnumesc metoda analitică și metoda sintetică.
Metoda analitică. Aqexaminaqoqproblemăqprin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e alcătuită și a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lorqsăqcontribuieqînqmodqconvergent la formularea răspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date. Cuqalteqcuvinte,qmetodaqanaliticăqreprezintăqcaleaqdeqabordare a problemei, plecând de la cerințe spre date.
Exemplu: Într-o întreprindere lucrează două echipe de strungari: primă cu 6 strungari, care strunjesc câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. Să se stabilească valoarea pieselor executate într-o zi de cele două echipe, știind că o piesă este evaluată în medie la 48 lei.
• Examinareaqproblemei:
Pentruqaqaflaqvaloareaqtotală a pieselor, cunoscând valoarea unitară, ar trebui să se știe numărul total al pieselor strunjite de cele două echipe. În acest scop este necesar să se afle întâi numărul pieselor strunjite de prima echipă, apoi numărul de piese strunjite de a doua echipă. Numărul pieselor strunjite de o echipă se poate afla utilizând datele problemei, și anume înmulțind numărul pieselor strunjite de un strungar cu numărul strungarilor din echipă.
Detaliileqstabiliteqanaliticqseqsintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema data și indica succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor:
– Care este numărul pieselor strunjiteqdeqechipaqI?
18 pieseq×q6q=q108qpiese
– Care este numărul pieselor strunjite de echipa a II-a?
16 piese × 7 = 112 piese
– Care este numărul total de piese strunjite deqceleqdouăqechipe?
108 piese + 112qpieseq=q220qpiese
– Care este valoarea pieselor executate?
48 lei × 220 = 10 560 lei.
Metoda sintetică. Aqexaminaqoqproblemăqprinqmetodaqsintetică înseamnă a orienta gândirea elevilorqasupraqdatelorqproblemei,qaqgrupaqacesteqdateqdupă relațiile dintre ele, astfel încât să seqformulezeqcuqacesteqdateqtoateqproblemele simple posibile și a așeza aceste probleme simpleqîntr-oqsuccesiuneqlogicăqastfelqalcătuiteqîncâtqsă se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebareqcoincideqcuqîntrebareaqproblemeiqdate. Pe scurt, metoda sintetică reprezintă caleaqdeqabordareqaqproblemei,qplecândqdeqla date spre cerințe.
Exemplu: Problemaqenunțatăqșiqstudiatăqmai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:
– Cunoscând numărul strungarilor din prima echipă și numărul pieselor strunjite de fiecare, seqaflăqnumărulqpieselorqexecutate de întreaga echipă.
– Analog pentru echipa a II-a.
– Dacă se afla câte piese au fost strunjite de prima echipă și câteqdeqaqdoua, atunci se poate afla numărul total de piese strunjite de cele două echipe.
– Cunoscând numărulqtotalqdeqpieseqși valoareaqmedieqaquneiqpiese, se poate afla valoarea lor totală.
În legătură cuqceleqdouăqmetodeqgenerale de examinare a unei probleme, se menționează faptul căqprocesulqanaliticqnuqapareqși nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații aleqgândiriiqseqgăsescqîntr-oqstrânsaqconexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitateqinseparabilă.qDeqaceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneiaqsauqalteiaqdinqacesteqmetode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însa în anumite momente sau situații una dinqeleqdevineqdominantă.qAstfel,qdescompunerea unei probleme compuseqînqproblemeleqsimpleqdinqcareqeste alcătuită, constituie în esență un proces de analiza, iar formulareaqplanuluiqdeqrezolvare,qcuqstabilireaqsuccesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Dinqacesteqmotive,qceleqdouăqmetode apar adeseori sub o denumire unică: metoda analitico-sintetica.
În practică s-a demonstratqcăqmetodaqsintetică este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Maiqmult,qseqconstatăqcăqunii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și suntqtentațiqsă calculeze valori de mărimi care nu suntqnecesareqînqgăsirea soluției problemei. Metodaqanaliticăqpareqmaiqdificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și folosind-o, îi ajută peqcopiiqsăqpriveascăqproblemaqînqtotalitateaqei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.
2.2. Metode aritmetice speciale
Metodele aritmetice speciale sunt mai variate șiqdiferăqdeqlaqo categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt următoarele:
• metoda figurativă sau grafica,
• metoda comparației,
• metoda falsei ipoteze,
• metoda mersului invers.
În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficienta aplicarea unei singure metode, fiind necesară combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvării, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face după felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adică aplicând metoda analogiei. De asemenea, în afară de metodele menționate mai sus, exista și alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regulă de trei simplă sau compusă, în rezolvarea cărora se utilizează reducerea la unitate și metoda proporțiilor, apoi problemele de împărțire în părți proporționale, problemele cu procente, problemele de amestec și aliaj, problemele de mișcare, problemele nonstandard, etc.
Specific claseiqIqesteqprimulqtipqdeqprobleme,qa căror rezolvare conduce la o adunare sau scădere din concentrele numerice învățate. Rezolvarea acestora reprezintă, în esență, soluționarea unor situații problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viață, în realitatea înconjurătoare. Peqplanqpsihologic,qrezolvarea unei probleme simple reprezintă un procesqdeqanalizăqșiqsintezăqîn cea mai simplă formă. Problema trebuie să cuprindă dateq(valoriqnumericeqși relații între ele) și întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea maiqsimplăqanalizăqaqîntrebăriiqproblemeiqseqajunge la date și la cea mai simplă sinteză a datelor se ajungeqlaqîntrebareaqproblemei.qAqrezolvaqînqmodqconștient o problemă simplă, înseamnă a cunoașteqbineqpunctulqdeqplecare (datele problemei) și punctul la care trebuie să se ajungă (întrebarea problemei),qînseamnăqaqstabiliqîntre acestea un drum rațional, o relație corectă,qadicăqaqalegeqoperațiaqcorespunzătoare,qimpusăqdeqrezolvarea problemei.
Predarea oricăruiqnou conținut matematic trebuie să se facă, de regulă, pornind de la o situație-problemaqcareqîlqpresupune.qȘi din acest motiv, abordarea problemelor trebuie să înceapă suficient de devremeqșiqsăqfieqsuficientqdeqfrecventăqpentru a sublinia (implicit, dar uneori și explicit)qideeaqcăqmatematicaqesteqimpusă de realitatea înconjurătoare, pe care o reflectă și pe careqoqpoateqsoluționaqcantitativ.qÎnqmomentulqîn care elevii cunosc numerele naturale dintr-unqanumitqconcentruqșiqoperațiileqdeqadunare/scădereqcu acestea, introducerea problemelor oferăqcopiilorqposibilitateaqaplicăriiqnecesareqși plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de aqrecunoașteqșiqdiscriminaqsituațiileqcareqimplicăqoqoperațieqsau alta, precum și exersarea unei activitățiqspecificqumane:qgândirea.
Stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesară precizarea cazurilor care determină o anumită operație, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare. Copiii întâmpinăqdificultăți în rezolvarea problemelor simple, din pricina neînțelegerii relațiilor dintre date (valori numerice), text și întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de conținut și de sarcina propusă în problema și pentru că numerele exercită asupra copiilor o anumită fascinație, care îi face să ignore conținutul problemei.
Un alt grupqdeqdificultățiqapareqdin pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale institutorului este aceea de a învăța pe copii să traducă textul unei probleme în limbajul operațiilor aritmetice. Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului școlar, primeleqproblemeqceqseqrezolvăqcu clasa vor fi prezentate într-o formă cât mai concretă, prin punere înqscenă,qprinqilustrareaqcuqajutorulqmaterialuluiqdidactic și cu alte mijloace intuitive.
Conștientizareaqelementelorqcomponenteqaleqproblemei, ca și noțiunile de: problema, rezolvarea problemei,qrăspunsulqlaqîntrebareaqproblemei le capătă copiii cu ocazia rezolvării problemelor simple,qcândqseqprezintăqîn fața lor probleme vii, probleme-actiune, fragmente autentice de viață. Școlariiqmiciqtrebuieqmaiqîntâiqsă trăiască problema, ca să învețe să o rezolve. În manualul clasei I, prezentareaqproblemelorqseqfaceqgradat, trecând prin etapele:
– problemeqdupăqimagini;
– problemeqcuqimaginiqșiqtext;
– probleme cuqtext.
Introducereaqproblemelorqcuqtextqeste condiționată și de învățarea de către elevi a citirii/scrierii literelor și cuvintelor componente. Manualul sugereazăqșiqmodalitatea de redactare a rezolvării unei probleme, urmând ca, în absența unui text scris, institutorul să-i obișnuiască pe elevi să scrie doar datele și întrebarea problemei. Dupăqrezolvareaqproblemei, menționarea explicită aqrăspunsuluiqîiqdeterminăqpe elevi să conștientizeze finalizarea acțiunii, fapt ce va deveni vizibil și în caietele lor, unde acest răspuns va separa problema rezolvată de alte sarcini ulterioare de lucru (exerciții sau probleme). Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, institutorul trebuie să aducă în atenția copiilorqtoateqgenurileqdeqprobleme care se rezolva printr-o singură operațieqaritmetică.
Problemeleqsimpleqbazateqpeqadunare pot fi:
– deqaflareqaqsumeiqaqdoiqtermeni;
– deqaflareqaqunuiqnumărqmaiqmareqcuqun număr de unități decât un număr dat;
– probleme de genul cu atât mai mult.
Problemele simple bazate pe scădere pot fi:
– deqaflareqaqrestului;
– de aflareqaqunuiqnumărqcareqsăqaibă cu un număr de unități mai puține decât un număr dat;
– de aflare aqunuiqtermenqatunciqcând se cunosc suma și celălalt termen al sumei;
– problemele de genul cu atât mai puțin.
Problemele simple bazate pe înmulțire sunt, în general:
– de repetareqdequnqnumărqde ori a unui număr dat;
– de aflareqaqprodusului;
– de aflare aqunuiqnumărqcareqsăqfieqde un număr de ori mai mare decât un număr dat.
Problemele simple bazate peqîmpărțireqpotqfi:
– de împărțireqaqunuiqnumărqdat în părți egale;
– de împărțire prinqcuprindereqaqunuiqnumărqprinqaltul;
– de aflare aqunuiqnumărqcareqsăqfie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;
– de aflare aquneiqpărțiqîntr-unqîntreg;
– de aflare a raportului dintre două numere.
Rezolvarea problemelorqcompuseqnuqînseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nuqrezolvareaqproblemelorqsimple la care se reduce problema compusă constituie dificultateaqprincipalăqîntr-oqproblemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, constituirea raționamentului.qDeqaceea,qeste necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelorqsimple (cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau mai multe operații). Seqvaqporniqastfelqde la rezolvarea unor probleme alcătuite din succesiunea a douăqproblemeqsimple.
În cadrul acestei activități elevii realizează mersulqraționamentuluiqși învață să elaboreze tacticaqșiqstrategiaqrezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei problemeqcompuse se face, de regulă prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se potqfolosiqsimultanqsauqpoateqsăqpredomine una sau alta, caz în care metodă care predomina își impuneqspecificulqasupraqcailor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă, cât și cealaltă constau în descompunereaqproblemeiqdate în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, ducqlaqgăsireaqsoluției finale. Deosebirea dintre ele constă practic, în punctul de plecare alqraționamentului.
O dată cu analizaqlogicăqaqproblemeiqseqformulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de institutorqpeqtablăqși de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopulqfiindqacelaqalqformării deprinderilor de a formula întrebări și pentru alte rezolvări de probleme. O atenție deosebită trebuie să acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Și aceasta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, se formează simțul estetic al școlarului. Adesea elevii nu observa de la început existența mai multor cai de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin analiza întreprinsa cu clasă, prin întrebări ajutătoare, trebuie să-i determine pe elevi să se gândească și la alte modalități de rezolvare.
Metoda artitmetica, care pentru reprezentarea mărimilor din problema și a relațiilor dintre elequtilizeazăqelementeqgraficeqsauqdeseneqșiqscheme se numește metoda figurativă. În aplicarea acesteiqmetodeqseqpoate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condițiaqcaqeleqsăqfie adecvate naturii datelor problemei și specificului lor. Astfel, seqpotqîntâlni:
– desene careqreprezintăqacțiuneaqproblemeiqși părțile ei componente (pentru clasele mici);
– figuri geometriceqdiferite:qsegmentulqdeqdreaptă, triunghiul, dreptunghiul, pătratul, cercul;
– figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;
– diverse semne convenționale, unele obișnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;
– litere și combinațiiqdeqlitere;
– elemente graficeqsimple:qpuncte,qlinii,qovale, cerculețe, etc.
Metoda figurativă ajutăqlaqformareaqschemeiqproblemei, la concentrarea asupra tuturor condițiilor problemei. În rezolvarea unei problemeqcareqfaceqapelqla această metodă, sprijinul se face pe raționament, folosind înțelesul concret al operațiilor. Metoda figurativă este situată pe primul loc în ceea că privește utilitatea ei, datorită avantajelor pe care le prezintă. Astfel:
– areqcaracterqgeneral,qutilizându-seqlaqoriceqcategorii de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarizării;
– areqcaracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilorqvizuale,quneoriqintervenindqacțiuneaqdirectă, mișcarea și transpunereaqacesteiaqpe plan mintal;
– prin dimensiunileqelementelorqfigurativeqșiqprin proporțiile dintreqeleqse creează variate modalitățiqdeqstabilireqaqrelațiilorqcantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.
Metoda comparației constăqînqaqfaceqcaqunaqdintreqcele două mărimi să aibă aceeași valoare și în acest modqproblemaqseqsimplifică,qdevenind cu o singură necunoscută. Într-o astfel de problemă, așezareaqdatelorqseqfaceqprinqrespectareaqrelațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparațiaqdintreqvalorileqaceleiașiqmărimiqsă fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile deqacelașiqfelquneleqsubqaltele.
Procedeul aritmeticqdeqrezolvareqaqunorqastfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adicăqprinqadunareqsauqscădere. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducereaqesteqimediatăqprinqscădereaqrelațiilor respective. Dacă din enunțul problemeiqnuqrezultăqvalori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.
Metoda falseiqipoteze.qProblemeleqdinqaceastă categorie sunt foarte numeroase. Prin această metodă poate fiqrezolvatăqoriceqproblemăqale cărei date sunt mărimi proporționale. Metoda falsei ipoteze esteqmetodaqaritmeticăqprinqcare rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a uneiqipoteze,qconfruntândqapoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Numeleqmetodeiqseqjustificăqprin faptul că ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplătorqcuqrezultatulqproblemei. Ea se utilizează în toate cazurile în care, prin ipotezele careqseqfac, se poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei și deci la rezolvarea ei.
De regulă, seqpleacăqdeqlaqîntrebareaqproblemei,qînqsensul că asupra mărimii care se cauta se face o presupunere completqarbitrară.qSeqrefaceqapoiqproblemaqpe baza presupunerii făcute. Deoarece mărimile suntqproporționale,qrezultateleqobținute pe baza presupunerii se translatează în plus sau în minus,qdupăqcumqpresupunereaqfăcută este mai mică, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refăcând,qașadar,qproblema,qse ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel realqdinqproblema.qElqesteqfie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compara rezultatul peqbazaqpresupunerii,qcuqcel real din punct de vedere al câtului și se observa de câte ori s-a greșitqcândqs-aqfăcutqpresupunerea. Se obține, așadar, un număr cu ajutorul căruia se corectează presupunereaqfăcută, în sensul că se micșorează sau se mărește de acest număr de ori.
Metoda are și uneleqvarianteqde aplicare, dar, în principiu, ea rămâne cea descrisă mai sus. Problemele care se rezolvăqprinqaceastăqmetodăqse pot clasifica în două categorii, în funcție de numărulqipotezelorqcare sunt necesare, pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor:
– Probleme de categoriaqIqpentruqrezolvareaqcărora este suficientă o singură ipoteză;
– Probleme de categoria aqII-a,qpentruqrezolvareaqcăroraqsunt necesare doua sau mai multe ipoteze succesive.
Prin metoda mersuluiqinversqseqrezolvăqaritmeticqanumite probleme în care elementul necunoscut apare în fazaqdeqînceputqaqșirului de calcule care se impun. Această metodă de rezolvare a problemelor deqaritmeticăqseqnumeșteqa mersului invers, deoarece operațiile se reconstituie în sens inversqacțiuniiqproblemei,qadicăqdeqla sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei.qMetodaqmersuluiqinversqse aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin necunoscută,qcâtqșiqînqrezolvareaqproblemelor care se încadrează în tipul respectiv, adică în care dateleqdepind unele de altele succesiv, iar enunțul respectivei probleme trebuie urmărit de la sfârșitqspreqînceputqșiqîn fiecare etapă se face operația inversa celei apărute în problema. Deci, nuqnumaiqmersulqesteqinvers,qci și operațiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problema.qProbaqseqfaceqaplicând asupra numărului găsit operațiile indicate în enunțul problemei.
Regulaqdeqtreiqsimplăqreprezintăqo schemă de așezare a datelor și de utilizare a acestor date în orientarea și desfășurareaqprocesuluiqdeqgândireqcare intervine în examinarea și rezolvarea unor probleme cu mărimi proporționale. În problemele care se rezolva prin regulă de trei simplă intervin doua mărimi direct sau invers proporționale, fiecare mărime cu câte o pereche de valori, una din acesteqvaloriqfiindqnecunoscută.qPrinqurmare, în această categorie de probleme se dau trei valori cuqajutorulqcăroraqseqgăsește cea de-a patra valoare, fapt care justifica numele pe care îl poartă: regulă de trei.
Problemele care se rezolva prin regulă de trei compusă exprimă dependență direct sau invers proporțională a unei mărimi față de alteqdouăqsauqmaiqmulteqmărimi. Eleqauqîn general caracterqpracticqaplicativqîntrucâtqilustrează prin elemente matematice o serie de situații reale, întâlnite în viața deqtoateqzileleqsauqînqdiferitele aspecte ale procesului de producție. Rezolvarea unei probleme prin regulă de trei compusă presupune aplicarea succesivă a regulii deqtreiqsimple,qasociindqmărimii care conține necunoscută pe rând câte una din celelalte mărimi și exprimând valoarea necunoscută în funcție de acestea.
O categorieqaparteqdeqproblemeq(recreative,qrebusistice,qdeqperspicacitate),qcare nu se supune exigentelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care nu permite aplicarea unei metode (învățate) este cunoscutăqsubqnumeleqdeqprobleme nonstandard. Această categorie includeqproblemeqînqfațaqcărora, după citirea enunțului, rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu reușește să le introducă în canoanele vreunei metode de rezolvare bine știute. În această situație, gândirea și imaginația sunt în plină activitate, elevul devenind, în situația în care reușește rezolvarea, un creator.
Conduitaqesteqcreativăqdeoareceqniciqoqproblemăqnu seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvitorul fiind obligat să găsească o anume cale de rezolvare proprie fiecărei probleme. În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe căi constituie o modalitate de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Această activitate impulsionează elevii la căutarea unor soluții originale. Important este că ei să înțeleagă în mod conștient toate modalitățile de rezolvare, să le explice și apoi să le reproducă.
Verificareaq(proba)qsoluțieiqaflateqpentruqo problemă dată este foarte importantă pentru realizarea scopuluiqformativ,qpentruqdezvoltareaqcreativității gândirii elevilor. În general, probaqseqfaceqpeqdouă căi principale:
– înlocuind rezultatele aflate, în conținutul problemei; în acest caz, elevul trebuie să poată încadra rezultatele (numerele) aflate în enunțul problemei și să poată verifica condiționarea lor astfel ca să obțină datele (numerele) inițiale;
– rezolvând problema în două sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie să obțină același rezultat prin toate căile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia că soluția problemei este bună. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antrenării elevului la muncă independenta, creatoare.
Complicareaqproblemeiqprinqintroducereaqdeqnoiqdate,qsau prin modificarea întrebării contribuie în mare măsură la dezvoltarea flexibilității și creativității gândirii. Formula numerică (sauqliterală)qpentruqrezolvareaquneiqprobleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor,qadeseaqfolositqînqactivitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolvăriiquneiqproblemeqsubqformaqunui singur exercițiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cuqlitere,qindiferentqdacăqesteqsauqnuqîncadrată într-o problemă tipică. O asemenea activitate cu elevii este o muncă de creație, de gândire, de stabilire de legături logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercițiu, ceea ce de fapt se realizează în mai multe etape, prin exerciții distincte.
Dacă se înlocuiesc numerele din exercițiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare. Elevii trebuie făcuți să înțeleagă, ca în formula numerică a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau operațiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, pătrate sau acolade. În alcătuirea exercițiului trebuie să se țină cont de ordinea operațiilor din probleme, de ordinul operațiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca și de proprietățile operațiilor (comutativitate, asociativitate).
Rezolvarea exercițiului trebuie să conducă la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a greșit rezolvarea problemei, fie că s-a alcătuit sau rezolvat greșit exercițiul. Câmpul de aplicabilitateqalqacesteiqactivitățiqcreatoare,qeste deschis aproape la orice lecție unde se rezolva probleme.
Capitolul 3. METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR
3.1. Expunerea, explicația și conversația
În rezolvarea unei probleme, aspectul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei. Elevul tebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film”al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.
În fața unei probleme, elevul este în contact cu două categorii de date precise: ce se dă (contextul problemei) și ceea ce se cere (întrebarea problemei). Între aceste două elemente există un „gol” care trebuie „umplut” cu ajutorul cunoștințelor și metodelor cunoscute. Pentru a rezolva o problemă, elevul trebuie să aplice unele cunoștințe dobândite anterior (în alte condiții de rezolvare) la situația actuală, printr-o operație de transfer. Transferul este posibil prin analiză și sinteză.
Pornind de la datele problemei, elevul caută în bagajul de informații anterioare acele cunoștințe care sunt în relație cu datele pe care problema i le oferă. El alege o anumită informație și analizează în ce măsură acea informație poate fi utilizată în situația dată. Dacă informația nu e necesară, încearcă o alta până când găsește elementele de sprijin care îl ajută să descopere informațiile utilizabile în noua situație. În acest proces de analiză și sinteză a unor informații și de valorificare a experienței sale rezolutive, copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat, întrucât această capacitate de a folosi cunoștințele anterioare, de a descoperi relații noi prin valorificarea celor vechi este încă insuficient dezvoltată.
De cele mai multe ori, elevul pierde ideea conducătoare care l-ar aduce la rezolvarea problemei, nu mai știe ce trebuie să facă cu un rezultat parțial obținut. Rezolvarea unei probleme solicită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute, cu cât „cheia problemei” se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei. Datele unei probleme reprezintă pentru elevi punctul de plecare în rezolvare și oferă primele informații legate de calea de urmat. Rezolvarea oricărei probleme se produce printr-o continuă reorganizare a datelor, prin punerea lor în alte relații decât cele „vizibile” în enunț, prin reformularea problemei la diferite niveluri, prin elaborarea unor strategii logice, prin descoperirea strategiei optime care duce la identificarea soluției.
Pentru ca elevul să devină conștient de fiecare verigă a raționamentului, a drumului către soluție, sunt necesare sarcini sub formă de exerciții de reorganizarea a datelor și reformularea problemei la diferite niveluri. După identificarea și rezolvarea fiecărei probleme simple din componența problemei complexe, sunt necesare cerințe de reformulare a problemei. În acest fel se realizează legături logice între datele problemei (de cele mai multe ori descoperite de elevi în demersul de rezolvare), ce vor ajuta elevul să găsească soluția.
Acest demers se constituie în etapa de analiză (sintetică sau analitică) a oricărei probleme. A ști să rezolvi o problemă presupune a înțelege datele și ordinea lor, condițiile problemei, relațiile dintre datele problemei, precum și a elabora șirul de judecăți pentru a construi raționamentele de rezolvare. Există două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:
• când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă – tip – în acest caz elevul e solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare. Acestă schemă se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul.
• când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare și elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. Ținând cont de particularitățile de vârstă ale elevilor, în rezolvarea problemelor se parcurg următoarele etape:
Expunerea enunțului problemei (comunicarea enunțului problemei) – se realizează prin citire sau enunțare orală de către învățător sau de elevi. Se va avea în vedere citirea și enunțarea expresivă a textului, scoțându-se în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei.
Însușirea conținutului problemei (înțelegerea enunțului problemei) este etapa căreia trebuie să i se acorde importanța cuvenită, pentru că de aceasta depinde înțelegerea corectă, asigurarea participării active și conștiente a elevilor la rezolvare. Prin discuții cu elevii trebuie reținute elementele matematice importante: datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Să se insiste asupra fondului, nu a formei, dând libertate elevului să se exprime liber, aceasta convingându-ne că a înțeles problema. Este binevenită ilustrarea problemei cu ajutorului materialului didactic, la clasa I, iar la clasele mai mari cu scheme grafice sau alte semne convenționale.
Analiza problemei (examinarea problemei) este etapa cea mai importantă în rezolvarea problemei. Acestei etape trebuie să i se acorde timp suficient, să nu se efectueze în grabă, superficial, ci cu multă răbdare, cu efort de gândire pentru descoperirea căii de rezolvare a problemei. Examinarea problemei înseamnă un șir de raționamente orientate către întrebarea problemei prin care se găsesc relații între perechi de valori numerice și se împarte problema dată în probleme simple. Succesiunea problemelor simple ce alcătuiesc problema compusă se face astfel încât întrebarea ultimei probleme să coincidă cu întrebarea problemei date. Acest lucru se face prin două metode: metoda analitică și metoda sintetică.
Analizaqprofundăqaqdatelorqproblemeiqtrebuieqsa-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunereaqsituațieiqconcreteqpeqcareqo prezintă problema în relații matematice. Renunțareaqlaqelementeleqconcreteqșiqînlocuirea acestora cu expresii potrivite, fac posibilă schematizareaqproblemeiq–qdeciqpasulqnecesar spre generalizare.
Întocmirea planului de rezolvare este etapa care urmează examinării problemei. Acest plan este, de fapt, o ordonare sintetică a întrebărilor problemelor simple, reieșite din problema compusă, în timpul examinării. Planul de rezolvare nu este un scop în sine, ci un mijloc prin care ajutăm elevii să înțeleagă cum se desfășoară procesul de examinare și cum se formulează concluziile acestei examinări. Pentru alcătuirea planului se folosesc în exprimare numai mărimi sau cantități fără numere (sau cu cât mai puține numere) și fără calcule, întrucât acum se stabilesc numai raporturile cantitative dintre mărimi sau relații de calcul. Planul de rezolvare se poate formula fie prin propoziții interogative (mai ales la clasele mici), fie prin propoziții afirmative.
Rezolvarea propriu-zisă a problemei constă în stabilirea operației corespunzătoare fiecărui punct din plan și efectuarea calculelor ce conduc la obținerea rezultatului final.
Activități suplimentare după rezolvarea problemei:
– verificarea rezultatului obținut prin rezolvarea problemei – prilej de convingere privind justețea rezolvării;
– scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei – cu rol în fixarea algoritmului de rezolvare, dar și în antrenarea sistematică a intelectului elevilor;
– căutarea și aplicarea unui alt mod de rezolvare – ceea ce contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare;
– formularea de alte probleme ce se rezolvă după același exercițiu etc.
Metoda expunerii asigură prezentarea orală a unei teme sau probleme într-o organizare logică, densă, clară, fluentă sub forma narațiunii (în învățământul primar), a explicației (în învățământul secundar) sau prelegerii (în învățământul superior). La grădiniță nu se va utiliza această metodă, iar în clasele primare vom utiliza așa numita expunere explicativă, în care expunerea nu are mai mult de 10 de minute și este presărată de explicații. În general orele care se pretează la această metodă sunt primele ore ale unui capitol.
Explicația este metoda de comunicare orală cel mai des folosită în învățământul preșcolar și primar. Explicația poate face apel la diferite procedee:
• Procedeul inductiv se realizează:
– plecând de la cazuri particulare se ajunge la concluzii generale ;
– plecând de la concret se ajunge la abstract.
• Procedeul deductiv se realizează:
– plecând de la cazuri generale se ajunge la situații particulare ;
– plecând de la abstract se ajunge la concret.
• Procedeul analizei cauzale constă în explicarea cauzei care stă la baza introducerii conceptului.
• Procedeul comparației și analogiei constă în explicarea analogiilor sau se fac comparații.
• Procedeul teleologic constă în redarea a ceea ce trebuie explicat în termenii scopului urmărit
Conversația face parte din categoria metodelor didactice în care predomină acțiunea de comunicare orală, subcategoria celor de comunicare orală conversativă. Conversația este inițiată de profesor și se bazează pe schimburi verbale/dialoguri între profesor și elevi și între elevi, pentru atingerea obiectivelor operaționale prestabilite. Conversația poate fi clasificată după mai multe criterii, respectiv:
• După numărul de copii cărora li se adresează întrebarea conversația poate fi:
individuală: se numește elevul și apoi se inițiază conversația; Învățământul individual reprezintă cea mai veche formă de organizare a corelației profesor-elev, anterioară învățământului frontal. Ea corespunde momentului în care societatea avea nevoie de un număr mic de persoane instruite, iar profesorul chiar dacă învăța mai mulți copii se ocupa de fiecare în parte. Activitățile individuale constau în organizarea lecției în așa fel încât elevii să lucreze individual, aceeași sarcină de lucru sau sarcini diferite, cu sau fără ajutorul cadrului didactic.
La baza acestei forme de organizare a activității stă principiul respectării particularităților individuale ale elevilor. Activitatea individuală este realizabilă prin:
– teme comune: se solicită fiecărui elev să execute singur și pentru sine exercițiile date de profesor, aceste exerciții fiind aceleași pentru toți elevii;
– teme diferențiate: se solicită fiecărui elev să execute singur și pentru sine exercițiile date de profesor, aceste exerciții fiind diferite ca volum și grad de dificultate pentru fiecare elev în parte.
Avantajele activităților individuale sunt:
– permite diferențierea sarcinilor de învățare în funcție de particularitățile individuale ale elevilor;
– activitatea se desfășoară în liniște;
– învățarea se produce în ritm propriu;
– crește responsabilitatea elevului față de propria muncă.
Dezavantajele activității individuale sunt:
– facilitează erorile în învățare;
– profesorul nu dă un feedback și nu evaluează în întregime rezultatele de fiecare dată;
– favorizează competiția;
– comunicarea este aproape absentă.
frontală: profesorul inițiază conversația și apoi numește elevul. Activitățile frontale sunt formele de organizare ale lecțiilor tradiționale, când profesorul lucrează simultan cu întreaga clasă și toți elevii rezolvă aceeași sarcină de lucru. Această formă de organizare a corelației profesor-elev a fost pomenită de Comenius în opera sa Didactica Magna în anul 1627, deci acum aproape 400 de ani. Ea reprezintă o modalitate de activitate didactică colectivă proiectată pe baza unui scop pedagogic comun, realizabil însă în grade diferențiate, în funcție de posibilitățile fiecărui elev.
Avantajele activităților frontale sunt:
– activitatea elevului este dirijată în direcția însușirii cunoștințelor și deprinderilor specifice;
– orientează inițiativa și creativitatea elevului pe baza unor tehnici de muncă intelectuală dobândite anterior;
– se câștigă timp;
– se prezintă un volum mare de informații;
– cunoștințele prezentate sunt bine sistematizate;
– profesorul primește și oferă un feedback imediat.
Dezavantajele activităților frontale sunt:
– elevul se află într-un raport de dependență față de profesor;
– nu stimulează în suficientă măsură activitatea independentă și gândirea divergentă a elevului;
– nu asigură decât în rare cazuri participarea tuturor elevilor la procesul de învățământ;
– conexiunea inversă este dificil de realizat mai ales la clasele cu un număr mare de elevi;
– elevii sunt tratați predominant ca și cum ar avea toți aceleași caracteristici.
Pentru îmbunătățirea rezultatelor activităților frontale se recomandă:
– evidențierea situației inițiale a elevilor prin intermediul diagnosticului inițial;
– combinarea activității frontale cu cele individuale și în grup;
– realizarea de activități frontale cu grupe omogene ale clasei, timp în care ceilalți elevi ai clasei efectuează activități individuale sau în grup.
• După momentul din lecție în care are loc conversația aceasta poate fi:
– introductivă;
– pentru transmiterea de noi cunoștințe;
– pentru fixarea cunoștințelor;
– de recapitulare și sistematizare;
– de evaluare a cunoștințelor elevilor.
• După tipul de raționament pe care-l efectuează elevul când dă răspunsul conversația poate fi:
– catehetică: se adresează memoriei, răspunsurile sunt reproduceri de enunțuri, definiții, formule, etc. Exemplu. Conversația inițiată de profesor pentru fixarea tablei înmulțirii.
– euristică: se adresează gândirii, ea implică elevii activ și interactiv în descoperirea noului. Exemplu. Conversația inițiată de profesor pentru descoperirea tablei înmulțirii cu o cifră.
Conversația este folosită în predarea noilor cunoștințe, în verificarea cunoștințelor asimilate, în pregătirea lecției noi, în sistematizarea lecției și fixarea cunoștințelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelor. Mecanismul conversației constă într-o succesiune logică de întrebări cu pondere adecvată între întrebări de tip reproductiv – cognitiv („care este?”, „ce este?”, „cum?” etc.) și productiv – cognitive („în ce scop?”, „ce s-ar întâmpla dacă?”, „din ce cauză?” etc.).
Întrebările sunt precise, în contextul conținutului, au fost exprimate concis, simplu și clar: „care este întrebarea?”, „ce se dă?”, „ce trebuie să aflăm?”, „cum aflăm?”, „ce operație sugerează expresia de 7 ori mai mult?” etc. Ele trebuie să respecte succesiunea logică a sarcinilor de învățare, să stimuleze gândirea copilului, să fie în acord cu capacitatea de explorare a copiilor, să nu sugereze răspunsurile așteptate.
În analiza sau explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme se formulează întrebări și răspunsuri prin intermediul cărora elevii sunt dirijați să valorifice experiența cognitivă de care dispun și să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi. Se acordă importanță formulării întrebărilor cât și a răspunsurilor, având în vedere faptul că această metodă are o mare valoare formativă prin tipul de gândire pe care îl antrenează (convergent sau divergent), dar și prin introducerea și exersarea limbajului specializat al matematicii, contribuind astfel la dezvoltarea personalității elevului.
3.2. Problematizarea
Metoda problematizării urmărește realizarea activității de predare-învățare-evaluare prin lansarea și rezolvarea unor situații-problemă. Înțelegerea acestei metode presupune stăpânirea conceptului pedagogic de situație-problemă care nu trebuie confundat cu conceptul pedagogic de problemă. Ch. Orange (1993) consideră că în știință relația problemă-cunoaștere este circulară. Problema stă la baza cunoașterii, iar cunoștințele reprezintă cadrul apariției și construcției problemelor. Relativ la tipologia problemelor există două mari categorii de probleme:
• probleme închise: acele probleme care presupun o sarcină rezolvabilă prin aplicarea unor cunoștințe dobândite anterioare, o cale de investigație liniară, care angajează un procent de reușită școlară cu probabilitate maximă;
• probleme deschise: probleme care servesc ca și punct de plecare pentru situațiile de învățare/ noile concepte.
Situațiile-problemă se integrează în categoria problemelor deschise dar se identifică prin conflictul cognitiv/contradicții care se declanșează în mintea elevului între pe de o parte – experiența anterioară și pe de altă parte – elementul de noutate și de surpriză, necunoscutul cu care este confruntat. Nu orice întrebare care îl face curios pe elev este o situație-problemă decât în măsura în care elevul posedă o bază de cunoștințe care îl ajută să se orienteze în problemă pentru ca în final să poată fi rezolvată și să conducă la descoperirea unui concept.
Sursele situațiilor-problemă pe care profesorul de informatică le poate exploata sunt:
• Contradicții generate de cunoștințele empirice sau predicțiile bazate pe acestea.
• Dezacord între cunoștințele dobândite anterior (cunoștințe nefinisate) și condițiile noi de rezolvare a problemei (cunoștințe finisate).
• Contradicție între cunoștințele dobândite anterior dar inadecvate unei situații date.
• Contradicții între cunoștințele teoretice și imposibilitatea de aplicabilitate practică a acestora.
• Încadrarea cunoștințelor anterioare într-un sistem, conștientizarea că acest sistem nu este întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.
Etapele metodice ale problematizării pe care elevul (de obicei, sub îndrumarea profesorului) le parcurge în rezolvarea situațiilor-problemă sunt următoarele:
• Realizarea situației-problemă se face în învățământul primar prin oferirea unei informații și apoi punerea unei întrebări/probleme pe care elevii trebuie să o rezolve;
• Analiza situației-problemă este etapa în care elevii studiază problema, disting elementele esențiale, o restructurează, reformulează și găsesc legături între elemente.
• Prezentarea încercărilor de rezolvare a situației-problemă este etapa în care elevul selectează din cunoștințele sale anterioare pe acelea care ar putea fi operaționale în rezolvarea problemei și aleg calea de rezolvare.
• Rezolvarea situației-problemă este etapa în care elevul rezolvă problema și descoperă noile cunoștințe.
• Interpretarea soluției și integrarea noilor achiziții în sistemul cognitiv propriu este etapa în care soluția este confruntată cu cunoașterea anterioară. Tot în această etapă noile cunoștințe sunt sistematizate și integrate în sistemul cognitiv propriu al elevului.
3.3. Învățarea prin descoperire și observația sistematică
Învățarea prin descoperire constă în punerea elevilor în situația de a descoperiri soluția unei probleme de prin efort propriu, de obicei sub îndrumarea profesorului. Învățarea prin descoperire apare întotdeauna în învățarea prin problematizare, în etapa de rezolvare a situației-problemă, dar poate fi considerată și ca o metodă de sine stătătoare pentru rezolvarea unei probleme care nu este situație-problemă. Există următoarele tipuri de descoperiri didactice:
• Descoperirea inductivă bazată pe raționamente de tip inductiv: de la particular spre general, de la concret spre abstract.
• Descoperirea deductivă bazată pe raționamente de tip deductiv: de la general spre particular, dinspre abstract spre concret.
• Descoperirea prin analogie bazată pe raționamente de tip analogic: particular-particular, general-general.
Avantajele metodice ale utilizării problematizării și învățării prin descoperire sunt:
– Dezvoltă o învățare activă;
– Dezvoltă motivația învățării;
– Problemele pot fi valorificate încă de la începutul activității ;
– Aceste metode se pot combina cu ușurință între ele dar și cu alte metode;
– Sprijină procesul de evaluare întrucât prin rezolvarea situațiilor-problemă elevii demonstrează că au atins performanțele descrise în obiectivele operaționale cu care sunt corelate;
– Dezvoltă cunoștințe durabile și raportate la exemple practice.
Dezavantajele metodice ale utilizării problematizării și învățării prin descoperire sunt:
– Solicită o activitate laborioasă din partea profesorului pentru conceperea și coordonarea activității;
– Activitatea bazată pe problematizare reclamă un volum mai mare de timp în descoperirea noului, de unde un timp mai mic care se alocă fixării cunoștințelor. Timpul este însă câștigat în orele următoare datorită faptului că nu mai sunt necesare prea multe reveniri sau exersări.
Metoda observației sistematice valorifică modelul cercetării științifice clasice care asigură investigarea directă a unor obiecte, fapte, relații, etc. Raționamentele folosite sunt inductive și deductive. Funcția pedagogică a acestei metode vizează formarea-dezvoltarea spiritului de cercetare obiectivă a realității pe baza unor criterii de rigurozitate științifică adecvate fiecărei etape de școlaritate.
Etapele metodice ale observației sistematice pe care elevul, sub îndrumarea profesorului, le parcurge în această metodă sunt:
• Sesizarea elementelor esențiale ale fenomenului/ obiectului studiat;
• Definirea trăsăturilor generale la nivelul unor categorii observabile;
• Exprimarea sintetică, la nivel conceptual, a funcției fenomenului studiat/ definiției obiectului studiat. Această etapă poate lipsi la un moment dat la nivelul învățământului preșcolar și primar cu precizarea că o revenire ulterioară pe o treaptă superioară va face posibilă și atingerea acestei etape.
Perfecționarea metodei vizează asigurarea saltului de la observația sistematică, dirijată de profesor, la observarea sistematică, realizată independent de elev prin valorificarea procedeelor de diferențiere a instruirii aplicabile în diferite situații didactice, în condițiile unui învățământ diferențiat, pe grupe sau individual.
3.4. Modelarea și demonstrația
Modelarea constă în cercetarea indirectă a realității, a obiectelor, fenomenelor, etc. cu ajutorul unor sisteme numite modele. Modelarea este considerată o metodă activă, euristică, care valorifică raționamentele prin analogie. Ea reprezintă o cale de familiarizare a elevului cu cercetarea științifică. Modelul reprezintă un sistem material sau ideal care reproduce în mod esențializat, prin analogie,sistemul original. Caracteristicile pe care trebuie să le aibă un model sunt:
– fidelitatea: calitatea modelului de a prezenta un număr suficient de analogii cu originalul;
– simplitatea și caracterul esențializat;
– corectitudinea: modelul nu trebuie să aibă simplificări exagerate și să nu conțină greșeli;
– elementele analogice ale modelului vizează cele trei planuri ale originalului: cel al formei, al structurii și al funcționării
– accesibilitatea: modelul trebuie să fie adecvat caracteristicilor psihologice ale elevilor.
Clasificarea modelelor se poate face astfel:
• În funcție de formă și structură avem:
• Modele materiale: prezintă o asemănare fizică reală cu originalul și reproduc la nivel micro trăsăturile esențiale ale originalului studiat.
Exemple. Figurile geometrice și corpurile geometrice executate din plastic, carton sau sârmă.
• Modele figurative: sunt scheme, desene, fotografii sau reprezentări grafice ale originalului care au capacitatea de a reproduce forma exterioară, structura internă și relațiile funcționale specifice originalului studiat.
Exemple. Desene, fotografii ale unor obiecte din mediul înconjurător care au trăsături comune cu figurile, corpurile sau alte noțiuni geometrice.
• Modele simbolice: au o formă esențializată, ideală, exprimată prin formule, ecuații, scheme, reprezentări grafice care au capacitatea de a reproduce la nivelul gândirii modul de funcționare al originalului. Ele pot fi de două feluri:
– modele grafice: utilizează o formă grafică de reprezentare.
Exemple. Realizarea unor scheme de înmulțire și împărțire a numerelor naturale, rezolvarea unor probleme prin metoda figurativă, realizarea unei scheme cu multiplii și submultiplii metrului, litrului, kilogramului.
– modele ideale: utilizează o formă logică exprimată prin idei, formule.
Exemple. Scrierea unei ecuații pentru rezolvarea problemelor cu text, formula de efectuare a probei pentru împărțirile cu rest etc.
În funcție de rolul pe care îl îndeplinesc în procesul de învățare distingem:
• Modele explicative sprijină procesul de înțelegere: scheme, grafice, desene, figuri, diagrame, etc. Exemple. Schemele folosite pentru multiplii și submultiplii metrului, litrului, kilogramului etc.
• Modele predictive dezvăluie transformările care vor surveni pe parcurs în sistemul studiat. Exemple. Modelele folosite la rezolvarea problemelor prin metoda figurativă etc.
Etapele metodice ale modelării sunt:
• Construirea modelului, care presupune:
– Identificarea elementelor originalului care sunt relevante și esențiale pentru scopul urmărit;
– Construirea modelului pe baza relațiilor existente între componentele identificate.
• Investigare și acțiune asupra modelului presupune studierea proprietăților modelului, emiterea unor ipoteze, verificarea acestor ipoteze pe model și stabilirea concluziilor;
• Transferul concluziilor de la model la original prin analogie;
• Integrarea noilor cunoștințe în sistemul cognitiv propriu.
Avantajele modelării sunt:
– Familiarizarea elevilor cu raționamentul prin analogie;
– Dezvoltă capacitatea elevului de a generaliza și abstractiza;
– Exersează elevii în tehnica observației sistematice;
– Oferă elevilor un material mai accesibil puterii lor de analiză și explorare activă;
– Inițiază elevii în munca de cercetare științifică.
Dezavantajele modelării sunt:
– Analogiile sau simplificările exagerate pot duce la concluzii greșite ;
– Uneori originalul nu poate fi înțeles în ansamblul său.
Metoda demonstrației reprezintă acțiunea didactică de prezentare a unor obiecte, fenomene din natură sau societate, reale sau substituite, în vederea stimulării capacității elevilor de descoperire și de argumentare a esenței acestora. Ea este o metodă de cercetare indirectă a realității și valorifică raționamentele de tip deductiv.
Demonstrația poate lua următoarele forme:
– Demonstrație observațională, numită și “demonstrație vie” se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale;
– Demonstrația experimentală se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale în condiții de laborator;
– Demonstrația grafică se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale prin intermediul unor fotografii, scheme, tabele, etc.
– Demonstrația documentară se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale pe baza unei documentații specifice domeniului respectiv;
– Demonstrația analogică se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale prin intermediul unor modele;
– Demonstrația programată se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale prin intermediul instruirii asistate de calculator.
Literatura de specialitate prezintă ca o modalitate specifică de organizare a metodei demonstrației utilizarea mijloacelor de instruire moderne (în special computerul).
Etapele metodice ale metodei demonstrației sunt:
• Prezentarea de către profesor a obiectului, fenomenului;
• Descoperirea de către elevi a esenței obiectului, fenomenului;
• Integrarea cunoștințelor în sistemul cognitiv propriu.
Exemple.
– Profesorul demonstrează elevilor modul de adunare a numerelor cu trecere peste ordin în concernul 0-20 cu ajutorul jetoanelor sau a socotitorii. Apoi copiii vor face același lucru în bănci pe alte exemple.
– Profesorul demonstrează elevilor cum se poate obține o desfășurare a cubului prin tăierea unui cub de-a lungul muchiilor. Apoi copiii pot să execute ei înșiși astfel de desfășurări sau să încerce să reconstruiască cuburi din desfășurări date.
3.5. Jocul didactic matematic
Pentru sporirea eficienței lecțiilor cu conținut matematic pentru preîntâmpinarea eșecului școlar, eliminarea supraîncărcării este necesar a introduce în lecție elemente de joc prin care să se îmbine într-un tot armonios atât sarcini și funcții specifice jocului, cât și sarcini și funcții specifice învățăturii. Folosit cu măiestrie, jocul didactic matematic creează un cadru organizatoric care favorizează dezvoltarea curiozității și interesului copiilor pentru tema studiată, a spirilului de investigație și formarea deprinderilor de folosire spontană a cunoștințelor dobândite, relații de colaborare, ajutor reciproc, integrarea copilului în colectiv.
Jocurile didactice matematice au un mare rol în consolidarea, adâncirea, sistematizarea și verificarea cunoștințelor în dezvoltarea multilaterală a preșcolarilor și a școlarilor mici. Prin intermediul jocului didactic aceștia își îmbogățesc experienta cognitivă, învața să manifeste o atitudine pozitivă sau negativă față de ceea ce întâlnesc, își educă voința și pe această bază formativa își conturează profilul personalității. Jocul didactic este necesar deoarece prin el copilul trece lent, recreativ, pe nesimțite spre o activitate intelectuală serioasă.
Jocul didactic realizează cu succes conexiunea inversă. Prin joc, atât cadrul didactic cât și copilul primesc informații prompte despre efectul acțiunii de predare-învatare, despre valoarea veridica a cunoștințelor sau a răspunsurilor pe care copilul le da la sarcina didactică pusă în evidență. Prin această informație inversă, imediat efectivă despre randamentul și calitatea procesului didactic devine posibilă reactualizarea, reconstientizarea și aprecierea procesului învățării, dând posibilitatea institutorului să controleze și autocontroleze cum au fost însușite, înțelese elementele cunoașterii. Confirmarea imediată a răspunsului are un efect psihologic dinamizant, mobilizator pentru elev, stimulându-i activitatea ulterioară de învățare. Bucuria succeselor mărește încrederea în forțele proprii, promovează progresul intelectual al celui care învață.
Prin folosirea jocului didactic se poate instaura un climat favorabil conlucrării fructuoase între copii în rezolvarea sarcinilor jocului, se creează o tonalitate afectivă pozitivă de înțelegere, se stimulează dorința copiilor de a-și aduce contribuția proprie. În joc institutorul poate sugera copiilor să încerce să exploreze mai multe alternative, se poate integra în grupul de elevi în scopul clarificării unor direcții de acțiune sau pentru selectarea celor mai favorabile soluții. Prin intermediul jocului didactic se pot asimila noi informații, se pot verifica și consolida anumite cunoștințe, priceperi și deprinderi, se pot dezvolta capacități cognitive, afective și volitive ale copiilor.
Copiii pot fi activizați să rezolve în joc sarcini didactice cu mari valente formativeducative cum sunt: analiza și sinteza situației problema, identificarea situației, descrierea acesteia, identificarea personajelor și descrierea lor, formularea de întrebări pentru clarificări, elaborarea de răspunsuri la întrebări, aprecierea soluțiilor prin comparare, explorarea consecințelor. Prin mobilizarea specială a activității psihice jocul didactic devine terenul unde se pot dezvolta cele mai complexe și mai importante influente formative:
– i se creează copilului posibilitatea de a-și exprima gândurile și sentimentele; îi da prilejul să-și afirme eu-l, personalitatea;
– stimulează cinstea, răbdarea, spiritul critic și autocritic, stăpânirea de sine;
– prin joc se încheagă colectivul clasei (grupă), copilul este obligat să respecte inițiativa colegilor și să le aprecieze munca, să le recunoască rezultatele;
– trezește și dezvolta interesul copiilor față de învățătură, față de școală, față de matematică;
– contribuie la dezvoltarea spiritului de ordine, la cultivarea dragostei de muncă, îl obișnuiește cu munca în colectiv;
– cultiva curiozitatea științifică, frământarea, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului;
– trezește emoții, bucurii, nemulțumiri.
• Scopul didactic – seqformuleazăqînqlegăturăqcuqcerințeleqprogramei școlare pentru clasa respectivă, reflectateqîn finalitățile jocului. Formulareaqtrebuie să fie clară și să oglindeascăqproblemeleqspecificeqimpuseqdeqrealizarea jocului respectiv.
• Sarcina didactică – reprezintă problema pe care trebuie să o rezolve copii în mod concret în timpul jocului (recunoaștere, denumire, descriere, reconstituire, comparație) pentru a realiza scopul propus. În general, un joc didactic are o singură sarcina didactică. Gradul de realizare al sarcinii didactice și calitatea ei se constituie în formă de evaluare.
• Elemente de joc – trebuie săqseqîmpleteascăqstrânsqcu sarcina didactică și să mijlocească realizarea ei în cele mai bune condiții, constituindu-se în elemente de susținere ale situației de învățare, ele pot fi dintre cele mai variate: întrecereaqindividualăqsauqpe echipe, cooperarea întreqparticipanți,qrecompensareaqrezultatelorqbune,qpenalizarea greșelilor comise de către ceiqantrenațiqînqjocurileqde rezolvare a exercițiilor sau problemelor, surpriză, așteptarea, aplauzele,qîncurajarea,qetc.
• Conținutul matematic – trebuieqsăqfieqaccesibil,qrecreativqși atractiv prin forma în care se desfășoară,qprinqmijloaceleqdeqînvățământqutilizate,qprin volumul de cunoștințe la care se apelează. El reprezintă cunoștințele predate anterior, sau care urmează să fie predate copiilor.
• Materialul didactic – reușitaqjoculuiqdidacticqmatematicqdepindeqîn mare măsură de materialulqdidacticqfolosit,qdeqalegereaqcorespunzătoareqși de calitatea acestuia. Materialul didactic trebuie să fie variat,qcâtqmaiqadecvatqconținutuluiqjocului, să slujească cât mai bine scopului urmărit.qAstfelqseqpotqfolosi:qplanșe,qjucării, folii, fise individuale, cartonase, jetoane, truse de figuriqgeometrice.
• Regulile jocului – pentru realizareaqsarcinilorqpropuse și pentru stabilirea rezultatelor întreceriiqse folosesc reguli de joc propuse de institutor sau cunoscute în general de elevi.qAcesteqreguliqconcretizeazăqsarcinaqdidactică și realizează în același timp sudura între această și acțiuneaqjocului.qRegulileqdeqjoc transformă de fapt exercițiul sau problema în joc, activând întregulqcolectivqlaqrezolvarea sarcinilor primite. Ele trebuie să fie formulate clar, corect, să fie înțeleseqdeqeleviqșiqînqfuncție de reguli se stabilește și punctajul.
Un exercițiu sau oqproblemăqdeqmatematicăqpoate deveni joc didactic matematic dacă îndeplinește următoareleqcondiții:
– urmăreștequnqscopqșiqrealizeazăqoqsarcină didactică;
– folosește elementeqdeqjocqînqvedereaqrealizării sarcinii propuse;
– foloseștequnqconținutqmatematic accesibil și atractiv;
– utilizeazăqreguliqdeqjocqcunoscute,qanticipate și respectate de elevi.
Jocurile didactice folosite în predarea matematicii sunt dificil de clasificat, existând numeroase criterii care pot îmbrăca forme diferite:
– jocuri didactice sub formă de exerciții bazate pe întrecere;
– jocuri de creație;
– jocuri distractive;
– jocuri de perspicacitate;
– jocuri logico-matematice;
– jocuri desfășurate pe bază de materiale;
– jocuri mute.
După conținutul unităților de învățare, se disting următoarele tipuri de jocuri:
– jocuri didactice matematice pentru însușirea cunoștințelor despre culori, orientare spațială, elemente și noțiuni de geometrie;
– jocuri logico-matematice pentru însușirea cunoștințelor despre mulțimi;
– jocuri didactice matematice pentru însușirea șirului de numere naturale;
– jocuri didactice matematice pentru însușirea operațiilor cu numere naturale: adunare, scădere, înmulțire, împărțire;
– jocuri didactice matematice pentru însușirea noțiunii de fracție;
– jocuri didactice matematice pentru însușirea și consolidarea unităților de măsură.
Organizarea activităților sub forma jocului didactic oferă o serie de avantaje de ordin metodologic:
• aceeași sarcină se exersează pe conținuturi și materiale diferite, cu reguli noi;
• același conținut matematic se consolidează, se poate repeta prin modificarea situațiilor de învățare și a sarcinilor de lucru;
• regulile și elementele de joc modifică succesiunea acțiunilor, ritmul de lucru;
• stimulează și exersează limbajul, aspecte comportamentale prin reguli de joc;
• într-un joc, repetarea răspunsurilor, în scopul obținerii performanțelor și reproducerea unui model de limbaj adaptat conținutului pot fi reguli de joc.
Un loc aparte îl ocupă la matematică jocurile logico-matematice. Acestea pun accentul pe raționamente logice, conținuturile matematice având un rol secundar. Raționamentele logice la care se face apel presupune operarea cu operatorii logici: disjuncție (sau), conjuncție (și), negație, implicație și echivalență. Cum exersarea operatorilor logici se face cel mai ușor la mulțimi, majoritatea jocurilor logico-matematice au la bază operații cu mulțimi. Materialele didactice utilizate sunt în general truse cu figuri geometrice de diferite forme (triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri etc.), mărimi, de diferite culori și de diferite grosimi (trusa Dienes, Logi I, Logi II).
Astfel jocurile logico-matematice bazate pe mulțimi se pot clasifica în:
– jocurile de constituire a mulțimilor
– jocuri de reuniune, intersecție sau diferențe de mulțimi ce familiarizează copiii cu înțelegerea deosebirilor ce există între diferite piese, după anumite atribute, precum și a denumirilor corespunzătoare atributelor necesare formării mulțimilor de obiecte și submulțimilor
– jocuri de formare de perechi în scopul de a forma și dezvolta deprinderea de a recunoaște asemănările și diferențele dintre piese
– jocul negației care face să se nască la copii ideea principiului contradicției
– jocul disfuncțiilor în care se construiesc mulțimi în care fiecare element are sau nu, un anumit atribut.
Alte tipuri de jocuri logico-matematice sunt:
– jocuri de mutare a unor piese în anumite condiții (ca de exemplu problema Turnurilor din Hanoi)
– jocuri de stabilire a ordinii de așezare a unor obiecte/personaje pe baza unor informații date
Reușita jocului didactic este condiționată de un bun management al jocului didactic. Acest management constă din:
• pregătirea jocului didactic care constă în studiereaqatentăqaqconținutuluiqacestuia, a structurii sale, pregătireaqmaterialuluiq(confecționareaqsauqprocurarea lui) și elaborarea proiectului (planului)qjoculuiqdidactic;
• organizarea desfășurării jocului constă în:
– introducerea în joc prin împărțirea clasei pe grupe, anunțarea titlului, a scopului, prezentarea materialelor, a regulilor etc.
– monitorizarea desfășurării jocului: profesorul are rolul de conducător sau arbitru, intervine cu explicații atunci când este cazul, mediază conflictele, modifică ritmul de desfășurare al jocului, asigură o atmosferă prielnică etc.
• încheierea jocului constă în formularea de concluzii din partea profesorului asupra modului în care s-a desfășurat jocul (respectarea regulilor, modul de execuție al sarcinilor, modul de implicare al elevilor etc.), stabilirea și anunțarea câștigătorilor dacă este cazul
Bibliografie
Ana,qD.,qLogel,qD.,qAna,qM.L.,qStroescu-Logel,qE., 2005, Metodica predării matematicii la clasele I-IV,qEdituraqCarminis,qPitești.
Aron,qI.,q1977,qMetodicaqpredăriiqaritmeticiiqlaqclaseleqI-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Banea, H., 1998, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești.
Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Cârjan, F., Didactica matematicii, Editura Corint, București, 2002.
Cerghit,qI.,qRadu,qI.T.,qPopescu,qE., Vlăsceanu, L, 1991, Didactica, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Cucoș, C., 2006, Informatizarea în educație, EdituraqPolirom,qIași.
Cucoș,qC.,q2000,qPedagogie,qEdituraqPolirom, Iași.
Dumitriu,qGh.,q2004,qSistemulqcognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Dumitriu,qC.,q2004,qIntroducereqîn cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Hussar, E., Leonte, R., 2005, Ghidul învățătorului – manager al clasei de elevi, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău.
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.), Tratat de Didactică Modernă, Editura Paralela 45, 2009.
Leonte,qR.,qStanciu,qM.,q2004,qStrategiiqactivq–qparticipativeqdeqpredare – învățare în ciclul primar: ghid metodico – științificqînqvedereaqutilizării metodelor active în învățământul primar, Editura Casei Corpului Didactic Bacău.
Lupu,qC.,q2006,qDidacticaqmatematicii,qEdituraqCaba, București.
Magdaș, I., 2007, Dezvoltarea gândirii matematice a elevilor din învățământul primar la toate nivelele taxonomice prin rezolvare de probleme, Vol. Dezvoltarea competențelor didactice și de cercetare în știintele naturii, Editor. L., Ciascai.
Magdaș,qI.,qVălcan,qD.,q2007,qDidactica matematicii în învățământul primar și preșcolar, Casa Cărții de Știință,qCluj-Napoca.
Magdaș,qI.,q2010,qDidacticaqmatematiciiqîn învățământul primar și preșcolar- actualitate și perspective, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca.
Manolescu, M., 2004, Curriculumqpentru învățământul primar și preșcolar, Teorie și practică, Ed.qCredis,qBucurești.
MărcuțqI.qG.,q2008,qqMetodicaqpredăriiqmatematiciiqîn învățământul primar, Editura „Alma Mater”, Sibiu.
Năstăsescu, N., Niță, C., Vraciu, C., 1993, Aritmetică și algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București.
Neacșu,qI.,q(coord.),q1988,qMetodicaqpredării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Neacșu,qI.,q1990, Metodeqșiqtehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, București.
Neacșu,qI.,qGăleteanu,qM., Predoi, P., 2001, Didacticaqmatematiciiqînqînvățământulqprimar, Editura Aius, Craiova.
Neagu,qM.,qStreinu-Cercel, G., Eriksen, E.I., Eriksen, E.B., Nediță, N., 2006, Metodica predării matematicii/activitățilorqmatematice,qEdituraqNedion,qBucurești.
Neagu,qM.,qMocanu,qM., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași.
Nică, Maria Camelia, 2014, Metode, tehnici și procedee didactice, Ed.Sfântul Ierarh Nicolae, Brăila.
Nicola,qI.,q1994,qPedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Rusu, E.,q1969,qPsihologiaqactivitățiiqmatematice,qEdituraqȘtiințifică, București.
Săvulescu,qD.,q(coord.),q2006, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura „Gheorghe Alexandru”, Craiova.
Stăncioiu-Jipa,qF.,qStăncioiu, Gh., 2001, Metodica predării matematicii în învățământul primar,qEdituraqFundațieiqHumanitas, București.
Bibliografie
Ana,qD.,qLogel,qD.,qAna,qM.L.,qStroescu-Logel,qE., 2005, Metodica predării matematicii la clasele I-IV,qEdituraqCarminis,qPitești.
Aron,qI.,q1977,qMetodicaqpredăriiqaritmeticiiqlaqclaseleqI-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Banea, H., 1998, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești.
Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Cârjan, F., Didactica matematicii, Editura Corint, București, 2002.
Cerghit,qI.,qRadu,qI.T.,qPopescu,qE., Vlăsceanu, L, 1991, Didactica, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Cucoș, C., 2006, Informatizarea în educație, EdituraqPolirom,qIași.
Cucoș,qC.,q2000,qPedagogie,qEdituraqPolirom, Iași.
Dumitriu,qGh.,q2004,qSistemulqcognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Dumitriu,qC.,q2004,qIntroducereqîn cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Hussar, E., Leonte, R., 2005, Ghidul învățătorului – manager al clasei de elevi, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău.
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.), Tratat de Didactică Modernă, Editura Paralela 45, 2009.
Leonte,qR.,qStanciu,qM.,q2004,qStrategiiqactivq–qparticipativeqdeqpredare – învățare în ciclul primar: ghid metodico – științificqînqvedereaqutilizării metodelor active în învățământul primar, Editura Casei Corpului Didactic Bacău.
Lupu,qC.,q2006,qDidacticaqmatematicii,qEdituraqCaba, București.
Magdaș, I., 2007, Dezvoltarea gândirii matematice a elevilor din învățământul primar la toate nivelele taxonomice prin rezolvare de probleme, Vol. Dezvoltarea competențelor didactice și de cercetare în știintele naturii, Editor. L., Ciascai.
Magdaș,qI.,qVălcan,qD.,q2007,qDidactica matematicii în învățământul primar și preșcolar, Casa Cărții de Știință,qCluj-Napoca.
Magdaș,qI.,q2010,qDidacticaqmatematiciiqîn învățământul primar și preșcolar- actualitate și perspective, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca.
Manolescu, M., 2004, Curriculumqpentru învățământul primar și preșcolar, Teorie și practică, Ed.qCredis,qBucurești.
MărcuțqI.qG.,q2008,qqMetodicaqpredăriiqmatematiciiqîn învățământul primar, Editura „Alma Mater”, Sibiu.
Năstăsescu, N., Niță, C., Vraciu, C., 1993, Aritmetică și algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București.
Neacșu,qI.,q(coord.),q1988,qMetodicaqpredării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Neacșu,qI.,q1990, Metodeqșiqtehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, București.
Neacșu,qI.,qGăleteanu,qM., Predoi, P., 2001, Didacticaqmatematiciiqînqînvățământulqprimar, Editura Aius, Craiova.
Neagu,qM.,qStreinu-Cercel, G., Eriksen, E.I., Eriksen, E.B., Nediță, N., 2006, Metodica predării matematicii/activitățilorqmatematice,qEdituraqNedion,qBucurești.
Neagu,qM.,qMocanu,qM., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași.
Nică, Maria Camelia, 2014, Metode, tehnici și procedee didactice, Ed.Sfântul Ierarh Nicolae, Brăila.
Nicola,qI.,q1994,qPedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Rusu, E.,q1969,qPsihologiaqactivitățiiqmatematice,qEdituraqȘtiințifică, București.
Săvulescu,qD.,q(coord.),q2006, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura „Gheorghe Alexandru”, Craiova.
Stăncioiu-Jipa,qF.,qStăncioiu, Gh., 2001, Metodica predării matematicii în învățământul primar,qEdituraqFundațieiqHumanitas, București.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metode DE Rezolvare A Problemelor DE Aritmetica In Ciclul Primar (ID: 165667)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.