Teoria Relativitatii Generalizate, Aplicatie a Geometriei Diferentiale

TEORIA RELATIVITĂȚII GENERALIZATE

APLICAȚIE A GEOMETRIEI DIFERENȚIALE

Capitolul 1. Introducere in mecanica clasică

Scurt istoric

Oamenii au încercat încă din cele mai vechi timpuri să descopere originea universului, de unde provin, de către cine au fost creați. În Grecia Antică, în secolul III î.H. , a existat un filosof pe nume Aristocles care era foarte fascinat de eclipse, în special eclipsele de lună. El era destul de îndrazneț încât să se întrebe dacă ele erau create de natură sau de o forță supranaturală (zeii). Aristocles a fost un pioneer adevărat al științei, a studiat cu atenție cerul și a ajuns la o concluzie uimitoare. A afirmat că eclipsele se datorau interpunerii pământului între soare și lună și nu de o întervenție divină numită zeu. Descoperind aceste lucruri a construit diagrame care să arate adevărata relație dintre soare, pământ și lună. Mai departe, a ajuns la alte concluzii remarcabile pentru acele timpuri. A dedus că nu pământul este centrul universului (ideea principală pentru acea perioadă), dar în schimb el orbitează în jurul soarelui. Prin aceasta el a putut demonstra nu doar eclipsele de lună, ci și eclipsele de soare. Dar Aristocles nu s-a oprit aici. El a afirmat că stelele nu sunt luminițe sclipitoare în bolta cerească(lucru susținut de contemporanii săi), ci de fapt sunt alți ”Sori” ca al nostru, doar că sunt situate foarte departe. Universul este o ”mașinărie” guvernat de legi care pot fi întelese de mintea umană. Dar peste ideile sale s-a trecut foarte repede și pentru o mare perioadă de timp.

Dar firea umană este astfel concepută pentru a descoperi. Bolta cerească este prea frumoasă pentru ca Galileo Galilei să nu iși îndrepte telescopul spre cer. În 1609, el a studiat bolta cerească cu propriul său telescop, doar ca de data asta rezultatele aveau să schimbe total ideea despre funcționarea universului. Galileo este fondatorul științei moderne, el pretindea că dacă observi universul îndeaproape, îi poți descopri toate secretele. Era atât de încântat încât a creat lentile care putea amplifica intensitatea luminii de 20 de ori. Din casa lui din Padova, a folosit acest telescop pentru a studia planeta Jupiter descoperind trei puncte care se roteau în jurul planetei gigant. Pentru început a crezut că acele puncte erau stele mai îndepărtate, dar urmărindu-le a observat că ele erau în mișcare. Atunci a realizat că de fapt acele puncte erau ”luni” ca si cea a pământului. Prin aceste descoperiri, el a demonstrat că pământul se rotește în jurul soarelui, iar luna în jurul pământului. Aristocles a avut dreptate în tot acest timp. În pofida acestor descoperiri, el a fost condamnat la închisoare pe viață. Chiar dacă si-a recunoscut păcatul în fața Bisercii, în ultimele clipe ale vieții sale a marturisit: ”Și totuși, se rotește”.

Galileo a adus contribuții originale în știință printr-o combinație inovatoare de experimente și matematică. Tatăl lui Galileo, Vincenzo Galilei, muzician, făcuse experimente prin care a stabilit poate cea mai veche relație neliniară cunoscută în fizică: pentru o coardă întinsă, înălțimea sunetului este proporțională cu rădăcina pătrată a tensiunii. Aceste observații se încadrau în contextul tradiției pitagoreice a muzicii, bine cunoscută de fabricanții de instrumente, și care includeau și faptul că împărțirea unei coarde într-un număr întreg produce o scară armonică. Puțină matematică legase de multă vreme muzica de fizică, iar tânărul Galileo a văzut cum observațiile tatălui său au dezvoltat această tradiție.

Galileo este poate primul care a afirmat răspicat că legile naturii sunt matematice. În Il Saggiatore, el scria „Filosofia este scrisă în această mare carte, universul … este scris în limba matematicii, iar personajele sunt triunghiuri, cercuri și alte figuri geometrice; … .” Analizele sale matematice reprezintă o nouă dezvoltare a tradiției filosofilor scolastici târzii, pe care i-a învățat Galileo când a studiat filosofia. Deși a încercat să rămână loial Bisericii Catolice, urmărirea rezultatelor experimentale și a interpretării lor celei mai oneste, au dus la respingerea supunerii oarbe față de autoritatea acesteia, atât religioasă cât și filosofică, în chestiuni științifice. Aceasta a ajutat la separarea științei de filosofie și de religie, un progres semnificativ al gândirii umane.

Mai târziu, în 1643 în Woolsthrope, Grantham s-a născut un renumit om de știință englez, alchimist, teolog, matematician, fizician și astronom. Sir Isaac Newton este omul de știința aflat la bazele teoriilor științifice din domeniul matematicii, opticii și în special a mecanicii. În anul 1687, a publicat lucrarea științifică ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, în care a descris legea atracției universale, a calculate traiectoriile planetelor din sistemul nostru solar. A contribuit alături de  Gottfried Wilhelm von Leibniz la fondarea calcului diferențial și cel integral.

În 1679, Newton studiază gravitația și efectele ei asupra orbitelor planetelor, referitoare la legile lui Kepler cu privire la mișcarea corpurilor cerești, și publică rezultatele în lucrarea ”De Motu Corporum” ("Asupra mișcării corpurilor", 1684). În lucrarea ”Philosophiae naturalis principia mathematica”("Principiile matematice ale filozofiei naturale", 1687), Newton stabilește cele trei legi universale ale mișcării (Legile lui Newton), referitoare la inerția de repaus și mișcare și la principiul acțiune-reacțiune. Folosește pentru prima dată termenul latin gravitas (greutate), pentru determinarea analitică a forțelor de atracție, și definește Legea atracției universale.

Folosind Legea atracției universale, oamenii de știință au reușit să calculeze traiectoriile planetelor, dar mai ales să determine datele exacte ale eclipselor de soare și de lună.

Tocmai aceste calcule nu au fost pe placul lui Albert Einstein. Calculând traiectoria planetei Mercur cu legile lui Newton, a observat ca această traiectorie nu era una circulară, ci forma un aheliu (punctul cel mai apropiat de soare), și un periheliu ( punctul cel mai depărtat de soare). A înțeles că legea gravitației formulată de Isaac Newton poate fi greșită, a acceptat astfel ideea că trebuie să descopere teoria care să poată explica legile naturii.

Mecanica Newton-iană

Determinarea distanțelor în spațiul Euclidian

Geometria ocupă un loc foarte important în viața noastra. Prin intermediul ei putem defini câteva noțiuni de bază cum ar fi: planul, punctul sau linia cu ajutorul cărora putem formula idei, propoziții (axiome) pe care le putem accepta ca fiind adevărate. O teoremă o considerăm adevărată dacă totalitatea axiomelor ce o compun sunt adevărate. Un exemplu de acest fel este următorul: Prin două puncte distincte, trece o dreaptă și numai una singură. Această axiomă este adevărată doar pentru că Euclid a stabilit că este adevărată, iar cuvântul ”adevărată”, noi avem obiceiul de a-l atribui unui obiect real. Geometria nu se preocupă în general cu studierea obiectelor reale, ci doar cu legătura logică dintre ele. În realitate este diferit, lucru pe care îl vom analiza în capitolele următoare.

În continuare putem stabili relația dintre 2 puncte situate pe un corp prin masurători. Pentru aceasta avem nevoie de o distanță (drum), pe care o vom folosi, și va fi numită masurătoare standard. Dacă, dorim să construim drumul care unește punctele A și B de pe un corp, putem să procedăm astfel: plecăm din punctul A cu o linie simplă până ajungem în punctul B. Citind unitățile de masură de pe riglă, am masurat distanța dintre aceste puncte, creând cel mai simplu drum măsurat. Orice descriere al unui eveniment sau a unei poziții poate fi definită prin aceste operații. Un exemplu simplu este următorul: Cursul de matematică are loc în cladirea situată la 10 m de strada nr. 2 și 40 m de strada nr. 5, la etajul 2. Folosind ca punct de plecare intersecția celor 2 străzi putem determina locul unde se desfăsoară acest curs. Din datele calculate le putem transpune intr-un sistem cartezian de coordonate.

Acesta este alcătuit din trei plane perpendiculare unul câte unul atașat unui punct de referință denumit în continuare originea sistemului de coordonate. Fiecarui punct din spațiu îi este atribut un set de trei coordonate (x,y,z) și reprezintă distanța de la punct până la cele trei plane.

1.2.2 Spațiul și timpul în mecanica clasică

Mecanica are rolul de a descrie modul în care corpurile își schimbă poziția în timp și spațiu. Dacă mă aflu într-un tren care se deplasează cu viteză constantă și dau drumul unei pietre, fără să o arunc, folosind legile mecanicii pot calcula toate datele necesare pentru a afla traiectoria pietrei. Fără a lua în calcul rezistența aerului, observ cum piatra coboară pe o traiectorie în line dreaptă. O persoană care nu se află în tren, observă căderea pietrei pe o traiectorie parabolică. Întrebarea apare: Piatra a căzut pe o traiectorie în linie dreaptă sau parabolică? Raspunsul este evident: Din punctul meu de vedere, piatra cade în linie dreaptă, iar din punctul de vedere al persoanei din afara trenului, traiectoria de cădere a pietrei este parabolică. Orice mișcare a corpurilor este relativă, depinde doar de poziția și starea observatorului.

Pentru a avea o descriere completă a mișcării trebuie să observăm cu un corp îsi schimbă starea în raport cu timpul. Pentru orice punct al traiectoriei trebuie specificat în ce stare se află corpul rescpectiv la un anumit moment t. Dacă folosim legile clasice ale mișcării, putem determina toate datele necesare pentru a descrie o mișcare. Un simplu exemplu este cel referitor la tren. Persoana din tren precum și cea din afară au asupra lor câte un ceas, fiecare observator determină poziția pietrei din propriul său sistem de referință. După analiza datelor, ambii observatori ar trebui să obțină aceleași rezultate.

1.2.3 Legile lui Newton

Legile lui Newton sunt trei legi ale mecanicii clasice care dau relația dintre un corp acționat de forțe și mișcarea acestuia. În lucrarea sa „ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, Sir Issac Newton enunță și demonstrează aceste legi. Aceste legi au pus bazele mecanicii clasice, și Newton le-a folosit pentru a demonstra și studia mișcarea corpurilor. Cele trei principii au fost formulate astfel:

Principiul I al mecanicii (Principiul inerției)

Un corp își menține starea de repaus relativ sau de mișcare rectilinie și uniformă, atâta timp cât asupra lui nu acționează alte corpuri care sa-i modifice această stare.

Acest principiu demonstrează faptul că dacă un corp se deplasează intr-o mișcare rectilinie și uniformă, iar asupra lui nu acționează nici o forță care să îi modifice această stare, el se va deplasa pe traectorie la nesfârșit. Ex. dacă ma aflu intr-o nava spatială,unde nu există forța de frecare cu aerul, și mă deplasez cu viteza de 300 de km pe oră, îmi voi continua deplasarea pănă când nu voi acționa o forță asupra navei pentru a mă opri. Oprirea se refera la viteză zero față de un sistem de referință. În plus, această lege arată faptul că din navă, nu am cum să demonstrez starea de mișcare rectilinie și uniformă, sau repaus.

Principiul al II-lea al mecanicii (Principiul Fundamental)

Forța care acționează asupra unui corp este egală cu produsul dintre masa corpului și accelerația imprimată, iar vectorul forță are aceeași orientare, cu vectorul accelerație.

Formula de calcul a forței este următoarea:

(1)

unde: F=forța

m=masa

a=accelearția

Noțiunea de forță a fost introdusă pentru a măsura interacțiunea dintre corpuri. Interacțiunea este definită ca acțiunea unui corp asupra celuilalt. Se poate observa acțiunea unei forțe asupra unui corp prin deformarea acestuia, schimbarea stării de mișcare etc. In momentul acționării forței, corpul își schimbă starea (de repaus sau de mișcare), aceasta observandu-se prin variațiile vitezei, efectele depinzând de masa corpului ce suferă acțiunea forței. Cu cât masa corpului este mai mare, cu atât variația vitezei este mai mică.

Deoarece acceleratia depinde de variația vitezei și traiectoriei în timp, ecuație (1) poate fi scrisă într-o altă formă astfel:

= (2)

Ex. Să presupunem că un obiect se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dorim să aflăm accelerația la momentulEcuația de mișcare este următoarea u(t)= 2. Prin derivarea acestei ecuații în funcție de t, putem afla viteza și accelerația la momentul .

Calculăm prima derivată a ecuației în funcție de t și determinăm viteza.

Înlocuind t=, obținem viteza corpului la momentul , astfel: .

Derivând in continuare în funcție de t, obținem accelerația corpului la momentul

m/.

În concluzie, accelerația corpului, la momentul , va fi de m/.

Principiul al III-lea al mecanicii (Principiul acțiunii și reacțiunii)

Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o forță numită acțiune, cel de-al doilea va acționa asupra primului cu o forță de acelați modul dar de sens opus numită reacțiune.

Orice obiect actionează asupra Pământului (în repaus), cu o forță numită greutate. Conform acestui principiu, trebuie ca și Pămîntul să acționeze asupra obiectelor, cu o forță egală în modul dar de semn opus. Această forță există și se numește forța normală de suprafață.

În plus față de aceste principii Sir Isaac Newton, a formulat legea atracției universale, prin care putea descrie mișcarea oricărui astru ceresc, precum și modul în care acestea orbitează unele în jurul altora. Această lege e fost formulată astfel:

Două corpuri punctiforme de masă m1 și m2 se atrag reciproc printr-o forță direct proporțională cu produsul maselor corpurilor, și invers proporționale cu pătratul distanței dintre ele, orientată pe direcția dreptei ce unește centrele de greutate ale celor două corpuri.

Expresia matematică a acestei legi este:

(3)

în care:

F este magnitudinea forței gravitaționale dintre cele două corpuri

Este un coeficient de proporționalitate numit constanta atracției universale

m1,m2 masele celor două corpuri

r este distanța dintre cele 2 corpuri.

Vectori in spatii multiple

Geometria este studiul proprietaților figurilor din spațiu. Cea mai importantă noțiune geometrică dezvolatată de-a lungul ultimelor secole create în mod special pentru a modela situații în lumea fizică este cea de vector liber. Observații simple arată că există mărimi fizice care sunt complet caracterizate de măsura lor ( mărimi scalare), cum ar fi temperatura exterioară, distanța dintre 2 puncte, suprafata unui teren, etc. Dar, există mărimi fizice a căror caracterizare nu este completă fără a descrie și alte elemente. Ex: Pentru a descrie mișcarea maselor de aer în atmosferă trebuie să precizăm intensitatea vântului, dar și direcția acestuia. Asemănator trebuie să procedăm pentru a descrie ecuațiile de mișcare ale unui corp(viteză, accelerație).

Asadar, sunt mărimi fizice care necesită si alte informații decât marimea lor, și anume direcție și sens. Aceste mărimi se numesc mărimi vectoriale, iar cele reprezentate doar de un număr se numesc mărimi scalare.

În continuare vom studia noțiunea de vector liber. Ideea de direcție este modelata de o mulțime de drepte paralele între ele în sensul că pot exista două sau mai multe corpuri ce se deplasează pe aceeași direcție. Motivele studierii vectorilor liberi sunt: o gamă largă de aplicații în practică, operațiile cu vectori oferă o cale de a exprima unitar și elegant noțiuni și rezultate de geometrie, etc.

Numim segment orientat o pereche ordonată (A,B) de puncte în spațiu. Punctul A este origine, iar punctul B este extremitatea segmentului orientat . În cazuri particulare, A=B, atunci vom avea segmentul orientat nul Dreapta AB se numește dreapta suport a segmentului orientat . Spunem că 2 segmente orientate au aceeași direcție dacă dreptele lor suport au aceeați direcție (sunt paralele sau coincid).

Pe baza axiomelor descrise de Hilbert, ce a introdus noțiunea de orientare a dreptei, se arată că orice dreaptă are 2 și numai 2 orientări, una pozitivă și una negativă, de unde se deduce 2 semidrepte fixate in origine [OA si [OB. Un segment orientat nenul pe o dreaptă orientată este pozitiv sau negativ orientat dacă semidreapta [AB este pozitiv sau negativ orientata.

Fie două segmentele orientate AB și CD nenule de aceeași direcție. Dacă dreptele lor suport coincid, adică avem a= AB=CD, fixând o orientare pe dreapta a, vom spune că AB și CD au același sens sau sunt la fel orientate daca sunt ambele pozitiv sau negative orientate. Dacă AB și CD se află pe drepte paralele, vom spune că au același sens dacă extremitățile lor B și D se află în același semiplan determinat de dreapta originilor AC. Se arată că relația "a avea același sens" este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor orientate din spațiu. Acceptăm că toate segmentele orientate nule au aceeași direcție și același sens, echivalent direcția și sensul unui segment orientat nu sunt determinate. Lungimea unui segment orientat nenul AB este prin definiție lungimea segmentului (AB) sau distanța de la A la B. Segmentele orientate nule au lungime zero. Este evident că relația "a avea aceeași lungime" este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor orientate din spațiu.

Spunem că două segmente nenule sunt echipolente dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime. Convenim că segmentele nule sunt echipolente între ele. Se verifică ușor că relația de echipolență este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor orientate din spațiu (ea este în fond conjuncția logică a trei relații de echivalență).

Clasele de echivalență în raport cu relația de echipolență se numesc vectori liberi.

Clasa de echipolență a segmentului orientat AB se notează cu AB și se citește vectorul AB. Vectorii liberi sunt notați prin . Vectorul se notează prin . Egaliatatea scoate in evidență un reprezentant al vectorului al clasei de echipolență Evident că dacă și numai dacă este echipolent cu în concluzie am putea scrie =.

Observăm că două segmente orientate AB și DC ale căror drepte suport sunt drepte paralele distincte, sunt echipolente dacă și numai dacă cuaterna ordonată de puncte A ,B , D, C formează vârfurile unui paralelogram. Avem astfel o definiție foarte simplă a echipolenței. Totuși ea nu include cazul segmentelor orientate coliniare, care ar trebui tratat separat. AB este echipolent cu DC, dacă există un segment orientat EF încât cuaternele ordonate de punte A,B, F,E și D, C, F , E să fie vârfurile a două paralelograme.

Se constată că două segmente orientate nenule MN și PQ sunt echipolente dacă și numai dacă segmentele MQ și NP au același mijloc. Avem astfel o altă definiție simplă a echipolenței. Segmentele orientate nenule AB și DC sunt echipolente dacă segmentele AC și

BD au același mijloc.

Ultimele două definiții ale relației de echipolență sunt foarte simple și folosirea lor
economisește mult timp, dar numai definiția dată inițial surprinde fidel procesul de modelare
care a dat ca rezultat noțiunea de vector liber. Celelalte două sunt simpificări de natură logică,
utile în expunerea succintă a subiectului, eventual pentru cunoscători, dar de valoare didactică
redusă. Ele apar cu totul artificiale și chiar dacă începem cu una dintre ele, trebuie să punem
în evidență și echivalența cu definiția dată inițial așa cum se și procedează în lucrările citate.

Evident că în predarea noțiunii de vector liber trebuie să folosim o variantă "didactizată" a definiției formale dată mai sus. Subliniem că orice astfel de didactizare trebuie să se mențină foarte aproape de esența definiției formale, pentru a evita înțelegerea trunchiată sau chiar falsă a acestei noțiuni, efect greu de corectat în anii de studii universitare și care poate afecta aplicarea acestei noțiuni la întreaga ei valență.

La o analiză atentă a definiției formale a vectorului liber constatăm că aspectele dificile sunt date de relația "a avea același sens" (definiție complicată, demonstrație lungă, aridă) și de înțelegerea ca atare a vectorului liber, ca o clasă de segmente echipolente.

Relația "a avea același sens" poate fi lăsată pe seama intuiției elevilor sprijinită
eventual de unele desene în care să apară seturi de segmente de același sens și segmente de
sensuri diferite. Amintim că în [6] această relație este trecută pe seama translației, procedeu
discutabil pentru că intuirea translației pare mai dificilă decât intuirea existenței a două
sensuri (orientări) opuse pe o dreaptă. Dificultatea înțelegerii vectorului ca o clasă de
segmente echipolente poate fi surmontată printr-o operație prealabilă cu relații de echivalență
simple, pentru care, eventual, clasele să fie cu număr finit de elemente sau să poată fi descrise
complet într-un mod interesant. De exemplu, pe mulțimea numerelor întregi clasele de
congruență modulo 2 sunt formate din numere întregi pare și respectiv numerele întregi impare.

FUNDAMENTARE AXIOMATICĂ A NOȚIUNII DE VECTOR LIBER

Noțiunea de vector (liber) în spațiu înglobează noțiuni ca segment, segment orientat,
lungimea unui segment, direcție a unei drepte, dreaptă orientată, segmente de același sens.
Toate aceste noțiuni capătă un conținut lipsit de orice echivoc în oricare una dintre
axiomatizările moderne ale geometriei euclidiene. Avem în vedere îndeosebi axiomatizarea
formulată de D. Hilbert (1899) și axiomatizarea datorată lui G. Birkoff (1931) și lăsăm
deoparte axiomatica lui Euclid, părintele metodei axiomatice în geometrie, pentru că aceasta
nu se ocupă explicit de orientarea dreptei, de ordine pe dreaptă și de axiome de continuitate.
Ne vom limita la geometria euclidiană (geometria în care se acceptă postulatul lui
Euclid) fără a ignora că există și alte geometrii: hiperbolică, eliptică, afină, conformă,
proiectivă.

Sistemul axiomatic al lui Hilbert pentru geometria în spațiu

Acest sistem are trei noțiuni primare importante: punctul, dreapta si planul și trei relații fundamentale: „de apartenență” sau „de incidență”, „situat între” pentru puncte, „congruența” pentru segmente și unghiuri, care sunt descrise de 20 de axiome împărțite în 5 grupe:

– axiome de apartenență sau incidență (I.1 – I.8),

– axiome de ordine (II.1 – II.4),

– axiome de congruență (III.1 – III.5),

– axioma paralelelor (IV.1),

– axiome de continuitate (V.1 – V.2).

Notații:

– pentru puncte: A, B, C, …, L, M, N, …,

– pentru drepte: a, b, c, …,

– pentru plane:α,β,γ,

– pentru relația de apartenență: „∈”;A∈a,A∈α,

-pentru relația „a fi între”: A−B−Ccitită „B este între A și C”,

– pentru relația de congruență: „≡”.

2.1.2. Axiomele de apartenență

I.1. Fiind date două puncte există cel puțin o dreaptă la care ele să aparțină,

I.2. Fiind date două puncte distincte există cel mult o dreaptă la care ele să aparțină,

I.3.Fiind dată o dreaptă există cel puțin două puncte care să aparțină ei,

I.4.Fiind date trei puncte, există cel puțin un plan la care ele să aparțină; la orice plan aparține cel puțin un punct,

I.5.Fiind date trei puncte astfel încât să nu existe nici o dreaptă la care ele să aparțină, există cel mult un plan la care ele să aparțină,

I.6. Dacă două puncte aparțin unui plan și unei drepte, atunci orice punct care aparține dreptei aparține și planului,

I.7.Dacă la două plane le aparține un punct atunci mai există un punct care le aparține,

I.8.Există patru puncte astfel că nu există nici un plan la care ele să aparțină.

Aceste axiome se pot reformula folosind relații derivate precum cele de mai jos.

Astfel două sau mai multe (cel puțin trei) puncte se numesc coliniare dacă aparțin unei drepte și se numesc coplanare dacă aparțin unui plan. Două drepte distincte la care aparțin cel puțin un punct (au un punct comun) se numesc secante. Trei sau mai multe drepte se numesc concurente dacă există un punct care le aparține (comun tuturor).

Dacă punctele unei drepte aparțin unui plan se spune că dreapta este conținută în acel

plan.

În spiritul deplin al metodei axiomatice, noțiunile primare de punct, dreaptă, plan nu au nici un conținut concret, deci nici acela intuitiv pe care înclinăm să-l acordăm. Cu alte cuvinte în demonstrațiile teoremelor care urmează nu avem voie în principiu să folosim figurile geometrice cu care suntem obișnuiți.

Teorema 1. Oricare ar fi două puncte distincte A, B există exact o dreaptă la care ele să aparțină, notată AB.

Teorema 2. Oricare ar fi trei puncte necoliniare A, B, C există exact un plan la care ele să aparțină, notat (ABC).

Teorema 3. Pentru două drepte distinct d1și d2 există cel mult un punct comun lor, notat d1∩d2

Teorema 4. Pentru două plane distincte α și β există numai următoarele două posibilități:

a) nu există nici un punct care să le aparțină (se spune că planele α și β sunt paralele și se

notează α ||β),

b) există o dreaptă conținută în ambele plane (notată prinα∩β).

Teorema 5. Pentru o dreaptă d și un plan α există următoarele trei posibilități:

a) nu există nici un punct care să aparțină dreptei d și planului α (se spune că d și α sunt paralele și se notează d||α),

b) există un punct comun dreptei și planului,

c) dreapta d este conținută în planul α (se notează d⊂α).

Teorema 6. Pentru orice plan α există un punct care nu-i aparține.

Teorema 7. Oricare ar fi o dreaptă d, există un punct care nu-i aparține.

Teorema 8. Dată o dreaptă d și un punct A care nu-i aparține, există exact un plan care conține d și la care aparține A.

Teorema 9. Pentru orice drepte secante există exact un plan care le conține.

Teorema 10. Pentru orice plan α există cel puțin trei puncte care să-i aparțină.

Observație. Aceste teoreme dau pozițiile relative a unei drepte față de un plan și a
două plane. Predarea acestor teme se poate face păstrând influența și spiritul metodei axiomatice. Eventual axiomele se numesc proprietăți ale punctelor, dreptelor și planelor.

OPERAȚII CU VECTORI

În mod obișnuit, la nivelul școlii de cultură generală, operațiile de adunare a doi (sau mai mulți) vectori, de înmulțire a unui vector cu un număr real și de produs scalar a doi vectori
sunt suficiente pentru ilustrarea metodei vectoriale de rezolvare a problemelor de geometrie.

Produsul vectorial a doi vectori este mult mai necesar la fizică și, în consecință, este introdus în programa analitică de fizică. Operațiile menționate se pot defini direct, geometric sau prin intermediul coordonatelor . În cazul definiției geometrice se utilizează reprezentanți ai vectorilor și trebuie să ne asigurăm că operațiile definite, rezultatele lor, nu depind de alegerea acelor reprezentanți. Folosirea coordonatelor nu elimină această verificare consumatoare de timp, ci o înlocuiește cu verificarea faptului că definirea operațiilor nu depinde de alegerea sistemului de coordonate (aspect voit ignorat în unele manuale). Această independență a operațiilor cu vectori de sistemul se coordonate ales se poate proba uneori și indirect, fără calcule.

Cele mai întâlnite metode de compunere a 2 sau mai mulți vectori este ”regula paralelogramului” și ”regula triunghiului”. Sunt folosite pentru adunarea vectorilor care acționează pe direcții diferite.

Considerând 2 vectori și un punct fix A. Din punctul A trasăm vectorul și din punctul B vectorul , astfel încât și . Putem defini suma , reprezentată în figura 2.1.

Fig. 2.1. Adunarea vectorilor pe direcții diferite prin regula triunghiului

Fig. 2.2 Adunarea vectorilor pe direcții diferite prin regula paralelogramului

Figura 2.2. ne arată că vectorul sumă u+v poate fi reprezentat și ca o diagonală a paralelogramului construit pe câte un reprezentant al vectorilor u și v cu aceeași origine A , diagonala care pleacă din A . Cum un asemenea paralelogram există numai când u și v sunt necoliniari, urmează că asemenea reprezentare a vectorului sumă este posibilă numai în acest caz și deci "regula paralelogramului" de adunare a doi vectori funcționează numai când ei sunt necoliniari. Se poate imagina o degenerare a paralelogramului prin "turtirea" lui pe AB , pentru a include vectorii coliniari, dar este, totuși, de preferat "regula triunghiului" pentru adunarea vectorilor coliniari.

Cap 3 Teorema energiei și legea conservării energiei

Teoremele generale se referă la variația în timpul mișcării a celor mai importante mărimi: impulsul, momentul cinetic, lucrul mecanic și energia lucrului mecanic.

Teoremele generale se deduc din legea lui Newton exprimând principiul acțiunii forțelor sub o altă formă:

3.1.

3.1. Teorema variaței impulsului

Impulsul unui punct material este dat de expresia

3.2.

în care: – m reprezintă masa punctului material

V reprezintă viteza punctului material, iar vectorul impuls are aceeași direcție și același sens ca vectorul viteză.

Din ecuația fundamentală a dinamicii (relația 3.1.) rezultă:

3.3.

Această ecuație reprezintă teorema variației impulsului: Derivata impulsului în raport cu timpul a punctului material este egală cu forța rezultantă ce acționează asupra acestuia, pe toata durata miscării.

Transformând ecuația 3.3. după cele 3 axe de coordonate, se obține:

3.4.

3.5.

3.6.

În cazul particular când rezultanta forțelor ce acționează asupra punctului material este zero, relațiile de mai sus devin:

3.7

expresie care poartă denumirea de Legea conservării impulsului.

Enunț: Dacă pentru un punct material rezultanta forțelor care acționează asupra lui este zero, atunci impulsul este constant.

3.2. Teorema variației impulsului cinetic

Momentul cinetic în raport cu un punct fix O, al unui punct material este, prin definiție, momentul vectorului impuls al punctului material în raport cu polul O:

3.8.

3.9.

Dacă inmulțim vectorial la stânga relatția cu r, ecuația fundamentală a dinamicii vom obține:

3.10

Această relație reprezintă teorema variației momentului cinetic: Derivata în raport cu timpul a momentului impulsului față de un punct fix este egală, în timpul mișcării, cu momentul forței față de același punct.

Din relațiile vectoriale ale lui r,v și F:

3.11

și proiectând relația 3.10 pe axele unui sistem de referință Oxyz obținem:

3.12

și reprezintă teorema momentului cinetic în raport cu axele respective.

Dacă ceea ce reprezintă faptul că momentul cinetic al unui punct material în raport cu un punct fix se conservă.

Cap 4. Legile lui Kepler

4.1. Introducere

Johannes Kepler născut pe 27 decembrie 1571 la Weil der Stadt, a decedat pe 15 noiembrie 1630, Regensburg) a fost un matematician,  astronom și naturalist german, care a postulat și demonstrat legile de mișcăre a  planetelor ( denumite și Legile lui Kepler). În matematică este considerat intemeietorul calculului integral.

Kepler s-a născut la 27 decembrie 1571 în Weil der Stadt, Württemberg, Germania, și a studiat, începând cu 1591, teologia la Universitatea din Tübingen. Unul din profesorii săi era Michael Maestlin, apărătorul  teoriei heliocentrice enunțate de  Copernic. Kepler ar fi dorit să devină preot protestant, dar în cele din urmă, având o mare pasiune pentru matematică, acceptă în 1594 funcția de profesor de matematică și astronomie la Universitatea din Graz, Austria. Studiază un complex de ipoteze geometrice având ca scop determinarea depărtării dintre orbitele celor cinci planete cunoscute în acel timp (Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn). Kepler crede că soarele exercită o forță care descreste proporțional o dată cu îndepărtarea de o planetă: "Planetele se mișcă în consecință pe o traiectorie eliptică, în centrul căreia se găsește soarele". În acest fel enunță prima sa lege a mișcării planetelor, publicată în lucrarea "Mysterium Cosmographicum" ("Misterul lumii cosmice", 1596).

În luan a IV-a 1597 Kepler se căsătorește cu Barbara Mühlek. Din cauza presiunilor exercitate de Contrareforma catolică, Kepler pleaca din Graz și, în 1600, acceptă oferta de a lucra la Praga ca asistent al lui Tycho Brahe, astronom al curții împăratului Rudolf al II-lea. Calitățile sale de observator ale lui Tycho Brahe sunt acum completate cu cunoștințele excepționale de matematică ale lui Kepler. După moartea lui Brahe în anul 1601, Kepler devine urmașul lui ca matematician și astronom al imparatului. În 1604 Kepler observă "Supernova 1604" și publică observațiile sale în lucrarea stintifică "De Stella nova in pede Serpentarii" ("Despre o nouă stea la piciorul constelației șarpelui"). În lucrarea"Astronomia Nova" ("Astronomia nouă", 1609) publică rezultatele cercetărilor sale asupra elipsei planetei Marte și enunță cea de-a doua lege: "Cu cât o planetă este mai aproape de soare, cu atât se mișcă mai repede". În anul 1612 Keplerse mută la Linz în Austria, unde publică lucrarea "Harmonices Mundi" ("Armonia lumii", 1619). În ultima parte a acestei cărți, pe baza observațiilor și calculelor efectuate, publică a treia lege a mișcării planetelor: "Pătratul timpului de revoluție este proporțional cu puterea a treia a distanței medii dintre o planetă și soare".

Între anii 1615-1620 Kepler a trebuit să-și apere mama, care era acuzată de vrăjitorie. Până la urmă reușește să-i obțină eliberarea, fără a putea însă împiedica torturile la care a fost supusă, în urma cărora ea a murit un an mai târziu. Kepler a trăit într-o epocă de intoleranță, a luptelor dintre catolici și protestanți din timpul războiului de 30 de ani, fiind nevoit de mai multe ori să se refugieze pentru a scăpa de persecuții, cu toate încercările sale de a rămâne neutru.

Ultima sa publicație importantă, apărută încă în timpul vieții, este Tabulae Rudolfinae (1627), care conține tabele ce descriu mișcările planetelor. Ea constituie baza oricărui calcul astronomic pentru următorii 200 de ani. În lucrările sale despre teoria forțelor de gravitație, Isaac Newton s-a bazat în mare măsură pe observațiile lui Kepler.

În afara lucrărilor din domeniul astronomiei, Kepler a descris un procedeu de determinare a volumelor, pe baza căruia se va dezvolta calculul integral. De asemenea a studiat simetria fulgilor de zăpadă și a calculat forțele naturale care intervin în creșterea structurilor geometrice și care vor fi aplicate în studiul cristalografiei. A lucrat și în domeniul opticii, putem aminti invenția sa numită „luneta lui Kepler”.

Johannes Kepler a murit la 15 noiembrie 1630 în Regensburg, Germania, în vârstă de 59 de ani. În memoria lui, Universitatea din Linz poartă numele de „Johannes-Kepler-Universität”.

4.2. Mișcarea planetelor

Problema calculului orbitelor planetelor nu este una simplă. Planetele interacționează atât cu Soarele cât și între ele, astfel încât problema de rezolvat nu mai este o problemă de două corpuri. Ținând însă cont că interacțiunea predominantă este interacțiunea gravitațională dintre planete cu Soarele, celelalte interacțiuni le putem neglija, într-o primă aproximație când calculăm orbitele planetelor în jurul Soarelui. Spunem că acele interacțiuni, mai slabe decât interacțiunea planetei cu Soarele sunt perturbații ale acesteia din urmă. De fapt, planetele trans-uranice au fost descoperite pe baza perturbațiilor cauzate de acestea, planetelor cunoscute.

Putem folosi o altă aproximație:

4.1

cu C=GMm. Această expresie a energiei potențiale gravitaționale poate fi folosită doar în cazul în corpurilor cu distribuție a masei omogene. În cazuri reale nu poate fi îndeplinită această condiție, dar având în vedere distanța mare dintre soare și Pământ, corpurile cerești pot fi considerate sferice.

Putem calcula orbitele planetelor luând în considerare interacțiunea acestora cu soarele. Formula de calcul a ecuației trajectoriei în coordinate polare, dacă presupunem cunoscute momentul cinetic și energia totală a corpurilor care interacționează printr-o forță centrală, gravitațională.

4.2.

4.3

adică:

4.4

Separăm variabilele și integram:

4.5.

și obținem:

4.6.

De unde rezultă:

4.7

Folosind convenția:

și notațiile: și , obținem ecuația traiectoriei în coordinate polare.:

4.8.

unde: ε reprezintă un parametru numit excentricitate a orbitei.

Folosind relația 4.8, se poate demonstra că, în funcție de valoarea energiei E, gasim traiectoriile planetelor, astfel:

E>0 miscare nelegata (traiectorie tip hiperbola)

E=0 miscare nelegata (traiectorie tip parabola)

E<0 miscare legată (traiectorie tip elipsă), și cazul particular al mișcării circulare.

4.3. Legile lui Kepler

Astronomul și matematicianul german Johannes Kepler (1571 – 1630) a stabilit cele trei legi de mișcare a planetelor, legi care îi poartă numele, după calcule de aproape două decenii și pe baza observațiilor de mare precizie făcute de mentorul său, astronomul Tycho Brahe.

4.3.1. Legea I – Legea orbitelor

Toate planetele se mișcă în jurul Soarelui pe traiectorii eliptice, Soarele aflându-se în unul din focarele elipsei.

Pentru orice traiectorie eliptică se definesc următoarele elemente:

semiaxa mare, a;

semiaxa mică, b;

excentricitatea liniară, ;

excentricitatea (relativă),

Alegând un sistem de coordonate cu originea în focarul elipsei, și utilizând coordonatele polare (r, p) în locul celor carteziene (x, y), ecuația traiectoriei eliptice se poate scrie sub forma:

4.9.

unde este un parametru caracteristic traiectoriei, , iar (sau , iar ).

După cum se vede din figură, distanța planetei aflate la periheliu față de Soare este DA, iar distanța planetei aflate la afeliu față de Soare este DB:

In cazul Pământului DA = 147,1.106 km, iar DB = 152,1.106 km, astfel încât distanța medie Pământ – Soare (semiaxa mare a elipsei Pământului), care reprezintă de fapt unitatea astronomică, este 149,6.106 km.

4.3.2. Legea a II a – Legea ariilor

Razele vectoare duse de la Soare la planetă descriu arii egale în intervale de timp egale, deci viteza areolară sau sectorială este constantă.

4.3.3. Legea a III a – Legea perioadelor

Pătratele perioadelor de revoluție a planetelor în jurul Soarelui sunt proporționale cu cuburile semiaxelor mari ale elipselor.

4.10.

unde k este o constantă care are aceeași valoare pentru toate planetele.

Observație:

Viteza orbitală scade cu depărtarea planetei față de Soare. De exemplu pentru Terra, viteza orbitală la afeliu este 29,3 km/s, iar la periheliu 30,3 km/s.

4.4. Sistemul de coordonate ale sateliților

Pe orbita elipsoidală distingem patru puncte principale.

Nodul ascendent (Ω) Punctul de intersecție între planul ecuator și planul orbitei când satelitul trece de pe emisfera sudică pe emisfera nordică. Valoarea lui se măsoară în planul ecuatorului pornind de la punctul vernal.

Argumentul perigeului (ώ) Punctul cel mai apropiat al orbitei satelit de geocentru. Măsurăm în planul orbitei de la nodul ascendent.

Poziția satelit (u) . Este punctul pe care vrem să-l determinăm. Măsurat de la nodul ascendent : u=ώ+v unde v este anomalia reală.

Punctul de referință(M0) Dacă satelitul ar avea perioada de revoluție constantă , în momentul t0 s-ar afla în acest punct.

Pentru a se transforma parametri orbitei satelitului în sistemul de coordonate medii terestre (CT) efectuăm trei rotații între patru sisteme.

Poziția satelitului este dată în sistemul de coordonate al satelitului : XS , YS , Z S unde XS este prelungirea dreptei după care se vede satelitul din geocentru , YS este în planul orbitei, Z S este perpendicular pe planul orbitei. Dacă acest sistem îl rotim în jurul axei XS’ cu un unghi w ca satelitul să ajungă în nodul ascendent, XS’ atunci YS’ rămâne în planul orbitei , iar = ZS’ = Z S.

Apoi sistemul XS’ YS’ ZS’ îl rotim în jurul axei XS’ din planul orbitei satelitului în planul ecuatorului cu valoarea înclinației. Astfel XS’’ = XS’, YS’’ ajunge în planul ecuatorului , iar axa ZS’’ coincide cu axa de rotație a Pământului.

Iar la urmă sistemul de coordonate XS’’ YS’’ ZS’’ îl rotim în jurul axei ZS’’astfel ca axa x să coincidă cu direcția meridianului Greenwich. Satelitul acum ajunge în sistemul de coordonate CT (x,y,z,)

Acest sistem este sistemul mediu de coordonate terestre , sistem în care calculăm coordonatele satelitului și executăm determinările poziției punctelor. Este uzuală și denumirea CTS (Conventional Terrestrial System).

4.5 Orbitele satelitilor GPS

De acuratetea cu care sunt determinate si cunoscute efemeridele orbitelor satelitilor GPS depinde precizia cu care, prin metodele prezentate, se determinã coordonatele spatiale ale punctelor geodezie care se determinã cu ajutorul acestei tehnologii. In acest sens, statia master de la Colorado Spring transmite zilnic si chiar de câteva ori pe zi, orbitele „broadcast” care, fara SA activat, pot ajunge la precizii de cca.5m, pentru orbite.

4.5.1 Parametrii si particularitãtile orbitelor satelitare

Dupã cum este cunoscut, pentru analiza miscãrii pe orbitã a unui satelit artificial, de regulã, se neglijeazã dimensiunile acestuia, considerându-se cã întreaga sa masã este concentratã în centrul de masã. Miscarea satelitului este astfel comparatã cu cea a unui punct material de masã m care evolueazã în jurul Pãmântului, pe care îl considerãm de masã M si suportã efectul atractiei sale gravitationale.

Pentru studiul miscãrii pe orbitã, a unui satelit artificial, se admit urmãtoarele ipoteze simplificatoare:

întreaga masã a satelitului este concentratã în centrul de masã al acestuia;

miscarea satelitului se considerã neperturbatã, keplerianã, adicã se produce numai sub influenta atractiei Pãmântului;

Pãmântul este considerat un corp sferic, omogen, cu densitate uniform distribuitã, astfel încât forta sa de atractie derivã dintr-un câmp gravitational având potentialul de forma:

4.11

In aceste conditii, ecuatia de miscare a unui satelit în câmpul gravific terestru este exprimatã printr-o ecuatie diferentialã de ordin doi, functie de timp:

4.12

unde:

GM – constanta gravitationalã geocentricã

M – masa Pãmântului

r – modulul vectorului de pozitie geocentric al satelitului

– vectorul de pozitie geocentric al satelitului

Se cunoaste cã solutiile ecuatiilor, de tipul celei din relatia anterioara, reprezintã o elipsã a cãrei ecuatie parametricã are forma:

4.12

în care:

r – vectorul de pozitie geocentric al satelitului

a,b – semiaxele elipsei (orbitei) pe care se miscã satelitul

e – excentricitatea elipsei (orbitei) pe care se miscã satelitul

q-anomalia adevãratã,unghiul între semiaxa mare si vectorul de pozite (Fig.)

Fig.– Orbita Keplerianã

Anomalia adevãratã q, poate fi exprimatã în functie de anomalia excentricã E:

4.13

Fig2.– Orbita Keplerianã

Anomalia adevãratã q, defineste pozitia satelitului artificial pe orbitã (Fig.), pozitia în timp fiind datã de momentul trecerii la perigeu. In cele douã figuri, notatiile care definesc e lipsa keplerianã au urmãtoarele semnificatii:

γ- ascensia dreaptã a nodului ascendent (unghiul dintre axa X care trece prin punctul vernal si intersectia planului orbitei cu planul ecuatorial);

i – unghiul de înclinare al orbitei satelitului;

w-argumentul perigeului;

t0 – momentul trecerii la perigeu;

a – semiaxa mare a elipsei (orbitei);

e – excentricitatea elipsei (orbitei);

Pentru calculul valorilor reale ale parametrilor orbitali, trebuie cunoscute mãrimile si directiile influentelor factorilor perturbatori care îndepãrteazã miscarea realã a satelitului de o miscare keplerianã teoreticã.

Datoritã factorilor perturbatori care actioneazã asupra satelitului, orbita sa are variatii permanente, rezultând o orbitã perturbatã care poate fi estimatã ca o înfãsurãtoare a orbitei kepleriene, definitã anterior.

Dacã în ecuatia de miscare neperturbatã, keplerianã, se introduce suma factorilor care produc perturbatii ale orbitei satelitului cu actiune fie în timp real (asa numitele perturbatii seculare, fie periodic, la intervale de timp bine stabilite), se obtine relatia de miscare adevãratã a satelitului:

„”, acceleratia perturbatoare, este compusã din urmãtoarii factori perturbatori:

= perturbatiile datorate necentricitãtii câmpului de forte ale Pãmântului, ca urmare a nesfericitãtii acestuia si a neuniformitãtii distributiei maselor sale;

= perturbatiile datorate mareelor terestre si ale oceanului planetar;

= perturbatiile datorate atractiei lunii-solare si a altor planete;

= perturbatiile datorate rezistentei atmosferei înalte;

= perturbatiile datorate presiunii radiatiei solare si a radiatiei reflectate;

Desi cu valori mici, aceste perturbatii existã si ele pot modifica orbita initialã în mod apreciabil, ceeace mai ales pentu satelitii GPS constituie un impediment major, care impune controlarea riguroasã a acestora si aplicarea unor corectii pentru mentinerea parametrilor orbitei între anumite limite, în cazul nostru deosebit de riguroase care sã asigure o pozitionare cât mai precisã.

Determinarea oficialã a orbitelor satelitilor GPS revine segmentului de control al sistemului care, prin cele 5 statii monitoare, pune la dispozitia utilizatorilor sistemului orbitele în timp real, numite orbite „Broadcast”.

Inainte de anul 2000, fãrã SA activat si dupã anul 2000 când sistemul SA a fost dezactivat, oferã pentru aceste orbite o precizie de +/- 5m. care asigurã o precizie în determinarea vectorilor cu lungime de 100 km, de pânã la +/-25mm.

Separat de aceste orbite, la anumite intervale de timp în functie de nivelul de precizie al acestora, agentii internationale specializate, pun la dispozitia utilizatorilor asa numitele „orbite precise” care se pot determina cu o acuratete de pânã la +/-0.05m, care asigurã valori deosebit de precise pentru vectorii determinati, de sub 1mm, pentru baze de cca.1000 km.

Global Orbit Tracking Experiment (GOTEX) cuprinde statii la sol VLBI si SLR în care au fost amplasati si receptori GPS, ca statii permanente.

Dupã 1990 International Association of Geodesy (IAG) a înfiintat Serviciul GPS International pentru Geodinamicã (IGS) care printre altele, are ca scop determinarea orbitelor precise pentru aplicatii în geodinamicã. Reteaua de urmãrire a segmentului spatial este compusã din peste 100 de statii distribuite pe tot globul a cãror pozitionare este definitã prin coordonate spatiale în sistemul International Terrestrial Referance Frame (ITRF), sistem de referintã realizat si întretinut de International Earth Rotation Service (IERS).

Datele GPS, preluate de aceste statii ale IGS, sunt prelucrate de 7 agentii printre care este de amintit National Geodetic Survey (NGS) din USA, Canadian Space Geodesy Forum (CANSPACE) din Canada, Australian Surveyng and Land Information Group (AUSLIG) din Australia , Centre for Orbit Determination in Europe (CODE) din Elvetia si altele.

Cap 5. Teoria relativității restrânse

5.1.Scurt istoric despre Albert Einstein

Albert Einstein (n. 14 martie  1879, Ulm – d. 18 aprilie 1955,  Princeton) a fost un  fizician  teoretician de etnie evreiască, născut în Germania, apatrid din 1896,  elvețian din 1899, emigrat în 1933 în  SUA, naturalizat american în 1940, profesor universitar la Berlin și  Princeton. A fost autorul teoriei relativității  și unul dintre cei mai străluciți oameni de știință ai omenirii.

În 1921 i s-a decernat Premiul Nobel pentru Fizică. Cele mai multe dintre contribuțiile sale în fizică sunt legate de teoria relativității restrânse (1905), care unesc mecanica cu electromagnetismul, și de teoria relativității generalizate (1915) care extinde principiul relativității mișcării neuniforme, elaborând o nouă teorie a gravitației.

Alte contribuții ale sale includ cosmologia relativistă, teoria capilarității, probleme clasice ale mecanicii statistice cu aplicații înmecanica cuantică, explicarea mișcării browniene  a moleculelor, probabilitatea tranziției atomice, teoria cuantelor pentru gazulmonoatomic, proprietățile termice al luminii (al căror studiu a condus la elaborarea teoriei fotonice), teoria radiației (ce includeemisia stimulată), teoria câmpurilor unitară și geometrizarea fizicii.

Cea mai cunoscuta formula a lui Einstein este E=mc² , care cuantifică energia disponibilă a materiei. Pe această formulă se bazează atomistica, secțiunea din fizică care studiază energia nucleară. Einstein nu s-a manifestat doar în domeniul științei. A fost un activ militant al păcii și susținător al cauzei poporului evreu căruia îi aparținea. Einstein a publicat peste 300 de lucrări științifice și peste 150 în alte domenii.

Einstein s-a născut la 14 martie 1879 la Ulm, Germania, într-o familie de evrei  nepracticanți, fiul lui Hermann (comerciant) și Pauline Einstein. Încă de mic Albert s-a manifestat ca un băiat neobișnuit. Nu a vorbit până la trei ani, dând impresia că este retardat mintal. Cu toate acestea a reușit să acumuleze o serie de cunoștințe numai prin efort individual. Din acest motiv cei de vârsta lui nu îl înțelegeau și îl disprețuiau, ceea ce l-a făcut să devină un copil retras. Datorită dificultății de a se adapta la școală profesorii l-au considerat un copil problemă, îndărătnic și diferit, care nu vrea să învețe. Pe măsură ce creștea, se manifestau tot mai clar înclinația sa către dispozitive mecanice și modele fizice, precum și pasiunea sa pentrumatematică: înțelegea cu abilitate conceptele ei dificile. În 1880 familia lui s-a mutat la München, unde tatăl și bunicul lui și-au deschis un mic atelier de produse electrice.

În anul 1884, la vârsta de cinci ani, micul Albert a primit de la tatăl său o busolă care l-a fascinat în mod deosebit, producându-i, cum avea mai târziu să declare, „o impresie adâncă și de durată", inspirându-i dorința de a cerceta misterele naturii, dorință care îl va urmări toată viața.  La insistențele mamei, la 6 ani, Einstein a luat lecții de vioară. Deși nu era prea pasionat, interpreta cu plăcere lucrări ca „Sonata pentru vioară" a lui Mozart.

Între 1885 și 1888 Einstein a fost trimis la școala elementară catolică din München. Deși părinții săi nu erau religioși, ca o contrapondere, tânărul a primit acasă lecții de iudaism.[6]

Dorind să-l îndrume către electrotehnică, tatăl său îl înscrie, în anul 1888, la gimnaziul Luitpold din München (astăzi, acest gimnaziu îi poartă numele).

Deși aici erau promovate ideile progresiste ale pedagogiei (era perioada conflictului dintre adepții învățământului clasic, în cadrul căruia se studiau greaca și latina, și cei ai învățământului modern, care avea la bază studiul limbilor moderne), Einstein ura disciplina, rutina și modelul militar pe baza căruia funcționau școlile în acea perioadă, unde profesorii impuneau elevilor respect și supunere absolută. Mai târziu, în scrierile sale, sublinia faptul că, aici, gândirea creatoare era eliminată prin învățarea bazată pe memorare mecanică și lipsită de imaginație.

Un prieten de familie, Max Talmud, student la medicină, îl inițiază pe micul Einstein la vârsta de 10 ani, în anul 1889, în domeniul cunoașterii, împrumutându-i cărțile sale științifice și filozofice și prezentându-i, printre altele, filozofia lui Immanuel Kant (Critica rațiunii pure) și Elementele lui Euclid. Această ultimă lucrare îl impresionează în mod deosebit și ulterior o va denumi „cartea sacră a geometriei”. De la Euclid, viitorul mare savant va înțelege raționamentul deductiv, ajungând ca la 12 ani să învețe singur întreaga geometrie euclidiană. În scurt timp va continua cu studiul calculului infinitezimal. Autodidact, Einstein învață mai mult acasă decât la școală. La numai 10 ani, Albert începe să studieze singur matematica și științele naturii. Încă de mic copil arătase interes pentru natură precum și abilitate în a înțelege concepte matematice dificile. Era capabil să învețe mai mult de unul singur decât la școală. Metoda autodidactă, dezvoltată încă din copilărie, a continuat să îi folosească pe toată durata anilor de școală. În timp ce interesul său pentru anumite materii plictisitoare era simulat, el era captivat în mod real de fizică și filozofie(vezi: Sindromul Einstein, identificat cu sindromul Asperger, în care micii pacienți, deși au tulburări de vorbire, de comportament și de integrare socială, sunt adevărate genii).

La vârsta de 12 ani (1891) a învățat geometria euclidiană și la la 15 ani, rămâne la München pentru a-și încheia anul școlar, în timp ce familia se mută la Pavia, Italia datorită eșecurilor repetate ale afacerii. Dar după primul trimestru, își urmează familia la Pavia, părăsind școala.

Albert vrea să urmeze învățământul superior dar ratează examenul de admitere la Universitatea Politehnică elvețiană, în anul 1895, ETH (Eidgenössische Technische Hochschule), deși avea note excepționale la matematică și la fizică. Aceste rezultate au fost remarcate de unii profesori care i-au promis că va fi admis la facultate în următorul an, pe baza notelor obținute la examenul de maturitate. Familia îl trimite la Aarau, Elveția pentru a-și completa studiile liceale și pentru a-și lua diploma necesară.

Spre deosebire de atmosfera prusacă din școlile din Germania, la școala elvețiană, profesorii respectau personalitatea elevilor și stimulau libertatea de gândire. Pentru Einstein, anii petrecuți în Elveția au contribuit la socializarea și la exteriorizarea sa, deși avea un caracter introvertit și singuratic.

Aici ia contact cu teoria electromagnetică a lui Maxwell. Einstein începe să viseze și să se aprofundeze în teoriile sale, formulând una din primele sale întrebări teoretice:

„Cum ar fi dacă am putea să controlăm lumina și să călătorim prin intermediul acesteia?"

La 17 ani, în anul 1896, după încheierea studiilor la Aarau, se înscrie la Universitatea Federală Politehnică (ETH) din Zürich care, deși era una dintre instituțiile de învățământ de elită din Europa și dispunea de unul dintre cele mai dotate laboratoare, l-au dezamăgit pe Einstein. Majoritatea profesorilor nu erau la curent cu noile descoperiri ale epocii și predau după vechile principii ale fizicii. Albert urmărea cursurile cu un interes scăzut, iar la orele de laborator citea reviste științifice, în care erau publicate cele mai recente descoperiri și teorii. Lipsea adesea de la ore, folosindu-și întregul timp pentru a studia fizica pe cont propriu sau pentru a cânta la vioară.

Mileva Marić, o colegă sârboaică de la ETH (singura femeie de acolo, studentă la matematici), atrage atenția lui Einstein și acesta se îndrăgostește de ea, în 1898. La 20 de ani (1899), Albert își încheie cea mai mare parte a studiilor și cercetărilor care vor sta la baza teoriilor sale. Einstein este absolvent al ETH, devenind profesor de matematică și fizică în anul 1900. Totuși nu fusese un student prea strălucit, cel puțin din punctul de vedere la profesorilor care aveau o părere negativă despre Einstein (nu îi recomandaseră nici continuarea studiilor).

O importantă lucrare a fost publicată de Einstein în 1905, "Asupra electrodinamicii corpurilor în mișcare", conținea ceea ce avea să fie cunoscută mai târziu ca Teoria relativității restrânse, una dintre cele mai celebre contribuții ale sale, în care demonstrează că teoretic nu este posibil să se decidă dacă două evenimente care se petrec în locuri diferite, au loc în același moment sau nu. Ideile de bază au fost formulate de Einstein încă de când avea 16 ani (deci cu 10 ani în urmă).

Încă de la Newton, filozofii naturali (denumirea sub care erau cunoscuți fizicienii și chimiștii) încercaseră să înțeleagă natura materiei și a radiației, precum și felul în care interacționau într-o imagine unificata a lumii. Ideea că legile mecanicii sunt fundamentale era cunoscută drept concepția mecanicistă asupra lumii, în timp ce ideea că legileelectricității sunt fundamentale era cunoscută drept concepția electromagnetică asupra lumii. Totuși, niciuna dintre idei nu era capabilă să ofere o explicație coerentă asupra felului cum radiația (de exemplu lumina) și materia interactionează atunci când sunt văzute din sisteme de referință inerțiale diferite, adică interacțiile sunt urmărite simultan de un observator în repaus și un observator care se mișcă cu o viteză constantă.

În primăvara anului 1905, după ce a reflectat la aceste probleme timp de 10 ani, Einstein și-a dat seama ca esența problemei constă nu într-o teorie a materiei, ci într-o teorie a măsurării. Esența acestei teorii speciale a relativității era constatarea că toate măsurătorile timpului și spațiului depind de judecăți asupra simultaneității a două evenimente diferite. Aceasta l-a condus la dezvoltarea unei teorii bazate pe două postulate:

Principiul relativității, care afirmă că legile fizicii sunt aceleași în toate sistemele de referință inerțiale

Principiul invariabilității vitezei luminii, care arată că viteza luminii în vid este o constantă universală.

Numai viteza luminii este constantă în orice sistem de referință, lucru preconizat și de teoria lui Maxwell. Tot aici apare pentru prima data celebra sa formulă:

. ("Echivalența masă-energie")

Această ecuație exprimă cantitate imensă de energie ascunsă într-un corp și care poate fi eliberată atât în procesul de fisiune cât și în cel de fuziune nucleară, procese care stau la baza funcționării bombei atomice.

Iată câteva din consecințele relativității restrânse:[16]

"Contracția Lorentz" sau "contracția lungimilor" însoțită de "dilatarea timpului": Micșorarea aparentă a dimensiunilor obiectelor care se deplasează față de observator cu viteze relativiste.

"Efectul Doppler": În astronomie, constă în micșorarea frecvenței ("deplasarea spre roșu") radiației emise de corpurile cerești îndepărtate ca urmare a expansiunii Universului.

"Aberația luminii": Imaginea unui obiect în mișcare (cu viteză apropiată de cea a luminii) apare comprimată asemeni unui con cu vârful indicând sensul deplasării

Masa nu mai este constantă și nici timpul nu se mai scurge cu aceeași viteză, mai ales la viteze foarte mari.

Teoria relativității restrânse explică fenomenele ondulatorii, eliminând acțiunea instantanee de la distanță. Electrodinamica lui Faraday și Maxwell este compatibilă cu viteza finită de propagare a luminii. Prin generalizarea legilor mecanicii newtoniene și a unor legi ale fizicii, electrodinamica devine relativistă. Dar pentru a pune gravitația in concordanță cu relativitatea a fost nevoie de modificări mult mai profunde ceea ce l-a condus pe Einstein la Teoria relativității generalizate. În această teorie, orice viteză de propagare, inclusiv agravitației, este finită. Teoria Relativității Generalizate, asociază timpului spațiul legând coordonatele evenimentelor de timp și sudându-le în mod unitar, iar gravitația devine o proprietate a acestui reper spațiu-timp, devenind de fapt o deformare a spațiului și a timpului.

Einstein nu desființează concepția newtoniană, ci o înlocuiește cu una mai extinsă, valabilă pentru viteze apropiate de cea a luminii.

Teoria Relativității Generalizate a revoluționat gândirea științifică prin negarea existenței unui timp absolut, stârnind un ecou uriaș în toată lumea, fiind discutată în contradictoriu în cele mai prestigioase centre științifice ca și în cercuri mondene sau în săli de conferințe pentru marele public. A fost combătută cu vehemență de unii, dându-se dovadă de cunoaștere superficială. Epoca ce a urmat a fost marcată de interesul pentru această teorie, considerată ca răsturnătoare a tuturor legilor mișcărilor și fenomenelor fizice admise ca fundamentale.

5.2. Ipoteza eterului

            Legile mecanicii clasice, nerelativiste sunt verificate de datele experimentale când vitezele relative considerate au valori mult mai mici decât viteza luminii. În cazul vitezelor relative mai ridicate, comparabile cu viteza luminii, legile si principiile de baza trebuie sa fie modificate si reformulate în functie de o teorie mai generala. Mecanica clasica, nerelativista, constituie un caz limita al acestei teorii.

            Aceasta teorie în care se formuleaza legile generale ale fenomenelor fizice în forma valabila si la viteze relative foarte mari ale corpurilor, pentru care legile formulate în fizica clasica prerelativista nu mai sunt confirmate de experienta, poarta numele de teoria relativitatii restrânse.

        Dezvoltarea fizicii în secolul XIX a fost puternic marcata de încercarile atât teoretice cât si experimentale, de a descifra proprietatile fizice ale eterului luminos, conceput ca mediu suport al undei luminoase si care ar umple întreg spatiul cosmic cât si interiorul tuturor corpurilor.

            H. Hertz utilizând ideile lui Stokes, a considerat ca eterul este total antrenat de corpurile în miscare, formulând în acest sens o teorie care însa nu a putut interpreta în mod corect fenomenele care apar de exemplu la deplasarea unui dielectric în câmp exterior.

            În 1892 H.A.Lorentz a elaborat teoria electronica a electricitatii, care lua în considerare structura discontinua a acesteia. În cadrul acestei teorii, eterul era considerat ca fiind în repaus absolut. În acest mod rezulta posibilitatea obtinerii unui sistem de referinta privilegiat, fata de care s-ar putea raporta miscarea tuturor corpurilor si care ar fi, din acest punct de vedere, identic cu spatiul absolut preconizat de Newton. Daca eterul ar fi în repaus absolut, neantrenat de miscarea nici unui corp, ar putea fi pusa în evidenta experimental existenta unui "vânt eteric" datorat miscarii Pamântului pe orbita sa în jurul Soarelui. Un astfel de experiment, pentru a fi concludent, ar trebui sa fie un experiment de ordinul doi în raport cu b = v/c, deci sa poata pune în evidenta modificari de ordinul b2, astfel încât precizia rezultatelor sa poata decide definitiv fie în favoarea eterului antrenat fie a celui neantrenat de miscarea corpurilor. Un astfel de experiment a fost realizat în 1881 de Michelson si reluat, cu unele perfectionari, de Michelson si Morley în 1887.

            Rezultatul acestui experiment crucial a fostz însa negativ. Ceea ce înseamna ca ipoteza eterului în repaus absolut este si ea  falsa. Totul se petrece ca si cum viteza luminii ar avea o valoare constanta, independenta de starea de miscare a sistemului de referinta si de directie.

5.3.Principiile relativitatii restrânse :

         Plecând de la analiza notiunilor de spatiu si timp din mecanica clasica si de la rezultatul experimentului Michelon-Morley, Albert Einstein formuleaza în 1905 urmatoarele doua principii care stau la baza teoriei relativitatii restrânse:

1.      Legile fizicii sunt invariante (pastreaza aceeasi forma), fata de sistemele de referinta inertiale.

2.      Viteza luminii în vid este o constanta universala, independenta de miscarea sistemului de referinta si de directie.

Din primul principiu rezulta ca nu numai legile mecanicii sunt invariante în raport cu sistemele de referinta inertiale, asa cum fusese stabilit în mecanica clasica si exprimat matematic prin transformarile galiniene, ci toate legile fizicii (deci si ale electrodinamicii) sunt invariante fata de aceste sisteme de referinta. Din cel de-al doilea principiu al relativitatii restrânse decurge inexistenta unui timp absolut, existând numai un timp local, astfel încât în locul transformarilor galiniene vor trebui gasite alte transformari, care sa tina seama de aceste fapte.

Daca spatiul si timpul îsi pierd, în cadrul teoriei relativitatii restrânse, caracterul absolut pe care îl aveau în mecanica clasica, se pune problema daca nu exista alte marimi care sa posede un caracter absolut, independent de miscarea rectilinie si uniforma a sistemului de referinta (invariatii teoriei relativitatii restrânse).

5.4. Transformarile Lorentz :

            În cadrul mecanicii clasice principiul relativitatii este exprimat matematic prin cadrul transformarilor galiniene:

r = r' + vt'

t = t' 5.1.

unde r si r' sunt vectorii de pozitie ai punctului M în raport cu doua sisteme de referinta K si K', sistemul K' deplasându-se cu viteza ct. v în raport cu K.

            Se pune astfel problema determinarii unei noi forme a relatiilor de trecere de la un sistem referential la altul, care sa tina seama de cele doua principii ale relativitatii restrânse.

Fie K si K' doua sisteme referentiale inertiale, astfel încât axele  Ox si  O'x' coincid,  Oy=O'y', Oz=O'z' si sistemul K' se deplaseaza fata de K cu o viteza ct. de-a lungul axei Ox. Relatiile cautate trebuie sa aiba forma:

x' = g(v).(x-vt)

y' = y

z' = z

t' = dx/dv 5.2.

5.3.

5.4.

unde g, h si l sunt constante (care depind de viteza v) si care pot fi determinate:

5.5.

5.6.

Folosind aceste relații putem scrie:

5.7.

y’=y

z’=z

care poarta numele de relatiile Lorentz-Einstein.

 5.5.Consecinte ale transformarilor Lorentz-Einstein

Principiile reltivitatii restrânse, care si-au gasit exprimarea matematica în transformarile Lorentz-Einstein, au condus la o modificare radicala si esentiala a imaginii noastre asupra Universului. Doua dintre aceste consecinte au o importanta deosebita; acestea fiind cunoscute sub numele de contractia lungimilor si dilatarea timpului.

5.5.1.Contractia lungimilor. 

Se considera din nou doua isteme referentiale K si K' având axele Ox si O'x' comune si aflate initial amândoua în repaus. Pe axa O'x' se afla o rigla gradata AB. Doi observatori, situati în cele doua sisteme referentiale, vor masura pozitiile capetelor riglelor si vor gasi:

  l0 = x'2 – x'1           5.8.

care poarta numele de lungime de repaus sau lungime proprie.

            Daca sistemul K' s-ar misca rectiliniu si uniform cu viteza v fata de K, de-a lungul axei Ox, ne întrebam care va fi masura riglei masurata acum de observatorul din K. Evident, pentru acest observator, coordonatele capetelor riglei,masurate simultan, vor fi x1 respectiv x2, astfel încât lungimea acesteia, pentru el, va fi:

l = x2 – x1 5.9.

5.10.

 În baza transformarilor Lorentz-Einstein si având în vedere ca masurarea coordonatelor are loc simultan (t1=t2) se obtine:

            Asadar, pentru observatorul fix din K, rigla care se misca cu viteza v apare mai scurta (l<l0). Se poate însa constata usor, utilizând în continuare relatiile Lorentz-Einstein, ca daca sistemul K' este considerat în repaus si daca K s-ar misca cu viteza -v de-a lungul axei O'x' atunci si observatorul din K' ar vedea mai scurta rigla care acum s-ar misca solidar cu K.

5.11

5.5.2 Dilatarea timpului.

Se considera din nou cele doua sisteme referentiale K si K' în care se gasesc doua ceasornice; K' se considera a fi în miscare rectilinie si uniforma, cu viteza v fata de K. În punctul de coordonate x', y', z'din K' au loc doua evenimente la momentele t'1 si t'2, masurate de ceasornicul din K' (T0 = t'2 – t'1). Care va fi durata T = t2 – t1 masurata de observatorul din K pe ceasornicul sau?

se obtine:

5.12

si rezulta ca pentru observatorul solidar cu sistemul fix timpul se dilata (T >T0) sau, cu alte cuvinte, ceasul mobil merge mai încet decât cel fix. Într-un sistem de referinta mobil, toate procesele, fizice sau biologice, se desfasoara mai lent.

Cap 6. Spatiul Minkowski

Hermann Minkowski (22 iunie 1964-12 ianuarie 1909) a fost un matematician german, profesor la Konigsberg, Zurich si Gottingen. A creat si dezvoltat geometria numerelor și a folosit metode geometrice pentru a rezolva probleme în teoria numerelor, fizica matematică și teoria relativității.

Este cunoscut pentru atribuțiile lui în teoria relativității, ajutându-l pe predecesorul său Albert Einstein, determinând teoria relativității restranse în 1907, folosind geometria ca un qvadimensional spatiu-timp, în continuare denumit spațiu Minkowski.

Hermann Minkowski s-a născut în Aleksotas, un sătuc din Kaunas Governarate. Pentru a scapa persecuțiilor Rusiei, familia sa s-a mutat în Konisberg în anul 1872.

Cel mai important rol l-a avut în elaborarea teoriei relativitășii restrânse, unde a demonstrat că poate fi ințeleasă mult mai ușor într-un spațiu Qvadimensional, în care spațiul și timpul nu sunt tratate diferit.

Următoarele relații vor defini legatură spațiu timp, denumit în continuare spațiu Minkowski.

6.1.Intervale între evenimente. Clasificarea lor.

Un cuplu de evenimente, considerate în acelasi referential (R), se caracterizeaza prin locul si momentul lor de desfasurare.

Consideram doua evenimente E1(x1,y1,z1,t1) si E2(x2,y2,z2,t2) în (R), respectiv  E1(x1',y1',z1',t1')  si E2(x2',y2',z2',t2') în referentialul (R') care se deplaseaza fata de (R).

Se numeste interval de univers, expresia:

6.1.

Se verifica usor ca pe baza transformarilor Lorentz rezulta , adica intervalul de univers este un invariant fata de grupul transformarilor Lorentz

Expresia:

6.2.

se numeste distanta spatiala, iar expresia:

se numeste distanta temporala, astfel încât:

6.3.

Consideram ca evenimentele E1 si E2 din (R) se produc în puncte si la momente diferite si vom arata ca, printr-o alegere potrivita (convenabila) a unui referential (R'), putem face ca în (R'):

a) E1 si E2 sa se produca în acelasi loc

b) E1 si E2 sa fie simultane

c) E1 si E2 sa coincida absolut

a) Pentru ca în (R') evenimentele E1 si E2 sa coincida spatial, trebuie ca l12'=0, adica

6.4.

deci trebuie ca intervalul de univers  sa fie real. În concluzie, daca într-un referential, intervalul de univers între doua evenimente este real, exista un referential (R') în care cele doua evenimente coincid spatial. Intervalul de univers real se numeste interval temporal si

6.5.

Se observa ca daca evenimentul E1 precede evenimentul E2 în (R), îl va preceda si în (R'), deci notiunile "anterior" si "posterior" au un caracter identic în (R) si în (R'). Se poate spune ca daca doua evenimente sunt separate printr-un interval temporal, ordinea succesiunii temporale este aceeasi în orice sistem de referinta inertial, adica evenimentele sunt legate cauzal (E1 este cauza iar E2 este efect).

b) Cautam un referential (R') în care evenimentele sa fie simultane (t12'=0).

6.6.

deci intervalul de univers este imaginar.

Un astfel de interval de univers este un interval spatial si

6.7.

În concluzie, daca într-un referential intervalul de univers între doua evenimente este un interval spatial, exista un referential (R') în care cele doua evenimente sunt simultane. Este clar ca daca în (R) evenimentul E1 precede evenimentul E2iar în (R') vor fi simultane, evenimentele nu sunt legate cauzal. Deci daca doua evenimente sunt separate prin intervale spatiale, notiunile "anterior" si "posterior" sunt relative.

c) Într-un referential (R') în care evenimentele coincid absolut, =0, =0, deci ; din invarianta intervalului de univers rezulta ca si , deci evenimentele se confunda si în (R).

6.2.Spatiul cuadridimensional Minkowski. Reprezentari geometrice

În 1908, matematicianul german Minkowski a conceput un spatiu cu patru dimensiuni (x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict), caruia i se spune în mod obisnuit universul Minkowski. Un eveniment se reprezinta în acest hiperspatiu printr-un punct, numit punct de univers. Evolutia unui punct material este descrisa în spatiul Minkowski printr-o curba, numita linie de univers. Orice segment al unei linii de univers este invariant când trecem de la un sistem inertial la altul.

În continuare vom reprezenta acest spatiu în numai doua dimensiuni, pe o axa reunind cele trei coordonate spatialeX(x,y,z) iar pe cealalta produsul ct (fig.I.9).

Exemplificam (fig.I.9) forma unor linii de univers pentru câteva cazuri particulare:

a.  daca un punct material este în repaus fata de un referential, linia sa de univers este axa timpului.

b.  daca un punct material se deplaseaza cu viteza ux=const. în spatiul fizic, linia de univers este o dreapta înclinata cu unghiul  fata de axa timpului, iar

6.8.

c.  daca ux=c,  atunci linia de univers va fi reprezentata prin prima bisectoare. Principiul al doilea al teoriei relativitatii restrânse interzice linii de univers înclinate cu 

Fie un eveniment O(x=y=z=t=0) si hipersuprafata a carei axa coincide cu axa ct, de ecuatie:

6.9.

(în spatiul tridimensional este o sfera cu raza ct -frontul de unda)

(se observa ca ).

    În reprezentarea bidimensionala din fig. I.9, ecuatia 6.9. se scrie:

6.10

si este reprezentata în fig. I.10 prin cele doua bisectoare care ar fi echivalente generatoarelor unui hipercon.

Pe generatoarele conului pot fi marcate evenimente corespunzatoare unei viteze egala cu viteza luminii (u = c), deci pânza conului cuprinde linii de univers ale punctelor materiale care la t = 0 erau în origine si se deplaseaza cu u = c. Din acest motiv aceasta hipersuprafata se numeste con luminos.

Conul luminos împarte spatiul Minkowski în patru regiuni:

I) (MON)- cuprinde linii de univers corespunzatoare punctelor materiale care se misca cu v<c (X=vt). Intervalul de univers între evenimentul O si evenimentele din regiunea I va fi:

6.11

si este un interval temporal. Toate evenimentele reprezentate prin puncte de univers din regiunea I sunt posterioareevenimentului O (momentul lor t>0), de aceea aceasta regiune se numeste "viitor absolut".

II) (QOP)- cuprinde linii de univers corespunzatoare punctelor materiale cu v<c dar t<0. Intervalul de univers între evenimentulO si evenimentele din regiunea II este pozitiv (), cauzalitatea se pastreaza dar toate evenimentele reprezentate prin puncte din regiunea II sunt anterioare evenimentului O.

Regiunea II se numeste "trecut absolut". Atunci, daca evenimentul O reprezinta prezentul, el este determinat cauzal de evenimentele din regiunea II si determina cauzal evenimentele din regiunea I.

si IV) (MOQ si NOP) cuprind evenimente cu v>c, adica : intervalul de univers între evenimentele din III sau IV si evenimentul O este spatial. Evenimentul O nu poate determina cauzal nici un eveniment din III sau IV deoarece între O si un punct din regiunile din III sau IV interactia ar trebui sa aiba loc cu v>c. Se spune ca zonele III si IV cuprind evenimente"absolut îndepartate". Liniile de univers care reprezinta deci evolutii adevarate se gasesc în interiorul conului luminos.

Cap. 7. Geometrie diferențială

7.1. Funcții diferențiabile

Numim funcție diferențiabilă, o funcție de clasă . Clasa de indice minim impusă de context va putea fi ușor recunoscută.

Fie f: Funcțiile unde sunt funcțiile coordinate ale lui , se numesc componentele euclidiene ale lui f, se scrie f=(.

Mulțimea

G(f)={(

se numește graficul funcției f=(.

Funcția f=( este diferențiabilă dacă și numai dacă fi sunt funcții diferențiabile. Unei funcții diferențiabile f i se asociază matricea Iacobiană

7.1.

Daca n=m, atunci determinantul se numește Jacobianul lui f și este notat cu

7.2.

Funcția f=( se numește:

injectivă dacă relațiile P,QϵRm, f(P)=f(Q)ϵRm implică P=Q,

surjectivă dacă QϵRm, astfel încât f(P)=Q

bijectivă dacă este injectivă și surjectivă,

imersie dacă J(f) are rangul n,

submersie dacă J(f) are rangul m, ,

regulată dacă este imersie sau submersie,

difeomorfism daca n=m, dacă este diferențiabilă și dacă posedă inversă diferențiabilă.

Fie f:Rn→R o funcție diferențiabilă, notăm:

7.3.

hesiana sa (diferențiala de ordin 2)

curbe în Rn

Definiție: o funcție diferențiabilă se numește curbă și se notează cu α. De multe ori numai imaginea α(I) se numește curbă. Atunci α se numește parametrizare, iar tϵI se numește parametru, imaginile grafice se realizează în R, R2 sau R3 .

Funcției αîi putem atașa o funcție și numai una (fig 1) de tipul ceea ce permite să privim mulțimea α(I) ca fiind descrisă de extremitatea unui vector variabil cu originea fixă în O a lui Rn .

Din definiția lui α(I) rezultă echivalența:

7.4.

Dacă raportăm pe Rn la baza canonică, atunci funcțiile α și sunt caracterizate prin coordonatele lor euclidiene:

7.5.

Curba α(I) poate fi descrisă prin ecuațiile parametrice:

x1=x1(t), x2=x2(t),……….xn=xn(t) 7.6.

sau prin ecuația vectorială parametrică:

7.7.

Graficul unei funcții diferențiabile de tipul f:I→R este o curbă în plan (fig) deoarece acest grafic poate fi privit ca imaginea funcției α:I→R2,α(t)=(t,f(t)). O curbă de acest tip nu poate avea puncte multiple, nu poate fi inchisă și deci nici periodic, deoarece t1≠t2 implică existența punctelor (t1,f(t1)) și (t2,f(t2)) care nu pot fi identice.

Ecuația y=f(x) se numește ecuația carteziană implicit a curbei

7.8.

Tensori și fibrări vectoriale

Dacă V este un spațiu vectorial de dimensiune finită vom nota dualul său cu V*. Fie V1,…..Vr, spații vectoriale de dimensiune finită. O aplicație T:V1x…….xVr→R se numeste r-liniară dacă este liniară in fiecare argument. Mulțimea tuturor acestor aplicații r-liniare formează un spațiu vectorial real pe care în notăm cu și se numește produsul tensorial al spațiilor cu Fie acum W1,……Wn, spații vectoriale reale și S o aplicație s-liniară pe W1x…….xWr cu valori în R, deci Sϵ. Produsul tensorial al aplicațiilor T și S notat cu T⊗S este o aplicație (r+s)-liniară pe V1x…….xVrx W1x…….xWr, cu valori în R, dată de formula:

7.9.

Să luam acum V1=V2=……Vn=V. Spațiul V0,r= se numește spațiu tensorilor covarianți de r-ori pe V sau de tipul(0,r). un tensor covariant de r-ori edste, deci o aplicație r-liniară pe V. după definiția produsului tensorial a 2 aplicații liniare rezultă că pentru V* avem V*⊗V*, adică este o aplicație biliniară pe V cu valori în R.

O fibrare vectorială reală (complexă) de rang 1 este un triplet ξ=(E,π,M) unde E și M sunt varietăți diferențiale iar π:E→M o apliație surjectivă și diferențiabilă astf el încât:

E=(p) este un spațiu vectorial real (complex de dimensiune n pentru orice pϵM

Pentru orice pϵM există o vecinătate U a lui p și un difeomorfism Ф:(U)→UxR astfel că ρ1(Ф(v))= p dacă vϵEp,pϵU, ρ1 proiecția pe primul factor și aplicația

este un R-izomorfism, unde am notat cu restric’ia luiФ la Ep.

Tensori alternanți și forme diferențiale

Fie V un spațiu vectorial real n-dimensional și V0,r=V*⊗………⊗V* spațiul tensorilor de tipul (0,r). Un tensor ω de tipul (0,r) se numește alternat dacă pentru orice permutare π din grupul de permutări satisface relația:

7.10.

pentru orice vector v1,…..vr din V, unde επ=1 după cum permutarea π este pară sau impară.

Definim produsul exterior a doi tensori alternanți ωϵʌr(v*) șiω,ϵʌs(V*) ca fiind un tensor alternat ωʌω, de tipul (0,r+s) dat de formula:

7.11.

Cap. 8. Aplicații la spațiu timp al relativității generale

8.1. Varietatea spațiu timp în relativitatea general

O varietate pseudo-riemanniană (M,g) de dimensiune 4 și de signatură (–-+) se numește varietate Lorentz. M se presupune conex, Hausdorff și cu baza numărabilă (deci paracompact). Condițiile topologice din M implică existența unei metrici riemanniene pe M, dar nu asigură existența unei metrici Lorentz. Dacă pe varietatea M există un camp vectorial nenul peste tot, putem construe o metrică Lorentz g. Fie h o metric riemanniană pe M, și V un câmp vectorial nenul peste tot, unitar, adică h(V,V)=1. Definim un câmp tensorial de tipul (0,2) g pe M prin formula:

7.12

pentru orice X,Yϵχ(M). Dacă punctul p este arbitrar în M, există 3 vectori Xp,Yp,ZpϵTpM astfel încât sistemul de vectori (Xp,Yp,Zp,Vp) să fie o bază ortonormală în raport cu metrica riemanniană dată h. Din relația 7.12. rezultă ca avem:

7.13.

De unde rezultă că g este metrică Lorentz.

Existența unui câmp vectorial nenul peste tot în M este echivalentă cu anularea unui invariant topologic, caracteristica Euler-Poincare. Rezultă că pe varietățile necompacte se poate construi o metric Lorentz. Pentru un V dat, se poate construe mai multe metrici Lorentz după cum se allege h.

Un vector gen timp sau vector temporal în p, este un vector vϵTpM astfel încât g(v,v)>0. Vom nota mulțimea acestor vectori cu Гp, deci

7.14.

care este o multime deschisa cu 2 componente conexe.

Un camp vectorial X pe M se numește camp vectorial temporal spațial, dacă pentru orice pϵM, vectorul Xp este temporal. Este evident că un camp vectorial pe (M,g) nu se anulează în nici un punct al varietății M.

Trebuie să precizăm faptul că orientarea temporal a spațiului-timp (M,g) nu implică orientarea lui M în sensul obișnuit al noțiunii din teoria varietăților diferențiabile.

Uneori avem nevoie și de orientabilitatea lui M pentru construcția anumitor repere special.

Cel mai simplu model de spațiu-timp pe care putem face toate considerațiile este spațiul Minkowski (R4,g) în care g are forma:

7.15

în care (x1,x2,x3) sunt coordonatele spațiale,t este coordonata temporal, iar c este o constantă care indică viteza luminii.

Putem face remarca important că un spațiu timp va fi intotdeauna necompact, proprietate care se constată imediat.

8.2. Curbe într-un spațiu-timp

Fie c: [a,b]→M pe spațiu timp M. Spunem că c(t) este o curbă temporală, spațială sau izotropă, dacă pentru orice tϵ[a,b] vectorul c(t) este respective temporal, spatial sau izotrop.

Daca curba c(t) este o curba temporal si pentru orice tϵ[a,b] vectorul c(t) este orientat spre viitor, spunem ca c(t) este o curba temporala orientate spre viitor.

O curba c:[a,b]→M este diferentiabila pe portiuni daca exista o diviziune a=t1<t2<….<tn=b a intervalului [a,b] astfel incat restrictia lui c la orice interval [ti,ti+1], i=1,…n-1, este diferentiabila. Printr-o curba non spatial vom intelege o curba diferentiabila pe portiuni care este temporal sau izotropa pe subintervalele diviziunii lui [a,b].

O hipersuprafață în spațiu-timp (M.g) se spune că este gen timp, gen spațiu sau izotropă după cum câmpul de vectori normali este respective gen spațiu, gen timp, sau gen izotrop. Dacă c(t) este o astfel de curbă, câmpul de vectori c(t) tangent la curbă poate avea discontinuități.

Fie acum U o vecinătate de coordinate normal și convexă a punctului qϵM. Să considerăm funcția f:U→R, dată prin formula:

7.16

Se vede că funcția f este o funcție diferențiabilă pe U din care se scoate punctul q. Mulțimea punctelor pϵU, cu proprietatea că f(p)=K, unde K este o constant constituie o supersuprafață.

Fie o curbă c:[a,b]→M de clasă c3 pe porțiuni pe care o preupunem nonspațială și are capetele în p=c(a) și q=c(b). Definim în acest caz lungimea curbei prin formula:

7.17

integrala fiind considerată pe porțiunile diferențiabile ale curbei.

În cazul unei metrici riemanniene se pune problema găsirii unei curbe care unește 2 puncte și are lungimea cea mai mică. Pentru varietățile Lorentz această problem nu mai are sens deoarece 2 puncte oarecare se pot uni printr-o curbă izotropă pe porțiuni.

8.3. Ecuațiile lui Einstein

Teoria relativității este o teorie a gravitației și in același timp o teorie a geometriei spațiu-timp.

Einstein a fost primul care a sesizat că proprietățile geometrice ale spațiului în care se reprezintă fenomenele fizice nu corespund geometriei euclidiene (ca în cazul teoriei gravitaționale a lui Newton), ci geometriei pseudo-riemanniene. Abaterea proprietăților geometrice ale spațiului timp de cele pseudo-euclidiene se datorează câmpului gravitațional și sunt legate de distribuția maselor gravitaționale și de mișcarea lor în câmpul gravitațional.

În teoria gravitațională a lui Einstein se postulează faptul că spațiul fizic este o varietate Lorentz de dimensiune 4, căreia i se spune spațiu-timp. Acest postulat se numește postulatul structural al teoriei relativității generale. Al doilea postulat al lui Einstein , numit și postulatul funcțional, reprezintă ecuațiile de legătură dintre metrica g a spațiului timp M și tensorul energie impuls T. Aceste ecuații, numite, ecuațiile lui Einstein, pot fi scrise astfel:

7.18

unde S este tensorul Ricci al metricii g, ρ scalarul de curbură,χ constanta lui Einstein, și ʌ constanta cosmologică.

În coordonate locale aceste ecuații sunt scrise:

7.19

Pentru a ajunge la ecuațiile 7.19. Einstein a plecat de la ecuațiile lui Poisson din teoria clasică a gravitației pe care a generalizat-o. ecuația lui Poisson este:

7.20

unde ρ este potențialul gravitațional Newtonian, △ este operatorul lui Laplace, este constanta gravitațională a lui Newton, și densitatea de materie.

În cadrul teoriei lui Einstein, potențialul gravitațional ρ este înlocuit cu componentele gij ale metricii g (numite potențialele câmpului gravitațional), iar densitatea de materie este înlocuită cu tensorul energie impuls Tij. Observând forma ecuației 7.20. și de contextual teoriei sale, Einstein a ajuns la concluzia că ecuațiile gravitaționale trebuie să fie de forma:

7.21

unde Gij este tensorul de ordinal 2 numit tensorul lui Einstein, care depinde numai de metrica g a spațiului-timp M.

Pe de altă parte, prin teorema de conservare a energiei și momentului unui sistem material (câmpul gravitațional), tensorul Tij are divergență nulă, ceea ce se exprimă prin:

7.22.

unde Tik= și derivate covariantă se consider în raport cu conexiunea Levi-Civita a metricii Lorentz.

8.4. Curbe cauzale intr-un spațiu-timp

Să considerăm un spațiu timp (M,g).

Fie 2 puncte p,qϵM. Spunem că p precede causal pe q, dacă există o curbă diferențiabilă pe porțiuni c:[a,b]→M cu proprietatile:

p=c(a) și q=c(b)

este geodezică gen timp sau izotropă, pe porțiuni,

este orientată în viitor.

Mulțimea J+(p)={qϵM/ p precede causal pe q} se numește viitorul causal al punctului p.

Se obține o definiție duală pentru J-(p) dacă înlocuim cuvântul”viitor” prin ”trecut” și + prin -.

De asemenea , din definiție rezultă că relația de cauzalitate este tranzitivă:

7.23.

În spațiul-timp Minkowski R4, notând cu x,y,z coordonatele spațiale și cu t coordonata temporal (viteza luminii c=1) avem:

7.24

Fie U și A 2 submulțimi din M.

Se notează cu J+(A,U) mulțimea punctelor din U care se pot uni cu cel puțin un punct din A printr-o geodezică nonspațială care să fie orientatăm spre viitor și sa fie conținută în U.Rezultă A+(A,U). Dacă U=M, notăm J+(A,U) cu J+(A) și spunem că este regiunea dim M care poate fi afectată de evenimentele din A. Atunci avem:

7.25.

Fie două puncte p,qϵM. se spune că p precede cronologic pe q dacă există o curbă diferențiabilă pe porțiuni c:[a,b]→M cu proprietatile:

p=c(a) și q=c(b)

este geodezică geodezică temporală, pe porțiuni,

este orientată în viitor.

Mulțimea J+(p)={qϵM/ p precede cronologic pe q} se numește viitorul causal al punctului p. Se obține o definiție duală pentru J-(p) dacă înlocuim cuvântul”viitor” prin ”trecut” și + prin -.

Relația de cronologie este tranzitivă. Ca și în cazul noțiunii de cauzalitate putem defini noțiunea de cronologie pentru orice submulțimi A și U din M.

Fie trei puncte p,q,rϵM astfel încât qϵ I+(p) și rϵJ+(p). Atunci rezultă că avem și rϵ I+(p). De asemenea, dacă qϵ I+(p) și rϵ J+(p), avem și qϵ J+(p).

Este suficient să considerăm cazul când curba care unește p și q este o geodezică gen timp și curba care unește q cu r este o geodezică izotropă.

Să presupunem că spațiul-timp este de timp Minkowski. Atunci punctul r se află pe component viitor a conului izotrop cu originea în q, iar punctul p se află în component vectorilor gen timp, orientași în trecut. Rezultă imediat că punctul r se află în interiorul conului cu vârful în p, și anume în component viitor, deci punctele p și r se unesc printr-o geodezică gen timp.

Să arătăm că o curbă temporal c(t) orientată în viitor, care unește p și q, se poate înlocui cu o curbă care să fie geodezică pe porțiuni, temporal și orientată în viitor.

Pentru aceasta să considerăm un punct r=c(t0) de pe această curbă t0ϵ (a,b).

Curba c(t) este diferențiabilă și cum c(t0) este vector temporal, există o vecinătate W(r) a originii în TrM astfel că expr-1(c(t))W(r) să fie în interiorul conului Lr. Evident că W(r) se poate lua în asa fel încât U(r)=expr(r) să fie o vecinătate normal convexă.

Tinând seama de cele arătate mai sus vom numi curbe cauzale curbele temporal și curbele izotrope orientate în viitor.

Cap 9. Aplicații

9.1. Teoria relativității restrânse

Posibilitatea unei calatorii spre o stea apropiata :

            Cea mai apropiata stea, ;- Centauri (Proxima Centauri), este situata la o distanta L = 4,5 ani lumina (L = cTc, unde prin Tc s-a notat timpul necesar unei raze de lumina sa parcurga distanta care ne separa de stea). Având în vedere aceste distante uriase, ne putem întreba daca exista vreo posibilitate ca omul sa viziteze în viitor stele si galaxii apropiate. Teoria relativitatii poate oferi o speranta.

            O racheta lansata în directia Proxima Centauri, cu o viteza v, se va înapoia pe Pamânt dupa un timp T, masurat de un ceasornic terestru.

9.1.

            Daca T0 este durata acestei calatorii, masurata de un ceasornic din racheta, atunci:

9.2.

Din aceasta relatie rezulta ca pentru o calatorie dus-întors de 20 de ani (T0 = 20 ani pentru echipajul rachetei), viteza acesteia ar trebui sa fie v = 0,41 c = 123.106 m/s, iar pentru T0 = 2 ani ar trebui ca v =0, 976 c = 292,08.106m/s.

9.2. Teoria relativității generalizate

In 1916 Albert Einstein a publicat teoria generala a relativitatii, sau relativitatea generala si a schimbat radical modul cum percepem Universul. Relativitatea generala nu este doar o teorie care explica cum obiectele se misca prin spatiu, ci a aratat ca spatiul se dilata, contracta si poate fi curbat de materie. Universul nu era unul static, ci unul dinamic.

Atunci cand Einstein a inceput sa exploreze ce-i dezvaluiau noile sale ecuatii despre Univers, el a facut ceea ce fac de regula savantii: a simplificat problema pentru a o putea rezolva. Universul real, cu toate detaliile sale nesemnificative, era mult prea complicat pentru a putea fi inteles sau abordat, asa incat Einstein l-a simplificat presupunand ca materia e pretutindeni uniform distribuita. El a presupus de asemenea ca Universul arata la fel in toate directiile. Dar, spre marea sa mahnire, a descoperit ca ecuatiile sale cereau ca universurile de acest tip sa se dilate sau sa se contracte odata cu trecerea timpului. Lucru normal, acelasi lucru fiind valabil si in descrierea newtoniana a gravitatiei. Daca am plasa in spatiu un nor de particule de praf, ele vor incepe sa simta o atractie gravitationala reciproca; norul se va contracta treptat. Acest lucru ar putea fi impiedicat doar de o explozie sau o alta forta care sa se opuna gravitatiei.

Einstein a fost tulburat de aceasta predictie a teoriei sale, ca Universul nu este static, asa cum s-a crezut pana atunci, si i-a lipsit curajul pentru a afirma acest lucru. Un Univers in expansiune era o idee foarte ciudata la acea vreme. Stim ca gravitatia face ca stelele si planetele sa se atraga, dar ele totusi nu se ciocnesc. Asta a pus probleme ecuatiei initiale ale lui Einstein si a fost nevoit sa introduca o constanta cosmologica, producand o mica repulsie intre corpuri, suficient de mica cat sa nu afecteze legile lui Newton. Dupa ce a introdus constanta, a observat ca este totusi o problema. Introducerea constantei cosmologice era o cale prin care sa-si modifice in mod justificat noua teorie a gravitatiei, asa incat sa evite posibilitatea dilatarii sau contractiei Universului. Cu ajutorul acesteia a putut contrabalansa atractia gravitationala. Insa un astfel de univers static ce nu se schimba cu timpul nu are nici inceput, nici sfarsit.

Universul descris de aceasta teorie era foarte instabil, iar observatiile facute de Hubble, 10 ani mai tarziu, au confirmat faptul ca Universul nu este static, ci este intr-o continua expansiune. Einstein a spus ca a fost cea mai mare gafa a sa pe care a facut-o, pentru ca datorita introducerii acelei constante, a ratat ocazia de a face senzationala predictie ca Universul nostru se afla in expansiune. Meritul i-a revenit lui Alexander Friedmann. Din pacate, Friedmann nu a trait sa vada confirmarea predictiei sale, sapte ani mai tarziu, prin observatiile efectuate de Edwin Hubble.

Daca Universul este in expansiune, iar gravitatia incetineste expansiunea, intrebarea e daca exista suficienta materie, suficienta gravitatie, pentru a opri expansiunea. Universul va continua sa se dilate sau va sfarsi printr-un Big Crunch? Vom reveni mai tarziu asupra acestei dileme.

Ulterior s-a aratat ca este totusi nevoie de o constanta cosmologia pentru a explica relatia. Problema statea in spatiul gol din Univers, ce nu mai parea ca este chiar asa de gol.

Un lucru foarte interesant este ca un procent mare din masa unui proton nu este dat de cuarcii dintr-un proton, ci din spatiul dintre acestia. Dupa cum se observa si in animatia alaturata, aceste campuri ce apar si dispar alcatuiesc aproximativ 90% din masa protonului.

Daca gravitatia face ca lucrurile sa se atraga, atunci ce cauzeaza procesul invers? Raspunsul este ca expansiunea este datorata densitatii energiei in Univers. Cu alte cuvinte, totalitatea materiei, radiatiei, neutrinilor si a altor forme de energie. Densitatea energiei determina rata expansiunii Universului.

Din punct de vedere al geometriei Universului, acesta poate fi doar un univers inchis (sferic), deschis (in forma de sa) sau plat. Universul deschis implica o densitate a Universului mai mica decat cea critica, avand o forma de sa. In acest Univers liniile paralele devin divergente, iar suma unghiurilor  este mai mica decat 180. Universul inchis presupune ca densitatea Universului este mai mare decat densitatea critica. Acest lucru inseamna ca un corp aflat in miscare prin Univers, precum un foton, pana la urma se va intoarce in punctul sau de plecare. Intr-un univers inchis, liniile paralele converg pana la urma, iar suma unghiurilor este mai mare de 180 grade.

Ultima posibilitate este ca Universul nostru este unul plat. Daca densitatea Universului este egala cu densitatea critica, atunci inseamna ca Universul este plat, ca o foaie de hartie. Pe baza datelor colectate de catre sonda spatiala WMAP s-a stabilit ca, intr-adevar, Universul este plat, cu o eroare de maxim 2%.

Cea mai plauzibila ipoteza este ca Universul nostru este plat, iar energia totala a Universului este egala cu 0. Astfel, suma energiei pozitive si cea a energiei negative, este egala cu 0. Universul plat este infinit si este descris de spatiul euclidian. In acest tip de univers liniile paralele sunt intotdeauna paralele, iar suma unghiurilor unui triunghi este de 180 grade. Evident, Universul este unul tridimentional, insa prin “plat” intelegem ca planele sale sunt plate, in orice directie am privi, adica este euclidian.

Hubble a observat ca Universul este in expansiune. In imagine avem un Univers 2D si cateva galaxii reprezentate la distante uniforme pentru o intelegere mai buna. Daca am privi de sus Universul si daca am alege o galaxie si am suprapune cele doua imagini, am observa ca toate galaxiile s-ar indeparta de noi. Noi am fi centrul Universului… ceea ce e evident, gresit. Asta e ceea ce a observat si Hubble.  Daca am alege o alta galaxie, precum in imaginea de mai jos am observa acelasi lucru. Nu conteaza in ce galaxie am trai, am observa acelasi lucru: totul se indeparteaza de noi si ar parea ca noi am fi in centrul Universului.

Asa cum un tren aflat in apropiere se aude mai tare, iar cu cat se indeparteaza se aude mai incet, acelasi principiu poate fi aplicat si pentru lumina. Este vorba de efectul Doppler. Acesta consta in variatia frecventei unei unde emise de o sursa de oscilatii, daca aceasta se afla in miscare fata de receptor. Efectul Doppler poate fi constatat atat in cazul undelor electromagnetice, inclusiv lumina, cat si in cazul undelor elastice, inclusiv sunetul. Frecventa masurata creste atunci cand sursa se apropie de receptor si scade atunci cand sursa se indeparteaza de receptor.

Efectul Doppler ne da inca o data, certitudinea ca Universul nu este static, deoarece, conform acestui principiu, stelele ce se departeaza de noi vor avea lumina deplasata spre partea rosie a spectrului, in vreme ce acelea care se apropie vor avea lumina deplasata spre partea albastra. Ceea ce ne da certitudinea ca Universul este in expansiune este faptul ca observatiile au aratat ca lumina ce ajunge la noi este deplasata spre rosu.

Lungimea de unda a luminii care vine de la o stea ori o galaxie este de asemenea dependenta de viteza obiectului care o emite. Pe baza unei relatii simple, masurand lungimea de unda a radiatiei emise de obiectul aflat in miscare si cunoscand-o pe cea emisa de obiect in stare de repaus, se poate calcula viteza obiectului.

Daca putem calcula viteza celor mai indepartate surse de lumina, putem determina si varsta Universului. Astfel am aflat ca Universul are 13,75 miliarde de ani.

Daca aruncam o piatra in sus, ea se va intoarce pe Pamant. Cu cat ii vom imprima mai multa energie, cu atat mai sus se va ridica inainte de a se intoarce. Daca am lansa un proiectil cu o viteza mai mare de 11 kilometri pe secunda, el va scapa complet de atractia gravitationala a Pamantului. Aceasta este viteza critica de lansare a rachetelor, pe care savantii o numesc “viteza de evadare” de pe Pamant.

Consideratii asemanatoare se aplica oricarui sistem in explozie sau expansiune care e incetinit de atractia gravitationala. Daca energia miscarii de expansiune o depaseste pe cea generata de atractia spre interior a gravitatiei, atunci materia va depasi viteza de evadare si isi va continua expansiunea la nesfarsit. Daca viteza de lansare este mai mica decat valoarea critica, expansiunea se va opri si procesul va fi inversat, culminand cu o contractie catre starea de la care a pornit. Fizicianul John D. Barrow numeste “univers de compromis” ceea ce se afla intre aceste doua cazuri extreme.

Daca Universul s-ar fi dilatat cu o viteza mult mai mare decat cea critica, atunci gravitatia nu ar fi putut niciodata aduna acele insule locale de materie pentru a forma galaxiile, stelele si planetele. Stim ca stelele au fost cruciale in evolutia Universului. Aici, materia este foarte condensata si creaza in centrul lor reactii nucleare spontane. Stelele parcurg o perioada exploziva de schimbari rapide in care heliul este transformat in carbon, azot, oxigen, siliciu, fosfor si alte elemente care joaca un rol vital in biochimie. Atunci cand stelele explodeaza si devin supernove, aceste elemente se raspandesc in spatiu si in cele din urma intra in alcatuirea vietii. Nucleul fiecarui atom de carbon din corpul nostru isi are originea in stele.

Un Univers care s-ar dilata mult mai repede decat pragul critic nu va da niciodata nastere la stele si deci, nu vor produce niciodata caramizile elementare necesare aparitiei vietii. Pe de alta parte, daca un Univers se dilata cu mult sub viteza critica, expansiunea se transforma in contractie inainte ca stelele sa fi avut timp sa se formeze. Noi traim intr-un Univers care s-a dilatat foarte aproape de acest prag critic si care a putut produce, dupa miliarde de ani, elementele necesare vietii. Faptul ca traim pe o planeta ce poate sustine viata, ca ne aflam la distanta potrivita fata de Soare si ca traim intr-un Univers ce “ne permite” sa existam, nu ne face speciali. Pur si simplu nu am fi putut exista intr-un altfel de univers, iar noi nu am mai fi putut pune astfel de intrebari.

Daca ne-am uita catre cer cu un telescop si am privi o mica portiune din Univers, cat o moneda, am observa sute de mii de galaxii si intr-o singura noapte, am putea observa cel putin 10 stele explodand. Si poate, cine stie, undeva pe o planeta indepartata unde aceste elemente vor ajunge, vor da nastere vietii asa cum s-a intamplat si pe Pamant.

Fiecare atom din corpul nostru provine dintr-o stea ce a explodat si poate cea mai poetica idee din cosmologie este ca noi suntem facuti din praf stelar. Noi n-am mai fi fost aici daca stelele n-ar mai fi murit si n-ar mai fi eliberat carbonul, oxigenul, fierul si alte elemente necesare vietii.

9.3. JUPITER ȘI SATELIȚII SĂI

Obiectul acestui studiu a fost planeta Jupiter. Am ales acest aceasta planeta deoarece este relativ ușor de observat pe cerul (patru dintre sateliții săi putând fi vazuti cu ajutorul unui telescop ) și fiind un centru de mișcare este un perfect model de studiu al miscarii cerești, care poate fi extins la celelalte centre astronomice (sisteme solare, galaxii). Ne propunem să determinăm unele mărimi caracteristice, folosind cunoștințele de baza din fizică și matematică de la nivelul nostru de studiu. Am prelucrat informatii despre planeta Jupiter și sateliții săi, despre ce forțe acționează asupra acestora în mișcarea lor pe orbită, cat si despre legile lui Kepler. Am calculat viteza medie orbitală și perioada de rotație a planetei și a sateliților, am identificat un satelit prin determinarea razei medii pe orbita.

Am verificat a 3-a lege a lui Kepler aplicând-o la sateliții sai și apoi am extins aplicarea ei la ea si la planeta Pamant.

Planeta Jupiter este al patrulea obiect de pe cer ca strălucire (după Soare, Lună și Venus). Jupiter (cunoscut ca si grecescul Zeus) a fost regele zeilor, conducătorul Olimpului și patronul statului roman. Jupiter este o planetă formata din gaze, compoziția sa este asemănătoare Soarelui (hidrogen și heliu) dar nu are masa suficient de mare pentru a creea o presiune și temperatura internă indeajuns pentru a produce reacția de fuziune nucleară. Pentru a deveni o stea Jupiter ar trebui să fie de 80 de ori mai mare decât este în realitate. Jupiter are probabil un miez de material solid în cantitate de 10 pană la 15 mase Pământene. Peste acest miez se găsește partea principală a planetei alcatuita din hidrogen metalic lichid care fiind conducător electric este sursa câmpului magnetic a lui Jupiter.

Atmosfera lui Jupiter este foarte turbulentă. Aceasta pentru că vânturile sunt produse, de căldura internă a sa și nu de cea provenită de la Soare, cum este in cazul planetei Pământ. La suprafață vânturile au viteze mai mari de 400 km/h, în direcții opuse. Colorarea diferită a benzilor, aspect ce domină imaginea planetei, sunt cauzate diferențelor mici de temperatură sau de compozitie chimică. Cele de culoare deschisă sunt denumite zone, iar cele de culoare închisă sunt denumite centuri. Culorile deschise observate în norii planetei sunt rezultatul unei reacții chimice între elementele din atmosfera sa, printre care sulful având în vedere că la acesta compușii prezintă un spectru larg de culori.

Marea Pată Roșie a fost observată prima oară cu mai mult de 3 secole în urmă (Cassini, sau Robert Hooke în secolul al-17-lea). Este un oval de aproximativ 12 000 pe 25 000 km, destul de mare să cuprindă două Pământuri. Alte pete mai mici dar similare sunt cunoscute de decenii. Este o regiune de presiune ridicata ai cărei nori superiori sunt mult mai înalți și mai reci decât zonele limitrofe. Nu se știe modul în care asemenea structuri rezistă așa de mult timp.

Jupiter are inele precum Saturn, dar mult mai palide și mai mici.

Planeta Jupiter are 67 sateliți cunoscuți, din care patru au fost descoperiți încă din 1610 de marele savant Galileo Galilei (sateliți galileeni).

Puternica atracție gravitațională a lui Jupiter actionează ca un scut, pentru Pământ, împotriva bombardamentului cu meteoriți și comete.

9.3.1. Satelitul Io

Este al cincilea satelit al lui Jupiter și cel de-al treilea ca mărime. Este mai mare decât Luna (satelitul natural al Terrei). Numele de “Io” provine de la iubita lui Zeus și mai este numit planeta pizza deoarece este colorant ca atare.

Io este unul din cei 4 sateliți galileeni a lui Jupiter, având un diametru de 3643 km și fiind unul din cei mai mari sateliți din Sistemul Solar. Având peste 400 de vulcani activi, Io este cel mai activ corp ceresc din Sistemul Solar din punct de vedere geologic. Pe o orbită circulară la 421 700 km de planetă, satelitul este supus constant contracției și dilatării în câmpul gravitațional intens al lui Jupiter, fiind de asemenea supus presiunilor și din partea următorului mare satelit, Europa. Din cauza forțelor mareice, Io este deformat periodic, iar frecarea rezultată încălzește și topește rocile din interiorul sau, producând vulcani și revărsări de lavă, ca și gheizere de dioxid de sulf. Vulcani de mărimea Franței pot erupe ani de zile încontinuu. Lava este aruncată în spațiu la câteva sute de kilometri, având inițial o temperatură foarte mare, 1.900 K. Pe suprafața lui Io se găsesc peste 100 de munți rezultați din compresia puternică a scoarței silicate a satelitului. Unele vârfuri sunt mai înalte ca Muntele Everest. Io este format din piatră silicată ce acopera un miez de fier topit sau sulfit.

9.3.2. Satelitul Europa

Satelitul Europa este puțin mai mic decât Luna. Numele său este,preluat din mitologia greacă, după numele reginei Cretei, curtată de Zeus. Se consideră că Europa are o constituție aproximativa Pamântului având un nucleu format din fier, o manta stâncoasă iar suprafața acoperită de un ocean de apă . Spre deosebire de Pamânt apa acoperă întreaga suprafață a satelitului și are un strat de gheață peste tot datorită distanței mari față de Soare. Se consideră că grosimea acestuia este de 10-30 km. Oceanul de dedesubt ar avea minim 100 km adâncime.

Europa efectuează o rotație completă în jurul lui Jupiter în 3,5 zile îndreptând aceiași parte către acesta (asemănător Lunii). Din cauza faptului ca Europa se deplasează pe o orbită eliptică forța de atracție exercitată de Jupiter variază producându-se maree puternice care ridică și coboară apa de sub crusta de gheață. Astfel au apărut crăpăturile care se văd pe suprafața satelitului. Totodată aceste maree produc încălzirea satelitului („încălzire mareică”) astfel încât temperatura apei de sub crusta de gheață ar putea face posibilă existența vieții. Sonda Galileo a descoperit un lac subteran cu un volum similar Marilor Lacuri din America de Nord, iar cercetătorii spun că mai multe lacuri de acest tip ar putea exista în zonele subțiri ale scoarței de gheață de pe Europa. Cantitatea de apă descoperită este acoperită de grupari de gheață care se dezintegrează, iar cercetătorii cred că acest mecanism permite transferul de nutrienți și de energie dinspre suprafață către corpul de apă subteran, astfel că Europa este un habitat mult mai prietenos vieții decât se credea până acum. Europa are o suprafață tânără, de aproximativ 20-189 de milioane de ani. Datorită acestui fapt Europa prezintă puține cratere dintre care doar 3 mai mari de 5 km în diametru.

9.3.3 Satelitul Callisto

Callisto este al treilea satelit ca mărime din Sistemul Solar, după Ganymede și Titan. Numele său derivă din cuvântul “kalliste,” care înseamnă “cel mai frumos”. Datorită distanței mari față de Juplier nu este protejat de câmpul gravitațional al acestuia împotriva impacturilor cu meteoriți și comete, aflându-se în calea lor, dar nu este supus “încălzirilor mareice” neavând activitate internă. Este corpul cu cea mai mare densitate de cratere din Sistemul Solar. Este în întregime acoperit de cratere, sugerând lipsa vreunei activități tectonice de orice fel în istoria sa. Este compus jumătate rocă și jumătate gheață, neavând straturi diferențiate în interior, structura sa internă fiind diferită de a celorlalți sateliți galileeni. Un slab câmp magnetic indus de Jupiter ar putea releva prezența unui ocean sărat cu o adâncime de 50-200 km sub crusta de gheață de la exterior, de 80-150 km grosime, plin cu un antigel natural, cum ar fi amoniacul.
Callisto este posesoarea unor cratere uriașe de impact, cele mai mari fiind Valhalla, cu un diametru de 3.600 km, și Asgard, cu 1.600 km în diametru. Are de asemenea serii de cratere în linie, provenind de la corpuri ce s-au dezintegrat sub presiunea forței gravitaționale și abia apoi au lovit satelitul.

9.3.4.Ipoteze

1. Sateliții lui Jupiter se rotesc în jurul acestuia la diferite distanțe.

Un corp aflat în mișcare de rotație pe o traiectorie circulară este supus forței centrifuge care tinde să îl îndepărteze de centru. Pentru a-și păstra distanța față de centrul de rotație, asupra lui trebuie să acționeze o forță care tinde să-l apropie de centru și a cărei valoare să fie egală cu forța centrifugă. Forța de acest tip care acționează asupra sateliților lui Jupiter este forța de atracție gravitațională.

; unde MJ este masa lui Jupiter, ms masa satelitului iar Ro raza orbitală medie a satelitului;

este forța centrifugă iar v este viteza medie

orbitală a satelitului.

Această formulă a fost folosită într-un tabel de calcul OfficeExcel pentru a afla vitezele celor patru sateliți galelieni și apoi valorile obținute le-am comparat cu cele din literatura de specialitate. Am extins apoi metoda și la două corpuri care se rotesc în jurul Soarelui, respectiv Jupiter și Pământ.

Determinarea vitezelor medii

Valorile razelor orbitale (), constantei atracției universale ( k), a masei lui Jupiter și a masei Soarelui au fost obținute din literatura de specialitate.

Observații:

Diferențele dintre valorile calculate și cele din literatura de specialitate (cunoscute) sunt foarte mici (erori mici).

Formula dedusă pentru mișcarea sateliților lui Jupiter poate fi aplicată și corpurilor ce se rotesc în jurul Soarelui.

2. Cunoscând viteza și raza orbitală medie putem calcula perioada de rotație a sateliților.

– lungimea orbitei satelitului; -viteza orbitală medie

Determinarea perioadelor

Observații:

Diferențele dintre valorile calculate și cele din literatura de specialitate sunt mici, erorile fiind foarte mici.

Formula dedusă pentru mișcarea sateliților lui Jupiter poate fi aplicată și corpurilor ce se rotesc în jurul Soarelui.

3. Am verificat și legea a treia a lui Kepler atât pentru Jupiter ca centru de miscare cât și pentru Soare ca centru de mișcare.

A treia lege a lui Kepler, enunțată în 1619: „Pătratul perioadei de revoluție a planetei este direct proporțional cu cubul semiaxei mari a orbitei.” Această lege este enunțată de următoarea formulă, unde T reprezintă perioada de rotație în jurul Soarelui, iar R reprezintă lungimea semiaxei mari a orbitei, a reprezintă prima planetă și b a doua planetă.

Verificarea legii

Am verificat această lege folosind valorile lui T obținute în etapa anterioară și raza orbitală medie.

Observații:

Raportul dintre pătratul perioadei de rotație și cubul razei medii orbitale este identic pentru sateliții lui Jupiter verificându-se a treia lege a lui Kepler;

A treia lege a lui Kepler se verifică și pentru planetele din Sistemul Solar.

Se constată ca valoarea raporului este diferă în funcție de centru de mișcare (ex: Jupiter sau Soare).

4. Identificarea satelitului prin determinarea razei medii orbitale

Într-o vizită la Observatorul Astronomic Municipal am putut observa sateliții lui Jupiter.

Știind că distanța față de Jupiter la care se vede un satelit este aparentă în funcție de unghiul pe care raza orbitală a satelitului o face cu planul perpendicular dreptei Pământ-Jupiter. Ne-am întrebat cum putem identifica sateliții pe care îi observăm. N-am propus să realizăm un sistem de recunoaștere pe baza razei orbitale medii.

Metoda propusă constă în obținerea a două imagini ale satelitului la momente diferite.

Cu ajutorul programului SalsaJ am determinat distanța dintre cele două poziții A și B, care reprezintă lungimea coardei corespunzătoare porțiunii de orbită parcursă de satelit între cele două momente.

-unghi măsurat în radiani.

Am utilizat, cu permisiunea autorului, două fotografii din Internet. Prima efectuată la momentul 18h 12min 15s iar cea de-a doua la 19h 23min 30s.

Prin programul SalsaJ am suprapus cele două imagini, am etalonat scara de măsură folosind diametrul cunoscut al lui Jupiter și am măsurat distanța dintre cele două poziții.

Fiecare membru al echipei a efectuat o măsurare a distanței iar media lor a fost folosită la calculul razei orbitale.

Se considară că perioada de rotație se determină prin observare directă.

Interpretarea rezultatelor:

După efectuarea calculelor s-a obținut o valoare a razei orbitale foarte apropiată de valoarea razei lui Ganimede. Eroarea se datorează în mare parte determinării distanței dintre cele două poziții.

Această metodă o considerăm complementară metodei de recunoaștere prin determinarea directă a perioadei orbitale.

Prin această lucrare am dorit să studiem fenomenele astronomice aplicând cunoștințele dobândite la orele de clasă dovedindu-se în același timp o activitate plăcută și foarte interesantă, generatoare de cunoștințe și deprinderi noi.