Teoreme de Medie In Calculul Integral

CAPITOLUL II. TEOREME DE MEDIE IN CALCULUL INTEGRAL

II. 1. Inegalitatea mediei

Propoziție Dacă este continuă ,iar atunci

.

Demonstrație.Știm ca dacă este o funcție continua,atunci ea este mărginită(Weierstrass). Deci există numerele m,Mpentru care

.

Integrând in aceste inegalitați intre a și b rezulta inegalitatea dorita

.

Observație. Valoarea medie a funcției continue pe intervalul este un numărul real

Interpretarea geometrica a inegalitații mediilor.().Aria subgraficului lui f este cuprinsa intre ariile și ale dreptunghiurilor superior si inferior (fig.8) și este egală cu aria dreptunghiului (hașurat) ale cărei dimensiuni sunt și .

Figura 8

1.2 . Interpretarea fizica . din punct de vedere fizic ,viteza medie a unui mobil este valoarea medie a vitezei, adica valoarea medie a lui v este egala cu

distanta parcursa /durata de timp.

Din punct de vedere al calculului diferențial , inegalitatea mediei se obține din teorema lui Lagrange aplicată f

uncției pe intervalul .

Avem sau

.

Din

Se deduce .

II.2 Formula de medie

Propozitie. Dacă este continua ,atunci există un punct astfel încât

.

Demonstratie. Ca și in demonstrația propoziției anterioare exista m,M

Astfel încât .

Integrând aceste inegalitați pe avem

sau .

Funcția continuă f are proprietatea lui Darboux pe și deci exista astfel încât

2.1. Interpretarea geometrica a formulei de medie. Dacă f este o funcție continuă si pozitiva pe ,atunci există cel puțin un punct astfel încât subgraficul lui f să aibă aceași arie cu dreptunghiul de bază (b-a) și înălțime f(c).(Figura 9)(zona hașurată).

Figura 9

II.3.Prima teorema de medie (prima formula de medie)

Teorema .3.1.

Dacă sunt integrabile , ,,(sau)

atunci exista astfel încât

.

Demonstrație.Presupunem că .Funcția f este integrabilă pe

rezulta f este mărginită ,deci exista ,

astfel încât

Dar

rezultă

si integrand avem

rezultă

Funcția g este integrabilă ,

rezulta

Se disting doua cazuri:

Cazul I: Pentru =0

Deci c se poate alege orice număr din intervalul

și

Rezulta

.

Cazul II: Pentru

echivalent cu

rezulta ca exista

astfel încât

.

Analog se procedeaza dacă presupunem .

Corolarul 1.

Dacă

f continuă pe ;

g integrabilă pe

(sau )

Atunci exista astfel încât .

Demonstrație. Funcția f continua pe f integrabilă pe f marginită ,cu

.

Avem : integrabile și

astfel încât .

Cum f continuă pe interval compact rezultă ca f iși atinge marginile pe rezultă că există astfel încât .

Dar rezultă .

Deooarece f continuă pe interval rezultă funcția f are proprietateanlui Darboux pe ,rezulta exista un astfel încât .

Deci există astfel încât

.

Corolarul 2.

Dacă , f continuă pe , atunci există un punct astfel încât

Demonstrație.In corolarul 1 particularizăm pe g și considerăm ,.

Funcția f continua pe ,funcția g integrabilă pe ,

astfel încât

Rezultă astfel încât

.

Corolarul 3

Dacă , f integrabilă pe , atunci există un punct

astfel încât

Demonstrație. Particularizăm g și considerăm ,.

Avem funcțiile integrabile,

astfel încât

rezultă ca există că există

astfel încât

.

II.4. A doua teoremă de medie (a doua formulă de medie)

Teorema 4.1. Dacă , integrabile pe ,este monoton crescătoare ,

atunci astfel încât .

In demonstrația teoremei II de medie ,se utilizează următoarea lemă:

Lemă Dacă,integrabile,și

,

, ,

, ,

atunci oricare ar fi și oricare ar fi ,

.

Demonstrație (teoremă)

Fie și fie șirul de diviziuni echidistante :

,

Notăm și ,

, oricare ar fi , .

Funcția f integrabilă pe intervalul rezultă f integrabilă pe ,

adica ,

rezultă ,

, .

Notăm

, și , .

Avem : ,integrabile,și

,

și ,

.

Fie F ,

rezultă

, .

Notăm

=

…

=

…+

Dar

rezultă .

Fie rezultă ,

Funcția g monoton crescătoare , ,

rezultă

Din : , și .

rezultă ,

.

Adunăm în cei trei membri și rezultă

+

Adica +.

Majorăm al treilea membru:

=

=

deci .

Cum și analizăm două situații: .

Cazul I :

.

Funcția F derivabilă pe F continuă pe F își atinge marginile pe rezultă că există astfel încât

rezultă

sau sau

sau .

Dacă ,cum F este continuă și are deci proprietatea lui Darboux, rezultă că există astfel încât .

Dar .

Deci există astfel încât .

Cazul II:

Cum

rezultă .

Dar

Deci relatia se verifică pentru .

II.5.Teorema lui Bonnet -Weierstrass

Dacă ,

continuă pe ;

monotonă;

Atunci există astfel încât

+.

Demonstrație

Cazul I : g crescătoare

Fie ,

.

Fie , rezultă ,.

Cum ,g descrescătoare , constantă descrescătoare.

Funcția f continuă pe integrabilă pe .

Funcția h monotonă pe integrabilă pe .

Deci avem :

;

integrabile pe ;

monoton descrescătoare

astfel încât

Pentru cazul II in care funcția g este crescătoare demonstrația se face analog.