Studiul Efectului Pelicular Slab Intr Un Conductor Cilindric cu Metoda Iteratiei

Dacă un curent variabil i(t) parcurge un conductor cilindric rectiliniu, repartiția curentului nu se mai face uniform pe secțiunea conductorului ca în regim staționar. În regim variabil, densitatea de curent are valori mai mici în axul cilindrului și mai mari la periferia secțiunii acestuia. Acest fenomen se numește efect pelicular (skin) și are drept consecință sporirea pierderilor de putere prin efect Joule; se știe că aceste pierderi sunt proporționale cu patratul densității de curent, fiind minime la o repartiție uniformă a curentului. De asemenea efectul pelicular conduce la creșterea rezistenței echivalente a conductorului și la reducerea inductivității lui. Toate aceste mărimi depind de frecvența de lucru.

Modificarea repartiției curentului alternativ pe secțiunea conductorului odată cu creșterea frecvenței se datorește curenților suplimentari, induși de câmpul magnetic variabil în timp din interiorul conductorului. Efectul pelicular se poate analiza în funcție de raportul dintre raza a a conductorului și adâncimea de pătrundere .

(1)

În curent continuu acest raport este nul (f=0) și curentul se repartizează uniform pe secțiune.

La frecvențe joase, astfel ca și , pătrunderea câmpului EM în conductor începe să fie incompletă și densitatea de curent este mai mică în ax. Acesta este efectul pelicular slab, în care, în prima aproximație, se poate neglija câmpul magnetic suplimentar al curenților induși.

La frecvențe mai înalte, adâncimea de pătrundere scade și ajunge de același ordin de mărime cu raza conductorului, . Acesta este efectul pelicular mediu, în care determinarea repartiției curentului se poate face integrând ecuațiile Maxwell ale câmpului EM, ceea ce conduce la calcule complicate.

La frecvențe foarte înalte, adâncimea de pătrundere este foarte mică față de raza conductorului . În acest caz câmpul EM pătrunde, practic, numai într-un strat superficial, cu o repartiție identică cu aceea studiată în cazul semispațiului conductor infinit.

În cazul efectului pelicular, circuitul nu mai poate fi considerat filiform și legea conducției electrice nu mai poate fi pusă sub forma Uf=Ri pentru o latură pasivă. Într-adevăr, în acest caz, tensiunea de-a lungul firului depinde de linia de contur C, în lungul căreia se calculează, iar rezistența conductorului nu se mai poate defini ca în curent continuu. Cunoscând puterea activă disipată prin efect Joule, rezistența în curent alternativ a conductorului se definește prin relația:

(2)

și este funcție de frecvență.

Raportul dintre această rezistență și rezistența R0 în curent continuu se numește factorul de creștere al rezistenței în curent alternativ

(3)

Acest factor depinde de forma și natura conductorului și de frecvență. Determinarea lui reprezintă un obiectiv principal al cercetărilor în domeniul efectului pelicular.

De cele mai multe ori trebuie să se calculeze puterea activă disipată prin efect Joule în regim periodic. Se consideră un domeniu al unui mediu conductor, mărginit de o suprafață . Conform legii transformării de energie în conductori, valoarea instantanee a acestei puteri este:

(4)

Conform teoremei energiei câmpului EM această putere se mai poate scrie:

(5)

unde primul membru este variația energiei EM instantanee localizate în , iar al doilea membru reprezintă fluxul de energie instantanee din exteriorul spre interiorul suprafeței (se operează cu normala interioară , unde este elementul de arie, orientat spre exterior) adică fluxul vectorului Poynting instantaneu:

(6)

În regim permanent periodic interesează valoarea medie pe o perioadă a acestor expresii, adică puterea activă disipată prin efect Joule în conductor:

(7)

Deoarece în acest regim și energia EM este o funcție periodică W(t)=W(t+T), media derivatei energiei EM ese nulă

(8)

Rezultă că puterea activă disipată prin efect Joule se poate calcula în două moduri:

fie prin integrala de volum a mediei puterii dezvoltate în unitatea de volum:

(9)

fie prin integrla de suprafață a mediei vectorului Poynting (fluxul de energie mediu):

(10)

Se consideră un conductor cilindric circular drept de rază a și de lungime l foarte mare (l>>a), (a se vedea fig.) având conductivitatea și permeabilitatea magnetică străbătut în regim permanent de curentul

(11)

Se alege un sistem de coordonate cilindrice , astfel că din motive de simetrie vectorii și nu au decât componente axiale, iar vectorii și nu au decât componente tangențiale. Toți acești vectori nu depind decât de coordonata spațială r și de timp

(12)

,

Metoda iterației, aplicată unui efect pelicular slab, constă în următoarele:

Se calculează cu legea circuitului magetic câmpul magnetic H0(r,t) pe care l-ar produce curentul total I, dacă ar fi uniform repartizat pe secțiunea conductorului (ca în curent continuu), adică cu densitatea omogenă:

(13)

Se calculează cu legea inducției EM câmpul electric suplimentar E1 (r,t) indus de câmpul magnetic H0 (r,t) și densitatea de curent suplimentară

În acest calcul, deoarece J0 a fost dedus din curentul total I, densitatea de curent J1 reprezintă o corecție care nu modifică valoarea curentului total, adică aduce o contribuție totală nulă pe întreaga suprafață a conductorului,

(14)

c)În primă aproximație se neglijează câmpul magnetic H1(r,t) produs de curenții cu densitate J1 din punctul de vedere al contribuției lui la determinerea câmpului electric indus. În această primă aproximație se consideră că densitatea de curent din conductor este

J(r,t)=J0(t)+J1(r,t) (15)

și se calculează cu această expresie puterea activă de pierderi:

(16)

Unde V este volumul conductorului. Din relația (16) se deduce rezistența în curent alternativ și factorul de creștere al rezistenței în c a.

În principiu acest mod de calcul se poate repeta, trecând succesiv prin etapele (a) și (b). De exemplu, pntru o aproximație mai bună s-ar putea calcula și câmpul H1 produs de curenții cu densitatea J1 și curenții suplimentari induși de acest câmp, cu densitatea

considerându-se că etc.

Determinarea intensității de curent în prima iterație.

Se calculează câmpul H0 aplicând legea circuitului magnetic unei linii de câmp interioare de rază r.

, , (17)

Se calculează câmpul electric indus de aplicând legea inducției EM unui contur cu aria infinitezimală ldr:

(18)

sau

Rezultă ecuația

(19)

Cu relația (17) se poate scrie

(20)

Prin integrarea ecuației (20) se poate obține :

(21)

unde C este o constantă de integrare. Cu legea lui Ohm se obține densitatea J1 a curenților suplimentari induși:

(22)

Constanta C se determină din condiția (14) care, cu

se scrie:

(23)

sau

(24)

În concluzie, cu relațiile (22), (24) și (13) rezultă:

(25)

unde s-a introdus parametrul .

în primă aproximație, densitatea de curent totală devine:

(26)

Deoarece aceste două componente sunt în cuadratură, pătratul valorii efective a rezultantei este egal cu suma pătratelor valorilor efective ale componentelor:

(27)

unde parametrul este legat dea dâncimea de pătrundere prin relația

Determinarea pierderilor și a factorului în alternativ

Cu relațiile (16) și (27) se calculează puterea activă de pierderi pe lungimea l a conductorului cu :

(28) Efectuând integrala se obține:

(29)

Rezistența în alternativ devine:

(30)

și deoarece rezistența în c c este factorul în alternativ este în această aproximație

(31)

La frecvențe joase factorul în c a diferă de unitate cu un termen de corelație Ka -1 care crește cu patratul frecvenței și cu puterea a patra a razei conductorului.

Bibliografie

Gh. Hortopan, Principii și tehnici de compatibilitate electromagnetică, Editura tehnică, București, 2005

E.M. Purcell, Berkeley Physics Course – Electricity and Magnetism, Mc Graw Hill Book Co.,New York, 1965

V.M. Shliadin,Tsifrovîe Izmeritelnîe Ustroistva, Izd. Vîshaia Shkola, Moskva, 1981

A. Timotin, V. Hortopan, A. Ifrim, M. Preda, Lecțiile de bazele electrotehnicii, Edit. didactică și pedagogică, București, 1970

I.M.Popescu, D. Iordache, M.Stan, L. Fara, A. Lupașcu, Probleme de fizică vol I-II, Edit. tehnică, București, 1986