Stabilitatea Sistemelor Liniare

Cuprins

INTRODUCERE

Capitolul I

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE

Analiza stabilității…………………………………………………………………………………………………………….

Criterii de stabilitate………………………………………………………………………………………………………..

1.3. Criteriul Nyquit de stabilitate…………………………………………………………………………………………..

Capitolul II

PROPRIETĂȚILE STABILITĂȚII SISTEMELOR LINIARE

2.1. Proprietatea de stabilitate limită………………………………………………………………………………………..

2.2. Proprietatea de asimptoticitate………………………………………………………………………………………….

Capitolul III

STABILITATE

3.1. Stabilitate asimptoticã……………………………………………………………………………………………………

3.2. Stabilitatea sistemelor discrete………………………………………………………………………………………..

3.3. Stabilitatea sistemelor neliniare……………………………………………………………………………………….

3.4. Aplicații în Matlab…………………………………………………………………………………………………………

Capitolul IV

METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR MATRICEALE LINIARE

4.1. Metode de rezolvare a ecuației matriceale diferențiale liniare………………………………..

4.1.1. Metodã bazatã pe integrarea directã a ecuației matriceale diferențiale liniare……………

4.1.2. Metodã bazatã pe reducerea la o ecuație vectorialã diferențialã liniarã (metoda produsului

matriceal Kronecker)………………………………………………………………………

4.1.3. Exemple de calcul………………………………………………………………………….

Concluzii

Bibliografie

INTRODUCERE

CAPITOLUL I

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE

1.1. Analiza stabilității

Analiza stabilității la sistemele liniare este primul pas în rezolvarea problemei stabilității. Este evident, ca în general, dacă ecuațiile diferențiale ale mișcării perturbate pot fi integrate analitic rezolvarea problemei nu prezintă dificultăți deosebite. Metoda care conduce la simplificări considerabile constă în a liniariza ecuațiile mișcării perturbate și aceasta metoda a fost utilizată în perioada care a premers lucrării fundamentale a lui A.M.Liapunov.

Considerăm sistemul și presupunem căf(x)este de clasa C1 într-o vecinătate a origini lui Rn. Ca urmare există o dezvoltare în serie din care evidențiem termenii de ordinul întâi

x = Ax + X(x) (1.1)

unde A = (∂f/∂x)│x=0 este matricea jacobiană calculată în origine, iar X(x) cuprinde termeni de ordin superior lui 1 în raport cu componentele xk ale vectorului x.

Un raționament euristic, bazat pe faptul ca în problema stabilității se examinează soluții ale lui (1.1) în care componentele condițiilor inițiale sunt mici și ca urmare caracterul soluțiilor este determinat de termenii de ordin minim (liniari), conduce la neglijarea termenilor de ordin superior.

Cu alte cuvinte, se consideră că pentru rezolvarea problemei stabilității este suficient să se examineze sistemul de ecuații liniare

x = Ax, (1.2)

adică așa numitul sistem de primă aproximație.

Un astfel de mod de rezolvare a problemei este, evident, neriguros și, în general, incorect. De fapt, înlocuirea ecuațiilor neliniare (1.1) prin ecuații liniare (1.2) înseamnăînlocuirea unei prableme cu o alta și este posibil ca prima problemă să nu aibă nimic în comun cu cea de-a doua.

După cum se va vedea, exista situații în care rezolvarea problemei liniare este într-adevar suficientă pentru rezolvarea problemei neliniare; în plus și rezolvarea problemei liniare prezintă interes în sine, având numeroase aplicații.

Vom demonstra mai întâi câteva rezultate privind caracterul proprietății de stabilitate la sistemele liniare.

Propoziția 1: Pentru ca orice soluție a sistemului liniar (1.2) să fie stabilă, asimptotic stabilă sau exponențial stabilă este necesar și suficient ca soluția nulă a lui (1.2) să fie respectiv stabilă, asimptotic stabilă sau exponențial stabile.

Demonstația se bazează în mod esențial pe faptul că dacăx(t) și (t) sunt două soluții, atunci αx(t) + β(t), unde α, β aparțin numere reale, este de asemenea o soluție, adică mulțimea soluțiilor formează un spațiu liniar.

Condiție suficientă: dacă soluția nulă este stabilă, atunci, pentru orice soluție, |x0|<δ implică|x(t, x0)| < ε, inclusiv pentru soluția de bază(t). Fie ε > 0; se poate deci găsi δ(ε) astfel încât |x0| < δ/2, |y0| < δ/2 sa implice |x(t, x0)| < ε/2, |(t)| < ε/2. Deci

|x0 – (0)| < δ și |x(t, x0) –(t)| < ε.

Condiție necesară: dacă(t) este o soluție de bază oarecare a sistemului (1.2), atunci se poate trece la ecuațiile mișcării perturbate prin schimbarea

y = x – (t).

Datorită liniarității ecuațiile mișcării perturbate sunt tot (1.2) și rezultă clar din stabilitatea soluției (t) ca soluția nula a lui (1.2) este stabilă.

Demonstrația a fost făcută pentru proprietatea de stabilitate; pentru celelalte proprietăți ea se efectuează la fel. în fapt, se foloseste liniaritatea sistemului combinată cu reducerea studiului stabilității unei soluții de baza la studiul stabilității soluției nule a sistemului mișcării perturbate. Ori, pentru sistemele liniare sistemul mișcării perturbate coincide cu sistemul dat indiferent de soluția de baza de la care se pornește.

Esenta Propoziției 1 este următoarea: la sistemele liniare stabilitatea oricarei soluții este asigurată de stabilitatea soluției nule. La sistemele liniare proprietatea de stabilitate este o proprietate a sistemului, nu doar a unei soluții particulare. De aceea, a vorbi la sistemele liniare despre stabilitatea sistemului este o afirmație corectă, nu un simplu abuz de limbaj cum se întâmplă în cazul general.

Propoziția 2. Stabilitatea asimptotică a unui sistem liniar este întotdeauna exponențială.

Rezultatul îi apartine lui K.P.Persidski și a fost demonstrat pentru cazul coeficienților variabili. Aici ne vom margini la a-l demonstra pentru cazul sistemului (1.2).

Demonstrație: Se știe ca orice soluție x(t, x0) a sistemului liniar (1.2) definește, pentru t fixat, o transformare a spațiului Rn în el însuși și această transformare este liniară. Matricea transformării liniare Φ(t) are coloanele formate din soluții ale caror condiții inițiale sunt coloanele matricii unitate și orice soluție a lui (1.2) se scrie sub forma

x(t) = Φ(t)x0 (1.3)

Fie ε > 0 arbitrar: deoarece sistemul este asimptotic stabil există δ > 0 și T(ε) cu proprietatea că dacă |x| ≤ δ0 și t ≥ T(ε), atunci |x(t, x0)| < ε sau |Φ(t)x0| < ε. Fie u0 un vector arbitrar cu |u0| ≤ 1. Deoarece |u0δ0| ≤ 1, |Φ(t)u0δ0| = δ0|Φ(t)x0| < ε pentru t >T(ε). Din definiția normei matricii va rezulta ca |Φ(t)| < ε/δ0 pentru t > T(ε) sau |Φ(t)| < ε pentru t > T̃(ε), unde T̃(ε) = T(δ0ε). Deoarece pentru t ≥ T̃ se pote scrie

Φ(t) = Φ(t – T̃)Φ(T̃)

(consecința a unicității soluțiilor ecuațiilor diferețiale liniare), rezultă majorarea

|Φ(t)| ≤ |Φ(t – T̃)| |Φ(T̃)| < ε2, t ≥ 2T̃.

Prin inducție, se verifică imediat ca |Φ(t)| ≤ εm pentru t ≥ mT̃.

Presupunem acum ε < 1 și fie t 0 arbitrar. Va exsista m ≥ 1 astfel încât (m – 1)T̃ ≤ mT̃. Ca urmare εm < εt/T̃.

Pe de altă parte, deoarece sistemul este stabil existăδ(ε) astfel ca |x(t, x0)| < ε dacă |x0| ≤ δ(ε) și t ≥ 0. Procedând ca mai sus găsim

|Φ(t)| < ε/δ(ε) pentru t ≥ 0.

Din t ≥ (m – 1)T̃ deducem

|Φ(t)| < ε/δ(ε) εm – 1.

(Pt m ≥ 2 inegalitatea rezultă din faptul căδ(ε) ≤ ε: dacă δ(ε) nu este astfel el poate fi micșorat; pt m = 1 se regăsește inegalitatea scrisă anterior). De fapt s-a obținut:

|Φ(t)| ≤ 1/δ(ε) εm pentru t ≥ 0.

Notand β = 1/δ(ε), α = – (1/T̃) ln ε, gasim

|Φ(t)| < βe – αt,

relație ce exprimă stabilitatea exponențială.

După trecerea în revistă a aspectelor generale de mai sus, ne propunem să obținem condiții necesare și suficiente de stabilitate pentru sistemul liniar (1.2). în acest scop vom reaminti unele rezultate cunoscute din algebra liniară și din teoria ecuațiilor diferențiale liniare.

Considerăm matricea A a sistemului (1.2). Următoarele rezultate au caracter pur algebric și nu au legatura cu sistemul (1.2). Fie

p(λ) = det(λI – A) = 0

ecuația caracteristică a matricii A, unde p(λ) este polinomul sau caracteristic. Fie λ1,λ2,…,λs valorile proprii distincte ale matricii A, avand respectiv ordinele de multiplicitate m1,m2,…,ms. Ca urmare polinomul caracteristic are forma

p(λ) = .

Factorii λ – λk se numesc divizori elementari ai polinomului caracteristic.

Se numeste forma canonica Jordan a matricii A structura

J = diag(K1,…,Kr),

unde s ≤ r ≤ n, s fiind numărul valorilor proprii distincte, iar n dimensiunea (ordinul) matricii patratice A (gradul polinomului caracteristic). Matricile Kj numite celule Jordan au următoarea structură:

unde λ este valoarea proprie asociată celulei Jordan respective. Numărul celulelor fiind cuprins între r și n, este evident că în forma Jordan nu este obligatoriu ca valorile proprii asociate celulelor sa fie distincte. Dimensiunea unei celule Jordan nu poate depăși ordinul de multiplicitate al valorii proprii asociate.

În legătură cu forma Jordan se poate enunța următorul rezultat fundamental din algebră liniară:

Pentru orice matrice A există o matrice nesingulară T astfel încât T-1AT să aibă forma canonică Jordan.

Să considerăm acum sistemul de ecuații diferențiale (1.2) și să efectuăm următoarea transformare de variabile: x = Ty, unde T este exact matricea nesingulară care aduce pe A la forma Jordan. Se obține sistemul

y = Jy (1.4)

unde J are forma canonică Jordan.

Este evident ca o transformare de tipul celei de mai sus nu afectează proprietățile de stabilitate. Pe baza definiției normei unei matrici se obține inegalitatea |x| ≤ |T||y| și se vede imediat că dacă y verifică inegalitățile din definițiile conceptelor de stabilitate, atunci și x le verifică. Rezultă că putem reduce problema stabilității sistemului (1.2) la problema stabilității sistemului (1.4) în care matricea are forma canonica Jordan.

Structura soluțiilor sistemului (1.2) rezultă imediat pe baza faptului căx(t, x0) este analitică (consecință a teoremei de existență a lui Cauchy). Calculând termenii seriei găsim

x(t, x0) = x0,

unde convergența seriei trebuie înțeleasă că fiind convergența celor n2 serii formate cu elementele matricilor.

Notand, prin analogie cu cazul scalar,

eAt=Ak,

soluția sistemului se scrie

x(t, x0) = eAtx0.

Pe baza teoremei de unicitate, matricea Φ(t) din (1.3) este în acest fel determinată:

Φ(t) = eAt,

și deci eAt are drept coloane soluții ale lui (1.2) ale caror condiții initiale sunt coloanele matricii unitate.

Să remarcăm că dacă A este matrice bloc-diagonala, A = diag(A1,…,Ap), atunci și Aneste de același tip: An = diag(A,…,A). Ca urmare

eAt = diag(eAt,…eAt)

și matricea Φ(t) se scrie pentru (1.3) astfel:

eJt = diag,

unde J1,…,Jp sunt celule Jordan corespunzând valorilor proprii λ1,…,λp, nu neapărat distincte.

A mai rămas de determinat structura exponențialei unei celule Jordan. Fie o celula Jordan de ordin m corespunzând valorii proprii λk. Este valabilă relația

Jk = λkI + F,

unde F are proprietatea ca Fj = 0 pentru j ≥ m.

Folosind această relație și seria de puteri care defineste exponențială găsim

În felul acesta structura soluției sistemului (1.4) este complet determinată având forma

y(t, y0) = eJty0,

de unde rezultă structura soluției lui (1.2):

x(t, x0) = TeJtT – 1×0.

Este evident că în componența soluției lui (1.2) intră termeni de formă, unde pi(t) sunt polinoame în rapor cu variabila t. Deoarece comportarea acestor termeni este dictată de comportarea exponențialei se poate formula

Teorema 1: Sistemul liniar (1.2) este exponențial stabil dacă toate valorile proprii ale matricii A au parte reală negativă. Dacă măcar o valoare proprie are partea reală pozitivă, atunci sistemul este instabil. Dacă toate valorile proprii au partea reală negativă sau nulă, iar valorilor proprii cu parte reală nulă le corespund divizori elementari simpli, atunci sistemul (1.2) este stabil dar nu asimptotic stabil. Dacă însă există cel puțin o valoare proprie cu partea reală nulă dar căreia îi corespunde un divizor elementar nesimplu, sistemul este instabil.

Demonstrația este imediată, fiind bazată pe structura soluțiilor. dacă Re λk < 0 pentru toate valorile proprii, deoarece orice soluție este o combinație liniară de termeni de formă, acești termeni tind exponențial spre 0, rezultând stabilitatea exponențială. Dacă existăλr cu Re λr > 0, termenii cresc exponențial, rezultând instabilitatea sistemului (chiar o instabilitate exponențială, foarte puternică). dacă λk este o valoare proprie cu Re λk = 0, căreia îi corespunde un divizor elementar simplu, ea introduce termeni de formăpkeiωkt, care sunt mărginiți și corespund unor oscilații stabile. dacă însă divizorul elementar nu este simplu, termenii pk(t)eiωkt, numiți uneori termeni seculari, au o creștere nemărginită și sistemul este instabil.

În baza Teoremei 1 toate proprietățile de stabilitate ale sistemului liniar (1.2) se obțin pe baza localizării valorilor proprii ale matricii A. De aceea, atunci când sistemul este stabil se spune uneori că matricea A este stabilă, iar când sistemul este instabil se spune că matricea este instabilă.

Teorema 1 permite deci reducerea problemei stabilității și instabilității sistemelor liniare de ecuații diferențiale la o problemă de algebră: localizarea în planul complex a rădăcinilor polinoamelor algebrice.

1.2. Criterii de stabilitate

Criteriile de stabilitate sunt criterii de localizare a rădăcinilor unui polinom în semiplanul complex stâng. Această problemă poate fi rezolvată cu metode exclusiv algebrice sau cu utilizarea aparatului teoriei funcțiilor de variabilă complexă. Exprimarea criteriilor poate fi și pur algebrică – relații între coeficienții polinomului ce definește ecuația caracteristică – sau în limbajul funcțiilor de variabilă complexă.

Cele două tipuri de exprimare a criteriilor au condus la clasificarea acestora în criterii algebrice și criterii frecvenționale. Această clasificare se întâlnește în special în electrotehnică, electronică și automatică.

Pe baza clasificării exprimării criteriilor se poate încerca o separare și sub raportul deducerii criteriilor: aceasta revine la a obtine criterii algebrice – exprimate în funcție de coeficienți – cu mijloace pur algebrice, fără utilizarea aparatului analitic al teoriei funcțiilor de variabilă complexă.

În acest sens este cunoscută demonstrația lui Schur pentru criteriul Routh-Hurwitz. Demonstrațiile care implică și analiza complexă sunt mult mai simple și au avantajul de a permite deducerea tuturor criteriilor de stabilitate folosind un același grup de rezultate fundamentale. De aceea în expunerea de față vom urma ultima cale – aceea a folosirii analizei complexe.

Vom începe prin a da, fără demonstrații, câteva rezultate fundamentale din teoria funcțiilor de variabilă complexă.

Teorema dependenței continue de parametri. Rădăcinile unui polinom ai cărui coeficienți sunt funcții continue de un număr finit de parametrii sunt și ele funcții continue de acei parametri.

Principiul argumentului. Fie f(z) o funcție definită în domeniul D din planul complex, cu următoarele proprietăți:

i) este analitică peste tot, cu excepția unui număr finit de poli;

ii) este continuă și nemulă pe frontieră domeniului D;

iii) f’(z) este continuă pe frontiera C a lui D.

Atunci diferența dintre numărul de zerouri și numărul de poli ai funcției f(z) în D este egală cu numărul de rotații ale vectorului w = f(z) la parcurgerea curbei Г – transformața lui C prin w = f(z), respectiv cu suma reziduurilor logaritmice ale funcției f(z):

argf(z) = N – P.

Pentru demonstrațiile acestor rezultate se pot consulta manuale clasice de teoria funcțiilor de variabilă complexă.

Se poate acum trece la formularea și demonstrarea criteriilor de stabilitate.

Teorema 2.(Criteriul Hurwitz). Fie polinomul

f(z) = a0zn+a1zn-1+………….+an (1.5)

cu coeficienții reali și cu a0 > 0. Pt ca toate rădăcinile polinomului să aibă partea reală negativă (să fie situate în semiplanul complex stâng) este necesar și suficient să fie îndeplinite următoarele inegalități:

D1 = a1 > 0; D2 = > 0; D3 = > 0;

Dn => 0; (ak = 0, k > n) (1.6)

Pentru demonstrație, vom aplica metoda inducției complete, în care scop vom stabili un rezultat preliminar. Se scrie f(z) sub forma f = p + q, unde

p(z) = a0zn + a2zn-2 + …., q(z) = a1zn-1 + a3zn-3 + ….

Definim polinomul de grad cel mai mult egal cu n – 1:

φ(z) = a1p(z) + (a1 – a0z)q(z) = azn-1 + (a1a2 – a0a3)zn-2 +…

Este adevarată

Lema 1: Rădăcinile polinomului f(z) se află în semiplanul stâng dacă și numai dacă a1 > 0 și rădăcinile polinomului φ(z) se afla în semiplanul stâng.

Demonstrație:

1˚ Presupunem ca f(z) are rădăcinile în semiplanul stâng. Definim polinomul

f*(z) = a0zn – a1zn-1 + …+(-1)nan.

Așa cum se poate vedea utilizând relațiile dintre coeficienți și rădăcini, f*(z) admite rădăcinile –k, unde zk sunt rădăcinile lui f(z). Ca urmare f*(z) are toate rădăcinile în semiplanul drept. Se vede imediat că au loc relațiile

f + f* = 2p, f – f* = 2q.

Deoarece

f(z) = a0, f*(z) = a0, (1.7)

obținem ca |f(z)| > |f*(z)| în semiplanul drept, |f(z)| < |f*(z)| în semiplanul stâng și |f(z)| = |f*(z)| pe axa imaginară. De aici rezultă că polinomul q(z) poate avea doar rădăcini pur imaginare. Aceste rădăcini sunt simple. dacă n-ar fi așa, și iω ar fi o rădăcină cel puțin dublă, atunci am avea simultan

f(iω) = f*(iω), f’(iω) =(iω),

de unde

sau [ln f(iω)]’ = [ln f*(iω)]’.

(împărțirea cu f(iω) și f*(iω) este posibilă deoarecef și f* nu au rădăcini pe axa imaginară)

În virtutea relațiilor (1.7) găsim

,

relație imposibilă deoarece Re> 0 și Re< 0 pentru orice k. Deci iω nu poate fi rădăcină dublă a lui q(z). Deoarece > 0 rezultăa1 > 0; ca urmare p(z) are gradul n iar q(z) are gradul n – 1. Fie iωk, k = 1,…,n, rădăcinile imaginare simple ale lui q(z). Vom avea

. (1.8)

însă, deoarece

și funcția w = realizează reprezentarea conformă a interiorului cercului unitate pe semiplanul drept, găsim că

Re> 0, Re z > 0; Re< 0, Re z < 0; Re = 0, Re z = 0.

Ca urmare, rezultă imediat ca λk sunt reali și c este pur imaginară. Deoarece în vecinătatea lui z = iωk semnul lui Re(p/q) este determinat de semnul lui Re(λk/(z-iωk)) rezultă căλk > 0.

Din (1.8) și din definiția lui φ(z) deducem

φ(z) = a1q(z)(1 + + c).

Rădăcinile lui q(z) nu sunt rădăcini și pentru φ(z) deoarece din definiția lui φ(z) rezultă că în acest caz se anulează și p(z), deci f(z) = 0; cum q(z) are doar rădăcini pur imaginare iar f(z) nu are decât rădăcini în semiplanul stâng, se ajunge la o contradicție. Deci rădăcinile lui φ(z) sunt rădăcinile expresiei din paranteza. Însă

Re(1 + + c) = 1 +

și se vede ca pentru Re z ≥ 0 expresia nu poate fi nulă. Deci φ(z) are rădăcini doar în semiplanul stâng; deoarece s-a obținut mai sus căa1 > 0, primă parte a lemei e demonstrată.

2˚ Presupunem ca φ(z) are rădăcinile în semiplanul stâng și a1 > 0. Atașăm polinomului φ(z) polinoamele p1(z) și q1(z) în același mod în care p(z) și q(z) au fost atașate lui f(z); din formulele de definiție găsim

p1(z) = a1q(z), q1(z) = a1p(z) – a0zq(z).

De aici rezultă

Pentru polinomul φ(z) cu rădăcini în semiplanul stâng, putem defini peφ*(z)că mai sus și repetând aceleași raționamente vom găsi ca Re(p1/q1) > 0 pentru Re z > 0, Re(p1/q1) < 0 pentru Re z < 0, Re(p1/q1) = 0 pentru Re z = 0. Însă semnul lui Re(p1/q1) este identic cu semnul lui Re(q1/p1) si, deoarece a1 > 0, a0/a1 > 0; ca urmare regăsim căRe(p/q) < 0 pentru Re z < 0, Re(p/q) > 0 pentru Re z > 0 și Re(p/q) = 0 pentru Re z = 0. Dar în acest caz proprietățile transformării w = conduc la |f(z)| > |f*(z)| pentru Re z > 0 etc. Dar |f(z)| > | f*(z)| pentru Re z > 0înseamnă căf(z) nu poate avea rădăcini în semiplanul drept. Pe axa imaginară avem |f(z)| = |f*(z)|; ca urmare orice rădăcină a lui f(z) pe axa imaginară anulează simultan pe p(z) și q(z), deci e rădăcina a lui φ(z); cum φ(z) nu se anulează pe axa imaginară, f(z) nu are rădăcini nici pe axa imaginară. Rezultă căf(z) are rădăcini exclusiv în semiplanul stâng și lema este complet demonstrată.

În continuare calculam determinanții (1.6) pentru polinomul φ(z). Fie Δk acești determinanți. Avem, pe baza expresiilor coeficienților lui φ(z):

a0a1Δk = a0a1=

==

= = Dk+1.

(Se “bordează” determinantul, apoi la coloana a2-a se adună coloana a1-a, la coloana a4-a se adună coloana a3-a înmulțită cu a0/a1 etc; în final se dă factor comun din prima coloană a0 și din celelalte a1).

Demonstrația Teoremei 2: Pentru n = 1 teorema este adevarată deoarece condițiile se reduc la a1 > 0; împreună cu a0 > 0 ele sunt necesare și suficiente pentru caa0z + a1 să aibă rădăcină negativă. Presupunem că teorema este adevarată pentru polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu n-1. Fie f(z) un polinom de grad n pe care îl presupunem că are rădăcinile în semiplanul stâng. Atunci, în baza Lemei 1 polinomul φ(z) asociat are rădăcinile în semiplanul stâng. Gradul acestui polinom fiind n-1 pentru el teorema este adevarată și sunt îndeplinite condițiile Δ1 > 0, Δ2 > 0… Δn-1 > 0. Insa Δk=a0Dk+1 și deoarece în baza lemei rezultăa1 > 0, obținem în mod necesar Dk+1 > 0 (k=1,…,n-1). Rezultă ca dacă f(z) are rădăcinile în semiplanul stâng, în mod necesar sunt îndeplinite condițiile (1.6).

Reciproc, presupunem că pentru un polinom de grad n, f(z), sunt îndeplinite condițiile (1.6). Rezultă de aici căa1 > 0 și Δk = a0Dk+1 > 0 (k=1,…,n-1). Insa Δk astfel construiți sunt determinanții din condițiile teoremei corespunzători polinomului φ(z) asociat lui f(z). Cum φ(z) este de grad n-1 teorema este adevărata pentru astfel de polinoame și deci φ(z) are rădăcinile în semiplanul stâng. Aplicând lema 1 rezultă că și f(z)are rădăcinile în semiplanul stâng. Teorema este complet demonstrată.

Demonstrația bazată esențial pe Lema de mai sus, nu utilizează decât rezultate elementare din teoria funcțiilor de variabilă complexă. Varianta mai cunoscută a demonstrației prin inducție aparține lui N.G.Cetaev dar, deși mai scurtă, se bazează esențial pe dependența continuă de coeficienți ai rădăcinilor polinoamelor.

Teoerma 3 (Criteriul Routh). Polinomul (1.5) cu a0 > 0 are toate rădăcinile în semiplanul stâng dacă și numai dacă prin formarea următorului tabel (tabelul Routh):

a0 a2 a4 …

a1 a3 a5 …

ρ1 = a0/a1 c13 = a2 – ρ1a3 c23 = a4 – ρ1a5 c33 = a6 – ρ1a7 …

ρ2 = a1/c13 c14 = a3 – ρ2c23 c24 = a5 – ρ2c33 c34 = a7 – ρ2c43 …

ρ3 = c13/c14 c15 = c23 – ρ3c24 c25 = c33 – ρ3c34 c35 = c43 – ρ3c44 …

se obțin condițiile a1 > 0, c13 > 0,…,c1,n+1 > 0.

Demonstrație. Presupunem că sunt îndeplinite condițiile din teorema. Un calcul simplu arată că sunt valabile relațiile

c1k = Dk-1/Dk-2 (k = 3,…,n+1) (1.9)

unde Dj(j=1,…,n) sunt determinanții (1.6). Prin urmare Dj > 0 și aplicând criteriul Hurwitz obținem ca polinomul (1.5) are rădăcinile în semiplanul stâng. Reciproc, dacă polinomul are rădăcinile în semiplanul stâng, Dj > 0 și deci c1k > 0. Demonstrația se încheie.

În continuare vom face o serie de observații pe marginea celor două criterii. Ele au fost obținute independent de catre Routh și Hurwitz. Echivalența celor două criterii este exprimată de relațiile (1.9) și prin urmare este suficient să fie demonstrat doar unul din cele două criterii. De altfel, ele sunt considerate unul și același criteriu numit criteriul Routh-Hurwitz. Forma Routh, alogoritmică, este mai potrivită pentru verificarea stabilității atunci când coeficienții sunt dați numeric. Forma Hurwitz este cea care permite scrierea condițiilor de stabilitate sub formă literală, atunci când se dorește exprimarea acestor condiții în funcție de coeficienți.

Definiție. Se numește funcție de faza funcția φ(ω) cu următoarele proprietăți:

φ este continuă pe (-∞, ∞);

pentru ω = 0 numărul φ(0) este caracterizat de condițiile

-π < φ(0) < π,

cosφ(0) = Re f(0)/|f(0)|, sinφ(0) = Im f(0)/|f(0)|;

pentru orice ω (-∞, ∞) are loc egalitatea

tgφ(ω) = Im f(iω)/Re f(iω).

Dacăφ(ω) , atunci se definește variația completă a argumentului funcției f(iω) ca fiind

Δf=1/π[φ(+∞) – φ(- ∞)].

Pentru polinoame cele două limite există și Δf are sens. Se poate formula acum

Teorema 4 (Criteriul variației complete a argumentului). Un polinom cu coeficienți reali fărărădăcini pe axa imaginară este polinom Hurwitz dacă și numai dacă Δf = n, unde n este gradul polinomului.

Demonstrație: Alegem un contur de integrare ca la figura 1 și aplicăm principiul argumentului

argf(z) = N

(f(z) fiind un polinom, nu are poli și deci P = 0)

Să examinăm variația argumentului pe conturul C. Pe semicercul de rază foarte mare ρ polinomul f(z) se scrie sub forma

f(z) = a0 ρneinψ(1+O(ρ-1)).

Ca urmare, pentru ρ suficient de mare variația argumentului lui f(z) pe semicerc este nπ. dacă f(z) e polinom Hurwitz, atunci N = 0 și Δcarg f(z) = 0. De aici rezultă că variația argumentului în lungul axei imaginare, în sensul din fig.1, când ω variază de la +∞ la -∞, este –nπ. Cu alte cuvinte, φ(-∞) – φ(+∞) = -nπ,

Fig 1

de unde Δf = n. Condiția este necesară. Reciproc, dacă Δf = n, atunci, efectuând raționamentul în ordine inversă, găsim ca f(z) este polinom Hurwitz. Teorema este demonstrată.

1.3. Criteriul Nyquit de stabilitate

O răspândire mult mai mare a căpătat-o criteriul frecvențial a lui Nyquist. Acest criteriu pornește de la o problemă de bază din automatică: urmărirea și reproducerea unui anumit semnal la ieșirea unui sistem liniar.

Fie un obiect comandat liniar, cu o intrare și o ieșire

x = Ax+ bμ(t),

ν=c*x

și ne propunem ca ieșirea acestui obiect să reproducă un semnal de intrare γ(t). Acest lucru se realizează în practică prin compararea semnalului γ(t) cu ieșirea măsuratăν(t) și acționând în funcție de acest dezacord:

y = Gy + d(γ(t) – ν);

μ = p*y + ρ(γ(t) – ν).

Se definește astfel sistemul de ecuații diferențiale liniare

x = (A – ρbc*)x + bp*y + bργ(t),

y = – dc*x + Gy +dγ(t).

Se introduc funcțiile de transfer

γ(σ) = c*(σI – A)-1b, γR(σ) = ρ + p*(σI – G)-1d.

Ecuația caracteristică a sistemului omogen, cu γ(t)≡0, este

det= 0.

Pe baza lemei lui Schur și a binecunoscutei identități

1 – q*(σI – A)-1b = det(σI – A – bq*)/det(σI – A)

(care rezultă tot din leme lui Schur), găsim

det = det(σI – A)det(σI – G)(1 + γR(σ)γ(σ)).

Dacă(A,b) și (G,d) sunt cupluri stabilizate, atunci rădăcinile ecuației caracteristice se compun din zerourile funcției 1 + γR(σ)γ(σ) la care se adaugă, eventual, unele rădăcini situate în semiplanul stâng, care nu influențează stabilitatea.

Fieχ(σ) = γR(σ)γ(σ).Aceastăfuncție de transfer este un raport de polinoame: χ(σ) = φ(σ)/ψ(σ) și ecuația caracteristică se reduce la

φ(σ) + ψ(σ)=0.

Acestei ecuații i se poate aplica unul din criteriile expuse mai sus însă inginerii automatiști preferăχ(σ) – așa-numita funcție de transfer în circuit deschis – care se determină relativ ușor atât analitic cât și experimental.

Teorema 5. Pentru ca ecuația

1 + χ(σ) = 0

unde χ(σ) este o funcție rațională cu gradul numărătorului mai mic sau cel mult egal cu gradul numitorului, să aibă toate rădăcinile în semiplanul stâng, este necesar și seficient ca hodograful funcției de transfer χ(σ), definit de ecuațiile parametrice

x = Re χ(iω), y = Im χ(iω),

să ocolească de P ori în sens antiorar punctul critic (-1,0), unde P este numărul de poli ai lui χ(σ) situați în semiplanul drept. (parametrul ω variază de la +∞ la -∞).

Demonstrație. Considerăm conturul de integrare și aplicăm principiul argumentului pentru funcția f(σ) = 1 + χ(σ); vom avea

unde P este numărul de poli, iar N numărul de zerouri pe care le are în semiplanul drept. (Este evident că polii lui f(σ) coincid cu polii lui χ(σ)). Deoarece stabilitatea corespunde cazului N = 0condiția necesară și suficientă de stabilitate care rezultă direct din principiul argumentului este

,

adică vectorul f(σ) se rotește de P ori în sens trigonometric în jurul originii sau, ceea ce este același lucru, vectorul χ(σ) se rotește de P ori în jurul punctului (-1,0).

Sa examinăm comportarea funcției 1 + χ(σ) pe conturul din fig 1:

1 + χ(σ) = .

Pe semicercul de raza ρ > 0 vom avea σ = ρeiφși

1 + χ(σ)= + O(ρ-1).

Rezultă că pentru ρ suficient de mare vectorul 1 + χ(σ) poate fi oricât de apropiat de canstanta a0/c0 și variația argumentului sau este oricât de apropiată de 0. Din principiul argumentului rezultă atunci că variația argumentului când σ parcurge conturul din fig 1 coincide cu variația argumentului când σ parcurge axa imaginară de la +∞ la -∞. Teorema este complet demonstrată.

Să observăm că se poate face o normare a funcției de transfer χ(σ):χ(σ) = χ(0)w(σ), unde w(0) = 1. Numărul k = χ(0) se numește factor de amplificare și criteriul Nyquist se poate formula ca o condiție asupra hodografului normat w(iω) și punctului critic (-1/k,0). Pentru w(σ) având toți polii în semiplanul stâng criteriul Nyquist capată forma sa originală: hodograful trebuie să nu încercuiască punctul critic (-1/k, 0). Pe baza acestei condiții, dacă w(σ) este cunoscută se poate determina factorul de amplificare k.

CAPITOLUL II

PROPRIETĂȚILE STABILITĂȚII SISTEMELOR LINIARE

2.1. Proprietatea de stabilitate limită

În studiul stabilității sistemelor automate apare următoarea problemă: dat fiind ca stabilitatea sistemului liniar

x=(A – kbc*)x,

unde k > 0 este un parametru scalar revine la localizarea în plan stâng a rădăcinilor ecuațiilor

1 + kγ(σ) = 0,

unde γ(σ)=c*(σI – A)-1 b este funcția de transfer a blocului liniar

x=Ax + b μ,

ν = c*x,

se poate considera că sistemul liniar provine dintr-o structură cu reacție inversă (feedback).

Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că se alege μ de forma μ = -kν. Criteriul Nyquist furnizează în fapt informații despre multimea valorilor lui k > 0 pentru care se obține un sistem stabil. În cazul în care A este o matrice hurwitziană este evident că, din motive de continuitate, sistemul este stabil pentru 0 ≤ k < ε, unde ε este suficient de mic.

Problema care se pune este dacă această proprietate își menține valabilitatea și pentru alte matrici decât cele hurwitziene. Vom denumi proprietatea – stabilitate limită.

Fie k = ε; ecuația caracteristica devine

det(σI – A + εbc*) = 0

și se vede că proprietatea de stabilitate limită este în fapt o proprietate a tripletului (A,b,c), adică ablocului liniar pe care acest triplet îl definește.

Definiție: Un triplet (A,b,c) are proprietatea de stabilitate limită dacă și numai dacă pentru 0 < ε ≤ Δ, unde Δ > 0 este arbitrar de mic, polinomul πε(σ)=det(σI – A + εbc*) este un polinom Hurwitz.

Înainte de a formula condiții necesare și suficiente de stabilitate facem câteva observații bazate pe dependența continuă de parametrii a rădăcinilor polinoamelor. În baza acestei dependente, dacă ε este arbitrar de mic rădăcinile polinomului π0(σ) = det(σI – A) situate intr-un semiplan sau altul raman în acel semiplan, în timp ce rădăcinile situate pe axa imaginară trec într-un semiplan sau altul. Așadar:

tripletele cu A hurwitziană au proprietatea de stabilitate limită deoarece toate rădăcinile polinomului π0(σ) se află în semiplanul stâng;

tripletele cu A “propriu-zis instabilă”, adică având valori proprii în semiplanul drept, nu au proprietatea de stabilitate limită deoarece rădăcinile lui π0(σ) din semiplanul drept raman în acest semiplan la trecerea de la π0(σ) la πε(σ).

Rezultă că în afara de tripletele (A,b,c) cu matricea A hurwitziană proprietatea de stabilitate limită o mai pot avea tripletele “critice” – pentru care A are valori proprii în semiplanul stâng și pe axa imaginară. Sunt adevărate următoarele rezultate.

Propozitie. Fie 0 ordinul de multiplicitate al rădăcinii iω0 a polinomului π0(σ). dacă tripletul (A,b,c) are proprietatea de stabilitate limită, atunci ordinul de multiplicitate al lui iω0 ca pol al funcției de transfer γ(σ) = c*(σI – A)-1b este egal cu 0.

Teorema 6. Pentru ca tripletul (A,b,c) să aibă proprietatea de stabilitate limită, este necesar și suficient ca fiecare rădăcina iω0 a polinomului π0(σ) situată pe axa imaginară să aibă ordinul de multiplicitate cel mult doi și să fie îndeplinite pentru fiecare din aceste rădăcini condițiile:

(ω0 = 0, = 1), Re γ(σ)|σ=0>0;

(ω0 ≠ 0, = 1); considerând dezvoltările Laurent în jurul lui iω0

Re γ(iω) = + d0 – e1(ω – ω0) – d2(ω – ω0)2 + …..

Im γ(iω) = + e0 + d1(ω – ω0) – e2(ω – ω0)2 + …..

și formând șirul

d-1, e-1e0, -d1, -e-1e2, d3, e-1e4,…,

este necesar și suficient ca unul din numerele d-1 sau e-1 să fie nenul și primul element nenul din șirul de mai sus să fie pozitiv;

(ω0 = 0, = 2); considerând dezvoltatea Laurent

Re γ(iω) = -d-2/ω2 + d0 – d2ω2 + …..,

Im γ(iω) = -d-1/ω + d1ω – d3ω3 + …..,

Este necesar și suficient ca d-2 > 0 și primul element nenul al șirului

– d-1, d1, – d3,…. să fie negativ;

(ω0 ≠ 0, = 2); considerând dezvoltarea Laurent

Re γ(iω) = + + d0 – e1(ω – ω0) + …..

Im γ(iω) = + + e0 + d1(ω – ω0) – …..

Este necesar și suficient ca d-2 > 0, e-2 = 0 și primul element nenul al șirului

d-1, -e, -d1, -e,…..

să fie pozitiv.

Conceptul de stabilitate limită a fost introdus de M.A.Aizerman și F.R.Gantmaher.

2.2. Proprietatea de asimptoticitate

În studiul stabilității există situații în care se studiază sistemul liniar

x = Ax + Bu(t) (2.10)

pentru care se știe căA este hurwitziană și u(t) este, de exemplu, de pătrat integrabil pe semiaxa pozitivă sau tinde asimptotic spre 0. Problema care se pune este de a ști care este comportarea asimptotică a soluțiilor sistemului (2.10). Răspunsul este dat în următorul rezultat.

Lema 2. Considerăm sistemul (2.10) în următoarele ipoteze: i) matricea A este hurwitziană; ii) u(t) verifică una din condițiileu(t) = 0 sau |u|L2(0, ∞).

Atunci toate soluțiile sistemului au proprietatea ca x(t) = 0.

Înainte de a demonstra această lemă vom demonstra două rezultate preliminare importante în studiul stabilității asimptotice.

Lema A dacă φ: R+ → R este uniform continuă și dacă există și este finită atunciφ(t) = 0.

Demonstrație: Presupunem contrariul și atunci existăθ0 astfel încât pentru orice T > 0 se poate găsi (T) cu proprietatea ca |φ((T))| ≥ θ0. Din continuitatea uniformă rezultă că existăθ1 astfel încât pentru orice t > 0 și orice τ[0, θ1) să fie valabilă relația

| φ(t) – φ(t + τ)| ≤ θ0/2.

Considerăm intervalul [(T), (T) + θ1] și obținem, pe baza inegalităților precedente:

|φ((T))| |φ(t)| + |φ((T)) – φ(t)| |φ(t)| + θ0/2;

|φ(t)| ≥ θ0/2

((T) t <(T)+ θ1).

Ultima inegalitate arată că pe intervalul considerat φ păstrează acelați semn. Ca urmare

= ≥ θ0θ1,

ceea ce reprezintă exact negația criteriului Cauchy de convergență a integralelor improprii. Deci integrala nu mai e convergentă pentru t→, ceea ce contrazice ipoteza. Lema este demonstrată.

Observație. Formularea originală a lemei lui I.Barbalata este următoarea: dacă R+R este de clasa C1 există și este finită și f’ este uniform continuă, atunci f’(t) = 0. Se vede însă că este suficient să luăm = f’ și să aplicăm lema A ca să regăsim rezultatul original.

Din lema A rezultă că un corolar următoarea

Propoziție. Fie φ: R+R o funcție uniform continuă. dacă există o funcție continuă: ρ: RR+ cu proprietățile:

i) pentru orice

ii) ;

iii) ,

atunci .

Demonstrația este imediată. Funcția este uniform continuă și convergentă integralei asigurăîndeplinirea condițiilor Lemei A pentru aceastăfuncție. Rezultă, de unde, în baza proprietăților i) și ii) ale funcției ρ, rezultă că.

Lema B. Fie L1(0, ∞)L2(0, ∞), ηL2(0, ∞), (t) ≡ 0 pentru t < 0. Atunci

Demonstrație. Pe baza inegalității lui Schwarz rezultă imediat integrabilitatea produsului (t-) pe (0, t), deci integrala de convoluție există pentru orice t > 0. Funcția

χ(t) =

este o funcție din L2(0, ). Într-adevăr, avem

(utilizând teorema lui Fubini pentru schimbarea ordinei de integrare). Dacă reușim să arâtăm ca χ este uniform continuă, atunci se poate aplică propoziția demonstrată anterior și demonstrația este completă.

Fie t1 < t2; vom avea

χ(t2) – χ(t1) =

și pe baza lemei lui Schwarz obținem

Însă primul termen din dreapta tinde spre 0 cand |t2 – t1| → 0 deoarece sub integrala se aflăfuncții integrabile. Pe de altă parte, avem și

aceasta nefiind altceva decât proprietatea de convergență în medie a funcțiilor din L2 (pentru funcții continue din L2 este o proprietate evidentă iar pentru celelalte funcții rezultă pe baza faptului că multimea funcțiilor continue este densă în L2). Rezulta deci ca |χ(t2) – χ(t1)| = 0, χ(t) este uniform continuăși, din aplicarea propoziției deduse din Lema lui Barbalat, obținem rezultatul Lemei B.

Observație. Lema este adevarată chiar dacă nu presupunem L1L2 ci doar L2. Se știe că în acest caz, în general, convoluția nu mai este o funcție din L2 deși e continuă și marginită. Tinderea asimtotică spre 0 rezulta însă pe altă cale, prin aplicarea lemei Riemann-Lebesgue.

Demonstrația Lemei 2. Formula variației constantelor va da

și trecând la evaluări obținem

, .

Primul termen din dreapta tinde asimptotic spre 0 în orice caz, deoarece > 0 (A este hurwitziană). Pentru al doilea termen avem de analizat două cazuri:

Fie |u(t)| = 0. Avem

Însă sunt derivabile pe (0, ), și pe (0, ∞). Se poate deci aplica regula lui Hopital și rezultă

Dacă |u(t)| L2(0, ∞), atunci se poate aplica Lema B cu (t)= e-t pentru t > 0 și (t) ≡ 0 pentru t < 0; evident, L1L2. Demonstrația este completă.

Capitolul III

STABILITATE

Pentru ca un sistem sã poatã fi utilizat, trebuie sã fie stabil. Un sistem liniar invariat în timp este stabil dacã fiecare variație a intrãrii produce o variație a ieșirii. Aceastã caracteristicã se numește stabilitate. Stabilitatea unui sistem poate fi privitã în douã puncte și anume: stabilitate IMEM și stabilitate internã.

Un sistem este stabil dacã și numai dacã polii sistemului în buclã închisã sunt plasați în semiplanul complex stâng. De aceea, o condiție necesarã și suficientã ca un sistem de reglare sã fie stabil IMEM este ca toți polii funcției de transfer a sistemului sã aibã partea realã negativã.

Stabilitatea unui sistem liniar invariat în timp poate fi verificatã prin utilizarea funcției impulse (Control System Toolbox) pentru a obține rãspunsul la impuls al sistemului. Sistemul este stabil dacã rãspunsul sãu la impuls tinde la zero când timpul tinde la infinit. O altã modalitate de a determina stabilitatea unui sistem este simularea.

Funcția lsim poate fi utilizatã pentru a observa ieșirea pentru intrãri tipice. Aceasta este utilizatã în particular pentru sisteme neliniare.

3.1. Stabilitate asimptoticã

Sã considerãm sistemul liniar și comanda u,

Ecuația de stare devine:

, . (3.1)

Fie soluția corespunzãtoare stãrii inițiale ,.

Pentru starea este o stare de repaus (o poziție de echilibru), întrucât dacã rezultã cã pentru orice

Definiția 3.1

Sistemul este stabil (relativ la stare zero) dacã pentru orice existã astfel încât pentru orice cu rezultã cã pentru orice

Dacã sistemul nu este stabil el se spune cã este instabil.

Sistemul se numește asimptotic stabil dacã este stabil, și pentru orice ,

Observația 3.2

Situațiile de sus pot fi ilustrate in urmãtorul fel (pentru ).

stabil instabil asimptotic stabil

Fig.3.1

Teorema 3.3

a) este asimptotic stabil dacã și numai dacã toate valorile proprii ale matricei A au pãrțile reale negative ().

b) Dacã existã o valoare proprie cu atunci este instabil.

c) Dacã orice valoare proprie a lui A are și existã cel puțin o valoare proprie cu dar orice astfel de valoare proprie are multiplicitatea geometricã 1 (adicã este rãdãcinã simplã a polinomului minimal al matricii A), atunci este stabil, dar nu asimptotic stabil.

d) Dacã existã o valoare proprie cu și aceasta este rãdãcinã de ordin cel puțin 2 a polinomului minimal al lui A (deci are multiplicitatea geometricã>1), atunci este instabil.

Demonstrație

Matricea A are forma canonicã , adicã existã o matrice nesingularã (matricea de trecere) T astfel ca și sunt celule Jordan,

. În acest caz soluția este și

cu

Prin urmare deducem cã:

a) pentru orice și (în acest caz A este matrice stabilã).

b) Dacã cu rezultã cã , atunci , deci sistemul este instabil.

În cazul c), pentru valorile proprii cu pãrți reale strict negative

funcțiile sunt mãrginite, iar valorile proprii cu și multiplicitate geometricã =1 termenii corespunzãtori din soluția sunt de forma , deci cu Prin urmare elementele exponențialei rãmân mãrginite, adicã pentru deci este stabil), însã

În cazul d), pentru o valoare multiplã de forma vom avea în „componente” de forma și deoarece , rezultã cã este instabil.

Definiția 3.4

Polinomul se numește polinom Hurwitz dacã și numai dacã toți minorii principali ai matricii Hurwitz asociate

(3.2) sunt pozitivi, adicã

(3.3)

Hurwitz a dovedit cã dacã atunci numãrul de rãdãcini cu partea realã pozitivã ale lui este egal cu numãrul de schimbãri de semn din șirul finit Folosind aceasta se poate demonstra:

Teorema 3.5 (Criteriul Routh-Hurwitz)

Sistemul este asimptotic stabil dacã și numai dacã polinomul caracteristic al matricii A este un polinom Hurwitz.

Observația 3.6

Dacã este un polinom Hurwitz, atunci coeficientii (adicã elementele diagonalei principale a matrici ) trebuie sã aibã același semn cu .

Existã o metodã mai generalã și mai utilã pentru a studia stabilitatea unui sistem liniar, fãrã a fi nevoie de studiul polinomului caracteristic/spectrul matricei A.

Teorema 3.6

Sistemul este asimptotic stabil dacã și numai dacã ecuația algebricã (numitã ecuația Liapunov)

(3.4)

are o soluție realã, simetricã, pozitiv definitã P pentru o matrice realã, simetricã, pozitiv definitã Q.

Demonstrație

Necesitatea. Pentru orice sã considerãm matricea

; (3.5)

integrala este convergentã , deoarece elementele sale sunt de forma , unde și (A fiind o matrice stabilã).

În plus deoarece Avem atunci:

Se poate observa cã P este simetricã, iar pentru orice avem ( este nesingularã, deci și

Suficiența. Sã presupunem cã existã astfel încât pentru o matrice oarecare

Fie o valoare proprie a lui și fie un vector propriu corespunzãtor valorii adicã

Atunci ( pentru ca matricea A este realã.

Obținem succesiv:

(pentru cã deci sistemul este asimptotic stabil.

Corolarul 3.8

Sistemul (3.1) este asimptotic stabil dacã și numai dacã existã o formã pãtraticã astfel încât:

i) este pozitiv definitã;

ii) pentru orice soluție a sistemului (3.1),

Demonstrație:

Considerãm forma pãtraticã pozitiv definitã , numitã funcție Liapunov. Pentru orice soluție a sistemului (3.1) avem atunci

Observația 3.9

Dacã matricea Q din Teorema 3.7 este doar nenegativ definitã, respectiv în Corolarul 3.8, sistemul (3.1) este doar stabil.

Observația 3.10

Ecuația Liapunov (3.4) poate fi rescrisã ca o ecuație liniarã sub forma

(3.6)

unde este vectorul coloanã -dimensional obținut așezând coloanele lui una sub alta, este obținutã în același fel din , iar este un operator liniar, de forma (Am notat cu produsul Kronecker al matricelor A și B).

Se poate arãta cã valorile proprii ale lui L sunt , unde deci pentru cã oricare ar fi și deci este inversabil. În concluzie (3.6) are soluție unicã pentru orice

3.2. Stabilitatea sistemelor discrete

Pentru comanda cu ecuația de stare a sistemului liniar discret devine:

(3.7) și prin urmare

. (3.8)

Teorema 3.11

Dacã orice valoare proprie a lui A are modulul subunitar, atunci este asimptotic stabil.

Dacã existã cu , atunci este instabil.

Dacã și orice valoare proprie cu are multiplicitatea geometricã , atunci este stabil (dar nu asimptotic stabil).

Dacã existã cu și cu multiplicitate geometricã , atunci este instabil.

Demonstrație:

Considerãm T o matrice de tranziție astfel încât , unde

este forma canonicã Jordan a lui A.

Obținem pentru orice cu .

Ținând seama de faptul cã pentru sau

, unde deoarece

și utilizând formula binomului se obține:

În concluzie, elementele lui sunt combinații liniare de funcții de forma dacã sau de funcții de forma dacã

În cazurile enunțate deducem:

i) deci pentru cã

ii)

iii)elementele lui sunt mãrginite, deci existã astfel încât Atunci pentru orice existã cu proprietatea cã deci este stabil (dar

Dacã , în consecințã este instabil.

Observația 3.12

Concluzia este cã „regiunile de stabilitate” pentru valorile proprii ale matricei A sunt urmãtoarele:

Sisteme continue Sisteme discrete

Fig.3.12

Observația 3.13

Fie transformarea omograficã care transformã discul unitate în semiplanul stâng:

Fig.3.13

Avem:

;

;

.

Fie și polinomul caracteristic al lui A

Rezultã cã toate valorile proprii ale lui A, adicã rãdãcinile lui verificã toate rãdãcinile ale lui verificã numãrãtorul lui este un polinom Hurwitz, adicã polinomul

, (3.9) îndeplinește criteriul Routh-Hurwitz.

3.3. Stabilitatea sistemelor neliniare

I. Prima metodã Liapunov

Sã considerãm sistemul neliniar staționar:

(3.10)

unde si cu poziția de echilibru adicã În inginerie este o stare idealã de operare a un ei mașini, iar în economie o stare de echilibru economic.

Folosind substituția și notând cu obținem și așadar problema stabilitãții poziției de echilibru a sistemului este echivalentã cu problema stabilitãții sistemului relativ la starea zero.

În același mod se poate arãta cã problema stabilitãții unei soluții periodice poate fi redusã la stabilitatea relativã la originea spațiului X al stãrilor, și astfel definițiile de la începutul capitolului referitoare la stabilitate, instabilitate și stabilitate asimptoticã pot fi extinse la sisteme neliniare de forma:

Definiția 3.14

Sistemul , este asimptotic stabil relativ la origine într-o vecinãtate alui 0, dacã este stabil și dacã pentru orice

Dacã U este o mulțime mãrginitã este vorba de stabilitate asimptoticã localã, iar dacã de stabilitate asimptoticã globalã.

Existã o strânsã legãturã între stabilitatea sistemului (3.10) și stabilitatea sistemului sãu liniarizat referitoare la starea de echilibru.

Aplicând formula lui Taylor în vecinãtatea unei stãri de echilibru avem relația:

unde este de ordinul (o funcție g este dacã

Notând cu A matricea și cu eroarea , sistemul liniarizat corespunzãtor lui se poate scrie sub forma:

(3.11)

Teorema 3.15

Sistemul (3.10) este asimptotic stabil în jurul stãrii sale de echilibru sau, echivalent, sistemul (3.11) este asimptotic stabil într-o vecinãtate a originii, dacã matricea A este stabilã.

Demonstrație:

Deoarece A este stabilã, existã o unicã soluție a ecuație Liapunov

Sã considerãm (funcția Liapunov asociatã). Atunci

deci,

Integrând aceastã relație pe intervalul obținem

Deoarece rezultã cã

Prin urmare avem

deci și

, pentru orice

Pentru suficient de mic sã considerãm vecinãtatea nevidã (deoarece g este a originii

Folosind ultima egalitate de mai sus vom obține, pentru orice condiție inițialã , pe baza continuitãții soluției și a proprietãții , faptul cã pentru orice

Deoarece avem

, pentru orice deci trecând la limitã pentru , vom avea și cã

II. A doua metodã Liapunov

Fie sistemul

cu continuã.

Problema stabilitãții se poate reduce la problema existenței și a determinãrii unor funcții cu proprietãți speciale, numite funcții Liapunov, fãrã a fi nevoie de rezolvarea efectivã a ecuației de stare.

Fie O o mulțime deschisã ce conține originea, O. Sã presupunem și cã f este continuã pe O.

Definiția 3.16

O funcție Ose numește funcție Liapunov pentru dacã:

i) V este pozitiv definitã O adicã, ( O), și pentru orice O

ii) pe O.

Pentru orice soluție a sistemului (3.12)

Teorema 3.17 (teorema de stabilitate localã)

Dacã existã o funcție Liapunov pentru , atunci sistemul este stabil.

Demonstrație:

Fie O o mulțime deschisã cu O și o funcție Liapunov pe O. Sã considerãm un numãr pozitiv , suficient de mic pentru bila sã fie strict inclusã în mulțimea O. Atunci are un minimum strict pozitiv pe frontiera deoarece este continuã și strict pozitivã pe . Din continuitatea lui rezultã cã existã astfel cã , .

Fig.3.17

Deducem cã pentru orice stare inițialã soluția a sistemului (3.12) îndeplinește și, folosinf\d ii), obținem cã , deci rãmâne în interiorul lui , adicã este stabil.

Teorema 3.18 (stabilitate asimptoticã localã)

Dacã existã o funcție Liapunov pentru și, în plus,

pe O\{0},

atunci este asimptotic stabil.

Teorema 3.19 (instabilitate)

Dacã într-o vecinãtate Õ O a originii existã o funcție pozitiv definitã pe Õ dar astfel încât pe Õ\{0}, atunci sistemul este instabil.

3.4. Aplicații în Matlab

Capitolul IV

METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR MATRICEALE LINIARE

În acest capitol se vor prezenta metode numerice de rezolvare a unor clase de ecuații matriceale liniare cu coeficienti constanți: ecuația matricealã diferențialã liniarã și ecuația matricealã algebricã liniarã.

Toate tipurile de ecuații matriceale studiate au o mare importanțã în rezolvarea multor probleme cu caracter aplicativ. Dintre aceste aplicații, vom aminti domeniile legate de studiul stabilitãții sistemelor liniare, de construcția comenzilor optimale (suboptimale) pentru problema optimalã liniar-pãtraticã, de estimarea starilor unui sistem liniar.

4.1. Metode de rezolvare a ecuației matriceale diferențiale liniare

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

Adrian Filipescu, Sabin Stamatescu, Teoria sistemelor. Analiza și sinteza sistemelor liniare în abordarea structurală, Editura Matrix Rom, 2005

Florin Stratulat, Analiza asistată de calculator a sistemelor liniare, Editura Matrix Rom, 2000

Marcel Migdalovici, Daniela Baran, Stabilitatea sistemelor dinamice. Teorie aplicații, Editura Self Publishing, 2013

Onisifor Olaru, Introducere în teoria sistemelor liniare, Editura Politehnica, 2013

Mihai Popescu, Stabilitatea și stabilizarea sistemelor dinamice, Editura Tehnica, 2009

Radu Ștefan, Florin Stoican, Florin Tudor, Cristian Oară, Teoria sistemelor. Culegere de probleme, Editura Politehnica, 2013

Sever Serban, Ioan Cezar Corici, Teoria sistemelor. Culegere de probleme. Răspunsul în timp al sistemelor liniare.Analiza stabilității sistemelor liniare, Editura Matrix Rom, 1997

Sever Serban, Ioan Cezar Coraci, Teoria sistemelor. Culegere de probleme. Analiza în frecvență a sistemelor liniare, 1997

Corneliu Octavian Turcu, Cristina Elena Turcu, Matlab pentru introducere în automaticã, 1996