Sistem Adaptiv cu Model de Referinta de Ordin Fractionar (fo Mras)

Cuprins

Capitolul 1.

INTRODUCERE

1.1. Contextul lucrării

1.2. Obiective și Specificația proiectului

Capitolul 2.

STUDIU BIBLIOGRAFIC

2.1. Calcul Fracționar

2.1.1. Generalități

2.1.1. De ce calcul fracționar?

2.2Sisteme de ordin fracționar

2.2.1.Introducere

2.2.2. Integrala de ordin fracționar

2.2.3.Derivata de ordin fracționar

2.3. Control de ordin fracționar

2.3.1.Operațiile de ordin fracționari generalizate

2.3.2. Integratorul

2.3.3. Derivatorul

2.4. Regulator PID de ordin fracționar

2.4.1.Introducere

2.4.2.Specificații de proiectare

2.5. Metode de Aproximare

2.5.1. Generalități

2.5.2. Aproximarea CRONE

2.5.3. Aproximarea Carlson

2.5.4. Aproximarea Grunwald-Letnikov

2.5.5. Compararea performanțelor aproximărilor

2.6. Control Adaptiv

2.6.1.Introducere

2.6.2 Control Adaptiv vs. Control tradițional cu buclă de reactive

2.7. Control Adaptiv Direct

2.7.1.Generalități

2.7.2. Model Reference Adaptive Control(MRAC)

2.8.Regula MIT

2.8.1. Prezentare

Capitolul 3.

ANALIZA ȘI PROIECTAREA

3.1 Regulator PI de ordin fracționar(FO-PI)

3.1.1. Introducere

3.1.2.Pașii proiectării

3.1.3. Simulări

3.2 Sistem Adaptiv cu Model de Referință de Ordin Fracționar(FO-MRAS)

3.2.1. Introducere

3.2.2. Proiectare

3.2.3.Simulări

3.3. Regulator FO-PI vs FO-MRAC

Capitolul 4.

Concluzii și dezvoltări ulterioare

Bibliografie

Lista de figuri

Anexa

Capitolul 1.

INTRODUCERE

Contextul lucrării

Datorită evoluției tehnlogocie în secolul XX, probleme dificile, întrebări care țineau ocupat matematicienii timp de sute de ani, s-au găsit soluțiile în lumea calculatoarelor. O astfel de problemă era și calculul fracționar, mai exact calcularea derivatelor sau integratelor de ordin fracționar. Metodele numerice de calcul, prin ajutorul calculatoarelor, asigur acum suportul necesar pentru aproximarea eficientă pentru aceste calcule.

Calcul fracționar este un domeniu nou în creștere. Până acum, cercetătorii și inginerii
s-au ezitat în acceptarea faptului că calculul fracționar poate fi folosit atât în analiza, cât și în proiectarea multor sisteme în practică, deși de multe ori, aplicațiile similare, cu calcul tradițional asigură soluții nesatisfăcătoare, uneoir chiar eșecuri.

În ultimele două decade, differențierea fracționară a început să se ocupe un rol din ce în ce mai important în diferite domenii, precum mechanica, chimia, biologia, economia sau teoria sistemelor și semnalelor. De exemplu, în ultimele două domenii, conceptele ca modelarea, filtrarea, identificarea, stabilitatea, controlabilitatea sau observabilitatea și robustețea, toți sunt legate de calculul fracționar.

În literatură se găsește articole, publicații care se ocupă cu analiza și studierea calcului fracțional. Apare conceptul calcului fracțional în procesarea semnalelor din care reiese că modele de ordin fracționare prin proprietăți și efecte a fenomenelor, pe care modele de ordin întregi neglectă. [1]

În același timp se poate găsi și lucrări despre sisteme cu control fracționar. Atât cu temă de proiectare și bazele sistemelor fracționare cât și cu topicuri mai sofisticate.În [2] este prezentată controlul fracționar, comportamentul sistemelor fracționar și regulatoarele PID fracționare.În [3] se găsesc soluții datorite calcului fracțional în modelarea corpurilor visco-elastice în mecanică.

Sistemele adaptive sunt sisteme cu mare potențial în domeniul reglării automatelor. Se poate găsi multe lucrări în literatură care se ocupă cu aceste sisteme. O metodă promițătoare și mult auzită este structura adaptviă cu model de referință.Apar în sinteze, lucrări atât gererale, despre controlul adaptiv, precum și în sinteze acordate numai acestui concept. În [4] apare o prezenetare gerenală a sistemelor adaptive și beneficiile folosirii acestora, odată cu principalele structuri și metode. Apoi exemple de aplicații sunt prezentate care sunt rezolvate în urma folosirii acestei metode:sisteme adaptive pentru reglarea sistemelor cu vibrații active sau pentru pentru transmisii flexibile.

În [5] apare prezentarea structurii sistemelor adaptive cu model de referință. Este prezentat pentru un sistem de ordinul doi, folosind regula mit modificată. Simulările prezentate și beneficiile văzute argumentează folosirii acestei structuri mai complicate.

După toate cele spuse este evident interesul apărut față de aceste sisteme avansate, care sunt folosite aproape în toate domeniile ingineriei.

1.2. Obiective și Specificația proiectului

Avantajele și posibilitățile descrise a calculului fracționar în literatură, constituie consecința studierii acestei noțiune. În primul rând, modelarea mai corectă și mai avansată pare a fi o temă interesantă și meritat de studiată, având un viitor promițător. În același timp, faptul că regulatoarele fracționare pot asigura robustețe sistemelor controlate, pare a fi viitorul inginerie reglării automatelor.

În ziua de azi, industria este dominată de regulatoare tradiționale PID, de ordin întregi. Având în vedere că regulatoarele PID fracționare au performanțe mai bune decât cele tradiționale, este evident că schimbarea la regulatoarele fracționare depinde numai de timp. Momentul acela, se apropie și este important pregătirea timpurie pentru profitarea acestuia.

În această lucrare se încearcă studierea calcului fracționar, proiectarea și verificarea performanțelor unui regulator PI fracționar, în comparație cu cel tradițional. Se va folosi un mediu de simulare, anume Matlab/Simulink pentru verificarea corectitudinii sistemelor proiectate. Se urmărește aproximarea regulatorului proiectat la un ordin întreg, pentru folosirea mediului de simulare, mai înainte menționat și se compară rezultatele cu o altă metodă avansată, cea a sistemelor adaptive.

Sistemele adaptive, sunt sisteme cu potențial mare, în cazul proceselor în schimbare sau proceselor la care nu cunoaștem parametrii. Se încearcă combinarea acestui sistem, cu modelarea unui proces cu un model dinamic de ordin fracționar. Se studiază controlul adaptiv cu model de referință de ordin fracționar(”Fractional-order Model Reference Adaptiv Control”). Se încearcă structura unui sistem cu regulatorul FO-MRAC și se verifică performanțele și avantajele acestuia. La final se încearcă și verificarea acestui mecanism, prin modificarea parametrii procesului.

În ultimul pas al lucrării se încearcă compararea acestor metode fracționare, și se încearcă clasificarea avantajelor și dezavantajelor acestora. În același timp, se încearcă să se analizeze dacă câștigul atins, performanțele obținute merit efortul învestit.

Capitolul 2.

STUDIU BIBLIOGRAFIC

2.1. Calcul Fracționar

2.1.1. Generalități

Calcul fracționar face parte din domeniul matematicii, care se bazează pe operatorul tradițional de integrare și derivare, asemănător exponenților întregi și fracționari. Dacă considerăm semnificația fizică a exponentului, el reprezintă forma scurtă unor înmulțiri a acelui număr. Conceptul este simplu și evident, dar semnificația fizică poate deveni mai confuz, dacă vorbim despre exponenți raționali. În timp ce, oricine poate verifica, că x3=x·x·x, cum ar descrie cineva semnificația lui x3.4 sau chiar xπ. Oricum, aceste expresii au valori definite, pentru orice număr x, verificabil cu serii infinite, sau mai practic cu calculatoare. Asemănător putem considera derivarea sau integrarea. Deși sunt concepte mai complexe, din natura lor, este oarecum simplu reprezentarea lor fizică. Oricum, după calcularea multor integrări sau derivări cu n, număr întreg, methodologia devine la fel de simplă ca al înmulțirii. Datorită minții curioase, poate apărea însă întrebarea: ce se întâmplă dacă n nu mai este restrâns la valori întregi. La fel, la prima vedere, semnificația fizică nu mai este așa evidentă, dar și calcul fracționar urmărește metodele tradiționale. Cum exponenții fracționari și radicalii au găsit calea spre nenumerate aplicații și ecuații, așa a venit timpul și integrării cu ordin fracționar să găsească locul în aplicațiile moderne. [6]

Conceptul ”Calcul Fracționar” apare prima oară într-o scrisoare dintre L’Hopital și Leibniz, în 1695. Urmărind pe L’Hopital și Leibniz, calcul fracționar a fost un studiu rezervat, pentru matematicieni ca Fourier, Euler sau Laplace. Mulți au găsit definițiile lor, care corespundeau conceptului de integrare sau derivare fracționară, dar cele mai populare definiții sunt de la Riemann-Lioville și Grunwald-Letnikov.

Pe parcursul secolului al 20-lea, multe aplicații și manifestări fizice au fost găsite, care se bazează pe calcul fracționar.În timp ce semnificația fizică este greu de priceput, aproape imposibil, definițiile matematice sunt asemănătoare cu cele tradiționale [7].

Pentru înțelegerea și folosirea corectă a calcului fracționar este important clarificarea unor termeni matematice, precum funcția Gamma, funcția Beta, transformata Laplace sau funcția Mittag-Leffer.

Interpretarea cea mai simplă a funcției gamma este generalizarea factorialului pentru numere reali. Definit prin funcția următoare:

,pentru oricel z∈ ℝ

Figură 1:Funcția Gamma aproximată

Frumusețea funcției gamma constă în proprietățile lui. În primul rând, funcția este unică prin faptul că, valoarea funcției pentru orice cantitate este egală cu cantitatea minus unu, înmulțit cu gamma al acelui cantitate minus unu. Acest aspect este consecința formei integrale. [6]

Funcția Beta, cunoscut ca și funcția Euler, este foarte important, când vorbim despre calcul fracționar. Nu numai datorită faptului că soluția ei este definită prin funcții Gamma multiple, dar are și formă similară cu integratorul sau derivatorul fracționar, sau chiar cu funcția Mittag-Leffler.Următoarea ecuație demonstrează soluția funcției Beta prin termeni ai funcției Gamma.

, unde p,q ∈

Transformata Laplace este o transformare des folosită a funcțiilor pentru rezolvarea unor ecuații diferențiale complicate. Prin transformare putem evita folosirea ecuațiilor diferențiale, translatând problema cu soluție algebrică. Definiția transformatei Laplace este sub forma :

Transformata Laplace al funcției există dacă integrala de mai înainte este convergentă. Proprietatea des folosită a transformatei este convoluția, care apare sub forma .

Convoluția a două funcții este uneori greu de calculat, dar problema nu mai apare în domeniul laplace , fiindcă convoluția rezultă din înmulțirea funcțiilor.

Proprietatea, poate cea mai importantă, este transformata Laplace a unei funcții derivate de un număr întreg, n.

Funcția Mittag-Leffler este des folosită în cadrul calculului fracționar. Funcția ajută în găsirea soluțiilor pentru ecuații diferențiale de ordin neîntregi. Definiția standardă a funcției Mittag-Leffler are forma

,α>0

De multe ori este și folosită forma ecuației cu două argumente, α și β. Așa că funcția devine sub forma [8]

2.1.1. De ce calcul fracționar?

Se știe din cursurile de reglare și teoria sistemelor, principalele efecte ale operațiunilor de bază în control, în domeniul frecvențial. Aceste operațiuni fiind integrarea, derivarea și efectul de proporționalitate, putem rezuma principalele influențe pe comportamentul sistemului controlat:

Creșterea vitezei a răspunsului și descreșterea erorii staționare la poziție, precum și stabilitate relativă, prin efectul proportional;

Creșterea stabilității relative și sensibilitatea sistemului la pertubații, prin efectul derivativ;

Eliminarea erorii staționare la poziție și descreșterea stabilității relative, prin efectul integral.

Avantajele efectului derivativ pot fi observate în domeniul frecvențial, din introducerea fazei de π/2 în avans, în timp ce dezavantajele din creșterea sensibilității pentru frecvențe înalte, cu amplificarea modulului cu o pantă de 20dB/dec. Avantajele efectului integrator, pot fi deduse din amplificarea infinită în frecvența zero. În același timp, dezavantajul integratorului se poate fi identificat din introducerea unei faze π/2 în urmă. Având în vedere ută în găsirea soluțiilor pentru ecuații diferențiale de ordin neîntregi. Definiția standardă a funcției Mittag-Leffler are forma

,α>0

De multe ori este și folosită forma ecuației cu două argumente, α și β. Așa că funcția devine sub forma [8]

2.1.1. De ce calcul fracționar?

Se știe din cursurile de reglare și teoria sistemelor, principalele efecte ale operațiunilor de bază în control, în domeniul frecvențial. Aceste operațiuni fiind integrarea, derivarea și efectul de proporționalitate, putem rezuma principalele influențe pe comportamentul sistemului controlat:

Creșterea vitezei a răspunsului și descreșterea erorii staționare la poziție, precum și stabilitate relativă, prin efectul proportional;

Creșterea stabilității relative și sensibilitatea sistemului la pertubații, prin efectul derivativ;

Eliminarea erorii staționare la poziție și descreșterea stabilității relative, prin efectul integral.

Avantajele efectului derivativ pot fi observate în domeniul frecvențial, din introducerea fazei de π/2 în avans, în timp ce dezavantajele din creșterea sensibilității pentru frecvențe înalte, cu amplificarea modulului cu o pantă de 20dB/dec. Avantajele efectului integrator, pot fi deduse din amplificarea infinită în frecvența zero. În același timp, dezavantajul integratorului se poate fi identificat din introducerea unei faze π/2 în urmă. Având în vedere acestea, putem stabili că introducerea unui efect de reglare mai genereală de forma sn, 1/sn, n ∈ R+, putem atinge un compromis mai satisfăcător între avantaje și dezavantaje. Combinând aceste efecte, am putea realiza un regulator mai performant, mai flexibil și cel mai important, mai robust, care satisface cerințele sistemului controlat.

În continuare, aruncând o privire și spre modelarea sistemelor, putem constata, că cercetătorii în electrochimie, transport de masă, diffuzie și etc. de obicei folosesc experimente în domeniul frecvențial pentru a obține circuite electrice, care descriu correct comportamentul sistemelor.În aceste domenii des se întâmplă că comportamentul așteptat nu poate fi descrisă prin elementele tradiționale, astfel elemente speciale sunt introduse, precum impedanța Warburg sau elemente cu fază constantă. Toate aceste elemente, au în comun forma k/(jω)n, n ∈ R în domeniul frecvențial, care devine în domeniul Laplace de forma k/sn, n ∈ R

Aceste operațiuni în domeniul Laplace și frecvențial dau naștere pentru operațiile corespunzătoare în domeniul de timp. Astfel, operatorii care apar în domeniul frecvențial conduc la definirea derivatei și integralei de ordin arbitrar, cea ce definește și baza calculului fracționar. [9]

Dacă se consideră condiții inițiale nule și se definește F(s) ca și transformata Laplace a funcției f(t), F(s) ≡ L [f(t)], în ecuația

,

se poate fii identificat echivalentul integratorul de ordin n în domeniul Laplace a funcției f(t). Dacă presupunem o primitivă a funcției f(t), 𝒟-1f(t), atunci

=

Repetând operatorul de derivare, ecuația devine

Considerând ecuația anterioară ca integrală dublă și ținând cont de planul x-y, pe care se face integrarea(Figura 2), se poate inversa secvența de integrare prin modificarea limitelor lor, rezultând ecuația

Figură 2:Planul x-y pentru integrare

Precum f(y) este constant pe x, reiese că integralul interior este (t-y)f(y) și avem

Asemănător, se obține

Și așa mai departe, dând formula

Se observă că o integrală iterativ poate fi exprimată printr-o integrală ponderată cu o funcție ponderă simplă, denumit ca și formula lui Cauchy. Generalizând această formulă , pentru cazul n ∈ R+ , se obține

care corespunde cu definiția lui Riemann-Liouville, pentru integratorul de ordin fracționar, cu n ∈ R+,

Se obține rezultat asemănător, dacă se pornește din transofrmata inversă Laplace a funcției 1/sn, n ∈ R+

Deci, dacă considerăm ecuația anterioară ca și produsul funcțiilor în domeniul Laplace, va corespunde cu produsul de convoluție în domeniul de timp. [9]

2.2Sisteme de ordin fracționar

2.2.1.Introducere

Esențial, principla problemă matematică, care apare la definirea derivatei sau integralei fracționare constă în stabilirea fiecărei funcții f(z), z = x + jy cu o clasă suficient de generală, iar pentru orice număr α(rational, irrational sau complex), o corespondență cu funcția g(z) = f(z), satisfăcând condițiile următoare:

dacă f(z) este o funcție analitică cu z, derivata g(z) = f(z) este tot o funcție analitică, dar cu variabilele z și α

operația și derivata tradițională de ordin n ∈ Z+, α = n, dau același rezultat

operația și integrala cu n ∈ Z-, α = -n, dau același rezultat

operația și primele derivate de a lui, până la ordinul (n-1) trebuie să tindă spre zero, când z=c

operatorul, de ordinul α=0 este operatorul de identitate

operatorul trebuie sa fie linear

pentru integralii de ordin fracționar, exponenții au proprietatea de aditivitate. [10]

2.2.2. Integrala de ordin fracționar

După definiția lui Riemann-Liouville, noțiunea integralei de ordin fracționar este o consecință a formulei lui Cauchy pentru integrale repetate, care reduce calculul primitivelor, care corespund integralelor a funcției f(t)

Putem extinde validitatea pe n ∈ R+.Luând în considerare ca (n − 1)! = Γ(n), și introducând un număr real positiv α, integrala Riemann-Liouville de ordin fracționar va fi definit ca

Poate fi demonstrat că această ecuație îndeplinește condițiile menționate mai înainte.Când se ocupă cu sisteme dinamice, de obicei f(t) poate să fie o funcție de cauzalitate în t, prin urmare definiția integralei de ordin fracționar devine [10]

2.2.3.Derivata de ordin fracționar

Definiția ..nu poate fi folosită în cazul derivatei de ordin fracționar prin substituția directă a lui α cu –α, întrucât trebuie tratat cu mare grijă pentru asigurarea convergenței implicată în definiția integralei și în același timp și păstrarea proprietăților derivatei tradiționale, de ordin întreg.

Notând operatorul de derivare de ordin n ∈ N cu 𝒟n și operatorul de identitate cu Ι se poate stabili că

Cu alte cuvinte, operatorul 𝒟n este inversa stângă(”left-inverse”) a operatorului ℐn. De fapt, poate fi dedusă

unde f(k)(·) este derivata de ordinul k a funcției f(·).Prin urmare, trebuie verificat dacă 𝒟n este inversă a ℐn sau nu. Pentru acesta, se introduce numărul întreg pozitiv m astfel încât m-1< α<m. Definiția Riemann-Liouville pentru derivata de ordin fracționar devine [11]

unde m − 1 < α < m, m∈ N.

O definiție alternativă pentru derivata fracționară a fost introdusă de către Caputo, cu forma

unde m − 1 < α < m, m∈ N.

Această definiție este mai restrictă decât Riemann-Liouville, pentru că necesită integrabilitate absolută pentru derivata de ordinul m a funcției f(t). Este clar, că în general

în afară de, cazul în care t=0+ pentru funcția f(t). De fapt între definițiile anterioare există următoarele relații:

Mulțumită importanței în practică, se consideră definiția lui Grünwald–Letnikov, care se bazează pe generalizarea diferenței inverse, cu forma:

O definiție alternativă pentru derivata Grünwald–Letnikov este:

unde m>α-1

2.3. Control de ordin fracționar

2.3.1.Operațiile de ordin fracționari generalizate

Începând cu schemba block pe Fig operațiile de bază vor fi prezentate. [12] Operațiile de bază din controlul tradițional, sunt defapt cazuri particulare a operațiilor de tip Ksμ, unde μ ∈ [−1, 1] :

μ=0, efect proporțional

μ=-1, efect integral

μ=1, efect derivativ.

Figură 3:Sistem cu buclă închisă cu control fracționar

2.3.2. Integratorul

Efectele principale ale operațiunii de integrare sunt următoarele:

descrește viteza sistemului

descrește stabilitatea relativă

elimină eroarea staționară pentru intrări la care avea erori finite.

Aceste efecte pot fi identificate în domenii diferite. În domeniul de timp, efectele ca creșterea timpului de răspuns, descreșterea timpului de ridicare sau creșterea suprareglajului, pot fi observate pe răspunsul tranzitoriu.În planul complex, aceste efecte constau în deplasarea locului rădăcinilor spre semi planul drept. În același timp, efectele în domeniul frecvențial constau în descreșterea cu −20 dB/dec a pantei modulului, și descreșterea fazei cu π/2 rad.

În cazul integratorului de ordin fracționar, în domeniul de timp, efectul integral poate fi studiat printr-un semnal de eroare pătratică.

unde u0(t) este treapta unitară, iar transformata Laplace a semnalului are forma:

Astfel, acțiunea de control, după schema de pe Figura 4., va fi

Figura 4. arată funcția u(t) , pentru dieferite valori ale μ=0, -0.2,-0.5,-1, cu T=30 și N=4.Poate fi observat, că efectul acțiunii de control, diferă pentru efectul proporțional(μ=0) și efectul integrator(μ=-1). Pentru cazurile intermediare a valorilor lui μ, operațiunea de control crește cu o eroare constantă, prin care elimină eroarea staționară, și descrește când eroarea este zero, astfel asigură un sistem mai stabil. [12]

În planul complex, locul rădăcinilor este dat de ecuația

sau de condițiile echivalente pentru modul și fază:

Având în vedere faptul că:

Modificând valoarea lui μ este posibil:

introducerea unei amplificări constante în panta modulului, între −20 dB/dec și 0 dB/dec

introducerea unei defazaj constant în faza sistemului, care poate varia între -π/2 rad și 0 rad

Figură 4:Efect de integrare pentru o eroare pătratică

2.3.3. Derivatorul

Operația de derivare crește stabilitatea sistemului și crește sensibilitatea lui la perturbații la frecvențe înalte. În domeniul de timp, o descreștere în suprareglaj și în timpul de răspuns poate fi observat. În planul complex, efectul derivativ produce o deplasare locului rădăcinilor a sistemului spre planul negativ. În domeniul frecvențial, efectul de derivare produce un avans cu π/2 rad în fază, și cresteșterea pantei modulului cu 20 dB/dec.

Pentru analizarea efectelor operației de derivare, în mod asemănător cu cel de integrare, considerăm un semnal de eroare, de data asta, una trapezoidală:

cărei transformata Laplace este de forma:

Astfel, și după Figura 3. acțiunea de control va fi data de ecuația:

Efectele acțiunii de control pe semnalul de eroare sunt prezentate pe Figura 5. Efectele variază între efectul proportional(μ=0) și de derivare(μ=1).Pentru valorile intermediare de μ, acțiunea de control corespunde cu curbele intermediare. Poate fi observat, faptul că, derivarea nu este zero pentru o eroare constantă, iar creșterea semnalului de control este mai amortizată când o variație apare în semnalul de eroare, care implică atenuarea mai bună a zgomotelore la frecvențele înalte [12].

Figură 5:Efect de derivare pentru un semnal de eroare trapezoidală

Prin modificarea valorii μ poate fi constatată că este posibil:

introducerea unei amplificări constante la panta modulului, care poate varia între 0 dB/dec și 20 dB/dec

introducerea unei întârzieri constant, care poate varia între 0 rad și π/2 rad

2.4. Regulator PID de ordin fracționar

2.4.1.Introducere

Ecuația integro-diferențială care descrie acțiunea de control a regulatorului fracționar este dat de

Applicând transformata Laplace, cu condiții inițiale nule, ecuația poate fi exprimată sub forma:

Prin reprezentare grafică, Figura 6, posibilitățile de control, folosind un regulator PID de ordin fracționar pot fi extinse, din cele 4 puncte de control, de la cazul regulatorului PID tradițional la un cadran, definit prin alegerea valorilor lui λ și μ. [13]

Figură 6:PID fracționar vs PID tradițional: din puncte în spațiu: (a) de ordin-întreg și (b) ordin-fracționar

2.4.2.Specificații de proiectare

Cum prezentat mai înainte, obiectivul proiectării unui regulator fracționar este ca sistemul să îndeplinească specificații diferite, deodată cu robustețe împotriva modificărilor în proces, perturbații de sarcină sau zgomote la frecvențe înalte. Prin urmare, specificații legate de marginea de fază, de funcții de sensibilitate și constrângeri pentru robustețe vor fi considerate la proiectare. Astfel, problema de proiectare va fi formulată în felul următor:

Marginea de fază(φm) și frecvența de tăiere(ωt):marginea de fază și de câștig sunt mărimi importante pentru robustețe. Marginea de fază este strâns legat de factorul de amortizare a sistemului, astfel poate servi și ca o măsură de performanță. Ecuațiile care descriu marginea de fază și frecvența de tăiere sunt următoarele:

Robustețe pentru variații la proces: această condiție forțează faza sistemului deschis să fie neted în ωt astfel ca valoarea ei să fie aproape același în jurul punctului ωt.

Prin urmare, sistemul este mai robust, suprareglajul răspunsului este aproape constant. Important de menținut că intervalul de schimbări pe care sistemul rejectează nu este fixă. Intervalul depinde de regulatorul proiectat și caracteristicile procesului.

Eliminarea zgomotelor de frecvențe înalte: o funcție de constrângere T(jω) definit prin
ω≥ωt rad/sec

Asigurarea rejectării perturbațiilor la ieșire: o funcție de constrângere S(jω) definit prin
unde B este valoearea dorită a funcției de sensitivitate, pentru frecvențele ω≤ωs rad/sec

Anularea erorii staționare: muțumită ordinii fracționare, ieșirea poate să conveargă mai încet la valoarea finală decât în cazul regulatoarelor de ordin întreg.În același timp, efectul fracționar trebuie limitat când este implementat. Pentru asigurarea limitării, integratorul de ordin fracționar trebuie implementată ca 1/sα = s1−α/s, care asigură efectul integratorului întreg la frecvențele joase. Asemănător cu integratorul fracționar și derivatorul fracționar trebuie limitat la implementare, asigurând astfel rejectarea zgomotelor la frecvenții înalte.

Folosind regulatorul fracționar PIλDμ cinci specificații de proiectare pot fi definite și îndeplinite, mulțumită celor cinci parametri de acordat. [14] Pentru regulatoare fracționare de tip PIλ sau PDμ trei specificații pot fi îndeplinite. Prin urmare, pentru cazul general al regulatorului PIλDμ problema de proiectare constă în rezolvarea unui sistem de cinci ecuații neliniare

2.5. Metode de Aproximare

2.5.1. Generalități

Funcții de transfer de ordin fracționar sunt greu de implementate în practică. Simulările de obicei sunt făcute de software-uri care știu să lucreze numai cu puteri întregi ale variabilei s. Regulatoarele de obicei sunt implementate în laboratoare, de același software, iar implementările hardware a regulatoarelor în zilele noastre sunt realizate prin componente electronice tradiționale, care permit implementarea funcțiilor de transfer de ordin întreg.

Astfel, problema de a găsi o aproximare de ordin întreg a funcțiilor de transfer fracționare constituie cea mai importantă problemă. Când simulări sunt efectuate sau regulatoare sunt implementate, funcțiile de transfer fracționare sunt de obicei înlocuite cu funcții de transfer de ordin întregi, care au comportamente aproape identice cu cele dorite [15].

Foarte multe metode sunt cunoscute de a aproxima astfel o funcție fracționară, însă este imposibil de ales care este cea mai bună. Deși unele sunt mai bune pentru anumite caracteristici, meritele relative acestor metode de aproximare depind de ordinul de derivare, unele asigură un comportament frecvențial mai precis sau răspunsuri în timp mai precise, sau ce admisibil pentru funcția de transfer.

Aproximările sunt utilizabile atât în domeniul s, cât și în domeniul z. Primul se numește aproximare continuă, în timp ce al doilea este cunoscut ca și aproximare discretă.

2.5.2. Aproximarea CRONE

Metoda CRONE asigură o aproximare continuă, care se bazează pe distribuția recursivă a polurilor și zerourilor. Un astfel de distribuție, alternând zerourile și polurile la intervale alese, permite realizarea unei funcții de transfer cu modul aproape linear la logaritmul frecvenței și fază relativ constantă. Astfel este posibil ca valorile curbei modulului și fazei să corespunde pentru orice valoare fracționară a lui α.

Înainte de a folosi această metodă, trebuie fixat în timp intervalul de frecvență [ωj,ωî] și N, numărul polilor, respectiv zerourilor. Pentru valori mici de N, aproximarea va rezulta cu pulsații significante la modulul și faza funcției aproximate, în timp ce pentru valori mari, modulul este liniar iar faza aproape constantă, dar poate să fie prea greu de implementat, calculat [16].

2.5.3. Aproximarea Carlson

Aproximarea Carlson furnizează tot o metodă continuă de aproximare, care folosește ecuația

pe care rezolvă folsond metoda iterativă Newton. Din păcate, acesta este doar posibil dacă 1/α este fracționar, adică poate avea valori ca: și etc.Metoda iterativă a lui Newton conduce la o secvență de aproximări Fi(s), unde

începând cu F0(s)=1.

După cum se observă metoda necesită 1/α să fie întreg, întrucât puterea fracțională a lui s ar apărea și după aproximare.

Fiecare iterație descrește pulsațiile apărute pe modul și fază, și în același timp crește intervalul de frecvență la care este valid. Iterațiile trebuie efectuate până când caracteristicile sunt satisfăcătoare, luând în considerare și faptul că numărul polilor și zerourilor crește foarte rapid. Intervalul la care aproximările sunt valide, are centrul în 1. Dacă este nevoie de o valoare diferită, zerourile și polile trebuie identificate și înmulțite cu valoarea dorită pentru centrul intervalului. [15]

2.5.4. Aproximarea Grunwald-Letnikov

Aproximarea numerică Grunwald-Letnikov pornește din ecuația diferențială

cu condiții inițiale nule și necesită funcția de transfer în discret, cu timpul de eșantionare T.

N variază în funcție de limitele de integrare.

Dacă α>-1 fracția de pe partea dreapta a ecuației, descrește odată cu creșterea lui k și astfel, dacă u este mărginită, este posibil neglijarea termenilor de timp anterior.Cu cât N este mai mare, cu atât se consideră aproximarea mai bună.

2.5.5. Compararea performanțelor aproximărilor

Fiind atât de multe metode de aproximare, este important de știut avantajele și dezavantajele lor. Cele mai importante caracteristici, care descriu performanțele aproximării sunt:

Deplasarea polurilor și zerourilor

Răspunsurile în frevență a funcțiilor aproximate și asemănarea cu cele idele

Răspunsurile indiciale și la impuls și asemănările lor cu cele ideale

Având aceste caracteristici, verificarea lor este mult prea grea în mod analitic, mulțumită complexitatea formulelor de aproximare, astfel în majoritatea cazurilor verificarea se face grafic. [15]

2.6. Control Adaptiv

2.6.1.Introducere

Reglarea adaptivă cuprinde un set de metode, care asigură o abordare sistematică pentru ajustarea automatică a unui regulator, în timp real, pentru a menține performanțele dorite, chiar și când parametrii modelului dinamic a procesului sunt necunoscute sau în schimbare.

Dacă considerăm parametrii modelului controlat necunoscuți, dar constanți, structura regulatorului nu depinde de valorile parametrilor modelului, însă adjustarea corectă controlerului nu se poate fi realizat fără informații despre aceste valori. Controlul adaptiv poate asigura o reglare automată în buclă închisă pentru parametrii regulatorului. În aceste cazuri, efectul de adaptare dispare cu creșterea timpului. Modificări în condițiile de operare pot necesita reînceperea procedurii de adaptare.

Acum, dacă considerăm cazul când parametrii modelului dinamic se schimbă imprevizibil în timp,putem distinge două situații. Prima cauză pentru schimbarea parametrilor consistă în schimbarea mediului înconjurător, iar a doua cauză poate fi datorită simplificării modelului și folosirea unui model liniar, când procesul este neliniar. Aceste situații pot apărea și dacă parametrii sistemului sunt ușor variate în timp. Pentru a putea controla și menține performanțele sistemului când modificări mari și necunoscute apar în parametrii modelului, controlul adaptiv trebuie luat în considerare [4].

O perspectivă mai detailată despre operațiile unui sistem cu control adaptiv poate fi dobândită prin proiectarea și acordarea unui regulator ”bun”, după Figura 7.

Figură 7:Principii de proiectare a regulatorului

Pentru proiectarea unui regulator bun, este nevoie de:

Specificațiile de performanță a sistemului în buclă închisă

Cunoașterea modelului dinamic al procesului controlat

Stăpânirea unei metode de proiectare care să permită atingerea performanțelor dorite

Modelul dinamic al procesului poate fi identificat prin măsurarea intrării și ieșirii în urma metodelore experimentale pentru bucle deschise sau închise.Se poate spune că proiectarea și acordarea regulatorului se face pe baza datelor adunate despre proces. Un sistem cu reglare adaptivă poate fi văzut ca și implementarea sistemului de mai înainte în timp real. Acordarea regulatorului va fi procesată în timp real, din datele adunate, tot în timp real, despre sistem. Figura cu schema corespunzătoară apare în Figura 8.

Figură 8:Sistem de control adaptiv

Modul în care informația este procesată în timp real pentru acordarea regulatorului în scopul obținerii performanțelor dorite, va caracteriza metodele de adaptare. În Fig, este evidentă că controlul adaptiv este una nelinieară, întrucât parametrii regulatorului depind de măsurările variabilelor a sistemului, prin bucla de adaptare.

Problema de mai înainte poate fi reformulată ca o problemă de control stochastic neliniară cu informații incomplete. Parametrii necunoscuți sunt considerate ca stări auxiliare, astfel modelii lineari devin neliniari. Din păcate, soluțiile care rezultă sunt foarte complicate și sun greu sau imposibil de implementat în practică. Metodele de control adaptiv pot fi văzute ca și approximări pentru anumite clase de control stochastic neliniare, asociate cu controlul proceselor cu parametri variabili în timp sau chiar necunoscuți. [4]

2.6.2 Control Adaptiv vs. Control tradițional cu buclă de reactive

Parametrii necunoscuți sau imposibil de măsurați ai procesului rezultă prin degradarea performanței sistemului. Asemănător efectului a perturbațiilor asupra variabilelor de control, poate fi considerat și variația parametrilor procesului care sunt perturbații asupra procesului. Aceste vor avea effect și asupra performanțelor sistemului controlat. Pentru aceasta, perturbațiile se clasifică după:

Perturbații care acționează asupra variabilelor de control

Perturbații care acționeaza asupra performanțelor sistemului controlat

Bucla de reacție, de obicei, este folosit în reglarea sistemelor pentru rejectarea perturbațiilor de pe variabilele de control și pentru readucerea acestora la valorile dorite conform performanțelor. Pentru a putea realiza acesta, trebuie măsurate variabilele de control, apoi comparate cu valorile de referință, cele dorite și diferența dintre aceste va ajuta regulatorul în generarea semnanului de comanda potrivită.

O abordare similară poate fi considerată pentru problema realizării și menținerii performanțelor dorite în prezența perturbațiilor asupra sistemului. În primul rând trebuie definit un index de performanță(IP), care reprezintă performanța sistemului. Apoi urmează măsurarea acestui IP și compararea cu valoarea dorită, iar la final calcularea diferenței care alimentează cu informațiile necesare mechanismul de adaptare. Ieșirea din mechanismul de adaptare, va modifica regulatorul, semnalul de control astfel încât acesta să modifice performanțele sistemul corespunzător cerințelor. Structura unui sistem cu control adaptiv poate fi urmărit în Fig..

Un sistem cu control adaptiv măsoară un index de performanță a sistemului controlat, din intrări, stări, ieșiri și perturibații. Din compararea indexului măsurat și din setul de performanțe dorite, mechanismul de adaptare modifică parametrii regulatorului ajustabil și/sau generează un regulator auxiliar pentru menținerea indexului de perfomanță la o valoarea apropiată cu setul dorit. De notat, că sistemul de control, poate fi considerat ca un sistem dinamic ajustabil, prin faptul că performanțele lui pot fi ajustate prin modificarea parametrilor a regulatorului sau semnalului de comandă.

Un sistem tradițional cu buclă de reacție va monitoriza variabilele de control, când perturbațiile le afectează, dar performanțele nu vor modifica, fiind proiectarea făcută considerând parametrii procesului constanți și cunoscuți.

Comparând structura de pe Figura 9. cu o structură de reglare cu buclă de reacție, putem stabili diferențele dintre cele două.

Figură 9:Configurația de bază a unui sistem de control adaptiv

În timp ce proiecatrea sistemului cu buclă de reacție se focusează asupra eliminării perturbațiilor de pe variabilele de control, proiectarea sistemului cu control adaptiv este orientat în primul rând asupra eliminării perturbațiilor de pe performanțele sistemului. Un sistem cu control adaptiv, poate fi interpretată ca un sistem cu buclă de reacție, unde variabila de control este indexul de performanțe.Diferențele sistemelor,sunt adunate în tabelul următor

Figura 10. arată diferența în practică dintre cele două structuri. În Figura 10 (a)., apare o perturbație în momentul t=150, asupra parametrii modelului și regulatorul folosind parametri constanți nu poate corecta perturbația, astfel performanțele sistemului devin inacceptabile. În Figura 10 (b), un regulator adaptiv este folosit, care după un scurt timp de adaptare rejectează perturbația, revenind astfel la starea nominală, cu performanțele dorite. [4]

Figură 10:Comparație dintre un regulator convențional, cu buclă de racție (a) și un controler adaptiv(b)

2.7. Control Adaptiv Direct

2.7.1.Generalități

Punctul cheie constă în specificațiile performanțelor dorite a buclei de control.În majoritatea cazurilor, performanțele dorite a sistemelor cu buclă de reacție, pot fi specificate ca și caracteristici a sistemului dinamic, adică descrierea comportamentului dorit în buclă închisă. Un obiectiv de reglat, într-un mod deterministic, poate fi specificat prin termenii de evoluție a ieșirii, incepând cu o valoare inițială, specificând situația dorită a polurilor buclei închise. În această situație, regulatorul este proiectat astfel încât, pentru un model dinamic dat, bucla închisă a sistemului are caracteristicile sistemului dorit.

Problema de proiectare poate fi considerat teoretic echivalentă cu Figura 11. Modelul de refereință pe Figura 11 descrie un proces cu performanțele dorite.Proiectarea regulatorului, este făcut astfel încât:

Eroarea între ieșirea din proces și ieșirea din modelul de referință să fie identic, pentru condiții inițiale nule

O eroare inițială va dispărea cu o dinamică anume

Figură 11:Proiectarea unui regulator linear folosind un model de referință

Când parametrii procesului sunt necunoscuți sau în schimbare, pentru a putea atinge și menține performanțele dorite, o abordare adaptivă este propusă, de exemplu Control Adaptiv prin Model de referință(Model Reference Adaptive Control).

Figură 12:Structura de control a sistemului adaptiv cu model de referință

2.7.2. Model Reference Adaptive Control(MRAC)

Controlul adaptiv este o strategie de control des folosită pentru proiectarea avansată a unor sisteme de control pentru performanțe îmbunătățite și pentru acuratețe.MRAC este o metodă directă, cu niște parametri ajustabili a regulatorului și cu un mechanis care ajustează acestea. În comparație cu structurile simple ale regulatoarelor PID, controlul adaptiv este foarte eficient în tratarea parametrilor necunoscuți și schimbărilor mediului. Un controller adaptiv constă din două bucle. O buclă exterioră, o buclă de reacție obișnuită și o buclă interioară, buclă de ajustare a parametrilor.

Principiu de funcționare: parametri regulatorului sunt modificate, astfel încât ieșirea modelului să urmărească ieșirea modelului de referință, pentru același semnal de intrare.

Componenți

Model de referință: este folosit ca sistemul cu control adaptiv să aibă un răspuns idilic pentru intrarea de referință.

Controler: de obicei este descris cu un set de parametrii ajustabili.

Mechanismul de ajustare: acest bloc este folosit pentru modificarea parametrilor controlerului, astfel încât procesul să urmărească modelul de referință. Abordări matematice ca regula MIT, teoria lui Lyapunov sau orice altă metodă bazată pe teoria augmentarea erorii poate fi folosită pentru proiectarea mechanismului de ajustare.

Blocul de bază a structurii MRAC este prezentat în Figura 13. Cum se vede, ymodel este răspunsul modelului de referință, iar yproces este ieșirea procesului. [5]

Figură 13:Structura de bază MRAC

La proiectarea unui controler MRAC cel mai des se folosește regula MIT, iar proiectantul decide modelul de referință, structura regulatorului și amplificările de acordare pentru mechanismul de adaptare. MRAC începe prin definirea erorii de urmărire, care este diferența ieșirii procesului și modelului de referință:

e=yproces-ymodel

2.8.Regula MIT

2.8.1. Prezentare

Regula MIT era dezvoltat în 1960 de către cercetătorii Institutului Tehnologic din Massacuesetts(MIT), de unde vine și denumirea metodei. Era folosit pentru proiectarea sistemelor cu autopilot la aeronave.

În această regulă, în primul rând avem de definit o funcție de cost, ca

Unde e reprezintă eroarea de urmărire, definit mai sus, iar θ reprezintă parametrul ajustabil.

Parametrul θ este ajustat astfel încât funcția de cost să fie minimizat spre zero. Astfel, modificarea parametrului θ este păstrată în direcția gradientului negativ a lui J.

Unde termenul cu derivata parțială este denumit ca derivata de sensibilitate a sistemului. Acest termen indică modul în care se schimbă eroare în funcție de parametrul θ.Ec descrie schimbarea parametrului θ în funcție de timp, astfel ca J(θ) să poate fi redusă la zero. Aici γ este un număr positiv, o cantitate, care reprezintă amplificarea de adaptare a controlerului. [17]

Capitolul 3.

ANALIZA ȘI PROIECTAREA

3.1 Regulator PI de ordin fracționar(FO-PI)

3.1.1. Introducere

Cum prezentat mai înainte numărul regulatoarele fracționare crește foarte repede în zilele noastre. O performanță mai bună poate fi atinsă prin introducerea ordinului fracționar, cum demonstrat și în [52], unde un PIλDμ era comparat cu un regulator PID clasic.

În acest capitol proiectarea unui regulator PIλ va fi prezentată. Forma regulatorului PIλ este:

unde λ.

Se consideră un proces, prin modelul dinamic descris de funcția de transfer de ordinul doi de forma:

Se încearcă acordarea unui regulator pentru procesul descris de această funcție de transfer. Înainte de proiectare, trebuie fixate specificațiile dorite de sistemul controlat.

Din definițiile marginii de fază și frecvenței de tăiere, putem baza pe:

Specificația marginii de fază:

Robustețe la variațiile procesului în modul
astfel, derivata fazei sistemului deschis este forțat să fie zero în frecvența de tăiere, ca sistemul închis rejectă variațiile în modul.

Specificația frecvenței de tăiere

3.1.2.Pașii proiectării

Din specificațiile dorite se formează un sistem cu trei ecuații, cu necunoscutele Kp, Ki și λ. Sistemul fiind greu de rezolvat analitic, se folosește o metodă grafică. Se exprimă și se figurează funcțiile Ki și λ, iar intersecția lor reprezintă soluția, în funcție de care se calculează și Kp

Pașii acordării regulatorului sunt următoarele:

Se alege frecvența de tăiere, ωt

Se alege marginea de fază minim dorită, φm

Se exprimă din ecuațiile Ki și λ și se figurează curbele lor

Se obține intersecția, astfel soluția lui Ki și λ și

Se calculează ultima necunoscută a sistemului, Kp

Figură 14:Soluția grafică a necunscutelor Ki și λ,

Având intersecția celor două curbe, adică valorile pentru Ki și λ, prin înlocuire se calculează și valoarea lui Kp. Astfel valorile căutate sunt:

Ki=15.87

λ=0.941

Kp=5.087

Având parametrii regulatorului, putem scrie forma regulatorului FO-PI ca:

Din păcate în practică nu se poate fi folosit forma fracțională a regulatorului. Pentru aproximarea regulatorului la o formă integrală se folosește metoda de aproximare CRONE și rezultă forma integrală de ordinul doi a regulatorului FO-PI:

3.1.3. Simulări

Verificarea regulatorului se face tot prin metodă grafică. Se verifică răspunsul în frecvență a sistemului deschi și apoi se verifică și răspunsul sistemului închis la o intrară de tip treaptă.

Figură 15:Diagrama bode a sistemului deschis, cu regulator FO-PI

Pe Figura.15, diagrama Bode a sistemului deschis este reprezentată. Poate fi observată faptul că, sistemul proiectat chiar este unul robust, datorită faptului că faza sistemului este neted în jurul frecvenței de tăiere.Prin urmare, în cazul în care apar mici modificări în modulul sistemului, faza rămâne același.

Figură 16:Răspunsul indicial al sistemului închis, reglat cu regulatorul FO-PI

Pe Figura 16. apare răspunul sistemului la treapta unitară. Se remarcă faptul că regulatorul funcționează corect, sistemul nu are eroare staționară, și răspunde într un timp decent.

Având figurile prezentate mai înainte, oricine poate confirma că controlerul FO-PI reglează după specificațiile dorite procesul descris de sistemul dinamic, dar principalul avantaj al acestui regulator, care motivează folosirea unei metode mai complicate decât regulatorele tradiționale PID nu este evident.

Figura 17. arată și comportamentul sistemului reglat de același regulator pentru un proces cu sistem dinamic modificat: un parametru al sistemului se modifică cu 20%:

Figură 17:Comparație dintre sistemul original și sistemul cu parametrii modificați

După precizările făcute de mai înainte, Fig.17 arată comportamentul sistemului modificat și cel original, și diferența dintre ele. Ușor de stabilit că diferența este minoră, luând în considerare, că procesul original este modificat cu 20%. Astfel putem conclude că regulatorul dorit, funcționează corect și are avantajul asupra regulatoarelor tradiționale PID, robustețiea, adică rejectarea perturbațiilor apărute pe proces.

3.2 Sistem Adaptiv cu Model de Referință de Ordin Fracționar(FO-MRAS)

3.2.1. Introducere

Controlul adaptiv este folosit de obicei când parametrii procesului sunt necunoscuți sau se schimbă în timp. Astfel, oricum ar schimba procesul, se poate fi reglat și controlat având răspunsul dorit. Prin alte cuvinte, este o metodă de reglare prin care se asigură robustețea unui sistem.

În cele mai multe cazuri fenomenele naturii nu stunt destul de bine carazterizate prin modele dinamice de ordin întregi, în timp ce modelele fracționare pot asigura o descriere matematică mai exactă și mai corectă. În același timp putem avea specificații mai delicate, mai complexe folosind modele de referință de ordin fracționar.

Cum s-a prezentat în capitolul anterior, structura de reglare MRAC se bazează pe un model de referință. În acest caz, se folosește modelul sistemului închis cu regulatorul FO-PI, asigurând un model fracționar, cu caracteristici deja cunoscute și specificații mai complexe decât un model de ordin întreg. Drept, datorită faptului că software-rile de ziua de azi, numai modele de ordin întregi pot prelucra, folosim forma aproximată a sistemului închis ca și model de referință.

3.2.2. Proiectare

Având modelul specificat, acordarea regulatoarelor sau sistemului de reglare se face după un mechanism de ajustare, care este calculat cu ajutorul regulii MIT:

Se fixează eroarea de urmărire, diferența dintre ieșirea modelului de referință și ieșirea procesului

Se definește o funcție de cost, de exemplu

unde θ este parametrul care se adaptează.

Se construiește o ecuație pentru calcularea modului prin care se actualizează parametrul θ. Pentru minimizarea erorii se folosește ecuața:

Având pașii efectuați și presupunând că regulatorul are atât termen de amplificare în feedforward, cât și în feedback se calculează derivatele erorii în funcție de cele două termeni de amplificare, după care structura sistemului cu control adaptiv poate fi realizată.

Figură 18:Structura sistemului adaptiv cu model de referință fracționar în Simulink

Pe Fig.18 se poate fi identificată sructura sistemului de adaptare, cu modelul de referință fracționară, precizată mai înainte.În același timp, poate fi observată și mechanismul de ajustare, care este alcătuit din cele două regulatoare adaptive.

3.2.3.Simulări

Pentru verificarea corectitudinii structurii adaptive, trebuie verificat cum reacționează, cum adaptează procesul la modelul de referință. Se folosește un semnal de intrare dreptunghiulară, cu perioadă de timp suficient de mare ca sistemul să ajungă în regim tranzitoriu.

Figură 19:Comparație între răspunsul procesului și modelului de referință

Fig.19 reprezintă adaptibilitatea sistemului proiectat. Se observă că la început procesul controlat are un suprareglaj imens, o diferență majoră față de modelul de referință, însă cu trecerea timpului această diferență se dispare și procesul controlat urmărește comportamentul modelului de referință.

Pentru verificarea sistemului este important de verificat și comportamentul în cazul schimbării procesului. Pe Fig 20 putem observa cum se adaptează sistemul în cazul în care parametrii procesului sunt schimbate cu 50%.

Figură 20:Comportamentul procesului în cazul parametrilor modificați

Surprinzător, mecanismul adaptiv asigură sistemului robustețea prin urma căruia nici o schimbare atât de mare nu prea îl afectează. Nu numai că nu distruge sistemul, dar perturbațiile apărute, dupa un timp de adaptare sunt rejectate și răspunsul sistemului devine identic cu cel al modelului de referință.

3.3. Regulator FO-PI vs FO-MRAC

După prezentarea acestor metode prin care se asigură robustețea unui proces, este important cunoașterea avantajelor și dezavantajelor acestor metode în comparație. Prin urmare, în primul rând trebuie verificate răspunsurile acestora în aceleași condiții, pentru a fi în stare și decide care respectă mai bine cerințele impuse la început. În același timp, trebuie verificat și semnalul de control, datorită faptului că elementele de execuție nu suportă întotdeauna semnalul generat de regulator.

Figură 21:Comparația între răspunsurile sistemelor reglate cu FO-PI și cu FO-MRAC

Pe Fig 21. poate fi observat răspunsul regulatorului FO-PI, a sistemului adaptiv și semnalul de referință. La început, regulatorul FO-PI are performanțe mult mai bune decât sistemul adaptiv, evident, datortiă suprareglajului mare, timpul de răspuns mare și oscilațiilor apărute pe răspunsul lui FO-MRAC. În același timp, poate fi remarcat că odată cu trecerea timpului mecanismul de adaptare începe să-și facă treaba și încet încet sistemul adaptiv depășește performanțele regulatorului FO-PI: oscilațiile dispar și timpul de răspuns devine mai scurt.

Figură 22:Comparația între semnalul de comandă generat de regulatorul FO-PI și cel FO-MRAC

Pe Fig 22. este prezentată semnalul de control al regulatorului FO-PI, respectiv sistemului cu regulator FO-MRAC. După cum se observă, semnalul regulatorului FO-PI este mult mai oscilant care dăunează șocuri elementului de execuție. Evident, semnalul de control al regulatorului FO-MRAC este fără aceste oscilații, astfel are un mare avantaj față de cel anterior.

Capitolul 4.

Concluzii și dezvoltări ulterioare

Lucrarea de față a fost elaborată pentru studierea posibilităților și avantajelor calculului fracționar în domeniul teoriei sistemelor și al reglării automatelor. Fenomenele naturale sunt modelate în general prin modele dinamice, pentru simplitate de ordin întregi, dar datorită evoluției tehnologice, devin din ce în ce mai răspândite modelele de ordin fracționar, întrucât aceste modele descriu comportamentele acestor fenomene mai corect și mai complet.

În această lucrare s-a proiectat un regulator fracționar folosind domeniul frecvențial și s-au urmărit avantajele acestor noi sisteme de ordin fracționar.De asemenea s-a realizat o structură adaptivă, folosind un model de referință fractionar. Pentru regulatoarele fracționare s-a verificat robustețea asigurată sistemelor controlate prin acest tip de regulator, iar pentru sistemele adaptiv-fracționare s-a verificat dacă comportamentul procesului se adaptează cu cel precizat de modelul fracționar.

Studiul de caz constă in aplicarea metodelor descrise pe o funcție de transfer de ordinul doi, cel mai răspândit model folosit in practică. Prin simulări s-a dovedit avantajul major al unui regulator PI fracționar în comparație cu unul tradițional, datorită robusteții asigurate sistemului. Regulatorul acordat în urma proiectării a fost aproximat prin metoda de aproximare CRONE, la un ordin întreg, pentru a putea fi implementat practic. Sistemul rezultat a fost simulat și verificat în mediul de simulare Matlab/Simulink. În faza următoare a studiului, sistemul adaptiv-fracționar a folosit, ca și model de referință, sistemul proiectat prin regulatorul PI fracționar.

În urma rezultatelor prezentate, se poate conclude ca aceste metode de control avansate au avantaje majore față de cele tradiționale.În același timp s-a dovedit încă o dată, că metodă de control perfectă nu există. Cel mai important lucru este recunoașterea nevoilor și proiectarea unui sistem după acestea. Regulatorul PI asigură robustețea și performanțele dorite, dar printr-un semnal de comandă oscilantă, în timp ce sistemul adaptiv-fracționar are un semnal de comandă mai frumoasă, dar cu dezavantajul unui timp de așteptare necesar de acordat pentru adaptare.

În concluzie, aș atrage atenția asupra unei citații de la domnul George Edward P. Box, care conține un adevăr universal valabil: ”Practic, fiecare model este greșit, dar unele sunt de folos”(”Essentially, all models are wrong, but some are useful”). Consider că merită străduința cu aceste metode avansate și în continuare, precum trăim în lumea noastră, o lume perfecționistă.

Bibliografie

Lista de figuri

Figură 1:Funcția Gamma aproximată 7

Figură 2:Planul x-y pentru integrare 11

Figură 3:Sistem cu buclă închisă cu control fracționar 16

Figură 4:Efect de integrare pentru o eroare pătratică 19

Figură 5:Efect de derivare pentru un semnal de eroare trapezoidală 20

Figură 6:PID fracționar vs PID tradițional: din puncte în spațiu: (a) de ordin-întreg și (b) ordin-fracționar 22

Figură 7:Principii de proiectare a regulatorului 28

Figură 8:Sistem de control adaptiv 29

Figură 9:Configurația de bază a unui sistem de control adaptiv 31

Figură 10:Comparație dintre un regulator convențional, cu buclă de racție (a) și un controler adaptiv(b) 32

Figură 11:Proiectarea unui regulator linear folosind un model de referință 33

Figură 12:Structura de control a sistemului adaptiv cu model de referință 34

Figură 13:Structura de bază MRAC 35

Figură 14:Soluția grafică a necunscutelor Ki și λ, 39

Figură 15:Diagrama bode a sistemului deschis, cu regulator FO-PI 40

Figură 16:Răspunsul indicial al sistemului închis, reglat cu regulatorul FO-PI 41

Figură 17:Comparație dintre sistemul original și sistemul cu parametrii modificați 42

Figură 18:Structura sistemului adaptiv cu model de referință fracționar în Simulink 44

Figură 19:Comparație între răspunsul procesului și modelului de referință 45

Figură 20:Comportamentul procesului în cazul parametrilor modificați 46

Figură 21:Comparația între răspunsurile sistemelor reglate cu FO-PI și cu FO-MRAC 47

Figură 22:Comparația între semnalul de comandă generat de regulatorul FO-PI și cel FO-MRAC 48

Anexa

Această lucrare a fost prezentată la Conferința Internațională AQTR 2014, Cluj-Napoca.

Bibliografie

Anexa

Această lucrare a fost prezentată la Conferința Internațională AQTR 2014, Cluj-Napoca.