Numarul Lui Euler
INTRODUCERE
“Matematica este regina științelor, iar aritmetica este regina matematicilor.”
Carl Gauss
Încă din gimnaziu elevului îi este predat numărul iar în liceu numărul lui Euler.
În clasa a VII-a este studiat cercul și formulele pentru calculul lungimii și ariei, iar începând cu clasa a XI-a, în cadrul analizei matematice este studiat riguros numărul lui Euler.
Lucrarea de față, intitulată “Numărul . Numărul lui Euler”, își propune să analizeze proprietățile numărului și a numărului lui Euler precum și alte constante remarcabile utilizate în matematică.
În capitolul I este prezentat numărul : definiție, istoric, proprietăți, utilizare în matematică și știiință și aplicații referitoare la lungimea cercului, lungimea arcului de cerc, aria discului, aria sectorului de cerc. Toate acestea sunt prezentate în vederea înțelegerii cât mai riguroase a numărului .
Capitolul al II-lea tratează numărul lui Euler: definiție, istoric, proprietăți, utilizare în matematică și știință. De asemenea sunt rezolvate câteva aplicații rezolvate cu ajutorul limitelor remarcabile.
Capitolul al III-lea prezintă alte numere remarcabile utilizate în matematică: raportul de aur și unitatea imaginară i.
În capitolul IV sunt prezentate câteva caracteristici ale metodelor de predare activ-participative folosite matematică. Lucrarea prezintă o planificare calendaristică pentru clasa a VII-a, două proiecte didactice având ca teme “Lungimea cercului și aria discului”, “Limite de funcții. Cazul de nedeterminare ”, metode de învățământ și programe software educaționale utilizate în matematică.
Închei aceste rânduri mulțumindu-i domnului prof. univ. dr. Aurel Râșcanu, care, cu multă răbdare și atenție m-a îndrumat în realizarea acestei lucrări.
CAPITOLUL I.
NUMĂRUL
I.1.Definiție
Numărul π este o constantă matematică a cărei valoare este raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc într-un spațiu euclidian; este aceeași valoare ca și raportul dintre aria unui cerc și pătratul razei sale. (figura nr. 1)
Figura nr. 1. Cerc de rază R, L=lungimea cercului, A=suprafața cercului
este una dintre cele mai importante constante matematice, fiind conținută în multe formule de matematică, fizică, inginerie. Numărul pi este un număr irațional, a cărui valoare este egală, în varianta scurtă, cu 3,14.
Originea literei grecesti “pi”: prima litera a cuvintelor grecesti “perifereia” (periferie) și “perimetros” (perimetru). (figura nr. 2).
Figura nr. 2. Calculul valorii lui
Alt nume pentru numărul : “Constanta lui Arhimede“, deoarece Arhimede a fost primul care a încercat să calculeze valoarea lui cu exactitate (a observat că această mărime poate fi limitată superior și inferior înscriind cercurile în poligoane regulate și calculând perimetrul poligoanelor exterioare și respectiv inferioare).
Dacă diametrul este egal cu 1 se obține un cerc având circumferința egală cu . (figura nr. 3).
Figura nr. 3. Cercul cu diametrul egal cu 1 are circumferința egală cu . (http://ro.wikipedia.org/wiki/Pi)
Valoarea numerică
Reprezentarea zecimală a lui π trunchiat la 50 de zecimale este:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Deși reprezentarea zecimală a lui π a fost calculată cu mai mult de 1012 cifre, unele aplicații elementare, cum ar fi calculul circumferinței unui cerc, vor necesita mai puțin de 12 zecimale exacte. De exemplu, o valoare trunchiată la 11 zecimale este suficient de precisă pentru a calcula circumferința unui cerc de dimensiunile pământului cu precizie de un milimetru, iar una cu 39 de zecimale exacte este suficientă pentru a calcula circumferința oricărui cerc care încape în universul observabil cu o precizie comparabilă cu dimensiunea unui atom de hidrogen.
Întrucât π este număr irațional, el are un număr infinit de zecimale care nu conțin secvențe ce se repetă. Acest șir infinit de cifre a fascinat numeroși matematicieni și s-au depus eforturi semnificative în ultimele secole pentru a calcula mai multe cifre zecimale și de a investiga proprietățile acestui număr. În ciuda muncii analitice și a calculelor realizate pe supercalculatoare care au calculat 10 mii de miliarde de cifre ale lui π, nu a apărut niciun șablon identificabil în cifrele găsite.
Calculul lui π
π poate fi estimat empiric prin desenarea unui cerc mare, urmată de măsurarea diametrului și circumferinței sale și împărțirea circumferinței la diametru.
O altă abordare geometrică, atribuită lui Arhimede este calculul perimetrului, Pn , unui poligon regulat cu n laturi circumscris unui cerc de diametru d. Atunci
Adică cu cât mai multe laturi are un poligon, cu atât mai apropiată este aproximarea lui π. Arhimede a determinat acuratețea acestei abordări comparând perimetrul poligonului circumscris cu diametrul unui poligon regulat cu același număr de laturi înscris în cerc. Folosind un poligon cu 96 de laturi, el a calculat că: 310⁄71 < π <31⁄7.
π poate fi calculat și folosind metode pur matematice. Majoritatea formulelor utilizate pentru calculul valorii lui π au proprietăți matematice dorite, dar sunt dificil de înțeles fără cunoștințe de trigonometrie și analiză matematică. Unele, însă, sunt foarte simple cum este de exemplu această formă a seriei Gregory-Leibniz:
Deși această serie este ușor de scris și calculat, nu este evident de ce rezultatul ei este π. În plus, această serie converge atât de încet încât trebuie calculați aproape 300 de termeni pentru a obține o aproximare a lui π cu 2 zecimale exacte. Calculând această serie într-o manieră mai inteligentă, luând mediile sumelor parțiale, ea poate fi făcută să conveargă mult mai rapid. Fie
și atunci se definește
, pentru fiecare i,j 1.
apoi se calculează 10,10 într-un timp de calcul echivalent cu calculul a 150 de termeni ai seriei originale cu metoda forței brute și 10,10 = 3,141592653…, aproximare cu 9 zecimale exacte.
I.2.Istoric
a fost considerat mult timp un număr misterios care a suscitat numeroase cercetări.
Noi cunoaștem azi drept valoare pentru numărul 3,141.592.653…, dar, în decursul istoriei, valoarea lui nu a fost întotdeauna aceeași, ci a variat față de acest număr, în funcție de epocă, zonă geografică și popoare.
Vechile valori ale lui au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de încercări. Astfel, se lua pur și simplu o sfoară și se înconjura cu ea un cilindru, după care se măsurau lungimea ei și diametrul cercului. Ceea ce ieșea din această împărțire era valoarea lui , deși în aceea vreme, acest raport nu se nota cu această literă.
Unii autori împart progresul numărului în trei perioade:
perioada veche, în care a fost studiat geometric,
epoca clasica de după dezvoltarea analizei matematice în Europa în preajma secolului al XVII-lea,
era calculatoarelor numerice
Evoluția cronologică a numărului este descrisă în tabelul următor: [1]
I.3.Proprietățile numărului
1.π este un număr irațional, adică valoarea sa nu poate fi exprimată exact sub formă de fracție m/n, cu m și n întregi. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu are sfârșit și nu începe nici să se repete. Iraționalitatea sa a fost demonstrată complet abia în secolul XVIII.
2. nu este construibil geometric (nu se poate construi cu rigla și compasul un pătrat cu aria egală cu cea a unui cerc dat – aceasta este o problema de geometrie veche și celebră, cunoscută sub numele de “Cuadratura cercului“, care este o problemă fără soluție).
3.Numărul este transcendent, ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un șir finit de operații algebrice cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.) al căror rezultat să fie egal cu valoarea lui; demonstrarea acestui fapt a fost o realizare relativ recentă în istoria matematicii și un rezultat semnificativ al matematicienilor germani ai secolului al XIX-lea. De-a lungul istoriei matematicii s-au depus eforturi semnificative de a determina π cu mai multă precizie și de a-i înțelege natura; fascinația acestui număr a intrat și în cultura nematematică. (figura nr. 4)
Figura nr. 4. Construirea unui pătrat cu aceeași arie ca un cerc dat este o problemă cunoscută încă din antichitate. Însă în 1882 s-a demonstrat că π este este un număr transcendent, și deci un asemenea pătrat nu poate fi construit într-un număr finit de pași folosind numai rigla și compasul
4.Aproximări numerice
Din cauza naturii transcendente a lui π, nu există expresii cu formă închisă pentru acest număr în termeni de numere și funcții algebrice. Printre formulele de calcul al lui π cu ajutorul aritmeticii elementare se numără seriile care dau un șir infinit de aproximări ale lui π. Cu cât se includ mai mulți termeni într-un calcul, cu atât mai aproape de π va fi rezultatul.
De aceea, calculele numerice trebuie să folosească aproximări ale lui π. Pentru multe scopuri, 3,14 sau 22/7 este o aproximare suficientă, deși inginerii folosesc adesea 3,1416 (4 zecimale exacte) sau 3,14159 (5 zecimale exacte) pentru mai multă precizie. Aproximările 22/7 și 355/113, cu 2, respectiv 6 zecimale exacte, se obțin din dezvoltarea în fracții continue simple a lui π. Aproximarea 355⁄113 (3.1415929…) este cea mai bună aproximare ce poate fi exprimată cu un numărător și un numitor de 3 sau 4 cifre; următoarea aproximare acceptabilă este 103993/33102 (3.14159265301…) și necesită numere mult mai mari, din cauza structurii dezvoltării în fracție continuă.
Prima aproximare numerică a lui π este aproape sigur valoarea 3. În cazuri în care nu se cere precizie mare, ar putea fi chiar acceptabilă. Faptul că 3 este o rotunjire prin lipsă rezultă din faptul că este raportul dintre perimetrul unui hexagon regulat înscris și diametrul cercului circumscris lui.
5.Întrebări deschise
Cea mai presantă întrebare deschisă despre π este dacă este număr normal -adică dacă orice bloc de cifre ce apare în π la fel de des ca în cazul unui număr generat „aleator”, și dacă aceasta este adevărată în orice bază întreagă de numerație, nu doar în baza 10. Actualmente nu se știe foarte mult; nu se cunoaște nici care dintre cifrele 0,…,9 apar infinit de des în expresia zecimală a lui π.
Bailey și Crandall au demonstrat în 2000 că din existența formulei Bailey-Borwein-Plouffe menționată mai sus și a altora similare rezultă că normalitatea în baza 2 a lui π și a altor constante se poate reduce la o conjectură plauzibilă din teoria haosului.
Nu se cunoaște nici dacă π și e sunt independente algebric, deși Iuri Nesterenko a demonstrat independența algebrică a numerelor {π, eπ, Γ(1/4)} în 1996.
I.4.Utilizare în matematică și științe
I.4.1. Geometrie și trigonometrie
Pentru orice cerc de rază r și diametru d = 2r, circumferința este πd și aria este πr2. Mai mult, π apare în formulele pentru arie și volum al multor forme geometrice bazate pe cerc, cum ar fi elipsa, sfera, conul și torul. Astfel, π apare în integralele definite care descriu circumferința, aria sau volumul unor forme generate de cercuri. În acest caz simplu, jumătate din aria discului unitate este dată de:
și
dă jumătate din circumferința cercului unitate. Forme mai complicate pot fi integrate ca corpuri de rotație.
De la definiția pe cercul unitate a funcțiilor trigonometrice rezultă și că sinusul și cosinusul au perioada 2π. Astfel, pentru orice x real și orice număr întreg n, sin(x) = sin(x + 2πn) și cos(x) = cos(x + 2πn). Deoarece sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 oricare ar fi un număr întreg n. De asemenea, măsura unui unghi de 180° este egală cu π radiani. Cu alte cuvinte, 1° = (π/180) radiani.
În matematica modernă, π este adesea definit cu ajutorul funcțiilor trigonometrice, de exemplu ca cel mai mic număr pozitiv x pentru care cos x = 0, pentru a evita dependența nenecesară de subtilitățile geometriei euclidiene și ale integrării. Echivalent, π poate fi definit cu ajutorul funcțiilor trigonometrice inverse, de exemplu care π = 2 arccos(0) sau π = 4 arctan(1). Expanding inverse trigonometric functions as powes as power series is the easiest way to derive infinite series for π.
I.4.2. Numere complexe și analiza matematică
Un număr complex poate fi exprimat în coordonate polare după cum urmează:
z=r (cos+isin)
Apariția frecventă a lui π în analiza complexă poate fi legată de comportamentul funcției exponențiale de variabilă complexă, descrisă de formula lui Euler
ei= cos+isin
Figura nr. 5. Formula lui Euler în planul complex. Creșterea unghiului φ la π radiani (180°) dă identitatea lui Euler.
unde i este unitatea imaginară ce satisface relația i2 = −1 și e ≈ 2.71828 este numărul lui Euler. Din această formulă rezultă că puterile imaginare ale lui e descriu rotații pe cercul unitate în planul complex; aceste rotații au o perioadă de 360° = 2π. În particular, rotația cu 180° φ = π are ca rezultat remarcabila identitate a lui Euler
ei=-1
ei+1=0
Identitatea lui Euler este celebră pentru că leagă câteva constante și operatori matematici de bază.
Există n rădăcini diferite de ordin n ale unității
e2ik/n (k=0,1,2,…,n-1).
Integrala gaussiană
O consecință este că funcția gamma a semiîntregilor este un multiplu rațional de .
Integrale definite
I.4.3.Fizică
Deși nu este o constantă fizică, π apare frecvent în ecuații ce descriu principii fundamentale ale Universului, datorită relației sale cu natura cercului și, prin aceasta, de sistemul de coordonate polare. Utilizarea unor construcții cum ar fi unitățile Planck pot uneori să-l elimine pe π din formule.
Constanta cosmologică:
Principiul de incertitudine al lui Heisenberg, care arată că incertitudinea măsurării poziției unei particule (Δx) și a impulsului (Δp) nu pot fi ambele oricât de mici în același timp:
Ecuațiile lui Einstein din teoria relativității generale:
Legea lui Coulomb pentru forța electrică, descriind forțele ce acționează între două sarcini electrice (q1 și q2) aflate la o distanță relativă r:
permeabilitatea magnetică a vidului:
Constanta legii a treia a lui Kepler, ce leagă perioada orbitală (P) și axa semimajoră (a) de masele (M și m) a două corpuri pe orbită unul în jurul altuia:
I.4.4. Statistică și probabilități
În statistică și probabilități, există mai multe distribuții ale căror formule conțin π, printre care:
funcția de densitate de probabilitate pentru distribuția normală cu media μ și deviația standard σ, datorită integralei gaussiene:
funcția de densitate de probabilitate pentru distribuția Cauchy (standard):
.
Întrucât pentru orice funcție de densitate de probabilitate f(x), formulele de mai sus se pot utiliza pentru a produce alte formule integrale pentru π.
Acul lui Buffon este o problemă adesea folosită pentru aproximarea empirică a lui π. Dacă se aruncă un ac de lungime L în mod repetat pe o suprafață cu linii paralele aflate la S unități de lungime distanță (cu S > L). Dacă acul este aruncat de n ori și de x ori dintre acestea el intersectează o linie dreaptă (x > 0), atunci se poate aproxima π cu ajutorul metodei Monte Carlo :
Deși acest rezultat este impecabil din punct de vedere matematic, el nu poate fi folosit pentru a determina mai mult de câteva cifre ale lui π prin experiment. Obținerea a doar trei cifre (inclusiv "3"-ul care este partea întreagă) corecte cu siguranță necesită milioane milioane de aruncări, și numărul de aruncări crește exponențial cu numărul de cifre dorit. Mai mult, orice greșeală de măsurare a lungimilor L și S se va transforma direct într-o eroare de aproximare a lui π. De exemplu, o diferență de un singur atom în lungimea unui ac de 10 centimetri va apărea la a 9-a cifră a rezultatului. În practică, incertitudinea de a determina dacă acul intersectează sau nu o linie când el pare să o atingă exact va limita acuratețea rezultatului la mai puțin de 9 cifre.
Algoritmi probabilisti. Acul lui Buffon
Se consideră o mulțime de linii paralele astfel încât oricare două linii vecine sunt la distanță de o unitate. Un ac (segment) de lungime o jumătate de unitate este aruncat aleator și se numără de câte ori a intersectat o linie.
Pe un plan sunt trasate drepte paralele, astfel ca distanța între oricare două drepte consecutive să fie 2a , a > 0. Pe acest plan se aruncă la întâmplare un ac de lungime 2l, cu l > 0 și l < a. Care este probabilitatea ca acul să întretaie una din aceste drepte?
Se poate demonstra că probabilitatea ca acul să intersecteze o linie este 1/π. Practic, după un număr "suficient de mare" de încercări, raportul dintre numărul total de încercări și numărul cazurilor in care acul a intersectat vreo linie va fi "suficient de aproape" de π.
Figura nr. 6. Problema Acul lui Buffon
Rezolvare:
Poziția acului față de dreptele rețelei este determinată de distanța d, a mijlocului său, la cea mai apropiată dintre drepte și prin unghiul α pe care-l face direcția acului cu direcția dreptelor. Se observă că d ia o valoare în intervalul [0, a] iar α în [0, π]. Poziția acului fiind determinată de două numere poate fi reprezentată printr-un punct în plan.
Mulțimea pozițiilor posibile ale acului este reprezentată de mulțimea punctelor din domeniul D. Mulțimea pozițiilor acului, în care intersectează una din dreptele rețelei, este reprezentată de mulțimea punctelor domeniului D’, definit prin:
D′ = {(d,α):0 ≤ d ≤ l sinα,α ∈[0,π]}
Probabilitatea căutată a intersecției este:
Figura nr. 7. Calcul probabilitate
Ținând seama de rezultatul obținut și mai ales de posibilitatea simulării pe calculator, de un număr foarte mare de ori a acestui experiment aleator, el poate fi utilizat pentru obținerea unei valori aproximative a numărului irațional π.
I.5.Aplicații
I.5.1.Lungimea cercului
Raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său este constant (este același pentru toate cercurile). (figura nr. 1)
Această constantă este un număr irațional și se notează cu π. Valoarea cu aproximație de o sutime prin lipsă a lui π este 3,14.
Dacă L este lungimea unui cerc și R este raza sa, avem: , deci
Aplicații propuse:
1.Calculați lungimea unui cerc cunoscând:
a)R=2 m;
b)R=30 cm;
c)D=18 m;
d)R=0,5 dm;
e)D=110.
2.Aflați raza cercului știind că:
a)L=6 cm;
b)L=18 dm;
c)L=5 m;
d)L=0,75 dm;
e)L=10.
I.5.2.Lungimea arcului de cerc
Lungimea unui arc de cerc cu măsura u dintr-un cerc de rază R este dată de formula: . (figura nr. 8)
Figura nr. 8. Lungimea arcului de cerc
Măsura unui arc de cerc este exprimată în grade, iar lungimea arcului este exprimată în aceeași unitate de măsură în care este exprimată raza cercului din care face parte.
Probleme rezolvate
1. În figura nr. 9 este reprezentată o curea de transmisie. Folosind datele de pe desen calculați lungimea curelei.
Figura nr. 9. Curea de transmisie
Rezolvare:
Dacă l este lungimea curelei avem:
În trapezul dreptunghic se duce perpendicular pe OA.
În avem: și .
Folosind teorema lui Pitagora obținem: . Deci
În triunghiul dreptunghic avem: și
măsura arcului mare este și mai departe că
Deci cm.
2. Fie cercul de centru O și raza de 4 cm și [MN] o coardă cu lungimea de 4 cm. Calculați lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN]. (figura nr. 10)
Figura nr. 10. Aplicația 2
Rezolvare:
este dreptunghic în
Deci cele două arce au măsurile de și . Lungimea arcului mic este iar a celui mare este 12π.
Aplicații propuse:
1. Copiază și completează tabelul următor:
2. Raportul razelor a două cercuri este Calculează raportul lungimilor celor două cercuri.
3. Află lungimea cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura de cm.
4. Află lungimea cercului înscris și lungimea cercului circumscris unui pătrat cu latura de 10 cm.
5. Un triunghi DEF cu și este înscris într-un cerc cu raza de 18 cm. Calculează lungimile arcelor DE, EF și DF.
6. Într-un cerc cu raza de 6 cm se consideră o coardă cu lungimea de cm. Calculează lungimile arcelor determinate.
7. Triunghiul ABC cu și este înscris într-un cerc cu raza de 9 cm. Calculează lungimile arcelor AB, BC și CA.
8. Calculează lungimea curelei de transmisie din figura alăturată.
Figura nr. 11. Aplicația nr. 8
9. În figura alăturată, OMNP este un pătrat cu aria 32 cm2. Află lungimile arcelor QN și NT.
Figura nr. 12.Aplicația nr. 9
I.5.3.Aria cercului
Aria discului de rază R este dată de formula
Aplicații propuse:
1. Calculați aria unui disc cunoscând:
a)R=3 m;
b)R=7x cm;
c)D=12 dm;
d)R=0,8 m;
e)D=120.
2.Aflați raza unui cerc cunoscând aria discului:
a)A=25 cm2;
b)A= m2;
c)A=20 dm2;
d)A=100 cm2;
e)A=1002.
I.5.4.Aria sectorului de cerc
Fie un arc al unui cerc cu centrul O și raza R. Reuniunea tuturor segmentelor OP, unde P este un punct oarecare pe , se numește sector. se numește arcul sectorului, iar R raza lui.
Aria unui sector de rază R cu măsura arcului său este dată de formula: .
Figura nr. 13. Aria unui sector de cerc
Problemă rezolvată
Calculați aria suprafeței albe din desenul alăturat.
Figura nr. 14. Problema rezolvată
Rezolvare:
Se observă că , unde R este raza cercului și deci coincide cu latura unui triunghi echilateral înscris în acest cerc. Rezultă că: .
Aria cerută se obține, scăzând din aria sectorului AOB aria triunghiului AOB. Aria sectorului este egală cu
(1)
Triunghiul OAB este isoscel și deci:
.
Fie ODAB. În triunghiul dreptunghic ODA, [OD] este cateta care se opune unghiului de 30 și deci:
(2)
Din (1) și (2) , unde A este aria cerută.
Aplicații propuse
Copiați și completați tabelul:
1. Lungimea unui cerc este de 18π cm. Calculează aria discului corespunzător.
2. Aria unui disc este de 49π cm2. Calculează lungimea cercului corespunzător.
3. Aria unui disc este de 18π cm2. Află aria unui sector din acest disc ce corespunde unui arc cu măsura de 36.
4. Află aria suprafeței cuprinse între un arc de cerc cu măsura de 60 și coarda corespunzătoare, știind că raza cercului este de 36 mm.
5. Calculează aria suprafeței cuprinse între un triunghi echilateral cu latura de cm și cercul circumscris acestuia.
CAPITOLUL II.
NUMĂRUL LUI EULER
II.1.Definiție
Numărul e
Constanta matematică e este un număr irațional transcedental cu proprietatea că valoarea derivatei f(x) = ex în punctul x = 0 este exact 1. Funcția ex este numită funcție exponențială, și inversa ei este logaritmul natural, sau logaritm în baza e.
Figura 1. e este singurul număr cu proprietatea că valoarea derivatei f (x) = ex (linia albastră) în punctul x = 0 este exact 1. Pentru comparație sunt arătate funcțiile 2x (linia punctată) și 4x(linia întreruptă); ele nu sunt tangente la linia de pantă 1 (linia roșie).
Numărul e este uneori numit și numărul lui Euler după matematicianul elvețian Leonhard Euler, sau constanta lui Napier în cinstea matematicianului scoțian John Napier, care a introdus logaritmii (e nu trebuie confundat cu γ, constanta Euler-Mascheroni, și ea numită uneori constanta lui Euler).
Deoarece e este un număr transcendent, și deci irațional, valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit de zecimale (nici măcar cu perioadă). O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este e≈2,71828 18284 59045 23536.
Problema nr. 1
Presupunem că populația unei colectivități este, la un moment dat, P și că în fiecare an ea crește cu c%. Peste un an populația respectivă va fi , peste doi ani , iar peste n ani, , așa cum se verifică prin inducție.
Notând
, rezultă
.
Dacă , atunci etc.
Vom vedea că limita există și are o valoare remarcabilă, anume numărul e. Atunci pentru c ”suficient de mic” are loc formula aproximativă și, în consecință,
De exemplu, dacă , atunci peste 50 de ani populația va deveni . Există multe alte probleme în rezolvarea cărora se folosește numărul e.
Trecem la definiția numărului e.
Considerăm șirul de numere raționale
. (1)
Se pot calcula diverși termeni ai acestui șir: etc. și aceasta sugerează că șirul este crescător, cu termenii cuprinși între 2 și 3. Într-adevăr, are loc
TEOREMA 1. Șirul este strict crescător și mărginit (deci convergent).
Demonstrație. Considerăm formula binomului lui Newton
Înlocuind aici , membrul stâng este egal cu ; observând că
,
Pentru , rezultă că
(2)
Înlocuim n cu n+1 și rezultă
;
observând că ,
se obține că .
Din relația (2) rezultă direct că
(3)
Ținând cont că, pentru orice natural, avem , deci , avem
. (4)
Din relațiile (3) și (4) rezultă și teorema este demonstrată.
DEFINIȚIE. Limita șirului se notează cu e (după inițiala numelui lui L. Euler, 1707-1783).
Indicăm acum un alt șir convergent către e, anume șirul
Este evident că , deoarece . Apoi, aplicând (4), avem . Așadar, șirul este monoton și mărginit, deci convergent. Fie .
Deoarece , conform (3), rezultă .
Pe de altă parte, pentru orice fixat și pentru orice avem, conform (2):
și în membrul drept se însumează k+1 termeni. Făcând și observând că parantezele tind către 1, rezultă că fixat, deci . În concluzie E=e, adică
.
Cu alte cuvinte, am demonstrat
TEOREMA 2. Seria este convergentă și are suma e.
Aplicație. Calculăm e cu — aproximare. Deoarece avem formula aproximativă , cu eroarea absolută: .
Reținem astfel inegalitatea
(5)
Alegem n natural minim astfel încât , deci n=9. Atunci
II.2.Istoric
O apariție misterioasă în lumea matematicii a avut-o numărul e.
Numărul de zecimale ale lui e cunoscute a crescut dramatic în ultimele decenii. Aceasta se datorează atât creșterii performanțelor calculatoarelor, cât și dezvoltării de algoritmi.
Primele 200 de zecimale ale lui e
II.3.Proprietăți
Analiza matematică
Funcția exponențială f(x) = ex este importantă în parte pentru că este singura funcție netrivială (până la înmulțirea cu o constantă) care este propria sa derivată, și deci și propria sa primitivă:
și
Funcții asemănătoare cu exponențiala
Numărul x=e este locul unde se află maximul global al funcției
.
Mai general, este maximul global pentru funcția .
Expresia
converge doar dacă datorită unei teoreme a lui Leonhard Euler.
ex este de regulă definit ca
Teoria numerelor
Numărul real e este irațional și, mai mult, transcendent (teorema Lindemann–Weierstrass). A fost primul număr demonstrat a fi transcendent fără a fi construit cu acest scop (spre deosebire de numărul Liouville). Demonstrația a fost dată de Charles Hermite în 1873.
Numere complexe
Apare în formula lui Euler, o importantă formulă legată de numere complexe:
Cazul special x = π este cunoscut ca identitatea lui Euler:
ei+1=0
de unde rezultă că
loge(-1)=i.
Mai mult, folosind legile exponențierii,
numită și formula lui de Moivre.
Reprezentări ale lui e
Numărul e poate fi reprezentat ca număr real în mai multe moduri: ca o serie, ca produs infinit, ca fracție continuă, sau ca limita unui șir. Principala reprezentare, mai ales în cursurile de analiză matematică introductivă este limita
ca și seria
dată prin evaluarea seriei de puteri pentru ex la x=1.
Există și alte reprezentări mai rare. De exemplu, e poate fi exprimat cu ajutorul fracției:
Sau, în formă mai compactă:
e=[[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, …, 1, 2n, 1, …]]
Care poate fi scrisă mai elegant permițând și zero:
e=[[1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …]]
II.4.Utilizare în matematică și științe
Problema dobânzii compuse
Jacob Bernoulli a descoperit această constantă studiind o problemă privind dobânda compusă.
Un exemplu simplu este un cont care pornește cu 1,00 (un leu) și plătește 100% dobândă pe an. Dacă dobânda este capitalizată o dată, la sfârșitul anului, valoarea contului este 2,00 (doi lei); dar dacă este capitalizată și adunată de două ori pe an, 1 este înmulțit cu 1,5 de două ori, dând 1,00×1,5² = 2,25. Capitalizând de patru ori, rezultă 1,00×1,254 = 2,4414…, și capitalizând lunar se obține 1,00×(1,0833…)12 = 2,613035….
Bernoulli a observat că acest șir se apropie de o limită pentru intervale de capitalizare din ce în ce mai mici și mai apropiate. Capitalizarea săptămânală dă 2,692597…, iar capitalizarea zilnică dă 2,714567…, cu doar doi cenți mai mult. Folosind n ca numărul de intervale, cu dobânda de pe fiecare interval, limita pentru n mare este numărul care a ajuns să fie cunoscut ca e; cu capitalizare continuă, valoarea contului va atinge 2,7182818…. Mai general, un cont care pornește de la un leu, și produce (1+R) lei la dobândă simplă va da eR lei la dobândă continuă.
Testele Bernoulli
Numărul e are aplicații și în teoria probabilităților, unde apare într-un mod fără o legătură evidentă cu creșterea exponențială. Presupunând că un jucător joacă la un joc mecanic cu probabilitatea de câștig de 1 din n, el jucând de n ori. Atunci, pentru n mare (cum ar fi un milion) probabilitatea ca jucătorul să nu câștige nimic este (aproximativ) .
Acesta este un exemplu de Test Bernoulli. De fiecare dată când jucătorul joacă, el are o șansă dintr-un milion să câștige. Jucând de un milion de ori, șansele de câștig sunt modelate de distribuția binomială, strâns legată de teorema binomială. Probabilitatea de a câștiga de k ori dintr-un milion este :
.
În particular, probabilitatea de câștig de k=0 ori este
.
Aceasa este foarte aproape de următoarea limită pentru 1/e:
.
Problema pălăriilor
O altă aplicație a lui e, descoperită și ea parțial de Jacob Bernoulli împreună cu Pierre Raymond de Montmort este problema pălăriilor. Aici n musafiri sunt invitați la o petrecere, și la intrare fiecare își lasă pălăria la garderobă unde fiecare este pusă în cutii etichetate. Dar la garderobă nu se cunosc numele musafirilor, deci sunt puse în cutii etichetate aleator. Problema lui de Montmort este: care este probabilitate ca niciuna din pălării să nu fie pusă în cutia potrivită? Soluția este:
Când numărul n de musafiri tinde la infinit, pn tinde la 1/e. Mai mult, numărul de moduri în care pălăriile pot fi puse în cutii astfel încât niciuna din ele să nu fie în cutia corespunzătoare este exact n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg.
e în analiza matematică
Figura nr. 2.e în analiza matematică
logaritm natural din e, ln(e), este egal cu 1.
Motivul principal pentru introducerea numărului e, în particular în analiza matematică, este pentru a efectua derivarea și calculul integral cu funcții exponențiale și logaritmi. O funcție exponențială generală y=ax are derivata dată ca limita:
Limita din dreapta este independentă de variabila x: ea depinde doar de baza a. Când baza este e, această limită este egală cu unu, și astfel e este simbolic definit de ecuația:
În consecință, funcția exponențială cu baza e este potrivită pentru analiza matematică. Alegerea lui e, în comparație cu alegerea oricărui alt număr, ca bază a funcției exponențiale simplifică mult calculele privind derivata.
Un alt motiv vine din considerarea logaritmului în bază a. Considerând definiția derivatei lui logax ca limita:
Din nou, este o limită nedeterminată care depinde doar de baza a, iar dacă această bază este e, limita este unu. Deci simbolic,
Logaritmul cu această bază particulară se numește logaritm natural (adesea notat cu "ln"), și acesta se comportă bine la derivare deoarece nu există o limită nedeterminată care să încarce calculele.
Există deci două moduri în care se poate alege numărul particular a=e. Unul este de a pune derivata funcției exponențiale ax egală cu funcția ax însăși. Celălalt mod este de a pune derivata logaritmului în bază a egal cu 1/x. În orice caz, se ajunge la o alegere convenabilă a bazei pentru efectuarea operațiilor de analiză. De fapt, cele două baze sunt una și aceeași, numărul e.
Alte caracterizări
Sunt posibile și alte caracterizări ale lui e: una este ca limita unui șir, alta este ca suma unei serii, iar altele se bazează pe calculul integral. Deocamdată, se pot introduce următoarele două proprietăți echivalente:
1. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că
2. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că
Următoarele definiții alternative sunt și ele demonstrate ca fiind echivalente:
3. Numărul e este limita
Aria de sub graficul funcției y = 1/x este egală cu 1 pe intervalul 1 ≤ x ≤ e.
4. Numărul e este suma seriei
unde n! este factorialul lui n.
5. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că
(adică numărul e cu proprietatea că aria de sub hiperbola de la 1 la e este egală cu 1).
6. Numărul e este limita
II.5.Limite remarcabile
Limite remarcabile legate de exponențiale și logaritmi. Din definiția numărului e, se poate deduce că
.
Făcând schimbarea de variabilă , se poate demonstra că
.
De aici rezultă că
.
De asemenea, pentru , notând , avem , deci
În fine, pentru orice număr real r, notând avem
Reținem așadar următoarele limite:
Probleme rezolvate
1)
De aici,
2)
3)
4)
Punând , rezultă
5)
6.=.
7.
CAPITOLUL III.
ALTE NUMERE REMARCABILE
Pe lângă constanta lui Arhimede (Pi): 3.1415… și numărul lui Euler (e): 2.7182… prezentate în primele două capitole, în calcule se utilizează și alte constante:
1. Raportul de aur (The Golden Ratio): 1.6180…
Acesta este folosit în analiza financiară pentru a determina dacă o piață își va continua sau va modifica creșterea.
2. Unitatea imaginară: i
Numerele negative nu au rădăcină pătrată, iar acest lucru îngreunează progresul în matematică. Soluția este unitatea imaginara i, egală cu rădăcina pătrată a lui -1.
III.1.Raportul de aur
Ideea că Universul este guvernat de numere a fascinat, atât matematicieni, cât și fizicieni, filozofi sau teologi.
Numărul phi, sau proporția de aur, este un număr irațional 1,618033… putând fi definit în diferite moduri. Acesta este primul număr irațional descoperit și definit în istorie și este notat cu litera gracească Φ (phi).
Cunoscut în antichitate de vechii întelepți, iar apoi în evul mediu de marii filozofi, preoți și alchimiști, numărul de aur a ascuns întotdeauna mari mistere.
III.1.1.Istoric
Secțiunea de Aur a segmentului a+b din desen este realizată atunci când raportul dintre a+b și a este egal cu raportul dintre a și b. În această ilustrație a este numit "extremă rație", iar b este numit "medie".
Euclid l-a denumit pe Φ ca fiind simpla împărțire a unui segment de dreaptă, în ceea ce el a numit "medie" și "extremă rație". Raportul de aur este un număr irațional, și poate fi calculat din ecuația:
care conduce la: φ2 − φ − 1 = 0, având ca rezultat:
Mulți artiști și arhitecți și-au proporționat lucrările conform raportului de aur, considerând că acesta conferă lucrării o estetică plăcută. În matematică acest raport are proprietăți interesante, și mai poate fi exprimat ca:
Care este justificația pentru înzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte?
Dacă notăm 𝜙=u/v, vom rezolva ecuația pentru 𝜙, observând că:
Rădăcina pozitivă a ecuației, care se poate scrie
𝜙2 – 𝜙 – 1 = 0
este: o constantă care este numită Numărul de aur sau Proporția de aur.
Dacă presupunem u=1, atunci
Cum am presupus mai devreme. Notăm numărul υ = 0.6180339887… = Ф
În secolul V î.Hr. matematicianul grec Hispassus din Metapontum a descoperit că Φ este un număr cu un număr infinit de zecimale, care nu prezintă nici o regularitate în repetarea lor (număr irațional). El a descoperit că Φ nu poate fi exprimat ca un raport între două numere întregi. În legătură cu aceasta se definește și proprietatea incomensurabilității a două numere:
Fie a,b două numere oarecare, iar x,y numere aparținând mulțimii numerelor întregi și y≠0;
Dacă a/b≠x/y, oricare ar fi x și y,
atunci a și b sunt numite numere incomensurabile.
În caz contrar spunem că a și b sunt numere comensurabile.
Numărul Φ a fost cunoscut încă din antichitate, iar din secolul XIX a primit numele de "Secțiunea de Aur", "Numărul de Aur" sau "Raportul de Aur". Prima definiție clară a numărului a fost datată prin jurul anului 300 î.Hr. de către Euclid din Alexandria, părintele geometriei ca sistem deductiv formalizat. Asemenea numere nesfârșite i-au intrigat pe oameni încă din antichitate.
În faimoasa carte a lui Martin Ohm, „Elemente”, marele matematician grec al antichității, Euclid, ne-a transmis o sinteză a cunoștințelor de geometrie elementară și de aritmetică. Printre alte probleme interesante se găsește și următoarea:
Se dă un segment AB. Să se găsească poziția punctului C pe acest segment, astfel încât raportul segmentelor AC și CB să fie egal cu raportul segmentelor AB și AC.
De ce este interesantă problema ? Pentru că valoarea raportului este numărul 1,618.
În anul 1202 în Italia apare cartea Liber Abaci (Cartea socotitului), scrisă de Leonardo Pisano (Fibonacci), carte extrem de importantă pentru că introduce în Europa cifrele arabe. Fibonacci și-a legat numele de un șir de numere pe care îl prezintă în carte ca soluție a unei probleme practice legate de înmulțirea iepurilor. Plecând de la alăturarea numerelor 1 și 1, șirul lui Fibonacci se obține cu un algoritm simplu. Următorul număr din șir este suma numerelor consecutive anterioare:
1,1 ,2 ,3 , 5 , 8 , 13, 21 , 34 , 55, 89……….
Această înșiruire este un exercițiu simplu de adunare , dar dacă se face raportul între numere consecutive ( 2/1=2; 3/2 =1,5; 5/3= 1,67;…55/34 = 1,618 ; 89/55 = 1,618) se observă că raportul ia aceeași valoare, tocmai numărul de aur.
Opera matematică a lui Luca Pacioli (1445-1517), are marele merit de a fi adus în atenția matematicienilor și artiștilor vremii, numărul de aur și de a propune conexiuni între acest număr și frumusețea exprimată în picturi.
„Primii care au folosit numărul de aur, au fost egiptenii, majoritatea piramidelor fiind construite ținând cont de numărul de aur. Grecii au fost însă cei care l-au denumit astfel, folosindu-l atât în arhitectură cât și pictură și sculptură. Phidias a construit Parthenonul pornind de la raportul de aur. În pictură a fost folosit mai ales în Renaștere, probabil cea mai discutată utilizare a acestui concept fiind în tabloul lui Leonardo da Vinci, "Mona Lisa". Capul, ca și restul corpului e compus utilizând raportul de aur – raportul divin, cum ii spunea da Vinci.
În prima jumătate a secolului trecut pictorul Piet Mondrian utilizează în picturile sale "dreptunghiul de aur", având raportul laturilor de aproximativ 1.618. De fapt, lucrările sale sunt alcătuite numai din asemenea dreptunghiuri . Aceasta e considerată cea mai armonioasă dintre formele geometrice. Cu toate astea, rareori e folosit pentru cadraje.
III.1.2.Nomenclatură
În literatura matematică de specialitate proporția de aur mai are ca simbol și litera grecească τ (tau), luată de la cuvântul grecesc τομη, to-mi, care înseamnă "tăietură" sau "secțiune". Abia la începutul secolului XX matematicianul american Mark Barr i-a dat raportului numele de Φ (phi), provenind de la prima literă din numele celebrului sculptor Phidias. Cele mai mari realizări ale lui Phidias au fost statuile Athena Partenos din Atena și Statuia lui Zeus din Olympia. În literatura dedicată matematicii distractive cele mai folosite nume sunt: Secțiunea de Aur, Raportul de Aur, Numărul de Aur și Φ. Dat fiind entuziasmul generat de acest număr încă din antichitate, am putea crede că numele de "Secțiunea de Aur" are origini vechi.
III.1.3.Studiu de caz
a. Primii care au folosit numărul de aur, au fost egiptenii, majoritatea piramidelor fiind construite ținând cont de numărul de aur. Raportul dintre mediana laterală a unei piramide și distanța de la punctul de cădere al medianei pe bază la centrul piramidei este egal cu PHI.
Röber a studiat diferite piramide egiptene, inclusiv Khafre, Menkaure si unele din Gizeh, Sakkara și Abusir . O piramidă egipteană este deosebit de aproape de un număr de aur – Marea Piramidă din Giza (cunoscută sub numele de Piramida lui Keops sau Khufu). Panta sa este de 51°52 ' – extrem de aproape de înclinația de "aur" a piramidei de 51°50' și piramida pe bază de înclinare a 51°51'; alte piramide de la Giza (Chephren, 52°20'; și Mycerinus, 50°47'); sunt, de asemenea, destul de aproape. Câteva alte piramidele egiptene sunt foarte aproape de forma rațională 3:4:5.
Michael Rice afirmă că datorită dovezilor istorice, și aici vorbim în special despre piramide, egiptenii au fost bine familiarizați cu raportul de aur și că este parte matematică a Piramidelor, citând Giedon (1957).
Istoricii de știință au dezbătut dacă egiptenii au avut o astfel de cunoaștere sau nu, mai degrabă presupunând că aspectul său egiptean într-o clădire este datorat întâmplării.
În 1859, un expert în piramide, John Taylor a susținut că, în Marea Piramidă din Giza, numărul de aur este reprezentat de raportul dintre lungimea de față (de pantă înaltime), înclinate la un unghi θ la teren, la jumătate din lungimea de partea laterală a pătratului de bază, echivalente cu secanta de unghiul θ.
b. Grecii au folosit numărul de aur atât în arhitectură cât și pictură și sculptură. Phidias a construit Parthenonul pornind de la raportul de aur. Raportul între înaltimea și lățimea acestei construcții este phi, ceea cea crează în arhitectură senzația de frumusețe absolută.
c. În Renaștere, probabil cea mai discutată utilizare a acestui concept fiind în tabloul lui Leonardo da Vinci, "Mona Lisa". Capul, ca și restul corpului e compus utilizând raportul de aur-raportul divin, cum ii spunea da Vinci.
d. În prima jumătate a secolului trecut pictorul Piet Mondrian utilizează în picturile sale "dreptunghiul de aur", având raportul laturilor de aproximativ 1.618 De fapt, lucrările sale sunt alcătuite numai din asemenea dreptunghiuri. Aceasta e considerată cea mai armonioasă dintre formele geometrice. Cu toate astea, rareori e folosit pentru cadraje.
e.Raportul dintre distanța de la cot la încheietura palmei și cea până la vârful degetului mijlociu este phi. Raportul dintre distanța de la vârful degetului mijlociu la umărul unui corp uman și cea până la cot este tot phi. Chiar și structura de bază a ADN-ului este clădită în spirală și prezintă rapoarte de valoare constantă phi. Să fie oare esența propagării simetriei divine la toate organismele vii? Mai mult, molecula masoară 34 pe 21 la fiecare ciclu complet al dublei sale spirale elicoidale. 34 și 21 sunt ambele numere Fibonacci, iar raportul lor e o valoare foarte apropiată de phi (1.6190…). Se pare că și raportul temporal dintre bătăile sistolice ale inimii umane s-ar petrece după o proporție phi.
f. Celebrele viori Stradivarius sunt făcute respectând proporțiile în phi la întretăierea fiecărui nou element sau a formelor. E inexplicabil cum respectarea acestor proporții duce la crearea unor sunete atât de “perfecte”. Frecvențele muzicale și gamele sunt bazate pe rapoarte ale numerelor Fibonacci.
III.1.4.Șirul lui Fibonacci
În matematică există o infinitate de șiruri de numere, care au la bază o formulă, pe baza căreia se generează elementele șirului.
De exemplu șirul de numere prime: „2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,… 97, 101, 103,…2n+1,…2n+1” este format din numere care se împart exact doar la 1 și la ele însele.
Sau șirul de numere pare naturale: „2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22…n” a cărui elemente se împart exact la doi ( n=2p).
Sau șirul de numere formate din puteri ale lui 3: „3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187…” care mai poate fi scris și „31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,…”.
Printre infinitatea de șiruri existente în lumea matematicii, italianul Leonardo of Pisa, cunoscut și sub numele de Fibonacci, a descoperit un șir de numere extraordinar de interesant: „0, 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…”.
Formula pe baza căruia se obține acest șir este una foarte simplă: primele două elemente ale șirului sunt 0 și 1, iar al treilea element se obține aduându-le pe primele două: 0+1 = 1. Al patrulea se obține aduându-le pe al treilea cu al doilea (2+1=3). Al cincilea se obține aduându-le pe al patrulea cu al treilea (3+2=5), și tot așa, până la infinit. În figura nr. 1 se poate observa mai bine cum se obțin elementele șirului, prin adunarea celor două care le preced.
Figura nr. 1.Șirul lui Fibonacci. Raportul de aur
Primul lucru interesant care se observă în acest șir este că dacă împărțim un element al Șirului Fibonacci la precedentul său obținem rezultatul 1,61803. Acest lucru este valabil de la 14-lea element în sus (233:144=1,61803, 377:233=1,61803, etc.), indiferent cât de mare a fi acel număr din șir. În figura nr. 1 puteți observa mai bine cum se obține acest rezultat de 1,61083.
Acest număr a fost denumit φ (phi) fiind considerat încă din antichitate raportul de aur sau numărul de aur, datorită întâlnirii frecvente a acestui raport în lumea care ne înconjoară. Se află în raportul de aur oricare două numere care îndeplinesc condiția de mai jos:
Șirul lui Fibonacci poate fi reprezentat și geometric într-o multitudine de feluri. Mai jos puteți vedea o reprezentare geometrică simplă, ușor de înțeles chiar și pentru cei mai puțin familiari cu legile matematicii.
Figura nr. 2. Aplicație geometrică a șirului lui Fibonacci
Am desenat un dreptunghi cu lungimea de 55 cm și lățimea de 34 cm. În interiorul acestuia desenăm un pătrat care să aibă latura exact cât lățimea (de 34 de cm). În acest moment s-au format două figuri mai mici: un pătrat cu latura de 34 de cm și un dreptunghi cu lungimea de 34 de cm și lățimea de 21 cm (55-34). Repetăm procedeul și desenăm iarăși un pătrat în dreptunghiul mic abia format. De data această pătratul va avea ca latură 21 cm. În acest moment pe lângă acest nou pătrat a apărut și un alt dreptunghi și mai mic cu lungimea de 21 cm și lățimea de 13 cm (34-21). Repetăm procedeul și vom obține alt pătrat cu latura de 13 cm și un dreptunghi și mai mic cu lungimea de 13 cm și lățimea de 8 cm. Și tot așa până când ajungem să desenăm ultimul pătrat care va avea latura exact de 1 cm și care va forma în celaltă parte tot un pătrat de 1 cm.
După cum observați dimensiunile geometrice ale acestui dreptunghi sunt exact elementele Șirului lui Fibonacci. Dacă am desena un arc de cerc din pătratul cel mai mic și l-am continua prin celălalt mai mare, și apoi prin următorul și tot așa, am obține o spirală.
Dacă am încadra acest dreptunghi cu latura de 55 cm într-unul și mai mare cu latura de 89 cm, iar pe acesta de 89 cm într-unul de 144 cm, și tot așa, atunci spirala obținută ar fi din ce în ce mai mare, dar ar urmări exact aceeași formulă.
III.2.Unitatea imaginară i
Cel mai fascinant lucru în matematică este faptul că ii R (ii =0,207879576).
Originea numărului i
În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma
x2+p=0, cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma x2 –q=0 , unde q nu este un pătrat perfect.
Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:
(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d),
(a,b)*(c,d) = (ac – bd, bc + ad).
Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu C.
Elementul neutru al operației de adunare este (0,0) iar elementul neutru al operației de inmulțire este (1,0).
Deoarece (a,0)+(c,0)=(a+c,0) și (a,0)(c,0)=(ac,0), mulțimea numerelor reale, R, poate fi privită ca submulțime a lui C, identificând numărul real cu (a,0).
Numărul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1)(0, 1) = (-1,0), adică
(0, 1)2 = (-1, 0) identificat cu numărul real -1. Nici un număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul i " („i” de la „imaginar”).
Numerele complexe de forma (0, x) se numesc „numere imaginare”.
Puterile lui i
Valoarea puterilor lui i se repetă ciclic:
i-3=i, i2=-1, i-1=-i, i0=1, i1=i, i2=-1, i3=-i,i4=1, i5=i, i6=-1,…
Scurt istoric
Una dintre temele favorite ale matematicienilor de-a lungul istoriei a fost rezolvarea ecuațiilor. În timp ce ecuațiile de gradul I sunt toate rezolvabile în mulțimea numerelor reale, nu toate ecuațiile de gradul al II–lea au această proprietate. Cea mai simplă astfel de ecuație este: X2 + 1 = 0.
Până în secolul XVIII, matematicienii au evitat ecuațiile patratice care nu sunt rezolvabile in multimea numerelor reale. Leonhard euler a spart gheata introducand numarul radical din -1.
Euler a notat acest număr cu “i”, spunându-i numărul imaginar și acest “I” a devenit una dintre cele mai folositoare notații în matematică. Studiul numerelor complexe a continuat în ultimele două secole. Practic, este imposibil să ne imaginăm matematica modernă fără numere complexe. Absolut toate ramurile matematicii se folosesc de aceste numere într-o oarecare măsură. Ele au aplicabilitate și în alte domenii, cum ar fi: mecanica, fizica teoretică, hidrodinamica și chimie.
Forma algebricã a unui numãr complex
Mulțimea numerelor complexe sub formă algebrică se definește astfel:
C = {z = a + bi | a, b numere reale, i² = – 1}.
Numărul a se numește partea reală a numărului complex z (se notează Re(z)), numărul b se numește coeficientul părții imaginare a numărului complex z (se notează Im(z)), iar i este unitatea imaginară.
Punctul M(a,b), din planul raportat la reperul ortogonal xOy, se numește imaginea geometrică a numărului complex z = a + bi, iar z poartă numele de afixul punctului M.
Se constată, cu ușurință, că distanța de la origine la punctul M(a,b), este dată de formula .
Exemplu
(2,-1)=2+(-1)ˑi=2-i
Modulul și conjugatul unui număr complex
Modulul numărului complex Z=a+bi este numarul real.
Conjugatul numărului complex al unui număr Z=a+bi este numărul complex .
Exemple
Modulul:
Conjugatul:
=-3+7i;
Aplicații ale numerelor complexe în algebră
Formula lui Euler spune că, pentru orice număr real x, unde:
-e este baza logaritmului natural
-i este unitatea imaginară
-cos și sin sunt funcțiile trigonometrice.
Richard Feynman a numit formula lui Euler "bijuteria noastră" și "cea mai remarcabilă formulă din matematică".
Pentru cazul particular x = π avem identitatea: ei+1=0.
care combină într-o formulă simplă cele trei numere fundamentale i, π și e.
CAPITOLUL IV.
ASPECTE METODICE
Aspecte metodice privind predarea matematicii sunt structurate în acest capitol.
IV.1. Planificare calendaristică
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI
PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA : MATEMATICĂ
Nr. săptămâni: 35 (4 ore/săptămână )
CLASA a VII -a
AN ȘCOLAR 2013-2014
PLANIFICARE ANUALĂ
Total : 69 ore
Total : 69 ore
TOTAL GENERAL : 138 ore
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI
PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA : MATEMATICĂ
CLASA a VII-a
AN ȘCOLAR 2013 – 2014
Nr. săptămâni: 35 (4 ore/săptămână )
EȘALONAREA ANUALĂ A UNITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE
ALGEBRĂ – 2 ORE/SĂPT.
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI
PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA : MATEMATICĂ
CLASA a VII-a
AN ȘCOLAR 2013 – 2014
Nr. săptămâni: 35 (4 ore/săptămână )
EȘALONAREA ANUALĂ A UNITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE
GEOMETRIE – 2 ORE/SĂPT.
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA : ALGEBRĂ CLASA a VIII-a
Nr. săptămâni: 18 – Total ore:36 (2 ore/săptămână ) AN ȘCOLAR: 2013-2014
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL I
Conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale NR.5097/09.09.2009
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA :ALGEBRĂ CLASA A VII-A
Nr. săptămâni: 17 – Total ore:33 (2 ore/săptămână ) AN ȘCOLAR: 2013-2014
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL II
Conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale NR.5097/09.09.2009
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA :GEOMETRIE CLASA a VII-a
Nr. săptămâni: 18 – Total ore: 36 (2 ore/săptămână ) AN ȘCOLAR: 2013-2014
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL I
Conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale NR.5097/09.09.2009
ȘCOALA GIMNAZIALĂ SOLCA-ONICENI PROFESOR : CRISTIAN-CONSTANTIN PIPIRIGEANU
DISCIPLINA: GEOMETRIE CLASA A VII-A
Nr. săptămâni: 17 – Total ore: 33 (2 ore/săptămână ) AN ȘCOLAR: 2013-2014
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL II
Conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale NR. 5097/09.09.2009
IV.2.Proiecte didactic
IV.2.1.Lungimea cercului și aria discului
Școala: Școala Gimnazială Solca-Oniceni
Data: 3.04.2013
Clasa: a-VII-a
Semestrul: II
Profesor: Cristian-Constantin Pipirigeanu
Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii.
Disciplina: Matematică .
Unitatea de învățare: Cercul.
Subiectul: Lungimea cercului și aria discului
Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe.
Competențe generale:
Identificare unor date și relații matematice și corelare lor în funcție de contextul în care au fost definite.
Prelucrarea datelor de tip cantitativ,calitativ, structural cuprinse în enunțuri matematice.
Dezvoltarea interesului și a motivației pentru a studia și aplica matematica în contexte variate.
Competențe specifice:
CS1. Recunoașterea și descrierea elementelor unui cerc, într-o configurație geometrică dată.
CS2. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale cercului.
CS3. Exprimarea proprietăților elementelor unui cerc în limbaj matematic.
CS4. Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de poligoane regulate.
Competențe operaționale:
Cognitive:
CC1. Identificarea elementelor unui cerc.
CC2. Calculul lungimii cercului și a ariei discului.
Afectiv-atitudinale:
CA1. Să participe activ și constant la lecție.
CA2. Dezvoltarea spiritului de observație.
Principii didactice:
Principiul participării active și conștiente .
Principiul accesibilității.
Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor și deprinderilor.
Strategia didactică: Mixtă.
Resurse procedurale: Explicația, conversația euristică, problematizarea.
Resurse materiale: Manual, culegere de probleme, instrumente de geometrie.
Forme de organizare:Frontală.
Forme de evaluare: Evaluare orală și evaluare prin observarea curentă a comportamentului pe parcursul orei.
Locul de desfășurare: Sala de clasă.
Durata: 50 de minute.
Bibliografia: Programa școlară pentru clasa a-VII-a.
Manual pentru clasa a-VII-a, editura Teora, D.Radu, E.Radu.
Culegere de exerciții și probleme, Mate 2000+11/12, partea II, editura Paralela 45, A.Negrilă, M.Negrilă.
Culegere de teste, Evaluare Națională 2013, editura Paralela 45.
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Fișă de lucru
Clasa a VII-a
Partea I
Raza unui cerc are lungimea de 15 cm. Aflați lungimea cercului și aria discului.
Lungimea unui cerc este de Aflați raza cercului și aria discului.
Aria unui disc este de Aflați raza și lungimea cercului.
Dacă un cerc are diametrul de , aflați lungimea cercului.
Aria unui disc este Aflați diametrul cercului.
Aria unui disc este de . Aflați raza cercului.
Partea II
Un grădinar a împărțit terenul său, în formă de pătrat cu latura de 8 m, în patru pătrate egale. În fiecare din aceste pătrate a înscris un cerc și apoi a sădit flori în interiorul cercurilor. Pe terenul rămas, grădinarul a semănat iarbă. (figura nr. 1)
Aflați aria suprafeței pe care sunt flori.
Deterinați aria zonei acoperite cu iarbă.
Figura nr. 1
Figura 2 reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare în care sunt plantate flori în trei zone, una în formă de cerc și două în formă de semicerc, care intersectează laturile [AD], [BC] doar în punctele A, B, C, D, E și F. Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele M și N. Se știe că AB=16 m.
O albină așezată pe o floare situată în mijlocul diametrului [AB] zboară în linie dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul D. Calculați distanța parcursă de albină.
Calculați aria suprafeței din grădină plantată cu flori.
Figura nr. 2
Figura 3 reprezintă schița unui patinoar format dintr-un dreptunghi MNPQ care are lungimea MN de 40 m și lățimea de 30 m și două semicercuri de diameter [MQ] și [NP].
Patinoarul este înconjurat de un gard. Calculați lungimea gardului care înconjoară patinoarul.
Verificați dacă aria patinoarului este mai mică decât 2000 (
Figura nr. 3
În figura 4 este reprezentat, schematic un teren de handbal cu AB=40 m și AD=20 m. Raza semicercurilor din fața celor două porți de handball este egală cu 6 m. Cercul cu central în central cercului și cele două semicercuri se vopsesc. O jucătoare situată în punctul A, aruncă mingea în linie dreaptă la o jucătoare situată în punctual O, centrul terenului. Aceasta aruncă mingeadin poziția din care a prins-o, tot în linie dreaptă, în poarta al cărei centru este F.
Aflați distanța parcursă de minge, până în dreptul liniei porții.
Calculați aria suprafeței nevopsite a terenului de joc.
Figura nr. 4
Dintr-o coală din tablă sub formă de semidisc cu raza de 30 cm se decupează o bucată în formă de pătrat ca în figura 5.
Calculați aria pătratului.
Calculați aria suprafeței care rămâne după decuparea pătratului (se folosește ).
Figura nr. 5
Pe o parcel de pământ, lucrătorii de la “Spații verzi” au realizat un aranjament floral, reprezentat schematic în figura 6.Dreptunghiul ABCD are perimetrul de 10 m și pe el s-au plantat trandafiri, iar cele partu semicercuri au raza de 1 m și pee le s-au plantat fire de frezie.
Calculați suprafața cultivată cu trandafiri.
Calculați suprafața aranjamentului floral.
Ajung 15 m de panglică pentru a înconjura aranjamentul floral?
Figura nr. 6
Pentru a confecționa un ornament se folosește o coală de forma unui pătrat cu latura de 50 cm, din care se decupează un disc cu diametrul maxim. Concentric cu primul disc se desenează al doilea disc cu raza de 10 cm (ca în figura 7).
Care este raza cercului mare?
Ce suprafață din coală se pierde în urma decupării primului disc?
Calculați câți metri de șnur cu mărgele sunt necesari pentru a fi lipiți pe circumferința celor două discuri (se consuderă ).
Figura nr. 7
IV.2.2. Limite de funcții. Cazul de nedeterminare
Prof. Cristian-Constantin Pipirigeanu
Unitatea de învățământ: ………………………………………
Disciplina: Matematică
Clasa: a XI-a Real
Unitatea de învățare: Limite de funcții
Titlul lecției: Cazul de nedeterminare
Tipul lecției: de comunicare de noi cunoștințe
Durata: 50’
Locul de desfășurare: sala de clasă
Data: …………………..
Competențe generale:
CG1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
CG3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
CG 4. Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
CG 5. Analiza de situații-problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
CG 6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor
Competențe specifice:
CS1. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții.
CS2. Studierea unor funcții din punct de vedere cantitativ și calitativ utilizând diverse procedee: majorări, minorări pe un interval dat, proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți.
Obiective operaționale:
1) Cognitive:
Până la sfârșitul lecției elevii vor fi capabili:
1.1. Să identifice cazul de nedeterminare .
1.2. Să calculeze limita unei funcții în cazul .
2) Afective:
2.1. Stimularea curiozității și dezvoltarea simțului critic.
2.2. Dezvoltarea spiritului de observație și a concentrării în rezolvarea problemelor
2.3. Concentrarea afectivă la lecție.
2.4. Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative.
3) Psihomotorii:
3.1. Să participe activ la desfășurarea lecției.
3.2. Să utilizeze rațional mijloacele de învățământ.
Metode și procedee de instruire: conversația, problematizarea, descoperirea, expunerea, explicația, exercițiul.
Mijloace de învățământ: manualul, tabla, creta, burete.
Bibliografie: manualul de matematică pentru clasa a XI-a, trunchi comun+curriculum diferențiat, Ed. Mathpress-2006, M. Ganga.
Anexă
-tema pentru acasă-
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
IV.3. Metode de învățământ
Pentru succesul reușitei în educație, din vastul complex metodologic am utilizat metode tradiționale, clasice (conversația, expunerea sistematică a cunoștințelor, problematizarea, demonstrația) și metode moderne, active (algoritmizarea, învățarea prin descoperire, modelarea, cubul, ciorchinele, metode de acțiune practică, metoda instruirii programată sau asistată de calculator, portofoliul) cu accent pe dezvoltarea personalității elevului.
Avantajele metodelor active:
Transformă elevul din obiect în subiect al învățării;
Este coparticipant la propria formare;
Angajează intens toate forțele psihice de cunoaștere;
Asigură elevului condiții optime de a se afirma individual și în echipă;
Dezvoltă gândirea critică;
Dezvoltă motivația pentru învățare;
Permite evaluarea propriei activități.
Dirijor al procesului educațional, este incontestabil profesorul, care trebuie să-și pună în joc toate cunoștințele sale în domeniu, întreaga sa pricepere, pentru a le insufla elevilor dorința de autopregătire și autoformare permanentă.
IV.3.1. Conversația
Conversația este una din metodele de bază în dialogul necesar dintre profesor și elev. Elevul este activat dacă este antrenat la un schimb de informații. În funcție de tipul lecției se poate folosi conversația euristică și cea de consolidare, de sistematizare și verificare a cunoștințelor de analiză matematică.
Conversația euristică ca o activitate comună de gândire, căutare, cercetare și aflarea adevărului poate conduce cu succes la evitarea “transmiterii” de noi cunoștințe într-un singur sens, spre elev. Valoarea formativă a conversației, eficiența ei sunt condiționate de structura întrebărilor. Întrebările profesorilor trebuie să fie cât mai variate și să fie enunțate astfel încât dificultățile să fie eșalonate gradat, dozând timpul între întrebare și răspuns, fără descurajări pentru elev. Chiar dacă o metodă de rezolvare propusă de un elev este mai anevoioasă, ea nu trebuie reprimată ci substituită prin alta căreia îi subliniem prin comparație avantajele.
IV.3.2. Expunerea sistematică a cunoștințelor
Datorită specificului analizei matematice, mai ales prin dificultățile ridicate de predare a unor noțiuni, metoda expunerii sistematice a cunoștințelor rămâne o metodă de bază, cu numeroase valențe instructive-educative.
Expunerea trebuie să succinte imaginația tinerilor, să fie clară, accesibilă, expresivă, vie, plastică. Nu în ultimul rând, ea trebuie să fie însoțită de frumusețea și plasticitatea cuvântului, eleganța dicției, expresia emoțională.
Profesorul însuși trebuie să pară interesat, să manifeste curiozitate în timpul propriei expuneri; în cursul expunerii profesorul poate și trebuie să realizeze o comunicare vie cu elevii, solicitându-le permanent atenția, anunțând de fiecare dată ce se urmărește, care este scopul local al lecției. În proiectarea asistată de calculator o variantă a expunerii este explicația, argumentarea științifică rațională a faptelor prezentate. Explicația solicită mai mult operațiile gândirii și ajută elevii în înțelegerea notelor definitorii ale conceptelor din proiectare.
IV.3.4. Problematizarea
Ca modalitate metodologică, problematizarea conduce pe elevi la rezolvarea unor “situații-problemă”, la depășirea unor stări conflictuale care apar între nevoia găsirii de către elev a soluției unei probleme și experiența redusă sau priceperea nesatisfăcătoare a elevului. Astfel de stări sunt favorabile învățării active, stimulării gândirii elevului. O întrebare devine de fapt problemă dacă trezește în mintea elevilor o tensiune, o emoție pozitivă care să le stârnească interesul, ambiția și să-i determine să ia o atitudine activă până la găsirea soluției.
Literatura pedagogică insistă asupra necesității de a face deosebire dintre problematizarea ca expresie a efortului de gândire consacrat descoperirii unor noi fapte și rezolvarea de probleme care cer doar aplicarea unor informații dobândite anterior de elevi. Misiunea noastră, a profesorilor, este aici dificilă pentru că trebuie să descoperim, să inventăm, să generam “situații-problemă” care să solicite gândirea elevilor. Pentru ca problematizarea să fie eficientă este necesar ca profesorul sa respecte unele condiții în formularea situațiilor problemă:
– să asigure elevilor un bagaj minim de informații cerute de problemă;
– să organizeze informațiile astfel încât întrebarea problemă să fie însoțită de direcționarea spre rezolvare a gândirii elevilor;
– să se raporteze la cunoștințele dobândite anterior de elevi.
IV.4.4.Demonstrația
Metoda demonstrației trebuie îmbinată în mod eficient cu problematizarea, eventual cu dialogul euristic, cu descoperirea și cu modelarea, angajând cât mai mult elevii într-un proces.
Există mai multe forme de demonstrație.
– demonstrația logică;
– demonstrația cu ajutorul obiectelor și genomenelor în stare naturală;
– demonstrația cu ajutorul desenului;
– demonstrația prin exemple și experiențe;
– demonstrația prin simularea (imitarea) unor procese, fenomene, evenimente;
– demonstrația cu ajutorul modelelor, constând într-un ansamblu de operații prin care se construiește modelul unui obiect, fenomen sau proces, pentru cunoașterea proprietăților acestuia, sau descoperirea altora noi;
-demonstrația cu ajutorul mijloacelor audio-vizuale.
IV.4.5. Algoritmizarea
Este modalitatea de a studia un proces, o serie de proprietăți sau de a rezolva o problemă teoretică sau practică prin intermediul algoritmilor.
Algoritmii se exprimă sub forma de formule, reguli și chiar modele tipice de natura matematică, logica, practică.
Avem:
– algoritmi de percepere, generalizare, sistematizare (raționamente, formule);
-algoritmi de recunoaștere (reguli de stabilire a unui tip de probleme: ipotetice, de calcul, de proiectare, aplicative);
-algoritmi de rezolvare (reguli de rezolvare a unui anumit tip de probleme);
-algoritmi de programare și dialogare cu calculatorul (care folosesc diverse limbaje de programare și codurile de dialogare);
-algoritmi optimali (reguli de selectare a soluției celei mai bune din mai multe posibile);
-algoritmi de repetare (reguli de transformare a acțiunilor în reflexe, deprinderi, obișnuințe intelectuale și practice);
-algoritmi de creație (folosiți în învățarea euristică, în cercetarea și proiectarea inovatoare, bazați pe gândirea divergentă).
Algoritmii se caracterizează prin faptul că se prezintă ca o succesiune aproximativ fixă de operații, iar aceasta suită e prestabilită de către profesor sau este presupusă de logica intrinsecă a disciplinei respective.
Etapele algoritmizării
1. conceperea algoritmului
2. analiza algoritmului
3. verificarea algoritmului.
În faza de început a învățării se folosesc algoritmii, ca scheme operaționale fixe.
Apoi prin repetare și conștientizare se pot construi alte soluții algoritmice (alternative sau cu totul noi, mai rafinate față de cele inițiale). Se ajunge la o fază nouă, cea de descoperire, probare, crearea unor noi scheme de procedură. Astfel, se poate observa ca, în anumite situații, algoritmii de rezolvare a unor probleme pot fi identificați și chiar construiți de către elevii însăși, acesta posibilitate scoțând în evidență faptul că învățarea de tip algoritmic este compatibilă cu cea euristică.
Sarcina profesorului este de a sesiza momentul când trebuie să renunțe la însușirea algoritmică a cunoștințelor, ca prima etapă, și să impună în etapa a doua, tactica euristică.
Această îmbinare reprezintă factorul principal de modernitate, în abordarea acestei metode și depinde în mare măsură de experiența profesorului, calitățile acestuia, particularitățile colectivului de elevi, dar și de relațiile stabilite între profesor și elevi.
IV.4.6.Învățarea prin descoperire, activitatea diferențiată
Învățarea prin descoperire este o metodă de învățământ prin care elevii sunt îndemnați să-și apropie virtuți ale muncii de cercetare, reconstituind în căutarea adevărului drumul elaborarii cunoștințelor, printr-o activitate proprie.
În cadrul învățării prin descoperire, elevului nu i se prezintă doar produsul cunoașterii ci mai ales căile prin care se ajunge la acest produs, mijloacele de investigare, ceea ce sporește mult eficiența învățării.
Aplicarea la clasă a acestei metode nu este simplă, trebuie să se țină seama de nivelul de dezvoltare intelectual a elevilor, de complexitatea problemelor, de posibilitățile conducerii unor activități diferențiate cu elevii din clasă.
Descoperirea asigură o învățare cucerită, bazată pe problematizare și cercetare, pe experiența directă și concretă, creativă.
Ea poate să dinamizeze elevul spre căutări, explorări și muncă, individuală sau în echipă, prin documentare și activități experimental-aplicative, prin investigație științefică și tehnică. Rezultatul aplicării metodei este nu numai dobândirea tezaurului cunoașterii umane, ci chiar obținerea unor idei și soluții noi, realizarea unor inovații și invenții.
Descoperirea își propune ca scop și modalități de realizare câteva deziderate:
– pregătirea elevilor pentru a învăța cum să învețe singuri sau în echipă, atât în planul documentării informaționale, cât și în planul investigației experimentale.
– îmbinarea eforturilor elevilor cu îndrumările profesorului;
– dezvoltarea creativității, a spiritului de luptă pentru nou, împotriva rigidității, a rutinei, suficienței etc.;
– antrenarea elevilor în rezolvarea unor probleme cerute de producție, cercetare, inovație etc.
-antrenarea elevilor în activitatea cercurilor tehnico-științifice.
IV.4.7.Modelarea
Modelarea reprezintă modalitatea de studiu a unor obiecte, fenomene, procese prin intermediul unor copii materiale și ideale ale acestora, denumite modele, capabile să evidențieze (reproducă) caracteristicile (semnificațiile) esențiale ale realității studiate, sau să ofere informații despre acestea.
Modelarea are la bază analogia dintre model și sistemul modelat; facilitează cunoașterea unor obiecte, fenomene etc., rezolvarea de probleme teoretice și practice; oferă posibilitatea îmbinării a două tipuri de materiale: intuitiv și logico-matematic, în funcție de tipurile de modele folosite.
Tipuri de modele.
Materiale (obiecte, sau fizice), relativ similare cu cele originale, sau miniaturizate;
Iconice (sub formă de imagini): fotografii, scheme, schițe, diagrame, simboluri intuitive;
Ideale (logico-matematice), exprimate prin concepte, judecăți, raționamente, sau prin legi, idei, teorii, teoreme, formule etc;
Cibernetice, specifice sistemelor dinamice perfectife, în cadrul cărora se manifestă feedback-ul.
Etapele modelării sunt:
1.conceperea (alegerea) modelului;
2.analiza modelului (structură, caracteristici, funcții, legități, etc.)
3.verificarea modelului, prin exerciții și/sau aplicatii experimentale
III.4.8.Cubul
Metoda cubului este o strategie care facilitează analiza unui subiect din diferite puncte de vedere. Aceasta implică folosirea unui cub, ce poate fi obținut prin acoperirea unei cutii mici (15 până la 20 cm latură) cu hârtie sau prin confecționare din carton.
• Se scrie unul dintre următoarele cuvinte pe fiecare față a cubului:
Descrie
Compară
Asociează
Analizează
Aplică
Argumentează pro sau contra
• Se cere elevilor să scrie timp de 2-4 minute pe un subiect dat (subiectul lecției). Elevii sunt îndrumați să se gândească la subiect și să îl descrie, adică să îl privească și să descrie ceea ce văd, inclusiv culori, forme și semne.
• Ținând cont de aceste indicații, elevii scriu o perioadă de timp limitată. Procesul continuă în mod similar pentru toate cele șase fețe ale cubului.
• Indicațiile extinse pentru cele șase fețe sunt următoarele:
Descrieți. Priviți obiectul cu atenție (poate doar în imaginație) și descrieți cu atenție ceea ce vedeți, inclusiv culori, forme, mărimi.
Comparați. Cu ce este similar? De ce diferă?
Asociați. La ce vă face să vă gândiți? Ce vă inspiră? Pot fi lucruri similare, sau lucruri diferite, locuri sau oameni. Eliberați-vă mintea și căutați asociații pentru acest obiect.
Analizați. Spuneți cum este făcut, din ce, ce părți conține.
Aplicați. Cum poate fi utilizat?
Argumentați: pro sau contra. Luați o poziție. Folosiți orice fel de argumente logice pentru a pleda în favoarea sau împotriva subiectului.
• După perioada de scriere, elevii sunt rugați să „rostogolească" cubul și să își împărtășească răspunsurile pentru fiecare față a cubului. De obicei, această activitate are loc, la început, în perechi. Fiecare persoană alege trei părți ale cubului și citește ceea ce a scris, apoi ascultă ce a scris partenerul său.
III.3.9.Ciorchinele
Ciorchinele creează structura necesară pentru a stimula gândirea cu privire la legăturile între idei. Aceasta metodă încurajează o formă neliniară de gândire care reflectă felul în care funcționează mintea noastră. Poate fi folosită pentru a stimula gândirea înainte ca un subiect să fie studiat mai în detaliu. Deasemenea, poate fi utilizată ca mijloc de rezumare a ceea ce s-a studiat, ca mod de construire a unor noi asocieri sau ca mod de reprezentare grafică a noilor rațiuni. În general, este o modalitate de accesare a propriilor cunoștințe, rațiuni sau convingeri despre un subiect. Deoarece este o activitate de scriere, aceasta servește de asemenea la informarea autorului asupra cunoștințelor și legăturilor pe care acesta nu era conștient.
Ciorchinele poate fi realizat individual sau ca activitate de grup. Ca activitate de grup, el poate servi drept cadru pentru ideile grupului, oferindu-le elevilor prilejul să cunoască asocierile și relațiile pe care alți elevi le deduc din îndrumări. Activitatea individuală de elaborare a ciorchinelui reprezintă o alternativă la brainstorming-ul de grup, deoarece este rapidă și permite tuturor elevilor să se implice activ în procesul de gândire. Totuși, atunci când această activitate este realizată individual, subiectul trebuie să fie unul pe care elevii îl cunosc destul de bine din moment ce ei nu vor beneficia de împărtășirea experienței de grup de la care puteau să mai obțină informații.
• Elevii sunt rugați să scrie un cuvânt sau expresie nucleu în centrul unei foi de hârtie;
• Scriu cuvinte sau expresii care le vin în minte despre subiectul selectat;
• În timp ce elevii își scriu ideile, sunt rugați să facă legături între ele.
• Se indică elevilor să scrie cât mai multe idei care le vin în minte fie până la expirarea timpului sau până la epuizarea tuturor ideilor;
• După ce termină, ciorchinele realizate individual pot fi comparate în perechi sau cu întregul grup. Există doar câteva reguli de bază pe care trebuie să le arătăm elevilor atunci când folosesc ciorchinele:
• Scrieți tot ce vă vine în minte. Nu faceți nici o apreciere cu privire la gânduri, doar notați-le. Nu vă preocupați de ortografie sau de alte reguli de scriere.
• Nu vă opriți din scris până nu trece suficient timp să vă adunați toate ideile.
• Construiți cât mai multe legături. Nu vă limitați volumul de idei sau fluxul de legături.
IV.4.10.Metode de acțiune practică
Aceste metode includ: metoda exercițiului, metoda lucrărilor practice și de laborator, metoda proiectelor și instruirea programată asistată de calculator.
Metoda exercișiului constă în repetarea conștientă a unei activități, urmărind formarea deprinderilor, consolidarea cunoștințelor și dezvoltarea capacităților intelectuale.
Există mai multe tipuri de exerciții clasificate astfel:
după subiecții care le execută: individuale, în echipă, frontale;
după funcția îndeplinită: introductive, de bază, operatorii;
după modul de intervenție al profesorului: dirijate, semidirijate, libere;
după obiectivul didactic urmărit: de calcul mintal, de comunicare, de rezolvare a problemelor, de formare a deprinderilor intelectuale, de creativitate, de autocontrol, de dezvoltare psihomotorie etc.
Metoda lucrărilor de laborator și a lucrărilor practice asigură legătura strânsă dintre teorie și practică, dezvoltă spiritul de observare al elevilor, dorința de cercetare.
IV.4.11.Metoda instruirii programate cu manualul sau asistată de calculator
Este o tehnică modernă, consecință și aplicație a ciberneticii în metodologia didactică, bazată și pe unele achiziții ale psihologiei contemporane.
Instruirea programată se bazează pe parcurgerea unor programe de învățare, după un algoritm prestabilit, alcătuit din secvențe informative cu momente rezolutive, cu seturi suplimentare de cunoștințe.
Principiile care stau la baza unor asemenea programe sunt:
principiul pașilor mici și al progresului gradat;
principiul participării active;
principiul verificării imediate a răspunsului;
principiul respectării ritmului individual de studiu;
principiul reușitei, sau al răspunsurilor corecte.
Tipuri de programare:
1.lineară (de tip Skinner) – fragmentarea dificultăților este mai amănunțită – se obține satisfacția reușitei prin întărire;
2.ramificată (de tip Crowder) – fragmentarea se face pentru dificultăți mai mari, se poate învăța și prin greșeli.
Instruirea programată are unele avantaje față de instruirea prin metodele clasice sau euristice, astfel:
fragmentarea materialului de învățământ prin secvențe se realizează în raport cu posibilitățile elevilor, cu ritmul lor de învățare;
asigură o învățare activă și o inoformare operativă asupra rezultatelor învățării necesară atât elevului cât și profesorului;
programele pot fi revizuite dacă nu dau rezultatele așteptate, fiind ameliorate permanent;
reducerea timpului de însușire a cunoștințelor;
realizarea cu succes a respectării particularităților elevilor, până la urmă toți își însușesc cunoștințele;
crearea premisei formării unui stil de muncă activ, autocontrolat.
Dejavantajele instruirii programate:
fragmentarea excesivă a conținutului poatec duce la diminuarea capacității de sinteză a elevului, la schematizarea gândirii;
nu orice conținut se poate programa, nu toate disciplinele sunt secvențiale;
se vizează aspectul instructiv al educației și mai puțin aspectul formativ.
Calculatorul, asociat cu videotextul și videodiscul, ca mijloace moderne de activizare a colectivului, este folosit în activitățile didactice în diferite forme:
secvențe de pregătire pentru transmiterea de informații, punerea de întrebări, rezolvare de exerciții și probleme, prezentare de algoritm pentru rezolvarea problemelor-tip, proiectarea de grafice și diagrame, aplicații practice, demonstrarea unor teoreme, interpretarea rezultatelor;
simularea unor fenomene, a unor experiențe și interpretarea lor, simularea prin formarea unor deprinderi;
simularea unor jocuri didactice; evaluarea rezultatelor la învățătură și autoevaluare;
organizarea și dirijarea învățării independente pe baza unor programe de învățare, însoțite de fișe-program, constituind și un fel de documentație a soft-ului.
Învățarea asistată de calculator este un factor de progres în activitatea didactică, însă, dacă programele nu sunt alcătuite pe baza unor cerințe didactice și nu se are în vedere dezvoltarea creativității, eficiența poate să fie scăzută, mai ales din punct de vedere formativ.
III.4.12.Portofoliul
În discursurile ținute în cadrul Asociației de Evaluare din Nordwet, Carol Meyer, Leon și Pearl Paulson au definit portofoliul ca o colecție de lucrări ale elevilor constituită cu scopul de a indica eforturile, progresele și rezultatele acestora la una sau mai multe discipline. Colecția trebuie să reflecte participarea elevilor la selectarea temelor, criteriile de selecție, judecățile de valoare despre materialul sistematizat și părerea personală despre conținut. Portofoliile au avantajul de a oferi informații despre creatorii lor într-o măsură imposibil de atins prin metodele tradiționale. Ele devin instrumente educaționale care permit elevilor să-și asume responsabilitatea și îi încurajează să-și controleze creațiile. Valorificând învățarea individuală, portofoliile devin o fereastră spre mintea elevilor și o cale de înțelegere a procesului educațional. Dacă sunt alcătuite cu acuratețe, portofoliile îmbină cunoașterea cu sistematizarea, componenta mstrucțională curriculară cu creația.
Modalități de realizare
În practică, există o multitudine de modalități de realizare a unui portofoliu, diversitatea lor fiind dată de caracteristicile disciplinelor de învățâmânt, nivelul și personalitatea elevilor care le realizează. Pot fi evidențiate o serie de trăsături comune tuturor tipurilor de portofolii. Elementele componente sunt selectate și sistematizate astfel încât elevii să înțeleagă valoarea muncii lor. Concepute ca instrumente distincte de fișele de evaluare, portofoliile pot include note, informații despre performanțele școlare și extrașcolare sau date despre abilitățile dobândite în anumite intervale de timp. Scopurile precizate inițial și conținutul portofoliului pot fi modificate la sfârșitul semestrului sau al anului școlar, elevul având libertatea de a păstra ceea ce consideră ilustrativ penlru activitatea sa. Scopurile multiple ale portofoliilor trebuie să se armonizeze, astfel încât să existe un numitor comun între interesele elevilor, cele ale profesorilor și școlii.
În principiu, portofoliul se poate prezenta sub forma unui dosar sau a unei mape care cuprinde:
• scopurile, intențiile, motivele realizării;
• materialele propriu-zise, sistematizate în functie de obiectivele precizate;
• judecățile de valoare despre conținut, formulate prin precizarea standardelor avute în vedere;
• concluziile personale despre subiect și conținut.
Asamblarea portofoliilor încurajează formarea abilităților pentru munca independentă, învață elevii să formuleze opinii asupra propriilor realizări și să propună soluții și oferă profesorilor o imagine pertinentă despre sistemul de valori al școlarilor la un moment dat. Conținutul portofoliului realizat la matematică depinde de scopul urmărit, vârsta elevilor, nivelul lor intelectual, metodele și tehnicile de evaluare folosite de profesor.
În principiu el poate conține:
• rezultatele aplicării metodelor tradiționale de evaluare: extemporale, lucrări de control, teme pentru acasă, probe practice;
• comentariile profesorului în legătură cu activitatea sau fișa de observarție;
• răspunsuri la chestionare care surprind atitudinea față de obiectul de studiu;
• recenzia unui articol sau a unei cărți cu subiect matematic;
• biografiile unor proiectanți;
• proiecte sau investigații individuale sau realizate în grup;
• soluții la probleme deosebite;
• probleme compuse de elevi.
Evaluarea portofoliului de acest tip va avea în vedere progresul înregistrat în înțelegerea matematicii, motivația învățării, perseverența, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea raționamentului matematic adaptat la continuturi și situații, abilitatea de a folosi instrumentele matematice și de a rezolva situațiile-problemă, înțelegerea relației dintre matematică și alte discipline de studiu.
Criteriile de evaluare propuse în fișa de evaluare sunt repere generale care se pot adapta, nuanța și diversifica în funcție de disciplina pentru care se întocmește portofoliul, subiectul abordat, scopul propus, etc.
FIȘA DE EVALUARE A PORTOFOLIULUI
Nume și prenume: …………. Clasa: …….. Disciplina: ………….
IV.4.13.Referatul
Folosit ca bază de discuție în legătură cu o temă dată fiind menit să contribuie la formarea sau dezvoltarea deprinderilor de muncă independentă ale elevilor din clasele mari sau ale studenților), este și o posibilă probă de evaluare a gradului în care elevii sau studenții și-au însușit un anumit segment al programei, cum ar fi o temă sau o problemă mai complexă dintr-o temă.
El este întocmit fie pe baza unei bibliografii minimale, recomandate de profesor, fie pe baza unei investigații prealabile, în acest din urmă caz, referatul sintetizând rezultatele investigației, efectuate cu ajutorul unor metode specifice (observarea, convorbirea, ancheta etc.).
Când referatul se întocmește în urma studierii anumitor surse de informare, el trebuie să cuprindă atât opiniile autorilor studiați în problema analizată, cât și propriile opinii ale autorului.
Nu va fi considerat satisfăcător referatul care va rezuma sau va reproduce anumite lucrări studiate, cu speranța că profesorul, fie nu cunoaște sursele folosite de elev sau de student, fie nu sesizează plagiatul.
Referatul are, de regulă trei-patru pagini și este folosit doar ca element de portofoliu sau pentru acordarea unei note parțiale în cadrul evaluării efectuate pe parcursul instruirii.
Deoarece el se elaborează în afara școlii, elevul putând beneficia de sprijinul altor persoane, se recomandă susținerea referatului în cadrul clasei/grupei, prilej cu care autorului i se pot pune diverse întrebări din partea profesorului și a colegilor.
Răspunsurile la aceste întrebări sunt, de regulă, edificatoare în ceea ce privește contribuția autorului la elaborarea unui referat, mai ales când întrebările îl obligă la susținerea argumentată a unor idei și afirmații.
IV.5.Programe software educaționale.
IV.5.1. AEL
AEL este un sistem modern de instruire și gestiune a instruirii asistate de calculator (Learning Management System LMS), destinat educației asistate de calculator (Computer Assisted Learning –CAL), putând fi folosit și pentru alte metode de curs, cum ar fi instruire la distanță/neasistată (AEL – Manual de utilizare, 2005). Materialele necesare instruirii la disciplina matematică pot fi descărcate gratuit de la adresa: http://portal.edu.ro/index.php/base/materiale/.
Sistemul este destinat a fi util atât elevilor și profesorilor, cât și factorilor de decizie din sistemul educațional și altor persoane.
În cazul elevilor se urmărește ușurarea procesului de ănvățare, stimularea creativității și competiției.
Sistemul urmărește să ofere profesorilor o modalitate de urmărire a evoluției nivelului de pregătire al elevilor, de testare a eficacității unor noi metode de învățare, de urmărire a statisticilor privind rezultatele elevilor.
Sistemul AEL estev deschis, informația fiind conformă cu standardele existente, dinamic, extensibil în permanență.
Funcțiile oferite de AEL, asigură suport în patru domenii majore :
predare ;
testare și evaluare ;
gestiunea structurii organiztorice a școlii ;
monitorizarea procesului de predare (sistemului educațional)
Principalele avantaje aduse de sistemul AEL sunt:
implicarea elevilor, absolvenților și a cadrelor didactice în realizarea pachetelor educaționale cu implicații însemnate în modernizarea și informatizarea sistemului de învățământ ;
familiarizarea mediului educațional cu conceptele și avantajele tehnologiei informației ;
oferirea de simulări software și instrumente virtuale în loc de materiale didactice pe cate majoritatea școlilor nu și le pot permite ;
suport managerial la toate nivelurile sistemului educațional ;
creșterea gradului de cunoștințe al elevilor, profesorilor și îm general la nivel național în domeniul IT ;
“o societate informațională pentru toți” (inițiativa Europei)
ușurarea procesului de învățare ;
stimularea creativității și competiției. Încurajarea inovației în predare și învățare;
schimbarea treptată a abordării de tip “Learn by reproducing” în “Learn by doing”. Accentul se pune nu pe memorare, ci pe dezvoltarea abilităților de rezolvare de probleme, de găsire și folosire a informației, de colaborare și lucru în echipă;
adaptarea treptată a metodelor tradiționale de ănvățământ la noile tehnologii.
Avantaje ale folosirii testelor pe calculator :
feed-back-ul se realizează imediat la sfârșitul testului, când elevul știe câte exerciții a greșit și ce notă a obținut ;
sunt eliminați factorii subiectivi din evaluarea elevului, el fiind convins că nota obținută este cea pe care o merită ;
elevul este obligat să se concentreze punctual, asupra fiecărui exercițiu, dezvoltându-se astfel atenția copilului;
dezvoltă spiritul de competiție al copilului, competiție între copil și calculator ;
elimină eventualul trac al elevului timid în fața profesorului ;
elimină pierderea timpului care apare în cazul testului creion-hârtie, unde copilul, dacă nu știe ceva, trece mai departe, urmând a reveni asupra punctului nerezolvat ;
asigură evaluarea unitară a elevilor ;
măsoară nivelul de achiziții ale clasei la un anumit moment.
Dezavantaje ale folosirii testelor pe calculator :
nu se realizează un dialog direct profesor-elev care să-i corecteze acestuia din urmă “din mers” micile erori sau ezitări din timpul unui raționament;
poate conduce la eșec din partea elevului prin neînțelegerea sarcinilor de lucru;
nu poate fi verificată îndeplinirea unor obiective ce țin de investigare-explorare.
Exemple:
1. lecția Cercul în plan, clasa a XI, Geometrie analitică
2.lecția Funcția exponențială, clasa a X-a, Algebră
IV.5.2. Microsoft Excel
Programul de calcul tabelar Microsoft Excel constituie un instrument de utilizare a funcțiilor matematice și statistice în cadrul orelor de matematică.
Aplicații
1.PI (Funcția PI) – întoarce numărul 3,14159265358979, constanta matematică pi, aproximată la 15 cifre.
Sintaxa: PI() – funcția PI nu are argumente.
2. Funcția exponențială f:R(0,), f(x)=ex
3.Funcția logaritm natural f : (0,+)R, f(x)=ln(x)
Bibliografie
1. Liviu Ardelean, Nicolae Secelean, Didactica matematicii – managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Editura Sibiu, 2007.
3. George Turcitu, Niculae Ghiciu, Constantin Basarab, Ionică Rizea, Dan Mic, Marlena Basarab , Matematică, Manual clasa a VII-a, Editura Radical, 1999
4. Ion Cheță, Gina Caba, Matematică, Manual pentru clasa a VII-a, Editura Teora, 2005, autori
5. Florica T. Câmpan , Povestea numărului , Editura Albatros, 1977
6. http://ro.wikipedia.org/wiki/Pi
7. http://www.realitatea.net/un-numar-record-de-zecimale-pentru-pi-identificate-de-un-japonez_726743.html
8.http://ro.wikipedia.org/wiki/E_(constant%C4%83_matematic%C4%83)
9.lectiile-mele.wikispaces.com/file/view/Numarul+phi.doc
10.http://matematicasiteologie.wordpress.com/2012/09/19/sirul-lui-fibonacci-una-din-cheile-de-acces-la-codul-sursa-al-creatiei-lui-dumnezeu/
CUPRINS
Bibliografie
1. Liviu Ardelean, Nicolae Secelean, Didactica matematicii – managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Editura Sibiu, 2007.
3. George Turcitu, Niculae Ghiciu, Constantin Basarab, Ionică Rizea, Dan Mic, Marlena Basarab , Matematică, Manual clasa a VII-a, Editura Radical, 1999
4. Ion Cheță, Gina Caba, Matematică, Manual pentru clasa a VII-a, Editura Teora, 2005, autori
5. Florica T. Câmpan , Povestea numărului , Editura Albatros, 1977
6. http://ro.wikipedia.org/wiki/Pi
7. http://www.realitatea.net/un-numar-record-de-zecimale-pentru-pi-identificate-de-un-japonez_726743.html
8.http://ro.wikipedia.org/wiki/E_(constant%C4%83_matematic%C4%83)
9.lectiile-mele.wikispaces.com/file/view/Numarul+phi.doc
10.http://matematicasiteologie.wordpress.com/2012/09/19/sirul-lui-fibonacci-una-din-cheile-de-acces-la-codul-sursa-al-creatiei-lui-dumnezeu/
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Numarul Lui Euler (ID: 162917)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.