Multimi de Numere

CAPITOLUL I

MULȚIMI DE NUMERE

1.NUMERE NATURALE

1.1 Mulțimi echipotente

Mulțimile A și B se numesc echipotente dacă există o aplicație bijectivă între A și B. Acest lucru se notează și se citește "A este echipotentă cu B".

Proprietățile echipotenței mulțimilor

relația de echipotență este reflexivă

Mulțimea A este echipotentă cu ea însăși, deoarece avem aplicația identică care este bijectivă:

relația de echipotență este simetrică

Dacă este bijectivă, atunci există aplicația inversă Deci, dacă avem

relația de echipotență este tranzitivă

Dacă și sunt aplicații bijective, atunci aplicația este bijectivă. Rezultă că și

relația de echipotență fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă este o relație de echivalență și împarte mulțimile în clase.

Exemple: A1={a}; A2={b}; …; An={c}; … B1={a, b}; B2={c, d}; …; Bn={e, f}; …; C1={a, b, c}; C2={d, e, f}; …; Cn={l, p, q}; …

Mulțimile A1, A2, …, An, … formează o clasă. Mulțimile B1, B2, …, Bn, … formează o altă clasă etc.

Proprietățile echipotenței de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate nu se pot aplica la mulțimi din clase diferite, ci numai la mulțimile aceleiași clase. Iată de ce relația de echipotență împarte mulțimile în clase.

1.2. Număr cardinal

O clasă de echivalență, definită de relația de echipotență, se notează printr-un

simbol, care se numește nr cardinal sau puterea fiecărei mulțimi din clasa respectivă.

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente, ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal.

Se notează cardinalul mulțimii A cu

Cardinalul 0

Toate mulțimile vide au aceeași putere, care se notează cu simbolul 0 sau cu numărul cardinal 0.

Cardinalul 1

Mulțimile A1, A2, …, An, …, din exemplul de mai sus, formează clasa căreia i se asociază numărul cardinal 1.

Cardinalul 2

Mulțimile B1, B2, …, Bn, …, din exemplul de mai sus, formează clasa căreia i se asociază numărul cardinal 2 etc.

1.3. Adunarea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B, disjuncte, prin definiție

Exemplu: Fie A={a, b, c} și B={d, e, f, g}. Atunci {a, b, c, d, e, f, g};

și 3+4=7.

Proprietățile adunării cardinalelor

Se consideră mulțimile A, B și C, disjuncte două câte două.

1. Adunarea cardinalelor este comutativă.

2. Adunarea cardinalelor este asociativă.

3. Cardinalul 0 este element neutru.

.

1.4. Înmulțirea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B avem prin definiție:

Exemplu: A={a, b} și B={a, b, c}, . A={(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)}; 2

Proprietățile înmulțirii cardinalelor

1. Înmulțirea cardinalelor este comutativă

2. Înmulțirea cardinalelor este asociativă

()

3. Cardinalul 1 este element neutru.

Fie N={a}.

4. Înmulțirea oricărui cardinal cu 0 dă ca rezultat 0.

= 0.

5. Înmulțirea cardinalelor este distributivă față de adunare.

1.5. Numere naturale

Cardinalul a este finit dacă . Dacă un cardinal nu este finit, este infinit sau transfinit.

Definiție 1: Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalele finite se numește mulțimea numerelor naturale și se notează cu .

, iar *=.

Definiție 2[2]: Un număr natural este o clasă de echivalență de mulțimi finite de aceeași putere.

Modul în care s-au definit numerele naturale este de fapt un proces de abstractizare în care ne ridicăm, de exemplu, de la noțiunile de doi cai, două scaune, două mese etc…, la noțiunea de doi, care este un număr natural. Acest proces de abstractizare constă în formarea clasei de echivalență alcătuită din mulțimile finite de aceeași puterem cum sunt doi cai, două scaune, două mese etc….

De aceea se spune că o mulțime finită are un număr de elemente egal cu un număr natural dat, dacă această mulțime finită este un reprezentant al numărului natural considerat.

Denumirea pe care o dăm unui număr natural poate fi privită ca fiind o consemnare a rezultatului provenit din operația de numărare a elementelor unei mulțimi finite care formează un reprezentant al numărului natural considerat.

S-a format și obișnuința de a spune că denumirea fiecărui număr natural este chiar numărul natural considerat.

Numerele naturale au denumiri diferite în limbi diferite. Dar indiferent de limbă oamenii au ajuns la înțelegerea de a folosi aceleași semne. Aceste semne sunt foarte cunoscute. Semnele cel mai des folosite pentru reprezentarea numerelor naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Acestea reprezintă cifrele arabe. Combinând aceste semne, se pot obține o infinitate de numere naturale. Numerele naturale mai pot fi reprezentate și cu ajutorul cifrelor romane: I, II, III, IV, V, VI, …, X, …., L, …, C,…., dar aceste semne se folosesc tot mai rar.

Pentru reprezentarea numerelor naturale se pot folosi și litere din alfabetul latin: a, b, c, ….. Acest lucru se face, de obicei, atunci când vrem să punem în evidență doar faptul că indicăm un număr natural dintr-o clasă de numere naturale. Litera folosită în acest caz este de fapt denumirea clasei de numere naturale pe care o considerăm, iar numerele naturale care pot lua locul literei utilizate sunt de fapt reprezentanții clasei considerate. Utilizarea literelor este foarte utilă când studiem proprietățile numerelor naturale sau ale altor obiecte din matematici, deoarece, în felul acesta, putem să ne referim la o proprietate comună a unei clase de numere naturale sau a unor obiecte din matematici.

Termenul de număr natural îl datorăm faptului că primele numere care în mod natural au servit oamenii în scopurile lor practice au fost numerele naturale.

Relația de egalitate pentru numere naturale[2]. Numerele naturale fiind clase de echivalență, relația de egalitate pentru numere naturale se definește ca pentru clase de echivalență și tot ca la clase de echivalență recunoaștem când două numere naturale sunt egale.

Deci numerele naturale a și b sunt egale, adică

,

dacă mulțimile finite M și N care sunt reprezentații celor două numere naturale, respectiv ai lui a și b, sunt de aceeași putere , adică dacă între ele se poate stabili o corespondență biunivocă.

Proprietățile relației de egalitate pentru numere naturale.[2] Relația de egalitate pentru numere naturale are proprietățile de:

determinare: ;

reflexivitate: ;

simetrie: ;

tranzitivitate:

deoarece aceleași proprietăți sunt satisfăcute de relația de echivalență cardinală pentru mulțimile finite care sunt reprezentanții numerelor naturale.

Consecință: Relația de egalitate pentru numere naturale este o relație de echivalență.

Teorema 1: Dacă , atunci

Fie mulțimea M care are cardinalul Există mulțimile A și B care îndeplinesc condiția:

Putem construi aplicația bijectivă , în care să avem . Facem o restricție a aplicației f, excluzând din domeniul de definiție pe și din codomeniu pe . Rămâne funcția bijectivă Deci Atunci:

Teorema 2: Dacă numărul natural a este finit atunci și a+1 este finit.

Presupunem că a+1 nu este finit. Atunci avem Conform teoremei 1, există egalitatea Rezultă că a nu este finit, ceea ce contrazice ipoteza. Teorema este demonstrată.

Axiomă: Mulțimea numerelor naturale se construiește începând de la 0 și adunând în mod repetat pe 1: 0; 0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; …, n+1; n+2; ….

1.6. Adunarea numerelor naturale

Definiție: Suma a două numere naturale a și b este un număr natural c al cărui reprezentant este mulțimea finită ce se obține prin reuniunea a două mulțimi finite disjuncte dintre care una reprezintă numărul natural a, iar cealaltă numărul natural b.

Vom scrie unde notația este făcută pentru a exprima faptul că s-a făcut reuniunea a două mulțimi finite disjuncte, prima reprezentând numărul natural a, iar a doua numărul natural b și că în felul acesta s-a format o nouă mulțime finită care reprezintă numărul natural c.

Numărul natural se numește suma numerelor naturale a și b; a și b se numesc termenii sumei, iar operația cu care se obține numărul natural se numește adunarea numerelor naturale a și b.

Adunarea cardinalelor finite și proprietățile ei sunt valabile și în mulțimea numerelor naturale. Mai trebuie să arătăm că în , adunarea este lege de compoziție internă.

Teorema 3: Oricare ar fi avem

Să demonstrăm teorema folosind inducția matematică:

Deci P(0) este adevărată.

. Aceasta se presupune adevărată.

Trebuie să demonstrăm P(n+1), pentru b=n+1, adică a+(n+1). a+(n+1)=(a+n)+1.

Conform axiomei enunțată mai sus, dacă , atunci și și P(n+1) este adevărată.

Această teoremă asigură existența aplicației definită prin f(a, b) = a

+b, care arată că adunarea este lege de compoziție internă în

Proprietățile sumei și adunării numerelor naturale.

1. Suma a două numere naturale a și b există și este unică.

Suma a două numere naturale există, deoarece reuniunea a două mulțimi finite este o mulțime finită.

2. Adunarea a două numere naturale a și b este comutativă, adică

3. Adunarea este asociativă, adică, dacă a, b, c sunt trei numere naturale atunci

.

4. Numărul natural 0 este element neutru pentru adunarea numerelor naturale, adică

1.7. Scăderea numerelor naturale

Scăderea este operația inversă adunării.

Definiție: Diferența a două numere naturale și este un număr natural c pentru care

Operația de scădere a două numere naturale nu este totdeauna posibil de efectuat. În cazul în care operația de scădere se poate efectua, numărul natural căutat c verifică egalitatea

În acest caz, numărul natural c se numește diferența dintre numerele naturale și și se scrie . Numărul natural a se numește descăzut, iar numărul natural b se numește scăzător.

Diferența dintre două numere naturale este unică. Această proprietatea este adevărată numai în cazul în care scăderea celor două numere naturale poate fi efectuată.

1.8. Înmulțirea numerelor naturale

Cunoaștem existența înmulțirii și proprietățile ei de la numerele cardinale.

Definiție: Produsul a două numere naturale și este un număr natural c al cărui reprezentant este mulțimea finită ce se obține din produsul cartezian a două mulțimi finite, dintre care una reprezintă numărul natural și cealaltă numărul natural .

Vom scrie , unde numerele a și b se numesc factorii produsului, numărul se numește produsul numerelor naturale a și b, iar operația prin care se obține numărul se numește înmulțirea numerelor naturale a și b.

Teorema 5: Dacă și , atunci .

Pentru numărul natural b aplicăm inducția matematică. Considerăm propoziția P(n): adevărată. Verificăm P(1): b=1; . Să demonstrăm că propoziția P(n+1) este adevărată: . Conform teoremei 3 avem

Această teoremă asigură existența aplicației definită prin g(a, b)=ab. Această aplicație arată că înmulțirea este lege de compoziție în .

Proprietățile produsului și înmulțirii numerelor naturale.

1. Produsul a două numere naturale a și b există și este unic.

Produsul a două numere naturale există, deoarece produsul cartezian a două mulțimi finite este o mulțime finită.

2. Înmulțirea a două numere naturale a și b este comutativă, adică

3. Înmulțirea este asociativă, adică dacă a, b, c sunt trei numere naturale, atunci

4. Elementul neutru al înmulțirii este numărul natural 1, adică

.

1.9. Împărțirea numerelor naturale

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii.

Definiție: Câtul a două numere naturale a și b este un număr natural q pentru care

Operația de împărțire a două numere naturale nu este întotdeauna posibilă. În cazul în care împărțirea este posibilă, numărul q se numește câtul dintre numerele naturale a și b și se notează . Numărul natural a se numește deîmpărțit, iar numărul b se numește împărțitor. Totodată putem spune că b este divizorul lui a, b divide pe a sau că a este multiplu lui b. Ca notație se folosește sau

Teorema 6 (Teorema împărțirii cu rest): Oricare ar fi numerele a și b, există alte două numere q și , unice, astfel încât să avem egalitatea: unde r este restul împărțirii.

La fel ca și la celelalte operații, și pentru cât există următoarea proprietate: câtul dintre două numere naturale, dacă există, este unic.

2.NUMERE ÎNTREGI

2.1. Număr întreg

Între elementele produsului cartezian definim următoarea relație:

Proprietățile relației R

Relația R este reflexivă.

Relația R este simetrică.

Relația R este tranzitivă.

În afară de vom mai folosi elementul oarecare din mulțimea :

Relația R, având proprietățile de reflexivitate, simetrie și tranzititvitate, este o relație de echivalență. Ea împarte mulțimea în clase.

O clasă de echivalență, determinată de relația R, definește un număr întreg.

Mulțimea este mulțimea numerelor întregi și se notează cu

2.2. Numere întregi pozitive și negative

Teoremă: O clasă de echivalență nu conține decât cel mult un element în care q=0.

Presupunem că există într-o clasă două elemente care au .

;

O clasă care conține un element de forma , definește un număr întreg pozitiv.

Consecință: Toate elementele , existente într-o clasă care definește un număr întreg pozitiv, au

Într-adevăr, această clasă conține elementul și avem

Teoremă: O clasă de echivalență nu conține decât cel mult un element în care p=0.

Presupunem că există în aceeași clasă.

O clasă care conține un element de forma definește un număr întreg negativ.

Toate elementele , existente într-o clasă care definește un număr întreg negativ, au . Într-adevăr această clasă conține elementul și avem

Clasa care conține elementul definește numărul întreg zero. Oricare element din clasa care determină numărul zero are , deoarece Numărul întreg zero este și pozitiv și negativ.

Mulțimea numerelor întregi este alcătuită din mulțimea numerelor întregi pozitive, notată cu și mulțimea numerelor întregi negative, notată cu .

Vom nota un număr întreg printr-un element al clasei care îl determină, barat. De exemplu, vom avea: ;

2.3. Modulul numărului întreg

Def: Se numește modul al numărului întreg pozitiv , numărul natural m. Modulul numărului întreg negativ , numărul natural n.Modulul numărului 0 este 0.

Notație: ; se citește: modul de +m este m.

Concluzie: .

2.4. Adunarea numerelor întregi

În definim adunarea elementelor astfel:

Teoremă: Operația de adunare din este compatibilă cu relația R.

Deci, putem afirma că adunarea este operație internă în mulțimea numerelor întregi.

Proprietățile adunării:

1. Suma a două numere întregi pozitive este un număr pozitiv.

2. Suma a două numere întregi negative este un număr negativ.

3. Suma este pozitivă dacă și este negativă dacă

Pentru următoarele proprietăți vom folosi numerele întregi oarecare

4. Adunarea numerelor întregi este comutativă.

5. Adunarea numerelor întregi este asociativă.

6. Numărul este element neutru pentru adunare.

Oricare are fi

7. Oricare ar fi un număr întreg, el are un simetric în raport cu adunarea.

Simetricul numărului este deoarece

Numărul 0 coincide cu propriul său simetric. Dacă a este pozitiv, simetricul său este negativ și reciproc.

Proprietățile 4, 5, 6, 7 demonstrează că mulțimea , împreună cu operația de adunare formează un grup abelian. Acest grup se notează cu

2.5. Înmulțirea numerelor naturale

În definim înmulțirea astfel:

Teoremă: Înmulțirea definită în este compatibilă cu relația R.

Egalitatea: confirmă că avem

Teorema ne asigură că în înmulțirea este operație internă.

Proprietățile înmulțirii:

1. Produsul a două numere întregi pozitive este pozitiv.

2. Produsul a două numere întregi negative este pozitiv.

3. Produsul dintre un număr pozitiv și unul negativ este un număr negativ.

4. Produsul dintre un număr negativ și unul pozitiv este un număr negativ.

Pentru următoarele proprietăți vom folosi numerele întregi oarecare

5. Înmulțirea numerelor întregi este comutativă.

6. Înmulțirea numerelor întregi este asociativă.

7. Înmulțirea are element neutru .

8. Înmulțirea este distributivă față de adunare.

Proprietățile 4, 5, 6, 7 de la adunare și proprietățile 5, 6, 7, 8 de la înmulțire demonstrează că mulțimea numerelor întregi față de adunare și înmulțire are o structură de inel comutativ.

3.NUMERE RAȚIONALE

3.1.Număr rațional

Între elementele produsului cartezian definim relația:

Proprietățile relației R

Vom folosi ca următoarele elemente: din mulțimea

Relația R este reflexivă.

Relația R este simetrică.

Relația R este tranzitivă.

Dacă , din egalitățile rezultă că Atunci și

Relația R fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă este o relație de echivalență și împarte mulțimea în clase.

O clasă de echivalență determinată de relația R este un număr rațional.

Mulțimea claselor de echivalență este mulțimea numerelor raționale care se notează

Teoremă: Dacă a și b sunt numere întregi, prime între ele și atunci există un întreg r, astfel încât să avem și

Din ultima egalitate rezultă că b divide pe n și n=br. Astfel Evident,

Conform teoremei de mai sus, putem spune că elementele clasei care conține pe (a, b) sunt: .

Numărul rațional definit de această clasă îl vom scrie ca un element barat al acestei clase: În loc de vom scrie

Definiție: Numim număr rațional sau fracție ordinară, în care a este numărătorul și b este numitorul.

Din .

Consecință: Putem înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu un număr întreg diferit de zero și fracția nu se schimbă decât formal. Această operație se numește amplificarea fracției.

Putem împărți numărătorul și numitorul unei fracții cu un divizor comun al lor și fracția nu se schimbă decât formal. Această operație se numește simplificarea fracției. Prin simplificarea fracției cu cel mai mare divizor comun pentru numărător și numitor, fracția devine ireductibilă.

3.2.Numere raționale pozitive și negative

Fracția este pozitivă dacă și negativă dacă

Notăm cu mulțimea numerelor raționale pozitive, respectiv cu mulțimea numerelor raționale negative.

3.3 Aducerea fracțiilor la același numitor

Fiind date fracțiile: aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Fie acest numitor .

Prima fracție se amplifică cu , a doua cu etc. și obținem fracțiile egale cu cele date, care au același numitor:

3.4. Adunarea numerelor raționale

În mulțimea definim adunarea astfel:

Teoremă: Relația R este compatibilă cu adunarea din .

Teorema asigură că în mulțimea numerelor raționale adunarea este lege de compoziție internă.

Proprietățile adunării:

Teoremă: Suma mai multor fracții cu același numitor este egală cu o fracție în care numitorul rămâne cel comun, iar numărătorul este egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

În continuare ne folosim de numerele raționale oarecare:

1. Adunarea este comutativă.

2. Adunarea este asociativă.

Fie w numitorul comun al fracțiilor . Dacă , fracțiile se mai scriu

Astfel:

3. Numărul 0 este element neutru pentru adunare.

4. Fiecare număr rațional are un opus față de adunare.

Notăm opusul lui cu și rămâne să-l determinăm:

Concluzie: Opusul elementului este

Opusul unui număr rațional pozitiv este un număr negativ și reciproc.

Proprietățile 1, 2, 3, 4 demonstrează că mulțimea și adunarea formează o structură de grup abelian.

3.5. Înmulțirea numerelor raționale

În mulțimea definim înmulțirea astfel:

Teoremă: Relația R este compatibilă cu înmulțirea din .

Teorema ne asigură că în înmulțirea este lege de compoziție internă.

Proprietățile înmulțirii:

Vom folosi elementele oarecare: din mulțimea .

Înmulțirea este comutativă.

Înmulțirea este asociativă.

Numărul rațional 1 este element neutru pentru înmulțire.

În mulțimea fiecare element are un invers în raport cu înmulțirea.

Notăm inversul lui cu și rămâne să-l determinăm:

Concluzie: Inversul numărului este

Numărul 0 nu are invers.

Proprietățile de mai sus demosntrează că mulțimea și înmulțirea formează o structură de grup abelian.

Înmulțirea este distributivă față de adunare.

Datorită comutativității avem distributivitatea și la dreapta.

Mulțimea , adunarea și înmulțirea formează o structură de corp comutativ deoarece avem:

i). este grup comutativ

ii). este grup comutativ

iii). Înmulțirea este distributivă față de adunare.

3.6. Fracții zecimale

Definiție: O fracție este zecimală dacă numitorul este o putere a lui zece.

Exemple:

Definiție: Un număr rațional este fracție zecimală simplă dacă numitorul conține numai factorii primi 2 și 5.

Definiție: O fracție zecimală este periodică dacă are un număr nelimitat de zecimale care se succed periodic. Grupul de cifre zecimale care se repetă se numește perioadă.

Există două tipuri de fracții zecimale periodice:

– simple: etc

– mixte:

Orice fracție zecimală poate fi transformată într-o fracție ordinară ireductibilă.

4. NUMERE REALE

Pe lângă numerele naturale, întregi și raționale, există și numere care nu fac parte din aceste categorii.

Ca prim exemplu putem oferi numărul . Acest număr, scris zecimal, are o infinitate de cifre în dreapta virgulei, cifre care nu pot fi incluse într-o perioadă La fel ar putea fi și numerele etc. Am mai putea exemplifica cu . Toate aceste numere se numesc numere iraționale. În exprimarea zecimală, numerele iraționale au partea zecimală infinită și neperiodică. Aceste numere apar în multe probleme de geometrie.

Teoremă: Oricare ar fi numărul rațional x, egalitatea este falsă.

Demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că este un număr rațional. Atunci există numerele naturale p și q, prime între ele astfel încât . În acest caz avem Deci, este multiplu al lui 2. Rezultă că . Înlocuind în relația anterioară vom avea că . Adică și este multiplu al lui 2. Deci . Dar astfel se obține că p și q ar avea ca divizor comun pe 2, ceea ce contrazice ipoteza ca p și q sunt prime între ele.

Concluzie: nu este un număr rațional.

Reuniunea dintre mulțimile disjuncte: și mulțimea numerelor iraționale formează mulțimea numerelor reale, notată cu . Cu această notație vom introduce și notația corespunzătoare mulțimii numerelor iraționale: .

Între mulțimile de numere studiate până acum există următoarea relație de incluziune:

Un număr real oarecare este scris sub forma: unde , iar sunt cifre din mulțimea .

Fiecărui număr real îi putem asocia un punct pe axa numerelor. Această axă este o dreaptă pe care se fixează un punct O numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură. Cu ajutorul reprezentării ne putem imagina numerele reale ca puncte ale axei numerelor.

4.1 Aproximări zecimale ale numerelor reale

Definiție: Numerele raționale: se numesc aproximări zecimale sau trunchieri ale numărului a, unde

Definiție: Numerele raționale obținute prin înlăturarea succesivă a cifrelor de la partea zecimală, începând cu prima; apoi cu a doua etc. se numesc aproximări zecimale prin lipsă ale numărului a.

Observație: Aproximările zecimale prin lipsă ale unui număr pozitiv a sunt numere raționale mai mici decât a.

Definiție: Aproximările zecimale prin adaos ale unui număr real pozitiv se obțin adăugând la ultima cifră a unei aproximări prin lipsă, a unei unități corespunzătoare (o unitate la partea întreagă, o zecime la prima zecimală, o sutime la a doua zecimală etc.)

Exemplu: Dacă a=0,1503…, numerele 1; 0,2; 0,16 etc sunt aproximări zecimale prin adaos. Ca și notație se va folosi: .

Observație: Aproximările zecimale prin adaos ale unui număr real pozitiv a sunt numere raționale mai mari decât a.

4.2 Adunarea numerelor reale.

Ordonarea

Fie a și b două numere reale, ce corespund punctelor A, respectiv B, de pe axa numerelor.

a 0 b

A O B

Spunem că numărul a este mai mic decât numărul b și notăm dacă pe axă punctul A se află la stânga lui B (ca în figura de mai sus). Acest lucru se mai poate scrie și .

Numerele reale ce corespund punctelor axei aflate la dreapta originii O se numesc numere pozitive, iar cele aflate la stânga originii O se numesc numere negative. Faptul că numărul a este pozitiv se notează , iar dacă numărul a este negativ notăm . Numărul 0 este singurul număr neutru pentru că nu este nici pozitiv nici negativ.

Între două numere reale a și b pot exista din punct de vedere al comparării următoarele relații:

Relațiile de inegalitate strictă între două numere reale au următoarele proprietăți:

Opusul

Orice număr real are un opus notat cu care va fi tot un număr real. Opusul numărului 0 este numărul 0. Din punct de vedere al reprezentării pe axa numerelor avem următoarea definiție:

Definiție: Două numere reale se numesc opuse dacă sunt abcisele a două puncte de pe axa numerelor, egal depărtate de origine.

Definiție: Două puncte de pe axă, simetrice față de origine au abcisele numerele reale opuse.

Opusul numărului este . Astfel se observă că .

Modulul (valoarea absolută) a unui număr real

Definiție: Distanța dintre punctele A și O se numește modulul (valoarea absolută) a numărului a.

Modului numărului a se notează cu .

Definiție: Modulul unui număr real se poate defini astfel:

Proprietățile modulului:

a) Dacă

Demonstrație: Dacă Dacă și din Din inegalitățile și avem .

b) .

c)

Demonstrație: Pentru a demonstra adunăm inegalitățile următoare:

Din ultima relație, conform primei proprietăți, avem:

Dacă înlocuim cu obținem:

.

d) ;

Pentru demonstrația acestor inegalități ne vom folosi de primele trei proprietăți:

.

Pentru modul mai există și proprietățile:

5.NUMERE COMPLEXE

Fie R mulțimea numerelor reale și produsul cartezian

Numim număr complex, oricare element al mulțimii

Vom nota numerele complexe cu literele iar mulțimea numerelor complexe o vom nota cu

Numerele complexe sunt egale dacă și numai dacă și .

5.1. Adunarea numerelor complexe

Definiție: Oricare ar fi numerele complexe , suma lor este

Adunarea este lege de compoziție deoarece este definită de o aplicație cu domeniul de definiție , care ia valori în

Proprietățile adunării numerelor complexe

Vom folosi numerele complexe oarecare:

1. Adunarea este comutativă.

2. Adunarea este asociativă.

3. Numărul complex este element neutru pentru adunare.

4. Fiecare număr complex are un opus în raport cu adunarea.

Opusul numărului complex este , deoarece =

Toate aceste proprietăți demonstrează că mulțimea și adunarea formează o structură de grup abelian.

5.2. Înmulțirea numerelor complexe

Oricare ar fi numerele complexe produsul lor este

Înmulțirea este lege de compoziție internă, deoarece este definită de aplicația

Proprietățile înmulțirii numerelor complexe

Vom folosi numerele complexe oarecare:

1. Înmulțirea este comutativă.

2. Înmulțirea este asociativă.

3. Există element neutru în raport cu înmulțirea.

Notăm elementul neutru cu și rămâne să-l determinăm:

Rezolvînd sistemul, obținem soluția x=1 și y=0.

Concluzie: Elementul netru este .Astfel:

4. Fiecare element are un invers în raport cu înmulțirea.

Notăm inversul numărului cu și rămâne să-l determinăm:

Concluzie: Inversul unui număr complex este:

Observație: Numărul complex nu are invers.

Notăm

Proprietățile înmulțirii arată că și înmulțirea formează o structură de grup abelian.

5. Înmulțirea este distributivă față de adunare.

Comutativitatea produsului asigură că distributivitatea este valabilă și la stânga.

Mulțimea numerelor complexe este corp comutativ deoarece:

i). este grup comutativ.

ii). este grup comutativ.

iii). Înmulțirea este distributivă față de adunare.

Înmulțirea unui număr real cu un număr complex

5.3. Numărul i

Definiție: Se definește numărul i sub forma: ).

Putem acum deduce puterile lui i:

În general, dacă n este un număr natural atunci avem:

Numărul i se numește unitate imaginară.

Numărul complex se poate scrie și se numește număr imaginar.

Altă formă de scriere a numărului complex este :

Numărul a se numește parte reală, iar numărul b se numește parte imaginară.

Considerând numerele complexe atunci avem definite operațiile de adunare și înmulțire astfel:

Conform acestor operații vom avea:

5.4. Numere complexe conjugate

Orice număr complex de forma are un conjugat notat Între două numere complexe conjugate există următoarele relații:

5.5. Modulul unui număr complex

Definiție: Modulul numărului complex este numărul real

Cu ajutorul definiției de mai sus, sunt adevărate următoarele relații:

Modulul produsului este egal cu produsul modulelor.

CAPITOLUL II

METODICĂ

În activitatea sa didactică, profesorul de matematică utilizează diverse metode pedagogice prin care se dorește prezentarea conținutului matematic. Acest conținut matematic este prezentat atât liniar cât și concentric.

Majoritatea noțiunilor matematice se prezintă concentric. Acest lucru înseamnă că o noțiune

Cele mai multe noțiuni matematice se predau în școală structurate concentric cantitativ. Prima dată când elevul face cunoștință cu o noțiune, aceasta va avea o definiție științifică dar nu va cuprinde toate proprietățile sale și nici toate variantele de prezentare.

Numere naturale

Scrierea numerelor naturale

Primele numere cu care vine în contact elevul odată cu intrarea în clasa pregătitoare sunt numerele naturale.

Numerele natuale se scriu folosind una sau mai multe din simblourile: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aceste simboluri poartă denumirea de cifre arabe. În scrierea unui număr o cifră poată să se repete sau nu. Nici un număr natural format din două sau mai multe cifre, nu poate avea pe prima poziție cifra 0.

Modul de scriere a unui număr folosind regulile de mai sus se numește scriere în baza zece sau scriere în sistem zecimal.

Numerele naturale scrise sub forma: 0, 1, 2, …, 12, 13, …, 245, 246,… formează șirul numerelor naturale. Simbolul "…" se folosește pentru a indica faptul că după orice număr natural mai putem scrie altul. Într-o idee mai simplă spunem că șirul numerelor naturale este un șir infinit.

Cu excepția numărului 0, orice număr natural are un predecesor (un număr înainte) și un succesor (un număr scris după). Dacă este un număr natural, atunci este predecesorul, iar este succesorul.

Exemplu: pentru numărul 45, succesorul este 46, iar predecesorul este 47.

Citirea numerelor naturale

Orice număr natural aparține unei clase. O clasă reprezintă un grup de trei cifre. Cele trei cifre ale unei clase, citite de la drepta la stânga, reprezintă cifra de ordinul unităților, cifra de ordinul zecilor și cifra de ordinul sutelor. La nivel școlar se studiază cu preponderență doar patru clase: clasa unităților, clasa miilor, clasa milioanelor și clasa miliardelor.

Exemplu: în numărul 264.598.123, cifra 4 reprezintă cifra unităților din clasa milioanelor.

Descompunerea zecimală

Orice număr natural format din două sau mai multe cifre poate fi descompus în mod unic sub forma unei sume de produse între fiecare cifră din scrierea numărului și ordinul cifrei respective.

Exemplu: , pentru că 4 este cifra miilor, 7 este cifra sutelor, 8 este cifra zecilor, iar 3 este cifra unităților.

General vorbind avem:

etc

Reprezentarea numerelor naturale pe axă

Definiție: Se numește axa numerelor naturale, o dreaptă pe care se aleg: un punct de origine O, un sens pozitiv (de la origine spre dreapta) și o unitate de măsură.