Modelul Matematic al Aeronavei

CAPITOLUL 2: Modelul matematic al aeronavei

2.1. Sisteme de referință

Pentru a scrie corect ecuațiile de mișcare ale unei aeronave este necesară definirea unor triedre de referință. Toate aceste triedre sunt drepte, cu axele reciproc paralele.

Triedrul Pământ (sau triedrul de start) – este un sistem de referință inerțial, cu originea fixă in centrul Pământului (sistem geocentric), cu axa situată orizontal după o direcție aleasă în mod convenabil, cu axa orientată vertical în sus, iar axa împreună cu cele două axe formează un triedru drept.

Triedrul sol fix – este un sistem de axe legat de sol, cu originea fixă situată la nivelul mării, cu axa situată orizontal după direcția axei , cu axa orientată vertical în jos, iar axa formeaza împreună cu cele doua axe un triedru drept.

Triedrul sol mobil – este un sistem de axe cu originea mobilă amplasată în centrul de masă al aeronavei și cu axele paralele cu cele ale triedrului sol fix.

Triedrul legat de corp (body) – este un sistem de axe cu originea localizată în centrul de masă al aeronavei. Axa este orientată spre botul aeronavei, axa poziționată către aripa dreaptă a aparatului de zbor, iar axa este orientată în jos.

Fig 2.1

Orientarea triedrului legat de corp față de triedrul sol mobil se realizează cu ajutorul a trei unghiuri de atitudine: unghiul de cap sau unghi de girație, unghiul de atitudine longitudinală sau unghi de tangaj și unghiul de înclinare laterală sau unghi de ruliu.

Se realizează trei rotații succesive a unui sistem care inițial coincide cu triedrul sol mobil, iar in final cu trietrul legat de corp.

se rotesc axele sistemului cu unghiul de cap în jurul axei

se rotesc axele astfel obținute în jurul axei cu unghiul

axele obtinute anterior se rotesc cu unghiul de înclinare laterală în jurul axei și se obține triedrul .

În această lucrare se utilizează ca sistem de referință triedrul legat de corp .

Fig. 2.2 Sistemul de axe legat de corp

Forțele aerodinamice si momentele depind de unghiurile și reprezentând incidența în planul de tangaj, respectiv derapajul in raport cu planul de tangaj și care orientează vectorul vitezei totale față de axa .

Vitezele care descriu miscarea aeronavei în raport cu triedrul Pământ sunt:

viteza de translație – descrie mișcarea centrului de masă al aeronavei în raport cu aerul considerat imobil. Componentele acestui vector sunt: pe axa , pe și pe .

Viteza de rotație instantanee – descrie miscarea de rotație a aeronavei în jurul centrului de masă în raport cu un sistem inerțial. Componentele vitezei de rotație în triedrul legat de corp sunt: – viteza unghiulară de ruliu, – viteza unghiulară de tangaj, – viteza unghiulară de girație.

Incidența în planul de tangaj reprezintă unghiul format de proiecția vectorului vitezei în planul de tangaj cu axa a triedrului legat de corp. Prin definiție:

Derapajul în raport cu planul de tangaj se difenește ca fiind:

În figura 2.3 momentul de ruliu este reprezentat cu , momentul de tangaj cu , iar momentul de girație cu .

2.2. Ecuațiile de mișcare

Pentru simplificarea ecuațiilor de mișcare trebuie luate în considerare următoarele ipoteze:

Aeronava este un corp rigid, ceea ce înseamnă că oricare doua puncte de pe aeronavă rămân fixe unul față de celălalt;

Pământul este văzut ca un sistem de referință inerțial, în alte cuvinte globul terestru este considerat fix în spațiu;

Masa aparatului de zbor este constantă pe durata intervalului de timp analizat și, de asemenea, consumul de combustibil este neglijabil;

Distribuirea masei aeronavei este simetrică în raport cu planul .

Având în vedere aceste ipoteze, mișcarea aeronavei are 6 grade de libertate (rotație și translație în 3 dimensiuni). Aplicând principiul al doilea al mecanicii enunțat de Newton (o forță care acționează asupra unui corp îi impune acestuia o accelerație) corpului rigid, ecuațiile de mișcare pot fi scrise în funcție de accelerațiile de transație si cele unghiulare care apar ca o consecință a unor forțe și momente aplicate aeronavei.

Cum ecuațiile depind de sistemul de axe ales, în continuare se va cosidera ca sistem de referință triedtrul legat de corp .

Din a doua lege a lui Newton se poate scrie:

unde: reprezintă suma tuturor forțelor externe;

este viteza totală;

este suma momentelor aplicate;

simbolizează momentul cinetic.

Atunci când se analizează un AFCS, se ia în considerare atât componenta de echilibru cât și cea de perturbație. Astfel:

Componentele cu indicele reprezintă valorile de echilibru, iar cele precedate de pertubațiile. Deoarece sistemul de referință inerțial considerat este triedrul Pământ, ecuațiile se pot rescrie:

Ecuațiile neliniare ale mișcării sunt compuse din trei ecuații de translație si trei ecuații de rotație.

Mișcarea de traslație

Prin definiție, zborul echilibrat semnifică un zbor neaccelerat pe un drum drept; în această ipoteză vectorul vitezei liniare în raport cu spațiul fix este invariant și viteza unghiulară este zero. Deci, și .

Derivata lui în raport cu triedrul Pământ este:

unde este viteza unghiulară a aeronavei în raport cu sistemul de axe fix. Dacă se scriu vectorii în raport cu sistemul legat de corp, rezultă:

iar produsul este dat de:

În mod asemanator, se poate scrie forța perturbatoare:

Din ecuația precedentă rezultă:

S-au folosit următoarele notații:

reprezintă componentele vitezei de translație;

semnifică componentele vitezei de rotație;

definesc forțele externe (forțe aerodinamice și de propulsie).

Nu se pot neglija forțele gravitaționale care acționează asupra aeronavei. Aceste forțe gravitaționale sunt exprimate în raport cu axele triedrului de start. Vectorul este poziționat de-a lungul axei .Conform figurii (2.3), reprezintă unghiul dintre vectorul gravitației si planul ; unghiul este pozitiv atunci când botul aeronavei este îndreptat în sus. este unghiul de înclinare în viraj, dintre axa și proiecția vectorului pe planul ; unghiul este pozitiv atunci când aripa dreaptă este în jos.

Fig 2.3 Orientarea vectorului

Incluzând componentele gravitaționale în expresiile forțelor externe , rezultă ecuațiile mișcării de translație:

Unghiurile Euler redau orientarea aeronavei în raport cu Pământul:

unde este unghiul de cap (azimut).

Mișcarea de rotație

Pentru un corp rigid momentul cinetic se definește astfel:

Matricea de inerție, , se scrie:

unde semnifică un moment de inerție, iar un produs de inerție, .

Transformând din triedrul corp fix în triedrul de start [1], ecuația anterioară devine:

Știind:

și

unde sunt componentele lui obținute din exuația . Rezultă:

În mod uzual, aeronava este simetrică față de planul , caz în care termenii și sunt nuli. Rezultă astfel:

Se pot scrie ecuațiile mișcării de rotație:

unde reprezintă momentele de ruliu, tangaj și girație.

2.3. Liniarizarea ecuațiilor de mișcare

Dinamica unui avion considerat corp rigid este descrisă de cele sașe ecuații neliniare și . Aceste ecuații pot fi programate și integrate digital de către un computer pentru a simula mișcarea aeronavei. Deoarece majoritatea programelor de analiză și design necesită o reprezentare liniară a sistemului, trebuie facute cateva ipoteze pentru liniarizara ecuațiilor de mișcare ale aeronavei. Astfel, cele șase ecuații trebuie impărțite în 2 seturi de ecuații: trei pentru dinamica longitudinale și trei pentru cea lateral/direcțională [2.1].

Pentru simplificare, se consideră că mișcarea aeronavei este formată din doua componente: una principală care reprezintă mișcarea de echilibru și una dinamică compusă din pertubațiile mișcării principale. În acest caz se presupune că pertubațiile sunt mici.

Termenii cu indicele reprezintă valorile de echilibru, iar cei scris cu literă mică simbolizează valorile perturbațiilor.

În starea de echilibru nu există accelerații de transație sau rotație. Așadar, ecuațiile care reprezintă condițiile de echilibru pot fi exprimate în felul următor [2.2]:

Mișcarea perturbată poate fi determinată fie prin înlocuirea ecuațiilor în și , desfăcând termenii și apoi extrăgând ecuațiile din rezultat, fie diferențiind ambele parți ale ecuațiilor și . În ipoteza perturbațiilor mici, sinusul și cosinusul pot fi apoximate cu valoarea unghiului, respectiv valoarea 1. Mai mult, produsul si patratul cantităților perturbate sunt neglijabile.

Ecuațiile de mișcare perturbate sunt următoarele:

unde au fost folosite pentru a reprezenta direcțiile stabile, iar perturbațiile.

O practică comună în studiile AFCS este considerarea cazurilor de zbor cu condiții de echilibru mai simple, un caz de interes major fiind, de exemplu, zborul drept, orizontal și simetric. Zborul simetric este atunci când planul de simetrie al aeronavei rămâne fix în spațiu pe tot parcursul manevrelor. Având in vedere acest caz, se scriu următoarele:

( zbor drept)

( zbor simetric)

( zbor orizontal)

Pentru acest caz particular, aeronava va avea valori specifice pentru și . Acestea pot fi nule, dar pentru aeronavele convenționale viteza trebuie sa fie mai mare decât viteza minimă pentru ca zborul sa fie suținut; atunci când și și sunt zero, se spune că aeronava zboară la punct fix.

Astfel, pentru zborul rectiliniu si simetric, ecuațiile care exprimă mișcarea de translație devin:

Ecuațiile care exprimă mișcarea de roație rămân neschimbate.

Pentru aceleași condiții de echilibru, se poate presupune: . Ecuațiile și devin:

Pe baza acestor ecuații se pot scrie ecuațiile longitudinale și cele lateral-direcționale. Ecuațiile de mișcare longitudinale sunt:

iar cele lateral-direcționale se scriu:

Această separare a mișcării longitudinale și a mișcării laterale este posibilă doar în cazul condițiilor de echilibru presupuse: zbor rectiliniu, simetric, orizontal.

2.3.1 Mișcarea longitudinală

Mișcarea longitudinală apare ca raspuns a unei perturbații în planul longitudinal de simetrie, planul . Mișcarea este descrisă de ecuațiile forței axiale , forței normale și a momentului de tangaj . Deoarece mișcarea laterală nu este inclusă, variabilele și derivatele lor sunt nule.

Utilizând dezvoltarea in serie Taylor [2.2], ecuațiile devin:

Se consideră doar bracajul de profundor în controlul mișcării longitudinale a aeronavei. În plus, se fac următoarele notații pentru simplificarea scrierii:

Ecuațiile devin:

Pentru completitudine, se adaugă:

Studiind datele aerodinamice de la un numă mare de aeronave, s-a observat că nu toate derivatele de stabilitate sunt semnificative, unele dintre ele putând fi neglijate. Derivatele de stabilitate depind atât de tipul avionului analizat, cât și de regimul de zbor la care se face analiza. Următoarele derivate de stabilitate nu sunt importante si pot fi ignorate: . Termenul este în mod normal mare, dar deseori omis dacă viteza este mare. Dacă cazul studiat este zborul la punct fix, atunci trebuie luat în considerare.

Ecuațiile longitudinale pentru zborul rectiliniu, simetric si orizontal pot fi exprimate astfel:

Sistemul de axe de stabilitate este ales astfel încat axa sa coincidă inițial cu vectorul vitezei, . Așadar, între axa a sistemului de stbailitate și axa a sistemului legat de corp, există un unghi de incidență la echilibru, . Utilizând acest sistem de axe, pentru care , devine:

unde (viteza totală).

Fig. 2.4

Pentru valori mici ale incidenței, se poate face schimbarea: .

2.3.1 Mișcarea lateral-direcțională

Mișcarea lateral-direcțională include doar ruliul, girația și derapajul. Mișcarea este astfel descrisă de ecuațiile forței laterale , momentului de ruliu si momentului de girație . Cum mișcarea longitudinală nu este considerată, variabilele și derivatele lor sunt nule.

Prin dezvoltare în serie Taylor a ecuațiile rezultă:

Se iau în considerare bracajul de eleron și bracajul de direcție . Se fac următoarele notații:

Cu aceste notații se pot scrie ecuațiile intr-un mod mai simplificat:

În general se consideră neglijabile următoarele derivate de stabilitate: . Dacă viteza este mică, termenul nu trebuie ignorat. Rezultă:

Utilizând sistemul de axe de stabilitate descris mai sus, unde și se pot scrie:

Produsele de inerție care apar în ecuațiile pot fi eliminate facând urmatoarele notații:

unde

.

Ecuațiile de mișcare laterală devin:

unde

și la care se adaugă:

2.4 Ecuațiile de mișcare în spațiul stărilor

În prezent, rezolvarea ecuațiilor de mișcare nu prezintă probleme foarte mari datorită existenței tehnologiei foarte avansate. Deoarece calculatoarele de bord sunt foarte bune pentru prelucrarea calculelor numerice matriceale, folosirea metodelor matriceale pentru rezolvarea sistemelor dinamice liniare sunt din ce în ce mai populare. Pentru pertubații mici, avionul este un exemplu clasic de sistem dinamic liniar și, de cele mai multe ori, soluțiile ecuațiilor de mișcare sunt folosite în design-ul și analiza AFCS-urilor.

Mișcarea sau starea unui sistem dinamic liniar este descrisă de un număr minim de variabile numite variabile de stare. Numărul de variabile de stare necesare pentru a exprima în totalitate mișcarea sistemului depinde de numarul de grade de libertate al acestuia. Așadar, mișcarea este prezentată printr-un vector multi-dimensional numit spațiul stărilor, numărul variabilelor de stare fiind egal cu dimensiunea vectorului.

Ecuația de mișcare, numită și ecuatie de stare, a unui sistem liniar invariant în timp (LTI) este:

unde

reprezintă vectorul de stare;

este vectorul comenzilor;

semnifică matricea derivatelor de stabilitate;

ilustrează matricea derivatelor de comandă.

Ecuația de ieșire este:

unde

este vectorul ieșirilor măsurate;

reprezintă matricea ieșirilor;

semnifică matricea directă.

Sistemul fiind invariant în timp, elementele matricilor sunt constante în timp.

Pentru cele mai multe aplicații, matricea este nulă, iar matricea coincide cu matricea unitate.

2.4.1 Dinamica lateral-direcțională

Fie sistemul dinamic:

Pentru dinamica lateral-direcțională, vectorul de comandă poate fi definit astfel:

unde reprezintă bracajul eleroanelor, iar bracajul de direcție.

Vectorul de stare este:

Ecuația de stare din relațiile devine [2.2]:

scrisă cu ajutorul relațiilor .

S-au folosit următoarele notații:

– variația vitezei de-a lungul axei a aeronavei;

– viteza unghiulară de ruliu;

– viteza unghiulară de girație;

– unghiul de înclinare;

– unghiul de ruliu.

În cele mai multe cazuri se preferă folosirea unghiului de alunecare (derapaj), , ca variabilă de stare, în locul vitezei laterale . Pentru valori mici ale unghiului :

În consecința:

Pentru simplificarea scrierii se poate face următoarea notație: . Relația anterioară devine:

Ultima coloană din relația este o coloană de zerouri care poate fi omisă. Ecuația de stare este rescrisă după cum urmează:

Pentru zborul rectiliniu și orizontal este zero. Drept urmare, pentru această condiție de zbor, elementul matricii A care conține va lua valoarea , iar va fi egal cu deoarece . Rezultă:

2.4.1 Dinamica longitudinală

Se consideră sistemul continuu . Vectorul stărilor se deinește astfel:

în care:

– variația vitezei de-a lungul axei longitudinale a aeronavei;

– variația vitezei de-a lungul axei normale;

– viteza unghiulară de tangaj;

– unghiul de atitudine longitudinală (de tangaj).

Deoarece se ia în considerare doar bracajul de profundor , vectorul de comandă este:

Conform ecuației dinamica longitudinală liniarizată a unui aeronave are următoarea structură:

unde

reprezintă matricea derivatelor de stabilitate;

este matricea derivatelor de comandă.

În literatura americană [2.2] se folosește ca variabilă de stare unghiul de inchidență, , în locul vitezei de axa , . Pentru valori mici ale unghiului :

de unde rezultă:

folosind notațiile și .

În cele mai multe lucrări ecuația se scrie:

în care .

Dinamica longitudinală poate fi descompusă în două subsisteme:

Scurta perioadă reprezentată de modurile rapide (sau ) și ;

Fugoida constituită din stările lente și .

Stabilitatea unui sistem dinamic poate fi determinată dacă se cunosc valorile proprii ale matricii de stabilitate:

unde este matricea unitate.

Se obține astfel polinomul caracteristic de gradul patru: . Avionul se consideră stabil dacă partea reală a radacinilor polinomului sunt strict negative.

Pentru majoritatea aeronavelor polinomul caracteristic se poate rescrie în astfel [2.3]:

unde:

reprezintă factorul de amortizare pentru scurta perioadă, respectiv fugoidă;

semnifică pulsația naturală a scurtei perioade și a fugoidei.

2.4.1.1 Obținerea scurtei perioade

Scurta perioadă reprezintă oscilația amortizată în tangaj, în jurul axei . Atunci când o aeronavă care este scoasă din starea de echilibru are loc o ascilație clasică de ordin doi în care principalele variabile sunt incidența și viteza unghiulară de tangaj . În mod normal, frecvența naturală neamortizată are valori cuprinse intre rad/sec. O caracteristică importantă a scurtei perioade este aceea că viteza rămâne constantă în timpul perturbației [2.3].

Scurta perioadă se va decupla de dinamica longitudinală:

cu:

pulsația naturală

factorul de amortizare

Aceste valori trebuie să se încadreze în calitățile de zbor impuse de MIL-STD-1797.

Fig 2.5 A stable short period pitching oscillation

2.4.1.2 Obținerea fudoidei

Fugoida este caracterizată printr-un unghi de atac constant și cu unghi de tangaj variabil. În mod uzual, pulsația naturală ia valori cuprinse între rad/sec, iar factorul de amortizare este mic.

Fig 2.6 The development of a stable phugoid

Fugoida se decuplează astfel [2.3]:

cu .

CAPITOLUL 3: Proiectarea SAS a dinamicii longitudinale pentru aeronava F-16

Majoritatea aeronavelor de mare performanță, fie ele comerciale sau militare, nu vor îndeplini calitățile de zbor impuse de MIL-STD-1797, descrise în capitolul 1, fără utilizarea unui SAS. Unele aeronave militare folosite în prezent sunt chiar instabile și imposibil de pilotat fără acest sistem. Uzual, SAS-ul folosește senzori pentru măsurarea vitezelor unghiulare în jurul axelor triedrului legat de corp, iar aceștia transmit anumite semnale către servomecanismul care controlează suprafețele de comandă. În acest mod se pot modifica valorile derivatelor de stabilitate pentru a asigura calități de manevrabilitate în conformitate cu standardele. Principalele tipuri de SAS-uri sunt cele pentru amortizarea vitezelor unghiulare de ruliu, tangaj și girație. [3.1]

Sistemele de îmbunătățire a stabilității sunt concepute separat pentru dinamica longitudinală și cea lateral-direcțională, fapt posibil prin decuplarea dinamicii aeronavei. După cum s-a arătat în capitolul anterior, separarea s-a facut pentru un zbor rectiliniu și orizontal.

În continuare se va trata metoda convențională de proiectare a sistemului de îmbunătățire a stabilității pentru dinamica longitudinală a aeronavei militare F-16 Fighting Falcon. F-16 este un avion de luptă cu un singur motor. Acesta a fost inițial proiectat de General Dynamics pentru USAF. A fost introdus in anul 1978 și s-au vândut peste 4500 de exemplare până în prezent. Din anul 2016, flota aeriană română va avea în dotare 12 astfel de aeronave [3.4].

Pentru generarea dinamicii avionului s-a folosit programul Matlab elaborat de Ying Huo, absolvent al Universității Southern California [3.5].

După cum s-a arătat în capitolul anterior, dinamica longitudinală liniarizată a aeronavei este următoarea:

unde:

– variația vitezei de-a lungul axei longitudinale a aeronavei;

– incidența;

– viteza unghiulară de tangaj;

– unghiul de atitudine longitudinală (de tangaj).

De unde rezultă scurta perioadă:

și fugoida:

S-au considerat 6 condiții diferite de zbor pentru care au rezultat următoarele matrici de stare și comandă :

Varianta 1: ft/sec, ft cu matricile:

Varianta 2: ft/sec, ft cu matricile:

Varianta 3: ft/sec, ft cu matricile:

Varianta 4: ft/sec, ft cu matricile:

Varianta 5: ft/sec, ft cu matricile:

Varianta 6: ft/sec, ft cu matricile:

3.1 Îmbunătățirea scurtei perioade

Rolul unui SAS pentru viteza unghiulară de tangaj este acela de a asigura valori satisfăcătoare ale factorului de amortizare și frecvenței unghiulare pentru scurta perioadă. Acest mod include variabilele și .

O configurație a scurtei perioade împreună cu sistemul de îmbunătățire a stabilității este exemplificată în figura următoare:

Fig 3.1 Scurta perioadă și SAS-ul

Se consideră sistemul dinamic:

Obiectivul programului este acela de a determina perechea astfel încât configurația din figura de mai sus să îndeplinească calitățile de zbor impuse de MIL-STD-1797.

În primul rând s-a efectuat decuplarea scurtei perioade pentru fiecare caz în parte. S-au calculat valorile proprii pentru a observa dacă aeronava este stabilă sau nu. S-au obșinut următoarele ecuații de stare și valori proprii:

Varianta 1:

cu

Varianta 2:

cu

Varianta 3:

cu

Varianta 4:

cu

Varianta 5:

cu

Varianta 6:

cu

Fig 3.2 Reprezentarea polilor

După cum se poate observa din graficul de mai sus, polii aparțin de simiplanul complex stâng, de unde rezultă că pentru cele șase condtiții de zbor considerate aeronava este stabilă.

Pentru a obține răspunsul la comanda treaptă se alege un timp de 8 secunde și se folosește instrucțiunea . Se obțin următoarele reprezentări pentru – incidența și pentru – viteza unghiulară de tangaj.

Fig 3.3 Răspunsul la comanda treaptă pentru

Fig 3.4 Răspunsul la comanda treaptă pentru

După cum se poate observa, sistemul se stabilizează destul de rapid pentru ambele stări, la aproximativ 5-6 secunde pentru starea și 6-7 secunde pentru starea , pentru condițiile de zbor considerate.

Următoarea etapă este construirea domeniului de alocare a polilor. Deoarece aeronva trebuie să îndeplinească cerințele impuse de MIL-STD-1797, polii scurtei perioade trebuie să se încadreze într-un domeniu foarte bine stabilit conform specificațiilor MIL.

Știind că incidența , rezultă că . Se va face schimbarea de variabilă cu care reprezintă accelerația normală. Aceasta se poate scrie:

unde reprezintă accelerația gravitațională și este egală cu ft/sec.

Neglijând termenul care conține bracarea de profundor, din ecuația anterioară rezultă:

Pentru a face schimbarea vectorului de stare

se folosește matricea de transformare care are următoarea formă [3.3]:

Cu ajutorul acestei acestei matrici se determină noile matrici de stare si comandă care vor avea expresiile:

de unde în continuare se vor extrage matricile corespunzătoare scurtei perioade. Matricea va fi formată din liniile 2, 3 și coloanele 2, 3 din matricea , iar matricea din liniile 2 și 3 ale matricii .

Multe sisteme sunt controlate cu metoda de alocare a polilor. Alte procedee includ metoda și (Linear – quadratic regulator).

Pentru a îndeplini cerințele MIL-STD-1797, adică să se asigure că frecvența și factorul de amortizare aparțin intervalelor specificate, valorile proprii trebuie să se regăsească în interiorul unei coroane circulare care are drept raze două valori determinate din specificațiile MIL cu ajutorul raportului . Din punct de vedere geometric, această coroană se reprezintă astfel:

Fig 3.5 Domeniul de alocabilitate

Figura 3.5 ilustrează dependența dintre pulsația naturală a scurtei perioade și pentru categoria A de zbor. După cum s-a spus și în capitolul 1, categoria A reprezintă fazele de zbor neterminal care necesită manevre foarte rapide, urmăriri de precizie sau control riguros al direcției de zbor. Cum valorea lui crește cu viteza, valorile mici ale raportului corespund caracteristicilor pentru viteza mai mică și invers. Cu alte cuvinte, atunci când viteza crește pulsația naturală a scurtei perioade crește [3.2]. Limitele acceptate pentru factorul de amortizare astfel încât scurta perioadă să fie stabilă se regasesc în tabelul următor, iar limitele pentru pulsația naturală se determină din figura 3.6, în funcție de raportul

Pentru cazurile exemplificate s-au considerat limitele pentru nivelul 1 de zbor, categoria A.

Cu ajutorul soft-ului Matlab și al figurii 3.6, s-au obținut următoarele limite pentru pulsația naturală pentru trasarea domeniului de alocabilitate:

Se poate observa că frontiera domeniului D din figura 3.5 poate fi împățită în următoarele patru ramuri [3.6]:

latura 1: și

latura 2: și

latura 3: și

latura 4: și

Fig 3.6 Cerințele pentru scurta perioadă [3.2]

Fig. 3.7 Alocarea polilor

S-a determinat mulțimea tuturor perechilor astfel încât polii sistemului configurației din figura 3.1 să aparțină intersecției coroanelor circulare rezultate în figura 3.7. Avantajul acestei metode propusă de Ackerman este acela că atunci când pentru o aeronavă se consideră mai multe condiții nominale de zbor, cum este și cazul de față, se poate face suprapunerea acestor domenii și astfel rezultă o mulțime de intersecție ale cărei perechi satisfac specificațiile MIL-STD-1797 pentru toate condițiile de zbor examinate.

Fig 3.8 Perechile

Pentru orice pereche din interiorul domeniului ilustrat in figura 3.8, valorile proprii ale matricii de stare a configurației din figura 3.1, , se află în limitele intersecției domeniilor D din figura 3.7. Așadar, cerințele MIL-STD-1797 cu privire la scurta perioadă sunt îndeplinite utilizând orice pereche de factori de amplificare și din intersecția domeniilor rezultate din figura 3.8.

Matricea de stare pentru configurația scurtei perioade împreună cu SAS-ul din figura 3.1 se determină cu formula și se calculează pentru fiecare caz în parte.

Pentru exemplificare se aleg două cazuri:

Cazul 1:

Fig 3.9 Perechea aleasă pentru cazul 1

Se alege un timp de 5 secunde. Folosind matricile din relația și din , se evaluează raspunsurile în timp, pentru toate cele șase condiții de zbor considerate, pentru stările și . Se obțin rezultatele din figurile 3.10 și 3.11.

Comparând rezultatele obținute cu cele inițiale obținute după schimbarea de variabilă , se observă că noile sisteme se stabilizează mai repede, pentru ambele stări timpul fiind de 1,5 – 2,5 secunde, iar suprareglajul este mult mai mic mai ales pentru starea .

Fig 3.10 Raspunsul la comanda treaptă pentru cazul 1

Fig 3.11 Răspunsul la comanda treaptă pentru cazul 1

De asemenea se verifică și că partea reală a valorilor proprii să fie negativă. Valorile proprii ale sistemelor îmbunătățite sunt reprezentate în figura 3.12 în chenarul negru. Se observă că polii sistemului îmbunătațit au tendința de a se îndepărta de limita de instabilitate, cei mai îndepărtați fiind cei corespunzatori sistemelor la vitezele de ft/sec și ft/sec.

Fig 3.12 Polii sistemului îmbunătațit – cazul 1

Cazul 2:

Fig 3.13 Perechea aleasă pentru cazul 2

Se compară și pentru acest caz raspunsurile în timp ale sistemelor îmbunătațite și cele inițiale. Studiind figurile 3.14 și 3.15, se pot trage următoarele concluzii: suprareglakul este vizil mai mic pentru ambele stări, iar timpul de raspuns este mai scurt și pentru și pentru aproximativ 1 – 1,5 secunde, pentru starea ajungând chiar și la 0,5 secunde.

Figura 3.16 reprezintă amplasarea polilor sistemului inițial, respectiv a celui îmbunătațit. Se remarcă că valorile proprii ale sistemului cu SAS se îndepărtează foarte mult de limita de instabilitate.

Fig 3.14 Raspunsul la comanda treaptă pentru cazul 2

Fig 3.15 Răspunsul la comanda treaptă pentru cazul 2

Fig 3.16 Polii sistemului îmbunătațit – cazul 2

Comparănd cele două cazuri cu perechile egale cu , respectiv , se constată că sistemul cu matricea de stare egală cu corespunzătoare cazului 2 are o comportare mult mai bună în timp, starea (accelerația normală) se stabilizează în 0,5 – 1,5 secunde, iar (viteza unghiulară de tangaj) în 0,5 – 2 secunde. Se remarcă că cu cât viteza aeronavei este mai mare, cu atât timpul de răspuns este mai mic. De asemenea, pentru al doilea caz valorile proprii sunt mult mai îndepartate de limita de instabilitate decât primul caz.

3.2 Îmbunătățirea fugoidei

În cazul fugoidei, ecuațiile corespunzătoare modurilor rapide, și , au membrul drept egal cu 0. Din dinamica longitudinală a aeronavei și considerând condițiile

rezultă sistemul:

de unde se determină necunoscutele:

Se înlocuiesc expresiile determinate anterior în ecuațiile modurilor lente, adică viteza de-a lungul axei longitudinale și unghiul de atitudine longitudinală:

care pot fi scrie și astfel

Conform standardelor MIL-STD-1797 factorul de amortizare trebuie să se încadreze în următoarele limite în funcție de nivelul calităților de zbor:

unde reprezintă timpul de dublare a amplitudinii.

Îndeplinirea condiției nivelului 1 poate fi realizată printr-o reacție proporțională cu modurile lente și . Acest mod necesită măsurarea cu precizie a variației vitezei . Însă, în cazul în care evaluarea acestei stări nu este destul de precisă, se poate efectua stabilizarea fugoidei doar prin reacție după unghiul de tangaj .

Configurația fugoidei împreună cu amplificarea este ilustrată în figura următoare:

Fig 3.17 Stabilizarea fugoidei prin reacție după

Se urmărește ca polinomul caracteristic al sistemului din figura 3.17 să aibă forma:

cu condiția ca . Această condiție se poate îndeplini utilizând metoda locului geometric, rlocus. Această metodă constă în modificarea amplificării până când se obține factorul de amortizare dorit.

Dacă nu se poate realiza stabilizarea fugoidei doar după sau dacă factorul de amortizare este prea mic, atunci trebuie să existe și o reacție după , configurație prezentată în figura de mai jos.

Fig 3.18 Stabilizarea fugoidei prin reacție dupa și

În cazul în care nu este necesară reacția după starea , pentru îndeplinirea condițiilor specificare de MIL-STD-1797 se utilizează o comandă cu expresia:

unde reprezintă bracajul de profundor. Rezultă astfel configurația pentru dinamica longitudinală a aeronavei, exemplificată în figura următoare:

Fig 3.18 Stabilizarea dinamicii longitudinale

Pentru această configurație, matricea de stare are următoarea formă:

Iar valorile proprii ale sale trebuie să se regăsească în semiplanul complex stâng [3.3] [3.6].

În lucrarea de față, pentru fiecare dintre cele doua situații determinate la scurta perioadă, se consideră câte două perechi cu , ajungând așadar la 4 cazuri, determinate cu ajutorul instrucțiunii rlocus, pentru evaluarea fugoidei.

Cazul 1.1:

Fig 3.19 Raspuns la comanda treaptă – – caz 1.1

Fig 3.20 Raspuns la comanda treaptă – – caz 1.1

Cazul 1.2:

Fig 3.21 Raspuns la comanda treaptă – – caz 1.2

Fig 3.22 Raspuns la comanda treaptă – – caz 1.2

Cazul 2.1:

Fig 3.23 Raspuns la comanda treaptă – – caz 2.1

Fig 3.24 Raspuns la comanda treaptă – – caz 2.1

Cazul 2.2:

Fig 3.25 Raspuns la comanda treaptă – – caz 2.2

Fig 3.26 Raspuns la comanda treaptă – – caz 2.2

Comparând toate rezultatele obținute, se obervă că în toate cazurile influența lui și a scazut semnificativ suprareglajul, în special pentru , și a avut impact pozitiv asupra celor două stări, îmbunătățind performanțele. Cazurile 1.1 și 1.2 nu diferă mult între ele. În tabelul următor sunt prezentați timpii de raspuns pe toate cele 4 cazuri.

Se demonstrează astfel că cel mai adecvat caz, pentru care suprareglajul este cel mai mic, iar timpul de răspuns cel mai scurt este cazul 1.4, corespunzător amplificării .

3.3 Concluzii

Obiectivul acestui capitol a fost de a proiecta un sistem de îmbunătățire a stabilității pentru dinamica longitudinală a aeronavei de luptă F-16 Fighting Falcon. S-a realizat decuplarea modurilor rapide de cele lente, în vederea obținerii celor mai favorabile amplificări , pentru care dinamica longitudinală se încadrează în nivelul 1 al calităților de zbor, conform MIL-STD-1797. Pentru a obține o comportare cât mai bună a aeronavei, s-au considerat 6 condiții de zbor, viteza variind între 300-1000 ft/sec, iar altitudinea înte 3000-35000 ft. În urma testelor, cea mai bună pereche de amplificări a reiesit a fi: .

Analizând figurile de mai jos se observă că, pentru ambele moduri, valorile proprii ale sistemelor îmbunătățite se îndepartează de limita de instabilitate. Suprareglajul este vizibil micșorat, mai ales pentru stările. De asemenea, timpul de răspuns pentru fiecare stare se micșorează:

Pentru este de 100-200 secunde față de 400-1000 secunde pentru cazul inițial;

Pentru este de 1,5-2 secunde față de 2,5-4 secunde;

Pentru este de 0,75-2secunde față de 3-4,5 secunde;

Pentru este de 150-200 secunde față de 400-1000 secunde.

Fig 3.27 Amplasarea polilor pentru a) scurta perioadă si b) fugoidă

Fig 3.27 Raspunsul scurtei perioade la comanda treaptă a) si b)

Fig 3.28 Raspunsul fugoidei la comanda treaptă a) si b)

CAPITOLUL 4: Sinteza optimală pentru dinamica laterală a aeronavei F-16

Scopul principal al AFCS-urilor este de a asigura un răspuns satisfăcător al dinamicii aeronavei la comenzile pilotului. Una din cele mai cunoscute metode este problema sau problema de atenuare . A fost formulată încă de la începutul anilor 1980 de către George Zames, J. William Helton și Allen Tannenbaum, iar importanța sa în studiul stabilității robuste a fost prezentată de Glover în anul 1986. Nu după foarte mult timp aria de aplicabilitate a acestei metode s-a extins foarte mult. Acest capitol studiază dinamica laterală a aeronavei militare F-16 Fighting Falcon față de un model ideal. Rezultatul este obținut prin transformarea intr-o problemă nesingulară. Un avantaj al acestei metode este acela că se permite obținerea stabilității și robusteței unui sistem în prezența unor incertitudini de modelare sau perturbații. Semnalelor de ieșire li se adaugă ponderi pentru a obține un sistem în conformitate cu cerințele de proiectare. Un sistem robust reprezintă un sistem capabil de a rămâne stabil cu ajutorul unui compensator, indiferent de perturbațiile ce pot apărea [4.1][4.4].

aparține unui spațiu de funcții numite Hardy, din semiplanul complex drept. Se urmărește minimizarea normei a unei funcții în buclă închisă, prin alegerea unor ponderi care să micșoreze cât mai mult eroarea dintre comanda dată de pilot și răspunsul aeronavei.

4.1 Problema

Configurația pentru sistemul generalizat T are următoarea formă:

Fig 4.1 Problema

unde

– vectorul intrărilor exogene;

– vectorul comenzilor de calitate;

– vectorul ieșirilor de calitate;

– vectorul ieșirilor măsurate.

Fie următoarea reprezentare în spațiul stărilor:

Ipotezele considerate pentru rezolvarea problemei sunt [4.12]:

este stabilizabilă și este detectabilă;

și ;

și ;

.

Pentru o problemă nesingulară trebuie ca și să fie nesingulare.

Problema are soluție dacă și numai dacă [4.12]:

ecuațiile Riccati și au soluții stabilizatoare și .

raza spectrală .

4.2 Dinamica laterală

Modul ruliu reprezintă o caracteristică laterală neoscilantă și constă în mișcarea în jurul axei realizată prin bracaj de eleron.

Fig 4.2 Modul ruliu [4.7]

Conform specificațiilor MIL-STD-1797 [4.6], aproximația de ordinul întâi de la comanda dată de mișcarea laterală a manșei pentru modificarea vitezei de ruliu în jurul axei de stabilitate, , trebuie să aibă următoarea funcție de transfer:

unde

este unghiul de incidență

este constata de timp pentru nivelul 1 de zbor

Ruliul olandez reprezintă o oscilație în jurul axei a aeronavei care, pe lângă mișcarea de ruliu, implică si un derapaj, fiind descris de unghiul de derapaj (alunecare) și viteza unghiulară de girație .

Fig 4.3 Ruliul olandez [4.8]

Funcția de transfer corespunzătoare este:

unde factorul de amortizare și pulsația rad/s, conform specificațiilor MIL-STD-1797 [4.3][4.6].

Aceste calități de zbor sunt satisfăcute cu ajutorul unui sistem de control al zborului pentru dinamica laterală, cazul considerat în acest capitol. Variabilele de stare luate în calcul sunt:

– unghiul de alunecare;

– viteza unghilară de ruliu;

– viteza unghiulară de girație.

Vectorul comenzilor este format din:

– bracajul eleroanelor;

– bracajul de direcție.

Pentru viteza de zbor de 1000 ft/s la altitudinea de 30000ft și cu un unghi de incidență mare , se obține următorul model liniarizat[4.9]:

cu:

Vectorul de stare este , vectorul comenzilor este , iar vectorul ieșirilor măsurate , unde reprezintă accelarația de derapaj, iar accelerația de ruliu.

O metodă pentru îndeplinirea specificațiilor MIL și constă în considerarea a două modele ideale cu dinamici apropiate de cele cerute și compararea răspunsurilor cu cele ale aeronavei, pentru aceleași comenzi. AFCS-ul este proiectat să minimizeze erorile dintre modelele ideale si aeronavă.

S-au folosit următoarele notații:

reprezintă unghiul de derapaj și viteza unghiulară de ruliu comandate;

este sistemul de comandă automată a zborului necesar;

semnifică dinamica laterală liniarizată a aeronavei;

și sunt zgomote;

și reprezintă erorile dintre modelele ideale și aeronavă;

și denotă ponderile matriceale;

și sunt modelele ideale determinate în conformitate cu specificațiile MIL și au următoarele funcții de transfer:

și

unde frecvența dorită pentru ruliul olandez este , factorul de amortizare al ruliului olandez este , iar constanta de timp pentru modul ruliu este .

Fig 4.4 Configurația modelului

Se poate enunța acum problema sau problema de atenuare ilustrată în figura 4.1 unde:

Utilizând această transformare, trebuie determinat un sistem , numit și controller de atenuare , astfel încât sistemul din figura 4.4 să fie stabil, erorile sunt minimizate, iar efectul produs de zgomote este atenuat.

Sistemul generalizat , compus din dinamicile , se poate scrie [4.10]:

Pentru a putea reda matricea , se indică realizările modelelor ideale:

și respectiv ale ponderilor:

Se pot scrie elementele sistemului generalizat, unde matricile nule au dimensiuni corespunzătoare cazului prezentat [4.3].

;

4.3 Rezultate obținute

Instrucțiunea folosită în Matlab se numește hinfsyn și se bazează pe formulele descrise de Glover și Doyle în anul 1988 într-o lucrare despre soluția optimală a problemei [4.11].

Se vor considera mai multe cazuri în care diferă ponderile matriciale, pentru a studia influența acestora asupra răspunsurilor.

Fie modelul liniarizat la regimul de zbor presupus, adică ft/s, și .

Cazul 1:

Se folosesc următoarele ponderi:

Astfel, pentru , se obține un controller K, al carui sistem are valorile proprii strict negativ.

Erorile și dintre răspunsurile adevărate ale aeronavei și modelele ideale ale aeronavei corespunzătoare comenzilor treaptă și sunt afișate în figurile 4.5 a) și b).

Fig 4.5 Erorile a); b) pentru cazul 1

Aceste răspunsuri indică o comportare a aeronavei foarte apropiată de cele ale modelelor ideale considerate.

Cazul 2:

Fie ponderile:

Se obține , iar K are valoriile proprii:

Fig 4.6 Erorile a) ; b) pentru cazul 2

De asemenea, examinând rezultatele obținute, se constată că și aceste ponderi duc la buna comportare a aeronavei.

Cazul 3:

Ponderile alese sunt:

În aceste condiții , iar K are valoriile proprii:

Fig 4.6 Erorile a) ; b) pentru cazul 2

4.4 Concluzii

În acest capitol s-a evaluat dinamica laterală a aeronavei F-16 și s-a dorit determinarea controller-ului și a ponderilor și , utilizându-se metoda , pentru care aeronava este stabilă și erorile sunt minime.

Comparând rezultatele obținute pentru cele 3 cazuri considerate, se poate observa că cele mai bune ponderi (cazul 1) pentru care comportarea aeronavei corespunde cel mai bine cu modelele ideale sunt:

.