Modelarea Sistemelor Mecatronice

4.1. SISTEME MECANICE

4.1.1. Derivarea ecuațiilor Lagrange

Exemplul Nr.1. Considerăm sistemul mecanic prezentat în fig.4.1,unde la echilibru (forțele F1 și F2 sunt nule, asupra sistemului mecanic acționează forța gravitațională mg) lungimile resoartelor sunt l1, l2 și l3. Coordonatele xa și xb măsoară deviația la echilibru. Să se determine Langrangianul sistemului, forțele generalizate și ecuațiile sale de mișcare.

Fig. 4.1. Sistem mecanic

Dacă xa și xb sunt specificate, atunci configurația geometrică a sistemului este complet determinată. Deci am găsit un set de coordonate xa și xb și vitezele asociate va și vb.

Energia cinetică și cea potențială se determină cu:

Unde xi sunt lungimea resoartelor:

; ; .

Langrangianul sistemului este:

Forțele generalizate:

;

Aplicând principiile Lagrange se obțin ecuațiile mișcării sistemului:

(xa):

(xb):

Exemplul Nr.2. Considerăm sistemul din fig.4.2, unde motorul este caracterizat de momentul de inerție J1, iar cuplul generat de motor este dat de funcția T1. Sarcina reprezentată de momentul de inerție J2 este cuplată la motor prin intermediul unui ax elastic de rigiditate c. Sarcina generează un cuplu T2. Coordonatele φ1, φ2 determină complet configurația geometrică a sistemului, astfel că coordonatele generalizate sunt φ1 și φ2 , iar vitezele unghiulare asociate sunt ω1 și ω2.

Fig. 4.2. Sistem mecanic

Energia cinetică și cea potențială a sistemului se determină cu:

Langrangianul sistemului este:

Forțele generalizate:

;

Aplicând principiile Lagrange se obțin ecuațiile mișcării sistemului:

(φ1):

(φ2):

4.1.2. Funcțiile de stare:

Valoarea Langrangianului la un moment dat este o funcție de stare dată de starea sistemului la acel moment. Exemple sunt energia totală a sistemului și alte funcții apropiate; Dacă dW reprezintă un schimb diferențial în energia produsă de deplasarea diferențială dq a variabilei q vom avea:

Starea sistemului dinamic poate fi descrisă prin n-coordonate generalizate qi și prin derivatele lor în timp q̇i. Fie qi și n momente generalizate p. Spațiul asociat 2n dimensional se numește spațiul fază (perioada). O pereche qi și pi este numită variabilă conjugată canonică. Asociat cu fiecare set de variabilă independentă qi și pi este un set de variabile dependente Qi și q̇i. Pentru un sistem mecanic vom avea 4 feluri de variabile diferite:

q – coordonata mecanică generalizată, sau deplasarea mecanică.

q̇ – viteza mecanică generalizată, sau viteza mecanică.

Q – forța mecanică generalizată ce depinde numai de poziție Q=K(q)q.

p – momentul mecanic generalizat ce depinde de obicei numai de viteză p=M(q’)q’.

Diferențialul Langrangian este:

Din aceasta L poate fi calculată prin integrare, unde la funcția de stare L se poate alege o constantă de integrare oarecare. De ex. dacă q̇j este constanta de integrare cu qj și qj este constanta de integrare în raport cu q̇j, mai mult aceste integrări pot fi făcute pentru o valoare specifică a lui t. Vom avea:

Unde L este descompus în două funcții. Prima funcție este exact definiția energiei potențiale negative. De aceea o forță generalizată Qj asociată la un potențial este definită ca:

Iar energia potențială este definită ca:

Al doilea termen este o funcție a valorilor finale ale qi și vitezelor:

Aceasta se definește ca moment generalizat:

, care se numește coenergie cinetică:

OBS:

Mergând spre o analogie cu sistemele electrice se poate afirma faptul că introducerea coenergiei cinetice este o consecință directă a definiției coenergiei magnetice.

Dacă masele sistemului mecanic sunt constante, atunci coenergia cinetică și cea potențială sunt egale. De ex. presupunem o masă m ce are viteza q̇. Momentul este dat de p=mq̇ și obținem coenergia cinetică:

, care este egală cu energia cinetică EC.

Exemplul Nr.1: Fie sistemul mecanic masă-resort din fig.4.3. La echilibru (F=0) lungimea resoartelor este a și b. Coordonatele x1și x2 sunt specificate, atunci configurația geometrică a sistemului este complet determinată. Avem coordonatele generalizate x1și x2, respectiv vitezele asociate v1și v2.

Fig. 4.3 Sistem mecanic

Energia potențială se calculează cu:

Unde:

Energia potențială devine:

Această integrală este evaluată egalând x’2=0 și variația x’1 de la 0 la x1, apoi egalând x’1=x1 și variind x’2=0 de la 0 la x2.

Coenergia cinetică poate fi derivată, iar momentele sunt:

;

De unde rezultă:

Integrala liniară este:

Exemplul Nr.2: Punctul superior al unui pendul ideal (fig.4.4) de lungime l se deplasează cu viteza unghiulară constantă ω pe un cerc de rază r. La momentul t=0 punctul superior al pendulului se afla se afla în partea de jos a cercului pe care se deplasează. Presupunem că nu există frecări. Dacă α este specificat, atunci poziția pendulului este complet determinată. A este coordonata generalizată și α̇ este viteza asociată.

Fig.4. Pendul ideal

În sistemul de coordonate carteziene, coenergia cinetică a masei m este dată de:

Coordonatele x și y sunt exprimate prin coordonata generalizată, deci:

;

Utilizând derivata de ordinul I obținem:

;

Astfel, vom avea:

Energia potențială este asociată cu forța gravitațională:

Langrangianul se definește ca:

Aplicarea principiului Lagrange (derivând ec. de sus prin α la t) conduce la ecuația de mișcare:

α:

4.2. SISTEME ELECTRICE

Ex: Presupunem că avem o rețea electrică simplă conform fig.4.5. Mai întâi vom calcula domeniile φ și ψ. Aceasta nu înseamnă altceva decât faptul că toate tensiunile și curenții trebuie exprimați ca funcții de tensiunea pe condensatori și curenți prin bobine.

Fig.45 Rețea electrică simplă.

Din legile pentru tensiuni și curenți obținem:

Deci:

Și:

Calculul coenergiei totale a rețelei conduce la:

Mai mult avem:

Evaluarea relației:

,

, conduce la:

Și:

Evaluarea relației:

,

, conduce la: