Metode de Interpolare Utilizate In Modelarea Numerica a Terenului Pentru Zonele Montane

Metode de interpolare utilizate in modelarea numerică a terenului pentru zonele montane

Capitolul 1

1.1 Descrierea zonei de interes

Zona de interes cuprinde Valea Prahovei care este una dintre regiunile turistice cele mai renumite din munții Carpați din România, fiind situată pe traseul râului Prahova.Valea Prahovei este situată în partea de sud-est a României ,in nordul Munteniei ,in bazinul superior si mijlociu cu același nume,afluent al Ialomiței.Ea se invecinează la sud cu câmpia piemontană a Ploieștilor ,la vest cu județul Dâmbovița peste masivul Bucegi ,la nord cu drepresiunea Brașovului si orașul Brașov,iar la est cu Valea Doftanei peste munții Baiului si Piatra Mare.În sectorul sudic ,valea Prahovei formează limita între Subcarpații Getici si Subcarpații Curburii.Principalul oraș din zona noastră de interes este Brașov.Principalele stațiuni montane din zona noastră de interes sunt Bușteni,Predeal ,Sinaia si Azuga.Comuna Valea Doftanei este situată in partea de nord-vest a județului Prahova ,la poalele Munților Baiului si Grohotiș,in zona cursului superior al râului Doftana de la care iși trage si denumirea.Munții Bucegi se întind de-alungul porțiunii superioare a văii Prahovei,in estul Carpaților Meridionali și privesc maiestuos spre orașele presărate ca niște perle pe această vale Predeal,Azuga.Bușteni,Poiana Țapului,Sinaia.Munții Postăvarul fac parte din Carpații de Curbură alcătuind împreună cu masivul Piatra Mare grupul de munți ai Bîrsei .Sunt localizați între depresiunea intracarpatică a Brașovului ,deasupra căreia se intalță cu peste 1200 m si versantul nordic abrupt al masivului Bucegi.Fiind inconjurați de arii depresionare întinse ,de văi adânci și culoare largi ,Munții Postăvaru se detașează din depărtare ca o unitate montană impunătoare ,deși altitudinea lor maximă nu depășește 1800m.Depresiunea Brașovului prin compartimentele sale ,Depresiunea Bîrsei și golful Zărneștilor formează limita lor nordică si vestică.Contactul cu drepresiunea are o formă sinuoasă ,fiind pus in evidența printr-o denivelare bruscă de 200-400m,intreruptă adeseori de unele văi largi care patrund adânc in munte.Partea nordică a muntelui este incojurată de orașul Brașov si de zona sa industrială.In est ,valea pitorească a Timișului ,cu salbia ei de stațiuni climaterice ,ii separă de Piatra Mare ,cu care se aseamană totuși atât de mult in unele particularități ale peisajului.Masivul Ciucaș este o unitate de relief din cadrul Carpațiilor de Curbură ,aparținând de lanțul muntos al Carpaților Orientali.Este situat la est de cursurile superioare ale râurilor Teleajen si Tărlung.Se învecineaza cu Munții Tătaru si Munții Siriu la sud-est si est ,Depresiunea întorsurii la nord si Munții Grohotiș la vest.Cel mai inalt pisc este Varul Ciucaș având 1954 m .Alte vârfuri sunt Gropșoare (1883m),Tigăile mari(1844m),Zăganu(1817).Sunt alcătuiti din două culmi principale ,culmea Ciucaș Bratocea reprezintă partea de vest a masivului ,ce se împarte in două compartimente separate de șaua Tigăilor.Culmea Ciucaș reprezintă compartimentul nordic ,atingând înalțimea maximă in vârful Ciucaș (1954 m),iar culmea Bratocea reprezintă componenta sudică ,întinzându-se pe mai bine de 5km.Clumea Gropșoarele Zaganu se întind pe mai bine de 4 km având un relief mai monoton in partea de nord. Din punct de vedere hidrografic trebuie amintit râul Teleajen si Pârâul Berii. Munții Grohotiș sunt o grupă muntoasă a Carpațiilor de Curbură ,apartinând de lanțul muntos al Carpațiilor Orientali.Cel mai inalt pisc este Vârful Grohotișul ,având 1768 m.Masivul se află pe teritoriul județului Prahova ,fiind încadrat la vest de Munții Baiului si la est de Munții Ciucaș.Muntii Gârbovei (denumiti si Munții Baiului) fac parte din Caparții de Curbură fiind situați in partea vestică a acestora .Ei ocupă o suprafață de circa 300kmp ,in cea mai mare masură cuprinsă in bazinele superioare ale văilor Prahova si Doftana .În imediata lor vecinătate trec importante artere de comunicație (pe Prahova,Doftana) se află mari centre urbane(Brasov,Ploiești) si regiuni dens populate (Subcarpatii Prahovei). Cea mai mare parte a munțiilor aparține județului Prahova ,in extremitatea nordică cateva culmi fac parte din județul Brașov.Limitele față de unitățile de relief învecinate sunt in bună măsură clare,fiind date de văi largi ,bazinete depresionare ,diferențe de nivel evidente,deosebiri in fizionomia culmilor.În vest limita este dată de valea Prahovei;ea poate fi ușor urmărită privind spre est din Bucegi ,de pe culmea Caraiman,de pe marginile platourilor structurale ale Jepilor sau de pe vârful Furnica.Aceasta separă Munții Baiului de munții Bucegi între localitățile Sinaia si Bușteni .Aici s-a individualizat un culoar depresionar născut prin eroziune diferențială la contactul dintre conglomeratele de Bucegi si marno-calcarele si gresiile din Munții Baiului.Versantul estic al munțiilor Bucegi se impune în peisaj printr-un abrupt de peste 1200m prin stincările ,văi înguste si bogate paduri de conifere care-l îmbracă in jumătatea inferioară.De partea cealaltă a culoarului depresionar ,in est,culmile munților Baiului ,aflata la 1400-1600m,se termină către Prahova prin versanți ș,în trepte care dezvoltă o diferență de nivel de 300-500m si în care in cea mai mare masură sunt acoperiți de păduri de foioase .In sud-vest in aval de Sinaia ,Prahova străbate defileul de la Posada (circa 9km) despărțind Muntii Baiului (culimle vestice ale Gagului si Doamnelor) de Muntele Gurguiatu.Defileul tăiat in mamo-calcare are versanți abrupti (diferenta de nivel de 300-400m) si bine împăduriti.

Introducere

1.2 Ce este interpolarea

Interpolarea este procesul de estimare a valorilor necunoscute cuprinse între valorile cunoscute.

Atunci când o linie dreaptă trece prin două puncte a căror valoare este cunoscută se poate estima valoarea punctului necunoscut deoarece acesta pare a se afla la jumătatea distanței dintre punctele cunoscute.Interpolarea spațială are la baza calcularea unei valori necunoscute pe baza unui set de puncte etalon cu valori cunoscute,distribuite pe toată suprafața analizată .Distanța la care se află punctul cu valoare necunoscută față de celelalte puncte contribuie la estimarea valorii finale a acestuia.

Identificarea valorii punctului necunoscut se face atât pe baza valorilor punctelor cunoscute cât și a distanței de la acesta la punctele respective. Interpolarea spațială poate fi utilizată pentru a genera o intreagă suprafață care are la baza doar un mic număr de puncte etalon, cu toate acestea pentru o redare cât mai fidelă a relității este necesară folosirea unui număr cât mai mare de puncte.

În general este recomandat ca punctele etalon sa fie omogen distribuite pe întreaga suprafață analizată ,totuși anumite zone necesită o acumulare mai mare de puncte etalon pentru ca un anumit fenomen poate fi discontinuu sau poate fi concentrat pe anumite suprafețe, astfel incercarea de a determina mărimea si forma unui deal poate necesita un numar mai mare de puncte, în timp ce suprafața relativă plată a câmpiei înconjuratoare poate necesita unu număr mai mic de puncte.

Metodele de interpolare utilizate in vederea obținerii unei suprafețe care să redea cât mai fidel realitatea din teren sunt foarte diferite, de altfel trebuie precizat incă de la inceput faptul că nu există un algoritm de interpolare universal ,bun pentru toate aplicațiile ci fiecare metodă de interpolare prezintă o serie de avantaje si dezavantaje de care se va ține cont in momentul alegerii acesteia. Acuratețea cu care este redată realitatea din teren este determinată de distribuția si calitatea datelor inițiale.De cele mai multe ori însă utilizatorul este constrâns la folosirea metodei (sau in cel mai fericit caz a metodelor) de interpolare puse la dispoziție de către producatorul SIG-ului.

Modelele rezultate in urma interpolării pot fi de tip raster, cand suprafața terenului este reprezentată prin intermediul unei rețele de celule rectangulare,sau modele vectoriale,caz in care suprafața este construită cu ajutorul unei rețele de triunghiuri neregulate.

Metoda celor mai mici pătrate

Metoda celor mai mici pătrate gasește funcția de aproximare atunci cand se cunosc valorile unei funcții in anumite puncte si avem nevoie de valorile acestei functii in alte puncte.Prin această metodă matematică se va căuta aceea functie de aproximare care este “cea mai aproape de toate punctele”.

Să nu confundăm totuși această metodă cu interpolarea proriu-zisă.Pentru a ințelege diferența , vom aproxima niste puncte prin metoda celor mai mici pătrate, in ipoteza ca funcția necunoscută este o dreaptă și vom compara această funcție cu cea obtinută prin interpolare,bineînțeles pornind de la acelasi set de puncte.

Autocorelarea spațială

Principiul de baza al interpolării spațiale este sinonim cu prima lege a Geografiei, formulate de către Waldo Tobler, această teorie spune ca între toate lucrurile există o anumită legatură, aceasta fiind însă mult mai puternică între cele mai apropiate decat între cele aflate la distanțe mai mari.Proprietatea prin care se stabilește gradul de legatură dintre lucrurile depărtate si cele apropriate se numește autocorelare spațială.Conform acesteia in situația in care plouă in locul in care te afli este foarte probabil sa se intample același lucru si la 3 metri mai incolo,fiind mai putin probabil sa plouă in cealaltă parte a orasului,existând chiar posibilitatea ca la 30 km distanță să fie cald si soare.Majoritatea metodelor de interpolare utilizează autocorelarea spațială atribuind o mai mare importanță punctelor etalon aflate in vecintătea punctului de interes decât celorlalte aflate la distanțe mai mari.

Numărul punctelor etalon

Majoritatea metodelor de interpolare permit utilizatorului alegerea numărului de puncte etalon utilizate in procesul de estimare a valorii celulelor.Spre exemplu in cazul in care am limită numărul de puncte etalon la 5,interpolarea se va realiza pe baza acelor 5 puncte aflate la cea mai mică distanță.Distanța până la fiecare punct etalon va varia in funcție de distribuția spațială a acestora.In situația in care avem un număr mare de puncta etalon,renunțarea la o parte din acestea va duce la situația in care avem un număr mare de puncte etalon,renunțarea la o parte din acestea va duce la accelerarea procesului de interpolare deoarece valoarea fiecărei celule urmează să fie determinate pe baza unui număr mai mic de puncte.

1.3 Metode de interpolare

1.3.1 Metoda de interpolare TIN (Triangular Irrgular Network)

Este una dintre cele mai utilizate metode pentru modelarea suprafețelor continue folosind un set de date vectoriale,in special folosite pentru generarea unui Model Numeric al Terenului.Suprațele de tip TIN se generează prin unirea sub formă de triunghiuri a unui set de puncte introdus suprafața astfel obtinută poate fi îmbunatațită pentru a obține o mai bună reprezentare a elementelor naturale sau antropice cum sunt: lacurile,linia crestelor,gradul de înclinare a pantelor sau a altor trăsături particulare a suprafețelor analizate.

1.3.2 Metoda de interpolare IDW (Inverse Distance Weighted)

Aceasta preia literalmente conceptul de autocorelare spațială,plecând de la prezumția că,cu cât un punct etalon este mai apropiat de celula a carei valoare urmeaza a fi determinate,cu atât va fi mai apropiată valoarea acesteia de valoarea punctului etalon.

Este o metodă de interpolare foarte practică și ușor de înțeles,folosită in special pentru evidențierea tendințelor generale care definesc un anumit fenomen si nu a unor analize foarte detaliate.Această metodă se potrivește cel mai bine atunci cand avem o rețea densă de puncte situate la aceeași distanță unele de altele.Modelul generat este rezultatul valorilor fiecărui punct al suprafeței introduse si a distanței dintre puncte,punctele aflate la o distanță mai mică unele de altele având o influența mai mare asupra rezultatului final.

1.3.3 Metoda de interpolare Spline

Spre deosebire de metoda IDW,care realizează o medie între toate punctele,metoda spline “acoperă” toate punctele cu o suprafață flexibilă ,asemănătoare unei “pânze de cauciuc” care se întinde peste toate punctele cunoscute.Metoda de interpolare Spline estimează valorile necunoscute “întinzând” suprafața pe baza valorii punctelor cunoscute.Efectul de “intindere” este foarte util atunci când ne dorim să obținem valoarea unor puncte maxime sau minime,care se află in afara punctelor cu valori cunoscute.Acest lucru face ca metoda Spline sa fie foarte bună în a estima valorile unor puncte minime si maxime care nu sunt incluse in setul inițial de date. Suprafața creată prin această metodă trece prin toate punctele ,putând chiar depăși unele valori din setul de date inițial.

Totuși dacă punctele introduse pentru realizarea interpolării sunt foarte apropiate si există o diferență mare între valorile acestora,metoda de interpolare Spline nu se mai potrivește la fel de bine ,pentru că folosește calcularea pantelor (schimbarea de-alungul distanței) pentru a stabili forma suprafeței care urmează a fi “întinsă”.La aceasta metodă ,factorii care provoacă schimbări bruște ale valorilor introduse nu sunt foarte bine reprezentați prin suprafața rezultată în urma utilizării modului,în această situație fiind de preferat utilizarea modului de interpolare IDW,la care se poate opta pentru opțiunea with barriers.

1.3.4 Metoda de interpolare Kriging

La fel ca si interpolarea IDW, metoda Kriging utilizează o metodă bazată pe ponderare statistică pentru determinarea distanței in cazul unui punct interpolat,însă formula dupa care se calculează această medie este mult mai complexă, aceasta măsoara distanțele dintre toate perechile de puncte cu valori cunoscute, folosind această informatie pentru a realiza o autocorelare spațială pentru suprafața interpolată.

1.3.5 Metoda de interpolare Natural Neighbour

Una dintre cele mai robuste metode de interpolare, cu ajutorul căreia se pot genera rezultate conservative, prin calcularea mediei ponderate a valorilor funcționale atribuite subseturilor vecinilor naturali pentru fiecare punct interpolat.Metoda “Natural Neighbour” este frecvent utilizată in cazul interpolării datelor rare sau a seturilor de date eronate, ca exemplu putem lua interpolarea la nivel regional a datelor referitoare la precipitații.

1.4 Generarea MNT

Se referă la modul de achiziție al datelor, la realizarea propriu-zisă a modelului prin diferite metode de interpolare precum și la alegerea structurii de reprezentare a datelor(raster sau TIN).Achiziția datelor reprezintă procesul prin care se obțin date de la o sursă exterioară Sistemului Informatic Geografic și transformarea acestora intr-un format digital specific SIG.Acuratețea MNT depinde in mod direct de calitatea datelor folosite astfel că alegerea modului de culegere a datelor este una din problemele esențiale.Erorile obținute in faza de achiziționare a datelor se vor regasi si in MNT si vor compromite întregul proces de analiză spațială.Datele folosite pentru construirea modelelor digitale de elevație provin de obice din surse variate.Fiecare procedeu are o serie de avantaje si dezavantaje de care se va ține cont în alegerea metodei de achiziție a datelor.

Ridicările topografice permit obținerea unor date foarte exacte cu ajutorul cărora se pot obține modele precise.Mai mult,se pot surprinde in detaliu “elementele cheie” ale reliefului (abrupturi,creste,alte discontinuitati) care înglobate in algoritmul de construire al modelului, duc la creșterea calitătii reprezentării terenului.Această metodă are câteva mari dezavantaje:costul foarte ridicat,timpul foarte indelungat-în ciuda echipamentelor moderne –în care se fac ridicările topografice și posibilitatea utilizării acestei metode doar pe spații restrânse .La acestea se adaugă și faptul că ridicările topografice sunt foarte greu de efectuat( uneori chiar imposibil) in zone accidentate cum ar fi unele regiuni montane.Cu toate acestea ridicările topografice ,prin calitatea datelor furnizate,constituie una dintre cele mai importante metode de achiziție a datelor la scara locală și în special pentru completarea cu date de detaliu a setului de date existent.

Teledetectia si aerofotogrammetria tind sa devină principalele modalitați de culegere a datelor altimetrice necesare generării MNT.Acestea sunt metode de achizitie a datelor in care se încearcă minimalizarea efortului de culegere a datelor simultan cu creșterea acurateței modelelor rezultate.Se folosesc atât aerofotogramme cât și imagini satelitare,caz in care sunt utilizati senzori pasivi (echipament fotografic sau radiometre) precum si imagini obținute cu ajutorul senzorilor activi cum ar fi sistemele RADAR:Radio Detecting and Ranging si LIDAR: Light Detection and Ranging. Datele de altitudine sunt obținute prin metode stereoscopice (in cazul aerofotogrammelor) si prin metoda stereo-autocorelației(in cazul imaginilor satelitare).Avantajul acestor metode il constituie relativa usurință cu care se obțin datele si faptul că permit obținerea unor MNT cu o acuratețe medie sau mare.Există posibilitatea eliminării datelor redundante in momentul achiziției datelor,densitatea acestora putând fi adaptată la complexitatea reliefului.Totodată se pot obține date si pentru regiunile pentru care nu se pot aplica celelalte metode (zone pentru care nu există hărți topografice, zone in care accesul este interzis din cauze politice sau militare si zonele cu teren foarte accidentat). Dezavantajul il constituie prețul care,este este mai mic decât cel al unei ridicări topografice pentru aceeași suprafată,ramane încă prea mare pentru mulți utilizatori. Problema cea mai importantă rămâne totuși cea legată de precizia datelor care poate fi diferită in funcție de relieful suprafeței terestre: erorile sunt mult mai mari pentru regiunile montane care prezintă mari oscilații ale valorilor morfometrice ( în special panta) în special cu regiunile de câmpie.

Hărțile topografice constituie una dintre cele mai importante surse de achiziție a datelor.Extragerea datelor de altitudine de pe hărțile topografice se face prin digitizarea manuală,semiautomată sau automată a curbelor de nivel si a punctelor de cotă. Modelele digitale obținute au o acuratețe mică sau medie existând mai multe surse de erori.Metoda se bucură însă de o serie de avantaje care duc la utilizarea frecventă a acesteia:hărțile pe suport de hârtie sunt foarte utilizate, au un preț accesibil si sunt realizate într-o gama largă de scări.Mai mult existența hărților editate in perioade diferite de timp permite pentru același teritoriu,realizarea studiilor din perspectiva evolutivă.In afară de hărțile topografice,există numeroase hărți tematice,care nu sunt folosite pentru realizarea MNT,pot fi foarte utile în cadrul analizei morfologice cu ajutorul SIG. Dezavantajul major îl constituie faptul că datele de altitudine de pe hărțile topografice ,respectiv curbele de nivel,reprezintă valori deja interpolate din setul inițial de date extrase din teren. Cum pentru obtinerea MNT se folosește o a doua interpolare(între curbele de nivel) se explică acuratețea relativ redusă a modelului digital. Concentrarea datelor de-a lungul curbelor de nivel și absența acestora între curbe este un alt punct slab.Alte dezavantaje sunt lipsa datelor în cazul abrupturilor,crestelor stâncoase,vârfurilor si inșeuărilor. De asemenea hărțile topografice nu surprind suficiente elemente de detaliu pentru a putea fi folosite la realizarea unor modele digitale foarte precise absolut necesare in procesele de simulare(de exemplu realizarea modelelor culoarelor de avalanșă,ravenelor,etc.) fiind necesare date suplimentare obținute prin ridicări topografice sau utilizarea GPS. În lipsa acestor informații suplimentare se consideră că panta dintre două curbe de nivel crește sau scade uniform ceea ce duce la o uniformizare a reliefului in spațiile dintre izolinii. Utilizarea GPS (Global Positioning System) pentru achiziționarea datelor necesare realizarii MNT este o alternativă mai economică a ridicarilor topografice clasice.Folosind aparate performante se pot obține date de calitate ce duc la obținerea unor MNT cu acuratețe mare.La fel ca si in cazul ridicărilor topografice metoda se poate aplica pe suprafețe reastrânse.Exista posibilitatea memorării unui număr mare de date si chiar a conectării GPS-ului la PC pentru descărcarea datelor direct in SIG. Principalul dezvantaj il constituie faptul ca GPS-urile nu se pot folosi decât in spații deschise.în cazul suprafețelor împădurite, in văile adânci,în apropierea versanților,în peșteri sau chiar in apropierea clădirlor semnalul de la sateliti este ecranat,receptoarele GPS fiind inutilizabile.CU toate acestea rămîne o metodă foarte utilă de colectare a datelor in teren,fiind in general combinată cu alte metode.

Construierea modelului constă in crearea unei suprafețe continue prin metoda interpolării plecând de la datele culese din teren prin una sau mai multe metode amintite anterior.Metodele de interpolare cu ajutorul cărora se realizează modelul propriu-zis sunt la rândul lor foarte diferite.Încă de la inceput trebuie precizat faptul ca nu există un algoritm de interpolare universal,bun pentru toate aplicațiile,ci că fiecare metodă de interpolare are o serie de avantaje si dezavantaje de care se va ține cont la alegerea sa. Acuratețea MNT este determinată de distribuția si calitatea datelor inițială precum și de pretabilitatea modelului de interpolare de a se adapta la complexitatea reliefului.De cele mai multe ori utilizatorul este constrâns la folosirea metodei( sau in cel mai fericit caz a metodelor) de interpolare puse la dispozitie de către producatorul SIG-ului.Tehnicile de interpolare pot fi de mai multe feluri:exacte(cand modelul obținut păstreaza valorile datelor inițiale) si inexacte(cand valorile inițiale sunt alterate) sau globale,când se iau în calcul toate valorile simultan si locale când pentru calcularea noilor valori se folosesc doar valorile cunoscute din imediata apropiere. De obicei mărimea arealului luat în considerare pentru calcularea noii valori poate fi definită de utlizator.Algoritmii de interpolare folosiți pentru generarea MNT sunt de obicei exacți si locali. Modelele rezultate din urma interpolării pot fi de tip raster,când suprafața terenului este reprezentată prin intermediul unei rețele de celule rectangulare,sau modele vectoriale caz in care suprafața este construită cu ajutorul unei rețele de celule rectangulare,sau modele vectoriale,caz in care suprafața este construită cu ajutorul unei rețele de triunghiuri neregulate ( Triangular Irregular Network-TIN)

Interpolaraea liniară este una din metodele des utilizate pentru obținerea unui MNT de tip raster plecând de la curbele de nivel ale unui hărți topografice.Calitatea modelului rezultat este insă discutabilă deoarece apar erori evidente.Histograma unui astfel de model se reprezintă ca o suprafață dantelată,cu mai multe vârfuri care corespund valorilor curbelor de nivel cee ce demonstrează că datele au o densitate mai mare de-a lungul izolinilor decât în spațiile dintre acestea, modelul purtând “amprenta” hărții topografice inițiale.Erori evidente apar si acolo unde interpolarea se face pentru pixelii din interiorul aceleași curbe de nivel,cum este cazul in zona vârfurilor a căror altitudine nu e specificată printr-un punct de cotă si al văilor,in ambele cazui rezultatul interpolării este o suprafață orizontală ce are altitudinea curbei respective(așa numitele efecte de tunel si pod). Și in cazul vârfurilor marcate prin cote apar erori,in ultimul caz producându-se suprafețe in forma de stea.Chiar dacă aceste greșeli pot fi atenuate prin aplicarea unui filtru mediu (care va modifica însă și datele inițiale) ele nu pot fi total eliminate si vor induce erori in analiza geomorfologică ulterioară.

Metodele de interpolare de tipul trangulației in urmă cărora se obține o structura TIN sunt de asemenea multiple.Cea mai bună este interpolarea Delaunay care permite obținerea unor triunghiuri perfect circumscrise unor cercuri lucru prin care distanța dintre punctele care formează vârfurile triunghiului este intodeauna minimă.Pentru fiecare triunghi se memorează coordonatele si atributele celor trei vârfuri,topologia precum si panta si direcția de înclinare a suprafeței triunghiului.Această rețetă de triunghiuri poate fi constrânsa,adică triunghiurile să fie create astfel încât să nu depășească curbele de nivel .Unele programe permit folosirea opțiuniii de perform bridge and tunnel removal cu ajutorul căreira se elimină erorile din zona vârfurilor sau de pe văi,amintite anterior.

Capitolul 2

Bazele matematice ale modelării digitale

Un model digital al terenului este un model matematic al suprafeței terenului. El implică una sau mai multe funcții matematice pentru reprezentarea suprafeței pornind de la un set de puncte cu coordonate cunoscute. În general, aceste funcții matematice sunt numite funcții de interpolare.

În domeniul matematicii interpolarea este definită ca și o aproximare, iar în statistică ca estimare. La baza metodelor de interpolare stau două ipoteze: (a) suprafața terenului este continuă și netedă și (b) între punctele vecine coeficientul de corelație este foarte mare.

Metodele de interpolare pot fi clasificate funcție de diferite criterii și utilizate pentru o multitudine de scopuri, asa cum se poate observa și în tabelul de mai jos:

Tabelul 1: clasificarea metodelor de interpolare

2.1 Modelarea globală exactă a suprafețelor liniare

În acest caz se prezintă interpolarea punctelor funcție de suprafețe liniare care încadrează fiecare punct cunoscut.

Interpolarea liniară

După cum bine se știe, un plan este determinat de trei puncte. În acest caz funcția care determină planul este următoarea:

Ecuația 1

Pentru a determina coeficienții funcției, avem nevoie de trei puncte cu coordonate cunoscute astfel încât să realizăm sistemul de mai jos:

Ecuația 2

Odată ce determinăm coeficienții ecuației, pentru a calcula coeficienții unui punct, înlocui în ecuația 1 coordonatele planimetrice.

Interpolarea biliniară

Funcția matematică ce descrie interpolarea biliniară este:

Ecuația 3

În acest caz sunt patru coeficienți de determinat, ceea ce înseamnă ca avem nevoie de patru cunoscute pentru a forma sistemul de ecuații:

Ecuația 4

Dacă punctele cunoscute sunt distribuite sub forma de rețea pătratică, atunci se poate aplica și ecuația 5, unde punctele 1, ,2, 3 și patru sunt noduri ale rețelei iar d este reprezintă distanța dintre nodurile rețelei, asa cum se poate observa și în Figura 1.

Ecuația 5

Figura 1: Relațiile dintre punctul P interpolat și nodurile rețelei

2.2 Modelarea globală exactă a suprafețelor curbe

Funcția biliniară este o funcție foarte întâlnită în interpolarea modelului numeric al terenului deoarere este simplă, intuitivă și precisă, însă suprafața rezultată nu este netedă. Pentru ca rezultatul interpolării să fie o suprafață netedă, suprafețele liniare rezultate in capitolul anterior trebuie reduse la o suprafață polinomială.

Interpolarea bicubică spline

Pentru a genera o suprafață netedă între nodurile unei rețele de puncte, de exemplu A, B, C, și D din Figura 2, se va utiliza o funcție bicubică spline. Forma matematică se poate observa in Ecuația 6:

Ecuația 6

, unde a01, a01… a33 sunt cei 16 coeficienți ce trebuie determinați.

Pentru aceasta avem nevoie de 16 ecuații, iar pe baza celor patru puncte cunoscute avem deja 4. Astfel, mai sunt necesare 12 ecuații, pe care le vom determina din condițiile stabilite de conexiunile dintre suprafețele vecine (aceste suprafețe sunt determinate de câte patru puncte din rețea, asa cum este cea determină de punctele A, B, C și D):

Pantele în fiecare nod trebuie să fie continue pe direcțiile x și y

Momentul de torsiune din punctul de legătură dintre cele patru suprafețe trebuie să fie de asemenea continuu

Figura 2: Modelarea bicubică spline

Vom nota pantele cu R și S în directiile x și y , respectiv cu T, momentul de torsiune:

Ecuația 7

Având în vedere că rețeaua pătratică de puncte este formată din puncte cu coordonate cunoscute, pentru fiecare suprafață determinată de astfel patru puncte putem scrie încă 12 ecuații:

Ecuația 8

Din cele 16 ecuații pe care le putem scrie pentru fiecare petic de suprafață se vor calcula coeficienții aferenți.

Condițiile impuse pentru suprafețele adiacente, panta și torsiunea, sunt de tip mecanic și astfel rezultatele unei asemenea interpolări pot să nu fie așa cum ne-am astepta, deoarece suprafața terenului nu are caracteristicile unui cruste elastice întru totul.

Metoda Hardy

Interpolarea mai multor suprafețe, așa cum mai este cunoscută această metodă, folosește ca principiu ideea că orice suprafață continuă poate fi aproximată ca o sumă de suprafețe simple de o precizie impusă. Astfel, se va stabili pentru fiecare punct cunoscut o suprafață curbă care va trece prin acesta utilizând funcții tip, iar pentru fiecare punct nou, cota va fi calculată din media ponderată a suprafețelor. În final, suprafața va fi continuă și va trece prin toate punctele de tip reper. Formula matematică este:

Ecuația 9

,unde Q este o suprafață matematică simplă, n numărul de suprafețe care vor fi utilizate în calculul noii cote, și k ponederea fiecărei suprafețe.

Suprafețele utilizate în calcul, sunt suprafețe simple, de același tip, formate prin rotirea în jurul axei (a punctului de referință). Cele mai utilizate funcții în asemenea procese sunt:

Funcția conică:

Ecuația 10

Funcția hiberbolică:

Ecuația 11

Funcția cubică:

Ecuația 12

Funcția geometrică:

Ecuația 13

Funcția exponențială:

Ecuația 14

În afara acestor funcții clasice, și următoarele sunt utilizate și cunoscute (Li 1988):

Funcția Arthur:

Ecuația 15

Funcția Lu:

Ecuația 16

Funcția Wild:

Ecuația 17

, unde dki reprezintă distanța dintre un punct cunoscut i și cel mai apropiat punct k.

Funcția Wild este rezultatul modificării ecuației hiperbolice, deoarece suprafața obținută cu funcția hiperbolică devine mai netedă odată cu creșterea valorii coeficientului σ. Această dependentă poate fi observată în Figura 3, unde a fost folosit un set de 3 valori pentru σ (0, 0.6 și 1).

Figura 3:Modelarea utilizând funcția Wild, în care coeficientul σ ia diferite valori

2.3 Modelarea globală aproximativă a suprafețelor

Din experiențele anterioare se cunoaște faptul că dacă terenul este accidentat este complicată sau imposibilă aproximarea lui cu orice funcție matematică. Trebuie menționat, că o suprafață care trece prin toate punctele de referință nu este neapărat și o mai bună aproximare a realității. Dacă suprafața terenului ce trebuie reprezentată este mare și sunt suficiente puncte de referință de disponibile, este necesar să utilizăm funcții polinomiale de ordin foarte mare pentru ca suprafața să treacă prin toate punctele de referință. Totuși, utilizarea unui astfel de algorimt poate fi nepotrivită datorită riscului de generare a unei oscilații foarte mari, asa cum se poate vedea și în Figura 4. Tocmai din această cauză, metodele aproximative de interpolare sunt folosite destul de mult. Teoria care susține aceste metode aproximative spune că variațiile suprafeței terestre sunt atât de complexe că pot fi interpretate ca fiind procese stochastice.

Figura 4: Generarea oscilații datorită gradului polinomial prea mare

Metoda celor mai mici pătrate aplicată local

Una dintre condițiile folosite în cazul acestor tipuri de interpolări este cea a celor mai mici pătrate.

Pentru un set de puncte de referință și o funcție de încadrare există o infinitate de posibilități de a proiecta o suprafață. În Figura 5 putem observa un caz în care funcția de încadrare este liniară. Se observă cum pentru fiecare punct există câte o abatere până la suprafață, iar aceasta se numește eroare reziduală. Suprafața care va aproxima cel mai bine suprafața terenului va fi acea pentru care suma celor mai mici pătrate ale erorilor reziduale va fi minimă.

Figura 5: Exemplificarea procedeului celor mai mici pătrate

Suprafața care încadrează punctele de reper poate fi liniară (Figura 6a) sau curbă (Figura 6b). Așa cum am discutat și în cazurile descrise anterior, există diverse tipuri de funcții care pot forma o astfel de suprafață. Pentru acealași nor de puncte, dacă suprafața este diferită, și erorile reziduale vor fi diferite. În Figura 6 se pot observa trei tipuri de suprafețe, una liniară și două curbe. După ce se vor calcula suma pătratelor erorilor reziduale, se vor compara, și va fi aleasă suprafața care generează cea mai mică valoare.

Figura 6: Aplicarea metodei celor mai mici pătrate

În general, cele mai utilizate funcții pentru aproximarea suprafeței terestre sunt cele polinomiale de ordinul 2, 3 și funcțiile bicubice. Nu are relevanță ce funcție este aleasă deoarece tot ceea ce se ia în considerare la urmă este eroarea medie pătratică. Cu toate acestea, datorită gradului de simplitate, în cadrul formulelor de mai jos este folosită o funcție polinomială de gradul 2 pentru ilustrare.

Ecuația 18

Deoarece sunt 6 coeficienți de determinat, se va avea în vedere ca numărul reperilor să fie mai mare sau egal cu 6. Fie n>6, rezultă sistemul:

Ecuația 19

Erorile se vor calcula astfel:

Ecuația 20

Ecuația 21

Ținând cont de principiul celor mai mic pătrate va rezulta sistemul de mai jos, de unde vor rezulta valorile coeficienților ai:

Ecuația 22

Metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite folosește ca principiu împărțirea unei suprafețe mari, în elemente de unitate (celule), cum ar fi triunghiuri sau pătrate în cazul modelării digitale. Mai departe se va utiliza o funcție matematică pentru a aproxima suprafața terestră la nivelul fiecărei celule. Astfel, suprafața de interes va fi formată dintr-un număr finit de unități (celule).

De fapt, interpolările biliniare și bicubice folosesc principiul elementelor finite, în special în cazul modelării exacte folosind interpolarea bicubică spline. Însă, în cazul de față, nodurile rețelei sunt necunoscute, ele fiind calculate prin interpolare de data aceasta.

Figura 7: Metoda elementelor finite

Pentru calculul cotelor punctelor ce vor forma rețeaua pătratică, asa cum se vede în Figura 7 se vor folosi trei tipuri de erori, pe baza cărora se va forma sistemul de ecuații.

În primul rând utilizând reperii, se va determina un model aproximativ al suprafeței terenului, și primul tip de eroare va fi determinat de diferența dintre cota reală și cota modelului. Relația pentru calculul cotei modelului, va fi scrisă funcție de cotele punctelor din rețea, ca în ecuația 5:

Ecuația 23

Dacă notăm și vom avea:

Ecuația 24

Și ținând cont de ce am zis mai devreme referitor la primul tip de eroare avem:

Ecuația 25

Din condițiile care asigura netezimea suprafeței, scrise pentru axele x și y în fiecare punct, vor mai rezulta două condiții:

Ecuația 26

În sistemul de calcul, se vor lua în considerare dacă se cunosc ponderile fiecărei eroare. Dacă notăm cu wk ponderea punctelor de reper, și considerăm independente erorile din condițiile de pantă, atunci condiția sistemului ce ne va furniza cotele fiecărui punct nou este:

Ecuația 27

,unde S este numărul total de reperi și m și n numărul de coloane și linii ale rețelei de puncte.

2.4 Modelarea discretă pe baza funcțiilor de pondere

Principiul metodei

Modelarea discretă folosește pentru interpolare unei noi cote punctele situate în apropiere, formula de bază fiind:

Ecuația 28

Având în vedere faptul că unele puncte pot fi mai apropiate sau mai depărtate de punctul a cărui cotă va fi interpolată, este normal ca influența reperilor să nu fie egală:

Ecuația 29

Această metodă ar trebui să rezolve următoarele considerente: care reperi ar trebui folosiți, și ce pondere are fiecare.

Localizarea punctelor folosite la interpolare

În principiu ar trebui ca punctele utilizate la interpolare să fie cele mai apropiate de punctul de interes. Astfel se va folosi un criteriu de distanță desenându-se un cerc sau un pătrat în jurul punctului. Există însă posibilitatea ca prea multe puncte să fie selectate. Astfel, ar trebui și numărul să fie un criteriu. Însă, dacă impunem un anumit număr, este posibil ca punctele selectate să fie pe o singură direcție, asa cum este și cazul Figurii 9a. De

Figura 8: Selecția punctelor utilzând criteriul distanței

De aceea, cel mai bine ar fi ca în jurul punctului să se construiască 4 sau 8 sectoare (Figura 9b sau 9c) iar abia apoi să fie folosit un criteriu de număr și / sau distanțe.

Figura 9: Selectarea punctelor pentru interpolare utilizând diverse criterii

Determinarea funcțiilor de pondere

Ideea fundamentală de atribuire a ponderilor reperilor este pentru a deosebi care au o influență mai mare și care mai puțină. Cea mai întalnită pondere e cea funcție de distanță. Cele mai folosite funcții de pondere sunt scrise mai jos:

Ecuația 30

,unde wi este ponderea atribuită punctului i, R este raza cercului, di este distanța de la punctul de referință până la punctul interpolat și K este o constantă.

O altă modalitate de calcul a ponderilor este utilizând poligoanele Voronoi.

Figura 10: Calculul ponderilor reperilor utilizând poligoanele Voronoi

Așa cum se vede și în Figura 10 presupunem că punctul 7 este cel interpolat. El este integrat în diagrama Voronoi, și astfel un nou poligon este format. Suprafața care a fost eliminată din poligoanele inițiale poate fi utilizată pentru a calcula ponderile:

Ecuația 31

,unde p reprezintă aria poligoanelor.

2.5 Modelarea discretă pe baza suprafețelor medii

Principiul metodei

În ceea ce privește această metodă, se are în vedere faptul că pentru un set de puncte dat se pot crea diferite suprafețe. Dacă înălțimea reperului cel mai apropiat de punctul ce urmează a fi interpolat este atribuită noului punct, atunci această metodă se numește cel mai apropiat vecin. Altfel, nu are loc niciun fel de interpolare. În acest caz se creează un plan orizontal utilizând o funcție deterministică. În Figura 11a se poate observa un astfel de caz, iar funcția matematică este:

Ecuația 32

Alt timp de astfel de interpolare este ilustrat și în Figura 11b în care condiția este diferită, și se utilizează un model stochastic:

Ecuația 33

De fapt, orice funcție se poate utiliza în acest tip de interpolare. Dacă de exemplu se va folosi o funcție polinomială de ordinul întâi atunci va rezulta o suprafață liniară ca în Figura 11c. Dar cele mai utilizate sunt funcțiile polinomiale de ordin 2(Figura 11d).

Ecuația 34

Figura 11: Formarea suprafețelor utilizate la interpolare

Selecția punctelor

Principiile selecției punctelor discutate în capitolele anterioare sunt valabile și în acest caz. Spre deosebire de celelalte metode, aici se impune ca numărul reperilor să fie mai mare decât numărul coeficienților implicați în modelul matematic. De asemenea, prea multe puncte vor face ca procesul să necesite prea multe resurse. De aceea, se va face un compromis și se vor selecta 10 puncte. Pentru selecție se poate folosi un cerc. Ideea este să pornim dintr-un loc în care densitatea de puncte are o valoare medie pentru a determina raza R astfel încât aceasta să cuprindă 10 puncte:

Ecuația 35

,unde N este numărul total de puncte și A este aria totală a norului de puncte. Această metoda ține cont de două condiții în cadrul selecției de puncte: raza și numărul.

2.6 Tehnologii de culegere a datelor pentru generarea Modelului Numeric al Terenului

Surse de date pentru modelarea digitală a terenului

Sursele de date se referă la materialul de pe care se pot culege informații utilizate la modelare. Astfel de date pot fi măsurate utilizând diferite tehnici:

Măsuratori directe utilizând stații totale, receptoare GNSS și scanere laser terestre sau aeriene;

Fotogrammetrie utilizând imagini aeriene sau satelitare și instrumente / tehnici fotogrammetrice;

Digitizarea hărților și planurilor existente.

Fotogrammetrie

Această tehnică de preluare a datelor pentru generarea modelelor digitale ale terenului este descrisă în studiul [Turdeanu și Noaje, 2002] astfel: "stereofotogrammetria sau fotogrammetria stereoscopică determină forma, dimensiunile și pozițiile spațiale ale obiectelor, folosind perspectivele centrale, înregistrate fotografic". Potrivit [Li și alții, 2005], principiul fundamental al fotogrammetriei constă în utilizarea unei cuplu de imagini stereoscopice pentru reconstituirea formei obiectelor tridimensionale. Aceasta se realizează prin formarea stereomodelului și măsurarea coordonatelor 3D ale obiectelor. Cele două imagini sunt preluate din unghiuri diferite și au un anumit procent de suprapunere. După realizarea operațiilor de orientare se măsoară coordonatele imagine ale punctelor și se transformă în coordonate teren.

Figura 1: Formarea stereomodelului

Relația dintre coordonatele imagine și coordonatele teren sunt:

Ecuația 1

Calculul coeficienților de transformare se face în funcție de elementele de orientare ale camerei, astfel:

Ecuația 2

LIDAR

Este un sistem activ de teledetecție care emite impulsuri de energie electromagnetică la intervale scurte de timp și recepționează semnalul reflectat de suprafața terenului și de obiectele situate pe aceasta [Li și alții, 2005]. Determinarea distanței se realizează prin măsurarea timpului de propagare dus-întors a impulsurilor laser [Badea și Jacobsen, 2004]. Conform [Zăvoianu și alții, 2002], "densitatea punctelor măsurate este cuprinsă între 1 și 20 puncte pe metru pătrat fiind o funcție de corelație între: viteza platformei, rata impulsurilor laser utilizate, unghiul de câmp al senzorului, altitudinea de zbor, altitudinile suprafeței topografice".

Radargrammetria

Este tehnica de generare a modelelor digitale ale terenului folosind două imagini SAR stereoscopice preluate din unghiuri diferite (direcții de preluare diferite/opuse sau unghiuri de incidență diferite) [Balik Sanli și Abdikan, 2006]. Imaginile stereoscopice preluate din direcții cu orientare opusă (de exemplu, o imagine pe direcția nord, iar cealaltă pe direcția sud) pot prezenta diferențe radiometrice semnificative, care îngreunează procesul de interpretare vizuală sau digitală și corelația imaginilor. În zonele muntoase, aceste diferențe se pot accentua și mai mult din cauza zonelor de umbrire aflate pe părți opuse ale elementelor din spațiul obiect, astfel încât obținerea efectului stereoscopic să fie imposibilă.

Figura 3: Ortofotogramă, DSM și DTM

Figura 3: Principiul radargrametriei

Interferometria SAR

Constă în determinarea altitudinilor terenului din diferența de fază dintre două impulsuri radar emise de antenă din poziții aproape identice și recepționate de senzor. Imaginile SAR interferometrice pot fi preluate simultan (prin folosirea a două sisteme radar montate pe platforma satelitară sau aeropurtată) sau separat (la un anumit interval de timp, prin treceri succesive ale platformei echipate cu un singur sistem radar) [Ferretti și alții, 2007].

Digitizarea

Digitizarea hărților pe suport analogic, care se scanează pentru a se obține informația în format digital. Scanarea se realizează cu scanere fotogrammetrice de mare rezoluție și poziționare precisă. Se digitizează elementele de relief (curbe de nivel și puncte topografice de cotă cunoscută) pe baza cărora este generat prin triangulație modelul digital al terenului.

Principalele metode de digitizare utilizate sunt:

digitizare vectorială manuală;

digitizare vectorială interactivă;

digitizare raster – vectorială manuală;

digitizare raster – vectorială semiautomată;

digitizare raster – vectorială automată.

Metode clasice

Măsuratorile directe utilizând stații totale, receptoare GNSS și scanere laser terestre se folosesc pentru suprafețe mici. Pentru suprafețele mari, metodele fotogrammetrice și de teledetecție sunt mai eficiente.

În lucrare [Chang și alții, 2002] precizia modelelor digitale ale terenului generate prin scanare laser, fotogrammetrie și interferometrie SAR a fost analizată prin comparație cu modelul generat pe baza punctelor determinate prin tehnologia GNSS (metoda cinematică în timp real). Rezultatele arată că modelul generat pe baza înregistrărilor LIDAR prezintă cea mai bună precizie (0,09 m – 0,30 m), urmat de modelul generat prin tehnici fotogrammetrice (1,35 m – 2,43 m) și de cel obținut prin interferometrie (4,26 m – 19,39 m)

Tabelul 1: Compararea tehnicilor de achiziție a datelor pentru modelarea suprafeței

Capitolul 3

Lucrări practice

Metode de interpolare folosite in ArcGis 10.2.

Elementul central in geostatistică este interpolarea , respectiv procedura de a estima valoarea unui atribut într-un punct neprelevat dintr-o regiune din care s-au prelevat probe.Interpolarea reprezintă un procedeu prin care se estimează o valoare într-o anumită locație fără a realiza măsurători in acea locație dar folosind o serie de valori măsurate în puncte care se află in vecinătate.Interpolarea reprezintă procedura de estimare a unei valori într-o locație fără măsurători, utilizând valori situate în apropiere. Interpolarea reprezintă procesul prin care valoarea unor caracteristici în anumite puncte necunoscute se calculează pe baza valorilor in punctele cunoscute.Din punct de vedere matematic interpolarea constă in obținerea unei funcții f(x) care aproximează o altă funcție pentru care se cunosc doar anumite valori dintr-un interval considerat corect; funcția de interpolare va trece prin punctele neeșantionate.

Interpolarea va fi:

-exactă (cand modelul obținut prin interpolare păstrează valorile datelor de intrare)

-aproximativă (când valorile datelor inițiale sunt modificate)

-locală (se iau in considerare doar valorile din punctele vecine)

-globală (se iau în considerare toate punctele cu valori cunoscute)

Vom folosi ca și software ArcGis 10.2.2 și ca date punctele de elevație, ape și curbe de nivel pentru zonele montane si anume Munții Baiului.Metodele de interpolare le găsim in ArcGis 10.2.2 in căsuța ArcToolbox\SpatialAnaltyst Tools\Interpolation. Aici găsim mai multe metode de interpolare cum ar fi IDW,Kriging,Natural Neighbor,Spline,Topo to Raster,Trend.

Prima metodă pe care o vom aprofunda este Metoda IDW (Inverse distance weighted). Metoda de interpolare inversă a distanței ponderate determină valorile celulei folosind o combinatiție liniară ponderată a unui set de puncte. Această metodă își asumă faptul că variabila fiind mapată descrește sub influența distanței de la locul aleatoriu. De exemplu când interpolăm suprafața unui consumator furnizor de energie pentru analizele unui site de retail, furnizarea de energie de la o locație mai indepartată va avea influență mai mică pentru că oamenii sunt obișnuiți să facă cumpăraturi mai aproape de casă.

Folosință

-Valoarea rezultată pentru o celulă rezultată din metoda IDW este limitată la intevalul de valori folosit în interpolare. Deoarece IDW este o distanță ponderată medie, media nu poate fi mai mare decât cel mai mare sau mai mică decat cel mai mic input.

-Aceasta unealtă are o limită de aproximativ 45 milioane de puncte de introdus.Dacă introducem mai mult de 45 milioane de puncte unealta va eșua in creearea unui rezultat. Poți să eviți această limită interpolând spațiu de studio în mai multe bucăți, asigurându-se că marginile se suprapun, apoi mozaicând rezultatele pentru a obține un singur raster.IDW se bazează pe ipoteza că influența valorii unui anumit punct asupra valorii unui alt punct scade invers proportional cu distanța dintre ele.Această metodă are o precizie direct proporțională cu parametrii stabiliți anterior aplicării ei. Necesită aplicarea ulterioară a unui filtru de netezire deoarece prezintă cercuri concentrate in jurul unor puncte.În cazul folosirii acestei metode în vederea modelării terenului unde există vârfuri si văi precizia si acuratețea este destul de scazută.Ca surse de date am folosit hartile la scara 1:25.000 si anume 16 nomenclaturi de pe care am cules punctele cotate.

3.1 Metoda IDW

Interpolează o suprafată raster din puncte folosind tehnica distanței inverse ponderate.

La input point features vom introduce stratul cu punctele cotate ce au fost sparte din curbele de nivel si unite cu punctele cotate culese de pe hărțile topografice militare la scara 1:25.000 iar la stratul Z value vom selecta câmpul hgt cu valorile punctelor cotate.La output raster vom selecta unde dorim să salvăm rasterul interpolat.La câmpul Output cell size (opțional) vom selecta mărimea celulei la care rasterul va fi creat. Câmpul Power este exponentul distanței.Controlează semnificația punctelor aflate în imprejurime pe valorile interpolate. Poate să fie un număr real mai mare decat 0 dar cele mai rezonabile rezultate vor fi obținute folosind valori intre 0,5 si 3. Valoarea prestabilită este 2.

Câmpul Search Radius definește care dintre punctele introduse vor fi folosite pentru a interpola valorile pentru fiecare celulă în rasterul rezultat. Există două opțiuni Variabilă și Fixă si noi vom folosi opțiunea variabilă.Aceasta folosește o distanță variabilă în găsirea punctelor pentru interpolare pe când opțiunea Fixă ne limitează la o anumită distanță.Căsuța Input Barrier Polyline folosește caracteristici de tip polilinie care să fie folosite drept limită in căutarea punctelor.

3.2 Metoda Kriging

Kriging este o procedură geostatistică avansată care generează si estimează suprafețe din puncte dispersate, care au valori pentru dimensiunea z. Spre deosebire de celelalte metode de interpolare aceasta presupune o investigare interactivă a compartimentului spațial al variabilelor fenomenului înainte de a selecta cea mai bună metodă de estimare a suprafeței rezultate.Metoda de interpolare Kriging se bazează pe teoria variabilelor regionalizate care presupune ca variația spatială a fenomenului este omogenă din punct de vedere statistic pe toată suprafața.Aceasta este si cauza principală pentru care seturile de date cu anomalii mari (abateri mari ale câtorva valori față de celelalte) nu pot fi interpolate cu această metodă de interpolare. Există două tipuri pentru interpolarea Kriging: Ordinary (sferic,circular,exponențial,Gaussian si liniar) în cadrul căreia fiecare valoare este tratată individual (nu face parte dintr-o structură) si Universal în care se presupune ca variația spațială a lui z este dependentă de trei componente: o structură/set de date,un component aleator,dar corelat și o eroare reziduală.Interpolarea topo-probabilistică se realizează cu ajutorul unor module specializate incluse in diferite programe GIS.Poate fi utilizată pentru orice set de date,este cea mai flexibilă însă este lentă când volumul de date este mare.

3.3 Metoda Natural Neighbor

Algoritmul interpolării Natural Neighbor folosește o medie a valorilor observațiilor învecinate,unde valorile sunt proporționale cu “suprafața imprumutată”.Se bazează pe o rețea de poligoane Thiessen.Este o metodă rapidă și exactă.Hărțile de zgomot se realizează prin această metodă de interpolare.

3.4 Metoda Topo to Raster

Prin aceasta metodă Topo to Raster vom folosi ca și date de intrare punctele cotate obtinute in urma spargerii curbelor de nivel cu ajutorul uneltei Feature Vertices to Points si unite cu punctele cotate culese de pe hartile topografice militare,apele,si curbele de nivel la scara 1:250K. La secțiunea field vom selecta pentru punctele cotate și pentru curbe câmpul hgt ce reprezintă altitudinea in metri pentru fiecare dintre acestea. La sectiunea Type pentru punctele cotate vom selecta PointElevation,pentru ape Stream iar pentru curbe Contour.La sectiunea primary type of input data vom selecționa Contour.

Această metodă este cea mai corectă intrucât folosește atât punctele cotate,râurile cât și curbele de nivel.

3.5 Metoda Spline

Spline este o metoda de interpolare determinista local stohastică care poate fi considerată ca echivalentul matematic al “potrivirii”unei suprafețe bidimensionale flexibile pe mai multe puncte cu o distribuție neregulată.Această metodă poate fi exactă sau aproximativă in funcție de parametrii setați.Această metodă este utilă in vederea procesării unui număr foarte mare de puncte.

3.6 Vizualizarea in Arscene

Putem vizualiza modelul numeric al terenului printr-o reprezentare 3D a terenului in ArcScene.Incărcăm in Arscene punctele de elevație,râurile și modelul numeric rezultat din interpolarea IDW.Pentru a da înălțime nivelului terenului dăm clic dreapta pe stratul respectiv,base heights ,selectăm floating on a custom surface iar la factor to convert layer elevation values to scene units introducem valoarea 3.

Kriging

Topo to raster

Metoda de interpolare Topo to Raster

TopoToRaster este o metodă de interpolare creată special pentru a genera modele digitale ale terenului corecte din punct de vedere hidrologic.Metoda este bazată pe aplicatia ANUDEM dezvoltata de Michael Hutchinson(1988-1989).Procesul de interpolare ține cont de multiplele date de intrare(curbe de nivel,puncte cotate,rețea hidrografică-râuri,lacuri) și de caracteristicile suprafețelor terenului.Această metodă utilizează o tehnică de interpolare iterativă de diferențe finite,asemănătoare metodei IDW,ce asigură continuitatea suprafeței terenului impunând constrângeri care asigură o rețea conectată de scurgere si o reprezentare corecta a vailor si dealurilor din curbele de nivel.

Procesul de forțare a scurgerii se traduce prin îndepărtarea din modelul digital al terenului rezultat a tuturor punctelor de scurgere care nu au fost identificate in setul de date de intrare.Algoritmul presupune automat ca toate punctele de scurgere neidentificate in setul de date de intrare sunt erori.Aceste erori pot fi indepartate prin modificarea terenului digital al terenului,forțând liniile de scurgere către punctul cel mai de jos din zona invecinată.

Metoda de interpolare spatiala TIN

Reteaua de Triunghiuri Neregulate TIN a fost utilizata de catre comunitatea GIS de mulți ani,fiind printre primele metode de reprezentare digitală a morfologiei terenului.TIN-urile sunt reprezentări vectoriale ale datelor geografice si sunt construite prin triangularea unui set de vertexi(puncte).

Vertexii sunt conectati printr-o serie de muchii pentru a forma o rețea de triunghiuri neregulate,dar cât mai aproape de triunghiurile echilaterale.Metoda de triangulație satisface criteriul lui Delaunay care asigură faptul că nici un vertex nu se găsește in teritoriul unui cerc ce înscrie in interiorul lui un triunghi..Dacă criteriul Delaunay este satisfăcut pe intreaga suprafață a TIN-ului,unghiul interior al fiecărui triunghi este maximizat.Astfel se evită pe cât este posibil obținerea unor triunghiuri cu unghiuri interne mici sau mari.

Datorită faptului ca nodurile pot fi amplasate in mod iregulat pe suprafața terenului,modelul TIN poate avea o rezoluție mai bună in zone în care suprafața variază din punct de vedere altimetric(zone deluroase sau muntoase) si o rezoluție mai slabă in zone în care suprafața terenului este mai puțin variată(zone de campie).Astfel modelul menține precizia datelor de intrare atunci cand sunt modelate/interpolate valorile dintre punctele cunoscute.Datorită faptului că un triunghi al modelului TIN stochează simultan altitudinea,panta si orientarea pe întreaga lui suprafață,avem altitudini diferite în puncte de pe suprafața aceluiași triunghi.

Capitolul 4

4.1 Interpretarea datelor

Interpretarea datelor o vom realiza comparand rezultatele obtinute din interpolări cu modelul numeric al terenului obținut din digitizarea curbelor de nivel la scara 1:250.000.

În realizarea acestor comparații am ales aleator 40 de puncte si am comparat altitudinea dintre modelul numeric al terenului cu rasterul obținut din metoda de interpolare aleasă.

Metoda IDW

Metoda Kriging

Metoda Natural Neighbor

Metoda Topo To Raster

Metoda Spline

4.2 Concluzii

Făcând un studiu asupra metodelor de interpolare putem observa atat vizual cât și prin comparare erorilor medii pătratice că atât metoda IDW,Kriging,Natural Neighbor,Spline si Topo To Raster se apropie de realitate când comparăm cu modelul numeric al terenului.Acest fapt se datorează faptului ca am folosit curbele de nivel culese de pe harta la scara 1:250.000 pe care le-am spart in puncte cotate cu ajutorul uneltei Feature Vertices to Points si punctele cotate culese de pe hărțile topografice militare de la scara 1:25.000.Metoda Topo To Raster aduce un plus prin folosirea cursurilor râurilor.

4.3 Bibliografie

Sisteme Informatice Geografice –Aplicații- dr.Mihai Valentin Herbei

Li Z,Zhu Q ,GOLD C.Terrain digital modeling principles and methodology

Aplicații de SIG in Geomorfologie,Realizarea modelului numeric al terenului si calcularea unor elemente de morfometrie Marcel Torok-Oance

Metode de interpolare Ormsly 2004

Internet-Wikipedia

ArcGis Desktop Help