Istoria Matematicii
Cuprins
Capitolul 1 Introducere
1.1 Istoria matematicii ([10]; [35])
1.2 Structura lucrării
Capitolul 2 – Aspecte teoretice ce țin de predarea- învățarea- evaluarea teoriei asemănării.
2.1 Teoria asemănării triunghiurilor ([4], [5], [6], [16], [22], [23], [27], [34])
2.1.1 Raportul a două segmente ([16])
2.1.2 Segmente proporționale ([16])
2.1.3 Împărțirea unui segment într-un raport dat ([16])
2.1.4 Teorema paralelelor echidistante ([16])
2.1.5 Teorema lui Thales ([16])
2.1.6 Teorema paralelelor neechidistante ([16])
2.1.7 Teorema bisectoarei ([16])
2.1.8 Linia mijlocie în triunghi ([22])
2.1.9 Linia mijlocie în trapez ([22])
2.1.10 Triunghiuri asemenea ([16])
2.1.11 Teorema fundamentală a asemănării ([16])
2.1.12 Criterii de asemănare a triunghiurilor ([16])
2.1.13 Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea ([5])
2.1.14 Teorema lui Menelaus ([27])
2.1.15 Reciproca teoremei lui Menelaus ([27])
2.1.16 Teorema lui Menelaus pentru un patrulater ([6])
2.1.17 Teorema transversalei ([27])
2.1.18 Teorema lui Ceva ([27])
2.1.19 Reciproca teoremei lui Ceva ([27])
2.1.20 Teorema lui Steiner([27])
2.1.21 Teorema lui Van Aubel ([27])
2.1.22 Teorema lui Gergonne ([27])
2.1.23 Punctul lui Gergonne ([6])
2.1.24 Dreapta lui Euler([6])
2.1.25 Triunghiul ortic. Teorema lui Feuerbach ([34])
2.2 Teoria asemănării în corpurile geometrice ([4], [5], [6]
2.2.1 Piramida ([4])
2.2.2 Secțiuni transversale prin conuri și piramide ([5])
2.2.3 Tetraedrul ([6])
Capitolul 3. Aplicații ale teoriei asemănării în probleme
3.1 Seturi de probleme sortate pe diferite nivele de dificultate ([12], [13], [21], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34])
3.1.1 Nivel scăzut de dificultate ([12])
3.1.2 Nivel mediu de dificultate ([12])
3.1.3 Nivel ridicat de dificultate ([12], [30], [31], [32])
3.1.4 Nivel de performanță ([13], [21], [28], [29], [33], [34])
3.2 Probleme practice ([24])
3.2.1 Calculați distanța dintre două animale situate într-un teren de o parte și de alta a unui lac.
3.2.2 Determinați înălțimea unui copac cu ajutorul umbrei
3.2.3 Determinați înălțimea unui copac folosind legile reflexiei în oglindă
3.2.4 Determinați adâncimea unei fântâni, până la nivelul apei
Capitolul 4 – Didactica predării-învățării teoriei asemănării
4.1. Strategii didactice ([1], [2], [3], [7], [8], [9], [11], [14], [15], [17], [18], [19], [20], [26])
4.1.1 Delimitări conceptuale ([1], [2], [7], [8], [15], [26])
4.1.2 Strategii didactice interactive ([14], [26])
4.1.3 Valențe formative și limite ale utilizării strategiilor didactice interactive ([26])
4.1.4 Strategii didactice interactive bazate prin învățarea prin colaborare ([11], [14], [19], [26]) 67
4.1.4.1 Mozaicul
4.1.4.2 Turul galeriei
4.1.5 Metode și tehnici bazate pe rezolvarea de probleme([26])
4.1.6 Metode și tehnici de dezvoltare a gândirii critice ([18,[26])
4.1.6.1 Știu / Vreau să știu / Am învățat([26])
4.1.6.2 Tehnica ciorchinelui([26])
4.1.7 Metode, tehnici și instrumente moderne de evaluare ([3], [9], [17], [20], [26])
4.1.7.1 Proiectul([26])
4.1.7.2 Portofoliul([26])
4.2 – Proiecte de lecție
4.2.1 – Proiect de lecție 1
4.2.2 Proiect de lecție 2
4.2.3 Proiect de lecție 3
4.2.4 Proiect de lecție 4
Capitolul 5 – Metodologia cercetării
5.1 Scopul și obiectivele cercetării
5.2. Metode folosite în cercetare
5.2.1. Metoda anchetei prin chestionar
5.2.2. Metoda analizei documentelor școlare
5.3. Eșantion
5.3.1 Prezentarea și descrierea populației studiate
5.4 Rezultatele cercetării și interpretarea acestora
5.4.1 Rezultatele anchetei prin chestionar
5.4.2. Etapa experimentală
5.5 Concluzii și implicații în practica pedagogică
Anexe
Bibliografie
Capitolul 1 Introducere
1.1 Istoria matematicii([10]; [35])
Istoria matematicii nu are un început clar definit, însă apariția matematicii este strâns legată de evoluția omului. Este posibil ca oamenii să-și fi dezvoltat anumite abilități matematice încă înainte de apariția scrierii. Cel mai vechi obiect care dovedește existența unei metode de calcul este osul din Ishango, descoperit de arheologul belgian Jean de Heinzelin de Braucourt în regiunea Ishango din Republica democrată Congo care datează din 20.000 înaintea erei noastre.
Dezvoltarea matematicii ca bagaj de cunoștințe transmite de-a lungul generațiilor în primele ere ale civilizațiilor este legată strict de aplicațiile sale concrete: comerțul, gestiunea recoltelor, măsurarea suprafețelor, predicția evenimentelor astronomice, și, câteodată, de ritualurile religioase. Aceste nevoi au dus la împărțirea matematicii în ramuri ce se ocupau cu studiul cantității, structurii și spațiului.([35])
În papirusurile egiptene și cărămizile caldeene, cu două milenii înaintea erei noastre, erau calculate corect aria paralelogramului, a triunghiului, a trapezului, volumul prismei, piramidei dar și cel al trunchiului de piramidă, toate date dogmatic, cu indicația operațiilor de efectuat asupra datelor.
De la reguli utilitariste, geometria prelucrată de matematicienii eleni a devenit știință teoretică.([10])
Thales din Milet (n. cca 640 î.HR-550 î.HR) a fost un filozof grec presocratic, care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat părintele științelor.
Era nominalizat în toate listele tradiționale ale celor “Șapte Înțelepți”, inclusiv în cea a lui Platon. Avea o reputație de priceput om politic iar istoria relatată de Herodot despre deturnarea cursului râului Halyst atestă reputația și capacitatea sa de inginer.
Thales și-a pus întrebări despre natura universului și a dat răspunsuri care nu au luat în considerare zeii și demonii. Renunțarea la mitologie a fost un pas crucial în gândirea științifică și a condus la o explozie intelectuală care a durat sute de ani. Se pare că este primul care a rupt tradiția gândirii dependente de supranatural, trecând la real.
Thales a fost fondatorul filosofiei grecești și a Școlii Milesiene a cosmologiștilor. A fost contemporan cu Solon și Cresus. Pentru că nu căuta întotdeauna răspunsuri la probleme practice, Thales era văzut de unii oameni ca un om înțelept, dar imprudent: o scriere a lui Platon (Theaitetos) ni-l prezintă căzând într-o fântână pentru că era prea preocupat să studieze stelele. Totuși, această aparent imprudentă observare a stelelor a condus la aplicații practice în navigație: el a studiat mișcarea stelelor din Carul Mic, după care navigau fenicienii, după cum relatează Callimachos în Pfeiffer. În plus, el a demonstrat caracterul practic al filozofiei sale, atunci când și-a folosit cunoștințele ca să prezică o recoltă bogată de măsline și să pună monopol pe presele de ulei de măsline (conform Aristotel, Politica).
Thales a călătorit foarte mult, fiind implicat și în comerț. În timpul călătoriilor sale, a adunat o mulțime de cunoștințe pe care le-a dat lumii grecești. De exemplu, Herodot povestește cum a prezis eclipsa de soare din anul 584 î.HR, folosind cercetările și cunoștințele dobândite de la preoții babilonieni.
În domeniul matematicii, Thales a adus geometria în Grecia, familiarizându-se cu ea în timpul călătoriilor sale în Egipt și dezvoltând-o ulterior. Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii grecești.
Thales a demonstrat că:
Un cerc este împărțit în două părți egale de un diametru;
Unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale;
Unghiurile opuse la vârf sunt egale;
Un triunghi este determinat dacă sunt date o latură și unghiurile adiacente ei;
Unghiul înscris într-un semicerc este un unghi drept.
Atribuirea celor patru teoreme lui Thales provine de la Proclos, care se baza pe o afirmație a lui Eudemos. Cea de-a cincea teoremă este citată din Diogenes din Pamphila, din secolul I.
Teorema patru este asociată cu realizarea practică a măsurării distanței dintre vasele de pe mare. A inițiat teoria figurilor asemenea, conținută în germene în unele probleme cadeene. Hieronymus din Rhodos ne povestește cum a măsurat Thales piramidele din Egipt, folosind umbrele (a determinat momentul zilei în care umbra noastră este egală cu înălțimea). A măsurat de asemenea și distanța dintre două puncte, dintre care unul este inaccesibil. Diogenius Laertius, în cartea “Viețile și opiniile marilor filozofi” ne spune că “Thales a fost primul care a determinat cursa Soarelui de la un solstițiu la celălalt și a declarat că mărimea Soarelui ar fi a 720-a parte din cercul solar, și mărimea Lunii ar fi aceeași fracție din cercul lunar. Se spune că el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului și l-a împărțit în 365 de zile.”
Thales a murit la o vârstă înaintată, în timpul unor manifestări sportive, din cauza căldurii excesive. Pe mormântul său este o inscripție care spune “Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuși renumita sa înțelepciune a ajuns la ceruri”. Deși nici una din scrierile lui nu a fost găsită, cunoaștem munca sa din scrierile altora.([36])
Eudoxiu (sec. 4 îen) folosea metoda exhaustivă pentru demonstrarea formulei ariei cecului, a volumului piramidei, etc. El a arătat că raportul volumelor a două sfere este egal cu raportul cuburilor diametrelor lor.
Primul text de geometrie care ni s-a păstrat “Elementele lui Euclid” (sec. 3 îen), lucrare scrisă în scop didactic, conține un număr mare de teoreme de geometrie. Elementele sunt formate din 13 capitole, numite după obiceiul antichității, cărți. Cartea a șasea se referă la asemănarea figurilor. Din această carte reținem următoarele teoreme:
Teorema bisectoarei: Bisectoarea taie latura opusă a triunghiului în raportul laturilor adiacente;
Cazurile de asemănare
Construcția pe o latură dată a unei figuri asemenea cu figura dată;
Raportul ariilor triunghiurilor asemenea este egal cu pătratul raportului laturilor omoloage;
Poligoane asemenea, introduse prin descompunerea în triunghiuri asemenea;
Tranzitivitatea asemănării: două figuri asemenea cu o a treia sunt asemenea între ele;
Construcția unei figuri de arie dată;
Generalizarea teoremei lui Pitagora: Construind figuri asemenea pe laturile unui triunghi dreptunghic, aria figurilor construită pe ipotenuză este suma ariilor figurilor construite pe catete.
Teon din Alexandria (sec.4) a adaptat Elementele lui Euclid, în scop pedagogic. Textul nou, fiind mai accesibil, este foarte răspânditîn evul mediu și în renaștere.
După Euclid, geometria a continuat să se dezvolte în mai multe sensuri, încă din antichitate. Ne referim aici la problemele de geometrie elementară mai interesante, dar de același gen, care au îmbogățit cantitativ domeniul de probleme clasice.
Poartă numele lui Menelau (sec.1), teorema următoare, care de fapt este o consecință la limită a teoremei pe care el a dat-o pe sferă.
Dacă o dreaptă taie laturile unui triunghi ABC în punctele A’,B’,C’ atunci avem relația .
Importantă este mai ales reciproca teoremei lui Menelau: Dacă trei puncte A’,B’C’ sunt situate pe laturile unui triunghi (două interior și unul pe prelungire sau toate trei pe prelungiri) și satisfac relația
atunci A’,B’,C’ sunt coliniare.
Papus din Alexandria (sec.3) este autorul unui mare număr de probleme interesante de geometrie, printre care și Teorema Bisectoarelor exterioare: Picioarele bisectoarelor exterioare unui triunghi sunt coliniare . Tot Papus utiliza metode statice pentru demonstrarea unor teoreme de geometrie.
Astfel este cunoscută următoarea teoremă care-i poartă numele:
Dacă punctele A’,B’, C’ împart laturile unui triunghi ABC în același sens și același raport, atunci triunghiurile ABC, A’B’C’ au același centru de greutate.
A mai dat și următoarea teoremă: Considerăm două figuri plane închise, de arii și centrele de greutate , le rotim în jurul unei axe exterioare față de care punctele , au distanțele . Volumele solidelor obținute prin rotație stau în raportul
Matematicienii din evul mediu nu sunt importanți prin descoperirile făcute,istanța dintre două puncte, dintre care unul este inaccesibil. Diogenius Laertius, în cartea “Viețile și opiniile marilor filozofi” ne spune că “Thales a fost primul care a determinat cursa Soarelui de la un solstițiu la celălalt și a declarat că mărimea Soarelui ar fi a 720-a parte din cercul solar, și mărimea Lunii ar fi aceeași fracție din cercul lunar. Se spune că el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului și l-a împărțit în 365 de zile.”
Thales a murit la o vârstă înaintată, în timpul unor manifestări sportive, din cauza căldurii excesive. Pe mormântul său este o inscripție care spune “Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuși renumita sa înțelepciune a ajuns la ceruri”. Deși nici una din scrierile lui nu a fost găsită, cunoaștem munca sa din scrierile altora.([36])
Eudoxiu (sec. 4 îen) folosea metoda exhaustivă pentru demonstrarea formulei ariei cecului, a volumului piramidei, etc. El a arătat că raportul volumelor a două sfere este egal cu raportul cuburilor diametrelor lor.
Primul text de geometrie care ni s-a păstrat “Elementele lui Euclid” (sec. 3 îen), lucrare scrisă în scop didactic, conține un număr mare de teoreme de geometrie. Elementele sunt formate din 13 capitole, numite după obiceiul antichității, cărți. Cartea a șasea se referă la asemănarea figurilor. Din această carte reținem următoarele teoreme:
Teorema bisectoarei: Bisectoarea taie latura opusă a triunghiului în raportul laturilor adiacente;
Cazurile de asemănare
Construcția pe o latură dată a unei figuri asemenea cu figura dată;
Raportul ariilor triunghiurilor asemenea este egal cu pătratul raportului laturilor omoloage;
Poligoane asemenea, introduse prin descompunerea în triunghiuri asemenea;
Tranzitivitatea asemănării: două figuri asemenea cu o a treia sunt asemenea între ele;
Construcția unei figuri de arie dată;
Generalizarea teoremei lui Pitagora: Construind figuri asemenea pe laturile unui triunghi dreptunghic, aria figurilor construită pe ipotenuză este suma ariilor figurilor construite pe catete.
Teon din Alexandria (sec.4) a adaptat Elementele lui Euclid, în scop pedagogic. Textul nou, fiind mai accesibil, este foarte răspânditîn evul mediu și în renaștere.
După Euclid, geometria a continuat să se dezvolte în mai multe sensuri, încă din antichitate. Ne referim aici la problemele de geometrie elementară mai interesante, dar de același gen, care au îmbogățit cantitativ domeniul de probleme clasice.
Poartă numele lui Menelau (sec.1), teorema următoare, care de fapt este o consecință la limită a teoremei pe care el a dat-o pe sferă.
Dacă o dreaptă taie laturile unui triunghi ABC în punctele A’,B’,C’ atunci avem relația .
Importantă este mai ales reciproca teoremei lui Menelau: Dacă trei puncte A’,B’C’ sunt situate pe laturile unui triunghi (două interior și unul pe prelungire sau toate trei pe prelungiri) și satisfac relația
atunci A’,B’,C’ sunt coliniare.
Papus din Alexandria (sec.3) este autorul unui mare număr de probleme interesante de geometrie, printre care și Teorema Bisectoarelor exterioare: Picioarele bisectoarelor exterioare unui triunghi sunt coliniare . Tot Papus utiliza metode statice pentru demonstrarea unor teoreme de geometrie.
Astfel este cunoscută următoarea teoremă care-i poartă numele:
Dacă punctele A’,B’, C’ împart laturile unui triunghi ABC în același sens și același raport, atunci triunghiurile ABC, A’B’C’ au același centru de greutate.
A mai dat și următoarea teoremă: Considerăm două figuri plane închise, de arii și centrele de greutate , le rotim în jurul unei axe exterioare față de care punctele , au distanțele . Volumele solidelor obținute prin rotație stau în raportul
Matematicienii din evul mediu nu sunt importanți prin descoperirile făcute, ci prin rolul hotărâtor jucat de cărțile lor, prin care au întreținut interesul pentru matematică. În plus, matematica găsea un câmp mai larg de aplicare în problemele de fortificații militare, drumuri, poduri, canale, baraje, negoț, repartiția impozitelor. În Orient cerința ca altarele moscheilor să fie cu fața spre Meca a dezvoltat trigonometria sferică. Toate aceste probleme aveau un caracter practic și, în general, pentru satisfacerea acestor necesități matematica cunoscută era suficientă și considerată chiar încheiată.
Înțelegem prin Renaștere intervalul dintre sfârșitul secolului al 15-lea și începutul secolului al 17-lea. Din punct de vedere al matematicii, nu există nici o descoperire importantă între începutul și restul secolului al 17-lea. Deosebirea apare spre sfârșitul secolului, care, marchează începutul matematicilor superioare, deci o etapă nouă.
Europa a asimilat moștenirea științifică a Antichității, fie direct, fie prin intermediul traducerilor arabe, a sesizat orientarea algebrică a spiritului arab și a prelucrat aceste date în două sensuri: pe de o parte a perfecționat forma de prezentare, fixându-se simbolismul notațiilor algebrice; pe de altă parte, pe lângă urmărirea problemelor rămase deschise s-au născut noi domenii de cercetare matematică: analiza, geometria analitică, teoria probabilităților.
Deși geometria elementară a fost foarte cultivată de matematicienii Renașterii și ai secolului al 17-lea în afara unor teoreme noi, în general cu caracter limitat, care interesează învățământul, nu avem înregistrate succese deosebite.
În colegii și universități geometria era învățată încă după Elementele lui Euclid, cu diferite comentarii ajutătoare.
Contribuții noi și-au adus Leonardo da Vinci care a demonstrat în 1508 că medianele unui tetraedru sunt concurente, dar și Federigo Commandiano care a arătat în 1565 că segmentele care unesc mijloacele muchiilor opuse ale unui tetraedru sunt concurente iar punctul comun este la mijlocul fiecăruia.
Giovanni Ceva a demonstrat în 1678 teorema care-i poartă numele: Dacă M este un punct în planul triunghiului ABC și intersecțiile cu laturile dreptelor (ceviene) AM, BM, CM, avem relația
Această demonstrație a apărut în lucrarea “De lineis rectis se invicem secantibus statica constuctio”. Ceva a făcut o aplicație interesantă a teoremei lui, arătând că dreptele care unesc vârfurile unui triunghi cu contactele cercului înscris pe laturi sunt congruente.
Teorema lui Ceva a dat și extinderea în spațiu a teoremei lui Menelau: Fie A,B,C,D patru puncte în spațiu; un plan taie dreptele AB, BC, CD, DA în ; avem relația
([10])
În secolul al XVIII-lea și secolul al XIX-lea, matematica cunoaște o nouă perioadă de dezvoltare intensă, cu studiul sistematic al structurilor algebrice, începând cu grupurile (Evariste Galois) și inelele (concept introdus de Richard Dedekind).
În secolul al XIX-lea, David Hilbert și Georg Cantor dezvoltă o teorie axiomatică asupra căutării fundamentelor matematice. Această dezvoltare a axiomaticii va conduce în secolul al XX-lea la definirea întregii matematici cu ajutorul unui singur limbaj: logica matematică.
Secolul XX a fost martorul unei specializări a domeniilor matematicii, a nașterii și dezvoltării a numeroase ramuri noi, cum ar fi: teorie spectrală, topologii algebrice sau geometrie algebrică. Informatica a avut un puternic impact asupra cercetării. Pe de o parte, a facilitat comunicarea între cercetători și răspândirea descoperirilor, pe de alta, a oferit o unealtă foarte puternică pentru testarea teoriilor.([35])
1.2 Structura lucrării
Lucrarea intitulată „Strategii didactice în predarea – învățarea conținuturilor referitoare la asemănarea figurilor geometrice în învățământul preuniversitar” este împărțită în cinci capitole, primele două vizează determinarea cadrului teoretic științific al cercetării iar ultimele trei capitole sunt destinate cadrului metodic operațional al acesteia.
În primul capitol „Introducere” este prezentat un scurt istoric al matematicii, care amintește de matematicieni ce și-au adus aportul în teoria asemănării.
Cel de-al doilea capitol „Aspecte teoretice ce țin de „predarea – învățarea – evaluarea teoriei asemănării” este structurat pe două subcapitole, după cum urmează:
Subcapitolul 2.1 intitulat „Teoria asemănării triunghiurilor” cuprinde aspecte teoretice referitoare la asemănarea triunghiurilor;
În subcapitolul 2.2 „Teoria asemănării în corpuri geometrice” s-a tratat din punct de vedere teoretic asemănarea figurilor ce reprezintă secțiuni în corpuri geometrice dar și un studiu asupra tetraedrului.
Capitolul 3 „Aplicații ale teoriei asemănării în probleme” este și el împărțit în două subcapitole:
Subcapitolul 3.1 numit „Seturi de probleme sortate pe diferite nivele de dificultate” conține câte patru seturi de câte zece probleme fiecare, seturile fiind probleme având grade diferite de dificultate;
În subcapitolul 3.2 „Probleme practice” (de determinare a distanței dintre două puncte, unul fiind inaccesibil, de determinare a lungimii unui copac folosind umbra sau reflexia luminii și de determinare a adâncimii unei fântâni)
Capitolul 4 „Didactica predării – învățării teoriei asemănării” este structurat pe două subcapitole. Acestea sunt:
subcapitolul 4.1 „Strategii didactice” unde sunt prezentate noțiuni teoretice legate de strategiile didactice specifice învățării matematicii cât și câteva exemple de metode interactive;
subcapitolul 4.2 „Proiecte de lecție” conține patru proiecte de lecție toate aplicate la clasă unde s-au folosit metode moderne interactive;
Capitolul 5 al lucrării „Prezentarea proiectului didactic experimental” este împărțit în cinci subcapitole. În cadrul acestui capitol s-a realizat cercetarea pedagogică pe trei etape: constatativă, de intervenție și de control. S-a folosit experimental două clase de a VII-a de la Liceul Tehnologic „Johannes Lebel” – Școala cu clasele I-VIII Tălmaciu Nr.1 , din ani consecutivi, una dintre ele constituind eșantionul experimental, cealaltă eșantionul de control.
Motivația alegerii temei abordate în lucrare a fost generată din dorința de a-i atrage mai mult pe elevi spre această ramură a matematicii: geometria care este mai puțin accesibilă lor, folosind metode de predare / evaluare moderne, care să implice elevul în propria activitate de învățare și să-i sporească totodată interesul și plăcerea pentru școală.
Experiența profesională de 16 ani în învățământ, din care 11 ca profesor de matematică sper că și-a pus amprenta asupra activității mele profesionale dar și asupra realizării acestei lucrări.
Capitolul 2 – Aspecte teoretice ce țin de predarea- învățarea- evaluarea teoriei asemănării.
2.1 Teoria asemănării triunghiurilor([4], [5], [6], [16], [22], [23], [27], [34])
2.1.1 Raportul a două segmente([16])
Definiție: Raportul a două segmente, măsurate cu aceeași unitate de măsură, este raportul lungimilor lor.
2.1.2 Segmente proporționale([16])
Definiție:
Șirurile de segmente și se numesc proporționale dacă șirurile lungimilor lor sunt proporționale.
Exemple:
Dacă AB=3 dm, BC=9 dm, CD=12 dm, EF=4 dm, FG=12 dm, GH=16 dm, atunci, deoarece
Deci segmentele sunt proporționale cu segmentele . Factorul de proporționalitate este
2.1.3 Împărțirea unui segment într-un raport dat([16])
Propoziția 1 Există un singur punct interior segmentului care împarte un segment dat într-un raport dat.
Demonstrație
Fie segmentul dat și k raportul dat. Ne propunem să determinăm un punct astfel încât , ceea ce este echivalent cu
Proporția este obținută pentru o singură valoare a lui AM, și anume: . Deoarece rezultă că (dacă “așezăm” segmentul astfel determinat peste AB, pornind din punctul A, obținem punctul M care corespunde propoziției).
În particular: mijlocul segmentului este unicul punct interior ce împarte segmentul AB în raportul k=1.
Propoziția 2Există un singur punct exterior segmentului care împarte un segment dat într-un raport dat, dacă raportul este diferit de 1.
Demonstrație
Fie segmentul dat și k=1 raportul dat. Determinăm un punct astfel încât .
Cazul k<1
Determinăm punctul pe dreapta AB astfel încât
Cazul k>1
Determinăm punctul pe dreapta AB astfel încât
ConcluzieDeducem din cele două propoziții că există două puncte care împart un segment dat în același raport , unul interior și celălalt exterior segmentului. Cele două puncte se numesc puncte conjugate armonic în raport cu capetele segmentului. În cazul când k=1 există un singur punct (interior), și anume mijlocul segmentului.
2.1.4 Teorema paralelelor echidistante([16])
TeoremăDacă dreptele paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.
Demonstrație
Cu notațiile din figura următoare, avem: . Trebuie să demonstrăm că: .
Figura 2.1 paralele echidistante ([16], pag.41)
Construim: .
Deducem că: (cazul U.L.U.).
Deci: .
Din paralelogramele: , deducem că
.
Prin urmare:
2.1.5 Teorema lui Thales([16])
Propoziția 1 Fie dreptele d și d’ și punctele astfel încât . Dacă atunci .
Figura 2.2 Drepte paralele tăiate de secante([16], pag.43)
Demonstrație
Deoarece , rezultă că punctele A și A’ sunt situate de aceeași parte a dreptei BB’. Asemănător rezultă că punctele C și C’ sunt situate de aceeași parte a dreptei BB’ . Deoarece punctele A și C sunt situate de o parte și de alta a dreptei BB’, rezultă că și punctele A’ și C’ se află de o parte și alta a dreptei BB’. Ultima afirmație este echivalentă cu .
Următoarea propoziție în aparență banală, se va dovedi pentru cele ce urmează foarte utilă. O reținem fără demonstrație.
Propoziția 2 Între oricare două numere reale există cel puțin un număr rațional.
Propoziția 3 Fie x și y două numere reale. Dacă orice număr rațional mai mic decât x este mai mic și decât y și orice număr rațional mai mic decât y este mai mic și decât x, atunci x=y.
Demonstrație
Presupunem prin reducere la absurd că . Conform propoziției 2 există un număr rațional astfel încât . Prin urmare, numărul rațional este mai mic decât y, dar nu este mai mic și decât x.
Contradicție
Efectuăm același raționament pentru cazul y<x. Așadar x=y, ceea ce trebuia demonstrat.
Teoremă. O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.
Demonstrație
Considerăm triunghiul ABC. Fie și astfel încât . Trebuie demonstrat că . Vom arăta deci că:
Orice număr rațional mai mic decât este mai mic și decât ,
Orice număr rațional mai mic decât este mai mic și decât . Figura 2.3 Teorema lui Thales ([16], pag.44)
Demonstrăm afirmația 1) Pentru aceasta fie p și astfel încât . 3)Împărțim segmentul prin punctele în q părți egale (de lungime ). Paralelele prin la DE intersectează în punctele (interioare) și determină pe segmente congruente de lungime (conform teoremei paralelelor echidistante).
Pe semidreapta (AD considerăm punctele , în această ordine astfel încât .
Paralelele la DE intersectează AE în punctele (în această ordine). Conform teoriei paralelelor echidistante (toate segmentele mici de pe latura fiind congruente).
Din 3) rezultă că și deoarece , avem că ceea ce este echivalent cu . Atunci, conform propoziției, rezultă că , deci Însă . Prin urmare: .
Afirmația 1) este dovedită.
Analog se arată că , atunci .
Reciproca teoremei lui Thales. Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu latura a treia a triunghiului.
2.1.6 Teorema paralelelor neechidistante([16])
Dreptele paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.
Demonstrație
Notăm intersecțiile dreptelor paralele cu secantele s și s’ ca în figura următoare.
Figura 2.4 Paralele neechidistante([16], pag.46)
Trebuie să demonstrăm că: .
Dacă atunci sunt paralelograme și deci .
Dacă , construim prin punctul paralela la s care intersectează dreptele și în punctele . Prin urmare .
Considerând triunghiul , unde și aplicând teorema lui Thales, rezultă că . Prin urmare . Analog se demonstrează și egalitățile .
2.1.7 Teorema bisectoarei([16])
Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.
Figura 2.5 Teorema bisectoarei([16], pag. 47)
Fie (AD bisectoarea unghiului BAC. Trebuie să demonstrăm că . Paralela prin B la AD intersectează AC în E . Triunghiul ABE are unghiurile B și E congruente, deci este isoscel. Rezultă . Aplicând teorema lui Thales, obținem
c.c.t.d.
2.1.8 Linia mijlocie în triunghi([22])
Definiție:Segmentul ale cărui extremități sunt mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.
Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi (linia mijlocie) este paralelă cu cea de-a treia latură și are ca lungime jumătate din lungimea acesteia
Figura 2.6 Linia mijlocie în triunghi ([22])
2.1.9 Linia mijlocie în trapez([22])
Definiție:Segmentul care are ca extremități mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie a trapezului.
Lungimea linie mijlocii a unui trapez este egală cu semisuma lungimilor bazelor trapezului.
Lungimea segmentului inclus în linia mijlocie a unui trapez, cuprins între intersecțiile sale cu diagonalele acestuia este egală cu semidiferența lungimilor bazelor trapezului.
Figura 2.7 Linia mijlocie în trapez ([22])
2.1.10 Triunghiuri asemenea([16])
Definiție: Fie triunghiurile ABC și DEF.
Figura 2.8 Triunghiuri asemenea([16], pag.51)
Între triunghiurile ABC și DEF există o asemănare dacă
(1) și (2)
Proprietățile relației de asemănare:
Dacă, atunci (raportul lor de asemănare fiind 1);
Dacă raportul de asemănare a două triunghiuri este 1, atunci triunghiurile sunt congruente;
Dacă și , atunci ;
(reflexivitate);
Dacă , atunci (simetrie);
Dacă și , atunci (tranzitivitate);
2.1.11 Teorema fundamentală a asemănării([16])
O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.
Demonstrație
Considerăm triunghiul ABC și .
Figura 2. 9 Teorema fundamentală a asemănării ([16], pag.53)
Trebuie să demonstrăm că .
Analizăm trei situații: a) , b) , c) , conform figurilor de mai sus.
Prezentăm demonstrația pentru cazul a) – celelalte cazuri tratându-se analog.
Deoarece , rezultă: (unghiuri corespondente) și .
Aplicând teorema lui Thales , rezultă . Rămâne de arătat că . Pentru aceasta, construim paralela EF la Aplicând din nou teorema lui Thales , obținem . Deoarece patrulaterul BDEF este un paralelogram, avem că și de aici .
2.1.12 Criterii de asemănare a triunghiurilor([16])
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, nu este nevoie să verificăm toate cele cinci condiții din definiția dată triunghiurilor asemenea (trei congruențe de unghiuri și două egalități de rapoarte). Așa cum rezultă din teoremele următoare, este suficient să verificăm doar două condiții. Ca și la congruența triunghiurilor, aceste teoreme vor fi numite cazuri (cazuri de asemănare).
Teorema I (cazul I de asemănare)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri respectiv congruente.
Demonstrație
Ipoteză și
Concluzie
Fie astfel încât ; construim
Deoarece , rezultă . Rezultă că triunghiurile ADE și sunt congruente (cazul U.L.U.). Din teorema fundamentală a asemănării, rezultă că Prin urmare (din proprietatea 3 a asemănării triunghiurilor).
Teorema 2 (cazul II de asemănare)
Figura2.10 Criteriul II de asemănare([16], pag.58)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două laturi respectiv proporționale și unghiurile dintre laturile proporționale sunt congruente.
Demonstrație
Ipoteză:și
Concluzie:, și
Fie astfel încât , apoi construim .
Atunci . Însă (din teoria fundamentală a asemănării), de unde rezultă că . Atunci (cazul L.U.L.). Deoarece , obținem că .
Teorema 3 (cazul III de asemănare)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au laturile respectiv proporționale.
Demonstrație
Figura 2.11Criteriul III de asemănare([16], pag. 58)
Ipoteză:
Concluzie: și
Fie astfel încât .
Construim ;
rezultă (1)
Din teorema fundamentală a asemănării rezultă că (2)
Din (1) și (2) deducem că și . Rezultă că (cazul L.L.L.). Prin urmare ;; .
Proprietăți: ([23])
Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea dacă și numai dacă au o pereche de unghiuri ascuțite congruente;
Două triunghiuri isoscele sunt asemenea dacă și numai dacă au o pereche de unghiuri congruente;
Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea;
Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea;
Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea;
Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt asemenea;
Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul de asemănare al laturilor este egal cu:
Raportul bisectoarelor;
Raportul înălțimilor;
Raportul medianelor;
Raportul razelor cercurilor înscrise;
Raportul razelor circumscrise.
2.1.13 Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea([5])
TeoremăDacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul ariilor lor este egal cu pătratul raportului a două laturi corespondente. Explicit, dacă
atunci
Figura 2.12 Raportul ariilor ([5])
Demonstrație: Dacă înălțimile pe AC și DF sunt h și h’ atunci știm că
Așadar
,
ceea ce trebuia demonstrat.
2.1.14 Teorema lui Menelaus([27])
Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de vârfurile A, B, C. Dacă punctele M, N, P sunt coliniare, atunci are loc relația: .
Demonstrație
Există două situații posibile:
Două din punctele M, N, P se află pe laturile triunghiului, iar al treilea pe prelungirea celei de-a treia laturi (fig.1-a);
Toate cele trei puncte M, N, P se află pe prelungirile laturilor triunghiului (fig. 1-b)
Figura 2.13 Teorema lui Menelaus([27], pag.2)
Ne ocupăm, în continuare, numai de prima situație; cea de-a doua se tratează analog. Construim .
În triunghiul MBP, cu , conform teoriei fundamentale a asemănării avem:
Aplicând aceeași teoremă în triunghiul CNS, cu , obținem:
Înmulțind membru cu membru egalitățile de mai sus, deducem:
care conduce imediat la relația 1)
Punctele coliniare M, N, P din teorema precedentă se numesc noduri, iar dreapta determinată de ele se numește transversală și se notează cu M-N-P.
2.1.15 Reciproca teoremei lui Menelaus([27])
Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de vârfurile A, B, C. Dacă , atunci punctele M, N, P sunt coliniare.
Demonstrație
Presupunem, prin reducere la absurd, că punctele M, N, P nu sunt coliniare. Atunci există punctul , astfel încât să fie coliniare (figura de mai jos)
Figura 2.14 Reciproca teoremei lui Menelaus([27], pag.2)
Aplicând acum teorema în triunghiul ABC cu transversala , deducem că:
Totodată, din ipoteză, avem
Ultimele două egalități conduc la:
de unde rezultă că , în contradicție cu presupunerea făcută.
În concluzie, punctele M, N, P sunt coliniare.
2.1.16 Teorema lui Menelaus pentru un patrulater([6])
Fie ABCD un patrulater și punctele . Dacă punctele M,N,P,Q sunt coliniare , atunci
Demonstrație. Notăm cu d dreapta care conține punctele M,N,P,Q. Se construiesc paralele la dreapta d prin punctele B și A care se intersectează cu (CD în punctele R și S.
Figura 2.15 Teorema lui Menelaus într-un patrulater([6], pag.14)
Aplicăm teorema lui Thales
În triunghiul CMP cu :
În triunghiul ADS cu :
Dreptele tăiate cu secantele AB și CS determină proporționalitatea segmentelor .
Din relațiile de mai sus se obține:
În același mod se poate demonstra o relație ca cea din teorema lui Menelaus pentru un poligon cu n > 4 laturi convex sau concav.
2.1.17 Teorema transversalei([27])
Fie triunghiul ABC și punctele și . Atunci are loc relația:
(1)
Demonstrație: Tratăm doar cazul . Cazul este banal. Construim și fie și
Figura 2.16 Teorema transversalei([27], pag.3)
Din , conform teoremei fundamentale a asemănării, avem:
și
În final
Observație: Dacă punctul P din teorema de mai sus devine G (centrul de greutate), atunci relația (1) devine
iar dacă P devine I (centrul cercului înscris), relația (1) se scrie
2.1.18Teorema lui Ceva([27])
Fie triunghiul ABC și punctele M,N,P situate pe dreptele BC, CA respectiv AB, diferite de vârfurile A,B,C.
Dacă dreptele AM, BN, CP sunt concurente, atunci are loc relația:
Demonstrație: Există două situații posibile:
Punctele M,N,P se află, fiecare, pe câte o latură a triunghiului;
Două din punctele M,N,P se află pe prelungirile laturilor triunghiului, iar cel de-al treilea pe cea de-a treia latură.
Ne ocupăm, în continuare, numai de prima situație, cea de-a doua tratându-se analog. Fie .
Figura 2.17 Teorema lui Ceva([27], pag.4)
Aplicăm teorema lui Menelaus, în triunghiul ABM cu transversala C-O-P și rezultă:
apoi în triunghiul ACM cu transversala B-O-N și obținem:
Egalitățile precedente conduc la:
adică am obținut relația .
2.1.19Reciproca teoremei lui Ceva([27])
Fie triunghiul ABC și punctele M,N,P situate pe dreptele BC,CA respectiv AB, diferite de vârfurile A,B,C.
Dacă , atunci dreptele AM, BN, CP sunt concurente.
Demonstrație: Presupunem, prin reducere la absurd, că dreptele AM, BN, CP nu sunt concurente. Atunci există punctul , astfel încât dreptele AM, BN, CP să fie concurente într-un punct pe care îl notăm cu O.
Figura 2.18 Reciproca teoremei lui Ceva([27], pag.5)
Aplicând teorema transversalei în triunghiul ABC cu dreptele concurente AM’, BN, CP scriem
și cum din ipoteză avem
obținem
Ținând cont că , avem M=M’, fals, deoarece se contrazice presupunerea făcută. În final, deducem că dreptele AM, BN, CP sunt concurente.
2.1.20Teorema lui Steiner([27])
Fie triunghiulABC și punctele . Dacă , atunci are loc relația:
Demonstrație: Construim și .
Figura2.19 Teorema lui Steiner([27], pag.6)
Mai întâi, , fiind unghiuri cu laturile respectiv paralele și tinând cont că, din ipoteză, , obținem
Aplicăm, în continuare, teorema fundamentală a asemănării.
Din avem
iar din avem
Înmulțind, membru cu membru , ultimele două relații rezultate, obținem
verificându-se astfel relația din enunțul teoremei.
2.1.21Teorema lui Van Aubel([27])
Fie triunghiul ABC și punctele diferite de vârfurile triunghiului. Dacă dreptele AM, BN, CP sunt concurente într-un punct S, atunci are loc relația:
Demonstrație:
și
și
Tratăm prima situație, aplicând teorema lui Menelaus
Figura 2.20 Teorema lui Van Aubel([27], pag.7)
În triunghiul ABM cu transversala C-S-P avem
iar în triunghiul ACM cu transversala B-S-N avem
Adunând, membru cu membru, egalitățile anterioare, obținem
demonstrându-se astfel relația din enunț.
2.1.22 Teorema lui Gergonne([27])
Fie triunghiul ABC și punctele astfel încât dreptele AM, BN, CP sunt concurente într-un punct notat cu S. Atunci are loc relația:
Demonstrație Fie D și E picioarele perpendiculare coborâte din A și respectivS pe dreapta BC.
Deducem că , deci, conform teoriei fundamentale a asemănării, avem
Figura 2.21 Teorema lui Gergonne([27], pag.8)
Dar
din relațiile de mai sus se deduce că
în mod asemănător rezultă și
și
Folosind aceste rezultate, obținem
adică s-a demonstrat relația enunțului.
2.1.23Punctul lui Gergonne([6])
Fie cercul înscris în triunghiul ABC. Dacă M,N,P sunt punctele de tangență ale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente în punctul lui Gergonne.
Pentru demonstrație se folosește reciproca teoremei lui Ceva
2.1.24Dreapta lui Euler([6])
Teoremă:În orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G și centrul cercului circumscris sunt coliniare.
Dreapta determinată de cele trei puncte se numește dreapta lui Euler.
Demonstrație
Dacă triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte se află pe o mediană.
În cazul triunghiului oarecare ABC notăm cu picioarele înălțimilor din vârfurile A și B iar picioarele medianelor din aceste vârfuri sunt și . Triunghiurile HAB și sunt asemenea pentru că au laturile paralele. Folosind teorema fundamentală a asemănării se obține:
Figura 2.22 Dreapta lui Euler([6], pag.24)
dar punctul G împarte mediana în raportul . Atunci triunghiurile și HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asemănare și rezultă
ceea ce implică coliniaritatea punctelor O,G,H.
2.1.25Triunghiul ortic. Teorema lui Feuerbach([34])
Definiție: Se numește triunghi ortic triunghiul determinat de picioarele înălțimilor unui triunghi dat.
Teoremă: Fie ABC un triunghi și punctele . Atunci:
Triunghiurile sunt triunghiuri asemenea cu triunghiul ABC;
Semidreptele sunt bisectoarele triunghiului ortic;
Ortocentrul triunghiului ABC este centrul cercului înscris în triunghiul ortic A’B’C’, iar vârfurile triunghiului ABC sunt centrele cercurilor exînscrise triunghiului ortic A’B’C’;
Tangenta în punctul A la cercul circumscris triunghiului ABC este paralelă cu dreapta B’C’;
Dintre toate triunghiurile înscrise în triunghiul ABC , triunghiul ortic are perimetrul minim (teorema lui Feuerbach);
Demonstrație:
Știm că , având măsurile de , de unde deducem că patrulaterul BCB’C’ este inscriptibil. Rezultă că:
Figura 2.23 Triunghiul ortic([34], pag.1)
Din relațiile de mai sus rezultă că. Analog se demonstrează și celelalte două asemănări.
e) Se observă că dacă M parcurge dreapta BC, atunci B’M+MC’ este minimă dacă. Fie simetricul lui B’ față de BC. Se unește C’ cu . Fie . Oricare ar fi punctul avem:
Figura 2.24 Teorema lui Feuerbach([34], pag.3)
S-a obținut astfel că punctul construit anterior este punctul de pe dreapta BC cu proprietatea că MC’+MB’ este minimă. Dar unghiurile și sunt congruente deoarece fiecare este congruent cu .
Fie acum un triunghi A’B’C’ înscris în triunghiul ABC, . Fixând două câte două vârfurile acestui triunghi, se obține că minimul perimetrului se atinge când laturile triunghiului A’B’C’ sunt egal înclinate pe laturile triunghiului ABC, deci când unghiurile marcate pe figura sunt congruente.
Conform punctului a) rezultă că . Atunci este bisectoare a unghiului și deci . Rezultă că . Analog se obține și . Prin urmare A’B’C’ este triunghi ortic.
2.2 Teoria asemănării în corpurile geometrice([4], [5], [6])
2.2.1 Piramida([4])
Dacă o piramidă este secționată într-un plan paralel cu baza, se formează o nouă piramidă și un trunchi de piramidă. Secțiunea este un poligon asemenea cu cel al bazei piramidei. Dacă raportul de asemănare al celor două poligoane este k, spunem că cele două piramide sunt asemenea și au raportul de asemănare k . Atunci notând pentru cele două piramide (cea nou formată și cea inițială):
= lungimile înălțimilor
= ariile bazelor
= ariile laterale
= ariile totale
= volumele
avem
proprietăți analoage există și în cazul conului.
2.2.2 Secțiuni transversale prin conuri și piramide([5])
Fie D un disc (circular) într-un plan E și V un punct care nu este în E . Conul cu baza D și vârful Veste reuniunea tuturor segmentelorVP, unde P aparține lui D. Înălțimea conului este distanța perpendiculară h de la V la E.
Figura 2.25 Conul([5])
Fie acum un plan paralel cu E, de aceeași parte a lui E ca și V, la distanța perpendiculară față de E. Fie C centrul lui D și r raza sa. Pentru fiecare punct B din D, fie B’ punctul în care VP intersectează . Fie mulțimea tuturor punctelor de felul lui B’. Vom numi secțiunea transversală prin con la înălțimea k.
Figura 2.26 Secțiuni în con([5])
Teorema 1 este un disc de rază
Demonstrație. Fie A,A’, C și C’ ca în figura dinainte. Fie B un punct din D și fie B’ punctul corespunzător din D’ . Deoarece , orice plan care intersectează și E, le intersectează după drepte paralele. Așadar
Prin urmare
așadar
deci
Dacă rezultă că
și reciproc. Prin urmare este discul de rază
ceea ce trebuia demonstrat.
Folosind formula , obținem următoarea:
Teoremă Fie K un con cu aria bazei a și înălțimea h. Fie secțiunea
Demonstrație: Știm că
unde r este raza bazei, iar r’ este raza lui . Așadar
ceea ce trebuia demonstrat.
Dacă folosim o regiune triunghiulară ca bază, în locul discului, putem face o discuție similară ce conduce la o teoremă similară.
Figura 2.27 Piramida([5])
Fie T o regiune triunghiulară în planul E și fie V un punct care nu este în E. Piramida cu baza T și vârful V este reuniunea tuturor segmentelor , unde P este în T. Înălțimea piramidei este distanța perpendiculară h de la V la E.
Fie planul paralel la E , de aceeași parte a lui E ca și V, astfel încât distanța perpendiculară între E și să fie k<h:
Figura 2.28 Secțiuni în piramidă([5])
Fie frontiera lui T și fie A’, B’ și C’ punctele unde intersectează pe VA, VB șiVC. Fie regiunea triunghiulară corespunzătoare lui . Atunci avem:
Motivul este că dacă un plan intersectează două plane paralele, intersecțiile sunt două drepte paralele. Așadar
Din aceste paralelisme, rezultă asemănările dorite. Așadar
Deci
din teorema de asemănare L.L.L. Ariile regiunilor corespunzătoare lui T și sunt legate prin formula:
Avem deci teorema următoare
Teoremă. Fie P o piramidă cu aria bazei a și înălțimea h. Fie secțiunea la înălțimea k. Atunci
2.2.3 Tetraedrul([6])
Definiție Într-un tetraedru numim bimediană segmentul care unește mijloacele a două muchii opuse.
Orice tetraedru are șase muchii, deci există trei bimediane.
Propoziție Într-un tetraedru oarecare cele trei bimediane sunt concurente.
Demonstrație: În tetraedrul ABCD considerăm punctele M,N,P,Q,R,S mijlocele laturilor respectiv. Vom demonstra că bimedianele sunt concurente.
În triunghiurile BAC și DAC care au latura comună sunt puse în evidență liniile mijlociiși , care corespund laturii comune.
Deci:
Analog:
Figura 2.29 Concurența bimedianelor tetraedrului([6, pag. 67])
Rezultă că patrulaterele PRQS, MPNQ sunt paralelograme și mai mult cele trei bimediane ale tetraedului sunt diagonale în aceste paralelograme.
Cum diagonalele unui paralelogram sunt concurente și se înjumătățesc, cele trei bimediane ale tetraedului ABCD sunt concurente, punctul de concurență este notat cu G și este mijlocul fiecărei bimediane.
Definiție (Leonardo da Vinci): Punctul de concurență al bimedianelor, notat cu G , se numește centrul de greutate, sau centrul distanțelor medii, sau baricentrul tetraedrului.
Propoziție: Fie ABCD un tetraedru, cu și astfel încât . Atunci au loc următoarele inegalități:
Demonstrație: Fie astfel încât . Din teorema fundamentală a asemănării avem și .
Cum , vom obține și în consecință din triunghiurile asemenea CPN și CAD se obține . Deoarece punctele M,P,N nu pot fi coliniare , din inegalitățile triunghiului obținem
sau după înlocuiri avem
Figura 2.30 Tetraedrul ABCD([6],pag. 68)
Procedând la fel avem și al doilea grup de inegalități.
Corolar – inegalitățile bimedianei
Fie ABCD un tetraedru, M mijlocul lui și N mijlocul lui ; atunci:
Demonstrație: Luând în propoziția anterioară vom găsi aceste inegalități.
Definiție: Într-un tetraedru ABCD, dreptele care unesc punctele A,B,C,D cu centrele de greutate ale fețelor opuse se numesc medianele tetraedrului ABCD.
Teoremă: Cele patru mediane ale unui tetraedru sunt concurente.
Demonstrație:
Fie punctul de intersecție al medianelor triunghiului BCD. Se notează cu M,N,P,Q mijloacele segmentelor .
În planul .
În planul paralelogramului .
În planul . Deci dreptele , se intersectează două câte două și nu sunt coplanare. Rezultă că
deci .
Figura 2.31 Concurența medianelor tetraedrului([6],pag. 69)
Notăm cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului ACD, iar pentru triunghiul ABD. Analog se demonstrează și trec prin G.
Propoziție (Leonardo da Vinci): Centrul de greutate al unui tetraedru împarte o mediană în două segmente, dintre care cel care conține vârful tetraedrului este triplul celuilalt.
Demonstrație: Se consideră separat planul (APD), conform figuri de mai sus. Aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul pentru dreapta Q,G,P se obține:
Dar AQ=QD și , de unde rezultă că
Un plan arbitrar, care trece printr-o mediană, împarte tetraedrul în două poliedre cu volume egale. (J.L.Lagrange, 1810-1811).
Definiție: Numim coordonate baricentrice ale punctului P, patru numere care sunt proporționale cu volumele tetraedrelor cu vârful în P și având drept baze fețele tetraedrului.
Deci, dacă este factorul de proporționalitate, atunci avem:
V fiind volumul tetraedrului.
Pentru coordonatele barice se numesc absolute.
Segmentele de dreaptă care unesc centrul de greutate al tetraedrului, G, cu vârfurile tetraedrului împart tetraedrul în patru tetraedre echivalente: din această cauză coordonatele baricentrice ale lui G sunt egale.
Distanțele lui G la fețele tetraedrului sunt invers proporționale cu ariile acestor fețe.
Propoziție – lungimea bimedianei: Fie tetraedrul oarecare ABCD, M mijlocul muchiei AB și M’ mijlocul muchiei opuse CD. Atunci:
Demonstrație:
Aplicăm teorema medianei pentru MM’ , mediană a triunghiului ABM’. BM’ este mediană în triunghiul BCD și AM’ este mediană în triunghiul ACD, unde pentru calculul lor vom folosi tot teorema medianei.
Figura 2.32 Lungimea bimedianei unui tetraedru([6], pag. 72)
Folosind lungimea bimedianelor unui tetraedru se poate demonstra imediat:
Propoziție: Fie tetraedrul oarecare ABCD, M, N, P, Q, R, S mijloacele muchiilor respectiv. Atunci:
Figura 2.33Relația segmentelor determinate de mijloacele muchiilor([6], pag. 72)
Propoziție Suma pătratelor medianelor este egală cu din suma pătratelor muchiilor.
Demonstrație: Se folosesc lungimile medianelor unui tetraedru conform propoziției anterioare și se obține relația anunțată.
Definiție. Fie un tetraedru. Un punct T cu proprietatea
se numește centrul izogon sau punctul lui Torricelli al tetraedrului.
Observație: Punctul lui Torricelli al tetraedrului este caracterizat de următoarea proprietate vectorială:
Unul din cele cinci poliedre regulate ale lui Platon este tetraedrul și de el s-a ocupat și Euclid în Elementele sale (în Cartea a XIII-a).
Definiție Tetraedrele cu proprietatea că există o sferă hexatangentă muchiilor se numesc tetraedre Crelle.
Pentru tetraedrele Crelle se poate demonstra următoarea teoremă:
Teorema lui Brianchon Într-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.
Demonstrație: Se folosește Teorema lui Menelaus în spațiu pentru patrulaterul ABCD și rezultă că dreptele RC și SM sunt coplanare, deci .
Analog se arată că și .
Cum dreptele RM, SP, NQ nu pot fi coplanare rezultă că sunt concurente (Dacă în spațiu trei drepte se intersectează două câte două, atunci ele sunt sau coplanare sau concurente). Să demonstrăm această proprietate.
Fie dreptele a, b și c și să presupunem că nu sunt concurente. Fie P planul determinat de dreptele a și b . Cum dreapta c intersectează atât pe a cât și pe b și cele trei puncte de intersecție sunt două câte două diferite, rezultă că dreapta c are două puncte diferite în planulP, deci este în întregime conținută în acest plan. S-a demonstrat astfel că dreptele a,b și c sunt coplanare.
Capitolul 3. Aplicații ale teoriei asemănării în probleme
3.1 Seturi de probleme sortate pe diferite nivele de dificultate([12], [13], [21], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34])
3.1.1 Nivel scăzut de dificultate([12])
Desenați segmentele știind că AB= 6 cm, CD=4 cm, EF=10 cm. Calculați valoarea rapoartelor:
a) ; b) c) d) e)
În triunghiul , astfel încât și
a)Calculați valorile următoarelor rapoarte:
b) Dacă AB=15 cm și AF=12 cm, determinați AE;EB;AC;FC.
Se consideră triunghiul MNP și punctele și , astfel încât .Dacă:
RN=4 cm, MN=10 cm, NP=15 cm, calculați NQ, MR, QP;
NQ=7 cm, MR=10 cm, MN=24 cm, calculați RN, NP, QP;
NQ=12 cm, QP=3 cm, MR=6 cm, calculați RN, MN, NP;
NR=8 cm, MR=6 cm, NQ=4 cm, calculați MN, PQ, NR;
MR=12 cm, NQ=12 cm, NP=21 cm, calculați MN, PQ, NR;
MR=6 cm, MN=16 cm, QP=18 cm, calculați NR, NQ, NP.
Pe laturile triunghiului MNP se consideră punctele și . Verificați dacă în următoarele cazuri:
MN= 20 cm, NR= 11 cm, MP=46 cm, MT=18 cm;
MR= 12 cm, RN= 16 cm, MT=30 cm, MP= 70 cm;
MP= 40 cm, TP=24 cm, MR= 20 cm, RN= 36 cm;
MN= 28 cm, MP=42 cm, MR= 8 cm, MT= 12 cm;
În triunghiul ABC se consideră punctele D și E pe latura astfel încât și F mijlocul segmentului . Știind că 2EF=AB, arătați că triunghiul ABC este isoscel.
Un trapez ABCD are bazele dm și DC= 18 cm. Calculați lungimea liniei mijlocii a trapezului și lungimea segmentului de pe linia mijlocie cuprins între diagonale.
Dacă , AB=18 cm, DE=12 cm, DF=10 cm, EF=16 cm, calculați lungimile segmentelor și .
Dacă în triunghiul ABC avem , astfel încât BM=18 cm, AB=24 cm, MN=8 cm și AN=9 cm, calculați AM, BC, AC și NC.
Trapezul ABCD are bazele AB= 28 cm, CD= 16 cm, iar laturile neparalele AD=12 cm și BC= 15 cm. Știind că , calculați MA, MB, MC, MD.
În figura de mai jos, și astfel încât .
Demonstrați că
Dacă AB= 20 cm, AC= 25 cm, BC= 30 cm și MN=18 cm, calculați lungimea segmentelor și .
3.1.2 Nivel mediu de dificultate([12])
Fie un segment împărțit în 15 părți congruente. Notăm cu M,N și respectiv P al treilea, al șaptelea, respectiv al paisprezecelea punct de diviziune. Calculați valoarea rapoartelor
Triunghiul ABC are laturile AB=20 cm, BC=24 cm, AC= 30 cm. Pe latura AB se ia punctul E astfel încât BE= 8 cm. Prin E se duc și , iar prin F se duce Aflați lungimile segmentelor AH, HG, GC, EF, FH, EG.
În triunghiul echilateral ABC, M și N sunt mijloacele laturilor respectiv Se prelungește segmentul MN cu un segment NP astfel încât Dacă și , arătați că:
.
În triunghiul ABC, punctele E,F și D sunt mijloacele laturilor și respectiv . Dacă , arătați că .
În patrulaterul ABCD cu latura AD=24 cm se notează cu centrul de greutate al și cu centrul de greutate al .
Arătați că ;
Calculați lungimea segmentului
Triunghiul ABC are laturile AB= 26 cm, AC= 28 cm și BC= 30 cm. Fie BD bisectoarea unghiului și Calculați
lungimea segmentului DC;
perimetrul triunghiului ADE.
Fie ABCD un trapez dreptunghic cu , iar Paralela prin O la baze intersectează latura AB în E. Arătați că:
EO este bisectoarea unghiului .
Se consideră cu unghiul obtuz. Pe (BC) se consideră punctele D, Eastfel încât . Arătați că:
triunghiul ADE este isoscel;
;
;
.
Fie ABCD un trapez cu și . Știind că și astfel încât și , arătați că:
triunghiul OEF este asemenea triunghiului OAB;
dacă AB=35 cm, atunci calculați lungimea segmentului EF.
Pe latura AB a triunghiului oarecare ABC se ia punctul M astfel încât, iar astfel încât NC=12 cm și AC=32 cm.
Stabiliți poziția dreptei MN față de dreapta BC;
Dacă BC=48 cm, atunci calculați lungimea segmentului MN.;
Dacă BC=48 cm, atunci calculați valoarea raportului .
3.1.3 Nivel ridicat de dificultate([12], [30], [31], [32])
În triunghiul ABC, cu AB=48 cm, considerăm mediana CM=64 cm. Dacă astfel încât BD=DE=EF=FC și astfel încât , calculați lungimile EE’;FF’;ME’;D’C;MF’.([12])
Se dă patrulaterul ABCD în care . Bisectoarele unghiurilor și intersectează diagonalele BD și AC, respectiv E și F. Arătați că .([12])
Fie M și N mijloacele laturilor și respectiv ale paralelogramului ABCD, iar E și F intersecția dreptelor AB cu DM și AD cu BN. Arătați că punctele E,C și F sunt coliniare și calculați lungimea segmentului MN în funcție de lungimea segmentului BD=8 cm.([12])
Se consideră triunghiul ABC, cu și semidreapta (AM este bisectoarea unghiului . Demonstrați că .([12])
Fie un triunghi ABC și punctele . Dacă dreptele AA’, BB’, CC’ au în comun un punct O, atunci . ([12])
În trapezul ABCD, , AB=60 cm, CD=24 cm, BC=42 cm și AD=30 cm. Știind că , arătați că:
;
Calculați și . ([12])
Laturile (AB) și (CD) ale paralelogramului ABCD se prelungesc dincolo de B și de D cu segmentele și . Fie și . Demonstrați că:
punctele E,C,F sunt coliniare;
.([31], Teodor Mărcuț)
Pe laturile triunghiuluiABC se consideră punctele M și , N și , P și , astfel încât și . Arătați că:
;
linia mijlocie a trapezului MNST este linie mijlocie în triunghiul ABC;
în ce raport împarte M latura , dacă ?([32])
În triunghiul ABC construim punctele și , astfel încât și. Dacă calculați valoarea raportului .([30], Viorica David)
În trapezul isoscel ortodiagonal se ia un punct M pe latura AD, astfel încât , iar pe latura BC se ia punctul N astfel încât . Știind că AB=28 cm, AD= 20 cm și MN=36 cm, calculați perimetrul și aria trapezului.([12])
3.1.4 Nivel de performanță([13], [21], [28], [29], [33], [34])
Fie un punct O pe linia mijlocie paralelă cu latura a triunghiului ABC. Dreptele BO și CO taie pe AC și AB în B’ și C’. Să se arată că .([21], Ion Strătescu, G.M. 7/1963)
Se dau cercurile de centre O și O’ tangente în exterior în T și A un punct oarecare în planul cercurilor, situat în exteriorul lor. Tangenta comună exterioară a cercurilor este tăiată de dreptele AO, AO’ respectiv în M și N. Să se arate că dreptele AT, ON, O’M sunt concurente.([21], Gruian Ștefan, G.M. 3/1963)
Fie un triunghi oarecare ABC. Considerăm punctele astfel încât. Să se arate că dreptele sunt concurente.([13])
Se dă un triunghi oarecare ABC și fie un punct . Se notează cu centrele cercurilor înscrise în triunghiurile ADB respectiv ADC. Se consideră propozițiile:
p: “semidreapta este bisectoarea unghiului ”
q: “semidreptele sunt concurente”
r: “semidreptele sunt concurente”
Să se arate că . ([13])
Fie ABCD un trapez isoscel circumscris unui cerc și fie E,F,G,H punctele de contact ale laturilor cu cercul. Dacă se notează atunci:
punctele E,O,G sunt coliniare;
punctele H,O,F sunt coliniare. ([13])
Se consideră triunghiul ABC în care se duc înălțimile AD,BE și CF. Acestea se intersectează cu cercul circumscris triunghiului înM,N și P. Să se arate că este adevărată inegalitatea: .([34])
Pe laturile (AB) și (AC) ale triunghiului ABC se consideră punctele M și respectiv N astfel încât. Punctul D este simetricul punctului A față de B, iar P și Q sunt mijloacele segmentelor și respectiv . Demonstrați că punctele A,P și Q sunt coliniare dacă și numai dacă . ([33])
Se consideră pătratul ABCD și punctul E pe latura AB. Dreapta DE intersectează dreapta BC în punctul F, iar dreapta CE intersectează dreapta AF în punctul G. Demonstrați că dreptele BG și DF sunt perpendiculare. ([28])
Considerăm patrulaterul ABCD cu AD=DC=CB și . Punctele E și F aparțin segmentelor CD și BC astfel încât . Demonstrați că:
;
Dacă 4CF=CB, atunci AE este bisectoarea . ([29])
Se consideră triunghiul ABC cu AB=AC și . Punctele S și T se află pe laturile AB, respectiv BC, astfel încât . Dreptele AT și CS se intersectează în punctul P. Demonstrați că BT=2PT. ([29])
3.2 Probleme practice([24])
3.2.1 Calculați distanța dintre două animale situate într-un teren de o parte și de alta a unui lac.
Pentru a calcula distanța dintre cele două animale se folosește teorema fundamentală a asemănării.
Se fac în prealabil câteva măsurători în teren.
Situația din teren este prezentată schematic astfel:
Datele problemei sunt: AP=x m, PB=9 m, BC= 16 m, PQ=14 m, și .
Soluție:
Cum rezultă că de unde . După înlocuire obținem: .
14(x+9)=16x
14x+126=16x
2x=126
x=63 m
Se obține AB=AP+PB=63+9=72 m
3.2.2 Determinați înălțimea unui copac cu ajutorul umbrei
Se ține cont că la un moment dat al unei zile însorite, razele soarelui formează cu solul unghiuri congruente.
Pentru a calcula înălțimea copacului, ne folosim de cazul de asemănare al triunghiurilor (U.U) și de un țăruș poziționat în teren.
Se facîn prealabil următoarele măsurători: lungimea umbrei copacului (6 m), lungimea țărușului (2 m) și lungimea umbrei țărușului (1 m).
Situația din teren se prezintă astfel:
Datele problemei sunt:
AC= 6 m, DE=2 m, DF=1 m, AB=x m
Soluție:
După înlocuire obținem . Deci , adică AB=12 m.
3.2.3 Determinați înălțimea unui copac folosind legile reflexiei în oglindă
Se creează în teren o configurație folosind o oglindă și un țăruș. Se efectuează următoarele măsurători: AO=12 m, OC=1,5 m, CD=1 m.
Situația din teren este prezentată schematic astfel:
Datele problemei sunt: AO=12 m, OC=1,5 m, DC=1 m și AB= x m.
Soluție:
După înlocuire obținem , apoi , x=8 m, adică AB=8 m.
3.2.4 Determinați adâncimea unei fântâni, până la nivelul apei
Se creează în teren configurația de mai jos și se efectuează următoarele măsurători: AC= 1,5 m, CD= 0,5 m, ED= 2,5 m.
Situația din teren este prezentată schematic astfel:
Datele problemei sunt:AC=1,5 m, CD=0,5 m, ED=2,5 m, AB=x m.
Soluție:
După înlocuire obținem , adică , x= 7,5 m, deci AB=7,5 m.
Capitolul 4 – Didactica predării-învățării teoriei asemănării
4.1. Strategii didactice([1], [2], [3], [7], [8], [9], [11], [14], [15], [17], [18], [19], [20], [26])
4.1.1 Delimitări conceptuale([1], [2], [7], [8], [15], [26])
Strategia didactică reprezintă un concept caracterizat de o pluritate semantică. Pentru a demonstra această afirmație, se prezintă un scurt inventar definițional.
Strategia didactică este:
„un ansamblu de acțiuni și operații de predare-învățare în mod deliberat structurate sau programate, orientate în direcția atingerii, în condiții de maximă eficacitate a obiectivelor stabilite”([1])
„o acțiune decompozabilă într-o suită de decizii-operații, fiecare decizie asigurând trecerea la secvența următoare pe baza valorificării informațiilor dobândite în etapa anterioară. În acest sens, strategia devine un model de acțiune , care acceptă in ab initio posibilitatea schimbării tipurilor de operații și succesiunea lor.”[(15])
„un grup de două sau mai multe metode și procedee integrate într-o structură operațională, angajată la nivelul activității de predare – învățare – evaluare, pentru realizarea obiectivelor pedagogice generale, specifice și concrete ale acesteia, la parametrii de calitate superioară.”([2])
„ansamblul de resurse și metode planificate și organizate de profesor în scopul de a permite elevilor să atingă obiectivele date. Persoanele, localurile, materialele și echipamentele formează resursele, în timp ce modurile de intervenție abordate, formele pedagogice și tehnicile pedagogice constituie metodele”.
„aspectul dinamic, activ, prin care cadrul didactic dirijează învățarea.” ([8])
R. Iucu, realizând o analiză a definițiilor pentru acest concept , decelează următoarele concluzii: ([7])
Strategia presupune un mod de abordare a unei situații de instruire specifice, atât din punct de vedere psihosocial (relații și interacțiuni), cât și din punct de vedere psihopedagogic (motivație, personalitate, stil de învățare,etc.); reprezentările și convingerile psihopedagogice ale cadrului didactic sunt elemente determinante în construcția strategiei;
Prin intermediul strategiei se raționalizează conținuturile instruirii, determinându-se totodată structurile acționare pertinente pentru atingerea obiectivelor prestabilite; programarea ca activitate distinctă este subînțeleasă;
Strategia presupune o combinatorică structurală în care elementele de tip probabilistic și de tip voluntar se intersectează în dinamic procesului la nivelul deciziei; de remarcat decompozabilitatea acesteia în suite de decizii;
Strategia are o structură multinivelară:
Mijloace de instruire,
Forme de organizare a instruirii,
Interacțiuni și relații instrucționale,
Decizia instrucțională, în care dimensiunea finalistă , determinată de focalizarea pe anumite obiective , nu rezultă din suma elementelor enumerate, ci din sinteza și interacțiunea lor;
Strategia se înscrie în demersul de optimizare a instruirii, fiind un mod funcțional de gestionare a resurselor instrucționale în vederea atingerii criteriilor de eficiență și eficacitate ale procesului;
4.1.2 Strategii didactice interactive([14], [26])
Strategiile didactice interactive reprezintă „instrumentele” ce pot fi valorificate de către profesor pentru a asigura eficiența procesului de învățământ.
Notele definitorii ale strategiei didactice interactive sunt următoarele:
sunt „strategii de grup, presupun munca în colaborare a elevilor organizați pe microgrupuri sau echipe de lucru în vederea atingerii unor obiective preconizate (soluții la o problemă, crearea de alternative)” ([14]);
„presupun crearea unor program care să corespundă nevoii de interrelaționare și de răspuns diferențiat la reacțiile elevilor” ([14]);
„au în vedere provocarea și susținerea învățării active în cadrul căreia, cel ce învață acționează asupra informației pentru a o transforma într-una nouă, personală, proprie” ([14]);
„stimulează participarea subiecților la acțiune, socializându-i și dezvoltându-le procesele cognitive complexe, trăirile individuale și capacitățile de înțelegere și (auto) evaluarea valorilor și situațiilor prin folosirea metodelor active” ([14]).
Strategiile didactice interactive promovează o învățare activă, implică o colaborare susținută între elevi care, organizați în microgrupuri, lucrează împreună realizând astfel obiective prestabilite. Cadrul didactic plasează accentul nu pe rolul de difuzor de mesaje informaționale, ci pe rolurile de organizator, facilitator și mediator al activității de învățare. Demersul didactic este conceput astfel încât profesorul să nu fie în centru, ci elevul. Rolul profesorului rămâne unul capital, însă, renunțând la vechile practici educaționale rigide și uniforme, el devine organizator al unui mediu de învățare adaptat particularităților și nevoilor beneficiarilor, facilitând procesul învățării și dezvoltarea competențelor. Proiectând și realizând activități de predare – învățare-evaluare bazate pe strategii didactice interactive, cadrul didactic oferă elevilor multiple ocazii de a se implica în procesul propriei formări, de a-și exprima în mod liber ideile, opiniile și de a le confrunta cu cele ale colegilor.
Pentru a asigura dezvoltarea și valorificarea resurselor lor cognitive, afective și acționare, pentru a-i „instrumenta” în vederea adaptării optime în mediul socio-profesional, este esențială construirea unor strategii didactice bazate pe acțiune, aplicare, cercetare, experimentare. Astfel, li se va crea elevilor ocazia de a practica o învățare de calitate, de a realiza achiziții durabile, susceptibile de a fi utilizate și transferate în diverse contexte instrucționale și nu numai. Beneficiind de o îndrumare competentă, având suportul unor profesori care îi respectă și sunt interesați continuu de ameliorarea nivelului lor de achiziții și competențe, elevii vor avea posibilitatea să realizeze obiectivele învățării și să finalizeze cu succes activitatea. În plus, și șansele lor de reușită socială vor spori considerabil.
Implementarea unui sistem de management al calității în învățământul preuniversitar reclamă deci necesitatea organizării unui mediu de învățare stimulativ, „interactiv”, care să faciliteze participarea elevilor la procesul propriei formări.
4.1.3 Valențe formative și limite ale utilizării strategiilor didactice interactive([26])
Se prezintă sintetic, în tabelul de mai jos, atât valențele formative, cât și limitele strategiilor interactive:
4.1.4 Strategii didactice interactive bazate prin învățarea prin colaborare([11], [14], [19], [26])
„Învățarea prin colaborare este o strategie pedagogică ce încurajează elevii să lucreze împreună în microgrupuri în vederea îndeplinirii unui scop comun.” ([14])
Cooperarea/colaborarea și competiția sunt pârghii pe care cadrele didactice le acționează în procesul instrucțional, alocându-le însă ponderi diferite. Raportându-se la mediul preuniversitar, în mod special la activitățile aplicative, constatăm că elevii sunt implicați în mod frecvent în experiențe de învățare bazate pe competiție. Cu siguranță că și această strategie are efectele ei benefice, însă consider că utilizarea învățării prin colaborare (cooperare) se dovedește a fi mult mai avantajoasă pentru beneficiarii direcți ai actului educațional.
Învățarea prin colaborare își însumează o serie de metode și tehnici menite să optimizeze calitatea învățării, implicându-i activ pe elevi în procesul propriei formări. În cele ce urmează se prezintă câteva metode de învățare prin colaborare.
4.1.4.1 Mozaicul
Structurile cooperative de tip mozaic presupun formarea unor grupuri cooperative în cadrul cărora fiecare membru al grupului devine expert în anumite probleme specifice materialului propus spre învățare.
Schema specifică procesului mozaic este următoarea:
Grupuri cooperative (distribuirea materialelor),
Grupuri expert (învățare și pregătire),
Grupuri cooperative (predare și verificare). ([19])
Se pot realiza diverse variațiuni pe tema mozaicului. În cele ce urmează seprezintă însă etapele mozaicului de bază.
Formarea grupurilor cooperative și distribuirea materialelor de lucru
Profesorul împarte tema de studiu în 4-5 subteme;
Solicită elevilor să numere până la 4 sau 5 (în funcție de numărul de subteme) și distribuie fiecărui elev materialul ce conține detalierea subtemei corespunzătoare numărului său (elevul cu numărul 1 va deveni expert în subtema 1, etc.); li se precizează elevilor faptul că vor învăța și vor prezenta materialul aferent numărului lor și celorlalți colegi, fiind responsabili de rezultatele învățării acestora;
Fiecare grup de 4 sau 5 elevi va constitui un grup cooperativ; elevilor li se solicită să rețină grupul cooperativ din care face parte.
Formarea grupurilor de experți și pregătirea prezentărilor
Elevii care au același număr și, respectiv, aceeași subtemă de abordat, se vor constitui în grupuri de experți (numărul grupurilor de experți va fi același cu numărul de subteme stabilite);
Experții studiază și aprofundează materialul împreună, identifică modalități eficiente de „predare” a respectivului conținut, precum și de verificare a modului în care s-a realizat înțelegerea acestuia de către colegii din grupul cooperativ.
Realizarea prezentărilor (predarea) și verificarea rezultatelor învățării
Se reconstituie grupurile cooperative;
Fiecare „expert” predă conținuturile aferente subtemei sale; modalitatea de transmitere trebuie să fie concisă, stimulativă, atractivă;
Fiecare membru al grupului cooperativ are sarcina de a reține cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți.
Evaluarea
Profesorul solicită elevilor să demonstreze ce au învățat;
Evaluarea se poate realiza printr-un test, din răspunsuri orale la întrebările adresate de profesor, printr-o prezentare a materialului predat de colegi, prin elaborarea unui eseu, etc.
Principalele avantaje ale utilizării metodei mozaicului sunt următoarele:
Dezvoltarea competențelor psihosociale;
Dezvoltarea competențelor cognitive;
Dezvoltarea competențelor de comunicare;
Dezvoltarea inteligenței interpersonale;
Promovarea interînvățării;
Participarea activă, implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor de învățare;
Analiza, compararea modurilor de a învăța, a achizițiilor realizate;
Formarea și consolidarea deprinderii de ascultare activă;
Dezvoltarea gândirii critice și creative;
Dezvoltarea bazei motivaționale a învățării;
Consolidarea încrederii în propriile forțe;
Formarea și dezvoltarea capacității de cooperare, a spiritului de echipă;
Formarea și dezvoltarea capacității reflective;
Dezvoltarea responsabilității individuale, etc.
În absența monitorizării atente a lucrului în grup, este posibil să se manifeste și anumite limite în utilizarea acestei metode:
Abordarea superficială a materialului de studiu;
Înțelegerea și însușirea greșită a unor idei sau concepte;
Apariția unor conflicte între membrii grupurilor;
Crearea unui climat educațional caracterizat printr-o aparentă dezordine, etc.
4.1.4.2 Turul galeriei
Turul galeriei este o tehnică de învățare prin colaborare în cadrul căreia elevii, divizați în microgrupuri, lucrează la rezolvarea unor probleme controversate cu au mai multe soluții posibile. ([11])
Etapele specifice acestei tehnici sunt următoarele: ([19])
Constituirea microgrupelor
Elevii sunt împărțiți în grupuri de câte 4-5 membrii;
Pentru fiecare grup se distribuie foi de flip-chart și markere
Prezentarea sarcinilor de lucru
Cadrul didactic prezintă grupurilor de elevi problema care trebuie soluționată, menționând că rezolvarea problemei trebuie realizată pe foile de flip-chart;
Se precizează, de asemenea, faptul că unul dintre membrii fiecărui grup va avea rolul de „ghid”.
Cooperarea pentru realizarea sarcinilor de lucru
Elevii interacționează în cadrul microgrupurilor pentru a realiza sarcina propusă;
Soluțiile se notează pe foaia de flip-chart.
Expunerea produselor
Fiecare grup își afișează produsul, la fel ca într-o galerie de artă;
Elevii care au rolul de „ghid” se vor plasa în locul unde este expus produsul grupului din care fac parte.
„Turul galeriei”
Membrii grupurilor „vizitează” galeria, examinează fiecare produs, adresează întrebări de clarificare ghidului și pot face comentarii, pot completa ideile sau pot propune alte soluții pe care le consemnează în subsolul foii de flip-chart
Reexaminarea (evaluarea) rezultatelor
Fiecare grup își reexaminează propriile produse, prin comparație cu celelalte și valorificând comentariile „vizitatorilor”.
Avantajele tehnicii „Turul galeriei”:
Formarea și consolidarea deprinderii de ascultare activă;
Formarea și dezvoltarea capacității reflective;
Dezvoltarea gândirii critice;
Stimularea creativității;
Cultivarea respectului față de ceilalți și a toleranței
Formarea și dezvoltarea competențelor emoționale;
Dezvoltarea competențelor de relaționare;
Dezvoltarea competențelor de comunicare;
Promovarea interînvățării active;
Participarea activă, implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor de învățare;
Stimularea eforturilor de intercunoaștere și autocunoaștere;
Formarea și dezvoltarea capacității de cooperare, a spiritului de echipă;
Dezvoltarea capacității argumentative;
Formarea și dezvoltarea competențelor de evaluare și autoevaluare;
Dezvoltarea competențelor instrumental-aplicative;
Formarea și dezvoltarea competențelor metacognitive, etc.
Limitele acestei tehnici pot fi următoarele:
Tendința de conformare la opinia grupului;
Tendința de dominare a grupului manifestată de anumiți elevi, erijați în lideri;
Marginalizarea sau autoizolarea elevilor care împărtășesc alte opinii;
Nonimplicarea unor elevi;
Aparenta dezordine;
Dezvoltarea unei posibile dependențe de grup în rezolvarea sarcinilor;
Apariția unor conflicte între elevi;
Generarea unei gândiri de grup, etc.
4.1.5 Metode și tehnici bazate pe rezolvarea de probleme([26])
Una dintre țintele procesului educațional este de a-i instrumenta pe elevi cu abilitatea de a face față situațiilor problematice cu care se confruntă, deci de a rezolva probleme.
Spre deosebire de celelalte componente ale sistemului cognitiv (ex. procesarea informației vizuale, atenția, memoria, etc.), care formează sisteme funcționale specifice, mecanismele rezolvării de probleme au un caracter globalist, cuprinzând toate celelalte sisteme. Rezolvarea de probleme este, deci, o rezultantă a funcționării interactive a tuturor mecanismelor cognitive.
Pentru a putea deveni capabili de a rezolva probleme, elevii trebuie să identifice și să definească o problemă, să cunoască metode specifice de investigare a procesului rezolutiv și, de asemenea, să poată realiza raționamente.
O învățare de calitate nu poate avea loc în afara instrumentării elevilor cu abilitatea de rezolvare a problemelor. De aceea, în cele ce urmează se prezintă una dintre cele mai importante metode și tehnici de învățare bazate pe rezolvarea de probleme.
Cubul([26])
Valorizează activitățile și operațiile de gândire implicate în învățarea unui conținut;
Se folosește în scopul explorării unui subiect din mai multe perspective;
Oferă o abordare complexă și integratoare.
Etape:
Propunerea temei activității
Împărțirea colectivului de elevi în 6 grupuri
Oferirea de explicații elevilor:
Cadrul didactic va construi, singur sau împreună cu elevii, un cub de hârtie pe care va nota cerințe, folosind fiecare din cele șase suprafețe ale acestuia: Descrie !, Compară !, Asociază !, Analizează!, Aplică!, și Argumentează pro și contra!
Rezolvarea sarcinilor activității:
Fiecare dintre cele 6 grupuri va trata tema propusă dintr-o perspectivă, astfel:
Grupa 1: Descrie
Grupa 2: Compară
Grupa 3: Asociază
Grupa 4: Analizează
Grupa 5: Aplică
Grupa 6: Argumentează pro și contra
Prezentarea temei din perspectiva fiecăruia din cele 6 grupuri;
Fiecare grup prezintă tema din perspectiva care a abordat-o.
Discuții finale în legătură cu tema abordată.
Avantaje ale metodei:
Dezvoltarea capacității de analiză, sinteză, aplicare, transfer, argumentare ale elevilor / cursanților;
Formarea unei imagini globale asupra problemei abordate;
O mai bună înțelegere a problemei abordate, având în vedere cele șase perspective luate în calcul;
Motivarea elevilor – cursanților pentru participarea la activitate;
Activizarea elevilor;
Dezvoltarea capacităților comunicaționale.
Limite:
Având în vedere faptul că fiecare grupă are de abordat o altă perspectivă, este posibilă tratarea superficială a celorlalte perspective;
Consum mare de timp;
Posibilitatea apariției dezordinii în timpul activității;
Neimplicarea tuturor elevilor în rezolvarea sarcinilor din cadrul fiecărui grup
4.1.6 Metode și tehnici de dezvoltare a gândirii critice([18,[26])
Dezvoltarea gândirii critice a elevilor reprezintă un obiectiv important pentru procesul educațional.
A gândi critic înseamnă a evalua continuu plauzibilitatea și relevanța datelor disponibile, a fi curios, a pune întrebări, a căuta răspunsuri, a căuta alternative la atitudini deja fixate, a adopta o poziție pe baza unei întemeieri argumentate și a analiza logic argumentele celorlalți. ([18])
Modalitate superioară de manifestare a gândirii, gândirea critică presupune înțelegerea informației, emiterea de raționamente, capacitate de argumentare, evaluarea ideilor.
Gândirea critică este un proces activ, care îl face pe cel care învață să dețină controlul asupra informației, prin interogare, reconfigurare, adaptare, acceptare sau respingere.
Formarea capacității de gândire critică la elevi se realizează în timp, prin exercițiu, iar cadrele didactice pot utiliza metode și tehnici specifice de dezvoltare a acesteia. Voi prezenta în continuare , câteva dintre acestea.
4.1.6.1 Știu / Vreau să știu / Am învățat([26])
Această tehnică pornește de la premisa că informația anterioară a elevului trebuie luată în considerare atunci când se predau noi informații.
Etapele activității:
Prezentarea temei activității.
Împărțirea colectivului de elevi în trei grupe:
Cadrul didactic împarte clasa pe grupe/perechi, cerându-le elevilor să întocmească o listă cu tot ceea ce știu despre tema dată
Împărțirea fișelor suport:
Elevii primesc fișe pe care este prezentat un tabel
Completarea coloanelor „Știu” și „Vreau să știu” de pe fișele suport:
În prima coloană elevii notează informațiile pe care grupele/perechile le consideră cunoscute. Acest lucru presupune realizarea unui brainstorming în ceea ce privește cunoștințele pe care elevii deja le posedă în legătură cu subiectul pus în discuție. Tot în această etapă are loc o activitate de categorizare. Solicitându-i pe elevi să identifice lucrurile pe care le știu, îi ajutăm să-și îndrepte atenția și asupra acelor lucruri pe care nu le știu;
În a doua coloană elevii vor nota întrebările pe care le au în legătură cu tema abordată. Aceste întrebări au un rol semnificativ în orientarea și personalizarea lecturii. În această etapă se poate implica și cadrul didactic.
Lectura individuală a textului:
Elevii vor citi individual textul;
Completarea coloanei „Am învățat” de pe fișele suport:
În a treia coloană se trec răspunsurile găsite în text la întrebările formulate anterior;
Elevii vor bifa acele întrebări care și-au găsit răspunsul în urma lecturării textului.
Compararea cunoștințelor anterioare cu întrebările și răspunsurile primite.
Etapa discuțiilor finale și a concluziilor.
Avantaje ale metodei
Realizarea unei lecturi active din partea elevilor;
Dezvoltarea și exersarea capacităților de categorizare;
Creșterea motivației pentru implicarea elevilor în activitate;
Stimularea creativității elevilor;
Retenție bună a cunoștințelor prezentate în cadrul textului;
Limite ale aplicării metodei:
Dificultăți în formularea unor întrebări relevante în legătură cu tema luată în discuție;
Cadrul didactic trebuie să-și exercite foarte bine rolurile de organizator și facilitator, astfel încât activitatea să poată parcurge toate etapele și să-și atingă obiectivele;
Poate fi obositoare și solicitantă pentru participanți;
4.1.6.2 Tehnica ciorchinelui([26])
Ciorchinele este o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Etapele realizării ciorchinelui:
Prezentarea cuvântului cheie sau propoziției nucleu:
Cadrul didactic scrie un singur cuvânt sau o propoziție nucleu în mijlocul tablei;
Explicarea regulilor pe care le presupune tehnica:
Cadrul didactic le oferă elevilor explicațiile necesare;
Îi încurajează pe elevi / cursanți să scrie cuvinte sau sintagme în legătură cu tema pusă în discuție.
Realizarea propriu-zisă a ciorchinelui:
Cadrul didactic le cere elevilor să lege cuvintele sau ideile produse de cuvântul sau propoziția nucleu prin linii care evidențiază conexiunile între idei, realizând astfel o structură în formă de ciorchine.
Reflecția asupra ideilor emise și conexiunilor realizate.
Reguli pentru utilizarea acestei tehnici:
Notarea tuturor ideilor legate de tema respectivă;
Lipsa judecății ideilor expuse;
Dintr-o idee dată pot apărea alte idei, astfel se pot construi „sateliți” ai ideii respective;
Apariția legăturilor numeroase și variate între idei;
Avantajele tehnicii:
Fixarea ideilor și structurarea informației;
Înțelegerea ideilor;
Poate fi aplicată atât individual (chiar și la evaluare), cât și la nivelul întregii clase pentru sistematizarea și consolidarea cunoștințelor;
În etapa de reflecție elevii pot fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în ceea ce privește gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii;
Limite:
Enunțarea unor idei și urmarea unor piste nerelevante pentru tema pusă în discuție;
Timpul îndelungat necesar pentru aplicare;
Posibila implicare inegală a elevilor în activitate.
4.1.7 Metode, tehnici și instrumente moderne de evaluare([3], [9], [17], [20], [26])
Evaluarea reprezintă o componentă fundamentală a procesului de învățământ, statutul ei în cadrul acestuia fiind reconsiderat, mai ales în ultimele decenii, datorită numeroaselor cercetări, studii, lucrări elaborate pe această temă. Evaluarea școlară este percepută astăzi ca fiind organic integrată în procesul de învățământ, având rolul de reglare, optimizare, eficientizare a activităților de predare-învățare.
Spre deosebire de metodele tradiționale care realizează evaluarea rezultatelor școlare obținute pe un timp limitat și în legătură cu o arie mai mare sau mai mică de conținut, dar oricum definită, metodele alternative de evaluare prezintă cel puțin două caracteristici: realizează evaluarea rezultatelor în strânsă legătură cu instruirea / învățarea, de multe ori concomitent cu aceasta și privesc rezultatele școlare obținute pe o perioadă mai îndelungată de timp care vizează formarea unor capacități, dobândirea de competențe și mai ales schimbări în planul intereselor, atitudinilor, corelate cu activitatea de învățare.([17])
Pentru a identifica răspunsuri adecvate la întrebarea „Cum evaluăm?” este necesar să ne orientăm reflecția asupra metodelor, tehnicilor și instrumentelor pe care le valorificăm în cadrul demersului evaluativ, astfel încât și acesta (nu numai în actul predării și cel al învățării) să se poată caracteriza prin atributele: atractiv, stimulativ, eficient.
Selecția în ceea ce privește metodele și tehnicile moderne de evaluare include: proiectul și portofoliul.
4.1.7.1 Proiectul([26])
Proiectul reprezintă o metodă complexă de evaluare, individuală sau de grup, recomandată profesorilor pentru evaluarea sumativă.([3]) Elaborarea proiectului necesită o perioadă mai mare de timp (câteva zile sau câteva săptămâni) și poate fi sarcină individuală sau de grup.
În utilizarea acestei metode se parcurg următoarele etape:
Stabilirea temelor pentru proiect ( pot fi implicați și elevii dacă le este deja familiar acest tip de activitate).
Stabilirea și precizarea perioadei de realizare a proiectului.
Familiarizarea elevilor cu exigențele specifice elaborării unui proiect.
Planificarea activității (individuale sau de grup):
Formularea obiectivelor proiectului;
Constituirea grupelor de elevi (dacă este cazul);
Distribuirea / alegerea subiectului de către fiecare elev/grup de elevi;
Distribuirea/asumarea responsabilităților de către fiecare membru al grupului;
Identificarea surselor de documentare.
Desfășurarea cercetării/colectarea datelor.
Realizarea produselor/materialelor.
Prezentarea rezultatelor obținute/ a proiectului.
Evaluarea proiectului.
Este indicat ca profesorul să le recomande elevilor ca în realizarea proiectului să respecte următoarea structură:([20])
Pagina de titlu (include tema proiectului, numele autorului / autorilor, școala, clasa, perioada de realizare);
Cuprinsul (se precizează titlurile capitolelor și subcapitolelor);
Introducerea (se fac referiri la importanța temei, cadrul conceptual și metodologic);
Dezvoltarea elementelor de conținut prezentate în cuprins;
Concluzii;
Bibliografie;
Anexe.
Pe parcursul realizării proiectului, cadrul didactic oferă suport și consultații elevilor în desfășurarea cercetării, în colectarea datelor necesare și poate efectua evaluări parțiale.
Evaluarea proiectului implică atât raportarea la calitatea produsului, cât și la calitatea procesului, a activității elevului. În acest sens, este necesar ca profesorul să formuleze criterii clare, susceptibile de a asigura o evaluare obiectivă, și să le comunice elevilor.
Avantaje ale utilizării proiectului:
Este, în același timp , o metodă eficientă de evaluare, dar și o metodă de învățare interactivă;
Plasează elevul într-o situație de cercetară autentică;
Cultivă responsabilitatea pentru propria învățară și rezultatele acesteia;
Asigură implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor propuse;
Facilitează abordările de tip inter- și transdisciplinar;
Promovează interevaluarea/autoevaluarea și interînvățarea;
Oferă posibilitatea aprecierii unor rezultate de diverse tipuri (cunoștințe, capacități, abilități);
Permite exersarea și evaluarea:
Capacității de a observa;
Capacității investigative;
Capacității de analiză, sinteză, comparație, generalizare și abstractizare;
Capacități de a utiliza tehnici specifice de muncă intelectuală;
Capacități de a utiliza, asocia, transfera diverse cunoștințe;
Capacități argumentative;
Capacități de a realiza un produs, etc.
Asigură dezvoltarea competențelor de relaționare, a competențelor de comunicare;
Stimulează creativitatea;
Facilitează dezvoltarea încrederii în propriile forțe, etc.
Limite ale utilizării proiectului ca metodă de evaluare:
Apariția unor conflicte între elevi (în condițiile elaborării în grup a proiectelor);
Minimalizarea rolului profesorului, etc.
4.1.7.2 Portofoliul([26])
Portofoliul este „o metodă de evaluare complexă, longitudinală, proiectată într-o secvență mai lungă te timp, care oferă posibilitatea de a se emite o judecată de valoare, bazată pe un ansamblu de rezultate”.([3])
Portofoliul este un instrument utilizat în cadrul evaluării sumative, care permite estimarea progresului în învățare al elevului prin raportare la achizițiile realizate în perioade de timp mai mari (semestru, an școlar sau chiar ciclu de învățământ)
Structura unui portofoliu:([20])
Poate fi exclusiv o sarcină a profesorului, în sensul că este cel care stabilește scopul, contextul, realizează proiectarea lui, formulează cerințele standard și selectează produsele reprezentative ale activității elevilor, sau
Poate implica și contribuția elevilor în modul în care se construiește: elevii pot alege anumite instrumente de evaluare sau eșantioane din propria activitate, considerate semnificative din punct de vedere al calității lor.
Astfel, un portofoliu poate conține următoarele „piese”:
Fișe de informare și documentare independentă;
Referate, eseuri, creații proprii, rezumate, articole;
Pliante, prospecte;
Desene, colaje, postere;
Teme, probleme rezolvate;
Schițe, proiecte și experimente;
Date statistice, curiozități, elemente umoristice referitoare la tematica abordată;
Teste și lucrări semestriale;
Chestionare de atitudini;
Înregistrări audio/video, fotografii;
Fișe de observare;
Reflecții ale elevului pe diverse teme;
Decupaje de reviste, reproduceri de pe internet;
Liste bibliografice și comentarii cu privire la anumite lucrări;
Hărți cognitive, etc.
Pentru a facilita munca de elaborare a portofoliului, profesorul va prezenta elevilor un model de portofoliu și va preciza criteriile în funcție de care va realiza aprecierea acestuia. Există mai multe niveluri de analiză a portofoliului:([9])
fiecare element în parte, utilizând metodele obișnuite de evaluare;
nivelul de competență a elevului prin raportarea produselor realizate la scopul propus;
progresul realizat de elev pe parcursul întocmirii portofoliului.
Avantajele utilizării portofoliului
Permite aprecierea unor tipuri variate de rezultate școlare și a unor produse care, de regulă, nu fac obiectul nici unei evaluări;
Evidențiază cu acuratețe progresul în învățare al elevilor prin raportarea la o perioadă mai lungă de timp;
Facilitează exprimarea creativă și manifestarea originalității specifice fiecărui elev;
Determină angajarea și implicarea efectivă a elevilor în demersul evaluativ;
Permite identificarea punctelor forte ale activității fiecărui elev, dar și a aspectelor ce pot fi îmbunătățite;
Constituie repere relevante pentru demersurile de diferențiere și individualizare a instruirii;
Cultivă responsabilitatea elevilor pentru propria învățare și pentru rezultatele obținute;
Nu induc stări emoționale negative având ca scop îmbunătățirea activității și a achizițiilor elevilor;
Facilitează cunoașterea personalității elevului și autocunoașterea;
Contribuie la:
Dezvoltarea capacității de autoevaluare ;
Formarea și dezvoltarea competențelor metacognitive;
Dezvoltă capacități de a utiliza tehnici specifice de muncă intelectuală;
Dezvoltarea capacității de a utiliza, asocia, transfera diverse cunoștințe;
Dezvoltarea capacității argumentative;
Dezvoltarea capacității de a realiza un produs;
Dezvoltarea competențelor de comunicare;
Dezvoltarea încrederii în propriile forțe, etc.
Dezavantajele utilizării portofoliului
Dificultăți în identificarea unor criterii pertinente de evaluare holistică;
Riscul preluări unor sarcini specifice elaborării portofoliului de către părinți, etc.
4.2 – Proiecte de lecție
4.2.1 – Proiect de lecție 1
Clasa: a VII-a
Obiectul:Matematică – geometrie
Tema lecției:Teorema fundamentală a asemănării
Tipul lecției: Formare de priceperi și deprinderi
Competențe generale:([25])
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete;
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă;
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii;
Competențe specifice:([25])
Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;
Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date;
Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic;
Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietățile calitative și/sau metrice;
Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice
Valori și atitudini:([25])
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini diverse;
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;
Dezvoltarea spiritului de observație;
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;
Formarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Obiective operaționale:
O1 – Să enunțe teoria fundamentală a asemănării;
O2 – Să enunțe teoria bisectoarei;
O3 – Să aplice cele două teoreme în rezolvarea de probleme;
O4 – Să evidențieze raportul de asemănare a două triunghiuri asemenea;
O5 – Să realizeze figura geometrică respectând datele problemei și utilizând instrumentele de geometrie;
O6 – Să prezinte în mod corect soluția unei probleme, utilizând modalități variate de exprimare;
O7 – Să-și cultive perseverența în găsirea de soluții alternative;
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația, munca independentă, metoda “Mozaic”, demonstrația, problematizarea, exercițiul, explicația;
Mijloace de realizare: trusa de geometrie, fișe pentru aplicarea metodei “Mozaic”, fișe pentru munca independentă, caiete, culegeri;
Forme de organizare: în grup, individual, frontal;
Forme de evaluare:
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor pe parcursul lecției;
Evaluarea prin aplicarea unei fișe de muncă independentă;
Aprecierea verbală;
Desfășurarea lecției:
4.2.2 Proiect de lecție 2
Clasa: a VII-a
Obiectul: Matematică – geometrie
Tema lecției: Criterii de asemănare
Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe
Competențe generale:([25])
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete;
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă;
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii;
Competențe specifice:([25])
Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configurațiile de geometrie date;
Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;
Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date;
Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic;
Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietățicalitative și/sau metrice;
Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice;
Valori și atitudini:([25])
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini diverse;
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;
Dezvoltarea spiritului de observație;
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;
Formarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Obiective operaționale:
O1 – să precizeze raportul determinat de centrul de greutate și mediana triunghiului;
O2 – să precizeze și să aplicereciproca teoremei lui Thales;
O3 – să aplice în rezolvarea de probleme teorema fundamentală a asemănării;
O4 – să definească triunghiuri asemenea;
O5 – să precizeze proprietatea relației de asemănare ce precizează că triunghiurile congruente sunt și asemenea;
O6 – să enumere cazurile de congruență ale triunghiurilor
O7 – să precizeze criteriile de asemănare ale triunghiurilor
O8 – să rezolve probleme utilizând criteriile de asemănare;
O9 – să definească bisectoarea și să aplice definiție în rezolvarea problemelor;
O10 – să evidențieze raportul de asemănare al laturilor a două triunghiuri asemenea;
O11 – să realizeze figurile geometrice respectând datele problemelor și utilizând instrumentele de geometrie;
O12 – să prezinte în mod corect soluția unei probleme, utilizând modalități variate de exprimare;
O13 – să-și cultive perseverența în găsirea de soluții alternative;
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația, munca independentă, metoda “Știu – Vreau să știu – Am învățat”, demonstrația, problematizarea, exercițiul, explicația;
Mijloace de realizare: trusa de geometrie, fișe pentru activitatea independentă, tabla, caiete, culegeri;
Forme de organizare: individuală, frontal;
Forme de organizare:
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor pe parcursul lecției;
Evaluarea prin aplicarea unei fișe de muncă independentă;
Aprecierea verbală
Desfășurarea lecției
Tabelul 1
Metoda Știu-Vreau să știu – Am învățat
4.2.3 Proiect de lecție 3
Clasa: a VII-a
Obiectul: Matematică – Geometrie
Tema lecției: Criterii de asemănare
Tipul lecției: Formare de priceperi și deprinderi
Competențe generale:([25])
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă;
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii;
Competențe specifice:([25])
Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configurațiile de geometrie date;
Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;
Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic;
Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietățicalitative și/sau metrice;
Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice;
Valori și atitudini:([25])
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini diverse;
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;
Dezvoltarea spiritului de observație;
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;
Formarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Obiective operaționale:
O1 – să descrie triunghiul asemenea;
O2 – să definească triunghiurile congruente;
O3 – să definească triunghiurile asemenea;
O4 – să aplice în rezolvarea de probleme criteriile de asemănare ale triunghiurilor;
O5 – să argumenteze de ce triunghiurile cu dimensiunile date sunt sau nu asemenea;
O6 – să realizeze figurile geometrice respectând cerințele și utilizând instrumentele de geometrie;
O7 – să prezinte în mod corect soluția unei probleme, utilizând modalități variate de exprimare;
O8 – să-și cultive perseverența în găsirea de soluții alternative;
Strategii didactice:
Metode și procedee:
Conversația;
Metoda cubului;
Metoda „Turul Galeriei”;
Exercițiul;
Explicația;
Demonstrație;
Problematizarea;
Mijloace de realizare:
Trusa de geometrie;
Planșe;
Culegere;
Forme de organizare:
Pe grupe;
Frontal;
Forme de evaluare:
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor pe parcursul lecției;
Aprecierea verbală;
Notarea reciprocă a elevilor;
Desfășurarea lecției:
4.2.4 Proiect de lecție 4
Clasa: a VII-a
Obiectul: Matematică – geometrie
Tema lecției: Asemănarea triunghiurilor
Tipul lecției: Consolidare
Competențe generale:([25])
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă;
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii;
Competențe specifice: ([25])
Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configurațiile de geometrie date;
Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;
Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date;
Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic;
Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietățicalitative și/sau metrice;
Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice;
Valori și atitudini: ([25])
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini diverse;
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;
Dezvoltarea spiritului de observație;
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;
Formarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Obiective operaționale:
O1 – să definească următoarele teoreme: Teorema lui Thales, Reciproca teoremei lui Thales, Teorema bisectoarei, teorema fundamentală a asemănării;
O2 – să definească centru de greutate și să precizeze raportul determinat de centrul de greutate pe mediană;
O3 – să definească linia mijlocie în triunghi și trapez;
O4 – să prezinte cele trei criterii de asemănare ale triunghiurilor;
O5 – să rezolve probleme folosind toate noțiunile studiate;
O6 – să realizeze figurile geometrice utilizând instrumente de geometrie;
O7 – să prezinte în mod corect soluția unei probleme , utilizând modalități variate de exprimare;
O8 – să-și cultive perseverența în găsirea de soluții alternative;
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația, munca independentă, metoda ciorchinelui, demonstrația, exercițiul, explicația;
Mijloace de realizare: trusa de geometrie, tabla, caiete, culegere, fișe;
Forme de organizare: frontal, individual
Forme de evaluare:
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor pe parcursul lecției;
Aprecierea verbală;
Evaluarea prin aplicarea unei fișe de muncă independentă;
Desfășurarea lecției:
Capitolul 5 – Metodologia cercetării
5.1Scopul și obiectivele cercetării
Prin această lucrare „Strategii didactice în predarea-învățarea conținuturilor referitoare la asemănarea figurilor geometrice în învățământul preuniversitar” s-a urmărit adaptarea conținuturilor oferite de programa școlară la obiectul matematică, unitatea de învățare „Asemănarea triunghiurilor” la o strategie de predare-învățare interactivă, prin care elevul devine participant direct la propria învățare.
5.1.1. Scopul lucrării este acela de a reliefa eficiența metodelor interactive în predarea matematicii la clasa a șaptea, importanța folosirii lor în optimizarea procesului instructiv – educativ, în creșterea randamentului școlar și a coeziunii la nivelul grupului școlar.
5.1.2. Obiectivele lucrării sunt:
O 1- identificarea modalităților de optimizare a procesului de predare – învățare prin folosirea învățării prin cooperare, a muncii în echipă și stimularea gândirii critice a elevilor prin strategii didactice interactive de predare – învățare;
O 2- aplicarea strategiilor interactive de predare – învățare în cadrul lecțiilor de matematică;
O 3- formare deprinderilor de muncă în echipă și dezvoltarea gândirii critice prin aplicarea acestor strategii;
O 4- analiza și interpretarea performanțelor școlare.
5.1.3. Ipotezalucrării este: „În procesul de predare – învățare a matematicii la clasa a șaptea, folosirea muncii în echipă și a strategiilor didactice interactive de predare – învățare duce la creșterea randamentului școlar , a calității procesului instructiv – educativ și la creșterea gradului de socializare a elevilor, a coeziunii grupului ”.
Pentru a verifica ipoteza am apelat la o metodologie adecvată care să poată oferi informațiile necesare, metodologie care are la bază ancheta prin chestionar.
5.2. Metode folosite în cercetare
5.2.1. Metoda anchetei prin chestionar
Chestionarul constă într-o succesiune de întrebări adresate subiecților cercetării și la care se așteaptă răspuns.
Etape:
– delimitarea problemei (obiectului) anchetei;
– alegerea subiecților de chestionat;
– elaborarea chestionarului – întrebările propriu – zise (de tipul întrebări închise, întrebări deschise, întrebări cu răspunsuri la alegere);
– executarea pe teren a anchetei prin interogarea subiecților;
-„despuierea” chestionarului și elaborarea rezultatelor.
Metoda anchetei prin chestionar constă în formularea în scris, în cazul nostru, a unor întrebări la care subiecții răspund individual. Prin ancheta psihopedagogică se pot studia trebuințele, tendințele, aspirațiile, trăsăturile de personalitate ale elevilor, etc.
Prin chestionarul numărul 1 (anexa nr.1), se cere mai întâi elevilor să exprime intensitatea preferinței pentru obiectul de învățământ „Matematică”, intensitatea cuprinzând patru criterii: „foarte mult“, „mult“, „puțin“, „deloc“. Nonrăspunsurile, omiterea opțiunilor pentru unul din cele patru criterii sunt considerate opțiuni pentru criteriul “deloc”. Acest chestionar solicită apoi elevilor să aprecieze, prin bifarea căsuței respective, timpul de pregătire, învățare, pe care ei îl alocă obiectului de învățământ „Matematică”. Timpul se apreciază după aceleași criterii: “foarte mult”, “mult”, “puțin”, “deloc”.
Chestionarul numărul 2 (anexa nr.2) cuprinde o listă de motive, iar elevii trebuie să bifeze motivele, în număr de cinci, care îi atrag mai mult să învețe la obiectul matematică. De asemenea i se permite elevului să adauge mai multe motive care i se potrivesc, dar care nu sunt cuprinse în această listă.
Cele două chestionare au fost aplicate eșantionului experimental, pentru a investiga motivația acestora pentru învățarea matematicii.
5.2.2. Metoda analizei documentelor școlare
Analiza documentelor școlare este o altă modalitate prin care putem să evidențiem performanțele școlare ale elevilor.
Avem în vedere performanțele școlare ale clasei a VII-a, reprezentate prin notele obținute de fiecare elev la evaluarea inițială, la testele de evaluare formativă din cadrul unității de învățare „Asemănarea triunghiurilor” și la testul de evaluare sumativă de la sfârșitul unității.
Ne interesează aceste note pentru că sunt considerate relevante pentru a urmări evoluția elevilor în cadrul cercetării desfășurate la clasă.
Calitatea învățării se exprimă prin media aritmetică ponderată:
Mp=
unde a, b, c, d, e, f, g, respectiv h reprezintă numărul elevilor care au obținut nota corespunzătoare.
De asemenea au fost colectate date despre situația familială a elevilor (nivelul de școlarizare al părinților, tipul de familie din care provine copilul) din fișele psihopedagogice ale elevilor completate de dirigintele claselor respective.
5.3. Eșantion
Eșantionarea urmărește realizarea unei cercetări reprezentative, prin studierea numai a unei părți din universul cercetării, care alcătuiește o selecție statistică de unități (elemente). Eșantionarea constă în extragerea, în condiții specifice, a unui număr de unități statistice din universul cercetării, eșantionul fiind un model la scară mică a universului cercetării.
În investigarea fenomenului educațional, eșantionul este un număr de cazuri alese dintr-o populație școlară, după anumite criterii, pentru a fi supuse investigației.
Prezentarea și descrierea populației studiate
Populația investigată cuprinde două clase de a VII-a, pe parcursul a doi ani școlari: 2012/2013 și 2013/2014. Clasa a VII-a din anul școlar 2012/2013, având un număr de 19 subiecți a fost considerată clasa martor, iar clasa a VII-a din anul școlar 2013/2014, având un număr de 22 subiecți a constituit clasa experimentală. Ambele clase aparțin Școlii Gimnaziale din cadrul Liceului Tehnologic „Johannes Lebel” din Tălmaciu, județul Sibiu.
La nivelul populației școlare, elevii sunt bine dezvoltați atât din punct de vedere fizic, cât și psihic, provenind în general din familii cu studii medii. Nivelul de școlarizare al părinților se regăsește în tabelul următor:
Studiu comparativ privind nivelul de pregătire profesională a părinților(%)
Se poate ușor observa omogenitatea colectivelor de elevi din perspectiva nivelului de pregătire al părinților. Situația este una obișnuită pentru mediul (localitatea) din care provin.
În urma studierii și analizei fișelor psihopedagogice ale elevilor, am constatat că există cazuri frecvente de părinți divorțați și /sau plecați în străinătate, fapt care adeseori influențează randamentul școlar al elevului și rezultatele obținute de acesta. La nivelul eșantioanelor studiate, situația se prezintă astfel:
Studiu comparativ privind situația familială a elevilor(%)
Având în vedere situația economică și socială actuală, cazul claselor de față este unul obișnuit. Din perspectiva diferențelor între eșantioane, se constată un echilibru în ceea ce privește situația în familie. Acest fapt poate influența –de cele mai multe ori în mod negativ- performanța școlară a elevilor.
În urma analizei documentelor școlare am observat că elevii provin din familii având o situație materială diferită.
Studiu comparativ privind situația materială a familiei (%)
Datele obținute despre cele două clase arată o situație echilibrată, des întâlnită în Tălmaciu. Analiza lor a dus la concluzia că cele două eșantioane sunt similare, că nu există diferențe majore care să afecteze substanțial sau să altereze rezultatele cercetării.
5.4 Rezultatele cercetării și interpretarea acestora
5.4.1 Rezultatele anchetei prin chestionar
Toate rezultatele oferite de chestionare și datele extrase din documentele școlare au fost interpretate din prisma eficienței procesului de predare – învățare și concordanța acestei eficiențe cu utilizarea intensă a unor strategii didactice interactive, prin aplicarea metodelor de predare – învățare moderne, bazate pe cooperare și pe dezvoltarea gândirii critice.
La această vârstă motivația pentru învățare se interiorizează, prin urmare am investigat preferința elevilor pentru obiectul de învățământ „Matematică”, pentru a vedea în ce măsură aceasta concordă cu interesul acordat materiei, timpul afectat învățării și rezultatele obținute de ei la acest obiect. Pentru aceasta am aplicat chestionarul numărul 1, având două întrebări. La prima întrebare elevii bifau gradul de preferință al fiecăruia pentru această materie. Intensitatea preferinței a fost apreciată pe o scală de la 1 la 4, 4 reprezentând intensitate „foarte mare“, 3 reprezentând intensitate „mare“, 2– „puțin“, iar 1 – „deloc“. Preferințele elevilor în raport cu obiectul de studiu au fost cuantificate după cum se poate observa în tabelul de centralizare a rezultatelor (anexa nr. 3) și s-au obținut următoarele procente: 18,1%dintre elevi au preferințe de intensitate „foarte mare“; 45,5%– intensitate „mare“; 22,7%- intensitate puțină; 13,7% fiind procentajul celor care nu preferă matematica.
Preferința elevilor din clasa experimentală pentru obiectul matematică(%)
Intensitățile „foarte mult“ și „mult“ considerăm că sunt aprecieri pozitive pentru obiectul de studiu, iar “puțin” și „deloc“ reprezintă aprecieri negative. Însumând aprecierile pozitive (63,6%) observăm că sunt superioare valoric celor negative 36,4%.
Având în vedere că valoarea sumei aprecierilor pozitive este aproximativ dublul sumei aprecierilor negative, se poate ușor observa că elevii preferă matematica, acest raport denotă o intensitatea mare a preferinței pentru obiectul de învățământ „Matematică”. Asta înseamnă că materia are conținuturi interesante, care vin în întâmpinarea curiozității și necesităților elevilor de clasa a șaptea, Curriculum prezentând o gamă variată, atractivă și interesantă de cunoștințe. Se poate concluziona că elevii sunt atrași de conținuturile studiate, acestea le sunt accesibile, iar școala este-din perspectiva lor – atractivă. Deși chestionarul a fost anonim, cadrul didactic a constatat prin observare sistematică faptul că elevii care au optat pentru „foarte mult” sunt cei cu rezultate foarte bune la acest obiect, în timp ce elevii care nu preferă acest obiect sunt cei amenințați de corigență.
Pentru a stabili o concordanță între preferința elevilor pentru acest obiect și timpul alocat pregătirii pentru această materie s-au studiat opțiunile elevilor privind întrebarea 2 din chestionarul nr. 1. „Cât timp vă pregătiți la matematică?” . Interpretând rezultatele obținute la această întrebare, s-a observat o situație puțin diferită decât cea privind preferința. Elevii care preferă „Matematica” o fac tocmai pentru că le solicită mai puțin timp în pregătire. S-au cuantificat la fel aprecierile elevilor cu privire la timpul alocat pregătirii: 9,1% se pregătesc foarte mult la matematică, 36,4% se pregătesc mult, tot 36,4% alocă puțin timp pentru pregătire la acest obiect, în timp ce 18,1 % au spus că nu necesită timp deloc pentru a se pregăti. Cuantificând la fel opțiunile „foarte mult” și „mult” ca aprecieri pozitive și „puțin ”și „deloc” ca aprecieri negative, se însumează și se obține un procent de 45,5% elevi care se pregătesc intens la matematică, iar 54,5% nu alocă timp pregătirii la acest obiect. Se poate ușor observă un fragil echilibru între elevii care muncesc mult și cei dezinteresați.
Observația sistematică s-a dovedit foarte utilă și în acest caz. Urmărind opțiunile elevilor s-a constatat că mulți elevi buni, dar mai puțin talentați consideră că au nevoie de mult și foarte mult timp în pregătire, dar și câțiva din cei slabi, care depun muncă suplimentară pentru a atinge anumite performanțe. De asemenea au fost câteva cazuri de elevi foarte buni care au considerat ca au nevoie de puțin timp pentru a se pregăti, deoarece aceștia au talent, sunt atenți în clasă, efortul lor de muncă fiind mai scăzut. Elevii care nu se pregătesc deloc sunt în majoritate cei cu rezultate foarte slabe.
S-a realizat un studiu comparativ între tăria preferinței pentru obiectele de învățământ și timpul acordat pregătirii pentru acest obiect, prezentat în graficul rmător..
Studiu comparativ privind tăria preferinței și timpul alocat pentru pregătirea la matematică (%)
Se poate ușor observa că există o discrepanță între preferința pentru matematică și timpul alocat pentru a se pregăti la acest obiect. Există elevi care preferă matematica, se pregătesc intens, au performanțe. În același timp cei mai talentați alocă puțin timp pregătirii, având totuși rezultate bune. Dintre elevii mai puțin înzestrați unii muncesc mult pentru rezultatele lor, în timp ce elevii dezinteresați nu alocă timp pregătirii. Am concluzionat că nu este relevantă compararea gradului de preferință pentru matematică cu notele obținute la acest obiect, dată fiind motivația diferită pentru învățare a fiecărui elev.
Pornind de la această premisă, am investigat câteva aspecte ale actului didactic, pentru a înțelege care aspecte fac mai mult sau mai puțin plăcută pentru elev această materie. Pentru aceasta, s-a aplicat chestionarul nr.2 (anexa nr.2) Elevii au optat pentru 5 motive care li se potriveau în motivarea lor în procesul de învățare la matematică. S-a oferit o gamă variată de motive, a căror paletă acoperă aspecte diverse ale procesului instructiv – educativ: conținuturile, metodele de predare – învățare, mijloacele de învățământ, personalitatea cadrului didactic, particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor, constrângeri externe sau autodeterminare. La această listă elevi puteau adăuga propriile lor motive, dacă acestea nu se regăseau în cele prezentate de cadrul didactic în chestionar.
Rezultatele au fost centralizate în tabelul de la anexa nr. 4. Nu s-au înregistrat răspunsuri greșite sau repetate. Elevii au demonstrat o receptivitate ridicată pentru acest tip de chestionar, care a dezvăluit cadrului didactic informații suplimentare despre elevii din eșantionul supus cercetării, precum și alte aspecte ascunse ale personalității lor. Nici unul din subiecți nu a optat pentru alte motive decât cele prezentate, rubrica de la ultimul motiv rămânând necompletată. Acest fapt demonstrează că elevii și-au regăsit preferințele în lista propusă de cadru didactic.
Situația, sub formă de grafic, se prezintă după cum se observă în următorul grafic
Motive pentru care elevii învață la matematică.
La prima vedere procentajele obținute pot părea mici, scăzute, dar trebuie avut în vedere că fiecare elev a optat în același timp pentru 5 motive, procentele de la 10% în sus reprezentând opțiunile, preferințele, motivele a cel puțin jumătate din numărul total de subiecți. Vom analiza acest grafic, încercând să înțelegem ce place elevului la ora de matematică. În mod intenționat motivele au fost prezentate amestecat, însă elevii au sesizat motivele „neserioase”, printre acestea 7, 14, 15 neavând nicio opțiune, ceea ce arată că elevii au fost foarte serioși și sinceri în alegerile făcute.
Primele trei motive, care au întrunit prin însumare un procentaj ridicat – 27,3%- se explică prin metodologia folosită, precum și prin tactul pedagogic al cadrului didactic. Faptul că elevilor li se pare ușor este datorat modului de predare, diversității exercițiilor, problemelor, situațiilor variate de învățare, metodelor moderne de tip interactiv folosite în predare, faptului că elevii pleacă acasă cu “lecția învățată”. Astfel se explică și gradul scăzut al timpului efectiv afectat pregătirii pentru matematică, cât și preferința elevilor pentru acest obiect, motivul numărul doi: materia fiind ușoară, se alocă puțin timp pregătirii; elevii au fost consecvenți, cele 8 opțiuni din chestionarul 1 regăsindu-se în 10 opțiuni pentru motivul al doilea.
Motivele numărul opt și nouă reflectă strategia didactică prezentată în lucrare de față – munca în echipă, învățarea prin cooperare, lucrul pe grupe, activități ce dezvoltă gândirea critică, predare modernă pe baza metodelor interactive. Aceste motive au înregistrat fiecare aproximativ două treimi din numărul total de elevi, însumând mai mult de un sfert din numărul total de alegeri- 26,3%. Deducem că elevilor le place să muncească în echipă, dar la fel de mult le place „joaca” de-a matematica, chiar și ei apreciază eficiența jocurilor didactice desfășurate la lecțiile de matematică, fie de tip interactiv. La această vârstă elevii sunt suficient de maturi pentru a aprecia o strategie didactică eficientă, de a conștientiza efectul pozitiv al muncii în echipă, efectul formativ al învățării prin cooperare.
Acestor motive li se subscriu și motivele numărul patru și zece „Profesorul aduce completări atractive și interesante la lecție” și „Conținutul obiectului de învățământ este interesant”: în cadrul aplicării metodelor interactive de grup se folosesc adeseori situații concrete de viață, exemple din mediul cotidian al elevului, învățarea este deductivă, elevii sunt atrași de exercițiile și problemele rezolvate, gândind critic le înțeleg mai profund, putând comunica și transmite și colegilor din experiența lor.
Motivul cu numărul 11 a acumulat și acesta un număr ridicat de voturi, reprezentând jumătate din elevi. Deoarece matematica este obiect de examen în clasa a opta, motivația elevilor pentru învățare este ridicată și interiorizată. Elevii învață din proprie inițiativă, viitorul este important pentru ei, presiunea părinților fiind scăzută, după cum se vede din opțiunile pentru motivul cu numărul 12, care a înregistrat un procent scăzut.
Un număr de 4 elevi apreciază faptul că au talent la această materie, deci sunt capabili să obțină rezultate bune. La aceștia s-a putut observa corelație pozitivă între preferința pentru matematică și timpul alocat acestei materii. Ei înțeleg că, dacă sunt atenți în clasă și lucrează suplimentar, studiind, vor obține rezultate bune.
Elevii, subiecți activi ai procesului de predare – învățare, sunt pe deplin capabili să aprecieze o strategie didactică eficientă. În perspectiva lor, aceasta presupune un conținut accesibil, variat și atractiv de cunoștințe, metode interactive de predare – învățare, implicarea lor efectivă în obținerea noilor cunoștințe, exersarea acestora în situații diverse, lucrând pe fișe de lucru și de evaluare a cunoștințelor și condimentând atmosfera de învățare cu jocuri în echipă.
În continuare propunem să urmărim cum aceste aspecte ale procesului instructiv – educativ pot îmbunătăți rezultatele elevilor. Pentru aceasta s-a lucrat intens prin cooperare la clasa experimentală, s-au aplicat metode de tip interactiv la lecțiile de matematică, am lucrat în echipă, elevii au fost puși în situații variate a gândi critic. După cum am specificat în capitolele anterioare, s-a lucrat predominant folosind Mozaicul, Știu/Vreau să știu/Am învățat, Cubul, Ciorchinele în cadrul lecțiilor de predare din unitatea de învățare „Asemănarea triunghiurilor”. Pentru a avea un eșantion de control, în cadrul aceleiași unități de învățare, la clasa de control s-a lucrat după metode de predare tradiționale. Performanțele elevilor au fost evaluate prin teste inițiale și sumative, la sfârșitul unității de învățare.
5.4.2. Etapa experimentală
Cercetarea am desfășurat-o, conform procedurii clasice, în trei etape: etapa constatativă, etapa de intervenție și etapa de control.
În etapa constatativă am selectat cele două eșantioane și am studiat variabilele dependente, în starea lor inițială, pentru ambele eșantioane, aplicând instrumentele elaborate în conformitate cu tema și obiectivele cercetării.
Prima etapă a presupus analiza eșantioanelor de subiecți și testarea inițială a acestora din prisma conținuturilor și comportamentelor vizate de cercetare. Rezultatele obținute le-am analizat și comparat pentru a oferi o imagine clară asupra similitudinilor sau diferențelor între cele două eșantioane, în ceea ce privește eterogenitatea, nivelul de pregătire, nivelul de dezvoltare individuală.
Apoi am trecut la aplicarea variabilei independente asupra clasei experimentale pentru care am folosit pe parcursul etapei de intervenție strategii didactice interactive de predare, în timp ce clasa de control a avut parte de o predare-învățare tradițională.
La finalul etapei experimentului pedagogic am aplicat din nou teste celor două eșantioane, iar rezultatele acestor teste le-am comparat, analizat, pe baza lor formulând concluziile cercetării științifice de față.
Pretestul a fost constituit de evaluarea inițială a elevilor la începutul anului școlar. Ambele clase au primit același test, având un număr de 14 itemi și un timp de rezolvare de 45 de minute. Rezultatele, cuantificate în note, se regăsesc în tabelul de mai jos.
Trebuie avut în vedere că evaluările inițiale se dau la scurt timp după începutul școlii (a doua săptămână), imediat după perioada de vacanță. Elevii se readaptează cu dificultate la programul școlar, la efortul intelectual, unii algoritmi sunt uitați pe perioada vacanței. Chiar repetați, fiind doar puțin exersați, rezultatele sunt destul de scăzute. Sub formă de grafic situația se prezintă astfel:
Rezultate evaluare inițială
Se poate ușor observa că rezultatele la clasa de control au fost mai bune decât cele obținute la clasa experimentală. Pentru o imagine mai clară s-a calculat și media aritmetică pentru fiecare clasă.
Media aritmetică ponderată la evaluare inițială pentru clasa experimentală:
Ma=5,59
Media aritmetică ponderată la evaluare inițială pentru clasa de control:
Ma=5,63
Studiind mediile aritmetice obținute se observă că, în esență, diferențele nu sunt atât de mari precum păreau a fi pe grafic, clasa experimentală având un număr 6 elevi foști corigenți, ceea ce explică numărul ridicat de note mici. Testul era alcătuit din două părți. Partea întâi a conținut itemi tip grilă, cu alegere unică. Exercițiile au avut grad de dificultate crescândă, elevii rezolvând majoritatea primii 5 itemi. Partea a doua conținea itemi care solicitau scrierea rezolvării integrale, complete. Puțini elevi au rezolvat exercițiile din partea a doua corect, niciunul integral.
La nivelul clasei, elevii stăpânesc deprinderile de calcul mintal, majoritatea utilizează corect algoritmii de calcul pentru procente, rapoarte, medie aritmetică-utile la capitolul de asemănare a triunghiurilor, însă nu toți. Majoritatea elevilor cunosc noțiunile elementare de geometrie (triunghi isoscel, suma măsurilor unghiurilor unui triunghi, perimetru), totuși nu sunt capabili să rezolve problema în totalitate, având dificultăți la aplicarea în practică a noțiunilor teoretice.
Etapa de intervenție (experimentală) a presupus aplicarea metodelor interactive de predare-învățare la clasa experimentală, iar evoluția eșantionului a fost urmărită pas cu pas, prin evaluări formative, la sfârșitul lecțiilor respective, după cum se poate observa în capitolul 4.2. În cadrul unor lecții din unitatea de învățare „Asemănarea triunghiurilor”, după realizarea predării prin utilizarea muncii în echipă și prin învățare prin cooperare, evaluarea s-a făcut în scris, prin muncă individuală a elevului. Fișele de evaluare (vezi Anexe nr. 8, 10, 12, 14,16 ) au fost concepute în conformitate cu conținuturile, competențele generale și specifice și standardele curriculare de performanță prevăzute de documentele școlare în vigoare. Toți subiecții au fost testați, fiind prezenți la lecțiile respective. Fișele de lucru au avut, în general 2-3 itemi, iar timpul efectiv de lucru a fost de 10-15 minute.
Tabel cuprinzând calificativele obținute de elevi la testele de evaluare sumativă și finală
Se poate observa pe tabel că rezultatele elevilor au fost simțitor superioare celor din evaluarea inițială. Aceasta se explică prin remedierea și completarea lacunelor existente, prin adaptarea elevilor la ritmul școlar. Situația a fost în general echilibrată.
Testul numărul 1 s-a desfășurat în a treia lecție a acestei unități de învățare, când noțiunile de „segmente proporționale”, „valoarea raportului a două laturi” erau pentru elevi noțiuni noi, cu care aceștia erau prea puțin familiarizați. Astfel se explică rezultatele mai scăzute la această evaluare, în comparație cu următoarele. Unii elevi buni, deși au început corect să rezolve problemele, au avut greșeli de calcul, aici pierzând din punctaj. Evaluarea a fost utilă, detectând lacunele și acei elevi care au nevoie de lămuriri suplimentare, activități de recuperare.
Testul numărul 2 s-a aplicat aproximativ la jumătatea unității de învățare. În prealabil elevii au fost familiarizați cu noțiunea de linie mijlocie în triunghi, de aceea conținutul învățării a fost ușor accesibil, fapt ce se reflectă și în rezultatele obținute de elevi. Pentru rezolvarea fișei elevii au calculat media aritmetică, algoritm însușit încă din clasa a cincea, adeseori utilizat de elevi. De asemenea, rezolvarea problemelor presupune utilizarea formulelor (a liniei mijlocii, a segmentului de pe linia mijlocie dintre diagonale, a ariei trapezului atunci când se cunoaște linia mijlocie și înălțimea), înlocuirea și calculul dimensiunilor. Majoritatea elevilor aveau însușite formulele, dificultatea constând mai mult în rezolvare și calcul.
Testul numărul 3 aplicat la lecția „Teorema fundamentală a asemănării” presupunea scrierea corectă și completă a șirului de rapoarte egale și determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție, respectiv dimensiunea unui segment. Noțiunile însușite de elevi din clasa a șasea (cele legate de proporții, aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție, cât și scrierea unui șir de rapoarte atunci când avem direct proporționalitate) și-au găsit utilitatea în această unitate de învățare. Elevii au întâmpinat dificultăți în rezolvarea celui de-al doilea item al testului, item ce presupunea aplicarea teoremei bisectoarei și a teoremei fundamentale a asemănării. Chiar dacă elevii știau să aplice teoremele, respectiv să scrie șirul de rapoarte egale, puțini au reușit să facă legătura între cele două teoreme și să finalizeze problema.
Testul numărul 4 dat la lecția „Criterii de asemănare” conține doi itemi. Primul presupune aplicarea criteriului de asemănare în determinarea a două triunghiuri asemenea. Acest item a fost mai accesibil elevilor, ca și primul subpunct al itemului doi, având cerința asemănătoare. Al doilea subpunct al itemului doi cerea determinarea lungimilor laturilor proporționale din două triunghiuri asemenea, elevii întâmpinând dificultăți în identificarea laturilor corespondente.
Testul numărul 5 a urmărit descoperirea lacunelor existente, în vederea corectării lor în orele următoare. Testul a avut trei itemi de dificultate medie, itemii au fost asemănători celor din evaluarea sumativă, cadrul didactic încercând să acopere întreaga gamă de conținuturi a unității de învățare.
Pentru a ilustra mai vizibil situația notelor obținute la aceste teste s-a calculat media aritmetică ponderată pentru fiecare test.
Media aritmetică ponderată la testul numărul 1:
Ma=6,09
Media aritmetică ponderată la testul numărul 2:
Ma=6,50
Media aritmetică ponderată la testul numărul 3:
Ma=6,40
Media aritmetică ponderată la testul numărul 4:
Ma=6,05
Media aritmetică ponderată la testul numărul 5:
Ma=6,45
Evoluția este vizibilă în graficul următor.
Media aritmetică pentru testele de evaluare formativă-clasa experimentală
Mediile aritmetice sunt destul de apropiate ca valoare, dar diferențele sunt mult mai vizibile pe graficul de mai sus. Trebuie avut în vedere gradele diferite de dificultate ale conținuturilor supuse evaluării, de aici diferențele obținute. Totuși, diferența de 0,45 puncte la medie este echivalentul progresului cu un punct pentru aproape 50% din elevii clasei. Aceasta s-a datorat studiului, strategiei didactice folosite, atractivității conținuturilor predate, dar și gradului de accesibilitate a noțiunilor.
După cum se vede în tabelul de mai sus, au existat și elevi cu note mici, dar să avem în considerare că, în general, un procent de 77,3% dintre elevi au obținut note de trecere, iar din numărul total de elevi aproximativ un sfert au obținut note mari. Este încurajator, având în vedere că nu toți elevii sunt talentați la geometrie, conținuturile unității de învățare erau noi, iar rezolvarea problemelor date în testele de evaluare formativă presupunea și utilizarea unei game variate de algoritmi și elemente de calcul. De remarcat și faptul că toate mediile aritmetice sunt net superioare celei obținute la evaluarea inițială.
Etapa de control a presupus aplicarea unui test de evaluare sumativă la finalul unității de învățare „Asemănarea triunghiurilor” atât la clasa experimentală, cât și la cea de control, la care s-a predat integral această unitate de învățare folosind metode tradiționale. Testul a fost unic pentru ambele clase, a avut patru itemi de completare de dificultate crescândă, un item de realizare a corespondenței între două coloane cu cinci subpuncte și două probleme pentru a căror punctare se cerea rezolvare completă.
Mai jos este prezentată situația sub formă de grafic.
Rezultate evaluare sumativă
După cum se vede atât pe grafic, cât și în tabel, ambele clase au obținut note peste nivelul evaluării inițiale. Diferențele de evoluție sunt vizibile, progresul înregistrat de clasa experimentală fiind mult peste nivelul celui realizat de clasa de control.
La clasa experimentală, numărul elevilor cu note de trecere este ridicat, reprezentând un procent de 86,4% mult mai mare decât la evaluarea inițială și formativă. Dintre aceștia, 40,9% au avut note mari, un procent aproape dublu față de evaluarea inițială și cea formativă.
Pentru o imagine clară a situației notelor la evaluarea sumativă s-a calculat media aritmetică ponderată pentru fiecare clasă.
Media aritmetică ponderată la evaluare sumativă pentru clasa experimentală:
Ma=6,42
Media aritmetică ponderată la evaluare sumativă pentru clasa de control:
Ma=6,72
Deși, la o primă vedere mediile aritmetice par relativ apropiate, diferența de 0,3 dintre ele presupune progres înregistrat de 30% dintre elevii clasei experimentale, față de rezultatele obținute de elevii clasei de control.
Pentru a urmări evoluția celor două eșantioane, se face un studiu comparativ între progresul înregistrat la ambele clase. Acest fapt este vizibil în graficul următor.
Studiu comparativ privind evoluția notelor la evaluarea inițială și sumativă
Pentru că evaluarea finală a experimentului a demonstrat că există diferențe semnificative între rezultatele obținute de cele două eșantioane incluse în cercetare, în favoarea clasei experimentale, putem afirma că se confirmă ipoteza cercetării care preconiza că se vor obține rezultate mai bune de către subiecții cărora li s-a predat utilizând o strategie didactică interactivă.
5.5 Concluzii și implicații în practica pedagogică
În lucrarea de față am dorit să evidențiem modalități de creștere a randamentului școlar și a interesului pentru conținuturile învățării la elevii de clasa a șaptea, prin aplicarea metodelor și tehnicilor de predare interactivă, precum și optimizarea relațiilor între membrii grupului prin munca în echipă. La clasa a VII-a, motivația intrinsecă este ridicată, elevul căutând împlinirea muncii bine făcute: rezolvarea unei probleme, identificarea unui răspuns, realizarea unei sarcini de lucru, descoperirea noului prin forțe proprii.
Prin aplicarea unei strategii didactice interactive, conținuturile învățării devin mai atractive, elevii prezentând interes pentru obiectele de învățământ studiate. Dar, în același timp, elevii nu acordă mereu o cantitate mare de timp pregătirii și învățării în conformitate cu preferințele manifestate în acest sens. Acesta este și motivul principal pentru care lucrarea de față a căutat soluții de optimizare a procesului de predare-învățare, de ghidare a elevului în descoperirea conținuturilor și algoritmilor noi, prin tehnici de muncă activ-participative și interactive, antrenând elevul și transformându-l în subiect activ al propriei învățări.
Se remarcă faptul că, pentru elevii de clasa a șaptea, este un efort acela de a acorda mai mult timp pregătirii și învățării pentru materiile de învățământ, deoarece , la această vârstă, elevii au preocupări diverse, care necesită mai puțin efort. Sacrificarea timpului personal pentru studiu este un efort destul de mare, pe care, însă, unii îl fac.
Elevii, participanți activi în procesul educativ, conștientizează și apreciază calitatea unei strategii didactice eficiente, sunt atrași în lecție în momentul în care sunt direct implicați, materialul didactic îi sprijină în învățare, când ei înșiși – lucrând împreună, colaborând-găsesc, cu uimire, acele definiții sau acei algoritmi de care au nevoie pentru a rezolva o problemă. De asemenea elevii preferă un stil de muncă diversificat la clasă, lucrând cu plăcere atât frontal, individual sau pe grupe, fie ele omogene sau eterogene, ei răspunzând deschis și receptivi la provocările cadrului didactic.
În urma cercetării efectuate, putem afirma că ipoteza a fost confirmată, și anume: „În procesul de predare – învățare a matematicii la clasa a șaptea, folosirea muncii în echipă și a strategiilor didactice interactive de predare – învățare duce la creșterea randamentului școlar , a calității procesului instructiv – educativ și la creșterea gradului de socializare a elevilor, a coeziunii grupului ”.
Un alt aspect important surprins în lucrarea de față este cel referitor la valențele formative ale aplicării metodelor interactive. Câteva schimbări, măsurabile la nivelul colectivului de elevi supus cercetării, au fost:
creșterea gradului de implicare a elevilor în rezolvarea sarcinilor de lucru;
valorificarea experienței proprii a fiecărui elev în descoperirea cunoștințelor noi;
stimularea potențialului creativ și a originalității;
generarea unui comportament competitiv, stimulativ și productiv;
autodescoperirea propriilor calități și limite, pentru autoevaluare;
dezvoltarea dinamicii intergrupale cu influențe pozitive asupra personalității elevului; consolidarea coeziunii grupului de elevi;
împărțirea sarcinilor și responsabilizarea individului;
dezvoltarea capacității de a lucra împreună, de a colabora și coopera – componentă importantă a educației profesionale viitoare;
timpul de soluționare a problemelor este de cele mai multe ori mai scurt în cazul lucrului în grup decât atunci când se încearcă găsirea rezolvărilor pe cont propriu;
cu o dirijare adecvată, învățarea prin cooperare dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor;
interrelațiile dintre membrii grupului, emulația, sporește interesul pentru o temă sau o sarcină dată, motivând elevii pentru învățare;
lucrul în echipă oferă elevilor posibilitatea de a-și împărtăși părerile, experiența, ideile, strategiile personale de lucru, informațiile;
se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității;
grupul dă un sentiment de încredere, de siguranță, antrenare reciprocă a membrilor ce duce la dispariția fricii de eșec și curajul de a-și asuma riscul;
interacțiunea colectivă are ca efect educarea stăpânirii de sine și a unui comportament tolerant față de opiniile celorlalți, înfrângerea subiectivismului și acceptarea gândirii colective;
dezvoltarea capacității de exprimare și argumentare a opiniilor;
stimularea acceptării opiniilor interlocutorilor; creșterea toleranței și a încrederii în sine și în cel de lângă sine;
declanșarea și coordonarea colaborării și competiției între grupe și între membrii fiecărei grupe;
motivarea afirmării de sine în planul concurenței.
Am identificat câteva căi pentru stimularea interesului pentru învățare al elevilor și pentru optimizarea procesului de predare – învățare – evaluare:
– conceperea și aplicarea unui demers didactic modern, bazat pe învățarea prin cooperare și prin tehnici care stimulează dezvoltarea gândirii critice;
– formarea la elev a priceperilor și deprinderilor de muncă în echipă și antrenarea lui în învățare în grupuri mici;
– provocarea continuă a elevului, implicarea în situații inedite, problematizante, care să conducă la căutarea unor soluții inedite, creatoare;
– valorificarea potențialului proprii, încurajarea elevului și sporirea încrederii în forțele proprii;
– utilizarea competiției ca situații didactice eficiente de învățare și stimularea constantă și recompensarea grupelor de elevi;
– evaluarea curentă permanentă și realizarea conexiunii inverse.
Acestea sunt doar câteva aspecte pe care lucrarea de față a reușit să le surprindă. Procesul instructiv – educativ rămâne însă un subiect vast, care necesită muncă susținută atât din partea cadrelor didactice, a școlii în general, cât și din partea elevilor și a familiilor acestora. Printr-o conlucrare susținută, prin colaborare și cooperare, procesul de învățare va atinge rezultatele dorite.
Societatea umană este în continuă schimbare, cere formarea de indivizi competitivi și capabili, iar învățământul este acela care trebuie să se adapteze, să găsească noi căi prin care să educe elevul.
Anexe
ANEXA NR.1
CHESTIONARUL NR. 1
Marcați cu “X” căsuța care vi se potrivește.
ANEXA NR. 2
CHESTIONARUL NR. 2
Marcați cu “X” cinci căsuțe care exprimă motivele pentru care învățați la matematică. Alege acele motive care ți se potrivesc.
ANEXA NR. 3
TABEL
cuprinzând rezultatele obținute la Chestionarul nr. 1
ANEXA NR.4
TABEL
cuprinzând rezultatele obținute la Chestionarul nr. 2
ANEXA NR.5
Matircea de specificații
Test de evaluare inițială
Clasa a VII-a
Competențe de evaluat asociate testului de evaluare inițială pentru clasa a VII-a
C1. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi/ raționale pozitive;
C2. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c, c.m.m.m.c a două sau mai multor numere naturale;
C3.Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții și mărimidirect sau invers proporționale;
C4. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj algebric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului;
C5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri;
C6. Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghirurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen;
ANEXA NR.6
Test de evaluare inițială
Clasa a VII-a
Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și Partea a II-a se acordă 90 de puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 de minute.
Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.
Partea I. Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect. (45 puncte)
Partea a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete (45 puncte)
ANEXA NR.7
Test de evaluare inițială
Clasa a VII-a
Barem de evaluare și notare
Partea I (45 de puncte)
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
Partea a II-a (45 de puncte)
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
ANEXA NR.8
Fișa Nr.1
Teorema lui Thales
Din oficiu 20 p
ANEXA NR.9
Fișa nr.1
Barem de evaluare și notare
Oficiu 20 p
ANEXA NR.10
Fișa nr.2
Linia mijlocie în trapez
ANEXA NR.11
Fișa nr.2
Barem de corectare și notare
Oficiu 20 p
ANEXA NR.12
Fișa nr.3
Teorema funbdamentală a asemănării
Oficiu 20 p
ANEXA NR.13
Fișa nr.3
Barem de corectare și notare
Oficiu 20p
ANEXA NR.14
Fișa nr.4
Criterii de asemănare
Oficiu 20 p
ANEXA NR.15
Fișa nr.4
Barem de corectare și notare
Oficiu: 20 p
ANEXA NR.16
Fișa Nr.5
Recapitulare
Oficiu: 20p
ANEXA NR.17
Fișa nr.5
Barem de corectare și notare
Oficiu 20p
ANEXA NR.18
Matricea de specificații
Test – Asemănarea triunghiurilor
Clasa a VII-a
Competențe de evaluat asociate testului – Asemănarea triunghiurilor pentru clasa a VII-a
C2- Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;
C4- Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții și mărimi direct proporționale;
C3- Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date;
C5- Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri;
C6- Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții;
C1- Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configurații geometrice date;
ANEXA NR.19
Test – Asemănarea triunghiurilor
Clasa a VII-a
I. Pentru exercițiile 1-4 completați răspunsul corect:
6p 1.Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au laturile ……………………… și unghiurile ……………..
6p 2. În triunghiul ABC se consideră punctele și astfel încât . Dacă AD=6 cm, DE=2,5 cm și BC=5cm, atunci lungimea laturi este egală cu ……. cm.
6p 3. Lungimea bazei mari a trapezului ABCD având baza mică de 5 cm și linia mijlocie de 10 cm este egală cu …….. .
6p 4. Dacă în triunghiul ABC oarecare, și astfel încât AE=10 cn și BE=8cm, iar AF=15 cm și CF=12 cm , atunci dreptele EF și BC sunt ……… .
II. Pentru problema de mai jos scrieți asocierile corecte dintre fiecare cifră din coloana A și litera corespunzătoare din coloana B (6p x 5 = 30p)
În figura de mai jos triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea. Măsura unghiului BAC este egală cu 70o, măsura unghiului DEF este egală cu 60o, BC=3 cm, FE=6 cm și AB=2 cm
III. Pentru exercițiile 1-2 redactați rezolvările complete:
10p 1. În triunghiul ABC cu BC=15 cm, AB=12 cm. Se duce
astfel încât AD=3 cm și DC=6 cm. Să se afle perimetrul triunghiului DEC
2. În triunghiul MNP se duce bisectoarea . Dacă MP=18 cm, MN=8 cm și NP=16 cm, , aflați:
8p a)lungimile segmentelor MQ și QP;
8p b)perimetrul triunghiului MRQ.
Oficiu: 20 p
ANEXA NR.20
Test – Asemănarea triunghiurilor
Barem de evaluare și notare
Partea I (24 puncte)
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje individuale.
Partea a II-a (30 puncte)
Se punctează asocierea corectă, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
Partea a III-a (26 puncte)
pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător
nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
Bibliografie
[1] Cerghit, I. Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și strategii, Editura Aramis, București, 2002
[2] Cristea, S., Dicționar de termeni pedagogici, E.D.P., București, 1998
[3] Cucoș, C., Teoria și metodologia evaluării, Editura Polirom, Iași, 2008
[4] Drăghicescu, I.C., Masgras, V., Probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1987
[5] Edwin, E., Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, E.D.P., București, 1980
[6] Frigioiu, C., Capitole speciale de geometrie pentru profesor, Galați, 2012
[7] Iucu, R., Instruirea școlară. Perspective teoretice și aplicative, Editura Polirom, Iași, 2008
[8] Manolescu, M., Elementele structurale ale curriculumului școlar, semnificații și interacțiuni. Aplicații, Editura Polirom, Iași, 2008
[9] Manolescu, M., Panțuru, S., Teoria și practica evaluării educaționale (activități, conduite, rezultate) formale și nonformale: structuri, forme, funcții, relații, mecanisme, disfuncții. Strategii și metode de evaluare și autoevaluare. Orientări noi. Aplicații, Editura Polirom, Iași, 2008
[10] Mihăileanu, N., Istoria Matematicii, Vol.1. Antichitatea. Evul mediu. Renașterea și secolul al 17-lea, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
[11] Negreț – Dobridor, I., Pânișoară, I.O., Știința învățării. De la teorie la practică, Editura Polirom, Iași, 2005
[12] Negrilă, A., Negrilă, M., mate2000+ consolidare, clasa a VIII-a, sem. I, Editura Paralela 45, Pitești, 2012
[13] Nicolescu, L., Boskoff, V., Probleme practice de geometrie seria „Culegeri de probleme de matematică și fizică”, Editura Tehnică, București, 1990
[14] Oprea, C.L., Strategii didactice interactive, E.D.P., București, 2006
[15] Potolea, D., Profesorul și strategiile conducerii învățării, Editura Academiei, București, 1989
[16] Radu, D., Radu,E., Manual pentru clasa a VII-a, Editura Teora Educațional
[17] Radu, I.T., Evaluarea în procesul didactic, E.D.P., București, 2000
[18] Sălăvăstru, D., Psihologia învățării. Teorii și aplicații educaționale, Editura Polirom, Iași, 2009
[19] Steel, J.L., Meredith, K.S., Temple, C., Lectura și scrierea pentru dezvoltarea gândirii critice, Vol.I, Casa de Editură și Tipografie GLORIA, Cluj-Napoca, 1998
[20] Stoica, A. (coordonator), Evaluarea curentă și examenele. Ghid pentru profesori, Editura ProGnosis, București, 2001
[21] Teodorescu, N., Constantinescu, A., Probleme din gazeta matematică, Editura tehnică, București, 1984
[22] http://www.constantinciofu.ro/wp-content/uploads/triunghiuri-asemenea.pdf
[23] http://www.didactic.ro/materiale-didactice/960_asemanare
[24] http://www.didactic.ro/materiale_didactice/111311_asemmanarea-triunghiurilor
[25] http://edituraedu.ro/didactice/clasele%20V-VIII/Matematica/Programa% scolara% clasele%20V-VIII.pdf (19.09.2011)
[26] http://www.googlw.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved= OCCcQrAJwAA&url=http%3a%2F%Fforum.protal.edu.ro (31.06.2012)
[27] mate.Info.Ro2283 TEOREME CELEBRE ÎN GEOMETRIA PLANA.pdf
[28]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 10 Martie 2012
[29]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 13 Martie 2010
[30]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 11.02.2012
[31]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 12.02.2005
[32]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 07.02.2004
[33]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 9 Martie 2013
[34] Revista Electronică MateInfo.ro/SSN2065-6432 nr. august 2010 /www.mateInfo.ro
[35] http://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_Matematicii
[36] http://ro.wikipedia.org/wiki/Thales_din_Milet
Bibliografie
[1] Cerghit, I. Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și strategii, Editura Aramis, București, 2002
[2] Cristea, S., Dicționar de termeni pedagogici, E.D.P., București, 1998
[3] Cucoș, C., Teoria și metodologia evaluării, Editura Polirom, Iași, 2008
[4] Drăghicescu, I.C., Masgras, V., Probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1987
[5] Edwin, E., Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, E.D.P., București, 1980
[6] Frigioiu, C., Capitole speciale de geometrie pentru profesor, Galați, 2012
[7] Iucu, R., Instruirea școlară. Perspective teoretice și aplicative, Editura Polirom, Iași, 2008
[8] Manolescu, M., Elementele structurale ale curriculumului școlar, semnificații și interacțiuni. Aplicații, Editura Polirom, Iași, 2008
[9] Manolescu, M., Panțuru, S., Teoria și practica evaluării educaționale (activități, conduite, rezultate) formale și nonformale: structuri, forme, funcții, relații, mecanisme, disfuncții. Strategii și metode de evaluare și autoevaluare. Orientări noi. Aplicații, Editura Polirom, Iași, 2008
[10] Mihăileanu, N., Istoria Matematicii, Vol.1. Antichitatea. Evul mediu. Renașterea și secolul al 17-lea, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
[11] Negreț – Dobridor, I., Pânișoară, I.O., Știința învățării. De la teorie la practică, Editura Polirom, Iași, 2005
[12] Negrilă, A., Negrilă, M., mate2000+ consolidare, clasa a VIII-a, sem. I, Editura Paralela 45, Pitești, 2012
[13] Nicolescu, L., Boskoff, V., Probleme practice de geometrie seria „Culegeri de probleme de matematică și fizică”, Editura Tehnică, București, 1990
[14] Oprea, C.L., Strategii didactice interactive, E.D.P., București, 2006
[15] Potolea, D., Profesorul și strategiile conducerii învățării, Editura Academiei, București, 1989
[16] Radu, D., Radu,E., Manual pentru clasa a VII-a, Editura Teora Educațional
[17] Radu, I.T., Evaluarea în procesul didactic, E.D.P., București, 2000
[18] Sălăvăstru, D., Psihologia învățării. Teorii și aplicații educaționale, Editura Polirom, Iași, 2009
[19] Steel, J.L., Meredith, K.S., Temple, C., Lectura și scrierea pentru dezvoltarea gândirii critice, Vol.I, Casa de Editură și Tipografie GLORIA, Cluj-Napoca, 1998
[20] Stoica, A. (coordonator), Evaluarea curentă și examenele. Ghid pentru profesori, Editura ProGnosis, București, 2001
[21] Teodorescu, N., Constantinescu, A., Probleme din gazeta matematică, Editura tehnică, București, 1984
[22] http://www.constantinciofu.ro/wp-content/uploads/triunghiuri-asemenea.pdf
[23] http://www.didactic.ro/materiale-didactice/960_asemanare
[24] http://www.didactic.ro/materiale_didactice/111311_asemmanarea-triunghiurilor
[25] http://edituraedu.ro/didactice/clasele%20V-VIII/Matematica/Programa% scolara% clasele%20V-VIII.pdf (19.09.2011)
[26] http://www.googlw.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved= OCCcQrAJwAA&url=http%3a%2F%Fforum.protal.edu.ro (31.06.2012)
[27] mate.Info.Ro2283 TEOREME CELEBRE ÎN GEOMETRIA PLANA.pdf
[28]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 10 Martie 2012
[29]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 13 Martie 2010
[30]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 11.02.2012
[31]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 12.02.2005
[32]Subiecte, Olimpiada de Matematică, Faza Locală, 07.02.2004
[33]Subiecte, Olimpiada Națională de Matematică, Etapa Județeană, 9 Martie 2013
[34] Revista Electronică MateInfo.ro/SSN2065-6432 nr. august 2010 /www.mateInfo.ro
[35] http://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_Matematicii
[36] http://ro.wikipedia.org/wiki/Thales_din_Milet
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Istoria Matematicii (ID: 162680)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.