Forme din Placi Curbe Subtiri

FORME DIN PLĂCI CURBE SUBȚIRI

Abstract

Lucrarea tratează domeniul formelor alcătuite din plăci curbe subțiri, mult utilizate în creația arhitecturală contemporană, accentuând pe clasa suprafețelor nedesfășurabile. Sunt evidențiate diversele categorii formale ce pot apare, modalitățile de alcătuire spațială și de reprezentare plană ,atât în epură cât și în axonometrie.

Toate suprafețele curbe subțiri au numeroase aplicații în tehnica construcțiilor, utilizând rațional materialele din care sunt alcătuite pentru acoperirea unor suprafețe mari. În acest sens lucrarea exemplifică unele din realizările de succes pe plan mondial.

În final se prezintă și unele metode didactice utilizate în aplicațiile practice la disciplinele din primii ani de studii la Facultatea de Arhitectură din Timișoara pentru găsirea unor forme cât mai interesante care să adăpos-tească diferite funcțiuni.

Keywords: arhitectură, forme spațiale, geometrie, generatoare, directoare

1. Introducere, generalități

Structurile din plăci curbe subțiri, cunoscute și sub denumirea de membrane, pânze, suprafețe autoportante sau cochilii au o grosime așa de mică încât volumul închis coincide cu forma exterioară iar valoarea arhitecturală re-zultă din unitatea ce există între scop, rezistență, estetic și economic.

Fazele istorice prin care a trecut știința de a construi, în efortul de a folosi materiale cu randament sporit este reprezentată de evoluția de la structurile masive la cele cu schelet și apoi la cele cu membrane. Dacă structurile masive au utilizat materialul bazându-se pe cantitatea lui structurile din membrane utilizează forma care-i conferă structurii rezistența necesară.

Odată cu apariția betonului armat, utilizat prioritar în acest caz, structurile masive din bolți de piatră au devenit mult mai ușoare, putând avea grosimi de numai câțiva centimetri.

Avantajele principale ale structurilor ce utilizează aceste forme constau în acoperirea unor suprafețe mari, fără stâlpi intermediari, utilizarea rațională a materialelor și anume, oțelul, în elementele întinse și betonul, în cele comprimate precum și ușurarea structurii.

Dezavantajul principal constă în dificultatea de realizare a cofrajelor în care se toarnă aceste forme, cu consum ridicat de manoperă și calificare înaltă.

În natură sunt numeroase exemple în care rezistența unor structuri de natură organică se bazează pe efectul spațial al plăcilor curbe subțiri: cochiliile de melci, chiurasa insectelor, a scoicilor, a cojii de ou, a craniilor etc.

Natura n-a ajuns la aceste forme prin rezolvări de ecuații diferențiale de ordin superior, ci printr-un proces istoric de evoluție care conduce spre formele cele mai apte să suporte forțe și încărcări (fig.

Astfel, natura nu recurge în multe cazuri la sistemele de bare utilizate frecvent în construcții, ci la forme curbe mult mai rezistente și mai frumoase, perfect adaptate, atât funcțiunii pe care o adăpostesc, cât și interacțiunii cu fac-torii de mediu.

Desigur că rațiunile de utilizare și scările de mărime sunt diferite, dar unele principii, atât în ceea ce privește geometria formei, cât și calculul de rezistență.

, ci

2. Elemente de geometrie a suprafețelor și clasificare

Pentru a înțelege elementele de geometrie ale acestor forme, deoarece grosimea plăcii este mică în raport cu celelalte dimen-siuni, plăcile curbe pot fi înlocuite prin suprafețele lor mediane, care este locul geometric al tuturor punctelor egal distanțate de cele două fețe.

În acest fel, geometria unei suprafețe este cunoscută din ecuația ei, raportată la un sistem de coordonate, cunoscând variația grosimii plăcii pe întreaga suprafață.

Printr-un punct M situat pe o suprafață curbă (fig. 2.1) se poate duce un singur plan tangent T și o normală N. Planul care conține normala, numit și plan normal, intersectează suprafața după o linie curbă care în punctul M are o rază de curbură nor-mală Rn Inversul razei de curbură 1/Rn se numește curbura.

În funcție de curburile principale duse printr-un punct se disting puncte eliptice, unde ambele raze de curbură sunt de același semn, parabolice, la care una din curburi este nulă (raza de curbură este infinită) și hiperbolice, cu razele de curbură diferite ca semn.

Plăcile curbe subțiri pot fi clasificate în diverse moduri, dar cele mai semnificative sunt:

a. după semnul curburii totale (curbura Gauss) K= 1/R1 x 1/R2, plăcile curbe pot avea:

• curbură pozitivă (sinclastice), la care toate punctele de pe suprafață sunt de tip eliptic, razele de curbură având același semn, iar forma este convexă (fig. 2.2. a);

• curbură nulă, la care toate punctele sunt parabolice, una dintre curburi fiind nulă, adică o dreaptă (b);

• curbură negativă (anticlastice), cu toate punctele hiperbo-lice, cu raze de curbură diferite ca semn și forma concavă (c);

• curbură mixtă la care există toate cele trei tipuri de puncte, cu variante formale infinite (d);

b. după modul de generare al suprafeței se disting urmă-toarele tipuri de plăci curbe:

• de rotație, obținute prin rotația unei curbe (cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă, sinusoidă etc.) în jurul unui ax vertical (fig.2.3a);

• ciclice, (b) rezultate prin rotirea unei curbe în jurul unui ax, dar la care înclinarea se modifică în timpul rotirii după o anumită lege ciclică (sinusoidală, cosinusoidală etc.);

• de translație, obținute prin translația unei curbe genera-toare, ce rămâne paralelă cu un plan pe două directoare fixe (c);

• riglate, obținute prin deplasarea unei drepte care se spri-jină pe trei curbe directoare, în general strâmbe, din spațiu (d).

În continuare vor fi analizate fiecare din aceste clase de forme ce utilizează plăcile curbe subțiri, cu variantele de supra-fețe în fiecare caz. Dintre acestea cele mai utilizate în arhitec-tură au fost și sunt cupolele rezemate continuu, cupolele pe un contur poligonal, cilindrii scurți sau lungi, paraboloizii hiper-bolici și în ultimul timp formele libere ce utilizează curburi mixte care răspund cel mai bine diferitelor tendințe și curente contemporane.

Este interesant de aflat, pentru o alegere justă a acestor forme, și modul cum se comportă ele sub încărcări și mai ales pro-bleme legate de stabilitate, unde paraboloizii hiperbolici au o comportare mai bună decât celelalte tipuri de suprafețe.

3. Exemplificări

4.1 Plăci cu curbură pozitivă

Sunt plăci curbe subțiri la care razele de curbură principale sunt de aceeași parte a suprafeței. Principalele tipuri sunt:

a. Sfera ce are razele de curbură constante pe întreaga suprafață și se obține prin rotirea unui cerc în jurul unei axe de rotație (fig. 4.1a,b). Sferele complete sunt mai puțin utilizate în arhitectură față de calotele simple sau de cele cu plan de formă poligonală, fiind secționate cu plane verticale sau înclinate (b).

b. Elipsoidul (c,d) este o suprafață obținută prin rotația unei elipse în jurul uneia din axele sale având secțiuni circulare sau eliptice cu plane orizontale sau verticale paralele cu axele și utilizate drept cupole elipsoidale pe contur circular, eliptic sau poligonal.

c. Paraboloidul eliptic (sau elparul) este suprafața pe care planele verticale o intersectează după parabole, iar cele orizon-tale după elipse (fig.4.1.g). O formă particulară a paraboloidului eliptic o reprezintă paraboloidul de rotație, obținut prin rotația unei parabole în jurul axei sale verticale (b), contururile de sprijin pot fi eliptice, circulare sau poligonale.

d. Toroidul este suprafața obținută din porțiunea cu curbură pozitivă a unui tor, secțiunile cu plane care conțin axa de rotație formând pe suprafață segmente de cercuri de capăt în fig. 4.1.g.

Este necesar să fie păstrate toate liniile de construcție în aceste secțiuni succesive pentru a fi bine înțeles și a nu fi con-fundat cu alte suprafețe de rotație

e. Suprafețele de translație se obțin prin deplasarea paralelă cu un plan dat a unei curbe generatoare (cerc, elipsă, parabolă, cicloidă etc.) pe două curbe directoare de același tip (fig.4.1h).

4.2 Plăci cu curbură totală nulă

Sunt suprafețe la care una din razele de curbură este infinită (curbura nulă) și prin urmare linia corespunzătoare de curbură este dreaptă. Aceste suprafețe sunt riglate (obținute prin tran-slația unei drepte) și în același timp desfășurabile.

Se cunosc următoarele tipuri de suprafețe cu curbura totală nulă:

a. Cilindrul este o suprafață ce rezultă prin deplasarea para-lelă cu un plan a unei drepte ce se sprijină pe o curbă circulară, eliptică, parabolică etc. (fig.4.2.a). Cel circular este și o suprafa-ță de rotație, obținută prin rotirea unei drepte în jurul unei axe.

În construcții este utilizat atât cilindrul complet cu o axă verticală, cât și porțiuni de axă orizontală, (b), care pot fi transla-tate secvențial sau intersectate acoperind diferite contururi sub forma bolților de bitangență, respectiv a lunetelor cilindrice.

b. Conul este obținut prin rotația unei drepte ce trece printr-un punct fix și se sprijină pe o curbă oarecare (fig.4.2c). Forma cea mai utilizată este conul circular drept, obținut prin rotirea unei drepte înclinate în jurul unei axe verticale.

În arhitectură conul poate fi folosit atât în varianta completă cât și ca panou conic utilizat singular la acoperirea unor contu-ruri trapezoidale sau într-o translație secvențială (d).

c. Conoidul este obținut prin translația paralelă cu un plan a unei drepte pe două curbe diferite (fig.4.2e). Fiind o suprafață riglată, în unele cazuri una din curbe este înlocuită cu o dreaptă (f).

Este utilizat în arhitectură mai ales la acoperirea unor hale de dimensiuni mari, utilizând o translație secvențială.

d. Suprafețele ondulate sunt obținute prin translația unei drepte care se sprijină pe două curbe ciclice (sinusoidă sau cosinusoidă) (fig. 3.2g). Dacă cele două curbe sunt decalate cu o jumătate de ciclu, dreapta primește în timpul translației și o înclinare, obținându-se astfel suprafața din fig. 4.2 h.

4. 3 Plăci cu curbură totală negativă

Sunt suprafețe la care K < 0 și toate punctele sunt de tip hiperbolic. Dintre aceste suprafețe, cele mai folosite sunt:

a. Hiperboloidul de rotație, este obținut fie prin rotația unei hiperbole în jurul unei axe verticale, care nu intersectează curba (fig.4.3a), fie prin rotirea unei drepte înclinate față de axa de rotație. Fiind în același timp și o suprafață de rotație și riglată, este utilizat în arhitectură atât ca formă întreagă sau porțiuni din ea, cât și într-o translație secvențială la acoperirea unui contur poligonal.

b. Toroidul, utilizat mai ales ca suprafață de acoperire decât de închidere perimetrală este obținut din porțiunea cu curbură totală negativă a unui tor cu axa de capăt. (b).

Reprezentarea sa în epură sau axonometrie, unde segmen-tele de cerc se găsesc în plane radiale față de axa torului, diferă de cea a unei suprafețe de translație unde aceste porțiuni de cerc se află uzual în plane verticale;

c. Paraboloidul hiperbolic (hiparul), poate fi generat în două moduri și anume ca:

• suprafață riglată, obținută prin translatarea paralelă cu un plan director a unei generatoare care se sprijină pe două drepte directoare necoplanare (c);

• suprafață de translație, obținută prin translația paralelă cu un plan director a unei parabole generatoare ce se sprijină pe două parabole directoare, având curbura de semn contrar curbei generatoare (fig.5.8).

Denumirea de paraboloid hiperbolic provine de la consta-tarea că dacă se intersectează suprafața cu plane verticale, se obțin parabole, iar cu plane orizontale se obțin hiperbole.

4.4. Plăci cu curbură totală mixtă

Sunt suprafețe care au zone cu puncte eliptice și hiperbolice, delimitate de linii cu puncte parabolice. Cele mai cunoscute sunt:

a. Velaroidul, obținut prin translația unei curbe (cerc, elipsă, parabolă etc.) cu parametri diferiți în timpul mișcării, pe două directoare drepte (fig. 4.4 a).

Pentru a asigura scurgerea apelor pluviale, majoritatea punctelor de pe suprafață sunt eliptice, numai zonele de colț au puncte hiperbolice.

Avantajul mare al acestei suprafețe este marginea dreaptă, ce elimină tiranții, necesari în alte soluții;

b. Paraboloidul de gradul patru, obținut prin translatarea unei parabole cu parametri variabili pe două parabole directoare (fig. 4.4 b). Din cauza modificării parabolei în timpul transla-ției, curba de pe coama acoperișului este tot o parabolă, dar cu o curbură inversă față de parabolele marginale. Rezultă astfel că majoritatea suprafeței are puncte hiperbolice, numai zona restrânsă lângă partea centrală a marginilor are puncte eliptice;

c. Formele libere, (c), care nu pot fi încadrate într-o regulă precisă de generare și a căror ecuație nu poate fi scrisă analitic..

Noțiunea de „forme libere” trebuie înțeleasă numai în sen-sul eliberării de constrângerile unei geometrii elementare, eliberare care nu are nimic comun cu arbitrariul. La ele forma structurală se dezvoltă și mai hotărât și poate să exprime cu mai multă claritate natura suprafețelor subțiri.

„Formele libere” nu înseamnă, de asemenea, înlăturarea oricăror relații geometrice. În toate formele naturii chiar și în cele mai libere, reapare mereu ordinea geometrică.

5. Variante formale. Demers didactic

Prezenta lucrare este și rezultatul unui demers didac-tic, existent la Școala de arhitectură din Timișoara ce constă în găsirea de noi variante la diferite categorii formale studiate, prezentate fie în epură și axonometrie (cum este cazul exemplelor prezentate pe această pagină), fie în diferite machete de studiu (pagina următoare).

Aceste exerciții se desfășoară în cadrul disciplinelor „Geometria formelor arhitecturale” din anul I și „Studiul formei” din anul II, și au ca scop formarea vederii în spațiu , completarea bagajului formal utilizat în arhitec-tură, cât și găsirea unor variate posibilități de acoperire a unor spații care să corespundă diverselor programe de arhitectură.

Astfel, din clasa formelor realizate din plăci curbe subțiri sunt prezentate variante formale realizate în cadrul orelor de lucrări în anul I, alcătuite din suprafețe cilindrice (fig. 5.1), conice (fig. 5.2 și 5.3) și sferice ( fig.5.4 și 5.5), care pot acoperi un anumit contur plan.

Tot așa, pentru a arăta diversitatea volumelor din această categorie formală, în fig. 5.6 este prezentată acoperirea unui contur pătrat cu un toroid de curbură pozitivă, în fig. 5.7 o suprafață parțială rezultată din intersecția a doi hiperboloizi cu axele orizontale, iar în fig. 5.8 un paraboloid hiperbolic rezultat din translația unei parabole pe două directoare de același fel. Pe suprafața astfel generată este conturat un patrulater strâmb, ce reprezintă o altă posibilitate de evidențiere formală a acestui tip de suprafață.

Am arătat anterior că o altă clasificare a suprafețelor ce reprezintă plăci curbe subțiri este făcută după modul de generare al ei. Din această categorie prezintă în fig. 5.9 și 5.10 suprafețe rezultate dint-o rotație simplă cu 900 în jurul unui ax vertical și o rotație ciclică prin roti-rea aceleași curbe în jurul unui ax, dar la care înclinarea se modifică în timpul rotirii după o anumită lege ciclică.

Pentru obținerea acestor variante, s-a pornit de la un anumit tip de suprafață, de la un anumit contur plan, o anumită înălțime și un număr precis de module spațiale.

6. Concluzii

Din cele prezentate am încercat să convingem că suprafețele geometrice realizate din plăci curbe subțiri prezintă infinite vari-ante spațiale, cu multe realizări practice în creația arhitecturală iar alegerea lor ca element de studiu în această lucrare este motivată de faptul că.

• sunt definite de o geometrie clară care trebuie cunoscută din faza de proiectare, ce permite un calcul structural coerent al supra-fețelor rezultate, prefigurând o relație strânsă în colaborarea dintre arhitect și inginerul de structuri;

• în timp au apărut realizări remarcabile din această categorie formală, susținute și de dezvoltarea tehnică actuală (ex. realizările lui Santiago Calatrava);

• reprezintă o rezolvare formală în cazul multor tendințe și curente contemporane cum ar fi formele biomimetice;

• au la bază un demers didactic care arată studenților arhitecți diversitatea formelor arhitecturale obținute din relaționarea spațială a unor elemente geometrice primare (drepte, linii curbe, suprafețe, volume simple).

Continuând pregătirea anterioară, în cadrul aplicațiilor de la disciplina „Studiul formei” din anul II, studenții în cadrul exerci-țiilor aplicative reprezintă bidimensional, o serie de planșe (în epură sau axonometrie) sau machete în care caută variante spațiale care să răspundă la diferite funcțiuni. (ex. clădiri expo, sportive, de cult etc.) Odată aleasă funcțiunea adăpostită, pentru o anumită suprafață, mărginită de un anumit contur perimetral ei trebuie să găsească un răspuns spațial la diferite categorii formale studiate anterior.

Se dorește găsirea unor modalități grafice de evidențiere, atât în figurile desenate cât și în machete, atât volumetriei globale cât și a elementelor geometrice care definesc fiecare formă, precum și a posibilităților prin care această suprafață riglată se poate rezema pe sol. Câteva din lucrările studenților din anul II sunt prezentate în imaginile din această pagină.

7. Referințe

• Ching, Francis – Architecture: Form, Space & Order, Van Nostrand Reinhold, New York, 1979.

• Dumitrescu, Cristian – Geometria formelor arhitecturale, Ed. Politehnica, Timișoara, 2008.

• Enache, Mircea și Ionescu, Iulius – Geome-trie descriptivă și perspectivă, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.

• Engel, Heino – Structure systems, Verlag Gerd Hatje, Ostfildern-Ruit, 1997.

• Gheorghiu, Adrian și Dragomir, Virgil – Geometria poliedrelor și a rețelelor, Editura tehnică, București, 1978.

• Neufert, T – Manualul arhitectului, elemente de proiectare și de construcție, Ed. Alutus, Miercurea Ciuc, 2004.

• Salvadori, Mario – Mesajul structurilor, Ed. tehnică, București,1991.

• Siegel, Curt – Structure and form în modern architecture, New York, 1961.

• Tănăsescu, Aurelian – Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie, Editura didactică și pedagogică, București,1975.

• Zannos, Alexander – Form and structure in architecture, Van Nostrand Reinhold Company, New York, !987.