Aplicatii Practice

Aplicații practice

2.1 Arii de domeniu plan

Fie o funcție continuă și mulțimea numită subgraficul lui .

Definiția 2.1.1 O mulțime E din planul se numește elementară dacă

,

unde sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele de coordonate, iar oricare două dreptunghiuri diferite au cel mult o latură comună. Se pune prin definiție

.

Observația 2.1.2 (a) Reprezentarea unei mulțimi elementare sub forma nu este unică;

(b) Reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi elementare sunt tot mulțimi elementare;

(c) Aria unei mulțimi elementare nu depinde de scrierea lui sub forma ;

(d) Dacă sunt mulțimi elementare disjuncte, sau care au în comun cel mult laturi ale unor dreptunghiuri componente, atunci

;

(e) Dacă sunt mulțimi elementare astfel încât atunci

și .

Definiția 2.1.3 Fie o mulțime mărginită din plan. Spunem că mulțimea are arie, dacă există două șiruri , de mulțimi elementare astfel încât

;

șirurile de numere reale pozitive { și sunt convergente și

.

În acest caz avem .

Teorema 2.1.4 Dacă este o funcție continuă pozitivă atunci

are arie

și

.

Demonstrație: Se consideră un șir de diviziuni astfel încât

Se știe că orice funcție continuă pe un interval compact este mărginită și își atinge marginile, deci există

și astfel încâ

și

unde (respectiv ) este marginea inferioară (respectiv superioară) a funcției pe intervalul .

Considerăm mulțimile

,

care reprezintă dreptunghiurile de bază și înălțime , respectiv (Fig. II.1)

Mulțimile elementare , respectiv verifică incluziunile

iar ariile lor sunt

respectiv

Funcția fiind continuă, conform Teoremei 1.2.30 rezultă că este integrabilă. Aplicând Observația 1.2.12 și ținând cont de relațiile (1), (3) și (4), se obține

.

Deoarece șirurile de mulțimi elementare și verifică relațiile (2) și (5), rezultă că mulțimea are arie și din Definiția 2.1.3 avem

.

Consecința 2.1.5 Dacă sunt funcții continue astfel încât

Atunci mulțimea ,

cuprinsă între graficele funcțiilor și dreptele paralele la care taie axa în punctele și respectiv, are arie și

.

Observație: Dacă , atunci

.

Probleme rezolvate:

Într-o fabrică de produse din piele o mașină automată decupeaza forme ca în figura II.3, reprezentând suprafața cuprinsă între graficele funcțiilor . Știind ca bucățile de piele introduse la mașina sunt pătrate de latură 4 m și că dintr-un asemenea pătrat se pot decupa 48 tipare, ce suprafață de material se pierde?

Rezolvare:

Conform Consecinței 2.1.1 cm2.

Suprafața de material rămasă este m2.

Un zugrav trebuie să calculeze de câtă vopsea este nevoie pentru a orna pereții unei case cu 20 de forme ca în fig. II.4 reprezentând aria cuprinsă între graficele funcțiilor și . Știind că pentru vopsirea unui m2 de suprafață e nevoie de 100 ml. de vopsea ajutați-l pe zugrav să-și calculeze vopseaua necesară.(unitatea pentru suprafață este de 1 m2)

F

Rezolvare:

,

.

Funcția este o funcție bijecivă, derivabilă cu derivata continuă.

; nu se anulează pe . Aplicând a doua metodă de schimbare de variabilă ținând cont că funcțiile sinus și cosinus sunt pozitive pe se obține:

; ;

Prin urmare . Cantitatea necesară este de aproximativ l vopsea.

În lanul cu grâu a apărut, în mod inexplicabil o formă ca în figura II.5, bănuindu-se că ar fi din cauza unui OZN. Forma este reuniunea a 6 suprafețe de grâu pus la pământ; o suprafață reprezentând aria subgraficului funcției . Știind că se produc 300 de kg. de grâu la 100 m2 de teren, câte Kg. de grâu au fost compromise de „invazia extraterestră” ?(unitatea pentru arie este 1oo m2)

Rezolvare:

Aria unei suprafețe este .

.

Așadar aria pentru întreaga formă va fi m2. Deci au fost compromise kg. de grâu.

2.2 Lungimi de grafice de funcții continue

Definiția 2.2.1 Pentru orice funcție și orice diviziune a intervalului se definește funcția prin

dacă ;

se numește funcția poligonală asociată lui și lui .

Observația 2.2.2 Funcția se obține, pe fiecare interval daca scriem ecuația dreptei determinată de punctele din plan și (Fig.II.6)

Cu ajutorul teoremei lui Pitagora se poate calcula distanța dintre punctele și :

.

Definiția 2.2.3 Numărul pozitiv

se numește lungimea graficului funcției poligonale .

Observația 2.2.4 Dacă sunt diviziuni ale intervalului și , atunci

.

Definiția 2.2.5 Se spune că graficul unei funcții continue are lungime finită dacă există o constantă astfel încât

,

pentru orice diviziune a intervalului . În acest caz marginea superioară a mulțimii

este mai mică decât . Numărul real pozitiv

se numește lungimea graficului funcției .

Observația 2.2.6 Dacă graficul lui are lungime finită, atunci există un șir de diviziuni ale intervalului astfel încât

și

Demonstrație: Din Definiția 2.2.5 se știe că reprezintă cel mai mic majorant al mulțimii rezultă că pentru orice avem . Prin urmare nu este majorant pentru , deci există o diviziune a lui astfel încât

Din (3) rezultă (4).

Dacă pentru fiecare , se ia o diviziune cu proprietățile și conform Observației 2.2.4, rezultă că (5) și (1) . Dar (6).

Din (5), (6) și (1) rezultă că șirul este convergent și (2) .

Teorema 2.2.7 Dacă funcția este derivabilă, cu derivata continuă, atunci

Graficul funcției are lungime finită

și

.

Demonstrație Din ipoteză rezultă că funcția este continuă, deci este și mărginită, ceea ce înseamnă că există astfel încât .

Fie o diviziune oarecare a lui . Aplicăm teorema creșterilor finite lui pe fiecare interval și obținem un astfel încât

.

Deci

oricare ar fi diviziunea a intervalului . Prin urmare graficul lui are lungime finită.

Conform Observației 2.2.6 avem că există un șir de diviziuni

, a intervalului cu proprietățile

și (7) .

Aplicăm, în continuare, teorema creșterilor finite lui pe fiecare interval obținem un astfel încât

(8)

Dacă notăm și ținem cont de (8), se obține

= (9).

Deoarece funcția este continuă, atunci, conform Teoremei 1.2.30, ea este integrabilă. Deci bazându-ne pe Observația 1.2.12 obținem

Din egalitățile (7), (8) și (9) obținem

Probleme practice:

La manifestările ocazionate de o sărbătoare națională, trei avioane au zburat acrobatic „desenând” pe cer forma din figura II.7

Urmele lăsate de avioane reprezintă graficele funcțiilor

. Care este lungimea totală a urmelor create de avioane?(Unitatea de lungime este de 100 m)

Rezolvare:

Calculăm lungimea graficului funcției :

. Facem schimbarea de variabilă ; .

Lungimea graficului funcției este aceeași cu lungimea graficului funcției deoarece ele sunt inversabile și graficul funcției se obține prin simetria graficului funcției față de prima bisectoare.

Funcția are lungimea graficului

Prin urmare traiectorile celor 3 avioane au o lungime de m

Un fermier are de construit un gard ce are forma graficului funcției (Fig. II.8). Știind că 1 m de gard costă 30 lei, de câți bani are nevoie fermierul pentru a construi tot gardul?(Unitatea de lungime este de 10 m)

Rezolvare: Lungimea gardului este egală cu .

;

Lungimea gardului este m, iar prețul acestuia este lei.

Un automobil parcurge, cu viteză constantă, în două ore un traseu ce are forma graficului funcției (Fig. II.9). Calculați viteza cu care se deplasează automobilul. Unitatea de lungime este de 100 Km.

Rezolvare:

Funcția este derivabilă cu derivata continuă și .

.

.

.

Deci ceea ce înseamnă 182 km.

viteza Km/h

2.3 Arii de suprafețe de rotație

Definiția 2.3.1 Dacă este o funcție continuă, atunci mulțimea

Se numește suprafață de rotație determinată de funcția sau suprafața obținută prin rotirea graficului funcției în jurul axei .(Fig. II.10)

S-a arătat in paragraful 2 al acestui capitol cum se asociază lui și fiecărei diviziuni a intervalului o funcție poligonală .

Observația 2.3.2 Aria laterală a trunchiului de con (Fig. II.111) de raze și generatoare (distanța dintre și ) fiind rezultă că aria laterală a suprafeței este

Definiția 2.3.3 Fie o funcție continuă. Spunem că suprafața de rotație are arie, dacă oricare ar fi șirul de diviziuni ale intervalului astfel încât

,

șirul

al ariilor laterale ale suprafețelor de rotație este convergent în ℝ.

În acest caz numărul real pozitiv

se numește aria laterală a suprafeței de rotație .

Teorema 2.3.4 Dacă este o funcție derivabilă, cu derivata continuă, atunci

suprafața de rotație determinată de are arie și

.

Demonstrație Funcția fiind continuă pe un interval închis și mărginit ,atunci ea este uniform continuă, adică, conform Definiției 1.2.28, pentru orice există astfel încât

, unde este lungimea graficului lui .

Fie acum

un șir de diviziuni ale intervalului astfel încât . Atunci există un astfel încât .

Aplicând teorema creșterilor finite lui pe fiecare interval , obținem un cu proprietatea

.

Atunci

Deci există astfel încât

oricare ar fi .

Cu toate că aria laterală a lui

nu reprezintă suma Riemann

,

se va arăta totuși că diferența lor în modul este mai mică decât .

Fie . Atunci

deci , ținând cont de (1), obținem

și

de unde

Folosind inegalitatea (4), obținem

.

Din această inegalitate și inegalitatea (3) rezultă că, pentru orice ,

Așadar există și este egală cu .

Acest lucru are loc pentru orice șir de diviziuni ale lui cu norma tinzând la zero, rezultă, conform Definiției 2.3.3, că suprafața de rotație determinată de are arie și

Probleme practice

Un inginer iși proiectează pe computer o piesa care are forma unui corp de rotație obtinut prin rotirea in jurul axei Ox a graficului functiei  (Fig. II.12). Piesa respectivă va fi imprimată cu ajutorul unei imprimante 3D. De cât “toner” are nevoie imprimanta știind ca intr-un cm2 de suprafață intra 5 g toner? (unitatea de suprafață este de 10 cm2).

Rezolvare:

Am notat si am facut schimbarea de variabila

Deci

Suprafata piesei este de cm2, iar necesarul de toner este de 256.5 g.

Calculati suprafața de contact cu apa a unui submarin ce are forma corpului obținut prin rotirea graficului funcției în jurul axei Ox (Fig. II.13). (unitatea de suprafață este 1000 m2)

.

Am notat și am facut schimbarea de variabilă .

Pe intervalul expresia este pozitivă, deci radicalul are sens.

.

Am notat și am facut schimbarea de variabilă

. Dar

. Prin urmare

Suprafața submarinului este de m2.

Calculați suprafața necesară de tablă pentru construirea turlei unei biserici ce are forma corpului obținut prin rotirea graficului funcției în jurul axei (Fig. II.14). Unitatea de suprafață este 10 m2.

Rezolvare:

Suprafața turlei este

. Deci este nevoie de aproximativ 142 de m2 de tablă.

2.4 Volume de corpuri de rotație

Definiția 2.4.1 Fie . Mulțimea

se numește corpul de rotație determinat de funcția sau corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției în jurul axei (Fig. II.15)

Observația 2.4.2 Dacă funcția este constantă pe porțiuni, adică dacă există o diviziune a lui astfel încât este constant pe fiecare interval :

atunci corpul de rotație determinat de este o reuniune finită de cilindri(Fig.II.16). Volumul unui asemenea corp de rotație este

O mulțime cilindrică elementară este orice mulțime obținută prin rotirea subgraficului unei funcții constante în jurul axei .

Cel mai mic (respectiv cel mai mare) dintre numerele pozitive va fi numit raza minimă (respectiv raza maximă) a mulțimii cilindrice elementare

Definiția 2.4.3 Fie și corpul de rotație determinat de funcția . Spunem că are volum dacă există două șiruri și de mulțimi cilindrice elementare (fiecare și fiind determinate de funcțiile constante ) astfel încât

și

În acest caz volumul lui se definește prin

Teorema 2.4.4 Dacă este o funcție continuă, atunci

corpul de rotație determinat de are volum și

Demonstrație. Fie un șir de diviziuni ale intervalului astfel încât

și se notează cu (respectiv ) marginea inferioară (respectiv superioară) a funcției pe intervalul închis și mărginit . Atunci există , astfel încât

și .

Pentru fiecare se definesc funcțiile constante pe porțiuni

(. II.17)

Atunci corpurile de rotație și determinate de și , respectiv, sunt mulțimi cilindrice elementare cu proprietățile

.

Deoarece funcția este continuă, rezultă că și funcția este continuă, deci conform Teoremei 1.2.30 este integrabilă. Prin urmare ținând seama de (1) și (3) se obține:

=.

Șirurile de mulțimi cilindrice elementare și verificând relațiile (2) și (4), rezultă că are volum și

.

Probleme practice:

Un olar modelează un vas ce are forma corpului obținut prin rotirea graficului funcției

în jurul axei Ox (Fig. II.18). Calculați cantitatea de apa care va umple vasul în momentul finalizării acestuia.(unitatea pentru volum este de 1oo cm3).

Rezolvare:

Volumul vasului este cm3. Știind că într-un dm3 intră un litru de apă, atunci deducem că pentru umplerea vasului este nevoie de 1.95 litri apă.

Un balon meteorologic, ajuns la o anumită altitudine are un volum mărit cu 5% față de cel pe care-l avea la sol. Știind că balonul aflat la înălțime are forma corpului obținut prin rotirea graficului funcției în jurul axei Ox (Fig. II.19), aflați volumul pe care-l avea acesta la sol.(unitatea pentru volum este de 1m3

Rezolvare:

.

Volumul balonului la înălțime este de 6.14 m3. Dacă se notează cu V volumul balonului la sol atunci avem m3.

Într-un acvariu paralelipipedic cu baza pătrat de latură 10 cm se scufundă o piatră P ce are forma corpului de rotație obținut prin rotirea graficului funcției

(Fig. II.20 a).Știind că volumul apei din acvariu este de 1000 cm3, să se calculeze cu câți centimetri crește nivelul apei, după scufundarea pietrei (Fig. II.20 b)). Unitatea de volum este 1 cm3.

Rezolvare:

Înălțimea apei din acvariu înainte de scufundarea pietrei este 10 cm.

Volumul pietrei este

cm3

Diferența de nivel este: x = (1000+268)/100-10 =2.68 cm.

2.5 Centre de greutate

Se va considera, în acest paragraf numai plăci plane atât de subțiri încât, din punct de vedere practic, grosimea lor să poată fi neglijată. Vom identifica plăcile plane cu mulțimi din care au arie.

Masa unui corp este o măsură a cantității de materie dintr-un corp. Cu această identifcare, masa reprezintă o funcție , care asociază fiecărei plăci plane (pe care o identificăm cu o mulțime care are arie) , un număr real , numit masa lui .

Această funcție trebuie să respecte, în cadrul mecanicii clasice, următoarele condiții:

() dacă placa se descompune în nplăci plane disjuncte atunci

() masa a unei plăci plane rămâne constantă în timpul mișcării.

O placă se numește omogenă dacă există o constantă , asrfel încât

,

pentru orice parte (care are arie) a lui .

Dacă este o placă dreptunghiulară omogenă(Fig. II.21) atunci există o constantă , astfel încât

Pentru o astfel de placă de masă nenulă, centrul de greutate se definește ca fiind punctul de coordonate

Se consideră, în continuare, o placă E formată dintr-un număr finit de plăci dreptunghiulare cu laturile paralele cu axele de coordonate și astfel încât oricare două plăci au în comun cel mult o latură. Aceasta înseamnă, conform Definiției 2.1.1, că mulțimea din cu care se identifică E este elementară. Astfel de plăci, cum este placa E, descrisă mai sus, vor fi numite plăci elementare.

Fie E o placă elementară formată din plăcile dreptunghiulare (Fig. II.22) de mase

și ale căror centre de greutate sunt respectiv punctele

Atunci centrul de greutate al lui E va fi, prin definiție, punctul de coordonate

Dacă placa E este omogenă, atunci există o constantă astfel încât

oricare ar fi partea B (care are arie) a lui E; în particular

Deci se pot exprima coordonatele centrului de greutate numai în funcție de ariile și centrele de greutate ale dreptunghiurilor

Fie două funcții continue astfel încât Să considerăm mulțimea

cuprinsă între graficele funcțiilor și dreptele paralele la care taie axa în punctele respectiv.

În continuare se vor defini centrele de greutate ale plăcilor plane care se identifică cu mulțimi din plan de forma .

Fie o diviziune a intervalului , mijlocul intervalului

și dreptunghiul (Fig. II.23) a cărui arie este

Dacă norma diviziunii este suficient de mică, atunci mulțimea

(delimitată de graficele lui , și dreptele paralele la care taie axa în punctele și , respectiv) se aproximează cu dreptunghiul , deci centrul de greutate al lui ; prin urmare centrul de greutate al lui

se aproximează cu centrul de greutate al mulțimii elementare

.

Coordonatele centrului de greutate al lui fiind , ,

rezultă că centrul de greutate al lui va avea coordonatele:

Definiția 2.5.1 Dacă A este o placă plană care se identifică cu o mulțime de forma , unde sunt funcții continue, atunci centrul de greutate al lui A este, prin definiție, punctul ale coordonate sunt

Dacă și , atunci , .

Probleme practice:

Un surfer începător se străduiește să se mențină pe o placă de surf ce are forma unei suprafețe cuprinsă între graficele funcțiilor și

(Fig. II.24). Determinați coordonatele punctului de pe placă în care trebuie să se fixeze surferul astfel încât acesta să nu se răstoarne.

Rezolvare:

;

.

La finalizarea unei construcții pentru o firmă, arhitectul decide montarea unei sigle care constă dintr-o placa plană omogenă așezată pe un stâlp de susținere.Placa are forma unei suprafețe cuprinsă între graficele funcțiilor și (Fig. II.25). Aflați punctul de contact al plăcii cu stâlpul astfel încât placa să fie în echilibru.

Rezolvare:

.

Am notat și am făcut notația

.

;

.

Un copil încearcă să țină cu un singur deget o placă omogenă ce are forma suprafeței (Fig. II.26). Aflați coordonatele punctului de pe placă în care copilul trebuie să-și mențină vârful degetului astfel încât placa să nu cadă.

Rezolvare:

Placa reprezintă suprafața cuprinsă între funcțiile

și .

.

.

.

.

2.6 Ecuații diferențiale

În numeroase probleme de matematică, fizică, chimie, biologie apar anumite procese de evoluție în care sunt angajați unul sau mai mulți factori. În general prezența unui astfel de factor este descrisă printr-o funcție reală

pentru care există derivatele până la un anumit ordin n. Fiecare din aceste procese are legile sale specifice. Unele dintre acestea pot fi exprimate prin anumite relații între factorii și derivatele succesive până la un anumit ordin n. Asemenea relații, pe care le verifică f, se numesc ecuații diferențiale, iar ordinul maxim n de derivare al lui f care apare în relație, se numește ordinul ecuației diferențiale.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi

Definiția 2.6.1 O ecuație diferențială de ordinul întâi este o relație de forma

,

între o funcție derivabilă și derivata sa

,

unde este o funcție reală definită pe o mulțime din .

În continuare se va considera cazul când este definită pe un dreptunghi, adică cazul când parcurge un interval iar parcurge un interval .

Definiția 2.6.2 Se numește soluție a ecuației diferențiale (1) o funcție derivabilă

astfel încât pentru orice avem și are loc relația

.

În general se urmărește găsirea unei soluții care într-un punct să ia valoarea . În acest caz se spune că soluția satisface condiția inițială

.

Tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi:

Se consideră ecuația diferențială de forma

unde este o funcție definită pe un interval . O soluție a acestei ecuații diferențiale este, de fapt o primitiva a funcției . Dacă funcția g este continuă atunci, conform Teoremei 1.2.34 există primitive ale lui și deci soluții ale ecuației diferențiale de mai sus. Dacă se dă un punct , atunci există o singură soluție a acestei ecuații diferențiale care în punctul să ia o valoare dată . Prin urmare, ecuația diferențială de mai sus este echivalentă cu problema găsirii unei primitive a unei funcții date.

Se consideră ecuația diferențială de forma

unde este o funcție definită pe un interval din .

În acest caz avem unde este definită pe mulțimea și are forma

,

adică pentru fiecare fixat în , funcția depinde liniar de . Din acest motiv ecuația diferențială de mai sus se numește ecuație diferențială liniară.

Teorema 2.6.3 Fie

o ecuație diferențială liniară, unde funcția

este continuă. Atunci orice soluție a acestei ecuații diferențiale este de forma

,

unde este o constantă, iar este o primitivă a funcției . Dacă se cere ca soluția să verifice condiția inițială atunci este unic determinată și anume

.

Demonstrație: Fie o funcție de forma , unde este o constantă, iar este o primitivă a funcției . Atunci avem

ceea ce înseamnă că este o soluție a ecuației .

Luăm în continuare o funcție o soluție a ecuației diferențiale (2) și se va arăta că are forma (3) .

Se consideră funcția definită prin , unde este o primitivă a funcției . Derivând și ținând seama de faptul că este soluție a ecuației (2) se obține

. Deci este o constantă ,

.

Se presupune acum că soluția satisface condiția inițială .

Atunci avem =, și deci

.

Deoarece este o primitivă a lui , avem

și deci

.

Exemplu 2.6.4

Se consideră ecuația diferențială

unde este o constantă. Atunci o primitivă a funcției constante este funcția

și deci o soluție oarecare a ecuației diferențiale de mai sus va fi de forma

,

unde este o constantă.

Se consideră ecuația diferențială

,

unde și sunt constante, .

Orice soluție a acestei ecuații diferențiale va fi de forma , unde este o constantă. Într-adevăr, dacă este o soluție a acestei ecuații, atunci funcția verifică relația

,

ceea ce arată că este o soluție a ecuației diferențiale

și deci , ,

unde este o constantă.

Aplicații practice:

Dezintegrarea substanțelor radioactive este unul din procesele de evoluție care conduce la o ecuație diferențială de ordinul întâi. S-a stabilit experimental că o substanță radioactivă se dezintegrează cu o viteză proporțională cu cantitatea de substanță existentă.

Dacă se notează cu cantitatea de substanță existentă la momentul și cu coeficientul de proporționalitate al dezintegrării substanței respective, procesul de mai sus este descris de relația

.

Se consideră izotopul radioactiv de radiu RaB care prin dezintegrare se transformă în elementul RaC. Știind că în decurs de 26,7 minute, prin dezintegrare, cantitatea inițială de RaB se înjumătățește să se afle după cât timp se dezintegrază din cantitatea inițială de RaB.

Soluție:

Se notează cu cantitatea de substanță rămasă nedezintegrată, la momentul . Ecuația dezintegrării va fi . Conform Exemplului 2.6.4 (i) soluția acestei ecuații este de forma , unde este cantitatea inițială de RaB. Rezultă că . Știind că avem că , de unde rezultă că

Trebuie să aflăm momentul când s-a dezintegrat din cantitatea inițială de substanță.

și deci minute.

Într-un mediu, cu temperatura menținută constantă la 600 C se scufundă un corp încălzit la 1800. Într-un minut temperatura corpului coboară la 1200C.După cât timp temperatura corpului ajunge la 900 ?

Soluție:

Dacă funcția este temperatura corpului la momentul , atunci verifică ecuația diferențială

,

unde este temperatura constantă a mediului. Avem și prin urmare, conform Exemplului 2.6.4 (ii) . Înlocuim pe cu 0, respectiv 1 și obținem:

, de unde obținem și . Prin urmare

.

Din se deduce că , rezultă minute.

O bilă de masă este lăsată să cadă pe verticală de la o anumită înălțime de la suprafața pămantului. Presupunem că aerul opune rezistență direct proporțională cu viteza bilei și coeficientul de proporționalitate este constant egal cu . Să se determine viteza la momentul și spațiul parcurs de bilă pâna la momentul .

Soluție:

Dacă se notează cu viteza bilei la momentul avem, din legea lui Newton

și deci

, unde este accelerația gravitațională.

Conform Exemplului 2.6.4 (ii) obținem .

Dacă vom considera că vom obține

adică

Dacă se notează spațiul parcurs până la momentul de bilă avem

și deci

Deoarece rezultă că .

Deci .

Definiția 2.6.5 O ecuație diferențială de ordinul întâi se spune că este cu variabile separate dacă este de forma

unde sunt funcții definite pe intervalele și respectiv .

Prin urmare ecuațiile de ordinul întâi cu variabile separate sunt ecuațiile unde funcția este de forma

Definiția 2.6.6 O soluție a ecuației diferențiale cu variabile separate este o funcție derivabilă -interval inclus în astfel încât .

Teorema 2.6.7 Fie o ecuație diferențială cu variable separate, unde

sunt funcții continue pe intervale deschise , respectiv și pentru orice . Atunci pentru orice și orice , există un interval deschis , care conține punctul , și o soluție a acestei ecuații diferențiale, unic determinată de condiția inițială .

Demonstrație:

Se presupune, mai întâi că este soluție a ecuației diferențiale

astfel încât și .

Relația (4) pe care o satisface este echivalentă cu relația

.

Fie o primitivă pe intervalul a funcției și o primitivă pe intervalul a funcției . Relația (5) este echivalentă cu relația

.

unde este o constantă. Această constantă va fi unic determinată de faptul că satisface condiția inițială , și anume .

În continuare se arată că relația (6) determină unic soluția .

Deoarece este continuă, are proprietatea lui Darboux și deoarece pentru orice , rezultă că are semn constant pe , adică pentru orice sau pentru orice . Din faptul că este o primitivă a funcției , se deduce că este derivabilă, iar derivata sa are un semn constant pe intervalul . Deci este strict crescătoare sau strict descrescătoare, deci este injectivă, ceea ce arată că funcția este unic determinată de relația (6).

Pentru a construi o soluție a ecuației diferențiale (4), soluție care verifică condiția inițială se procedează astfel: se alege o primitivă a funcției , o primitivă a funcției și constanta astfel încât . Întrucât este derivabilă (deci continuă) și strict monotonă, imaginea intevalului deschis prin va fi un interval deschis . Deoarece

,

iar este un interval deschis, rezultă că există astfel încât

.

Din faptul că este continuă în deducem că există astfel încât și

Deci

,

ceea ce arată că

.

Notând cu intervalul deschis și cu funcția inversă a funcției

,

rezultă că putem construi funcția definită prin , care este derivabilă. Această funcție reprezintă o soluție a ecuației diferențiale (4) deoarece ea satisface relația

.

Exemplul 2.6.8 Fie ecuația diferențială cu variabile separate

unde sunt constante, și .

În această situație vom avea ,

Deoarece funcția se anulează în punctele și intervalele maximale pe care avem sunt

O primitivă a funcției pe intervalul este ,

iar o primitivă a funcției este funcția .

Prin urmare, o soluție a ecuației diferențiale va fi o funcție care verifică relația

și deci

, unde este o constantă reală. Deci avem

,

dacă se cere că într-un punct să avem și .

Avem, de asemenea , dacă se cere ca într-un punct să avem și .

În cazul intervalul de definiție al funcției este determinat de condiția

adică . În situația , intervalul este determinat de condiția , unde este un interval de forma .

În cazul intervalul este determinat de condiția , adică este un interval de forma

Condiția determină unic constanta .

Problemă practică:

Pentru formarea unei substanțe noi este nevoie să fie combinate două unități din subbstanța S1 și trei unități din substanța S2. Inițial cantitatea de substanță S1 a fost de 20 g, iar cantitatea de substanță S2 a fost de 60 g. Se știe că în 20 minute se formează 5 g de substanță nouă. Să se găsească cantitatea din noua substanță la momentul după începerea reacției chimice;care este cantitatea maximă de substanță nouă ce se poate forma?

Soluție:

S-a dovedit experimental că viteza de formare a substanței noi , adică , este proporțională cu cantitatea de substanță S1 existentă la momentul și cu cantitatea de substanță S2 existentă la momentul . Dacă este cantitatea inițială de substanță S1, iar este cantitatea inițială de substanță S2 și dacă o unitate din noua substanță se obține prin consumul a unități din substanța S1 și a unități din substanța S2 atunci avem

.

În situația concretă de mai sus și deci

.

Cum pentru avem și ,

se deduce că

,

Dacă se ia se obține

,

,

de unde rezultă că , de unde se deduce că valoarea maximă a lui va fi 10 g.

Ecuații diferențiale de ordinul doi

Definiția 2.6.9 O ecuație diferențială de ordinul doi este o relație de forma

între o funcție derivabilă și derivatele ,

unde este o funcție reală definită pe o mulțime din .

O soluție a ecuației diferențiale de ordinul doi este o funcție de două ori derivabilă , astfel încât, în fiecare punct să avem .

În general, se urmărește problema găsirii unei soluții care într-un punct dat să ia o valoare dată , iar derivata sa în să ia de asemenea o valoare dată , .

Se spune în acest caz că soluția satisface condiția inițială , .

În continuare, se vor considera doar ecuații diferențiale de forma

,

unde sunt constante reale, cu .

Definiția 2.6.10 Două soluții , ale ecuației diferențiale

se numesc liniar independente dacă, pentru orice , determinantul

este diferit de zero.

Teorema 2.6.11 Pentru orice două soluții , ale ecuației difernțiale

există o constantă astfel încât, pentru orice are loc relația

Demonstrație: Fie funcția definită prin . Deoarece și sunt soluții, avem

Dacă se înmulțește prima relație cu și a doua relație cu și apoi scăzându-le obținem:

, de unde

,

ceea ce arată că este soluția ecuației diferențiale .

Conform Teoremei 2.6.3 avem că unde este o constantă. Observând că
,teorema este demonstrată.

Observația 2.6.12 Teorema precedentă ne arată că pentru ca două soluții , ale ecuației diferențiale să fie liniar independente este necesar și suficient ca să existe cel puțin un punct astfel încât

Într-adevăr, dacă există un astfel de punct , atunci conform teoremei precedente

. De unde rezultă că și

ceea ce înseamnă că pentru orice .

Teorema 2.6.13 Fie , două soluții liniar independente ale ecuației diferențiale

.

Atunci orice soluție a acestei ecuații diferențiale este de forma

,

unde și sunt constante și pentru orice și există o soluție unică a ecuației diferențiale considerate astfel încât

.

Demonstrație: Arătăm mai întâi că, pentru orice alegere a constantelor , și orice două soluții liniar independente , ale ecuației diferențiale date, funcția , este soluție a ecuației diferențiale date.

Avem .

Fie și . Deoarece avem

Rezultă că sistemul are soluție unică. Dacă se notează soluția sistemului, deduvem că funcția este o soluție a ecuației diferențiale date, soluție care satisface condiția inițială:.

Se consideră, în continuare o soluție a ecuației diferențiale date. Se fixează un punct și se alege , ca mai sus, astfel încât funcția să verifice condițiile ; și sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale date. Deoarece funcțiile și sunt soluții ale ecuației diferențiale date rezultă că și funcția notată cu dată de relația este soluție a ecuației diferențiale și verifică condițiile .

Se va arăta că prin urmare .

Deoarece , rezultă conform Teoremei 2.6.11 că și deci , . Prin urmare obținem:

,

.

Înmulțind prima relație cu , a doua relație cu și scăzând, obținem:

.

Dar rezultă .

Observația 2.6.14 Teorema precedentă ne arată că pentru a construi o soluție oarecare a ecuației diferențiale este suficient să cunoaștem două soluții liniar independente ale aceleiași ecuații.

Pentru aceasta se încearcă gasirea unor soluții de forma . Vom avea

și deci pentru ca să fie o soluție a ecuației diferențiale de mai sus este necesar și suficient să avem

,

adică

Această ecuație algebrică se numește ecuația caracteristică asociată ecuației diferențiale.

În funcție de natura rădăcinilor acestei ecuații caracteristici se disting trei cazuri:

Ecuația caracteristică are soluții reale și distincte.

În această situație funcțiile definite prin sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale date. Într-adevăr, pentru avem

și

,

ceea ce arată că sunt soluții liniar independente.

Rezultă, conform Teoremei 2.6.13 că orice altă soluție a ecuației va fi de forma .

Ecuația caracteristică are o rădacină reală dublă.

Fie această rădăcină . În această situație funcțiile sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale date.

Într-adevăr, fiind o rădăcină a ecuației caracteristice, rezultă că funcția este o soluție a ecuației diferențiale date.

Deoarece este o rădăcină reală dublă, avem că , adică .

Apoi din , rezultă că

ceea ce arată că este de asemenea o soluție a ecuației diferențiale considerate.

rezultă că sunt soluții liniar independente. Deci, conform Teoremei 2.6.13 orice soluție a ecuației diferențiale considerate este de forma .

Ecuația caracteristică nu are rădăcini reale.

În această situație vom avea:

,

unde și sunt numere reale, . Se va arăta că funcțiile

sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale date.

Într-adevăr deoarece sunt soluții ale ecuației caracteristice, rezultă că

.

Din

,

,

,

rezultă că

ceea ce înseamnă că și sunt soluții ale ecuației diferențiale considerată. Apoi

,

ceea ce înseamnă că și sunt soluții liniar independente.

Deci orice soluție a ecuației diferențiale considerate este, în acest caz, de forma

,

unde și sunt constante. Această soluție mai poate fi scrisă și sub forma

,

unde este o constantă mai mare sau egală cu 0, iar este o constantă reală.

Se va lua și un număr real care, în cazul , este ales astfel încât

.

Un caz special are loc dacă , ceea ce înseamnă . În acest caz ecuația diferențială are forma

,

iar o soluție oarecare a acestei ecuații va fi de forma

.

În acest caz va fi periodică cu perioada și cu amplitudinea maximă .

Problemă practică:

Problema oscilatorului electric: Se consideră un circuit electric conținând o rezistență R, o inductanță L, un condensator de capacitate C toate legate în serie. Se presupune că la momentul , când circuitul este închis condensatorul are o sarcină electrică egală cu . Se cere să se găsească intensitatea curentului electric în circuit la momentul .

Rezolvare: Dacă notăm sarcina electrică la momentul , atunci avem , iar evoluția curentului în circuit se face după legea a doua a lui Kirchhoff:

sau

.

În următoarea situație concretă se consideră un circuit electric format dintr-un condensator cu capacitatea de farazi, o inductanță de henri și o rezistență de un ohm, toate legate în serie. Dacă la momentul avem și sarcina electrică egală cu un coulomb, să se găsească sarcina electrică și intensitatea în circuit după 0.01 secunde.

Rezolvare:

Funcția , reprezentând sarcina electrică a condensatorului la momentul satisface ecuația:

și deci va trebui rezolvată ecuația diferențială .

Ecuația caracteristică asociată acestei ecuații diferențiale este care este echivalentă cu are rădăcinile și deci

.

Apoi avem că . De unde rezultă și deci

coulombi.

amperi.

Modelare

Aplicații ale integralelor curbilinii de primul tip

Se vor pune în evidență unele probleme tipice ale căror rezolvări naturale implică integralele curbilinii de primul tip.

Masa și centrul de greutate a unui punct material

Definiția 2.7.1 Se numește fir material ansamblul dintre o curbă netedă sau netedă pe porțiuni (AB) și o funcție pozitivă și continuă definită în punctele curbei. Curba (AB) se numește configurația firului material, iar funcția se numește densitatea firului material, valoarea acesteia în punctul numindu–se densitatea de materie sau densitatea materială în punctul M. Firul material se numește omogen sau neomogen după cum densitatea este funcția constantă sau nu.

Este posibil să se precizeze densitatea materială într-un punct fie prin dacă curba se află în planul , fie prin dacă este o curbă în spațiu.

Densitatea materială în punctul este limita raportului dintre masa a arcului de curbă și lungimea a acestuia când tinde la pe curbă.

Se împarte arcul în subarce cu ajutorul diviziunii formată din punctele de diviziune și pe fiecare are se ia un punct în care densitatea are valoarea . Dacă

reprezintă lungimea arcului atunci masa firului material de configurație poate fi aproximată prin .

În acest mod, firul material continuu de configurație arcul (AB) și densitate se poate înlocui cu puncte materiale izolate, situate pe arc,

,

având masele

.

Presupunând că punctele au coordonatele , rezultă că suma

este o valoare aproximativă a masei firului material (AB) care corespunde diviziunii a arcului (AB) și alegerii arbitrare a punctelor .

Dacă considerăm un șir de diviziuni ale arcului (AB), cu proprietatea

și presunem densitatea de materie funcție continuă pe arcul (AB),

există și reprezintă masa firului material cu configurația curba netedă sau netedă pe porțiuni (AB). Ținând seama de definiția integralei curbilinii de primul tip avem că masa totală M a firului material considerat este

M.

În cazul în care arcul de curbă se află , masa firului material de configurație și densitate în punctul este

M.

Observația 2.7.2 Când firul material este omogen, cu densitatea constantă , masa firului material corespunzător M.

Pe de altă parte, când firul este omogen, M, unde este lungimea firului. De aici se deduce că lungimea unui arc de curbă netedă sau netedă pe porțiuni se poate prezenta ca integrala curbilinie de primul tip

.

Din statistică se știe că date puncte materiale

,

de mase corespunzătoare , coordonatele centrului de greutate al sitemului format de cele puncte materiale sunt:

;; .

Se consideră din nou firul material căruia îi aplicăm o divizare prin punctele . Atunci firul se poate înlocui cu un sistem de puncte materiale , cu ponderile , unde . Ponderea reprezintă masa firului material omogen a cărui densitate este valoarea funcției în punctul ales arbitrar pe arcul . Coordonatele centrului de greutate pentru acest sitem de puncte materiale vor fi

; ; .

În același ipoteze asupra arcului și asupra densității de materie pe care le-am întâlnit la determinarea masei firului material avem:

Astfel, coordonatele centrului de greutate al firului material neomogen sunt:

; ; .

Dacă firul material este omogen, atunci coordonatele centrului de greutate sunt:

; ; ,

unde este lungimea arcului de curbă .

În cazul în care arcul de curbă se află în planul , centrul de greutate va avea coordonatele:

; ,

iar dacă firul este omogen coordonatele centrului de greutate sunt:

; . (1)

Ultima relație din (1) se scrie în forma

sau în forma

(2)

Dacă avem în vedere că expresia ariei a suprafeței de rotație generate prin rotirea arcului

,

în jurul axei este

,

putem scrie relația (2) în forma

.

Teorema 7.2.3 Dacă se rotește un arc rectificabil plan (AB) în jurul unei drepte (D) din plan care nu intersectează arcul, aria suprafeței obținute este egală cu produsul dintre lungimea arcului (AB) și lungimea cercului descris prin rotația în jurul dreptei (D) de centrul de greutate al arcului (AB).

Problemă:

Să se calculeze masa și centrul de greutate ale firului material omogen cu densitatea constantă egală cu unitatea și configurația imaginea curbei

.

Soluție: Analizând datele problemei constatăm se constată că integralele curbilinii de primul tip care definesc masa M și coordonatele centrului de greutate există și avem

;

Înlocuind funcțiile care definesc reprezentarea parametrică a curbei , găsim

Pentru că funcția de integrat este pară, putem scrie

.

Această integrală devine o integrală definită dacă se efectuează schimbarea

de variabilă . Obținem

.

Cota centrului de greutate se determină simplu, ordonata este zero pentru că funcția de integrat din expresia sa este impară și intervalul de integrare este simetric față de origine, iar abscisa centrului de greutate se determină ușor dacă în integrala care dă expresia acestuia se integrează de două ori prin părți. Se găsește:

; ; ,

remarcând totodată că centrul de greutate se află în planul .

Momente de inerție ale unui fir material

Definiția 7.2.4 Se numește moment de inerție față de un element geometric al spațiului al unui punct material , de masă , produsul dintre masa și pătratul distanței de la punctul la elementul respectiv.

Elementul geometric poate fi o dreaptă, un plan sau un punct și, de cele mai multe ori, acestea sunt legate de elementele reperului cartezian Oxyz.

Vom avea deci momente de inerție axiale când se aleg ca drepte axele de coordonate ale reperului, momente de inerție planare când planele alese sunt planele de coordonate și moment de inerție central când se alege ca punct al spațiului originea reperului.

Definiția 7.2.5 Se numește moment de inerție față de un punct P (o dreaptă (D) sau un plan (II)) al unui sistem de puncte materiale

,

având masele , suma tuturor momentelor de inerție corespunzătoare fiecărui punct față de punctul P (dreapta (D) sau planul (II)).

Din definițiile de mai sus rezultă că momentul de inerție al sistemului de puncte considerat față de originea axelor este

.

Momentele de inerție ale aceluiași sistem de puncte față de axele sunt

, , ,

în timp ce ale sistemului de puncte în discuție față de planele de coordonate au expresiile

; ; .

Firul material din spațiu, cu configurația și densitatea materială poate fi înlocuit cu sistemul de puncte materiale având masele

.

Raționând ca la determinarea masei firului material deducem că momentele de inerție ale firului material față de originea, axele și planele reperului de coordonate sunt respectiv

,

, ,

,

; ,

.

Dacă firul material se află în planul , se va putea vorbi doar de momentele de inerție axiale:

;

și de momentul de inerție central

.

Definiția 7.2.6 Mărimea infinitezimală se numește element de masă filiformă.

Observația 7.2.7 Formulele care dau masa, coordonatele centrului de greutate și momentele de inerție ale unui fir material se pot scrie astfel încât să se pună în evidență elementul de masă filiformă.

Observația 7.2.8 Formulele care dau coordonatele centrului de greutate ale

unui fir material în plan și în spațiu se pot scrie într-una singură

,

unde este vectorul de poziție al centrului de greutate, iar este vectorul de poziție al unui punct care descrie configurația firului material.

Problemă: Să se calculeze momentul de inerție în raport cu axa Oz a firului material neomogen având configurația curbei

și densitatea în punct egală cu cota acelui punct.

Soluție: Rezultă că densitatea . Pentru calculul momentului de inerție va trebui calculată integrala curbilinie de primul tip

.

Avem , și . Calculând elementul de arc găsim

. Atunci, momentul de inerție cerut este

.

Făcând substituția , obținem

.

Aplicații ale integralei duble în mecanică și geometrie

Masa și centrul de greutate ale unei plăci

Se consideră că intr-un plan s-a ales reperul cartezian și considerăm în acesta domenii simple despre care se știe că sunt mulțimi carabile.

Definiția 7.2.9 Se numește placă materială în planul ansamblul P dintre un domeniu simplu și funcția reală definită și continuă pe . Mulțimea se numește configurația plăcii iar funcția este denumită densitatea de distribuție a materiei în placă. Placa materială se numește omogenă dacă este funcție constantă pe și neomogenă când densitatea acesteia este variabilă de la punct la punct.

Observația 7.2.10 Dacă placa P este omogenă și are densitatea egală cu constanta , atunci masa M(P) a acesteia este produsul dintre densitatea constantă și aria domeniului , deci

M(P). (3)

Se va determina masa unei plăci neomogene P. Pentru aceasta, se va efectua o divizare a domeniului și în fiecare parte componentă a diviziunii alegem un punct de coordonate . Atunci, o valoare aproximativă a masei întregii plăci poate fi

M(P) . (4)

Pentru a obține masa exactă a plăcii materiale este nevoie să se treacă la limită, pentru norma divizării lui tinzând la zero, în suma integrală Riemann din (4) vom avea

M(P), (5)

unde

(6)

se numește element de masă al plăcii.

Se va determina coordonatele centrului de greutate a plăcii P. Pentru aceasta, divizăm din nou domeniul cu ajutorul divizării care constă din domeniile , alegem în fiecare domeniu component punctul și notăm:

; .

Se consideră că porțiunea din placă este una omogenăcu densitatea constantă și egală cu , masa a acestei plăci omogene va fi

. (7)

Gândind aproximativ, se poate asimila placa P cu sistemul de puncte materiale

care au respectiv ponderile . Atunci, putem scrie expresiile coordonatelor și ale centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale:

; . (8)

Pentru a obține valorile exacte ale coordonatelor centrului de greutate a plăcii P, trebuie să se treacă la limită în relațiile (8) cînd norma divizării tinde la zero. Numitorii expresiilor din membrul drept al egalității (8) sunt egali cu suma Riemann a funcției corespunzătoare divizării și alegerii alegerii a punctelor intermediare . Numărătorul primei expresii de mai sus este suma integrală Riemann , iar cel de al doilea numărător este . Deoarece funcțiile sunt continue, aceste expresii au limită pentru ¸si aceste limite sunt integralele duble ale funcțiilor de mai sus pe domeniul . Notând cu și valorile exacte ale coordonatelor centrului de greutate al plăcii, avem:

; (9)

După trecerea la limită și folosirea relațiilor (5), (6) și (9) se deduce că expresiile coordonatelor centrului de greutate al plăcii P sunt

; . (10)

Dacă placa materială este omogenă, formulele pentru coordonatele centrului de greutate se simplifică și devin

. (11)

Problemă:

Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al plăcii omogene P cu densitatea constantă și egală cuunitatea, unde

, . (12)

Soluție:

Configurația plăcii P este domeniul plan închis D inclus în semiplanul superior a cărui frontieră se compune din: semicercul superior al cercului cu centrul în origine și raza egală cu a; segmentul de dreaptă de pe Ox cu abscisele ; semicercul superior al cercului cu centrul în punctul și rază .

Prin trecerea la coordonate polare

(13)

domeniul D se transformă în domeniul unde:

; (14)

. (15)

Observăm că domeniul este transformatul prin T din (13) a porțiunii a lui D aflată în primul cadran al reperului xOy, este transformatul părții a lui D situată în cadranul al doilea și .

Pentru calculul integralelor duble care urmează se va efectua schimbarea

de variabile (13).

Placa P fiind omogenă, are masa M dată de integrala dublă

M

.

Coordonatele centrului de greutate sunt

,

.

Prin urmare, centrul de greutate al plăcii considerate are coordonatele .

Momente de inerție ale unei plăci

Se știe că momentul de inerție al unui punct material de pondere m față de un element geometric, care în plan poate fi o dreaptă sau un punct, este egal cu produsul dintre masa acestuia și pătratul distanței dintre punctul material și acel element. Momentul de inerție al unui sistem de puncte materiale față de un element geometric este suma momentelor fiecărui punct material în parte față de același element geometric.

Se vor determina momentele de inerție ale plăcii P față de elementele reperului cartezian xOy, adică față de axele sale și față de originea O.

În acest scop se va diviza din nou placa P în plăcile componente Pi = ,

unde este o divizare a lui D, apoi fiecare dintre aceste plăci se consideră placă omogenă cu densitatea egală cu , unde , după care se poate aproxima placa Pi cu punctul material având ponderea dată în (7). Momentele de inerție ale acestui sistem de puncte materiale față de axele de coordonate Ox, Oy, conform celor stabilite mai sus, sunt

,

(16)

.

Se observă că

, .

Momentul de inerție al aceluiași sistem de puncte materiale față de originea O a reperului este

. (17)

Trecând la limită în (16) și (17) când norma divizării tinde la zero și ținând cont că funcțiile sunt continue pe D, deci integrabile, constatăm că limitele din membrul doi există și sunt integralele duble pe D din funcțiile indicate. Prin urmare, există și limitele din membrul întâi ale relațiilor (16) și (17), pe care le notăm cu și și care sunt momentele de inerție față de respectiv axele de coordonate și față de originea reperului. Avem

, ,

.

Se observă că are loc relația

. (18)

Problemă:

Să se determine momentele de inerție ale plăcii P în raport cu elementele reperului de coordonate xOy, unde

(19)

și densitatea este .

Soluție: Configurația plăcii P este domeniul închis D având frontiera triunghiul isoscel dreptunghic cu catetele de lungime 1 situate pe axele de coordonate

în porțiunea lor pozitivă. Rezultă că D este simplu în raport cu ambele axe de coordonate. Prezentându–l ca domeniu simplu în raport cu Ox și respectiv în raport cu Oy, avem

; (20)

. (21)

În calculul momentului de inerție , în raport cu axa Ox, se va considera că D are forma (20), iar pentru calculul lui vom lua pe D sub forma (21). Deci.

;

.

Așadar, momentele de inerție în raport cu axele de coordonate sunt egale, iar cel în raport cu originea reperului, , este suma .

Momente statice ale unei plăci

Momentele statice și ale plăcii materiale P în raport cu axele de coordonate Ox și Oy, se exprimă prin formulele

, . (22)

Problemă:

Să se calculeze momentele statice în raport cu axele de coordonate ale plăcii P, măginită de dreapta și de parabola știind că densitatea este.

Soluție:

Domeniul D este simplu în raport cu căci poate fi definit de inegalitățile

. (23)

Aplicând formulele (22) de calcul ale momentelor statice și ținând cont de inegalitățile (23), avem:

.

.

În cazul în care D s–ar considera domeniu simplu în raport cu , volumul de calcul al integralelor duble pe este mai mare deoarece trebuie să scriem ca o reuniune de două domenii, ambele simple în raport cu .

Flux luminos incident pe o placă

Se consideră că placa P este situată în planul a reperului spațial și că în punctul de pe axa se află o sursă luminoasă de intensitate constantă în toate direcțiile notată cu I. Ne propunem să calculăm fluxul luminos incident pe placa P.

Fluxul luminos primit de placa elementară de arie este egal cu I , unde este unghiul solid în punctul subântins de elementul de suprafață asociat punctului plăcii de coordonate . Unghiul solid este egal cu produsul raportului dintre aria a elementului de suprafață și pătratul distanței de la acest element la sursa de lumină, și cosinusul unghiului dintre normala la elementul de suprafață și direcția spre care se află sursa. Avem

(24)

Valoarea derivatei în punctul al plăcii este cunoscută ca intensitatea de luminozitate în acest punct și este notată cu . Rezultă că

(25)

Procedând similar ca în cazul determinării masei plăcii constatăm că fluxul luminos total primit de placă este integrala dubl pe D din funcția

. (26)

Debitul unui fluid prin secțiunea transversală a unui canal

Considerăm un fluid care curge într-un canal și o secțiune transversală a sa D, perpendiculară pe direcția de curgere a fluidului. Introducând sistemul de coordonate cartezian în planul secțiunii transversale, putem privi viteza V a fluidului, în fiecare punct al secțiunii, ca fiind o funcție de și , coordonatele carteziene ale acelui punct.

Se va determina cantitatea de fluid care trece prin secțiune în unitatea de timp.

În acest scop, în punctul al secțiunii transversale se consideră un element inmfinitezimal al acesteia de arie . Cantitatea de fluid care străbate elementul de plan în unitatea de timp este egală evident cu masa unui cilindru elementar, care conține fluid, cu baza egală cu și înălțimea egală cu viteza fluidului în punctul al secțiunii transversale. Așadar, debitul elementar al fluidului este

, (27)

unde este densitatea fluidului îın punctul . Pentru a găsi debitul prin secțiunea D ar trebui să sumăm toate debitele elementare, sumare care conduce la integrala dublă pe domeniul D din funcția . Prin urmare,

. (28)

Volumul unui cilindroid

Definiția 7.2.10 Fie D un domeniu simplu aflat în planul al reperului cartezian spațial și o funcție reală, de două variabile reale, pozitivă și continuă pe D. Se numește cilindroid mulțimea C a punctelor din spațiu definită prin

. (29)

Mulțimile D și sunt prin definiție bazele cilindroidului.

Dacă considerăm o divizare a domeniului D și în fiecare domeniu component al acesteia alegem un punct , atunci putem considera corpurile prismatice

(30)

care are baza și înălțimea egală cu valoarea funcției f în punctul .

Volumul a unui asemenea corp prismatic este

. (31)

Suma

(32)

reprezintă o valoare aproximativă a volumului cilindroidului C. O aproximare mai bună a volumului cilindroidului se va obține dacă se va considera o diviziune mai fină decât diviziunea . Mai mult, analiza modului de abordare a celorlalte aplicații ale integralei duble conduce la observația următoare

Observația 7.2.11 Valoarea exactă a volumului cilindroidului va fi limita

sumei din (32) când norma divizării tinde la zero, în cazul în care această limită există.

Din (31) și (32) se constată că valoarea aproximativă a volumului al cilindroidului C este suma integrală Riemann a funcției corespunzătoare modului de divizare și alegerii a punctelor intermediare

.

Din Observația 7.2.11, relația (32) și din faptul că f este funcție continuă deducem formula de calcul a volumului cilindroidului C

. (33)

Observația 7.2.12 Funcția continuă f din Definiția 7.2.10 poate avea și valori negative, noțiunea de cilindroid păstrându–și sensul, acesta fiind o reunine de mulțimi de forma (29) în acele subdomenii ale lui D unde f are valori pozitive și de mulțimi de forma

(34)

în acele părți lui unde funcția are valori negative.

Cu alte cuvinte într-un astfel de cilindroid baza este o reuniune de porțiuni de suprafețe situate atât în semispațiul superior cât și în semispațiul inferior .

Înălțimea corpului prismatic atașat porțiunii de cilindroid (34) va fi

,

iar o valoare aproximativă a volumului întregului cilindroid este

, (35)

unde este funcția valoare absolută a funcției .

În acest mod, se constată că volumul unui cilindroid cu o bază domeniul

simplu , iar cealaltă bază având porțiuni atât în semispațiul

cât și în semispațiul , este dat de integrala dublă

. (36)

Probleme:

Să se determine volumul corpului ale cărui puncte au coordonatele care satisfac inegalitățile

. (37)

Cilindroidul are baza superioară discul închis de rază cu centrul în punctul situat în planul paralel cu planul care trece prin , plan care are ecuația , în timp ce cilindroidul are baza superioară o porțiune din paraboloidul de revoluție de ecuație

. Atunci, volumul al corpului considerat în enunț este

. (38)

Se observă că valoarea ultimei integrale se poate determina foarte simplu dacă se trece la coordonate polare

.

Pentru ca trebuie ca punctul de coordonate să se afle în intervalul bidimensional . Aplicând formula schimbării de variabile, se obține

.

Ținând cont că aria ¸si folosind rezultatele determinate mai sus se constată că volumul corpului din enunț este

,

rezultat care arată că volumul corpului este același cu volumul cilindroidului.

Să se calculeze volumul cilindroidului cu baza superioară pe suprafața de ecuație

,

iar baza inferioară, inclusă în planul , domeniul compact

.

Soluție: Volumul cilindroidului este

.

Trecând la coordonate polare

(39)

se constată că punctul dacă , unde

.

Aplicând formula schimbării de variabilă în integrala dublă, găsim:

.

Folosind integrala dublă, să se determine volumul al corpului mărginit de suprafețele:

; .

Rezolvare:

Pentru a evalua volumul corpului dat, calculăm volumele a doi cilindroizi, primul cu baza superioară pe suprafața , iar cel de-al doilea cu baza superioară pe suprafața , ambii având aceeași bază inferioară, în planul xOy, definită de domeniul

.

Volumul este diferența volumelor celor doi cilindroizi. Avem

; .

Ambele integrale se calculează trecând la coordonatele polare (39) și se obține .

Aplicații în inginerie ale integralelor de suprafață de primul tip

Integralele de suprafață de primul tip sunt frecvent întâlnite în probleme ale fizicii. De exemplu, întâlnim astfel de integrale când ne ocupâm cu determinarea masei unei pânze materiale. O pânză materială este ansamblu dintre o suprafată (S) netedă sau netedă pe porțiuni, numită configurația pânzei, și o funcție pozitivă definită și continuă în punctele suprafeței (S), care se numește densitatea de materie sau densitatea pânzei materiale. Tot cu ajutorul integralelor de suprafață de tipul întâi se exprimă centrul de greutate al pânzei materiale ca și momentele de inerție ale acesteia în raport cu elementele reperului . O pânză materială poate fi notată prin sau, atunci când densitatea materială se desprinde din context, se scrie doar configurația pânzei. O pânză materială se numește omogenă dacă densitatea sa este funcția constantă și neomogenă în caz contrar.

Întrucât procedeul care se aplică pentru a determina masa, centrul de greutate și momentele de inerție în raport cu elementele reperului ale pânzei materiale este asemănător cu cel aplicat firului material pentru determinarea acelorași mărimi, se va scrie direct rezultatele.

Masa M(S) a pânzei materiale este

M(S). (40)

Cantitatea infinitezimală

. (41)

se numește element de masă al pânzei materiale în .

Folosind elementul de masă, masa pânzei materiale se scrie

M(S).

Coordonatele centrului de greutate G sunt date de

,

.

Expresiile coordonatelor centrului de greutate al pânzei se pot scrie simplificat

dacă folosim elementul de masă introdus în (41). Avem

; ; (42)

În particular, pentru o pânză materială omogenă, vom avea

; ; . (43)

Momentele de inerție ale pânzei materiale S în raport cu axele de coordonate

le vom nota respectiv prin , și și au expresiile:

; ; . (44)

Când densitatea materială este constantă și egală cu, formulele de

mai sus devin

, ; . (45)

Momentele de inerție ale pânzei materiale S în raport cu planele de coordonate

, notate corespunz˘ator cu , și , au expresiile date de integralele de suprafață de tipul întâi

, , . (46)

Dacă pânza materială are densitatea constantă , în locul formulelor (46) avem

; ; . (47)

Momentul de inerție în raport cu originea reperului este

, (48)

când pânza materială este neomogenă, iar în cazul că ar fi omogenă același moment de inerție al pânzei va fi dat de expresia

. (49)

În scopul de a prezenta încă o aplicație a integralelor de suprafață de primul tip se va introduce noțiunea de funcție vectorială integrabilă pe o suprafață. Fie în acest sens

(50)

o funcție vectorială definită într-un domeniu tridimensional care conține suprafața S. Prin definiție, vom spune că funcția este integrabilă pe S dacă fiecare din componentele sale este funcție integrabilă pe S. În această situație introducem integrala de suprafață de tipul întâi a funcției vectoriale pe suprafața S prin

. (51)

Valoarea unei astfel de integrale este un vector. Existența integralei de suprafață de primul tip a unei funcții vectoriale , reducerea ei la o integrală dublă dintr–o funcție vectorială precum și proprietățile unei integrale de tipul (51) sunt cercetate în strânsă legătură cu integralele de suprafață care apar în membrul al doilea al relației (51).

Ca aplicație a acestei noțiuni se va găsi forța de atracție gravitațională cu care o pânză materială atrage un punct material.

Fie densitatea pânzei materiale S și o masă concentrată în punctul care nu aparține suprafeței. După legea atracției universale a lui Newton, forța elementară de atracție dintre elementul de masă al suprafeței S și punctul material cu ponderea este

. (52)

În formula (52) este constanta gravitațională a cărei valoare numerică depinde de alegerea sistemului de unități de măsură, iar r este vectorul , unde reprezintă punctul curent al suprafeței de pondere egală cu masa elementară dată de (41). Forța rezultantă de atracție a punctului material de către întreaga suprafață S este suma forțelor elementare

(52), fapt care ne duce la concluzia că este integrala de suprafață

. (53)

Deoarece avem expresia forței de atracție poate fi scrisă în forma

(54)

Integralele din (54) există dacă densitatea materială este funcție continuă, iar suprafața S este netedă sau netedă pe porțiuni.

Analiza aplicațiilor de mai sus conduce la o concluzie importantă din care se va desprinde o proprietate specifică integralelor de suprafață de tipul întâi.

Se va porni de la observația că elementul de integrare, ănțelegând prin aceasta expresia

,

depinde numai de mărimea elementului de arie și de valoarea funcției în punctul curent al suprafeței S, însă este independentă de orientarea elementului de suprafață în raport cu spațiul înconjurător. Această observație se desprinde foarte bine din toate aplicațiile prezentate mai sus căci masa unui element din suprafața materială sau forța cu care acest element de masă atrage un punct material nu se modifică dacă ne mutăm de pe o față a suprafeței pe cealaltă. În concluzie, se poate afirma că integrala desuprafață de tipul întâi nu depinde de orientarea suprafeței fapt pe care îl putem exprima matematic prin

.

Problemă: Să se calculeze momentul de inerție față de axa a pânzei materiale omogene având densitatea egală cu unitatea și configurația semisfera

(S): .

Soluție: Conform celor prezentate mai sus, avem

.

Pentru calculul acestei integrale de suprafață de tipul întâi putem utiliza o reprezentare parametrică a semisferei S și anume cea în care parametrii curbilinii ai suprafeței să fie colatitudinea ¸si longitudinea :

; ; ,

unde parametrii variaz˘a ˆın intervalul bidimensional .

Coeficieții lui Gauss pentru sfera reprezentată parametric ca mai sus sunt:

; ; .

Elementul de arie al suprafeței exprimat cu ajutorul parametrilor curbilinii și este

.

Valorile pe semisferă ale funcției de integrat sunt date de

,

astfel că momentul de inerție de determinat este

.

Ultima integrală se scrie ca diferență de alte două care se calculează simplu și se găsește .

Aplicații ale integralei triple

Considerăm acum unele probleme tipice care implică calculul unor integrale triple

Calculul volumelor

Dacă o figură spațială V are volum, valoarea integralei triple

(55)

se constată că este volumul lui V. Întradevăr, această afirmație rezultă fie din proprietățile integralei triple fie analizând sumele integrale corespunzâtoare unei diviziuni oarecare ocazie cu care se constată că oricare din aceste sume este egală cu volumul lui V și ca atare limita pentru norma diviziunii tinzând la zero a unui șir de sume integrale corespunzătoare este volumul lui V. Integrala triplă este mai convenabil de folosit decât integrala dublă, când se pune problema calculării volumului unei figuri spațiale cubabile căci, după cum se vede din (55), cu ajutorul ei se poate determina volumul oricărei mulțimi cubabile, pe când, cu integrala dublă se poate determina doar volumul unui cilindroid.

Masa și centrul de greutate ale unui solid

În același mod cum am introdus unele corpuri materiale putem introduce și aici noțiunea de solid. Prin solid se înțelege ansamblul dintre o mulțime măsurabilă Jordan V numită configurația solidului și o funcție reală, cu valori pozitive, continuă pe V, care se numește densitatea de volum a solidului.

Dacă funcția este constantă, solidul se numește omogen. În cazul solidului omogen masa sa este dată de produsul dintre valoarea constantă a densității și volumul lui V.

Produsul dintre valoarea densității într-un punct și elementul de volum al lui V se numește element de masă și se notează cu .

Deci

. (56)

Procedând asemănător ca la firul material, placa materială sau pânza materială se constată că masa solidului definit mai sus este dată de egalitatea

(57)

sau de egalitatea

(58)

Coordonatele , și ale centrului de greutate G al unui solid de configurație V și densitatea de volum sunt date de egalitățile

, ,

. (59)

Dacă se notează cu vectorul de poziție a centrului de greutate și cu vectorul de poziție al unui punct curent , constatăm că relațiile (59) se pot scrie în forma vectorială

. (60)

În cazul solidului omogen expresiile coordonatelor centrului de greutate sunt mai simple căci fracțiile de mai sus se pot simplifica prin valoarea constantă a densității. Avem

, ,

. (61)

unde este elementul de volum al lui V. Forma vectorială a

acestor egalităților (61) este

. (60)

Momente de inerție ale unui solid

Momentele de inerție față de axele ale solidului de configurație V și densitate de volum , se vor nota cu aceleași simboluri ca la pânze materiale și sunt date de egalitățile:

(61)

Când densitatea de volum este constantă și egală cu , formulele de mai sus devin

; ;.

Momentele de inerție ale solidului neomogen de configurație V și densitate de volum în raport cu planele de coordonate , notate corespunzător cu, și au expresiile date de integralele triple

(62)

Dacă solidul este omogen cu densitatea constantă , în locul formulelor (62) avem

; ;.

Momentul de inerție în raport cu originea reperului este

(63)

când solidul este neomogen, iar în cazul că ar fi omogen același moment de inerție al solidului va fi dat de expresia

.

Potențialul newtonian al unui solid

Potențialul newtonian sau gravitațional al unui punct material de masă se definește prin formula

,

unde r este distanța de la punctul material până la punctul din spațiu în care se consideră potențialul. În cazul unui solid de configurație V și densitate de

volum , potențialul newtonian în punctul va fi dat de formula:

.

Se știe din fizică că fiind date două puncte materiale și de ponderi

și și vectori de poziție și respectiv , mărimea forței de atracție dintre cele două puncte materiale este dată de formula

,

este distantă euclidiană dintre punctele și.

Forța F12 cu care punctul material este atras de către punctul material este dată de formula

.

Dacă , , sunt coordonatele forței de atracție, expresiile acestora

sunt date de

, ,

.

Se va considera un punct material de masă și un solid de configurație V și densitate de volum . Având la dispoziție cazul particular prezentat mai sus și cunoscând mecanismul introducerii noțiunii de integrală triplă ajungem la concluzia că forța F cu care este atras de către solid este dată de integrala triplă

,

unde

,

iar este norma euclidiană a vectorului

.

Coordonatele și ale vectorului sunt

Probleme:

Să se calculeze cu ajutorul integralei triple, volumul figurii spațiale V situată în semispațiul superior și mărginită de suprafețele:

; ; ,

unde .

Soluție: Cele trei suprafețe care mărginesc figura spațială V sunt: primele două, sfere concentrice cu centrul în origine, de raze a și b; iar a treia, con circular cu vârful în origine și axa de rotație axa , având generatoarele înclinate cu 45 de grade față de axa . Corpul este porțiunea din coroana sferică limitată de cele două sfere conținută în pânza superioară a conului. Volumul acestei figuri este , iar pentru calculul integralei triple folosim coordonatele sferice. Terna ordonată ia valori în intervalul tridimensional închis , iar jacobianul transformării este . Prin urmare, avem

.

Să se afle coordonatele centrului de greutate al unui solid omogen mărginit de pânza unui con circular drept, având unghiul de la vârf egal cu și de o sferă de rază R cu centrul în vârful conului.

Soluție: Alegem originea sistemului de axe în vârful conului și axa după axa de simetrie a conului.

Trebuie determinată mai întâi masa solidului V. Fiind omogen și considerând că densitatea este egală cu unitatea, masa solidului va fi egală cu volumul său. Pentru calculul volumului se folosește coordonatele sferice în care terna ia valori în intervalul tridimensional închis . Avem

.

Coordonatele și ale centrului de greutate G al solidului sunt date de integralele triple:

; ;

.

Solidul fiind omogen și având planele de coordonate și ca plane de simetrie, rezultă că . Pentru calculul integralei triple de la numărătorul cotei centrului de greutate trecem la coordonate sferice. Avem

.

Prin urmare, .

Să se găsească momentul de inerție în raport cu axa a solidului de configurație bila de rază a cu centrul în origine V și densitatea de volum

.

Soluție:

Momentul de inerție de determinat este în acest caz

.

Pentru calculul integralei triple trecem la coordonate sferice și găsim

,

unde este intervalul tridimensional . Scriind ultima integrală triplă ca o iterație de integrale simple, obținem

.

Efectuând integralele simple de mai sus găsim .

Să se determine momentele de inerție în raport cu planele de coordonate ale solidului omogen având configurația domeniului V mărginit de suprafețele de ecuații și , situat în semispațiul .

Soluție:

Considerând că , cele trei momente de inerție cerute sunt:

; ; ,

unde domeniul de integrare este porțiunea din interiorul pânzei superioare a conului de ecuație , situat sub planul .

Pentru calculul fiecărei din cele trei integrale vom folosi faptul că domeniul de integrare este simplu în raport cu axa , deoarece el se poate scrie ca

,

unde este proiecția lui V pe planul , care se poate reprezenta ca

.

Cu alte cuvinte, este domeniul plan mărginit de elipsa din planul, cu centrul de simetrie în originea reperului și semiaxele egale cu a și b.

Se va scrie integralele triple care dau momentele de inerție față de planele de coordonate ca iterații de integrale, prima simplă, în raport cu z, între limitele și , iar a doua, dublă, pe domeniul . Avem:

;

;

.

Aceste integrale duble se calculează utilizând coordonatele polare generalizate în plan și găsim:

; ;.

Ecuația de continuitate a fluidului ideal

Mecanica fluidului se ocupă cu studiul fluidelor, în repaus sau în mișcare, din punct de vedere macroscopic, adică fără a lua în considerare mișcările la care participă particulele constituente. Aceasta conferă fluidelor calitatea de mediu continuu.

Definiție Densitatea unui fluid este mărimea fizică scalară, numeric egală cu masa unității de volum a fluidului

. (64)

Definiție Un fluid se numește incompresibil dacă densitatea acestuia nu variază în timp și în spațiu

. (65)

Dacă asupra unui element de suprafață acționează o forță, se spune că forța creează o presiune asupra acesteia (Fig). Componenta forței paralelă cu suprafața, , îi va imprima acesteia o accelerație, așa încât îi va modifica starea de mișcare sau de repaus relativ. Componenta normală la elementul de suprafață, , va apăsa asupra acesteia, producând o presiune, motiv pentru care se numește forță de presiune.

Definiție Presiunea este mărimea fizică scalară numeric egală cu forța care acționează perpendicular pe unitatea de suprafață

, (66)

unde este versorul elementului de suprafață .

Problema fundamentală a mecanicii fluidului constă în determinarea câmpurilor de presiune și de viteze din interiorul unui fluid aflat în condiții date.

Definiție Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune alunecârii unui strat de fluid peste altul.

Definiție Fluidul ideal este fluidul incompresibil și lipsit de vâscozitate.

Derivata substanțială

O proprietate a fluidului fiind o funcție de timp și de coordonatele spațiale , variația ei în timp se studiază plecând de la diferențiala sa totală

. (67)

Derivând ecuația (67) în raport cu timpul se obține:

. (68)

Această derivată totală poartă numele de derivată substanțială a proprietății fluidului. După cum se vede din ecuația (68), derivata substanțială are două componente:

Componenta temporală -care apare ca urmare a variației lui în timp (între t și t+dt) în punctul considerat( ).

Observație: Într-o curgere staționară .

Componenta convectivă – care dă variația lui la un moment dat () între punctul considerat și punctul imediat vecin .

Observație Derivata substanțială poate fi văzută și ca un operator scalar diferențial

.

Pentru a caracteriza cantitatea de fluid care străbate un anumit domeniu spațial se folosește noțiunea generală de flux, care, în cazul fluidelor, poartă denumirea de debit masic.

Definiția 7.2.13 Debitul masic (fluxul) de fluid este masa de fluid care străbate un anumit domeniu spațial în unitatea de timp.

.

Analog se definește și debitul volumic, o altă mărime scalară ce caracterizează dinamica unui fluid:

. (69)

Spre deosebire de flux, care este o mărime scalară, pentru a caracteriza cantitativ curgerea unui fluid se utilizează o mărime vectorială numită densitate de flux sau densitatea curentului de masă(denumită și densitate de curent).

Definiția 7.2.14 Densitatea de curent este mărimea fizică vectorială, numeric egală cu fluxul de fluid care străbate unitatea de suprafață, orientată normal la direcția de curgere, având sensul dat de sensul vitezei de curgere a fluidului.

. (70)

Utilizând definițiile densității și a fluxului, densitatea de curent se scrie

. (71)

Invers, din (70) se poate afla expresia fluxului

, (72)

sau a debitului volumic

.

Ecuația de continuitate a unui fluid exprimă legea conservârii masei de fluid: fie un domeniu spațial cu volumul V, închis de o suprafață orientată (având sensul versorului normalei la suprafață spre exteriorul volumului mărginit de aceasta). Dacă în domeniul considerat nu ezistă surse (izvoare) sau drenuri (puțuri sau sorburi), atunci fluxul de fluid care intră în domeniu este egal cu fluxul de fluid care intră în domeniu este egal cu fluxul de fluid care îl părăsește

. (73)

Matematic, fluxul de fluid care intră în volumul V este, în acord cu definițiile fluxului și densității unui fluid,

, (74)

în timp ce fluxul de fluid care părăsește domeniul considerat, prin suprafața închisă a acestuia, este, în acord cu (72),

. (75)

Din (73), (74), (75) rezultă

.

Utilizând teorema lui Gauss, egalitatea de mai sus se rescrie astfel

.

Deoarece volumul ales este unul oareacare, atunci ecuația de continuitate, în forma locală (diferențială) este

(76)

În cazul curgerii staționare a unui fluid

,

ecuația de continuitate devenind

. (77)

Ecuația (77) arată că în cazul unei curgeri staționare câmpul densității de curent este unul solenoidal. În formă integrală, această ecuație exprimă tocmai constanța fluxului de fluid (a debitului masic).

Aplicată fluidelor ideale, care sunt incompresibile, ecuația de continuitate se reduce la

, (78)

adică, în acest caz, câmpul vitezelor este solenoidal. Sub formă integrală, această ecuație exprimă constanța debitului volumic de fluid.

Ecuația generală de curgere a unui fluid ideal (Euler)

Ecuația de mișcare a unei particule de fluid, cu volumul , care face parte dintr-un fluid ideal, este dată de principiul al doilea al dinamicii punctului material

, (79)

unde este masa particulei de fluid, iar este rezultanta forțelor cu care restul fluidului acționează asupra sa, care sunt forțe de presiune.

Dacă fluidul se află într-un câmp extern de forțe (de exemplu, în câmpul gravitațional al Pământului), forța conține în ea și greutatea particulei de fluid respective. Prin urmare

. (80)

Utilizând ecuația (66) de definiție a presiunii, se observă că rezultanta forțelor de presiune care acționează asupra unui element de suprafață este

. (81)

Dacă suprafața S închide un volum V de fluid, atunci forța totală de de presiune, numită forța arhimedică, este

, (82)

adică

. (83)

Introducând (83) în (79) și folosind derivata substanțială a vitezei dată de (68), ecuația generală de curgere a unui fluid este

. (84)

Aceasta este ecuația lui Leonard Euler.

Difuzia

Presupunem că într-un anumit mediu se mișcă un colectiv de particule cu densitatea numărului de particule (concentrația) , unde reprezintă numărul de particule, iar volumul. Mișcarea acestor particulelor se numește difuzie. Cauza difuziei este existența unei diferențe de concentrație, adică adică a unui gradient , iar efectul constă în apariția unui flux de particule:

, (85)

Definit ca numărul de particule ce străbat o suprafață din câmpul de difuzie în unitatea de timp. Deoarece gradientul de concentrație are sensul dat de sensul creșterii concentrației, iar fluxul, adică mișcarea netă a particulelor se face în sensul egalării concentrației, rezultă că mișcarea netă a particulelor se face în sens invers gradientului de concentrație. Dacă este versorul vitezei nete de mișcare a particulelor, atunci, în locul fluxului se poate defini o mărime fizică vectorială numită densitatea fluxului de difuzie sau densitatea curentului de difuzie

, (86)

ca fiind fluxul de difuzie ce străbate elementul de suprafață normală la direcția de mișcare netă a particulelor care difuzează. Cum elementul de volum măsurat în lungul direcției de mișcare netă a particulelor este

, (87)

Atunci ecuația (86), cu ajutorul ecuației (85) se poate scrie

. (88)

Pentru a stabili legătura matematică dintre densitatea curentului de difuzie și gradientul concentrației se va considera un element de suprafață (Fig. II.27), orientată pentru simplitate perpendicular pe axa . Prin suprafața vor trece, fără să sufere ciocniri, doar particulele aflate la o distanță mai mică decât lungimea drumului liber mediu (distanța medie dintre două ciocniri consecutive ale aceleiași particule). În aceste condiții, numărul particulelor care vor trece prin elementul de suprafață în intervalul de timp , în oricare dintre sensuri, este dat de numărul de particule aflate în volumele celor doi cilindri elementari care care mărginesc elementu de suprafață și au înălțimea egală cu

, (89)

unde este viteza medie a particulelor, iar reprezintă concentrațiile particulelor la capetele celor doi cilindri elementari. Deoarece toate cele trei direcții spațiale sunt echivalente, iar fiecare direcție are câte două sensuri, numărul net de particule care va străbate lementul de suprafață în sensul axei va fi

. (90)

Prin urmare, densitatea, densitatea curentului de difuzie de-a lungul axei este

. (91)

Dezvoltând în serie Taylor funcția și reținând doar partea liniară

,

ecuația (91) devine

. (92)

Notând

,

Coeficient care poartă numele de coeficient de difuzie sau difusivitate, ecuația se scrie

. (93)

Scriind ecuația (93) și pentru celelalte două axe de coordonate și ținând cont că , atunci

. (94)

Această ecuație reprezintă forma matematică a legii I a lui Fick.

Dacă se dorește cunoașterea legii de evoluție a concentrației particulelor care difuzează, aceasta se obține simplu cu ajutorul ecuației de continuitate

(95)

Introducând (94) în (95) rezultă expresia matematică a legii a-II-a a lui Fick

.

Pentru simplitate, această ecuație cu derivate parțiale parabolică va fi rezolvată în cazul unidimensional

, (96)

cu condiția inițială , unde este funcția delta a lui Dirac.

Această condiție inițială exprimă faptul că la toate particulele se aflau în punctul , de unde difuzează. Pentru a separa variabilele și se poate introduce o a treia variabilă , scriind sub forma unei integrale Fourier

. (97)

Introducând (97) în (96) se obține

,

sau

(98)

Una din soluțiile ecuației (98) este

,

care introdusă în (97)conduce la

, (99)

Derivând (99) în raport cu și integrând apoi prin părți se obține

,

de unde rezultă

. (100)

Dacă numărul total departicule este , iar concentrația particulelor este normată la , în acord cu condiția inițială specificată mai sus, atunci constanta de integrare rezultă din condiția de normare

. (101)

Utilizând formula și din (100) și (101) rezultă

,

astfel încât ecuația (100) se scrie

. (102)

Ecuația (102) este reprezentată grafic în Fig. II.28, unde se vede că pe măsură ce și/sau cresc, concentrața parti-

culelor care difuzează scade, reliefând tocmai caracterul disipativ al difuziei.

Distanța pătratică medie de migrare a particulelor este, în condițiile de mai sus

. (103)

Notând

,

integrala din (103) se scrie

.

Cu acest rezultat ecuația (103) devine

.