Analiza Structurala a Mecanismelor

Mecanismul este constituit din elemente și cuple cinematice.

Se numește element cinematic o piesă sau un grup de piese legate rigid între ele, care în raport cu alte elemente cu care vine în contact, are o mișcare relativă bine determinată.

a).

b).

Fig.1.1 Element cinematic

Astfel mecanismul de la un motor cu combustie internă, (fig.1), este format din:

– blocul motor 1, împreună cu chiulasa 2, cilindrul 3, șurubul 4 și bujia 5, formează un singur element cinematic numit bază;

– arborele cotit 6, împreună cu axul 7, constituie manivela;

– corpul bielei 8, împreună cu cuzinetul 9 și axul 11, formează un singur element cinematic numit bielă;

– pistonul 10, constituie element cinematic numit patină.

Clasificarea elementelor cinematice. Elementele cinematice din construcția mecanismelor se clasifică după mai multe criterii.

a) după felul mișcării efectuate:

– baza este elementul fix sau considerat fix în raport cu un sistem de referință; se notează cu “0” și este unică într–un mecanism (elementul 0 din figura 1.1 sau 1.2);

– manivela este un element care se rotește cu un unghi 2 în jurul unei axe fixe (elementul 6 din fig.1.1 sau 1 din fig.1.2);

– biela este elementul care nu are nici un punct fix, executând o mișcare generală în plan, în cazul mecanismelor plane sau o mișcare generală în spațiu, în cazul mecanismelor spațiale (elementul 8 din figura 1.1 sau 4 din figura 2);

– patina este un element cu mișcare de translație alternativă pe un ghidaj (elementul 10 din figura 1.1 sau 5 din figura 1.2);

– balansierul este elementul cinematic care se rotește în jurul unei axe fixe cu un unghi mai mic de 2, schimbându–și alternativ sensul de rotație (elementul 3 din figura 1.2);

– culisa este elementul care ghidează mișcarea altui element. (elementul 2 figura 1.2).

Fig.1.2 Mecanism cu culisă

b) după rangul elementelor:

– element monar, j = 1, (intră în compunerea unei legături);

– element binar, j = 2, (intră în compunerea a două legături);

– element ternar, j = 3 (intră în compunerea a trei legături);

– element polinar, j = n (intră în compunerea a ”n” legături).

Un element de clasa ”j” este conectat prin j cuple cinematice de restul elementelor din compunerea lanțului cinematic.

c) după rolul funcțional în mecanism:

– element conducător, cu parametri de mișcare cunoscuți (manivela);

– element condus, elementul care realizează mișcarea impusă (pistonul);

– elemente intermediare, elementele de legătură între elementul conducător și cel condus (biela).

1.2 Cuple cinematice

Două elemente ale unui mecanism aflate în contact permanent printr–o legătură care permite acestora un anumit număr de posibilități de mișcare relativă, formează o cuplă cinematică.

Clasificarea cuplelor cinematice. Clasificările cuplelor cinematice au în vedere următoarele criterii: criteriul cinematic, criteriul geometric, criteriul funcțional și cel constructiv.

a). După criteriul cinematic, cuplele se clasifică în clase.

Clasa unei cuple cinematice reprezintă numărul k al restricțiilor introduse în zonele de contact. În tabelul 1.1 se prezintă cuplele cinematice cele mai utilizate în construcția mecanismelor.

Tab.1.1

Împiedicarea unei anumite mișcări elementare se realizează prin intermediul efectului componentei aferente a torsorului forțelor de reducere:

. (1.1)

Orice cuplă de clasa k se poate înlocui cu un lanț cinematic format din (5 – k) elemente, conectate între ele prin (4 – k) cuple cinematice de clasa 5 și cu două cuple exterioare. Suma dintre mobilitatea cuplei ce se înlocuiește și mobilitatea lanțului înlocuitor trebuie să fie nulă:

(6 – m).n’ – (5 – m).C’5 = m – k . (1.2)

Rezultă:

n’ = 5 – k; C’5 = 6 – k, (1.3)

deoarece n’ + 1 = C’5 , lanțul cinematic înlocuitor are un singur contur, n’ elemente și C’5 cuple de clasa 5.

Astfel, o cuplă sferică C3 (fig.1.3a), este echivalentă cu un lanț cinematic format din două elemente (3, 4), ale căror lungimi cinematice sunt nule, legate între ele printr-o articulație (A34), și cu alte două cuple de rotație exterioare (A31, A42).

O cuplă cilindrică C4 (fig.1.3b), este echivalentă cu un lanț cinematic format dintre un element (3) și două cuple de clasa 5, cu axele paralele.

O cuplă plană superioară, de clasa 4 se înlocuiește cu un lanț cinematic format dintr-un element binar cu cuple de clasa 5. Lungimea elementului este egală cu suma razelor de curbură ale curbelor directoare ale suprafețelor active între care există cupla superioară, în punctele de tangență.

a) b)

c) d)

Fig.1.3 Echivalarea cuplelor cinematice

Dacă suma razelor de curbură este finită (camă cu tachet cu rolă), ambele cuple sunt de rotație și axele lor trec prin centrele de curbură respective, fiind perpendiculare pe planul mișcării, (fig.1.3c).

Dacă una din razele de curbură este infinită, adică una din suprafețele active este plană (camă cu tachet cu talpă), cupla corespunzătoare a lanțului înlocuitor este de translație, (fig.1.3d).

b) După criteriul geometric, în funcție de felul contactelor dintre elemente, cupla cinematică poate fi:

– cuplă superioară, dacă contactul are loc după o linie sau într-un punct. (fig.1.4a și b);

– cuplă inferioară, dacă cele două elemente se află în contact printr-o suprafață (fig.1.4c);

a)

b)

c)

Fig.1.4 Criteriul geometric

c) După criteriul constructiv, cupla cinematică poate fi:

– simplă, atunci când conectează două elemente cinematice,

– multiplă. O cuplă multiplă de ordinul p conectează (p-1) elemente.

– bilaterală, atunci când contactul dintre elemente este asigurat în mod constructiv;

– unilaterală, atunci când contactul dintre elemente este menținut prin forță.

d) După criteriul funcțional cupla cinematică poate fi:

– cuplă potențială, care este o cuplă fictivă, semnalată pe un singur element, și poate deveni reală dacă i se adaugă un al doilea element;

– cuplă pasivă este cupla care realizează numai transmiterea acțiunilor mecanice de la un corp la celălalt (olonomă);

– cuplă activă (conducătoare, motoare) este cupla la care un element este relativ conducător față de celălalt și primește mișcarea sau energia din afara mecanismului (neolonomă).

1.3. Lanț cinematic

13.1. Graful cuplelor

În graful legăturilor unui mecanism, elementele cinematice sunt schematizate prin cercuri și cuplele cinematice prin arce.

Fig.1.5 Graful cuplelor

– (C1) cupla patină cu axa x; [0,0,0,ωx,0,0]T

– (C2) cupla plană cu normala x; [0, Vy,Vz,ωx,0,0]T

– (C3) cupla elicoidală cu axa x; [Vx,0,0,ωx,0,0]T

– (C4) cupla cilindrică cu axa y; [0, Vy,0,0,ωy,0]T

– (C5) cupla cilindru cu axa y plan cu normala x; [0, Vy,Vz,ωx,ωy,0]T

– (C6) cupla plană cu normala y; [Vx,0,Vz,0,ωy,0]T

Se numește lanț cinematic deschis un lanț format din (e+1) elemente legate între ele prin e cuple în serie (fig.1.6a).

Se numește lanț cinematic închis un lanț deschis ale cărui două elemente marginale sunt legate între ele. Cele (e+1) elemente sunt legate prin (e+1) cuple (fig.1.6b).

a)

b)

Fig.1.6 Lanț cinematic

Un lanț complex este un lanț cinematic constituit din mai multe lanțuri închise.

Numărul contururilor independente. Fie e numărul de elemente cinematice și C numărul de cuple ale lanțului complex. Se poate arăta prin teoria grafurilor că numărul de contururi independente este

(1.4)

Cunoașterea lui este importantă pentru că ne permite să definim numărul minim de lanțuri necesare a fi studiate pentru definirea mecanismului.

Pentru mecanismul având graful legăturilor din figură, se poate scrie:

e=4; C=5 . (două contururi independente).

Fig.1.7 Contururi independente

1.3.2. Cuple cinematice echivalente

Cupla echivalentă definește comportamentul cinematic al unui element cinematic în raport cu altul atunci când ele nu sunt în contact direct (cupla serie), sau când ele sunt în contact în mai multe puncte (cupla paralelă).

Se numește cuplă cinematică echivalentă, cupla care înlocuiește ansamblul cuplelor realizate între aceste elemente, cu sau fără elemente intermediare. Cupla echivalentă este legătura care are același comportament ca și cea reală, adică permite aceeași mișcare.

Legăturile echivalente sunt interesante în mod special în cazul cuplelor uzuale, când obiectivul urmărit este de a determina legea de mișcare.

Mecanismul având graful cuplelor din figura 1.8, are cupla echivalentă (C1-2).

Fig.1.8 Graful cuplelor Fig.1.9 Cupla echivalentă

Cupla echivalentă C(24) se determină prin rezolvarea lanțului închis 2-Cech-4-3-2.

Cuplă cinematică în construcție paralelă. Se consideră că ”n” cuple sunt dispuse în paralel între două elemente cinematice dacă fiecare cuplă leagă direct elementele.

Cupla echivalentă C(23) se determină prin rezolvarea a două lanțuri închise 2-Cech-3-2.

Fig.1.10 Cuplă paralelă

Torsorul cinematic al cuplei echivalente trebuie să fie compatibil cu torsorul tuturor cuplelor dintre elemente.

Dacă este torsorul cinematic al cuplei echivalente și este torsorul cinematic al cuplei C(i) atunci

adică (1.5)

Cuplă cinematică în construcție serie. Definiția este conform definiției lanțurilor deschise

Torsorul cuplei echivalente reprezintă mișcarea elementului Sn în raport cu sistemul S0. Relația între torsorul cinematic al cuplei echivalente se obține scriind relațiile de compunere a torsorilor cinematici dintre diferite elemente.

(1.6)

adică cu notațiile precedente:

(1.7)

1.3.3. Principalele cuple cinematice echivalente

Cupla cu contact punctiform. Se urmărește determinarea cuplei echivalente celor două cuple în serie între S2 și S0 și schema cinematică echivalentă. Pentru aceasta se determină torsorul cinematic echivalent al acestei cuple.

Fig. 1.11 Patină sferică

Fig.1.12 Schema cinematică Fig.1.13 Schema echivalentă

Scopul realizării unei cuple punctiforme cu ajutorul unei cuple plană și a unei cuple sferică este de a avea legături cu contact pe suprafață în locul contactului punctiform (presiune infinită).

Determinarea torsorului cinematic echivalent:

(1.8)

Torsorul cinematic al cuplei sferice :

(1.9)

Torsorul cinematic al cuplei plane:

(1.10)

de unde: (1.11)

Arbore cu umăr:

Caz 1

Caz 2

Fig.1.14 Policuplă

Schema cinematică actuală Schema cinematică echivalentă

Fig.1.15

Se urmărește determinarea cuplei cinematice echivalentă și schema cinematică echivalentă. Torsorul cinematic echivalent trebuie să respecte egalitatea:

(1.12)

Torsorul unei cuple plană cu axa normală în O:

(1.13)

Caz 1. Torsorul unei cuple cilindrică cu axa Ox:

(1.14)

de unde torsorul cinematic echivalent:

(1.15)

adică torsorul cinematic al unei cuple plană de rotație.

Remarcă: y și z sunt nule, ca rezultat cele două legături suprimă două rotații.

Sistemul este hiperstatic de ordinul 2. Pentru a putea asambla cele două piese este necesară o calitate a uzinării deosebită, dar ansamblul este foarte rigid.

Caz 2. Cuplă sferă cilindru de centru O și axă Ox:

(1.16)

de unde torsorul cinematic echivalent:

(1.17)

adică torsorul cinematic al unei cuple de rotație.

În acest ansamblu nu există decât un singur grad de libertate. Sistemul nu este hiperstatic. Pentru a elimina hiperstatismul este suficient să se modifice legăturile.

Cupla realizată prin curea. Această cuplă nu se poate considera decât pentru un lanț cinematic închis.

Fig.16 Cupla realizată prin curea

Ipoteze:

– cureaua este inextensibilă;

– ramurile rămân întinse în timpul funcționării;

– nu există alunecare între curea și roată;

– există întotdeauna un dispozitiv de întindere a curelei.

C12: cupla plană de rotație de axă (A1, x1) sau (A2, x2)

(1.18)

C23: cupla plană de rotație de axă (B2, x2) sau (B3, x3)

(1.19)

C31: cupla prin curea

(1.20)

(1.20’)

Axele de rotație ale roților cuplei C31 sunt fixate în reperul 2. Cu ipotezele modelului elementar de comportare a acestei cuple, se poate scrie:

(1.21)

(1.21’)

Concluzii.

– traiectoria punctului B3 față de reperul 1 este un cerc de centru A și de rază e, căci punctele B3 și B2 rămân suprapuse în timpul mișcării.

– mișcarea lui 3 în raport cu 1 este o mișcare de translație circulară.

Cupla de rostogolire. Modelul propus pune în evidență legătura dintre inelul interior și cel exterior.

Fig.1.17 Cupla de rostogolire

1.4 Mecanism

Mecanismul este un lanț cinematic închis, simplu sau complex, plan sau spațial, desmodrom care are unul din elementele sale fixe, numit element de bază. Mecanismul servește la transmiterea mișcării sau la transformarea unei mișcări în alta necesară.

1.4.1 Gradul de mobilitate al mecanismelor

Gradul de mobilitate M al unui mecanism reprezintă gradul de libertate al lanțului respectiv, relativ la elementul fix (baza).

Fie un mecanism format din e elemente cinematice legate prin C cuple. Aplicând principiul fundamental al staticii fiecărui element al mecanismului cu excepția bazei, se pot scrie ecuații.

Fiecare cuplă introduce Ck necunoscute independente conform clasei sale. Numărul total de necunoscute static este deci . Se poate deci scrie un sistem liniar de ES ecuații cu NS necunoscute. Rangul acestui sistem este notat cu rS .

Dacă notăm cu n = e –1 numărul elementelor mobile din mecanism rezultă:

. (1.22)

Gradul de mobilitate este egal cu numărul mișcărilor independente pe care le pot primi din afară elementele mecanismului, respectiv cu numărul elementelor conducătoare ale mecanismului.

Pentru stabilirea corectă a mobilității mecanismelor este necesar să se țină seama de următoarele caracteristici specifice acestora:

– condițiile de legătură comune (generale) impuse tuturor elementelor care fac parte din mecanism;

– condițiile de legătură și gradele de libertate impuse de existența unor elemente sau cuple cinematice pasive.

Dacă notăm cu m numărul condițiilor de legătură comune, vom obține:

. (1.23)

Determinarea familiei unui mecanism se face tabelar, considerând un sistem de axe Oxyz, în raport cu care se analizează mișcările posibile ale fiecărui element. Numărul mișcărilor oprite, comune tuturor elementelor, reprezintă familia mecanismului respectiv.

Grad de hiperstaticitate (h) al unui mecanism caracterizează subordonarea cuplelor constituente ale mecanismului. Fiecare necunoscută nedeterminabilă astfel este un grad de hiperstaticitate (h>0).

Gradul de hiperstaticitate h al lanțului complex este: . Dacă h=0 atunci este posibil să se determine toate necunoscutele legăturii, sistemul fiind isostatic. Dacă h>0 (mai multe necunoscute decât ecuații independente) rangul sistemului este rS <Ns, deci nu este posibil să se determine acțiunea fiecărei legături. Numărul de necunoscute nedeterminate reprezintă gradul de hiperstaticitate.

Se consideră mecanismul unui robinet. Rozeta antrenează șurubul de comandă (legătură completă) în rotație față de corp (cuplă plană de rotație). Șurubul de comandă antrenează prin intermediul unei cuple elicoidale supapa, care formează o cuplă de translație în raport cu corpul.

Fig.1.18 Mecanism de robinet

Tab.1.2

Tab.1.3

– Necunoscute static: Ns=5+5+5=15;

– Număr elemente: e=3

– Număr cuple: C=3

– Număr cicluri independente: =1

– Număr de ecuații statică:

Ecuațiile de echilibru static S2 în O: se presupune că sistemul este în echilibru, ceea ce nu se întâmplă aici, deci că masele sunt neglijabile sau vitezele constante.

Mobilitatea și hiperstaticitatea :

Ecuațiile de echilibru static S3 în O:

Sistemul conține 12 ecuații:

Rangul este maxim 12.

Se consideră ecuațiile (3), (6), (9), (12), cu . Acest sistem de 4 ecuații conține 3 necunoscute, rangul sistemului este de 3.

Se deduce: și

Rămân deci 8 ecuații cu 12 necunoscute:

Trebuie impuse 4 necunoscute. Se adoptă, în acest caz, componentele cuplei elicoidale.

Sistemul este hiperstatic de grad 4 (h=4).

Rangul global al sistemului este 11 (rs=3+8),

Numărul de ecuații Es=12,

Numărul de necunoscute Ns=15,

Gradul de hiperstatism este: h=Ns-rs=15-11=4

Observații:

– aici sistemul conține 11 ecuații principale și 1 ecuație suplimentară;

– ecuațiile suplimentare arată relațiile dintre între acțiunile mecanice exterioare asupra sistemului pentru ca acesta să fie în echilibru (relația între Fz și Mz). Numărul de ecuații suplimentare este egal cu gradul de mobilitate al mecanismului.

– caracterul hiperstatic al unui mecanism este independent de sarcinile exterioare;

– necunoscutele hiperstatic sunt alese în mod arbitrar, dar atunci când se face o simulare cele care se anulează trebuie alese în mod judicios.

1.4.2 Grupe cinematice

Definirea grupelor cinematice și identificarea acestora în structura unui mecanism plan ușurează analiza cinematică și cinetostatică a mecanismului considerat. Studiul mecanismelor plane a arătat că orice mecanism este constituit prin legarea succesivă la elementul conducător (sau la elementele conducătoare) și la batiu a unor lanțuri cinematice de mobilitate zero, numite grupe cinematice sau grupe Assur.

Din relația gradului de mobilitate pentru mecanisme plane, în care s-au înlocuit cuplele C4 prin cuple C5, rezultă:

. (1.24)

Șirul de lanțuri cinematice cu grad de mobilitate zero este prezentat în tabelul 1.5:

Tab.1.4

Clasa unei grupe cinematice este dată de numărul laturilor conturului poligonal cel mai complicat, conținut în schema sa structurală, sau de clasa maximă a elementelor componente.

Ordinul grupei este dat de numărul cuplelor libere cu care grupa se poate lega la alte elemente.

Grupele cinematice de clasa 2 sau diadele se prezintă sub cinci aspecte, în funcție de modul de combinare dintre cele trei cuple de clasa 5, de rotație R sau de translație T (tab.1.5):

Identificarea grupelor cinematice din componența unui mecanism începe cu separarea elementului fix și a elementului conducător, “grupa cinematică de clasa 1”. Din lanțul cinematic deschis, rezultat după separare, se desprind succesiv grupe cinematice de clasa a doua, începând de la elementul condus. În cazul în care în urma acestei operații rămân elemente și/sau cuple cinematice neincluse în grupe cinematice, se reia operațiunea detașând grupe cinematice de clase superioare.

Tab.1.5

1.5 Reprezentări grafice

Schema cinematică este o reprezentare grafică a mecanismului, de obicei la scară. Ea trebuie să permită înțelegerea funcționării mecanismului, și parametrii diferitelor elemente, prin evidențierea dimensiunilor funcționale, stabilirea pozițiilor reciproce ale elementelor cinematice precum și sensul transmiterii mișcărilor.

a) b)

M = 3.5 – 2.7 = 1

c)

Z(0) + ME(3) + D(5,6) + D(7,8)

Fig.1.19 Mecanism cu culisă

a) b)

c) M = 3.5 – 2.7 = 1

Z(0) + [ME(1) + ME(2)] + D(e1,3)

Fig.1.20 Mecanism carpian

Schema structurală este o reprezentare convențională în care nu se ține seama de forma și dimensiunile elementelor sau de pozițiile lor relative, ci numai de topologia rețelei mecanice. Pune în evidență numai numărul și complexitatea elementelor și cuplelor cinematice, precum și a contururilor independente.

Schema multipolară a lanțului cinematic este o reprezentare în sensul teoriei sistemelor. Grafic multipolul este un dreptunghi mărginit de poli externi, împărțiți în poli de intrare și de ieșire, care cuprinde și poli interni. Polii pot fi activi sau pasivi. Numărul și tipul acestora, împreună cu numărul elementelor caracterizează tipul grupei modulare.

Un graf este o pereche G=(V(G), E(G)), unde V(G) este o mulțime finită nevidă, iar E(G) este o submulțime a mulțimii P2(V(G)) a părților cu două elemente ale lui V(G).

-V(G) se numește mulțimea vârfurilor

-E(G) se numește mulțimea muchiilor

Un algoritm de aranjament al grafului (graph layout algorithm) produce un graf izomorf cu graful inițial, dar care are calitatea de a fi superior din punct de vedere al unor criterii estetice sau din punct de vedere al lizibilității de către om. Un asemenea algoritm urmărește în general să îndeplinească măcar unul, sau dacă este posibil, mai multe din criteriile:

– minimizarea intersectărilor de muchii;

– minimizarea îndoirilor de muchii (în reprezentări ortogonale);

– maximizarea unghiului minim între două muchii;

– maximizarea afișărilor de simetrii.

– minimizarea suprafeței de desenare;

Graful legăturii unui mecanism este dat în fig.1.21.

Elementele mecanismului sunt reprezentate prin vârfuri (cercuri). Elementul care reprezintă batiul se figurează prin două cercuri concentrice. Cuplele corespunzătoare vârfurilor grafului sunt notate corespunzător naturii legăturii (T translație, R rotație).

a) b)

Fig.1.21 Mecanismul bielă-manivelă

Legăturile posibile între elemente pot fi multiple. Exemplu pentru un mecanism care conține 4 patru elemente cinematice:

a) b) c)

Fig.1.22 Legături posibile (mec. cu 4 elemente)

Etapa următoare constă în reprezentarea grafică a schemei cinematice a mecanismului. Aici intervine experiența proiectantului.

De exemplu, pentru un mecanism cu 4 elemente și 4 cuple, se pot imagina mai multe scheme distincte, având legi de transformare a mișcării diferite.

a) b) c)

Fig.1.23 Graf corespunzător la 3 mecanisme diferite