Proiectarea Filtrelor Digitale Prin Modelare
CAPITOLUL 1
FILTRE DIGITALE
Prelucrarea numerică a semnalelor (DSP-Digital Signal Processing) și sistemele aferente s-au impus în ultimele două decenii ca un domeniu bine fundamentat, cu aplicații majore în domeniile tehnic, economic, social, medical și altele.
În acest sens se pot exemplifica sistemele informatice, sistemele de comunicații, sistemele de analiză și estimare spectrală (pentru radar, sonar, geodezie, medicină, biologie), rețelele de transmisiuni de date utilizate în domeniul bancar și financiar. Toate sistemele de calcul și aparatura electronică produse în prezent încorporează metode numerice de procesare a semnalelor.
În prelucrarea numerică a semnalelor s-au structurat următoarele direcții:
reprezentarea semnalelor analogice prin semnale numerice în vederea modelării sistemelor analogice;
obținerea semnalelor numerice din semnale analogice;
operații asupra semnalelor numerice în scopul transformării în forme convenabile sau estimării parametrilor semnalului în vederea luării unor decizii.
Dintre operațiile specifice în procesarea semnalelor, o largă utilizare au filtrele numerice, ca urmare a faptului că operația de filtrare este strict necesară în cele mai multe aplicații în domeniu.
Tehnicile numerice actuale permit obținerea de performanțe mult superioare tehnicilor analogice anterior folosite, filtrele putând fi reproduse cu mare fidelitate și cu o mare precizie a caracteristicilor, sporind de asemenea gradul de complexitate a prelucrărilor în comparație cu realizările analogice.
Filtrul numeric este prin definiție un algoritm care realizează conversia unei secvențe numerice – semnalul de intrare – într-o altă secvență de numere reprezentând semnalul de ieșire, astfel încât performanțele să fie controlate în conformitate cu cerințele impuse de utilizator.
În unele aplicații, procesarea ia forma unei filtrări în domeniul frecvență, așa cum se întâmplă și în cazul sistemelor analogice. În alte cazuri, filtrul numeric realizează alte funcții (ca de exemplu diferențierea, integrarea sau estimarea).
Pentru tehnică, clasa sistemelor în timp discret liniare și invariante în timp (SDLIT) este deosebit de importată. Un filtru numeric liniar, invariant în timp, se proiectează prin determinarea coeficienților ce caracterizează relatia intrare – ieșire, printr-un proces oarecare de aproximare. Proprietatea de liniaritate permite utilizarea principiului superpoziției.
Filtrarea numerică se poate realiza în două moduri:
1.- cu ajutorul unui echipament digital specializat în realizarea unei anumite funcții;
2.-cu ajutorul unui calculator numeric universal, care permite simularea cu ușurință a unui echipament de tipul 1, dar și a unor operații mult mai complexe.
Datorită unor considerente de ordin superior, realizarea filtrului numeric pe baza unui program de simulare pe calculator a cunoscut o aplicare mult mai largă decât prima variantă, care presupune un echipament dedicat.
1.1.CLASIFICAREA FILTRELOR DIGITALE
Un filtru numeric operează asupra unor secvențe discrete de intrare și furnizează la ieșire tot secvențe discrete. Pentru a determina expresia funcției de transfer se poate aplica transformata Z ecuației generale (1.1.1) din domeniul timp:
(1.1.1)
Rezultă ecuația (1.1.2):
(1.1.2)
În aceste relații:
În determinarea lui s-a ținut seama de teorema întârzierii. Funcția de transfer se poate scrie sub forma:
(1.1.3)
Rezultă:
(1.1.4)
De asemenea, se poate scrie:
(1.1.5)
Funcția de transfer a filtrului, , reprezintă transformata a răspunsului filtrului la impulsul unitate. Filtrele digitale se clasifică în:
filtre recursive: dacă cel puțin un coeficient este diferit de zero. Aceste filtre se mai numesc filtre cu răspuns infinit la impuls (Infinite Impuls Response–IIR).
filtre nerecursive: dacă toți coeficienții sunt egali cu zero . Aceste filtre se mai numesc filtre cu răspuns finit la impuls (Finite Impuls Response–FIR).
1.2.PROCEDURA DE PROIECTARE A FILTRELOR DIGITALE
Proiectarea unui filtru digital, atât pentru o realizare hardware cât și software, presupune parcurgerea următoarelor etape:
1. Aproximarea, constând în determinarea coeficienților filtrului astfel încât să fie îndeplinite performanțele specificate la proiectare.
2. Alegerea unei structuri specifice de realizare și cuantizarea coeficienților filtrului.
3. Cuantizarea variabilelor filtrului digital, adică a semnalelor de intrare și ieșire, precum și a semnalelor intermediare.
4. Verificarea prin simulare a modului în care rezultatele proiectării satisfac cerințele impuse la proiectare.
Analiza rezultatelor obținute în cea de-a patra etapă determină în general revizuiri ale etapelor 2 și 3 cu scopul de a ne apropia cât mai mult de performanțele dorite.
1.3.FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS (FIR)
În multe aplicații de procesare a semnalului digital, filtrele FIR sunt preferate față de filtrele IIR. Avantajele importante ale proiectării filtrelor FIR față de echivalentele lor IIR sunt următoarele:
– posibilitatea de a avea o caracteristică de fază liniară, ceea ce permite utilizarea lor în prelucrarea și reconstrucția fidelă a semnalelor, fără a introduce distorsiuni de fază;
– stabilitatea inerentă atâta timp cât implementările corespunzătoare ale acestora nu utilizează blocuri recursive;
– implementarea eficientă, chiar în cazul filtrelor FIR cu ordin mare, prin utilizarea algoritmilor transformatei Fourier rapide pentru a transpune practic suma convolutivă:
– posibilitatea de a avea coeficienții variabili în timp (ca la filtrele transversale adaptive);
– posibilitatea de a obține filtre FIR de ordin înalt printr-o proiectare indirectă și o implementare ce folosește filtre simple ca circuite de interpolare;
– proiectarea filtrelor FIR multidimensionale (cu largă utilizare în prelucrarea imaginilor) pornind de la prototipuri unidimensionale;
– cuantizarea coeficienților nu afectează stabilitatea;
– se pretează foarte bine la realizările filtrelor multirată, permițând conversia ratei de eșantionare;
– zgomotul de rotunjire, inerent în realizările cu precizie aritmetică finită, poate fi micșorat relativ ușor pentru filtrele FIR realizate nerecursiv.
Filtrele FIR cu fază liniară prezintă un singur dezavantaj, constând în faptul că, în anumite aplicații, lungimea a filtrului ce satisface cerințele de proiectare este mare. Aceasta implică în mod evident o întârziere de grup normată mare, egală cu , ceea ce poate fi un impediment în acele aplicații din telecomunicații pentru care ecourile semnalelor transmise nu pot fi tolerate (dacă supresoarele de ecou nu sunt folosite).
Denumirea de filtre cu răspuns finit la impulsul unitate reflectă faptul că durata răspunsului la impulsul unitate este finită. Denumirea de structură recursivă descrie faptul că eșantionul de ieșire actual, , este o combinație de eșantioane de ieșire și de intrare actuale și trecute față de momentul .
Realizarea nerecursivă a filtrului FIR nu înseamnă decât că ieșirea este o combinație între eșantioanele de intrare care reprezintă istoria semnalului, inclusiv momentul actual: .
1.3.1. Filtre FIR cu fază liniară
Fie răspunsul la impuls al filtrului digital FIR.
Notând cu lungimea acestei secvențe cauzale, definită pe suportul , transformarea a lui reprezintă funcția de transfer a filtrului:
(1.3.1)
Transformata Fourier a lui se obține prin evaluarea lui de-a lungul cercului de rază unitate din planul :
(1.3.2)
Funcția de transfer evaluată la frecvențe fizice, periodică în frecvență cu perioada , poate fi exprimată astfel:
(1.3.3a)
(1.3.3b)
În proiectarea filtrelor FIR se preferă exprimarea funcției de transfer în forma (1.3.3b) datorită continuității funcțiilor și în intervalul .
Întârzierea de grup este:
(1.3.4)
În multe aplicații este indicat ca filtrul FIR să aibă fază liniară, aceasta în scopul evitării distorsiunilor de fază. Să determinăm constrângerile ce trebuie impuse asupra funcției pondere pentru a obține o caracteristică de fază liniară, adică de forma:
(1.3.5)
Egalând părțile reale și imaginare din cei doi membri ai relației (1.3.5) obținem egalitățile:
(1.3.6)
(1.3.7)
Împărțind membru cu membru cele două relații anterioare se poate elimina , rezultând:
(1.3.8)
Relația (1.3.8) poate fi scrisă în forma mai compactă:
(1.3.9)
Întrucât relația (1.3.5) reprezintă dezvoltarea în serie Fourier (exponențială) a funcției rezultă că există un singur set de valori care să satisfacă (1.3.5) și deci o unică soluție și pentru ecuația (1.3.9). Noi nu cunoaștem expresiile lui și care ne-ar permite calculul explicit al coeficienților ai seriei. Însă condiția ca să aibă forma:
(1.3.10)
va implica anumite restricții cu privire la coeficienții , restricții unice datorită unicității coeficienților .
Proprietățile transformatelor Fourier ale secvențelor reale necauzale cu simetrie pară sau impară ne permit să intuim că soluția ecuației (1.3.9) o reprezintă secvențele simetrice sau antisimetrice față de centrul secvenței, adică secvențele pentru care:
(1.3.11)
sau
(1.3.12)
Într-adevăr, în relația (1.3.9), sub condiția (1.3.11), suma oricăror doi termeni egal depărtați de centrul secvenței devine:
(1.3.13)
Aanalog, în condiția (1.3.12), același este:
(1.3.14)
Este ușor de verificat din (1.3.13) și (1.3.14) că este nul pentru orice și orice dacă:
(1.3.15)
respectiv:
(1.3.16)
ceea ce implică:
(1.3.17)
respectiv:
(1.3.18)
Ultimele două identități, ținând seama și de (1.3.5), implică:
(1.3.19)
respectiv:
(1.3.20)
Este evident că dacă este nul pentru orice și orice , atunci și suma din (1.3.9) ce conține termeni este nulă pentru par. Pentru impar trebuie examinat termenul din mijloc al sumei. Astfel, în cazul relatiei de simetrie (1.3.11), ce implică restricțiile (1.3.19), aceasta este:
(1.3.21)
În cazul relației de antisimetrie (1.3.12) ce implică restricțiile (1.3.20), termenul central devine:
(1.3.22)
Ca atare, în cazul antisimetriei, dacă lungimea este impară, satisfacerea lui (1.3.9) necesită ca termenul central al secvenței să fie nul:
(1.3.23)
Există așadar 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară în funcție de lungimea N a răspunsului la impuls și de tipul de simetrie al acestuia:
Tipul1: FIR cu răspuns la impuls simetric și de lungime impară;
Tipul2: FIR cu răspuns la impuls simetric și de lungime pară;
Tipul3: FIR cu răspuns la impuls antisimetric și de lungime impară;
Tipul4: FIR cu răspuns la impuls antisimetric și de lungime pară.
Din cele prezentate anterior se pot trage următoarele concluzii importante:
a) Pentru filtrele FIR cu fază liniară, pentru orice (par sau impar), există o singură valoare a întârzierii de grup normate pentru care se obține faza liniară și anume:
(1.3.24)
b) Centrul de simetrie sau antisimetrie al secvenței , situat la se găsește la mijlocul distanței dintre eșantioanele centrale pentru par, în timp ce pentru impar acesta este plasat pe locul eșantionului , care poate avea orice valoare în cazul filtrului FIR de tipul 1, în timp ce pentru FIR de tipul 3 eșantionul central este neapărat nul.
În figura 1.1 este reprezentată alura răspunsurilor la impuls pentru cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară. Pe figură sunt marcate: lungimea a răspunsului, întârzierea de grup normată precum și întârzierea de grup nenormată:
Figura 1.1.Răspunsul la impuls pentru cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară:
tipul 1 (a), tipul 2 (b), tipul 3 (c), tipul 4 (d).
(1.3.25)
fiind perioada de eșantionare.
Pentru tipul 1, caracterizat prin impar și relația de simetrie funcția de transfer are expresia:
(1.3.26)
(1.3.27)
Aceasta conduce la următorele expresii ale centrul secvenței, adică secvențele pentru care:
(1.3.11)
sau
(1.3.12)
Într-adevăr, în relația (1.3.9), sub condiția (1.3.11), suma oricăror doi termeni egal depărtați de centrul secvenței devine:
(1.3.13)
Aanalog, în condiția (1.3.12), același este:
(1.3.14)
Este ușor de verificat din (1.3.13) și (1.3.14) că este nul pentru orice și orice dacă:
(1.3.15)
respectiv:
(1.3.16)
ceea ce implică:
(1.3.17)
respectiv:
(1.3.18)
Ultimele două identități, ținând seama și de (1.3.5), implică:
(1.3.19)
respectiv:
(1.3.20)
Este evident că dacă este nul pentru orice și orice , atunci și suma din (1.3.9) ce conține termeni este nulă pentru par. Pentru impar trebuie examinat termenul din mijloc al sumei. Astfel, în cazul relatiei de simetrie (1.3.11), ce implică restricțiile (1.3.19), aceasta este:
(1.3.21)
În cazul relației de antisimetrie (1.3.12) ce implică restricțiile (1.3.20), termenul central devine:
(1.3.22)
Ca atare, în cazul antisimetriei, dacă lungimea este impară, satisfacerea lui (1.3.9) necesită ca termenul central al secvenței să fie nul:
(1.3.23)
Există așadar 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară în funcție de lungimea N a răspunsului la impuls și de tipul de simetrie al acestuia:
Tipul1: FIR cu răspuns la impuls simetric și de lungime impară;
Tipul2: FIR cu răspuns la impuls simetric și de lungime pară;
Tipul3: FIR cu răspuns la impuls antisimetric și de lungime impară;
Tipul4: FIR cu răspuns la impuls antisimetric și de lungime pară.
Din cele prezentate anterior se pot trage următoarele concluzii importante:
a) Pentru filtrele FIR cu fază liniară, pentru orice (par sau impar), există o singură valoare a întârzierii de grup normate pentru care se obține faza liniară și anume:
(1.3.24)
b) Centrul de simetrie sau antisimetrie al secvenței , situat la se găsește la mijlocul distanței dintre eșantioanele centrale pentru par, în timp ce pentru impar acesta este plasat pe locul eșantionului , care poate avea orice valoare în cazul filtrului FIR de tipul 1, în timp ce pentru FIR de tipul 3 eșantionul central este neapărat nul.
În figura 1.1 este reprezentată alura răspunsurilor la impuls pentru cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară. Pe figură sunt marcate: lungimea a răspunsului, întârzierea de grup normată precum și întârzierea de grup nenormată:
Figura 1.1.Răspunsul la impuls pentru cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară:
tipul 1 (a), tipul 2 (b), tipul 3 (c), tipul 4 (d).
(1.3.25)
fiind perioada de eșantionare.
Pentru tipul 1, caracterizat prin impar și relația de simetrie funcția de transfer are expresia:
(1.3.26)
(1.3.27)
Aceasta conduce la următorele expresii ale funcției de transfer de fază zero și fazei continue asociată acesteia:
(1.3.28)
(1.3.29)
Pentru tipul 2, caracterizat prin par și relația de simetrie , funcția , ținând cont de faftul că cele două eșantioane centrale au indicii , se poate exprima astfel:
(1.3.30)
ceea ce duce la expresiile funcției de transfer de fază zero și a fazei continue asociată acesteia:
(1.3.31)
(1.3.32)
Pentru tipul 3, caracterizat prin impar și relația de antisimetrie , parcurgând aceleași etape ca la tipul 1, cu mențiunea că eșantionul central este nul, funcția de transfer se exprimă astfel:
(1.3.33)
deci:
(1.3.34)
(1.3.35)
Pentru tipul 4, caracterizat prin par și relația de antisimetrie , parcurgând aceleași etape ca la tipul 2, rezultă:
(1.3.36)
cu
(1.3.37)
ceea ce duce la expresiile funcției de transfer de fază zero și a fazei continue asociată acesteia:
(1.3.38)
(1.3.39)
Observații:
1) Prezența factorului în expresiile (1.3.33) și (1.3.37) ale funcțiilor de transfer ale filtrelor FIR cu fază liniară de tipul 3 și 4, arată că acestea sunt pur imaginare dacă exceptăm factorul de fază liniară ;
2) Pentru tipurile 1 și 3 cu impar, funcția , respectiv are un corespondent fizic în timp și anume:
(1.3.39)
fiind secvența necauzală, simetrică la tipul 1, respectiv antisimetrică la tipul 3 în raport cu ordonata. Această semnificație justifică denumirea de funcție de transfer de fază zero pentru funcția sau .
Pentru tipurile 2 și 4 nu mai există acest corespondent fizic deoarece în acest caz, nefiind întreg, nu mai este permisă deplasarea dată de relația (1.3.39).
3) Din expresiile (1.3.27), (1.3.30), (1.3.33) și (1.3.37) se observă că funcția de transfer de fază zero este o funcție pară pentru filtrele de tipul 1 și 2, respectiv impară pentru filtrele de tipul 3 și 4. De asemenea, nu are componentă continuă pentru tipurile 2,3, și 4.
4) Știind că funcția de transfer este periodică, de perioadă , utilizând relația (1.3.3b) se poate scrie:
(1.3.40)
Din relațiile (1.3.28), (1.3.31), (1.3.34) și (1.3.38) se constată că:
(1.3.41)
Introducând (1.3.41) în (1.3.40), rezultă relația:
(1.3.42)
Pe de altă parte, înlocuind cu în (1.3.40) și (1.3.41), rezultă:
ceea ce implică:
(1.3.43)
Relațiile (1.3.42) și (1.3.41) demonstrează că funcția de fază zero este periodică și tot de perioadă pentru filtre de tipul 1 sau 3, în schimb pentru filtre de tipul 2 sau 4, perioada este și prezintă simetrie de rotație (pe a doua jumătate a perioadei repetă evoluția, dar cu semn schimbat). Această remarcă este deosebit de utilă la proiectarea filtrelor pentru impunerea corectă a condițiilor în domeniul frecvență.
În tabelul 1.1 sunt prezentate în rezumat cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară împreună cu anumite particularități semnificative care justifică utilizarea sau neutilizarea fiecăruia în realizarea unor anumite tipuri de caracteristici de filtrare: filtre trece jos (FTJ), trece sus (FTS), trece bandă (FTB), oprește bandă (FOB), transformator Hilbert (TRH) și diferențiatoare (DIF).
Tabelul 1.1.
Afirmațiile din ultimele două coloane ale tabelului pot fi ușor verificate dacă se examinează reprezentările grafice ale funcțiilor de transfer ale modelelor ideale digitale din figura 1.2.
În figura 1.3 sunt ilustrate reprezentările grafice posibile ale funcției de transfer de fază zero pentru cele 4 tipuri de filtre FIR cu fază liniară, ținând seama de proprietățile de periodicitate menționate în observațiile 3 și 4, precum și de valorile acesteia la și date în tabelul 1.1.
Figura 1.2. Răspunsurile în frecvență ale unor modele ideale de filtre digitale.
Simetria sau antisimetria secvenței , specifică filtrului FIR cu fază liniară implică și o poziționare particulară a zerourilor funcției de transfer a acestuia .
Utilizând expresia (1.3.1) în care se înlocuiește cu , se obține:
(1.3.44)
Figura 1.3. Funcții tipice de fază zero pentru cele patru tipuri de filtre FIR:
tipul 1 (a), tipul 2 (b), tipul 3 (c), tipul 4 (d).
Efectuând acum schimbarea a indicelui de sumare și utilizând condiția de simetrie (1.3.11), rezultă următoarea relație valabilă pentru filtrele FIR de tipul 1 și 2:
(1.3.45)
Procedând similar pentru filtrele FIR de tipul 3 sau 4 cu utilizarea condiției de antisimetrie (1.1.12), se găsește relația:
(1.3.46)
Reunind (1.3.45) și (1.3.46), rezultă că funcția de transfer a oricărui filtru FIR cu fază liniară satisface relația:
(1.3.47)
Consecințele în planul sunt următoarele:
1) Dacă este un zerou al lui , atunci și este de asemenea un zerou al acestuia. Într-adevăr, (1.3.47) arată că:
(1.3.48)
2) Ținând cont de faptul că în aplicațiile de interes practic coeficienții ai polinomului sunt reali, zerourile acestuia sunt plasate în perechi complex conjugate. Ca atare, sunt posibile următoarele configurații de zerouri exprimate în coordonate polare:
a)
Caracterul real al coeficienților determină existența zeroului iar liniaritatea fazei, conform (1.3.48), implică zerourile și simetrice geometric în raport cu cercul de rază unitate:
și
Acestei configurații îi corespunde factorul elementar în funcția :
(1.3.49)
Evident, secvența este simetrică.
b)
Prezența zeroului implică automat și zeroul , care este în același timp atât complex conjugatul lui , cât și simetricul geometric al acestuia. Factorul elementar corespunzător în va fi:
(1.3.50)
c)
Zeroul fiind real, implică doar simetricul geometric și deci funcția elementară:
(1.3.51)
d)
Analog cazului c) se obține:
(1.3.52)
e)
Zeroul este simultan propriul lui conjugat și simetric geometric. Factorii elementari corespunzători sunt:
(1.3.53)
Utilizând relațiile:
(1.3.54)
(1.3.55)
și corelând particularitățile funcției din tabelul 1.1 cu configurațiile de zerouri posibile ale funcției de fază liniară se pot face următoarele observații:
– Întrucât zerourile menționate la a), b), c), d) apar în număr par (câte două sau câte patru), pentru a realiza ordinul impar în cazul filtrelor cu lungime pară (tipurile 2 și 4), este necesară prezența factorilor de tipul e) cu ordin de multiciplitate impar.
–Astfel, la tipul 2 este obligatorie prezența zeroului cu multiciplitate impară pentru a realiza anularea lui la , în timp ce la tipul 4 este obligatorie prezența zeroului cu multiciplitate impară pentru a realiza anularea lui la .
– La tipul 3, cu ordinul par, este obligatorie prezența simultană a zerourilor și pentru a anula în și . Imparitatea funcției solicită multiciplitatea impară pentru și în consecință tot impară și pentru .
– La tipul 1,cu ordinul par, apariția zerourilor în și nu este obligatorie. Se pot introduce, dacă alura caracteristicii de filtrare necesită anularea ei la frecvențele și/sau , dar atunci obligatoriu cu multiplicarea pară pentru fiecare, aceasta pentru a respecta ordinul par al filtrului și paritatea caracteristicii .
1.4. FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS (IIR)
Filtrele digitale cu răspuns infinit la impuls, ce vor fi denumite în continuare filtre IIR (Infinite Impulse Response), constituie blocuri importante în multe sisteme de prelucrare numerică a semnalelor. În anumite aplicații ele se dovedesc mai avantajoase decât filtrele FIR datorită faptului că pot realiza caracteristici de selectivitate excelente. Ele sunt recomandate în situațiile în care sunt necesare benzi de trecere sau oprire foarte înguste, în situațiile în care benzile de oprire sunt foarte înguste, precum și atunci când sunt necesare atenuări foarte mari în zonele de oprire.
Funcția de transfer a unui filtru IIR, în forma cea mai generală, poate fi exprimată astfel:
(1.4.1)
În expresia (1.4.1) cel puțin un coeficient trebuie să fie nenul și de asemenea toate zerourile polinomului de la numitor trebuie să fie diferite de zerourile polinomului de la numărător.
Răspunsul la impuls , așa cum se vede deja în (1.4.1), trebuie să satisfacă restricțiile de cauzalitate și stabilitate, adică:
(1.4.2)
(1.4.3)
Restricția de stabilitate se traduce în planul prin localizarea polilor funcției în interiorul cercului de rază unitate, în timp ce zerourile acesteia pot fi plasate oriunde.
Remarcă: Relației (1.4.1) în planul îi corespunde în timp discret ecuația cu diferențe finite între răspunsul și excitația :
(1.4.4)
Aceasta ecuație stă la baza implementării filtrului IIR și permite determinarea secvenței de ieșire atunci când se cunosc secvența de intrare precum și eșantioane consecutive ale ieșirii (cunoscute sub denumirea de condiții inițiale). Faptul că eșantioanele calculate anterior sunt folosite pentru a le calcula pe cele viitoare determină atribuirea denumirii de sistem recursiv sau filtru recursiv pentru sistemul caracterizat de funcția de transfer (1.4.1) sau, în mod echivalent de ecuația (1.4.4).
Totuși trebuie relevat că, în timp ce denumirea de IIR caracterizează lungimea secvenței , atributul recursiv se referă la modul de implementare a răspunsului la impuls. Există implementări recursive pentru filtrele FIR și există filtre IIR ce nu pot fi implementate complet recursiv (conținând blocuri nerecursive). Astfel secvența finită:
(1.4.5)
poate fi implementată recursiv pe baza ultimei forme a lui din expresia de mai jos:
(1.4.6)
Ca atare, vom prefera denumirea de filtru IIR deoarece aceasta nu lasă nici un dubiu cu privire la clasa de filtre de care dorim să ne ocupăm.
În majoritatea cazurilor, în relațiile (1.4.1) și (1.4.4) este îndeplinită condiția . Sistemele de acest tip se numesc de ordin N. Dacă , filtrul poate fi considerat ca fiind format prin conectarea în cascadă a unui filtru IIR de ordin N cu un filtru FIR de ordin .
Toate tehnicile de proiectare a filtrelur IIR pornesc de la premisa , ordinul filtrului fiind deci egal cu numărul de poli ai funcției de transfer.
Spre deosebire de filtrele FIR, filtrele IIR nu pot avea caracteristica de fază exact liniară, ci doar cu o oarecare aproximație. Să considerăm, de exemplu, un filtru IIR de tip autoregresiv, care constitue un caz particular al filtrelor IIR, funcția de transfer având numai poli, nu și zerouri și anume:
(1.4.7)
Faza acestui filtru este:
(1.4.8)
Dar sistemul caracterizat prin funcția de transfer este de tip FIR și pentru a avea faza liniară este necesară condiția:
(1.4.9)
Aceasta ar însemna că polinomul să aibă zerourile simetrice geometric în raport cu cercul de rază unitate. Dar cum zerourile luisunt polii lui , plasarea acestora în exteriorul cercului unitate nu este posibilă, sistemul devenind instabil.
Imposibilitatea realizării unei faze liniare are implicații în ceea ce privește problema proiectării filtrelor IIR, în sensul că aceasta presupune întotdeauna aproximarea atât a specificațiilor pentru caracteristica de amplitudine cât și a celor referitoare la fază.
Există un singur tip de filtru IIR la care una din cele două caracteristici este constantă. Este cazul filtrului trece tot (FTT) pentru care:
(1.4.10)
Satisfacerea condiției (1.4.10) implică restricțiile:
grad P = grad Q = N;
2)
Ca atare, în forma sa cea mai generală, funcția de transfer a unui FTT digital cu coeficienți reali este:
(1.4.11)
Aceasta evidențiază plasarea zerourilor și polilor în relație de simetrie geometrică față de cercul unitate. În cazul particular al FTT de ordinul II, funcția de transfer va avea expresia:
(1.4.12)
Considerând forma polară a coordonatelor polilor, se mai poate exprima astfel:
(1.4.13)
Poziționarea polilor și zerourilor acestei funcții de transfer este ilustrată în figura 1.4:
Figura 1.4. Polii și zerourile filtrului trece tot de ordinul II.
Importanța filtrelor trece tot constă în faptul că ele sunt utilizate pentru corecția distorsiunilor liniare de fază (sau egalizarea caracteristicii întârzierii de grup). De asemenea, ele reprezinta blocuri de bază în realizarea altor tipuri de filtre IIR (trece jos, trece sus, trece bandă, oprește bandă, circuite corectoare de atenuare) cu senzitivități reduse.
Proiectarea filtrelor IIR se sprijină pe cunoașterea proprietăților de bază ale funcției de transfer și ale părților acesteia: modulul funcției de transfer, faza funcției de transfer și întârzierea de grup. Întrucât faza filtrului IIR este neliniară (neliniaritate cu atât mai accentuată cu cât ordinul filtrului este mai mare), la proiectare trebuie examinată și caracteristica de fază sau de întârziere de grup, aceasta din urma fiind o măsură a gradului de “împrăștiere” în timp produsă de filtru asupra semnalului pe care îl prelucrează. În continuare sunt definite părțile funcției de transfer, utile în teoria aproximării filtrelor IIR.
Modulul funcției de transfer. O serie de tehnici de proiectare a filtrelor IIR au la bază numai restricțiile impuse pentru modulul funcției de transfer, faza fiind complet ignorată. În aceste situații este mai comod a se lucra cu pătratul modulului funcției de transfer, definit astfel:
(1.4.14)
Relația permite calculul lui când se cunoaște , dar și determinarea lui din , parcurgând etapele:
a) Se determină prin trecerea de la cercul unitate în planul z conform relației:
(1.4.15)
Relația (1.4.15) evidențiază faptul că polinoamele și au fiecare zerourile plasate în mod egal în interiorul și exteriorul acestuia, în relație de simetrie geometrică.
b) Se determină polii lui , aceștia fiind zerourile lui din interiorul cercului unitate. Deci polii funcției de transfer sunt unic determinați de pătratul modulului acesteia evaluat la frecvențe fizice.
c) Se determină zerourile lui din identitatea:
(1.4.16)
Dat fiind că zerourile funcției de transfer pot fi plasate oriunde în planul z, identitatea (1.4.16) nu permite o determinare unică a zerourilor, cu excepția cazului în care acestea sunt plasate pe cercul de rază unitate.
În majoritatea cazurilor, pentru polinomul se aleg zerourile lui plasate în interiorul cercului unitate, filtrul rezultat purtând denumirea de filtru de fază minimă.
Faza funcției de transfer este definită prin relația:
(1.4.17)
Exprimând funcția de transfer la frecvențe fizice în forma polară și utilizând paritatea modulului și imparitatea fazei (proprietăți valabile pentru filtrul cu coeficienți reali) se poate scrie:
(1.4.18)
Logaritmând în ambii membri, relația (1.4.18) comduce la o altă exprimare a fazei și anume:
(1.4.19)
Întârzierea de grup (timpul de grup). În anumite aplicații este necesar a conserva forma semnalului de intrare. Acest lucru se realizează dacă faza funcției de transfer este liniară în zona de trecere efectivă:
(1.4.20)
unde și sunt două constante pozitive.
Exprimând funcția de transfer logaritmată:
(1.4.21)
și derivând în ambii membri se poate scrie:
(1.4.22)
Relațiile (1.4.22) permit evaluarea întârzierii de grup pentru orice filtru digital (FIR sau IIR).
1.5.METODE DE PROIECTARE A FILTRELOR DIGITALE
Metodele de proiectare a filtrelor FIR se pot grupa în trei categorii:
a) metoda ferestrelor: prezintă o serie de avantaje, ce constau în simplitate, obținerea de formule compacte pentru calculul coeficienților, la care se adaugă faptul că nu necesită proceduri de optimizare. Utilizează ferestre de tip: dreptunghiulară, Hamming, Kaiser, triunghiulară, Blackmann, Hann.
b) metoda eșantionării în frecvență: suportul matematic al acestei metode îl constituie transformata Fourier discretă (DFT). Utilizând DFT, putem determina secvența din eșantioanele răspunsului în frecvență:
localizate echidistant la frecvențele din intervalul . Un dezavantaj al metodei constă în aceea că, din cauza faptului că eșantionarea este constrânsă la multiplii întregi de , metoda este lipsită de flexibilitate in ceea ce privește specificarea frecvențelor de tăiere și de blocare. Luând suficient de mare, eșantioanele pot fi obținute oricât de aproape de frecvențele date, însă, chiar și în acest fel, metoda rămâne ineficientă, ceea ce a condus la elaborarea altor metode algoritmice de proiectare cu performanțe superioare.
c) metode bazate pe minimizarea erorii, utilizând un anumit criteriu de eroare și eventual algoritmi de optimizare pe calculator a soluției.
Metodele de proiectare a filtrelor IIR pot fi clasificate în două categorii:
a) metode indirecte, bazate pe proiectarea în prealabil a unui filtru analogic și apoi transformarea acestuia într-unul digital.
b) metode directe, urmărind realizarea filtrelor digitale fără referire la un model analogic. Aceste metode se bazează pe utilizarea criteriilor de aproximare în domeniul timp sau frecvență și presupun în general optimizarea numerică a soluției prin tehnici iterative ce necesită un timp mare de calcul.
Proiectarea indirectă a filtrelor digitale IIR presupune parcurgerea etapelor:
1) proiectarea filtrelor analogice de tip Butterworth, Bessel, Cebâșev de tipul 1 și 2, eliptice;
2) transformarea filtrelor analogice în filtre digitale prin:
– metoda transformării ecuației diferențiale;
– metoda invarianței la impuls;
– metoda transformării biliniare;
– metoda transformării în adaptate.
Proiectarea directă a filtrelor digitale IIR: metodele de proiectare din această categorie se bazează pe optimizarea numerică și în principiu permit obținerea de filtre digitale ce aproximează orice tip de răspuns în domeniul timp sau în domeniul frecvență. În practică sunt folosite frecvent următoarele metode:
– metoda Deczky;
– metoda Prony;
– metoda Dolan și Kaiser;
– metoda Rabiner;
– metoda eșantionării în frecvență;
– metoda schimbărilor Remez.
CAPITOLUL 2
PROIECTAREA PRIN MODELARE A FILTRELOR AUTOREGRESIVE, A FILTRELOR CU MEDIERE MOBILĂ ȘI A FILTRELOR CU POLI ȘI ZEROURI
2.1 INTRODUCERE
Capitolul precedent prezintă metode tradiționale de proiectare pentru filtre digitale FIR și IIR. Aceste metode sunt împământenite în teoria matematică a aproximației, unde constrângerile superioare și inferioare sunt plasate pe deviația lui de la răspunsul ideal. O altă clasă de metode de proiectare este bazată pe modelarea statistică a spectrului; în aceste metode este utilizat criteriul de eroare al celor mai mici pătrate (în engleză: LSE=least-squares error). Aceste metode sunt asemănătoare când proiectarea filtrelor sau modelul de proiectare sunt derivate din rezultate experimentale având fluctuații aleatoare. Oricum, ele pot fi utilizate de asemenea pentru proiectarea deterministă când filtrele cu fază minimă FIR sunt dorite, când specificațiile nonclasice sunt date pentru filtrele IIR, când polii și zerourile numerelor neegale sunt dorite, ș.a.m.d. Acoperirea completă a acestui domeniu, care este uneori denumit analiză spectrală modernă, este îndepărtată de scopul acestei lucrări și ne vom concentra pe proiectarea deterministă a filtrelor. În orice caz, bazele modelării statistice a datelor și analiza spectrală vor fi de asemenea incluse în secțiunea 3.2.
2.1.1. Ecuații Supradeterminate
Considerăm un set de ecuații liniare simultane de forma:
(2.1.1)
unde este o matrice cunoscută (L rânduriN coloane), este un vector N-dimensional necunoscut și este un vector L-dimensional cunoscut. Dacă L=N, matricea este pătratică și aceasta are mai multe ecuații necunoscute. Dacă este de asemenea nesingulară, există o soluție unică și acesta este dată de
(2.1.2)
unde este matricea inversă ce satisface relația . Dacă , este o matrice nepătratică având mai multe rânduri și coloane și are mai multe ecuații necunoscute. În acest caz, ecuațiile sunt inconsistente, în general, și soluția nu există dacă vectorul nu se întinde într-un subspațiu N-dimensional distanțat de coloanele lui .
Așadar, când trebuie să modificăm (2.1.1), în general, pentru a obține o soluție prin adăugarea unui vector eroare , adică
(2.1.3)
Vom alege deci un criteriu de eroare potrivit și flexibil și căutăm soluția care satisface acest criteriu. Cel mai comun criteriu este criteriul LSE care minimizează suma pătratelor erorilor pentru cele L ecuații, adică
. (2.1.4)
(De notat că este, simplu, produsul scalar al lui cu el însuși.) Scriind pe ca în (2.1.3), atunci avem
(2.1.5)
deoarece . Dar dacă E poate fi minimizat prin alegerea de către noi a lui, trebuie să avem
sau, in notație vectorială,
. (2.1.6)
Substituția relației (2.1.5) în (2.1.6) produce
sau, mai simplu
. (2.1.7)
Ecuația (2.1.7) este ecuația normală dorită pentru soluția a criteriului LSE. (Același rezultat poate fi obținut scriind (2.1.5) în termeni ai sumei și luând derivatele parțiale individuale cu respectarea condiției ca xi să producă N ecuații în (2.1.7).)
De notat că dacă ambele părți ale relației (2.1.3) sunt premultiplicate cu , avem
. (2.1.8)
Comparând (2.1.7) cu (2.1.8), găsim că
. (2.1.9)
Acesta este un exemplu al renumitului principiu de ortogonalitate al estimării celor mai mici pătrate, categorie în care vectorul eroare ce corespunde minimizării soluției trebuie să fie ortogonal pe fiecare din coloanele lui și astfel pe subspațiul distanțat de coloanele lui.
Dacă matricea este nesingulară, soluția ecuației normale în (2.1.7) este unică și este simplă
(2.1.10)
unde este pseudoinversa lui (se mai numește și inversa generalizată sau inversa Moore-Penrose). este nesingulară dacă, și numai dacă, rangul lui este N adică dacă N coloane ale lui sunt independente liniar. Pe de altă parte, dacă este singulară, o soluție totuși există, dar este neunică. În acest caz, pseudoinversa nu poate fi definită ca în (2.1.10), dar în schimb este definită în termeni cu valori singulare a lui .
2.2. FILTRE AUTOREGRESIVE (AVÂND NUMAI POLI)
Tehnicile autoregresive (AR) sau modelarea filtrelor având numai poli stau la baza tuturor metodelor din acest domeniu. Considerăm un model de filtru cauzal AR
(2.2.1)
unde
.
Atunci,
(2.2.2)
sau, în domeniul timp, utilizând notația alternativă ,
. (2.2.3)
Figura 2.1. Filtrul invers A(z) aplicat:
(a) modelului de răspuns și
(b) răspunsului dorit sau informației .
Filtrul FIR este astfel filtrul invers pentru , care albește pentru a produce , cum este ilustrat în figura 2.1(a). Utilizând valori consecutive pentru începând cu , (2.2.3) dă ecuații liniare pentru rezolvarea lui . Așadar, dându-se până la plus faptul că când , convoluția mai poate fi scrisă în formă matriceală pentru a produce următoarele ecuații pentru :
. (2.2.4)
Oricum, dându-se un răspuns la impuls dorit sau măsurat, deoarece nu este exact AR și/sau mai mare de ordinul , putem doar să aproximăm aceasta ca în (2.2.1). Așadar, (2.2.3) devine
, (2.2.5)
unde este eroarea de aproximare și este doar un filtru invers aproximat ca cel ilustrat în figura 2.1(b). Scriind (2.2.5) în formă matriceală, avem
(2.2.6)
unde
De notat că am presupus mai multe eșantioane de informație , decât cererea minimă (adică ) cu scopul de a aproxima în speranța apropierii cât mai mari de intervalul minim. Aplicând criteriul de eroare al celor mai mici pătrate, căutăm să minimizăm
(2.2.7)
Aceasta este problema standard în estimarea celor mai mici pătrate cu ecuațiile supradeterminate, discutată în secțiunea 2.1. Soluția de minimizare este obținută prin multiplicarea directă a relației (2.2.6) cu pentru a obține
. (2.2.8)
Ea este atunci găsită cum a fost arătat mai devreme în (2.1.9):
. (2.2.9)
De notat de asemenea că , unde dimensiunea lui variază cum este necesar.
2.2.1. Metoda covarianței
În mai multe notații compacte avem pentru (2.2.8) și (2.2.9) ecuația normală
(2.2.10)
unde este o matrice de covarianță simetrică
(2.2.11)
și astfel
. (2.2.12)
Aceasta înseamnă că este proporțional cu prima coloană a lui . este o matrice pozitiv definită și astfel inversabilă deoarece coloanele lui sunt liniar independente. Această abordare generală a estimării celor mai mici pătrate a modelelor de proiectare AR (având o durată finită a normei erorii pătratice fără ferestruire, ca în (2.2.7)) este cunoscută ca metoda covarianței a predicției liniare. Inversarea eficientă a matricii este obținută prin factorizarea Cholesky.
2.2.2. Ecuația Yule-Walker
Pe măsură ce , elementele ale matricii se apropie de valorile de autocorelație unde
, (2.2.13)
și deoarece este real, . Așadar, se apropie de matricea simetrică de autocorelație Toeplitz
(2.2.14)
Limitele relației (2.2.10) cu sunt cunoscute ca ecuația Yule-Walker. Intuind adițional, se poate ajunge la aceste cazuri limită transformând (2.2.5) pentru a obține
.
Conform Teoremei lui Parseval’s, așadar, norma erorii devine
. (2.2.15)
Aceasta arată în domeniul frecvență sensul în care albește . Este clar, pentru (2.2.4), când . Deci, orice răspuns , dacă este AR sau nu, poate fi aproximat arbitrar în apropierea lui în sensul relației (2.2.15), dacă este ales suficient de mare.
2.2.3. Metoda autocorelației
Dându-se numai un bloc finit de date , poate fi aproximat prin completarea cu zerouri a datelor pentru a produce
, (2.2.16)
unde
și astfel
(2.2.17)
pentru . Substituția lui în locul lui în (2.2.10) și (2.2.12) constituie metoda autocorelației pentru predicția liniară. Așadar, cu normalizarea lui dată de
,
metoda autocorelației corespunde cu ecuația normală
(2.2.18)
sau
. (2.2.19)
Deoarece coloanele lui sunt liniar independente, nu poate fi singulară.
Metoda autocorelației, în fapt, ponderează secvența infinită cu o fereastră dreptunghiulară de lungime L+1, deci răspunsul în frecvență dorit este determinat prin transformarea ferestrei . Filtrul AR rezultat este astfel o aproximare a lui , nu a lui cu el însuși. Revenind la acest dezavantaj, oricum, el prezintă și câteva avantaje pentru acestă metodă. Unul este că dacă este garantat să fie cu fază minimă (toate rădăcinile în interiorul cercului de rază unitate), deci este garantat să fie stabil. Aceasta nu este adevărat pentru metoda covariației, în general. De fapt, dacă din unele motive dorim un model instabil , metoda covariației este cea mai potrivită alegere. Oricum, pentru un stabil, metoda covariației va produce de asemenea uzual un model de proiectare stabil. Dovada stabilității pentru metoda autocorelației va fi dată pe scurt.
Exemplu
Ca un exemplu simplu al metodelor covarianței și autocorelației, vom obține modele de ordinul întâi ale răspunsului dorit , pentru , pentru aceste două metode. Pentru metoda covarianței, vom forma matricea de date
pentru care matricea de covarianță pentru am văzut că este
.
Începând cu , ecuația normală pentru este de forma
.
Cele două ecuații liniare simultane cuprinzând acest vector al ecuației dau soluția așteptată
.
Așadar, modelul filtrului este chiar
sau , care se potrivește exact cu dat în acest caz simplu, dacă este stabil sau nu. Pentru metoda autocorelației, completăm cu zerouri matricea dată pentru a produce
și astfel
.
Ecuația normală este acum
.
Folosind pe cea de-a doua din cele două ecuații cuprinzând acest vector al ecuației pentru a rezolva , avem
,
pentru care
.
Putem arăta că și deci acest model de proiectare este stabil pentru toate valorile lui . De observat, în particular, următoarele cazuri:
2.2.4. Algoritmul Levinson-Durbin
Al doilea avantaj al metodei autocorelației, adițional cu garantarea stabilității, este acela că există un algoritm iterativ foarte eficient pentru soluția lui . Acesta este algoritmul Levinson-Durbin, care rezolvă pe printr-o recurență până la ordinul . Fie soluția de ordinul , adică
. (2.2.20)
Presupunând relația de recurență
(2.2.21)
unde este un scalar iar este matricea de permutare
Câștigul pentru componenta înapoi este numit coeficient de reflexie. Atunci, trebuie să satisfacă relația
(2.2.22)
sau, substituind în (2.2.21),
. (2.2.23)
De aceea, din definiția lui ,
. (2.2.24)
Ecuațiile din jumătatea de jos a relației (2.2.24) sunt satisfăcute datorită relației (2.2.20) deoarece este simetrică și Toeplitz. Luând
, (2.2.25)
ultima ecuație din (2.2.24) dă coeficienții de reflexie ca
. (2.2.26)
Prima ecuație, pe de altă parte, produce pentru (2.2.20), (2.2.25) și (2.2.26)
(2.2.27)
De aceea,
(2.2.28)
deoarece, la limita lui , răspunsul la impuls se potrivește exact cu modelul de proiectare AR și astfel . De reținut, de asemenea, că doar dacă pentru orice , corespunzând exact unui ordin al modelului de proiectare AR.
O altă observație importantă trebuie făcută implicând coeficienții de reflexie. Din (2.2.28), , și astfel din (2.2.27)
, pentru orice P. (2.2.29)
Acestă condiție pentru coeficienții de reflexie este atât necesară cât și suficientă pentru a asigura stabilitatea lui , care poate fi dovedită aplicând teorema lui Rouche’s în relația (2.2.21). Teorema lui Rouche’s afirmă că dacă și sunt funcții analitice în interiorul și într-un contur închis C (cercul unitate), cu pe C, atunci și + nu au zerouri pe C și au același număr de zerouri în interiorul lui C. Fie
,
care este analitică pretutindeni, cu excepția lui . Cele zerouri ale lui sunt acelea ale lui plus unul al lui . Presupunem aceste zerouri ca fiind toate în interiorul cercului unitate. Similar, luăm
.
Deci, zerourile lui sunt toate în exteriorul cercului unitate (adică este cu fază maximă); dar cât timp , pentru , acestea sunt în interiorul cercului unitate. De aceea, din (2.2.21) și din teorema lui Rouche’s, toate zerourile lui sunt în interiorul cercului unitate. Suficiența condiției pentru stabilitate este astfel dovedită prin inducție cu un polinom inițial . Verificarea acestei necesități este similară.
Rezumat:
Vom rezuma algoritmul Levinson-Durbin detaliind mai multe iterații.
Iterația 0:
Soluția de ordin zero este simplu scalarul
.
Ecuația normală (2.2.20) este , pentru care
.
Iterația 1:
Soluția de ordinul unu este atunci, din (2.2.21) cu ,
.
Pentru determinarea lui vom calcula din (2.2.25) ca
și deci din (2.2.26)
.
De notat că , cum era de așteptat. În cele din urmă, din (2.2.27),
Iterația 2:
Soluția de ordinul doi este
unde
Recurența continuă în această manieră până la a N-a iterație unde , sau până când , care indică acel model de proiectare AR ce se potrivește exact cu valorile autocorelației date pentru
O caracteristică importantă a algoritmului Levinson-Durbin este reducerea asociată în calculele cerute pentru a rezolva ecuațiile normale pentru . Soluția unui set general de N ecuații liniare cum ar fi,de exemplu, eliminarea Gaussiană, cere operații și locații de memorie. Descompunerea Choleski cere mai puține calcule și mai puțină memorie, dar și aceasta necesită operații și, respectiv, locații de memorie. În contrast, algoritmul Levinson-Durbin cere doar operații și locații de memorie. Oricum, în evaluarea complexității calculelor, trebuie de asemenea să ținem minte aceste calcule de care avem nevoie pentru a calcula secvența de corelație , și pentru , acesta domină alte calcule.
2.2.5. Algoritmul pas-înapoi
Secvența coeficienților de reflexie este echivalentă cu vectorul în sensul că unul poate fi obținut direct din celălalt. Algoritmul pas-înainte ce transformă în este simplu aplicația recursivă a (2.2.21) cu pentru a obține , . Algoritmul pas-înapoi transformă în și este de asemenea provenit din (2.2.21). Aceste ecuații pot fi grupate în perechi de forma
(2.2.30)
care pot fi rezolvate pentru pentru a obține
. (2.2.31)
De asemenea, pentru ultima ecuație din (2.2.21), avem . Deci, poate proveni din recursiv pentru pentru a scoate .De notat că pentru metoda autocorelației , și astfel numitorul din (2.2.31) nu poate fi zero. Oricum, în diferite aplicații ale algoritmului pas-înapoi, putem avea , caz în care (2.2.31) nu mai poate fi utilizată.
O altă aplicație a algoritmului pas-înapoi este aceea când, dându-se un oarecare, el constituie un test simplu de stabilitate pentru corespondența . Acestea fiind spuse, dacă pentru orice P, atunci nu este stabil. Drept exemplu, metoda covarianței nu garantează întotdeauna stabilitatea,modelul de proiectare rezultat putând fi cu ușurință verificat ca stabilitate prin medii ale algoritmului pas-înapoi.
2.2.6. Date asupra răspunsului în amplitudine
În multe aplicații, unde nu este dată o secvență cauzală de aproximat, ci mai degrabă , pentru care trebuie estimat. Eșantionând cu un set dens de frecvențe uniform distanțate , vom scoate Transformata Fourier Discretă (TFD) a lui care pot fi inversate pentru a obține . Oricum, este de fază zero și astfel este necauzal și simetric în jurul lui . Așadar, avem
(2.2.32)
pentru și .
Ca exemplu, vom aplica metoda autocorelației pentru a aproxima răspunsul în frecvență ilustrat în figura 2.2(a) cu și . Modelul de proiectare AR rezultat este ilustrat în figura 2(b). De notat că deviația cea mai mare de la răspunsul dorit se obține la fundul crestăturii conturului în formă de V. Aceasta era de așteptat deoarece acesta este un model de proiectare având numai poli și nu avem zerouri cu care să obținem o crestătură în contur. Benzile de trecere sunt cu ripluri egale, dar acesta nu este o proprietate generală a modelelor de proiectare AR. De fapt, în vecinătatea tranzițiilor abrupte, se vor produce ripluri mari; deci astfel de schimbsri abrupte sunt de evitat în specificările lui .
2.2.7. Metoda Steiglitz-McBride
Ecuațiile normale liniare pentru coeficientul vectorului în acestă parte au rezultat din alegerea erorii filtrului invers în (2.5) la care se aplică criteriul de eroare al celor mai mici pătrate. Ea poate fi argumentată pentru că acesta nu este eroarea ce într-adevăr dorim s-o minimizăm și deci acest rezultat estimat nu este cel mai bun estimat al celor mai mici pătrate. Mai precis, prin aceste argumente, eroarea de potrivire
a)
b)
Figura 2.2. (a) Răspunsul în amplitudine dorit ;
(b) Model AR de ordinul 20.
(2.2.33)
este eroarea preferată standard. Norma celor mai mici pătrate devine atunci
(2.2.34)
sau, în cazul limită când ,
(2.2.35)
Această normă a erorii, în orice caz, conduce la ecuații neliniare pentru , care trebuie să fie rezolvate iterativ. Steiglitz și McBride au propus un algoritm iterativ eficient ce estimează coeficienții numitorului și numărătorului pentru în cazul general ARMA. Vom adapta algoritmul lor aici doar pentru cazul AR.
Notăm mai întâi
De aceea, definind
avem în formă vectorială din (2.2.33)
. (2.2.36)
Soluția minimizată este cu aproximație
(2.2.37)
unde indică matricea pseudo-inversă. Această soluție aste numai aproximativă (deși foarte apropiată de soluția exactă) deoarece am neglijat faptul că modelul și astfel și sunt ele însele funcții ale lui . Matricea rezultată corespunde convoluției . Deci, (2.2.36) ne spune să prefiltrăm datele prin intermediul modelului înainte de rezolvarea pentru , care poate fi făcută doar iterativ. Acestea fiind spuse, luând pe drept estimat de ordinul , ce corespunde lui și , vom rezolva pentru din (2.2.37) prin
. (2.2.38)
Convergența acestui algoritm iterativ a fost fondată să fie rapidă (de ordinul a 5 până la 10 iterații). Oricare dintre metoda covarianței sau autocorelației poate fi folosită pentru a furniza vectorul inițial . O posibilă dificultate este aceea că algoritmul poate să nu fie convergent dacă ordinul al modelului este ales să fie mai mare decât acela al datelor . Deci, este important să nu supraestimăm ordinul modelului.
2.3. FILTRE CU MEDIERE MOBILĂ (AVÂND NUMAI ZEROURI)
Filtrele cu mediere mobilă (în engleză: moving-average (MA)) sunt o altă denumire pentru filtrele FIR. Se cunosc trei tehnici pentru proiectarea filtrelor FIR cu fază liniară cu răspuns aleator în amplitudine. O altă clasă a acestor tehnici generale ce furnizează modele de proiectare pentru filtre cu fază minimă este disponibilă în domeniul proiectării statistice. Două dintre aceste tehnici sunt descrise în această secțiune.
2.3.1. Metoda Durbin
Prima tehnică este metoda Durbin, care este o metodă directă și foarte eficace dacă un model MA este adecvat pentru date. Filtrul MA este de forma , unde
. (2.3.1)
Începând cu ordinul , modelul AR poate aproxima orice filtru dorit cu o acuratețe arbitrară dacă este luat suficient de mare (cum am discutat în secțiunea precedentă), luând pe să fie un model AR de ordin superior al lui sau cu . Cum am observat mai înainte, filtrul AR nu poate modela direct crestăturile abrupte din , dar pentru un suficient de mare, “informația” implicând niște crestături este totuși conținută în și poate fi extrasă din modelul lui .
Așadar, dorim ca
(2.3.2)
sau, în domeniul timp,
, (2.3.3)
unde este eroarea de aproximare. Acesta este exact analoagă cu (2.2.5); astfel estimăm și este un model AR al filtrului FIR . Deoarece este FIR, metoda autocorelației poate fi aplicată direct secvenței de “date” (fără ferestruire) pentru a calcula . Așadar, este garantat să fie de fază minimă, chiar dacă polinomiala există sau nu.
Exemplu:
Pentru a găsi un model MA de ordinul întâi simplu prin metoda Durbin, fie filtrul ce va fi modelat ca filtru AR de ordinul întâi
.
Atunci, este egal cu în acest caz. Ecuația normală pentru metoda autocorelației aplicată secvenței coeficienților este pur și simplu
pentru care
.
Vom nota pentru , cum era de așteptat, deoarece și termenii pentru sunt neglijabili dacă .
Ca un alt exemplu, un model MA cu a fost realizat pentru filtrul ideal din figura 2.2(a) utilizând un model AR intermediar de ordin . Asemenea model AR de ordin superior nu este greu de calculat prin metoda autocorelației cu algoritmul Levinson-Durbin. Răspunsul în amplitudine rezultat este ilustrat în figura 2.3. Comparând acesta cu modelul AR din figura 2.2(b) având , observăm că acea crestătură pentru modelul MA este adâncită, cum ne așteptam; dar acuratețea din apropierea marginilor bandei nu este la fel de bună ca în cazul AR deoarece acum nu mai avem poli cu care să producem vârfuri ascuțite sau margini în . Riplul în benzile de trecere pentru ambele modele este aproximativ la fel.
Figura 2.3. Model de proiectare MA de ordinul 20 prin metoda Durbin
pentru specificațiile din figura 2.2.
Metoda Durbin are mai multe aplicații utile, pe lângă estimarea directă a modelelor MA. Dându-se un polinom care nu este de fază minimă (similar cu numitorul al unui filtru AR instabil), un echivalent de fază minimă cu poate fi obținut factorizând polinomul de fază zero . Așadar, formând funcția de autocorelație
, (2.3.4)
ecuația Yule-Walker este rezolvată pentru a obține un model AR cu (notând acest pentru ). Totodata, poate fi dat însuși ca factor. Dacă este factorizabil, atunci metoda Durbin dă o aproximare apropiată a factorului de fază minimă. Dacă, totuși, nu este factorizabil (îi corespunde un singur zerou în cercul unitate și astfel un spectru de putere nepozitiv ), estimatul nu poate fi un factor adevărat. Totuși, el poate fi un factor aproximat util în sensul că acest este acum factorizabil și este pozitiv. Pentru exemplu, figura 2.4 ilustrează un spectru de putere MA cu valori negative (cu scala gradată în dB) pentru două intervale pe axa lui , înainte de pentru metoda Durbin. Observăm că acest aproximează foarte bine pe oriunde, exceptând acele intervale unde este negativ.
Figura 2.4. Nefactorizabilul comparativ cu factorizabilul prin metoda Durbin.
2.3.2. Metoda Judell’s
Fiecare din cei doi pași din metoda Durbin folosește un criteriu de albire pentru a proiecta filtrele inverse și . Unul singur, criteriul de albire de bază, poate fi aplicat cerând ca acest să fie aproximativ alb. Așadar, definind filtrul invers
, (2.3.5)
echivalentul relației (2.5) în cazul MA este
. (2.3.6)
Minimizarea normei celor mai mici pătrate a lui ne conduce acum la ecuații neliniare pentru . Un algoritm iteretiv, similar cu cel al lui Steiglitz și McBride, a fost propus de Judell pentru a estima pe . Hannan a propus o metodă similară în termeni ai Transformatei Fourier Discrete (TFD). De notat că
(2.3.7)
și luând
(2.3.8)
avem
. (2.3.9)
Soluția minimizată este, cu aproximație,
(2.3.10)
și iterația implicită este
. (2.3.11)
Soluția pentru metoda Durbin dă un excelent vector de început pentru iterație. O dificultate neașteptată este aceea când iterația dată de (2.3.11) merge exact în direcția greșită. Așadar, luând , elementele lui au amplitudini apropiate, dar semne incorecte. De aceea, definim o iterație modificată prin
(2.3.12)
Iterația modificată converge rapid (3 până la 5 iterații).
Ca o notă finală, observăm că eroarea de potrivire , cu , nu este de obicei o măsură adecvată a erorii celor mai mici pătrate în cazul MA, spre deosebire de cazurile AR și ARMA, deoarece soluția de minimizare este atunci chiar răspunsul fereastră dreptunghiulară .
2.4. FILTRE ARMA (CU POLI ȘI ZEROURI)
Cazul general ARMA este, cum ne așteptam, mai complicat decât cazurile AR și MA separate, anterior studiate. Vom prezenta mai multe metode ARMA începând, ca mai înainte, cu cele simple și mergând până la acelea cu criterii de eroare solide. Cele simple sunt bazate pe măsura erorii ecuației neavând interpretarea înțelesului directă ca fiind similară cu eroarea filtrului invers și eroarea de potrivire . Deoarece toate tipurile de ecuații ideale pot fi scrise, minimizarea erorii ecuației poate sau nu poate să conducă la metode de modelare utile; trebuie ca prin simpla încercare a fiecăreia să o găsim pe cea utilă. Metodele vor fi date pentru cazul unde răspunsul ideal este dat și de asemenea pentru cazul în care funcția de autocorelație este dată sau estimată ca în (2.2.32). Toate metodele din acest capitol sunt date în tabelul 2.1.
Tabelul 2.1. Rezumat al metodelor de modelare.
2.4.1. Coada lui hd(n)
Căutăm modelul general ARMA
(2.4.1)
unde, deoarece câștigul arbitrar nu este necesar în ambele polinoame și , vom impune . Așadar, ideal, sau
. (2.4.2)
Ecuațiile liniare pot fi produse pentru și scriind (2.4.2) în domeniul timp ca
, (2.4.3)
unde este acum eroarea ecuației. Impunând pentru , putem scrie (2.4.3) în formă vectorială
. (2.4.4)
Minimizarea lui prin partiția superioară a lui (2.4.4) și metoda covarianței furnizează estimantul lui . În particular, partiționând ca cu
și definind pe prin
,
partiția inferioară a lui (2.4.4) devine
(2.4.5)
și astfel
(2.4.6)
Deoarece acest estimat al lui furnizează o predicție prin metoda celor mai mici pătrate a lui din din (2.4.5), această metodă poate fi interpretată ca predicția liniară din coada lui .
Dându-se , atunci avem câteva moduri să estimăm . Partiția superioară a lui (2.4.4) ne dă
, (2.4.7)
dar aceasta corespunde unei simple trunchieri sau ferestruiri a lui și este cunoscut că dă rezultate slabe, în general. Este mult mai bine să se utilizeze toată informația din , de exemplu, prin aplicarea metodei Durbin asupra pentru a estima . În orice caz, dacă folosim un model intermediar de ordin infinit în metoda Durbin pentru a exprima din , rezultatul ar corespunde simplu pasului înapoi de ordinul P al lui . Deci, cea mai bună cale (și cea mai simplă) să utilizăm toată informația în este să ne deplasăm cu câte un pas înapoi de la ordinul L până la ordinul P.
Exemplu:
Vom găsi un model ARMA de ordinul întâi care să aproximeze răspunsul dorit pentru . Matricea pentru informatia dată este
și astfel, pentru partiția inferioară a (2.4.4)
.
Multiplicând ambele părți cu vectorul rând cu scopul de a minimiza (adică luând pseudoinversa), găsim că
.
Folosind partiția superioară a (2.4.4) pentru a estima , avem
sau
.
Pentru mai multă exactitate, putem forma rezultatul complet
și apoi deplasând pas cu pas înapoi până la ordinul doi (după scalarea acestuia cu pentru a lua primul coeficient cum am presupus în algoritmul Levinson-Durbin). Rezultă că este .
2.4.2. Coada lui
Daca avem dat și astfel în locul lui , metoda menționată mai sus trebuie să fie modificată oarecum. Deoarece , spectrul puterii (transformata lui ) este dat de
. (2.4.8)
Așadar,
(2.4.9)
sau, în domeniul timp, folosind autocorelația estimată ,
, (2.4.10)
unde și este eroarea ecuației. Prin analogie cu partiția inferioară a relației (2.4.4), deoarece pentru , putem scrie
sau, ca în (2.4.5)
, (2.4.11)
unde
Norma erorii ecuației este astfel minimizată prin
(2.4.12)
Produsul matriceal corespunde cu corelația corelației și (2.4.11) poate fi interpretată ca predicție liniară din coada lui .
Dându-se , există mai multe căi, ca mai înainte, pentru a estima . O cale simplă și eficace este să aplicam metoda Durbin funcției de autocorelație reziduale MA
(2.4.13)
pentru care, dându-se valori putem calcula cele valori din (2.4.13).
2.4.3.Metoda Durbin extinsă
Metoda Durbin poate fi extinsă de asemenea pentru a furniza o tehnică de modelare ARMA completă. Primul pas este obținerea unui model AR de ordin superior cu , M dintr-o metodă AR care este adecvată datelor. Atunci,
(2.4.14)
deci, în domeniul timp
. (2.4.15)
De notat că (2.4.15) este de forma (2.4.3) exceptând și care sunt interschimbați deoarece este aproximativ inversa lui . Eroarea este din nou simpla eroare a ecuației. Așadar, poate fi estimat din coada lui prin metoda covarianței a predicției liniare, ca în (2.4.4) prin intermediul (2.4.6). Observând că secvența reziduală
(2.4.16)
este de durată finită , putem estima prin simpla deplasare înapoi pas cu pas a estimatului AR de la ordinul până la ordinul N.
Ca exemplu, această extensie a metodei Durbin va fi aplicată exemplului din secțiunile 2.2 și 2.3 cu și . rezultat este ilustrat în figura 2.5. De notat că marginile abrupte ale benzii și crestătura în formă de V sunt în întregime aproape modelate, iar riplul din banda de trecere este mult mai mic decât în cazurile AR și MA separate (care au același număr total (20) de grade de libertate). Cealaltă metodă a ecuației erorii din (2.4.8) prin intermediul (2.4.13) produce un model ARMA similar.
Figura 2.5. Modelul ARMA de ordinul 10 pentru specificațiile din figura 2.2.
2.4.4. Metoda Judell’s
Metoda ARMA Judell’s minimizează norma celor mai mici pătrate a erorii filtrului invers, nu a ecuației, și este o aproximare a estimatorului de maximă similitudine. Eroarea filtrului invers este definita prin (vezi (2.3.7))
. (2.4.17)
Scriind această relație în formă matriceală, avem
(2.4.18)
din care rezultă soluția iterativă
. (2.4.19)
Aceasta este chiar metoda covarianței cu prefiltrat de . De asemenea,
, (2.4.20)
unde
pentru care
. (2.4.21)
Aceasta este din nou metoda covarianței, cu prefiltrat suplimentar de . Cum am subliniat și în secțiunea 2.3, iterația definită prin (2.4.21) ne duce exact în direcția greșită și, așadar, este modificată pentru a rezulta
. (2.4.22)
Metoda Durbin extinsă furnizează un bun model ARMA inițial pentru iterație deoarece avem nevoie doar de . Convergența este rapidă.
2.4.5. Metoda Steiglitz-McBride
Algoritmul Steiglitz-McBride minimizează în schimb norma celor mai mici pătrate a erorii de potrivire , cum am discutat în secțiunea 2.2. Versiunea matriceală a filtrului invers este
, (2.4.23)
și partiționarea compusă din primele coloane este
.
Atunci putem scrie, ca în (2.2.36),
, (2.4.24)
pentru care
. (2.4.25)
Pe de altă parte,
, (2.4.26)
pentru care
. (2.4.27)
Înlocuind (2.4.27) în (2.4.25), eliminăm dependența explicită a lui de și definim iterația ca
. (2.4.28)
Un bun estimat inițial este furnizat de metoda covarianței din coada lui . La convergență, este obținut din (2.4.27). Cum am discutat mai devreme, este important să nu supraestimăm numărul de poli în scopul de a asigura convergența, care este din nou rapidă.
2.4.6. Metoda Evans-Fischl
În cazul special și important , corespunzând unei sume arbitrare de N exponențiale, Evans, Fischl și Kumaresan au dezvoltat o modificare a metodei covarianței care de asemenea minimizează norma erorii de potrivire. Din (2.4.26) și (2.4.27),
(2.4.29)
Matricea este un operator de proiectare care proiectează pe subspațiul distanțat de coloanele lui . Deci, este diferența între această proiecție a lui și însuși. Matricea este idempotentă (adică ea rămâne neschimbată când este multiplicată cu ea însăși) și de asemenea simetrică. Așadar, norma erorii celor mai mici pătrate este dată de
. (2.4.30)
În cazul când , matricea este de dimensiune și poate fi prezentată astfel:
, (2.4.31)
unde este partiția inferioara lui dată de
.
Pentru ca ecuația (2.4.31) să fie adevărată, trabuie să fie adevărată relația , care poate fi demonstrată din
.
Așadar, norma erorii în (2.4.30) devine
. (2.4.32)
Dar corespunde convoluției pentru și poate fi scrisă de asemenea ca , unde a fost definită în (2.4.4) ca
.
Deci, (2.4.32) poate fi scrisă mai degrabă ca
. (2.4.33)
Ca notă, pentru comparație, norma celor mai mici pătrate din (2.4.4) pentru metoda covarianței din coada lui este chiar
(2.4.34)
Așadar, diferența între minimizarea normei erorii de potrivire și norma erorii ecuației este incluziunea matricii de prefiltrare în matricea de covarianța modificată
. (2.4.35)
Scriind în formă partiționată
(2.4.36)
observăm că soluția erorii ecuației în (2.4.6) este chiar
. (2.4.37)
Așadar, partiționând matricea de covarianță modificată ca în (2.4.36), soluția minimizată pentru norma erorii de potrivire devine
. (2.4.38)
Kumaresan a dat un algoritm iterativ pentru determinarea lui bazat pe o inversare eficientă a matricii (eventual extinsă) de prefiltrare .
CAPITOLUL 3
STRUCTURI LATTICE. ANALIZA SPECTRALĂ
PRIN MODELARE
3.1. STRUCTURI LATTICE
Algoritmul Levinson-Durbin implică o structură lattice pentru filtre FIR (MA) care pot fi manipulate să obținem structuri lattice IIR de asemenea (ambele AR și ARMA). Structure lattice MA este folosită în special pentru filtre FIR, cât și pentru lattice AR și ambele au aplicații larg răspândite în sistemele de analiză/sintetizare și în sisteme adaptive. Filtrele trece-tot sunt de asemenea implementate cu ușurință în forma lattice.
3.1.1. Lattice MA
Amintindu-ne din secțiunea 2 că filtrul invers (FIR) poate fi generat recursiv din coeficienții de reflexie prin algoritmul pas-înainte
(3.1.1)
unde și vectorul coeficient final este . Acest filtru este scalat astfel că primul coeficient este egal cu unitatea pentru orice P. De aceea, filtrele extinse înainte și înapoi sunt date de
și
.
Fie filtrele neextinse înainte și înapoi și având ieșirile și , respectiv. Filtrele de ordinul întâi și pot fi implementate cum este ilustrat în figura 3.1.
Figura 3.1. Prima secțiune în structura latice FIR.
Următoarele filtre neextinse înainte și înapoi și sunt date de
și astfel
cu ieșirile și , respectiv. De notat că ieșirea filtrului extins (întârziat) înapoi este . Deci,
și (3.1.2)
.
Filtrele și sunt astfel create prin legarea în cascadă a secțiunii lattice din figura 3.2 (pentru P=2) cu prima secțiune dată în figura 3.1 (care este exact de aceeași formă).
Figura 3.2. Secțiune latice FIR generală.
Filtrele următoare și sunt generate prin legarea în cascadă a unor secțiuni lattice adiționale de forma celei din figura 3.2, corespunzând ecuațiilor generale cu diferențe
(3.1.3)
Ieșirea finală înainte constituie ieșirea filtrului FIR care este cu fază minimă dacă pentru orice P. Alternativ, este ieșirea filtrului FIR înapoi care este de fază maximă dacă pentru orice P. Interconectarea secțiunilor lattice FIR, fiecare având forma celei din figura 3.2 este ilustrată în figura 3.3.
Figura 3.3. Interconectarea secțiunilor lattice FIR.
3.1.2. Lattice AR
O structură lattice pentru filtru AR cu este generată rescriind (3.1.3) ca
(3.1.4)
Așadar, dacă intrarea în filtrul FIR produce ieșirea , atunci intrarea în filtrul invers va produce ieșirea . Luând în (3.1.4), avem
care poate fi implementată ca secțiunea lattice recursivă arătată în figura 3.4. Restul latticei este produs prin legarea în cascadă a unor secțiuni de forma celei din figura 3.5 (în fața primei secțiuni) pentru , corespunzând ecuațiilor cu diferențe din (3.1.4).
Figura 3.4. Ultima secțiune în structura latice (AR) recursivă.
Figura 3.5. Secțiune lattice recursivă generală.
Intrarea în filtru este , cum este ilustrat în figura 3.6. Filtrul este stabil dacă și numai dacă pentru orice P. De notat că atâta timp cât funcția de sistem de la intrarea la ieșirea este , adică de la la ieșirea auxiliară este totuși , deoarece ecuațiile cu diferențe originale din (3.3) sunt încă satisfăcute. Așadar, funcția de sistem de la la ieșirea auxiliară este cascada acestor două funcții ale sistemului, adică
, (3.1.5)
care este de tip trece-tot. Astfel, structura latice recursivă furnizează o implementare alternativă pentru filtrele trece-tot.
Figura 3.6. Interconectarea secțiunilor lattice (AR) recursive.
Ușurința cu care coeficienții filtrului pot fi constrânși să asigure faza liniară, faza minimă sau stabilitatea se referă la sensibilitatea funcției de sistem cu variația (cuantizarea) coeficienților, cum vom vedea în următorul capitol. Într-adevăr, așa cum ne așteptam, structurile lattice au proprietăți de sensibilitate excelente deoarece singura constrângere pentru faza minimă este pentru orice P. Observăm de asemenea că faza liniară în structura lattice FIR necesită condiția simplă ca .
3.1.3. Lattice ARMA
O structură lattice recursivă poate fi modificată pentru a implementa un filtru ARMA prin adăugarea unor “robineți” cum este arătat în figura 3.7. De notat că funcția de sistem pentru un robinet este chiar
(3.1.6)
unde este transformata z corespunzătoare soluției intermediare din algoritmul Levinson-Durbin. Așadar, este obținut prin coborârea treaptă cu treaptă a vectorului coeficient . Funcția de transfer totală a latticei recursive cu “robineți” este astfel
, (3.1.7)
Figura 3.7. Implementarea generală a unei structuri lattice IIR (ARMA).
pentru care vom determina
, (3.1.8)
Dându-se și , (3.1.8) poate fi rezolvată pentru , cu . Desigur, un filtru ARMA poate fi de asemenea realizat legând în cascadă o structură FIR cu o lattice recursivă, dar aceasta necesită încă N celule de întârziere.
3.2. ANALIZA SPECTRALĂ PRIN MODELARE
Tehnicile din secțiunile precedente pot fi folosite pentru a modela semnale stohastice precum și răspunsuri la impuls. În ceea ce ne privește, putem fi interesați de modelul în sine pentru scopuri ca identificarea sistemului, reducerea informației sau sintetizarea semnalului. Pe de altă parte, modelul poate fi doar o medie cu care se estimează spectrul semnalului. Avantajele acestei abordări includ estimați spectrali netezi cum ar fi periodgrama și rezoluția spectrală înaltă pentru înregistrări de date de scurtă durată. Această secțiune este o scurtă introducere în acest domeniu, care este uneori denumit analiza spectrală modernă.
Problema noastră este să alegem un model de proiectare apropiat pentru semnalul staționar (în sens larg) și să estimăm parametrii modelului, dându-se doar un număr finit de eșantioane. Fie modelul de proiectare pentru semnal un zgomot alb de varianță care a fost filtrat de funcția de transfer cu pentru a obține . Ca mai înainte, modelul lui este desemnat de . Atunci, dacă este filtrat invers de , cum este ilustrat în figura 3.8, am putea recupera un estimat al semnalului de intrare compus din plus o eroare de estimare . Dacă este de asemenea albă și necorelată cu , atunci este alb, de asemenea. De aceea, pentru a estima coeficienții modelului , vom căuta să albim ieșirea a filtrului invers.
Figura 3.8. Aproximarea filtrului invers pentru modelarea proceselor stohastice.
3.2.1. Metoda Autocorelației
Dacă este ales un model cu , atunci filtrul invers este FIR și
. (3.2.1)
Ca în secțiunea 2.2, metoda covarianței sau metoda autocorelației vor fi modificate, depinzând de cum manipulăm durata finită a datelor . Presupunem mai întâi că informația este explicit ferestruită cu o fereastră dreptunghiulară de lungime K, conducând la estimatul de autocorelație
(3.2.2)
pentru . Estimatul este influențat de ferestruire, adică
, (3.2.3)
unde este o fereastră triunghiulară de lungime , centrată pe . Pentru modelul nostru, spectrul de putere al lui este
. (3.2.4)
Astfel, în domeniul timp folosim funcția de autocorelație estimată
, (3.2.5)
unde și este eroarea ecuației. Observând că și pentru , scriem (3.2.5) în formă matriceală pentru , impunând în afara acestui interval, pentru a obține ecuația normală
, (3.2.6)
unde este matricea Toeplitz
. (3.2.7)
Comparând (3.2.6) cu (2.2.18) și (3.2.2) cu (2.2.17), vedem că aceasta este pur și simplu metoda autocorelației cu în locul lui și scalat de . Deci, algoritmul Levinson-Durbin este aplicabil și rezultantul este garantat să fie de fază minimă. Estimatul puterii spectrale implicate este, din (3.2.4),
(3.2.8)
dar din cauza ferestruirii, acesta este un estimat al lui , nu al lui cu el însuși.
3.2.2. Metoda Supradeterminată
Dându-se mai mult decât numărul minim de valori de autocorelație (adică ), putem scrie în schimb (3.2.5) ca
, (3.2.9)
unde se compune din primele coloane ale lui și atunci minimizarea normei erorii este
. (3.2.10)
Rezultate îmbunătățite sunt de asemenea posibile folosind estimați nedeplasați ai autocorelației
(3.2.11)
pentru (pentru a elimina efectul ferestruirii), dar atunci nu este garantat să fie de fază minimă pentru mult timp. În proiectare, aceasta este în general inacceptabil deoarece modelul nu este garantat să fie stabil. Oricum, pentru analiza spectrală prin (3.2.8), condiția de fază minimă nu este cerută.
3.2.3. Metoda Covarianței
Deși nu este evident ca mai înainte, albirea semnalului de intrare estimat este strâns legată de minimizarea varianței . Pentru a demonstra aceasta, vom împărți metoda covarianței în două cai diferite, fiecare bazată pe unul din aceste criterii. În secțiunea 2.2, am obținut metoda autocorelației din metoda covarianței prin aproximarea matricii de corelație ideale întâi cu matricea de covarianță și apoi cu matricea ferestruită. Întorcându-ne, putem acum înlocui cu , unde
(3.2.12)
și
.
Fiecare element al este un estimat (neferestruit) al de forma
. (3.2.13)
Ecuația normală pentru metoda covarianței este astfel, din (3.2.6),
. (3.2.14)
Deoarece nu este ferestruit pentru a produce , estimatul spectral estimat nu este “pătat” de convoluția cu . Chiar dacă, totuși, este garantat a fi de fază minimă.
A doua abordare este minimizarea varianței de intrare estimate . Scriind (3.2.1) în formă matriceală (fără a merge până la sfârșitul blocului nostru de date), avem
, (3.2.15)
unde
.
Estimatul evident al lui este atunci
. (3.2.16)
Impunând , obținem ecuația normală pentru metoda covarianței în (3.2.14). Deci, albirea spectrului lui și minimizarea varianței acestuia sunt îndeaproape (dar nu exact) înrudite.
Modelele de proiectare MA pot fi obținute din modelele AR de ordin superior prin metoda Durbin, cum a fost descris în secțiunea 2.3. De asemenea, modelele de proiectare ARMA pot fi obținute din sau prin metodele erorii ecuației din (2.4.8) prin intermediul (2.4.16).
De notat că în metoda autocorelației, și astfel și în metoda covarianței, minimizăm (setăm pe zero) numai eroarea ecuației din (3.2.5), nu o măsură directă a albirilor lui . Abordarea erorii ecuației ne conduce la ecuații liniare pentru și metodele asociate au aplicații răspândite și cât se poate de productive. Oricum, deplasarea și varianța parametrilor estimați poate fi redusă invocând un puternic criteriu de eroare pe seama producerii ecuațiilor neliniare și algoritmilor iterativi. Pentru a încheia acest capitol, dăm o scurtă revedere a mai multor astfel de abordări.
3.2.4 Albirea Exactă
O măsură directă a albirii ieșirii a filtrului invers este furnizată de , definită din (3.2.4) prin
(3.2.17)
sau, în domeniul timp,
. (3.2.18)
Scriind (3.2.18) în formă matriceală fără a rula până la sfârșit estimații autocorelației disponibili, avem
(3.2.19)
unde
.
Minimizarea aproximativă a lui implică algoritmul iterativ
. (3.2.20)
Varianța estimată este determinată astfel ca . O încercare de rezolvare intuitivă a (3.2.20) este dată de faptul că această realizare aproximează îndeaproape metoda covariației aplicată răspunsului la impuls estimat
.
3.2.5. Potrivirea Corelației
Abordarea erorii de potrivire, pe de altă parte, sugerează minimizarea normei celor mai mici pătrate a erorii de autocorelație
, (3.2.21)
unde este funcția de autocorelație pentru modelul de proiectare și trebuie ținut cont de deplasarea lui datorită ferestruirii. Autocorelația modelului de proiectare poate fi determinată din prin coborârea treaptă cu treaptă a lui până la și apoi rezolvând din prin algoritmul Levinson-Durbin (observând că ).
, (3.2.22)
unde este matricea diagonală cu elementele de pe diagonală; ne trebuie un operator
(3.2.23)
cu scopul de a minimiza ca funcție explicită a lui . Algoritmul Steiglitz-McBride furnizează de asemenea un operator de forma
(3.2.24)
unde
(3.2.25)
corespunde prefiltrării secvenței cauzale , pentru .
Așadar, combinând (3.2.22) și (3.2.24), avem
, (3.2.26)
care implică algoritmul iterativ
. (3.2.27)
Metoda poate fi de asemenea extinsă pentru proiectarea ARMA.
CAPITOLUL 4
IMPLEMENTAREA METODELOR ÎN MATLAB
EXEMPLE
Programele pentru determinarea coeficienților filtrelor FIR sau IIR sunt scrise în MATLAB 5.2. și algoritmul de calcul respectă etapele enumerate în secțiunile 2.2. și 2.4. Ca date de intrare sunt solicitați parametrii ce determină caracteristicile de frecvență corespunzătoare fiecărui filtru, precum și ordinul filtrului.
Voi proiecta filtre digitale IIR prin două metode: metoda Prony (se mai numește și coada lui ) și prin metoda Steiglitz-McBride.
4.1. PROIECTAREA PRIN MODELARE A FILTRELOR DIGITALE IIR PRIN METODA PRONY
Metoda Prony face parte din metodele de proiectare directă a filtrelor digitale I.I.R.. Metodele din această categorie urmăresc realizarea filtrelor digitale fără referire la un model analogic. Aceste metode se bazează pe utilizarea criteriilor de aproximare în domeniile timp sau frecvență și presupun în general optimizarea numerică a soluției prin tehnici iterative ce necesită un timp mare de calcul.
Metoda Prony se bazează pe determinarea secvenței (răspunsul la impuls sau funcția pondere a filtrului) astfel încât primele M valori ale acesteia să fie identice cu cele ale răspunsului la impuls dorit.
Implementarea metodei este facilitată de mediul MATLAB prin intermediul comenzii prony. În figurile 4.1.- 4.25. sunt date răspunsurile la impuls și caracteristicile de amplitudine (în modul și in dB) pentru filtrele digitale IIR proiectate prin metoda Prony.
De la tastatură se vor introduce parametrii care determină caracteristicile filtrului: NB=ordinul filtrului Butterworth; fe=frecventa de taiere normată; M=ordinul polinomului B(de la numarator); L=ordinul polinomului A(de la numitor); Lh=lungimea răspunsului la impuls.
Figura 4.1. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.2. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.3. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.4. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.5. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony
(cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.6. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.7. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.8. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.9. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.10. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony
(cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.11. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.12. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.13. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.14. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.15. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony
(cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.16. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.17. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.18. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.19. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.20. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony
(cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.21. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.22. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.23. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.24. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5și Lh=50.
Figura 4.25. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Prony
(cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
4.2. PROIECTAREA PRIN MODELARE A FILTRELOR DIGITALE IIR PRIN METODA STEIGLITZ-McBRIDE
Metoda Steiglitz-McBride utilizează algoritmul Steiglitz-McBride pentru aflarea coeficienților funcției de transfer a unui filtru I.I.R. pornind de la aproximarea unui răspuns la impuls specificat. Algoritmul încearcă minimizarea erorii pătratice dintre răspunsul la impuls specificat și răspunsul la impuls al filtrului rezultat.
Implementarea metodei este facilitată de mediul MATLAB prin intermediul comenzii stmcb. În figurile 4.26.- 4.50. sunt date răspunsurile la impuls și caracteristicile de amplitudine (în modul și in dB) pentru filtrele digitale IIR proiectate prin metoda Steiglitz-McBride.
De la tastatură se vor introduce parametrii care determină caracteristicile filtrului: NB = ordinul filtrului Butterworth;
fe=frecventa de taiere normata;
M=ordinul polinomului B(de la numarator);
L=ordinul polinomului A(de la numitor);
Lh=lungimea raspunsului la impuls.
Figura 4.26. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.27. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.28. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.29. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.30. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul
Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=1 și Lh=50.
Figura 4.31. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.32. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.33. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.34. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.35. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul
Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=2, L=5 și Lh=50.
Figura 4.36. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.37. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.38. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.39. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.40. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul
Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=0, L=5 și Lh=50.
Figura 4.41. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.42. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.43. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.44. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.45. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul
Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=0 și Lh=50.
Figura 4.46. Caracteristica de amplitudine (în modul) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.47. Caracteristica de amplitudine (în modul) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.48. Caracteristica de amplitudine (în dB) pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.49. Caracteristica de amplitudine (în dB) (detaliu în banda de trecere)pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul Steiglitz-McBride (cu roșu)
cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
Figura 4.50. Răspunsul la impuls pentru filtrul Butterworth (cu albastru) și pentru filtrul
Steiglitz-McBride (cu roșu) cu NB=5, fe=0.4, M=5, L=5 și Lh=50.
CONCLUZII
Din exemplele prezentate în capitolul 4 se pot trage următoarele concluzii:
Pentru cazul MA (M=5, L=0), ambele metode modelează la fel de bine caracteristica filtrului Butterworth.
Pentru cazul AR (M=0,L=5), metoda Prony modelează foarte slab caracteristica filtrului Butterworth. Metoda Steiglitz-McBride aproximează mai bine caracteristica filtrului Butterworth, dar riplurile din banda de trecere sunt mari.
Pentru cazul ARMA există mai multe situații, în funcție de ordinele polinoamelor de la numitor și de la numărător:
– pentru cazul ARMA cu M=5 și L=1, metoda Steiglitz-McBride este mai bună, ea aproximând mai bine decât metoda Prony caracteristica filtrului Butterworth.
– pentru cazul ARMA cu M=2 și L=5, metoda Steiglitz-McBride modelează mai bine caracteristica filtrului Butterworth, riplul în banda de trecere fiind mult mai mic decât în cazul metodei Prony.
– cu cât ordinele polinoamelor de la numitor și de la numărător sunt mai apropiate, ambele metode aproximează mai fidel caracteristica filtrului Butterworth.
– în cazul special în care ordinele polinoamelor de la numitor și de la numărător sunt egale (M=L=5), ambele metode modelează perfect caracteristica filtrului Butterworth.
În concluzie, metoda Steiglitz-McBride este de preferat pentru proiectarea prin modelare a filtrelor digitale IIR. Metoda Prony poate fi folosită numai pentru cazul special ARMA când M=N, caz în care rezultatele obținute sunt satisfăcătoare.
BIBLIOGRAFIE
Dumitriu N., “Prelucrarea numerică a semnalelor, Partea a II-a, Filtre digitale”, Tipografia Universității “Politehnica” București, 1994.
Jackson B. L., “Digital filters and signal processing (Second Edition)”, University of Rhode-Island, 1992.
Mateescu Ad., Ciochină S., Șerbănescu Al., Dumitriu N., Stanciu L., “Prelucrarea numerică a semnalelor”, Editura Tehnică, București,1994.
Paleologu C., “Matlab-ghid de utilizare pentru semnale și sisteme”, Tipografia Universității “Politehnica” București, 2000.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Proiectarea Filtrelor Digitale Prin Modelare (ID: 161542)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.