Modele Reologice Mecanice Si Electrice
Cap. 1. Introducere în reologie
1.1. Obiectul reologiei
Reologia, ramură a fizicii, se ocupă cu studiul curgerii și al deformației în timp a corpurilor, sub acțiunea forțelor aplicate asupra lor.
În stadiul actual al dezvoltării, noțiunea de reologie atât în teoria elasticității (unde influența timpului nu intervine într-o măsură apreciabilă), plasticității, cât și a vâscozității nu a fost pronunțată decât o dată cu trasarea curbei caracteristice – și măsurarea deformațiilor permanente.
Considerarea paralelismului sau aprecierea celor trei parametrii: tensiune ( și ); deformare () și timp (t și ) în procesul de solicitare – deformare a sistemelor materiale s-a constituit cauza actului de naștere al noțiunii de reologie, conferit de fapt în 1992 de către E. C. Bingham prin lucrarea „Fluidity and plasticity”.
Fenomenul numit curgere, în contextul preocupărilor științifice ale reologiei, constă în dezvoltarea continuă și ireversibilă a deformării unui corp sub acțiunea unor forțe finite. În solide, acest fenomen se numește curgere plastică, pe când în lichide se numește curgere vâscoasă.
Domeniul este mult mai complex, dacă se ține seama că el include aproape toate aspectele investigării științifice ale deformării materiei, în timp scurt sau îndelungat sub acțiunea unor solicitări generatoare de tensiuni interne.
Într-un sens mai larg, reologia vizează cunoașterea aprofundată a reacției intime sau a răspunsului materialelor la acțiunea unor forțe externe. Ea studiază deformația și curgerea materialelor la un nivel fenomenologic, adică considerând materialele ca medii continue, fără a lua în considerație nici structura cristalină anizotropă, nici structura discretă a materialului.
Deci reologia este o ramură a fizicii aparținând domeniului mecanicii cu implicații importante în tehnică, care studiază comportamentul sistemelor materiale
și deci implicit a materialelor și substanțelor utile în industria alimentară, în contextul parametrilor –t, ținând cont de variația și frecvența acestora.
La dezvoltarea reologiei stau două concepte de bază sau axiome principale:
Prima axiomă – „Sub o solicitare de compresiune izotropă sau hidrostatică toate sistemele materiale simple de la gaze și până la solide se comportă în mod practic la fel, dacă tensiunile nu devin exagerat de mari.”
II. A II-a axiomă – „Orice sistem material posedă (chiar dacă în măsură diferită) toate proprietățile reologice de bază ale elasticității, plasticității și vâscozității.”
Oricare ar fi liniile de studiu ale reologiei, ea poate fi analizată sub următoarele aspecte:
reologia experimentală – caracterizată prin determinarea calitativă și cantitativă a principalelor caracteristici ale elasticității, plasticității și vâscozității în contextul –t, de amplitudine și frecvență diferită.
reologia teoretică – ce constituie o punte de legătură între elasticitate și hidrodinamică și care s-a dezvoltat pe două direcții: reologie liniară și reologie neliniară.
reologia fenomenologică – se împarte în micro și macroreologie. Macroreologia consideră materialele omogene, izotrope și lipsite de structura internă. Microreologia ține seama de structura specifică și deduce proprietățile reologice ale materialelor din comportarea constituenților structurali.
Reologia consideră că orice corp real are în același timp proprietăți elastice, vâscoase și plastice, diferitele corpuri deosebindu-se între ele prin măsura în care se manifestă aceste proprietăți în comportarea lor.
Ca urmare, „Reologia” studiază legătura între starea de tensiune și starea de deformație a unui corp, care generalizează pe cele corespunzătoare teoriei elasticității, mecanicii fluidelor și teoriei plasticității și care se numesc ecuații (legi) reologice de stare. O forță sau un sistem de forțe aplicat unui corp conduce la mișcarea acestuia. Mișcarea corpului poate consta din deplasări și (sau) deformări. În general, deplasarea nu modifică deplasarea relativă a elementelor ce formează corpul, dar modifică deformarea acestuia în raport cu un sistem de referință exterior. Ea constă din translația sau (și) rotația corpului. În alte condiții aplicarea unei forțe sau a unui sistem de forțe poate produce modificarea poziției relative a elementelor constituente. Un corp este deformat atunci când, sub acțiunea solicitărilor se modifică forma sau (și) volumul. Deformarea în cazul solidelor are loc până la atingerea echilibrului între forțele externe și cele interne, în timp ce la fluide, prin aplicarea unei forțe arizotrope și neomogene nu se ajunge la o deformație în echilibru. Gradul de deformare se schimbă continuu în timp. Deformația a cărei valoare crește continuu și nu se mai recuperează după îndepărtarea forței se numește curgere.
Fluidele opun rezistențe mici la deformare, iar forțele de frecare interne ce iau naștere în timpul curgerii diminuează viteza de deformare. Sub acțiunea unei forțe, viteza de deformare a fluidelor crește până se stabilește echilibrul cu forța de frecare după care viteza de deformare rămâne constantă.
Solidele sub acțiunea solicitărilor (până la o anumită limită) se pot deforma până la atingerea echilibrului între forțele externe și cele interne, iar după îndepărtarea forțelor deformația se anulează. Această proprietate se numește elasticitate.
Proprietatea fluidelor de a opune rezistență la schimbarea ireversibilă a poziției elementelor de volume constituente și de a disipa energia mecanică sub formă de căldură se numește vâscozitate. Deci corpurile posedă două proprietăți intrinseci fundamentale: elasticitatea și vâscozitatea.
Elasticitatea este o proprietate specifică corpurilor solide, iar vâscozitatea este o proprietate a corpurilor fluide. Foarte puține materiale sau sintetice posedă numai o singură proprietate. Astfel, cele mai multe lichide (lapte, smântână, iaurt, sucuri, mierea de albine, etc.), topituri (unt, untură, margarină, etc.) curg sub acțiunea unei solicitări, întrucât posedă viscozitate. După îndepărtarea solicitării exterioare o mică parte din deformație se recuperează. Aceste corpuri lichide nu disipează întreaga energie de deformare, întrucât posedă atributul unui solid, elasticitatea. Dar și solidele se deformează ireversibil dacă o parte suficient de mare acționează un timp îndelungat. Această curgere este denumită „fluaj”. Rezultă că solidele nu sunt numai elastice, ele posedă și viscozitate. Toate corpurile la care componenta elastică și componenta vâscoasă se manifestă concomitent se numesc vâscoelastice sau elastovâscoase.
Între răspunsurile extreme – deformația elastică și curgere – există un spectru larg de comportări, dintre care o deosebită importanță prezintă comportarea plastică. La un corp vâscoelastic, sub acțiunea solicitării de forfecare, proprietatea de elasticitate și viscozitate se manifestă succesiv în toată masa. Atunci când elasticitatea și vâscozitatea se manifestă succesiv la o solicitare continuu crescătoare, corpul se numește plastic.
Corpul plastic sub acțiunea unei forțe va curge ca un fluid, dacă forța aplicată depășește o valoare critică; altfel comportându-se ca un solid. Toate corpurile plastice sunt elastice sau rigide în domeniul solicitărilor mici ceea ce corespunde unei stări solide. Peste valoarea critică a solicitării apare curgerea vâscoasă, deformația este nerecuperabilă și comportarea este specifică stării lichide. La corpurile plastice elasticitatea și vâscozitatea se manifestă simultan, dar la valori mici ale solicitării exterioare se manifestă preponderent elasticitatea; peste valoarea critică devine dominantă vâscozitatea. Lichidele pur vâscoase, la tensiune constantă prezintă deformații nerecuperabile la orice valoare, funcție de tipul de solicitare, pe când solidele, peste limita de elasticitate se deformează nerecuperabil cu viteză continuu descrescătoare.
Plasticitatea nu este o proprietate intrinsecă a corpurilor, ci un mod caracteristic de comportare a acestora. Practic se consideră a treia proprietate reologică a corpurilor deformabile, iar reologia studiază comportarea corpurilor ce posedă cel puțin una din următoarele proprietăți: elasticitate, plasticitate sau vâscozitate.
Solidele deformabile, lichidele și gazele prezintă proprietăți diferite dar au o teorie matematică comună. Extinderea și particularizarea acestor rezultate la corpurile elastice, plastice și vâscoase revin unor discipline tehnice aparte, conform
cu Fig. 1.1., iar în Fig. 1.2. se prezintă legătura dintre mecanică și științele înrudite (inclusiv reologia).
Trăsăturile caracteristice ale metodelor teoriei elasticității, ale teoriei rezistenței materialelor și ale teoriei plasticității privind legătura și diferența care există între ele sunt prezentate în Fig. 1.3. În limbaj reologic, toate corpurile ”curg” indiferent de starea lor de agregare.
Conceptele de stare solidă, lichidă și gazoasă sunt tranzitorii; trecerea de la o star la alta presupune o schimbare cantitativă a raportului între componenta elastică și vâscoasă.
Starea gazoasă poate fi considerată stare lichidă cu viscozitate mică. În ansamblu, toate cele trei stări, lichidă, solidă și gazoasă pot fi privite ca aspecte ale unei stări fluide generalizate ce are la bază atributul esențial al stării lichide – vâscozitatea.
Răspunsul corpurilor la solicitările mecanice constituie preocuparea de bază a reologiei și în funcție de proprietățile acestora pot fi:
– neelastice (rigide) când deformația este egală cu zero;
– perfect elastice, când deformația este temporară și recuperabilă;
– pur vâscoase, când deformația este permanentă și nerecuperabilă;
– simultan elastice și vâscoase, când deformația este parțial temporară, parțial permanentă;
– succesiv elastice și vâscoase când deformația este temporară sau (și) permanentă;
– nevâscoase când deformația este permanentă pentru solicitare egală cu zero.
Procesul de curgere sau deformare a unui corp este descris de un set de ecuații în care obligatoriu intervine o ecuație de comportare reologică. În ipoteza valabilității legii de reciprocitate a tensiunilor tangențiale (din teoria elasticității) sunt necesare 5 tipuri de ecuații (12 ecuații):
– ecuația continuității;
– ecuația impulsului (3 componente);
– ecuația energiei;
– ecuația de comportare reologică (6 componente);
– ecuația de stare.
Primele trei ecuații rezultă pe baza principiilor de conservare și au valabilitate generală. Ecuația reologică și ecuația de stare sunt specifice unui singur corp sau unei clase de corpuri. Coeficienții de material din aceste ecuații au valori dependente de natura corpurilor și se determină experimental.
Curgerea este un proces cheie în majoritatea operațiilor unitare specifice industriei produselor alimentare. Apelul la reologie este indispensabil, dată fiind contribuția acesteia la elucidarea comportării în curgere a diverselor sisteme.
1.2. Conceptul de sistem reologic
Problematica și domeniul reologiei precum și principiile generale ale clasificării proceselor reologice și tehnicile de cercetare ale reologiei sunt bine definite, în schimb conceptele elementare utilizate sunt nesigure și unele chiar contradictorii.
Apariția noilor domenii ale tehnicii, creșterea gradului de industrializare a materialelor agroalimentare, au descoperit și creat o varietate extrem de mare de sisteme materiale, care din punctul de vedere al comportamentului –t nu pot fi incluse în nici o grupă a stărilor fizice din cadrul mecanicii clasice.
De exemplu, comportarea diverselor calități de aluat în procesul tehnologic pentru obținerea produselor de panificație și cofetărie, curgerea produselor de tip lapte, smântână, iaurt, unt, brânză în vederea ambalării, teoria hidrodinamică a utilajelor, etc. Din acest motiv apariția reologiei ca știință a devenit o necesitate.
Obiectul reologiei este deci deformația, tensiunea, legitățile dintre deformații și tensiune în domeniul elastic, vâscos și plastic.
Ca sarcină principală ce îi revine reologiei este aceea de aîn Fig. 1.2. se prezintă legătura dintre mecanică și științele înrudite (inclusiv reologia).
Trăsăturile caracteristice ale metodelor teoriei elasticității, ale teoriei rezistenței materialelor și ale teoriei plasticității privind legătura și diferența care există între ele sunt prezentate în Fig. 1.3. În limbaj reologic, toate corpurile ”curg” indiferent de starea lor de agregare.
Conceptele de stare solidă, lichidă și gazoasă sunt tranzitorii; trecerea de la o star la alta presupune o schimbare cantitativă a raportului între componenta elastică și vâscoasă.
Starea gazoasă poate fi considerată stare lichidă cu viscozitate mică. În ansamblu, toate cele trei stări, lichidă, solidă și gazoasă pot fi privite ca aspecte ale unei stări fluide generalizate ce are la bază atributul esențial al stării lichide – vâscozitatea.
Răspunsul corpurilor la solicitările mecanice constituie preocuparea de bază a reologiei și în funcție de proprietățile acestora pot fi:
– neelastice (rigide) când deformația este egală cu zero;
– perfect elastice, când deformația este temporară și recuperabilă;
– pur vâscoase, când deformația este permanentă și nerecuperabilă;
– simultan elastice și vâscoase, când deformația este parțial temporară, parțial permanentă;
– succesiv elastice și vâscoase când deformația este temporară sau (și) permanentă;
– nevâscoase când deformația este permanentă pentru solicitare egală cu zero.
Procesul de curgere sau deformare a unui corp este descris de un set de ecuații în care obligatoriu intervine o ecuație de comportare reologică. În ipoteza valabilității legii de reciprocitate a tensiunilor tangențiale (din teoria elasticității) sunt necesare 5 tipuri de ecuații (12 ecuații):
– ecuația continuității;
– ecuația impulsului (3 componente);
– ecuația energiei;
– ecuația de comportare reologică (6 componente);
– ecuația de stare.
Primele trei ecuații rezultă pe baza principiilor de conservare și au valabilitate generală. Ecuația reologică și ecuația de stare sunt specifice unui singur corp sau unei clase de corpuri. Coeficienții de material din aceste ecuații au valori dependente de natura corpurilor și se determină experimental.
Curgerea este un proces cheie în majoritatea operațiilor unitare specifice industriei produselor alimentare. Apelul la reologie este indispensabil, dată fiind contribuția acesteia la elucidarea comportării în curgere a diverselor sisteme.
1.2. Conceptul de sistem reologic
Problematica și domeniul reologiei precum și principiile generale ale clasificării proceselor reologice și tehnicile de cercetare ale reologiei sunt bine definite, în schimb conceptele elementare utilizate sunt nesigure și unele chiar contradictorii.
Apariția noilor domenii ale tehnicii, creșterea gradului de industrializare a materialelor agroalimentare, au descoperit și creat o varietate extrem de mare de sisteme materiale, care din punctul de vedere al comportamentului –t nu pot fi incluse în nici o grupă a stărilor fizice din cadrul mecanicii clasice.
De exemplu, comportarea diverselor calități de aluat în procesul tehnologic pentru obținerea produselor de panificație și cofetărie, curgerea produselor de tip lapte, smântână, iaurt, unt, brânză în vederea ambalării, teoria hidrodinamică a utilajelor, etc. Din acest motiv apariția reologiei ca știință a devenit o necesitate.
Obiectul reologiei este deci deformația, tensiunea, legitățile dintre deformații și tensiune în domeniul elastic, vâscos și plastic.
Ca sarcină principală ce îi revine reologiei este aceea de a găsi posibilitatea în orice situația de trecere de la fenomenul idealizat la legitățile fenomenului real de deformare sau solicitare a sistemelor materiale, studierea curgerii lente sau a „curgerii reci”, cercetarea caracteristicilor sistemelor materiale ce depind de istoricul acestor sisteme, etc.
Ca urmare devine necesară introducerea conceptului de sistem reologic „independent de starea fizică” și de alte caracteristici ale materialului.
Sistemul reologic constituie obiectul de studia reologiei cu următoarele precizări:
– rolul hotărâtor la deformarea unui sistem reologic ce îl au forțele exterioare;
– din punct de vedere mecanic, un sistem reologic nu este un sistem izolat deoarece cu cât deformația sa este mai mult reversibilă, cu atât lucrul mecanic este recuperabil;
– sistemul reologic este considerat macroreologic și omogen sau cvasiomogen;
– comportamentul la deformare a sistemului reologic este determinat de compoziția sa, de trecutul său și de modul de solicitare (tensiuni, mărimea lor și mărimea vitezei de deformare);
– se pot deosebi: o stare ereditară a sistemelor reologice când se are în vedere trecutul acestora și o stare unanimă, atunci când se ia în considerare starea de tensiuni existentă;
– definirea stării după mărimea deformației nu este posibilă în cazuri generale, ci numai în cazuri individuale (starea de deformație este greu de definit);
– stările: deformabilă și nederfomabilă trebuie înțelese ca noțiuni relative;
– ecuațiile reologice care descriu starea sistemelor reologice și a proceselor reologice existente stabilesc legătura între tensiuni (cantități dinamice) și deformații (cantități cinetice).
Aceste mărimi sunt legate între ele prin constante ale sistemelor materiale sau alți coeficienți ce depind de condițiile exterioare. Comportarea sistemelor reologice depinde nu numai de mărimea și caracterul deformațiilor, a tensiunilor și a derivatelor de timp și ca urmare ecuațiile reologice au următoarea formă generală:
(σ, ε, σ, ε) = 0
Starea reologică a unui sistem material poate fi redată grafic în sistemul de coordonate triunghiular, ce reprezintă cele trei forme de energie: cinetică, potențială și disipată (Fig. 1). Punctul A reprezintă solidul euclidian sau lichidul lui Pascal unde tot lucrul furnizat de forțele exterioare se transformă în energie cinetică. Punctul B reprezintă un corp perfect elastic în stare de repaus. Punctul C reprezintă un lichid vâscos simplu la o stare de curgere liniară și „triunghiul comportărilor reologice”.
Aceasta oferă imaginea posibilităților de asociere a celor trei proprietăți de bază ale reologiei.
Dacă vârfurile triunghiului echilateral reprezintă sisteme materiale cu proprietăți unitare, atunci laturile reprezintă comportarea unor sisteme materiale ce posedă două proprietăți în diverse proporții: vâscoplastic, vâscoelastic și elastoplastic.
Starea unui sistem reprezentat prin punctul reologiei este:
măsura energiei cinetice;
măsura energiei potențiale;
măsura energiei disipate.
Deci acesta este un corp cu o comportare vâsco-elasto-plastică.
1.3. Teorii și metode de cercetare în reologie
În știința reologiei s-au dezvoltat două teorii de bază:
– teoria calitativă
– teoria cantitativă
Teoria calitativă leagă factorii dar într-o măsură mai mică, astfel încât corelațiile dintre ei nu pot fi exprimate în limbaj matematic. Progresele făcute în diverse domenii ale științei (matematică, chimie, fizică) a făcut posibil înlocuirea în mod gradual a teoriei calitative cu cele cantitative.
Teoriile cantitative sau matematice sunt cauzale și statistice. Teoria cantitativă cauzală se ocupă cu un singur sistem material sau o cunoaștere perfectă a configurației sistemelor sau a particulelor sistemelor preconizând mișcarea lor viitoare pe baza trecutului lor. Teoria cantitativă statistică se ocupă întotdeauna cu o mulțime de sisteme materiale a căror locație în trecutul mișcării lor nu este în mod perfect cunoscut.
Pentru dezvoltarea celor două teorii – calitativă și cantitativă – reologia ca știință și-a creeat două mari grupe de metode de cercetare:
a) Metoda microreologică utilizează ca aparat matematic interpretarea statistică parcurgând trei etape principale:
– stabilirea scării microreologice de lucru pentru fiecare caz particular: granulă, moleculă, atom, etc.
– precizarea legilor de interacțiune între particulele elementelor stabilite sau a transferurilor între diferite componente ale unui mediu polifazic.
– deducerea cu ajutorul metodelor statistice a legilor de comportare a corpurilor la scară macroscopică, singura posibilă a se verifica prin trăsături curente și a se aplica în practică.
b) Metoda fenomenologică sau macroreologică admite postulatul mediului continuu și are sarcina de a găsi toți parametrii specifici ce caracterizează starea mediului în fiecare punct și în orice moment.
Scrierea legilor de comportare mecanică se poate face în mai multe feluri:
– pentru corpuri cu proprietăți oarecum simple (cazul lichidelor vâscoase newtoniene)
– adaptarea unui model matematic
– scrierea unei ecuații de evoluție cu ajutorul principiilor termodinamicii
Complexitatea fenomenului reologic și insuficienta lui cunoaștere a permis un număr mai mare de grade de libertate în alegerea ipotezelor, ceea ce a condus la elaborarea de numeroase modele (matematice și fizice) ce încearcă să simuleze cât mai corect fenomenele, dar din această cauză au crescut considerabil și deficiențele în găsirea unor soluții generale în determinarea parametrilor de calcul.
1.4. Elemente de hidraulică și fenomenologia curgerii
1.4.1. Ecuația de continuitate
Proprietățile inerțiale sau gravitaționale ale fluidelor și solidelor deformabile considerate ca medii continue se caracterizează prin masă.
În mecanica mediilor continue se presupune că masa este o funcție continuă de volum
m = m(V) (1)
ceea ce înseamnă că masa unui corp ce are volumul nul este nulă, iar masa unui corp este egală cu suma maselor părților corpului.
Mărimile fizice ce caracterizează corpul (de exemplu mărimile termodinamice) și care sunt proporționale cu volumul se numesc mărimi extensive. În punctul de vector de poziție , la un moment t, se consideră masa concentrată de valoare m.
Dacă funcția m = m(V) se poate deriva în acest punct și dacă limita = = ρ(,t) (2)
este finită, atunci ρ(,t) se numește densitate. Funcția ρ(,t) definește câmpul scalar al densității și dacă este cunoscută, atunci masa totală a corpului cu volumul V, la momentul t este dată de integrala:
= ρ(,t) dV (3)
Dacă se ține cont de următoarele:
– într-un fluid aflat în mișcare, fie D*(t) domeniul finit ocupat de un volum material, S*(t) – frontiera lui D*(t); Φ(, t) – un câmp scalar sau vectorial definit pe domeniul ocupat de fluid, (, t) – câmpul vitezelor definit pe același domeniu, dV – elementul de volum, iar dA – aria elementului de suprafață dS*. Dacă versorul al normalei exterioare la S*(t) este o funcție continuă sau continuă pe porțiuni pe S*(t), iar Φ(, t) și (, t) au derivate parțiale de ordinul I continue pe D*(t) U S*(t), atunci există următoarele două propoziții:
a) Derivata în raport cu timpul, a integralei câmpului Φ pe domeniul D*(t) ocupat de un volum material poate fi scrisă sub formele:
dV = dV (4)
dV = dV (5)
b) Teorema transportului. Derivata în raport cu timpul a integralei câmpului ρψ pe domeniul D*(t) ocupat de un volum material este egală cu integrala derivatei în raport cu timpul a câmpului ρψ pe volumul de control D (un domeniu fix în raport cu reperul utilizat pentru studiul mișcării unui fluid se numește volum de control. Frontiera unui volum de control se numește suprafață de control) care coincide instantaneu cu D*(t), plus debitul proprietății Ψ = ρψdV pe suprafața de control S al lui D:
= + (6)
Cu ajutorul formulelor (13) și (14) în care Φ(,t) = ρ(,t) se obține:
dV = 0 (7)
dV = 0 (8)
Conform lemei integralei nule, din relația (7) rezultă:
= 0 sau = 0 (9)
iar din relația (8) rezultă:
= 0 sau = 0 (10)
În coordonate carteziene, relațiile (9) și (10) devin:
= 0 (11)
= 0 (12)
Mișcarea unui fluid se numește permanentă și cu densitate permanentă (sau staționară și cu densitate staționară) dacă:
și ρ = ρ() (13)
Cu relațiile (13), din ecuațiile (9) și (11) se obțin respectiv următoarele expresii ale ecuației de continuitate pentru un fluid compresibil aflat într-o mișcare permanentă și cu densitate permanentă:
sau div(ρ) = 0 (14)
0 (15)
Un fluid se numește incompresibil dacă volumul V* al domeniului Di*(t) ocupat de un volum material oarecare nu variază în timpul mișcării, deci dacă:
(16)
Această condiție poate lua și o altă formă. Dacă Φ = 1 în formula (5) aceasta devine:
Integrala din membrul stâng reprezintă volumul Vi* al lui D*(t). Ținând seama și de ecuația (10), condiția (16) se mai scrie:
Aplicând lema integralei nule, se obține . Admițând că ρ < oo rezultă că un fluid este incompresibil dacă în oricare punct al domeniului ocupat de fluid este satisfăcută relația:
(17)
Cu relația (17) din ecuațiile (10) și (12) rezultă respectiv următoarele expresii ale formei diferențiale ale ecuației de continuitate pentru orice mișcare a unui fluid incompresibil:
sau (18)
(19)
În concluzie, expresia matematică a principiului conservării masei se numește ecuația de continuitate iar pentru a deduce forma diferențială a acestei ecuații s-a utilizat principiul conservării masei ce se enunță astfel: masa unui volum material nu variază în timp.
Pentru un fluid compresibil, expresia ecuației de continuitate are forma:
(20)
În coordonate carteziene are forma:
(21)
în coordonate cilindrice are forma:
(22)
iar în coordonate sferice are forma:
(23)
Pentru un fluid incompresibil, expresia ecuației de continuitate are forma:
– în coordonate carteziene:
(24)
– în coordonate cilindrice:
(25)
– iar în coordonate sferice:
(26)
1.4.2. Ecuațiile impulsului
În masa unui fluid se separă un element de volum fix, de formă paralelipipedică, cu laturile Δx, Δy, Δz. Fluidul este în curgere nestaționară. Direcția de curgere este arbitrară, deci are loc prin toate fețele paralelipipedului. Pe baza legii a doua a lui Newton, se întocmește bilanțul impulsului.
Forța de inerție ce acționează asupra unității de volum de fluid este dată de variația impulsului în unitatea de timp , sau asupra întregului volum . Acest produs are dimensiunile unei forțe. Deci bilanțul forțelor este echivalent cu bilanțul impulsurilor.
Bilanțul elementului de volum este:
viteza de acumulare = viteza de intrare – viteza de ieșire + Σ forțe ce acționează
a impulsului a impulsului a impulsului asupra elementului
Transferul impulsului în / și din interiorul elementului de volum se face prin două mecanisme: prin convecție și prin transfer molecular. Transferul de impuls prin convecție are loc prin deplasarea masei de fluid sub acțiunea unui gradient de presiune. Transferul impulsului printr-un mecanism molecular este rezultatul forțelor cu frecare ce apar între straturile de fluid adiacente ce curg cu viteze diferite.
O zonă din masa de fluid în curgere laminară este împărțită în mai multe straturi (hașurate) ce alunecă unul peste altul cu viteze inegale. Distribuția vitezelor vx arată că în fig. 4 în masa fluidului este separat un paralelipiped a cărui vedere în planul xoy este reprezentată prin dreptunghiul abcd. Transferul impulsului printr-un mecanism molecular se face după direcția Oy, de la straturile cu viteză mai mare către cele cu viteză mai scăzută. Impulsul se transferă de la un strat la altul prin frecare. Tensiunea tangențială pe care o exercită stratul 2 asupra lui 3 de pe suprafața ab a paralelipipedului este τ3. Stratul 3 exercită asupra stratului 2 o tensiune de sens contrar τ2. Tensiunea tangențială exercitată de stratul 5 pe fața cd asupra stratului 6, adiacent este τ6 și cea exercitată de stratul 6 asupra stratului 5 este τ5. Deoarece impulsul se transmite după direcția și sensul axei y, tensiunea tangențială la intrare în elementul de volum este τ3 iar la ieșire τ6. Ambele tensiuni sunt orientate în același sens.
Tensiunile tangențiale și normale ce acționează asupra unui element de volum în direcția x, sunt reprezentate în fig. 3.
Viteza de acumulare a impulsului, după direcția x, în volumul considerat este dată de produsul dintre variația concentrației impulsului în unitatea de timp și volum .
Componentele impulsului pe direcția x ce intră pe cele trei fețe prin convecție, sunt date de produsul între concentrația impulsului pe unitatea de volum și debitul volumic.
La intrare:
– pe fața x (în planul yoz); ρvxvx|xΔyΔz;
– pe fața y (în planul xoz); ρvxvy|yΔxΔz;
– pe fața z (în planul xoy); ρvxvz|zΔxΔy;
și pentru ieșire:
– pe fața x: ρvxvx|x+Δx ΔyΔz;
– pe fața y: ρvxvy|y+Δy ΔxΔy;
– pe fața z: ρvxvz|z+Δz ΔxΔy;
Viteza cu care componenta x a impulsului intră prin transfer molecular prin fețele paralelipipedului este dată de produsul dintre tensiunea tangențială și suprafață.
La intrare:
– pe fața x: τxx|x ΔyΔz;
– pe fața y: τyx|y ΔxΔz;
– pe fața z: τzx|z ΔxΔy;
La ieșire:
– pe fața x: τxx|x+Δx ΔyΔz;
– pe fața y: τyx|y+Δy ΔxΔz;
– pe fața z: τzx|z+Δz ΔxΔy;
Era de așteptat ca componentele tensiunii tangențiale de pe două fețe opuse ale paralelipipedului să fie orientate în sensuri opuse.
Totuși reprezentarea lor în Fig. 6 este corectă. Spre exemplu, componenta τyx|y reprezintă tensiunea exercitată de fluidul exterior asupra fluidului de pe suprafața paralelipipedului și componenta τyx|y+Δy reprezintă tensiunea pe care o exercită fluidul de pe suprafața opusă a paralelipipedului asupra fluidului din exterior ceea ce este în Fig. 5. Asupra elementului de volum mai acționează după direcția x forța rezultată din presiunea fluidului și componenta forței gravitaționale (p|x – p|x+Δx)ΔyΔz + ρgxΔxΔyΔz.
Substituția tuturor expresiilor în ecuația de bilanț și regruparea termenilor conduce la expresia:
[ρvxvx|x ΔyΔz + ρvxvy|y ΔxΔz + ρvxvzv|z ΔxΔz] – [ρvxvx|x+Δx ΔyΔz + ρvxvy|y+Δy ΔxΔz + ρvxvz|z+Δz ΔxΔy] + [τxx|x ΔyΔz + τyx|y ΔxΔz + τzx|z ΔxΔy] – [τxx|x+Δx ΔyΔz + τyx|y+Δy ΔxΔz + τzx|z+Δz ΔxΔy] + (p|x – p|x+Δx)ΔyΔz + ρyxΔxΔyΔz
Împărțind cu ΔxΔyΔz, trecând la limită și ținând cont de modul seriei variației și tensiuni:
Exemplu:
vy|y+Δy = vy + dy (27) și τyx|y+Δy = τyx + dy (28)
și atunci din scăderea termenilor rezultă:
= – (29)
Similar se pot scrie ecuațiile pentru direcțiile y, respectiv z.
= – (30)
= – (31)
Se observă că prima paranteză din partea dreaptă a ecuațiilor este afectată de semnul minus iar cea de a doua de semnul plus. Aceasta se datorează faptului că componentele vitezei de curgere au valori crescătoare în sensul pozitiv al axelor de coordonate, pe când componentele tensiunii, în același sens, au valori descrescătoare. Limitele cu care se operează conduc la derivate cu semne diferite.
Ecuațiile se pot scrie într-o singură formă vectorială.
= – [(ρvv) + (τ)] – p + ρg (32)
unde = este un operator de derivare. (33)
Rezultă că viteza de creștere a impulsului pe unitatea de volum de fluid este egală cu suma dintre viteza de transfer a impulsului prin convecția vitezei de transfer sub acțiunea forțelor de vâscozitate, a forțelor de presiune și a forțelor gravitaționale, toate raportate la unitatea de volum.
Ecuațiile mai pot fi aranjate și altfel (de exemplu ecuația după direcția ox):
+ (34)
Regrupând termenii se obține:
(35)
Paranteza primului termen din partea stângă a ecuației conține derivata substanțială a vitezei Dvx|dt; iar paranteza a doua este egală cu zero deoarece termenii reprezintă ecuația continuității curgerii.
Forma finală a ecuației impulsului, după direcția ox va fi:
(36)
Pentru toate cele trei direcții se scrie :
(37)
(38)
(39)
Transcrierea ecuației sub formă vectorială conduce la:
(40)
Formulele ecuațiilor impulsului date de (38) și (40) corespund ecuațiilor continuității. Ecuația continuității fără a ține cont de forțele de inerție și greutate:
(40’)
Pentru un fluid necompresibil (lichidele) cu densitate constantă în timp și în spațiul de curgere: rezultă:
(41)
Prin simplificare rezultă:
sau (42)
Condiția poate fi satisfăcută numai dacă densitatea unui element de fluid este constantă și dacă acesta se deplasează odată cu fluidul, încât densitatea nu variază nici în timp.
În primul caz prima formulă reprezintă bilanțul pentru un volum elementar fixat în spațiu și a doua descrie schimbările ce au loc într-un volum ce se deplasează odată cu fluidul.
Ecuațiile impulsului sunt valabile pentru orice fluid în curgere.
Ele pot fi particularizate dacă se folosește ecuația reologică de comportare a fluidului studiat. Spre exemplu, pentru un fluid newtonian, după înlocuirea componentelor tensorului tensiunilor, acestea iau forma:
Componentele tensorului tensiunilor în condiții rectangulare pentru lichidul lui Newton sau corp pur vâscos ce posedă numai vâscozitate:
i = j; δij = 1 (43)
(44)
(45)
i ≠ j; δij = 0 (46)
(47)
(48)
(49)
Acest lucru se va demonstra separat.
Revenind la ecuațiile noastre care iau forma:
(50)
(51)
(52)
În cazul curgerii izoterme ρ și η sunt constante și din ultimele trei relații se obțin ecuațiile Navier-Stokes.
(53)
(54)
(55)
unde: (56)
(57)
Aceste ecuații pot fi restrânse într-o formă vectorială.
(58)
Fluidele ideale, de tip pascalian, sunt lipsite de vâscozitate și pentru τ = 0 ecuațiile impulsului în coordonate rectangulare se reduc la:
(59)
(60)
(61)
Formula restrânsă este:
(62)
Ecuațiile impulsului pot fi folosite pentru descrierea posibilităților de convertire a unei forme de curgere în alta.
Se înmulțește ecuația impulsului cu viteza locală v.
(63)
Ecuația rezultată descrie viteza de variație a energiei cinetice pe unitatea de masă pentru un element de volum ce se deplasează în sensul curentului.
Se va transcrie această ecuație în altă formă și unii termeni se vor despărți în două părți și astfel ecuația devine:
(64)
În unele cărți de hidraulică ecuațiile lui Navier și Stokes, pentru mișcări laminare ale fluidelor vâscoase incompresibile se introduce vâscozitatea cinematică υ = η/ρ și câteva notații diferite, astfel:
(65)
(66)
(67)
unde (68)
Forma vectorială a acestor ecuații este:
(69)
sau (70)
Acest sistem este format din trei ecuații cu derivate parțiale de ordin doi neliniare și conțin patru funcții necunoscute vx, vy, vz, p.
Pentru determinarea acestora mai este necesară o relație, aceasta este ecuația de continuitate:
(71) sau
Observație. Mișcarea laminară a unui fluid real (vâscos) este un proces ireversibil.
1.4.3. Vâscozitatea
Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformării (mișcării), în special a celor ce nu constituie reduceri ale volumului, datorită schimbului de molecule între straturile alăturate de fluid.
Astfel, apar tensiuni tangențiale pe orice element de suprafață ce separă două porțiuni de fluid între care există diferențe de viteză.
Schimbul molecular între straturile alăturate este una din cauzele fenomenelor de transfer al unor proprietăți scalare sau vectoriale.
Vâscozitatea, manifestată prin tensiuni tangențiale de frecare (rezistente datorită frecării între straturi), este rezultatul transferului de cantitate de mișcare (mărime vectorială). Această proprietate poate fi pusă în evidență prin experiența următoare (Fig. 1).
Un lichid este situat între două plăci plane C1 și C2, paralele între ele și aflate la distanța Δh una de alta. Placa C1 este considerată infinită și în stare de repaus (), iar placa C2 de arie A se deplasează cu viteză în propriul ei plan. Deplasarea plăcii C2, asigură mișcarea laminară a lichidului sub acțiunea forței, dată de relația:
unde: – η este un coeficient de proporționalitate;
– este viteza relativă a plăcilor.
La fluidele numite newtoniene datele experimentale arată că tensiunea tangențială (presupusă uniform distribuită pe suprafața A superioară a stratului de lichid aderent la placa C2) are valoarea:
Se face ipoteza că relația rămâne valabilă când Δh0 precum și pentru două straturi de lichid vecine 1 și 2. Mai general, se admite că într-o mișcare paralelă a unui fluid, adică într-o mișcare în care traiectoriile tuturor elementelor de fluid sunt drepte paralele între ele, asupra unui element de suprafață ds paralel cu traiectoriile se exercită o tensiune tangențială având valoarea:
(72)
unde: – n este normala la ds.
Coeficientul η se numește vâscozitate dinamică iar sensul negativ arată că tensiunea tangențială este proporțională cu negativul gradientului de viteză. Relația (72) reprezintă ipoteza lui Newton, iar fluidele ce ascultă de această lege se numesc lichide newtoniene. Reprezentată în coordonate rectangulare, ecuația (72) este o dreaptă ce trece prin origine și are o pantă constantă, egală cu vâscozitatea dinamică a fluidului (Fig. 2), astfel că fluidele newtoniene pot fi definite și ca acele fluide ce reprezintă la presiune și temperatură constantă, o curbă de curgere liniară ce trece prin originea sistemului de coordonate rectangulare.
Determinarea vâscozității dinamice a unui fluid newtonian se efectuează experimental cu vâscozimetrul tip Höppler (prin determinarea timpului de cădere a unei bile de metal sau sticlă, de un anumit diametru și cu o anumită greutate într-un tub cilindric înclinat, în condiții ce asigură proporționalitatea între vâscozitatea fluidului din tub și viteza de cădere).
Vâscozitatea cinetică se determină cu vâscozimetrul de tip Höpple sau tip Vogel-Ossag (prin determinarea timpului de curgere a uni volum dat de fluid printr-un tub capilar de dimensiuni date și compararea cu timpul de curgere necesar unui alt lichid de referință prin același tub capilar) sau tip Ubbelahde (prin determinarea timpului de curgere sub acțiunea greutății proprii a unui volum dat de lichid, printr-un tub capilar, în condițiile formării unui nivel suspendat al coloanei de lichid în curgere și compararea cu timpul de curgere în aceleași condiții a altui lichid de referință).
Dimensional, pentru vâscozitatea dinamică se obține:
Unitatea de măsură în SI este [N·p/m2]. Ca unitate de măsură se mai utilizează și poiseul, unde 1P = 0.1 N·s/m2. La 00C și 1At, η = 1.791·10-3 N·s/m2 pentru apă și η = 1.717 ·10-5 N·s/m2 pentru aer.
În unele probleme practice (caracterizarea uleiurilor minerale ca lubrifianți) se folosește termenul de viscozitate cinematică υ, dată de relația:
în care: ρ – este densitatea fluidului.
Dimensional, se obține pentru vâscozitatea cinematică:
Unitatea de măsură în SI este m2/s, folosindu-se și unitatea numită stokes.
1 st = 1 cm2/s = 10-4 [m2/s]
Coeficientul de viscozitate (dinamică și cinematică) variază cu temperatura în mod diferit la lichide și la gaze. La creșterea temperaturii, vâscozitatea lichidelor scade, pe când cea a gazelor crește.
Vâscozitatea dinamică η variază foarte mult cu temperatura, dar foarte puțin cu presiunea. Majoritatea fluidelor întâlnite în practică (apa, aerul) sunt fluide newtoniene. Fluidele ce nu respectă relația lui Newton se numesc fluide nenewtoniene și formează obiectul de studiu al reologiei.
În Fig. 3 s-a prezentat grafic variația tensiunii tangențiale τ în funcție de cu menționarea unor tipuri de fluide newtoniene întâlnite în practică.
Cap. 2. Fluide vâscoase cu comportare nenewtoniană
2.1. Introducere
Numeroase corpuri fluide prezintă abateri de la comportarea newtoniană, ce se datorează următoarelor cauze:
– sistemele bifazice, de tipul sângelui, aluatul, vopselele, suspensiile de fibre, etc. La acestea faza dispersă constituie o parte importantă din volum, iar sistemul bifazic în timpul curgerii suferă modificări structurale.
– sistemele omogene macroscopice de tipul: uleiuri minerale cu viscozitate mare, topituri de polimeri, etc., la care, sub acțiunea forțelor de forfecare, unitățile de curgere (moleculele) suferă orientări.
La aceste fluide, în condiții izoterme, dependența tensiune-viteză de deformare este neliniară, iar vâscozitatea depinde de parametrii solicitării.
Astfel s-a definit vâscozitatea aparentă ηa, aceasta depinzând de viteza de forfecare:
unde: – este tensiunea de forfecare;
– este viteza de modificare a formei corpului.
Dependența vâscozității aparente de viteza de forfecare se datorează modificărilor de structură ce apar în faza fluidă sub acțiunea solicitărilor. Modificarea structurii fluidului sub acțiunea solicitărilor de forfecare constituie factorul principal al abaterilor de la comportarea newtoniană.
Viteza cu care se modifică structura poate fi mai mică sau mai mare. Din această cauză, unele corpuri își modifică vâscozitatea în timp, deși parametrii solicitării rămân constanți.
Când viteza proceselor de modificare a structurii este suficient de mică pentru a putea fi sesizată experimental, se zice că fluidul este dependent de timp. La aceste fluide vâscozitatea depinde de mărime, durată și istoria forfecării.
Fluidele a căror viscozitate, în condiții izoterme și izobare, variază funcție de parametrii solicitării și de timp sau numai funcție de parametrii solicitării se numesc fluide nenewtoniene (sau fluide cu vâscozitate de structură).
Acestea por avea numai o componentă vâscoasă și se împart în două grupe:
– fluide dependente de timp, caracterizate prin aceea că viteza de forfecare într-un punct dat este dependentă exclusiv de tensiunea de forfecare în acel punct.
– fluide dependente de timp sunt acelea la care viteza de forfecare este o funcție de mărimea și durata tensiunii de forfecare și de istoria forfecării.
2.2. Fluide nenewtoniene independente de timp
Aceste fluide sunt denumite în mod curent fluide vâscoase nenewtoniene sau fluide pur vâscoase și se clasifică în două categorii:
I. Cu prag de tensiune:
Sub acțiunea unei forțe mici manifestă comportare de corp elastic sau rigid, iar după ce forța atinge o anumită valoare, începe să se comporte ca un fluid vâscos. Deformația din primul domeniu este recuperabilă, pe când în domeniul solicitărilor mari deformația devine permanentă.
Comportarea de corp solid, elastic sau rigid și comportarea de corp fluid vâscos preponderent se manifestă succesiv. Tensiunea care marchează trecerea de la corp elastic la corp vâscos poartă denumirea de prag de tensiune, prag de curgere sau limită de elasticitate și se notează cu τ0.
II. Fără prag de tensiune:
În această categorie sunt incluse majoritatea lichidelor nenewtoniene, făcând abstracție de componenta elastică.
Funcție de dependența tensiune-viteză de forfecare (Fig. 1) se clasifică:
Curba 1 – fluidul lui Newton
Curba 2 – fluide pseudoplastice
Curba 3 – fluide dilatante.
Fie .
Prin logaritmare se obține:
(73)
și este aparent ecuația unei drepte a cărei pantă este egală cu unu, ceea ce este valabil numai pentru fluide newtoniene, unde vâscozitatea este constantă și independentă de parametrii solicitării. Pentru fluide nenewtoniene, vâscozitatea aparentă ηa este funcție de viteza de forfecare.
Curbele 2 și 3 au, începând din origine, o porțiune liniară cu panta egală cu unu, ceea ce denotă o comportare newtoniană, urmată de un domeniu neliniar, prin care se diferențiază comportarea dilatantă cu cea pseudoplastică, astfel:
– comportare pseudoplastică, pentru 0 < panta < 1;
– comportare dilatantă, pentru panta >1.
Deci măsura comportării nenewtoniene este dată de abaterea pantei de la unitate.
Deoarece panta curbelor de curgere, în coordonate logaritmice, constituie un criteriu cantitativ al tipului de comportare reologică, a fost denumit indice de curgere și este considerat o proprietate fizică a corpului.
Corpurile pseudoplastice prezintă fenomenul de fluidizare; vâscozitatea este o funcție descrescătoare de viteza de forfecare.
Vâscozitatea corpurilor dilatante crește o dată cu creșterea vitezei de forfecare; manifestă tendință de îngroșare.
Mecanismul răspunzător de comportarea reologică a celor două fluide este diferit.
2.2.1. Fluide pseudoplastice
Corpurile pseudoplastice posedă vâscozitate dependentă de structură. Funcție de valoarea parametrilor solicitării , structura suferă modificări reversibile.
Vâscozitatea este descrescătoare cu viteza de forfecare, iar în domeniile extreme ale parametrilor solicitării comportarea este newtoniană.
2.2.2. Fluide dilatante
Suspensiile de concentrație mare, sub acțiunea forțelor de forfecare, devin rigide, ca urmare a modificării porozității, respectiv a volumului.
Această proprietate de expansiune a volumului se numește dilatanță și caracterizează corpurile a căror vâscozitate crește cu viteza de forfecare (Fig. 2b) (rigidizarea acestora). Aceste corpuri fluide manifestă frontul de îngroșare. Din această categorie fac parte pastele de amidon, mortarul și unele emulsii.
2.2.3. Ecuații reologice
Corpurile fluide cu comportare nenewtoniană, posedă pe lângă componenta vâscoasă și o componentă elastică sau plastică.
Ecuațiile ce caracterizează componentele tensiunii cu componenta deformației sau (și) a vitezei de deformare și proprietățile corpurilor se numesc ecuații reologice sau constitutive și servesc la abordarea teoretică a problemelor de curgere.
Fluidele vâscoelastice omogene, incompresibile, supuse la forfecare simplă în regim staționar, au componentele tensorului tensiunilor exprimat prin trei ecuații:
(74)
unde: – este vâscozitatea aparentă dependentă de parametrii solicitării;
– prima funcție a solicitărilor normale;
– a doua funcție a solicitărilor normale (acestea descriu elasticitatea corpului).
Fluidele nenewtoniene care posedă numai viscozitate sau sunt vâscoelastice, a căror componentă elastică este neglijabilă, vor Avea prima și a doua diferență a tensiunilor normale egală cu zero, iar comportarea este descrisă de prim ecuație.
2.3. Fluide nenewtoniene care posedă numai componentă vâscoasă
2.3.1. Legea puterii
Cel mai simplu model reologic propus de Ostwald-deWaele are următoarea formă:
(75)
unde: – k este indicele de consistență, k = constant;
– n este indicele de curgere, n = constant.
Prin logaritmare se obține o dreaptă, dar pe un domeniu larg de variație a parametrilor solicitării, este reprezentată printr-o curbă.
Din această cauză, legea puterii este aplicabilă pe domenii limitate de variație a vitezei de forfecare, în care curba se poate asimila cu o dreaptă.
Se cunoaște:
sau (76)
Deci pentru n = 1, ηa = k – constant – comportare newtoniană
n <1, ηa scade cu creșterea lui
n >1, ηa crește cu creșterea lui , comportare dilatantă.
Se consideră o stare de referință și care îi corespunde o vâscozitate η0. Raportul între vâscozitatea aparentă ηa și vâscozitatea corespunzătoare stării de referință η0, conform relației:
(77)
sau
sau prin intermediul relației: .
și
Deci sau și introducând în relația (77) se obține:
(78)
În ecuațiile (77) și (78) η0 poate fi determinat pentru , respectiv și ambele ecuații iau forme mai simple. Indicele de curgere n, pentru foarte multe corpuri fiind subunitar, legea puterii (ecuațiile 76 și 77) sugerează o viscozitate infinită, când viteza de forfecare tinde către zero. Acest inconvenient limitează utilizarea ei.
Legea puterii ia forma generalizată:
(79)
în care: – este al doilea invariant al tensorului vitezei de deformare.
Forma acestuia este similară cu a celui de al doilea invariant al tensorului tensiunilor sau al tensorului deformațiilor.
Iτ1 = τ11 + τ22 + τ33
Iτ2 = τ11τ22 + τ22τ33 + τ33τ11 – (τ212 + τ223 + τ231)
Iτ3 = τ11τ22τ33 + 2τ12τ23τ31 – τ11τ223 – τ22τ213 – τ33τ212
Iγ1 = γ11 + γ22 + γ33
Iγ2 = γ11γ22 + γ22γ33 + γ33γ11 – (γ212 + γ223 + γ231)
Iγ3 = γ11γ22γ33 + 2γ12γ23γ31 – γ11γ223 – γ22γ231 – γ33γ212
iar în cazul de față are forma:
Legea puterii generalizate poate fi aplicată corpurilor supuse la solicitări multiple.
Pentru materiale solicitate la forfecare simplă de tensiunea τyx majoritatea derivatelor din expresia invariantului se anulează și se obține:
(80)
iar legea generalizată se reduce la ecuația (77), în care η0 corespunde valorii .
După înlocuiri:
sau
2.3.2. Modelul Prandtl-Eyring
Ecuația reologică a fost obținută pe baza teoriei cinetice a lichidelor elaborată de Eyring.
Pentru forfecare simplă modelul are forma:
(81)
unde: – k1 și k2 sunt coeficienți de material.
Modelul are avantajul că poate reproduce comportarea unor materiale nenewtoniene cu ajutorul a două constante de material. Forma algebrică complicată îi limitează aplicația ei.
Pentru solicitări tridimensionale, exprimat în termeni de vâscozitate
(82)
conține tot două constante de material, din care η0 este vâscozitatea la viteza de forfecare egală cu zero.
Prin explicitarea ecuației (81) funcție de și prin dezvoltarea în serie a funcției hiperbolice și reținerea primilor doi termeni, se ajunge la modelul Steiger-Ory-Rabinowitsch.
(83)
în care: – k3 și k4 sunt coeficienți de material.
2.3.3. Modelul Powell-Eyring
La viteze de forfecare foarte mici și foarte mari, unele soluții și topituri se comportă nenewtonian.
Vâscozitatea aparentă prezintă două valori limită:
– la viteze de forfecare egale cu zero;
– la viteze de forfecare foarte mari (Fig. 2).
Aceste vâscozități sunt coeficienți de material și corespund domeniilor de comportare nenewtoniană.
Din modelele anterioare nu rezultă o valoare limită pentru viscozitate. Pe această bază s-au propus modelele empirice care iau în considerare o astfel de comportare.
Modelul Powell-Eyring cu trei parametri este de forma:
(84)
în care: – k1, k2, k3 sunt coeficienți de material.
Pentru valori extreme ale parametrilor solicitării, modelul se simplifică.
La viteze mici de forfecare și modelul devine:
(85)
ceea ce demonstrează o comportare newtoniană întrucât suma termenilor din paranteză este o constantă și egală cu vâscozitatea la viteze mici de forfecare
.
La viteze mari de forfecare și ecuația (84) devine:
(86)
Din nou o comportare newtoniană pentru care: .
Comparând valorile limită ale vâscozității rezultă >, relația de ordine specifică fluidelor pseudoplastice.
Vâscozitatea aparentă a corpurilor pseudoplastice, conform acestui model, poate fi exprimată funcție de cel de al doilea invariant al tensorului vitezei de deformare și de vâscozitățile limită și .
(87)
dar este prea complicată algebric.
2.3.4. Modelul Ellis
Modelul conține trei coeficienți de material:
(88)
Modelul este extrem de flexibil, putând fi utilizat pentru un număr mare de corpuri. Este mai puțin complicat decât legea puterii dar poate fi aplicat pe un domeniu mai larg de variație a vitezei de forfecare.
– pentru n > 1 și tensiuni mici sugerează comportare newtoniană.
– pentru n < 1 și tensiuni de forfecare mari, sugerează de asemenea comportare newtoniană.
– pentru k2 = 0 se reduce la legea lui Newton.
– pentru k1 = 0 se obține legea puterii.
O a doua variantă a modelului este:
(89)
în care: – este vâscozitatea la viteza de forfecare egală cu zero;
– este tensiunea la care vâscozitatea aparentă scade la jumătate.
2.3.5. Modelul Reiner-Philippoff
Modelul ține cont de comportarea nenewtoniană la valori extreme ale vitezei de forfecare. Conține trei coeficienți de material:
(90)
Vâscozitatea aparentă va fi dată de:
(91)
La valori extreme ale solicitării, ultima ecuație se simplifică:
τ0
τ
demonstrând comportarea newtoniană.
Între valorile extreme ale vâscozității, curba conform ecuației (88) prezintă un punct de inflexiune de ordonată:
Toate modelele discutate până aici au caracter empiric sau semiempiric. Coeficienții de material depind de timp, presiune, compoziție și chiar de valorile parametrilor solicitării.
Dependența este dată în Fig. 3.
unde: – Fig. 3a. este cu doi coeficienți de material.
– Fig. 3b. este cu trei coeficienți de material.
2.3.6. Alte modele
Majoritatea modelelor reologice dezvoltate în ultimul timp se referă la curgerile fluidelor nenewtoniene și sunt aplicabile la curgerea cu forfecare simplă.
Ecuațiile reologice corelează tensiunea tangențială cu viteza de forfecare și parametrii de material. Cele mai multe sunt explicitate în tensiuni sau vâscozități aparente.
La curgerea unui fluid nenewtonian, independent de timp prin tuburi circulare, dacă nu există alunecare la perete, tensiunea de forfecare la perete se exprimă funcție de raportul între viteza medie de curgere și diametrul tubului 8 . Cu ajutorul acestor modele s-a definit un număr Reynolds generalizat, valabil pentru lichide nenewtoniene ce respectă legea puterii și s-au obținut ecuații pentru calculul consumului de energie în amestecare și a coeficientului de frecare la curgere.
Câteva modele reologice exprimate funcție de raportul 8 pentru fluide pseudoplastice sunt date în tabelul 1, iar un grup de modele reologice este prezentat în tabelul 2.
Selectarea modelelor se face pe baza valabilității lor teoretice, a utilității lor în rezolvarea problemelor de curgere și a capacității lor de adaptare.
2.4. Fluide nenewtoniene dependente de timp
Fluidele nenewtoniene independente de timp au vâscozitatea dependentă de parametrii solicitării.
Un corp pseudoplastic sau dilatant, la o anumită valoare a vitezei de forfecare, îi corespunde o vâscozitate independentă de timpul de solicitare și de solicitările anterioare. Aceasta datorită faptului că modificările structurale determinate de forfecare au loc cu viteză foarte mare.
O altă categorie de corpuri la viteză de forfecare constantă, manifestă tendința de modificare în timp a tensiunii de forfecare și, respectiv, a vâscozității; comportarea depinzând și de istoria solicitărilor. Astfel de corpuri se numesc dependente de timp.
Procesele de modificare a structurii prin forfecare sunt lente. La scăderea vitezei de forfecare sau în repaus, fluidele reversibile își refac structura inițială, iar fluidele ireversibile păstrează structura corespunzătoare mărimii și duratei efortului de solicitare.
Se vor studia numai acele fluide nenewtoniene pentru care efectul timpului este reversibil.
Funcție de timp, la viteză de forfecare constantă, tensiunea ce solicită un corp cu comportare nenewtoniană, poate rămâne constant sau suferă modificări.
Creșterea tensiunii tangențiale în timp evidențiază o comportare reopexică; scăderea tensiunii corespunde comportării tixotrope.
2.4.1. Fluide tixotrope
Acestea pot avea în afara componentei vâscoase o componentă elastică și o componentă plastică.
Solicitarea la forfecare în condiții izoterme apare o scădere reversibilă dependentă de timp a modulului de elasticitate, a pragului de curgere și a vâscozității.
Corpurile tixotrope în repaus prezintă o structură sau o stare de gel. Prin forfecare structura este distrusă și corpul trece în stare fluidă. După un timp de stat în repaus, structura se reface și corpul revine la starea inițială.
Energia consumată, când un corp lichid este supus la forfecare, servește la învingerea forțelor de frecare datorită vâscozității și la distrugerea structurii. Energia pentru destructurare poate fi considerată energie potențială întrucât este recâștigată sub o altă formă, atunci când corpul în repaus își reface structura.
Se consideră un fluid tixotrop care la timpul t1 are vâscozitatea η1(Fig. 5).
De la timpul t1 până la timpul t2 este supus la forfecare cu viteza constantă . Tensiunea scade datorită scăderii vâscozității de la la ,rămânând constant până la timpul t3. Vâscozitatea fluidului scade în acest interval de timp până la valoarea η3. Prin solicitare la o viteză de forfecare constantă și mai mare decât cea anterioară, lichidul se destructurează și vâscozitatea scade.
Comportarea tixotropă este caracteristică pentru: suspensii de amidon, latexuri,fluide biologice, soluții de gelatină, albuș de ou, grăsimi, geluri de săpun, geluri de aluminiu, unt.
Cunoașterea proprietăților reologice este necesară pentru procesele de prelucrare și pentru utilizarea lor.
2.4.2. Fluide reopexice (sau antitixotrope)
Fluidele dilatante manifestă o creștere izotermă reversibilă a vâscozității cu creșterea vitezei de forfecare, fără dependență de timp.
Fluidele reopexice prezintă o comportare similară cu dependența de timp măsurabilă (evidențiată prin bucle de histerezis).
Vâscozitatea unui fluid reopexic depinde de mărimea vitezei de forfecare și durata forfecării.
Un material reopexic, caracterizat printr-o stare de echilibru între procesele de structurare și destructurare, va avea vâscozitatea aparentă η1. La timpul t1 este solicitat cu o viteză de forfecare constantă .Vâscozitatea crește continuu și la timpul t2 corespunzător unei noi stări de echilibru, ajunge la valoarea limită η2 (Fig. 6a). Dacă la timpul t2 viteza de forfecare este modificată instantaneu, la și menținută constantă vâscozitatea crește din nou și la timpul t3 corespunzător echilibrului, ajunge la valoarea maximă η3. Variația vâscozității aparente în timp la viteză de forfecare constantă este în Fig. 6b.
Comportări de acest fel au fost observate la suspensiile apoase formate din amidon și argilă.
2.5. Reprezentare generalizată a comportării reologice a fluidelor nenewtoniene
Fluidele nenewtoniene dependente sau independente de timp, la viteze de forfecare mici au un domeniu de comportare newtoniană, domeniu care, în unele cazuri, poate fi foarte restrâns.
Comportarea newtoniană se datorează lipsei de modificări în masa structurală (pseudoplastice și tixotrope) sau nestructurală (dilatante și reopexice) a fluidului.
Toate lichidele nenewtoniene au vâscozitatea dependentă de structură și din acest punct de vedere pot fi considerate dependente de timp. Ele se deosebesc prin faptl că vitezele de structurare și destructurare, ca ordin de mărime, pot fi mai mari sau mai mici.
Ostwald sugerează o curbă generalizată de curgere (Fig. 7).
Pe curba de curgere a lui Ostwald (curba 1) se disting patru domenii:
– dreapta OA – comportare newtoniană;
– dreapta AB – pseudoplastică;
– dreapta BC – dilatantă;
– după C – comportare newtoniană.
Comportarea newtoniană prezintă un punct de inflexiune B ce marchează trecerea de la domeniul pseudoplastic la cel dilatant. Această curbă de curgere poate fi mai bine generalizată, dacă între domeniile de comportare pseudoplastică și dilatantă, se intercalează un domeniu newtonian (curba 2). Aceasta este curba de curgere generalizată, conține trei domenii de comportare newtoniană și explică toate tipurile de comportări reologice:
Fluidul newtonian. Un corp cu o curbă generalizată de curgere, la care modificarea comportării după punctul A, apare la viteze de forfecare foarte mari, nerealizabile experimental.
Lichid pseudoplastic. Corpul la care curba generalizată de curgere poate fi stabilită pe cale experimentală până la o limită situată între A și B2, în condiții de curgere laminară.
Lichid dilatant. Materialul cu curba generalizată de curgere, pentru care primul domeniu newtonian, domeniul pseudoplastic și uneori , o parte din al doilea domeniu newtonian, apar succesiv la viteze de forfecare mici și nu pot fi separate pe cale experimentală.
Corp plastic. Materialul cu curba generalizată de curgere la care primul domeniu de comportare newtoniană se suprapune pe axa tensiunilor de forfecare, după care urmează domeniul pseudoplastic.
Plasticul Bingham. Un corp cu curbă generalizată de curgere, la care primul domeniu de curgere newtonian coincide cu axa tensiunilor, domeniul de comportare pseudoplastică este atât de redus încât primul domeniu newtonian pare să fie urmat imediat de cel de al doilea domeniu newtonian. Domeniul dilatant nu poate fi obținut pe cale experimentală.
Lichidul Ostwald. Corespunde unui material cu curbă generalizată de curgere, la care al doilea domeniu de comportare newtoniană este atât de restrâns, încât se reduce la un punct de inversie ce marchează trecerea de la domeniul pseudoplastic la cel dilatant.
Cap. 3. Modele reologice mecanice și electrice
3.1. Modele mecanice
S-au introdus o serie de elemente mecanice simple cu ajutorul cărora se limitează fie o tensiune, fie o deformație, fie viteza de deformație (Fig. 5.1.).
Asocierea lor cu celelalte modele mecanice lărgesc posibilitățile de modelare a comportărilor reologice ale materialelor.
Patina lui Képés (Fig. 5.1.a.) este formată dintr-un corp cu frecare fără proprietăți de tensiune. Modelul este conceput în așa fel încât forța de frecare este proporțională cu deplasarea (deformația):
– kf (γ) τ | γ | kf
Limitatoarele de deformație sunt elemente simple care nu permit unui model să se deplaseze într-un sens sau în ambele sensuri decât până la o anumită limită. Spre exemplu al treilea element (Fig. 5.1.b) limitează deplasarea în ambele sensuri la valoarea γ0 . Atât timp cât limitatorul nu face contact, forța este nulă, iar după realizarea contactului, forța poate deveni oricât de mare fără ca deplasarea γ să depășească limitele – γ0 γ γ0 .
Limitatoarele de viteză (Fig. 5.1.c.) nu opun nici o rezistență la deformare peste o anumită viteză limită . Chiar dacă forța devine foarte mare, viteza limită nu poate fi depășită
3.2. Modele mecanice neliniare
Modelele mecanice analizate anterior – lichidul lui Maxwell, solidul lui Voigh-Kelvin și corpul Burgers sunt modele liniare, adică comportarea acestora este descrisă de o ecuație diferențială liniară.
Modelele mecanice ce au în componența lor un corp cu frecare, limitatoare de deformații sau de viteză de deformație, sunt neliniare.
Cu ajutorul lor se reproduce comportarea corpurilor solide sau lichide.
Modelele din Fig. 5.2. corespund unor corpuri cu modul de elasticitate variabil dependent de deformație.
O forță crescătoare aplicată modelului „a”, deformează ambele arcuri. Dependența între tensiune și deformații este dată de expresia:
unde: – și sunt complianțele la forfecare simplă a arcurilor.
Inversul modulului de elasticitate reprezintă complianța la alunecare simplă JE.
Când deformația primului arc este blocată de limitatorul cu care este legat în paralel – punctul B – în continuare se deformează numai al doilea arc și panta dreptei se modifică la , ceea ce echivalează cu o creștere a modulului de elasticitate.
Dreapta BC intersectează abscisa în punctul:
în care: – γk este deformația maximă a primului arc, respectiv, o mărime specifică limitatorului de deformare.
Modelul din fig. 5.2.b este prevăzut cu un arc pretensionat. Limitatorul de deformație nu permite primului arc să revină la starea sa naturală. Prin aplicarea unei forțe se deformează numai al doilea arc (linia OB).
În punctul B, forța aplicată egalează forța de pretensionare a primului arc și la forțe mai mari se deformează ambele arcuri. Aceasta echivalează cu o scădere a modului de elasticitate (dreapta BC).
Dreapta BC intersectează ordonata în τi :
Notația τk corespunde forței de pretensionare a primului arc τk = E1γk în care γk este deformația inițială impusă de limitator.
Modelele din fig. 5.3. redau comportarea a două corpuri lichide cu vâscozitatea dependentă de parametrii solicitării. Comportarea neliniară se datorează limitatorului de viteză de deformare și corpului cu frecare.
Prin aplicarea unei forțe continuu crescătoare, viteza de deformare a ambelor amortizoare crește atâta timp cât viteza primului amortizor este mai mică decât .
Viteza totală de deformare este egală cu suma vitezelor individuale, ca în cazul înserierii amortizoarelor:
Fracția reprezintă o constantă și comportarea este newtoniană (dreapta OB). Peste o anumită limită a vitezei de forfecare, limitatorul menține constantă viteza primului amortizor și panta crește (dreapta BC). În acest caz corpul manifestă comportare dilatantă. Ecuația dreptei BC va fi:
Modelul din fig. 5.3.b descrie un corp ce manifestă comportare pseudoplastică. La solicitări mici, pentru care τ < τ0 , se deformează numai al doilea amortizor și comportarea este newtoniană (dreapta OB).
Când tensiunea depășește pragul de curgere τ0 se vor deforma ambele amortizoare (dreapta BC) și se obține:
în care primul termen din partea dreaptă a ecuației reprezintă ordonata la origine τi a dreptei BC.
Corpurile cu componentă dilatantă și pseudoplastică le corespund curbe cu panta continuu crescătoare, respectiv descrescătoare.
Modelele mecanice ce descriu astfel de comportări se obțin prin înscrierea unei infinități de cuplaje amortizor – limitator de viteză, respectiv amortizor – corp de frecare, fiecare prevăzut cu câte un amortizor liber.
3.3. Corpuri vâscoelastoplastice
Numeroase cercetări experimentale au demonstrat că multe materiale naturale posedă vâscozitate, elastice și plasticitate în diverse proporții.
Pentru a reda comportarea acestora la acțiunea solicitărilor exterioare, sunt necesare, modele analogice formate cel puțin dintr-un arc, un amortizor și o patină. Cel mai simplu model de acest fel este al corpului Bingham (Fig. 5.4.a).
Spre deosebire de modelul plasticului Bingham acest model conține un arc izolat.
F F
Fig. 5.5.
Un astfel de corp posedă elasticitate instantanee și proprietatea de a se deforma vâscos peste o anumită valoare a tensiunii.
O comportare plastică, ce posedă și o slabă componentă elastică, a fost pusă în evidență la curgerea prin conducte a soluțiilor apoase de carbonil.
Corpul Schwedoff este reprezentat prin modelul mecanic din fig. 5.4.b. Modelul este format dintr-un element Maxwell în paralel cu o patină și înseriate cu un arc izolat. Cu ajutorul acestui model se reproduce comportarea soluțiilor de gelatină.
Corpul Schofield-Scott Blair este dat de modelul mecanic din fig. 5.4.c, compus din cinci modele elementare. Acesta a fost conceput în scopul reproducerii comportării aluatului.
3.4. Modele electrice
Modelele electrice permit o reglare foarte ușoară și rapidă a tuturor parametrilor, iar răspunsul se poate obține imediat pe ecranul unui osciloscop. Modelarea electrică se face pe baza celor mai simple legi ale electricității.
Exemple.
Analogia U – τ, Q – γ se bazează pe legea Ohm și ecuația condensatorului electric.
în care: – U este tensiunea electrică;
– R este rezistența electrică;
– I este intensitatea curentului electric;
– C este capacitatea condensatorului;
– Q este cantitatea de electricitate.
Între un amortizor mecanic și rezistența electrică există analogie, întrucât ambele disipează o parte din energie sub formă de căldură, dar nu o acumulează.
Condensatorul electric este analog cu resortul mecanic, întrucât expresia energiei acumulate de ambele dispozitive are aceeași formă (o acumulează și apoi o cedează).
Gruparea mai multor elemente într-un model electric, pe baza acestei analogii, este inversată în raport cu modelul mecanic. Două elemente mecanice legate în serie sunt similare cu două elemente electrice legate în paralel, deoarece tensiunea electrică este aceeași pentru ambele, în timp ce cantitatea de electricitate Q și intensitatea curentului I se însumează.
Analogia I – τ , U – γ rezultă din relațiile:
în care: – t este timpul.
Gruparea elementelor electrice într-un model este similară cu gruparea elementelor mecanice.
De exemplu, un model mecanic format dintr-un resort și un amortizor, legate în paralel, îi va corespunde un model electric format dintr-o rezistență și o capacitate, legate în paralel.
Analogia , se obține pe baza ecuațiilor:
în care: – L este inductanța.
Energiile disipate de amortizor și de rezistență, respectiv energiile acumulate în resort și în bobina de inducție sunt date de expresii similare, ceea ce justifică analogiile de mai sus.
Gruparea elementelor după această analogie este identică cu cea a elementelor mecanice, fără inversiune.
Analogia U – τ , I – γ este de forma:
Legea lui Ohm este comparabilă cu ecuația solidului Hooke supus la forfecare simplă, pe când amortizorul este similar cu o bobină de selfinducție. Gruparea elementelor electrice într-un montaj, după ultima analogie, este inversată în comparație cu gruparea elementelor mecanice.
Cap. 4. Aplicații ale reologiei în domeniul curgerii fluidelor
4.1. Dinamici a modelului vâscoelastic având curgerea curbă nemonotonă
(După A. Marin și C. Bălan)
4.1.1. Introducere.
În ultima decadă, investigațiile experimentale și teoretice asupra instabilităților fluidelor vâscoelastice pun în evidență posibile legături între relațiile constitutive a oscilațiilor în timp a materialului pur cu starea curgerii curbilinii regulate nemonotone și fenomene ca țâșnituri, lovituri de perete și lovituri repetate, vezi Schowalter (1988), Denn (1990), Larson (1992). În acest context, studiul curgerii fluidelor în regimuri simple reologice, testarea tensiunilor și începutul despărțirii devin de o mare importanță.
Cea mai simplă problemă dinamică asociată cu curgerea fluidelor vâscoelastice este studiul unei mișcări izocorice produsă la început pe o suprafață plană cu viteză constantă în absența gradientului presiunii și forța masei. Dacă fluidul este pur Newtonian, această instabilitate o mișcare dimensională (așa numita problemă Rayleigh dacă fluidul este nelimitat) este descrisă de ecuația căldurii (difuziune). O hotărâre asupra mișcării pentru diferite relații constitutive vâscoelastice a fost studiat de: Ting (1963) – a doua ordine a fluidului; Erdogan (1995) – a treia ordine a fluidului; Tanner (1962) – modelul diferențial al lui Oldroyd’s B, etc. Stabilitatea relației constitutive cu curgere fermă curbilinie nemonotonă (în special modelul Johnson și Segalman) a fost studiat de Kolkka ș.a.(1988), Malkus ș.a. (1989), Renardy (1995). Recent, instabilitățile în fluidele vâscoelastice și instabilitățile pur elastice în curgerile vâscometrice au fost trecute în revistă de Larson (1992), respectiv de Shaqfeh (1996), și două ateliere pe instabilitățile materialului au fost ținute în 1995 (Universitatea din California) și 1996 (Universitate din Cambridge).
Instabilitatea materialului intrinsec este asociat cu caracterul nemonoton de atunci a funcțiilor materialului; în acest caz, este de așteptat acea distribuție a vitezei dezvăluind ritmurile încărcărilor discontinui (punctele „bucle”) în spărtură (Fig. 1).
Scopul lucrării este să cerceteze regimul curgerii tranzitoriu în strat simplu subțire Couette cu model vâscos pentru lichid cu suprafețe curbe pentru funcțiile Reynolds – Re și Weisenberg – Wi. Lucrarea prezentă este focalizată în stabilirea procedurii numerice pentru probleme sub cercetare, bazându-se pe expresia integrală a tensiunii tangențiale ca funcție a istoriei deformației. Suntem interesați în mod particular să stabilim influența produsului ReWi la o distribuție de viteză uniformă.
4.1.2. Exprimarea problemei.
Relația constitutivă în studiu este modelul diferențial a trei constante cu derivate independente obiectiv pentru supratensiunea T și întinderea D:
(1)
cu λ1, λ2 și η0 constantele materiale a curgerilor: λ1 este timpul de relaxare, λ2 este timpul de întârziere și η0 este vâscozitatea inițială.
În (1),
(2)
este derivata timpului obiectiv (cu tensorul rotației Ω) și
(3)
este derivata timpului material.
Parametrii a1, a2 definesc tipul derivatelor obiective pentru tensiunea suplimentară respectiv pentru întindere; ai = ± 1 corespunde derivatei convecției superioare, respectiv inferioare și ai = 0 corespunde derivatei co – rotaționale, vezi pentru detaliile Balan și Fosdick (1995). În această lucrare vom considera doar cazul a1 = a2 = a.
Dinamicile mișcării simplă uniformă Couette se descriu, în formă adimensională de setul de două ecuații diferențiale:
(4)
(5)
cu: , (6)
și asociind inițial și condițiile la limită:
(7)
În (47) y este direcția normală a mișcării direcției; este tensiunea tangențială, γ este întindere și v este componentă a vitezei, funcții continui despre y și timpul t. Ecuația (4) este ecuația mișcării și (5) este soluția pentru mișcările vâscometrice (1); ρ este densitatea masei și k=λ1/ λ2 este parametrul materialului, vezi Bălan (1998).
Am introdus cantități nedimensionale:
(8)
În (8) V0 este magnitudinea pasului constant în aplicarea vitezei pe plan la distanța y = h. De aceea, dinamicile mișcării simple uniforme a modelului vâscoelastic diferențial (1) este dependentă de numerele Reynolds și Weissenberg, la fel ca parametrul materialului k și tipul derivatei directe obiective este a constantei a. Ecuațiile (4 – 6) cu condițiile (7) descriu matematic întinderea controlând experimentul reologic numit test de „întindere”. În reometria curgerilor vâscoelastice viteza întinderii constante este considerată instalată instantaneu în gol, este un început de viteză liniar și independent în relația constitutivă. De aici, evoluția timpului a tensiunii tangențiale este caracterizată doar de proprietățile materialului mostrei, independent de deformație. Această prezumție este echivalentă cu această ipoteză a scării timpului asociindu-se cu ecuația mișcării (4) care este neglijabilă în comparație cu relația constitutivă a scării timpului, respectiv .
Soluția stării sigure a ecuației (46) este dată de variația nemonotonă a tensiunii tangențiale contra vitezei întinderii dacă k < 1 / 9 și (9).
Corespunzător soluției sigure a ecuației (9) pentru tensiunea tangențială dizlocând două ramuri stabile și un număr indefinit a posibilei stări a distribuției vitezei admisibile în gol, vezi fig.1.
4.1.3. Începerea mișcării simple tangențiale Couette.
Prin cuplarea (4), (5) și (6) și dezvoltând calculele derivatei spațiale a tensiunii tangențiale, vom obține în final o ecuație integral diferențială, dezvăluind influența istoriei deformației în curgere. Derivatele de timp și spațiu au fost aproximate prin metoda diferenței finite, Godunov și Reabenski (1977) și integralele de timp au fost evaluate prin metoda rectangulară. Cu creșterea calculelor timpului erorile devin mai importante și precizia descrește. Problema majoră în obținerea soluției numerice a ecuației integral – diferențiale sunt calculele mari în timp (pași mici de timp) și memoria necesară în ordine pentru a asigura o bună precizie pentru evaluarea integrării termenilor. Corelarea pașilor timpului cu rețeaua spațială densă a fost stabilită ca funcția magnitudinii numărului Reynolds. În încheiere, hotărâm să folosim în toate simulările o rețea spațială cu 40 de pași echidistanți și algoritmul pasului timpului descrescător, procedură de început, inițială calibrată în niște soluții analitice, cu această rezervă a prezenței termenilor neliniari au fost neglijați. Facilitățile limitate ale calculelor numerice, corespunzător folosirii unui PC – computer, ne-a determinat să concentrăm investigațiile asupra începerii mișcării simple tangențiale Couette, în ordinea dezvăluirii influențelor numerelor Reynolds și Weissenberg asupra aspectului regimului transcendent.
În figura 2 este prezentat regimul transcendent a funcției numărului Weissenberg la Re =1 și în figura 3 este arătată influența numărului Reynolds în regimul transcendent, Wi la început considerat constant, Wi =1. pentru fiecare simulare numerică graficele sunt reprezentate în 10 secțiuni spațiale, de la : (i) , cu ca parametru și (ii) ca parametru. Simulările numerice au fost făcute cu aceleași valori a parametrilor a și k, respectiv a = 0 și k = 0,01.
Cum poate fi ușor observat din dependența , cu excepția figurii 2a și figurii 3a, starea sigură nu a fost realizată în simulările noastre. Pentru tensiunile mici de la partea superioară a planșei este remarcabilă și întârzierea în propagarea tensiunii din partea superioară în partea inferioară a figurii este proporțional cu produsul . Pe poziția tendințelor mișcării a distribuției vitezei liniare pentru < 1. În cazul < 1, se observă o descreștere abruptă a vitezei în vecinătatea părții superioare a planșei, urmărindu-se regiunea cepului (aproape cu viteză constantă) și din nou o descreștere abruptă de la superior la inferior pe planșă.
Această distribuție tranzitorie a vitezei este consecventă cu viteza constantă, arătată în figura 1. existența a trei regiuni constante cu două ritmuri diferite a întinderii în interval, două puncte a discontinuității pentru prima derivată a vitezei, a fost găsită recent de Georgiou și Vlassopoulos (1998), pentru relația constitutivă a curgerii curbilinii nemonotone.
4.1.4. Remarci finale.
Simulările numerice a regimului tranzitoriu pun în evidență existența discontinuităților în ritmul distribuției întinderii pentru >1. În acest domeniu, se așteaptă să se obțină coexistența vitezelor inferioare a întinderii sigure a valorii constante a tensiunii tangențiale, de aceea distribuția vitezei constante se caracterizează prin existența „buclelor”. Primele noastre rezultate sunt consecvente cu alte simulări numerice publicate. Georgiou și Vlassopoulos (1998), și de asemenea cu câteva măsurări experimentale asupra gelurilor, Bălan (1995). Sub această valoare critică, >1, comportarea este foarte asemănătoare cu modelele lineare vâscoelastice, figura 2a și figura 3a,b; de asemenea, în limita cazul Newtonian a fost obținut, vezi comparația Vrentas și Vrentas (1995).
Am considerat rezultatul la fel de remarcabil a lucrării prezente acest fapt a dovedit similarități calitative între distribuția vitezei la produsul constant , vezi pentru comparație figura 2c și figura 3c, și implicit relevanța acestui parametru pentru procesul sub investigare.
Concluzie. În prezentul articol s-a făcut o analiză a modelului matematic de curgere în regim neuniform a unui lichid vâscoelastic la curgerea pe o suprafață curbă.
4.2.Reometria capilară pentru studiul extrudării pastelor cu alunecare
(După J. Graczyk și H. Buggisch)
4.2.1. Introducere.
A modela și optimiza pasta de extruziune, comportarea curgerii materialelor trebuie să fie cunoscută. În particular, comportarea alunecării curgerii pastei în lungul peretelui matriței sau la curgerea extrudării are o importanță considerabilă, amândouă pentru modelarea procesului și obținerea succesului practic.
Reometria capilară a fost îndelung folosită pentru a determina comportarea curgerii cu alunecare a fluidelor. Metoda dezvoltată de Mooney (1931) a fost folosită frecvent pentru multe fluide, incluzând pastele. Alte tehnici de măsurare au dezvoltate de atunci, cum ar fi metoda capilară geamănă a lui Gleiβle și Windhab (1985) și metoda perforării dure, care a fost folosită specific pastelor (Benbow și Bridgwater, 1993; Halliday și Smith, 1995).
Aceste metode au fost folosite în acest studiu pentru a determina viteza de alunecare a peretelui în timpul extrudării cu pastă. Rezultatele au fost comparate cu acele obținute folosind altă tehnică reometrică capilară, metoda însemnării color, folosită aici ca metodă de referință.
4.2.2. Metode reometrice capilare.
4.2.2.1. Metoda Mooney.
Metoda Mooney a determinării vitezei de alunecare a peretelui a fluidelor incompatibile în curgerea laminară, staționară, laminară în conducte a pus bazele asupra acestei ipoteze a vitezei de alunecare a peretelui depinzând doar de tensiunea transversala a peretelui(pentru caracteristicile peretelui constante). Curgerea volumetrică totală V în conductă se compune din două componente: curgerea dreaptă volumetrică de alunecare vg și curgerea dreaptă volumetrică a curgerii transversale, vs. La tensiunea tangențială constantă a peretelui τ, curgerea volumetrică prin conducte de diametre diferite este alcătuită din componentele vs și vg, aceasta variind cu diametrul conductei. Ecuația clasica dezvoltată de Mooney (1) (sau versiunea ușor modificată a acestei ecuații (2))poate fi folosită la calculul vitezei de alunecare a peretelui vg când tensiunea tangențială este cunoscută.
(1)
= vg (2)
Aplicarea metodei Mooney pentru producerea pastelor trebuie să urmeze etapele:
curbele curgerii ς = f(v) sunt foarte întinse.
schimbarea relativă a curbelor curgerii de-a lungul axei tensiunii tangențiale în timp ce funcția diametrului de pătrundere este foarte mică.
Ca rezultat, chiar mic, erorile inevitabile în măsurările tensiunii tangențiale conduc spre mari erori în viteza de alunecare vg calculată folosind metoda Mooney. Totuși, niște erori singure nu justifică producerea acestor erori sistematice mari când se folosește această metodă de a determina viteza de alunecare a pastelor. Numărul mare a rezultatelor experimentale anormale sugerează un grup de câteva ipoteze afară de Mooney ce nu pot fi aplicate pastei în extruziune. În particular, un efect nejustificat este contracția suprafeței secțiunii transversale la intrarea matriței (care este asociată cu schimbarea, cu diferențe ale tensiunii dependente geometric). Această contracție adesea afectează formarea stratului alunecător a peretelui și creează efecte ale memoriei, producând diferite lungimi de intrare pentru diferite intrânduri geometrice, care influențează comportarea alunecării rotirii în matrițare.
4.2.2.2. Capilaritate pereche.
Capilaritatea pereche a fost introdusă de Gleiβle și Windhab (1995) ca aparat experimental pentru a determina viteza de alunecare a peretelui. Planul constă în două matrițe paralele cu diametre diferite dar raporturile lungime/diametru (L/D) constante. Diferența de presiune este aceeași între intrândurile și ieșirile celor două matrițe. Condițiile la limită pentru aplicarea metodei Mooney (echivalent tensiunii tangențiale a peretelui pentru ambele matrițe) trebuie să fie automat îndeplinite în capilaritatea pereche. Toate datele cerute pentru a calcula viteza de alunecare a peretelui din ecuația Mooney poate fi obținută dintr-un singur experiment. Viteza curgerii volumetrice sau viteza extrudării este măsurată în ambele capilare (sau într-un capilar și în tub).
Sunt, în orice caz, probleme importante în aplicarea practică a capilarității pereche cu pastele. Metoda este exactă doar când pierderea de presiune în intrândurile în ambele capilare este neglijabilă. Pentru fluidele cu vâscozitate joasă aceasta poate fi îndeplinită, în special dacă capilarele sunt suficient de lungi. Pentru paste, totuși, în general nu este posibil să primească capilare suficient de lungi; de aceea, trebuie să se determine intrarea corectă a pierderii de presiune folosind, pentru moment, cunoscuta metodă Bagley (Bagley, 1957). Aceasta a fost confirmată în experimente cu paste model alcătuite din hidroxid, oxid de aluminiu (Pural NF) și polidimetilsiloxane (ulei siliconic AK 1000000). Pierderea de presiune este relativ înaltă la intrândul în capilar și este în funcție de diametrul matriței. Deocamdată este așteptată o eroare în măsurările vitezei de alunecare a peretelui folosind capilaritatea pereche, pentru că acolo sunt efectiv tensiuni tangențiale diferite în cele două capilarități.
4.2.2.3. Perforarea în zona de intrare în matriță.
O metodă simplă pentru determinarea vitezei de alunecare a peretelui poate fi obținută prin comportarea curgerii pastei când alunecă pe lângă perete în situația de nealunecare. Aceasta poate fi dată prin schimbarea caracteristicilor matrițării fără schimbarea nici unui alt aspect a geometriei curgerii. Pentru multe paste, aceasta poate fi desăvârșită prin perforarea brută. Curgerea volumetrică în perforarea netedă se compune din două componente: curgerea dreaptă volumetrică a alunecării și curgerea dreaptă volumetrică a curgerii tangențiale . Curgerea volumetrică totală în perforarea brută rezultă doar din curgerea tangențială. Toate curgerile volumetrice depind doar de tensiunea tangențială. Pentru tensiunea tangențială a peretelui constantă se poate compara cu curgerile volumetrice și vitezele de extrudare în două perforări. Aceste comparații permit unui calcul să direcționeze viteza alunecării pentru a rezulta tensiunea tangențială a peretelui:
Vg=v-vr= (3)
și viteza relativă a alunecării:
(4)
Fig. 1a arată curbele tensiunii tangențiale ς(v) pentru curgerea lină directă și perforările brute. Două cazuri speciale au fost arătate în figura 1b: acele paste au curgerea de alunecare doar dreaptă și acele paste se lipesc de perete chiar în perforarea lină a peretelui. Toate cele trei curbe ale tensiunii tangențiale au fost obținute din paste compuse din Pural NF suspendat în ulei siliconic, folosind perforări brute și netede cu diametrul D=7 mm. Pasta cu concentrația solidă de 62wt.% în ulei siliconic AK 1000000 alunecă la perete în toate cazurile, pasta cu 60% concentrație solidă alunecă în unele cazuri și pasta cu 55% concentrație solidă în viscozitate joasă a uleiului siliconic AK 1000000 aderă la perete.
4.2.2.4. Metoda marcării color.
Viteza de alunecare lângă perete a curgerii directe a pastelor din perforare poate fi determinată prin experimente reometrice capilare marcate color. Procedura este arătată schematic în figura 2. O cantitate mică (mai puțin de 0.05 wt. %) de pigment colorat este adăugat unei părți din pastă. Experimentele cu mai multe modele de pastă au verificat dacă adăugarea de pigment a avut efecte neglijabile asupra proprietăților curgerii pastelor.
Pasta a fost parțial extrudată din reometria capilară la viteza curgerii volumetrice constantă. După întreruperea extruziunii, pastă a fost lăsată în matriță și pasta din tub a fost înlocuită cu pastă colorată. Linia de separație între două paste colorate diferit a fost la intrarea în matriță (figura 2.a.). Extrudarea
s-a rezumat și s-a întrerupt din nou după timpul specific, t. Din raporturile lungimii în șuvițe colorate, se poate determina, pentru o viteză de extrudare cunoscuta, viteza de alunecare. Dacă timpul de extrudare t=t1 este mai mic decât LD/vg, atunci linia de separație între pasta colorată și necolorată este localizată în interiorul matriței (fig.2.b). Pentru a calcula rezultatul curgerii/proceselor de alunecare, matrițarea trebuie să fie evidentă sau capabilă să vadă începutul desprinderii alunecării. Viteza relativa de alunecare este:
(5)
Dacă pasta este incompresibilă se poate înlocui termenul (media curgerii lungimii șuviței pastei colorate în matrițare) cu lungimea extrudată Lex, care este mai ușor de măsurat. Viteza de alunecare relativă este atunci:
(6)
Dacă timpul de extrudare t = t2 este mai mare decât LD / vg, atunci linia de separație va fi localizată în afara matriței (fig. 2.c). Lungimea de alunecare efectivă LGe este atunci egală cu lungimea matriței LD, iar viteza de alunecare relativă este:
(7)
În acest caz a proiectării speciale, matrițarea separată nu este necesară. În principiu, reometrele cu matriță capilară poate fi folosită pentru experimente similare.
Viteza de alunecare relativă sau liniară poate fi legată de determinarea tensiunii tangențiale în reometria capilară.
4.2.3. Exemple de paste utilizate.
Fig. 3 arată exemple tipice de determinare a vitezelor de alunecare folosind metoda marcării color pentru pastele model compuse din oxid de aluminiu (Pural) suspendat în polidimetilsiloxan (ulei siliconic AK 1000000). Vitezele de alunecare au fost arătate ca funcție a tensiunii tangențiale lângă perete (fig. 3a) și viteza de extrudare (fig. 3b). Vitezele de alunecare relative depind diferențiat de concentrația solidă a pastelor, aranjate pentru o curgere foarte joasă (vgre1 < 0,1 și c = 55%) până la foarte înalte (vgre1 = 1 și c = 65%). În interiorul firului concentrat examinat, fenomenul curgerii expus lateral în timpul extrudării pastelor variază din curgerea tangențială predominantă spre curgerea de alunecare simplă (curgerea cu cep).
Rezultatele exemplului descrise în fig.4 arată viteza de alunecare pe lângă perete pentru pastele model cu 60 wt. % și 62 wt. % solide. Următoarele metode au fost folosite:
metoda Mooney (folosind matrițe cu D1 = 6 mm și D2 = 3 mm);
capilaritatea pereche, cu și fără corecția presiunii de intrare (D1 = 6 mm și D2 = 3 mm);
matrițe netede și rugoase (D = 7 mm).
experimente marcate color (D1 = 6 mm și D2 = 7 mm).
Vitezele relative de alunecare sunt determinate folosind metoda Mooney și capilaritatea pereche în unele cazuri neideale. Acolo sunt diverși indicatori a căror rezultate de măsurare sunt influențate de geometria de intrare și de lungimea de intrare. Ca rezultat al acestui efect de intrare, staționar, sigur, fiecare curgere prin conductă este neîndeplinită la tot interiorul matriței, sau, dacă este realizat, este atins doar la distanțele lungi relative din intrândul matriței.
Erorile de adunare când se ivește folosirea capilarității pereche din cauza diferitelor pierderi de presiune la intrarea în cele două matrițe; ca rezultat vitezele de alunecare determinate sunt mai mici decât acele obținute folosind metoda clasică Mooney. Aplicând corecția presiunii de intrare (în cantități egale ambelor matrițe) se schimbă rezultatele valorile tensiunii tangențiale mici, dar nu are efect asupra vitezelor de alunecare relativă.
În contrast, matrița brută și metodele marcării color acelor produse rezultate sunt aproape identice și consecvente fizic complet, ambele indicând aceste metode ce sunt favorabile pentru a studia procesele de alunecare în matrița de extrudare.
4.2.4. Concluzii
Metoda Mooney adesea nu este potrivită pentru paste. Motivele cele mai frecvente pentru care metoda are lipsuri sunt:
curba curgerii totale ς=f(v) este dificil de determinat cu suficientă acuratețe. Ca rezultat, apar erori mari în calculul vitezei de alunecare.
multe paste manifestă efecte de memorie.
Capilaritatea pereche de asemenea nu este potrivită pentru paste, deoarece diferite presiuni de intrare în matrițe cu diametre diferite cauzează erori de măsurare.
Măsurările comparative folosite la matrițarea netedă și rugoasă sunt efectiv pentru paste lungi ca pastele să adere la perete în matrițarea brută. Este necesar testul independent indiferent dacă materialul aderă la perete. De asemenea este necesar ca, curba curgerii ς=f(v) să fie determinată cu acuratețe folosind ambele feluri de matrițare. Erorile generale de măsurare au un impact mai mic în calcularea cu acuratețe a vitezei de alunecare folosind această metodă comparativ cu metoda Mooney.
Metoda marcării color este binevenită pentru multe paste. Condiția unică pentru aplicarea cu succes a acestei metode sunt proprietățile curgerii pastei neafectate de adăugarea pigmentului colorat.
V. Acolo metoda nu este ideală pentru determinarea fenomenului de alunecare în paste. Reometria capilară poate fi un succes; totuși, trebuie folosită atent considerând limitările sale și proprietățile materialului pastei la începutul articolului.
4.3. Reometrul melc elicoidal pentru măsurări în sisteme de grup
(După J. SĘK și Z. Kembłowski)
4.3.1. Introducere
Proprietățile reologice ale multor suspensii importante în timpul mixtării lor, mărunțirii sau pompării. De asemeni, în reactoarele chimice și biochimice proprietățile vâscoase a procesării suspensiilor pot afecta momentan, căldura și fenomenul transportului masei. De aceea este clară determinarea acestor proprietăți este necesară din punct de vedere a optimizării proceselor, monitorizare și control.
Sistemele reometrice clasice cu tulburări capilare sau cilindrii coaxiali sunt de obicei corespunzătoare pentru determinarea proprietăților reologice a suspensiilor. Particulele solide pot opri curgerea în canalele înguste sau afectând lipsurile din rezultatele măsurătorilor. De asemenea, curgerea unidirecțională în sisteme similare nu trebuie să preîntâmpine separarea fazelor suspensiilor datorită forțelor corpului ce pot produce iarăși erori experimentale.
Pentru a obține rezultate viabile a măsurătorilor proprietăților reologice a suspensiilor, mai multe tipuri de reometre au fost dezvoltate și deschise în literatură. Kemblowski ș.a. (1998) a introdus reometrul în linie Rheohelix-1 cu sistemul de măsurare constând în rotația melcului elicoidal în tubul de lucru. Sistemul a fost proiectat pentru monitorizări continuii și controlul proceselor. Se pare totuși că sistemul de măsurare propus, plasat în tancul de măsurare –cioc- poate fi apropiată măsurătorilor proprietăților reologice măsurate la suspensii(vezi figura 1).
Kemblowski ș.a.(1988, 1998) dezvoltă de asemeni o teorie care se determină curba curgerii a lichidului investigat. Totuși modelul nu ia în calcul influența circulației curgerii în afara tubului de decantare înaintea rezultatului măsurătorilor.
În lucrare, avantajele sistemului mai sus menționate vor fi înscrise precum și ca nouă aproximare pentru calculul vitezei tangențiale și a tensiunii tangențiale în sistem va fi prezentat. Considerațiile au fost limitate la suspensii cu comportare Newtoniană care totuși nu poate fi încă determinată folosind reometrele clasice.
4.3.2. Avantajele sistemului de măsurare
Pentru a preveni sedimentarea în timpul măsurătorilor suspensiile au o curgere continuă. Circulația mediului poate fi realizată de pompe sau prin acțiunea mixtării directe a unității de măsură – Kemblowski și Kristiansen (1986). Sistemul cu melc elicoidal aparține celui de-al doilea grup. Sunt unele avantaje în comparație cu alte reometre produse unde au fost folosite elemente de măsurare în formă de pală, turbină, ancoră etc.
După cum se știe, melcul în tubul de decantare – în comparație cu alte tipuri de dispozitive de mixtare – este în particular potrivit pentru amestecarea lichidelor vâscoase. Cauzele acțiunii sale a circulației lichidului în întreg rezervorul sunt utilizate pentru prevenirea și reînnoirea sedimentărilor. În geometria curgerii laminare se extinde la valori prea înalte ale numărului Reynolds în comparație cu alte tipuri de amestecătoare. Care rezultat curba curgerii pate fi determinată în limite largi a vitezei spațiale.
Datorită modelului curgerii în canalul melcului, amestecarea intensivă este de asemenea îndeplinită acolo. Aceste noi împiedicări separă fazele datorită forțelor gravitaționale și centrifugale în spațiul măsurării. De asemenea, geometria melcului poate fi ușor adoptată la structura specifică a cercetării fluidului.
4.3.3. Determinarea curbei curgerii.
Pentru a determina curba curgerii folosind melcul elicoidal – sistemul tubului de decantare, se obțin relațiile pentru evaluarea vitezei medii tangențiale și tensiunii tangențiale medii în sistem. Asemenea teorie, bazat pe conceptul diametrului echivalent a fost deja dezvoltat pentru sistemele în linie. Ținând seama totuși de posibilitatea măsurătorilor de grup arătate în fig. 1, este necesar să se ia de altfel în calcul influența curgerii circulare înaintea rezultatelor măsurătorilor. Curgerea poate fi inclusă în cazul lichidelor Newtoniene în formula vitezei tangențiale folosind teoria simplificată a extruziunii – Tadmor și Klein (1970). Pe baza acestei teorii profilul vitezei în direcția perpendiculară a axei melcului poate fi calculată folosind următoarea ecuație:
(1)
unde: N – viteza de rotație a melcului;
ds – diametrul melcului;
H – înălțimea canalului melcului;
θ – unghiul mediu al elicei;
y – sistemul de coordonate.
Fracția Qp/ Qd în ecuația (1) este o măsură a relației dintre presiune și curgerea filiformă în canalul melcului. Este dependent asupra rezistenței curgerii în sistem și în particular asupra curgerii între inele concentrice dintre pereții tubului de decantare și rezervorul de măsurat.
Diferențiind ecuația (1) și asumând y = H se poate dezvolta dependența pentru calculele vitezei tangențiale la timpul de fugă al melcului:
(2)
unde H a fost înlocuit cu (ds – dr)/2.
Acest rezultat din ecuația (2) în acord cu modelul dezvoltării vitezei tangențiale în canalul melcului este o funcție de rația Qp / Qd care se referă la curgerea circulară în măsurarea rezervorului poate influența rezultatele măsurărilor reometrice. Dependența vitezei tangențiale asupra acestui parametru este arătat în fig. 2.
Pentru a determina valoarea rației Qp / Qd se poate folosi formula descriind caracteristica productivității melcului, și descriind formula curgerii în inele concentrice. Combinând aceste două posibilități, este posibil să se afle un punct din sistem – vezi Gonsior (1998). Tensiunea tangențială medie în sistemul de măsurare poate fi determinată utilizând conceptul de moment M la arborele de rotație a amestecătorului ce poate fi exprimată ca:
M = M1+M2 (3)
unde: M1 este momentul de torsiune rezultant la curgerea tangențială
M2 este momentul de torsiune rezultant la curgerea între zona inelară a tubului.
Momentul M1 poate fi calculat din următoarea ecuație:
(4)
unde: ς este tensiunea tangențială normală;
A1 este suprafața canalului melcului;
dr este diametrul tubului amestecătorului.
Suprafața canalului melcului poate fi calculată folosind formula dată în altă parte – Kemblowski ș.a. (1988).
Pentru a găsi valoarea momentului M2 se presupune calculul acestui moment la mersul în gol și este dat de:
(5)
unde: A2 este suprafața secțiunii de curgere;
μ este vâscozitatea lichidului;
K1 este constanta geometrică definită prin:
(6)
unde: dt este diametrul interior al tubului de decantare.
În continuare se încearcă să se calculeze M2 ca moment rezultând curgerea tangențială a lichidului între cei doi cilindri coaxiali cu diametre dr și ds având fiecare înălțimea H1, rezultând momentul care are aceeași valoare dată de ecuația (5). M2 va fi deci obținut din următoarea ecuație:
(7)
unde: K2 poate fi calculat prin:
(8)
Dacă momentele de ecuațiile (5) și (8) sunt presupuse a fi egale, pot fi comparate și se obține valoarea H1 din egalitatea:
(9)
Considerând acum momentul M2 rezultat din curgerea tangențială a fluidului cele două suprafețe a suprafeței πdrH2 se poate calcula folosind următoarea formulă:
(10)
În baza considerațiilor de mai sus momentul total poate fi obținut însumând ecuațiile (4) și (10) ce dau după rearanjare următoarea expresie:
, M=M1+M2 (11)
Tensiunea tangențială normală în sistem poate fi calculată deci pe bazele măsurărilor experimentale a torsorului din ecuația următoare:
(12)
4.3.4. Verificarea teoriei
Teoria prezentată a fost verificată pe bazele curbei curgerii experimentale a glicerinei obținută folosind reometrul Rheotest 2 cu un sistem de cilindri coaxiali. Noul sistem de amestecător cu geometrie dată a fost folosit ca instrument și pentru măsurarea momentului la diferite viteze de rotație. Valorile înregistrate au fost folosite pentru determinarea vitezei tangențiale și tensiunii tangențiale utilizând ecuațiile (2) și respectiv (12). Sistemul de măsurare a fost plasat în timpul măsurării în rezervorul de diametru db. Viteza de curgere a lichidului circulator a fost calculată folosind formula dată – vezi Gonsior (1998). Pentru amestecare valoarea rației Qp / Qd în sistem este necesară pentru prezicerea vitezei tangențiale. În cazul considerat rația Qp / Qd a fost egală cu – 0.32.
În fig. 3 rezultatele calculate au la bază teoria ce este în concordanță cu datele experimentale. Se poate observa că teoria prezentă dă oarecum mai ușor ,mai bune aproximații mulțumitoare cu punctele experimentale.
4.4. Simulare numerică a curgerilor libere axisimetrice nenewtoniene pe suprafețe
(După M. F. Tomé și S. McKee)
4.4.1. Introducere
Simularea numerică a curgerii libere pe suprafață are importanță în multe procese industriale și prezintă încă o provocare majoră. În general, curgerea este nesigură, ne – Newtoniană, neizotermă și posedă multiple suprafețe libere. În completare, în probleme similare ecuațiile constitutive determină curgeri asemănătoare care pot fi rezolvate doar numeric. Într-adevăr, dezvoltarea metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor curgerii libere pe suprafață au fost în aria cercetării intense în timpul ultimelor decade. În particular, atenția a fost acordată metodei originale MAC (Marker și Cell) introdusă de Harlow și Welch (1965) în anii `60. Metoda MAC este tehnică cu diferențe finite pentru rezolvarea problemelor curgerii libere pe suprafețe folosind variabile primitive a vitezei și presiunii. O trăsătură a metodei este folosirea unor particule de marcaj virtuale care furnizează localizarea și virtualizarea suprafeței libere. Metoda MAC a fost dezvoltată de variați cercetători și modificări variate au îmbunătățit metoda ce a fost prezentată (e.g. Amsden și Harlow, 1971; Viecelli, 1971; Hirt și Nichols, 1981; Miyata, 1986). Recent, Tome și McKee (1994) introduc metoda GENSMAC care este în versiunea de mai sus a metodei SMAC (Marker și Cell simplificat) și este proiectată special pentru rezolvarea problemelor curgerii libere pe suprafață în domenii bidimensională nerectangulară. Asemănătoare metoda SMAC, folosirea GENSMAC cu diferențe finite apropiate înaintea unei grile nesigure folosind viteze și presiuni variabile. Se poate conveni că, curgerile au multiple suprafețe libere și în timpul real se pot considera măsurători cu pasul. Detalii a metodologiei folosite pot fi găsite și în Tome și McKee (1994). Mai recent, Tome ș.a. (1996) au adoptat codul GENSMAC de mai sus incluzând procedura pentru calcularea curgerilor bidimensionale a fluidului tangențial subțire (e.g. legea putere și modelul Cross). În această lucrare am extins tehnica prezentată de Tome ș.a. (1996) la curgerile asimetrice a fluidului Newtonian generalizat. Experimentale numerice au demonstrat că această tehnică poate fi simulată într-adevăr curgerilor ne – Newtoniene ce sunt prezentate.
4.4.2. Ecuații fundamentale
Considerăm curgerea axisimetrică și folosim coordonatele cilindrice cu u = u(r,z,t)er + v(r,z,t)ez, unde er și ez sunt respectiv vectorii unitate pe direcțiile r și z. Notând cu L, U și v0 lungimea „tipică”, scările vitezei și vâscozității, ecuațiile determinând curgerea unui fluid generalizat pot fi scrise ca:
(1)
(2)
(3)
unde: Re = UL / v0 și indică asocierea numărului Reynolds și respectiv numărului Froude. Viteza tangențială locală este dată de:
Vâscozitatea v(q) poate fi orice funcție reprezentând comportarea grosimii tangențiale a fluidului. În simulările ce vor fi prezentate mai târziu, vom folosi modelul Cross (Barnes ș.a., 1989) dat de:
unde: m, v0, v∞ și K sunt date de constante pozitive.
4.4.3. Metode de rezolvare
Pentru a rezolva ecuațiile (1) – (3) folosim tehnica prezentată de Tome ș.a. (1996) și anume, particule marcate sunt folosite pentru a reprezenta fluidul, ecuațiile sunt rezolvate aproximativ, pozițiile particulelor marcate sunt date prin rezolvarea dr / dt = u și dz / dt = v. Ecuațiile (1) – (3) se rezolvă astfel: pentru u(r,z,t0) să fie viteza domeniului ce satisface ecuațiile (1) – (3) și condițiile la limită. Viteza domeniului dată mai sus u(r,z,t) unde t = t0 + δt este calculată de atunci prin următorii pași:
1. Se calculează q(r,z,t0) și v(q(u(r,z,t0))) folosind u(r,z,t0).
2. Pentru să fie domeniul de presiune care satisface condiția presiunii corecte pe suprafața liberă. Acest domeniu de presiune este calculat prin aplicarea condiției tangențiale normale n(σ.n) = 0 pe suprafețe libere.
3. Se calculează cu aproximație domeniul de viteză din discretizarea diferenței finite a ecuațiilor (1) și (2):
(4)
(5)
cu: folosind direct condițiile la limită pentru u(r,z,t0). Este bine de arătat că posedă vorticitatea corectă la timpul t dar nu satisface relația (3). Se scrie:
(6)
și impunând:
(7)
domeniul de viteză este obținut unde vorticitatea și masa sunt conservate.
4. Se rezolvă ecuația lui Poisson (7). Condițiile la limită corecte pentru sunt pe suprafața liberă și asupra limitelor de rigiditate. Acestea sunt tratate în mod similar cum este în codul GENSMAC.
5. Se calculează domeniul vitezei u(r,z,t) din (6).
6. Se calculează presiunea. Se poate arăta că această presiune este dată de:
(8)
7. Mișcarea particulei. Ultimul pas implică în mișcarea particulelor mărcii în noile lor poziții. Acestea sunt particule virtuale al căror coordonate sunt memorate și redate mai sus la finalul fiecărui ciclu calculat prin rezolvarea:
și (9)
prin metoda Euler.
Pașii de la 1 la 7 sunt rezolvați prin metoda diferenței finite. Detaliile ecuațiilor diferenței finite implicate pot fi găsite în Grossi ș.a. (1999).
4.4.4. Condițiile tensiunii suprafeței libere
A trebuit să considerăm curgerile fluidului vâscos cu suprafață liberă considerate în atmosferă pasivă (care poate fi luată la presiunea zero). În absența tensiunii suprafeței, componentele tensiunii normale și tangențiale trebuie să fie permanente în fața oricărei suprafețe libere, pentru o suprafață similară:
și (10)
unde n și m indică tensorii normali și tangențiali la suprafață și indică tensorul tensiunii dat de:
unde indică tensorul identității și d este tensorul ratei deformației. Se indică n = (nr, nz) și m = (nz,-nr) ca vectori normali și respectiv vectorii tangențiali la suprafața liberă. Atunci, condițiile tensiunii (10) pot fi scrise ca:
(11)
(12)
Pentru a aplica aceste condiții am presupus că elementul de volum este suficient de mic ca să poată fi exprimata suprafața liberă, local, printr-o suprafață plană care este oricare paralelă cu una din axele de coordonate sau la un unghi de π / 4. Detaliile ecuațiilor diferențiale finite corespunzătoare acestor aproximării sunt date în Grossi ș.a. (1999).
4.4.5. Exemple numerice
Un mare număr de procese de fabricație implică umplerea vasului cu un lichid nenewtonian și poate fi deschis adecvat prin a defini vâscozitatea ca fiind o funcție de viteză tangențială. Pentru a optimiza producția, este de ajutor să se simuleze procesul de umplere. Pentru moment, fabricantul nu-și dorește să piardă din lichid. În cererea de a demonstra capacitatea codului deschis în Secțiunile timpurii este bine să se folosească pentru a simula umplerea vasului cilindric(fig.1a). În această problemă, fluidul este aruncat din gura furtunului în vas la viteză uniformă. Se presupune că această viteză de umplere este suficient de rapidă încât efectele termale pot fi neglijate. Prin ipoteza curgerii axisimetrice, domeniul curgerii poate fi specificat așa cum s-a arătat în fig. 1b.
Pentru a simula umplerea vasului au fost folosite următoarele date impuse:
Viteza fluidului la capătul furtunului: U = 1.0 ms-1
Diametrul gurii furtunului: D = 10mm
Fluidul a fost modelat prin modelul Cross definit de:
Prin cântărirea parametrilor U, D și v0 au fost folosite relațiile Re = UD/v0 și 1 / Fr2 = 0,001. condiția de nealunecare a fost aplicată pereților vasului a cărui condiție de alunecare liberă (condiția de simetrie) a fost aplicată pe axele de simetrie. Domeniul curgerii a fost definit prin cadrul L1 = 6cm, L2 = 5cm și H = 7cm iar poziția gurii de alimentare a fost situată la 1cm deasupra vasului. Golul elementului de volum a fost folosit, dând 60 x 80 elemente înăuntrul plasei.
Pentru a arăta că tehnica simulărilor fluidelor ne – Newtoniene prezentată în această lucrare prezentăm trei simulări directe în care putem observa comportarea ne – Newtoniană a modelării fluidului prin modelul Cross. Problema implică umplerea vasului circular cu aceeași geometrie și date de intrare; doar data privind vâscozitatea va fi diferită. Pentru prima scurgere am folosit modelul Cross cu constanta K = 0, obținând curgerea Newtoniană cu vâscozitatea v = v0; pentru a doua scurgere am folosit modelul Cross cu constanta K = 0,30 iar în a treia scurgere am prezentat curgerea Newtoniană cu vâscozitatea v = v∞ ( în modelul Cross). În aceste scurgeri parametrii măsurați au fost aceeași pentru fiecare scurgere, adică valorile furnizate de U, D și v0. Figura 2 arată imaginile mai multor curgeri în timpi diferiți pentru aceste trei scurgeri, unde în prima coloană, avem rezultatele primei scurgeri (curgere Newtoniană cu v = v0); în a doua coloană figurile rezultatelor modelului Cross și în a treia coloană rezultatele celei de-a treia scurgeri (curgere Newtoniană cu v = v∞). Planurile arătate în fig. 2 sunt luate în același cadru de timp.
Așa cum putem observa în fig. 2, comportarea curgerii fluidului ne – Newtonian modelat după modelul Cross este intermediar între cele două curgeri Newtoniene având v = v0 și v = v∞. Într-adevăr, așa cum am văzut în modelul Cross valoarea constantei K are o influență directă asupra valorii vâscozității și curgerea poate fi aproape Newtoniană v = v0 sau curgerea Newtoniană v = v∞ conform cu valoarea lui K.
De aceea, pentru a promova această metodă demonstrată în această lucrare poate face față cu ecuațiile demonstrative ale fluidului generalizat am prezentat mai multe calcule cu modelul Cross unde parametrul K presupune valori variate(constantele rămase au fost păstrate fixe). Mai specific, am considerat problema umplerii vasului deschisă mai sus și îndeplinind șase scurgeri pentru următoarele valori ale parametrului K: 0,0; 0,05; 0,10; 0,25;1,0 și ∞.
Expunerile din fig. 3 ale unui singur instantaneu este luat din fiecare din aceste scurgeri la timpul t = 40. Așa cum se poate vedea din planuri, cea mai mare valoare a lui K la finalul curgerii este curgerea Newtoniană cu v = v∞ (fig. 3, K = ∞). Aceste rezultate sunt potrivite cu modelul Cross unde pentru valorile mari ale lui K, valoarea apropiată a vâscozității este v∞ și de aceea curgerea trebuie să fie apropiată de curgerea Newtoniană cu v = v∞. Astfel rezultatele arătate în fig. 3 ne dă certitudinea că ele sunt corecte.
4.5. Metoda aditivă inelară pentru determinarea vitezei de curgere a fluidelor vâscoplastice
(După J. David și P. Filip)
4.5.1. Introducere
Calcularea completă a curgerii laminare absolute a fluidelor nenewtoniene prin intermediul canalelor ca de pildă țevile circulare și inelare necesită de obicei amândouă în determinarea condițiilor curgerii și a sarcinii deformației și în consecință, în proiectarea utilizării echipamentului a acestor fluide. O analiză completă a acestei situații de curgere servește ca o importantă introducere referitoare la studiul curgerilor mai complexe.
Curgerea în canale menționată mai sus este adesea întâlnită în diverse procese industriale ca de pildă în antrenarea transportului lichidelor în industria petrolului sau în extruziune.
În toate aceste cazuri fluidele sunt folosite adesea ca eșantioane a comportării reologice de tipul vâsco – elasto – plastic. De aceea restricționăm în următoarele fluide ce pot fi privite (sau mai bine zis aproximate) ca vâsco – elasto – plastic. În modelele trecute care provin din proprietățile reologice a acestor fluide, fiecare model caracterizează cu mai multă eficiență fluidele interioare clasificate pe familii individuale asemenea topirilor polimerilor și soluțiilor completării polimerilor, elastomerilor, pastelor, uleiurilor, antrenării fluidelor etc.
În contribuția noastră concentrăm asupra curgerii prin coridoare inelare schimbând seriile problemelor nerezolvabile chiar pentru fluidele incompresibile, izotermale. Curgerea inelară este caracterizată de curgerea neomogenă a tensiunilor tangențiale în regiunea inelară în contrast cu distribuția omogenă în curgerea prin fantă plată. Tensiunile tangențiale sunt generate prin:
– forțe de presiune impuse (curgere Poisson);
– aplicarea forțelor de curgere (curgere Couette);
– combinarea presiunii și forțelor de tragere (curgerea Couette – Poiseuille);
Fiecare din cele două forțe sunt în general compuse din două componente – axial și tangențial – depinzând de acțiunea forței respective. În timp ce nici o superpoziție principală nu rămâne în curgerile inelare Couette – Poiseuille, este necesar să se rezolve separat fiecare combinație a ambelor curgeri Couette și Poiseuille.
În plus, este dificil calculul unor curgeri ale fluidelor vâsco – plastice rezultând probleme în determinarea zonelor în care nu se cunoaște în mod curent deformarea curgerii. De exemplu, în curgerea inelar – axială fără nici o limită de deplasare este întotdeauna o curgere nedelimitată, furnizând acolo orice curgere în toate direcțiile.
Curgerea Couette este realizată de obicei prin moment de rotație a cilindrului interior sau exterior sau de forță individuală tangențială aplicată în direcția curentă spre cilindrii individuali. Curgerea Poiseuille este generată prin mecanismele de pompare ce furnizează fluidul. În practică, utilitatea soluției aranjamentelor curgerilor individuale este măsurată prin „calitate” a relației dinte viteza curgerii volumetrice și forțele de acțiune în care, parametrii reologici, geometrici și cinematici sunt implicați. Pentru unele aranjamente (Bird ș.a. 1983; David și Filip, 1994 etc.) presiunea curgerii axiale cu mișcarea axială a cilindrului interior (Lin și Hsu, 1980; Weadhawa, 1996 ș. a.) folosirea modelelor reologice simple a câtorva autori urmate în obținerea relației analitice explicite a vitezei de curgere fată de forțele de conducere; majoritatea autorilor au obținut relații sub formă de integrale definite necesitând cuadratură numerică sau folosind diverse metode de calcul (ca FEM). Totuși, soluția cu așa însușire (altfel foarte ingenioasă) va trece peste cele două lipsuri. În primul rând, cu o mică schimbare a unor parametrii este necesar să se repete întreg procedeul de calcul respectând unele probleme de neliniaritate și astfel neprezicerea măsurii soluției schimbate. În al doilea rând, spre deosebire de relațiile analitice explicite, aceste soluții numerice lipsesc direct din problemele de această natură; în special nu este atât de evidentă influența măsurii individuale asupra parametrilor.
Complexitatea problemelor a fost intensificată pentru cazul de aranjare a cilindrilor excentrici (Davis și Li, 1994; Luo și Peden,1990 etc).
Avantajul aproximării analitice (dacă este posibil de cerut) față de metoda numerică este evident și pentru cazul fluidelor vâscoplastice (Anshus, 1974; David și Filip, 1998 etc). Situațiile acestor tipuri de curgere manifestă așa- numitele regiunile cepurilor unde nu se produce deformația curgerii. Pregătirile pentru aceste curgeri cep(„dop”) pot fi determinate prin reprezentarea criteriului de derivare analitic de la distribuția tensiunii anterioare spre studiul detaliat a câmpului de viteze.
Însumând aceste paragrafe sunt încă o grămadă de probleme încă nerezolvate și schimbând nevoia de continuare a cercetării de bază în acest domeniu.
În practică în aceste tipuri de probleme practice sunt întâlnite în rezolvarea precisă. Cu respect față de cererea de a continua viteza de curgere este necesar să se știe vitezele de curgere prin secțiunile transversale inelare arbitrare a întregului inel. O sugestie la felul cum se poate calcula această viteză de curgere pentru fluide modelul Robertson – Stiff (pentru care formulele legii-putere este un subcaz) este dat în secțiunea următoare.
Presupunem că curgerea este fermă, laminară, incompresibilă, izotermă și axială cu efecte finale neglijabile a cilindrilor interiori și exteriori.
4.5.2. Formularea problemei
Înainte de a începe ipotezele, ecuația de echilibru este de forma:
(1)
cu condițiile la limită
(2)
și modelul Robertson – Stiff:
(3)
unde: P – reprezintă gradientul de presiune pe direcție axială;
R(KR) – raza cilindrului exterior (interior);
ς0 – presiunea produsă.
S-a menționat în Introducere că problema (1)-(3) a fost rezolvată pentru legea putere a fluidului (ς=0) după Malik și Shenoy (1991), și pentru după David și Filip (1998). În ambele cazuri, în ciuda formei analitice a vitezelor de curgere q – este o necesitate calculată cu parametrul λ (aici λR – anulările tensiunii tangențiale) pentru a corespunde integral ecuația. Cunoașterea acestui parametru permite să se determine viteza câmpului dincolo de limita inelului.
Folosind transformările următoare:
(4)
problema (1) – (3) poate fi transformată la dimensiunile:
, (5) (6)
(7)
(8)
unde: λ2 – este dimensiunea constantei de integrare.
Dacă λi, λ0 sunt valorile limită ale regimului de curgere, atunci pentru ecuația (5) rezultă:
λ2=λiλ0 (9)
λi=λ0-T0 (10)
De aici obținem – pentru cazul când impunem ca gradientul de presiune ajută la scoaterea cilindrului interior – gradientul de viteză devine:
(11)
(12)
(13)
și pentru cazul când impunem ca gradientul de presiune se spune scoaterii cilindrului interior:
(14)
(15)
(16)
Dacă dorim să calculăm rata volumetrică de curgere q1 pentru o secțiune arbitrară inelară (K1R1, R1) a inelului inițial este necesar să se realizeze următoarele:
– ecuația echivalentă este asemănătoare pentru ambele inele (arbitrar și original);
– localizarea tensiunii tangențiale în formă dimensională este aceeași, ;
– condițiile limită la cilindrii interiori și exteriori în inelul arbitrar sunt posibile să se obțină din relațiile (1) și (3) sau (14) – (16);
– valoarea q1 a vitezei de curgere pentru inelul arbitrar este posibil de calculat folosind relațiile analitice în Malik și Shenoy (1991) și David și Filip (1998).
4.5.3. Concluzii
Secțiunea de mai sus arată procedura cum este posibil să se determine analitic viteza de curgere volumetrică în interiorul inelului arbitrar, dacă cunoaștem pentru inelul original localizarea tensiunii tangențiale nule sau valoare constantei de integrare λ2. Presupunem că fluidul este după legea – putere sau după tipul Robertson – Stiff.
4.6. Curgerea nenewtoniană prin tuburi drepte având secțiunea transversală eliptică
(După Z. Matras și W. Malec)
4.6.1. Introducere
Tuburi cu secțiunea transversală eliptică sunt folosite în mare măsură în industrie ca părți ale schimbătoarelor de căldură, reactoare chimice etc. Unii autori dau minim mai multe moduri de a prezice pierderile de presiune în tuburile hidraulice netede în timpul curgerii fluidului nenewtonian. Problema constatării modului simplu în care putem descrie curgerea fluidului nenewtonian în tubul cu secțiunea transversală eliptică, de exemplu, încă există.
Autorii prezentului material au căutat crearea metodei, care poate fi o generalizare a metodei folosită de obicei pentru a descrie curgerea newtoniană în tuburi netede într-una nenewtoniană. Este posibil să se aplice formulele bine cunoscute ca 64/Re în regiunea curgerii laminare sau în regiunea curgerii turbulente tip Blasius pentru a descrie curgerea fluidului nenewtonian în tuburi cu secțiunea transversală eliptică. Putem determina așa numita „modificare a numărului Reynolds” și „modificarea factorului de frecare” pentru a se potrivi formulele clasice descrise în curgerea newtoniană.
4.6.2. Studiu
Metoda transformării originale arătată în lucrare pentru curgerea fluidului nenewtonian în tuburi cu secțiunea transversală eliptică este analoagă cu curgerea fluidului pseudo – Newtonian în tub imaginată ca și cum ar curge în conducte de secțiune transversală rotundă.
Ideea studiului este de a descrie curgerea nenewtoniană cu ajutorul formulelor pseudonewtoniene:
(1)
și
(2)
unde:
(3)
și
(4)
Acum putem înlocui sistemul de coordonate pseudonewtonian, cu altul – nenewtonian – conform cu formulele:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
unde:
(10)
Relațiile dintre curgerea teoretică a fluidului nenewtonian în tubul cu diametrul D și curgerea reală în tubul eliptic sunt:
(11)
(12)
(13)
(14)
4.6.3. Experiment
Dacă luăm în considerare relațiile mai sus menționate, putem formula criteriul numerelor Re și λ ce descriu curgerea fluidului nenewtonian în tuburi drepte cu secțiunea transversală eliptică în limitele curgerii pseudonewtoniene.
Substituind ecuațiile (5) – (7) în ecuațiile (3) – (4) obținem:
(15)
(16)
Datele experimentale în regiunea curgerii laminare au fost arătate în sistemul de coordonate [Re, λ], în fig. 1.
4.6.4. Concluzii
Metoda descrisă în lucrare permite înlocuirea curgerii fluidului nenewtonian prin conducte cu secțiunea transversală eliptică aceasta analog cu fluidul Newtonian. Datele comparației obținute de autori cu ecuația teoretică (1) sunt în concordanță cu regiunea curgerii laminare.
4.6.5. Nomenclatură
a,b – dimensiunile elipsei, [m];
D – diametrul tubului, [m];
K – indicele consecvență, [Kg sn-2/m];
n – indicele legii putere, [-];
L – lungimea între vârfurile manometrului, [m];
Δp – pierderea de presiune, [N/m2];
Q – viteza de curgere, [m3/s];
Re – numărul Reynolds, [-];
η – vâscozitatea dinamică, [Kg/(ms)];
λ – factorul de frecare a tubului neted, [-];
ρ – densitatea fluidului, [Kg/M3];
Indice de jos:
e – secțiunea transversală eliptică (secțiunea transversală rotundă fără orice indice);
m – valoarea medie.
simboluri cu bold – fluid newtonian (pseudonewtonian)
simboluri normale – fluid nenewtonian.
Bibliografie
1. Jinescu, V., Valeriu – Proprietăți fizice și termomecanica maselor plastice vol. I și II, Editura Tehnică, București, 1979.
2. Raul, Mihail – Simularea proceselor de prelucrare a polimerilor, Editura Tehnică, București, 1989.
3. Tudose, Zaharia ș.a. – Reologia compușilor macromoleculari, vol. I, II, III, Editura Tehnică, București, 1982, 1984, 1987.
4. Petrea, C., I. – Fizica elastomerilor. Reologia, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1989.
5. Vaicum, Al. – Studiul reologic al corpurilor solide, Editura Academiei Române, București, 1978.
6. Tudose, Zaharia ș.a. – Procese și utilaje în tehnologia de prelucrare a compușilor macromoleculari, Editura Tehnică, București, 1976.
7. Vasiliu, O., C. ș.a. – Ruperea polimerilor. Teorie și aplicații, Editura Tehnică, București, 1992.
8. Todorescu, A. – Reologia rocilor cu aplicații în minerit, Editura Tehnică, București, 1982.
9. Lazăr, Dragoș – Principiile mecanicii mediilor continui, Editura
Tehnică, București, 1983.
10. Technical University – Proceedings of the International Conference on Engineering Rheology ICER, zielona Góra, vol. 4, Poland, 1999.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Modele Reologice Mecanice Si Electrice (ID: 161519)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.