Criptografie Printr Un Codor Decodor Haotic Autosincronizabil Ce Poate Fi Implementat Complet Digital

Introducere

Dezvoltarea și creșterea continuă a complexității mijloacelor, metodelor și formelor de transmitere a informației măresc vulnerabilitatea ei. Factorii principali care favorizează creșterea acestei vulnerabilități sunt: importanța informației transmise, lărgirea bruscă a cercului de utilizatori care au acces la resursele informaționale sau la echipamente cu care ar putea accesa aceste resurse, complicarea regimurilor de funcționare ale mijloacelor tehnice de transmisiuni, automatizarea schimburilor de informații dintre emițător și receptor etc.

În aceste condiții apar două tipuri de vulnerabilitate a informației:

Deformarea sau distrugerea informației, adică distrugerea integrității ei fizice;

Folosirea neautorizată a informației, adică scurgerea ei din cercul limitat de utilizare stabilit.

Principalele căi de atac ce determină vulnerabilitatea informației pot fi împărțite în trei grupe:

canale indirecte, care dau posibilitatea utilizării neautorizate a informației, fără acces fizic la elementele rețelei de comunicație:

folosirea unor dispozitive electronice de ascultare și interceptare;

interceptarea radiației electromagnetice a echipamentelor electronice din configurația sistemului;

folosirea fenomenului de diafonie între canalele de transmisiuni.

canale directe, care presupun accesul fizic la componentele sistemului de transmisiuni, fără a face însă modificări asupra lor:

înregistrarea informațiilor transmise prin liniile de comunicație;

sustragerea suporturilor de informații;

folosirea neautorizată a unor terminale care aparțin unor utilizatori autorizați;

substituirea utilizatorilor autorizați;

ocolirea mecanismului de protecție.

canale directe active, care presupun tot accesul fizic la componentele sistemului de transmisiuni, dar cu modificări ale acestora:

scoaterea de funcțiune a mecanismului de protecție a informației;

introducerea de mesaje false;

alterarea informației deja transmise.

Pentru micșorarea cât mai mult posibil a vulnerabilității informației s-au elaborat diverse mijloace și metode pentru protecția și securitatea informației. Astfel, legat de aceste mijloace și metode, s-au definit următoarele concepte de bază:

securitatea datelor, ce reprezintă măsurile de protecție a datelor împotriva unor distrugeri accidentale sau intenționate, a unor modificări neautorizate sau a unor divulgări ale acestora;

caracterul secret este un concept care se aplică la un individ sau o organizație și constă în dreptul acestora de a decide ce informații se pot folosi în comun și în ce condiții;

confidențialitatea este o noțiune ce se aplică la informațiile vehiculate, referindu-se la statutul acordat acestora, fiind parametrul ce determină nivelul sau gradul de protecție care trebuie asigurat informațiilor respective;

integritatea este un concept ce impune ca informațiile să nu poată fi alterate, modificate sau distruse în mod accidental sau voit. Uneori, din punct de vedere conceptual, nu se poate face o distincție clară între securitatea informațiilor și integritatea lor. De altfel toate conceptele menționate sunt strâns legate între ele, iar măsurile parțiale se suprapun și se acoperă reciproc.

Ansamblul mijloacelor, metodelor și măsurilor speciale pentru protecția și securitatea informației formează mecanismul de protecție. Dacă mecanismul de protecție asigură acoperirea tuturor canalelor posibile și potențiale de scurgere a informației, atunci sistemul protejat se numește sistem cu acoperire completă.

Până în prezent s-au elaborat numeroase metode, mijloace și măsuri destinate protecției informației care circulă în sistemele de transmisiuni. În cadrul acestor acestora sunt incluse mijloacele hard și soft de acoperire criptografică a informației, diferite mijloace tehnice, măsuri organizatorice și juridice. În arsenalul mijloacelor de protecție a informației un loc important îl ocupă aparatele tehnice electronice, electromecanice, electrono-optice etc., capabile să îndeplinească numite funcții de protecție și secretizare. Aceste dispozitive sunt incluse constructiv în echipamentele produse în serie sau sunt realizate sub forma unor echipamente independente, care se includ în compunerea completului de mijloace tehnice ale sistemelor de comunicație.

Protecția criptografică (cifrarea informației) constă în prelucrarea informației ce trebuie apărată, astfel încât să nu existe posibilitatea determinării conținutului real al datelor mascate. Protecția criptografică este un domeniu de mare importanță, cu precădere pentru comunicațiile militare, deși nu sunt deloc de neglijat nici aplicațiile civile, această tehnică fiind considerată de mulți specialiști [1] cea mai sigură metodă de micșorare a vulnerabilității informației vehiculate într-un sistem de comunicații, iar pentru informația transmisă prin linii de legătură la distanțe mari, singurul mijloc de protecție.

Direcțiile principale de acțiune în domeniul protecției criptografice constau în:

alegerea sistemelor raționale de secretizare sigură a informației apărate;

fundamentarea căilor realizării sistemelor secrete în complexele automatizate;

elaborarea regulilor de folosire a metodelor criptografice de protecție în procesul funcționării sistemelor de comunicații;

aprecierea eficacității și validarea protecției criptografice.

O problemă importantă în elaborarea metodelor criptografice de protecție constă în aprecierea stabilității secretizării informației obținute prin cifrare. Se apreciază, de fapt, rezistența cifrului, prin stabilitate înțelegându-se mărimea inversă indicatorului posibilităților de spargere a sistemului de cifrare prin analiza statistică a semnalului interceptat. Este de remarcat faptul că viteza de lucru a calculatoarelor amplifică foarte mult cadrul criptanalizei, adică al analizei statistice a semnalului interceptat, ceea ce impune cerințe suplimentare pentru alegerea metodei de cifrare. O posibilă soluție pentru satisfacerea acestor deziderate este utilizarea sistemelor dinamice neliniare (haotice) de criptare ce asigură o mare capacitate de secretizare și de rezistență împotriva atacurilor criptanalitice.

Haosul reprezintă un regim de funcționare al sistemelor dinamice neliniare ce a primit în ultimul timp o atenție crescândă din partea specialiștilor în telecomunicații datorită posibilității utilizării lui în sistemele de comunicații și mai ales în sistemele criptografice. În esență haosul reprezintă un fenomen ce permite generarea unor semnale similare zgomotelor, cu spectru larg, pornind de la un set de ecuații cunoscut. Astfel, spre deosebire de zgomotul pur, semnalul haotic este perfect reproductibil, iar generatoarele, ce generează secvențe haotice, pot fi sincronizate în anumite condiții, apărând posibilitatea realizării unui sistem de comunicații bazat pe semnale haotice, ce poate asigura simultan posibilitatea accesului multiplu, precum și un anumit grad de secretizare. În continuare vom folosi termenul generic de generator haotic pentru a descrie sistemul ce generează semnale haotice.

Deși la prima vedere generatoarele haotice par a fi doar un înlocuitor al generatoarelor de secvențe pseudoaleatoare, implementate cu registre de deplasare, lucrurile sunt departe de a fi atât de simple, deoarece utilizarea haosului în comunicații implică existența unor probleme noi ce țin în primul rând de comportamenul mult mai complex al generatoarelor haotice: senzitivitate mare la valorile condițiilor inițiale, caracterul nonperiodic al secvențelor haotice, dependență mare față de valorile parametrilor ce caracterizează sistemul haotic, etc. Aceste caracteristici au condus la elaborarea unor metode de sincronizare și modulație diferite de cele utilizate în sistemele clasice, dar și cu avantajul faptului că metodele de modulație implică automat și o secretizare a mesajului transmis, generatorul haotic (împreună cu parametrii și condițiile sale inițiale) fiind practic cheia de secretizare. Nu sunt de neglijat nici alte utilizări ale generatoarelor haotice sub forma unor codoare-decodoare haotice autosincronizabile, precum și posibilitatea folosirii secvențelor haotice periodizate în sistemele clasice de acces multiplu cu secvență directă.

Obiectivul acestei lucrări se constituie într-o primă etapă în prezentarea aspectelor teoretice legate de studiul matematic al sistemelor dinamice și apoi a metodelor prin care comportamentul haotic poate fi caracterizat cu ajutorul acestei teorii a sistemelor dinamice. Aceste aspecte sunt pe larg discutate în primul capitol, scopul fiind de a prezenta instrumentele de bază cu ajutorul cărora putem caracteriza sistemul dinamic ca fiind haotic și prin intermediul cărora putem determina caracteristicile semnalelor haotice.

În capitolul doi sunt prezentate sintetic cerințele generale pe care trebuie să le îndeplinească semnalul haotic pentru a putea fi utilizat în sistemele de comunicații, precum și locul pe care îl ocupă generatoarele haotice printre celelalte tipuri de generatoare de zgomote (semnale de bandă largă). Sunt prezentate tipurile de generatoare haotice împreună cu noțiuni legate de implementarea lor, iar apoi sunt trecute în revistă câteva din cele mai uzuale funcții neliniare, ca elemente de bază în implementarea unui generator haotic.

Capitolele trei și patru reprezintă o expunere a mai multor exemple de generatoare haotice electronice în timp continuu, respectiv în timp discret. Această listă de generatoare haotice, departe de a fi completă, este folosită pentru a prezenta principalele proprietăți ale generatoarelor haotice prin aplicarea în fiecare caz în parte a principalelor metode de studiu ce au fost prezentate în primul capitol. Lista generatoarelor haotice nu poate fi completă datorită faptului că domeniul acesta al sistemelor electronice cu comportamente haotice este unul deosebit de prolific, datorită comportamentului haotic extrem de variat, astfel încât ceea ce am urmărit în studiu a fost prezentarea modului de studiu și de proiectare a acestor generatoare, împreună cu evidențierea principalelor tipuri de comportamente haotice și a problemelor care pot apare în studiul haosului.

Ultimul capitol este axat pe discutarea aplicațiilor generatoarelor haotice, ca generatoare de zgomot, punându-se accent pe prezentarea unei aplicații a generatoarelor haotice în criptografie printr-un codor-decodor haotic autosincronizabil ce poate fi implementat complet digital.

Lucrarea se încheie cu un studiu comparativ al performanțelor accesului multiplu, folosind secvențele haotice, secvențe pseudo-aleatoare de tip Gold și tehnica permutărilor aleatoare, urmat de considerații legate de posibilitatea sincronizării fiecăreia din cele trei metode de acces multiplu, având la bază bucla clasică de urmărire a codului folosită în sistemele cu acces multiplu cu diviziune în cod. Această ultimă parte constituie raportul de stagiu efectuat în perioada martie-iunie 2001 în laboratorul cooperativ de cercetare „TéSA” (Télécommunications Spatiales et Aéronautiques) sub îndrumarea domnului Daniel Roviras, profesor în ENSEEHIT, Toulouse.

Capitolul I – Sistemele dinamice și haosul

Teoria modernă a sistemelor dinamice are o istorie relativ scurtă. Ea începe cu H. Poincaré (1854-1912), care a revoluționat studiul ecuațiilor diferențiale neliniare prin prin introducerea tehnicilor calitative de natură geometrică, în locul metodelor strict analitice [2]. Pentru matematicieni a devenit astfel posibil ca un număr important de probleme legate de sistemele dinamice, ce păreau de netratat cu metode analitice, să poată fi tratate cu metode geometrice sau calitative. Astfel, introducerea tehnicilor geometrice a determinat matematicienii să treacă de la studiul analitic al sistemelor dinamice la studiul structurilor geometrice generate de acestea, deși matematicieni precum A. M. Lyapunov (1857-1918) au continuat studiul analitic al sistemelor dinamice din diferite puncte de vedere. Totuși în jurul anilor ’60 teoria sistemelor dinamice va fiilor ’60 teoria sistemelor dinamice va fi așezată în tiparele ei actuale, datorită unor matematicieni precum Kolmogorov, Arnol’d și Moser ce pun bazele teoriei moderne a sistemelor dinamice prin îmbinarea metodelor analitice de studiu al sistemelor dinamice cu metodele geometrice de studiu al structurilor generate de sistemele dinamice.

Recent teoria sistemelor dinamice a beneficiat de o infuzie de noi descoperiri în domeniul sistemelor dinamice, venite din diferite ramuri ale științei și tehnicii. Astfel, fizicieni precum Feingenbaum au atras atenția asupra sistemelor dinamice discrete monodimensionale, iar descoperirea sistemelor haotice stabile, ca de exemplu sistemul Lorenz în meteorogie sau circuitul Chua în electronică, au arătat existența mult mai multor tipuri de comportamente dinamice, pe lângă punctele de echilibru stabile sau ciclurile limită.

I.1 Reprezentarea matematică a sistemelor dinamice

I.1.1 Reprezentarea prin funcții iterative – sisteme dinamice discrete

Cel mai simplu model de sistem dinamic poate fi descris printr-o funcție iterativă monodimensională sub forma:

(I.1)

unde

, funcția iterativă monodimensională, în limba engleză “map”

Sistemul dinamic descris de o relație de tipul celei de mai sus este considerat un sistem dinamic discret [1], iar dinamica sa depinde atât de funcția iterativă f cât și de condiția inițială x[0].

Din punct de vedere strict matematic relația de mai sus este oarecum restrictivă deoarece se consideră numai spațiul numerelor reale (), iar indicele n ia numai valori naturale. Aceste restricții sunt justificate de faptul că, în acest caz, tot aparatul matematic ce va fi prezentat trebuie aplicat pentru circuitele electronice, deci în cazul unor sisteme dinamice deterministe descrise de mărimi cu valori reale.

Exemplu: funcția logistică (“logistic map”)

(I.2)

unde, fL(0, 1) (0, 1)

parametru al funcției logistice

Această funcție iterativă, pe larg studiată în lucrările de specialitate legate de sistemele dinamice și haos, are un comportament surprinzător de complex ce este relevat pe măsură ce parametrul k ia valori cuprinse între 0 și 4, iar condiția inițială .

Mai departe, relația (1) poate fi generalizată pentrul funcții iterative multidimensionale, adică pentru funcții iterative vectoriale, de variabilă vectorială, definite în spațiul real m-dimensional:

(I.3)

unde

Exemplu: funcție iterativă bidimensională (“Hénon map”)

(I.4)

unde

parametrii

Pentru valorile parametrilor a=1.4 și b=0.3 și condiția inițială ( în acest caz), sistemul dinamic descris de această funcție iterativă prezintă în spațiul fazelor (figura I.1) un atractor cu o structură fractală, ceea ce constituie un indiciu al prezenței comportamentului haotic.

I.1.2 Reprezentarea prin ecuații diferențiale – sisteme dinamice continue

Deși prin intermediul sistemelor dinamice discrete se poate studia o gamă largă de proprietăți ale sistemelor dinamice, totuși cea mai mare parte a sistemelor dinamice, întâlnite în practică și cu comportări mult mai complexe, sunt sistemele dinamice caracterizate de un sistem de ecuații diferențiale de forma:

(I.5)

unde mărimile ce caracterizează starea (evoluția) sistemului dinamic

caracterizează starea inițială a sistemului

vectorul derivatelor în funcție de timp

câmpul vectorial ce definește dinamica sistemului

Datorită complexității comportamentului lor și dificultății calculelor, sistemele dinamice continue sunt de regulă studiate cu ajutorul calculatorului, astfel încât sistemele de ecuații diferențiale sunt transformate în sisteme de ecuații cu diferențe finite. În aceste condiții devine importantă alegerea metodei de integrare folosite pentru rezolvarea sistemului de ecuații diferențial, precum și precizia cu care se face reprezentarea numerelor pe calculator, pentru o redare cât mai fidelă a comportamentului sistemului dinamic continuu real.

Exemplu: sistemul Lorenz

(I.6)

unde mărimile ce caracterizează evoluția sistemului

parametrii sistemului

Acest sistem de ecuații diferențiale este datorat unui meteorolog american, Edward Lorenz, care a realizat în 1963 un model matematic simplu al schimbărilor de temperatură și al vitezei vântului folosind un sistem de trei ecuații diferențiale neliniare. În mod surprinzător, rezultatele simulărilor pe calculator au arătat un comportament complex al acestui sistem, descris de niște ecuații relativ simple, în sensul dependenței sistemului de condițiile inițiale, deoarece o mică schimbare în condițiile inițiale conducea la rezultate complet diferite. Studiul acestui sistem a arătat totuși că aceste soluții se găseau mereu în aceeași regiune a spațiului fazelor (determinat de mărimile ) și evoluau în jurul unei structuri fractale numită și atractor straniu. Astfel, integrarea sistemului de ecuații diferențiale de mai sus, prin metoda Runge-Kutta de ordinul 4, cu parametrii sistemului =10, =28, =8/3 și condiția inițială (0.1, 0, 0) determină în spațiul tridimensional al fazelor structura prezentată în figura I.2.

În cele ce urmează sunt prezentate într-o manieră sistematică noțiunile și termenii uzuali folosiți pentru studiul sistemelor dinamice continue, trecerea la cazul sistemelor dinamice discrete putând fi făcută apoi fără dificultate.

I.1.3 Terminologia folosită în teoria sistemelor dinamice

În cazul cel mai general un sistem dinamic continuu de dimensiune m poate fi descris de un sistem de ecuații diferențiale de forma:

(I.7)

unde

este o funcție vectorială astfel încât

reprezintă vectorul parametrilor ce caracterizează sistemul dinamic

vectorul derivatelor în raport cu timpul

Relația (I.7) definește ecuațiile de stare ale sistemului dinamic.

x(t) se numește vectorul de stare, iar variabilele x1(t), x2(t), …, xm(t) reprezintă mărimile de stare ale sistemului dinamic. Spre deosebire de vectorul parametrilor, ce este o mărime statică, independentă de timp, vectorul de stare este o mărime dinamică, ce depinde de timp. De asemenea, mărimile de stare ale sistemului dinamic sunt independente între ele, în sensul că reprezintă cel mai mic număr de variabile de stare cu ajutorul cărora sistemul poate fi descris. În acest caz numărul variabilelor de stare definește și dimensiunea sistemului.

x0=x(t0) reprezintă condiția inițială a sistemului

Spațiul determinat de variabilele de stare x1, x2, …, xm se numește spațiul fazelor. În cazul considerat spațiul fazelor este m.

Plecând de la o condiție inițială dată, x0, o soluție a sistemului ecuațiilor de stare (I.7) este numită traiectorie sau orbită și este notată cu (x0,,t).

Expresia f(x(t),t) se numește vector câmp. Vectorul câmp definește direcția și viteza traiectoriei sistemului dinamic în fiecare punct din spațiul fazelor și la fiecare moment de timp t. Dacă vectorul câmp nu depinde direct de timp, ci numai de variabilele de stare, atunci sistemul dinamic se numește sistem dinamic autonom.

I.1.4 Tipuri de traiectorii

1) Punctul fix

Traiectoria cea mai simplă este un punct fix. Un punct fix este o soluție a sistemului dinamic (I.7) ce satisface relația:

(I.8)

O traiectorie ce pleaca din punctul fix xq va rămâne permanent în acest punct. De exemplu, în cazul unui circuit electronic, un punct fix este reprezentat de soluția de curent continuu.

2) Orbita periodică

Un alt tip de traiectorie este orbita periodică, numită și ciclu. O traiectorie se numește periodică dacă pentru orice punct xp de pe această traiectorie avem:

(I.9)

Observație: pentru cazul celor două tipuri de traiectorii prezentate definițiile rămân valabile și pentru sistemele autonome, când vectorul câmp, f(), nu depinde explicit de timp.

3) Atractorul straniu

Un al treilea tip de traiectorie poate apare în cazul în care traiectoria evoluiază într-o regiune finită a spațiului fazelor fără a avea însă un caracter de tip punct fix sau periodic. Evoluția uneia din mărimile de stare xi(t) () i{1, 2, …, m}, privită în timp, apare ca fiind aleatoare, dar evoluția sistemului în spațiul fazelor, pe măsură ce t tinde la infinit, determină apariția unei structuri aparte, cunoscută și sub numele de fractal. Din cauza acestei geometrii cu totul aparte atractorii sunt numiți stranii și sunt considerați ca o “semnătură a haosului”. Totodată acest aspect diferențiază un semnal haotic de un semnal aleator, deoarece, dacă mișcarea este aleatoare, punctele traiectoriei umplu spațiul fazelor de o manieră dezordonată, în timp ce mișcarea haotică determină în spațiul fazelor apariția unei structuri precise numite atractor straniu. De asemenea o traiectorie haotică este caracterizată printr-o mare sensibilitate față de condiția inițială. Două traiectorii având condiții inițiale foarte apropiate vor diverge în timp foarte rapid.

Totuși trebuie subliniat că atractorul straniu corespunde unei soluții stabile a sistemului dinamic. Noțiunea de stabilitate va fi detaliată în subcapitolul următor.

Ansamblul punctelor ce definesc condiția inițială a fiecărei traiectorii (x0,t) ce converge în timp spre un atractor, indiferent dacă acesta este straniu sau nu, se numește bazin de atracție.

I.1.5 Secțiunea Poincaré

Fie un sistem dinamic continuu de ordinul trei descris de relația:

(I.11)

unde

, f derivabilă de p ori (p1)

Conceptul de secțiune Poincaré constă în alegerea unui plan 2 care taie transversal traiectoria (figura I.3), alegerea acestui plan depinzând de natura traiectoriei. Prin alegerea planului se poate defini o funcție P bidimensională astfel încât P:U unde U reprezintă ansamblul traiectoriilor x(t) ce pleacă din U și ajung în după un anumit timp (x):

(I.12)

În exemplul din figură P(x0)=x1, P(x1)=x2, iar (x0) și (x1) reprezintă timpul necesar pentru ca traiectoria să treacă din punctul x0 în punctul x1, respectiv din x1 în x2.

Această tehnică permite trecerea de la un sistem cu trei dimensiuni, la un sistem cu două dimensiuni, sau în general de la un sistem m dimensional, cu m variabile de stare, la unul cu (m-1) dimensiuni, respectiv cu (m-1) variabile de stare. Cu alte cuvinte, folosind secțiunea Poincaré, se poate elimina o variabilă de stare, deci studiul sistemului dinamic se simplifică.

Exemplu: secțiunea Poincaré a atractorului Lorenz

Am considerat setul de ecuații diferențiale ce definesc sistemul Lorenz, cu același set de parametrii și condiții inițiale ca în exemplul anterior, iar planul 2 ce taie transversal atractorul lui Lorenz este definit de relația:

(I.13)

Această alegere a planului permite reprezentarea atractorului Lorenz tridimensional în planul determinat de variabilele de stare x1 și x2 (figura I.4).

I.1.6 Relația sistem dinamic – sistem haotic

Sistemele haotice sunt cazuri particulare de sisteme dinamice caracterizate prin existența traiectoriilor de tip atractor straniu. Acest tip de traiectorie nu este însă singura trăsătură definitorie a sistemulor haotice, complexitatea evoluției acestora făcând dificilă sarcina de a da o definiție cuprinzătoare a sistemelor haotice.

Într-o primă aproximare, putem spune că un sistem dinamic se numește haotic dacă soluțiile sistemului dinamic se găsesc permanent într-o zonă marginită Bm din spațiul fazelor și prezintă următoarele caracteristici fundamentale:

o transformată Fourier (spectru de putere) a oricăreia din variabilele de stare, plată, similară zgomotului alb. Această proprietate indică aspectul nonperiodic al traiectoriei haotice.

traiectorii inițial foarte apropiate una de cealaltă diverg exponențial în timp. Această caracteristică se traduce printr-o mare sensibilitate față de condițiile inițiale și implică totodată imposibilitatea prezicerii pe termen lung a evoluției în timp a sistemelor haotice.

soluțiile sistemelor haotice au un caracter determinist, adică sunt generate după legi matematice bine precizate. Acest lucru implică faptul că sistemele haotice sunt reproductibile, chiar dacă evoluția sistemului nu poate fi complet predictibilă.

În cele ce urmează va fi prezentat o parte din aparatul analitic cu ajutorul căruia se studiază comportamentul sistemelor dinamice, și în particular al sistemelor haotice, respectiv vor fi introduși exponenții Lyapunov ca instrumente de caracterizare ai atractorilor stranii.

I.2 Stabilitatea în timp a sistemelor dinamice

I.2.1 Conceptul de stabilitate

În cazul un sistem fizic, acesta se poate afla într-una din următoarele stări de echilibru:

echilibru stabil;

echilibru instabil și

echilibru indiferent.

Dacă sistemul dinamic se află în echilibru stabil, la apariția unei perturbații sistemul va reveni în starea inițiala după un anumit timp (figura I.5 a)). Dacă sistemul se află în echilibru instabil el se va îndepărta și mai mult de starea inițială la apariția perturbației (figura I.5 b)), iar în cazul echilibrului indiferent sistemul dinamic are o infinitate de stări de echilibru stabil (figura I.5 c)).

Aceste noțiuni descriu doar într-o manieră intuitivă stabilitatea unui sistem dinamic. În continuare se va prezenta aparatul matematic cu ajutorul căruia se studiază stabilitatea sistemelor dinamice.

Definiția 1 (stabilitatea definită în sens Lyapunov)

Să considerăm sistemul autonom definit de sistemul de ecuații:

(I.14)

cu o traiectorie a sistemului determinată de condiția inițiala X0 la momentul t=t0.

Spunem că traiectoria este stabilă în sens Lyapunov, dacă pentru orice >0 există =()>0 astfel încât pentru orice traiectorie, , satisfăcând relația avem pentru t>t0.

Se observă că stabilitatea în sens Lyapunov depinde de alegerea parametrului ca funcție de .

Definiția 2 (stabilitatea asimptotică)

Traiectoria se numește stabilă asimptotic dacă ea este stabilăâ în sens Lyapunov și dacă există o constantă b>0 astfel încât, pentru , avem .

Cele două definiții se pot generaliza și pentru cazul sistemelor non autonome, în această situație și b depinzând de t0.

Definirea stabilității în sens Lyapunov permite astfel o distincție între starea de echilibru stabil și indiferent, în sensul că ambele stări de echilibru pot fi considerate stabile în sens Lyapunov, dar numai prima stare de echilibru este stabilă asimptotic.

Aceste definiții dau numai o interpretare matematică a noțiunii de stabilitate dar nu furnizează și metode pentru a determina tipul de stabilitate. În continuare vom prezenta mai multe metode pentru determinarea stabilității diferitelor tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații diferențiale ce descriu sistemele dinamice.

Prima metodă se concentrează asupra stabilității punctelor fixe, cea de-a doua asupra stabilității soluțiilor periodice, introducând noțiunea de multiplicator caracteristic. Ultima metodă va introduce exponenții Lyapunov pentru studiul stabilității oricărui tip de soluții. Deci fiecare dintre aceste tehnici se constituie într-o generalizare a precedentei.

I.2.2 Stabilitatea punctelor fixe – procesul de linearizare

Fie sistemul autonom:

F:nn (I.15)

cu F(X)=(F1(X),F2(X),…,Fn(X)) funcție vectorială de variabilă vectorială.

Fie Xe un punct fix al acestui sistem: F(Xe)=0.

Presupunând că se aplică o mică perturbație în vecinătatea punctului fix Xe rezultă: .

În aceste condiții câmpul F(X) poate fi dezvoltat în serie Taylor în vecinătatea lui Xe:

(I.16)

unde JF(X) este matricea jacobiană a câmpului F(X):

(I.17)

Cum expresia (1) devine:

(I.18)

Această nouă ecuație reprezintă linearizarea sistemului F în jurul punctului Xe. În acest caz vom vorbi deci de o stabilitate locală. Calculul valorilor proprii ale ecuatiei (I.18) va permite cunoașterea stabilității punctului fix Xe. Aceste valori proprii sunt rădăcinile i ale ecuației caracteristice:

(I.19)

unde In este matricea identitate și

i este un număr complex de forma ii, i, i, i=1,2,…,n.

Observație: în cazul în care i0 ()i=1,2,…,n, punctul fix Xe se numește hiperbolic sau degenerat.

Soluția a sistemului linearizat se scrie plecând de la o bază de funcții independente:

, (I.20)

unde i reprezintă vectorul propriu asociat valorii proprii i și

ci depinde de condițiile inițiale.

Ecuația (I.19) arată faptul că valorile proprii definesc starea de stabilitate a sistemului linearizat.

Tipuri de stabilitate:

dacă i<0 () i=1,2,…,n punctul fix este asimptotic stabil: . Spunem că punctul fix este un punct de atracție sau un atractor dacă i0 () i=1,2,…,n și este un nod dacă i=0 () i=1,2,…,n;

dacă i>0 () i=1,2,…,n punctul fix este instabil pentru că are o creștere exponențială in timp. Spunem că punctul fix este o sursă dacă i0 () i=1,2,…,n și un nod instabil dacă i=0 () i=1,2,…,n.

dacă j>0 () j=1,2,…,p cu p<n si i<0 pentru ij soluția nu este stabilă.

Exemplu: clasificarea punctelor fixe pentru n=2.

Stabilitatea unui punct fix non hiperbolic nu poate fi determinată plecând de la valorile proprii, cu excepția cazului în care valorile proprii au, unele partea reala pozitivă, și celelalate partea reală negativă caz în care punctul fix este instabil. În toate celelalte cazuri stabilitatea unui punct fix non hiperbolic poate fi determinată pe baza exponenților Lyapunov.

În cazul în care toate valorile proprii ale unui punct fix non hiperbolic sunt pur imaginare și nenule, atunci acest punct fix se numește centru.

I.2.3 Multiplicatori caracteristici

Multiplicatorii caracteristici permit determinarea stabilității unei soluții periodice. Ei sunt o generalizare a valorilor proprii folosite pentru studiul stabilității punctelor fixe. O soluție periodică este o orbită de ordinul k în spațiul fazelor și corespunde unor k puncte fixe într-o secțiune Poincaré.

Să considerăm sistemul autonom descris de ecuația (I.15) pentru n=3 și un ciclu limită de ordinul 1 ca soluție. Acestui sistem i se poate asocia secțiunea Poincaré (figura I.7) și funcția P de dimensiune p=n-1.

Funcția P este definită astfel încât:

P:U cu U, XP(X) (I.21)

unde U este o vecinătate a lui Xe și

Xe este un punct fix al lui P, adică P(Xe)=Xe.

Presupunând, la fel ca în cazul precedent, că se aplică o mică perturbație în vecinătatea lui Xe, soluția sistemului P se scrie:

(I.22)

Deoarece, în cazul stabilității unui punct fix, comportamentul lui X(t) în vecinătatea lui Xe este studiat prin linearizarea lui P în jurul lui Xe, avem:

(I.23)

unde JP(Xe) este matricea jacobiană a lui P evaluată în X=Xe și

indicele k reprezintă numărul de iterații ale funcției P (figura I.8), k=0: X(t)=Xe si P(Xe)=Xe.

Valorile proprii ii ale matricei jacobiene JP(X) se numesc multiplicatori caracteristici ai soluției periodice. De regulă multiplicatorii caracteristici se determină numeric. La fel ca în cazul valorilor proprii ale unui punct de echilibru, poziția multiplicatorilor caracteristici în planul complex determină stabilitatea punctului fix al sistemului P.

Tipuri de stabilitate:

dacă |i|<1, () i=1,2,…,p punctul fix al lui P este asimptotic stabil pentru orice perturbație . În acest caz soluția periodică este asimptotic stabilă;

dacă |i|>1, () i=1,2,…,p punctul fix Xe este instabil deoarece prezintă o creștere exponențială în timp. Soluția periodică este în acest caz instabilă;

dacă |j|>1, () j=1,2,…,m cu m<p si |j|<1, () ij, punctul fix este un punct bifurcație și soluția periodică nu este stabilă.

În toate situațiile prezentate punctul fix considerat este hiperbolic deoarece nici una din valorile proprii nu are modulul egal cu unu. Stabilitatea unui punct fix non hiperbolic nu poate fi determinată cu ajutorul multiplicatorilor caracteristici cu excepția cazului în care punctul fix este instabil.

Observație: în cazul unui sistem autonom, multiplicatorii caracteristici sunt independenți de poziția secțiunii Poincaré . Dimpotrivă, vectorii proprii asociați acestor multiplicatori caracteristici sunt dependenți de poziția lui în spațiul fazelor.

I.2.4 Exponenții Lyapunov

Exponenții Lyapunov sunt o generalizare a valorilor proprii pentru punctul fix și a multiplicatorilor caracteristici pentru soluțiile periodice. Ei pot fi utilizați atât pentru determinarea stabilității soluțiilor cuasiperiodice sau haotice cât și pentru determinarea stabilității punctelor fixe sau a soluțiilor periodice.

Să considerăm, la fel ca în celelalte cazuri, sistemul autonom definit de sistemul de ecuații:

, (I.24)

cu o soluție (sau traiectorie) a acestui sistem și

Xp un punct de pe această traiectorie (la momentul t=tp) în spațiul fazelor.

Calculul exponenților Lyapunov constă într-o primă etapă în linearizarea vectorului câmp din vecinătatea punctului de pe traiectorie considerat. Considerând o mică perturbație Xp(t) aplicată în vecinătatea lui Xp și dezvoltând în serie Taylor vectorul câmp F(Xp), sistemul linearizat în jurul punctului Xp se scrie:

(I.25)

unde JF(Xp) este matricea jacobiană a câmpului F calculată în punctul Xp.

Ultima operație constă în integrarea sistemului (I.25), obținându-se în final o matrice pătratică nxn, t(Xp), numită matricea soluției fundamentale.

În general rezolvarea sistemului de ecuații (I.25) este foarte dificil de realizat analitic. De aceea se folosesc metode de integrare numerice cu ajutorul cărora sistemul (I.25) poate fi rezolvat usor, cu excepția cazului haotic când nu se poate realiza numeric decât integrarea parțială în timp a sistemului haotic considerat.

În final, orice perturbație Xp(t), apărută la momentul t=tp în vecinătatea punctului Xp, va putea fi scrisă sub forma:

(I.26)

Fie i(t) valorile proprii ale matricei soluției fundamentale (i=1,2,…,n).

Exponentul Lyapunov i este legat de valoarea proprie i(t) prin relația:

(I.27)

Observații:

Exponentul Lyapunov există numai în cazul în care limita există;

În cazul în care sistemul are o soluție stationară, matricea jacobiană este independentă de timp;

Dacă traiectoria are un punct fix Xe atunci matricea soluției fundamentale devine:

(I.28)

În continuare vom avea: , unde este valoarea proprie de ordinul i a matricei jacobiene JF(Xe).

De aici rezultă: .

Deci exponentul Lyapunov al unui punct fix, , este egal cu partea reală a valorii proprii, , a punctului fix.

Mulțimea traiectoriilor determinate de condiția inițială X0 se numeste flux. Dacă se definește un element de volum V(t) în spatiul n dimensional, acest flux se numește disipativ dacă V(t) se contractă în timp:

(I.29)

Plecând de la un volum de referință Vp(t=0), de dimensiune p și centrat în X0, exponentul Lyapunov de ordinul p poate descrie evoluția volumului Vp(t>0) ce înglobează traiectoria , astfel:

(I.30)

Dacă p>0, acest exponent Lyapunov reprezintă valoarea medie a expansiunii volumului considerat în spațiul p dimensional, iar dacă p<0 atunci exponentul Lyapunov reprezintă valoarea medie a contracției volumului considerat.

Deci, exponenții Lyapunov reprezintă valoarea medie a contracției sau expansiunii unei traiectorii în spațiul fazelor. Mai general, considerând un atractor, straniu sau nu, atunci, pentru toate condițiile inițiale X0 situate în bazinul de atractie al acestui atractor, toate traiectoriile vor poseda aceeasi exponenti Lyapunov. Cu alte cuvinte exponentii Lyapunov permit caracterizarea unui atractor in ansamblul sau.

Exponenții Lyapunov ai atractorilor non haotici

Pentru un atractor non haotic, media contracției trebuie să fie mai mare decât media de expansiunii, deci:

(I.31)

Atractorii non haotici pot fi clasificați în trei categorii:

Punct de echilibru asimptotic stabil: i<0, ()i=1,2,…,n;

Ciclu limită asimptotic stabil: 1=0 si i<0, ()i=2,3,…,n;

Tor de ordinul K asimtotic stabil: 1=2=…=K=0 si i<0, ()i=K+1,K+2,…,n.

Observații:

Exponenții Lyapunov ai unui atractor non haotic sunt inferiori sau egali cu zero;

Numărul exponenților Lyapunov nuli indică dimensiunea unui atractor non haotic hiperbolic. Astfel, un punct fix are dimensiunea zero, un ciclu limită are dimensiunea 1, iar un tor de ordinul K are dimensiunea K.

Exponenții Lyapunov ai unui atractor straniu

Una din particularitățile haosului o reprezintă sensibilitatea extremă față de condițiile inițiale. Aceasta se traduce printr-o mică perturbație Xp(t) în vecinătatea punctului Xp, punct în care sistemul a fost linearizat printr-unul sau mai mulți coeficienți de expansiune reprezentați printr-unul sau mai mulți exponenți Lyapunov pozitivi. De aceea, un atractor straniu va avea mereu cel puțin un exponent Lyapunov pozitiv, însă cu menținerea proprietății:

(I.32)

În plus, pentru un atractor straniu, unul din exponenții Lyapunov este mereu nul. De aici rezultă că, pentru a fi respectată condiția , un atractor straniu trebuie să aibă cel puțin trei exponenți Lyapunov. Deci un sistem în timp continuu trebuie să aibă dimensiunea cel puțin egală cu trei pentru a produce haos.

Exemple:

cazul unui sistem de ordinul 3 în regim haotic

Singura configurație posibilă pentru exponenții Lyapunov este: (+,0,-).

Cu alte cuvinte: 1>0, 2=0 si 3<0. În plus, deoarece contracția trebuie să fie mai importantă decat expansiunea, trebuie ca 3<-1, pentru a obține un regim haotic stabil. În caz contrar regimul este instabil.

cazul unui sistem de ordinul 4 în regim haotic

Pentru un sistem de ordinul patru există trei posibilități:

(+,0,-,-): 1>0, 2=0 si 34<0;

(+,+,0,-): 1>0, 2>0, 3=0 și 4<0. Vom vorbi în acest caz de hiperhaos (numărul exponenților Lyapunov este mai mare decât unu);

(+,0,0,-): 1>0, 2=3=0 si 4<0. Această situație corespunde unui dublu tor haotic.

I.2.5 Dimensiunea Lyapunov

Fie 12…n exponenții Lyapunov ai atractorului unui sistem dinamic în timp continuu. Fie j cel mai mare număr natural astfel încât 1+2+…+j0. Cu aceste notații, dimensiunea Lyapunov se definește astfel:

(I.33)

Dacă nu există nici un număr natural j cu proprietatea de mai sus, atunci, prin definiție, DL=0.

Deoarece pentru un atractor avem mereu , j va fi mereu mai mic decât n, numărul total al exponenților Lyapunov. Pentru un ciclu limită asimptotic stabil, exponenții Lyapunov se găsesc în configurația 1=0>2>…>n, deci dimensiunea Lyapunov va fi 1. Similar se deduce că în cazul unui tor de ordinul K asimtotic stabil dimensiunea Lyapunov este K.

Dacă atractorul este haotic, DL este de regulă un număr neîntreg. Pentru un sistem haotic tridimensional, având exponenții Lyapunov în configurația +>0>-, dimesiunea Lyapunov este:

(I.34)

Deoarece ++-<0 rezultă că în acest caz 2<DL<3.

În final, diferitele configurații ale exponenților Lyapunov ce au fost discutate în această secțiune sunt sintetizate în tabelul de mai jos:

I.2.6 Calculul numeric al exponenților Lyapunov

Cea mai simplă metodă de calcul a exponenților Lyapunov se bazează pe sistemul de ecuații diferențiale ce descriu funcționarea generatorului haotic, pornind de la definiția exponenților Lyapunov, pe baza acestor ecuații determinându-se matricea jacobiană și apoi exponenții Lyapunov. O altă metodă de calcul a exponenților Lyapunov pleacă direct de la secvența haotică (poate fi oricare din variabilele de stare ale generatorului haotic), în acest caz estimarea numărului de exponenți și calculul acestora fiind o problemă mult mai complicată. Evident, ultima metodă se utilizează numai în cazul în care nu este posibilă cunoașterea directă a sistemului ce a generat secvența. Deoarece în prezenta lucrare studiul se concentrează asupra diferitelor tipuri de generatoare haotice, sistemul de ecuații ce descriu funcționarea generatorului fiind deja cunoscut, am folosit numai prima metodă de calcul.

Programul realizat în Matlab permite calculul exponenților Lyapunov în funcție de variația unui parametru al generatorului haotic, adică exponenții Lyapunov sunt calculați pentru mai multe valori ale unui singur parametru, ceilalți parametrii având valori fixate. În acest fel este posibil să se determine modul în care sistemul evoluiază pe măsură ce valoarea parametrului considerat se schimbă și domeniul de valori al parametrului pentru care sistemul are un comportament haotic.

În calculul numeric al exponenților Lyapunov trebuie avut în vedere faptul că se consideră evoluția sistemului dinamic pentru o perioadă limitată de timp, deci rezultatele obținute pentru exponenții Lyapunov se referă numai la evoluția sistemului dinamic pe durata respectivă. Chiar dacă simulările numerice au arătat că exponenții Lyapunov au o evoluție exponențială în timp către niște valori constante, rezultatele obținute trebuie privite cu atenție deoarece sistemele dinamice cu comportament haotic sunt impredictibile pe termen lung.

Cazul sistemelor dinamice unidimensionale în timp discret

Deși acest caz nu a fost considerat în prezentarea teoretică făcută, se pot calcula totuși și aici exponenții Lyapunov și prin intermediul lor se poate caracteriza un astfel de sistem ca fiind haotic sau nu.

Astfel în cazul sistemelor dinamice unidimensionale în timp discret, descrise de ecuații de tipul xn+1=f(xn) (de exemplu funcția logistică, funcția cort), pentru două stări inițiale diferite x și x+, vom avea după n iterații o diferență:

(n)=fn(x+) – fn(x) (I.35)

Dacă notăm cu , exponentul Lyapunov al acestui sistem unidimensional, putem scrie:

(I.36)

Prin logaritmare obținem:

(I.37)

Pentru suficient de mic avem:

(I.38)

La limită aproximația dispare:

(I.39)

În acest caz, al sistemelor unidimensionale, existența exponentului Lyapunov pozitiv dă un indiciu despre comportamentul haotic al sistemului.

Pentru verificarea proprietăților exponenților Lyapunov în cazul sistemelor dinamice neliniare, am calculat numeric exponentul Lyapunov al funcției logistice:

(I.40)

Din figura I.10 se observă că pentru valori ale parametrului k mai mari decât 3.5 exponentul Lyapunov al funcției logistice devine pozitiv, dar există câteva “căderi” bruște ale lui sub zero, ceea ce corespunde unor părăsiri ale regimului haotic.

O verificare rudimentară a corectitudinii calculului variației exponentului Lyapunov în funcție de parametrul k, pentru funcția logistică, se poate face prin fixarea valorii parametrului k la o anumită valoare și iterarea de un număr suficient de mare de ori a funcției logistice. Astfel iterearea de 1000 de ori funcției logistice, pentru două valori diferite ale parametrului k duce la obținerea figurilor I.11 a și b.

Spațiul fazelor (reprezentat de variabilele x[k] și x[k+1]) din figura I.11 a și b arată că apariția comportamentului haotic, pentru un sistem dinamic monodimensional în timp discret, este determinată numai de acele valori ale parametrului k pentru care exponentul Lyapunov este strict pozitiv (k=4).

Cazul sistemelor dinamice multidimensionale în timp continuu

Ca exemplu am considerat cazul circuitului Chua, al cărui comportament haotic poate fi observat atât din reprezentarea grafică a exponenților Lyapunov funcție de variația unuia din parametrii sistemului, cât și în spațiul fazelor.

Pe baza ecuațiilor ce descriu funcționarea circuitului Chua se deduce următorul sistem normat de ecuații diferențiale:

(I.41)

cu

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate:

,

iar reprezintă parametrul variabil ([5,15]).

Figurile I.12 a și b arată variația exponenților Lyapunov pe măsură ce parametrul ia valori în intervalul considerat. Este de remarcat că există mai multe valori ale parametrului pentru care există un exponent Lyapunov pozitiv ([8,12]). Totuși, trebuie subliniat că numai la acele valori ale parametrului la care există și un exponent Lyapunov apropiat de zero, circuitul Chua are un comportament haotic (figura I.13 a). Pentru <8 toți exponenții Lyapunov sunt negativi, iar în spațiul fazelor circuitul Chua converge în timp către un punct fix (figura I.13 b). Când >12, există doi exponenți Lyapunov pozitivi, dar circuitul Chua nu mai este haotic, având acum un comportament divergent în timp (figura I.13 c). Totodată, faptul că nu există un exponent Lyapunov perfect nul, ci mai degrabă unul care “oscilează” în jurul lui zero, se datorează intergrării sistemului de ecuații diferențiale (I.41) pe un interval de timp finit și nu foarte mare, trebuind să se facă acest compromis datorită timpului de calcul deja foarte mare prin considerarea parametrului pe un întreg interval de valori.

I.3 Drumurile către haos

De regulă, sistemele dinamice, ce prezintă un comportament haotic, realizează trecerea dintr-un regim nonhaotic în regimul haotic printr-un anumit regim tranzitoriu sau scenariu. Există mai multe modalități sau drumuri prin care un sistem periodic sau pseudoperiodic realizează tranziția către regimul haotic.

Cele trei mari scenarii de tranziție către haos sunt:

dublarea perioadei sau drumul lui Feigenbaum, caracterizată printr-o serie de bifurcații furcă;

intermitența haosului către haos, ce apare în imediata vecinătate a ferestrelor în care regimul haotic nu este prezent, deși în afara acestor ferestre sistemul are un comportament haotic;

cvasi-periodicitatea, ce se traduce prin bifurcații Hopf repetate.

În acest caz, noțiunea de bifurcație înseamnă că o soluție stabilă devine instabilă atunci când unul din parametrii sistemului este modificat și în același timp o nouă soluție stabilă apare.

Dublarea perioadei ca și intermitența haosului către haos se găsesc adesea în cazul sistemelor monodimensionale. Astfel, pentru a ilustra aceste două drumuri către haos, vom considera sistemul dinamic bazat pe funcția logistică definit astfel:

(I.42)

cu xn[0, 1] și k[0, 4]

I.3.1 Dublarea perioadei sau drumul lui Feingenbaum

Drumul lui Feigenbaum se traduce prin dublări de perioadă succesive pe măsură ce unul din parametrii sistemului dinamic se modifică. În cazul funcției logistice, parametrul ce se modifică este k, iar pe măsură ce k crește gradual apar din ce în ce mai multe dublări de perioadă până când sistemul intră în regimul haotic.

Pentru a explica fenomenul dublării de perioadă caracterizat printr-o bifurcație furcă vom considera mai multe intervale de valori pentru parametrul k.

1) k<1

Traiectoria {xn} converge către punctul x=0 ce se numește punct fix stabil al funcției logistice (pentru k<1).

Definiție: x* este un punct fix al sistemului descris de funcția F, dacă F(x*)=x*. În plus, x* este un punct fix stabil dacă și se numește instabil dacă .

În cazul exemplului considerat definița stabilității unui punct fix se poate traduce și geometric folosind prima bisectoare xn+1=xn. Dacă panta funcției logistice f(x) în x* este mai mică de 450, punct fix x* este stabil, iar în caz contrar punctul fix este instabil.

1<k<3

Funcția logistică are în acest caz două puncte fixe x*0=0 și x*1=(1-1/k) obținute prin rezolvarea ecuației: . Punctul x*0 este instabil pentru că iar punctul x*1 este stabil deoarece pentru k<3. Aceasta înseamnă că toate traiectoriile cu condiția inițială x0Î[0,1] converg către x*1 atunci când 1<k<3. Cu alte cuvinte fiecare traiectorie converge către un ciclu de ordinul 1 sau atractor punctual reprezentat de punctul x*1.

Pentru acest domeniu de valori al parametrului k punctul fix x*1 devine și el instabil. Traiectoria cu condiția inițială x0 converge la început în vecinătatea lui x*1, iar apoi se îndepărtează pentru a oscila între două valori x*2- și x*2+ (figura I.15). Această oscilație se numește ciclu de ordinul 2 sau atractor de perioadă 2.

Trecerea de la un ciclu de ordinul 1 la un ciclu de ordinul 2 corespunde unei bifurcații furcă (figura I.16), punctul de bifurcație fiind obținut pentru k=3.

Punctele fixe x*2- și x*2+ sunt punctele fixe ale transformării f(f(x)) fiind deci soluțiile ecuației:

(I.43)

sau

(I.44)

Rezolvând ultima ecuație obținem soluțiile (punctele fixe):

(I.45)

Cele două puncte fixe x*2- și x*2+ sunt soluții stabile ale trasformării f(f(x)) pentru deoarece:

și (I.46)

În acest caz punctele fixe x*2- și x*2+ sunt instabile, fiecare punct divizându-se în alte două puncte pentru a da naștere unui atractor de perioadă 4. Cele două noi bifurcații furcă apar pentru (figura I.17).

Procesul de dublare a perioadei se repetă pe măsură ce k crește. În figura I.17 se poate observa fenomenul de dublare a perioadei care apare pentru k=3 și .

În general, atunci când un atractor de perioadă n devine instabil, pentru k=kn, apare un alt atractor de perioadă 2n. Pentru funcția logistică, dincolo de o valoare critică, kc=3.5699456…, atractorul devine haotic.

Convergența funcției logistice către un regim haotic poate fi măsurată cu ajutorul raportului distanțelor dintre valorile succesive ale parametrului ,kn, la care apar dublări de perioadă. Pe măsură ce kn crește acest raport tinde spre o constantă numită constanta lui Feingenbaum:

(I.47)

iar kn tinde spre kc.

Observație: constanta lui Feingenbaum a fost pusă în evidență și în cazul altor sisteme dinamice la care apar bifurcații furcă, deci are un caracter general.

I.3.2 Intermitența haosului către haos

În figura I.18 este prezentată diagrama bifurcațiilor pentru funcția logistică atunci când . Se poate observa că pentru valori ale lui k mai mari decât valoarea critică, kc, în zona în care sistemul ar trebui să aibă un comportament haotic, există niște “benzi albe” numite ferestre în care nu apare nici un comportament haotic.

Fereastra cea mai importantă se situează în jurul valorii k=3.84. Cea mai mare parte a orbitelor incluse în această fereastră, determinate de condiția inițială x0 și parametrul k, converg spre un ciclu de ordinul 3. Pentru anumite valori ale lui k orbita nu converge asimptotic spre acest ciclu, dar aceste traiectorii nu sunt în general observabile. S-a găsit că această fereastră (figura I.19) începe exact atunci când .

Pentru transformarea f(f(f(x))) are trei puncte fixe notate cu , , . Se poate observa din figura I.19 că pe măsură ce parametrul k crește cele trei puncte fixe se bifurcă pentru a da fiecare naștere la alte două soluții ale ecuației f(f(f(x)))=x, soluții notate cu (+,-), (+,-), (+,-).

La fel ca în cazurile prezentate mai sus se demonstrează ca punctele +, +, + sunt puncte fixe stabile, dar celelalte trei puncte sunt puncte fixe instabile. Punctele +, +, + determină un atractor de perioadă 3 care atrage cea mai mare parte a orbitelor.

Definiție: această bifurcație care produce un punct stabil și unul instabil se numește bifurcație tangentă.

Bifurcația tangentă apare și în cazul altor ferestre ce posedă cicluri de alte ordine și este considerată ca fiind specifică scenariului de intermitență a haosului către haos.

Haosul intermitent poate fi observat atunci când parametrul k ia valori puțin mai mici decât valoarea parametrului de la care începe fereastra periodică.

Păstrând parametrul k în fereastra considerată în figura I.18, scriem pe k sub forma:

Graficele următoare arată evoluția traiectoriei {xn} pentru două valori diferite ale lui .

Cele două grafice prezentate permit să se constate că orbita generată cu funcția logistică, cu parametrul k considerat și condiția inițială x0=0.3, urmează o mișcare periodică stabilă în general, dar care se destabilizează brusc, lăsând locul unor răbufniri haotice care se sting pe măsură ce k se apropie de fereastra periodică.

Pe măsură ce k se îndepărtează de fereastra periodică, răbufnirile haotice devin din ce în ce mai frecvente, în final regimul haotic dominând din nou. Este de subliniat totuși că, deși în exemplul considerat răbufnirile haotice erau controlate prin parametrul k=k(), ele depind și de condiția inițială x0.

I.3.3 Cvasiperiodicitatea sau bifurcațiile Hopf

Fie sistemul dinamic descris de următorul sistem de ecuații în timp continuu:

(I.48)

Se observă că acest sistem are un punct fix în origine (x=0, y=0) ale cărui valori proprii sunt , unde .

Pentru <0, punctul fix este stabil. Când =0, punctul fix devine non hiperbolic și pentru >0, el este instabil. Pe de altă parte, pentru >0, există un un ciclu limită stabil dat de ecuația: .

Deci, deoarece stabilitatea punctului fix se schimbă pentru =0 și un ciclu limită este creat pentru >0, =0 este o valoare de bifurcație.

Definiție: trecerea unei perechi de valori proprii conjugate peste axa imaginară și crearea unui ciclu limită formează o bifurcație Hopf.

Bifurcațiile Hopf sunt mai puțin vizibile pe o diagramă de bifurcații, dar pot fi observate cu ușurință în spațiul fazelor. Astfel, figura I.21 a, b prezintă pentru sistemul precedent cazul în care punctul fix din origine este stabil asimptotic (figura I.21 a) și apoi spațiul fazelor după ce bifurcația Hopf s-a produs (figura I.21 b).

Observație: Prin contrast cu cele două drumuri către haos prezentate anterior, bifurcațiile Hopf nu au fost puse în evidență în cazul sistemelor unidimensionale.

În general, fie un sistem dinamic oarecare ce se află într-o stare staționară caracterizată prin existența unui punct fix. Presupunem că prin modificarea unui parametru al sistemului, acesta își pierde starea staționară pentru a oscila cu o frecvență f1 (ciclu limită) prin intermediul unei bifurcații Hopf. Dacă prin modificarea în continuare a parametrului considerat, apare o nouă bifurcație Hopf, regimul periodic se transformă într-un regim cvasiperiodic cu două frecvențe f1 și f2. În acest ultim caz în spațiul fazelor vom avea ca atractor un tor de dimensiune 2. Dacă urmează o a treia bifurcație Hopf, torul de dimensiune 2 se transformă într-un tor de dimensiune 3, căruia îi corespunde un regim cvasiperiodic cu trei frecvențe f1, f2 și f3. Dacă sistemul dinamic este în continuare perturbat, prin intermediul parametrului considerat, noul tor poate deveni instabil și regimul cvasiperiodic este înlocuit de un regim haotic.

În practică, o situație des întâlnită este aceea în care cvasiperiodicitatea apare atunci când un oscilator de frecvență f2 perturbă un sistem initial periodic cu frecvența f1. Dacă raportul frecvențelor celor două oscilatoare nu este rațional sistemul se numește cvasiperiodic. În spațiul frecvențelor, drumul către haos prin intermediul cvasiperiodicității, este reprezentat printr-o îmbogățire a armonicilor de tipul mf1+nf2. O condiție necesară este ca, plecând de la un regim periodic, sistemul să treacă prin cel puțin două bifurcații Hopf pentru a fi în regim haotic.

I.4 Analiza statistică de ordin superior

Statisticile de ordin superior (în limba engleză HOS=”higher order statistics”) sunt extensii ale statisticilor de ordinul doi și se bucură în prezent de o atenție crescândă în domeniul prelucrării semnalelor și nu numai (spe exemplu în economie, optică, seismologie). Acest interes este justificat de limitările care apar în momentul în care se studiază semnale cu distribuții de probabilitate diferite, spre exemplu, de cea gaussiană, pentru care nu mai este posibilă o caracterizare completă prin intermediul statisticii de ordinul doi.

Un astfel de caz este și cel al sistemelor dinamice al căror comportament este guvernat de legi neliniare (sistemele haotice) ce poate fi studiat numai prin aplicarea metodelor analizei statistice de ordin superior. Spre exemplu, diferențierea dintre un semnal de bandă îngustă și un semnal de bandă largă poate fi făcută ușor cu ajutorul statisticii de ordinul doi (funcția de auto-corelație sau spectrul de putere), dar în cazul în care se pune problema determinării tipurilor de mecanisme ce au determinat un anumit tip de comportament dinamic analiza statistică de ordinul doi nu mai este suficientă. Astfel, în cazul sistemelor haotice, determinarea relațiilor de fază care pot apare între diferitele componente spectrale reprezintă una din metodele de determinare a mecanismelor ce au condus la comportamentul haotic și care poate fi relevată numai de către statisticile de ordin superior. Este de remarcat că aceste relații se fază dintre componentele spectrale sunt de fapt dovada existenței bifurcațiilor Hopf.

De asemenea sunt de menționat dificultățile în interpretarea rezultatelor obținute, analiza statistică de ordin superior implicând lucrul cu funcții de două sau mai multe variabile, ceea ce îngreunează calcularea și interpretarea lor.

I.4.1 Momente de ordin superior pentru o variabilă aleatoare

Momentele sunt măsuri statistice ce caracterizează proprietățile unei variabile aleatoare. Valoarea medie (momentul de ordinul unu) și dispersia sau varianța (momentul de ordinul doi) sunt folosite pentru a caracteriza distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare, dar în cazul semnalelor generate prin mecanisme complexe, momentele de ordin superior sunt necesare pentru a caracteriza complet distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare.

Pentru o variabilă aleatoare X, vom nota funcția de densitate de probabilitate și funcția caracteristică asociate acestei variabile aleatoare astfel:

funcția de densitate de probabilitate funcția caracteristică

Cu aceste notații putem defini momentele de ordin superior sub forma:

(I.50)

unde este valoarea medie

este valoarea medie pătratică

valoarea medie cubică, etc.

Momentele de ordin mai mare sau egal decât trei sunt numite generic momente de ordin superior. Pentru o variabilă aleatoare cu distribuție de probabilitate de tip gaussian, momentele de ordin superior sunt nule, deci în cazul acestei variabile aleatoare caracterizarea ei se poate face numai prin intermediul momentelor de ordinul unu și doi.

Dacă se notează , valoarea medie, și dispersia variabilei aleatoare X, atunci, plecând de la definițiile momentelor de ordin superior, se pot defini alte măsuri statistice, similare momentelor:

(I.51)

, etc. (I.52)

Mărimile statistice corespunzătoare momentelor de ordinul 3 și 4, sunt cunoscute sub numele de skewness, respectiv kurtosis și sunt cel mai des folosite, permițând caracterizarea distribuției variabilei aleatoare pentru care au fost definite.

Astfel, skewness este o măsură a simetriei cu care sunt distribuite valorile pe care le poate lua X în jurul valorii medii. Skewness pentru o distribuție gaussiană (normală) este zero și orice distribuție simetrică va avea skewness apropiată de zero. Valori negative pentru skewness indică faptul că majoritatea valorilor variabilei aleatoare X sunt distribuite în stânga valorii medii, iar un skewness pozitiv indică distribuția valorilor în dreapta valorii medii [1].

De asemenea kurtosis permite caracterizarea distribuției variabilei aleatoare X relativ la o distribuție normală. Pentru o distribuție normală standard (m=0 și =1) kurtosis are valoarea 3, de aceea în anumite referințe kurtosis fiind definit și sub o formă normată:

(I.53)

Cu această ultimă relație, un kurtosis pozitiv indică o distribuție a valorilor lui X cu un vârf pronunțat în jurul valorii medii, un kurtosis negativ indicând o distribuție plată.

Totuși, în mod obișnuit, în analiza statistică de ordin superior, în locul momentelor, se folosește noțiunea de cumulant.

I.4.2 Cumulanții de ordin superior pentru o variabilă aleatoare

Cumulantul de ordinul n este în esență o funcție de momente de ordin mai mic sau egal decât n. Această caracterizare este însă o consecință a relației de definiție cumulantului de ordinul n, care poate fi scrisă sub forma:

(I.54)

Plecând de la această definiție, se pot demonstra relațiile de legătură între cumulanți și momente:

, (I.55)

, (I.56)

, (I.57)

, etc. (I.58)

Dacă variabila aleatoare X are valoarea medie nulă, atunci relațiile de mai sus pot fi simplificate:

(I.59)

(I.60)

(I.61)

(I.62)

Aceste ultime relații sunt de regulă folosite în mod curent, deoarece orice tip de variabilă aleatoare poate fi transformată într-o variabilă aleatoare de medie nulă prin extragerea valorii medii. Totodată este de remarcat că aceste relații definesc cumulanții de ordin superior ca niște combinații neliniare de momente, excepție făcând numai cumulantul de ordinul trei ce este egal cu momentul de ordinul trei.

Plecând de la aceste ultime relații de legătură între momente și cumulanți, se observă că dacă în plus variabila aleatoare are valoarea medie pătratică egală cu unu () atunci cumulantul de ordinul trei reprezintă chiar skewness, iar cumulantul de ordinul patru este forma normată a kurtosis. Deci folosirea cumulanților de ordinul trei și patru, pentru o variabilă aleatoare de medie nulă și valoare medie pătratică unitară, reprezintă modalitatea cea mai convenabilă de caracterizare a distribuției variabilei aleatoare.

I.4.3 Funcții moment și funcții cumulant pentru un proces aleator (caracterizarea în domeniul timp)

De la început presupunem că procesul aleator studiată este în timp continuu () și reprezintă un proces aleator ergodic, deci valorile medii temporale ale sale sunt egale cu o posibilitate oricât de apropiată de 1 de valorile medii statistice (pe ansamblul realizărilor procesului aleator). Aceste ipoteze permit simplificarea prezentării aparatului matematic, dar sunt suficiente pentru tratarea în continuare a cazurilor care ne interesează, adică studiul semnalelor cu statisticile de ordin superior.

Pentru procesul aleator considerat, funcțiile moment se definesc astfel:

, (I.63)

, (I.64)

, etc (I.65)

unde mxx() funcția moment de ordinul doi (funcția de auto-corelație)

mxxx(1,2) funcția moment de ordinul trei

mxxxx(1,2,3) funcția moment de ordinul patru, etc.

Operatorul E{ } reprezintă operatorul de mediere, în cazul general al unui proces aleator x(t) fiind definit sub forma:

(I.66)

cu fx(x) funcția de densitate de probabilitate a procesului aleator x(t).

Dacă procesul aleator x(t) este în plus și ergotic atunci în locul medierii pe ansamblul realizărilor, poate fi folosită medierea în timp:

(I.67)

Această ultimă definiție pentru operatorul de mediere justifică echivalența dintre funcția moment de ordinul doi și funcția de auto-corelație a procesului aleator ergotic x(t).

De asemenea,se observă că estimarea funcțiilor moment în origine, reprezintă chiar momentele de ordin egal cu ordinul funcției:

– valoarea medie pătratică,

– valoarea medie cubică,

– valoarea medie cuadratică, etc.

Plecând de la relațiile de legătură între cumulanți și momente, se pot defini și funcțiile cumulant pentru un proces aleator de medie nulă sub forma:

(I.68)

(I.69)

(I.70)

La fel ca în cazul funcțiilor moment, estimarea în origine a funcțiilor cumulant conduce la obținerea cumulanților.

Funcțiile cumulant, ca generalizări ale cumulanților, permit studiul proceselor aleatoare din mai multe puncte de vedere. Proprietățile acestor funcții cumulant sunt pe larg prezentate în [3], în lucrarea de față limitându-ne la a prezenta doar două dintre cele mai importante proprietăți:

1)funcțiile cumulant ale unui proces gaussian sunt identic zero.

Proprietatea este utilă pentru a vedea cât de aproape este distribuția unui proces aleator de o distribuție gaussiană.

2)dacă z(t)=x(t)+y(t), unde x(t) și y(t) sunt procese aleatoare statistic independente, atunci funcțiile cumulant funcționează ca operatori liniari:

, (I.71)

, etc. (I.72)

Din cele două proprietăți definite anterior se observă că dacă x(t) este semnalul util, iar y(t) are o distribuție gaussiană prin aplicarea funcțiilor cumulant de ordin mai mare ca 3, se suprimă acest zgomot. Aceast lucru este util în analiza semnalelor provenite din măsurători, care pot fi afectate de zgomote cu o distribuție gaussiană.

Ca o observație generală, este de remarcat că funcțiile moment și funcțiile cumulant de ordin superior sunt funcții de două sau mai multe variabile, ceea ce determină o complexitate ridicată a calculului acestor funcții și al interpretării rezultatelor. Mai mult, funcțiile moment și funcțiile cumulant de ordin superior, văzute ca generalizări ale funcției de auto-corelație pot fi definite pentru două variabile aleatoare (x(t) și y(t)), rezultând așa numitele funcții moment sau cumulant de cross-corelație. De exemplu, pentru funcțiile moment de cross-correlație avem următoarele relații de definiție:

, (I.73)

, (I.74)

, etc (I.75)

Totuși, în ciuda complexității lor, funcțiile moment de ordin superior și în special funcțiile cumulant de ordin superior reprezintă un instrument de lucru important în studiul proceselor dinamice neliniare. În cele ce urmează vom limita prezentarea teoretică numai la cazul funcțiilor moment și cumulant de auto-correlație, considerate ca fiind suficiente pentru caracterizarea semnalului haotic, respectiv a mecanismelor care au condus la apariția sa.

I.4.4 Spectre de ordin superior pentru un proces aleator (caracterizarea în domeniul frecvență)

Spectrele de ordin superior sau polispectrele sunt reprezentări în domeniul frecvențelor al funcțiilor moment sau cumulant. Plecând de la funcțiile moment sau funcțiile cumulant se pot defini polispectrele ca transformate Fourier multidimensionale, astfel:

polispectrele corespunzătoare funcțiilor moment

, (I.76)

, (I.77)

, etc. (I.78)

unde Mxx(f) este spectrul de putere

Mxxx(f1,f2) se numește bispectru

Mxxxx(f1,f2,f3) se numește trispectru, etc.

polispectrele corespunzătoare funcțiilor cumulant

, (I.79)

, (I.80)

, etc. (I.81)

Polispectrele corespunzătoare funcțiilor cumulant au aceleași denumiri ca și polispectrele corespunzătoare funcțiilor moment, lucru oarecum justificat de faptul că, dacă procesul aleator x(t) are medie nulă atunci funcțiile moment, respectiv cumulant până la ordinul trei inclusiv sunt identice.

Se poate observa cu ușurință faptul că polispectrele de ordin superior sunt generalizări ale spectrului de putere, având în plus față de acesta proprietatea de a releva relațiile de fază care pot apare între diferite componente spectrale ale procesului aleator studiat. Pentru studiul semnalelor haotice, polispectrele se constituie astfel într-un important instrument de studiu al mecanismelor neliniare ce au generat semnalul haotic.

Din necesitatea de a avea veritabile instrumente de studiu ale relațiilor de fază dintre componentele spectrale, dependența de amplitudinea procesului studiat a polispectrelor de ordin superior este înlăturată prin normarea acestora la spectrul de putere, obținându-se policoerențe:

policoerențele corespunzătoare funcțiilor moment

, (I.82)

, etc. (I.83)

unde este bicoerența

tricoerența, etc.

policoerențele corespunzătoare funcțiilor cumulant

(I.84)

(I.85)

Denumirile sunt la fel ca în cazul policoerențelor pentru funcțiile moment. În plus, notațiile pentru policoerențe au rămas la fel, acest lucru fiind caracteristic majorității lucrărilor de specialitate, deoarece numai policoerențele corespunzătoare funcțiilor cumulant sunt de regulă folosite ca instrumente de lucru. Astfel, în continuare ne vom referi la bicoerență și tricoerență subînțelegând că este vorba despre policoerențele asociate funcțiilor cumulant.

Se cunosc generalizări ale analizei statistice de ordin superior pentru calcularea bicepstrului, a polispectrelor de tip Wigner-Ville, precum și în estimarea spectrului de putere, toate aceste aplicații bazându-se pe cumulanți și pe proprietatea lor de a elimina zgomotul cu distribuție gaussiană.

I.4.5 Folosirea bicoerenței și tricoerenței pentru detectarea neliniarităților

Așa cum deja am anticipat în secțiunea anterioară, policoerențele sunt instrumente de bază pentru detectarea relațiilor de fază dintre diferitele componente spectrale ale procesului aleator studiat. Deorece policoerențele sunt funcții de două sau mai multe variabile, studiile se limitează la folosirea doar a bicoerenței și tricoerenței, fiind ineficientă calcularea policoerențelor de ordine mai mari.

În continuare va fi prezentat pe scurt mecanismul prin care policoerențele pot releva relațiile de fază dintre componentele spectrale, precum și ceea ce se întelege prin noțiunea de “cuplaje de fază” între componentele spectrale.

Deoarece bicoerența și tricoerența se calculează în general prin metode numerice, vom considera în cele ce urmează cazul unui proces aleator ergodic în timp discret, x[n]. În acest caz, formulele de definiție pentru polispectre, adaptate pentru procesele aleatoare în timp discret, au aceleași relații de definiție și notații ca și polispectrele pentru procesele aleatoare ergodice în timp continuu.

Pentru a simplifica această prezentare, vom considera numai cazurile bispectrului și trispectrului corespunzătoare momentelor de ordinul trei, respectiv patru, rezultatele putând fi apoi ușor aplicate pentru bicoerență și tricoerență, ce sunt adevăratele instrumente de studiu folosite pentru detectarea relațiilor de fază dintre componentele spectrale.

Pentru început vom rescrie coeficienții complecși ai dezvoltării în serie Fourier ai procesului aleator ergodic în timp discret x[n] sub forma:

(I.86)

În aceste condiții bispectrul capătă expresia [3]:

(I.87)

unde este componenta spectrală corespunzătoare frecvenței f1+f2.

Dacă fazele 1 și 2 ale componentelor spectrale corespunzătoare frecvențelor f1, respectiv f2 satisfac relația: 1+2=1+2, vom spune că între componentele spectrale corespunzătoare lui f1 și f2 există un cuplaj pătratic în fază ce a determinat apariția componentei spectrale corespunzătoare lui f1+f2. Se observă, din expresia bispectrului, că dacă între cele două frecvențe nu ar exista cuplajul pătratic, medierea pe un număr mare de realizări a procesului aleator, va conduce la o valoare apropiată de zero a bispectrului corespunzător celor două frecvențe. În schimb dacă există un cuplaj pătratic între cele două frecvențe, bispectrul va fi nenul și va avea o valoare absolută mare.

În mod similar, dacă scriem trispectrul sub forma:

(I.88)

vom avea valori nenule numai pentru componentele spectrale la care este îndeplinită condiția: 1+2+3=1+2+3, iar în acest caz vom spune că avem de-a face cu un cuplaj de fază de ordinul trei.

De asemenea din aceste relații reiese și necesitatea folosirii policoerențelor pentru detectarea cuplajelor de fază, deoarece valoarea polispectrelor depinde atât de gradul cuplajelor în fază între diferitele componente spectrale cât și de amplitudinea diferitelor componente spectrale, ceea ce ar putea îngreuna determinarea corectă a frecvențelor la care au loc cuplajele de fază. Pentru a obține o metodă de măsură senzitivă numai la cuplajele de fază, prin înlăturarea dependenței de amplitudinea componentelor spectrale, este necesară normarea polispectrelor la produse ale spectrelor de putere, obținând policoerențele. În cazul policoerențelor, dacă există cuplaje pătratice sau cubice între diferite componente spectrale, atunci bicoerența, respectiv tricoerența vor avea valori apropiate de unu.

Atunci când se realizează calcul numeric și reprezentarea grafică a policoerențelor, trebuie ținut cont și de simetria relațiilor ce definesc aceste policoerențele. Bicoerența este astfel complet definită în planul frecvențelor, în interiorul triunghiului (0, 0), (fN/2, fN/2) și (fN/2, 0) (figura I.22 a), unde prin fN am notat frecvența de eșantionare (frecvența Niquist), iar valorile tricoerenței sunt complet definite în spațiul frecvențelor, în interiorul tetraedrului definit de punctele: (0, 0, 0), (fN/2, fN/2, 0), (fN/2, 0, 0) și (fN/3, fN/3, fN/3) (figura I.22 b).

Bicoerența, fiind o funcție de două variabile, poate fi reprezentată în spațiul tridimensional, deși, de cele mai multe ori se preferă reprezentarea ei în planul determinat de cele două variabile (frecvențe), valorile bicoerenței fiind sugerate prin codul culorilor (roșu-valoarea maximă, albastru-valoarea minimă). Pentru tricoerență, deși este o funcție de trei variabile, reprezentarea se face similar ca în cazul bicoerenței, prin secționarea mai întâi cu un hiperplan determinat de cea de-a treia variabilă (f3=constantă), secțiunea astfel obținută, ce este o funcție de două variabile, reprezentându-se la fel ca bicoerența.

Ca o ultimă observație legată de reprezentarea grafică a bicoerenței și tricoerenței, trebuie precizat că regiunile neredundante pot fi reduse și mai mult, dacă se tine de seama de faptul că bicoerența este un detector al cuplajelor pătratice, iar tricoerența un detector al cuplajelor cubice. De exemplu, graficul bicoerenței va avea maxime importante la frecvențele f1, f2(0,fN/2), pentru care există un cuplaj pătratic de fază ce implică existența unei a treia componente spectrale la frecvența f1+f2(0,fN/2) (această componentă spectrală nu este de regulă vizibilă în graficul bicoerenței). Deoarece suma frecvențelor f1 și f2 trebuie să rămână în intervalul (0,fN/2), rezultă că în mod necesar una din cele două frecvențe trebuie să fie în intervalul (0,fN/4), această observație permițând reducerea și mai mult a regiunii neredundante a bicoerenței (figura I.23).

Cu un raționament asemănător, se poate reduce regiunea neredundantă și pentru reprezentarea grafică a tricoerenței.

Exemplu: bicoerența și tricoerența pentru oscilatorul Colpitts

Pentru a ilustra modul de aplicare al policoerențelor, am analizat cu ajutorul bicoerenței și tricoerenței una din variabilele de stare ale sistemului dinamic descris de ecuațiile:

(I.89)

unde

Acest sistem dinamic nu a fost ales întâmplător, deoarece el este descris de sistemul de ecuații diferențiale ce reprezintă forma normată a legilor lui Kirchhoff ce descriu funcționarea oscilatorului Colpitts. Acest oscilator prezintă pentru anumite valori ale parametrilor săi un comportament haotic. Prin varierea unui parametru, se poate studia felul în care sistemul dinamic reprezentat de oscilatorul Colpitts intră în haos și mai ales mecanismele neliniare ce au determinat comportamentul haotic. Acest caz al oscilatorului Colpitts este avantajos pentru ilustrarea proprietăților policoerențelor de a releva cuplajele pătratice și cubice, deoarece oscilatorul Colpitts era inițial un oscilator sinusoidal, deci ne putem aștepta la apariția cuplajelor de diferite ordine atunci când ne aflăm în apropierea regimului haotic.

Am folosit pentru studiul sistemului următoarele valori ale parametrilor sistemului dinamic ce reprezintă oscilatorul Colpitts:

=1; F=200; =-20/3; =5.5; =20/3; =2; r=0.25

Aceste valori asigură comportamentul haotic al oscilatorului Colpitts. Pentru exemplul nostru, fiind necesară urmărirea intrării în haos a sistemului dinamic considerat, am ales parametrul r ca parametru variabil, ceilalți parametrii păstrând valorile de mai sus.

Pentru valoarea parametrului r=0.3, bicoerența pentru variabila de stare x(t), este prezentată în figura I.24.

Pentru a observa mai bine componentele spectrale ale semnalului studiat, în partea superioară a figurii I.24 am reprezentat și spectrul de putere al semnalului. Totodată, din ambele spectre am eliminat componenta de curent continuu, care pentru studiul nostru nu are importanță.

Spectrul de putere pentru variabila de stare x(t) relevă existența a trei componente spectrale dominante la frecvențele normate f1/fs0.025, f2/fs0.05 și f3/fs0.075, unde prin fs am notat frecvența de eșantionare. Se observă că unul din maximele bicoerenței este situat în punctul ale cărui coordonate în planul fazelor sunt date de perechea (f1/fs, f2/fs). Cum există o componentă spectrală la f3/fs=f1/fs+f2/fs și pe baza proprietății bicoerenței de a avea valori maxime la frecvențele corespunzătoare componentelor spectrale cuplate pătratic, putem spune că f3/fs a apărut datorită cuplajului pătratic dintre f1/fs și f2/fs. Deci se poate afirma că mecanismele neliniare de tip pătratic contribuie la generarea comportamentului haotic în acest caz.

Este de remarcat totodată prezența a numeroase alte cuplaje de tip pătratic. Acestea se datorează, pe de o parte componentelor spectrale cu amplitudini mici, mai puțin vizibile în spectrul de putere din figura I.24, dar și cuplajelor de fază false care apar la frecvențe la care nu mai există componente spectrale în spectrul de putere. Aceste cuplaje false se datorează modului în care este definită bicoerența ca transformata Fourier a unui produs triplu, prezența lor fiind de altfel inerentă oricărui tip de policoerență. Rezultă de aici necesitatea comparării policoerențelor cu spectrul de putere pentru determinarea corectă a componentelor spectrale cuplate în fază.

Mărirea în continuare a valorii parametrului r (r=0.4) conduce în cazul considerat la o înmulțire a componentelor spectrale cuplate pătratic (figura I.25).

Se observă că în ambele reprezentări ale bicoerenței vârfurile la care avem cuplaje pătratice au aproximativ aceeași amplitudine, adică bicoerența este foarte puțin dependentă de amplitudinile componentelor spectrale, ceea ce arată utilitatea utilizării ei în detectarea cuplajelor pătratice între componente spectrale de amplitudini diferite.

Pentru o valori ale parametrului variabil, r, din ce în ce mai mari cuplajelele pătratice dispar, apărând în schimb cuplaje în fază de tip cubic (figura I.26).

Figura I.26 reprezintă o “tăietură” din tricoerența cuadridimesională, tăietură obținută prin fixarea celei de-a treia frecvențe la valoarea normată f3/fs=0.1, normarea făcându-se la frecvența de eșantionare, fs. Lucrările de specialitate nu dau reguli precise de alegere a valorii frecvenței f3, recomandându-se alegerea acesteia aproximativ la jumătatea benzii spectrale ocupate de semnalul studiat. Această metodă nu este singura folosită pentru alegerea celei de-a treia frecvențe, f3, deși trebuie precizat că pentru f3=0 tricoerența este egală cu bicoerența, deci valori prea mici ale frecvenței f3 pot determina reprezentări grafice ale bicoerenței și tricoerenței foarte asemănătoare. În cazul nostru bicoerența pentru aceeași valoare a parametrului r nu prezintă maxime importante, deci putem afirma că vârfurile din tricoerență sunt dovada prezenței cupajelor cubice.

În concluzie, policoerențele pot reprezenta un instrument important de analiză al mecanismelor neliniare ce au determinat comportamentul haotic, dar utilizarea lor necesită multă atenție datorită cuplajelor false de fază ce pot apare, precum și datorită faptului că policoerențele sunt funcții de două sau mai multe variabile. Pe de altă parte, policoerențele sunt un alt instrument de detectare al bifurcațiilor de tip Hopf, iar prezența mai multor cuplaje pătratice este astfel dovada prezenței regimului haotic. Astfel, pe lângă detectarea haosului, policoerențele pot avea o mare importanță deoarece, așa cum se va vedea în continuare, ele diferă de la un generator haotic la altul, deci ar putea fi privite ca o “amprentă” a semnalului haotic generat de un anumit generator haotic (descris de anumiți parametrii și anumite condiții inițiale).

Capitolul II – Generarea semnalelor haotice

II.1 Condiții generale pentru generatoarele de semnale haotice

Semnalele produse de generatoarele haotice sunt utilizate fie ca purtătoare în comunicațiile analogice, fie pentru sinteza de secvențe aleatoare pentru sistemele cu acces multiplu și diviziune in cod (Code-Division Multiple Access). Ambele aplicații impun ca semnalul generat să fie haotic și ergodic. În plus, diferitele secvențe de împrăștiere generate pentru aplicațiile CDMA trebuie să fie ortogonale și, în consecință, să prezinte valori foarte mici pentru funcția de corelație mutuală.

Secvențele haotice generate trebuie să prezinte următoarele proprietăți:

-uniformitate, adică fiecare valoare generată să aibă aceeași probabilitate

-independență, adică fiecare valoare să fie necorelată cu valorile generate anterior

În plus, pentru a asigura o împrăștiere uniformă a informației, densitatea spectrală de putere a purtătoarei haotice trebuie să fie cât mai plată, adică similară zgomotului alb.

Pentru comunicațiile analogice, în cazul demodulației noncoerente, purtătoarele haotice trebuie să aibe o funcție de autocorelație cel puțin exponențial scăzătoare, iar în cazul demodulației coerente,generatoarele haotice trebuie să fie invertibile și să asigure o comportare asimptotică unică în raport cu semnalul informațional.

Mai mult modelele pentru un generator haotic trebuie să fie simple, ușor realizabile, și robuste la variațiile statistice ale tehnologiilor de realizare.

În literatura de specialitate au fost deja raportate numeroase soluții integrate pentru implementări analogice sau digitale ale generatoarelor haotice, inclusiv cu procesoare de semnal (DSP – “Digital Signal Processor”), acest domeniu al generatoarelor haotice electronice fiind extrem de prolific în ceea ce privește tipurile de generatoare și soluțiile utilizate.

II.2 Metode în generarea semnalelor de bandă largă

În principiu, există trei posibilități de a genera semnale de bandă largă, asemănătoare zgomotelor:

Folosind surse naturale de zgomot

-rezistențe zgomotoase

-dispozitive semiconductoare

Deoarece semnalul provenit de la sursa naturală de zgomot este foarte slab, este necesară amplificarea lui.Realizarea unui nivel stabil al semnalului de ieșire și a unei forme definite a densității spectrale de putere sunt dificil de realizat în practică, astfel că acest tip de generator este utilizat mai mult în laboratoare.

Folosind generatoare de secvențe pseudoaleatoare cu registre de deplasare

Această tehnică asigură o metodă convenabilă pentru generarea unor secvențe aleatoare binare, dar semnalul generat este periodic, deci pseudoaleator. În plus posibilitățile de a schimba secvența generată sunt destul de limitate, în primul rând de perioada secvenței generate, dar și de numărul de conexiuni ce pot fi folosite pentru un registru cu un număr dat de celule de deplasare. În prezent, această tehnică este cea mai folosită în sistemele comerciale pentru generarea de secvențe pseudo-aleatoare folosite pentru accesul multiplu, dar și în criptografie.

Folosind un sistem dinamic neliniar cu comportare haotică

În acest caz este de subliniat faptul că există posibilități foarte mari de generare a unor semnale haotice diferite, atât prin modificarea structurii generatorului, dar mai ales prin modificarea condițiilor inițiale ale generatorului haotic. Față de generatorul de secvențe pseudo-aleatoare discutat anterior, în cazul de față secvențele generate sunt neperiodice și de regulă au valori continue, deși nu este exclusă nici generarea secvențelor binare plecând de la secvența cu valori continue.

II.3 Clasificarea semnalelor/generatoarelor de haos

II.3.1 Generatoare haotice în timp continuu

cu valori continue (analogice) cu valori discretizate

II.3.2 Generatoare haotice în timp discret

cu valori continue cu valori discrete

x[k]=f(x[k-1]), k cu xi

nu necesită CDA

pentru a suprima frecvența de tact este necesar un filtru suplimentar

modificarea parametrilor semnalului de ieșire se face prin ajustarea parametrilor circuitelor electronice

la frecvențe înalte sunt limitări datorită etajului S&H (Sample and Hold) precum și în realizarea funcției neliniare

x[k]=f(x[k-1]), k cu xi{0,1}

se pot integra ușor (cu excepția CDA)

necesită filtrarea secvenței de tact

permite ajustarea simplă a parametrilor semnalului generat prin programarea circuitelor digitale

se obțin semnale cu banda până la cca 100Mhz folosind CI rapide

se obțin doar secvențe pseudohaotice

II.4 Tipuri de funcții neliniare

Un sistem neliniar este caracterizat în principal de un operator sau o funcție neliniară f( ), astfel încât relația dintre semnalele de intrare și ieșire este y(t)=f(x(t)).

Există mai multe criterii de clasificare a neliniarităților:

în funcție de caracterul acestora;

în funcție de mărimea la care se referă: adică neliniarități atașate mărimilor de intrare sau ieșire;

în funcție de regimul de funcționare pe care îl determină, cum ar fi neliniarități statice (sau fără memorie) și neliniarități dinamice cu memorie (de exemplu, de tip histerezis).

În figurile II.4 și II.5 sunt reprezentate câteva din funcțiile neliniare întâlnite cel mai des în sistemele dinamice cu comportări haotice, împreună cu denumirile cu care sunt de regulă cunoscute în literatura engleză.

Capitolul III – Generatoare haotice în timp continuu

O schemă bloc generală a generatoarelor haotice în timp continuu este prezentată în figura de mai jos

Funcționarea cicuitului poate fi descrisă de un sistem de ecuații diferențiale de forma:

(III.1)

După modul de realizare a circuitelor de întârziere, generatoarele haotice analogice se împart în două mari grupe: cu circuite de întârziere realizate cu constante concentrate sau cu circuite de întârziere realizate cu constante distribuite.

Dacă T0 atunci rezultă sistemul de ecuații diferențiale (III.1) poate fi simplificat:

(III.2)

unde termenul neliniar fnelin poate fi considerat, pentru cele mai multe cazuri, liniarizabil pe porțiuni.

Schema bloc a acestor tipuri de sisteme dinamice, bazate pe ecuația (III.2) este reprezentată în figura III.2

Să considerăm cazul particular al generatorului haotic analogic din figura III.3, care conține un singur element de întârziere, iar circuitul integrator este realizat de o funcție trece jos de ordinul întâi.

Pentru generatorul haotic din figura de mai sus rezultă că:

u(t)=x(t-T)

v(t)=f(u(t)) (III.3)

Folosind normarea (scării) timpului

(III.4)

rezultă ecuația diferențiala care caracterizează regimul haotic al generatorului

(III.5)

Ecuația este greu de rezolvat analitic, dar soluția pentru poate fi obținută prin simulari numerice pentru diferite tipuri de funcții neliniare f( ) și rapoarte /T.

III.1 Generator haotic analogic simplu

Acest tip de generator reprezintă un caz particular de generator haotic deoarece în structura sa apare o sursă de tensiune sinusoidală, cu ajutorul căreia se poate controla momentul apariției mișcării haotice.

Totodată generatorul haotic analogic simplu este un caz de excepție în categoria generatoarelor haotice în timp continuu, deorece numărul variabilelor de stare este aici egal cu doi. De regulă, majoritatea lucrărilor de specialitate semnalează prezența haosului numai pentru sistemele dinamice în timp continuu cu mai mult de trei variabile de stare, acest generator haotic fiind o ilustrare tocmai a faptului că haosul poate lua forme extrem variate ce sunt greu de așezat în niște tipare stricte.

Aplicând legile lui Kirchoff pentru circuitul din figura III.4 a, se deduce următorul sistem de ecuații diferențiale:

(III.6)

unde reprezintă caracteristica elementului neliniar (figura III.4 b).

Pentru început vom integra direct sistemul (III.6), cu următoarele valori pentru elementele din structura circuitului din figura III.4 a:

R=1 k; Ga=-1.27 mS; Gb=-0.68 mS

L=10 H; C=10 pF; =60 rad/s

BP=1 V; A=0.25 V

Aceste valori asigură comportamentul haotic al circuitului considerat (figura III.5), iar integrarea numerică a sistemului (III.6), cu aceste valori, permite studierea semnalelor haotice generate atât în domeniul timp, cât și în domeniul frecvențelor (figura III.6 a și b).

Din figura III.6 b se poate observa că semnalul haotic vC(t) ocupă o bandă de aproximativ 10 MHz (0.2*fs), deci are un spectru larg, deși nu este exclusă nici obținerea unor semnale cu benzi de frecvențe și mai mari prin alegerea altor valori pentru parametrii circuitului fizic. De fapt semnalulul vC(t) are o componentă spectrală dominantă, de aproximativ 10 MHz, ce ar corespunde unei frecvențe purtătoare, pe care este modulat un semnal de bandă largă, cu banda de aproximativ 5 MHz.

Observații:- simularea numerică a sistemului de ecuații diferențiale (III.6) s-a realizat folosind condițiile inițiale vC(0)=0.1 V și iL(0)=0 A. Aceste condiții inițiale sunt asigurate, de regulă, de elementul neliniar, care este în esență un element activ, cu o caracteristică de transfer de tipul celei din figura III.4 b;

– spectrul de putere din figura III.6 b este reprezetat în decibeli, deoarece componenta continuă este aici destul de mare și celelalte componente spectrale ar fi mai puțin vizibile.

În continuare, pentru a simplifica studiul numeric al circuitului considerat, se face trecerea la un sistem de ecuații diferențiale cu mărimi normate, prin următoarele schimbări de variabilă:

Astfel, sistemul devine:

(III.7)

cu

În acest fel sistemul de ecuații diferențiale se simplifică prin reducerea numărului de parametrii ce trebuie controlați pentru a obține comportamentul haotic.

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate [4]:

=0.6; =1; a=-1.27; b=-0.68,

iar parametrul F (corespunzând amplitudinii sursei sinusoidale) l-am considerat un parametru variabil.

Prin varierea parametrului F în intervalul [0,0.7], am calculat exponenții Lyapunov ca funcții de variația acestui parametru, graficul celui mai mare exponent Lyapunov în funcție de parametrul F fiind prezentat în figura III.7.

Trebuie precizat că valoarea maximă a celui mai mare exponent Lyapunov corespunde lui F=0.25, iar acest parametru, împreună cu ceilalți parametrii normați de mai sus, reprezintă tocmai versiunile normate ale parametrilor circuitului fizic considerați inițial. Deoarece cel mai mare exponent Lyapunov este pozitiv la F=0.25, avem astfel o dovadă a comportamentului haotic al circuitului fizic cu valorile considerate inițial. Este de remarcat că există un întreg domeniu de valori în jurul lui F=0.25 pentru care există exponentul Lyapunov pozitiv, dar există și alte intervale pentru F unde mai apar “răbufniri haotice”.

Mai departe, păstrând sistemul normat de ecuații diferențiale (III.7), și cu aceleași valori pentru parametrii, am studiat cu ajutorul policoerenței mecanismele neliniare ce generează comportamentul haotic (figura III.8 a, b și figura III.9 a, b).

Bicoerențele arată clar că mecanismele neliniare sunt mai puternice în ultimul caz și este de remarcat diferența foarte mică dintre valorile parametrului în cele două cazuri, ceea ce indică o senzitivitatea mare a generatorului haotic și la valorile parametrilor săi. Valoarea parametrului F=0.25 este singura valoare la care polispectrele au valori mari, această valoare a parametrului F corespunzând și exponentului Lyapunov pozitiv cu mai mare valoare. Din aspectul bicoerenței și spectrului de putere nu se poate spune cu certitudine că există cuplaje pătratice, mai degrabă aici fiind vorba de un alt tip de mecanism neliniar. O discuție similară se poate face și pentru tricoerență.

Observație- în acest caz spectrul de putere este reprezentat fără componenta continuă și direct în mărimi normate, fără logaritmare, deoarece și polispectrele sunt reprezentate direct în mărimi normate

III.2 Circuitul Chua

Circuitul Chua [5-18] este un generator de haos de ordinul trei, conținând mai multe elemente RLC liniare și un singur uniport neliniar, a cărui caracteristică, în acest caz, este aproximată liniar pe porțiuni, așa cum este arătat în figură. Circuitul Chua reprezintă primul circuit în care în care a fost observat și studiat haosul în dispozitivele electronice. Varianta prezentată este cea cu un număr minim de elemente, existând variante în care se ia în considerare și rezistența bobinei sau apare în plus un generator de tensiune (sinusoidală de regulă), care poate duce la o formă de controlare a momentului apariției mișcării haotice și a formei atractorului.

Acest circuit a fost deja amintit în secțiunea dedicată exponenților Lyapunov, în cele ce urmează concetrându-ne asupra altui aspect din comportarea circuitelor haotice, și anume influența caracteristicii neliniare asupra comportamentului haotic. Schema de bază considerată în cazul nostru este prezentată în figura III.10.

Aplicarea legilor lui Kirchhoff circuitului de mai sus, duce la obținerea următorului sistem de ecuații diferențiale:

(III.8)

cu

Pentru moment ne vom limita numai la considerarea acestui tip simplu de neliniaritate (figura III.11), pentru a aprecia mai întâi banda de frecvențe ocupată de semnalele obținute cu acest generator haotic.

Integrarea directă a sistemului (III.8) cu următoarele valori pentru elementele din structura circuitului

VP=1V

C1=10 pF => C2=100 pF

L=10 H => R=1224,7 => Ga=-1.1 mS; Gb=-0.57157 mS

conduce la obținerea figurilor III.13 și III.14 a, b.

Observație:- simularea numerică a sistemului de ecuații diferențiale (III.8) s-a realizat folosind condițiile inițiale vC1(0)=0.1 V, vC2(0)=0 V și iL(0)=0 A.

Pentru simplificarea studiului generatorului Chua se face trecerea la un sistem de ecuații diferențiale normat, cu următoarele schimbări de variabilă:

Astfel sistemul (III.8) devine:

(III.9)

iar caracteristica elementului neliniar am considerat-o în două cazuri distincte:

Cazul 1 Cazul 2

Pentru studiul influenței caracteristicii neliniare am folosit următorii parametrii ai elementului neliniar:

Cu aceste valori, caracteristicile elementului neliniar în cele două cazuri sunt extrem de asemănătoare în jurul originii (figura III.15).

Ceilalți parametrii ai sistemului neliniar sunt =15, iar parametrul a fost considerat variabil. În literatura de specialitate s-a semnalat deja faptul că, în cazul neliniarității cubice, circuitul Chua are un comportament mai complex caracterizat de două tipuri de atractori, ce corespund lui =8.85, respectiv =10. În acest caz vom urmări cu ajutorul policoerențelor comportamentului circuitului Chua pentru cele două tipuri de neliniarități, considerând cele două valori ale parametrului menționate mai sus.

Pentru neliniaritatea liniară pe porțiuni (cazul 1), forma atractorului este aproximativ identică, deși spectrul de putere este diferit, iar bicoerența relevă existența unor cuplaje pătratice puternice numai pentru =10. Pentru neliniaritatea cubică (cazul 2), atractorii ca și spectrele de putere diferă, iar bicoerența are cuplaje pătratice numai pentru =8.85.

Modificarea tipului de neliniaritate duce la schimbări radicale în spectrul semnalului haotic (cazul 1, =10; cazul 2, =8.85), deoarece componentele dominante în cele două spectre sunt la frecvențe complet diferite.

Deși diferențele dintre neliniaritățile folosite sunt mici, spectrele sunt diferite, dar bicoerența relevă că mecanismul de generare a semnalului haotic a rămas în esență același. Bicoerențele sunt totuși diferite în cele două cazuri, deci se întrevede posibilitatea folosirii bicoerenței (policoerențelor în general) pentru recunoașterea sistemelor neliniare (a tipului de neliniaritate folosit în circuitul ce generează semnalul haotic).

Este remarcabil faptul că, în cazul circuitului Chua, numai acolo unde bicoerența arată prezența cuplajelor pătratice, spectrul semnalului haotic este larg, deci aici cuplajele pătratice sunt caracteristice semnalului haotic.

III.3 Circuit neliniar RC

Acest generator haotic [5] reprezintă un oscilator RC de ordinul trei, cu circuit defazor în scară, care conține o sursă neliniară de tensiune controlată în tensiune, aproximată de o caracteristică liniară pe porțiuni (figura III.17 a, b).

Funcționarea circuitului este descrisă de sistemul de ecuații diferențiale:

(III.10)

cu

Integrarea sistemului de ecuații (III.10) cu setul de valori

R=1 k

C=1 nF

VP=1 mV

ma=-33.03; mb=250

permite observarea comportamentului circuitului considerat în spațiul fazelor (figura III.18), precum și evoluția în timp și spectrul variabilei de stare (tensiunii) v1(t).

Observație:-sistemul de ecuații diferențiale (III.10) a fost integrat cu condițiile inițiale v1(0)=3 mV, v2(0)=0 V și v3(0)=-1 mV. În acest caz este de menționat dependența deosebită față de condițiile inițiale, deoarece un alt set de condiții inițiale poate determina ieșirea completă din regimul oscilatoriu, nu numai din regimul haotic.

– celelalte semnale obținute de la acest generator haotic (v2(t) și v3(t)) au reprezentări temporale și spectre similare cu v1(t).

Acest tip de circuit haotic, deși generează semnale cu o componentă spectrală dominantă, fiind practic destul de asemănătoare cu semnalele sinusoidale, este util pentru ilustrarea unui aspect important al generatoarelor haotice și anume imposibilitatea prezicerii pe termen lung a comportamentului haotic. Astfel la modificarea unuia din parametrii generatorului haotic, duce mai întâi la un comportament oscilatoriu, dar după un anumit timp are loc o ieșire completă din regimul oscilatoriu.

Pentru ușurarea studiului circuitului din figura III.15 a se face trecerea la un sistem de ecuații diferențiale cu mărimi normate cu următoarele schimbări de variabilă:

Acum sistemul (III.10) devine:

(III.11)

cu

Dacă se aleg valori egale pentru rezistențe și capacități, atunci, prin normare, comportarea dinamică a circuitului va depinde doar de pantele ma și mb ale aproximării liniare a caracteristicii v0=f(v3), deci studiul sistemului considerat s-a simplificat prin reducerea numărului parametrilor.

Am folosit pentru studiul sistemului valoarea:

ma=-33.03,

iar mb l-am considerat ca parametru variabil.

Pentru mb=360 inițial sistemul are un comportament aparent haotic (figura III.20 a), dar după un anumit timp acest regim este părăsit brusc (figura III.20 b). Acest comportament nu poate fi prevăzut practic decât rulând sistemul de ecuații diferențiale un timp suficient de mare, deci nici în cazul anterior, când mb=250, nu se poate avea o certitudine totală că sistemul nu va părăsi regimul haotic după un anumit timp, chiar dacă în [5] această valoarea este dată pentru sistemul haotic.

Variația celui mai mare exponent Lyapunov în funcție de parametrul mb (mb[150, 280]) arată existența unui exponent Lyapunov pozitiv pe un întreg interval de valori pentru mb, dar, din nou, calculele au fost făcute pe un interval finit de timp (0t400).

În cazul acestui generator haotic, policoerențele nu au maxime importante și de aceea am mai considerat necesară reprezentarea lor pentru acest tip de generator.

III.4 Generator haotic simplu cu structură RC

Acest circuit prezintă o structură mai complexă față de circuitul neliniar RC, prezentat anterior, elementul neliniar în acest caz fiind chiar tranzistorul cu efect de câmp – TEC-J (figura III.22).

Pentru deducerea sistemului de ecuații ce descrie funcționarea circuitului considerat, vom nota cu RX rezistența de intrare în amplificatorul operațional, iar cu K raportul .

Cu aceste notații sistemul de ecuații diferențiale dedus pe baza legilor lui Kirchhoff este:

(III.12)

unde am considerat caracteristica iJ(vC2,vC3) liniarizată pe porțiuni a tranzistorului cu efect de câmp:

(III.13)

cu iJ(vC2,vC3) curentul prin TEC-J.

Simularea numerică a sistemului de ecuații diferențiale ce descriu funcționarea circuitului fizic cu valorile

C1=400 pF; C2=C3=200 pF

R1=700

RX=70

RJ=750

VTH=-0,7 V

conduce la obținerea figurilor III.23 și III.24 a, b.

Pentru acest tip de generator spectrul semnalului haotic considerat (vC1(t)) este plat într-o bandă de frecvențe de aproximativ 3 MHz, deci poate fi considerat un spectru larg.

Observație: sistemul de ecuații (III.12) a fost integrat cu condițiile inițiale vC1(0)=0.1 V, vC2(0)=0 V și vC3(0)=0 V

Pentru următoarele calcule am trecut la un sistem de ecuații diferențiale normat, cu următoarele schimbări de variabilă:

Considerând C2=C3=C și C1=2C, sistemul normat poate fi scris sub forma:

(III.14)

, deoarece VTH<0.

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate:

K1=11; K2=0,9

iar parametrul K l-am considerat variabil.

Observație: pentru K=2 o denormare a parametrilor considerați pentru sistemul normat ar conduce la obținerea parametrilor circuitului fizic considerați anterior.

Cel mai mare exponent Lyapunov ca funcție de parametrul K (k[1.5, 2.3]) arată existența comportamentului haotic pentru un domeniu de valori în jurul lui K=2, dar cu observația că pentru K>2.1, deși cel mai mare exponent Lyapunov este pozitiv, sistemul este divergent în timp, deoarece acum suma celor trei exponenți Lyapunov este pozitivă (sistemul este deci instabil).

Spectrele de ordin superior (bicoerența și tricoerența) ale semnalului x() arată prezența cuplajelor pătratice în spectrul semnalului haotic (figura III.26 a), cuplajele cubice fiind mult mai slabe (figura III.26 b). Pe baza acestor observații se poate spune că semnalul haotic este rezultatul unor mecanisme neliniare în care caracterul pătratic este dominant, deși neliniaritățile pătratice nu sunt singurele care contribuie la comportamentul haotic al oscilatorului considerat.

III.5 Oscilatorul Rayleigh

Acest tip de oscilator reprezintă un alt exemplu de oscilator haotic cu doar două variabile de stare, în acest caz apărând și o sursă de tensiune sinusoidală ce face să se spună că avem de-a face cu un oscilator haotic nonautonom (forțat) [19].

Funcționarea acestui circuit este descrisă de sistemul de ecuații diferențiale:

(III.15)

cu

Pentru studiul circuitului fizic am folosit parametrii:

E1=1 V, E2=878 V

g3=0.5 S/V2, g1=1.542 S

L=10 H, C=2.377 F

=60.3 103 rad/s

Cu aceste valori, forma atractorului obținut, precum și forma temporală și spectrul semnalului v(t) sunt prezentate în figurile III.28 și III.29 a, b.

Observație: sistemul (III.15) a fost integrat cu condițiile inițiale v(0)=0.1 V, i(t)=0 A.

Trecerea la sistemul de ecuații diferențiale cu mărimi normate se face cu următoarele schimbări de variabilă:

Sistemul devine:

(III.16)

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate:

a=0.56946; b=0.0005;; =0.1,

iar l-am considerat ca parametru variabil (=0.9298 reprezintă varianta normată a pulsației sursei de tensiune sinusoidală din circuitul fizic).

Din figura III.30 se observă că la =0.9298 cel mai mare exponent Lyapunov este pozitiv, ceea ce constituie o dovadă a comportamentului haotic al sistemului, precum și faptul că exită un întreg domeniu de valori pentru parametrul ce ar putea asigura comportamentul haotic, lucru util atunci când se pune problema proiectării oscilatorului haotic.

Pentru =0.9298 s-au reprezentat și policoerențele, pentru a vedea contribuția cuplajelor de tip pătratic și cubic la comportamentul haotic.

Este evident că aici mecanismele neliniare pătratice au o contribuție importantă la comportamentul haotic (figura III.31 a), în timp ce cuplajele cubice practic nu există (figura III.31 b). Simulările realizate pentru alte valori ale parametrului au arătat însă că și cuplajele de ordinul trei pot apare, ceea ce constituie un indiciu al complexității comportamentului haotic.

III.6 Oscilatorul Colpitts

Să considerăm configurația clasică a unui oscilator Colpitts cu tranzistor bipolar cu joncțiuni din figura III.32 a [20-23].

Sistemul dinamic reprezentat de oscilatorul Colpitts a fost deja analizat în secțiunea dedicată detectării neliniarităților cu ajutorul policoerențelor, folosindu-se însă sistemul de ecuații diferențiale normat. În acest caz se va prezenta sistemul de ecuații diferențiale dedus pe baza legilor lui Kirchhoff, precum și modul în care s-a ajuns la sistemul de ecuații normat.

Astfel, funcționarea circuitului din figura III.32 a este descrisă de sistemul de ecuații:

(III.17)

unde, pentru simplificarea calculelor s-a considerat caracteristica iB(vBE) ca fiind liniară pe porțiuni:

La fel ca în cazul celorlalte tipuri de generatoare haotice, mai întâi am studiat funcționarea circuitului real, cu parametrii de mai jos:

F=200; VTH=0.75; RON=100

L=98.5 H; RL=35

C1=54 nF; C2=54 nF

REE=400

VCC=5V; VEE=-5V

Observație: sistemul (III.17) a fost integrat cu condițiile inițiale vCE(0)=2 V, vBE(0)=0 V și iL(0)=0 A.

Trecerea la sistemul cu mărimi normate s-a făcut cu schimbările de variabilă:

Sistemul devine:

(III.18)

, deoarece VTH este pozitiv.

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate:

=1; F=200; =-20/3; =5.5; =20/3; =2,

iar r l-am considerat parametrul variabil (r=0.25, împreună cu ceilalți parametrii normați corespund parametrilor fizici ai circuitului).

Pentru valori ale parametrului r>0.3, deși în figura III.35 cel mai mare exponent Lyapunov este pozitiv, sistemul este divergent în timp, deoarece acum există doi exponenți Lyapunov pozitivi, astfel încât suma celor trei exponenți este pozitivă. Ceea ce este important de remarcat este faptul că regimul de valori poate fi obținut pentru un întreg domeniu de valori al parametrului r, un studiu similar putând fi făcut și pentru celelalte variabile ce caracterizează sistemul normat, obținând un domeniu de valori în care pot varia parametrii generatorului astfel încât mișcarea haotică se păstrează. Deci studiul sistemului de ecuații diferențiale normat poate constitui punctul de plecare în proiectarea generatoarelor haotice, prin determinarea mai întâi a unor intervale de valori pentru parametrii normați și apoi a parametrilor fizici realizabili practic ce asigură comportamentul haotic dorit.

Exemplu: determinarea parametrilor fizici pentru oscilatorul Colpitts

Determinarea valorilor elementelor ce formează oscilatorul Colpitts (bobina, rezistența și cele două condensatoare), pe baza parametrilor normați considerați anterior (=1; F=200; =-20/3; =5.5; =20/3; =2; r=0.25), conduce la un sistem nedeterminat, lucru ce permite găsirea unor valori pentru elementele ce formează circuitul fizic realizabile tehnologic. Mai mult, nedeterminarea sistemului permite un control al spectrului semnalelor haotice generate, în sensul mărimii benzii de frecvențe ocupate de semnalul haotic.

Astfel, denormarea parametrilor de mai sus, conduce la un prim set de valori pentru parametrii fizici ai oscilatorului Colpitts de forma:

F=200, VTH=0.75 V, Ron=100 ,

VCC=5 V, VEE=-5 V

REE=400 , L=1 mH, RL=36 , C1=C2=550 nF

O a doua denormare a aceluiași set de parametrii, conduce la un set diferit de valori, deoarece avem de-a face cu un sistem nedeterminat, în care numărul necunoscutelor (parametrii fizici ai sistemului) este mai mare decât numărul ecuațiilor (dat de numărul parametrilor normați).

F=200, VTH=0.75 V, Ron=100

VCC=5 V, VEE=-5 V

REE=400 , L=1 H, RL=36 , C1=C2=550 pF

Diferența dintre cele două seturi de valori este practic numai la nivelul bobinei și condensatoarelor, care vor determina frecvența maximă a semnalelor haotice generate. Astfel, simularea cu programul PSpice a oscilatorului Colpitts, a arătat că frecvența maximă a semnalului vCE(t) este 50 kHz pentru primul set de valori, iar în cel de-al doilea caz este 50 MHz. Acest lucru era de așteptat, având în vedere formula lui Thompson (), căci al doilea set de valori este format din inductanță și capacități cu valori mult mai mici decât în primul caz. Spectrului semnalului vCE(t) pentru cele două seturi de valori este practic cel din figura III.34 b, căci mereu parametrii fizici considerați conduc la aceiași parametrii normați, diferența fiind la nivelul benzii de frecvențe ocupate și a amplitudinii semnalelor generate.

III.7 Generator haotic cu neliniaritate de tip histerezis

O întreagă familie de generatoare haotice este semnalată în literatura de specialitate pe baza neliniarității de tip histerezis [24-28]. În continuare vom considera un exemplu simplu de astfel de generator cu neliniaritate de tip histerezis, ce are pe lângă elementul neliniar și o sursă liniară de curent comandată în tensiune (figura III.36 a).

Circuitul din figură este caracterizat de sistemul ecuații:

(III.19)

unde Ia este o sursă liniară de curent controlată în tensiune, a cărei funcționare este caracterizată de relația:

IaG(v1v2) (III.20)

iar Ih este o sursă neliniară de curent controlată în tensiune, de tip histerezis, astfel încât:

(III.21)

Pentru simplificare vom considera în continuare:

R1=R2=R

C1=C2=C

Studiul comportamentului circuitului fizic este realizat cu următoarele valori:

V=1 V, I0=1 mA

R=1 k; G=3.02 mS

C=1 nF

Influența caracteristicii neliniare de tip histerezis este ușor observabilă în figurile III.37 și III.38, practic semnalul de bază fiind un semnal sinusoidal cu frecvența de aproximativ 160 kHz, modulat în amplitudine de o lege exponențială și, în plus, comutat la intervale de timp aleatoare pe două componente de curent continuu diferite. Toți acești factori determină o bandă de frecvențe destul de largă a semnalului considerat (v1(t)), ce poate fi mărită și mai mult prin alegerea unui set diferit de valori ale elementelor circuitului fizic.

Observație: sistemul de ecuații diferențiale (III.19) a fost integrat cu condițiile inițiale v1(0)=0.1 V și v2(0)=0 V, iar sursa de curent neliniară debitează inițial un curent I0=1 mA. Este de subliniat că aici și starea inițială a elementului cu histerezis poate fi considerată tot o condiție inițială.

Trecerea la sistemul cu mărimi normate se face cu următoarele schimbări de variabilă:

Sistemul devine:

(III.22)

cu .

Pornind de la sistemul normat (III.22) în [24] se indică și o metodă de determinare a soluțiilor acestui sistem. Astfel, sistemul neliniar normat de ecuații diferențiale poate fi privit ca două ecuații diferențiale liniare definite în două semispații S și S:

(III.23)

Soluțiile acestui sistem exprimate în cele două semispații S+ și S sunt:

(III.24)

Spațiul fazelor, care caracterizează acest sistem dinamic, este reprezentat în figura III.39.

În spațiul fazelor, traiectoria sistemului în semispațiul S+ se rotește divergent în jurul punctului de echilibru (p,0,1), iar în momentul atingerii pragului de comutare “sare” în semispațiul S- , rotindu-se în jurul punctului de echilibru (-p,0,-1), așa cum este ilustrat în figura anterioară.

Pentru studiul sistemului am folosit valorile normate:

p=1; =0.01

Studiul sistemului normat prin intermediul exponenților Lyapunov nu mai este posibil cu algoritmul numeric folosit până acum datorită prezenței neliniarității de tip histerezis, ce este o funcție nederivabilă, și deci Jacobianul sistemului, pe baza căruia se determină exponenții Lyapunov, nu mai poate fi calculat.

Totuși, analiza cu ajutorul policoerențelor pune în evidență prezența a numeroase cuplaje de fază (figura III.40), ceea ce poate fi privită ca o dovadă a regimului haotic.

În cazul considerat starea inițială a elementului cu histeresis a fost considerată ca fiind egală cu 1. Este de remarcat că aici forma bicoerenței este cu totul aparte și indică prezența unui mecanism neliniar specific care nu este de tip pătratic. Acest lucru ne face să credem că nici valorile mari ale tricoerenței nu indică un cuplaj de fază de tip cubic, ci mai degrabă aici avem de-a face cu un mecanism neliniar specific ce este determinat de prezența elementului cu histerezis.

Atunci când starea inițială a elementului cu histeresis este modificată în –1, spectrul de putere al semnalului se modifică, lucru ce era de așteptat, dar în plus și aspectul policoerențelor se schimbă.

Este remarcabilă diferența mare care apare între polispectre prin simpla modificare a stării inițiale a elementului cu caracteristică de tip histerezis. Diferențele sunt mai puțin vizibile în spectrul de putere, dar apar pregnant în polispectre. Practic, în funcție de starea inițială a elementului cu caracteristică de tip histerezis există două comportamente neliniare distincte, arătând importanța condiției inițiale a elementului cu histerezis asupra semnalului haotic generat.

III.8 Circuit haotic autonom cuadridimensional

Spre deosebire de generatoarele haotice prezentate până acum, ce aveau două sau trei variabile de stare, acest circuit are o structură mai complexă ce este caracterizată cu patru variabile de stare. Prezența a patru sau mai multe variabile de stare poate conduce la un comportament haotic aparte cunoscut sub numele de hiperhaos [17, 26, 29]. “Hiperhaosul” este un haos de ordin superior care este caracterizat de un atractor cu mai mult de un exponent Lyapunov pozitiv.Acest lucru are drept consecință faptul că dinamica sa se dezvoltă în mai mult de o direcție în spațiul fazelor.

Structural, generatorul haotic considerat [29] se compune din două circuite identice, ce conțin câte un element neliniar reprezentat de diode, cele două circuite fiind conectate între ele prin intermediul unui element liniar cu o caracteristică de transfer cu pantă negativă (figura III.42).

Ecuațiile de stare ce descriu funcționarea circuitului sunt:

(III.25)

unde caracteristica diodei id(v) am considerat-o, pentru simplificarea analizei, liniară pe porțiuni:

(III.26)

Pentru studiul circuitului fizic am considerat valorile:

L1=200 mH, L2=300 mH

C1=10 pF, C2=19.6 pF

E1=0.7 V, E2=2.1 V

g=1.9092 μS, G1=8.8388 μS, G2=35.355 μS

Spectrul semnalului v1(t) prezintă numeroase vârfuri, ceea ce deja ne face să intuim prezența cuplajelor de fază, ce reprezintă o “marcă” a mecanismului neliniar prin care s-a generat secvența haotică.

Observație: sistemul de ecuații diferențiale (III.25) a fost integrat cu condițiile inițiale v1(0)=0.1 V, v2(t)=0 V, v3(t)=0 V, v4(t)=0 V.

Sistemul de ecuații normate se deduce cu următoarele schimbări de variabilă:

Sistemul normat se scrie astfel sub forma:

(III.27)

cu

Am folosit pentru studiul sistemului valorile normate:

,

iar l-am considerat parametru variabil.

Reprezentarea celor patru exponenți Lyapunov în funcție de parametrul indică posibilitatea obținerii comportamentului haotic pentru anumite intervale de valori ale lui , deși hiperhaosul nu poate fi generat la nici o valoare a lui din intervalul considerat (figura III.45).

Pentru =0.17, setul de parametrii normați conduc tocmai la valorile parametrilor din circuitului fizic. La această valoare a lui , există un exponent Lyapunov pozitiv, astfel încât în continuare dorim să vedem mecanismele neliniare ce stau la baza comortamentului haotic din acest caz.

Cuplajele pătratice sunt dominante în acest caz, componenta spectrală cu amplitudinea cea mai mare (“frecvența purtătoare”) fiind cuplată în fază cu toate celelate coponente spectrale, de amplitudini mult mai mici. Totuși și tricoerența prezintă valori semnificative, ceea ce arată că din nou la generarea comportamentului haotic participă mai multe mecanisme, ce dau un caracter mult mai complex regimului haotic.

Capitolul IV – Generatoare haotice în timp discret

Aceste generatoare sunt caracterizate de ecuații cu diferențe finite, în timp discret, de tipul:

x[n+1]=f(x[n]) , n=0,1,2,… (IV.1)

unde f( ) sunt funcții neliniare (aproximate în timp discret)

De exemplu un generator haotic 1D în timp discret poate fi caracterizat de ecuația (de stare):

x[n+1]=f(x[n]) (IV.2)

și are, în consecință, schema bloc din figura IV.1.

Acest generator furnizează valori x[n],adică valori continue la momente discrete de timp.

Condițiile impuse funcției neliniare f( ) sunt:

-să fie neinversabilă

-să transforme intervalul I pe el însuși;adică f:II

-dacă xf este un punct fix al transformării,atunci

Un exemplu de principiu pentru implementarea în variantă integrată a unui generator haotic electronic 1D în timp discret este prezentat în figura IV.2.

Un semnal extern de tact (Clock) este aplicat circuitului pentru a asigura modul de lucru în pași discreți. Tensiunea de ieșire este stocată pe durata unui impuls de tact pe capacitor și reprezintă un semnal haotic în timp discret. Funcția f poate fi implementată folosind un circuit analogic neliniar, iar întreaga structură poate fi proiectată ca un circuit integrat realizabil în tehnologie CMOS [30].

IV.1 Funcția logistică (logistic map)

Este definită de o caracteristică de tip hiperbolic (figura IV.3) având următoarea expresie analitică:

, (IV.3)

k fiind un parametru ce determină, împreună cu condiția inițială, comportamentul haotic.

Acest tip de funcție a fost deja amplu studiat într-o secțiune anterioară, arătându-se complexitatea comportamentelor pe care le poate genera iterarea succesivă a acestei funcții. În continuare vom prezenta de o manieră sintetică principalele caracteristici ale semnalului haotic generat cu ajutorul acestei funcții.

Pentru studiul nostru vom fixa parametrul k la valoarea k=4, ce asigură împreună cu condiția inițială x[0]=0.1 exponentul Lyapunov pozitiv (figura I.10), deci putem afirma că semnalul generat este unul haotic.

Observație: condiția inițială considerată nu este singura ce asigură comportamentul haotic pentru valoarea considerată a parametrului k, practic aproape orice condiție inițială din domeniul x[0][0, 1]-{0.5} generând un comportament haotic.

La fel ca în cazul sistemelor haotice în timp continuu și în cazul generatoarelor 1 D în timp discret se poate reprezenta în spațiul fazelor atractorul mișcării haotice. Spațiul fazelor pentru sistemele dinamice monodimensionale se obține prin decalarea secvenței obținute cu un interval de tact și reprezentarea acesteia în funcție de secvența nedecalată. S-a obținut astfel un atractor a cărui formă reproduce caracteristica hiperbolică a funcției logistice folosită pentru generare (figura IV.4), dar tranzițiile dintre diferitele puncte de pe această caracteristică sunt efectuate de o manieră dezordonată, ce asigură caracterul de “pseudo-zgomot” al semnalului x[n] (figura IV.5 a și b).

Studiul proprietăților statistice ale semnalului x[n] le-am studiat aici sub forma distribuției de probabilitate a valorilor semnalului x[n], precum și cu ajutorul mărimilor statistice asociate variabilei aleatore ale cărei realizări sunt reprezentate de eșantioanele semnalului x[n]. Astfel, o imagine a distribuției de probabilitate a eșantioanelor lui x[n] poate fi obținută cu ajutorul histogramei (figura IV.6).

Semnalul x[n] este caracterizat de o valoare medie m=0.5 și o deviație standard =0.35. Skewness are o valoare foarte mică (skewness=0.01), arătând gradul mare de simetrie, în jurul valorii medii, a distribuției de probabilitate, iar valoarea normată a kurtosis (kurtosis*=-1.5) indică un vârf mai plat al distribuției de probabilitate la valoarea medie, față de o distribuție normală (gaussiană). Toate aceste observații sunt verificate și cu histograma din figura IV.6 ce arată în plus că eșantioanele semnalul haotic generat pe baza funcției logistice sunt grupate simetric mai ales spre extremele intervalului posibil de valori (x[n][0, 1]). Deci semnalul haotic considerat are o distribuție a valorilor diferită de cea a unui semnal aleator obișnuit (cu distribuție gaussiană), dar spectrul său este plat, foarte apropiat de cel al unui zgomot alb, gaussian.

Pe baza funcției logistice se pot găsi și alte funcții neliniare ce asigură generarea unor semnale de bandă largă (semnale haotice):

k=4, x[0]=0.1 x[0]=0.1

x[0]=0.1

Toate cele trei funcții sunt generalizări ale funcției logistice, distribuția de probabilitate a semnalelor generate (histograma), cu valorile menționate mai sus, fiind foarte asemănătoare cu distribuția de probabilitate a semnalului obținut cu funcția logistică.

Implementarea practică, sub forma unui circuit integrat, a generatorului haotic bazat pe funcția logistică

Pentru a arăta posibilitatea realizării în variantă electronică a generatorul haotic bazat pe funcția logistică, vom prezenta pe scurt în continuare schema de principiu a unui circuit integrat ce implementează varianta electronică a funcției logistice (figura IV.7).

Acest circuit, a cărui implementare este pe larg discutată în [30], are o parte partea principală formată de blocul A, a cărui funcționare este descrisă de următoarea ecuație:

(IV.4)

Ecuația (IV.4) reprezintă o caracteristică parabolică ce va aproxima ecuația logistică pentru anumite valori ale parametrilor circuitului. Tensiunile V1, V2, V3, V4 au același rol, de a asigura o aproximare cât mai bună a funcției logistice. Blocul B este un circuit de polarizare ce asigură punctul static de funcționare al schemei. Comutatoarele notate cu și funcționează în contratimp și asigură lucrul în pași discreți al circuitului. Ca semnale de ieșire pot fi oricare din tensiunile Vn sau Vn+1 ce reprezintă replicile electronice ale mărimii x[n] din formula IV.3.

Prin alegerea corespunzătoare a parametrilor circuitului se poate obține o caracteristică de tipul funcției cort, adică se poate realiza un generator haotic integrat printr-o structură relativ simplă. Astfel, se poate implementa electronic un generator de zgomot, ce poate fi ușor reproductibil și ale cărui utilizări pot merge până la folosirea în sistemele de comunicații cu spectru împrăștiat.

IV.2 Funcția cort (tent map)

Un alt exemplu de generator haotic monodimensional este constitui de funcția cort figura IV.8 ce este dată de următoarea ecuație:

(IV.5)

sau

(IV.6)

unde k este un parametru a cărui valoare determină comportamentul haotic al sistemului.

Variația exponentului Lyapunov în raport cu parametrul k[0,1] are un aspect mult mai uniform în comparație cu graficul similar de la funcția logistică, dar comportamentul haotic este evidențiat și în acest caz (figura IV.9).

Pentru 0.5<k<1 existența exponentului Lyapunov pozitiv constituie un indiciu al comportamentului haotic al funcției cort, acest lucru fiind confirmat prin obținerea unui atractor în spațiul fazelor. Pentru k1 nu mai avem un comportament haotic deoarece exponentul Lyapunov ia valori deja prea mari și funcția cort va fi divergentă în urma interărilor succesive. Pentru k=0.99 și de condiția inițială x[0]=0.1 se obține atractorul din figura IV.10, ce reproduce forma funcției generatoare (aici funcția cort).

La fel ca în cazul funcției logistice, semnalul generat cu valorile menționate, pentru funcția cort, are un aspect de semnal aleator, evidențiat atât prin evoluția sa în timp cât și prin spectrul de putere (figura IV.11 a, b).

Mai departe, pentru studierea proprietăților statistice ale secvenței obținute am reprezentat în figura IV.12 histograma eșantioanelor semnalului x[n]. Se observă că valorile secvenței haotice, x[n], au o distribuție aproximativ uniformă în intervalul [0,1], spre deosebire de valorile obținute cu funcția logistică unde erau distribuite mai mult spre extremele intervalului.

Mărimile statistice ce caracterizează semnalul x[n] au următoarele valori:

valoarea medie m=0.52

deviația standard =0.27

skewness=-0.03

kurtosis*=-1.17

Aceste mărimi statistice au valori apropiate de cele obținute la funcția logistică, deosebirea esențială dintre cele două semnale haotice fiind distribuția diferită a valorilor lor, deși totuși ambele distribuții sunt simetrice față de valoarea medie (skewness apropiat de zero) și au un vârf mai plat al distribuției de probabilitate la valoarea medie, față de o distribuție gaussiană (kurtosis normat negativ).

Există și alte tipuri de funcții neliniare ce pot avea un comportament haotic și permit obținerea unor semnale de bandă largă cu distribuții (histograme) similare cu cea a semnalului obținut cu funcția cort:

x[0]=0.1 x[0]=0.1

k=1.99, x[0]=0.1

Primele două tipuri de funcții, notate cu fT1(x) și fT2(x) pot fi privite ca niște generalizări ale funcției cort, în timp ce ultima funcție (fB(x)), cunoscută și sub numele de Bernoulli map, reprezintă un caz aparte ce cunoaște la rându-i generalizări prin intermediul cărora se pot implementa generatoare haotice cu structură de filtru AR.

Implementarea practică a generatorului haotic bazat pe funcția cort

În figura IV.13 este prezentată o schemă posibilă de implementare în variantă integrată a unui generator haotic în timp discret a cărui neliniaritate este de tipul funcției cort [30].

În primul bloc (A) există un circuit ce realizează operația de scădere a semnalelor de la intrarea sa (V2 =Vn+Vdd Va). Comparatorul, ce este un simplu amplificator operațional, determină semnalul de intrare pentru blocul B (V1 sau V2) furnizând semnalul V3 în funcție de valoarea lui Vn și a tensiunii de prag Vb. Această tensiune de prag corespunde lui xn=0.5 în ecuația (IV.6).

Cel de-al doilea bloc (B) formează un amplificator cu factorul de amplificare aproximativ egal cu 2 (Vn+1=2V3Vth+Vdd) astfel încât caracteristica circuitului, Vn+1=f(Vn), va aproxima funcția cort din (IV.5) pentru k1.

Caracteristica acestui circuit este dată de ecuația următoare:

(IV.7)

IV.3 Funcții iterative de tip Markov

Așa cum s-a văzut, există posibilitatea implementării în tehnologie integrată a generatoarelor haotice în timp discret bazate pe funcții monodimensionale. Cele două generatoare haotice prezentate se bazează pe funcția cort și funcția logistică, dar, plecând de exemplu de la funcția cort, se poate defini un întreg set de astfel de funcții liniare pe porțiuni, realizabile tehnologic, care să asigure generarea unei secvențe haotice.

Astfel, funcția f:II cu I=[a,b] se numește funcție afină de tip Markov [31] dacă există o partiție finită Y={Ik},k=1,2…N în subintervale deschise care nu au elemente comune Ik=(ak-1,ak), cu a0=a și aN=b, astfel încât:

f( ) este definită pe Ik și punctele de partiție ale lui Ik, {ai};i=0,…N, au măsura zero;

dacă f(Ik)Ij, atunci f(Ik)Ij pentru fiecare i, j;

fk=fIk este o funcție afină pentru fiecare k.

Deoarece aplicațiile în telecomunicații ale generatoarelor haotice necesită secvențe cu funcții de autocorelație care scad rapid în timp, este important ca f( ) să prezinte o cât mai mare complexitate din punctul de vedere al mișcării haotice.

Un caz limită al secvențelor cu funcții de autocorelație care scad rapid în timp este definit de așa numitele procese cu corelație de tip , a căror funcție de autocorelație este chiar funcția Dirac (). Este de menționat că, în conformitate cu teorema Wiener-Hincin, secvențele cu corelație de tip vor avea un spectru de putere de bandă largă, deci aceste secvențe sunt potrivite pentru a fi folosite în comunicațiile cu spectru împrăștiat.

Se poate demonstra că, dacă funcția Markov f( ) este o funcție dublu simetrică, adică:

f( ) este uniform distribuită;

f( ) are simetrie pară: f(a+bx)=f(x), xI,

atunci secvențele generate cu f( ) au o corelație de tip .

Pentru a putea fi realizate practic generatoare haotice bazate pe o funcție de tip Markov, este necesar ca funcția f( ) să fie structural stabilă, adică secvențele haotice generate pe baza acestei funcții să-și păstreze proprietățile statistice în cazul apariției unor perturbații impuse de limitările tehnologice.

În rândul acestor limitări tehnologice se are în vedere și domeniul maxim de valori al semnalelor obținute cu dispozitive active. Datorită acestei limitări, funcția implementată nu va avea expresia dată de f( ), ci se obține prin compunerea lui f( ) cu o caracteristică de saturație Hsat( ):

(IV.8)

unde xmin și xmax sunt nivelele minim, respectiv maxim ale semnalului reprezentat de variabila x.

În urma compunerii funcției f( ) cu caracteristica de saturație rezultă o funcție nouă h(x)=Hsat(f(x)), a cărei caracteristică se „aplatizează” atunci când x depășește domeniul [xmin, xmax]. Acest efect este ilustrat pentru funcția cort (fig. IV.14 a), definită sub forma:

(IV.9)

cu B=2, fiind una din cele mai simple exemple de funcții de tip Markov.

Parametrii B și C trebuie aleși astfel încât intervalul invariant I=[CA,C+A] să se afle în interiorul intervalului definit de limitele de saturație Isat=[xmin,xmax], altfel Hsat( ) va influența dinamica funcției originale f( ).

De aici rezultă ca în general, pentru evitarea efectului de saturație, funcțiile de tip Markov trebuie să satisfacă și condiția:

IsatI,

unde I este intervalul invariant pentru f( ), adică satisface condiția f(I)=I.

Datorită aplatizării caracteristicii f( ), în planul fazelor poate apare un punct de atracție definit de toate punctele de pe axa reală ce se află în afara intervalului Isat. În consecință funcția rezultată în urma efectului de saturație, h( ), va avea două mulțimi atractoare: una reprezentată de un atractor straniu, inerent pentru funcția cort, iar cealaltă de un punct fix, datorat nivelelor de saturație. Din punctul de vedere al implementării electronice, realizarea funcției f( ) ca generator haotic va necesita un circuit special care să asigure punctul inițial de funcționare în interiorul intervalului Isat. Pentru a evita necesitatea folosirii acestui circuit suplimentar, vom impune pentru funcțiile Markov următoarea restricție:

f(xmin),f(xmax)Isat

În figura IV.14 b este prezentată caracteristica h( ) corectată, ce satisface condițiile de mai sus. Strategia folosită pentru realizarea corecției constă în micșorarea pantelor caracteristicii h(x) inițiale, astfel încât punctele f(xmin) și f(xmax) să se afle în interiorul intervalului Isat. Dezavantajul metodei constă în faptul că în urma micșorării pantelor caracteristicii h(x) scade și amplitudinea semnalului generat.

În figura IV.15 sunt prezentate patru exemple de astfel de funcții de tip Markov, ale căror proprietăți sunt discutate în cele ce urmează.

Atractorul fiecăreia din funcțiile Markov de mai sus, precum și variația în timp și spectrul de putere al semnalelor obținute prin iterarea repetată a acestor funcții sunt prezentate comparativ în figurile IV.16, IV.17, IV.18 și IV.19.

IV.4 Generator haotic cu structură de filtru numeric recursiv

Generatoarele haotice în timp discret prezentate până acum erau toate caracterizate de prezența unui singur element de întârziere sau, cu alte cuvinte, valoarea la momentul curent depindea prin intermediul funcției neliniare numai de valoarea de la momentul anterior. Aceste structuri de generatoare haotice se pot generaliza prin introducerea unui număr arbitrar de elemente de întârziere, deși este de subliniat faptul că funcțiile neliniare utilizabile în aceste structuri trebuie să satisfacă anumite cerințe, legate în prinipal de necesitatea de a tranforma un interval de valori (finit sau infinit) într-un interval finit, asigurând astfel comportamentul stabil al sistemului (exemple de astfel de funcții neliniare sunt cele derivate din funcția Bernoulli).

Un astfel de exemplu de generator haotic în timp discret este realizat cu un filtru numeric recursiv de ordinul trei, completat cu o funcție neliniară de tip complement față de doi, este prezentat în figura IV.24 [32, 33].

Comportarea generatorului autonom cu structura de mai sus este descrisă de ecuația de stare în timp discret:

(IV.10)

iar funcția neliniară tip complement față de doi, f( ), este modelată de expresia:

, f:[-1, 1) (IV.11)

unde prin [y] am notat partea întreagă a numărului real y.

Observație: funcția neliniară tip complement față de doi transformă axa numerelor reale într-un interval de lungime doi, centrat în jurul lui zero ([-1, 1)), fiind similară ca efect cu funcția modulo față de doi (x mod 2) ce tranformă axa numerelor reale într-un interval tot de lungime doi, dar necentrat în zero ([0, 2)). Această proprietate a funcției complement față de doi este utilă atunci când se dorește obținerea directă a unor semnale fără componentă continuă folosite de exemplu ca secvențe de împrăștiere în sistemele cu spectru împrăștiat.

Am considerat pentru generatorul din figura IV.24, următorii parametrii:

c1=2, c2=1, c3=1

și condițiile inițiale x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0,1.

valoarea medie m=0

deviația standard =0.57

skewness=0.01

kurtosis=-1.2

Aici semnalul generat are un spectru larg, fără componentă continuă, având și o distribuție uniformă, aspect prin care se aseamănă cu generatoarele cu un singur element de întârziere bazate pe funcția logistică (și generalizările acesteia), precum sau pe unele din funcțiile de tip Markov. Totuși, deosebirea față de aceste generatoare este dată de prezența mai multor elemente de întârziere, prin care se poate asigura o diversitate foarte mare de generatoare haotice, respectiv de semnale generate.

Concluzii

Studiul generatoarelor haotice este un domeniu deosebit de vast și complex aflat încă în plină dezvoltare. Fără un fundament teoretic bine pus la punct și fără niște metode adecvate studiului semnalelor /generatoarelor haotice, folosirea sistemelor dinamice neliniare cu comportamente haotice în aplicațiile practice este un lucru dificil ce poate ascunde numeroase capcane.

Totuși generatoarele haotice au avantajul generării unor semnale cu caracter aleator (impredictibil) pornind de la un sistem dinamic reproductibil, deci apare posibilitatea recuperării informației „ascunse” într-un astfel de semnal, prin sincronizarea generatoarelor haotice de la emisie și recepție. Caracterul impredictibil și marea diversitate a semnalelor generate de sistemele neliniare cu comportament haotic a determinat folosirea lor în sistemele de protecție a informației, atât în aplicații criptografice dedicate, cât și în sistemele cu spectru împrăștiat, ce asigură, pe lângă secretizare, și posibilitatea realizării accesului multiplu. Avantajul utilizării generatoarelor haotice ar fi marea diversitate de semnale generate, ceea ce se traduce printr-o mare diversitate de chei criptografice, precum și rezistența mare împotriva atacurilor criptografice, proprietate determinată de caracterul neliniar al generatoarelor haotice.

Generatoarele haotice există atât în variantă analogică cât și în variantă digitală:

– generatoarele haotice analogice sunt realizate cu bobine, condensatoare și un element cu o caracteristică neliniară (de regulă un element activ realizat fie cu un tranzistor ,fie cu amplificatoare operaționale sau cu un element cu o caracteristica de tip histerezis);

generatoarele haotice în variantă discretă se realizează cu elemente de întârziere, elemente de însumare și multiplicare.

În funcție de modul de implementare a generatorului haotic, apare posibilitatea obținerii unui număr foarte mare de semnale haotice cu proprietăți statistice diferite, prin modificări foarte mici ale unuia sau mai multor parametrii ai generatorului.

Însă, pentru a fi soluții viabile în sistemele practice, modelele pentru un generator haotic trebuie să fie simple, ușor realizabile și robuste la variațiile statistice ale tehnologiilor de realizare. Pentru ilustrarea diferitelor tipuri de generatoare haotice și a metodelor de proiectare am considerat mai multe exemple de generatoare, atât în timp continuu cât și în timp discret. S-a evidențiat ca metodă importantă de proiectare a generatoarelor haotice folosirea graficelor de variație a exponenților Lyapunov în funcție de variația unui parametru, ce permite determinarea unor domenii de valori pentru parametrii sistemului dinamic în care este menținut regimul haotic.

Studiul semnalelor haotice cu statisticile de ordin superior evidențiază existența unor mecanisme neliniare specifice atât tipului de generator, cât și setului de parametrii considerați pentru generatorul respectiv. Acest aspect ar putea conduce la ideea stabilirii unei „amprente” a generatorului haotic respectiv, pe baza acestor statistici de ordin superior, deși această soluție s-ar putea dovedi prea costisitoare pentru un sistem intrus ce ar încerca decriptarea mesajului, atât datorită numărului practic infinit de combinații posibile de generatoare și parametrii, cât și datorită diferitelor metode de modulație a semnalului haotic ce pot fi folosite.

Pe de altă parte, utilizarea generatoarelor de semnale haotice (semnale neperiodice), presupune folosirea unor tehnici de sincronizare diferite de cele utilizate până acum în sistemele clasice, rezultând și necesitatea selectării acelor tipuri de generatoare haotice care se pretează cel mai bine pentru realizarea sincronizării. Realizările de sisteme cu semnale haotice ce au fost descrise în literatura de specialitate [] propun o sincronizare pe canal separat, ceea ce ar duce la o mărire suplimentară a benzii necesare transmisiei. Din acest punct de vedere, soluția codorului-decodorului autosincronizabil apare ca o posibilă rezolvare a problemei sincronizării generatoarelor haotice cu același semnal haotic ce conține și semnalul informațional. Varianta propusă necesită însă un raport semnal zgomot destul de mare, de aceea dezvoltările ulterioare ale acestui subiect ar trebui să urmărească în primul rând mărirea rezistenței acestui sistem la zgomotul pe canal, dar și implementarea coderului-decoderului cu alte tipuri de generatoare haotice.

În concluzie acest domeniu al sistemelor de comunicație cu semnale haotice este un domeniu de avangardă, aflat încă în dezvoltare și care nu și-a spus ultimul cuvânt. Generatoarele haotice se pot constitui în sisteme criptografice redutabile, deși nu sunt de neglijat nici alte domenii de aplicabilitate, cum ar fi accesul multiplu, unde se semnalează performanțe cel puțin similare cu cele ale sistemelor ce folosesc secvențe pseudoaleatoare. Respectând tendința actuală de utilizare pe scară largă a circuitelor integrate în tehnica de transmisiuni, generatoarele haotice în timp discret sunt cele mai pretabile implementărilor digitale, deși există și numeroase implementări digitale ale generatoarelor în timp continuu, tehnologia circuitelor digitale permițând și un control foarte bun al parametrilor generatoarelor. O altă variantă de implementare ar fi utilizarea procesoarelor de semnale, ce ar putea asigura pe lângă generarea semnalului haotic și funcții legate de modulare-demodulare, filtrare și detecție.

Bibliografie

[1] Angheloiu, I., Gyorfi, E., Patriciu, V., Securitatea și protecția informației în sistemele electronice de calcul, Editura Militară, București, 1986

[2] Devaney, R. L., An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley Publishing Company, second edition, 1989

[3] Boashash, B., Powers, E., J., Zoubir, A., M., Higher order statistical signal processing

[4] Murali, K., Lakshmanan, M., Chua, L. O., The simplest dissipative nonautonomous chaotic circuit, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no.6, june 1994

[5] Moegel, A., Schwarz, W., Continuous time chaos generators Chapter 5.3: Technology for multimedia, Proc. ISCAS, 1994

[6] Zhong, G., Implementation of Chua's circuit with a cubic nonlinearity, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no.12, dec., 1994

[7] Arena, P., Baglio, S., Fortuna, L., Manganaro, G., Chua's circuit can be generated by CNN cells, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 42, no. 2, feb., 1995

[8] Hartley, T., Lorenzo, C., Qammer, H., Chaos in a fractional order Chua's system, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 42, no. 8, aug., 1995

[9] Cruz, J., Chua, L., An IC chip of Chua's circuit, IEEE Transactions on circuits and systems-II: Analog and digital signal processing, vol. 40, no. 10, oct., 1993

[10] Piovaccari, A., Setti, G., A CMOS current mode Chua's diode, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[11] Itoh, M., Chua, L., Experimental study of forced Chua's oscillator, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[12] Murali, K.,Lakshmanan, M., Chaotic dynamics of the driven Chua's circuit, IEEE Transactions on circuits and systems-I:Fundamental theory and applications, vol. 40, no. 1, nov., 1993

[13] Gregg, A., Johnston, E. Derivative control of the steady state in Chua's circuit driven in the chaotic region, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 40, no. 11, nov., 1993

[14] Hosny, E. A., Sobhy, M. I., Analysis of chaotic behavior in lumped-distributed circuits applied to the time-delayed Chua's circuit, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no. 12, dec., 1994

[15] Galleany, L., Biey, M., Gilli, M., Lo Presti, L., Time frequency analisys of chaotic waveforms from Chua's oscillator, ECCTD' 99, Stresa, Italy, 1999

[16] Ogorzalek, M., Galias, Z., Dabrowski, A., Dabrowski, W. Chaotic waves and spatio-temporal patterns in large arrays of doubly-coupled Chua's circuits, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 42, no. 10, oct., 1995

[17] Kapitaniak, T., Chua, L., Zhong, G. Experimental hyperchaos in coupled Chua's circuits, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no.7, july, 1994

[18] Rodriguez-Vazquez, A., Delgado-Restituto, M. CMOS design of chaotic oscillators using state variables: a monolithic Chua's circuit, IEEE Transactions on circuits and systems-II: Analog and digital signal processing, vol. 40, no. 10, oct., 1993

[19] Inaba, N. Collapse of lost solution and chaos in a forced Rayleigh oscillator, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[20] Kennedy, M. Chaos in the Colpitts oscillator, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no. 11, nov., 1995

[21] Maggio, G., De Feo, O., Kennedy, M. An explicit expression for the amplitude of oscillation in the Colpitts oscillator, ECCTD' 99, Stresa, Italy, 1999

[22] Persic, B. Medic, I. Chaotic results of the Spice simulator ECCTD'97, Budapest, sept., 1997

[23] Maggio, G., De Feo, O., Kennedy, M. Nonlinear analysis of the Colpitts oscillator and application to design, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 46, no. 9, sept., 1999

[24] Nakagawa, S., Saito, T., An RC OTA hysteresis chaos generator, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 43, no.12, dec., 1996

[25] Nakagawa, S., Saito, T., Design and control of RC VCCS SD hysteresis chaos generators, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 45, no. 2, feb., 1998

[26] Suzuki, T., Saito, T., On fundamental bifurcations from a hysteresis hyperchaos generator, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no. 12, dec., 1994

[27] Varrientos, J., Sanchez-Sinencio, E., A 4-D chaotic oscillator based on a differential hysteresis comparator, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol.45, no.1, jan., 1998

[28] Matsubori, K., Saito, T., A four dimensional plus hysteresis chaos generator, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol.41, no. 12, dec., 1994

[29] Nishio, Y., Inaba, N., Ushida, A., Torus and chaos in a four dimensional autonomous circuit, ECCTD'97, Budapest, sept., 1997

[30] Tanaka, H., Sato, S., Nakajima, K., Integrated circuits of map chaos generators, IEICE transactions fundamentals, vol E-82 A, no 2, february 1999

[31] Delgado-Restituto, M., Rodriguez-Vasquez, A., Piecewise affine Markov maps for chaos generation in chaotic communication, ECCTD' 99, Stresa, Italy, 1999

[32] Gotz, M., Kelber, K., Schwarz, W., Discrete time chaotic encryption systems, IEEE transactions on circuits an systems, vol. 44, no. 10, 1997

[33] Kelber, K., Schwarz, W., Digital realisation of discrete time chaos generators, ECCTD'97, Budapest, sept., 1997

[34] Serbănescu, A., Comunicații de bandă largă folosind sisteme dinamice haotice, vol. I, Editura Academiei Tehnice Militare, București, 2000

[35] Kilias, T., Kutzer, K., Mogel A., Schwarz W., Applications of chaos generators, Chapter 5.4 Technology for multimedia, Proc., ISCAS, 1994

[36] Parker, T., S., Chua, L., O., Practical numerical algorithms for chaotic systems, Springer-Verlag New York Inc., 1989

[37] Kilias, T., Kutzer, K., Moegel, A. , Schwarz, W., Introduction to chaos generators, Chapter 5.1: Technology for multimedia, Proc. ISCAS, 1994

[38] Andreas, M. Schwarz W., High frequency chaos generators, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[39] Pham, C., Korehisa, M., Tanaka, M., A simple chaos generator and it's nonlinear analysis, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[40] Corti, L., De Menna, L., Miano, G., Verolino, L., Chaotic dynamics in an infinite dimensional electromagnetic system, IEEE, Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no. 11, nov., 1994

[41] Keidies, C., Mathis, W., Application of center manifolds to oscillator analysis, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, Istambul, Turkey, 1995

[42] Nishio, Y., Ushida, A., Bifurcation phenomena in chaotic circuits coupled by inductors, ECCTD'95 European conference on circuit theory & design, Istambul, Turky, 1995

[43] Noguchi, M., Suzuki, K., Mori, S., Bifurcation and chaotic phenomena in a higher dimensional ladder circuit coupled by diodes, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, 1995

[44] Ohnishi, M., Inaba, N., A singular bifurcation into instant chaos in a piecewise linear circuit , IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no. 6, june, 1994

[45] Wada, M., Nishio, Y., Ushida, A., Blowout bifurcation and riddled basin in a simple coupled chaotic circuit, ECCTD'97, Budapest, sept., 1997

[46] Saito, T., Matsumoto Y., Chaos, torus and synchronization from three coupled relaxation oscillators, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no.11, nov., 1994

[47] Delgado-Restituto, M. Rodriguez-Vasquez, A., Hardware non idealities effects on chaotic oscillators ECCTD'97, Budapest, sept.,1997

[48] Delgado-Restituto, M., Rodriguez-Vasquez, A., Design considerations for integrated continuous time chaotic oscillators, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 45, no. 4, apr., 1998

[49] Elwakil, A., Kennedy, M., Chaotic oscillator using current conveyors, ECCTD' 99, Stresa, Italy, 1999

[50] Aguirre, A., Billings, S., Model reference control of regular and chaotic dynamics in the Duffing-Ueda oscillator IEEE, Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 41, no.7, july, 1994

[51] Endo, T., Ohno, W., Ueda, Y., Explosion of strange attractors and crisis induced intermittency from a forced phase locked loop circuit: theory and experiments, ECCTD' 99, Stresa, Italy, 1999

[52] Kolumban, G., Vizvari, B., Nonlinear dynamics and chaotic behavior of the sampling phase-locked loop, IEEE, Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and application, vol. 41, no. 4, apr., 1994

[53] Hasegawa, A., Komuro, M., Endo, T., A new type of intermittency from a ring of four coupled phase-locked loops, ECCTD'97, Budapest, sept., 1997

[54] Hasegawa, A., Komuro, M., Endo, T., Igarashi, R., A new type of intermittency from a ring of four coupled phase-locked loops, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 45, no. 6, june, 1998

[55] Tanaka, H., Oishi, S., Horiuki, K., Geometric structure of mutually coupled phase-locked loops, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 43, no.6, june, 1996

[56] Shirahama, H., Fukushima, K., Yoshida, N., Taniguchi, K., Intermittent chaos in a mutually coupled PLL's system, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 45, no. 10, oct., 1998

[57] Hongtao L.,Yongbao H., Zhenya H., A chaos generator: analyses of complex dynamics of a cell equation in delayed cellular neural networks, IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental theory and applications, vol. 45, no. 2, feb., 1998

[58] Mitsubori, K., Saito, T., Dependent switched capacitor chaos generator and its synchronization, IEEE Transactions on circuits and systems-I:Fundamental theory and applications, vol.44, no.12, december, 1997

[59] Kilias, T., Kutzer, K., Schwarz, W. Discrete time chaos generators Chapter 5.2, Technology for multimedia, Proc., ISCAS, 1994

[60] Gotz, M., Kilias, T., Kutzer, K., Schwarz, W., Design of broadband generators using chaotic electronic circuits, ECCTD'95, European conference on circuit theory & design, 1995