Studiul General al Transferului de Căldură Aplicabil Motoarelor Navale

CUPRINS

INTRODUCERE

CONSIDERAȚII GENERALE

Transferul de căldură este știința proceselor spontane ireversibile ale propagării căldurii în spațiu și reprezintă schimbul de energie termică între două corpuri, două regiuni ale aceluiași corp, două fluide ca rezultat al unei diferențe de temperatură între acestea.

Ca definiție căldura constituie transferul de energie între sisteme fizico-chimice sau între diferitele părți ale aceluiași sistem, în cadrul unei transformări în care nu se efectuează lucru mecanic. Transferul de căldură are ca preocupare procese în care energia termică la parametri mai ridicați este transformată în energie termică la parametri mai coborâți. În mod curent, parametrul cu care se apreciază calitatea căldurii este temperatura, definită ca o măsură globală a intensității proceselor care determină energia internă a unui corp (agitația termică a moleculelor la lichide și gaze, vibrația atomilor și mișcarea electronilor liberi la metale etc.).

Schimbul de căldură respectă principiile termodinamicii: principiul I al termodinamicii, care exprimă legea conservării energiei, și principiul al II-lea al termodinamicii, care stabilește sensul natural al propagării căldurii, întotdeauna de la sursa cu temperatură mai ridicată la sursa cu temperatură mai coborâtă.

Transferul de căldură a pătruns într-o măsură mai mare sau mai mică, practic în toate domeniile tehnicii actuale, iar importanța lui este în continuă creștere. Legile transferului căldurii controlează proiectarea și funcționarea unei extrem de mari varietăți de aparate și instalații industriale (generatoare de abur clasice sau nucleare, focare, schimbătoare de căldură regeneratoare sau recuperatoare, de suprafață sau de amestec, reactoare nucleare etc.). De exemplu, într-o centrală termoelectrică, transferul energiei termice de la gazele de ardere fierbinți obținute prin arderea unui combustibil la apă- abur se realizează într-un generator de abur. Pentru determinarea debitului de abur produs este necesară stabilirea elementelor caracteristice ale transferului de căldură, respectiv, fără cunoașterea legilor transmisiei căldurii și a proprietăților fizice ale materialelor utilizate este imposibil de efectuat calculul dimensiunilor și suprafeței de schimb de căldură a țevilor necesare. Din punct de vedere economic, generatorul de abur trebuie să fie cât mai mic posibil, astfelîncât intensitatea transferului de căldură să aibă valori cât mai ridicate, iar din punct de vedere al siguranței în exploatare, trebuie îndeplinită condiția restrictivă ca temperatura în toate elementele componente să nu depășească limitele admisibile pentru materialele respective.

În acest context, se consideră oportună sublinierea obiectivelor principale ale transferului de căldură: în primul rând, determinarea sau asigurarea cantității de căldură schimbată în unitatea de timp în condiții date de temperatură, iar în al doilea rând, verificarea compatibilității materialelor folosite cu regimul de temperaturi la care sunt supuse. Se mentionează că un aparat schimbător de căldură reprezintă o soluție optimă din punct de vedere termic, hidraului, mecanic, economic și de siguranță în funcționare, de regulă, transfe rul de căldură fiind factorul determinant. La acestea se adaugă găsirea metodelor și procedeelor de intensificare sau, în anumite cazuri, de frânare a transferului de căldură.

Transferul de căldură are loc în trei feluri distincte: conducție, radiație și convecție. Conform definiției anterioare, numai conducția și radiația reprezintă procese de schimb de căldură datorite exclusiv unei diferențe de temperatură. Cel de-al treilea mod, convecția, este un proces mai complex, care implică în mod necesar și transferul de masă. Deoarece însă convecția realizează transferul de energie din regimuri cu temperatură mai ridicată către regimuri cu temperatură mai coborâtă, a devenit general acceptat ”transferul de căldură prin convecție” ca al treilea mod de schimb de căldură.

În mod analog transferului de căldură, transferul sau schimbul de masă se definește ca procesul spontan sau ireversibil de transfer de substanță între două regiuni cu concentrații diferite. Sensul transferului de masă este întotdeauna dinspre regiunea cu concentrație mai mare către regiunea cu concentrație mai mică. Transferul de masă se face în duă moduri distincte: prin difuzie moleculară și prin difuzie turbulentă (transfer de masă prin convecție).

În aplicațiile practice, procesele de transfer de căldură și masă se pot desfășura separat sau împreună.

1.2.MODURILE FUNDAMENTALE DE TRANSFER AL CĂLDURII.

LEGI DE BAZĂ

Așa cum sa arătat, există trei moduri distincte de transfer al căldurii :conducția, convecția și radiația. În continuare, vor fi descrise și analizate separat fiecare dintre acestea. Se menționează însă că aceste moduri de transfer al căldurii pot apărea separat sau, mai frecvent, în aplicațiile tehnice, combinate în procese complexe de schimb de căldură câte două sau la limită toate cele trei simultan.

Conducția termică este procesul de transfer al căldurii dintr-o regiune cu temperatură mai ridicată către o regiune cu temperatură mai coborâtă în interiorul unui mediu (solid, lichid sau gazos) sau între medii diferite în contact fizic direct, sub influența unei diferențe de temperatură , fără existența unei deplasări aparente a particulelor care alcătuiesc mediile respective.

Mecanismul transferului de căldură prin conducție în corpurile solide, lichide sau gazoase se desfășoară în mod diferit, și anume:

La corpurile solide nemetalice (dielectrice), conducția termică se realizează prin vibrația termică a rețelei cristaline, care poate fi considerată ca o suprapunere de unde acustice elastice. Astfel, dacă un cristal are două fețe la temperaturi diferite, energia termică este transferată prin fotoni de la fața caldă la cea rece prin radiație acustică, în mod asemănător propagării energiei în spațiu prin unde electromagnetice. Conceptul de fononi în conducția termică aste analog celui de fonon din teoria radiației electromagnetice. La trecerea prin materiale, fononii sunt atenuați datorită fenomenului de dispersie (împrăștiere), atenuarea undelor termoacustice fiind o mărime proporțională cu rezistența termică la conducție. Pentru cristalele ideale, la care dispersia fononilor lipsește, rezistența termică este coborâtă, iar conducția termică are o intensitate ridicată. În cristalele reale, datorită unor defecte de structură sau impurități, crește dispersia fononilor, iar condiția termică se reduce. În materialele amorfe, lipsite de structură simetrică sau periodică, dispersia fononilor este foarte mare, iar conducția termică foarte redusă.

La corpurile solide metalice și semiconductoare, conducția termică se realizează prin două procese: transferul de energie cu ajutorul fononilor prin unde ale rețelei și transferul de energie cu ajutorul electronilor liberi (de valență), considerați ca un gaz monoatomic perfect. Contribuția electronilor liberi este de 10-30 ori mai mare decât contribuția fononilor.

La corpurile lichide și gazoase, conducția termică se datorește la două procese: ciocnirile elastice din aproape în aproape între molecule sau atomi, poziția reciprocă a acestora rămânând însă aceeași în spațiu, și deplasarea electronilor liberi. În cazul particular al metalelor lichide și electroliților, contribuția ultimului proces este de 10-1000 ori mai mare decât la lichidele nemetalice. Gazele, având o distribuție haotică a moleculelor, realizează cel mai redus transfer de căldură prin conducție.

Conducția este singurul mecanism de transfer de căldură prin corpurile solide opace. În fluide (lichide și gaze), conducția are o anumită importanță, dar în mediile nesolide ea este, de obicei, combinată cu convecția, iar în unele cazuri și cu radiția termică.

Relația de bază a transferului de căldură prin conducție a fost propusă de Fourier și exprimă fluxul de căldură printr-un material în forma:

(1.2)

unde Q este fluxul de căldură transferat prin conducție, în W;

qs –fluxul termic unitar de suprafață, în W/m2;

– conductivitatea termică a materialului, în W/(mC);

S –aria suprafeței izoterme de schimb de căldură, măsurată perpendicular pe direcția de propagare a căldurii, în m2 ;

-dt/dx –căderea elementară de temperatură (gradientul temperaturii cu semn schimbat) în secțiunea considerată, în C/m.

Semnul minus din membrul drept exprimă faptul că sensul de propagare a căldurii este opus sensului de variație a temperaturii (conform celui de-al doilea principiu al termodinamicii).

Conductivitatea termică , exprimată în W/(mC), reprezintă coeficientul de proporționalitate din legea lui Fourier și este o proprietate fizică a materialelor, având ordinul de mărime din tabelul 1.1. Materialele cu o conductivitate termică ridicată sunt denumite conductoare, iar materialele cu o conductivitate termică coborâtă –izolante.

Tabelul 1.1

Ordinul de mărire al conductivității termice

Relația (1.2) constituie totodată cazul cel mai simplu de conducție termică unidirecțională în regim constant. Considerând astfel un perete plan cu grosimea constantă, conductivitatea termică constantă, aria suprafeței laterale S și temperaturile constante ale fețelor t1 și t2 (fig. 1.2), integrarea ecuației (1.2) prin separarea variabilelor, pentru t1t2, dă:

(1.3)

unde t= t1t2 este diferența de temperatură.

Comparând relația I=U/Re; q=t/R (1.1)cu relatia (1.2), rezultă că peretele plan considerat are ca rezistență termică la conducție:

Convecția termică reprezintăprocesul de transfer al căldurii prin acțiunea combinată a conducției termice, a acumulării de energie internă și a mișcării de amestec. Convecția este cel mai important mecanism de schimb de căldură între o suprafață solidă și un fluid (lichid sau gaz), între care există contact direct și mișcare relativă.

Transferul de căldură prin convecție (de exemplu, de la un perete mai cald la un fluid mai rece –fig. 1.2) are loc în câteva etape. Inițial, căldura trece prin conducție termică de la suprafața peretelui la particulele de fluid adiacente acestuia, ceea ce are ca efect ridicarea temperaturii și energiei interne a acestor particule de fluid; aceste procese se desfășoară în stratul de fluid de lângă perete, denumit strat limită. In continuare, aceste particule cu energie mai mare se deplasează către zone de fluid cu temperaturi mai scăzute, unde, prin amestec cu alte particule, transmit o parte din energia lor.

Convecția este astfel un proces de transfer de energie, masă și impuls. Energia este înmagazinată în particulele de fluid și transportată ca rezultat al mișcării acestora. Mecanismul procesului nu depinde direct de diferența de temperatură, dar efectul net este acela al transferului de energie în sensul scăderii temperaturii, fiind astfel considerat, alături de conducție și radiație, ca al treilea mod de schimb de căldură.

Intensitatea procesului de transmisie a căldurii prin convecție depinde în foarte mare măsură de mișcarea de amestec a fluidului. Ca urmare, studiul transferului convectiv de căldură necesită cunoașterea caracteristicilor de curgere a fluidului. În funcție de cauza mișcării, convecția este clasificată în convecție liberă sau naturală (când mișcarea de amestec este rezultatul diferențelor de densitate produse de gradienții de temperatură) și în convecție forțată (când mișcarea de amestec este rezultatul unor cauze externe, ca pompe, ventilatoare etc.).

Relația de bază a transferului de căldură prin convecție a fost propusă de Newton în 1701 și permite calculul căldurii schimbate între un fluid și suprafața unui perete:

Q=Stf –ts =St [W ;qs=Q/S=t [W/m2, (1.4)

unde:

Q –este fluxul de căldură transferat prin convecție, în W;

qs –fluxul termic unitar de suprafață, în W/m2;

-coeficientul de entul de schimb de căldură prin convecție (coeficientul de convecție, denumit uneori și conductanță termică convectivă sau coeficient de schimb de căldură prin suprafață), în W/(m2C);

t f, t s –temperatura fluidului (la o distanță suficient de mare de suprafață), respectiv, a suprafeței peretelui, în C;

t –diferența de temperatură între fluid și perete, t= t f t s, în C;

S –aria suprafeței de schimb de căldură a peretelui, în m2.

Adoptarea valorii absolute a diferenței de temperatură presupune că fluxul de căldură Q este pozitiv în sensul descreșterii temperaturii.

În tabelul 1.2 se dă ordinul de mărime a valorii coeficientului .

Tabelul 1.2

Ordinul de mărime a coeficientului de convecție

Comparând relațiile (1.1) și (1.4), rezultă expresia rezistenței termice la schimbul de căldură prin convecție:

Rconv=1/[(m2C)/W. (1.5)

Radiația termică este procesul prin care căldura este transferată de la un corp cu temperatură ridicată la un corp cu temperatură coborâtă, corpurile fiind separate în spațiu. Schimbul de căldură prin radiație se datorează naturii electromagnetice a energiei transferate sub formă de cuante de energie.

Termenul de ‘radiație’ este, în general, aplicat tuturor fenomenelor cu unde electromagnetice; în transferul de căldură prezintă interes însă numai acele fenomene care sunt rezultatul temperaturii și care pot transporta energie printr-un mediu transparent sau prin spațiu. Energia transmisă în acest fel este denumită căldură radiantă sau radiație termică.

Energia radiației termice apare pe seama energiei interne a unui corp și reprezintă oscilații electromagnetice cu lungimea de undă cuprinsă aproximativ între 0,1 și 100 m. Radiațiile termice (care se găsesc în spectrul invizibil) respectă aceleași legi ca și radiațiile luminoase (se propagă în linie dreaptă, se reflectă, se refractă, se absorb).

Schimbul de căldură prin radiație se realizează de la distanță, fără contact direct între corpuri. Fenomenul are sens dublu: un corp radiază energie, dar și absoarbe energie emisă sau reflectată de corpurile înconjurătoare. La corpurile solide și lichide, transformarea energiei electromagnetice în energie termică are loc în straturile superficiale, iar la corpurile gazoase în volum. Transferul de căldură prin radiație devine din ce în ce mai important cu creșterea temperaturi corpului. În aplicațiile tehnice ce implică temperaturi apropiate de cele ale mediului ambiant, radiația termică poate fi neglijată în comparație cu transferul de căldură prin convecție.

Relația de bază a transferului de căldură prin radiație a fost stabilită experimental de Stefan în 1879 și teoretic de Boltzmann în 1884, purtând numele de ecuația Stefan –Boltzmann. Ea exprimă fluxul de energie radiantă emis de un corp negru absolut sub forma:

Q=0ST4 [W], (1.6)

unde:

Q –este fluxul de căldură transferat prin radiație termică, în W;

0 –coeficientul de radiație al corpului negru (constanta lui Stefan –Boltzmann); 0=5,6710-8 [W/(m2K4)];

S –aria suprafeței de schimb de căldură, în m2;

T –temperatura absolută a corpului, în K.

Transferul net de energie radiantă între un corp negru cu temperatura T1 și suprafața S1 și un alt corp negru absolut cu temperatura T2T1, care îl înconjoară pe primul și a cărui suprafață absoarbe întreaga radiație termică emisă de primul corp, este dat de relația:

Q=0S1(T14 –T24) [W], (1.7)

Corpurile reale, numite corpuri cenușii, emit sau absorb fluxuri de energie radiantă inferioare corpului negru. Pentru aceste corpuri, coeficientul de radiație =0, unde 1 este o mărime adimensională, denumită factor de emisie al corpului cenușiu.

Transferul net de energie între două corpuri reale cu geometrii oarecare se exprimă prin relația de forma:

Q=0F12Sc(T14 –T24) [W], (1.8)

unde:

F12 –este o funcție care ține seama de factorii de emisie și geometriile celor două corpuri reale;

Sc –aria suprafeței de schimb de căldură de calcul.

Dacă se echivalează transferul de căldură prin radiație cu un proces de schimb de căldură prin suprafață, exprimat sub forma relației (1.4), adică:

Q=radSc(T1 –T2)=0F12Sc(T14 –T24), (1.9)

în care rad este coeficientul de schimb de căldură de suprafață prin radiație, atunci, prin analogie cu formula (1.1), se poate determina rezistența termică la schimbul de căldură prin radiație sub forma:

(1.10)

1.3. PROCESE COMBINATE DE TRANSFER DE CĂLDURĂ

Procesele de transfer de căldură care au loc în natură sunt procese complexe, în care apar simultan două sau trei din modurile fundamentale de schimb de căldură. De exemplu, transferul de căldură într-un generator de abur de la gazele de ardere la apă –abur se desfășoară în trei etape succesive: căldura este inițial transmisă prin convecție și radiație de la gazele fierbinți la peretele exterior al țevilor, apoi trece prin conducție prin peretele metalic al țevilor și, în final, este transmisă prin convecție de la peretele interior al țevilor la fluidul de răcire, apă –abur. În figura 1.3 sunt reprezentate elementele caracteristice ale transferului de căldură pentru exemplul de mai sus.

Transferul total (însumat) de la gaze la peretele țevilor, din prima etapă, se scrie în forma:

Q=Qconv,1+Qrad=conv,1S(tg –tp1)+radS(tg –tp1)=

=(conv,1+rad)S(tg –tp1)=[(tg –tp1)S]/R1 [W], (1.11)

unde tg, tp1 reprezintă temperatura gazelor, respectiv, a peretelui exterior al țevilor, iar R1=1/(conv,1+rad) este rezistența termică efectivă sau combinată a primei etape în transferul căldurii. Mărimea =conv+rad, care ține seama simultan de procesul combinat de transfer de căldură prin convecție și radiație este denumită coeficientul total de schimb de căldură prin suprafață și se exprimă în W/(m2C).

În a doua etapă, căldura trece prin conducție prin peretele metalic al țevii între temperatura exterioară a peretelui tp1 și temperatura interioară tp2, conform relației:

(1.12)

unde R2=/ este rezistența termică la conducție a peretelui metalic.

În fine, în cea de-a treia etapă, căldura este transmisă prin convecție (s-a neglijat radiația termică) de la peretele interior al țevilor cu temperatura tp2 la apă-abur cu temperatura ta, relația de calcul fiind:

(1.13)

În care R3=1/conv,2 este rezistența termică la convecție în a treia etapă.

În practică, se cunosc, de obicei, numai temperatura gazelor de ardere tg și a fluidului din țevi ta. Prin explicarea diferențelor de temperatură din relațiile (1.11) –(1.12) și însumarea algebrică, se pot elimina temperaturile intermediare tp1 și tp2, obținându-se:

(1.14)

Același rezultat poate fi obținut direct, folosind analogia electrică a transferului căldurii. Cu ajutorul schemei electrice echivalente a procesului de transfer de căldură considerat se poate determina imediat, în baza relației (1.1), expresia fluxului termic unitar de suprafață în funcție de rezistențele termice și de modul de legare al acestora:

(1.15)

care este identică cu relația (1.14). Rezistența termică R1corespunde rezistențelor R1’=1/conv,1 (la convecție) și R1’’=1/rad (la radiație) legate în derivație, iar R este rezistența termică totală.

Așa cum s-a menționat, trebuie verificată compatibilitatea materialelor folorite cu regimul de temperatură. Conform figurii 1.3, temperatura maximă a peretelui țevilor este tp1; ea se stabilește numeric din relația (1.11) și se compară cu temperatura admisibilă tadm pentru oțelul utilizat. Dacă tp1tadm, condițiile termice de funcționare sunt sigure;dacă, însă, tp1tadm, materialul nu rezistă și trebuie luate o serie de măsuri ca, de exemplu: schimbarea materialului (de regulă, cu altul mai scump), reducerea temperaturii gazelor și deci a fluxului termic (cu micșorarea sarcinii termice a generatorului de abur), intensificarea proceselor individuale de transfer de căldură.

În calculele practice, cum este cazul aparatelor schimbătoare de căldură, este convenabilă scrierea simplificată a ecuației (1.14) sub forma:

(1.16)

unde ks este un coeficient global de schimb de căldură, exprimat în W/(m2C), având valorile orientative din tabelul 1.3.

coeficientul ks ține seama simultan de toate procesele de bază de transfer de căldură care intervin în cazul considerat. Din comparația relațiilor (1.14) și (1.16), rezultă:

(1.17)

respectiv, coeficientul ks are ca semnificație fizică inversul rezistenței totale la transferul de căldură. Creșterea coeficientului ks, lucru urmărit în toate procesele de schimb de căldură, presupune reducerea rezistențelor termice ale proceselor componente de transfer de căldură.

În tabelul 1.4 sunt rezumate principalele relații de calcul utilizate în schimbul de căldură pentru diferitele moduri de transfer al căldurii.

Tabelul 1.3

Ordinul de mărime a coeficientului global de schimb de căldură ks

Tabelul 1.4

Relațiile de bază utilizate în transferul de căldură

ELEMENTE DE BAZĂ ALE CONDUCȚIEI TERMICE

ECUAȚIILE DIFERENȚIALE ALE CONDUCȚIEI TERMICE

Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoașterea distribuției temperaturii în spațiu și timp. Distribuția temperaturii se obține prin rezolvarea unor ecuații diferențiale specifice proceselor respective de schimb de căldură, ecuații stabilite, de regulă, prin scrierea bilanțurilor termice (în conformitate cu primul principiu al termodinamicii) la elementele diferențiale de volum.

Condițiile generale de desfășurare a proceselor de conducție termică se referă la stabilirea următoarelor elemente:

–materialul este omogen sau eterogen;

–materialul este izotrop sau anizotrop;

–materialul conține sau nu surse interioare de căldură cu o distribuție dată;

–regimul termic este constant sau tranzitoriu;

–propagarea căldurii are loc uni, bi sau tridirecțional.

Legea lui Fourier, menționată în capitolui 1, reprezintă ecuația de bază a conducției termice unidirecționale printr- un material cu conductivitatea termică . Ea are forma:

(2.1)

în care: Q este fluxul de căldură, în W; –conductivitatea termică a materialului, în W/(mC); S–aria suprafeței de schimb de căldură, în m2; dt/dx–gradientul temperaturii, în C/m.

Pe baza legii lui fourier se opt stabili ecuațiile diferențiale ale conducției termice.

Ecuația generală a conducției termice este ecuația transferului tridirecțional de căldură prin conducție în regim tranzitoriu, printr-un corp cu surse interioare de căldură. Ea reprezintă bilanțul termic aplicat unui element de volum într-un interval de timp dat:

Căldura acumulată] = [ Căldura intrată în ] + [Căldura necesară sau]

în corp corp prin suprafețele absorbită prin sursele

lui exterioare interioare de căldură

Se admit următoarele ipoteze simplificatoare:

–corpul este omogen și izotrop, astfel încât conductivitatea sa termică este constantă, x=y=z==const.;

–căldura specifică masică cp [J/(kgC)] și densitatea materialului [kg/m3] rămân constante în intervalul de temperatură considerat;

–în interiorul corpului există surse uniforme de căldură cu densitatea volumetrică (flux termic unitar volumetric) qv [W/m3]=const.

Difuzivitatea termică a=/cp [m2/s] reprezintă o proprietate fizică a materialelor și este raportul dintre conductivitatea termică și proprietățile materialului de acumulare a căldurii, exprimate prin căldura specifică volumetrică cp [J/(m3 C)]. Mărimea a apare în procesele termice tranzitorii și caracterizează variația în timp a temperaturii. Gradientul temperaturii în timp t/ într-un punct al unui copr este proporțional cu a, difuzivitatea termică fiind astfel o măsură a inerției termice a corpului considerat. Cu cât viteza de variație a temperaturii unui corp este mai mare cu atât difuzivitatea sa termică este mai ridicată, respectiv inerția termică mai coborâtă. În acest sens, lichidele și gazele au o difuzivitate termică coborâtă și deci o inerție termică ridicată, în timp ce metalele posedă o difuzivitate termică mare, respectiv o inerție termică redusă.

Ipoteze generale:

–corpul este neomogen și anizotrop, astfel încât conductivitatea termică a acestuia se modifică cu direcția: =(x,y,z);

–densitatea și căldura specifică a materialului sunt variabile cu temperatura: =(t), cp=cp(t);

–în interiorul corpului există surse discrete de energie plasate în punctele xi, yi, zi, generând sau absorbind cantitatea de căldură qi(xi, yi, zi, ), unde i=1, 2,…, n.

Procedând în mod analog, prin aplicarea bilanțului termic la un element de volum într-un interval de timp dat, se obține următoarea ecuație diferențială:

(2.2)

În cazul particular al corpurilor omogene și izotrope, solide sau fluide incompresibile fără frecare, cu conductivitatea termică =const., la care densitatea și căldura specifică cp nu depinde de temperatură, având surse interioare uniforme de energie cu fluxul unitar volumetric qv=const.

CONDIȚIILE DE DETREMINARE UNIVOCĂ A

PROCESELOR DE CONDUCȚIE

Ecuațiile diferențiale stabilite mai sus descriu categorii largi de fenomene de conducție termică. Considerarea unui proces particular dintr-o multitudine de procese reprezintă, din punct de vedere matematic, atașarea la ecuațiile diferențiale generale a unui set de elemente desciptive specifice procesului analizat. Aceste elemente specifice poartă numele de condiții de determinare univocă a procesului, astfel încât acestea împreună cu ecuațiile diferențiale dau o descriere fizico-matematică completă a procesului, permițând rezolvarea problemei prin metode analitice, numerice sau experimentale.

Condițiile de determinare univocă a procesului de conducție cuprind următoarele date:

Condiții geometrice, care determină forma geometrică și dimensiunile corpului în care se desfățoară procesul de conducție.

Condiții fizice, care stabilesc valorile proprietăților fizice ale corpului (conductivitatea termică, difuzivitatea termică, căldura specifică, densitatea etc.) și variația de timp și spațiu a surselor interioare de căldură.

Condiții inițiale, care determină distribuția temperaturii în interiorul corpului, la momentul inițial, =0. În cazul general, această condiție poate fi exprimată analitic sub forma: t=f(x,y,z) la =0. Cazul cel mai simplu îl constituie distribuția uniformă de temperatură în corp t=t0=const., pentru =0.

Condiții la limită sau de contur, care definesc legătura corpului cu mediul ambiant și care pot fi exprimate în mai multe moduri:

–Condițiile la limită de primul tip se referă la cunoașterea distribuției temperaturii pe suprafața corpului în fiecare moment și se exprimă, în cazul general, printr-o ecuație de forma ts=f(x, y, z, ), unde ts este temperatura suprafeței, iar x, y, z sunt coordonatele suprafeței. În cazul particular, în care temperatura suprafeței rămâne constantă pe durata desfășurării procesului de transfer de căldură, ecuația precedentă se simplifică în forma ts=const.

–Condițiile la limită de al doilea tip stabilesc valorile fluxului termic la suprafața corpului pentru orice , cu exprimarea matematică generală qsupr=f(x, y, z, ), în care qsupr este densitatea fluxului termic pe suprafața corpului în punctele de coordonate x, y, z. în cazul cel mai simplu, qsupr=const., respectiv densitatea fluxului termic rămâne constantă în timp pe întreaga suprafață a corpului.

–Condiții la limită de al treilea tip cuprind cunoașterea temperaturii mediului ambiant și legea după care se desfășoară transferul de căldură între suprafața corpului și mediul înconjurător.

Dacă se consideră o arie egală cu unitatea pe suprafața corpului, atunci, potrivit legii conservării energiei, cantitatea de căldură transferată prin conducție prin corp care traversează aria unitară este egală cu cantitatea de căldură preluată prin convecție de către fluid de pe aceeași arie unitară, adică:

(2.3)

în care transferul de căldură prin conducție a fost stabilit cu ajutorul legii lui Fourier, (dt/dx)s reprezintă gradientul de temperatură pe suprafața corpului, în direcția x normală pe suprafață.

–Condiții la limită de al patrulea tip definesc procesul de conducție între un corp sau un sistem de corpuri și mediul ambiant. Admițându-se un contact perfect între suprafețele vecine, se poate scrie egalitatea fluxurilor termice unitare prin suprafețele în contact:

(2.4)

în care 1 și 2 sunt conductivitățile termice ale celor două corpuri vecine, iar dt/dx este gradientul temperaturii pe suprafața de contact în direcție normală, pentru fiecare corp în parte. Pe suprafața de contact, pantele curbelor temperaturii îndeplinesc condiția: tg 1/tg2=2/1=const.

CONDUCTIVITATEA TERMICĂ A CORPURILOR

SOLIDE, LICHIDE ȘI GAZOASE

Conductivitatea termică este o proprietate fizică a materialului care transferă căldura prin conducție, care apare ca factor de proporționalitate în legea lui Fourier pentru conducția termică unidirecțională, fiind definită prin relația:

(2.5)

Conform ecuației (2.5), conductivitatea termică reprezintă cantitatea de căldură care traversează normal unitatea de suprafață izotermă, în unitatea de timp, la un gradient al temperaturii de 1C/m. ea se determină prin mai multe metode experimentale, între care se menționează metoda plăcii, cilindrului sau sferei, metode care se bazează pe aplicarea legii lui Fourier.

Conductivitatea termică depinde, în cazul general, de starea de agregare, de natura materialului, de temperatură și presiune. În funcție de natura corpului, ea variază în limite largi.

Din compararea valorilor lui pentru diferite materiale, se desprind următoarele concluzii:

–materialele cristaline metalice sau nemetalice au o conductivitate termică mai mare decât materialele amorfe;

–corpurile cristaline sau cu structură orientată (de exemplu, materiale fibroase) sunt anizotrope, având pentru valori diferite după axele structurii;

–impuritățile chimice din materialele cristaline reduc conductivitatea termică în comparație cu substanțele pure; astfel, metalele pure au valori mai ridicate pentru deci aliajele lor;

–valoarea conductivității termice este afectată de prezența radiațiilor radioactive și de unele prelucrări mecanice (de exemplu, prelucrarea la rece), care pot produce modificări de structură;

–metalele au, în general, conductivitatea termică mai ridicată decât corpurile nemetalice datorită diferențelor de structură și ponderii mai mari la primele materiale a transferului de energie cu ajutorul fononilor și electronilor liberi;

–pentru aceleași materiale, starea solidă, care posedă o structură mai regulată, realizează conductivități termice mai ridicate dacât starea lichidă;

–substanțele lichide au conductivități termice mai ridicate decât substanțele gazoase.

Principalul parametru de stare care afectează conductivitatea termică este temperatura. Astfel, pentru corpurile solide, deși dependența de temperatură poate fi considerată mai exact prin relații polinomiale, în majoritatea cazurilor, se preferă exprimarea variației liniare a lui cu temperatura sub forma:

(2.6)

unde:

–t, 0 sunt conductivitatea termică a materialului la temperatura t, respectiv la temperatura de referință t0, în W/(mC);

–t este temperatura materialului în punctul în care se determină conductivitatea termică, în C;

– este coeficientul de temperatură dependent de natura materialului, în 1/C.

De regulă, în relația (2.6), se adoptă ca temperatură de referință t0=0C, astfel încât:

(2.7)

Semnul plus sau minus din aceste relații depinde de natura corpului solid. La majoritatea materialelor (de construcție, refractare, termoizolante, cele mai multe dintre materiale), coeficientul este pozitiv, marcând o creștere a conductivității termice cu temperatura.

La gaze, dependența conductivității termice de temperatură se poate exprima în forma:

(2.8)

unde 0 este conductivitatea termică la temperatura T0=273 K, în W/mK;

T–temperatura absolută, în K.

CONDUCȚIA TERMICĂ UNIDIRECȚIONALĂ

ÎN REGIM CONSTANT

CORPURI OMOGENE CU FORME GEOMETRICE SIMPLE, FĂRĂ SURSE INTERIOARE DE CĂLDURĂ

3.1.1. PERETE PLAN

Condiții la limită de primul tip. Se consideră un perete cu fețe plane paralele (fig. 3.1), alcătuit dintr-un material omogen de grosime și conductivitate termică =const. Fețele peretelui au temperaturile constante tp1 și tp2 și suprafața de schimb de căldură S. Dacă se admite tp1tp2 și că dimensiunile suprafeței Ssunt mult mai mari decât , pentru a se putea neglija efectele de margine ale peretelui concretizate în neuniformități ale câmpului de temperatură, rezultă că suprafețele izoterme sunt reprezentate de suprafețe plane paralele cu fețele peretelui și că propagarea căldurii se face în direcția x normală pe suprafața peretelui.

Mărimile necunoscute sunt: fluxul de căldură Q, densitatea fluxului termic de suprafață qs, distribuția temperaturii în perete t=t(x), rezistența termică a peretelui. Indicele s arată că mărimile respective se referă sau sunt raportate la unitatea de suprafață (1 m2).

Cazul =const. (ulterior se va admite și ipoteza variabil cu temperatura) este reprezentat în aplicațiile practice de valoare medie a conductivității termice determinată la temperatura medie în corp.

Se consideră legea lui Fourier pentru conducția unidirecțională:

Q=-S(dt/dx); qs=Q/S=-(dt/dx). (3.1)

Prin separarea variabilelor, se obține ecuația diferențială:

qsdx=-dt, (3.2)

care se integrează direct între limitele (condiții la limită de primul tip, referitoare la cunoașterea distribuției temperaturii pe suprafața corpului):

-pentru x=0, temperatura t=tp1;

-pentru x=, temperatura t=tp2, rezultând:

qs=(tp1 -tp2).

Fluxul termic unitar de suprafață prin perete este:

qs= /(tp1 –tp2) [W/m2], (3.3)

iar fluxul de căldură transmis prin întregul perete:

Q=qsS=/(tp1 –tp2)S [W].

Comparând ecuațiile (3.3) și (1.1), rezultă expresia rezistenței termice la transferul de căldură printr-un perete plan omogen:

Rs,cond=/ [(m2C)/W], (3.4)

mărimea / reprezentând conductanța termică a peretelui.

Pentru a obține distribuția temperaturii în perete t=t(x), unde 0x, se integrează din nou ecuația (3.2) între limitele 0 și x, respectiv tp1 și t(x), în aceeași ipoteză =const., rezultând:

qsx=[tp1 –t(x)],

de unde, ținând seama și de expresia (3.3), se obține:

t(x)=tp1 –qs/x=tp1 –(tp1 –tp2)/x [C]. (3.5)

Ultima relație se mai pune și sub forma:

(3.6)

Ultimele relații arată că distribuția temperaturii în peretele plan este liniară cu distanța, respectiv, căderile de temperatură pe fiecare strat sunt direct proporționale cu grosimile straturilor considerate (sau cu rezistențele termice ale straturilor respective).

Condiții la limită de-al treilea tip. Așa cum sa menționat, transferul căldurii între două fluide, care din punct de vedere tehnologic nu trebuie să vină în contact unul cu altul, se face printr-un perete despărțitor, fapt care necesită rezolvarea ecuației conducției pe baza condițiilor de contur privind transferul căldurii între suprafețele peretelui și cele două fluide (condiții la limită de-al treilea tip).

Se consideră astfel, unperete plan omogen cu fețe paralele, cu grosimea constantă și conductivitate termică =const. Prin perete se transferă căldură de la un fluid cald cu temperatura tf1 la un fluid rece cu temperatura tf2, coeficienții respectivi de schimb de căldură prin convecție între fluide și suprafețele peretelui 1 și 2 fiind constanți. Dacă suprafața peretelui S are dimensiunile mult mai mari decât , fețele paralele ale peretelui sunt suprafețe izoterme, iar propagarea căldurii se face unidirecțional, normal pe suprafața peretelui. Se cere determinarea fluxului de căldură Q, a fluxului unitar de suprafață qs și a temperaturilor suprafețelor peretelui tp1 ți tp2.

În absența surselor interioare de căldură (qv=0), fluxul unitar care se transmite prin convecție de la fluidul cald la suprafața peretelui este egal cu fluxul unitar transmis prin conducție prin perete și, evident, egal cu fluxul unitar transmis prin convecție de la suprafața peretelui la fluidul rece:

qs=1(tf1 –tf2)=/(tp1 –tp2)=2(tp2 –tf2), (3.7)

în care transferul de căldură prin convecție s-a exprimat cu ajutorul legii lui Newton.

3.1.2. PERETELE CILINDRIC

Condiții la limită de primul tip. Se consideră un perete cilindric tubular (fig. 3.1), cu raza interioară r1 (diametrul d1), raza exterioară r2 (diametrul d2) și lungimea l mult mai mare decât razele r1 sau r2, alcătuit dintr-un material omogen cu conductivitatea termică =const. Temperatura suprafeței interioare a peretelui este tp1, iar a celei exterioare tp2; se admite tp1tp2. Deoarece lr1, r2 se pot neglija efectele de capăt ale tubului, astfel încât suprafețele izoterme sunt suprafețe cilindrice concentrice de rază r (r1 r r2), iar propagarea căldurii se poate considera din punct de vedere matematic ca unidirecțională (în direcție radială), cu gradientul temperaturii dt/dr.

La suprafețele cilindrice, utilizarea fluxului unitar de suprafață qs [W/m2] are dezavantajul variației acestei mărimi cu diametrul suprafeței cilindrice. Din această cauză, la aceste suprafețe, se preferă calculul transferului de căldură cu ajutorul fluxului unitar liniar ql [W/m], definit prin relația:

(3.8)

Pentru un perete cilindric, legătura între mărimile qs și ql este:

ql=qs1d1=qs2d2=qsd, (3.9)

unde qs1, qs2 și qs reprezintă fluxul unitar de suprafață, în W/m2, corespunzător suprafeței cilindrice cu diametrul interior d1, diametrul exterior d2, respectiv diametrul d, unde d1 d d2; diametrele se exprimă în m.

Distribuția temperaturii în peretele cilindric pentru cazul =(t) este arătată în figura 3.2; abaterea față de distribuția logaritmică corespunzătoare cazului =const. Depinde de valoarea și semnul coeficientului de temperatură .

În tabelul 3.1 se dau pentru peretele plan și cilindric, în ipoteza qv=0, principalele relații pentru calculul conducției termice, în regim constant, cu condiții la limită de pimul tip.

Condiții la lmită de-al treilea tip. Se consideră un perete cilindric omogen cu diametrul interior d1, diametrul exterior d2, lungimea ld1, d2, cu conductivitatea termică constantă . În interiorul tubului cilindric se găsește un fluid cald cu temperatura tf1, iar în exterior un fluid rece cu temperatura tf2; coeficienții corespunzători de schimb de căldură prin convecție sunt 1 și 2 constanți. Pentru acest caz de propagare unidirecțională a căldurii se cere determinarea fluxului de căldurăQ și a fluxului termic unitar liniar ql.

Fluxul de căldură Q transferat cu temperatura tf și suprafața unui perete cilindric cu temperatura tp (de exemplu, tf tp) se determină cu legea lui Newton:

Q=S(tf –tp)=(dl)(tf –tp) [W], (3.9)

în care S=dl [m2] este suprafața peretelui cilindric, în m2, iar -coeficientul de schimb de căldură prin convecție, în W/(m2C).

Fluxul unitar liniar este:

Ql=Q/l=d(tf –tp) [W/m]. (3.10)

Comparând această relație cu formula lui Ohm (1.1) aplicată transferului căldurii prin peretele cilindric:

ql=t/Rl,conv.=(tf –tp)/Rl,conv. [W/m], (3.11)

se obține expresia rezistenței termice la transferul căldurii prin convecție la peretele cilindric:

Rl,conv.=1/d [(mC)/W]. (3.12)

Tabelul 3.1

Mărimi și relații de bază în calculul conducției termice, în regim constant, prin corpuri geometrice simple, fără surse interioare de căldură, în ipoteza =const. (condiții la limită de primul tip).

3.1.3. PERETE SFERIC

Condiții la limită de primul tip. Se consideră un perete sferic (sferă goală în interior), cu raza interioară r1, raza exterioară r2, alcătuit dintr-un material omogen cu conductivitate termică =const. Temperatura suprafeței interioare este tp1, iar a celei exterioare este tp2. Se admite, de exemplu, tp1tp2. Suprafețele izoterme sunt reprezentate de suprafețe sferice concentrice, astfel încât propagarea căldurii se poate considera din punct de vedere matematic ca unidirecțională (în direcție radială), gradientul temperaturii fiind dt/dr.

Ecuația diferențială a conducției unidirecționale prin peretele sferic (legea lui Fourier) este:

Q= -S(dt/dr)= -(4r2)(dt/dr) [W], (3.13)

unde S=4r2 reprezintă suprafața sferică de schimb de căldură. Prin separarea variabilelor, rezultă ecuația:

-dt =Q/4dr/r2 (3.14)

Condiții la limită de-al treilea tip. În acest caz, condițiile la limită includ, pe lângă dimensiunile geometrice d1 și d2 ale peretelui sferic, cunoașterea temperaturii fluidului interior tf1, a fluidului exterior tf2 și a coeficienților de schimb de căldură prin suprafață 1 și, respectiv, 2. Temperaturile tf1, tf2 și coeficienții 1, 2 se admit mărimi constante în timp, iar coeficienții 1 și 2 au valori constante pe întreaga suprafață de schimb de căldură. Se consideră, de exemplu, tf1tf2.

În absența surselor interioare de căldură (qv=0), fluxul de căldură transferat de la fluidul cald la suprafața interioară, prin peretele sferic, și de la suprafața exterioară la fluidul rece se conservă. În această bayă, se poate scrie șirul de inegalități (3.14):

Q=d121(tf1 –tp1)=[2d1d2(tp1 –tp2)]/(d2 –d1)=d222(tp2 –tf2),

în care S1=d12 și S2=d22 sunt ariile suprafețelor sferice –interioară și exterioară –cu temperaturile corespunzătoare tp1 și tp2.

Explicitând cele trei diferențe de temperatură și însumând, se obține:

(3.15)

Considerând procesul global de transfer de căldură între cele două fluide prin peretele sferic definit prin relația:

Q=ksf(tf1 –tf2), (3.16)

Unde ksf este coeficientul global de schimb de căldură pentru peretele sferic, exprimat în W/C, se poate scrie:

(3.17)

Mărimea inversă coeficientului global de schimb de căldură ksf reprezintă rezistența termică totală la transferul căldurii prin peretele sferic, măsurată în C/W :

(3.18)

Temperaturile tp1 și tp2se obțin din formulele (3.14) și (3.15).

3.3 CORPURI NEOMOGENE FĂRĂ SURSE

INTERIOARE DE CĂLDURĂ

Corpurile neomogene sunt corpuri cu structuri compuse, reprezentate din pereți cu diverse forme geometrice, alcătuiți din mai multe straturi, cu sau fără contacte perfecte între acestea. Fiecare strat în parte se consideră alcătuit dintr-un material omogen cu dimensiuni geometrice și conductivitate termică date. Propagarea căldurii se va considera unidirecțională sau va fi aproximată cu un proces unidirecțional.

PERETE PLAN

Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii. Se consideră un perete plan cu fețe paralele, alcătuit din două straturi omogene 1 și 2 și conductivitățile termice constante 1 și 2 (fig. 3.4). Contactul termic între straturi este imperfect, caracterizat prin conductanța termică *. Transferul căldurii prin perete se face între un fluid cald cu temperatura tf1 și un fluid rece cu temperatura tf2. Coeficienții de schimb de căldură prin convecție 1 și 2 sunt constanți de-a lungul întregii suprafețe S de transfer de căldură. Pentru această structură, se cere determinarea fluxului termic Q, a fluxului unitar de suprafață qs, a coeficientului global de schimb de căldură ks și a temperaturilor intermediare ale peretelui.

Fig. 3.4 Transferul căldurii între două fluide printr-un perete neomogen cu straturi perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii.

Cu notațiile din fig. 3.4, rezistența termică totală la transferul căldurii este (3.18):

Rst=Rs1+Rsp1+Rsc+Rsp2+Rs2=1/1+1/1+1/*+2/2+1/2 [(m2C)/W]

Coeficientul global de schimb de căldură:

ks=1/Rst=1/( 1/1+1/1+1/*+2/2+1/2) [W/(m2C)]. (3.18)

Fluxul termic unitar de suprafață și fluxul de căldură sunt respectiv:

qs=kst=ks(tf1 –tf2)=(tf1 –tf2)/Rst [W/m2]; (3.19)

Q=qsS=ksSt=ksS(tf1 –tf2) [W] (3.20)

Temperaturile necunoscute ale peretelui se determină cu ajutorul relației de mai jos în care fluxul unitar de suprafață qs este stabilit:

tx=t0qsRs,0-x

tp1=tf1 –qsRs1=tf1 –qs(1/1);

tp2=tf1 –qs(Rs1+Rsp1)=tf1 –qs(1/1+1/1); (3.21)

tp3=tf1 –qs(Rs1+Rsp1+Rsc)=tf1 –qs(1/1+1/1+1/*);

tp4=tf2+qsRs2=tf2+qs(1/2).

Cazul analizat mai sus are caracter de generalitate, cuprinzând toate categoriile de rezistențe termice care apar. În aplicațiile practice, unele din rezistențele termice din formula (3.18) pot lipsi sau, din contră, pot fi mai numeroase.

Conductivitatea termică echivalentă (redusă). Ecuația fluxului unitar de suprafață transmis printr-un perete plan neomogen, alcătuit din n straturi (de exemplu, fără rezistențe termice de contact între straturi), cu grosimile I și conductivitățile termice I, unde I=1,2,…,n, este:

(3.22)

în care tp1 și tp,n+1 sunt temperaturi cunoscute ale suprafețelor exterioare ale peretelui neomogen.

Considerând peretele compus ca o placă omogenă, ecuația fluxului termic unitar echivalent este de forma:

(3.23)

unde r ed este conductivitatea termică echivalentă sau redusă a întregului sistem conductiv, iar =I –grosimea totală a peretelui.

Egalând ultimele două relații, se obține:

, i = 1,2,…,n. (3.24)

Perete plan neomogen cu straturi paralele cu direcția de propagare a căldurii. Peretele plan cu fețele paralele are grosimea și este alcătuit din n straturi cu conductivitățile termice i și ariile suprafețelor laterale Si, unde i=1,2,…,n. Rezolvarea exactă a acestei probleme este foarte dificilă, deoarece, datorită naturii diferite a materialelor, conducția termică prin straturile paralele este diferită, astfel încât temperatura pe fața de ieșire a fluxului termic este neomogenă; temperatura pe fața de intrare este uniformă tp1.

Considerând că nu are transfer de căldură între două straturi vecine (procesul este unidirecțional) se definește pentru fața de ieșire a fluxului termic o temperatură medie ponderată în raport cu suprafața:

, (3.25)

care va fi utilizată în continuare în calcule.

Fluxul de căldură prin stratul i este:

, (3.26)

iar fluxul total de căldură pentru întregul perete:

, (3.27)

În mod analog cazului precedent analizat, se poate defini un perete plan omogen echivalent, pentru care fluxul total de căldură este:

, (3.28)

unde red este conductivitatea termică echivalentă sau redusă, iar aria suprafeței totale de transfer al căldurii.

Prin egalarea expresiilor (3.27) și (3.28), se obține:

, (3.29)

Rezolvarea acestei probleme se poate face și prin aplicarea condițiilor la limită de al treilea tip: peretele desparte un fluid cald cu temperatura tf1 și un fluid rece cu temperatura tf2. În mod normal, coeficienții individuali de schimb de căldură prin convecție 1i și 2i, unde i=1,2,…,n, corespunzători celor două fluide, sunt neomogeni pe fețele laterale ale peretelui. Din această cauză, se vor defini coeficienții de convecție medii ponderați:

, (3.30)

Se admite că suprafețele laterale ale peretelui au temperaturile uniforme tp1 și, respectiv, tp2, determinate cu relații de tipul (3.25).

Ecuațiile fluxului unitar transmis prin perete sunt:

,

unde red este dat de formula (3.29).

Exprimând schimbul global de căldură sub forma:

qs=ks(tf1 –tf2) [W/m2],

rezultă ecuația coeficientului global de transfer de căldură:

[W/m2C]. (3.31)

Sistemul constructiv reprezentat de peretele plan neomogen cu straturile paralele cu direcția de propagare a căldurii poartă numele de punte termică plană. Se poate arăta că el este un sistem mai conductiv decât cazul unui perete plan similar, dar cu straturile perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii.

PERETE CILINDRIC

Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii. În mod analog peretelui plan, se consideră un perete cilindric alcătuit din două straturi omogene cu diametrele d1, d2, d3 și conductivitățile termice 1 și 2 (fig. 3.5); între straturi există conductanța termică de contact *. Peretele desparte un fluid cald cu temperatura tf1 și un fluid rece cu temperatura tf2; coeficienții corespunzători de convecție sunt 1 și 2, constanți de-a lungul lungimii l a peretelui cilindric.

Rezistența termică totală la transferul căldurii este:

[(mC)/W] (3.32)

Fig. 3.5. Transferul căldurii printr-un perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii.

Coeficientul global de schimb de căldură și, în continuare, fluxul unitar liniar și fluxul de căldură sunt respectiv:

(3.33)

[W/m] (3.34)

[W] (3.35)

Temperaturile necunoscute ale peretelui se stabilesc cu ajutorul relației de mai jos, în care fluxul unitar liniar este determinat:

;

; (3.36)

;

În cazul general amintit al unui perete cilindric neomogen, compus din n straturi cu conductivitatea termică i și diametrele di, di+1, unde i=

=1,2,…,n-1, rezistența termică totală la transferul căldurii este:

(3.37)

Celelalte mărimi kl, ql, Q și tpi se determină cu relații de tipul (3.33) –(3.36). În aplicațiile practice, unele din rezistențele termice pot lipsi sau pot fi neglijate.

Pentru un perete cilindric neomogen, format din n straturi (de exemplu, fără rezistențe termice de contact între straturi), cu diametrele di, di+1 și conductivitățile termice i, unde i= 1,2,…,n, se poate defini, în mod analog expresiei (3.24), conductivitatea termică echivalentă sau redusă a întregului sistem constructiv:

(3.38)

Perete cilindric neomogen cu straturi paralele cu direcția de propagare a căldurii. Peretele cilindric cu diametrele d1 și d2 este compus din n straturi cu conductivitățile termice i și grosimile li, unde i=1,2,…,n. Se admite, în mod simplificat, că nu apare transfer axial de căldură între straturi și că propagarea căldurii este unidirecțională (în direcție radială).

Dacă, de exemplu, temperatura pe suprafața cilindrică interioară este constantă tp1, temperatura suprafeței exterioare este neuniformă, datorită conducției termice diferite prin straturile paralele. Analog relației (3.25), se definește o temperatură medie ponderată în raport cu suprafața:

, (3.39)

unde Si=d2li este suprafața cilindrică exterioară a stratului i, iar reprezintă lungimea totală a peretelui cilindric.

Fluxul de căldură prin stratul i este:

,

iar fluxul total de căldură pentru întregul perete:

(3.40)

Peretele cilindric omogen care înlocuiește peretele neomogen considerat mai sus are conductivitatea termică echivalentă sau redusă red, dată de expresia:

(3.41)

În cazul aplicării condițiilor la limită da al treilea tip, peretele desparte un fluid cald cu temperatura tf1 și un fluid rece cu temperatura tf2. Coeficienții individuali de schimb de căldură prin convecție 1i și 2i, unde i=1,2,…,n, corespunzători celor două fluide, sunt neomogeni pe suprafețele laterale ale peretelui, definindu-se valorile medii ponderate 1 și 2 cu relații de tipul (3.30).

Coeficientul global de schimb de căldură este:

[W/(mC)], (3.42)

unde red este exprimat prin relația (3.41).

Fluxul termic prin perete:

[W] (3.43)

Acest sistem constructiv este denumit punte termică cilindrică radială, realizând valori mai ridicate pentru fluxul termic în comparație cu un perete cilindric neomogen similar, dar cu straturile perpendiculare pe direcția de propagare a căldurii.

CALCULUL IZOLAȚIILOR TERMICE

În scopul reducerii pierderilor de căldură în mediul ambiant al instalațiilor termice (funcționând cu temperaturi mai mari decât temperatura ambiantă) și al absorbției de căldură din mediul ambiant la instalațiile frigorifice, suprafețele exterioare ale echipamentelor respective se acoperă cu straturi de materiale termoizolante. Rolul acestor materiale este acela de a introduce o rezistență termică cât mai mare pe direcția de propagare a căldurii, produsă de diferența de temperatură între fluidul cald (sau rece) din instalație și mediul înconjurător. Un material izolant termic trebuie să aibă o conductivitate termică cât mai scăzută și o capacitate cât mai ridicată de a rezista la funcționarea de durată în condițiile date de temperatură.

Din punct de vedere constructiv, izolația termică este realizată dintr-un strat de material izolant de bază și un strat protector exterior, executat, de regulă, din cimenturi termorezistente sau foi de tablă.

La calculul izolațiilor termice, se urmărește, în principal, rezolvarea următoarelor probleme:

-determinarea pierderilor de căldură ale obiectului izolat și a temperaturii suprafeței izolației sau a diferitelor straturi pentru o construcție dată a izolației termice;

-stabilirea grosimii izolației termice pentru realizarea unor pierderi de căldură date;

-calculul grosimii izolației termice pentru realizarea unor temperaturi date la suprafața acesteia;

-determinarea grosimii izolației pentru realizarea unei căderi admisibile a temperaturii agentului termic pe lungimea conductelor;

-calculul grosimii izolației pentru evitarea condensării umidității din atmosferă pe suprafața izolației.

Determinarea pierderilor de căldură în mediul ambiant. Se consideră un perete plan izolat termic cu două straturi (strat de izolație de bază și strat protector), care desparte un fluid cald cu temperatura tf de mediul ambiant (aer) cu temperatura t0. Cu notațiile din figura 3.6, a, pierderea specifică de căldură (fluxul unitar de suprafață) se exprimă prin relația:

, (3.44)

(a) (b)

Fig. 3.6. Transferul căldurii printr-un perete plan (a) și un perete cilindric (b) izolate termic, în care:

Rs este rezistența termică totală;

Rsi –rezistența termică la transferul căldurii prin convecție de la fluidul cald la perete;

Rsp, Rsiz, Rssp –rezistența termică la transferul căldurii prin conducție, respectiv, prin perete, prin stratul de izolație de bază și prin stratul protector;

Rse –rezistența termică la transferul căldurii prin convecție de la suprafața exterioară a peretelui izolat la mediul ambiant.

Pierderea totală de căldură (fluxul termic) a peretelui plan izolat termic cu suprafața S este:

[W] (3.45)

În cazul unui perete cilindric (conductă), izolat termic cu două straturi (fig. 3.6, b), pierderea specifică de căldură (fluxul unitar liniar) este:

, (3.46)

în care rezistențele termice au aceeași semnificație ca în relația (3.44).

Pierderea totală de căldură (fluxul termic) a peretelui cilindric, izolat termic cu lungimea l, este:

[W] (3.47)

La aplicarea relațiilor (3.44) și (3.46) se fac următoarele observații:

–în mod curent, la instalațiile cu pereți metalici, rezistențele termice Rsp și Rlp se pot neglija;

–dacă fluidul din instalație este abur sau apă, coeficientul i are valori valori ridicate și rezistențele termice Rsi și Rli se pot neglija, reprezentând mai puțin de 1% din rezistența termică totală;

q–când stratul protector este executat dintr-un înveliș metalic, rezistențele termice Rssp0 sau Rlsp0.

Grosimea izolației termice pentru o pierdere de căldură dată. Datele inițiale pentru acest calcul sunt următoarele: dimensiunile conductei (de, di, l), temperatura fluidului transportat tf și a aerului ambiant t0, caracteristicile izolației termice sp, sp, pierderile specifice de căldură ql sau totale Q.

Ținând seama de transferul căldurii prin peretele cilindric izolat termic (fig. 3.6, b), fluxul unitar ql se calculează cu formula:

(3.48)

în care:

, (3.49)

Se explicitează Rliz din următoarea relație:

.

Ținând seama de expresia (3.48), grosimea izolației iz se obține prin rezolvarea ecuației:

(3.50)

Ecuația (3.50) se rezolvă prin încercări sau aproximații succesive: mărimile Rli și Rlp au valori determinate, în schimb, pentru calculul rezistențelor termice Rlsp și Rle se admit inițial valori pentru iz, care se verifică la sfârșitul calcului.

După determinarea raportului diz/de, grosimea izolației termice se determină din relația:

(3.51)

Procedând asemănător pentru peretele plan izolat termic (fig.3.6, a) grosimea izolației termice iz se determină din ecuația:

(3.52)

Grosimea izolației termice pentru o temperatură dată la suprafața acesteia. Necesitatea asigurării unei temperaturi prescrise a suprafeței izolației termice decurge, de exemplu, din nrespectarea normelor de protecție a muncii.

Considerând peretele cilindric izolat termic (fig. 3.6, b), se poate scrie egalitatea dintre fluxul transmis prin perete până la suprafața izolației termice cu fluxul transmis prin convecție de la suprafața exterioară la mediul ambiant:

(3.52)

Dacă se poate admite Rli=0 și Rlp=0, iar pentru început se neglijază rezistența termică a stratului protector Rlsp0, se obține expresia:

,

care se poate scrie sub forma:

(3.53)

Relația (3.53) reprezintă o ecuație de tipul xlnx=const., unde x=diz/de. Rezolvarea acestei ecuații se poate face grafic. Grosimea reală a izolației termice iz se obține din relația (3.52), care ține seama de existența stratului protector.

Pentru suprafețele plane izolate termic (fig. 3.6, a), rezultă în mod asemănător grosimea izolației termice:

(3.54)

Grosimea izolației termice la o scădere a temperaturii fluidului transportat prin conductă. La transportul fluidelor calde prin conducte, poate apărea situația în care reducerea temperaturii fluidului, ca urmare a pierderilor de căldură, să fie impusă de temperatura sursei de căldură și a consumatorului de căldură.

Datele inițiale ale acestui calcul sunt: temperatura fluidului la începutul și la sfârșitul conductei tf1 și tf2, temperatura mediului ambiant t0, lungimea conductei l, debitul de fluid G, în kg/s, căldura specifică a fluidului cp, în J/kgC, diametrele conductei di și de, conductivitatea termică a materialului izolant iz, mărimile i, e, sp, sp, p.

Fluxul de căldură pierdut de fluid în mediul înconjurător prin elementul de lungime dl.

(3.55)

Prin transferul de căldură către mediul ambinat, fluidul își micșorează temperatura cu dtf, cedând fluxul de căldură:

(3.56)

Diametrul critic al izolației termice. Se consideră unperete cilindric izolat termic (fig. 3.7, a), la care, pentru simplificare, se neglijează rezistența termică a stratului protector. Cu notațiile din figură, fluxul unitar liniar este:

. (3.57)

s

Fig. 3.7. Determinarea grosimii critice a izolației termice la peretele cilindric (a), în funcție de variația rezistențelor termice (b).

Dacă se admit constante mărimile tf, t0, di, de, i, e, p și iz, rezultă că fluxul unitar ql și rezistența termică totală Rl sunt dependente de diametrul exterior al izolației termice diz, respectiv de grosimea izolației termice iz. În aceste condiții, rezistențele termice Rli și Rlp au valori constante (fig. 3.7, b).

Fluxul termic unitar qleste maxim, atunci când Rl devine minim. Egalând cu zero prima derivată a numitorului fracției (3.57) în raport cu diz, rezultă:

de unde:

(3.58)

Reyultatul este independent de diametrul de, lucru care, din punct de vedere fizic, se poate explica astfel: rezistența termică a izolației termice crește cu diz, iar rezistența termică la convecția cu mediul ambiant scade cu diz; pentru o anumită valoare critică a diametrului izolației (diz)cr, suma Rl iz+Rle, respectiv rezistența termică totală Rl, atinge un minim, după cum se vede din figura 3.7, b.

În concluzie, la pereții cilindrici cu diametrul exterior de(diz)cr, pierderile specifice de căldură ql, se măresc cu creșterea grosimii izolației termice până la atingerea diametrului critic (diz)cr, când ele sunt maxime, după care încep să descrească. Această situație apare la cilindrii de diametru mic, pentru conductivități ale izolației termice relativ mari și coeficienți de convecție cu mediul ambiant reduși. Dintre cazurile practice, se menționează izolarea termică a conductelor de diametru mic și cazul conductoarelor termice la care trebuie să se prevadă o izolație electrică corespunzătoare care să permită în același timp o răcire maximă.

În cele prezentate mai sus, coeficientul de convecție e a fost considerat constant, independent de diametrul suprafeței cilindrice și de diferența de temperatură te (fig. 3.7, a). În realitate, în cilindrii de diametru mic, e depinde de rază, iar în cazul convecției libere, e este proporțional cu diferența de temperatură te la o putere subunitară.

Admițând proporționalitatea , unde m0 și n0, s-au obținut următoarele rezultate:

Pentru suprafețe cilindrice, diametrul critic al izolației termice este:

(3.59)

în care fracția (1 –m)/(1+n) reprezintă, în comparație cu relația (3.58), un factor de corecție. La convecția forțată peste suprafețele cilindrice în intervalul de variație a numărului Reynolds Re=4000…40000, m=0,382, n=0, astfel încât factorul de corecție are valoarea 0,618. Pentru convecția liberă peste cilindrii orizontali m=n=0,25, factorul de corecție fiind egal cu 0,6.

Pentru suprafețe sferice, diametrul critic se exprimă prin relația:

(3.60)

în care prima fracție reprezintă, de asemenea, un factor de corecție față de diametrul critic al izolației peretelui sferic (diz)cr=4iz/e, în ipoteza e=const.

CONDUCȚIA TERMICĂ BI ȘI

TRIDIRECȚIONALĂ ÎN REGIM CONSTANT

În capitolul precedent, au fost prezentate o serie de probleme de conducție termică unidirecțională, în care temperatura și fluxul de căldură au fost dependente de o singură variabilă. Deși multe probleme practice, în mod exact sau aproximativ, intră în această categorie, există cazuri în care conturul corpului considerat este neregulat sau când temperatura de-a lungul conturului este neuniformă, cazuri în care tratarea unidirecțională a problemei este nesatisfăcătoare. În aceste situații, temperatura este o funcție de două sau chiar trei coordonate. Ca exemple, se menționează transferul de căldură în zona de intersecție dintre doi sau mai mulți pereți, conducția termică printr-un perete cilindric tubular cu lungime redusă, transferul de căldură la corpurile îngropate în sol etc.

În continuare, vor fi prezentate unele metode de analiză a conducției bi- și tridirecționale, accentul fiind pus pe probleme bidimensionale, care sunt mai frecvente și au o rezolvare mai simplă.

Conducția termică bi și tridirecțională poate fi tratată prin metode analitice, grafice, analogice sau numerice. Rezolvarea analitică completă a problemelor necesită folosirea unor funcții matemetice speciale (serii Fourier, funcții Bessel, polinoame Legendre, transformări Laplace, teoria variabilelor complexe). Având în vedere, însă, că utilitatea practică a soluțiilor analitice este foarte redusă, se va exemplifica metoda analitică cu un caz simplu, punându-se accentul pe celelalte metode, în special cea numerică.

Ecuațiile diferențiale ale conducției bi și tridirecționale în regim constant sunt ecuația lui Laplace (pentru corpuri fără surse interioare de căldură) și ecuația lui Poisson (pentru corpuri cu surse interioare de căldură).

4.1. METODA ANALITICĂ

Într-un sistem bidirecțional, fără surse interioare de căldură, în ipoteza =const., distribuția temperaturii în regim constant este dată de ecuația lui Laplace:

(4.1)

a cărei soluție va exprima temperatura t(x,y) în funcție de cele două coordonate x și y. în continuare, fluxul de căldură transmis în direcțiile x și y se npoate calcula cu ajutorul ecuației lui Fourier:

. (4.2)

Fig. 4.1. Propagarea bidirecțională Fig. 4.2. Placă rectangulară

a căldurii. în conducția bidirecțională

Trebuie notat că, în timp ce temperatura este o mărime scalară, fluxul de căldură depinde de gradientul temperaturii, fiind prin urmare un vector. Fluxul termic total într-un punct x, y este rezultanta fluxurilor Qx și Qy din punctul respectiv și este perpendicular pe suprafața izotermă (fig. 4.1). În felul acesta, cunoașterea distribuției temperaturii într-un sistem permite calculul simplu al fluxului termic. Din această cauză, problema principală o constituie determinarea câmpului de temperatură.

Se prezintă în continuare un caz simplu de conducție bidirecțională, în care soluția este obținută prin metoda separării variabilelor. Se consideră o placă subțire, cu grosimea L, infinită în direcțiile y și z, fără surse interioare de căldură (fig. 4.2). Cele două fețe ale plăcii sunt menținute la temperatura t=0, iar muchia inferioară la temperatura dată t1. Deoarece t/z este neglijabil, temperatura în interiorul plăcii este în funcție numai de x și y.

În regim constant, cu =const., distribuția temperaturii în placă trebuie să satisfacă ecuația diferențială (4.1), cu condițiile la limită:

t=0, la x=0 pentru toate valorile lui y;

t=0, la x=L pentru toate valorile lui y;

t=t1, la y=0 pentru 0xL;

t=0, la y= pentru 0xL.

Expresia (4.1) este o ecuație cu derivate parțiale omogenă și lineară. Acest tip de ecuație poate fi integrat, admițând că distribuția temperaturii t(x,y) este de forma:

t(x,y)=X(x) Y(y), (4.3)

unde X(x) este o funcție numai de x, iar Y(y) o funcție numai de y. Înlocuind ultima relație în ecuația (4.1), se obține expresia în care variabilele sunt separate:

(4.4)

Deoarece membrul stâng al ecuației (4.4) este independent de z, iar membrul drept independent de x, rezultă că ambii membri sunt independenți de x și y, putând fi egali cu o constantă notată cu 2. Se obțin astfel două ecuații diferențiale simple:

(4.5)

cu soluțiile generale:

X=A cos x+B sin x ; Y=Cey +De-y. (4.6)

Conform ecuației (4.3), distribuția temperaturii este:

t(x,y)=XY=(A cos x + B sin x)(Cey +De-y), (4.7)

În care A, B, C, D sunt constante de integrare, care se determină pe baza celor patru condiții la limită menționate.

Condiția ca t=0, la x=0 conduce la A=0. De asemenea, sin x=0, pentru x=L, respectiv L trebuie să fie multiplu întreg de , adică =n/L. Ultima ecuație capătă forma:

(4.8)

Condiția ca t=0, la y= face ca C=0. Notând produsul constantelor BD=E, ecuația (4.8) devine:

. (4.9)

Această expresie satisface ecuația diferențială pentru orice număr întreg n0. Soluția generală se obține însumând toate soluțiile posibile, când rezultă:

(4.10)

Folosirea ultimei condiții la limită, t=t1, la y=0, permite determinarea constantelor En din expresia:

, pentru 0 x L. (4.11)

Constantele En reprezintă coeficienții Fourier din această dezvoltare în serie, exprimați prin:

pentru n=1, 3, 5,…; En=0, pentru n=2, 4, 6, …

În final, soluția problemei de conducție bidirecțională este:

. (4.12)

În figura 4.3 sunt reprezentate izotermele (liniile continue) și curbele de flux termic egal (liniile întrerupte), ortogonale la izoterme.

Fig. 4.3. Curbele izoterme și liniile de flux termic

pentru placa rectangulară din figura 4.2.

Metoda separării variabilelor poate fi extinsă la problemele de conducție tridirecțională, considerând profilul temperaturii exprimat prin produsul t(x, y, z)=X(x) Y(y) Z(z) și înlocuind această expresie în ecuația diferențială respectivă. După separarea variabilelor se obțin trei ecuații diferențiale de ordinul doi simple, care se pot integra pentru condiții la limită date .

Soluțiile analitice sunt utile cu condiția posibilității obținerii lor. Se menționează, însă, că majoritatea problemelor practice nu se pot rezolva analitic, datorită geometriilor și condițiilor la limită complicate. Pentru aceste cazuri, se pot folosi metodele grafice sau numerice.

4.2 METODA NUMERICĂ DE ANALIZĂ

În multe situații practice, geometria sistemului și condițiile la limită sunt atât de complexe încât nu permit obținerea de soluții analitice sau analogice. Astfel de probleme pot fi rezolvate prin metode numerice. Aceste metode se bazează pe tehnica diferențelor finite, adecvate utilizării calculatoarelor numerice. Etapele preliminare ale rezolvării problemei constau din aproximarea ecuației diferențiale și a condițiilor la limită printr-un set de ecuații algebrice. Acest lucru se face prin înlocuirea domeniului continuu printr-un sistem de puncte discrete în interiorul domeniului și prin introducerea aproximațiilor prin diferențe finite între puncte.

Pentru rezolvarea numerică a unei probleme de conducție, se împarte corpul considerat într-un număr finit de elemente volumetrice mici, fiecare din acestea fiind numerotat. Se admite că fiecare element se găsește la temperatura corespunzătoare centrului său, înlocuindu-se sistemul fizic real printr-o rețea de bare fictive conductoare termic care unesc centrele sau punctele nodale ale elementelor volumetrice. Dacă fiecărei bări i se atașează o conductanță termică corespunzătoare conductanței materialului din punctele nodale, transferul de căldură prin rețeaua de bare aproximează transferul de căldură prin sistemul continuu. Dacă se aleg N puncte, se obține un set de N ecuații algebrice, care se pot rezolva prin metode numerice sau prin inversarea matricilor.

Fig. 4.4. Schiță ilustrând notațiile folosite în analiza numerică a conducției bidirecționale (a) și exemplu de utilizare a tehnicii relaxării la o suprafață cu patru noduri interioare (b).

Se consideră un corp bidirecțional, care se împarte în elemente de volum egale atât în direcția x, cât și y (fig. 4.4,a). punctele nodale sunt notate ca în figură, punctele m indicând pasul rețelei în direcția x, iar punctele n pasul în direcția y. Se dorește stabilirea temperaturilor în toate aceste puncte nodale din interiorul corpului, folosind ecuația (4.13) ca ecuație a procesului fizic. Pentru aproximarea pașilor de divizare a coordonatelor de temperatură și spațiu se folosește metoda diferențelor finite. În general, cu cât acești pași sunt mai mici, cu atât distribuția aproximativă a temperaturii va fi mai aproape de cea reală.

2t/x2+2t/y2=0 (4.13)

Gradienții temperaturii pot fi scriși în forma:

Însumând ultimele două expresii, se obține aproximarea prin diferențe finite a ecuației (4.1) în punctul nodal (m,n):

Dacă x=y, rezultă:

(4.14)

Deoarece se admite =const., toate fluxurile de căldură pot fi exprimate în funcție de diferențialele temperaturii. Relația (4.14) reprezintă bilanțul termic în nodul (m,n) și exprimă simplu că în regim constant fluxul net de căldură în nod este zero. În acest fel, prin metoda numerică a diferențelor finite se înlocuiește distribuția continuă a temperaturii prin bare fictive conductoare care leagă punctele nodale fără generare de căldură.

În mod asemănător se poate obține aproximarea prin diferențe finite a ecuației lui Poisson, pentru sisteme bidirecționale cu surse interioare de căldură, introducând termenul qv/, adică:

sau considerând o rețea pătrată, în care x=y:

. (4.15)

Pentru utilizarea metodei numerice, ecuațiile (4.14) sau (4.15) trebuie scrise pentru fiecare nod din interiorul corpului, prin rezolvarea sistemului rezultant de ecuații determinându-se temperaturile în diferite noduri. Dacă se folosesc subdiviziuni x și y mici, numărul de noduri și, corespunzător, sistemul de ecuații sunt foarte mari, astfel încât, datorită volumului mare de calcule, rezolvarea simultană a ecuațiilor sistemului ar necesita un timp lung de lucru, fiind recomandată utilizarea calculatoarelor numerice. Pentru un număr redus de noduri, poate fi ecceptabil calculul manual al problemei, prezentându-se în continuare așa numita tehnică a relaxării pentru rezolvarea sistemelor de ecuații. În cadrul acestei metode, partea dreaptă a ecuațiilor (4.14) sau (4.15) devine egală cu reziduu care trebuie “relaxat” către zero.

Procesul de relaxare se desfășoară în următoarele etape:

–Se aleg valorile temperaturilor în diferite noduri. Este recomandabil ca alegere să fie făcută cât mai aproape de valorile exacte, în această direcție fiind utilă obținerea în prealabil a unei diagrame cu rețea de pătrate curbilinii.

–Cu ajutorul temperaturilor alese, se calculează reziduurile în fiecare nod.

–Se relaxează la zero cel mai mare reziduu, prin modificarea cu o anumită valoare a temperaturilor nodale corespunzătoare. Pentru un sistem bidirecțional este necesară modificarea temperaturii nodale cu ¼ din mărimea reziduului, în sens opus. De exemplu, dacă reziduul punctului (m,n) este +100, pentru relaxarea lui la zero, temperatura nodului (m,n) trebuie crescută cu 25.

–Se modifică reziduurile nodurilor înconjurătoare pentru a corespunde cu variația de temperatură din etapa anterioară.

–Se continuă relaxarea reziduurilor cât mai aproape de zero. De notat că un reziduu cu valoare de 4 reprezintă o eroare de temperatură de 1C, această precizie fiind suficientă în multe aplicații.

Un exemplu de aplicare a tehnicii relaxării este prezentat în figura 4.4, b și în tabelul 4.1. Se face mențiunea că reziduurile pot fi suprarelaxate sau subrelaxate în scopul ușurării calculelor.

Tabelul 4.1.

Calculul relaxării pentru sistemul din figura 4.1,b

După determinarea temperaturilor, fluxul termic se calculează cu relația lui Fourier în diferențe finite:

(4.16)

unde t reprezintă diferența de temperatură între suprafețele limită, iar S=x1 este suprafața de schimb de căldură, care corespunde la o adâncime de 1m. În exemplul din figura 4.4, b fluxul de căldură poate fi calculat fie corespunzător suprafeței cu temperatura de 500C, fie celor trei suprafețe cu temperatura de 100C. Dacă se folosește o rețea suficient de fină, cele două valori trebuie să coincidă sau să fie foarte apropiate. Ca o regulă practică, se obișnuiește considerarea în calcule a medeie aritmetice a celor două valori. În exemplul anterior, calculele pentru suprafața cu 500C, respectiv suprafețele cu 100C dau:

când cele două valori coincid.

În exemplul de mai sus au fost folosite numai patru noduri, astfel încât ecuațiile corespunzătoare ecuației (4.14) ar putea fi rezolvate simultan; s-a rezolvat totuși această problemă prin tehnica relaxării, pentru a se înțelege procedeul de aplicare la probleme mai complicate.

Când corpul solid este expus unor condiții la limită de convecție, temperatura suprafeței se calculează în mod diefrit de metoda de mai sus.

a b

Fig. 4.5. Schițe cu notațiile utilizate în analiza numerică a conducției bidirecționale prin tehnica relaxării:

a –punct nodal pe o suprafață plană convectivă;

b –punct nodal pe un colț cu transfer convectiv pe fețele laterale.

Considerând suprafața de separație solid-fluid din figura 4.5, a, bilanțul termic al nodului (m,n), prin conturul dreptunghiului hașurat, cuprinde egalitatea fluxurilor termice prin conducție prin fața stângă cu aria y1, prin fața superioară cu aria (x/2)1 și prin fața inferioară cu aria (x/2)1 și a fluxului termic prin convecție prin fața dreaptă cu aria y1, adică:

(4.17)

unde este coeficientul de convecție, iar tf –temperatura fluidului. Dacă x=y, temperatura suprafeței se exprimă prin ecuația:

(4.18)

Ecuația de tipul (4.18) trebuie scrisă pentru fiecare nod de pe suprafața de separație solid-fluid. În concluzie, pentru punctele interioare se aplică ecuația (4.14), iar pentru punctele de pe suprafețele cu schimb de căldură convectiv ecuația (4.18), în continuare aplicându-se tehnica relaxării ca mai sus; se face mențiunea că datorită naturii mai complicate a ecuațiilor reziduale la suprafața convectivă volumul calculelor aritmetice crește.

Ecuația (4.18), care se aplică suprafețelor plane care transferă căldură prin convecție, nu se folosește în alte cazuri, cum este, de exemplu, un perete izolat termic sau un colț expus pe ambele laturi la un proces de convecție. Considerând colțul din figura 4.5, b, bilanțul termic al nodului (m,n), prin fețele pătratului hașurat, este:

(4.19)

iar dacă x=y, ecuația precedentă devine:

(4.20)

care se tratează într-o manieră similară expresiilor (4.14) și (4.18).

Se face observația că efectul modificării unei condiții la limită de temperatură asupra reziduului din punctul respectiv de pe suprafață diferă față de un punct interior. De asemenea, pentru obținerea mai rapidă a soluției, reziduurile pot fi suprarelaxate sau subrelaxate. Procesul de relaxare poate fi oprit chiar dacă unele reziduuri diferă de zero; dacă reziduurile ecuațiilor arată că toate temperaturile diferă prin mai puțin de 1C de valorile lor exacte, precizia calculelor este considerată acceptabilă.

O caracteristică a metodei relaxării este aceea că nu este necesar un aclcul special de corectare a erorilor. Dacă la un moment dat, pe parcursul calculelor, se verifică reziduurile și se descoperă o inexactitate, nu este necesară reluarea calculelor de la început, ci se recalculează reziduurile corespunzătoare temperaturilor în punctul respectiv și apoi se continuă operațiile. În probleme de relaxare care implică un număr mare de noduri, este recomandabilă recalcularea periodică a reziduurilor pentru descoperirea erorilor numerice, după care procesul de relaxare continuă pe baza eventualelor valori corectate ale reziduurilor.

Din cele discutate mai sus rezultă că tehnica relaxării reprezintă o metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații. Un alt mod de soluționare a problemei, folosind metoda metoda numerică a aproximării prin diferențe finite, o constituie utilizarea calculatoarelor digitale. Majoritatea calculatoarelor mari dispun de subrutine standard pentru obținerea soluțiilor unui sistem de ecuații, programarea fiind relativ simplă. În acest fel, problemele complicate cu un număr mare de noduri sau problemele cu un grad ridicat de repetabilitate este recomandat să fie rezolvate cu ajutorul calculatoarelor numerice; în schimb, în cazurile mai simple este preferat să se rezolve prin calcul manual, deoarece timpul și efortul de programare ar fi comparativ mult mai mare.

La rezolvarea problemelor de conducție bidirecțională cu ajutorul calculatoarelor, de regulă, nu se aplică tehnica relaxării ci alte metode numerice de calcul (tehnica de eliminare Gauss, metode iterative etc.). În aceste cazuri, ecuațiile se exprimă, de obicei, sub formă matriceală și se aplică rutine obișnuite pentru inversarea matricilor.

Sistemul de ecuații ale temperaturilor nodale are forma:

(4.21)

unde t1, t2,…,tn reprezintă temperaturile nodale necunoscute.

Iterația Gauss-Seidel. Când numărul nodurilor este foarte mare, o soluție mai eficientă la sistemul de ecuații nodale se obține prin tehnica iterativă. Din ecuațiile nodale de mai sus se vede că se poate exprima tm,n în funcție de temperaturile nodurilor vecine și de anumite rezistențe de legătură. Notând temperatura nodului central cu ti, iar temperaturile nodurilor vecine cu tj, ecuațiile nodale pot fi exprimate în forma:

(4.22)

unde Rij este rezistența termică între nodurile i și j. dacă în nodul i se transferă suplimentar căldura qi (prin radiație, de la surse interioare etc.), ecuația (4.22) se modifică în forma:

(4.23)

Iterația Gauss-Seidel utilizează ecuațiile de forma (4.22) sau (4.23), etapele de calcul fiind următoarele:

–Se alege inițial un set de valori ti, alegere care poate fi făcută prin orice altă metodă mai expeditivă, inclusiv o relaxare grosieră sau o inversiune matriceală.

–Se determină noile temperaturi nodale cu ajutorul ecuațiilor (4.22) sau (4.23).

–Se repetă procesul până când două calculații succesive diferă printr-o valoare impusă de precizia problemei. În cazul rezolvării pe calculator, acest lucru reprezintă verificarea condiției:

pentru orice ti,

în care este o valoare constantă, iar n –numărul de iterații. Evident, cu cât valoarea este mai mică, cu atât timpul de calcul este mai mare. Se face observația că precizia problemei nu depimde numai de , ci și de alegerea mărimii pasului x.

CONDUCȚIA TERMICĂ ÎN REGIM TRANZITORIU

În cazul proceselor termice tranzistorii, atât temperatura, cât și fluxul de căldură într-un punct oarecare sunt mărimi variabile în timp. Acest lucru complică considerabil rezolvarea problemelor de conducție termică tranzistorie, câmpul de temperatură fiind dependent atât de timp, cât și de coordonatele punctului considerat.

În tehnică, conducția termică tranzistorie se întâlnește în mod curent sub forma a trei categorii de procese:

–procese care ating în final regimul termic constant (de exemplu, pornirea, oprirea sau variația de sarcină a instalațiilor termice cu regim de funcționare predominant constant);

–procese tranzitorii de scurtă durată cu o temperatură continuu variabilă a mediului ambiant (de exemplu, tratamentul termic al pieselor metalice);

–procese tranzitorii periodice în care temperatura și fluxul termic au variații ciclice în timp (de exemplu, procesele termice din motoarele cu combustie internă, regimul termic al clădirilor pe parcursul a 24 h).

Ecuația conducției tranzitorii prin corpuri cu surse interioare de căldură este:

(5.1)

în absența surselor interioare de căldură, expresia (5.1) capătă forma ecuației lui Fourier:

(5.2)

Datorită apariției timpului ca variabilă suplimentară față de procesele de conducție în regim constant, soluția problemelor de conducție termică tranzitorie este mai greu de obținut, folosindu-se în acest scop metode diverse de rezolvare (analitice, analogice, numerice sau grafice). În continuare se prezintă un număr de probleme reprezentative de conducție termică tranzitorie, tratate prin considerarea anumitor ipoteze simplificatoare.

La încălzirea sau răcirea tranzitorie a mediilor conductive, temperatura și fluxul de căldură depind de rezistențele termice interne și de suprafață, deosebindu-se următoarele cazuri:

–corpuri cu rezistențe interne neglijabile;

–corpuri cu rezistențe de suprafață neglijabile;

–corpuri cu rezistențe interne și de suprafață finite.

Primele două cazuri definesc situațiile limită, iar al treilea orice situație practică cuprinsă între precedentele două.

5.1. SOLUȚII ANALITICE

5.1.1. CONDUCȚIA TERMICĂ PERIODICĂ

Așa cum s-a menționat, multe procese de conducție termică tranzitorie din practică se desfășoară periodic sau ciclic. Ca exemple din această categorie sunt procesele de transfer de căldură din motoarele cu ardere internă, încălzirea și răcirea ciclică a clădirilor sau a solului sub influența factorilor atmosferici variabili, procesele industriale cu cicluri termice controlate etc.

Se ilustrează acest tip de probleme prin considerarea unui perete plan semiinfinit, a cărui suprafață are o temperatură care variază periodic în timp, controlând astfel distribuți temperaturii și propagarea căldurii în interiorul materialului. Pentru foarte multe cazuri practice, procesul periodic poate fi corect aproximat printr-o variație sinusoidală sau cosinusoidală. Datorită condițiilor geometrice, transferul de căldură are loc unidirecțional, în direcția x normală pe suprafața peretelui, unde x=0. Restricția principală asupra utilizării acestei analize în practică este dacă corpul analizat poate fi considerat de grosime infinită. Un criteriu de apreciere poate fi, de exemplu, grosimea de material la care amplitudinea temperaturii scade sub 1% din valoarea amplitudinii pe suprafața corpului.

Temperatura suprafeței peretelui (x=0) variază sinusoidal între o limită superioară t0+tm0 și o limită inferioară t0–tm0, unde t0 este temperatura medie constantă a suprafeței, iar tm0 –amplitudinea variației. Într-un plan oarecare x din interiorul corpului, paralel cu suprafața acestuia, variația temperaturii are ca amplitudine tmx. Dacă n este frecvența variației, în cicluri/s, 1/n reprezintă perioada variației, în s. Cu acestea, variația sinusoidală a temperaturii suprafeței (pentru x=0) este:

(5.3)

în care s-a admis pentru simplificare t0=0. În relația (5.3) 2n este viteza unghiulară, în radiani/s.

Deoarece t0 este o mărime constantă, variabila problemei este temperatura t cu variație sinusoidală, astfel încât ecuația procesului unidirecțional tranzitoriu este:

(5.4)

Soluția generală a acestei ecuații este:

(5.5)

în care A, B și C sunt constante de integrare. Constantele pot fi determinate prin înlocuirea expresiei (5.5) în ecuația (5.4). Se calculează derivatele parțiale:

Simplificând cu Ae-Bx, ecuația (5.5) devine:

Pentru x=0 și =0, aceasta se reduce la :

Deoarece termenul stâng al ecuației este egal cu zero, rezultă că:

obținându-se în final:

Întrucât soluția negativă nu are sens fizic, ecuația (5.5) devine:

(5.6)

Constanta de integrare A se determină aplicând condiția la limită corespunzătoare suprafeței corpului. Astfel, pentru x=0, ecuația (5.6) capătă forma:

care comparată cu expresia (5.3) conduce la rezultatul A=tm0.

Soluția finală a ecuației diferențiale (5.4) este, deci:

(5.7)

Ultima ecuație arată că amplitudinea temperaturii t scade exponențial cu distanța x parcursă în solid, conform relației:

(5.8)

Reprezentarea grafică a ecuației (5.7) este arătată în figura 5.1 și anume profilul temperaturii cu distanța x, la un anumit timp =1/2n (fig. 5.1, a) și variațiile temperaturii cu timpul la suprafața corpului x=0 și la adâncimea x în solid (fig. 5.1, b).

Fig. 5.1. Conducția termică tranzistorie într-un corp semiinfinit:

a–profilul temperaturii cu distanța x, la timpul =1/2n; b –variația temperaturii cu timpul la suprafața corpului x=0 și la adâncimea x în corpul solid; c –defazajele în transferul periodic al căldurii.

Se observă că în corp se propagă o undă de temperatură și, de asemenea, că variația ciclică a temperaturii la distanța oarecare x este în întârziere față de variația suprafeței. Diferența de fază în variația temperaturii la distanța x este . Prin urmare, defazajul de timp al unui anumit exces de temperatură (redus în valoare la distanța x) este dat de:

(5.9)

Defazajul pentru o undă completă de temperatură cu lungimea X este 1/n, deci lungimea de undă pentru o undă completă este:

(5.10)

De asemenea, viteza de propagare a undei de temperatură în solid este: (5.11)

Ecuația (5.8) permite calculul raportului dintre amplitudinea maximă, la x=0 și amplitudinea temperaturii la distanța x:

Dacă este necesară determinarea distanței x la care amplitudinea tmx scade sub o anumită valoare din tm0, din ultima relație rezultă:

(5.12)

În fine, fluxul de căldură la suprafața peretelui, unde x=0, se poate determina din relația lui Fourier:

,

unde gradientul temperaturii se obține cu ajutorul ecuației (5.7):

Folosind identitatea matematică:

rezultă că:

Fluxul de căldură are expresia de calcul:

(5.13)

Din ultima ecuație se vede că fluxul de căldură variază sinusoidal și cu aceeași frecvență ca și temperatura suprafeței, dar întârziat cu o perioadă de 1/8n.

Cantitatea totală de căldură transferată prin perete este:

(5.14)

În felul acesta, energia termică acumulată variază cu aceeași frecvență ca și temperatura suprafeței, dar întârziată față de acesta cu o perioadă de 7/8n (fig. 5.1, c). Rezultă că fluxul de căldură la suprafața corpului este alternativ spre și dinspre solid, iar energia acumulată este ciclic pozitivă și negativă față de temperatura medie.

5.2. METODE NUMERICE DE REZOLVARE

Au fost realizate diagrame de variație a temperaturii care sunt utile pentru calculul conducției tranzitorii în corpurile solide cu forme geometrice simple. În aplicațiile practice există, însă, numeroase cazuri în care corpurile au forme geometrice complexe, iar condițiile la limită pot varia cu timpul, astfel încât obținerea de soluții analitice pentru aceste probleme nu este posibilă. În aceste cazuri, problemele sunt tratate prin tehnici numerice de calcul, care, de regulă, presupun utilizarea calculatoarelor de birou, mijlocii sau mari, în funcție de complexitatea problemei și precizia necesară. În continuare se prezintă elementele de bază ale metodei numerice pentru un sistem bidirecțional, sistemul uni și tridirecțional obținându-se prin simplificarea, respectiv prin extinderea rezultatelor.

Se consideră un corp bidirecțional împărțit într-o rețea ca în figura 5.2. Indicele m definește poziția x, iar indicele n poziția y. ecuația diferențială care descrie procesul de conducție termică tranzitorie în corp este:

(5.14)

în care se admite difuzivitatea termică a=const.

Fig. 5.2. Notațiile utilizate în analiza numerică a conducției

tranzitorii bidirecționale pentru un nod în interiorul corpului.

Legat de folosirea metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor de conducție tranzitorie, se fac următoarele observații:

–Alegerea valorii parametrului:

influențează direct complexitatea calcului numeric; alegerea valorii M=4 pentru sistemele bidirecționale și a valorii M=2 pentru sistemele unidirecționale simplifică considerabil calculul.

–Prin alegerea diviziilor x și a valorii lui M, rezultă pasul de timp , care nu poate fi schimbat fără modificarea valorilor x și M. În mod evident, cu cât valorile lui x și sunt mai mari, cu atât se obține mai rapid soluția problemei, dar cu atât precizia este mai scăzută.

–Dacă M2, coeficientul temperaturii tmp devine negativ, ceea ce poate genera situații care contrazic al doilea principiu al termodinamicii. De exemplu, dacă nodurile vecine nodului m au temperaturile egale, dar inferioare lui tmp, după scurgerea timpului , temperatura tmp+1 nu poate scădea sub temperatura nodurilor vecine, în caz contrar căldura propagându-se în sensul scăderii temperaturii, lucru imposibil. Deoarece o valoare M2 ar produce un astfel de efect, trebuie introduse pentru M valorile restrictive:

pentru sistemele unidirecționale;

pentru sistemele bidirecționale.

–Restricțiile de mai sus, impuse de natura fizică a fenomenelor, rezultă, de asemenea, și din considerente matematice, soluțiile obținute prin diferențe finite fiind stabile și convergente.

Metoda diferențelor înainte și înapoi. Ecuațiile de mai sus au fost stabilite pe baza metodei diferențelor înainte, conform căreia temperatura unui nod la sfârșitul unui pas viitor de timp este exprimată în funcție de temperaturile nodurilor vecine la începutul pasului respectiv de timp. Relațiile corespunzătoare sunt denumite ecuații explicite deoarece temperaturile nodale sunt exprimate în mod explicit în funcție de temperaturile nodale anteriare . În cadrul acestei metode, calculul decurge direct de la un pas de timp la următorul până la stabilirea distribuției temperaturii la etapa finală dorită.

Ecuațiile în diferențe finite pot fi exprimate și în funcție de timpii anteriori momentului considerat, când tehnica de calcul poartă numele de metoda diferențelor înapoi. În acest caz aproximarea derivatei în raport cu timpul se scrie în forma:

(5.15)

Derivatele în raport cu spațiul pot fi exprimate în funcție de temperaturile la pasul de timp p+1, astfel încât forma echivalentă a ecuației este:

(5.16)

iar pentru x=y, forma echivalentă a ecuației este:

(5.17)

Se observă că în cadrul metodei diferențelor înapoi nu se poate determina în mod explicit în funcție de . Pentru întreaga rețea de noduri trebuie scris un sistem de ecuații, care se rezolvă simultan, determinând temperaturile . Relațiile corespunzătoare sunt denumite ecuații implicite ale temperaturilor ulterioare.

Avantajul metodei explicite a diferențelor înainte constă în determinarea directă a temperaturilor nodale ulterioare; totuși, stabilitatea calculelor depinde de alegerea valorilor lui x și y. Alegerea unei valori x mici determină în mod automat o valoare maximă pentru . Pe de altă parte, astfel de restricții nu există în metoda implicită a diferențelor înapoi, în care se pot alege pași mai mari de timp pentru scurgerea duratei calcului. Dezavantajul principal al metodei implicite este volumul mare al calculelor pentru fiecare etapă.

Se face remarca finală că metoda diferențelor finite este aplicabilă practic la orice situație reală. Problemele mai complicate, la care calculul este mai laborios, se rezolvă relativ ușor cu ajutorul calculatoarelor numerice cu capacitate medie sau mare, pe baza unor programe de calcul adecvate.

ELEMENTE DE BAZĂ ALE CONVECȚIEI TERMICE

ELEMENTE DE HIDRODINAMICĂ

Așa cum s-a arătat în subcapitolul 1.4, transferul de căldură prin convecție între suprafața unui corp solid și un fluid are loc prin acțiunea combinată a conducției termice și transportului de masă. Dacă temperatura suprafeței este mai mare decât a fluidului, căldura se propagă întâi prin conducție de la corpul solid la particulele de fluid din vecinătatea peretelui. Energia transmisă astfel mărește energia internă a fluidului, fiind transportată prin mișcarea fluidului. Când particulele de fluid încălzit ajung într-o regiune cu temperatură mai scăzută, căldura este transferată din nou prin conducție de la fluidul mai cald spre fluidul mai rece.

Deoarece procesul de convecție, ca unul din modurile fundamentale de transfer de căldură, este atât de strâns legat de mișcarea fluidului , este absolut necesară cunoașterea mecanismului de curgere a fluidului înaintea investigării mecanismului de transfer al căldurii. Din această cauză se vor reaminti în continuare unele noțiuni din hidrodinamică privind unele mărimi și relații de bază din mecanica fluidelor, tipuri și regimuri de curgere, stratul limită hidrodinamic, pierderile de presiune.

6.1. TIPURI ȘI REGIMURI DE CURGERE

Viscozitatea. Spre deosebire de fluidele în repaus, la care între particulele fluidului se exercită acțiuni reciproce care reprezintă numai eforturi normale pe orice plan de separație al particulei de restul fluidului, la fluidele în mișcare apar deformații care nu sunt aceleași în toate direcțiile; la aceste fluide, în afară de eforturile normale, mișcarea dă naștere la eforturi tangențiale, datorită faptului că deformațiile întâmpină rezistențe, atribuite, după teoria lui Newton, unei atracții între moleculele fluidului. Aceste acțiuni tangențiale care apar la mișcarea fluidului constituie așa-numita frecare internă sau viscozitate și produc disiparea în căldură a unei părți din energia cinetică a curgerii.

Fluidele reale sunt vâscoase și compresibile. Definind viscozitatea ca o caracteristică a fluidelor reale de a opune o anumită rezistență la schimbarea formei datorită curgerii, calculul ei se poate face cu ajutorul relației lui Newton privind determinarea forței de frecare vâscoasă F între două straturi vecine de fluid de grosime infinit mică dy și suprafață de contact S, care se deplasează cu viteze diferite w și w+dw:

[N]. (6.1)

Coeficientul de proporționalitate este denumit viscozitate dinamică a fluidului și se exprimă în (Ns)/m2. Inversul viscozității dinamice poartă numele de fluiditate. Mărimea dw/dy exprimă gradientul vitezei, respectiv variașia vitezei cu lungimea în direcția y normală pe direcția de curgere. Raportul:

[m2/s], (6.2)

reprezintă viscozitatea cinematică a fluidului; este densitatea fluidului, în Kg/m3. La lichide viscozitatea dinamică și cinematică scad cu creșterea temperaturii, iar la gaze și cresc cu creșterea temperaturii.

Tipuri de curgere. În hidrodinamică se definesc două tipuri de bază de curgere a unui fluid: laminară și turbulentă.

În curgerea laminară fiecare particulă dinfluid se deplasează în cadrul aceluiași strat, paralel cu suprafața peretelui și cu celorlalte particule; curgerea se desfășoară în straturi paralele, fără transfer de particule (de masă) între acestea.

În curgerea turbulentă, particulele individuale din fluid au o mișcare dezordonată, cu o direcție și o viteză de deplasare permanent variabilă; mișcarea are o viteză rezultantă, paralelă cu suprafața peretelui, dar suprapus peste acesta există fluctuații continue de viteză care produc un transfer reciproc de particule (de masă) între straturi.

În cele două tipuri de bază există o curgere tranzitorie, în care o particulă din fluid are alternativ porțiuni de curgere laminară și turbulentă.

Dacă se măsoară viteza într-un punct dintr-un tub cilindric în care are loc curgerea turbulentă a unui fluid, se constată existența pulsațiilor spațiale ale vitezei în jurul unor valori medii. La mișcarea turbulentă, viteza instantanee poate fi considerată ca suma unei viteze medii temporale și a unei pulsații de viteză. Astfel se poate scrie:

(6.3)

Vitezele medii temporale au expresiile:

(6.4.)

unde este intervalul de timp pe care se face medierea.

Raportul dintre viteza medie de pulsație și viteza medie de transport se numește grad de turbulență.

Într-o mișcare în regim constant (cazul unui tub cilindric) se constată că într-un punct oarecare viteza medie de transport wx,med=const., iar viteza medie în direcție normală Wy,med=0, întrucât nu există o curgere continuă către peretele tubului, acesta fiind impermeabil. Ca valoare absolută, pulsația vitezei după direcția curgerii este cuprinsă între 2 și 30% din valoarea vitezei medii temporale respective. Pulsațiile transversale sunt de aproximativ același ordin de mărime cu cele longitudinale pentru puncte nu prea îndepărtate de axa conductei, scăzând către perete, unde sunt anulate de prezența acestuia.

Existența pulsațiilor transversale face ca perticulele de fluid să fie deplasate perpendicular pe direcția de curgere; împreună, pulsațiile axiale și transversale ale vitezei generează curgerea turbulentă, respectiv formarea vârtejurilor și a mișcării de amestec în fluid, ceea ce are drept consecință apariția unui consum suplimentar de energie la curgerea fluidului.

Curgerea turbulentă este atât de complicată în mecanismul intim de producere, încât nu poate fi descrisă exact analitic. Efectele turbulenței asupra desfășurării mișcării și asupra comportării sunt însă foarte importante. Rezultatele mișcării pulsatorii echivalează cu o creștere de 102 –103 ori a viscozității, ceea ce produce majoritatea rezistenței hidraulice a mișcării turbulente a fluidelor la curgerea prin țevi și canale.

Efortul tangențial. Cu ajutorul relației (6.1) se poate defini efortul unitar tangențial datorat viscozității fluidului:

(6.5)

în care se notează acest efort tangențial cu v* pentru a se sublinia natura sa (viscozitatea drept cauză de producere).

Efortul v* se manifestă atât la mișcarea laminară, cât și la cea turbulentă. Suplimentar însă, în curgerea turbulentă, apare și un efort tangențial t* datorat pulsațiilor vitezelor locale, numit efort de frecare aparentă. Deci, la curgerea laminară, efortul tangențial este *=v*, iar la curgerea turbulentă, frecările interioare în fluid se consideră reprezentate de suma *=v*+t*.

Regimuri de scurgere. Pentru caracterizarea curgerii unui fluid a fost propus criteriul Reynolds, notat prescurtat cu Re. Criteriul Re este o grupare adimensională a unor proprietăți fizice, geometrice și funcționale care descriu mișcarea fluidului și reprezintă raportul dintre forțele de inerție Fin și forțele de viscozitate F, raportate la volumul V. Notând cu m masa de fluid, a –accelerația, -densitatea fluidului, -timpul și ținând seama de relația (6.1), se obține următoarea expresie pentru criteriul Reynolds:

(6.6)

În relația (6.6), accelerația a=dw/d reprezintă variația vitezei în unitatea de timp, l=V/S este o lungime caracteristică a curgerii, iar

este viteza medie a fluidului.

În cazul curgerii prin tuburi cilindrice l=d, unde d este diametrul interior al tubului, astfel încât:

(6.7)

Pentru tuburi sau canale cu secțiuni transversale de curgere necirculare, l=dech, unde dech reprezintă diametrul hidraulic echivalent determinat de relația:

(6.8)

în care S este aria secțiunii transversale de curgere, în m2, iar P –perimetrul udat de fluid, în m.

În funcție de valoarea criteriului Re se deosebesc următoarele trei regimuri de curgere printr-un tub cilindric sau canal:

–regim laminar, când 0 Re 2320;

–regim de tranziție, când 2320 Re 4 000 (10 000);

–regim turbulent, când Re 4 000 (10 000).

Valoarea Recr it=2320 reprezintă numărul Reynolds critic, care separă mișcarea pur laminară de cea de tranziție turbulentă. Criteriului Recr it îi corespunde o anumită viteză critică wcr it. La fluidele foarte viscoase (uleiuri, păcură), viteza de curgere este mai mică decât wcr it, iar mișcarea este, de obicei, laminară. La fluidele puțin viscoase (apă, abur, gaze), viteza de curgere este mai mare decât wcr it și mișcarea este, de regulă, turbulentă. Regimul turbulent este stabilizat după unii cercetători pentru Re 4 000, iar după alții pentru Re 10 000; curgerea turbulentă este cea mai răspândită în aplicațiile tehnice.

La curgerea unui fluid paralel cu o placă plană, trecerea de la regimul laminar la cel turbulent se face la Recr it5105.

Legea lui Bernoulli. Exprimarea matematică a principiului conservării energiei în hidraulică este dată de legea lui Bernoulli, conform căreia energia totală a unui fluid în mișcare permanentă este constantă și se compune din energia potențială, energia datorită presiunii și energia cinetică. Pentru două secțiuni transversale 1 și 2 ale unui curent de fluid acest lucru se scrie sub forma:

(6.9)

unde: z1, z2 sunt cote față de un plan (nivel) de referință, în m;

p1, p2 –presiunea hidrostatică a fluidului, în Pa;

1, 2 –densitatea fluidului, în kg/m3;

w1, w2 –viteza medie a fluidului, în m/s;

g –accelerația gravitației, g=9,81 m/s2;

p –pierderea de presiune a fluidului între punctele 1 și 2, în Pa.

În relația (6.9) mărimea E este exprimată sub forma energiei potențiale, respectiv a înălțimii, în m, a unei coloane de fluid. Din această cauză, ultimul termen din expresia (6.9) se poate pune sub forma:

(6.10)

în care h reprezintă pierderea de înălțime (de sarcină) la curgerea fluidului.

Una dintre aplicațiile tehnice cele mai importante ale legii lui Bernoulli o constituie calculul pierderilor de presiune (energie) la curgerea fluidelor prin conducte și canale.

6.2. PIERDERI DE PRESIUNE

La mișcarea relativă a unui fluid față de un corp solid apare o forță la suprafața de separație fluid-solid, denumită forță de frecare. Efectul acestei forțe, conform teoremei lui Bernoulli (6.9), este producerea pierderilor de presiune.

La curgerea prin conducte, canale etc., pierderile de presiune se calculează cu relația:

(6.11)

în care plin reprezintă pierderile liniare de presiune pe porțiunile drepte ale conductelor sau canalelor, iar ploc –pierderile locale de presiune produse de variația secțiunii transversale de curgere și de schimbarea direcției de curgere a fluidului.

Pierderile liniare de presiune pe o conductă (sau canal) orizontală dreaptă de lungime l [m] și diametru interior d [m], prin care curge un fluid cu densitate [kg/m3] și viteza medie de transport , se calculează cu formula Darcy-Weisbach:

(6.12)

în care f reprezintă coeficientul de pierderi liniare de presiune (coeficientul de frecare), mărime adimensională.

În general, coeficientul de frecare f depinde de regimul de curgere (criteriul Re) și de starea pereților conductei sau canalului (rugozitatea relativă =/d, unde este rugozitatea absolută a peretelui și reprezintă înălțimea medie a asperităților peretelui), fiind exprimat prin relații de forma:

(6.13)

În cazul mișcării laminare a fluidelor (Re 2320), f se calculează în mod obișnuit cu relația lui Stokes, stabilită analitic; coeficientul f depinde, în acest caz, exclusiv de regimul de curgere Re, indiferent de starea pereților conductei sau canalului.

Determinarea coeficientului f la curgerea turbulentă a fluidelor este mai complicată datorită influenței rugozității pereților asupra pierderilor de presiune. Asperitățile pereților sunt diferite ca forme și dimensiuni, depinzând în principal de: natura materialului peretelui, tehnologia de fabricație a peretelui, natura fluidului transportat, condițiile de coroziune, eroziune sau depuneri pe suprafața peretelui, vârsta și destinația conductei, existența unor straturi protectoare pe suprafața peretelui etc.

Starea pereților interiori ai conductelor sau canalelor se poate caracteriza cu ajutorul a două mărimi denumite criterii Reynolds limită, definite prin relațiile:

(6.14)

în care =/d este rugozitatea relativă a peretelui; mărimile și d se exprimă în mm.

La mișcarea turbulentă a unui fluid printr-un tub cilindric, condițiile de curgere în vecinătatea peretelui sunt determinate pentru stabilirea valorii pierderilorliniare de presiune, deoarece în acest domeniu, datorită forțelor de frecare cu peretele și forțelor cauzate de viscozitatea fluidului, viteza de curgere a fluidului scade către perete, devenind zero pentru particulele de fluid atașate de perete. În felul acesta, se disting două zone de curgere: una, din imediata apropiere a peretelui, unde viteza particulelor de fluid este scăzută și regimul de curgere este laminar, iar alta, mai depărtată de perete, unde viteza fluidului crește și regimul de curgere devine turbulent. Prima zonă formează așa-numitul strat limită laminar de fluid cu grosime foarte mică măsurată de la suprafața peretelui, strat în care variația vitezei este foarte mare și în care se realizează, în majoritate, pierderile de presiune la curgerea unui fluid. Având în vedere importanța stratului limită asupra procesului de convecție, elementele sale caracteristice vor fi reluate în continuare.

Revenind la calculul pierderilor de presiune, în zona curgerii turbulente se pot delimita, din punct de vedere al stării pereților interiori ai conductei sau canalului, cu ajutorul criteriilor limită Re1 și Re2 trei domenii de rezistență hidraulică; în funcție de valoarea criteriului Re al regimului de curgere, coeficientul de frecare f se exprimă în unul din următoarele moduri:

Fig. 6.1. Perete neted hidraulic (a), semirugos hidraulic (b)

și rugos hidraulic (c).

–Dacă 2320 Re Re1, peretele este neted hidraulic, iar coeficientul de frecare depinde de regimul de curgere Re, adică f=f(Re). Înălțimea medie a asperităților este mult mai mică decât grosimea a stratului limită (), astfel încât peretele, deși rugos, se comportă din punct de vedere hidraulic ca un perete neted (fig. 6.1, a).

–Dacă Re1 Re Re2, peretele este semirugos hidraulic, când coeficientul f este determinat atât de regimul de curgere Re, cât și de rugozitatea peretelui, adică f=f(Re, ). În acest caz, rugozitatea absolută este comparabilă cu (fig. 6.1, b).

–Dacă Re Re2, peretele este rugos hidraulic, în care caz coeficientul de frecare f depinde numai de rugozitatea peretelui, regimul de curgere neinfluențând valoarea lui f, adică f=f(). Valoarea lui este mult mai mare decât (), astfel încât influența rugozităților devine predominantă asupra mișcării turbulente (fig. 6.1, c).

Pierderile locale de presiune se consideră proporționale cu presiunea dinamică (sau energia cinetică) a fluidului și se calculează cu relația:

(6.15)

unde este coeficientul de pierderi locale de presiune, adimensional, restul mărimilor având aceeași semnificație ca în expresia (6.12).

Pierderile locale de presiune apar în instalațiile de transfer de căldură în așa-numitele rezistențe locale reprezentate de schimbarea direcției de curgere a fluidului (în coturi, serpentine, ramificații etc.) sau de modificarea secțiunii de curgere (mărirea sau reducerea bruscă sau gradată a secțiunii de curgere, armături de închidere sau de reglare, aparate de mărurat etc.). Aceste pierderi de presiune sunt produse, pe de o parte, de frecarea fluidului de pereții conductei, analog porțiunilor drepte, iar, pe de altă parte, de vârtejurile formate în fluid în zona rezistenței locale. În tabelul 6.1 se dau valorile pentru principalele tipuri de rezistențe locale din aparatele schimbătoare de cpldură.

Tabelul 6.1

Valorile coeficienților de rezistență locală pentru

aparatele schimbătoare de căldură

Efortul tangențial și pierderile de presiune. Legătura între aceste mărimi se poate stabili cu ajutorul datelor din figura 6.2. Se consideră un tub cilindric cu raza r0 și lungimea L, parcurs de un fluid cu densitatea și viteza medie de curgere . Pierderea liniară de presiune între secțiunile 1 și 2 este:

(6.16)

unde f este coeficientul de frecare liniară.

Fig. 6.1. Efortul tangențial și pierderile de presiune.

În regim permanent de curgere, forțele de presiune care acționează în secțiunile 1 și 2, diferite datorită pierderilor de presiune, sunt echilibrate de forțele de frecare aplicate pe peretele interior al tubului. Dacă este efortul tangențial la perete, se poate scrie pentru tubul de rază r0 egalitatea de forțe:

(6.17)

de unde:

(6.18)

Scriind aceeași egalitate de forțe pentru un cilindru de fluid de rază r, unde 0 r r0, și lungime L, se obține pentru efortul tangențial *:

(6.19)

Analogia ultimelor două relații arată că efortul tangențial * are o variație liniară de forma:

(6.20)

în care y=r0–r reprezintă distanța măsurată de la perete.

Legătura dintre efortul tangențial și coeficientul de frecare f se obține înlocuind p dat de relația (6.16) în expresia (6.18):

(6.21)

6. 3. STRATUL LIMITĂ HIDRODINAMIC

Așa cum s-a menționat anterior, existența suprafeței unui perete cu care un fluid în contact influențează mișcarea fluidului. Astfel, datorită proprietății de adeziune la perete, particulele fluidului au viteză egală cu viteza peretelui, respectiv viteza relativă dintre fluid și perete este nulă. În apropierea peretelui viteza fluidului variază după direcția normală la suprafață, fapt corelat cu prezanța eforturilor tangențiale datorate viscozității și turbulenței. Zona adiacentă peretelui, în care se face simțită influența acestuia asupra mișcării fluidului, poartă numele de strat limită. Conceptul de strat limită a fost introdus de Prandtl în 1904 și a constituit o noțiune extrem de utilă în studiul proceselor turbulente.

Ca definiție, stratul limită reprezintă stratul de fluid din vecinătatea peretelui care își păstrează regimul laminar de curgere, indiferent de regimul de curgere al restului masei de fluid. Stratul limită se datorește forțelor de frecare cu peretele și forțelor produse de viscozitatea fluidului. Efectul acestor forțe este acela al reducerii continue a vitezei fluidului în stratul limită până la zero pentru particulele în contact cu peretele.

Stratul limită împarte zona de curgere de lângă un perete în două domenii: un strat subțire adiacent peretelui, în care gradientul vitezei și forțele de frecare sunt mari, și o regiune exterioară acestui strat, unde viteza este practic egală cu viteza de curgere liberă, iar efectele viscozității sunt neglijabile.

Grosimea stratului limită se definește, în mod convențional, ca distanța de la suprafața peretelui până în punctul în care viteza locală atinge 99% din viteza fluidului în zona de curgere neperturbată. Grosimea acestui strat scade cu creșterea vitezei medii a fluidului și rugozității peretelui și cu reducerea viscozității fluidului. O expresie aproximativă pentru grosimea la curgerea unui fluid printr-un tub cilindric cu diametrul d este:

(6.22)

unde f este coeficientul de frecare definit prin relația (6.12).

Formarea și dezvoltarea stratului limită la un tub cilindric cu diametrul interior d este arătată în figura 6.3. Se consideră un fluid în mișcare omogenă uniformă care curge paralel cu axa tubului cu viteza w egală în tot domeniul. Datorită poziției tubului față de curentul de fluid, stratul limită se formează în mod simetric pe peretele interior al tubului. De la intrarea în tub, în secțiunea O, datorită contactului fluidului cu suprafața peretelui, începe formarea stratului limită, care are la început o mișcare laminară, indiferent de valoarea vitezei w.

Dacă viteza w este redusă, astfel încât mișcarea fluidului în tub este laminară , începând dintr-o anumită secțiune S, stratul limită laminar ocupă întreaga secțiune transversală a tubului (fig. 6.2,a). Între secțiunile O și S, între care există distanța Lh, are loc dezvoltarea completă a stratului limită, respectiv stabilizarea profilului vitezei în secțiunea transversală a tubului. Modificarea profilului vitezei între secțiunile O și S se detorează frecării fluidului cu peretele și frecării vîscoase între straturile vecine de fluid, efectul acestor forțe transmițându-se progresiv către axa tubului pe măsură ce fluidul avansează pirn tub. Lungimea Lh poartă numele de lungime hidrodinamică de intrare și este de aproximativ Lh50d, unde d este diametrul interior al tubului.

În regim stabilizat de curgere laminară (respectiv după secțiunea S) ,distribuția vitezei este parabolică, de forma:

(6.23)

Fig. 6.2. Stratul limită la tubul cilindric:

a–curgere laminară; b –curgere turbulentă.

unde w este viteza locală la distanța r de axa tubului, iar wmax –viteza maximă realizată în axa tubului. Se poate demonstra că viteza medie este jumătate din valoarea vitezei maxime:

Dacă viteza w cu care pătrunde fluidul în tub are o valoare mai mare, curgerea fiind turbulentă (este îndeplinită condiția ), stratul laminar devine turbulent și, începând din secțiunea S, ajunge să umple întreaga secțiune transversală a tubului (fig. 6.2, b), cu excepția unui film de fluid atașat peretelui, denumit substrat laminar, în care mișcarea este laminară. În acest caz, lungimea hidrodinamică de intrare pe care se face stabilizarea profilului vitezei este mai scurtă datorită efectelor turbulenței, de aproximativ Lh=(10…15)d.

După secțiunea S distribuția vitezei în secțiunea transversală de curgere este aproape uniformă, cu excepția variației rapide pe grosimea substratului laminar . Până în prezent au fost propuse numeroase legi de distribuție a vitezei în curgere turbulentă. Rezolvarea ecuațiilor mișcării turbulente într-un tub cilindric arată că profilul vitezei este dat de ecuația logaritmică:

(6.24)

în care n este o constantă numerică determinată experimental (n=0,4), iar C –constantă de integrare.

În ultima relație se face notația:

(6.25)

mărimea w* are dimensiunea unei viteze și este denumită viteză dinamică sau viteză de frecare la perete.

Eliminarea efortului tangențial între relațiile (6.21) și (6.25) conduce la expresia:

(6.26)

Cercetările efectuate pentru tuburi cilindrice cu pereți netezi au căutat să exprime profilul vitezei dat de ecuația (6.24) prin dependențe de forma:

(6.27)

unde w+=w/w* este raportul dintre viteza de frecare la peretele w*, iar y+=yw*/ -raportul dintre distanța la peretele y înmulțită cu viteza de frecare la perete w* și viscozitatea cinematică .

Din măsurători pe țevi netede drepte, pentru , Nikuradse a stabilit următoarea formă tentru ecuația (6.24)pentru profilul logaritmic al vitezei (variabilă pentru y+ 30):

(6.28)

Pentru calcule orientative, se poate folosi formula aproximativă a lui Prandtl:

(6.29)

unde r0=d/2, iar y=r0 –r este distanța măsurată de la perete. Viteza medie

Pentru calcule mai precise este propusă relația lui Altșul:

(6.30)

în care f este coeficientul de frecare.

Raportul dintre viteza maximă și viteza medie este, în acest caz:

(6.31)

Este important de reținut că, în mișcarea turbulentă, datorită pulsațiilor vitezei, variația vitezei tinde către o distribuție uniformă.

În modelele mai complexe ale curgerii turbulente, zona de lângă perete este concepută ca fiind alcătuită din trei straturi: un substrat laminar (vâscos) adiacent peretelui, un strat de tranziție (amortizor) intermediar și zona exterioară cu curgere turbulentă.

CONVECȚIA LIBERĂ

7.1. CONSIDERAȚII GENERALE

Mecanismul transferului de căldură prin convecție liberă (naturală) este reprezentat de mișcarea unui fluid peste suprafața unui perete, mișcare produsă de diferența de densitate a fluidului datorată diferenței de temperatură obținută prin procesul de schimb de căldură. În convecția liberă, straturile limită termic și hidrodinamic sunt, în principiu, de aceeași grosime, deoarece gradienții vitezei sunt produși de gradienții temperaturii. În aceste condiții, coeficienții de schimb de căldură prin convecție și relațiile corespunzătoare de calcul vor depinde direct de orientarea și geometria suprafețelor sistemului.

În general, convecția liberă este produsă de distribuția neuniformă a forțelor masice într-un fluid. Ca forțe de acest tip sunt forța gravitațională, forța centrifugă și forța indusă într-un fluid de un câmp electromagnetic de intensitate ridicată. Ca proces de transfer de căldură, cel mai bine cunoscut este convecția liberă cauzată de forțele gravitaționale (arhimedice), de forma g[N/m2], unde este densitatea fluidului, în kg/m3, iar g –accelerația m/s2.

7.2. CONVECȚIA LIBERĂ ÎN SPAȚII FINITE

Convecția liberă în spații finite prezintă o importanță particulară în calculul izolațiilor termice. De exemplu, conductivitatea termică a aerului fiind scăzută, acesta este utilizat frecvent ca mediu izolant termic sub formă de straturi înguste între suprafețele pereților.

Acest proces de convecție este determinat de condițiile de contur (forma spațiului, poziția relativă a suprafețelor calde și reci) și de viscozitatea fluidului. Forma spațiului disponibil pentru mișcarea fluidului acționează în sensul reducerii vitezei de deplasare a fluidului, prin frecarea dintre acesta și suprafața pereților. În spațiu limitat, mișcarea liberă are loc practic întotdeauna în regim laminar; transferul căldurii se face cu precădere prin conducție termică, aportul convecției depinzând de existența condițiilor de activitate a mișcării.

Dacă grosimea interstițiului de fluid este mare curenții ascendenți și descendenți de fluid nu se interferă; dacă, însă, este mic interferența dintre cei doi curenți produce bucle de circulație, a căror înălțime h depinde de lățimea spațiului, de natura fluidului și de intensitatea procesului. În spațiile finite orizontale, procesul este determinat de dispoziția relativă a suprafeței calde și reci și de distanța dintre acestea; astfel, dacă suprafața caldă este sus nu există circulație în fluid, iar dacă suprafața caldă este sus se formează curenți alternanți ascendenți și descendenți, transferul de căldură fiind intensificat.

CONVECȚIA COMBINATĂ LIBERĂ ȘI FORȚATĂ

În orice proces de transfer de căldură apar gradienți de presiune, astfel încât în prezența câmpului de forțe gravitațional se formează curenți de convecție liberă (naturală). Dacă efectele convecției forțate sunt foarte mari, influența curenților de convecție liberă poate fi neglijabilă, sau, invers, dacă forțele convecției libere sunt foarte mari, se pot neglija efectele convecției forțate.

Pentru a obține o indicație asupra mărimii relative a efectelor convecției libere și forțate, se consideră ecuația diferențială (7.1) care descrie curgerea uniformă a unui fluid pe lângă o placă verticală sub acțiunea forțelor ascensionale (arhimedice) și a vitezei w a fluidului neperturbat, ambele mișcări fiind în aceeași direcție.

(7.1)

Aceasta corespunde în cazul în care placa este caldă și curgerea este ascendentă sau placa este rece și curgerea este descendentă. Admițând că curgerea are loc în direcția x și că proprietățile fizice sunt constante cu excepția efectului temperaturii asupra densității, ecuația Navier-Stokes a stratului limită pentru curgerea unidirecțională este:

(7.2)

Această ecuație poate fi generalizată introducând mărimile adimensionale

și , când căpăta forma:

(7.3)

În vecinătatea peretelui, respectiv în stratul limită, și W au ca ordin de mărime unitatea. Deoarece W variază de la 1 pentru X=0 la o valoare foarte scăzută pentru X=1, iar wx este de același ordin de mărime cu w , membrul stâng al ecuației (7.2) este aproximativ egal cu unitatea. În mod asemănător, primii doi termeni din membrul drept și sunt în apropierea valorii 1. Ca urmare, forțele arhimedice vor influența distribuția vitezei (care, la rândul său, determină distribuția temperaturii), dacă coeficientul lui este aproximativ egal cu 1 sau mai mare, adică:

(7.3)

În acest fel, raportul Gr/Re2 dă o indicație calitativă asupra influenței mișcării libere asupra convecției forțate. Când GrRe2, se poate neglija convecția forțată, când , se consideră simultan convecția liberă și forțată, iar când , se poate neglija convecția liberă. De exemplu, pentru fluide care au criteriul Prandtl cuprins între 0,01 și 10, la o placă plană verticală, dacă , efectul convecției libere asupra valorii medii a coeficientului de transfer de căldură al procesului de convecție forțată este mai mic de 5%.

CONVECȚIA FORȚATĂ

8.1. CONSIDERAȚII GENERALE

Încălzirea și răcirea fluidelor care curg prin interiorul conductelor sau canalelor reprezintă unele din cele mai importante și frecvente procese tehnice de transfer de căldură. Proiectarea și analiza tuturor tipurilor de schimbătoare de căldură de suprafață cu destinații în toate ramurile industriale, a aparatelor de aer condiționat sau frigorifice etc., necesită cunoașterea coeficientului de convecție între suprafața interioară a peretelui și agentul termic.

Curgerea forțată se datorează unor forțe externe fluidului (pompe, ventilatoare etc.), care creează presiunea de circulație a acestuia. Regimul de curgere printr-un canal cu secțiunea circulară se caracterizează cu ajutorul criteriului Reynolds:

(8.1)

în care este viteza medie de curgere, în m/s, d –diametrul interior al canalului, în m, iar -viscozitatea cinematică a fluidului, în m2/s.

Dacă mișcarea fluidului are loc cu Re 2320 (unde Recr=2320 este valoarea critică a criteriului Reynolds), curgerea este laminară, iar transferul de căldură se face prin convecție forțată în regim laminar. În intervalul 2320 Re 104, curgerea are loc în regim de tranziție, iar transferul de căldură se desfășoară prin convecție forțată în regim de tranziție. În fine, dacă mișcarea fluidului are loc cu Re 104, curgerea este turbulentă, iar transferul de căldură se face prin convecție forțată în regim turbulent.

Procesul dintr-un tub cilindric, de încălzire sau răcire a unui fluid prin convecție forțată este determinat, în principal, de condițiile de curgere, fiind cu mult mai complicat decât transferul de căldură între o suprafață plană și un fluid în curgere infinită (respectiv într-un spațiu cu dimensiuni foarte mari). În ultimul caz, de la o anumită distanță față de suprafața plană, fluidul nu mai este afectat de procesele din vecinătatea peretelui. În cazul tubului cilindric, a cărui secțiune transversală este finită, fluidul este decelerat datorită viscozității la o anumită distanță de la intrarea în tub. De asemenea, tubul fiind finit, temperatura fluidului variază atât în secțiunea transversală cât și în lungul tubului, ceea ce afectează transferul de căldură.

Așa cum s-a arătat în subcapitolele 6.1 și 6.3, în care s-au definit conceptele de strat limită hidraulic și strat limită termic, pe parcursul lungimii hidrodinamice de intrare în canal Lh are loc formarea (dezvoltarea) profilului vitezei până la profilul final (stabilizat), respectiv pe parcursul lungimii termice de intrare în canal Lt are loc dezvoltarea profilului temperaturii până la profilul final (stabilizat). Dincolo de lungimile Lh și Lt, transferul de căldură se face prin convecție complet dezvoltată (stabilizată).

În analiza proceselor de transfer de căldură prin convecție, se adoptă de regulă, două ipoteze reprezentative: fluxul termic unitar este constant sau temperatura suprafeței peretelui este constantă în lungul canalului de curgere. Prima ipoteză (qs=const.) se realizează în practică, de exemplu, la încălzirea electrică a peretelui canalului, iar a doua ipoteză (tp=const.) la condensarea în exteriorul canalului de curgere a vaporilor unui fluid.

8.2. SOLUȚII ANALITICE PENTRU CONVECȚIA

FORȚATĂ

8.2.1. CONVECȚIA LAMINARĂ CU FLUX

TERMIC UNITAR CONSTANT

La curgerea laminară a unui fluid printr-un tub cilindric cu diametrul D, în regim hidrodinamic și termic stabilizat, transferul de căldură prin convecție poate fi calculat cu ajutorul formulei, stabilită în ipoteza fluxului termic unitar qs=const. Considerând proprietățile fizice ale fluidului constante, distribuția vitezei este parabolică:

(8.2)

unde

Înlocuind în ecuație și integrând, se obține:

de unde rezultă:

(8.3)

Acest rezultat s-a obținut în regim constant, hidrodinamic și termic stabilizat, pentru o distribuție parabolică a vitezei și proprietăți fizice constante ale fluidului. În realitate, aceste ipoteze simplificatoare nu pot fi respectate în aplicațiile tehnice, astfel încât formulele practice de lucru se stabilesc din corelarea datelor experimentale, urmând a fi prezentate în subcapitolele următoare.

8.2.2 CONVECȚIA LAMINARĂ CU TEMPERATURA

CONSTANTĂ A PERETELUI

Variația temperaturii medii a fluidului în lungul axei de curgere pentru tp=const. și =const. este dată de relația După parcurgerea lungimii hidrodinamice și termice de intrare, profilul vitezei și temperaturii este complet dezvoltat.

Condiția ca profilul temperaturii să fie complet dezvoltat este:

(8.4)

în care, pentru o secțiune transversală dată, tf este temperatura fluidului variabilă cu raza sau cu distanța de la suprafața peretelui, iar este temperatura medie a fluidului.

Diferențiind ultima expresie, se poate obține :

(8.5)

Pentru tp=const., ultima ecuație devine:

(8.6)

Pentru curgerea laminară axială simetrică, în regim constant, ecuația energiei poate fi scrisă în forma simplificată:

(8.7)

în care s-a neglijat conducția termică axială este difuzivitatea termică.

Ținând seama de relațiile (8.2) și (8.6), ecuația (8.7) capătă forma:

(8.8)

Rezolvarea ecuației (8.8) care este cu mult mai complicată decât rezolvarea ecuației variației temperaturii medii a fluidului în lungul axei de curgere în ipoteza qs=const., conduce la rezultatul:

(8.9)

care este cu aproximativ 16% mai mic decât rezultatul obținutprin expresia (8.3) pentru un flux termic unitar constant. Observația finală din paragraful 8.2.1 privind aplicabilitatea relației (8.3) este valabilă și pentru relația (8.9)

8.3 RELAȚII CRITERIALE PENTRU CALCULUL

CONVECȚIEI FORȚATE

Calculul convecției forțate la curgerea prin conducte și canale se face, de regulă, cu relații criteriale stabilite prin corelarea datelor experimentale.

Structura relațiilor criteriale pentru stabilirea coeficientului de convecție depinde de regimul de curgere:

–în regim laminar și de tranziție, schimbul de căldură este determinat de existența simultană a mișcării forțate și libere, când:

(8.10)

–în regim turbulent, schimbul de căldură depinde numai de mișcarea forțată, astfel încât:

(8.11)

unde Nu, Re, Gr, Pr reprezintă criteriul Nusselt, Reynolds, Grashof, respectiv Prandtl, iar coeficienții t, l, r țin seama , respectiv, de efectul temperaturii stratului limită, al porțiunii de intrare în conductă sau canal și de schimbarea direcției de curgere, după cum se va arăta în continuare.

Limitele de precizie a valorilor calculate ale coeficientului de convecție. Este important de notat că, la utilizarea practică a oricărei ecuații empirice pentru calculul convecției forțate (de tipul ecuațiilor criteriale stabilite prin corelarea datelor experimentale), valorile obținute pentru coeficientul de convecție nu sunt exacte. Se constată că rezultatele la care au ajuns diverși cercetători, chiar în condiții deosebit de ingrijite de efectuare a experimentelor, diferă apreciabil. Din această cauză, în curgerea laminară sau turbulentă, valorile calculate ale coeficientului de convecție cu ajutorul oricărei ecuații sau diagrame disponibile conțin abateri de până la 30%. În regiunea de tranziție, în care datele experimentale sunt puține, precizia în determinarea criteriului Nusselt din relațiile de calcul existente este încă mai scăzută.

Sensul de propagare a căldurii. Lichidele sau gazele pot fi supuse la procese de incălzire sau răcire, în care situații fluxul termic este direcționat spre fluid, respectiv, spre perete. Sensul de propagare a căldurii influențează distribuția vitezei la curgerea prin țevi sau canale, datorită modificării viscozității stratului limită cu temperatura în comparație cu restul masei de fluid.

Se știe că, cu creșterea temperaturii viscozitatea lichidelor scade, iar a gazelor crește. Datorită acestui fapt, condițiile de frecare vâscoasă în stratul limită se modifică în comparație cu cazul curgerii izoterme, fără transfer de căldură între perete și fluid. Ca urmare, în cazul lichidelor, profilul vitezei se aplatizează la încălzire și se alungeșta la răcire; la gaze modificările sunt inverse.

Pentru a lua în considerare influența variației proprietăților fizice ale stratului limită asupra transferului de căldură prin convecție, s-au propus factori de corecție de forma:

(8.12)

care multiplică membrul drept al ecuației criteriale (8.10) și (8.11). Primul factor a fost propus de Miheev, iar al doilea de Sieder-Tate. Acești factori de corecție se folosesc, în special, la lichidele viscoase și pentru diferențe mai mari de temperatură între perete și fluid. La gaze, factorii de corecție sunt de forma unde Tp și Tf reprezintă temperatura absolută a suprafeței peretelui, respectiv a fluidului.

Relații pentru curgerea turbulentă. La curgerea turbulentă a lichidelor metalice prin conducte și canale cu pereți netezi hidraulic, principalele relații de calcul al convecției sunt sunt stabilite cronologic de Dittus–Boeldeter, Colburn, Sieder–Tate, Miheev și Petuhov.

Pentru lichide și gaze care curg turbulent prin țevi scurte (2l/d60), cu contradicție bruscă a secțiunii de intrare, reprezentând cazuri tipice în construcția aparatelor schimbătoare de căldură, coeficientul de corecție l se poate determina cu relațiile:

În cayul anumitor agenți termici cu largă aplicație, proprietățile fizice dependente de temperatură din relațiile criteriale pot fi grupate și exprimate prin funcții polinomiale de temperatură. De exemplu, în intervalul de temperatură t=0…2000C, coeficientul de convecție pentru apă la curgerea turbulentă prin țevi sau canale se poate calcula cu expresia aproximativă:

(8.13)

unde: w este viteza medie a apei, în m/s; d –diametrul interior sau diametrul hidraulic echivalent, în m; t –temperatura medie a apei, în C.

În cazul în care curgerea are loc prin canale cu o formă necirculară a secțiunii transversale, se pot aplica relații prezentate mai sus cu condiția utilizării în locul diametrului interior d al tubului cilindric a diametrului hidraulic echivalent:

(8.13)

în care S reprezintă aria secțiunii transversale de curgere, în m2, iar P este perimetrul udat de fluid, în m. Această metodă de calcul constituie o aproximație, domeniul ei de aplicare nefiind precizat. Se recomandă folosirea diametrului hidraulic echivalent la curgerea turbulentă prin canale cu secțiunea transversală dreptunghiulară (cu raportul laturilor a/b=1…40), triunghiulară și inelară și la curgerea paralelă cu un fascicul de țevi.

8.4. PIERDERILE DE PRESIUNE LA CURGEREA

NEIZOTERMĂ A FLUIDELOR

Coeficientul de frecare liniară f corespunde pierderilor liniare de presiune la curgerea izotermă (fără transfer de căldură) a fluidelor. În cazul curgerii neizoterme a fluidelor prin conducte și canale, existența transferului de căldură produce modificarea distribuției vitezei în stratul limită în comparație cu curgerea izotermă; cauza acestui fapt o constituie variația viscozității fluidului din stratul limită cu temperatura, ceea ce determină modificarea condițiilor de frecare a fluidului cu peretele, respectiv o valoare diferită pentrucoeficientul de frecare liniară ft, pentru același regim de curgere Reynolds ca în curgerea izotermă.

În mișcarea laminară neizotermă a fluidelor (lichide și gaze) prin conducte și canale, coeficientul de frecare liniară ft se poate calcula cu formula:

(8.14)

în care f este coeficientulde frecare liniară în curgerea izotermă:

(8.15)

unde: C=2,3, m=-0,3, dacă Pef d/l 1500;

C=0,535, m=0,1, dacă Pef d/l 1500.

În curgerea turbulentă neizotermă a lichidelor prin țevi drepte netede hidraulic, coeficientul de frecare se poate detremina cu relația lui Petuhov:

(8.16)

în care f este coeficientul de frecare liniară în curgerea izotermă, n=0,14 la încălzirea lichidului și n=0,28 Prf-0,25 la rădăcina lichidului. Relația (8.16) este valabilă pentru:3,3103 Ref 2,5105, 0,3 p/f 38, 1,3 Prf 178.

RADIAȚIA TERMICĂ

9.1. NATURA FIZICĂ A FENOMENULUI. DEFINIȚII

Toate corpurile cu o temperatură superioară temperaturii T=0 K emit continuu energia sub formă de radiații. Radiația are un dublu caracter ondulatoriu și corpuscular. Energia și impulsul cunt concentrate în fotoni, iar probabilitatea de a se găsi într-un anumit loc din spațiu este definită prin noțiunea de undă.

Mecanismul de transformare a energiei radiantă, pe baza interpretării lui Planck, se poate prezenta astfel: în urma unui șoc (dintre molecule, atomi, electroni liberi) în interiorul unui corp, electronii unui atom sunt scoși din starea de echilibru și trec de la un nivel de energie inițial), care reprezintă o stare de stabilitate mai mare, energia termică primită în urma șocului se eliberează sub forma undelor electromagnetice care se emit în spațiu.

Formele de radiație se deosebesc numai prin lungimea de undă sau frecvența , care sunt legate între ele prin relația:

(9.1)

în care c este viteza luminii (c=3108 m/s).

toate tipurile de radiație electromagnetică au aceeași natură, diferențiindu-se numai prin lungimea de undă (tab. 9.1).

Radiația termică este rezultatul transformării energiei interne a corpurilor în energie a undelor electromagnetice cu o lungime de undă cuprinsă între 0,1m și 100 m, cuprinzând domeniul radiațiilor vizibile și infraroșii.

Fluxul radiant Q incident pe suprafața unui corp se distribuie astfel: QA este absorbit, QR este reflectat, QD străbate corpul (este difuzat), ecuația de conversare fiind:

Q=QA+QR+QD [W];

A+R+D=1,

unde: A este coeficientul de absorbție;

R este coeficientul de reflexie;

D este coeficientul de difuzie (permeabilitate).

Coeficienții A, R și D pot lua valori cuprinse între 0 și 1, în funcție de natura corpului, starea suprafeței, spectrul radiației incidente și temperatură.

Corpul negru absolut absoarbe toate radiațiile incidente (A=1; R=D=0).

Corpul alb reflectă toate radiațiile incidente (R=1; A=D=0).

Corpul diaterm este transparent pentru toate radiațiile incidente (D=1; A=R=0).

Corpul cenușiu absoarbe pe toate lungimile de undă o anumită proporție din radiațiile incidente (A 1).

Suprafața unui corp se numește lucie dacă ea reflectă radiația incidentă într-o direcție determinată, unghiul de incidență fiind egal cu cel de reflexie. Suprafața se numește mată dacă reflectă radiația incidentă în toate direcțiile.

Radiația monocromatică corespunde unei anumite frecvențe de oscilație sau unei anumite lungimi de undă .

Radiația integrală cuprinde intregul spectru de radiație cu variind de la 0 la .

Fluxul radiant unitar (putere totală de emisie)E reprezintă fluxul radiat de unitate de suprafață a unui corp în toate direcțiile și pe toate lungimile de undă:

E=dQ/dS [W/m2], (9.4)

unde S este aria suprafeței de radiație, în m2.

Factorul de emisie este raportul între puterea totală de emisie a unui corp oarecare E și puterea totală de emisii a corpului negru E0:

=E/E0. (9.5)

Intensitatea de radiație I reprezintă energia radiată de unitatea de suprafață a unui corp, în unitatea de timp, pe o anumită lungime de undă :

I=dE/d [W/m3]. (9.6)

Dacă se cunoaște distribuția energiei de radiație în funcție de lungimea de undă , puterea totală de emisie este:

(9.7)

9.2. LEGILE RADIAȚIEI TERMICE

Legea lui Planck reprezintă legea de distribuție a intensității de radiație I în funcție de lungimea de undă , pentru corpul negru la diferite temperaturi.

Forma analitică a legii lui Planck este:

(9.8)

unde: C1 este prima constantă a lui Planck; C1=0,37410-15 Wm2;

C2 este a doua constantă a lui Planck; C2=1,438810-2 mK;

T este temperatura absolută, în K.

Legea lui Planck a fost obținută pe cale analitică. Ea arată că intensitatea de radiație tinde către 0 pentru 0 și și are un maxim pentru fiecare temperatură. Intensitatea de radiație pentru o anumită lungime de undă crește cu temperatura.

Legea lui Rayleight-Jeans. Legea lui Planck are două cazuri extreme. Primul caz se obține atunci când TC2. În acest caz, dacă din dezvoltarea în serie a lui se pot reține numai primii doi termeni:

(9.9)

relația (9.9) devine:

(9.10)

care exprimă legea lui Rayleight-Jeans.

Legea lui Wien. Cel de-al doilea caz limită al legii lui Planck se obține pentru TC2. În acest caz, relația (9.8) se poate neglija unitatea, obținându-se:

(9.11)

Pentru determinarea valorilor lungimii de undă pentru care intensitatea de radiație este maximă, se egalează cu zero derivata ecuației (9.11), obținându-se:

(9.12)

în care max este lungimea de undă la care I,0 este maxim.

Relația (9.12) reprezintă legea lui Wien, potrivit căreia maximul intensității de radiație se deplasează cu creșterea temperaturii către lungimi de undă mai mici.

Legea Stefan-Boltzmann. Această lege stabilește, pornind de la legea lui Planck pentru corpul negru, dependența puterii totale de emisie de temperatura absolută a corpului:

(9.13)

unde C0 este coeficientul de radiație al corpului negru;

Pentru corpurile cenușii, legea lui Stefan-Boltzmann are forma:

(9.14)

în care, așa cum s-a definit anterior prin relația (9.5), reprezintă raportul între puterea totală de emisie a unui corp oarecare și puterea totală de emisie a corpului negru, purtând denumirea de factor de emisie.

Proprietățile factorului de emisie :

–valorile lui depind de starea suprafeței;

–pentru suprafețe metalice lustruite valorile lui sunt foarte mici;

–pentru toate suprafețele metalice crește cu temperatura;

–valorile lui cresc sensibil pentru suprafețele rugoase sau acoperite cu straturi de oxizi;

–valorile lui pentru suprafețe nemetalice sunt mult mai mari ca pentru metale și variază invers proporțional cu temperatura.

Legea lui Kirchoff stabilește legătura care există între cantitatea de energie emisă și cea absorbită de un corp, în anumite condiții de temperatură. Ea se poate obține simplu considerând o serie de corpuri aflate într-o incintă închisă de mari dimensiuni admisă corp negru. Pentru fiecare dintre aceste corpuri în condițiile echilibrului termodinamic, energia emisă este egală cu energia absorbită:

rezultă:

(9.15)

Relația (9.15) reprezintă legea lui Kirchhoff, care arată că raportul între puterea totală de emisie și coeficientul de absorbție este același pentru toate corpurile, nu depinde de natura corpului, este egal cu temperatura totală de emisie a corpului negru și depinde numai de temperatura absolută.

9.3. RADIAȚIA TERMICĂ A GAZELOR

Gazele, ca și corpurile solide, posedă capacitatea de a absorbi și a emite energie radiantă, însă capacitatea este diferită. Gazele mono și biatomice (O2, CO, H2, N2 etc.) practic pot fi considerate diaterme, cantitatea de energie absorbită și emisă de ele fiind neglijabilă. Gazele poliatomice, în special, CO2, vaporii de H2O, SO2, NH3 au capacitatea de absorbție și de emisie importantă.

Absorbția și emisia gazelor, în comparație cu cea a corpurilor solide prezintă două particularități importante:

–Gazele emit și absorb energie numai în anumite intervale ale lungimilor de undă (benzi de radiație), amplasate în diverse porțiuni ale spectrului. Pentru alte lungimi de undă, în afară acestor benzi, gazele sunt transparente și energia lor de radiație este nulă. În felul acesta, emisia și absorbția gazelor are un caracter selectiv.

–Emisia și absorbția gazelor se realizează în întreg volumul respectiv și nu la suprafată, ca în cazul corpurilor solide și lichide.

Mecanismul procesului de absorbție și emisie a gazelor se poate explica considerând radiația ca un flux de fotoni care se deplasează în spațiu cu viteza luminii c și au energia h. La trecerea prin gaz a fluxului de fotoni, o parte din ei, și anume aceia a căror energie h corespunde unei frecvențe (respectiv lungimii de undă =c/) din banda de absorbție a gazului, sunt absorbiți de acesta. Fotonii cu alte energii trec prin gaz fără a fi absorbiți. Concomitent cu procesul de absorbție în gaz, unele molecule pierd periodic o mică parte din energia lor tehnică, care se transformă într-un flux de fotoni cu energie corespunzătoare benzilor de emisie a gazului. Acest proces determină radiația proprie a volumului de gaz.

Se definește intensitatea spectrală de radiație ca limita reportului dintre energia E cu frecvența emisă de o suprafață, în unghiul solid și valoarea unghiului solid respectiv exprimat în sr(sterian) când acesta tinde către 0:

(9.16)

Intensitatea de radiație, reprezintă energia radiantă care intersectează unitatea de suprafață și se distribuie în direcție normală la acesta în interiorul unui unghi solid unitar, se determină prin integrarea intensității spectrale pe toate frecvențele de radiație:

(9.17)

Pentru descrierea caracterului volumic de absorbție a radiației de către gaze se utilizează coeficientul spectral de absorbție, care reprezintă micșorarea relativă a intensității spectrale de radiație pe unitatea de lungime a drumului radiației:

(9.18)

Mărimea a pentru o anumită frecvență depinde de natura gazului, temperatura și presiunea sa. Pentru diverse benzi de absorbție, valoarea lui a este diferită; în afara acestor benzi, gazul este diaterm și a=0.

Pe baza legii lui Kirchhoff, se pote arăta că intensitatea radiației proprii a unității de volum a unui gaz în orice direcție a spațiului este determinată numai de coeficientul de absorbție al gazului și de intensitatea spectrală de radiație a corpului negru la temperatura gazului (aJ0).

Legea de bază a transferului energiei radiante prin gazul absorbant este:

(9.19)

Pentru caracterizarea radiației proprii a unui strat de gaz, se poate utiliza, ca și în cazul suprafețelor solide, factorul spectral de emisie:

(9.20)

unde al este grosimea optică a stratului de gaz.

Deoarece gazele radiază numai în anumite benzi ale lungimii de undă, factorul de emisie mediu pe spectru este sensibil mai mic ca unitatea, fiind în funcție de natura gazului, presiune, temperatură și grosimea stratului de gaz l.

10. PROCESE COMPLEXE DE SCHIMB

DE CĂLDURĂ

Deși transferul de căldură ca știință este, în general, structurat în trei moduri fundamentale de schimb de căldură–conducția, convecția și radiația termică–analizate în capitolele precedente, în majoritatea cazurilor practice, căldura este transmisă între corpuri prin două sau chiar toate cele trei procese combinate simultan.

Ca proces individual, conducția pură apare numai în corpurile solide opace, de asemenea, ea este un fenomen preponderent în fluidele stagnante. Transferul de căldură prin convecție este însă însoțit întotdeauna de conducție.

Numeroase aplicații tehnice presupun schimbul de căldură între două fluide printr-un perete despărțitor, astfel încât acesta se realizează în mod frecvent prin conducție și convecție termică, iar la temperaturi mai ridicate și prin radiație termică. În categoria proceselor complexe, transferul de căldură poate fi caracterizat și prin combinarea radiației și conducției (radiație conductivă) sau a radiației și convecției (radiație convectivă).

10.1. COEFICIENTUL GLOBAL DE SCHIMB

DE CĂLDURĂ

În cazul frecvent al propagării căldurii între două fluide printr-un perete despărțitor, transferul căldurii are loc prin acțiunea combinată a conducției, convecției și radiației termice.

În practică apar două cazuri distincte:

–Procese de schimb de căldură la temperaturi ridicate, în care, alături de conducție și convecție, intervine și fenomenul de radiație (de exemplu, cuptoare, focarele cazanelor de abur etc.).

–Procese de schimb de căldură la temperaturi coborâte, care se desfășoară prin conducție și convecție și în care radiația termică poate fi neglijată (schimbătoarele de căldură industriale cu temperaturi ale fluidelor sub aproximativ 350C).

În aceste condiții, schimbul de căldură între un fluid și un perete poate avea loc corespunzător în două feluri:

–prin convecție și radiație, cu fluxurile termice unitare exprimate respectiv prin relațiile:

–prin convecție, cu fluxul termic unitar:

Pentru simplificarea calculelor se admite că fluxul termic unitar transmis prin convecție și radiație este dat de expresia:

în care: conv este coeficientul de convecție, având semnificația dată de legea lui Newton, în W/(m2C);

rad -coeficientul echivalent de schimb de căldură prin radiație, în W/(m2C).

Coeficientul rad se obține din egalitatea:

de unde:

În concluzie, cele două cazuri de schimb de căldură fluid–perete: prin convecție și radiație; prin convecție, se pot reduce la unul singur, prin considerarea unui singur coeficient de schimb de căldură , care corespunzător are valorile: =conv+rad, dacă schimbul de căldură are loc prin convecție și radiație; =conv, dacă schimbul de căldură are loc numai prin convecție.

Considerarea în calcule a prezenței simultane a proceselor individuale de conducție, convecție și radiație se face prin definirea unui coeficient global de schimb de căldură k, cu ajutorul căruia ecuația fluxului de căldură Q schimbat între două fluide printr-un perete plan, recpectiv cilindric se scrie în forma:

unde: ks, kl reprezintă coeficientul global de schimb de căldură pentru peretele plan, în W/(m2C), respectiv pentru peretele cilindric;

S, L –suprafața peretelui plan, în m2, respectiv lungimea peretelui cilindric, în m2;

tf1, tf2–temperatura fluidului cald, respectivrece, în C.

Exprimarea coeficientului global de schimb de căldură, pentru peretele cilindric cu diametrul, în unități de măsură raportate la unitatea de lungime [m] sau la unitatea de suprafață [m2], se face cu următoarea relație de transformare:

10.2. TRANSFERUL DE CĂLDURĂ PRIN

PEREȚI DESPĂRȚITORI

Perete plan. Se consideră un perete plan cu aria suprafeței laterale S[m2], alcătuit din două straturi cu grosimile 1 [m] și 2 [m] și conductivitățile termice 1 [W/(mC)] și 2 [W/(mC)]; între cele două straturi există conductanța termică de contact * [W/(mC)]. Peretele desparte un fluid cald cu temperatura tf1 [C] și un fluid rece cu temperatura tf2 [C]; coeficienții de schimb de căldură de suprafață (prin convecție și radiație) sunt, respectiv, 1 și 2, în W/(mC). Se cere determinarea coeficientului termic unitar de suprafață qs [W/m2], a fluxului de căldură Q [W] și a distribuției temperaturii în perete.

Rezistanța termică totală la transferul căldurii este:

Coeficientul global de schimb de căldură:

Fluxul termic unitar de suprafață:

.

Fluxul de căldură:

Distribuția temperaturii în peretele plan se poate stabili cu ajutorul diferențelor de temperatură t, în rezistențele termice Rsi. De exemplu, temperatura tp1 este:

Perete cilindric. Se consideră un perete cilindric tubular alcătuit din două straturi, care desparte un fluid cald și un fluid rece. Se admit date următoarele mărimi: diametrele d1, d2, d3, în m, lungimea peretelui l, în m, conductivitățile 1 și 2, în W/(m2C), temperatura fluidlului cald și rece tf1 și tf2, în C, coeficienții de schimb de căldură de suprafață 1 și 2, în W/(m2C). se cere calculul coeficientului global de schimb de căldură kl, în W/(m2C), al fluxului termic unitar liniar ql, în W/m, al fluxului de căldură Q, în W, și distribuția temperaturii în peretele cilindric.

Rezistența termică totală la transferul căldurii:

Coeficientul global de schimb de căldură:

Fluxul termic unitar liniar:

Fluxul de căldură:

Distribuția temperaturii în peretele cilindric se determină cu ajutprul diferențelor de temperatură ti. Astfel, temperatura tp2 este:

Perete sferic. Se consideră o sferă cu diametrul interior d1 [m], diametrul exterior d2 [m] și conductivitatea termică constantă a peretelui [W/(mC)]. În interior se găsește un fluid cald cu temperatura tf1 [C], iar în exterior un fluid rece cu temperatura tf2 [C]. coeficienții de transfer de căldură de suprafață sunt, 1 și 2 [W/(mC)]. Este necesară determinarea coeficientului global de schimb de căldură Q [W] și a distribuției temperaturii în peretele sfaric.

Rezistența termică totală pentru întreaga sferă este:

Coeficientul global de schimb de căldură pentru întreaga sferă:

Fluxul de căldură pentru întreaga sferă:

Temperaturile suprafețelor peretelui sunt:

11. APLICAȚII NUMERICE

11.1. CONDUCȚIE TERMICĂ ÎN REGIM CONSTANT

Să se determine fluxul termic conductiv unidirecțional care trece perpendicular printr-un perete de cărămidă cu dimensiunile: lungimea l=5m, înălțimea h=3m, grosimea =0,25m. Suprafețele peretelui sunt izolate și au temperaturile constante în timp: tp1=20C și, respectiv, tp2=

-30C. Conductivitatea termică a cărămizii are valoarea medie =0,601 W/(mC).

Rezolvare. Fluxul termic unitar convectiv qs printr-un perete plan omogen este:

Fluxul termic Q prin perete:

11.2. CONDUCȚIE TERMICĂ ÎN REGIM TRANZITORIU

Arborele din oțel al unei turbine cu abur cu diametrul d=2r0=120mm și temperatura t0=20C este introdus într-un cuptor de tratament termic în care temperatura este tf=820C. Să se determine timpul de la introducerea arborelui în cuptor la care temperatura în axa lui devine tc=800C, precum și temperatura corespunyătoare a suprafeței arborelui ts. Conductivitatea termică a oțelului este =21 W/(mC), difuyivitatea termică a=6,1110-6 m2/s, coeficientul de convecție la suprafața arborelui cu mediul din cuptor =140 W/(m2C).

Rezolvare. Temperaturile în axa și la suprafața unui cilindru lung încălzit (răcit) într-un mediu cu temperatură constantă se pot determina cu ajutorul diagramelor.

Cu datele din enunț:

rezultă că valoarea criteriului Fourier Fo=5,2, cu care se determină durata procesului de încălzire:

Pentru valorile Bi=0,4 și Fo=5,2 se obține temperatura adimensională s=0,02, adică:

de unde rezultă ts=804C.

11.3. CONVECȚIE MONOFAZICĂ

O conductă cu diametrul exterior d=512 mm, așezată orizontal în aer, are o pierdere specifică de căldură ql=328 W/m. Diferența dintre temperatura aerului și temperatura suprafeței conductei este t=27C. Să se determine coeficientul de convecție între peretele exterior al conductei și aerul ambiant.

Rezolvare. Pierderea specifică de căldură (fluxul termic unitar liniar) este dată de relația:

din care se determină coeficientul de convecție:

11.4. FIERBERE ȘI CONDENSARE

Printr-o țeavă cu diametrul interior d=20 mm curge apă în fierbere cu viteza w=1 m/s și presiunea absolută ps=19 bar. Să se determine valoarea coeficientului de transfer de căldură de la perete la apa în fierbere, dacă temperatura suprafeței peretelui interior al țevii este tp=215C. Apoi, să se verifice condiția Rcr 1,3.

Rezolvare. La curgerea forțată a unui lichid în fierbere prin țevi lichidul fiind la temperatura de saturație ts, coeficientul de transfer de căldură se poate calcula cu relațiile lui Labunțov. În acest scop se determină coeficientul de convecție monofazică cf și coeficientul de transfer termic la fierberea nucleică în volum mare fn cu proprietățile termofizice ale apei la saturație (ps=19 bar, ts=210C): l=0,655 W/(mC), l=0,15310-6 m2/s, Prl=0,91, r=1900,5 kJ/kg, l=852,8 kg/m3; la tp=215C: Prt=0,90.

Criteriile Reynolds și Nusselt:

Coeficientul cf:

Coeficientul fn:

Raportul coeficienților de convecție:

astfel încât coeficientul de transfer de căldură în procesul de fierbere nucleică forțată se stabilește ce relația:

Raportul critic este dat de expresia: Rcr=qcr/qs.

Fluxul unitar critic se calculează cu relația lui Kutateladze pentru fierberea nucleică forțată:

Factorul de frecare se poate determina cu relația lui McAdams:

Rezultă fluxul unitar critic:

Fluxul unitar de căldură transmis de la perete la fluid este dat de relația:

Raportul critic corespunzător este:

11.5. RADIAȚIA TERMICĂ A CORPURILOR SOLIDE

Să se calculeze căldura schimbată prin radiație între suprafața unei țevi de oțel cu diametrul exterior de=70 mm, lungimea l=3 m și temperatura suprafeței exterioare t1=227C și pereții unei incinte, dacă țeava se găsește într-o incintă cu secțiunea pătrată din cărămidă cu latura l1=2,5 m, care are temperatura pereților t2=27C.

Rezolvare. Factorul redus de emisie al sistemului format de cele două corpuri este dat de relația:

în care: 1 și 2 sunt factorii de emisie ai țevii și peretelui; S1 și S2 –suprafețele corespunzătoare ale țevii și peretelui, în m2.

Deoarece S1S2, se poate considera S1/S20, rezultă: 121. Pentru oțel la temperatura de 227C, 1=0,778. Fluxul termic schimbat între peretele țevii și incintă este:

11.6. PROCESE COMPLEXE DE SCHIMB DE CĂLDURĂ

Să se determine variația temperaturii în peretele unui cuptor alcătuit din trei straturi din materiale omogene cu grosimea =25 cm fiecare, având materialul refractar la interior, cărămida din material izolant termic la mijloc, cărămida roșie la exterior. Se cunosc: temperatura gazelor calde din cuptor t1=800C, temperatura aerului ambiant t2=20C, coeficientul de convecție perete exterior –perete interior 1=58 W/(m2C), coeficientul de convecție perete exterior –aer 2=12 W/(m2C), conductivitatea termică a materialului refractar 1=1,7 W/(m2C), a cărămizilor din material izolant termic 2a=0,17 W/(m2C), a cărămizii roșii 3a=0,58 W/(m2C).

Rezolvare. Coeficientul global de schimb de căldură este dat de relația:

Fluxul termic unitar transmis prin perete:

Distribuția temperaturii în perete rezultă din relațiile:

11.7. SCHIMBĂTOARE DE CĂLDURĂ

Într-un schimbător de căldură multitubular orizontal se încălzește apă caldă menajeră de la temperatura t2’=5C până la temperatura t2’’=65C. Apa din circuitul primar, care circulă în spațiul dintre țevi și manta, se răcește de la t1’=120C până la t1’’=70C. Apa din circuitul secundar circulă în contracurent prin n=55 țevi de alamă [p=96 W/(m2C)] cu de/di=16/14 mm și are debitul masic G2=7,2 kg/s. Să se determine suprafața de încălzire, lungimea țevilor și numărul de secțiuni când: a) aparatul este nou (curat); b) aparatul este în exploatare, cu depuneri a căror rezistență termică este Rsd=0,00035 (m2C)/W. Mantaua aparatului are De/Di=219/206 mm. Coeficientul de reținere a căldurii în aparat este r=0,98.

Rezolvare. Din diabrama de temperatură (fig. 11.1), rezultă:

FIG. 11.1. Variația temperaturii la schimbul de căldură de apă caldă menajeră multitubular în contracurent.

Temperaturile medii ale fluidelor, pentru cazul t1t2, sunt:

Proprietățile termofizice ale apei la temperatura t1=tf1=95C, sunt: f1=961,5 kg/m3, cpf1=4210 J/(kgC), f1=0,682 W/(mC), f1=0,31110-6 m2/s, Prf1=1,85, iar la temperatura t2=tf2=35,1C sunt: f2=993,5 kg/m3, cpf2=4174 J/(kgC), f2=0,627 W/(mC), f2=0,73210-6 m2/s, Prf2=4,85.

Sarcina termică a aparatului:

Debitul masic de agent primar:

Secțiunile transversale de curgere ale agenților termnici:

Vitezele de curgere a agenților termici:

Diametrul hidraulic echivalent pentru fluidul cald:

Valorile criteriului Reynolds pentru fluidul cald și rece:

Calculul exact al coeficienților de convecție 1 și 2 necesită cunoașterea temperaturilor peretelui tp1 și tp2, nedeterminate în cazul de față. Pentru a evita utilizarea temperaturilor tp1 și tp2, coeficienții 1 și 2 se pot stabili cu ajutorul relației lui Dittus –Boelter, variabilă pentru Ref104:

unde n=0,3, dacă tftp (răcirea fluidului) și n=0,4, dacă tptf (încălzirea fluidului).

Coeficientul de convecție 1 pentru fluidul cald (tf1tp1):

Coeficientul de convecție 2 pentru fluidul rece (tp2tf2):

Coeficientul global de schimb de căldură:

pentru aparatul curat se stabilește cu relația:

pentru aparatul cu depuneri rezultă din relația:

Suprafața de încălzire necesară, lungimea totală a țevilor și numărul de secțiuni (aparate înseriate), alegând lungimea unei secțiuni L1=3,5 m, sunt respectiv:

a) pentru aparatul curat (fără depuneri):

pentru aparatul cu depuneri:

11.8. DEPUNERILE DIN MOTOR INFLUIENȚA LOR

ASUPRA TRANSFERULUI TERMIC ȘI UZURII

11.8.1 DEPUNERILE

11.8.1.1.GENERALITĂȚI

Depunerea reprezintã o aglomerare de particole pe o suprafață oarecare, care duce la creșterea rezistențelor termice, la reducerea transferului de căldură și la mărirea rezistențelor hidraulice la curgerea unui fluid pe acea suprafață.

Procesele de depunere sunt determinate de:

-factori fizico-chimici

-sedimentarea particolelor

-reacții chimice (polimerizare)

-factori constructivi și funcționali

Depunerile se formeazã prin următoarele procese:

a.Cristalizarea

a.1.Cristalizarea sărurilor cu solubilitate inversă.

Aceste săruri prezintã o descreștere a concentrației de saturație peste o anumitã temperatură. Astfel iau naștere depozite cristaline în contact cu suprafețele calde.

Acest proces este frecvent în special la apa care conține mai multe săruri cu solubilitate inversă.()

a.2.Cristalizarea în soluții conținând o singură sare.

Procesul este foarte activ, observându-se o aderență ridicată la suprafața peretelui.

a.3.Cristalizarea mixtă.

Apare în sistemele cu concentrații ridicate de săruri diferite. Formează depozite cu forme neregulate.

b.Sedimentarea

Sedimentare este un proces de depunere a particulelor în suspensie,intâlnit în următoarele instalații: turnuri de răcire cu depuneri de particole de praf si de rugină (care pot avea acțiune de catalizatori),în răcitoare cu apă de râu sau de mare (care conțin nămol și particule de nisip) procesul de depunere fiind complex (sedimentare pe un strat cristalizat); răcitoare cu gaze de ardere, la care depunerea este produsă de particulele remanente ale procesului de ardere.

c.Reacții chimice și de polimerizare

Se întâlnesc următoarele cazuri specifice:

c.1.Cocsificarea.

La temperaturi ridicate, se pot forma prin reacții chimice și prin sedimentare, cruste rezistente de cocs, uneori detașabile prin exfoliere.

c.2.Murdărirea.

Are loc prin dezvoltarea microorganismelor ce se hrănesc cu substanțele organice si anorganice din fluidul respectiv.

Apare ca un proces obișnuit în apele răcite cu apă netratată (de râu, lac sau mare).

Acest tip de depunere de cele mai multe ori este combinat cu depunerea prin cristalizare și sedimentare.

Murdărirea se poate observa și în cazul combustibililor prin dezvoltarea bacteriilor ce se hrănesc cu hidrocarburi.

c.3.Coroziunea.

Acest proces se poduce prin acțiunea a doi factori:

-formarea unui strat de oxid rezistiv termic care se comportã ca un catalizator pentru alte forme de depunere;

-rugozitatea suprafeței de schimb de cãldurã produsã prin coroziune, care acționeazã ca puncte de inițiere a proceselor de cristalizare și sedimentare.

d.Procese de încãlzire sau rãcire, cu sau fãrã schimbare de fazã.

Procesele caracteristice în urma cãrora apar depunerile sunt fierberea și condensarea.

Influența depunerilor asupra proceselor de fierbere cu convecție naturalã sau forțatã a fost cercetatã numai calitativ, stabilindu-se tendința de reducere a grosimii depunerii cu creșterea vitezei de curgere a apei.

Un efect deosebit îl are temperatura suprafeței calde, care poate declanșa sau oprii depunerea prin reacții chimice, fenomen recunoscut, dar necercetat.

Calitativ s-a observat cã rugozitatea suprafeței de schimb de cãldurã acționeazã ca un element de accelerare a depunerii.

Astfel o suprafațã de schimb de cãldurã rugoasã conduce la o depunere mult mai rapidã, datoritã acțiunii asperitãților de pe suprafața materialului.

În cazul unui aparat schimbãtor de cãldurã fãrã schimbare de fazã, geometria lui și sistemul de curgere a fluidelor pot influența în mare mãsurã procesul de depunere.

Se deosebesc urmãtoarele urmãtoarele tipuri principale de curgere:

-prin țevi și spații inelare;

-printre țevi cu sau fãrã șicane;

-prin aparate cu plãci spirale sau lamelare.

Curgerea peste fascicole de țevi cu șicane se caracteriozeazã printr-o dustribuție neuniformã a vitezei de curgere, produsã de curgerile axiale, de tãeturile și pașii mari ai șicanelor, care stabilesc la aparatele cu o geometrie necorespunzãtoare, zone de fluid staganant și cu vitezã redusã, unde depunerile sunt foarte pronunțate.

La aparatele cu plãci plane sau spirale datoritã turbulenței ridicate și uniforme a curgerii procesul de depunere se poate reduce complet.

La schimbãtoarele de cãldurã cu suprafețe extinse, în special la cele cu nervuri exterioare de micã înãlțime, s-a constatat în comparație cu țevile netede, un proces de depunere mai puþin pronunțat. În acest caz depunerile fiind influențate de condițiile hidrodinamice ale curgerii, nervurile cu o geometrie adecvatã pot constituii promotori de turbulențã, care reduc viteza de depunere și mãresc gradul de îndepãrtare a depunerilor de pe suprafața de schimb de cãldurã.

11.8.2.DEPUNERILE DIN MOTOR

Pentru buna sa funcționare motorul trebuie menținut la un regim termic optim de funcționare. Acest regim termic se menține cu ajutorul instalațiilor de rãcire și al instalației de ungere.

Dacã pe suprafețele de schimb de cãldurã apar depuneri, atunci valoarea fluxului termic transmis se reduce, temperatura pieselor motorului crește, ceea ce duce la favorizarea și accentuarea uzurii, în final chiar la defectarea motorului.

Aceasta datoritã faptului cã la temperaturi mari pistonul se poate dilata peste valoarea admisã, vine în contact cu suprafața cãmãșii, eliminã filmul de ulei, ceea ce duce la creșterea rapidã a temperatuii suprafețelor în contact, sudarea în anumite puncte (se rupe materialul în zonele sudate, intrucât pistonul tinde sã se miște) și la blocarea pistonului.

Depunerile pot apãrea în spațiile de rãcire, pe suprafețele interioare și exterioare ale cãmãșilor de cilindru, pe talerele supapelor, pe traseul de evacuare al gazelor, pe capul pistonului, pe chiulasã și segmenþi.

Acestea se formeazã datoritã impuritãților mecanice, oxizilor, substanțelor organice care pãtrund în fluidele de lucru, datoritã netratãrii corespunzãtoare a fluidelor de lucru și a nerespectãrii indicilor de calitae prescriși precum și datoritã unor aditivi folosiți în mod necorespunzãtor.

Formarea depunerilor este influențatã de proprietãțile fizico-chimice ale fluidelor de lucru și de buna funcționare a instalațiilor de răcire, ungere și alimentare cu combustibil a motorului.

11.8.2.1.TIPURI DE DEPUNERI

11.8.2.1.1.Depuneri biologice (fouling)

Se formează cu precădere în circuitele de apã dulce și de mare. Aceste depuneri sunt constituite din plante și animale acvatice.

În circuitul de apã de mare se dezvoltã cu precădere scoici, care, având inițial dimensiuni reduse, trec de filtre, ca apoi găsind condiții favorabile sã se dezvolte pe suprafețele metalice.

Depunerile de acest tip sunt frecvențe în zonele cu ape calde.

11.8.2.1.2.Depuneri de nămol

Acest tip de depuneri apare în instalațiile de răcire, formându-se din impuritățile în suspensie sau coloidale, produsele de coroziune, unele precipitate formate prin descompunerea bicarbonaților pe suprafețele metalice fierbinți. Aceste produse insolubile se aglomerează sub formã de nămol în locurile stagnante sau cu vitezã micã de circulație a apei. (Printre nervuri dacã acestea sunt dispuse perpendicular pe direcția de curgere a apei)

11.8.2.1.3.Depunerile carbonoase

Substanțele organice, în special hidrocarburile, ce contaminează apa tehnicã, aderã la suprafețele metalice fierbinți, unde datoritã temperaturilor ridicate suferă un proces de cracare cu formarea de depuneri spongioase de carbon. Pe aceste depuneri precipitã și compușii de calciu și magneziu din apã mărindu-le densitatea și aderența.

Tot la acest tip de depunere intrã și depunerile de calaminã ce se formează pe suprafețele fierbinți din interiorul camerei de ardere.

Aceste depuneri se formează (tot prin cracare) datoritã contactului direct al combustibilului și uleiului cu suprafețele fierbinți ale camerei de ardere.

Fracțiunile grele din combustibil au vâscozitate mare și nu se vaporizează decât parțial, pulverizarea este nesatisfăcătoare, arderea este incompletã ceea ce face ca o parte din combustibil sã se depună sub formã de calaminã pe pereții camerei de ardere, pe pistoane, pe supape și pe segmenți.

Tot prin arderea combustibilului se formează și depozite de cocs. Acesta este un produs solid cu conținut ridicat de carbon, rezultat prin cracarea prelungitã a reziduurilor petroliere grele care distilează la 500-600 grade C.

Indicele de cocs exprimã conținutul de compuși rășinoși și nestabili din combustibil. Cu cât conținutul de fracțiuni ușoare este mai mare cu atât procentul de cocs format este mai mic.

Cifra de cocs a uleiurilor indicã gradul în care uleiul formează reziduuri solide prin încălzire și oxidare.

Cifra de cocs nu precizează și celelalte depuneri care se formează.

11.8.2.1.4.Depunerile calcaroase (crustele de piatrã)

Crustele de piatrã sunt constituite din compuși de calciu și magneziu se fomează prin douã mecanisme:

-Prin reacții chimice de descompunere:

Descompunerea bicarbonaților are loc la temperaturi sub punctul de fierbere al apei, crustele formându-se în special în instalațiile de răcire.

-Prin depășirea solubilității sărurilor de calciu și magneziu, depășire ce are loc la fierberea apei.

Solubilitatea sărurilor de calciu și magneziu, spre deosebire de celelalte săruri din apă, scade odată cu creșterea temperaturii

Cele mai aderente și dense cruste formeazã sulfatul de calciu și silicea.

Silicea se depune sub formã de gel. Se mai formeazã silicați de calciu și magneziu, sau depuneri complexe cu fierul și aluminiul (rezultate din procesul de coroziune și greșelilor de exploatare).

Depunerile de silicați sunt aderente, compacte și cu conductibilitate termicã foarte micã.

În procesul de formare al depunerilor se disting urmãtoarele faze:

-faza dizolvãrii sãrurilor;

-faza disocierii electrolitice parțiale;

-faza saturației pentru sarea cea mai puțin disociatã.

Formarea depunerilor dintr-o soluție suprasaturatã are loc dupã urmãtoarea dinamicã:

-formarea centrilor moleculari disperși

-creșterea centrilor moleculari prin aport de molecule noi

-aglomerarea centrilor în particole cristaline

11.8.2.1.5.Depunerile de cupru

Depunerile de cupru provin din procesul de coroziune al țevilor schimbãtoarelor de cãldurã și sunt nedorite datoritã acțiunii lor corozive.

Cuprul se depune pe suprafețele feroase formând pile galvanice, ceea ce duce la corodarea suprafeței de schimb de cãldurã.

11.8.2.2. EFECTELE DEPUNERILOR

Principalul efect al depunerilor este înrãutãțirea transferului termic.

Toate tipurile de depuneri au acest efect dar depunerile aderente, în special cele de piatrã, sunt cele mai serioase bariere termice.

Astfel o crustã de piatrã () cu o grosime de un milimetru reprezintã o barierã termicã echivalentã cu un perete metalic cu grosimea de 40 mm.

Depunerile din circuitul de rãcire, pe lângã scãderea randamentului motorului, determinatã de o eficiențã scãzutã a rãcirii, pot provoca înfundarea instalațiilor, distrugerea filtrelor, a valvulelor etc. Acestea la rândul lor obligã la imobilizarea navei (de cele mai multe ori) pentru remedierea acestor incidente nedorite.

Coroziunea instalațiilor de rãcire este tot un efect al depunerilor. Astfel avem:

a.Coroziunea acidã.

Se datoreazã aciditãții apei de rãcire, ce apare datoritã sãrurilor dizolvate care prin hidrolizã scad PH-ul apei. În plus în apele acide inhibatorii de coroziune moderni nu mai sunt eficienți.

Apa distilatã este preferatã în sistemele de rãcire pentru cã se eliminã depunerile de piatrã, dar este agresivã datoritã bioxidului de carbon dizolvat în ea.

b.Coroziunea datoratã oxigenului dizolvat.

Apa de rãcire nefiind deaeratã conține mari cantitãți de oxigen dizolvat. Solubilitatea oxigenului este mai mare în apa rece decât în cea caldã.

Aspectul coroziunii este sub formã de pitting.

c.Cavitația.

Acțiunea simultanã a mediului de coroziune și a vibrațiilor motorului provoacã coroziunea prin cavitație, ce se manifestã sub forma unor adâncituri sau a unor pãrți smulse de pe suprafețele metalice. Pelicula protectoare de oxizi de pe suprafața metalului este smulsã de bulele de vapori ce se formeazã și se desprind de pe aceastã suprafațã datoritã acțiunii conjugate dintre vibrații și variațiile de temperaturã și presiune.

Uzura pieselor motorului este o consecințã a depunerilor și depinde de tipul și locul în care se formeazã depunerea.

Dacã se formeazã calaminã pe suprafața cilindrului, efectele ce se produc sunt: -înrãutãțirea transferului termic

-creșterea regimului termic

-scãderea puterii și a randamentului

-uzura rapidã a cãmãșii și a segmenților de foc, ungere și raclori.

Aceastã uzurã este de tip abraziv deoarece calamina este un compus cu duritate mecanicã mare și aderențã crescutã la suprafețele metalice.

11.8.2.2. INFLUENȚA DEPUNERILOR ASUPRA

TRANSFERULUI TERMIC

Pentru a observa aceastã influențã, vom diviza cilindrul motorului, pe toatã lungimea cursei pistonului, în mai multe sectoare, (20 de sectoare) cu ajutorul unor plane paralele perpendiculare pe axa cilindrului. Distanțele dintre plane sunt egale.

Calculul se va efectua pe cursa de destindere, de la PMS la PMI, întrucât pe aceastã cursã avem cea mai mare variație a temperaturilor, maximã în PMS și minimã în PMI.

Fig.1. Cilindrul motorului cu cele 20 de secțiuni.

În PMS datoritã temperaturilor ridicate ale gazelor de ardere și suprafeței de transfer termic mici, diferența de temperaturã pe cele douã fețe ale cilindrului este mare, la fel și încãrcarea termicã. Gradientul de temperaturã este mare, ceea ce genereazã tensiuni termice mari în peretele cilindrului.

Pe mãsurã ce pistonul se deplaseazã spre PMI, suprafața de schimb de cãldurã crește, scade încãrcarea termicã a peretelui și temperatura gazelor arse datoritã destinderii acestora (in special). Gradientul de temperaturã scade, reducându-se și tensiunile termice din peretele cilindrului.

Aceastã variație a tensiunilor termice între limita maximã și minimã, variație destul de mare, supune cãmașa cilindrului la o obosealã termicã a materialului ce favorizeazã uzura, iar în anumite condiții chiar fisurarea ei cu consecințe grave pentru siguranța navei.

Calculul se va efectua atât pentru peretele curat cât și pentru peretele pe care s-au format depuneri, atât pe partea de apã cât și pe partea de gaze.

În urma determinãrii fluxurilor termice pentru aceste cazuri, se vor determina și tensiunile termice ce iau naștere în peretele cilindrului.

Calculul de transfer termic se va face tabelar.

11.8.2.2.1.Calculul transferului termic pentru cilindru curat.

Transferul de cãldurã de la gazele arse din cilindrul motorului la apa de rãcire se realizeazã în trei etape, dupã cum urmeazã:

gaze fluid de

rãcire

0

Fig.2. Schema transferului de cãldurã pentru cilindru curat.

Unde:

temperatura gazelor arse

temperatura peretelului pe partea cu gazele

temperatura peretelui pe partea fluidului de rãcire

temperatura fluidului de rãcire

coeficient de conducție termicã al peretelui

grosimea peretelui

coeficient de convecție termicã pentru gazele de ardere

coeficient de radiație termicã pentru gazele de ardere

coeficient de convecție termicã al fluidului de rãcire

11.8.2.2.1.1.Transmiterea cãldurii de la gazele de ardere la cilindru.

Acest transfer de cãldurã se face prin convecție și radiație.

cu

Unde:

rezistența termicã a gazelor de ardere din cilindru

deplasarea pistonului

alezajul cilindrului

suprafața de schimb de cãldurã

11.8.2.2.1.2.Transmiterea cãldurii prin cãmașa de cilindru.

Acest transfer de cãldurã se face prin conducție termicã.

cu

Unde:

rezistența termicã a peretelui cãmãșii de cilindru

11.8.2.2.1.3.Transmiterea cãldurii de la cãmașa de cilindru la fluidul de rãcire.

Acest transfer de cãldurã se realizeazã prin convecție termicã.

cu

Unde:

rezistența termicã a fluidului de rãcire

11.8.2.2.1.4.Cantitatea de cãldurã transmisã prin cele trei medii.

cu

Unde:

rezistența termicã a mediilor prin care se face schimbul de cãldurã

Relația de calcul folositã pentru cantitatea de cãldurã transmisã este:

cu

Unde:

diferența medie logaritmicã de temperaturã

temperatura maximã a gazelor din cilindru

temperatura de intrare a apei în motor

temperatura instantanee a gazelor, corespunzãtoare deplasãrii pistonului (variabilã)

volumul camerei de ardere

volumul disponibil oferit gazelor de ardere, dependent de deplasarea pistonului

exponentul politropic pe destindere

temperatura de ieșire a apei din motor

coeficient global de schimb de cãldurã

Pentru calcul s-au folosit urmãtoarele valori:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ;

Rezultatele calculului sunt trecute în tabelul 1.

Tabelul 1. Calculul schimbului de cãldurã fãrã depuneri.

Poziția 0 corespunde cazului în care pistonul se aflã în PMS, iar volumul este cel al camerei de ardere, schimbul de cãldurã fãcându-se aici prin suprafața camerei de ardere.

11.8.2.2.2.Calculul transferului de cãldurã pentru cilindrul

cu depuneri pe partea de apã

gaze fluid de

rãcire

0

Fig.3. Schema transferului de cãldurã pentru cilindrul cu depuneri pe

partea de apã.(depuneri calcaroase)

S-au folosit urmãtoarele relații de calcul:

cu

unde:

coeficient de conducție termicã prin stratul de calcar

grosimea stratului de depunere

coeficient global de transmitere a cãldurii

rezistența termicã a depunerii calcaroase

suprafața camerei de ardere

Pentru calcul s-au folosit urmãtoarele valori:

; ; ;

; ;

Celelalte valori sunt cunoscute de la cazul anterior.

Tabelul 2. Calculul transferului de cãldurã cu depuneri pe partea de apã.

11.8.2.2.3.Calculul transferului de cãldurã pentru cilindrul cu

depuneri carbonoase (pe interiorul cilindrului)

Depunerile carbonoase (cocs,calaminã, lacuri …) se întâlnesc pe cãmașa cilindrului doar la partea superioarã a acestuia, în zona camerei de ardere, numai pânã la nivelul segmentului de foc, când pistonul se aflã în PMS.(deci numai în zona în care nu lucreazã segmenții)

Din aceste motive schimbul de cãldurã se face atât prin zona cu depuneri cât și prin zona fãrã depuneri.

t

gaze fluid de

rãcire

0

Fig.4. Schema transferului de cãldurã cu depuneri carbonoase (prin

suprafața delimitatã de camera de ardere)

S-au folosit urmãtoarele relații de calcul:

Pentru calcul s-au folosit următoarele valori:

; ; ;

Celelalte valori sunt cunoscute din cazurile anterioare.

Rezultatele calculului sunt trecute în tabelul 3.

Tabelul 3. Calculul schimbului de cãldurã în cazul

depunerilor carbonoase

11.8.2.2.4.Calculul transferului de cãldurã cu depuneri pe ambele

fețe ale cãmãșii de cilindru

Acest caz este cel mai complex întrucât avem depuneri pe ambele fețe ale cãmãșii de cilindru. Prin urmare fluxul de cãldurã transmis apei de rãcire, în anumite condiții, scade suficient de mult pentru a produce avarierea motorului naval.

Transferul de cãldurã se realizeazã prin douã zone:

-zona camerei de ardere unde avem depuneri pe ambele fețe;

-zona delimitatã de cursa pistonului unde avem depuneri numai pe partea de apã.

Calculul se face în mod asemãnãtor celorlalte cazuri, cu precizarea cã de fapt este o combinație a cazurilor anterioare.

În figura 5 se prezintã schema transferului de cãldurã în cazul cãmãșii de cilindru cu depuneri pe ambele fețe.

t

gaze fluid de

rãcire

0

Fig. 5. Schema transferului de cãldurã în cazul cãmãșii de

cilindru cu depuneri pe ambele fețe.

cu:

Pentru calcul s-au folosit urmãtoarele valori:

;

Celelalte valori sunt cunoscute de la cazurile anterioare.

Rezultatele calculului sunt trecute în tabelul 4.

Tabelul 4. Calculul transferului de cãldurã cu depuneri pe

ambele feþe ale cãmãșii de cilindru.

BIBLIOGRAFIE

Transfer de căldură și masă, B. Popa, D. Ștefănescu

Transmisia căldurii și dinamica gazelor, D. Ștefănescu și N. Grunwald

Calculul și încercarea izolației termice, M. Goleand

Ridicarea eficienței aparatelor schimbătoare de căldură, A. Leca

Procese și instalații termice în centrale nucleare electrice, A. Leca, M. Pop, N. Stan, A. Badea