Energia Campului Magnetic Si a Campului Electric. Forte Generalizate
INTRODUCERE
Fenomenele electrice și magnetice, cunoscute încă din antichitate de pe vremea lui Thales din Milet (sec.VII-VI î.e.n.), și-au găsit aplicații în prezent a căror valoare este incontestabilă.
Lucrarea de față, intitulată „Energia câmpului magnetic și energia câmpului electric. Forțe generalizate” este structurată în șase capitole.
În primele două capitolele sunt prezentate noțiuni generale despre câmpul electrostatic, noțiuni necesare în tratarea capitolului al treilea.
In al treilea capitol „Energia și forțele câmpului electrostatic” sunt prezentate energia câmpului electrostatic, densitatea de volum a energiei câmpului electric, forțe electrostatice generalizate, forța și momentul care acționează asupra unui dipol, presiunea electrostatică, forțele care se exercită la suprafața de separație a două medii precum și aplicații ale acestora.
In capitolele patru și cinci sunt prezentate noțiunile generale ale câmpului magnetic.
In al șaselea capitol „Energia și forțele câmpului magnetic” sunt prezentate noțiunile de energie a câmpului magnetic, densitate de volum a energiei magnetice, forțe magnetice generalizate precum și aplicații ale acestora.
Lucrarea se încheie cu prezentarea bibliografiei.
CAPITOLUL 1
CÂMPUL ELECTROSTATIC ÎN VID
Câmpul electromagnetic.
Intensitatea câmpului electric în vid. Sarcina electrică
Câmpul electromagnetic este o formă aparte de existență a materiei, caracterizat prin aceea că exercită acțiuni pondero-motoare (forțe și momente) asupra corpurilor. Ca orice formă de materie câmpul electromagnetic posedă energie.
Fenomenele electrice și magnetice pot exista atât prin particule elementare (sau corpuri) încărcate cu sarcină electrică (pozitivă sau negativă), și care sunt repartizate într-un spațiu foarte restrâns, cât și prin câmpul lor electromagnetic , care le înconjoară. Domeniul în care nu există substanță și deci sarcini electrice, ci numai câmp electromagnetic, îl denumim convențional vid. Vid în sensul absolut nu poate exista întrucât materia nu este discontinuă. Acolo unde nu există substanță există câmp (câmp de gravitație etc.).
Câmpul electromagnetic are două aspecte particulare: câmpul electric și câmpul magnetic. Separarea lor are un caracter relativ și aceasta depinde de sistemul de referință. În cazul sarcinilor electrice imobile apare numai câmpul electric. În cazul magneților permanenți imobili, în interiorul lor se poate constata numai prezența câmpului magnetic. Această separare relativă a câmpului electric și magnetic dă posibilitatea studierii lor separate.
Câmpul electric este deci unul din cele două aspecte ale câmpului electromagnetic, care se manifestă prin forță mecanică ce acționează asupra unui corp încărcat electric, imobil, introdus în câmp.
Pentru a pune în evidență existența câmpului electric este necesar în primul rând să existe un corp de probă încărcat cu electricitate, iar în al doilea rând corpul de probă să fie imobil și cu sarcină invariabilă, pentru că altfel acționează asupra lui și câmpul magnetic. Corpul de probă trebuie să aibă o stare de electrizare astfel aleasă încât să nu modifice starea electrică a sistemului explorat; de aceea corpul de probă se încarcă cu o sarcină suficient de mică. Corpul de probă se ia punctual, pentru a permite explorarea unor regiuni din spațiu oricât de mici.
Obținerea electrizării, deci încărcarea unui corp cu electricitate se poate face cel mai simplu prin frecare (de exemplu o bară de sticlă se freacă cu mătase) sau prin iradiere cu raze X sau prin ultraviolete, prin deformarea unor cristale, prin încălzire, prin efecte chimice etc.
Prin experiență se constată că forța ce acționează asupra corpului de probă introdus în câmp depinde de punctul P în care este situat corpul și de starea de electrizare a sa:
(1.1)
Considerând corpul de probă cu diverse stări de electrizare ( etc.), situat
în diverse puncte ( etc.), într-un spațiu unde se presupune existența câmpului (fig. 1.1), asupra lui acționează forțe care satisfac relația:
(1.2)
Deci forța care se exercită asupra corpului de probă situat în vid este egală cu produsul dintre o mărime scalară q numită sarcină electrică (depinde numai de starea lui de electrizare) și o mărime vectorială numită vectorul intensității câmpului electric în vid (depinde numai de punctul considerat în câmp, nu și de starea de electrizare a corpului de probă). Sensul vectorului definește starea pozitivă care corespunde încărcării cu sarcină electrică a sticlei frecată cu mătase.
Relația (1.2) se poate scrie și sub forma:
sau (1.3)
În relația (1.2) s-au introdus două mărimi noi, numite mărimi primitive: q și . Relația este univocă dacă pentru una dintre aceste două aceste mărimi se alege în mod arbitrar unitatea de măsură. Se convine a se alege pentru q unitatea de măsură, numită coulomb (C).
Din (1.3) rezultă că intensitatea câmpului electric în vid este numeric egală cu forța care se exercită asupra sarcinii de probă egală cu unitatea, introdusă în câmp. Unitatea de măsură pentru nu se numește conform (1.3) newton pe coulomb, ci este volt pe metru (V/m).
Dacă se examinează toate punctele spațiului în care există câmp electric (), se pot construi niște linii care au proprietatea că tangenta la aceste linii are în orice punct direcția locală a vectorului intensității . Aceste linii se numesc linii de câmp. Prin convenție liniile de câmp pleacă de la sarcina pozitivă spre sarcina negativă (fig. 1.2).
fig.1.2
Corpurile încărcate cu sarcină pot avea această sarcină distribuită în întreg volumul și se definește în acest caz densitatea de volum a sarcinii prin limita raportului:
(1.4)
Această distribuție a sarcinii în volum se întâlnește în cazul materialelor izolante.
Sarcina din întreg volumul V rezultă:
(1.5)
Dacă sarcina este repartizată pe suprafața unui conductor sau a unui izolant, se definește densitatea de suprafață a sarcinii ca limita raportului:
(1.6)
iar sarcina q de pe întreaga suprafață A va fi:
(1.7)
Dacă sarcina este repartizată pe conductoare filiforme, se definește densitatea de linie a sarcinii electrice ca limita raportului:
(1.8)
iar sarcina q de pe întregul contur C va fi:
(1.9)
Pentru sarcini electrice e valabil principiul conservării sarcinii. Pentru un sistem de corpuri încărcate cu sarcini și înconjurate de materiale izolante avem:
(1.10)
adică dacă într-un sistem de corpuri, izolat de exterior, dispare o sarcină de pe un corp, ea va apare pe un alt corp.
Sarcinile electrice (fiind atât pozitive cât și negative) se combină algebric.
Dacă , se spune că sistemul este neutru.
Teorema lui Coulomb. Permitivitatea vidului
Coulomb a măsurat cu ajutorul balanței de torsiune forțele care se exercită între două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice, imobile și situate în vid. Variind valoarea sarcinilor, semnul lor cat și distanța între ele, el a găsit relația care determină forța de atracție sau de respingere exercitată între cele două sarcini și anume:
(1.11)
Sensul forței este astfel încât sarcinile electrice de același semn se resping, iar cele de semne contrare se atrag. Versorul este dirijat de la corpul 1 la corpul 2 (fig. 1.3) și este dat de relația:
Fig.1.3.
, (1.12)
Formula (1.11), numită teorema lui Coulomb, este valabilă numai pentru sarcini punctiforme (dimensiunile corpurilor mult mai mici decât distanța între ele) și în cazul stărilor invariabile în timp.
În această formulă este o constantă universală; ea depinde de sistemul de unități ales și este afectată de raționalizare. În varianta „raționalizată”, formula lui Coulomb se scrie:
. (1.13)
Dacă notăm , avem relația:
, (1.14)
unde se numește permitivitatea absolută a vidului și are valoarea (în sistemul internațional):
. (1.15)
Câmpul electrostatic produs în vid
de o sarcină punctiformă. Principiul superpoziției
Câmpurile electrostatice produse de sarcini punctiforme invariabile în timp se mai numesc câmpuri columbiene, întrucât ele respectă teorema forței lui Coulomb (relația 1.14). Considerând (fig. 1.4) o sarcină punctiformă q
Fig.1.4.
care creează câmp electric și introducând sarcina de probă la distanța , asupra acesteia din urmă va acționa o forță dată de relația (1.14):
. (1.16)
Din relațiile (1.3), (1.12) și (1.16) se deduce:
, (1.17)
Relația (1.17) ne dă expresia intensității câmpului electric produs în vid de o sarcină punctiformă q, la distanța de această sarcină.
Fig.1.5.
Dacă sarcina care produce câmpul este pozitivă, vectorul intensității câmpului este dirijat de la sarcină în exterior (fig. 1.5,a), iar dacă sarcina este negativă este dirijat din exterior către sarcină (fig. 1.5,b).
Principiul superpoziției câmpurilor columbiene
Se constată experimental că dacă intr-un punct al spațiului acționează câmpul electric a mai multor corpuri încărcate, rezultanta se calculează ca o sumă vectorială a fiecărui câmp în parte:
. (1.18)
Aplicând pentru fiecare câmp în parte expresia sa, dată de relația (1.17), avem:
. (1.19)
Dacă sarcinile sunt distribuite în volum, pe o suprafață sau liniar, se obține (cu 1.5,1.7 și 1.9) relația generală:
. (1.20)
Această relație reprezintă principiul superpoziției sau suprapunerii câmpurilor electrice columbiene.
Teorema lui Gauss
Pentru demonstrarea teoremei se utilizează noțiunile de flux și de unghi solid. Considerând (fig.1.6) o suprafață deschisă A și un element de arie , care formează cu direcția locală a intensității câmpului electric un unghi , numim flux a vectorului prin suprafața A, integrala:
. (1.21)
Produsul se exprimă în funcție de elementul de unghi solid (fig.1.6,b) cu relația:
. (1.22)
Cu (1.22) și (1.17), relația (1.21) devine:
. (1.23)
Când suprafața A este un plan infinit avem:
, (1.24)
iar când suprafața A este închisă (cuprinde în interior sarcina q), avem:
. (1.25)
Dacă suprafața închisă nu conține în interior sarcina q care produce câmpul (fig. 1.7), ea poate fi descompusă în două suprafețe și care se văd sub același unghi solid , deci produc fluxuri egale în modul, dar de semne contrare, deoarece și . Suma acestor fluxuri este zero.
Cu aceste observații teorema lui Gauss se poate pune sub forma:
. (1.26)
Ea se enunță astfel: fluxul vectorului intensității câmpului electric în vid , prin orice suprafață închisă , este egal cu raportul dintre sarcina electrică cuprinsă în interiorul suprafeței și permitivitatea absolută a vidului.
Relația (1.26) reprezintă forma integrală a teoremei lui Gauss. Cu ajutorul acesteia se poate determina valoarea intensității câmpului electric în vid în ipoteza că integrala din membrul întâi se poate calcula din considerente fizice, cum ar fi cazul unor sisteme cu simetrie (sferică, cilindrică etc.).
Întrucât fluxul vectorului prin suprafața închisă nu depinde de poziția sarcini electrice din interiorul volumului delimitat de această suprafață, teorema lui Gauss este valabilă și în cazul când sarcina se găsește pe un corp de formă oarecare, sau dacă reprezintă o sumă algebrică a sarcinilor de mai multe corpuri. Este important numai ca toate aceste sarcini să fie situate în interiorul suprafeței considerate.
Considerând un mic contur închis, totalitatea liniilor de câmp care trec prin toate punctele acestui contur formează un tub, numit tub de flux (fig. 1.8). Aplicând teorema lui Gauss unui tub de flux, mărginit de
suprafețele și (suprafețele și sunt normale pe liniile de câmp, iar este tangentăe, rezultanta se calculează ca o sumă vectorială a fiecărui câmp în parte:
. (1.18)
Aplicând pentru fiecare câmp în parte expresia sa, dată de relația (1.17), avem:
. (1.19)
Dacă sarcinile sunt distribuite în volum, pe o suprafață sau liniar, se obține (cu 1.5,1.7 și 1.9) relația generală:
. (1.20)
Această relație reprezintă principiul superpoziției sau suprapunerii câmpurilor electrice columbiene.
Teorema lui Gauss
Pentru demonstrarea teoremei se utilizează noțiunile de flux și de unghi solid. Considerând (fig.1.6) o suprafață deschisă A și un element de arie , care formează cu direcția locală a intensității câmpului electric un unghi , numim flux a vectorului prin suprafața A, integrala:
. (1.21)
Produsul se exprimă în funcție de elementul de unghi solid (fig.1.6,b) cu relația:
. (1.22)
Cu (1.22) și (1.17), relația (1.21) devine:
. (1.23)
Când suprafața A este un plan infinit avem:
, (1.24)
iar când suprafața A este închisă (cuprinde în interior sarcina q), avem:
. (1.25)
Dacă suprafața închisă nu conține în interior sarcina q care produce câmpul (fig. 1.7), ea poate fi descompusă în două suprafețe și care se văd sub același unghi solid , deci produc fluxuri egale în modul, dar de semne contrare, deoarece și . Suma acestor fluxuri este zero.
Cu aceste observații teorema lui Gauss se poate pune sub forma:
. (1.26)
Ea se enunță astfel: fluxul vectorului intensității câmpului electric în vid , prin orice suprafață închisă , este egal cu raportul dintre sarcina electrică cuprinsă în interiorul suprafeței și permitivitatea absolută a vidului.
Relația (1.26) reprezintă forma integrală a teoremei lui Gauss. Cu ajutorul acesteia se poate determina valoarea intensității câmpului electric în vid în ipoteza că integrala din membrul întâi se poate calcula din considerente fizice, cum ar fi cazul unor sisteme cu simetrie (sferică, cilindrică etc.).
Întrucât fluxul vectorului prin suprafața închisă nu depinde de poziția sarcini electrice din interiorul volumului delimitat de această suprafață, teorema lui Gauss este valabilă și în cazul când sarcina se găsește pe un corp de formă oarecare, sau dacă reprezintă o sumă algebrică a sarcinilor de mai multe corpuri. Este important numai ca toate aceste sarcini să fie situate în interiorul suprafeței considerate.
Considerând un mic contur închis, totalitatea liniilor de câmp care trec prin toate punctele acestui contur formează un tub, numit tub de flux (fig. 1.8). Aplicând teorema lui Gauss unui tub de flux, mărginit de
suprafețele și (suprafețele și sunt normale pe liniile de câmp, iar este tangentă la liniile de câmp), avem , deoarece în interior nu există sarcini electrice. Descompunând integrală pe cele trei porțiuni ( și ) și ținând cont de faptul că fluxul prin suprafața este nul, deoarece , avem:
(1.27)
sau
. (1.28)
Relația (1.28) arată că fluxul se conservă în lungul unui tub de flux.
Se poate introduce noțiune de tub unitate, adică un tub de flux pentru care secțiunea sa transversală este străbătută de un flux egal cu unitatea. Dacă convenim ca fiecare tub unitate să fie reprezentat în spațiu printr-o singură linie a intensității câmpului, spectrul câmpului ne permite să calculăm valoarea intensității câmpului ca o densitate a acestor tuburi, adică:
. (1.29)
Potențialul câmpului electrostatic în vid
In general, o funcție scalară de punct se numește potențial al unui câmp de vectori , dacă există relațiile:
(1.30)
sau restrâns:
. (1.31)
Tensiune electrică. Potențial
Tensiunea electrică este o mărime derivată, definită cu ajutorul vectorului . Considerând un câmp de intensitate (fig. 1.9), lucrul mecanic necesar pentru deplasarea sarcinii q între punctele A și B este:
. (1.32)
Cu relația (1.3) avem:
. (1.33)
Raportul , notat , se numește tensiune electrică:
. (1.34)
Deci, tensiunea electrică între două puncte din câmp este egal cu lucru mecanic efectuat de forțele câmpului pentru deplasarea sarcini unitare între cale două puncte. Tensiunea electrică se măsoară în volt (V). Un volt este tensiunea între două puncte din câmp pentru care se cheltuie un lucru mecanic de un joule (J) la deplasarea sarcinii de un coulomb (C) între acele puncte. Relația (1.34) definește și unitatea de măsură a intensității câmpului electric: volt pe metru (V/m).
Din definiție se vede că , deci tensiunea electrică depinde de sensul de integrare. Aceste sens numit sens de referință se indică printr-o săgeată, de exemplu la bornele unui circuit (fig. 1.10).
O proprietate importantă a tensiunii electrice în câmp electrostatic (invariabil în timp) este aceea că valoarea ei nu depinde de drum, ci numai de extremitățile A,B considerate. Luând conturul închis AmBnA (fig. 1.11), avem:
, (1.35)
relație valabilă pentru câmpuri care derivă dintr-un potențial. Descompunând conturul pe porțiuni, avem:
(1.36)
sau:
(1.37)
deci tensiunea electrică nu depinde de drum.
Dacă alegem în spațiu, în mod arbitrar un punct P, atunci valoarea integralei:
(1.38)
se numește potențialul punctului A. În mod similar se definesc și potențialele altor puncte din câmp. Potențialul ca și tensiunea, se măsoară în volt (V). Potențialul punctului P este zero, deoarece:
. (1.39)
Potențialul electric într-un punct dat al câmpului electrostatic este deci numeric egal cu lucru mecanic efectuat de forțele câmpului pentru deplasarea sarcinii unitare din punctul considerat într-un punct al cărui potențial este zero. Potențialul poate fi determinat numai cu o aproximație de o constantă aleasă arbitrar și care depinde de punctul P. În practică, se consideră potențialul nul potențialul pământului. În unele probleme se consideră cu potențial nul punctele de la infinit.
Din expresia potențialului (1.38) se poate defini tensiunea electrică:
(1.40)
deci tensiunea între două puncte este diferența potențialelor electrice ale celor două puncte din câmp.
Suprafețe echipotențiale
Suprafețele pentru care toate punctele lor au același potențial se numesc echipotențiale. Ecuația suprafețelor echipotențiale se deduce din condiția:
(1.41)
care prin diferențiere devine:
. (1.42)
Relația (1.42), care reprezintă ecuația diferențială a suprafețelor echipotențiale , ne spune că suprafețele echipotențiale sunt perpendiculare pe liniile de câmp.
În figura 1.12 sunt reprezentate câteva exemple. Cu linie plină s-au desenat liniile de câmp, iar cu linii întrerupte suprafețele echipotențiale.
Fig.1.12
Gradient de potențial
Prin diferențierea relației (1.38) în raport cu limita inferioară, pentru care punctul A are coordonate variabile x, y și z, se obține:
(1.43)
Vectorii și au într-un sistem de axe de coordonate carteziene, expresiile:
(1.44)
(1.45)
iar diferențiala totală a potențialului este:
(1.46)
Introducând (1.44), (1.45) și (1.46) în (1.43) se obține:
(1.47)
care conduce la relațiile:
(1.48)
Aceste relații determină componentele pe cele trei axe ale câmpului electric în vid, în funcție de derivatele parțiale ale potențialului. Expresia vectorului intensității câmpului electric în vid se obține din (1.44) și (1.48):
(1.49)
Mărimea vectorială din paranteza membrului drept al relației (1.49) se numește gradient de potențial și se notează grad V, astfel că (1.49) se scrie prescurtat:
(1.50)
Ca interpretare fizică, gradientul unei funcții scalare V reprezintă viteza de variație maximă a acelei funcții. În cazul relației (1.50) intensitatea câmpului electric în vid reprezintă viteza de scădere maximă a potențialului electric. Direcția de scădere maximă a potențialului coincide cu linia de câmp, care este normală la suprafețele echipotențiale, (vezi fig. 1.12).
1.6. Teorema potențialului câmpului electric coulombian
Se suprapune o sarcină punctiformă q care creează câmpul electric în vid având expresia (1.17):
Considerând punctele de la infinit ca având potențialul nul, potențialul unui punct situat la distanța R de sarcina punctiformă va fi:
(1.51)
Această integrală s-a efectuat pe direcția unei linii de câmp care este radială (vezi spectrul câmpului din figura 1.5) și ca atare elementul de arc devine , iar produsul scalar devine produsul modulelor (deoarece vectorii și sunt coliniari și au același sens în cazul sarcinii pozitive).
Potențialul produs de mai multe sarcini punctiforme într-un punct aflat la distanțele de aceste sarcini se va calcula prin suprapunerea efectelor cu formula:
(1.52)
În cazul general când există sarcini distribuite în volum (cu densitatea de volum), pe suprafețe (cu densitatea de suprafață ) sau pe arce de curbă (cu densitatea de linie ), cât și sarcini punctiforme , potențialul se va calcula cu formula:
(1.53)
Această relație determină potențialul câmpului electrostatic în vid, definit până la o constantă arbitrară care poate fi aleasă nulă prin convenție. După cum am amintit mai sus, se alege pământul cu potențial nul, iar în calcule se aleg punctele de la infinit ca având potențial nul. Această din urmă alegere nu este valabilă decât pentru sarcini care se află pe corpuri cu dimensiuni finite. Subliniem că relația (1.53) impune obligatoriu , deci se aplică numai pentru corpuri cu dimensiuni finite.
CAPITOLUL 2
CÂMPUL ELECTRIC ÎN SUBSTANȚĂ
2.1. Polarizare electrică temporară și permanentă
Materialele, din punct de vedere al proprietăților electrice, se împart în trei categorii: izolante (dielectrici), semiconductoare și conductoare.
Împărțirea în aceste categorii se face practic în funcție de rezistivitatea lor (rezistența electrică măsurată între două fețe opuse ale unui cub cu latura unitate). Dielectricii au această rezistivitate de ordinul , conductoarele de ordinul , iar semiconductoarele .
Substanțele conductoare sunt caracterizate prin aceea că posedă sarcini electrice libere (electroni în metale, ioni în electroliți), iar sub acțiunea unui câmp electric exterior ele se pot deplasa liber, dând naștere unui curent electric de conducție.
Substanțele dielectrice nu au sarcini libere, ci „sarcini legate” formând un dipol electric. Acești dipoli se orientează în câmp electric, iar acest fenomen de orientare a dipolilor se numește polarizare electrică.
Există două categorii deosebite de materiale dielectrice și anume: materiale polarizabile temporar și materiale polarizate permanent.
Polarizarea temporară se produce numai sub influența unui câmp electric exterior și ea dispare odată cu dispariția acestui câmp. Polarizarea temporară poate fi la rândul său de două feluri: de orientare și de deformare.
Polarizarea temporară de orientare se produce în dielectricii care au molecule sub forma unui dipol electric, adică centrul de acțiune al sarcinii pozitive nu coincide cu centrul de acțiune negative (de exemplu molecula de acid clorhidric). Dacă sarcinile au valorile +q și –q, iar distanța dintre centrele lor este l, produsul
(2.1)
se numește momentul electric al dipolului sau prescurtat momentul dipolului și are sensul dirijat de la sarcina negativă la cea pozitivă (fig. 2.1).
În câmp electric exterior, acești dipoli se orientează cu sarcina pozitivă în direcția câmpului, iar sarcina negativă în sens contrar câmpului exterior. Agitația termică împiedică această orientare. Orientarea va fi cu atât mai puternică cu cat câmpul exterior va fi mai intens.
În cazul polarizației temporare de deformare, atomul sau molecula se deformează sub acțiunea câmpului exterior. Ca exemplu se consideră atomul de hidrogen (fig. 2.2) constituit dintr-un nucleu cu sarcină pozitivă în jurul căreia gravitează electronul cu sarcină negativă.
Dacă la un câmp centrul de acțiune al sarcinii negative coincide cu centrul sarcini pozitive (fig. 2.2,a), la un câmp centrele lor de acțiune nu mai coincid (fig.2.2,b) și atomul se vede din exterior ca un dipol, al cărui moment electric este . Se constată că deformarea (distanța ) este proporțională cu intensitatea câmpului. La dispariția câmpului deformarea dispare.
Polarizarea electrică permanentă nu depinde de valoarea locală a intensității câmpului electric și ea poate fi de mai multe categorii: polarizarea piezoelectrică (de deformare), polarizarea piroelectrică (de încălzire), polarizarea permanentă a electreților sau polarizare remanentă a substanțelor feroelectrice care au atât polarizare temporară cât și permanentă (sarea Seignette, titanat de Ba etc.).
2.2. Dipolul în câmp electric
Dacă un mic corp polarizat electric (echivalent cu un dipol) este introdus într-un câmp de valoare (neomogen), se constată că asupra corpului acționează un cuplu și o forță (fig. 2.3).
Forța rezultantă care acționează asupra micului corp polarizat este:
(2.2)
care cu relația (1.3) devine:
(2.3)
În câmpuri omogene forța este nulă. În câmpuri neomogene , ținând cont de expresia momentului dipolului , relația (2.3) capătă în general forma:
(2.4)
Cuplul care acționează asupra corpului polarizat aflat într-un câmp omogen este:
(2.5)
sau
(2.6)
În general cuplul este dat de produsul vectorial:
(2.7)
Acest cuplu are tendința de a roti dipolul astfel încât sarcina pozitivă se deplasează în sensul câmpului, iar sarcina negativă în sens contrar câmpului.
2.3. Polarizație, sarcini de polarizație
Pentru a caracteriza starea locală a corpurilor masive polarizate (care conțin dipoli) se utilizează o mărime vectorială , care este densitatea de volum a dipolilor, numită polarizație sau intensitatea de polarizare, definită deci prin relația:
, (2.8)
unde reprezintă suma vectorială a momentelor electrice ale dipolilor cuprinși în elementul de volum . Această limită se ia pentru cazul când se restrânge la un punct.
Se consideră volumul unui corp polarizat (fig. 2.4,a) pe care îl împărțim în elemente de volum, care pot fi considerate ca fiind niște dipoli. Considerând o suprafață închisă , ea va avea exces de sarcină.
Acest exces este determinat numai de frontiera, care intersectează dipolii, deoarece sarcinile dipolilor din interior au suma nulă.
Pentru un element de volum (fig. 2.4,b) sarcina cuprinsă în interiorul suprafeței este . Din (2.1) și (2.8) rezultă:
(2.9)
sau:
(2.10)
Prin integrarea relației (2.10) rezultă:
(2.11)
Aceasta este sarcina de polarizație din interiorul suprafeței .
Sarcina care se află în exteriorul suprafeței este:
(2.12)
Dacă se introduce noțiunea de densitate superficială a sarcinii de polarizație, se obține:
(2.13)
(n este versorul normal la suprafață dirijat în sensul câmpului polarizant).
Relația (2.13) arată că vectorul polarizației este numeric egal cu densitatea superficială a sarcinii de polarizație . Această relație ne permite să stabilim și unitatea de măsură pentru polarizația : coulomb pe metru pătrat ().
2.4. Intensitatea câmpului electric
în interiorul corpurilor polarizate. Inducția electrică
Până acum (cap. 1) s-a definit numai intensitatea câmpului electric în vid , prin relația:
(2.14)
unde este forța care se exercită asupra unui mic corp de probă încărcat cu o sarcină q. Această definiție se poate extinde și în cazul corpurilor polarizate.
Dacă în interiorul corpurilor polarizate (fig. 2.5,a) se consideră o cavitate vidă (delimitată de o suprafață închisă ) în jurul punctului M, este posibil să se măsoare forța ce se exercită asupra corpului de probă și să se definească intensitatea câmpului electric din cavitate (suprafața se restrânge la un punct) cu relația:
(2.15)
Se constată însă că această mărime depinde de forma cavității , oricât de mică ar fi ea, iar câmpul electric din cavitate se poate scrie sub forma:
, (2.16)
unde este „câmpul de calcul” existent în corpul polarizat înainte de practicarea cavității vide (câmp care poate fi calculat prin suprapunerea efectelor, vezi par. 1.3, considerând atât contribuția sarcinilor libere, cât și a celor de polarizație), iar este câmpul produs de sarcinile superficiale de polarizație de pe suprafața .
Pentru a defini câmpul electric în substanță, conform relațiilor (2.15) și (2.16), este necesar a practica o cavitate în așa fel încât contribuția sarcinilor de polarizație de pe suprafața să fie nulă la producerea câmpului, deci să avem . Această cavitate se ia sub forma unui canal cilindric foarte lung și cu raza foarte mică, axul canalului fiind după direcția vectorului polarizație (fig. 2.5,b). În această situație, contribuția sarcinilor de polarizare de pe bazele cilindrului sunt neglijabile deoarece ariile acestora sunt infiniți mici de ordinul doi, iar densitatea sarcini de polarizație de pe aria laterală este zero, deoarece aici (rel.2.13) vectorii și sunt perpendiculari. Rezultă =0 și câmpul din canal devine egal cu câmpul de calcul (rel. 1.16).
Cu aceste precizări, se definește intensitatea câmpului electric într-un punct din substanță ca fiind egală cu intensitatea câmpului electric din vidul unui mic canal extrem de subțire orientat în lungul direcției locale a vectorului polarizație :
(2.17)
O mărime derivată, definită cu ajutorul vectorului intensitate câmp electric , este tensiunea electrică între două puncte A și B:
(2.18)
care generalizează definiția dată în vid
În situația în care se practică în substanța polarizată o cavitate vidă de forma unui cilindru foarte plat (înălțimea sa mult mai mică decât raza bazei) numit fantă, orientată cu fețele bazelor perpendicular pe direcția vectorului (fig.2.6), se definește în vidul acestei fante o mărime numită inducție electrică .
Se numește inducție electrică mărimea de stare a câmpului electric numeric egală cu produsul dintre permitivitatea vidului și vectorul câmp din vidul unei fante foarte mici orientată transversal față de direcția locală a polarizației :
(2.19)
În cazul acestei cavități, apare pe fețele interioare ale cavității sarcina de polarizație cu densitatea superficială (vezi rel. 2.13). Din punctul de vedere al câmpului produs de sarcinile de polarizație, perturbația introdusă prin practicarea acestei fante este maximă. Această fantă poate fi privită ca un condensator plan, pentru care câmpul în exterior este zero, iar în interiorul fantei „câmpul de calcul” este:
, (2.20)
Introducând (2.19) și (2.20) în (2.16), se obține:
. (2.21)
Relațiile (2.17) și (2.21) definite în substanță prin practicarea unor cavități vide în jurul unui punct, având formele particulare din figurile 2.5,b și 2.6, permit determinarea valorii locale a câmpului electric din cavitatea pentru orice formă a cavității. De aceea, caracterizarea stării locale a câmpului electric în substanța polarizată se poate face complet numai cu ajutorul a două mărimi vectoriale de stare: intensitatea câmpului electric și inducția electrică . Inducția electrică se mai numește și deplasare electrică.
Din (2.21) rezultă unitatea de măsură a inducției electrice (aceeași ca și a polarizației ): coulomb pe metru pătrat (C/m2).
O mărime derivată exprimabilă cu ajutorul inducției electrice, este fluxul electric definit prin integrala de suprafață:
(2.22)
și care se măsoară în coulomb (C).
CAPITOLUL 3
ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC
3.1. Energia câmpului electrostatic
Pentru a stabili un câmp electric într-un domeniu al spațiului unde aceasta era inițial nul este necesar să transportăm sarcini electrice din exterior (de la ) cu care se încarcă corpurile. Energia câmpului electric este egală cu lucrul mecanic total efectuat pentru transportul acestor sarcini.
Pentru a putea defini energia în acest fel trebuie să se facă anumite ipoteze și anume:
-Se consideră mediul izotrop, liniar și lipsit de polarizație permanentă.
-Operația de înmagazinare a sarcinii pe conductoarea se face foarte lent, pentru a putea considera câmpul ca fiind electrostatic și pentru a nu exista transformări ireversibile ale lucrului mecanic efectuat în căldură.
-Se consideră că sistemul de conductoare este imobil pentru a nu se pierde lucrul mecanic pentru deformare sau deplasarea conductoarelor.
În aceste ipoteze se va stabili expresia energiei câmpului electrostatic în funcție de sarcina și potențialul conductoarelor ce produc câmpul.
Se presupune starea inițială identic nulă: și , iar starea finală dată de sarcinile și potențialele . O stare intermediară se va nota:
(3.1)
Se admite că stabilirea stării finale se face proporțional, adică există relațiile:
(3.2)
Pentru a trece sistemul din starea într-o stare foarte apropiată este necesar să se cheltuie un lucru mecanic pentru deplasarea sarcinii contra câmpului (fig.3.1).
Fig.3.1
Rezultă deci:
. (3.3)
Diferențiala de ordinul doi a lucrului mecanic efectuat este:
, (3.4)
apoi:
. (3.5)
Lucrul mecanic efectuat va duce la creșterea energiei sistemului, deci:
. (3.6)
Cu relațiile (3.2) se obține
, (3.7)
care prin integrare conduce la:
. (3.8)
Relația (3.8) dă expresia energiei înmagazinată în câmpul electric al unor conductoare care au sarcinile și potențialele .
3.2. Densitatea de volum a energiei câmpului
electrostatic
Relația (3.8) exprimă energia în funcție de potențiale și de sarcini și nu specifică dacă ea este localizată pe conductoare sau în dielectric. Se caută deci exprimarea energiei în funcție de mărimile de stare ale câmpului ( și ).
Fie densitatea de volum a energiei dată de relația:
, (3.9)
fiind un element de volum, în câmp.
Energia cuprinsă în volumul v va fi:
. (3.10)
In cazul particular al unui condensator plan, sarcina de pe o armătură este
, (3.11)
Tensiunea electrică dintre armături este
. (3.12)
Introducând (3.11) și (3.12) în relația rezultă expresia energiei câmpului electric din condensatorul plan:
, (3.13)
unde v este volumul dielectricului dintre armături.
Deoarece câmpul electric al condensatorului plan (cu inel de gardă) este omogen, rezultă din (3.9) și din (3.13) expresia densității de volum a energiei:
. (3.14)
În cazul general, când vectorii și nu sunt coliniari, densitatea de volum a energie capătă forma:
, (3.15)
care cu (2.25) se mai scrie:
. (3.16)
Cu (3.14), energia câmpului (3.10) se scrie:
. (3.17)
Relația (3.17), care dă expresia energiei câmpului electric, este cea mai generală formă și este valabilă și în medii anizotrope (dar liniare), precum și pentru sarcini variabile în timp. Totodată relațiile (3.14) și (3.16) precizează că energia câmpului electric este localizată în dielectric (acolo unde există câmp electric) și nu în corpuri conductoare (unde câmpul este nul).
3.3. Forțele electrostatice generalizate
Pentru distribuții de sarcină punctiformă forțele electrostatice se calculează cu formula lui Coulomb. În cazul general însă, asupra corpurilor se exercită forțe și momente care nu se pot calcula cu formula lui Coulomb. Ele se vor calcula plecând de la expresia energiei câmpului. Mai întâi trebuie introduse noțiunile de coordonate generalizate analog ca în mecanică, ele putând fi: distanțe, unghiuri, suprafețe, volume etc., adică mărimi scalare ce caracterizează complet configurația geometrică a unui sistem de corpuri.
Variația unei coordonate generalizate îi corespunde un lucru mecanic virtual , dat de relația:
în care X este forța generalizată, iar x este coordonata generalizată. Forțele și coordonatele generalizate, după relația de mai sus, corespund astfel: dacă x este o distanță, X este o forță; dacă x este o suprafață, X este o tensiune superficială; dacă x este un volum, X este o presiune; dacă x este un unghi, X este moment; etc.
Aplicând principiul conservării energiei, la variația sarcinii cu corespunde o creștere a energiei câmpului precum și efectuarea unui lucru mecanic care modifică poziția corpurilor cu dx:
(i)
Se deosebesc două cazuri particulare în acest proces:
-potențialele corpurilor se păstrează constante;
-sarcinile corpurilor se păstrează constante.
Când sarcinile sunt constante, adică , relația de mai sus conduce la:
(ii)
Acest caz corespunde situației în care corpurile încărcate cu sarcini sunt deconectate de la surse și sunt înconjurate numai de dielectrici.
Semnul minus se interpretează prin aceea că dacă X și dx sunt de același sens, energia sistemului scade. În adevăr dacă sursele sunt deconectate, deplasarea corpurilor se produce numai pe seama energiei interne a sistemului și deci această energiei va scădea.
Dacă potențialele sunt constante () relația (4.8) devine:
care introdusă în (i) conduce la:
(iii)
Această situație corespunde cazului când sistemul este conectat la sursă (V=const.) și deci deplasarea corpurilor are loc pe seama unui consum de energie de la sursă.
Relațiile (ii) și (iii) reprezintă cele două teoreme ale forțelor generalizate în câmp electrostatic.
Să considerăm un sistem de n conductoare electrizate, în echilibrul electrostatic. Pentru a găsi expresia forței care acționează asupra unuia dintre conductoare (), se presupune că acesta a suferit o deplasare virtuală care poate consta dintr-o translație sau o rotație. De fapt, conductorul fiind imobil, asupra acestuia acționează forțe sau momente ale forțelor de natură mecanică, care le echilibrează pe cele de natură electrostatică, fiind egale și direct opuse cu acestea.
Energia unui conductor și a sistemului de conductoare se exprimă prin formulele
și . (3.18)
În timpul deplasării virtuale, dacă acesta constă dintr-o translație elementară dl(dx,dy,dz) a conductorului lucrul cedat de sistemul de conductoare în exterior are expresia
(3.19)
unde sunt componentele forței care acționează asupra conductorului luat în considerare.
Dacă deplasarea virtuală constă dintr-o rotație elementară , de coordonate în jurul axelor de coordonate, atunci
(3.20)
unde sunt componentele momentului rezultant.
Dacă cele n conductoare sunt izolate, când are loc deplasarea virtuală nu se capătă energie electrică din afara sistemului și sarcina electrică de pe fiecare conductor rămâne constantă în timpul transformării. Potențialul al fiecărui conductor în acest caz este funcție liniară de sarcinile tuturor conductoarelor
(3.21)
unde coeficienții depind de configurația geometrică a sistemului, adică de pozițiile relative ale conductoarelor. Deci, când conductorul își schimbă poziția, coeficienții se modifică.
Energia electrostatică a sistemului va depinde, în consecință de sarcinile electrice de pe conductoarea și de parametrii geometrici ai acestora:
. (3.22)
În timpul unei translații virtuale dl, potențialul conductoarelor variază deoarece variază coeficienții , încât și variația energiei electrostatice a sistemului se datorează variației acelorași coeficienți
(3.23)
Deoarece energia totală se conservă, înseamnă că
(3.24)
de unde rezultă că
(3.25)
Această expresie, în care primul termen reprezintă lucru mecanic cedat în exterior, iar al doilea reprezintă scăderea energiei electrostatice a sistemului, arată că forța are un astfel de sens încât energia sistemului izolat tinde să scadă.
Relația (3.25) scrisă sub forma
(3.26)
conduce la expresiile
,,; (3.27)
indicele Q precizează faptul că transformarea are loc la sarcina electrică constantă.
Ținând seama de relația (3.23), expresiile componentelor rezultantei generale capătă forma
etc. (3.28)
Raționamente asemănătoare și relația (3.20) conduc la expresiile componentelor momentului rezultant
,,. (3.29)
În cazul particular, întâlnit în practică, când rotația elementară a conductorului poate avea loc în jurul unui ax fix, relațiile
și (3.30)
permit să se scrie expresia valorii algebrice a momentului rezultant al forțelor electrostatice în raport cu acel ax
. (3.31)
Când sistemul de conductoare constituie un condensator oarecare, dacă una dintre armături se poate deplasa după o direcție (Ox) sau se poate roti în jurul unui ax, se pleacă de la formula energiei exprimate în funcție de Q, căci sarcina electrică se menține constantă
. (3.32)
Cunoscând cum variază C cu x sau cu , care precizează pozițiile armăturii mobile, se pot scrie expresiile lui F și
(3.33)
și
. (3.34)
Deoarece F și sunt de același semn cu și , înseamnă că o forță (sau momentul forțelor) face să crească capacitatea condensatorului, adică distanța dintre armături va tinde să scadă. Totodată, cum capacitatea condensatorului crește, iar sarcina va rămâne constantă, energia electrostatică (3.32) a acestuia va scădea; ca urmare, o parte din energia condensatorului se transformă în lucru mecanic.
Dacă fiecare conductor din sistemul în echilibru este menținut la potențial constant, fiind legat la un generator electric sau la pământ, sarcina a unui conductor este funcție liniară de potențialele tuturor conductoarelor
, (3.35)
unde coeficienții de influență depind de pozițiile relative ale celorlalte conductoare față de .
Expresia energiei electrostatice a sistemului va avea deci forma
. (3.36)
Când conductorul suferă o translație virtuală dl, variază coeficienții ; acesta antrenează variația sarcinilor electrice de pe conductoare și totodată variația energiei sistemului; deoarece potențialele se mențin constante, se va scrie
. (3.37)
Pentru ca potențialele conductoarelor să se mențină constante în timpul translației, acestea capătă de la surse sarcinile . Când sarcina a fost adusă pe conductorul de la potențial zero la potențialul , de către generator, care a fost traversat de aceeași sarcină, acesta a căpătat energia . Deci sursele au furnizat o energie care are expresia
; (3.38)
această energie este de două ori mai mare decât cea înmagazinată de sistemul de conductoare (4.1).
Deoarece nu există pierderi prin efect Joule, bilanțul energetic arată că schimbarea configurației sistemului, când potențialele se mențin constante, face ca energia electrică furnizată de surse să se transforme jumătate în lucru mecanic () datorat forțelor electrostatice și a doua jumătate (dW) să fie înmagazinată de sistem, căruia îi crește astfel energia electrostatică
; (3.39)
Din relația de mai sus rezultă că în cazul acestei transformări
; (3.40)
acum F (sau ) are un asemenea sens încât energia sistemului tinde să crească.
Relația (3.40) scrisă sub forma
(3.41)
conduce la expresiile componentelor forței
, , (3.42)
unde indicele V amintește că transformarea are loc la potențial constant.
Aceste componente se pot scrie mai explicit sub forma
etc. (3.43)
Raționamente asemănătoare și același notații permit să se scrie expresiile componentelor momentului rezultant al forțelor electrostatice
, , . (3.44)
când conductorul suferă o rotație elementară în jurul unui ax fix, expresia momentului devine
. (3.45)
În cazul unui condensator oarecare, cum diferența de potențial între cele două armături se, menține constantă, se va pleca de la formula
. (3.46)
Expresiile lui F și , când una dintre armături se poate deplasa după o direcție x, sau se poate roti în jurul unui ax fix, se pot scrie dacă se cunosc funcțiile și
(3.47)
. (3.48)
Și în cazul acesta se constată că deplasarea armăturii libere a unui condensator se produce astfel încât capacitatea acestuia tinde să crească. Însă creșterea capacității antrenează acum, spre deosebire de cazul când Q se menține constant, o creștere a energiei electrostatice.
3.4. Forța și momentul forțelor care acționează
asupra unui dipol
Dacă un dipol se găsește într-un câmp neuniform- pe care dipolul nu-l perturbă-, acesta suferă mai întâi o rotație în așa fel încât axa lui să fie tangentă la linia de câmp (fig..3.2); astfel, vectorul are același sens cu câmpul electric (după Ox).
Fig. 3.2.
Cum dipolul reprezintă un sistem izolat, sarcinile rămânând constante, se poate aplica formula (3.28) pentru a găsi expresia forței care acționează asupra acestuia. În condițiile precizate mai sus, energia electrostatică a dipolului are expresia , iar
. (3.49)
În general, dacă E are componentele Ex, Ey, Ez, care pot varia de asemenea cu distanța și deplasarea nu are loc după Ox, ci după o direcție oarecare l, iar dl(dx, dy, dz) este lungimea dipolului după direcția Ox, sarcina –q se găsește în câmpul Ex, iar sarcina +q în câmpul
. (3.50)
Cum componenta după Ox a lui p este , forța rezultantă care acționează asupra dipolului în direcția Ox are expresia
(3.51)
și având expresii asemănătoare.
Această forță, care tinde să deplaseze dipolul spre regiunile unde câmpul este mai intens, are în general valori neglijabile, căci în majoritatea cazurilor intensitatea câmpurilor nu variază sensibil pe o distanță egală cu ceea dintre sarcinile dipolului.
De cele mai dese ori, când un dipol se află într-un câmp electric, acțiunea principală se manifestă printr-un efect de orientare. Considerând câmpul uniform, expresia împreună cu relația (3.30) permit să se scrie expresia momentului cuplului care acționează asupra dipolului
sau (3.52)
căci face ca să scadă.
Acest moment al forțelor electrostatice tinde să rotească dipolul astfel ca vectorul moment electric p să aibă aceeași direcție și același sens cu vectorul câmp electric E (fig.3.3).
Fig. 3.3.
3.5. Presiunea electrostatică
Asupra suprafeței corpurilor încărcate cu sarcină se exercită o forță, calculabilă prin egalarea variației energiei câmpului la deplasarea ariei elementare dA cu distanța ds (fig. 3.4):
Fig.3.4.
. (3.53)
Cu (3.9) se obține:
, (3.54)
sau:
. (3.55)
Presiunea electrostatică va fi:
; (3.56)
deci, asupra oricărei suprafețe conductoare se exercită din partea câmpului o presiune egală cu densitatea de volum a energiei.
Forța este maximă când deplasarea se face pe direcția normală. După concepția lui Faraday liniile de câmp nu sunt altceva decât materializarea direcțiilor după care se produce deplasarea în câmp.
3.6. Forțele care se exercită la suprafața de separație
a două medii dielectrice
Fie două medii dielectrice cu permitivitățile și , separate printr-o suprafață al cărei element de arie dA este reprezentat în figura 3.5.
Fig. 3.5
Vectorii câmp electric și inducție electrică () suferă refracții, formând cu normala unghiurile și . Dacă mediile sunt izotrope, vectorii și sunt coliniari. Asupra suprafeței de separație se exercită presiuni electrostatice date de relația (3.56):
. (3.57)
Pentru elementul de arie dA forțele sunt:
; (3.58)
Direcția forțelor formează, conform relației (3.57), unghiurile și cu normala la suprafața de separație. Se calculează componentele forțelor după direcția normală și tangențială la suprafață.
Forțele tangențiale vor fi:
(3.59)
Dezvoltând sinusul argumentului dublu se obține:
(3.60)
În relațiile (3.60) parantezele reprezintă componenta normală a inducției și respectiv componenta tangențială a câmpului, deci:
(3.61)
Conform teoremelor de refracție a liniilor de câmp avem însă
și (3.62)
deci
. (3.63)
Această relație arată că asupra suprafeței de separație a două medii dielectrice nu se exercită o forță rezultantă tangențială, deoarece .
Forțele normale vor fi:
(3.64)
Dezvoltând cosinusul argumentului dublu rezultă:
(3.65)
Introducând componentele normale și tangențiale ale câmpului electric și ale inducției electrice și ținând cont de teoremele refracției, se obține forța rezultantă care acționează normal la suprafața de separație a doi dielectrici:
. (3.66)
Această forță este dirijată de la dielectricul cu mai mare către dielectricul cu mai mic.
3.7. Aplicații ale energiei și forțelor câmpului electrostatic
1. Calculul energiei înmagazinate în câmpul electric al unui condensator.
Condensatorul are pe armături sarcinile:
și
și potențialele V1 și V2 care satisfac relația:
Din relația (3.8), rezultă energia:
Dacă se introduce expresia capacității se mai poate scrie:
Din aceste din urmă relații se poate spune: dacă se menține tensiunea constantă, energia condensatorului este proporțională cu capacitatea sa, iar dacă se menține sarcina constantă energia este invers proporțională cu capacitatea.
2. Forța care se exercită între armăturile unui condensator
Expresia energiei înmagazinată în câmpul electric al condensatorului este:
Când sarcina se păstrează constantă, avem:
(I)
Ultimele două relații sunt identice, deoarece .
3. Electrometrul Thomson
Este un instrument de măsură absolut, care măsoară tensiuni, cunoscând numai mărimi mecanice. El constă dintr-un condensator plan, cu inel de gardă pentru eliminarea efectului de margine. O placă este fixă, iar cealaltă este legată la brațul pârghiei unei balanțe. Balanța se dezechilibrează
când greutatea G este mai mare decât forța de atracție dintre armături.
Echilibrul este dat de relația:
care cu (I) se scrie:
Expresia capacității condensatorului plan fiind , relația de mai sus devine:
de unde se deduce expresia tensiunii:
4. Instrument de măsură electrostatic cu cadrane
Este constituit din două plăci fixe și o placă mobilă de care este prins un ac indicator. Sistemul mobil este ținut în echilibru de un resort spiral, care creează un moment rezistent proporțional cu unghiul de deviație:
Capacitatea dintre sistemul mobil și cel fix este o funcție de unghiul , deci forța generalizată va fi un moment, dat de relația (I):
Sistemul va fi la echilibru când cuplul rezistent devine egal cu cel motor, adică:
(II)
Dacă dependența capacității în funcție de unghi ar fi liniară, am avea și relația de mai sus devine:
și se obține un instrument cu scala pătratică. Dacă dependența capacității în funcție de unghi este logaritmică, de forma , relația (II) devine:
sau
și se obține în acest caz o scală liniară a instrumentului.
CAPITOLUL 4
CÂMPUL MAGNETIC ÎN VID
Existența câmpului magnetic se constată în vecinătatea magneților permanenții sau a circuitelor parcurse de curenți. Un ac magnetic adus în vecinătatea unui conductor parcurs de curent tinde să se orienteze perpendicular pe aceasta. Mai multe conductoare parcurse de curenți electrici se atrag sau se resping, în funcție de sensul curenților prin conductoare. Toate aceste fenomene sunt manifestări ale câmpului magnetic. Câmpul magnetic, deci, exercită forțe asupra circuitelor parcurse de curent. Aceste forțe în câmp magnetic se împart în: forțe electrodinamice (între curenți); forțe electromagnetice (între curenți și corpuri magnetizate); magnetostatice (între magneți).
4.1. Câmpul magnetic. Inducția magnetică
Câmpul magnetic e acea formă de existență a materiei care se manifestă prin forțe sau cupluri de forțe, ce acționează asupra corpurilor magnetizate sau asupra conductoarelor parcurse de curenți.
Explorarea câmpului magnetic se face cu un corp de probă. Cel mai potrivit corp de probă este o mică spiră foarte subțire parcursă de curent numită buclă de curent, reprezentată teoretic în figura 4.1,a și realizată practic ca în figura 4.1,b.
Fig. 4.1.
Bucla se caracterizează prin vectorul
, (4.1)
numit momentul buclei. Dacă bucla are mai multe spire (N) atunci aria ei se scrie , unde este aria unei singure spire.
Dacă se aduce bucla de curent în spațiul unde se presupune că există câmp magnetic, asupra ei se exercită acțiuni mecanice. Se constată că asupra buclei se exercită cu cuplul de forțe dat de relația vectorială:
, (4.2)
sau:
. (4.3)
Mărimea se numește inducția magnetică în vid și se măsoară în tesla (T). Din (4.3) unitatea de măsură rezultă:
.
4.2 Forțe particulare în câmp magnetic
Acțiunile ponderomotoare (forțe sau cupluri de forțe) în câmp magnetic prezintă un deosebit interes in electrotehnică, ele constituind baza unor importante și numeroase aplicații tehnice. Forțele particulare la care se referă acest paragraf (forța Lorentz, forța Laplace, forța lui Ampère) au fost studiate și determinate inițial pe cale experimentală, dar ele se pot deduce teoretic în cazurile cele mai generale (forțele generalizate, tensiuni maxwelliene).
4.2.1. Forța care se exercită aspra uni mic corp încărcat electric aflat în mișcare în câmp magnetic (forța Lorentz sau forța magnetică)
Experiența arată că asupra unui mic corp încărcat cu sarcina electrică , care se deplasează cu viteza într-un câmp magnetic de inducție , se exercită forța:
, (4.4)
având direcția perpendiculară atât pe direcția de deplasare, cât și pe direcția liniilor câmpului magnetic.
Conform relației (4.4) se pot face următoarele precizări: asupra unei sarcini aflate în repaus nu acționează câmpul magnetic; forța magnetică este maximă dacă direcția de deplasare a sarcinii este perpendiculară pe liniile de câmp ; forța magnetică este nulă dacă sarcina se deplasează pe linia de câmp magnetic .
In stabilirea experimentală a relației (4.4) s-a presupus că în domeniul considerat există numai câmp magnetic. Dacă însă există și câmp electric, asupra sarcinii va acționa suplimentar și câmpul electric (vezi cap.1) cu o forță , astfel încât în cazul general asupra unei particule încărcate aflată în mișcare în câmp electromagnetic va acționa forța rezultantă:
. (4.5)
Expresia generală a forței (4.5) are aplicații practice la studiul mișcării particulelor elementare în câmp electromagnetic (de exemplu în acceleratoare de particule).
4.2.2. Forța care se exercită asupra unui element de conductor
parcurs de curent electric aflat într-un câmp magnetic
(forța Laplace sau forța electromagnetică)
Măsurând forța ce se exercită asupra unui element de conductor de lungime parcurs de curentul i și situat într-un câmp magnetic de inducție se constată experimental că există relația:
. (4.6)
Sensul forței este dat de produsul vectorial . Forța electromagnetică este maximă când conductorul este perpendicular pe liniile de câmp și este zero când conductorul este orientat după direcția liniilor de câmp .
Expresia (4.6) a forței lui Laplace se poate deduce din expresia (4.4) a forței lui Lorentz. Astfel, dacă în (4.4) se scrie viteza sub forma , forța lui Lorentz devine:
, (4.6’)
relație identică cu (4.6).
Forța lui Laplace (4.6) se referă la conductoare filiforme parcurse de curentul i.
In cazul conductoarelor masive , se introduce noțiunea de densitate de volum a forței:
. (4.7)
Dacă în (4.7) se notează (vezi fig.4.2):
, (4.8)
Fig. 4.2.
rezultă:
,
sau
,
sau încă:
, (4.9)
care cu (4.7) conduce la:
. (4.10)
Din punctul de vedere al aplicațiilor practice forța lui Laplace (4.6) constituie baza funcționării motoarelor electrice. Densitatea de volum a forței (4.10) este o noțiune importantă în cazul unor conductoare masive parcurse de curent (de exemplu în cazul „pompelor magnetice”, care pompează un lichid parcurs de curent electric sub influența unui câmp magnetic exterior).
4.2.3. Forța electrodinamică
(forța lui Ampère)
Dacă două conductoare (fig.4.3) sunt paralele, filiforme, infinit lungi și parcurse de curenții și se constată experimental că asupra lor
Fig. 4.3.
se exercită o forță dată de relația:
(4.11)
Forța o exercită câmpul magnetic al conductorului 1 asupra curentului din conductorul al doilea (vezi și par. 4.3). Forța este de atracție dacă curenții au același sens și este de respingere dacă curenții au sensuri contrare.
Dacă se ia , atunci se definește amperul ca fiind intensitate curentului continuu, constant, care menținut în două conductoare paralele infinit lungi, așezate în vid la distanța de 1m, se atrag sau se resping cu o forță de newton pe metru de lungime.
Se obișnuiește a se nota:
(4.12)
iar această constantă universală se numește permeabilitate absolută a vidului.
Raportul dintre inducția magnetică în vid și constanta universală se numește inducția câmpului magnetic în vid :
. (4.13)
Introducând pe , formula lui Ampère se scrie:
. (4.14)
Aceasta este formula „raționalizată” a forței lui Ampère și ea corespunde sistemului internațional de unități. Formula reprezintă simetrie cilindrică prin termenul .
Cunoașterea forțelor electrodinamice prezintă importanță în practică mai ales la proiectarea aparatelor și instalațiilor industriale. Solicitările electrodinamice ale aparatelor electrice din stații sau posturi de transformare devin periculoase mai ales în cazuri de avarii (cum ar fi curenții de scurtcircuit).
4.3. Formula lui Biot-Savart-Laplace
Prin experiență, Biot și Savart au stabilit următoarea formulă pentru calculul intensității câmpului magnetic , produs în vid de un circuit filiform închis, parcurs de curentul continuu i:
; (4.15)
Laplace a demonstrat teoretic această formulă.
Unitatea de măsură a intensității câmpului magnetic rezultă din (4.15) și se numește amper pe metru (A/m).
Formula lui Boit-Savart-Laplace, deși se referă la un contur închis prin care circulă curentul electric, poate fi aplicată și pentru contururi deschise, care se închid la infinit.
4.4. Tensiunea magnetomotoare. Solenație
Prin analogie cu tensiunea electromotoare:
, (4.16)
se introduce noțiunea de tensiune magnetomotoare prin relația:
. (4.17)
Efectuând experiențe asupra curenților continui, Ampère a găsit următoarea expresie pentru integrala (4.16):
, (4.18)
În membrul drept al relației (4.18) intră toți curenții care înlănțuie conturul , cu semnul luat după regula burghiului drept.
În general, când conturul de integrare străbate mai multe bobine, având fiecare un număr N de spire, relația (4.18) se scrie:
. (4.19)
Membrul al doilea al relației (4.19) se numește solenație și se notează cu . De reținut că numai în curent continuu tensiunea magnetomotoare este egală cu solenația. În regim variabil, această egalitate nu mai este adevărată. Unitatea de măsură a tensiunii magnetomotoare cât și a solenației rezultă din (4.19) și se numește amper (uneori i se mai spune amper-spiră).
CAPITOLUL 5
CÂMPUL MAGNETIC ÎN SUBSTANȚĂ
5.1 Magnetizare temporară și permanentă.
Magnetizație
În natură există anumiți oxizi de fier care au proprietatea de a produce câmp magnetic în jurul lor. Aceștia erau cunoscuți în Asia Mică încă din antichitate. Magneții permanenții pot fi produși și în mod artificial prin introducerea materialelor feromagnetice într-un câmp magnetic.
Se spune că un corp este magnetizat sau se află în stare de magnetizare dacă el este supus unor forțe și cupluri când este adus într-un câmp magnetic. Această stare de magnetizare poate fi permanentă (nu depinde de valoarea inducției magnetice) sau temporară (depinde de valoarea inducției magnetice în care este introdus corpul).
Caracterizarea acestei stări, pentru corpuri cu dimensiuni mici, se face cu mărimea vectorială numită moment magnetic, analog cu momentul buclei (par. 4.1).
Cuplul și forța ce se exercită asupra unui mic corp magnetizat sunt:
(5.1)
. (5.2)
Forța apare numai în câmpuri neuniforme. Sensul relației (5.1) poate fi arătat în figura 5.1.
Fig. 5.1
În cazul corpurilor cu dimensiuni mari avem de-a face cu un moment magnetic rezultant, dat de suma vectorială a momentelor magnetice ale părților elementare:
. (5.3)
Limita raportului dintre și volumul , când acest volum tinde la zero, se numește intensitatea de magnetizare sau magnetizație:
. (5.4)
Cu relația (5.4) momentul magnetic al unui corp cu dimensiuni mari este:
. (5.5)
La baza explicării magnetizării corpurilor, conform teoriei lui Ampère, stau așa-zișii curenți moleculari. Dacă se consideră un mic corp (fig.5.2) prin care
Fig. 5.2.
circulă curenții moleculari , fiecare din acești curenți moleculari formează câte o buclă de curent al cărui moment este:
. (5.6)
Momentul magnetic rezultant, conform (5.3), va fi:
. (5.7)
Cu relația (5.4) rezultă magnetizația:
. (5.8)
pentru o repartiție uniformă a curenților moleculari, rezultă:
(5.9)
Relația (5.9) spune că magnetizația este egală cu suma curenților moleculari de pe unitatea de lungime a corpului magnetizat.
Unități de măsură. Din relația (4.18) rezultă unitatea de măsură a intensității câmpului magnetic :
(amper pe metru). (5.10)
Din relația (5.9), rezultă unitatea de măsură a magnetizației:
, (5.11)
deci mărimile și au aceeași unitate de măsură (amper pe metru).
5.2. Interpretarea microscopică magnetizației
Ampère a emis ipoteza că la scară microscopică un corp magnetizat poate fi echivalent cu o buclă de curent al cărui moment magnetic este . El presupune că magnetizarea provine din curenți care circulă la nivelul moleculelor formând așa-zise bucle de curent.
Pentru un atom, momentul său magnetic se compune din momentele magnetice datorită mișcărilor electronilor pe orbită (orbital) și datorită rotirii particulelor în jurul axelor lor (moment de spin). Orientările acestor momente sunt haotice datorită agitației termice. Sub acțiunea unui câmp magnetic exterior corpul capătă un moment magnetic rezultant din punct de vedere macroscopic, proporțional cu valoarea câmpului (vezi și par. 5.3), pentru substanțe ce au numai magnetizare temporară:
. (5.12)
Relația (5.12) reprezintă legea magnetizației temporare, unde este o constantă de material numită susceptivitate magnetică. Ea poate fi pozitivă sau negativă. Substanțele pentru care se numesc paramagnetice (de exemplu aluminiul), iar cele pentru care se numesc diamagnetice (cuprul).
Substanțele paramagnetice au moleculele cu moment magnetic spontan (substanțe polare) și câmpul magnetic exterior orientează în direcția câmpului aceste momente.
Cele diamagnetice nu au inițial moment magnetic spontan. Ele capătă, printr-un fenomen de inducție electromagnetică, un moment magnetic care se opune câmpului exterior, deci .
O clasă specială de substanțe paramagnetice sunt substanțele feromagnetice caracterizate printr-o susceptibilitate magnetică pozitivă și foarte mare.
5.3. Intensitatea câmpului magnetic și inducția magnetică
în substanță. Legi specifice
Pentru definirea mărimilor ce caracterizează câmpul magnetic în interiorul corpurilor magnetizate se va proceda în mod analog cu electrostatica (vezi cap.2). Pentru aceasta, se practică o cavitate vidă în jurul punctului P (fig.5.3) din substanța
Fig. 5.3.
magnetizată, și se măsoară cu ajutorul buclei de curent (vezi cap.4) inducția magnetică în această cavitate vidă . Se constată experimental că oricât ar fi cavitatea vidă, inducția magnetică din cavitate depinde de forma și orientarea cavității. În cazul unor cavități cu forme particulare (canal sau fantă) se pot defini intensitatea câmpului magnetic și inducția magnetică din interiorul corpurilor magnetizate.
5.3.1. Intensitatea câmpului magnetic
în interiorul corpurilor magnetizate
Dacă se practică o cavitate vidă sub forma unui canal cilindric foarte îngust (generatoarea este mult mai mare decât diametrul bazei cilindrului), având axul orientat după direcția magnetizației (fig.5.4,a), măsurând indicația magnetică în acest canal se constată că el este egală cu produsul dintre permeabilitatea vidului și o mărime numită intensitatea câmpului magnetic.
Fig. 5.4.
Deci, se definește intensitatea câmpului magnetic din interiorul unui corp magnetizat prin relația:
. (5.13)
O mărime scalară derivată, definită prin intermediul vectorului intensitate câmp magnetic , este tensiunea magnetică între două puncte din câmp:
. (5.14)
Ca și pentru tensiunea electrică, trebuie definit un sens de referință deoarece . Dacă câmpul magnetic este irotațional tensiunea magnetică între două puncte nu depinde de drum.
Dacă drumul de integrare este închis, integrala se numește tensiune magnetomotoare, care în regim staționar este egală cu solenația.
Intensitatea câmpului magnetic în substanță se măsoară în amper pe metru (A/m), iar tensiunea magnetică în amper (A).
5.3.2. Inducția magnetică în interiorul corpurilor magnetizate
Dacă se practică în jurul punctului P din interiorul corpului magnetizat o fantă vidă (un cilindru foarte plat, având generatoare mult mai mică decât diametrul bazei), cu bazele perpendiculare pe direcția magnetizației (fig.5.4,b), măsurând inducția magnetică în această fantă vidă se constată că ea este egală cu inducția magnetică existentă în substanță , înainte de practicarea fantei. Deci se definește inducția magnetică în substanța magnetizată prin relația:
. (5.15)
O mărime scalară derivată, definită cu ajutorul vectorului inducție magnetică, este fluxul magnetic prin suprafața deschisă S:
. (5.16)
Sensul de integrare ales, adică sensul vectorului , se numește sens de referință. Pentru o suprafață S deschisă, care se sprijină pe un contur (fig.5.5) sensul normalei se atașează după regula burghiului drept sensului de parcurgere al conturului.
Fig. 5.5.
În câmp omogen () și pentru o suprafață S plană, fluxul magnetic este:
, (5.17)
unde este unghiul format de vectorii și .
Inducția magnetică se măsoară în tesla (T), iar fluxul magnetic se măsoară în Weber (wb), existând relația: .
5.3.3. Legea magnetizației temporare
Magnetizarea corpurilor poate fi permanentă (când nu depinde de câmpul magnetic exterior) sau temporară (când depinde de câmpul magnetic exterior). Corespunzător acestor stări, vectorul magnetizație are două componente,
. (5.18)
în care este magnetizația permanentă, independentă de câmpul magnetic exterior, iar este magnetizația temporară, dependentă de intensitatea câmpului magnetic în care se introduce corpul supus magnetizării.
Legea magnetizației temporare se referă la această legătură dintre și . Experiența arată că în cazul mediilor magnetice liniare și izotrope este satisfăcută următoare lege de material: în fiecare punct și în orice moment, magnetizația temporară este proporțională cu intensitatea câmpului magnetic:
, (5.19)
factorul de proporționalitate fiind o constantă de material numită susceptivitate magnetică a mediului (mărime adimensională).
Spre deosebire de susceptivitatea electrică , care este întotdeauna pozitivă, cea magnetică poate fi pozitivă (materialul se numește în acest caz paramagnetic), cât și negativă (materialul se numește în acest caz diamagnetic). Drept urmare, câmpul magnetic propriu al materialelor paramagnetice este de același sens cu câmpul exterior, iar în cazul materialelor diamagnetice, câmpul propriu este opus celui exterior. Susceptivitatea magnetică nu depinde de temperatură în cazul materialelor diamagnetice și variază invers proporțional cu temperatura pentru materialele paramagnetice.
Materialele pentru care nu depinde de intensitatea câmpului magnetic se numesc materiale liniare, iar materialele care au dependent de se numesc materiale neliniare (de exemplu materialele feromagnetice).
5.3.4. Legea legăturii dintre vectorii , și
Experiența arată că în orice mediu și în orice regim al câmpului electromagnetic este satisfăcută egalitatea
, (5.20)
numită legea legăturii dintre vectorii și, care se enunță astfel: în fiecare punct și în oricare moment vectorul inducție magnetică este proporțional cu suma dintre vectorul intensitate a câmpului magnetic și vectorul magnetizație , factorul de proporționalitate fiind permeabilitatea magnetică a vidului .
Această lege se utilizează de obicei împreună cu legea magnetizației temporare (5.19). Combinând (5.19) cu (5.20), în ipoteza absenței magnetizației permanente, se obține relația:
, (5.21)
unde,
(5.22)
se numește permeabilitate relativă a mediului (mărime adimensională), iar
(5.23)
se numește permeabilitate absolută a mediului (se măsoară ca și în henry pe metru).
Permeabilitatea relativă a materialelor diamagnetice este mai mică decât 1 (), iar a materialelor paramagnetice este mai mare decât 1(). Permeabilitatea relativă a tuturor materialelor în afară de cele feromagnetice se poate considera egală cu 1, deoarece ele diferă între ele numai la a treia sau la a patra zecimală. Spre exemplu permeabilitatea relativă la cupru este , iar aluminiul este .
5.3.5. Legea fluxului magnetic
Experiența arată că fluxul magnetic (fluxul vectorului inducție magnetică ) printr-o suprafață închisă este nulă în orice moment, indiferent de forma suprafeței:
sau . (5.24)
Aceasta este o lege generală, valabilă atât în regim staționar cât și în regim nestaționar. Legea fluxului magnetic exprimă faptul că nu există „sarcini magnetice” care pot fi separate așa cum puteau fi separate sarcinile electrice.
Dacă se aplică relației (5.24) teorema lui Gauss-Ostrogradsky, se obține:
, (5.25)
care conduce la
. (5.26)
Relația (5.26) reprezintă forma locală a legii fluxului magnetic: în orice moment și în fiecare loc divergența vectorului inducție magnetică este nulă. Inducția magnetică este un vector câmp solenoidal (fără surse), liniile lui sunt linii fără început și fără sfârșit.
5.4. Feromagnetismul. Teoria lui Weiss
Materialele feromagnetice sunt: fierul, nichelul, cobaltul și aliajele lor. La baza explicării feromagnetismului stă teoria lui Weiss. După această teorie, materialul feromagnetic este constituit din domenii feromagnetice magnetizate spontan la saturație. Direcțiile de magnetizare spontană se admit după cele 6 direcții ala muchiile unui cub (fig.5.6,a).
Fig. 5.6.
Ca ordin de mărime, într-un din materialul feromagnetic există circa 2000 domenii. Ele sunt despărțite de niște pereți (numiți pereți Bloch) care au o grosime de circa 200 distanțe atomice. Structura unui perete Bloch poate fi urmărită în figura 5.6,b. Cele două domenii magnetizate la saturație în sensuri contrare sunt despărțite printr-un perete care face trecerea monotonă de la magnetizarea la saturație într-un sens la magnetizarea de saturație în sens contrar.
Dacă proba nu a mai fost magnetizată, domeniile magnetice au orientare haotică astfel încât, din punct de vedere macroscopic dau o rezultantă nulă. Aplicând probei un câmp magnetic exterior, magnetizarea sa are loc în trei etape:
pentru câmpuri slabe se produce o deplasare reversibilă a granițelor domeniilor, în sensul măririi domeniului a cărui magnetizare coincide cu direcția câmpului exterior (fig.5.7,a);
pentru câmpuri mai mari, deplasarea granițelor domeniilor devine ireversibilă și această deplasare se poate produce prin salt;
pentru câmpuri puternice se produce orientarea domeniilor în direcția câmpului exterior. Această orientare se efectuează tot prin salt (fig.5.7,b).
Fig. 5.7.
Dacă se reprezintă variația inducției magnetice în funcție de intensitatea câmpului magnetic B=f(H), în procesul de magnetizare descris, se observă că această dependență este neliniară. Curba prezintă trei zone corespunzătoare celor trei etape ale magnetizării. Prima zonă se numește zona magnetizării inițiale, a doua este zona magnetizării liniare, iar a treia este zona de saturație (fig.5.8). În practică, prima zonă este atât de mică încât poate fi neglijată, astfel că în principiu curbe de magnetizare prezintă o zonă liniară (caracteristica B=f(H) este o dreaptă) și o zonă de saturație (inducția magnetică crește foarte puțin în funcție de câmpul magnetic).
Fig. 5.8. Fig.5.9
Permeabilitatea magnetică a substanțelor feromagnetice (relația5.21) este dependentă de intensitatea câmpului magnetic:
. ` (5.27)
Se definește o permeabilitate statică:
(5.28)
și o permeabilitate dinamică:
, (5.29)
care are semnificația din figura 5.9.
Variația permeabilității statice și dinamice în funcție de intensitatea câmpului magnetic este reprezentată în figura 5.10.
Fig. 5.10 Fig. 5.11
Curba B=f(H) din figura 5.8., care a fost obținută pentru un material magnetic care nu a mai fost magnetizat, se numește curbă de primă magnetizare. Dacă acum se scade strict monoton câmpul, inducția magnetică nu mai urmărește curba de primă magnetizare ci rămâne în valori superioare, astfel încât pentru valoarea zero a câmpului, materialul are o inducție egală cu , numită inducție remanentă (fig.5.11). Crescând în continuare câmpul, spre valori negative, inducția magnetică devine zero la o valoare a câmpului egală cu , numit câmp coercitiv. Dacă procesul se continuă așa cum este indicat în figura 5.11, se obține o buclă de histerezis sau ciclul de histerezis.
Suprafața acestei bucle reprezintă energia pierdută în unitatea de volum pe volum pentru magnetizarea probei respective. Explicația acestor pierderi prin histerezis este următoarea: deoarece la magnetizarea probei se produc deplasări bruște ale pereților dintre domenii precum și orientarea bruscă a întregului domeniu, aceasta echivalând cu variația fluxului magnetic, care conform legii inducției electromagnetice produce curenți și deci pierderi de energie de prin efect Joule-Lentz.
Substanțele feromagnetice, în funcție de valoarea câmpului coercitiv, se împart în materiale moi () și materiale magnetice dure (). Comparativ, ciclurilor lor de histerezis sunt date în figura 5.12. Materialele moi au permeabilități mari și pierderi mici prin histerezis. Ele se utilizează la confecționarea circuitelor magnetice ale mașinilor și transformatoarelor electrice. Materialele dure se utilizează la confecționarea magneților permanenți.
În încheierea paragrafului trebuie spus faptul că proprietățile feromagnetice dispar dacă temperatura materialului depășește o anumită limită (punct Curie), care pentru fier este 760oC, iar pentru nichel este 360oC.
CAPITOLUL 6
ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI MAGNETIC
6.1. Energia câmpului magnetic
Se consideră un sistem de circuite, parcurse de curenții electrici și legate la sursele de tensiune electromotoare (fig. 6.1). Circuitele pot fi mobile, iar tensiunile electromotoare pot fi variabile în timp. De la timpul t la timpul t+dt, energia totală cedată de surse este , și ea trebuie să acopere:
energia disipată în conductoarele circuitelor datorită efectului Joule-Lenz:
(6.1)
b) lucrul mecanic elementar efectuat de forțele magnetice generalizate X, la variația coordonatei generalizate x:
; (6.2)
c) variația energiei magnetice , localizată în câmpul magnetic al celor n circuite.
Bilanțul energetic al sistemului de n circuite, în timpul elementar dt este dat de egalitatea:
. (6.3)
În afară de tensiunile electromotoare ale surselor, în circuite se induc tensiuni electromotoare date de legea inducției electromagnetice:
. (6.4)
Legea lui Ohm aplicată fiecărui circuit în parte se scrie:
, (6.5)
sau:
. (6.6)
Înlocuind relațiile (6.2) și (6.6) în (6.3) se obține:
sau:
. (6.7)
Această relație exprimă variația energiei magnetice, când variază fluxurile magnetice și se deplasează circuitele în câmpul magnetic. Ea permite calculul energiei magnetice precum și determinarea forței generalizate X.
Pentru calculul energiei magnetice, se consideră un mediu liniar ( independent de H) și se consideră circuitele imobile în câmp (dx=0). În acest caz variația energiei sistemului se datorează numai variației fluxurilor magnetice, adică (6.7) se scrie:
. (6.8)
unde:
. (6.9)
Diferențiind (6.9) se obține:
, (6.10)
care introdusă în (6.8) conduce la relația:
. (6.11)
sau, prin integrare:
. (6.12)
Utilizând (6.9), energia magnetică mai poate fi pusă și sub forma:
. (6.13)
6.2. Densitatea de volum a energiei magnetice
Energia magnetică a unei singure bobine este:
. (6.14)
Considerând bobina toroidală din figura 12.1, pentru care se presupune un câmp magnetic omogen în interior (aria A fiind destul de mică) și notând cu l lungimea medie a unei linii de câmp magnetic, din legea circuitului magnetic, se obține:
, (6.15)
fluxul total al bobinei fiind:
. (6.16)
Din (6.14), (6.15) și (6.16) se obține energia magnetică a bobinei considerate:
, (6.17)
unde V este volumul torului în care există câmp magnetic.
Rezultă densitatea de volum a energiei magnetice, dată de expresia:
. (6.18)
Expresia densității de volum a energiei magnetice a fost obținută într-un caz particular. În cazul general, densitatea de volum a energiei magnetice este dată de relația:
, (6.19)
de unde:
. (6.20)
Relația (6.18) se mai poate pune și sub formele:
, (6.21)
din care rezultă pentru B=const., energia magnetică are densitatea cu atât mai mare cu cât este mai mic. De exemplu, în cazul circuitului magnetic cu întrefier densitatea energiei magnetice în întrefier, , este mult mai mare decât densitatea energiei magnetice din miez, , deoarece permeabilitatea magnetică a miezului de fier este mult mai mare decât permeabilitatea magnetică a întrefierului ; în același timp inducția magnetică în miez este egală cu inducția magnetică în întrefier.
6.3. Forțe magnetice generalizate
Lucrul mecanic elementar, care se efectuează la o deplasare dx a unui corp în câmpul magnetic, sub acțiunea forței generalizate X, se poate calcula din relația (6.7):
. (6.22)
Dacă se mențin fluxurile constante (), rezultă:
(6.23)
deci:
(6.24)
relație care reprezintă prima teoremă a forțelor generalizate în câmpul magnetic și se enunță astfel: forța generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parțială a energiei magnetice în raport cu coordonata generalizată, luată cu semn schimbat, la fluxuri magnetice constante prin circuite. Dacă în circuite se presupun constanți curenții, relația (6.22) se mai poate pune sub forma:
. (6.25)
Tot în cazul curenților constanți, suma din membrul al doilea al relației (6.25) este egală, conform relației (6.13) cu , astfel încât, relația (6.25) se va scrie:
(pentru ik=const.) (6.26)
Din aceasta se deduce forța generalizată:
, (6.27)
relație care reprezintă a doua teorema a forțelor generalizate în câmpul magnetic și se enunță astfel: forța generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parțiala a energiei magnetice (exprimată în funcție de curenți și coordonata generalizată), în raport cu coordonata generalizată corespunzătoare, la curenți constanți în circuite.
6.4. Aplicații ale energiei câmpului magnetic și forțelor magnetice
Aparate magnetoelectrice.
Din punct de vedere constructiv ele au următoarea construcție: un magnet permanent, în interiorul magnetului se află un cadru dreptunghiular care în urma trecerii curentului electric interacționează cu câmpul magnetic creând un cuplu de forțe. Cadrul se sprijină pe axe sau pivot sau este suspendat pe fire sau benzi adecvate. De cadru se cuplează un sistem rezistiv, care creează un cuplu antagonist față de cuplu activ.
Liniile de câmp sunt radiare astfel încât de fiecare dată în orice poziție linia de câmp este în planul cadrului. Se formează un cuplu de forțe care rotesc cadrul.
Lucrul mecanic necesar rotirii cadrului cu un anumit unghi este:
unde BA=flux maxim pentru o spiră, A reprezintă suprafață unei spire.
Aparate feromagnetice.
Au la bază principiul de interacțiune între câmpul magnetic și substanțele feromagnetice, în sensul că o piesă excentrică poate fi atrasă (respinsă) de un câmp magnetic.
La trecerea curentului electric va apare un cuplu de rotație a piesei, cuplul rezistiv fiind format dintr-un resort.
În bobină se formează un câmp magnetic căruia îi corespunde o energie magnetică.
pentru I= constant
Momentul activ va fi:
Momentul rezistiv va fi de forma:
Din condiția rezultă .
unghiul de deviație este proporțional cu pătratul curentului ce trece prin bobină.
Aparatul nu depinde de sensul curentului. Aceste aparate pot fi folosite atât în curent continuu cât și în curent alternativ.
Dezavantaj: scara acestor aparate este pătratică și nu liniară.
Avantaj: la realizarea cuplului activ curentul nu trece prin elementele mobile. Din acest motiv aceste aparate au mare capacitate de supraîncărcare.
Sensibilitatea lor nu este prea mare, ele s-au impus datorită robusteții lor.
Aparate electrodinamice.
Aceste aparate sunt construite dintr-o pereche de bobine, una fixă și una sau două mobile. Cuplul activ este dat de câmpul magnetic creat de bobina fixă și curentul electric din bobina mobilă. Energia magnetică localizată în cele două bobine are expresia:
primii doi termeni sunt constanți.
Variația energiei pe unghi reprezintă momentul activ:
Pentru că primii doi termeni sunt constanți, derivata lor in raport cu unghiul este zero. Deci în final avem variația inductivității mutuale dintre bobine.
Pentru măsurări de curent continuu, curentul prin bobina a doua poate fi scris sub forma:
rezultă:
Momentul rezistiv este proporțional cu unghiul de rotație:
Aceste aparate e folosesc la măsurări de tensiune.
Scările sunt pătratice pentru aceste măsurări. Aceste aparate se folosesc în calitate de etalon, în laborator și nu se folosesc în măsurări de curenți industriali.
Dezavantaj: sunt influențate de câmpurile magnetice exterioare. Au o capacitate de supraîncărcare mică.
Avantaj: se folosesc în măsurări de curenți continuu și alternativ.
4. Calculul forței portante al unui electromagnet
Conform relației (6.21), densitatea de energie în întrefier (care este mult mai mare decât densitatea de energie în miez) este:
iar energia magnetică înmagazinată în volumul celor două întrefieruri este:
Utilizând relația (6.24), rezultă expresia forței portante:
Semnul minus arată că forța portantă este îndreptată în sensul descreșterii distanței x, adică este o forță de atracție a armăturii.
N
x
x
BIBLIOGRAFIE
[1] TUTOVAN,V., Electricitate și magnetism, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1982.
[2] EMIL SIMION, Electrotehnică, Editura Didactică și Pedagogică, București,
1978.
[3] NICULA ALEXANDRU, Electricitate și magnetism, E.D.P., București, 1973.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Energia Campului Magnetic Si a Campului Electric. Forte Generalizate (ID: 161105)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.