Strategii Didactice Rezolutive Specifice Continuturilor Matematice din Invtaamantul Primar

CUPRINS

introducere

Importanța predării matematicii în ciclul primar

Motivația alegerii temei și metodologia folosită în tratarea ei

Capitolul I: BAZELE PSIHO – PEDAGOGICE și metodologice ALE OPERAȚIILOR GÂNDIRII

I.1 Considerații generale ale operațiilor gândirii

I.2 Operații fundamentale ale gândirii

I.3 Formele gândirii din punct de vedere psihologic

I.4 Dezvoltarea personalității școlarului mic

I.5 Dezvoltarea operațiilor gândirii la copiii de vârstă școlară mică

I.6 Legătura dintre procesele psihice și operațiile gândirii în matematică

I.7 Dezvoltarea limbajului matematic

Capitolul II:CONȚINUTURILE MATEMATICE DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

II.1 Competențele generale și continuturile specifice disciplinei Matematica și explorarea mediului

II.1.1 Competențe generale la clasa pregătitoare, clasa I-a și clasa a II-a

II.1.2 Conținuturile învățării la clasa pregătitoare

II.1.3 Conținuturile învățării la clasa I-a

II.1.4 Conținuturile învățării la clasa a II-a

II.2. Obiectivele generale și continuturile specifice disciplinei Matematică

II.2.1 Obiectivele cadru la clasa a III-a și clasa a IV-a II.1.1 Competențe generale la clasa pregătitoare, clasa I-a și clasa a II-a

II.2.2 Conținuturile învățării la clasa a III-a

II.2.3 Conținuturile învățării la clasa a IV-a

Capitolul III: STRATEGII DIDACTICE SPECIFICE ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL PRIMAR

III.1Conceptul de strategie didactică

III.2 Componente și caracteristici ale strategiei didactice

III.3 Tipuri de strategii didactice

III.4 Strategii didactice utilizate în învățarea matematicii

III.5 Metode de învațare utilizate la matematică

III.5.1 Explicația

III.5.2 Demonstrația

III.5.3 Conversația

III.5.4 Observarea

III.5.5 Problematizarea

III.5.6 Învățarea prin descoperire

III.5.7 Exercițiul

III.5.8 Algoritmizarea

III.5.9 Jocul

III.5.10 Cubul

III.5.11 Mozaicul

III.5.12,, Știu / Vreau să știu / Am învățat”

III.6 Forme de organizare a învațării

III.7 Activitatea diferențiată

III.8 Mijloace și materiale didactice specifice activităților matematice

III.8.1 Mijloacele didactice utilizate la matematică

III.8.2 Materialul didactic utilizat la matematică

III.9 Tipuri de lecție

Capitolul Iv: METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

IV.1 Definirea conceptului de problemă

IV.2 Ce cuprinde o problemă

IV.3 Clasificarea și descrierea problemelor de aritmetică

IV.3.1 Exerciții

IV.3.2 Probleme teoretice

IV.3.3 Probleme practice

IV.3.4 Probleme de logică

IV.3.5 Probleme recreative

IV.4 Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică

IV.4.1 Metode generale

IV.4.1.1 Sinteza

IV.4.1.2 Analiza

IV.4.1.3 Metoda analitico – sintetică

II.4.2 Metode particulare

II.4.2.1 Metoda reducerii la unitate

II.4.2.2 Metoda comparației

II.4.2.3 Metoda ipotezelor

II.4.2.4 Metoda retrogradă

II.4.2.5 Metoda figurativă

II.4.2.6 Probleme de mișcare (bazate pe relația d = v × t): în același sens; în sensuri contrare

II.4.2.7 Probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă

Capitolul V: valorificarea experienței personale – cercetare didacticĂ

V.1 Dificultăți și greșeli ale elevilor în rezolvarea de probleme aritmetice și modalități de prevenire

V.2 Rolul problemelor nonstandard în dezvoltarea operațiilor gândirii

V.3 Etapa preexperimentală

V.3.1 Ipoteza de lucru

V.3.2 Eșantionul de elevi

V.3.3 Testarea situației preexperimentale

V.4 Etapa experimentală

V.5 Etapa postexperimentală

V.6 Rezultatele generale ale experimentului

Concluzii

ANEXE

Bibliografie

introducere

Importanța predării matematicii în ciclul primar

Matematica are un rol deosebit in formarea omului. Cercetarea stiințifică actuală situează matematica in fruntea științelor fundamentale, care se predau in școala.

Matematica, obiect de învațământ în școală, se studiază pe tot parcursul școlarității. Datorită caracterului abstract și deschis al științei matematice, studiul ei nu se poate termina nici la un nivel școlar. În ultimele decenii s-a dovedit ca matematica a pătruns în toate compartimentele vieții. Oricare din ramurile științei are nevoie, mai mult sau mai puțin, de matematică. De aceea orice individ al societății trebuie educat să cunoască matematica.

Matematica, știința abstractă și deschisă, este aceeași în întreaga lume. Ea nu suportă interpretări decât în interiorul său, legate structurile sistemice care se adoptă pentru a-i decide curriculum-ul (aici în înțelesul de programă de matematică dar și în ceea ce privește obiectivele învățământului matematiciii, metodologia aleasă precum și criteriile de evaluare).

Este cunoscut faptul că astăzi matematica a pătruns în toate domeniile de activitate umană. Rolul matematicii ca obiect de învățământ în școală este foarte important. Matematica își aduce aportul la formarea intelectuală a omului, constituind un element de bază în cultura umană.

Transformările multiple cu care se confrunta societatea, implicațiile matematicii în toate sferele economico-sociale impun, ca o necesitete , o pregatire matematica cât mai bună fiecărui cetățean. Educația prin matematică, parte componentă a educației, trebuie însă făcută în concordanță atât cu transformările survenite în societate, cât și cu caracterul sistemic, interacționist al principiilor didactice. Iată de ce se impune integrarea într-o concepție unitară a diferitelor căi de perfecționare a tuturor componentelor procesului de învățământ, aflate în interrelație și raportarea lor în finalitățile întregului proces de învățământ.

Deci învățământul matematic poate și trebuie să fie considerat ca un subsistem al unui sistem complex, care este procesul de învățământ. Privită astfel educația prin matematică, apare în mod firesc întrebarea: de câtă matematică are nevoie un om pentru ca să se poată descurca în societate? Răspunsul la aceasta intrebare nu este usor de dat. Unii autori consideră că în școală,la diferite nivele,se prezintă:

Matematică folosită în practica de fiecare zi;

Matematică necesară deciziei ce se ia in viață;

Matematică necesară in profesiune.

Indiferent, însă, de nivelul la care este prezentat conținutul noțional matematic acesta trebuie încadrat, în mod sistemic, în contextul general al educației sau a autoeducației. Printre disciplinele care definesc efortul de cunoaștere științifica a realității înconjurătoare, matematica ocupă un loc aparte. Nu se poate accepta astăzi ideea de a defini matematica prin obiectul ei (cum se proceda în secolul trecut) dar nici nu se poate reduce matematica la o metodă de gândire. Cu toate că există astăzi foarte multe ezitări în tentativa de a defini matematica, totuși putem spune că obiectul matematici este foarte diversificat. De la studiul relațiilor cantitative și al formelor spațiale, matematica a evoluat spre stadiul diferitelor tipuri de structuri și sisteme, al aspectelor dinamice, de proces, al problemelor de strategie și interacțiune. Este normal să se fi diversificat, și metodele matematice. S-a trecut astfel de la metodele numerice, aritmetice și geometrice, la cele analitice, apoi la cele combinatorii, probabilistice, logice, topologice și decizionale, pentru ca acum să fie toate reconsiderate în lumina metodelor computaționale.

Ramura de bază a matematicii, cu ajutorul căreia se începe studiul ei în școală, este aritmetica. Studiul aritmeticii în școală este bazat, în bună parte pe rezolvarea problemelor. Începând rezolvarea problemelor, exerciții în clasa I, elevii ajung în clasele a V –a, a VI-a, să rezolve probleme compuse, care cer metode speciale de rezolvare și raționamente mai complicate.

În era informaticii revoluției tehnico-științifice și a sistemelor multi-media, când învățarea depășește granițele școlii devenind o componentă esențială a vieții profesionale și a succesului trebuie să învățăm, cum să învățăm, cum să facem față exploziei informaționale și avalanșelor de cunoștințe, cum să selectăm, să filtrăm, să analizăm, să ordonăm, să comparăm și să structurăm informațiile, cum să le dezvoltăm și mai ales cum să creem altele noi. Pentru a ajunge la un astfel de grad de cunoaștere, elevii noștri trebuie să învețe de la noi cum să învețe, să-i înarmăm cu tot ce le este necesar pentru a deveni beneficiarii de drept a tuturor cuceririlor științei și tehnicii moderne. În acest sens, scopul principal ca fi atins prin înțelegerea, învățarea și stăpânirea cu desăvârșire a aritmeticii.

Impulsionată de cerințele teoretice și practice majore, matematica a cunoscut în ultimii ani o dezvoltare impetuoasă, și se prevede ca această tendință să se accentueze în viitor.

Școala românească de matematică are tradiții valoroase fiind cunoscută și apreciată și peste hotare.

La rezultatele deosebite pe care le obține contribuie mulți factori, între care un rol aparte revine condițiilor create pentru învațare și, desigur , instrumentelor intelectuale oferite elevilor pentru pregătire și exercițiu. Alături de limba română , matematica este una din disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar.

În planul de învățământ al ciclului primar, studiul matematicii la clasele I- IV îi sunt alocate un număr semnificativ de ore pe întreg ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta atestă importanța ce se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, al cărui studiu sistematic și temeinic servește în mod cert celorlalte discipline școlare. De asemenea, există mai multe întrebări și probleme al căror conținut este legat de viața și activitatea de zi cu zi al elevilor.

Trăim în epoca unei vieți cerebral intensive, în care cea mai de preț bogăție o reprezintă inteligența umană și creativitatea pe care suntem datori s-o cultivăm. Societatea de mâine va cere un coeficient de creație cu mult sporit față de cel de azi, și, după cum se știe, adultul creator este rezultatul formării copilului creator.

Motivația alegerii temei și metodologia folosită în tratarea ei

În perioada actuală, când asistăm la o explozie informațională se încearcă modernizarea învățământului românesc printr-un proces de reînnoire a întregului sistem școlar, prin antrenarea copiilor/elevilor la propria lor formare, accentuându-se astfel funcția formativă a educației.

Omul viitorului trebuie să posede o gândire creatoare, care să-i permită să se adapteze ușor la schimbările ce au loc la intervale mici de timp. Astfel, se extinde tot mai mult gândirea matematică, ea devenind caracteristică omului în general, deoarece se aplică astăzi în domenii tot mai variate.

Funcția de a transmite autoritar cunoștințele lasă loc unui învățământ care sugerează, propune, consiliază, care încurajează și susține copilul/elevul în căutare, care-l ajută să descopere, îi dezvoltă gândirea și îl motivează, permițându-i astfel să-și însușească logic cunoștințele matematice.

Înțelegerea matematicii și în special dezvoltarea gândirii matematice, a devenit o preocupare de prim ordin a cadrelor didactice, începând din grădiniță și continuând în mod sistematic în celelalte trepte ale învățământ .Matematica este o știință suplă, capabilă de restructurări care să înglobeze esențialul vechiului și să facă saltul la nou. Este o știință capabilă de progres permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și creare a unor teorii noi.

În procesul construirii și dezvoltării științelor, matematica a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe. Ca știință a structurilor, a reversibilității și a relațiilor, a conceptelor cele maia I, elevii ajung în clasele a V –a, a VI-a, să rezolve probleme compuse, care cer metode speciale de rezolvare și raționamente mai complicate.

În era informaticii revoluției tehnico-științifice și a sistemelor multi-media, când învățarea depășește granițele școlii devenind o componentă esențială a vieții profesionale și a succesului trebuie să învățăm, cum să învățăm, cum să facem față exploziei informaționale și avalanșelor de cunoștințe, cum să selectăm, să filtrăm, să analizăm, să ordonăm, să comparăm și să structurăm informațiile, cum să le dezvoltăm și mai ales cum să creem altele noi. Pentru a ajunge la un astfel de grad de cunoaștere, elevii noștri trebuie să învețe de la noi cum să învețe, să-i înarmăm cu tot ce le este necesar pentru a deveni beneficiarii de drept a tuturor cuceririlor științei și tehnicii moderne. În acest sens, scopul principal ca fi atins prin înțelegerea, învățarea și stăpânirea cu desăvârșire a aritmeticii.

Impulsionată de cerințele teoretice și practice majore, matematica a cunoscut în ultimii ani o dezvoltare impetuoasă, și se prevede ca această tendință să se accentueze în viitor.

Școala românească de matematică are tradiții valoroase fiind cunoscută și apreciată și peste hotare.

La rezultatele deosebite pe care le obține contribuie mulți factori, între care un rol aparte revine condițiilor create pentru învațare și, desigur , instrumentelor intelectuale oferite elevilor pentru pregătire și exercițiu. Alături de limba română , matematica este una din disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar.

În planul de învățământ al ciclului primar, studiul matematicii la clasele I- IV îi sunt alocate un număr semnificativ de ore pe întreg ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta atestă importanța ce se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, al cărui studiu sistematic și temeinic servește în mod cert celorlalte discipline școlare. De asemenea, există mai multe întrebări și probleme al căror conținut este legat de viața și activitatea de zi cu zi al elevilor.

Trăim în epoca unei vieți cerebral intensive, în care cea mai de preț bogăție o reprezintă inteligența umană și creativitatea pe care suntem datori s-o cultivăm. Societatea de mâine va cere un coeficient de creație cu mult sporit față de cel de azi, și, după cum se știe, adultul creator este rezultatul formării copilului creator.

Motivația alegerii temei și metodologia folosită în tratarea ei

În perioada actuală, când asistăm la o explozie informațională se încearcă modernizarea învățământului românesc printr-un proces de reînnoire a întregului sistem școlar, prin antrenarea copiilor/elevilor la propria lor formare, accentuându-se astfel funcția formativă a educației.

Omul viitorului trebuie să posede o gândire creatoare, care să-i permită să se adapteze ușor la schimbările ce au loc la intervale mici de timp. Astfel, se extinde tot mai mult gândirea matematică, ea devenind caracteristică omului în general, deoarece se aplică astăzi în domenii tot mai variate.

Funcția de a transmite autoritar cunoștințele lasă loc unui învățământ care sugerează, propune, consiliază, care încurajează și susține copilul/elevul în căutare, care-l ajută să descopere, îi dezvoltă gândirea și îl motivează, permițându-i astfel să-și însușească logic cunoștințele matematice.

Înțelegerea matematicii și în special dezvoltarea gândirii matematice, a devenit o preocupare de prim ordin a cadrelor didactice, începând din grădiniță și continuând în mod sistematic în celelalte trepte ale învățământ .Matematica este o știință suplă, capabilă de restructurări care să înglobeze esențialul vechiului și să facă saltul la nou. Este o știință capabilă de progres permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și creare a unor teorii noi.

În procesul construirii și dezvoltării științelor, matematica a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe. Ca știință a structurilor, a reversibilității și a relațiilor, a conceptelor cele mai abstracte, matematica este în același timp o știință a conceptelor de extremă generalitate. De aceea cultura generală a fiecărui om trebuie să cuprindă și cunoștințe matematice. Matematica nu este doar o știință, ci un instrument de gândire, un act de cultură, un mod fundamental al gândirii umane. Existența umană, viața, presupun activitatea gândirii, care în mare măsură este stimulată și sprijinită de matematică. Nu există gândire organizată fără matematică. Nu există decizie fără cântărire de obiective. Pentru ca cineva să decidă, trebuie să spună ce vrea. Ca să spună ce vrea, trebuie să aleagă. Or, comparația este o relație matematică .

Indiferent ce conține programa școlară și indiferent de modul în care se predă conținutul acesteia, esențial este, în cadrul procesului de predare a obiectelor de învățământ și în special a matematicii, ca elevul să gândească. Începând de la grădiniță, copilul învață multe, dar adevărata învățătură este aceea pe care și-o câștigă singur. Astfel, pe lângă bagajul de cunoștințe și informații, transmise copilului/elevului, trebuie să i se „inoculeze” și o anumită pricepere de a utiliza informația. Dascălului, la început în grădinița de copii, iar apoi în școală, îi revine rolul principal, de a stimula interesul copiilor pentru matematică, de a le forma deprinderi de muncă ordonată, de a le dezvolta gândirea logică și de a le susține eforturile proprii prin exploatarea rezervelor funcționale ale gândirii.

Întregul sistem al învățământului matematic depinde, în majoritatea cazurilor, de modul în care s-a dat startul în formarea noțiunilor elementare, ce constituie o bază solidă pentru operarea și acumularea cunoștințelor matematicii în viitor.

Începutul instruirii în general și al achiziționării diferitelor informații specifice este hotărâtă de ritmul de dezvoltare și maturizare a copilului și nicidecum de o decizie a adultului părinte sau cadru didactic. O dată confruntat cu școala, copilul trebuie să se încadreze într-un proces de învățare organizat, instituționalizat, cu obiective precise, realizabile care nu-i depășesc posibilitățile fizice și intelectuale, dar în același timp îl solicită suficient.

Întrucât matematica acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne și contribuie la formarea armonioasă a personalității omului viitorului, noilor generații trebuie să li se transmită spiritul matematic și mijloacele de a opera cu regulile raționamentului bine condus. Însușirea noțiunilor matematice, pătrunderea în esența lor, necesită un efort susținut și bine gradat al intelectului, al gândirii și reprezintă un antrenament mintal, „o gimnastică” a minții.

Prin îmbinarea cunoștințelor teoretice și exemplele de activități practice, am urmărit să subliniez câteva aspecte metodice concretizate în fișele de lucru și exemplele de exerciții .

Capitolul I: BAZELE PSIHO – PEDAGOGICE și metodologice ALE OPERAȚIILOR GÂNDIRII

I.1 Considerații generale ale operațiilor gândirii

În psihologia generală, gândirea se definește ca un proces psihic care reflectă însușiri și relații generale și esențiale din lumea obiectivă și care ne permite astfel să cunoaștem indirect anumite fapte ale lumii reale.

Gândirea se manifestă în activități intelectuale, care în limbajul corect se numesc: judecare, raționare, înțelegere, explicare, invenție, deducție, inducție, abstractizare, rezolvare de situații-problemă etc. Toți acești termeni exprimă comportamente de ordin intelectual și împreună constituie în mare parte ceea ce înțelegem în general prin gândire.

Școlarul începător distinge bine realitatea înconjurătoare de propria persoană și în întreaga etapă a micii școlarități, el va fi caracterizat printr-o orientare spre exterior, în sensul că activitatea lui practică și mintală se îndreaptă mai mult înspre obiectele și fenomenale ambianței decât în direcția propriei persoane.

În procesul instructiv din școală, activitatea intelectuală este cultivată în principal pe următoarele patru planuri:

a). dezvoltarea capacității de rezolvare a situațiilor-problemă;

b). conceptualizarea și formarea capacității de raționare corectă;

c). dezvoltarea caracterului critic al gândirii;

d). îndrumarea elevului spre o gândire creatoare;

I.2 Operații fundamentale ale gândirii

Gandirea functioneaza (lucreaza) prin operatii numite in general activitati mintale, pana la un anumit nivel indeplinite cu ajutorul limbajului. Exista modalitati fundamentale de operare ale gandirii, prezente in orice act de gandire ( le vom spune operatii fundamentale) si exista operatii specifice pentru anumite domenii (le vom spune algoritmi).

Operațiile fundamentale ale gândirii sunt:

Comparația: apropierea pe plan mental a unor obiecte sau fenomene cu scopul stabilirii de asemănări și deosebiri între ele. (Ca să-mi dau seama dacă pasărea din copacul alăturat este o ciocănitoare, îmi reamintescastfel de pasări observate în trecut.)

Analiza: separarea mentală a unor obiecte, fenomene sau însușiri,părți , elemente ale lor. (Îmi conturez atenția asupra formei picioarelor.)

Sinteza: stabilirea de legăturii între obiecte, fenomene sau diferitele lor părți, elemente sau însușiri. (Constat că picioarele păsării din fața mea sunt la fel ca a ciocănitoarelor, deci este probabil o ciocănitoare.)

Abstractizarea: este o analiză a esențialului. (Constat că sâmburele mare și dur este o caracteristică a tuturor piersicilor.)

Generalizarea: este o operație prin care extindem o relație stabilită între două obiecte sau fenomene asupra unei întregi categorii. (Fierberea apei la 100 °, în condiții obișnuite, este considerată o proprietate generală a ei.

I.3 Formele gândirii din punct de vedere psihologic

A. A gândi înseamnă a judeca, iar a judeca înseamnă a afirma sau a nega un raport între obiecte, fenomene sau însușirile lor. Judecățile se emit mai întâi privitor la datele furnizate de către experiența directă: se stabilesc astfel relații, din ce în ce mai multe relații. Acestea se organizează treptat, se cristalizează în jurul cuvintelor, dând naștere la noțiuni.

B. A înțelege înseamnă a stabili o relație importantă între ceva necunoscut și ceva dinainte cunoscut. Există o înțelegere nemijlocită, bazată pe experiența anterioară.

C. Din punct de vedere al învățării școlare, ne interesează cum decurge înțelegerea unei probleme ample și complexe, în special când urmărim asimilarea ei.

I.4 Dezvoltarea personalității școlarului mic

Profilurile psihologice ale acestor perioade de vârstă sunt doar „modele” teoretice sau ideale. În realitate ne confruntăm cu profiluri individuale sau reale pe care le abordăm în virtutea abaterilor de la aceste „modele”, a unicității și irepetabilității personalității umane în fiecare moment al devenirii ei. Dezvoltarea umană nu este doar stadială, ci și individuală. Dacă fiecare stadiu are o fizionomie distinctă, există și semnificative variații individuale. Constelația tuturor trăsăturilor de personalitate corelată cu experiența individuală acumulată până la un moment dat reprezintă profilul psihologic individual. Dacă ordinea diverselor stadii este aceiași pentru toți copiii, momentul apariției și ritmul lor de evoluție sunt individuale, fapt ce determină particularități în modul de a gândi, de a simți și acționa. Relațiile interstadiale se exprimă, pe de o parte, prin continuitatea lor internă, achizițiile unui stadiu constituie baza pentru cel care urmează; iar pe de altă parte, prin discontinuitatea dintre ele, noile achiziții impunând o nouă constelație între diversele componente psihice și implicit alte modalități adaptative. Relația dintre educație și profilul psihologic al diferitelor perioade de vârstă se concretizează în stabilirea conținutului învățământului a alegerii tehnologiei didactice în vederea transmiterii acestui conținut al adaptării unor forme corespunzătoare de organizare a procesului de învățământ.

I.5 Dezvoltarea operațiilor gândirii la copiii de vârstă școlară mică

Trăsătura definitorie a unei operații logice este „reversibilitatea” care îi conferă gândirii posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct și invers, a anticipării mintale a rezultatului, a efectuării unor corecții și aproximări, toate desfășurându-se pe plan mintal.

Gândirea copilului se hrănește din imagini concrete sau trăite, dintr-un lanț de percepții. Reversibilitatea reprezintă un proces foarte important în dezvoltarea intelectuală. Ea se evidențiază atunci când elevul înțelege că scăderea A – B = C asigură și relația C + B = A, în sensul că o relație se verifică prin celălalt. Cu timpul gândirea începe să se detașeze de obiecte concrete, copilul devenind apt pentru asimilarea unor cunoștințe care depășesc sfera manipulării practice sau a contactului nemijlocit cu obiectele și fenomenele realității. Ținând cont de specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică, manifestată printr-o proprietate esențială și anume aceea de a fi concret intuitivă, copilul gândind mai mult în situația în care este pus să opereze cu mulțimi, trebuie să se folosească un material didactic corespunzător fiecărei situații. Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea conceptelor și pentru formarea operativității matematice, așa cum nevoia de exteriorizare sub forma unor acțiuni materiale sau matematice, așa cum nevoia de exteriorizare sub forma acțiuni materiale sau materializate fie cu obiecte fie cu substitute ale acestora (modele, scheme, grafice, bile, jetoane, acțiuni) reprezintă baza reală a materializării actului mintal.

În procesul perceperii și al înțelegerii conștiente a matematicii, intuiția are o însemnătate deosebită. În clasele I-IV, învățământul matematic trebuie să fie concret, intuitiv, bogat în imagini.

I.6 Legătura dintre procesele psihice și operațiile gândirii în matematică

La fiecare nivel al dezvoltăzii psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii și o plasare de nivel opretativ foarte diversă. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a inteligenței și de o tipologie a gândirii care sunt evidente la nivelul de dezvoltare cuprins între 6 și 10 ani. În acest sens,există variante de gândire concret-intuitivă,variante de gândire teoretică,variante de gândire socială.

Dezvoltarea psihică se diferențiază de la individ la individ prin: ritm(accelerat sau lent); viteză(mare sau mică); conținut(bogat,simplu,diversificat sau sărăcăcios și limitat); consum energetic(mare/mic,rațional,echilibrat/dezechilibrat); rezonanță(puternică/slabă); sens(ascendent/sincopat); durată(normală/întârziată); efecte(pozitive/negative). Această caracteristică a dezvoltării psihice va conduce spre necesitatea tratării diferențiate a copiilor în procesul instructiv-educativ,diferențiere ce poate merge până la individualizarea ei.

I.7 Dezvoltarea limbajului matematic

Învățarea unei științe începe de fapt cu asimilarea limbajului ei noțional. Studiul matematicii în manieră modernă, încă de la clasa Preg., urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Dacă înțelegerea acestor noțiuni se realizează la nivelul rigorii științifice a matematicii, atunci și limbajul în care se exprimă acest sistem de noțiuni trebuie să întrunească rigoarea științifică. Există o legătură strânsă între conținutul și forma (denumirea) noțiunilor, care trebuie respectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice termen (denumire) trebuie să aibă acoperirea în ceea ce privește înțelegerea conținutului noțional; altfel, asemenea termeni apar cu totul străini față de limbajul activ al copilului și fie că-i pronunță incorect, fie că sub aspect sonor îi pronunță corect, îi lipsesc din minte reprezentările corespunzătoare realizându-se astfel învățare formală.

Toate științele operează cu un aparat noțional care se învață o dată cu „descifrarea” noțiunilor respective. Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale se introduce la început cu unele dificultăți. De aceea, trebuie asigurată mai întâi înțelegerea noțiunii respective, sesizarea esenței, de multe ori într-un limbaj cunoscut copiilor, accesibil lor, făcând deci, unele concesii din partea limbajului matematic. Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective trebuie prezentată și denumirea lor științifică.

Deci, pe măsură ce elevul avansează în interpretarea corectă a noțiunilor matematice se introduce și limbajul riguros științific. Atenția care se impune este deci ca în introducerea unei noțiuni să se dea numai acele elemente pentru care există posibilitatea reală a înțelegerii de către elevi. Aplicarea matematicii în practică reprezintă pentru copil o verigă importantă în înțelegerea conceptelor cu care lucrează. Elevul clasei I vine dintr-un context concret și există în continuare în acel context. Noțiunile matematice trebuie, pe de o parte, să derive în mod natural din universul familiar copilului și, pe de altă parte să ofere verificarea și utilizarea în concret în cotidian.

Capitolul III: STRATEGII DIDACTICE SPECIFICE ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL PRIMAR

III.1Conceptul de strategie didactică

Strategia didactică este modalitatea prin care învățătorul alege, combină și organizează asamblul de metode pedagogice, materiale didactice și mijloace de învățământ într-o succesiune optimă atingerii unor obiective. Strategia poate fi înțeleasă, la nivelul unității de învățare, ca o modalitate de concepere și organizare a unor activități de învățare. Întrucât activitățile de învățare sunt asociate unor obiective de referință, alegerea unor metode și mijloace, combinarea și organizarea optimă a situațiilor de învățare sunt realizate în scopul dobândirii deprinderilor prevăzute în curriculum prin plasarea elevului în centrul acțiunii didactice.

III.2 Componente și caracteristici ale strategiei didactice

Principalele componente ale strategiei didactice sunt:

sistemul formelor de organizare si desfasurare a activitatii educationale,

sistemul metodologic respectiv sistemul metodelor si procedeelor didactice,

sistemul mijloacelor de învatamânt, respectiv a resurselor utilizate,

sistemul obiectivelor operationale. Strategia didactica are urmatoarele caracteristici:

implica pe cel care învata în situatii specifice de învatare;

rationalizeaza si adecveaza continutul instruirii la particularitatile psihoindividuale

creeaza premise pentru manifestarea optima a interactiunilor dintre celelalte componente ale procesului de instruire ;

presupune combinarea contextuala, originala, unica, uneori, a elementelor procesului instructiv- educativ.

III.3 Tipuri de strategii didactice

Matematica, disciplina de bază în dezvoltarea gândirii logico-creatoare a elevilor, impune utilizarea unor strategii didactice care să le formeze deprinderi și capacități necesare în activitatea matematică ulterioară, să îl obișnuiască cu precizia și îndeplinirea sarcinilor ce le revin, cu controlul concluziilor și judecăților. Datorită condițiilor specifice, procesul predării-învățării poate fi rezolvat prin mai multe modalități, rezultând mai variante strategii, după care se ia decizia realizării uneia. Se pune însă problema ca profesorul să își perfecționeze continuu pregătirea, să se afirme în domeniul creativității, să fie responsabil de faptele sale, să se auto-perfecționeze.

Strategiile didactice se pot clasifica în funcție de diferite criterii:

1. Natura obiectivelor;

-strategii cognitive;

-strategii afectiv-atitudinale;

-strategii acționale;

2. Gradul de dirijare al învățării;

-algoritmice;

-semialgoritmice;

-nealgoritmice;

3. Logica gândirii;

-inductive;

-deductive;

-mixte;

4. Gradul de generalitate:

-generale;

-specifice;

În adoptarea unei decizii strategice, ultimul cuvânt îl are tipul de învățare propus elevilor, se pot distinge:

* Strategii de învățare prin receptare:

-imitative;

-expozitiv-reproductive;

-explicativ-intuitive;

-algoritmice;

-de exersare;

-de executie;

* Strategii euristice cu accent pe stimularea eforturilor:

-muncă independentă;

-de descoperire;

-de dirijare;

-creative (bazate pe exerciții sau activități creative);

* Strategii intermediare sau mixte.

Strategiile specifice predării-învățării matematicii la clasele Preg.- IV sunt: strategia inductivă și strategia analogică.

Strategiile inductive sunt bazate pe un proces de abordare de la particular la general a realității matematice. Prin observare dirijată și acțiune, copiii dobândesc treptat capacitatea de a generaliza. Din analiza faptelor matematice se ajunge, prin percepție intuitivă și acțiune, la famaliarizarea cu noțiuni matematice noi. La vârsta școlară mică, copilul elaborează raționamente de tip transductiv (de la particular la particular). Acest tip de învățare constituie premisa pentru raționamentele de tip deductiv de mai târziu.Îmbinarea învățării inductive cu cea deductivă realizează fundamentul logic al instrucției, întrucât ambele forme de raționament sunt prezente în activitatea cognitivă a copilului, în ttoate etapele de învățare. Din perspectivă didactică, învățarea deductivă și cea inductivă se sprijină pe metodele verbale și intuitive. Învățarea inductivă facilitează organizarea percepțiilor și crează premise pentru descoperirea de către copil a elementelor invariante cu care operează. Prin comparații și clasificări, copiii învață să identifice caracteristici ale claselor de obiecte, să parcurgă drumul de la concret la abstract, să utilizeze reprezentări simbolice și limbajul matematic adecvat.

Strategiile analogice se sprijină pe calitatea gândirii de a creea analogii, ca formă de manifestare a procesului de abstractizare. Copilul de 6-7 ani se află în etapa în care realizează discriminări și asocieri verbale, acestea fiind caracteristici ale gândirii intuitive ce rezultă dintr-un demers de învățare care valorifică observarea de analogii.

III.4 Metode de învațământ utilizate la matematică

Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșează la copil actele de învățare și de gândire prin acțiune, de masura în care determină și favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noțiunii.

Metodele au calități ce exersează și elaborează funcțiile psihice și fizice ale copilului și conduc la formarea unor noi deprinderi intelectuale, aptitudini, atitudini capacități și comportamente.

Literatura pedagogică ofera variante de classificare a metodelor de învățământ, dar luând în considerare specificul activităților matematice în învățământul primar,consider utilă următoarea classificare având drept criterii:

Scopul didactic urmărit.

Metode de învățământ se clasifică în:

metode de dobândire a cunoștințelor;

metode de formare și consolidare de priceperi și deprinderi;

metode de sistematizare și verificare;

Dezvoltarea bazei senzoriale de cunoaștere și de familiarizare cu forme de gândire matematică și logică, bazate pe activitatea concretă a copilului.

metode intuitive ( copilul observă obiectele, recepționează și acumulează percepții și reprezentări, realizând o cunoaștere intuitivă);

metode active ( elevul acționează cu obiectele, însușindu-și treptat și nuanțat reprezentări);

metode verbale (elevul ajunge la cunoaștere prin intermediul cuvântului);

III.4.1 Explicația

Explicația este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor.

Explicația ca metodă de învățământ specifică în cadru activităților matematice, pentru a fi eficientă trebuie să aibă următoarele caracteristici:

să favorizeze înțelegerea unui aspect din realitate;

justifice o idee pe bază de argumente, adresându-se direct rațiunii, antrenând operații (analiza, clasificarea, discriminarea);

să lesnească dobândirea de cunoștințe, a unor tehnici de acțiune;

să respecte rigurozitatea logică a cunoștințelor adaptate pe nivel de vârstă;

să aibă un rol concluziv, dar și anticipativ;

să influențeze pozitiv resursele afectiv-emoționale ale copiilor;

În utilizarea eficientă a acestei metode se cer respectarea următoarelor cerințe:

să fie precisă, concentrând atenția copiilor asupra unui anumit aspect;

să fie corectă din punct de vedere matematic

să fie accesibilă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;

să fie concisă;

La nivelul activităților matematice,explicația este folosită atât de profesor, cât și de copii.

Profesorul:

explică procedeul de lucru;

explică termenii matematici prin care se verbalizează acțiunea;

explică modul de utilizare a mijloacelor didactice;

explică reguli de joc și sarcini de lucru.

Elevul:

explică modul în care a acționat;

explică soluțiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic.

Explicația însoțește întotdeauna demonstrația și o susține. În cursul explicației se pot face întreruperi, cu scopul de a formula și a adresa întrebări copiilor, prin care să se testeze gradul de receptare și înțelegere a celor explicate, dar intreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susținut.

III.4.2 Demonstrația

Demonstrația este o metodă intuitivă care exploatează carecterul activ, concret-senzorial al percepției copilului. O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru pot fi demonstrate și explicate de învățător. Nivelul de cunoștințe al elevilor și vârsta acestora determină raportul optim dintre demonstrație și explicație. Eficiența demonstrației, ca metodă de învățare a matematicii în ciclul primar, este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe psihopedagogice:

necesitatea utilizării unor materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității,

în măsură să ofere o prezentare schematică, intuitivă, a unor concepte matematice și o susținere obiectuală a învățării, indispensabilă gândirii concrete a copiilor;

respectarea succesiunii logice a etapelor de învățare a unei noțiuni sau a unui algoritm;

creearea motivației pentru învățare (trezirea interesului).

În clasele primare, demonstrația se poate face, cu ajutorul următoarelor materiale didactice:

Material concret intuitiv – specific pentru clasa pregătitoare și pentru începutul clasei I, folosindu-se în activitățile de dobândire de cunoștințe, dar și în activitățile de consolidare și verificare. La această vârstă, demonstrația cu acest tip de material didactic contribuie la formarea reprezentărilor corecte despre mulțimi, submulțimi, corespondență, număr.

Material didactic structurat. Materialul confecționat va fi demonstrativ (al profesorului) și distributiv (al elevilor), favorizând transferul de la acțiunea obiectuală la reflectarea în plan mental al reprezentării. Contactul senzorial cu materialul didactic structurat favorizează atât latura formativă, cât și cea informativă a învățării perceptive.

Reprezentări iconice. Integrarea reprezentărilor ionice în demonstrație realizează saltul din planul acțiunii obiectuale în planul simbolic. Obiectul, ca element al mulțimii, va fi prezentat pentru început prin imaginea sa desenată, figurativ, pentru ca ulterior să fie reprezentat iconic (simbolic).

III.4.3 Conversația

Conversația este o metodă de comunicare orală bazată pe dialogul întrebare-răspuns, în scopul realizării unor obiective de învățare. Datorită faptului că este o metodă verbală, conversația contribuie operațional la realizarea obiectivelor de comunicare. Conversația ca metodă îndeplinește diferite funcții pedagogice în raport cu obiectivele urmărite și cu tipul de activitate în care este integrată:

funcția euristică, de valorificare a cunoștințelor anterioare ale elevilor (conversație de tip euristic);

funcția de clasificare, de aprofundare a cunoștințelor ( conversația de aprofundare) ;

funcția de consolidare și sistematizare ( conversația de consolidare );

funcția de verificare sau control (conversația de verificare).

Mecanismul conversației constă într-o succesiune logică de întrebări cu pondere adecvată între întrebări de tip reproductiv-cognitiv (,,Care este ?”, ,,Ce este ?”, ,, Cum ?” etc). și productiv-cognitiv (,,În ce scop?”, ,,Ce s-ar întâmpla dacă?”, ,,Din ce cauză?” etc).

Întrebările adresate de învățător elevilor trebuie să satisfacă cerințe variate:

să respecte succesiunea logică a sarcinilor de învățare;

să stimuleze gândirea copilului orientând atenția spre elemente importante, dar neglijate, ale unei situații-problemă;

să ajute copii în a-și valorifica și a-și reorganiza propriile cunoștințe, pentru a ajunge la noi structuri cognitive prin întrebări ajutătoare, necesare rezolvării unor situații problematice;

să fie clare, corecte, precise;

să nu sugereze răspunsurile:

să nu supraestimeze capacitatea de explorare a copiilor, respectând principiul pașilor mici.

Răspunsurile copiilor trebuie să fie:

complete, să satisfacă cerințele cuprinse în întrebare;

să dovedească înțelegerea cunoștințelor matematice, să fie motivate;

să fie formulate independent.

Profesorul trebuie să creeze cât mai multe situații generatoare de întrebări și căutări, să dea posibilitatea copilului de a face o selecție a posibilităților de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înșiși întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: Ce ai aici? , Ce ai făcut? , De ce? Pun copiii în situația de a motiva acțiunea și astfel limbajul relevă conținutul matematic al acțiunii obiectuale și se realizează schimbul de idei.

III.4.4 Observarea

Observarea este o metodă de explorare a realității care asigurp baza intuitivă a cunoașterii prin percepție polimodală și formarea de reprezentări despre obiecte și însușirile caracteristice ale acestora. Utilizată la matematică cel mai frecvent pentru formarea reprezentărilor geometrice, observarea oferă contextul pentru analiza de catre copii a obiectelor și corpurilor geometrice în scopul identificării însușirilor semnificative ale acestora. Eficiența acțiunii didactice este dată de modul în care observarea este organizată de către cadrul didactic, întrucât depinde de:

alegerea unor materiale didactice care să favorizeze observarea;

dirijarea observării prin intermediul explicației și al conversației;

stimularea elevilor pentru a pune întrebări în timpil observării;

valorificarea informațiilor obținute de elevi prin observare;

timpul alocat pentru observare.

Observația, ca metodă, este însoțită de explicație ca fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus.

Explicația , ca procedeu, are un rol deosebit în cadrul observației, datorită faptului că prin intermediul cuvântului:

se stabilește scopul observației;

sunt actualizate cunoștințe și unt integrate în cadrul observativ;

se explorează câmpul perceptiv, scoțându-se în evidență elemente semnificative;

se fixează și se valorifică rezultatele observației în activitatea ce asigură integrarea percepției;

se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare științifică și accesibilitate.

Aceste aspecte ale limbajului constituie și elemente de continuitate între ciclurile de învățământ preșcolar și primar și conduc la înțelegerea corectă a unor noțiuni. Este necesar să se țină cont de importanța utilizării unui lmbaj corect în cadrul explicației ce însoțește observația.

III.4.5 Problematizarea

Problematizarea este o metodă de comunicare orală care valorifică cognitiv situațiile-problemă și are, în învățarea matematicii, potențial euristic și motivațional. Constă într-o suită de procedee prin care se urmărește crearea unor situații – problema care antrenează și oferă elevilor posibilitatea să surprindă diferite relații între obiectele, fenomenele realității, între cunoștințele anterioare și noile cunoștințe prin care soluțiile pe care ei înșiși le elaborează, sub îndrumarea învățătorului.

Situația problemă se caracterizează prin aceea că oferă elevului posibilitatea și îl stimulează să caute singur soluția. Pe plan psihologic ea reprezintă o stare conflictuală care rezultă din “trăirea simultană a două realități: experiența trecută și elementul de noutate și de surpriză, necunoscutul, cu care este confruntat subiectul”.

Experiența trecută este cuprinsă explicit în datele inițiale ale problemei, necunoscutul fiind și implicat în complexul situațional creat de învățător. Tensiunea dintre acest necunoscut sugerat și implicat și datele inițiale ale problemei, imprimă un explorator gândirii elevilor.

Din acest punct de vedere genetic putem delimita în cadrul acestei metode trei momente succesive:

– Un moment pregătitor sau declanșator, care constă în crearea situației problema.

– Un moment tensional care se exprimă prin intensificarea contradicțiilor dintre ceea ce se dă spre rezolvare și cunoștințele anterioare ale elevilor.

Prin specificul sau problematizarea presupune o angajare totală, intelectuală, afectivă și volițională a elevilor. Semnificativ nu este cantitatea celor însușite, cât faptul că elevii își formează un stil individual de muncă în condițiile unei tensiuni psihice, a stimulării spiritului de investigație, a curajului în argumentarea și susținerea unor opinii personale.

– Un moment rezolutiv care urmărește nu numai desprinderea soluției ci și confirmarea ei prin întărire pozitivă sau negativă de către învățător.

Rezolvarea se poate înfăptui pe mai multe căi ce ar putea fi înșirate pe o scară având la una dintre extreme, cele algoritmice, întemeiate pe includerea problemei într-o tipologie anumită, iar la cealaltă extremă, cele creatoare, bazate pe transferul nespecific, rezultat al unei cercetări individuale.

Din înlănțuirea celor trei momente rezultă un model pentru activitatea de învățare, model care, prescriind elaborarea unei întrebări pornind de la situația dată se încheie cu obținerea unui rezultat.

Evident metoda problematizării diferă în funcție de particularitățile de vârstă, de experiența și capacitățile individuale ale elevilor și de conținutul sarcinii didactice.

Studiul matematicii oferă cele mai multe posibilități pentru o instruire problematizată.

Exemplu:

“ Un băiat avea 4 baloane roșii și 6 baloane albastre. Din toate acestea lui i s-au spart 5 baloane. Câte baloane roșii și câte verzi i s-au putut sparge ? “

Posibilități:

Asemenea problemă obligă elevii să construiască ipoteze, să încerce soluționarea problemei pe baza ipotezelor acestora, să părăsească ipotezele respective când își dă seama că sunt greșite, să construiască alte ipoteze, cu

valoare operativă superioară față de primele, până când ajunge să rezolve corect problema dată.

Fiecare dintre metodele pe care le-am prezentat are particularitățile ei și ca atare implică unele avantaje și dezavantaje, după cum accentul cade pe una sau pe alta din variabilele procesului de învățare. Din această cauză ele se completează reciproc și se află într-o strânsă interdependență. Aplicarea acestor metode de către învățător presupune experimentarea lor continuă pentru a descoperii el singur variantele combinatorii cele mai bune, aplicând cunoștințele de psihologie și meditând asupra rezultatelor obținute.

III.4.6 Învățarea prin descoperire

Metoda mai sus numită demonstrează că este o modalitate de lucru care nu poate lipsi din strategia învățării matematice la clasele primare, fiind un demers metodic strict necesar în rezolvarea problemelor. Eforturile pentru descoperire îi sprijină pe elevi la descifrarea problemelor, la aflarea termenilor necunoscuți și utilizarea lor pentru rezolvarea solicitată. Acest demers metodic pregătește judecata elevilor în vederea rezolvării de probleme.

Introducerea operațiilor de înmulțire și împărțire, după ce elevii au dobândit cunoștințe, și-au format priceperi și deprinderi de calcul referitoare la operațiile de adunare și scădere, se poate face folosind cu succes învățarea prin descoperire. Ia pornește de la adunarea repetată (adunarea mai multor termeni egali) în care elevii vor descoperii că termenii sunt egali, că ei se repetă de un anumit număr de ori, iar după mai multe exerciții de acest fel ei vor putea trece cu ajutorul învățătorului la operația de înmulțire și substituirea unei operații prin alta.

Exemplu:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 x 6

( 4 luat de 6 ori sau 6 luat de 4 ori )

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 x 4

( se aplică comutativitatea )

III.4.7 Exercițiul

Exercițiul este o metodă bazată pe acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, al automatizării și interiorizării unor modalități de lucru sau a unor algoritmi de calcul.

Cerințele pedagogice generale pentru realizarea exercițiilor cu caracter didactic, în predarea matematicii sunt:

exercițiile alese să fie raportate la obiectivele urmărite;

exercițiile trebuie alese după capacitatea elevilor de a le efectua, să fie pe măsura disponibilităților lor pentru a le provoca și dezvolta interesul;

exercițiile alese trebuie să fie date progresiv (de la simplu la complex, de la ușor la greu).

Exemple:

1. a + 3 = 10 b – 8 = 2 a – b = 2

4 + a = 7 9 – b = 3 a + b = 6

2. Produsul a două numere este 42, un factor este 7.

Care este celălalt factor ?

3. ( 3 * 8 ) + ( 15 : 3 ) + ( 240 – 12 ) =

a : 18 + 15 = 93

4. Ordinea rezolvării operațiilor :

( 1800 – 1250 ) : 10 + 220 : 11 ( 1200 : 40 – 600 :15 + 25 ) =

III.4.8 Algoritmizarea

Algoritmizarea este o metodă bazată pe utilizarea și valorificarea algoritmilor în învățare. Este o modalitate de lucru care constă într-o succesiune de raționamente de la care nu te abați și atunci rezolvi cu siguranță o problemă sau o situație tipică.

Algoritmii nu se învață dintr-o dată, ci treptat pe măsura înaintării elevilor în dobândirea de cunoștințe. Însușirea lor duce la economie de timp, la eliminarea încercărilor întâmplătoare de rezolvare a unei probleme.

Exemple:

1) Adunarea cu trecere peste ordin este o tehnică ce se însușește destul de greu de către mulți elevi, până la însușirea algoritmului prin care se rezolvă direct exercițiul, pentru adunarea a două numere formate doar din unități dar a căror sumă depășește o zece, se poate proceda astfel:

3 + 9 = 3 + (7 + 2) = 10 + 2 = 12

S-a completat primul număr până ce s-a obținut 10, scop în care s-a descompus corespunzător al doilea termen al sumei în două numere.

2) Acțiunea de aflare a termenului necunoscut:

(a + 114) – 314 + 200 = 735

În această situație necunoscuta este (a + 114) și gândirea elevilor este canalizată spre a înțelege modul de rezolvare, însușindu-și algoritmul de lucru. Se aplică procedeul mersului invers:

a = 735 – 200 + 314 – 114

a = 535 + 314 – 114

a = 849 – 114

a = 735

Este bine ca algoritmul unei probleme să fie bine însușit și este necesar să se precizeze că în structura acestuia există trei elemente: datele, condiția și cerința problemei. Pentru aceste elemente există o dependență funcțională care trebuie bine înțeleasă. Înțelegerea aceasta este condiționată de măiestria cu care învățătorul conduce gândirea elevului.

III.4.9 Jocul

Jocul este o metodă bazată pe acțiune simulată, care realizează un scop și o sarcină din punct de vedere matematic. În școală motivația intrinsecă pentru învățătură nu apare la comandă. Din această cauză, în cadrul proceselor instructive, trebuie să se revină la alte premise până ce se formează potențialul necesar și între acestea jocul constituie un ajutor neprețuit pentru a învăța fără constrângeri.

Ținând seama de puterea de concentrare a elevilor din ciclul primar, de nevoia de variație și de mișcare, lecția de matematică trebuie completată sau intercalată cu jocuri didactice cu conținut matematic, cu suficiente elemente de joc.

Exemplu: – Problemă transformată în joc

“ Într-o cutie sunt puișori galbeni și negri, câte minimum 6 din fiecare. Se iau la întâmplare 6 pui din cutie.

Câți puișori galbeni și negri pot fi printre cei luați ? “

Regula jocului:

Elevii scriu soluțiile posibile ale problemei pe fișe, iar propunătorul la adună după un timp dinainte stabilit.

Soluțiile problemei pot fi :

Problema are 7 soluții. Pentru fiecare răspuns corect se acordă un punct.

Se clasifică elevii în felul următor: cei cu 7soluții pe locul I, cu 6soluții pe locul II și așa mai departe. Cei care nu au dat nici o soluție corectă, pot fi “penalizați” prin a scrie adunările de forma:

0 + 5 = ? 1 + 4 = ? 2 + 3 = ? …………………..

III.4.10 Cubul

Cubul este o metodă de explorare a unei situații matematice din diferite perspective cognitive. Etapele pentru organizarea unor activitați folosind metoda cubului sunt:

elegerea unității de învățare și a activității de învățare;

pregătirea materialului didactic: confecționarea unui cub pe ale cărui fețe s-au notat șase dintre deprinderile care trebuie exersate (descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează);

organizarea colectivului de elevi;

valorificarea sarcinilor de lucru în grup: sarcina finalizată este prezentată de reprezentantul fiecărui grup întregului colectiv de elevi.

Metoda cubului poate fi eficient aplicată în etapa de familiarizare sau de aprofundare și exersare în cadrul metodologiei de predare-învățare, la clasele a III-a și a IV-a, indiferent de temă.

III.4.11 Mozaicul

Mozaicul este o metodă de învățare prin collaborare care pune în valoare relația elev-elev în procesul de învățare. Strategia de organizzare presupune parcurgerea a trei etape.

Etapa 1:

se împarte colectivul de elevi în grupe a câte patru elevi. Elevii fiecărei grupe numără până la patru, astfel fiecare membru al grupei primește un număr de la unul la patru;

se dă apoi fiecărui membru al grupei o fișă de lucru cu patru sarcini structurate.Se discută cu toată clasa enunțul celor patru sarcinifără a da sugestii referitoare la modul de rezolvare.

Etapa 2:

elevii din grupele formate inițial se regrupează astfel: toți elevii care au primit numărul unu se adună într-o grupă, cei cu numărul doi în altă grupă ș.a.m.d. Grupele formate din elevii cu numerele 1,2,3 și 4 se vor numi ,,experți” și sarcina lor este să rezolve corect cerința cu același număr din fișa de lucru. Elevii fiecărei grupe trebuie să citească sarcina și să discute între ei posibilele soluții de rezolvare. Membrii grupei vor hotărî împreună modalitatea prin care vor explica colegilor, pentru că urmează să se întoarcă fiecare la grupa sa și să explice colegilor modul de rezolvare;

elevilor li se dă timp pentru a înțelege sarcina, pentru a discuta și elabora strategiile de relvare.

Etapa 3:

după ce grupele de ,,experți” și-au încheiat lucrul, fiecare elev se întoarce la grupa sa inițială și explică colegilor modul de rezolvare a sarcinii. Fiecare elev din grupă trebuie să cunoască conținutul tuturor cerințelor problemei;

elevii notează toate întrebările sau nelămuririle pe care le au în legătură cu rezolvarea problemei și cer clarificări.

Învățătorul cere elevilor să prezinte rezolvarea fiecărei dintre sarcinile de pe fișa de lucru, așa cum au înțeles-o atunci când le-a fost predată de colegii lor;

În timpul învățării prin colaborare, învățătorul monitorizează activitatea grupelor, pentru a fi sigur că informația se transmite corect, stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.

Această metodă contribuie la dezvoltarea abilității de comunicare argumentativă a elevilor, de relaționare în cadrul grupului, dezvoltă gândirea critică și simțul de răspundere.

III.4.12,, Știu / Vreau să știu / Am învățat”

,, Știu / Vreau să știu / Am învățat” este o metodă de învățare prin descoperire prin care elevii realizează un inventar a ceea ce știu deja despre o temă și apoi formulează întrebări legate de tema nouă la care vor găsi răspunsuri prin valorificarea cunoștințelor anterioare.

Etapele metodei:

cer elevilor să formeze perechi și să facă o listă cu tot ceea ce știu despre tema abordată. În timp ce elevii realizează lista, învățătorul construiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane:

fiecare pereche va completa propriul tabel și se vor nota apoi, în tabelul de pe tablă, în coloana din stânga, informațiile cu care toată clasa este de acord;

elevii vor formula întrebări generate de noua temă, iar învățătorul le va nota în a doua coloană a tabelului.

elevii citesc textul din manual,după lectură, se revine asupra întrebărilor din a doua coloană și se analizează la care dintre întrebări s-a găsit răspunsul în text. Răspunsurile elevilor vor fi notate în ultima coloană;

elevii compară ceea ce cunoșteau deja în legătură cu tema respectivă (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului);

informațiile cuprinse în coloana ,,Am învățat” vor fi structurate sub forma lecției noi.

Această metodă poate fi aplicată la clasă în cadrul lecțiilor de matematică referitoare la metodele de rezolvare a problemelor.

III.6 Forme de organizare a învațării

Organizarea activităților de învățare presupune creearea unor situații de învățare și formularea unor sarcini de învățare, ambele cu rol formativ pentru realizarea unui anumit obiectiv din cadrul programei școlare. Curriculum oferă exemple de activități de învățare pentru fiecare obiectiv de referință, dar lasă libertatea cadrului didactic pentru organizarea situațiilor de învățare și formularea sarcinilor de lucru.

1. Situația de învățare presupune crearea unor condiții specifice pentru desfășurarea activității de învățare, astfel încât să fie posibilă obținerea performanței solicitate prin sarcină. Organizarea unei situații de învățare implică stabilirea unei concordanțe între mecanismele de învățare implicate în rezolvarea sarcinii și obiective, alegerea metodelor, materialelor și mijloacelor didactice adecvate. Elevul este pus în situația de a rezolva, dirijat sau semedirijat, o sarcină centrată pe un obiectiv, în scopul formării acelei priceperi, deprinderi sau capacități, înglobată în activitatea de învățare.

2.Sarcina de învățare este cerința pe care elevul trebuie să o realizeze prin acțiune. Caracteristicile acestei componente strategiei didactice sunt:

se formulează prin derivare directă din activitatea de învățare;

solicită efectuarea acțiunii ce definește comportamentul descris în activitatea de învățare;

conține un minimum obligatoriu de cerințe ce trebuie realizate prin acțiune, dar diferențiază instruirea prin faptul că solicită grade diferite de performanță, în funcție de capacitățile copiilor.

Rezolvarea sarcinii de învățare presupune parcurgerea a două etape, fiecare cu caracteristici proprii: etapa inițierii în sarcină și etapa însușirii cunoștințelor și deprinderilor.

a). Etapa inițierii în sarcina de învățare este necesar ori de câte ori elevul este pus în fața unei noi sarcini de învățare. Etapa inițierii este componenta cea mai importantă în elaborarea mecanismului acțiunii de învățare, de ea depinde calitatea procesului de asimilare a cunoștințelor. Modalitatea de familiarizare cu sarcina didactică implică prezentarea de către învățător a materialului cu care va lucra copilul și prezentarea modului concret de acțiune, într-o situație dată (sortare, triere, grupare, clasificare, seriere după anumite criterii, punere în perechi etc.).În contextul învățării, inițierea în acțiune are rolul de a descoperii copilului obiectele cu care urmează să lucreze și de a-i furniza mijloace de orientare în raport cu însușirile acestora.

Demonstrarea acțiunii este însoțită de explicațiile învățătorului asupra modului cum trebuie să se procedeze pentru a ajunge la rezultatul dorit. Exemplificarea prin acțiune precedă actul de asimilare a cunoștințelor, îl direcționează și îl dirijează, iar explicația fixează prin cuvânt acțiunea obiectuală. Dacă prezentarea sau demonstrarea materialului de învățare este însoțit de explicații privind execuția corectă a acțiunii, se diminuează încercările nesigure și erorile făcute de elevi în executarea sarcinii. Acțiunea dobândește siguranță, iar abaterile de la model sunt nesemnificative. Explicațiile vor depăși cazurile particulare și vor asigura transferul de cunoștințeși deprinderi, într-o varietate de noi situații.

Pentru ca etapa inițierii (familiarizării) cu sarcina de învățare să influențeze pozitiv calitatea învățării, este necesar ca elevul să fie motivat pentru acțiune prin intermediul elementelor ludice.

b).Etapa însușirii cunoștințelor și deprinderilor cuprinse în sarcina de învățare presupune îndeplinirea acțiunii și realizarea obiectivului comportamental urmărit. Desfășurarea acțiunii și executarea în pași operaționali a sarcinii permite urmărirea și reproducerea acțiunii de către elev și necesită apoi exersarea deprinderii în contexte diferite, prin dirijare sau semidirijare.

Dacă operarea în plan obiectual constituie punctul de plecare al elaborării stadiale a acțiunii, operarea în plan mental poate fi considerată ca punct de sosire. Instrumentul care servește drept suport al acțiunii ce trebuie să devină acțiune mentală este limbajul. Cuvântul însoțește acțiunea și în faza senzorio-motorie și treptat, rolul limbajului se amplifică, deoarece copilul va utiliza conștient limbajul cu scopul de a-și regla și dirija acțiunea.

În realizarea unei situații de învățare, obiectivul și tipul de activitate de învățare sunt elementele care determină adoptarea unei strategii favorabile instruirii eficiente, iar strategia didactică asigură dirijarea mecanismelor interne ale învățării în direcția realizării prin acțiune a obiectivelor stabilite:

dacă obiectivul urmărit este de cunoaștere, se face apel la mecanismul învățării prin asociații verbale;

dacă obiectivul urmărit este de înțelegere, copilul va fi solicitat să discrinineze (învățarea de concepte);

dacă obiectivul este de aplicare, analiză, sinteză, evaluare, acțiunea va trebui să declanșeze mecanisme ce pot conduce la o învățare prin descoperire.

La ciclul primar sunt două forme specifice de organizare a activităților matematice:

Activitatea pe bază de exerciții este o formă de organizare specifică primelor luni de școală, în care domină metoda exercițiului în scopul formării structurilor operatorii.

Activitatea pe bază de joc didactic matematic îndeplinește funcții educaționale variate.

III.7 Activitatea diferențiată

Tratarea diferențiată a elevilor în procesul instruirii trebuie să constituie un obiectiv central al preocupărilor noastre actuale.Indiferent care sunt modalitățile, procedeele sau mijloacele de instruire diferențiată, pentru a-i asigura o eficiență maximă, va trebui ca lecția, veriga de bază a procesului de predare-învățare să fie concepută în așa fel încât, comunicarea învățător-elev să se facă pe cât mai multe canale de transmisie, astfel ca, fiecare elev să-și aleagă limbajul cel mai corespunzător capacității sale, care prin decodificare, să-i asigure un progres școlar real.

Fiecare copil are dreptul la educație și dezvoltare. Indiferent de particularitățile și diferențele individuale, toți copiii trebuie să se poată bucura de educație și instruire. Intervenția educativă nu poate sau mai bine zis nu trebuie să fie stereotipă, ci adaptată la personalitatea copilului căruia i se adresează, adică să fie individualizată, fiindcă fiecare personalitate este unică și nerepetabilă. Nici un fel de intervenție educativă nu poate fi realizată înaintea cunoașterii temeinice a copilului de către învățător, a cunoașterii particularităților sale individuale, a dificultăților cu care se confruntă fiecare în parte.

Sarcina școlii este de a forma tânăra generație astfel încât la absolvirea școlii să fie capabilă să-și continue în mod independent cunoștințele și deprinderile intelectuale și practice. Activitatea proprie are o importanță deosebit de mare pentru că numai ce este învățat prin efort propriu este durabil și de calitate.

Tratarea diferențiată a elevilor este o sarcină a școlii care urmărește valorificarea deplină a tuturor capacităților umane.

Pentru aplicarea activității didactice diferențiate e necesară în primul rând, cunoașterea temeinică a fiecărui elev, a puterii sale de muncă, a caracterului și temperamentului fiecăruia, a familiei, a mediului social și cultural din care provine.

Individualizarea și diferențierea încep, de fapt, în momentul în care învățătorul își pregătește lecția pentru a doua zi. Cunoscând bine elevii clasei sale știe ce întrebări trebuie să pună elevilor dotați, dar și celor mai puțin dotați, făcându-i activi și pe aceștia, dându-le de lucru după puterea lor de muncă.

Scopul activității diferențiate și individualizate nu este de a omogeniza clasa, lucru ce este imposibil, ci de a face activ pe fiecare elev de a-și însuși minimum de cunoștințe în mod conștient, de a-și ridica nivelul de învățare, de a trece și el pe parcurs în rândul elevilor capabili.

Activitatea diferențiată în cadrul lecțiilor este una dintre căile menite să realizeze o tratare adecvată a elevilor. Strategia diferențierii conduce la o gamă variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității pentru a îmbina cele trei forme de activitate (frontală, de grup și individuală). Indiferent de formele de activitate matematică pe care le desfășoară elevii, profesorul trebuie să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat. Sunt situații când în diferite forme de activitate se dau exerciții care presupun toate gradele de dificultate, lăsându-le elevilor posibilitatea de a rezolva numai unele dintre ele. La fel se poate proceda și în rezolvarea problemelor, unde se pot formula sarcini multiple: de analiză, apoi de a rezolva prin alt procedeu, de a pune în exercițiu, de a compune o problemă asemănătoare.

Tratarea diferențiată a elevilor folosind fișe de muncă independentă este de un real folos, asigurând caracterul individual și independent al învățării, ritmul propriu de lucru al elevului, conform capacităților și nivelului său de cunoștințe, priceperi și deprinderi. În activitatea la clasă, vom întocmi fișele de muncă independentă folosind un conținut diferențiat, în funcție de tematica propusă. Ele ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor pe căi cât mai accesibile, specifice diferitelor grupe de elevi, dezvoltării intelectuale a acestora, stării lor de disciplină.

III.8 Materiale și mijloace didactice specifice activităților matematice

Materialul didactic este o resursă educațională cu un rol semnificativ în cadrul strategiei didactice. Eficiența unei strategii este dată nu numai de bogăția și valoarea formativă a metodelor, ci și de folosirea flexibilă a materialului didactic solicitat în fiecare activitate de învățare. Ceea ce conferă valoare formativă a materialului didactic este posibilitatea acestuia de a realiza o legătură permanentă între activitatea motrică, percepție, gândire și limbaj în diferite etape ale învățării. Materialul bogat și variat este un mijloc eficient de a dezvolta capacitatea copilului de a observa și de a înțelege realitatea, de a acționa în mod adecvat. Operarea cu material didactic asigură conștientizarea, înțelegerea celor învățate, precum și motivarea învățării. Utilizarea de către copii a materialului didactic pentru rezolvarea unor sarcini antrenează capacitățile cognitiveși motrice, declanșează o atitudine afectiv-emoțională, favorabilă realizării obiectivelor propuse.

Un anumit material didactic este cu atât mai eficient cu cât înglobează o valoare cognitivă și formativă mai mare, iar contextul pedagogic și metoda folosită determină eficiența materialului prin valorificarea funcțiilor sale pedagogice:

Funcția de comunicare (informare). Copilul dobândește cunoștințe prin efort personal, sub îndreumarea cadrului didactic, pe baza unui material cu rol de familiarizare a copilului în noul conținut.

Funcția ilustrativ- demonstrativă. Demonstrarea cu ajutorul materialului natural contribuie la formarea unor reprezentări și noțiuni clare, cu un conținut bogat și precis, favorizând trecerea la operarea cu material iconic.

Funcția formativ- educativă exersează capacitatea operațională a proceselor gândirii, contribuind astfel la realizarea unui învățământ formativ.

Funcția stimulativă. Materialul didactic trezește interesul și curiozitatea pentru ceea ce urmează să fie cunoscut de către copii. Ei devin activi și interesați când trec la folosirea obiectelor și participă cu mai multă ușurință la discuții.

Funcția ergonomică decurge din calitățile unor materiale didactice de a contribui la raționalizarea efortului copilor în timpul desfășurării procesului de învățământ la limita valorilor fiziologice corespunzătoare dezvoltării somatice și psihice și le asigură ritmuri de învățare în concordanță cu particularitățile de vârstă.

Funcția de evaluare a randamentului învățării constă în posibilitatea oferită de materialul didactic de a pune în evidență rezultatele obținute de copii și de a ușura diagnosticarea și aprecierea progreselor înregistrate de aceștia.

Materialul didactic trebuie conceput și realizat în așa fel încât să contribuie la antrenarea elevilor în activitatea de învățare, să stimuleze participarea lor nemijlocită în dobândirea deprinderilor de aplicare a cunoștințelor în practică.

Mijloacele didactice sunt elemente materiale adaptate în scopul îndeplinirii sarcinilor instructiv-educative, încărcate cu un potențial pedagogic și cu funcții specifice. Diferitele funcții pedagogice ale acestor resurse determină o clasificare a mijloacelor didactice în:

– mijloace informativ-demonstrative ce servesc la exemplificarea, ilustrarea și concretizarea noțiunilor matematice:

materiale intuitive care ajută la cunoașterea unor proprietăți ale obiectelor, specifice fazei concrete a învățării;

reprezentări spațiale și figurative, corpuri și figuri geometrice,desene (specifice rezolvării problemelor după imagini);

reprezentări simbolice sau reprezentări grafice, introduse de învățător în faza semiabstractă de formare a unor noțiuni;

– mijloace de exersare și formare de deprinderi – din această categorie fac parte jocurile de construcții, trusa Dienes, trusele Logi I și Logi II, rigletele;

– mijloace de raționalizare a timpului constituite din șabloane, jetoane, ștampile, folosite de copii în activitățile matematice.

Școlarul mic are o gândire preponderent intuitivă, operează la nivel concret cu mulțimi obiectuale și în acest mod pătrunde sensul conceptului fundamental de mulțime și își însușește logica lui. Atât mijloacele cât și materialele didactice trebuie să fie cât mai variate și mai reprezentative.

III.9 Tipuri de lecție

Lecția, ca unitate de bază a desfășurării procesului instructiv-educativ,

Îmbracă forme de organizare diverse care întăresc convingerea celor implicați în managementul educației și profesorilor că este o manieră comodă, sigură, eficientă, care imprimă ritm și continuitate procesului. Literatura de specialitate consemnează următoarele tipuri de lecții:

lecția mixtă sau combinată;

lecția de comunicare / însușire de noi cunoștințe;

– lecția introductivă;

– lecția prelegere;

– lecția seminar;

– lecția programată;

lecția de formare de priceperi și deprinderi;

– lecția de formare de deprinderi de acțiune intelectuală.

– lecția de rezolvare de probleme;

– lecția de lucrări de laborator;

– lecția de formare a unor deprinderi tehnice;

lecția de fixare și sistematizare;

lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare.

Capitolul Iv: METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

IV.1 Definirea conceptului de problemă

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații prectice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele în față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, permite determinarea acestora din urmă.

Noțiunea de problemă ca moment inițial, al activității de gândire, este una din noțiunile fundamentale ce străbate aproape întreaga psihologie a gândirii. Acolo unde nu există o problemă sau o întrebare, osarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo lipsește finalitatea gândirii.

De regulă, în cadrul problemei se evidențiază: condițiile, adică ansamblul obiectelor existente, reglementate prin anumita relații și cerințele, care indică ce anume trebuie căutat în condițiile date.

Necunoscuta vizată prin cerințele problemei nu apare evident și nemijlocit în sistemul de condiții (altfel problema nu ar mai fi problemă) dar se presupune că, sub forma camuflată, “implicită”, ea este conținută în acest sistem, putând fi descoperită prin analiza sistemului respectiv de obiecte și punerea în noi relații a elementelor sale.

Referitor la condițiile pedagogice pe care trebuie să le îndeplinească

problema se subliniază:

– să aibă sens și să fie adresată în cel mai oportun moment din punct de vedere al elevului;

– să țină seama de cunoștințele însușite anterior de elev;

– să trezească interesul, să fie clar enunțată;

– să solicite efort din partea elevului.

IV.2 Ce cuprinde o problemă

În orice problemă de matematică sunt evidențiate trei elemente:

datele, ceea ce este cunoscut și dat sub formă de valori numerice și relații;

cerințele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei;

condițiile, care arată în ce fel cerințele sunt legate de date.

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la cerințe și condiții, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei. Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare și experiența lui în rezolvarea problemelor crește, se dezvoltă capacitățile de explorare și investigare și capacitatea rezolutivă.

IV.3 Clasificarea și descrierea problemelor de aritmetică

Problemele de matematică din ciclul primar se pot clasifica în funcție de:

Numărul operațiilor;

Probleme simple

Probleme compuse

Problemele simple sunt cele care, de regulă, se rezolvă printr-o singură operație arimetică și pe care le întâlnim cu precădere în clasele pregătitoare, în clasa I-a și a II-a.

Exemplu:

Pe un patinoar sunt 9 băieți și 20 de fete. Câți copii sunt pe patinoar?

Rezolvare: 9 + 20 = 29

Soluție: Pe patinoar sunt 29 de copii.

Problemele compuse sunt acelea care în șirul de raționamente și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple, deci se rezolvă prin două sau mai multe operații.

Exemplu:

În livada bunicului sunt 10 nuci, 5 gutui și pruni cu 2 mai puțin decât gutui. Câți pomi sunt în total în livada bunicului?

Rezolvare:

Aflăm numărul prunilor: 5 – 2 = 3

Aflăm numărul pomilor: 10 + 5 + 3 = 18

Soluție: În livada bunicului sunt 18 pomi.

Conținut:

Probleme de geometrie,

Probleme de mișcare,

Probleme de arimetică;

Finalitatea și sfera de aplicabilitate:

Probleme teoretice,

Probleme practice;

Tipul de raționament solicitat (după metoda folosită):

Probleme tipice care solicită un raționament de tip convergent (probleme rezolvabile prin diferiți algoritmi: metoda figurativă, reducerii la unitate, falsei ipoteze, comparației etc.),

Probleme netipice care solicită un raționament de tip divergent și metode euristice de rezolvare.

Cele mai întâlnite clase de probleme de arimetică sunt următoarele:

exercițiile,

problemele teoretice,

problemele practice,

problemele artificiale,

problemele recreative.

IV.3.1 Exerciții

Exercitiile sunt probleme usoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei reguli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru a pune în evidenta unele proprietati ale numerelor si operatiilor. Rezolvarea exercițiilor presupune efectuarea și repetarea unor operații și acțiuni în scopul formării de priceperi și deprinderi, pentru dezvoltarea capacităților intelectuale.

Exercițiile aritmetice se pot clasifica în mai multe tipuri:

Exerciții de recunoaștere a unor noțiuni matematice:

Recunoașterea unui obiect din mediu ambiant ce asigură o concretizare a unui concept (geometric) abstract;

Exemplu: Ce corpuri geometrice recunoașteți în sala de clasă?

Recunoașterea unei noțiuni abstracte din mai multe exemple date figurativ;

Exemplu: Care din liniile de pe tablă sunt linii curbe?

Recunoașterea unor formule;

Exemplu: Care din ecuațiile următoare reprezintă o elipsă?

Exerciții de autoinstruire, prin care se urmărește însușirea de cunoștințe noi, pornind de la cunoștințele însușite anterior:

Unele teoreme mai ușor de demonstrat sunt date sub formă de exercițiu ;

Exercițiile ce pregătesc noua lecție, conțin cerințe ce depășesc cunoștințele elevilor;

Exerciții comentate- elevii ucrează independent în timp ce unul dintre ei explică cum raționează și ce a obținut, pentru a-i ghida pe ceilalți;

Exerciții de aplicative a unor formule sau algoritmi: sunt exerciții de fixare a noțiunilor nou predate și sunt primele care se dau elevilor spre rezolvare, fie pe parcursul etapei de predare a noii lecții, fie în etapa de fixare a cunoștințelor noi.

Exerciții de calcul mental: rolul acestuia este de a dezvolta rapiditatea gândirii, cel ce stăpânește un calcul mental rapid își poate îndrepta atenția spre raționament în timpul rezolvării unei probleme.

IV.3.2 Probleme teoretice

Problemele care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică, aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicilor, se numesc probleme teoretice.

Exemplu:

La un moment dat Mercur se găsește între Pământ și Soare. Mercur se rotește o dată în jurul Soarelui în 88,02 zile, iar pământul în 365,24 zile. Peste cât timp Mercur va ocupa aceeași poziție?

Rezolvare:

Dacă Mercur ocolește Soarele în 88,02 zile, atunci într-o zi va face 1/88,02 =0.0113610543 din drumul ce trebuie să-l străbată, iar Pământul va parcurge într-o zi 1/365,24= 0.00273792574 din drum. Diferența între aceste cantități arată cu cât o ia Mercur înaintea Pământului 0.0113610543- 0.00273792574=0.00862312856. Luând inversul diferenței, se obține numărul de zile necesar ca Mercur să câștige o rotație în plus în jurul Soarelui, față de Pământ, deci să vină iarăși în poziția Pământ, Mercur și Soare.

Soluție: 115 zile, 23 ore, 12 minute, 29 secunde.

IV.3.3 Probleme practice

Problemele care conțin date luate din lumea înconjurătoare legate de procesul de producție, așa cum se desfășoară el în realitate în uzine, pe ogoare, în laboratoare, aplicații tehnice, din calcule financiare, din comerț, etc…, se numesc probleme practice.

Exemplu:

La o fermă agricolă s-au recoltat în prima zi 780kg de legume. A doua zi cu 45 kg mai mult decât în prima zi, iar în ziua a treia o cantitate de 1/3 din totalul recoltat în primele două zile. Ce cantitate de legume s-a recoltat în toate cele 3 zile?

Rezolvare:

Aflăm câte kg de legume s-au recoltat a doua zi: 780 + 45 = 825 kg.

Aflăm câte kg de legume s-au recoltat în primele două zile: 780 + 825 = 1605 kg.

Aflăm câte kg de legume s-au recoltat a treia zi: 1/3 x 1605 = 535 kg.

Aflăm câte kg de legume s-au recoltat în cele trei zile: 1605 + 535 = 2140 kg.

Soluție: În cele 3 zile s-au recoltat 2140 kg de legume.

IV.3.4 Probleme de logică

Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă, să folosească anumite reguli sau procedee de calcul. Autorul unei asemenea probleme se străduiește ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate

Exemplu:

Pentru a face un cadou unui coleg, patru prieteni au contribuit cu sume de bani diferite, conform propozițiilor următoare.

Primul a dat 26 de lei sau 23 lei sau 21 lei.

Al doilea a dat 12 lei sau 21 lei.

Al treilea nu a dat 23 lei.

Al patrulea a dat 12 lei.

Aflați suma dată de fiecare, stiind că toate afirmațiile sunt adevărate.

Rezolvare: Le indicăm elevilor să găsească și să înceapă raționamentul de la afirmația care oferă o informație exactă. Aceștia sesizează că în propoziția a patra li se comunică cu precizie suma dată de a patrulea copil, respectiv 12 lei. Știind că suma nu se poate repeta, deduc, utilizând propoziția a doua, că al doilea copil a dat 21 lei. Astfel, pentru primul și al treilea prieten au rămas de stabilit sumele 23 lei și 26 lei. Folosind informația din propoziția a treia se stabilește că acesta a oferit 26 lei, suma de 23 lei fiind contribuția primului copil.

IV.3.5 Probleme recreative

Problemele care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvare a lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic, se numesc probleme recreative.

Exemplu:

Un băiat trebuie să aducă de la râu exact 5 l de apă, dar nu avea la dispoziție decât un vas de 3 l și un vas de 7 l. Cum credeți că a procedat?

Rezolvare: Umplem vasul de 7 l și turnăm din vasul de 7 l în cel de 3 l. În vasul de 7 l au rămas 4 l. Răsturnăm vasul cu cei 3 l în râu, și-l umplem din nou din vasul de 7 l. În vasul de 7 l a mai rămas 1 l. Răsturnăm vasul cu cei 3 l în râu și transferăm acest litru în vasul de 3 l. Reumplem vasul de 7 l și completăm vasul de 3 l cu încă 2 l, pentru că în vas era deja 1 l. Astfel, în vasul de 7 l au rămas exact 5 l.

IV.4 Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică

Clasificarea metodelor de rezolvare a problemelor de matematică reprezintă încă o problemă contraversată ce alimentează noi discuții și experimentări. Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se împart în două mari grupe:

metode generale;

metode particulare.

IV.4.1 Metode generale

Metodele generale se pot aplica la un număr foarte mare de probleme, se folosesc nu numai in aritmetică, ci și în alte ramuri ale matematicii.

Metodele generale pot fi clasificate astfel:

Sinteza

Analiza

Metoda analitico – sintetică

IV.4.1.1 Sinteza

Într-o examinare de tip sinteză, putem formula probleme simple (putem formula întrebări) al căror rezultat ne conduce la următoarea problemă simplă, dar care poate abate gândirea rezolvitorului de la firul logic al problemei. În acest caz elevul trebuie să revină și să întrebe mereu “dacă este nevoie să aflăm acest lucru”.

Problema:

“ Un depozit en-gross a primit într-o zi 520 kg. de făină, iar a doua zi a primit cu 160 kg. mai puțin decât în prima zi. O parte din făină, depozitul a vândut-o cu 1,75 lei/kg., obținând suma de 385lei. O treime din făina rămasă a fost distribuită la 110 familii sărace în mod egal.

Câte kg. de făină au revenit fiecărei familii ? “

Rezolvare:

se așează datele problemei (prescurtat)

I 520 kg.

II cu 160 kg. mai puțin

………..1,75 lei/kg………………385lei………………..……

……….110 familii…………….? kg.

Observăm că textul problemei delimitează într-un fel problemele simple ce o compun, precum și succesiunea acestora.

Dacă știm că în prima zi s-au adus 520 kg. făină iar a doua zi s-au adus mai puține kg, putem afla câte kg. s-au adus a doua zi? Cum? (prin scădere)

1. Câte kg. de făină s-au adus a II-a zi?

520 – 160 = 360 (kg)

Știind câte kg. s-au adus în prima zi și câte kg. s-au adus a doua zi, putem afla cîte kg. s-au adus în total. Cum? (prin adunare).

2. Câte kg. s-au adus în total?

520 + 360 = 880 (kg)

Știind că o parte din făină s-a vândut cu 1,75 lei/kg. și s-au încasat 385 lei, putem afla câte kg. s-au vândut. Cum ? (prin împărțire)

3. Câte kg. s-au vândut ?

385: 1,75 = 220 (kg)

Cunoscând cantitatea totală de făină adusă și cantitatea care s-a vândut, putem afla câte kg. de făină au rămas. Din cantitatea totală scoatem (scădem) cantitatea vândută.

4. Câta kg. au rămas ?

880 – 220 = 660 (kg)

Deoarece am aflat câte kg. de făină au rămas și că din această cantitate o

treime se împarte familiilor sărace, putem afla această cantitate.

5. Câte kg. s-au dat familiilor sărace ?

660 : 3 = 220 (kg)

Deoarece această cantitate se distribuie în mod egal la 110 familii, putem afla câte kg. de făină revin fiecărei familii. Cum ? (prin împărțire).

6. Câte kg. primește fiecare familie ?

220 : 110 = 2 (kg)

Aceasta este examinarea sintetică a problemei de mai sus care s-ar putea rezuma în următoarea succesiune de judecăți (planul logic de rezolvare):

1. Cantitatea de făină adusă a doua zi

2. Cantitatea de făină adusă în două zile

3. Cantitatea de făină vândută

4. Cantitatea de făină rămasă

5. Cantitatea de făină distribuită familiilor

6. Cantitatea de făină primită de o familie.

Această schemă logică, după ce a fost întocmită astfel, evident cu largul concurs al elevilor, poate fi completată cu schema operativă, adică cu succesiunea operațiilor corespunzătoare fiecărei judecăți din schema logică.

Punând sub formă de exercițiu problema dată, avem:

520 + (520 – 160) – (385: 1,75) : 3

110

IV.4.1.2 Analiza

Avantajul metodei analitice constă în aceea că elevii, punându-și mereu întrebări, pornind de la întrebarea problemei, nu se pot abate de la firul logic al rezolvării, ci, cel mult, să se oprească într-un anumit pas (secvență) neștiind cum să răspundă la “DE CE”-ul acela care apare în mod “sâcâitor”, dar perfect logic, după fiecare răspuns negativ, corespunzător fiecărui pas de analiză.

Vom porni de la întrebarea problemei, realizând următorul comentariu (prin dialog sau conversație frontală)

Putem afla dintr-o dată ce cantitate de făină revine fiecărei familii? Nu. De ce? Pentru că nu știm ce cantitate de făină s-a împărțit.Dar această cantitate de făină ce s-a împărțit familiilor sărace o putem afla dintr-o dată? Nu. De ce? Pentru că nu știm cantitatea de făină rămasă.

Aceasta o putem afla dintr-o dată? Nu. De ce? Pentru că nu știm cantitatea de făină adusă în total și nici cantitatea de făină vândută. Dar cantitatea de făină adusă în total o putem afla? Nu. De ce? Pentru că nu știm cantitatea adusă a doua zi.

Dar cantitatea adusă a doua zi o putem afla dintr-o dată? Da. De ce ? Pentru că știm cât s-a adus în prima zi și că a doua zi s-au adus cu 160 kg. mai puțin.

Din acest moment examinarea analitică este încheiată. Am ajuns la o

întrebare al cărui răspuns poate fi dat folosind două din datele problemei și formulând prima problemă simplă, prima judecată a problemei.

IV.4.1.3 Metoda analitico – sintetică

În aritmetică întâlnim și probleme care nu pot fi rezolvate folosind numai una din cele două metode, în acest caz folosim o metodă combinată din cele două metode, și anume metoda analitico sintetică.

Problema:    

De la un magazin  s-au cumpărat  pentru  o cantină  32 kg făină de  calitatea I  cu 4 lei/ kg, 63kg de  calitatea  a II-a  cu   3 lei/kg și 78 kg  de  calitatea  a III-a.

Cât  a  costat  un  kilogram  de  făină  de  calitatea  a III-a daca transportul  a  costat  50 lei, revenind  in  medie  pentru un  kilogram  de  făină  3,2 lei ?

 Rezolvare :

Vom  aplica  la  inceput metoda  sintetică.

Aflăm cât costă făina de calitatea I-a

32 *4 = 128 ( lei)

Aflăm cât costă făina de calitatea a II-a

63 *3 = 189 (lei)

Continuam  cu  metoda  analitica.

Ca să aflăm cât  costă 1 kg de făină de  calitatea a III-a trebuie să cunoaștem valoarea acestei făini.                

Fie «V » valoarea celor 78 kg de făină atunc 1 kg va costa :

           1 kg =V :78

Ca să găsim valoarea a 78 kg de făină de calitatea a III-a , va trebui  să scădem banii  dați pe primele doua  calitați din  suma  totala.

Fie “St” suma  plătită  pentru  totă făina. Atunci :

            V =St-(128+189)

Cât costă  toată  cantitatea  de  făină ?(sintactic)

32+63+78=173 (kg)

         3,2*173=553,60 (lei)

Cât costă cei 173 kg de făină fara  transport?(sintactic)

553,60 -50 =503,60 (lei)

           St= 503,60 lei

Cat  costa  123 kg de făină  de  calitatea  a  III-a ?

V =503,60-317

            V=186,60 (lei)

Cat  costa un  kg de  făină de  calitatea  a  III-a ?

1kg =186,60:78

           1 kg =2,40 (lei)

                                                       Raspuns :2,4lei

II.4.2 Metode particulare

Metodele particulare se pot aplica la rezolvarea un grup restrâns de probleme, aceste metode condus mai ușor la soluția problemei, decât metodele generale,care în unele cazuri sunt greu de aplicat.

Metodele particulare pot fi clasificate astfel:

Pentru rezolvarea problemelor teoretice și demonstrații:

Metoda reducerii la absurd,

Metoda inducției matematice;

Pentru rezolvarea problemelor practice:

Metoda figurativă,

Metoda directă,

Metoda retrodradă,

Metoda ipotezelor,

Metoda comparație,

Metoda reducerii la unitate,

Metoda conjugată,

Regula de trei simplă,

II.4.2.1 Metoda reducerii la unitate

Această metodă este avantajoasă și foarte accesibilă elevilor , poate să fie utilizată într-o gamă variată de probleme.

Este una dintre cele mai întrebuințate metode în rezolvarea problemelor de aritmetică. Prin aplicarea acestei metode se pot rezolva probleme unde se dau mărimi direct sau invers proporționale, probleme unde este vorba de acțiuni ce se petrec în același timp sau unele probleme de circulație.

Exemplu:

Pentru 4 radiere Ionel a plătit 12 lei. Câți lei trebuie să aibă Costel pentru a cumpăra 7 radiere?

Rezolvare:

Aflăm cât costă 1 radieră: 12 lei : 4 = 3 lei

Aflăm cât costă 7 radiere: 3 lei x 7 = 21 lei

Soluție: 21 lei.

II.4.2.2 Metoda comparației

Problemele care se rezolvă folosind această metodă se caracterizează prin faptul că cele două mărimi care se dau sunt comparate, valorificându-se în rezolvare relația de proporționalitate care poate exista între ele. Se urmărește eliminarea unei necunoscute fie prin înlocuirea ei, fie prin reducere și aducere la același termen de comparație.

Exemplu:

Pentru 3 creioane și 2 pixuri s-au plătit 36 lei. Pentru 7 creioane și 2 pixuri s-au plătit 44 lei. Cât costă un creion și cât costă un pix?

Rezolvare:

3creioane și 2 pixuri costă……………………………………………..36 lei

7creioane și 2 pixuri costă………………………………………………44 lei.

Se compară valorile, aceleași mărimi de la dreapta spre stânga. Suma de bani a crescut cu 44 – 36 = 8 lei. Numărul pixurilor a rămas același. Diferența de 8 lei a provenit că s-au mai cumpărat 4 creioane.

4 creioane costă………………………………8 lei

1 creion costă…………………………………8 : 4 = 2 lei.

Știind prețul creionului, se află prețul pixului astfel:

3 creioane și 2 pixuri costă…………………………………….36 lei

Un creion costă 2 lei, deci 3 creioane costă 3 x 2 = 6 lei; diferența de 36 – 6 = 30 lei este prețul a două pixuri. Așadar un pix costă 30 : 2 = 15 lei.

Soluție: 1 creion costă 2 lei și un pix costă 15 lei.

II.4.2.3 Metoda ipotezelor

Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea soicită introducerea unor date ipotetice și confruntarea situației obținute astfel cu o situație reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările.

Problemele care se rezolvă prin această metodă se pot clasifica astfel:

Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemplu:

S-au vândut 124 bilete pentru clasele I și a II-a. Biletul de clasa I costă 56 lei, iar biletul de clasa a II-a 36 lei, încasându-se în total suma de 4994 lei.

Câte bilete de fiecare clasă s-au vândut ?

Rezolvare:

Presupunem că toate cele 124 de bilete au fost la clasa a II-a.

Cât ar costa biletele dacă toate ar fi fost pentru clasa a II-a ?

124 x 36 = 4464 lei

În realitate biletele au costat 4944 lei.

Ce sumă de bani am obținut în minus pe baza propunerii făcute ? Care este diferența dintre realitate și propunere ?

4944 – 4464 = 480 lei

Această diferență provine din faptul ca între cele 124 bilete au existat și bilete de clasa I. Pentru fiecare bilet de clasa a I presupus a fi de clasa a II-a am socotit o sumă mai mică decât în realitate.

Cu câți lei este mai scump prețul unui bilet de clasa I decât unul de clasa a II-a ?

56 – 36 = 20 lei

Pentru câte bilete de clasa I am socotit câte 20 de lei mai puțin? Pentru atâtea bilete de câte ori 20 se cuprinde în diferența totală de 480.

Câte bilete de clasa I s-au vândut ?

480 : 20 = 24 (bilete de clasa I )

Câte bilete de clasa a II-a s-au vândut ?

124 – 24 = 100 (bilete de clasa a II-a)

Verificare: 100 x 36 + 24 x 56 = 4944

II.4.2.4 Metoda retrogradă ( Metoda mersului invers)

Metoda retrogradă se aplică în unele probleme în care relațiile dintre mărimi depind una de cealaltă într-o ordine succesivă. Urmărind enunțul de la sfârșit la început, trebuie să se determine penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, până când se ajunge la numărul inițial. Înțelegerea metodei se bazează pe exercițiile de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asuptra căreia s-a efectuat anumite operații al căror rezultat este dat.

Exemplu:

M-am gândit la un număr. Îl împart la 7, câtului obținut îi adun 4, suma găsită o înmulțesc cu 8, iar din produsul obținut scad 12, rămânând 60.

La ce număr m-am gândit ?

Rezolvare:

Notând cu x numărul căutat, enunțul se transcrie matematic astfel:

( x : 7 + 4) x 8 – 12 = 60

Am obținut o egalitate care în algebră se numește ecuație. Rezolvarea se poate face prin raționament aritmetic, urmărind enunțul de la sfârșit spre început, adică invers.

Care este ultima operație făcută pentru a obține 60 ? (Scăderea în care necunoscuta figurează la descăzut ). Deci : D = r + s, unde D-descăzut, s- scăzător și r- rest.

? – 12 = 60

? = 60 + 12 = 72

Problema devine : M-am gândit la un număr. Îl împart la 7, câtului obținut îi adun 4, suma găsită o înmulțesc cu 8, rămânând 72.

( x : 7 + 4) x 8 = 72

Care este ultima operație făcută înainte de a obține rezultatul 72 ?

? x 8 = 72

? = 72 : 8 = 9

Problema devine : M-am gândit la un număr. Îl împart la 7, câtului obținut îi adun 4, rămânând 9.

x : 7 + 4 = 9

Algoritmul continuă în același mod: primul termen= suma – al doilea termen

? + 4 = 9

? = 9 – 4 = 5

Problema devine : M-am gândit la un număr. Îl împart la 7, câtului obținut este 5.

x : 7 = 5

x = 5 x 7

x = 35

Numărul la care m-am gândit este 35.

Etapele parcurse se redactează astfel:

( x : 7 + 4) x 8 – 12 = 60

( x : 7 + 4) x 8 = 60 + 12

( x : 7 + 4) x 8 = 72

x : 7 + 4 = 72 : 8

x : 7 + 4 = 9

x : 7 = 9 – 4

x : 7 = 5

x = 5 x 7

x = 35

II.4.2.5 Metoda figurativă

Metoda figurativă ce constă în reprezentarea grafică a mărimilor necunoscute și marcarea prin desen a relatiilor dintre mărimile date în problemă. Figura reprezintă o schematizare a enunțului și a relațiilor matematice date.

Problemele care se rezolva prin metoda figurativă se pot clasifica în două mari categorii și anume:

Cu date sau mărimi discrete înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii-figurăm mărimile prin simboluri.

Cu date sau mărimi continue, caz în care se pot schematiza datele utilizând segmente.

Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor

Exemplu: Suma a două numere este 48. Știind că primul număr este cu 36 mai mare decât al doilea aflați cele două numere.

REZOLVARE:

Pentru a rezolva aceasta problema vom reprezenta cele doua numere prin segmente de dreapta.

Varianta 1: egalare în raport cu valoarea cea mai mare

primul număr

48

al doilea număr ………………………..

Care ar fi suma celor două numere dacă al doilea număr ar fi egal cu primul ?

48 + 36 = 84

Numărul 84 reprezintă suma a două numere egale cu primul număr.

Care este valoarea primului număr ?

84 : 2 = 42

Care este valoarea celui de-al doilea număr ?

42 – 36 = 6

Verificare:

42 + 6 = 48, suma celor două numere,

42 – 6 = 36, diferența dintre cele două numere.

Varianta 2: egalare în raport cu valoarea cea mai mică

primul număr

48

al doilea număr

Care ar fi suma celor două numere dacă primul număr ar fi egal cu al doilea ?

48 – 36 = 12

Numărul 12 reprezintă suma a două numere egale cu al doilea număr.

Care este valoarea celui de-al doilea număr ?

12 : 2 = 6

Care este valoarea primului număr ?

6 + 36 = 42

Verificare:

42 + 6 = 48, suma celor două numere,

42 – 6 = 36, diferența dintre cele două numere.

Rezolvarea se poate scrie sub forma a două exerciții:

Exercițiu care descrie rezolvarea parcursă pentru aflarea primului număr ( 48 – 36 ) : 2

Exercițiu care descrie rezolvarea parcursă pentru aflarea celui de-al doilea număr:

( 48 – 36 ) : 2 + 36.

Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma / diferența și raportul lor

Găsiți două numere dacă suma lor este 480, iar unul dintre ele este de 5 ori mai mare decât celălalt.

REZOLVARE:

În desen se reprezintă întâi printr-un segment numărul mai mic, iar celălalt prin cinci segmente deoarece este de 5 ori mai mare.

primul număr

480

al doilea număr

Formularea judecăților se sprijină pe observația că, în total, cele 6 segmente egale reprezintă 480.

Din câte părți egale este formată suma celor două numere ?

+ 1 = 6 ( părți egale)

Care este valoarea celui de-al doilea număr ?

480 : 6 = 80

Care este valoarea primului număr ?

5x 80 = 400

Rezolvarea se poate scrie sub forma a două exerciții:

Exercițiu care descrie rezolvarea parcursă pentru aflarea primului număr

480 🙁 5 + 1 ) x 5

Exercițiu care descrie rezolvarea parcursă pentru aflarea celui de-al doilea număr:

480 🙁 5 + 1 ).

II.4.2.6 Probleme de mișcare (bazate pe relația d = v × t): în același sens; în sensuri contrare

În această categorie intră acele probleme în care trebuie să se afle una dintre mărimile: spațiu (distanță), viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații dintre acestea. În problemele de mișcare se pune în discuție mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanțe (spații) legate prin expresia: d = v x t, iar din aceasta deducem că: v = d/t și t = d/v.

Dim motive metodologice, la nivelul claselor I – IV, problemele de mișcare se clasifică în două categorii, și anume:

Probleme de mișcare în același sens (de urmărire);

Problema:

Un grup de excursioniști care se deplasează cu viteza de 5km/oră ies din oraș la ora 7 dimineața. La ora 14, în aceeași zi, se trimite după acest grup un biciclist care se deplasează cu 12km/oră.

După cât timp și la ce distanță de oraș biciclistul va ajunge grupul de excursioniști?

Rezolvare:

Trebuie să stabilim în ce moment începe urmărirea și la ce distanță de oraș se află grupul de excursioniști în momentul plecării biciclistului.

Planul logic al problemei și operațiile corespunzătoare vor fi:

Cât timp merge grupul de excursioniști singuri, până la plecarea bicilistului?

14 ore – 7 ore = 7 ore.

Ce distanță parcurge grupul în 7 ore?

d = v x t = 5km / oră x 7 ore = 35 km

A 12km/oră B 5km/oră

35 km

Cu cât se apropie biciclistul de grup într-o oră?

V1- V2 = 12 km – 5 km = 7 km.

După câte ore biciclistul recuperează cei 35 km?

35 km : 7 km /oră = 5 ore.

La ce distanță de oraș ajunge biciclistul grupul?

d = v x t = 12 km /oră x 5 ore = 60 km.

Probleme de mișcare în sens opus (de întâlnire).

Problemă:

Un pieton care parcurge 5 km/ oră pleacă din orașul A spre orașul B. În același timp, un biciclist pleacă din orașul B spre orașul A cu 22 km /oră. Între orașe este o distanță de 81 km.

După cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul?

La ce distanță de orașul B se întâlnesc?

Rezolvare:

Ilustrăm cu ajutorul unui segment de dreaptă, a cărui lungime reprezintă distanța dintre cele două orașe, conținutul problemei.

A 81 km B

5km/oră 22km/oră

Cu cât se micșorează distanța dintre pieton și biciclist într-o oră?

5km + 22 km = 27 km.

În cât timp va fi parcursă distanța totală?

t = d : (V1 + V2), t =81 :27 =3,

La ce distanță de orașul B se întâlnesc?

22 km x 3 = 66 km.

Verificare: 5 km x 3 + 22 km x 3 = 81 km.

În problemele de mișcare, reprezentarea situației prin desen își dovedește cu prisosință eficiența, deoarece în procesul examinării și rezolvării problemei, gândirea elevului se mișcă în cadrul asociațiilor indicate de figură, ceea ce determină o alternanță continuă între percepție și gândire, o variație a raționamentului în funcție de câmpul perceptiv reprezentat sugestiv în acea figură.

II.4.2.7 Probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă

Regula de trei simplă reprezintă o schemă de așezare a datelor și de utilizare a acestor

date în orientarea și desfășurarea procesului de gândire care intervine în examinarea și rezolvarea unor probleme cu mărimi proporționale. În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin două mărimi direct sau invers proporționale, fiecare mărime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscută. Prin urmare, în această categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul cărora se găsește cea de-a patra valoare, fapt care justifică numele pe care îl poartă: regula de trei.

Metode de ezolvare a problemelor prin regula de trei simplă:

Metoda reducerii la unitate constă în a găsi mai întâi valoarea mărimii de același fel cu necunoscuta, care corespunde unei valori a celeilalte mărimi egală cu unitatea.

Mărimile sunt direct proporționale:

Exempu:

Pentru 4 radiere Ionel a plătit 12 lei. Câți lei trebuie să aibă Costel pentru a cumpăra 7 radiere?

Rezolvare:

radiere……………………………………………………………..12 lei

7 radiere……………………………………………………………….x lei

Cele două mărimi sunt direct proporționale fiindcă dacă numărul radierelor crește de n ori, atunci și costul lor va crește de n ori.

radiere……………………………………………………………..12 lei

radieră……………………………………………………………..12: 4 lei

radiere……………………………………………………………….12 :4 x 7 lei

Deci, x = 12 : 4 x 7 = 21 lei

Soluție: Costel trebuie să aibă 21 lei.

Mărimile sunt invers proporționale:

Exemplu:

Dacă angajăm 4 zugravi, școala poate fi zugrăvită în 9 zile. Câți zugravi sunt necesari pentru a termina lucrarea în 6 zile?

Rezolvare: Cele două mărimi sunt invers proporționale. Dacă numărul zidarilor crește de n ori, atunci numărul zilelor scade de n ori. Aici mărimea ce trebuie aflată este numărul zidarilor.

zile………………………………………………………………..4 zugravi

6 zile………………………………………………………………..x zugravi

___________________________________________________

9 zile………………………………………………………………..4 zugravi

6 zile………………………………………………………………..4x 9 :6 zugravi

Deci, x = 4 x 9 :6 = 6 zidari.

Soluție : Pentru a termina lucrarea în 6 zile sunt nevoie de 6 zugravi.

Metoda proporțiilor

Mărimile sunt direct proporționale:

Exempu:

Din 2150 m material se pot realiza 2940 eșarfe. Câte eșarfe se pot confecționa din 10750m material.

Rezolvare:

2150 m…………………………………………………..2940 eșarfe

10750 m………………………………………………………x eșarfe.

Mărimile sunt direct proporționale, raportul valorilor din prima mărime este egal cu raportul valorilor din cea de a doua mărime, adică;

  , x = 14700 eșarfe

Soluție: Din 10750 m material se pot confecționa 14700 eșarfe.

BIBLIOGRAFIE

**** Gazeta Matematică Junior, nr.4, dec, 2010 , „Revistă de cultură matematică pentru clasele I-IV”, Editura Didactica Publishing House, București.

**** Învățământul primar, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1și 2, 1996, Editura Discipol, București.

**** Învățământul primar, 2001, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1, Editura Discipol, București.

Ana, D., Ana, M., Logel, D., Stroescu-Logel, E. 2005, „Metodica rezolvării problemelor de arimetică”, Editura Casa de Știință,Cluj-Napoca,.

Bocoș, M., 2003, „Cercetarea pedagogică, Suporturi teoretice și metodologice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Bocoș, M., Jalba, G., Felegean, D., 2001, „Evaluare în învățământul primar. Aplicații practice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Bocoș, M., 2007, „Teoria și practica cercetării”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Gagner R., 1979, „Condițiile învățării”, Editura Didactică și Pedagogică, București.

Ionescu, M. Radu, I., 1995, „Didactica modernă”, Editura „Dacia” Cluj Napoca.

Ionescu, M., 1995, „Didactica modernă”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Ionescu, M., 2000, “Demersuri creative în predare-învățare”, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca.

Jurcău, N., 2004, „Pedagogie”, Editura U. T. Press, Cluj – Napoca.

Lupu C., Săvulescu, D., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XI – a, Licee pedagogice, Editura Paralela 45, ediția a III – a.

Lupu, C., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XII – a, licee pedagogice, ediția a II – a, Editura Paralela 45, Pitești.

Magdaș, I., Vălcan, D., 2008, „Didactica Matematicii în învățământul primar și preșcolar, Ghid de practică didactică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.

Mărgineanu, I., 1975, “Psihologia logică și matematica”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Miclea, M., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.

Neveanu,P.P, Zlate,M., Crețu,T., 1990, „Psihologie” – manual, E.D.P. București.

Oprescu, N., 1977, “Educarea creativității elevilor în procesul de învățământ”, Revista de pedagogie, Nr.3.

Piaget, J., 1965, „Psihologia inteligenței”, Editura Științifică, București.

Piaget, J., 1932, „Limbajul și gândirea la copii”, Editura Științifică, București.

Piaget, J., Inhelder, B., 1968, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică, București.

Piaget, Jean, 2005, „Psihologia copilului”, Editura Cartier.

Polya, G., 1965, „Cum rezolvăm o problemă”, Editura Științifică.

Polya, G., 1965, „Cum să realizăm o problemă”, Editura Științifică, București.

Polya, G., 1972, „Descoperirea în matematică”, Editura științifică, București.

Radu, I., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.

Radu, I., Ionescu, M., 1987, „Experiența didactică și creativitate”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Salade, D., 1975, „Metodica activităților matematice în pedagogie”, Editura didactică și pedagogică, Cluj-Napoca.

Sarivan, L., Leahu, I., Singer, M., Stoicescu, D., Țepelea, A., 2005, „Predarea interactivă centrată pe elev” Bucuresti: Ministerul Educației si Cercetării – Unitatea de Management a Proiectului pentru Învățământul Rural

Șchiopu, U., 1967, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică,București.

Vălcan, D., 2007, „Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.

Vălcan, D., (coordonator), 2009, „Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar”, Casa Cărții de știință, Cluj-Napoca.

BIBLIOGRAFIE

**** Gazeta Matematică Junior, nr.4, dec, 2010 , „Revistă de cultură matematică pentru clasele I-IV”, Editura Didactica Publishing House, București.

**** Învățământul primar, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1și 2, 1996, Editura Discipol, București.

**** Învățământul primar, 2001, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1, Editura Discipol, București.

Ana, D., Ana, M., Logel, D., Stroescu-Logel, E. 2005, „Metodica rezolvării problemelor de arimetică”, Editura Casa de Știință,Cluj-Napoca,.

Bocoș, M., 2003, „Cercetarea pedagogică, Suporturi teoretice și metodologice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Bocoș, M., Jalba, G., Felegean, D., 2001, „Evaluare în învățământul primar. Aplicații practice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Bocoș, M., 2007, „Teoria și practica cercetării”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Gagner R., 1979, „Condițiile învățării”, Editura Didactică și Pedagogică, București.

Ionescu, M. Radu, I., 1995, „Didactica modernă”, Editura „Dacia” Cluj Napoca.

Ionescu, M., 1995, „Didactica modernă”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Ionescu, M., 2000, “Demersuri creative în predare-învățare”, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca.

Jurcău, N., 2004, „Pedagogie”, Editura U. T. Press, Cluj – Napoca.

Lupu C., Săvulescu, D., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XI – a, Licee pedagogice, Editura Paralela 45, ediția a III – a.

Lupu, C., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XII – a, licee pedagogice, ediția a II – a, Editura Paralela 45, Pitești.

Magdaș, I., Vălcan, D., 2008, „Didactica Matematicii în învățământul primar și preșcolar, Ghid de practică didactică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.

Mărgineanu, I., 1975, “Psihologia logică și matematica”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Miclea, M., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.

Neveanu,P.P, Zlate,M., Crețu,T., 1990, „Psihologie” – manual, E.D.P. București.

Oprescu, N., 1977, “Educarea creativității elevilor în procesul de învățământ”, Revista de pedagogie, Nr.3.

Piaget, J., 1965, „Psihologia inteligenței”, Editura Științifică, București.

Piaget, J., 1932, „Limbajul și gândirea la copii”, Editura Științifică, București.

Piaget, J., Inhelder, B., 1968, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică, București.

Piaget, Jean, 2005, „Psihologia copilului”, Editura Cartier.

Polya, G., 1965, „Cum rezolvăm o problemă”, Editura Științifică.

Polya, G., 1965, „Cum să realizăm o problemă”, Editura Științifică, București.

Polya, G., 1972, „Descoperirea în matematică”, Editura științifică, București.

Radu, I., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.

Radu, I., Ionescu, M., 1987, „Experiența didactică și creativitate”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.

Salade, D., 1975, „Metodica activităților matematice în pedagogie”, Editura didactică și pedagogică, Cluj-Napoca.

Sarivan, L., Leahu, I., Singer, M., Stoicescu, D., Țepelea, A., 2005, „Predarea interactivă centrată pe elev” Bucuresti: Ministerul Educației si Cercetării – Unitatea de Management a Proiectului pentru Învățământul Rural

Șchiopu, U., 1967, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică,București.

Vălcan, D., 2007, „Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.

Vălcan, D., (coordonator), 2009, „Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar”, Casa Cărții de știință, Cluj-Napoca.