Numere Prime.modalitati de Abordare In Gimnaziu

Numere prime

Modalități de abordare în gimnaziu

b#%l!^+a?

b#%l!^+a?

Cuprins

Scurt istoric matematic al numerelor prime. Argument

Abordarea pedagogica

Obiective privind predarea numerelor prime in gimnaziu, considerații generale

Teorie si exemple in predarea numerelor prime

Descompunerea in factori primi, patrate perfecte, fractii ireductibile, patrate magice, exemple

Metode de predare

Proiect didactic

b#%l!^+a?

b#%l!^+a?

Scurt istoric matematic al numerelor prime b#%l!^+a?

Studiul numerelor prime face parte din teoria numerelor, ramura matematicii care b#%l!^+a?include studiul numerelor naturale. Numerele prime au fost subiectul a numeroase studii,

dar câteva îıntrebari fundamentale precum ipoteza Riemann si ipoteza lui Goldbach au b#%l!^+a?

rămas nerezolvate mai bine de un secol .

Problema modelării distribuției numerelor prime este un subiect preferat de investigare a celor care studiază teoria numerelor; privite individual numerele prime par a fi distribuite aleatoriu, dar distribuirea lor globala este efectuată respectând legi bine definite.

Există indicii din dovezile rămase din Egiptul antic care arată că aceștia au avut cunoștiințe despre numerele prime: fracțiile egiptene de pe papirus au, de exemplu, forme diferite pentru numere prime si numere compuse.

Totuși, cele mai vechi documente care să susțina existența studiului numerelor prime provin din Grecia antică. Elementele lui Euclid (300 IHr) conțin teoreme importante despre numerele prime, incluzâand infinitatea numerelor prime si teorema fundamentală a aritmeticii. De asemenea Euclid a arătat cum se formează un numar perfect dintr-un numar prim Marsenne.

”Ciurul lui Eratostene” este o metodă simplă de a găsi numere prime, chiar dacă in ziua de azi la găsirea numerelor prime cu ajutorul calculatorului nu se procedează astfel. După greci, studiul numerelor prime nu a progresat mult pâna âın secolul 17.

În 1640 Pierre de Fermat a enuntat, fara sa demonstreze, teorema mica a lui Fermat (demonstratie ce avea sa fie rezolvata mai tarziu de Leibnitz țsi Euler).

Calugărul francez Marin Marsenne a investigat numerele prime realizate prin formula

2n − 1, n fiind număr prim. Sunt numite numere prime Marsenne.

Contributția lui Euler la teoria numerelor a fost una însemnată în ce privește numerele prime. A arătat că seria infinită e divergentă. Se crede ca nu există nici un număr perfect impar, dar încă nu exista dovezi.

Dupa începutul secolului XIX, Legendre si Gauss au formulat în mod independent

ipoteza conform căreia x tinde spre infinitat, numarul de numere prime până la x este b#%l!^+a?

asimptotic lui x/log(x), unde log(x) este logaritmul natural al lui x . Ideile lui Riemann b#%l!^+a?

din lucrarea sa din 1859 despre functția zeta au schitat un program care va duce la o

demonstrare a teoremei numerelor prime.

Mulți matematicieni au lucrat la metode de testat numerele prime pentru numere mari,

adesea restrânse la formule de numere specifice . Aici putem include testul lui Pepin pentru

numere Fermat (1877), teorema lui Prot (1878), testul Lucas-Lehmer pentru numere Mersenne (1856), si testul generalizat Lucas-Lehmer.

Tot aici vom mai vorbii si despre numere Mersenne , numere prime Fermat precum si de pătrate magice formate din numere prime.

Definiție: Toate numerele care se divid doar cu unitatea și cu el insuși le numim prime . Se

pune întrebarea dacă pentru orice număr natural n > 1 avem posibilitatea să stabilim

dacă este sau nu număr prim .

În 1979 cand au fost inventate conceptele criptografiei cu cheie publică numerele prime formau baza primilor algoritmi precum algortmul de criptare RSA. Din 1951 cele mai mari numere prime au fost determinate cu ajutorul computerelor. În prezent teoria numerelor prime are aplicabilitatea in foarte multe domenii de cercetare.

Argument

În noua structură a învățământului preuniversitar, nivelul ridicat de complexitate al finalităților este determinat de necesitatea asigurării deopotrivă a educației de bază pentru toți cetățenii – prin dezvoltarea echilibrată a tuturor competențelor cheie și prin formarea pentru învățarea pe parcursul întregii vieți – și a inițierii în trasee de formare specializate. b#%l!^+a?

Studiul matematicii în ciclul superior al liceului urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului cunoștințele b#%l!^+a?necesare pentru a acționa asupra acesteia, în funcție de propriile nevoi și dorințe; să formuleze și să rezolve probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și să înzestreze elevii cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă.

În elaborarea programelor s-au avut în vedere schimbările intervenite în structura învățământului preuniversitar și modificarea structurii liceului prin noile planuri-cadru de învățământ.

Astfel, planurile-cadru atât pentru gimnaziu cât și pentru liceu păstrează structura din astfel la filiera vocațională sunt structurate pe trei componente: trunchi comun (TC), curriculum diferențiat (CD) și curriculum la decizia școlii (CDȘ).

Curriculumul de Algebră din cadrul filierei vocaționale, profil pedagogic propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare. În mod concret, s-a urmărit:

-esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative;

-compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia;

-continuitatea și coerența intradisciplinară;

-realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; b#%l!^+a?

-prezentarea conținuturilor într-o formă accesibilă, cu scopul de a stimula motivația b#%l!^+a?pentru studiul matematicii;

-asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ. b#%l!^+a?

Prin aplicarea programei școlare de Algebră se urmărește formarea de competențe, înțelese ca ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare.

Aceste competențe permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniului de studiu, în contexte variate.

Curriculumul centrat pe competențe induce o proiectare curriculară care are în vedere focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale a învățării în formarea personalității elevului și corelarea finalităților cu așteptările societății.

Programa de Algebră pentru curriculum diferențiat urmărește asigurarea unui echilibru între formarea competențelor generale de cunoaștere și nevoia de a opera cu concepte matematice în contexte proprii filierei de formare, profilului și specializării în scopul orientării învățării către finalitățile liceului.

Programa este structurată pe un ansamblu de cinci competențe generale și individualizează învățarea pentru filiera vocațională, profilul pedagogic și specializarea căreia i se adresează.

În condițiile realizării competențelor generale și specifice și ale parcurgerii integrale a conținutului obligatoriu, profesorul are libertate în proiectarea activităților didactice întrucât poate:

-să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut;

-să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;

-să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din b#%l!^+a?clasă.

Programa de Algebră pentru curriculum diferențiat are următoarele componente:

-competențe generale;

-valori și atitudini; b#%l!^+a?

-competențe specifice și conținuturi asociate acestora;

-sugestii metodologice.

O ambianța școlară în care elevul se simte bine, un climat instituțional în care elevul este implicat în alegerea parcursului de formare, un mediu centrat pe învățare care valorizează fiecare membru al comunității, un curriculum școlar echilibrat și aplicat consecvent pe termen lung, un curriculum mai puțin aglomerat, în care se abordează și se rezolvă mai puține probleme, dar se aleg probleme semnificative și acestea se aprofundează – toate acestea pun elevul în consens cu propriile sale aspirații, ducându-l spre realizare personală și profesională. În acest fel, motivația pentru învățare antrenează după sine o învățare eficientă, care inculcă atitudini și automotivare. Mai mult, într-un asemenea climat, profesorul și elevul își asumă deopotrivă responsabilitatea asupra eșecului sau succesului, într-un parteneriat cu roluri diferite.

Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe, adică a acelor ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.

Învățarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe: în societatea contemporană, o învățare eficientă presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți.

Pasivitatea elevilor în clasă, consecință a modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte mică măsură. b#%l!^+a?

De fapt, prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informații, în același ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei ore, ascultă explicațiile profesorului și văd o demonstrație sau un experiment. b#%l!^+a?

Este mult mai eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învățare: discuția, argumentarea, investigația, experimentul, devin metode indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată.

Numerele prime sunt foarte importante, în primul rând datorită faptului că orice număr natural nenul se scrie în mod unic ca un produs de numere prime.

Acest rezultat , cunoscut sub numele de teorema fundamentală a aritmeticii, pe lângă importanța deosebită pe care o are în aritmetica elementară, a devenit, prin generalizările care i s-au dat, instrumentul de bază în multe capitole ale teoriei algebrice a numerelor și ale algebrei abstracte.

Numerele prime sunt de asemenea foarte importante pentru că multe teoreme despre numere prime sunt ușor de formulat, dar foarte dificil de demonstrat. Unele din aceste teoreme se dovedesc adevărate în toate cazurile accesibile calculului, prin mijloacele cunoscute până în prezent. Aceste mijloace se dovedesc însă insuficiente pentru a verifica valabilitatea generală a teoremei respective.

Una dintre primele probleme care s-au pus asupra numerelor prime a fost dacă mulțimea numerelor prime este infinită sau nu.

Răspunsul este afirmativ, cea mai simplă demonstrație a acestui fapt fiind dată de Euclid în urmă cu mai mult de două mii de ani. Între timp au fost date și alte demonstrații, puțin mai sofisticate, dar care răspund și unor probleme de altă natură relativ la numere prime. b#%l!^+a?

Legat de faptul că mulțimea numerelor prime este infinită, s-a pus problema distribuției numerelor prime, problemă care pe scurt poate fi pusă astfel: pentru fiecare număr real pozitiv x, notând cu (x) numărul numerelor prime mai mici decât x, se pune problema b#%l!^+a?descrierii funcției , sau găsirii unei formule de calcul pentru (x) .

Mai mulți matematicieni au găsit experimental că (x) este aproximativ egal cu ,însă,abia la sfârșitul secolului trecut, J.Hadammard și Ch.J.de la Valle Pousin au demonstrat, folosind mijloace de analiză complexă că

S-a pus și problema dacă anumite mulțimi de numere prime, cu o anumită proprietate, sunt infinite sau nu.

Astfel, un număr prim p se numește număr prim pereche dacă p+2 este tot un număr prim. Astfel, numere prime pereche sunt : 3 cu 5, 5 curecut, J.Hadammard și Ch.J.de la Valle Pousin au demonstrat, folosind mijloace de analiză complexă că

S-a pus și problema dacă anumite mulțimi de numere prime, cu o anumită proprietate, sunt infinite sau nu.

Astfel, un număr prim p se numește număr prim pereche dacă p+2 este tot un număr prim. Astfel, numere prime pereche sunt : 3 cu 5, 5 cu 7 , 11 cu 13 ,17 cu 19, 29 cu 31,etc.Nu se cunoaște însă dacă mulțimea numerelor prime pereche este infinită sau nu.

Numerele prime de forma 2n+1 se numesc numere prime Fermat, iar numerele prime de forma 2n-1 se numesc prime Mersenne.

Nu se cunoaște dacă mulțimea numerelor prime Fermat este finită sau infinită.

Același lucru și despre mulțimea numerelor prime Mersenne. Nu se cunoaște de asemenea , dacă mulțimea numerelor prime de forma n2+ 1 este finită sau infinită.

Pe de altă parte, într- o progresie aritmetică în care rația și primul termen nu au divizori comuni proprii există o infinitate de numere prime.

Acest rezultat a fost stabilit de Dirichlet tot pe baze analitice. Tehnica folosită de el în acest scop stă și la baza demonstrației altor rezultate profunde de teoria numerelor . ( eg. b#%l!^+a?Teoria corpului claselor ).

Orice număr par se pare că este suma de două numere prime : 4 = 2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10 = 7+3 sau 5 + 5 , 12= 5+7, 14 = 7+7 sau 11+3 etc.

Au fost testate ca mai sus cu ajutorul calculatoarelor electronice numere pare foarte b#%l!^+a?mari și toate s-au dovedit egale cu suma a două numere prime. Totuși nimeni nu a reușit să demonstreze că, orice număr par este sumă de două numere prime . Enunțul de mai sus, care se mai numește și conjunctura lui Goldbach și este una din celebrele probleme despre numere prime .

2. Abordarea pedagogica

Studiul matematicii în învățământul gimnazial își propune să asigure pentru toți elevii b#%l!^+a?formarea competențelor de bază în rezolvarea de probleme prin calcul aritmetic, calcul algebric și raționament geometric. b#%l!^+a?

Învățarea matematicii în gimnaziu urmărește conștientizarea naturii matematicii ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoștințe și de algoritmi, dar și ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian și prin rolul său în științele naturii, în științele economice, în tehnologii, în științele sociale etc.

Programele școlare de matematică sunt concepute astfel încât să nu îngrădească, prin concepție sau mod de redactare, libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice.

În condițiile realizării competențelor specifice (și, implicit, a competențelor generale) și a parcurgerii integrale a conținuturilor programelor, profesorul are posibilitatea să aleagă succesiunea parcurgerii elementelor de conținut (ținând însă cont de logica internă a științei); b#%l!^+a?

să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice; să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.

Proiectarea activității didactice este bine să fie precedată de lectura integrală a programei școlare și de urmărirea logicii interne a acesteia.

În școală, noțiunea de număr, noțiune fundamentală în matematică, se dezvoltă treptat în diferiți ani de studiu, urmărindu-se atingerea jaloanelor fixate însuși conținutul acestei noțiuni în ultimii ani ai liceului.

În fiecare treaptă a acestui proces, elevul trebuie să înțeleagă în primul rând principiile de bază care conduc la lărgirea noțiunii de număr și anume:

Ce problemă, ce necesitate impune această lărgire;

Noua lărgire conduce la o mulțime de numere care o include pe cea precedentă, cunoscută;

Odată cu definiția ce se dă noilor numere trebuie să se dea noi definiții și pentru operații: b#%l!^+a?aceste noi definiții se dau în așa fel încât să lărgească, fără a le contrazice pe cele date anterior; trebuie arătat, de asemenea, că proprietățile se mențin.

În  mulțimea numerelor naturale la clasa a V-a vorbim de numere prime si descompunerea unica a unui numar natural in produs de numere prime. Mai departe,la clasa a VI-a , problema divizibilitatii se pune pe mulțimea numerelor intregi.

Ea se reia,cu unele completari ,la clasa a X-a unde, se extinde ulterior la mulțimea polinoamelor cu coeficienti complecsi. b#%l!^+a?

De asemenea , calculul c.m.m.d.c. este introdus in mod liniar pentru numere naturale in clasa a V-a , numere intregi in clasa a VI-a , polinoame in clasa a X-a ,apare ca metoda de calcul si algoritmul lui Euclid. Ne punem , in consecinta intrebarile:

        -De ce la numere intregi folosim denumirea de numar prim si descompuneri in factori primi, iar la polinoame denumirea de polinom ireductibil si descompunerea in factori ireductibili ? Este vreo deosebire, asadar, intre element prim si element ireductibil?

            Apoi, aceste descompuneri sunt unice?

        -De ce la numere naturale avem un singur c.m.m.d.c. pentru mai multe numere date,la numere intregi avem cate doi (cu semnele ±),iar la polinoame  mai multi c.m.m.d.c. , depinzand de inelul coeficientilor ( in Z[x] cate doi , cu ± , in R[x] o infinitate ,cu cate un factor real de proportionalitate)?

          Elevii se mai pot intreba de asemenea de ce studiem divizibilitatea numai pe anumite multimi ,spre exemplu , de ce o studiem pe inelul  Z si nu pe corpurile Q, R, sau C ?

          In clasa a V-a se studiaza niste criterii de divizibilitate cu numere naturale iar in clasa a X-a un criteriu de divizibilitate la polinoame (Teorema lui Bezout).

Ar mai putea interesa si alte reguli de divizibilitate , dar mai ales problema deciziei , daca un numar este prim sau un polinom este ireductibil, care ramane deschisa in programa gimnaziului si liceului susceptibila insa la lamuriri si completari. b#%l!^+a?

Trebuie de asemenea insistat pe cunoașterea și folosirea relației de ordine pe fiecare din aceste mulțimi și înțelegerea logică de către elevi a incluziunilor N Z Q R.

Deprinderea de a utiliza teorema împărțirii cu rest în exerciții și probleme, dezvoltarea capacității de a folosi cunoștințele de la divizibilitate în N și Z în rezolvarea problemelor și în studiul numerelor raționale, înțelegerea noțiunilor de divizibilitate a polinoamelor și de polinoame reductibile, aflarea c.m.m.d.c și c.m.m.m.c al două polinoame (inclusiv prin folosirea algoritmului lui Euclid, în primul caz) constituie tot atâtea puncte de reper necesare b#%l!^+a?în atingerea obiectivelor specifice și generale ale învățării matematicii.

Astfel, importanța noțiunilor de teoria numerelor cuprinde în manualele școlare, începând chiar cu clasa a-V-a este cu atât mai dovedită, deoarece apare fiecare obiectiv din cele enunțate se poate realiza și prin abordarea acestui cerc de probleme.

În clasa a V-a teorema unicității descompunerii unui număr natural în factori primi a fost admisă fără demonstrație, ba chiar fără a fi fost enunțată explicit. Totuși ea este esențială deoarece regulile de aflare a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al două numere descompuse în factori primi etc. devin riguros stabilite numai pe baza unicității descompunerii unui număr natural în factori primi.

Fie . Multiplii lui A sunt numerele care conțin factorii , 5; depildă  sau  etc. Întradevăr aceștia sunt multipli, de pildă . Problema inversă fiind dat  este el multiplu de A?

Răspundem: dacă în descompunerea lui B nu există  și 5, B nu este multiplu de A. Acest răspuns este valabil pe baza teoremei unicității; dacă ea nu ar fi valabilă s-ar putea ca , fără ca ,  sau  să fie 2 sau 5.

Și marii matematicieni dinaintea lui Gauss au promovat unicitatea evidentă. Necesitatea demonstrației a apărut atunci când s-au găsit inele în care descompunerea în factori primi nu b#%l!^+a?este unică.

Dacă trecem de la N la Z, două descompuneri în factori primi pot diferi nu numai prin ordinea factorilor ci și prin faptul că unii factori au fost înmulțiți cu -1, de exemplu: .

Teoria divizibilității în inelul polinoamelor este în esență aceeași ca și în inelul întregilor; ea primește numai adnotări provenite din faptul că există o infinitate de divizori b#%l!^+a?improprii.

Teorema unicității se exprimă în forma: un polinom nu poate avea două descompunerii în factori ireductibili distincte decât cel mult: a) prin ordinea factorilor; b) prin faptul că unii factori au fost înmulțiți cu constante.

Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoștințelor, noțiunilor într-un sistem concentric cantitativ.

Astfel, noțiunea de divizibilitate este introdusă în clasele mici, definită în clasa a-V-a și dezvoltată în clasele următoare până la teoria divizibilității polinoamelor.

Chiar din clasele II-IV prin exercițiile cu împărțiri fară rest se intuiește noțiunea de divizibilitate.

În clasa a-V-a definiția divizibilității este următoarea: „Fie a și b două numere naturale.

Spunem că b/a daca există un număr natural c astfel încât a=b∙c”. Considerăm necesară o precizare.

Este știut faptul că formulările ambigue sau cele care nu respectă algoritmii sau codurile consacrate, perturbă procesul învățării logice.

În memorie există, astfel, asociații în utilizarea formulei cod a divizibilității. Se folosește și „b divide a” și „a este divizibil cu b”

Considerațiile care urmează dovedesc faptul că teoria numerelor oferă un cadru adecvat organizării cunoștințelor într-un sistem concentric calitativ, acestea fiind însușite prin reluări succesive, restructurări și reinterpretări ale informațiilor și ale modelului logic anterior până la înțelegerea noțiunilor în sferă deplin elaborată.

Teoria numerelor prime este cel mai bine dezvoltata în clasa a V-a unde manulalul are un b#%l!^+a?capitol bine structurat conținând noțiunile de Divizor, multiplu. Divizibilitatea cu 10, b#%l!^+a?2, 5. Numere pare și numere impare.

În clasa a-VI-a se revine conform modelului de organizare a cunoștințelor, noțiunilor într-un sistem concentric cantitativ și se prezintă noțiunile de Divizor, multiplu, Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, Proprietăți ale relației de divizibilitate în N, Numere prime și numere compuse, Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime, Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime între ele, Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. După cum se poate lesne observa se acumulează noțiuni fundamentale legate de teoria numerelor.

Se trece apoi la prezentarea mulțimii numerelor întregi, unde se prezintă divizorii unui număr întreg.

În clasa a X-a, aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în calculul cu polinoame, compararea proprietăților operațiilor cu numere reale și aplicarea acestor proprietăți în rezolvarea ecuațiilor se studiază astfel împărțirea polinoamelor, teorema împărțirii cu rest a polinoamelor, studiul divizibilității polinoamelor.

Noțiunile legate de divizibilitate  predate în clasa a-X-a se aliniază sistemului referențial al elementelor și se deosebesc de acestea doar prin modul de informație și prin gradul de generalitate al lor, dar urmăresc aceeași structură logică stabilită în clasa a V-a.

“Spirala” se completează în clasa a XII-a studiind noțiunile de grup, inel (Z, Zn, inele de funcții, polinoame), corp.

Masurarea si aprecierea rezultatelor scolare au un triplu rol: de constatare, diagnosticare si prognosticare.

Constatarea se realizeaza prin inventarierea achizitiilor pe care le poseda elevul in momentul evaluarii si prin emiterea unor judecati de valoare.

Diagnosticarea consta in evidentierea factorilor care au condus la obtinerea rezultatelor. b#%l!^+a?

Pe baza cunoasterii rezultatelor scolare si a factorilor care le-au produs, se face prognosticarea, adica se anticipeaza desfasurarea ulterioara a procesului si rezultatele posibile.

Asadar, “menirea evaluarii rezulatelor scolare este de a constata si aprecia, a explica situatia prin factorii si conditiile care le-au generat si a prevedea desfasurarea viitoare a procesului de invatamant.”

Înțelegerea rolului si functiilor evaluarii precizeaza laturile acestei activitati asupra carora opereaza procesele evaluative. Astfel, in evolutia teoriei evaluarii, doua teze reprezinta achizitii importante:

-extinderea actiunilor evaluative de la verificarea si aprecierea rezultatelor la evaluarea procesului, a conditiilor de desfasurare a activitatii care au condus la rezultatele constatate;

-conceperea unor modalitati mai eficiente de integrare a actiunilor evaluative in activitatea didactica, astfel incat acestea sa nu se realizeze ca actiuni independente, ci sa faca parte integranta din activitatea instructiv – educativa.

Analiza proceselor de evaluare, din perspectiva celor doua abordari permite cunoasterea efectelor activitatii desfasurate in vederea perfectionarii procesului in etapele urmatoare. In acest sens, evaluarea constituie actul necesar menit sa furnizeze informatiile necesare “reglarii si ameliorarii” activitatii didactice.

Conceperea actului de evaluare a rezultatelor in conexiune cu procesul didactic pune in evidenta o relatie cu dublu sens de o deosebita valoare metodologica. b#%l!^+a?

Rezultatele constatate pot fi apreciate si explicate corespunzator in masura in care sunt puse in legatura cu diferite componente ale procesului didactic si cu activitatea in ansamblu. Tot asa, calitatile si functionalitatea fiecaruia din elementele constitutive ale procesului didactic (continutul, metodele, mijloacele de invatamant, formele de organizare, sistemul relatiilor educative) precum si insusirile factorilor umani participanti la desfasurarea procesului se reflecta in rezultatele produse.

Pentru ca stabilirea relatiei de conditionare proces – produs sa fie concludenta si sa conduca la adoptarea masurilor adecvate in vederea ameliorarii activitatii de la o etapa la alta, este necesara determinarea factorilor principali si a situatiilor cu rol hotarator pentru nivelul activitatii si al rezultatelor. In acest sens, aplicarea analizei de sistem in studierea activitatii de instructie si educatie permite relevarea mai multor tipuri de factori care intervin in desfasurarea acesteia cum sunt:

-factori generali (economici, sociali, demografici, de sistem, conditii didactico – materiale etc.);

-factori umani: elevii (trasaturi, capacitati, nivel de pregatire), cadre didactice ( conceptii, competente, atitudini);

-componentele procesului de invatamant (continuturi, metodologie, forme de organizare).

Procesele evaluative vizeaza estimarea contributiei acestor factori la desfasurarea activitatii si la obtinerea rezultatelor.

Astfel, trasatura definitorie a actului evaluativ este “prezenta acestor actiuni in orice b#%l!^+a?demers pedagogic si pe tot parcursul procesului de la determinarea obiectivelor pana la rezultate.”

Una dintre achizițiile importante ale teoriei si practicii evaluarii o reprezinta integrarea evaluarii in procesul instructiv – educativ ca o parte constitutiva a acestuia. Evaluarea furnizeaza informatii cu privire la desfasurarea procesului, in vederea perfectionarii lui.

Din cele prezentate pana acum rezulta faptul ca notiunea de evaluare si-a amplificat foarte mult continutul in ultimul timp, iar aria ei problematica s-a extins in consecinta. Caracteristicile actuale ale conceptului de evaluare au fost sintetizate recent :

-evaluarea scolara nu este decat un mijloc in slujba progresului elevului, nu un scop in sine;

-evaluarea trebuie sa fie in slujba procesului educativ si integrata acestuia;

-evaluarea trebuie sa aprecieze inainte de toate drumul parcurs de elev: a facut progrese sau nu?;

-evaluarea trebuie sa stimuleze activitatea elevului si sa faciliteze progresul sau;

-pentru a evalua corect profesorul trebuie sa fie neutru si obiectiv;

-a evalua un elev inseamna a-i transmite informatii utile;

-evaluarea trebuie sa-l ajute pe elev toata viata;

-evaluarea trebuie sa fie in serviciul copilului, ea trebuie sa-l ajute sa-si construiasca viitorul;

-evaluarea trebuie sa se adreseze unei fiinte in devenire, in crestere, care nu a incheiat procesul de dezvoltare.

Evaluarea elevilor se inscrie in cadrul actiunilor necesare exercitarii profesiunii de dascal. Modelul evaluarii complete si continue presupune “prezenta actelor evaluative pe tot parcursul derularii procesului de invatamant.”

Astfel, orice unitate didactica se incheie cu actiuni de evaluare, pentru ca pe baza informatiilor oferite sa se reia activitatea intr-un ciclu superior.

b#%l!^+a?

3 Obiective privind predarea numerelor prime in gimnaziu, considerații generale

În literatura de specialitate s-a cristalizat teoria că noțiunile și cunoștințele se pot ordona, pentru predare-învățare în două sisteme: sistemul linear și sistemul concentric (cantitativ și calitativ).

După cum se știe, sistemul linear desemnează modul de organizare a cunoștințelor cu noțiuni care de însușesc în formă definitivă și în într-o sferă de curprindere, fără reluări succesive.

Sistemul concentric cantitativ desemneaza forma de organizare a noțiunilor care au sferă largă de componență și care se predau prin reluări, lărgindu-se complementar cu fiecare reluare aria cunoștințelor, fără restructurări ale conceptelor și ale modelelor logice stabilite anterior.

Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoștințelor, noțiunilor într-un sistem concentric cantitativ.

  În școală, noțiunea de număr, noțiune fundamentală în matematică, se dezvoltă treptat în diferiți ani de studiu, urmărindu-se atingerea jaloanelor fixate însuși conținutul acestei noțiuni în ultimii ani ai liceului.

În fiecare treaptă a acestui proces, elevul trebuie să înțeleagă în primul rând principiile b#%l!^+a?de bază care conduc la lărgirea noțiunii de număr și anume:

Ce problemă, ce necesitate impune această lărgire; Noua lărgire conduce la o mulțime de numere care o include pe cea precedentă, cunoscută;

Odată cu definiția ce se dă noilor numere trebuie să se dea noi definiții și pentru b#%l!^+a?operații: aceste noi definiții se dau în așa fel încât să lărgească, fără a le contrazice pe cele date anterior; trebuie arătat, de asemenea, că proprietățile se mențin.

Trebuie de asemenea insistat pe cunoașterea și folosirea relației de ordine pe fiecare din aceste mulțimi și înțelegerea logică de către elevi a incluziunilor N Z Q R.

Deprinderea de a utiliza teorema împărțirii cu rest în exerciții și probleme, dezvoltarea capacității de a folosi cunoștințele de la divizibilitate în N și Z în rezolvarea problemelor și în studiul numerelor raționale, înțelegerea noțiunilor de divizibilitate a polinoamelor și de polinoame reductibile, aflarea c.m.m.d.c și c.m.m.m.c al două polinoame (inclusiv prin folosirea algoritmului lui Euclid, în primul caz) constituie tot atâtea puncte de reper necesare în atingerea obiectivelor specifice și generale ale învățării matematicii.

Astfel, importanța noțiunilor de teoria numerelor cuprinde în manualele școlare, începând chiar cu clasa a-V-a este cu atât mai dovedită, deoarece apare fiecare obiectiv din cele enunțate se poate realiza și prin abordarea acestui cerc de probleme.

Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoștințelor, noțiunilor într-un sistem concentric cantitativ.

Astfel, noțiunea de divizibilitate este introdusă în clasele mici, definită în clasa a-V-a și dezvoltată în clasele următoare până la teoria divizibilității polinoamelor.

Chiar din clasele II-IV prin exercițiile cu împărțiri fară rest se intuiește noțiunea de divizibilitate. b#%l!^+a?

În clasa a-V-a definiția divizibilității este următoarea: „Fie a și b două numere naturale. Spunem că b/a daca există un număr natural c astfel încât a=b∙c”.

Considerăm necesară o precizare.

Este știut faptul că formulările ambigue sau cele care nu respectă algoritmii sau codurile consacrate, perturbă procesul învățării logice. În memorie există, astfel, asociații în utilizarea formulei cod a divizibilității. Se folosește și „b divide a” și „a este divizibil cu b”

În clasa a V-a este un capitol bine structurat conținând noțiunile de Divizor, multiplu. b#%l!^+a?Divizibilitatea cu 10, 2, 5…..

În clasa a-VI-a se revine conform modelului de organizare a cunoștințelor, noțiunilor într-un sistem concentric cantitativ și se prezintă noțiunile de Divizor, multiplu, Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, samd.

Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime. După cum se b#%l!^+a?poate lesne observa se acumulează noțiuni fundamentale legate de teoria numerelor. Se trece apoi la prezentarea mulțimii numerelor întregi, unde se prezintă divizorii unui număr întreg.

Obiective de referință ca „să utilizeze de teoria mulțimilor și de divizibilitate, pentru a justifica valoarea de adevăr a unor enunțuri” sunt realizate prin activități de învățare de tipul: exerciții de identificare a numerelor divizibile cu 2, 3, 5, 10 dintr-o mulțime de numere întregi;exerciții de calcul al c.m.m.d.c. și al c.m.m.m.c.; verificarea corectitudinii unor calcule, folosind: ultima cifră, criterii de divizibilitate etc.; exerciții ce folosesc proprietățile rela-ției de divizibilitate; exerciții de identificare a numerelor prime și a perechilor de numere prime între ele.

De remarcat este faptul că încă din clasa a VI-a se urmărește la elevi dezvoltarea capacităților de explorare/investigare a modalităților de descompunere a numerelor întregi și raționale, folosind operațiile studiate prin:

·        exerciții de scriere a unui număr ca o sumă, diferență, produs, cât, putere de două sau mai multe numere, în cât mai multe moduri diferite;

·        descompunerea numerelor, respectând criterii suplimentare date; cazuri speciale de descompunere: descompunerea în produs de puteri de numere prime; descompunerea în baza 10; "proba împărțirii" (teorema împărțirii cu rest); b#%l!^+a?

·        utilizarea descompunerilor pentru a calcula rapid;

În clasa a VII-a, sunt reluate noțiuni ca divizibilitate, divizor, multiplu în mulțimea Z; b#%l!^+a?prezentându-se Mulțimea numerelor raționale Q, Incluziunile NÌZÌQ, Numere reale, Aproximări, reprezentare pe axă prin aproximări. Se revine astfel la noțiuni studiate deja în clasele anterioare, adăugându-se cantitativ noi noțiuni, insistând continuu pe compararea cu noțiunile deja cunoscute.

Spre exemplu: b#%l!^+a?

·        construirea unor exemple de mulțimi finite și de mulțimi infinite (de exemplu: mulțimea divizorilor naturali ai unui nu-măr natural; mulțimea multiplilor naturali ai unui număr natural);

·        analiza unor exemple de mulțimi întâlnite în studiul altor discipline;

·        scrierea mulțimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-țimea divizorilor naturali;

·        scrierea mulțimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-țimea multiplilor naturali;

Un “câștig” remarcabil a studiului noțiunilor de teoria numerelor îl reprezintă determinarea practică a unei aproximări a numărului π precum si descompuneri în factori, utilizând regulile de calcul în R.

În clasa a VIII-a, se se urmărește la elevi cunoașterea și înțelegerea noțiunii de număr real și  relațiile dintre mulțimile de numere studiate, remarcabile fiind:

·        reprezentarea numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relații metrice în triunghiul dreptunghic

·        descompunerea unui număr real în: sumă, produs, diferență, cât, pute-re de două sau mai multe numere reale

·        compararea unor modalități diferite de a organiza efectuarea unui calcul; b#%l!^+a?folosirea formulelor de calcul prescurtat, inclusiv pentru calcule numerice

·        utilizarea aproximărilor prin lipsă sau adaos pentru a compara numere întregi, raționale sau reale

·        rotunjirea până la cea mai apropiată zece, sută etc., sau zecime, sutime, miime.

În clasa a V-a teorema unicității descompunerii unui număr natural în factori primi a b#%l!^+a?fost admisă fără demonstrație, ba chiar fără a fi fost enunțată explicit. Totuși ea este esențială deoarece regulile de aflare a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al două numere descompuse în factori primi etc. devin riguros stabilite numai pe baza unicității descompunerii unui număr natural în factori primi.

Și marii matematicieni dinaintea lui Gauss au promovat unicitatea evidentă. Necesitatea demonstrației a apărut atunci când s-au găsit inele în care descompunerea în factori primi nu este unică. Dacă trecem de la N la Z, două descompuneri în factori primi pot diferi nu numai prin ordinea factorilor ci și prin faptul că unii factori au fost înmulțiți cu -1. b#%l!^+a?

4 Teorie si exemple in predarea numerelor prime

Suntem conduși la o înțelegere a numerelor prime de câteva probleme simple care apar in legatura cu o astfel de operație aritmetică elementară ca inmulțirea unor numere naturale ,adică a doua numere întregi pozitive.

După cum se știe , produsul a două numere naturale este întotdeauna un număr natural . Prin urmare ,există numere naturale care reprezintă produsul a două numere naturale mai mari decât unitatea . Dar există de asemenea , numere naturale mai mari decât unitatea : de exemplu 2, 3, 5 au 13 . Toate aceste numere le numim prime.

Definiție1 Proprietăți de bază

Dacă un număr natural a > 1 admite doi și numai doi divizori − pe 1 și pe a− atunci el se numește număr prim.

Definiția2 Dacă un număr natural a > 1 admite și alți divizori în afară de 1 și a se numește număr compus.

Potrivit acestor definiții, numerele naturale se împart în :

a) numărul 1,

b) numere prime,

c) numere compuse b#%l!^+a?

vom nota numerele prime cu p, p0, p0, …, p1, p2, p3, …etc.

Teorema

Orice număr natural a > 1 admite cel puțin un divizor prim p

Demonstrație. Întradevăr ,sau a este prim și in acest caz se divide prin a,sau a este compus și atunci considerăm cel mai mic divizor p 6= 1 al lui a.El există,deoarece a este număr compus și este prim,căci în caz contrar ar admite un divizor p0 < p,ceea ce contrazice proprietatea minimală a lui p.

Teorema

Orice număr natural a > 1 admite o descompunere în factori primi și aceasta descompunere este unică,abstracție facând de ordinea factorilor.

Infinitate mulțimii numerelor prime

S-a pus de foarte mult timp întrebarea: câte numere prime există ? În cadrul acestui paragraf vom prezenta anumite rezultate ce răspund într-un fel la această întrebare. Vom nota prin P mulțimea numerelor prime.

Teorema (Euclid) Mulțimea P este infinită.

Demonstrație. Să presupunem prin absurd că mulțimea P este finită, P = p1, p2, …, pn (unde în mod evident p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc.). Vom considera p = p1 · p2 · …. · pn + 1 și să observăm că p > 1 iar pi – p pentru 1 _ i _ n. Ț inând cont de teorema fundamentală a aritmeticii , va exista un număr prim q > 1 care să dividă pe p. Cum toate numerele prime sunt

presupuse a fi doar p1, …, pn deducem că q = pi cu 1 _ i _ n, ceea ce este absurd căci pi – p pentru orice 1 _ i _ n. Deci P este mulțime infinită .

O altă intrebare firească legată. de mulțimea numerelor prime a fost dacă anumite submulțimi b#%l!^+a?infinite ale lui N conțin sau nu o infinitate de numere prime . In acest sens amintim un rezultat celebru : al lui Dirichlet : Teorema 2.2.2 Dacă a, b 2 N_ iar (a, b) = 1, atunci mulțimea { an+b|n 2 N } conține o infinitate de numere prime.

Teorema

Există o infinitate de numere prime de forma 4n − 1 cu n 2 N_.

Demonstrație. Să presupunem prin reducere la absurd că mulțimea 4n − 1 | n 2 N? conține numai un număr finit de numere prime, fie acestea q1, …, qt, considerăm numărul q = 4q1q2…qt −1. Numărul q trebuie să aibă un factor prim de forma 4k − 1 (căci dacă toți factorii primi ai lui q ar fi de forma 4k+1 atunci și q ar trebui să fie de forma 4k + 1. Deci ar trebui

ca qi să. dividă pe q, ceea ce este absurd), de unde concluzia din enunț.

Teorema

Există o infinitate de numere prime de forma 6n−1, n 2 N_.

Demonstrație. Să presupunem prin absurd că există doar un număr finit de numere prime de forma 6n−1 și anume q1, q2, …, qn. Să considerăm numărul q = 6q1q2, …, qk − 1. Cum un număr prim este de forma 6t – 1 sau 6t+1, deducem că q trebuie să conțină un factor prim de forma 6t−1 (căci n caz contrar ar trebui ca q s fie de forma 6k + 1, deci ar trebui ca

un qi să dividă pe q, ceea ce este absurd), de unde concluzia din enunț.

Ciurul lui Eratostene:

Fiind dat un număr natural n _ 2, pentru a stabilii dacă el este prim sau nu este suficient sa verificăm daca el este divizibil doar prin acele numere prime p _ n. ntr-adevăr, să presupunem că n este compus și că toate numerele prime ce-l divid verifica inegalitațile p

n < p _ n. Dacă un anumit număr prim p0 divide pe n, atunci putem scrie p = p0n0 pentru un

n0 _ 2. Atunci n0 = n p0 < pn n = p n si n0|n. Numărul n0 va avea cel putin un factor prim (care va fi mai mic decât p n ) – absurd !. Obținem astfel un criteriu simplu de a determina b#%l!^+a?dacă un număr natural este prim sau nu : Dacă un număr natural n nu este divizibil prin nici un număr prim p _ p (n) atunci numărul n este prim. Acest criteriu stă la baza ,”ciurului” prin

care Eratostene a stabilit care numere dintr-o mulțime finită de numere naturale sunt prime. Mai precis, el a scris de exemplu toate numerele de la 2 la n în ordine crescătoare. A tăiat toti multiplii proprii ai lui 2, apoi toti multiplii proprii ai lui 3, pe ura pe cei ai lui 5. Se observă că cel mai mic număr natural superior lui 5 care nu a fost tăiat este 7 și se taie atunci

și toți multiplii lui 7. Se continuă în felul acesta procedeul de tăiere până se ajunge la etapa când cel mai mic numar natural din șirul 2, 3, …, n care nu a fost taiat este _= p

n. Atunci procedeul se oprește deoarece conform criteriului enunțat mai înainte toate numerele netăiate din șirul 2, 3, …, n sunt numere prime p _ n.

Ipoteza lui Goldbach

În anul 1742 Chr.Goldbach a emis ipoteza că orice număr par > 2 este sumă a două numere prime.

Până în prezent această ipoteză nici nu a fost demonstrată,nici infirmată.A fost emisă o altă ipoteză,anume că orice număr par > 6 este suma a două numere prime diferite,și aceasta s-a verificat pentru toate numerele < 100.000

Se poate demonstra că ultima ipoteză este echivalentă cu afirmația că orice număr natural > 17 este suma a trei numere prime diferite.Pe de altă parte A.Schinzel a demonstrat că ipoteza lui Goldbach rezultă că orice număr impar > 17 este suma a trei numere prime diferite.

Demonstrație

Din ipoteza lui Goldbach rezultă ușor că orice număr impar > 7 este suma a trei numere prime impare.

Într-adevăr ,dacă n este un număr natural și 2n + 1 > 7,atunci 2n + 1 − 3 = 2(n − 1) > 4. b#%l!^+a?

Conform ipotezei lui Goldbach,numărul par 2(n − 1) > 4 este suma a doua numere prime p + q,dar p și q nu pot fi pare,deoarece numărul nostru este> 4.

Rezultă că numerele prime p și q sunt impare și prin urmare,numărul 2n + 1 = 3 + p + q este suma a trei numere prime impare.

Nu știm dacă orice număr impar> 7 este suma a trei numere prime impare, cu toate că în anul 1937 I.M.Vinogradov a demonstrat că orice număr impar suficient de mare este suma a trei numere prime impare diferite.Cunoaștem a (a = 3316),astfel înât orice număr impar > a este

suma a trei numere prime impare.

Putem spune că răspunsul la întrebarea dacă orice număr impar > 7 este suma a trei numere impare nu a fost dat numai din cauza volumului mare de calcule necesare,căci ar fi suficient să analizăm numai numerele impare > 7

S-a demonstrat că orice număr natural > 11 este suma a două sau mai multe numere prime diferite. Exemplul 2.4.1 12=5+7 , 13=2+11 , 17=2+3+5+7 , 29=3+7+19 A Makowski a arătat că orice număr natural > 55 este suma unor numere prime diferite, de forma 3k+3,și a demonstrat trei teoreme analoge despre uma unor numere prime de forma 4k + 1, 6k + 1,

6k + 5

Din ipoteza lui Goldbach rezultă ușor că orice număr întreg par (pozitiv sau negativ) poate fi reprezentat într-o infinitate de moduri sub forma p + q − r,unde p,q,r, sunt numere prime impare.

Într-adevăr,pentru orice număr întreg k există un număr prim impar r astfel încât 2k − 1 + r este un număr par > 4 și ,deci,conform ipotezei lui Goldbach, 2k − 1 + r = p + q, nude p b#%l!^+a?și q sunt numere impare.

Observație

Orice număr natural > 11 este suma a doua numere compuse.Dacă n > 11 este un număr par ,atunci n − 4 este un număr par > 2,prin urmare un număr compus ,de unde rezultă că n este suma a două numere compuse: 4 și n − 4 .

Dacă n > 11 este un număr impar , atunci n − 9 este un număr par > 2 și, prin urmare , este un număr compus, de unde deducem că n este suma a doua numere compuse : 0 și n − 9

Propoziția (G.H Hardy și J.E.Littlewood) Orice număr natural suficient de mare care nu este un pătrat perfect , este suma dintre pătratul unui număr întreg și un număr prim.

Demonstrație

Remarcăm că există o infinitate de pătrate ale unor numere naturale care sunt suma dintre pătratul unui număr întreg și un număr prim, și tot atâtea care nu au această proprietate.Pe de o parte dacă p este un număr prim impar , atunci este un număr natural și avem

este imposibilă pentru x întreg pozitiv și p prim,deoarece în acest caz ar

rezulta că n > x și

de unde,luând în considerare că p este prim ,n + x = p astfel încât

ceea ce nu este posibil pentru k număr natural. b#%l!^+a?

Ipoteza lui Gilbreath

N.L.Gilbreath a emis în anul 1958 următoarea ipoteză :Dacă scriem șirul numerelor prime cosecutive,apoi ,în primul râand,dedesubt, șirul diferențelor consecutive dintre numerele prime, în rândul al doilea șirul valorilor absolute ale diferențelor dintre termenii consecutivi

din rândul al doilea etc. atunci primul termen din fiecare rând va fi 1.

Exemplul Primele 17 rânduri vor arăta astfel:

1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2

1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4

1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4

1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2

1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0

1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2

1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0

1 2 2 2 2 2 2 2 0 0

1 0 0 0 0 0 0 2 0

1 0 0 0 0 0 2 2

1 0 0 0 0 2 0

1 0 0 0 2 2

1 0 0 2 0

1 0 2 2

1 2 0

1 2 b#%l!^+a?

1

Ipoteza lui Gilbreth a fost verificată [entru primele 63.418 rânduri .

Numere prime celebre

Numere perfecte

Definiția

Un număr n _ 2 se numește perfect dacă _(n) = 2n.

Exemplul 6,28,496 sunt numere perfecte.

Lui Euclid îi aparține următorul rezultat:

Propoziția

Dacă 2p − 1, p _ 2 este prim,atunci n = 2p−1(2p − 1) este un număr perfect.

Demonstrație. Întradevăr,dacă n = 2p−1(2p−1), cu a = 2p−1 număr prim, atunci(conform observarției că dacă (m, n) = 1 rezultă:d(m · n) = _(m) · _(n)) putem scrie: _(n) = _(2p−1(2p − 1)) = _(2p−1) · _(2p − 1))

deoarece numerele 2p−1 și 2p − 1 sunt prime între ele.Avem _(2p−1) = 1 + 21 + … + 2p−1 = 2p−1 2−1 = 2p − 1.Dar,dacă q este număr prim,atunci _(q) = 1 + q,iar în cazul nostru _(2p − 1) = 1 + (2p − 1) = 2p. Deci _(n) = 2p · (2p−1) = 2·2p−1 · (2p−1) = 2n. Euler a demonstrat o reciproca a acestea propoziții:

Propoziția

Da Dacă un număr natural par n este perfect,atunci el este de forma n = 2q(2q+1 − 1),unde 2q+1 − 1 este prim.

Demonstrație.

Putem scrie n = 2q · u ,unde q > 0, iar u este impar . b#%l!^+a?

Numărul n fiind perfect,avem _(n) = 2 · n = 2q+1 · u , dar _(n) = _(2q · u) = _(2p) · _(u) = (2q+1 − 1) · _(u).

Deci (2q+1 − 1) · _(u) = 2q+1 · u.

Cum 2q+1 − 1 este impar,rezultă că 2q+1|_(u) , adică există un număr natural d astfel încât _(u) = 2q+1 · d , relația de mai sus devine (2q+1 −1) · 2q+1 · d = 2q+1 · u , de unde u = (2q+1 − 1) · d.

Presupunând că d 6= 1 obținem _(u) _ 1+d+(2q+1 −1)+d · (2q+1 −1) = d + d · (2q+1 − 1) = d · 2q+1 = _(u),ceea ce este absurd . Prin urmare d = 1,iar u = 2q+1 − 1, adică este prim , iar n = 2q · (2q+1 − 1).

Observație

Nu se știe dacă există numere perfecte impare . Se poate arăta că un astfel de număr ar trebui să aibă cel puțin 4 factori primi ditincți . Pe de altă parte se știe că un număr perfect impar ar trebui să fie mai mare decât 250.

Propoziția Dacă x și n sunt numere naturale,x _ 1 și n _ 2,astfel încât xn − 1 este număr prim , atunci x = 2, iar n este număr prim.

Demonstrație. Din relația xn − 1 = 2d·m − 1 = (2d)m − 1 = (2d − 1) · ((2d)m−1+…+2d+1) arată că 2n−1 este ireductibil în acest caz.propoziția este demonstrată.

Numerele lui Mersenne

Numerele lui Mersenne prezintă interes din două puncte de vedere: în primul rănd,pentru faptul că cele mai multe dintre numerele prime cunoscute sunt numere ale lui b#%l!^+a?Mersenne,în al doilea rând ,deoarece cu ajutorul acestor numere putem găsi așa numitele numere pare perfecte.

Definiția

Un număr de forma Mn = 2n − 1 cu p prim se numește număr a lui Mersenne (sau număr Mersenne).

O problemă interesantă o constituie stabilirea faptului dacă un anumit număr a lui Mersenne este număr prim sau nu.

Exemplul

M2 = 22 − 1 = 3,M3 = 23 − 1 = 7,M5 = 25 − 1 = 31,M7 = 27 − 1 = 127 sunt numere prime, dar M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.

În schimb M13,M17,M19 sunt prime.

Al n-lea număr al lui Mersenne se poate definii de asemenea ,ca suma primilor termeni ai progersiei geometrice:1, 2, 22, 23, 24, …

Se demonstreză ușor că dacă indicile n al numărului Mn este un număr compus ,atunci și numărul Mn este compus.Într-adevăr ,dacă n=ab,unde a și b sunt numere naturale > 1 ,atunci 2a−1 > 1 și 2n−1 = 2ab−1 > 2a−1 , prin urmare numărul 2ab−1 , divizându-se la 2a−1 , este un număr compus.

Deci, dacă numărul Mn, unde n¿1, este prim ,atunci și numărul n trebuie să fie prim ,dar reciproca nu este neapărat adevărată ,deoarece,de exemplu ,M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 ·

S-a demonstrat că dacă p este prim ,atunci orice divizor natural al numărului Mp trebuie să fie de forma 2kp+1 ,unde k este un numărîntreg _ 0.

De aceea ,de exemplu, divizorii numărului numărului M11 sunt numerele 22k+1,

unde k=0,1,4

Tot astfel ,divizorii numărului M101 = 2101 − 1 trebuie să fie de forma 202k+1 . Din păcate până în prezent nu s-a găsit nici un divizor prim al numărului M101,deși prin diferite b#%l!^+a?metode s-a demonstrat că numărul M101 este compus și reprezintă produsul a două numere prime diferite.

S-a demonstrat că dacă q este un număr prim de forma 8k+7 , atunci q|Mq−1/2.Aceasta ne permite să demonstrăm că dintre numerele Mp în care p este prim ,multe sunt compuse.

Exemplul 47|M23, 167|M83, 263|M131, 359|M179, 383|M191, 479|M239.

Se cunosc până în prezent 20 de numere prime Mn ale lui Mersenne , și anume pentru n=2,3,5,7,13,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253 și 4423. Opt dintre cele mai mari numere ale lui Mersenne au fost găsite în ultimul deceniu cu ajutorul calculatoarelor electronice.

Observație Euler a stabilit (în anul 1750) că M31 este număr prim; Lucas a stabilit (în anul 1876) că M127 este de asemenea prim;se știe că dacă n este unul din numerele :61, 89, 107, 257, 521, 607, 1279, 2203, 2281,3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, atunci numărul lui Mersenne corespunzător este prim .

Cel mai mare număr prim cunoscut în mod explicit (în 1994) este Mn cu n = 859433, număr ce are , în reprezentare zecimală, 258716 cifre.

Numere prime Fermat

Numerele lui Fermat sunt numerele de forma Fk = 22k + 1 unde k = 0, 1, 2, … Cunoscutul matematician din sec. al XVII-lea, P.Fermat, a emis ipoteza că toate numerele de acest fel sunt prime. Aceasta este adevărat pentru k = 0, 1, 2, 3, 4 dar în anul 1732 L.Euler a arătat că numărul F5 = 225 +1 = 4294967297 care are zece cifre , este un număr compus: el se împarte la 641. b#%l!^+a?

În prezent se cunosc 38 de numere compuse de forma Fk , și anume pentru k = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, , 23, 36, 38, 39, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 260, 267, 268, 284, 316, 452, 1945.

Printre aceste 38 de numere compuse Fk, există unele pentru care cunoaștem descompunerea în factori primi(de exemplu F5 și F6), altele pentru care nu știm,dar pentru care cunoaștem descompunerea în produsul a doua numere întregi > 1 (de exemplu,F1945),în sfârșit ,avem și astfel de numere pentru care nu cunoaștem nici o descompunere în produsul a doua numere întregi deși , stim că o astfel de descompunere există (F7, F8, F13, F14)

Vom începe cu cel mai mare număr cunoscut dintre numerele compuse ale lui Fermat,adică cu numărul F1945.

El are mai mult decât 10582 de cifre și de aceea nu-l putem scrie în întregime.Totuși cunoaștem că cel mai mic divizor prim al acestui număr ,anume m = 5 · 21847+1.

Se pune astfel cele doua întrebări:cum să găsim acest divizor și cum se poate constata că numărul m,care are 587 de cifre,este divizorul numărului F1945, ale cărui cifre nu le

putem scrie.

Evident că nu vom efectua împărțirea numărului F1945 la m,nici nu vm

căuta câtul.

Teorema lui Lagrange

Teorema

Dacă p este un număr prim ,iarf(x) = a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an.(i)

este un polinom de gradul n _ 1 cu coeficienți întregi , coeficientul a0 nu se divide la p ,atunci printre numerele b#%l!^+a?

x = 0, 1, 2, 3, …, p − 1.(ii) există cel mult n numere pentru care f(x) se divide la p.

Demonstrație.

Teorema este adevărată pentru polinomul de gradul întâi. Într-adevăr dacă printre numerele de la (ii) ar exista cel puțin două numere diferite x1 și x2 , x2 > x1 astfel încât p|f(x1) și p|f(x2) , atunci am avea p|f(x2) − f(x1) și deoarece f(x) = a0x + a1, am avea p|a0(x2 − x1), unde x2 − x1 este diferența a două numere diferite mai mici decăt p ,din șirul (ii),rezultă că această diferența nu se divide la p .Prin urmare , p ar fi divizorul produsului a două numere naturale care nu se divid la p ceea ce este o contradicție.

Fie n un număr natural oarecare > 1.Să presupunem că teorema este adevărată pentru polinoame de gradul n-1 și admitem,totodată , că pentru un polinom oareca de gradul n teorema lui Lagrange este falsă , adică există n+1 numere întregi x1, x2, …, xn+1, unde 0 _ x1 < x2 < … < xn+1<p, astfel încât p|f(xi) pentru i=1,2,…,n+1.

Avem f(x) − f(x1) = a0(xn − x1 n) + a1(xn−1 − x1 n−1) + … + an−1(x − x1).

De aici deoarece

xk − x1

k = (x − x1)(xk−1 + x1xk−2 + … + x1

k−2x + x1

k−1)

pentru k=2,3,…,n vom găsi fără dificultate că

f(x) − f(x1) = (x − x1)f1(x), (iii)

unde f1(x) este un polinom de gradul n-1 cu coeficienți întregi (care depind de a0, a1, …, an și x1) iar coeficientul lui xn−1 va fi a0 și prin urmare a0 nu se divide la p.

Pe baza identității (iii) ,obținem f(xi) − f(x1) = (xi − x1)f1(xi), (iv) pentru i=2,3,…,n+1.

Dar din faptul că p|f(xi) pentru i=1,2,…,n+1 rezultă că p|f(xi − f(x1)) pentru i=1,2,..,n+1;deci vom avea conform relației (iv): b#%l!^+a?

p|(x1 − x1)f1(xi)

pentru i=2,3,…,n+1 și întrucât numerele xi − x1 pentru i=2,3,…,n+1 nu se divid la p ,trebuie să avem p|f1(xi) pentru i=2,3,…,n+1.

Rezultatul obținut contrazice ipoteza că teorema este adevărată pentru polinoamele de gradul n-1.

5 Descompunerea in factori primi, patrate perfecte, fractii ireductibile, patrate magice

Definiție :

Dat fiind un număr natural n , un număr natural m se numește divizor al lui n dacă m/ n

Deoarece n = 1 n și n = n 1 , avem 1 / n și n / n , deci 1 și n sunt divizori ai lui n pentru orice număr natural n. Numerele 1 și n se numesc divizori improprii ai lui n și orice alt divizor ai lui n se numește divizor propriu.

Definiție : b#%l!^+a?

Orice număr natural n > 1 care admite doi și numai doi divizori ( pe 1 și n ) se numește număr prim .

Definiție :

Orice număr natural n>1 care admite și alți divizori în afară de 1 și n se numește număr compus.

Potrivit acestor definiții , numere naturale se împart în :

-numărul 1

-numerele prime b#%l!^+a?

-numerele compuse

În cele ce urmează numerele prime le vom nota cu p1 , p2 , … etc

Teoremă

Orice număr natural n > 1 admite cel puțin un divizor prim p .

Demonstrație :

Într-adevăr , sau n este prim și în acest caz se divide prin n , sau n este compus și atunci considerăm cel mai mic divizor p 1 al lui n . El există , deoarece n este un număr compus și este prim , căci în caz contrar ar admite un divizor p1 < p, ceea ce contrazice proprietatea minimală a lui p .

Lemă :

Orice număr natural n > 1 este sau prim sau produs de numere prime .

Demonstrație :

Fie M mulțimea ce cuprinde pe 0 și 1 și toate numerele naturale mai mari decât 1 care sunt prime sau produs de numere prime.

Dacă M conține toate numerele întregi a b , atunci M conține și pe b+1. Într-adevăr, b#%l!^+a?dacă b+1 este prim , atunci , conform definiției lui M rezultă b+1 M . Dacă b+1 nu este prim , atunci rezultă că b+1 =ka cu 1< k < b+1 și 1 < a < b+1 . Deci k și a sunt din M și atunci ele sunt numere prime sau produs de numere prime , de unde b+1 = ka este un produs de numere prime .

Așadar b+1 M . După axioma inducției rezultă M = N, de unde se obține că orice număr natural mai mare decât 1 este sau prim sau produs de numere prime.

Teoremă : b#%l!^+a?

Orice număr compus n > 1 are cel puțin un divizor prim p .

Demonstrație :

Dacă n este un număr compus, atunci n = a b , unde a și b sunt numere naturale mai mari decât 1 și mai mici decât n.

Fără a restrânge generalitatea , putem presupune că a b .

Atunci n = ab a2 și, prin urmare, a . Dar a > 1, deoarece dacă a = 1 am avea n = b, când conform ipotezei avem b < n.

Conform teoremei care spune că orice număr natural admite cel puțin un divizor prim p, numărul a are un divizor prim p a și deci p .

Deci numărul n are un divizor prim p .

Teoremă :

Dacă p este prim și p / ab atunci rezultă că p / a sau p / b.

Demonstrație :

În descompunerea lui ab există factorul p. Această descompunere a provenit din descompunerea lui a și b. Deci cel puțin în una din descompuneri a figurat factorul p deci rezultă că p / a sau p / b.

Teorema reciprocă : b#%l!^+a?

Oricare ar fi a și b astfel încât din p / ab rezultă p / a sau p / b atunci p este număr prim.

Demonstrație :

Presupunem că p nu e prim , dar are proprietatea din ipoteză . Dacă p nu e prim atunci p = . , > 1 .

Luăm a = și b = și rezultă p / ab, dar p / a și p / b. Contradicție. Deci p e număr prim. b#%l!^+a?

Câte numere prime există ?

Pentru a răspunde la această întrebare vom demonstra următoarea teoremă:

Teoremă :

Dacă n este un număr natural mai mare decât 2, atunci între n și n! există cel puțin un număr prim. ( n! = 1 … n ).

Demonstrație :

Deoarece n > 2 atunci numărul întreg N = n! – 1 este mai mare decât 1 și are un divizor prim p care este evident mai mic sau egal cu N și deci p < n!.

Dar nu putem avea p n , deoarece p ar fi atunci unul dintre factorii produsului n! = 1 … n și , prin urmare , p ar fi un divizor al numărului n! .

Întrucât p este și un divizor al numărului N , rezultă că p ar fi și un divizor al diferenței acestor numere , adică n! – N = 1 , ceea ce este imposibil .

Rezultă că p > n și deoarece știm că p < n! avem n < p < n !.

Observație :

Așadar, pentru orice număr natural există un număr prim mai mare decât el. De aici b#%l!^+a?rezultă și faptul că numerele prime sunt infinite, ceea ce a demonstrat și Euclid.

Teorema fundamentala a aritmeticii pentru numere intregi:

Oricare ar fi numarul intreg n, cu |n|>2 ,exista o descompunere a sa in produs de numere prime p1,p2,.,pm , nu neaparat distincte ,astfel incat n=±p1 p2 .pm

In plus, aceasta descompunere este unica, in sensul ca oricare alta descompunere in produs de factori primi difera de ea doar prin ordinea factorilor. b#%l!^+a?

Exemplu:

Numarul intreg -7800  se poate scrie ca produs de factori primi in felul urmator:

                   -7800 =-2*2*2*3*5*5*13=-2 *3*5 *13     

Cu ajutorul teoremei fundamentale a aritmeticii se da si un alt procedeu de calcul al c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere intregi si anume : se scriu descompunerile acestor numere in produse de factori primi si c.m.m.d.c. al lor va fi produsul factorilor primi comuni ai acestor numere la puterea cea mai mica .

In mod similar cu specificul de rigoare din teorema fundamentala, rezulta un mod de calcul al c.m.m.m.c al doua sau mai multe numere.

            In continuare se pot face cateva observatii asupra sirului numerelor prime.Practic, pentru a dovedi ca un numar natural n>1 este prim, este suficient sa verificam ca el nu are divizori primi mai mici decat  .

Patrate perfecte

Condiția necesară și suficientă ca un număr să nu fie pătrat perfect este ca acel număr să fie cuprins între două pătrate perfecte consecutive. b#%l!^+a?

Exemple:

Demonstrați că produsul a două numere naturale consecutive nenule nu poate fi

pătrat perfect.

Soluție: b#%l!^+a?

Fie n, n+1, două numere naturale consecutive

Dar sau și deci n(n+1) nu este pătrat perfect.

Demonstrați că numerele n2+n+1, n2+3n+1, (n+1)(n+4), n2+8n+17, n2+10n+26 și

n4+n2+1 nu sunt pătrate perfecte, .

Soluție:

nu este

pătrat perfect;

nu este pătrat perfect;

și nu este pătrat perfect;

nu este pătrat perfect deoarece și analog

nu este pătrat perfect deoarece

și n2, n2+1 sunt numere naturale consecutive

nu este pătrat perfect.

Condiția necesară și suficientă ca un număr să nu fie pătrat perfect este ca acel

număr să aibă un număr par de divizori b#%l!^+a?

Demonstrație: b#%l!^+a?

Orice număr natural n se poate scrie unic sub forma , unde sunt numere prime iar numere naturale nenule. Reamintim că numărul divizorilor unui număr natural n este dat de formula.

Dacă n este pătrat perfect, atunci exponenții sunt, cu necesitate, numere pare, iar factorii vor fi impare, deci produsul lor va fi impar.

Dacă n nu este pătrate perfect atunci cel puțin unul dintre exponentul este impar și este par, de unde rezultă că produsul este par.

Aplicații:

Stabiliți paritatea numărului divizorilor pentru numerele de forma:

2015n+3, b) 2000n+8; c) 1005n+7;

Soluție:

Deoarece 2015n+3 nu este pătrat perfect numărul divizorilor lui 2015n+3 este par.

și c) analog. b#%l!^+a?

Să se arate că , este pătrat perfect, unde numărul divizorilor lui n. b#%l!^+a?

Soluție: b#%l!^+a?

Cazul I. Dacă n este pătrat perfect n=k2, care este pătrat perfect.

Cazul II. Dacă n nu este pătrat perfect, atunci el conține în descompunere factori primi la putere impară, și este par. Deci d(n)=2m, și este pătrat perfect.

O condiție suficientă ca un număr să nu fie pătrat perfect este ca ultima cifră să fie zero iar penultima să fie diferită de zero.

Exemple:

Fie . Fără a efectua operațiile aflați ultimele

trei cifre ale lui n și arătați că n nu poate fi pătrat perfect.

Soluție:

Reamintim că

b#%l!^+a?

Deducem că ultimele trei cifre ale lui n sunt . Numărul dat nu este pătrat perfect deoarece nu există pătrate perfecte cu ultima cifră 0 și penultima cifră diferită de 0, conform b#%l!^+a?metodei de mai sus.

O condiție suficientă ca un număr cu mai mult de două cifre să nu fie pătrat perfect este ca ultima cifră să fie 5 iar penultima cifră să fie impară sau diferită de 2.

Demostrație:

Fie sau n=10p+5, ultimele cifre ale lui n sunt 25.

Observație 1:

Nu orice număr care are la sfârșit 25 este pătrat perfect. Condiția este necesară dar nu și suficientă.

Observație : Orice pătrat perfect care are ultima cifră 5 are peultima cifră pară.

Exemple:

Arătați că numărul nu poate fi pătrat perfect.

Soluție:

Deoarece numărul conține factorii 2 și 5 el va avea la sfârșit mai mult de două zerouri. Atunci ultimele două cifre ale lui n sunt 05 și deci numărul nu este pătrat perfect.

M10: O condiție suficientă ca un număr cu mai mult de două cifre să nu fie pătrat perfect este ca ultimele două cifre ale numărului să fie impare.

Demonstrație:

Scriem numărul n sub forma . Ultimele două cifre ale lui b#%l!^+a?n vor fi deci, ultimele două cifre ale lui .

Dacă , ultima cifră este impară, iar penultima are paritatea lui 20ab+p, și p reprezintă cifra zecilor lui b2. Rezultă că 20ab+p este par, deci penultima cifră este pară. Deducem deci că nu există pătrate perfecte având ultimele două cifre impare.

Condiția necesară și suficientă ca un număr să nu fie pătrat perfect este ca ecuația n=k2, să nu aibă soluții în .

Exemple:

Demonstrați că numerele de forma 8n-3, nu sunt pătrate perfecte.

Soluție:

Presupunem că 8n-3=k2, 8n=k2+3 deoarece p(p+1)+1 este număr impar ecuația 8n-3=k2 nu are soluții în 8n-3 nu este pătrat perfect, .

Pentru a demonstra că un număr nu este pătrat perfect putem aplica și metoda reducerii la absurd.

Exemple:

Demonstrați că numerele 91, 26, 15, 80 nu sunt pătrate perfecte.

Soluție:

Vom demostra prin “metoda reducerii la absurd”

Presupunem că 91 este pătrat perfect 91=k2 unde și (m,n)= b#%l!^+a?

(1).

b#%l!^+a?

Înlocuind în (1)

fals. Presupunerea făcută este falsă, deci 91 nu este pătrat perfect.

Arătați că, oricare ar fi , numerele A=m2+4n și B=n2+4m nu sunt simultan

pătrate perfecte.

Soluție:

Vom demonstra prin “reducere la absurd” . Presupunem că există două numere

astfel încât A și B să fie pătrate perfecte. Deoarece expresiile A și B sunt simetrice în m și n, fără a restrânge generalitatea, putem considera că mn. În acest caz, și cum , rezultă că B este pătrat perfect dacă și numai dacă B=(n+1)2. Deoarece B=(n+1)2 conduce la n2+4m=n2+2n+1, de unde 4m=2n+1, ceea ce este imposibil, rezultă că presupunerea făcută este falsă, de unde obținem că , numerele A și B nu pot fi simultan pătrate perfecte.

Demonstrați că numărul nu este pătrat perfect. b#%l!^+a?

Soluție:

Vom rezolva problema prin “metoda reducerii la absurd”. Presupunem că este

pătrat perfect. Obținem:

– imposibil întrucât membrul

stâng este format din două numere consecutive (deci este număr par), în timp ce membrul drept este produsul a două numere naturale pare sau impare consecutive.

Dar nu există numere naturale pare care să fie scrise ca produs de două numere pare consecutive.

Absurditatea la care s-a ajuns provine din faptul că presupunerea făcută este falsă și deci nu este pătrat perfect.

Pătrate magice formate din numere prime.

În general vorbind, un pătrat magic cu n linii este un tablou compus din

n2 numere naturale diferite așezate în n linii (și tot atâtea coloane) astfel

încât suma numerelor din fiecare linie ,aceea a numerelor de pe diagonalele

principale să fie aceiași.

Se cunosc pătrate magice cu trei și patru linii formate numai din numere

prime,de exemplu , pătratele:

În primul dintre aceste pătrate sumele despre care era vorba mai sus sunt

egale cu 1077 ,iar în al doilea cu 798.

5.Metode de predare

Invățarea centrată pe elev reprezintă o abordare care presupune un stil de învățare active și integrarea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de invățare al elevului. Elevul trebuie să fie implicat și responsabil pentru progresele pe care le face în ceea ce privește propria lui educație.

Unele metode de organizare a activităților la clasă sunt recunoscute a avea un potențial activizator mai pronunțat.

Avantajul major al folosirii acestor metode provine din faptul că ele pot motiva și elevii care au rămâneri în urmă. În cele ce urmează, prezentăm câteva sugestii pentru adaptarea acestor metode la orele de matematică.

Dintre metodele, procedeele și tehnicile de învățare centrate pe elev, amintim metoda cubului. b#%l!^+a?

Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multor idei – oricât de fanteziste ar putea părea acestea – ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea.

Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Metoda cubului este o metodă de învatare prin cooperare ce presupune explorarea unui subiect din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme. Se recomandă, parcurgerea următoarelor etape: Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: DESCRIE, COMPARĂ, ANALIZEAZĂ, ASOCIAZĂ, APLICĂ, ARGUMENTEAZĂ.

Metoda impartirilor succesive

Cum identificăm un număr prim ?

Dacă un număr:

– este par, nu este prim, pentru că este divizibil cu 2;

– are suma cifrelor multiplu de 3, nu este prim, deoarece este divizibil cu 3;

– are ultima cifră 0 sau 5, nu este prim, deoarece este divizibil cu 5;

Se verifică dacă numărul respectiv este divizibil cu 2; 3 sau cu 5.

Daca este divizibil cu unul dintre aceste numere, înseamnă ca numărul este compus si te oprești. Nu continui impartirile! Daca nu este divizibil cu nici unul dintre aceste numere se continuă prin împărțiri cu numere prime consecutive, în ordine, de la numărul prim 7 spre cel mai mare(din ciurul lui Eratostene). Dacă la una din împărțiri se obține restul zero, te oprești , înseamnă că este divizibil cu acel număr și deci nu este prim, ci compus. Dacă obții, de fiecare dată, restul diferit de zero, atunci împărțirile continuă, până când la o împărțire obții câtul egal cu impartitorul si restul diferit de zero(te opresti) sau catul mai mic decât împărțitorul și restul diferit de zero. În această situație numărul este prim .

Exemple:

. 848 nu este prim, deoarece este par;

. 1251 nu este prim, deoarece 1 + 2 + 5 + 1 = 9 ; 3/ 9 și deci 3/ 1251.

. 375 nu este prim, deoarece este divizibil cu 5;

Să verificăm numărul 2807 :

nu este par, nu este divizibil cu 2;

2 + 8 + 7 = 17, 17 nu este divizibil cu 3, deci nu este divizibil cu 3;

ultima cifră nu este nici 0 , nici 5, nu este divizibil cu 5;

2807 = 7 · 401, restul este 0, deci numărul este divizibil cu 7 . Ne oprim; numărul nu este prim, este compus.

Să verificăm numărul 1549:

nu este par, nu este divizibil cu 2;

1 + 5 + 4 + 9 = 19; 3 nu divide 19; 3 nu divide 1549;

Ultima cifră nu este nici 0 și nici 5, nu este divizibil cu 5;

continuăm prin împărțiri succesive:

1549 7 1549 = 7 · 221 + 2 ; 1549 11

14 221 2 = 0 11 140

= 14 221 > 7 =44 1549 = 11· 140 + 9

14 44 9 = 0

= =9 nu putem spune = = 9 140 > 11

7 că este prim, 0 nu putem spune că este

2 nici compus ; 9 prim, nici compus;

13 1549 17

13 119 153 91

=24 1549 = 13 · 119 + 2; = =19 1549 = 17∙ 91 + 2

13 2 = 0 17 2 = 0

119 119 > 13 = 2 91 > 17

117

= =2 nu putem spune

că este prim, nici compus; nu putem spune că este prim,

nici compus;

1549 19 1549 23

152 81 138 67

= =29 1549 = 19∙ 81 + 10; =169 1549 = 23 · 67 + 8

19 10 = 0 161 8 = 0

81 > 19 = =8 67 > 23

nu putem spune că este prim, nu putem spune că este prim,

nici compus; nici compus;

29 1549 31

53 124 49

= =99 1549 = 29 · 53 + 18; =309 1549 = 31· 49 + 30

81 18 = 0 279 30 = 0

53 > 29 30 49 > 31

nu putem spune că este

nu putem spune că este prim, prim, nici compus;

nici compus;

37 1549 41

41 123 37

= =69 1549 = 37 · 41 + 32; = 319

37 32 = 0 287 1549 = 41∙ 37 + 32

41 > 37 =32 32 = 0

37 < 41

nu putem spune că este prim,

nici compus Da, acum putem spune

că 1549 este număr prim:

am obținut câtul mai mic

decât împărțitorul și restul

diferit de 0.

Pentru a ști ( mai exact) , unde ne oprim cu împărțirile, procedăm în felul următor:

Căutăm primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai mare decât 1549 :

Observăm că: 1549 = 39² + 28. Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim este 1681( cu rădăcina numărul prim 41). Înseamnă că ultima împărțire trebuie să se oprească la împărțirea cu 41.

În general:

Dacă, după ce găsești primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai mare decât numărul dat, numerele prime mai mici decât acest număr nu divid acel număr, atunci putem spune că numărul este prim. Dacă unul dintre aceste numere prime mai mici decât pătratul perfect cu rădăcina număr prim divide numărul, atunci numărul este compus.

Exemple:

. 529 este prim sau este compus?

Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim este 841 care are rădăcina 29.

0bservăm că 529 este divizibil cu 23(primul număr prim mai mic decât 29) și deci nu este prim.

. 317 este prim sau este compus?

Primul pătrat perfect mai mare decât 317 și care are rădăcina număr prim este

361 cu rădăcina numărul prim, 19 . Înseamnă că, dacă este număr prim, împărțirea trebuie să se oprească la împărțirea cu 19. Se verifică dacă numărul este divizibil cu numerele prime mai mici decât 19, fie în sens invers, fie cum am demonstrat mai sus.

Proiect didactic 1

Clasa :a VI-a b#%l!^+a?

Data : 1.02.2015

Profesor:

Disciplina: Matematică-algebră

Titlul lecției: Introducere in mulțimea numerelor prime

Numar prim. Determinare.

Tipul: lecție de predare

Competențe generale:

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora

5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

Competențe specifice lecției:

1.Identificarea caracteristicilor numerelor prime in contexte variate

5.Interpretarea unor date din probleme care se rezolva utilizand numerele prime

Obiective operationale:

a)cognitive:

O1:-sa identifice numerele prime in contexte variate

O2:-sa calculeze un numar prim

O3:-sa se descompuna in factori primi un numar intreg n

O4:- sa se calculeze c.m.m.d.c. si c.m.m.c intre doua sau mai multe numere intregi;

b)afective:

OA1.Elevii sa fie atenti

OA2.Sa participle cu interes la lectie

OA3.Sa manifeste curiozitate si creativitate in rezolvarea sarcinilor propuse

c)psiho-motorii

OP1.Sa aseze corect in pagina

OP2.Sa scrie lizibil pe caiete si pe tabla

OP3.Sa-si dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

Metode si procedee: conversația euristica, explicația,metoda ciorchinelui, demonstrația, exercițiul, observația, munca individuala, expunerea;

Resurse: a) materiale:- metodica predării matematicii în gimnaziu;

Matematica- Numerele-Ghidul profesorului –autor Adriana Stanca Vacaretu

– cretă albă, colorată, caiete de notițe, fisa de lucru.

b) umane: – clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare

– activități frontale, individuale;

c) timp: 50 min.

Proiect didactic 2

Clasa :a VI-a b#%l!^+a?

Data : 1.02.2015

Profesor:

Disciplina: Matematică-algebră

Titlul lecției: Divizibilitatea numerelor naturale – clasa a VI-a

Tipul: lecție de consolidarea cunostiintelor

Competențe generale:

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora

5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

Competențe specifice lecției:

1. Cunoașterea colaborativă reprezintă o modalitate de a genera cunoștințe prin coordonarea unor activități comune în cadrul unui grup.

2. Oportunitățile acestei metodei se identifică în: stimularea creativității elevilor.

Desfasurarea lectiei:

Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: DESCRIE, COMPARĂ, ANALIZEAZĂ, ASOCIAZĂ, APLICĂ, ARGUMENTEAZĂ.

Împărțirea clasei în șase grupe, câte una pentru fiecare față a cubului.

Pentru elevii care au primit fișa de lucru cu verbul Descrie au avut următoarele sarcini: – de enunțat definițiile pentru divizor, multiplu;

– de enumerat criteriile de divizibilitate învățate;

– de identificat numerele prime, numere prime între ele;

– de stabilit relația între c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a două numere.

4 Pentru elevii care au primit fișa de lucru cu verbul Compară au de stabilit asemănări și deosebiri între criteriile de divizibilitate (cu 3 și 9; cu 4 și 25);

5 Pentru elevii care au primit fișa de lucru cu verbul Asociază au identificat dintr-o mulțime numerele divizibile cu 2, cu 3, cu 5, cu 10 și au completat spațiile punctate cu răspunsuri corecte.

6 Pentru grupa care a avut verbul Analizează, sarcina de lucru cere ca elevii să analizeze în ce mod se poate forma un dreptunghi cu ajutorul unor bețișoare de lungimi diferite și cine este câștigătorul unui joc.

7 Pentru elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul Argumentează au avut de analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și chestiuni capcane. Li s-a cerut să realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

8 Pentru elevii din grupa verbului Aplică au un set de exerciții privind criteriile de divizibilitate, teorema împărțirii cu rest, etc.

Fișa nr.1: Verbul "Descrie" 1. Enunțați definiția divizibilității numerelor naturale. 2. Enumerați criteriile de divizibilitate studiate. 3. Scrieți mulțimea divizorilor lui 24. 4. Identificați în mulțimea divizorilor numărului 24, divizorii proprii și divizorii improprii. 5. Stabiliți relația dintre c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a 2 numere naturale.

Fișa nr.2: Verbul "Compară" 1. Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și compară rezultatele, pentru numerele: a) 32 și 42; b) 120; 201; 504;

Fișa nr.3: Verbul "Asociază" 1. În mulțimea A = identifică numerele divizibile cu 2; cu 3; cu 5; cu 10. 2. Înlocuiți literele cu numerele naturale corespunzătoare: 3|2×3, 2|12y, 4|235z Fișa nr.4: Verbul "Analizează" 1. Având 4 bețișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, 5 bețișoare cu lungimea de 2 dm fiecare, 7 bețișoare cu lungimea de 3 dm fiecare și 8 bețișoare cu lungimea de 4 dm fiecare, analizați dacă se poate forma un dreptunghi având așezate toate aceste bețișoare cap la cap pe conturul său? 2. Doi jucători joacă următorul joc: ei aleg, pe rând, un divizor natural pozitiv al numărului 1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă nici unul din divizorii deja aleși până atunci. Primul care alege 1000 ca divizor pierde. Analizați ce se întâmplă dacă jocul se schimbă, în sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini divizori decât oricare din numerele anterioare alese. Analizați cine câstigă jocul.

Fișa nr.5: Verbul "Argumentează" 1. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor următoare, justificând răspunsurile: a) Suma a două numere naturale pare este un număr par. b) Suma a două numere naturale impare este un număr impar. N este divizibil cu 6 și cu 4, atunci m este divizibil cu 24.c) Dacă m 2. Găsiți un multiplu comun al numerelor 30 și 37. Arătați că orice multiplu comun al lor este divizibil cu produsul lor.

Fișa nr.6: Verbul "Aplică" 1. Aflați două numere naturale al căror produs este 26460, iar c.m.m.d.c. al lor este 14. 2. Există un număr care împărțit la 3 să dea restul 1, împărțit la 4 să dea restul 2, împărțit la 5 să dea restul 3 și împărțit la 6 să dea restul 4? 3. Să se determine toate numerele naturale de 4 cifre, care împărțite la 34x să dea câtul 10 și restul 12, știind că 34x se divide cu 6.

Obiective operationale:

a)cognitive:

O1:- Modul de distribuire se poate face aleatoriu sau poate fi decis de profesor, în funcție de anumite criterii care vizează responsabilitatea individuală și de grup, specializarea pe sarcini a membrilor echipelor și oportunități de grup;

O2:- Colaborarea și redactarea materialului la nivelul fiecărui grup; O3:-sa se descompuna in factori primi un numar intreg n

O4:- stimularea creativității elevilor;

O5:- crearea unui mediu colaborativ;

 La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabi:

– sa utilizeze elemente de teoria mulțimilor și de divizibilitate ;

– să efectueze calcule cu operațiile studiate;

– să identifice criteriile de divizibilitate;

– să aplice noțiunile învățate în calcule numerice;

– să definească, să identifice și să numească noțiunile învățate;

– să utilizeze cunoștințele însușite la rezolvarea exercițiilor și problemelor;

– să prezinte clar, corect și concis, oral sau în scris, metodele și/sau operațiile utilizate în rezolvarea unor exerciții/probleme;

– să-și asume diverse roluri de învățare în cadrul unui grup;

– să manifeste perseverență în rezolvarea unei probleme; să participe cu idei noi.

Metode si procedee: conversația euristica, explicația, exercițiul, observația, munca individuala,

Resurse: a) materiale: – manual Matematica, caiete de notițe, fisa de lucru, carton, betisoare.

b) umane: – clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare

– activități frontale, individuale;

c) timp: 50 min.

Concluzii

Există multe situații în care dorim să știm dacă un număr foarte mare este prim sau nu.

De exemplu, în sistemul de criptare cu cheie publica RSA avem nevoie de numere prime mari . Un test de primalitate este un criteriu folosit pentru a arata că un număr n nu este prim. Dacă n trece un test de primalitate, el poate fi prim. Dacă el trece mai multe teste de primalitate, el este foarte probabil prim iar dacă nu trece un test este sigur compus . În acest ultim caz apare o problemă foarte complicată, aceea de a-i găsi descompunerea în factori primi. De obicei, procedeul de a determina factorii primi ai unui umăr foarte mare n (odata ce se cunoaște că este compus) este mult mai îndelungat dect cel de a găsi un număr prim de marimea lui n .

În anul 1978 a fost inventat criptosistemul RSA. este un algoritm criptografic

cu chei publice, primul algoritm utilizat att pentru criptare, cât si pentru semnatura electronica. Denumirea lui provine de la numele celor trei inventatori ai acestui mod de codificare a informației: Ron Rivest, Adi Shamir și Leonard Adelman.

Acest criptosistem stă și astăzi în diverse variante, la baza sistemelor de protecție a datelor și transmisiilor de informații. RSA este un algoritm de criptare pe blocuri. Aceasta înseamnă ca atât textul clar cât și cel cifrat sunt numere ntre 0 si k-1, cu un k ales. Un mesaj de dimensiune mai mare decât logn este împarțit în segmente de lungime corespunzătoare, numite blocuri, care sunt cifrate rând pe rând.

De asemenea, ca algoritm criptografic cu chei publice, funcționează pe baza unei perechi de chei legate matematic ntre ele: o cheie publica, cunoscuta de toata lumea, și una secretă, necunoscută decât de detinatarul acesteia.

Si asta este doar una dintre multele si complexele utilizari ale teoriei numerelor prime.

Bibliografie b#%l!^+a?

-E. Rusu, Aritmetica si teoria numerelor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1963

-I. Cucurezeanu, Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București, 1976

-P. Minuț, Teoria Numerelor – Capitole de bază, Editura Universității "Al.I.Cuza" Iași, 1999

– Manual curs Intelteach [2] "Mate 2000, clasa a VI-a"

– Dan Brânzei, Dan Zaharia, Maria Zaharia, "Manual pentru clasa a VI “,- Editura Paralela 45

– I. Tofan, Aritmetica – Note de curs,

– *** Colecția gazetei matematice, Seria B, dintre anii 1973-1987

– ***Culegerile cuprizand problemele date la diversele concursuri școlare

1. N.A. Andrunachievici, Chitoroagă. Numere și ideale.

2. G.N. Berman – Despre numere și studiul numerelor , București ,

Ed. Tehnică , 1961

3. A. Hariton, Matematică, manual experimental pentru clasa a V-a, Chișinău, Știința, 1997.

4.A.Hariton, V.Rolinscky, Matematică ( Aritmetica, Algebra ), cl a-VI-a, Chișinău, Editura Lumina, 1998.

Curriculum școlar pentru disciplina Matematica, clasele V-IX, Chișinău 2010.

Cîrjan Florin. Didactica matematicii. București 2008.

Ioan Dancilă, Divizibilitatea numerelor, Editura Sigma,2003.

Ilie Lupu. Divizibilitatea numerelor. Teorie și practică. Editura Prut Internațional, 2007.

Ioan Cerghit Metode de învățămînt, București, 2006.

Victor Raischi, Aurelia Răileanu, Mihaela Singer, Matematică, manual pentru clasa a VI-a, Editura Prut Internațional, Chișinău 2001.

Victor Iavorschi Matematică, Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a VI-a.

12. Constantin Popovici – Logica și teoria numerelor, București, EDP,1970

b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a?

Bibliografie b#%l!^+a?

-E. Rusu, Aritmetica si teoria numerelor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1963

-I. Cucurezeanu, Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București, 1976

-P. Minuț, Teoria Numerelor – Capitole de bază, Editura Universității "Al.I.Cuza" Iași, 1999

– Manual curs Intelteach [2] "Mate 2000, clasa a VI-a"

– Dan Brânzei, Dan Zaharia, Maria Zaharia, "Manual pentru clasa a VI “,- Editura Paralela 45

– I. Tofan, Aritmetica – Note de curs,

– *** Colecția gazetei matematice, Seria B, dintre anii 1973-1987

– ***Culegerile cuprizand problemele date la diversele concursuri școlare

1. N.A. Andrunachievici, Chitoroagă. Numere și ideale.

2. G.N. Berman – Despre numere și studiul numerelor , București ,

Ed. Tehnică , 1961

3. A. Hariton, Matematică, manual experimental pentru clasa a V-a, Chișinău, Știința, 1997.

4.A.Hariton, V.Rolinscky, Matematică ( Aritmetica, Algebra ), cl a-VI-a, Chișinău, Editura Lumina, 1998.

Curriculum școlar pentru disciplina Matematica, clasele V-IX, Chișinău 2010.

Cîrjan Florin. Didactica matematicii. București 2008.

Ioan Dancilă, Divizibilitatea numerelor, Editura Sigma,2003.

Ilie Lupu. Divizibilitatea numerelor. Teorie și practică. Editura Prut Internațional, 2007.

Ioan Cerghit Metode de învățămînt, București, 2006.

Victor Raischi, Aurelia Răileanu, Mihaela Singer, Matematică, manual pentru clasa a VI-a, Editura Prut Internațional, Chișinău 2001.

Victor Iavorschi Matematică, Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a VI-a.

12. Constantin Popovici – Logica și teoria numerelor, București, EDP,1970