Metodologia Rezolvarii Problemelor de Aritmetica la Clasele I Iv

Pedagogie

Metodologia Rezolvarii Problemelor de Aritmetica la Clasele I Iv

Byadmin ianuarie 1, 2024

Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică la clasele I-IV

CUPRINS

Argument. Motivarea alegerii temei

Capitolul 1. Tendințe ale ȋnvățământului românesc

I.1 Dezvoltarea creativității la ṣcolari- o prioritate a ȋnvățământului românesc

I.2. Motivarea alegerii temei

Capitolul II. Metodologia rezolvarii problemelor

II.1. Clasificarea problemelor din punct de vedere a rezolvării

II.1.1. Probleme simple

II.1.1. Probleme compuse

II.2. Rezolvarea Problemelor Tip

II.3. Rezolvarea problemelor nonstandard

Capitolul III. Studiul de caz privind metodologia rezolvarii problemelor

III.1. Eṣantion experimental ṣi metode utilizate ȋn studiu de caz

4.3. VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR

Capitolul IV. Concluzii privind studiul de caz

BIBLIOGRAFIE

Argument. Motivarea alegerii temei

Idealul educațional al școlii românești constă în dezvoltarea liberă, integrală și armonioasă a individualității umane, în formarea personalității autonome și în asumarea unui sistem de valori care sunt necesare pentru împlinirea și dezvoltarea personală, pentru dezvoltarea spiritului antreprenorial, pentru participarea cetățenească activă în societate, pentru incluziune socială și pentru angajare pe piața muncii.

În alegerea temei din lucrarea de față am pornit de la premisa că în școală copilul își dezvoltă procesele psihice, gândirea cu operațiile ei, analiza, sinteza, comparația, memoria, atenția, spiritul de observație, voința, imaginația și limbajul mai ales prin activitatea de rezolvare de probleme.

Ținând cont de acestea am considerat oportun să studiez, pentru a aplica ulterior metodele didactice moderne (activizante) care ajută la formarea unei personalități active, creatoare, îndrăznețe, la dezvoltarea tuturor proceselor psihice prin acțiunea directă, prin stimularea elevilor de a participa la propria formare.

Matematica a devenit un element de bază a culturii omului modern, cultura generală a oricărui om trebuind să cuprindă cunoștințe matematice de un nivel tot mai înalt. Indiferent în ce domeniu de activitate va lucra omul zilelor noastre, dar mai ales omul zilelor viitoare, trebuie să posede o bună pregătire matematică. Matematica face parte din cultura generală. Niciun domeniu, nici măcar biologia, lingvistica sau istoria nu se poate lipsi astăzi de matematică.

Matematica este caracterizată prin spiritul său de ordine, presupune un deosebit mod de gândire. Însusirea notiunilor matematice, pătrunderea în esenta lor necesită un efort sustinut si bine gradat al intelectului, a gândirii si reprezintă în acelasi timp antrenamentul mintal sau gimnastica mintii necesară în dezvoltarea intelectuală a elevilor.

Capitolul 1. Tendințe ale ȋnvățământului românesc

I.1 Dezvoltarea creativității la ṣcolari- o prioritate a ȋnvățământului românesc

Ȋn sistemul de ȋnvățământ tradițional învățarea era privită ca o preocupare îndeosebi personală, consecință a unei stradanii individuale, iar școala românească evidenția competiția și individualismul, încuraja doar succesul personal. Imperativul de bază al învățământului primar contemporan este aceea de punere în practica didactică a unei metodologii diversificate, capabile să împletească activitățile de învățare: astfel, activități de muncă independentă cu activități de cooperare, de învățare în grup. Astfel, învățământul ṣcolar cunoaște o adevărată miscare inovatoare, ȋntalnind provocarea inovatiei mai ales sub aspectul metodelor și a strategiilor de abordare a conținuturilor. Școlarul nu mai este demult privit ca un receptor pasiv al unor informații, ci a devenit tot mai mult un participant activ la propria lui formare, iar profesorul este cel care încurajează cooperarea, colaborarea, stimulează lucrul în perechi, constituie o adevărată sursă de învățare pentru ceilalți, numai în condițiile învățării prin cooperare Noi considerăm că creativitatea copiilor școlari va evolua la o nouă treaptă:

-Dacă vom forma și dezvolta priceperi și deprinderi, capacități creative de alcătuire și redare a obiectelor, valorificare a acestor insusiri ȋn comunicare;

-Dacă vom dezvolta priceperi, de redare corectă a formelor, de a aplica independent elemente, forme, obiecte, deprinderea de a lucra cu acuarela, creioane, carioca și paleta de culori.

-Dacă în activitățile copiilor menite sa dezvolte potențialul creativ va fi o consecutivitate.

-Dezvoltarea capacităților creative la școlarii ar produce progrese în dezvoltarea potențialului creativ.

Cu cât capacitățile creative vor fi mai dezvoltate cu atât potențialul creativ al școlarilor mari va fi mai înalt.

Potențialul copiilor cu imaginație creatoare dezvoltată se va deosebi de potențialul copiilor cu fantezie mai puțin dezvoltată prin valorile indicilor de: expresivitate, coerență, originalitate, variabilitate, flexibilitate, fluență.

Creativitatea este un proces mental și social care implică generarea unor idei sau concepte noi, sau noi asocieri ale minții creative între idei sau concepte existente.

Creativitatea este un concept multidimensional și se poate manifesta în multiple domenii. Identificarea și cuantificarea naturii creativității constituie obiective dificile. Conceptul de creativitate poate fi definit din perspectiva unor discipline diferite: psihologie, psihologie socială, științe cognitive, arte, inteligență artificială, filozofie, economie, management etc. și deci la multe niveluri distincte: cognitiv, intelectual, social, economic, artistic, literar etc. Dificultatea definirii creativității rezidă în asocierile particulare ale acestui concept cu artele, în natura complexă a creativității și în varietatea teoriilor care au fost dezvoltate pentru a o explica. Mulți oameni asociază creativitatea în special cu artele: muzica, teatrul, dansul, literatura etc. care sunt deseori denumite "arte creative". Așa cum s-a precizat mai sus, creativitatea nu este proprie numai pentru arte, ci este la fel de fundamentală pentru progresele din științe, din matematică, tehnologie, politică, afaceri și în toate domeniile vieții cotidiene.

I.2. Motivarea alegerii temei

În activitatea mea profesională am fost preocupată, întotdeauna, de dobândirea cunoștințelor de către elevi, în funcție de particularitățile lor de vârstă și individuale, măsurând și apreciind rezultatele. În evaluarea randamentului școlar am pornit de la verificarea temei de acasă, la verificarea orală, la probe de evaluare prin fișe de lucru, teste.

Am ales această temă, și dintr-o considerare firească a fiecărui om de a se perfecționa, de a fi în pas cu noul în tot ceea ce preocupă pe specialiști, pentru ridicarea nivelului muncii școlare.

În abordarea conținutului acestei lucrări, am plecat de la considerentul că epoca contemporană este epoca utilizării tehnicii avansate, ceea ce face ca nevoia de matematică să se resimtă în toate domeniile de activitate, necesitatea culturii matematice devenind astazi pentru orice om tot mai acută, făcănd parte din cultura sa generală în care ocupa un loc important. De aceeea se impune ca matematica să fie asimilată de către elev la un nivel superior înca din primele clase.

Pornind de la ideea că matematica a devenit în zilele noastre un instrument esențial de lucru pentru totalitatea științelor și domeniilor tehnice, este firesc ca în centru preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivare accentuată a gândirii micilor școlari, prin evidența relațiilor matematice, prin fundamentarea științifică a conceptelor, prin introducerea progresivă, gradată a limbajului matematic modern.

Am ales această temă deoarece consider că rezolvarea de probleme ajută foarte mult la dezvoltarea creativității iar elevii ȋṣi ȋmbunătățesc considerabil tehnica de lucru ṣi capacitatea de a gândi ṣi de a relaționa pe viitor, social ṣi profesional. Capitolul II. Metodologia rezolvarii problemelor

II.1. Clasificarea problemelor din punct de vedere a rezolvării

În această fază, activitatea de rezolvare de probleme se află foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea principală întâmpinată de copii la aceste probleme este transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. În aceste situații este necesar ajutorul învățătorului pentru ca elevii să înceapă să interpreteze și să exprime corect situațiile întâlnite, în limbaj matematic. Foarte utilă este metoda repetării individuale sau colective, până la familiarizarea lor cu termenii de problemă, întrebarea problemei, rezolvarea problemei, rezultatul problemei.

Deși rezolvările de probleme simple par foarte ușoare la prima vedere, este util și necesar să aducem în atenția copiilor toate tipurile de probleme ce se pot rezolva printr-o singură operație. Conform clasificării prezentate mai sus, acestea sunt prezentate în cele ce urmează.

II.1.1. Probleme simple

A1. Probleme simple bazate pe adunare

-de aflare a sumei a doi termeni

-de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât numărul dat

-probleme de genul “cu atât mai mult”

Exemple:

1. Într-o curte de păsări se află 21 de găini și 11 rațe. Câte păsări sunt în curte?

R: 21 +11 = 32 (păsări)

2. Maria a citit 17 pagini dintr-o carte de povești, iar Radu cu 7 pagini mai mult. Câte pagini a citit Radu?

R: 17 + 7 = 24 (pagini)

3. Aflați un număr care să fie cu 7 unități mai mare decât 9.

R: 9 + 7 = 16

A2. Probleme simple bazate pe scădere

– de aflare a restului

– de aflare a unui număr mai mic cu un număr de unități decât un număr dat

– de aflare a unui termen când se cunosc suma și celălalt termen al sumei

– probleme de genul “cu atât mai puțin”

Exemple:

1. Într-o curte de păsări se află 59 de păsări. Dintre acestea, 41 sunt găini,iar restul rațe. Câte rațe sunt în curte?

R: 59 – 41 = 18 (păsări)

2. Găsiți un număr cu 7 mai mic decât 57.

R: 57 – 7 = 50

3. Ionel are mere într-un coș. După ce mai culege încă 5 mere, are în coș 14 mere. Câte mere a avut la început?

R: 14 – 5 = 9 (mere)

4. Viorel a rezolvat 12 probleme de matematică, iar Radu 17 probleme. Cu câte probleme a rezolvat mai mult Radu?

R: 17 – 12 = 5 (probleme)

A3. Probleme simple bazate pe înmulțire

-de repetare de un număr de ori a unui număr dat

-de aflare a produsului

-de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat

Exemple:

1. Gigel are 4 ani. Tatăl lui are de 7 ori mai mult. Câți ani are tatăl?

R: 4 x 7 = 28 (ani)

2. Maria citește ăntr-o zi 3 povești. Câte povești va citi într-o săptămână?

R: 3 x 7 =21 (povești)

3. Aflați un număr care să fie de 7 ori mai mare decât 5.

R: 5 x 7 = 35

A4. Probleme simple bazate pe împărțire

– de împărțire a unui număr natural în părți egale

– de împărțire prin cuprindere a unui număr în altul

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat

– de aflare a unei părți dintr-un întreg

– de aflare a raportului dintre două numere

Exemple:

1. Într-un coș sunt 20 de mere. Ele se vor împărți în mod egal la 5 copii. Câte mere va primi fiecare?

R: 20 : 5 = 4 (mere)

2. Într-un coș sunt 24 de caise. Dacă dăm câte 4 caise la un copil, la câți copii putem da caise?

R: 24 : 4 = 6 (caise)

3. Aflați un număr care să fie de 5 ori mai mic decât 45.

R: 45 : 5 = 9

4. Într-o turmă sunt 40 de oi. Jumătate din ele sunt albe, iar restul negre. Câte oi albe sunt în turmă?

R: 40 : 2 == 20 (oi)

5. De câte ori este mai mare 45 decât 9?

R: 45 : 9 = 5

Probleme simple de genul celor prezentate mai sus trebuie lucrate cât mai multe cu elevii în perioada de început,până când aceștia se familiarizează foarte bine cu principalele noțiuni folosite în rezolvarea de probleme de matematică.

Se va observa că problemele simple sunt re mod egal la 5 copii. Câte mere va primi fiecare?

R: 20 : 5 = 4 (mere)

2. Într-un coș sunt 24 de caise. Dacă dăm câte 4 caise la un copil, la câți copii putem da caise?

R: 24 : 4 = 6 (caise)

3. Aflați un număr care să fie de 5 ori mai mic decât 45.

R: 45 : 5 = 9

4. Într-o turmă sunt 40 de oi. Jumătate din ele sunt albe, iar restul negre. Câte oi albe sunt în turmă?

R: 40 : 2 == 20 (oi)

5. De câte ori este mai mare 45 decât 9?

R: 45 : 9 = 5

Probleme simple de genul celor prezentate mai sus trebuie lucrate cât mai multe cu elevii în perioada de început,până când aceștia se familiarizează foarte bine cu principalele noțiuni folosite în rezolvarea de probleme de matematică.

Se va observa că problemele simple sunt relativ ușor înțelese și rezolvate de marea majoritate a elevilor. Totuși, se întâlnesc destule cazuri când se întâmpină tot felul de dificultăți, de genul: confundarea operației ce trebuie folosite, neglijarea unor date ale problemei, neglijarea întrebării problemei, etc. Pentru depășirea acestor dificultăți inerente este indicată rezolvarea unui mare număr de probleme,efectuând o analiză temeinică a fiecărei rezolvări. De asemenea, se pot folosi procedee de tipul: prezentare de probleme cu date incomplete, cerând elevilor să le completeze, prezentarea spre rezolvare de probleme fără întrebare, prezentarea de enunțuri în care operația de efectuat nu apare la prima vedere, compunerea de probleme după anumite date sau scheme sau chiar compunerea liberă de probleme.

Prin aceste procedee se urmărește formarea capacității elevilor de a domina varietatea de probleme ce se pot întâlni, precum și formarea unei experiențe în rezolvarea și compunerea de probleme. Rezolvarea de probleme simple constituie primii pași în formarea și exersarea flexibilității și fluenței gândirii.

II.1.1. Probleme compuse

Rezolvarea de probleme compuse nu înseamnă întogctdeauna numai rezolvarea succesivă de probleme simple. Principala dificultate în rezolvarea problemelor cu mai multe operații o constituie legătura dintre verigile problemei,cu alte cuvinte construirea raționamentului. De aceea este necesară o trecere de la rezolvarea de probleme simple la cele compuse. Mai întâi se vor rezolva probleme compuse alcătuite din două probleme simple.

Exemplu: Ionel a adunat 20 de mere,iar pere cu 7 mai multe. Câte pere a adunat Ionel? Câte fructe a adunat în total?

Câte pere a adunat Ionel ?

20 + 7 = 27 (pere)

Câte fructe a adunat Ionel ?

20 + 27 = 47 (fructe)

R: 47 fructe

Examinarea unei probleme compuse se poate face atât prin metoda analitică, cât și prin metoda sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan, dar poate predomina una dintre ele. Ambele metode constau în descompunerea problemei în probleme simple, care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluției finale. La prima vedere, cele două metode par foarte asemănătoare, dar între ele există o deosebire: la metoda sintetică pornim de la datele problemei spre găsirea soluției, pe când la metoda analitică se pornește de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice dintre ele.

În practică am observat că metoda sintezei este mult mai ușor înțeleasă de copii,dar nu solicită prea mult atenția lor. Unii dintre ei pierd din vedere întrebarea problemei și efectuează exerciții care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. În schimb, metoda analitică, deși pare mai dificilă, solicită mai mult gândirea elevilor și îi ajută să privească problema în totalitate.

Odată cu analiza logică a problemei se face și planul de rezolvare. Din punct de vedere metodic este indicat ca planul de rezolvare să fie scris pe tablă de către învățător și pe caiet de către elevi. Scopul scrierii planului de rezolvare este acela de a forma deprinderi elevilor pentru a pune întrebări și pentru alte rezolvări de probleme. În clasa I planul de rezolvare se întocmește oral, deoarece elevii încă nu au suficiente cunoștințe de scriere. În clasele următoare, după întocmirea orală, elevii pot scrie cu ușurință planul de rezolvare.

Formele în care se poate scrie planul de rezolvare sunt extrem de variate, dar cel mai indicat mod este acela de a formula planul sub formă de întrebări la care trebuie găsit răspunsul sau sub formă de propoziții enunțiative.

Exemplu: Gigel are 12 mere și de trei ori mai multe nuci. Din toate fructele, Gigel îi dă surorii sale 17 fructe. Cu câte fructe a rămas Gigel?

Cele două moduri de scriere a planului de rezolvare, amintite mai sus, sunt:

1. Câte nuci are Gigel?

12 x 3 = 36

2. Câte fructe are în total Gigel?

12 + 36 = 48

3. Câte fructe i-au rămas lui Gigel?

48 – 17 = 31

Răspuns: 31 de fructe

1. Aflăm câte nuci are Gigel.

12 x 3 = 36

2. Aflăm câte fructe are Gigel.

12 + 36 = 48

3. Aflăm câte fructe îi rămân lui Gigel.

48 – 17 = 31

Răspuns: 31 de fructe

Scrierea problemei sub formă de exercițiu:

12 + 12 x 3 – 17 = 31

Efectuând rezolvarea problemei după in plan de rezolvare elevii evită posibilele greșeli sau eventualele confuzii de întrebări și operații ce trebuie efectuate.

O atenție sporită trebuie acordată problemelor ce admit mai multe planuri de rezolvare. Asemenea probleme sunt relativ des întâlnite în manualele de matematică folosite în ciclul primar. Rezolvarea problemelor prin mai multe procedee cultivă elevilor mobilitatea gândirii și creativitatea. Formarea deprinderilor de a căuta și a găsi noi procedee de rezolvare educă atenția, spiritul de investigație și perspicacitatea elevilor. Este adevărat că de cele mai multe ori elevii nu sesizează imediat existența altor procedee de rezolvare. De aceea, o sarcină importantă a învățătorului este aceea de a îndruma elevii spre căutarea și găsirea de metode alternative de rezolvare a problemelor.

Exemplu:

1. La un depozit de fructe s-au adus 452 de lăzi cu mere,iar pere cu 180 de lăzi mai puține. Știind că s-au distribuit la magazine 272 de lăzi cu mere și 190 de lăzi cu pere,câte lăzi cu fructe au mai rămas în depozit? (Rezolvați în două moduri).

Plan de rezolvare I

1. Câte lăzi cu pere s-au adus la depozit?

452 – 180 = 272

2. Câte lăzi cu fructe s-au adus la depozit?

452 + 272 = 724

3. Câte lăzi cu fructe s-au distribuit magazinelor?

272 + 190 = 462

4. Câte lăzi cu fructe au rămas la depozit?

724 – 462 = 262

Răspuns: 262 lăzi cu fructe

Plan de rezolvare II

1. Câte lăzi cu pere s-au adus la depozit?

452 – 180 =272

2. Câte lăzi cu pere au rămas la depozit?

272 – 190 = 82

3. Câte lăzi cu mere au rămas la depozit?

452 – 272 = 180

4. Câte lăzi cu fructe au rămas la depozit?

82 + 180 = 262

Răspuns: 262 lăzi cu fructe

2. La un magazin de jucării s-au adus pentru Crăciun 765 de globuri. În prima zi s-au vândut 87 de globuri. A doua zi s-au vândut încă 93 de globuri . Câte globuri au mai rămas de vânzare în acel magazin?

1. Câte globuri au rămas după prima zi?

765 – 87 = 678

2. Câte globuri au rămas după a doua zi?

678 – 93 = 585

1. Câte globuri s-au vândut?

87 + 93 = 180

2. Câte globuri au rămas?

765–180=585

Pentru formarea unei gândiri sintetice este indicată descoperirea și folosirea formulelor literale. Astfel, în cazul de mai sus, se pot generaliza formulele:

a– b – c = d pentru prima metodă de rezolvare și

a – (b + c) = d pentru cea de a doua.

Formarea deprinderii de a folosi formule literale se va dovedi foarte utilă în generalizarea ulterioară a problemelor și foarte folositoare în rezolvarea acestora.

II.2. Rezolvarea Problemelor Tip

Prezentarea teoretică a principalelor metode de rezolvare a problemelor de matematică, folosite în ciclul primar, a fost făcută mai sus. Vom prezenta în continuare exemplificări practice de folosire a metodelor speciale de rezolvare a problemelor (bineînțeles, în paralel cu folosirea metodelor generale – analitică și sintetică), precum și specificități ale acestora.

Una dintre metodele tipice de rezolvare a problemelor, a cărei folosire se pretează la rezolvarea unei largi game de probleme, este metoda grafică sau figurativă. Tipurile de probleme care se pot rezolva prin această metodă sunt:

probleme de aflare a unei fracții dintr-un întreg;

probleme de aflare a unui întreg când se cunoaște o fracție din acel întreg;

probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor;

probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma (diferența ) și raportul lor.

În continuare vom exemplifica rezolvarea problemelor din fiecare categorie din cele menționate mai sus.

Exemplul:

Din cei 3.773 de elevi ai unei școli, 4/7 sunt fete, iar restul băieți. Câe fete sunt în școală?

Rezolvare:

Reprezentăm grafic numărul total de elevi din școală și numărul de fete, păstrând relația dintre cele două date ale problemei:

7/ 7 = 3773

|––-|––-|––-|––-|––-|––-|––-|

4/7 = nr. de fete

Observăm că întregul (numărul total de elevi) a fost împărțit în 7 părți egale, iar pentru a afla numărul fetelor (4/7) trebuie să cunoaștem cât reprezintă 1/7 din întreg.

Astfel:

3773 : 7 = 539, ceea ce reprezintă 1/7 din totalul elevilor.

Atunci, dacă fetele reprezintă 4/7 din total, avem:

539 x 4 = 2156 ( fete ).

R: 2156 fete

După un șir de rezolvări de probleme de acest tip prin reprezentarea datelor cu segmente elevii încep să-și formeze algoritmul de determinare a unei fracții dintr-un număr: întâi se stabilește valoarea unității fracționare, apoi a unităților fracționare. Adică, împărțim numărul la numitor și înmulțim cu numărătorul. Cu alte cuvinte, 4/7 din 3773 se află astfel:

(3773 : 7) x 4 = 2156

Exemplul 2:

Elevii unei școli au participat la activitatea de reîmpădurire. Într-o zi aceștia au plantat un număr de puieți. Dacă 5/8 din acest număr reprezintă 235 de puieț , câți puieți au plantat elevii în acea zi?

Rezolvare:

La fel ca în exemplul precedent, reprezentăm grafic numărul total de puieți și numărul cunoscut, păstrând relația dintre cele două date ale problemei:

8/8 = nr. total de puieți

|–––-|–––-|–––-|–––-|–––-|–––-|–––-|–––-|

|–––-|–––-|–––-|–––-|–––-|

5/8 = 235 puieți

Dacă 5/8 din total reprezintă 235 de puieți , atunci 1/5 reprezintă:

235 : 5 = 47 ( puieți )

Atunci, dacă 1/8 reprezintă 47 de puieți, înseamnă că 8/8 reprezintă:

47 x 8 = 376 ( puieți )

R: 376 puieți

Și în acest caz se poate deduce regula de rezolvare se stabilește mai întâi valoarea unității fracționare, apoi valoarea întregului. Valoarea unității fracționare se află împărțind numărul cunoscut la numărul de părți fracționare pe care îl reprezintă (numărătorul), apoi se înmulțește cu numărul de unități fracționare ale întregului (numitorul) .

( 235 : 5 ) x 8 = 376

Exemplul 3:

Două autocare transportă în excursie 105 elevi. Câți elevi sun în fiecare autocar, dacă în primul sunt cu 15 mai mult decât în al doilea?

Rezolvare:

Reprezentăm grafic numărulm de elevi din cele două autocare, ținând cont de relația cunoscută între cele două numere:

|––––––––––|–––-| – nr. de elevi din primul autocar

15 elevi

|––––––––––| – nr. de elevi din al doilea autocar

Știind că numărul total de elevi este 105, observăm că dacă “eliminăm” cei 15 elevi în plus din primul autocar putem afla numărul de elevi din cel de-al doilea:

105 – 15 = 90 (elevi)

Ddeci numărul de elevi din cel de-al doilea autocar este:

90 : 2 = 45 (elevi)

În primul autocar sunt:

45 + 15 = 60 (elevi)

Reprezentarea grafică poate conduce și la un alt mod de rezolvare a problemei. Prin adăugarea a 15 elevi la cel de-al doilea autocar (și deci la numărul total de elevi) obținem număr egal de elevi în cele două autocare, dublul numărului real de elevi din primul autocar:

105 + 15 = 120 (elevi)

Obținem astfel numărul de elevi din primul autocar:

120 : 2 = 60 (elevi)

În cel de-al doilea vor fi:

60 – 15 = 45 (elevi)

Exemplul 4:

Pentru o lucrare, doi muncitori au primit suma de 220 000 lei. Știind că primului muncitor I se cuvin 3/8 din suma primită de al doilea muncitor, să se afle câți bani a primit fiecare.

Rezolvare:

Reprezentăm grafic sumele primite de cei doi muncitori:

|––|––|––|––|––|––|––|––| suma primită de al doilea muncitor |––|––|––| suma primită de primul muncitor

Știind că în total cei doi au primit 220 000 lei și observând câte părți egale sunt în reprezentarea grafică, putem afla care este valoarea unei părți:

8 p + 3 p = 11 p reprezintă 220 000 lei

220 000 : 11 = 20 000 lei reprezintă o parte

Atunci , suma primită de primul muncitor reprezintă 3 părți, adică:

3 x 20 000 = 60 000 lei

Suma primită de al doilea muncitor este:

8 x 20 000 = 160 000 lei

O altă metodă de rezolvare care se poate folosi la un mare număr de probleme este metoda reducerii la unitate. Folosirea acestei metode constă, în principiu, în compararea tuturor mărimilor date în problemă cu o mărime obținută în urma acestei comparări, considerată ca unitate și aflarea mărimii necunoscute în funcție de unitatea aleasă. Această metodă are avantajul că este simplă și se pretează la rezolvarea unui mare număr de probleme întâlnite în practică.

Exemplul 1:

Un muncitor sapă un șanț lung de în 9 zile. Câți metri de șanț sapă în 6 zile?

Rezolvare:

Ținând cont de enunțul problemei este indicat să alegem ca unitate ziua de lucru. Atunci, dacă în 9 zile sapă 54 de metri, într-o zi va săpa de 9 ori mai puțin, adică:

54 : 9 = de șanț sapă într-o zi.

Atunci, în 6 zile va săpa de 6 ori mai mult:

6 x 6 = .

Exemplul 2:

Un număr de 8 camioane transportă o cantitate de porumb în 10 zile. În câte zile pot transporta 5 camioane aceeași cantitate de porumb?

Rezolvare:

Dacă 8 camioane transportă porumbul în 10 zile, atunci un camion o va transporta într-un timp de 8 ori mai mare, adică:

10 x 8 = 80 zile

Atunci, 5 camioane vor avea nevoie de un timp de 5 ori mai mic:

80 : 5 = 16 zile.

Exemplul 3:

Cantitatea de apă consumată lunar într-o clădire în care locuiesc 4 familii costă 532.500 lei. Cât va avea de plătit pentru aceasta fiecare familie, dacă plata se face în funcție de numărul de camere ocupat de fiecare familie, două familii având câte 3 camere, o familie 4 camere, iar alta 5 camere?

Rezolvare:

Dacă fiecare familie plătește în raport cu numărul de camere ocupate, atunci trebuie să stabilim numărul total de camere, pentru ca apoi, prin reducere la unitate, să aflăm suma corespunzătoare fiecărei camere:

( 2 x 3 ) + 4 +5 = 15 camere

Suma corespunzătoare fiecărei camere este:

532.500 : 15 = 35.500 lei

Atunci, sumele pe care le au de plătit cele 4 familii vor fi:

35.500 x 3 = 106.500 lei fiecare din cele două familii ce ocupă câte 3 camere;

35.500 x 4 = 142.000 lei cea de a treia familie;

35.500 x 5 = 177.500 lei cea de a patra familie.

Problemele rezolvabile prin metoda aducerii la același termen de comparație ( metoda comparației ) se recunosc relativ ușor, pentru că prezintă între datele problemei aceeași mărime în două ipostaze diferite. În cazul acestui tip de probleme, după citirea enunțului și stabilirea tipului de problemă, se scriu mărimile prezentate pe două șiruri distincte, corespunzătoare celor două ipostaze prezentate în enunț, apoi ne concentrăm atenția asupra uneia dintre mărimi și încercăm să egalăm valorile acesteia din cele două șiruri, pentru ca prin eliminarea sa să putem afla necunoscuta. Egalarea valorilor se face prin aflarea celui mai mic multiplu comun al celor două valori și înmulțirea corespunzătoare a celor două relații.

Exemplul 1:

17 saci cu făină și 12 saci cu cartofi cântăresc , iar 21 de saci cu făină și 12 saci cu cartofi cântăresc . Câe kilograme cântărește un sac cu făină? Dar un sac cu cartofi?

Rezolvare:

17 saci făină …….12 saci cartofi………………………1210 kg

21 saci făină……..12 saci cartofi………………………1410 kg

4 saci făină……… 0 saci cartofi………………………

Scăzând prima relație dintr-a doua obținem că 4 saci de făină și 0 saci cu cartofi cântăresc . Deci, un sac cu făină cântărește:

200 : 4 =

Deoarece 17 saci cu făină și 12 saci cu cartofi cântăresc , iar 17 saci cu făină cântăresc:

17 x 50 = , rezultă că 12 saci cu cartofi cântăresc:

1210 – 850 =

Deci, un sac cu cartofi cântărește:

360 : 12 =

Exemplul 2:

Dacă mărim un număr de 4 ori și alt număr de 10 ori, suma lor devine 222. Dacă mărim primul număr de 5 ori iar al doilea număr de 11 ori, suma lor devine 252. Să se determine cele două numere.

Rezolvare:

Vom nota primul număr cu “a”, iar al doilea cu “b”. Atunci avem:

4a + 10b = 222

5a + 11b = 252

Observăm că dacă înmulțim prima relație cu 5 și a doua cu 4, apoi scădem cele două relații, obținem reducerea termenului cu “a”:

4a + 10b = 222 / x 5

5a + 11b = 252 / x 4

20a + 50b = 1110

20a + 44b = 1008

0a + 6b = 1110 – 1008 = 102

Rezultă că:

6b = 102, deci b = 102 : 6 = 17

Deoarece:

4a + 10b = 222, iar b = 17, avem:

4a + ( 10 x 17 ) = 222, de unde:

4a = 222 – 170 = 52, deci:

a = 52 : 4 = 13

Răspuns: a = 13

b = 17

Metoda mersului invers sau metoda retrogradă este aplicabilă problemelor gen rest din rest. Aceste probleme au un enunț care le evidențiază explicit tipul, elementul necunoscut apărând în prima parte a problemei. Metoda are această denumire deoarece operațiile care duc la aflarea rezultatului final se efectuează în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei acțiuni din enunț corespunzându-i operația inversă.

Exemplul 1:

Care sunt numerele corespunzătoare fiecărei litere, dacă:

a este de două ori mai mare decât b;

b este mai mare decât c cu 25;

c este mai mic decât d cu 40;

d este mai mare decât e de 3 ori;

1000 este mai mare decât e de 4 ori.

Rezolvare:

Aplicând metoda, obținem:

e = 1000 : 4 = 250;

Atunci, d = e x 3 = 250 x 3 = 750;

c = d – 40 = 750 – 40 = 710;

b = c + 25 = 710 + 25 = 735;

a = b x 2 = 735 x 2 = 1470.

Folosin reprezentarea grafică a numerelor din problemă avem:

e |–––-|

250

d |–––-|–––-|–––-|

c |–––––––––|––|

40

b |–––––––––|–-|

25

a |–––––––––|–––––––––|

Răspuns: a = 1470

b = 735

c = 710

d = 750

e = 250

Exemplul 2:

Pe suprafața de teren deținută, un fermier seamănă cereale astfel: pe 1/8 din suprafață seamănă orz, 1/7 din restul suprafeței o seamănă cu ovăz, pe 1/3 din noul rest seamănă porumb, iar pe restul suprafeței, de cultivă grâu. Ce suprafață de teren are fermierul?

Rezolvare:

Aplicând metoda mersului invers, facem următorul raționament: dacă au rămas , înseamnă că ele reprezintă 2/3 din restul rămas după însămânțarea porumbului, deci cu porumb s-a însămânțat jumătate din această suprafață, adică 44 : 2 = . Deci, suprafața rămasă după însămânțarea ovăzului este de 44 + 22 = , ceea ce reprezintă 6/7 din suprafața rămasă după însămânțarea orzului, deci 1/7 reprezintă 66 : 6 = , cultivate cu ovăz.

Suprafața rămasă după însămânțarea orzului este de:

11 + 22 + 44 = ( cu ovăz, cu porumb, cu grâu) , ceea ce reprezintă 7/8 din suprafața deținută, deci 1/8 din suprafață înseamnă 77 : 7 = , adică suprafața semănată cu orz.

Deci, suprafața deținută este de:

11 + 11 + 22 + 44 = .

Reprezentarea grafică arată astfel:

|–––|–––|–––|–––|–––|–––|–––|–––|

1/8 orz

|–––|–––|–––|–––|–––|–––|–––|

1/7 ovăz

|––––––|––––––|––––––|

1/3 porumb

|––––––––––––|

2/3 grâu =

Deci:

2/3 grâu, adică ;

1/3 porumb, adică 44 : 2 = ;

22 +44 = reprezintă restul rămas după însămânțarea ovăzului;

6/7 = , deci 1/7 = 66 : 6 = cu ovăz;

11 + 22 + 44 = reprezintă restul rămas după semănarea orzului;

7/8 = , deci 1/8 = 77 : 7 = cu orz.

Atunci, totalul suprafeței este:

11 + 11 + 22 + 44 = .

Răspuns: .

Metoda falsei ipoteze sau metoda presupunerii este aplicabilă la un mare număr de probleme. De fapt, toate problemele ale căror necunoscute sunt mărimi proporționale se pot rezolva și prin metoda falsei ipoteze.

Ca și mod de lucru, abordarea problemei se face presupunând o valoare arbitrară pentru mărimea a cărei valoare o căutăm. Cum numai pur întâmplător presupunerea făcută coincide cu rezultatul real al problemei, metoda se numește a falsei ipoteze. Se verifică enunțul problemei pe baza presupunerii făcute și datorită faptului că mărimile sunt proporționale, rezultatele făcute pe baza presupunerii se translatează în plus sau în minus, adică reprezintă o contradicție cu datele problemei.

Astfel, devine evident că presupunerea făcută a fost falsă și, refăcând problema, ajungem prin compararea datelor reale cu cele false, să aflăm “de câte ori” am greșit când am făcut presupunerea. Urmează stabilirea rezultatului final prin corectarea presupunerii, în sensul măririi sau micșorării de acest număr de ori.

Problemele rezolvabile prin metoda presupunerii se împart în două categorii:

– probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

– probleme pentru care sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemplul :

Întreprinderea de automobile DACIA Pitești a livrat la un transport 120 de automobile DACIA Berlină (cu 4 uși) și DACIA Sport (cu 2 uși), care în total au avut 370 de uși.Câte automobile din fiecare tip s-au livrat?

Rezolvare:

Încercăm o ipoteză oarecare, de exemplu că toate automobilele au 4 uși. Atunci obținem:

120 x 4 = 480 de uși.

Observăm că apare o diferență de:

480 – 370 = 110 uși, care provine de la faptul (cunoscut) că nu toate automobilele au 4 uși, ci sunt și mașini cu 2 uși. Diferența de uși dintre cele două tipuri de mașini este de:

4 – 2 = 2 uși. Atunci, diferența totală de uși (110), provenind de la mașinile cu 2 uși, o împărțim la diferența de uși dintre cele două tipuri și obținem numărul de mașini cu 2 uși:

110 : 2 = 55 mașini cu 2 uși.

Numărul mașinilor cu 4 uși îl obținem făcând diferența între numărul total de mașini și cel al mașinilor cu 2 uși:

120 – 55 = 65 mașini cu 4 uși.

Făcând proba rezultatelor obținute, avem:

65 x 4 + 55 x 2 = 260 + 110 = 370 uși, ceea ce corespunde cu datele din enunțul problemei.

Exemplul 2:

Într-o clasă există un număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se așează câte 2 elevi, atunci 5 elevi vor rămâne în picioare. Dacă în fiecare bancă se așează câte 3 elevi, atunci vor rămâne libere 7 bănci. Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?

Rezolvare:

Facem ipoteza arbitrară că în clasă sunt 10 bănci. Atunci, numărul elevilor va fi:

10 x 2 + 5 = 25 elevi, dacă se așează câte doi în bancă.

Dacă se așează câte trei, avem:

10 – 7 = 3 bănci ocupate cu elevi;

3 x 3 = 9 elevi.

În acest caz, rezultă o diferență de:

25 – 9 = 16 elevi.

Observăm că ipoteza făcută nu este suficientă pentru rezolvarea problemei și atunci mai facem o ipoteză, și anume că în clasă sunt 11 bănci. În acest caz, obținem:

11 x 2 + 5 = 27 elevi, dacă se așează câte doi în bancă.

Dacă se așează câte trei, avem:

11 – 7 = 4 bănci ocupate de elevi;

4 x 3 = 12 elevi.

În acest caz , rezultă o diferență de:

27 – 12 = 15 elevi.

Făcând o a treia ipoteză, că avem 12 bănci, și urmând același raționament, obținem:

12 x 2 + 5 = 29 elevi;

12 – 7 = 5 bănci;

5 x 3 = 15 elevi;

29 – 15 = 14 elevi.

După toate aceste încercări (presupuneri), observăm că dacă mărim numărul băncilor cu o unitate, atunci diferența obținută între numărul elevilor scade cu o unitate. Deoarece această diferență trebuie să fie 0 (zero), constatăm că numărul de bănci presupus inițial trebuie mărit cu diferența de elevi obținută. Atunci obținem:

10 + 16 = 26 bănci, în primul caz;

11 + 15 = 26 bănci, în al doilea caz;

12 + 14 = 26 bănci, în al treilea caz.

Observăm că numărul de bănci obținut este același în toate cele trei cazuri, oricare ar fi presupunerea făcută inițial. Deci, avem 26 de bănci și numărul elevilor este:

26 x 2 + 5 = 57 elevi, conform primei părți a enunțului problemei.

Folosind a doua parte din enunțul problemei, facem proba rezultatelor obținute:

26 – 7 = 19 bănci ocupate cu câte trei elevi;

19 x 3 = 57 elevi.

II.3. Rezolvarea problemelor nonstandard

Acest gen de probleme nu se supune exigențelor sau regulilor vreunui criteriu de clasificare prezentat până acum, nu permite aplicarea unei metode standard de rezolvare, de aceea sunt cunoscute sub numele de probleme nonstandard.

Rezolvitorul unei astfel de probleme își pune gândirea și imaginația la contribuție, devenind practic un adevărat creator, iar găsirea soluției îi aduce o mare satisfacție.

Valențele formative ale acestui gen de probleme vizează în mod deosebit cultivarea creativității elevilor, îndrăzneala, istețimea, spiritul novator, flexibilitatea gândirii, spiritul de căutare, etc.

Pentru o mai bună înțelegere a specificităților acestui tip de probleme propunem câteva rezolvări comentate, al căror statut de rezolvare nu are caracter normativ, poate nu este cel mai bun, poate nici singurul mod de rezolvare.

Exemplul 1:

Georgiana are o sumă de bani. După ce își triplează suma, cheltuiește 50 de lei, constatând că i-au mai rămas 40 de lei. Ce sumă de bani a avut inițial?

Rezolvare:

Notăm cu S suma inițială de bani. După ce își triplează suma, va avea 3S lei.Cheltuiește 50 de lei și mai rămâne cu 40 de lei. Deci:

3S – 50 = 40 lei. Astfel:

3S = 40 + 50 = 90 lei, deci S = 30 lei.

Exemplul 2:

La o cofetărie s-au adus 10 cutii cu bomboane. Fiecare bomboană cântărește . Din greșeală, una dintre cutiile aduse conține bomboane de fiecare. Cum putem afla dintr-o singură cântărire care este cutia cu bomboane de ?

Rezolvare:

Notăm cutiile cu numere de la 1 la 10. Din fiecare cutie vom lua un număr de bomboane, astfel:

din prima cutie, o bomboană;

din a doua, 2 bomboane;

din a treia, 3 bomboane;

…………………………………………

din a zecea, 10 bomboane.

Vom avea deci:

1 + 2 + 3 + ….. + 10 = 55 bomboane.

Dacă toate cutiile ar conține bomboane de câte , atunci ar trebui să avem 55 x 10 = . Efectuând o singură cântărire și observând diferența dintre rezultat și greutatea pe care ar fi trebuit să o avem (), putem stabili imediat în care dintre cutii avem bomboane de câte , deoarece numărul de grame lipsă se datorează unui număr egal de bomboane, care provin din cutia cu același număr.

Capitolul III. Studiul de caz privind metodologia rezolvarii problemelor

III.1. EȘANTION EXPERIMENTAL

Studiul de caz pe care l-am efectuat a fost pe o clasă experimentală de clasa a II-a din cadrul orelor de predare de la ṣcoala la care sunt titulară.

III.2. METODE UTILIZATE ȊN STUDIU DE CAZ

PROIECTE DE LECȚIE PROPUSE

a. pentru studiu inițial

Proiect de lecție nr. 1

Data: 12.11.2014

Clasa: II

Autor: Olaru Iuliana

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Tema: Operații cu numere naturale

Subiectul lecției: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100.

Probleme.

Tipul lecției: Consolidarea cunoștințelor asimilate.

Obiective de referință:

consolidarea și aplicarea cunoștințelor însușite anterior în rezolvarea de probleme și exerciții de diverse tipuri;

dezvoltarea capacităților intelectuale de folosire corectă a operațiilor de adunare și scădere în concentrul 0 – 100;

formarea și dezvoltarea limbajului matematic și urmărirea folosirii corecte a acestuia;

dezvoltarea gândirii, atenției și memoriei.

Obiective operaționale:

cognitive

să rezolve oral și în scris exerciții de adunare și scădere cu numere de la 0 la 100;

să afle un termen al adunării sau scăderii;

să pună semnul corespunzător între termeni pentru a stabili egalitatea;

să folosească corect limbajul matematic (termen, sumă, rest, diferență);

să rezolve probleme cu una și două operații și să le transpună în exerciții;

să compună probleme simple după exerciții;

să dezvolte deprinderi de muncă independentă.

afective

să manifeste o bună stare de receptare, interes și plăcere pentru activități matematice de operare cu numere naturale.

psihomotorii

să scrie corect exercițiile în caietul de matematică;

să-și controleze poziția corectă a corpului și a caietului în timpul scrisului.

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, munca

independentă, jocul didactic.

Material didactic: manualul de matematică, planșe cu probleme.

Strategia didactică: activitate frontală, pe grupe, individuală, cu forme de muncă independentă.

Scenariul didactic

După efectuarea lecției se vor menționa reușitele și nereușitele, cu propuneri și sugestii pentru ameliorarea și dezvoltarea activității.

a. Proiect de lecție nr. 2 pentru studiu final

Data: 13.03.2015

Clasa: a II -a

Autor: Olaru Iuliana

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Tema: Numere naturale

Subiectul: Operații cu numere naturale. Înmulțirea când avem factor

numărul 5.

Tipul lecției: mixtă – prin combinarea sarcinilor de învățare.

Obiective de referință:

să efectueze operații de înmulțire până la 100 folosind adunarea repetată, sau utilizând tabla înmulțirii până la 50;

să rezolve și să compună exerciții și probleme care se rezolvă printr-o operație de înmulțire;

să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme.

Obiective operaționale:

a) cognitive

să găsească ușor rezultatul unei înmulțiri cu 5, având la dispoziție diferite materiale didactice;

să afle produsul a două numere naturale când unul din factori este 5;

să completeze tabla înmulțirii cu 5 cu produsul corespunzător, după memorarea logică a acesteia;

să opereze cu relația “de 5 ori mai mare”, aplicând cunoștințele dobândite în lecțiile anterioare;

să rezolve sarcini de lucru, îmbunătățindu-și performanțele.

b) afective

să colaboreze în cadrul grupului la rezolvarea unor sarcini comune;

să participe cu interes la activitățile didactice propuse.

c) psihomotorii

să-și controleze mișcările și gesturile în conformitate cu cerințele disciplinei școlare.

Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația, exercițiul,

problematizarea, algoritmizarea, jocul didactic.

Mijloace didactice: jetoane cu imagini, diferite obiecte, manualul de

matematică, planșă cu problema ilustrată.

Scenariul didactic

După efectuarea lecției se vor menționa reușitele și nereușitele, cu propuneri și sugestii pentru ameliorarea și dezvoltarea activității.

Proiect de lecție nr.3

Data:

Clasa: a IIIa

Autor:

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Tema: Metoda comparației

Subiectul: Rezolvarea problemelor de aritmetică prin metoda comparației

Tipul lecției: Consolidarea cunoștințelor acumulate.

Obiective de referință:

să rezolve probleme de matematică prin metodele studiate;

să extragă informațiile necesare din datele problemelor, din tabele, din scheme logice;

să compună, oral sau în scris, în cuvinte proprii, etapele rezolvării problemelor;

să manifeste interes și curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme.

Obiective operaționale:

cognitive:

să recunoască problemele care se pot rezolva prin metoda comparației;

să scrie datele problemei în mod corespunzător (unele sub altele, conform celor două situații din enunț);

să aplice algoritmii de rezolvare specifici acestor probleme;

să exerseze deprinderile de calcul oral și în scris în rezolvarea acestui tip de probleme;

să caute și să accepte diferite metode de rezolvare a problemelor;

să argumenteze unele idei cu privire la rezolvarea exercițiilor și problemelor.

afective:

să manifeste interes pentru lecție, motivație pentru competiție, curiozitate pentru probleme noi;

să accepte punctele de vedere (motivate) ale colegilor.

psiho-motorii:

să păstreze ordinea, disciplina și liniștea în clasă, pentru buna deswfășurare a lecției;

să se conformeze cerințelor învățătorului, încercând să-și îmbunătățească în mod continuu performanțele;

să scrie corect, frumos și îngrijit exercițiile și problemele propuse, precum și rezolvările acestora.

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea,

munca independentă, evaluarea.

Mijloace didactice: planșă cu exercițiile date ca muncă independentă,

plicuri cu datele unor probleme, fișe de evaluare.

Scenariul didactic

După efectuarea lecției se vor menționa reușitele și nereușitele, cu propuneri și sugestii pentru ameliorarea și dezvoltarea activității.

4.3. VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR

Rezolvarea problemelor de matematică constituie activitatea cea mai bogată în valențe formative, în ea concentrându-se întreaga experiență dobândită de elev în studierea matematicii.

Formarea deprinderii de rezolvare a problemelor nu se poate face decât prin exercițiu. Această activitate este o îndemânare practică, deci are nevoie de antrenament, aproape la fel ca orice activitate practică. Efortul pe care elevul îl depune pentru rezolvarea conștientă a unei probleme presupune mobilizarea proceselor psihice de cunoaștere, cu precădere a gândirii. Formarea priceperii de a analiza situația dată de problemă și descoperirea căii de rezolvare duc la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă. În rezolvarea de probleme sunt mobilizate nu numai procesele de cunoaștere, ci întreaga personalitate a elevului.

În matematică nu se lucrează numai cu mintea, pasiunea matematică fiind motorul activității. De aceea un rol extrem de important îi revine învățătorului în călăuzirea activității elevilor astfel încât să-i facă să simtă farmecul acesteia. Apariția ideii în rezolvarea unei probleme este în esență un act de descoperire, cu toate implicațiile lui psihice. Nu întotdeauna efortul făcut pentru rezolvarea unei probleme este încununat de succes. În acest caz, elevii trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung la rezultat, în acest fel educându-le voința, dârzenia, perseverența.

Prin conținutul lor, problemele contribuie la educarea atitudinii față de muncă, a spiritului de echipă, a disciplinei conștiente. Toate acestea sunt valabile cu preponderență la elevii din clasele mici, unde se pun bazele formării trăsăturilor morale ale omului și unde activitatea de rezolvare a problemelor are un rol formativ foarte evident. Bineînțeles că rezolvarea problemelor exercită o influență formativă asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii. Cu cât se înaintează către clasele mari, cu atât mai mult aceasta se referă la formarea unei gândiri profunde și perspicace, a exactității și corectitudinii, a dârzeniei, a spiritului de inițiativă, a independenței.

Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematică cea mai bogată în valențe formative, în ea concentrându-se întreaga experiență dobândită de elev, atât în studierea și cunoașterea numerelor, cât și a calculului, acestea devenind elemente auxiliare în rezolvarea problemelor. Bogatele valențe formative ale activității de rezolvare de probleme nu se valorifică, însă, de la sine, în mod spontan. Lăsată pe seama spontaneității, eficiența formativă a rezolvării problemelor este limitată și se poate dirija în direcții negative, formându-se unele priceperi și deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii și a atitudinii independente a elevilor. De aceea este necesară o preocupare permanentă a învățătorului pentru valorificarea valențelor formative ale activității de rezolvare a problemelor și de sporire a acesteia. Cercetările și experimentele efectuate privind rezolvarea problemelor au relevat faptul că de multe ori nu sunt cunoscute, sau nu sunt conștientizate suficient resursele formative ale rezolvării problemelor, aceasta fiind una dintre cauzele pentru care valorificarea lor este sub nivelul disponibilităților de care dispun elevii. O bună parte din energia creatoare a elevilor rămâne neutilizată, aceștia nefiind solicitați la nivelul posibilităților de care dispun.

De multe ori, în ceea ce privește rezolvarea problemelor, atenția învățătorului se fixează pe unele aspecte mai puțin importante ale activității, ca de exemplu: scrierea textului integral al problemei, scrierea întotdeauna a întrebărilor, accentul pus pe operațiile aritmetice, etc., acestea ducând la neglijarea aspectelor esențiale ale activității (linia raționamentului problemei, antrenarea pentru viziunea de ansamblu a problemei). Toate acestea oferă condiții mai puțin proprii pentru stimularea gândirii creatoare a elevilor.

Rezolvarea problemelor implică o succesiune de operații logice, care în final conduc la o soluție și care nu este altceva decât schema de rezolvare a problemei. Pentru rezolvarea cu ușurință a oricărei probleme, elevul trebuie să posede o serie de cunoștințe de matematică dobândite anterior, unele scheme operaționale întâlnite în problemele rezolvate anterior, elemente care, treptat, se automatizează. Dacă gândirea elevilor nu este dirijată spre generalizarea elementelor esențiale, elevii ajung să acorde importanță elementelor neesențiale și aplică acțiuni mentale automate la situații în care acestea nu sunt adecvate. Astfel, rezolvând problemele nesistematizate după un criteriu logic, fără a solicita o linie ascendentă a efortului de gândire, neurmărind generalizarea trăsăturilor esențiale și nici formarea treptată a unor operații intelectuale necesare în rezolvarea unor probleme tot mai complexe, toată această suită de sarcini realizându-se la voia întâmplării duce la efecte negative în ceea ce privește dezvoltarea gândirii elevului. De aceea, mulți elevi ajung să poată rezolva probleme asemănătoare cu cele rezolvate în clasă, dar nu pot face față atunci când se modifică fie și numai unele elemente neesențiale, din cauză că nu au formate deprinderi elementare de analiză a problemei în totalitatea ei.

Pentru a găsi soluția unei probleme, gândirea elevului trebuie lăsată liberă să iscodească, să încerce, chiar dacă pornește pe căi fără șanse de reușită, de multe ori și eșecul fiind un factor pozitiv. Acțiunea de căutare independentă a soluției are o eficiență formativă mult mai mare decât dirijarea elevului către soluția corectă, care îl scutește de efort, dar îl privează și de trăirea emoțiilor căutării și de bucuria descoperirii.

De foarte multe ori, subapreciind posibilitățile elevilor sau din teama că nu vor putea depăși singuri anumite dificultăți puse de problemă, învățătorul este tentat să conducă elevii direct la soluție prin diverse metode. Rezolvarea “pe secvențe“, cum este în general numită o rezolvare dirijată de învățător, este utilă și chiar binevenită atunci când se lucrează o problemă care se încadrează într-o categorie sau un tip nou, dar este total neproductiv să fie folosită de fiecare dată, indiferent de problemă, de clasa cu care se lucrează sau de experiența elevilor, și aceasta din cauza faptului că această modalitate de lucru nu dă posibilitatea elevului să privească problema în ansamblul ei și să facă eforturile necesare de a parcurge etapele logice de rezolvare. Ca urmare, elevii se obișnuiesc să fie în permanență ajutați, ajungând ca atunci când sunt puși singuri în fața unei probleme de aceeași dificultate să o abandoneze pur și simplu, fără a face nici măcar efortul minim de a încerca rezolvarea ei.

Alteori, gândirea creatoare a elevilor este frânată de pretinderea folosirii unui limbaj prea elevat, sau de folosirea acestui tip de limbaj chiar în enunțul problemei, când elevii nu reușesc să înțeleagă termenii problemei. Copilul trebuie lăsat să iscodească, să caute, în momentul în care gândirea sa s-a declanșat într-o direcție anume, și abia apoi, când momentul de tensiune a trecut, când gândirea și atenția sa devin disponibile, când soluția a fost descoperită sau măcar întrevăzută, i se poate cere o exprimare cât mai corectă și completă.

O altă problemă care se poate întâmpina în această activitate este concentrarea elevilor către efectuarea calculelor și pierderea din vedere a raționamentului de rezolvare a problemei, ceea ce duce la îngreunarea activității de rezolvare.

Rezolvarea corectă a unei probleme de aritmetică nu este posibilă decât în urma unei analize profunde a datelor și a relațiilor dintre ele, analiză care să permită elevului o serie de reformulări ale problemei, apropiindu-l astfel, din etapă în etapă, de soluție. Din lipsă de experiență, elevul mic întâmpină dificultăți în analiza riguroasă a datelor problemei. De aceea, încă din perioada rezolvărilor orale, printr-o analiză detaliată a conținutului problemei pe baza dialogului dirijat, elevii trebuie îndrumați să-și însușească următoarele adevăruri:

orice problemă presupune un enunț;

enunțul conține una sau mai multe propoziții;

enunțul oferă mărimi (numere), numite date ale problemei;

între datele problemei (mărimi cunoscute) se pot stabili relații matematice;

relațiile matematice dintre aceste mărimi se pot exprima prin operații matematice;

orice problemă are cel puțin o întrebare;

rezolvarea problemei înseamnă răspunsul la întrebare;

răspunsul la întrebarea problemei se poate afla prin efectuarea uneia sau mai multor operații matematice;

uneori problemele se pot rezolva prin mai multe metode.

Școlarul mic reușește să rezolve probleme de aritmetică dacă analizează pas cu pas datele problemei și stabilește relații între ele. La un moment dat el trece însă direct de la perceperea datelor la efectuarea de operații aritmetice, care pot fi considerate ca scheme automatizate ale gândirii, pe care copilul le folosește trecând peste etapa de analiză, ceea ce denotă un nivel mai dezvoltat al priceperii de a rezolva probleme.

Capitolul IV. Concluzii privind studiul de caz

Toți participanții activi la procesul instructiv-educativ din cadrul școlii sunt conștienți că în fața lor stă sarcina importantă a formării tinerei generații. În școală, spiritul independent și creator se dezvoltă în mod deosebit în procesul de rezolvare și compunere a problemelor, prin descoperire, prin cercetare. Problemele orientează gândirea elevilor în direcții divergente, soluțiile sunt căutate prin investigații. Astfel, necesitatea culturii matematice pentru orice om devine astăzi tot mai acută, ea făcând parte integrantă din cultura generală a fiecăruia.

Viața va pune în fața elevilor fel de fel de probleme, cu un grad din ce în ce mai crescut de complexitate. De aceea, școala trebuie să pregătească elevii pentru muncă și viață, în raport cu cerințele societății, adică trebuie pregătiți oameni creativi, adaptabili la nou. Educarea creativității la copii constituie o preocupare prioritară a pedagogiei și trebuie să devină o sarcină principală pentru învățător.

În lucrarea mea am încercat să descopăr procedeele și metodele cele mai bune pentru a fi folosite în optimizarea urmăririi acestei sarcini. Am încercat să demonstrez că se impune folosirea unei metodologii active în procesul de rezolvare a problemelor (problematizarea, învățarea prin descoperire, algoritmizarea și jocul didactic), precum și că trebuie pus un accent deosebit pe munca independentă, care are un aport deosebit în antrenarea gândirii elevilor la un efort gradat și susținut, ajutând astfel la dezvoltarea creativității și dezvoltarea capacităților intelectuale la elevi.

Creativitatea este autentică numai când își asigură prin propriile resurse posibilitatea de continuă regenerare, fiind o componentă a căutărilor permanente. Jocurile didactice cu caracter matematic își pot aduce contribuția la dezvoltarea flexibilității și creativității gândirii elevilor.

Creativitatea se realizează prin educarea gândirii, dar un rol important revine și factorilor motivaționali pentru realizarea acestui scop. Motivația – nota sau calificativul primite pentru un răspuns corect, precum și imensa satisfacție resimțită de elev atunci când rezolvă singur un exercițiu sau o problemă, trebuie luată în considerare în practica didactică. Astfel, consider că trebuie insistat pe înțelegerea noțiunilor matematice și pe însușirea acestora prin efort personal, încercând să-i deprindem pe elevi să învețe matematica gândind. Solicitând în mai mare măsură operațiile gândirii naliza, comparația și mai ales abstractizarea și generalizarea), elevii trebuie deprinși să observe problema în ansamblul ei, pentru a o putea transpune în exercițiu. Activitatea didactică în general, dar mai ales cea desfășurată cu elevii de vârstă școlară mică este o muncă de creație, prin care elevii trebuie ajutați și învățați să gândească, să facă legături logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercițiu ceea ce de fapt se rezolvă prin mai multe etape și mai multe exerciții distincte.

Un mare accent consider că trebuie pus pe dezvoltarea spiritului de independență și a încrederii în forțele proprii prin stimularea inițiativei de a încerca rezolvări cât mai variate și cât mai ingenioase a problemelor. De aceea, elevii trebuie învățați să-și dezvolte autocontrolul, printr-un antrenament continuu.

Pentru creșterea continuă a gradului de conștientizare, elevii trebuie ajutați să facă efortul de a se ridica de la nivelul unei rezolvări concrete (calcul cu numere) la un nivel de generalizare la care sesizează relațiile dintre datele problemelor. Elevii trebuie îndrumați pentru a compune exerciții și probleme, pentru a-și da singuri de lucru, o activitate creatoare care îi solicită foarte mult, dar cu puternice valențe formative. Judicios organizată, activitatea independentă cuprinde largi disponibilități pentru munca creatoare, dar este recompensată formativ prin cultivarea spiritului de observație, a gândirii, imaginației, a deprinderilor de studiu, precum și a perspicacității.

În școală, deci, elevii trebuie învățați să gândească, să modeleze diversele fenomene reale, să opereze cu concepte noi. Dar succesul oricărei activități didactice depinde în primul rând de temeinicia pregătirii ei, de aceea înaintea începerii oricărei activități trebuie stabilite cu precizie obiectivele operaționale urmărite, resursele educaționale disponibile, strategiile didactice potrivite, precum și modul de evaluare a realizării obiectivelor urmărite.

În viitoarea mea activitate didactică voi experimenta practic metodele expuse pe parcursul acestei lucrări, încercând să valorific cunoștințele teoretice acumulate în studiu, precum și să depistez eventualele neajunsuri și să le contracarez. Voi încerca, printr-o muncă sistematică și continuă să dovedesc că se pot obține rezultate mai bune prin valorificarea valențelor formative ale activității de rezolvare și compunere în ciclul primar.

BIBLIOGRAFIE

Albu G., Introducere într-o pedagogie a libertății. Despre libertatea copilului și autoritatea adultului, Editura Polirom, 1998.

Aron I., Metodica predării aritmetice la clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică și pedagogică, București, 1975.

, Herescu Gh., Aritmetică pentru învățători, Editura didactică și Pedagogică, București, 1977.

Aron I., Herescu Gh., Dumitru A., Matematică pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1996.

, Aptitudinea matematică la școlari, Editura Academiei Române, București, 1991.

Bobuncu V., Caleideoscop matematic, Editura albatros, București, 1979.

Catană A., Metodica predării matematicii, Editura didactică și Pedagogică, București, 1983.

Câmpan Fl., Povești despre numere măiestre, Editura Albatros, București, 1981.

Călin M., Teoria educației. Fundamentarea epistemică și metodologică a acțiunii educative, Editura All, București, 1996.

(coord.), Perfecționarea lecției în școala modernă, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

, O investigație în sfera microuniversului pedagogic-procedeele didactice, Revista de Pedagogie, nr.4, 1984.

Chiței A., Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetică, Editura didactică și Pedagogică, București, 1958.

Constantinescu D., Dumitrescu P., Probleme de matematică, Editura Offset Color, Râmnicu Vâlcea 2000.

Cosmovici A., Iacob L. (coord.), Psihologie școlară, Editura Polirom, 1998.

Crețu C., Psihopedagogia succesului, Editura Polirom, 1997.

Crețu E., Psihopedagogia școlară pentru învățământul primar, Editura Aramis, 1999.

Cristea S., Pedagogie generală. Managementul educației, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București 1996.

Cristea S., Dicționar de pedagogie, Editura Litera. Litera Internaținal, Chișinău-București, 2000.

Debesse M. (coord.), Psihologia copilului, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1970.

Dima S., Pâlclea D., Țarcă E., Jocuri logico-matematice pentru preșcolari și școlari mici. Organizare-imaginare-realizare, Editată de Revista Învățământului Preșcolar, București, 1998.

Dragu A., Structura personalității profesorului, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1996.

Druță F., Psihologie și educație, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1997.

Dumitru A., Herescu G., Matematică, manual pentru clasa I, Editura Didactică și Pedagogică, 1995.

Dumitru A., Herescu G., Matematică pentru clasa a II-a. Caietul elevului, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996.

Dumitru A., Herescu G., Matematică pentru clasa a II-a. Ghidul învățătorului, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996.

Fischbein E., A învăța și a înțelege, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1969.

Freudenthal H., Limbajul logicii matematice, Editura Tehnică, București, 1973.

Geissler E., Mijloace de educație, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.

Georgescu-Buzău E., Matei N., Exerciții de teoria mulțimilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972.