Metodologia Predarii Invatarii Notiunii de Problema Si de Rezolvare Si Compunere a Problemelor de Matematica Pentru Invatamantul Primar
Metodologia predării-învățării noțiunii de problemă și de rezolvare și compunere a problemelor de matematică pentru învățământul primar
CUPRINS
Argument
CAPITOLUL I Bazele psihopedagogice ale predarii –învățării matematicii in învățământul primar
I .1 Caracteristici ale învățării la elevii din învățământul primar
I. 2 Premise psihopedagogice ale învățării matematicii, formarea reprezentarilor și conceptelor matematice, structura conceptuală a disciplinei
I.3. Gândirea – factor cognitiv-intelectual al învățării
I.4. Tipuri de gândire
I.5. Activitățile gândirii
CAPITOLUL II
Repere metodologice ale predării-învățării matematicii în ciclul primar prin rezolvarea de probleme
II.1. Locul matematicii în Curriculum-ul Național pentru învățământul primar
II.2. Matematica de tranziție de la învățământul preșcolar la învățământul primar
II.2.1. Elemente de continuitate în predarea învățarea-matematicii de la grupa mare la clasa pregătitoare
II.2.2. Elemente specifice ale predării matematicii la clasa pregătitoare și la clasa I
CAPITOLUL III
Metodologia rezolvării problemelor de matematică în învățământul primar
III.1. Noțiunea de problemă de matematică în programa pentru învățământul primar
III.2. Etapele rezolvării problemelor de matematică
III.2. Rezolvarea de probleme din programa de matematicǎ a învǎtǎmântului primar
III.3.1. Clasificarea problemelor de matematică
III.3.2. Metode de rezolvare a problemelor de matematică în ciclul primar
CAPITOLUL IV
Metode și tehnici de evaluare a învățării pe bază de probleme în ciclul primar
IV.1. Forme și caracteristici ale evaluǎrii
IV.2. Activități specifice privind rezolvarea și compunerea de probleme la clasele primare
IV.3. Probe de evaluare sumativă
Concluzii
Bibliografie
Anexe
ARGUMENT
În condițiile în care școala contemporană deplasează accentul de pe memorarea unui volum de cunoștințe pe dezvoltarea gândirii creatoare, pe însușirea metodelor și tehnicilor muncii intelectuale, pe dobândirea deprinderilor de muncă independentă, elevul devine participant activ la propria formare, iar învățătorul se situează pe o nouă poziție, aceea de îndrumător al elevului.
Faptul că învățarea participativ-creativă a devenit problema centrală a didacticii moderne, a dat naștere la numeroase căutări în vederea descoperirii modalităților eficiente de educare a elevilor în spiritul unei atitudini conștiente și active, care să-i antreneze permanent pe copii la un efort mintal susținut și să-i înarmeze cu capacitățile necesare unei activități de învățare productivă care să solicite intens operațiile gândirii logice.
Consider importantă această temă întrucât activitatea de rezolvare de probleme are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare
mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.
Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și mai antrenată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. Prin rezolvarea problemelor de matematică, elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ, își cultivă și educă calitățile moral – volitive. În același timp, se îmbogățește orizontul de cultură generală al elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ ( informații legate de distanță, timp, cantitate, greutate etc.).
Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice cu care se vor confrunta în viață.
Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.
Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de aritmetică conduce la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții.
Toate aceste valențe formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică justifică importanța temei alese, motiv pentru care învățătorul trebuie să îi acorde atenția cuvenită.
Programa de matematică prevede, pentru fiecare clasă a ciclului primar, obiective cadru, obiective de referință, exemple de activități de învățare și conținuturi referitoare la rezolvarea problemelor de aritmetică. De asemenea, aspecte privind rezolvarea și compunerea de probleme de aritmetică sunt cuprinse și în conținutul a 5 standarde curriculare de performanță (din totalul de 14) la finele învățământului primar, ceea ce evidențiază importanța și actualitatea temei alese.
Cuprins
CAPITOLUL I Bazele psihopedagogice ale predarii –învățării matematicii in învățământul primar
I .1 Caracteristici ale învățării la elevii din învățământul primar
I. 2 Premise psihopedagogice ale învățării matematicii, formarea reprezentarilor și conceptelor matematice, structura conceptuală a disciplinei
I.3. Gândirea – factor cognitiv-intelectual al învățării
I.4. Tipuri de gândire
I.5. Activitățile gândirii
CAPITOLUL I Bazele psihopedagogice ale predarii –învățării matematicii in învățământul primar
I.1 – Caracteristici ale învățării la școlarul mic
Instruirea și educația elevilor nu se poate face fără o bună cunoaștere a dezvoltării psihice, a problemelor psihologice sociale cu care se confruntă aceștia.
Psihologia școlară are ca obiective principale: cunoașterea, înțelegerea dezvoltării psihice și morale a elevilor, cunoașterea condițiilor psihologice ale învățării școlare, analiza din punct de vedere psiho-social a relației învățător – elev, cunoașterea personalității elevului, rolul factorilor extrașcolari în instruirea și educarea lui, etc.Ea trebuie să facă apel la informațiile oferite de psihologia vârstelor, psihologia dezvoltarii personalității, subramuri specializate ale șistemului disciplinelor psihologice.
Școlarul mic poartă pe umerii lui mici "averea " câtorva ani de viață foarte bogați în transformări .Această bogăție trebuie bine cunoscută și bine folosită de viitorul educator pentru a o putea valorifica și potența la maximum.
Antrenată continuu în activitatea școlară, activitatea intelectuală se intensifică și suferă modificări după 6 ani la majoritatea copiilor. Primul aspect al modificărilor mai semnificative pe planul acesteia se exprimă în schimbări ale caracterului investigativ și comprehensiv al percepției și observației ca instrumente ale cogniției.¹
Antrenate și exercitate, capacitățile senzoriale-perceptive și interpretative ( său comprehensive) ale percepției devin mai acute și eficiente. Sensibilitatea discriminativă și percepția se dezvoltă .
Orientarea dreapta- stânga, sus- jos, constituie punctul de plecare pentru o activitate intelectuală complicată și multilaterală . Această activitate cuprinde antrenarea memoriei, a inteligenței , a atenției , a reprezentărilor , pornind de la percepții care se constituie la rândul său pe suportul micilor semne.
Programele școlare antrenează dezvoltarea percepției pe linia stabilirii de finețe a mărimii, a proporționalității, a mărimii la scară. Raporturile de mărime
( egalitatea tot atât de mare) , proporțiile jumătate, sfert ( identificarea întregului, metrului, centimetrului ), identificarea liniilor verticale, orizontale, ale poziției devin indicii de orienatre după ce li se decodifică înțelesul.
Tot pe planul perceptiv se conturează evaluări din ce în ce mai fine legate de mărime, se pune în evidență kilogramul, multiplii și submultiplii acestuia, raporturile spațiale deja intuite – legate din ceea ce se înțelege prin aproape , pe lângă, deasupra, sub, etc. includ și forme de distanțe, înțelegerea ideii de mișcare "la scară", de comprimare a spațiului redării lui "grafice" și a "citirii" ulterioare a simbolurilor respective.
De fapt, prin procesul învățării copilul trebuie să manipuleze o cantitate enormă de informații asimilate sau care se cer asimilate. Acest fapt nu este posibil fără transformarea cunoștințelor în reprezentări. Acestea din urmă se consideră a fi activități cognitive de două feluri : scheme și imagini.
Printre unitățile cognitive se mai enumeră ( alături de scheme și imagini) marea categorie a simbolurilor și a conceptelor . Cele 4 unități de cunoaștere se modifică ontogenetic în ceea ce privește proporțiile. Ca fenomen mai expresiv se semnalează creșterea volumului simbolurilor și apoi a conceptelor în perioada școlară mică. Cele mai numeroase simboluri sunt literele, cuvintele și numerele.Există însă și alte simboluri . Ele sunt foarte numeroase în activitatea socială . În procesul învățării școlare, înțelegerea a numeroase probleme de geometrie , geografie, implică masiv scheme, imagini, simboluri.
Pe planul instrumentar al inteligenței se conturează și conținutul conceptelor care constituie a 4 -a unitate a activității cognitive.
Există trei atribute ale conceptelor ce se modifică odată cu vârsta . Acestea sunt: validitatea, statutul și accesibilitatea.
Validitatea conceptelor se referă la gradul în care înțelesul ce este acordat unui concept de către copil este acceptat ca adevărat.
Statutul conceptelor este unul din atributele cele mai importante ale acestora și se referă la claritatea, exactitatea și stabilitatea de folosire a conceptului în planul gândirii. Conceptul de număr capătă statut de folosire conceptuală doar la școlarul mic, la fel conceptul de "mulțime " ca și conceptul de " corp" și "substanță" ca forme conceptuale, integratoare. Prin statut apare aspectul de întregrarea în rețea de sistem a conceptelor. Perioada școlară mică este prima în care se constituie rețele de concepte empirice prin care se constituie și se organizează piramida cunoștințelor.
Accesibilitatea se referă la disponibilitatea satisfacerii de informație a gândirii în a înțelege ansamblul atributelor conceptului. Accesibilitatea se referă deci la capacitățile de înțelegere și comunicare a conceptelor.
În procesul învățării, conceptele sunt considerate ca absolute . În perioada școlară mică se dezvoltă cunoașterea directă, ordonată, conștientizată, prin lecții, dar crește și învățarea indirectă, dedusă suplimentară, latent implicată în cunoașterea școlară de ansamblu. Gândirea operează cu cunoștințe ( scheme, imagini, simboluri, concepte) dar și cu operații și reguli de operare. Există o interrelație operațională între reguli, deoarece elementele de bază ale regulilor sunt operațiile.
Operațiile sunt instrumente de bază ale relaționării efectuate de gândire și inteligență cu concepte sau informații. Regulile exprimă valorificarea conceptelor efectuată de inteligență, ordinea pe care inteligența și gândirea o realizează prin intermediul informației . Accesibilitatea regulilor este dependentă de nivelul de dezvoltare al gândirii și inteligenței, inclusiv a informațiilor de care dispune și pe care le poate manipula.
J. Piaget a elaborat un sistem psihologic interesant în care a fa și stabilitatea de folosire a conceptului în planul gândirii. Conceptul de număr capătă statut de folosire conceptuală doar la școlarul mic, la fel conceptul de "mulțime " ca și conceptul de " corp" și "substanță" ca forme conceptuale, integratoare. Prin statut apare aspectul de întregrarea în rețea de sistem a conceptelor. Perioada școlară mică este prima în care se constituie rețele de concepte empirice prin care se constituie și se organizează piramida cunoștințelor.
Accesibilitatea se referă la disponibilitatea satisfacerii de informație a gândirii în a înțelege ansamblul atributelor conceptului. Accesibilitatea se referă deci la capacitățile de înțelegere și comunicare a conceptelor.
În procesul învățării, conceptele sunt considerate ca absolute . În perioada școlară mică se dezvoltă cunoașterea directă, ordonată, conștientizată, prin lecții, dar crește și învățarea indirectă, dedusă suplimentară, latent implicată în cunoașterea școlară de ansamblu. Gândirea operează cu cunoștințe ( scheme, imagini, simboluri, concepte) dar și cu operații și reguli de operare. Există o interrelație operațională între reguli, deoarece elementele de bază ale regulilor sunt operațiile.
Operațiile sunt instrumente de bază ale relaționării efectuate de gândire și inteligență cu concepte sau informații. Regulile exprimă valorificarea conceptelor efectuată de inteligență, ordinea pe care inteligența și gândirea o realizează prin intermediul informației . Accesibilitatea regulilor este dependentă de nivelul de dezvoltare al gândirii și inteligenței, inclusiv a informațiilor de care dispune și pe care le poate manipula.
J. Piaget a elaborat un sistem psihologic interesant în care a făcut referiri cu predilecție la reguli și la operarea cu reguli, studiind în special dezvoltarea
ontogenetică a operațiilor și a grupărilor de operații prin care ies în evidență regulile informale și formale convertibile( exprimă caracteristicile operativității nespecifice gândirii).
La fiecare nivel al dezvoltarii psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii și o plasare la nivel operativ foarte diversă. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a inteligenței și o tipologie a gândirii ce este evidentă la nivelul de dezvoltare dîntre 6-10 ani. În acest sens, există variante de gândire concretă- intuitivă, variante de gândire teoretică, variante de gândire socială .
În perioada școlară mică , operativitatea gândirii avansează la planurile figural simbolic semantic și acțional la nivelul unităților claselor, relațiilor, relațiilor și șistemelor și ceva mai lent la nivelul transformărilor și implicațiilor.
Operativitatea specifică a gândirii se organizează cu grupări sau structuri de operații ( reguli) învățate, destul de flexibile pentru a fi aplicate la situații foarte diverse și destul de unitare spre a constitui grupări său structuri de operații distincte.
Aceste reguli operative sunt adevărați algoritmi ai activității intelectuale și se pot grupa în trei categorii:
algoritmi de lucru sau de aplicare- dezvoltare;
algoritmi de identificare sau de recunoaștere a unor structuri, relații, tip de fenomene;
algoritmi de control care implică grupări de reversibilități.
Orice algoritm al activității intelectuale este compus din pași și strategii
(algoritmi simpli, numeroși, variați său de același tip, ca în adunările său scăderile cu numere mari și algoritmii complecși).
În funcție de strategiile implicate în alogoritmi, acestea pot fi lineare( ca în adunare și scădere) său ciclice ( ca în înmulțire și împărțire cu numere mari).
Algorimi de lucru ( cum ar fi cei de adunare, scădere, înmulțire, împărțire) ai regulii de trei simple și regulii de trei compuse, aflării suprefeței dreptunghiului, triunghiului, sunt implicați în rezolvările de probleme și exerciții aritmetice , geometrice.Algoritmii de recunoaștere sunt specifici pentru situațiile de identificare a datelor cunoscute unei probleme aritmetice.
Algorimii de control se utilează în calcule aritmetice, în activități intelectuale, care se supun unor reguli implicite ( ce trebuie respectate de fiecare dată ) și ale căror rezultate duc la relații controlabile.
Algoritmii activităților specific ( pentru domeniul aritmeticii) se însușesc prin învățare și exercițiu și condensează cunoștințele și operații valide pentru un domeniu, ceea ce înseamnă că odată însușiți algoritmii, permit rezolvarea prin efortul intelectual a foarte numeroase situații – problemă. Învățarea algoritmilor permite aplicarea lor cu ușurință în rezolvarea de probleme pe care aceștea o generează prin utilizare.Prin intermediul algoritmilor activității intelectuale se realizează o permanentă analiză și un continuu liaj în structura cunoștințelor li se dezvoltă competența de domeniu ( aritmetic).
Operativitatea nespecifică se dezvoltă nu numai pe seama operativității algoritmice specifice, ci și în alte situații. Există probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloace cunoscute( algoritmii disponibili la nivelul de școlarizare primar) .Sesizarea acestora creează un fel de interes și o stare de incertitudine intelectuală specifică ce face ca aceste situații problematice să devină de mai mare stimulație a dezvoltării intelectuale.
Dezvoltarea intelectuală nu se consumă numai prin rigorile lecțiilor școlare.În contextul vieții de fiecare zi există o creștere a aptitudinilor intelectuale în genere și o creștere a tensiunii cunoștințelor acumulate – cerințe de coeziune între ele.Mai mult decât atât, ca și în cazul limbajului și în cel al planului mintal se manifestă racordări ce dau structuri matriceale complexe( de concept, imagini, simboluri, scheme, algoritmi, reguli) ce exprimă funcții generative.
In timp ce școlarul din clasele I-II se izbește și este dominat de rigorile regulilor și cerința de operare cu concepte în moduri specifice, a căror încalcare este sancționată prin blam, note școlare și calificative- aspectele implicate în fantezie, ca și în investigația liberă se interiorizează discret în aceste noi condiționări.
Se formează treptat, după 8-9 ani, capacitatea de a compune, crește capacitatea de a povesti și de a crea povestiri, se creează în povestiri întriga de acțiune, culoarea locală, abilitatea de a folosi elemente descriptiv- literare.
Spre 9-10 ani formele de gândire divergentă se antrenează , ele fiind favorizăte de lecții în care se creează atmosferă de emulație, joc. Ghicitorile, jocurile de istețime, construcțiile de probleme etc. constituie terenul pe care se dezvoltă și creativitatea .
Un alt teren de dezvoltare a acesteia este dictat de activitățile practice, de activitățile din cercuri etc.Jocul devine încărcat de cerință crescândă de exploatare de terenuri noi.
Toate acestea creează o complexă antrenare a capacităților psihice multilaterale, dar și condiții diverse de antrenare a numeroase abilități, ale inventivității, ale antrenării de strategii și tehnici creative și de inteligență care suplimentează activ dezvoltarea psihică.
I.2 – Premise psihopedagogice ale învățării matematice, formarea reprezentărilor și conceptelor matematice, structura conceptuală a disciplinei
Contactul cu unele noțiuni matematice are o contribuție esențială la statornicirea planului simbolic, abstract – categorial, în evoluția mintală a școlarului din clasa pregătitoare și clasa I , cu condiția însă ca prin programul de instruire să nu fie întreținută învățarea mecanică, nerațională, izolată de dezvoltare.
Pe parcursul unor semnificative unități de timp, școlarii mici sunt antrenați în rezolvarea unor sărcini caracterizate prin anumite variante de relaționare a cunoscutului cu necunoscutul, care, ca structuri matematice, au o schemă logică asemănatoare .Pe fondul unor structuri de bază, poate fi proiectată o infinitate de construcții operaționale particulare, variind dimensiunile numerice ale mărimilor și însuți numărul mărimilor puse în relație.Elevii sunt familiarizați cu mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului natural de numere, ca și cu tehnica primelor două operații matematici fundamentale- adunarea și scăderea – în limitele concentrului 0-10 și apoi în limitele altor concentre, mergând până la 100, își îmbogățesc considerabil nomenclatorul noțional.
Astfel află că numerele se cheamă termeni, sumă( total), altele descăzut, scăzător, rest(diferență), constată și se conving că: pentru a soluționa ? + b = c trebuie să scadă , pentru a soluționa ? – b = c trebuie să adune , pentru a
Soluționa a- ? = c, trebuie să scadă.Este un gen de operativitate care cultivă flexibilitatea, concură la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și care , în anumite condiții, ar putea să stimuleze descoperirea, înțelegerea, judecata, raționamentul matematic discursiv. Este vorba de o strategie care-l pune pe elev în situația de a conștientiza de fiecare dată semnificația distinctă a necunoscutei și de a ajunge la ea prin mecanismul mediator al raționamentului care își asociază ca tehnică operațională, când adunarea, când scăderea .Acestă strategie are avantajul de a pregăti terenul achiziționarii de către școlarul mic a capacității de a rezolva probleme, învățându-l să diferențieze între semantica lui ce se dă și a lui ceea ce se cere, din a căror comparare se va extrage informația necesară stucturării a ceea ce se cheamă plan de rezolvare a unei probleme.
Unul din riscurile întroducerii defectuoase a școlarului de clasa I în cunoștințele matematice este acela la separării, în timp și în spațiu, a exercițiului practic de cunoștință teoretică generalizatoare ( regula, principul de rezolvare ) plasate în actul învățării ca acte neasociate, ca tipuri de cunoștinte autonome, făra a li se crea prilejul de a se fonda una pe alta și de a se ilustra una prin alta. Drept urmare, practicând o învățare a matematicii în regimuri disparate, școlarul mic ajunge într-un caz când ocupă doar cu reluarea, repetarea și exersarea părții tehnice a exercițiilor, la veritabile automatisme, iar în cazul al doilea, când este nevoit să memoreze structuri verbale purtătoare ale regulilor predării și scăderii, ca evenimente diferite, necorelate cu primele, lunecă spre o învățare intelectualist- reproductivă.Acțiunea practică, neînțeleasă și neexplicată cognitiv și structurile verbo-cognitive, nereproduse acțional, conduc la același efect:învățarea mecanică.Formula verbală generalizată a acțiunii matematice nu se suprapune de la sine conținutului ei practic-operațional, ci numai dacă cele două forme au concrescut genetic, aparând nu ca niște experiențe de învățare necorelate, ci ca două fațete, coarticulate, ale aceleiași cunoașteri.
Sincronizarea acestor două serii de evenimente se soldează în plan didactic cu două categorii de efecte pozitive :
așezarea învățării matematice pe temeiul gândirii logice;
scurtarea termenelor învățării și eliberarea unor rezerve de timp pentru captarea de noi cunoștințe.
Momentul inițial al pătrunderii școlarului mic în relațiile matamatice se izbește și de dificultăți, între care, persistența unor orientări fixate eronat- de exemplu, fixarea aperceptivă asupra lui „minus” ca fiind „plus” și invers, conștientizarea neadecvată a poziției operatiilor matematice al operației de scădere-descăzut (d) și scăzător (s) – și a relației între ele, în sensul că întotdeauna d>s și că nu se poate scădea un numar mai mare dintr-un număr mai mic, diferențierea nesatisfăcătoare, la nivelul sarcinilor – problemă; a planului lui ce se dă de planul lui ceea ce se cere.
Clasele a II a , a IV a deschid în fața copilului un nou câmp de șituații de învățare .
Pe măsură ce instruirea și învățarea se mișcă de la praguri inferioare către praguri superioare, crește dificultatea pentru elev de a rezolva noile sarcini, iar acestea fac să crească și nivelul de vârstă mentală căruia îi corespunde fiecare nouă sarcină.
La clasa a II a se lărgește repertoriul adunării și scăderii ( 0-1000 cu și fără trecere peste ordin) și se introduc operații noi: înmulțirea și împărțirea. Elevii fac cunoștință cu noțiuni de geometrie incipiente și capătă cunoștințe mai ample despre unitățile de măsură.
Restructutarea relaților pentru ponderile acordate transpunerii informației în coduri intuitive, verbal, acționale induce anumite raporturi între empiric și științific, între exemplu concret și modelul abstract, între rezolutivitate și reflecție, ca modele ale însușirii cunoștințelor matematice.Dacă modelul de învățare a matematicii din clasa I rămâne unul cu precădere intuitiv, empiric – o învățare „ pe văzute” (la nivelul de imagine) , „pe arătate”(prin demonstrație) și „pe încercate” (prin exerciții și antrenament) – în care relațiile matematice nu sunt disociate de relațiile dintre reprezentările lucrurilor, matematica din clasa a II-a reduce simțitor intuitivul, îl simplifică și, către sfârșit, chiar îl elimină.Ea conține nu doar mai multă informație, ci și mai multă metodă, sau, mai precis, pe lânga noile asociate, relațiile și operații matematice, ea conține și elemente de metodă, încurajând învățarea matematicii bazată pe întemeierea logicii și pe structuri conceptualizate.
Matematica din clasa a II a , prin noul tip de aplicații pe care îl propune, înseamnă un pas înainte, preocuparea pentru metodă ca principal factor al creării accesului elevului la gândirea matematică, este doar un început, pentru că și acum ceea ce predomină este tot exercițiul, aplicația, ceea ce va aduce le un efect de consolidare a deprinderii de calcul, înaintea judecății matematice.
La nivelul prolemelor de matematică de cele mai multe ori nu există o coincidență între direcția de curgere a textului și drumul spre soluție, ceea ce își pune amprenta asupra arhitehtonicii actului de învățare , facând ca structura lui orientativă (judecata) și cea executivă (efectuarea exercițiului) să vină una spre alta din sensuri diferite. Este aceasta un specific al accesului elevului la raționamentul matematic, care implică mișcarea reconstructivă, și reversibilă, drumul invers, parcurgerea în ambele sensuri conducând la atingerea scopului propus.
Formarea, la micul școlar, a capacităților matematice combinatorii, pluri și intraoperaționale, presupune ca mersul înainte, spre învățarea unei noi operații să fie însoțit de o mișcare simetrică spre înapoi, de reconsiderare și resemnificare a operațiilor deja învățate în clasa I. Este legitate faptul că orice nouă cunoștință intră în conexiune și interacțiune cu cele însușite anterior și incită la revizuirea lor.
Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a III a îl constituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor. Ea le furnizează „algebra” numirii, scrierii și citirii numărului, dezvăluindu-le însuși principiul constituirii numărului și al sitemului numeric – unitatea ,simplă său repetată , multiplicată la un număr de ori.Operațiile matematice fundamentale însușite în clasele I a și a II a sunt solicitate acum să lucreze în noi condiții, cele ale compartimentării ordinale ale numărului.
Scrierea, numirea și citirea corectă a numărului comportă o mișcare în dublu sens în structura numerelor: decrescător, de la stânga la dreapta, când citim corect numărul, când conștientizăm analitic prin citire, semnificația fiecărei componente a numărului.Împrejurarea acesta poate să genereze interferențe între procesele senzomotorii și mentale implicate în tripla acțiune de scriere, numire și citire a numerelor, deoarece elevii nu sunt antrenați special , în această dublă mișcare.
Dincolo de mulțimea obiectivelor instructiv- formative imediate, explicite, legate de parcurgerea fiecărei unități de învățăre din materia de clasa a III a, se concretizează zona unui obiectiv fundamental, către care trebuie canalizată în permanență învățare matematicii, nu numai pe parcursul clasei a III-a, ci, în general,de-a lungul; întregii școlarități:de exemplu, compunerea, descompunerea și recompunerea structurilor.
Matematica, domeniu al reversibilității, devine astfel un instrument de testare și mai ales, de cultivare a inteligenței elevului.
Etapa terminală a ciclului primar, clasa a IV a ocupă o poziție sui-generis în revoluția proceselor educaționale și, implicit, în devenirea personalității școlarului.
La matematică , temele care îi întroduc pe elevi în învățarea noțiunilor de funcție ca moduri de redare a relației parte-întreg, oferă foarte bune ocazii de educare a gândirii matematice.
Ilustrările, explicațiile și generalizările care se aduc în procesul predării pot să se constituie ca metode susceptibile care să-i conducă pe elevi la surprinderea esenței matematice.
I.3. Gândirea – factor cognitiv-intelectual al învățării
Gândirea umană este rezultatul unui puternic proces de “socializare” pe care îl parcurge omul încă din copilărie.
În evoluția gândirii individului se parcurg următoarele stadii :
stadiul sistemului schemelor senzorio-motorii, care duce la un fel de logică a acțiunii. În această perioadă toate achizițiile comportamentale ale copilului se interiorizează în intelect și constituie preludiul operațiilor gândirii propriu-zise.
stadiul gândirii concrete, stadiu în care gândirea este decisiv influențată de limbaj. În acest stadiu copilul sesizează realitatea, modificările și variațiile în lucruri, compunerea și descompunerea intuitivă a mulțimilor de obiecte, corespondențele de la un termen la altul.
stadiul gândirii simbolice, al gândirii logic – formale, care restructurează operațiile concrete, subordonându-le unor structuri noi, prin care se va dezvolta gândirea matematică precum și alte forme ale gândirii superioare.
Psihologul J. PIAGET surprinde stadiile dezvoltării gândirii, grupându-le în două stadii : stadiul preoperatoriu și stadiul operatoriu.
Faza preoperatorie :
senzoriomotorie ( 0 – 2 ani )
preconceptuală ( 2 – 4 ani )
intuitivă ( 4 – 6 –7 ani )
Faza operatorie :
concretă ( 6 / 7 -11 /12 ani )
formală ( 11 / 12 – 14 /16 ani )
Stadiile dezvoltării cognitive în viziune neo-piagetiana sunt:
Senzorio-motor ( de la naștere ) caracterizat de reacții motorii la stimuli senzoriali;
Iconic – aproximativ de la 18 luni- caracterizat de interiorizarea acțiunii; gândirea iconică se bazează pe imagini vizuale și pe afecte;
Gândirea simbolică concretă – aproximativ de la 6 ani – permite învățarea unor sisteme de simboluri ( alfabetul, cifrele ) și utilizarea lor instrumentală;
Gândirea formală – în jurul vârstei de 14 ani – permite teoretizarea realității;
Gândirea postformală ( dupa 20 de ani ) se caracterizează prin punerea în chestiune a limitelor convenționale ale teoriei și practicii și stabilirea unora noi ( Biggs, 1994 ).
Jean Piaget a demonstrat că acțiunile mintale, operațiile specifice gândirii provin din interiorizarea treptată a unor acțiuni pe care copilul le face mai întâi în mod real, în practica de fiecare zi.
Sursa gândirii copilului o constituie inteligența senzorio –motorie. În această perioadă inteligența copilului se bazează pe acțiuni, fiind lipsită de reprezentări și simbolistică verbală. Această “inteligență prelingvistică” ( cum o numește PIAGET ), bazată pe practică presupune o dezvoltare rapidă și are o importanță crucială pentru evoluția ulterioară.
În etapa preconceptuală mulți copii sunt învățați să numere până la 10 sau 20. Cum numără ei ? Cu ajutorul degetelor sau al unor obiecte. ( Ex. : 1 nasture, 2 nasturi, 3 nasturi, …, 10 nasturi ). Se obține deci un amestec de numărare și denumire.
Spre exemplu, preșcolarului de 4 – 5 ani îi așezăm un rând de 6 jetoane albastre, distanțate ușor între ele. Îi oferim apoi jetoane roșii și îi cerem să facă dedesubt un rând la fel. ( mai multe jetoane roșii ). Se constată că majoritatea copiilor construiesc un rând de aceeași lungime ca șirul model, dar așază jetoanele mai dese. Ei sesizează parcă numai marginile șirului model, fără să observe structura sa internă.
Treptat preconceptele vor câștiga în generalitate, în precizie conducând la constituirea claselor logice. Cu toate acestea gândirea preșcolarului mare ( 5 – 7 ani ) are un caracter intuitiv, ea continuă să rămână legată de imagine. Totuși, preșcolarul mare este capabil să sesizeze configurația ansamblului, fapt care îl va conduce spre un debut al logicii. Copilul de 6 – 7 ani va fi capabil să facă corespondența între cele două șiruri de jetoane, deci va sesiza că fiecare șir conține același număr de elemente.
Abia în acest stadiu, în preajma vârstei de 7 ani, se poate recunoaște la copii noțiunea de număr natural. Baza studierii aritmeticii, baza formării unei gândiri corecte o constituie tocmai această noțiune al cărei început se pune încă din grădiniță.
Copilul de 7 ani este capabil să sincronizeze actul verbal al numărării, cu desprinderea succesivă a unui element dintr-o mulțime dată. Tot la această vârstă, sporește numărul copiilor care sunt capabili să clasifice prin numărare, după un anumit criteriu, diferite obiecte ale unei mulțimi de jucării, de forme geometrice: după culoare, după formă sau volum.
Formarea noțiunii de număr natural necesită manipularea individuală a materialului didactic de către elevi pentru a cunoaște în concret puterea mulțimilor echivalente. Se vorbește astfel despre o exteriorizare a operatiilor de gândire în acțiuni concrete, pe obiecte, se exteriorizează, devenind acte de gândire verbală.
Spre exemplu: “Învățarea operației de adunare la clasa I”.
Copilul își însușește adunarea acționând cu obiectele. Adunarea în cadrul primelor zece unități se efectuează mai întâi sub forma mișcării externe, prin deplasarea și adăugarea reală a unui grup de obiecte la altul, după care copilul le consideră împreună. Copilul formează întâi grupe de obiecte ( bețișoare, castane, bile ) corespunzător numerelor date, apoi socotește în parte fiecare unitate a ambelor grupe ( 1, 2, 3,4,5, 6, 7 ) și stabilesc suma acestora ( “fac 7”)
Dacă la început acest lucru se efectuează sub forma mișcării externe ( cu degetele ), ulterior numărarea și adăugarea obiectelor sunt însoțite numai de mișcările privirii.
Acest proces își pierde treptat caracterul de acțiune externă cu obiectele și începe să se desfășoare pe planul limbajului extern desfășurat sub forma dialogului elev – învățător, fără să se mai sprijine pe obiecte.
Ulterior , procesul se transpune pe planul limbajului intern, adică pe planul mintal propriu-zis, în care operația se realizează ca act de gândire. În urma acestui fapt ea se va detașa de condițiile concrete, neesențiale (materiale ) dobândind un caracter generalizat.
Trecând la socotitul în minte pentru început copilul adaugă “în minte” unitate cu unitate, deci într-o formă pur verbală.
Treptat însă, procesul mintal se prescurtează: într-o anumită etapă elevul adaugă la primul termen pe al doilea luat pe unități ( de ex: 4 … 5,6,7/ fac 7) pentru ca ulterior, la primul termen al adunării să-l adauge pe al doilea luat ca totalitate ( de ex: 4 + 3 fac 7 )
Operația este însușită când cantitățile respective ( adică 4 și 3 ) se consideră independente de grupele concrete de obiecte și fără să se enumere fiecare unitate în parte, adică unitățile cantităților date se consideră împreună ca totalități.
Din descrierea de mai sus reiese cum acțiunea externă, obiectul este primul stadiu, în formarea operației. La acest nivel ea se prelucrează pas cu pas. Limbajul care însoțește la început acțiunea preia treptat o serie de momente, transpunând-o în cele din urmă în plan mintal cu toate modificările care survin. Cuvântul este acela care creează posibilitatea interiorizării acțiunii și a detașării în condițiile concrete, neesențiale. Aceasta este calea generală a însușirii, a învățării operațiilor intelectuale. Copilul nu poate opera, nu poate stăpânii cu adevărat în planul gândirii ceea ce n-a acoperit în prealabil în planul activității concrete, materiale.
De aceea se desprinde și preceptul pedagogic: pentru a forma cu succes unele operații mintale trebuie să pornim de la forma lor materială, externă, de la un model concret obiectual.
Încercând să elaboreze o teorie a instruirii care să indice modul de prezentare a cunoștințelor astfel încât acestea să poată fi înțelese de orice elev, Bruner distinge trei modalități de reprezentare a unui domeniu de cunoaștere:
Modalitatea activă realizată printr-un ansamblu de acțiuni;
Modalitatea iconică bazată pe folosirea unui ansamblu de imagini sau grafice, fără manipulare efectivă;
Modalitatea simbolică, locul imaginilor este luat de simbolurile acestora ( cuvinte sau alte forme de limbaj).
Deși odată intrat în școală, gândirea copilului face progrese însemnate, ea rămâne totuși o gândire sincretică, bazată pe raționarea mai mult sau mai puțin întâmplătoare a însușirii obiectelor și nu după logica lor. Copilul face confuzii între parte și întreg, combină însușirile obiectelor astfel încât acestea își pierd identitatea proprie. Inconsistența reprezentărilor și incapacitatea de a folosi raționamente explică această caracteristică a gândirii.
Se pune întrebarea: “ Vor apărea conceptele, judecățile și raționamentele ? “.
Ceea ce va defini gândirea operatorie va fi reversibilitatea. Mintea copilului va putea face în așa măsură abstracție de acțiunea reală de la care pleacă încât el va putea reexecuta cu ușurință, în sens invers.
Pentru ca o acțiune să fie interiorizată, să devină o operație, ea trebuie să fie reversibilă.
La vârsta de 8 – 9 ani, construcțiile logice îmbracă forma unor judecăți și raționamente care-i permit acum elevului să întrevadă greutatea, volumul, timpul, viteza, spațiul.
Exemplu: Dacă se prezintă elevilor două cutii egale ca greutate, una mai mare dintr-un material mai ușor și una mai mică dintr-un material mai greu, pot sesiza “cântărindu-le” că de fapt sunt egale. Apare iluzia că cea mare ar fi mai grea.
Cum se face trecerea de la acest mod empiric de apreciere a realului spre raționalitatea ulterioară ?
Operațiile care încep să se edifice pe la 8 ani se definesc în raport cu inteligența senzorio-motorie, prin faptul că nu mai sunt acțiuni directe asupra realului, ci acțiuni interiorizate. Acum gândirea face o cotitură decisivă, ridicându-se în plan abstract. Surprinderea invariantei a ceea ce este abstract și identic – caracteristica fundamentală a gândirii logice – presupune capacitatea de a coordona între ele operațiile gândirii, de a le grupa în sisteme coerente. Înlăuntrul acestor sisteme devine posibilă mișcarea reversibilă.
Exemplu:“ adunarea este operația inversă scăderii“ , ,, împărțirea este operația inversă înmulțirii.”
Această reversibilitate înțeleasă acum de elevi reprezintă unul din beneficiile gândirii în perioada micii școlarități, perioadă în care copilul înaintează în rezolvarea sarcinilor cu ajutorul ipotezelor, al admiterii în plan mintal a diferitelor posibilități de acțiune. Copilul devine capabil să explice, să argumenteze, să dovedească adevărul judecăților sale. Multe din cunoștințele sale și le dobândește acum, pe calea gândirii, depășind raporturile cognitive și acționând mintal, pe cale deductivă apelând la anumite principii de rezolvare generală.
A gândi înainte de a acționa devine un mod de raportare a copilului nu numai la sarcinile cognitive dar și la ale vieții sale.
Desigur elemente ale gândirii intuitive-concrete, cu caracter practic specifice școlarului mic, mai apar încă mai ales în fața unor sarcini noi, neobișnuite, dificile. Deci, în primele două clase mai apar situații în care elevii amestecă condițiile esențiale ale problemei cu cele neesențiale.
Exemplu: “ Ce este mai greu? Un kilogram de lână sau un kilogram de fier? “
( Și la această problemă apare iluzia momentană de inegalitate )
Concluzie: O gândire logică ( corectă ) se realizează treptat prin operații:
– Prima caracteristică a acestora este că ele provin din interiorizarea acțiunilor practice.
– A doua caracteristică este că operațiile mintale nu pot fi niciodată izolate, ele fac parte din ansambluri, din structuri dinamice organizate ierarhic.
Din aceste caracteristici ale operațiilor mintale rezultă consecința de cea mai mare însemnătate pentru procesul didactic. Elevul trebuie să fie pus în situația de a acționa întâi practic, apoi trebuie să fie învățat să prindă sensul, structura de ansamblu a faptelor despre care învață. Dacă realizează acestea, începe să înțeleagă cunoștințele.
Înțelegerea se definește ca o activitate de pătrundere și relevare a relațiilor esențiale dintre obiectele și fenomenele naturii. Ea se realizează în gândire prin legarea adecvată a noilor informații de generalizările anterioare ale individului cu includerea noilor date în sistemul de cunoștințe pe care le stăpânește.
Înțelegerea se bazează pe experiența trecută și utilizarea corectă a acestei experiențe.
Exemplu: La 9 ani copilul învață înmulțirea pe baza adunării repetate :
sau
și împărțirea pe baza scăderii repetate: .
În activitatea la clasă întâlnim de multe ori mai multe grade de înțelegere:
superioară, mediocră, inferioară, total deficitară, după cum sunt esențializate legăturile dintre nou și vechi. Înțelegerea la copil poate fi anterioară soluționării unei probleme sau concomitent cu găsirea rezolvării, a căii de ieșire sau chiar ulterioară acestei rezolvări.
Exemplul E.1.1:
Se dă șirul numerelor: 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, 24, …52.
Se cere: stabiliți regula după care numerele cresc.
Sarcina de gândire: descoperiți regula înșiruirii acestor numere și continuați șirul în conformitate cu ea.
Elevul va înțelege regula concomitent cu găsirea “cheii" de rezolvare.
Privită ca ansamblu de activități intelectuale, gândirea cuprinde în principal :
activități inductive
înțelegerea
activitatea rezolvării problemelor
invenția, creativitatea
Dacă ne-am preocupat cu seriozitate de gândirea copilului de 7 – 9 ani, vom vedea ce ușor ne va fi mai târziu.
Acum, la 10 – 11 ani, apare gândirea propozițională sau formală, când elevul începe să gândească corect. La această vârstă, se pun bazele gândirii logice, vârstă la care întâlnim și lucrăm cu operațiile gândirii:
analiza și sinteza logică
abstractizarea și generalizarea
concretizarea
sistematizarea și clasificarea.
Copiii se confruntă acum cu situații mai grele, rezolvă probleme mai dificile, la unii dintre ei descoperim clar aptitudinea pentru matematică.
I.4. Tipuri de gândire
A. După tipul operațiilor presupuse, gândirea poate fi algoritmică și euristică.
Gândirea algoritmică se bazează pe operații prefigurate, pe treceri riguroase de
la o stare la alta în succesiunea obligatorie a evenimentelor în timp, efectuarea corectă a succesiunii de operații, conducând în mod necesar la soluționarea integrală și sigură a problemelor. Demersurile ordonate și respectarea regulilor de înlănțuire a operațiilor conduc la obținerea sigură a rezultatului. Gândirea algoritmică este eficientă în rezolvarea problemelor bine definite, când relația dintre datele problemei și condițiile ei, ca și relația dintre rezultatele parțiale și rezultatele finale sunt bine formulate.
Gândirea euristică presupune operații în curs de elaborare, care abia urmează a
fi descoperite, desfășurarea ei având un caracter arborescent, din fiecare „nod” individul trebuind să aleagă o cale din mai multe posibile. Operațiile nu sunt strict determinate, ele sunt probabilistice, ramificate, fiind posibile nenumărate modalități de abordare. Operarea este dirijată de planuri și strategii, de înaintări prudente, dar și de reveniri treptate, de succese și eșecuri, de încercări și erori. Gândirea euristică este eficientă în situațiile noi, neobișnuite, incerte, atunci când individul nu este bine informat, nu cunoaște nici rezultatele, nici metodele de a ajunge la ele, ci acestea trebuie descoperite. Ea este extrem de productivă atunci când individul se confruntă cu probleme slab determinate, în care relația dintre date și condiții, dintre rezultatele parțiale și rezultatul final urmează a fi descoperite.
Relațiile dintre gândirea algoritmică și cea euristică sunt complexe și extrem de diversificate. Nu există o gândire pur sau exclusiv algoritmică, pur sau exclusiv euristică, ci forme de gândire predominant de un tip sau altul, înlocuindu-se sau completându-se rapid una pe alta, dependent de particularitățile rezolutive.
B) După finalitatea sa, gândirea poate fi : reproductivă, productivă și critică.
Gândirea reproductivă și cea productivă sunt diferențiate între ele pe criteriul rezolvării problemelor noi. Modul de operare al gândirii reproductive este simplist, liniar, neproductiv din punct de vedere calitativ. El reflectă un nivel extrem de scăzut de integrare activă a operațiilor, fiind mai degrabă automatizat și stereotipizat. Modul de operare al gândirii productive este mult mai elaborat și presupune descoperirea unui nou principiu de relaționare a datelor problemei decât cel însușit deja. Unii autori numesc gândirea productivă gândire productiv – creatoare. Acest tip de gândire urmărește elaborarea a cât mai multor soluții posibile, a cât mai multor explorări posibile a fenomenelor și problemelor.
Gândirea critică constă din procesul mental de analiză sau evaluare a informației, mai ales afirmații sau propoziții pretinse de unii oameni a fi adevărate. Ea duce la un proces de reflecție asupra înțelesului acestor afirmații, examinând dovezile și raționamentul oferit și judecând faptele.Gândirea critică este un act mental continuu și dificil de aplicat, ea cere antrenament, perseverență, experiență și talent, din partea celui care o însușește, dezvoltă și utilizează, dar odată preluată la nivel superior, posesorul ei este capabil să extragă cea mai mare și mai relevantă cantitate de informație dintr-o observație, un experiment, un dialog, o confruntare argumentantă, o situație imprevizibilă și complicată, sau o analiză de caz.
Condiție și modalitate de realizare a învățării eficiente cu rol esențial în dezvoltarea personalității individului, gândirea critică se caracterizează prin:
formularea de către elevi a unor păreri personale, eventual originale;
dezbaterea responsabilă a tuturor ideilor și soluțiilor avansate;
alegerea rațională a soluțiilor optime din multitudinea celor posibile;
rezolvarea eficientă a problemelor în timp optim.
Prin natura și modul de manifestare, gândirea critică se manifestă în două dimensiuni esențiale: una socială conform căreia învățarea și munca în colaborare duc la construirea solidarității umane și o dimensiune pragmatică – învățarea ce are la bază dezvoltarea gândirii critice creează posibilitatea implicării active a elevilor în activitate prin stârnirea curiozității și rezolvarea problemelor de viață.
Munca la clasă trebuie proiectată și desfășurată astfel încât să genereze un climat de încredere care să determine în rândul elevilor rezolvarea eficientă a problemelor în urma investigației temeinice a dezbaterilor autentice și a găsirii răspunsului adecvat. Consecutiv cu obișnuirea elevilor de a lucra în acest mod, aceștia vor dobândi deprinderi valoroase de gândire critică și de învățare eficientă și autentică. Progresul realizat de școlari prin formarea capacității de a gândi creativ, constructiv, eficient și critic presupune pașii:
de la reacții personale la idei susținute public, argumentate convingător;
de la respectul pentru ideile altora la încrederea în sine;
de la intuitiv la logic;
de la o singură perspectivă în abordarea unei probleme, la mai multe.
A gândi critic înseamnă:
o a deține cunoștințe valoroase și utile și a avea convingeri și credințe întemeiate pe acestea,
o a-ți forma opinii independente și a accepta ca ele să fie supuse evaluării,
o a construi argumente pentru a da consistență opiniilor,
o a manifesta flexibilitate, toleranță, respect pentru ideile altora; a le accepta sau respinge
numai pe bazǎ de argumente
o a participa activ la elaborarea de soluții, a colabora,
o a învăța să gândești eficient și presupune raționalitate și mai puțin subiectivism nefondat pe argumente pertinente.
Specific acestor caracteristici este și îndemnul adresat educatorilor: ”Nu vă mândriți cu predarea unui număr mare de cunoștințe. Stârniți numai curiozitatea. Mulțumiți-vă să deschideți mințile, nu le supraîncărcați. Puneți în ele scânteia”.(Anatole France)
C) După sensul de evoluție al gândirii, gândirea poate fi divergentă și convergentă.
Gândirea divergentă este considerată caracteristica distinctivă a creativității, întrucât reclamă din partea elevilor căutarea cât mai multor soluții sau îndepărtarea în cât mai multe direcții în raport cu punctul inițial de plecare. Se „mișcă” de la unitate la diversitate, de la sintetic la analitic.
În schimb, gândirea convergentă este considerată ca fiind caracteristica distinctivă a inteligenței, se „mișcă” în sens invers, de la diversitate la unitate, de la analiză la sinteză.
D) După demersurile logice ale gândirii, gândirea poate fi inductivă, deductivă și analogică.
Gândirea inductivă facilitează extragerea și formularea unei concluzii dintr-o multitudine de cazuri particulare. În gândirea inductivă, mișcarea cunoașterii se realizează de la particular la general, de la multitudinea trăsăturilor, atributelor la concepte, relații, legi. În gândirea inductivă intervine adeseori hazardul, de aceea își păstreză un caracter probabilistic. Conceptele, relațiile și legile sunt rezultatul gândirii inductive, formarea lor implicând abstractizări și generalizări, diferențieri și asimilări simultane.
Gândirea deductivă se caracterizează prin mișcarea cunoașterii în sens invers celei inductive, adică de la general la particular. Permite controlul conceptelor, relațiilor și legilor obținute prin gândirea inductivă. Dacă un adevăr dedus se dovedește a fi fals prin confruntarea cu realul și dacă regulile raționamentului deductiv au fost corect aplicate, înseamnă că legea de la care s-a pornit este eronată. Interferențele deductive împlinesc un mare rol în înțelegere, în rezolvarea problemelor (permit înțelegerea problemei, planificarea acțiunilor, ordonarea lor în timp), în raționament (asigură tercerea de la premise la concluzii). Gândirea deductivă are un caracter riguros sistematic și conduce întotdeauna la o anumită concluzie.
Gândirea analogică constă în:
stabilirea asemănărilor dintre diverse obiecte, fenomene, evenimente, idei, acolo unde par a nu exista;
transferul de informație de la un obiect cunoscut, asimilat, la altul necunoscut, neasimilat încă.
„J. Piaget consideră că gândirea analogică este accesibilă copilului în jurul vârstei de 12 ani, când acesta a ajuns în stadiul operațiilor formale, deci când operarea cu abstracțiile simbolice devine posibilă” (apud Lupu, C., 2006, p. 166).
I.5. Activitățile gândirii
Activitățile fundamentale ale gândirii sunt: conceptualizarea, înțelegerea, rezolvarea problemelor, raționamentele, decizia și creația (apud Lupu, C., 2006, p. 166-169).
1. Conceptualizarea. A conceptualiza înseamnă a forma și a asimila concepte.
Conceptualizarea reprezintă:
capacitatea de abstractizare a însușirilor unei clase de obiecte, care sunt apoi încorporate într-o imagine sau idee- concept
capacitatea de a sesiza atributele distinctive ale unei clase de obiecte
2. Înțelegerea. Gândirea nu poate fi concepută în afara înțelegerii, în afara sesizării și corelării atributelor esențiale ale obiectelor și fenomenelor. A înțelege înseamnă:
a sesiza existența unei legături între setul noilor cunoștințe și setul vechilor cunoștințe gata elaborate;
a stabili natura și semnificația acestei legături;
a încadra și încorpora noile cunoștințe în cele vechi, care în felul acesta se modifică și se îmbogățesc.
3. Rezolvarea problemelor. Din perspectiva psihologiei cognitive, rezolvarea de probleme este o activitate laborioasă care constă în elaborarea ipotezelor, stabilirea strategiilor de căutare și elaborare a informațiilor. Rezolvarea de probleme este concepută de cognitiviști ca un proces de prelucrare a informațiilor. Din cercetările de psihologia gândirii s-a constatat că procesul rezolvării de probleme depinde, în mare măsură, de modalitățile prin care prelucrăm și decodificăm informațiile din situații, mesaje, enunțuri, probleme, care pot fi bine structurate, slab definite sau contradictorii. Studiile efectuate au demonstrat că rezolvarea problemelor bine structurate implică, în general, modele algoritmice de gândire și secvențe de operații logice, iar soluționarea situațiilor slab definite presupun strategii euristice, seturi de operații probabilistice. (apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 84)
Strategiile algoritmice sunt „procedee sau secvențe operaționale sistematice și riguroase cuprinzând raționamente, scheme intelectuale standardizate, fixate prin reguli precise, care asigură obținerea sigură a rezultatului unei sarcini”. În general, problemele algoritmice sunt structurate logic, au un singur răspuns corect sau un număr foarte mic de soluții, și „se rezolvă cu ajutorul gândirii convergente, a analizei verticale desfășurată într-un singur plan cognitiv”.
Spre deosebire de strategiile algorimice, cele euristice sunt „sisteme operaționale nestandardizate, flexibile și divergente, ce uzează de raționamente neformalizate, scheme deschise, fluente, probabilistice, menite să caute și să descopere rezultatul unei probleme”. Problemele euristice sunt structurate creativ, dispun de mai multe soluții ce se pot rezolva prin imaginație, prin „explorare laterală a diverse planuri și perspective, prin gândire divergentă”. (Dumitriu, Gh., 2004, p. 83-86)
CAPITOLUL II
Repere metodologice ale predării-învățării matematicii în ciclul primar prin rezolvarea de probleme
II.1. Locul matematicii în Curriculum-ul Național pentru învățământul primar
Elementul de noutate în reforma învățământului din România, îl reprezintă trecerea la reorganizarea învățământului primar, prin introducerea din anul școlar 2012-2013 a clasei pregătitoare. Acest fapt a condus la o regândire a structurii programelor de studiu, implicit a programei la disciplina matematică. În esență, clasa pregătitoare realizează tranziția, în cadrul ciclului achizițiilor fundamentale, dintre grădiniță și ciclul primar. Stabilirea unei relații pozitive între planul-cadru de învățământ, programa școlară la matematică, manualele alternative, alte produse curriculare și proiectarea curriculară, este dezideratul oricărui învățător pentru realizarea unei învățări eficiente bazată pe rezolvarea de probleme.
În actuala perioadă, procesul didactic îmbină proiectele tradiționale, adică demersul didactic al multor învățători/institutori/profesori cu proiectele bazate pe metodele activ-participative, care motivează elevul în actul învățării. Exemplele de activități de învățare ce se regăsesc în programele școlare de la învățământul primar (matematică și științe ale naturii) pot fi adaptate și inovate în vederea optimizării actului didactic. De asemenea, cadrul didactic depășește activitățile frontale și se îndreaptă spre cele activ-participative care să conducă la asigurarea unui parcurs normal de dezvoltare pentru fiecărui elev.
Din această perspectivă a predării-învățării matematicii în învățământul primar, cadrul didactic este persoana care îndeplinește o multitudine de roluri și statuturi, începând cu cel de partener al elevului și ajungând la moderator și chiar „antrenor” al acestuia. Practic, rezolvarea de probleme conduce la formarea abilităților cognitive cu precădere cele legate de gândire critică, dar și la afirmarea gândirii personale, autonome în contextul oferit de organizarea interactivă a demersului didactic. Dezbaterea, confruntarea de idei, toleranța dar și consecvența în susținerea ideilor prin argumente fac din activitatea axată pe grup/echipă expresia unei experiențe trăite în solidaritate, cooperare, concurență și competiție plină de fair-play, benefică pentru dezvoltarea elevului și progresul societății.
La clasa pregătitoare, programa disciplinei Matematică și explorarea mediului este elaborată potrivit unui nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe permite accentuarea scopului pentru care se învață și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului. Conținuturile învățării sunt selectate din perspectiva achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate-matematica și cunoștințe despre natură. Astfel, ele sunt grupate pe următoarele domenii:
– Numere
– Figuri și corpuri geometrice
– Măsurări
– Date
– Științele vieții
– Științele Pământului
– Științe fizice
Disciplina Matematică și explorarea mediului are un caracter de noutate în raport cu disciplinele studiate până în prezent în clasele I și a II-a din învățământul primar. În planul-cadru de învățământ, disciplina Matematică și explorarea mediului face parte din aria curriculară Matematică și Științe ale naturii, realizând o abordare integrată a conceptelor specifice domeniilor Matematică și Științe ale naturii, pentru care sunt alocate, la clasa pregătitoare și clasa I, 4 ore pe săptămână, iar la clasa a II-a, 5 ore. La clasele a III-a și a IV-a numărul orelor alocat săptămânal studiului matematicii a rămas neschimbat.
Abordarea integrată a matematicii și a unor elemente de științe ale naturii în cadrul aceleiași programe permit creearea de conexiuni care motivează învățarea elevilor. Avantajele unui astfel de demers sunt următoarele:
– O învățare holistică la această vârstă are mai multe șanse să fie interesantă pentru elevi, fiind mai apropiată de universul lor de cunoaștere.
– Contextualizarea învățării prin referirea la realitatea înconjurătoare sporește profunzimea înțelegerii conceptelor și a procedurilor utilizate.
– Armonizarea celor două domenii: matematică și științe permite folosirea mai eficientă a timpului didactic și mărește flexibilitatea interacțiunilor.
Studiul disciplinei Matematică și explorarea mediului, început în clasa pregătitoare, se continuă până în clasa a II-a, urmărind o dezvoltare progresivă a competențelor, precum și a celorlalte achiziții dobândite de elevi, prin valorificarea experienței specifice vârstei elevilor, prin accentuarea dimensiunilor afectiv-atitudinale și acționale ale formării personalității elevilor. Programa de Matematică și explorarea mediului pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a ( Aprobată prin O.M. Nr. 3418/19.03.2013) a fost structurată astfel încât să promoveze un demers didactic centrat pe dezvoltarea unor competențe incipiente ale elevului de vârstă mică, în scopul construirii bazei pentru o ulterioară aprofundare a învățării. Competențele generale vizate pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a sunt:
1. Utilizarea numerelor în calcule elementare
2. Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul înconjurător
3. Identificarea unor fenomene/relații/ regularități/structuri din mediul apropiat
4. Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică
5. Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date
6. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări
Programa specifică, în mod explicit, faptul că este necesară abordarea conținuturilor învățării pe baza rezolvării de probleme, iar activitățile de învățare trebuie să fie preponderent activ-participative.
Progresiv, au fost modificate, în continuitatea programei pentru clasa pregătitoare, și programele la disciplina matematică pentru clasele I și a II, urmând ca din anul școlar 2014-2015 să fie modificate și programele claselor a III-a și a IV-a.
Competențele specifice și activitățile de învățare corespunzătoare competenței generale
,, Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date” sunt:
Clasa pregătitoare:
1.1. Sortarea/clasificarea unor obiecte/ materiale etc., pe baza unui criteriu dat
– gruparea obiectelor/corpurilor după un anumit criteriu (formă, culoare, mărime, grosime, gust, utilitate, naturale/prelucrate etc.);
– gruparea materialelor după caracteristici observate: transparență, duritate, flexibilitate, utilizare etc.;
– sortarea pe diverse categorii: legume/fructe; cu gust dulce/acru etc.;
– identificarea unor elemente/prototipuri din diverse categorii (plante, animale, figuri geometrice, mulțimi etc.);
– identificarea categoriei căreia îi aparține un anumit element;
– clasificarea animalelor în funcție de numărul de picioare, de mediul de viață, de modul de hrănire etc.;
2.2. Rezolvarea de probleme în care intervin operații de adunare sau scădere cu 1-5 unități în concentrul 0-31, cu ajutorul obiectelor
– jocuri de rol în care intervin operații de adunare sau scădere cu 1-5 unități în concentrul 0-31 – (ex.: „La cumpărături”, „În parc” etc.)
– rezolvarea de probleme în care numerele sunt date obiectual sau figurate prin semne simple: puncte, cerculețe, linii etc.
– identificarea situațiilor contextuale care impun rezolvarea unor probleme prin adunare/scădere:
am primit, a adus, au venit, au urcat, a spart, a dat, pleacă, zboară, s-au ofilit, au coborât etc. și asocierea lor cu operația corespunzătoare
– folosirea unor reprezentări simbolice simple pentru a reda înțelegerea enunțului unei probleme
– rezolvarea unor probleme cu sprijin în imagini date
– recunoașterea reprezentării prin desen a rezolvării unei probleme
Clasa I :
1.1. Sortarea și clasificarea unor date din mediul apropiat pe baza a două criterii
– identificarea dintr-un șir de imagini a celor care întrunesc simultan două condiții (ex.:animale cu schelet intern și cu două picioare; cu patru picioare și se hrănesc doar cu iarbă etc.);
– gruparea fotografiilor elevilor clasei după luna în care s-au născut și zodie, gen etc. și realizarea unui grafic cu bare pe baza datelor colectate;
– înregistrarea observațiilor realizate în timpul experimentelor prin desen/ prin marcarea cu diverse simboluri a momentului în care a avut loc o anumită modificare;
– înregistrarea schimbărilor meteorologice în calendarul naturii utilizând simboluri-desene – soare, nori, precipitații, vânt;
– înregistrarea vremii și a temperaturii (la prânz) timp de o săptămână;
– înregistrarea într-o diagramă T a resurselor convenționale și neconvenționale de energie dintr-un set de resurse;
– înregistrarea „calificativelor” personale, pentru o activitate specifică desfășurată într-o zi;
– ordonarea anotimpurilor pe o scală a preferințelor (îmi place cel mai mult, îmi place mult, îmi place, îmi place puțin);
5.2. Rezolvarea de probleme simple în care intervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0-100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice
– identificarea semnificației datelor unei probleme
– identificarea cuvintelor care sugerează operații aritmetice (a dat, a primit, s-a spart)
– rezolvarea de probleme folosind obiecte concrete sau reprezentări simbolice
– rezolvarea unor probleme după imagini date
– asocierea rezolvării unei probleme cu o reprezentare grafică/desen
– rezolvarea unor situații problematice reale prin utilizarea operațiilor de adunare și scădere în concentrul 0-100
– organizarea datelor unei probleme în tabel
– compunerea și rezolvarea unor probleme, utilizând date scrise într-un tabel
– rezolvarea de probleme în mai multe moduri
Clasa a II -a :
5.1. Sortarea, clasificarea și înregistrarea prin desene și tabele a unor date din mediul cunoscut
– selectarea/gruparea unor figuri geometrice după mai multe criterii date;
– selectarea materialelor de lucru după mai multe criterii date (ex.: Alegem materiale tari, aspre și colorate.) ;
– realizarea unor colecții de materiale/ obiecte după criteriul conductivității electrice și utilizarea lor în activitățile curente (pietricele, dopuri de sticlă, nasturi etc.);
– clasificarea corpurilor dintr-un mediu, în vii și nevii și înregistrarea concluziilor într-o diagramă Venn;
– gruparea unei varietăți de plante și animale pe criteriul apartenenței la un mediu de viață și înregistrarea rezultatelor într-un organizator grafic;
– gruparea unor animale după mediul de viață (terestru/acvatic) și adaptările la mediu etc;
– selectarea unor imagini care reprezintă anumite forme de relief (munți, dealuri, câmpii) dintr-o serie de imagini date;
– sortarea unui set de fotografii cu oameni de pe diferitele continente și de rase diferite pentru evidențierea varietății speciei umane;
– realizarea unui album cu fotografii personale și ale membrilor familiei, grupate pe mai multe criterii (vârstă – până la 1 an, până la 5 ani, până în clasa a II-a, la liceu, în prezent; gen; grade de rudenie – bunici, frați și părinți, mătuși, unchi și verișori ) pentru a evidenția asemănările dintre aceștia;
– alcătuirea unor postere care cuprind planul individual de menținere a stării de sănătate;
– înregistrarea observațiilor din investigații în tabele;
– construirea unor grafice simple (cu bare) pe baza unor informații date/culese;
– clasificarea materialelor investigate în conductori, izolatori, cu proprietăți magnetice;
5.2. Rezolvarea de probleme de tipul a±b=x; a±b±c=x în concentrul 0-1000; a·b=x; a:b=x, în concentrul 0-100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice
– identificarea semnificației datelor unei probleme
– identificarea cuvintelor care sugerează operații aritmetice (a dat, a primit, s-a spart, a distribuit în mod egal, pentru fiecare etc)
– rezolvarea de probleme folosind obiecte concrete, desene sau reprezentări simbolice
-asocierea rezolvării unei probleme cu o reprezentare grafică/desen; marcarea jumătății/sfertului cu fracția corespunzătoare: ½, respectiv ¼;
– rezolvarea unor situații problematice reale prin utilizarea operațiilor de adunare și scădere în concentrul 0-1000, respectiv de înmulțire și împărțire în concentrul 0-100
– organizarea datelor unei probleme în tabel sau în grafice simple în scopul rezolvării;
– rezolvarea de probleme în mai multe moduri.
Actuala programă de matematică pentru clasele a III-a și a IV-a cuprinde:
Clasa a III-a
2.4. Sa foloseasca simboluri pentru a pune în evidenta numere necunoscute în rezolvarea de probleme
-rezolvarea de exercitii variate care solicita aflarea unui număr necunoscut notat în diverse moduri ;
-rezolvarea ecuatiilor : în plan mental : rezolvarea unei probleme de tipul:,,M-am gândit la un numar , l-am adunat cu 3 si am obtinut 5.La ce numar m-am gândit?" ; în plan simbolic : descrierea unei secvente de tipul : 3+? =5 ;
– codificarea unei întrebari de tipul : ,,3 plus cât este egal cu 5 ?" Aflarea numarului necunoscut se face prin încercare , înlocuire si verificare .Treptat , se recurge tot mai frecvent la modelul balantei ;
2.5. Să rezolve si sa compuna probleme de tipul : a+ b=x ; a+b+c=x ; axb=x ; a:b=x,b nu este egal cu 0 unde a,b,c, sunt numere naturale date mai mici decât 1000, iar x este necunoscuta
– recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operatii de adunare , scadere , înmultire , împartire (,,cu atât mai mult" , ,,cu atât mai putin" , ,,de atâtea ori mai mult" , ,, de atâtea ori mai putin" , ,,sunt n obiecte , câte p pe fiecare rând" , ,, se distribuie în mod egal n obiecte la p persoane") ;
– crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ;
– crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor în exercitii ;
– crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;
– crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b=x ; a-b=x ) ;
– analiza partilor componente ale unei probleme ;
– schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;
– transformarea problemelor de adunare în probleme de scadere si invers , a celor de scadere în probleme de adunare ;
– schimbarea numerelor dintr-o problema data,cu pastrarea tematicii ;
– transformarea problemelor pastrând numerele neschimbate ;
– analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ;
– stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii între elevi si probe date într-un interval de timp precizat initial ;
3.1. sa exprime clar si concis semnificatia calculelor facute în rezolvarea unei probleme
– exercitii de transpunere a unor enunturi simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian si invers .
Continuturile învatarii :
-Probleme care se rezolva prin cel mult doua operatii ;
-*probleme care se rezolva prin mai mult de doua operatii .
Clasa aIVa
2.5. sa rezolve si sa compuna probleme cu text
– recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun
efectuare unor operatii de adunare , scadere , înmultire , împartire ;
– transpunerea unei situatii problema , în limbaj matematic , înlocuind numere necunoscute cu simboluri ;
– analiza unor probeleme de tipul mentionat : identificarea datelor si a necunoscutelor , identificarea operatiilor prin care se ajunge la rezolvare , identificarea tipului problemei ( a formulei) ;
– alcatuire de probleme ;
– formularea de generalizari ale unor enunturi date ; crearea si rezolvarea unor probleme cu text , pe baza unor scheme , modele , reguli date ;
– crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ,
– crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor în exercitii ;
– crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;
– crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b= x; a – b = x ) ;
– analiza partilor componente ale unei probleme ;
– schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;
– transformarea problemelor de adunare în probleme de scadere si invers , a celor de scadere în probleme de adunare ;
– schimbarea numerelor într-o problema data,cu pastrarea tematicii ;
– transformarea problemelor pastrând numerele neschimbate ;
– analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ,
– stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii între elevi si prin probe date într-un interval de timp precizat initial ;
3.1. sa exprime pe baza unui plan simplu de idei , oral sau în scis , demersul parcurs în rezolvarea unei probleme
– utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele si pasii de rezolvare a unei probleme
Continuturile învatarii :
-Probleme care se rezolva prin cel mult trei operatii.
-Probleme care se rezolva prin metoda figurativa.
-Probleme de estimare ; probleme care se rezolva prin încercari.
-Probleme de organizare a datelor în tabele.
-*Probleme care se rezolva prin mai mult de trei operatii .
-*Probleme de logica si probabilitati .
În conformitate cu actualul plan cadru și a programei școlare pentru învățământul primar se observă o reconstrucție a a tuturor obiectivelor, conținuturilor, metodelor și modalităților de evaluare școlară. Demersul didactic ce trebuie intreprins de toate cadrele didactice, din punct de vedere metodologic, este necesar pentru a asigura viitoarelor generații capacitățile și cunoștințele necesare vieții lor. Din această perspectivă curriculară, conceptul central al întregii proiectări didactice a activităților la matematică îl reprezintă demersul didactic personalizat (clasa/grupe/echipa/elev) bazat pe unitatea de predare-învățare-evaluare, cu detaliere de conținuturi.
II.2. Matematica de tranziție de la învățământul preșcolar la învățământul primar
O problemă majoră a învățământului matematic o reprezintă tranziția de la un ciclu de învățământ la ciclul de învățământ superior. Astfel, în practica didactică se identifică o serie de aspecte legate de modul în care elevii și-au însușit conținuturile învățării, s-au format deprinderile de calcul și abilitățile de rezolvare a unor probleme și cum sunt acestea valorificate pe parcursul școlarității. În cazul învățării la matematică, asigurarea continuității între ciclurile de învățământ este obligatorie din perspectiva dezvoltării intelectuale a elevului. Pentru ca procesul de predare-învățare-evaluare să fie cât mai atractiv pentru copii, el trebuie adaptat particularităților de vârstă ale acestora și în același timp, el trebuie să valorifice experiența lor de viață. Având în vedere adaptarea permanentă a demersului didactic la particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor pe întreg parcursul ciclului primar, se va urmări trecerea gradată de la simplu la complex, de la concret la abstract, de la particular la general.
Pentru a obține rezultate foarte bune cu elevii în cadrul lecțiilor care presupun rezolvarea unor ecuații prin raționament aritmetic la clasele primare, propunem câteva sugestii care vor eficientiza activitatea cadrului didactic:
pentru facilitarea învățării noțiunilor noi, se va apela la experiența de viață a elevilor, se va porni totdeauna de la aspecte familiare acestora (creearea de situații-problemă) și se va apela la noțiuni însușite anterior, care vor fi actualizate;
se va porni totdeauna de la acțiunea concretă, nemijlocită cu materiale didactice diverse, avându-se în vedere aspectul concret al gândirii elevului, acestă acțiune fiind urmată apoi de etapele de abstractizare și generalizare;
se vor utiliza în cadrul lecțiilor metode și procedee active, euristice, care îl conduc pe elev la situația de a descoperi noțiunile noi, această activitate fiind deosebit de incitantă și motivantă pentru el;
jocul didactic sau introducerea unor elemente de joc în cadrul lecției stimulează învățarea, asigurând un climat educațional relaxant, mai puțin convențional, totodată stimulând la cote maxime creativitatea elevilor.
II.2.1. Elemente de continuitate în predarea învățarea-matematicii de la grupa mare la clasa pregătitoare și clasa I. Jocul didactic
Achizițiile matematice dintr-un anumit stadiu sunt preluate și valorificate în condiții noi la nivelul următor. De exemplu, achiziția conceptului de conservare a masei trebuie valorificată la conservarea numerică pentru a fi înțeleasă descompunerea numărului. Preșcolarul nu poate realiza un raționament mai complex pentru că nu are format o serie de constante sub aspect fizic sau logico-matematic al acțiunilor și obiectelor care sunt insuficient diferențiate. Pe parcursul perioadei preșcolare se pregătesc structurile operaționale și conținutul informațional care devine activitate permanentă și obligatorie în perioada școlarizării, când elevii sunt familiarizați cu unele noțiuni de bază ale matematicii moderne.
În grădiniță se utilizează în activitatea de educare a copiilor o serie de metode și procedee, mai frecvente fiind acelea de învățare și joc.
În clasele primare, jocul trece în planul secund, locul lui fiind luat de o altă formă de activitate – învățarea. Trecerea de la joc la învățare o realizează jocul didactic.
Jocul didactic este atractiv și eficient numai dacă conține elemente de așteptare, de surpriză, de comunicare reciprocă între copii, recompense. Valoarea practică a jocului didactic matematic constă în faptul că, în procesul desfășurării lui, copilul are posibilitatea aplicării cunoștințelor însușite, exersării priceperilor și deprinderilor formate.
Jocurile didactice matematice din grădiniță, clasa pregătitoare și clasa I, trebuie să fie realizate într-un mod dinamic și atractiv, ceea ce presupune respectarea anumitor cerințe:
operativitate, mișcare, precizie, rigurozitate științifică;
antrenarea a cât mai multor copii în joc;
confruntarea liberă de idei;
exprimarea corectă, folosind terminologia adecvată;
crearea pe timpul jocului a unor situații problemă care să-i implice pe copii într-o măsură cât mai mare.
Activitățile matematice din grădiniță exersează și pregătesc elemente necesare gândirii: analiza, sinteza, comparația, abstractizarea etc.; pregătesc calea pentru formarea noțiunilor, a judecăților și a raționamentelor, îl înzestrează pe copil cu un limbaj adecvat, în stare să exprime relațiile dintre obiectele lumii înconjurătoare. Aceste activități sunt motivate de rațiunea că, înainte de a cunoaște numerele naturale, copilul stabilește contacte nemijlocite cu mulțimi de obiecte, le descoperă proprietățile caracteristice, stabilește relații între ele, efectuează diferite operații din care rezultă noi mulțimi, cu noi proprietăți caracteristice.
Dacă învățământul matematic tradițional tinde să formeze o serie de mecanisme de calcul și de algoritmi doar prin exerciții, matematica modernă, deși aparent abstractă, cere să fie abordată într-un mod cu totul concret, îndeosebi pentru vârstele mici.
Orice noțiune devine mai accesibilă, fiind posibilă însușirea ei conștientă și temeinică, dacă este clădită pe elemente de logică și de teorie a mulțimilor. Se impune deci o altă ordine de prioritate în predare, acordând întâietate formării intelectuale și dezvoltării operațiilor de gândire concretă și abstractă, trecând pe al doilea plan însușirea deprinderilor de calcul. Operațiile logice trebuie însușite prin manipularea unor obiecte reale „prin reprezentări” (grafice, apoi numerice).
În predarea matematicii se disting trei tendințe principale: învățarea verbală, intuitivă și prin acțiune.
Învățarea verbală acordă o importanță primordială cuvintelor, simbolurilor. Aceasta se manifestă fie sub aspectul învățământului mecanic (cu accent pe formarea și aplicarea mecanismelor de calcul) fie sub aspectul învățării formale, bazate pe aplicarea mecanică a regulilor și teoremelor deduse din definiții și axiome.
Învățarea intuitivă a matematicii are în vedere cunoașterea primelor noțiuni aritmetice și geometrice prin contactul direct cu obiectele sau cu imaginile acestora, stabilindu-se legături logice, premergătoare formării raționamentului matematic.
Învățarea prin acțiune acordă un rol mai dinamic intuiției, punând accent pe acțiunea copilului asupra obiectelor. Manipularea obiectelor conduce mai rapid și mai eficient la formarea percepțiilor, accelerând astfel formarea structurilor operatorii ale gândirii. Etapa manipulării obiectelor se continuă cu cea a manipulării imaginilor acestora și, în fine, cu elaborarea unor scheme grafice urmate de simboluri. Numai pe această cale se asigură accesul copiilor spre noțiunile abstracte, cum este cea de număr natural.
Mulțimile sunt o treaptă intermediară între lumea obiectelor și lumea numerelor. Conceptul de mulțime, fiind unul dintre conceptele de bază ale matematicii și introdus de timpuriu, poate juca un rol verificator, integrator al acestor concepte matematice importante, ușurând mult procesul de dobândire a cunoștințelor. Nici conținutul, nici spiritul programelor activităților matematice din grădiniță nu urmăresc însușirea unor noțiuni abstracte din teoria mulțimilor, nici folosirea simbolurilor sau a unei terminologii științifice pretențioase. Scopul principal al învățării noțiunii de mulțime în grădiniță este de a-i înzestra pe copii cu un aparat logic care să le permită a se orienta în problemele realității înconjurătoare, să exprime judecăți într-un limbaj suplu, familiar.
Modalitatea de organizare a acestor activități în scopul obținerii unui randament maxim este jocul didactic. În organizarea jocurilor, se are în vedere experiențe acumulate de copii în construirea unor mulțimi formate din obiecte din lumea înconjurătoare: mere, mărgele, nasturi, jucării, pe baza unor proprietăți: formă, mărime, culoare. Pe baza acestor atribute, copiii trebuie să alcătuiască mulțimi: nasturi rotunzi, jucării mari, cărți groase etc.
Jocurile logice acoperă o arie foarte largă de activități cu un conținut diversificat: de la intuirea noțiunii de mulțime, până la operații cu mulțimi și rezolvări de probleme (cu sau fără date numerice).
De aici rezultă unitatea dintre activitățile matematice din grădiniță și activitățile matematice școlare, în sensul că activitățile, jocurile desfășurate în grădiniță nu trebuie abandonate, ci, dimpotrivă, învățătorii trebuie să le cunoască foarte bine și, conform nivelului atins de copii, să le folosească ori de câte ori este nevoie.
La tema „Reuniunea mulțimilor”, pentru a-i obișnui pe elevi cu folosirea disjuncției logice dintre două atribute (ex.: pătrat roșu, triunghi albastru), învățătorul poate introduce jocul „Săculețul fermecat”, practicat în grădiniță. Pătratele și triunghiurile sunt introduse într-un săculeț. Învățătorul scoate din săculeț o piesă fără să vadă elevii. Cere elevilor să spună ce piesă a fost scoasă. Elevii spun: „Pătrat sau triunghi”.
Prin urmare, în săculeț este mulțimea pătratelor sau triunghiurilor.
„Jocul unei diferențe” familiarizează elevii cu înțelegerea deosebirilor care există între piese după anumite atribute, precum și înțelegerea denumirilor corespunzătoare atributelor, care sunt absolut necesare formării mulțimilor de obiecte și a submulțimilor. Acest joc poate fi aplicat în cadrul lecțiilor de formare a mulțimilor de obiecte.
În acest joc, între două blocuri logice există numai o singură diferență de mărime, formă, culoare sau grosime. Un elev pune pe tabla magnetică o piesă (de exemplu, pătrat mare, subțire, roșu), alt elev trebuind să așeze alături o piesă care să difere de cea pusă, de exemplu, prin atributul culoare (pătrat mare, subțire, galben). Următorul va alege piesa care să difere de ultima tot printr-un singur atribut. Se poate împărți clasa pe grupe, câștigând grupa care a lucrat cu cele mai puține greșeli.
„Jocul perechilor”. Noțiunea de pereche este fundamentală în operația de punere în corespondență a mulțimilor de obiecte, element cu element. El se poate aplica – practica la începutul primelor lecții de construcție a mulțimilor echivalente cu o mulțime dată, folosind denumirile sale de „tot atât”, „mai mult”, „mai puțin”. Scopul jocului este de a consolida diferențele între piese și denumirea lor. Un elev iese la tablă și alege două piese care diferă printr-un atribut (exemplu, mărime: cerc mare roșu și cerc mic roșu). Al doilea elev va alege două piese care diferă prin același atribut: mărime. Jocul se continuă până la epuizarea tuturor perechilor.
„Jocul negației” se folosește în cadrul temei „Diferența mulțimilor”. Desfășurarea cu succes a lecțiilor de la această temă este de neconceput fără cunoașterea negației logice, care trebuie să-i conducă pe elevi la formarea mulțimii complementare unei mulțimi date. Acest joc se poate juca pe echipe formate din câte doi elevi. O echipă lucrează la tablă. Scopul jocului este de a se naște la copii principiul contradicției. O variantă pregătitoare a acestui joc este aceea ca un elev să ascundă o piesă. Celălalt va trebui să descopere piesa lipsă prin ordonarea pieselor după atribute.
„Jocul disjuncțiilor”. În acest joc se cere elevilor să construiască o mulțime în care fiecare element are sau nu un anume atribut. Și se cere apoi să pună într-un coș toate piesele care sunt „sau galbele, sau pătrate”.
Continuarea unor activități matematice în cadrul grădiniței, prin practicarea lor într-o manieră deosebită specifică particularităților de vârstă ale elevului de clasa I, dă posibilitate învățătorului să evite, pe cât posibil, folosirea unui limbaj matematic abstract și-i oferă posibilitatea de a introduce cât mai natural și progresiv unele cunoștințe și activități noi.
Ceea ce este important este faptul că aceste jocuri logice țin nu atât de conținutul învățământului, cât de metodica acestuia, anume de metoda activă, care pune un accent mai mare pe activitatea independentă a elevului, prin acțiunea dirijată, care imprimă actului învățării un caracter activ și în cadrul căreia există cerința fundamentală ca recunoașterea și analiza să fie precedate de construcție, întrucât învățarea matematicii la clasele mici se bazează mai mult pe experiența proprie a elevului. „Prin urmare, va trebui să realizăm un pas important, trecând de la predare la învățare”, adică de la experiența noastră, la experiența elevului (V. Bunescu, „Individualizarea instruirii și educației, cale de ridicare a eficienței procesului de învățământ”, în Revista de pedagogie nr. 12/ 1977).
În activitățile matematice dirijate, învățătorul trebuie să folosească totdeauna un limbaj clar și precis. În general, se constată că limbajul folosit de copil în acțiunile cu obiecte (limbajul acțiunii), este diferit de limbajul logico-matematic. Astfel, dacă se formează mulțimea „pieselor rotunde și roșii”, și se cere elevilor să definească proprietățile caracteristice ale elementelor mulțimii, ei folosesc cuvântul „și” spunând că „piesele sunt rotunde și roșii”. Este necesar ca, printr-o serie de jocuri progresive, copiii să fie obișnuiți a folosi limbajul matematic în care să apară (în cazul reuniunii) cuvântul „sau”.
Aceste jocuri trebuie concepute în așa fel încât limbajul acțiunii să fie cât mai apropiat de limbajul logico-matematic
O deosebită importanță se acordă pregătirii în grădiniță a întelegerii noțiunilor matematice: mulțime, relație, operații cu mulțimi, număr, operații matematice.
Se impune ca în actul didactic să se stabilească un echilibru între metodele folosite și cunoștințele predate. Acestea trebuie să fie accesibile vârstei și să aibă o bază solidă pe care se vor clădi apoi noțiunile predate, noile cunoștințe.
Limbajul matematic fiind un limbaj al celor mai abstracte noțiuni, se introduce la început cu unele dificultăți. De aceea mai întâi trebuie asigurată intelegerea noțiunilor predate, fixarea lor printr-un limbaj accesibil copiilor. Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective trebuie rezolvate probleme aplicative simple.
Un obiectiv important al lecțiilor de matematică îl constituie cunoașterea și utilizarea corectă de către copii a terminologiei specifice.
Preșcolarii și școlarii mici sunt antrenați în rezolvarea unor sarcini de relaționare a cunoștințelor noi predate cu cele deja existente în activitățile copiilor. Copiii sunt familiarizați cu deplasarea în sens crescător și descrescător în șirul numerelor naturale și cu primele două operații matematice (adunarea și scăderea). Ei își îmbogățesc cunoștințele cu noi termeni ca: sumă, descăzut, scăzător, rest, diferență. Cunoscând proprietățile de comutativitate și asociativitate ale adunării, copiii vor rezolva ușor exerciții de tipul:
? + b = c (unde se folosește operația de scădere)
? – b = c (unde trebuie să adune)
Tipurile acestea de exerciții, efectuate oral sau scris, stimulează operațiile gândirii, cresc viteza de lucru, întelegerea raționamentului matematic.
Aceste strategii îl pregătesc pe școlarul mic pentru învățarea algoritmilor rezolvării de probleme, ajutându-l să deosebească ce cunoaștem in problemă față de ce trebuie să aflăm.
Unul din riscurile introducerii defectuase a noțiunilor matematice la preșcolar și școlarul mic este acela al separării problemelor și exercițiilor practice de cunoștințele teoretice generalizatoare. Fiecare noțiune nouă introdusă în activitatea copilului trebuie bine explicată iar apoi exemplificată pentru a deveni utilă și ușor de operat cu ea.
Activitățile cu conținut matematic din grădiniță vizează stimularea dezvoltării intelectuale a copiilor contribuind la trecerea treptată la gândirea simbolică, abstractă, pregătind copiii pentru înțelegerea și însușirea noțiunilor matematice din clasa I.
Învățarea pe bază de probleme îmbracă forme variate atât la grădiniță cât și la clasa pregătitoare și clasa I. Este evident, că situațiile problemă din cele rezolvate în grădiniță, pentru elevii din clasa I pot fi simple exerciții de actualizare sau consolidare a unor noțiuni. Învățătorul valorifică achizițiile acumulate pe parcursul perioadei preșcolare în demersul didactic efectuat la clasa pregătitoare și clasa I, lărgind astfel sfera de cunoaștere a elevului și de cele mai multe ori, stimulându-i creativitatea.
Exemplu
La grădiniță:
Se propun copiilor sarcini de alegere și grupare a pieselor geometrice după anumite criterii: formă, mărime, culoare.
“Grupați toate piesele de culoare roșie”
Copiilor le este prezentată o cutie cu mai multe piese geometrice (de exemplu triunghiuri) de culoare roșie, galbenă sau albastră.
Pentru reactualizarea cunoștințelor se intuiesc unele caracteristici ale pieselor din cutie: formă, mărime, culoare. Se precizează că aceste piese sunt amestecate iar scopul activității este de a le separa pe cele de culoare roșie. Vor fi numiți câțiva copii care să aleagă din cutie câteva piese de culoare roșie. Se cere copiilor care vin la cutie să separe piesele roșii de celelalte piese din cutie. Pentru a grupa piesele vor fi antrenați cât mai mulți copii.
Pentru evaluarea performanței, copiii vor primi pe măsuțe câte un plic cu jetoane în forme geometrice de mai multe culori.
Fiecare copil va trebui să aleagă din plic numai piesele de culoare roșie, indiferent de forma lor.
La clasa pregătitoare
Se propune elevilor următoarea problemă:
În două cutii sunt triunghiuri roșii, galbene și albastre.
Sarcina 1: Grupați toate piesele de culoare roșie.
Sarcina 2: Câte piese de culoare roșie sunt?
Elevii selectează piesele roșii din cele două cutii și apoi numără aceste piese. Astfel, se pune în evidență aspectul cardinal al numărului natural.
La clasa I
În două cutii sunt triunghiuri roșii, galbene și albastre. În prima cutie sunt 10 triunghiuri roșii, iar în a doua cutie sunt 14 triunghiuri roșii. Câte triunghiuri roșii sunt în total?
Prin intermediul exercițiilor ce vor fi efectuate pentru rezolvarea problemei se fixează și consolidează operațiile cu numere naturale.
Pentru exersarea adunării unui număr format din zeci cu un număr format din zeci și unități se efectuează următoarele tipuri de exerciții:
10 + 14 = 10 + 10 + 4
= 20 + 4
= 24
În acest exemplu s-a pus în evidență tranziția de la rezolvarea unor sarcini de lucru ce implică trierea/ selectarea obiectelor după un criteriu indicat, numărarea obiectelor selectate și formalizarea prin operația de adunare.
CAPITOLUL III
Metodologia rezolvării problemelor de matematică în învățământul primar
III.1. Noțiunea de problemă de matematică în programa pentru învățământul primar
III.2. Clasificarea problemelor de matematică
III.3. Etapele rezolvării problemelor de matematică
III.4. Metode de rezolvare a problemelor de matematică în ciclul primar
III .1 – Noțiunea de problemă de matematică în programa pentru învățământul primar
Noțiunea de problemă cuprinde o gamă variată de preocupări și acțiuni în diferite domenii. În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce reclamă o rezolvare, o soluționare poartă numele de problemă. În dezvoltarea intelectuală a elevilor un rol împortant îl are formarea deprinderilor de a aplica noțiunile învățate în rezolvarea de probleme. În viața de zi cu zi se întâlnesc deseori situații a căror rezolvare necesită transpunerea în limbaj matematic.
În matematică prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și de calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una său mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute. Învățarea matematicii pe bază de probleme este necesară atât pentru motivarea elevilor în efortul de pus de aceștia în achiziția de noi cunoștințe, cât și pentru dezvoltarea capacităților de explorare-investigare în vederea aplicării metodelor și procedeelor însușite în diverse situații. Rezolvarea de probleme în procesul de învățare a matematicii este o activitate inventivă, care stimulează creativitatea elevilor ,,înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este accesibil”.
După Eugen Noveanu o sarcină este problemă dacă cel puțin unul din următoarele elemente – datele sarcinii, procedeul de rezolvare sau ceea ce se cere demonstrat ( aflat) – are un grad mare de noutatea în raport cu experiența anterioara a elevului, sau, reprezintă o combinație nefamiliară a unor elemente cunoscute.
Pentru formarea conceptului de problemă matematică se abordează un complex de activități. Punctul de pornire este acțiunea de sesizare în spațiul înconjurător a problemelor, stabilirea enunțului pentru care elevii identifică componentele, apoi redactarea soluției pentru ca finalitatea acțiunii să fie asigurată de verificarea răspunsului.
Programele școlare de matematică pentru învățământul primar acordă o importanță deosebită rezolvării problemelor de matematică, urmărindu-se formarea la elevi a competențelor de rezolvare a problemelor pornind de la sortarea și reprezentarea unor date.
Procesul de învățământ poate asigura dezvoltarea psihologică a elevilor , punând în fața lor probleme și antrenându-i în activități care cer un efort susținut.
Învățământului îi revine rolul de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia, respectând cu strictețe principiul accesibilității pe două planuri : la nivel de grup(clasă) și la nivel individual . Oricât de mult am dori să dăm spre rezolvare probleme cât mai frumoase și cât mai dificile, nu putem niciodată întrece măsura.
Pe această bază va trebui să-și pregătească fiecare învățător lecția, să-și aleagă exercițiile și problemele pentru fiecare oră în parte, după ce acestea au fost verificate și chiar rezolvate.
Există câteva întrebări după care ar trebui să se ghideze cadrele didactice în activitatea lor, și anume : ce dau? cât dau? cui dau? cum dau? ce aștept să mi se răspundă?
Este ideal să urmărim să creăm elevilor o atitudine pozitivă față de matematică, o plăcere în a rezolva probleme.
În cadrul lecțiilor de matematică predarea conținutului nou pe baza rezolvării de probleme implică organizarea de activități în care sunt antrenați toți elevii. Pe parcursul activităților lecției se formulează ipoteze, care se verifică pe rând, se reorganizează într-o dispunere logică datele și se reformulează problema în așa fel încât să poată fi soluționată. Învățătorul, ca partener în activitatea de învățare, dirijează elevii în a efectua acțiuni cum ar fi tatonări, încercări, aplicarea activă a tehnicilor învățate anterior în situații practice, căutarea de noi soluții, formularea de întrebări, analiza pașilor de rezolvare a unei probleme, argumentarea deciziilor luate în rezolvare, lucrul în echipă.
Activitatea de rezolvare a problemelor pe care învățătorul o propune și organizează în clasă,am considerat că , trebuie să asigure, prin calitatea sarcinilor, satisfacerilor factorilor motivaționali care să atragă implicarea elevilor în sarcina de lucru, dar și premisele pentru dezvoltarea capacităților explorativ-investigative solicitate prin curriculum.
În studiul pe care l-am efectuat de-a lungul anilor, a observațiilor curente a elevilor la orele de matematică, mi-am dat seama că, un elev care este bun în rezolvarea unor probleme trebuie să se caracterizeze prin:
atenție sporită acordată identificării posibilelor direcții de acțiune pentru reușita rezolvării;
concentrarea asupra unor probleme relevante ale problemei;
ușurința în reactualizarea cunoștințelor ce pot fi utile în rezolvare;
atitudine activă în rezolvare;
acuratețe în rezolvarea problemei și spirit sistematic;
perseverență;
încrederea în forțe proprii indiferent de complexitatea problemei;
obiectivitatea în abordarea problemei;
capacitatea ridicată de a depăși eșecurile.
În fața unei probleme, copilul este pus în contact cu două categorii de date precise:
ce se dă ( contextul problemei) și
ce se cere ( întrebarea problemei)
Golul care există între cele două elemente trebuie umplut cu ajutorul cunoștințelor și metodelor cunoscute ( acestea îndeplinesc rolul de operatori)
În rezolvarea unei probleme elevul trebuie să aplice cunoștințele dobândite anterior (în alte condiții de învățare) la situația actuală, printr-o operație de transfer posibil prin analiză și sinteză.
O problemă este înțeleasă de către elev ca fiind o situație a cărei rezolvare presupune dezvoltarea unui raționament matematic, care trebuie să fie cât mai dezvoltat și să necesite o sistematizare a datelor cuprinse în enunț, cu cât problema este mai complexă, pentru a se ajunge la soluția problemei.
Pornind de la datele problemei, elevul caută în bagajul său de cunoștințe acele date care sunt în relație cu datele problemei respective. El alege o anumită informație și analizează în ce măsură acea informație poate fi utilizată în situația dată, care să-l ajute în găsirea soluției problemei. Copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat în acest proces de analiză și sinteză, întrucât capacitatea sa de a-și folosi cunoștințele anterioare, de a descoperi relații noi prin valorificarea celor vechi, este încă insuficient dezvoltată. Uneori elevul pierde ideea conducătoare, care l-ar duce la rezolvarea problemei, el nu mai știe ce să facă cu un rezultat parțial obținut.
Rezolvarea unei probleme reprezintă pentru elevi un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute, cu cât „cheia problemei” se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei. De fiecare dată atrag atenția elevilor că în orice problemă de matematică sunt evidențiate trei elemente :
1. datele,adică ceea ce este cunoscut și dat sub formă de valori numerice și relații;
2. cerințele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei;
3. condițiile, care arată în ce fel cerințele sunt legate de date.
Exemplu :
„Pe strada Mihai Eminescu Casele sunt numerotate de la 1 la 80. Școala este ultima clădire de pe stradă și are numărul format din cifre identice pare. Ce număr are școala?’’
Descoperim din datele problemei, condițiile pe care le îndeplinește numărul ce trebuie determinat, de la condiția cea mai generală până la cea mai particulară.
Prima condiție : este un număr mai mic decât 80.
A doua condiție: cifrele lui sunt identice.
A treia condiție:cifrele lui sunt pare.
A patra condiție: este cel mai mare dintre numerele de mai sus.
Prin încercări succesive, elevii au descoperit numerele care respectă pe rând condițiile.
Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la cerințe și condiții, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei. Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare și experiența lui în rezolvarea problemelor crește, se dezvoltă capacitatea de explorare și investigare și capacitatea de a rezolva problemele.
III.2. Clasificarea problemelor de matematică
Problemele de matematică din ciclul primar se pot clasifica astfel, în funcție de :
a) numărul operațiilor:
– probleme simple.
Exemplu: Ana are 5 mere ,iar mama îi mai dă 4 mere. Câte mere are Ana?
Problemele de acest tip se rezolvă mai ales în clasele I și a II a.
probleme compuse; acestea sunt alcătuite dintr-o succesiune de probleme
simple,iar dificultatea constă în construirea raționamentului,după rezolvarea și găsirea
soluțiilor și a verigilor dintre problemele simple.
Exemplu: Într-o clasă erau 10 fete, iar băieți cu 7 mai mulți. Câți elevi erau în acea clasă?
b) conținutul lor:
– probleme de aritmetică;
– probleme de geometrie
– probleme de mișcare
c) finalitatea și sfera de aplicabilitate:
– probleme teoretice
– probleme practice
d) tipul de raționament solicitat (după metoda folosită):
– probleme generale (în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică);
– probleme tipice (particulare) care se rezolvă printr-o metodă specifică: metoda figurativă,,reducerii la unitate, falsei ipoteze, comparației, a mersului invers.
– probleme netipice sau non standard care solicită un raționament de tip divergent și metode euristice de rezolvare.
Prin rezolvarea unor probleme care au aceleași mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea elevilor se conturează schema mentală de rezolvare, ce se constituie într-un algoritm de lucru care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea modului de rezolvare a unei probleme este simplă, în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscut. Această subsumare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă se poate descoperi și recunoaște în diferite contexte sau sub diverse forme de prezentare.
1. Probleme simple – repere metodice
Problemele simple sunt acelea cu care elevul se confruntă zilnic, în școală, la cumpărături, în familie, în timpul jocului. De aceea, primele probleme de matematică sunt prezentate sub formă de joc și sunt probleme-acțiune pentru a căror rezolvare se utilizează un material didactic ilustrativ.
La începutul clasei I se folosesc exemple și probleme-acțiuni din lumea cotidiană, iar rezolvarea lor se realizează la nivel concret.
Exemple:
1. „Pe terenul de sport erau 5 băieți și au mai venit 2. Câți băieți sunt în total?”
Pentru a înțelege mai bine se aleg din clasă 5 băieți, apoi încă 2. Câți băieți sunt în total? Elevii numără concret și află rezultatul.
2. „Pe o creangă erau 8 vrăbiuțe. Au zburat 3 vrăbiuțe. Câte vrăbiuțe au rămas?”
Se folosesc jetoane pe care copilul le vede, le numără și astfel află rezultatul.
În exemplele pe cere le-am cerut să le dea elevii am observat că cel mai mult le place să alcătuiască probleme simple folosind noțiuni ca: mașini, bomboane, mere, creioane, apropiate deci vieții lor. În activitatea pe care am organizat-o sub formă de joc intitulată: „La cumpărături”, elevilor le-a plăcut să cumpere, să plătească și apoi să socotească cu câți lei au rămas (am folosit jetoane și diferite obiecte). Astfel văzând că au rămas cu mai puțini bani, au înțeles ușor că rezolvarea problemei lor a solicitat operația de scădere.
Dificultatea principală pe care am observat că o întâmpină elevii este aceea în a transpune acțiunile concrete în relații matematice. Pe baza experienței de învățare elevii reușesc să transpună cu ușurință în operații matematice acțiunile cerute în enunțul problemei.
În rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important îl constituie stabilirea operației corespunzătoare unei acțiuni concrete și justificarea acestei operații. Pentru a înțelege folosirea operației de adunare în rezolvarea problemelor am procedat în felul următor: Am împărțit elevilor plicuri în care aveau jetoane cu diferite forme de fructe: mere, pere, căpșuni (numere de la 2 la 8). Le-am cerut să aleagă din plic un număr de jetoane (de exemplu 4, 3, 5), fiecare să țină minte câte a avut. Eu le-am mai împărțit câte două jetoane.
Le-am solicitat elevilor să alcătuiască enunțul problemei în funcție de acțiunea concretă realizată (exemplu: Eu am 3 mere, iar doamna învățătoare mi-a mai dat 2 pere) și să pună întrebarea problemei. (Câte fructe am acum?). Le-am solicitat copiilor să le numere și să observe dacă au mai multe sau mai puține (au mai multe). Deci cum vom reprezenta grafic ceea ce am făcut până acum? Se fac două mulțimi în care reprezentăm grafic numărul de elemente corespunzător cu numărul de fructe și se stabilește operația prin care se rezolvă problema.
Deci : 3 + 2 = 5 (fructe).
Prin rezolvarea multor probleme simple cu ajutorul materialului didactic se trece treptat la rezolvarea lor folosind calculul mintal. Elevii sunt conduși astfel să treacă de la gândirea concretă la cea abstractă.
În clasele I – II, pe măsură ce elevii cunosc primele operații aritmetice (adunarea și scăderea), sunt puși în situația de a aplica deprinderi și cunoștințe dobândite în învățarea operațiilor pentru rezolvarea problemelor simple sub forma clasică a ± b = ?
Treptat am propus și rezolvat cu elevii și alte variante, care transpuse sub forma unor probleme simple presupun explorare și investigare pentru a găsi soluția problemei, folosind tot operația de adunare. Am pornit de la problema de bază și am cerut elevilor să găsească cât mai multe variante de rezolvare, ținând seama de sarcina de lucru formulată.
Exemplu:
Problema sursă:
,, Bogdan și-a cumpărat ieri două baloane, iar azi un balon. Câte baloane are Andrei?”
Variante explorativ – investigative , propuse elevilor:
1. Câte baloane are Andrei dacă ieri și-a cumpărat 2 iar azi 1 balon? (a + b = ?)
2 + 1 = 3
2. Câte baloane a avut Andrei dacă după ce s-au spart două, i-a mai rămas unul?
? = 2 + 1
3. Andrei mai are un balon. Câte baloane a avut el dacă deja i s-au spart două?
1 + 2 = ?
În rezolvarea problemelor simple care solicită operația de scădere de tipul a – b = ?, prin explorare și investigare se poate ajunge la alte tipuri de probleme simple, ilustrate de schemele: ? = a – b, a – ? = b, b = a – ?.
Exemplu:
Problema sursă:
,, Irina are 6 mere. Ea mănâncă 2 mere. Câte mere îi mai rămân?”
Variante explorativ – investigative. Am cerut elevilor să găsească diferite variante de întrebări.
1. Câte mere are acum Irina, dacă din cele 6 pe care le avea a mâncat 2?( 6 – 2= 3)
2. Câte mere i-au rămas dacă ea avea 6 și a mâncat 2?( 6-2=3)
3. Câte mere mai are Irina, dacă acestea împreună cu cele două pe care le-a mâncat, au fost 6?
Se pot folosi și alte variante de întrebări.
La problemele simple care pentru a fi rezolvate solicită operația de înmulțire, alături de tipul a×b=? ,am formulat încă alte trei tipuri de probleme simple: ? = a × b; ? : a = b; b = ? : a.
Exemplu:
,,Alina are două păpuși și de trei ori mai multe jucării plușate. Câte jucării plușate are Alina?”
Variante explorativ – investigative.
Câte jucării plușate are Alina, dacă are două păpuși și de trei ori mai multe jucării plușate?
?= 2 ×3
Câte jucării plușate are Alina, dacă are de trei ori mai puține păpuși, iar păpuși are două?
? = 3 × 2
3. Alina are două păpuși, câte jucării plușate are, dacă păpușile sunt de trei ori mai puține decât jucăriile plușate?
La fel am procedat și în rezolvarea problemelor care solicită operația de împărțire de tipul a:b=?, aici am solicitat elevilor să găsească alte probleme simple, care să poată fi aplicate schemele:
? = a : b; a : ? = b; b = a : ?; b × ? = a; a = b × ?. În aceste cazuri se poate observa legătura dintre înmulțire și împărțire.
Exemplu:
Problema sursă:
,, Bunicul are opt mere. El dă celor patru nepoți același număr de mere. Câte mere primește fiecare nepot?”
Variante explorativ- investigative.
1. Câte mere primește fiecare nepot, dacă bunicul are opt mere și le dă în mod egal celor patru nepoți? ( 8 : 4 = 2)
2. Dacă bunicul are opt mere și fiecare nepot primește în mod egal câte două mere, câți nepoți are bunicul? ( 8 : 2 = 4)
3. Bunicul are patru nepoți, el le împarte în mod egal cele opt mere. Câte mere primește fiecare?
4. Bunicul are pentru nepoții săi opt mere. Câți nepoți are, dacă fiecare a primit câte două mere?
5. Câți nepoți are bunicul, dacă el le împarte cele opt mere, câte două, în mod egal?
Antrenarea școlarilor mici în rezolvarea unei game cât mai largi de probleme simple bazate pe cele patru operații matematice, contribuie la înarmarea acestora cu strategii flexibile, cu evidente deschideri spre zona creativității.
Deși rezolvarea de probleme simple pare ușoară, am considerat că trebuie să aduc în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație.
În etapa de familiarizare a elevilor cu rezolvarea problemelor simple, se formează algoritmi de „traducere” din „limbaj – problemă” în „limbaj – operație”, algoritmi care permit elevilor să realizeze corespondențe utile între cuvinte sau expresii întâlnite în enunțurile problemelor și operațiilor matematice. Astfel, expresiile de tipul: „sunt în total”, „au venit”, „punem lângă”, „primește”, „îi dă”, sugerează operația de adunare.
Erau 11 puișori ,au mai venit încă 4 puișori . Câți puișori sunt în total ?
Mama are 3 garoafe, ea mai primește încă 5 . Câte garoafe are mama în total?
Dacă lângă cei 12 miei albi mai vin încă 4 miei negri ,câți miei sunt în total?
Cristi avea 4 mere ,iar fratele lui îi dă încă 6 mere .Câte mere are acum Cristi?
Expresiile: „au zburat”, „au plecat”, „s-au spart”, „a mâncat”, sugerează elevilor operația de scădere.
Exemple :
Pe o floare erau 5 albine,au zburat 3 albine. Câte albine au rămas?
La un patinoar erau 12 fetițe. Au plecat 5 fetițe. Câte fetițe au rămas?
Ina avea 6 baloane . Dacă 2 baloane s-au spart ,cu câte baloane a rămas Ina?
Cu câte bomboane rămâne Florin dacă din cele 10 pe care le avea a mâncat 4 ?
Dacă în expresiile folosite într-o problemă includem cuvântul „ori”,acesta sugerează înmulțirea („de …. ori mai mare”, „de….ori mai mult”) sau împărțirea („de….ori mai mic”, de….ori mai puțin).
1.Ana are 5 mărgele,iar Ioana are de 3 ori mai multe mărgele. Câte mărgele are Ioana?
2.Care este numărul de 7 ori mai mare decât 3 ?
3.La un concurs sportiv au participat 30 de băieți și de 3 ori mai puține fete. Câte fete au participat la acel concurs?
4.Care este numărul de 7 ori mai mic decât 56 ?
Am constatat că, în general, problemele simple sunt ușor de înțeles și rezolvat de elevi. Cele mai frecvente dificultăți există atunci când:
– se neglijează întrebarea;
– includerea răspunsului în enunț;
– se neglijează unele date;
– confundarea operației ce trebuie efectuată.
Pentru a depăși aceste dificultăți și înlăturarea erorilor în rezolvarea corectă a problemelor am recomandat elevilor:
– să rezolve cât mai multe probleme;
– să analizeze atent enunțul problemei;
– să judece întregul context ca să poată stabili relații corecte între părțile implicate în problemă.
Pentru ca acest tip de probleme să nu devină pentru copii plictisitoare am căutat să abordez cât mai multe varietăți de enunțuri. Am prezentat probleme cu date incomplete, iar elevii să le completeze și să le rezolve. Acesta este un prim pas în compunerea de probleme.
Exemplu:
Sarcina de lucru: completați spațiile punctate cu date numerice:
1. Erau……miei albi și …… miei negri. Câți miei sunt în total?(… + …. = .)
2. Dintre cei 800 de puieți plantați, s-au prins 765.Înseamnă că …puieți s-au uscat.
– completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;
3. ,,Pe un raft sunt 34 de cărți, iar pe altul cu 5 mai multe. Puneți întrebarea și rezolvați.
4. ,,Dana are ….bile, iar Andrei …bile. Cine are mai multe bile și cu câte?’’
,,La o grădiniță sunt 53 de ursuleți și ….păpuși, în total 92 de jucării. Câte păpuși sunt?”
Alte variante de probleme simple utilizate în procesul de predare învățare a operațiilor aritmetice de bază-adunarea, scăderea înmulțirea sau împărțirea sunt de tipul:
– prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;
– rezolvarea unor probleme în care operația nu apare de la prima vedere;
– compunerea de probleme după anumite date, după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;
– alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod liber.
Procedeele introduse și folosite în mod gradat, pe măsură ce elevii capătă experiență în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor exersează flexibilitatea gândirii. Prin rezolvarea problemelor elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipative.
Deși rezolvarea problemelor simple pare ușoară, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor cât mai multe tipuri de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.
Exemple de probleme simple utilizate în predarea operațiilor aritmetice
Probleme de adunare
de aflare a sumei a doi termeni
,,Mama primește 4 garoafe și 12 trandafiri. Câte flori primește mama ?’’
de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat
,, Într-o parcare sunt 5 mașini albe, și cu 4 mai multe roșii. Câte mașini roșii sunt în parcare ?’’
probleme de genul ,,cu atât mai mult ,,
Problemele de scădere
de aflare a restului sau diferenței
,, Iepurică avea 6 morcovi . El a mâncat 2 morcovi. Câți i-au mai rămas?’’
de aflare a unui număr care să aibă cu un număr de unități mai puțin decât un număr dat
,,Ion are 10 ani. Fratele lui este cu 3 ani mai mic .Câți ani are fratele său ?
de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei
,,Într-o tabără pleacă 32 de elevi,dintre care 14 sunt fete. Câți băieți pleacă în tabără?’’
Probleme care conțin expresii ce indică operația(cuvinte cheie) ,,cu atât mai mult/puțin”, ,, de atâtea ori mai mult/mai puțin”
Exemplu
,,Crina are 12 cuburi roșii și cu 4 mai puține cuburi albastre. Câte cuburi albastre are Crina?
Problemele simple bazate pe înmulțire:
de repetare de un număr de ori a unui număr dat;
,, Câte picioare au 10 găini ?’’
de aflare a produsului;
,,Într-un pachet sunt 3 ursuleți. Câți ursuleți sunt în 7 pachete ?’’
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat;
,,Alina are 7 lalele și de 3 ori mai multe narcise. Câte narcise are Alina ?’’
Probleme simple de împărțire(fără rest):
de împărțire a unui număr în părți egale;
,,Într-o cutie au fost 18 bomboane . Ele au fost împărțite la 3 copii. Câte bomboane a
primit fiecare copil?’’
de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;
,,Irina are 16 creioane. La câți copii poate da câte 4 creioane?’’
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat:
,, Într-o livadă s-au plantat 48 de meri ,iar peri de 6 ori mai puțini. Câți peri s-au plantat?’’
de aflare a unei părți dintr-un întreg:
,,În 8 cutii sunt 72 de creioane .Câte creioane sunt într-o cutie?’’
de aflare a raportului dintre două numere:
,,De câte ori este mai mare 54 decât 6 ?’’
2. Probleme compuse – repere metodice
Trecerea de la probleme simple la probleme compuse se face treptat, în momentul în care programa școlară specifică faptul că se poate rezolva probleme cu două operații. Acestea sunt prevăzute începând cu clasa a II-a, iar primele probleme compuse conțin două probleme simple care necesită fie două operații de scădere, două operații de adunare sau o scădere și o adunare.
Pentru ca elevii să înțeleagă că unele probleme nu se mai pot rezolva printr-o singură operație, le-am formulat în așa fel încât cele două etape de rezolvare să fie subliniate în conținutul problemei, pornind de la rezolvarea problemelor – acțiuni.
Exemplu:
,,Într-un autobuz erau 10 călători. La prima stație se urcă 4 călători. La următoarea stație au coborât 8 călători. Câți călători au rămas în autobuz?”
Am chemat în fața clasei 10 copii, apoi se mai cheamă 4 copii. Se numără câți călători sunt „în autobuz”. Din totalul de 14 călători, coboară 8 călători. Se numără și se află că au mai rămas 6 călători.
Am adresat clasei următoarele întrebări:
Câți călători erau în autobuz? (10)
Câți călători sunt în autobuz după ce au mai urcat 4? Cum am aflat?
10 + 4 = 14 (elevi – călători)
Câți au coborât la următoarea stație? (8) (pleacă 8 elevi – călători). Câți călători au mai rămas? (6). Cum am aflat?
14 – 8 = 6
În analiza problemei au fost adresate elevilor întrebări care să evidențieze faptul că s-au efectuat două operații.
După analiza și rezolvarea orală a problemei am trecut la scrierea datelor și planului problemei pe tablă și pe caiete.
În scopul familiarizării elevilor cu cele două părți ale problemei (enunțul și întrebarea) am așezat datele problemei în coloană, deoarece acest mod de scriere permite ca în dreptul datelor numerice să se noteze prin cuvinte semnificația lor. Întrebarea problemei am separat-o printr-o linie. Mai jos am scris rezolvarea și răspunsul.
Exemplu:
Erau: 10 călători
4 călători urcă
8 călători coboară
Câți călători au rămas?
Rezolvare:
1. Câți călători sunt în autobuz după prima stație?
10 + 4 = 14 (călători)
2. Câți călători au rămas în autobuz după a doua stație?
14 – 8 = 6 (călători)
R: 6 călători
Rezolvarea problemelor compuse necesită descompunerea în probleme simple, rezolvarea lor, iar raționamentul problemei se realizează printr-o formulă numerică.
(10 + 4) – 8 = 6
Treptat, după ce am rezolvat mai multe probleme care se încadrează în acest algoritm, îl vom exprima printr-o formulă generală, folosind literele:
(a + b) – c = ? sau a – (b + c) = ?
În clasa I, planul problemei se întocmește la început oral ( elevii neavând suficiente deprinderi de scriere), iar la clasa a II a planul de rezolvare să se facă oral sau în scris în egală măsură. Așadar, la clasa a II-a , pe lângă modalitățile de lucru folosite la clasă, am introdus și alcătuirea planului de rezolvare, mai întâi în formă clasică (întrebările în ordinea rezolvării), apoi într-o formă tot mai condensată, fiecare
întrebare cuprinzând răspunsul mai multor întrebări de detaliu. Astfel, n-am formulat câte o întrebare pentru fiecare problemă simplă din cadrul problemei compuse, ci întrebările ,,intermediare”aveau funcția de întrebări complexe, incluse în problema de rezolvat.
Elevii au ajuns ca în loc de rezolvarea problemei prin trei sau patru întrebări să realizeze rezolvarea într-o formă concentrată, fie chiar sub forma unui exercițiu cu mai multe operații.
În clasele a III-a și a IV-a,îndată ce problema a fost examinată se trece la scrierea planului de rezolvare sau direct la punerea problemei în exercițiu (depinde de problemă și de elevi).
III.3. Etape de rezolvare a problemelor
Pentru a veni în sprijinul elevilor să înțeleagă și să rezolve o problemă compusă, este necesar să li se explice că trebuie să parcurgă următoarele etape:
a) Cunoașterea enunțului problemei de către elevi.
Învățătorul citește problema, după care este recitită de către elevi, urmărind ca aceștia să rețină datele problemei, stabilirea relațiilor și identificarea necunoscutelor. Accentul trebuie pus pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaște, de ceea ce trebuie aflat.
Exemplu: ,,În bibliotecă erau 15 rafturi cu câte 16 cărți fiecare și 12 rafturi cu câte 22 de cărți fiecare. S-au mai adus 124 de cărți. Câte cărți sunt acum în bibliotecă? ’’
b) Înțelegerea enunțului problemei și scrierea datelor
În această etapă se are în vedere:
– orientarea în conținut, delimitând și fixând sistemul de date, condiții și cerințe;
Ce se cunoaște în problemă?
– că sunt 15 rafturi cu câte 16 cărți și 12 rafturi cu câte 22 de cărți;
– că s-au mai primit încă 124 de cărți.
Ce nu se cunoaște în problemă?
– câte cărți sunt pe cele 15 rafturi;
– câte cărți sunt pe cele 12 rafturi,
– câte cărți sunt în total;
– explicarea cuvintelor din enunț (dacă este necesar);
– schematizarea problemei și scrierea datelor problemei în limbaj matematic folosind diferite notații;
15 rafturi cu câte 16 cărți
12 rafturi cu câte 22 cărți
s-au adus 124 cărți
Câte cărți sunt în total?
– realizarea unei reprezentări grafice în conformitate cu relațiile dintre datele problemei;
c) Analiza problemei și examinarea sau judecata problemei pe cale sintetică sau analitică
Are loc pe baza proceselor gândirii (analiza, sinteza).
Este etapa în care se construiește raționamentul de rezolvare a problemei, prin analiza datelor, a dependențelor dintre ele și a celor dintre date și cerințe, pentru a se ajunge la înțelegerea corectă a problemei și rezolvarea conștientă a ei de către elevi. Analiza problemei se poate face fie pe cale sintetică, care presupune un raționament inductiv fie pe cale analitică cu un raționament deductiv. Aceste două căi de rezolvare nu constituie metode de rezolvare a problemelor, ci modalități de analiză a datelor și relațiilor din problemă.
d) Realizarea planului de rezolvare
Presupune extragerea și reținerea, oral sau în scris a concluziilor reieșite din examinarea problemei. Planul de rezolvare poate fi formulat prin sintagme interogative sau afirmative, ori prin notații convenționale. Această etapă presupune stabilirea operațiilor, scrierea și efectuarea calculelor.
Rezolvare:
Câte cărți sunt pe cele 15 rafturi?
15 × 16 = 240 (cărți)
Câte cărți sunt pe cele 12 rafturi?
12 × 22 = 264 (cărți)
Câte erau în bibliotecă?
240 + 264 = 504 (cărți)
Câte cărți sunt în total ?
504 + 124 =628 (cărți)
Răspuns : 628 cărți.
e) Activitățile suplimentare după rezolvarea problemei vizează verificarea soluției problemei, găsirea și a altor metode de rezolvare și integrarea(dacă este posibil) în tipurile de probleme din care face parte. Pe baza planului, se construiesc expresiile matematice care înglobează datele și condițiile din problemă sub forma unui exercițiu cu două sau mai multe operații. Rezolvarea acestui exercițiu constituie și o modalitate de verificare a corectitudinii rezolvării.
Punerea problemei în exercițiu: (15 × 16) + (12 × 22 ) + 124 = 240 + 264 + 124 = 628.
Tot în această etapă se pot compune probleme pornind de la exercițiul dedus din probleme, se pot formula alte întrebări suplimentare prin explorarea/investigarea datelor problemei.
Este foarte important ca, în această etapă învățătorul să se asigure că elevii fac distincție clară între punerea problemei în exercițiu, pentru identificarea tipului de problemă și punerea rezolvării într-un exercițiu.
De asemenea, trebuie să se insiste pe faptul că în punerea problemei în exercițiu se folosesc numai datele și numerele din problema respectivă, iar între necunoscute se scriu operațiile corespunzătoare relațiilor exprimate în mod direct în enunț.
De la scrierea problemei printr-un exercițiu, treptat,am trecut la formule generalizate prin semne literale, care sunt caracteristice unor categorii de probleme, iar prin folosirea algoritmului de calcul se ajunge la rezolvarea altor probleme sau se compun alte probleme.
(a × b) + (d × c) + e =
Drumul parcurs de elev de la înțelegerea conținutului concret al problemei până la găsirea soluției de rezolvare, punerea problemei într-un singur exercițiu cu valori numerice sau literale, contribuie la dezvoltarea mobilității gândirii, creativității, dar și a simțului estetic al școlarilor (prin organizarea modului de rezolvare, eleganța, simplitatea și aspectul estetic al așezării în pagină a rezolvării).
O componentă importantă în actul predării matematicii la clasele primare este cea referitoare la selectarea problemelor care admit mai multe căi de rezolvare. Rezolvarea prin mai multe metode constituie o adevărată gimnastica a minții, dând posibilitatea formării capacității de investigare/explorare si rezolvare de probleme.
Exemplu: Am propus elevilor clasei a III-a, rezolvarea următoarei probleme
,, La un depozit de vinuri erau două butoaie cu vin. Primul butoi avea 150 litri de vin , iar al doilea 200 litri. Din primul butoi s-au vândut 75 l, iar din al doilea100 l.
Câți litri de vin au rămas în cele două butoaie?”
După o analiză sumară a problemei, am cerut elevilor să rezolve problema, fără a da nicio indicație.
Verificând activitatea elevilor am constatat că ei au folosit două moduri de aflare a răspunsului problemei:
Primul mod de rezolvare:
150 l………..200 l………75 l……………100 l…………..? l
1). 150 l + 200 l = 350 l (total)
2). 75 l + 100 l = 175 l (s-au vândut)
3). 350 l – 175 l = 175 l (au rămas)
Al doilea mod de rezolvare:
1). 150 l – 75 l = 75 l (au rămas în primul butoi )
2). 200 l – 100 l = 100 l (au rămas în al doilea butoi)
3).75 l + 100 l = 175 l (au rămas în total)
De asemenea, am constatat că o parte din elevii care au dobândit capacitatea de a ,,vedea” problema în întregime, ca o unitate, și de a o rezolva printr-un exercițiu, o astfel de problemă este, propriu-zis, un exercițiu de tipul: (150 – 75) + (200 – 100) = 175 (l).
În vederea consolidării algoritmilor de rezolvare a problemelor, am propus elevilor o serie de texte cu conținut matematic și am formulat sarcini de lucru care să-i determine să aplice cunoștințele însușite.
Exemplu: Elevilor li s-a dat următorul text:
,,Într-o livadă s-au plantat 125 de cireși și cu 75 mai mulți vișini.”
Au fost formulate următoarele sarcini de lucru:
1. Formulați întrebarea astfel ca problema să se rezolve printr-o singură operație;
2. Formulați întrebarea astfel încât problema să se rezolve prin două operații;
3. Modificați relațiile dintre datele problemei astfel încât să se rezolve printr-un singur fel de operații.
4. Alcătuiți schema problemei;
5. Transpuneți rezolvarea într-un singur exercițiu cu valori numerice;
6. Transpuneți rezolvarea într-un exercițiu cu valori literale;
7. Alcătuiți o altă problemă după formulă literală obținută.
Răspunsurile elevilor la întrebările propuse au fost numeroase și au permis identificarea neînțelegerilor apărute cu privire la modul de rezolvare al problemelor.
III.4. Metode de rezolvare a problemelor de matematică în ciclul primar
Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, își îmbogățesc orizontul de cultură generală prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe studiate la alte discipline, contribuind astfel la formarea personalității elevilor, iar metodele aritmetice au o eficiență foarte mare în dezvoltarea gândirii logice, a creativității și a atenției voluntare. Problemele de matematică, prin însăși conținutul lor sunt legate strâns de viață, de practică, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le astfel deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care uneori viața le pune în fața lor. De aceea învățătorul trebuie să se concentreze și asupra dirijării elevilor în a găsi niște enunțuri posibile, reale, cât de cât legate de experiența lor de viață.
Baza dezvoltării matematice cu ajutorul rezolvării și compunerii de probleme de către elevi o formăm începând din clasa pregătitoare și clasa I, odată cu predarea operațiilor aritmetice în cadrul numerației până la 10. În această perioadă deprindem elevii cu rezolvarea și compunerea de probleme pe bază intuitivă cu ajutorul figurilor sau planșelor, îi deprindem să înțeleagă îmbinările de cuvinte și legătura cu mulțimile de obiecte.
Problemele formulate cu ajutorul materialului didactic propriu fiecărui elev ca: riglete, jetoane, figuri geometrice, mere, pere, steluțe, ciupercuțe etc. contribuie la înțelegerea conținutului problemei și la dirijarea atenției spre ceea ce este cunoscut( ce știm sau ce cunoaștem) și cerința problemei(necunoscuta sau ce trebuie să aflăm).
Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi, atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme și de a folosi metode specifice de rezolvare a problemelor:
– 1. metoda figurativă sau grafică;
-2. metoda comparației;
-3. metoda falsei ipoteze;
-4. metoda mersului invers sau metoda retrogradă;
Folosirea acestor metode speciale de rezolvare a problemelor tipice duce la formarea unor algoritmi de rezolvare. Algoritmul, ca procedeu de lucru, este constituit dintr-un sistem de reguli ce se înlănțuie într-o ordine determinantă și care aplicat la orice problemă dintr-o anumită categorie duce la rezolvarea ei. Acești algoritmi sau metode tipice de rezolvare se caracterizează prin modul de formulare a datelor, succesiunea pașilor de operare, cât și prin utilizarea într-un mod specific a operațiilor gândirii și a tipului de raționament. În rezolvarea problemelor tipice se va reveni periodic la tipurile învățate, ca să se compare problemele de tip diferit ce conțin în enunț unele elemente asemănătoare.
Cum nu toate problemele implică operații algoritmice, o altă componentă în procesul de rezolvare a problemelor este dimensiunea euristică. Astfel, problemele netipice au la bază reguli generale care trebuie însușite într-o formă logică și înțelese de elevi ca mod de lucru. În rezolvarea problemelor atipice elevii sunt puși în situația de a descoperi ei înșiși modalități de rezolvare, de a formula ipoteze pe care apoi să le verifice s facă asociații de idei și de corelații care ies din tiparele unor algoritmi cunoscuți. Aceste metode cu ajutorul cărora se descoperă noi mijloace de rezolvare sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie în zona unor rezolvări algoritmice, cum este cazul problemelor tipice, dar și în aceea a rezolvării euristice. În rezolvarea problemelor la clasele I-IV predomină metodele aritmetice speciale.
1. Metoda figurativă – este o metodă ce constă în reprezentarea grafică a mărimilor necunoscute și marcarea prin desen a relațiilor dintre mărimile date în problemă. Avantajele pe care le prezintă metoda figurativă sau grafică o situează pe primul loc în ceea ce privește utilizarea ei (are un caracter general, aplicându-se la orice categorie de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității). Are un caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor bazându-se pe imagine vizuală.
Încă din clasa I, când simțim nevoia de a apropia cât mai mult datele problemei de înțelegerea de către copii a enunțului și întrebării din problemă, am recurs la desene, figuri, un mod cât mai detaliat și apropiat de textul problemei, continuând în clasele următoare să folosesc figuri din ce în ce mai abstracte, mai schematice pentru rezolvarea problemelor.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă le putem împărți în două categorii și anume:
a) cu date sau mărimi „discrete” înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii. În acest caz mărimile le „figurăm” prin simboluri.
Exemplu:
1.,, Dacă se așează câte un elev într-o bancă, rămân 14 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă, rămân 3 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?”
După însușirea enunțului de către elevi, am stabilit care sunt mărimile „discrete” ale problemei: bănci și elevi. Stabilim semnele convenționale folosind pentru cele două mărimi:
– bancă
– elev
Desenăm un număr de bănci în care așezăm câte un elev și rămân 14 elevi.
…….. 1 2 3 …………..14
Partea a doua a problemei ne sugerează că dacă așezăm câte doi elevi în bancă, rămân 3 bănci libere. Am cerut elevilor să găsească o soluție până când prin întrebări ajutătoare am ajuns la o soluție convenabilă, adică cei 14 elevi rămași în picioare vor ocupa 14 bănci în care erau câte un elev.
…… …..
1 2 3 14
Deoarece enunțul menționează că au rămas 3 bănci libere, inițial fiecare bancă avea câte un elev, deci mai completăm încă 3 bănci cu doi elevi.
Deci în clasă erau: 14 + 3 + 3 = 20 bănci;
Numărul de elevi: 20 + 14 = 24 elevi.
Tot prin folosirea de desene am putut rezolva probleme de tipul:
2. ,,Într-o curte sunt găini și purcei. În total 20 de capete și 50 de picioare. Câte găini și câți purcei sunt?”
Am desenat:
3.,, Un grup de elevi a cumpărat de 5 ori mai multe mingi albastre decât mingi roșii. Fiecare elev
primește două mingi roșii și trei mingi albastre , dar mai rămân o minge roșie și 75 mingi albastre.
Câți copii au primit mingi și câte mingi de fiecare fel au fost la început?”
Am reprezentat prin cerculețe roșii și albastre mingile.
Împărțim mingile albastre astfel încât fiecare copil să aibă de 5 ori mai multe mingi albastre
decât roșii. Astfel,fiecare copil mai primește încă 7 mingi.
75 : 7= 10 rest 5
Înseamnă că sunt 10 copii.
10× 2 +1 =21 (mingi roșii)
10 × 10 + 5=105 (mingi albastre)
Răspuns :10 copii;21 mingi roșii;105 mingi albastre.
b) cu date sau mărimi continue,caz în care datele se pot schematiza utilizând segmente sau dreptunghiuri;
Cea mai frecventă reprezentare grafică a problemelor, am constatat că, o constituie însă folosirea segmentelor de dreaptă.
Exemplu:
,,Doi frați au împreună 15 ani. Unul este cu 3 ani mai mare. Câți ani are fiecare frate?”
După examinarea enunțului problemei , se desprinde ușor ideea că unul este mai mare cu 3 ani. Am cerut elevilor să reprezinte grafic, folosind segmentele de dreaptă, vârstele celor doi frați.
I
II
Pentru ca cei doi frați să aibă vârste egale ar trebui să scădem cei 3 ani din suma totală:
15 – 3 = 12 ani
După care se pot afla vârstele celor doi frați: 12 : 2 = 6 (ani fratele mai mic)
6 + 3 = 9 (ani fratele mai mare)
2.,, În două vase sunt 23 l de lapte. Câți litri sunt în fiecare vas, dacă în unul sunt cu 5 l
mai puțin?”
Pentru a înțelege mai bine legăturile dintre datele problemei,reprezentăm aceste date printr-un desen sau prin segmente:
I.
II. ––––
Egalăm cele două segmente, adică adăugăm în al doilea vas 5 litri.
1.Câți litri sunt în ambele vase ,dacă adăugăm 5 l în al doilea vas?
23 l + 5l =28 l
2.Câți litri sunt în primul vas?
28 l : 2= 14 l
3.Câți l erau în al doilea vas?
14 l – 5 l =9 l
Proba:14 + 9= 23(l)
Prin rezolvarea unui număr mare de probleme de acest tip elevii și-au însușit algoritmul de calcul , iar în urma unui test aplicat am constatat următoarele:
– număr de elevi: 18 , din care 7 elevi au aplicat metoda de egalare prin lipsă, iar 9 elevi au egalat mărimile prin adăugire, iar 2 elevi ,,s-au pierdut ” în calcule.
3.,,O carte și un caiet costă 25 de lei. Cât costă fiecare obiect, știind că un caiet costă de 4
ori mai puțin decât cartea?”
Reprezentăm grafic prețul celor două obiecte:
caiet –
carte –
Elevii au sesizat ușor că în total avem: 1 p.+ 4p.= 5 părți egale
Cât costă 1 caiet?
25 : 5 = 5( lei)
Cât costă o carte?
5 × 4 =20 lei
Proba : 20 + 5 = 25 lei
Din categoria problemelor care se rezolvă prin metoda figurativă mai fac parte:
– probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor;
În rezolvarea acestui tip de probleme elevii trebuie să învingă dificultățile legate de raționamentul problemei, dificultăți ce pot fi eliminate prin clarificarea noțiunii de parte.
Exemple: 1.,, Suma a două numere este 38 ,iar diferența lor este 16. Care sunt cele două numere?”
2. ,,Suma a trei numere consecutive este 1224. Care sunt cele trei numere?”
3.,, Doi frați au împreună 18 portocale. Unul dintre ei are cu 4 portocale mai mult.
Câte portocale are fiecare? ”
În rezolvarea problemelor de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor am aplicat cele două variante de rezolvare, pe care elevii le cunosc încă de la rezolvarea problemelor cele mai simple , prin metoda figurativă:
egalare în raport cu valoarea cea mai mare;
egalare în raport cu valoarea cea mai mică;
– probleme de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor;
Exemple: 1.,, Suma a două numere este 945. Să se afle numerele știind că unul este de 8 ori mai mare decât celălalt.”
2.,, Diferența a două numere naturale este 45. Al doilea număr este de 4 ori mai mare decât primul. Care sunt cele două numere?”
3.,, Trei cărți au împreună 366 de pagini. Prima carte are de 2 ori mai multe decât a doua, iar a treia de 3 ori mai multe decât a doua. Câte pagini are fiecare carte? ”
Rezolvarea acestor tipuri de probleme, presupune o bună înțelegere a relațiilor dintre părți, o reprezentare grafică corectă, până când se ajunge la formarea algoritmului de calcul. Acesta poate fi aplicat ,simplificând astfel procedeul, iar la clasa a IV-a problemele pot fi rezolvate fără a mai folosi reprezentarea grafică chiar. Am constatat că elevii recunosc acest tip de probleme, își reamintesc algoritmul de rezolvare și-l aplică în manieră logică, iar varianta aleasă depinde de capacitatea de explorare/investigare a fiecărui copil.
În rezolvarea problemelor de aritmetică, reprezentarea grafică poate avea doua funcții de bază:
– să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcție îi ajută pe elevi să-și reprezinte intuitiv un număr, dar nu numai condițiile inițiale ci și soluția problemei, înlesnind de asemenea, și stabilirea legăturilor dintre noțiunile aritmetice și cele geometrice și contribuind la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor.
Începând cu clasa a III-a am dat elevilor de alcătuit probleme de tipul:
Compuneți și rezolvați probleme de înmulțire și de împărțire folosind expresiile: ,,câte 3”, ,,la 3 ’’,, de 3 ori mai mult”, ,,de3 ori mai puține”, ,,cât…în fiecare”,
,,câte …în total”.
Compuneți și rezolvați câte o problemă în care să folosiți expresii ca:
,, cu …mai mult decât …” sau ,,cu…mai mic decât…
De asemenea le-am dat de alcătuit probleme după grafice date:
Exemplu:
I. A sau II.A
B B
Metoda figurativă am folosit-o cu multă eficiență la clasa a IV-a în rezolvarea problemelor cu numere fracționare. Având o reprezentare clară a mărimilor, elevii vor rezolva cu ușurință problemele de acest fel. Se începe cu cele mai simple probleme, până la cele mai complexe (în funcție și de particularitățile individuale ale elevilor). Am folosit fișe de lucru cu caracter diferențiat, unde elevii au avut posibilitatea să rezolve probleme după capacitatea fiecăruia.
Exemplu:
1. Într-o clasă sunt 8 elevi fruntași ceea ce reprezintă 1/3 din elevii clasei. Câți elevi sunt în clasă?
Reprezentăm grafic numărul total de elevi:
= 8 elevi
Dacă reprezintă 8 elevi, atunci = 8 x 3 = 24 (elevi)
R: 24 elevi
2. Un biciclist parcurge în prima zi din drum, a doua zi din drum, iar a treia zi restul de 10 Km. Câți kilometri a parcurs biciclistul?
Reprezentăm drumul printr-un segment după care îl împărțim în 5 părți egale:
A B
I zi a II-a zi a III-a zi – restul
Elevii pot observa că a treia zi biciclistul parcurge tot din drum, care reprezintă 10 Km.
Atunci = 10 : 2 = 5 Km.
Pentru aflarea drumului parcurs las posibilitatea elevilor de a alege modul de aflare.
1. 5 Km. + 10 Km. + 10 Km. = 25 Km.
2. Dacă = 5 Km. → atunci = 5 x 5 = 25 Km.
Probleme cu un grad sporit de dificultate le-am introdus pentru elevii cu o capacitate mai mare în rezolvarea problemelor.
Exemplu 1.:
Un călător parcurge un drum în trei etape: în prima zi parcurge din drum, în a II-a zi parcurge din drumul rămas, iar in a III-a zi parcurge 20 Km. Care este lungimea drumului parcurs.
Acest tip de probleme cere o atenție deosebită din partea elevilor, o explorare atentă a datelor, deoarece în a doua zi parcurge din rest, ceea ce schimbă cu totul reprezentarea grafică.
A B
I zi
a II-a zi restul = 20 Km.
Elevii observă că din rest este egal cu din întreg drumul.
Dacă = 20 Km. Atunci = 20 : 2 =10 Km.
Lungimea drumului se poate afla direct, sau în funcție de cum înțelege fiecare elev problema. Am testat capacitatea de explicare și investigare punând întrebarea: Adăugați altă întrebare pentru problema rezolvată: (Câți Km. Parcurge călătorul în fiecare zi?)
Exemplu 2.:
La un magazin alimentar s-au primit 945 Kg. de zahăr. În prima zi s-au vândut din întreaga cantitate, a doua zi din ceea ce a rămas, iar a treia zi restul. Câte kilograme de zahăr s-au vândut în fiecare zi?
După ce elevii au rezolvat problema, am cerut să adauge alte întrebări pentru a extinde problema. Am formulat următoarele întrebări:
1. Câți lei s-au încasat dacă 1 Kg. de zahăr costă 9 lei?
2. Câți lei s-au încasat în fiecare zi dacă 1 Kg. costă 10 lei?
2. Metoda aducerii la același termen de comparație sau metoda comparației
Comparația ca operație a gândirii logice, intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme urmărește eliminarea necunoscutei fie prin înlocuirea ei,fie prin reducere și aducere la același termen de comparație.
Probleme de eliminare a unei mărimi prin reducere
Cheia pentru descoperirea procedeului de rezolvare este stabilirea legăturilor cauzale dintre mărimile variabile prin eliminarea provizorie a uneia dintre mărimi care nu influențează schimbarea celeilalte mărimi.
Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective.
Exemplu:
,,6 caiete și 9 cărți costă 63 lei, iar 6 caiete și 4 cărți costă 38 de lei. Câți lei costă 1 caiet și câți lei costă o carte ?”
Am explicat mai întâi elevilor că problemele care se rezolvă prin metoda comparației cer ca așezarea datelor să se facă în așa fel încât să fie puse în evidență valorile aceleiași mărimi, așezându-le unele sub altele. Se analizează apoi cu mare atenție conținutul problemei, se stabilesc mărimile și se observă că s-au cumpărat același număr de caiete, variind numărul de cărți cumpărate, de unde și valoarea diferită. În vederea alcătuirii planuluii logic, învățătorul va pune următoarele întrebări:
1. Cu câte cărți s-au cumpărat mai puțin?
9 – 4 = 5 (cărți)
2. Câți lei costă cele 5 cărți?
63 – 38 = 25 (lei)
3. Câți lei costă o carte?
25 : 5 = 5 (lei o carte)
4. Câți lei costă 6 caiete?
4 x 5 = 20 (lei cele 4 cărți)
38 – 20 = 18 (lei 6 caiete)
5. Câți lei costă 1 caiet?
18 : 6 = 3 (lei)
R: 5 lei o carte
3 lei un caiet
La clasa a IV-a întâlnim probleme în care nu avem mărimi care să aibă aceeași valoare, iar atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. Rezolvarea constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor, pentru a se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.
Exemplu:
,,De la o librărie un elev cumpără 5 pixuri și 3 stilouri plătind 11 lei, iar colegul său cumpără 6 pixuri și 6 stilouri plătind 18 lei. Câți lei costă 1 pix și cât costă 1 stilou?”
Se așează datele unele sub altele în mod corespunzător:
5 pixuri……………3 stilouri……………….11 lei ×2
6 pixuri……………6 stilouri……………….18 lei
Am îndrumat elevii să-și îndrepte atenția asupra uneia dintre mărimi pentru a le egala, adică să le aducă la același termen de comparație.
În acest scop se folosește operația de înmulțire pentru a aduce mărimile la același termen de comparație. Se scriu datele obținute după înmulțire:
10 pixuri……………6 stilouri……………….22 lei
6 pixuri……………6 stilouri……………….18 lei
Se analizează și se rezolvă problema scriind raționamentul sub formă de judecăți și operații ca în exemplul anterior.
Acest tip de probleme solicită din partea copiilor o atenție deosebită pentru a găsi procedeul corect de rezolvare, cere o flexibilitate a gândirii, implică o activitate de explorare și investigare.
2.2. Probleme de eliminare a unei mărimi prin înlocuire (substituție)
Le întâlnim în clasa a III-a și a IV-a , iar acestea se pot rezolva aplicând metoda de înlocuire a unei mărimi prin alta, pe baza relațiilor cantitative dintre ele.
Problemele de eliminare prin înlocuire se pot clasifica în două categorii:
1. – probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun utilizarea operațiilor de adunare și scădere (mai mare / mai mic, mai mult / mai puțin, mai scump / mai ieftin, cu o anumită mărime, cantitate, valoare).
2. – probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun utilizarea operațiilor de înmulțire și împărțire (mai mare / mai mic de un număr de ori).
Exemplu:
,,3 caiete și 6 cărți costă 30 lei
1 carte costă cât 2 caiete.
Cât costă un caiet? Dar o carte?”
Se analizează problema, subliniind ceea ce se dă în problemă, ceea ce se cere, după care
schematic problema se transcrie astfel:
3 caiete……….6 cărți……….30 lei
2 caiete = 1 carte. Pornind de la această condiție am observat că elevii au descoperit cu ușurință că trebuie să înlocuim cărțile cu caietele având în vedere că în loc de 6 cărți putem cumpăra 12 caiete (6×2=12).
Raționamentul rezolvării problemei am solicitat să se facă sub formă de judecăți și operații.
1. Câte caiete putem cumpăra pentru cele 6 cărți?
6 x 2 = 12 (caiete)
2. Câte caiete se cumpără în total?
3 + 12 = 15 (caiete)
3. Cât costă un caiet?
30 : 15 = 2 (lei)
4. Cât costă o carte?
2 x 2 = 4 (lei)
R: 2 lei caietul
4 lei cartea
Verificare: (3 x 2) + (6 x 4) = 30
2.3. Probleme de reducere la unitate
Aceste probleme sunt incluse tot în categoria problemelor ce presupun aducerea la același termen de comparație, dar care au la bază reducerea la unitate.
Exemplu:1. ,,5 trandafiri costă 25 lei. Cât vor costa 7 trandafiri?”
Din primul enunț al problemei se va afla valoarea unei singure unități – unitatea de bază (în cazul acesta un trandafir). Am cerut de fiecare dată ca elevii să verbalizeze ceea ce fac, adică, dacă 5 trandafiri costă 25 de lei, atunci 1 fir cât va costa?, după care se trece la scrierea planului de rezolvare.
1. Cât costă un trandafir?
25 : 5 = 5 (lei)
2. Cât costă 7 trandafiri?
5 x 7 = 35 (lei)
R: 25 (lei)
2.,,O pereche de pantofi costă cât 2 ghiozdane, iar un ghiozdane cât trei tricouri. Să se afle cât
costă fiecare produs , știind că un tricou ,un ghiozdan ,și o pereche de pantofi costă 40 de
lei?”
În probleme de acest fel vom înlocui două mărimi printr-o singură mărime ,adică pantofii
în ghiozdane și apoi ghiozdanele în tricouri,de unde putem afla prețul unui tricou , iar apoi
celelalte prețuri.
3.Metoda falsei ipoteze (presupunerilor)
Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze. Ea solicita introducerea unor date ipotetice, plecând de la întrebarea problemei, confruntarea situației obținute cu situația reală.
Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase, pentru ca orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale, poate fi rezolvată prin metoda falsei ipoteze.
Problemele care se rezolvă prin această metodă se pot clasifica astfel:
– probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;
– probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.
Exemplu:
,,Andrei îngrijește iepuri și porumbei. Știind că sunt în total 51 de capete și 132 de picioare, să se afle câți iepuri și câți porumbei îngrijește Andrei?”
După o analiză atentă a problemei, în care se precizează că porumbeii au 2 picioare, iar iepurii au 4 picioare am dat elevilor următoarea sugestie metodică:
Varianta 1.
Să presupunem că Andrei îngrijește numai porumbei (evident că această ipoteză este falsă, deoarece Andrei îngrijește și iepuri, în total 51 de capete) atunci:
1. Câte picioare ar avea cele 51 de capete?
51 x 2 = 102 (picioare)
2. În realitate sunt 132 de picioare.
132 – 102 = 30 (picioare)
3. Diferența de 30 de picioare apare datorită faptului că sunt și iepuri care au 4 picioare, deci avem o diferență de 2 picioare.
4 – 2 = 2 (picioare diferență)
4. Câți iepuri sunt?
30 : 2 = 15 (iepuri)
5. Câți porumbei are Andrei?
51 – 15 = 36 (porumbei)
Verificare:
(15 x 4) + (36 x 2) = 60 + 72 = 132 (picioare)
Varianta 2.
Se presupune că sunt numai iepuri (evident că și această ipoteză este falsă, deoarece Andrei are în îngrijire și porumbei).
1. Câte picioare ar avea dacă ar fi numai iepuri?
51 x 4 = 204 (picioare)
2. Câte picioare am obținut în plus?
204 – 132 = 72 (picioare)
3. Care este diferența dintre numărul picioarelor unui iepure și unui porumbel?
4 – 2 = 2 (picioare)
4. Câți porumbei sunt?
72 : 2 = 36 (porumbei)
5. Câți iepuri sunt?
51 – 36 = 15 (iepuri)
Verificare:
(36 x 2) + (15 x 4) = 72 + 60 = 132 (picioare)
Rezolvând cât mai multe și variate probleme prin această metodă, elevii ajung să le recunoască, să aplice cu ușurință algoritmul de rezolvare însușit și să ducă la dezvoltarea capacității de explorare și rezolvare a problemelor din ce în ce mai complicate.
4 .Metoda mersului invers
Această metodă constă în faptul că rezolvarea urmărește enunțul unei probleme de la sfârșit spre început, în care relațiile dintre mărimi depind una de cealaltă într-o ordine succesivă.
Analizând operațiile făcute în problemă și cele pe care le făceam în rezolvarea problemei, se constată că, de fiecare dată facem operația inversă celei făcute în problemă. Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru rezolvare sunt operațiile inverse/opuse celor din problemă.
Corectitudinea rezultatului obținut se verifică întotdeauna prin înlocuire în enunțul inițial și rezolvarea exercițiului obținut se face respectând cerințele enunțului.
Metoda mersului invers am aplicat-o atât în rezolvarea exercițiilor numerice, care conțin un element necunoscut, cât si în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv. Elementele esențiale în rezolvarea acestor probleme sunt proba operațiilor și ordinea efectuării operațiilor pe care elevii trebuie să le stăpânească foarte bine.
Exemplu:
,,Mă gândesc la un număr. Îl împart la 7, câtului obținut îi adun 4, suma găsită o înmulțim cu 8, iar din produsul obținut scad 12, obținând 60. La ce număr m-am gândit?”
Am îndrumat elevii să noteze cu x numărul căutat și să transcrie enunțul sub forma unui exercițiu:
(x : 7 + 4)× 8 – 12 = 60
Această egalitate în algebră este o ecuație cu o necunoscută. Rezolvând prin raționament aritmetic, urmărim enunțul de la sfârșit spre început, adică invers, de unde metoda mersului invers.
Care este ultima operație făcută? (din descăzut am scăzut 12 obținând 60).
Necunoscuta fiind descăzutul: D = r + s unde D = descăzut, s = scăzător și r = rest.
? – 12 = 60
? = 60 + 12 = 72
Problema devine: (x : 7 + 4)× 8 = 72
Care este ultima operație făcută? (înmulțirea)
Necunoscuta este F1. Deci: F1 = P : F2
? × 8 = 72
? = 72 : 8 = 9
Problema devine: x : 7 + 4 = 9
Algoritmul continuă în același mod:
t1 = S – t2
? + 4 = 9
? = 9 – 4 = 5
Problema devine: x : 7 = 5
Ultima operație pe care trebuie să o facem pentru aflarea lui x, care este tocmai numărul la care m-am gândit inițial, este de fapt prima operație din enunțul transcris matematic.
Avem o împărțire unde nu se cunoaște deîmpărțitul.
x = 5 x 7 → x = 35
Numărul la care m-am gândit este 35 și rezolvând exercițiul, respectând ordinea efectuării operațiilor, trebuie să obținem rezultatul din enunțul problemei, adică 60.
Problemele de acest tip sunt bune prilejuri de consolidare a celor patru operații aritmetice, precum și a relațiilor dintre rezultatele operațiilor și numerele cu care se operează.
Multe din problemele care se rezolvă prin această metodă, a mersului invers se pot reprezenta și grafic cu ajutorul segmentelor. Reprezentarea grafică, am constatat că îi ajută pe elevi în parcurgerea mai ușoară a „traseului” invers de rezolvare a problemei.
Urmărind enunțul de la sfârșit la început, trebuie să se determine penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi a antepenultimului rest, până când se ajunge la numărul inițial.
Exemplu:
,,O echipă de tractoriști ară în prima zi a treia parte din suprafața unei parcele, a doua zi trei sferturi din rest, iar a treia zi restul de 20 hectare. Care este suprafața parcelei?”
Pe parcursul avansării în tainele disciplinei, la clasele mai mari, a III-a și a IV-a, am propus probleme a căror rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunț. Gândirea creatoare poate fi astfel stimulată prin provocări. Copiii trebuie provocați să compună și probleme după anumite formule numerice literale, să găsească cât mai multe soluții să rezolvare problemele într-un timp cât mai scurt.
Mi-am îndreptat atenția îndeosebi, spre formarea deprinderii elevilor de a lucra cu simboluri, de a folosi raționamentul deductiv, de a găsi căi originale de rezolvare și de a alcătui alte probleme.
În momentul descoperirii algoritmului de rezolvare pentru un tip de problemă, rezolvarea mai multor probleme de același tip, contribuie la formarea deprinderilor de rezolvare. Antrenamentul parcurs de elevi va conține sarcini care solicită copiilor să modifice formularea problemei, să introducă date noi suplimentare în problemele de tipul rezolvat, să modifice datele, să adauge întrebări suplimentare.
După rezolvarea de probleme de un anumit tip, am considerat că este necesar să se tragă concluziile, să se facă generalizări din care să rezulte care a fost elementul comun în rezolvare și care sunt deosebirile. Se vor compune cu elevii probleme asemănătoare pentru aprofundarea structurii problemei, a conținutului și a dependenței dintre mărimile date în problemă.
După ce elevul a recunoscut tipul de problemă, in procesul rezolvării ei intervine imaginația lui, spiritul de inventivitate și investigație pentru a „descoperi” ceva nou (o nouă metodă de rezolvare, o condiție impusă pentru datele problemei …).
5. Probleme de organizare și prelucrarea a datelor
În actualul Curriculum Național s-au introdus unele conținuturi și obiective de referință care vizează formarea unor deprinderi de organizare a datelor în tabele, diagrame și grafice.
Aceste competențe sunt necesare pentru a apropia și pregăti elevul de realitatea practică, pentru a da aplicabilitate cunoștințelor, pentru a-l deprinde să înțeleagă și să interpreteze corect diversele informații cu care se confruntă și care îi sunt oferite sub diverse forme de prezentare.
Redactând soluțiile unor exerciții și probleme sub formă tabelară sau utilizând diagramele și graficele, elevii vor învăța să economisească timp și energie, să extragă esențialul, să prezinte cu mai multă ușurință și claritate demersul parcurs în rezolvarea acestora , să sesizeze și să sublinieze relațiile existente între date, să le interpreteze.
Urmărind evoluția obiectivelor de referință care se referă la prelucrarea de date statistice, am observat că, la început elevul învață să extragă informații din tabele și liste, să colecteze date prin observări pe o anumită temă, pentru ca, treptat, să reușească să le clasifice pe baza unor criterii (la început mai simple), să le reprezinte în tabele și diagrame să interpreteze aceste date prin compararea numerelor implicate, prin găsirea de asemănări și deosebiri.
Încă din primele săptămâni de școală, elevii sunt puși în situația de a realiza corespondențe între elementele unei mulțimi. Într-o primă etapă, elevii operează cu două mulțimi distincte(de exemplu: mulțimea copiilor și mulțimea cărților de matematică) și trebuie să sesizeze regula de asociere a elementelor acestor mulțimi(fiecare școlar are o carte de matematică). De exemplu în lecția „colectarea și sortarea datelor în tabel” am dat ca sarcină elevilor să observe ilustrația din manual și pentru fiecare animal (vulpi, iepuri, veverițe, arici, melci), să traseze o liniuță în tabel, apoi să verifice dacă fiecărei liniuțe îi corespunde un animal. Următoarea sarcină a fost să observe liniuțele din tabel și să spună care mulțime are mai multe elemente? Dar mai puține? Ce mulțimi au tot atâtea elemente? Am procedat la fel completând tabele cu plante și în lecțiile de comparare a elementelor unor mulțimi.
Completând astfel de tabele elevii vor constata că pentru fiecare element dintr-o mulțime am reprezentat câte un semn (linie, cerculeț), în tabel, iar prin punerea în corespondență element cu element putem compara mai ușor două sau mai multe mulțimi. Sarcinile ulterioare structurează informația iar
elevii vor avea la dispoziție doar elementele unei mulțimi și regula de corespondență având ca sarcină să identifice elementele celei de-a doua mulțimi. (de exemplu: „asociază fiecărui obiect o figură geometrică cu care se aseamănă”).
Tot din clasa I sunt introduse și exercițiile de colectare a datelor rezultate din observare (într-un interval de timp), de prelucrare a acestora prin sortarea după un criteriu simplu (culoare, formă, mărime) și de organizare a lor în forme variate de prezentare: tabel, desen, diagramă. De asemenea se folosesc exerciții de aflare a sumei și diferenței folosind diferite tipuri de tabele.
Exemplu:
a)
b)
c)
Compunerea de probleme după datele din tabele începe din clasa I si se continuă până în clasa IV, sporind gradul de dificultate. Acest tip de probleme solicită atenția elevilor, gândirea logică și îi obișnuiește cu interpretarea datelor dintr-un tabel. Am cerut elevilor să-și alcătuiască singuri un tabel în care să treacă câte exerciții și probleme rezolvă pe zi și apoi să citească tabelul.
Elevilor li se pot prezenta spre lectură diverse tipuri de diagrame și grafice cu scopul de ai obișnui să poată citi, interpreta și prelucra datele, informațiile prezentate în forme diferite. De exemplu, la clasa IV, am cerut elevilor să afle anumite lungimi ale traseelor de pe hartă, citind tabelele cu distanțe exprimate în Km., de la un oraș la altul, iar apoi să compună singuri probleme folosind datele din tabel.
Diagramele pot fi folosite și în rezolvarea de exerciții de tipul:
Calculează suma numerelor din interiorul dreptunghiului.
Calculează produsul numerelor sumei din interiorul cercului și al dreptunghiului.
Câtul numerelor care se află numai în interiorul cercului.
Aceste tipuri de exerciții constituie și o etapă pregătitoare în vederea rezolvării problemelor ce implică mulțimi disjuncte ce presupun folosirea reprezentărilor grafice (diagrame sau segmente).
Începând cu clasa a II- a am dat elevilor câte un tabel, care a fost anexat la portofoliul personal, având ca sarcină, să-și noteze calificativele primite la toate testele și fișele de lucru, pe obiecte, după care periodic să-și facă fiecare o statistică. În felul acesta, ei au putut constata progresul sau regresul și obiectul la care au înregistrat rezultate bune și rezultate slabe , pe care le-am numit „puncte tari, puncte slabe”.
Graficele, tabelele și diagramele dezvoltă școlarilor capacitatea de sinteză și de conceptualizare și încurajează comutarea abstract-concret, prin transformarea cifrelor în simboluri vizuale ușor de asimilat și prin încurajarea gândirii comparative.
În toate culegerile de exerciții și probleme pentru elevii din ciclul primar sunt cuprinse un număr mare de probleme care solicită organizarea datelor în tabele. Enunțul problemelor este legat de viața cotidiană, ușor de înțeles, de imaginat, cu numere și date cât mai apropiate de realitate.
Având în vedere că în toate domeniile de activitate se folosesc tabelele, diagramele și graficele, elevul, deprins să utilizeze aceste forme de prezentare va putea fi capabil să-și realizeze „propriile scheme” de sistematizare a cunoștințelor.
6. Probleme nonstandard
O categorie aparte de probleme cu multiple valențe formative sunt cele recreative , de perspicacitate,rebusiste și ingeniozitate numite și nonstandard. Acestea nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care nu permit aplicarea unei metode învățate. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional-afective. Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare.
Din această categorie de probleme fac parte acele probleme cărora, după citirea enunțului, nu reușești să le introduci în ,,canoanele’’ unei metode de rezolvare bine știute. În această situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvitorul devenind, în situația în care reușește rezolvarea, un creator, un descoperitor. Conduita este creativă deoarece nici o problemă nu seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvitorul fiind obligat să găsească o anumită cale de rezolvare proprie fiecărei probleme.
Valențele formative ale acestei activități vizează:
cultivarea creativității elevilor;
crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă, cu consecințe favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, al apariției unor satisfacții noi care întăresc pozitiv motivația școlară în sfere noi largi de activitate;
educarea unor trăsături volitive pozitive pentru întreaga activitate a elevului (tenacitate, concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire).
Acest tip de probleme nu au un statut de rezolvare normativ, adică ,,așa și numai așa’’.
Datorită marii varietăți a acestui gen de probleme și a gradului înalt de particularitate al fiecăreia este greu sau foarte greu să se facă analogii,să se opereze transferurile de metodă. De aceea aceste probleme se rezolvă mai ales în cadrul orelor de matematică din curriculum la decizia școlii.
7. Probleme de logică
Unele probleme nu necesită efectuarea unui calcul. Pentru a găsi soluția, este suficient un raționament logic. Ele ies din tiparul obișnuit al problemelor rezolvate de elevi, sunt plăcute, îi stimulează, îi amuză, fiind de cele mai multe ori atractive. Aceasta datorită și faptului că în această categorie sunt incluse multe tipuri de exerciții și probleme ce nu fac apel la cunoștințe cu conținut aritmetic. Se poate constata că mulți copii care întâmpină greutăți în rezolvarea problemelor aritmetice, reușesc să rezolve astfel de probleme pentru că utilizează doar raționamente logice.
Problemele de logică vizează:
Cultivarea și exersarea creativității elevilor (îndrăzneala, istețime, spirit novator, flexibilitatea și originalitatea gândirii, nonconformism);
Crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă ce favorizează stimularea interesului pentru matematică;
Exersarea gândirii divergente;
Dezvoltarea plăcerii și priceperii de a raționa riguros.
Datorită formelor atractive în care sunt prezentate (adresare directă, accesibilă și nepretențioase), cât și faptului că nu fac apel la un anumit bagaj de cunoștințe, acest tip de probleme fac să crească gradul de motivare a elevilor și să mărească interesul acestora pentru activitățile în care le sunt propuse spre rezolvare astfel de sarcini.
În general, problemele de logică sunt accesibile indiferent de vârstă. Un elev din clasa I poate găsi „cheia” unei probleme pe care alt coleg mai mare sau chiar adult va reuși cu greu să o descopere. Din acest motiv nu se poate numi cu exactitate momentul (clasa) în care se pot propune elevilor probleme ce presupun utilizarea raționamentelor logice.
Problemele de logică pot fi „presărate” pe parcursul întregului ciclu primar, în diverse momente ale lecțiilor, în cadrul tuturor disciplinelor de învățământ, nefiind abordate doar la orele de matematică. Ele constituie de multe ori o legătură între diversele discipline, având un pronunțat caracter interdisciplinar. În majoritatea cazurilor aceste probleme sunt inspirate din problemele întâlnite în viața de zi cu zi, găsindu-și și o aplicabilitate imediată. Problemele de logică pot fi de tipul:
a) Adevărat sau fals – problemele se prezintă sub forma unor propoziții, iar elevii au ca sarcină sa stabilească valoarea de adevăr a unor afirmații. Încă de la grădiniță, prin diverse jocuri copii se deprind să deosebească afirmațiile adevărate de cele false. Prin diversele activități de învățare se urmărește ca elevii să aprecieze corect valoarea de adevăr a unui enunț și să verifice validitatea unor afirmații generale pe cazuri particulare.
Exemplu:
Pătratul are patru laturi.
Un kg. de sare este mai greu decât un kg. de lână.
Fețele cubului sunt pătrate.
După luni urmează duminică.
Numărul nouă se împarte exact la trei.
Unele propoziții solicită anumite cunoștințe matematice, pe când altele doar atenția și experiența personală. Folosindu-se diferite imagini elevii pot fi solicitați să compună singuri propoziții, unele adevărate altele false, despre obiectele desenate în imagini (mere, flori, instrumente muzicale), pe care colegii lor să le analizeze și să stabilească valoarea de adevăr.
b) Dacă ….. atunci….. – aceste probleme solicită verificarea validității unor afirmații de tip cauză-efect. Relația cauză-efect este una dintre cele mai întâlnite situații practice și, ca urmare, un dintre cele mai folosite în exersarea raționamentelor logice. Prin acest tip de exercițiu problemă se urmărește ca elevii să înțeleagă sensul implicației dacă-atunci, prin exemple simple, inspirate din cotidian, să exemplifice și să exprime relații cauzale.
Exemplu:
Orchestra păpușilor are: un pian negru, o tobă verde, un fluier roșu și o muzicuță tot roșie.
Dacă este de culoare verde, atunci despre ce instrument este vorba?
Dacă este de culoare roșie, atunci despre ce instrument este vorba?
Dacă are clape, atunci este vorba despre ……?
Dacă nu are culoare roșie și nici verde, atunci ce instrument este?
Dacă nu-i nici roșu, nici negru, atunci ce instrument este?
Folosind trusa Logi II sau fișe pe care sunt desenate figuri geometrice, de exemplu: un triunghi roșu, unul albastru, un pătrat roșu, elevii sunt antrenați în alcătuirea unor enunțuri simple de raționamente logice de tipul:
Dacă figura este albastră, atunci este triunghi?
Dacă figura este roșie, atunci este pătrat? etc.
c) Sigur sau imposibil – elevii au ca sarcină să răspundă unor afirmații cu sigur sau imposibil.
Exemplu :
După primăvară urmează vara.
Mâine voi putea pleca într-o excursie pe Marte.
Pentru a trăi un om are nevoie de aer, apă și hrană.
Dacă împart pe 30 la 5 obțin câtul 6.
d) Posibil sau imposibil – la unele afirmații elevii au ca sarcină să răspundă cu posibil sau imposibil:
– La noapte voi visa.
– Voi primi la școală calificativul de bine, sau foarte bine.
– Dacă azi e cald, mâine va fi frig.
– Dacă azi e joi, mâine este luni.
– Vom zbura până la Iași cu mașina.
Pentru formarea capacității de explorare-investigare, am folosit la clasă probleme la care elevii aveau posibilitatea de a răspunde cu: da, nu, nu neapărat.
Exemplu:
,,În fiecare an Ion stă la bunici toată luna iulie, toată luna august și stă la munte în această perioadă
a anului.” Răspunde la întrebări cu: da, nu, nu neapărat.
Dacă suntem în iulie, atunci Ion este la munte?
Dacă suntem în august, atunci Ion este acasă?
Dacă este februarie, atunci Ion este la munte?
Dacă nu suntem în iulie, atunci Ion este la munte?
Dacă nu suntem în august, atunci Ion nu este la munte?
Dacă Ion nu este la munte, atunci nu este luna august?
Dacă Ion nu este la munte, atunci suntem într-o altă lună a anului decât august?
Un pas înainte în complexitatea problemelor de logică îl reprezintă situațiile în care fie există mai multe ipoteze ce conduc la una sau mai multe concluzii , fie există o singură ipoteză care poate conduce la o concluzie sau mai multe concluzii. Prin propunerea unor astfel de probleme, am urmărit ca elevii să învețe să deducă unele consecințe posibile ce decurg dintr-un set de afirmații.
Prin rezolvarea unor astfel de probleme se exersează perspicacitatea, se antrenează capacitatea de analiză a unor variante și de adaptare la situații nou-create și stimularea creativității matematice a elevilor.
Un alt tip de problemă ce poate fi inclus în categoria aceasta, de problemă de logică, este cea prezentată sub formă de dialog între două sau mai multe persoane. Acest aspect apropie elevul de lumea concretă, problema reprezentând o situație reală.
Exemplu :
Trei prieteni: Zidaru, Lăcătușu și Fieraru se întâlnesc la un meci de fotbal. Zidaru îi spune lui Fieraru:
Ce curios, între noi este un fierar, un zidar și un lăcătuș, dar nici unul dintre noi nu are numele același cu al meseriei!
Ce meserie are fiecare?
Rezolvare: Se pleacă de la afirmația făcută de Zidaru și se elimină situațiile imposibile. În prima etapă eliminăm posibilitatea ca Zidaru să fie zidar, Lăcătușu să fie lăcătuș, iar Fieraru să fie fierar. De aici elevii trebuie să găsească două soluții posibile:
Presupunând că Zidaru este lăcătuș, deci el nu mai poate fi fierar, atunci Lăcătușu este fierar,iar zidar este Fieraru.
Presupunând că Zidaru este fierar, deci el nu poate fi și lăcătuș, atunci Fieraru este lăcătuș, iar Lăcătușu este zidar.
Pentru a se evita erorile și pentru o evidență mai clară în prezentarea demersului, se pot folosi tabele în care sunt marcate corelațiile indicate prin enunț.
Alte probleme de logică pe care le-am propus elevilor din clasele a III-a și a IV-a,care dezvoltă perspicacitatea și atenția elevilor au fost cele de genul:
1. Fiecare dintre cei doi frați are o soră.
Câți copii are familia?
2. Oana și Dana aveau împreună anul trecut 30 de ani.
Câți ani au împreună anul acesta?
3. O orchestră formată din 8 muzicanți cântă o melodie în 5 minute. În câte minute va cânta aceeași melodie o orchestră formată din 16 muzicanți?
Varietatea problemelor de logică, atractivitatea lor, plăcerea cu care elevii participă la găsirea soluțiilor, mi-a oferit posibilitatea de a-i cunoaște mai bine , de a le testa capacitatea lor de a gândi ,de-a raționa, capacitatea de autocontrol și autocorectare în găsirea soluțiilor.
8. Probleme care se rezolvă prin încercări
Întâlnim uneori probleme care nu se pot rezolva direct, ci făcând unele încercări care se corectează pas cu pas până se obțin rezultatele ce verifică toate condițiile problemei.
Rezolvarea prin încercări este utilă și în cazul problemelor care admit mai multe soluții. De multe ori elevii sunt tentați atunci când au găsit o soluție pentru o problemă, să o considere rezolvată și să ignore faptul că pot exista și alte valori care constituie soluția pentru problema dată. Folosind încercările succesive, elevii pot constata că se obțin mai multe soluții corecte.
Activitatea de rezolvare de probleme prin încercare-eroare urmărește:
să trezească curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme;
să determine elevii să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme;
să caute noi căi de rezolvare a acestora.
Folosind acest procedeu de rezolvare, elevii pot depăși unele blocaje de abordare în găsirea soluțiilor.
Problemele care se rezolvă prin încercare-eroare se introduc încă de la clasa I,dar apar precizate în curriculumul național, la conținuturi,la clasa a IV a. La clasa I rezolvarea prin încercare-eroare este introdusă ca procedeu de lucru, prin activitățile de învățare ce vizează găsirea variantelor de descompunere și compunere a numerelor naturale sau aflarea unui număr necunoscut la adunare și scădere: „să exploreze modalități de a descompune numere mai mici decât 100 în sumă sau diferență’’.
La clasa I am organizat aceste activități de învățare sub diverse forme:
exerciții-joc de grupare a unor obiecte: bețișoare, bile șabloane;
exerciții-joc de compunere și / sau de descompunere a numerelor utilizând riglete;
exerciții de descompunere a numerelor în sumă de numere mai mici;
exerciții de aflare a numărului care lipsește( dintr-o adunare sau scădere) prin încercări.
Exemplu:24+ = 27 – 30 = 25
+ 15= 25 + = 40
70 – =20 + = 10
Aceste tipuri de sarcini se dovedesc foarte utile elevilor întrucât îi ajută să înțeleagă și să concretizeze relațiile ce se stabilesc între numerele implicate în operațiile matematice, având în vedere că proba operațiilor nu este prevăzută în programa școlară, la clasa I.
Elevii trebuie să estimeze mai întâi ordinul de mărime al numărului necunoscut,pe care apoi îl va găsi utilizând încercările succesive. La clasele III și IV, se lărgește concentrul numeric solicitând aflarea unui factor, a deîmpărțitului și a împărțitorului. De asemenea obiectivele de referință evoluează, elevii trebuie„să găsească modalități variate de a descompune numere utilizând oricare dintre operațiile învățate’’.
La aceste clase, exercițiile de descompunere a numerelor naturale utilizând anumite operații le-am prezentat și sub forma unor probleme inspirate din viața de zi cu zi sau de tip „ghicitoare’’, care le stimulează și dezvoltă atenția și raționamentul logic. Elevii trebuie să fie conștienți că orice informație,care la început poate părea inutilă, poate fi „cheia’’ rezolvării problemei.
Exemplu:
Dan – Am pus în ierbar panseluțe,lalele și narcise.
Paul – Câte flori de fiecare fel ai pus?
Dan – Am pus de 3 ori mai multe panseluțe decât lalele, iar în total sunt 15 flori.
Încearcă să afli singur.
Paul – Am calculat, dar nu pot să-ți spun, pentru că sunt mai multe posibilități.
Dan – Panseluțele le-am așezat câte 2 pe o pagină. (această informație va fi „cheia’’ dezlegării problemei).
Paul – Acum pot să-ți dau răspunsul.
Pentru a putea urmări mai ușor raționamentul problemei, am îndrumat elevii să alcătuiască tabele ordonând datele, de tipul:
Singura soluție în care panseluțele sunt în număr par este cea în care sunt : 2 lalele, 6 panseluțe și 7 narcise.
Ghicitoare :
Alina – Am trei frați. Produsul vârstelor lor este 16. Ce vârstă au frații mei?
Doru – Nu pot răspunde la întrebarea ta!
Alina – Cel mai mare dintre ei are ochii albaștri, iar cel mai mic, verzi.
Doru – Acum știu!
În livadă sunt 20 de meri, peri și pruni. Merii sunt de două ori mai mulți decât peri, iar numărul prunilor este cel mai mic. Câți pomi sunt de fiecare fel în livadă?
Tot prin încercare – eroare se rezolvă și exercițiile de tipul:
Înlocuiți steluțele cu semnele de operație potrivite:
48 * 8 *6 = 1
36 *9 *4 = 16
Adaugă paranteze în exercițiile următoare, pentru a obține patru rezultate diferite:
a) 3 + 4 × 5 + 6 × 7 – 8 =
b) 10 × 2 × 4 + 6 : 2 – 1 =
3. Înlocuiți literele cu cifre astfel încât:
ab6 × c = 944 a6b : 3 = 289 a4b : 6 =cd4
La clasa a IV a, prin încercări, se pot rezolva și probleme de falsă ipoteză, grafice sau probleme de sumă și diferență, chiar dacă procedeul este mai anevoios. Această metodă incită pe copii în a căuta
și găsi soluțiile,ca o joacă.
Un element important în procesul de formare a capacității explorativ – investigative la elevi, este ca soluțiile metodice adoptate, să îi determine să nu abandoneze o problemă după ce au citit toate datele, motivând că nu știu să o rezolve, ci să o încerce pornind de la una dintre condițiile date, încercând să le îndeplinească pe celelalte, eliminând rând pe rând soluțiile eronate. Rezolvarea problemelor prin încercări este astfel o soluție la îndemâna oricărui elev și, din acest motiv, cred că ele nu pot lipsi din activitatea de la clasă.
Problemele care se rezolvă prin încercări necesită adaptarea strategiei de lucru la context, îi obișnuiește pe elevi cu nevoia de a-și reorganiza propriile cunoștințe, pentru a ajunge la noi structuri cognitive, îi orientează spre descoperirea de noi procedee de acțiune și de verificare a soluțiilor găsite. Prin folosirea frecventă a acestui tip de probleme, se constată o perfecționare a procedurilor de descoperire inductivă folosită de copii: căutare, tatonare, încercare, selecție în raport cu un set de condiții date.
9. Probleme care necesită estimări
Adesea,în viața cotidiană, elevii sunt puși în situația de a ,,estima’’, de-a găsi un rezultat aproximativ pentru a rezolva o problemă. Situații de estimări apar peste tot: la magazin, la școală, în gospodărie, la joacă.
Înainte de-a învăța să calculeze, preșcolarul apreciază mărimile doar prin estimare, apropiindu-se, în majoritatea cazurilor, foarte mult de realitate.
Datorită rolului și frecvenței estimărilor în viața de zi cu zi, acest tip de probleme au fost introduse în curriculum național pentru învățământul primar. Le găsim precizate distinct, în conținuturi, doar la clasa a IV-a( probleme de estimare), deși ele apar și în manualele de clasa I.
Ca procedeu de calcul estimările sunt introduse încă din clasa I, chiar din primul capitol, atunci când elevul operează cu mulțimi. Prin exerciții-joc elevii sunt solicitați să estimeze numărul de obiecte din mediul înconjurător( sala de clasă) sau să compare două dimensiuni (mulțimi) folosind estimarea.
Estimările se dovedesc foarte utile:
în scop de comparare a numerelor(prin estimarea ordinului de mărime, folosind proprietățile sistemului zecimal;
exemplu : estimează ordinul de mărime a rezultatului (dacă are numai sute sau zeci) și pune corespunzător adevărat sau fals: 263 + 17 ≤ 80
98 + 97 ≥200
ca procedeu de verificare,ținând cont de relațiile dintre numerele care intervin în operare și de ordinul de mărime al rezultatului;
ca procedeu de calcul rapid,prin rotunjirea numerelor și estimarea rezultatului;
în justificarea unor algoritmi de calcul;
în rezolvarea unor situații în care calculul nu este posibil sau relevant;
Începând cu clasa a II-a elevii învață să estimeze (să rotunjească) numerele folosind cele două procedee: prin adaos sau prin lipsă. Pentru a înțelege mai bine procedeul de estimare am folosit axa numerelor, unde elevii observă în mod direct, de exemplu că 62 este mai aproape de 60 decât de 70, sau 87 este mai aproape de 90 decât de 80. Pentru ca astfel de probleme să fie cât mai atractive și antrenante am folosit și probleme sub formă de ghicitori:
– Numai din zeci eu sunt format. De 40 sunt mai apropiat! Găsește-mă imediat!
– Caută-ne între 70 și 80,mai aproape de 80 decât de 70. Ce numere suntem, deci?
Am solicitat și elevilor să alcătuiască astfel de ghicitori,apelând la capacitatea lor de explorare și investigare. De asemenea am folosit propoziții lacunare, elevii având ca sarcină să estimeze și să completeze ( abordare transdisciplinară):
Pentru un costum s-au cumpărat………..de stofă.
Într-o damigeană, bunicul a turnat……….de vin.
Un pepene poate cântări…………..
Vizita la muzeu poate a durat……………
La clasa a IV-a,astfel de probleme îmbracă forme variate, lărgindu-se sfera de aplicabilitate a estimărilor. Estimările se dovedesc a fi foarte importante în verificarea unor calcule (când numerele au valori mari este foarte util ca elevul să estimeze ordinul de mărime al rezultatului, ca să nu piardă vreo cifră pe parcursul calculelor) și în efectuarea unor calcule rapide (atunci când nu este solicitată o precizie foarte mare).
Exemplu: 1.,, Prețurile a trei obiecte sunt următoarele: aragazul,628 lei, frigiderul 980 lei, iar aspiratorul 281 lei. Estimați prin rotunjire dacă 2000 lei ajung pentru a cumpăra cele trei obiecte.”
În acest caz am cerut elevilor să aproximeze prin lipsă sau prin adaos și astfel au putut afla că:
aragazul costă aproximativ 600lei, frigiderul aproximativ 1000 lei, iar aspiratorul aproximativ
300 de lei. Deci: 600+1000+300= 1900.
În concluzie, cei 2000de lei ajung pentru achiziționarea celor trei obiecte.
,,Andrei își propune să rezolve 6 probleme în timp de 40 de minute. Dacă pentru a rezolva o problemă are nevoie de 8 minute, îi va ajunge timpul?”
Răspunsul poate fi estimat astfel: 8 se rotunjește prin adaos la 10.
Timpul necesar estimat va fi: 10 × 6 = 60 (minute)
Răspuns: cele 40 de minute propuse nu ajung pentru rezolvarea problemelor ( 40 mai mic decât 60).
În rezolvarea unor astfel de probleme de estimare, pentru a fi cât mai atractive pentru elevi, dar și pentru a-i ajuta să înțeleagă cât mai bine aproximarea numerelor, am folosit ca material didactic diferite planșe care, spre exemplu, înfățișau instrumente muzicale și copii, elevii având ca sarcină să găsească pentru fiecare copil( cu un număr pe tricou), instrumentul cu numărul cel mai apropiat de numărul aflat pe tricoul său, rotunjit la sute, sau să pună în corespondență mingi și palete, cu rotunjirea numerelor la zeci.
Alt exemplu,pe care l-am folosit la clasa a III-a:
Tombola cu rotunjiri la zeci
,,Mihai a organizat de ziua sa o tombolă cu jucării. Fiecare invitat primește jucăria cu numărul de zeci întregi la care se rotunjește numărul de pe biletul său. Găsiți ce jucărie a primit fiecare invitat.”
În unele situații-problemă, pentru aflarea răspunsului, sunt necesare mai multe încercări.
Exemplu :
,,Cătălin a confecționat 27 de steluțe mari și mici. Dacă numărul steluțelor mari este de cel mult 8, estimați care poate fi numărul steluțelor mici.”
De multe ori se întâmplă, că fiind concentrați pe calcul, elevii să obțină niște rezultate aberante (ca ordin de mărime în raport cu numerele și operațiile date),iar ei să nu sesizeze acest aspect (având foarte mare încredere în calcul). Din acest motiv, școlarii trebuie stimulați „ să estimeze’’ conștient, ,,să aibă idee’’, la ce rezultat să se aștepte, făcând acest lucru chiar înaintea calculului propriu-zis. Astfel, odată cu trecerea timpului, școlarul,obișnuit să nu se bazeze doar pe calcul, ci și pe capacitatea sa de estimare, va sesiza ușor atunci când din greșeală a apăsat pe o altă tastă a calculatorului, iar rezultatul obținut este eronat.
10. Probleme de probabilități
În natură și în viața cotidiană au loc diferite întâmplări sau evenimente. Elevul este pus în situația de a aplica gradul de probabilitate, șansele ca un eveniment , o situație, o întâmplare să se producă. O afirmație legată de o întâmplare poate fi apreciată de către un elev ca fiind sigur că se va produce, în timp ce un alt elev o poate aprecia ca fiind posibilă sau chiar imposibilă. În funcție de datele pe care le dețin fiecare dintre ei poate avea dreptate.
De exemplu, am cerut elevilor să aprecieze pe o scală dată (de la sigur la imposibil), șansele de realizare în cazul afirmației ,,mâine merg la cinema”.Am constatat că toate rezultatele erau corecte pe întreaga scală, căci fiecare a ținut cont de informațiile personale pe care le posedă, afirmația fiind legată strict de persoana lor.
Este foarte important ca elevul de azi, adultul de mâine, să poată judeca și interpreta corect unele evenimente din viața cotidiană, să poată calcula probabilitatea (șansa) ca acestea să se producă, să le poată ordona și clasifica pe o scală a șanselor de realizare (de la sigur la imposibil) sau pe o scală a preferințelor (de la foarte plăcut la foarte neplăcut). În noul curriculum național, dezvoltarea acestor abilități este introdusă de la clasa a III a și apoi a IV a, în cadrul obiectivului de referință ,,să colecteze date, să le sorteze și clasifice pe baza unor criterii simple’’. Tipurile de activități de învățare presupun clasificări probabilistice, concretizate în sarcini-problemă pe care elevii le rezolvă în mod practic, manipulând diferite materiale (bile, jetoane, obiecte).
Exemplu:
,,Într-o pungă Ana are bile roșii, albastre și galbene. Ea scoate fără să se uite două bile. Ce culoare pot avea acestea? Câte variante diferite sunt posibile?”
Am organizat elevii pe grupe, fiecare grupă având câte un săculeț cu bile colorate și primind sarcina ,,să se joace’’ scoțând din săculeț de mai multe ori câte două bile, așa cum a procedat Ana. Elevii au constatat că există mai multe variante posibile. Variantele descoperite au fost consemnate într-un tabel.
,,Într-o cutie sunt trei perechi de ciorapi diferite. Câți ciorapi trebuie scoși pentru a fi sigur că ai scos o pereche?”
,,Trei prieteni Alin, Cristi și Ciprian pot sta în bancă așa cum doresc. În câte feluri pot sta?”
Dacă vom reuși să-i deprindem pe elevi să analizeze și să calculeze cu mai multă atenție
probabilitatea ca un eveniment să se producă, atunci probabil vor fi capabili să-și evalueze mult mai realist șansele în cazul unor oferte de câștiguri tentante, aparent foarte ușoare (pariuri, jocuri de noroc, jocuri piramidale, Bingo etc.) și să fie feriți astfel de deziluziile produse de ,,lipsa de noroc’’, fiind mai bine pregătiți pentru viața de zi cu zi.
CAPITOLUL IV
Metode și tehnici de predare-învățare- evaluare la matematică pe bază de probleme în ciclul primar
IV.1. Activități specifice privind predarea-învățarea matematicii prin rezolvarea și compunerea de probleme la clasele primare
IV.2. Forme și caracteristici ale evaluǎrii
IV.3. Probe de evaluare sumativă
IV. 1. Activități specifice privind predarea matematicii prin rezolvarea și compunerea de probleme la clasele primare
În cadrul lecției de matematică, atingerea obiectivelor instructiv- educative se poate realiza prin îmbinarea tipurilor de activitate pe grupe de elevi cu tipurile individuale. Astfel, în funcție de lecție și de obiectivele specifice urmărite, elevii sunt antrenați în trei tipuri de activitate: frontală, pe grupe și individuală. Eficiența lor depinde în mod hotărâtor de o alternare judicioasă, astfel încât acestea să constituie un sistem simplu, în raport cu obiectivele instuctiv- educative urmărite.
În urma experienței acumulate pe parcursul lecțiilor de matematică susținute, am constatat că activitatea pe grupe și individuală este eficientă după ce elevii si-au însușit foarte bine, în mod conștient, etapele rezolvării problemelor în cadrul activităților frontale.
Am pornit de la ipoteza că dezvoltarea priceperilor și deprinderilor elevilor pot fi îmbunătățite prin abordarea învățării centrate pe elev și învățarea prin cooperare. Alternarea metodelor de predare-învățare în vederea îmbogățirii achizițiilor elevilor cu privire la rezolvarea si compunerea problemelor de matematică reprezintă un obiectiv major al didacticii matematicii în învățământul preuniversitar.
În cele ce urmează exemplificăm diferite posibilități de îmbinare în lecția de matematică a celor trei forme de organizare a activității de rezolvare și compunere de probleme pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a IV-a.
Clasa pregătitoare și clasa I
.
Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada premergătoare primelor operații. Învățătorul se folosește de probleme ,,acțiune’’ care după ce ,,au fost puse în scenă’’vor fi ilustrate cu un desen schematic.
Rezolvarea problemelor simple este unul dintre primii pași orientați spre dezvoltarea flexibilității și fluenței gândirii.
Activitate frontală
La clasa pregătitoare prezentarea unor imagini care descriu un anumit context-probleme ilustrate, reprezintă suportul pentru formularea sarcinilor de lucru necesare în procesul de învățare a operațiilor cu numere naturale. Astfel, trecerea la asimilarea de cunostințe pe baza rezolvării de probleme este naturală.
Prezentăm un demers didactic de învățare a adunării cu o unitate în concetrul 0-10.
Invățătorul adresează elevilor întrebări, astfel ca aceștia să fixeze modul în care se efectuează operația de adunare cu o unitate.
Problema ilustrată:
Privește cu atenție ! Ce conține ilustrația? Câți iepuri sunt în stânga florii? Câți iepuri sunt în total? Scrieți pe tabla magnetică operația efectuată.
La clasa I citirea/scrierea textului problemei sau prezentarea unei ilustrații permite parcurgerea pașilor de rezolvare, dirijând elevii în a formula răspunsuri corecte.
Problema:
Oana are 8 mere. Îi oferă 2 mere colegei sale de bancă .Câte mere îi ramân Oanei ?
Un posibil demers didactic pentru rezolvarea problemei este următorul:
Se analizează textul problemei pentru a se stabili ce se cunoaște. ( Câte mere are
Oana ?, Câte mere oferă Oana ? ) și ceea ce se cere în problemă.
Se ,, pune în scenă’’ problema printr-un joc de rol pentru a se arăta concret
acțiunea problemei.
Se realizează desenul.
Se scrie operația corespunzătoare: 8 – 2 = 6
Compunerea de probleme reprezintă o secvență esențială în fixarea pașilor ce trebuie parcurși în rezolvarea problemelor. De asemenea, activitatea de compunere de probleme stimulează imaginația și creativitatea elevilor.
Pornind de la un model de rezolvare al unei probleme, se compun probleme care trebuie să se bazeze la început tot pe acțiuni concrete, apoi pe desene, scheme, date incomplete combinate cu desene. Ca finalitate, la sfârșitul clasei I elevii vor compune probleme pornind de la un exercițiu cu una sau cu două operații.
Exemplu: Compuneți o problemă după următorul exercițiu: 6+3=9
În schema de mai jos este prezentat un exemplu de scriere la tablă a datelor problemei:
II. Activități diferențiate
Activități independente, pe grupe de nivel
Pentru elevii cu dificultăți în rezolvarea și compunerea de probleme:
1. Observă ce s-a întâmplat!
Pentru elevii care necesită încă sprijin în rezolvarea și compunerea de probleme:
3. Observă și completează:
Pentru elevii care nu au dificultăți în rezolvarea și compunerea de probleme:
4. Este aniversarea Andreei și a Anei. Compară vârstele lor.
Care este răspunsul corect? Colorează caseta din dreptul răspunsului corect:
Completează:
Activități în echipă
La clasa pregătitoare și clasa I jocul didactic este efficient în activitatea de compunere a problemelor. Prezentăm în cele ce urmează un demers didactic de învățare a rezolvării problemelor, bazat pe jocul didactic.
Titlul jocului: Compune și rezolvă !
Componența echipei: câte patru elevi fiecare având una din sarcinile:
– Citește!
– Compune!
– Rezolvă!
– Verifică!
Sarcina: Echipele vor primi cartonașe de tipul: Compune o problemă folosind tabelul:
Complicarea jocului: Fiecare echipă să schimbe întrebarea problemei pentru a o rezolva cu două operații.
Activitate în perechi
Colegii de bancă vor primi câte un cartonaș.
Într-o clasă sunt 11 băieți , iar fete cu 4 mai multe.
a) Câți băieți sunt în clasă ? Răspuns: 11 băieți
b) Câte fete sunt în clasă ? Răspuns: 15 fete
c) Câți copii sunt în clasă ? Răspuns: 26 elevi
Colaborând, cei doi elevi trebuie să găsească întrebarea / întrebările pentru problema dată.
Fișe de muncă independentă cu conținut unic și sarcini având nivele diferite de dificultate
1. Bifează operația corespunzătoare rezolvării problemei:
Ilinca a decupat 13 triunghiuri și 25 pătrate. Câte figuri geometrice a decupat Ilinca ?
13 + 25 = 38 25 – 13 =12
Răspuns: 38 figuri
2..Rezolvă următoarea problemă:
În excursie au mers 56 de copii, 34 fete, iar restul băieți. Câți băieți au mers în excursie ?
56 – 34 =22
Răspuns: 22 băieți
3. Scrie o altă întrebare ca problema anterioară să se rezolve prin două operații.
Care este diferența dintre numărul băieților și al fetelor?
34 – 22 = 12
Răspuns: 12
Clasa a IV-a
Conținutul: Probleme care se rezolvă prin cel mult trei operații.
Probleme care se rezolvă prin mai mult de trei operații
Obiective de referință:
să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă;
2.7.- să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme.
Capacitatea: Înțelegerea și rezolvarea problemelor cu trei operații sau mai mult de trei operații.
I. Activitate frontală
În clasa a IV-a elevii învață noi metode de rezolvare a problemelor: metoda figurativă, metoda drumului invers, metoda comparației. Aceste metode trebuie explicate foarte bine în cadrul activităților frontale pentru a fi mai bine înțelese de către elevi.
Metoda figurativă este mai dificilă și de aceea trebuie insistat mai mult.
Problemă:
Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 35 de capete și 100 de picioare.
Câte găini și câți iepuri sunt ?
Rezolvare:
Figurăm cele 35 de picioare prin niște ovale.
Conturăm picioarele. Fiecare are cel puțin două picioare.
S-au ,,consumat’’ în felul acesta 35 x 2 = 70 (picioare), rămânând 100 – 70 = 30 (picioare). Întrucât un iepure are cu 4 -2 = 2 ( picioare) mai mult decât o găină, adăugăm încă câte două picioare la un număr de animale.
Se pot adăuga încă două picioare la un număr de 30 : 2 = 15 animale, deci sunt 15 animale cu 4 picioare (iepuri) și, în consecință, 35 – 15 = 20 animale cu două picioare ( găini ).
Răspuns: 15 iepuri, 20 găini
Rezolvarea problemei prin analiză, la care să participe toți elevii este un câștig mai mare decât acela al rezolvării impuse. Înțelegerea este posibilă pentru că este însoțită de modele de rezolvare izvorâte în mod natural din comentarii logice, bazate pe acțiuni desprinse din enunțul problemei.
II. Activități diferențiate
Activitate independentă, pe grupe de nivel
Pentru elevii cu dificulțăți în rezolvarea și compunerea problemelor:
Cu acesti elevi se vor rezolva probleme cu cel mult trei operații, prin metoda analitică / sintetică.
Problemă:
La o florărie s-au adus 60 garoafe albe, garoafe roșii de 3 ori mai multe , iar garoafe galbene de 6 ori mai puține decât garoafe roșii.
Câte fire de garoafă s-au adus în total?
Rezolvare:
Câte garoafe roșii s-au adus ?
60 x 3 = 180( garoafe roșii)
Câte garoafe galbene s-au adus?
180 : 6 = 30 ( garoafe galbene)
Câte fire de garoafă s-au adus în total?
60 + 180 + 30 = 270 ( fire)
Răspuns: 270 fire
Exercițiul problemei:
60 + (60 x 3) + [(60 x 3) : 6] = 60 +180 + (180 : 6) = 240 +30 = 270
b) Pentru elevii care necesită sprijin în rezolvarea si compunerea problemelor:
Problemă:
Două numere au diferența 160, iar primul este de 5 ori mai mare decât al doilea.
Care sunt numerele ?
Rezolvare: Notăm numerele cu a, b. Avem relațiile:
Din figură observăm că patru segmente egale reprezintă 160.
Planul logic și operațiile:
1) Cât reprezintă un segment?
160 : 4 = 40
2) Care este primul număr ?
40 x 5 =200
Răspuns: 40, 20
c) Pentru elevii care nu au dificultăți în rezolvarea problemelor:
Colectivul clasei a IV-a a făcut o excursie și a călătorit cu trenul, cu autocarul, cu bicicletele și pe jos. Cu trenul a parcurs jumătate din întreaga distanță, cu autocarul jumătate din distanța rămasă, iar cu bicicletele un sfert din cât mai rămăsese. Restul distanței, adică 30 km, i-a parcurs pe jos.
Câți km a măsurat întregul parcurs?
Rezolvare: Se întocmește schema urmărind mersul firesc al enunțului:
În rezolvarea problemei propuse pornesc de la aflarea distanței parcursă cu bicicleta (cât reprezintă ¼) .
1) Ce distanță a fost parcursă cu bicicletele ?
30:3=10 (km)
2) Ce distanță a fost parcursă cu autocarul ?
30+10=40 (km)
3) Ce distanță a fost parcursă cu trenul?
40×2= 80 (km)
4) Care este întreaga distanță parcursă ?
80+40+10+30= 160 (km)
Răspuns: 160 km.
Activități în echipă
Se formează 2 grupe.
Criteriul folosit: ordine alfabetică, pentru a avea grupe eterogene.
Am folosit acest tip de activitate pentru a consolida toate metodele de rezolvare a
problemelor.
Liderul echipei va trage biletul cu problema, o vor rezolva în cadrul echipei pe o foaie și apoi vor prezenta rezolvarea în fața clasei.
Cealaltă echipă are dreptul să pună întrebări.
Pentru ca problemele celeilalte echipe să nu rămână străine, fiecare echipă își va alege problema altei echipe pentru a-i adăuga o nouă întrebare sau pentru a compune o problemă asemănatoare.
Echipa a I-a
„18 caiete de 48 file și respectiv 200 file au împreună 2080 file. Câte caiete sunt de fiecare fel?”
Rezolvare: Presupunem că toate caietele au câte 48 de file.
Care este numărul de file al caietelor ?
18 x 48 = 864 (file)
2) Care este diferența între numărul real de file și numărul presupus ?
2080 – 864 = 1216 (file)
3) Care este diferența între numărul de file al celor două feluri de caiete ?
200 – 48 = 152
4) Câte caiete sunt de 200 de file ?
1216 : 152 = 8 (caiete)
5) Câte caiete sunt de 48 de file ?
18 – 8 = 10 (caiete)
Răspuns: 10 caiete de 48 file, 8 caiete de 200 file.
Verificare: 10 + 8 = 18 ( caiete)
10 x 48 + 8 x 200 = 480 + 1600 = 2080 ( numărul filelor)
Echipa a II-a
În trei clase sunt 90 de elevi. În a doua clasă sunt de două ori mai mult ca în prima și
cu 10 mai mult ca în a treia clasă.
Câți elevi sunt în fiecare clasă ?
Rezolvare: Fie a,b,și ,respectiv, c, numărul de elevi din cele trei clase.
Avem relațiile:
Grafic, putem ilustra astfel:
Planul logic și operațiile:
Cât reprezintă un segment ?
100 : 5 = 20
2) Care este al doilea număr ?
2 x 20 = 40
3) Care este al treilea număr ?
40- 10 = 30
Răspuns: 20, 40. 30
Verificare: 20 + 40 + 30 = 90
40 = 2 x 20
40 = 30 + 10
Activități în perechi
Capacitatea de evaluare este mai bine dezvoltată la elevii de clasa a IV-a și, pentru
a verifica acest lucru, am folosit fișe de tipul:
Într-un coș sunt caise și prune. Numărul caiselor reprezintă o cincime din numărul prunelor, iar numărul prunelor este cu 32 mai mare decât numărul caiselor. Câte fructe sunt ?
Reprezentare grafică:
Planul logic și operațiile:
Câte caise sunt ?
32 : 4 = 8 ( caise)
2) Câte prune sunt ?
8 x 5 = 40 ( prune)
3) Câte fructe sunt în total ?
40 + 8 = 48
Răspuns: 48 fructe
Verificare: 40 : 8 = 5 și 40 – 8 = 32
Fișă de muncă individuală cu conținut unic și sarcini având nivele diferite de dificultate
Rezolvă problema:
Un apicultor a vândut în trei săptămâni 1812 kg de miere de albine. În prima săptămână a vândut un sfert din întreaga cantitate, în cea de-a doua săptămână cu 110 kg mai mult, iar în cea de-a treia restul.
Câte kg de miere a vândut în a treia săptămână ?
Rezolvare:
a) Câte kg de miere a vândut în prima săptămână ?
1812 : 4 = 453( kg)
b) Câte kg de miere a vândut în cea de-a doua săptămână ?
453 + 110 = 563 (kg)
c) Câte kg de miere a vândut în prima și a doua săptămână ?
453 + 563 =1016 ( kg)
d) Câte kg de miere a vândut în a treia săptămână ?
1812 – 1016 = 796( kg)
Răspuns: 796 kg
Exercițiul problemei:
1812- {(1812 : 4) + [(1812 : 4) + 110]} =
Modifică problema astfel: ,, în prima săptămână 453 kg’’
,, în a treia săptămână 796 kg’’
Ce dată numerică nu ar mai fi utilă ?
Care ar fi întrebarea problemei ?
Problema modificată:
Un apicultor a vândut miere de albine astfel: în prima săptămână 453 kg, în a
doua săptămână cu 110 kg mai mult, iar în cea de-a treia săptămână 796 kg.
– Data numerică inutilă: 1812 kg de miere
– Noua întrebare: Câte kg de miere a vândut în total în cele trei săptămâni ?
3. Rezolvă noua problemă .
Rezolvare:
Câte kg de miere a vândut în a doua săptămână ?
453 + 110 = 563 (kg)
b) Câte kg de miere a vândut în total în cele trei săptămâni ?
453 + 563 + 796 = 1812 ( kg)
Răspuns: 1812 kg
Exercițiul problemei:
453 + ( 453 +110) + 796 =453 + 563 + 796 = 1812.
IV.3. Probe de evaluare sumativă
Evaluarea autentică dorește să meargă dincolo de formularele scrise convenționale pentru a crea o gamă mai largă de modele, care să evalueze mai corect capacitățile intelectuale ale copilului și să permită mai multe demonstrații ale competenței. Învățătorul va avea o imagine reprezentativă a tuturor laturilor personalității copilului prin folosirea mai multor moduri de evaluare.
Proiectatea eficientă a evaluării de obiective se poate realiza prin întocmirea unei matrice de evaluare centrată pe capacități / competențe.
Matrice de evaluare
vizând dezvoltarea capacităților de rezolvare și compunere de probleme
Am elaborat pentru fiecare elev o astfel de matrice de evaluare pentru a avea o imagine clară a ceea ce știe și pentru a interveni, când e cazul, pentru înlăturarea deficiențelor înregistrate cu strategii optime: lucru diferențiat, activitate independentă, activități suplimentare etc.
Probă de evaluare sumativă
Clasa: I
Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare: Probleme care se rezolvă cu operațiile cunoscute
Capacitatea: înțelegerea și rezolvarea problemelor cu o singură operație sau mai mult de o operație
Subcapacități:
Completarea datelor problemei folosind imaginea;
Rezolvarea unor probleme cu o singură operație;
Completarea schemei unei probleme care se rezolvă prin două operații.
Obiective operaționale:
să completeze datele problemei folosindu-se de imaginea alăturată;
să rezolve probleme cu o singură operație / două operații;
să completeze schema unei probleme pentru a o putea rezolva.
CONȚINUTUL PROBEI
I.1. Compune problema și apoi rezolv-o:
Într-o grădiniță de flori culeg polen albine. Mai vin albine.
Câte albine culeg polen acum ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Rezolvare:
………………………………………………………………………………….
Răspuns:……………………………………………………………………………….
I.2. Rezolvă problema:
Diana a cules 13 ciuperci, fratele său cu 6 mai multe.
Câte ciuperci a cules fratele său ?
Rezolvare
:……………………………………………………………………………………..
Răspuns
……………………………………………………………………………………..
I.3.Completează schema și rezolvă problema următoare:
Într-o cutie sunt 48 de bile, iar în alta cu 27 mai puține. Câte bile sunt în cele două cutii ?
–
DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:
BILANȚ:
Măsuri ameliorative:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Fișă de ameliorare
Scrie rezolvarea problemei:
Maria are 24 de nuci. Sora sa cu 10 mai multe. Câte nuci are sora sa?
Rezolvare:
……………………………………………………………………………………….
Răspuns:…………………………
Schimbă întrebarea problemei astfel încât aceasta să se rezolve prin două operații.
……………………………………………………………………………………..
Rezolvare:
……………………………………………………………………………………..
Răspuns:…………………………
Fișă de dezvoltare
Compune și rezolvă o problemă pornind de la exercițiul:
45 + ( 45 – 13 ) =
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
Rezolvare:
……………………………………………………………………………
Răspuns:…………………………
Probă de evaluare sumativă
Clasa: a II-a
Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare: Probleme care se rezolvă cu operațiile cunoscute
Capacitatea: înțelegerea și rezolvarea problemelor cu o singură operație sau mai mult de o operație
Subcapacități:
Rezolvarea unor probleme cu o operație sau cu două operații;
Înlocuirea întrebării astfel încât problema sa se rezolve prin două
operații;
Completarea unei probleme pornind de la o întrebare dată.
Obiective de referință:
2.6. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate sau cel puțin două operații;
2.7. să formuleze probleme pornind de la o întrebare dată.
Obiective operaționale:
să rezolve probleme cu o singură operație / două operații;
să compună probleme pornind de la o întrebare dată;
să modifice întrebarea astfel încât problema să se rezolve prin două operații
CONȚINUTUL PROBEI
I.1. Se dă problema:
La un curs de dans sportiv s-au înscris 35 de băieți și cu 12 mai puține fete.
Câte fete s-au înscris la curs ?
a) Rezolvă problema:
………………………………………………………………………………………………………………….
Răspuns:…………………………
b)Formulează în scris o altă întrebare astfel încât problema să se rezolve prin două
operații .
……………………………………………………………………………………
Rezolvare:
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Răspuns:………………………….
I.2. Compune și rezolvă o problemă care să aibă următoarea întrebare:
,,Câți ani are tatăl ? ‘’
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Rezolvare:
……………………………………………………………………………………
Răspuns:…………………………….
DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:
BILANȚ:
Măsuri ameliorative:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Fișă de ameliorare
1. La o cabană au fost cazați în prima zi 11 turiști, în a doua zi cu 7 mai mulț,i iar în
a treia zi 13.
Câți turiști au fost cazați la cabană în cele trei zile ?
Schema Rezolvare:
……………………………………………………..
……………………………………………………….
………………………………………………………………..
………………………………………………………
Exercițiul problemei:……………………………..
Răspuns:…………………………………………….
Fișă de dezvoltare
1. La o patiserie s-au vândut alaltăieri 35 de plăcinte, ieri cu 14 mai multe decât alaltăieri, iar azi cu 23 mai puține decât ieri..
Câte plăcinte s-au vândut azi ?
Schema Rezolvare:
……………………………………………………
…………………………………………………….
Exercițiul problemei:……………………………
Răspuns: …………………………………………..
Compune o problemă folosind datele:
30 baloane;
cu 5 mai multe baloane roșii;
– 13 baloane portocalii;
restul sunt baloane verzi.
.
Probă de evaluare sumativă
Clasa: a III-a
Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare: Probleme care se rezolvă prin două operații sau mai mult de două operații
Capacitatea: Înțelegerea și rezolvarea problemelor cu două operații sau mai mult de două operații
Subcapacități:
Rezolvarea unor probleme cu două operații sau cu trei operații;
Compunerea unei probleme după o rezolvare grafică dată.
Obiective de referință:
– 2.6. să rezolve probleme care presupun două operații sau mai mult de două operații
– 2.7. să formuleze probleme care se rezolvă prin două operații.
Obiective operaționale:
să rezolve probleme cu două / trei operații;
să compună probleme după o schemă dată.
CONȚINUTUL PROBEI
I.1. Vlad are vârsta de 15 ani, iar bunicul său este de 6 ori mai în vârstă.
Ce vârstă are bunicul său ?
Reprezentare grafică: Rezolvare:
……………………………………………….
………………………………………………
Răspuns:……………………………………..
I.2. Compune o problemă după următoarea reprezentare grafică:
Rezolvare:
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
Răspuns:………………………..
I.3. La un concurs de șah au participat 72 de elevi, de 8 ori mai mulți băieți decât
fete.
Câți băieți au participat la concurs ?
Schema Rezolvare:…………………………………..
………………………………………………….
………………………………………………….
Răspuns:……………………………………..
DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:
BILANȚ:
Măsuri ameliorative:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Fișă de ameliorare
Rezolvă problema dată , folosindu-te de schema:
Silvicultorii au împădurit o zonă deluroasă cu 250 puieți de mesteacăn, cu 124 mai mulți puieți de plop și cu 155 mai puțini puieți de arțar decât de mesteacăn.
Câți puieți s-au sădit ?
Schema
?
Rezolvare:
250 + ? + ? …………………………………………….…
……………………………………………….
………………………………………………
Răspuns:…………………….,………………..
250 + 124 250 – 155
Fișă de dezvoltare
Se dă problema:
Viorel are 16 timbre, ceea ce înseamnă că are de 2 ori mai ori mai puține decât Dorin.
Cu câte timbre are mai multe Dorin decât Viorel ?
a) Scrie rezolvarea într-un exercițiu.
b) Transformă problema de mai sus astfel încât rezolvarea să se poată scrie:
16 – 16 : 2 =
Probă de evaluare sumativă
Clasa: a IV-a
Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare: Probleme diverse
Capacitatea: Înțelegerea și rezolvarea problemelor cu trei operații sau mai mult de trei operații
Subcapacități:
Rezolvarea și compunerea problemelor prin metoda grafică;
Interpretarea datelor din tabel.
Obiective de referință:
– 2.5. să compună și să rezolve probleme cu text.
Obiective operaționale:
să rezolve și să compună probleme prin metoda grafică ;
să interpreteze datele din tabel.
CONȚINUTUL PROBEI
I.1. Anul acesta s-au recoltat în total 650 004 kg cereale .Cantitatea de porumb recoltată
reprezintă o treime din cantitatea de grâu recoltată, iar dacă împărțim cantitatea de
secară la cantitatea de grâu se obține câtul 3 și restul 4.
Ce cantitate de grâu s-a recoltat ?
I.2. Compune o problemă după următorul desen:
I.3. Analizează tabelul și completează enunțurile date:
a) Numele fetelor care au practicat:
– tenis: …..
– cor: …….
-dans: ……
b) Ilinca a practicat:……………………, Maria a practicat:………………………, iar
Ana a practicat:………………………
DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:
BILANȚ:
Măsuri ameliorative:
Fișă de ameliorare
Rezolvă problema și realizează reprezentarea grafică.
În trei hambare sunt 8546 kg de făină. În primul se află 2342 kg de făină, în al doilea de 3 ori mai multă cantitate decât în al treilea.
Căte kg de făină sunt în al doilea hambar ?
Reprezentare grafică: Rezolvare:…………………………………..
………………………………………………..
…………………………………………………
Răspuns: …………………………………….
Fișă de dezvoltare
1. Bifeazăză în tabel știind că:
Mara cântă la vioară și chitară;
Ina cântă la chitară și pian;
Andreea cântă la vioară și chitară.
2. Suma a două numere este mai mare decât diferența lor cu 286. Dacă împărțim suma la diferență obținem câtul 2 și restul 3. Care sunt numerele ?
Evaluarea națională pentru clasele a II-a și a IV-a
Tipuri de itemi
Din anul școlar 2013-2014, a fost introdusă evaluiarea sumativă pentru clasele a doua și a patra din ciclul primar. Prin această evaluare se urmărește monitorizarea pregătirii elevilor din ciclul primar, atrât la finalul ciclului achizițiilor fuindamentale cât și la finalu clasei a patra. Prezentăm în continuare modele de itemi de evaluare sumativă pentru clasele menționate.
DE COMLETAT din pdf
Concluzii
bibliografie
Concluzii
Pentru ca studiul matematicii din clasele primare să constituie o bază solidă pentru studiul ulterior al matematicii , este necesară cultivarea interesului și pasiunii elevilor pentru rezolvarea de exerciții și probleme.
Rezolvarea și compunerea de probleme are bogate valențe informative și formative.Cele două componente sunt indisolubil legate, capacitatea de a rezolva probleme fiind condiționată de o solidă pregătire. Cu cât cunoștințele sunt mai legate , cu atât șansa de a găsi soluția este mai mare.
Experiența demonstrează adesea că oamenii cu înclinații și cu rezultate bune în însușirea matematicii au abandonat-o atunci când au întâlnit un profesor în stare s-o facă inaccesibilă. Căci matematica , să recunoaștem, se face inaccesibilă, nu este inaccesibilă. Nu există cunoștință care să nu fie însușită de către un om normal atunci când este bine predată , explicată. Cauzele eșecului școlar ar trebui cu mai mult curaj căutate, descoperite, în sistemul de lucru al pedagogului și nu numai în afara lui. Rezolvarea problemelor dezvoltă gândirea numai dacă învățătorul va ști să îndrume și să stimuleze gândirea elevilor la nivel creator . Nu numărul problemelor ci gradul de participare al elevului la această activitate conduce la dezvoltarea gândirii.
Tema lucrării este foarte generoasă și de aceea a fost nevoie de o mare sistematizare a problemelor pentru a scoate în evidență pe acelea care vizează dezvoltarea gândirii logice a elevilor.
Față de această cerință am prezentat în lucrarea de fața problemele, metodele de rezolvare și preocedeele care ajută la dezvoltarea gândirii logice, acest fenomen complex care presupune o muncă permanentă
Învățătorul trebuie să fie un adevărat grădinar , un copac în mijlocul stufărișului care să-i dea elevului informații să-l formeze, înfrumusețând activitatea desfășurată cu elevii.
La clasă , urmărind dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor, am selectat probleme ce creează situații conflictuale care dau posibilitatea soluțiilor multiple , am stimulat comportamentul creatival elevilor mei , am creat situații în care aptitudinele latente au avut prilejul să se manifeste din plin.
Ori de câte ori am avut ocazia , i-am ajutat pe elevi să-și valorifice potențialul de realizare originală , am solicitat și încurajat producțiile proprii ale elevilor.
Prin activitatea permanentă a elevilor , prin stârnirea continuă a curiozității , încurajând spontaneitatea , am reușit să transform orele de matematică în momente plăcute , antrenante, atractive.
Rezultatele muncii depuse de un învățător nu vor fi imediate , roadele vor apărea mai târziu pentru că muncă învățătorului are efect permanent deoarece nu se poate spune niciodată unde se oprește influiență sa.
Lucrarea nu epuizează în totalitate problematica ridicată de tema propusă și cred că imaginația și spiritual inventiv ale altor învățătorului vor scoate la lumină și alte modalități prin care să stimuleze dezvoltarea gândirii logice a elevilor.
Anexe
Proiecte didactice
BIBLIOGRAFIE
Cerghit, I., Metode de învățământ, E.D.P.., București, 1980
Cerghit, I., Radu, I., T., Popescu, E., Vlăsceanu, L., Didactica., Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991
Cosmovici, A., Psihologie generală, Polirom, Iași,1996
Crețu, C.,Curriculum diferențiat și personalizat, Editura Polirom, Iași, 1998
Cucoș, C., Pedagogie, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Polirom, 2006
Dumitriu, Gh., Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004
Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., Psihopedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004
Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., Evaluarea elevilor la clasa a III-a, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău, 2008
Leonte, R., Stanciu, M., Strategii activ-participative de predare-învățare în ciclul primar: ghid metodico-științific în vederea utilizării metodelor active în învățământul primar, Casei Corpului Didactic, Bacău, 2004
Lupu, C., Didactica matematicii, Editura Caba, București, 2006
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, Matematică – programa școlară, clasa a III-a, București, 2004
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, Matematică – programa școlară, clasa a IV-a, București, 2005
Neacșu, I. (coord.), Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988
Neagu, M., Mocanu, M., Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași, 2007
Nicola, I., Pedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1994
Pacearcă, Ș., Mogoș, M., Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Aramis, București, 2005
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa I, Editura Euristică, Iași, 2003
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa II, Editura Euristică, Iași, 2004
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa III, Editura Euristică, Iași, 2005
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa IV, Editura Euristică, Iași, 2002
Petrovici, C., Didactica matematicii pentru învățământul primar, Editura Polirom, Iași, 2014
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa I, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a II-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a III-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a IV-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Piajet, J., Inteligența- capacitate de adaptare la o situație nouă, Editura didactică și pedagogică, București,1976
Polya, G., Cum rezolvăm o problemă ?,Editura Științifică, București,1980
Polya, G., Descoperirea în matematică, Ed. Știintifică, București, 1975
Pintilie, M., Metode moderne de învățare- evaluare, Ed. Eurodidact, Cluj-Napoca, 2002
Roșu, M., Roman, M., Matematică- pentru perfecționarea învățătorilor, Editura All, 2001
Săvulescu, D. (coord.), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura “Gheorghe Alexandru”, Craiova, 2006
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M., Matematică-manual pentru clasa a IV-a, Editura Sigma
***, Diferențierea activității cu elevii din ciclul primar în cadrul lecției, volum editat de Revista de pedagogie, București, 1976
***, Psihopedagogie pentru examenele de definitivat și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 1998
BIBLIOGRAFIE
Cerghit, I., Metode de învățământ, E.D.P.., București, 1980
Cerghit, I., Radu, I., T., Popescu, E., Vlăsceanu, L., Didactica., Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991
Cosmovici, A., Psihologie generală, Polirom, Iași,1996
Crețu, C.,Curriculum diferențiat și personalizat, Editura Polirom, Iași, 1998
Cucoș, C., Pedagogie, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Polirom, 2006
Dumitriu, Gh., Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004
Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., Psihopedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004
Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., Evaluarea elevilor la clasa a III-a, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău, 2008
Leonte, R., Stanciu, M., Strategii activ-participative de predare-învățare în ciclul primar: ghid metodico-științific în vederea utilizării metodelor active în învățământul primar, Casei Corpului Didactic, Bacău, 2004
Lupu, C., Didactica matematicii, Editura Caba, București, 2006
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, Matematică – programa școlară, clasa a III-a, București, 2004
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, Matematică – programa școlară, clasa a IV-a, București, 2005
Neacșu, I. (coord.), Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988
Neagu, M., Mocanu, M., Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași, 2007
Nicola, I., Pedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1994
Pacearcă, Ș., Mogoș, M., Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Aramis, București, 2005
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa I, Editura Euristică, Iași, 2003
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa II, Editura Euristică, Iași, 2004
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa III, Editura Euristică, Iași, 2005
Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematica. Culegere-auxiliar al, manualelor. Teste de evaluare pentru conținutul obligatoriu, clasa IV, Editura Euristică, Iași, 2002
Petrovici, C., Didactica matematicii pentru învățământul primar, Editura Polirom, Iași, 2014
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa I, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a II-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a III-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Petrovici, C., Neagu, M., Aritmetică-exerciții, jocuri și probleme, clasa a IV-a, Editura Polirom, Iași, 1997
Piajet, J., Inteligența- capacitate de adaptare la o situație nouă, Editura didactică și pedagogică, București,1976
Polya, G., Cum rezolvăm o problemă ?,Editura Științifică, București,1980
Polya, G., Descoperirea în matematică, Ed. Știintifică, București, 1975
Pintilie, M., Metode moderne de învățare- evaluare, Ed. Eurodidact, Cluj-Napoca, 2002
Roșu, M., Roman, M., Matematică- pentru perfecționarea învățătorilor, Editura All, 2001
Săvulescu, D. (coord.), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura “Gheorghe Alexandru”, Craiova, 2006
Singer, M., Pădureanu, V., Mogoș, M., Matematică-manual pentru clasa a IV-a, Editura Sigma
***, Diferențierea activității cu elevii din ciclul primar în cadrul lecției, volum editat de Revista de pedagogie, București, 1976
***, Psihopedagogie pentru examenele de definitivat și grade didactice, Editura Polirom, Iași, 1998
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metodologia Predarii Invatarii Notiunii de Problema Si de Rezolvare Si Compunere a Problemelor de Matematica Pentru Invatamantul Primar (ID: 159977)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.