Metode Pentru Rezolvarea Problemlor de Aritmetica
CUPRINS
ARGUMENT
Gândirea este un proces de mare complexitate. Ea constă într-o succesiune de operații care duc la dezvăluirea unor aspecte importante ale realității și la rezolvarea anumitor probleme. Când spun probleme mă gândesc la situații ce nu pot fi soluționate imediat pe baza experienței anterioare. În mod normal se subliniază că prin gândire descifrăm aspecte esențiale, ceea ce este specific uman.
În procesul dobândirii diverselor cunoștințe are loc asimilarea bazelor științei. Elevul trebuie să învețe să sistematizeze, să lege între ele diversele cunoștințe; de asemenea este necesar ca el să-și însușească diverse procedee de activitate mintală.
Aceasta înseamnă că se creează condițiile de a proceda amplu, inductiv, apoi deductiv, adică de a raționa logic. De aceea, în procesul însușirii noțiunilor se constituie și se întăresc sisteme de a raționa într-un mod interogativ mai larg, se dezvoltă deci capacități operative intelectuale generale, cu exigențe față de exactitatea și succesiunea logică în expunere; se dezvoltă, treptat, formele abstracte ale gândirii, gândirea propozițională.
Procesul instructiv-educativ stimulează organizarea gândirii, cerințele de sistematizare, de definire.
Caracterul complex al situațiilor în care este solicitată gândirea face ca, în genere, să devină mai evidentă creșterea complexității strategiei ei operative, fenomen exprimat în modul în care se organizează cunoștințele în structuri complexe ce alcătuiesc răspunsuri „gândite”.
Strategia gândirii este cu atât mai activă cu cât situația problematică este mai complexă.
J. Piaget a izbutit să demonstreze că acțiunile mintale, operațiile specifice gândirii provin din interiorizarea treptată a unor acțiuni pe care copilul le face mai întâi în mod real, în practica de zi cu zi. O dată formate, operațiile asigură gândirii o mare mobilitate și plasticitate.
Lucrarea de față „Gândirea critică în rezolvarea problemelor de aritmetică” este rezultatul unei munci susținute desfășurată pe parcursul a paisprezece de ani de învățământ, timp în care am căutat să găsesc cele mai potrivite metode, procedee și tehnici de rezolvare a problemelor astfel încât rezolvarea acestora să vină în sprijinul copilului în integrarea corespunzătoare acestuia în viață, în comunitate, să poată face față cerințelor vieții de zi cu zi. Învățătorului îi revine sarcina nobilă de a sădi în sufletele elevilor cele mai alese sentimente, de a le transmite în mod sistematic primele cunoștințe, de a le forma priceperi și deprinderi de muncă ordonată, de a le schița cele dintâi concepții și convingeri științifice despre lume și viață.
De aceea pentru învățător și în general pentru orice cadru didactic se consideră pe drept cuvânt că nu este suficient să aibă doar pregătirea corespunzătoare din punct de vedere științific și un nivel cultural ridicat, fiindcă unui învățător sau profesor i se cere, în primul rând, să stăpânească arta de a învăța pe alții, de a transmite elevilor volumul de cunoștințe prevăzut de programă, de a trezi interesul acestora pentru știință, a le cultiva setea de învățătură, de a le dezvolta gândirea critică, a stimula efortul propriu și munca independentă, a sonda și a utiliza rezervele funcționale ale gândirii elevului și în general a stăpâni și mânui cu măiestrie cele mai potrivite metode și procedee în scopul optimizării procesului de învățământ.
Experiența individuală sau colectivă este valoroasă numai dacă este orientată de concepții științifice, de cercetarea continuă și perseverență pentru a găsi ceva nou, atât în utilizarea și perfecționarea metodelor clasice, cât și în abordarea și folosirea metodelor moderne, legate în special de avântul pe care îl ia aplicarea ciberneticii în educație și învățământ.
Lucrarea cuprinde cinci capitole.
În primul capitol, intitulat „Gândirea critică și învățarea” sunt prezentate fundamentele teoretice ale gândirii critice și învățării eficiente.
În subcapitolele acestui capitol, am prezentat principalele moduri și stiluri de gândire și relația dintre acestea și stilurile de învățare, caracteristicile esențiale ale gândirii critice insistând asupra ideii că gândirea critică se învață exersând-o și că învățarea eficientă și durabilă este învățarea care pune accentul pe procesul gândirii elevilor și nu pe asimilarea unor cunoștințe deja elaborate.
O altă parte a capitolului întâi, prezintă un cadru de predare-învățare pentru dezvoltarea gândirii critice care include trei faze: evocarea, realizarea sensului și reflecția.
Al doilea capitol, intitulat „Bazele psihopedagogice și metodologice ale rezolvării problemelor de aritmetică” cuprinde obiectivele generale ale capitolului, noțiunea de problemă, rezolvarea problemelor, importanța rezolvării problemelor și etapele de rezolvare a problemelor.
Capitolul al treilea, intitulat „Metodologia activității de rezolvare a problemelor de aritmetică” cuprinde indicații pentru rezolvarea problemelor tip, a problemelor simple și problemelor compuse, deprinderi care o dată formate ajută copilul în înțelegerea problemelor ivite în viața curentă, îi formează deprinderea de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, și contribuie la dezvoltarea judecății, a gândirii logice.
Capitolul al patrulea, intitulat „Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetică” are cea mai mare întindere deoarece am prezentat detaliat, cu exemple, metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică și rolului pe care-l ocupă jocul didactic matematic în dezvoltarea gândirii critice la elevi.
Ultimul capitol cuprinde proiecte de lecție care ilustrează modul de desfășurare a lecțiilor de predare și consolidare a problemelor de aritmetică, fișe de muncă independentă, fișe de calcul mintal.
Matematica înțeleasă ca disciplină fundamentală prin studierea sistematică și temeinică servește în mod cert celorlalte discipline școlare.
În matematică acționează principiul pedagogic căruia obiectivele studierii sunt formulate precis, concret și descriu comportamente cât mai posibil observabile și măsurabile și duc la aprecierea cât mai obiectivă a rezultatelor și progreselor elevilor.
Problema legării teoriei de practică și a verificării adevărurilor matematice prin aplicarea lor în viață constituie unul din obiectivele importante ale organizării și desfășurării procesului de învățământ. Aritmetica, prin varietatea problemelor pe care le formulează și le rezolvă, în legătură cu diferite sectoare ale vieții, aduce o reală contribuție la adâncirea caracterului practic al învățământului.
CAPITOLUL I
GÂNDIREA CRITICĂ ȘI ÎNVĂȚAREA
1.1. Moduri și stiluri de gândire
Oamenii se deosebesc de celelalte ființe prin gândire. Ei dispun de o capacitate specifică de procesare a informațiilor în vederea dobândirii unor cunoștințe și convingeri, a unor deprinderi și abilități cognitive necesare rezolvării de probleme cu care se confruntă în viața cotidiană.
Deși este o capacitate definitorie a omului, totuși gândirea nu funcționează la fel, la toți oamenii. Oamenii gândesc în moduri diferite. Mai mult, una și aceeași persoană gândește diferit, în situații diferite. Dincolo de aceasta, fiecare persoană își formează un stil propriu de gândire, o modalitate personalizată de abordare și rezolvare a problemelor.
Deci, putem vorbi, despre anumite moduri sau tipuri de gândire, iar pe de altă parte, de stiluri diferite de gândire.
1.2. Moduri fundamentale de gândire
Există mai multe moduri de gândire, diferențiate în funcție de mai multe criterii.
M. Zlade (1999) propune un set de criterii pentru clasificarea modurilor fundamentale de gândire. Astfel, modurile/tipurile de gândire se diferențiază:
– după orientare – gândire direcționată
– gândire nedirecționată
– după tipul operațiilor propuse – gândire algoritmică
– gândire euristică
– după finalitate – gândire reproductivă
– gândire productivă (creatoare)
– gândire critică
– după sensul de evoluție – gândire divergentă
– gândire convergentă
– după demersurile logice – gândire inductivă
– gândire deductivă
– gândire analogică
– după modul de desfășurare – gândire verticală
– gândire laterală
– după corespondența cu realitatea – gândire realistă (vigilă)
– gândire onirică (autistă)
– după eficiență – gândire eficientă
– gândire neeficientă
Gândirea critică este gândirea centrată pe testarea și evaluarea soluțiilor posibile într-o situație – problemă dată, pe alegerea soluției adecvate și respingerea argumentată a celor mai puțin adecvate. Ea presupune raportarea activă, în cunoștință de cauză și bine fundamentată logic a subiectului, a datelor problemei și opțiunea lui pentru modalitatea de rezolvare considerată cea mai bună.
Unii autori (Moore, McCann) consideră că gândirea creatoare și gândirea critică sunt „două fețe ale aceleiași medalii”. Gândirea creatoare își dovedește utilitatea și valoarea numai dacă produsele ei sunt supuse unor analize și evaluări critice, cu scopul de fundamentare și întemeiere rațională.
1.3. Semnificații ale termenului „gândire critică”
Despre gândirea critică există opinii diferite, contradictorii, aparent paradoxale.
În limbaj obișnuit termenului „critic” i se atribuie adesea o conotație negativă. A fi critic înseamnă a nu fi de acord cu opinia cuiva, uneori chiar cu opinia majorității, a nu te conforma (sau chiar a fi împotrivă) unor cutume, unor reguli, unor norme. Adeseori cel care are opinii critice este considerat un nonconformist, un neadaptat, un disident chiar și, prin urmare, ceilalți au o atitudine rezervată față de acesta.
Oamenii se identifică cu convingerile și părerile lor, astfel încât atunci când cineva le critică opiniile, cei în cauză consideră că este un atac la persoana lor. Trebuie spus că gândirea critică nu înseamnă „atac la persoana” celui ce exprimă o altă opinie, uneori chiar contrară opiniilor altora.
A gândi critic nu înseamnă neapărat a avea o poziție negativă, nerealistă, neeficientă; dimpotrivă gândirea critică este un mod de a aborda și rezolva problemele bazat pe argumente convingătoare, coerente-logic, raționale.
Critica poate fi:
– distructivă, cu scop de demolare, o încercare de a justifica ceea ce este greu (sau aproape imposibil) de justificat și acceptat (de alții);
– constructivă, cu scop de fundamentare și întemeiere a opiniilor, de argumentare rațională a acestora, de acceptare a lor în cunoștință de cauză.
A gândi critic distructiv înseamnă a fi mereu „împotrivă”, fără a avea, întotdeauna un motiv întemeiat, rațional, de dragul de a fi diferit de ceilalți, de a „ieși în evidență”.
A gândi critic constructiv înseamnă a susține cu argumente convingătoare, raționale, anumite opinii și a le respinge pe altele, a te „îndoi” cu scop de a obține noi argumente care să-ți întărească sau dimpotrivă, să-ți șubrezească propriile convingeri și credințe, a supune analizei și evaluării orice idee personală sau aparținând altora.
O persoană care, într-o situație dată, nu cunoaște altă poziție (opinie) decât propria sa poziție (convingere) nu gândește critic. Gândirea critică presupune cunoașterea și evaluarea, bazată pe argumente solide și convingătoare, a opiniilor altora și pornind de aici, adaptarea de către subiectul în cauză a unei poziții proprii având o susținere suficient de temeinică. Gândirea critică semnifică o gândire de nivel superior. Ea se bazează pe deprinderile și abilitățile celor care o practică de a raționa corect, coerent logic, pe bază de argumente suficiente, solide și valoroase.
Modalitatea de a gândi critic se înscrie în partea superioară a taxonomiei abilităților cognitive a lui B. Bloom, implicând analiza, sinteza și evaluarea pe bază de criterii și valori deziderabile social, asumate de individ și practicate cu pricepere și eficiență.
1.4. Caracteristici ale gândirii critice
Gândirea critică este o condiție și o modalitate de realizare a învățării eficiente cu rol esențial în dezvoltarea personalității individului. Ea presupune printre altele:
– formularea de către fiecare elev a unor păreri proprii, personale, eventual originale, referitoare la o problemă;
– dezvoltarea responsabilă a ideilor și soluțiilor avansate de fiecare individ, în mod individual sau ca rezultat al muncii în grup;
– alegerea rațională a unei soluții optime dintre mai multe posibile;
– rezolvarea de probleme în timp optim și cu eficiența scontată.
Gândirea critică are, prin natura și modul ei de manifestare, două dimensiuni esențiale:
– o dimensiune socială potrivit căreia învățarea și munca în colaborare determină construirea și manifestarea solidarității umane, a comportamentului de întrajutorare, cu efecte benefice asupra reușitei în activitate și cu sentimentul fiecăruia că aparține grupului, că lucrează pentru creșterea prestigiului social al acestuia. Mândria de a aparține unui grup, unei comunități generează individului sentimente pozitive, contribuind la trăirea de către acesta a unei stări de confort psihologic;
– o dimensiune pragmatică prin care învățarea bazată pe dezvoltarea gândirii critice creează posibilitatea și oportunitatea implicării plenare a elevilor în activitate, pornindu-se de la stârnirea curiozității acestora și continuând cu implicarea efectivă a lor în rezolvarea unor probleme autentice, de viață.
Lucrul cu elevii, în clasă, trebuie astfel realizat încât să genereze un climat de încredere, care să-i determine să se implice în discutarea / dezbaterea unei idei interesante, în rezolvarea cu succes și eficiență a problemelor. Elevii trebuie obișnuiți cu investigația temeinică, cu dezbaterea autentică, cu găsirea unor răspunsuri adecvate la problemele cu care se confruntă. Pe măsura obișnuirii elevilor cu acest mod de a lucra, de a învăța, ei dobândesc deprinderi valoroase de gândire critică și de învățare eficientă, autentică.
Formarea capacității / abilității de a gândi creativ și constructiv, eficient și critic presupune realizarea de către elevi a progresului în mai multe planuri, prin trecerea:
– de la reacții personale la idei susținute public, cu argumente convingătoare;
Primele reacții ale elevilor față de o activitate, o operă etc. sunt reacții ce denotă trăirea afectivă a acestora, față de activitatea sau opera respectivă, reacții exprimate sub forma: „îmi place/nu-mi place”. Pe măsura acumulării experienței în practicarea învățării bazate pe gândirea critică, elevii devin din ce în ce mai capabili să-și exprime reacțiile, ideile în termeni care le fac inteligibile pentru alții, fiind susținute de argumente convingătoare.
– de la respectul față de ideile altuia la dobândirea încrederii în sine, la propriile idei bazate pe argumente;
Elevii care dobândesc abilitatea de a gândi critic, devin autonomi și încrezători în gândirea lor; ei manifestă un oarecare scepticism față de afirmațiile făcute de cineva sau față de ideile dintr-un text scris, fiind înclinați să pună sub semnul întrebării orice argument pentru a-i proba validitatea.
– de la intuitiv la logic;
A afirma anumite lucruri în mod intuitiv înseamnă a exprima opinii fără a reflecta prea mult asupra lor, fără a evidenția importanța și relevanța lor generală. A gândi logic, înseamnă a-și întemeia ideile, a susține anumite concluzii bazându-te pe anumite premise. Gândirea logică este superioară celei intuitive, deși n-o poate înlocui în totalitate pe aceasta din urmă și nici nu este necesar s-o înlocuiască. Gândirea logică este „mai publică” decât cea intuitivă, dovedind câștigul oamenilor în manifestarea lor democratică, liberă, independentă ceea ce conduce la sporirea încrederii în sine a acestora, la asumarea responsabilității faptelor lor.
– de la o singură perspectivă la mai multe perspective în abordarea unei probleme.
Persoanele care nu au capacitatea de a gândi critic lucrurile rămân cantonate întotdeauna în propriile lor idei, în propriile lor convingeri și credințe, indiferent de opiniile celorlalți.
O persoană care gândește critic, în mod autentic, constructiv, eficient, ține cont și de convingerile și de ideile celorlalți abordând lucrurile din mai multe perspective. O astfel de persoană își susține propria poziție, dar este dispusă să și-o modifice dacă argumentele o conving. Ea prezintă întotdeauna argumente pe care se întemeiază propria opinie, argumente cu care încearcă să-i convingă și pe alții.
1.5. Ce înseamnă a gândi critic ?
Gândirea critică este un proces complex care începe cu asimilarea de cunoștințe, cu dobândirea unor operații și procedee mintale de procesare a informațiilor, continuă cu formarea unor credințe și convingeri care fundamentează adoptarea unor decizii și se finalizează prin manifestarea unor comportamente adaptative adecvate și eficiente.
Nu toate cunoștințele sunt utile și valoroase. Cunoștințele sunt valoroase când sunt înțelese și prin aceasta, se dovedesc a fi utile în rezolvarea problemelor de viață, putând fi aplicate în practică, în mod creativ, constructiv, critic.
Pentru a face față cu succes solicitărilor cotidiene, oamenii trebuie să știe multe lucruri, să obțină multe informații. Dar explozia informațională și posibilitatea omului de a avea acces neîngrădit la informațiile din lumea întreagă creează adesea derută și provoacă anxietate. Într-o lume în schimbare accelerată, într-o societate democratică și deschisă, în care informația se perimează rapid, oamenii trebuie să învețe să discearnă între ce este important sau nu, între ceea ce are valoare și utilitate practică și ceea ce nu posedă astfel de calități, să respingă argumentat informațiile false, irelevante, inutile și să le rețină pe cele adevărate, relevante, utile. Asta înseamnă că ei trebuie să învețe să gândească critic, creativ, constructiv, eficient.
A gândi critic înseamnă:
– a deține cunoștințe valoroase și utile și a avea convingeri și credințe întemeiate pe acestea;
– a-ți forma opinii independente și a accepta ca ele să fie supuse evaluării (criticii);
– a supune propriile idei și ideile altora unui scepticism constructiv, cu scop de fundamentare;
– a construi argumente suficiente care să confere consistență propriilor opinii;
– a manifesta flexibilitate, toleranță și respect față de ideile altora, a le accepta sau a le respinge pe bază de argumente;
– a participa activ la elaborarea unor soluții, a colabora și coopera constructiv pentru rezolvarea oricăror probleme de viață;
– a învăța cum să gândești eficient, evaluând și testând mai multe soluții posibile; asta înseamnă a gândi, în mod autentic.
Gândirea critică presupune raționalitate și mai puțin subiectivism nefondat pe argumente pertinente. Cel ce gândește critic, gândește în mod eficient și creator, pragmatic și realist.
1.6. Gândirea critică se învață practicând-o
Gândirea critică nu se dobândește spontan, de la sine, ci se învață prin practicarea ei și prin conștientizarea acestei practici.
A gândi critic este o capacitate care trebuie încurajată și dezvoltată într-un mediu de învățare adecvat.
Pentru a deveni cu adevărat persoane cu gândire critică elevii trebuie să dobândească prin experiență proprie anumite capacități și abilități sub îndrumarea profesorului.
Gândirea este un proces complex care se dobândește prin învățare asemenea cititului și scrisului. Învățarea gândirii critice se realizează eficient când sunt respectate anumite condiții. Dintre acestea, esențiale sunt:
1) Crearea unor situații de învățare, a unor ocazii pentru ca elevii să-și exerseze procesul gândirii critice și alocarea timpului necesar pentru aceasta.
Promovarea gândirii critice necesită timp. Elevii trebuie puși în situația de a gândi, de a produce idei și opinii proprii, de a le comunica celorlalți și a avea un feed-back constructiv. Comunicarea propriilor idei ajută la clarificarea acestora.
2) Încurajarea elevilor să gândească independent, „cu propriul lor cap”, să speculeze și să reflecteze.
Trebuie să le permitem tuturor elevilor să-și exprime gândurile, fără nici un fel de îngrădire. Când constată că acest mod de comportare este acceptat elevii se angajează mai activ în analiza și evaluarea critică a ideilor. Permisiunea de a gândi critic, speculativ, nu înseamnă acceptarea unui mod superficial de a aborda lucrurile. Trebuie creat un cadru, un context stimulativ și productiv, în care se gândește în mod autentic.
3) Acceptarea diversității de opinii și idei.
Libertatea de a specula generează diversitatea de păreri. Se renunță astfel, la mentalitatea „unicul răspuns corect” pe care elevii îl așteaptă de la profesor. Un climat de învățare în care elevii au sentimentul că se așteaptă de la ei, de la fiecare în parte, opinii și idei în legătură cu o problemă, favorizează și stimulează manifestarea gândirii critice. Chiar și atunci când într-o situație-problemă dată, există un singur răspuns corect, totuși elevii constată că ajungerea la acesta se poate face pe căi diferite, având astfel ocazia de a-și exersa gândirea.
4) Implicarea activă a elevilor în realizarea învățării, prin confruntarea de idei, prin colaborare și cooperare pentru a găsi soluții adecvate.
Implicarea elevilor în rezolvarea unor probleme le stimulează gândirea și-i ajută să gândească eficient, critic. Acolo unde și atunci când elevii rămân pasivi, neangajându-se în rezolvarea problemelor, se constată că gândirea critică lipsește din comportamentul lor.
5) Convingerea elevilor că nu riscă să fie ridiculizați pentru opiniile exprimate.
Ridiculizarea ideilor cuiva sau și mai grav, a persoanei acesteia, subminează gândirea critică. Dacă nu sunt ridiculizați pentru ideile lor, elevii vor avea curajul să le exprime liber, neîngrădit. Uneori, ideile „trăsnite” conduc la găsirea unor soluții corespunzătoare, ingenioase și utile practic.
6) Încrederea în capacitatea fiecărui elev de a gândi în mod critic.
Gândirea critică nu este o capacitate doar a elevilor mai mari și cu un anumit nivel de dezvoltare intelectuală, ci ea poate fi practicată la orice vârstă, de către fiecare elev.
Dacă există respect pentru opiniile fiecărui elev, toți vor avea grijă să exprime idei valoroase, responsabile. Ei vor lua în serios procesul învățării în care se manifestă respectul cuvenit pentru gândirea fiecăruia.
7) Aprecierea pozitivă a gândirii critice, manifestată în orice situație.
Este esențial să-i încredințăm pe elevi că opiniile lor sunt valoroase. Astfel, vom încuraja manifestarea gândirii critice. Fără a avea încredere în valoarea ideilor lor, valoare recunoscută și de ceilalți, elevii vor refuza să se implice activ în soluționarea problemelor, să contribuie critic și constructiv la rezolvarea acestora.
1.7. Responsabilitatea elevilor pentru dezvoltarea gândirii critice
Atmosfera în care se realizează învățarea trebuie să permită elevilor să gândească critic. În acest context elevii își asumă responsabilitatea pentru ideile și opiniile exprimate.
Cei ce gândesc critic trebuie să aibă anumite calități și să manifeste anumite comportamente. Pentru a ajunge să gândească critic, elevii trebuie:
1. Să dobândească încredere în forțele proprii și să conștientizeze valoarea propriilor lor idei și opinii.
Încrederea elevilor în valoarea ideilor proprii determină angajarea lor în manifestarea gândirii critice.
2. Să se implice activ în procesul de învățare.
Când se implică plenar în activitate elevii învață cu plăcere, iar capacitatea lor de înțelegere crește. Învățarea agreabilă dă naștere unui sentiment de împlinire și autorealizare.
3. Să asculte cu respect opinii diferite, să-și împărtășească unii altora, ideile.
Această conduită se învață. Elevii ajung să înțeleagă că este util să împărtășească ideile lor altora, că renunțând la ceva câștigă altceva. Clasa devine o comunitate de învățare din care fiecare elev are de câștigat.
4. Să asculte activ ideile altora și să fie pregătiți pentru a formula și a demonstra judecăți.
Elevii se angajează într-un dialog constructiv, învățând să-și reexamineze și să-și șlefuiască propriile idei. Ei constată că referitor la o problemă se pot exprima idei în termeni diferiți, în maniere diferite, care conduc la soluționarea adecvată a acesteia.
A gândi critic înseamnă a fi curios, a avea o minte iscoditoare; a pune întrebări și a căuta sistematic răspunsuri oferind soluții adecvate la probleme diverse; a crea condiții pentru asumarea de către elevi a responsabilității pentru ideile, opiniile și soluțiile propuse.
Manifestarea gândirii critice presupune acțiunea pe mai multe planuri pentru:
– a determina și a consemna fapte concludente pentru susținerea unor idei și opinii;
– a descoperi cauzele fenomenelor pentru a le explica și înțelege;
– a stabili implicațiile și valoarea practică a cunoștințelor asimilate;
– a găsi alternative la atitudini și soluții deja consacrate și fixate în mentalul colectiv;
– a lua în considerare soluțiile și argumentele altora referitoare la o problemă supunându-le unor analize și evaluări riguroase;
– a adopta o poziție proprie într-o situație dată bazată pe argumente suficiente, concludente și temeinice;
– a-(ți) pune întrebări de tipul: „ce ar fi dacă…?”, „ce s-ar întâmpla atunci când…?” etc. pentru a favoriza explorarea fenomenelor din mai multe perspective chiar dacă unele dintre acestea sunt doar posibile sau probabile.
Gândirea critică este un mod de funcționare a minții care presupune activism, flexibilitate și deschidere spre schimbare și inovare.
1.8. Un cadru de predare-învățare pentru dezvoltarea gândirii critice
Dacă gândirea critică se învață practicând-o, atunci trebuie creat un cadru adecvat pentru realizarea și dezvoltarea acesteia. Este vorba despre un anumit mod de a concepe și realiza predarea și învățarea care să pornească de la cunoștințele deținute deja de elevi, referitoare la un subiect, să promoveze analiza și evaluarea opiniilor și a soluțiilor posibile, pentru a înțelege sensul celor învățate și pentru a stimula reflecția critică asupra acestora. Un astfel de cadru presupune parcurgerea a trei etape, strâns legate între ele:
Evocarea (E)
Realizarea sensului (R)
Reflecția (R).
1.8.1. Evocarea
Învățarea nu se produce niciodată ca un act izolat. Ea se fundamentează întotdeauna pe experiența de viață și pe cunoștințele anterioare ale celui ce învață. Învățarea presupune realizarea unor conexiuni între ceva ce știu, înțeleg, cred și simt elevii, pe de o parte, și conținutul ce trebuie predat / învățat pe de altă parte.
În etapa evocării elevii sunt solicitați să-și amintească ceea ce știu sau cred că știu despre subiect, despre o problemă ce urmează a fi supuse procesului de învățare. Se urmăresc realizarea mai multor obiective:
1. Conștientizarea de către elevi a propriilor cunoștințe despre un subiect, despre o problemă ce urmează a fi supuse procesului de învățare. Prin aceasta se determină coordonatele situației de plecare necesară realizării unei noi învățări. Se evidențiază astfel cunoștințele deținute deja de elevi, dar și eventualele neînțelegeri, confuzii și erori de cunoaștere, toate acestea constituind o bază reală pentru dobândirea unor cunoștințe, pentru realizarea unei învățări durabile și eficiente.
2. Implicarea activă a elevilor în activitatea de învățare; elevii devin conștienți de propriile lor cunoștințe, de valoarea și limitele acestora, pe care le exprimă, oral sau în scris, comunicându-le celorlalți și supunându-le, astfel, evaluării (critice).
Prin aceasta se realizează o mai bună corelație între cunoștințele deținute deja de elevi și informațiile noi, ce urmează a fi asimilate, învățate, fapt care favorizează înțelegerea.
3. Evocarea de către elevi a cunoștințelor pe care ei le dețin, stimulează curiozitatea și interesul acestora, și-i motivează să se angajeze într-o învățare autentică, eficientă.
În faza de evocare, învățarea se contextualizează și se focalizează pe anumite sarcini și obiective, fapt care-i asigură eficiența. Prezentarea unor informații noi, rupte de context, pe care elevii nu le pot corela cu cele deja deținute de ei, determină uitarea rapidă a acestora.
Când există scopuri bine precizate și o motivație corespunzătoare, învățarea devine mult mai eficientă și mai durabilă. Când aceste scopuri sunt stabilite de elevii înșiși, prin discuție în grup și prin negociere, angajarea în învățare este și mai puternică.
1.8.2. Realizarea sensului
În această a doua etapă a cadrului Evocare – Realizarea sensului – Reflecție (ERR) pentru gândire și învățare, elevii vin în contact cu noile informații sau idei. Ei încearcă să înțeleagă sensul și semnificația acestora. Este cunoscut faptul că ceea ce este înțeles este învățat mai ușor.
Elevii iau contact cu informația nouă pe mai multe căi:
prin lectura unui text;
prin vizionarea unui film;
prin audierea unei prelegeri;
prin efectuarea unui experiment;
prin schimbul de idei (discuții) în cadrul unui grup etc.
A realiza sensul unor idei înseamnă a le înțelege adecvat. Înțelegerea este activitatea fundamentală și permanentă a gândirii, semnul ei distinctiv.
Esențial în realizarea înțelegerii este implicarea cognitivă activă a elevilor în învățare, în procesarea informației necesare rezolvării unor probleme diverse; sporirea implicării înseamnă maximizarea înțelegerii. A te implica cognitiv activ înseamnă a-ți pune întrebări și a pune întrebări altora pentru a înțelege lucrurile. Esențiale sunt întrebările pe care subiectul le pune sie însuși.
Pearson (1991) spunea că a înțelege înseamnă „a găsi răspunsuri la propriile tale întrebări”. Interogarea potențează gândirea și ghidează învățarea.
În această etapă se urmărește:
a) menținerea interesului și sporirea implicării elevilor în activitatea de învățare, care a debutat în etapa de evocare;
b) încurajarea elevilor să-și stabilească scopuri, să facă analize și sinteze, comparații, abstractizări și generalizări ajungând la o conceptualizare adecvată;
c) susținerea efortului elevilor de a-și monitoriza propria înțelegere, de a progresa în ceea ce privește integrarea noilor cunoștințe în schemele cognitive pe care le dețin deja și care, astfel, se restructurează permanent.
1.8.3. Reflecția
A treia etapă a cadrului de învățare pentru dezvoltarea gândirii critice este reflecția. În această etapă elevii reconsideră – grație realizării sensului noilor cunoștințe, a înțelegerii autentice și profunde a acestora – ceea ce știau deja (sau credeau că știu) despre ceva (un subiect, o temă).
În etapa de reflecție elevii își consolidează cunoștințele noi și își restructurează schemele mintale pentru a include în ele noile cunoștințe. Prin aceasta ei învață autentic și eficient. Orice învățare este caracterizată printr-o transformare autentică și durabilă a structurilor cognitive ale subiectului care se obiectivează în componente eficiente, adecvate situațional.
Necesitatea etapei de reflecție se justifică prin următoarele:
– Elevii trebuie să ajungă să exprime, cu propriile lor cuvinte, ideile și informațiile întâlnite. Ei rețin mai bine și pot folosi adecvat cunoștințele formulate într-un limbaj propriu, transpuse în contextul personal de înțelegere, conferindu-le astfel, un sens și o semnificație specifice. Atunci când informațiile sunt plasate într-un context care are sens (personal), înțelegerea este mai profundă și mai durabilă.
– Gândirea critică este favorizată într-o atmosferă în care este încurajată diversitatea de opinii. Schimbul de idei între elevi contribuie la sporirea capacității de exprimare și înțelegere a acestora.
Reflecția presupune confruntarea cu o varietate de modele de gândire care determină reconceptualizarea, construirea unor scheme mintale mai flexibile, înțelegerea mai profundă și utilizarea mai adecvată a cunoștințelor în rezolvarea de probleme.
Elevii își exprimă în manieră personală, propriile gânduri și opinii referitoare la un subiect, o temă, o problemă. Reflecția se poate materializa prin realizarea în scris (efectuarea unui eseu) sau oral (argumentarea, pledoaria pro sau contra ceva).
1.9. Metode și tehnici de predare-învățare pentru dezvoltarea gândirii critice
Activitatea didactică se desfășoară întotdeauna într-un context concret determinat, într-o situație dată care presupune interdependența funcțională a mai multor elemente, dintre
care amintim:
interacțiunea specifică profesor – elev și elev – elev
existența unei motivații corespunzătoare care să declanșeze, să susțină energetic și să direcționeze activitatea de predare – învățare;
vehicularea unui conținut informațional purtător de semnificație;
utilizarea unor metode și mijloace specifice de realizare a predării-învățării pentru îndeplinirea obiectivelor preconizate;
respectarea unor principii, norme și reguli didactice;
existența unor finalități obiectivate în rezultatele și performanțele elevilor.
Acțiunea educativă, instructiv-formativă vizează producerea unor schimbări de natură cognitivă, afectiv-motivațională, atitudinală și comportamentală la nivelul personalității elevului.
Metoda didactică este calea de urmat de către elev și profesor pentru atingerea unor obiective, este drumul spre realizarea acestora. Ea propune, în același timp, un plan de acțiune (o suită de operații în vederea atingerii unui scop) anumite modalități de acționare (strategii, moduri de a proceda etc.).
În sensul cel mai larg al termenului, metoda de predare-învățare este o practică raționalizată, validată științific, ce servește ca instrument pentru transformarea și ameliorarea naturii umane. Ea este calea de acces spre cunoașterea și transformarea realității, spre însușirea culturii și civilizației, spre formarea și perfecționarea personalității omului.
Metoda se înscrie în ansamblul condițiilor externe ale învățării, condiție care influențează realizarea învățării, eficiența și durabilitatea acesteia.
Ansamblul metodelor utilizate în activitatea educațională, instructiv-formativă, constituie metodologia didactică.
Orice metodologie didactică include un ansamblu de metode, procedee și tehnici de predare-învățare subordonate unui model instrucțional, unei filosofii a realizării educației.
Metodologia didactică cuprinde metode tradiționale și moderne, diferențiate în funcție de eficiența și utilitatea lor în formarea personalității.
Maximizarea contribuției metodelor de instruire la formarea personalității elevului este asigurată prin tehnici, procedee și strategii eficiente de activizare a acestuia, de mobilizare, participare și implicare efectivă a elevilor în activitatea de predare-învățare. Metodele bazate pe acțiunea elevilor (exercițiul, lucrările de laborator, munca cu manualul / textul scris, conversația, cooperarea, discuția – dezbatere etc.) ca și cele bazate pe gândire și limbaj interior (lectura, scrierea / elaborarea unor eseuri, compoziții etc. reflecția personală, critică) se dovedesc a fi cele mai adecvate și mai eficiente, ele valorificând potențialul intelectual de învățare și formare a elevilor.
1.10. Principii de bază ale predării-învățării pentru dezvoltarea gândirii critice
Formarea și dezvoltarea gândirii critice, constructive și eficiente a elevilor presupune promovarea unui nou mod (model) de predare-învățare care are la bază câteva principii cu rol esențial:
1. Gândirea critică, înțeleasă ca gândire de tip superior, nu este o aptitudine, ci o capacitate a individului dobândită și consolidată prin învățare și exercițiu. Ea se învață practicând-o și presupune abilitatea individului de a-și folosi mintea pentru a soluționa problemele diverse cu care se confruntă, probleme ale căror valențe contribuie la formarea personalității celui în cauză, în vederea adaptării și integrării într-o societate democratică, deschisă, în permanentă transformare și evoluție.
Gândirea critică, constructivă și eficientă, se dobândește într-un cadru adecvat de
predare-învățare și prin intermediul acestuia. El presupune existența a trei etape / faze: evocarea ( E ), realizarea sensului sau înțelegerea ( R ) și reflecția ( R ), considerate condiții necesare pentru stimularea procesului gândirii. În etapa de evocare elevii sunt îndemnați să își amintească ceea ce știu (sau cred că știu) dinainte despre un anumit subiect sau problemă, să anticipeze și să stabilească scopuri pentru lectura sau investigația lor ulterioară.
În etapa de realizare a sensului, elevii vin în contact cu noile conținuturi de idei, prin intermediul citirii textului, audierii unei prelegeri sau prin alte modalități încercând să integreze aceste idei în propriile lor scheme de gândire pentru a le conferi un sens și o semnificație.
În etapa de reflecție elevii meditează (gândesc) la ceea ce au învățat raportând noile conținuturi la cunoștințele anterioare și prin aceasta, reconstruindu-și schemele cognitive pentru a integra noile achiziții. În acest mod, elevii progresează în cunoaștere și se dezvoltă personal.
3. Procesul formării și dezvoltării gândirii critice a elevilor are la bază ideea că orice învățare, pentru a fi eficientă și durabilă, trebuie să pornească de la experiența cognitivă și de viață a elevilor (ceea ce știu sau cred că știu) și să stimuleze participarea activă și implicarea personală a elevilor în rezolvarea de probleme.
4. Strategia dezvoltării gândirii critice promovează un nou mod (model) de predare-învățare: modelul constructivist care subliniază rolul și importanța proceselor de interogare și explorare – descoperire a celui ce învață; potrivit acestui model cunoștințele nu sunt date în mod obiectiv, ci ele se construiesc prin participarea și implicarea elevilor, în mod independent sau în colaborare cu alții. Ei (re)descoperă și atribuie noi sensuri și semnificații cunoștințelor și activităților, conferindu-le astfel, o valoare personală.
Acest lucru favorizează învățarea autentică, eficientă și durabilă. Accentul cade nu atât pe cunoștințe ca produs, ca rezultat, cât mai ales, pe procesul care le-a făcut posibile. Elevul învață cum să învețe, cum să utilizeze adecvat cunoștințele și abilitățile de care dispune pentru a rezolva probleme noi, din ce în ce mai diverse și mai dificile. Astfel, el are sentimentul și convingerea utilității și eficienței cunoștințelor și capacităților sale pe care le poate utiliza adecvat în situații diverse.
5. Predarea-învățarea realizate în cadrul evocare – realizarea sensului – reflecție (ERR) pune accentul pe învățarea înțeleasă ca rezolvare de probleme; se insistă asupra necesității descoperirii și / sau construirii (atribuirii) unor noi sensuri și semnificații, ideilor și cunoștințelor cu care elevii vin în contact, precum și acțiunilor la care ei participă efectiv.
6. Cadrul ERR promovează învățarea în cooperare prin transformarea clasei într-un mediu favorabil participării și implicării tuturor elevilor în găsirea unor soluții acceptabile la probleme diverse, începând cu cele cotidiene, de viață, și terminând cu cele academice, cu un grad mare de abstractizare și generalizare și a căror incidență practică este mai greu de sesizat (aparent).
7. Modelul de învățare pentru formarea și dezvoltarea gândirii critice, schimbă în mod esențial rolul și responsabilitățile profesorului în clasă. Acesta nu mai este cel care predă / transmite cunoștințele pentru a fi asimilate (și reproduse cât mai fidel) de către elevi, ci devine din ce în ce mai mult, organizatorul, conducătorul și facilitatorul procesului de învățare și gândire efectivă, desfășurate în clasă, cu participarea și implicarea tuturor elevilor în activități concertate și focalizate pe rezolvarea de probleme.
8. Dacă procesul gândirii critice se învață, se dobândește prin exercițiu, atunci sunt necesare însușirea și utilizarea unor metode și tehnici specifice, a unor strategii de predare-învățare adecvate care să potențeze funcționalitatea minții, să stimuleze capacitatea ei de explorare și descoperire, analiză și sinteză, raționare și evaluare. Aceste metode și tehnici nu sunt cu totul noi și speciale ci „mai degrabă sunt moduri acționale procedurale eficiente în raport cu unele obiective precise: stimularea și dezvoltarea gândirii constructive și eficiente, critice a elevilor și a profesorilor.
CAPITOLUL II
BAZELE PSIHO-PEDAGOGICE ȘI METODOLOGICE
ALE REZOLVĂRII PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ
2.1. Obiective generale ale capitolului
Învățătorii trebuie să fie posesorii unor tehnici, priceperi și deprinderi clare și temeinice în domeniul important și de mare valoare formativă, anume al rezolvării și compunerii problemelor de matematică.
Ei trebuie să fie capabili:
– să formeze la școlarii mici tehnicile de rezolvare a problemelor de matematică;
– să cunoască și să aplice demersurile metodice și tehnicile de rezolvare a unei probleme pe baza metodei sintetice, analitice sau asociindu-le;
– să rezolve orice problemă din manuale, culegeri de exerciții și probleme sau publicații destinate ciclului primar, folosind căi accesibile școlarilor mici;
– să ilustreze, din pluritatea căilor de rezolvare a unei probleme, pe cea mai economică și mai elegantă;
– să proiecteze (și să susțină) structuri de lecții de diferite tipuri și strategii;
– să dobândească priceperea de a descoperi tipul căruia i se subordonează o problemă și să aplice algoritmii de rezolvare specifici;
– să-și însușească modalitățile metodice de stimulare a capacităților intelectuale, a gândirii și creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme;
– să țină seama de necesitatea exersării și optimizării deprinderilor de calcul oral și în scris și prin intermediul rezolvării de probleme și să se acționeze în consecință.
2.2. Noțiunea de problemă și de rezolvare a problemelor
Noțiunea de problemă are un conținut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni, în domenii foarte diferite. În general în orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare, o soluționare, poartă numele de problemă. Cu alte cuvinte, ținând seama de faptul că orice proces de gândire este declanșat de o întrebare pe care și-o pune sau care i se pune omului, se admite că formularea unui răspuns clar și precis la o astfel de întrebare constituie o problemă. Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul. Astfel problemele de aritmetică constituie răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări și acțiuni bazate pe date numerice. Ele au ca note comune:
– structura lor, prin care se stabilesc relații de dependență între anumite valori, cantități sau mărimi exprimate prin numere;
– felul de soluționare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obține cu ajutorul unor operații aritmetice în care intervin valorile numerice respective.
După structura lor problemele de aritmetică se clasifică în două categorii:
– probleme simple, adică probleme a căror rezolvare comportă o singură operație aritmetică;
– probleme compuse, adică probleme a căror rezolvare comportă două sau mai multe operații aritmetice, indiferent dacă ele sunt de același fel (numai operații de adunare și scădere, sau numai operații de înmulțire și împărțire) sau sunt operații de feluri și ordine diferite. Problemele compuse pot avea un caracter general, rezolvându-se cu ajutorul unor procedee generale de calcul, dar nu pot avea structură matematică deosebită, rezolvarea lor făcându-se prin procedee speciale, specifice fiecărui grup. Problemele din această din urmă categorie se numesc probleme tipice.
2.3. Importanța rezolvării problemelor
Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă importanță atât de mare încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de aritmetică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor, în mare măsură este subordonată acestui scop. De aceea rezolvarea problemelor presupune existența unui întreg complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor aritmetice, însușirea pe deplin a tehnicii acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relațiile dintre datele unei probleme. Prin urmare, din punct de vedere informativ, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobândite în legătură cu operațiile aritmetice și proprietățile lor: clasificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe. În general se poate spune că rezolvarea problemelor constituie cel mai nimerit mijloc pentru realizarea scopurilor pe care le urmărește predarea aritmeticii.
Munca desfășurată pentru rezolvarea problemelor are și un important rol educativ, prin contribuția valoroasă pe care o aduce la dezvoltarea în general a facultăților mintale, cu deosebire a gândirii, antrenând în cea mai mare măsură operațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.
De asemenea, rezolvarea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente și concrete față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de împlinirea sarcinilor, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
În general, munca de rezolvare a problemelor dezvoltă gândirea, îmbogățește volumul de cunoștințe ale elevilor și contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.
Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite, etc.
Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o foarte mare importanță.
Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite.
În sens psihologic, „o problemă” este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat.
În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.
Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute se cere determinarea acestor valori necunoscute.
În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită sau între mijloacele deja învățate. Când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor-problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.
Din această primă analiză clasificatoare a problemelor rezultă și o posibilă grupare a metodelor și procedeelor de rezolvare.
Metodele cu ajutorul cărora se descoperă noi mijloace de rezolvare, se construiesc planuri și programe nestereotipice sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice (aplicarea aceleiași metode de rezolvare în situații identice), cum este cazul la problemele tipice, cât mai ales în aceea a rezolvării euristice.
2.4. Problemă și exercițiu
În general, între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și pe baza acestora se cere găsirea unei necunoscute.
Exercițiul oferă elevului datele (numerele cu care se operează și semnele operațiilor respective), sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.
Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscută) și întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscută.
Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei.
Deci, matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, însă în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V-a și doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician.
Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții.
Având în vedere analiza criterială, clasificatoare, problemele de matematică în ciclul primar s-ar putea grupa astfel:
a – după finalitate și după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate;
b – după conținutul lor, problemele matematice pot fi geometrice, de mișcare, de aflarea densității unui amestec sau aliaj etc.;
c – după numărul operațiilor vom identifica probleme simple și probleme compuse. Problemele simple sunt cele care, de regulă se rezolvă printr-o singură operație aritmetică și care se întâlnesc cu precădere la clasa I. Problemele compuse sunt acelea care în șirul de raționamente și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple.
d – după gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, avem probleme generale, în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică fie metoda sintetică și probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, metoda falsei ipoteze, metoda comparației etc.
e – o categorie aparte de probleme, de multe ori neglijate în învățământul primar, dar cu multiple valențe formative, consider că sunt cele recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate, numite și probleme nonstandard.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și, firesc, motivațional-afective.
Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. În același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, definiție sau regulă ce urmează a fi învățate.
Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ, își cultivă și educă calitățile moral-volitive. În același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.
Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.
2.5. Etapele rezolvării problemelor
Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice (de adunare și scădere) se începe rezolvarea, pe cale orală și pe bază de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse. Varietatea și complexitatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor. Trebuie să delimităm însă două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:
a – Când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă-tip, care se rezolvă prin aceeași metodă, comună tuturor problemelor de tipul respectiv. În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare, în cazul problemelor tipice, care se fixează ca un algoritm de calcul, de fapt algoritmul de rezolvare a problemei.
b – În cazul când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta el realizează un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei.
Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape. În fiecare din aceste etape, datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluția problemei. E vorba de un permanent proces de analiză și sinteză (prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care conduce la soluția problemei), de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcție de combinațiile în care sunt plasate (sinteza).
Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspirații, ci presupune atât un fond de cunoștințe pe care elevul le aplică în rezolvarea problemelor, cât și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul rezolvării problemelor. Diferitele ipoteze (enunțuri ipotetice care ne vin în minte în legătură cu problema pusă) nu apar la întâmplare. Ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât aceste cunoștințe sunt mai largi și mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în mintea rezolvitorului să îl conducă mai repede la o soluție, cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat, cu atât alegerea este mai bună. De aceea, în orice domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este condiționată de o solidă pregătire de specialitate, dar și cultură generală.
În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general cum sunt: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).
Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea copiilor se conturează schema mintală de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult mai ușoară în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Dar această subsumare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se referă, mărimea sau natura datelor).
De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei.
Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.
Când rezolvă o problemă compusă, aparent elevul rezolvă pe rând mai multe probleme simple. În esență, nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecăreia dintre ele făcându-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problemă simplă rezolvată reprezentând un pas înainte, o verigă pe calea raționamentului problemei compuse de natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute. (Anexă 1).
În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.
Aceste etape sunt:
A – Cunoașterea enunțului problemei;
B – Înțelegerea enunțului problemei;
C – Analiza problemei și întocmirea planului logic;
D – Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;
E – Activități suplimentare:
– verificarea rezultatului;
– scrierea sub formă de exercițiu;
– găsirea altei căi sau metode de rezolvare;
– generalizare;
– compunere de probleme după o schemă asemănătoare etc.
Cunoașterea enunțului problemei
Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Rezolvitorul trebuie să afle care sunt datele problemei, care se leagă între ele, care este necunoscuta problemei. Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citire de către învățător sau de către elevi sau prin enunțare orală. Se va repeta problema de mai multe ori, până la însușirea ei de către toți elevii. Se va avea în vedere citirea și enunțarea expresivă a textului, scoțându-se în evidență anumite date și legături dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei, folosindu-se scrierea pe orizontală sau pe verticală.
Înțelegerea enunțului problemei
Nu este posibil ca elevul să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei decât în măsura în care cunoaște termenii în care se pune problema. Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție, întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Acest minim de informații trebuie recepționat în mod optimal de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul.
Prin discuții cu elevii, trebuie reținute elementele matematice importante: datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Nerecepționarea corectă a enunțului problemei generează multe dificultăți în activitatea de rezolvare, cum ar fi: schimbarea sensului unor date, neglijarea unor date, luarea în considerație a unor numere care nu au funcție de „date” ale problemei etc.
Analiza problemei și întocmirea planului logic
Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică
și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei. Aceasta este faza în care se „construiește” raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură între datele problemei și necunoscută. Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificațiilor lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne ridicăm de la situațiile concrete pe care le prezintă problema („a parcurs … kilometri”, „a cumpărat … kilograme”, „a … ei kilogramul” ș.a.) la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg; viteză, distanță și timp; cantitate, preț, valoare etc.
Transpunând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă, scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană ș.a. evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei. Elevii sesizează cum este în cazul problemei cu cumpărăturile mai înainte prezentată, că este vorba de suma a două produse – categorie de probleme pe care o găsim prezentată în manualele de clasa a III-a și a IV-a.
În cazul altor probleme este vorba de o sumă de doi termeni în care al doilea termen nu este exprimat numeric ci reprezintă suma a două numere. Probleme din această categorie ( de forma a + (a+b) ) întâlnim în manuale încă din clasa I.
În momentul în care elevii au transpus problema în relații matematice, soluția este ca și descoperită.
Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților
din planul logic
Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și evident, a rezultatului final.
De o importanță majoră în formarea abilităților, a priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme îl are etapa următoare.
Activități suplimentare după rezolvarea problemei
Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.
Chiar dacă rezolvarea pune probleme, se face frontal sau prin activitate independentă, este posibil ca în șirul de raționamente, ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună. În plus, prin utilizarea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții diferite sau la soluții ilogice, neconforme cu realitatea (de genul – vârsta tatălui este de … 250 ani).
După rezolvarea unei probleme, se recomandă – pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau după caz, în fragmente de exerciții. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu duce la schematizarea, la fixarea sau rigiditatea gândirii, ci din contră, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.
Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai ales corelează elementele a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței. Abilitățile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adică intră în acțiune la rezolvarea oricărei probleme (cum ar fi – orientarea asupra datelor, punerea în legătură a acestora, diferențierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice și se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acțiunilor (procedee de calcul) și care, în acest caz, au statut de deprinderi. Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie de reformulări, care să-i apropie de soluție. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici cu cât știm că elevul întâmpină dificultăți în această direcție, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei – și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. Tendința elevului de a lega datele problemei în ordinea succesivă pe care i-o oferă enunțul conduce la rezultate greșite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunț.
Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relații matematice. Renunțarea la elementele concrete și înlocuirea acestora cu expresii potrivite, fac posibilă schematizarea problemei, deci pasul necesar spre generalizare.
O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină după o logică riguroasă fragmentele.
O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situația nouă cere o restructurare mai profundă a experienței anterioare. Dat fiind faptul că posibilitățile școlarului mic de folosire a cunoștințelor și de raportare a relațiilor vechi la cele noi sunt încă insuficient dezvoltate, acțiunile principale ale învățătorului trebuie să fie orientate în această direcție. Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu prinde sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu-și dă seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parțiale etc., activitățile pregătitoare și de rezolvare ale învățătorului trebuie să urmărească înțelegerea de către elevi a specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, deși par diferite, au în esență aceeași structură.
CAPITOLUL III
METODOLOGIA ACTIVITĂȚII
DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ
Organizarea activității de rezolvare a problemelor se fundamentează pe cele cinci principale etape și momente de efort mintal pe care le parcurg elevii, și anume:
cunoașterea enunțului problemei;
înțelegerea enunțului problemei;
analiza și schematizarea problemei;
rezolvarea propriu-zisă a problemei;
verificarea rezolvării problemei și punerea rezolvării sub formă de exercițiu sau fragmente de exerciții, formularea de alte probleme ce se rezolvă după același exercițiu, generalizarea etc.
Activitatea de rezolvare în ansamblu și fiecare etapă în parte se desfășoară în maniere specifice, în funcție și de dificultățile pe care le ridică rezolvarea problemei, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară respectivă, de experiența elevilor în legătură cu rezolvarea problemelor și nu în ultimă instanță, de calitățile profesionale ale celui care îndrumă activitatea, anume învățătorul.
3.1. Rezolvarea problemelor simple
Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic la școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa întâi utilitatea activității de rezolvare a problemelor, este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.
În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de joc și au caracter de probleme-acțiune și cărora li se asociază un bogat și variat material didactic intuitiv.
Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca acțiuni de viață (au mai venit … fetițe, s-au spart … baloane, au plecat … rățuște, i-a dat … creioane colorate, au mâncat … bomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără, plătește sau elevul este la școală și primește cărți sau creioane), iar în această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. În enunțul unei probleme, formulat de învățător sau de copii, nu se spune „3 fetițe plus 2 fetițe”, ci se spune că erau 3 fetițe și au mai venit 2 fetițe, nu se spune „4 baloane minus 2 baloane” ci că au fost 4 baloane și s-au spart 2 dintre ele.
Pe baza experienței pe care o au elevii încă din etapa preșcolară sau chiar din primele lecții de matematică în efectuarea operațiilor cu mulțimi, ei reușesc, în general, cu ușurință „să traducă” în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme.
Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de „problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea problemei”, „rezultatul problemei”.
Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada premergătoare primelor operații. Învățătorul se folosește de probleme „acțiuni care după ce au fost puse în scenă”, vor fi ilustrate cu un desen schematic.
Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.
Probleme simple bazate pe adunare pot fi:
de aflare a sumei a doi termeni;
de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;
probleme de genul „cu atât mai mult”.
Probleme bazate pe scădere pot fi:
de aflare a restului;
de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;
de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;
probleme de genul „cu atât mai puțin”.
Probleme simple bazate pe înmulțire sunt în general:
repetare de un număr de ori a unui număr dat;
de aflare a produsului;
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.
Probleme simple bazate pe împărțire pot fi:
de împărțire a unui număr dat în părți egale;
de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;
de aflare a unei părți dintr-un întreg;
de aflare a raportului dintre două numere.
În general, problemele simple sunt ușor de înțeles și rezolvate de către elevi. Dificultăți există și cele mai frecvente sunt de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuată ș.a. Pentru depășirea lor se recomandă:
rezolvarea unui număr mare de probleme;
analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;
abordarea unei mari varietăți de enunțuri;
prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze și apoi să le rezolve;
prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;
prezentarea unor „povestiri” care în fapt nu sunt decât așa-zise probleme „latente”;
completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;
rezolvarea unor probleme în care operația nu apare la prima vedere;
compunerea de probleme după anumite date, după schemele date, folosind inversarea datelor sau alte date;
alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod liber, fără a fi limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.
De fapt, prin aceste procedee se urmărește propriu-zis nu o învățare a problemelor ci formarea capacităților de a domina varietatea lor, care practic este infinită. Procedeele introduse și folosite în mod gradat, pe măsură ce elevii capătă experiență în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor.
Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare, elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească ca strategii modele mintale anticipative.
3.2. Rezolvarea problemelor compuse
Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unora simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, construirea raționamentului. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple (cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau mai multe operații).
Prima perioadă se pornește de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple.
Un exemplu relevant poate fi următoarea problemă:
„Victor și Dănuț strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre iar Dănuț 2 timbre. Câte timbre au împreună cei doi copii ?” (3 timbre + 2 timbre = 5 timbre)
„Ionică aduce și el 4 timbre pe care le pune în plicul lor: Câte timbre au acum cei trei copii ?” (5 timbre + 4 timbre = 9 timbre).
Spunem acum problema în întregime:
„Victor și Dănuț strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre și Dănuț 2 timbre. Ionică aduce și el 4 timbre pe care le pune în același plic. Câte timbre au în total cei trei copii ?” 3 timbre 2 timbre 4 timbre ? timbre
Rezolvăm problema și pe secvențe (judecăți și operații separate):
Câte timbre au împreună Victor și Dănuț ?
3 timbre + 2 timbre = 5 timbre
2. Câte timbre au în total cei trei copii ?
5 timbre + 4 timbre = 9 timbre
Rezolvăm problema și printr-o adunare a trei termeni:
3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre,
ceea ce, în esență se exprimă prin relația:
a + b + c.
În cadrul acestei activități elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.
3.3. Rezolvarea problemelor tip
Prin problemă tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.
Clasificarea problemelor de aritmetică:
a) Probleme cu operații relativ evidente:
– probleme simple;
– probleme compuse.
Metodele de rezolvare sunt, în principal, două: metoda sintetică și metoda analitică.
b) Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. Ȋn această categorie includem și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.
c) Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație).
d) Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze)
e) Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers)
f) Probleme de amestec și aliaje cu două variante
g) Probleme de mișcare (în același sens, în sensuri contrare)
h) Probleme cu mărimi proporționale:
împărțirea unui număr în părți direct proporționale;
împărțirea unui număr în părți invers proporționale;
împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date.
i) Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate la categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific
probleme cu conținut geometric;
probleme cu conținut de fizică;
probleme asupra acțiunii și muncii în comun.
j) Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc)
CAPITOLUL IV
METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR
DE ARITMETICĂ
Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii: metode algebrice și metode aritmetice.
4.1. Metode algebrice
Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor de aritmetică, tehnica specifică calculului algebric, adică tehnica bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva algebric o problemă de aritmetică, se parcurg următoarele etape:
stabilirea necunoscutelor și notarea lor literală;
punerea problemei în ecuație, adică traducerea în limbaj algebric a relațiilor dintre valorile cunoscute și necunoscute, prin utilizarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații;
rezolvarea ecuației sau a sistemului de ecuații respectiv;
interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problemă pentru a stabili în ce măsură acestea corespund naturii și condițiilor problemei, aprecierea faptului dacă problema admite una sau mai multe soluții, ori dacă aceste soluții impun anumite limite și în general dacă soluțiile sunt sau nu posibile din punct de vedere logic și plauzibile din punct de vedere practic.
Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune, astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora din metodele aritmetice în a căror alegere nu se pot stabili criterii precise. Apoi, rezolvarea algebrică a unei probleme oferă posibilități noi de formulare a relațiilor dintre valori și stabilește ansamblul condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească soluțiile problemei în raport cu elementele cunoscute. De aceea, cu deosebire în situațiile în care rezolvarea prin metode aritmetice întâmpină dificultăți, este indicat să se utilizeze întâi metoda algebrică, aceasta punând la îndemâna rezolvitorului instrumentul matematic adecvat și orientându-l just în alegerea și aplicarea metodelor aritmetice. Cu alte cuvinte, îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode creează avantajul evitării eforturilor inutile. Sunt însă împrejurări în care metodele algebrice se împletesc atât de strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin raționamente specifice aritmeticii se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute, adică la ecuații și sisteme de ecuații. În astfel de situații, calculul se poate face cu motivare aritmetică, pe baza relațiilor dintre termenii unei operații și rezultatul ei, sau cu motivare algebrică, pe baza proprietăților ecuațiilor. Procedee de natură algebrică se întâlnesc și în probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, sau în cele care se rezolvă prin metoda comparației.
Problemă
Dacă lungimea unei grădini dreptunghiulare se mărește cu 6 m și lățimea cu 3 m, aria ei crește cu 180 m2, iar dacă lungimea grădinii se micșorează cu 4 m și lățimea se mărește cu 2 m, aria ei se micșorează cu 20 m2 .
Să se afle dimensiunile inițiale ale grădinii.
Rezolvare
Notând lungimea grădinii cu x, lățimea cu y și ținând seama de faptul că aria dreptunghiului este egală cu produsul dimensiunilor lui, adică xy m2, putem scrie sistemul:
care după desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea, devine:
Problemă
Doi elevi participanți la un concurs au răspuns corect primul la 8 întrebări, al doilea la 6 întrebări. Ce sumă se cuvine fiecăruia, proporțional cu numărul răspunsurilor corecte dacă 1/6 din suma primită de al doilea plus ¼ din suma primită de primul face 312 lei.
x + y = 312
=
6y = 3744 ↔ y = 624 și x = 832.
Se observă în mod clar avantajul metodei algebrice.
Rezolvare aritmetică
Sumele cuvenite fiind proporționale cu numărul răspunsurilor corecte, înseamnă că primul va lua 8 părți din suma totală, al doilea 6 părți, în total 14 părți.
Apoi 1/6 din partea celui de-al doilea, adică 1/6 din 6 părți fac o parte, adică 1/14 din suma totală, iar 1/4 din partea celui dintâi fac ¼ din 8 părți, adică 2 părți sau 2/14 = 1/7 din suma totală. Atunci,
1/14 S + 2/14 S = 312 lei.
Efectuând calculele, cu motivare aritmetică sau algebrică, se găsește S = 1456 lei, de unde
1/14 din 1456 lei = 104, o parte, iar 6 părți fac
104 lei 6 = 624 lei
și 8 părți fac
104 lei 8 = 832 lei.
Se observă că prin rezolvare aritmetică s-a ajuns la o expresie algebrică:
ecuația: S 2S
––- + ––- = 312 .
14 14
Metodele aritmetice se clasifică în două categorii: metode fundamentale sau generale și metode speciale sau particulare.
Metodele generale se aplică într-o măsură mai mare sau mai mică în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică.
4.2. Metoda analitică
A examina o problemă de aritmetică prin metoda analitică înseamnă a porni de la întrebarea problemei, a stabili datele, în general necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple ale căror rezultate să constituie elementele problemei simple precedente și așa mai departe până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pa baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie să fie ambele cunoscute. Pornind de la această problemă simplă, se arată în mod succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizând datele celei precedente până se ajunge la problema simplă al cărui rezultat este însuși rezultatul problemei date.
Problemă
În secția de covoare a unei întreprinderi lucrează două echipe de muncitori: prima cu 6 muncitori care lucrează câte 18 covoare pe zi, a doua cu 7 muncitori care lucrează câte 16 covoare pe zi. Să se stabilească valoarea covoarelor executate într-o zi de cele două echipe, știind că un covor este evaluat în medie la 480 lei.
Pentru a afla valoarea totală a covoarelor, cunoscând valoarea unitară, ar trebui să se știe numărul total al lor lucrate de cele două echipe. În acest scop este necesar să se afle întâi numărul covoarelor lucrate de prima echipă, apoi numărul de covoare lucrate de a doua echipă. Numărul covoarelor lucrate de o echipă se poate afla utilizând datele problemei, și anume înmulțind numărul covoarelor lucrate de un muncitor cu numărul muncitorilor din echipă.
Schematic, examinarea problemei prin metoda analitică se înfățișează astfel:
Detaliile stabilite analitic se sintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema dată și indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor:
Se calculează numărul covoarelor lucrate de echipa I !
18 covoare 6 = 108 covoare
Se calculează numărul covoarelor lucrate de echipa a II a !
16 covoare 7 = 112 covoare
Se află numărul total de covoare lucrate de cele două echipe:
108 covoare + 112 covoare = 220 covoare
Se află valoarea totală a covoarelor executate:
480 lei 220 = 105600 lei.
4.3. Metoda sintetică
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a așeza aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.
Problema enunțată și studiată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:
1. Cunoscând numărul muncitorilor din prima echipă și numărul covoarelor efectuate de fiecare, se află numărul covoarelor executate de întreaga echipă.
Analog pentru echipa a II a.
3. Dacă se află câte covoare au fost lucrate de prima echipă și câte de a doua,
atunci se poate afla numărul total de covoare efectuate de cele două echipe.
4. Cunoscând numărul total de covoare și valoarea unuia se poate afla valoarea totală.
Schema examinării problemei prin metoda sintetică este următoarea:
Comparând cele două metode și referindu-ne la învățămintele dobândite din experiență, se pot afirma următoarele:
Metoda sintetică este mai ușoară, este mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu necesită un proces de gândire de mare profunzime. De aceea este întrebuințată cu precădere mai ales în primele trei clase. Întrebuințarea acestei metode însă poate duce la greșeli, prin formularea unor probleme simple care nu sunt necesare, tocmai datorită faptului că procesul de gândire nu este orientat în mod clar spre întrebarea finală, pentru că nu pornește de la această întrebare.
Metoda analitică formulează problemele simple în funcție de întrebarea finală, deci apelează numai la acele probleme simple ce converg spre întrebarea finală și care concură la stabilirea răspunsului corespunzător acelei întrebări. Ea este mai grea fiindcă presupune un proces de gândire continuu și de profunzime, fapt pentru care există tendința de a fi în general ocolită. Dar întrebuințarea acestei metode contribuie într-o mare măsură la dezvoltarea gândirii logice și numai cunoașterea și întrebuințarea ei creează posibilitatea rezolvării de către elevi a problemelor în mod independent. De aceea este necesar ca pe măsură ce elevii dobândesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetică, să se treacă treptat la întrebuințarea metodei analitice, mai ales în clasele a-III-a și a-IV-a.
În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, menționez faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații una din ele devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unică: metoda analitico-sintetică.
De altfel, legătura strânsă dintre analitic și sintetic este pusă în evidență chiar de felul de desfășurare și stabilire a concluziilor în examinarea problemei cu ajutorul căreia s-au exemplificat cele două metode. Astfel planul de rezolvare stabilit în urma examinării problemei respective prin metoda analitică este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiind aceleași. Doar în cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o formă mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.
4.4. Metoda figurativă
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.
Metoda figurativă se poate descrie în felul următor:
Deseori rezolvitorul de probleme de aritmetică (și nu numai de aritmetică) simte nevoia să-și „apropie” datele problemei, precum și relațiile dintre acestea din textul enunțului. Pentru aceasta realizează un desen, o figură, un model, care să oglindească fidel cele de mai sus. Dacă aceste este „la început de drum”, desenul său este cât mai detaliat, iar pe măsură ce el își formează unele priceperi și deprinderi, figura devine cât mai abstractă, cât mai schematică, ea „prinzând” în cadrul modelului numai esențialul.
Problemele de aritmetică, ce se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărțite în următoarele două categorii:
Cu date sau mărimi „discrete” înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii, în acest caz mărimile le „figurăm” prin simboluri.
Cu date sau mărimi „continui”, caz în care le figurăm prin segmente.
În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și specificului lor.
Astfel se pot întâlni:
– desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;
– figuri geometrice diferite: segmente de dreaptă, triunghiuri, dreptunghiuri, pătrate, cercuri;
– figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;
– felurite semne convenționale, unele obișnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii și de la caz la caz;
– litere și combinații de litere;
– elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculețe etc:
Avantajele pe care le prezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei. Astfel:
– are caracter general, aplicându-se la orice categorie de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității;
– are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal;
– prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferite valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.
Exemple
Figurarea prin desen
De 8 martie, două fetițe au oferit mamei lor flori. Fetița mai mare i-a oferit 4 garoafe, iar cea mică 3 garoafe.
Câte garoafe avea acum mama, dacă se știe că mai primise 5 garoafe de la soțul ei?
Calcul:
5g + 4g = 9g sau 4g + 3g = 7g
9g + 3g = 12g 7g + 5g = 12g
Utilizarea figurilor geometrice plane
Trei grădini au suprafața totală de 1925 m². Grădina a doua este cu 140 m² mai mare decât prima, iar a treia cu 205 m² mai mare decât a doua. Să se afle suprafața fiecărei grădini.
I
II
III
Calcule:
1925m² – [140+(140+205)]m² = 1440 m²
1440m² : 3 = 480 m² (prima)
480m² + 140m² = 620 m² (aII-a)
620m² + 205m² = 825 m² (aIII-a).
3. Figurarea prin segmente de dreaptă
Un balot de stofă de 34 m se repartizează la două ateliere de croitorie astfel încât atelierul al II lea să primească cu 5 m mai puțin decât dublul lungimii pe care o primește primul atelier.
Câți metri de stofă primește fiecare atelier?
34 m + 5 m = 39 m
39 m : 3 m = 13 m (o parte pentru primul atelier)
13 m 2 – 5 m = 21 m (pentru al doilea atelier)
A B
5
C E
D
4. Figurarea schematică
La o fermă sunt oi și gâște, în total 2201 capete și 8110 picioare.
Câte oi și câte gâște sunt?
Se figurează oile și gâștele prin ovale:
I
2201 capete
Întrucât fiecare vietate are cel puțin 2 picioare, se figurează la fiecare oval câte două linioare oblice, reprezentând cele două picioare
II
2201 x 2 = 4402 picioare
S-au repartizat 4402 picioare și au rămas 3708 picioare care se pot figura la 1854 ovale (3708 : 2 = 1854) acestea reprezentând animale cu câte 4 picioare, adică oi.
III
Dacă 1854 sunt oi atunci restul de 347 au câte 2 picioare, deci sunt gâște (2201 – 1854 = 347).
5. Figurare prin semne convenționale
Elevii unei școli au ajutat la culesul cartofilor. Într-o oră primul grup a format 5 grămezi de câte 25 kg, al doilea grup 4 grămezi de câte 30 kg, iar al treilea grup 3 grămezi de câte 50 kg:
Câte kilograme de cartofi s-au cules în 4 ore de lucru?
Convenim să figurăm datele problemei prin semiovale întrucât acestea dau cel mai bine imaginea grămezilor de cartofi. Semiovalele care reprezintă grămezi de 30 kg cartofi vor fi mai mari decât cele care reprezintă grămezi de 25 kg, iar cele care reprezintă grămezi de 50 kg cartofi vor fi aproximativ de două ori mai mari decât cele care reprezintă grămezi de 25 kg. Astfel:
Calcule: ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
25 kg x 5 = 125 kg
30 kg x 4 = 120 kg ∩ ∩ ∩ ∩
50 kg x 3 = 150 kg
125 kg + 120 kg + 150 kg = 395 kg cartofi într-o oră ∩ ∩ ∩
395 kg x 4 = 1580 kg cartofi în patru ore.
6. Utilizarea literelor și a combinațiilor de litere
Un grup de copii și adulți a ajutat la culesul merelor. Inițial numărul copiilor era de 3
ori mai mare decât al adulților, dar după ce 4 adulți și 4 copii au fost repartizați la transporturi, numărul copiilor a devenit de 4 ori mai mare decât numărul adulților.
Câți adulți și câți copii erau în grup?
Pentru a reprezenta prin elemente grafice datele problemei și relațiile dintre ele, vom utiliza majusculele A și C pentru a desemna respectiv un adult și un copil.
Atunci în situația inițială fiecărui adult îi corespund câte 3 copii.
– – – – – –
După repartizarea în altă parte a 4 copii și 4 adulți, situația se prezintă astfel:
– – – – – –
adică primul grup este desființat, din al doilea rămân 2 copii, iar grupurile III și IV rămân fără adulți. Cei opt copii rămași stingheri se repartizează câte unul la fiecare grup rămas intact, astfel încât fiecărui adult îi corespunde 4 copii.
Cu cei 8 copii se pot completa 8 grupuri de câte un adult și 4 copii, în total 32 copii și 8 adulți. Adăugând la aceștia pe cei plecați, înseamnă că inițial au fost 12 adulți și 36 copii.
4.5. Metoda comparației
Comparația ca operație a gândirii logice intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași. Algebric, aceste relații se traduc sub forma unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere, fiind analog cu cel algebric. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.
Problemă
O echipă formată din 5 muncitori și 12 elevi a recoltat într-o zi 946 lăzi cu roșii, iar o altă echipă formată din 6 muncitori și 15 elevi a recoltat 1164 lăzi cu roșii.
Să se afle câte lăzi cu roșii a recoltat un elev și câte un muncitor.
Rezolvare. Se scriu și se compară cele două relații:
5 muncitori …………… 12 elevi ………………… 946 lăzi ׀ 6 ׀ 5
6 muncitori …………….15 elevi …………………1164 lăzi ׀ 5 ׀ 4
Întrucât nici valorile care reprezintă muncitorii nu sunt egale și nici cele care reprezintă elevi, apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. În acest scop, gândim astfel: dacă atât numărul muncitorilor, cât și al elevilor din prima echipă ar fi, să zicem, de 6 ori mai mare, e clar că și numărul lăzilor cu roșii ar fi tot de 6 ori mai mare. Iar dacă atât numărul muncitorilor, cât și al elevilor din a doua echipă ar fi de 5 ori mai mare, atunci și numărul lăzilor ar fi de asemenea de 5 ori mai mare. S-ar obține în acest caz relațiile:
30 muncitori …………..72 elevi …………………5676 lăzi
30 muncitori …………..75 elevi …………………5820 lăzi
care sunt echivalente cu cele inițiale, dar în care numărul muncitorilor este același. Comparând între ele relațiile obținute, se deduce cu ușurință că dacă echipa a doua a recoltat mai multe lăzi cu roșii, aceasta se datorează faptului că are mai mulți elevi decât prima. Adică diferența, de 5820 lăzi – 5676 lăzi = 144 lăzi corespunde diferenței de 75 elevi – 72 elevi = 3 elevi. Rezultă că 3 elevi au recoltat 144 lăzi cu roșii, iar un elev 48 lăzi. Introducând acest rezultat în oricare din relații, de preferință în una din relațiile inițiale întrucât acestea conțin valori mai mici, se află numărul lăzilor cu roșii recoltate de un muncitor, anume 74 lăzi.
Algebric, rezolvarea problemei se face cu mai multă ușurință, întrucât nu necesită explicații ample. Astfel, notând cu x numărul de lăzi cu roșii recoltate de un muncitor și cu y numărul de lăzi cu roșii recoltate de un elev, se poate scrie sistemul:
5x + 12y = 986 ׀ 5
6x + 15y = 1164 ׀ (-4)
Rezolvând acest sistem prin metoda reducerii, obținem succesiv:
25x + 60y = 4730
-24x – 60y = – 4656
x = 74,
iar prin substituire se obține y = 48
Analogia metodei aritmetice cu metoda algebrică rezultă în mod clar.
4.6. Metoda ipotezelor
Metoda ipotezelor este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Întrucât ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se mai numește a falsei ipoteze. Ea se utilizează în toate cazurile în care prin ipotezele care se fac poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei și deci la rezolvarea lor.
Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii după numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel avem:
– probleme de categoria I – din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;
– probleme de categoria a II a – din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze.
Probleme de categoria I
Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și gâște, în total 3444 capete și 11520 picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare decât al vacilor, iar gâștele de 3 ori mai mic decât al găinilor, să se afle separat câte vaci, oi, găini și gâște are ferma.
Ținând seama că vacile și oile au câte 4 picioare, iar găinile și gâștele câte două, vom afla întâi câte animale au 4 picioare și câte 2 picioare, și apoi câte din cele cu 4 picioare sunt vaci sau oi și câte din cele cu 2 picioare sunt găini sau gâște.
Ipoteză:
Toate animalele sunt cu câte 4 picioare. Atunci ele ar avea 13776 picioare pentru că
3444 4 = 13776.
Diferența totală este de 2256 picioare, pentru că
13776 – 11520 = 2256
și ea rezultă din faptul că păsările au fost considerate cu 4 picioare. Deci vor fi atâtea păsări de câte ori diferența unitară – 2 picioare – se cuprinde în diferența totală, adică 1128 păsări, pentru că
2256 : 2 = 1128,
din care o parte gâște și 3 părți găini, deci 282 gâște și 846 găini, pentru că
1128 : 4 = 282
și
282 3 = 846.
Dacă din 3444 capete, 1128 sunt păsări, restul de 2316 sunt vaci și oi, din care o parte vaci și 5 părți oi, deci 386 vaci și 1930 oi, pentru că:
2316 : 6 = 386
și
386 5 = 1930.
Verificare:
386 vaci ………. 386 capete ……………. 1544 picioare
1930 oi …………1930 capete …………… 7720 picioare
846 găini ……….. 846 capete …………….1692 picioare
282 gâște ………. 282 capete ……………. 564 picioare
_______________ _______________
3444 capete 11520 picioare
Problema 2
Pentru 13 m de stambă și 7 m de mătase s-a plătit suma de 660 lei. Cât costă stamba și cât mătasea, dacă se știe că 1 m de mătase costă cât 6 m de stambă?
Rezolvare
Presupunem că metrul de stambă costă 1 leu, ceea ce înseamnă că metrul de
mătase ar costa 6 lei. Atunci 13 m de stambă ar costa 13 lei iar, 7 m de mătase ar costa
6 lei 7 = 42 lei,
în total
13 lei + 42 lei = 55 lei.
Dar materialele au costat 660 lei, adică de 12 ori mai mult (660 lei : 55 lei = 12). Aceasta înseamnă că stamba n-a costat 1 leu metrul, ci de 12 ori mai mult, adică 12 lei metrul și nici mătasea n-a costat 6 lei metrul, ci de 12 ori mai mult, adică
6 lei 12 = 72 lei/m.
Problemă de categoria a II a
Cu prilejul unui spectacol dat se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe o bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe o bancă, rămân 4 bănci libere. Câte bănci sunt în sală și câți spectatori?
Ipoteza I: 30 bănci. Dacă în sală ar fi 30 de bănci, atunci cu câte 4 spectatori pe o bancă ar fi 120 spectatori, plus cei 18 spectatori fără locuri, în total 138 spectatori. Iar cu 5 spectatori în 26 bănci (fiindcă în această situație 4 bănci rămân libere) ar fi 130 spectatori. Întrucât numărul spectatorilor este diferit în cele două situații, diferența fiind de 8 spectatori, rezultă că ipoteza este falsă.
Ipoteza a II a: 31 bănci. În această ipoteză avem: câte 4 spectatori pe o bancă ar fi 124 spectatori, plus cei 18 spectatori în picioare, fac în total 142 spectatori. Iar cu 5 spectatori pe o bancă în 27 de bănci, ar fi 135 spectatori. Și a doua ipoteză este falsă, însă se constată că diferența este acum de 7 spectatori (142 – 135 = 7), adică dacă numărul băncilor s-a mărit cu 1, diferența s-a micșorat cu o unitate, de unde urmează că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 față de prima ipoteză pentru ca diferența de 8 spectatori să se anuleze. Într-adevăr, dacă numărul băncilor este 38, avem:
în 38 bănci câte 4 spectatori ………… 152 spectatori
în picioare …………………………… 18 spectatori
_________________________________________________
Total: 170 spectatori
Sau în 34 bănci câte 5 spectatori …………..170 spectatori
Prin urmare, în sală sunt 38 de bănci și 170 spectatori.
4.7. Metoda mersului invers
Prin metoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule ce rezultă din enunțul problemei. Se numește a mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv.
Problemă
Suma cu care sunt premiați în mod egal trei inovatori este depusă la casierie într-un plic. Primul inovator ia 1/3 din suma care se afla în plic și pleacă. Venind al doilea inovator și crezând că el este primul, ia 1/3 din suma pe care la rândul său o găsește în plic și pleacă. Peste câtva timp vine al treilea inovator și crezând și el că este primul ia 173 din suma rămasă în plic. După plecarea lui se constată că în plic au mai rămas 920 lei. Cum vor împărți între ei această sumă în mod echitabil?
Rezolvare. Așezarea datelor problemei:
I 1/3 S rest R1
II 1/3 R1 rest R2
III 1/3 R2 rest R3 = 920
Efectuarea calculelor:
III. Al treilea inovator luând 1/3 din R2, unde R2 reprezintă suma pe care a găsit-o în plic, înseamnă că suma rămasă, adică R3 = 920, reprezintă 2/3 din R1 și deci avem:
920 3
2/3 R2 = 920 → R2 = ––––- = 1380 (lei)
2
II. Al doilea inovator a luat 1/3 din R1, unde R1 reprezintă suma găsită de acesta în plic după care a rămas în plic R2 = 1380 lei. Înseamnă că:
1380 3
2/3 R1 = 1380 → = ––––- = 2070 (lei)
2
I. Primul inovator a luat 1/3 din S, unde S reprezintă suma întreagă, rămânând în plic 2070 lei, ceea ce înseamnă că:
2070 3
2/3 S = 2070 → ––––– = 3105 (lei).
2
Suma de 3105 lei trebuie să se împartă între cei trei în părți egale, astfel că fiecare are dreptul să primească:
3105 lei : 3 = 1035 lei.
Problemă
Am ales un număr; l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțt-o la 7 și din cât am scăzut 11, obținând 200.
Ce număr am ales?
Rezolvare. Enunțul se scrie prescurtat astfel:
( x 5 + 42 ) : 7 – 11 = 200
și formează o ecuație. Nu o rezolvăm algebric desfăcând parantezele, trecând termenii cunoscuți într-un singur membru etc., ci prin raționament aritmetic.
Urmărim enunțul de la sfârșit spre început.
Care este ultima operație făcută? Citim în enunț: „din cât am scăzut 11, obținând 200”. Aceasta constituie o problemă simplă ( în care se dă scăzătorul –11- și restul 200). Numărul din care scădem 11 și ne dă 200 este 200 + 11 = 211.
Problema dată devine mai scurtă, având însă același început:
Am ales un număr; l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211.
Această nouă problemă o urmărim tot de la sfârșit: „suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211”. Ce număr prin împărțire la 7 dă 211? Acesta este 211 7 = 1477. Problema devine și mai scurtă.
Am ales un număr; l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42 și am obținut 1477.
Ce număr adunat cu 42 ne dă 1477?
1477 – 42 = 1435.
Problema devine: numărul înmulțit cu 5 ne dă 1435. Deci numărul căutat este
1435 : 5 = 287.
Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în problemă.
Analizând operațiile făcute în problemă și cele făcute de noi în rezolvarea problemei, constatăm că în fiecare etapă facem operația inversă celei făcute în problemă. Dacă în problemă se face o scădere (am scăzut 11, obținând 200) noi facem o adunare (operația inversă scăderii) 200 + 11 = 211. Dacă în problemă se face o înmulțire, noi facem împărțire; de exemplu problema spune că l-am înmulțit cu 5, obținând 1435 pentru a găsi numărul,
împărțim pe 1435 la 5 etc.
Așadar, nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru rezolvare, sunt operațiile inverse celor din problemă
4.8. Probleme de mișcare
Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.
Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om etc) exprimat în unități de lungime (metri, multiplii sau submultiplii lui).
Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp (exemplu: m/s, km/h).
Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spațiu.
În general, în problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică, în intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe (spații) egale. În acest caz, cele trei mărimi s,v,t sunt legate prin ecuația:
s = v t
iar din aceasta deducem un factor:
s s
V = ––– și t = ––––
T v
La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice.
Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spațiului,
vitezei sau timpului
Exemplu. Doi turiști parcurg distanța de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist este de 4 km/h, iar a celui de-al doilea de 6 km/h.
Să se determine distanța de la A la B.
Rezolvarea I. (aritmetică)
În fiecare oră, primul turist rămâne în urma celui de-al doilea cu 2 km. Până ce al
doilea turist a ajuns în B, primul a rămas în urmă cu o distanță pe care a făcut-o în două ore, adică:
s = 4 km/h 2h = 8 km.
Această rămânere în urmă s-a realizat într-un timp
t = 8 km : 2 km/h = 4 h.
Deci, al doilea turist a mers o distanță s = 6 km/h ּ 4h = 24 km = AB.
Rezolvarea II: (algebric)
s s
Primul turist parcurge distanța AB = s într-un timp t1 = ––, iar al doilea în timpul t2 = ––,
4 6
dar, diferența dintre acești timpi este de 2 ore, deci avem ecuația:
s s
–– – –– = 2 ↔ 3s – 2s = 24 ↔ s = 24,
4 6
deci
AB = s = 24 km.
b) Probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse
Exemplu. Un pieton, care parcurge 5 km pe oră, pleacă din orașul A spre orașul B. În același moment, un biciclist pleacă din B spre A, cu viteza de 22 km/h. Între orașe este o distanță de 81 km.
După cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul ? La ce distanță de orașul B se întâlnesc?
Rezolvarea I (aritmetică)
În fiecare oră, distanța dintre pieton și biciclist se micșorează cu 5km + 22km = 27 km. Pentru ca ei să se întâlnească, trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprinde 27 km în 81 km, adică 81 km : 27 km/h = 3 h.
Se întâlnesc la distanța BI 22 km/h 3h = 66 km de orașul B.
––––––––––––- 81 km –––––––––––––-
A ––––––- I ––––––––––––––––––––- B
––-5Km/h–- →← –––––––––––––22km/h––––-
0h 0h
Când distanța dintre punctele de plecare este s, iar mobilele pleacă în același moment și merg unul către celălalt cu vitezele v1 și v2, atunci timpul după care se întâlnesc este dat de formula:
t = s : (v1 + v2 ).
Rezolvarea II ( aritmetică)
Fie I punctul de întâlnire. Pietonul parcurge drumul AI, iar biciclistul BI. Aceste drumuri sunt proporționale cu vitezele, deci avem:
AI BI AI 5
–– = –– sau, schimbând locul mezilor: –– = –– , iar
5 22 BI 22
AI + BI = 81, deci problema s-a redus la una tipică, de aflare a două numere când cunoaștem suma și raportul lor.
Derivând o nouă proporție din cea obținută, avem:
AI + BI 5 + 22 81 27 22 81
–––– = –––– ; ––- = –– → BI = –––– = 66 (km),
BI 22 BI 22 27
AI = 81 – 66 = 15 (km) .
Pietonul și biciclistul se întâlnesc după
66 km : 22 km/h = 3 h
sau
15 km : 5 km/h = 3 h.
Rezolvarea III (algebrică)
Notăm t = numărul de ore scurse până la întâlnire, atunci avem ecuația:
5t + 22t = 81 ↔ 27t = 81 ↔ 3
Deci întâlnirea are loc după 3h, la 22km/h 3h = 66 km de orașul B.
c) Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens
Exemplu. Un biciclist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din A, în aceeași direcție, un motociclist, având viteza de 42 km/h.
În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist ? La ce distanță de oraș ?
Rezolvarea I (aritmetică)
Avansarea biciclistului (distanța parcursă în 3 ore) este AB = 24 km 3 = 72km. Motociclistul câștigă în fiecare oră 42 km – 24 km = 18 km.
Pentru a câștiga cei 72 km, motociclistul merge timp de 72 km : 18 km/h = 4h, acesta fiind și timpul după care l-a ajuns pe biciclist, iar distanța de la orașul A la punctul de întâlnire este AI = 42 km 4 = 168 km.
––– 72 km ––––
A ––––––––––* B––––––––––––I
0h––→ 24km ––––→ –––––––––––→
3h–––––-→ 42 km–––––––––––––→
Când distanța dintre punctele de plecare este s, iar mobilele pornesc în același timp și merg în același sens cu vitezele v1 și v2, atunci timpul necesar primului ca să-l ajungă pe al doilea este dat de formula:
t = s : (v1 – v2 ), v1 > v2 .
Rezolvarea II (aritmetică)
Fie I punctul în care motociclistul îl ajunge pe biciclist. În timp ce motociclistul face drumul AI, biciclistul face drumul BI. Aceste drumuri sunt proporționale cu vitezele, deci avem:
AI BI AI 42
––- = ––- sau, schimbând locul mezilor: –– = –– ,
42 24 BI 24
iar
AI – BI = 24 3 = 72 ,
deci problema s-a redus la una tipică: de aflare a două numere când cunoaștem diferența și raportul lor. Derivând o nouă proporție din cea obținută, avem:
AI – BI 42 – 24 72 18 72 24
––––- = –––– ; –– = –– → BI = –––- = 96 (km);
BI 24 BI 24 18
AI = 72 km + 96 km = 168 km.
Biciclistul și motociclistul se întâlnesc după
96 km : 24 km /h = 4 h sau 168km : 42 km/h = 4 h.
Rezolvarea III (algebrică)
Notăm cu t numărul de ore scurse până la întâlnire și atunci avem ecuația:
42t – 24t = 24 3 = 72 ↔ 18t = 72 ↔ t = 4h.
Motociclistul l-a ajuns pe biciclist la distanța de 42 km ּ 4 = 168 km de orașul A.
4.9. Probleme de eliminare a unei mărimi prin reducere și de aducere
la același termen de comparație
Problemele care se rezolvă prin reducere se pot clasifica după numărul mărimilor sau necunoscutelor care apar în text și anume cu două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relațiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective.
De asemenea, problemele de eliminare prin reducere se pot clasifica și după faptul dacă conțin sau nu valori egale pentru una din mărimi. Dacă una din mărimi ia valori egale, reducerea se face direct.
Așezarea datelor într-o problemă de eliminare prin reducere se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile de același fel unele sub altele. Rezolvarea problemei se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.
Când problema nu conține valori egale pentru nici una din mărimi atunci în această situație întâi se egalează valorile uneia din mărimi, adică are loc aducerea la același termen de comparație, prin înmulțirea sau împărțirea uneia din relații sau a ambelor relații, cu numere astfel alese încât valorile respective să devină egale.
În cazul când problema conține trei sau mai multe necunoscute ele se elimină succesiv până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.
Problemă
Pentru o sală de conferințe s-au procurat în prima etapă 126 scaune și 42 mese în valoare totală de 13902 lei, iar în a doua etapă 108 scaune și 60 mese în valoare totală de 15396 lei.
Cât a costat un scaun și cât costă o masă ?
În această problemă apar două necunoscute: prețul unitar al unui scaun și prețul unitar al unei mese, iar pentru determinarea lor sunt date două relații.
126 scaune ………… 42 mese ……………. 13902 lei ׀ 6
108 scaune ………… 60 mese ……………. 15396 lei ׀ 7
756 scaune …………252 mese ……………. 83412 lei
756 scaune …………420 mese ……………107772 lei
Scăzând prima relație din a doua se elimină prima mărime și obținem:
168 mese ………….24320 lei
1 masă ………….24320 lei : 168 = 145 lei .
Cunoscând costul unei mese, se află cu ușurință costul unui scaun, utilizând una din cele două relații:
108 scaune …………. 15396 lei – 145lei 60 = 15396 lei – 8700 lei = 6696 lei ,
1 scaun ……….. 6696 lei : 108 = 62 lei .
Dacă se urmărește eliminarea mărimii a doua, atunci se aduc la același termen de comparație valorile corespunzătoare acesteia, ținând seama că‚ [42, 60] = 420, ceea ce înseamnă că prima relație se înmulțește cu 10, iar a doua cu 7.
Problemă
Pentru nevoile casnice, o familie a cumpărat o dată 5 m de stambă, 3 m de olandină și 6 m diftină, plătind în total 225 lei. Altă dată a cumpărat, cu aceleași prețuri unitare 3 m stambă, 5 m olandină și 4 m diftină, plătind în total 191 lei. A treia oară s-au cumpărat câte 8 m de stambă și olandină și 5 m diftină, plătind în total 316 lei. Să se afle prețurile unitare ale celor trei feluri de materiale.
5 m stambă ……………… 3 m olandină …………..6 m diftină …… 225 lei
3 m stambă ……………… 5 m olandină …………..4 m diftină …… 191 lei
8 m stambă ……………… 8 m olandină …………..5 m diftină …… 316 lei
Adunând primele două relații, avem:
8 m st. …… 8 m ol. ……… 10 m dif. ………. 416 lei
8 m st. …… 8 m ol. ……… 5 m dif. ………. 316 lei
Scăzând acum relațiile, obținem:
– – 5 m dif. ………… 100 lei
– – 1 m dif. ………… 100 lei : 5 = 20 lei
Cunoscând prețul unui metru de diftină se înlocuiește valoarea acestui material în două din relațiile grupului inițial, obținându-se două relații cu două necunoscute, procedându-se în continuare ca la problemele de această categorie.
Pentru această problemă există încă o posibilitate convenabilă: scăzând relația a doua din a treia și apoi relația obținută scăzând-o din prima, se ajunge tot la eliminarea simultană a primelor două relații.
4.10. Probleme de eliminare prin înlocuire
După cum rezultă din denumirea lor, problemele care se încadrează în acest tip se rezolvă înlocuind o mărime prin alta, pe baza relațiilor cantitative dintre ele.
Problemele de eliminare prin înlocuire se pot clasifica în două categorii:
– probleme a căror formulare utilizează expresiile comparative mai mare sau mai mic ; mai mult sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin cu o anumită mărime, cantitate sau valoare, expresii cărora le corespund operațiile de adunare sau scădere.
– probleme a căror formulare utilizează expresiile mai mare sau mai mic, mai mult sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin de un număr de ori, expresii cărora le corespund operațiile de înmulțire sau împărțire.
Fiecare categorie de probleme poate conține două, trei sau chiar mai multe mărimi.
Probleme de categoria I
Pentru 5 kg lămâi și 9 kg portocale s-au plătit 2004 lei. Cât costă 1 kg de lămâi și cât 1 kg de portocale, dacă se știe că portocalele sunt cu 4 lei/kg mai scumpe decât lămâile ?
lămâi (kg) portocale (kg) lei
5 9 204
Înlocuind lămâile prin portocale, înseamnă că trebuie să adăugăm la valoarea totală câte 4 lei pentru fiecare kg de lămâi, în total 5 lei 4 = 20 lei. Atunci avem:
– 9 + 5 = 14 204 + 20 = 224
– 1 224 : 14 = 12
1 – 12 + 4 = 16
Prin urmare 1 kg de lămâi costă 12 lei, iar 1 kg de portocale 16 lei.
Probleme de categoria a II a
Se știe că 54 m stambă și 21 m mătase costă în total 1404 lei. Cât costă metrul din fiecare material dacă mătasea este de 3 ori mai scumpă decât stamba ?
Dacă mătasea este de 3 ori mai scumpă decât stamba, înseamnă că în loc de 1 m de mătase se pot lua, în limitele aceleiași sume, 3 m de stambă, iar în loc de 21 m mătase se pot lua 3 ּ21 m = 63 m
4.11. Metode pentru dezvoltarea gândirii critice
Brainstormingul
Brainstorming-ul își are originea într-o metodă didactică folosită în India, în urmă cu 400 de ani, numită „Prai-Barshana (prai – în afara eului; barshana – discuții care nu admit critici).
În bibliografia de specialitate, metoda este cunoscută sub diferite denumiri:
furtună în creier – denumirea respectă strict înțelesul etimologic și sugerează intensitatea activității imaginative;
metoda Osborn – de la numele celui care a sistematizat brainstorming-ul;
asalt de idei, cascada ideilor – datorită numărului mare de idei vehiculate de membrii grupului;
filisofia marelui Da (The big Yes) – pentru că, într-o primă fază, sunt acceptate necondiționat toate ideile emise;
evaluarea amânată – pentru că actul imaginației este separat de cel al gândirii critice.
Mânuită cu profesionalism, flexibilitate și inspirație brainstormingul este o metodă accesibilă, relativ simplă și eficientă de învățare care stimulează creativitatea și pe această bază, dezvoltarea gândirii critice, constructive.
Alte metode:
Tehnica: Gândiți / Lucrați în perechi / Comunicați
Termenii cheie inițiali
Tehnica: Știu / Vreau să știu / Am învățat
Este utilizată cu precădere în faza de evocare dar și în cea de realizare a sensului, fiind o modalitate de conștientizare, de către elevi, a ceea ce știu sau cred că știu referitor la un subiect, o problemă și, totodată, a ceea ce nu știu (sau nu sunt siguri că știu) și ar dori să știe / să învețe.
Procedura este relativ simplă. În faza de evocare:
Elevilor li se cere să inventarieze – procedând individual, prin discuții în perechi sau în grup – ideile pe care le consideră că le dețin cu privire la subiectul / tema investigației ce va urma. Aceste idei sunt notate în rubrica „Știu”.
Totodată ei notează și ideile despre care au îndoieli sau ceea ce ar dori să știe în legătură cu tema respectivă. Aceste idei sunt grupate în rubrica „Vreau să știu”.
Urmează, apoi, studierea unui text, realizarea unei investigații sau dobândirea unor cunoștințe referitoare la acel subiect, cunoștințe selectate de profesor.
Prin metode și tehnici adecvate, elevii învață noile cunoștințe iar, în faza de realizare a sensului / înțelegere, ei inventariază noile idei asimilate pa care le notează în rubrica „Am învățat”.
Rezultă un tabel cu trei rubrici:
În fiecare rubrică apar notate ideile corespunzătoare, evidențiindu-se, foarte clar, situația de plecare (ceea ce știau elevii), aspectele și întrebările la care au dorit să găsească răspunsuri (consemnate în rubrica „Vreau să știu”) și ceea ce au dobândit în urma activității / procesului de învățare (idei consemnate în rubrica „Am învățat”).
Tehnica „ciorchinelui”
Metoda SINELG
Metoda Mozaic
Philips 6 -6
Metoda 6-3-5
Interviul grupului creativ
Reuniunea – panel
Metoda Frisco.
Cultivarea creativității elevilor în activitatea de rezolvare și de compunere
a problemelor
Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Diferența dintre a învăța „rezolvarea unei probleme” și „a știi” (a putea) să rezolvi o problemă nouă înseamnă, în esență, creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme „învățate” oferă mai puțin teren pentru creativitate, decât rezolvarea unei probleme noi care, la rândul ei, este depășită de alcătuirea (compunerea) unor probleme noi.
Aceasta nu înseamnă însă că în activitatea de rezolvare de probleme avem de-a face numai cu aspecte creative, renunțând totalmente la cele reproductive. Opoziția dintre algoritm și euristic, dintre deprindere și abilitatea de raționament este numai aparentă. Creativitatea gândirii, mișcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate și eficient transferate. În rezolvarea problemelor, deprinderile și abilitățile se referă în special la analiza datelor, a condiției, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și a orienta întreaga desfășurare a raționamentului în direcția descoperirii soluției problemei.
În scopul cultivării creativității, adică a gândirii, inteligenței și imaginației elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc variate procedee. Printre acestea enumerăm: Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării.
De exemplu: „Doi elevi au sarcina să culeagă împreună 300 kg de mere, fiecare culegând jumătate din cantitate. În două ore un elev a cules 80 kg de mere, iar celălalt 90 kg de mere. Câte kg de mere mai are de cules fiecare elev sau câte kg de mere mai au de cules, împreună, cei doi elevi ?
* Rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee.
Planul problemei precedente ar putea fi, pentru prima întrebare următorul:
300 : 2 = 150 (kg de mere de cules de fiecare elev)
150 – 80 = 70 (kg de mere de cules de primul elev)
150 – 90 = 60 (kg mere de cules al doilea elev),
iar pentru a doua întrebare, planul ar fi puțin diferit
I II
300 : 2 – 80 = 70 80 + 90 = 170
300 : 2 – 90 = 60 300 – 170 = 130
70 + 60 = 130;
* scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;
* alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;
* determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie și încadrarea sau nu a unei probleme compuse în exerciții astfel încât ordinea operațiilor să fie în succesiunea judecăților și a relațiilor corespunzătoare conținutului problemei;
* transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea operațiilor;
* transformarea și compunerea din 2 – 3 probleme simple a uneia compuse ș.a.m.d.
Compunerea problemelor este una din modalitățile principale de a dezvolta gândirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor.
Se pot compune și crea probleme în următoarele forme și următoarea succesiune graduală:
* probleme de acțiune sau cu punere în scenă
* compuneri de probleme după tablouri și imagini
* compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior
* probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate
* compuneri de probleme după un plan stabilit
* compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile
* compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date precum și relații între date ale conținutului
* compuneri de probleme cu întrebare probabilistică
* compuneri de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj
* compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date
* compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus
* compuneri de probleme după un model simbolic
* compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor
* crearea liberă de probleme
* probleme de perspicacitate, rebusistice etc.
În elaborarea textului unei probleme este necesar ca învățătorul să utilizeze date și expresii reale, mijloace și procedee de natură să le ofere elevilor împrejurări de viață corespunzătoare. Conținutul problemei ce urmează a fi propus trebuie astfel formulat încât să permită elevilor formarea de reprezentări ale acțiunii veridice, să-și fixeze date care să fie în concordanță cu realitatea, să stabilească între aceste date relații matematice corespunzătoare ș. a. În această direcție, elevii vor fi ajutați, sugerându-li-se cadrul în care se desfășoară acțiunea, să identifice datele problemei și să descopere judecățile și operațiile care conduc la rezolvarea problemei.
În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină seama de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerințe din ce în ce mai restrictive.
Învățătorul are sarcina să conducă această activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația copiilor spre asociații din ce în ce mai puțin întâmplătoare. În același timp, să-i facă pe elevi să aibă încredere în ei, să le stimuleze eforturile intelectuale, să le formeze și să le educe calități moral-volitive, să le dezvolte interesul și sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații problematice cu conținut matematic.
Este recomandat ca atât compunerea problemelor, cât și rezolvarea acestora să se facă și în situații de joc didactic.
Competiția generată de joc va contribui nu numai la activitatea intelectuală a copiilor, dar și la formarea personalității elevilor, la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă, față de întrecerile în cadrul grupului școlar. Totodată, se va avea în vedere creșterea mobilității gândirii, a capacităților sale divergente, creatoare, dezvoltarea calităților de bază (rapiditate, operativitate, capacitate de control și autocontrol, calități ale atenției). S-ar putea găsi, crea și folosi o mulțime de forme și procedee pentru aceasta. Propun câteva:
* care echipă compune mai corect și mai frumos o problemă după anumite cerințe;
* să se rezolve o problemă compusă de o echipă (sau pe rând de fiecare component al echipei) de un alt grup (sau fiecare component al grupului);
* o echipă să formuleze conținutul problemei și alta întrebarea, iar rezolvarea ei să se facă de ambele echipe simultan;
* să se găsească de fiecare echipă cât mai multe întrebări la un conținut dat, sau mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse;
* să se elimine dintr-un enunț datele de prisos sau să se corecteze un enunț formulat intenționat greșit etc.
Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor învățătorul să aibă permanent în atenție, să urmărească și să coopereze cu ceilalți profesori dacă este cazul la :
* îmbunătățirea continuă a exprimării corecte a copiilor, orală și în scris, atât din punct de vedere matematic cât și gramatical;
* îmbogățirea vocabularului lor matematic și a vocabularului în general;
* creșterea continuă a volumului de cunoștințe, de corelare a lor și, mai ales, de transfer și folosire a acestora în practică;
* nuanțarea exprimării orale a copiilor în expunerea problemelor propuse, pentru a scoate în evidență atât datele, cât mai ales, relațiile dintre ele și întrebarea problemei.
Compunerea de probleme la clasele I – IV poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație (inovație, invenție) și cu certitudine, o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar în strânsă corelație cu celelalte discipline de învățământ.
4.13. Jocurile didactice matematice
Jocul reprezintă un ansamblu de acțiuni și operații care, paralel cu destinderea, buna dispoziție și bucuria, urmărește obiective de pregătire intelectuală, tehnică, morală, fizică etc. a copilului.
Încorporat în activitatea didactică, elementul de joc imprimă acesteia un caracter mai viu și mai atrăgător, aduce varietate și o stare de bună dispoziție funcțională, de veselie și de bucurie, de divertisment și de destindere, ceea ce previne apariția monotoniei și a plictiselii, a oboselii. Restabilind un echilibru în activitatea școlarilor, jocul fortifică energiile intelectuale și fizice ale acestora, generând o motivație secundară, dar stimulatorie, constituind o prezență indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare.
Jocul didactic este un tip specific de activitate prin care învățătorul consolidează, precizează și chiar verifică cunoștințele elevilor, le îmbogățește sfera lor de cunoștințe, le pune în valoare și le antrenează capacitățile creatoare ale acestora.
Când jocul este utilizat în procesul de învățământ, el dobândește funcții psihopedagogice semnificative, asigurând participarea activă a elevului la lecții, sporind interesul de cunoaștere, față de conținutul lecțiilor.
O dată cu împlinirea vârstei de 6 ani, în viața copilului începe procesul de integrare în viața școlară, ca o necesitate obiectivă determinată de cerințele instruirii și dezvoltării sale multilaterale. De la această vârstă, o bună parte din timp este rezervată școlii, activității de învățare care devine o preocupare majoră. În programul zilnic al elevului intervin schimbări impuse de ponderea pe care o are acum școala, schimbări care nu diminuează însă dorința lui de joc, jocul rămânând o problemă majoră în timpul întregii copilării.
În aceste condiții, se impune o exigență sporită în ceea ce privește dozarea ritmică a volumului de cunoștințe matematice ce trebuie asimilate de elevi și, în mod deosebit, necesitatea ca lecția de matematică să fie completată sau intercalată cu jocuri didactice cu conținut matematic (uneori, chiar concepute sub formă de joc)
Un exercițiu sau o problemă de matematică poate deveni joc didactic matematic dacă:
realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic ;
folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse;
folosește un conținut matematic accesibil și atractiv;
utilizează reguli de joc, cunoscute anticipat și respectate de elevi.
Scopul didactic se formulează în legătură cu cerințele programei școlare pentru clasa respectivă, convertite în finalități funcționale de joc. Formularea trebuie să fie clară și să oglindească problemele specifice impuse de realizarea jocului respectiv. O formulare corespunzătoare a scopului determină o bună orientare, organizare și desfășurare a activității respective.
Sarcina didactică
Sarcina jocului didactic matematic este legată de conținutul acestuia, de structura lui, referindu-se la ceea ce trebuie să facă în mod concret elevii în cursul jocului, pentru a se realiza scopul propus. Sarcina didactică reprezintă esența activității respective, antrenând intens operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, dar și ale imaginației. Jocul didactic matematic cuprinde și rezolvă cu succes, de regulă, o singură sarcină didactică. În concluzie, sarcina didactică constituie elementul de bază prin care se transpune la nivelul elevilor, scopul urmărit în activitatea respectivă. Spre exemplu, în jocul didactic „Caută vecinii” scopul didactic este: „Consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere”, iar sarcina didactică „Să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat”. În jocul „Cine urcă scara mai repede?” scopul este: „consolidarea deprinderilor de calcul cu cele patru operații”, iar sarcina didactică: „Efectuarea unor exerciții de adunare, scădere, înmulțire și împărțire”:
Elemente de joc
În jocurile didactice matematice se pot alege cele mai variate elemente de joc: întrecere (emulația / competiția) individuală sau pe grupe de elevi, cooperarea între participanți, recompensarea rezultatelor bune (dar nu înțeleasă în mod îngust) sau penalizarea greșelilor comise de către cei antrenați în jocurile de rezolvare a exercițiilor sau problemelor, bazate pe surpriză, așteptare, aplauze, cuvântul stimulator etc.
Conținutul matematic al jocului didactic trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma în care se desfășoară, prin mijloacele de învățământ utilizate, prin volumul de cunoștințe la care se apelează etc.
Materialul didactic
Reușita jocului didactic matematic depinde în mare măsură de materialul didactic folosit, de alegerea corespunzătoare și de calitatea acestuia.
Materialul didactic trebuie să fie variat, cât mai adecvat conținutului jocului, să slujească cât mai bine scopului urmărit. Astfel se pot folosi: planșe, folii, fișe individuale, cartonașe, jetoane, trusă cu figuri geometrice, Cd-uri.
În jocul „Cine urcă scara mai repede?”, regula cere elevilor să completeze (la tablă sau pe planșă) rezultatul exercițiului, ieșind câștigătoare acea echipă care va reuși să rezolve corect și mai rapid exercițiile, adică cea care va ajunge mai repede în vârf, având dreptul să ia și premiul. Așadar, jocurile didactice matematice cuprind unele reguli care precizează cine poate deveni câștigătorul jocului, în același timp ele cuprind și unele restricții: elevii care greșesc vor fi scoși din joc sau vor fi penalizați, depunctați etc.
Structura unitară, închegată a jocului didactic matematic depinde de felul în care este concretizată sarcina didactică, de felul în care regulile asigură echilibrul dintre sarcina didactică și elementele de joc.
Acceptarea și respectarea regulilor de joc determină pe elev să participe la efortul comun al grupului din care face parte. Subordonarea intereselor personale cele ale colectivului, angajarea pentru învingerea dificultăților, respectarea exemplară a regulilor de joc și, în final, succesul, vor pregăti treptat pe omul de mâine, capabil să se integreze în procesul de producție.
Cum se poate transforma o problemă în joc didactic?
Problemă
Într-o cutie sunt bile albe și negre, câte minimul 6 din fiecare: Se iau la întâmplare 6 bile din cutie. Câte bile albe și câte bile negre pot fi printre cele luate?
Scopul:
Consolidarea cunoștințelor privind adunarea numerelor 0 – 10; dezvoltarea gândirii probabilistice, creatoare a elevilor.
Sarcina didactică:
Verificarea cunoștințelor despre descompunerea unui număr într-o sumă de 2 termeni.
Elemente de joc:
Întrecere individuală și pe echipe (rânduri de bănci)
Material didactic:
O cutie cu 6 bile albe și 6 bile negre (minimum)
Regula jocului:
Elevii scriu soluțiile posibile ale problemei pe o foaie de hârtie, iar învățătorul strânge foile, după un timp dinainte stabilit.
Pot apărea următoarele situații:
bile albe 6 5 4 3 2 1 0
__________________________________________________
bile negre 0 1 2 3 4 5 6
Problema are deci 7 soluții. Pentru fiecare soluție bună se acordă un punct.
Se clasifică elevii: pe locul I cei cu 7 soluții, pe locul II cei cu 6 soluții, pe locul III cei cu 5 soluții etc.
Se poate stabili și o clasificare pe echipe , prin comutarea punctelor obținute de componenții fiecărei echipe. Elevii care nu au dat nici o soluție bună pot fi „penalizați”, având drept sarcină să scrie adunările 0 + 6 = ?; 1 + 5 = ? ….
Prin folosirea jocurilor didactice în predarea matematicii la clasele mici se realizează și importante sarcini formative ale procesului de învățământ. Astfel, jocurile didactice matematice:
antrenează operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea;
dezvoltă spiritul de inițiativă și independența în muncă, precum și spiritul de echipă;
dezvoltă spiritul imaginativ-creator și de observație;
dezvoltă atenția, disciplina și spiritul de ordine în desfășurarea unei activități;
formează deprinderi de lucru corect și rapid;
asigură însușirea mai rapidă, mai temeinică, mai accesibilă și mai plăcută a unor cunoștințe relativ aride pentru această vârstă (numerația, operații aritmetice) etc.
ANEXE
ANEXA 1
Clasa a III-a
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Probleme care se rezolvă prin cel mult două operații
ANEXA 2
Programe de opțional – exemple.
Titlul opționalului: Matematica de fiecare zi
Clasa a IV-a
Argument
Opționalul urmărește să ofere elevilor experiența utilizării tehnicilor și a limbajului matematic în situații practice, accesibile lor, cum sunt participarea la decorarea casei, crearea unei expoziții plastice și investigarea opiniei colegilor în legătura cu o anumită problemă. Prin aceasta, cursul realizează legături între 4 arii curriculare (Tehnologii, Matematica și Științe, Arte, Om și societate), iar gama domeniilor implicate se poate extinde prin elaborarea de noi module.
Activitatea în cadrul acestui opțional ar urma să se desfășoare sub forma a trei proiecte, la care elevii să lucreze în grupuri, pe durata de aproximativ 11 săptămâni fiecare. Ultimele 1-2 săptămâni ar fi dedicate evaluării finale (sub forma de expoziții de produse, prezentări, discuții etc.)
ANEXA 3
PROIECT DE LECȚIE
OBIECTUL: Matematică
CLASA: a IV a
TEMA: Exerciții și probleme cu metoda figurativă
TIPUL LECȚIEI: Consolidarea cunoștințelor
OBIECTIV FUNDAMENTAL: Consolidarea deprinderii de a analiza și rezolva probleme folosind metoda figurativă prin proiectarea unităților specifice fiecărei probleme, dezvoltarea abilității de a compara diferitele metode de rezolvare a problemelor precum și a unui limbaj adecvat.
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
O1: – să analizeze o situație problemă prin elaborarea unui demers original, formulând și comunicând răspunsul
O2: – să compare variante alternative de rezolvare a unei probleme și să decidă asupra celei mai eficiente;
O3: – să dea justificări pentru soluțiile la care a recurs în rezolvarea unei probleme,
O4: – să creeze probleme după o structură precizată sau în condiții date;
O5: – să rezolve probleme folosind metoda figurativă;
O6: – să-și dezvolte un limbaj matematic adecvat;
O7: – să participe afectiv și activ la lecție.
STRATEGIE DIDACTICĂ:
Metode: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea
Mijloace: fișe individuale, fișe grup, instrumente de lucru
BIBLIOGRAFIE: „Programe analitice pentru clasele I-IV”, Ministerul Învățământului, editor „Tribuna Învățământului” și „Probleme de matematică pentru clasele II – IV”, E.D.P. București, 1990
ANEXA 4
PROIECT DE LECȚIE
OBIECTUL: Matematică
TEMA: Dreptunghiul și pătratul
TIPUL LECȚIEI: Consolidare de priceperi și deprinderi
OBIECTIV CADRU: Consolidarea cunoștințelor referitoare la figurile geometrice învățate (poligon, paralelogram, romb, dreptunghi, pătrat); dezvoltarea gândirii logice și a limbajului matematic.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
O1: să construiască un pătrat și un dreptunghi
O2: să calculeze perimetrul figurilor desenate
O3: să traseze axele de simetrie ale pătratului și dreptunghiului
O4: să rezolve corect și rapid exerciții de calcul mintal
O5: să rezolve probleme prin metoda grafică
O6: să utilizeze un limbaj matematic corespunzător
O7: să rezolve exercițiile și problemele de pe fișa de muncă independentă
O8: să rezolve fișa de evaluare
O9: să participe cu interes la lecție
STRATEGIE DIDACTICĂ:
Metode: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea
Mijloace: planșă cu calcul mintal, planșe cu figuri geometrice, fișe de muncă independentă, fișe de evaluare, chibrituri, fișe cu probleme de perspicacitate
BIBLIOGRAFIE:
„Metodica predării aritmeticii la clasele I-IV” de Ioan Aron, E.D.P. București 1998, pag 227- 232
„Aritmetica prin exerciții și probleme pentru ciclul primar” de Ioan Aron, ed. Gama, București 1998, pag. 119 – 123.
„Culegere de exerciții și probleme pentru ciclul primar” de Peneș M. ,ed. Ana, București 1999, pag. 173 – 180
ANEXA 5
PROIECT DE LECȚIE
CLASA : a II-a
OBIECTUL: Matematica
ARIA CURRICULARĂ : Matematică și științe
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Adunarea și scăderea
SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin cel puțin două operații
TIPUL LECȚIEI: Dobândire de cunoștințe
OBIECTIVE CADRU:
– Dezvoltarea capacităților de explorare, investigare și rezolvare de probleme;
– Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic
– Dezvoltarea interesului și motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în alte contexte.
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
2.3. să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații de adunare sau scădere;
3.1. – să exprime oral sau în scris în cuvinte proprii etape ale rezolvării unor probleme;
4.1. – să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor probleme.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
O 1 – să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații;
O 2 – să prezinte etapele rezolvării unor probleme;
O 3 – să utilizeze un limbaj specific matematic: "sumă", "diferență", "cu atât mai mult", "cu atât mai puțin";
O 4 – să manifeste interes pentru aflarea rezultatelor unor probleme.
METODE ȘI PROCEDEE: conversația, explicația, exercițiul, jocul didactic, problematizarea.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT: Planșă cu o problemă propusă spre rezolvare
Planșă cu biletele care conțin probleme,
Fișe evaluative.
STRATEGII DIDACTICE: algoritmice.
FORMA DE ORGANIZARE: frontală, individuală, pe grupe.
BIBLIOGRAFIE: – M.E.C. – Curriculum Național, București, 2003,
– Șincan, Eugenia; Pădureanu, Viorica; Molan, Vasile; 1992, Îndrumătorul învățătorului pentru aplicarea programelor școlare la clasele I -IV, Editura Sigma.
ANEXA 6
PROIECT DIDACTIC
CLASA: a IV-a
ARIA CURRICULARĂ: Matematică și Științe ale naturii
DISCIPLINA: Matematică
SUBIECTUL: – Probleme care se rezolvă prin metoda grafică
TIPUL LECȚIEI: consolidare
OBIECTIVE CADRU:
Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii
Dezvoltarea capacității de explorare/investigare și rezolvare a problemelor
Formarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic
Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
2.4. – să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;
2.5. – să rezolve și să compună probleme cu text;
3.1. – să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;
4.1. – să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice;
SCOPUL LECȚIEI:
Recapitularea și sistematizarea cunoștințelor despre rezolvarea problemelor prin metoda grafică
Rezolvarea de exerciții și jocuri matematice
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
O1 – să rezolve exerciții cu ordinea efectuării operațiilor;
O2 – să rezolve probleme de aflare a două numere știind suma și câtul sau diferența și câtul;
O3 – să cunoască terminologia matematică;
O4 – să rezolve la tablă și pe caiete probleme care se rezolvă prin metoda grafică
O5 – să rezolve pe grupe probleme;
O6 – să rezolve pe echipe exercițiul dat:
O7 – să compună probleme după graficul dat.
METODE ȘI PROCEDEE: exercițiul, conversația euristică,activitatea independentă,
problematizarea, explicația, lucrul în echipă.
FORME DE ORGANIZARE: frontală, individuală, pe grupe.
STRATEGIA DIDACTICĂ: dirijată.
MIJLOCE DIDACTICE: fișe, planșă, joc matematic.
RESURSE:
oficiale: „Curriculum național”
pedagogice: „Matematică”- manual pentru clasa a IV-a; „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”
culegeri de probleme și exerciții;
umane: elevii clasei
spațiale: sala de clasă
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
FIȘĂ DE MUNCĂ INDEPENDENTĂ
Calculați respectând ordinea efectuării operațiilor:
a) 45 x (3 x 2) x7 + 5 x 3 =
b) 12 x [3+2 x (7-1)] =
c) {63-[(15 + 7 x 3): 6 + 18 – 15]} x 4 =
a + b = 1700 m – n = 1500
a : b = 1 (r 300) m : n = 4
a=? b=? m=? n=?
FIȘĂ DE LUCRU ÎN ECHIPĂ
Înlocuiți și aflați relațiile date:
x = dublul diferenței numerelor 828 și 1 000
y = ¼ din x
z = (x + y ) : 43
x + y + z =
(x + y) : z =
x – z – y =
Suma a patru numere consecutive pare este 4812. Aflați numerele.
CONCLUZII
Am ales lucrarea „Gândirea critică în rezolvarea problemelor de aritmetică” pentru că am considerat că-mi va fi de un real folos în activitatea la catedră.
Gândirea este o capacitate definitorie a omului, totuși ea nu funcționează la fel, la toți oamenii.
Am ales gândirea critică în învățare pentru că are un rol esențial în dezvoltarea personalității individului. Ea presupune un aport susținut din partea elevilor – ei trebuie să-și exprime păreri proprii, să-și asume responsabilitatea a ceea ce afirmă, să aleagă soluții optime în rezolvarea unor probleme ivite în viața de zi cu zi.
Elevii care dobândesc abilitatea de a gândi critic devin autonomi și încrezători în gândirea lor.
Gândirea critică este un proces complex care începe cu asimilarea de cunoștințe, cu dobândirea unor operații și procedee mintale de procesare a informațiilor, continuă cu formarea unor credințe și convingeri care fundamentează adoptarea unor decizii și se finalizează prin manifestarea unor comportamente adaptative adecvate și eficiente.
A gândi critic înseamnă a deține cunoștințe valoroase și utile, a-ți forma opinii independente și a accepta ca ele să fie supuse evaluării, a manifesta flexibilitate, toleranță și respect pentru ideile altora.
Gândirea critică, constructivă și eficientă se dobândește într-un cadru adecvat de predare-învățare și prin intermediul acestuia.
El presupune existența a trei etape / faze: evocarea ( în care elevii sunt îndrumați să-și amintească ceea ce știu), realizarea sensului sau înțelegerea (acum elevii vin în contact cu noile conținuturi de idei) și reflecția (etapă în care elevii gândesc la ceea ce au învățat raportând noile conținuturi la cunoștințele anterioare ).
Procesul formării și dezvoltării gândirii critice a elevilor are la bază ideea că orice învățare, pentru a fi eficientă și durabilă, trebuie să pornească de la experiența cognitivă și de viață a elevilor și să stimuleze participarea activă și implicarea personală a elevilor în rezolvarea de probleme.
Autonomia spirituală se fundamentează pe autonomia gândirii și a rațiunii. A fi autonom înseamnă a judeca cu propriul cap, a nu depinde de știința altora, a refuza prejudecățile, a fi inventiv, critic și obiectiv cu propriile puncte de vedere. A fi autonom mai poate însemna să cauți și să produci explicații proprii, să concepi perspective explicative proprii și argumentative personale, să inovezi cunoașterea, să o domini prin interpretări multiple.
Lucrarea este structurată în cinci capitole.
În primul capitol, intitulat „Gândirea critică și învățarea” am prezentat fundamentele teoretice ale gândirii critice și învățării eficiente.
Critica poate fi distructivă, cu scop de demolare și critică constructivă, cu scop de fundamentare și întemeiere a opiniilor.
Al doilea capitol „Bazele psihopedagogice și metodologice ale rezolvării problemelor” cuprinde obiectivele generale ale capitolului, noțiunea de problemă, rezolvarea problemelor, importanța rezolvării problemelor și etapele de rezolvare a acestora.
În sens psihologic, „o problemă” este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns formulat. În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.
Etapele rezolvării unei probleme:
cunoașterea enunțului problemei
înțelegerea enunțului problemei
analiza problemei și întocmirea planului logic
alegerea și efectuarea operațiilor după planul logic
activități suplimentare:
verificarea rezultatului
scrierea sub formă de exercițiu
găsirea altei căi sau metode de rezolvare
generalizare
compunere de probleme asemănătoare
Capitolul al treilea „Metodologia activității de rezolvare a problemelor” cuprinde indicații pentru rezolvarea problemelor tip, a problemelor simple și problemelor compuse și care contribuie la dezvoltarea judecății, a gândirii logice:
– probleme simple bazate pe adunare; pe scădere; pe înmulțire; pe împărțire.
Clasificarea problemelor de aritmetică:
I – Probleme cu operații relativ evidente:
– probleme simple
– probleme compuse
Ca metode de rezolvare sunt, în principal, două – metoda sintetică și metoda analitică
II – Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă – în această categorie includem și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.
III – Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la același termen de comparație).
IV – Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze)
V – Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers)
VI _ Probleme de amestec și aliaje cu două variante
VII – Probleme de mișcare – În același sens; În sensuri contrare
VIII – Probleme cu mărimi proporționale –
împărțirea unui număr în părți direct proporționale
împărțirea unui număr în părți invers proporționale
împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date
IX Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate la categoriile specificate mai sus , dar cu conținut specific
probleme cu conținut geometric
probleme cu conținut de fizică
probleme asupra acțiunii și muncii în comun
X – Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc )
Capitolul cu cea mai mare întindere este capitolul „Metode pentru rezolvarea problemelor”. Acesta cuprinde descrierea metodelor de rezolvare a problemelor, exemple de probleme rezolvate și importanța jocului matematic în dezvoltarea gândirii critice la elevi.
Metode: algebrice, aritmetice, analitică (se pornește de la întrebare), sintetică, figurativă, comparației, ipotezelor, mersului invers, de mișcare, comparației, reducerii la unitate, știu / vreau să știu / am învățat.
Ultimul capitol cuprinde planuri de lecții folosite în rezolvarea de probleme, fișe de muncă independentă, fișe de calcul mintal.
BIBLIOGRAFIE
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metode Pentru Rezolvarea Problemlor de Aritmetica (ID: 159898)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.